ฟงกชันหลายตัวแปร
311
(Functions of Several Variables)
นิยาม 1 (ฟงกชันสองตัวแปร)
ให D เปนเซตของคูอันดับของจํานวนจริง
ฟงกชันสองตัวแปร คือ การจับคูหรือการสมนัย (correspondence) ที่มี
กฎเกณฑวาสําหรับแตละคูอันดับที่อยูใน D จะสมนัยกับจํานวนจริง
เพียงคาเดียว จํานวนจริงดังกลาวเขียนแทนดวย f ( x, y ) หรือ
z = f ( x, y ) เรียกเซต D วา โดเมนของ f และเรียกจํานวนจริง
f ( x, y ) ทั้งหมดที่ซึ่ง ( x, y ) อยูใน D วา เรนจของ f
ตัวอยาง 1 ให f ( x, y ) =
y
x − y2
(ก) จงหาคาของ f (4, 0) , f (1, 2) และ f (1, 1/ 2)
(ข) จงหาโดเมนและเรนจของ f
วิธีทํา
f (4, 0) = 0
f (1, 2) หาคาไมได
1
3
D f {( x, y ) ∈ \ × \ / x > y 2 }
f (1, 1/ 2) =
โดเมนของ f คือ
และ เรนจของ f คือ R f = { f ( x, y) / f ( x, y ) ∈ \} เมื่อ \
แทนจํานวนจริง
312
ตัวอยาง 2 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชันสองตัวแปรตอไปนี้
ฟงกชัน
โดเมน
z=
เรนจ
y − x2
1
w=
xy
y ≥ x2
[0, ∞)
xy ≠ 0
(−∞, 0) ∪ (0, ∞)
z = sin xy
x, y ∈ R
[−1, 1]
ในทํานองเดียวกัน ฟงกชันสามตัวแปร เขียนแทนดวย
และโดเมนของ
เปนจํานวนจริง
w = f ( x, y , z )
f คือ เซตของคูลําดับ ( x, y, z )
ที่ทําให w มีคา
ตัวอยาง 3 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชันสามตัวแปรตอไปนี้
ฟงกชัน
โดเมน
เรนจ
w = x2 + y 2 + z 2
1
w= 2
x + y2 + z2
x, y , z ∈ R
[0, ∞)
( x, y, z ) ≠ (0, 0, 0)
(0, ∞)
w = xy ln z
x, y ∈ R และ z > 0
(−∞, ∞)
313
กราฟของฟงกชันสองตัวแปร
(Graphs of Function of Two Variables)
ให (x, y) แทนจุดในระนาบ xy และ z แทนความสูงที่อยูเหนือ
หรือใตระนาบ xy แลวจะไดวา สมการ z = f(x, y) แทนพื้นผิว
(surface) ในปริภูมิสามมิติ (three space) และเงาที่ทอดไปบน
ระนาบ xy คือ โดเมนของ f(x, y)
z
z = f(x, y)
(x ,y,f(x,y))
y
P(a, b,(xf ,y)
(a, c))
x
รูปที่ 1 พื้นผิว z = f(x, y) ในปริภูมสิ ามมิติ
ระบบพิกดั ฉากในสามมิติ
ระบบพิกัดฉากในสามมิติหรือระบบพิกัด xyz ประกอบดวยระนาบ
สามแผน ไดแก ระนาบ xy ระนาบ yz และ ระนาบ xz เรียกระนาบทั้ง
สามวา ระนาบพิกดั ระนาบทั้งสามจะตัดกันในลักษณะที่ตั้งฉากซึ่งกัน
และกัน รอยตัดของระนาบทั้งสามจะเปนเสนตรงสามเสนตั้งฉากซึ่งกัน
และกัน เรียกวา แกนพิกัด นั่นคือ แกน x, แกน y และแกน z ตัดกันที่
314
จุด O เรียกวาจุดกําเนิด ระนาบพิกัดนี้แบงปริภูมิสามมิติออกเปน 8
สวนและเรียกแตละสวนวา อัฐภาค (octant) ดังรูปที่ 2
z
z
y
y
x
ระนาบ xz
x
ระนาบ yz
z
z
y
y
x
z
ระนาบ xy
x
รูปที่ 2 ระบบพิกัดฉากตามกฏมือขวา (right-hand rule)
จากรูปที่ 3 ถา P เปนจุดใดๆในปริภูมิสามมิติ ระยะหางจาก
ระนาบ yz ถึงจุด P ซึ่งขนานกับแกน x เรียกวา พิกัดแรก (x coordinate) ของจุด P มีคาเปนบวก ในทํานองเดียวกัน ระยะหางจาก
ระนาบ xz ถึงจุด P ซึ่งขนานกับแกน y เรียกวา พิกัดที่สอง (ycoordinate) และพิกัดที่สาม (z - coordinate) ระยะหางจากระนาบ
xy ถึงจุด P ซึ่งขนานกับแกน z คือจํานวนที่ระนาบผานจุด P ตั้ง
ฉากกับระนาบพิกัด พิกัดทั้งสามของจุด P เขียนแทนดวย (x1, y1, z1)
315
และจะเรียก (x1, y1, z1) วาพิกัดฉาก (rectangular coordinate)
ของจุด P
z
z
3
2
1
-2
-1
0
1 2
1 -1
2
-2
-2 -1
x
P(x1, y1, z1)
3
x1
x
(a)
y1
y
0
y
(x1, y1, 0)
(b)
รูปที่ 3 ระบบพิกัดฉากตามกฏมือขวา (right-hand rule)
(a) แสดงแกนพิกัดฉากในปริภูมิสามมิติ
(b) พิกัดฉากของจุด P ในปริภูมิสามมิติ
ตาราง 1 แสดงพิกัดของจุดบนแกนพิกัดฉากและระนาบพิกัดฉาก
แกนพิกัด พิกัดของจุดบน
ฉาก
แกนพิกัดฉาก
แกน x (a, 0, 0)
แกน y (0, b, 0)
แกน z
(0, 0, c)
ระนาบพิกัด พิกัดของจุดบน
ฉาก
ระนาบพิกัดฉาก
ระนาบ xy (a, b, 0)
ระนาบ xz (a, 0, c)
ระนาบ yz (0, b, c)
316
จากตาราง 1 จะพบวา ระนาบ xy จะแทนดวยสมการ z = 0
ในทํานองเดียวกัน ระนาบ xz คือสมการ y = 0 และ ระนาบ yz คือ
สมการ x = 0
พื้นผิวและการเขียนกราฟของพื้นผิวในสามมิติ
พื้นผิวในสามมิติ คือทางเดินของจุดตางๆที่สอดคลองกับสมการ
F(x, y, z) = 0
(1)
หรือเขียนในรูป
z = f (x, y), x = g(y, z) หรือ y = h(x, z)
เชน
z = 2 x + 3 y − 5 หรือ 2 x + 3 y − z = 5
เปนสมการของพืน้ ผิวระนาบ
หรือ x 2 + z − 4 = 0
เปนสมการของพืน้ ผิวทรงกระบอกพาราโบลิก
และ
z = x 2 + y 2 หรือ x 2 + y 2 − z = 0
เปนสมการของพืน้ ผิวพาราโบลอยด เปนตน
x2 + z = 4
(2)
317
การเขียนกราฟของพื้นผิวในสามมิติ
ในทางปฎิบัติการเขียนกราฟของพื้นผิวคอนขางยุงยาก ในที่นี้จะ
กลาวถึงเฉพาะการเขียนกราฟของพื้นผิวที่สามารถพิจารณาจากรอยตัด
(trace) ของพื้นผิวบนระนาบพิกัดและระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด
รอยตัดของพื้นผิว (Trace of Surface)
รอยตัดของพื้นผิว คือ เสนโคงสองมิติที่เปนเกิดจากรอยตัด
ของพื้นผิวกับระนาบพิกัดไดแก ระนาบ xy ระนาบ xz และระนาบ yz
™
ในการหาสมการรอยตัดของพื้นผิวบนระนาบพิกัดจะพิจารณาดังนี้
สมการรอยตัดของพื้นผิวบนระนาบ xy คือ สมการที่ไดจากการ
กําหนด z = 0 ในสมการพื้นผิว F(x, y, z) = 0 นั่นคือ
F(x, y, 0) = 0
ในทํานองเดียวกันสมการรอยตัดของพื้นผิวบนระนาบ xz คือ
F(x, 0, z) = 0
และสมการรอยตัดของพื้นผิวในระนาบ yz
F(0, y, z) = 0
™
คือ
สมการรอยตัดของพื้นผิวบนระนาบที่ขนานกับระนาบ xy ระนาบ
yz ระนาบ xz คือ F(x, y, z0) = 0 F(x, y0, z) = 0 และ
F(x0, y, z) = 0 ซึ่งไดจากการแทน x = a , y = c และ z = c
ตามลําดับ เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว
318
ระนาบ (Plane)
สมการระนาบในสามมิติคือสมการเชิงเสนที่เขียนในรูป
ax + by + cz + d = 0
เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัวที่ไมเปนศูนยพรอมกัน
การเขียนกราฟของระนาบ
เนื่องจากสมการระนาบ ax + by + cz + d = 0 คือสมการเชิง
เสนของตัวแปร x, y และ z การเขียนกราฟของสมการระนาบ
โดยทั่วไปจะพิจารณาหาจุดตัดบนแกน x โดยกําหนดให y = z = 0 หา
จุดตัดบนแกน y โดยกําหนดให x = z = 0 และหาจุดตัดบนแกน z
โดยกําหนดให x = y = 0 แลวลากเสนตรงผานจุดตัดทั้งสามจะได
สวนของระนาบในสามมิติที่ตองการ ดังตัวอยางตอไปนี้
ตัวอยาง 1 จงเขียนกราฟของสมการเชิงเสน 3x − 4 y + 2 z = 6
วิธีทํา จุดตัดบนแกน x แกน y และแกน z คือ (2,0, 0),
(0,−3/2, 0), (0, 0, 3) ตามลําดับ
เมื่อนําจุดพิกัดทั้งสามลงในระบบพิกัดฉากจะไดกราฟสวนของระนาบที่
กําหนดให ดังรูปที่ 4
z
y
x
รูปที่ 4
319
ในกรณีเขียนกราฟของสมการระนาบที่มีตัวแปร 2 ตัว จะไดระนาบ
ที่ขนานกับแกนพิกัดของตัวแปรที่ไมปรากฏในสมการระนาบเชน
2 x + 5 z = 10 เปนสมการระนาบที่ขนานกับแกน y ในปริภูมิสามมิติ
ดังรูปที่ 5
z
y
x
รูปที่ 5
สําหรับสมการระนาบที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวจะมีกราฟเปนระนาบที่
ขนานกับระนาบพิกัด ดังรูปที่ 6
z
z
z
z=c
c
x=a
y
y
y
b
a
x
y=b
x
x
รูปที่ 6
ทรงกลม (Sphere)
ทรงกลม คือ พื้นผิวซึ่งมีสมการในรูป
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c ) 2 = r 2
เมื่อ a, b, c > 0 และ r แทนรัศมีของทรงกลม
320
ตัวอยาง 2 จงเขียนกราฟของสมการ x + y + z = 25
วิธีทํา
ƒ ให z = 0 จะได สมการรอยตัดบนระนาบ xy คือ สมการวงกลม
x 2 + y 2 = 25 ดังรูปที่ 7 (ก)
ƒ ให x = 0 จะได สมการรอยตัดบนระนาบ yz คือ สมการวงกลม
x 2 + z 2 = 25 ดังรูปที่ 7 (ข)
ƒ ให y = 0 จะได สมการรอยตัดบนระนาบ xz คือ สมการวงกลม
y 2 + z 2 = 25 ดังรูปที่ 7 (ค)
ดังนั้น กราฟของสมการ x 2 + y 2 + z 2 = 25 คือ ทรงกลม ดัง
รูปที่ 7 (ง)
2
(ก)
2
z
(ข)
z
2
y
y
(0,5,0)
(5,0,0)
x
(ค)
x
(ง)
z
z
(0,0,5)
y
x
รูปที่ 7
y
x
(ก) รอยตัดบนระนาบ xy
(ข) รอยตัดบนระนาบ yz
(ค) รอยตัดบนระนาบ xz
(ง) ทรงกลม
321
ทรงกระบอก (Cylinders)
ทรงกระบอกเปนพื้นผิวในปริภูมิสามมิติซึ่งมีสมการเปนแบบใด
แบบหนึ่งตอไปนี้
f ( x, y ) = 0 หรือ g ( x, z ) = 0 หรือ h( y, z ) = 0
นิยาม 1 ให C เปนเสนโคงบนระนาบ และ L เปนเสนตรงที่ไมขนาน
กับระนาบพิกัด เซตของจุดที่อยูบนเสนตรงทุกเสนที่ขนานกับเสนตรง L
และผานเสนโคง C จะทําใหเกิดพื้นผิวที่เรียกวา ทรงกระบอก โดยที่จะ
เรียกเสนโคง C วา เสนบังคับรวม (directrix) สําหรับทรงกระบอก
และเสนตรงทุกเสนที่ขนานกับเสนตรง L เรียกวา ตัวกอกําเนิด
(generators) ของทรงกระบอก
L
P(x,y,z)
C
Q(x,y,0)
รูปที่ 8
322
ตัวอยาง 2 จงเขียนกราฟของสมการ x + y + z = 25
วิธีทํา
ƒ ให z = 0 จะได สมการรอยตัดบนระนาบ xy คือ สมการวงกลม
x 2 + y 2 = 25 ดังรูปที่ 7 (ก)
ƒ ให x = 0 จะได สมการรอยตัดบนระนาบ yz คือ สมการวงกลม
x 2 + z 2 = 25 ดังรูปที่ 7 (ข)
ƒ ให y = 0 จะได สมการรอยตัดบนระนาบ xz คือ สมการวงกลม
y 2 + z 2 = 25 ดังรูปที่ 7 (ค)
ดังนั้น กราฟของสมการ x 2 + y 2 + z 2 = 25 คือ ทรงกลม ดัง
รูปที่ 7 (ง)
2
(ก)
2
z
(ข)
z
2
y
y
(0,5,0)
(5,0,0)
x
(ค)
x
(ง)
z
z
(0,0,5)
y
x
รูปที่ 7
y
x
(ก) รอยตัดบนระนาบ xy
(ข) รอยตัดบนระนาบ yz
(ค) รอยตัดบนระนาบ xz
(ง) ทรงกลม
รวม C เปนพาราโบลาในระนาบพิกัด ทรงกระบอกนี้มีชื่อวา
ทรงกระบอกพาราโบลิก เปนตน
323
พื้นผิวกําลังสอง (Quadratic Surface)
สมการที่เกี่ยวของกับตัวแปร x และ y ในรูป
Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dx + Ey + F = 0
เรียกวา สมการกําลังสองในสองมิติและกราฟของสมการกําลังสองใน
สองมิติคือภาคตัดกรวย (conic section) ในขณะที่สมการกําลังสอง
ในสามมิติที่เกี่ยวของกับตัวแปร x, y และ z จะอยูในรูป
Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz +
Gx + Hy + Iz + J = 0
จะมีกราฟเปนพื้นผิวเรียกวา พื้นผิวกําลังสอง เมื่อ A, B, C, D, E, F
ไมเปนศูนยพรอมกันหมด
ทรงรี (Ellipsoid)
ทรงรี คือ พื้นผิวซึ่งมีสมการในรูป
x2
เมื่อ a, b, c > 0
a
2
+
y2
b
2
+
z2
c
2
=1
ตัวอยาง 5 จงเขียนกราฟของสมการ
2
2
324
2
x
y
z
+
+
=1
4 16 9
วิธีทํา พิจารณาสมการเสนโคงบนรอยตัดในระนาบพิกัดดังตาราง 2
ตาราง 2
รอยตัดบนระนาบ
สมการรอยตัด
ชื่อรอยตัด
ระนาบ xy
วงรี ดูรูปที่ 11 (ก)
x2 y2
+
=1
4 16
y2 z2
+
=1
16 9
x2 z 2
+
=1
4
9
ระนาบ yz
ระนาบ xz
วงรี ดูรูปที่ 11 (ข)
วงรี ดูรูปที่ 11 (ค)
เมื่อนําเสนโคงบนแตละระนาบในตาราง 1 มารวมกันจะไดกราฟทรงรี
ดังรูปที่ 11 (ง)
z
z
(0,03)
(0,4,0)
x
y
y
(0,4,0)
(2,0,0)
x
(ก)
z
รอยตัดบนระนาบ xz
(ข)
z รอยตัดบนระนาบ yz
(0,03)
y
y
(2,0,0)
รอยตัดบนระนาบ xy
x
x
(ค)
รูปที่ 11
(ก) รอยตัดบนระนาบ xy
(ค) รอยตัดบนระนาบ xz
(ง)
(ข) รอยตัดบนระนาบ yz
(ง) ทรงรี
325
พาราโบลอยด (Paraboloid)
พาราโบลอยด คือ พื้นผิวซึ่งสอดคลองสมการใดสมการหนึ่งดังตอไปนี้
x2
y2
+ 2 = cz เมื่อ a, b > 0 และ c ≠ 0
a
b
x2 z 2
+ 2 = by เมื่อ a, c > 0 และ b ≠ 0
2
a
c
y2 z2
+ 2 = ax เมื่อ b, c > 0 และ a ≠ 0
2
b
c
2
ตัวอยาง 6 จงเขียนกราฟ z = x 2 + y 2
วิธีทํา พิจารณาสมการเสนโคงบนรอยตัดในระนาบพิกัดดังตาราง 3
ตาราง 3
รอยตัดบนระนาบ
สมการรอยตัด
ชื่อรอยตัด
ระนาบ xy
จุดกําเนิด
x2 + y 2 = 0
ระนาบ yz
พาราโบลา
z = x2
ระนาบ xz
พาราโบลา
z = y2
กําหนด z = k จะได สมการรอยตัดของพื้นผิวบนระนาบ z = k คือ
สมการวงกลม x 2 + y 2 = k ถา k > 0
เมื่อนําเสนโคงบนแตละระนาบขางตนมารวมกันจะไดกราฟในรูปที่ 12
และจะเรียกพื้นผิว z = x 2 + y 2 วา พาราโบลอยดเชิงวงกลม
ƒ
(circular paraboloid )
326
รอยตัดบนระนาบ z = k
รูปที่ 12
ไฮเปอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียว (Hyperboloid of One Sheet)
ไฮเปอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียว คือ พืน้ ผิวซึ่งสอดคลองสมการใด
สมการหนึ่งดังตอไปนี้
x2
y2
z2
+ 2 − 2 = 1 เมื่อ a, b, c > 0
a
b
c
x2 y 2 z 2
− 2 + 2 = 1 เมื่อ a, b, c > 0
2
a
b
c
x2 y 2 z 2
− 2 + 2 + 2 = 1 เมื่อ a, b, c > 0
a
b
c
2
z2
ตัวอยาง 7 จงเขียนกราฟ x + y − = 1
4
2
2
วิธีทํา พิจารณาสมการเสนโคงบนรอยตัดในระนาบพิกัดดังตาราง 4
ตาราง 4
รอยตัดบนระนาบ
ระนาบ xy
ระนาบ yz
ระนาบ xz
327
สมการรอยตัด
x2 + y 2 = 1
z2
y −
=1
4
2
2 z
x −
=1
4
2
ชื่อรอยตัด
วงกลม
ไฮเปอรโบลา
ไฮเปอรโบลา
ให z = k กําหนด z = ± 2 จะได สมการรอยตัดของพื้นผิวบน
ระนาบ z = 2 และ z = -2 คือ สมการวงกลม x 2 + y 2 = 2
เมื่อนําเสนโคงบนแตละระนาบขางตนมารวมกันจะไดกราฟไฮเปอรโบ
ลอยดชนิดชิ้นเดียว ดังรูปที่ 13
ƒ
รอยตัดบนระนาบ z = k
รอยตัดบนระนาบ z = -k
รูปที่ 13
328
ไฮเปอรโบลอยดชนิดสองชิ้น (Hyperboloid of Two Sheets)
ไฮเปอรโบลอยดชนิดสองชิ้น คือ พื้นผิวซึ่งสอดคลองสมการใด
สมการหนึ่งดังตอไปนี้
2
x
− 2
a
x2
a2
2
− x2
a
y2 z2
− 2 + 2 =1
b
c
y2 z2
− 2 − 2 =1
b
c
y2 z2
+ 2 − 2 =1
b
c
เมื่อ a, b, c > 0
เมื่อ a, b, c > 0
เมื่อ a, b, c > 0
y2
ตัวอยาง 8 จงเขียนกราฟ − x − + z 2 = 1
4
2
วิธีทํา พิจารณาสมการเสนโคงบนรอยตัดในระนาบพิกัดดังตาราง 5
ตาราง 5
รอยตัดบนระนาบ
สมการรอยตัด
ชื่อรอยตัด
ระนาบ xy
ระนาบ yz
ระนาบ xz
y2
−x −
= 1 ไมมี
4
y2
− + z 2 = 1 ไฮเปอรโบลา
4
2
− x2 + z 2 = 1
ไฮเปอรโบลา
329
ƒ ให z = k กําหนด z = ± 2 จะได สมการเสนโคงระดับที่เปนรอย
ตัดของพื้นผิวบนระนาบ z = − 2 และระนาบ z = 2 คือ
สมการวงรี
x2 y 2
+
=1
3 12
เมื่อนําเสนโคงบนแตละระนาบขางตนมารวมกันจะไดกราฟไฮเปอรโบ
ลอยดชนิดสองชิ้น ดังรูปที่ 14
รอยตัดบนระนาบ z = k
รอยตัดบนระนาบ z = -k
รูปที่ 14
กรวย (Cone)
กรวย คือ พื้นผิวซึ่งสอดคลองสมการใดสมการหนึ่งดังตอไปนี้
x2
y2
z2
+ 2 − 2 = 0 เมื่อ a, b, c > 0
a
b
c
x2 y 2 z 2
− 2 + 2 = 0 เมื่อ a, b, c > 0
2
a
b
c
x2 y 2 z 2
− 2 + 2 + 2 = 0 เมื่อ a, b, c > 0
a
b
c
2
ตัวอยาง 9 จงเขียนกราฟ x 2 +
วิธีทํา
ตาราง 6
รอยตัดบนระนาบ
ระนาบ xy
ระนาบ yz
ระนาบ xz
ƒ
330
2
y
− z2 = 0
4
สมการรอยตัด
ชื่อรอยตัด
y2
x +
=0
4
y
z=±
2
จุดกําเนิด
z = ±x
เสนตรง
2
เสนตรง
ให z = k กําหนด z = ±1 จะได สมการรอยตัดของพื้นผิวบน
ระนาบ z = − 1 และระนาบ z = 1 คือ สมการวงรี
y2
x +
= 1 เมื่อนําเสนโคงบนแตละระนาบขางตนมารวมกันจะ
4
ไดกราฟรูปกรวย ดังรูปที่ 15 โดยที่แกน z เปนแกนของกรวย
2
รอยตัดบนระนาบ z = 1
y
รอยตัดบนระนาบ z = -1
รูปที่ 15
331
ไฮเปอรโบลิกพาราโบลอยด (Hyperbolic Paraboloid)
ไฮเปอรโบลิกพาราโบลอยด คือ พื้นผิวซึ่งสอดคลองสมการใดสมการ
หนึ่งดังตอไปนี้
x2
y2
− 2 + 2 = cz เมื่อ a, b > 0 และ c ≠ 0
a
b
y2 z2
− 2 + 2 = ax เมื่อ b, c > 0 และ a ≠ 0
b
c
x2 z 2
− 2 + 2 = by เมื่อ a, c > 0 และ b ≠ 0
a
c
x2 y 2
ตัวอยาง 10 จงเขียนกราฟ − + = z
9
4
วิธีทํา
ตาราง 7
รอยตัดบนระนาบ
สมการรอยตัด
ระนาบ xy
y = ±
ระนาบ yz
y2
z=
4
x2
z=−
9
ระนาบ xz
2
x
3
ชื่อรอยตัด
เสนตรง
พาราโบลา
พาราโบลา
332
ƒ ให z = 1 และ z = −1 จะได สมการรอยตัดบนระนาบ z = 1 และ
x2 y 2
ระนาบ z = −1 คือ สมการไฮเปอรโบลา − + = 1 และ
9
4
x2 y2
−
= 1 ตามลําดับ
9
4
เมื่อนําเสนโคงบนแตละระนาบขางตนมารวมกันจะไดกราฟดังรูปที่ 16
รูปที่ 16
ตัวอยาง 11 จงเขียนกราฟ 16 x 2 − 9 y 2 + 36 z 2 = 144 พรอมทัง้
บอกชื่อกราฟ
x2 y2 z 2
−
+
=1
วิธีทํา จัดสมการใหมได
9 16 4
ตาราง 2
รอยตัดบนระนาบ
ระนาบ xy
ระนาบ yz
ระนาบ xz
333
สมการรอยตัด
x2 y 2
−
=1
9 16
z2 y2
−
=1
4 16
x2 z 2
+
=1
9
4
ชื่อรอยตัด
ไฮเปอรโบลา
ไฮเปอรโบลา
วงรี
จากตาราง 2 กราฟที่ไดคือ ไฮเปอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียว ดังรูปที่ 17
รูปที่ 17
D
แบบฝกหัดที่ 1
ขอ 1-3 จงหาโดเมนของฟงกชัน f และหาคาฟงกชัน f ที่จุดที่
กําหนดให
1. f ( x, y ) = 2 x − y 2 ; f (−2,5), f (5, −2), f (0, −2)
2. f (u, v) =
uv
; f (2,3), f (−14), f (0,1)
u − 2v
334
3. f ( x, y, z ) = 25 − x 2 − y 2 − z 2 ; f (1, −2, 2), f (−3,0, 2)
ขอ 1-3 จงเขียนกราฟของสมการที่กําหนดใหในปริภูมิสามมิติ
4. (ก) x 2 + y 2 = 25 (ข) y 2 + z 2 = 25 (ค) x 2 + z 2 = 25
6. 2x + z = 3
7. y 2 − 4 z 2
5. z = 1 − y 2
x2 y 2 z 2
8. + + = 1
9 25 4
x2 y 2 z 2
10.
+
− =1
9 16 4
12. z = y 2 − x 2
9.
z = x2 + 4 y 2
11. 9 z 2 − 4 y 2 − 9 x 2 = 36
13. x 2 − 3 y 2 − 3z 2 = 0
14. 2 y 2 − x 2 + 2 z 2 = 8
เฉลยคําตอบแบบฝกหัดที่ 1
1. D f = {( x, y ) / x, y ∈ \}; − 29, 6, − 4
2. D f = {(u, v) / u ≠ 2v}; − 32 , 94 , 0
3. D f = {( x, y, z ) / x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4} ; 4, 2 3
4.
5.
(ก)
(ข)
(ค)
6.
335
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
336
ลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชันหลายตัวแปร
(Limit and Continuity of Serveral Variables)
นิยาม 1 ให f ( x, y ) เปนฟงกชันสองตัวแปร จะกลาววา ลิมิตของ
f ( x, y ) ลูเขาสูจํานวนจริง L ในขณะที่จุด ( x, y ) ในระนาบ xy ลู
เขาสูจุด (a, b) ซึ่งเขียนแทนดวยสัญลักษณ
lim
( x , y ) → ( a ,b )
f ( x, y ) = L
นั่นคือ ไมวาจะให ε > 0 มีคานอยเพียงใดก็ตาม จะสามารถหาวงกลม
รัศมี δ ที่มีจุดศูนยกลางที่ (a, b) นั่นคือ
0 < ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 < δ
ซึ่งมีคุณสมบัติวาทุก (x,y) ที่อยูภายในวงกลมนี้ | f ( x, y ) − L |< ε
เสมอ ดังรูปที่ 1
z
L+ε
f ( x, y )
L
L −ε
δ
x
รูปที่ 1
( x, y )
( a, b)
y
337
จากนิยาม 1 สามารถขยายไปสูนิยามลิมิตของฟงกชันสามตัวแปร
นิยาม 2 ให f ( x, y, z ) เปนฟงกชันสามตัวแปร จะกลาววา
lim
( x , y , z )→( a ,b,c )
f ( x, y , z ) = L
ถา ε > 0 มีคานอยเพียงใดก็ตาม จะสามารถหาทรงกลมรัศมี δ ที่มี
จุดศูนยกลางที่ (a, b, c) นั่นคือ
0 < ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c ) 2 < δ
ซึ่งมีคุณสมบัติวาทุก (x,y z) ที่อยูภายในทรงกลมนี้
| f ( x, y, z ) − L |< ε
ความสัมพันธระหวางลิมิตและลิมิตตามเสนโคง
ทฤษฎีบท 1 ถาฟงกชัน f ( x, y ) มีลิมิตเปนจํานวนจริง L ขณะที่จุด
( x, y ) ลูเขาสูจุด (a, b) แลว f ( x, y ) จะมีคาลิมิตเพียงคาเดียวคือ
L ขณะที่จุด ( x, y ) ลูเขาสูจุด (a, b) ทุกเสนในระนาบ xy ที่อยูใน
โดเมนของ f
สําหรับฟงกชันสองตัวแปร เสนทางในระนาบ xy ที่ทําใหจุด (x,y) เขา
สูจุด (a,b) มีจํานวนเปนอนันต (ดูรูปที่ 2 ) ดังนั้น ถาลิมิตในบทนิยาม 1
มีคาเทากับ L หมายความวา จุด (x,y) เขาสูจดุ (a,b) ตามเสนทางใดก็
ได แตตองทําให lim f ( x, y ) = L ทุกเสนทาง
( x , y ) → ( a ,b )
338
y
(a, b)
x
รูปที่ 2
ตัวอยาง 1 จงหาลิมิตของ
f ( x, y ) =
ตามแนวเสนทางตอไปนี้
(ก) แกน x
(ค) เสนโคงพาราโบลา y = x 2
xy
ขณะที่ ( x, y ) เขาสู
2
2
x +y
(0, 0)
(ก)
(ข) แกน y
(ง) เสนตรง y = x
วิธีทํา ให ( x, y ) → (0,0) ตามแนวแกน x
xy
0
=
=0
lim
lim
2
2
2
( x , y )→(0,0) x + y
( x , y )→(0,0) x
(ข )
วิธีทํา ให ( x, y ) → (0,0) ตามแนวแกน y
xy
0
=
=0
lim
lim
2
2
2
( x , y )→(0,0) x + y
( x , y )→(0,0) y
(ค )
วิธีทํา ให ( x, y ) → (0,0) ตามแนวเสนโคงพาราโบลา
y = x2
xy
lim
( x , y )→(0,0)
x2 + y 2
(ง) วิธีทํา ให
=
x2 + x4
x
=
=0
lim
2
( x, y )→(0,0) 1 + x
( x, y ) → (0,0) ตามแนวเสนตรง y = x
( x, y )→(0,0)
xy
lim
x
lim
339
3
( x , y )→(0,0)
x +y
2
2
=
x2
lim
( x , y )→(0,0)
x2 + x2
=
1
2
จากขอ (ก) และ (ง) จะพบวาขณะที่ ( x, y ) เขาสูจุด (0, 0) ในทิศทางที่
ตางกันจะทําให f ( x, y ) เขาสูคาที่ตางกัน แสดงวา
lim
( x , y )→(0,0)
xy
x +y
2
2
หาคาไมได
หลักเกณฑสองเสนทาง (Two-Path-Rule)
ถาจุด (x,y) เขาสูจุด (a,b) ในสองเสนทางใด ๆแลวทําใหลิมิตของ
f(x,y) มีคาตางกันแสดงวา lim
f ( x, y ) หาคาไมได
( x , y ) → ( a ,b )
ตัวอยาง 2 จงแสดงวา
x2 y
lim
( x , y )→(0,0) x
4
+y
2
หาคาไมได
วิธีทํา 1) ให ( x, y ) → (0,0) ตามแนวเสนตรง y = x
lim
( x , y )→(0,0)
x2 y
x +y
4
2
=
lim
( x , y )→(0,0)
x3
x4 + x2
=
2)
x
lim
x +1
( x, y ) → (0,0)
2
( x, y )→(0,0)
ให
340
=0
ตามแนวเสนโคง y = x2
x2 y
x4
1
=
=
lim
lim
4
2
4
2
( x , y )→(0,0) x + y
( x , y )→(0,0) 2 x
จากขอ (1) และ (2) จะสรุปวา
lim
( x , y )→(0,0) x
x2 y
4
+y
2
สมบัติลิมิตของฟงกชันสองตัวแปร
f ( x, y ) = L และ
ถา
lim
( x , y ) → ( a ,b )
หาคาไมได
lim
( x , y ) → ( a ,b )
1.
lim
[ f ( x, y ) ± g ( x, y )] = L ± M
2.
lim
[ f ( x, y ) g ( x, y )] = LM
( x , y ) → ( a ,b )
g ( x, y ) = M
( x , y ) → ( a ,b )
⎡ f ( x, y ) ⎤ L
3. lim
⎢ g ( x, y ) ⎥ = M
( x, y )→( a ,b ) ⎣
⎦
4. lim [kf ( x, y )] = kL
( x , y )→( a ,b )
5.
lim
เมื่อ M ≠ 0
เมื่อ k เปนคาคงตัว
[ f ( x, y )]m / n = Lm / n
( x, y )→( a ,b )
แลว
ตัวอยาง 3 จงหา
341
5x y − 9
3 2
lim
( x , y )→(1,4)
x2 y
วิธีทํา
5x y − 9
3 2
lim
( x , y )→(1,4)
x2 y
lim
=
( x , y )→(1,4)
5 x3 y 2 −
lim
( x, y )→(1,4)
lim
( x , y )→(1,4)
2
9
x y
5(1)3 (4) 2 − 9 71
=
=
4
4
ความตอเนื่องของฟงกชันสองตัวแปร
นิยาม 3 จะกลาววาฟงกชัน f (x, y) มีความตอเนื่องที่จุด (a, b)
ถา f สอดคลองเงื่อนไขตอไปนี้
(ก) f (a,b) หาคาได
(ข)
lim f ( x, y ) หาคาได
( x , y ) → ( a ,b )
(ค)
lim
( x , y ) → ( a ,b )
f ( x, y ) = f ( a , b )
หมายเหตุ ถาเงื่อนไขขอใดขอหนึ่งไมเปนจริง แลวจะกลาววา f (x, y)
ไมมีความตอเนื่องที่จุด (a, b) และจะเรียกฟงกชัน f (x, y) วา
ฟงกชันตอเนื่อง ถา f (x, y) มีความตอเนื่องที่ทุกจุดบนโดเมนของ f
342
ตัวอยาง 4 จงพิจารณาวา
⎧ x + 3y +1
, ( x, y ) ≠ (0,1)
⎪
f ( x, y ) = ⎨ x − 1
⎪⎩−4,
( x, y ) = (0 ,0)
มีความตอเนื่องที่จดุ (0, 0) หรือไม
วิธีทํา
f (0,1) = −4
lim
( x , y )→(0,1)
เนื่องจาก
x + 3y +1
= −4
( x , y )→(0,1)
x −1
f ( x, y ) = f (0,1) = −4
f ( x, y ) =
lim
( x , y )→(0,1)
lim
เพราะฉะนั้น f ( x, y ) มีความตอเนื่องที่จุด (0, 1)
ฟงกชันตอเนื่อง
ทฤษฎีบท 2
(ก) ถาฟงกชันหนึ่งตัวแปร g ( x) และ h( x) เปนฟงกชันตอเนื่อง
แลว f ( x, y ) = g ( x)h( y ) เปนฟงกชันตอเนื่อง
(ข) ถาฟงกชันหนึ่งตัวแปร g (u ) เปนฟงกชันตอเนื่องและฟงกชัน
สองตัวแปร u = h( x, y ) เปนฟงกชันตอเนื่องแลว ฟงกชัน
ประกอบของ g (u ) และ u = h( x, y ) คือ
f ( x, y ) = g (h( x, y ))
เปนฟงกชันตอเนื่องของ x และ y
343
จากทฤษฎีบท 2 จะไดสมบัติของฟงกชันตอไปนี้
™ ฟงกชันพหุนามของตัวแปร x และ y เปนฟงกชันตอเนื่อง
™ ฟงกชันตรรกยะ เปนฟงกชันตอเนื่อง ยกเวนจุดที่ทําใหสวนเปนศูนย
™ ถา f (x,y) และ g(x,y) มีความตอเนื่องที่จุด (a,b) แลว
f + g , f − g , f ⋅ g มีความตอเนื่องที่จดุ (a,b)
™ ถา f (x,y) และ g(x,y) มีความตอเนื่องที่จุด (a,b) และ
f
มีความตอเนื่องที่จุด (a,b)
g
™ ถา f (x,y) มีความตอเนื่องที่จุด (a,b)
g (a, b) ≠ 0 แลว
แลว lim f ( x, y ) = f (a, b)
( x , y ) → ( a ,b )
ตัวอยาง 5 จงหาเซตของทุกจุดที่ทําให f ( x, y ) = ln( x + y − 1) เปน
ฟงกชันตอเนื่อง
วิธีทํา เนื่องจาก f (x,y) เปนฟงกชันประกอบของ g (u ) = ln u และ
u = x + y − 1 โดยที่ g (u ) = ln u เปนฟงกชันตอเนื่องทุก u > 0
และ u = x + y − 1 เปนฟงกชันตอเนื่อง
จากทฤษฎีบท 2 ขอ (ข) จะได f ( x, y ) = ln( x + y − 1) เปน
ฟงกชันตอเนื่อง ดังนั้น เซตของทุกจุดที่ทําให f ( x, y ) เปนฟงกชัน
ตอเนื่อง คือ {( x, y ) / x + y > 1}
344
ลิมิตที่จุดซึ่งฟงกชนั ไมตอเนื่อง
ตัวอยาง 6 จงหาคาลิมิต
lim
( x , y )→(0,0)
x 2 − xy
x− y
วิธีทํา
lim
( x , y )→(0,0)
⎛ x 2 − xy ⎞ ⎛ x + y ⎞
x 2 − xy
=
lim
⎜
⎟⎜
⎟
x − y ( x, y )→(0,0) ⎜⎝ x − y ⎟⎠ ⎝ x + y ⎠
=
x( x − y )
lim
วิธีทํา
x+ y
x− y
( x, y )→(0,0)
ตัวอยาง 7 จงหาคาลิมิต
(
)=0
yx 4 − y ( z + 3)4
lim
( x , y , z )→(0,2, −3)
4
4
x 2 + ( z + 3)2
yx − y ( z + 3)
lim
( x , y , z )→(0,2, −3)
=
x 2 + ( z + 3) 2
lim
( x, y , z )→(0,2, −3)
ตัวอยาง 8 จงหาคาลิมิต
lim
( x , y )→(0,0)
(
y x 2 − ( z + 3) 2
) =0
( x 2 + y 2 ) ln( x 2 + y 2 )
วิธีทํา ให x = r cosθ , y = r sin θ , r 2 = x 2 + y 2
เนื่องจาก r ≥ 0 จะไดวา r = x 2 + y 2 ดังนั้น
( x, y ) → (0,0) ก็ตอเมื่อ r → 0+
lim
( x , y )→(0,0)
345
( x + y ) ln( x + y ) = lim r ln r = 0
2
2
2
2
2
2
r →0+
แบบฝกหัดที่ 2
ขอ 1-6 จงหาลิมิต
x2 − 2
2.
lim
ln(1 + x 2 y 3 )
1. lim
( x , y )→(0,0) 3 + xy
( x , y )→(0,0)
xy − y
3. lim
( x , y )→(1,2) x 2 − x + 2 xy − 2 y
4.
lim
3x 2 − 2 x 2 y + 3 y 2 x − 2 y3
x2 + y 2
( x , y )→(0,0)
5.
6.
lim
x3 − x 2 y + xy 2 − y 3
x2 + y 2
( x , y )→(0,0)
y2 − 4 y + 3
lim
( x , y , z )→(2,3,1)
x 2 z ( y − 3)
ขอ 7-9 จงแสดงวาลิมิตหาคาไมได
7.
9.
lim
2 x2 − y 2
( x , y )→(0,0) x 2
lim
8.
lim
( x , y )→(0,0)
+ 2y
xy − 2 x − y + 2
( x , y )→(1,2) x 2
2
+ y2 − 2x − 4 y + 5
x 2 − 2 xy + 5 y 2
3x 2 + 4 y 2
346
ขอ 10-11 จงใชพิกัดเชิงขั้วหาลิมิต (ถาลิมิตหาคาได)
10.
xy 2
lim
( x , y )→(0,0) x 2
+y
11.
2
lim
x2 + y 2
( x , y )→(0,0) sin( x 2
+ y2 )
ขอ12-14 จงหาเซตของจุดทั้งหมดที่ทําให f เปนฟงกชันตอเนื่อง
12. f ( x, y ) =
xy
x −y
2
13. f ( x, y ) = xe
2
1− y 2
14. f ( x, y, z ) = 4 − x 2 + y 2 − z 2
⎧ sin( x 2 + y 2 )
, ( x, y ) ≠ (0,0)
⎪
2
2
15. ให f ( x, y ) = ⎨ x + y
⎪1,
( x, y ) = (0 ,0)
⎩
จงพิจารณาวา f มีความตอเนื่องที่จุด (0,0) หรือไม
เฉลยคําตอบแบบฝกหัดที่ 2
1. − 23
2. 0
3.
6.
10. 0
11. 0
1
2
2
5
13. {( x, y ) / x ≥ 0 และ | y |≤ 1}
14. {( x, y, z ) / x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4}
15. f มีความตอเนื่องที่จุด (0,0)
4. 0
5. 0
12. {( x, y ) / x 2 ≠ y 2 }
347
อนุพันธยอย (Partial derivatives)
นิยาม 1 (อนุพันธยอ ยอันดับหนึ่ง)
ให f ( x, y ) เปนฟงกชันสองตัวแปร อนุพันธยอยอันดับหนึ่ง
ของ f เทียบกับ x และ y คือ ฟงกชัน f x ( x, y ) และ f y ( x, y ) ที่
นิยามโดย
f ( x + h, y ) − f ( x , y )
h
h →0
f ( x, y + h ) − f ( x, y )
f y ( x, y ) = lim
h
h →0
f x ( x, y ) = lim
สัญลักษณอื่นๆของอนุพันธยอยอันดับหนึ่ง
ถา z = f(x, y) จะไดวา
¾ อนุพันธยอ
 ยอันดับหนึ่งของ f(x, y) เทียบกับ x
∂
∂z
f ( x, y ) = = z x
∂x
∂x
¾ อนุพันธยอ
 ยอันดับหนึ่งของ f(x, y) เทียบกับ y
∂f
∂
∂z
=zy
f y ( x, y ) = , f y ( x, y ) =
f ( x, y ) =
∂y
∂y
∂y
¾ อนุพันธยอ
 ยอันดับหนึ่งของ f(x, y) ที่จุด ( x0 , y0 ) เขียนแทนดวย
∂f
∂f
f x ( x0 , y0 ) =
=
∂x ( x0 , y0 ) ∂x x = x0 , y = y0
f x ( x, y ) =
f y ( x0 , y0 ) =
∂f
,
∂x
f x ( x, y ) =
∂f
∂y ( x
0 , y0 )
=
∂f
∂y
x = x0 , y = y0
348
วิธีหาอนุพันธยอย
ในการหา fx(x, y) จะกําหนดใหตัวแปร y เปนคาคงตัว
ชั่วขณะ และใชสูตรการหาอนุพันธของฟงกชันหนึ่งตัวแปรหาอนุพันธ
ของ f (x, y) เทียบกับตัวแปร x เพียงตัวเดียว ในขณะที่การหา
fy(x, y) จะกําหนดใหตัวแปร x เปนคาคงตัวชั่วขณะ แลวหา
อนุพันธของ f(x, y) เทียบกับตัวแปร y เพียงตัวเดียว
ตัวอยาง 1 ให f ( x, y ) = x3 y 2 − 2 x 2 y + 3x จงหา
(ก) อนุพันธยอ ยอันดับหนึ่งของ f (x, y)
(ข) อนุพันธยอ ยอันดับหนึ่งของ f (x, y) ที่จุด (2, −1)
(ก) วิธีทํา อนุพันธยอยอันดับหนึ่งของ f (x, y) คือ
f x ( x, y ) = 3 x 2 y 2 − 4 xy + 3
f y ( x, y ) = 2 x 3 y − 2 x 2
(ข )
วิธีทํา อนุพันธยอยอันดับหนึ่งของ f (x, y) ที่จุด (2, −1) คือ
f x (2, −1) = 23 และ f y (2, −1) = −24
ตัวอยาง 2 จงหา
วิธีทํา
∂w
∂x
และ
∂w
∂y
ถา w = xy 2e xy
∂w
= xy 3e xy + y 2e xy = y 2e xy ( xy + 1)
∂x
∂w
= x 2 y 2 e xy + 2 xye xy = xye xy ( xy + 2)
∂y
349
จากนิยาม 1 อนุพันธยอย f x ( x, y ) หมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลง
ชั่วขณะ (instantaneous rate) ของ f เทียบกับ x เมื่อ x เปลี่ยน
จาก x เปน x + h ขณะที่ให y คงที่ ในทํานองเดียวกัน f y ( x, y )
หมายถึง อัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะของ f เทียบกับ y เมื่อ y
เปลี่ยนจาก y เปน y + h ขณะที่ให x คงที่
ตัวอยาง 3 ให D แทนความยาวเสนทแยงมุมของสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ถูก
กําหนดโดย D = x 2 + y 2 เมื่อ x และ y แทนความยาวดาน
(ก) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ D เทียบกับ x ถา x เปลี่ยนแปลง
ขณะที่ y คงที่
(ข) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ D เทียบกับ x ถา x = 3 นิ้วและ
y = 4 นิ้ว
(ก)
วิธีทํา
∂D 1 2
= 2 ( x + y 2 ) −1/ 2 (2 x) =
∂x
(ข )
วิธีทํา
∂D
3
=
∂x x =3, y = 4 5
x
x2 + y 2
ดังนั้น ความยาวเสนทแยงมุม D เพิ่มขึ้นดวยอัตรา 3/5 นิ้วตอการเพิ่ม
ความยาวของดาน x
ในทํานองเดียวกัน อนุพันธยอยอันดับหนึ่งของฟงกชันสามตัวแปรจะ
นิยามเชนเดียวกับอนุพันธยอยอันดับหนึ่งของฟงกชันสองตัวแปรดังนี้
f ( x + h, y , z ) − f ( x , y , z )
h
h →0
f ( x , y + h, z ) − f ( x , y , z )
f y ( x, y, z ) = lim
h
h →0
f ( x, y , z + h ) − f ( x, y , z )
f z ( x, y, z ) = lim
h
h →0
f x ( x, y, z ) = lim
ตัวอยาง 4 จงหาอนุพันธยอ ยอันดับหนึ่งของ
w = x 2 y 3 + sin y + e xz
วิธีทํา อนุพันธยอยอันดับหนึ่งของ f (x, y) คือ
f x ( x, y ) = 3 x 2 y 2 − 4 xy + 3
f y ( x, y ) = 2 x 3 y − 2 x 2
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธยอย
ให S แทนพื้นผิวของสมการ z = f ( x, y ) และให
P(a, b, f (a, c)) เปนจุดบนพื้นผิว S ที่ซึ่ง f x ( x, y ) และ
f y ( x, y ) หาคาไดที่จุด P (ดูรูปที่ 1)
z
P(a, b, f (a, c))
S
b
a
(a,b,0)
x
รูปที่ 1
y
350
351
อนุพันธยอ ยของ f ( x, y ) สามารถอธิบายไดดวยรูปทรง
เรขาคณิต ดังนี้ (ดูรูปที่ 2-3)
ถาให y คงที่ นั่นคือ y = b จะได f ( x, b) เปนฟงกชันของ
เสนโคง C1 ที่เปนรอยตัดของพื้นผิว S กับระนาบ y = b ดังนั้น
อนุพันธยอ ย f x (a, b) คือ ความชันของเสนสัมผัสเสนโคง C1 ที่จุด
P (a, b, f (a, b)) หรือกลาววา f x (a, b) คือ ความชันของพื้นผิว S
ทิศทางของ x ที่จุด P(a, b, f (a, b))
z
ความชัน =
f x ( a, b)
L2
P(a, b, f (a, c))
S
C1
b
y
a
x
( a, b)
รูปที่ 2
ในทํานองเดียวกัน ถาให x คงที่ นั่นคือ x = a จะได
f (a, y ) เปนฟงกชันของเสนโคง C2 ที่เปนรอยตัดของพื้นผิว S กับ
ระนาบ x = a ดังนั้น อนุพันธยอย f y (a, b) คือ ความชันของเสน
สัมผัสเสนโคง C2 ที่จุด P(a, b, f (a, b)) หรือกลาววา f y (a, b)
คือ ความชันของพืน้ ผิว S ทิศทางของ y ที่จุด P(a, b, f (a, b))
ความชัน =
f y ( a, b)
352
z
P(a, b, f (a, b))
S
C2
L1
b
a
x
y
( a, b)
รูปที่ 3
ตัวอยาง 5 จงหาความชันของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด (-1,1,5) ซึ่ง
สัมผัสเสนโคงเกิดจากการตัดกันของพื้นผิว z = x 2 + 4 y 2 และ
(ข) ระนาบ y = 1
(ก) ระนาบ x = −1
วิธีทํา
(ก)
∂z
= 2 x,
∂x
∂z
= 8y
∂x
ความชันของเสนสัมผัสเสนโคงที่เกิดจากการตัดกันของพื้นผิว
z = x 2 + 4 y 2 และระนาบ x = −1 ที่จุด (-1,1,5) คือ
z y ( −1,1) = 8
(ข )
ความชันของเสนสัมผัสเสนโคงที่เกิดจากการตัดกันของพื้นผิว
z = x 2 + 4 y 2 และระนาบ y = 1 ที่จุด (-1,1,5) คือ
z x ( −1,1) = −2
353
แบบฝกหัดที่ 3
ขอ 1-7 จงหาอนุพนั ธยอยอันดับหนึ่งของ f
1.
3.
5.
x+ y
f ( x, y ) = 2 x y − xy + 3 y + 1 2. f ( x, y ) =
x− y
t+v
4. f (t , v) = ln
f (r , s) = r 2 + s 2
t −v
f ( x, y ) = x cos xy
6. f (r , s, t ) = r 2e2 s cos t
4 3
2
()
7. f ( x, y, z ) = xe z − ye x + ze− y
8. ให z = x 2 + 4 y 2 จงหา (ก)
∂z
∂x (1,2)
(ข)
∂z
∂y (1,2)
9. ให f ( x, y, z ) = xy ( x 2 + y 2 + z 2 )1/ 3 จงหา f y ที่จุด
(1,1,0)
10. ให z = sin( y 2 − 4 x)
(ก) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ z เทียบกับ x ที่จุด (2,1)
ขณะที่ให y คงที่
(ข) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ z เทียบกับ y ที่จุด (2,1)
ขณะที่ให x คงที่
11. ให f ( x, y ) = 3x + 2 y
(ก) จงหาความชันของพื้นผิว z = f ( x, y ) ในทิศทางของ x ที่จุด
(4, 2)
(ข) จงหาความชันของพื้นผิว z = f ( x, y ) ในทิศทางของ y ที่จุด
(4, 2)
354
เฉลยคําตอบแบบฝกหัดที่ 3
1. f x ( x, y ) = 8 x3 y3 − y 2 ; f y ( x, y ) = 6 x 4 y 2 − 2 xy + 3
2. f x ( x, y ) =
3.
4.
−2 y
( x − y)
r
; f y ( x, y ) =
2
2x
( x − y)2
s
f r (r , s ) = 2 2 1/ 2 ; f s (r , s ) = 2 2 1/ 2
(r + s )
(r + s )
v
t
ft (t , v) = − 2 2 ; f v (t , v) = 2 2
t −v
t −v
5. f x ( x, y ) = cos
( )−
x
y
2s
( );
x sin x
y
y
( ) sin ( )
f y ( x, y ) = xy
2 2s
2
6. f r (r , s, t ) = 2re cos t; f s (r , s, t ) = 2r e cos t ;
ft (r , s, t ) = − r 2e 2 s sin t
7. f x ( x, y, z ) = e z − ye x ; f y ( x, y, z ) = −e x − ze y ;
8.
9.
f z ( x, y, z ) = xe z + e− y
∂z
1
=
(ก)
∂x (1,2)
17
43 2
3
11. (ก)
3
8
(ข)
∂z
8
=
∂y (1,2)
17
10. (ก) −4cos 7
(ข)
1
4
(ข) 2cos 7
x
y
355
อนุพันธยอยอันดับสูง (Higher Order Partial Derivatives)
จากอนุพันธยอยอันดับหนึ่งของ f ( x, y ) คือ f x และ f y ซึ่ง
เปนฟงกชันของ x และ y เราจะสามารถหาอนุพนั ธยอยเทียบ x และ
y ไดอีก จะเรียกวา อนุพันธยอ ยอันดับสอง
อนุพันธยอ ยอันดับสองของ f ( x, y ) มีทั้งหมด 4 อนุพนั ธยอย
คือ
f xx
f yy
f xy
f yx
∂ 2 f ∂f ⎛ ∂f ⎞
= 2 = ⎜ ⎟
∂x ⎝ ∂x ⎠
∂x
∂ 2 f ∂f ⎛ ∂f ⎞
=
= ⎜ ⎟
∂y∂y ∂y ⎝ ∂y ⎠
∂ 2 f ∂f ⎛ ∂f ⎞
=
= ⎜ ⎟
∂y∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠
∂ 2 f ∂f ⎛ ∂f ⎞
=
= ⎜ ⎟
∂x∂y ∂x ⎝ ∂y ⎠
อนุพันธยอ ย 2 ตัวทายเรียกวา อนุพนั ธยอยผสม
ขอสังเกต
1. สัญลักษณในรูปแบบดัชนีลาง เปนการหาอนุพันธยอยเรียงลําดับจาก
ซายไปขวา
2. สัญลักษณในรูป “ ∂ ” เปนการหาอนุพันธยอยเรียงลําดับจากขวาไป
ซาย
356
ตัวอยาง1 จงหาอนุพันธยอยอันดับสองของ f ( x, y ) = x 2 y 3 + ye x
วิธีทํา
f x = 2 xy 3 + ye x
และ f y = 3x 2 y 2 + e x
ดังนั้นอนุพันธยอยอันดับสองทั้งหมดคือ
∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂
3
x
3
x
⎜ ⎟ = (2 xy + ye ) = 2 y + ye
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x
∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂
f yy = ⎜ ⎟ = (3 x 2 y 2 + e x ) = 6 x 2 y
∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂y
∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂
f xy = ⎜ ⎟ = (2 xy 3 + ye x ) = 6 xy 2 + e x
∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y
∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂
f yx = ⎜ ⎟ = (3 x 2 y 2 + e x ) = 6 xy 2 + e x
∂x ⎝ ∂y ⎠ ∂x
f xx =
ทฤษฎีบท การเทากันของอนุพันธยอ ยผสม
กําหนดให f เปนฟงกชันสองตัวแปร ถา f x , f y , f xy และ
f yx เปนฟงกชันตอเนื่องบนบริเวณ R แลว f xy = f yx ทุกๆจุดบน
บริเวณ R
ตัวอยาง2 จงหาอนุพันธยอยอันดับสองของ
f ( x, y ) = y ln x + tan −1 ( x + y )
วิธีทํา
357
ตัวอยาง3 จงหาอนุพันธยอยอันดับสองของ f ( x, y ) = x 2 sin y ที่
π
จุด ⎛⎜ 2, ⎞⎟
⎝
วิธีทํา
2⎠
358
ตัวอยาง4 กําหนดให z = sin(u − v) + ln(u + v)
วิธีทํา
∂2 z ∂2 z
จงแสดงวา 2 − 2 = 0
∂u ∂v
∂z
1
= cos(u − v) +
∂u
(u + v)
∂2 z
1
sin(
)
=
−
u
−
v
−
(u + v) 2
∂u 2
∂z
1
= − cos(u − v) +
(u + v)
∂v
∂2 z
1
=
−
sin(
u
−
v
)
−
∂v 2
(u + v) 2
ดังนั้น
∂2 z ∂2 z ⎛
1 ⎞ ⎛
1 ⎞
u
v
u
v
−
=
−
sin(
−
)
−
−
−
sin(
−
)
−
∂u 2 ∂v 2 ⎜⎝
(u + v) 2 ⎟⎠ ⎜⎝
(u + v) 2 ⎟⎠
∂2 z ∂2 z
∴
− 2 =0
2
∂u ∂v
เราสามารถหาอนุพันธยอยอันดับสามหรืออันดับสูงกวาไปเรื่อยๆได
ดังเชน
∂ ⎛ ∂2 f ⎞
f xxx = ⎜ 2 ⎟
∂x ⎝ ∂x ⎠
∂ ⎛ ∂2 f ⎞
f xyy = ⎜
∂y ⎝ ∂y∂x ⎟⎠
f yyyy
f xxyy
∂ ⎛ ∂3 f ⎞
= ⎜ 3⎟
∂y ⎝ ∂y ⎠
∂ ⎛ ∂3 f ⎞
= ⎜
∂y ⎝ ∂y∂x 2 ⎟⎠
359
ตัวอยาง5 กําหนดให f ( x, y ) = sin(2 x − y 2 )
จงหา f xyx และ f yyx
วิธีทํา f x = 2cos(2 x − y 2 )
f xy = 4 y sin(2 x − y 2 )
ดังนั้น f xyx = 8 y cos(2 x − y 2 )
f y = −2 y cos(2 x − y 2 )
f yy = −4 y 2 sin(2 x − y 2 ) − 2cos(2 x − y 2 )
ดังนั้น f yyx = −8 y 2 cos(2 x − y 2 ) − 4cos(2 x − y 2 )
ตัวอยาง6 กําหนดให f ( x, y ) = x 2 + ln( xy − x 4 ) จงหา f yxyx
วิธีทํา
360
สําหรับฟงกชันสามตัวแปรหรือมากกวาก็สามารถหาอนุพันธยอ ย
อันดับสูงไดเชนเดียวกัน
ตัวอยาง7 กําหนดให f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2
จงหา f yz , f zy , f xyz , f xyx
วิธีทํา
361
ตัวอยาง8 กําหนดให f ( ρ ,θ ,φ ) = ρ 2 cos φ sin θ
จงหา f ρθφ , f ρφθ และ f ρφθθ
วิธีทํา
f ρ = 2 ρ cos φ sin θ
f ρθ = 2 ρ cos φ cosθ
ดังนั้น f ρθφ = −2 ρ sin φ cosθ
f ρφ = −2 ρ sin φ sin θ
ดังนั้น f ρφθ = −2 ρ sin φ cosθ
และ f ρφθθ = 2 ρ sin φ sin θ
ตัวอยาง9 กําหนดให w( x, y, z ) = xyze x+ y + z
จงหา wxy , wxyy ที่จุด (1,1,2)
วิธีทํา wx = xyze x+ y + z + yze x+ y + z
wxy = xyze x + y + z + xze x + y + z + yze x+ y + z + ze x+ y + z
ดังนั้น wxy (1,1, 2) = 8e4
362
กฎลูกโซของอนุพันธยอย (Chain Rules for Partial Derivatives)
ถา y = f ( x) และ t = g ( x) เปนฟงกชันที่หาอนุพันธได แลว
จะได กฎลูกโซของฟงกชัน y ( g ( x)) คือ
y
dy dy dt
= ⋅
dx dt dx
t
x
dy
dt
dt
dx
สามารถขยายผลของกฎลูกโซสําหรับฟงกชันมากกวาหนึ่งตัวแปรได
ถา x = x(t ) และ y = y (t ) เปนฟงกชันที่หาอนุพันธที่ t ได
และ z = f ( x, y ) เปนฟงกชันที่หาอนุพันธยอยที่ ( x(t ), y (t )) ได
z
แลว
dz ∂z dx ∂z dy
= ⋅ + ⋅
dt ∂x dt ∂y dt
x
y
t
ถา u = u ( x, y ) และ v = v( x, y ) เปนฟงกชันที่หาอนุพันธ
ยอยที่ ( x, y ) ได และ z = f (u, v) เปนฟงกชันที่หาอนุพนั ธยอยที่จุด
(u ( x, y ), v( x, y )) ได แลว
z
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
= ⋅ + ⋅
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
= ⋅ + ⋅
∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
u
v
x
y
363
ตัวอยาง1 กําหนดให z ( x, y ) = x 2 y , x = t 2 , y = t 3 จงหาคา
วิธีทํา
dz
dt
z
dz ∂z dx ∂z dy
= ⋅ + ⋅
dt ∂x dt ∂y dt
x
y
= (2 xy )(2t ) + ( x 2 )(3t 2 )
t
= 4t 6 + 3t 6
= 7t 6
หรือ z = x 2 y = (t 2 )2 (t 3 ) = t 7
dz
= 7t 6
dt
ตัวอยาง2 กําหนดให f ( x, y ) = xy + ln( x 2 + y 2 ) , y = sin θ ,
x = cos θ จงใชกฎลูกโซหาคา
วิธีทํา
df
dθ
f
x
y
θ
364
ตัวอยาง3 กําหนดให z = e xy , x = 2u + v , y =
จงใชกฎลูกโซหาคา
วิธีทํา
∂z
∂z
และ
∂u
∂v
u
v
z
x
y
u
v
365
เราสามารถสรางกฎลูกโซเพื่อหาอนุพันธยอยของฟงกชันประกอบ
แบบตางๆได โดยใชการวาดแผนภูมิประกอบเชน
df ∂f dx ∂f dy ∂f dz
= ⋅ + ⋅ + ⋅
dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt
f
x
y
z
t
f
u
v
w
x
y
z
∂f ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂w
= ⋅ + ⋅ +
⋅
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x
∂f ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂w
= ⋅ + ⋅ +
⋅
∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
∂f ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂w
= ⋅ + ⋅ +
⋅
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂z
ตัวอยาง4 กําหนดให f (u, v) = ueu +v , u = ln x 2 y , v = 2 x
จงหา
วิธีทํา
∂f
∂f
และ
∂x
∂y
z
u
v
x
y
366
ตัวอยาง5 กําหนดให
วิธีทํา
z = x 2 ln( x 2 + y 2 ) , x = r cos(tθ ) , y = r sin(tθ )
∂z ∂z
ในเทอมของ x, y, r , t ,θ
จงหา ,
∂r ∂θ
z
y
x
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
= ⋅ + ⋅
∂r ∂x ∂r ∂y ∂r
r
θ
t
⎛ 2 x3
2 x 2 y sin(tθ )
2
2 ⎞
=⎜ 2
+ 2 x ln( x + y ) ⎟ (cos(tθ )) +
2
2
2
x
y
x
y
+
+
⎝
⎠
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
= ⋅
+ ⋅
∂θ ∂x ∂θ ∂y ∂θ
⎛ 2 x3
2 x2 y
2
2 ⎞
(rt cos(tθ ))
=⎜ 2
+ 2 x ln( x + y ) ⎟ (− rt sin(tθ )) + 2
2
2
x +y
⎝x +y
⎠
ตัวอยาง6 กําหนดให f ( x, y, z ) = x3 + y 3 + z 3 , z = x 2 + y 2
∂f
จงหา
∂x (2,0,1)
วิธีทํา
∂f ∂f ∂f ∂z
= + ⋅ = 3 x 2 + 6 xz 3
∂x ∂x ∂z ∂x
∂f
= 24
∂x (2,0,1)
f
x
y
z
x
y
367
อนุพันธยอยของฟงกชันปริยาย (Implicit Differentiation)
จากกฎลูกโซ เราสามารถหาสูตรของอนุพันธยอยของฟงกชัน
ปริยายได จากสมการ F ( x, y ) = 0 โดย y เปนฟงกชันของ x
dF ∂F ∂F dy
=
+
⋅
dx ∂x ∂y dx
∂F ∂F dy
จะได
+
⋅ =0
∂x ∂y dx
∂F
Fx
dy
∂
x
=−
=−
∂F
dx
Fy
∂y
ตัวอยาง1 กําหนดให y = f ( x) นิยามโดยสมการ
dy
2 x ln y − y 2 sin x = 0 จงหา
dx
วิธีทํา จากสมการ 2 x ln y − y 2 sin x = 0
F
x
y
x
หาอนุพันธเทียบ x ตลอดสมการจะได
2 x dy
dy
+ 2ln y − y 2 cos x + 2 y sin x = 0
y dx
dx
2x
dy
( + 2 y sin x) = y 2 cos x − 2ln y
y
dx
dy y 2 cos x − 2ln y
=
dx ( 2 x + 2 y sin x)
y
368
หรือ
F
dy
=− x
dx
Fy
2ln y − y 2 cos x
=−
2x
− 2 y sin x
y
y 2 cos x − 2ln y
=
2x
− 2 y sin x
y
ให z = f ( x, y ) เปนฟงกชันปริยาย
นิยามโดย F ( x, y, z ) = 0 โดยใชกฎลูกโซจะได
∂F
F
∂z
= − ∂x = − x
∂F
∂x
Fz
∂z
∂F
Fy
∂z
∂y
=−
=−
∂
F
∂y
Fz
∂z
369
ตัวอยาง2 กําหนดให z = f ( x, y ) ที่นิยามโดยสมการ
∂z
∂z
และ
∂x
∂y
กําหนดให F ( x, y, z ) = 0 คือ 2 xz 2 + y sin z = 0
Fy
Fx
∂z
∂z
จาก = − และ = −
Fz
Fz
∂y
∂x
2 xz 2 + y sin z = 0 จงหา
วิธีทํา
Fx = 2 z 2
ดังนั้น
, Fy = sin z ,
Fz = 4 xz + y cos z
Fx
∂z
2z2
=− =−
4 xz + y cos z
∂x
Fz
Fy
∂z
sin z
=− =−
Fz
∂y
4 xz + y cos z
สําหรับฟงกชันปริยายที่มีตัวแปรอิสระมากกวา 2 ตัวแปร สามารถ
พิจารณาหาอนุพันธยอยไดโดยใชกฎลูกโซไดในทํานองเดียวกัน
ตัวอยาง3 กําหนดให w เปนฟงกชันของ x, y, z นิยามโดยสมการ
x 2 y − xe w + 2 wz = 0 จงหา
วิธีทํา
∂w ∂w ∂w
, ,
∂x ∂y ∂z
370
ในกรณีที่มีฟงกชันปริยายมากกวา 1 สมการ สามารถหาอนุพันธยอ ยได
จากกฎลูกโซเชนเดียวกัน
นิยาม จาโคเบียน (Jacobian)
กําหนดให F ( x, y ) = 0 และ G ( x, y ) = 0 แลวจาโคเบียน
ของฟงกชัน F , G เทียบกับ x และ y เขียนแทนดวย
กําหนดโดย
∂( F , G)
∂ ( x, y )
371
∂F
∂ ( F , G ) ∂x
=
∂ ( x, y ) ∂G
∂x
∂F
Fx
∂y
=
∂G Gx
∂y
Fy
Gy
ทฤษฎีบท กําหนดให u และ v เปนฟงกชันของ x และ y
F (u , v, x, y ) = 0 และ G (u , v, x, y ) = 0 จะได
Fx
∂( F , G)
G
∂u
∂ ( x, v )
=−
=− x
∂( F , G)
Fu
∂x
∂ (u , v)
Gu
Fu
∂( F , G)
G
∂v
∂ (u , x)
=−
=− u
∂( F , G)
Fu
∂x
∂ (u , v)
Gu
Fv
Gv
Fv
Gv
Fx
Gx
Fv
Gv
และ
และ
Fy
∂( F , G)
Gy
∂u
∂ ( y, v)
=−
=−
∂( F , G)
Fu
∂y
∂ (u , v)
Gu
Fu
∂( F , G)
Gu
∂v
∂ (u , y )
=−
=−
F
G
∂
(
,
)
Fu
∂y
∂ (u , v)
Gu
Fv
Gv
Fv
Gv
Fy
Gy
Fv
Gv
ตัวอยาง4 กําหนดให u, v เปนฟงกชันของ x และ y โดยกําหนด
สมการ u + 2uv = x 2 + xy และ v 2 − u = 2 x − y 2
∂u ∂u
∂v ∂v
, และ ,
∂x ∂y
∂x ∂y
วิธีทํา ให F ( x, y, u, v) = u + 2uv − x 2 − xy = 0
จงหา
G ( x, y , u , v ) = v 2 − u − 2 x + y 2 = 0
Fx
G
∂u
=− x
Fu
∂x
Gu
Fv
(−2 x − y ) 2u
Gv
2v
−2
2v( −2 x − y ) + 4u 2 xv + yv − 2u
=
=−
=
Fv
(1 + 2v) 2u
2v(1 + 2v) + 2u
v + v2 + u
Gv
−1
2v
372
Fy
Gy
∂u
=−
Fu
∂y
Gu
Fu
Fv
− x 2u
Gv
2 y 2v
−2 xv − 4 yu
xv + 2 yu
=−
=−
=
(1 + 2v) 2u
Fv
2v(1 + 2v) + 2u v + v 2 + u
−1
Gv
2v
(1 + 2v) (−2 x − y )
Gx
−1
−2
−2(1 + 2v) + (−2 x − y ) 2 + 4v + 2 x + y
=
=−
=
(1 + 2v) 2u
Fv
2v(1 + 2v) + 2u
v + v2 + u
Fx
G
∂v
=− u
Fu
∂x
Gu
Gv
Fu
Gu
∂v
=−
Fu
∂y
Gu
−1
2v
Fy
(1 + 2v)
Gy
−1
=−
(1 + 2v)
Fv
Gv
−1
−x
2y
2 y (1 + 2v) − x x − 2 y − 4 yv
=−
=
2u
2v(1 + 2v) + 2u
v + v2 + u
2v
ตัวอยาง5 กําหนดให u, v เปนฟงกชันของ x และ y โดยกําหนด
xv 2 + u = y 2 และ y 2 v − xu 2 = 1 − y 2
จงหา
วิธีทํา
∂u ∂u
∂v ∂v
, และ ,
∂x ∂y
∂x ∂y
373
374
แบบฝกหัด
1. จงหาอนุพันธยอยอันดับสองทั้งหมดของฟงกชันตอไปนี้
x
x+ y
1.2 f ( x, y ) = e− x sin y
1.1 f ( x, y ) =
1.3 f ( x, y ) = x cos y
2. กําหนดให f ( x, y ) = x3 y 5 − 2 x 2 y + x จงหา f xxy , f yxy และ
f yyy
3. กําหนดให f ( x, y ) = y 3e−5 x จงหา f xyy , f xxx และ f yyxx
4. กําหนดให f ( x, y, z ) = x3 y 5 z 7 + xy 2 + y 3 z จงหา
f xy , f yz , f zyx และ f xxyz
dz
dt
5.1 z = e1− xy , x = t1 3 , y = t 3
1
5.2 z = 3cos x − sin xy , x = , y = 3t
t
x − 2y
5.3 z =
, x = 2t − 3 , y = t 2 + 1 เมื่อ t = −1
2x + 3y
∂z ∂z
6. จงใชกฎลูกโซหาคา ,
∂x ∂y
6.1 z = 8u 2v − 2u + 3v , u = xy , v = x − y
5. จงใชกฎลูกโซหาคา
6.2 z = tan −1 (u 2 + v 2 ) , u = e x sin y , v = e x cos y
375
6.3 z = u 2 + v 2 + w2 , u = 3e x sin y , v = 3e x cos y , w = 4e x
7. กําหนดให f ( x, y, z ) = x 4 y + y 2 z 3 , x = uve w , y = uv 2e−t
∂f
เมื่อ u = 2 , v = 1 และ w = 0
∂v
8. กําหนดให z = f ( x, y ) , x = r cosθ , y = r sin θ
z = u 2 v sin w จงหา
2
1 ⎛ ∂z ⎞
⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞
จงแสดงวา ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + 2 ⎜ ⎟
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂r ⎠ r ⎝ ∂θ ⎠
9. กําหนดให u, v เปนฟงกชันของ x และ y โดยกําหนด
2
2
xu 2 + v = y 3 และ 2 yu − xv3 = 4 x
∂u ∂v
จงหา ,
∂x ∂y
10. กําหนดให u, v เปนฟงกชันของ x และ y โดยกําหนด
u 2 − v = 3 x + y และ u − 2v 2 = x − 2 y
∂u ∂v
จงหา ,
∂y ∂x
2
376
คําตอบแบบฝกหัด
−2 y
2x
=
,
f
yy
( x + y )3
( x + y )3
x− y
f xy =
= f yx
( x + y )3
1.2 f xx = e− x sin y , f yy = −e− x sin y
1.1 f xx =
f xy = −e − x cos y = f yx
− cos y
1.3 f xx = 3 2 , f yy = − x cos y
4x
− sin y
f xy =
= f yx
2 x
2. f xxy = 30 xy 4 − 4 , f yxy = 60 x 2 y 3 , f yyy = 60 x3 y 2
3. f xyy (0,1) = −30, f xxx (0,1) = −125, f yyxx (0,1) = 150
4. f xy = 15 x 2 y 4 z 7 + 2 y , f yz = 35 x3 y 4 z 6 + 3 y 2
f zyx = 105 x 2 y 4 z 6 , f xxyz = 210 xy 4 z 6
dz
10
= − t 7 3e1−t
dt
3
dz
5.2 = 3t −2 sin(1 t )
dt
dz
21
5.3 = −
dt
8
∂z
6.1
= 24 x 2 y 2 − 16 xy 3 − 2 y + 3
∂x
∂z
= 16 x3 y − 24 x 2 y 2 − 2 x − 3
∂y
5.1
10 3
377
∂z
2e 2 x
∂z
6.2
=
,
=0
4x
∂x 1 + e
∂y
∂z
∂z
6.3
7.
= 5et ,
=0
∂x
∂y
∂u v3 − 3 xu 2 v 2 + 4
∂v 2 xu 2 + 3 y 2
9.
=
,
= 2 2
2
2
∂x
∂y 3 x uv + y
6 x uv + 2 y
∂u 4v + 2
∂v 3 − 2u
10.
=
,
=
∂y 8uv − 1
∂x 8uv − 1
192
378
การประยุกตอนุพันธของฟงกชันหลายตัวแปร
ผลตางอนุพัทธรวม (Total Differential)
นิยาม ผลตางอนุพัทธรวมของ f ( x, y ) คือ ผลรวมของผลตางอนุ
พัทธยอยทั้งหมด
df = f x dx + f y dy
เมื่อ dx และ dy เปนสวนเปลี่ยนแปลงของตัวแปรอิสระ
ในทางเรขาคณิต สามารถประมาณการเปลี่ยนแปลงของคา f (Δf )
เมื่อคา x เปลี่ยนไป Δx = dx และ คา y เปลี่ยนไป Δy = dy
โดยที่
Δf = f ( x + Δx, y + Δy ) − f ( x, y )
Δf ≈ df เมื่อ Δx และ Δy มีคาเขาใกลศูนย
ดังนั้น f ( x + Δx, y + Δy ) ≈ f ( x, y ) + df
ตัวอยาง1 กําหนด f ( x, y ) = x 2 + y 2 จงหา df
วิธีทํา
df = f x dx + f y dy
=
x
x +y
2
2
dx +
y
x +y
2
2
dy
379
ตัวอยาง2 กําหนด f ( x, y ) = sin y + x ln y จงหา df
วิธีทํา
ตัวอยาง3 กําหนด f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 จงหา df และ Δf
เมื่อ x = 2, y = 3, Δx = 0.2 และ Δy = −0.1
วิธีทํา
ตัวอยาง4 จงใชผลตางอนุพัทธรวมประมาณคา (2.01)2 + (3.99)2
วิธีทํา กําหนดให f ( x, y ) = x 2 + y 2
f ( x + Δx, y + Δy ) ≈ f ( x, y ) + df
f ( x + Δx, y + Δy ) ≈ f ( x, y ) + f x dx + f y dy
380
x = 2, y = 4, dx = 0.01, dy = −0.01
x
y
f (2.01,3.99) = f (2, 4) +
dx +
dy
2
2
2
2
x +y
x +y
(2.01) 2 + (3.99) 2 = 22 + 42 +
2
2 +4
2
2
(0.01) +
4
2 +4
2
2
(−0.01)
= 4.7376
1
3
ตัวอยาง5 ปริมาตรของกรวยกลม v = π r 2 h ถาสวนสูงลดลงจาก 9
ซม. เปน 8.89 ซม. ขณะที่รัศมีที่ฐานเพิ่มขึ้นจาก 3 ซม. เปน 3.15 ซม. จง
ใหผลตางอนุพัทธรวมประมาณคาการเปลี่ยนแปลงของปริมาตร
วิธีทํา
1
V = π r 2h
3
dV = Vr dr + Vh dh
2
1 2
= π rhdr + π r dh
3
3
2
1
= π (3)(9)(0.15) + π (3) 2 (−0.11)
3
3
= 2.33π
ปริมาตรของกรวยกลมจะเพิ่มขึ้นประมาณ 2.33π ลูกบาศก
เซนติเมตร
381
ตัวอยาง6 ทรงกระบอกกลมใบหนึ่ง ถาในการวัดรัศมีมีความผิดพลาด
ไมเกิน 0.2% การวัดความสูงมีความผิดพลาดไมเกิน 0.4% จงหาคา
เปอรเซ็นตความผิดพลาดในการหาปริมาตรทรงกระบอกนี้
วิธีทํา V = π r 2 h
dV = Vr dr + Vh dh = 2π rhdr + π r 2 dh
ΔV dV
≈
V
V
dV 2π rhdr + π r 2 dh
dr dh
=
=
+
2
2
V
r
h
πr h
dV
dr dh
dr dh
=2 +
≤2
+
≤ 2(0.02) + (0.04) = 0.08
V
r
h
r
h
ดังนั้นความผิดพลาดที่มากที่สุดในการหาปริมาตรคือ 8%
382
1. การหาคาสูงสุดและคาต่ําสุดของฟงกชันหลายๆตัวแปร
ทฤษฎีบท ให R เปนอาณาบริเวณภายในระนาบ xy โดยมีเสนรอบรูป
ของ R ถือวาเปนสวนหนึ่งของ R ดวย และถา f เปนฟงกชันสองตัว
แปรซึ่งไดนิยามและตอเนื่องใน R ดังนั้นจะมีจุดอยางนอยหนึ่งจุดใน
R ที่ทําให f มีคานอยที่สุด และจะมีจุดอยางนอยหนึ่งจุดใน R ที่ทํา
ให f มีคามากที่สุด
นิยาม สําหรับฟงกชัน f ( x, y ) ที่นิยามในอาณาบริเวณ R จะ
กลาววามีคาสูงสุดสัมพัทธ (Relative Maximum) ที่จุด (a, b) ถา
Δf = f (a + h, b + k ) − f (a, b) ≤ 0 สําหรับทุกคาของ h, k ใน
บริเวณทีใ่ กลเคียง (a, b) และจะกลาววามีคาต่ําสุดสัมพัทธ (Relative
Minimum) ที่จุด (a, b) ถา Δf = f (a + h, b + k ) − f (a, b) ≥ 0
สําหรับทุกคาของ h, k ในบริเวณที่ใกลเคียงของ (a, b)
นิยาม ถาฟงกชัน f ( x, y ) สามารถนิยามไดในอาณาบริเวณ R ซึ่ง
มีจุด ( x0 , y0 ) เปนจุดอยูภายใน สมมุติวา f x ( x0 , y0 ) และ
f y ( x0 , y0 ) สามารถนิยามไดใน R และ f ( x, y ) ≤ f ( x0 , y0 )
สําหรับทุกคาของ ( x, y ) ใน R นั่นคือ f ( x0 , y0 ) จะมีคาสูงสุด
สัมบูรณ (Absolute Maximum) ดังนั้น
f x ( x0 , y0 ) =
f y ( x0 , y0 ) = 0
383
และจะมีคาต่ําสุดสัมบูรณ
(Absolute
Minimum)
ก็ตอเมื่อ
f ( x, y ) ≥ f ( x0 , y0 ) สําหรับทุกๆคา ( x, y ) ใน R จะไดวา
f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y0 ) = 0
โดยที่ f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y0 ) = 0 หมายถึงระนาบสัมผัสพื้นผิว
z = f ( x, y ) ที่จุด ( x0 , y0 ) จะตองขนานกับระนาบ xy
ถา f มีคาสูงสุดสัมพัทธ หรือคาต่ําสุดสัมพัทธ ที่ (a, b) แลวจะกลาว
วา f มีคาขีดสุดสัมพัทธ (Relative Extremum) ที่ (a, b)
และถา f มีคาสูงสุดสัมบูรณ หรือคาต่ําสุดสัมบูรณ ที่ (a, b) แลวจะ
กลาววา f มีคาขีดสุดสัมบูรณ (Absolute Extremum) ที่ (a, b)
นิยาม จุด ( x0 , y0 ) ที่ทําให f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y0 ) = 0
เรียกวาจุดวิกฤต (Critical Point) ของ f ซึ่งเงื่อนไขที่
f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y0 ) = 0 ที่จุด ( x0 , y0 ) เปนเพียงเงื่อนไขที่
จําเปนในการหาคาสูงสุดสัมพัทธ (Relative Maximum) และต่ําสุด
สัมพัทธ (Relative Maximum) ของ f ( x, y )
384
ในกรณีที่ f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y0 ) = 0 ที่จุด ( x0 , y0 ) แตที่จุด
( x0 , y0 ) นี้ไมไดใหคาฟงกชัน f ( x, y ) สูงสุด หรือใหคาต่ําสุด จะ
เรียกจุดนี้วาจุดอานมา (Saddle Point)
ตัวอยางที่ 1 กําหนดให f ( x, y ) = x 2 + y 2 จงหาจุดวิกฤต
วิธีทํา
จาก f ( x, y ) = x 2 + y 2
f x ( x, y ) = 2 x และ f y ( x, y ) = 2 y
จะได
ซึ่ง
f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y0 ) = 0
ดังนั้นจะได f x ( x, y ) = 2 x = 0 นั่นก็คือ x = 0
และ f y ( x, y ) = 2 y = 0 นั่นก็คือ y = 0
ดังนั้นจุดวิกฤตคือ (0,0) ซึ่งเปนจุดอานมา
ทฤษฎีบท (Extreme-Value Theorem)
ถา f ( x, y ) เปนฟงกชันตอเนื่องบนอาณาบริเวณปด R แลว f จะมี
ทั้งคาสูงสุดสัมบูรณ และคาต่ําสุดสัมบูรณ
385
ตัวอยางที่ 2 จากรูปที่กําหนดให เปนกราฟของฟงกชัน f ที่มี
โดเมนเปนอาณาบริเวณปด R รูปสีเ่ หลี่ยมจัตุรัสบนระนาบ xy ที่
กําหนดโดย R = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
386
เนื่องจาก f ( x, y ) เปนฟงกชันตอเนื่อง จึงไดวา f จะมีทั้งคาสูงสุด
สัมบูรณ และคาต่ําสุดสัมบูรณ คือที่จดุ D และ A ตามลําดับ
การทดสอบจุดวิกฤตดวยอนุพันธอันดับสอง (Second Derivative Test)
ถา f ( x, y ) มีอนุพันธตอเนื่องถึงอันดับที่สองในอาณาบริเวณใกลๆจุด
(a, b) และถา f x (a, b) = f y (a, b) = 0 จุด (a, b) จะเปนจุดวิกฤต
ดังนั้นจะไดวา
1. f ( x, y ) มีคาสูงสุดสัมพัทธ และ (a, b) เปนจุดที่ใหคาสูงสุดสัมพัทธ
ถา f xx (a, b) f yy (a, b) − f xy2 (a, b) > 0 และ f xx (a, b) < 0
2. f ( x, y ) มีคาต่ําสุดสัมพัทธ และ (a, b) เปนจุดที่ใหคาต่ําสุดสัมพัทธ
ถา f xx (a, b) f yy (a, b) − f xy2 (a, b) > 0 และ f xx (a, b) > 0
3. จุด (a, b) จะเปนจุดที่เกิดอานมา
ถา f xx (a, b) f yy (a, b) − f xy2 (a, b) < 0
4. ไมสามารถสรุปไดวา f (a, b) มีคาต่ําสุดหรือคาสูงสุด
ถา f xx (a, b) f yy (a, b) − f xy2 (a, b) = 0
เชน f ( x, y ) = x 4 + y 4 มีคาต่ําสุดที่จุด (0,0) เพราะวา
f xx (a, b) f yy (a, b) − f xy2 (a, b) = 0
เมื่อ f x ( x, y ) = 4 x3
และ f y ( x, y ) = 4 y 3
387
และ f yy ( x, y ) = 12 y 2
และ f ( x, y ) = −( x 4 + y 4 ) มีคาสูงสุดที่จุด (0,0) เพราะวา
f xx ( x, y ) = 12 x 2
f xx ( a, b) f yy (a, b) − f xy2 (a, b) = 0
เมื่อ f x ( x, y ) = −4 x3 และ f y ( x, y ) = −4 y 3
f xx ( x, y ) = −12 x 2 และ f yy ( x, y ) = −12 y 2
ตัวอยางที่ 3 จงหาจุดที่ใหคาสูงสุด ต่ําสุด และอานมา (ถามี) ของฟงกชัน
f ( x, y ) = x3 + 3 xy 2 − 3 x 2 − 3 y 2 + 4
วิธีทํา
388
ตัวอยางที่ 4
จงหาคาสูงสุดและต่ําสุดของฟงกชัน
f ( x, y ) = sin x + sin y + sin( x + y )
บนอาณาบริเวณปด 0 ≤ x ≤ 2π และ 0 ≤ y ≤ 2π
วิธีทํา
จะได
จาก f ( x, y ) = sin x + sin y + sin( x + y )
f x ( x, y ) = cos x + cos( x + y )
f y ( x, y ) = cos y + cos( x + y )
f xx ( x, y ) = − sin x − sin( x + y )
f xy ( x, y ) = − sin( x + y )
และ
f yy ( x, y ) = − sin y − sin( x + y )
หาจุดวิกฤต
fx = f y = 0
จะได cos x + cos( x + y ) = 0 และ cos y + cos( x + y ) = 0
นั่นคือ cos x = cos y
x = y หรือ x = y ± 2nπ โดยที่ n = 0,1, 2,......
เมื่อ x = y จาก cos x + cos( x + y ) = 0
จะได cos x = −1 และ cos x =
1
2
389
นั่นคือ x =
π
3
และ x = π และ x =
5π
3
π π
ดังนั้นจุดวิกฤตทั้งหมดภายในอาณาบริเวณ R คือ ( , ), (π , π )
และ (
3 3
5π 5π
, )
3 3
ตอไปหาจุดที่อยูบนขอบของอาณาบริเวณ R ซึ่งอาจจะใหคาขีดสุด
สัมบูรณได
พิจารณาฟงกชัน f บนเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุด (0,0) และ (0, 2π )
x = 0, 0 ≤ y ≤ 2π
จะไดวา u ( y ) = f (0, y ) = sin 2 y ; 0 ≤ x ≤ 2π
u '( y ) = 2cos y = 0
π 3π
นั่นคือ y = ,
2 2
π
3π
จุดวิกฤตคือ (0, ) และ (0, )
2
2
พิจารณาฟงกชัน f บนเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุด (2π ,0)
และ
(2π , 2π ) : x = 2π , 0 ≤ y ≤ 2π
π
จะไดจุดวิกฤตคือ (2π , ) และ (2π ,
2
3π
)
2
พิจารณาฟงกชัน f บนเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุด (0,0) และ
(2π ,0) : y = 0, 0 ≤ x ≤ 2π
π
จะไดจุดวิกฤตคือ ( ,0) และ (
2
3π
,0)
2
390
พิจารณาฟงกชัน f บนเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุด (0, 2π ) และ
(2π , 2π ) : y = 2π , 0 ≤ x ≤ 2π
π
3π
, 2π )
2
2
รวมจุดมุมทั้งหมดคือ (0,0),(0, 2π ),(2π ,0) และ (2π , 2π ) ดวย
จะไดจุดวิกฤตคือ ( , 2π ) และ (
พิจารณาคาของ f ทั้งหมดของจุดวิกฤต และจุดที่ขอบของ R ดังนี้
( x, y )
f ( x, y )
( x, y )
π π
( , )
3 3
3 3
2
3π
(0, )
2
(2π , )
2
5π 5π
( , )
3 3
3 3
−
2
3π
(2π , )
2
−2
2
−2
2
(0,0)
0
f ( x, y )
(π , π )
0
π
( x, y )
(
3π
,0)
2
( , 2π )
2
π
(
3π
, 2π )
2
f ( x, y )
( x, y )
−2
(0, 2π )
2
(2π ,0)
−2
(2π , 2π )
f ( x, y )
0
0
0
จากตารางสรุปไดวา
คาสูงสุดสัมบูรณของ f คือ
คาต่ําสุดสัมบูรณของ f คือ
π π
3 3
f( , )=
3 3
2
5π 5π
3 3
f( , )=−
3 3
2
π
(0, )
2
2
π
( ,0)
2
391
ตัวอยางที่ 5 จงทดสอบวาฟงกชัน
สูงสุดที่จุดใด
วิธีทํา
x2 y 2
− 2 = 2cz
2
a
b
มีคาต่ําสุดและ
392
ตัวอยางที่ 6 จงหาความหนา ความกวางและความยาวของกลองรูป
สี่เหลี่ยมผืนผา เปดดานบน ที่จะทําใหกลองมีปริมาตรมากที่สุด ถาพื้นที่
ผิวเปน 12 ตารางหนวย
วิธีทํา
393
1.
แบบฝกหัดที่ 1
จงหาจุดที่ใหคาสูงสุดสัมพัทธ ต่ําสุดสัมพัทธ หรือจุดทีเ่ กิดอานมา
ของฟงกชันที่กําหนดให
1.1 f ( x, y ) = 3x 2 + 2 xy + y 2
1.2 f ( x, y ) = y 2 + xy + 3 y + 2 x + 3
1.3 f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 − 3x
1.4 f ( x, y ) = e− ( x + y + 2 x )
1.5 f ( x, y ) = x 2 y − 2 xy + 2 y 2 − 15 y
จงหาเลขจํานวนบวกสามจํานวน ซึ่งมีผลคูณเทากับ 64 และมี
ผลบวกนอยที่สุด และคํานวณหาผลบวกที่นอยที่สุดนั้นดวย
จงหาจุดในปริภูมิซงึ่ มีผลบวกของพิกัดเทากับ 48 และมีระยะทางหาง
จากจุดกําเนิดสั้นที่สุด
ในการสรางรานคาทรงสี่เหลี่ยมดานขนาน มีความจุเทากับ 1536
ลูกบาศกเมตร คาตกแตงของผนังดานหนาจะมีราคาเปนสองเทาของ
ราคาผนังดานขาง ผนังดานหลัง และพื้นรวมกัน สวนคาตกแตงของ
2
2.
3.
4.
2
394
3
2
หลังคาจะเสียคาใชจายเปน เทาของผนังดานขาง จงหาขนาดของ
รานคาที่จะเสียคาใชจายในการตกแตงนอยที่สุด
5. จงหาระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุด (2, −2,3) ไปยังระนาบ
x+ y−z =2
6. กลองกระดาษไมมีฝาปดทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีความจุ 32000
ลูกบาศกเซนติเมตร จงหาขนาดของกลองที่ใชกระดาษนอยที่สุด
คําตอบแบบฝกหัดที่ 1
1. 1.1 จุดที่ใหคาต่ําสุดสัมพัทธ (0,0)
1.2 จุดที่เกิดอานมา (1, −2)
1.3 จุดที่ใหคาต่ําสุดสัมพัทธ (2, −1)
1.4 จุดที่ใหคาสูงสุด (−1,0)
1.5 จุดที่ใหคาต่ําสุดสัมพัทธ (1, 4) จุดอานมา (−3,0) และ (5,0)
2. 4, 4, 4 และ 12
3. (16,16,16)
4. ดานหนา 24 เมตร ดานขาง 8 เมตร สูง 8 เมตร
11 1 4
5. ⎛⎜ , − , ⎞⎟
⎝3
3 3⎠
6. กวาง = ยาว = 40 เซนติเมตร สูง 20 เซนติเมตร
395
2. ตัวคูณลากรางจ (Langrange Multipliers)
จากตัวอยางที่ 6 จะเห็นวา ปญหาก็คือจะตองการหาขนาดของกลอง
นั่นก็คือจะตองแกสมการ V = xyz ภายใตเงื่อนไขของพื้นที่ผิว
xy + 2 xz + 2 yz = 12 เงื่อนไขนี้เรียกวา Side Condition และปญหา
การหาคาต่ําสุดหรือคาสูงสุดของฟงกชันภายใตเงื่อนไขที่กําหนดให
(Problem in Constrained Maxima and Minima) หมายความวาการหา
คาต่ําสุดหรือคาสูงสุดของฟงกชันนั้นจะตองเปนไปตามเงื่อนไขที่
กําหนดมาใหดวย
การแกปญหาโจทย อาจแกโดยวิธีตางๆที่ไดผานมาแลว หรือใชวิธีของ
ลากรางจ (Lagrange) ซึ่งเปนวิธีการแกปญหาเกี่ยวกับการหาคาสูงสุด
และต่ําสุดของฟงกชันหลายตัวแปร f ( x, y, z ) เมื่อกําหนดเงื่อนไข
(Side Condition) หรือขอจํากัด (Constraint) ϕ ( x, y, z ) = 0 มาให
396
Method of Lagrange Multipliers
การหาคาขีดสุดของฟงกชัน f ( x1 , x2 ,..., xn ) ภายใตเงื่อนไข
ϕ1 ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0
ϕ 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0
#
ϕ m ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0
1. สรางสมการใหมเรียกวาฟงกชันลากรางจ (Lagrange Function) ดังนี้
F ( x1 , x2 ,..., xn , λ1 , λ2 ,..., λm ) = f ( x1 , x2 ,..., xn )
+ λ1ϕ1 ( x1 , x2 ,..., xn )
+ λ2ϕ 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) + ...
+ λmϕ m ( x1 , x2 ,..., xn )
เมื่อ λi ; i = 1, 2,..., m (m < n) เรียกวาตัวคูณลากรางจ (Lagrange
Multipliers) ซึ่งเปนคาคงที่
397
2. หาจุดวิกฤตของ F โดยที่พิจารณาวา F เปนฟงกชันของ n + m ตัว
แปรคือ x1 , x2 ,..., xn , λ1 , λ2 ,..., λm ซึ่งหาคาไดจากสมการ
∂F
= 0,
∂x1
∂F
= 0,
∂λ1
ตัวอยางที่ 7
∂F
∂F
= 0 , …,
=0
∂x2
∂xn
∂F
∂F
= 0 , …,
=0
∂λ2
∂λm
ใหหาคาต่ําสุดของฟงกชัน
f ( x, y ) = x 2 + 2 y 2 + 2 xy + 2 x + 3 y
ภายใตเงื่อนไข x 2 − y = 1
วิธีทํา
กําหนดให ϕ ( x, y ) = x 2 − y − 1 = 0
F ( x, y, λ ) = f ( x, y ) + λϕ ( x, y )
ดังนั้นจะได
F ( x, y, λ ) = x 2 + 2 y 2 + 2 xy + 2 x + 3 y + λ ( x 2 − y − 1)
และ Fx = 2 x + 2 y + 2 + 2 xλ = 0
(1)
Fy = 4 y + 2 x + 3 − λ = 0
Fλ = x 2 − y − 1 = 0
(2)
(3)
จาก Fλ = x 2 − y − 1 = 0 จะได y = x 2 − 1
แทนลงในสมการ (1) และสมการ (2) จะได
2 x + 2 x 2 − 2 + 2 + 2 xλ = 0
นั่นคือ x = 0 หรือ x = −(1 + λ )
398
และ 4 y + 2 x + 3 − λ = 0
แทนดวย y = x 2 − 1 จะได
4 x2 − 4 + 2 x + 3 − λ = 0
(4)
ถา x = 0 แทนในสมการ (4) จะได λ = −1
ถา x = −(1 + λ ) แทนในสมการ (4) จะได λ = −1 และ λ = −
กรณีที่ λ = −1
จะได x = 0
1
4
จะได x = −
และ y = −1
1
4
3
7
และ y = −
4
16
3 7
จุดวิกฤตคือ (0, −1) และ ⎛⎜ − , − ⎞⎟
⎝ 4 16 ⎠
แทนคาในสมการ f ( x, y ) = x 2 + 2 y 2 + 2 xy + 2 x + 3 y
กรณีที่ λ = −
f (0, −1) = −1
3 7
229
f (− , − ) =
4 16 128
ดังนั้นจุด (0, −1) ใหคาต่ําสุดเทากับ −1
ตัวอยางที่ 8 จงหาจุดบนผิวของทรงกลม x 2 + y 2 + z 2 = 1 ซึ่งอยู
หางจากจุด (1, 2,3) มากที่สุด
วิธีทํา
399
ตัวอยางที่ 9 จงหาระยะทางที่มากที่สุดและนอยที่สุดจากจุดกําเนิด
ไปยังโคง 5 x 2 + 5 y 2 + 6 xy − 8 = 0
วิธีทํา
400
ตัวอยางที่ 10 จงหาขนาดของกลองที่ไมมีฝาปดโดยมีพื้นที่ผิวมาก
ที่สุดเปน 108 ตารางนิ้ว
วิธีทํา
401
ตัวอยางที่ 11
จงหาปริมาตรที่มากที่สุดของกลองทรงสี่เหลี่ยมตัน ซึง่
2
2
y
z
สามารถบรรจุในพื้นผิว x 2 + + = 1 ได
9
4
วิธีทํา
ปริมาตรหนึ่งในแปดสวนคือ f ( x, y, z ) = xyz
โดยที่ x > 0, y > 0, z > 0
y2 z2
ภายใตเงื่อนไข ϕ ( x, y, z ) = x + + − 1 = 0
9
4
2
ดังนั้นจะเขียนไดเปน
2
2
y
z
F ( x, y, z , λ ) = xyz + λ ( x 2 +
+
9
4
Fx ( x, y, z , λ ) = yz + λ 2 x = 0
2 yλ
Fy ( x, y, z , λ ) = xz +
=0
9
2 zλ
Fz ( x, y, z , λ ) = xy +
=0
4
y2 z2
2
Fλ ( x, y, z , λ ) = x +
+ −1 = 0
9
4
− 1)
(1)
(2)
(3)
(4)
402
4
9
1
สมการ (2) คูณสมการ (3) จะได x 2 = λ 2
9
สมการ (1) คูณสมการ (3) จะได y 2 = λ 2
สมการ (1) คูณสมการ (2) จะได z 2 = λ 2
แทนลงในสมการ (4) จะไดวา
x2 =
1
3
λ 2 = 3 แลวแทนลงในสมการจะได
และ y 2 = 3 และ z 2 =
4
3
1
2
, 3, ) แทนลงใน f ( x, y, z )
3
3
2
จะได
f ( x, y , z ) =
3
16
ดังนั้นปริมาตรมากที่สุดคือ
3
จุดวิฤตคือ (
แบบฝกหัดที่ 2
1. จงใชตัวคูณของลากรางจ หาจุดที่ใหคาสูงสุด ต่ําสุด หรืออานมา
ของฟงกชัน และเงื่อนไขทีก่ ําหนดให
1.1 f ( x, y ) = xy ; 4x 2 + 8 y 2 = 16
1.2 f ( x, y ) = 4 x3 + y 2 ; 2x 2 + y 2 = 1
1.3 f ( x, y, z ) = 2 x + y − 2 z ; x 2 + y 2 + z 2 = 4
2. อุณหภูมิ ณ จุด ( x, y ) บนแผนโลหะคือ
T ( x, y ) = 4 x 2 − 4 xy + y 2 มีมดเดินบนแผนโลหะนี้เปนวงกลม
403
รัศมี 5 ฟุต จุดศูนยกลางอยูที่จุดกําเนิด จงหาอุณหภูมิสูงสุด และ
อุณหภูมติ ่ําสุดรอบตัวมด
3. พลังงาน E ( x, y, z ) ของวัตถุที่มีมวล m ในกลองสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ซึ่งมีขนาด x, y และ z กําหนดโดย
h2 ⎛ 1
1
1⎞
E ( x, y , z ) =
+
+
เมื่อ h คือคาคงตัว ถาให
⎜
2
2
2 ⎟
8m ⎝ x
y
z ⎠
ปริมาตร V ของกลองคงที่ จงหาคาของ x, y และ z ที่ทําให E มี
คานอยที่สุด
4. กลองทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากฝาเปดมีปริมาตร 1728 ลูกบาศกนิ้ว จงหา
ขนาดของกลองที่จะเสียคาใชจายนอยที่สุด ถา
4.1 วัสดุที่ใชทํากนกลองมีราคาเปน 16 เทาของวัสดุที่ใชทําผนัง
กลองเมื่อเทียบเปนตารางหนวย
4.2 วัสดุที่ใชทํากนกลองมีราคาเปน 2 เทาของวัสดุที่ใชทําผนัง
ดานขางของกลองเมื่อเทียบเปนตารางหนวย
404
คําตอบแบบฝกหัดที่ 2
1. 1.1 จุดที่ใหคาสูงสุด ( 2,1), (− 2, −1)
และจุดที่ใหคาต่ําสุด (− 2,1), ( 2, −1)
1.2 จุดที่ใหคาสูงสุด ⎛⎜
1 ⎞
⎛ 1 ⎞
,0 ⎟ และต่ําสุด ⎜ −
,0 ⎟
2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝
4 2 4
4 2 4
1.3 จุดที่ใหคาสูงสุด ⎛⎜ , , − ⎞⎟ และต่ําสุด ⎛⎜ − , − , ⎞⎟
⎝3 3 3⎠
⎝ 3 3 3⎠
2. จุดที่ใหคาสูงสุด คือ (−2,1) และ (2, −1) คาสูงสุด 25
จุดที่ใหคาต่ําสุด คือ (1, 2) และ (−1, −2) คาต่ําสุด 0
1
3
3. x = y = z = v
4. 4.1 6 × 6 × 48 ตารางนิ้ว
4.2 12 × 12 × 12 ตารางนิว้