Translated from English to Thai - www.onlinedoctranslator.com
ดูการอภิปราย สถิติ และโปรไฟล์ผู้เขียนสําหรับสิ่งพิมพ์นี้ได้ที่:https://www.researchgate.net/publication/364949880
ปัญหาการตัดสต็อกแบบสองมิติด้วยของเหลือใช้: การสร้างแบบจําลองทางคณิตศาสตร์
และวิธีฮิวริสติก
พิมพ์ล่วงหน้า· ตุลาคม 2565
อ่าน
การอ้างอิง
0
63
ผู้เขียน 3 คน:
ดักลาส นาสซิเมนโต้
เอเดรียนา เชอร์รี
มหาวิทยาลัยแห่งรัฐเซาเปาโล
มหาวิทยาลัยแห่งรัฐเซาเปาโล
4สิ่งพิมพ์42การอ้างอิง
36สิ่งพิมพ์325การอ้างอิง
ดูโปรไฟล์
โฆเซ่ เฟร์นานโด โอลิเวร่า
มหาวิทยาลัยปอร์โต
128สิ่งพิมพ์3,436การอ้างอิง
ดูโปรไฟล์
เนื้อหาทั้งหมดที่ติดตามหน้านี้อัปโหลดโดยดักลาส นาสซิเมนโต้ในวันที่ 31 ตุลาคม 2565
ผู้ใช้ร้องขอการปรับปรุงไฟล์ทด
ี่ าวน์โหลด
ดูโปรไฟล์
ต้นฉบับการวิจัยเชิงปฏิบัติการ ฉบับที่ (จะถูกแทรก
โดยบรรณาธิการ)
ปัญหาการตัดสต็อกแบบสองมิติด้วยของเหลือใช้: การสร้างแบบ
จําลองทางคณิตศาสตร์และวิธฮ
ี ิวริสติก
ดักลาส โนกูเอรา โด นาสซิเมนโต· เอเดรียนา คริสตินา เชอ
ร์รี·โฆเซ่ เฟร์นานโด โอลิเวร่า
ได้รับ: DD เดือน YEAR / รับแล้ว: DD เดือน YEAR
เชิงนามธรรมรูปแบบต่างๆ ของปัญหาการตัดสต็อกแบบคลาสสิก (CSP) ได้เกิดขึ้นและนํา
เสนอความท้าทายที่ซับซ้อนมากขึ้นสําหรับนักวิทยาศาสตร์และนักวิจัย หนึ่งในรูปแบบเหล่านีซ
้ ึ่ง
เป็นหัวข้อหลักของงานนี้ คือปัญหาการตัดสต็อกแบบสองมิติด้วยของเหลือที่ใช้งานได้ (2DCSPUL) ในปัญหาเหล่านี้สามารถสร้างของเหลือใช้เพื่อลดของเสีย เทคนิคนีม
้ ีความสําคัญใน
ทางปฏิบัตอ
ิ ย่างยิ่งสําหรับหลายบริษัท โดยมีผลกระทบทางเศรษฐกิจและสิ่งแวดล้อมอย่างมาก
ในบทความนี้ มีการเสนอแบบจําลองทางคณิตศาสตร์แบบไม่เชิงเส้นและการทําให้เป็นเส้นตรง
เพื่อเป็นตัวแทนของ 2D-CSPUL เนื่องจากความซับซ้อนของแบบจําลอง จึงมีการเสนอ
กระบวนการฮิวริสติก ทําการทดสอบการคํานวณด้วยตัวอย่างจากวรรณกรรมและตัวอย่างที่
สร้างขึ้นแบบสุ่ม
คําหลักปัญหาสต็อกตัดสองมิติ·ของเหลือใช้· การสร้างแบบจําลองทางคณิตศาสตร์·วิธี
การที่แน่นอน·ขั้นตอนฮิวริสติก
DN โด นาสซิเมนโต
มหาวิทยาลัยแห่งรัฐเซาเปาโล (UNESP), เบารู, บราซิล อีเมล:
douglas.nogueira@unesp.br
เอซี เชอร์รี
มหาวิทยาลัยแห่งรัฐเซาเปาโล (UNESP), เบารู, บราซิล อีเมล:
adriana.cherri@unesp.br
เจเอฟ โอลิเวรา
มหาวิทยาลัยปอร์โต ปอร์โต โปรตุเกส อีเมล:
jfo@fe.up.pt
2
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
1. บทนํา
ปัญหาการตัดสินค้าคงคลัง (CSP) เป็นปัญหาที่รู้จักกันดีในวรรณกรรม โดยมีการใช้งานจริงใน
อุตสาหกรรม ซึ่งการลดของเสียจากวัตถุดิบให้เหลือน้อยที่สุดนั้นมีความสําคัญต่อประสิทธิภาพ
ทางเศรษฐกิจและสิ่งแวดล้อม เมื่อพิจารณาจากสองมิติ ปัญหาประกอบด้วยการตัดชุดแผ่น
สี่เหลี่ยมมาตรฐานทีม
่ ีอยูใ่ นสต็อกเพื่อผลิตสิ่งของสี่เหลี่ยมทีเ่ ล็กลง กระบวนการตัดต้องได้รับ
การวางแผนเพื่อตอบสนองความต้องการที่ทราบในขณะทีล
่ ดการทํางานทีม
่ ีวัตถุประสงค์ให้
เหลือน้อยที่สุด เช่น เศษวัสดุหรือจํานวนแผ่นที่ใช้ เป็นต้น หนึ่งในการศึกษาแรกทีก
่ ล่าวถึง CSP
แบบสองมิติแบบคลาสสิกคือ Gilmore and Gomory (1965) ซึ่งดูทส
ี่ ่วนขยายของเทคนิค
การสร้างคอลัมน์ที่เสนอโดย (Gilmore and Gomory, 1961, 1963) สําหรับ CSP หนึ่งมิติ
นอกเหนือจากความยากโดยธรรมชาติในการแก้ปัญหาการตัดแล้ว ปัญหาสองมิติยังมี
ความซับซ้อนทางเรขาคณิตในการทําให้มั่นใจว่าสิ่งของต่างๆ นั้นพอดีกับด้านในเพลตและไม่
ซ้อนทับกัน ซึ่งกลายเป็นความท้าทายที่สําคัญสําหรับบริษัทเกี่ยวกับการวางแผนการผลิต และ
เพิ่มความต้องการสําหรับการวิจัยทางวิทยาศาสตร์เพื่อช่วยในกระบวนการนี้
กลยุทธ์ที่มีประสิทธิภาพมักใช้เพื่อลดของเสียในปัญหาการตัดประกอบด้วยการสร้างของ
เหลือที่ใช้งานได้ในระหว่างกระบวนการตัด ของเหลือใช้คือชิ้นส่วนทีม
่ ีขนาดที่กําหนดไว้ล่วงหน้า
ซึ่งจะถูกส่งกลับไปยังสต็อกเพื่อตัดเป็นรายการในอนาคต ดังนั้นของเหลือเหล่านีจ
้ ึงไม่ถือว่า
เป็นของเสีย ขนาดจริงของของเหลือถูกกําหนดเป็นรายกรณีตามประวัติการสั่งซื้อของบริษัท
ก่อนสร้าง ของเหลือที่ใช้งานได้ต้องได้รับการวางแผนเพื่อให้มีความเป็นไปได้สูงที่จะใช้ใน
กระบวนการตัดในอนาคต ซึ่งให้ประโยชน์หลายประการแก่บริษัท ดังทีก
่ ล่าวไว้ใน Coelho et al
(2560). สําหรับปัญหาสองมิติ การแปรผันนี้เรียกว่าปัญหาสต็อกตัดสองมิติทม
ี่ ีของเหลือใช้ได้
(2D-CSPUL) ตัวอย่างของปัญหานีแ
้ สดงอยูใ่ นส่วน 3 (รูปที่ 1, 2, 3)
เมื่อพิจารณาถึงความเป็นไปได้ของของเหลือใช้ เอกสารส่วนใหญ่กล่าวถึงปัญหาหนึ่งมิติ
ดังที่เห็นได้ใน Cherri et al (2014) ซึ่งมีการนําเสนอการสํารวจเอกสารที่มอ
ี ยู่ใน CSPUL หลัง
จากการสํารวจนี้ Arenales และคณะ (2558), หลิว และคณะ (2017), Tomat และ
Gradisar (2017) และทํา Nascimento et al. (2020) ยังเสนอวิธีการแก้ปัญหา CSPUL
หนึ่งมิติ
เนื่องจากความสําคัญและการนําไปใช้ของปัญหาสองมิติทเี่ กี่ยวข้องกับของเหลือใช้
เอกสารบางชิ้นจึงได้รับการเผยแพร่ด้วยแนวทางที่แตกต่างกันในการแก้ปัญหา ดังทีเ่ ห็นได้ใน
Cherri (2009), Andrade et al. (2014), Andrade และคณะ (2016), Clautiaux et al.
(2019), เบอร์กิน และคณะ (2020) และ Li et al. (2565).
เอกสารนําเสนอนี้สนับสนุนวรรณกรรมโดยเสนอแบบจําลองทางคณิตศาสตร์เพื่อเป็น
ตัวแทนของ 2D-CSPUL เวอร์ชันแรกของโมเดลมีข้อ จํากัด ทีไ่ ม่ใช่เชิงเส้นซึ่งได้รับการแก้ไข
โดยกลยุทธ์การทําให้เป็นเส้นตรง แบบจําลองใช้แนวคิดแถบเพื่อสร้างรูปแบบการตัดกิโยติน
การตัดกิโยตินจะใช้มุมฉากจากขอบด้านหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่งของแผ่น โดยแบ่งเป็นสองส่วน
นอกจากนี้ แบบจําลองยังพิจารณาถึงความเป็นไปได้ของการรวมสองรายการขึ้นไปเพื่อสร้าง
รายการใหม่ รูปแบบการตัดมีจํากัด
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
3
สร้างของเหลือใช้งานได้มากที่สุดหนึ่งชิ้นที่ได้จากการตัดกิโยตินในแนวนอน โซลูชันแบบจําลอง
ที่นําเสนอถูกเปรียบเทียบกับแบบจําลองทางคณิตศาสตร์สองแบบทีเ่ สนอในเอกสาร แบบ
จําลองทั้งหมดเหล่านี้ได้รับการแก้ไขโดยใช้ตัวแก้ปัญหาทีแ
่ น่นอน
การสนับสนุนอีกประการหนึ่งของบทความนี้คือข้อเสนอของกระบวนการฮิวริสติกทีจ
่ ะแยก
ย่อยปัญหาดั้งเดิมให้เป็นปัญหาที่เล็กลง ลดเวลาในการคํานวณเพื่อให้ได้คําตอบทีเ่ ป็น
จํานวนเต็มทีน
่ ่าพอใจสําหรับอินสแตนซ์ขนาดใหญ่ สําหรับวิธีการทั้งหมด การทดสอบดําเนิน
การกับตัวอย่างจากเอกสารและสร้างขึ้นแบบสุ่ม
ส่วนที่เหลือของเอกสารนี้ได้รับการจัดระเบียบตามทีอ
่ ธิบายไว้ที่นี่ ส่วนที่ 2 นําเสนอการ
ทบทวนวรรณกรรมที่เกี่ยวข้อง แมลง. 3 มีการกําหนด 2D-CSPUL และนําเสนอแบบจําลอง
ทางคณิตศาสตร์ที่เสนอ กลยุทธ์ที่ใช้ในการทําให้โมเดลเป็นเส้นตรงมีให้ในส่วน 4. ขั้นตอนฮิวริ
สติกได้อธิบายไว้ในหัวข้อ 5. ในส่วน 6 ผลลัพธ์ของการทดสอบการคํานวณทีด
่ ําเนินการแสดง
อยู่ และข้อสรุปถูกนําเสนอในส่วน 7.
2 การทบทวนวรรณกรรม
วรรณกรรมสําหรับ 2D-CSP นั้นมีมากมายและได้นําเสนอวิธีการแก้ปัญหาทีแ
่ น่นอนและไม่
แน่นอนเพื่อแก้ปัญหา วิธก
ี ารแก้ปัญหาทีแ
่ น่นอนถูกเสนอโดย Christofides และ
Hadjiconstantinou (1995) ซึ่งนําเสนออัลกอริธึมการค้นหาแบบต้นไม้ทแ
ี่ น่นอนโดย
พิจารณาจากจํานวนครั้งสูงสุดที่ประเภทของรายการสามารถปรากฏในแต่ละรูปแบบการตัด ซิล
วา และคณะ (2010) เสนอแบบจําลองการเขียนโปรแกรมจํานวนเต็มซึ่งตัวแปรการตัดสินใจ
ระบุว่ารายการเฉพาะถูกตัดออกจากจานหรือจากของเหลือทีใ่ ช้งานได้ แบบจําลองทีเ่ สนอ
พิจารณา 2 และ 3 ขั้นตอน ปัญหาที่แน่นอนและไม่แน่นอนเกี่ยวกับการหมุนเวียนรายการ และ
ได้รับการแก้ไขโดยโปรแกรมแก้ปัญหาเชิงพาณิชย์
Furini และ Malaguti (2013) เสนอแบบจําลองการเขียนโปรแกรมจํานวนเต็มแบบผสมสาม
แบบ โดยสองแบบมีตัวแปรจํานวนพหุนามและจํานวนเทียมแบบพหุนามเทียม ทําให้สามารถแก้ไขได้
โดยตัวแก้เชิงพาณิชย์ โมเดลที่สามมีตัวแปรเป็นเลขชี้กําลัง ซึ่งได้รับการแก้ไขโดยใช้เทคนิคสาขาและ
ราคา ใน Furini และคณะ (2016) กําหนดกรอบสําหรับการสร้างแบบจําลองข้อจํากัดกิโยตินใน
ปัญหาการตัดสองมิติ ผู้เขียนมุ่งเน้นไปที่ปัญหาเป้ โดยเสนอแบบจําลองทางคณิตศาสตร์และขั้น
ตอนทีแ
่ น่นอนในการแก้ปัญหา นอกจากนี้ยังมีการนําเสนอส่วนขยายสําหรับ 2D-CSP และปัญหา
การบรรจุแถบ ควอนและคณะ (2019) วิเคราะห์โปรแกรมจํานวนเต็มตามแบบจําลองตามรูปแบบ
สําหรับ 2D-CSP โดยพิจารณาปัญหากิโยติน 2 ขั้นตอน อันดับแรก, การวิเคราะห์เชิงทฤษฎีของ
ความแข็งแรงของขอบเขตล่างที่ได้จากการผ่อนคลาย LP ของรูปแบบเต็มรูปแบบและรูปแบบการ
จัดฉากถูกนําเสนอ ผู้เขียนยังได้ทําการทดลองทางคอมพิวเตอร์เพื่อวิเคราะห์การแลกเปลี่ยนระหว่าง
เวลาการคํานวณที่จําเป็นในการแก้ปัญหาการผ่อนคลาย LP และความแข็งแกร่งของขอบเขตล่าง
มาร์ตินและคณะ (2020) กล่าวถึง 2D-CSP โดยพิจารณาแผ่นทีม
่ ีข้อบกพร่องและจํานวนครั้งสูงสุด
ที่รายการแต่ละประเภทสามารถปรากฏในรูปแบบการตัดแต่ละแบบ ผู้เขียนเสนอจํานวนเต็ม (2020)
กล่าวถึง 2D-CSP โดยพิจารณาแผ่นที่มีข้อบกพร่องและจํานวนครั้งสูงสุดทีร่ ายการแต่ละประเภท
สามารถปรากฏในรูปแบบการตัดแต่ละแบบ ผู้เขียนเสนอจํานวนเต็ม (2020) กล่าวถึง 2D-CSP โดย
พิจารณาแผ่นที่มีข้อบกพร่องและจํานวนครั้งสูงสุดที่รายการแต่ละประเภทสามารถปรากฏในรูปแบบ
การตัดแต่ละแบบ ผู้เขียนเสนอจํานวนเต็ม
4
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
แบบจําลองเชิงเส้นที่ได้รับการแก้ไขโดยใช้อัลกอริทึมตามการสลายตัวของ Benders และการ
เขียนโปรแกรมข้อจํากัด
สําหรับวิธีการที่ไม่แน่นอน Wang (1983) ได้เสนอวิธีการแบบผสมผสานสองวิธีทแ
ี่ ก้
ปัญหา 2D-CSP โดยการสร้างรูปแบบการตัดที่มข
ี ้อจํากัดจากการจัดสรรรายการในแนวนอน
และแนวตั้งอย่างต่อเนื่อง โดยใช้พารามิเตอร์ที่จํากัดเปอร์เซ็นต์ของเสียสูงสุดทีย
่ อมรับได้ใน
แต่ละรูปแบบการตัด Suliman (2006) เสนอขั้นตอนฮิวริสติกสามขั้นตอนเพื่อแก้ปัญหา 2DCSP ในขั้นตอนแรก ผู้เขียนแก้ปัญหาหนึ่งมิติเพื่อกําหนดชุดของรูปแบบการตัดความกว้าง
โดยสูญเสียการตัดแต่งน้อยที่สุด ในขั้นตอนที่สอง สําหรับรูปแบบการตัดความกว้างแต่ละรูป
แบบ จะใช้กลยุทธ์เดียวกันเพื่อกําหนดความยาวของรูปแบบการตัดสองมิติ และในขั้นตอนที่
สามจะมีการกําหนดความถี่ของรูปแบบการตัดแต่ละแบบ
ซินทราและคณะ (2008) เสนออัลกอริทึมตามการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกและเทคนิค
การสร้างคอลัมน์เพื่อแก้ปัญหา 2D-CSP ปัญหาเป้สี่เหลี่ยมและปัญหาการบรรจุแถบ กลยุทธ์ที่
นําเสนอทําให้สามารถหมุนชิ้นงานในมุมฉากและสร้างรูปแบบการตัดแบบ 2-, 3- และ 4 ขั้นตอน
ได้ ฟูรินี่และคณะ (2012) มีวัตถุประสงค์เพื่อปรับปรุงโซลูชันทีพ
่ บโดย Cintra และคณะ
(2008) โดยการนําเสนออัลกอริทึมฮิวริสติกซึ่งอิงจากเทคนิคการสร้างคอลัมน์ ซึ่งปัญหาย่อย
คือวิธแ
ี ก้ปัญหาของเป้สะพายสองมิติที่อนุญาตให้ตัดกระดาษกิโยตินได้ 2 ขั้นตอนเท่านั้น
Dusberger และ Raidl (2015) ใช้ฮิวริสติกการค้นหาย่านใกล้เคียงแบบแปรผัน (VNS)
เพื่อค้นหาวิธแ
ี ก้ปัญหาสําหรับ 2D-CSP โดยพิจารณาจากการตัด 3 ขั้นตอน กลยุทธ์ทน
ี่ ําเสนอ
ประกอบด้วยการทําลายส่วนหนึ่งของโซลูชันที่มอ
ี ยูแ
่ ล้วสร้างใหม่ผ่านการเขียนโปรแกรมแบบ
ไดนามิก Bouaine และคณะ (2018) ใช้ 2D-CSP กับกรณีศึกษาจริงในอุตสาหกรรม
เฟอร์นิเจอร์ ผู้เขียนเสนอกระบวนการฮิวริสติกสองขั้นตอนซึ่งประกอบด้วยฉัน)สร้างรูปแบบ
การตัดทีเ่ ป็นไปได้ผ่านการวิเคราะห์พฤติกรรมคลาสสิกของปัญหาการบรรจุลงถัง และ
ii)การแก้โปรแกรมเชิงเส้นจํานวนเต็มด้วยรูปแบบการตัดทีส
่ ร้างขึ้นเพื่อลดการสิ้นเปลืองไม้
Wuttke และ Heese (2018) เสนอฮิวริสติกตามลําดับพร้อมลูปป้อนกลับเพื่อแก้ปัญหา 2DCSP ด้วยเวลาการตั้งค่าทีข
่ ึ้นกับลําดับ ฮิวริสติกอิงตามแนวทางทีน
่ ําเสนอโดย Gilmore และ
Gomory (1961, 1965) และผู้เขียนตรวจสอบประสิทธิภาพผ่านการทดลองทางคอมพิวเตอร์
โดยใช้ข้อมูลจากบริษัทสิ่งทอ วังและคณะ (2020) นําเสนอสูตรการเขียนโปรแกรมจํานวนเต็ม
สําหรับ 2D-CSP โดยพิจารณาจากต้นทุนการติดตั้งและกระบวนการ skiving และแก้ปัญหา
การผ่อนคลายโปรแกรมเชิงเส้นผ่านเฟรมเวิร์กการสร้างคอลัมน์และแถว ผู้เขียนยังเสนอการ
วิเคราะห์พฤติกรรมแบบดํานํ้าเพื่อให้ได้ผลเฉลยจํานวนเต็ม
การใช้กลยุทธ์ในการสร้างของเหลือ Cherri (2009) ได้แก้ไขวิธีกราฟ AND/OR ที่เสนอโดย
Morabito (1989) และขั้นตอนฮิวริสติกอื่นๆ จากวรรณกรรมเพื่อแก้ปัญหา แม้ว่าของเสียจาก
วัสดุจะลดลงเมื่อมีโอกาสสร้างของเหลือ แต่ในแต่ละรูปแบบการตัดแต่ละรูปแบบก็สร้างของเหลือ
มากเกินไป Andrade และคณะ (2014) เสนอแบบจําลองการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์
หลายระดับเพื่อเป็นตัวแทนของ 2D-CSPUL ที่ไม่ใช่กิโยติน ผู้เขียนจัดรูปแบบโมเดลหลายระดับ
เหล่านี้ใหม่ให้เป็นโมเดลโปรแกรมจํานวนเต็มแบบผสมหนึ่งระดับ และแก้ปัญหาโดยใช้ตัวแก้ปัญหา
เชิงพาณิชย์
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
5
Andrade และคณะ (2016) นําเสนอแบบจําลองทางคณิตศาสตร์สองระดับเพื่อแก้ปัญหา
กิโยติน 2D-CSPUL แบบ 2 ขั้นตอนที่ไม่แน่นอน โมเดลแรกถือว่าปัญหาเป็นปัญหาการบรรจุ
ลงถัง และโมเดลที่สองจะจัดกลุ่มรายการที่เป็นประเภทเดียวกัน แบบจําลองสองระดับเหล่านีไ้ ด้
รับการปรับโครงสร้างใหม่เป็นแบบจําลองหนึ่งระดับสองแบบทีค
่ ้นหาโซลูชันทีล
่ ดต้นทุนของ
วัตถุที่ถูกตัดให้เหลือน้อยที่สุด และในบรรดาโซลูชันเหล่านีท
้ ี่มต
ี ้นทุนตํ่าสุด ให้เลือกโซลูชันทีเ่ พิ่ม
มูลค่าสูงสุดให้กับของเหลือที่สร้างขึ้น
Clautiaux และคณะ (2019) ศึกษา 2D-CSPUL ในอุตสาหกรรมแก้ว โดยพิจารณาจาก
ชุดการผลิตที่ต่อเนื่องกัน และมีเป้าหมายเพื่อลดความกว้างรวมของแผ่นตัด ผู้เขียนได้เสนอฮิว
ริสติกแบบดํานํ้าโดยใช้เทคนิคการสร้างคอลัมน์เพื่อสร้างรูปแบบการตัดกระดาษกิโยติน การ
เขียนโปรแกรมแบบไดนามิกใช้เพื่อแก้ปัญหาการกําหนดราคา และอนุญาตให้ใช้ของเหลือในรูป
แบบการตัดสุดท้ายสําหรับแบทช์เท่านั้น
เบอร์กินและคณะ (2020) ขยายสูตรที่เสนอโดย Andrade และคณะ (2557) เพื่อ
พิจารณาปัญหาหลายช่วง กรอบการทํางานแบบหลายช่วงเวลาทีข
่ ยายสําหรับ 2D-CSPUL ที่
ไม่ใช่แบบกิโยตินจะสร้างของเหลือจากการตัดล่วงหน้าแบบกิโยตินในแนวนอนและแนวตั้ง และ
วัตถุประสงค์คือเพื่อลดต้นทุนของวัตถุที่ถูกตัด สุเมธาภิวัฒน์และคณะ. (2020) เสนอแนวทาง
สําหรับ 2D-CSPUL ที่พิจารณาขนาดสต็อกและของเหลือหลายขนาดด้วยค่าคงที่ทก
ี่ ําหนดไว้
ล่วงหน้า ผูเ้ ขียนใช้เทคนิคการสร้างคอลัมน์เพื่อหาทางออกทีล
่ ดของเสียทั้งหมดให้เหลือน้อย
ที่สุด
หลี่และคณะ (2022) ศึกษา 2D-CSPUL แบบหลายคาบเวลาทีใ่ ช้กับบริษัททีผ
่ ลิต
หม้อแปลงโดยการตัดขดลวดเหล็กซิลก
ิ อน อัลกอริทึมการแก้ไขการใช้ประโยชน์จากของเหลือ
ตามลําดับ (SLUC) ถูกเสนอเพื่อแก้ปัญหาโดยพิจารณาจากข้อจํากัดในการดําเนินงานหลาย
ประการของบริษัท เช่น จํานวนของเหลือสูงสุดที่อนุญาตในสต็อก ความยาวตํ่าสุดและสูงสุด
สําหรับรูปแบบการตัด และจํานวนมีดตัดที่จํากัด
ตารางที่ 1 ให้ข้อมูลสรุปของสิ่งพิมพ์ทอ
ี่ ธิบายไว้ในส่วนนี้ คอลัมน์ของตารางนีร้ ะบุตัวแปร
ต่างๆ ของ 2D-CSP ที่ศึกษาในแต่ละบทความ เกี่ยวกับการพิจารณาของเหลือทีใ่ ช้งานได้ (“
ซ้าย”) วิธีการแก้ปัญหา (แบบตรงหรือแบบฮิวริสติก) ประเภทของการตัด (กิโยตินหรือไม่ใช่กิโย
ติน) , และจํานวนขั้นตอนการตัด (2-, 3-, 4-,เค- หรือไม่จํากัด).
เอกสารปัจจุบันเกี่ยวข้องกับกิโยติน 3 ขั้นตอน 2D-CSPUL ปัญหานีไ้ ด้รับการแก้ไขโดยวิธี
การที่แน่นอนและฮิวริสติก ในการศึกษาที่กล่าวถึงในส่วนนี้ เราเปรียบเทียบคําตอบทีไ่ ด้รับจาก
แนวทางที่เสนอกับแบบจําลองทางคณิตศาสตร์ที่เสนอโดย Andrade และคณะ (2016) และ
Furini และคณะ (2559). จุดมุ่งหมายของการเปรียบเทียบกับรุ่นจาก Andrade และคณะ
(2016) ซึ่งพิจารณา 2-stage 2D-CSPUL คือการวิเคราะห์ข้อดีทไี่ ด้รับเมื่ออนุญาตรูปแบบ
การตัด 3-stage เกี่ยวกับแบบจําลองที่เสนอโดย Furini และคณะ (2016) แม้จะไม่ใช้ของ
เหลือ แต่ก็ได้รับเลือกสําหรับการเปรียบเทียบเนื่องจากเป็นทีท
่ ราบกันดีในวรรณกรรมถึง
ประสิทธิภาพที่ยอดเยี่ยม สําหรับการเปรียบเทียบอย่างยุติธรรม การปรับเปลี่ยนเป็นสิ่งจําเป็น
เนื่องจากแบบจําลองของ Furini ไม่จํากัดจํานวนขั้นตอนการตัด
6
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
อ้างอิง
วัง (2526)
คริสตอฟเดสและฮัดจิคอนสแตนตินู (1995)
สุไลมาน (2549)
ซินทราและคณะ (2551)
เชอร์รี่ (2552)
ซิลวา และคณะ (2553)
ฟูรินแ
ี่ ละคณะ (2555)
Furini และ Malaguti (2013)
ตารางที่ 1: สรุปบทความในการทบทวนวรรณกรรม
สารละลาย
ตัด
ซ้าย.
✓
✓
Andrade และคณะ (2559)
✓
ฟูรินแ
ี่ ละคณะ (2559)
Bouaine และคณะ (2561)
วุทท์เก้และฮีส (2018)
Clautiaux และคณะ (2562)
✓
เบอร์กินและคณะ (2563)
✓
ควอนและคณะ (2562)
มาร์ตินและคณะ (2563)
สุเมธาภิวัฒน์และคณะ. (2563)
วังและคณะ (2563)
หลี่และคณะ (2565)
กระดาษปัจจุบัน
ฮีร์แน่นอน
✓
Andrade และคณะ (2557)
Dusberger และ Raidl (2015)
วิธี
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
กิล
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
ขั้นตอน
ไม่ใช่กิลล์
2-
3-
4-
k✓
✓
✓
✓
✓✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
ความไม่สงบ
✓
✓
✓
✓
✓
✓
3 นิยามปัญหาและการกําหนดทางคณิตศาสตร์
ใน 2D-CSPUL ชุดของแผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้ามาตรฐานจะต้องถูกตัดออกเพื่อสร้างชุดของ
รายการสี่เหลี่ยมขนาดเล็กที่ลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้เหลือน้อยที่สุด กระบวนการตัดนีต
้ ้อง
คํานึงถึงความเป็นไปได้ในการวางแผนสร้างของเหลือทีไ่ ม่ถือว่าเป็นของเสียและเก็บไว้ในสต็อก
เพื่อใช้ในกระบวนการตัดในอนาคต
รูปที่ 1 แสดง 2D-CSPUL ในตัวอย่างนี้ มีแผ่นมาตรฐานประเภทหนึ่งทีม
่ ีความกว้างว=55,
ส่วนสูงชม=38 และความพร้อมใช้งานในสต็อกอี = 2. มีความต้องการสินค้า 5 ประเภททีม
่ ี
ขนาด (กว้าง×ส่วนสูง): ข้อ 1 = 8×15 รายการ 2 = 10×14 รายการ 3 = 9×5 รายการ 4 = 8×
4 และรายการ 5 = 6×7. สินค้าเหล่านี้ต้องผลิตในปริมาณทีก
่ ําหนดง1=8,ง2=8, ง3=7,ง4=7
และง5=6.
รูปที่ 2 แสดงวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ด้วยรูปแบบการตัด 2 รูปแบบทีต
่ อบสนองความ
ต้องการและก่อให้เกิดของเสีย 31.32%
เมื่อพิจารณาถึงความเป็นไปได้ในการสร้างของเหลือที่ใช้งานได้หนึ่งรายการ สามารถ
จัดสรรรายการใหม่เพื่อให้มีสมาธิกับจํานวนที่มากขึ้นในรูปแบบการตัดเดียว กลยุทธ์นเี้ พิ่มพื้นที่
ว่างในรูปแบบการตัดอื่น ๆ และอนุญาตให้ผลิตของเหลือทีม
่ ีขนาด 55×16. รูปที่ 3 แสดงวิธี
การแก้ปัญหาใหม่ ซึ่งช่วยลดของเสียได้ถึง 10.26%
7
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
อี=2
ง1=8ง2=8
1
ง5 = 6
ง3=7ง4=7
2
3
5
4
รูปที่ 1ตัวอย่างของ 2D-CSPUL
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
3
4
4
3
4
3
4
4
55555
5
1
3
3
1
2
2
3
4
3
2
4
รูปที่ 2วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สําหรับ 2D-CSPUL โดยไม่มีของเหลือใช้
4
3
4
2
1
3
4
2
1
4
3
2
1
1
4
3
4
2
2
1
1
3
ทีเ่ หลือ
5
5
1
5555
1
3
2
2
3
2
4
รูปที่ 3วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สําหรับ 2D-CSPUL ที่สร้างของเหลือที่ใช้งานได้
รูปแบบการตัดในรูปที่ 2 และรูปที่ 3 ถูกสร้างขึ้นโดยใช้แนวคิดแถบ (Lodi และ Monaci,
2003) และเป็นรูปแบบการตัด 2 ขั้นตอน ในส่วนถัดไป กลยุทธ์ทใี่ ช้ในการสร้างรูปแบบการตัด
และแบบจําลองทางคณิตศาสตร์ที่นําเสนอจะถูกนําเสนอ
3.1 แบบจําลองทางคณิตศาสตร์
แบบจําลองการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์สําหรับ 2D-CSPUL ใช้ดัชนีและพารามิเตอร์ที่
แสดงในตารางที่ 2 เราพิจารณาว่า
8
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
ประเภทของแผ่นมาตรฐานและของเหลือมีอยูใ่ นสต็อก จานมาตรฐานสามารถผลิตได้ทั้งสิ่งของ
และของเหลือ แต่ของเหลือในสต็อกสามารถผลิตได้เฉพาะสินค้าเท่านั้น เพื่อความสะดวก
ประเภทของรายการจะถูกจัดเรียงตามลําดับความสูงจากมากไปหาน้อย (ชม.1≥ชม.2≥ชม.3≥ ...
≥ชม.ฉัน).
ตารางที่ 2: รายการดัชนีและพารามิเตอร์ที่ใช้โดยแบบจําลองทางคณิตศาสตร์ที่เสนอ
ดัชนี
คําอธิบาย
ส=1, ..., ส
ร=1, ...,ร
โวลต์=1, ..., ส+ร
จํานวนประเภทของเพลตมาตรฐานในสต็อก จํานวนประเภท
ของสินค้าคงเหลือในสต็อก
จํานวนประเภทของแผ่น (มาตรฐานและของเหลือ) ในสต็อก จํานวนประเภท
ฉัน=1, ..., ฉัน
เค=1, ...,พ
ฉ=1, ..., ฉโวลต์
η=1, ..., ชมฉ
เจ=1, ..., เจโวลต์
พารามิเตอร์
รายการสั่งซื้อ
จํานวนประเภทของรายการมาโคร จํานวน
แถบสําหรับจานโวลต์. จํานวนความสูง
สําหรับแถบ
จํานวนรูปแบบการตัดสูงสุดสําหรับแผ่นเพลทโวลต์.
คําอธิบาย
วโวลต์
ชมโวลต์
อีโวลต์
วฉัน
ชม.ฉัน
งฉัน
ความกว้างของจานประเภทโวลต์.
ความสูงของจานประเภทโวลต์.
จํานวนแผ่นประเภทโวลต์มอ
ี ยูใ่ นสต็อก ความกว้างของ
รายการฉัน. ความสูงของรายการฉัน. ความต้องการสําหรับ
รายการฉัน.
กiv
จํานวนรายการสูงสุดฉันจัดสรรให้เป็นแถบในจานประเภทโวลต์. จํานวนรายการมาโครสูงสุดเคจัดสรร
วเค
จํานวนรายการฉันในรายการมาโครเค. ความสูงηสําหรับแถบ
กเอ็น
กิโลวัตต์
เค
ชม.เค
ให้เป็นแถบในจานประเภทโวลต์. ความกว้างของรายการมาโครเค. ความสูงของรายการมาโครเค.
เค
นอิ๊ก
ชม.
η ฉ
มฉัน
พารามิเตอร์ไบนารีที่ระบุว่าความสูงของรายการฉันเท่ากับหรือตํ่ากว่าส่วนสูงη. พารามิเตอร์ไบนารีที่ระบุความสูงของรายการ
มเคkη
แมโครเคเท่ากับหรือตํ่ากว่าส่วนสูงη. ความสูงขั้นตํ่าสําหรับของเหลือที่สร้างขึ้น
ชม.ร
นาที
ชม.ร
ความสูงสูงสุดสําหรับของเหลือที่สร้างขึ้น จํานวนของ
สูงสุด
ยู
เหลือที่สร้างได้สูงสุด อัตราการใช้ซํ้าของของเหลือที่
สร้างขึ้น
α
แบบจําลองที่นําเสนอสร้างรูปแบบการตัดโดยใช้แนวคิดแถบ สําหรับรูปแบบการตัดแต่ละ
แบบเจ, แผ่นแบ่งออกเป็นแถบแนวนอนที่มีความสูงเท่ากับความสูงของรายการทีส
่ ูงที่สุดใน
แต่ละแถบ ถ้ารายการฉันเป็นรายการที่สูงที่สุดในแถบฉจากนั้นรายการฉันเริ่มต้นแถบฉ.
รายการแต่ละประเภทสามารถเริ่มต้นหนึ่งแถบหรือมากกว่าในรูปแบบการตัด
หลังจากแต่ละแถบเริ่มต้นแล้ว สามารถจัดสรรรายการที่เหลือซึ่งมีความสูงเท่ากับหรือตํ่า
กว่าความสูงของแถบทางด้านขวาของรายการสุดท้ายทีจ
่ ัดสรรไว้แล้วได้ ไม่พิจารณาการหมุน
ของรายการ รูปที่ (4) แสดงตัวอย่างของรูปแบบการตัดทีแ
่ บ่งแผ่นออกเป็นสีแ
่ ถบ
9
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
แถบ 4
ค
แถบ 3
ค
สตริป 2
ข
แถบ 1
ก
รูปที่ 4แผ่นมาตรฐานแบ่งออกเป็นแถบ
กลยุทธ์ที่เสนอสําหรับการสร้างรูปแบบการตัดคือความเป็นไปได้ในการสร้างรายการมาโคร.
สินค้ามาโครประกอบด้วยสินค้าตั้งแต่สองรายการขึ้นไปที่ปันส่วนรายการหนึ่งเหนือรายการอื่น
เนื่องจากความสูงที่เป็นผลลัพธ์ไม่เกินความสูงของรายการสั่งซื้อทีใ่ หญ่ที่สุด การรวมกันของ
รายการที่เป็นไปได้แต่ละรายการตามข้อจํากัดนี้ถือเป็นรายการประเภทใหม่ กลยุทธ์ในการรวม
สิ่งของนี้ได้รับการกล่าวถึงเป็นครั้งแรกโดย Wang (1983) ซึ่งอนุญาตให้มีการรวมกันในแนว
ตั้งและแนวนอนระหว่างสิ่งของแต่ละคู่ ตราบใดทีเ่ ปอร์เซ็นต์ของขยะทีเ่ กิดขึ้นในสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ที่สร้างขึ้นโดยสิ่งของนั้นไม่เกินค่าสูงสุด เงื่อนไขนี้ใช้ในกระดาษนีด
้ ้วย
รูปที่ 5 แสดงสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่สร้างขึ้นจากสองรายการที่มีขนาด (11×5) และ (6×7). ขยะที่
เกิดขึ้นในสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่สร้างขึ้นนี้คิดเป็น 26.51% ของพื้นที่
11x5
11x5
6x7
6x7
รูปที่ 5ตัวอย่างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่สร้างขึ้นสําหรับรายการแมโคร
การใช้รายการมาโครจะเพิ่มความซับซ้อนของปัญหาและเวลาในการแก้ปัญหาในการ
คํานวณอย่างมาก เนื่องจากมันกลายเป็นปัญหาการตัด 3 ขั้นตอน อย่างไรก็ตาม รายการ
มาโครช่วยลดการสูญเสียวัสดุให้เหลือน้อยที่สุดโดยการเพิ่มความหลากหลายของรายการ ทําให้
สามารถสร้างรูปแบบการตัดที่ดีขึ้นและหาทางออกที่ดข
ี ึ้นได้ การแลกเปลี่ยนระหว่างเวลาในการ
แก้ปัญหากับของเสียที่ลดลงมีการวิเคราะห์ในหัวข้อ 6 ทุ่มเทให้กับการทดลองทางคอมพิวเตอร์
สําหรับชุดรายการสั่งซื้อเคมีการกําหนดประเภทของรายการแมโคร ความสูง
กําลังพิจารณา
นอิ๊กจํานวนรายการฉันในรายการมาโครเค, แล้วชม.เค
เคคํานวณได้ดังนี้
เคของรายการแมโครเคเป็นผลรวมของความสูงของรายการทั้งหมดในเค.
ชม.เค
ชม.เค
เค=
∑ฉัน
นอิ๊กชม.ฉัน
ฉัน=1
ความกว้างวเค เคของแต่ละรายการมาโครเคเท่ากับความกว้างสูงสุด beทวีตทุกรายการในเคและกําหนดไว้ดังนี้:
10
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
{
วเคเค=สูงสุดวฉัน|นอิ๊ก>0
}
รูปที่ 6 แสดงสถานการณ์ด้วยฉัน=4 ประเภทรายการและเค=5 ประเภทรายการมาโครที่
เป็นไปได้ ความสูงของรายการที่ใหญ่ที่สุดคือชม.1=15 และนีค
่ ือขอบเขตบนสําหรับความสูง
ของรายการมาโคร หมายความว่ารายการนั้นฉัน = 1 จะไม่อยู่ในรายการมาโคร
8x15
เค=1
11x5
ข้อ 2
9x10
9x10
ข้อ 3
6x7
รายการที่ 1
ข้อ 4
เค=2
11x5
11x5
11x5
เค=3
เค=4
6x7
11x5
6x7
เค=5
6x7
11x5
11x5
11x5
รูปที่ 6ตัวอย่างของรายการแมโครสําหรับอินสแตนซ์
ในรูปที่ 6 พารามิเตอร์เกี่ยวกับรายการมาโครมีค่า:
– จํานวนประเภทของรายการมาโคร:เค=5.
– ความสูงของรายการมาโคร:ชม.เคเค = [15 15 14 12 10]. =
– ความกว้างของรายการมาโคร:วเคเค [11 11 6 11 11].
– จํานวนของรายการแต่ละประเภทในแต่ละรายการแมโคร:น
-
00000
-
--1 0 0 0 0 --.
อิ๊ก= -0 0 2 1 0
13012
เนื่องจากรายการมาโครเป็นรายการประเภทใหม่ พวกเขายังสามารถเริ่มต้นแถบในรูปแบบ
การตัด ดังนั้นจึงมีชุดของชมฉความสูงที่เป็นไปได้สําหรับแถบ รวมทั้งความสูงของสินค้าและ
สินค้ามาโคร ในรูปที่ 6ชมฉ=6 ได้เลย
แทนด้วยเวกเตอร์ชม.ฉ
η= (15, 14, 12, 10, 7, 5). รูปที่ 7 ใช้เหมือนกัน
รายการดังรูปที่ 6 และแสดงรูปแบบการตัดด้วยแถบหนึ่งแถบทีเ่ ริ่มต้นโดยรายการมาโคร และ
แถบสามแถบที่เริ่มต้นโดยรายการ
หลังจากความสูงηถูกกําหนดให้กับแถบฉ, รายการ และรายการมาโครได้
จัดสรรให้ฉตราบใดที่ความสูงไม่เกินชม.ฉ
η.เพื่อทีจ
่ ะ
รักษาความเป็นเชิงเส้นของข้อจํากัดนี้ พารามิเตอร์มฉันและมเค
kηคุ้นเคยกับ
ระบุตามลําดับไม่ว่าจะเป็นรายการฉันหรือรายการมาโครเคสามารถจัดสรรเป็นแถบทีม
่ ีความสูง
ได้η. พารามิเตอร์เหล่านี้ถูกกําหนดเป็น 1 เมื่อความสูงของรายการฉันหรือมาโครรายการเค
เท่ากับหรือตํ่ากว่าส่วนสูงηและกําหนดเป็น 0 มิฉะนั้น
เกี่ยวกับของเหลือแต่ละแบบการตัดเจสามารถสร้างได้สูงสุดหนึ่งรายการทีเ่ หลือจากจาน
มาตรฐานส. ส่วนที่เหลือต้องมีความกว้างเท่ากับ
11
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
แถบ 4
6x7
แถบ 3
6x7
สตริป 2
9x10
11x5
แถบ 1
9x10
รูปที่ 7รายการต่างๆ และรายการมาโครเริ่มต้นแถบในรูปแบบการตัด
แผ่นมาตรฐานและความสูงจะแปรผันตามช่วงเวลา [ชม.ร
นาทีชมส,ชม.รสูงสุดชมส]
ที่ไหนชม.รสูงสุดและชม.รนาทีคือค่าระหว่าง 0 ถึง 1 และชม.ร
สูงสุด>ชม.รนาที.
แม้ว่าของเหลือจะถูกสร้างขึ้นเพื่อลดของเสีย ณ ช่วงเวลาปัจจุบัน แต่ก็ไม่สามารถรับ
ประกันได้ว่าจะถูกใช้ทั้งหมดในกระบวนการตัดในอนาคต ดังนั้น พารามิเตอร์ 0≤ α ≤1 ระบุ
อัตราการใช้ซํ้าของของเหลือ ซึ่งจะจํากัดผลกระทบของการสร้างของเหลือในฟังก์ชัน
วัตถุประสงค์
เนื่องจากลักษณะของปัญหา ข้อจํากัดบางประการในแบบจําลองทีเ่ สนอจึงไม่เป็นเชิงเส้น
ต่อไปเป็นการนําเสนอแบบจําลองทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์
ตัวแปร:
– ยηfjv=
-1,
--
0,
ถ้าความสูงηได้รับมอบหมายให้เปลื้องผ้าฉในรูปแบบการตัดเจสําหรับ
จานประเภทโวลต์. มิฉะนั้น.
– กifjv: จํานวนรายการฉันจัดสรรให้กับแถบฉในรูปแบบการตัดเจสําหรับจานประเภทโวลต์;
เค : จํานวนรายการมาโครเคจัดสรรให้กับแถบฉในรูปแบบการตัดเจ
– กkfjv
สําหรับจานประเภทโวลต์;
– xjv: จํานวนแผ่นชนิดโวลต์ตัดตามแบบการตัดเจ;
-1, หากเกิดเศษเหลือในรูปแบบการตัดเจสําหรับจานมาตรฐานประเภทส. มิ
– กรัมจ=
ฉะนั้น.
-0,
– ลจ: ความสูงของเศษเหลือที่สร้างขึ้นในรูปแบบการตัดเจสําหรับจานมาตรฐานประเภทส.
แบบจําลองทางคณิตศาสตร์:
นาที :
+ เจ
ส∑
ร∑
โวลต์
โวลต์=1เจ=1
วโวลต์ชมโวลต์xjv- α
∑ส ∑เจส
ส=1เจ=1
วสลจxจ
(1)
12
ขึ้นอยู่กับ:
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
ชมฉ
∑
η=1
ยηfjv≤1,
∑
ชมฉฉส∑
η=1ฉ=1
∑
ชมฉฉร∑
η=1ฉ=1
∑ฉัน
ชม.
ηยฉηfjs+ลจ≤ชมส,
∑เค
เค=1
ฉัน=1
ชมฉ
∑
กifjv≤กiv
η=1
kfjv≤กเอ็น
+ ฉรโวลต์
∑
ส∑
ชมฉ
∑
กิโลวัตต์
∑
(4)
∀เจ อาร์
เค
วเคเคกkfjv
≤วโวลต์,
มฉันยηfjv,
เจโวลต์
(5)
(6)
(7)
∀k, f, j, v
∑∑
∑เค ส∑+ ฉรโวลต์
กifjvxjv+
∀ฉ, เจ, โวลต์
∀ฉัน, ฉ, เจ, โวลต์
มเคkηยηfjv,
เจโวลต์
โวลต์=1ฉ=1เจ=1
∑
η=1
(3)
∀เจเอส
ชม.
ηยฉηfjr≤ชมร,
วฉันกifjv+
กเค
(2)
∀ฉ, เจ, โวลต์
นอิ๊กกเค
kfjvxjv=งฉัน,
เค=1โวลต์=1ฉ=1เจ=1
∀ฉัน
(8)
เจโวลต์
เจ=1
xjv≤อีโวลต์,
∑สเจ∑ส
ส=1เจ=1
(9)
∀โวลต์
(10)
กรัมจxจ≤ยู
ชม.นาทีชมสกรัมจ≤ลจ≤ชม.สูงสุดชมสกรัมจ
ยηfjv∈ {0,1},
∀เจเอส
∀η,ฉ, เจ, โวลต์
กifjv∈[0,กiv] และจํานวนเต็ม,
กkfjv
เค
∈[0,กเอ็น
กิโลวัตต์]
∀ฉัน, ฉ, เจ, โวลต์
∀k, f, j, v
และจํานวนเต็ม,
xjv∈[0,อีโวลต์] และจํานวนเต็ม,
กจ∈ {0,1}, ลจ∈ซี
∀เจ, โวลต์
∀เจเอส
∀เจเอส
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
ในแบบจําลอง (1)-(17) ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (1) จะลดพื้นทีท
่ ั้งหมดของแผ่นตัดให้เหลือ
น้อยที่สุด โดยไม่รวมพื้นที่ของของเหลือที่สร้างขึ้น ข้อจํากัด (2) ทําให้แน่ใจว่ามีการกําหนด
ความสูงเพียงค่าเดียวให้กับแถบเริ่มต้นแต่ละแถบ ข้อจํากัด (3) และ (4) รับประกันว่าผลรวม
ของความสูงของแถบทีเ่ ริ่มต้นทั้งหมดและส่วนที่เหลือทีส
่ ร้างขึ้นนั้นใช้ได้สําหรับเพลต ข้อจํากัด
(5) ทําให้แน่ใจว่าผลรวมของความกว้างของรายการและรายการมาโครทีจ
่ ัดสรรให้กับแต่ละแถบ
จะเท่ากับหรือตํ่ากว่าความกว้างของวัตถุที่ถูกตัด
13
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
ข้อจํากัด (6) และ (7) ป้องกันไม่ให้สินค้าและสินค้ามาโครตามลําดับถูกจัดสรรให้กับแถบที่มี
ความสูงตํ่ากว่าความสูงของตัวเอง ข้อ จํากัด (8) ทําให้แน่ใจว่าความต้องการได้รับการตอบ
สนองและข้อ จํากัด ในสต็อกจะได้รับจาก (9) ข้อจํากัด (10) จํากัดปริมาณของเหลือทีส
่ ร้างขึ้น
ข้อ จํากัด (11) กําหนดความสูงตํ่าสุดและสูงสุดของของเหลือทีส
่ ร้างขึ้น ข้อจํากัด (12)-(17)
คือ ความสมบูรณ์และข้อจํากัดที่ไม่เป็นลบของตัวแปร
เนื่องจากฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (1) และข้อจํากัด (8) และ (10) แบบจําลองทีเ่ สนอจึงไม่เป็น
เชิงเส้น ดังนั้นจึงใช้กลยุทธ์เชิงเส้นกับโมเดล รายละเอียดของกลยุทธ์นไี้ ด้อธิบายไว้ในหัวข้อ 4.
4 กลยุทธ์เชิงเส้น
เพื่ออธิบายกลยุทธ์เชิงเส้นที่ใช้กับโมเดล (1)-(17) จําเป็นต้องมีตัวแปรการตัดสินใจสองตัว
ตัวแปรเหล่านี้เป็นจํานวนเต็มหน้าและไบนารีถามเช่นนั้น 0≤หน้า≤ม, กับมเป็นมูลค่าที่มากเพียง
พอ การคูณ พีคิวซึ่งส่งผลให้ไม่เป็นเชิงเส้น สามารถแทนทีด
่ ้วยตัวแปรจํานวนเต็มบวกเพียง
ตัวแปรเดียวซีหากเพิ่มข้อจํากัดเชิงเส้นต่อไปนี้ในปัญหา:
ตร≥ซี
หน้า≥ซี
พี - ม(1-ถาม)≤ซี
ในแบบจําลองที่เสนอ ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (1) และอุปสงค์ต่อ
ความเครียด (8) รวมผลคูณระหว่างตัวแปรจํานวนเต็ม (ลจxจ,กifjvxjvและ
กkfjv
เค xjv). หากต้องการทําให้เป็นเส้นตรง ตัวแปรจํานวนเต็มxjvถูกแปลงเป็นเลขฐานสอง
นิยามใหม่ของตัวแปรxjv,เบต้า= 1, ..., จโวลต์,เป็น:
{
xเบต้าเจฟ=
1,ถ้าเบต้าจานประเภทโวลต์ถูกตัดตามรูปแบบการตัดเจ. 0,มิฉะนั้น.
ด้วยการดัดแปลงนี้ การคูณลจxเบต้าสามารถแทนทีด
่ ้วย
ตัวแปรจํานวนเต็มซีอเบต้า. ฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้นใหม่คือ:
อี
+ ร∑ เจโวลต์∑
ส∑
โวลต์
นาที :
บีดับบลิวโวลต์ชมโวลต์xเบต้าเจฟ- α
โวลต์=1เจ=1เบต้า=1
∑ส∑
เจส∑ อีส
ส=1เจ=1เบต้า=1
บีดับบลิ
อ า
สซีวเบต้
(18)
เพื่อรับประกันว่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้น (18) เทียบเท่ากับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่ไม่ใช่
เชิงเส้น (1) ข้อจํากัดต่อไปนี้จะถูกเพิ่มลงในแบบจําลอง:
ชม.สูงสุดชมสxเบต้า≥ซีอเบต้า,
∀β,เจเอส
(19)
14
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
ลจ≥ซีอ
(20)
∀β,เจเอส
เบต้า,
ลจ-ชม.สูงสุดชมส(1-xเบต้า)≤ซีอ
เบต้า,
∀β,เจเอส
โดยใช้กลยุทธ์เดียวกัน การคูณกifjvxเบต้าเจฟและกเค
ในข้อจํากัดความต้องการที่ไม่ใช่เชิงเส้น (8) สามารถแทนทีด
่ ้วยตัวแปรจํานวนเต็ม
ซีฉβifjv
ัน
และซีเค เบต้าkfjvตามลําดับ ข้อจํากัดความต้องการเชิงเส้นใหม่คือ:
+ ร ∑ฉโวลต์∑
ส∑
เจอีโวลต์
โวลต์∑
เบต้าฉัβifjv
น
โวลต์=1ฉ=1เจ=1เบต้า=1
+
∑เคเอส
+RFโวลต์
∑ ∑∑อีโวลต์เจโวลต์∑
เบต้าอิ๊กซีเค
เบต้าkfjv=งฉัน,∀ฉัน
(21)
kfjvxเบต้าเจฟ
(22)
เค=1โวลต์=1ฉ=1เจ=1เบต้า=1
ความเท่าเทียมกันระหว่างข้อจํากัดความต้องการเชิงเส้น (22) และข้อจํากัดความต้องการที่
ไม่ใช่เชิงเส้น (8) รับประกันได้โดยการเพิ่มข้อจํากัดต่อไปนีใ้ ห้กับแบบจําลอง:
กivxเบต้าเจฟ≥ซีฉันβifjv,
กifjv≥ซีฉัน
βifjv,
กเอ็กินโลวัตต์xเบต้าเจฟ≥ซีเเบต้
ค าkfjv,
βifjv,
∀β,ฉัน, ฉ, เจ, โวลต์
(27)
∀β,k, f, j, v
เบต้าkfjv,
kfjv-กเอ็น
กิโลวัตต์(1-xเบต้าเจฟ)≤ซีเคเบต้าkfjv,
(25)
(26)
∀β,k, f, j, v
kfjv≥ซีเค
กเค
(24)
∀β,ฉัน, ฉ, เจ, โวลต์
กifjv-กiv(1-xเบต้าเจฟ)≤ซีฉัน
กเค
(23)
∀β,ฉัน, ฉ, เจ, โวลต์
∀β,k, f, j, v
(28)
สําหรับการทําให้เป็นเส้นตรงของข้อจํากัด (10) การคูณเดิมระหว่างตัวแปรไบนารีและ
ตัวแปรจํานวนเต็ม (กรัมจxจ) ต้องเอาออก ด้วยนิยามใหม่ของตัวแปรความถี่ (xเบต้า) มีการคูณ
ของตัวแปรไบนารีสองตัว การคูณนี้สามารถแทนที่ด้วยตัวแปรไบนารีตัวเดียว ขเบต้าให้เพิ่มข้อ
จํากัดเชิงเส้นต่อไปนี้ให้กับโมเดล:
กรัมจ≥ขเบต้า,
∀β,เจเอส
∀β,เจเอส
xเบต้า≥ขเบต้า,
กรัมจ+xเบต้า-1≤ขเบต้า,
∀β,เจเอส
(29)
(30)
(31)
ข้อจํากัด (29) และ (30) ร่วมกันช่วยให้แน่ใจว่าหากตัวแปรไบนารีอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็น 0
ดังนั้นขเบต้าก็จะเป็น 0 เช่นกัน ในกรณีที่ตัวแปรทั้งสองเป็น 1 ทางซ้ายมือของ Constraint
(31) จะเป็น 1 บังคับให้ขเบต้าให้เป็น 1 ด้วย ดังนั้น ข้อจํากัดทีไ่ ม่ใช่เชิงเส้น (10) สามารถถูก
แทนที่ด้วยข้อจํากัดเชิงเส้นต่อไปนี:้
∑ส∑
เจส∑ อีส
ส=1เจ=1เบต้า=1
บีบีเบต้า≤ยู
(32)
แม้ว่าข้อจํากัดสต็อก (9) ของโมเดลที่ไม่ใช่เชิงเส้นจะเป็นเชิงเส้น แต่ก็จําเป็นต้องเปลี่ยน
เนื่องจากคําจํากัดความของตัวแปรความถีx
่ เบต้า. ข้อจํากัดสต็อกของแบบจําลองเชิงเส้นคือ:
15
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
∑เจอีโวลต์
โวลต์∑
เบต้าเอ็กซ์เบต้าเจฟ≤อีโวลต์,
∀โวลต์
(33)
เจ=1เบต้า=1
แบบจําลองทางคณิตศาสตร์เชิงเส้นที่เสนอสามารถแก้ไขได้โดยตัวแก้ปัญหาเชิงพาณิชย์
อย่างไรก็ตาม เนื่องจากจํานวนตัวแปรการตัดสินใจแบบทวีคูณและข้อจํากัดด้านความสมบูรณ์
อาจทําให้นักแก้ปัญหาเหล่านี้ไม่สามารถหาทางออกทีเ่ หมาะสมที่สุดสําหรับอินสแตนซ์ขนาดใหญ่
บางกรณีได้ นอกจากแบบจําลองทางคณิตศาสตร์นแ
ี้ ล้ว ยังได้พัฒนากระบวนการฮิวริสติกเพื่อ
หาคําตอบที่มีคุณภาพดีในเวลาคํานวณที่เหมาะสม ขั้นตอนฮิวริสติกนี้อธิบายไว้ในหัวข้อ 5.
5 ขั้นตอนฮิวริสติก
ตามที่กําหนดไว้ พารามิเตอร์เจโวลต์หมายถึงจํานวนสูงสุดของรูปแบบการตัดต่างๆ ที่สามารถ
สร้างได้สําหรับแผ่นเพลทแต่ละประเภทโวลต์. ค่านี้สามารถเป็นได้สูงสุดอีโวลต์. ขึ้นอยู่กับจํานวน
ของเพลตในสต็อก มีค่าใช้จ่ายสูงสําหรับแบบจําลองในการสร้างรูปแบบการตัดมากเกินไปและ
กําหนดความถี่พร้อมกัน เนื่องจากตัวแปรการตัดสินใจส่วนใหญ่ของแบบจําลองอ้างถึงการ
สร้างรูปแบบการตัด จึงเสนอฮิวริสติกแบบสองขั้นตอน ขั้นตอนนีเ้ ริ่มต้นสร้างชุดรูปแบบการ
ตัดสําหรับเพลตทุกประเภทในสต็อก (ขั้นตอนที่ 1) จากนั้นจึงแก้ปัญหาการปรับรูปแบบโดยใช้
รูปแบบการตัดเหล่านี้ ทําให้สามารถสร้างรูปแบบการตัดเพียงรูปแบบเดียวในการทําซํ้าแต่ละ
ครั้ง (ขั้นตอนที่ 2) เพื่อให้เสร็จสมบูรณ์ ความต้องการ. สองขั้นตอนนีม
้ รี ายละเอียดต่อไป และ
รูปที่ 8 แสดงผังงานที่อธิบายขั้นตอนฮิวริสติกที่เสนอ
5.1 ขั้นตอนที่ 1 - การสร้างรูปแบบการตัดเบื้องต้น
ในขั้นตอนแรกของฮิวริสติก ชุดของรูปแบบการตัดเริ่มต้นคโวลต์ถูกสร้างขึ้นสําหรับจานแต่ละ
ประเภทโวลต์มีสินค้า. รูปแบบการตัดเหล่านี้สร้างขึ้นจากกลยุทธ์โลภทีค
่ ้นหารูปแบบการตัดทีด
่ ี
ที่สุดสําหรับจานแต่ละประเภทในแง่ของของเสีย โดยการแก้ปัญหาย่อยST1ซึ่งเป็นการ
ดัดแปลงแบบจําลองทางคณิตศาสตร์ที่นําเสนอ ปัญหาย่อยST1ได้รับการแก้ไขหลายครั้ง และ
การวนซํ้าแต่ละครั้งจะสร้างรูปแบบการตัดใหม่เพียงรูปแบบเดียว ดังนั้นตัวแปรในการตัดสินใจ
xjv=1.
เพื่อรับประกันว่า∑รูปแบบการตัดเดียวเท่านั้นที่ถูกสร้างขึ้น พารามิเตอร์เจ และอีจํากัดไว้ที่
ส+ร
∑ส+ร
โวลต์=1เจโวลต์=1 และ
โวลต์=1อีโวลต์=1 ในการทําซํ้าแต่ละครั้งของ
ปัญหาย่อย เพื่อระบุว่าต้องรวมเศษเหลือไว้ในรูปแบบการตัดหรือไม่ พารามิเตอร์ยูถูกตั้งค่าเป็น
0 หรือ 1 และข้อจํากัด (10) จะถูกแทนที่ด้วย:
∑สเจ∑ส
ส=1เจ=1
กรัมจ=ยู
(34)
16
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
เริ่ม
สร้างชุดคของรูปแบบการ
ตัดเริ่มต้น
แก้ที่ดัดแปลง
รุ่นที่ใช้คและอนุญาตให้
สร้าง
ของรูปแบบการตัดใหม่
สําหรับจานโวลต์.
มีวิธีแก้ปัญหาปัจจุบัน
ได้รับการปรับปรุง?
เลขที่
มีการดัดแปลง
อัปเดตโวลต์
เลขที่
โมเดลได้รับการแก้ไขแล้ว
ใช้ C ปัจจุบันสําหรับจานทุก
ประเภท?
ใช่
หยุด
รูปที่ 8ผังงานขั้นตอนฮิวริสติกที่เสนอ
ใช่
เพิ่มรูปแบบการตัดใหม่
ให้กับ C
17
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
หน้าที่วัตถุประสงค์ของปัญหาย่อยST1ลดของเสียทีเ่ กิดขึ้นและกําหนดดังนี้:
นาที :
+ เจ
ส∑
ร∑
โวลต์
วโวลต์ชมโวลต์-
ส=1เจ=1
โวลต์=1เจ=1
-
+ ร∑ เจ
ส∑
∑ส ∑เจส
โวลต์
(
โวลต์=1เจ=1
∑ฉัฉนโวลต์
∑
วสลจ-
∑เค ∑ฉัน ∑ฉ
โวลต์
วฉันชม.ฉันกifjv+
ฉัน=1ฉ=1
เค=1ฉัน=1ฉ=1
วฉันชม.ฉันนอิ๊กกเคkfjv)
(35)
เกี่ยวกับความต้องการของสินค้า ข้อจํากัด (8) จะถูกแทนที่ด้วยข้อจํากัด:
เจ
+ ร ∑ฉโวลต์∑
ส∑
โวลต์
โวลต์=1ฉ=1เจ=1
กifjv+
∑เคเอส
+RFโวลต์
∑ ∑∑
เจโวลต์
เค=1โวลต์=1ฉ=1เจ=1
นอิ๊กกเคkfjv≤งฉัน,
∀ฉัน
(36)
ข้อจํากัด (36) เป็นสมการอสมการที่แตกต่างจากข้อจํากัดด้านอุปสงค์ (8) เนื่องจากไม่
สามารถตอบสนองความต้องการทั้งหมดได้ด้วยรูปแบบการตัดเดียว
ปัญหาย่อยST1ได้รับการแก้ไขซํ้าแล้วซํ้าอีกสําหรับจานแต่ละประเภทในสต็อก เมื่อใช้
กลยุทธ์นี้ รูปแบบการตัดจะถูกสร้างขึ้นจนกว่าจะตอบสนองความต้องการ หรือไม่สามารถสร้าง
รูปแบบการตัดใหม่ที่แตกต่างจากที่สร้างไว้ก่อนหน้านีไ้ ด้อีกต่อไป เมื่อมีรูปแบบการตัดสําหรับ
จานโวลต์ถูกสร้างขึ้นรวมอยู่ในชุดคโวลต์และความต้องการงฉันมีการปรับปรุง รหัสเทียม “อัลกอ
ริทึม 1” อธิบายขั้นตอนที่ 1 ของฮิวริสติก
ในรหัสเทียม “อัลกอริทึม 1”โวลต์ระบุวัตถุที่เซนต์1 จะสร้างรูปแบบการตัด ในบรรทัดที่ 313 พารามิเตอร์เจโวลต์และอีโวลต์กําหนดเพื่อจํากัดจํานวนการสร้างแบบตัดตามโวลต์. เดอะ ที่
เหลือพารามิเตอร์ระบุว่าการสร้างของเหลือจะได้รับการพิจารณาสําหรับวัตถุหรือไม่โวลต์. หลัง
จากกําหนดพารามิเตอร์แล้ว โครงสร้างการทําซํ้าในบรรทัดที่ 27-38 แก้เซนต์1 วนซํ้าจนถึง
พารามิเตอร์บูลีนหยุดเป็นจริงซึ่งระบุว่าถึงเกณฑ์การหยุดข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนีแ
้ ล้ว:ฉัน) ตอบ
สนองความต้องการสําหรับรายการทุกประเภท (บรรทัดที่ 32-34);ii)หรือไม่สามารถสร้างรูป
แบบการตัดใหม่ได้ (บรรทัดที่ 35-37). ในตอนท้ายของขั้นตอนที่ 1 ชุด คโวลต์จะมีรูปแบบการ
ตัดทีม
่ ีคุณภาพดีเพียงพอสําหรับแผ่นทุกประเภทในสต็อก รูปแบบการตัดเหล่านีจ
้ ะช่วยให้ความ
เป็นไปได้ของปัญหาย่อยST2 ทีไ่ ด้รับการแก้ไขในการวนซํ้าทั้งหมดของขั้นตอนที่ 2 ทีอ
่ ธิบายไว้
ในหัวข้อย่อยถัดไป เนื่องจาก ST2จะสร้างรูปแบบการตัดใหม่อย่างน้อยหนึ่งรูปแบบในการทําซํ้า
แต่ละครั้ง
5.2 ขั้นตอนที่ 2 - การแก้ไขแบบจําลองที่ดัดแปลง
ในขั้นตอนที่ 2 ของฮิวริสติกที่เสนอ แบบจําลองเชิงเส้นได้รับการปรับเพื่อแก้ปัญหา 2DCSPUL โดยใช้รูปแบบการตัดที่สร้างขึ้นในขั้นตอนที่ 1 การปรับนีย
้ ังสามารถนําไปใช้กับแบบ
จําลองทีไ่ ม่ใช่เชิงเส้นได้ด้วยการปรับเปลี่ยนเล็กน้อย
18
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
อัลกอริทึม 1:การสร้างรูปแบบการตัดเบื้องต้น
1โวลต์=1;
2ในขณะที่โวลต์≤ส+รทํา
โวลต์aux=1;
3
ในขณะที่โวลต์aux≤เอส+อาร์ทํา
4
ถ้าโวลต์aux==โวลต์แล้ว
เจโวลต์aux=1;
อีโวลต์aux=1;
5
6
7
อื่น
8
9
10
เจโวลต์aux=0;
อีโวลต์aux=0;
จบ
โวลต์aux=โวลต์aux+1;
11
12
จบ
ถ้าโวลต์≤สแล้ว
ที่เหลือ=0;
อื่น
ที่เหลือ=1;
จบ
ในขณะทีท
่ ี่เหลือ≤1ทํา
ถ้าเหลือ == 0แล้ว
ยู=1;
อื่น
ยู=0;
จบ
หยุด=เท็จ;
ง=ความต้องการเต็มของปัญหา; ในขณะที่
หยุด == เท็จทํา
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
แก้ปัญหา ST1;
28
ถ้ามีการสร้างรูปแบบการตัดใหม่แล้ว
เพิ่มรูปแบบการตัดใหม่เข้าไปคโวลต์; อัปเดตง;
29
30
31
ถ้าง ==0แล้ว
หยุด=จริง;
32
33
34
อื่น
35
36
จบ
37
38
39
จบ
40
41
42
จบ
จบ
หยุด=จริง;
จบ
ทีเ่ หลือ=ที่เหลือ+1;
โวลต์=โวลต์+1
นอกเหนือจากพารามิเตอร์ดั้งเดิมสําหรับโมเดลเชิงเส้นแล้ว โมเดลทีด
่ ัดแปลงเซนต์2
ต้องการพารามิเตอร์พิเศษบางอย่างจากรูปแบบการตัดคโวลต์. พารามิเตอร์เหล่านีค
้ ือ:
– กไอซี
′ วี: จํานวนรายการฉันในรูปแบบการตัดคสําหรับจานโวลต์, ค∈คโวลต์;
19
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
–
–
ค=
กรัม′
ค:
แท้จริง′
-1,
--
หากเกิดเศษเหลือในรูปแบบการตัดคสําหรับจานมาตรฐานส, ค∈คส.
0, มิฉะนั้น.
ความสูงของเศษเหลือที่สร้างขึ้นในรูปแบบการตัดคสําหรับจานมาตรฐาน
เอส, ค∈คส.
ด้วยพารามิเตอร์เหล่านี้ ทําให้สามารถอัปเดตข้อจํากัดเกี่ยวกับความต้องการ สินค้าคงคลัง
และการสร้างของเหลือใช้งานได้ ตลอดจนฟังก์ชันวัตถุประสงค์ นอกจากนี้ จําเป็นต้องมีตัวแปร
การตัดสินใจจํานวนเต็มใหม่เพื่อระบุความถี่ของรูปแบบการตัดแต่ละรูปแบบคโวลต์และกําหนดไว้
ดังนี:้
– x′ประวัติย่อ: จํานวนจานโวลต์ตัดตามแบบการตัดค,ค∈คโวลต์;
ในST2ข้อจํากัดเกี่ยวกับการสร้างรูปแบบการตัดยังคงเหมือนเดิมในแบบจําลองเชิงเส้น
และฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (18) จะถูกแทนทีด
่ ้วย:
อี
+ ร∑ เจโวลต์∑
ส∑
โวลต์
นาที :
บีดับบลิวโวลต์ชมโวลต์xเบต้าเจฟ- α
เจส∑ อีส
ส=1เจ=1เบต้า=1
โวลต์=1เจ=1เบต้า=1
+ ร∑
ส∑
∑ส∑
(วโวลต์ชมโวลต์- αวโวลต์แท้จริง′
บีดับบลิวสซีเบต้
อ
า+
(37)
ประวัติย่อ)x′
ประวัตย
ิ ่อ
โวลต์=1ค∈คโวลต์
ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (37) แตกต่างจาก (18) โดยพิจารณาจากพื้นทีข
่ องทั้งแผ่นตัดและ
ของเหลือที่เกิดจากรูปแบบการตัดที่สร้างขึ้นในขั้นตอนที่ 1 การเปลี่ยนแปลงทีค
่ ล้ายคลึงกัน
เกิดขึ้นกับข้อจํากัดด้านอุปสงค์ (22) ใน
ซึ่งตัวแปรการตัดสินใจใหม่x′
ประวัตย
ิ ่อคูณพารามิเตอร์ก′
ไอซีวีอนุญาตให้
ST2เพื่อใช้รูปแบบการตัดเหล่านี้เพื่อตอบสนองความต้องการสําหรับรายการ ข้อจํากัดด้าน
อุปสงค์ (22) ถูกแทนทีด
่ ้วย:
+ ร ∑ฉโวลต์∑
ส∑
เจอีโวลต์
โวลต์∑
เบต้าฉัβifjv
น
+
โวลต์=1ฉ=1เจ=1เบต้า=1
∑เคเอส
+RFโวลต์
∑ ∑∑อีโวลต์เจโวลต์∑
เค=1โวลต์=1ฉ=1เจ=1เบต้า=1
เค
เบต้าอิ๊กซีเบต้าkfjv+
+ ร∑
ส∑
กไอซี
′ วีx′ประวัตยิ ่อ=งฉัน, ∀ฉัน
(38)
โวลต์=1ค∈คโวลต์
สุดท้าย ข้อจํากัด (32) ที่จํากัดจํานวนของเหลือที่สร้างขึ้น และข้อจํากัดสต็อก (33) จะถูก
แทนที่ตามลําดับด้วยข้อจํากัด:
∑เจอีโวลต์
โวลต์∑
เจ=1เบต้า=1
เบต้าเอ็กซ์เบต้าเจฟ+
+ ร∑
ส∑
โวลต์=1ค∈คโวลต์
x′
ประวัตย
ิ ่อ≤อีโวลต์,
∀โวลต์
(39)
20
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
∑ส ∑เจส ∑อีส
ส=1เจ=1เบต้า=1
บีบีเบต้า+
∑ส ∑
คx′ ค≤ยู
กรัม′
ส=1ค∈คส
(40)
นอกจากรูปแบบการตัดในคโวลต์,ST2สามารถสร้างรูปแบบการตัดใหม่ได้ที่∑การทําซํ้าของ
ขั้นตอนแต่ละครั้ง เช่นเดียวกับในขั้นตอนที่ 1 พารามิเตอร์เจโวลต์มีจํานวนจํากัด
ส+ร
โวลต์=1เจโวลต์=1 เพื่อระบุประเภทของแผ่นทีจ
่ ะตัดใหม่
รูปแบบถูกสร้างขึ้น รหัสเทียม “อัลกอริทึม 2” อธิบายขั้นตอนที่ 2 ของกระบวนการฮิวริสติก
อัลกอริทึม 2:การแก้ปัญหาST2
1โวลต์=1;
2หยุด=0;
4
<ส+รทํา
โวลต์aux=1;
5
ในขณะที่โวลต์aux≤เอส+อาร์ทํา
3ในขณะที่หยุด
ถ้าโวลต์aux==โวลต์แล้ว
6
7
อื่น
8
เจโวลต์aux=1;
เจโวลต์aux=0;
จบ
โวลต์aux=โวลต์aux+1;
9
10
11
12
จบ
13
แก้ปัญหาST2;
14
ถ้าพบวิธีแก้ปัญหาที่ดก
ี ว่าแล้ว
เพิ่มรูปแบบการตัดใหม่เข้าไปคโวลต์; หยุด=0;
15
16
อื่น
17
หยุด=หยุด+1;
จบ
ถ้าv == S+Rแล้ว
18
19
20
21
อื่น
22
23
จบ
24
25
โวลต์=1;
โวลต์=โวลต์+1;
จบ
ในรหัสเทียม “อัลกอริทึม 2”โวลต์ระบุจานที่เซนต์2 ได้รับอนุญาตให้สร้างรูปแบบการตัด
ใหม่และหยุดคือตัวแปรตัวนับทีร่ ะบุจุดสิ้นสุดของโพรซีเดอร์ ขึ้นอยู่กับขนาดของอินสแตนซ์ แม้
จะอนุญาตให้สร้างรูปแบบการตัดใหม่เพียงรูปแบบเดียว เวลาในการแก้ปัญหาเซนต์2 ยาวได้.
ดังนั้น ขีดจํากัดเวลาดําเนินการจึงถูกกําหนดไว้ที่ 600 วินาที หลังจากเซนต์2 ได้รับการแก้ไข
แล้ว ขั้นตอนจะตรวจสอบว่าโซลูชันที่พบนั้นดีกว่าโซลูชันทีด
่ ท
ี ี่สุดล่าสุดหรือไม่ หากเป็นจริงรูป
แบบการตัดใหม่ที่ปรับปรุงการแก้ปัญหา
21
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
ถูกเพิ่มเข้าไปในคโวลต์, และหยุดถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์ มิฉะนั้น,หยุดจะเพิ่มขึ้น โดยการขยายชุดคโวลต์
เราอนุญาตเซนต์2 เพื่อปรับปรุงโซลูชันในการทําซํ้าต่อไปนี้
เพื่อแสดงให้เห็นขั้นตอนที่ 2 ของกระบวนการฮิวริสติกทีเ่ สนอ เราให้ตัวอย่างทีเ่ ป็นตัวเลข
พิจารณาตัวอย่างซึ่งมีรายละเอียดระบุไว้ในตารางที่ 3 ด้วย ส=มีแผ่นมาตรฐาน 2 ประเภทในสต็
อกฉัน=รายการที่ต้องการ 3 ประเภท และรูปแบบการตัดเริ่มต้น 4 รูปแบบ ตารางที่ 4 แสดง
รายละเอียดของโซลูชันที่ได้รับในแต่ละขั้นตอนซํ้า ในตารางนี้ คอลัมน์ "เพลท" ระบุประเภทของ
เพลตที่อนุญาตให้สร้างรูปแบบการตัดใหม่ได้ คอลัมน์ "รายการ" และ "ซ้าย" แสดงจํานวน
รายการที่ผลิตและขนาดความกว้าง×ความสูงของเศษเหลือทีเ่ กิดจากรูปแบบการตัดใหม่ เกี่ยว
กับวิธีแก้ปัญหาที่ได้รับในแต่ละการวนซํ้า สองคอลัมน์สุดท้ายแสดงความถีข
่ องรูปแบบการตัด
ทีใ่ ช้และค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์
ตารางที่ 3: ข้อมูลของตัวอย่างตัวเลข
ชนิดจาน
ความกว้าง×ความสูง
1
70×92
2
61×80
ประเภทรายการ
ความกว้าง×ความสูง
1
8×19
2
9×10
3
6×7
รหัส
รูปแบบการตัด
1
(16 35 7)
2
(0 5 3)
3
(7 36 6)
4
(9 4 4)
การทําซํ้า
1
2
3
4
5
6
7
ตารางที่ 4: คําตอบของตัวอย่างตัวเลข
ลายตัดใหม่
รายการรหัสประเภทเพลท
ซ้าย.
1
5
(14 17 29)
0×0
2
6
(18 8 8)
0×0
1
7
(27 12 12)
0×0
2
x
xxxxxx
xxxxxx
1
8
(5 13 25)
70×43
2
x
xxxxxx
xxxxxx
1
x
xxxxxx
xxxxxx
คลังสินค้า
5
5
ความต้องการ
59
37
49
ชนิดจาน
1
1
2
2
ทางออกที่ดท
ี ี่สุด
x4=5,x5=1 x4=1,x5=1,
x6=2 x5=1,x6=1,x7=1 x5=
1,x6=1,x7=1
x7=2,x8=1 x7=2,
x8=1 x7=2,x8=1
ดีที่สุด
ของมูลค่า
30840
21080
17760
17760
16310
16310
16310
ในการวนซํ้าครั้งแรก นอกจากการพิจารณารูปแบบการตัดเริ่มต้นสีร่ ูปแบบแล้ว เซนต์2 ได้
รับการแก้ไขโดยได้รับอนุญาตให้สร้างรูปแบบการตัดใหม่หนึ่งรูปแบบสําหรับแผ่นที่ 1 ค่า
ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของโซลูชันทีไ่ ด้รับเท่ากับ 30840 และโซลูชันใช้รูปแบบเริ่มต้น 4 และรูป
แบบ 5 ใหม่ จากนั้นรูปแบบ 5 นี้จึงรวมอยูใ่ น กําหนดให้ C พิจารณาโดยเซนต์2 ในการทําซํ้าครั้ง
ต่อไปพร้อมกับรูปแบบการตัดเริ่มต้นสี่รูปแบบ
22
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
ในการทําซํ้าครั้งที่สองเซนต์2 ได้รับการแก้ไขโดยได้รับอนุญาตให้สร้างรูปแบบการตัดใหม่
หนึ่งรูปแบบสําหรับแผ่นที่ 2 ได้รับโซลูชันที่ดีกว่าโดยใช้รูปแบบ 6 ใหม่พร้อมกับรูปแบบ 4 และ
5 สิ่งเดียวกันนีเ้ กิดขึ้นในการทําซํ้าครั้งที่สามเมื่อ เซนต์2 สร้างรูปแบบ 7 ใหม่สําหรับแผ่นที่ 1
และได้รับโซลูชันทีด
่ ีกว่าด้วยค่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์ 17760
ในครั้งที่สี่ เป็นครั้งแรกเซนต์2 ไม่สามารถปรับปรุงวิธีแก้ปัญหาทีด
่ ท
ี ี่สุดในปัจจุบันได้ แม้จะ
ได้รับอนุญาตให้สร้างรูปแบบการตัดใหม่สําหรับเพลต 2 แต่ในการทําซํ้าครั้งทีห
่ ้าเซนต์2 สร้าง
รูปแบบ 8 สําหรับแผ่นที่ 1 และได้รับโซลูชันที่ดีกว่าโดยมีค่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์ 16310 รูป
แบบ 8 เป็นรูปแบบแรกที่สร้างส่วนที่เหลือที่ใช้งานได้ อย่างไรก็ตาม,เซนต์2 ไม่สามารถสร้างรูป
แบบการตัดใหม่ที่ปรับปรุงโซลูชันที่ดีที่สุดในปัจจุบันในการทําซํ้าครั้งทีห
่ กและเจ็ดสําหรับแผ่นที่
1 และ 2 ซึ่งบ่งชี้ว่าการดําเนินการแบบฮิวริสติกต้องหยุดลง
6 การทดสอบการคํานวณ
ในส่วนนี้ เราจะนําเสนอคําอธิบายและผลการทดสอบการคํานวณ ส่วนที่ 6.1 นําเสนอผลลัพธ์
สําหรับตัวอย่างขนาดเล็กจากวรรณกรรม ขณะที่อยูใ่ นส่วน 6.2 เราใช้อินสแตนซ์ขนาดกลางที่
สร้างขึ้นแบบสุ่ม
เพื่อประเมินประสิทธิภาพของแบบจําลองที่เสนอและกระบวนการฮิวริสติก พวกเขาถูกนําไป
เปรียบเทียบกับแบบจําลองที่เสนอโดย Andrade และคณะ (2016) และ Furini และคณะ
(2559). โมเดลทั้งหมดเหล่านี้ถูกเข้ารหัสโดยใช้ OPL (Optimization Programming
Language) ด้วย CPLEX ซึ่งเป็นเวอร์ชัน 12.10 การทดสอบการคํานวณดําเนินการบน
คอมพิวเตอร์ Intel Core i7, 2.8 GHz, 16 GB RAM พร้อมระบบปฏิบัติการ Windows 10
ผลลัพธ์ทแ
ี่ สดงในส่วนนี้อ้างอิงถึงโมเดลเชิงเส้นทีเ่ สนอทีน
่ เี่ ท่านั้น การทดสอบเบื้องต้น
ด้วยแบบจําลองทีไ่ ม่ใช่เชิงเส้นเดิมที่นําเสนอในหัวข้อ 3.1 ให้ผลลัพธ์ทไี่ ม่ดี ซึ่งทําให้เราต้องใช้
กลยุทธ์เชิงเส้นทีน
่ ําเสนอในหัวข้อ 4.
6.1 ผลการคํานวณสําหรับตัวอย่างจากวรรณกรรม
Andrade และคณะ (2559) ได้เสนอแบบจําลองทางคณิตศาสตร์ 2 แบบ ซึ่งในทีน
่ จ
ี้ ะเรียกว่าม
1และม2เพื่อแก้ปัญหา 2D-CSPUL แบบ 2 ขั้นตอน ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่างรุ่น
คือความต้องการสินค้า ในม1รายการทั้งหมดมีความต้องการเท่ากับ 1 เช่นเดียวกับปัญหาการ
บรรจุลงถัง ในม2รายการที่เป็นประเภทเดียวกันจะถูกจัดกลุ่มเข้าด้วยกัน ฟังก์ชันวัตถุประสงค์
ของทั้งสองรุ่นคือการลดพื้นที่ทั้งหมดของแผ่นตัดให้เหลือน้อยที่สุด และในบรรดาโซลูชันที่มค
ี ่า
น้อยที่สุด ให้เลือกรุ่นที่เพิ่มพื้นที่ของเศษเหลือที่ใช้งานได้สูงสุด สําหรับการเปรียบเทียบอย่าง
ยุติธรรม ในการทดสอบการคํานวณที่แสดงในส่วนย่อยนี้ ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (18) ทีอ
่ ธิบาย
ไว้ในหมวดที่ 4 ถูกดัดแปลงให้เทียบเท่ากับฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ของแบบจําลองม1และม2.
ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ทป
ี่ รับแล้วถูกกําหนดดังนี้:
23
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
นาที :
∑ส∑
เจส∑ อีส
บีดับบลิวสชม
เบต้าสxส-(
ส=1เจ=1เบต้า=1
∑ส ∑เจส ∑อีส
บีดับบลิวสซีเบต้
อ า)/(
∑ส
ส=1
ส=1เจ=1เบต้า=1
วสชมสอีส) (41)
การทดสอบการคํานวณดําเนินการกับ 20 ตัวอย่างเดียวกันที่นําเสนอโดย Andrade และ
คณะ (2559). ตารางที่ 5 แสดงคําอธิบายสั้น ๆ ของอินสแตนซ์ สําหรับคําอธิบายทั้งหมด
โปรดดูภาคผนวก ตารางที่ 5 แสดงจํานวนประเภทของเพลตในสต็อก (ส) จํานวนจานทั้งหมด (
โวลต์) จํานวนประเภทรายการสั่งซื้อ (ฉัน) และจํานวนรายการทั้งหมด (ฉัน′) สําหรับแต่ละอินส
แตนซ์
ตารางที่ 5: คําอธิบายของอินสแตนซ์จาก Andrade และคณะ (2559).
ตัวอย่าง
ส
โวลต์
ฉัน ฉัน′
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
1
4
4
4
3
3
3
2
3
3
1
2
3
3
3
1
2
3
2
3
2
7
11
16
8
3
10
4
6
13
1
7
4
12
19
1
5
16
9
32
23
17
27
37
34
9
19
17
10
5
1
2
3
3
3
2
2
3
3
32
23
17
27
37
34
11
19
17
13
37
12
32
28
34
21
17
24
41
21
เป็นรุ่นม1และม2พิจารณา 2D-CSPUL แบบ 2 ขั้นตอน อินสแตนซ์ได้รับการแก้ไขโดยไม่
ต้องพิจารณารายการมาโคร ในกรณีของแบบจําลอง (1)– (17) มีการทดสอบ 2 สถานการณ์
เพื่อหาจํานวนสูงสุดของของเหลือที่สร้างขึ้น ยู=1 และยู=5 และพารามิเตอร์αถูกตั้งค่าเป็น 1
สําหรับทั้งสองสถานการณ์ เช่นเดียวกับ Andrade และคณะ (2016) ความสูงขั้นตํ่าของของ
เหลือที่สร้างขึ้นจะเท่ากับความสูงของของที่เล็กที่สุด และไม่มก
ี ารจํากัดความสูงสูงสุดของของ
เหลือที่สร้างขึ้น ขีดจํากัดเวลาในการคํานวณ (TL) ทีอ
่ นุญาตสําหรับทุกรุ่นคือ 3600 วินาที
ตารางที่ 6 และ 7 แสดงผลทีไ่ ด้รับจากแบบจําลองและกระบวนการฮิวริสติก ตามลําดับ
สําหรับตัวอย่างจาก Andrade และคณะ (2559). โมเดลทั้งหมดพบโซลูชันทีเ่ หมาะสมที่สุด
สําหรับทุกอินสแตนซ์ โดยมีเพียงเวลาในการคํานวณเท่านั้นทีแ
่ ตกต่างกัน พื้นทีร่ วมของจานตัด
(Obj.) พื้นที่รวมของของเหลือที่สร้างขึ้น (Left.) ค่าสําหรับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (OF) และ
เวลาในการแก้ปัญหาสําหรับม1(เวลาม1),ม2(เวลาม2) สถานการณ์ยู=1 (เวลายู=1) และสถานการณ์
ยู=5 (เวลายู=5) จะได้รับ ในตารางที่ 6 เวลาในการแก้ปัญหาทีส
่ ั้นที่สุด
24
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
สําหรับแต่ละอินสแตนซ์จะถูกเน้นด้วยตัวหนา เช่นเดียวกับอินสแตนซ์ทไี่ ปถึงโซลูชันทีเ่ หมาะสม
ที่สุดในตารางที่ 7
Inst.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
วัตถุ
5512
7560
260
360
466
492
180
864
380
51216
1746
266
684
180
1506
1365
266
748
2553
1168
ซ้าย.
ตารางที่ 6: ผลลัพธ์สําหรับแบบจําลอง 2 ขั้นตอน
ของ เวลาม1
เวลาม2
520
2898
52
0
0
48
108
64
0
12998
60
154
100
18
0
36
168
0
0
132
5511.93
7559.62
259.96
360.00
466.00
491.98
179.87
863.98
380.00
51215.92
1745.99
265.42
683.95
179.98
1506.00
1364.99
265.37
748.00
89.14
92.49
0.27
0.92
0.30 น
0.98
เวลายู=1
2.44
0.23
1.41
เวลายู=5
2.81
0.36
2.30 น
522.00
67.61
613.00 น
10.64 น
47.84
36.63 น
33.69 น
91.56 น
16.97 น
17.03 น
14.83 น
0.17 น
0.17 น
0.06
0.05
1.67
1.39 น
0.14
0.19 น
ทล
0.01
3.55
0.44
ทล
0.01
0.17 น
9.89
2.23
2553.00 น
1167.96
45.59 น
0.17 น
0.55
0.14
0.95
0.02
0.34
0.11
2.67
0.97
0.02
0.09
1.42
0.45
0.01
0.14
0.09
2.52
2.39 น
1.36 น
558.13
2.20 น
4.94
0.08
0.05
9.72
0.01
0.13
0.09
2.20 น
1.30 น
1.38 น
0.01
0.08
0.64
0.11
0.01
0.09
1.13
0.20
TL = 3600 วินาที
ตารางที่ 7: ผลลัพธ์สําหรับขั้นตอนฮิวริสติกที่ไม่มีรายการมาโคร
ยู=1
Inst.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
วัตถุ
ซ้าย.
5512
7560
260
390
490
492
180
864
494
468
2772
39
39
13
48
108
48
114
51216
1746
266
684
180
1506
1365
266
748
2553
1214
12028
54
154
100
18
0
36
168
0
0
0
ยู=5
ของ
5511.94
7559.63
259.97
389.98
489.99
491.98
179.87
863.99
493.89
51215.93
1745.99
265.42
683.95
179.98
1506.00
1364.99
265.37
748.00
2553.00 น
1214.00 น
เวลายู=1
วัตถุ
ซ้าย.
ของ
11.25 5512
468
5511.94
6.74 7560
2835
7559.62
8.05 260
39
259.97
12.34 390
39
389.98
32.26 490
13
489.99
30.29 492
48
491.98
15.42 180
108
179.87
13.78 864
48
863.99
8.84 494
114
493.89
12.00 51216 12028 51215.93
19.61 1746 54
1745.99
0.87 266 154
265.42
5.62 684 100
683.95
3.51 180
18
179.98
25.39 1506
0
1506.00
10.76 1365
36
1364.99
1.57 266
168
265.37
19.16 748
0
748.00
9.93 2010
0
2553.00 น
17.72 1168
0
1168.00
เวลายู=5
11.23 น
6.69
6.43 น
10.94 น
31.27 น
30.51 น
14.98 น
14.42 น
8.89
12.34 น
18.52 น
0.87
5.75
3.75
25.88 น
9.41 น
1.57
19.24 น
9.06 น
17.94 น
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
25
แม้ว่าเวลาในการแก้ปัญหาจะแตกต่างกันมากระหว่างโมเดล แต่เราจะเห็นว่าโมเดลทีเ่ สนอ
ในบทความนี้เร็วกว่าอย่างเห็นได้ชัดม1และ ม2ทั้งสําหรับยู=1 และยู=5 ในสามกรณี (1, 4 และ
11) และช้ากว่ามากสําหรับตัวอย่างที่ 8 สําหรับตัวอย่างอื่นๆ เวลาในการแก้ปัญหาจะใกล้เคียง
กันทั้งๆม1ถึงเวลาดําเนินการสูงสุดสําหรับสองอินสแตนซ์ 11 และ 15 สําหรับผลลัพธ์ทไี่ ด้จาก
กระบวนการฮิวริสติก พบวิธแ
ี ก้ปัญหาที่ดีที่สุดสําหรับ 10 จาก 20 อินสแตนซ์ อย่างไรก็ตาม
สําหรับทั้ง 10 ตัวอย่างนั้น เวลาในการแก้ปัญหานานกว่าแบบจําลองทีท
่ ดสอบทั้งหมด
เนื่องจากเวลาทีใ่ ช้ไปกับการสร้างรูปแบบการตัดเริ่มต้นสําหรับวัตถุทุกประเภทในขั้นตอนที่ 1
ของขั้นตอน แม้ว่าเวลาในการแก้ปัญหาสําหรับขั้นตอนที่ 2 มีความคล้ายคลึงกับทีใ่ ช้โดยอีก
สองรุ่น
ตัวอย่างจาก Andrade และคณะ (2016) ยังได้รับการแก้ไขโดยพิจารณาจากรายการ
มาโคร มอบรายการแมโครที่เป็นไปได้ทั้งหมดให้กับม2เป็นรายการใหม่ และโมเดลได้รับการแก้ไข
เพื่อรวมพารามิเตอร์นอิ๊กในข้อจํากัดความต้องการซึ่งระบุจํานวนของรายการฉันผลิตจากมาโคร
ไอเทมเค. ไม่สามารถทําการปรับเปลี่ยนนี้ได้ม1เนื่องจากรายการแมโครแต่ละรายการสามารถ
ใช้ได้เพียงครั้งเดียว ความต้องการจึงถูกจํากัดไว้ที่ 1 ทางเลือกอื่นที่จะเอาชนะข้อจํากัดนีค
้ ือการ
รวมแต่ละรายการมาโครซํ้าๆ เป็นพารามิเตอร์อินพุต อย่างไรก็ตาม ยังไม่ทราบจํานวนครั้งที่
แต่ละรายการแมโครจะถูกใช้เพื่อให้ได้ประสิทธิภาพสูงสุด
เนื่องจากลักษณะเฉพาะบางประการของอินสแตนซ์จาก Andrade และคณะ (2016) ส่วน
ใหญ่เป็นรายการที่หลากหลาย บางกรณีมีรายการมาโครทีเ่ ป็นไปได้จํานวนมาก ดังนั้นเราจึง
ทดสอบสองสถานการณ์:ฉัน)พิจารณารายการแมโครที่เป็นไปได้ทั้งหมด และii)จํากัดการใช้
รายการมาโครเฉพาะรายการที่สร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าสร้างขยะสูงสุด 10% ตารางที่ 8, 9, 10 และ
11 แสดงผลที่ได้รับจากแบบจําลองและขั้นตอนฮิวริสติกสําหรับสองสถานการณ์นี้ ส่วนหัวของ
คอลัมน์ทั้งหมดเหมือนกับในตารางที่ 6 และ 7 ยกเว้น "ใหม่"เค” ทีแ
่ สดงจํานวนประเภทของ
รายการมาโครสําหรับแต่ละอินสแตนซ์ และคอลัมน์ใหม่ “มาโคร (%)” ทีแ
่ สดงเปอร์เซ็นต์ของ
รายการมาโครทีใ่ ช้ในโซลูชัน ผลลัพธ์ที่ได้รับโดยม2และแบบจําลองทีน
่ ําเสนอในบทความนี้
สําหรับยู=5 แสดงด้วยกัน (ม2/ยู=5) ในตารางที่ 8 เนื่องจากคําตอบเหมือนกัน ในตารางที่ 8
และ 10 โซลูชันที่ดีที่สุดสําหรับแต่ละอินสแตนซ์และเวลาในการแก้ปัญหาทีต
่ ํ่าที่สุดตามลําดับจะ
ถูกเน้นด้วยตัวหนา และทําเช่นเดียวกันในตารางที่ 9 และ 11 สําหรับกรณีที่กระบวนการฮิวริสติ
กไปถึงโซลูชันทีเ่ หมาะสมที่สุด
67
42
32
90
128
107
2
20
41
4
2
0
0
0
1
7
0
1
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
TL = 3600 วินาที
เค
Inst.
120
154
100
18
0
0
168
132
0
132
14938
1746
266
684
180
1494
1362
266
748
2553
1168
51216
780
2898
0
0
13
72
108
0
38
ซ้าย.
5512
7560
180
336
466
492
180
775
380
วัตถุ
2553.00 น
5.00 น
1167.96
0.00 น
0.00 น
18.18 น
17.24 น
0.00 น
0.00 น
0.00 น
9.09 น
9.09 น
14.29 น
379.96
336.00
465.99
491.96
179.87
775.00
180.00 น
7559.62
5511.91
ของ
51215.91
1745.98
265.42
683.95
179.98
1494.00
1362.00
265.37
747.93
50.00 น
11.76 น
0.00 น
37.50 น
37.04
31.58 น
41.67
21.05 น
33.33 น
มาโคร (%)
ยู=1
1746
266
684
180
1494
51216
492
180
775
380
0.64
0.16 น
0.19 น
0.01
266
748
2553
1168
14.99 1362
0.22
0.72
5.97
0.01
0.14
0.09
1.86
18.09 น
0.06
37.23 น
5512
วัตถุ
0.88 7560
1.66 180
56.97 336
1500.14
466
11.31 น
เวลายู=1
120
154
100
18
0
0
168
132
0
132
14938
780
3087
0
0
13
72
108
0
57
ซ้าย.
ตารางที่ 8: ผลลัพธ์สําหรับโมเดล 3 ขั้นตอนที่มีรายการมาโครจํากัด
5.00 น
0.00 น
14.29 น
0.00 น
18.18 น
17.24 น
0.00 น
0.00 น
0.00 น
9.09 น
9.09 น
50.00 น
11.76 น
0.00 น
25.93 น
15.15 น
56.25 น
33.33 น
21.05 น
ของ
1167.96
2553.00 น
336.00
465.99
491.96
179.87
775.00
379.95
51215.91
1745.98
265.42
683.95
179.98
1494.00
1362.00
265.37
747.93
180.00 น
5511.91
7559.59
ม2/ยู=5
39.13 น
มาโคร (%)
ทล
10.92 น
114.30 น
1.34
0.02
0.14
1.42
0.47
10.45 น
0.02
0.34
0.11
0.27
2.13
0.01
0.09
1.13
0.27
13.00 น
4.30 น
0.01
0.13
0.09
16.66 น
0.06
140.64
ทล
108.66
4.47
2.67
15.47 น
เวลายู=5
0.05
3.06
2.84
0.20
2015.25
ทล
47.47 น
1.55 น
142.25 น
เวลาม2
26
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
27
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
ตารางที่ 9: ผลลัพธ์สําหรับกระบวนการฮิวริสติกที่มีรายการแมโครจํากัด
ยู=1
Inst.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
ซ้าย.
5512
7560
180
336
466
492
180
775
380
572
2898
0
0
13
72
108
0
38
51216
1746
266
684
180
1506
1362
266
748
2553
1214
ยู=5
ของ
มาโคร (%)
วัตถุ
23.08 น
21.05 น
33.33 น
50.00 น
5.71
17.86 น
0.00 น
26.67 น
40.00 น
14938
9.09 น
60
154
100
18
0
0
168
132
0
132
12.50 น
0.00 น
0.00 น
0.00 น
0.00 น
180.00 น
336.00
465.99
491.96
179.87
775.00
379.96
51215.91
1745.99
265.42
683.95
179.98
1506.00
14.29 น
0.00 น
2553.00 น
0.00 น
10.53 น
วัตถุ
9.87 5512
3.20 7560
7.95 180
33.94 336
59.18 466
27.05 492
3.73 180
7.91 775
3.10 380
4.59 51216
7.66 1746
0.87 266
5.62 684
3.51 180
8.29 1506
5.12 1362
1.57 266
3.75 748
9.93 2010
5.18 1214
5511.93
7559.62
1362.00
265.37
747.93
18.18 น
เวลายู=1
1213.96
ตารางที่ 10: ผลลัพธ์สําหรับโมเดล 3 ระดับที่มีรายการมาโครไม่จํากัด
ม2
Inst.
เค
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
818
249
350
952
2171
1554
11
70
291
19
5
0
0
0
1
7
0
1
0
1
TL = 3600 วินาที
วัตถุ
ซ้าย.
5512
7560
180
*
*
*
180
775
380
780
3087
0
*
*
*
108
26
76
51216
1746
266
684
180
1494
1362
266
748
2553
1168
14938
120
154
100
18
0
0
168
132
0
132
ของ
5511.91
7559.59
180.00 น
*
*
*
179.87
774.99
379.93
51215.91
1745.98
265.42
683.95
179.98
1494.00
1362.00
265.37
747.93
2553.00 น
1167.96
เวลาม2
ทล
ทล
257.53
*
*
*
0.16 น
40.55 น
167.66
0.73
369.36
0.02
0.34
0.11
10.45 น
1.34
0.02
0.14
วัตถุ
ซ้าย.
5512
7560
180
336
*
492
180
775
380
832
3087
0
0
*
72
108
26
76
51216
1746
266
684
180
1494
1362
266
748
1.42 2010
0.47 1168
14938
120
154
100
18
0
0
168
132
0
132
ซ้าย.
ของ
มาโคร (%)
572
3087
0
0
13
72
108
0
57
23.08 น
21.05 น
33.33 น
9.59 น
4.89
7.99
180.00 น
36.54 น
265.42
683.95
179.98
14.29 น
1362.00
265.37
747.93
0.87
5.75
3.75
8.91
4.41
1.57
3.85
0.00 น
2553.00 น
9.06 น
8.82
17.86 น
0.00 น
26.67 น
40.00 น
9.09 น
60
154
100
18
0
0
168
132
0
132
5511.93
7559.59
336.00
465.99
491.96
179.87
775.00
379.95
51215.91
30.00 น
14938
เวลายู=5
0.00 น
0.00 น
0.00 น
18.18 น
0.00 น
27.62 น
4.09
7.43 น
2.52
5.08
1745.99
20.83 น
0.00 น
56.66
6.60 น
1506.00
4.71
1213.96
10.53 น
ยู=5
ของ
มาโคร (%)
33.33 น
21.05 น
41.67
5511.90
7559.59
180.00 น
50.00 น
336.00
43.48 น
14.29 น
491.96
179.87
774.99
379.93
51215.91
1745.98
265.42
683.95
179.98
1494.00
1362.00
265.37
747.93
0.00 น
2553.00 น
*
0.00 น
26.67 น
50.00 น
9.09 น
9.09 น
0.00 น
0.00 น
0.00 น
17.24 น
18.18 น
0.00 น
5.00 น
*
1167.96
เวลายู=5
607.56
1105.02
36.72
1641.14
*
937.73
0.08
39.20 น
1.39 น
10.48 น
65.86
0.01
0.13
0.09
4.30 น
13.00 น
0.01
0.09
1.13
0.27
28
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
ตารางที่ 11: ผลลัพธ์สําหรับขั้นตอนฮิวริสติกที่มีรายการมาโครไม่จํากัด
ยู=1
Inst.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
วัตถุ
ซ้าย.
5512
7560
180
336
466
492
180
775
380
676
2898
0
0
13
54
108
0
38
51216
1746
266
684
180
1506
1362
266
748
2553
1214
14938
60
154
100
18
0
0
168
132
0
132
มาโคร (%)
ยู=5
ของ
เวลายู=1
วัตถุ
21.05 น
5511.92
7559.62
72.45 5512
9.15 7560
33.33 น
180.00 น
41.00 น
19.23น
73.33 น
12.12 น
14.29 น
0.00 น
26.67 น
40.00 น
9.09 น
17.39น
0.00 น
0.00 น
0.00 น
0.00 น
336.00
465.99
491.97
179.87
775.00
379.96
51215.91
1745.99
265.42
683.95
179.98
1506.00
14.29 น
1362.00
265.37
747.93
0.00 น
2553.00 น
18.18 น
0.00 น
10.53 น
1213.96
331.04
1233.50
449.96
9.79
14.11 น
8.69
180
336
466
492
180
775
380
7.40 51216
12.51 1746
0.87 266
5.62 684
3.51 180
8.29 1506
5.12 1362
1.57 266
3.75 748
9.93 2010
5.18 1214
ซ้าย.
มาโคร (%)
676
3087
0
0
13
54
108
0
57
14938
60
154
100
18
0
0
168
132
0
132
14.81 น
15.79 น
ของ
5511.92
7559.59
33.33 น
180.00 น
20.00 น
465.99
491.97
42.11
22.22 น
0.00 น
26.67 น
40.00 น
9.09 น
17.39น
336.00
179.87
775.00
379.95
51215.91
1745.99
เวลายู=5
86.71
13.73 น
46.81
373.17
1322.47
450.77
10.15 น
13.26 น
8.32 น
7.94
10.98 น
14.29 น
1362.00
265.37
747.93
0.87
5.75
3.75
8.91
4.41
1.57
3.85
0.00 น
2553.00 น
9.06 น
0.00 น
0.00 น
0.00 น
0.00 น
18.18 น
0.00 น
10.53 น
ในตารางที่ 8 และ 10 อินสแตนซ์ 12, 13, 14, 17 และ 19 มีค่าเหมือนกันในทุกคอลัมน์
เช่นเดียวกับในตารางที่ 6 เนื่องจากไม่มีรายการแมโครทีเ่ ป็นไปได้สําหรับอินสแตนซ์เหล่านี้ และ
อินสแตนซ์ 15, 16, 18 และ 20 มีค่าเท่ากันในทุกคอลัมน์ของตารางที่ 8 และในตารางที่ 10
เนื่องจากรายการมาโครที่เป็นไปได้ทําให้เกิดขยะน้อยกว่า 10% ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าทีส
่ ร้างขึ้น
ในสถานการณ์ที่มีรายการมาโครจํากัด แบบจําลองทีเ่ สนอพบโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดทีไ่ ด้รับ
จากม2สําหรับทุกกรณีเฉพาะเมื่อยู=5. ด้วย ยู=1 แบบจําลองพบวิธีแก้ปัญหาทีแ
่ ย่ที่สุดสําหรับ
อินสแตนซ์ 2 และ 9 เมื่อเปรียบเทียบกับปัญหาแบบ 2 ขั้นตอน การใช้รายการมาโครทําให้
สามารถปรับปรุงวิธแ
ี ก้ปัญหาได้ 13 จาก 15 อินสแตนซ์ และสําหรับสองตัวอย่างที่ 4 และ 9
พบว่าโซลูชันประกอบด้วยอย่างน้อย 50% ของรายการมาโคร
เกี่ยวกับเวลาแก้โมเดลด้วยยู=5 เร็วกว่ามากม2สําหรับห้าอินสแตนซ์ (1, 2, 6, 11 และ 15)
และช้ากว่าสําหรับอินสแตนซ์ 4, 8 และ 16 สําหรับอินสแตนซ์ที่เหลือ เวลาในการแก้ปัญหาจะ
ใกล้เคียงกัน รวมถึงเมื่อ ยู=1. ทั้งสองรุ่นถึงเวลาดําเนินการสูงสุดสําหรับอินสแตนซ์ 5 ซึ่งมี
รายการมาโคร 128 รายการ ซึ่งเป็นจํานวนสูงสุดที่สร้างจากอินสแตนซ์
การเพิ่มจํานวนของรายการมาโครที่เป็นไปได้ทําให้สามารถปรับปรุงโซลูชันของสองกรณี
ได้แก่ 8 และ 9 โดยรักษาเวลาในการแก้ปัญหาตํ่า ดังที่เห็นในตาราง 10 ด้วยรายการมาโครทีไ่ ม่
จํากัด เครื่องมือแก้ปัญหามีหน่วยความจําไม่เพียงพอโดยไม่พบ วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้หลัง
จากดําเนินการไม่กี่นาทีม2
สําหรับอินสแตนซ์ 4, 5 และ 6 สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับโมเดลทีเ่ สนอในบทความนี้ แต่สําหรับอิน
สแตนซ์ 5 เท่านั้น สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากรายการแมโครทีเ่ ป็นไปได้จํานวนมากในอินสแตนซ์เหล่า
นี้ อีกด้วย,ม2ถึงเวลาดําเนินการสูงสุดสําหรับอินสแตนซ์ 1 และ 2 โดยพบวิธีแก้ปัญหาที่แย่กว่า
โซลูชันที่พบ
265.42
683.95
179.98
1506.00
1213.96
4.71
29
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
โดยแบบจําลองที่เสนอในบทความนี้สําหรับอินสแตนซ์ 1 กระบวนการฮิวริสติกพบวิธีแก้ปัญหา
ที่ดีที่สุดสําหรับ 80% ของอินสแตนซ์ที่มีรายการมาโครจํากัด และ 60% มีรายการมาโครไม่
จํากัด ขั้นตอนนี้ลดเวลาในการแก้ปัญหาสําหรับหกกรณีแรกลงอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
อินสแตนซ์ 5 ที่มรี ายการมาโครไม่จํากัด ซึ่งไม่มีแบบจําลองใดพบวิธีแก้ปัญหา ในขณะทีเ่ วลาใน
การแก้ปัญหาแบบฮิวริสติกเท่ากับ 1322.47 วินาที
6.2 ผลการคํานวณสําหรับอินสแตนซ์ที่สร้างขึ้นแบบสุ่ม
วัตถุประสงค์หลักของการทดสอบคือการวิเคราะห์พฤติกรรมของแบบจําลองทีเ่ สนอและฮิวริ
สติกในสถานการณ์ทม
ี่ ีจํานวนรายการต่ออินสแตนซ์สูงกว่า
16 คลาสของอินสแตนซ์ถูกกําหนดด้วยส=แผ่นเพลทมาตรฐาน 2 ประเภทและจํานวนของ
เหลือในสต็อกที่แตกต่างกัน (ร=1 และ 2) จํานวนรูปแบบการตัดสูงสุดสําหรับแต่ละแผ่นโวลต์(
เจโวลต์) ถูกกําหนดให้เท่ากับจํานวนจานโวลต์มีอยูใ่ นสต็อก เราถือว่าฉัน=รายการ 3, 5, 8 และ
10 ประเภท ขนาดของพวกเขาถูกสร้างขึ้นตามขนาดของจานและของเหลือในสต็อก มีการ
พิจารณาสองสถานการณ์สําหรับมิติของรายการ:ฉัน)ความสูงและความกว้างทีส
่ ร้างขึ้นในช่วง
เวลา [0.05*ชมสูงสุด, 0.25*ชมสูงสุด] และ [0.05*วสูงสุด, 0.25*วสูงสุด] ตามลําดับ และii)ความ
สูงและความกว้างที่สร้างขึ้นในช่วงเวลา [0.1*ชมสูงสุด, 0.5*ชมสูงสุด] และ [0.1*วสูงสุด, 0.5*ว
สูงสุด], ที่ไหนชมสูงสุดคือความสูงสูงสุดในบรรดาแผ่นมาตรฐานและวสูงสุดคือความกว้างสูงสุดใน
บรรดาแผ่นมาตรฐาน จํานวนแผ่นในสต็อกถูกสร้างขึ้นเพื่อให้แน่ใจว่ามีอย่างน้อยหนึ่งหน่วย
ของแผ่นมาตรฐานแต่ละประเภทและแต่ละประเภททีเ่ หลือ นอกจากนี้ พื้นทีร่ วมของแผ่นในสต็
อกมักจะมากกว่า 120% ของพื้นที่รวมของรายการที่สั่งซื้อเสมอ ตารางที่ 12 อธิบายคลาส
สําหรับแต่ละคลาส มีการสร้างอินสแตนซ์ 10 รายการ และสามคอลัมน์สุดท้ายของตารางที่ 12
แสดงค่าเฉลี่ยของเพลตในสต็อก (โวลต์) รายการสั่งซื้อ (ฉัน′) และรายการแมโครทีเ่ ป็นไปได้ (
เค′). คําอธิบายแบบเต็มของอินสแตนซ์ทั้งหมดสามารถดูได้ที่ http://
data.mendeley.com/datasets/ddc79swng4/1
ระดับ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
ตารางที่ 12: คําอธิบายของคลาสของอินสแตนซ์
ส
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ร
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
ขนาดรายการ
5%-25%
5%-25%
5%-25%
5%-25%
10%-50%
10%-50%
10%-50%
10%-50%
5%-25%
5%-25%
5%-25%
5%-25%
10%-50%
10%-50%
10%-50%
ฉัน
3
5
8
10
3
5
8
10
3
5
8
10
3
5
8
โวลต์
7.6
ฉัน′
86.3
8.4 127.4
9.0 171.3
14.0 239.6 12.3
14.8 95.6 2.5
15.6 118.4 4.2
22.1 191.7 6.1
23.8 230.2
9.9 97.8
9.5 130.4
12.4 182.8
14.4 242.6 10.7
15.4 91.4 2.3
15.8 121.8 4.6
21.4 185.2 7.9
เค′
1.9
3.9
10.6
8.1
3.5
4.7
8.9
30
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
16
2
2
10%-50%
10
27.3 222.6 13.0
ในขั้นต้น อินสแตนซ์ทั้งหมดได้รับการแก้ไขโดยไม่มก
ี ารสร้างสิ่งตกค้าง (ยู= 0). ผลลัพธ์ที่
ได้จากแบบจําลองและขั้นตอนฮิวริสติกถูกนําไปเปรียบเทียบกับผลลัพธ์ทไี่ ด้จากแบบจําลองที่
เสนอใน Furini และคณะ (2559). ในเอกสารฉบับนั้น ผู้เขียนได้กล่าวถึงปัญหากระเป๋าเป้
สะพายหลังแบบสองมิติของกิโยตินเป็นหลัก แต่ยังนําเสนอส่วนขยายไปยังปัญหาอื่นๆ รวมถึง
ปัญหาการตัดสินค้าคงคลังแบบกิโยตินสองมิติ (2D-CSP) กลยุทธ์ทโี่ มเดลใช้คือการตัดแผ่น
แท้ในสต็อกผ่านการตัดกิโยตินในแนวนอนและแนวตั้ง เพลตที่เป็นผลลัพธ์ยังสามารถตัดหรือ
เก็บไว้เพื่อตอบสนองความต้องการได้หากขนาดเท่ากับขนาดของรายการทีส
่ ั่งซื้อรายการใด
รายการหนึ่ง กระบวนการนี้ทําซํ้าจนกว่าจานที่ได้จะมีขนาดใหญ่กว่ารายการที่สั่ง ดังนั้นแบบ
จําลองทีเ่ สนอโดย Furini และคณะ (2559) ไม่จํากัดจํานวนขั้นตอนการตัด
เกี่ยวกับการทดสอบการคํานวณสําหรับชั้นเรียนทีอ
่ ธิบายไว้ในตารางที่ 12 ขั้นตอนทีเ่ สนอ
โดย Furini และคณะ (2016) ได้รับการดัดแปลงเพื่อจํากัดปัญหาเป็นสามขั้นตอน โดย
พิจารณาจากแบบจําลองที่เสนอและขั้นตอนฮิวริสติกไปยัง 2D-CSPUL ดังนั้น ทั้งสองโมเดล
และโพรซีเดอร์ฮวิ ริสติกจึงมีพื้นที่โซลูชันเดียวกัน ตารางที่ 13 แสดงผลค่าเฉลี่ยของแบบ
จําลองทีเ่ สนอโดย Furini และคณะ (2016) และแบบจําลองและกระบวนการฮิวริสติกทีเ่ สนอใน
บทความนี้สําหรับอินสแตนซ์ทุกคลาสด้วยยู=0. ค่าเฉลี่ยสําหรับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (OF)
เวลาคํานวณเฉลี่ยเป็นวินาที (เวลา (s)) และช่องว่างเฉลี่ย (ช่องว่าง (%)) จะได้รับ ช่องว่างนีเ้ ป็น
พารามิเตอร์ที่จัดเตรียมโดยตัวแก้ปัญหา CPLEX ซึ่งระบุระยะห่างระหว่างโซลูชันจํานวนเต็มทีด
่ ี
ที่สุดในปัจจุบันกับโหนดที่ดีที่สุดทีเ่ หลืออยู่ หากช่องว่างเฉลี่ยของคลาสมีค่ามากกว่า 0
หมายความว่ามีเวลาแก้ปัญหาสูงสุดอย่างน้อยหนึ่งอินสแตนซ์ ตารางที่ 13 ยังแสดงจํานวน
เฉลี่ยของรูปแบบการตัดเริ่มต้น (Init.) และจํานวนเฉลี่ยของรูปแบบการตัดใหม่ (ใหม่) ทีส
่ ร้าง
ขึ้นโดยขั้นตอนแบบฮิวริสติก
ตารางที่ 13: ผลลัพธ์สําหรับตัวอย่างที่สร้างขึ้นแบบสุ่มด้วยยู=0.
ฟูรินี่และคณะ (2559)
ระดับ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ของ
16085.10
27245.50
27208.20
44761.10
67787.00
72443.10
106331.70
117978.40
15931.10
18483.30
เวลา (วินาที)
10.25 น
2331.21
ทล
ทล
0.66
2897.23
2507.45
ทล
395.62
2529.78
ฮิวริสติก
แบบอย่าง
ช่องว่าง (%)
0.00 น
2.07
2.92
2.78
0.00 น
0.98
0.40 น
0.64
0.32
1.08
ของ
16085.10
27245.50
27738.50
47134.50
67787.00
72450.00
110668.90
132096.50
15931.10
18483.30
เวลา (วินาที)
3.21
322.49
2526.90
3249.70
1436.12
3190.10
ทล
ทล
6.95
796.92
ช่องว่าง (%)
0.00 น
0.00 น
7.96
30.46 น
0.33
7.18 น
ของ
16150.10
27547.60
27691.50
45215.80
68095.80
72736.40
34.55 107969.60
60.81
0.00 น
0.22
120527.00
16067.20
18660.20
เวลา (วินาที)
ในนั้น.
ใหม่
4.43
29.60 1.90
41.70 1.60
37.36 น
45.40 1.30 น
621.36
68.90 1.40
21.02
92.70 2.00 น
61.42 102.40
2.50 น
11.07 น
813.86
1633.91
151.10
159.60
9.33 น
37.00 น
21.25 น
3.20 น
3.60
1.80
43.90 1.60
31
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
11
12
13
14
15
16
26242.00
38760.50
67374.10
64916.90
93915.00
113582.60
1.10
1.04
3171.32
ทล
4.42
0.00 น
0.28
1836.18
2737.60
3064.57
0.30 น
0.37
27204.80
41229.40
67465.90
65113.30
97850.90
128084.80
2999.20
14.08 น
ทล
25.38 น
1.47
674.71
3189.80
10.71 น
ทล
ทล
34.62
26844.50
39553.40
67904.80
65262.80
94991.80
71.03 115269.90
69.10 1.40 น
85.70 2.00 น
20.01 น
89.70 2.00 น
55.32 115.20
2.70
116.84
394.98
529.13
1173.05
TL = 3600 วินาที
แบบจําลองที่เสนอนําเสนอผลลัพธ์ที่ดีกว่าสําหรับชั้นเรียนทีม
่ ีประเภทรายการน้อยกว่า ส่วน
ใหญ่เป็นชั้น 2 และ 9 สําหรับชั้นเรียนเหล่านี้ ค่าเฉลี่ยสําหรับฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะเหมือนกับ
แบบจําลองที่ดัดแปลงจาก Furini และคณะ (2016) แต่มีช่องว่างเท่ากับ 0 และเวลาแก้ปัญหา
เฉลี่ยเร็วขึ้น 2,000 วินาทีสําหรับคลาส 2 และเร็วขึ้น 390 วินาทีสําหรับคลาส 9 สําหรับคลาสที่
มีรายการขนาดใหญ่และมีประเภทรายการมากกว่า แบบจําลองทีเ่ สนอมีช่องว่างเฉลี่ยสูงกว่า
ประมาณ 60% และ 70% อย่างไรก็ตาม กระบวนการฮิวริสติกมีประสิทธิภาพมากกว่าในทุกชั้น
เรียนด้วยฉัน=8 และฉัน=รายการ 10 ประเภท ส่วนใหญ่สําหรับคลาส 16 ซึ่งกระบวนการฮิวริ
สติกพบค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันวัตถุประสงค์เท่ากับ 115269.9 (Model = 128084.8) เมื่อ
เปรียบเทียบกับโมเดลที่ดัดแปลงจาก Furini และคณะ (2016) คําตอบทีไ่ ด้รับจากกระบวนการ
ฮิวริสติกเป็นที่น่าพอใจมาก เนื่องจากพวกเขาแย่ที่สุดเพียง 2.5%
คลาสของอินสแตนซ์ที่สร้างขึ้นแบบสุ่มได้รับการแก้ไขเช่นกันเมื่อพิจารณาจากการสร้าง
ของเหลือ มีการทดสอบสี่สถานการณ์ โดยเปลี่ยนจํานวนสูงสุดของสิ่งทีเ่ หลืออยู่ทส
ี่ ร้างขึ้นเป็น
ยู=1 และ 5 และเปลี่ยนอัตราการใช้ซํ้าเป็น α=100% และ 90% สําหรับสถานการณ์ทั้งหมด เรา
ได้กําหนดค่าตํ่าสุดและสูงสุด
ความสูงสําหรับของเหลือทีส
่ ร้างเป็นชม.ร นาที=0.4 และชม.ร สูงสุด=0.6.
ตารางที่ 14, 15, 16 และ 17 แสดงผลเฉลี่ยของแบบจําลองทีเ่ สนอและขั้นตอนฮิวริสติก
สําหรับสถานการณ์เหล่านี้ ส่วนหัวของคอลัมน์ทั้งหมดของตารางเหมือนกับในตารางที่ 13
ยกเว้นคอลัมน์ใหม่ "ซ้าย" ที่แสดงจํานวนเฉลี่ยของของเหลือทีส
่ ร้างขึ้น
ตารางที่ 14: ผลลัพธ์สําหรับอินสแตนซ์ที่สร้างขึ้นแบบสุ่มด้วยยู=1 และα= 100%
ฮิวริสติก
แบบอย่าง
ระดับ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
ของ
15750.10
26689.80
27338.60
46719.50
67216.30
71955.60
110352.80
129242.30
15708.80
18007.80
26770.40
40578.10
67032.90
64682.90
ซ้าย.
0.90
0.90
0.70
0.60
0.70
0.90
0.00 น
0.10
1.00 น
1.00 น
0.90
0.80
0.70
0.90
เวลา (วินาที)
10.22 น
2011.74
3594.63
3259.53
678.11
3358.50
ทล
ทล
116.65
1347.16
ทล
ทล
826.15
ทล
ช่องว่าง (%)
0.00 น
0.38
10.43 น
31.77 น
0.23
7.77
ของ
15854.30
27053.00
27149.30
44768.90
67216.30
71693.80
35.00 106761.40
58.80 119258.80
0.00 น
0.65
16.85 น
29.26 น
1.27
9.65 น
15816.80
18152.70
26639.30
39202.40
67546.20
64839.30
ซ้าย.
0.80
0.70
0.80
เวลา (วินาที)
4.53
12.88 น
1.00 น
45.80
750.13
1.00 น
110.56 น
0.70
0.90
1.00 น
1.00 น
1.00 น
0.90
0.80
0.70
1.00 น
15.45 น
837.73
1515.66
7.73
ในนั้น.
ใหม่
29.60 1.60
41.70 1.60
45.40 1.20 น
68.90 1.60
92.70 2.60
102.40 น
151.10
159.60
37.00 น
3.30 น
3.90
4.40 น
2.60
43.90 2.20
69.10 1.90
85.70 1.80
24.14 น
89.70 2.00 น
41.17 115.20 2.70
24.12
180.50
468.19
173.00 น
197.40 น
4.80
4.80
32
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
15
16
96884.10
128109.60
0.20
ทล
ทล
0.00 น
36.50 น
94515.80
74.51 114345.60
1.00 น
0.90
377.54
173.00 น
817.30 น
197.40 น
4.20 น
4.80
TL = 3600 วินาที
ตารางที่ 15: ผลลัพธ์สําหรับตัวอย่างที่สร้างขึ้นแบบสุ่มด้วยยู=1 และα= 90%.
ฮิวริสติก
แบบอย่าง
ของ
ระดับ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15890.10
26906.28
27633.50
47255.50
67384.80
72408.75
110235.60
130665.70
15884.80
18233.80
26936.80
41078.10
67229.81
64995.77
97083.54
125895.80
ซ้าย.
เวลา (วินาที)
0.40 น
0.80
0.60
0.20
0.40 น
0.60
0.10
0.10
0.40 น
0.60
0.50
0.40 น
0.50
10.39 น
ช่องว่าง (%)
0.00 น
1194.04
0.07
3255.89
703.87
3416.30
37.35 น
44.60 น
0.00 น
ทล
ทล
ทล
1469.52
ทล
ทล
793.02
ทล
ทล
ทล
0.40 น
0.30 น
0.00 น
11.81 น
0.14
7.78
ของ
15981.50
27379.36
27367.00
44950.52
67384.80
72108.20
33.98 107123.62
54.39 119462.45
1.09
15.02 น
30.39 น
1.23
8.93
32.04
15995.20
18415.42
26737.20
39400.40
67645.80
64881.80
94751.94
69.65 114527.90
ซ้าย.
เวลา (วินาที)
4.22
0.40 น
0.60
0.60
0.50
14.93 น
45.52 น
944.53
14.69 น
0.40 น
0.80
0.80
0.90
0.20
0.50
0.10
ในนั้น.
ใหม่
29.60 2.00 น
41.70 1.50
45.40 1.50 น
68.90 1.80
92.70 2.50
131.96
898.87
1589.34
102.40 น
151.10
159.60
3.50 น
7.57 น
37.00 น
2.00 น
173.00 น
4.00 น
197.40 น
4.50 น
3.80
4.50 น
43.90 2.30 น
69.10 1.60
85.70 1.70
21.05 น
89.70 2.30 น
46.24 115.20
3.60
18.75 น
114.27
527.56
0.40 น
0.30 น
0.40 น
0.60
426.20
1037.16
0.30 น
TL = 3600 วินาที
ตารางที่ 16: ผลลัพธ์สําหรับอินสแตนซ์ที่สร้างขึ้นแบบสุ่มด้วยยู=5 และα= 100%
ฮิวริสติก
แบบอย่าง
ระดับ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
ของ
15321.10
26287.60
26923.70
46579.20
66501.70
70795.30
109642.50
131999.50
15507.20
17780.50
26552.10
39902.90
66524.30
64328.10
96450.10
128725.30
ซ้าย.
3.40 น
4.10
4.10
2.90
3.20 น
4.20 น
3.00 น
0.80
4.10
3.70
3.50 น
3.20 น
2.60
4.00 น
3.80
1.30 น
เวลา (วินาที)
138.50 น
2275.00
ช่องว่าง (%)
0.00 น
2.33
ทล
ทล
21.84 น
ทล
ทล
ทล
13.29 น
1231.50
461.80
2232.70
48.95
1.24
15419.40
26533.40
26767.10
44308.90
66570.60
70534.80
47.54 105495.00
70.73
0.01
3.38
ทล
ทล
25.66 น
ทล
ทล
ทล
15.14 น
1022.81
ของ
39.60 น
1.89
43.45 น
117720.20
15584.6
17933.10
26304.90
38921.40
66776.80
64103.30
93335.60
76.93 113512.30
ซ้าย.
3.90
3.80
3.80
4.50 น
3.10
4.20 น
4.60
4.70
3.40 น
3.30 น
3.50 น
3.60
2.30 น
3.40 น
4.70
4.90
เวลา (วินาที)
6.05 น
20.32 น
80.70
1453.57
19.40 น
150.70
602.48
1533.03
7.81
ในนั้น.
ใหม่
29.60 1.90
41.70 2.00 น
45.40 1.50 น
68.90 2.50
92.70 2.70
102.40 น
151.10
159.60
37.00 น
3.70
4.20 น
6.00 น
1.50 น
43.90 1.90
69.10 3.40
85.70 2.90
18.12 น
89.70 2.60
49.15 115.20
3.00 น
35.81
673.29
1153.86
368.93
1786.69
173.00 น
197.40 น
5.60
6.80
33
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
TL = 3600 วินาที
ตารางที่ 17: ผลลัพธ์สําหรับอินสแตนซ์ที่สร้างขึ้นแบบสุ่มด้วยยู=5 และα= 90%.
ฮิวริสติก
แบบอย่าง
ของ
ระดับ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15801.16
26875.28
27692.50
47209.50
67120.47
71827.85
109738.14
133000.46
15873.68
18229.80
27144.83
40781.40
67118.21
65027.77
97169.28
130519.48
ซ้าย.
0.90
1.10
1.20 น
1.30 น
1.30 น
2.30 น
1.50 น
1.00 น
0.50
0.60
1.20 น
1.10
1.30 น
0.70
1.80
0.60
เวลา (วินาที)
11.20 น
2391.31
ทล
3306.05
1494.22
ทล
ทล
ทล
82.82
1627.08
ทล
ทล
973.78
ทล
ทล
3580.52
ช่องว่าง (%)
0.00 น
1.13
19.49 น
44.98
0.37
12.99 น
ของ
15872.73
27191.28
27300.50
44918.52
67284.80
71656.40
36.34 106388.10
71.17 118908.24
0.00 15973.36
3.42 18411.42
23.01 26714.20
42.46 39324.40
2.07 67556.80
14.51 64874.80
39.64 94358.06
70.62 114477.90
ซ้าย.
0.60
0.90
0.80
0.50
1.10
2.30 น
2.60
1.50 น
0.30 น
0.70
เวลา (วินาที)
4.95
20.44 น
60.30 น
779.43
15.19 น
117.28
523.51
1682.13
7.71
ในนั้น.
ใหม่
29.60 1.90
41.70 2.00 น
45.40 1.60
68.90 2.00 น
92.70 2.10
102.40 น
3.10
3.60
37.00 น
2.10
173.00 น
4.80
4.80
151.10
159.60
5.40 น
0.30 น
0.70
0.80
43.90 2.10
69.10 1.90
751.18
85.70 2.20
18.38 น
89.70 1.70
49.58 115.20
3.80
1.50 น
240.31 น
0.30 น
0.20
22.08 น
251.40 น
956.63
197.40 น
TL = 3600 วินาที
ผลลัพธ์ของแบบจําลองที่นําเสนอมีลักษณะหลายประการทีค
่ ล้ายคลึงกับผลลัพธ์ทไี่ ม่มก
ี าร
สร้างของเหลือ ได้รับผลลัพธ์ที่ดท
ี ี่สุดสําหรับชั้นเรียนด้วยฉัน=รายการประเภท 3 และ 5 ดีกว่า
ผลลัพธ์ที่ได้จากฮิวริสติกสําหรับทุกสถานการณ์ อย่างไรก็ตามสําหรับชั้นเรียนทีม
่ ีฉัน=8 และ
10 ช่องว่างสูงมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งสําหรับชั้นเรียนที่มรี ายการขนาดใหญ่ ทีเ่ กิดขึ้นเนื่องจาก
สินค้าทีม
่ ีขนาดใหญ่ขึ้น จํานวนเพลตทั้งหมดในสต็อกเพิ่มขึ้น ส่งผลต่อจํานวนสูงสุดของรูป
แบบการตัดที่แตกต่างกันที่สามารถสร้างได้สําหรับแต่ละเพลต (เจส) ทําให้เวลาคอมพิวเตอร์มี
ปัญหามีค่าใช้จ่ายสูง กระบวนการฮิวริสติกทํางานได้ดข
ี ึ้นในการทดสอบสําหรับคลาสเหล่านี้
เนื่องจากจํานวนเพลตที่มากขึ้นในสต็อกไม่รบกวนจํานวนของรูปแบบการตัดเริ่มต้นทีส
่ ร้างขึ้น
ในขั้นตอนที่ 1 ของโพรซีเดอร์ ขั้นตอนฮิวริสติกยังปรับปรุงโซลูชันสําหรับทุกชั้นเรียนเมื่อได้รับ
อนุญาตให้สร้างของเหลือมากขึ้น ในทางกลับกัน แบบจําลองมาถึงเวลาดําเนินการสูงสุดใน
แทบทุกกรณีของคลาส 8 และ 16 และมีโซลูชันทีด
่ ีกว่าสําหรับยู=1 กว่าสําหรับยู=
5. สําหรับคลาสเหล่านี้ ขั้นตอนฮิวริสติกปรับปรุงโซลูชันได้มากถึง 14% ในเวลาเฉลี่ยน้อยกว่า
ครึ่งหนึ่ง
7 ข้อสรุป
บทความนี้นําเสนอแบบจําลองทางคณิตศาสตร์ใหม่และกระบวนการฮิวริสติกเพื่อแก้ปัญหาการ
ตัดสต็อกแบบสองมิติด้วยของเหลือที่ใช้งานได้ (2D-CSPUL) แบบจําลองทีน
่ ําเสนอมี
วัตถุประสงค์เพื่อสร้างรูปแบบการตัดและกําหนด
34
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
ความถี่ตามลําดับในเวลาเดียวกัน สําหรับเพลตหลายประเภทในสต็อก (เพลตมาตรฐานและของ
เหลือ) ทําให้สามารถสร้างของเหลือที่ใช้งานได้ซึ่งสามารถนําไปตัดในกระบวนการตัดในอนาคต
ได้
แบบจําลองที่นําเสนอพิจารณาแนวคิดของแถบ ซึ่งประกอบด้วย ขั้นแรก การแบ่งแผ่นใน
แถบแนวนอน ซึ่งสามารถจัดสรรรายการหลายรายการเคียงข้างกันได้ เนื่องจากความสูงของ
รายการเหล่านั้นไม่เกินความสูงของแถบ รายการสามารถรวมกันเพื่อสร้างรายการแมโครที่
สามารถปันส่วนในแถบ สิ่งที่เหลืออยูถ
่ ูกสร้างขึ้นจากการตัดแนวนอนของกิโยตินเพียงครั้ง
เดียวในวัตถุ และความสูงของพวกมันจะต้องอยูภ
่ ายในช่วงทีก
่ ําหนดไว้ล่วงหน้า
มีการเสนอขั้นตอนฮิวริสติกเพื่อให้วิธแ
ี ก้ปัญหาจํานวนเต็มในโลกแห่งความจริงสําหรับ
ปัญหาขนาดใหญ่ กลยุทธ์ของขั้นตอนนี้คือการแก้ปัญหาโมเดลทีเ่ สนอซึ่งอนุญาตให้สร้างรูป
แบบการตัดใหม่เพียงรูปแบบเดียวในการทําซํ้าแต่ละครั้ง เพื่อให้มั่นใจถึงความเป็นไปได้ของ
กระบวนการ ชุดของรูปแบบการตัดเริ่มต้นจะถูกสร้างขึ้น โดยจัดลําดับความสําคัญของรูปแบบ
การตัดทีม
่ ีของเสียน้อยที่สุด
การทดสอบทางคอมพิวเตอร์ดําเนินการเพื่อประเมินแบบจําลองทีเ่ สนอและกระบวนการฮิว
ริสติกโดยเปรียบเทียบกับแบบจําลองอื่น ๆ จากเอกสาร แบบจําลองเหล่านีไ้ ด้รับการดัดแปลง
และใช้งานเพื่อพิจารณารายการขนาดใหญ่ และได้รับการทดสอบด้วยตัวอย่างของตนเองและ
ตัวอย่างที่สร้างขึ้นแบบสุ่มสําหรับบทความนี้ โมเดลทีเ่ สนอมีประสิทธิภาพมากในการแก้ปัญหา
20 ตัวอย่างจาก Andrade และคณะ (2016) การค้นหาโซลูชันทีเ่ หมาะสมที่สุดในการคํานวณ
เวลาที่เหมาะสม ในทางกลับกัน ขั้นตอนฮิวริสติกทํางานได้ไม่ดส
ี ําหรับอินสแตนซ์เหล่านี้
เนื่องจากมีขนาดเล็ก โดยมีน้อยกว่า 50 รายการ ในการทดสอบชุดทีส
่ อง ด้วยตัวอย่างทีส
่ ร้าง
ขึ้นแบบสุ่ม แบบจําลองที่เสนอและกระบวนการฮิวริสติกถูกนําไปเปรียบเทียบกับแบบจําลองที่
ดัดแปลงจาก Furini และคณะ (2559). โมเดลที่เสนอมีผลลัพธ์ทด
ี่ ก
ี ว่าสําหรับคลาสของอินส
แตนซ์ทม
ี่ ีไอเท็มไม่กี่ประเภทและไอเท็มที่เล็กกว่า สําหรับชั้นเรียนทีม
่ ีรายการขนาดใหญ่และ
ประเภทต่างๆ มากขึ้น ขั้นตอนฮิวริสติกนั้นดีกว่าและให้ผลลัพธ์ทใี่ กล้เคียงกับผลลัพธ์ของแบบ
จําลองจาก Furini และคณะ (2559).
สําหรับการวิจัยในอนาคต สามารถสํารวจการขยาย 2D-CSPUL ไปยังปัญหาหลายช่วง
เวลาโดยพิจารณาจากขอบฟ้าการวางแผน หรือขยายไปยังสถานการณ์สุ่ม เช่น กรณีที่มค
ี วาม
ไม่แน่นอนในความต้องการสินค้า เกี่ยวกับกระบวนการฮิวริสติกทีเ่ สนอ มันเป็นเรื่องทีน
่ ่าสนใจที่
จะใช้วิธก
ี ารทางเลือกเพื่อสร้างชุดของรูปแบบเริ่มต้นทีม
่ ีเป้าหมายเพื่อตรวจสอบผลกระทบต่อ
การบรรจบกันของฮิวริสติก
กิตติกรรมประกาศงานวิจัยนี้ได้รับทุนสนับสนุนจากมูลนิธิวิจัยเซาเปาโล (Fundação de Amparo à Pesquisa do
Estado de เซาเปาโล) FAPESP (หมายเลขอนุญาต 2016/01860-1, 2018/16600-0, 2018/07240-0 และ
2019/25041-8) และสภาพัฒนาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีแห่งชาติ (Conselho Nacional de
Desenvolvimento Cientı́fico e เทคโนโลจิโก) CNPq (หมายเลขอนุญาต 421130/2018-0, 306558/2018-1
และ 317460/2021-8)
งานนี้ได้รับการสนับสนุนบางส่วนจาก ERDF - European Regional Development Fund ผ่านโครงการ
Operational Program for Competitiveness and Internationalization - COM-PETE 2020 Program
และโดย National Funds ผ่านหน่วยงานระดมทุนของโปรตุเกส FCT - Fundação para a Ciência ea
Tecnologia, IP ภายในโครงการ POCI-01-0145-FEDER-029609.
35
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
ภาคผนวก: ตัวอย่างจาก Andrade และคณะ (2559)
ดูตารางที่ 18
ตารางที่ 18: คําอธิบายของอินสแตนซ์จาก Andrade และคณะ (2559).
วัตถุ
Inst.
1
ส
3
ความกว้าง×ความสูง
3 (52×53)
ฉัน'
32
2
2
2 (63×60)
23
3
7
24×14, 2 (18×10), 24×13, 3 (13×10)
17
4
11
2 (24×14), 3 (18×10), 2 (24×13), 4 (13×10)
27
5
6
16
8
2 (24×14), 5 (18×10), 3 (24×13), 6 (13×10)
2 (24×14), 4 (18×10), 2 (24×13)
37
34
7
3
24×14, 18×10, 24×13
11
8
10
3 (28×17), 3 (16×27), 4 (13×23)
19
9
4
3 (19×10), 19×26
17
10
6
2 (290×106), 2 (148×183), 2 (194×132)
13
11
13
5 (25×21), 5 (27×19), 3 (30×24)
37
รายการ
ความกว้าง×ความสูง
19×21, 7×20, 4×20, 15×20, 14 ×20, 14×
19, 17×19, 10×17, 13×
17, 5×17, 16×17, 20×16, 5×16, 3×15, 5×
14, 18×14, 10×13, 14 ×12, 11×11, 2×10, 7
×9, 14×8, 13×8, 9×7, 7×7, 16×6, 20×5, 2×
5, 9×3, 17×3, 5×3, 4×2
22×23, 17×23, 13×22, 7×22, 9 ×21, 5×20,
20×20, 6×19, 7×17, 14×16, 12×14, 15×14,
20×14, 9 ×10, 16×9, 20×9, 18×8, 3×8, 12×
7, 18×6, 20×4, 9×3, 6×3
3×5, 2×5, 4×3, 6×3, 3×3, 7×
3, 2×2, 6×2, 9×2, 4×2, 1×2, 7 ×2, 4×1, 6×1,
2×1, 9×1, 7×1
3×5, 1×5, 7×5, 2×5, 3×4, 7×
4, 4×4, 4×3, 1×3, 6×3, 8×3, 3 ×3, 7×3, 5×2,
6×2, 2×2, 9×2, 4×2, 1×2, 7×2, 8×1, 2×1, 6×
1, 7×1, 9×1, 4×1, 5×1
3×5, 1×5, 7×5, 2×5, 8×5, 6×
4, 5×4, 3×4, 7×4, 4×4, 1×4, 2 ×4, 4×3, 5×3,
1×3, 2×3, 6×3, 8×3, 3×3, 7×3, 6×2, 9×2, 7×
2, 4×2, 5×2, 1×2, 2×2, 3×2, 6 ×1, 2×1, 4×1,
8×1, 5×1, 9×1, 3×1, 1×1, 7×1
3×5, 1×5, 7×5, 2×5, 8×5, 6×
4, 3×4, 7×4, 4×4, 1×4, 2×4, 4 ×3, 5×3, 1×3,
6×3, 8×3, 3×3, 7×3, 6×2, 7×2, 9×2, 5×2, 4×
2, 2×2, 1×2, 3×2, 9×1, 7×1, 8 ×1, 5×1, 2×1,
6×1, 4×1, 1×1
2 (2×2), 6×2, 4×2, 1×2, 2 (7×
1), 4×1, 9×1, 6×1, 2×1
1×10, 6×10, 4×9, 8×9, 9×9, 5 ×8, 2×7, 4×6,
10×6, 6×6, 10×
5, 5×5, 8×5, 4×4, 7×4, 10×4, 6×4, 7×3, 10×
2
2×9, 2×8, 5×8, 3×8, 4×7, 5×
7, 4×6, 6×4, 2×4, 3×4, 4×3, 2 ×3, 6×2, 5×2,
1×1, 2×1, 3×1
2 (63×59), 63×55, 48×48, 17×
43, 98×40, 38×35, 2(114×33), 24 ×23, 62×
19, 2(110×11)
8 (11×7), 5 (7×5), 9 (9×5), 5 (10 ×5), 10 (3×
2)
36
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
7
4
12
19
1
5
16
9
14×19
2 (21×24), 5 (10×18)
24×14, 2 (18×10), 24×13
4 (26×19), 4 (22×23), 4 (30×17)
6 (30×11), 6 (27×13), 7 (12×26)
14×19
3 (22×17), 2 (14×30)
4 (30×22), 4 (30×24), 8 (10×21)
5 (22×17), 4 (14×30)
12
32
28
34
21
17
24
41
21
12 (2×4)
15 (4×7), 17 (1×4)
12 (7×1), 7 (6×1), 9 (4×1)
13 (7×6), 10 (9×4), 11 (11×3)
10 (8×10), 9 (10×3), 2 (11×2)
7 (2×4), 10 (1×3)
14 (2×11), 10 (5×5)
15 (9×7), 11 (11×6), 15 (1×5)
8 (2×11), 7 (8×9), 6 (5×5)
อ้างอิง
Andrade R, Birgin EG, Morabito R, Ronconi DP (2014) รุ่น MIP สําหรับ
ปัญหาการตัดแบบสองมิติที่ไม่ใช่กิโยตินด้วยของเหลือใช้ J Oper Res Soc
65(11):1649-–1663. https://doi.org/10.1057/jors.2013.108. Andrade R,
Birgin EG, Morabito R (2016) กิโยโลสองมิตส
ิ องขั้นตอนตัดปัญหาสต๊อกสินค้าด้วยของเหลือใช้ Int T Oper Res 23:121— 145. https://
doi.org/10.1111/itor.12077.
Arenales MN, Cherri AC, ทํา Nascimento DN, Vianna ACG (2015)
แบบจําลองทางคณิตศาสตร์ใหม่สําหรับการตัดสินค้าคงคลัง/ปัญหาของเหลือ เปสกิซา
โอเปอเรชันนัล 35(3):509-–522. https://doi.org/10.1590/01017438.2015.035.03.0509.
Birgin EG, Romão OC, Ronconi DP (2020) สองมิติหลายช่วงเวลา
การตัดสินค้าคงคลังแบบไม่ใช้กโิ ยตินด้วยของเหลือใช้ Int T ระบบปฏิบัติการ
27(3):1392—1418. https://doi.org/10.1111/itor.12648.
Bouaine A, Lebbar M, Ha MA (2018) การลดเศษไม้ให้เหลือน้อยที่สุดสําหรับ
อุตสาหกรรมการตกแต่ง: ปัญหาการตัดสต็อกแบบสองมิติ จัดการ Prod Eng Rev
9(2):42-–51. https://doi.org/10.24425/119524.
Cherri AC (2009) Algumas extensões do problemsa de corte de estoque com
sobras de วัสดุ aproveitáveis. วิทยานิพนธ์ปริญญาเอก, ICMC-USP, São Carlos,
Brazil.
Cherri AC, Arenales MN, Yanasse HH, Poldi KC, Vianna ACG (2014)
ปัญหาการตัดสต็อกหนึ่งมิติด้วยของเหลือใช้ - แบบสํารวจ Eur J Oper Res
236(2):395–402.
Christofides N, Hadjiconstantinou E (1995) อัลกอริทึมทีแ
่ น่นอนสําหรับ orthogo-
ปัญหาการตัด 2 มิติโดยใช้กิโยตินคัท Eur J Oper Res 83(1):21– 38. https://
doi.org/10.1016/0377-2217(93)E0277-5.
Cintra GF, Miyazawa FK, Wakabayashi Y, Xavier EC (2008) อัลกอริทึม
สําหรับการตัดสต็อคแบบสองมิตแ
ิ ละปัญหาการบรรจุสตริปโดยใช้โปรแกรมไดนามิกและ
การสร้างคอลัมน์ Eur J Oper Res 191:61-–85. https://doi.org/10.1016/
j.ejor.2007.08.007.
Clautiaux F, Sadykov R, Vanderbeck F, Viaud Q (2019) รูปแบบฮิวริสติกจากการดํานํ้าตามการตัดกิโยตินสองมิติ
ชื่อถูกระงับเนื่องจากความยาวมากเกินไป
37
ปัญหาสต็อกของเหลือ ยูโร เจ. คอมพิวเตอร์ เพิ่มประสิทธิภาพ 7:265–297. https://
doi.org/10.1007/s13675-019-00113-9.
Coelho KR, Cherri AC, Baptista EC, Jabbour CJC, Soler EM (2017)
การดําเนินงานที่ยั่งยืน: การตัดปัญหาสินค้าคงคลังด้วยของเหลือทีใ่ ช้งานได้จากมุมมอง
ที่ยั่งยืน J Clean Prod 167:545–552. https://doi.org/10.1016/
j.jclepro.2017.08.153.
do Nascimento DN, de Araújo SA, Cherri AC (2020) การรวมขนาดล็อตและ
ปัญหาการตัดสต็อกหนึ่งมิติด้วยของเหลือใช้ แอน โอเปอเรเตอร์ เรส https://doi.org/
10.1007/s10479-020-03772-9.
Dusberger F, Raidl GR (2015) การแก้ปัญหา 3 ขั้นตอน 2 มิติ
ตัดปัญหาสินค้าคงคลังด้วยการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกและการค้นหาพื้นทีใ่ กล้เคียง
แบบแปรผัน หมายเหตุอิเล็กตรอน Discret Math 47:133—140. http://
dx.doi.org/10.1016/j.endm.2014.11.018.
Furini F, Malaguti E, Durán RM, Persiani A, Toth P (2012) คอลัมน์ genฮิวริสติกสําหรับการตัดสต็อกด้วยกิโยตินแบบสองมิตส
ิ องมิติด้วยขนาดสต็อกหลาย
ขนาด Eur J Oper Res 218(1):251-–260. https://doi.org/10.1016/
j.ejor.2011.10.018.
Furini F, Malaguti E (2013) แบบจําลองสําหรับการตัดแบบสองขั้นตอนแบบสองมิติ
ปัญหาสต็อกที่มส
ี ต็อกหลายขนาด ระบบปฏิบัติการคอมพิวเตอร์ Res 40(8):1953– พ.ศ. 2505 https://doi.org/10.1016/j.cor.2013.02.026.
Furini F, Malaguti E, Thomopulos D (2016) การสร้างแบบจําลองกิลสองมิติปัญหาการตัดลอตทีนด้วยโปรแกรมจํานวนเต็ม แจ้ง J Comput 28:736-–751
https://doi.org/10.1287/ijoc.2016.0710.
Gilmore PC, Gomory RE (1961) การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น apชี้แนะปัญหาการตัดสต็อก ระบบปฏิบัติการ 9(6):849–859. https://doi.org/
10.1287/opre.9.6.849.
Gilmore PC, Gomory RE (1963) วิธก
ี ารเขียนโปรแกรมเชิงเส้น
สู่ปัญหาการตัดสต๊อก - ตอนที่ II. ระบบปฏิบัติการ 11(6):863–888. https://doi.org/
10.1287/opre.11.6.863.
Gilmore PC, Gomory RE (1965) ปัญหาการตัดสต็อกแบบหลายขั้นตอน
ขนาดตั้งแต่สองมิติขึ้นไป ระบบปฏิบัติการ 13(1):94–120. https://doi.org/
10.1287/opre.13.1.94.
Kwon SJ, Joung S, Lee K (2019) การวิเคราะห์เปรียบเทียบ
แบบจําลองตามรูปแบบสําหรับปัญหาสต็อกตัดกระดาษกิโยตินสองขั้นตอนสองมิติ
ความละเอียดของระบบปฏิบัติการคอมพิวเตอร์ 109:159–169 https://doi.org/
10.1016/j.cor.2019.05.005.
Li F, Chen Y, Hu X (2022) ความยาวคอยล์เหล็กซิลก
ิ อนที่เน้นการผลิต ตัดปัญหาเรื่องสต็อกอย่างชาญฉลาดด้วยของเหลือใช้ Eng Comput (สวอนซี)
39(2):477–492. https://doi.org/10.1108/EC-11-2020-0660.
Liu L, Liu X, Pei J, Fan W, Pardalos PM (2017) การศึกษาเพื่อการตัดสินใจ
การตัดสต็อกด้วยความหงุดหงิดของแท่งกรวย Oper Res Int J 17:187-–204.
https://doi.org/10.1007/s12351-015-0221-x.
Lodi A, Monaci M (2003) โมเดลโปรแกรมเชิงเส้นจํานวนเต็มสําหรับ 2 ขั้นตอน
ปัญหาเป้สองมิติ โปรแกรมคณิตศาสตร์ 94(2):257-–278. https://doi.org/
10.1007/s10107-002-0319-9.
Martin M, Hokama PH, Morabito R, Munari P (2020) ข้อ จํากัด สอง -
38
Douglas Nogueira do Nascimento และคณะ
ปัญหาการตัดกิโยตินในมิตท
ิ ี่มีข้อบกพร่อง: สูตร ILP, การสลายตัวของ Benders และ
อัลกอริทึมที่ใช้ CP Int J Prod Res 58(9):2712-–2729. https://doi.org/
10.1080/00207543.2019.1630773. Morabito R (1989) Corte de estoque
สองมิติ วิทยานิพนธ์, ICMC–USP,
เซาคาร์ลอส ประเทศบราซิล
Silva E, Alvelos F, de Carvalho JV (2010) แบบจําลองการเขียนโปรแกรมจํานวนเต็ม
สําหรับปัญหาสต็อกตัดสองมิติสองและสามขั้นตอน Eur J Oper Res 205(3):699–
708. https://doi.org/10.1016/j.ejor.2010.01.039. Suliman S (2006) ขั้นตอน
ฮิวริสติกตามลําดับสําหรับสอง
ปัญหาการตัดสต็อกมิติ Int J Prod Econ 99(1):177—185. https://doi.org/
10.1016/j.ijpe.2004.12.017.
Sumetthapiwat S, Intiyot B, Jeenanunta C (2020) การสร้างคอลัมน์
ในปัญหาการตัดสต็อกแบบสองมิติด้วยของเหลือใช้ขนาดคงทีแ
่ ละสต็อกหลายขนาด Int
J Logist Syst จัดการ 35(2):273-–288. https://doi.org/10.1504/
IJLSM.2020.104781.
Tomat L, Gradisar M (2017) การตัดสต็อกแบบมิติเดียว: การเพิ่มประสิทธิภาพของ
ของเหลือใช้ได้ในลําดับที่ต่อเนื่องกัน Cent Eur J Oper Res 25(2):473– 489. https://doi.org/10.1007/s10100-017-0466-y.
Wang PY (1983) สองอัลกอริธึมสําหรับสองมิติที่มข
ี ้อจํากัด
ตัดปัญหาสต๊อกสินค้า แจ้งรายละเอียดการดําเนินงาน 31(3):573-–586. https://
www.jstor.org/stable/170624
Wang D, Xiao F, Zhou L, Liang Z (2020) หนังสองมิติing และตัดปัญหาสต็อกด้วยค่าติดตั้งตามการสร้างคอลัมน์และแถว Eur J Oper Res
286(2):547-–563. https://doi.org/10.1016/j.ejor.2020.03.060.
Wuttke DA, Heese HS (2018) ปัญหาการตัดสต็อกแบบสองมิติด้วย
เวลาตั้งค่าขึ้นอยูก
่ ับลําดับ Eur J Oper Res 265(1):303-–315. https://doi.org/
10.1016/j.ejor.2017.07.036.
ดูสถิติสิ่งพิมพ์