حسابان ()2
رشتۀ ریاضی و فیزیک
پایۀ دوازدهم
دورۀ دوم متوسطه
وزارت آموزش و پرورش
سازمان پژوهش و برنامه‌ريزي آموزشي
نام کتاب:
پدیدآورنده:
مدیریت برنامهریزی درسی و تألیف:
شناسه افزوده برنامهریزی و تألیف:
مدیریت آمادهسازی هنری:
شناسه افزوده آمادهسازی:
نشانی سازمان:
ناشر:
چاپخانه:
سال انتشار و نوبت چاپ:
شابك9:ـ3112ـ05ـ964ـ978
9ـ 3112ـ 05ـ 964ـ ISBN: 978
حسابان ( )2ـ پایۀ دوازدهم دورۀ دوم متوسطه ـ 112214
سازمان پژوهش و برنامهریزی آموزشی
دفتر تألیف کتابهای درسی عمومی و متوسطه نظری
سیدمحمدرضا احمدی ،حمیدرضا امیری ،علی ایرانمنش ،مهدی ایزدی ،محمدحسن بیژن زاده،
سیدصالحی ،میرشهرام
خسرو داودی ،زهرا رحیمی ،محمدهاشم رستمی ،ابراهیم ریحانی ،محمدرضا ّ
صدر ،اکرم قابل رحمت ،طاهر قاسمی هنری و عادل محمدپور (اعضای شورای برنامه ریزی)
سیدصالحی ،محمدتقی طاهری تنجانی ،مجتبی قربانی
محمود داورزنی ،ابراهیم ریحانی ،محمدرضا ّ
و هادی مین باشیان (اعضای گروه تألیف)
اداره ّ
کل نظارت بر نشر و توزیع مواد آموزشی
احمدرضا امینی (مدیر امور فنی و چاپ) ـ جواد صفری (مدیر هنری) ـ شهرزاد قنبری (صفحهآرا) ـ مریم
کیوان (طراح جلد) ـ فاطمه رئیسیانفیروزآباد (رسام) ـ فاطمه باقریمهر ،سوروش سعادتمندی ،سیما
لطفی ،الهام جعفرآبادی ،فاطمه پزشکی و ناهید خیامیاشی (امور آمادهسازی)
تهران :خیابان ایرانشهر شمالی ـ ساختمان شمارۀ ٤آموزش و پرورش (شهید موسوی)
تلفن٩ :ـ ،٨٨٨٣١١٦١دورنگار ،٨٨٣٠٩٢٦٦ :کد پستی١٥٨٤٧٤٧٣٥٩ :
وبگاه www.chap.sch.ir :و www.irtextbook.ir
شرکت چاپ و نشر کتاب های درسی ایران تهران :کیلومتر ١٧جادۀ مخصوص کرج ـ خیابان ٦١
(داروپخش) تلفن ٥ :ـ ،٤٤٩٨٥١٦١دورنگار ،44985160 :صندوق پستی١٣٩ :ـ ٣٧٥١٥
شرکت چاپ و نشر کتابهای درسی ایران « سهامی خاص»
چاپ اول 1397
ارزشهای معنوی
ارزشهای همیشگی
هستند.
برای خدا کار کنید تا
نتیجه کارتان تا ابد باقی
بماند.
امامخميني
« قدسس ّره‌الشريف»
کلیه حقوق مادی و معنوی این کتاب متعلق به سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی
وزارت آموزش و پرورش است و هرگونه استفاده از کتاب و اجزای آن به صورت چاپی
و الکترونیکی و ارائه در پایگاه های مجازی ،نمایش ،اقتباس ،تلخیص ،تبدیل ،ترجمه،
عکس برداری ،نقاشی ،تهیه فیلم و تکثیر به هر شکل و نوع ،بدون کسب مجوز از این
سازمان ممنوع است و متخلفان تحت پیگرد قانونی قرار می گیرند.
فهرست
فصل :1تابع 1................................................................................................................
درس ا ّول :تبدیل نمودار توابع 2.............................................
درس دوم :تابع درجه سوم ،توابع یکنوا و بخش پذیری و تقسیم 13....................
فصل :2مثلثات 23...........................................................................................................
درس ا ّول :تناوب و تانژانت 24...............................................
درس دوم :معادالت مثلثاتی35...............................................
فصل :3حدهای نامتناهی ـ حد در بینهایت 45................................................
درس ا ّول :حدهای نامتناهی 46..............................................
درس دوم:حد در بی نهایت59................................................
فصل :4مشتق 71............................................................................................................
درس ا ّول :آشنایی با مفهوم مشتق 72..........................................
درس دوم :مشتق پذیری و پیوستگی84.........................................
درس سوم :آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه ای تغییر102..........................
فصل : 5کاربردهای مشتق 111....................................................................................
درس ا ّول :اکسترمم های یک تابع و توابع صعودی و نزولی 112..........................
درس دوم :جهت تقعر نمودار یک تابع و نقط ٔه عطف آن127.............................
درس سوم :رسم نمودار تابع 137.................................................
منابع 145.............................................................................................................................
مقدمه
کتاب حاضر در راستای برنامۀ درسی ملی و در ادامه تغییر کتاب های ریاضی دورۀ دوم متوسطه تألیف شده است .یکی از تفاوت های مهم
این کتاب با کتاب قبلی مربوط به دوره پیش دانشگاهی ،کاهش قابل مالحظه محتوا است .همانند پایه های قبلی ،ساختار کتاب براساس سه
محور اساسی فعالیت ،کار در کالس و تمرین قرار گرفته است .از این میان« ،فعالیت ها» موقعیت هایی برای یادگیری و ارائه مفاهیم جدید
ریاضی فراهم می کنند و این امر مستلزم مشارکت جدی دانش آموزان است .البته معلم هم در این میان نقشی مهم برای راهنمایی و هدایت کلی
فعالیت ها به عهده دارد .با توجه به اینکه کتاب برای دانش آموزان سطح متوسط طراحی شده است ،با درنظر گرفتن شرایط مختلف ،امکان
غنی سازی فعالیت ها و یا ساده سازی آنها به وسیله معلم وجود دارد .در هرحال تأکید اساسی مؤلفان ،محور قرار دادن کتاب درسی در فرایند
آموزش است .در همین راستا توجه به انجام فعالیت ها در کالس درس و ایجاد فضای بحث و گفت وگو و دادن مجال به دانش آموز برای
کشف مفاهیم به طور جدی توصیه می شود.
زمان کالس درس نباید به مباحثی خارج از اهداف کتاب درسی اختصاص یابد .همچنین نباید آزمون های مختلف خارج از مدرسه مبنای
آموزش مفاهیم در کالس درس واقع شوند ،بلکه این کتاب درسی است که سطح و سبک آزمون ها را مشخص می کند .در بسیاری از موارد
درباره یک مفهوم ،حد و مرزهایی در کتاب رعایت شده است که رعایت این موضوع در ارزشیابی ها و آزمون های رسمی برای همه طراحان
الزامی است .رعایت این محدودیت ها موجب افزایش تناسب بین زمان اختصاص یافته به کتاب و محتوای آن خواهد شد .شایسته است
همکاران ارجمند بر رعایت این موضوع نظارت دقیق داشته باشند .روند کتاب نشان می دهد که ارزشیابی باید در خدمت آموزش باشد .در
واقع ارزشیابی باید براساس اهداف کتاب باشد و نه موضوعاتی که احیاناً پیش از این ،سال ها به صورت سنتی ارائه شده اند و یا توسط برخی
از کتاب های غیراستاندارد توصیه می شوند .طرح این گونه سؤاالت که اهداف آموزشی کتاب را دنبال نمی کنند در کالس درس و نیز در
ارزشیابی ها ،به هیچ عنوان توصیه نمی شود.
ارتباط بین ریاضیات مدرسه ای و محیط پیرامون و کاربردهای این دانش در زندگی روزمره ،که به وضوح در اسناد باالدستی مورد تأکید قرار
گرفته است ،به صورت تدریجی خود را در کتاب های درسی نشان می دهد .تالش برای برقراری این ارتباط در تصاویر کتاب نیز قابل مشاهده
است که امید است مورد توجه معلمان و دانش آموزان عزیز قرار گیرد.
اگر مهم ترین هدف آموزش ریاضی را پرورش تفکر ریاضی بدانیم ،دیگر استفاده افراطی از فرمول ها ،الگوریتم ها ،قواعد و دستورها بدون
آگاهی از چگونگی و چرایی عملکرد آنها ،جایگاهی در آموزش ریاضی مدرسه ای نخواهد داشت .فرصت حضور دانش آموز در کالس درس
را نباید به سادگی از دست داد .فرایندهایی مانند استدالل ،تعمیم ،حل مسئله ،طرح مسئله و موضوعاتی نظیر مسائل باز پاسخ ،بازنمایی های
چندگانه و گفتمان ریاضی نقش مهمی در پرورش تفکر ریاضی دانش آموزان دارد.
مؤلفان از کلیه امکانات موجود نظیر سامانه اعتبارسنجی ،وبگاه گروه ریاضی دفتر تألیف ،پیام نگار (ایمیل) ،دعوت از دبیران مجرب برای
حضور در جلسات نقد و بررسی کتاب و دیگر رسانه های در دسترس برای دریافت دیدگاه ها ،نقدها و نظرات دبیران محترم سراسر کشور بهره
گرفته اند .در راستای مشارکت دبیران محترم ریاضی ،پاره ای از تصاویر و عکس های مورد استفاده در کتاب توسط این عزیزان از استان های
مختلف کشور به گروه ریاضی ارسال شده است ،که الزم است از زحمات آنها تشکر و قدردانی شود .اعضای تیم تألیف به حضور و مشارکت
جدی همکاران ارجمند در امر نقد و بررسی کتاب افتخار می کنند .امید که همچنان شاهد این تعامل و ارتباط مؤثر باشیم .گروه تألیف آمادگی
دریافت نظرات و دیدگاه های تمامی همکاران و اساتید را از طریق پیام نگار 1و وبگاه واحد تحقیق ،توسعه و آموزش ریاضی 2دارد به عالوه
بسیاری از مطالب مربوط به پشتیبانی کتاب از طریق وبگاه واحد ریاضی قابل دریافت است.
مؤلفان
mathrde@gmail.comــ1
http://math-dept.talif.sch.irــ2
1
فصل
تابع
1
2
تبدیل نمودار توابع
تابع درجه سوم ،توابع یکنوا و بخش پذیری و تقسیم
(اسفند)
(فروردین)
(فروردین)
(اردیبهشت)
پل طبیعت ( تهران)
بسیاری از وقایع طبیعی به کمک توابع ،مدل سازی می شوند.تبدیل نمودار تابع y = sinxبه صورت
آفتاب در ابتدای هر ماه شهر تهران است که نمودار آن در باال رسم شده است.
1 / 24 sin( π x − π ) + 19 / 14
6
6
=ریاضی زمان های غروب
، yمدل
1
تبدیل نمودار توابع
درس
برای رسم بسیاری از توابع ،نیاز به روش های پیچیده نیست .اگر نمودار یک تابع را در اختیار داشته
باشیم ،می توانیم به کمک برخی از تبدیل ها ،نمودار توابع دیگری را رسم کنیم.
انتقال های عمودی و افقی
در سال های قبل بـا انتقال های عمودی و افقی آشنا شده اید .به عنوان مثال می توانید نمودار توابع
y = (x +2)2و y = x2 + 3را به کمک نمودار تابع y = x2رسم کنید.
y
y = x2
y
6
y = x 2+ 3
5
5
4
4
y = x2
3
3
2
2
y= (x + 2)2
1
x
3
2
6
1
0
-1
-1
-2
-3
-4
-5
1
x
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-1
(الف)
(ب)
yباشد و تابع g
در حالت کلی (مانند مثال باال ،قسمت ب) اگر ( )x0, y0یک نقطه از نمودار تابع ) = f (x
به صورت g (x ) = f (x ) +kتعریف شده باشد ،آنگاه:
g (x0) = f (x0) +k =y0+k
بنابراین نقطه ( )x0, y0+kاز نمودار تابع gمتناظر با نقطه ( )x0, y0از نمودار fاست.
فصل اول :تابع 3
برای رسم نمودار ،y = f (x ) +kاگر k >0باشد ،کافی است نمودار تابع ) f (xرا kواحد در راستای قائم به سمت باال
انتقال دهیم و برای k <0این انتقال به سمت پایین انجام می شود.
y
=
y f (x ) + k
y
) y = f (x
) y = f (x
=
y f (x ) + k
x
x
k >0
k <0
به روش مشابه ،اگر ( )x0, y0یک نقطه از نمودار تابع ) y = f (xباشد و تابع hبه صورت ) h (x ) = f (x +kتعریف شده باشد،
آنگاه:
h (x0 -k) = f (x0 -k +k) = f (x0) = y0
بنابراین نقطه ( )x0-k , y0از نمودار تابع hمتناظر با نقطه ( )x0, y0از نمودار تابع fاست.
برای رسم نمودار ) ،y = f (x +kاگر k >0باشد ،کافی است نمودار تابع ) f (xرا kواحد در جهت افقی به سمت چپ
انتقال دهیم و برای ،k <0این انتقال به اندازه | |kواحد به سمت راست انجام می شود.
y
y
=
) y f (x + k
) y = f (x
) y = f (x
=
) y f (x + k
=
) y f (x + k
x
x
x
k <0
=
) y f (x + k
k >0
4
π
مثال :نمودار تابع y = sin xبا دامنه ] [0,2πرسم شده است .می خواهیم نمودار تابع f (x ) = sin x +2و ) g (x ) = sin (x −
2
صفحه قبل ،کافی است نمودار تابع y = sin xرا 2واحد به باال انتقال دهیم تا
را به کمک انتقال رسم کنیم .با توجه به توضیحات
ٔ
) f (xرسم شود (شکل الف) و اگر آن را
π
2
واحد به راست انتقال دهیم g (x) ،رسم می شود( .شکل ب)
y
y
4
4
3
3
2
2
1
x
2π
π
3π
2
π
2
0
1
x
2π + π
2
2π
π
3π
2
0
π
2
-1
-1
-2
-2
(الف)
(ب)
کاردرکالس
1
الف) نمودار تابع f (x ) = xرا با دامنه ] [0,4رسم کنید و برد تابع را مشخص کنید.
ب) نمودار توابع ) k (x ) = f (x -2و g (x ) = f (x ) +3را به کمک انتقال رسم کنید.
ج) دامنه و برد توابع kو gرا محاسبه و با دامنه و برد تابع fمقایسه کنید.
y
+3
)g (x ) = f (x
)-2
6
k (x ) = f (x
f (x ) = x
][0,4
5
دامنه
4
برد
3
2
1
x
7
6
5
4
3
2
1
-1 0
-1
فصل اول :تابع 5
π
x -1
x
=
2در زیر ،نمودار توابع y =log2x ،y = 2و y =cosxرسم شدهاند .نمودار توابع y =log2(x +2) ،y =2 +2و ) y cos (x +
2
را به کمک انتقال رسم کنید.
y
y
x
2π
π
3π
2
4
4
3
3
5
2
2
4
1
1
0
π
2
y
6
x
-π
2
3
2
4
5
2
3
0
1
-2
-1
1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
x
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-1
-2
مثال :نمودار تابع fبه صورت زیر داده شده است .با انتقال های افقی و عمودی ،نمودار تابع y =f (x +1) -3را رسم
می کنیم.
y
4
3
2
1
x
4
5
2
3
0
1
-1
-2
-3
-4
-1
-2
برای این کار ابتدا نمودار تابع fرا یک واحد به سمت چپ انتقال می دهیم تا نمودار تابع ) y = f (x + 1رسم شود (شکل الف) و
سپس این نمودار را سه واحد به پایین منتقل می کنیم تا نمودار تابع y = f (x + 1) -3رسم شود (شکل ب).
y
y
4
1
3
x
(الف)
4
3
2
1
x
3
3
2
1
0
2
-1
1
-2
0
-1
-2
-3
-4
-5
-1
-2
-3
-4
-5
-3
-1
-4
-2
-5
(ب)
-4
6
انبساط و انقباض عمودی
فعالیت
1
در جدول زیر ،چند نقطه از نمودارهای توابع y = sin xو y = 3sin xرا مشخص کرده و نمودار آنها را در بازه []0, 2π
رسم کرده ایم .با تکمیل این جدول ،نمودار تابع y = 1 sin xرا نیز در دستگاه زیر رسم کنید.
2
y
4
3
2
1
x
2π
π
3π
2
0
π
2
-1
-2
2π
3π
2
π
π
2
0
x
0
-1
0
1
0
y =sin x
0
-3
0
3
0
y =3sin x
...
...
...
...
...
1
y = sin x
2
-3
-4
2
مقایسه نمودارهای باال ،نمودارهای توابع y = 3sin xو y = 1 sin xچه تفاوتی با نمودار تابع y = sin xدارند؟
با
ٔ
3
دامنه و برد توابع y = 3sin xو y = 1 sin xچه تفاوتی با دامنه و برد تابع y = sin xدارند؟
2
در حالت کلی اگر
آنگاه:
2
()x0, y0
یک نقطه از نمودار تابع ) y = f (xباشد و تابع gبه صورت ) g (x ) = k f (xتعریف شده باشد،
g (x0) = k f (x0) = k y0
بنابراین ( )x0, k y0یک نقطه از نمودار تابع gمتناظر با نقطه ( )x , y0از نمودار تابع fاست.
فصل اول :تابع 7
برای رسم نمودار تابع ) ،y = k f (xکافی است عرض نقاط نمودار تابع ) y = f (xرا در kضرب کنیم .در شکل های
زیر ،نمودار تابع ) y = k f (xبرای دو حالت k >1و 0 <k <1رسم شده است.
y
y
) y = kf (x
) y = f (x
) y = f (x
) y = kf (x
0
0
0< k <1
k >1
اگر k >1باشد ،نمودار ) y = k f (xاز انبساط عمودی نمودار ) y = f (xحاصل می شود و اگر 0 <k <1باشد،
نمودار ) y = k f (xاز انقباض عمودی نمودار ) y = f (xبه دست می آید.
اگر عرض نقاط تابع ) y = f (xرا قرینه کنیم ،نقاط تابع ) y = -f (xبه دست می آیند .بنابراین نمودار تابع ) ،y = -f (x
قرینه نمودار تابع ) y = f (xنسبت به محور xاست.
کاردرکالس
1اگر دامنه و برد تابع ) y = f (xبه ترتیب بازه های ] [a,bو ] [c,dباشند،
دامنه و برد تابع ) y = k f (xرا برای k <0و k >0تعیین کنید.
y
3
2
1
2
نمودار توابع زیر را به کمک نمودار تابع y = x2رسم کنید.
الف)
2
ب) y = 2x -1
پ) نمودار روبه رو از قرینه یابی و انتقال نمودار تابع | y = | xبه دست آمده
است .ضابطه این تابع را مشخص کنید.
y = -x
2
x
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-1
-2
-3
-4
-5
8
3نمودار تابع ) y = f (xدر زیر رسم شده است .با انجام مراحل زیر ،نمودار تابع y = -f (x -1) +2را رسم کنید.
y
y
x
2
3
y
3
3
3
2
2
2
2
1
1
y
3
0
1
-1
-2
-3
x
3
2
1
-1
1
0
-2
-1
-3
x
2
3
0
1
-1
-2
-1
-3
-2
x
2
3
1
-1
-2
y =− f (x − 1) + 2
1
-1
-2
=y
)− f (x − 1
0
-1
-2
-3
-2
) y = f (x
=
)y f (x − 1
انبساط و انقباض افقی
فعالیت
در دستگاه زیر ،نمودار تابع y = sin xدر فاصله ] [0,2πرسم شده است.
1با تکمیل جدول زیر ،نقاطی از نمودار تابع y = sin2 xمشخص می شود .با کمک این جدول نمودار این تابع را در فاصله
] [0, πرسم کنید.
y
2
1
π
3π
4
π
2
π
4
0
x
...
...
...
...
...
y = sin2 x
x
2π
3π
2
π
3π
4
π
2
π
4
0
-1
-2
2
با مقایسه نمودارهای توابع y = sin xو ، y = sin2 xچه تفاوتی بین آنها وجود دارد؟
-π
2
فصل اول :تابع 9
در حالت کلی اگر ( )x0, y0یک نقطه دلخواه از نمودارتابع ) y = f (xباشد و تابع gبه صورت ) g (x ) = f (k xتعریف شده باشد،
x
x0
=( 0 ) f (k
=) f
(x0) y0
=g
k
k
آنگاه:
بنابراین نقطه
x0
), y0
k
( یک نقطه از نمودار تابع و متناظر با نقطه ( )x0, y0از نمودار تابع fاست.
برای رسم نمودار تابع ) ،y = f (k xکافی است طول نقاط نمودار تابع ) y = f (xرا در
1
k
ضرب کنیم.
در شکل های زیر ،نمودارتابع ) y = f (k xبرای دو حالت k >1و 0 <k <1رسم شده است.
y
) y = f (x
) y = f (kx
x
y
) y = f (kx
) y = f (x
x
الف) k >1
ب) 0< k <1
اگر k >1باشد ،نمودار ) y = f (k xاز انقباض افقی نمودار ) y = f (xدر راستای محور xها به دست می آید و اگر
0 <k <1باشد ،این نمودار از انبساط افقی نمودار ) y = f (xحاصل می شود.
اگر طول نقاط تابع ) y = f (xرا قرینه کنیم ،نقاط تابع ) y = f (-xبه دست می آیند .بنابراین نمودار تابع ) = f (-x
قرینه نمودار تابع ) y = f (xنسبت به محور yاست.
y
10
کاردرکالس
1اگر دامنه و برد تابع ) y = f (xبه ترتیب بازه های ] [a,bو ] [c,dباشند ،دامنه و برد تابع ) = f (k x
تعیین کنید.
yرا برای k < 0و k > 0
y
4
2اگر نمودار تابع ) y = f (xبه صورت مقابل باشد،
نمودارتوابع ) y = f (3xو ) y = f (- xرا رسم کنید.
3
2
2
1
x
6
5
4
3
2
1
0
-1
-3
-2
-4
-5
-6
-7
-1
-2
3نمودار توابع زیر را به کمک نمودار تابع y = cosx
-3
رسم کنید.
-4
(y = cos2x -1الف
) ( y = 2cos ( xب
3
مثال :اگر نمودار تابع fبه صورت زیر باشد ،نمودارتابع
) g (x ) = f (2x +1را به کمک آن رسم می کنیم.
y
4
اگر ) A = (x 0 , y0یک نقطه از نمودار تابع fباشد ،آنگاه
x −1
A′ = 0 , y 0
2
نقطه متناظر آن روی نمودار تابع
3
2
g
است ،زیرا:1
f
1
x
6
5
4
3
2
1
-1
x 0 − 1
x − 1
= g 0
f 2
=1) f (x
= f (x 0 − 1+
= + 1
0) y 0
2
2
-2
بنابراین نقاط مشخص شده در نمودار fرا یک واحد
به سمت چپ منتقل کرده و سپس طول آنها را بر ٢تقسیم
y
4
3
2
می کنیم تا نقاط متناظر از gبه دست آیند.
x −1 x
با توجه به اینکه ، 0 = 0 − 1آیا می توانید روشی
2
2 2
دیگر برای رسم نمودار تابع gپیشنهاد کنید؟
آیا می توان برای رسم نمودار تابع ،gابتدا نمودار تابع
) y = f (2xرا رسم کرد و سپس آن را یک واحد به چپ منتقل
کرد تا ) g (x) = f (2x + 1رسم شود؟ چرا؟
1ــ برای یافتن طول نقطه ،A′از معکوس تابع y = 2x + 1استفاده می کنیم.
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
g
1
x
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
فصل اول :تابع 11
تمرین
1
هر یک از توابع زیر ،تبدیل یافته تابع
= yهستند .هر یک از آنها را به نمودارش نظیر کنید.
x
=(الف
y
2+ x
2+ x
=( yب
−2 x
= ( yپ
x
2
= ( yت
( y =+ث
2
x −2
=( yج
−2x
y
x
7
6
2
1
5
3
4
2
1
y
6
4
5
3
3
4
2
2
3
1
1
2
0
x
4
2
3
0
1
x
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-1
-3
-2
-4
)( b
)(a
y
y
5
4
x
3
7
6
5
4
3
-3
-2
-3
)( c
-1
-2
-4
-1
1
-1
-1
x
y
4
2
1
y
2
6
1
5
0
4
-1
2
-1
3
1
-2
2
-3
1
0
-2
-1
-3
-4
-5
-6
-1
-4
-2
-5
x
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
)( f
)( e
)(d
-1
12
2
نمودار تابع fدر شکل زیر رسم شده است .نمودار هر یک از توابع زیر را رسم کنید.
y
) (y = f (-xالف
)( y = 2f (x -1ب
( y = -f (x ) +2پ
x
)( y = f (2x -1ت
) ( y = f (3-xث
3
نمودار تابع fدر شکل زیر رسم شده است .نمودار توابع زیر را رسم کنید و آنها را با نمودار fمقایسه کنید.
y
4
) (y = f (-xالف
3
) ( y = -f (xب
2
1
x
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
) ( y = -f (-xپ
-4
-1
-2
-3
-4
y
4
4نمودار تابع مقابل فقط از قرینه یابی و انتقال نمودار تابع
y = xبه دست آمده است .ضابطه این تابع را بنویسید.
3
2
1
x
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
2
تابع درجه سوم ،توابع یکنوا و بخش پذیری و تقسیم
درس
فرض کنید nیک عدد صحیح نامنفی و a n -1،...،a 2 ،a 1 ،a0و anاعداد حقیقی باشند که .a n ≠0تابع
1
) f (xکه به صورت زیر تعریف می شود ،تابع چند جمله ای از درجه nنامیده می شود.
f (x ) = a n x n + a n -1x n -1 +...+a 2 x +a 1 x +a 0
2
تابع ثابت ،f (x ) = cیک تابع چند جمله ای از درجه صفر و تابع خطی f (x ) = m x +bکه ،m ≠0یک
تابع چند جمله ای از درجه یک است .به همین ترتیب یک سهمی به معادله f (x ) = a x2 +bx +cیک تابع
چند جمله ای از درجه دو است.
y
y
=f (x
) 2x + 2
5
x
4
3
2
3
3
4
3
1
x
4
3
2
1
1
4
2
2
f (x ) = x 2 − 2x + 2
y
4
0
-1
-2
-3
-4
-1
-2
تابع درجه دو
1
0
f (x ) = 2
2
1
-1
-3
-2
-4
x
4
3
1
2
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
تابع درجه یک
تابع درجه صفر
کاردرکالس
در زیر چند تابع چند جمله ای نوشته شده اند .درجه هر کدام را مشخص کنید.
n (x ) =2x -x4
p (x ) = x2(1-x )3
1ــ برای ،f (x)=0درجه تعریف نمی شود.
-4 ,
,
0
h (x ) = x3+x
m (x ) = 5
-1
-3
f (x ) = 2x
,
-1)2+3 ,
g (x ) = (x
-2
-3
-4
14
فعالیت
یکی از توابع چند جمله ای درجه سه،
تابع f (x ) = x3است.
y
8
1با تکمیل جدول مقابل ،نمودار تابع
f (x ) = x3را رسم کنید.
3نمودار تابع
ضابطه f -1را تعیین کنید.
(-2)3= -8
-2
6
5
-1
2به کمک نمودار رسم شده برای
تابع ،f (x ) = x 3نشان دهید که این تابع
وارون پذیر است.
f -1
y = x3
x
7
= (− 1)3
−1
2
8
−1
2
0
0
4
3
2
1
x
5
4
2
3
1
-1
-1
-2
1
2
را رسم کنید و
0
-2
-3
-3
-4
1
1
-5
-6
2
-7
کاردرکالس
-8
1
نمودار هر یک از توابع زیر را به کمک نمودار تابع y = x 3رسم کنید.
2
) y = - x3 +1ب
) y = x3 -3x 2+3xپ
نمودار هر یک از توابع y = x2و y = x 3در فاصله ] [0,2رسم شده است.
) y = (x +1)3الف
در فاصله ] ،[0,1نمودار کدام تابع پایین تر و نمودار کدام تابع باالتر است؟ در فاصله ] [1,2چطور؟
y
y
1/2
9
1/1
8
1
y =x3
0/9
7
0/8
6
0/7
5
0/6
0/5
y = x2
4
0/4
y =x3
3
0/3
y = x2
0/2
2
0/1
1
x
1/2
1/1
1
-4
0/9
0/8
0/7
0/6
0/5
0/4
0/3
0/2
0/1
-0/1 0
-0/1
-0/2
-0/2
x
4
3
2
1
0
-1
-1
-2
-3
-4
-5
فصل اول :تابع 15
توابع صعودی و توابع نزولی
فعالیت
تنفس هوای پاک در شهرهای صنعتی یکی از آرزوهای ساکنین این شهرهاست .بر اساس شاخص کیفیت هوا ( ،)AQIکیفیت
هوای یک منطقه ،یکی از وضعیت های پاک ،سالم ،نا سالم برای گروه های حساس ،نا سالم ،بسیار نا سالم و خطرناک می باشد.
نمودار زیر ،میانگین شاخص کیفیت هوا در 15روز پایانی دی ماه سال 1395در شهر تهران را نشان می دهد.
100
(شاخص کیفیت هوا)
150
50
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
19
20
17
18
0
16
روزهای دی ماه
الف) شاخص کیفیت هوا در چه فاصله های زمانی رو به افزایش بوده است؟
ب) شاخص کیفیت هوا در چه فاصله های زمانی رو به کاهش بوده است؟
پ) این شاخص در چه فاصله زمانی ثابت بوده است؟
دامنه تابع fکه در شکل مقابل دیده می شود ،بازه ] [1, 8است .در
ٔ
بازه ] ،[1,3هم زمان با افزایش ،xنمودار تابع رو به باال می رود .به همین
خاطر به تابع fدر بازه ] [1,3صعودی می گوییم .در بازه ] [3,4مقدار
تابع ثابت است.
در ادامه و در بازه ] ،[4, 8هم زمان با افزایش ،xنمودار تابع رو به پایین
می رود و به همین منظور به تابع fدر بازه ] [4, 8نزولی گفته می شود.
y
x
8
7
6
5
4
3
2
1
0
16
توابع صعودی و توابع نزولی
اگر برای هر دو نقطه aو bاز دامنه تابع fکه ،a < bداشته باشیم ) ،f (a ) ≤ f (bآنگاه fرا تابعی صعودی می نامیم .از آنجائی
که معموال ً رفتار تابع را در بازه هایی از اعداد حقیقی بررسی می کنیم ،بنابراین می توان گفت:
تابع fرا در یک بازه ،صعودی می گوییم ،اگر برای هر دو مقدار aو bدر این بازه که ،a < bآنگاه ) .f (a ) ≤ f (bدر فاصله ای
که یک تابع صعودی است ،با حرکت روی نمودار (از چپ به راست) ،رو به پایین نخواهیم رفت .نمودارهای زیر همگی مربوط به
توابع صعودی اند.
y
y
x
y
x
x
y
x
تابع fرا در یک بازه ،نزولی می گوییم ،اگر برای هر دو مقدار aو bدر این بازه که ،a < bآنگاه ) .f (a ) ≥ f (bدر فاصله ای
که یک تابع نزولی است ،با حرکت روی نمودار (از چپ به راست) ،رو به باال نخواهیم رفت .نمودارهای زیر همگی مربوط به توابع
نزولی اند.
y
x
y
x
y
x
y
x
به تابعی که در یک بازه فقط صعودی یا فقط نزولی باشد ،یکنوا می گوییم.
تابع fرا در یک بازه ،ثابت می گوییم ،اگر برای تمام مقادیر xدر این بازه ،مقدار ) f (xثابت باشد .با توجه به تعاریف باال،تابع
ثابت در یک بازه ،هم صعودی و هم نزولی محسوب می شود.
فصل اول :تابع 17
ً
اکیدا صعودی و توابع اکید ًا نزولی
توابع
y
تابع fرا در یک بازه ،اکید ًا صعودی می گوییم ،اگر برای هر دو
مقدار aو bدر این بازه که ،a < bآنگاه ) .f (a ) < f (bدر فاصله ای که
یک تابع اکید ًا صعودی است ،با حرکت روی نمودار (از چپ به راست)،
همواره رو به باال خواهیم رفت( .شکل الف)
) f (b
) f (a
x
0
a
b
ً
اکیدا صعودی
الف) تابع
y
تابع fرا در یک بازه ،اکید ًا نزولی می گوییم ،اگر برای هر دو
مقدار aو bدر این بازه که ،a < bآنگاه ) .f (a ) > f (bدر فاصله ای که
یک تابع اکید ًا نزولی است ،با حرکت روی نمودار (از چپ به راست)،
همواره رو به پایین خواهیم رفت( .شکل ب)
) f (a
) f (b
x
a
b
0
ً
اکیدا نزولی
ب) تابع
y
به تابعی که در یک بازه فقط اکید ًا صعودی یا فقط اکید ًا نزولی باشد،
اکید ًا یکنوا می گوییم.
مثال :نمودار تابع fدر شکل مقابل رسم شده است .در فاصله
] (- ∞,-1تابع fثابت است .همچنین در فاصله ] [-1,0تابع اکید ًا نزولی
و در فاصله )∞ [0,+تابع اکید ًا صعودی است.
x
0
-1
کاردرکالس
1
نمودار توابع زیر را رسم کنید.
|+2
h (x ) = |x
,
g (x ) = 2
-x
الف) در چه بازه هایی این توابع ،اکید ًا صعودی و در چه بازه هایی اکید ًا نزولی هستند؟
ب) کدام یک از آنها در تمام دامنه خود ،اکید ًا یکنوا است؟
,
+2x
f (x ) = x2
18
x 2 x ≥ −1
2نمودار تابع
f (x ) =
2 x < −1
را رسم کنید .در چه فاصله هایی این تابع صعودی و در چه فاصله هایی نزولی است؟
3
الف) اگر تابع fدر یک فاصله اکید ًا صعودی باشد ،آیا صعودی نیز هست؟ چرا؟
ب) اگر تابع fدر یک فاصله صعودی باشد ،آیا اکید ًا صعودی نیز خواهد بود؟ مثال بزنید.
4
الف) فرض کنید تابع fدر یک فاصله اکید ًا صعودی باشد و aو bمتعلق به این فاصله باشند .اگر ) f (a ) ≤ f (bنشان دهید که .a ≤ b
ب) اگر ) ،log(x +1) ≤ log(2x -3حدود xرا به دست آورید.
تقسیم و بخش پذیری
فعالیت
با تقسیم چند جمله ای ها بر یکدیگر آشنا هستید .توابع چند جمله ای f (x ) = x3 -3x2+1و p (x ) = x2 -2را درنظر می گیریم.
الف) اگر ) q (xو ) r (xبه ترتیب خارج قسمت و باقیمانده تقسیم ) f (xبر ) p (xباشند .نشان دهید که q (x ) = x -3و .r (x ) = 2x -5
ب) درستی تساوی ) f (x ) = p (x ) q (x ) + r (xرا بررسی کنید.
قضیه تقسیم برای چند جمله ای ها
اگر ) f (xو ) p (xتوابع چند جمله ای باشند و درجه ) p (xاز صفر بزرگ تر باشد ،آنگاه توابع چند جمله ای منحصر بفرد
) q (xو ) r (xوجود دارند به طوری که:
) f (x ) = p (x ) q (x ) + r (x
که در آن r (x) = 0یا درجه ) r (xاز درجه ) p (xکمتر است.
اگر r (x ) = 0باشد ،چندجمله ای fبر چندجمله ای pبخش پذیر است.
فصل اول :تابع 19
کاردرکالس
اگر
f (x ) = x4 - 16
و ،p (x ) = x +2نشان دهید که
) f (x
بر ) p (xبخش پذیر است.
فعالیت
در تقسیم f (x ) = x3 +2بر q )x( ،p (x ) = 2x -1و ( r )xبه ترتیب خارج قسمت و باقی مانده اند.
الف) نشان دهید که ) r (xاز درجه صفر است.
ب) با توجه به قضیه تقسیم می توان نوشت:
) f (x ) = (2x -1) q (x ) + r (x
اکنون ریشه چند جمله ای p (x ) = 2x -1را به دست آورید و با قرار دادن در رابطه باال نشان دهید که ). r (x ) = f ( 1به طورکلی
2
می توان گفت:
قضیه :باقی مانده تقسیم چند جمله ای ) f (xبر a x + bعبارت است از ) . r (x ) = f ( −b
a
کاردرکالس
1
باقی مانده تقسیم چند جمله ای x3 +x -2را بر 2x +1به دست آورید.
2
اگر چند جمله ای x2 +ax -2بر x -aبخش پذیر باشد ،مقدار aرا تعیین کنید.
20
فعالیت
با اتحادهای زیر از سال های قبل ،آشنا هستید.
)x3 -a3 = (x -a) (x2 +a x + a2
و
1
از تقسیم x4 -a4بر x -aنشان دهید که:
2
آیا ( n ∈ ) x n -a nبر x -aبخش پذیر است؟
3
از تقسیم x n -a nبر x -aنشان دهید که x n -a nبه صورت زیر تجزیه می شود.
)x2 -a2 = (x -a) (x +a
)x4 -a4= (x -a) (x3 + ax2 + a2x + a3
)x n -a n = (x -a)(x n -1 +ax n -2 +a 2 x n -3+...+an -2x +a n -1
4
چند جمله ای های x 5 -1و x 6 -64را به کمک اتحاد باال تجزیه کنید.
کاردرکالس
1
در اتحاد باال ،اگر nفرد باشد ،با تغییر aبه -aاتحاد زیر را نتیجه بگیرید.
)x n +a n = (x +a)(x n -1 -ax n -2 +a 2 x n -3-...-an -2x +a n -1
به کمک این اتحاد ،چند جمله ای x 5 +1را تجزیه کنید.
2
در فعالیت باال ،اگر nزوج باشد ،با تغییر aبه -aاتحاد زیر را نتیجه بگیرید.
)x n -a n = (x +a)(x n -1 -ax n -2 +a 2 x n -3-...+an -2x -a n -1
به کمک این اتحاد ،چند جمله ای x 4 -16را طوری تجزیه کنید که x +2یک عامل آن باشد.
فصل اول :تابع 21
تمرین
1
تابع f (x ) = (x -2)3 +1را درنظر بگیرید.
الف) نمودار تابع fرا به کمک نمودار تابع y = x3رسم کنید.
ب) نشان دهید که fوارون پذیر است و نمودار f -1را رسم کنید.
پ) ضابطه f -1را به دست آورید.
2
نمودار توابع g ،fو hدر زیر رسم شده اند.
y
y
x
0
) y = h(x
x
2
0
y
-2
) y = g(x
x
0
2
-3
) y = f (x
الف) تابع fدر چه فاصله هایی اکید ًا صعودی و در چه فاصله هایی صعودی است؟
ب) تابع gدر چه فاصله هایی اکید ًا نزولی و در چه فاصله هایی نزولی است؟
پ) تابع hدر چه فاصله هایی اکید ًا نزولی است؟
3
نمودار هر یک از توابع زیر را رسم کنید .کدام یک از آنها در تمام دامنه خود ،اکید ًا یکنواست؟
2− x
=f (x
)
)الف
) g (x) = 2-xب
) h (x ) = log2 xج
22
4
آیا تابعی وجود دارد که در یک فاصله ،هم صعودی و هم نزولی باشد؟
5اگر توابع fو gدر یک فاصله اکید ًا صعودی باشند ،نشان دهید که تابع f + gنیز در این فاصله اکید ًا صعودی است .برای
تابع f - gچه می توان گفت؟
6
اگر باقی مانده تقسیم چند جمله ای x3 + kx2 +2بر x -2برابر با 6باشد k ،را تعیین کنید.
7
مقادیر aو bرا طوری تعیین کنید که چند جمله ای x3 + ax2 + bx +1بر x -2و x +1بخش پذیر باشد.
8
هر یک از چند جمله ای های زیر را بر حسب عامل های خواسته شده تجزیه کنید.
الف) x 6 -1با عامل -1
ب) x 6 -1با عامل +1
x
پ) x 5 +32با عامل +2
9
x
x
الف) فرض کنید تابع fدر یک بازه اکید ًا نزولی باشد و aو bمتعلق به این بازه باشند .اگر ) f (a ) ≤ f (bنشان دهید که .a ≥ b
ب) اگر
1
64
≤ ، ( 1)3x −2حدود xرا به دست آورید.
2
2
فصل
مثلثات
1
2
تناوب و تانژانت
معادالت مثلثاتی
انشعاب رگ ها در بدن انسان به گونه ای است که مقاومت هیدرولیکی درون رگ ها تابعی مثلثاتی از زاویه بین هر دو رگ متصل به هم است.در شبیه سازی کامپیوتری
از شبکه رگ ها این خاصیت مورد توجه قرار می گیرد.
1
تناوب و تانژانت
درس
با توابع مثلثاتی f (x) = sin xو f (x) = cos xدر سال گذشته آشنا شدیم و دیدیم که در آنها
مقادیر تابع برای هر دو نقطه به
فاصله 2πروی محور xها یکسان است ( sin (x ± 2k π) = sin xو
ٔ
) cos (x ± 2k π ) = cos xبه عبارتی اگر تکه ای از نمودار این توابع را در بازه ای به طول 2πداشته باشیم،
با تکرار این تکه می توان نمودار توابع فوق را به دست آورد .این مطلب را می توانید در شکل های زیر مشاهده
y
نمایید.
) y =sin(x
x
x
) y =sin(x
2
y
12
10
8π
6π
4π
3π
2π
π
8π
6π
4π
3π
2π
π
) y =cos(x
1y
2
8π
6π
4π
3π
2π
y =cos(x ) π
1
0
8π
6π
4π
3π
2π
π
0
-π
-2π
-3π
-4π
-1
-π
-2π
-3π
-4π
-2
-1
-2
y
2
x
x
0
-π
-2π
-3π
-4π
-1
-π
-2π
-3π
-4π
-2
-1
با دقت به نمودار توابع فوق می توان مشاهده کرد که نمودار در بازه هایی به طول 6π ،4π ،2πو ...تکرار
می شود .اما کوچک ترین بازه ای که نمودار این توابع در آن تکرار شده است ،همان 2πاست .چنین توابعی
دوره تناوب آنها می نامیم.
را توابع متناوب و 2πرا ٔ
-2
تعریف:
تابع fرا متناوب می نامیم هرگاه یک عدد حقیقی مثبت مانند Tموجود باشد به طوری که برای هر
x ∈ Dfداشته باشیم x ± T ∈ Dfو ) .f (x ± T ) = f (xکوچک ترین عدد مثبت Tبا این خاصیت
را دورۀ تناوب fمی نامیم.
فعالیت
دوره تناوب تابع ( f (x ) = cos x ) f (x ) = sin xبرابر 2πو مقادیر ماکزیمم و مینیمم این
1می دانیم
ٔ
تابع به ترتیب 1و -1است .در ادامه می خواهیم با بررسی نمودارهای داده شده ،تأثیر ضریب aرا در تابع
دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم این تابع بررسی نماییم.
f (x) = a sin xبر ٔ
فصل دوم :مثلثات 25
دوره تناوب مینیمم ماکزیمم
تابع
نمودار تابع
yy
2π
-1
1
xx
...
...
...
xx
...
...
...
xx
...
...
...
xx
...
...
...
xx
4π
4π
4π
x
4π x
4π
3π
3π
3π
3π
3π
2π
2π
2π
2π
2π
πππ
π
π
4π
4π
4π
x
4π x
4π
3π
3π
3π
3π
3π
2π
2π
2π
2π
2π
πππ
π
π
4π
4π
4π
x
4π x
4π
3π
3π
3π
3π
3π
2π
2π
2π
2π
2π
πππ
π
π
4π
4π
4π
x
4π x
4π
3π
3π
3π
3π
3π
2π
2π
2π
2π
2π
πππ
π
π
4π
4π
4π
x
4π x
4π
3π
3π
3π
3π
3π
2π
2π
2π
2π
2π
πππ
π
π
333y
y
3
3
222
2
2
111
1
1
000
-1
-1 00
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-3
-3
-π
-π
-π
-π
-π
-2π
-2π
-2π
-2π
-2π
y = sin x
yy
333y
y
3
3
222
2
2
111
1
1
000
-1
-1
-1 00
-1
-1
-2
-2
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-3
-3
-π
-π
-π
-π
-π
-2π
-2π
-2π
-2π
-2π
y = 2sin x
yy
333y
y
3
3
222
2
2
111
1
1
000
-1
-1 00
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-3
-3yy
-π
-π
-π
-π
-π
-2π
-2π
-2π
-2π
-2π
y = -3sin x
y
111y
1
1
000
-1
-1 00
-1
-1
-1
-π
-π
-π
-π
-π
-2π
-2π
-2π
-2π
-2π
1
y = sin x
2
yy
y
111y
2
1
1
000
-1
-1 00
-1
-1
-1
-π
-π
-π
-π
-π
-2π
-2π
-2π
-2π
-2π
1
y = − sin x
3
دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع y = a sin xرا مشخص نمایید.
با توجه به نمودارهای فوق ٔ
دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع y = a sin x + c
3با توجه به آنچه در مورد انتقال توابع می دانید مشخص نمایید ٔ
دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم توابع y = a cos xو
چگونه است .با انجام مراحلی مشابه مراحل باال می توان نشان داد ٔ
y = a cos x + cنیز مانند آنچه گفته شد به دست می آید.
26
فعالیت
در ادامه.دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم هر یک را تشخیص دهید
ٔ ،شده زیر
ٔ با دقت در نمودار هر یک از توابع داده1
دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم این تابع
ٔ را برy = sin bx در تابعb تأثیر ضریب،می خواهیم با بررسی نمودارهای داده شده
.بررسی کنیم
تابع
نمودار تابع
دوره تناوب مینیمم ماکزیمم
y
y
y = sin x
1
1y y
y
π
π
-2π
-2π
-π
-π
0
-11 10
-11
-2π
-2π
-2π
-π-π
-π
00
-1-1 0
-1
3π
3π
2π
2π
ππ
π
4π
x
4π
3 π3 π
3π
2π2π
2π
1
x
-1
2π
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
xx
x
4π4π
4π
y
y
y = sin 2x
-2π
-2π
-2π
-2π
-2π
y = sin (-3 x)
−3π
−23π
2
−3−π3π
2
−32π
2
-π
-π
−π
2
−π
2
-π-π
-π
−π−π
22
−π
2
3
3
yy
1
1
x
2
π
π
π
π2
2
-2π
-2π
--ππ
-2π-2π
-2π
-π -π
-π
3
-1
-2-2
-2
y
0
0y
-1
-1 y
11
1
00
-1-10
-1
ππ
2π2π
2π
3π3π
22
3π
2
4π 5π
4π
3 53π3
3
2π 7π
2π 7π3
3
3π
3π
5π
5π2
2
5π5π
22
5π
2
7π
7π2
2
3π3π
3π
x
x ...
4π
4π
3π
3π
xx
8π 3π 10π 11π
4π
8π3 3π 10π3 11π3 4π
3
3
3
2π2π
2π
4π
4π
3π3π
3π
5π
5π
4π4π
4π
5π5π
5π
4π
4π
5π5π
xx
x
4π4π
4π
7π7π
22
7π
2
xx
x
π π 1111
π π 4π4π
4π4π 5π5π 2π2π 7π7π 8π8π 3π3π 1010
3
3
3
3
3 3 35π3
4π
2π 7π3 8π3 3π 10π3 11π3 4π
3
3
3
3
3
3
2π
2π
ππ
π
2π
2π
3π
2
3π
2
ππ
π
ππ
22
π
2
1y y
1
y
2
π
2π
−2π −π 20 ππ
-2π −−55ππ −−44ππ -π
π
23π
−3
2π −π
3 20 3
-2π 3
3 -π
3
3 1
3
3
3
3
-1 1
-1
1
-2
−π 0 0π π 2π2π π π
-2
-2π
-2π−35−π5π −34−π4π-π-π −32−π2π−π
33
3
33
3
3
3
π
2π
−23π −π-1 0 π
-2π −5π −4π -π
3 -1 3
3
y = sin
2
2
1yy
1y
22
0
20
-11 1
-11
-2
-2 0 0
-1
y-10
y-1
-2-2
2
2-2
6π6π
xx
6π6π
6π
xx
x
y
1
x
=
y sin (− )
3
-3
-3
ππ
-2ππ
-2
-π
-3π-3π
-3π
-2π-2π
-2π
-π -π
-π
yy
-1 y0
11
1
-1-10 0
-1 0
ππ
ππ
π
22ππ
2π2π
2π
33ππ
3π3π
3π
4π4π
4π
5π5π
5π
6π6π
xx
6π6π
6π
xx
x
فصل دوم :مثلثات 27
2
دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع y = sin bxرا مشخص نمایید.
با توجه به نمودارهای فوق ٔ
دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع y = sin bx + c
3با توجه به آنچه در مورد انتقال توابع می دانیم ،مشخص نمایید ٔ
چگونه است.
دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم توابع y = cos bxو y = cos bx + c
با انجام مراحلی مشابه مراحل باال می توان نشان داد ٔ
نیز مانند آنچه گفته شد به دست می آید.
دوره تناوب تابع بی تأثیر
همان طور که در فعالیت های قبل دیدیم در توابع y = a sin bx + cو y = a cos bx + cضریب aدر ٔ
دوره تناوب تابع تأثیرگذار و در مقادیر ماکزیمم و
است ،اما در مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع تأثیرگذار است .برعکس ،ضریب bدر ٔ
دوره تناوب بی تأثیر است و صرفاً در مقدار
مینیمم تابع بی تأثیر است .مقدار cنیز از آنجا که فقط باعث انتقال نمودار می شود ،در ٔ
ماکزیمم و مینیمم تابع تأثیرگذار است.
دوره تناوب
توابع y = a sin bx + cو y = a cos bx + cدارای مقدار ماکزیمم | a | + cو مقدار مینیمم - | a | + cو ٔ
2π
| |b
است.
دوره تناوب تابع را به دست آورد و برعکس با
بنابراین با داشتن
ٔ
ضابطه تابعی به صورت فوق می توان مقادیر ماکزیمم و مینیمم و ٔ
ضابطه تابع مورد نظر را به دست آورد.
دوره تناوب یک تابع مثلثاتی ،می توان
ٔ
داشتن مقادیر ماکزیمم ،مینیمم و ٔ
دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم هر یک از توابع زیر را مشخص نمایید.
مثالٔ :
) ( y = − 1 cos (πxب
( y = 3 sin (2x) - 2الف
) ( y = 8 cos ( xت
( y = π sin (-x) + 1پ
4
حل:
3
2π 2π
=
=π
|b | 2
=T
min = − | 3 | −2 = −5
2π 2π
=
=2
|b | π
=T
2π
= 2π
|| −1
=T
min = − | π | +1 = 1− π
=T
min = − | 8 |= −8
2π
= 6π
1
3
1
1
=−
4
4
min = − −
max = | 3 | −2 = 1
1 1
=
4 4
(الف
max = −
(ب
max = | π | +1 = π + 1
(پ
max =| 8 |= 8
(ت
28
مثال :هر یک از نمودارهای داده شده در زیر مربوط به
ضابطه f (x) = a sin bx + cیا f (x) = a cos bx + c
تابعی با
ٔ
است .با دقت در ِ
دوره تناوب و مقادیر
شکل نمودار و تشخیص ٔ
ضابطه آن را مشخص نمایید.
ماکزیمم و مینیمم تابع،
ٔ
7
6
5
4
3
2
1
3π
4π
0
π
2π
-π
-1
-2π
(الف)
y
2
1
1
2
x
4π
3
5π
3
2π
2π
3
π
π
3
−π
3
0
−1
2
−2π
3
−4π
3
-π
−5π
3
-2 π
-1
(ب)
-2
y
5
4
3
2
1
x
5π
6π
3π
4π
0
-1
π
2π
-π
-2
-2π
(پ)
-3
y
4
3
2
1
x
6π
5π 11π
2
9π
2
4π
7π
2
3π
5π
2
2π
3π
2
π
π
2
0
-1
π
-2
-π
3π
-2
-2π
-2
-3
حل:
(ت)
الف) با توجه به شکل ،نمودار تابع مورد نظر می تواند به صورت y = a sin bx + cباشد و مقادیر ماکزیمم و مینیمم آن برابر 7و
دوره تناوب برابر πاست .لذا
1و طول ٔ
2π
= π
| |b
= Tو بنابراین .|b | = 2
از طرفی چون مقادیر ماکزیمم و مینیمم به ترتیب |a | + cو -|a | + cاست ،بنابراین همواره مقدار cمیانگین مقادیر ماکزیمم و
مینیمم است ،داریم c = 4و در نتیجه .|a | = 3
فصل دوم :مثلثات 29
با توجه به تأثیری که منفی بودن هر کدام از aو bبر قرینه شدن نمودار تابع نسبت به محورهای xو yدارد ،هر دوی aو bباید
y = 3sin (2 x)+٤
ضابطه تابع مورد نظر به صورت مقابل است:
مثبت باشند لذا
ٔ
ب) با توجه به نمودار،
ضابطه تابع مورد نظر می تواند به صورت y = a sin bx + cباشد و با توجه به مقادیر ماکزیمم و مینیمم و
ٔ
1
دوره تناوب از روی نمودار c = 0 ،و =| | aو |b | = 3به دست می آید که در آن عالمت aمنفی و bمثبت است.
ٔ
2
1
y = − sin 3x
بنابراین داریم:
2
ضابطه تابع مورد نظر می تواند به صورت y = a cos bx + cباشد و مقادیر ماکزیمم و مینیمم
پ) با توجه به شکل نمودار،
ٔ
دوره تناوب برابر 4πاست .بنابراین c = 3و | b |= 1و |a | = 2لذا a = 2و b = 1و بنابراین داریم
آن برابر 5و 1و طول ٔ
2
2
. y = 2cos ( x ) + 3
2
ضابطه این نمودار نیز می تواند به صورت y = a cos bx + cباشد و c = 0و |a | = 2و |b | = 1و aمنفی و bمثبت است.
ت)
ٔ
y = -2cos x
بنابراین داریم:
تانژانت
فعالیت
نقطه Aبر محور کسینوس ها
دایره مثلثاتی روبه رو خط TAT ′در ٔ
در ٔ
عمود است.
زاویه αرا در ربع اول دایره مثلثاتی در نظر می گیریم و پاره خط
الف) ٔ
نقطه M ′قطع کند .نشان
OMرا امتداد می دهیم تا این خط را در ٔ
دهید:
tan α = AM ′ = b
می توان دید که تانژانت هر زاویه دلخواه مانند ،αبه همین ترتیب از
برخورد امتداد ضلع دوم آن زاویه با خط TAT ′تعیین می شود.
نقطه Aمبدأ این
بنابراین خط TAT ′را محور تانژانت می نامیمٔ .
محور است و جهت مثبت محور ،از پایین به سمت باال است.
ب) چرا تانژانت زوایایی که انتهای کمان آنها در ربع اول و سوم قرار
دارد مقداری مثبت و تانژانت زوایایی که انتهای کمان آنها در ربع
دوم و چهارم قرار دارد ،مقداری منفی است؟
3π
پ) آیا مقدار tan πعددی حقیقی است؟
tanچطور؟ به
2
2
کمک شکل ،پاسخ خود را توجیه کنید.
T
sin
)M'(1, b
M
tan α
cos
α
A
'T
O
30
تغییرات تانژانت
فعالیت
دایره مثلثاتی بررسی میکنیم .اگر ،α = 0مقدار tanα
با تغییر ٔ
زاویه αمقادیر تانژانت آن نیز تغییر میکند .ابتدا این تغییرات را در ربع اول ٔ
نیز برابر صفر است و با افزایش اندازه ،αمقدار tan αنیز افزایش می یابد.
زاویه αدر ربع اول و نزدیک شدن آن به ، πمقادیر تانژانت تا چه حد افزایش می یابد؟
الف) با افزایش مداوم مقادیر ٔ
2
ب) توضیح دهید اگر عدد حقیقی و مثبت aرا داشته باشیم ،چگونه می توان زاویه ای مانند αیافت ،به طوری که .tan α = a
sin
tan
tan π
3
tan π
6
tan π
4
cos
π
3
π π
6 4
O
کاردرکالس
الف) با بررسی تغییرات مقادیر تانژانت در ربع های دوم ،سوم و چهارم مشخص کنید روند این تغییر در هر ربع افزایشی است یا
کاهشی؟
بازه تغییرات مقدار تانژانت را در هر ربع بنویسید.
ب) ٔ
فصل دوم :مثلثات 31
سوم
tan
tan
tan
tan 7π
6
tan 5π
4
tan 4π
3
5π
6
tan 11π
6
tan 7π
4
tan 5π
3
O
7π
6
5π
4
7π
4
11π
4
O
tan 5π
6
tan 3π
4
2
π
tan
3
O
3π
2π 4
3
4π
3
زوایا
5π
3
ربع
چهارم
دوم
...........
...........
...........
افزایشی یا کاهشی
...........
...........
...........
بازه تغییرات
پ) جدول زیر را کامل کنید( .عالمت به معنی افزایش یافتن و عالمت
ربع چهارم
2π
5π 7π 11π
3 4 6
... ... ... 0
ربع سوم
3π
2
به معنی کاهش یافتن است).
ربع اول
ربع دوم
7π 5π 4π
6 4 3
π
2π 3 π 5π
3 4 6
π
2
... ... ...
0
... -1 ...
∞+
π
3
π
4
... ...
π
6
0
3
3
0
32
تابع تانژانت
دایره مثلثاتی (به جز
همان طور که می بینیم به ازای هر ٔ
زاویه دلخواه در ٔ
k ∈
مجموعه
دامنه این تابع
داریم و تابعی با
ٔ
ضابطه y = tan αمشخص می کندٔ .
ٔ
π
2
,
kπ +
= ،) xعددی حقیقی به عنوان tanα
π
x ∈ x ≠ k π + 2 , k ∈
= Dاست و برد آن
مجموعه اعداد حقیقی است .به سادگی می توان دید تابع ،y = tan αتابعی متناوب است ١و دوره تناوب آن πاست ،زیرا:
tan (π + x) = tan x
کاردرکالس
صعودی یا نزولی بودن تابع y = tan αرا در بازه ] [0 , 2πبررسی کنید.
رسم تابع y = tan α
فعالیت
در شکل زیر نمودار تابع y = tan αدر ربع اول رسم شده است .مشابه آن ،نمودار این تابع را در ربع های دیگر رسم کنید.
π
2
3π
2
y
tan
π
3
π
4
x
2π
1ــ به دست آوردن دوره تناوب توابع شامل tanمدنظر نیست.
π
π π π
6 4 3
0
π
6
O
y
3
2
1
-4π
-3π
-2π
-π
33 مثلثات: فصل دوم
0
π
2π
3π
4π
x
-1
-2
-3
تمرین
y
3
2
(الفy = 1 + 2 sin-4π7x
.را به دست آورید1 دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم هر یک از توابع زیر
-3π
-2π
-π
(ت
π
3 − cos x
2
x
y = −π sin ( ) − 2
2
3
y = − cos 3x
4
-4π
π
2π
3π
4π
-2
-3
y
3
2
1
-3π
y = 1- cos2x )ت
-2π
-π
. توابع داده شده را با نمودارهای زیر نظیر کنیدxهر یک از
0
-1
y = sin 2x )پ
-2
y
-3
3
π
1
y = 2 − cos x
2
2π
3π
)ب
4π
-4π
-3π
-2π
-π
-4π
-3π
-2π
-π
0
π
2π
3π
4π
-2 0
-1
-3
-2
π
2π
3π
4π
π
2π
3π
4π
π
2π
3π
4π
π
2π
3π
4π
π
2π
3π
4π
π
π
2π
2π
3π
3π
4π
4π
π
2π
3π
4π
1
-1
x
x
y
-3
3
2(
-4π
-3π
-2π
-π
-4π
-3π
-2π
-π
2y
3
1
2
0
1
-1
-2 0
-1
-3
-2
x
x
-3
y
3
٣(
-4π
-3π
-2π
-π
-4π
-3π
-2π
-π
2y
3
1
2
0
1
-1
-2 0
-1
-3
-2
x
x
y
٤(
-4π
-4π
-3π
-3π
-2π
-2π
-π
-π
-4π
-3π
-2π
-π
-3y
3
3
2y
2
3
1
1
2
0
1 0
-1
-1
-2 0
-2
-1
-3
-3
-2
-3y
3
2
1
2
y = sin πx )الف
2y
3
1
2
١(
1
-1
(بy =
(پ
0
x
x
x
x
34
3
4
دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم داده شده بنویسید.
در هر مورد
ٔ
ضابطه تابعی مثلثاتی با ٔ
min = -3
,
max = 3
,
T=π
(الف
min = 3
,
max = 9
,
T=3
(ب
min = -7
max = -1 ,
,
T = 4π
(پ
min = -1
max = 1
,
=T
(ت
,
π
2
ضابطه مربوط به هر یک از نمودارهای داده شده را بنویسید.
ٔ
y
x
3
2
1
8π
7π
6π
5π
4π
3π
2π
8π
7π
6π
5π
4π
3π
2π
π
0
-1
-2
-3
-4
-2π
-π
-3π
-4π
(الف
y
x
3
2
1
π
0
-1
-2
-3
-4
-π
-2π
-3π
5کدام یک از جمالت زیر درست و کدام یک نادرست است؟
الف) تابع تانژانت در دامنه اش صعودی است.
ب) می توان بازه ای یافت که تابع تانژانت در آن نزولی باشد.
پ) می توان بازه ای یافت که تابع تانژانت در آن غیرصعودی باشد.
ت) تابع تانژانت در هر بازه که در آن تعریف شده باشد ،صعودی است.
6
با توجه به محورهای سینوس و تانژانت ،در موارد زیر مقادیر sin αو tan αرا با هم مقایسه کنید:
الف)
π
2
< 0< α
ب)
3π
< α < 2π
2
-4π
(ب
2
معادالت مثلثاتی
درس
معادالت مثلثاتی
معادله مثلثاتی نام دارد.
زاویه مجهول داریم ،یک
ٔ
معادله ای که در آن اطالعاتی از نسبت های مثلثاتی یک ٔ
مثال :تابع مثلثاتی y = sin xرا که نمودار آن در زیر رسم شده است در نظر بگیرید.
1
5π
4π
3π
0
π
2π
-1
π
-2π
-4 π
-3 π
-5 π
همان طور که از نمودار پیداست ،صفرهای این تابع جواب های معادله مثلثاتی sin x =0می باشد .به عبارت
دیگر جواب های این معادله که به صورت … x =…, -3π , -2π , - π , 0 , π , 2π , 3π ,می باشند ،محل
تقاطع تابع ثابت ( y =0یعنی محورxها) و تابع y = sinxاست.
این جواب ها را می توان به صورت کلی x =k πکه kیک عدد صحیح است نمایش داد.
به طور مشابه جواب های معادله sin x =1مقادیری از xهستند که به ازای آنها مقدار sin xبرابر 1می شود.
این مقادیر محل تقاطع y =1و y = sinxاست که در نمودار زیر رسم شده اند.
1
5π
4π
3π
π
+2π
2
π
2π
π
2
0
-1
π
π
−2π
2
-2π
-3 π
π
−4π
2
جواب های این معادله به صورت
x
می باشند که به صورت کلی x = π + 2k π , k ∈ قابل نمایش است.
2
اکنون معادله sin x = 1را در نظر می گیریم .فعالیت بعد به شما کمک می کند تا جواب های این معادله را
2
بیابید.
-4 π
-5 π
36
فعالیت
1
چند زاویه را که مقدار سینوس آنها برابر
1
2
است مثال بزنید.
2خط y = 1و نمودار y = sin xرا در زیر رسم کرده ایم .مقادیری را که مثال زده اید روی نمودار پیدا کنید .این مقادیر
2
متناظر با چه نقاطی از شکل زیر می باشند؟ آیا مقادیری که پیدا کرده اید در بین نقاط نمایش داده شده در زیر هستند؟
y
y= 1
2
x
1
5π
π
6
5π −
π
6
4π
3π
4π +
π
6
2π
3π −
π
6
2π +
0
π
π
6
π−
π
6
π
-1
π
6
-3 π
-2π
−π −
π
6
π
6
−2π +
-4 π
−3π −
π
6
−4π +
3طول تعدادی از نقاط تقاطع دو نمودار y = 1و y = sin xرا که در شکل فوق مشخص شده اند ،در معادله
2
جایگذاری کنید .آیا در معادله صدق می کنند؟ چه نتیجه ای می گیرید؟
1
4در دایره مثلثاتی زیر خط y = 1و زوایای πو π − πکه سینوس آنها برابر
6 6
2
2
-5 π
1
2
= sin x
است رسم شده اند .کدام دسته از زوایای
π
مشخص شده بر روی نمودار سؤال قبل هم انتها با زاویه πو کدام دسته هم انتها با زاویه
6
6
π π ππ ππ ππ ππ π π π π
−2π +−2−
π,2+π +−,2π, +2π +, 2π2+π + 2π +
زیر مرتب کنید .آیا می توانید دو دسته زیر را از دو طرف ادامه دهید؟
6 6 66 66 66 66 6 6 6 6
π
π
π −هستند؟ آنها را در جاهای خالی
π ππ π
π
6
π π
6 6
π π
:هم−2π
+ ......
, −2,π−+22
ππ+, + , , 2π +2π +, ......
انتها با
6 6
6 6
6 66 6
π
6
π π π ππ π π π π π ππ π π π
−π−π
− −, −π
−
π − π,−π −3 ππ−,−3 π3−π − 3, π
انتها−πباπ − π
− −π
π −−......
:هم
......
6 6 6 66 6 6 6 6 6 66 6 6 6
y=1
2
π
6
2k π +
π
6
π− π
6
π
ππ π
π π
π π
−ππ−−π
− −
3π − π − 3 π −3 π − 2k π + π − 6
66 6
6 6
6 6
π ππ
π−π
− π− −
6 66
π
6
π−
فصل دوم :مثلثات 37
برای عدد حقیقی -1≤ a ≤1که ،sinx =aزاویه ای مانند αوجود دارد که برای آن داریم .sin α=aبنابراین معادله sin x = a
به صورت sin x = sin αبازنویسی می شود .اکنون برای یافتن جواب های معادله sin x =sin αباید رابطه بین کمان های xو αرا
بیابیم.
با توجه به دایره مثلثاتی زیر رابطه بین کمان معلوم αو کمان های مجهول xبه طوری که sinx = sin αدر دوران های مختلف
به صورت زیر است:
x = (2k +1) π -α , k ∈ و sinx = sinα ⇒ x =2k π+α
2kπ + α
2kπ + π − α
y =a
π−α
α
جواب های کلی معادله sinx = sinαبه صورت x =2k π + αو x =(2k +1)π- αمی باشد که .k ∈
معادله sin x = − 1را حل کنید.
مثال:
ٔ
2
1
2
sin x = −
π
) sin x = sin (−
6
, k ∈
, k ∈
π
x = 2k π − 6
x = 2k π + 7π
6
کاردرکالس
معادالت زیر را حل کنید.
( 2sin x − 3 = 0الف
( 4 sin x + 8 = 0ب
38
فعالیت
نمودار تابع y = cos xو خط y = 3در زیر رسم شده اند .مشابه فعالیت قبل به سؤاالت زیر پاسخ دهید تا جواب های معادله
2
3
2
= cosxرا بیابید.
3
2
=y
4π
1
3π
2π
π
0
π
-3 π
-2π
-1
3
2
الف) برخی از جواب های معادله
نمودار پیدا کنید.
3
2
= cosx
را با توجه به نقاط تقاطع دو
ب) با استفاده از دایره مثلثاتی روبه رو و محل تقاطع خط x = 3با دایره
2
مثلثاتی ،جواب های معادله فوق را به دست آورید.
برای هر عدد حقیقی -1≤a ≤1در معادله cosx =aزاویه ای چون αوجود دارد
که .cos α = a
بنابراین برای حل معادله فوق کافی است ابتدا آن را به صورت cos x =cos α
نوشته و سپس رابطه بین زوایای xو αرا با توجه به دایره مثلثاتی روبه رو به صورت
زیر به دست آوریم.
x = 2k π - α , k ∈ و cos x = cos α ⇒ x = 2k π + α
جواب های کلی معادله cosx = cosαبه صورت = 2k π ± α
= x
2k π + π
6
π
6
−π
6
2k π − π
6
2k π + α
α
−α
2k π − α
x
می باشند که .k ∈
-4 π
فصل دوم :مثلثات 39
مثال :جواب های معادله cosx = 1را به دست آورید .کدام جواب ها در بازه ] [ −3π, πمی باشند؟
2
می دانیم cos π = 1پس معادله به صورت cos x = cos πمی باشد .بنابراین جواب های کلی معادله به صورت زیر هستند:
2
3
3
π
, k ∈
3
اکنون با جایگذاری مقادیر صحیح به جای kدر عبارت فوق نتیجه می شود که جواب های
x= 2k π ±
π
π π π
x = −2π − , −2π + , − ,
3
3 3 3
از معادله فوق در بازه داده شده می باشند.
مثال :معادله sin2x = sin3xرا حل کنید.
می دانیم که جواب های این معادله به شکل زیر هستند:
, k ∈
, k ∈
=2
مثال :معادله 0
2x= 2k π + 3x ⇒ x= 2k π
(2k + 1)π
=⇒ x (2k + 1)π − 3x
x
=2
5
2sin 3x −را حل کنید.
= 2sin 3x − 2
0
2sin 3x = 2
, k ∈
, k ∈
π
2k π π
3x= 2k π + 4 ⇒ x= 3 + 12
π
2
= sin 3x = ⇒ sin 3x
sin ⇒
2
4
)(2k + 1
π
π
=3
=⇒ x (2k + 1)π −
x
π−
4
3
12
مثال :یک بازیکن هندبال توپ را با سرعت
16 m /sبرای هم تیمی خود که در 12/8متری او
قرار دارد پرتاب می کند .اگر رابطه بین سرعت توپ
( vبر حسب متر بر ثانیه) ،مسافت طی شده افقی ( dبر
حسب متر) و زاویه پرتاب θبه صورت زیر باشد ،آنگاه
زاویه پرتاب توپ چقدر بوده است؟
v 2 sin 2θ
10
=d
40
از رابطه داده شده به دست می آید:
, k ∈
, k ∈
π
2θ= 2k π + 6
(16) 2 sin 2θ
12 / 8 × 10
1
=12 / 8
=⇒ sin 2θ
=⇒ sin 2θ
⇒
10
256
2
π
=2
θ (2k + 1)π −
6
با توجه به شکل ،جواب قابل قبول θ = πمی باشد.
12
مثال :جواب های معادله
3
4
= sin x cos xرا به دست آورید.
3
2
3
2sin x cos
=
=x 2
4
3
2
= sin 2x
π
π
2x = 2k π + ⇒ x = k π +
π
3
6
sin
=
2x sin ⇒
3
(2k + 1)π π
π
=⇒ x (2k + 1)π −
x
−
=2
3
2
6
, k ∈
, k ∈
مثال :معادله cosx (2cosx - 9) = 5را حل کنید.
ابتدا این معادله را به صورت 2cos2x - 9cosx - 5 = 0می نویسیم .با تغییر متغیر cosx =tمی توان معادله فوق را به معادله درجه دوم
2t2- 9t - 5 = 0تبدیل کرد .جواب های این معادله
دو معادله ساده cosx = 5و
1
2
−
1
2
cosx = −
1
2
t= −
و t = 5است .بنابراین جواب های معادله مثلثاتی باال از حل
به دست می آیند .از آنجا که cosx = 5جواب ندارد (چرا؟) فقط جواب های معادله
= cosxرا به دست می آوریم.
1
2π
2π
⇒ cos x = cos
⇒ x = 2k π ±
, k =
2
3
3
cos x = −
مثال :معادله sinx + cosx =1را در بازه 0≤ x ≤2πحل کنید.
sinx + cosx =1
sinx =1- cosx
طرفین را به توان 2می رسانیم.
sin2x =(1- cosx )2
استفاده از رابطه sin2=1-cos2x
sin2x =1-2 cosx + cos2x
فصل دوم :مثلثات 41
1-cos2x =1-2 cosx + cos2x
2 cos2x -2 cosx =0
cosx -1= 0یا 2 cosx (cosx -1)=0 ⇒ 2 cosx =0
اکنون جواب های معادله های به دست آمده را در بازه 0≤ x ≤2πمی یابیم:
π 3π
,
2 2
= 2cos x = 0 ⇒ cos x = 0 ⇒ x
cosx -1= 0 ⇒ cos x = 1 ⇒ x =0 , 2π
از آنجا که در گام سوم از به توان رساندن استفاده کرده ایم باید جواب های به دست آمده فوق را در معادله گذاشته و درستی آنها را
تحقیق کنیم (چرا؟) .پس از بررسی معلوم می شود که
3π
2
=x
جواب معادله داده شده نیست و بنابراین غیرقابل قبول است اما
2πو x = 0, πمقادیر به دست آمده جواب معادله در بازه داده شده هستند.
2
در شکل زیر نمودار تابع y =tanxو خط y =aکه aیک عدد حقیقی است رسم شده اند .از روی نمودار این دو تابع می توان
مشاهده کرد که جواب های معادله tanx = aهمان طول نقاط تقاطع دو نمودار است .در واقع همواره برای عدد حقیقی ،aکه
tanx =aزاویه ای چون αوجود دارد که برای آن داریم .tanα = aبنابراین معادله tanx =aبه صورت tanx =tanαبازنویسی
می شود .اکنون برای یافتن جواب های معادله tanx =tanαباید رابطه بین زوایای xو aرا بیابیم.
y
8
7
6
5
4
3
y =a
2
1
x
3π
2π
π
-π
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-2π
-3π
42
tan
از دایره مثلثاتی و محور تانژانت در شکل مقابل می توان
دریافت که رابطه بین زوایای xو aبه صورت x =k π+αکه k
یک عدد صحیح ،است می باشد.
sin
y =a
π+α
cos
α
در نمودار باال اگر a = 1باشد ،داریم:
α
+
) (k ∈ z
kπ
π
π
⇒ x = kπ +
4
4
tan x = 1 ⇒ tan x = tan
جواب های کلی معادله tanx = tanαبه صورت x = k π + αمی باشد که kیک عددی صحیح است.
مثال :معادله tan x = tan 5 xرا حل کنید.
kπ
) (k ∈
4
حل:
= x = k π + 5x ⇒ 4x = k π → x
از روابط مجموع و تفاضل زوایا برای نسبت های مثلثاتی سینوس و کسینوس می توان روابط مجموع و تفاضل زوایا را برای
تانژانت به صورت زیر به دست آورد.
sin(α + β) sin α cos β + cos α sin β
=
cos(α + β) cos α cos β − sin α sin β
tan α + tan β
1− tan α tan β
=
cos α sin β
cos α cos β
sin α sin β
cos α cos β
+
−
= )tan(α + β
sin α cos β
cos α cos β
cos α cos β
=
cos α cos β
همچنین با تغییر βبه -βدر رابطه فوق رابطه تفاضل زوایا به صورت زیر به دست می آید.
tan α − tan β
1+ tan α tan β
= )tan(α − β
فصل دوم :مثلثات 43
مثال :نشان دهید در شکل زیر رابطه بین زاویه دید دوربین ( )βبا فاصله افقی آن با تابلو نقاشی به صورت زیر است.
2 /5 x
3
x2 +
2
= tan β
2/5 m
β
θ
α
0/5 m
x
سپس زاویه دید را در حالتی که فاصله افقی برابر یک متر است به دست آورید.
حل:با توجه به شکل برای مثلث قائم الزاویه پایین شکل داریم:
0 /5
x
همچنین برای مثلث بزرگ که یک زاویه آن θاست داریم:
= tan α
3
x
اکنون با استفاده از رابطه تفاضل زوایا برای تانژانت به دست می آید:
= tan θ
3 0 /5
2 /5
−
2 /5x
tan θ − tan α
= )tan β = tan(θ − α
= x x = x
=
1+ tan θ tan α 1+ 3 × 0 /5 x 2 + 3 x 2 + 3
x x
2
2
x2
وقتی فاصله افقی برابر یک متر آنگاه داریم:
π
از طرفی می دانیم که =1
4
tan
2 /5 × 1 2 /5
=
=1
/
2
5
2 3
1 +
2
= x = 1 → tan β
پس جواب های معادله tanβ=1به صورت زیر به دست می آیند:
لیکن با توجه به شکل تنها جواب منطقی در حالت k =0که مقدار β = πرا به دست می دهد قابل قبول می باشد.
4
π
4
β = kπ +
44
تمرین
1
معادالت زیر را حل کنید.
2
مثلثی با مساحت 3سانتی متر مربع مفروض است .اگر اندازه دو ضلع آن به ترتیب 2و 6سانتی متر باشند ،آنگاه چند مثلث با
این خاصیت ها می توان ساخت؟
( cos2x - cos x + 1 = 0ب
( sin p = sin 3xالف
( cos2x - sin x + 1 = 1ت
( cos x = cos2xپ
2
( sin x - cos2x = 0ج
( cos 2 x − sin x = 1ث
( tan3x = tan πxح
( tan (2x -1) = 0چ
4
3
حدهای نامتناهی ـ حد در بی نهایت
1
2
حدهای نامتناهی
حد در بی نهایت
فصل
آذربایجان غربی ( ماکو)
بسیاری از پدیده های طبیعی به وسیله توابع ریاضی مدل سازی می شوند .در مسئله پاک سازی آب رودخانه ها ،با تابع 255x
f (x ) = 100مدل سازی می شود .که در
−x
آن xدرصد آلودگی و ) f (xهزینه پاک سازی برحسب میلیون تومان است .از آنجا که این تابع رفتار بی نهایت دارد برای پاک سازی نزدیک صد درصد آلودگی های
آب این رودخانه هزینه ها بسیار زیاد خواهد بود .به طوری که می توان گفت هزینه ها به سمت بی نهایت میل می کند.
1
حدهای نامتناهی
درس
در سال قبل با حد یک تابع در یک نقطه آشنا شدیم .دیدیم که lحد تابع fدر نقطه aاست هرگاه بتوانیم
مقدارهای ) f (xرا به دلخواه (هر قدر که بخواهیم) به lنزدیک کنیم به شرطی که xرا به اندازه کافی به ( aاز
دو طرف )aنزدیک کرده باشیم اما xبرابر aنشده باشد در این درس با رفتار برخی دیگر از توابع در همسایگی
محذوف یک نقطه آشنا می شویم.
فعالیت
y
در سال قبل با نمودار تابع گویای
1
x
10
= ) f (x
9
آشنا شدیم می خواهیم رفتار این تابع را در همسایگی
8
راست x = ٠بررسی کنیم.
7
6
5
4
3
2
1
x
4
3
2
1
0/1
0
-1
-2
-3
-1
-2
-3
فصل سوم :حدهای نامتناهی ـ حد در بی نهایت 47
1
جدول زیر رفتار تابع را به ازای برخی از مقادیر xنشان می دهد آن را تکمیل کنید.
...
0
تعریف نشده
...
0/0001
0/001
0/01
0/1
x
...
1000
100
10
)f (x
2
اگر بخواهیم ) f (xاز یک میلیون بزرگ تر شود مقدار xاز چه عددی باید کوچک تر شود؟
3
وقتی xبا مقادیر بزرگ تر از صفر به صفر نزدیک می شود آیا مقادیر تابع به عددی خاص نزدیک می شوند؟ چرا؟
با توجه به این فعالیت مشاهده می شود که وقتی xبا مقادیر بزرگ تر از صفر به صفر نزدیک می شود مقادیر ) f (xبدون هیچ
محدودیتی افزایش می یابد .به بیان دیگر می توان ) f (xرا از هر عدد مثبت دلخواهی در نظر بگیریم بزرگ تر کرد به شرطی که xرا
به اندازه کافی با مقادیر بزرگ تر از صفر ،به صفر نزدیک کرد در این صورت می نویسیم:
1
∞= +
x
lim+
x →0
.
تذکر :این نماد نشان می دهد که حد فوق موجود نیست .چون مقدار تابع به عدد خاصی نزدیک نمی شود و مثبت بی نهایت
فقط یک نماد است که نمایش می دهد مقدار تابع از هر عدد مثبتی می تواند بزرگ تر باشد.
کاردرکالس
برای تابع
1
x
= ) f (x
الف) جدول زیر را کامل کنید:
0
...
تعریف نشده
...
-0/00001
-0/0001
-0/001
-0/1
-1000
ب) اگر بخواهیم مقدار ) f (xاز -106کوچک تر شود xباید چگونه انتخاب شود؟
پ) وقتی xاز سمت چپ به صفر نزدیک شود ) f (xچه تغییری می کند؟
ت) در مورد
1
x
lim−
x →0
چه می توان گفت؟
-0/2
1
2
−
x
)f (x
48
صفحه قبل مشاهده شد تعریف زیر را می توان ارائه داد.
با توجه به آنچه در فعالیت و کار در کالس
ٔ
تعریف حدهای یک طرفه نامتناهی
فرض کنیم تابع fدر یک همسایگی راست نقطه ای مانند aتعریف شده باشد در این صورت ∞ lim+ f (x ) = +بدین
x →a
معنی است که می توانیم ) f (xرا به دلخواه هر قدر بخواهیم از هر عدد مثبتی بزرگ تر کنیم به شرطی که xرا از سمت
راست به اندازه کافی به aنزدیک کرده باشیم.
همچنین فرض کنیم تابع fدر یک همسایگی چپ نقطه ای مانند aتعریف شده باشد در این صورت
بدین معنی است که می توانیم ) f (xرا به دلخواه هر قدر بخواهیم از هر عدد مثبتی بزرگ تر کنیم به شرطی که xرا از
سمت چپ به اندازه کافی به aنزدیک کرده باشیم.
∞lim f (x ) = +
x →a −
تذکر :تعریف حدهای یک طرفه نامتناهی
∞lim f (x ) = −
x →a +
و
∞lim f (x ) = −
x →a −
حالت های مختلف حدهای یک طرفه نامتناهی در شکل های زیر آمده است.
y
f
f
y
نیز مشابه تعاریف فوق است .توصیف
y
y
f
x
x
a
∞ lim f (x ) = +
x
a
∞ lim f (x ) = +
x →a +
f
x
a
∞lim f (x ) = −
x →a −
a
∞lim f (x ) = −
x →a +
x →a −
y
مثال :نمودار تابع
1
| |x
= ) f (x
4
در شکل روبه رو رسم شده
است می خواهیم رفتار تابع fرا در همسایگی محذوف نقطه = 0
بررسی کنیم به جدول صفحه بعد توجه کنید:
3
x
2
1
x
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
فصل سوم :حدهای نامتناهی ـ حد در بی نهایت 49
0/1
0/5
0/01
0/001
← 000
0
→ 000
-/01
-/001
-0/5
-0/1
← 000تعریف نشده → 000
x
)f (x
مشاهده می شود با نزدیک کردن xبه اندازه کافی به صفر ،مقدارهای ) f (xرا می توان به دلخواه بزرگ کرد بنابراین ) f (xاز
هر عدد دلخواهی بزرگ تر می شود و در نتیجه مقدار حد تابع یک عدد خاصی نمی شود و حد متناهی ندارد .در اینجا می نویسیم
∞ . lim 1 = +
|
x →0 | x
تعریف:
∞ lim f (x ) = +یعنی اینکه می توانیم )f (x
فرض کنید تابع fدر همسایگی محذوف aتعریف شده باشد در این صورت
را به میزان دلخواه از هر عدد مثبت بزرگ تر کنیم به شرطی که xرا به اندازه کافی به aنزدیک کرده باشیم.
x →a
حد در مورد تابع هایی که وقتی xبه aنزدیک می شود و مقدار تابع خیلی کوچک تر می شود در زیر وجود دارد.
تعریف مشابهی از ّ
تعریف:
فرض کنید تابع fدر همسایگی محذوف aتعریف شده باشد در این صورت ∞ lim f (x ) = −یعنی اینکه می توانیم
x →a
مقدارهای ) f (xرا به میزان دلخواه از هر عدد منفی کوچک تر کنیم به شرطی که xرا به اندازه کافی به aنزدیک کرده
باشیم.
حد تابع
مثال :برای ّ
1
x
مثال :در مورد حد تابع
= ) f (x
1
| |x
در نقطه x = 0می توان گفت:
= ) f (x
و
∞−
lim+
و
∞lim+ f (x ) = +
در نقطه x = 0می توان گفت:
x →0
1
∞= +
| |x
x →0
= ) . lim− f (x
x →0
1
∞= +
| |x
lim−
x →0
50
کاردرکالس
نمودار توابع g ،fو hدر شکل های زیر داده شده اند با توجه به آنها حدود خواسته شده را در صورت وجود به دست آورید.
y xh(x) = tan
h(x) = tan
π 3π
2 2
π
y
4
4
3
3
2
2
1
1
0
π
2
0 π
−
2
y
g(x ) = log x3g(x ) = log x3
-π
π−π
2 2
x
−
7 -π
π6
2
x
−
75
64
53
42
31
4
y
4
3
3
2
2
1
1
1 -1 20
y
1
1
= ) f (x
= ) f (x
x −2
x −2
x
x
7 5 -3 6 -2 7 -1-3 0 -2
64
53
42
31
y
4
4
3
3
2
2
1
1
20
1 -1
-1-3 0 -2
-1
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-3
-3
-3
-4
-4
-4
-4
-4
-4
-1
-1
lim g (x ) =
-2
-3
lim f (x ) =
x →0+
x →2−
lim f (x ) =
x →2+
h(x) = tan x
y
4
3
lim h (x ) =
2
π
x →( − ) +
2
lim h (x ) =
π
x →( ) −
2
g(x ) = log x3
1
x
3π
2
π
π
2
0
-1
π
2
−
-π
π
2
x
−
7
6
-2
lim h (x ) =
π
x →( ) +
2
خواندنی
-3
-4
بی نهایت مفهومی انتزاعی است که در رشته های مختلف ریاضیات با تغییرات مختلف به کار می رود و معموال ً به معنای «فراتر از هر مقدار» است و برای توصیف مقادیر بیش
از هر عدد به کار می رود و نشانه آن در ریاضیات ∞ می باشد.
این نماد به صورت چیزی است که محدود نیست و در آن هیچ محدودیت فضایی و زمانی وجود ندارد .در حسابان بی نهایت به معنای حدی بی کران است ∞ → xیعنی
متغیر xفراتر از هر مقدار در نظر گرفته شده رشد می کند.
بی نهایت دارای دو مفهوم فیزیکی و ریاضی است که کامال ً با یکدیگر متفاوت اند مفهوم فیزیکی بی نهایت دارای تعریف دقیقی نیست و در جاهای مختلف دارای تعاریف
متفاوت است .به عنوان مثال می گوییم اگر جسم در کانون عدسی محدب قرار گیرد تصویر در بی نهایت تشکیل می شود .حال اگر دو عدسی با فواصل کانونی متفاوت در نظر
بگیریم و اجسامی را روی کانون این دو عدسی قرار دهیم .طبق قاعده تصاویر هر دو در بی نهایت تشکیل می شود .اما تصویر این دو دقیقاً در یک نقطه تشکیل نمی شود .یعنی
بی نهایت برای این دو عدسی متفاوت است اما مفهوم بی نهایت در ریاضیات کامال ً متفاوت با بی نهایت فیزیکی است در ریاضیات می گوییم «بی نهایت مقداری است که از هر
مقدار دیگر بیشتر است» این مفهوم دقیقاً همان مفهومی است که در «حد در بی نهایت» در نظر گرفته می شود .به عنوان مثال در حد تابع می گوییم ∞ → xیعنی اینکه xاز هر
عدد انتخاب شده ای بزرگ تر باشد.
5
4
3
2
فصل سوم :حدهای نامتناهی ـ حد در بی نهایت 51
برخی از قضایای حدهای بی نهایت
1
قضیه :١اگر nیک عدد طبیعی باشد؛ آن گاه:
nعددی زوج باشد،
nعددی فرد باشد،
∞ +
=
x
∞ −
1
lim−و ∞= +
n
x →0
1
n
x
lim+
x →0
مثال :با توجه به قضیه فوق می توان نوشت:
∞= −
قضیه :2الف) اگر
ب) اگر
مثال:
∞ lim f (x ) = +
x →a +
∞ lim f (x ) = −
x →a +
2
∞= +
|| x − 1
و
lim+
x →1
و
و
1
x3
∞= +
lim−
x →0
آن گاه
∞ lim f (x ) = +
x →a −
∞ lim f (x ) = −
x →a −
2
∞= +
|| x − 1
lim−
x →1
آن گاه
و در نتیجه
1
4
x
lim−و
∞= +
x →0
∞ lim f (x ) = +
x →a
∞ lim f (x ) = −
x →a
و برعکس.
و برعکس.
2
∞= +
|x →1 | x − 1
lim
کاردرکالس
با استفاده از نمودار توابع داده شده و همچنین قضایای باال حاصل حدود زیر را به دست آورید.
الف)= +
∞
1
∞ +ب)=
lim
x →0 x 2
1
y
y
4
4
3
1
2
x
x
4
3
= ) f (x
3
2
g(x ) = 1
x
1
2
1
0
lim
x →0 x
-1
-2
-3
-4
x
4
3
2
1
2
1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
1ــ ما در این کتاب به بیان برخی از قضایای حدهای بی نهایت پرداخته و آنها را اثبات نمی کنیم.
-1
-2
-3
-4
1
4
x
lim+
x →0
52
قضیه :3اگر
lim f (x ) = L ≠0و lim g (x ) =0
x →a
x →a
آن گاه:
الف) اگر L <0و مقادیر ) g (xدر یک همسایگی محذوف aمثبت باشد ،آن گاه
) f (x
∞= +
) x →a g (x
lim
ب) اگر L >0و مقادیر ) g (xدر یک همسایگی محذوف aمثبت باشد ،آن گاه
lim
) f (x
∞= −
) x →a g (x
پ) اگر L <0و مقادیر ) g (xدر یک همسایگی محذوف aمنفی باشد ،آن گاه
lim
) f (x
∞= −
) x →a g (x
ت) اگر L >0و مقادیر ) g (xدر یک همسایگی محذوف aمنفی باشد ،آن گاه
) f (x
∞= +
) x →a g (x
lim
تذکر :قضیه 3در حالتی که x → a+یا x → a-نیز برقرار است.
مثال :هزینه پاک سازی xدرصد از آلودگی های شهری و صنعتی از رودخانه ای به وسیله تابعی ،با ضابطه
255x
100 − x
= ) f (x
محاسبه می شود که در آن xدرصد آلودگی و ) f (xهزینه پاک سازی برحسب میلیون تومان است دامنه تابع ( ]0 , 100می باشد.
مث ًال برای هزینه 20درصد از آلودگی های این رودخانه 63/75میلیون تومان الزم است.
برای پاک سازی 95درصد از آلودگی ها f (95) = 4845و در نتیجه نزدیک به پنج میلیارد تومان برای این کار الزم است .با
توجه به قضیه فوق داریم:
255 x
∞= +
100 − x
lim
x →100−
و این بدان معنا است که با نزدیک شدن xبه عدد 100مقدار ) f (xاز هر عدد مثبت از پیش تعیین شده ای بزرگ تر خواهد شد
لذا نمی توان صددرصد آلودگی های رودخانه را پاک سازی کرد.
سد شهید عباسپور،اندیکا ،خوزستان (عکاس:سیدمهدی حسینی)
مثال :حاصل
x +1
4 − x2
lim−
x →2
را به دست آورید.
حل :از آنجا که ) 4 - x2 = (2 - x )(2 + xوقتی xدر همسایگی چپ ،2باشد .مخرج کسر با مقادیر مثبت به صفر میل می کند.
از طرفی
lim x + 1 = 3
x →2−
طبق بند (الف) قضیه فوق
∞= +
x +1
4 − x2
lim−
x →2
فصل سوم :حدهای نامتناهی ـ حد در بی نهایت 53
مثال :حاصل
x −1
sin x
lim+
x →0
را به دست آورید.
حل:وقتی xدر همسایگی راست صفر باشد حد صورت کسر برابر -1و حد مخرج کسر برابر صفر است و از آنجا که در
همسایگی راست صفر sin xمقداری مثبت است .در نتیجه طبق بند (ب) قضیه فوق
مثال :حاصل
x2 + x
x 2 + 2x + 1
lim
x →( −1) −
x −1
∞= −
sin x
lim+
x →0
را به دست آورید.
حل :از آنجا که حد فوق به صورت 00در می آید و چون x ≠ -1پس می توان صورت و مخرج کسر را بر x + 1تقسیم کرد.
داریم:
x
∞= +
x +1
کاردرکالس
−
= lim
)x →( −1
)x (x + 1
2
)(x + 1
−
= lim
)x →( −1
x2 + x
2
x + 2x + 1
−
lim
)x →( −1
حدهای زیر را محاسبه کنید.
1− x
x +2
lim +
x →−2
[x ] − 2
x −2
x 2 −1
(x − 1)2
قضیه :4اگر
lim f (x ) = L
x →a
و
∞ lim g (x ) = +
x →a
(و یا
(الف
x →2
(ب
lim+
(پ
lim−
x →1
) f (x
∞ ) lim g (x ) = −آنگاه =0
) x →a g (x
x →a
lim
تذکر :قضیه فوق در حالتی که x → a+یا x → a-نیز برقرار است.
مثال :حاصل
x +1
π tan x
→x
lim
را به دست آورید.
2
حل :در یکی از کار در کالس های قبل به صورت شهودی دیده شد که:
x +1
π
lim (x + 1) = + 1طبق قضیه فوق = 0
π tan x
π
2
→x
→x
lim
2
2
∞ lim+ tan x = −
π
2
→x
و
∞ lim− tan x = +
π
→x
2
از طرفی
54
فعالیت
1
توابع
1
x2
= ) f (x
و g (x) = x + 1را در نظر بگیرید.
الف) حاصل ) lim f (xو ) lim g (xرا به دست آورید.
x →0
x →0
ب) تابع f + gرا به صورت یک تابع گویا بنویسید و حاصل ) ) lim ( ( f + g )(xرا محاسبه کنید.
x →0
پ) چه نتیجه ای می گیرید؟
2
تابع f * gرا به صورت یک تابع گویا بنویسید و حاصل
) lim f (x ) × g (x
x →0
) lim g (xبیان کنید.
را محاسبه کنید و ارتباط آن را با
) lim f (x
x →0
و
x →0
همان طور در فعالیت فوق مشاهده کردید به طور کلی قضیه زیر را می توان بیان کرد.
قضیه :5اگر
الف)
∞ lim ( f (x ) + g (x ) ) = +
ب) اگر
پ)
∞ lim f (x ) = +
x →a
و
lim g (x ) = L
x →a
آن گاه؛
1
L <0
اگر L > 0
x →a
آن گاه
∞ lim ( f (x ). g (x ) ) = +
آن گاه
∞ lim ( f (x ). g (x ) ) = −
x →a
x →a
تذکر :قضیه فوق برای حالتی که x → a+یا x → a-نیز برقرار است.
مثال :برای به دست آوردن حاصل
قضیه فوق حاصل حد برابر ∞ +می شود.
مثال :حاصل
x + sin2 x
x2
lim+
x →0
)
1
x2
= lim 2x + 1
lim(2x + 1+از آنجا که 1
x →0
x →0 x 2
را به دست آورید.
x + sin2 x 1 sin2 x
=
+ 2
x
x2
x
حل :می توان نوشت
فوق حاصل حد برابر ∞ +خواهد شد.
x →0
و
∞= +
1
lim
با توجه به بند الف
از طرفی
=1
sin2 x
x2
lim+
x →0
و
1
∞= +
x
lim+
x →0
و با توجه به بند الف قضیه
1ــ این قضیه در حالت l = 0در این کتاب بررسی نمی شود و در ارزشیابی ها رعایت این مسئله الزامی است .همچنین حالت ∞ ∞ -در این کتاب مورد بررسی قرار نمی گیرد.
فصل سوم :حدهای نامتناهی ـ حد در بی نهایت 55
کاردرکالس
1
قضیه ،5را در حالتی که
2
حاصل حدود زیر را به دست آورید در هر مرحله مشخص کنید از کدام قضیه استفاده کرده اید.
∞ lim f (x ) = −
x →a
بازنویسی کنید.
x2 + x
lim+
x2
2 − cos 2x
lim−
x
x →0
x →0
(ب
x +1
x −1
lim−
x →1
(الف
2
lim +
(پ
x +2
(ت
x + 4x + 4
x → −2
مجانب قائم
1 1
توابع= )f (x ) = f (x2
به نمودارهای هر یک از
2
x x
1
x
و g (x ) = 1در اطراف نقطه صفر توجه کنید.
x
y
y
7
4
6
3
5
2
g
4
f
x
4
3
2
1
x
3
x →0
4
3
2
1
1
0
2
-1
1
-2
0
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
-3
-4
-1
∞ lim f (x ) = +و
= ) f (x
-4
∞ lim g (x ) = +
x →0+
و
∞ lim g (x ) = −
x →0−
خط x = 0را در هر دو منحنی ،مجانب قائم نمودار می گویند.
تعریف:
خط x = aرا مجانب قائم نمودار تابع ) f (xگویند هرگاه حداقل یکی از شرایط زیر برقرار باشد.
∞ lim f (x ) = +
x →a −
∞ lim f (x ) = −
x →a −
∞ lim f (x ) = +
x →a +
∞ lim f (x ) = −
x →a +
56
مثال :در هر یک از شکل های زیر خط x = aیک مجانب قائم منحنی داده شده است.
y
y
y
f
y y
x
x x
f
f f
a
y y
f
f f
x
x
a
x x
a a
y y
∞lim f (x ) = −
f f
a
x x
a a
a a
∞lim f (x ) = −
∞lim f (x ) = +
x →a +
x →a +
x →a +
∞lim f (x ) = −
f
x →a −
∞limy f (x ) = +
x →a −
f
y y
f f
x
∞lim f (x ) = y+
y y
f f
x
a
x x
x →a −
a
x x
a a
a a
∞lim f (x ) = −
∞lim f (x ) = +
x →a +
مثال :کدام یک از خطوط x = -1و x = 3مجانب های قائم تابع
x →a −
x 2 − 4x + 3
x 2 − 2x − 3
= ) f (x
می باشند؟
حل :شرایط مجانب قائم را برای دو خط مذکور بررسی می کنیم.
∞= −
به عالوه از آنجا که
∞ lim f (x ) = +
x →−1−
x 2 − 4x + 3
x 2 − 2x − 3
lim
x →( −1) −
= ) lim − f (x
)x →( −1
می توانستیم بگوییم x = -1نیز مجانب قائم منحنی تابع fاست از طرفی
x 2 − 4x + 3
)(x − 3)(x − 1
x −1 1
= lim
= lim
=
2
x →3 x − 2x − 3
x →3 (x − 3)(x + 1) x →3 x + 1 2
lim
=
f (x ) lim
خط x = 3شرایط مجانب قائم را ندارد .لذا منحنی تابع fفقط یک مجانب قائم به صورت x = -1دارد.
x →3
فصل سوم :حدهای نامتناهی ـ حد در بی نهایت 57
مثال :نمودار تابع با ضابطه
x +1
x3 +x
= ) f (x
در نزدیکی مجانب قائم آن به چه صورتی می باشد؟
x +1
حل:
)x (x 2 + 1
∞lim f (x ) = −
x →0−
,
= ) f (x
∞lim f (x ) = +
x →0+
پس خط x = 0مجانب قائم منحنی تابع است و در مجاورت این خط نمودار تابع
به صورت روبه رو خواهد بود.
کاردرکالس
مجانب های قائم تابع
x 2 − 3x + 2
x2 − x − 6
= ) f (x
را در صورت وجود به دست آورید.
بندر چابهار (عکاس:سیدمهدی حسینی)
58
تمرین
1
با استفاده از قضایای حدهای نامتناهی درستی حدهای زیر را نشان دهید.
5−x
∞= +
x →−2 2 + x
lim
(پ
∞= +
3 + x2
( limالف
1
(ب
2
∞= +
2
x
x →0
− 2)4
lim
x →2 (x
حدهای زیر را محاسبه کنید.
x +1
9 − x2
lim+
x →3
x 2 + 2x − 1
(پ
2
x + x − 12
3نمودار تابعی را رسم کنید که دامنه آن } -{-1 , 1
lim−
x →3
2x
(ب
2
x −4
4
5
مجانب های قائم توابع زیر را در صورت وجود به دست آورید.
2
2x − 1
3 −x
( g (x ) = x 2 + xب
x −x
1
| x−|x
6
نمودار تابع
7
کدام شکل زیر وضعیت نمودار تابع
(الف)
= ) f (x
در مجاورت مجانب قائم خود چگونه است؟
x
2
x − 2x + 1
(ب)
x →2
بوده و دارای دو مجانب قائم باشد.
نمودار تابعی را رسم کنید که دامنه آن } [-2 , 2] - {1بوده و دارای مجانب قائم باشد.
= ) f (x
lim−
(الف
= ) f (x
را در همسایگی x = 1نمایش می دهد؟ چرا؟
(پ)
(ت)
(الف
2
حد در بی نهایت
درس
در درس قبل حدهای نامتناهی و مجانب های قائم یک منحنی را بررسی کردیم در آنجا مشاهده کردیم که با
نزدیک شدن xبه چه عددی ) f (xبه دلخواه بزرگ تر می شود.
در این درس بررسی می کنیم که با دلخواه بزرگ شدن (نزدیک شدن) xمقادیر ) f (xچه تغییری می کند؟ این
مطلب در رسم نمودارها و برای بررسی رفتار شاخه های نمودار تابع بسیار مفید است.
فعالیت
y
4
نمودار تابع
1
x
= ) f (xرا در بازه (∞ )0 , +
3
در نظر بگیرید.
2
1
x
1
2
1
3
4
5
3
1
2
1
2
0
-1
-2
1
2
جدول زیر را کامل کنید.
106
105
103
100
10
5
2
1
x
…
…
…
…
…
1
5
1
2
1
)f (x
اگر بخواهیم فاصله ) f (xتا محور xها از 1کمتر شود xرا باید حداقل از چه عددی بزرگ تر بگیریم؟
3اگر بخواهیم فاصله ) f (xتا محور xها از
بگیریم؟
5
1
10
کمتر شود xرا باید حداقل از چه عددی بزرگ تر در نظر
60
1
100
4
اگر بخواهیم فاصله ) f (xتا محور xها از
5
آیا فاصله ) f (xتا محور xها را می توان به هر میزان دلخواه کاهش داد؟
با توجه به نمودار تابع
1
x
= ) f (x
کوچک تر شود xرا باید حداقل از چه عددی بزرگ تر در نظر بگیریم؟
اندازه کافی بزرگ اختیار شود
و جدول صفحه قبل می توان مشاهده کرد در صورتی که xبه
ٔ
می توان ) f (xرا به
اندازه دلخواه به صفر نزدیک کرد .در این صورت می گوییم حد ) f (xوقتی xبه سمت مثبت بی نهایت میل کند
ٔ
برابر صفر است و می نویسیم.
1
=0
x →+ ∞ x
lim
کاردرکالس
1
x
= ) f (x
y
1
نمودار تابع
1
x
= ) f (x
را در بازه ( )- ∞ , 0در نظر بگیرید.
x
1
0
-1
-3
-2
-1
-2
-3
1
جدول زیر را کامل کنید.
...
-104
-103
-100
-10
-5
-2
-1
)f (x
...
2
3
اگر بخواهیم فاصله ) f (xاز محور xها کمتر از
اگر بخواهیم فاصله ) f (xتا محور xها از
با توجه به نمودار تابع
x
1
x
= ) f (x
1
106
1
3
شود x ،را باید از چه عددی کوچک تر در نظر بگیریم؟
کمتر شود x .را باید از چه عددی کوچک تر در نظر بگیریم؟
و جدول باال می توان مشاهده کرد اگر xبه اندازه کافی کوچک تر (یعنی از هر عدد منفی
کوچک تر) شود آن گاه ) f (xرا می توان به اندازه دلخواه به صفر نزدیک کرد .در این صورت می نویسیم:
=0
1
lim
x →−∞ x
فصل سوم :حدهای نامتناهی ـ حد در بی نهایت 61
صفحه قبل به طور
تذکر :منظور از ∞ x → ±آن است که ∞ x → +یا ∞ x → -لذا با توجه به فعالیت و کار در کالس
ٔ
خالصه می توان نوشت:
=0
1
lim
x →±∞ x
تعریف:
اگر تابع ) f (xدر بازه ای مانند (∞ )a , +تعریف شده باشد گوییم حد ) f (xوقتی xبه سمت مثبت بی نهایت میل می کند
برابر lاست و می نویسیم
اندازه کوچک کرد.
اگر تابع fدر بازه ( )- ∞ , aتعریف شده باشد .می گوییم حد ) f (xوقتی xبه سمت منفی بی نهایت میل می کند برابر l
lim f (x ) = l
∞x →+
است و می نویسیم
کوچک کرد.
lim f (x ) = l
∞ x →−
هرگاه بتوان با اختیار xهای به قدر کافی بزرگ ،فاصله ) f (xاز lرا به هر
هرگاه بتوان با اختیار xهای به قدر کافی کوچک فاصله ) f (xرا از lبه هر اندازه
کاردرکالس
با استفاده از نمودارهای 1 fو gحدهای زیر را به دست آورید.
2
x
= ) f (x
y
y
4
3
3
2
2
f
x
4
3
2
g
1
1
0
1
x
-1
-1
-2
= ) lim f (x
∞ x →+
= ) lim f (x
∞ x →−
-2
-3
-4
4
3
2
1
0
-1
-1
-2
-3
= ) lim g (x
∞ x →+
= ) lim g (x
∞ x →−
-2
-3
-4
62
قضیه :6اگر aعددی حقیقی و nعددی طبیعی باشد آنگاه:
a
=0
مثال :حاصل هر یک از حدود
2
2
x
lim
∞ x →±
و
−5
3
lim
x →± ∞ 2x
قضیه :7اگر L 1و L 2اعداد حقیقی و lim f (x ) = L 1
∞ x →+
lim
x →± ∞ x n
(الف
برابر صفر است.
و
lim g (x ) = L 2
∞ x →+
آنگاه:
= ) lim ( f ± g )(x
= ) lim f (x ) ± lim g (x
L1 ± L2
∞x →+
∞x →+
∞x →+
) ( lim ( f .g )(xب
=
=
lim f (x ) . lim g (x ) L1 L2
∞x →+
∞x →+
∞x →+
lim f (x ) L
1
=
lim g (x ) L2
(با فرض )L2 ≠ 0
(الف
∞x →+
∞x →+
) f (x
=
lim
) x →+ ∞ g (x
(پ
تذکر :قضیه فوق وقتی xبه سمت ∞ -میل می کند نیز برقرار است.
مثال :حدود زیر را محاسبه کنید.
3
x2
2+
5
+4
x
lim
∞ x →−
(ب
)
5
x3
lim (3 +
∞ x →+
( الف
حل:
الف) با استفاده از قسمت الف قضیه 7و سپس استفاده از قضیه 6می توان نوشت:
= 3 +0 = 3
5
) = lim 3 + lim
x →+ ∞ x 3
∞ x →+
5
3
x
lim (3 +
∞ x →+
ب) با استفاده از قسمت (پ) قضیه 7و سپس استفاده از قضیه 6می توان نوشت:
3
lim 2 + lim
2 +0 1
= =
5
0+ 4 2
lim + lim 4
x →− ∞ x
∞ x →−
x →− ∞ x 2
∞ x →−
3
2+ 2
x
lim
=
x →− ∞ 5
+4
x
فصل سوم :حدهای نامتناهی ـ حد در بی نهایت 63
حدهای نامتناهی در بی نهایت
در محاسبه حد توابع وقتی xبه ∞ +میل می کند .ممکن است ،با بزرگ شدن مقادیر xمقدارهای ) f (xبه عدد خاصی نزدیک
نشوند ولی مقادیر ) f (xاز هر عدد دلخواه مثبت بزرگ تر شوند همان طور که در نمودار توابع f (x) = xو g (x) = x2در شکل زیر
دیده می شود با افزایش مقادیر xمقادیر ) f (xو ) g (xاز هر عدد دلخواه مثبتی بزرگ تر می شود.
y
y
4
3
f (x ) = x
3
2
2
1
g(x ) = x 2
1
x
3
2
1
0
x
-2
-1
3
2
1
0
-1
-2
-3
-1
-3
-1
-2
-2
-3
همچنین با کوچک شدن مقادیر ،xمقادیر ) f (xاز هر عدد دلخواه منفی کوچک تر میشود .در نمودارهای باال می توان
مشاهده کرد که با کاهش مقادیر xمقادیر ) f (xاز هر عدد منفی دلخواه کوچک تر و مقادیر ) g (xاز هر عدد دلخواهی بزرگ تر می شود.
در حالت کلی برای یک تابع fکه در یک بازه )∞ (a , +تعریف شده است اگر با میل کردن xبه سمت ∞ f (x) ،+نیز به سمت
∞ +میل کند می گوییم حد این تابع در ∞ +برابر ∞ +است و می نویسیم ∞ . lim f (x ) = +
∞ x →+
برای مثال
∞ lim x = +
∞ x →+
و
∞ lim x 2 = +
∞ x →+
همچنین اگر با میل کردن xبه سمت ∞ f (x) ،+به سمت ∞ -میل کند می گوییم حد این تابع در ∞ +برابر ∞ -است و می نویسیم
∞ lim f (x ) = −به عنوان مثال ∞ lim − x 2 = −
∞ x →+
∞ x →+
کوه تفتان،سیستان و بلوچستان (عکاس :سیدمهدی حسینی)
64
کاردرکالس
1
مفاهیم
2
با توجه به نمودار توابع y = xو y = x2حدود زیر را مشخص کنید.
∞ lim f (x ) = +
∞ x →−
و
∞ lim f (x ) = −
∞ x →−
را بیان کنید.
= lim x
∞ x →−
= lim x 2
∞ x →−
فعالیت
تابع f (x) = x3را با نمودار روبه رو در نظر بگیرید.
f.(x) = x 3
y
4
3
2
1
x
4
3
2
0
1
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
جدول زیر را کامل کنید.
→ ...
106
1000
100
10
1
-1
→ ...
…
…
…
1000
1
…
با افزایش (کاهش) ،xمقدار ) f (xچه تغییری می کند؟
در مورد حدهای
lim x 3
∞ x →+
و
lim x 3
∞ x →−
چه می توان گفت؟
-1000 -100
-106
…
-106
← ...
x
…
← ...
)f (x
فصل سوم :حدهای نامتناهی ـ حد در بی نهایت 65
قضیه :8اگر nعددی طبیعی باشد آن گاه
الف) اگر nزوج باشد:
ب) اگر nفرد باشد:
∞ lim x n = +
∞x →±
قضیه :9اگر lعددی حقیقی (ناصفر) و
lim f (x ) = l
∞x →+
اگر lمثبت باشد
∞ lim g (x ) = −
∞ x →+
قضیه :10اگر lعددی حقیقی (ناصفر) و
نیز به طریق مشابه برقرار است.
lim f (x ) = l
∞ x →−
اگر lمثبت باشد
تذکر :قضیه 10در حالتی که
مثال :حدود زیر را محاسبه کنید.
∞x →−
و
∞ lim g (x ) = +
∞ x →−
آن گاه.
∞ +
lim ( f (x ).g (x ) ) = lim f (x ). lim g (x ) =
∞x →−
∞x →−
∞x →−
∞ −
اگر lمنفی باشد
∞ lim g (x ) = −
آن گاه
∞ +
lim ( f (x ).g (x ) ) = lim f (x ). lim g (x ) =
∞x →+
∞x →+
∞x →+
∞ −
اگر lمنفی باشد
تذکر :قضیه 9در حالتی که
و
∞ lim g (x ) = +
∞x →+
lim x n = +∞
lim x n = −∞
∞x →−
∞x →+
نیز به طریق مشابه برقرار است.
) lim (3 − 2x − 5x 4
∞ x →+
(ب
)lim (−2x 3 + x − 1
∞ x →−
(الف
حل:
∞ ) = lim − 2x 3 = +
∞ x →−
1
3
x
−
∞ − 5) = lim − 5x 4 = −
∞ x →+
1
2
x
lim (−2x 3 + x − 1) = lim x 3 (−2 +
2
3
x
∞ x →−
−
3
4
x
∞ x →−
( lim (3 − 2x − 5x 4 ) = lim x 4
∞ x →+
(الف
∞ x →+
(ب
به طور کلی حد هرچند جمله ای به صورت f (x) = a n x n + a n-1x n -1 + ... + a 1x + a0در ∞ ±برابر حد جمله ای از
آن است که دارای بزرگ ترین درجه است یعنی:
lim (a n x n + a n −1x n −1 + + a 1x + a0) = lim a n x n
∞ x →±
∞ x →±
66
کاردرکالس
x n - 1 + ... + a 1 x + a0
1الف) اگر
جمله ای باشند نشان دهید.
f (x) = a n x n + a n -1و g (x) = b m x m + b m -1 x m - 1 + ... + b 1x + b0دو چند
a
) f (x
= lim n x n −m
bm
) x →± ∞ g (x
lim
2
در هر یک از حالت های m > nو m < nو m = nحد قسمت قبل به چه صورت هایی نوشته می شود؟
3
به کمک نتیجه قسمت قبل حدهای زیر را محاسبه کنید.
3x 3 − 7x + 1
2x 2 − x + 3
∞ x →±
−3x 3 + x − 1
6x 3 − 2x + 1
2x 2 − x + 1
+ 2x − 1
lim
(الف
lim
∞ x →±
lim
x →± ∞ 4x 3
(ب
(پ
کوه های مریخی،چابهار
فصل سوم :حدهای نامتناهی ـ حد در بی نهایت 67
مجانب افقی
خط y = Lرا مجانب افقی نمودار ) y = f (xمی نامیم به شرطی که حداقل یکی از دو شرط
lim f (x ) = L
∞ x →−
lim f (x ) = L
∞ x →+
برقرار باشد
و
به عنوان مثال در هر یک از شکل های زیر خط y = 1مجانب افقی نمودارها است .چرا؟
y
y
4
5
3
4
2
3
1
x
4
3
2
1
0
2
-1
-2
-4
-3
1
-1
x
4
2
3
0
1
-2
مثال :مجانب های افقی و قائم تابع
-2
-1
-3
-4
-1
2x − 1
x +1
= ) f (x
را به دست آورید.
2x − 1
=2
x →± ∞ x + 1
حل :برای یافتن مجانب افقی کافی است حد تابع را در ∞ ±حساب کنیم داریم:
lim
پس خط y = 2مجانب افقی تابع است.
2x − 1
∞= −
x +1
این تابع دارای مجانب قائم نیز می باشد و خط x = -1مجانب قائم تابع است زیرا:
نمودار تابع به صورت زیر است.
y
6
5
4
3
2
1
x
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
lim +
x →−1
68
کاردرکالس
کدام یک از نمودار توابع زیر مجانب افقی دارد؟ آن را مشخص کنید.
1
y
x
3
4
الف
2
1
y
y
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
-1
-2
-3
-4
x
3
4
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
3
4
2
0
1
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-4
-4
ب
-4
پ
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
x
3
4
ت
2
-1
2
1
0
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
x
3
4
2
0
1
-1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-2
-3
-4
ث
مجانب های افقی و قائم تابع های زیر را در صورت وجود به دست آورید.
x +1
x 2 −1
= ) f (x
(الف
( g (x) = x3ب
2
+1
x +1
( h (x ) = xپ
-4
فصل سوم :حدهای نامتناهی ـ حد در بی نهایت 69
تمرین
1
مفهوم هر یک از گزاره های زیر را بیان کنید.
lim f (x ) = 4
∞ x →−
2
(ب
lim f (x ) = 2
∞x →+
برای تابع fکه نمودار آن داده شده است موارد زیر را به دست آورید:
y
= ) lim f (x
4
∞ x →+
3
∞ x →−
1
x
6
4
5
3
2
0
1
-1
-3
-2
= ) lim+ f (x
x →3
-4
-1
-4
3
4
مجانب های افقی و قائم نمودارهای هر یک از توابع زیر را در صورت وجود به دست آورید:
t2 +1
− 2t 2 + 1
lim
t →− ∞ t 3
) lim (x 3 − 2x 2
∞ x →−
x
2
x −4
2x
1+ x 2
ب)
(ب
3x + 5
x →+ ∞ x − 2
(ت
−x 2 + 2x
x →± ∞ 4x + 1
= ( yب
= ( yت
نمودار تابع fرا به گونه ای رسم کنید که همه شرایط زیر را دارا باشد:
∞ lim f (x ) = +
x →2+
,
∞ lim f (x ) = −
پ) خط y = -1مجانب افقی آن باشد.
x →−2+
(ث
مجانب های افقی و قائم (ج
حاصل حدود زیر را به دست آورید:
x →0
(پ
x →3
= ) lim f (x
-3
(ب
(ت
= ) lim− f (x
-2
الف) f (1) = f (-2) = 0
(الف
= ) lim f (x
2
5
(الف
lim
lim
(الف
(پ
( y = 2x − 1الف
x −3
2
( y = 1+ 2x2پ
1− x
4
فصل
مشتق
1
2
3
آشنایی با مفهوم مشتق
مشتق پذیری و پیوستگی
آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه ای تغییر
ماهواره بر سیمرغ ـ پایگاه فضایی امام خمینی(ره)
مفهوم مشتق به مسئله تاریخی خط مماس در یک نقطه از منحنی و مسئله یافتن سرعت لحظه ای یک جسم مربوط می شود .امروزه مشتق در علوم مختلف کاربردهای
وسیع و گسترده ای دارد.به طور مثال در صنایع فضایی،مسائلی نظیر کمینه سازی سوخت مصرفی ،بیشینه سازی سرعت و کمینه سازی زمان سفر با مفهوم مشتق ارتباط
دارند.
1
آشنایی با مفهوم مشتق
درس
مشتق یکی از مفاهیم اساسی ریاضی است که دارای کاربردهای وسیع در ریاضیات و علوم دیگر است .ایده
اولیه در مورد مفهوم مشتق ،به شیب یک خط مربوط می شود .به کمک این ایده به تدریج به صورت دقیق تری
با مفهوم مشتق آشنا می شویم.
فعالیت
1شیب هر یک از خط های داده شده را به دست آورید و مشخص کنید که کدام یک مثبت و کدام یک
منفی است؟
4
y
4
3
3
2
2
1
1
x
3
2
0
1
-2
-1
-3
-4
x
3
2
0
1
-2
-1
-3
-4
-1
-1
-2
-2
2با توجه به جدول روبه رو ،نمودار مربوط
خط های d3 , d2 , d1و d4را روی شکل مشخص
کنید.
y
x
3
x
3 2
2 1
d4
d3
d2
d1
خط
−
2
-3
2
5
شیب
2
3
y
y
y
4
4
4
4
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
10
-1
-1 -2 0
x
-3 -4 -2 -3
-4
3
x
3 2
2 1
10
-1
-1 -2 0
-1
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-3
-4
-4
-4
-4
-3 -4 -2 -3
-4
فصل چهارم :مشتق 73
خط مماس بر یک منحنی
یافتن خط مماس در یک نقطه از یک منحنی مسئله ای تاریخی است که زمانی طوالنی
برای حل آن صرف شده است .مفهوم خط مماس بر یک دایره از زمان های گذشته
مشخص بوده است .خط مماس بر دایره ،خطی است که با دایره یک و فقط یک نقطه
مشترک داشته باشد .این تعریف در حالت کلی برای همه منحنی ها صادق نیست.
خط مماس
خواندنی
از نظر تاریخی مسئله یافتن خط مماس در یک نقطه از یک منحنی ،برای اولین بار در اوایل قرن هفدهم میالدی زمانی مطرح
شد که فرما ریاضی دان فرانسوی اقدام به تعیین ماکزیمم ها و مینیمم های چند تابع خاص کرد .فرما دریافت که خطوط مماس،
در نقاطی که منحنی ماکزیمم یا مینیمم دارد باید افقی باشد .از این رو به نظرش رسید که مسئله تعیین نقاط ماکزیمم یا مینیمم
به حل مسئله دیگر ،یعنی یافتن مماس های افقی مربوط می شود .تالش برای حل این مسئله کلی تر بود که فرما را به کشف
برخی از ایده های مقدماتی مفهوم «مشتق» هدایت کرد .مفهوم مشتق به شکل امروزی آن نخستین بار در سال 1366میالدی،
توسط نیوتن و به فاصله چند سال بعد از او توسط الیپ نیتس ،مستقل از یکدیگر پدید آمد .شیوه نیوتن مبتنی بر دیدگاه فیزیکی
بود و از مشتق برای به دست آوردن سرعت لحظه ای استفاده کرد ،اما الیپ نیتس با دیدگاهی هندسی از مشتق برای به دست
آوردن شیب خط مماس در منحنی ها استفاده کرد.
خط های d1تا d4را در نظر بگیرید .خط d2در نقطه ،Aخط d3در نقطه Bو خط d4در نقاط Aو Bبر منحنی مماس هستند.
خط d1در نقطه Aبر منحنی مماس نیست .همچنین خطوط d3و d4در نقطه cبر منحنی مماس نیستند .در ادامه این درس با
دالیل این امر به صورت دقیق تری آشنا خواهید شد.
y
y
d4
d2
A
C
B
C
A
x
y
0
x
d3
d1
B
0
x
A
0
74
فعالیت
اکنون سعی می کنیم که به کمک نمودار منحنی ،خط مماس بر منحنی در یک نقطه را بررسی کنیم .نقطه ثابت Aرا روی منحنی
زیر در نظر می گیریم .خطی که از Aو Bمی گذرد یک خط قاطع نامیده می شود .روی منحنی نقطه های دیگری را نزدیک تر به
نقطه Aاختیار می کنیم و خط های گذرنده از Aو آن نقطه ها را رسم می کنیم .حدس بزنید که وقتی نقاط به قدر کافی به Aنزدیک
می شوند ،برای خط های قاطع چه اتفاقی می افتد؟ به عبارت دیگر خط های قاطع به چه خطی نزدیک می شوند؟
اکنون نقطه Cرا سمت چپ نقطه Aاختیار می کنیم و خط قاطع ACرا رسم می کنیم .مانند قبل نقاط دیگری را نزدیک تر به
نقطه Aاختیار می کنیم .حدس می زنید برای خط های قاطع چه اتفاقی می افتد؟ به طور شهودی می توان گفت:
شیب خط مماس بر منحنی در نقطه Aحد شیب خط های قاطع گذرنده از Aاست به شرطی که نقطه ها به قدر کافی به Aنزدیک
شوند.
y
y
A
A
B
C
x
0
x
0
در ادامه این بحث را دقیق تر بررسی خواهیم کرد.
فعالیت
الف) تابع f (x) = - x2+10xداده شده است ،اگر 0 ≥ x ≥10نقاط )) D (4, f (4)) ،C (5, f (5)) ،B(6, f (6)) ،A(2, f (2و
)) E (3, f (3را روی منحنی در نظر می گیریم .شیب خطی که از نقاط Aو Bمی گذرد یعنی mABاز دستور زیر به دست می آید:
yB − yA f (6) − f (2) 24 − 16 8
=
=
= = 2
xB − xA
6−2
4
4
به همین روش mACو mADو mAEرا به دست آورید.
=mAB
فصل چهارم :مشتق 75
y
= mAE
30
= mAD
= mAC
mAB =2
C
B
25
D
E
= )f (6) − f (2
∆y
20
A
15
6 − 2 =∆ x
10
2
= ) f (x
−x + 10x
5
x
12
11
10
9
8
6
7
4
5
3
2
0
1
همان طور که می دانید برای محاسبه شیب خط ABنسبت تغییر عمودی را به تغییر افقی به دست می آوریم .اگر این تغییرات را
به ترتیب با ∆yو ∆ xنمایش دهیم ،داریم:
در هنگام محاسبه شیب های باال ،توضیح دهید که ∆xها چگونه تغییر می کنند؟
∆y
∆x
= mAB
8
= ∆y = 24 -16
4
= ∆x = 6 -2
6ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 2
[]2,6
9
= ∆y = 25 -16
∆x = 5 -2 = 3
5ــــــــــــــــــــــــــــ 2
[]2,5
8
= ∆y = 24 -16
2
= ∆x = 4 -2
4ــــــــــــــــــ 2
[]2,4
5
= ∆y = 21 -16
1
= ∆x = 3-2
3ـــــــــ 2
[]2,3
76
ب) حال فرض کنید که با ادامه روندی
که در قسمت (الف) اختیار کردیم ،نقاط
بیشتری را نزدیک به Aانتخاب کنیم .شیب
خطوط به دست آمده به شیب خط مماس
بر منحنی در نقطه Aنزدیک می شود.
برای درک بهتر این موضوع ،منحنی
f (x)= -x2+10xدر فاصله [ ]2,3رسم
شده است .در ادامه نمودار تابع در بازه
[ ]2,2/4رسم شده است.
))EE (3, f (3
))(3, f (3
GG (2/4,
))(2/4,f f(2/4
))(2/4
))(2/5,ff(2/5
))(2/5
(2/5,
FF
))(2/4,ff(2/4
(2/4)) G
G
(2/4,
∆∆yy
∆∆yy
A
∆∆xx
A
))
))((22,,ff((22
AA
(2, ,f f(2
(2)))) ∆∆xx
(2
)f (2 / 4) − f (2
2/ 4 −2
)f (2 / 5) − f (2
2/ 5 −2
= mAG
=
18 / 75 − 16
0/ 5
=
2 / 75
= 5/5
0/ 5
= mAF
=
=
اگر به همین ترتیب بازه های کوچک تری در نظر بگیریم ،شیب خطوط به دست آمده به شیب خط مماس بر منحنی در نقطه A
نزدیک می شود .برای درک بهتر این موضوع ،با تکمیل جدول و مقایسه شیب خط های قاطع ،شیب خط مماس را حدس بزنید.
شیب خطی که از نقاط )) (a , f (aو )) (b , f (bمی گذرد.
) f (b ) − f (a
b −a
بازه []a,b
= 5/6
=
)f (2 / 4) − f (2
=
2/ 4−2
][2,2/4
=
=
=
][2,2/3
1 / 16
= 5/8
0/ 2
f (2 / 2) − f (2) 17 / 16 − 16
= =
2/ 2−2
0/ 2
][2,2/2
0 / 59
= 5/9
0/ 1
f (2 / 1) − f (2) 16 / 59 − 16
= =
2 / 1− 2
0/ 1
][2,2/1
f (2 / 01) − f (2) 16 / 0599 − 16 0 / 0599
=
= = 5 / 99
2 / 01 − 2
0 / 01
0 / 01
][2,2/01
16 / 005999 − 16
= 5 / 999
0 / 001
��
?? →
→
)f (2 / 001) − f (2
=
2 / 001 − 2
��
))ff((22++hh))−−ff((22
hh
][2,2/001
��
][2,2+h
( hیک عدد خیلی کوچک و
مثبت است).
فصل چهارم :مشتق 77
اگر بخواهیم دقیقتر صحبت کنیم ،باید در مورد مقادیر عبارت
)f (2 + h ) − f (2
h
وقتی hبه قدر کافی نزدیک به صفر (و مثبت)
است ،بررسی کنیم .روند باال این حدس را تقویت میکند که هر چقدر که بخواهیم میتوانیم این مقادیر را به عدد 6نزدیک کنیم مشروط
بر آنکه hرا به قدر کافی نزدیک به صفر (و مثبت) اختیار کنیم .به عبارت دیگر حدس می زنیم که:
کافی است با محاسبه مقدار حد ،صحت حدس خود را بررسی کنیم:
)f (2 + h ) − f (2
=6
h
lim+
h →0
2
)f (2 + h ) − f (2
−(2 + h )2 + 10(2 + h ) − 16
= = lim+ −(h + 4h + 4) + 20+ 10h − 16
= lim+
h
h
h
h →0
h →0
lim+
2
−h 2 − 4h − 4 + 4 +10h
= lim+ −h + 6h= lim+ h (−h + 6)= lim(−h + 6=) 6
h
h
h
h →0
h →0
h →0
lim+
h →0
h →0
به طریق مشابه می توان دید که اگر نقاط روی منحنی را در سمت چپ Aاختیار کنیم ،به عبارت دیگر اگر بازه هایی مانند،
[ ]1/8 ,2[ ،]1/7 ,2[ ،]1/6 ,2[ ،]1/5 , 2و… را در نظر بگیریم شیب خط های قاطع برابر با … ،6/2 ،6/3 ، 6/4 ،6/5خواهد
شد.به عبارت دیگر در این حالت هم شیب خط های قاطع به هر اندازه که بخواهیم به عدد 6نزدیک می شوند ،مشروط بر آنکه hبه
قدر کافی از سمت چپ به صفر نزدیک شود ،یعنی داریم:
بنابراین به طور کلی می توان نوشت:
)f (2 + h ) − f (2
=6
h
lim−
h →0
)f (2 + h ) − f (2
=6
h
h →0
lim
شیب خط مماس بر منحنی fدر نقطه )) A(a , f (aرا به صورت زیر تعریف می کنیم:
) f (a + h ) − f (a
h
= limشیب خط مماس بر منحنی در نقطه A
h →0
به شرط آنکه این حد موجود و متناهی باشد.
حد باال را (در صورت وجود) مشتق تابع fدر نقطه aمی نامند و با ) f ′(aنمایش می دهند ،یعنی:
) f (a + h ) − f (a
h
حد مذکور را شیب منحنی در aنیز می نامند.
f ′(a ) = lim
h →0
78
بنابراین در مثال قبل داریم .f ′(2) = 6در ادامه ) f ′(3برای f (x) = -x2 + 10xمحاسبه شده است:
2
h
h →0
h
h →0
−9 − 6h − h 2 + 30 + 10h − 21
) f (3 + h ) − f (3
−(3 + h )2 + 10(3 + h ) − 21
lim
=
= lim
h
h
h
h →0
h →0
h →0
f ′(3) = lim
+ 30 + 10h − 21
−h 2 + 4h
= lim
= lim( −h + 4) = 4
h
h
h →0
h →0
مثال :معادله خط مماس بر منحنی تابع f (x) = -x2+10xرا در نقطه )) A(2, f (2واقع بر نمودار تابع بنویسید.
حل :با توجه به آنچه که در فعالیت قبل مشاهده شد:
= f ′(2) =6شیب خط مماس در نقطه A
)A (2, f (2)) = (2,16
y - 16 = 6 (x -2) ⇒ y = 6x + 4
کاردرکالس
معادله خط مماس بر منحنی تابع y = x2+3را در نقطه ای به طول -2بنویسید.
تذکر :با نمادهای معرفی شده در فعالیت در مورد شیب خط های قاطع می توان دستورهای معادل دیگری برای محاسبه
مشتق در یک نقطه به دست آورد ،به طور مثال شیب خطی که از نقاط Aو Bمی گذرد برابر است با:
) ∆y f (a + ∆x ) − f (a
=
∆x
∆x
) f (a + ∆x ) − f (a
∆x
و از آنجا:
= mAB
f ′(a ) = lim
∆x →0
مثال :اگر f ′(2) ،f (x) = -x2+10xرا از دستور باال به دست آورید:
)f (2 + ∆x ) − f (2
− (2 + ∆x )2 + 10(2 + ∆x ) − 16
= lim
=
∆x
∆x
∆x →0
∆x →0
f ′(2) = lim
− 4 − ∆x 2 − 4∆x + 20 + 10∆x − 16
−∆x 2 + 6∆x
)∆x (−∆x + 6
= lim
= lim
= lim (−∆x + 6) = 6
∆
x
∆
x
∆x
∆x →0
∆x →0
∆x →0
∆x →0
lim
محاسبه ) f ′(aبه روش دیگر
) f (a + h ) − f (a
h
h →0
مشتق تابع fدر نقطه x = aبه صورت:
نقطه x = aمی یابیم که در برخی محاسبات کار را ساده تر می کند.
f ′(a ) = lim
تعریف شد .اکنون دستور دیگری برای مشتق تابع fدر
فصل چهارم :مشتق 79
y
y
)) B(x , f (x
)) B(a + h, f (a + h
f
f
) f (a + h ) − f (a
) f (x ) − f (a
))
x-a
(ب)
x
x
x-a
f (a
)
a,
(A
h
x
a
)
(a
,f
a
(A
(الف)
a
a+h
h
با استفاده از نموداری مشابه نمودار (الف) برای محاسبه مشتق fدر aداریم:
) f (a + h ) − f (a
h
) f (a + h ) − f (a
h
= = mABشیب خط AB
= limشیب خط مماس بر منحنی در A
h →0
با استفاده از نمودار (ب) راه دیگر محاسبه شیب خط مماس این است که نقطه دلخواه Bرا به مختصات )) (x , f (xدر نظر بگیریم
در این صورت داریم:
) f (x ) − f (a
= = mABشیب خط AB
x −a
برای محاسبه شیب خط مماس کافی است که xرا مرتباً به
) f (x ) − f (a
x −a
x →a
lim
a
نزدیک کنیم .در این صورت شیب خط مماس برابر با
است مشروط بر اینکه این حد موجود باشد (واضح است که مانند قبل xباید از راست و چپ به قدر کافی به
aنزدیک شود).به عبارت دیگر:
) f (x ) − f (a
x −a
x →a
f ′(a ) = lim
مثال :اگر f ′(3) ، f (x) =x2را به دو روش به دست آورید.
حل:
روش اول:
) f (3 + h ) − f (3
(h + 3)2 − 9
h 2 + 6h + 9 − 9
h 2 + 6h
= lim
= lim
= lim
h
h
h
h
h →0
h →0
h →0
h →0
f ′(3) = lim
)h (h + 6
= lim(h + 6) = 6
h
h →0
h →0
= lim
روش دوم:
)(x − 3)(x + 3
)f (x ) − f (3
x2 − 9
= lim
= lim (x + 3) = 6
= lim
x −3
x −3
x →3
x →3
x →3
x →3 x − 3
f ′(3) = lim
80
در موقعیت های مختلف ،ممکن است یکی از این دو روش بر دیگری به دلیل ساده تر بودن محاسبات برتری داشته باشد .معادل
صفحه قبل
بودن این دو روش را به شیوه هندسی مالحظه نمودید .در کار در کالس بعد به شیوه جبری نیز معادل بودن دو روش
ٔ
را بررسی کنید.
کاردرکالس
اگر ) f ′(aموجود باشد ،ثابت کنید.
) f (a + h ) − f (a
) f (x ) − f (a
= lim
h
x −a
h →0
x →a
lim
(
راهنمایی :تغییر متغیر a + h = xرا به کار برید.
توجه کنید وقتی که h →0آنگاه )x →a
کاردرکالس
f ′(8) ، f (x) =-x2+10xو )f ′ (5
الف) برای تابع
را حساب کنید.
ب) دو نقطه روی منحنی مشخص کنید که مقدار
مشتق تابع در آنها قرینه یکدیگر باشد.
پ) به کمک شکل توضیح دهید که تابع در چه نقاطی
دارای مشتق مثبت و در چه نقاطی مشتق منفی است.
ت) بدون محاسبه و تنها به کمک نمودار ،شیب
خط های مماس بر منحنی در نقاط 3و 4را با هم
مقایسه کنید.
ث) با محاسبه ) f ′(3و ) f ′(4صحت حدس خود را
بررسی نمایید.
y
30
B
C
25
D
E
20
A
15
10
5
x
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
فصل چهارم :مشتق 81
تمرین
1
2
اگر f ′(2) ،f (x) = 3x2 - 2x + 1را بهدست آورید و معادله خط مماس بر منحنی fرا در نقطهای به طول 2واقع بر آن بنویسید.
نقاط داده شده روی منحنی زیر را با شیب های ارائه شده در جدول نظیر کنید.
نقطه
y
E
F
B
شیب
-3
-1
0
1
2
A
x
0
1
2
D
C
3برای نمودار ) y = f (xدر شکل زیر شیب های داده شده از «الف»
تا «ج» را از کوچک ترین به بزرگ ترین مرتب کنید.
الف) شیب نمودار در نقطه A
ب) شیب نمودار در نقطه B
پ) شیب نمودار در نقطه C
ت) شیب خط AB
ث) شیب خط y =2
ج) شیب خط y =x
شیب های داده شده از «الف» تا « ج » را به ترتیب … , m2 , m1و m6
در نظر بگیرید.
y
C
B
)y = f (x
y=x
A
x
4با در نظر گرفتن نمودار fدر شکل ،نقاط به طول های d ,c ,b , aو e
را با مشتق های داده شده در جدول نظیر کنید.
)f ′(x
y
0
0/5
f
x
e
d
c
b
a
0
2
-0/5
-2
x
82
5نقاطی مانند F ،E ،D ،C ،B ،Aو Gرا روی نمودار )y =f (x
مشخص کنید به طوری که:
الف) ،Aنقطه ای روی نمودار است که شیب خط مماس بر نمودار
در آن منفی است.
ب) Bنقطه ای روی نمودار تابع است که مقدار تابع و مقدار مشتق
در آن منفی است.
پ) Cنقطه ای روی نمودار است که مقدار تابع در آنجا صفر است
ولی مقدار مشتق در آن مثبت است.
ت) Dنقطه ای روی منحنی است که مشتق در آنجا صفر است.
ث) نقاط Eو Fنقاط متفاوتی روی منحنی هستند که مشتق یکسان
دارند.
ج) Gنقطه ای روی منحنی است که مقدار تابع در آنجا مثبت ولی
مقدار مشتق منفی است.
6
y
) y = f (x
x
0
اگر f ′(-1) ، f (x)= x3-2را به دست آورید.
7نقاط E ،D ،C ،B ،Aو Fرا روی منحنی روبه رو در نظر
می گیریم .در مورد شیب منحنی در این نقاط کدام گزاره درست و
کدام یک نادرست است؟
الف) شیب منحنی در همه این نقاط مثبت است.
ب) ( mA<mBشیب خط مماس بر منحنی در نقطه Aرا با mA
نمایش داده ایم)
پ) mE < mB<mA
ت) شیب منحنی در نقاط D، Fو Cمنفی است.
F
ث ) mF < mD<mC
x
ج) mC < mD < mF < mE < mB <mA
y
C
B
E
D
A
0
فصل چهارم :مشتق 83
8
برای تابع fدر شکل زیر داریم f ′(4) =1/5 :و f (4) = 25با توجه به شکل مختصات نقاط B , Aو Cرا بیابید.
B
A
C
خط مماس
5
4
3
9در هر ثانیه علی jمتر با دوچرخه و رضا sمتر با پای پیاده طی می کنند ،به طوری که .j > sدر یک زمان داده شده ،چگونه
می توان مسافت طی شده توسط رضا و علی را مقایسه کرد؟
الف) علی j - sمتر بیش از رضا مسافت طی خواهد کرد.
ب) علی j . sمتر بیش از رضا مسافت طی خواهد کرد.
پ) علی j /sمتر بیش از رضا مسافت طی خواهد کرد.
ت) علی j . sبرابر رضا مسافت طی خواهد کرد.
ث) علی j /sبرابر رضا مسافت طی خواهد کرد.
روستای رهلی داغالر ـ آذربایجان شرقی (عکاس :بختیار رنجبری)
2
مشتق پذیری و پیوستگی
درس
در درس گذشته مشتق تابع fدر نقطه ای به طول x0به یکی از دو صورت زیر تعریف شد:
)f (x ) − f (x0
x →x0
x − x0
یا
f ′(x0) = lim
)f (x0 + h ) − f (x0
h →0
h
f ′(x0) = lim
در صورت وجود حد (متناهی) فوق گفته می شود که fدر x0مشتق پذیر است.
در مطالعه رفتار یک تابع ،مشخص کردن نقاطی که تابع در آن نقاط مشتق پذیر نیست دارای اهمیت است.
در فعالیت زیر با یکی از حالت هایی که یک تابع در آن مشتق پذیر نیست آشنا می شوید.
فعالیت
نمودار تابع
x 2 x ≠ 2
f (x ) =
1 x = 2
(شکل مقابل) را درنظر می گیریم:
y
الف) چگونه به کمک نمودار تابع و تعریف مشتق
به عنوان شیب خط مماس می توانید استدالل کنید که
) f ′ (2وجود ندارد؟
5
4
f
3
2
1
x
3
2
1
0
-1
-2
-3
-1
اگر برای بررسی مشتق پذیری این تابع در x = 2تعریف مشتق fدر x = 2را به کار گیریم:
)f (x ) − f (2
x 2 −1
= lim
=
x →2
x →2 x − 2
x −2
lim
فصل چهارم :مشتق 85
حد صورت کسر برابر 3است و حد مخرج کسر برابر صفر است .وقتی ،x →2داریم:
x 2 −1
∞= +
x −2
lim+
x →2
x 2 −1
∞= −
x −2
بنابراین
)f (x ) − f (2
x −2
lim
x →2
= حد راست
lim−
x →2
= حد چپ
موجود (و متناهی) نیست ،پس ) f ′ (2وجود ندارد.
ب) نقطه دیگری (به جز )x = 2در نظر بگیرید .آیا تابع در این نقطه مشتق پذیر است؟ پاسخ خود را با پاسخ دوستانتان مقایسه
کنید.
کاردرکالس
2
x ≤1
تابع ( gشکل زیر) را به صورت
x + 1 x > 1
g (x ) = xدرنظر می گیریم.
چرا ) g ′(1موجود نیست؟
y
4
3
2
1
x
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-1
-2
توابع fو gفعالیت و کار در کالس قبل به ترتیب در x = 2و x = 1ناپیوسته بودند و همان گونه که مشاهده کردید f ′(2) ،و
) g ′(1موجود نبودند .بنابراین به نظر می رسد که اگر تابعی در یک نقطه مشتق پذیر باشد ،الزام ًا در آن نقطه باید پیوسته باشد .این
مطلب را به عنوان یک قضیه ثابت می کنیم.
86
قضیه :اگر تابع fدر x = aمشتق پذیر باشد آن گاه fدر aپیوسته است.
اثبات :کافی است نشان دهیم:
) lim f (x ) = f (a
x →a
) f (x ) − f (a
= ))
x −a
= )) lim ( f (x ) − f (a
بنابراین 0
x →a
و از آنجا
() lim ( f (x ) − f (a )) = lim ((x − a
x →a
x →a
) f (x ) − f (a
=)
= ) 0.f ′(a
0
x −a
) ( lim f (x ) = f (aچرا؟)
( lim (x − a ). lim
x →a
x →a
x →a
با توجه به این قضیه به طور منطقی می توان نتیجه گرفت که:
اگر تابع fدر x = aپیوسته نباشد ،آن گاه fدر x = aمشتق پذیر هم نیست.
مثال بعد نشان می دهد که عکس قضیه درست نیست ،یعنی حتی با وجود پیوستگی تابع در یک نقطه ،لزوماً نمی توان مشتق پذیری
تابع در آن نقطه را نتیجه گرفت.
مثال :مشتق پذیری تابع | f (x) = |x2 - 1را در x =1بررسی کنید.
)f (x ) − f (1
| x 2 − 1| −0
= lim
x →1
x →1
x −1
x −1
lim
برای محاسبه
)f ′(1
ناچاریم حدهای راست و چپ را به دست آوریم.
x 2 −1
=
2
lim
x →1+ x − 1
2
|| x − 1
= = limحد راست
+
x −1
x →1
2
| x − 1| 2
)− (x 2 − 1
=
lim
= −2
=f (x
) x −1
x − 1 x →1− x − 1
بنابراین ) f ′(1موجود نیست .به عبارت دیگر خط مماس بر
منحنی در نقطه x = 1وجود ندارد .اما حدهای یک طرفه فوق
را می توان با وجود نیم خط های مماس بر منحنی در نقطه x = 1
توجیه کرد .اگر از سمت راست به نقطه x =1نزدیک شویم ،شیب
نیم خط مماس بر منحنی در این نقطه برابر 2و اگر از سمت چپ به
x = 1نزدیک شویم ،شیب خط مماس بر منحنی در این نقطه برابر
-2است .حدهای راست و چپ باال را به ترتیب مشتق های راست
و چپ fدر x = 1می نامیم و با ) f+′ (1و ) f−′ (1نمایش می دهیم.
= lim−حد چپ
x →1
y
5
4
3
2
1
x
4
3
2
1
0
-1
-1
-2
-3
-4
فصل چهارم :مشتق 87
در مثال قبل fدر x =1پیوسته است ولی fدر آن مشتق پذیر نیست.
نیم خط های مماس راست و چپ را به اختصار ،نیم مماس راست و چپ می نامیم.
شیب نیم مماس چپ =
شیب نیم مماس راست =
در حقیقت:
معادله این نیم مماس ها نیز به ترتیب عبارت اند از:
y = 2x - 2
یا
(y - 0 = 2)x -1
، x≥1
y =-2x + 2 ، x ≤ 1یا (y - 0 = -2)x -1
(f−′ )1
(f+′ )1
نیم مماس راست
نیم مماس چپ
کاردرکالس
نشان دهید که مشتق تابع fدر مثال قبل در x = -1نیز موجود نیست.
در صورت امکان معادله نیم مماس های راست و چپ در x = -1را بنویسید.
تعریف :مشتق راست و مشتق چپ تابع fدر x = aرا با
تعریف می کنیم:
یا به طور معادل:
( f+′ )a
( f )x ( − f )a
x −a
( f )a + h ( − f )a
h
و
( f−′ )a
نمایش می دهیم و آن را به صورت زیر
( f )x ( − f )a
x −a
f+′ )a ( = lim+
( f )a + h ( − f )a
h
f+′ )a ( = lim+
f−′ )a ( = lim−
x →a
f−′ )a ( = lim−
h →0
,
,
x →a
h →0
88
مثال :توابع ] f (x) = [xو
= ( g )xدر صفر پیوسته نیستند .بنابراین
x
و ( g ′)0موجود نیستند.
(f ′)0
y
y
f (x ) = x
4
4
3
3
x
2
2
=)
f (x
1
1
x
3
4
2
0
1
-1
-2
-3
x
-4
4
2
3
0
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
اکنون به بررسی حالت دیگری می پردازیم که در آن تابع مشتق پذیر نیست.
-2
-1
-4
-3
y
4
مثال :تابع
در x = 0بررسی کنید.
f )x ( = 3 x
را درنظر می گیریم .مشتق پذیری این تابع را
3
x
3
2
= ) f (x
1
3
x −0
x
1
= lim
= lim
∞= +
3
x →0 x
x →0
x
x2
3
f ′)0( = lim
x →0
x
3
4
1
2
-1
0
-2
-4
-3
-1
بنابراین تابع fدر صفر مشتقپذیر نیست .شکلها نشان میدهند که وقتی از
سمت راست یا چپ به نقطه صفر نزدیک میشویم خطهای قاطع به خط x =0
نزدیک میشوند.
-2
-3
تابع f )x ( = 3 xدر x = 0مشتق پذیر نیست.خط x =0را «مماس قائم»
منحنی می نامیم.
y
x
3
y
4
4
3
3
2
= ) f (x
2
1
x
4
3
2
1
1
-1
0
-2
-3
-4
x
4
3
2
1
-1
0
-3
-2
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-2
x
3
= ) f (x
-4
فصل چهارم :مشتق 89
) f (x ) − f (a
) f (x ) − f (a
limیـا ∞= −
اگــر تـابـع fدر x = aپیوسته بـاشد و ∞= +
x →a
x →a
x −a
x −a
خط x = aرا «مماس قائم» بر منحنی fدر نقطه )) (a , f (aمی نامیم .بدیهی است ) f ′(aدر این حالت وجود ندارد.
lim
به طور خالصه می توان گفت:
در این صورت
تابع fدر x = aمشتق پذیر نیست هرگاه حداقل یکی از شرایط زیر برقرار باشد.1
f 1در aپیوسته نباشد.
f 2در aپیوسته باشد و مشتق راست و مشتق چپ در :x = a
الف) هر دو موجود (متناهی) ولی نابرابر باشند (نقطه گوشه ای).
ب) یکی متناهی و دیگری نامتناهی باشد (نقطه گوشه ای).
پ) هر دو نامتناهی باشند.
کاردرکالس
در شکل های زیر مشخص کنید که هر تابع در کدام نقطه یا نقاط مشخص شده مشتق پذیر نیست.
y
x
x3
x2
y
x1
x
x3
x2
y
x
x3
x2
y
x1
x
x3
x2
y
x1
x
x3
x2
x1
y
x1
1ــ همکاران محترم توجه دارند که ذکر مثال های پیچیده در این قسمت در زمره اهداف کتاب نیست.
x
x4
x3
x2
x1
90
تابع مشتق
تاکنون با مفهوم مشتق تابع در یک نقطه (معین) آشنا شده اید .حال به دنبال یافتن رابطه ای بین مجموعه نقاط متعلق به دامنه یک
تابع و مشتق تابع در آن نقاط هستیم.
فعالیت
y
4
تابع f )x( = x2را درنظر می گیریم.
3
2
1
x
4
3
1
2
0
-1
-2
-4
-3
-1
-2
جدول زیر را کامل کنید (مشتق تابع در برخی نقاط حساب شده اند).
2
3
4
2 3
1
2
-1
0
0
-3
-2
-4
x
)f ′ (x
)f (x ) − f (−2
x2 − 4
=lim
= )=lim (x − 2
−4
)x →−2 x − ( −2
x →−2 x + 2
x →−2
f ′(−2) =lim
) (x + 3 )(x − 3
= 2 3
3
x− 3
lim
→x
x2 − 3
=
lim
x→ 3 x − 3
) f (x ) − f ( 3
=
x− 3
lim
x→ 3
=
) f ′( 3
)f (x ) − f (0
x2
= lim
= 0
x →0
x →0 x
x −0
=
f ′(0) lim
میدانیم مشتق تابع در یک نقطه (در صورت وجود) برابر شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است و از طرفی مماس بر منحنی در
هر نقطه یکتاست ،بنابراین ( f ′)xتابعی از xاست.حدس میزنید در چه نقاطی مشتق تابع f )x( = x2وجود دارد؟
فصل چهارم :مشتق 91
اگر xعضوی از دامنه تابع fباشد ،تابع مشتق fدر xرا با (f ′)x
نمایش می دهیم و آن را به صورت زیر تعریف می کنیم:
) f (x + h ) − f (x
h
f ′(x ) = lim
h →0
مشروط بر آنکه حد فوق موجود باشد .مجموعه تمام نقاطی از دامنه fکه برای آنها f ′موجود باشد را دامنه f ′می نامیم.
به طور مثال برای تابع ، f )x( = x2دامنه تابع ،f ′مجموعه اعداد حقیقی است .روش محاسبه ضابطه تابع f ′نیز ،در ادامه ارائه
شده است.
) f (x + h ) − f (x
(x + h )2 − x 2
=
f ′(x ) lim
= lim
h →0
h →0
h
h
x 2 + 2hx + h 2 − x 2
) h (2x + h
= lim
= = lim(2x +
h ) 2x
h →0
h →0
h →0
h
h
= lim
بنابراین .f ′)x( =2 xهمان گونه که قبال ً ذکر شد دامنه تابع ،f ′مجموعه اعداد حقیقی است .به کمک این دستور مقدار مشتق
تابع f (x) = x2در هر نقطه را می توان حساب کرد ،به طور مثال:
f ′)50( = 100
و
f ′( 7 ) = 2 7
,
1
2
= ) f ′(−
−
5
5
مثال :اگر ، f (x ) = 1تابع مشتق و دامنه آن را به دست آورید f ′)3( .را از دو روش به دست آورید:
x
با استفاده از تابع مشتق و سپس با استفاده از تعریف مشتق در .x = 3
حل f ′)0( :وجود ندارد .دامنه f ′برابر
} − {0
y
1
1
−
) f (x + h ) − f (x
f ′(x ) lim
=
= lim x + h x
h →0
h →0
h
h
4
3
2
1
x
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
1
x
-1
است .اگر x ≠0داریم:
= ) f (x
-2
-3
-4
= lim x − x − h = lim −h = lim −1 = − 12
) h →0 hx (x + h ) h →0 hx (x + h ) h →0 x (x + h
x
92
با استفاده از دستور فوق داریم:
−1
محاسبه کرد ،به طور مثال:
5
−1
9
= )f ′(3
= ) f ′( 5
البته مشتق fدر هر نقطه دیگر ( ) x ≠0را نیز به کمک این دستور می توان
و f ′)3( ، f ′(−2) =− 1را به طور مستقیم نیز می توان حساب کرد:
4
1 1
3 −x
−
)− (x − 3
1
)f (x ) − f (3
x 3 lim
3x
= lim
= −
=
=
lim
f ′(3) = lim
x
3
−
x →3
x →3 x − 3
x →3
)x →3 3x (x − 3
9
x −3
1
در عمل هنگام حل مسائل با توجه به شرایط هر یک از دو روش فوق ممکن است مورد استفاده قرار گیرد.
کاردرکالس
5x x ≠ 1
اگر
2
x
=
1
f (x ) = دامنه fو دامنه f ′را محاسبه کنید و ضابطه f ′را بهدست آورید .نمودار fو نمودار f ′را رسم کنید.
اکنون آماده هستیم که برای برخی از توابع ،تابع مشتق را محاسبه کنیم.
محاسبه تابع مشتق برخی توابع
1
اگر f )x( =cآن گاه . f ′)x( =0به عبارت دیگر مشتق تابع ثابت در هر نقطه برابر صفر است.
) f (x + h ) − f (x
c −c
0
0 0
= lim = lim
= lim
=
h →0
h →0 h
h →0 h
h →0
h
(x ) lim
=f ′
به طور مثال اگر
f )x( =7
و
2
5
g (x ) = −آن گاه f ′)x( =0
و .g ′)x( =0
y
= ) f (x ) = c f (x + h
c
x
x+h
x
فصل چهارم :مشتق 93
2
n ∈ و f )x( = x n
اگر
آن گاه. f ′(x ) = nx n −1 :
این دستور کاربرد زیادی دارد .قبال ً ثابت کردیم که اگر ،f )x( = x2آن گاه .f ′)x( =2 xهمچنین اگر ،f )x( = x3به کمک این
دستور نشان می دهیم کهf ′)x( =3 x2 :
ابتدا این رابطه آخر را ثابت می کنیم و از روش ارائه شده برای اثبات دستور مشتق f )x( =x nاستفاده می کنیم .اگر f )x( = x3
داریم:
) f (x + h ) − f (x
(x + h )3 − x 3
] (x + h − x )[(x + h )2 + x (x + h ) + x 2
= lim
= lim
h →0
h →0
h →0
h
h
h
f ′(x ) = lim
] h[(x + h )2 + x (x + h ) + x 2
= lim (x + h )2 + x (x + h ) + x 2 = x 2 + x 2 + x 2 = 3x 2
h →0
h →0
h
= lim
اکنون اگر ،f )x( =x nمحاسبات کمی دشوارتر می شود ،اما در عوض دستور مهم تری را ثابت کرده ایم.
) f (x + h ) − f (x
(x + h )n − x n
= lim
h →0
h →0
h
h
f ′(x ) = lim
]( x + h − x )[(x + h )n −1 + (x + h )n −2 x + + (x + h )x n −2 + x n −1
h →0
h
= lim
]= lim[(x + h )n −1 + (x + h )n −2x + + (x + h )x n −2 + x n −1
h →0
n −1
n −1
n −1
n −1
n −1
+x
+
+ x + x = nx
= x
nبار
3
به طور کلی اگر nیک عدد صحیح
مثال :اگر
1
x
= ) f (x
باشد و f )x( = x n
و x ≠0قبال ً دیدید که
1
2
x
f ′(x ) = −
همچنین با استفاده از دستور اخیر داریم:
٭
4
اگر
f (x ) = x
و x < 0آن گاه
آن گاه. f ′(x ) = nx n −1 :
1
1
= x −1 ⇒ f ′(x ) = −x −1−1 = −x −2 = − 2
x
x
1
2 x
= ) f (x
= ) . f ′(x
) f (x + h ) − f (x
x +h − x
) ( x + h − x )( x + h + x
= lim
= lim
h →0
h →0
h →0
h
h
) h( x + h + x
f ′(x ) = lim
x +h −x
1
1
= lim
=
h
→
0
) x +h + x
x +h + x 2 x
٭ در مورد توابع رادیکالی در این کتاب فقط مشتق تابع
) f (x
و
) f (x
3
lim
( h →0 h
که ) f (xگویاست ،موردنظر است ،رعایت این موضوع در ارزشیابی ها الزامی است.
94
. f ′(x ) =
a
2 ax + b
آن گاهa x + b <0 و
ax + b
اگر
5
f (x ) = 3 x
اگر
6
f=
(x )
a (x + h ) + b − ax + b
f (x + h ) − f (x )
=
f ′(x ) lim
= lim
h →0
h →0
h
h
= lim
( a (x + h ) + b − ax + b )( a (x + h ) + b + ax + b )
h ( a (x + h ) + b + ax + b )
h →0
ax + ah + b − ax − b
= lim =
h →0 h (
a (x + h ) + b + ax + b )
a
a
lim
=
h →0 a (x + h ) + b + ax + b
2 ax + b
f ′(x ) =
1
3
3 x
2
آن گاه
3
f (x + h ) − f (x )
x +h − 3 x
=
f ′(x ) lim
= lim
h →0
h →0
h
h
( 3 x + h − 3 x )( 3 (x + h )2 + 3 x (x + h ) + 3 x 2 )
x +h −x
1
= lim
= lim
=
3
3
h →0
h →0 h . A
h ( 3 (x + h )2 + 3 x (x + h ) + x 2 )
3 x2
A
( نیز درg (a ) ≠0) f وf g ، f ± g ، (k ∈ )kf آن گاه توابع، مشتق پذیر باشندx = a درg وf اگر توابع7
g
: مشتق پذیرند و داریمx = a
( (الفf ± g )′(a ) =f ′(a ) ± g ′(a )
( (بkf )′(a ) = kf ′(a )
= (پ
( fg )′(a )
( (تf )′(a ) = f
f ′(a )g (a ) + f (a )g ′(a )
g
′(a )g (a ) − g ′(a ) f (a )
(g (a ))2
. اما در این کتاب به اثبات آنها نمی پردازیم،به کمک تعریف مشتق هر یک از روابط باال را می توان ثابت نمود
. مشتق چند تابع محاسبه شده است:مثال
2
8
f (x ) =
− x 4 ⇒ f ′(x ) =
− x3
3
3
g (x ) = x 5 + 4x 3 − 2x + 1 ⇒ g ′(x ) = 5x 4 + 12x 2 − 2
(الف
(ب
(پh )x( = )2x3+1()-x2+7x -2(
(تt (x ) =
⇒ h′ )x( = 6x2)-x2 +7x -2( +)2x3+1()-2x
x2 − 4
2x (3x + 1) − 3(x 2 − 4)
⇒ t ′(x ) =
3x + 1
(3x + 1)2
+ 7(
95 مشتق: فصل چهارم
کاردرکالس
:مشتق تابع های زیر را به دست آورید
(الفf (x ) =
1
x −4
(ب
=
g (x )
x (3x 2 + 5)
(پh (x ) =
1
x
2
2x + x − 1
( را به دستf )′(2) ) وfg(′ )2( مقدارg ′)2( = -6 وg )2( = 8 ، f ′)2( = 5 ، f )2( = 3 توابع مشتق پذیر باشند وg وf اگر2
g
.آورید
مشتق توابع مثلثاتی
f ′)x( = cosx
و
g ′)x( = - sinx
: مشتق پذیر هستند و داریمg )x( = cosx وf )x( = sinx توابع
: با استفاده از تعریف مشتق داریم:اثبات
f (x + h ) − f (x )
sin(x + h ) − sin x
=
= lim
f ′(x ) lim
h →0
h →0
h
h
= lim sin x cos h + cos x sin h − sin x = lim sin x (cos h − 1) + cos x sin h
h →0
h →0
h
h
cos h − 1
sin h
= lim(sin x
) + lim(cos x
)
h →0
h →0
h
h
cos h − 1
sin h
lim
= 0=
, lim
1
h →0
h →0 h
h
:) دیدیم که1( در حسابان
f ′(x ) = cos x
=در نتیجه
وf ′(x ) (sin x )(0) + (cos x )(1) :بنابراین
: داریمg )x( = cosx به طریق مشابه اگر
g (x + h ) − g (x )
cos(x + h ) − cos x
=
= lim
g ′(x ) lim
h →0
h →0
h
h
= lim cos x cos h − sin x sin h − cos x = lim cos x (cos h − 1) − sin x sin h
h →0
h →0
h
h
(cos h − 1)
sin h
= lim cos x lim
− lim sin x lim
h →0
h →0
h →0
h →0 h
h
− sin x
= (cos x )(0) − (sin x )(1) =
⇒ g ′(x ) =
− sin x
.با استفاده از دو دستور فوق می توان مشتق بسیاری از توابع مثلثاتی را به دست آورد
96
مثال :مشتق f )x( = tanx
را به دست آورید.
sin x
) (cos x )(cos x ) + (sin x )(sin x
1
= ) f (x
= ) tanx = ⇒ f ′(x
= =2
1+ tan2x
2
cos x
cos x
cos x
کاردرکالس
مشتق توابع زیر را به دست آورید.
5 cos x
1− sin x
tanx
= ) ( g (xب
f )x( = sinx
(الف
مشتق تابع مرکب /قاعده زنجیری
اگر fو gدو تابع مشتق پذیر باشند ،در این صورت تابع مرکب fogمشتق پذیر است و داریم:
(()fog(′)x( = g′)x(f ′)g )x
مثال :اگر ،h )x( = )x2+ 3x +1(7مطلوب است (.h′ )x
حل :اگر f )x( = x7و .g )x( = x2+ 3x +1آن گاهh)x( = f )g )x(( :
اگر g )x( = uآن گاه الزم است که ( f ′)uرا پیدا کنیم.
بنابراین:
((h′)x( = g′)x(f ′)g )x(( = )2x +3( f ′)g )x
f )u(= u7 ⇒ f ′)u( = 7u6 = 7)g )x((6 = 7)x2+ 3x +1(6
h′ )x( = )2x + 3 ( )7( )x2+ 3x +1(6
دستور فوق را به صورت زیر نیز می توان ارائه کرد،
اگر fتابعی برحسب uو uتابعی از xباشد:
مثال :مشتق تابع y = sin2xرا به دست آورید.
حل :با فرض sinx = uداریم y = u2 :و از آنجا:
(y = f )u( ⇒ y′= u′f ′)u
cosx
y′ = u′ . 2u = )cosx()2()sinx( = 2sinx
فصل چهارم :مشتق 97
کاردرکالس
مشتق تابع های زیر را به دست آورید.
(( f )x( = )x2+1(3)5x -1الف
( g )x( = cos3xب
)( h (x) = sin (3x2 + 5پ
مشتق پذیری روی یک بازه
تابع fروی بازه ( )a , bمشتق پذیر است هرگاه ،در هر نقطه این بازه مشتق پذیر باشد.
تابع fروی بازه [ ]a , bمشتق پذیر است ،هرگاه fدر بازه ( )a , bمشتق پذیر باشد و در نقطه aمشتق راست و در b
مشتق چپ داشته باشد.
کاردرکالس
مشتق پذیری روی بازه های ( ]a , bو [ )a , bرا به طور مشابه تعریف کنید.
تابع fروی بازه ( ]a , bمشتق پذیر است هرگاه …
تابع fروی بازه [ )a , bمشتق پذیر است هرگاه …
y
اگر Df = و fدر هر عدد حقیقی مشتق پذیر باشد،
گوییم fروی بازه (∞ )-∞ , +مشتق پذیر است.
مثال :تابع
می گیریم.
x 2
−2≤ x ≤1
f (x ) =
x >1
x + 1
3
2
را درنظر
1
x
fروی بازه های [ ]-2 , 1و (∞ )1,مشتق پذیر است .ولی
fروی بازه [ ]1 , 2مشتق پذیر نیست (چرا؟)
4
4
3
2
1
0
-1
-1
-2
-3
-4
98
کاردرکالس
x < −1
2x + 4
اگر x 2 − 1 − 1 ≤ x < 2
−x + 5 2 < x < 5
=
) f (x
نمودار fرا رسم کنید و مشتقپذیری fرا روی بازههای [ )2 , 5( ،]-1 , 1و []-2 , 0
بررسی کنید.
y
4
3
2
1
x
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
مشتق مرتبه دوم
مشتق تابع ( y = f )xبا نماد ( y′ = f ′)xنمایش داده شد .به همین ترتیب اگر تابع مشتق ،مشتق پذیر باشد ،مشتق مرتبه دوم
( y = f )xرا به ( y″ = f ″)xنمایش می دهیم و برای محاسبه آن از تابع ( y′ = f ′)xنسبت به xمشتق می گیریم.
مثال :اگر y = 3x4 + 2x2 -1آن گاه:
y″ = 36x2 + 4
,
y′ = 12x3 + 4x
فصل چهارم :مشتق 99
تمرین
1
دو تابع مختلف مانند fو gمثال بزنید که هر دو در x = 2پیوسته باشند ولی در این نقطه مشتق پذیر نباشند.
2
با محاسبه مشتق راست و مشتق چپ توابع داده شده در نقطه ،Aنشان دهید که این توابع در نقطه Aمشتق پذیر نیستند.
y
1x
y= 2
x
) A( 4 ,2
y
4
4
3
3
x
6
5
4
3
2
1
)A(1,1
y = x1
1
0
-1
x
4
3
1
2
-1
(پ)
x <0
3
تابع
0≤ x ≤ 3
x >3
3
y = x2
2
2
=y
y
2
y=1
1
0
4
-2
-1
y=−x
1
-3
x
) A(0,0
3
2
0
1
-1
-1
(ب)
(الف)
-1
-2
-3
5x − 4
x2
x +6
شده است.
=
) f (xداده
الف) نمودار تابع fرا رسم کنید.
پ) ضابطه تابع مشتق را بنویسید.
ب) نشان دهید که ( f ′)0و ( f ′)3وجود ندارند.
ت) نمودار تابع f ′را رسم کنید.
4نمودار تابعی را رسم کنید که مشتق آن
الف) در یک نقطه برابر صفر شود.
پ) در تمام نقاط مثبت باشد.
ث) در تمام نقاط منفی باشد.
ب) در x = 2برابر 3شود.
ت) در تمام نقاط یکسان باشد.
y
5
الف) با استفاده از نمودار تابع ( f )x( = x2+ 2x +3شکل
مقابل) مقادیر زیر را به ترتیب صعودی مرتب کنید.
( f ′)3و ( f ′)0و ( f ′)-1و (f ′)2
ب) صحت ادعای خود در (الف) را با محاسبه مشتق تابع
f )x( = x2+ 2x +3بررسی کنید.
پ) تابع مشتق را رسم کنید.
6
5
f
4
3
2
1
x
4
3
2
1
0
-1
-1
-2
-3
-4
-4
100
x ≥1
6مشتق پذیری تابع
x <1
x2 + 3
2x
= ( f )x
را در نقطه x = 1بررسی کنید.
7
سه تابع مختلف مثال بزنید که مشتق آنها با هم برابر باشند.
8
اگر | .f )x( = |x2-4به کمک تعریف مشتق ،مشتق پذیری fرا در نقاط به طول های 2و -2بررسی کنید.
9
نمودار توابع fو gو hو tرا به نمودار مشتق آنها ،نظیر کنید.
y
y
t
x
0
x
y
h
x
y
0
y
g
0
x
x
x
0
y
0
f
0
y
x
y
x
0
0
y
6
5
10نمودار توابع fو gرا در شکل مقابل درنظر بگیرید.
الف) اگر ) h (x) = f (x) . g (xمطلوب است ( h ′)2( ،h ′)1و (h ′)3
ب) اگر
( f )x
( g )x
) (2 ,4
g
4
3
f
= ( k )xمطلوب است k ′)2( ،k ′)1( ،و (k ′)3
2
1
x
4
3
2
1
0
-1
-2
-1
-2
-3
-4
فصل چهارم :مشتق 101
11
اگر f ′)1( = 3و g ′)1( = 5مطلوب است )f + g( ′)1( ،و (+2g( ′)1
x2
x
12
x ≤0
اگر
x >0
13
مشتق توابع داده شده را بیابید.
نشان دهید
= ( f )x
(f+′ )0
(f )x ( = ) 3x + 2()x 3 + 1
(پ
= ( f )x
(ت
9x − 2
x
14
و
(f−′ )0
)3f
موجودند ولی ) f ′(0موجود نیست.
( f )x( = )3x2 -4()2x - 5(3الف
x 2 − 3x + 1
−3x + 2
= ( f )x
(ب
مشتق توابع مثلثاتی زیر را به دست آورید.
( f )x( =sin3x + cos2xالف
( f )x( = tg2x - 2cosxپ
1− sin x
1+ sin x
( f )x( =sinx cos2xت
= ( f )x
(ب
خواندنی
مشتق پذیری در یک نقطه به صورت شهودی می تواند برحسب رفتار تابع در نزدیکی نقطه ) ( A (a , f )aتعبیر شود .اگر
نمودار تابع را در نزدیک نقطه Aدر نظر بگیریم و مرتب ًا از نمای نزدیک تری به نمودار نگاه کنیم ،هنگامی که fدر aمشتق پذیر
باشد ،نمودار منحنی شبیه یک خط راست می شود.
y
y
A
f
A
f
x
a
تابع در aمشتق پذیر نیست.
O
x
a
تابع در aمشتق پذیر است.
O
3
درس
آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه ای تغییر
با مفهوم سرعت متوسط در فیزیک آشنا شده اید .اگر اتومبیلی در امتداد خط راست مسافت 280کیلومتر
را در 4ساعت طی کند سرعت متوسط آن در این زمان 280 = 70کیلومتر بر ساعت است .با این حال ممکن
4
است اتومبیل در لحظات مختلف سرعت های متفاوتی داشته باشد .همچنین مطابق آنچه که در درس فیزیک
آموخته اید ،سرعت متوسط روی بک بازه زمانی خیلی کوچک ،به سرعت لحظه ای نزدیک است .اگر نمودار
مکان ــ زمان در مورد حرکت اتومبیل را داشته باشیم ،سرعت متوسط اتومبیل بین هر دو لحظه دلخواه ،برابر
شیب خطی است که نمودار مکان ــ زمان را در آن دو لحظه قطع می کند.
همچنین در درس فیزیک سرعت لحظه ای در هر لحظه دلخواه ،tبرابر شیب خط مماس بر نمودار در آن
لحظه تعریف شد .با آنچه که در درس های گذشته مالحظه کردید ،می توان گفت که سرعت در لحظه tهمان
مقدار مشتق تابع (مکان ــ زمان) در لحظه tاست .مفهوم مشتق را در بسیاری از پدیده های دیگر نیز می توان
مشاهده کرد .ابتدا در مورد سرعت متوسط و سرعت لحظه ای به ذکر مثالی خواهیم پرداخت.
فصل چهارم :مشتق 103
(متر)
d
20
مثال :خودرویی در امتداد خط راست طبق معادله
d (t) = -5t2 + 20tحرکت می کند ،که در آن ٠≤ t ≤5
برحسب ثانیه است .با در نظر گرفتن نمودار مکان ــ زمان
(شکل ):
الف) سرعت متوسط خودرو را در بازه های زمانی [،]1,2
[ ]1,1/5و [ ]1,1/4به دست آورید.
15
10
5
(ثانیه)
t
5
4
3
2
1
0
-5
-10
-15
-20
-25
ب) اگر به همین ترتیب بازه های کوچک تری مانند [ ]1,1/3و [ ]1,1/2و ...اختیار کنیم ،سرعت متوسط در این بازه ها به چه
عددی نزدیک می شود؟
پ) سرعت لحظه ای را با استفاده از مشتق تابع dدر t = 1به دست آورید.
ت) سرعت لحظه ای در t = 2و t = 3چقدر است؟
حل:
الف)
20 − 15
m
= 5
s
1
= ) = d (2) − d (1سرعت متوسط در بازه زمانی []1,2
2 −1
18 / 75 − 15 3 / 75
m
=
= 7/5
0/ 5
0/ 5
s
)(1
= = d (1/ 5) − dسرعت متوسط در بازه زمانی []1,1/5
18 / 2 − 15 3 / 2
m
=
= 8
0/ 4
0/ 4
s
= ) = d (1 / 4) − d (1سرعت متوسط در بازه زمانی []1,1/4
1/ 5 − 1
1/ 4 − 1
ب) اگر به همین ترتیب بازه های زمانی کوچک تری اختیار کنیم ،سرعت متوسط به سرعت لحظه ای در t = 1نزدیک می شود.
پ) ، d ′(t) = -10t +20پس d ′(1) = 10 ,
ت) d ′(2) = 0 , d ′(3) = -10
104
سرعت در لحظه ، t = 2صفر است و مماس بر منحنی در این نقطه موازی محور xهاست و خودرو ساکن است .مقدار سرعت
در لحظه های t = 1و t = 3برابر است و عالمت منفی در مورد ) d ′(3نشان می دهد که جهت حرکت در t = 3برخالف جهت
حرکت در t = 1است.
به جز مفهوم سرعت ،در مطالعه پدیده های زیاد دیگری که در قالب یک تابع نمایش داده می شوند با موضوع نسبت تغییرات متغیر
وابسته به تغییرات متغیر مستقل مواجه می شویم .نسبت تغییرات دما به تغییرات زمان و همچنین نسبت تغییرات جمعیت نسبت به
زمان نمونه های دیگری از اینگونه تغییرات هستند.
به طور کلی آهنگ متوسط تغییر یک تابع را در بازه ای مانند [ ]a , a+hبه شکل زیر تعریف می کنیم:
) f (a + h ) − f (a
h
= آهنگ متوسط تغییر تابع fدر بازه []a , a+h
همچنین آهنگ تغییر لحظه ای تابع fرا به صورت زیر تعریف می کنیم:
) f (a + h ) − f (a
) = f ′(a
h →0
h
= limآهنگ لحظه ای تغییر تابع fدر نقطه x = a
آهنگ متوسط تغییر با شیب خط قاطع و آهنگ لحظه ای تغییر با مقدار مشتق و شیب خط مماس در آن نقطه برابرند.
کاردرکالس
1نمودار زیر موقعیت یک ذره را در لحظه tنمایش می دهد .مقادیر زیر را از کوچک به بزرگ مرتب کنید:
( محاسب ٔه عددی الزم نیست).
y
6
A
سرعت متوسط بین t = 1و t = 3
B
سرعت متوسط بین t = 5و t = 6
5
4
Cسرعت لحظه ای در t = 1
3
Dسرعت لحظه ای در t = 3
2
Eسرعت لحظه ای در t = 5
Fسرعت لحظه ای در t = 6
1
t
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-1
فصل چهارم :مشتق 105
کاربردهایی دیگر از آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه ای تغییر
= fقد متوسط کودکان را برحسب سانتی متر
آهنگ رشد :همان گونه که در حسابان ( )1مالحظه کردید تابع (x ) 7 x + 50
تا حدود 60ماهگی نشان می دهد ،که در آن xمدت زمان پس از تولد (بر حسب ماه) است.
آهنگ متوسط رشد در بازه زمانی [ ]0,60چنین است:
سانتیمتر
f (60) − f (0) 7 60 + 50 − 50
=
ـــــــــــــــــــــــ ≈ 0 / 9
ماه
60 − 0
60
یعنی در طی 5سال ،رشد متوسط قد حدود 0/9سانتی متر در هر ماه است.
(سانتی متر)
y
110
100
50
x +
90
=7
) f (x
80
70
60
50
(ماه)
x
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
کاردرکالس
الف) آهنگ متوسط رشد در بازه زمانی [ ]0,25چقدر است؟
ب) آهنگ لحظه ای تغییر قد کودک را در 25ماهگی و 49ماهگی ،با هم مقایسه کنید .کدام یک بیشتر است؟
پ) اگر قد علی در 16ماهگی 80 ،سانتی متر و در 36ماهگی 95 ،سانتی متر باشد ،آهنگ متوسط تغییر رشد او را در این فاصله
حساب کنید و با نمودار باال مقایسه کنید.
106
نرخ باروری :نمودار زیر روند رو به کاهش نرخ باروری در کشورمان را در طی نیم قرن نمایش می دهد .آهنگ متوسط تغییر
باروری در بازه زمانی [ ]1339 , 1389در مدت 50سال برابر است با:
1/ 6 − 7
−5 / 4
=
= −0 / 108
1389 − 1339
50
آهنگ متوسط تغییر باروری در بازه زمانی [ ]1364 , 1379را به دست آورید( .با استفاده از مقادیر تقریبی روی نمودار) بازه
زمانی را مشخص کنید که در آن آهنگ متوسط تغییر باروری مثبت باشد.
7
6
5
4
3
1/67
2010
2
Iran
1
1389
1384
1379
1374
1369
1364
1359
1354
1349
1344
0
1339
میانگین تعداد فرزندان متولد شده به ازای هر مادر ایرانی
خواندنی
نرخ باروری در ایران در سال های ١٣٦٠تا ١٣٦٥به حدود 6/5فرزند رسید .با توجه به اینکه کشورمان امکانات الزم
برای چنین رشد جمعیت باالیی را دارا نبود ،سیاست های کاهش جمعیت و عوامل دیگر باعث شد که نرخ باروری تا سال
١٣٨٥به 1/9کاهش یابد .بررسی ها نشان می دهند که کاهش باروری در ایران بزرگ ترین و سریع ترین کاهش باروری ثبت
شده بود .کارشناسان معتقدند که باید سیاست های کاهش رشد جمعیت پس از کاهش نرخ باروری به حدود 2/5فرزند متوقف
می شد .کاهش رشد جمعیت مشکالت فراوانی نظیر کاهش نیروی کار و بحران سالمندی را درپی خواهد داشت .با ابالغ
سیاست های کلی «جمعیت» توسط رهبر معظم انقالب اسالمی در سال ،١٣٩٣و تغییر برنامه های وزارت بهداشت ،براساس
نتایج سرشماری عمومی نفوس و مسکن سال ،١٣٩٥نرخ باروری به حدود 2/01افزایش یافته است .با این حال نگرانی های
مربوط به احتمال کاهش بیش از حد رشد جمعیت در سال های 1425تا 1430تأکید می کند که این سیاست ها تا دست یابی
کامل به اهداف تعیین شده باید دنبال شود.
فصل چهارم :مشتق 107
سرعت متوسط و سرعت لحظه ای
y
از t = 4تا t = 8حرکت جسم رو به پایین
75
75
7
6
60
5
4
35
3
از t = 0تا t = 4حرکت جسم به طرف باال
مثال :جسمی را از سطح زمین به طور
عمودی پرتاب می کنیم .جهت حرکت به طرف
باال را مثبت در نظر می گیریم .فرض کنیم ارتفاع
این جسم از سطح زمین در هر لحظه از معادله
h (t )= -5t2+ 40tبه دست می آید .به طور مثال
2ثانیه پس از پرتاب این جسم در ارتفاع 60متری
از سطح زمین است.
به هر حال جسم پس از مدتی به زمین برمی گردد.
نمودار مکان ــ زمان حرکت این جسم در شکل
نشان داده شده است.
80
8
80
2
1
x
7
8
6
4
5
3
1
2
0
-1
-1
اگر سرعت متوسط این جسم در بازه های زمانی [ ]2,3[ , ]1,2[ , ]0,2و [ ]3,4را به ترتیب با v3 , v2 , v1و v4نمایش دهیم،
داریم:
)h (2) − h (1
= 25 m/s
2 −1
=v2
h (2) − h (0) 60
= = 30 m/s
2 −0
2
=v1
h (4) − h (3) 80 − 75
=
= 5 m/s
4−3
1
= v4
h (3) − h (2) 75 − 60
=
= 15 m/s
3 −2
1
=v3
سرعت لحظه ای در زمان های t = 3 ، t = 2 ، t = 1و t = 4با استفاده از مشتق تابع hچنین به دست می آید:
h (t )=-5t2+40t ⇒ h ′(t )= -10t +40
h ′(4 )= 0 m/s
,
h ′(3 )= 10m/s
,
h ′(2 )= 20m/s
,
h ′(1 )= 30m/s
در t = 4جسم به باالترین ارتفاع خود از سطح زمین ( 80متر) می رسد و در این لحظه سرعت آن برابر صفر (متر بر ثانیه) می شود.
سپس جسم شروع به حرکت به طرف زمین می کند .سرعت متوسط در بازه [ ]4,5برابر
h (5) − h (4) 75 − 80
=
=−5 m/s
5−4
1
سرعت لحظه ای در t = 5برابر h ′(5 )= -10m/sاست .عالمت منفی نشان می دهد که حرکت جسم رو به پایین است.
و
108
کاردرکالس
با توجه به مثال قبل:
الف) سرعت جسم هنگام پرتاب و هنگام برخورد به زمین را به دست آورید.
ب) سرعت متوسط جسم را در بازه زمانی [ ]5 , 8به دست آورید.
پ) لحظاتی را معلوم کنید که سرعت جسم 35 m/sو -35 m/sاست.
تمرین
1
جدول زیر درجه حرارت ( Tسانتی گراد) را در شهری از ساعت 8تا 18در یک روز نشان می دهد.
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
hساعت
9
10
13
15
17
18
19
17
14
13
11
Tدرجه حرارت
آهنگ تغییر متوسط درجه حرارت نسبت به زمان را:
الف) از ساعت 8تا ساعت 12به دست آورید.
ب) از ساعت 12تا ساعت 18به دست آورید.
پ) پاسخ ها را تفسیر کنید.
کسری از جمعیت که
آلوده شده اند
0/3
2کسری از جمعیت یک شهر که به وسیله یک ویروس آلوده
شده اند برحسب زمان (هفته) در نمودار روبه رو نشان داده شده است.
الف) شیب های خطوط lو dچه چیز هایی را نشان می دهند.
ب) گسترش آلودگی در کدام یک از زمان های t = 2 ، t = 1یا t = 3
بیشتر است؟
پ) قسمت ب را برای t = 5 ، t = 4و t = 6بررسی کنید.
l
0/2
d
(زمان) t
6
5
4
3
2
0/1
1
فصل چهارم :مشتق 109
N
)(3, 600
600
)(2, 480
)(1, 300
500
400
300
200
ب) به نظر شما چرا آهنگ تغییرات ،وقتی که مقادیر tافزایش
می یابند ،در حال کاهش است؟
تعداد واحدهای فروخته شده
3نمودار روبه رو نمایش میزان فروش تعداد نوعی کاال ( )Nپس
از صرف tمیلیون تومان هزینه برای تبلیغ است.
الف) آهنگ تغییر Nبرحسب tرا وقتی tاز 0تا 1 ،1تا 2 ،2تا 3
و 3تا 4تغییر می کند به دست آورید.
)(4, 700
700
100
t
4
2
3
هزینه (میلیون تومان)
1
0
4معادله حرکت متحرکی به صورت f (t ) = t2 - t +10برحسب متر در بازه زمانی [ t ( ]0 , 5برحسب ثانیه) داده شده است.
بازه زمانی [ ]0 , 5با هم برابرند؟
در کدام لحظه سرعت لحظه ای با سرعت متوسط در ٔ
5توپی از یک پل به ارتفاع 11متر به هوا پرتاب می شود f (t ) .نشان دهنده فاصله توپ از سطح زمین در زمان tاست .برخی
از مقادیر ) f (tدر جدول زیر نمایش داده شده است.
0/1
0
0/6
0/4
0/5
0/3
0/2
12/4 13/8 15/1 16/3 17/4 18/4
11
ثانیه s
t
متر m
) f (t
بر اساس جدول کدام یک از مقادیر زیر می تواند سرعت توپ را هنگامی که در ارتفاع نظیر زمان 0/4ثانیه ،است نشان دهد؟
الف) 1/23m/s
ج) 11/5 m/s
ب) 14/91m/s
د) 16/03 m/s
6با توجه به مقادیر تابع fدر جدول زیر f ′ ،را برای نقاط داده شده تخمین بزنید .به طور مثال . f ′(0) ≈ −6بقیه جدول را
کامل کنید.
30
15
10
5
0
x
40
46
55
70
100
) f (x
-6
مقدار تقریبی ) f ′(x
110
7
کدام یک از عبارات زیر درست و کدام یک نادرست است:
الف) آهنگ تغییر متوسط تابعی مانند fدر بازه [ ]0,1همیشه کمتر از شیب آن منحنی در نقطه است.
ب) اگر تابعی صعودی باشد ،آهنگ تغییر متوسط آن ،همواره صعودی است.
پ) تابعی وجود ندارد که برای آن هم f ′(a )=0و هم f (a )=0
8
یک توده باکتری پس از tساعت دارای جرم
t + 2t 3
)= m (tگرم است.
الف) جرم این توده باکتری در بازه زمانی 3≤ t ≤4چند گرم افزایش می یابد؟
ب) آهنگ رشد جرم توده باکتری در لحظه t = 3چقدر است؟
9گنجایش ظرفی 40لیتر مایع است .در لحظ ٔه t = 0سوراخی در ظرف ایجاد می شود .اگر حجم مایع باقی مانده در ظرف پس
t 2
=به دست آید:
V 401
( −
از tثانیه از رابطه )
100
الف) آهنگ تغییر متوسط حجم مایع در بازه زمانی [ ]0,1چقدر است؟
ب) در چه زمانی ،آهنگ تغییر لحظه ای حجم برابر آهنگ تغییر متوسط آن در بازه [ ]0,100می شود؟
5
فصل
کاربردهای مشتق
1
2
3
اکسترمم های یک تابع و توابع صعودی و نزولی
نقطه عطف آن
جهت تقعر نمودار یک تابع و ٔ
رسم نمودار توابع
گردنه حیران (اردبیل)
سرعت لحظه ای یک اتومبیل،با مشتق معادله مکان ـ زمان نسبت به زمان و یا شیب خط مماس برنمودار مکان زمان است.شتاب لحظه ای ،مشتق دوم معادله مکان نسبت
به زمان است.
1
درس
اکسترمم های یک تابع و توابع صعودی و نزولی
نمودار زیر ،نمودار تابع تغییرات دمای هوای یک شهر در دو شبانه روز متوالی است .اگر xزمان و yدما
باشد؛ بیشترین و کمترین دما در این 48ساعت در چه زمان هایی بوده است و مقدار آنها چند است؟
y
30
27
25
20
15
13
12
10
5
x
12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
9
6
3
0
-5
-10
-15
-20
نقاط به طول 15و 39به گونهای هستند که مقدار تابع در آنها نسبت به مقادیر تابع در نقاط اطراف آنها (نقاط
یک همسایگی حول آنها) بیشتر است ،بدین خاطر اصطالحاً گفته میشود تابع در این نقاط «ماکزیمم نسبی» دارد.
نقاط به طول 3و 27به گونه ای هستند که مقدار تابع در آنها نسبت به مقادیر تابع در نقاط اطراف آنها کمتر
است ،لذا اصطالحاً گفته می شود تابع در این نقاط «مینیمم نسبی» دارد .به طور دقیق تر می توان گفت:
تعریف:
نقطه )cباشد که
(بازه باز شامل ٔ
اگر fیک تابع و I ⊆ Dfیک همسایگی از ٔ
نقطه ٔ c
الف) به ازای هر xمتعلق به Iداشته باشیم ) ،f (x) ≤ f (cدر این صورت ) f (cرا یک ماکزیمم نسبی
تابع fمی نامیم.
ب) به ازای هر xمتعلق به Iداشته باشیم ) ،f (x) ≥ f (cدر این صورت ) f (cرا یک مینیمم نسبی تابع
fمی نامیم.
فصل پنجم :کاربردهای مشتق 113
دقت کنید که در نمودار ،مقادیر ماکزیمم نسبی برابر 25و 27هستند و نقاط ماکزیمم نسبی نقاط ( )15 , 25و ( )39 , 27هستند
و یا به عبارتی مقادیر ماکزیمم های نسبی در نقاطی به طول x = 15و x = 39اتفاق افتاده اند .به طریق مشابه مقادیر مینیمم نسبی
10و 13هستند و نقاط مینیمم نسبی نقاط ( )3 , 10و ( )27 , 13هستند و یا به عبارتی مقادیر مینیمم های نسبی در نقاطی به طول
x = 10و x = 13اتفاق افتاده اند.
در بسیاری از مسائل فقط بیشترین و کمترین مقدار یک تابع در یک مجموعه اهمیت دارد .به بزرگ ترین مقدار تابع fدر
مجموعه « Iماکزیمم مطلق» این تابع در این مجموعه می گوییم .همچنین به کوچک ترین مقدار تابع fدر مجموعه « Iمینیمم مطلق»
این تابع در این مجموعه می گوییم .بنابراین نقاط ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق تابع fدر مجموعه Iبه ترتیب «باالترین» و «پایین ترین»
نقطه ( x = aمنظور نقطه ای از تابع به طول
نقطه نمودار تابع در آن مجموعه هستند و زمانی که مـی گوییم ماکزیمم مطلق تابع fدر ٔ
ٔ
نقطه ماکزیمم مطلق تابع بر مجموعه مورد نظر
x = aاست) اتفاق افتاده است یعنی ) f (aمقدار ماکزیمم مطلق و ) ( ٔ (a , f )a
نقطه x = aاتفاق افتاده است
است .به عبارتی برای هر x ∈ Iداریم ) .f (x) ≤ f (aهمچنین وقتی می گوییم مینیمم مطلق تابع fدر ٔ
نقطه مینیمم مطلق تابع بر مجموعه مورد نظر است.
یعنی ) f (aمقدار مینیمم مطلق و ) ( ٔ (a , f )a
نقطه x = cاکسترمم نسبی دارد هرگاه در این نقطه ماکزیمم نسبی یا مینیمم نسبی داشته باشد و اگر
تذکر :گوییم تابع fدر ٔ
نقطه x = cماکزیمم مطلق یا مینیمم مطلق داشته باشد می گوییم در آن نقطه اکسترمم مطلق دارد.
در ٔ
کاردرکالس
1در هر یک از نمودارهای توابع زیر مقدار ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق و همچنین طول نقاط ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق
را مشخص نمایید.
y
y
y
) y = g (x
) y = f (x
x
(الف)
e
d
) y = h(x
c
b
a0
x
d
(ب)
c
b
a
0
x
f
(پ)
d e
c
b
a
0
114
نقطه ماکزیمم نسبی یا مینیمم نسبی به گونه ای است که تابع در یک همسایگی آن تعریف شده
2دقت کنید که با توجه به تعریفٔ ،
نقطه ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق الزم نیست حتماً در چنین شرطی صدق کند .حال با توجه به این مطلب در هر نمودار
است اما ٔ
زیر ،نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی و ماکزیمم و مینیمم مطلق را مشخص نمایید.
y
x
e
g
c
d
y
b
x
a
(الف)
g
d
e
(ب)
y
y
5
3در هر یک از 4نمودارهای زیر،
3
اکسترممهای نسبی
مقادیر و طول نقاط
2
مطلق را مشخص
و اکسترممهای
1
نمایید.
2
3
0
1
g
d
-2
-1
-4
-3
x
4
y =x
3
=
| y | x2 − 4
2
4
3
3
2
2
1
1
1
(الف)
-1
-3
-2
-4
6
5
4
3
2
1
xx
d3
4
2
0
c1
-1
b
0-2
-1
-1
-2
-2
-2
(ب)
y
y
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
d
(پ)
4
2/5
c
b
0
-1
-2
a
x
(ت)
3
1 1/5 2
2
2
1
1
0
-1
-1
x
2
(ث)
نقطه ( )5 , 1مینیمم نسبی دارد.
نقطه ( )2 , 4ماکزیمم نسبی و در ٔ
نمودار یک تابع را رسم کنید که در ٔ
1
y =x
9
8
7
-1
y
2
11
10
5
4
0
y
12
6
5
-1
-2
b
y
6
2
=
| y | x2 − 4
x
c
a
x
e
c
a
(پ)
6
4
b
y
0
-1
-1
-3
a
-4
x
4
3
2
فصل پنجم :کاربردهای مشتق 115
y
5
5تابع f (x) = x2را در نظر بگیرید.
الف) وجود مقادیر ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق تابع fرا در
بازه های [ ]0 , 1و ( )0 , 1بررسی کنید.
ب) وجود اکسترمم های مطلق تابع fرا بر بررسی نمایید.
4
y = x2
3
2
1
x
4
3
2
1
0
-1
-3
-2
-4
-1
-2
فعالیت
1در نمودار زیر نقاطی که تابع در آنها مماس افقی دارد؛ یعنی تمام جاهایی که مشتق در آنها وجود دارد و برابر صفر است
مشخص شده اند .به سؤاالت زیر پاسخ دهید.
y
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
l
k
j
i
h
g
d e f
الف) تمام نقاط اکسترمم نسبی را مشخص نمایید.
ب) تمام نقاطی که مشتق در آنها وجود ندارد را مشخص نمایید.
پ) تمام نقاطی که مشتق برابر صفر است را بنویسید.
همه نقاط اکسترمم نسبی مشتق وجود دارد؟
ت) آیا در ٔ
ث) در اکسترمم های نسبی که مشتق در آنها وجود دارد ،مقدار این مشتق چقدر است؟
ج) آیا امکان دارد در نقطه ای مشتق برابر صفر باشد ولی آن نقطه اکسترمم نسبی نباشد؟
چ) آیا امکان دارد در نقطه ای مشتق وجود نداشته باشد ولی آن نقطه اکسترمم مطلق باشد؟
c
b
0
a
116
2سعی کنید نمودارهای دیگری رسم کنید که در آنها نقاط اکسترممی باشد که مشتق در این نقاط موجود باشد (خط مماس بر
منحنی در نقاط اکسترمم وجود داشته باشد) .مقدار مشتق در این نقاط اکسترمم چقدر است؟
3با توجه به آنچه در قسمت های 1و 2دیدید ،کدام یک از موارد زیر می تواند درست باشد؟
نقطه اکسترمم نسبی نیست.
الف) اگر ) f ′(cوجود نداشته باشد ،آنگاه x = cیک ٔ
نقطه اکسترمم نسبی است.
ب) اگر ،f ′ (c) = 0آنگاه x = cیک ٔ
نقطه اکسترمم نسبی باشد و ) f ′(cموجود باشد ،آنگاه .f ′(c) = 0
پ) اگر x = cطول یک ٔ
فعالیت
y
) y = f (x
1شکل روبه رو نمودار یک تابع
پیوسته را نشان می دهد.
20
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-5
الف) وجود ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق را برای تابع fدر بازه های بستۀ زیر بررسی کنید.
[]-1 , 0
,
[]5 , 10
,
[]13 , 15
,
[]10 , 13
[]16 , 20
,
ب) وجود هر یک از مقادیر ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق را برای تابع fدر بازه های باز زیر بررسی کنید.
()-1 , 0
,
()5 , 10
,
()13 , 15
,
()10 , 13
,
()16 , 20
2با توجه به آنچه در قسمت 1مشاهده کردید کدام یک از موارد زیر نمی تواند درست باشد؟
بازه بسته دارای اکسترمم های مطلق است.
الف) هر تابع پیوسته بر یک ٔ
بازه باز دارای اکسترمم های مطلق است.
ب) هر تابع پیوسته بر یک ٔ
قضیه زیر را بدون اثبات می پذیریم.
ٔ
قضیه :اگر تابع fدر بازۀ بستۀ [ ]a , bپیوسته باشد ،آن گاه تابع در این بازه هم ماکزیمم مطلق و هم مینیمم مطلق دارد.
فصل پنجم :کاربردهای مشتق 117
با توجه به آنچه تا به حال مالحظه کردیم ،اکسترمم های مطلق تابع در «نقاط ابتدا و انتهای بازه» ،یا در «اکسترمم های نسبی تابع»
و یا در «نقاطی که تابع در آنها مشتق پذیر نیست» اتفاق می افتند .از طرفی دیدیم که در اکسترمم های نسبی یا «مشتق تابع وجود
ندارد» و یا «مشتق وجود دارد و برابر صفر است» .بنابراین اکسترمم های مطلق تابع را باید در بین نقاطی بررسی کنیم که یکی از
سه ویژگی زیر را داشته باشند:
١نقاطی که ِ
مشتق تابع در آنها وجود ندارد.
٢نقاطی که مشتق در آنها برابر صفر است.
بازه مورد نظر.
3نقاط ابتدایی و انتهایی ٔ
دامنه تابع
دسته ( )1و ( )2را «نقاط بحرانی» می نامیم؛ «به عبارتی نقاط بحرانی نقاطی از ٔ
مجموعه حاصل از اجتماع نقاط دو ٔ
ٔ
هستند که مشتق تابع در آنها وجود ندارد و یا وجود دارد و برابر صفر است ».برای یافتن نقاط اکسترمم مطلق ابتدا این نقاط
بحرانی را مشخص می نماییم .در این صورت از بین تمام نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه ،نقطه یا نقاطی که بیشترین مقدار تابع
در آنها اتفاق می افتد نقاط ماکزیمم مطلق تابع و مقدار تابع در این نقاط مقدار ماکزیمم مطلق تابع است .همچنین در بین نقاط
مذکور نقطه یا نقاطی که کمترین مقدار تابع در آنها اتفاق می افتد نقاط مینیمم مطلق تابع و مقدار تابع در این نقاط مقدار مینیمم
مطلق تابع است.
مثال :اکسترمم های مطلق تابع
بیابید.
1 3
x −x
3
=f
) (x
بازه []-2 , 2
را در ٔ
2
3
= )f (2
4
3
حل :بنابر آنچه گفته شد باید نقاط بحرانی ،یعنی نقاطی که مشتق در آنها
وجود ندارد یا برابر صفر است را مشخص نماییم.
بازه ( )-2 , 2به دنبال نقاطی باشیم که تابع در آنها مشتق نداشته
بنابراین باید در ٔ
بازه ( )-2 , 2مشتق پذیر
باشد و یا مشتق در آنها برابر صفر باشد .اما fدر تمام ٔ
است و داریم f ′(x) = x2 - 1و مقدار f ′در x = ±1برابر صفر می شود یعنی
داریم f ′(1) = 0و .f ′(-1) = 0
بنابراین x = ±1طول نقاط بحرانی و x = ±2طول نقاط انتهایی بازه هستند و
از آنجا که داریم:
2
3
y
2
= )f (−1
3
f (1) = −
لذا مقادیر ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع بر این بازه به ترتیب برابر
مینیمم نقاط به طول x = 1و x = -2است.
2
3
2
1
x
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
2
3
= )f (−2
−
و − 2و نقاط ماکزیمم نقاط به طول x = -1و x = 2و نقاط
3
118
مثال :مقادیر ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق تابع fبا ضابطه | f (x) = |x2 - 1را روی بازه [ ]-2 , 2پیدا کنید.
حل :نقاط x = ±2نقاط انتهایی بازه اند .برای یافتن نقاط اکسترمم مطلق ،باید به دنبال نقاط بحرانی باشیم ،یعنی نقاطی مانند c
که برای آنها f ′(c) = 0یا ) f ′(cوجود نداشته باشد .لذا باید مشتق پذیری تابع fدر نقاط بازه بررسی شود .اما داریم:
1 < xیا x < −1
− 1 < x <1
2x
f ′)x ( =
−2x
1 ≤ xیا
⇒
x 2 − 1
f )x ( = | x 2 − 1| =
2
1− x
x ≤ −1
− 1≤ x ≤ 1
حال باید مشتقات چپ و راست را در نقاط x = 1و x = -1به دست آوریم که با توجه به تعاریف مشتق چپ و راست از فصل
مشتق خواهیم داشت:
و
f+′ )1( = 2
,
f−′ )1( = −2
,
,
f+′ )−1( = 2
f−′ )−1( = −2
نقطه x = 0مقدار صفر می گیرد .لذا نقاط x = 0و x = ±1
بنابراین تابع fدر نقاط x = ±1مشتق پذیر نیست و از طرفی f ′تنها در ٔ
نقاط بحرانی این تابع اند و با بررسی مقدار تابع در این نقاط و نقاط انتهایی بازه ،به سادگی مشخص می شود که مینیمم مطلق تابع در
نقطه x = ±1است و مقدار آن برابر صفر است و ماکزیمم مطلق در نقاط x = ±2و مقدار آن برابر 3است.
دو ٔ
در بسیاری از مسائل در زندگی خواهان این هستیم که با داشتن برخی شرایط از پیش تعیین شده ،مسئله را طوری حل کنیم که
بیشترین بازده را داشته باشیم .به عنوان نمونه در مثال زیر میخواهیم از ورقهای با ابعاد مشخص جعبهای با بیشترین حجم ممکن
بسازیم.
مثال :یک سازنده جعبه های حلبی ،با بریدن مربع های همنهشت از چهار گوشه
ورق های حلبی به ابعاد 8اینچ 1و 15اینچ و باال بردن چهار طرف آن ،جعبه های سر باز
می سازد .اگر بخواهیم حجم جعبه های ساخته شده بیشترین مقدار ممکن باشد ،طول
ضلع مربع هایی که باید بریده شود چقدر باید باشد؟
x
8
x
15
15 − 2x
8 − 2x
حل :فرض کنید طول ضلع مربعی که از گوشه های مستطیل مفروض برحسب اینچ بریده می شود xباشد .پس
15
2
0 ≤ x ≤ 4
≤ 0≤ x
پس با توجه به این مفروضات داریم:
1ــ هر اینچ تقریباً معادل 2/54سانتی متر است.
, 0≤x≤4
= 15 - 2xطول قوطی مورد نظر
= 8 - 2xعرض قوطی
V (x) = x (15 - 2x )(8 - 2x) = 4x3 - 46x2 + 120x
فصل پنجم :کاربردهای مشتق 119
چون Vروی [ ]0 , 4پیوسته است ،پس دارای اکسترمم های مطلق در این بازه است و داریم:
V ′ (x) = 12x - 92x + 120 = 0
2
x=6
اما x = 6در بازه مورد نظر قرار ندارد ،پس قابل قبول نیست و
5
3
=x
یا - 6) = 0 ⇒ x = 5
3
(3x - 5)(x
تنها نقطه بحرانی تابع است .از طرفی ،V (0) = 0
V ( 5 ) > 0و V (4) = 0نشان می دهد که ماکزیمم مطلق تابع در x = 5حاصل می شود و لذا طول ضلع مربع های مورد نظر باید
3
3
5
3
اینچ باشد.
مثال :در کره ای به شعاع Rیک استوانه محاط کرده ایم .شعاع قاعده و ارتفاع استوانه را طوری به دست آورید که حجم
استوانه ،بیشترین مقدار ممکن را داشته باشد.
حل :فرض کنیم استوانه مورد نظر دارای شعاع قاعده rو ارتفاع hباشد .اگر Oمرکز کره باشد ،در مثلث قائم الزاویه ،OAB
OB = hو داریم:
2
AB 2 + OB 2 = OA
=
بنابراین R2
2
O
.r2 + h
R
4
B
حجم این استوانه برابر است با:
; 0 ≤ h ≤ 2R
r
A
π
h2
= ) )h ⇒ V (h
πR2h − h 3
4
4
=V
= πr 2h
π(R2 −
برای یافتن نقاط بحرانی این تابع در بازه ] ،[0 , 2Rریشه های مشتق را به دست می آوریم:
از طرفی V )0( = 0و V (2R) = 0
بنابراین تابع Vبه ازای
می باشد.
2R
3
3π 2
2R
⇒= h
0
=h
4
3
=
= ، hبیشترین مقدار حجم را دارد .با توجه به اینکه R2
2
= ) V ′(h
πR2 −
، r 2 + hمقدار rبرابر با
4
2R
3
=r
120
تشخیص صعودی یا نزولی بودن یک تابع
در فصل ّاول با مفهوم صعودی یا نزولی بودن یک تابع در یک بازه آشنا شدیم .همچنین در فصل قبل با مفهوم مشتق آشنا شدیم
و دیدیم که مقدار مشتق یک تابع در یک نقطه برابر است با شیب خط مماس بر نمودار تابع در آن نقطه .از طرفی برای یک تابع
مانند fبا تابع f ′آشنا شدیم .اکنون خواهیم دید که با بررسی f ′می توان ویژگی هایی از تابع fو نمودار آن از جمله صعودی و نزولی
بودن تابع را مشخص نمود.
فعالیت
1
نمودار تابع fدر شکل زیر رسم شده است.
y
x
e
d
c
b
a
الف) با رسم مماس هایی در نقاط مختلف نمودار fتعیین کنید در چه بازه هایی شیب مماس ها مثبت و در چه بازه هایی شیب
مماس ها منفی و در چه زیرمجموعه ای از دامنه شیب مماس ها برابر صفر است.
ب) تعیین کنید در چه بازه هایی مشتق fمثبت و در چه بازه هایی مشتق fمنفی و در چه بازه هایی f ′برابر صفر است.
پ) تعیین کنید در چه بازه هایی تابع fصعودی اکید و در چه بازه هایی نزولی اکید و در چه بازه هایی مقدار تابع fثابت است.
فصل پنجم :کاربردهای مشتق 121
2دو نقطه از نمودار یک تابع در شکل روبه رو داده شده اند.
بازه [ ]a , eبه گونه ای رسم کنید که دارای
نمودار این تابع را در ٔ
همه ویژگی های زیر باشد:
ٔ
بازه ( )a , eمشتق پذیر باشد.
ــ تابع fدر ٔ
ــ مقدار مشتق تابع در بازه های ( )a , bو ( )b , cو ( )c , dو
( )d , eبه ترتیب منفی ،مثبت ،صفر و منفی باشد.
ــ تعیین کنید تابع fدر کدام بازه ها صعودی اکید و در کدام
بازه ها نزولی اکید و در کدام بازه ها ثابت است.
y
x
e
d
c
b
a
قضیه زیر را بدون اثبات بیان می نماییم.
با توجه به آنچه گفته شد
ٔ
قضیه:
فرض کنیم تابع fبر بازه [ ]a , bپیوسته و بر بازه ( )a , bمشتق پذیر باشد.در این صورت:
الف) اگر به ازای هر xدر ( ،f ′ (x) > 0 ،(a , bآن گاه تابع fبر [ ]a , bصعودی اکید است.
ب) اگر به ازای هر xدر بازه ( ،f ′ (x) < 0 ،(a , bآن گاه تابع fبر [ ]a , bنزولی اکید است.
پ) اگر به ازای هر xدر بازه ( ،f ′ (x) = 0 ،(a , bآن گاه تابع fبر [ ]a , bیک تابع ثابت است.
کاردرکالس
2x x ≥ 1
1توابع
f (x ) =
x x < 1
و g (x) = x 3در تمام
صعودی اکیداند.
الف) آیا می توان گفت هر تابع که در یک بازه صعودی اکید باشد ،در آن بازه مشتق پذیر هم هست؟
ب) آیا می توان گفت هر تابع که در یک بازه صعودی اکید و مشتق پذیر باشد ،در هر نقطه از آن بازه دارای مشتق مثبت است؟
2تابع f (x ) = 1را در نظر بگیرید.
x
الف) نشان دهید که این تابع در بازه های ) (- ∞ , 0و )∞ (0 , +اکید ًا نزولی است.
دامنه خود اکید ًا نزولی است؟
ب) آیا می توان گفت این تابع در تمام ٔ
در ادامه محکی برای تعیین نقاط ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی ارائه می دهیم.
122
فعالیت
نقطه بحرانی تابع fباشد و fبر ( )a , bپیوسته و
فرض کنیم c ∈ (a , b) ⊆ Dfیک ٔ
به جز احتماال ً در cمشتق پذیر باشد.
y
1اگر تابع fدر بازه ای مانند ( )a , cدر سمت چپ آن صعودی و در بازه ای مانند
نقطه ماکزیمم نسبی
( )c , bدر سمت راست آن نزولی باشد ،در این صورت x = cیک ٔ
تابع fاست.
در شکل مقابل بخشی از نمودار تابع fرسم شده است .عالمت f ′را در دو طرف
نقطه cمشخص نمایید.
ٔ
نزولی
صعودی
f′
f′
0
x
0
b
a
c
y
صعودی
2
x
نقطه cمشخص شده است و .f ′ (c) = 0
3در شکل های زیر نمودار تابع fو ٔ
نقطه cدر هر دو نمودار بررسی کنید.
الف) عالمت f ′را در دو طرف ٔ
نقطه اکسترمم نسبی است؟
ب) در هر یک از نمودارها مشخص کنید آیا cیک ٔ
y
(الف)
x
c
f′
0
نقطه مینیمم نسبی تابع fبنویسید.
مشابه قسمت ( )1را برای ٔ
x
نزولی
0
c
b
y
c
(ب)
f′
a
فصل پنجم :کاربردهای مشتق 123
با توجه به آنچه گفته شد می توان محک زیر را که به نام آزمون مشتق ّاول معروف است بیان نمود.
اول
آزمون مشتق ّ
نقطه بحرانی تابع fباشد .هرگاه fبر این
فرض کنیم تابع fبر بازه ای باز مانند (I ⊆ Df ) Iپیوسته باشد و c ∈ Iیک ٔ
نقطه ،cمشتق پذیر باشد ،در این صورت:
بازه به جز احتماال ً در ٔ
الف) اگر به ازای تمام مقادیر xدر بازه ای مانند ( f ′ (x) > 0 ،(a , cو به ازای تمام مقادیر xدر بازه ای مانند ( ،f ′ (x) < 0 ،(c , b
در این صورت ) f (cیک مقدار ماکزیمم نسبی fاست.
ب) اگر به ازای تمام مقادیر xدر بازه ای مانند ( ،f ′ (x) < 0 ،(a , cو به ازای تمام مقادیر xدر بازه ای مانند ( ،f ′ (x) > 0 ،(c , b
آن گاه ) f (cیک مقدار مینیمم نسبی fاست.
نقطه cتغییر عالمت ندهد ،به طوری که f ′در هر دو طرف cمثبت یا هر دو طرف آن منفی باشد ،آن گاه
پ) اگر f ′در ٔ
) f (cنه مینیمم نسبی و نه ماکزیمم نسبی است.
3
2
بازه [ ]-3 , 4به دست آورید و مشخص کنید این
مثال :اکسترمم های نسبی و مطلق تابع f (x) = x - 2x - 4x + 6را در ٔ
تابع در چه بازه هایی صعودی و در چه بازه هایی نزولی است؟
حل :از آنجا که توابع چندجمله ای همواره مشتق پذیرند لذا برای مشخص کردن نقاط بحرانی تابع fباید تمام نقاطی که مشتق
تابع در آنها صفر می شود را به دست آوریم.
2
3
یا
x= −
لذا نقاط بحرانی این تابع نقاط x = 2و
2
3
−
f ′ (x) = 3x2 - 4x - 4
f ′ (x) = 0 ⇒ x = 2
= xاست و نقاط x = -3و x = 4هم که نقاط انتهایی بازه هستند و داریم:
), (2 , -2) , (4 , 22
2 202
,
)
3 27
(−
,
)(-3 , -27
لذا x = 4و x = -3به ترتیب طول نقاط ماکزیمم و مینیمم مطلق و مقادیر آنها به ترتیب 22و -27است .حال برای تعیین
درجه
اکسترمم های نسبی و صعودی و نزولی بودن تابع باید مشتق تابع را تعیین عالمت کنیم .با توجه به تعیین عالمت معادالت
ٔ
دوم داریم:
2
3
2
+
0
-
−
0
x
+
)f ′ (x
124
بازه − 2 , 2نزولی و در سایر جاها صعودی است .همچنین مشخص می شود
از این جدول مشخص می شود که تابع fدر
ٔ 3
نقطه
که ٔ
2
3
−
= xیک ماکزیمم نسبی و مقدار آن برابر
202
27
نقطه x = 2یک مینیمم نسبی و مقدار آن برابر -2است.
است و ٔ
می توان اطالعات فوق را در جدول زیر که به آن جدول تغییرات تابع می گوییم نمایش داد.
4
2
3
2
+
0
22
-
-3
−
0
f ′
+
-2
202
27
مینیمم نسبی
ماکزیمم نسبی
-27
کاردرکالس
نمودار تابع f ′در شکل زیر داده شده است.
الف) صعودی و نزولی بودن تابع fرا در [ ]s , tبررسی کنید.
ب) نقاط d ،c ،b ،aو eکدام بحرانی ،کدام ماکزیمم نسبی و کدام مینیمم نسبی اند؟
بازه ( )d , eاکسترمم نسبی هستند؟
پ) آیا نقاط ٔ
y
x
t
e
d
c
b
x
a
s
f
فصل پنجم :کاربردهای مشتق 125
تمرین
1
همه شرایط زیر را داشته باشد.
نمودار تابعی را رسم کنید که ٔ
2
نمودار تابعی را رسم کنید که بر دامنه اش پیوسته باشد ولی بر آن ماکزیمم و مینیمم مطلق نداشته باشد.
3
برای هر مورد زیر نمودار یک تابع را رسم کنید.
نقطه ماکزیمم نسبی داشته باشد که مشتق در آن برابر صفر باشد.
ٔ
نقطه مینیمم نسبی داشته باشد که تابع در آن نقطه پیوسته باشد ولی مشتق نداشته باشد.
ٔ
نقطه بحرانی نباشد.
نقطه ماکزیمم مطلق تابع ٔ
ٔ
نقطه ماکزیمم نسبی داشته باشد که تابع در آن ناپیوسته باشد.
ٔ
نقطه ای داشته باشد که اکسترمم نسبی نباشد ولی مشتق تابع در آن نقطه صفر باشد.
الف) تابع fدر بازه ای مانند [ ]a , bصعودی است اما صعودی اکید نیست.
ب) تابع fدر بازه ای مانند [ ]a , bنزولی است اما نزولی اکید نیست.
پ) تابع fدر بازه ای مانند [ ]a , bهم صعودی و هم نزولی است.
4
برای هر کدام از موارد زیر نمودار یک تابع را رسم کنید.
الف) تابعی که در یک بازه اکید ًا نزولی است اما در برخی نقاط آن بازه پیوسته نیست.
ب) تابعی که در یک بازه اکید ًا صعودی و بر آن بازه پیوسته است اما در برخی نقاط آن بازه مشتق پذیر نیست.
پ) تابعی که در یک بازه اکید ًا نزولی و مشتق پذیر است اما مشتق آن در برخی نقاط منفی نباشد.
5
نمودار تابع fرا به گونه ای رسم کنید که ماکزیمم مطلق داشته باشد ولی تابع | | fماکزیمم مطلق نداشته باشد.
6نقاط اکسترمم نسبی و مطلق توابع زیر را در بازه های داده شده در صورت وجود بیابید و نقاط بحرانی این توابع را به دست
آورید.
2
[]-2 , 1
( f (x) = 3x - 2x + 5الف
[]-1 , 2
0≤ x < 2
x ≥2
( f (x) = x3 - 3xب
x
f (x ) =
4 − x
(پ
126
7
ضرایب aو bرا در تابع f (x) = x3 + ax + bطوری پیدا کنید که در نقطه ( ،)1 , 2ماکزیمم نسبی داشته باشد.
8نمودار تابعی مانند fرا به گونه ای رسم کنید که در تمام شرایط زیر صدق کند.
f (-1) = 5 ,
f (4) = -2 , f (0) = 0
نقطه ( )1 , 1ماکزیمم نسبی این تابع باشد.
ٔ
9یک برگه کاغذی مستطیل شکل با اضالع xو yدر اختیار داریم .با بریدن چهار مربع به ضلع hاز گوشه های آن و تا زدن
اضالع ،یک مکعب ساخته شده است .اگر xy = 100cm2و ،h = 2cmمقادیر xو yرا طوری پیدا کنید که حجم این مکعب
بیشترین مقدار ممکن شود.
10یک مستطیل در یک نیم دایره محاط شده است .اگر شعاع دایره 4 ،سانتی متر باشد ،طول و عرض مستطیل را طوری به
دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.
11
توابع زیر در چه بازه هایی صعودی و در چه بازه هایی نزولی اند؟
الف) f (x) = 2x3 - 3x2 - 12x + 7
ب)
x
x −2
= ) f (x
2
جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطۀ عطف آن
با تابع f (x) = x3آشنایی دارید .از آنجا که مشتق این تابع
f ′ (x) = 3x2در x = 0برابر صفر و در سایر نقاط همواره
مثبت است ،لذا شیب خطوط مماس بر منحنی این تابع در
x = 0برابر صفر و در تمام نقاط دیگر مثبت است و این تابع
همواره صعودی است .با این حال اگر خطوط مماس بر این
منحنی را به صورت پاره خط هایی کوچک در اطراف نقاط
مماس رسم کنید خواهید دید که این پاره خط ها برای xهای
منفی در باالی نمودار و برای xهای مثبت در زیر نمودار
واقع اند .اصطالحاً گفته می شود که جهت تقعر این تابع در
بازه (∞ )0 , +به سمت
بازه ( )- ∞ , 0به سمت پایین و در ٔ
ٔ
باال است .برای درک بهتر مفهوم تقعر منحنی یک تابع به دو
شکل زیر توجه کنید.
3
درس
y
y =x
4
3
2
1
x
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
y
x
y
x
مماس ها در زیر منحنی اند.
تقعر به سمت باال است.
-1
-2
مماس ها در باالی منحنی اند.
تقعر به سمت پایین است.
-3
-4
128
فعالیت
در زیر بخشی از نمودارهای دو تابع h (x) = x2و
نقاط این بازه رسم شده است.
x
بازه (∞ ]0 , +و خطوط مماس بر منحنی های آنها در برخی
= ) g (xدر ٔ
y
y
4
4
3
3
h(x) = x2
x
(الف)
4
3
2
g(x ) = x
1
2
2
1
1
0
-1
x
4
3
2
1
-1
0
-1
-1
(ب)
نقطه x = 0به سمت راست ،شیب خطوط مماس در هر کدام از منحنی ها چگونه تغییر می کند؟ (کم می شود یا
1با حرکت از ٔ
زیاد) جهت تقعر منحنی در هر کدام از نمودارها چگونه است؟
2
جهت تقعر منحنی چه ارتباطی با تغییرات شیب (کم شدن یا زیاد شدن) خطوط مماس دارد؟
3
بازه (∞ ]0 , +صعودی است یا نزولی؟
تابع h ′در ٔ
4
بازه (∞ ]0 , +صعودی است یا نزولی؟
تابع g ′در ٔ
5
الف) در حالت کلی ،صعودی یا نزولی بودن تابع fچه ارتباطی با عالمت تابع f ′دارد؟
بازه ......... Iاست.
بازه Iمثبت است ،آنگاه تابع fبر ٔ
عالمت f ′بر ٔ
بازه ......... Iاست.
بازه Iمنفی است ،آنگاه تابع fبر ٔ
عالمت f ′بر ٔ
ب) با توجه به قسمت (الف) ،صعودی یا نزولی بودن تابع f ′چه ارتباطی با عالمت تابع f ″دارد؟
بازه ......... Iاست.
بازه Iمثبت است آنگاه تابع f ′بر ٔ
عالمت f ″بر ٔ
بازه ......... Iاست.
بازه Iمنفی است آنگاه تابع f ′بر ٔ
عالمت f ″بر ٔ
فصل پنجم :کاربردهای مشتق 129
6
با توجه به آنچه گفته شد موارد زیر را کامل کنید:
الف) اگر مقدار f ″در یک بازه مثبت باشد ،تابع f ′در آن بازه ...........است و لذا شیب خطوط مماس بر منحنی در آن
بازه ..........می یابد و تقعر منحنی تابع fدر آن بازه رو به ...........است.
ب) اگر مقدار f ″در یک بازه منفی باشد ،تابع f ′در آن بازه ...........است و لذا شیب خطوط مماس بر منحنی در آن بازه
..........می یابد و تقعر منحنی تابع fدر آن بازه رو به ...........است.
قضیه زیر ،که آزمونی برای تعیین جهت تقعر نمودار تابع است،
آنچه در فعالیت قبل مورد بررسی قرار گرفت به طور خالصه در
ٔ
آورده شده و در این کتاب ِ
اثبات آن مدنظر نیست.
قضیه:
فرض کنیم ) f ″(xبه ازای هر نقطه xاز بازه باز Iموجود باشد.
الف) اگر به ازای هر xاز ،f ″(x) > 0 ،Iآنگاه نمودار fروی بازه Iتقعر رو به باال دارد.
ب) اگر به ازای هر xاز ،f ″(x) < 0 ،Iآنگاه نمودار fروی بازه Iتقعر رو به پایین دارد.
پ) اگر به ازای هر xاز ،f ″(x) = 0 ،Iآزمون بی نتیجه است.
دامنه تعریفشان به دست آورید.
مثال :جهت تقعر توابع زیر را در ٔ
1
x
= ) f (x
y
(الف
4
3
y=1
x
2
( g (x) = x3 + 3x2 + 1ب
حل :الف) داریم
}D f= − {0
1
x
4
3
2
1
−1
1
2
= ) f (x ) = ⇒ f ′(x
⇒ f ′′(x ) =3
2
x
x
x
0
-1
-2
-3
-4
بنابراین:
بازه (∞ )0 , +رو به باالست.
اگر ،x < 0آنگاه f ″ (x) > 0و لذا جهت تقعر نمودار این تابع بر ٔ
بازه ( )- ∞ , 0رو به پایین است.
اگر ،x > 0آنگاه f ″ (x) < 0و لذا جهت تقعر نمودار این تابع بر ٔ
-1
-2
-3
-4
130
ب) داریم
Dg =
g (x) = x3 + 3x2 + 1 ⇒ g ′ (x) = 3x2 + 6x ⇒ g ″ (x) = 6x + 6
⇒ x = -1
y
⇒ g ″ (x) = 0
6x + 6 = 0
5
4
3
2
1
x
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
بنابراین:
بازه (∞ )-1 , +به سمت باالست.
اگر x < -1آنگاه g ″ (x) > 0و لذا جهت تقعر نمودار این تابع بر ٔ
بازه ( )- ∞ , -1به سمت پایین است.
اگر x > -1آنگاه g ″ (x) < 0و لذا جهت تقعر نمودار این تابع بر ٔ
کاردرکالس
y
4
نمودار تابع ) y = f (xرا با اطالعات زیر رسم کنید:
3
f (0) = f (1) = f (2) = 0
و بر بازه )f ″ (x) < 0، (- ∞ , 1
و بر بازه )∞ .f ″ (x) > 0، (1 ,
2
1
x
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
فصل پنجم :کاربردهای مشتق 131
نقطۀ عطف نمودار یک تابع
y = x3
نمودار تابع f (x) = x3را در نظر بگیرید .دیدیم که جهت تقعر نمودار
بازه (∞ )0 , +رو به باالست.
بازه ( )- ∞ , 0رو به پایین و در ٔ
این تابع در ٔ
نقطه x = 0نقطه ای است که جهت تقعر منحنی در آن عوض
بنابراین ٔ
می شود .از طرفی در x = 0منحنی دارای مماس نیز هست .چنین
نقطه عطف آن منحنی گوییم .به عبارت دیگر:
نقطه ای از یک منحنی را ٔ
y
4
3
2
1
x
4
2
3
1
0
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
تعریف
فرض کنیم تابع fدر نقطه x = cپیوسته است .در این صورت نقطه ) ) (c , f (cنقطه
عطف تابع fاست ،هرگاه هر دو شرط زیر برقرار باشند:
الف) نمودار fدر نقطه ) ) (c , f (cخط مماس داشته باشد.
ب) جهت تقعر fدر نقطه ) ) (c , f (cتغییر کند.
تعریف نقطه ِ
از شرط (الف) در ِ
عطف تابع fنتیجه می شود که یا )f ′(c
ٔ
نقطه cمماس قائم دارد.
موجود است و یا تابع fدر ٔ
نقطه
از شرط (ب) می توان نتیجه گرفت که خط مماس بر نمودار تابع در ٔ
) ) (c , f (cاز نمودار تابع عبور می کند.
)f (c
x
c
خط x = cمماس قائم است.
نقطه cمثبت و در طرف دیگر آن منفی است.
نقطه عطف تغییر می کند؛ لذا f ″در یک طرف ٔ
از آنجا که تقعر تابع در دو طرف ٔ
نقطه عطف منحنی باشد ،یا باید )f ″ (c
بنابراین ) f ″ (cنمی تواند مقداری به جز صفر داشته باشد؛ یعنی برای اینکه ) ) (c , f (cیک ٔ
نقطه عطف بودن x = c
وجود نداشته باشد و یا اگر وجود دارد باید داشته باشیم .f ″ (c) = 0با این حال شرط f ″ (c) = 0برای ٔ
132
نقطه عطف تابع نباشد .به طور مثال تابع f (x) = x4را بررسی
به تنهایی کافی نیست؛ یعنی ممکن است f ″ (c) = 0ولی x = cیک ٔ
می کنیم .داریم:
f ′ (x) = 4x3
, f ″ (x) = 12x2
y
5
با اینکه f ″ (0) = 0اما تابع f ″در دو طرف x = 0مثبت است و لذا
تقعر همواره به سمت باالست و جهت تقعر در x = 0عوض نمی شود و
نقطه عطف این تابع نیست.
لذا x = 0یک ٔ
4
3
2
1
x
4
3
2
0
1
-1
-3
-2
-4
-1
-2
-3
کاردرکالس
1
در هر یک از نمودارهای زیر ،نقاط عطف را در صورت وجود مشخص و خط مماس بر منحنی در نقاط عطف را رسم کنید.
) y = g(x
)y= f (x
x
(الف)
2
b
x
a
(ب)
x
(پ)
کدام یک از گزاره های زیر درست و کدام نادرست است؟ برای گزاره های نادرست مثال نقض بیاورید.
الف) در نقطه عطف عالمت ) f ″ (xتغییر می کند.
نقطه عطف است.
ب) هر نقطه که عالمت f ″در آن تغییر کندٔ ،
پ) هر نقطه ای که در آن مقدار f ″برابر صفر شود یک نقطه عطف است.
ت) تابع می تواند بیش از یک نقطه عطف داشته باشد.
ث) تابع صعودی اکید ،نقطه عطف ندارد.
a
فصل پنجم :کاربردهای مشتق 133
مثال :جهت تقعر نمودار تابع زیر را مشخص کنید و نقاط عطف آنها را به دست آورید.
) f (x) = x 3 - 6x2 + 15الف
) f (x ) = 3 xب
حل:
f ″ (x) = 6x - 12
الف)
f ′ (x) = 3x2 - 12x
و
f ″ (x) = 0 ⇒ x = 2
از آنجا که ) f ″ (xیک تابع خطی است ،و در تمام تعریف شده است و تنها در x = 2برابر صفر می شود ،بنابراین تنها نقطه ای
نقطه عطف باشد x = 2است به شرط آنکه:
که می تواند ٔ
١
2
) f ′ (2موجود باشد
f ″در دو طرف x = 2تغییر عالمت دهد.
y
دامنه آن است و ) f ′ (2نیز
اما ) f ′ (xیک تابع چند جمله ای است و ٔ
موجود و برابر -12است .از طرفی داریم:
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
x
1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1 0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
∞+
2
+
٠
-1
نقطه عطف
ٔ
∞-
-
x
f ″
f
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15
-16
-17
-2
-3
-4
-5
-6
-7
134
1
−2
= ) f (x ) =3 x → f ′(x
= ) → f ′′(x
3
3
3 x2
9 x5
ب)
از آنجا که مقدار
داریم:
اگر ،x < 0آنگاه f ″ (x) < 0و بنابراین جهت تقعر منحنی به سمت پایین است.
اگر ،x > 0آنگاه f ″ (x) > 0و بنابراین جهت تقعر منحنی به سمت باالست.
نقطه x = 0دارای مماس (مماس
لذا جهت تقعر این تابع در x = 0عوض می شود .از طرفی در فصل مشتق دیدیم که این تابع در ٔ
قائم) است.
نقطه عطف این تابع است.
بنابراین ٔ x = 0
x5
3
به ازای xهای مثبت ،مثبت و به ازای xهای منفی ،منفی است.
y
4
3
2
1
x
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
فصل پنجم :کاربردهای مشتق 135
کاردرکالس
صفحه شطرنجی مربوط به نمودار تابع f ′باشد کدام نمودار می تواند نمودار تابع fباشد؟
اگر شکل کشیده شده در
ٔ
1
y
y
5
4
4
3
2
3
1
2
x
2
1
0
-2
-1
-4
-3
1
-1
-2
(الف)
x
-3
3
1
2
0
-2
-1
-4
-3
-1
-2
y
4
-3
3
2
1
x
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-6
-5
-1
-2
-3
y
-4
-5
-6
-7
x
-8
4
-9
(ب)
-10
-11
(پ)
3
2
1
y
4
4
3
3
2
2
1
1
0
-1
-2
-3
-4
x
4
3
2
1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-4
(ت)
-3
-4
-1
-2
-3
-4
136
2
اگر شکل زیر مربوط به نمودار تابع f ″باشد کدام نمودار می تواند نمودار تابع fباشد؟
y
y
y
x
0
-1
x
-2
4
0
2
3
2
(ب)
(الف)
1
x
y
y
3
4
2
0
1
-1
-2
-3
-1
-2
-3
x
3
2
1
x
0
3
2
1
-4
0
(پ)
(ت)
تمرین
1
2
نقطه عطف نباشد.
نمودار تابع fرا به گونه ای رسم کنید که در نقطه ای مانند aجهت تقعر عوض شود ولی این نقطهٔ ،
نقطه عطف آنها را در صورت وجود به دست آورید.
دامنه آنها بررسی کرده و ٔ
جهت تقعر توابع زیر را در ٔ
x +1
3
=f (x
)
x +1
x −1
(پ
= ) f (x
(ب
1 3
x − x 2 − 3x + 4
3
نقطه عطف آن باشد.
3برای هر مورد یک تابع
نقطه داده شده ٔ
درجه 3مثال بزنید که ٔ
ٔ
نقطه ()0 , 1
نقطه ()1 , 0
نقطه ()0 , 0
پ) ٔ
ب) ٔ
الف) ٔ
4
=) f (x
(الف
نقطه ()2 , 2
ت) ٔ
مقادیر b ،aو cرا در تابع f (x) = ax3 + bx2 + cطوری به دست آورید که در شرایط زیر صدق کند.
1
نقطه عطف نمودار تابع fباشد.
f (0) = 1و f (1) = 2و = xطول ٔ
y
2
ضابطه y = x3 + ax2 + bx + c
5اگر ( )0 , 0نقطه عطف تابع درجه سومی با
ٔ
باشد که نمودار آن در شکل زیر رسم شده است b ،a ،و cرا پیدا کنید.
x
2
0
-2
-4
3
رسم نمودار توابع
درس
می دانیم که هر تابع مانند fبه ازای هر x ∈ Dfدقیقاً یک مقدار yبه دست می دهد به طوری که ) y = f (xو زوج مرتب
همه این نقاط ( )x , yبه
( )x , yیک نقطه در دستگاه مختصات مشخص می کند .نمودار یک تابع ،شکلی است که از ٔ
زیرمجموعه
بازه
ٔ
ازای تمام x ∈ Dfها تشکیل شده است .از آنجا که هر ٔ
نمی توان با قلم و کاغذ نمودار یک تابع را به طور کامال ً دقیق رسم کرد .در سال های گذشته با رسم نمودار توابع خطی
تعداد بی شماری عضو دارد؛ لذا هیچ گاه
و
درجه 2به کمک نقطه یابی آشنا شده اید .در این درس با به کارگیری مطالبی که قبال ً گفته شد نقاط مهمی از نمودار
ٔ
تابع را به دست آورده و به برخی ویژگی های آن تابع پی می بریم و با استفاده از آنها شکل تقریبی تابع را رسم می کنیم.
مثال :اگر بدانید تابع ) y = f (xبه گونه ای است که برای آن داریم:
1
همه نقاط مشتق پذیر باشد.
ریشه های تابع fبه صورت x = 1و x = 0و x = -2است و fدر ٔ
6
5
2ریشه های تابع f ′به صورت x = 1و
2
و
1
f ( ) = −0 / 6
2
3
−
= xاست و عالمت f ′بین دو ریشه منفی و سایر جاها مثبت است
و . f ( −6 ) = 2
5
تابع f ″تنها یک ریشه در
1
3
−
= xدارد و عالمت f ″در سمت چپ
1
3
−
منفی و در سمت راست آن مثبت
= ) . f (− 1
است و 0 / 7
3
در این صورت نمودار تابع fرا رسم کنید.
حل :از ( )2نتیجه می شود که تابع fبین نقاط x = 1و
2
و
1
2
=x
1
3
−
= xرو به پایین و در سمت راست
6
5
−
= xنزولی و سایر جاها صعودی است و
6
5
x= −
به ترتیب طول نقاط ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی تابع اند و از ( )3نتیجه می شود که تقعر تابع fقبل از
این نقطه وجود دارد ،بنابراین
در یک جدول خالصه کرد.
1
3
−
1
3
−
= xرو به باالست و چون f ′در
1
3
−
= xوجود دارد لذا مماس در
همه اطالعات فوق را
نقطه عطف این تابع است .قبل از رسم شکل می توان ٔ
=ٔ x
138
1
2
∞ +
+
٠
+
1
3
−
+
6
5
٠
∞ -
−
٠
-
-0/6
0/7
2
مینیمم
نقطه عطف
ماکزیمم
x
+
f ′
-
f ″
f
y
با توجه به این اطالعات و اینکه ریشه های تابع محل برخورد نمودار با محور xها
هستند نمودار تابع به صورت روبه رو است.
x
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
همان طور که در این مثال مشاهده کردیم ریشه ها و عالمت توابع f ′و f ″کمک زیادی به رسم نمودار تابع می نماید .همچنین
حد تابع در بی نهایت گویای رفتار و چگونگی تابع در نقاط انتهایی نموداری که رسم می کنیم است .به طور کلی برای رسم نمودار
یک تابع ،همه یا برخی از مراحل زیر را انجام می دهیم و با توجه به اطالعات به دست آمده جدول رفتار تابع را تشکیل می دهیم و به
کمک آن نمودار تابع را رسم می کنیم.
دامنه تابع را مشخص می کنیم.
1
ٔ
٢محل تالقی نمودار با محورهای مختصات را مشخص می کنیم (در صورت وجود).
٣
٤
٥
٦
٧
٨
٩
10
11
f ′را به دست می آوریم و با تعیین عالمت آن بازه هایی که fبر آنها صعودی یا نزولی است را مشخص می کنیم.
نقاط بحرانی و اکسترمم های نسبی تابع را به دست می آوریم (در صورت وجود).
f ″را به دست می آوریم و با تعیین عالمت آن جهت تقعر تابع در بازه های مختلف را مشخص می کنیم.
نقطه عطف تابع را مشخص می کنیم (در صورت وجود).
ٔ
رفتار تابع را برای مقادیر بسیار بزرگ xو بسیار کوچک xمشخص می کنیم (در صورت وجود).
معادله مجانب های تابع را به دست می آوریم (در صورت وجود).
ٔ
تنظیم یک جدول که با خالصه کردن اطالعات توابع fو f ′و f ″در آن تشخیص چگونگی شکل نمودار آسان تر شود.
رسم نمودار تابع با استفاده از اطالعات قسمت های قبل.
در صورت نیاز از نقاط کمکی هم استفاده می کنیم.
فصل پنجم :کاربردهای مشتق 139
مثال :نمودار تابع f (x) = x3را رسم کنید.
دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی است و این تابع در تمام دامنه اش پیوسته و مشتق پذیر است .حال با به دست آوردن f ′
حلٔ :
و f ″و ریشه های آنها و تعیین عالمت آنها جدول رفتار تابع را تشکیل می دهیم.
( )0 , 0محل برخورد نمودار با محورهای مختصات → = x3 = 0 → x = 0
f ′(x) = 3x2 = 0 → x = 0
f ″(x) = 6x = 0 → x = 0
∞-
0
x
)f (x
∞+
+
+
f ′
+
-
f ″
٠
f
نقطه عطف
ٔ
این تابع همواره صعودی است و اکسترمم نسبی ندارد .از طرفی
و
∞ f )x ( = −
y = x3
∞ lim f )x ( = +
∞x →+
3
limلذا دو شاخه انتهایی نمودار در ربعهای ّاول و سوم قرار دارند.
2
∞x →−
می توان برای دقیق تر شدن شکل ،نقاط بیشتری از منحنی را به دست آورد؛ مثال ً
در اینجا نقاط ( )1 , 1و ( )-1 , -1نیز بر نمودار تابع واقع اند .با توجه به آنچه گفته
شد می توان نمودار تابع y = x 3را به صورت مقابل رسم کرد.
y
4
1
x
3
4
2
1
0
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
مثال :جدول رفتار و نمودار تابع ) f (x) = (x -1)2(x + 3را رسم کنید.
حل:
دامنه این تابع
ٔ
است و این تابع همواره پیوسته و مشتق پذیر است.
x = -3یا f (x) = 0 ⇒ x = 1
بنابراین نقاط ( )1 , 0و ( )-3 , 0محل های برخورد با محور xها است
نقطه ( )0 , 3محل برخورد با محور yهاست
بنابراین ٔ
x=0⇒y=3
)f ′ (x) = 2(x - 1)(x + 3) + (x - 1)2 = (x - 1)(3x + 5
5
3
x = −یا f ′(x) = 0 ⇒ x = 1
-4
140
لذا نقاط ( )1 , 0و
5 256
(
3 27
)− ,نقاط بحرانی اند
f ″ (x) = (3x + 5) + 3(x - 1) = 6x + 2
1
3
نقطه
از آنجا که مماس بر منحنی در ٔ
1
3
x =−
1 128
نقطه عطف تابع است ،از طرفی
ٔ − ,
27
3
∞ +
∞ f )x ( = +
1
3
1
+
٠
+
∞ +
نقطه
وجود دارد و f ″در دو طرف ٔ
limو
∞x →+
5
3
−
-
-
+
∞ f )x ( = −
٠
1
3
∞ x →−
−
٠
٠
128
27
مینیمم
عطف
ماکزیمم
+
f ″
∞ -
حال با توجه به آنچه گفته شد نمودار تابع فوق به شکل زیر است.
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
4
3
2
0
-1
-1
-2
x
f ′
256
27
نقطه
تغییر عالمت می دهدٔ ،
. lim
∞ -
-
1
x =−
f ′′)x ( = 0 ⇒ x = −
-3
-4
f
فصل پنجم :کاربردهای مشتق 141
تابع
ax + b
cx + d
= ) f (x
را که در آن
معادله این تابع به صورت
اگر c = 0و d ≠ 0باشد
ٔ
c ≠0
a
b
x+
d
d
است تابع هموگرافیک می نامیم.
معادله یک خط راست است و اگر c ≠ 0و
=تبدیل می شود که
y
ٔ
d ≠ 0و a = bباشد این تابع به یک تابع ثابت تبدیل می شود.
c
d
در رسم نمودار تابع هموگرافیک توجه داریم که:
ax + b a
=
cx
+d c
∞x →±
lim
بنابراین y = aمجانب افقی این تابع است.
c
∞ -یا
بنابراین
d
c
−
ax + b
∞= +
cx + d
= xمجانب قائم این تابع است
مثال :جدول تغییرات و نمودار تابع
دامنه این تابع
حل:
ٔ
∞lim f (x ) = +
x →1+
و
∞−
x +2
x −1
}D f= − {1
= ) f (x
است .داریم
lim
d
c
x →−
را رسم کنید.
lim f (x ) =1
∞x →±
،لذا خط y = 1مجانب افقی است و از طرفی
= ) ، lim− f (xلذا x =1مجانب قائم نمودار این تابع است.
x →1
همچنین نمودار تابع محورهای مختصات را در نقاط ( )-2 , 0و ( )0 , -2قطع می کند .اکنون با گرفتن مشتق از تابع خواهیم
داشت:
x≠1
,
−3
(x − 1)2
= ) f ′(x
و بنابراین مشتق به ازای هر xدر بازه های ( )-∞ , 1و (∞ )1 , +همواره منفی است و لذا تابع fدر هر کدام از این بازه ها نزولی
است .حال با گرفتن مشتق دوم خواهیم داشت.
x≠1
,
)6(x − 1
6
=
4
)(x − 1
(x − 1)3
=
) f ′′(x
142
بازه (∞ )1 , +داریم
بازه ( )- ∞ , 1داریم ،f ″ (x) < 0لذا تقعر منحنی به سمت پایین و برای هر xدر ٔ
بنابراین برای هر xدر ٔ
f ″ (x) > 0و لذا تقعر منحنی به سمت باالست .جدول رفتار تابع به صورت زیر است:
∞ +
0
1
∞ -
-2
x
-
-
-
-
y ′
+
-
-
-
y ″
∞ - ∞ +
0
-2
y
y
7
با توجه به اطالعات این جدول می توان نمودار این تابع را
به صورت روبه رو رسم کرد.
6
5
4
3
2
y=1
x
1
4
2
3
0
1
-1
-2
-4
-3
-1
-2
-3
-4
x=1
مثال :جدول تغییرات و نمودار تابع
دامنه این تابع
حلٔ :
∞lim+ f (x ) = −
1
2
→x
و
1
−
2
= Dاست .داریم
∞lim− f (x ) = +
محورهای مختصات را قطع می کند.
3x + 4
−2x + 1
= ) f (x
1
→x
2
3
2
را رسم کنید.
lim f (x ) = −
∞x →±
،لذا
3
2
−
= yمجانب افقی این تابع است و از طرفی
،لذا x = 1مجانب قائم این تابع است .همچنین نمودار در نقاط ( )0 , 4و
2
1
2
≠x
و
11
(−2x + 1)2
4
), 0
3
= ) f ′(x
(−
فصل پنجم :کاربردهای مشتق 143
1
)∞ ( , +
2
بنابراین مشتق به ازای هر xدر بازه های ) (− ∞ , 1و
2
صعودی است .حال با گرفتن مشتق دوم خواهیم داشت:
همواره مثبت و در نتیجه تابع fدر هر کدام از این بازه ها
1
2
بازه
بنابراین برای هر xدر ٔ
1
) (− ∞ ,
2
و
≠x
44
(−2x + 1)3
بازه
داریم ،f ″ > 0لذا تقعر منحنی به سمت باالست و برای هر xدر ٔ
= ) f ′′(x
1
)∞ ( , +
2
،f ″ < 0لذا تقعر منحنی به سمت پایین است .جدول رفتار تابع به صورت زیر است:
1
2
∞+
3
2
4
3
0
∞-
−
+
+
+
+
-
+
+
+
∞ - ∞ +
−
4
y ′
y ″
3
2
0
x
−
نقطه کمکی می توان نمودار این تابع را به صورت زیر رسم کرد.
با توجه به اطالعات این جدول و به کمک چند ٔ
1
=y x
2
4
3
2
1
x
y= −3
2
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
y
داریم
144
تمرین
1
جدول رفتار و نمودار توابع زیر را رسم کنید.
( f (x) = x3 - 5x + 5ب
( f (x) = 2x2 - 4x + 1الف
(ت
( f (x) = -x (x+2)2پ
2x − 1
x −2
= ) f (x
−x
x +3
( f (x) = 2x3 - 9x2 + 12x + 1ج
= ) f (x
(ث
ax + b
ضابطه
نقطه ( )-1 , 0بگذرد،
نقطه ( )2 , 1است .اگر این تابع از ٔ
2فرض کنید . f (x ) = cx + dمحل تقاطع مجانب های آن ٔ
ٔ
تابع را به دست آورید.
3
کدام یک از نمودارهای زیر مربوط به تابع f (x) = x3 + x -2است.
y
y
4
4
3
3
2
2
1
x
4
3
2
1
0
1
-1
-2
-3
-4
x
4
3
2
1
-1
-1
-2
-2
-3
(الف)
0
-1
-3
-4
(ب)
-4
y
x
(پ)
4
3
2
1
-2
-3
-4
y
4
4
3
3
2
2
1
1
0
-1
-2
-3
-4
x
6
5
4
3
2
1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-1
-2
(ت)
منابع
ترجمه حمیدی ،ارشک .جلد اول .تهران :انتشارات فاطمی (.)1395
1استوارت ،جیمز )2012( .حساب دیفرانسیل و انتگرال.
ٔ
2اسدی ،محمدباقر .رنجبری ،علی .ریحانی ،ابراهیم .طاهری تنجانی ،محمدتقی .قربانی آرانی ،مجتبی .مین باشیان ،هادی .)1396( .حسابان ( )1ـ پایۀ یازدهم
دورۀ دوم متوسطه ،سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی .وزارت آموزش و پرورش .تهران :شرکت چاپ ونشر کتاب های درسی ایران.
3اصالح پذیر ،بهمن .بروجردیان ،ناصر .ریحانی ،ابراهیم .طاهری تنجانی ،محمدتقی و عالمیان ،وحید .)1395( .حسابان سال سوم متوسطه .سازمان پژوهش و
برنامه ریزی آموزشی .وزارت آموزش و پرورش .تهران :شرکت چاپ ونشر کتاب های درسی ایران.
4امیری ،حمیدرضا .بیژن زاده ،محمدحسن .بهرامی سامانی ،احسان .حیدری قزلجه ،رضا .داورزنی ،محمود .ریحانی ،ابراهیم .سیدصالحی ،محمدرضا .قربانی
آرانی ،مجتبی .)1395( .ریاضی ( )1ـ پایهٔ دهم دورۀ دوم متوسطه ،سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی .وزارت آموزش و پرورش .تهران :شرکت چاپ ونشر
کتاب های درسی ایران.
5ایرانمنش ،علی .جمالی ،محسن .ربیعی ،حمیدرضا .ریحانی ،ابراهیم .شاهورانی ،احمد و عالمیان ،وحید )1392( .ریاضیات 2سال دوم آموزش متوسطه.
سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی .وزارت آموزش و پرورش .تهران :شرکت چاپ ونشر کتاب های درسی ایران.
6بیژن زاده محمدحسن .پاشا ،عین الله .یوحنایی ،که کو .)1390( .ریاضی عمومی .دوره پیش دانشگاهی ،رشته تجربی .سازمان پژوهش و برنامه ریزی
آموزشی .وزارت آموزش و پرورش .تهران :شرکت چاپ ونشر کتاب های درسی ایران.
7بیژن زاده محمدحسن .عالمیان ،وحید و فرشادی ،غالمعلی )1396( .حساب دیفرانسیل و انتگرال ،دورۀ پیش دانشگاهی ــ رشتۀ علوم ریاضی ،سازمان
پژوهش و برنامه ریزی آموزشی .وزارت آموزش و پرورش .تهران :شرکت چاپ ونشر کتاب های درسی ایران.
8تلگینی ،محمود .خردپژوه ،فروزان .رجالی .)1378( ،حساب دیفرانسیل و انتگرال 1و .2سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی .وزارت آموزش و پرورش.
تهران :شرکت چاپ ونشر کتاب های درسی ایران.
9حیدری قزلجه ،رضا .خداکریم ،سهیال .ریحانی ،ابراهیم .سیدصالحی ،محمدرضا .عراقی ،محمدعلی .قصاب ،علی و کمیجانی ،آناهیتا .)1396( .ریاضی ( )2ـ
پایۀ یازدهم دورۀ دوم متوسطه ،سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی .وزارت آموزش و پرورش .تهران :شرکت چاپ ونشر کتاب های درسی ایران.
10رستمی ،محمدهاشم .عطوفی ،عبدالحمید .گودرزی ،محمد .امیری ،حمیدرضا .)1395( .ریاضیات .3سال سوم علوم تجربی .سازمان پژوهش و برنامه ریزی
آموزشی .وزارت آموزش و پرورش .تهران :شرکت چاپ ونشر کتاب های درسی ایران.
11ریحانی ،ابراهیم .رحیمی ،زهرا .کالهدوز ،فهیمه .نوروزی ،شپیده .یافتیان ،نرگس .شریف پور ،شقایق .عابدی ،ربابه .کتابدار ،زهره .سیدصالحی ،محمدرضا،
امیری ،محمدرضا .ایزدی ،مهدی .زمانی ،ایرج .بهرامی سامانی ،احسان .پرنگ ،حسن .مین باشیان ،هادی و نیرو ،محمد .)1395( .تحلیل خط مشی ها ،اسناد
مصوب ،پژوهش ها و منابع معتبر با حوزۀ یادگیری ریاضی ،واحد تحقیق ،توسعه و آموزش ریاضی ،سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی.
Berchie Holliday (2008). California Algebra 2. Concepts, Skills, and Problem Solving. Glencoe/McGraw-Hill.
13 Bittinger, M. L., Ellenbogen, D., & Surgent, S. A. (2000). Calculus and its application. Reading, MA, Harlow: Addison-Wesley.
14 Briggs. W. L., Cochran, L., & Gillett, B. (2014) Calculus for scientists and engineers: Early transcendentals. Pearson
Education.
15 Cohen D., Lee T. & Sklar D. (2010). Precalculus: A Problems-Oriented Approach. Sixth Edition. Brooks/Cole.
16 Hughes-Hallett. D., Gleason. A. M., Flath. D., Lock, P. F., Gordon, S. P., Lemen, D. O., ... & Pacquale, A. (1998).
Calculus: Single Variable. Wiley.
17 Larson. Ron. & Hodgkins. Amme V. (2013). college algebra and caculus an applied approach. The Pennsylvania State
University, The Behrend College, second edition.
18 Lial, M. L., Greenwell. R. N., & Ritchey, N. P. (2008). caculus with applications. Pearson/Addison Wesley.
19 Lial, M. L., Greenwell. R., & Ritchey, N. P. (2017). caculus with applications. Person Education.
20 Rogawski, J., & Adams, C. (2015). Culculus: Early Transcendenetals. Palgrave Macmillan.
21 Sullivan, M. (2008). Algebra and Trigonometry. Eighth edition, Pearson Prentice Hall.
22 Sullivan, M. (2015). Precalculus: Concepts Through Function A Unit Circle Approach To Trigonometry. Third eddition,
Pearson Education.
12
اسامی دبیران و هنرآموزان شرکت کننده در اعتبارسنجی کتاب حسابان( ) 2ـ کد 112214
سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی جهت ایفای نقش خطیر خود در اجرای سند تحول بنیادین در آموزش و پرورش و برنامه درسی ملی جمهوری
اسالمی ایران ،مشارکت معلمان را به عنوان یک سیاست اجرایی مهم دنبال می کند .برای تحقق این امر در اقدامی نوآورانه سامانه تعاملی بر خط
اعتبارسنجی کتاب های درسی راه اندازی شد تا با دریافت نظرات معلمان دربارۀ کتاب های درسی نونگاشت ،کتاب های درسی را در اولین سال چاپ ،با
کمترین اشکال به دانش آموزان و معلمان ارجمند تقدیم نماید .در انجام مطلوب این فرایند ،همکاران گروه تحلیل محتوای آموزشی و پرورشی استان ها،
گروه های آموزشی و دبیرخانۀ راهبری دروس و مدیریت محترم پروژه آقای محسن باهو نقش سازنده ای را بر عهده داشتند .ضمن ارج نهادن به تالش
تمامی این همکاران ،اسامی دبیران و هنرآموزانی که تالش مضاعفی را در این زمینه داشته و با ارائۀ نظرات خود سازمان را در بهبود محتوای این کتاب
یاری کرده اند به شرح زیر اعالم می شود.
ردیف
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
نام و نام خانوادگی
سهیال ستاری
مریم عبدالملکی
عباس اميدوار
فاطمه رحیمی
مهری میرفخار
رضا رخ فروز کیسمی
نرگس مالیی نژاد
زهرا عباسی
معصومه ایزدی
سید محسن حسینی
نادر بالل زاده
فیروزه شاهین شالکوهی
ژاله لطف اللهي
مرجان رستمی
سمیه قلی زاده دوگاهه
الهام پاکمهر
علی همتی دهکردی
حمید قره گزلو
ناهيد محمدي
سمیرا کشاورز
رحیمه قربانیان
صفیه باقری هامانه
پوران نوروزی
اکبر ایروانی
محمد طالبی
علی اکبر حسینی
احسان غالمی
استان محل خدمت
آذربایجان شرقی
کردستان
شهر تهران
شهرستانهای تهران
قزوين
گيالن
سيستان وبلوچستان
مازندران
همدان
کردستان
آذربايجان شرقي
گيالن
شهرتهران
ايالم
کرمانشاه
آذربايجان غربي
چهارمحال وبختياري
شهرستانهای تهران
ايالم
البرز
آذربايجان شرقي
يزد
خوزستان
اصفهان
خراسان رضوی
سيستان وبلوچستان
کرمانشاه
ردیف
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
نام و نام خانوادگی
موسی آور
مهدی باهنر
مهران خوشبختیان
علیرضا رافعی بروجنی
حسن رستم زاده
محمدعلی تیموری ماسوله
ایرج پویا
مجتبی بیات
عبدالصاحب بابائیان چم علیشاهی
صدیقه باهنر
محمود مهاجر وطن
هما ترحمی
علی ندیری
کبری پور قبادی
وحيد سجادپور
عبدالرضا حیدری
فرزانه کد خدایی
جمال نوین
میکائیل صدقی
سکینه حبیبی
عارف درآیش
منصور قاسم زاده باریکی
جواد کاوانلویی
فاطمه پاپری مقدم برازجانی
محسن اسالمی نیا
نسرین نقوی
ابوالفضل شعبانی
استان محل خدمت
فارس
خراسان جنوبي
مرکزی
چهارمحال وبختياري
فارس
گلستان
آذربايجان غربي
همدان
خوزستان
خراسان جنوبي
گلستان
سمنان
مرکزی
لرستان
کهگيلويه وبويراحمد
بوشهر
لرستان
يزد
اردبيل
لرستان
هرمزگان
مازندران
خراسان شمالي
بوشهر
کرمان
کرمان
سمنان