بسم هللا الرحمن الرحيم
جامعة سنار
كلية الرتبية
قسم الفيزياء والرياضيات
الفصل الدراسي الرابع عام
حماضرات يف /
اعداد أ /
الصديق حممد سليمان
5102م
{}0
بسم هللا الرحمن الرحيم
النظرية الكهرومغناطيسية
من دراسة الكهروستاتيكية السابقة عرفنا أن القوة الكهروستاتيكية تحسب بعالقة كولم :
حيث
تمثل ثابت كلوم وفي الفراغ يحسب بداللة سما حية الفراغ
والمجال الكهربي لشحنة نقطية في الفراغ يحسب بالعالقة
وبصورة عامة يكتب المجال بــ
أما الجهد لشحنة في الفراغ فيكتب بالصورة
وأيضا العالقة بين المجال الكهربي والجهد الكهربي تكون
وكثافة الفيض الكهربي تكون من قانون جاوس في الصورة
{}1
وكذلك كثافة التيار تحسب من عالقة جاوس في الصورة
حيث
تمثل الموصلية
ومن قوانين المغناطيسية نجد أن
حيث
تمثل شدة كل من القطبين و
تمثل النفاذية المغناطيسية وفي الفراغ
وتكون كثافة الفيض المغناطيسي في الفراغ على الصورة
مثال ()1
تسري فيه شحنة بسرعة الضوء فإذا كان عدد االلكترونات التي تعبر في
موصل مقطعه
ثم جد
إلكترون جد كثافة التيار فيه إذا كانت شحنة اإللكترون
الثانية
مقدار التيار وقيمة المجال له إذا كانت موصليته
{}2
تنبيه :من المتطابقات المتجهية نجد
قوانين األثر المغناطيسي للتيار الكهربي ( الكهرومغناطيسية):
دع انه لدينا تيار كهربي يمر في موصل مستقيم به شحنة وعدد الجسيمات الحاملة
حتما هذا التيار يولد مجاال مغنطيسيا :
أخذنا وحدة طول صغيرة جدا
,وإذا
وتكون القوة الكاملة المؤثرة علي الدائرة الكهربية في الموصل علي طول
وكحالة خاصة عندما يكون التيار عمودي علي المجال (
أقصى قيمة لها :
وأيضا عندما يكون التيار مواز للمجال فان (
) هذا معناه أن القوة تأخذ
) وتكون عندها
ولحساب القوة الكهربية على طول السلك (الموصل) فان:
ثم نجري التكامل
{}3
ومن الشكل نجد أن كثافة الفيض المغناطيسي تتناسب طرديا مع التيار وعنصر الطول
وعكسيا مع مربع بعد النقطة عن الموصل
و
أما كثافة الفيض الكلية علي طول الجزء المقتطع من الموصل
وبتحويل المجموع إلى تكامل نجد معادلة بايوت وسافارت المستنتجة لسلك مستقيم
معادلة االستمرارية:
دع أنه لدينا وسط يحتوي على أكثر من نوع من ناقالت الشحنة فان:
حيث
ومنها نجد
وتؤول قيمة التيار المار خالل سطح
إلي الصيغة االتية
وباستخدام نظرية التباعد
{}4
لكن من معادلة التيار أيضا
وبمساواة المعادلتين (*)و (**) نجد
والمعادلة السابقة تسمى بمعادلة االستمرارية
{}5
معـادالت ماكســويـل
قانون جاوس:
إن المجال الكهربي الناتج عن شحنة نقطية
يساوي
واقعة في نقطة األصل عند نقطة محددة بالمتجه
وبالتكامل السطحي لسطح مغلق يحيط بالشحنة نحصل على
ألن الزاوية المواجهة للمساحة
التي تقع على السطح الكروي
وإذا كان السطح المغلق به عدد من الشحنات يكون لديها :
وباستخدام نظرية التباعد
ومنها يمكن التعبير عن قانون جاوس بالصيغة
{}6
وبمساواة المعادلتين ( )0و()5نجد
لكن
ومنها نجد
وهي إحدى معادالت ماكسويل التفاضلية
الفيض المغناطيسي:
لقد وجد فراداي تجريبيا أن الحث الكهرومغناطيسي (القوة الدافعة الكهربية المتولدة من
مغناطيس) تعطى بالعالقة
ومن نظرية استوكس
وهي تمثل معادلة ماكسويل التفاضلية الثانية
{}7
كثافة الفيض المغناطيسي :
بعد أن أكتشف أورستد أن التيارات تولد مجاالت كهربية ومغناطيسية وضع أمبير نتائج لتجارب
معملية كثيرة استفاد منها بايوت وسافارت في وضع عالقة كثافة الفيض المغناطيسي فمثال
ويحمل تيارا فإن كثافة الفيض عند نقطة تبعد عنه
بالنسبة لعنصر سلك متناهي الصغر
وعكسيا مع مربع المسافة بين النقطة وعنصر
تتناسب طرديا مع التيار وعنصر الطول و
الطول
وبالنسبة لدائرتين كهربيتين يولدان مجاالن مغناطيسيان تصبح العالقة السابقة وبأخذ مجموع
:
كثافات الفيض لكل عنصر طول
والتوزيع المتصل للتيار لكل وحدة طول هو الكثافة
لكل وحدة حجم :
ومن المتطابقات المتجهية
لكن دائما
لكن الكمية
هي ميل الكمية
وبما أن إلتفاف أي ميل يساوي صفر نجد
{}8
وهي تمثل معادلة ماكسويل التفاضلية الثالثة وهي تعني ضمنا أنه ال يمكن وجود قطب
مغناطيسي منفرد
وأيضا من دراسة المغناطيسية وجدنا أن كثافة الفيض المغناطيسي تعطى بالعالقة
ومن نظرية التباعد نجد
إذا الفيض المغناطيسي خالل سطح مغلق يساوي صفرا ومنها يثبت أن الفيض المغناطيسي خالل
دائرة كهربية ال يعتمد على السطح المستخدم
{}9
قانون أمبير وتيار اإلزاحة :
من معادلة كثافة الفيض المغناطيسي
وبأخذ التفاف المعادلة أعاله وهي تتضمن أخذ التفاضل بالنسبة للمتجه
العلمية على العامل
ولهذا ينحصر تأثير هذه
وواضح أن اخذ التفاضل بالنسبة لـ يمكن استبداله بالنسبة للمتجه على أن توضع إشارة سالب
وحال إجراء هذا التغير في أخذ المشتقة يصبح بوسعنا إستخدام طريقة التكامل بالتجزيئة لنقل
وبهذا تتالشى قيمة التكامل
في حد واحد حيث تظهر علي شكل
المشتقة الى عامل
للحد األول أما تكامل الحد الثاني فيؤول إلي األتي:
وهذه المعادلة تمثل الصيغة التفاضلية لقانون أمبير ولكي تشمل جميع أنواع التيارات التي يمكنها أن
تكون مجاال مغناطيسيا ويمكن أن تكتب هذه المعادلة في الصيغة
لكن
حيث
تمثل عامل التمغنط
لكن شدة المجال المغناطيسي
وبالرجوع للمعادلة (*) وباستخدام نظرية ستوكس
{}10
وبالتعويض عن
ينتج
لكن
عدد الجسيمات المشحونة لكل وحدة سطح و
حيث تمثل كثافة التيار و
ال مغناطيسي و بتطبيق قانون أمبير للدائرة للمنحنى المغلق والسطح
السطحان
يمثالن سطحا مغلقا (يلتقيان عند المنحني ) c
يمكن أن نكتب المعادلة في الصيغة اآلتية :
وباستبدال
حيث Jمتالشي األبعاد .لكن
ومن التباعد
أفرض أن
و متجها يجعل
{}11
يساوي صفر
شدة المجال
ومن قانون االستمرارية (حفظ الشحنة) يمكن استبدال
وبهذا يكون
لكن كثافة الشحنة ترتبط باإلزاحة الكهربية بالعالقة اآلتية
وبالرجوع للمعادلة (*) تصير على الصيغة
لكن
يطلق عليه تيار اإل زاحة وهو من إضافات ماكسويل الرئسية للكهرومغناطيسية
والحد
وهذه إحدى معادالت ماكسويل التي تمثل تعميما لمشاهدات تجريبية وهي تطبق لمعظم الحاالت
الماكروسكوبية
وتكتب في الصورة العامة
إزاحة
عامة
انتقال
{}12
معادلة الموجة
الموجات الكهرومغناطيسية هي موجات فيها المجال ال كهربي والمجال المغناطيسي متعامدان
ومعامدين التجاه انتشار الموجة وتنتشر هذه الموجات في الفراغ واألوساط المادية ولها قمم
وقيعان مثلها مثل موجات البحر ولذلك يحسب لها طول موجي وتردد وسرعة وتردد زاوي
وغيرها من المعامالت الرئيسية للموجات
المعادلة الموجية الكالسيكية:
لحل المعادلة التفاضلية الرئيسية
والمعادلة السابقة تسمى المعادلة العامة للموجات وتكون كتابتها لثالثة أبعاد في الصيغة
من أهم تطبيقات معادالت ماكسويل هو استخدامها في اشتقاق معادالت الموجات الكهرومغناطيسية
ومن معادلة ماكسويل الرابعة
وبأخذ التفاف الطرفين تصبح المعادلة أعاله في الصورة
لكن (
)و(
) حيث
تمثل الموصلية الكهربائية و و تمثل مقادير ثابتة
{}13
دالة معرفة بشكل مالئم يمكننا إستبدال رتب مشتقات الزمن والمكان وباستخدام
وبفرض أن
معادلة ماكسويل الثانية
لكن
ومن المتجهات
ومن معادلة ماكسويل
نجد
ومعادلة الموجة النهائية تصبح
وبالمماثلة وباستخدام المتطابقة المتجهية
يمكننا برهان أن
{}14
تعيين معادالت الموجة المشتقة أعاله للمجال الكهرومغناطيسي في وسط مادي منتظم وخطى
حيث تكون كثافة الشحنة مساوية للصفر ،سواء كان هذا الوسط موصل أم غير موصل ولذلك
فان تحقق هذه المعادلة ال يعد كافيا وإنما يجب تحقق معادالت ماكسويل ،وعند حل معادالت
الموجة يجب أن نركز اهتمامنا على إيجاد حلول لمعادالت ماكسويل وإحدى الطر ق التي تعد
مثاال جيدا هي إيجاد الشدة المجال الكهربي لموجات أحادية الطول ألموجي مستوية
معادلة ماكسويل للفراغ :
وبأخذ التفاف الطرفين
ومن المتطابقة المتجهية
وتحقق الصورة العامة
ألن
{}15
انتشار الموجة الكهرومغناطيسية في الفضاء الحر
الموجة الكهرومغناطيسية هي عبارة عن حقل كهربي وحقل مغناطيسي متعامدان ويعامدان
التجاه انتشار الموجة ويسيران بسرعة الضوء
وبعد اشتقاق معادلة الموجة في الصورة العامة يمكن أن نطبق معادالت ماكسويل في إيجاد
)
معادلة الموجة في الفضاء الحر ونقصر اهتمامنا فقط في الحل في إحداثيات كارتيزية (
فرغم ذلك يظهر أننا نحل مسائل مختلفة في هذا الدرس ويحصل على الحلول أوال في حاالت
فضاء حر ثم لعواذل تامة ويلي ذلك للموصالت الجيدة ونؤكد الصفات المميزة الخاصة النتشار
الموجة في هذه االوساط .
المعادلة األولى تدل على أن ( ) متغير مع الزمن و ( ) له التفاف عند تلك النقطة وهذا معناه
أن أيضا تتغير مع الزمن ولدينا هنا مجال كهربي متغير وموجود على مسافة صغيرة بعيدا
عن نقطة االضطراب االصلي .قد نخمن أن السرعة التي يتحرك بها التأثير بعيدا عن النقطة
االصلية هي سرعة الضوء ولكن أن يحقق بفحص كمي لمعادالت ماكسويل
نفرض أن مركبة ما مثل
معطاه بالصورة
وربما تكون دالة في ولكن ليس في الزمن و
دالة حقيقية في
حيث
وباستخدام متطابقة أويلر
الطور التي يمكن أن تكون دالة في
ندع حال في الصورة
{}16
هي زاوية
حيث
المجال
يعني أن يؤخذ الجزء الحقيقي للكمية الثانية وبإسقاط
كمية مركبة والتي نميزها بــ
وحذف
تصبح كمية
و يمكن اعتبارها دالة في التردد المركب مع إننا سنعتبر فقط تلك الحاالت التي فيها
ومن المعادلة ( )2نجد
صرفة
تخيلية
من الواضح أن أخذ المشتقة الجزئية ألي كمية مجال بالنسبة للزمن تكافئ ضرب الطور المقابل
وكمثال إذا كانت
في
وتكون معادلة الطور المقابلة
ويمكن أن يكون كل من
كميات مركبة ولذلك إذا أعطينا معادلة ماكسويل
تكون العالقة المقابلة بداللة متجهات الطور
والطريقة التي يمكن أن نحصل بها على معادلة الموجة يمكن استنتاجها من العالقة
{}17
ألن
و
عدد تخيلي
والمعادلة ( )05تعرف بمعادلة هلمهولتز المتجهة وعند فكها في اإلحداثيات الكارتيزية وفي اتجاه
تصبح
ويمكن أن نحل المعادلة ( )01بفرض حل بسيط يكون ممكنا
المقابلتين أصفارا
مع
أو حتى تكون المشتقتين
ويمكن كتابة حل للمعادلة السابقة في الصورة
وبإدخال العامل
واختزاله الي صورة مثلثية ثم أخذ الجزء الحقيقي نجد
حيث يمكن استبدال عامل االتساع االختياري بــ
وهي قيمة
عند
و
وقبل أن نجد أي مركبات أخرى للمجال يجب أن نفهم الطبيعة الفيزيائية للمركبة المنفردة للمجال
الكهربي التي حصلنا عليها في المعادلة ( )01نرى أنها مركبة في التي يمكن وصفها على أنها
لها قيمة تقريبية وهي مقلوب سرعة
متجه إلى أعلى عند سطح أرض مستوية والكمية
الضوء في فضاء حر
{}18
دعنا أن نسمح للمحور
في اتجاه الشرق ونأخذ
يكون المجال معطي
والتي هي تغير بسيط ومألوف مع الزمن ،شحنة حرة (ربما في هوائي استقبال رأسي) تعجل
من المرات في الثانية ولفحص المجا ل في كل مكان عند
ألعلى وألسفل
وباكتشاف تغيرا دوريا مع المسافة لهذه الموجة الجيب تمامية كما تقاس على المحور
الطول الموجة
𝜆
𝜆
𝜆
عند أي نقطة نجد تغير جيبيا مع الزمن له مدة
موجي 𝜆 ونعرف العدد ألموجي من المعادلة 𝜆
الكهربي والمجال المغناطيسي
نجد تغيرا جيبيا مع المسافة له طول
ويكون اتجاهه معامد للمجال
وأالن دعنا نعتبر االستجابة عندما يغير كل من الزمن والموقع ،بالتأكيد يمكننا القول أن
إذا كانت زاوية الطور
تسمى
ال ت تغير
غير متغيرة أو قيمة ثابتة
وبأخذ التفاضل
ولذلك نجد
وهي تسمي سرعة الطور ألنها تعرف نقطة ذات طور ثابت وهنا سرعة الطور تساوي سرعة
الضوء والمجال لذلك يتحرك في اتجاه بسرعة الضوء ولهذا يطلق عليها موجة منطلقة
والمعادلة ( )01كانت أيضا حال لمعادلة موجتنا وتمثل بوضوح موجة منتقلة في اتجاه
غربا )
{}19
– ( أي
وبالعودة لمعادلة ماكسويل إذا أعطيت
وباعتبار مركبة
نتحصل عليها بكل سهولة من () 9
فان
مفردة مع
نحصل على
وباستخدام الحل في المعادلة ( )01مع أن
ولذلك نجد أن المركبة الراسية لـ المنتقلة إلى الشرق تتحقق بمجال مغناطيسي أفقي (شمال ـ
جنوب) ونسبة لذلك شدتي المجالين الكهربي والمغناطيسي المعطاة بقسمة ( )01و( )51نجد
في طور واحد وعالقة الطور الواحد هذه تشير الى الفراغ
و
ومنها يمكننا القول أن
,تحدث عندما
وكذلك إلي الزمن وكل من ( )01و( )51توضح أن القيمة العظمى ألي من
واليكون أي من المجالين نهاية عظمي في
مضاعفا صحيحا لـ
يكون
كل مكان عند نفس اللحظة .حينئذ إن نس بة هاتين المركبتين يجب أن تكون ثابتة في كل مكان
(وتمثل المعاوقة الذاتية ووحدتها األوم )
ɳ
والمعاوقة الذاتية للفضاء الحر
ɳ°
{}20
وهذه الموجة تسمي موجة مستوية منتظمة ألن قيمتها منتظمة خالل أي مستوي )ثابت = (
وهي تعني انسياب الطاقة في اتجاه الموجب .كل من المجالين الكهربي والمغناطيسي متعامد
على اتجاه االنتشار ( أوكالهما يقع في مستوى مستعرض علي اتجاه االنتشار) الموجه المستوية
المنتظمة هي موجة كهرومغناطيسية مستعرضة يرمز لها بالرمز ( .)TEM
ال يمكن أن توجد موجة مستوية منتظمة فيزيائيا تماما ألنها تمتد إلى ما النهاية في بعدين علي
األقل وتمثل قدرا ال نهائيا من الطاقة،المجال البعيد لهوائي إرسال مع ذلك هو أساسا موجة
مستوية منتظمة في منطقة محددة ومهما كان بعد مناطق االستقبال عن اإلرسال فهي تعتبر موجة
مستوية منتظمة بالقرب من الهوائي ،وإشارة الرادار المصطدمة بهدف بعيد هي أيضا موجة
مستوية منتظمة تقريبا
مثال ( ):
موجة مستوية ومنتظمة وسعة المجال الكهربي لها
وترددها الزاوي
عندما كانت
(أ)التردد
المغناطيسي
(ب ) الطول ألموجي
وتنتشر في إتجاه
جد
(ج) الزمن الدوري (د )العدد ألموجي (ه) سعة المجال
Solution
𝜆
𝜆
ɳ°
{}21
مثال (:)2
تنتشر في الفراغ والتي تعطى بواسطة
ادرس الموجة المستوية المنتظمة التي ترددها
الحقل الك هربائي التالي
المقصود بدراسة الموجة إيجاد التردد والطول ألموجي والعدد ألموجي وحساب الحقل
المغناطيسي المرافق للحقل الكهربي
Solution
بمقارنة الموجة المعطاة بالموجة المستوية بشكل عام
وفي الصوره العامه
ومن المقارنة نجد
ويصبح
𝜆
𝜆
لحساب معادلة المجال المغناطيسي
{}22
ɳ°
و تقاس بــ
{}23
الحركة الموجية في العواز ل
دعنا اآلن نمدد دراستنا التحليلية للموجة المستوية المنتظمة في عاذل تام (عديم الفقد) والوسط
موحد الخواص ومتجانس وتكون معادلتنا ( )15في الصورة
بالنسبة لـ
مع
أو تكون المشتقتين المقابلتين أصفارا
دعنا نفرض حل أكثر تعميما ونستخدم ( )5لتحديد قيم مناسبة لعوامل الموجة (𝜆
المفترضة ونفرض حال أسيا في الصورة
)
أو ما يكافئها من معادلة أويلر اآلسية
العامل اآلسي الحقيقي يسمح لنا أن نعتبر حاالت فيها يمكن للموجة أن توهن بينما تنتشر في اتجاه
و تسمى
بينما يسمى عامل التوهن وبما أن وسطنا المفروض عديم العقد تكون
ثابت الطور ويقاس بالتقدير الدائري وفي الغالب نجمع
في ثابت االنتشار المركب 𝛾
𝛾
ويمكن أن نكتب
وبالتعويض في ( )5نجد
𝛾
𝛾
ومنها نجد
𝛾
ولهذا
ومنها نجد
{}24
𝜆
لكنها للعواذل
هي نفسها العامل ألموجي
نجد
وبالنسبة للموجة المستوية المنتشرة في عاذل تام بسرعة
𝜆
𝜆
وتكون شدة المجال ال مغناطيسي
حيث
تمثل المعاوقة الذاتية للوسط
مثال (:)1
موجة ترددها
التوهين في هذا المثال (
الحقل الكهربي والمغناطيسي
،سنمهل
منتشرة خالل ماء عذب وأقصى إتساع لها
جد بقية عوامل الموجة ثم جد
وأيضا
) ولذلك
𝜆
𝜆
ɳ°
{}25
تمرين:
موجة مستوية ومنتظمة وذات تردد
والمادة يفترض أنها عديمة الفقد جد :
إذا كان أتساع شدة المجال المغناطيسي
()0سرعة االنتشار ( )5طول الموجة ()3ثابت الطور ( )1المعاوقة الذاتية ( )2أتساع المجال
الكهربي
{}26
انتشار الموجات في الموصالت الجيدة
وأخيرا ندرس انتشار غير محدود وسنفحص تصرف موصل جيد عندما تنشأ فيه موجة مستوية
منتظمة وإذا أخذنا منبع من النحاس وأطلقنا فيه الموجة ويجب أن تكون هناك موجة
كهرومغناطيسية منشأة في عاذل خارجي يالصق سطح الموصل .سنرى أن انتقال الطاقة
المبدئي يجب أن يحدث في المنطقة خارج الموصل ،الن كل المجاالت المتغيرة مع الزمن توهن
أو تضعف بسرعة جدا داخل موصل جيد .
الموصل الجيد له موصلية عاليه ( ) وتيارات توصيل كبيرة لذلك تقل الطاقة الممثلة بالموجة
المنتقلة خالل المادة عندما تنتشر الموجة بسبب فقد من المقاومة باستمرار ومن الدراسة السابقة
لحالة الموجات في وسط ردئ التوصيل أن ثابت في الصورة العامة
𝛾
𝛾
ويمكن تبسيطها كاألتي
ومن أويلر
𝛾
ولذلك نجد
𝛾
ومنه نجد أن
وبغض النظر عن عوامل الموصلية والنفاذية للموصل أو التردد .المجال المؤثر تكون
و متساويتان
{}27
سنعتبر هذا المجال المنبع الذي ينشئ المجاالت خالل الموصل حيث أن تيار اإلزاحة مهمل
ولذلك
المعادلتان ( )3و( )1نجد منها أن الحد اآلسي سالبا ،نجد تناقصا أسيا في كثافة تيار التوصيل
وشدة المجال الكهربي مع التعمق داخل الموصل ((بعيدا عن المنبع)) العامل أألسي =
الوحدة( العنصر المحايد )
عند
وينقص إلي
والمسافة بين
إلي
يطلق عليها عمق االختراق (العمق السطحي )
وهو من أهم العوامل في وصف تصرف موصل في مجاالت كهرومغناطيسية
مثال:
جد العمق السطحي للنحاس ذو الموصلية
أو عند تردد قدره
عند تردد قوي
يكون عمق االختراق
وهو حوالي ثمن طول موجة الضوء المرئي
لذلك :عند هذا التردد كل المجاالت في موصل جيد مثل النحاس تكون أساسا صفرا على مسافات
أكبر من أعماق السطح .أي كثافة التيار أو شدة المجال الكهربي المنشاة عند سطح موصل جيد
تضمحل بسرعة عندما تنعدم بداخل الموصل والطاقة الكهرومغناطيسية ال تنفذ إلي داخل
الموصل بل تنتقل في المنطقة المحيطة به بينما الموصل يرشد الموجات فقط .التيارات المنشأة
{}28
على سطح الموصل تنتشر في داخل الموصل في اتجاه عمودي اتجاه كثافة التيار ويمكن أن
نكتب السرعة والطول ألموجي داخل موصل جيد بالعالقات التالية
𝜆
𝜆
لكي نحسب الحقل المغناطيسي نبدأ بالمعادلة
ɳ
وإذا كانت
يؤدي إلى :
ɳ
ɳ
ɳ
ولذلك يمكننا إعادة كتابة ( )3في الصورة
مثال:
جد التردد المؤثر والموصلية لمادة جيدة التوصيل لها سرعة االنتشار تساوي عشر في المائة من
أفترض أن المادة غير
سرعة الضوء في فضاء حر والتي فيها طول الموجة
مغناطيسي .
{}29
الطاقة المختزنة في الحقل الكهربي والحقل المغناطيسي
الجهد :
في حقل كهربي ساكن هو الشغل المبذول لنقل الشحنات من موقع ألخر
( )0نقل شحنة من منطقة جهد مرتفع إلى جهد منخفض تكون هناك خسارة
( )5نقل شحنة من منطقة جهد منخفض إلى جهد مرتفع تكون هناك زيادة في الطاقة
ـ تكون القوة الكهربية صفر حسب قانون كولم إذا كانت المسافة بين الشحنتين مساوية ما النهاية
وتكون الشحنات في هذه الحالة في حالة توازن
ــ عند تقريب شحن إلى بعض فان الجهد المبذول يجب أن يكون بمقدار الشغل الذي أدى إلى ازدياد
طاقة الجملة
فإذا كانت لدينا شحن نقطية النهائية في فراغ النهائي فان الطاقة المستهلكة بين الشحن
وبتجميع المعادالت المماثلة
{}30
وبجمع المعادلتين أعاله
وبتحويل المجموع إلى تكامل
ومن معادلة ماكسويل التفاضلية
ومن متطابقة المتجهات
ومن عالقات الكهربية
وبتحويل الطرف األول من تكامل حجمي إلى سطحي
في حالة الفراغ يكون السطح النهائي أي أن
{}31
وبالرجوع للمعادلة (**) نجد ما تبقى منها هو الحد الثاني
الطاقة المختزنة في الحقل المغناطيسي :
كما في حالة الحقل الكهربي وبنفس الطريقة يمكن مناقشة الطاقة المختزنة في الحقل المغناطيسي
ولكن هنا يجب أن نبني تيارا كهربيا وليست نظاما من الشحنات ومنها سنجد أن الطاقة المختزنة
تعطى بــ
ولحساب معادلة الموجة ومتجه بوينتينغ :
نفترض أن الحقلين متغيرين مع الزمن ومن معادالت ماكسويل نجد
وبضرب
في قياسيا
ومن متطابقة المتجهات
نعوض في العالقة أعاله
{}32
وبتعويض ماكسويل
والحقل المغناطيسي
ولكن نعلم أن طاقة الحقل الكهربي
ولكن بتعويض الطاقة الكلية البد لنا من تكامل الحد الثاني في المعادلة () 1
وباستخدام قانون جاوس لتحويل التكامل ألحجمي إلى سطحي
حيث
هو متجه وحدة خارج ومتعامد مع السطح
{}33
يمثل متجه بوينتنغ وهو كثافة الطاقة التي تعبر السطح والمحمولة بواسطة
حيث
الموجة الكهرومغناطيسية وإن قيمة الضرب القياسي للمتجه هي قيمة الطاقة التي تعبر وحدة
السطح في وحدة الزمن ب -االتجاه المتعامد مع كل من
و ولذلك يعرف متجه بوينتنغ:
هو معدل الطاقة المشعة المنتقلة مع الموجه والتي تعبر وحدة المساحة
والمعادلة السابقة تمثل قانون حفظ الطاقة وهي تدل على أن الطاقة الكلية المختزنة في الموجة
الكهرومغناطيسية تتناقص مع الزمن
ولنفرض أن اتجه االنتشار هو اتجاه
ألن
وليكن كل من
و
متعامدان مع هذا االتجاه
وألن الحقلين عمديين على جهة االنتشار وأيضا
ملحقات
تحويل وحدة الحجم من اإلحداثيات الكارتيزية إلى كروية
{}34
ليست له مركبات على
و
}35{