O’ZBEv STON RESPUBLIKASI OLIY VA O ’RTA MAXSUS TA’LÍM
VAZIRLIGI
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI QISHLOQ VA SUV XO’JALIGI
VAZIRLIGI
ESHMATOV X., YUSUPOV M.
AYNAQULOV SH., XODJAYEV D.
MATEMATIK MODELLASHTIRISH
O ’zbekiston Respublikasi Oliy va O ’rta maxsus ta ’lim
vazirligi oliy о 'qiiv yurtlararo ilmiy-uslubiy blrlashmasi
faoU yatini Muvoflqlashtiruvchi kengash tomonidan
o ’quv q o ’llanma sifatida tavsiya etllgan
Toshkent-2010
(í>#7
O’quv qo’llanma OO'MTV 2008 yil 28 fevraldagi №51 sonli buyrug’iga
asosan chop etishga tavsiya etilgan.
IDK- 681.03:539.3
Ushbu o’quv qo’llanmada «Matematik modellashtirish» fanining asosiy tushuncha va maqsadlari keltirilgan bo’lib, unda ba’zi bir obyektlarning matematik
modellari qurib ko’rsatilgan. Matematik modelning yechish usullari va ularga mos
Paskal tilidagi dasturiy ta’minoti keltirilgan.
O’quv qo’llanma qishloq va suv xo’jaligi bilim sohasi bakalavriat ta’lim
yo’nalishlari va magistratura mutaxassisliklarida ta’lim olayotgan talabalarga
mo’ljallangan. Shu bilan birga undan boshqa oliy o’quv yurtlarining tegishli (mos
va turdosh) yo’nalishlari va mutaxassisliklarida ta’lim olayotgan talabalar va magistrantlar hamda matematik modellashtirish bilan shug’ullanayotgan mutaxassislar
ham foydalanishlari mumkin.
Taqrizchilar:
Sh. Nazirov, Toshkent Axborot texnologiyalari
universiteti, “Dasturlash texnologiyalari”
kafedrasi profesori. fizika-matematika fanlari doktori
E. Fayziboyev, “Oliy matematika” kafedrasi, professor
Eshmatov X., Yusiwov M., Aynagulov Sli.A.. Xodiavev D.A.
i Matematik motlellashtirish /. O’quv qo’llanma, T1MI, ToniKenT- 2010, 240 b.
TIMl
I
■\ XfiOR OT-R F.S l'HS M A R K A / l t
. K l .T l : : \ O N A
i
©Toshkent iríigatsiva ya me|ionats|ya instituti,2010 yil
KIRISH
Tabiiy fanlaming tez suratda rivojlanishi hamda shaxsiy kompyuterlar yangi
avlodlarining hayotgajadal ravishda kirib kelishi, har bir mutaxassis oldiga zamon
talablariga javob beradigan yangi vazifalami qo’ymoqda. Keyingi paytlarda
ko’pgina soha masalalarini yechishda matematik modellashtirish usulidan keng
foydalanib kelinmoqda. Bunga asosiy sabab, birinchidan bu usulning afzaliigi
bo’lsa, ikkinchidan esa tezkor shaxsiy kompyuterlardan keng foydalanish imkoniyatlarining paydo bo’lganligidir.
Hozirgi vaqtga kelib «Matematik modellashtirish» fani oliy ta’limning
ko’pgina yo’nalishlarida asosiy fan sifatida o’rganila boshlandi, Oliy ta’limning
davlat standartiga asosan har bir bakalavr va magistr o’z sohasida mavjud bo’lgan
asosiy jarayonlami chuqur tahlil qilib berishligi kerak bo’ladi. Bu esa, hozirda
matematik modellashtirish fani orqali amalga oshirilmoqda.
Matematik modellashtirish fani matematika, mexanika, fizika, informatika,
kimyo, bioiogiya, ekologiya va boshqa maxsus fanlar bilan chambarchas bog’liq
bo’lib, u har bir talabadan chuqur bilim va ko’nikmalarni talab etadi.
Ushbu o’quv qo’llanmada matematik modellashtirish fanining asosiy tushuncha va maqsadlari keltirilishi bilan birga, texnik yo’nalishda foydalaniladigan
ba’zi bir obyektlaming matematik modellari qurib ko’rsatilgan. O’quv qo’llanmada
matematik modellashtirishda ko’p uchraydigan masalalarning yechish algoritmlari
¡shlab chiqilgan hamda unga mos Paskal tilidagi dasturiy ta’minotlar keltirilgan.
Qo’llanmadan «Matematik modellashtirish» fanidan ta’lim berayotgan
o’qituvchilar, shu fanni o’rganuvchi talabalar va ushbu fan bilan mustaqil
shug’ullanayotgan keng kitobxonlar ommasi foydalanishlari mumkin.
1-BOB. M A T E M A T IK M O D E LLA S H TIR IS H ASOSLAJRI
Aniq yechimga ega har qanday masala bir necha usullar yordamida yechiladi. Agar yechilayotgan masala yetarlicha aniqlikda matematik munosabatlar
orqali ifodalansa, bu masalani matematik modellashtirish usuli yordamida yechish
mumkin. Masalani bu usulda yechish matematik modellashtirish jarayoni deb ataladi.
1.1. Obyekt va matematik modellashtirish
Obyekt deganda har xil xossa va xususiyatlarga ega bo’lgan hamda biror
soha jarayonini ifoda etuvchi, tabiatning biror elementi tushuniladi. Suv yoki gaz
oqayotgan truba, paxta terish mashinasining shpendeli, elektr toki o’tkazuvchisi,
qurilishda ishlatiladigan temir-beton plita va h.k. lar obyektga misol bo’la oladi.
Turli xil soha mutaxassislarining asosiy vazifasi o’z obyektlarining xossa va
xususiyatlarini o’rganish hamda shu asosda masalani yechishdan iborat. Obyektni
o’rganish o’ta murakkab jarayon bo’lib, u bir necha xil usullar yordamida amalga
oshiriladi.
Tekshirilayotgan obyekt xossa va xususiyatlarini matematik munosabatlar
orqali ifodalash shu obyektning matematik modeli deb ataladi. Matematik model
qurish va uni yechish jarayoni esa matematik modellashtirish deyiladi. Mate­
matik modellashtirish jarayoni sxematik ravishda quyidagi ko’rinishda ifodalanadi:
Har qanday obyektning matematik modeli qurilayotganda, dastlab bu obyekt
xossalari mutaxassislar tomonidan har tomonlama o’rganib chiqiladi. Obyekt xossalarini ifodalovchi o'zgaruvchi parametrlar o'ltasidagi bog’Ianishlar aniqlanadi.
Shundan keyin ayrim cheklanishlar qilinadi va har xil omil(faktor)laming masala
yechimiga ta’sir darajasi aniqlanadi. Buning uchun har xil faraz(gipoteza)larga
asoslanadi. Obyekt matematik modelini qurishda har xil farazlarga asoslanganligi
sababli turli xil matematik modellar hosil bo’ladi. Obyektni matematik model­
lashtirish natijasida asosan uch xil model hosil bo’ladi: statik, dinamik va tarqoq
modellar.
Statik modellarda tekshirilayotgan obyekt xossalari vaqt o’zgarishiga bog’liq
bo’Imagan holda o’rganiladi. Bu holda obyekt matematik modeli faqat fazoviy
koordinatalar yordamida ifodalanadi.
Dinamik modelda esa aksincha, obyekt xossalari faqat vaqt o’zgarishiga
bog’liq ravishda o’rganiladi.
Xossa va xususiyatlari vaqt hamda fazoviy koordinatalar o’zgarishiga bog’liq
bo’lgan obyektlar matematik modeli tarqoq model ko’rinishida ifodalanadi.
1.2. Matem atik modellashtirishning
asosiy bosqichlari
Har qanday obyektni matematik modellashtirish bir necha bosqichlar asosida
olib boriladi. Bu bosqichlar quyidagilardan iborat:
1. Obyekt xossa va xususiyatlarin o’rganish.
2. Obyekt matematik modelini qurish.
3. Matematik modelni yechish algoritmini tanlash yoki ishlab chiqish.
4. Tanlangan yoki ishlab chiqilgan algoritm asosida kompyuter modelini(dasturini) tuzish.
5. Obyektning birlamchi boshlang’ich qiymatlarini dasturga kiritish orqali
natijalar olish hamda ularni tahlil qilish.
Birinchi bosqichda qaralayotgan obyektning mexanik, biologik, geometrik,
ekologik va boshqa xususiyatlari hamda ular orasidagi bog’lanishlar batafsil
o’rganiladi. Obyekt xossa va xususiyatlariga har xil omillarning ta’sir darajasi
aniqlanadi.
Obyektning matematik modelini tuzishda shu obyektning asosiy xossa va
-
5
-
xususiyatlari matematik munosabatlar yordamida ifodalanadi. Boshqacha qilib
aytganda obyektni o’rganish jarayonida unga ta’sir etuvchi asosiy omillar mate­
matik apparat (tenglama, tengsizlik, mantiqiy ifoda yoki ulaming sistemalari)
orqali yozib chiqiladi. Bu bosqichda shuni e’tiborga olish kerakki, matematik
ifodalar imkoni boricha sodda va shu bilan birga obyektning barcha asosiy xossalarini o’z ichiga oigan bo’lishi maqsadga muvofiq. Chunki matematik ifodalar
qanchalik sodda bo’isa, ulami yechish algoritmi ham shunchalik sodda hamda
ularni yechishda yo’l qo’yiladigan xatoliklar shunchalik kam bo’ladi.
Algoritm - berilgan masalani yechishda bajarilishi lozim bo’lgan amallaming
qat’iy ketma-ketligidir. Har bir masalaning yechish algoritmi bir necha minglab,
xatto millionlab amallami o’z ichiga oladi. Masalaning yechish algoritmini tanlash
- bu mavjud yechish algoritmlari orasidan eng qulayini tanlashdir. Ayrim hollarda
masalani yechish uchun yangi hisoblash algoritmini ishlab chiqishga ham to’g’ri
keladi. Yechish algoritmi tanlanayotganda yoki yangisi ishlab chiqilayotganda uning natijaviyligiga, aniqlik darajasiga, ommaviyligiga hamda vaqt bo’yicha tejamkorligiga e’tibor berish kerak bo’ladi.
Dastur tuzish bosqichida tanlangan yoki ishlab chiqilgan algoritm biror algo­
ritm til orqali ifodalanadi. Masalani yechish uchun algoritmik til tanlanayotganda
uning soddaligiga hamda imkoniyatlari darajasiga e’tibor berishga to’g’ri keladi.
Ayrim hollarda masala xususiyatiga qarab ham algoritmik til tanlanadi. Bu
bosqichda tuzilgan dasturdagi sintaksis va algoritmik xatolar aniqlanib ular bartaraf
etiladi. Matematik modellashtirishning bu bosqichi o’ta murakkab bosqich
hisoblanib dasturchidan juda ham ko’p mehnat va ehtiyotkorlikni talab etadi.
Modellashtirishning oxirgi bosqichida, qaralayotgan obyektning boshlang’ich
xossa va xususiyatlarini ifodalovchi birlamchi sonli qiymatlar, tuzilgan dasturga
kiritilib natijalar olinadi hamda u atroflicha tahlil qilinib, har xil xulosalar qilinadi.
1.3. Modellashtirishda analitik va tajriba
(eksperiment) usullar
Obyektning xossa va xususiyatlariga bog’liq ravishda modellashtirish turli
-
6
-
xil usullarda olib boriladi. Keyingi paytlarda obyektlami modellashtirishda asosan
ikki xil analitikva eksperiment usullaridan keng foydalanib kelinmoqda.
Obyekt analitik usulda modellashtirilganda, shu obyektning asosiy xossa va
xususiyatlari matematik munosabatlar (tenglama, tengsizlik, integral, differensial,
integrodifferensial tenglamalar yoki ularning sistemalari) yordamida ifodalanadi,
ya’ni obyekt xossa va xususiyatlari matematik formulalarga ko’chiriladi. Bu usulda
matematik munosabatlar shu obyektning barcha asosiy xossalarini o’z ichiga oigan
hamda sodda ko’rinishda bo’lish talab qilinadi. Modellashtirishning analitik usuli
mutaxassisdan o’z sohasini chuqur bilish bilan birga hisoblash matematikasi va al­
goritmik tilda dasturlash fanlarini ham yetarli darajada egallashni talab etadi.
Odatda injenerlik masalalarining matematik modeli algebraik tenglamalar,
oddiy yoki xususiy hosilali differensial tenglamalar, integrallar yoki ularning sis­
temalari ko’rinishida bo’isa, iqtisodiy masalalaming matematik modeli esa asosan
tengsizlik, mantiqiy ifoda yoki ularning sistemalari ko’rinishida ifodalanadi.
Masalan, elastik to’sin egilishi haqidagi masalaning matematik modeli
to’rtinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning berilgan chegaraviy shartlami
qanoatlantiruvchi yechimini topishga keltirilsa, iqtisodiy masala bo’lgan transport
masalasining matematik modeli esa oddiy chiziqli algebraik tengsizliklar sistemasini
qanoatlantiruvchi va maqsad funksiyani
ekstrimumga erishtiruvchi
o’zgaruvchilar qiymatlarini topishga keltiriladi.
Eksperiment usulda qurilgan model obyektlar ustida o’tkazilgan tajribalar,
ya’ni kuzatishlar orqali olingan natijalar asosida qurilgan modeldir. Obyektning
eksperiment modelini qurish o’ta murakkab jarayon hisoblanadi. Chunki ayrim
obyektlaming eksperiment modelini qurish uchun uzoq vaqt oralig’ida, har xil
sharoitlarda bir qancha kuzatishlar o’tkazishga to’g’ri keladi. Bu holda kuzatish
natijalariga bir qator obyektiv va subyektiv sabablar o’z ta’sirini o’tkazadi. Shu sababli keyingi paytlarda matematik modellashtirishda analitik usuldan ko’proq foy­
dalanib kelinmoqda.
Ma’Iumki, biror obyektni matematik modellashtirish deganda shu obyekt
xossa va xususiyatlarini matematik munosabatlar yoki mantiqiy ifodalar orqali
ifodalash tushuniladi. Odatda modellashtirishning bu usuli analitik usul deb ataladi. Matematik munosabatlar o’z ichiga tenglama, integral, tengsizlik, oddiy va
xususiy hosilali differensial tenglama yoki ularning sistemalarini o’z ichiga oladi.
Obyektning matematik modelida matematik munosabatlaming qaysi biri qatnashishi modellashtirilayotgan obyekt xossalariga bog’liq bo’ladi. Masalan, elastik materialdan tayyorlangan mayatnik tebranishi masalasini qarasak, uning matematik
modeli oddiy differensial tenglama va unga qo’yilgan boshlang’ich shart orqali
ifodalansa, o’zgaruvchan kesimli elastik sterjen tebranishi masalasining matematik
modeli esa o’zgaruvchan koeffitsiyentli, xususiy hosilali, to’rtinchi tartibli differ­
ensial tenglama va unga qo’yilgan boshlang’ich hamda chegaraviy shartlar yor­
damida ifodalanadi.
1.4. Model adekvatligi
Obyekt modelining adekvatligi deganda shu obyektning barcha xossa va
xususiyatlari modelda qanday darajada hisobga olinganlik tushuniladi.
Analitik usulda tuzilgan matematik modelning adekvatligi, modellashtirilay­
otgan obyekt xossalarini matematik munosabatlar yordamida ifodalashdagi aniqlik
ko’rsatkichi bilan aniqlanadi. Shu bilan birga bu usulda modelning adekvatligi
uning yechish usullari aniqligiga ham bog’liq bo’ladi.
Obyekt eksperiment modelining adekvatligi o’tkazilgan tajribalar soni va un­
ing sifatiga hamda ulami o’tkazishda foydalanilgan o’lchash asboblarining aniqlik
darajasiga bog’liq bo’ladi. Tajribalar soni qancha ko’p bo’lib, o’lchash asboblarin­
ing aniqlik darajasi qancha yuqori bo’Isa, olingan natijalar haqiqiy natijalarga
yetarlicha yaqin, ya’ni model adekvat bo’ladi.
Ma’lumki, har qanday obyektni matematik modellashtirish jarayoni bir ne­
cha bosqichlar asosida olib borilad. Lekin bu bosqichlarni har doim ham aniq
amalga oshirish imkoni bo’lavermaydi, ya’ni obyektning matematik modelini qurishda ba’zi bir faraz(gipoteza)larga asoslanadi. Modelni yechish uchun esa har
doim ham aniq yechish usuli mavjud bo’lavermaydi. Ko’pgina hollarda taqribiy
yechish usullaridan foydalaniladi. Shu sababli har qanday obyektni o’rganish
maqsadida tuzilgan matematik model va uni yechishdan olingan natijalar shu
obyekt xossa va xususiyatlarini har doim ham to’liq ifodalay olmaydi.
Obyektning adekvat matematik modelini tuzish uchun, birinchidan
obyektning barcha xossa va xususiyatlarini to’liq o’rganish kerak bo’lsa, ikkinchidan bu xossa va xususiyatlarning barchasi qurilgan modelda matematik munosa­
batlar yordamida o’z aksini topgan bo’lishi zarur bo’ladi. Shu bilan birga mate­
matik modelni yechishda foydalaniladigan yechish usullari yetarlicha aniqlikga
ega bo’lishi talab etiladi.
Obyekt matematik modelini adekvat ekanligini tekshirish o’ta murakkab
jarayon hisoblanadi. Qurilgan matematik modelni adekvat ekanligini tekshirish
usullaridan biri, shu model yordamida olingan natijalami tajribalar o’tkazish orqali
olingan natijaiarga yoki oldindan ma’lum bo’lgan aniq natijalar bilan taqqoslashdir. Agar olingan natijalar, yetarlicha aniqlikda o’tkazilgan tajribalar natijalariga
yoki oldindan aniq bo’lgan natijaiarga yaqin bo’lsa, tuzilgan matematik model
shunchalik adekvat hisoblanadi.
1.5. Matem atik modellashtirishda xatoliklar
Ma’lumki, matematik modellami yechish uchun uni diskret holga olib
kelishga to’g’ri keladi. Masalalami diskret holga keltirishda esa, ba’zi bir xatoliklarga yo’l qo’yiladi. Bu xatoliklar nimalar hisobidan hosil bo’ladi va u qanday baholanadi? Bu savollarga javob berish har bir mutaxassis uchun juda muhim ahamiyatga ega.
Taqribiy hisoblash xatoliklari va ularning turlari. Shaxsiy kompyuter
(SHK) yordamida hisob-kitob ishlarini bajarish asosan taqribiy hisoblashlar
asosida olib boriladi. Bu esa ixtiyoriy masalaning yechimi qandaydir xatoliklar bi­
lan, ya’ni masalaning taqribiy yechimi hosil bo’lishiga olib keladi. Masalalarni
SHK da yechishda yo’l qo’yiladigan xatoliklarni qanday baholash mumkin, degan
savol barcha mutaxassislarni qiziqtirib keladi. Bu savolga javob berish maqsadida
absolut va nisbiy xatoliklar tushunchalari kiritiladi.
Agar biror miqdorning aniq qiymatini jr va uning taqribiy hisoblash nati-
9
-
jasida olingan qiymatini x deb olsak, u holda absolut xato deb
Ax = |x - 3c|
ga, nisbiy xato deb esa,
Sx = li— •100% = — •100%
M
1*1
ga aytiladi.
Bu xatoliklarning hosil bo’lishiga asosiy sabablar nimalardan iborat? Umuman olganda hisoblashlar natijasida hosil bo’ladigan xatoliklar manbalarini, asosan
to’rt guruhga ajratish mumkin.
Birinchi guruh xatolar yechilayotgan masalaning matematik modelini qurish
bilan bog’liq xatolardir. Ma’lumki, birinchidan obyektning barcha xossa va xususiyatlarini matematik modelda hisobga olish har doim imkoniyati bo’lavermaydi. Ikkinchidan obyektning barcha xususiyatlarini hisobga olish, matematik modelni o’ta
murakkablashishiga, natijada esa uni yetarlicha aniq yechish imkoni bo’lmay qolishiga olib keladi. Bu guruh xatoliklar matematik moclel xatosi deb ataladi.
Ikkinchi guruh xatolar masalaning yechish uchun beriladigan boshlang'ich
qiymatlarida mavjud bo’lgan xatoliklardir. Tajriba yoki hisoblash natijasida olin­
gan boshlang’ich qiymatlar albatta biror xatolikga ega bo’ladi. Chunki bu qiymatlar o’ichash asboblarining aniqligiga yoki hisoblash usullariga bog’liq bo’ladi. Bu
guruh xatoliklar odatda qutilib bo’lmaydigan xatolar deb ataladi.
Uchinchi giiruh xatolar masalani yechish usulidagi mavjud xatolardir. Bu
xatolar yechish usulining xatosi deb ataladi va u asosan modelni diskret holga
keltirishda vataqribiy yechish usullarida mavjud bo’lgan xatoliklardir.
To 'rtinchi guruh xatolar bevosita SHKlarda hisoblashni tashkil etish bilan
bog’liq bo’lgan xatoliklardir. Bu xatolar odatda hisoblash xatoliklari deb ataladi.
Hisoblash xatoliklari asosan sonlarni yaxlitlash natijasida hosil bo’ladi.
Ayrim hollarda turli xil xatoliklardan qutulish uchun ba'zi bir takliflarni
e’tiborga olish maqsadga muvofiq bo’ladi:
-
qiymati hisoblanadigan ifodalarni imkoni boricha soddalashtirish va unda
bajariladigan amallar sonini eng kam miqdorga keltirish;
- 10 -
- agar bir qator sonlar ustida qo’shish-ayirish amallarini bajarish lozim
bo’lsa, dastlab kichik sonlar ustida amallarni bajarish;
- oraliq hisoblashlarda qiymatlari deyarli teng bo’lgan miqdorlar ustida ayirish amalini bajarmaslik.
1.6. M atem atik modelni yechish usullari
Yuqorida ta’kidlanganidek, obyektni matematik modellashtirish har xil
tenglama, tengsizlik yoki ularning sistemalarini yechishga keltiriladi. Umuman olganda modelni yechish usullarini uch turga ajratish mumkin: analitik, sonli va
sonli-analitik usullar.
Analitik usul - masala yechimini aniq matematik formulalar bilan(analitik
ko’rinishda) ifodalashdir. Bu usul aniq usul hisoblanib, unda yechim masalaning
berilgan boshlang’ich qiymatlarni o’z ichiga olgan matematik formulalar
ko’rinishida ifodalanadi. Odatda analitik usuldan oddiy matematik model bilan
ifodalanadigan masalalami yechishda foydalaniladi. Chunki murakkab masalalaming yechimini har doim ham aniq formulalar ko’rinishida ifodalash imkoni
bo’lavermaydi. Analitik usulga misol sifatida chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Kramer qoidasi, Gauss yoki teskari matritsa kabi yechish usullarini keltirish
mumkin.
Sonli usul - taqribiy yechish usuli hisoblanib, oliy matematika fanining
hisoblash matematikasi bo'limida o’rganiladi. Bu usulga ko’ra matematik modelda
berilgan formulalar, taqribiy ravishda o’ziga yaqin (ekvivalent) hamda sodda
ko’rinishga ega bo’lgan formulalar bilan almashtiriladi. Masalan funksiya hosilasi,
chekli ayirmaga; funksiyaning aniq integrali chekli yig’indiga, cheksiz qator esa
chekli yig’indiga almashtiriladi. Sodda ko’rinishga keltirilgan model SHK yordamida yechiladi va masala yechimi grafik yoki sonlar jadvali ko’rinishida
ifodalanadi. Sonli usullarga misol sifatida transsendent tenglamalami oraliqni teng
ikkiga bo’lish, urunmalar, vatarlar yoki differensial tenglamalami Eyler, RungeKutta, chekli ayirmalar yordamida yechish usullarini keltirish mumkin.
Sonli usullardan biri iteratsiya usulidir. Taqribiy yechish usuli iteratsiya
- 11-
usuli deyiladi, agar noma’lumlar ustida chekli takrorlanuvchi amallar bajarilib, bu
amallardan keyin noma’lumlar qiymatlari aniqlashtirilsa (noma’Iumlaming
taqribiy qiymatlari uning aniq qiymatiariga yaqinlashsa), shu bilan birga keyingi
takrorlanuvchi amallami bajarishda noma’lumlarning aniqlashtirilgan qiymatidan
foydalanilsa.
Sonli-analitik usul - bu yuqorida aytilgan ikki usulning kombinatsiyasidan
tashkil topgan usuldir. Bu usulda masala yechimi asosan xosmas integral, cheksiz
qator, maxsus funksiyalar yoki ulaming kombinatsiyalari ko’rinishida ifodalanadi.
Bu usulda qaralayotgan masala yechimi analitik ko’rinishda yozib qo’yiladi, lekin
sonli natijalar ba’zi bir taqribiy hisoblashlar yordamida hosil qilinadi. Sonlianalitik usullarga misol sifatida Bubnov-Galyorkin yoki Fur’e usullarini keltirishimiz mumkin.
Tayanch so’zva iboralar. Obyekt, matematik model, matematik modellashtirish, kompyuter dasturi, algoritm, algoritmik til, blok-sxema, statik model,
dinamik model, tarqoq model, absolut xato, nisbiy xato, analitik usul, sonli usul,
sonli-analitik usul, model adekvatligi, xosmas integral, qator, transsendent
tenglama.
Savollar
1. Obyektga ta’rif bering.
2. Matematik model deb nimaga aytiladi?
3. Matematik modellashtirish jarayoni deb nimaga aytiladi?
4. Matematik munosabat deganda nimani tushunasiz?
5. Matematik modellashtirish qanday bosqichlardan iborat?
6. Algoritmga ta’rif bering.
7. Algoritmik til deganda nimani tushinasiz?
8. Dastur va dasturlash nima?
9. Masala algoritmini dasturlash uchun algoritmik til qanday tanlanadi?
10. Model turlari.
- 12 -
11. Model adekvatligi deganda nimani tushunasiz?
12. Model adekvatligi qanday tekshiriladi?
13. Absolut xato nima?
14. Nisbiy xato nima?
15. Modellashtirishda xatolik turlari va ulaming kelib chiqish manbalari.
16. Matematik modelni yechish usullari.
17. Analitik usul nima?
18. Sonli usul nima?
19. Sonli-analitik usul nima?
-
13
-
2-BOB.
CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR
SISTEMASI VA TRANSSENDENT TENGLAMALARMI
YECHISH USULLARI
Ma’lumki, obyekt matematik modeli matematik munosabatlar (tenglama,
tengsizlik yoki ularning sistemalari) yordamida ifodalanadi. Bu muaosabatlardan
biri - chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidir. Bizga n ta noma’lumli n ta
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi
a,,*, +anx, + +
- b,
a, ,x, +aux, +... +a:„x„ =6,
a,,.*, +atllx, + ... +a„„xll = 6„
berilgan bo’lsin. Bu yerda an, b, lar berilgan sonlar, x
lar noma’lumlar
(i,j-\,2 ,- -,n). Agar (2.1) sistemaga mos keluvchi asosiy determenant A noldan
farqli, ya’ni
a\\ a n - ■ a u,
a,. .. a,,
a„i an, •• a,u
bo’lsa, sistema yagona yechimga ega bo’ladi.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning bir necha usullari
mavjud bo'lib, ular Kramer qoidasi, Gauss, teskari matritsa, iteratsiya hamda Jor­
dan usullaridir. Bu usullar algoritmlarini (2.1) sistema uchun ko’rib chiqaylik.
2.1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda
Kramer qoidasi usuli
Kramer qoidasi usuli odatda determenantlar usuli ham deb ataladi. Bu usulni
(2.1) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi uchun ko’rib chiqaylik. Bu usulga
ko’ra quyidagi (w+1) ta n - tartibli
a„xa„'
a ,, . .b.
er. a„ ..b.
bi QM au
II
A=
au 0.:
a'.\ a,.
> 4, =
b, air ■■Qm
-
14
-
a„ a,r ■A
determinantlarning qiymatlari hisoblanadi va noma’lumlar
_
_ 4x2
_ Axn
X'~ A ’ *2~ A
A
formulalar yordamida topiladi.
Odatda bu usuldan sistemadagi tenglamalar soni kam bo’lganda foydalaniladi, chunki tenglamalar soni yetarlicha ko’p bo’lganda yuqori tartibli determinantlarni hisoblash algoritmi murakkab ko’rinishga ega bo’ladi.
Misol. Quyidagi
2xt + x2 - Xj = 1
- x, -4 x ,+ 7 x , =14
5x, —2x, =4
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Kramer qoidasi usuli yordamida yeching.
Yechish.
2
1
-1
1 -4 7
0 5 -2
2-5-7 = 16 + 0 - 5 - 0 + 2 -7 0 = -57
A. = 14 -4 7 = \- ( - 4 ) - ( - 2 ) + \- 7 - 4 + ( ~ \ ) - \ 4 - 5 ~ ( - \ ) - { - 4 ) - 4 4
5 -2
M 4 - ( - 2 ; - l -7-5 = 8 + 2 8 -7 0 - 1 6 + 28-35 = -57;
2
1 -1
A. = 1 14
0
7
= 2 -1 4 -r-2 ; + l-7 -0 + f - l ; - 1 - 4 - r - U - 14-0-1-1 - ( - 2 ) -
4 -2
2 - 7 -4 = - 5 6 + 0 - 4 - 0 + 2 - 5 6 = - 1 !4;
2
1
1
A. = 1 -4 14 = 2 •(-4 y>-4+l-14-0 + l-l-5 —1- (-4 J- 0 -1 •1■4 0 5 4
2-14-5 = -32 + 0 + 5 - 0 - 4 - 1 4 0 = -171;
-
15
-
X = ^ L = z E = V x = ^ L = z lM = 2 - * - Ax> ~ 171
X' A -5 7 ’ Xl A -57
’ Xi A -57
Javob: x, =1, x, = 2, x, = 3.
2.2. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda
Gauss usuli
Gauss usuli - noma’lumlami ketma-ket yo’qotishga asoslangan usul bo’Iib,
uning algoritmi quyidagi hisoblashlar ketma-ketligidan iborat. (2.1) da an *0
bo’lsin (agar
an = 0 bo’lsa, sistemadagi tenglamalaming o’mini almashtirib
an ^0 ga ega bo’lish mumkin). (2.1) sistemadagi birinchi tenglamaning barcha
hadlarini an ga bo’Iib
xl + cl2x2 + ... + clllx„ = d i
(2.2)
ni hosil qilamiz. Bu yerda
cly = — , 7 = 2 , 3 , . < / , = — .
au
(2.2)
tenglama yordamida (2.1) sistemadan x, noma’lumni yo’qotaylik. Bun-
ing uchun (2.2) tenglamani a2V a.t, ..., a,„ larga ketma-ket ko’paytirib, (2.1)
tenglamalar sistemasining mos ravishda ikkinchi, uchinchi va h.k. n-tenglamasidan
hadlab ayirsak, x,, x,......xn no’malumlarga nisbatan
a22x2+. ■+<o„ = b2"
!!
a(J2'xz +. • + o „
(«-I) ta noma’lumli («-1) ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil
qilamiz. Bu yerda
- a nc u ,
b;'1= b , - a nd „
i,j =
2,...,n.
Endi (2.3) sistemadan x. noma’lumni yo’qotaylik. Buning uchun (2.3) sistemaning birinchi tenglamasini a22 * 0 ga (agar a\\‘ = 0 bo’lsa, (2.3) sistemadagi
tenglamalaming o’rnini almashtirib a22 * 0 ga ega bo’lish mumkin) bo’Iib
-
16
-
x, + c,,x, + ... + c2nxn - d1
(2.4)
ni hosil qilamiz. Bu yerda
ti"
^ = ^ 7,d2=í 7’ ; = 3'4' - ’"ai"
22
22
Ushbu jarayonni n - 1 marta takrorlasak
= 4,.,
(2-5)
tenglikka ega bo’Iamiz. Bu yerda
c
^
d
<01',’
'
(2.5) tenglama yordamida oldingi sistemadan xnl noma’lumni yo’qotsak, xn
ni topish uchun
x .= d .
(2.6)
b'“~"
ga ega bo’lamiz. Bu yerda dn = ■" .
rfui
Shunday qilib (2.1) sistemaning xti,
..., xv x, noma’lumlarini Gauss
usuli bo’yicha aniqlash uchun (2.2), (2.4), (2.5) va (2.6) larga asoslangan quyidagi
yechish algoritmiga ega bo’lamiz:
xtt - dn,
x2=d2 - c2.x,
x \ =d¡~ cl2x; -... - cUlx¡r
Ushbu formulani qisqacha quyidagi ko’rinishda yozish mumkin
xk= dt - YJcítxr k = n,n-\.....1.
j- k *
I
Misol. Berilgan ushbu
-Y, + 2 a \ - x , = - 1
• 2.V, - 3 a\ + 4 x , = 13
- 3x, + a', - 2 a\ = - 6
tenglamalar sitemasini Gauss usulida yeching.
-
17
-
Yechish.
A, + 2 A, --A, = -1
x, + 2x, - x , = —1
2 a-,
- 3x, + 4x, =13
<=>
7 a,
—6x, = - 1 5
A, + 2 a , - A, = - 1
<=>
7a , - 6
x, + 2x, - x , = -1
A, + 2x, - 6 = -1
7x2 - 6 a , = -1 5 <=>
7 a , -3 6
x, = 6
= -15
a,
= -1 5
<=>
- A, = - 6
7x, - 5 a , = - 9
- 3 a , + .v, - 2 a , = - 6
A, + 2
a,
O
- 6 = -l
7 a , = 21
<=>
x. = 6
A, + 6 —6 = - 1
A, = -1
x 2= 3
<A, = 3
A, =6
X. = 6
Javob: x, = -1, x, = 3, x, = 6.
Paskal algoritmik tilida n tanoma’ lumli n ta chiziqli algebraik tenglamalar
sisteraasini Gauss usulida yechish uchun tuzilgan dastur matni:
program gauss; uses crt;
const n=4;
{ sistemadagi tenglamalar son i}
type
stroka=array [1. .n+1] o f real;
m atrisa=array[l ..n] o f stroka;
vektor=array[l..n] o f real;
var
a.matrisa: x:vektor; max.c.real;
ij,k,m: integer;
procedure gauss_1 (b.matrisa; vary.vektor);
begin
fo r i:~ l to n do
begin
max: ~abs(b[i. i]);j; -i:
fo r k := i-I to n do if abs(bfk.i])> max then begin
max:- abs(b[k.i]);
j: k;
-
IB -
end;
ifj<>i then for k: =i to n -1 do
begin c; =b[i,k]; b[i,k]: -b[j,k];
b[j,k]:=c;
end;
c: =b[i, ij;
for k:-i to n+ 1 do b[i,k]:=b[i,k]/c;
for m:=i+l to n do
begin
c:=b[m,i];
for k:=i+I to n+l do
b[m,k]:=b[m.k]-b[i,k]*c;
end;
end;
y[n]:=b[n,n+l];
for i;~n-l downto 1 do
begin
y[i]:=b[i,n+l];
for k:=i+I to n doy[i]:=y[i]-b[i.k]*y[k]
end;
end;
begin clrscr;
for ir-1 to n do fo rj:= l to n~l do
begin
write('a['.i:I,
I,']='); read(a[i,j]);
{ Sistema koeffitsiyentlarini kirilishj
end:
gaitss_I (a,x):
writeIn(‘Sistema>iing yechimi-:');
for i: =l to n do i\ riteln('x['.i:l.]- ’.x[i]: 10:4);
-
19
-
{ Sistema yechimini chop etish }
end.
Misol: Quyidagi
2x¡-5 x2+ 8x, + x, =13
3x, hjc2 —IOjc, -6 x 4 =-11
9x2 -
2x, + xA= 8
X, +3jc2-12x3+ x4=20
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Gauss usuliga tuzilgan dasturdan foydalanib yeching.
Javob: x¡ =6,2167,
x, = 0,0825, x. = -0,6278,
= 6,0018.
2.3. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda
teskari matritsa usuli
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi (2.1) ni yechishda teskari matritsa
usuli algoritmi bilan tanishaylik. Buning uchun (2.1) sistemadagi noma’lumlar
oldidagi koeffítsiyentlardan tuzilgan n - o’lchovli
aí2 . ■
A=
au
- a2„
«2, a,,
a,l2 -
am
kvadrat matritsani qaraymiz.
Ta’rif. A matritsaga teskari matritsa deb shunday A~' matritsaga aytiladiki,
uning uchun
A '1-A = E
tenglik o’rinli bo’ladi. Bu yerda E birlik matritsa, ya’ni
E=
1 0 ... 0
0 1 ... 0 I
I-
0
0
...
- 20 -
1
Teorema. Agar A matritsa elementlaridan tuzilgan asosiy determenant qiymati noidan farqli, ya’ni del A * 0 bo’Isa, A matritsaga teskari matritsa mavjud.
Agar A matritsaga teskari matritsa mavjud bo’Isa, u quyidagi formula yordamida hisoblanadi
A„ ..
An . ■
An
A ll
■■
A ,
A,
A ,2
4,„
buyerda A —del A , A.. - a. elementlamingalgebraikto’ldiruvchilari,ya’ni
. ■ aij-i
a[:
-■
a2jt 1 • • a’„
a22 ..
a,-I.:
■• «,-u
aMJ
II
Misol.
5
0
-2
1
4
1
3
2
0
matritsaga teskari matritsani toping
Yechish.
5 1 3
A - del A = 0 4 2 = -4 + 2 4 -1 0 = 10
-2
1 0
A matritsaning algebraik to’ldiruvchilarni hisoblaymiz:
A,, = 8: A,, =
3;
A:; = 6;
,-L =
-7; A.,
= 1 0:
U holda A~' teskari matritsa
- 21 -
A,; =-10;
Au =-2:
A„ = 20.
A,. = - 4 ;
J3_
5
2
A'1=
10
J
'5
5
_7_
4
5
10
ko’rinishgaega bo’ladi.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yechish
uchun, (2.1) tenglamalar sistemasini matritsa, ya’ni
AX = B
(2.7)
ko’rinishda yozib olamiz. Bu yerda
A=
au an
ar
«2,
a„i
.. ■ au,
X,
.■
x2
«2,,
x =
xu
■■ a„„
A
B=
bi
b„
(2.7) tenglamaning har ikkala tomonini A~‘ ga ko’paytirib, A~'A = E va EX = X
tengliklardan foydalansak, (2.1) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining
yechimi uchun
X = A lB
ko’rinishdagi formulaga ega bo’lamiz.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yechishga
tuzilgan dastur matni:
program obratjnatritsa; uses crt;
const n=3:
{tenglamalar sonij
type vector=array[I., nj of real;
type matr~-array[l..n,I..n +1] of real:
var
a,c: matr: b.x: vector; ij.m.k: integer;
procedure umv(ll;matr; l2;vector; var !3;vector);
var i,k:integer;
begin
-
22
-
for i: - / to n do 13[i]: =0.0;
for i:~l to n do for k: =7 to n do
I3[ij: =l3[i]+U[i,k]*l2[k];
end:
procedure obrmalfao: matr; it: integer; var alo: matr);
label I;
var lo : matr; xo,bo: vector; so: real;
begin
m:~0; bo[l]:=l; for k:~2 to it do bo[k]: --0;
for k:~I to it-J do for i:~k+1 to it do
begin
lo[i,k]: =ao[i, k]/ao[k, k];
for j: =k+l to it do ao[i,j]:=ao[i,j]-lo[i,k]*ao[kj];
bofij: =bo[i]-lo[i, k] *bo[k]
end;
1: xo[it]:=bo[it]/aofit.it]; m:=m-'-J;
for к:=it-l dmvnto I do
begin so:=0:
for j: =k+l to it do so:=so±ao[k,j]*xo[ff ;
xo[k]: =(bo[k]-so)/ao[k,k]
end;
for k:~l to it do
if m -1 -k then bo[k]:=l else bo[k]:=0:
for k: =I to it-1 do for i:=k-^l to it do
bo[i]: -bofi]-lo[i,k] *bo(k];
fo r j: - l to it do alo[j,m]:-xo[j];
if m<it then goto 1
end:
begin clrscr:
for i:~l to n do for j:= l to n do
- 2’J -
begin
write('A[',i:l,','J:I,']=);
read(A[i,j])
end;
{sistema koeffitsiyentlarini kiritish}
fori:= l ton do
begin
write('B[',i:l, ]=');
read(B[i])
end;
{sistemagi ozod hadlami kiritish}
obrmat(A,n,c); umv(c,b,x);
for i:=1 ton do begin
writeln('x[', i;!, ’]-,x[i]:8:4);
end;
{sistema yechimlarini chop etish}
end.
-
24
-
2.4. C hiziqli aigebraik ten g lam alar sistem asini
yechishda iteratsiya usuli
Chiziqli aigebraik tenglamalar sistemasida noma’lumlar soni ko’p
bo’lganda, Kramer qoidasi, Gauss, teskari matritsa usullarining aniq yechimlar
beruvchi sxemasi juda murakkab bo’lib qoladi. U holda chiziqli aigebraik
tenglamalar sistemasini yechishda, taqribiy sonli yechish usullaridan foydalanishga
to’g’ri keladi. Bu usullardan biri iteratsiya usulidir. Iteratsiya usuli algoritmini
(2.1) ko’rinishdagi chiziqli aigebraik tenglamalar sistemasi uchun ko’rib chiqaylik.
Buning uchun (2.1) sistemani qisqacha
Y^ai)xi =bt, i =U2v..,w
(2.8)
ko’rinishda yozib olamiz. (2.8) sistemani matritsa ko’rinishida quyidagicha yozish
mumkin:
AX = B ,
bu yerda
an
a»
a*
A=
au
; B=
b%
; x = xz
K
x„
(2.8) da au 0 (7 = 1,2,....n) deb faraz qilamiz. (2.8) dagi birinchi tenglamani xt
ga nisbatan, ikkinchi
tenglamani x, ga nisbatan va nihoyat oxirgisini xu ga
nisbatan yechib, quyidagi
x t = + 0 + a rx, + a nx x +... + <V»
x, = /?, + or,,*, + 0 + a rx^ + .. + a lnx„
xn -
+ a ,,ixi + a,r.x: + a ,r,x
sistemaga ega bo’lamiz. (2.9) ni ushbu
-
25
-
(2-9)
0
••
0
«„1
. '•
a2„
..
0
, ß=
Ä
A
, x =
ß„
*i
x,
xn
belgilashlar yordamida quyidagicha yozishimiz mumkin
X = ß + aX
(2.10)
(2.10) sistemani ketma-ket yaqinlashishlar usuli bilan yechamiz:
X(0)=ß, X (l) = ß + a X m, X [1) = ß + aX
Umumiy holda ketma-ket yaqinlashish jarayonini quyidagicha yozish mumkin:
X {t) = ß + a X {t- ' \ X <0)=ß, ¿=1,2,3,...
(2.11)
Agar { x ,k>} ketma-ketlikning k -»oo dagi limiti mavjud bo’Isa, bu limit (2.8) sistemaning taqribiy yechimi bo’ladi. Ushbu
belgilashni kiritamiz.
Agar ixtiyoriy e>0 uchun
- jr)11]<s tengsizlik barcha i =1,2,...,« lar
uchun bajarilsa, X {IA] =(x¡t"0,x ^ n,...,xj‘",l>) vektor(2.8) sistemaning s aniqlikdagi
yechimi deb yuritiladi.
Teorema. Agar (2.9) sistema uchun ¿ |o d < l yoki ¿|ß,J < 1 shartlardan
;-l
/.I
hech bo’lmaganda bittasi bajarilsa, u holda (2.11) iteratsiya jarayoni boshlang’ich
yaqinlashishni tanlashga bog’liq bo’lmagan holda yagona yechimga yaqinlashadi.
Natija. (2.1) tenglamalár sistemasi uchun
£ l a„ l<l
\* \
7=2
I. £ !a 2i |<| a121 , ¿ I ani |<| am \
1=2
J« I
/=1
,i=l
tengsizliklar bajarilsa, u holda (2.11) iteratsion jarayon yaqinlashuvchi bo’ladi.
Misol. Ushbu
4xt + 0,24x, - 0,08*. = 8
<0,09*, +3.v. - 0,15x =9
0.04*, -0.08x, + 4a\ =20
-
26
-
chiziqli algebraik tenglamalar sislemasini e-0,001 aniqlikda iteratsiya usuii yordamida yeching.
Yechish: Berilgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi koeffitsiyentlari
uchun
0,24 + |-0,08¡ = 0,32 <jan| = 4
0,09+1- 0,15| = 0,24 < jdj, I= 3 ■
0,04 + |0,08| = 0,12<|a..| = 4
shart bajariladi. U holda, yuqorida keltirilgan teoremaga asosan iteratsiya jarayoni
yaqinlashuvchi. Berilgan sistemani
fx, = 2 - 0,06x, + 0,02x,
• X, = 3 - 0,03x, + 0,05x,
X, = 5 - 0,0 lx, + 0,02x,
ko’rinishda yozib olamiz. Nolinchi yaqinlashish sifatida
X'"' = ß =
yoki X, = 2, xi = 3, xi = 5
ni olamiz. a matritsa
0
- 0,06 0,02
a = - 0 ,0 3
0
0,05
-0,01 0,02
0
ko’rinishga ega bo’ladi.
(2.11 ) formula yordamida hisoblashlarni bajaramiz:
1,92
X"' = ß +a X w = 3,19 , X.*'1= 1,92; x!" = 3,19,' x!0) = 5.04.
5,04
9094
X™ = ß +a X l" = 3,1944 , x,(:) = 1,9094; x‘:| = 3,1944; xi:l = 5.0446.
5.0446
-
27
-
1,90923
X {}) = j3 + a X l2) = 3,19495 ,
5,04485
x,(5) = 1,90923; x f = 3,19495; x f1= 5,04485.
Hisoblashlar natijasida ushbu jadvalni hosil qilamiz:
Yaqinla-
Y(0
i
v(‘-0 xf' -xf-° X? -X ™
i
x,
x,
xt
0
2
3
5
-
-
-
1
1,92
3,19
5,04
0,08
0,19
0,04
2
1,9094
3,1944
5,0446
0,0106
0,0044
0,0046
3
1,90923
3,19495
5,04485
0,00017
0,00055
0,00025
shishlar( k )
Bu yerda
|x/3>—x,(2)|= 0,00017 <£, |x f - x f ’| = 0,00055 <£, ¡xf'-xf1^ 0,00025<s
shartlar bajariladi. Demak, X = X '3' chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining e
aniqlikdagi taqribiy yechimi bo’Iadi.
Paskal algoritmik tilida tenglamalar sistemasini iteratsiya usulida taqribiy
yechish uchun tuzilgan dastur matni:
program iter sis; uses crt;
label 1,2;
const n-3; { sistemadagi tenglamalar soni}
type
matrisa=array[l ..n,l ..n] of real;
vektor=airay[I..n] of real;
var
a.alimatrisa; x,x0,b,bl;vektor; eps,s;real;
ij,k;integer;
begin clrscr;
for i;=I to n do begin
for j; = 1 to n do begin
w r i t e ( 'a [ ' . i : l , ']='); read(a[i,j]) end;
-
28
-
{Sislema koeffilsiyentlarini kiritish}
write('b[',i: I, ']=); read(b[ij);
{Sistema ozod hadlarini kiritish}
end:
eps: =0.0001; { Yechim aniqligini berish}
for i: =1 ton do begin
bl[i]:=b[i]/a[i, ij;
for j:= l to n do al [i,j]:=-a[i,j]/a[i,i]
end;
for i:=l to n do begin
xO[i]:~bl[i]; al [i,i]:~0;
end;
2: for i:=l to n do
begin
s;=0.0;
fo rj;= l to n do s:=s~alfij]*xO[/J;
x[i];=bl[i]+s;
end;
k; -=0;
for i:=l ton do i f abs(x[i]-xO[i])<eps
then begin k: =k+l; if k=n then goto 1 end
else beginfo r j;=] to n do x0[j];=x[jj; goto 2 end;
1: writelnCSistemamng taqribiyyechimi;);
for i.-^l to n do write/n('xf',i:l, ]=\x[i];8;6j;
{Sistemaning taqribiy yechimlarini chop qilish }
end.
Misol: Quyidagi
4 a-, + 0 , 2 4 a , - 0,08.r. = 8
• 0 , 0 9 a ., + 3 a , - 0,1 5 a , = 9
0 ,0 4a , - 0,08a , + 4 a . = 2 0
-
29
-
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini iteratsiya usuliga tuzilgan dasturdan foydalanib, eps=0.0001 aniqlikda yeching.
Javob:
jci =1,909199;
*2=3,194963; *¡=5,044807.
2.5. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda
Jordan usuli
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi quyidagi ko’rinishda berilgan bo’lsin:
+ anx2. . + a, x„ a, *1 + a,2x 2. ■+ az Xu ~
a„x\ + ali2x2. •+ a, X„ ~
Yuqoridagi masala uchun dastlabki Jordan jadvalini tuzib olamiz:
a, =
alI
ar
„Cl i
II
«12
f
au
\
X\ !i *2
i
i
1!
amii
i
a>
„•>
Ushbu jadvalda Jordan almashtirishlari quyidagi tartibda bajarilib navbatdagi
jadval to’ldiriladi:
1) Jordan almashtirishlari hal qiluvchi elementga nisbatan yechiladi. Jadvalning yuqori o’ng burchagidagi element hal qiluvchi element sifatida tanlab olinadi. Hal qiluvchi element joylashgan satr va ustun mos ravishda hal qiluvchi satr
va hal qiluvchi ustun deyiladi;
2) hal qiluvchi satrdagi son va hal qiluvchi ustundagi o’zgaruvchi o'rni almashtiriladi;
3) hal qiluvchi element o’rniga unga teskari sonni yozamiz;
4) hal qiluvchi ustun elementlarini hal qiluvchi elementga bo’lib, natijani shu
elementlarga mos kataklarga yozamiz;
-
30
-
5) hal qiluvchi satr elementlarini hal qiluvchi elementga bo’lib, ishorasini
o'/gartiramiz va natijani shu elementlarga mos kataklarga yozamiz;
6) qolgan kataklarto’itburchak qoidasi bo’yicha to’ldiriladi.
Masalan, (2.2) katakni to’ldirish uchun quyidagi hisoblash bajariladi:
fli
-q 2, -g,2
an
7) hal qiluvchi elementlar diagonal bo’yicha tanlanadi va bu jarayon navbaldagi tanlanishi kerak bo’lgan elementdan boshlab quyi o’ng burchakdagi barcha elementlar nol bo’lguncha davom ettiriladi. Aks holda jarayon hal qiluvchi
element sifatida diagonalning oxirgi elementi tanlanguncha davom ettiriladi. Agar
diagonalda hal qiluvchi element sifatida olinishi kerak bo’lgan son, masalan
a№- 0
bo’lib, undan quyi va o’ng tomonda noldan farqli elementlar mavjud
bo’lsa, bu sonlardan bin satr va ustunlar o ’rnini almashtirish orqali ( p,p) katakka
olib kelinadi va u hal qiluvchi element sifatida tanlab olinadi. Agar hisoblash di­
agonal bo’ylab oxirgi (m,n) elcmentgacha olib borilsa, oxirgi jadval quyidagi
ko’rinishga keladi:
a, j a.
*1 =
K j bn
K
x, =
6,, ; br_
K
xm=
b,„ j bHl
b„„,
Yuqoridagi jadval asosida tenglamalar sistemasining yechimini quyidagi
ko’rinishda yozamiz:
-cT
11
x,
X, = 6.
xa =
b,
+ Apfl,. , + A, an
■\-b„a,. ■+ b a ;
.. + b, an
a, +
Agar hisoblash jarayonida jadvalning quyi o’ng to’rtburchak qismida barcha
elementlar nol bo’lsa, oxirgi jadval quyidagi ko’rinishga keladi:
-
31
-
1
i a,
a2
a*
*<м
*.=
bu
bn
К
b\tt\
X, =
bM
bn
К
b^M
btl
btl
К
=
bitи K n
a*+l =
xn
bl„
K,
bit ц
0
0
b„k
0
0
...
a„ =
Ь,л
b. 2
Ushbu jadvalda к + 1, к + 2,... n - satrlar uchun quyidagi
аы = ь^ла,+ь^ . Л - +ь^ Л
=é**2,ût, +Ьм л аг... + Ь„^ап
a„=b,ltal + bra2... + bi ail
tengliklar to’g’ri bo’lsa, tenglamalar sistemasi cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi:
X, = ¿>na, + bl2a2 +... + blta„ + bu^
+... + bt„xn
x2 = b2¡a¡ + bna2 +... + bn at + b1Mixttl +... + blnx„
Л = &*.ai + bt2a2...bttat + ьк^ х м +... + btnxu
Yuqoridan
ko’rinadiki,
x,, x ,,...,xk
o’zgaruvchilar
xti|,...,x„
o’zgaruvchilarning qiymatlariga bog’liq bo’ladi. xt+1,...,xn o’zgaruvchilar esa
ixtiyoriy qiymatlarni qabul qiladi. Bu holda tenglamalar sistemasi cheksiz ko’p
yechimga ega bo’ladi.
Agar
ам =Ьыла, +bt,l2a2... + bttll,a„
= V 2..0 , + b^22a2... + b^2jla„
a„= V , +b„,az- + b„„a,,
tengliklardan birortasi bajarilmay qolsa, tenglamalar sistemasi yechimga ega
bo’lmaydi.
32
-
Misol: Quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Jordan usulida
yeching:
2x, + x, + 2x, = 4
• x t - x, + 2x3 = 1
+ x, - 2x, = 3
Yechish: Yuqoridagi masala uchun dastlabki Jordan jadvalini tuzib olamiz:
i
4=
1=
3=
x,
*3
1
2
1
-1
2
3
1
-2
(2)
Jordan almashtirishlaridan keyin navbatdagi jadvallar quyidagi ko’rinishga
keladi:
1
4
X,
1/2
-1/2
1=
1/2
3=
3/2
-1
1
I
®
-1/2
Hal qiluvchi element sifatida a\, =
-5
ni olib, unga nisbatan Jordan
almashtirishlarini bajarib, navbatdagi jadvalni to’ldiramiz:
Hal qiluvchi element sifatida
ni olib, unga nisbatan Jordan
almashtirishlarini bajarib, navbatdagi jadvalni to’ldiramiz:
*l
X.
4
1
3
0
1/4
1/4
l/2
-5/8
-1/8
1/4
1/16
-3/16
Oxirgi jadvaldan tenglamalarning ildizlarini topamiz:
x, = 4-0 + l - l / 4 + 3 -l/4 = l / 4 + 3 /4 = 1
jc2= 4 -1 /2 —1-5/8 —3 -l/8 = 2 —5 /8 —3/8 = 1
jc.
= 4 -1 /4 + 1 -1/16-3-3/16 = 1- 8 /1 6 = 1/2
Topilgan ildizlami sistemaga qo’yib. yechimning to’g’riligini tekshirib ko’rish
mumkin.
Paskal algoritmik tilida tenglamalar sistemasini Jordan usulida yechish uchun
tuzilgan dastur matni:
program Jordan;
label 1.2,3,4,5;
var i,j, k, l,p,q, n, m: integer;
s,t: real;
a,c: array[1 ..20,1..20] of real;
x,r,b:array[1..20] of real;
begin
writeCOzgaruvchilar soni m=); readln(m);
\vrite('Tenglanialar soni n=); readln(n);
\vriteln('Ozod sonlarni kiriting:');
for i; = / to n do begin
wite('b['.i.’] = ’);
readln(b[i]);
-
34
-
end;
writeln('Tenglama koejfitsiyentlarini kiriling:);
for i: =I to n do
forj: = 1 to m do begin
write('a['J,','j,']=);
readln(a[i,j]);
end;
writeln('l -jadval');
for i: = / to n do begin
for j:= l to m do
write(a[ij]:8:2);
write(b[i]:8:2); writeln;
end;writeln;
if m<n then q:=m else q:- n;
for k: = 7 to q do begin
writeln(k 1:2, '-jadval');
for i;-k to n do
for j: =k to m do
if a[ij]<>0 then begin
for l;~ I to n do begin
t;=a[ljj;
ci[lj]: =a[l,kj;
a[l.k]:-t
end;
for I: - 1 to m do begin
t:-a[ij];
a[i.i];--a[k,l]:
afk,l]:
end;
t;=b[ij; b[i]: =b[kj; b[k]:=t:
—
3 .'?
—
goto 2
end;
2: for i:=I to n do
for j:=I to m do begin
if (i=k) and (j=k) then c[ij]:=l/a[k,k];
if (i=k) and (j<>k) then c [ijj:=-a[ij]/a[k,k];
if (i<>k) and Q=k) then c[i,j]:=a[i,j]/a[kk];
if (i<>k) and (J<:>k) then c[i,j]: =a[i,j]-a[i,k]*a[kj]/a[k,kj
end;
for i:=/ to n do begin
for j:= I to m do begin
\vrite(c[ij]:8:2);a[i.j]:=c[i,j];end;
write(b[i]:8:2); writeln;
end;writeln;
if k=q then goto 5;
for i:=k+l to n do
forj:=k+l to m do
ifafijJ-o-0 then goto 4;
for i:-k+ l to n do begin
r[i]:=0;
for j: = 1 to k do
r(i]:=r[i]+b[j]*a[ij];
ifb[i]<>r(i]then
begin
writ.eln(' Masala yechimga ega emas); goto 3
end;
end;
writelnf masala cheksiz ko 'pyechimga ega’); goto 3;
4; end;
5;M'riteln('Javob:');
for /;=/ to n do begin
-
36
-
x[i]:=0:
fo rj: = 1 tom do
x[i]:=x[i]+apj]*b[}];
writeln('x[', i,']=\x[i]: 7:3);
end;
3:end.
2.6. Transsendent tenglamalarni yechishda oraliqni teng ikkiga bo’lish
usuli
f(x) funksiya - [a,b\ oraliqda uzluksiz va bu oraliqning chetki nuqtalarida
turli xil ishoralar qabul qilsin. Shu bilan birgalikda funksiyaning birinchi tartibli
hosilasi [o,b\ oraliqda o’z ishorasini saqlasin. U holda
Ax) =0
(2.12)
tenglama \a,b\ oraliqda yagona yechimga ega bo’ladi.
Agar (2.12) tenglamani algebraik almashtirishlar') yordamida algebraik
tenglamaga keltirish mumkin bo’lmasa, bu tenglama transsendent tenglama deb
ataladi. Transsendent tenglamaga misol sifatida ko’rsatkichli, trigonometrik, logorifmik tenglamalarni keltirish mumkin.
(2.12)
transsendent tenglamaning [a, 6] oraliqda s aniqlikdagi taqribiy
yechimini topish talab etilsin. Bu yechimni aniqlashda bir necha taqribiy sonli
usullardan foydalanish mumkin. Shu usullardan biri oraliqni teng ikkiga bo’lish
usuli bo’lib u quyidagi amallar ketma-ketligidan iborat.
xn=(a + b j / 2 nuqta yordamida teng ikkita [a,x„]
\a.b\
va \x„.b]
oraliqni
oraliqlarga
ajratamiz (2.1-rasm).
') Algebraik almashtirish deganda quyidagi almashtirishlar tushmUadi:
1) berilgan tenglamaning ikkala tomoniga bir xil algebraik ifodalarni qo’shish;
2) berilgan tenglamaning ikkala tomonini bir xil algebraik ifodalarga ko ’p aytirish;
3) tenglamaning ikkala tomonini bir xil ratsional ko’rsatkichli darajaga oshirish.
-
37
-
2.1-rasm
Agar j<7-A-„|<£ bo’lsa, x = x„ (2.12) tenglamaning s aniqlikdagi taqribiy
yechimi deb qabul qilinadi. Bu shart bajarilmasa, [o,x„] va [x„,£>] oraliqlardan
(2.12) tenglama ildizi joylashganini tanlab olamiz va uni [a,,6,] deb belgilaymiz.
x, = (al + b J / 2 nuqta yordamida [¿j,, ] oraliqni teng ikkita [a,.x,] va [jc,,6,]
oraliqlarga ajratamiz. Agar |at - x j < £■ bo’lsa, x = x, (2.12) tenglamaning s
aniqlikdagi taqribiy yechimi deb qabul qilinadi, aks holda [a,,x,] va [x,,6,] or­
aliqlardan (2.12) tenglama ildizi joylashganini tanlab olamiz va uni [a, ,6, ] deb
belgilaymiz. Bu oraliq uchun yuqoridagi bajariigan amallar ketma-ketligi
(i = 2,3,4,■■■) shart bajarilguncha davom ettiriladi. Natijada (2.12)
tenglamaning e aniqlikdagi x = x, taqribiy yechimi hosil bo’ladi.
Misol. f ( x ) = x i - x ‘ - 2x2 + 3x - 3 = 0 tenglamaning [- 2;l] oraliqdagi
ildizini s = 0,01 aniqlikdahisoblang.
Yechish.
7-
qadamda
a, = -1,7305
va
¿? = -1,7363
bo’lib,
ja7 - 6 , 1= 0,01 < s shart bajariladi.
_ = £ L+ t I = _i ?334 a _i,73 yavob; ^=-l,73(±0,01)).
Transsendent tenglamalami oraliqni teng ikkiga bo’lish usuliga Paskal tilida
tuzilgan dastur matni:
program oraliq2: uses crt;
var a. b, eps.xfafc, c.real:
function f(x: real): real;
begin
f:-x*x-sin(x)-0.5
{f(x) funksiyaning ko 'rinishi }
:!8
end:
begin clrscr;
write('a=); read(a); { a rting qiymatini kiritish}
write ('b
read(b); { b rting qiymatini kiritish}
wrile('eps=); read(eps); { e ningqiymatini kiritish}
fa:=f(a);
while abs(b-a)>eps do
begin
c:-(a+b)/2; fc:=f(c);
iffa*fc< =0 then b ~ c else begin a: =c; fa: =fc end;
end;
wrHeln('x-- ',c:10:4); { tenglamaning taqribiy ildizini chop qilish}
end.
Misol: Yuqorida keltirilgan dasturdan foydalanib
x ~- sin x -0,5 =0
tenglamaning [0;2] oraliqdagi yechimini 0,001 aniqlikda hisoblang.
Javob: jr = 1,1963.
2.7. Transsendent tenglamalarni yechishda vatarlar usuli
(2.12)
tenglamaning [ ¿ 7 , oraliqdagi s aniqlikdagi taqribiy yechimini topish
talab etilsin. Aniqlik uchun f ( a ) > 0 ( f ( a ) < 0) bo’lsin. A = A ( a ; f( a )) ,
B = B(b; f (b)) nuqtalardan to’g’ri chiziq o’tkazamiz (2.2-rasm) va bu to’g’ri
chiziqni Ox o’qi bilan kesishish nuqtasini x, = a laymiz.
2.2-rasm
-
:w -
b-a
■f (a) deb belgif(b)-f(a)
Agar ]a -x ,|< £ bo’lsa, x = x, (2.12) tenglamaning
s
aniqlikdagi taqribiy
yechimi deb qabul qilinadi. Bu shart bajarilmasa, 6 = x, (a = x,) deb olamiz va
A.B nuqtalardan to’g’ri chiziq o’tkazamiz. To’g’ri chiziqning Ox o’qi bilan kesishish nuqtasini x, = a --------—-------f (a) deb belgilaymiz. Agar |x, -x , |<£
f(b)-f(a)
shart bajarilsa, x = x2 (2.12) tenglamaning s aniqlikdagi taqribiy yechimi deb
qabul qilinadi, aks holda b = x, (a = x2)
deb olib, yuqoridagi amallar ketma-
ketligini
|x, -x ,_,!<£■ (i = 3,4,...) jx,. - x | < £ shart bajarilguncha davom etti-
ramiz.
Natijada (2.12) tenglamaning e. aniqlikdagi x = x, taqribiy yechimini
hosil qilamiz.
Umumiy holda x„ larning ketma-ket hisoblash formulasi quyidagi
ko’rinishda bo’ladi:
rf(a)
-h
x = b -------— ---------- f ( b )
N
Misol. (g(0,55x+0,l)-.v! = 0 tenglamaning [0,6,0,8] oraliqdagi ildizini
s = 0.005 aniqlikda hisoblang.
Yechish. x, = 0,7517; x, = 0,7417 taqribiy yechimlar uchun
|x, - x, | = 0,002 < s
bajariladi. Demak, taqribiy yechim sifatida x, =0,7517 ni olish mumkin.
Transsendent tenglamalami yechish uchun vatarlar usuliga Paskal tilida
tuzilgan dastur matni:
program vatar: uses crl;
label /, 2;
var a,b,eps,x:real;
function fix: real):real;
begin
f: -=-x*x-exp(-3*x)-I
end;
{f(x) funksiyaning ko 'rinishi}
begin clrscr;
write('a=); read(a); { a ning qiymatini kiritish}
write('b='); readfb); { b ning qiymatini kiritish}
\vrite('eps=): read(eps); { e ning qiymatini kiritish}
2: x: =b;
x:=b-f(b)*(b-a)/(f(b)-M);
ifabs(x-b)<eps then goto I else begin b:=x; goto 2 end;
1: writein('x=',x:8:4); { tenglamaning taqribiy ildizini chop qilish}
end.
Misol: Yuqoridagi dasturdan foydalanib, x : -e"u - l = 0
tenglamaning
[0,1,5] oraliqdagi yechimini 0,001 aniqlikda toping.
Javob: x = 1,0230.
2.8. Transsendenttenglamalarni yechishda urinmalar usuli
Faraz qilaylik \a,b\ oraliqda / (x ) va /
(x) hosilalarning ishoralari
o’zgarmasdan qolsin. (2.12) tenglamani taqribiy yechish usullaridan yana biri urin­
malar usulidir. Bu usul algoritmi quyidagi amallar ketma-ketligidan iborat. f ( x )
funksiya graflgining B = B(b, f ( b ) ) nuqtasidan urinma o’tkazamiz (2.3- rasm).
Bu urinmaning Ox o’qi bilan kesishgan nuqtasini b, deb belgilaymiz. f ( x ) funk­
siya grafigining Bt = B / b v f ( b j ) nuqtasidan yana urinma o’tkazamiz va bu ur­
inmaning Ox o’qi bilan kesishgan nuqtasini b, deb belgilaymiz. Bu jarayonni bir
necha marta takrorlab, 6,,6,,...,&„ lami hosil qilamiz. |6„ - 6 jH| < s shart bajarilganda hisoblash to’xtatiladi va b„ tenglamaning s aniqlikdagi taqribiy yechimi deb
qabul qilamiz. IJmuman olganda urinmalar usuli bo’yicha taqribiy yechim
b, = b
= ^ 4 ,
/ = 1.2....
formula bo'yicha aniqianadi.
-
41
-
Misol. ¿g/0,55x + 0 ,l;-;r = 0 tenglamaning [0,6,0,8] oraliqdagi ildizini
e = 0,005 aniqlikda hisoblang.
Yechish. Tekshirib ko’rish mumkinki, br b, lar uchun talab etilgan aniqlik
bajariladi,
ya’ni
|6, - b \ = 0,002< s.
Demak taqribiy
yechim
sifatida
x = 6, = 0,7503 ni olish mumkin.
Transsendent tenglamalami yechish uchun urinmalar usuliga Paskal tilida
tuzilgan dastur matni:
program urinma; uses crt;
var xO, eps,xl, a:real;
function f(x: real): real;
begin
f: = x-exp(-x)+2;
{f(x) fanksiyasining ko 'rinishi}
end;
function fx(x:real) .real;
begin
fx: =■■1-exp(-x)
{f ’(x) funksiyasining ko ’rinishi}
end;
begin
clrscr;
write(x0=): read(x0);
write(’eps='j; read(eps):
{ xn ning qiymatini kiritish}
{ s ning qiymatini kiritish}
xl:=x0:
repeat
a:-f(xl)/fx(xl);
-
42
-
x l~ x l-a ;
until abs(a)<eps;
wrifeln('x-',xl:10:4); { tenglamaning taqribiy ildizini chop qilishj
end.
Misol: Yuqorida berilgan dasturdan foydalanib, x - e " +2 = 0 tenglaman­
ing [—1;0] oraliqdagi yechimini 0,001 aniqlikda hisoblang.
Javob: x = -0,4429.
2.9. Transsendent tenglamalarni yechishda oddiy iteratsiya usuli
(2.12)
tenglamaning [a,b\ oraliqda joylashgan s aniqlikdagi taqribiy
yechimi topish talab etilsin. Berilgan tenglamani
x = <p(x)
ko’rinishdagi teng kuchli tenglamaga almashtiramiz.
Dastlab, birinchi yaqinlashish uchun ixtiyoriy x, e [a,b\ ni tanlab olamiz va
xn =i'p(xaA), « = 1,2,...
formula yordamida x^x,,...^,, ketma-ketlikning qiymatlarini hosil qilamiz. Agar
].*„ —
| <e shart bajarilsa, x = x qiymat tenglamaning e aniqlikdagi taqribiy
ildizi deb qabul qilinadi.
Iteratsiya jarayonining yaqinlashishi. q>(x) - funksiya jo;b\ da aniqlangan va differensiallanuvchi bo’Isin. Agar |<p fx)\ < 1 shart bajarilsa,
= ip(xn l )
ketma-ketlik ixtiyoriy xtl e \a;b\ da yaqinlashuvchi va %= lim(p(xu) berilgan
tenglamaning yagona ildizi bo’ladi.
Transsendent tenglamalarni yechish uchun oddiy iteratsiya usuliga Paskal
tilida tuzilgan dastur matni:
program odjteras; uses crt;
label 1,2:
varfD. eps,x,x0;real:
function f(::real) .real;
-
43
-
begin
f: =exp(z)-2
{ <p(x)funksiyasining ko 'rinishi}
end;
begin clrscr;
write('xO=); read(xO);
write('eps=); read(eps);
{ x0 ning qiymatini kiritish}
{ s ning qiymatini kiritish}
x: =xO;
2:fO:=f(x);
if abs(x-fO)< =eps then goto I else begin x: =fO; goto 2 end;
I: writeln(’x~',x: 10:6); { tenglamaning taqribiy ildizini chop qilish}
end.
Miso!. Berilgan dasturdan foydalanib x - e ' + 2 = 0 tenglama ildizini 0,001
aniqlikda hisoblang (xu = 0).
Javob: a: = -1,840457.
Tayanch so’z va iboralar. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi, analitik
usul, sonli-analitik usul, oddiy iteratsiya usuli, teskara matritsa usuli, Gauss usuli,
Kramer usuli, Jordan usuli, transsendent tenglama, vatarlar usuli, urinmalar usuli.
Savollar
1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yagona yechimga ega bo’lish
sharti.
2. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda Kramer usuli va uning
algoritmi.
3. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda Gauss usuli va uning al­
goritmi.
4. Teskari matritsa va uning mavjudlik sharti.
5. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda teskari matritsa usuli va
uning algoritmi.
6. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda iteratsiya usuli va uning
algoritmi.
-
44
-
7. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda Jordan usuli va uning algoritmi.
8. Iteratsiyajarayonining yaqinlashish sharti.
9. Chiziqsiz va transsendent tenglamalar tushunchasi.
10.Chiziqsiz tenglama yechimining mavjudlik sharti.
11 .Oraliqni teng ikkiga bo’lish usuli va uning algoritmi.
12.Vatarlar usuli va uning algoritmi.
13.Urinmalar usuli va uning algoritmi.
14.0ddiy iteratsiya usuli va uning yaqinlashish sharti.
Misol va masalalar
1. Ushbu
flOjc, - 2x, + xj =24
• x, + 4x2 + Ix, = 8
2x, + x2—8a:, = -9
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Kramer qoidasi usulida yeching.
2. Ushbu
■x, + 2 a 2 + 3a-, + 4 a 4 = 5
2a:,
+ x, + 2x, + 3a:4 = 1
3at, + 2a-, + x , + 2x4 =1
4 xt + 3x, + 2x, + x 4 = - 5
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Kramer qoidasi usulida yeching.
3. Ushbu
8a-,
-
a:,
+ 5x, =11
■ x, + 4 a , - 2 a , = 6
2a, +
x, + 5x, =
-4
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Gauss usulida yeching.
4. Ushbu
x, +2x, +3a-, - 2a4=6
A‘( - x , - 2 x , - 3.v4 =,8
3a-, +2x, -x. +2.y4=4
2a‘|— 3 x, + 2 a , + .v4 — - 8
-
45
-
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Gauss usulida yeching.
5. Ushbu
2 - 3
5
0
matritsaga teskari matritsani aniqlang.
6. Ushbu
4x, - x, + 2x; = 7
2x, + 5x, - x, = 6
x, + 2x, + 7x. = 2
sistemani teskari matritsa usulida yeching.
7. Quyidagi tenglamalar sistemalarini Jordan usulida yeching:
x, + x, + 2x, = 4
1) x ,- x ,+ 2 x , =2
3x, + x, - 2x, = 2
3)
5)
- 2x, + 4x, + 2x, = 6
3x, - x, + 2x, = 1
2x, +x2+ 2x, = 1
2)
x, - x , +2x, =-1
3x, + 2x, —2x, = 2
3x, + 2x, + 2x, = 8
4) 4x, -3 x , + 2x; = 5
x, + 3x, + 2x, = 5
x, + 4x, - 2x. = 6
-2x, + 2x, -2 x , =0
2x,-x„ + 3x. =5
4x, + x, + 2x, = 7
6) x, - 2x, + 2x. = -2
x, + 2x, - 3x, = 0
x. + 2x, - 2x, =3
8. Oraliqni teng ikkiga bo’lish usulida x '+ 2 x - 5 = 0 tenglamaning [0;2] oraliqdagi yechimini s = 0,1 aniqlikda toping.
9. Agar xo =0,5 bo’lsa, urinmalar usulida x + 2 ' - 2 = 0 tenglama ildizini
s = 0,1 aniqlikda toping.
10. x + 2-e ' =0 tenglamaning [-1 ;0] oraliqdagi ildizini £- = 0,1 aniqlikda vatarlar usulida toping.
11. Agar x,, =0.5 bo’lsa, cosx-x-1=0 tenglama ildizini £ = 0,1 aniqlikda oddiy
iteratsiya usulida toping.
-
46
-
3-BOB.
TAQRIBIY INTEGRALLASH USULLARI
Ma’lumki, ba’zi bir obyektlarni matematik modellashtirishda jism sirti va
hajmini, jism og’irlik markazi va inersiya momentini, biror kuch la’sirida bajarilgan ish miqdorini aniqlashga to’g’ri keladi. Bu kattaliklarni aniqlash, masalaning
berilishiga bog’liq ravishda berilgan analitik funksiyani biror oraliqda aniq integrallashga keltiriladi. Shu bilan birga qaralayotgan masalaning xususiyatiga
bog’liq ravishda integrallanuvchi funksiya shunday ko’rinishni oladiki, natijadauni
aniq integrallash imkoni har doim ham mumkin bo’lavermaydi. Bu hollarda integrallarni taqribiy integrallash usullaridan foydalanishga to’g’ri keladi. Aniq integrallarni taqribiy hisoblashning bir necha usullari mavjud bo’lib, ulardan ayrimlarining algoritmlari bilan tanishib chiqaylik.
Masalaning quyilishi. [a;b\ oraliqda aniqlangan uzluksiz f ( x ) funksiya
bo’lib, quyidagi
l = \f(x)dx
(3.1)
a
integralni berilgan e aniqlikda hisoblash talab qilinsin.
Matematika kursidan ma’lumki, agar f ( x ) funksiya \a;b\ oraliqda berilgan
bo’lib, f ( x ) > 0 bo’lsa, u holda (5.1) aniq intégral x = a, x = b, y = f ( x )
chiziqlar va absissa o’qi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya yuzini
ifodalaydi. Quyida (3.1) integralni berilgan £ aniqlikda taqribiy hisoblash usulIarini keltiramiz.
3.1. To’g’ri to’rtburchak usuli
Berilgan [o;è] oraliqni h = - —- qadam bilan n +1 ta oraliqlarga ajratamiz.
Hosil bo’lgan oraliqlarda joylashgan egri chiziqli trapetsiya yuzalarini taqribiy
ravishda to’g’ri to’rtburchak yuziga almashtiramiz (3.1 va 3.2 rasmlar). 'Natijada
(3.1) integralni taqribiy hisoblash uchun quyidagi
S = hf,yi. Q =h'Zyi
-
i f
-
formulalami hosil qilamiz. Bu yerda
x( =jcM+ /i, y , = f ( x i), / = 1,2,...,n,
x„=a, xn - b , n - natural son.
3.2-rasm
To’g’ri to’rtburchak usulida yo’l qo’yilgan xatolik quyidagicha aniqlanadi:
\¡ - S\< M h ( b- a) ,
M = max\f (z)\, ze[a;¿>].
i ^
Misol. f------- integralni to’g’ri to’rtburchak usulida taqribiy hisoblang va
о1 + r
7Г
natijani uning aniq qiymati arctgX = —« 0,785 bilan taqqoslang.
4
Yechish. Aniqlik uchun /7 = 10, ¿k = 0,l va xk = A-0,1 (k = 0,1,2,...,10) deb
olib, integral ostidagi funksiya qiymatini 0,001 aniqlikda hisoblaymiz:
I+(0,2)
1+ Г0Д/
У,
1
- « 0 ,9 1 7 ,
1+Г0.3/
.уа»0,610,
yt ~ 0,862,
0,962,
y ¡ =0,800,
jy,. *0,735,
y 1 »0,671,
.у, *0,552, y10 =0,500.
U holda berilgan integral uchun
S = 0,1 •П + 0,990 + 0,962 + 0,917 + 0,862 + 0,800 + 0,735 +
+ 0,671 + 0,610 + 0,552>0,810
Q = 0,1 • (0,990 + 0,962+ 0,917 + 0,862 + 0,800 + 0,735 + 0,671 +
+ 0,610 + 0,552 + 0,500) * 0,755
taqribiy qiymatlarga ega bo’lamiz, ya’ni 0,755<0,785<0,810. Bu yerda integralni
taqribiy hisoblashda yo’l qo’yilgan absolut xato I - S < 0,028 dan oshmasligini
va nisbiy xato esa
0,028-100
; 3,6% ga tengligini ko’rishimiz mumkin.
0 ,7 8 2
-
48
-
Aniq integralni to’g’ri to’rtburchak usulida taqribiy hisoblash uchun Paskal
tilida tuzilgan dastur matni:
program t_burchak; uses crt;
var a,b,int:real; n:integer;
function f(x: real): real;
begin
f = ( x *x *x- x*x-5) *exp (-2*x)*sin(x+1)
{f(x) funksiyaning ko 'rinishi}
end;
procedure tburchak(al,bI:real;nl:integer; var intl:real);
var ¡.integer; hi,c.real;
begin
hl:=(bl-al)/nl;
c:=0; intl:-0; c:=al-hl/2;
for i:=l to nl do
begin
c:=c+hl; inti:=intl+f(c)
end;
inti :=intl*hl;
end;
begin clrscr;
read(a,b,n); { a, b, n laming qiymatlarini kiritish}
tburchak(a, b, n, int);
writeln(‘integral = int: 10:4);
{ Integralning taqribiy qiymatini chop etishj
end.
Misol. Berilgan dasturdan foydalanib J(V - x : +5)e~2' sin(x + \)dx inte-
I
gral taqribiy qiymatini hisoblang (n = 50 deb oling).
Javob: Integral taqribiy qiymati 0,2002.
-
49
-
3.2. Trapetsiya usuli
\a;b\ oraliq x = a + i-h no’qtalar yordamida (bu yerda / = 1,2,...,«;
x0 =a, xn = b , n - natural son) n +1 taoraliqgaajratamiz va har bir oraliqdaegri
chiziqli trapetsiya yuzini taqribiy ravishda to’g’ri chiziqli trapetsiya yuziga almashtiramiz (3.3-rasm). Natijada integral qiymatini hisoblash uchun quyidagi
taqribiy formulaga ega bo’lamiz
I = J f(x )d x « ^Oo + 2y> + ••■+ 2y„_i +)>„)= | ( y 0 + y„ + 2 ^ y ,j = 5
bu yerda /-(3 .1 ) integrating aniq qiymati, S - (3.1) integrating taqribiy qiymati,
y> =/(*,)■
3.3-rasm
Trapetsiya usulida xatolikni baholash:
\l - S\= R < ~ ( b - a ) M , M = max\f (z)\,
z&\a;b\.
Misol. n = 6 uchun I = jsinxdx integral qiymatini trapetsiya usulida
taqribiy hisoblang.
Yechish.
„ ?r( sinO+sinx
n
.2 n
. T>n . A n
. 5;r^
^ - ------------------- 1- sm— + sin---- +■sin-----hsin— + sin— =
6^
2
6
6
6
6
6)
Agar berilgan integrating aniq qiymati 2 ga tengligini hisobga olsak,
taqribiy hisoblashda yo’l quyiigan absolut xalo 0,0459 ga, nisbiy xato esa
0.0459-100 _ . 0/
,
.
------ -------* 2,5 % ga teng ekanligini ko ramiz.
Aniq integralni trapetsiya usulida taqribiy hisoblash uchun Paskal tilida
tuzilgan dastur matni:
program trapetsiya; uses crl;
var nl . integer; a,b,il:real;
function f(x:real):real;
begin
f =x*exp(-x*ln(2)) *cos(x*x+1)
{f(x) funksiyaning ko 'rinishi}
end;
procedure trapJ(al,bI:real;N:integer; var int:real);
var ¡. integer; h,s;real;
begin h;=(bl-al)/n; s:=(f(aI)+f(bl))/2;
for i;=I to n-J do s:=s+f(al +i*h);
int:=s*h;
end;
begin clrscr;
write('a=); read(a);
{ a ningqiymatini kiritish}
write('b=); read(b);
{ b ning qiymatini kiritish}
write('N=); read(nl); { n ning qiymatini kiritish}
trapl(a,b,nl.il);
writeln('integral=',i 1:10:4);
{Integral taqribiy qiymatini chop etish}
end.
Misol. Berilgan dasturdan foydalanib
taqribiy hisoblang
= 70 deb oling).
-
5) -
jx-2~*cos(x' +\)dx integralni
Javob: Integralni taqribiy qiymati -0,3075.
3.3. Simpson usuli
[a; b\ oraliqda aniqlangan uzluksiz f ( x ) funksiya bo’lib quyidagi
I = \ f ( x )dx
integralni berilgan e aniqlikda taqribiy qiymatini hisoblash talab qilinsin. Buning
uchun \a;b\ oraliqni h = - —- qadam bilan 2n oraliqlarga ajratamiz (3.4- rasm).
2n
x0 =a , xu = b, y( = f ( x , ) , / = 1,2....2n . n - natural son.
3.4-rasm
Uzunligi 2h ga teng bo’lgan
[*„,*,], [*,,*,], ..., [x2„_2,jc2„] oraliqlar
uchun
] y ( x ) d x « ~ { y 0+4yt + y 1)
.vy-
-J
Simpson formulasini qo’llaymiz. Natijada berilgan integralni taqribiy hisoblash
uchun
h
h
h
h
j y(x)dx a S = —(y\, + 4y , + y 2) + - ( y , +4y y + y 4)+... +-
+ 4yM + y 2i:)
yoki
h
^
\y(x)dx<*S = - [(v„ + y 2n) + 4{yi + y, + . . . + j\„ _ , ) + 2(y2+ y >+... + y 2„_2)]
(i
-
52
-
formulaga ega bo’lamiz. Bu formula integralni taqribiy hisoblasK uchun umumlashgan Simpson formulasi deb ataladi. Oxirgi formulani
ko’rinishda yozish ham mumkin. Simpson usulida yo’l qo’yilgan xatolik
R < ——
■M , M = max\f” (z)\, z e \a,b\ tengsizlik yordamida baholanadi.
Misol. Daryo kengligi 20 metrga teng. Daryo chuqurligi( v) ko’ndalang kesim bo’yicha har 2 metr oraliqlarda o’lchab chiqildi. O’lchash natijalari quyidagi
jadvalda keltirilgan.
a-
(metr)
_y(metr)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0,2
0,5
0,9
1,1
1,3
1,7
2 ,1
1,5
1,1
0,6
0,2
Daryo ko’ndalang kesimi yuzasini trapetsiya va Simpson formulalari yor­
damida taqribiy hisoblang.
Yechish. Trapetsiya usuli bo’yicha:
5 =
0^2 + 0 2 + Q 5 + Q 9 + 1 j + 1 3 + 1 7 + 2;i + i i5 +
+ o ,6 j = 2 2 m 2
Simpson usuli bo’yicha:
S = -(0 ,2 + 4 - 0,5+ 2-0,9+ 4-1,1+ 2-1,3+ 4-1,7+ 2-2,1+ 4-1,5 +
3V
+ 2 -1,1 + 4 - 0 , 6 + 0 , 2 ) = 21, 9m 1
A.niq integrallarni Cimpson usulida taqribiy hisoblash uchun Paskal tilida
tuzilgan dastur matni:
program simpson; uses crt;
var a, b,inti:real; n.inleger;
function f(x:real):real;
begin
f:-(x+3) *exp(x) ^sinfx’^ x )
{f(x) funksiyaning ko 'rinishi}
end;
—
53
—
procedure simps(a,b:real;n:integer;var inf.real);
var h,s,sl,s2:real; i.integer;
begin h:=(b-a)/(2*n);
sl:=0; s2:=0; s:=f(a)+f(b);
for i:=l to n do sl:=sl+f(a+(2*i-l)*h);
for i:=l to n-1 do s2:=-s2+f(a+2*i*h);
ini: =h*(s+4*sl+2*s2)/3;
end;
begin
clrscr;
write('a~); read(a); { a ning qiymatini kiritish}
write ('b=); read(b); { b ning qiymatini kiritish}
writeCn-); read(n); { n ning qiymatini kiritish}
simps(a,b,n,intl);
writeln('integral= ' inti;10:4);
{ Integral taqribiy qiymatini chop etish}
end.
!
Misol. Berilgan dasturdan foydalanib,
0
x + 3)e* sin x Jdx integralni taqribiy
hisoblang (n=40 deb oling).
Javob: Integralni taqribiy qiymati 1,9975.
Agar yuqorida keltirilgan taqribiy hisoblash usullarining aniqligi haqida
gapiradigan bo’lsak, bu yerda eng yuqori aniqlikga ega bo’lgan usul - Simpson
usulidir. Undan keyingi aniqroq usul esa - trapetsiya usuli. Bu usullar orasida
to’g ’ri to’rtburchak usuli taqribiy integrallashda eng katta xatolikga ega bo’lgan
usul hisoblanadi.
Tayanch so’z va iboralar. Egri chiziqli trapetsiya, to’g’ri to’rtburchak
usuli, trapetsiya usuli, Simpson usuli, absolut xato, nisbiy xato.
-
54
-
Savollar
1. Aniq integrating geometrik ma’nosini ayting.
2. Taqribiy integrallash deganda nimani tushunasiz?
3. Taqribiy integrallashda to’g’ri to’rtburchak usuli va uning algoritmi.
4. Taqribiy integrallashda trapetsiya usuli va uning algoritmi.
5. Taqribiy integrallashda Simpson usuli va uning algoritmi.
6. Taqribiy integrallashda xatolik qanday aniqlanadi?
Misol va tnasalalar
I
1. n=-5 uchun $(2x: - 4x+ 2)dx integral qiymatini to’g’ri to’rtburchak usu-
0
lida hisoblang.
I
2. « = 10 uchun $(5x2- 6 x + \)dx integral qiymatini to’g’ri to’rtburchak usu­
lida hisoblang.
3. /7 = 10 uchun
](x'~ - x + \)dx integral qiymatini trapetsiya usulida
0
hisoblang.
4. /7 = 5 uchun
j(2x'+x + l)dx integral qiymatini trapetsiya usulida
I
hisoblang.
5. n = 5 uchun
j(5x2~6x + i)dx integral qiymatini Simpson usulida
hisoblang.
6. /7 = 10 uchun
J(3x" ~2x-6)dx integral qiymatini Simpson usulida
hisoblang.
—55 —
4-BOB.
INTERPOLATSION FORMULALAR
Ko’pgina amaliy masalalami matematik modellashtirish jarayonida jadval
ko’rinishda berilgan funksiyalardan foydalanishga to’g’ri keladi. Funksiyalarning
jadval ko’rinishda berilishi undan foydalanish imkoniyatlarini chegaralab qo’yadi.
Shu sababli diskret ko’rinishda berilgan funksiyani analitik ko’rinishga keltirish
muhira ahamiyatga ega. Buning uchun interpolatsion formulalardan foydalaniladi.
4.1. Chekli ayirmalar
Faraz qilaylik
y =f(x )
funksiya berilgan bo’lib, Asx- h = const argument orttirmasi(qadam) bo’lsin. U
holda
Ay = A f (x) = f ( x + Ax) - f ( x )
ayirmaga, y = f ( x ) funksiyaning birinchi tartibli chekli ayirmasi deb ataladi.
Xuddi shunga o’xshash ikkinchi tartibli chekli ayirma,
A2y = A(Af(x)) = f ( x + 2Ax) - f ( x + A x ) - f ( x + Ax) + f ( x ) =
= f ( x + 2Ax) - 2 f ( x + Ax) + f ( x )
yoki
£ y = f ( x + 2Ax) - 2 f ( x + Ax) + f ( x )
formula yordamida aniqlanadi.
Yuqori tartibli chekli ayirmalarni hisoblash uchun
A 'y = A(A"-’y );
n = 2,3,...
formula o’rinli bo’ladi.
Har xil tartibli chekli ayirmalarni gorizontal (1-jadval) va diagonal (2-jadval)
jadval ko’rinishda tasvirlash mumkin.
1-j adval
У
Ay
Уо
X,
x2
X
Ay
ây
4v„
¿Уо
¿ y *
Уi
ЛУ>
¿ y ,
А У ,
У:
4У:
¿
2У:
Л'Уг
2-jadval
X
y
*0
Уо
&y
à1y
A3V
-Ф»
¿Уо
У,
X,
4 у,
Уг
X,
4У:
¿y.
Л-У,
y,
х,
Masalan x„ va h = 1 bo’lganda _y = 2x - 2 x : + 3 x - l
îmksiya uchun
chekli ayirmalar jadvali quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
У
4v
Ây
À’y
-1
3
8
12
2
il
20
12
13
31
32
12
44
63
44
12
1
107
107
56
12
1
214
163
68
12
X
0
1
1
!
2
3
4
5
...
I
;
...
Misol. Ax = \ uchun f ( x ) = x ’ funksiyaning chekli ayirmalarini hisoblang.
Yechish.
Af(x) = f ( x + A x ) - f ( x ) = (x + \ f - X s = 3хг +3x + \,
A2f ( x ) = A ( A f ( x ) ) = A f ( x + A x ) - A f ( x ) =
= 3(х + \У + 3(x + \) + \ - ( 3 x 2 +3x + i; = 6x + 3,
Л f ( x) = A ( Â f ( x ) ) = A 'f( x + A x ) - A ' f (x ) = 6(x + \) + 6 - ( 6 x + 6) = 6,
Ä f ( x ) = A ( Ä f ( x ) ) = Ä f ( x + Ax)~ Л f ( x ) = 6 - 6 = 0,
Ixtiyoriy n> 3 lar uchun A' f ( x ) = 0 bo’ladi.
Agar
P Jx ) = af,x" + a,*"“' +... + an,x + an
n - tartibli ko’phad bo’lsa Л'P J x ) = n!a(,h" = const , k> n lar uchun esa
Ä P J x ) = 0 boiadi. Bu yerda h = Ax.
Ko’pgina hollarda y = f ( x ) funksiyaning bir xil uzoqlikda joylashgan
x¡ (i = 0,1,2,... ) nuqtalardagi y : = / (xf ) qiymatlari berilgan bo’ladi.
Jadval ko’rinishda berilgan y ,= f ( x t ) lar uchun chekli ayirmalar
4v, =У,н - y , ,
A2y, = A(Ay. ) = Ауы - Ay. = y lf2 - 2уы + у, ,
Ay, = A(A2у J = A y „, - A y¡ = y.f. - 3yHÎ + 3y ^ - y, ,
А’У> = У„,< - C>,14_, -I“ O
iW_, -... + ( ~ l ) “y,
formulalar yordamida hisoblanadi. Bu yerda
_ n(n-\)-...-[n-(m -\)]
m!
4.2. Umumlashgan daraja
л' sonining n -umumlashgan darajasi deb,
x(X - h)(x - 2h) ■... •[ x - (n - \)h] ko’paytmaga aytiladi va u x'"' deb belgilanadi:
-
58
-
x 1"1 - x(x - h)(x -2h)-...-[x —( n - \ )h] ,
bu yerda /7- 0 ’zgarmas son.
Odatda x ’"' = 1 deb olinadi. h = 0 da umumlashgan daraja oddiy daraja bilan ustma-ust tushadi: x1"1= x".
Umumlashgan daraja uchun chekli ayirmalar quyidagicha hisoblanadi:
1- tartibli chekli ayirma:
Ax“'1 = (x + h)l">- x 1"1 =
= (x + h)x- ...■ [x ~ ( n - 2 ) h ] - x(x - h) -...■ [x - (n - \ ) h ] =
= x ( x- h) - .. .- [ x - ( n - 2 )h] ■{(x + h ) - [ x - ( n - \ ) h ] } =
= x ( x - h )■...• [ x - ( n - 2 ) h ] ■nh = nhx1"'1,
yoki
Ax1"1 = nhx""'1.
2- tartibli chekli ayirma:
A^x1"1 = A( Ax1"1) = A( nhx1’"'1) = n h (n -Ijh x 1"'11 =nh2( n - l ) x l”~21,
yoki
A2x 1"1 = nh2( n - \ )x'"'J/
ko’rinishda yoziladi.
Matematik induksiya metodi yordamida isbotlash mumkinki, k - tartibli
chekli ayirma uchun
r fx " '1 = n ( n - \ ) - . . . - [ n - ( k - 1 ) ] h ix"'-tl
formula o’rinli bo’ladi. Bu yerda k=\, 2, 3,..., n. Shu bilan birga k > n bo’lsa,
Akx"" = 0 bo’ladi.
4.3. Interpolatsiya masalasi. Nyutonning interpolatsion
formulalari
/"a.b] oraliqda n + 1 ta
jc„... ,x n nuqtalar berilgan bo’lib, ularda f ( x )
funksiyaning f ( x j = y u, f ( x j = y ........ , f ( x j = y„ qiymatlari berilgan
bo’lsin. Shunday F(x)
funksiya tuzish talab qilinadiki, bu funksiyaning
xir x,, ... , x u nuqtalardagi qiymatlari mos ravishda f ( x ) funksiya qiymatlariga
-
59
-
teng bo’lsin, ya’ni F ( x 0) = y {],
F(xt) = y v ... , F(x„) = y n. Bu yerda
x0, xv ..., xn nuqtalar interpolatsiya nuqtalari deb, F(x) funksiya esa interpolatsion funksiya deb ataladi.
Yuqoridagi berilgan masala, jadval ko’rinishda berilgan f i x ) funksiyani
F(x) funksiyaga interpolatsiyalash masalasi deb ataladi.
Umuman olganda interpolatsiyalash masalasi cheksiz ko’p yechimga ega
bo’lishi yoki bitta ham yechimga ega bo’Itnasligi mumkin.
Agar interpolatsiyalash masalasida F(x) funksiya o’miga, darajasi n dan
oshmaydigan P J x ) ko’phad olinsa, u holda masala bir qiymatli yechimga ega
bo’ladi.
Hosil qilingan y = F (x ) interpolatsion funksiya x ning interpolatsiya nuqtalaridan boshqa qiymatlarida f ( x ) funksiya qiymatini taqribiy hisoblash imkonini
beradi.
Interpolatsiyalash
masalasi
matematik
modellashtirish
masalalarini
yechishda keng foydalaniladi. Masalan o’rganilayotgan obyekt eksperiment (tajriba) usulida modellashtirilgan bo’lsa, obyekt xossa va xususiyatlarining o’Ichash
natijalari jadval ko’rinishida berilgan bo’ladi. Agar obyektning o’Ichash (tajriba
o’tkazish) oraliqlaridagi qiymatlari kerak bo’lsa, ular tajriba natijalar orqali tuzilgan interpolatsion funksiyalar yordamida topiladi.
Teng uzoqlikda joylashgan x, =x,+ih (i —0,1 ,...,n) nuqtalaida y = f ( x )
funksiyaning y. = f ( x , ) qiymatlari berilgan bo’lsin. Bu yerda h - interpolatsiya
qadami.
Darajasi n dan katta bo’Imagan vax, nuqtalarda
P„(x,) = y,
0 = 0,1,2..../?)
(4.1)
shartlami qanoatlantiradigan P„(x) ko’phad tuzish talab qilinsin.
Ma’lumki, (4.1) formula m = 0, 1 , 2 , lar uchun A"Ptl( x J = A"yu tenglik bilan teng kuchli.
P J x ) ko’phadni
-
60
-
P„(x) =
a0 + a[( x ~ x j
+
a!( x - x 0) ( x - x j
+
a , ( x - x ll) ( x - x , ) ( x - x 2) + ...+
+ a J x - x J ( x - x J - . . . - ( x - x„_J
ko’rinishda, yoki
P„(x) = au + al( x - x J 1'1 +a!( x ~ x j i:i + a , ( x - x j 1'1 +... + a j x - x j “" (4.2)
umumlashgan daraja ko’rinishda qidiramiz. Bu yerda a, (i = 0, 1,..., n ) lar hozirchanoma’lum koeffitsiyentlar.
(4.2) da x = x0 deb Pn(xQ) - y 0 = a0 ni hosil qilamiz. a, koeffitsiyentni
topish uchun birinchi tartibli
A P Jx) = axh + 2a, ( x - x 0) r>l h + 3a,(x - x0) ni h +... + n a j x - x 0)'"~u h
chekli ayirmani tuzib olamiz va u yerda x = x0 deb APn(x0) = Ay: - a,h yoki
bundan a, = — - gaega bo’lamiz.
V.-h
Xuddi yuqoridagi kabi amallami bajarib, a¡ lar uchun
a, = ^ il-W
( i = 0, 1,2......n)
formulaga ega bo’lamiz.
Topilgan at, (i = 0,
2 , , n) laming qiymatlarini (4.2) ga olib borib
qo’yib
P J x ) = y a + ~ ( x - x nf > + ^ L ( X- XJ ^ +' „ + * £ l ( x - x J ‘I
\!-h
2 !-h'
n!-h
(4.3)
Nyutonning birinchi interpolatsion formulasini hosil qilamiz.
X —X
(4.3) da q = —
h
(x nuqtadan x nuqtagacha bo’lgan h qadamlar soni)
yangi o’zgaruvchi kiritib va
( x - x j 1’1 = ( x - x j ( x - x „ - h ) ( x - x v - 2 h)
h‘
h
h
h
=q ( q ~ \ ) ( q - 2 ) - . . . - ( q - i - \ )
[x - x „ - ( i - \ ) h ]
h
(7=1, 2, 3, ... , n),
ekanligini hisobga olsak, Nyutonning birinchi interpolatsion formulasini
P M - y. *
+
2!
n!
-
61
-
s s,
ko’rinishda ifodalash mumkin.
Nyutonning ikkinchi interpolatsion formulasi
P„(x) = y tl+ qAy„_, + — ----- A v„_, +... + ^ ---------- —-------- - A' y\,
ko’rinishga ega bo’lib, bu yerda q =----- - (xn nuqtadan x nuqtagacha bo’lgan h
h
qadamlar soni).
Nyuton interpolatsion formulalarining qaysi biridan qachon va qanday holda
foydalanish maqsadga muvofiq?
Agar x < x 0 (q <0) va x ning qiymati x0 gayaqin bo’lsa, Nyutonning 1interpolatsion formulasidan, agar x > x u {q > 0) va x ning qiymati xn ga yaqin
bo’lsa, Nyutonning 2-interpolatsion formulasidan foydalanish yaxshi natijalarga
olib keladi.
Misol. Quyidagi jadval
X
0
1
2
0
*■»
4
5
y
5,2
8,0
10,4
12,4
14,0
15,2
ko’rinishida berilgan funksiya uchun Nyutonning 1-interpolatsion formulasini tuzing.
Yechish. Jadvaldan ko’rinib turibdiki, x„ = 0 va h = 1. Dastlab berilgan
funksiya uchun gorizontal chekli ayirmalar jadvalini tuzib olamiz.
X
0
1
2
-v
4
5
5^
8,0
10,4
12,4
14,0
15,2
Ay
Ay
2,8
2,4
2,0
1,6
1,2
-0,4
-0,4
-0,4
-0,4
Bu jadvaldan ko’rinib turibdiki, ikkinchi tartibli ayirmalar o’zgarmas, u holda
A'y = 0 bo’ladi. Shu sababli (3) formuladan
-
62
-
y j x ) = 5,2 + 2,8x
x-\)
yoki
y , ( x ) - 5,2 + 3x - 0,2x2
ga egabo’Iamiz.
Nyuton interpolatsion formulalari interpolatsiyalash qadami o’zgarmas
bo’Iganda o’rinli bo’ladi. Lekin ko’pgina hollarda funksiya qiymatlari teng uzoqlikda joylashmagan x, Iar (interpolatsiya qadami o’zgaruvchi) uchun jadval
ko’rinishda beriladi. Bunday hollarda Lagranjning interpolatsion formulasidan
foydalaniladi.
4.4. Lagranjning interpolatsion formulas!
[a;b\ oraliqda o’zgaruvchi .v ning «+1 ta x„, x,, x,....... x„ qiymatlari va
ularga mos y = f ( x ) funksiya qiymatlari f ( x j - y \ ,f(x:) = y , , ... , f ( x j = y u
berilgan bo’lsin.
Darajasi n dan kattabo’lmagan va x, nuqtalarda
K(xi)-y,
( i=
(4.4)
shartlami qanoatlantiradigan LJx) ko’phadni tuzish talab qilinsin.
Dastlab, shunday p/x) ko’phad tuzib olaylikki, u
shartni qanoatlantirsin. Bu yerda <5. - Kronekker belgisi.
Qidirilayotgan ko’phad n ta x„, x,, .... x.,, xM , ..., x;i nuqtalarda nolga
aylanadi, shu sababli uni
p, (x) = C, (x - x„ )( x - x , . ( x -x,_, ) ( x - xM)...( x - x ,)
ko’rinishda tasvirlash mumkin.
Agar (4.5) da x = x. deb va
P,(x,) = C , ( x , - x „ ) ( x , - x , ) . . . ( x , - x „ ) ( x , - xM)■..(x, - x„) = 1
-
63
-
(4.5)
ekanligini hisobga olsak,
C, = ------------------------------ !----------------- ------------ (x, - x0) ( X, - x j . . . ( x , - ж,., ) ( X, - xM) . . . ( x , - x j
(4.6)
ga ega bo’lamiz. (4.6) ni (4.5) ga qo’yib,
(x) =
( x - x j ( x - x , )...(х-хы ) ( х - х ^ ) . . . ( x - x j
^ 7)
(X, - x J ( x l -x¡)...(x¡ - x , J ( x l - x M)...(xl - x j
ni hosil qilamiz.
Endi (4.4) shartni qanoatlantiruvchi LJx) ko’phadni
W
= I Pl(x)y,
»=0
(4.8)
ko’rinishdatasvirlash murnkin.
(4.8) darajasi n dan katta bo’lmagan ko’phad bo’Iib, (4.4) shartni qanoatlantiradi:
L„(xi ) = Ÿ P , ( xj)y, ~ Pj ( Xj ) y , =y¡
1-0
(7 = 0, 1, 2, ... , n)
(4.7) ni (4.8) ga olib borib qo’yib,
,
V-..
b,AxJ ¿_,yI
,=0
( x - x 0) ( x - x , ) . . . ( x - x l_ J ( x - x M) . .. (x- x„ )
( x , - x J ( x l - x J . . . ( x i -x,_,)(xl - x M)...(xi - x J
v4-”.)
Lagranjning interpolatsion ko’phadini hosil qilamiz.
Misol. Berilgan xn = 0, xt = ~ , x2= ^ nuqtalarga mos ravishda y 0 =1,
y ¡ =^> Уi = 0 qiymatlarni qabul qiladigan funksiya uchun Lagranj ko’phadini
tuzing.
Yechish. (4.9) formulaga asosan
yoki
L J x ) = - 3 x 2 - 0,5x + l
gaegabo’lamiz.
Lagranj interpolatsion formulasi uchun Paskal tilida tuzilgan dastur matni:
program kuphadjag;
const n~2;
type vek=array[0..nj o f real;
var i,j: integer;
x,y:vek; xl,yl:real;
procedure lagran(x:real; k;integer; px,py;vek; var lag.real);
var s i .real;
begin
lag;=0;
for i:=0 tokdo
begin si:-1.0;
for j: =0 to i-1 do si; ~sl *(x-px[j])/(px[i]-px[j]);
for j: =i+l to k do si: =sl *(x-px[j])/(px[i]-px[j]);
lag~-lag+sl*py[i]
end;
end;
begin
write('x-); read(xl)
fo r i:--0 to n do begin write('x[',i:l, ']='); read(x[i]) end;
for i: =0 to n do begin write('y[',i:I, ']='): read(y[i]) end;
lagran(xl,n,x,y,yl);
writeln('y=',yl :8:5);
end.
Tayanch so’z va iboralar. Chekli ayirma, umumlashgan daraja, interpolatsiya, Nyuton interpolatsion formulasi, Lagranj interpolatsion formulasi.
—
65
—
Savollar:
1. Chekli ayirma nima va u qanday hisoblanadi?
2. Yuqori tartibli chekli ayirmalar qanday hisoblanadi?
3. Chekli ayirmalarda xatolik qanday aniqlanadi?
4. Umumlashgan daraja nima va u qanday hisoblanadi?
5. Yuqori tartibli umumlashgan daraja qanday hisoblanadi?
6. Interpolatsiyalash masalasi va uning asosiy maqsadi.
7. Nyutonning birinchi va ikkinchi interpolatsion formulalari.
8. Lagranj interpolatsion formulasi.
9. Matematik modellashtirishda interpolatsion formulalardan foydalanish.
Misol va masalalar
1. Ax = 1 bo’lsa f ( x ) = x ’ —2x2 + x + 5 funksiya uchun 3-tartibli chekli
ayirmani hisoblang.
2. Quyidagi
1,5
2,0
2,5
3,0
0,3691
0,6309
0,8340
1,0000
• jadval ko’rinishda berilgan funksiya uchun Lagranjning interpolatsion formulasini tuzing.
3. Agar f ( x ) funksiya quyidagi
7,6
8,6
7,1
8,1
5
1
2,9260
3,1043
1
2,8278
3,0179
jadval ko’rinishda berilgan bo’lsa, Nyutonning 1-interpolatsion formulasini
tuzing va u yordamida f (7,65) ni hisoblang.
4. Agar funksiya quyidagi
24
24,1
!
24,2
:
24,3
3,1905
3,1781 i 3,1822
!
3,1864
jadval ko’rinishda berilgan bo’lsa, Nyutonning 2-interpolatsion formulasini
tuzing.
-
66
-
5-BOB. DIFFERENSIAL TENGLAMALAR VA ULARNI
YECHISH USULLARI
Noma’lum funksiya hosilasi yoki differensiali qatnashgan tenglama differensial tenglama deb ataladi.
Tenglamada qatnashgan noma’lum funksiya hosilasining eng yuqori darajasi, shu differensial tenglamaning tartibini aniqlab beradi. Masalan tenglamada
noma’lum funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi qatnashgan bo’lsa, u ikkinchi tartibli differensial tenglama deb ataladi.
Oliy matematika kursidan ma’lumki, har qanday differensial tenglama cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Tenglama yechimi yagonaligini ta’minlash
maqsadida differensial tenglama tartibiga mos ravishda, noma’lum funksiya yoki
uning hosilalariga nisbatan qo’shimcha shartlar beriladi. Qo’shimcha shartlar erkli
o’zgamvchi o’zgarish oralig’ining bir tomonida, yoki ikkala tomonida berilishi
mumkin. U holda bu shartlar mos ravishda boshlang’ich yoki chegaraviy shartlar
deb ataladi.
Differensial
tenglamaning
boshlang’ich
shartlami
qanoatlantiruvchi
yechimini topish masalasi boshlang’ich shartli yoki Koshi masalasi deb, chega­
raviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi esa chegaraviy masala deb ataladi. Agar differensial tenglamaning boshlang’ich va chegaraviy shart­
larni birgalikda qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinsa, bu masalaga
boshlang’ich shartli chegaraviy masala deb ataladi.
Misollar.
ày
differensial tenglamaning y(a) = y„ va —
dx
= y,
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi Koshi masalasi bo’ladi.
larni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi chegaraviy masala bo’ladi.
„
ôw
д'- i v
cl
dx'~
= q(x.t)
xususiy
hosilali
-
67
-
differensial
tenglamaning
W(x,0) = <p(x) hamda W(a,t) = if/,(t) va W(b,t) = y/1(t) shartlarni qanoatlanti-
ruvchi yechimirii topish masalasi boshlang’ich shartli chegaraviy masalabo’ladi.
Differensial tenglamalami yechishning yetarlicha ko’p usullari mavjud bo’lib,
ulardan ba’zi birlari bilan tanishib chiqamiz.
5.1.
Operatsion hisob usuli
Original funksiya va uning tasviri. t haqiqiy o’zgaruvchining manfiy
bo’lmagan qiymatlari uchun f ( t ) funksiya berilgan bo’lib, bu funksiya bo’lakliuzluksiz bo’lsin. Shu bilan birga t e [0,°°) uchun
\ f ( t \ < M - e s''
shart bajarilsin. Bu yerda M va S„ lar musbat o’zgarmas sonlar. Je"*/ (t)dt
0
integralni F ( p ) orqali belgilaymiz, ya’ni
F ( p ) = ]e-r'f(t)dt
0
bu yerda p = a + ib - kompleks son bo’lib, a > 0 .
F(p) funksiya f(t) funksiyaning tasvir funksiyasi deb, f(t) funksiya esa
original funksiya deb ataladi.
Agar F ( p )
F(p)—
funksiya f(t) funksiyaning tasvir funksiyasi bo’Isa, u
f ( t ) yoki f ( p ) * - 1— F(t) ko’rinishdabelgilanadi.
Tasvir funksiyalami kiritish, ko’pgina amaliy masalalami yechishni soddalashtiradi. Jumladan differensial tenglamalami yechish tasvir funksiyani topish
uchun bajariladigan juda sodda algebraik amallarga keltiriladi.
Operatsion hisob usulidan foydalanish uchun tasvir funksiyaning bir qator
xossalaridan foydalanishgato’g’ri keladi. Bu xossalar quyidagilardan iborat.
ïasvir funksiyaning chiziqlilik xossasi. Agar
n
=
l-=\
va
hamda F , ( p ) ~ bo’Isa, F(p) = ^c.F^p) bo’ladi. Bu yerda c/=1
o’zgarmaslar.
Tasvir
funksiyani
F(p +a )—
siljish
\ossasi.
Agar
F(p)— ->f(t)
bo’lsa,
bo’ladi. Bu yerda Re(p + a ) > S„, deb faraz qilinadi.
Tasvir funksiyani differensiallash xossasi. Agar F( p ) —
f ( t ) bo’Isa,
( ~ \ ) " ~ F ( p ) - ^ i " f ( i ) bo’ladi.
dp
Operatsion hisob usuli yordamida differensial tenglamalarni yechishga misollar.
l-misol.
y ( x ) + y ( x ) - 2 y ( x ) = e 'x
tenglamaning
y(0) = 0 va y (Q) = l
shartlami qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yechish. Agar F ( p ) ——>y ( x ) deb olsak, u holda
P2F ( p ) - p y ( 0 ) - y (Q) = p 2F ( p ) - i —^ y
p F ( p ) ~ y (0) = p F ( p ) —
(x);
p +\
(x );
' ~>ex
tasvir funksiyalardan foydalanib, F ( p ) ga nisbatan
P~F(p) -1 + p F ( p ) - 2 F ( p) = -
1
p +1
tenglamani hosil qilamiz. Bu yerdan
F , >_______ p + 2
_
1
{P J ( p + \ ) ( p 2 + p - 2 )
p-~ 1
ekanligi kelib chiqadi. Agar jadvaldan foydalansak, berilgan masalaning yechimi
y( x ) = ^ ( e ’ - e~' )
ekanligi kelib chiqadi.
2-misol. Quyidagi
~ r + k ' x = Asinoii
dv
differensial tenglamaning
69
(5.1)
dx
~dt '=0
= 0
(5.2)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yechish. Ma’lumki, davriy tashqi kuch ta’sirida bo’lgan elastik mexanik sistemalarning tebranishlari, shu jumladan zanjirdagi elektr tok kuchini aniqlash masalalarining matematik modeli (5.1), (5.2) ko’rinishdagi Koshi masalasini
yechishga keltiriladi.
(5.1), (5.2) Koshi masalasini yechish uchun, unga mos tasvir funksiya
tenglamasini yozib olamiz:
x ( p ) ( p , + k 2) = A -
p~ + C0~
yoki
Aa
x( p) = -
( p - + k 2) ( p - +C02) '
O’ng tomondagi kasrni elementar kasrlarga ajratamiz, buning uchun uni
A со
_ Np + В Cp + D
( p 2+ к 2) ( р г +су2) р' + к 1 р 2+со2
ko'rinishda yozib olib, noma'lum koeffitsiyentlar usulidan foydalansak C = 0,
N = 0, D = —^ W , D =
, larga ega bo’lamiz. U holda
k~ —ar
eo~ -k~
-
Acó
к
( o r - к 2)k p 1+k~
A
со
со1 - к 2 p'+co2
Tasvir funksiya jadvalidan foydalanib, masalaning quyidagi
x(t ) = —, ^ ,— (- соsinkt + к sin cot)
(к' —û)~ )к
yechimiga ega bo’Iamiz.
Bu yechimdan ko’rinib turibdiki, masalaning yechimi ikkita garmonik
tebranish, ya’ni chastotasi к bo’lgan xususiy tebranish
X
va chastotasi
Acó
. ,
(k'-or)k
( t ) = ---- :---- ;-- Si nkt
СО bo’lgan majburiy tebranish
-
70
А
X, ,. J 0 = - - , ----- -sincût
к - -со'
lar yig’indisidan iborat bo’lar ekan.
Tasvir funksiyalardan to’g’ridan-to’g’ri foydalanish maqsadida quyidagi
jadvalni keltiramiz.
N
F(P)
/« )
1
1
1
P
2
a
p 2 + a2
sinat
3
P
p2 + a !
cosat
4
1
p +a
ea
5
a
p 2- a 2
shat
6
P
p 2- a 2
chat
7
a
( p + a ) 2 + a2
e " sin at
8
p +a
( p + a ) 2 + a2
e cosat
9
'
n!
í
Ir
t"
2 pa
10
t sinat
( P2 + a ' ) 2
и
1
12
1
!
1
( p 2 +a 2) 2
1
(P + a0"
j
^
í .......... ..
t cosat
te "
.
............... J
2pa
13
— -(sin at - at cos at)
( P 1+ <**)'
14
(-1 ) " ~ F ( p )
dp
15
FI(P)F1( P)
ff(t)
0
5.2. Funksiyani sonli differensiallash
Agar x - [a, b] oraliqga tegishli ixtiyoriy xt tugun nuqtaning qiymatlarini
qabul qiluvchi erkli o’zgaruvchi bo’lsa, u holda ixtiyoriy tugun nuqta qiymatini
x + kh,
k = 0, ±1, +2, ...
ko’rinishdayozish mumkin.
d sy(x)
dxs
5>1
hosila qiymatini, funksiyaning tugun nuqtalardagi qiymatlari, ya’ni y (x + kh) lar
orqali ifodalash, y( x) funksiya hosilasini taqribiy hisoblash yoki taqribiy
differensiallash deb ataladi.
Faraz qilaylik
y ( x ) e C 2[a,b], x< b bo’lsin.
y( x + h) ning ikkinchi
tartibli aniqlikda Teylor qatoriga yoyilmasi
y(x hh ) = y ( x) + ~ ^ x—h + 0 ( h2 )
dx
dan foydalansak
dy(x) y( x + h ) - y ( x ) , ^ /f_,
—-— = --------- ---------- + 0 ( h )
ax
h
tenglikga ega bo’lamiz. Agar bu yerda x = x, deb olsak, birinchi tartibli hosila
uchun ikki nuqtalik oldinga taqribiy hisoblash formulasi hosil bo’ladi:
«
dx
^
d
h
Odatda sonli differensiallash formulasi deganda quyidagi
-
72
-
,
^
(5.3)
dy(x,) ^ y(xl+l)-y(x')
dx
h
taqribiy formula tushuniladi.
R = dy(x,) _ y(*n\)-y(*j)
dx
h
ayirmaga sonli differensiallash xatosi deb ataladi. (5.3) formula uchun h —>0 da
R =0(h).
Xuddi shunga o’xshash birinchi tartibli hosila uchun ikki nuqtalik taqribiy
hisoblash formulasini hosil qilish mumkin:
dy(x¡) y ( x ¡ ) - y ( x . ,)
,/= —
+
dx
h
-
1<i<m.
Agar y ( x ) e C 3[ a , b j bo’lsa, birinchi tartibli hosila uchun yanada aniqroq
ikki nuqtalik taqribiy hisoblash formulasi - markaziy ayirma formulasi mavjud va
u quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
dx
2h
yoki
dyfx^
dx
y( xM ) - y ( x IA)
~
2h
Birinchi tartibli hosilani taqribiy hisoblashda ko’p nuqtali, masalan uch nuqtali
dy(xt ) _ - y ( xM ) + 4y (x l+l ) - 3y( X, )
dx
2h
+0 ( h 2)
(5.5)
formuladan ham foydalanish mumkin.
Umumiy holda birinchi tartibli hosila uchun ko’p nuqtali formulaning
ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
Bu yerda ak larni shunday tanlash mumkinki, formulaning aniqlik tartibi p
ga teng bo’ladi.
-
73
-
Ikkinchi tartibli hosilani hisoblash uchun ham taqribiy xisoblash formulalarini keltirish mumkin:
d~y(x,) __y(xM ) - 2 y(x, ) + y ( x ;
-+0(h )
W
dx1
yoki
d ly(xs) = y(xl+t) -2 y (x12 + y(x,A]
dx'
h 2
(5.6)
l-misol. y — X3 +e* funksiya uchun y (2) ni hisoblang.
Yechish. h = 0,05 deb, quyidagi
jadvalni
x
1,9
1,95
2,00
2,05
2,1
y
13,5449
14,4436
15,3891
16,3830
17,4272
tuzib
olamiz.
y „ = y ( 1,9^ = 13,5449;
y, = y ( 2) = 15,3891 y, = y(2,0S) = 16,3830
y , = y ( 1.95^=14,4436
= y(2,lj = 17,4272 ekanligini hi-
sobga olsak, oldinga taqribiy hisoblash
dy(xj _y(xi+1)-y(xj)
dx
h
formulasiga asosan
16.3830_-153891 a
0,05
i
»,
• a
., . , . U1 , dy(Xj)
y(Xj)-y(x
ga ega bo lamiz. Agar orqaga taqribiy hisoblash -— .— = ---------;---- formudx
lasidan foydalansak
153891-2^4436 = ^
0,05
ni hosil qilamiz. Agar ikki nuqtalik taqribiy hisoblash formulasidan foydalansak
1 6 3 ^ 0 ^ 4 4 3 6 ^ ,9
2-0,05
bo’ladi. Agar uch nuqtali formula (5.5) dan foydalansak
-
74
va
-
17,4272 4 -4 -1 6,3830-3-15,3891
У (2)'-
2-0,05
= 19,3777
ga ega bo’lamiz.
Agar у (2) ning aniq qiymati 19,3891 ekanligini hisobga olsak, laqribiy
hisoblashdagi absolut xato birinchi holda 0,4889 ga, ikkinchi holda 0,4791 ga,
uchinchi holda esa 0,0049 ga va to’rtinchi holda esa 0,0114 teng bo’ladi. Bu hollarda nisbiy xatolar mos ravishda 2,52% , 2,47%, 0,025% va 0,059% ga teng
bo’ladi.
2-misol. y = xe' funksiya uchun y (5) ni hisoblang.
Yechish. h = 0,05 deb, quyidagi
jadvalni
X
4,95
5
5,05
y
698,8161
742,0658
787,9134
tuzib
olamiz.
y „ = y ( 4,95^ = 698,8161;
= y(5)~- 742,0658
va
y 2 - у ( 5,05) = 787,9134 ekanligini hisobga olsak, (5.6) formulaga asosan
r5 ; . 2 8 7 ^1 3 4 - j - 742;0658 + 698,8161 =
0,05
ga ega bo’lamiz.
Agar у (5) ning aniq qiymati 1038,8921 ekanligini hisobga olsak, taqribiy
hisoblashdagi absolut xato 0,2783 ga, nisbiy xato esa 0,027% ga tengiigi kelib
chiqadi.
5.3. Ketma-ket yaqinlashish usuli
Ko’pgina muhandislik
masalalarini
yechish
chiziqli
yoki
chiziqsiz
differensial tenglama uchun Koshi masalasi yechimini topishga keltiriladi. U holda
Koshi masalasini yechish uchun ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanish
mumkin. Bu usu! algoritmini quyidagi
dx
(5.7)
di
- 75 -
differensial tenglamaning
x ( t j = x„
(5.8)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topishda tanishib chiqaylik.
Agar (5.7) ni
oraliqda
\t0, t \
t
bo’yicha integrallab, (5.8) shartdan foydalan-
sak, berilgan Koshi masalasiga teng kuchli quyidagi integral tenglamani hosil
qilamiz:
x(t)
=
(5.9)
x0 + ]f(T ,x (r))d r
'o
(5.9)
masalan
da
x ( t 0) = x o
x ( t )
o’miga nolinchi yaqinlashish sifatida ixtiyoriy funksiyani,
ni olishimiz mumkin. U holda (5.7) tenglama yechimiga bir-
inchi yaqinlashish
I
x i( t ) = x 0 + ¡ f ( T , x J d r
A
i
ni hosil qilamiz.
xx( t) ni (5.9) gaolib borib qo’yib,
x , ( t ) = x0 +
f f ( r , Xl( T )) d r
I,
ikkinchi yaqinlashishni hosil qilamiz. Umumiy holda «-yaqinlashish uchun
X„( 0 = x„ + ) f ( r, xnJ
t ))dv
l.,
formulaga ega bo’lamiz.
Teorema. Agar (5.7), (5.8) Koshi masalasining yechimi
yagona bo’Isa, u holda
n
- » oo da
xjt)-> x(t)
bo’ladi.
Xuddi yuqorida keltirilgan usuldan foydalanib,
dx
-¡L=
at
f l ( t, x l( t ), . . . , x . ( t ) )
differetsial tenglamalar sistemasining
-
76 -
(i =
l,2,...,n)
x(t)
mavjud va u
shartlami qanoatlantiruvchi yechimini ham ketma-ket yaqinlashish usuli yordamida topish mumkin.
Misol. Berilgan
dx
— = x+ y
f
(5.10)
^ = 3 r -2 ,
dt
differensial tenglamalar sistemasining
\x(Q) = \
(5.11)
y(0) = 0
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini ketma-ket yaqinlashish usuli yordamida
aniqlang.
Yechish. (5.10) sistema tenglamalarini [O./] oraliqda integrallab, (5.11)
shartlami hisobga olsak, quyidagi
x ( t ) = \ + '\[x(z) + y ( r p if l r, y ( t ) = ) [ 3 y ( r ) - 2 x ( T ) \ i r
0
0
integral tenglamalarga ega bo’lamiz.
Nolinchi yaqinlashish sifatida x0 =1 va y u = 0 larni qabul qilamiz. U holda
birinchi yaqinlashish uchun
xf t ) ~
1+
\dT = 1 + / , y f t ) = j ( - 2 ) d r = - 2 1
0
0
ikkinchi yaqinlashish uchun
x ;( t ) = 1+ j ( \ -)• r ~ 2 r ) d r = 1+ I - — , y, (í)== ¡ ( - 6 r - 2 - 2 r ) d r - - 2 t - 4 t ~
0
2
o
uchinchi yaqinlashish uchun esa
x , ( t ) = I + jYl + T - — - 2 r - 4 r ) d r = 1+ / - -— —t \
(i
2
2
y - X t ) = ¡ ( - 6 t - ] 2 t 2 - 2 - 2 r + r2) d r = - 2 t - 4 l z
0
formulalarga ega boMamiz.
2
3
t’
Uchinchi
yaqinlashish
(5.10),
(5.11)
masalaning
aniq
yechimi
x(t) = e2'(c o s t-s in t) va y ( t ) = -2 e 1' sint laming /’ aniqlikda / = 0 atrofida
Fur’e qatoriga yoyilmasi bilan ustma-ust tushadi.
Bu usuldagi kamchiliklar quyidagilardan iborat:
1.Ba’zi yaqinlashishlarni hisoblash davomida integral qiymatini aniq
hisoblash mumkin bo’Imay qoladi;
2. { x j t) } ketma-ketlikning x (t) ga yaqinlashish tezligi yuqori bo’lmasligi
mumkin. U holda yaqinlashishlar sonini oshirishga to’g’ri keladi, bu esa murakkab
bo’lgan hisoblash ishlarini bajarishni taqozaetadi;
3. Cheksiz qator ko’rinishida hosil bo’ladigan yechim qiymatini har doim
aniq hisoblash imkoni bo’lavermaydi.
5.4. Eyler va Runge-Kutta usullari
Ma’lumki, ko’pgina injenerlik masalalarining matematik modeli differensial
tenglama uchun Koshi, chegaraviy yoki boshlang’ich shartli chegaraviy masalalami yechishga keltiriladi. Ma’lumki, bu masalalami yechimini aniq ko’rinishda
har doim ham yozish imkoni bo’lavermaydi. Bu holda berilgan masalani yechish
uchun taqribiy sonli yechish usullardan foydalaniladi. Quyida shu usullarning
ayrimlari bilan tanishib chiqamiz.
Eylcr usuli. [a, b\ kesmada
У (x) = f(x,y)
differensial tenglamaning
У(а) =
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi (Koshi masalasi) yechimini topish talab
etilsin.
Eyler usuliga asosan
\a,b\
kesmani n ta oraliqga ajratamiz, ya’ni
X = a + ih = дг,_, + h , (x„ = a) tugun nuqtalarni hosil qilamiz, bu yerda h = (b-a)/n.
У ~ У~
Hosil bo’lgan har bir oraliqda у hosilani taqribiy ravishda --^ chekli ayir-
h
- 78 -
maga almashtiramiz. Natijada noma’lum
qiymatlari
yt
funksiyaning
y(x)
x,
nuqtalardagi
= y ( x t ) ni hisoblash uchun ushbu
taqribiy hisoblash formulasiga ega bo’lamiz. Bu formula, berilgan boshlang’ich
shart yordamida noma’lum funksiyaning
x = xi
nuqtalardagi qiymatlarini ketma-
ket topish imkonini beradi.
Misol. [0 ,l] kesmada y
tenglamaning
( x ) = --xy
y(0)
= \ boshlang’ich
shartni qanoatlantiruvchi yechimlari uchun taqribiy qiymatlar jadvalini tuzing.
Yechish. Aniqlik uchun n = 10, h = 0,1 bo’Isin. Ushbu
1.
y,=yt->+-hx,-iy,-l
formuladan foydalanib,
y:
(/ = 1,2 ,...,1 0 ) ning qiymatlarini topish mumkin.
Tekshirib ko’rish nuimkinki, berilgan masala
y = e4
aniq yechimgaega.
1
Agar
x
= 1 nuqtadagi v(l)= e' = 1,2840 aniq va
y(\)~
1,2479 taqribiy yechim-
larini solishtirsak, absolut xato 0,0361 ga, nisbiy xato esa
0,0361-100
* 2,8% ga
1,2840
teng bo’ladi.
^
(
x,
y,
fKy,)
¥(x„y,)
0
0
1
0
0
1
0,1
1
0,05
0,005
2
0.2
1.005
0,1005
0,0100
3
0,3
1,0150
0,1522
0,0152
4
0,4
1,0303
0,2061
0,0206
5
0,5
1,0509
0,2627
0,0263
6
0,6
1,0772
0,3232
0,0323
7
0,7
1,1095
0,3883
0,0388
8
0,8
1,1483
0,4593
0,0459
9
0,9
1,1942
0.5374
0,0537
10
1,0
1,2479
-
79
:
-
'D ifferensial tenglam a u ch u n K oshi m asalasini Eyler u su lid a
y ech ish g a Paskal tilida tuzilgan d a stu r m atni:
program eyler 1; uses crt;
var a,b,yO,y:real; n.integer;
Junction f(x,y:real):real;
begin
f:=y-0.5*x*x+x-l
end;
procedure eyler (a, b,yl .real; n: integer; vary: real);
var h.x.real; i:integer;
begin
h:=(b~a)/n;
x: =a;
writeln('x=',x:6:2,' y = ',y l: 10:6);
for i:=I to n do
begin
y:=f(x,yl)*h+yl;
x:=x+h;
wriieln('x=',x:6:2,' y —',y:10:6);
yl:=y;
end;
end;
begin
clrscr;
write('a=); read(a); \vrite('b-'); read(b);
write('n='); read(n); write('yO=); read(yO);
eyler(a,b,y0.n,y);
end.
Misol. Berilgan dasturdan foydalanib, ushbu
y'fx ) = y ( x ) - 0,5;T + x -1
- 80 -
tenglamanmg y ( 0) =
1
shartni qanoatlantiruvchi taqribiy yechimini aniqlang
(a = 0 , b = 1 , n = 1 0 deb oling).
Yechish. Tekshirib ko’rish mumkinki, berilgan Koshi masalasi aniq
y ( x ) = 0,5x‘ +1 yechimga ega. Quyidagi jadvalda Koshi masalasining aniq va Ey-
ler usulida topilgan taqribiy yechimlari keltirilgan.
Taqribiy
yechim
X
Aniq yechim
0 .0
1 .0 0 0 0 0 0
1 .0 0 0 0 0 0
0 .1
1 .0 0 0 0 0 0
1.005000
0 .2
1.009500
1.028450
1.056795
1 .0 2 0 0 0 0
0.3
0.4
0.5
1.045000
1.080000
1.125000
1.180000
1.245000
1.320000
1.094474
1.141422
1.197564
0 .6
0.7
1.262821
1.337103
1.420313
0 .8
0.9
1 .0
1.405000
1.500000
Runge-Kutta usuli. Ushbu
У, = f ( x , y , , y 2>. ■>y„)
Уг = f i ( x , y , , y ,, - y j
y„ = f , ( x , y l,y,,
(5.12)
- >y„ )
oddiy differensial tenglamalar sistemasi berilgan bo’Iib, uning \a,b\ oraliqdagi
y M = y i<1, y 1( x J = y v>, . . ■ , y , / x j = y„0
(5.13)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinsin (x0 = a).
Agar
7,
У,
Y = У2
-
vn
■
va
.
F= A
.
-
81 -
fn.
belgilashlar kiritsak, (5.12) va (5.13) ni quyidagi
Y = F(x,Y),
(5.14)
Y(x0) = y0
(5.15)
ko’rinishdayozishimiz mumkia. Ba yerda
y,0
yIn_ y 20
■
(5.14)
tenglamalar sistemasining (5.15) boshlang’ich shartlarni qanoat-
lantiruvchi yechimini Runge-Kutta usuli yordamida topamiz. Buning uchun
x, = a + ( /i, K =F(xl,Yi), i = 1,2,...,« belgilashlami kiritib, quyidagi hisoblashlar
ketma- ketligini bajaramiz:
x. = a + ih;
kx= F(x ,,¥,)* h;
k1 = F(xl + h /2 ,Y ,+ K /'2 )<fh;
L = F {x ,+ h /2 ,Y i + k j 2 ) >i h:
kt = F(xi +h,Yl +k,)* h;
YM = X + (£ ,+ 2 £ ,+ 2 /c , + k ,) /6
(5.16)
Bu yerda qadam h = (b-a)/n.
Hisoblashlar ketma-ketligi /' = 1 dan n - \ gacha takroriy ravishda hisoblanadi va (5.16) formuladan differensial tenglamaning y \ ~ y ( x .) taqribiy sonli
yechimlari topiladi.
Eyler usulida yo’l qo’yiladigan xatolik h tartibda, Runge-Kutta usulidayo’l
qo’yilgan xatolik esa hA tartibda bo’ladi. Agar 0 < h <1 ekanligini hisobga olsak,
u holda Runge-Kutta usulining aniqligi Eyler usulining aniqligiga nisbatan yuqori
ekanligi kelib chiqadi.
Differensial tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasini Runge-Kutta usu­
lida yechishga Paskal tilida tuzilgan dastur matni:
program rungi; uses crl:
. const mirav~2;
- 82 -
type vector2=array[l..nurav] o f real;
var
yO,y: vector2;
, i,j:integer;
11
a,b,xO,xl,h:real;
procedure pv(x; real; y: vector2; var dy: vector2);
begin
dy[l]:=y[l]+y[2]+4x-l;
dy[2]: =y[lJ -y[2] -2 *x*x-2 *jc+ /;
end;
procedure rungikytta(x: real; yO; vector2;
var dy: vector2);
var v3,fc,fkl Jk2,fk3Jk4: veclor2;
begin
pv(x,yO,fc);
for i; - / to nurav do beginfkl[i]:=h*fc[i];
v3[ij:=y0[ij+0.5*fkl[ij end;
x:=x+0.5*h; pv(x,v3fc);
for i: = l to nurav do beginfk2[\]:-h*fc[i];
v3[i]:=y0[ij+0.5*jk2[i] end;
pv(x, v3,fc);
for i: = I to nurav do beginfk3[i]:=h*fc[i];
v3[i]:=y0[i]+fk3[i] end;
x:=x+0.5*h; pv(x,v3fc);
for i:=I to nurav do beginfk4[i]:=h*fc[iJ;
dy[ij: -y()fi]±0.166666667*(fkl[i]+2*fk2[i]-\-2*fk3[i]+fk4[i]) end;
end;
begin clrscr;
write(’a-'); read(a);
wnte('b=); read(b):
wite('n='); read(n);
h:=(b-a)/n:
- 83 -
хО:=а;
for i:= l to nurav do
begin
write('yO[',i: I, ]=).; read(yO[i]);
end;
writeln; writeln; write('x-,xO:5:2);
for i:=I to nurav do write(' y[',i:l, ’]=',y0[i]:10:6);
writeln;
x l:-a ;
for j: = l to n do begin
rungikytta(xl,yO,y);
x l :=a+j*h; write('x=',xl :5:2);
for i:=I to nurav do writeÇ y[',i:l, ] ~ ’,y[i]:10:6);
x0:—xl;y0:= y;
writeln;
end;
end.
Misol. Berilgan dastur yordamida, ushbu
íy¡(x ) = y ,(x ) + y 2(x ) + 4 x - ¡
\ y 2’ (x ) = y l( x ) - y 1( x ) - 2 x z - 2 x + \
differensial tenglamalar sistemasining
boshlang’ich shartlami qanoatlantiruvchi yechimini aniqlang (a= 0 , è = l,
«=10
deb
oling).
Yechish. Ishonch hosil qilish mumkinki, berilgan Koshi masalasi ushbu
j y f x ) = x: - x - \
[ y 7 ( x ) = - X 1 —J f + 1
aniq yechimga ega. Masalaning aniq va dastur yordamida topilgan taqribiy
yechimlari quyidagi jadvalda keltirilgan.
- 84 -
У ,(х )
taqribiy yechim
-1 .0 0 0 0 0 0 0 0 0
- 1 .0 0 0 0 0 0 0 0 0
-1.090000000
-1.090000000
aniq yechim
X
0 ,0
0 ,1
0 ,2
0,3
0,4
0,5
0 ,6
0,7
0 ,8
0,9
1 ,0
-1.160000000
-1 . 2 1 0 0 0 0 0 0 0
-1.160000084
-1.210000253
-1.240000000
-1.250000000
-1.240000511
-1.250000862
-1.240000000
- 1 .2 1 0 0 0 0 0 0 0
-1.160000000
-1.240001315
-1.210001877
-1.090000000
-1 .0 0 0 0 0 0 0 0 0
-1.090003380
-1.000004350
aniq yechim
-1.160002561
Уг<*)
taqribiy yechim
1 .0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 .0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.890000000
0.760000000
0.610000000
0.889999166
0.759998408
0.609997710
0.440000000
0.439997058
0.250000000
0.040000000
-0.190000000
-0.440000000
-0.710000000
-1 .0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.249996438
0.039995840
-0.190004750
-0.440005343
-0.710005952
-1.000006587
5.5. Chekli ayirm alar usuli
Chekli ayirmalar usuli differensial tenglamalami taqribiy yechish usuli
bo’lib, u noma’lum funksiya hosilasini chekli ayirmalarga almashtirishga asoslangan. Soddalik uchun bu usul algoritmini quyidagi
у ( t) + A (t)y (t) + B (t)y (t)= F (t)
(5.17)
differensial tenglamaning
y (0 ) = Ct ,
y (0 )= D o
(5.18)
boshlang’ich shartlami qanoatantiruvchi yechimini topish masalasida ko’rib
chiqaylik.
t o’zgaruvchming qiymatini
t = t . = i - r ( r - vaqt bo’yicha integrallash
qadami) deb olib, y(l,.) = y,, y ( t , ) - y , , у (t,) = y, , A (tJ = A,,
=
F (t.)= F { belgilashlami kiritamiz.
Funksiya hosilasini bir necha usul yordamida taqribiy chekli ayirmalarga
almashtirish mumkin. Shulardan biri markaziy chekli ayirmalar usulidir. Bu usulga
asosan y (t + r ) ni r ning darajalari bo’yicha Teylor qatoriga yoyilmasi
y M ~ y¡ + ТУ,
- 85 -
+-
^5'19^
dan foydalanamiz. (5.19) ni r 2 aniqlikda
У
, „ =
У
, +
Щ
+
~
- У
( 5 2 ° )
ko’rinishda yozib olamiz.
(5.20) da ketma-ket r = -At va г = At deb olib, quyidagilarga ega bo’lamiz:
Уы = }', -A t-y ,
(5.21)
y ui - y , \ A l - y , + ~ - y ,
(5.22)
(5.21) va (5.22) lardan y ' va y" lami topish uchun
y>=TTt
2At <y»-y>->)
y, = - ~ ( y , . - 2 y , + y , J
Af
™
(5.24)
ga ega bo’lamiz.
(5.23) va (5.24) ni (5.17) ga quyib,
Ум
- [ ( 4 - 2 B,At2)y, + (A ,A l-2)y,_l + 2A t2F,]
2 + A, At'
(5.25)
tenglikga ega bo’lamiz.
Boshlang’ich vaqt i„ = 0 uchun
v0 = Q . (5.25) dan foydalanib, y,t,
(i = 0,1,2,...) larni aniqlash uchun v. qiymati zarur bo’ladi. Bu qiymatni (5.23)
formuladan foydalanib, y,, va y. orqali ifodalab olamiz:
У., = y, - 2Ary„
(5.26)
(5.25) da / = 0 deb,
У‘ = ^ г \ т [ ( ^ ~ 2В^ г)Уо + (Aí, A t - 2 ) y ^ 2 A r F í]
2 + АаAt
(5.27)
tenglikga ega bo’lamiz. (5.26) ni (5.27) ga qo’yib, y, ni hisoblash uchun
y, = ^ 4 -2 B „ A t'-)C a-2 A t(A „ A l-2 )D 0 + 2 ArFa]
- 86 -
(5.28)
formulaga ega bo’lamiz. Oxirgi (5.25) formula
/ = 1,2,3,... lar uchun x +1 laming
qiymatiarini ketma-ket hisoblash imkonini beradi.
Differensial tenlamalarni chekli ayirma usulida yechishga tuzilgan dastur
matni:
program chekli ayirma;
const nt=21; dt= l; C0=-1; D0=3.0;
type mas-array[ 1..nl] of real;
var y,t: mas; i; integer;
function a(x;real):real:
begin
a: =x +1;
(A(t) —funksiya ko 'rinishij
end;
function b(x:real):real;
begin
b: =x-2:
{B(i) - funksiya ko 'rinishij
end;
function fix :real): real;
begin
f:=x*x*x^3*x*x-2*x+7;
■ {F(l)-funksiya ko’rinishi}
end;
begin
for i:= l to nt do t[i]:=(i-l)*dt;
y [l]:-C 0 ;
y[2]:-J/4*((4-2 *b(0) *sqr(dl))*C0-2*dt*(a(0) *dl-2) *D0+2*sqr(dt) *f(0)):
for i:=2 to nt-I do
yfi-r 1]; = l/(2+a(t[ij) *dt) *((4-2 *b(t[i]) *sqr(dt)) *y[i]+
(a(t[ij) *dt-2) *y[i-1]+2*sqr(dt) *ffl[i]));
for i; = l to ni do \\<rite\n('t--,t[ij:4:2,’ y-',y[i]:8:7);
end.
- 87 -
5.6. Oddiy progonka usuli
Differensial tenglamalami taqribiy yechishning yana bir usuli bilan tanishib
chiqaylik.
x e [ a \ b ] oraliqda
^ ~ T ^ +q(x)y{x) =r(x)
(5.29)
ax
differensial tenglamaning
. ,
d y ( b)
a0y(a) +a,-^\^- =a2
ax
(5.30)
ax
chegaraviy shartlami qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinsin. Bu yerda
<?(*)> r(x) - [a;b\ oraliqda berilgan uzluksiz funksiyalar bo’ Iib, a¡, /?, (i = 0,1) lar a 2 + a 2 = 0 va R2 + ff2 « o shartlami qanoatlantirsin.
o
I
0
1
Teorema. Agar q{x), r{x) funksiyalar [a, b] oraliqda ikki marta uzluksiz
differensiallanuvchi va q(x) < 0 bo’ lsa, (5.29), (5.30) chegaraviy masala yagona
y(x) yechimga ega bo’ ladi.
[a]b\ oraliqni
x —a +i - h
;
( 0 < i < m , h = ( b - am) / m)
nuqtalar
bilan
to’r(setka)ga ajratib, y . = y { x . ) , q . = q ( x . ) , r . = r ( x . ) belgilashlami kiritamiz.
Ichki x . ( l < i < m - \ )
nuqtalar uchun chekli ayirmalardan foydalanib, 0 ( h 2)
aniqlikda (5.29) tenglamani
yM-2y,+y,-,
(5.31)
-+q,y,=r,
va (5.30) chegaraviy shartlami esa
a,
a«y* +T2h¡(-y -+4yi - 3y«)=
A,y„, +^z('iy
2h .«- 4y»-t+ y
ko’rinishda yozib olamiz.
»-2
) =Pi
(5.32)
(5.31) da y 2 = rth2 - q f r y , + 2y, - y 0 ekanligini hisobga olib, uni (5.32) ga
qo’yamiz va
a°y°+
+q,h2y' ~ 2y' + yo+4y' ~ 3y°J =a!
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikni y 0 ga nisbatan yechib
>0
. „
. D
j
= E,y, + D,
r- 2 a . + a . q .h 2 n
1 2 a , - 2a„h
'
2a ,h + a .r,h 2
ga ega bo lamiz. Bu yerda E. = — ------ —— , D, = ----- =------ u — .
2 a .-2 a ,h
Xuddi shunga o’xshash (5.31) da y m_, = r^ h 2 - qm_,h2y K_, + 2y^, - y m
ekanligini hisobga olib va uni (5.32) ga qo’ysak
fay,,, + ~ ( ^ y j y ,„ - , +rmAh2 -q„_,h2y m_, + 2ymt - y M) = 0 1
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikni y m ga nisbatan yechib
y .= Q y ^ + S
(5.33)
ga ega bo’lamiz. Bu yerda
2fl
2 fti + 2 p ,h
_ h (2 fc -PjrKJi)
’
2 0 , + 2 fi0h
(5.31) va (5.32) birgalikda y„,yl, - , y m- noma’iumlami o’z ichiga olgan
(m + 1) ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi
Ay = b,
ni tashkil etadi. Bu sistemani Gauss, Kramer qoidasi, teskari matritsa usullari yordamida yechish yaxshi samara bermaydi. Shu sababli bu sistemani yechish uchun
oddiy progonka usulidan foydalanamiz.
Umumiy
A,y ,- 1 - C,y, + B,yM = /; , f l < / < m - i ;
(5.34)
ko’rinishdagi uchdiagonalli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Bu yerda
A,, B., C. lar i ga bog’liq o’zgarmaslar.
(5.34) ning yechimini
y, = EMy ltl+ D ^ , ( Q < i < m - ] )
- 89 -
(5.35)
ko’rinishda ifodalaymiz. Buyerda £,,£>, - larm a’lum, E,, D,
( i = 2,3,...,m -1) -
lar esa hozircha noma’lum koefiitsiyentlar.
(5.35)
da / ni /'-1 ga aimashtirib, y,_x= E ,y, + D( ga ega bo’lamiz va y t
o’miga uning (5.35) dagi ifodasini olib kelib qo’yamiz. Natijada
y,.t = E,y, + A = E,(EMy M + DM) + Dt = E,EMy M + E,DM + D ,, (5.36)
(\< i< m -l)
tenglikni hosil qilamiz. (5.35), (5.36) Iami (5.34) ga olib borib qo’yib,
A ,E ,E » x y M
+
a
, e <D m
+
A ,D , ~
C ,E M y M
~
C , ° M
+
B ,y M
~
r, =
0
1)
tenglikga ega bo’lamiz. Bu tenglikda y M oldidagi koeffitsiyentlarni hamda ozod
hadlami nolga tenglashtirib,
AiE,Enl - C,EM + B, = 0
A,E,DM + A,D, - C,DM - rf = 0
tengliklami hosil qilamiz. Bu yerdan
D lami hisoblash uchun
Em ~ C. - A.E.'
'
A A _ jy
(5.37)
1
C, - A,E,
formulalarga ega bo’lamiz. (5.37) to’g’ri progonka formulasi deb ataladi va u
D,
lar qiymatlari
orqali
Ek, Dk, (k = 2 ,3 , ... ,m )
laming qiymatlarini
hisoblash imkonini beradi.
En, Dm laming qiymatlarini aniqlab, ulami (5.33) ga qo’ysak, natijada
y,„ = Q( E,„y,„ + Dm) + S
yoki
= QD£L±s
1-QE„,
ga
ega
bo’lamiz.
ym
ni
bilgan
holda,
(5.35)
formula
yordamida
y t, ( k = m - \ , m-2, ... ,0) larning qiymatlarini hisoblaymiz. Bu amal teskari
progonka deb ataladi.
- 90 -
Teorema
B. > 0, C. > Al
(progonka
usulining turg’unligi haqida).
Agar
At > 0,
+ Blt 1< / < m- \ ; 0 < £, < 1, 0 < Q < \ shartlar bajarilsa progonka
usuli turg’un bo’ladi.
Diiferensial tenglamalami progonka usulida yechish uchun Paskal tilida
tuzilgan dastur matni:
pro gram progonka;
const al~0; b l —1; m =l0; h=(bl-al)/m;
alfa0=0.5; alfal=0.5; alfa2=l.0;
hetta0=-3.0; bettal=2.0; betta2=-3.0;
type vektor=array[0..m] o f real;
var
x,y, a, b, c, r, d, e.vektor;
i; integer;
q,s,gl,g2;real;
function fq(t .real) .real;
begin
fq; =2-t
{ q(x) funksiyasining berilishi}
end;
function fr(t;real);real;
begin
fr; =-sqr(sqr(t))/3 +2*t *sqr(t)/3-sqr(t)+3*1+2 fr(x) funksiyasining berilishi}
end;
begin
fo r i;=0 to m do begin
x[i]:=al+i*h; a[i]; l,0; b[i];=l.O;
c [= 2 -fq (x [i]) *sqr(h); r[i]: =fr(x[i]) *sqr(h)
end;
gl;=2*(alfal-alfa0*h); e[l]:=alfal*(2+fq(x[lj)*sqr(h))/gl;
d[l]; =-h *(2 *alfa2+alfal *fr(x[1]) *h)/gl;
fo r i;= l to m-l do begin
-
91
-
ep+l]:=bp]/(cpj-ap]*ep]);dp+l]:=(ap]*dp]-rp])/(cp]a[i]*e[i]);
end:
g2:=2*(bettaJ+bettaO*h);
q:=bettal *(2+fq(x[m-l])*sqr(h))/g2;
s:=(2*h *betta2-betta 1 *fr(x[m-I]) *sqr(h))/g2;
y[m]: =(q*d[m]+s)/(I-q*e[m]);
fori:= m -l downto O d o y p ]:= e p + I]* y p + l]+ d p + l];
for i:=0 to m do writeln('y[', i: 1, ] —,yp]:6:4);
end.
Misol. Berilgan dasturyordamida, ushbu
^ - ^ - + ( 2 -x )-y(x ) = - — + ~ - x 2 +3X + 2
dx2
3
3
differensial tenglamaning
0,5y(0) + 0 , 5 ^ ^ - = l
dx
.з* 1 ,+24 Ш = -з
dx
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini aniqlang.
Tekshirib
ko’rish
mumkinki,
berilgan
chegaraviy
masala
aniq
X’’
y (x ) = — + x + 1 yechimga ega. Quyidagi jadvalda qaralayotgan masalaning turli
X larga mos keluvchi taqribiy va aniq yechimlar qiymatlari keltirilgan.
X
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,986
1,089
1,193
1,302
1,417
1,540
1,673
1,819
1,978
2,153
2,345
1,000
1,100
1,203
1,309
1,421
1,542
1,672
1,814 j 1,971
2,143
2,333
Taq.
yechim
Aniq
yechim
i
- 92 -
5.7. Kvadratura fonnulasi usuli
Boshlang’ich shartli differensial tenglama (Koshi masalasi)ni taqribiy
yechish usullaridan biri kvadratura formulasi(integralni chekli yig’indi bilan almashtirish)dan foydalanishga asoslangan usuldir. Bu usul algoritmini quyidagi Ko­
shi masalasini yechishda qarab chiqamiz.
[0 ,í] oraliqda
^ l É l l + p M í l + qy ( t ) ^ f ( t )
at~
ai
(5.38)
tenglamaning
y(0) = y o. y ’( o ; = 7,
(5.39)
shartlarini qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinsin. Bu yerda p, q, y„ ,yt
lar o’zgarmaslar; f ( i ) - berilgan funksiya.
(5.38) tenglamani 0 dan t gacha ikki marta integrallab va (5.39) bosh­
lang’ich shartlami xisobga olsak,
y ( 0 - y B- y ^ - t - Á ' \ y ( s ) d s - y , ¡ -t\ +
7
(5.40)
+ q \(t-s )y (s )d s = \( t- s ) f ( s ) d s
0
0
tenglikni hosil qilamiz.
(5.40) ni quyidagi
y ( t) - p ¡ y ( s ) d s = y0 + y r t - p - y 0 - t -
-
q \(í - s ) y ( s)ds
0
+\ ( t - s ) f (s)ds
(i
ko’rinishdayozib olamiz.
(5.41) da t = tn = nAl, (n= 1,2,3,..,) deb, integrallami trapetsiya formulasiga
almashtiramiz va
u-1
y„ - pA,y„ =x, + y, • h - p-y„- K +pZ
Ay, ~
/=0
- <7l A(t„ - 1,)y, + Z A(K - 1, ) f ( t , )
- 93 -
(5.42)
tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda
dt
y, = yfi,)’ (i= 0 ,n -l); A> - A ,,- — ; At = Ai, (j = \,n-\); A t - t bo’yichaqadam.
(5.42) tenglikdan
2
2 -p A i
[y0+ y l ■tn- p ■j>0■tH+ p £ A,y, -
(5.43)
/=0
formulaga ega bo’lamiz.
(5.43)
ixtiyoriy w= 1,2,3,—laruchun y n ni topishga rekkurent formula, ya’ni
oldingi /, nuqtalarda berilgan y , lar orqali keyingi nuqtalardagi y M larni topish
formulasi bo’ladi.
Koshi masalasini kvadratura formulasi usulida yechishga tuzilgan dastur
matni:
program kvadratura; uses crt;
con stp= l; q=-2; y0=2; y l = l ; dt=0.05; nt=2I;
type mas-array[0..nt] of real;
var i:integer;
t,a,y:mas; sl,s2,s3,s4:real;
function f(x:real);real;
begin
f; =-2*x*x-l
{f(t) —funksiyasining ko ’rinishi}
end;
begin clrscr;
f o r i: —0 to nt do begin a[i]:~dt; t[i]:=i*dt end;
a[0];=dt/2; y[0]:=y0; sl;=0; s2 ~ 0 ; s3:=0; s4:=0;
fo r i:= ] to nt do begin
s i ; = sl +a[i-I] *y[i-lj;
s2; -s2 + a [i-l] *tfi-1] *y[i-1];
s3: =s3+a[i-l] *f(t[i-I]);
s4: ~s4+a[i-1] *t[i-l] *f(t[i-l]);
y[i]: =2*(y0+yl *t[ij +p *y0*t[i]p*sI-q*t[i]*sl+q*s2+t[i]*s3-s4)/(2+p*dt);
-
94
-
end;
for i: 0 to nt do wriieln('t-\t[i]:4:2,'
y~',y[i]:I0:5);
end.
Misol: Berilgan dasturdan foydalanib, ushbu
d t1
dt
n '
differensial tenglamaning
y ( 0 ) = 2, y '(o ; = i
shartlami qanoatlantiruvchi taqribiy yechimini aniqlang.
Tekshirib ko’rish mumkinki, berilgan masala aniq y ( t) = t 2+ t + 2 yechiraga
ega. Quyidagi jadvalda berilgan masalaning aniq va taqribiy yechimlari(/l/ = 0 . 0 1
va At = 0.05 hollar uchun) t ning bir necha qiymatlari uchun keltirilgan.
t
Aniq yechim
Taqribiy
Taqribiy
yechim(.di = 0 .0 1 ) yechim(,4i = 0.05)
0 .1
2 .1 1
2 .1 1 0 0 0
2.10988
0 .2
2.24
2.23999
2.23977
0.4
2.56
2.55998
2.55957
0 .6
2.96
2.95997
2.95937
0 .8
3.44
3.43997
3.43916
1 .0
4.00
3.99996
3.99892
5.8. Differensial progonka usuli
Ma’lumki, ko’pgina injenerlik masalalami yechish, o’zgaruvchan koeffitsiyentli differensial tenglamaning har xil chegaraviy shartlami qanoatlantiruvchi
yechimini topishga keltiriladi. Chegaraviy masalalami yechish, boshlang’ich shartli masalani yechishga nisbatan ancha murakkabroq. Chunki chegaraviy masala­
lami berilgan aniqlikda taqribiy yechish algoritmlarini qurish har doim ham mumkin bo’lavermaydi. Boshlang’ich shartli masalalami esa berilgan aniqlikda yechish
uchun qator algoritmlar ishlab chiqilgan bo’lib, ular standart dasturlar ko’rinishida
-
95
-
ifodalangan. Shu sababli berilgan chegaraviy masalalar yechishni boshlang’ich
shartli masalalami yechishga keltirish eng qulay usullardan biridir. Differensial
progonka usuli yordamida chegaraviy masalani yechish, unga teng kuchli bo’lgan
boshlang’ish shartli masalalarni yechishga keltiriladi. Bu usulning yana bir qulaylik tomoni shundan iboratki, Koshi masalasini berilgan aniqlikda yechish uchun
har bir algoritmik til o’zining standart dasturlariga ega.
Differensial progonka usuli algoritmi bilan quyidagi berilgan misolda tanishib chiqaylik. Ushbu
y"( x ) + A (x )y '( x ) + B (x )y ( x ) - F ( x )
(5.44)
differensial tenglamaning
\a Hy'(Q) + any(Q) = b,
\ a i j ' ( \ ) + ariy(\) = b1
chegaraviy
shartlami
qanoatlantiruvchi
yechimi
topilsin.
Bu
yerda
a„, an, a2V a22, bv b; - o’zgarmaslar; A(x), B(x), F(x) - [0,l] oraliqda berilgan
uzluksiz funksiyalar. y ( x ) - noma’lum funksiya.
Differensial progonka usuliga ko’ra (5.44), (5.45) chegaraviy masala
yechimini
a ( x ) y '( x ) + P ( x ) y ( x ) = y (x )
(5.46)
ko’rinishda tasvirlaymiz. Bu yerdagi a (x ), P(x), y{x) lar hozircha noma’lum
funksiyalar.
(5.46)
ni (5.44) ga olib borib qo’yamiz va a(x), f)(x), y(x) larga nisbatan
quyidagi
a '(x ) = a ( x ) A ( x ) - P ( x )
■p '(x ) = <x(x)B(x)
(5.47)
y'(x ) = - a ( x ) F ( x )
birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
auy'(^ ) + avj ( Q ) = b, va a (Q )y '(0 ) + P (0 )y (0 ) = y (0 )
shartl ardan
a (0 ) = aív
P(0 ) = aí2,
-
96
-
y(Q) = bt
(5.48)
larga ega bo’lamiz.
(5.47), (5.48) Koshi masalasini [0 ,1 ] oraliqda yechib, a(\), /3(1), y(l) lami
aniqlaymiz. Odatda bu usul to’g’ri progonka usuli deb ataladi.
a » y '(l)+ a v v (\) = b2 va
a (\)y '( l) + P (\)y (l) = y(\)
shartlardan
y/'] i—biafl)~aiJ(V
vYi)-r bifi(V-Qgl'O-)
an a ( l ) - a 2J ( \ ) ’
(5.49)
a 2tf l ( ) ) - a 22a ( l )
larga ega bo’lamiz.
(5.44), (5.49) Koshi masalasini [ 1,0 ] oraliqda yechib, y (x ) funksiyasining
sonli qiymatlarini hosil qilamiz. Bu usul teskari progonka usuli deyiladi.
Differensial progonka usulining aniqligi unga teng kuchli bo’lgan Koshi masalalarini yechish aniqligi kabi bo’ladi. Agar Koshi masalasi yechimi to’rtinchi
tartibli Runge-Kutta usuli yordamida topilgan bo’lsa, differensial progonka usulin­
ing aniqligi ham to’rtinchi tartibga ega bo’ladi. Bu esa chegaraviy masalaning
yechimi yuqori aniqlikda topilganligini anglatadi.
Chegaraviy masalalami differensial progonka usulida yechishga Paskal tilida
tuzilgan dastur matni:
program difprogon; uses crt;
const a l 1=1; a!2= l; a2I= l; a22=-l; bl=0; b2=2;
ndx= ll; dx=0.1;
type vek-array[¡..ndx] o f real;
type vekl =array[l ..2] o f real;
type vek2=array[1..3] o f real;
var
y0,y,yt; vekl; alJ0,alf: vek2; px; vek; zlx,h;real;
i.nx.integer;
function fa(z; real); real;
begin
f a 1 ;
{ A(x)-funksiyasining ko ’rinishi)
end;
- 97 -
function fb(z: real): real;
begin
fb: =z+3; { B(x)-funksiyasining ko ’rinishi}
end;
function jf(z: real): real;
begin
jf:=z*z*z*z+7*z*z*z+7*z*z+5*z+4; { F(x)-funksiyasimng
ko ’rinishi}
end;
procedure pv(x: real; y: vek2; var dy: vek2);
begin
dy[I]: =fa(x) *y[lj-y[2];
dy[2]:=y[l]*fb(x);
dy[3]: = y[ 1] *ff(x)
end;
procedure rungikyttal(x: real; yO: vek2; var dy: vek2);
var v3fc,fkl,fk2,fk3,fk4: vek2;
begin
pv(x,yOfc);
for i:= l to 3 do beginfkl[i]:=h*fc[i];
. v3[i]:=y0{i]+0.5*fkl[i] end;
x:=x+0.5*h;
pv(x,v3fc);
for i:= l to 3 do begin fk2[i]r- h*fc[i];
v3fij: =y0[i]+0.5*fk2[i] end;
pv(x,v3fc);
for i:= l to 3 do begin fk3[i]:=h*fc[i];
v3[if:=y0[i]+fk3[i] end;
x:=x+0.5*h;
pv(x,v3fc);
-
98
-
fo r i ~ l to 3 do beginfk4[i]:=h*fc[i];
dy[iJ:=y0[i]+0.166666667*(fkl[i]+2*fk2[i]+2*fk3[i]+jk4[i]) end;
end;
procedure pvl(x: real; y: vekl; var dy: vekl);
begin
dy[l]:=y[2J;
dy[2]: ~ y [2 ] *fa(x)-y[l] *fb(x) +ff(x);
end;
procedure rungikytta2(x: real; yO; vekl; var dy: vekl);
var v3fcfklfk2Jk3fk4: vekl;
begin
pvl(x,yOfc):
fo r i:=l to 2 do begin fkl[i]: h*fc[ij;
v3[i]:=y0[i]+0.5*fkl[i]
end;
x: =x+0.5 *h; p v l (x, v3fc);
fo r i:= l to 2 do beginJk2[i]:=h*fc[i];
v3[i]:=y0[i]+0.5*fk2[i]
end;
p v l (x,v3fc);
fo r i:= l to 2 do beginflc3[i]: =h*fc[i];
v3[i]:=y0[i]+fk3[i]
end;
x:=x+0.5*h; pvl(x,v3,fc);
fo r i:= l to 2 do begin fk4[i]: =h*fc[i];
dy[i]~y0[i]+0.166666667*(fkl[i]+2*jk2[i]+2*Jk3[i]+Jk4[i])
end;
end;
begin clrscr;
- 99 -
for i: = 1 to ndx do pxfi]:=(i-l)*dx;
alfO [l]:=all; alfO[2]:=al2; alf0[3]:=bl;
fo r nx:=2 to ndx do begirt zlx:=px[nx-l]; h: =dx;
rungikytta 1(zlx, alfO, alf);
fo r i:= l to 3 do alfO[i]:=alf[i];
end;
yO fl]:=(b2 *alf[IJ-a21 *alf[3])/(a22*alf[l]-a2I *alf[2]);
y0[2] : = (b2 *alf[2]-a22 *alf[3])/(a21 *alf[2]-a22 *alf[I]);
writeln('x=',px[ndxj:4:2,' yy===',y0[l]:7:4);
fo r nx:=ndx downto 2 do begin zlx: =px[nx]; h:=-dx;
rungikytta2 (zlx,yO,y);
writeln('x=',(zlx+h):4:2,1 y y= ’,y[l]:7:4);
fo r i:= l to 2 do yO[i]: =y[i];
end;
end.
Misol: Berilgan dastur yordamida, ushbu
y Y x J + (x + l)y '(x ) + (x + 3 )y (x ) = x 4 + 7 x ’ + 7 x 2 + 5 * + 4
(5.50)
differensial tenglamaning
\y'(0J + y(0J = 0
y '(\)-y (\) =
2
shartlami qanoatlantiruvchi taqribiy yechimini aniqlang.
Tekshirib ko’rish mumkinki, berilgan chegaraviy masala aniq
y (x ) = x3 + x l - x + 1
yechimga ega. Quyidagi jadvalda (5.50), (5.51) chegaraviy masalaning aniq va dif­
ferensial progonka usuli yordamida aniqlangan taqribiy yechimlari keltirilgan. Jadvaldan ko’rinib turibdiki, differensial progonka usuli yuqori aniqlikga ega bo’lishi
bilan birga, u chegaraviy shartlami aniq hisobga oladi.
-
100
-
X
Taqribiy
Aniq yechim
yechim
0 .0
1 .0 0 0 0 0 0
1 .0 0 0 1 2 1
0 .1
0.911000
0.911107
0 .2
0.848000
0.848091
0.3
0.817000
0.817073
0.4
0.824000
0.824054
0.5
0.875000
0.875035
0 .6
0.976000
0.976015
0.7
1.133000
1.132997
0 .8
1.352000
1.351980
0.9
1.639000
1.638965
1 .0
2 .0 0 0 0 0 0
2 .0 0 0 0 0 0
5.9. Bubnov-Galyorkin usuli
Chegaraviy masalalami sonli-analitik yechish usullaridan biri BubnovGalyorkin usulidir. Bu usul chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi koordinat funksiyalarini tanlashga asoslangan. Bubnov-Galyorkin usuli algoritmini quyidagi
chegaraviy masalani yechishda ko’rib chiqaylik.
y ”' + Ay=F(.x)
(5.52)
tenglamani
y (0 ) = y ’(0) = y n j = y '( l ) = 0
(5.53)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. Bu yerda А - o ’zgarmas;
F(x) - [O.l] oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiya.
Bubnov-Galyorkin usuliga ko’ra (5.52), (5.53) chegaraviy masalaning
yechimini
y ( x ) = 'YJa„swnKx
-
101
-
(5-54)
ko’rinishda qidiramiz. Bu yerda an lar hozircha noma’lum o’zgarmas koeffitsiyentlar.
(5.54) ni (5.52) ga olib borib qo’yamiz va
X
,V
2] а ,/и л -/ sinn ях+ A*Ta„ sinn лх= F (x)
(5.55)
tenglikni hosil qilamiz.
(5.55) tenglikning ikkala tomonini sinmux, » = 1,23,... larga
ketma-ket
ko’paytirib, uni [o,l] oraliqda * bo’yicha integrallaymiz. Agar
■
V
f—
1
агар
p-Q
0
[о
агар
p*q
\sm pxsmqxdx = \2
ekanligini hisobga olsak, natijada
am( т л У + Aam= /„,
yoki
аш= 7 — 4 г г ~ , ’
(тп) +A
m=
(5.56)
i
tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda f m= 2^F(x)sinmnxdx.
0
Topilgan a„, larni (5.54) ga olib borib qo’yamiz va noma’lum y (x ) funksiyani aniqlash uchun
/1-1 (n n ) + A
«5.57)
formulaga ega bo’lamiz.
Bubnov-Galyorkin usulining aniqligi (5.57) formuladagi yig’indilar soniga
va tanlangan koordinat funksiyasiga bog’liq bo’ladi.
5.10. Fur’e usuii
Bu usul algoritmini uzunligi
/ ga teng bo’lgan ikki uchi mahkamlangan
toming erkin tebranishi masalasida ko’rib chiqaylik. Ma’lumki, bu masalani
yechish
-
102
-
d2u ( x ,t) _
a
, d zu(x,t)
(5.58)
tenglamaning
= F (x)
(5.59)
boshlang’ich va
u ( x ,t) \^ = 0 , u (x ,t)¡I=, = 0
(5.60)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topishga keltiriladi.
Fur’e usuli matematik fizika tenglamalarini yechish usuli bo’lib,
odatda
o’zgaruvchilami ajratish usuli ham deb ataladi. Bu usul ikki qismdan iborat bo’lib,
birinchi qismda (5.58) tenglamaning (5.60) chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi
yechimini topishdan iborat.
Fur’e usuliga ko’ra yechimni
u(x,t) = X (x )T (t)
(5.61)
ko’rinishda qidiriramiz.
(5.61)
dx
г
ni
ikki
marta
x
va
t
lar
bo’yicha
differensiallab
= X (x )T (t) va ------ ^-t- = X (x )T ( t) tengliklami hosil qilamiz va
dt
ularni (5.58) ga qo’yib,
X (x )T ( t) = a2X (x )T (t)
yoki
1 T ( t ) _ X (x )
a 2 T (t)
X (x )
(5
62)
ga ega bo’lamiz.
(5.62)
ning chap qismi faqat t ga, o’ng qismi esa faqat x o ’zgaruvchiga
bog’liq. Agar (5.62) da t ni o’zgarmas, ya’ni tenglikning chap qismi o’zgarmas
deb, x ni ixtiyoriy ravishda o’zgartirsak, uning o’ng qismi ham o ’zgarmas
bo’ladi. Xuddi shunga o’xshash (5.62) da x ni o’zgarmas, ya’ni tenglikning o’ng
qismi o’zgarmas deb, t ni ixtiyoriy ravishda o ’zgartirsak, tenglikning chap qismi
-
103 -
ham o’zgarmasdan qoladi. Bu esa
-7 —
7W
va
X (x )
o’zgarmas kattalikga tengligini bildiradi, ya’ni
(5.63)
Bu yerdan T (t) va X (x ) fimksiyalar mos ravishda
X (x )-c X (x )= 0 ,
T ( t ) - c a 2T (t) = 0
(5.64)
differensial tenglamalaming yechimi ekanligi kelib chiqadi.
Agar (5.60) chegaraviy shartlarni hisobga olsak
u ( x ,t ) l' = X ( 0 ) T ( t ) = 0
u ( x ,t ) l l = X ( l) T ( l) = 0
tengliklar ixtiyoriy t lar uchun o’rinli bo’ladi. Bu esa
X (0 ) = 0 , X ( l) = 0
bo’lganda o’rinli bo’ladi.
Natijada X (x ) funksiyani lopish uchun
X (x )-c X (x ) = 0
(5.65)
X (0 ) = X ( l) = 0
(5.66)
chegaraviy masalaga ega bo’lamiz.
(5.65), (5.66) chegaraviy masala bir qarashda X (x ) = 0 trivial yechimga
egadek ko’rinadi, lekin bizdan masalaning
ladi.
dan farqli yechimini topish talab eti-
0
с ning shunday qiymatini tanlaylikki, qaralayotgan masala
0
dan farqli
yechimga ega bo’lsin. Buning uchun (5.65) da X (x ) = e" deb olib
r2- c = 0
xarakteristik tenglamani hosil qilamiz. Bu xarakteristik tenglama uchun quyidagi
hollar bo’lishi mumkin:
1) с = Я1 > 0 bo’lsin, u holda r = ±Л bo’lib,
X (x ) = Cle" + C :e
yechimga ega bo’lamiz. (5.66) shartdan foydalansak, C, va С lar uchun
-
104
-
C, + C, = 0
C / ' + C2e-;j = 0
sistemaga ega bo’Iamiz. Bu sistemaning asosiy determenanti 0 dan farqli. Haqiqatdan
1
1
=e " -e" ^ 0 .
..
e'J
e"
Bu yerdan esa C ,= C , = 0 ga ega bo’Iamiz, ya’ni bu holda X (x ) = 0 trivial
yechimga ega bo’Iamiz.
2
) c-
0
bo’lsin, u holda xarakteristik tenglamaning ikkala yechimi ham
0
ga teng bo’lib, (5.65), (5.66) chegaraviy masalaning yechimi
X ( x ) = Ci + C ,x
ko’rinishda bo’ladi. Agar (5.66) shartdan foydalansak C, = C 2 = 0 ekanligi kelib
chiqadi va yana X (x ) = 0 trivial yechimga ega bo’Iamiz.
3) c = - / 1’ <0 bo’lsin, u holda r = ±iA bo’lib,
X (x ) = Cl cosAx + C: sinAx
yechimga ega bo’Iamiz. (5.66) shartdan foydalansak, C ,= 0 va C, sin A! = 0
tengliklarga ega bo’Iamiz. C2 * 0 , ya’ni X ( x ) * 0 bo’lishi uchun sinAl = 0 yoki
A= ~
( k = ± 1, ± 2 , ± 3,...) ekanligi kelib chiqadi.
fCTT
( Jc7T
I
Demak, 2 = — -, ya’ni c ~~\ — I bo’lsa, (5.65), (5.66) chegaraviy masala
0
dan farqli yechimga ega bo’ladi.
Agarharbir& uchun (5.65) ning yechimini X k(x ) deb belgilasak, u holda
X „ (x )= A ks m ^ j-
(5.67)
ko’rinishga ega bo’ladi. Buyerda A, lar ixtiyoriy o’zgarmaslar.
Keyinchalik
¿ = 1,2,3,... deb olaniiz, chunki At larning ixtiyoriyligidan
k = - 1, - 2 ,-3,... larda hosil bo’Iadigan yechimlami ham keltirib chiqarish mumkin bo’ladi.
-
105 -
Jc7T
Har bir Ák = — uchun (5.67) ning faqat o’zgarmas ko’paytuvchilarga farq
qiladigan cheksiz ko’p yechimini hosil qilamiz.
JcTT
Xk = —
ICTDC
va sin—-— lar mos ravishda (5.65), (5.66) chegaraviy masalaning
xos sonlari va xos funksiyalari deb ataladi.
ga (5.64) ning ikkinchi tenglamasini qanoatlantiruvchi Tt (i ) fiinksiya
mos keladi va u
f kna'
T ¡ (t)+ —
W = 0
tenglamaning umumiy yechimi sifatida
„ . . _
km t
. km t
Tt ( t ) = Bkeos — i- Dksin -
(5.68)
ko’rinishida aniqlanadi. Buyerda Bk va Dk lar ixtiyoriy o’zgarmaslar.
(5.67) va (5.68) ni (5.61) ga qo’yib, (5.58) tenglamaning (5.60) chegaraviy
shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi
.
(
km t __ . km t ^ . . km
uk(x ,t) = \B t cos—j —+ Dk sm —j — \Aks t n - j ni hosil qilamiz. Bu yerda at = AkBk va bk = AkDk kabi belgilashlar kiritib, uni
,
. (
km t . . k m t\ . knx
uk(x ,t J = | a¡:cos—j —+ o, sin—-— \siti —-—
...
(5.69)
ko’rinishda yozib olamiz.
uk( x ,t) yechim toming erkin tebranishi masalasiga mos keluvehi xos funksiyalar deb ataladi.
Teorema. Agar ut (x ,t) funksiyalar (5.58) tenglamaning bir jinsli (5.60)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi bo’lsa, u (x ,t) = Z ut ( x-í )
funksiya ham (5.58) tenglamaning (5.60) shartini qanoatlantiruvchi yechimi
bo’ladi.
-
106
Fur’e usulining ikkinchi qismi, xos fiinksiyalar asosida (5,59) shartni qanoatlantiruvchi yechimni topishdan iborat. (5.69) ni (5.58) ga qo’yib, ulami yig’ib
chiqamiz:
(5.70)
Наг bir к
lar uchun ut (x ,t) funksiya (5.60) chegaraviy shartni qanoat-
lantirganligi sababli, u (x ,t) funksiya uchun ham bu shart bajariladi.
Endi at va bt koefifitsiyentlarni shunday tanlaylikki, (5.70) yechim (5.59)
boshlang’ich shartni qanoatlantirsin.
(5.70) da / = 0 deb,
. K7tX
. .
2Jat s m - r = f ( x )
(5.71)
ga ega bo’lamiz.
(5.71) ni t bo’yicha differensiallab, / = 0 desak
(5.72)
tenglikga ega bo’lamiz.
(5.71)
va (5.72) lami sitv—
( n = 1,2,3,...) larga ko’paytirib, [a,b\ or-
aliqda integrallaymiz. Agar
0,
о
I
I
агар к ф n
агар k = n
- ,
ekanligini hisobga olsak, ak va bL koeffitsiyentlar uchun
= j¡ f(x )s in ~ d x
b!i =^
\ F(X) Sin~ Y dX
formulalarga ega bo’lamiz. Bu koefifitsiyentlami (5.70) ga qo’yib,
. knx , . к т Л . клх
sm ---- dxsm ------ \sin—
/
I
I
-
107
-
(5.58) - (5.60) masalaning yechimini hosil qilamiz.
Misol. (5.58)-(5.60) boshlang’ich shartli chegaraviy masalani
f(x ) = \+ xl
va F (x) = 0 bo’lgan hollar uchun yeching.
Yechish. at va bk koeffitsiyentlami aniqlaylik:
2 'f ,, , . k m ,
= y \ f ( * ) sin ~ j ~ dx
2_
kn
( - 1/
2V
= ~j \ (X + X '^
212
^k23i2
. km
s i n ---- d x =
l
, bk =
0.
k'7i~
Bu qiymatlami (5.70) ga qo’yib,
2*1
(-\ r
7t t-A k
212
-\-l2
k1Ti2
21k 2n l
knat
km
+ 1 c o s ----- s i n ----I
l
berilgan masalaning yechimiga ega bo’lamiz.
Tayanch so’z va iboralar. Differensial tenglama, Koshi masalasi, chega­
raviy masala, operatsion hisob, tasvir funksiya, original funksiya, sonli differensiallash, Eyler usuli, Runge-Kutta usuli, ketma-ket yaqinlashish usuli, kvadratura
formula usuli, oddiy progonka usuli, teskari progonka usuli, differensial progonka
usuli, Bubnov-Galyorkin usuli, Fur’e usuli.
Savollar
1. Differensial tenglamagata’rif bering.
2. Differensial tenglamaning tartibi qanday aniqlanadi?
3. Differensial tenglama uchun boshlang’ich shartlar qanday beriladi?
4. Differensial tenglama uchun chegaraviy shartlar qanday beriladi?
5. Koshi masalasi qanday masala?
6
. Boshlang’ich shartli chegaraviy masalalar qanday bo’ladi?
7. Differensial tenglamani yechishda operatsion hisob usuli?
8.
Tasvir funksiya nima?
9. Qanday funksiyalar original funksiyalar deb ataladi?
10. Tasvir funksiya uchun chiziqlilik xossasi.
11. Tasvir funksiya uchun siljish xossasi.
-
108 -
12. Tasvir funksiyani differensiallash.
13. Sonli differensiallash nima?
14. Sonli differensiallashda xatolik qanday aniqlanadi?
15. Differensial tenglamalarni yechishda Eyler usuli va uning algoritmi?
16. Differensial tenglamalarni yechishda Runge-Kutta usuli va uning algoritmi?
17. Chekli ayirmalar usuli va uning algoritmi.
18. Oddiy progonka usuli va uning algoritmi.
19. Koshi masalasini yechishda kvadratura formula usuli va uning algoritmi.
20. Differensial progonka usuli va uning algoritmi.
21. Bubnov-Galyorkin usuli va uning algoritmi.
22
. Fur’e usuli va uning algoritmi.
Misol va masalalar
1. Berilgan differensial tenglamalarni berilgan shartlami qanoatlantiruvchi
yechimini operatsion hisob usuli yordamida aniqlang:
a)
dt'
+ x ( t) + e" = 0 ,
x(0) = 0,
d 'x ( t ) dx(t)
b) + — r - + x (l) = s in t,
d t2
dt
v)
dt'
+ x (t) = 0 , x (0 ) = l,
dx(t)
dt
x (0 ) = \,
= i;
dx( t)
dt
dx( t )
dt
= 2;
d 2x(1)
dt2
2. Berilgan tasvir funksiyalar uchun original funksiyalarni aniqlang:
3
a) X ( p ) =
{y + tfy + i)’
v) X ( p ) = -
b) X ( p ) =
P~ + 3p + 8 i
~
7 + i- ’
p :' - p 2 + 2 p + \
(p1- ty p 2~2p +2)'
3. Berilgan original funksiyalar uchun tasvir funksiyalarni aniqlang:
a) f ( 0 ~ e '' sin3t;
b) / ( t) = 4' + / c o s t;
v) f ( t ) = t'+ te~ :'.
4. [0;l] oraliqda >• (x ) = 2x + y -1 tenglamaning y (0 ) - 1 shartni qanoatlanti­
ruvchi taqribiy yechimini h = 0,1 qadam bilan Eyler usuli yordamida aniqlang.
-
109 -
5. [l;2] oraliqda y '( x ) = x + y tenglamaning y ( l) = 0 shartni qanoatlantiruvchi taqribiy yechimini h - 0,2 qadam bilan Runge-Kutta usuli yordamida
aniqlang.
6
. Sonli differensiallash usulidan foydalanib, y = 2x2 + e u bo’lsa, ÿ (2 ) ni
hisoblang.
7. ^ У(х). + Xy ( x) = x2 tenglamaning y (0 ) + 2 y (0 ) = l va y ( \ ) - y ' ( \ ) = 3
dx
chegaraviy shartlami qanoatlantiruvchi yechimini x e [0 ;l], h = 0 , 2 lar uchun oddiy
progonka usulida aniqlang.
g
d y (x ) +
dx
y (x )I
- -},y(x) = 5 tenglamaning y ( x )I
= 0 va
dx
= 0 chegaraviy shartlami qanoatlantiruvchi yechimini Bubnov-Galyorkin
usuli yordamida aniqlang.
9. -
+ 3y ( x ) = x tenglamaning y(Q) = y (Q) = y ( \) = y (l) = 0 chega-
dx
raviy shartlami qanoatlantiruvchi yechimini Bubnov-Galyorkin usuli yordamida
aniqlang.
10.
d2u(x,t)
d 2u (x,l)
,
g--2- - 9 tenglamaning
i
«Ц = 2 >
9m
=0
bosh-
/=0
lang’ich va и|
= 0 , и|
= 0
chegaraviy shartlami qanoatlantiruvchi yechimini
Fur’e usuli yordamida aniqlang.
-
no -
6-BOB.
INTEGRAL VA INTEGRO-DIFFERENSIAL
TENGLAMALAR HAMDA ULARNI YECHISH USULLARI
Qaralayotgan materialning ichki qarshilik kuchlarini modellashtirishda turli
xil formalar (differensial, integral va h.k.) dan foydalanish mumkin. O’tkazilgan
bir qator tajriba natijalari shuni ko’rsatadiki, materialning ichki qarshilik kuchlari
matematik modelda integral ko’rinishda hisobga olinsa, u yaxshi natijalarga olib
keladi. Shu sababli keyingi vaqtda materialning ichki qarshilik kuchlarini integral
ko’rinishda hisobga olish amaliyotda keng foydalanib kelinmoqda. Bu holda
obyekt matematik modeli integral yoki integro-differensial tenglama ko’rinishida
ifodalanadi.
Agar tenglamada noma’lum funksiya integral ostida qatnashsa, bu tenglama
integral tenglama deb ataladi. Chiziqli integral tenglamani umumiy holda
g ( t) y ( O - Л ¡k( t,s ) y ( s)ds = f ( t)
Й
(6 . 1 )
ko’rinishda tasvirlash mumkin. Bu yerda k (t,s), g ( t) va f ( t ) - berilgan fimksiyalar bo’lib, k (t,s) - yadro fimksiyasi deyiladi. y ( t ) - noma’lum fiinksiya, Я berilgan sonli parametr.
Integrallash sohasiga bog’liq ravishda (6.1) tenglama Fredgolm tipidagi (Í2
o’zgarmas) yoki Volterra tipidagi {Q
o’zgaruvchi) integral tenglamalar deb
ataladi.
Integral tenglamaning bir necha turlari mavjud:
\k (t,s )y (s )d s = f ( t )
S3
ko’rinishdagi tenglama ((6.1) da g ( x ) = 0 va Я = - 1 bo’lgan hol), bir jinsli
bo’lmagan 1 -tur chiziqli integral tenglama deb ataladi.
Л jk (t,s )y (s )d s = y ( t)
a
ko’rinishdagi tenglama ((6 . 1 ) da g ( t) = 1 va f ( t ) = 0 bo’lgan hol), bir jinsli 2 -tur
chiziqli integral tenglama deb ataladi.
У(О - \k(t.s )y (s)d s = f ( t )
О
-
Ill -
ko’rinishdagi tenglama ((6.1) da g ( t) = 1 va A = l bo’lgan hoi), bir jinsli
bo’lmagan 2 -tur chiziqli integral tenglama deb ataladi.
Noma’lum funksiya differensialini ham o’z ichiga olgan integral tenglamaga
integro-differensial tenglama deb ataladi.
Integro-differensial tenglamaga misol sifatida quyidagi
^ - + A \R (t,s)y (s)d s = f ( t ) ,
at
u
y ( t) ~ \R ( t,s ) y ( s ) d s
dt 2
tenglamalami keltirishimiz mumkin. Integro-differensial
tenglamalarni yechish
uchun tenglamada qatnashgan differensial tartibiga mos ravishda boshlang’ich
shartlar berilishi talab etiladi.
Integral va integro-differensial tenglamalami aniq yechimini topish o’ta murakkab bo’lib, ko’pgina hollarda ulami yechishda taqribiy sonli yechish usullaridan
foydalaniladi. Quyida integral va integro-differensial tenglamalarni taqribiy
yechish uchun bir necha sonli usullar va bu usullar algoritmi asosida tuzilgan dasturlar keltirilgan.
6.1.1-tur Volterra tipidagi integral tenglamalarni yechish
Chiziqli 1 -tur Volterra tenglamasi quyidagi
\k (t,s )y (s )d s = f ( t ) , r,se[a,ii]
( 6 .2 )
ko’rinishga ega.
Agar k (a ,a )& 0, f ( a ) = 0 bo’lib k (t,s), f ( l ) funksiyalar (a,b) oraliqda
uzluksiz k ,( t,s ) , f (t) hosilalarga ega hamda k (l,s )*
0
bo’Isa, (6 .2 ) tenglama
shu oraliqda uzluksiz yagona yechimga ega bo’ladi.
(6.2) tenglamani yechishda kvadratura formulasidan foydalanamiz. Dastlab
(6 .2 ) tenglamaning ikkala tomonini t bo’yicha bir marta differensiallab, hosil
bo’lgan ifodada t = a desak,
-
112 -
(6.3)
tenglikni hosil qilamiz. (6 .2 ) tengiamadagi integralni o’zgarmas h qadamli trapetsiya formulasi bo’yicha chekli yig’indiga almashtirib, quyidagi
(6.4)
rekurrent formulaga ega bo’lamiz. Bu yerda tt = a + (i - 1)h , i = 2,3
m > 1 lar uchun esa Am= 1.
(6.3)
va (6.4) formulalar yordamida v, (/ = 2,3,...) larni ketma-ket aniqlash
mumkin.
Chiziqli 1-tur Volterra tenglamasini yechish uchun Paskal tilida tuzilgan
dastur matni:
program volter l: uses crt;
const
a ~ 0 .0 ;
f t n in g boshlang'ich q iy m a li}
n- 31;
{ i b o ’y ic h a n u q ta la rso n i}
h = 0 .l;
{ t bo ’y ic h a qadam }
type vek~ array[ L .n ] o f real:
var y,t,c:vek; s:real;i,j:integer;
fu n c tio n f(x:real):real;
begin
f:=x*x
{ f(t) fiinksiya ko'rinishi }
end;
function fl(x: real): real;
begin
fl:=2*x
{f
‘‘( 0
funksiya ko'rinishi }
end;
function r(x,y.real).real:
begin
113 -
r:=2+x*x-y*y
{r(t,s) f u n k s i y a k o ’rinishi }
end;
begin clrscr;
f o r i:= l to n do begin l[i]: = a+ (i-l)*h; c [ i] := l.0 end;
c f 1]: =0.5; y [ 1]: = fl (a)/r(a, a ); to ch [I]: =ftoch(a);
f o r i: ~ 2 to n do
begin
s:=0;
fo r j:
/ to i-1 do s:= s+ c[j]*r(t[i],t[j])*y[j];
y fi j: =2/r(t[i],t[i]) m i m - s ) ;
end;
f o r i;= l to n do w riteln(l[i]:5:2,' ',y[ij: 10:6);
end.
Misol. Berilgan dasturdan foydalanib, berilgan a - 0, h = 0,05,
f(t) =t \
k ( t . s ) - 2 + r - s 1 lar uchun olingan (6 .2 ) integral tenlamaning taqribiy va aniq
y ( l ) - t e 'r
1
/
|
2
yechimlari har xil t lar uchun quyidagi jadvalda keltirilgan.
Taqribiy yechim
Aniq yechim
t
Taqribiy yechim
Aniq yechim
0 ,0
0 ,0 0 0 0 0 0
0 ,0 0 0 0 0 0
1 ,6
0,444020
0,444860
0 ,2
0,197000
0,196040
1 ,8
0,355225
0,356218
0,370889
0,369247
2 ,0
0,269770
0,270671
0 ,6
0,503031
0,501162
2 ,2
0,194969
0,195628
0 ,8
0,582535
0,580919
2,4
0,134354
0,134723
! i,o
0,607539
0,606531
2 ,6
0,088411
0,088523
0,584365
0,584103
2 ,8
0,055624
0,055555
0,525031
0,525436
3,0
0,033494
0,033327
j
;
’ ’2
1,4
'
6.2.2-tur Volterra tipidagi integral tenglamalarni yechish
Chiziqli bir jinsli bo’lmagan 2-tur Volterra tenglamasi quyidagi
y ( 0 - ] k ( t,s ) y ( s ) d s = f ( t ) ,
i„se[a,6]
(6.5)
ko’rinishga ega. Bu yerda k ( t , s ) - yadro funksiyasi, s = a , i = b , l = s chiziqlar
bilan chegaralangan uchburchak ichida va uning chegarasida uzluksiz, f ( t ) funksiya [a,b\ oraliqda uzluksiz. y ( t ) - noma’lum funksiya.
(6.5) tenglamani yechishda kvadratura formulasidan foydalanamiz. (6.5)
tenglamadagi integralni o’zgarmas h qadamli trapetsiya formulasi bo’yicha chekli
yig’indiga almashtirib, quyidagi
f ( t l) +hYdA,k(tl>t,)yJ
y ( h ) = y , = ------------ f ---------------->
(6-6)
1- - h ft,; ,)
rekurrent formulaga ega bo’ lamiz. Bu yerda t: = a - ( i
] )h ,
i = 2,3,...,
m > 1 lar uchun esa Am= 1. Agar (6.5) tenglamada t = a desak,
y (a ) = f ( a )
(6.7)
ga ega bo’lamiz.
(6.6) va (6.7) lar yordamida y i (i = 2,3,...) larni ketma-ket aniqlash mumkin.
Chiziqli 2-tur Volterra tenglamasini yechish uchun Paskal tilida tuzilgan
dasturmatni:
p ro g ra m voller J2; uses crt;
const
a -0 .0 :
{t m n g boshlang 'ich q iy m a li}
n~-21;
{t bo 'yicha nuqtalar s o n i}
h = 0.05:
{ i b o 'yicha qadam }
type vek= array[I..n] o f real;
var y.t,c:vek;
-
115 -
s.real;
i j :integer;
function f(x: real): real;
begin
f:=(l-x*exp(2*x))*cos(l)-exp(2*x)*sin(l) { f(t) funksiya ko’rinishi }
end;
function r(x,y:real):real;
begin
r: = l-(x-y)*exp(2*x)
(r{t,s) funksiya k o ’rinishi )
end;
begin clrscr;
fo r i:= l to n do begin
t[i]:=a+(i-l)*h; c[i]:=1.0
end;
c[l]:=0.5;
y[l]:=f(a);
fo r i: =2 to n do
begin
s:=0;
f o r j : ~ I toi-I dos:=s~c[j]*r(t[i]j[j])*y[j];
y[i]:=(f(t[i])+h*s)/(l-h*r(t[i],t[i])/2);
end;
for i:=I to n dowriteln(t[i]:5:2,' ',y[i]:10:6);
end.
M isol.
Berilgan
dasturdan
foydalanib,
berilgan
a = 0,
h = 0,05,
f ( t ) = - ( \ - t e 1' ) c o s \ - e 2' sin ], k (t,s ) = \ - ( t - s ) e 1' lar uchun olingan (6.5) in­
tegral tenlamaning taqribiy va aniq y ( t) = e'(cose‘ - e ' sine') yechimlari har xil t
lar uchun quyidagi jadvalda keltirilgan.
-
H6 -
t
Taqribiy yechim
Aniq yechim
0,0
-0,301169
-0,301169
0,2
-0,983602
-0,983569
0,4
-2,101015
-2,100915
0,6
-3,669153
-3,668947
0,8
-5,284334
-5,284021
1,0
-5,513842
-5,513636
1,2
-1,309168
-1,309882
1,4
10,545296
10,542137
1,6
25,010640
25,006065
1,8
14,346203
14,355014
2,0
-45,527236
-45,489898
6.3. Fredgolm tipidagi integral tenglamalarni yechish
Umumiy holda chiziqli bir jinsli bo’Imagan Fredgolm tipidagi integral
tenglamalar
a y ( t ) - A\k ( t,s ) y ( s ) d s = f ( t )
(6.8)
ko’rinishga ega. Bu yerda x , s £ [a,6], k ( t . s ) - yadro funksiyasi, va u [a,6]x[a,6]
kvadratda aniqlangan va uzluksiz.
(6.8)
da, agar a - 0 va A = - 1 bo’lsa, I-turdagi; agar a = 1 va A * 0
bo’lsa2-turdagi Fredgolm integral tenglamalari hosil bo’ladi.
t= -l
(/ = 1,2,.../7) lar uchun, (6.8) dagi integralni o’zgarmas h = - —-
n -\
qadam bilan trapetsiya formulasiga almashtirsak,
<xy,~ M IL A)k,iyj = f > (/ = 12,...,«)
tenglikga
ega
bo’lamiz.
tt - a + ( i - \ ) h , / - ' 2
Bu
yerda
, A, - ~ ,
/77
y ,= y ( tt),
k = k(iiitJ),
>1 lar uchun esa Am= 1.
-
117 -
(6.9)
(6.9) da Sa = J
[О,
3
агар
1
7
Фj
Kroneker belgilashini kiritsak, ixtiyoriy
i = 1,2,...,« lar uchun
(6Л°)
n ta y i noma’lumlami o’z ichiga olgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga
ega bo’lamiz. (6.10) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Gauss usulida yordamida yechib, y, larni aniqlaymiz.
Fredgolm tipidagi integral tenglamalarini yechish uchun Paskal tilida tuzilgan dastur matni:
program fredgolm;
consI alfa=I;
{ a ning qiymati}
lambda=l;
{?, ning qiymati}
n=3 7;
{ i bo 'yicha miqtalar soni}
a= -3.14159265;
{ t ning boshlang ’ich qiymati}
b=~a;
{ t ning oxirgi qiymati}
type
matrisa~array[l..n, l..n + l] of real;
vektor=array[l ..n] of real;
var
aij.matrisa; t,y,c. vektor;
h:real;i,j:integer;
function f(x:real):real;
begin
f: =25-16*sqr(sin(x))
{ f ( t) funksiyaning berilishi}
end;
function fk(x, s: real): real;
begin
fk :- 0 .3/(0.64 *pi*sqr(cos((x~s)/2))-pi)
{ k(t.s) funksiyaning berilishi}
-
118
-
end:
function d(l,m: integer):integer;
begin
if l=m then d: = / else d: ~-0;
{ S:i funksiyaning berilishi}
end;
procedure gauss(b:matrisa; var y.vektor);
yar max,c:real;
Km: integer;
begin
for i:= l to n do
begin
max: -=abs(b[i,i]); j: =/;
for k r -i+ l to n do if abs(b[k,i])>max then
begin
max:=abs(b[K>]): j:=k;
end;
if/< >i then fo r k: =i to n+J do
begin
c:=b[i,k];bp.k]:=b[j,k];
bfj,kj:=c;
end;
c:~b[i,i];
fo r k:=i to n -1 do b[i,k]:=b[i,k]/c;
for m :=i+l to n do
begin
c:~b[m.i];
fo r k:= i+ 1 to n -1 do
b[m.k]:=b[m,k]-b[i,k]*c;
end;
end:
- 119 -
y[n ]:—b[n,n+l];
fo r i:=n-l dowrtto 1 do
begin
y[i]:=b[i,n+l];
for k:=i+1 to n do
y[i]:=y[i]-b[i,k]*y[k]
end;
end;
begin
h:=(b-a)/(n-l);
for i: = l to n do begin
t[i]:=a+(i-l)*h; c[i]: = l
end;
c[l]:=0.5; c[n];=0.5;
for i; = 1 to n do fo rj: = 1 to n do
aijfij]: =alfa *d(i,j)-h *lambda *c[j] *fk(t[i], t[j]);
for i;= ] to n do
aij[i,n+ I]:= f(l[i]);
gauss(aij,y);
for i:= l to n do writeln('t T',t[i]:8:6.' \y[i]:10:9);
end.
Misol. Berilgan dasturdan foydalanib berilgan a = ~n, b = n, a = 1, /1 = 1,
/7 = 37,
f(t) = 25-\6sin-t, k(t.s) =-------—-------- it lar uchun olingan (6.8) integral
0.64;r cos1
2
128
tenlamaning taqribiy va aniq y(t) = 8.5 +— awIt yechimlari har xil t lar uchun
quyidagi jadvalda keltirilgan.
/
Taqribiy yechim
Aniq yechim
-3,141593
16,029411784
16,029411765
-2,792527
14,267864029
14,267864011
-
120
-
-2,443461
9,807468605
9,807468590
-2,094395
4,735294098
4,735294086
-1,745329
1,424667324
1,424667316
-1,396263
1,424667340
1,424667334
-1,047198
4,735294138
4,735294133
-0,698132
9,807468648
9,807468644
-0,349066
14,267864050
14,267864046
-0,000000
16,029411768
16,029411765
0,349066
14,267864050
14,267864046
0,698132
9,807468648
9,807468644
1,047198
4,735294138
4,735294133
1,396263
1,424667340
1,424667334
1,745329
1,424667316
2,094395
1,424667324
'
4,735294098
4,735294086
2,443461
9,807468605
9,807468590
2,792527
14,267864029
14,267864011
3,141593
16,029411784
16,029411765
6.4. Integro-differensial tenglamalarni kvadratura
formulasi yordamida yechish
Ushbu
У (O+a"
y (t)-\R (t-T )y (T )d v
(6. 11)
integro-differensial tenglamaning
y ( 0 ) = a, y fO) = b
(6.12)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinsin. Bu yerda
f ( t ) , R (l) - [0./] oraliqda berilgan uzluksiz funksiyalar.
(6.11)
- (6.12) Koshi masalasi yechiminining kvadratura formulasiga
asoslangan taqribiy yechish usuli algoutmi quyidagi amallar ketma-ketligidan ibo-
-
121
-
rat: (6.11) tenglamani t bo’yicha [о,- /] oraliqda bir marta integrallab, (6.12) ning
ikkinchi shartidan foydalansak,
у ( t ) - b + coz ^ y (s )d s - jjR ( s - T ) y ( r ) d z d s = ^ f(s)d s
tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglamani yana bir marta t bo’yicha [o. t] oraliqda
integrallab, (6.12) dagi birinchi shartdan foydalansak
y ( t ) - a - b t + со1 j jy ( s ) d s d z - jj$ R (s-T )y (r)d T d sd z = j'jf(s)d sd z
tenglamani hosil qilamiz. Agar oxirgi tenglikdagi integrallar uchun quyidagi
'Я - W
(I (I
\ ( t - r)" -' <p( T ) d r
t) d ld t...d t = — ( W — 1) .
0
о
formulani qo’llasak, u quyidagi ko’rinishga ega bo'ladi
/
/
Ï
y ( t ) - a - b i + Ú)1 J(7 - s) y ( s) ds - j ( l - s ) jR( s - г ) y ( r )dzds
_d
ü
o
= \(t-s )f(s )d s
(6.13)
fl
Bu tenglikdagi
\( t- s ) ^ R ( s - т)y(z)d rd s
t>
0
integralda integrallash tartibini
o’zgartirib,
\(t - s )\R ( s - t )y ( t )dzds = J \(t ~ s - т)R (r)djy(s)ds
n
0
00
ni hosil qilamiz. U holda (6.13) ni quyidagi
y ( t ) - a + b t-W
j ( t - s) y ( s ) d s - J j(/ - s - г ) R ( t )d ry(s )ds
l'i
n (i
(6.14)
+ ) ( t - S ) f ( sjds
ko’rinishda yozish mumkin bo’ladi. Bu yerda tn=n -A t (« = 0,1,2,... ) deb, integrallarni taqribiy ravishda trapetsiya formulasiga almashtirib
V = a + bt —oy
£4<7„ -t,)y - Z tR,,y.
122
-
+ E
¿ .O '- U f « ,)
(6.15)
tenglikga ega bo’lamiz.
i = 0, 1, 2,.... n; 4 = A
Bu yerda
At
'
2
y ,= y ( t ,) ,
j(X ~ l, -T )R (r )d r ,
0
A-= 1, 2..... n -\.
, A = A t.
'
(6.15) rekkurent formula har bir
n = 1,2,3,...
uchun
y,
larni
yj
0 = 0, 1, 2..... n - \) larorqali topish imkonini beradi.
(6.11)
- (6.12) Koshi masalasini yechish uchun Paskal algoritmik tilida
tuzilgan dastur matni:
program inijeng; uses crt;
const nt=20; dt=0.2; ya -1 ; yb= l; omega_kvad=6;
type vek=array[0..nl] of real:
var a,y,r,t:vek; s i ,s2,s3,s4, s5,tk, inti .real; i,n:integer;
function fr(z:real):real;
begin
fr:=exp(-3*z)
end;
function frl(z: real): real;
begin
f r 1: =(tk-z) *f'(z)
end;
function ff(z: real): real:
begin
ff: =5.5*exp(z)^ 1.5*exp(-3*z)
end;
procedure simpson(a,b:real; n:integer; var inf.real);
var h,s,sl,s2:real; i:integer;
begin
h:=(b-a)/(2*n); s /:-0 : s2:~0; s:=frl(a)+frl(b):
fo ri:--l to n do si:= sl ~fr!(aJ~(2*i-l)*h):
fo ri:= I ton-1 dos2:~s2-frl(a+2*i*h):
-
123 -
int: = h * (s+ 4 * sl+ 2 *s2)/3;
end;
begin clrscr;
fo r i: =0 to nt do begin t[i]:=i*dt; a[ij:=dt end;
a[0]: =dt/2; afnt]: =dt/2; y[0]: =ya;
for i: =0 to nt do begin tk: =i*dt;
simpson(0,tk,50,intl); r[i]:=intl end;
s l : —0; s2:=0; s3:=0; s4:=0;
for n: = l to nt do
begin
si:= sI +a[n-l]*y[n-1]; s2:=s2+a[n-I]*t[n-l] *y[rt-I];
s3: =s3+a[n-1] *f(t[n-1]); s4:=s4+a[n-l]*t[n-l]*f(t[n-lj);
s5: =0;
fo r i:=0 to n-1 do s5:=s5+a[i]*r[n-i]*yfi];
y[n]:=ya+yb*t[n]-omega_kvad*(t[n]*sI-s2-s5)+t[n]*s3-s4;
end:
fo r i:=0 to nt do writeln('t=',t[i]:4:2,' y-,y[i]:7 :4;
end.
Misol.
f ( t ) = 5,5e‘
Berilgan
dastur
yordamida,
ushbu
o r = 6;
R ( t ) = e }'\
<7= 6 = 1 qiymatlar uchun (6.11), (6.12) masalani yeching.
Yechish. Dasturga kerakli boshlang’ich ma’lumotlarni kiritamiz: nt, At mos ravishda I b o ’yicha olingan tugiin nuqtalar soni va qadam, ya = a , yb = b,
omega_kvad = a f . Dastur yordamida olingan natijalar va masalaning aniq
y ( t) = e' yechimi t ningharxil qiymatlari uchun quyidagi jadvalda keltirilgan.
y (0
/
Aniq yechim
At = 0,05
At = 0,1
At = 0,2
1
2,7186
2,7194
2,7229
2,7183
2
7,3886
7,3871
7,3809
7,3891
-
124 -
3
20,0863
20,0886
20,0979
20,0855
4
54,5992
54,6024
54,6142
54,5982
5
148,4157
148,4232
148,4519
148,4132
Tayanch so’z va iboralar. Integral tenglama, integro-differensial tenglama,
Volterra tipidagi integral tenglama, Fredgolm tipidagi integral tenglama, yadro
funksiyasi, trapetsiya formulasi, kvadratura formulasi.
Savollar
1. Modellashtirishda obyektning qanday xossalari integral ko’rinishda hisobga
olinadi?
2. Integral tenglama ta’rifl va unga misollar keltiring.
3. 1-tur Volterra tipidagi integral tenglamaga ta’rif bering.
4. 2-tur Volterra tipidagi integral tenglamaga ta’rif bering.
5. 1-tur Fredgolm tipidagi integral tenglamaga ta’rif bering.
6. 2-tur Fredgolm tipidagi integral tenglamaga ta’rif bering.
7. Volterra tipidagi integral tenglamalarni yechish algortmini keltiring.
8. Fredgolm tipidagi integral tenglamalarni yechish algortmini keltiring.
9. Integro-differensial tenglama deb qanday tenglamaga aytiladi?
Misollar
keltiring.
10.Integro-differensial tenglama tartibi qanday aniqlanadi?
11.Integro-differensial tenglamani yechishda kvadratura formula usuli va uning
algoritmi.
Misol va masalalar
Quyida berilgan integral tenglamalarni yuqorida keltirilgan dasturlardan
foydalanib yeching.
1 . ) ( t - s ) y ( 5) d s = t— + ,- - t— ;
t,s e [0 ,i]
2 . j ( t - s ) y ( s ) d s = t + s in t - 2t co st;
-
125 -
t.s e \0 : 7 i \
3- ¡ ( t ~ s ) 2y ( s ) d s = — + — ;
l , s e [0;2]
4. y ( t ) ~ \ ( t - s ) y ( s ) d s = t + 1;
5-
y (0
/ , s e [0Л]
- j ( t - s ) 1y ( s ) d s = te 4 ;
t , s e [l,3]
6 - y ( t ) ~ ¡ ( t - s ) y ( s )d s = t ' + t - 1 ;
t ,s e [2;4 ]
1
7. j ( t - s ) y ( s ) d s = s in t + c o s t
8 . j ( t - s ) 2y ( s ) d s = ( 2 + 2t - 1
9. ~je~2<'" " y ( s ) d s = t - 1
1
10. y ( t ) - 0.5 Jf г - s ) y ( s ) d s = / + 1
i)
l
1 1 . y ( t ) - j ( t - s ) 2 v ( s ) d s = sin n t
0
1
1 2 . y ( t ) ~ je " " ‘y ( s ) d s = t 2 + t
-
126 -
7-BOB.
CHIZIQLI DASTURLASH MASALASI
Ayrim agroinjeneriya masalalarini yechish, shu jumladan gidromelioratsiya
masalalari chiziqli dasturlash masalalarini yechishga keltiriladi. Chiziqli dasturlash masalasi umumiy holda quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
z = c,x, + c,x,...+ cuxtl
max(min)
(7.1)
a llxl + a ,3xr .. + tf,„x <a,
a„x,
+ a„x,...
+ £7,„x, < a ,2
21 i
. . .
amlxt + am2x,... + allmx, < a u
x, > 0, x, > 0,...,x„ > 0
(7.3)
bu yerda (7.1) maqsad funksiyasi, (7.2) cheklanishlar sistemasi, (7.3) nomanfiylik
sharti deyiladi.
Masalada x , x ,......x:i
o’zgaruvchilarning shunday qiymatlarini topish
kerakki, ular (7.1) va(7.2) shartlarni qanoatlantirsin hamda (7.1) funksiya maksimal (minimal) qiymatni qabul qilsin.
Ushbu masalani umumiy holda simpleks usulda, o’zgaruvchilar soni ikkita
bo’lgan holda esa, grafik usulda yechish mumkin.
7.1. Chiziqli dasturlash masalasini grafik usulda yechish
Agar (7.1)-(7.3) masalada o’zgaruvchilar soni ikkita bo’lsa, bu masala quyi­
dagi ko’rinishga keladi:
' = c,x, + c 2:c -> m ax(m in)
(7.4)
anx, + al2x, < ¿7,
a,.x. + o„x, < a.
(7.5)
amlx, + a m,x, < al:
x, > 0, x, > 0
(7.4)
(7.6)
-(7.6) masalani grafik usulda yechishni ko’rib chikamiz. (7.5) va (7.6)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlar yechimlar ko’pburchagi deyiladi.
-
127 -
Teorema.
Maqsad
fimksiyasi
o’zining optimal
qiymatiga yechimlar
qo’pburchagining chegara nuqtalarida erishadi.
Chiziqli dasturlash masalasini grafik usulda yechish quyidagi tartibda bajariladi:
l)Berilgan masaladagi tengsizliklarga mos tenglamalarni tuzamiz va ularni
mos ravishda
a„x, + a l2x: =ö,
(LJ
anx, + a22x2 = a,
(L2)
a mlx, + a m2x 2 = an
(Lm)
■*i=0
(L,„J
x, = 0
(Lmt2)
bilan belgilaymiz.
2) (LJ, (L2)......(L„t2) tenglamalar bilan berilgan chiziqlami X,0X2 koordinatalar tekisligida ifodalaymiz (7.1-rasm).
7.1-rasm
3) (7.5) da berilgan tengsizliklarga mos yarim tekisliklarni aniqlaymiz (7.2rasm).
- 128 -
7.2-тasm
Rasmdagi har bir to ’g’ri chiziq grafigiga qo’yilgan strelkalar (7.5)-(7.6)
tengsizliklarga mos yarim tekisliklarni aniqlaydi.
4)
Yarim
tekislikiaming
kesishmasini
qaraymiz.
Agar
kesishma
ko’pburchakdan iborat bo’lsa, masalaning yechimi chekli qiymatga ega bo'ladi.
Ushbu ko’pburchak yechimlar ko’pburchagi bo’Iib, uning ixtiyoriy nuqtasi
berilgan (7.5)-(7.6) tengsizliklar sistemasini qanoatlantiradi (7.3-rasm).
7.3-rasm
Agar kesishma bo’sh to’plam bo’lsa, masala yechimga ega bo’lmaydi (7.4-rasm).
-
129 -
7.4-rasm
Kesishma bo’sh to’plam bo’lmagan holda masalaning optimal yechimini topish uchun o ’zgaruvchilarning shunday qiymatlarini topish kerakki, ushbu qiymatlarda z maqsad funksiyasi eng katta (eng kichik) qiymatga erishsin. Bunday qiymatlar yechimlar ko’pburchagining chegaraviy nuqtalarida bo’ladi. Agar optimal
yechim ko’pburchakning bitta uchida bo’lsa, yechim yagona bo’ladi, aks holda
masala cheksiz ko’p yechimga ega bo’lib, ular ko’pburchakning optimal yechim
qabul qiladigan uchlarining chiziqli kombinatsiyalaridan iborat bo’ladi.
Agar yarim tekisliklar kesishmasi cheksiz soha bo’lsa, masala yechimining
qiymati yuqoridan chegaralanmagan bo’lishi mumkin (7.5-rasm).
7.5-rasnt
Agar kesishma bo’sh to’plam bo’lmasa. masala ikki xil usulda yechiladi.
-
130 -
Birinchi usai:
1) Yechimlar ko’pburchagi uchlarining koordinatalari aniqlanadi.
2) Aniqlangan koordinatalar - funksiyasiga qo’yiladi.
3) Hosil bo’lgan qiymatlarning eng katta yoki eng kichigi topiladi.
Ikkinchi usul:
1) n(c,,c,) normal vektor chiziladi.
2) Normal vektorga perpendikulyar bo’lgan z = 0 to’g’ri chiziq chiziladi
(7.6-rasm).
7.6-rasm
3)Masala maksimumga qaralayotgan bo’lsa, z = 0 to’g’ri chiziq normal
bo’ylab o ’ziga nisbatan parallel holda suriladi, minimumga qaralayotgan bo’lsa,
qarama-qarshi tomongasuriladi.
4) Parallel surish jarayonida ; = 0 to’g’ri chiziq yechimlar ko’pburchagiga
urinadigan oxirgi nuqtada masala optimal yechimga ega bo’ladi.
Masalan, quyidagi 7.7-rasmda z funksiya A(x.y)
matga erishadi.
-
131 -
nuqtada maksimal qiy-
7 .7-rasm
Masala. Quyidagi chiziqli dasturlash masalasini grafik usulda yeching:
z = 2x, + 4 x, —> max
x, + 2 x 2 > 4
Z-,
- x, + x , < 3
L,
x, > 0 , x, > 0
Yechish. Berilgan (LJ, ( L J tengsizliklarga mos tenglamaJami yozamiz:
(LJ
(L2)
Beriigan tenglamalarga mos to’g’ri chiziqlarni va tengsizliklarga mos yarim
tekisliklarni
X,OX2
koordinatalar
tekisligida
ifodalab,
yarim
tekisliklar
kesishmasini topamiz (7.8-rasm).
Bu yerda AC to’g’ri chiziq bilan chegaralangan yuqori yarim tekislik L,
tengsizlikni, BC to’g’ri chiziq bilan chegaralangan quyi yarim tekislik esa L,
tengsizlikni ifodalaydi. Bo’yalgan sohadagi nuqtalarning koordinatalari beriigan
masaladagi barcha tengsizliklarni qanoatlantiradi. z maqsad funksiyasi maksimal
qiymatga
ABC uchburchakning chegaraviy nuqtalarida erishganligi sababli,
optimal yechimni topish uchun A, B, C nuqtalarning koordinatalarini topib, r
-
132
-
funksiyasiga q o ’yamiz va ularning ichidan г funksiyaga eng katta qiymat beruvchi
nuqtani tanlab olamiz.
\
"•Сч !'
7.8-rasm
S nuqta (/.,) va (L ,) to ’g’ri chiziqlaming kesishish nuqtasi bo’lganligi uchun
ushbu tenglamalarni birgalikda yechamiz.
pt, + 2x, = 4
|д- +x, =3
Tenglamalar sistemasidan xt = 2, x, = 1
ekanligi kelib chiqadi. U holda
A,B,C nuqtalarning koordinatalari quyidagicha bo’ladi: A(0.2), B(0,3), C(2,\).
Ushbu nuqtalarning koordinatalarini maqsad funksiyasiga qo’yib, quyidagilarni
hosil qilamiz:
= 2 - 0 + 4-2 = 8
r„ = 2 - 0 + 4-3 = 12
-, = 2-2 + 4 - l - 8
Yuqoridagilardan ko’rinib turibdikir funksiya maksimal qiymatga V nuqtada
erishadi:
= 12. x[ =-.o.
=3.
- 133 -
СЫ/лцН (ЗаБШНавИ т а з а ^ Ы атаНу ёаяШНаг, таяа1ап ПЭР, Ехсе1 ёаБШг1аг1 yordamida Ьаш уесЫэЬ т и т к т . У 1К]опёа§1 таза1аш Ехсе! е1ек!гоп ]аёуаП
yordamida уесЬагтг. Вишгщ исЬип е1ек1гоп jadvalda тайа1а tengsizliklardagi
koeffltsiyentlar уа ozod hadlarn¡ ¡кктсЫ уа исЫпсЫ satrlarga, г ГипкзК'а коеГП181уеп11аг1п! 1о’г1тсЫ 5а1г§а. х, уа х, o ’zgaruvchilarning ЬозЫагщ’юЬ я1ута11аг1п! О ga 1ег^1аЬ ЬеэЫпсН! ца1ог§а уогагснг.
Natijada jadval quyidagi
ko’rinishga keladi:
Кигеогт С2 yacheykaga о’таиЬ / г пщтаБШ ЬоБашг. Nat¡jada quyidagi
muloqot оупав! ИозПbo’ladi:
а
и р с)гупк|1Ий
ш аг 1 и з ,?
Поиск фунгаяии:
Б е л и т е краткое- описание д е и с т з и я , к о т о р о е к /» 'л о
ып опнить, и н ай м и т е кнопку "Найти"
Категория: 10 недаено иг.пользое-ялдихся
Выберите фунгиню:
СУММ
СРЗНАЧ
ЕСЛИ
ГИПЕРССЫЛКА
СЧЁТ
МДКС..................
СУММПРОИЗВ(массив1;иассив2;массивЗ;...)
Возвращает сумму произведений соотьетстьующи.;
и гн диапазонов.
щ&аека го этойфункции
-
134 -
НобП Ьо’1§ап ти!с^оТ oynasida «Категория» Ьо’Нггпс1а «Математическое»
рипкИт 1ап1ауггш,
«Выберите фнукцию» Ьо’И п^а «Суммпроизв» й тк-
5!уа51’т 1ап1аугтг.
асгер функций шаг 1мг 2 .
Поиск ф уж ц й й :
: Введите кр а т ко е описание д ействия, которое нужно
выполнить, и найм ите к н о п к у "Найти“
К а т в г о р я : : Математические
V
Выберите ф ункцию:
■слчис
......................................................
" лН
; СТЕПЕНЬ
СУММ
СУММЕСЛИ
СУММКВ
СУММК8РАЗН
К Ш Ш Р Ш Я Ш ’Щ ЯЩ Щ Р;'';
С УМ М П Р 0 И 38 (м а с с и в 1;м а с с и в 2 ;м а сси в З ;...)
Возвращает сумму произведений соотв етствую щ их элементов пассивов
или диапазонов.
Справка по этой Фун )сции
|
ОК
| |
Отмена
8о ’п ^ а «ОК» 1.и§тазт1 ЬоБагшг. Natijada quyidagi ши1ояо1 оупаБ1 ЬсмП
bo,]adi:
Арг^^енты
О^МПРОКЗВ
Массив1
..&И
Масси&2
■; ш -
МассивЗ
.... ш -
В озвр ащ ае т сумму произведений с о о т в е т с т в у ю щ и х элем ен тов массивов или диапазонов.
М з с с и в 2 : массив1 ;м а сси в 2 ;... о т 2 д о 30 массивов, ч ь и ком п о н е н ты н у ж н о
п е р е м н о ж и ть , а затем с л о ж и ть полученны е п р оизв ед ен ия . Все
м ассивы д о л ж н ы им еть о д н у и т у ж е размерность.
Спс-авка п о этой »функции
I
Значение:
ОК
| |Отмена
]
Н обП Ьо’^ап navbatdagi тЫояог oynasida «Массив 1» darchasidagi
П ^тасИ ат Ьоб1Ь, А2: В2 diapazonidag¡ таЧ итоЙ агт, «Массив 2» darchasidagi
-
1.45 -
tugmachani bosib, A5: B5 diapazonidagi ma’lumotlami kiritamiz, «Массив 2»
darchasidagi diapazonni fiksirlash uchun F4 tugmasini bosamiz:
C.V№
riPr*t38
Массив 1 Q
¡¡В--о#
0Й”№
;0)
:s=
g B
М
ассив?■$A$S;$В$5
MacoiB3
Богерсщоет суж у произведении соответствующих элементов масовов ипц диапазонов;
Массив1:
массиБ1;нассие2;... от 2 до 30 несо©ов, чьи коютоненты нужно
перелож ить, а затем споаситъ полученные произведения. &с*
к а х и з ы до а ч ’л ы иметь одну и ту же оэгнерноегь..
С ч и з в к о п о з г е й о у як ц и и
Стигма__ j
З н а ч е н и е :Q
So’ngra «ОК» tugmasini bosamiz va C2 katakda hosil bo’lgan ma'lumotni
C3: C4 diapazoniga nusxa qilamiz. Natijadajadval quyidagi ko’rinishga keladi:
Jv.WPPIPePJ? .'.'.J'
w j
Правка
Вид - ■Вставка
-1
-
D7
A
’ ;;1~
'■ J
;4
\5
Гб
;.7-
& эж ы е
^ **•
■ A rialC yr
. ni.
Формат • Се0ейс:
f
1
1
¿.
i 0
r?
10
.v i *
А '
Окно
"
Ч
' |Е
Ж
»
'»:ij ;
%
О
f*
в
C
2
1
4
■Ш
j
0? I
0 >=
0 <=
0 max
E
4
3
I ........1
■8 ;
Kursorni maqsad funksiyasi koeffitsiyentlari joylashgan C4 katakka o ’rnatib,
«Сервис-Поиск решения» buy rug’ini beramiz.
-
136 -
: u £ j gytfifr
Правка : еид
. 'А -Л
:!
Г-7
Орфография...
Спраеочныч ^атери .л ы ..
Alt+щелчок
Проверка наличия ошибок •••
Общая рабочая о б ласть...
Догтупгкк1гс...
Защита
Совнестнда работа
i
За^сип ост и формул
I
Поиск решения..
Natijada quyidagi «Поиск решения» muloqot oynasi hosil bo’ladi.
Поиск ришс>|ил
У с та н о в и т ь ц е л е в у ю я ч е й ку :
Р авной;
i< 3 2 Я Н
Ci- Ц'Эксимальному зн а ч е н и ю
•
О ^ w c r tiio :
i
Закры ть
I
О минимальному зн ач ен ию
Изменяя ячейui:
r$A$5s$B$5
_ l ^ e j . | П редположить j
-yrpdrlMHtiHH«;
Парам етры
;$
С$2>«$£$2
;$ с $ з < = $
i
|
Д об авить
j
• [ Удалить
|
е й
j В о сста н о в и ть
С п р а в ка
Hosil bo’lgan muloqot oynasida «Установить целевую ячейку» darchasiga
C4 katagini, «Изменяя ячейки» darchasiga A5: B5 diapazonini kiritamiz. «Ог­
раничения» darchasiga o’tib «Добавить» tugmasini bosamiz va quyidagi oynani
hosil qilamiz:
OK
|
j
О тм ена
|
] Д об авить
|
(
С п р а в ка
|
Hosil bo’lgan muloqot oynasida «Ссылка на ячейку» darchasiga C2 ni kiritamiz, tengsizlikni aniqlaymiz, «Офаничения» darchasiga E2 ni kritib, «Доба­
вить» tugmasini bosamiz.
Добавление ограничения
С с ы л к а н а .а ^ е й к у :
О гр а н и ч е н и е
i'-n .... .
|
ОК
Ж ! [>=’
[
О тм ена
[
v *т \......
| Д об ави ть
] ■■■
|
С п ра вка
|;
С 5: Е5 diapazondagi munosabatni ham shu tariqa kiritib, «ОК» tugmasini
bosamiz. Natijada «Поиск решения» muloqot oynasiga qaytamiz:
П оиск рвш еннл
У с та н о в и т ь ц е л е в ую я ч е й к у :.
Равной:
0
•Ц
максимальному зн а ч е н и ю
О
значению :
[О
минимальному знам ению
№!-1<?няяя--:^ики: '
•
:$Д$5:$В$5
[^П редположить |
[
О гр а н ич е н ия :
• ; $ С $ 2 > « $ Е $ 2 ............
•
Д о б а в и ть
|
j
И з м е н и т ь "'
j
П арам етры J
; *С $ 3 < = $Е$з
________________
\
У д а п ить
_______________ _
j Восстан овить j
\
I_______________
nrtasvja
I
«Параметры» tugmasini bosamiz. Natijada quyidagi muloqot oynasi hosil
bo’ladi:
-
138 -
П а р *у « .Т р Ь !;П О И С Д д р е ш е н и я
I
‘ 100
Максимальное §ремя:
Предельное число итерации:
секунд
100
Относительная погрешность: ;0,000001
Д дп^типое о тк^п е ни е ;
5
Сводимость:
П
'%
Оценки
О
1
Отмена
|
|
Загрузить иодед?...
(
С
Пинемная модель
ок
[
| Сохранить модель...
-0,0001
О Меотрицательнь»? качения!
Г
|
|
Справка
]
Автоматическое масштабирование
Г~1П оказы вать цезультагы итерации
Разности-
М етодпонска
линейная
•'*) прямые
0
Ньютона
квадратичная
О ^ентрапьны е
О
сопряйсенных градиентов
Оупас^1 «Неотрицательное значение» рагатеИчш Ье^Иаупиг.
{|д р « и > « т р ы п п и с к а р е ш с и и я
Максимальное время:
: 100
Предельное число итераиий:
. секунд
[
ОК
|
100
Относительная погрешность: ;0,000001
Д ор /стим ое отклонение:.
5
Сходипосг*:
0,0001
]
| 2агру»нтьмодель... _]
%
. 1П ннеж зя модель
____ ]
Отмена
[ Сохранить м о д ел ь...
[
(,3 Автоматическое масштабирование
^ .'Н е о трицательное значения!
0-?нк.-?«кости
Г~1 Показывать везультаты итераш«
М ^тод поиска
•..») линейная
( : ) грямые
•;*">Цьютона
О квадратичная
О йентральные
О сслряжекиы/ градиентов
«ОК» ^ т а Б Ы
\
¿правка_______ |
Ьоз1Ь, «Поиск решения» ти1оцо1 oynasiga qaytam¡z уа
«Выполнить» ^ п д о ш ! ЬоБагшг. Natijada диу1^а§1 oynaga оЧагтг:
'" Л - " " " -
' Т " 11 <
1
ч .................... ............................. Л
Результаты
.
Р е ш е н и е н а й д е н о , В се о г р а н и ч е н и я и у с л о в и я
оптим ал ьности вы полнены .
1ИП о т ч е т а
Р езул ьтаты
'
: У стой чивость
0 !С о х р а н и т ь н а й д е нн о е реш ение!
П ределы
ч .; В о с с та н о в и ть и схо д н ы е зн а че н и я
}
-
ОК
|
|
О тм ена
-
г
-
1
\ С о х р а н и т ь с ц е н а р и й ...
........■-
■ . ■ - - . . - - а
-
139 -
|
|
С п р а в ка
............. ....
|
]
1
«OK» tugmasini bosamiz. Natijada yechim quyidagi ko’rinishda ifodalanadi:
Microsoft Excelг- Книга!
? П равка : . Вид - B cfacK a
> Формата
берш с
Данны е
- О кн о
_
*1 -Ь^j1 -J -1 ^ i *• Ь 1
;AriülCyr
ci
lu ■ I
fi
;
î
3
l i a
и
j
fv = УММПРОИЗВ(А4: ВД: $А$5: ÏB J5)
x2
1jx T
Г2_l
\ö!
в
D
шрифт Г
..2
F
6 >=
3<=
,
С
5 ; *
Е
1 2 im a x
\ -6J
i l
\
Ushbu rasmdan ko’rinib turibdiki, barcha cheklanishlar bajariladi va yechim
quyidagi ko’rinishda bo’ladi: л, =0, .т, =3,
z mas
= 12.
7.2. Chiziqli dasturlash masalasini simpleks usulda yechish
Ma’lumki, chiziqli dasturlash masalasi umumiy holda simpleks usulda yechiladi. Chiziqli dasturlash masalasini simpleks usulda yechish ikki bosqichdan iborat bo’lib, birinchi bosqichda masalaning tayanch yechim i, ikkinchi bosqichda esa
optimal yechim topiladi.
Tayanch yechimni topish qoidasi quyidagicha:
1) (7.1)-(7.3) masalani quyidagi
z = c,jc, + c ,x ,... + cllx ll —> max(min)
у , = - a nx ] - a nx - ,...- a h:x n + a, > 0
y , - - a , ,x t - a „ x 2. . . - a ,tlx n + a, > 0
У,, = ~ a ,„!x i ~ a ,„~x ' ■■■~ a .,„,x „ + a ,„ — 0
x, > 0, л-, > 0,
>0
ko’rinishga keltiramiz.
2) Yuqoridagi munosabatlardan quyidagi simpleks jadvalini tuzamiz:
-
140 -
y,
=
v; =
=
Z —
3)
-X,
- x,
«II
a n
j
-xa
«1,..
«2,
a ,„,
Ozod sonlar
a '.„
ai
am
U m„
a ,„>
cu
c,
Ozod sonlar ustunidagi rnanfiy sonlarni qaraymiz. Agar ushbu sonlarning
hammasi musbat bo’lsa, u holda masalaning tayanch yechimi topilgan hisoblanadi.
Agar ozod sonlar orasida bir nechta manfiy sonlar mavjud bo’Isa. ulardan birini
tanlaymiz. Faraz qilaylik / - satrdagi a, < 0 ozod sonni tanlab olaylik.
J'lT ..
X- =
-x,
On
«2.
y, =
3V. =
y, =
y,„ = j
z= 1
i
" X„
Ozod sonlar
«2i,l
a,,,
o,
a,
ö«..i 1 •••
a,
a,
a „,
a,
a„m
am
C„
0
- x,
au
air<i
a*
ar... i
...
... !
c,
am,
c,
c,
c,-,
i
4) /- satrdagi manfiy sonlarni qaraymiz. Agar ushbu satrda manfiy sonlar
bo'lmasa, masala yechimga ega bo’lmaydi, agar manfiy sonlar bir nechta bo’lsa,
ulardan birini tanlaymiz. Masalan, k- ustundagi a,. <0 sonni tanlab olaylik. kustun hal qiluvchi ustun deyiladi.
5) Ozod sonlar va ¿-ustundagi
mos koeffitsiyentlar juftliklarini qaraymiz.
Agar ularning ishoralari bir xil bo’lsa. ozod sonlarni mos koeffltsiyentlarga
bo’lamiz.
- mi -
6) Hosil bo’lgan nisbatlaming eng kichigini tanlab olamiz: 9 = mini —
Bu yerda p - tanlab olingan juftliklar soni. 0 - hal qiluvchi element deyiladi.
Agar 6
j - satrga mos kelsa, j - satr ha! qiluvchi satr deyiladi. Jadval quyidagi
ko’rinishga keladi:
1
-X,
-x t
-x„
Ozod sonlar
au
<*1.
<3,
=
an
au
X =
Ou
a'.2
°2tH
al„
°2
y, =
on
an
aiui
a„,
a,
yM=
aM\
a,,,2
au\t
ai>u*i
y,=
a»
aJ
CI D
v .
y„ =
am
aml
a mk.
c.
r=
7)
a
••• |
ct
1
au,
%
a,
a,m
Gm
cu
0
elementga nisbatan modifikatsiyalangan Jordan almashtirishlarini,
boshqacha aytganda simpleks almashtirishlarni bajarib navbatdagi jadvalni
to’ldiramiz;
7.1) Hal qiluvchi satr va ustundagi o’zgaruvchilar o’rni almashtiriladi;
7.2) Hal qiluvchi element o’rniga unga teskari sonni yozamiz;
7.3) Hal qiluvchi satr elementlarini hal qiluvchi elementga bo’lib, mos kataklarga yozamiz;
7.4) Hal qiluvchi ustun elementlarini hal qiluvchi elementga bo'lib,
ishorasini o'zgartiramiz va mos kataklarga yozamiz;
7.5) Qolgan kataklar to'rtburchak qoidasi bo’yicha to’ldiriladi.
- 142 -
iVlasalan, (2.2) katakni to ’Idirish uchun quyidagi hisoblash bajariladi:
Natijadajadval quyidagi ko’rinishgakeladi:
L
i .
y, =
a'u
y: =
<*'21
a'n
a’n
a'n
y, =
y,„ =
ö',„t
-=
c\
ai2
a,x
Ozod sonlar
ß'i
aß
«'/♦u
ajk
- xn
-y,
d.
a*
a',M
ah It­
'Sit,
1
aA
a*
a',
&1, u*i
O'm»
ajbL
«/<
ai„
2 l.
aX
^ nit*1
a 'm„
a ',„
c\
c\
aß
1
.
8) So’ngra 3)-6) punktlar barcha ozod sonlar musbat bo’lguncha yoki raasalaning yechimi mavjud emasligi aniqlangunga qadar takrorlanadi.
Tayanch yechim topilgach optimal yechimni topishga o’tisli mumkin. Buning
uchun quyidagi amallar bajariladi:
1)
r qatordagi manfiy sonlar qaraladi. Agar manfiy sonlar bo’lmasa, optimal
yechim topilgan hisoblanadi va 1 - ustundagi x o’zgaruvchilar va z ularga mos
ozod sonlarga, 1- satrdagi .v o'zgaruvchilar esa nolga tenglashtiriladi. Agar ushbu
satrda bir nechta manfiy sonlar bo’lsa, ulardan eng kichigi tanlanadi. Masalan eng
kichik manfiy koeffitsiyent c'2 bo’lsin.
-x,
-y ,
! •••
- X,
Ozod sonlar
y, =
ö 'i ,
«',3
a 'u
a\ui
a'u,
a\
=
a 'n
a'r.
<
*'».1
a'l„
d2
y, =
a 'n
a'n
O'.
a’,„
«'/
yM=
a'Mi
a',AU
a'„u,
=
a',>
X
a’ik. +.l
a',i
dm
a\
dm
a',„
c'„
*" max
...
a'ml
y,„ =
z=
c\
c\
2) 2- ustundagi
c'<
musbat sonlarni
tanlaymiz. Agar ushbu ustunda musbat
sonlar bo’lmasa, masalaning optimal yechimi cheksizlikka intiladi. Agar ustunda
musbat sonlar bo’lsa, ularga mos ozod sonlami bo’lib, eng kichik nisbatni tanlab
r
\
olamiz: 0 = mini
. Bu yerda k - tanlab olingan juftliklar soni.
Iar-)„U3) Eng kichik nisbatga mos element hal qiluvchi element hisoblanadi va unga
nisbatan simpleks almashtirishlari bajariladi.
4) l)-3) punktlar z qatordagi barcha sonlar musbat bo’lgunchayoki masalan­
ing yechimi yuqoridan chegaralamaganligi aniqlanguncha davom ettiriladi.
Agar maqsad funksiyasida z = c,x, + c,x2... + cixn —>min bo'lsa, u holda masala koeffitsiyentlar ishoralari o’zgartirilib, niaksimumga keltiriladi:
z = -Cyv, - c.x. - ... —c:xn —> max
va masalayuqoridagi usul bilan yechiladi. Oxirgi natijada z,„,„ = -zmn. bo’ladi.
-
144 -
Masala:
Quyidagi chiziqli dasturlash masalasini simpleks usulida yeching.
z = 17jc, + x, + 3x, —> max
x, + x, + x, ^ 2
4x,
+
2x,
+ X. <
3
X, - X , + 2x, < -1
-
3x, + 2x_, - 2x, <5
X, > 0, x, > О, X. > 0
Yechish:
I ) Yuqoridagi masalani quyidagi
z = 17x, + x , + 3x, —> max
Уi = _дг| - x, - x„ + 2 > 0
y , = -4x, - 2x, - x, + 3 > 0
y , = -X, + X, - 2x. -1 > 0
= 3x, - 2x2 + 2x, + 5 > 0
X, >0, X, >0,...x„ >0
ko’rinishga keltiramiz.
Yuqoridagi berilgan masala uchun simpleks jadval tuzamiz.
-X,
-X,
1
2
X=
1
1
1
У2 =
4
2
i
Уз =
1
-1
2
-1
У4 =
-3
2
-2
5
г=
-17
-1
-3
0
:
i
з
Ozod sonlar ustunida bitta manfiy son -1 bor. -1 joylashgan qatordagi manfiy sonlarni qaraymiz. Ushbu satrda bitta manfiy son -1 bor. -1 soni joylashgan 3ustunni hal qiluvchi ustun sifatida qabul qilamiz. Bir xil ishorali mos ozod son va
2 ^ 2 - 1 5
3-ustun elementlaridan simpleks nisbatlar tuzamiz: —.
. — , —. Bu nisbat-
12 1- 12
-
145 -
laming eng kichigi 1 ga teng bo’lib, u 3-ustundagi -1
soniga mos keladi. -1
sonini hal qiluvchi element sifatida qabul qilamiz. Hal qiluvchi satr esa 4-satr
bo’ladi. U holdajadval quyidagi ko’rinishga keladi:
i
-1 ga nisbatan simpleks almashtirishlarni bajarib, navbatdagi jadvalga
o’tamiz.
-x.
-y}
y, =
2
1
y? =
6
2
5
1
x, =
-1
-1
-2
1
y4=
-1
2
2
3
-1
-1
1
: -18
r
....
1
.
;
1
1
2-jadvaIda barcha ozod sonlar musbat. Demak tayanch yechim topilgan.
Endi tayanch yechimlar ichidan optimal yechimni qidiramiz. Optimal yechim
mavjud bo’lishi uchun z qatordagi barcha koeffitsiyentlar musbat bo’lishi kerak.
Ammo z satrda uchta manfiy sonlar-18 ,-1 va -1 bor. Ulardan kichigi -18 ni
tanlaymiz. Ushbu ustun hal qiluvchi ustun bo’ladi. Ozod sonlar va 2-ustun koeffitsiyentlari bo’yicha simpleks nisbatlarni qaraymiz. Bu nisbatlar - , - lardan iborat.
2
6
Eng kichik nisbatga mos element 6 ni hal qiluvchi element sifatida tanlab olamiz.
-
146 -
J
~xi
j
1
-y,
У; =
2
1
3
1
У2 =
©
2
5
1
X, =
-1
-1
-2
У, =
-1
2
2
z=
-18
-1
-1
j
1
1
6 ga nisbatan simpleks almashtirishlarni bajarib, navbatdagi jadvalga
o’tamiz.
1
-X
-yy
-X
У, =
-1./3
1/3
4/3
2/3
x, =
1/6
1/3
5/6
1/6
x, =
1/6
-2/3
-7/6
7/6
У, =
1/6
7/3
17/6
19/6
z=
3
5
14
4
1
1
г qatordagi barcha koeffitsiyentlar musbat bo’ldi. Demak optimal yechim
topildi. 1-ustundagi x larni ozod sonlarga tenglaymiz, 1-satrdagi x larni 0 ga
tenglaymiz, г ning maksima! qiymati csa z qatordagi oxirgi songa teng bo’ladi:
л', = 1/6, Л-, = 7/6,
= 0, z mm = 4 .
Yuqoridagi masalani Excel dasturi yordamida yechamiz.
Berilgan masalaning koeffitsiyentlarini jadvalga kiritib chiqamiz,
o ’zgaruvchilarning
boshlang’ich
qiymatlarini
0
ga
tenglab
olamiz:
X, - 0 ,x, = 0, .y. = 0 . Ushbu qiymatlar quyidagi jadvalning 7-qatorida berilgan.
-
1-17 -
:**1МЁай,к" Празхй ’•&'* •Бст«вквл>-Фора»? - Сгре*«' Данный- £кмо : йчмьк-з
л„ а
^ л ?■&. л 1г,• ^ ■о•
ю
: йг«1Суг
* ;
ЖК
«.• >■- и и '1>
$ 100%
* ’-Ж
-Ч .Е З
*
1 ;
; 1 ,.х1
;У ‘
А
•
~
I
р~~1
г~
т
70
17
¡1 }
0
1
1
1
4
1
-3
;"3
<
: 5*
• б ":
г г '.
с
в
2
2
•2
•1
2
1
0
з :.Л Ч ^
18 !
; 101
Г'п :
! )2 .
! 13 I
и 5:
¡1 6 ;
! 17.
Пя':
\4asalani уесЬ!хЬ исЬип кигеогш 0 2 кагакка яо’у!Ь, / г 1и§та5Ы ЬоБагшг.
Ыа1:уас1а quyidagi muloqot оупа511ю5П Ьо’1асН:
Мастер фушиий - шаг ,1 и* 2
П ои с к :ф ун кц ии:
¡ве ди те к р а т к о е оп и са н и е д е й с т в и я , к о т о р о е н у * н о
ы п о л н и ть , и н а й м и те к н о п к у “Н а й т и "
К а т е го р и я ; - 10 н е д а в н о и сп о л ь з о в а в ш и х с я
В ы б е р и те ф у н к ц и ю :.
;СУМ
М
СРЗНАЧ
:е с л и
! ГИПЕРССЫЛКА
^СЧЁТ
'М А К С
.............................. .
......... ......................................................^
:
С У М М П Р О И З В (м а с с и в 1 ;м а с с и в 2 ;м а с с и в З ;...)
В о зв р а щ а е т сумму пр о и з в е д е н и й с о о т в е т с т в у ю щ и х элем ентов массивов
или д и а п а зо н о в .
С п р а в ка по э т о й Ф у н к ц и я
НобП Ьо’]£ап rnuloqot оупаз)с!а «Категория» Ьо’Пгтс1а «Математическое»
рипкНш 1ап1аЬ. so,ng
«Выберите
функцию»
йтк51уа$Ы гапкугшг.
-
148 -
Ьо’НтИа
«Суммпроизв»
М астер ф и к ц и й ■■шг-%.у$ 2
П оиск ф ун кц и и :
: В в е д и т е к р а т к о е оп и са н и е д е й ств и я , к о т о р о е н у ж н о
в ы п о л н и т ь , и н а ж м и те к н о п к у "Н айти"
к а т е г о р и я : М а те м а ти ч е с ки е
В ы б е р и те ф у н к ц и ю ;
СЛЧИС
СТЕПЕНЬ
■СУММ
СУММЕСЛИ
| СУМ М КВ
СУМ М КВРАЗН
С У М М П Р О И З В (м а с с и в 1 ;м а с с и 0 2 ;м а с с и в З ;~ .)
В о зв р а щ а е т сум м у п р о и зв е д е н и й с о о т в е т с т в у ю щ и х э л е м е н то в м ассивов
ил и д и а п а з о н о в .
С
С правка по э то й ф у н кц и и -
Бо’пога «ОК» и ^ т о д ш Ьозагшг. №1:уас1а яиу1ёа§|' ти1с>яо1 оупаз1 ИобП
ЬоЧаёг.
А р гу л к игты ф ункции
■:у м м п р о и з в
:
.
я
М а с с и в !!
|Ъ)=
рШ«
М ассив2
М а ссив З
В о зв р а щ а е т сумму п р о и з в е д е м « ! с о о т в е т с т в у ю щ и х элем ентов массивов и л и д и а п а з о н о в .
М а с с и в 2 : м асси81;м зсси в2;... о т 2 д о 30 м асси в о в , ч ь и ко м п о н е н ты ну.ч'но
п ерем нсо ш ть , а затем с л о ж и т ь п о л у ч е н н ы е п р о и зв е д е н и я . Все
массивы д о л ж н ы им еть о д н у и т у ж е ра зм е р н о сть .
С п р а в к а п о э т и Ф \'н к и и и
\
Значение:
ОК
| ;
О тм ен а
]
НобИ Ьо’1§ап navbatdagi ти1ояо! оупак]'с1а «Массив 1» ёагсЬа51с)а§1
11щтас11ат Ьоб^Ь. А2:С2 d¡apazonidagi таЧитоИагш. «Массив 2» darchas¡dag¡
tugmachani Ьоб5Ь, А 7:С 7 diapa7.oшdagi таЧитойагш клгйагшг, «Массив 2»
darcl^as¡dagi diapazonni Лкй1г]аз11 исНип р'4 и ^ та в М Ьозагтг:
-
149 -
Аргументы функции .
СУММПРОИЗБ
Ы-П;ИП
Й=| - {0;0;0}
"Ш-
М а с с и в !^ Д 2 :С 2
М а ссив 2,|$А $7:$С $7)
М ассивЗ <
= 0
В о зв р а щ а е т сумму п р о и зв е д е н и й с о о т в е т с т в у ю щ и х э л е м е н то в м ассив ов и л и д иап азон ов ,
М а с с и в 2 : м а,сси в 1 ;м а сси в 2 ;... о т 2 д о 3 0 м ассивов, ч ь и к о м п о н е н т ы мунсно
п е р е м н о ж и т ь , а за т е м с л о ж и т ь п о л у ч е н н ы е про и зв е д е н и я ^ Все
м ассивы д о л ж н ы и м е т ь о д н у и т у ж е разм ерн ость.
С п р а в к а п о э то й Ф у н к ц и и
Значение; о
Зо’паха «ОК» tugmasini Ьозагшг уа quyidagi оупаёа
02
ка1акс1а Ьоб!!
Ьо’^ап таЧитсгёт 03':06сНараго1^а пиБха яПагшг. Ыа1цас1а ]аёуа1
ко’пгшЬга ке!ас!1.
Г.хсе1 К«иге1
Правка Б»|дч:Вставка . Федэдуг С^еж .Данные чОкно:/;£пра»ка
^
^•
1 £ ; «6 41-41
Л *
^ Л V
; Апа1Суг
-ю; » » з -МЩ ек У»^
' ^Г" А =СУММПРОИЗВ(А6:С8:$А57-$С$7)
в’
С '
0 1 &
> : е '1
5- • А~
хЗ
! 1 ;х1
и
\2 1
1
1
1
0 <=
2
А
1
0 <=
3
13 '
2
14 ‘
1
-1
А
и <=
-1
2
-2
0 <=
5
-3
ПТУ
17
1
3|
01
си
;7;
0
0
0
Й
;С :
ад.)©,00%•-
: 9 :
•То.
!11;
- 12!
: 131
Кигэогт
06
ка1акка о’гпайЬ, «Сервис-Поиск решения» Ьиуп^Чш
Ьегагтг.
-
150 -
;,.' - . /.; л ух*4.
?'...:
.Омв^в' > &ид в<ггдр»;а ' ок-рцвт' сервис ~1 &а*чнЬ'.» _руно " .•«¿пра»к<>'.'< '.’ у'.-':.
Д1С+Ш9ЛЧ9Г.
с у м м п ро и зв
''1£Г'^Т7?[^'^'^мТлпро^з'
Исподвпсния
.^лц^итл
С овм естн ая рабо-г.
'лг:
Зваисим ости ф ормул
П о и с к (р е ш е н и и ...
;■
1! 1
Щакрос
14 !
15:
?б'‘|
Р-^
Г
ш-1
Natijada яиу!ёа§1 «Поиск решение» ти!ояог оупа51 1кш1 ЬоЧаЛь
|*5й»
М
П о и с к |ш ,ш е н и я
У становить ц ел евую ячейку:
Р звной:
|! Ш 9 И 1 1 % 1
О
-У • цвксимальмоиу значению
| Выпопн >тть~~)
р а ч е н и ю : :0 _
;—
— ;
О иикимальному значению
И гменяз ачейки:
................. .......................
_
.......................... [ Иред пош ааиь }
0 ( р<мичлтл:
| Оаранбтры
|
Добавить
|
|
Изменить
}
Удалить
!
^
[
,
.................... — ........ -...- ..................
{
_____________
[ Восстановить }
‘
! Сгравка
!
Ноб{1 Ьо’^ап шuloqot оупав^а «Установить целевую ячейку» darchasiga
Э6
ка!а£5п1, «Изменяя ячейки» ёагсЬаз1§а А7:С7
diapazonin¡ к'|г'Цагшг.
«щграничения» darchasigao,tib «Добавить» ^ т а в ш ЬоБатЬ..
Дв|6авле;ние о гр ани че ния ч:.<
С сы лка н а яче й су:
О гр а н иче н ие :
Ы
ЛЭД !<=
ок
Д о б ави ть
-
151 -
С правка
Hosil bo’lgan muloqot oynasida «Ссылка на ячейки» darchasiga D2 ni kritamiz, tengsizlikni aniqlaymiz, «Ограничения» darchasiga F2 ni kritib, «Доба­
вить» tugmasini bosamiz.
Is!
Д об йвде н_ие о гр а н и ча н и я
Ссылка на ячейку;
■Ограничение:
v; i | $F$2
Отмена
fE]
Добавить
Справка
D 2: F6 diapazondagi qolgan munosabatlami ham shu tariqa kiritib chiqamiz.
Oxirgi munosabatni kiritgandan keyin «ОК» tugmasini bosamiz. Natijaa «Поиск
решения» muloqot oynasiga qaytamiz:
П рисн реш ения т
Щ [\
Установить целевую ячейку:
Ц3£ ¡ ■ ¡ Ш
Равной;, (f* цзксимальному значению
О значению: ■:0
;
1 Выполнить
]
j
)
Закрыть
О етиилэльному значению
Измену ячгйки:.^А?7:$С$7
"
j Предположить j
5 )
Цэрзиетры ]
Огрл»^!енк«:
!$ D i2 < = ?F $2 ....... .
:*£>*3 < -$ F *3
:$D$4 <= *¡=$4
$D$5 < « $F$5
.......
j
Добавить
|
-------- =--------— •
j
И}менитъ
------— ----- '
|
|
Удалить
j
] Восстановить | ;
|
Спрэекз
[
«Параметры» tugmasini bosamiz. Natijada quyidagi muloqot oynasi hosil
bo’ladi:
М-Эигснмяльноееремя:
■100 ; ci^vHj
Првле/^иоечислоитераций: 100
Обносит*»©«« погрешность: .0,000001
j.
OK
j
j
Othwih
j
[ ¡«агруптть молсга= ... j
A£fiy<T>ii«o откпои9»*1в:
:S
| Сохранить ю д с я ь ...
Сгрдиюсть:
'0,0001
I J Qhh- ймля
.........
! ; По*:«гью>ать &е;упьт*ты итор^ииЛ
f
*
£гтрабк.а
I. j А втоавтичсо:© * м « 'и л -в б ^ о м н и <
! ';Нч!С-гр|<цат*льнЕК лишения]
vr' плмамиав
.• ко-эдоатичкач
j
цряныв
•” д етрэпьны е
-
rr~y.c- ±
Ньютона
сопряжении* ср/элиентог.
152 -
|
|
Оупас1а§1 «Неотрицательное значение» рагатеЫш Ье1§!1аугп!^ уа «ОК»
tugmasini Ьоэ1Ь, «Поиск решения» ти1ояо1 оупа81да цау1агт> уа «В ыполнить»
^ т а в т ! Ьозапиг. Ма1уаёа quy¡dagi о у ^ а оЧагшг:
Рр у
ь
о иско
I
ряш ения :
Решение найдено. Все ограничения и условия
' о п тта л ь н о ст и выполнены.
Хил отчета
Результаты
‘Устойчивость
Пределы
(^С озф аннть.найденное решение]
( ; Восстановить исходные значения
|
ОК
|
Отмена
| [ Сохранить сценарий...
{ |
справка
)
«ОК» tugmasini Ьозагшг. Natijada уесЫ т quy¡dagi ko,riп¡shda ifodalanadi:
*1сиаДМ1 , ...
:;г£ 3 • ^ й л . ; ’ЬодВкл
Вид ■. Оетдекл
ГМ ...........
-4
">14
ж
:Фор*«ат; < д о * к "Д а^Н ь* . 2:-$>Кн©
X
и
*.
ж
X
£прввк«
*
—
А~
В
х2
"1.” >.*1
1
1
А
’з ~
7
4
1
1
5
•3
2
б"
17
1
0 .1 6 6 6 6 7 1 ,166667
7
8 ’"
3
10
11
12
13
14
1б“
1.6
1
-с
*3
1
1
2
-2
3
0
1 .3 3 3 3 3 3 < -
Яазтйап ко'пшЬ tur¡bdiki, ЬагсЬа сЬек!ашхЫаг bajar¡ladi уа уесЫ т
quy¡dagi k o , rinishda Ьо’Ы |': х, =0,166667, х. = 1,16667, л. =0,
=4.
7.3. C h iz iq li ({ а в ^ г Ы И 1па$а1а$!(1а ¡ккН ап^ап Н к
О и у 1^ а §1 ш asalalaгning т а 1е т а И к m odellarini ШгауИк:
1 -та$ а1 а. Когхопа п х11 т а Ь 5и 1о 1 ¡БЫаЬ с 11^ а 1чзИ исЬип т хИ х о т азИуоdan foydalanadi. Х о т аБИуо гахн-а!ап а у £7,, .... а„, ЫгПк гп аИ зи Ь и а^ап оНnadigan foyda с ,, с,, . . . с а. ЫгНк таЬзи1оЙ ат1 ¡бЫэЬ с ^ а /л Б И исЬип гагиг
boЧgan х о т азИуо т iqdoгIari а и , а г , . . . а Ш
1 Ь е п ^ а п . М аИ эи^! ¡зЫаЬ сЫ яаг 1з 11-
ning shunday rejasini tuzish kerakki, bunda xom ashyo sarfi uning zahiralaridan
oshib ketmasligi, mahsulot ishlab chiqazishdan maksimal foyda olish kerak. Ishlab
chiqazilayotgan mahsulotlar hajmi noma’lum bo’Iib, ularni xn x ,,...x :¡orqali belgilaymiz. 1-turdagi birlik mahsulotni ishlab chiqazish uchun zarur bo’lgan 1-tur xom
ashyo miqdori a Mni 1-tur mahsulot miqdori x, ga ko’paytirib, 1-tur mahsulot
uchun sarflanadigan 1-tur xom ashyoning umumiy miqdorini a nx, ni hosil qilamiz.
Xuddi shu kabi ikkinchi, uchinchi va hokazo n-turdagi mahsulotlarni ishlab
chiqazish uchun zarur bo’lgan 1-turdagi xom ashyo sarfi mos ravishda
a,,x, ,a L,x, , a lnxit ga teng bo’ladi.
Ushbu ifodalami qo’shib, 1-tur xom ashyo­
ning umumiy sarfmi hosil qilamiz:
a¡,xt + я,,х, + ...+ alnxn
Shartga ko’ra xom ashyo sarfi uning zaxirasidan oshib ketmasligi kerak:
anxt + a nx, +... + alnx„ < a,
Xuddi shu kabi qolgan xom ashyolar uchun ham yuqoridagi munosabatlami
olamiz:
a^x, + al:x2 + ...+ a2nxn < a,
a(ijlx, +a„,x, +...+ ашпхп < a m
1-tur mahsulotdan olinadigan foyda
foyda c,x,
c,x,,
2-tur mahsulotdan olinadigan
и-tu r mahsulotdan olinadigan foyda esa c,x„ ga teng bo’ladi.
Mahsulotlardan olinadigan umumiy foyda esa quyidagi c ,x ,+ c ,x ,+ ...+ c„x„
ko’rinishga kelib, maksimal foyda olish uchun ushbu funksiyani maksimumga tekshiramiz:
= c,x, + c,x, +... + c x ( —> max
2
Mahsulot ishlab chiqazish hajmi manfiy bo’lishi mumkin emas. Shuning uchun
quyidagi munosabatlarga ega bo’lamiz:
X,
>0,
X,
>0,
...,x ,
>0
Hosil qilingan munosabatlarning barchasini birlashtirib, berilgan masalaning
quyidagi matematik modelini hosil qilamiz:
- 154 -
z = с,х, + с,х, + ... + e,*,, - » max
(7.7)
a nx , + a l2x 2 + . . . + а ых„ <a,
a^x^ +a„x, +...+ a^xtl <«,
a , „ . x , - t - a ^ x , a,mxn < a m
л, > 0 , X, > 0 , .... x„>0
2-masala. Biror korxona xojalikdan bir necha xil xom ashyoni sotib
olmoqchi. Xom ashyolarga и„ u2 ........иш narxlami shunday quyish kerakki:
1) sotib oluvchi korxona xom ashyolar narxini minimallashtirishga harakat
qiladi;
2) xo’jalik uchun shuncha miqdorda pul to’lash kerakki, bu pul xo’jalik xom
ashyoni qayta ishlab, tayyor mahsulot holiga keltirib, undan oladigan foydasidan
kam bo’lmasin.
Xom ashyo zaxiralarini av a. ,
chiqarish
uchun
zarur
o. ,i = 1,2.... n: j mahsulotlarning
bo’lgan
bilan
narxlarini
ii' = <7, + ол/, +...+ a j t m
afi, i- turdagi birlik mahsulotni ishlab
у -turdagi
belgilaymiz.
belgilaymiz.
bo’lib,
xom
c„ c , ,
ashyo
c„
miqdorini
orqaii
Xom ashyolaming umumiy
uni
minimallashtirish
kerak,
birlik
narxi
ya’ni
w - а, и, +<2 ,г/г + ... + amiim
min. Birinchi turdagi birlik mahsulotni yetishtirish
uchun
barcha
zarur
bo’lgan
xom
ashyolaming
umumiy
narxi
auu, + a,,u, + ...+ am,itmbo’lib, u mahsulotning tannarxidan kam bo’lmasligi
kerak, ya’ni anit, + a :iu. + ...+ amXum> c v Qolgan mahsulotlar uchun ham xuddi
shunday munosabatlarni hosil qilamiz:
aru¡ + a:,u, +... + я„,;г/„, >c,
f а ,|(г/,+ ...+ amiim> c it
Xom ashyo narxlari manfiy bo’lishi mumkin emas, ya’ni:
г/, > 0 . и, > 0 .......иш> 0
-
155 -
Yuqoridagi barcha munosabatlami birlashtirib, berilgan masalaning quyidagi
matematik modelini hosil qilamiz:
w = axui + a 1u1 +...+ anum- » min
auii, + a ,tu, + ...+ a , > c ,
a,,K, + a„u2 +... + am,um> c ;
(7.8)
+ a,, u, + ... + a nmu m > cn
m, > 0 , u2 > 0 ,
(7.7)
um>0
va (7.8) masalalardan biri to’g’ri masala, ikkkinchisi esa unga ikkilangan
masala deyiladi.
Agar to ’g’ri masala berilgan bo’lsa, unga ikkilangan masalani quyidagi
tartibda hosil qilinadi:
1) Ikkilangan masalaning maqsad funksiyasi koeffitsiyentlari to’g’ri masala
ozod sonlaridan iborat bo’Iadi;
2) To’g’ri masala maqsad funksiyasi maksimumga intilsa, ikkilangan masala
maqsad funksiyasi minimumga intiladi;
3) Ikkilangan masaladagi tengsizliklar soni to’g’ri masaladagi o ’zgaruvchilar
soniga teng bo’Iadi va aksincha ikkilangan masaladagi o’zgaruvchilar soni to’g’ri
masaladagi tengsizliklar soniga teng bo’Iadi;
4) Ikkilangan masala tengsizliklaridagi koefitsiyentlar matritsasi to’g’ri niasalatengsizliklaridagi koeffitsiyentlar matiritsasidan transponirlash orqali hosil qil­
inadi;
5) To’g’ri masaladagi tengsizliklar > ko’rinishida bo’lsa ikkilangan masal­
adagi tengsizliklar < ko’rinishida bo’Iadi;
6) Ikkilangan masala ozod sonlari to’g’ri masala maqsad funksiyasi koeffitsiyentlaridan tashkil topadi;
To’g ’ri va ikkilangan masalani bitta simpleks jadval yordamida yechish
mumkin. Buning uchun har ikkala masala >0 ko’rinishga keltiriladi:
To’g’ri masala:
— 156 —
z = c,x, + c,*, + ... + cux„ —>max
y, = - a nx, - ai:x, -... - ahxn + a, > 0
y 2 = -a ,,X ,
- . . . - fir,,,*,, +£7, > 0
vm = ~ om,x, - amlx , -■■■-amx u + a m > 0
jc, > 0 , x, > 0 , ..., x n > 0
Ikkilangan masala:
u' = 0 ,11, + a,z/, + ...+ a j t m-> min
i', = a,,«, + <7,,w, +... + am,um- c, > 0
v, = ar_u, + a„u: + ... + amj i m- c, > 0
vn = a,ji, + a,,,», + ...+ amum- cn > 0
N, > 0 , t(, > 0 ....... uw > 0
Yuqoridagi munosabatlardan foydalanib quyidagi jadvalni tuzamiz:
Ikkilangan
masala
vl =
v, =
To’g’ri
masala
y, ■=
y: =
a2l
um
v,„ =
amt
1
-=
an
vn =
ir =
—xn
1
a2ti
CL
a,„„
cti
am
°12
a,„'
0
Jadval ustida simpleks almashtirishlami bajarib, masalaning optimal yechiini
topiladi. To’g’ri masalada 2-ustundagi x o’zgaruvchilar va z ularga mos ozod
sonlarga, 2-satrdagi x o’zgaruvchilar esa nolga tenglashtiriladi. Ikkilangan masal­
ada 1- satrdagi u o'zgaruvchilar va ir ularga mos ozod sonlarga, 1- ustundagi u
o’zgaruvchilar esa nolga tenglashtiriladi.
Quyidagi chiziqli dasturlash masalasiga ikkilangan masala tuzing. To’g’ri va
ikkilangan masalaning optimal yechimini toping.
z = 12.x, + 6x, - 7x. —> max
X, + X, - X. < 5
2x( + 4x, -5 x . < 12
x, - 3x, + x, < 8
2x, + Sx, - x, < 11
je, > 0. x, >0, x, >0
Yuqorida berilgan umumiy qoidalar bo’yicha ikkilangan masalani tuzamiz:
ii' = 5u, + 12zz, + 8z(. +1 hij —> min
u t + 2u, + u. + 2 u4 > 12
•
m, + Au, - 3u, + 8uA> 6
- u, - 5 u, + u. ~ u 4 > - 7
u, > 0,
> 0, îî. > 0. Mj > 0
Ikkala masalani ham >0 ko’rinishga keltiramiz:
z = 12x, + 6x, - 7x. - >max
ir
5î/, + 12z;, + Su, +1 lz/j -» min
y, = -x, - x, + x. + 5 > 0
v, = if, + 2u , + u, + 2iij - 1 2 > 0
y, = -2x, - 4x, + 5x; +12 > 0
v, = z<, + 4z/, - 32/, + 8z/, - 6 > 0
y. = -x, + 3x. - x, + 8 > 0
v. = -u, - 5u, + u. - z/4 + 7 > 0
«, >0, u, >0, u, >0. u4 >0
X, = -2x, - 8x, + x, + 11 > 0
x, >0, x, > 0, x. > 0
Hosil qilingan munosabatlar asosida quyidagi jadvalni tuzamiz:
Ikkilangan
masala
»,
IL
To’g’ri
masala
—X,
y, =
y 2=
1
1
-1
2
4
-5
12
1
~ j-
y
o
1
8
8
-1
11
-12
-6
7
0
y, =
:=
1
1 VI’=
!
1
1
2
y, =
"a
1
v, =
v, =
-
l.iR
-
To’g’ri masalada barcha ozod sonlar musbat bo’lganligi uchun masalaning
tayanch yechimi mavjud. Optimal yechimni topish uchun z qatordadagi eng kichlk
manfiy son -12 ni tanlaymiz. -12 soni joylashgan ustun hal qiluvchi ustun bo’ladi.
Hal qiluvchi ustundagi barcha koeffitsiyentlar musbat bo’lib, ulai'ga mos ozod
sonlarni
bo’lib,
simpleks
nisbatlarning
eng
kichigini
hisoblaymiz
5 I ? 8 111
— 1- = 5. Minimal nisbatga mos keluvchi koeffitsiyent
i
1 ni hal
qiluvchi element sifatida tanlab olainiz. Hal qiluvchi satr
a, bo’Iadi. Jadvalni quyidagi ko’rinishda ifodalaymiz:
I
1-jadval
Ikkilangan
I
masala
=
V'
To’g ’ri
w=
v, =
=
-x .
-x -
1
1
, -1
5
4
-3
8
-6
-5
1
-1
7
12
8
11
0
masala
».
3’, =
ii,
z/.
v>, =
w,
y-. =
yj =
1
.=
©
2
1
2
, -12
Simpleks almashtirishlarni bajarib, navbatdagi jadvalga o’tamiz:
2 -jadval
«, =
Ikkilangan
masala
To’g’ri
masala
-
- X ,
1
x ,
-1
v ; =
-2
2
o
V. =
-1
-4
2
_2
6
1
1
12
6
-5
60
w.
v ,
1
vr =
1
=
X
v . =
i
v .
11
- y ,
v, =
r
=
-
5
2
->
2-jadvalda z qatorda -5 joylashgan ustun hal qiluvchi bo’lib, hal qiluvchi
Î3 l]
element esa
= \ minimal nisbatga mos koeffitsiyent 1 bo’ladi.
v , =
=
Ikkilangan
ii’ =
To’g’ri
masala
masala
-
- X,
- y >
i
1
-1
5
-2
2
-3
2
-1
-4
2
3
=
-2
6
Z —
12
6
v,
*,
=
«2
X
=
y<
-
11,
(
1
1
.IV
:
0
1
-5
60
Simpleks almashtirishlarni bajarib, navbatdagi jadvalga o’tamiz:
3-jadval
», =
i’, =
« .=
ir =
-X ,
-y \
1
-1
1
1
6
-8
20
3
5
Ikkilangan
To’g’ri
masala
masala
*, =
it.
it,
3
-16
-2
1
V,
-Vs =
X. =
-2
6
1
1
1
z=
2
36
5
65
To’g’ri masalada 2-qatordagi x o’zgaruvchilarni 0 ga tenglab, 2-ustundagi
x
o’zgaruvchilarni
va
r
funksiyasini
ozod
.y, =6. x, = 0. .r. = 1. r,., = 65. Ikkilangan masalada
sonlarga
1-ustundagi
chilarni nolga tenglaymiz, 1-satrdagi it o’zgaruvchilar va ir
satrdagi sonlarga tenglaymiz:
it, = 2, it, = 0, a, = 0. it, = 5, ir;m, = 65 .
-
160 -
tenglaymiz:
it o'zgaruv-
funksiyani oxirgi
7.4. Transport masalasi va uni potentsiallar usulida yechish
Yuk zaxiralari av a, .......am bo’lgan m ta jo ’natish punkti, yukka bo’Igan talab by bv .... bt] bo’lgan n ta qabul punktlari berilgan bo’lib, jo ’natish punktlaridan
qabul
c„, i =
punktlariga
birlik
yukni
tashish
harajatlari
j = 1....n bo’lsin. Bu yerda i- jo ’natish punkti nomeri, j - qabul
punkti nomerini bildiradi. Umumiy yuk tashish xarajatlari
formula orqali beriladi. Bu yerda xn- i nomerli jo ’natish punktidan j nomerli
qabul punktiga tashiladigan yuk hajmi. Yuk tashish harajatlarini iloji boricha kamaytirish uchun
2
funksiyani minimumga intiltiramiz:
z = r»l
;=i
->iw/n
(7-9)
Yuqoridagi masala jadval ko’rinishida quyidagicha ifodalanadi:
Yuk tashishning shunday tashkil etish kerakki, jo ’natish punktlaridagi barcha
yuk olib chiqib ketilishi va qabul punktlaridagi yukka bo’lgan talab to ’liq
qondirilishi kerak:
+
+ . •+
= «,
+
.
*2, + X2
■+ X2„ = °Z
X- + X„ , + ... + xmn = a
xu + X,, + ... + xml =
Xl„+ X2„+ ••• + x,„„= ba
Agar
t°,=
lb,
.■
--1
¡--1
(7-12)
munosabat bajarilsa. transport masalasi yopiq masala deyiladi va masalani
yechishga kirishish mumkin. Agar (7.12) shart bajarilmasa, masala ochiq deyiladi.
Ochiq masalani yechish uchun u yopiq masalagi keltiriladi. Masalan, ¿<7, > ¿ 6
..I '
y=l
bo’lsin. Ushbu masalani yopiq masalagi keltirish uchun yukka bo’lgan talabi
= Z a,
1=1
birlik
cu*i =
jV.I
yukni
=•••=
bo’lgan qo’shimcha qabul punkti tuziladi. Ushbu punkt uchun
tashish
xarajatlarini
0
ga
teng
deb
olamiz:
=0 - Natijada quyidagi yopiq masalani hosil qilamiz.
Agar
bo’lsa,
»= 1
yuk
/.axiralari
- £ 6 - ¿ a , bo’lgan
j* \
/ =]
»"I
qo’shimcha j o ’natish punkti tuziladi va yuqoridagi kabi yopiq masalagi keltiriladi.
Transport masalasini yechish ikki bosqichda olib boriladi:
1)
Birinchi bosqichda (7.10)-(7.11) shartlarni qanoatlantiruvchi boshlang’ich
x., /' = \,2 ,...,m ;j= 1,2,...,/? yechim topiladi. Boshlang’ich rejani topishning bir
necha usultari bo’lib, ularga shimoli-sharq usuli, minimal element usuli va boshqalar kiradi. Shimoli- sharq usulida (1,1) katak tanlab olinib, xH= m'm(av bt) deb
olinadi. Agar m )n(ai,bi) = ai bo’lsa, bu 1-jo’natish punktidagi barchayuk 1 -qabul
punktiga yuborilishini, 1 -jo ’natish punktidan qolgan qabul punktlariga yuk yuborilmasligini bildiradi. Shuning uchun a, joylashgan satrdagi boshqa kataklarga
minus qo’yiladi. 1- qabul punktidagi yukka bo’lgan talab b\ = b , - a , bo’lib qoladi.
Agar m in (a t,bl)= b, bo’lsa, 1- qabul punktidagi yukka bo’lgan talab to’liq
qondirilganligini, 1-jo’natish punktida esa
a\ = a , - b t miqdor yuk qolganligini
bildiradi. 1- qabul punktiga boshqa jo ’natish punktlaridan yuk keltirilmaydi.
1-jadval
2-jadval
Xisobiashlarni 1-jadval bo’yicha davom ettirib, (2,1) katakka o'tamiz.
x,, = min(av b\)= b\ bo’lsin. Jadvalni yuqoridagi usul bilan to’ldirib, quyidagini
hosil qilamiz:
Shu tariqa hisoblashlarni jadvalning quyi o’ng bo’rchagigacha davom ettirib,
jadvadagi barcha л1(, / = 1.....m :j = \..... n larni aniqlaymiz. Bunda (7.10)-(7.11)
shartlar bajarilishi kerak.
- icn -
Masalaning ikkinchi bosqichida boshlang’ich reja asosida (7.9) shartni
qanoatlantiruvchi optimal yechim topiladi. Optimal yechimni topishning potentsiallar, taqsimot kabi bir necha usullari mavjud bo’lib, biz potentsiallar usulini
qarab chiqamiz. Ushbu usulni qarashdan oldin hisoblash jarayonida ishlatiladigan
ayrim tushunchalar bilan tanishamiz. Jadvaldagi ixtiyoriy nuqtalar to’plami nabor
deyiladi.
•
•
•
Naborni tashkil qiluvchi nuqtalar har bir qatorda ikkitadan oshib ketmasa,
bunday nabor zanjir deyiladi.
Agar zanjir yopiq bo’lsa, u sikl deyiladi.
Agar jadvaldagi n ta nuqtalar to’plami sikl tashkil qilmasa, ularga bitta nuqta
qo’shish orqali sikl hosil qilsak, bunday n ta nuqtalar to’plami atsiklik rejani
tashkil qiladi deyiladi.
Agar transport masalasida jr.. > 0 bo’lsa, (i,j) katak belgilangan katak dey­
iladi.
- 165 -
Agar transport masalasida barcha kataklar uchun
belgilangan
kataklar
v.,J = l , 2
, n iti =
uchun
esa
v .-w ,= c ,;
- ;/, < c,y (7.12) shartni,
shartni
qanoatlantiruvchi
sonlari mavjud bo’lsa, x , i =
j = \ ,...,n reja
optimal bo’ladi. v , j = 1,2,...,/?; w,, / = 1,2,...,»; sonlari esa potentsiallar deyiladi.
Transport masalasini potentsiallar usulidayechish quyidagi tartibda bajariladi:
1) Belgilangan kataklar uchun
vj - u t = c , v , j = 1,2,...,«/ ;;,,/ = 1,2,...,/7;
shartni qanoatlantiruvchi tenglamalar sistemasi tuziladi. Bunda tenglamalar soni
o’zgaruvchilar sonidan bitta kam bo’lgani uchun sistema cheksiz ko’p yechimga
ega bo’ladi. Sistemaning bitta xususiy yechimini topib potentsiallarning qiymatini
aniqlaymiz;
2) Belgilanmagan kataklar uchun v, - i t , < c . shartni tekshiramiz. Agar ushbu
shart barcha kataklar uchun bajarilsa, optimal yechim topilgan hisoblanadi va
z ~ Z Z ci,xj funksiya qiymati hisoblanadi;
.-i /=i
1
3) Agar v. - i t , < c. shart bir nechta kataklar uchun bajarilmasa, Ushbu katak­
lar uchun ô- = v . - it. - c. ayirma hisoblanadi va ô
1
4)
'
1
= m a x ô u topiladi;
<<)k
'■)
1
katak belgilangan kataklar qatoriga qo’shiladi va belgilangan katak-
lardan sikl tuziladi;
5)
katakdan boshlab siklni tashkil qiluvchi kataklarga
va "+"
ishoralari navbat bilan qo’yilib chiqiladi;
6)
ishorali kataklar uchun 9 = min{x:j) ni aniqlaymiz;
7)
ishorali kataklardan 9 ni ayirib,
"+" ishorali kataklarga 0 ni
qo’shamiz;
8) 9 joylashgan katakni belgilangan kataklar qatoridan chiqazamiz.
Natijada yangi planni hosil qilamiz va bu plan uchun (l)-(7) amallarni takrorlaymiz. Yuqoridagi hisoblashlar barcha kataklar uchun v - ;/, <c,. shart bajarilib,
optimal plan topilguncha davom ettiriladi.
-
166 -
Quyidagi misolni qaraymiz:
Transport masalasi quyidagi jadval ko’rinishida berilgan bo’lib, uni potentsiallar usuli bilan yechamiz.
\
Qabul
\
punktlari
Jo’natish
2
1
\
4
3
Yuk
zaxiralari
v'
N.
V.
»4
\
\
punktlari
1
2
3
Yukka bo’lgan tal ab
»,
it.
u.
2
4
6
10
90
1
3
7
4
100
4
8
13
7
140
110
100
80
40
330
Boshlang’ich planni tuzish uchun shimoli-sharq usulidan foydalanamiz. (1,1)
Yuqoridagi jadvalga ко та 1-jo’natish punktidan 1-qabul punktiga 90 birlik
yuk yuboriladi, 1-jo’natish punktida boshqa yuk qolmaydi, shuning uchun 1jo ’natish punktidan boshqa qabul punktlariga yuk tashilmaydi, 1- qabul punktiga
-
167
-
yana 30 birlik yuk keltirish kerak. (2,1) katakka o’tib, shu katakka mos talab va
zaxiraiaming kichigini xu = 20 deb olamiz.
Qabul
punktlari
1
\
Jo’natish
punktlari
VJ
1
V,
3
4
V2
Yuk
zaxiralari
V4
2
4
6
10
1
3
7
4
4
8
13
7
90
2
u2
3
“3
Yukka bo’lgan talab
2
20
110
100
80
40
90
0
100
80
140
330
20
~Ö ~
(2,3) katakka o’tib, yuqoridagi qoida bo’yicha x22 = 80 ni aniqlaymiz.
-
168 -
Hisoblashlarni shu tariqa davom ettiramiz va oxirigi jadval quyidagi
ko’rinishga keladi:
x}, = 2 0 ,x „ = 80,x,, =40,jfp = jc,, = x H = x „ = x,A =x,, = 0,
r = 90-2 + 20-1+ 80-3 + 20-8 + 80-13+ 40-7 =
= 180 + 20 + 240 +160 +1040 + 280 = 1920.
Masalaning optimal yechimini topish uchun oxirgi jadvalni quyidagi
ko’rinishda il'odalaymiz:
Belgilangan kataklar uchun
-ií
v
=
c
v . , j = \,...A, »,.¿ = 1,2,3 shart
i(
bo’yicha tenglamalar sistemasini tuzamiz:
v, —if, = 2, v, —tí, = 1, v , - h , =3, v ,- ií, = 8, v, -! /, =13. v4 - 2/, = 7
Tenglamalar sistemasidagi noma’lumiar 7 ta, tenglamalar esa 6 ta bo’lgani
uchun sistema cheksiz ko’p yechimga ega. Xususiy yechimni topish uchun
o’zgaruvchilardan biriga ixtiyoriy qiymat beramiz, masalan
a, = 0 bo’lsin. U
holda v, = 2, u: = 1, v, = 4, «, = -4, v. = 9. v, = 3 kelib chiqadi. Potenlsiallarning
qiymatlarini jadvalga qo’yamiz:
V, = 2
V, =
4
v ,= 9
v ,= 3
ni
6
=
0
90
90
i
11 , =
7
100
20
80
4
2 /, =
4
1
8
B
140
- 4
20
110
40
80
100
80
40
Belgilanm agan kataklar uchun v, - u¡ < c n shartni tekshiram iz:
v, - u ¡ = 4 - 0 = 4 = cp
v,
= 9 - 0 = 9 > 6 = cp
v4 - w, = 3 - 0 = 3 < 10 = cu
v, - u , = 9 - 1 = 8 > 7 = c,.
v, - u . = 3 - l = 2 < 4 ~ c,A
v, - u , = 2 - f - 4 ) = 6 > 4 =
U chta (1,3), (2,3), (3,1) kataklar uchun v( -?/, < c n shart bajarilm aydí. IJshbu
kataklar uchun Sn =
- u . - c \ larni hisoblaymiz:
ó',, = v. - ?/, - c,. = 9 - 6 = 3
8 ., = v, - u, - c\. = 8 - 7 = 1
S,t = v, -ii.-c,, =6- 4 = 2
<5 laming eng kattasini topamiz. Bu
=3
bo’lib, unga mos katakni
belgilangan kataklar qatoriga qo’shib, belgilangan kataklar yordamida sikl
tuzamiz. Siklni tashkil etuvchi kataklarga (1,3) katakdan boshlab "+"
va
ishoralarini navbat bilan qo’yib chiqamiz:
ii
5*1
1
'
¡ CN
11
u,
"3*
\v .
V,
¡
4
1
7
90
4
10 0
20
80
;
+!
4
",
10
0
40
г/, = 1
v.,=3
+ 6
-
=0
=9
= -4
s
140
20
40
80
110
80
100
40
ishorali kataklar uchun в = minx., = »н'я{90,80,80} ni topamiz. Ushbu shartni
qanoatlantiruvchi kataklar ikkita (2,2) va (3,3) kataklari bo’lib, ulardan birini, masalan (3,3) katakni tanlaymiz.
'
N\
v, = 2
V/
il,
V,
=4
v. = 9
'■4=3
^4
2
4
+
10
6
и, = 0
90
90:
0
!
+:
u2 =
1
i
3
7
4
100
80 :
20
4
: 8
+
13
7
it. = ~4
20
110
100
в ni "+" ishorali kataklarga qo’shib,
8C=0
80
140
40
40
ishorali kataklardan ayiramiz va 0
joylashgan (3,3) katakni belgilangan kataklar qatoridan chiqarib tashlaymiz. Natijada quyidagi jadvalni hosil qilamiz.
Hosil bo’lgan yangi planda belgilangan kataklaruchun v
= ctj shart
orqali yuqoridagi usul bilan tenglamalar sistemasi tuzib, potenallarni aniqlaymiz:
v, - а, = 4 - 0 = 4 = £■,,
v , - u, = 3 - 0 = 3 < 10 - cu
v ,~ t i , = 6 -1 = 5 < 7 = с,,
Vj - u, = 3 -1 = 2 < 4 = c2J
v, - и, = 2 - ( - 4 ) = 6 > 4 = c.,
v. - a, -- 6 - ( —4 ) = 10 < 13 = c„
Yuqoridagi
sistemada
г/, = 0 bo’lsin.
U holda
v, •-2, и, = 1, v, =4,
и, = -4 , v. =6,Vj = 3 bo’ladi.
\v .
v, = 2
v, = 4
2
г/, =0
4
к. = -4
i
talab
100
i
6
10
3
7
4
s
13
0
4
!
110
v, = 3 Zaxira
80
10
«, =1
=6
V,
100
100
80
7
40
40
90
100
140
Bitta (3,1) katakda v —и, < c tJ shart bajarilmaganligi uchun, bu katakni
belgilangan kataklar qatoriga qo’shib, yuqoridagi usul bilan sikl tuzamiz. Siklni
ishoralab,
sonlar bir xil
ishorali kataklar uchun в ni aniqlaymiz.
100 bo’lganligi
ishorali kataklardagi
uchun ulardan birini, masalan (3,2) katakni
tanlaymiz. Natijada quyidagi jadvalni hosil qilamiz:
в ni
ishorali kataklardan ayirib, "+" ishorali kataklarga qo’shamiz. (3.2)
katakni belgilangan kataklar qatoridan chiqarib tashlab, yangi reja uchun potentsiallarni yuqoridagi usul bilan aniqlaymiz. Natijada quyidagi jadvalni hosil
qilamiz:
Yuqoridagi jadvaldagi rejada barcha kataklar uchun v,
<c. potentsiallik
sharti bajariladi. Demak, masaianing optimal yechimi topildi va u quyidagicha
bo’ladi:
xn =10, jr,. =80, x„ =100, x„ =100, jc,, =40,
jc,, = x u = x 2i= x ;, = x ,, = x ,2 = x ,. = 0,
z...=10- 2 + 80- 6 +100-3 +100-4 + 40-7 = 20+ 480 + 300 + 400+ 280 = 1480.
Masalani Excel dasturi yordamida yechamiz.
Buning uchun birlik yklami tashish xarajatlarini A2:D4 diapazoniga, jo ’natish
punktlaridagi yuk zaxiralarini G7:G9 diapazoniga? Qaqbul punktlaridagi yukka
bo’lgan talabni A12:D12 diapazoniga kirilamiz. Tasiladigan yuklaming boshlang'ich qiymatlarini 0 deb olamiz va ularni A7:D9 diapazoniga kiritamiz. (2) va
(3) shartlarning bajarilishini tekshirish uchun E7:E9, A10:D10 diapazonlarini
bo’sh qoldiramiz. Natijadajadval quyidagi ko’rinishni oladi:
A
X
B
C
;
■.O' -
'c
2
2.
4
6
10
3
i
3
7
4
4
4
s
13
7
6
7
G
Yuk zaxirasi
T ashiladigan yuk xajm lari
0
0
0
S
0
9.
0
0
0
0
0
110
100
80
0
0
100
c
140
1C
12
F
Birlik yuk ta s h is h xarajatiari
4 0 Yukka ta la b
14 U m um iy yuk ta s h is h xarajatt 2=J
-
17.S -
90
Е7, Е8, Е9, А 1 0 ,BIO,CIO,DIO kataklariga mos ravishda A7:D7,A8:D8,
A9:D9, A7:A9, B7:B9, C7:C9, D7:D9 diapazonlariga yuk. xajmlari yig’indilarini
x '
tugmasi yordamida xisoblaymiz. So’ngra kursomi D14 katagiga o’rnatib,i
tugmasini bosamiz. Natijadaquyidagi muloqot oynasi hosil bo’ladi:
Q[j§l|
Мастер функций - шаг.1 из.2 •
Поиск функции: : . ' .
в е д и т е к р атк о е описание деистви«.. к оторое ну*но
;ЫП0 пн-1Т(.., и н о с и т е кн.:пк^- "Найти"
Категория:: 10 недавно использовавшихся
[ " Найти
|
^ ;
Выберите функцию:
с/мм
•СРЗНАЧ
¡ЕСЛИ
!ГИПЕК:СЫЛКА
;СЧЁТ
:М
акс............. ............ ..........
СУММПРОИЗВ(массив1^асскв2^1ассивЗ;.^)
Возвращает сумму произведений соответствующих элементов массивов
нги диапазонов.
Справка по этой Функции
|
| |
рк
Отмена
НоэН Ьо’^ап muioqot oynasida «Категория» Ьо’Н п^а «Математическое»
рипки'ш1ап1ауппг, бо’г^ «Выберите функцию» bo’lim¡da «Суммпроизв» Лткз!уаз1п! 1ап1аугшг:
fercrep фикций • пмМ из-7 ,
Поиск функции:
; Введите краткое описание действия, которое к /ж н о
выполнить, и наймите кн о п ку "Найти"
К а т е го р и я :; [Математические
I
Найти
]
---------------------
V
Выберите ф ункцию:
КЛ Ч И С
;СТЕГЕНЬ
;СУММ
’ СУММЕСПИ
; с у м м к .б
;с ум м кв р а зн
щ еш ? ■*
-ч !
л ж т к ’Ш‘..:т т & ^
С У М М П Р О И З В (м а с с и в 1 ;м а с с и в 2 ;м а с с и в З ^ ..)
Возвращает сумму прои:ееденнй соответствую щ их элементов массивов
или диапазонов.
£.12ж ; 1П О Л2|'Ш '1«11!;И
I
-
17R -
<Ж
| {
Отмена
Бо’п^а «ОК» 11щта5ш Ьозагшг. Nai¡jada quyidagi muloqot оупаэ! ИобП
Ьо’М к
Аргумежмфункции
О/М МПРОИЭВ
М ассив1
С У *
Массив?.
¡2 3 -
МассивЗ
|^ | =
В о зв р а щ а ет сумму произвед ений с о о т в е т с т в у ю щ и х элементов м а с о н о в или -диапазонов.
М а с с и в 2 : п а с с и в ! ;м асси в 2 ;,.. о т 2 до 3 0 массивов, ч ь и ком п о н е н ты н у ж н о
пер е м но ж и ть , а затем с л о ж и ть получен н ы е произвед ения. Все
массивь! д о л ж н ы им еть о д н у и т у ж е разм ерность.
С п р а в ка п о э то й Ф у н кц и и
Значен ие:
[
ОК ~ 1
|
О тм ена ~ [
Но5Й Ьо’^ап navbatdag¡ muloqot oynasida «Массив 1» darcha5idagi и ^ тасИаш Ьоэ1Ь, <42:04 diapazoпidagi таЧитоНагш, «Массив 2» darchasidagi
tugmachani Ьоб1Ь, А 7: 09diapazonidagi т а ’1итсЛ1агш кт1аггнг:
А р гу м е н т ы ф ункц ии
СУММПРОИЗВ
М ассив!
М ассив?
А 2 :0 4
|Г ^ 1
Д 7 :0 9 [
Щ| = <0;0;0;0:0;0;0;0:0;0;0;0>
=
< 2 ;4 ;6 ;1 0 :1 ;3 ;7 ;4 :4 ;8 ;1 3 ;7 }
М ассивЗ
В о зв р а щ а е т сумму п р о и зв е д е н и й д и а п а з о н о в и л и м ассивов.
М ассив2:
Значение:
м ассив 1 ;м а с с и в 2 ;... о т 2 д о 2 5 5 м ассиьов, с о о т в е т с т в у ю щ и е
ко м п о н е н т ы к о т о р ы х н у ж н о сн а ч а л а перем но ж ить^ а за т е м с л о ж и ть
п о л у ч е н н ы е п р о и зв е д е н и я . В се массивы д о л ж н ы и м е ть о д и н а к о в у ю
О
С п р а в ка п о э той ф у н кц и и
ОК
!
О тм ена
So, ngгa «ОК» И ^тазЫ Ьовапнг. 'Natijada ]аёуа! quyidagi ко’п 1шИ§а ке-
ladi:
-
Г/7 -
в. . -. с
\;.лг; 0 :
В1г|1куик 1з5Ы5Ь*зга1айаг1
4
б
С?' 10
2 ’ г . . 2 '•
■ д .
3
7
4
з :
.?
,4
8
13
А
А,
Е
;>
■
?
.
;
...С
£
6;
7.
’3 ;■':
9';.
10 '
Та$п1}ас1^ап уик ха]т1ап
0
€0
С
С
С
0
0
0
С
0
0;
1•
1
о
со
110 "
§
-5 ~>
Уик гах1га$г
9С
100
140
0=
€=
0=
С
0
е
0
40 УикКа ta^ab
*£ ЦглитцугуиИа'зЬиИйага^ва^ ‘ о!
Кигеогш maqsad Гипкз1уаз1 ]оу1ахЬдап 0 14 кагакка о’та^Ь , «СервисПоиск решения» buyrug’ini Ьегагтг.
.Сй^>К.{
О^ЙО '¿ГфЬ&'ь , ■•>./•• .
Р”
¿Ц. Сгсз^««,-сизтс-риг ц»... АЬ•-лслче.г
¿¡¿к^уыж е ,
-С
>
Сое^ст^^^-Тй
>
) Зо»*)>г&»>:гп ¿к>;>пул
I
> |
ГЪ».1Сгови»(ив.:.-
|
|
«;* КАасг£.$*>ь..
|
[
; Н.^гк'А'--;. Пй^пм^т^х--.
|
•
Natijada quy¡dagi «Поиск решения» тик^сЯ оупаз1 Ьов1! ЬоЧасП.
П оиск реш ения
~
У ст с м о в и ть ц е л е в у ю я ч е й к у :
Равной:
М
г
$0$14
о м аксимальном у з н а ч е н и ю
^ ш
и
й
й
й
;•. * В ы п о л н и ть . ,
значению ;
0
¡.у З а к р ы т ь
1
:: П арам етры
;
м иним альном у зн а ч е н и ю
¡•'оМбНС.^
■у«.;
| П редпол ож ить
О гр а н :г-;гн ^м :
[.
ч
Д об авить
;
И зм е н и ть
._
; В о с с т а н о в и т ь .'
!
У д алить
.......... .....
С п р а в ка
-
178 -
НобП Ьо’1«ап rnu]oqot oynas¡da «Установить целевую ячейку» darchasiga
0 1 4 ка 1а£! погшш о ’гпайЬ “ минимальному значению ” р а г а т е 1 п т Ь е^ П а у п т.,
«И зменяя ячейки» darchas¡ga А 7 : 0 9 d¡apazonini кйЯ аплг. «О граничения»
darchasiga о ’йЬ «Д обавить» и с т а е т Ьох1Ь, quyidag¡ оупаш ЬобП я}1аггй2 :
С с ы л к а на я ч е й к у ;
О гр а н и ч е н и е :
I
<=
| . ОК ,vj
^
|::Отм&на^ 1 h$o6aBH%j
Справка-•j
Hosil bo’lgan muloqot oynasida «Ссылка на ячейки» darchasiga Е7 ni kiritamiz, tenglikni o ’rnatamiz, «Ограничения» darchasiga G7 ni kiritib,
quyi-
dagini hosil qilamiz:.
OK T ^ |
| „О т м е н а . ]
(.Д о б а в и т ^ . ■[
у : п р а в к а ’ ;|
“Добавить” tugmasini bosamiz. £8 :G 9, .410 : DI 2 diapazonlaridagi qolgan
munosabatlami ham shu tariqa belgilab chiqamiz. Oxirgi munosabatni kiritgandan
keyin «OK» tugmasini bosamiz. Natijada «Поиск решения» muloqot oynasiga
qay tamiz:
П оиск реш ения
V.
У ста н о вить ц е л е в ую яче йку:
Р авной:
X
-j.'.-î-
;v .
;
^В ы пол н ить
м а кси м а л ь н о м у зн а ч е н и ю
значению :
0
jv
1
'■}
За кр ы ть
j
: П арам етры .
t
•о м ин им ал ьн ом у зн а ч е н и ю
ИЬ.М^НЙ'-. ЯЧйЙКгг
ÎA f7 :ÎD Î9
[Г -sJ
! -П р е д п о л о ж и ть . I
^ 1 0 = $ В $ 1 2 ......................................................
$ С $ ]0 = $ С $ 1 2
j4i- Д о б а в и т ь
$D $10 = $ D $ 1 2
$E $7 = $ < ÎÎ7
ÎE $ 3 = $ ü $ 8
= J G t5
j v. И з м е н и т ь . ■
'.BOÇCTôH06HTto-;
•'
-У д а л и т ь -
...■
К
179 -
С правку
«Параметры» П ^таБш ЬоБаггпг. К'а1уаёа quyidagi muloqot оупав1 (юбН
ЬоЧаёк
т
4 ; 100
Мвко**ап«»иое. врем»:
' секунд
[ _ ”
«
:з
_
ПрвДеЛ^Ю*! «ИСпО ИТО|
з
Относительная погрей«ость: 04*5П01.
:
[ г г п > т > н ° ш х » . .. з
Допустимое отгпоио* ,е: ^ ' ^
С£Одиг«п>':
3
¡ас о о !
I _ Л _ Й Й К ? .„ Показывать ЕЧзуи>Твтъг>1Гврв11к^
Г~1'Яеотрмиатапьий>е значения’
СДЛЧКМ!
ГЧ .
пин£йна«
<1ряныч
••»/.Ььютйна ;
р*/тьн^в
. • КВ0ДР4Т>|ЧМ«Я
' ]
' _
' / сопрвженкьм сраа*«нтое'
Oynadagi «Неотрицательное значение» р агатейш Ье^Паугтг уа «ОК»
ищ тазМ ЬобШ, «Поиск решения» пш1оцсЯ oynasiga qaytaшiz уа «В ыполнить»
Ыкаггиг. Natijada quyidagi oynaga оЧагтх:
.Р е з у л ь т а т ы п о и с к а .р е ш е н и я .
1
Ч -
1 Решение найдено. Все ограничения и условия
! о п ти и а л а н о гт сыполнены.
¡'
Хил отчета
¿Результаты
‘ УСТОЙЧИВОСТЬ
^Пределы
•'*)¡Сохранить найденное решение!
].
| . 'О Восстановить исходные значения
\
[
ОК
}|
Отмена
| | Сохранить сценарий...
|'|
Справка
)
«ОК» 11щта81ш Ьоэагтг. Natijada уесЫ т quyidagi ко’шш1^а keladi:
•
I :
1
:
...... 1
4 .
5
А
З
С
£>
1
£
?
*3
И
ЫгПк уик 1а$Ь15Я хага^зНап
2
1
•
4
5
4
б
10
3
8
7
4
13
7
Уикга>;;га5'г
»Насйдап'уик ха]т)аг1
7
10
0
80
0
90 =
90
В
0
ЮС
0.
0
100 =
100
5
100
0
40
14С =
140
10
110
30
40
11 :=
12
13
с'
200
=
210
=
=
100
80
40 Уикка 1а1аЬ
1Л :УГУ!'ц.^Ту у # '& Ы $ Н ха г# № = : ■ - 1430
15 ^
-
180 -
Rasmdan ko’rinib turibdiki, barcha cheklanishlar bajariladi va yechim quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
xM =10, x„ = 80, x„ =100, x„ =100, x,4 =40,
X,, = x l4 = * ,,= * „ =,t,, =x,2 =x., =0,
r ...= 10-2 + 8 0 -6 + 100-3 + 1 0 0 -4 + 40-7 = 20 + 480 + 300 + 400 +280 = 1480
7.5. Chiziqsiz dasturlash masalasi
Agar maqsad funksiyasi yoki tengsizliklar sistemasi o’zgaruvchilarga nisbatan chiziqsiz ifodalarni o’z ichichga olsa, bunday masalalar chiziqsiz dasturlash
masalasi deyiladi. Chiziqsiz dasturlash masalasi umumiy ko’rinishda quyidagicha
ifodaianadi:
x,,x,, ...,x„ o’zgaruvchilaming shunday qiymatlarini topish kerakki, bunda
quyidagi shartlar bajarilsin:
z = f ( x l,x2,...,xn)~>max(min)
(7.13)
fl{XVXV ’X„)~ 0
fix .,x „ ...,x ) > 0
(7.14)
/ in(x],x,,...,x„)>0
(2) tengsizliklami quyidagicha ifodalaymiz:
y, =yi(x,,x;,....x )>o
.... (7.,5)
y„ = f l x vx i - - x
j', = 0 ,y, =0,....J>'„ =0 tenglamalar n o’Ichovli fazodagi gipertekisliklarni aniqlab,
ular bilan cbegaralangan nuqtalar to’plami (7.14) shartlarni qanoatlantiradi, boshqacha qilib aytganda, mumkin bo’lgan yechimlar to’plamini hosil qiladi. Shu nu­
qtalar ichidan (7.13) funksiyaga optimal qiymat beradigan nuqtalarni topish kerak.
(7.13)-(7.14) masalani yechishning bir necha usullari bo’lib, ularga fazoviy to'r
uzellari usuli, tasodifiy tekshirish hamda, gradiyent usullari kiradi. Gradiyent usulini qarab chiqamiz.
-
181 -
z—
) funksiyaning argumentiari bo'yicha xususiy hosiialaridan
tashkil topgan gradl ÊL ÊL 1
i ydxl Sx, ’ ’dxn/
vektorga /
funksiyaning gradiyenti dey-
iladi. Har bir nuqtaning o’z gradiyenti bo’lib, u berilgan nuqtada funksiyaning eng
katta o’zgarish yo’nalishini ko’rsatadi va shu nuqtadan o’tuvchi sirt chizig’iga nisbatan perpendikulyar bo’ladi.
Masalani yechish uchun dastlab, mumkin bo’Igan yechimlar to’plamida
boshlang’ich nuqta A ni tanlab olamiz. A nuqtada maqsad funksiyasining gradiyentini hisoblaymiz:
i{ df x)j j .(■?■'
[cx,_
oz
,
4&.л.
A nuqta orqali o’tuvchi gradiyentga parallel bo’Igan to’g’ri chiziqning parametrik tenglamasini tuzamiz.
.
Í dz)
+ f —dA
-
(
T1
X. = x,’ +
■I
\
—
■1
(7.16)
$>'
Maqsad
funksiyasi
maksimumga
tekshirilayotgan
bo’lsa,
gradiyent
yo’nalishi bo’ylab siljiymiz va / > 0 deb olamiz. Boshlang’ich nuqtadan gradiyent
yo’nalishi bo’ylab t parametr qiymati bilan aniqlanuvchi biror h masofaga siljib.
biror В nuqtaga o’tamiz. Yangi В nuqtada yana gradiyentni aniqlaymiz. Aniqlangan yo’nalish bo’yicha yana h masofaga siljib, С nuqtaga o’tamiz va shu tariqa
jarayonni davom ettiramiz. Agar gradiyent tashkil etuvchilari not qiymatni qabul
qilsa, optimal yechim topilgan hisoblanadi:
^ - =о Л
dx.
=
ûv.
0.
Masalaning grafik lasviri qo’yidagicha bo’ladi:
-
182 -
=
0
Agar masala minimumga tekshirilayotgan bo’lsa, /< 0
deb olinib. г
funksiyaning kamayishini ko'rsatuvchi gradiyent yo’nalishiga qarama-qarshi
tomonga siljiymiz.
Misol. Quyidagi chiziqsiz dasturiash masalasini yeching.
г = л*,' - Зх, + X,1 - 2x -> max
X2 - x ; <9
X,
<3
x, >0
x, >0
Tengsizliklar sistemasini quyidagi ko’rinishga keltiramiz:
y, = 9 - x,2 + x; > 0
y, = 3 - x, > 0
x, > 0; x, > 0
z funksiyasidan x,, x;o’zgaruvchilar bo’yicha xususiy hosila olamiz:
$<«ч - =2xt* -3
Ï
(7',7)
— = 2x, - 2 .
dv,
Boshlang’ich nuqta sifatida 0(0.0) nuqtani tanlaymiz. Bu nuqta berilgan
masaladagi tengsizliklarni qanoatlantirib. r„ = 0 bcrladi. О nuqta koordinatalarini
(7.17) ifodaga qo’yamiz.
= 2 •0 - 3 = - 3
(7.18)
= 2 •0 - 2 = -2
Natijada O nuqta uchun quyidagi gradiyentni hosil qilamiz: grad z0(- 3,-2).
O nuqta optimal bo’lmaydi.
O
nuqta orqali o’tuvchi, gardiyentga parallel to’g’ri chiziqning parametrik
tenglamasini tuzamiz:
jc, =0- 31
^ =0 - 21
Masala minimumga tekshirilayotganligi uchun t = -1 < 0 deb olamiz va
yuqoridagi parametrik tenglamaga quyib quyidagini hosil qilamiz:
x< = 0 - 3 - ( - l ) = 3
x2 = 0 - 2 - f - l J = 2
Natijada
A(3;2)
nuqtaga o’tamiz. A nuqtada z funksiya qiymatini
hisoblaymiz:
z , = 3’ - 3 • 3 -t- 2: - 2 • 2 = 0 = z„. Bundan ko’rinadiki, A va O nuqtalarda
funksiya qiymati bir xil bo’lib, bu berilgan yo’nalishda minimum nuqtani sakrab
o ’tib ketganligimizni bildiradi. Shuning uchunt t parametrning qiymatini kichikroq
olamiz: I =-0,5 quyidagini hosil qilamiz:
x, = 0 -3 - ( - 0 ,5 ,) = 1,5
= 0 - 2 -r-0,5>= 1
Topilgan B (\,5 ;\) nuqtada funksiya qiymati zn = 1,5' - 3 • 1,5 + 1; - 2 • 1=
= -3,25 bo’lib, boshlang’ich qiymatga nisbatan kichraydi. Bu
nuqta uchun
cheklanishlarni tekshirib ko’ramiz:
y, = 9 —1.5’ + 13 = 7,75 > 0
y, = 3 -1 = 2 > 0
Barcha shartlar bajarilgani uchun, topilgan nuqta mumkin bo’lgan yechimlar
to’plamiga kiradi. B nuqtada r ning gradiyentini hisoblaymiz:
-
184 -
= 2 -1 ,5 -3 = 0
>/ii
: B(0 ;0 )
nol vekto r b o 'lg an i uchun z ning qiymatini yanada kam aytirib
b o’lmaydi.
D emak m asala optim al yechim B nuqtada erishadi. M asalaning grafik ifodasi
quyida chizm ada keitirilgan:
Mustaqil yechish uchun misollar
Quyidagi chiziqli dasturlash inasalalarini grafik va sim pleks usulda yeching:
1) r = 2 a, + 3a%
a;
+ 4,v, > 4
- x + x, > 3
2
A-,
• m in
2 ) : = -a-, + 3x, -> min
a, - x, < 2
<x, + x , > 4
A, > 0. A, > 0
> 0.
A-.
>0
3) z = 2х, - 2x, -> m ax
' - А, + 2а, < 2
Зх, + 5л:, >15
- А, + А, > -1
З х , + а , < 15
— 2а,
х{ >
А, <2
+ х, < 3
А, >0, А, > 0
0, а, >0
5) z = 4 + 6 л", + 2х, -» min
6) z = 1,5а, + За, —> max
x, + 2а, < 2
x, - x , > - 2
x , + х, >
4) z = 1,5а, - За, н> max
2
-
А, + А, > -2
' х, < 2
< л, - х, < 2
А, >0, А, >0
а, >1, x, > 0
x, <4
7) г = 2х, - 4 а ,
/íítxx
8) : = x, + 2а, —> max
x, + 4л-, > 3
а,
За, + x , > 3
А, + 2х, > 4
+ а, < 4
2 .x, - За-, < 4
х, > 0, х, > О
А, > О, А , > О
9) г = 2а, + За, -> max
10) г = 2 + 6 а , + 2х , -> ягах
а,
- 2а , > -3
х ( + 2а, < 5
а,
+ 2 а , >2
2 л-, + х , < 3
л, + л, > 2
За, + а , > 5
А,
>0,
А,
>0
а,
>1,
а,
>0
Quyidagi chiziqli dasturlash masalalarini simpleks usulda yeching va ularga
ikkilangan masala tuzing:
1) ; = 2x, + 3x, -» min
'x, + 4 a , > 4
2 ) z = -x, + За. -> min
Í.V, - A, < 2
A, + X, > 4
— X
-fA ",
<1 J
2
A, >
X, > 0. X, > 0
0 .
X ,
> 0
4) z -■ l,5x, - 3 x, -» max
3) z = 2 x, - 2 .x, —>m ax
Зх, + 5x, > 15
- x, + 2 x, < 2
3jt, + x , < 15
- x , + x, > - 1
' x2 < 2
- 2 x, + x, < 3
X,
> О,
>0
X,
x, > 0 , x, > 0
6) z = x, + 2 x 2 - л-j -> min
5) z = 4 + 6 jc, + 2x, —> m in
(x, - х г > 1
x, - x , > - 2
- x, + x, - x, > - 2
x, + x 2 > 2
- x, + Зх, > 3
• X ,- x , < 2
x, > 0 , x, > 0
x, > I, x, > 0
X, < 4
7) z = 2x, - 4x, —> /яах
8 ) z = 2 х, + 2 х 2 + Зх. -> m ax
x, + 4x, > 3
Ix, + 3х, + х, < 1 4
3jc, + x2 > 3
12х, - Зх, + 2х. > 4
' 2л- - 3.x, < 4
I x, > О, x , > 0 , x. > О
x, > 0, x, > 0
Quyidagi transport masalalarini yeching:
1)
2)
i
i
! 6
~T + T "
3
14
i
Talab 1 50
1
2
3
Zaxira
2
1
70
1
3
6
4
30
2
3
2
5
40
30
?
"
2
3
Zaxira
4
80
5
60
60
9
8
7
5
Talab 80
80
40
3
20
.
3)
4)
ф*
1_Л
ОС
1
2
1 3
Zaxira
1
1
2
! 5
20
2
4
3
30
3
8
! 4
i
5 , 1
i
30 ¡ 20
t
Zaxira j
1
Пг ! з
.
:
1
2
2
. 4 15 ! 3
14
3
4 ! 2 ! 5
8
Talab
4 1 12 ' 8
~ н
!
Talab 40
-
187
-
40
5)
6)
1
2
3
Zaxira
1
9
6
7
90
2
8
8
4
20
3
10
7
4
50
Talab 70
40
50
7)
1
2
3
Zaxira
1
15
24
12
3
2
Jл
12
15
9
21
12
6
15
12
Talab
16
8
12
1
2
3
Zaxira
8)
2
1
3
Zaxira
1
15 24
12
4
1
15
24
12
3
2
12
6
15
16
2
12
15
9
14
3
12
15
9
28
3
12
6
15
8
Talab
8
24
18
Talab
4
12
8
10)
9)
Quyidagi chiziqsiz dasturlash masalalarini yeching:
2) z = A'j + 3x,
1) z = 2x, + 3x, -> min
x'- + 4x; > 4
x ,3 - x ; < 2
3x, + x , > 3
• x, + x , > 4
x, > 0 , x, > 0
x, > 0 , л-, > 0
3) z = 2 x, -
2 x,
min
4) г = x, - 3x, —> max
—> max
3x; + 5 x ; > 15
- x," + 2x\ < 2
x, + x, < 15
-
2x, + x2 < 3
X; < 2
x, > 0 . x . > 0
x, > 0 . x, > 0
-
!8 B
-
X, + X, > - 1
6)
5) 2 = 4 + 6 x, + 2x, -» m in
2
= x, + 2x, —>min
x; - x; > -2
x'- - x ;
x, + x , > 2
- x, + x , > - 2
- x, - x , < 2
- x, + 3x, > 3
x, >0
>1
x , > 0 , x, > 0
x, < 4
7) z = 2x, - 4x2 -> max
8)
2
= 2x, + 2x, —>max
x; + 4x,2 > 3
x,; + 3x; <14
3x, + x, > 3
• 2x, - 3 x , > 4
2x, - 3x, < 4
x, > 0 , x, > 0
x, >0, x, > 0
9) 2 = x, + 2x, -» min
10)
x,: - x\ > 1
2
= 2 + 6x, + 2x, —> max
x,’ - 2x1 - —3
x, + 3x, + > 12
• x, + x, > 2
| - x , + 3x, >3
x,
>
0 , x,
>
0
(x, > 0, x, > 0
Tayanch so’z va iboralar
Chiziqli dasturlash masalasi, grafik usuli, simpleks usuli, to’g’ri to’rtburchak
usuli, tayanch yechim, optimal yechim, transport masalasi, potentsiallar usuli,
gradiyent usuli.
S a v o lla r
1. Chiziqli dasturlash masalasining umumiy ko’rinishini yozing.
2. Qanday holda chiziqli dasturlash masalasi grafik usulda yechiladi?
3. Koordinatalar tekisligida yechimlar ko’pburchagi qanday aniqlanadi?
4. Normal vektor qanday aniqlanadi?
5. Optimal yechimni aniqlash usullarini tushuntirib bering.
6. Qanday holda optimal yechim chekli qiymatni qabul qiladi?
7. Qanday holda optimal yechim yagona bo’ladi?
8. Kanday holda optimal yechim cheksiz ko'p kiymatni kabul kiladi?
9. Qanday holda optimal yechim cheksizlikka intîladi?
-
189 -
10.Qanday holda masala yechimga ega bo’lmaydi?
11.Chiziqli dasturlash masalasida ikkilangan masala tuzish qoidalarini keltiring.
12.Chiziqli dasturlash masalasida ikkilangan masalani yechish bosqichlarini aytib bering.
13.To’g’ri to’rtburchak usuli qanday bajariladi?
14. Chiziqli dasturlash masalasini simpleks usulda yechish bosqichlarini aytib
bering.
15.Chiziqli dasturlash masalasining tayanch yechimini topish qoidalarini tushuntiring.
lö.Chiziqli dasturlash masalasining optimal yechimini topish qoidalarini tu­
shuntiring.
17.Chiziqli dasturlash masalasini simpleks usulda yechishda hal qiluvchi ele­
ment qanday topiladi?
18.Chiziqli dasturlash masalasini simpleks usulda yechishda hal ustun element
qanday topiladi?
19.Chiziqli dasturlash masalasini simpleks usulda yechishda hal qiluvchi satr
qanday topiladi?
20.To’g’ri to’rtburchak usuli qanday bajariladi?
21,Oxirgi simpleks jadvalda optimal yechim qanday aniqlanadi?
22.Chiziqli dasturlash masalasini simpleks usulda yechishda masala yechimga
ega bo’lmaslik sharti qanday?
23.Chiziqli dasturlash masalasini simpleks usulda yechishda masala yechiming
yuqoridan chegerelanmaganlik sharti qanday?
24.Transport masalasining qo’yilishini tushuntiring.
25.0chiq va yopiq trasport masalasini tushuntiring.
26.Qanday shart bajarilganda transport masalasini yechishga kirishish mumkin?
27.Transport masalasini yechish bosqichlarini aytib bering.
28.Shimoli-sharq usulini tushuntirib bering.
29.Potentsiallar usuli qoidalarini aytib bering.
30.Nabor. zanjir, sikl nima?
- 190 -
31 Planning optimallik sharti qanday?
32.Potentsiallar qiymatlari qanday aniqlanadi?
33.Qanday, kataklar belgilangan deyiladi?
34.Chiziqsiz dasturlash masalasining qo’yilishini keltiring.
35.Gradiyent nima?
36.Gradiyent usulini tushuntiring.
37. Parametrik tenglama tuzish qoidasini tushuntiring.
38. Yechimning optimallik shartini tushuntiring.
39. Masala maksimumga tekshirilganda parametr qanday tanlanadi?
40.Masala minimurnga tekshirilganda parametr qanday tanlanadi?
-
191 -
8-BOB.
BA’ZI BIR INJENERLIK MASALALAREMI
MATEMATIK MODELLASHTIRISH
Ma’lumki, injenerlik masalalarining qator obyektlari xuddi sterjen yoki
plastinka ko’rinishda matematik modellashtiriladi. Tashqi kuch ta’sirida bo’lgan
sterjen va plastinkaning egilishi hamda tebranishini aniqlash amaliyotda muhim
ahamiyatga ega. Markaziy simmetriya o’qi bo’yicha ma’lum kuch bilan siqilgan
sterjen va plastinkaning turg’unligi masalasida kritik vaqt va unga mos keluvchi
kritik kuchni aniqlash obyektlami tekshirishda asosiy faktor(omil)lar bo’lib
hisoblanadi. Ushbu bobda shu kabi injenerlik masalalarining matematik modellari
tuzilib, ularni yechish usullari keltirilgan.
8.1. O’zgaruvchan kesimli elastik to’sin egilishi masalasining matematik modeli
Uzunligi L ga teng, uchlari sharnirli mahkamlangan, o’zgaruvchan kesimli
elastik to’sin(balka)ning egilishi haqidagi masalani qaraylik (8.1-rasm). T'o’singa
q(x ) kuch ta’sir etayotgan bo’lsin. U holda to’sin deformatsiyalanib uning kesimlarida kuchlanishlar hosil bo’ladi.
8.1-rasm
Agar kuchlanishni a va deformatsiyani e deb belgilasak, ular orasidagi
bog’lanish Guk qonuniga asosan
a = Es
(8.1)
bo’ladi. Bu yerda E elastiklik moduli.
To’sinning ixtiyoriy nuqtasidagi egilishini it(x) deb olsak, u deformatsiya
-
192 -
bilan quyidagicha bog’langan:
d'it
dx2
(8.2)
(8.1) va (8.2) ni to’sinning muvozanat tenglamasi
ga qo’yib,
(8.3)
tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda J = J(x) - inersiya momenti, F - to’sin
ko’ndalang kesim yuzasi, M - kuch momenti, ; - to’sin sirtidan uning o ’q kesimigacha bo’lgan maso fa.
Xususiy holda o’zgarmas kesimli elastik sterjen egilishi haqidagi masalani
qarasak, (8.3) tenglama
ko’rinishni oladi.
To’sinning uchlari sharnirli qilib mahkamlanganiigi uchun (8.3) tenglama
X -
0 va x~L da
и = 0 ва
(8.4)
dx2
shartlarni qanoatlantirishi kerak.
(8.3)
va (8.4) birgalikda o’zgaruvchan kesimli to’sinning egilishi masal-
asining matematik modeli bo’ladi.
(8.3) tenglamada ?/ = — , x
x
L
larni bajarib (va qulaylik uchun oldingi belgilashlarni saqlab qolib)
dx1
dx"
tenglamani hosil qilamiz. (8.4) shart esa x = 0 ва x -- 1 da quyidagi
-
193 -
( 8 .5 )
и = 0 ва ^ 4 = 0
dx
(8.6)
ko’rinishni oladi.
(8.5) tenglamaning (8.6) shartni qanoatlantimvchi yechimini BubnovGalyorkin usuliga asosan
.V
u(x) = YJu„sinnm
(8.7)
П--Л
ko’rinishda qidiramiz. (8.7) ning hosilalarini hisoblab,
u' (x ) = Z и„П7Гcos плх;
и" (x ) = — иJ птг)' sin плх;
n=I
h=1
J ( X)u' '(x ) = ~Y,ll„( n n f J (x )sin nm;
»»=1
[J (x )u " (x )]'= - Z UJ nnf [ J ‘(x)sinti7ix + nnJ(x)cosnnx ];
/»=I
[J (x )u " (x )]" =
- Z u„(пл:)1[ J ’' (x )sin nлх + 2 J '(x )п л cos плх - ( п л ) 1J (x )sin плх];
»1=1
larni (8.5) ga olib borib, quyidagi
Z u „ f(n^ / J ( x)sinn7rx - (п л )' J" (x )sin n n x - 2(пл y J' ( x)cosnnx] = q(x)
»=!
tenglikni hosil qilamiz.
Bu tenglikni ikkala tomonini sinmлх ga ko’paytirib, uni x bo’yicha 0 dan 1
gacha oraliqda integrallaymiz va natijada ua larga nisbatan
=<7„, m =l,2,...,N
(8.8)
n=]
\
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Buyerda qm= \q(x)sinm m dx;
I
с..= \[(п л У J (x )s in n itx -(п л f J" (x)sin п лх0
2( пл f J' (x jco sn m ] sinmnxdx
lar Simpson formulasi yordamida hisoblanadi.
(8.8)
tenglamalar sistemasini Gauss usulida yechib, г/я larni va uni (8.7) ga
quyib u(x ) ni aniqlaymiz.
-
194 -
To’sin egilishini aniqlashga Paskai tilida tuzilgan dastur matni:
program egi/ish; uses err;
const n=5; {Bubnov-Galyork'm itsulidagiyig’indilar soni}
type
stroka=array( l..n+1] of real;
matrisa=array[I..n] of siroka;
vektor arrayf L.nJ of real;
myjun-function (p,u:integer;b:real):real;
var
a.matrisa; x:vektor; s.xy,max,c,inti .real;
kl, ij, k, m: integer;
function f)(x:real) .real; { J (x) - funksiyasining ko ’rinishi}
begirt
fj; = l+0,l*x;
end;
function fjl(x:real):real; { J ‘(x) - funksiyasining ko rinishi}
begin
f j l :=(>,!;
end;
function fj2(x:real):real; { J"(x) - funksiyasining ko ’rinishi}
begin
£2-0;
end;
function fq(x:real):real; { q(x) - funksiyasining ko ’rinishi}
begin
fq:--20;
end;
function flk.r. integer; x:real):real;
rar al,a2.a3,a4,as,ac,fxQfxI,fx2:real;
begin
-
195 -
al:=k*pi: a2:=-al*a I; a3:=a2*al; a4r-=a2*a2;
fxO: =fj(x);Jxl: =fj I (x);fx2: =fj2(x);
as:-sin(k*pi*x); ac:=cos(k*pi*x);
f: =(a4*fxO*as-a2 *fx2 *as-2 *a3*fxl *ac) *sin(r *pi *x):
end;
function q(k,r:integer; x:real):real;
begin
q: =fq(x) *sin(r*pi*x);
end;
procedure simpson(a,b:real;n,j,l:integer; g:myJun; var inV.real);
var h,s,sl ,s2:real; i:integer;
begin h:=(b-a)/(2*rt); s l: - 0 ; s2:-0; s:=g(j,I,a) ±g(j,l,b);
for i:=I to n do s i:= s l +g(j,I,a+(2*i-l)*h);
for i: I to n-J do s2:=s2+g(j,l,a+2*i*h);
int: -h*(s+4*s 1+2 *s2)/3;
end;
procedure gauss(b:matrisa; vary:vektor);
begin
for i:=l to n do
begin
max: =abs{b[i.i]); j: ~i:
for k :-i+ 1 to n do if abs(b[k,i])>max then
begin
max: =abs(b[k, i]); j: =k:
end;
i f j o i thenfor k:=i to n '-1 do
begin
c:=b[i.k]; b[i,k]:=b[j,k];
b[j,k]:-c:
end:
- 196
c: ~b[i, ij;
f o r k:= i to n+1 do b[i,k]:=b[i,k]/c;
f o r m : - i + 1 to n do
begin c:= b[m ,i];
f o r k:= i+ I to n + I do
b[m ,k]: =b[m, kj-b[i, k] *c;
end;
end;
y [ n ] : - b fn ,n + 1]:
fo r i : - n - l dow nto 1 do
begin y[ij:= b [i,n + I]; fo r k:= i+ I to n do
y [ ij:- y /i] -b [ i,k j* y [ k j
end;
end;
begin clrscr;
f o r i : - ! t o n d o f o r j : = l to n do begin sim pson(0,1,10,ij f ,i n t i ) ; a [ i j ] : - i n t l
end;
f o r j : - 1 to n do begin sim p so n (0 ,l,1 0 ,i.j,q ,in tl); a [j,n --l]:= in tl end:
gauss(a.x);
fo r kl: = 1 to 11 do
begin
xy:= (k l-l)* 0 .1 ; s: (I:
fo r m := l to n d o s:= s+ x[m ]*sin(m *pi*xy);
w riteln ('x= ',xy:3 :l,' y= ',s:8:6);
end:
end.
Misol: J (x ) = 1 4 O.l.v va q = 20 lar uchun chetlari shamirli mahkamlangan
to’sin egilishini hisoblang va uning grafigini chizing.
Y echish. Bubnov-Galyorkin qatorida ya’ni (8.7) da A' - 5 uchun to’sin egilishi
quyidagi graflkda keltirilgan.
-
197 -
1
\
\
;
;
;
;
r
Z
fi
С
С
0
/
/
\
/
/
/
/
/
/
/
V
/
/
• " • Г ..................................................................................................................
i
1
1
1
У
\
\
\
\
с
-------- > .
X
с
с
8.2. O’zgaruvchan kcsimli sterjen tebranishi
masalasining matematik modeli
Uzunligi L ga teng, uchlari sharnirli mahkamlangan, o’zgaruvchi kesimli
sterjenga q=q(t) kuch ta’sir etayotgan bo’lsin (8.1-rasrn). Sterjenning tebranish
masalasini qarab chiqamiz. Sterjenning tebranish funksiyasini W(x,t) deb belgilaylik. U holda kuchlanish va deformatsiya orasidagi bog’lanish
a
ko’rinishda, H'Yx.t) va s
(8.9)
= Е е
deformatsiya orasidagi bog’lanish esa quyidagi
ko'rinishga ega bo’ladi:
ôrW
OX■
( 8. 10)
Sterjenning tebranish masalasida inertsion kuch hosil bo’lib. harakat tenglamasi Dalamber printsipiga ko’ra quyidagi munosabat yordamida ifodalanadi
д гМ
ô'W
■ - + q = m— —
cx~
dr
( 8. 1 1)
Bu yerda / - vaqt; m- sterjen massasi; q = q (t) - sterjenga ta’sir etayotgan
kuch; M = \\-<ydF - inersiya momenti.
(8.9), (8.10) va (8.11) yordamida sterjenning tebranishini ifodalovchi
- 193 -
v ,/
J 2W
dx2
d2W
or
H- m - ^ - q
OX'
, ,
(t)
(8.12)
xususiy hosilali differensial tenglamani hosil qilamiz.
(8.12) tenglama x = 0 va x = L larda quyidagi chegaraviy
= 0;
5^ = 0
W = tp(x),
—
(8.13)
dx~
va / = 0 da boshlang’ich
dW
= ty(x)
(8.14)
shartlar bilan birgalikda, sterjenning tebranishi haqidagi masalaning matematik
model ini tashkil etadi.
Xususiy holda F = const bo’lsa, u holda
c ,di}V
d2W
EJ — + m
= <j(l)
dx
dr
tenglamani olamiz.
(8.12)-(8.14) da quyidagi
\E J ,
/ =J— -•/,
i mj
-
l‘
q = -------- q
EW„Jn
, x=~,
I
m = -m
almashtirishlami bajarib (va oldingi belgilashlami
saqlab qolib) quyidagi
, ,d 2W
d2
m(x —- +—r
dr
(8.15)
dx2
xususiy xosilali differensial tenglamani hosil qilamiz. (8.13) va (8.14) shartlar esa
x = 0 va x = 1 da
W(x,t) = 0,
d2W (x,t)
- = 0
ox'
(8.16)
va t = 0 da
W (x.t) = <p(x),
dW (x.t)
dt
= V(x)
(8.17)
ko’rinishni oladi.
Bubnov-Galyorkin usuliga ko’ra (8.15) tenglamaning (8.16) shartni qanoat199 -
lantiruvchi yechimini
W (x,t) = 'YjyJt)sinnTix
(8.18)
»=I
kü’rinishda qidiramiz. (8.18) ni (8.15) ga qo’yib
Yjy„(t)sinn7ix -t- '¿L yjt)[J(x)(m / sinnnx - 2J'(x)(nnf cosnnx - J"(x)(nn)1sinnnx] —-— —3ÍLl_
m (x)
m (x)
tenglikni hosil qilamiz.
Bu tenglikni ikkala tomonini sinmnx ga ko’paytirib, uni x bo’yicha 0 dan 1
gacha oraliqda integrallaymiz va natijada
y " J t ) + 'Z a m, y J t ) = q J t ) ,
m = 1,2,..., Л'
(8.19)
/1=1
ko’rinishdagi oddiy differensial tenglamalar sitemasiga ega bo’lamiz. Bu yerda
1
a imi = 2 j [ J ( x ) ( n n У sin n n x - 2 J ' ( x ) ( n n y c o s n n x -
0
sinmnx
, .
- J ( x ) ( n n ) s i n n n x ] ---------- a x ,
m(x j
,
I. sin m m
4 j t ) = q (t)\
, : dx.
T, m(x)
(8.19) tenglamalar sistemasi uchun boshlang’ich shartlar quyidagi
УJ O ) =
, у J O ) = x„,
ko’rinishni oladi. Bu yerda
1
_v„„, = 2 jr p (x js in m n x d x ,
»
•
(8.20)
1
ym
l = 2 ^ /( x ) s in m n x d x
0
(8.19), (8.20) Koshi masalasini Runge-Kutta usulida yechamiz. Topilgan
y j t ) ni (8.18) ga olib borib qo’yamiz va sterjenning tebranish W(x,t) funksiyasini aniqlaymiz.
Sterjen tebranishini aniqlashga Paskal tilida tuzilgan dastur matni:
program kol_sfer: uses crt:
const n=5: { B ubnov-G alyorkin u s iilid a g iy ig ’indilar s o n i}
-
200
nt~-l 51: { t buyicha olingan nuqtalar s o n i}
ht=0. I: { I buyicha olingan qadam }
n2=2*n;
type
m a tr is a - a r r a y f ll..n ] of real;
vektor-'-array[l..n] of real;
vektor2=array[l..n2] o f real;
vektort=array[l ..nt] o f real;
myJun~fiunction (b:real):real;
var
a:matrisa; v0,v:vektor2; bivektor; tl,s, inti .real;
I, i,j. k, r,p: integer; vt: vektort;
function j)(x:real):real;
begin
fj; - 1+0. / *x { J (x) - fimksiyasining ko'rinishi}
end;
functionf j l (x;real):real;
begin
f j l :■■= 0.1; { J ‘(x) - fimksiyasining ko 'rinishi}
end;
function fj2(x:real):real;
begin
f]2: = 0.0 : (J"(x) - fimksiyasining ko ’rinishi}
end;
function ffi(x;real):reai.
begin
ffi: —0.; {tp(x) - fimksiyasining ko'rinishi}
end;
function f[j(x: real): real:
begin
-
201 -
ffj: - 0;
{ t//(x) - fimksiyasining ko 'rinishi}
end;
function ffis(x: real) .real;
begin
ffis:=ffi(x)*sin(r*pi*x);
end;
function ffjs(x;real);real;
begin
jffjs: =ffi(x) *sin(r*pi*x);
end;
function fm(x:real);real;
begin
fm:=100; {m(x) -fimksiyasining ko ’rinishi}
end;
function f(x: real) :real;
var al,a2,a3,a4,as,ac,fxO,fxl,fx2:real;
begin
al:=k*pi; a2:=al*al; a3:=a2*al; a4:=a2*a2;
faO: =fj(x);fxl: =fjl (x);fx2: =fj2(x);
as: =sin(k*pi*x); ac: =cos(k*pi *x);
f:=2. *(-a4*fx0*as+a2*fx2*as+2*a3*ficl*ac)*sin(r*pi*x)/fm(x);
end;
function qO(x:real):real;
begin
qO: =20; {q(x) - fimksiyasining ko ’rinishi}
end;
fimction q(x:real):real;
begin
q:-qO(x) *sin(p*pi*x)/fm(x);
end;
-
202 -
procedure simpson(a,b:real;n:integer; g:myJun; var int:real);
var h,sl,s2:real;
begin
h:=(b-a)/(2*n);
sl;=0; s2: = 0;
s-~g(a)+g(b);
fo r i:=l to n do si:=sl+g(a+(2*i-l)*h);
for i:=I to n-1 do s2:~s2+g(a+2*i*h);
int:=h*(s+4*sl+2*s2)/3;
end;
procedure pv(x: real; y: vektor2; var dy: vektor2);
begin
for i: = I to n do
begin
dy[i]:=y[n-ri]; s:=--0;
for l:--l to n do s:=s+a[i,l]*y[I];
dy[n+ ij: =s+b[ij;
end;
end;
procedure nmgikytta(t; real; yO: vektor2;
var dy: vektorZ);
var v3,fc,fkl,fk2jk3jk4: vektor2;
begin
pv(t,yO,fc);
for i:~ l to n2 do beginfkl [i] :=ht*fc[i];
v3[i]:-y0[i]+0.5*fkl[i] end;
t: =t+0.5*ht; pv(t.v3,fc);
for i:~ l to n2 do begin fk2[i]:=ht*fc[i];
v3[i]: ~y0[i]~0J*fk2[i] end;
pv(t,v3/c);
for i:=l to n2 do beginfk3[i]:=ht*fc[i]:
v3[i]:=y0[i]+fk3[i] end;
t:=-l~0.5*ht; pv(t,v3,fc);
for i:=l to n2 do beginfk4[i]:=ht*fc[i];
-
203 -
dy[i];=y0[i]+0.166666667*(fkl [i]+2*fk2[i]+2*fk3[i] +fk4[i]) end;
end;
begin clrscr;
for r:=I to n do for k: = l to n do
begin
simpson(0,1,10,f, inti);
a[r,k];= int 1;
end;
for p := l to n do
begin
simpson(0,1,10, q, inti);
b[p]:=2*intl;
end;
for r:= l to n do
begin
simpson(0,l, 10,ffis,intl);
v0[r];-2*intl;
end;
for r: = 1 to n do
begin
simpson(0,1,¡O.ffjs.intl);
vO[n+r]: ~2*intl;
end;
fo rj:= l to nt do
begin tl:=(j-l)*ht;
rungikytta(t 1, vO, v);
for i: = l to n2 do v0'[ij;=v[i];
s:=0;
for k:=l to n do s:=s+v[kJ*sin(k*pi/2);
'>UJ:
end;
for i: = l to nt do write(vt[i]:8:3);
end.
M isol: U shbu J ( x ) = \ + Q ,\- x , (p (x) = \j/( x ) ~ 0 , m ( x ) = 100, q ( x ) = 2Q
-
204 -
berilganlar uchun sterjen o’rtasining (л: = 0,5) tebranishini aniqlang va uni grafik
ko’ rinishda tasvirlang.
Y ech ish . n = 3, nt = 151, h i - 0,1 lar uchun, yuqorida keltirilgan dasturdan
foydalanib berilgan masalaning sonli yechimi olindi va natija quyidagi grafikda
tasvirlangan.
8.3. Sterjen turg’unligi masalasining
matematik modeli
Uzunligi a ga teng bo’ lgan, uchlari sharnirli qilib mahkamlangan o’zgarmas
kesimli sterjenga, 8.2-rasmda ko’rsatilgandek siquvchi kuch p ( t ) = St ta’ sir etayotgan bo’ lsin.
8.2-rasm
3 IV
Bu holda sterjenga inersiya kuchidan tashqari. yana p ( t ) — - kuch ta’sir
dx~
etadi. Agar oldingi qaralgan masalalardek, sterjenning muvozanat tenglamasidan
- 205 -
fo y d a la n s a k , q u y id a g i
r. , d JW
, d2W
d ‘W
EJ— —+ p ( l ) — r + m— T- = q
dxA
‘
' dx2
(8.21)
d t1
tenglamani hosil qilamiz. (8.21) tenglama x = 0 va x = a larda quyidagi chegaraviy
IV = 0-
^
( 8 .2 2 )
=0
va t = 0 da boshlang’ich
W = <p(x),
^
dt
(8.23)
= V (x)
shartlar bilan birgalikda, elastik sterjerming turg’unligi haqidagi masalaning matematik modelini tashkil etadi.
Turg’unlik masalasining asosiy muammolaridan biri kritik vaqt /
va kritik
yuk p (tKp) ni topishdan iborat.
Turg’unlik
nazariyasida
kritik
vaqt
/
ni
topishning
bir
necha
kriteriya(alomati)lari mavjud. Amaliyotda keng foydalaniladigan kriteriyalardan
biri bu - sterjen o’zgarish funksiyasini, sterjen ko’ndalang qirqimining radiusidan
katta bo’lmasligidir.
Bubnov-Galyorkin usuliga ko’ra (8.21) tenglamaning (8.22) shartni qanoatlantiruvchi yechimini
nnx
W (x,t)= Y jV J t)sin »=i
(8.24)
a
ko’rinish'daqidiramiz. (8.24) ni (8.21) ga olib borib qo’yamiz, va
. П7ПС
sin-----= q
a
I7TX
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikni ikkala tomonini sin—
a
ga ko’paytirib, x
bo’yicha [0;a] oraliqda integrallaymiz. Natijada
IV (I) +i'm'
P (0 W. = ^~~Lq, / = 1,Л;
am
P-,
- 205 -
(8.25)
tenglamalar sistemasiga ega bo’ianiiz. Bu yerda a)1 =
chastotasi; p.t = — 2-----Eyler kritik kuchi; a , = 1(8.25) da
W i
= -—,
r
-Js
q -—
p,
EJ
m
-xususiy tebranish
1/ .
—
r o’lchovsiz parametrlarni
rm0co;
kiritib,
W ~
+ i2s(i1 -
(8.26)
= — °^ q , i = 1, N
va P, = ~ r - o’lchovsiz paramclrlar; c = -.¡E/ p - sterjen materialida tovush tarqalish tezligi; p -sterjen materialining zichligi; r -
F0 -sterjen inersiya kesimining radiusi.
(8.26) tenglamalar sistemasini
(8.27)
ko’rinishda yozib olamiz. (8.27) uchun boshlang’ich shartlar quyidagicha bo’ladi:
Wi(Q) = WM,
(8.27)
tenglamalar
sistemasining
U ,(0 )= U a
(8.28)
shartlami
(8.28)
qanoatlantiruvchi
yechimini Runge-K.utta usulida aniqlaymiz. Vaqt bo’yicha har bir qadamda sterjen
turg’unligi kriteriyasi shartini tekshirib boramiz va bu shart bajarilgandagi t ni
kritik vaqt sifatida qabul qilamiz.
Sterjen turg’unligini aniqlash uchun Paskal tilida tuzilgan dastur matni:
program u sto y jt; uses crl:
label I;
const X- 3; s-0.1: q=0; nt=255l: ht=0.1;
type
vektor2=array[l..2] o f real;
matr -array[ I ..nl] of real;
-
207 -
var
v0,v:vektor2; w:matr; tJ.real; ij: integer;
function fdel(x:real):real:
var a l :real;
begirt
al: =x/2-trunc(x/2); if a l-=0 then fdel: =0 else fdel: =2;
end;
procedure pv(x: real; y: vektor2; var dy: vektor2);
begin
dy[IJ: =y[2]; dy[2]: = 2*fdel(n)*s*q/n/pi-n*n*s*(n*n-x)*y[ 1];
end;
procedure rungikytta(t: real; yO: vektor2;
var dy: vektor2);
var v3fc,fklfk2.Jk3,fk4: vektor2;
begin
pv(t,yOfc); for i: = I to 2 do beginfkl[i]:=ht*fc[i];
v3[ij:=y0[ij+0.5*fkl[i] end;
t:=t+0.5*ht; pv(t,v3Jc);
f o r i:= l to 2 do begin fk 2 [i]: = ht*fcfi];
v3 [i]:=yO[ij+0.5 *fk2[i] end;
pv(t,v3,fc); for i:=l to 2 do beginfk3[i]:=ht*fc[i];
v3[i]:=y0[i]+fk3[i] end;
t:=t+0.5*ht; pv(t,v3,fc); fo r i:= l to 2 do beginfk4[i]:=ht*fc[i];
dy[i]:=y0[i]+0.166666667*(fkl[i]-2*fk2fi]+2*fk3[i]+fk4[i]) end;
end:
begin clrscr; vQ[l]: =0.001; v0[2]:=0;
for j: = / to nt do
begin tl:-(/-l)*ht; rimgikytta(tl ,vO,v):
for i:=] to 2 do v0[i]:=v[ij: w [jj:=v[l]:
if"’UJ> = I then goto 1;
end;
- 208 -
1: for i:- i to j do \vrite(w[i]:8:3);
writeln; \vriteln('n='.n:3,' t= ’,t¡:6:3);
end.
8.4.0 ’zgaruvchan kesimli plastinka egilishi
raasalasining matematik modeli
Eni a ga, bo’yi b ga teng o’zgaruvchan h(x,y) qalinlikka ega bo’lgan,
izotropik materialdan tayyorlangan, chetlari shamirli mahkamlangan plastinkaning
egilishi haqidagi masalani ko’rib chiqaylik. Plastinkaga q o’zgarmas kuch ta’sir
qilayotgan bo’lsin. U holda plastinka deformatsiyalanib, uning har bir nuqtasida
kuchlanishlar hosil bo’ladi. Plastinka o’rta qatlamidagi kucblanish o\, cfv, t„. larva
deformatsiya e r, t-v,
lar orasidagi fizik bog’lanishlami Guk qonuniga asosan
quyidagi
^ v = 7 - ^ - - ( 4 c , . = ~ -i(E r
1—M
r „. =— ^
1- Ц
2(1+ fi )
(8.29)
ko’rinishda olamiz. Bu yerda E - elastiklik moduli, /.i - Puasson koeffitsiyenti.
Plastinkaning egilish W (x,y) funksiyasi va deformatsiya
e
s , s v,
lar ora­
sidagi geometrik bog’lanishni
d2W
€, = - z — - ,
дх~
d2W
0 2W
e . = —z — —. y . = - z -----'
ду~
"
dxdy
.....
(8.30)
ko’rinishda olamiz. Bu yerda z - plastinkaning ko’ndalang kesimidagi nuqtasidan
uning o’rta qatlamigacha bo’lgan masofa.
Plastinkada hosil bo’ladigan kuch momentlari quyidagi munasobatlar orqali
aniqlanadi:
/« :
iWv = Jzo\úfe,
-h 1
;» :
My = jrcx.tfc,
-i> 2
¡, :
¡ z r n.dz
-h 2
(8.31)
(8.29) va (8.30) ni (8.31 ) ga olib borib qo’yamiz va
/
ô 2W
32Jï ,
dlW
М.. = - D — - + и — г- , M, = -D
дх~
ду~
oy~
-
209 -
]
dx~ J
ô:IV
oxd}’
larni hosil qilamiz. Bu yerda D (x , y ) =
Ehi(x ,y )
M x, M v, M„. kuch momentlarini plastinkaning muvozonat tenglamasi:
d'M
d2M
d2M
r 5- + 2 ^ —^ - +
+q =0
ar
g a q o ’yib
DV*W + 2 — —V 2W + 2— — V 2W + V 2D V2W
dx dx
dy dy
( d 2D d'-W
. d2D d2W
8 2D d2H'r)
(\~ u)\---:----- —+ 2----------- +--- ,----- ;
dy
dxdy dxdy
dy~
(8.32)
dx
tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda
V * = Í l + 2 - ^ +Í l , V4 =-^—+2——— +-^—
dx
dxdy
qy2 ’
dx 4
d x zd y 2
dy4
Plastinkaning chetlari shamirli mahkamlanganligi uchun uning chegaralarida
quyidagi shartlar o’rinli bo’ladi:
ffU = 0 ,
(8.32)
82W
dx2
= 0, W\r,u=0,
d 2W
dy2
(8.33)
tenglama va (8.33) chegaraviy shart birgalikda plastinka egilishi masal-
asining matematik modelini tashkil qiladi.
Soddalik uchun o’zgarmas qalinlikdagi plastinkaning egilishi haqidagi masalani qarayfik. U holda (8.32) tenglama
DV'W = q
yoki
(8.34)
ko’rinishga ega bo’ladi.
(8.33), (8.34) larda W = ^ —.x = ~ , y = - , q = -^-^- almashtirishlami bajarib
IV.,
a
b
W„D
va qulaylik uchun oldingi o’zgaruvchilarni saqlab qolib
- 210 -
(8.35), (8.36) chegaraviy masalani Bubnov-Gaiyorkin usuli yordamida
yechamiz. Bu usulga asosan chegaraviy shartlarni qaaoatlantiruvchi yechimni
■V ,1/
fV ( x , y ) = Y ,T J^',ms in n m s in m T ty
nr*1
(8.37)
ko’rinishda qidiramiz. (8.37) ni (8.35) ga olib borib qo’yamiz va
' v
r
i
nn^ + 2A2( n n ) :( m w f + X ( m n f \ s i n n m s i n m 7 r y - q
(8.38)
»/=1 /»=.]
tenglikni hosil qiiamiz. (8.38) ning har ikkala tomonini sin im sinjm> ga
ko’paytirib, hosil bo’lgan tenglikni [0;l] oraliqda x va y bo'yicha integrallaymiz.
Natijada
a W it = q v , ¡ = 1 2 ,...,N ; y = l,2 ,...,M
(8.39)
tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda a. = { i n f +2Á1(Í7r)~ (jnf + X ( j n f ,
IJ7T
(8.39) dan W. = —■ larni aniqlab, uní (8.37) ga olib borib qo’yamiz va
a.'}
¡V(x,yJ ni taqribiy hisoblash uchun
If(x.y), t í —
,„¡ .»^i nmn' \[nn) + 2X ( nn)~ ( mn)~ + X ( mjr)' J
formulaga ega bo’lamiz.
Plastinka egilishini hisoblash uchun Paskal tilida tuzilgan dastur matni:
program egilish_pl; uses en:
var s i,ai,ai2,ai4,aj,aj2,aj4,bij,x,y,Iam2,lam4,dx,dy:real;
ij,k,l: integer;
function delta(x:integer):integer;
var c 1:real;
begin
c l :=x/2-trunc(x/2); if c l= 0 then delta:=0 else delta: =2;
end;
begin clrscr; dx~l/(nx-l); dy:=l/(ny-l);
lam2: =lam *lam; lam4: =lam2 *lam2;
for I: = 1 to nx do begin x: =(l-l) *dx;
for k:=l to ny do beginy:=(k-l)*dy;
s i :=0;
for i:=l to N do begin fo r j: = l to M do begin
ai:=i*pi; ai2:=ai*ai; ai4:=ai2*ai2;
aj:=j*pi; aj2:=aj*aj; aj4:=aj2*aj2;
bij: =ai4+2*lam2 *ai2 *aj2+ Iam4 *aj4;
bij:=bij*i*j*pi*pi;
si := sl + 4 *delta(i) *delta (j) *q *sin(i *pi*x) *sin(j *pi *y)/bij;
end; end;
writelnCx—,x:4:2, ' y=',y:4:2, ' w(x,y)~',sl:7:4);
end; end;
end.
S.5. Plastinka tebranishi masalasining
matematik modeli
Eni a ga. bo’yi b ga teng bo’lgan, chetlari sharnirli mahkamlangan to’g’ri
to’rtburchak shaklidagi elastik plastinkaning q (t) tashqi kuch ta’siridagi tebran­
ishi
masalasini qarab chiqamiz (8.3-rasm).
- 212 -
а
х
8.3-rasm
Soddalik
uchun plastinka qalinligini o’zgarmas h = const deb olaylik.
Tashqi kuch ta’sirida plastinkada hosil bo’Igan kuchlanish ax, ay, rxy lar va deformatsiya sx, sy, yxy lar orasidagi fizik bog’lanishlarni Guk qonuni bo’yicha
^ = T1-~i i ^- ( s, +
h o',. = -1- ц -г(«■,. +
), ■ 2(\ +/.i
—):Гп(8-40)
■
ko’rinishda olamiz. Bu yerda E - elastiklik moduli, // - Puasson koeffitsiyenti.
Plastinkaning egilish W (x ,y) funksiyasi va deformatsiya sx, sy, yxy lar orasi­
dagi geometrik bog’lanishni
d 2w
д- w
£, = - z — r>
d 2w
— г , У , = - z ------
fir
4
dy~
dxdy
(8.41)
ko’rinishda olamiz. U holda plastinkada hosil bo’ladigan kuch momentlari quyidagi munasobatlar orqali aniqlanadi:
Mx= j z a xdz,
M v = jzcrvdz,
-/» 1
-h 2
M „ = j * r„.dz
(8.42)
-/» 2
Tashqi kuch ta’sirida hosil bo’Igan inersiya kuchini hisobga olsak,
plastinkaning harakat tenglamasi
д 2м
, _а 2л / „
fir
dxdy
д 2м у
t d 2w
--- ~ +2-----—4-----^ +q =ph——
dy‘
dt'
# 0 .„.
(8.4j)
ko’rinishga ega bo’ladi. Bu yerda p - plastinka materialining zichligi.
(8.40), (8.41) larni (8.42) ga qo’yib kuch momentlarini hosil qilamiz va
ularni (8.43) g aq o ’ysak plastinka tebranishini ifodalovchi
dJIV
„
d 'W
d AW
D ----Г + 2 — :— " + ~ Г
fix'
dx~dy~
3y
- 213 -
,
dzlV
+ ph— —= q
dr
(8.44)
tenglamani hosil qilamiz. (8.44) tenglama
.r=0 = 0 ,
d lW
dx2
0, r |l;.ü=o,
d2W
=
dy2
(8.45)
0
chegaraviy shartlar bilan birga quyidagi
dW
dt
W'L.o = < P ( x , y ) ,
(8.46)
= V (x,y)
boshlang’ich shartlami ham qanoatlantirishi lozim.
(8.44)
tenglama (8.45) va (8.46) shartlar bilan birgalikda qaralayotgan ma-
salaning matematik modelini tashkil qiladi.
(8.44) tenglamada W = — , x - ~ ,
PV0
a
y = —, t - J —^a- -I, q = -~ — q almashtib
\
D
DWa *
rishlami bajarib va qulaylik uchun oldingi o’zgaruvchilarni saqlab qolsak,
d'W
дх
-
8JW
dx'dy'
dAW
dÿ
d2W
dt'
--- -- +2À' —:—- + Д --- r + — - =a
tenglamaga ega bo’lamiz. Bu yerda À =
(8.47)
a
(8.45) chegaraviy shartlar
W \* * = 0 .~
' dx- **
= 0, W\v¿>= 0 dW
v"‘
rV
=0
(8.48)
ko’rinishga ega bo’ladi. (8.46) boshlang’ich shart esa quyidagi
,
, dW\
dt L
ko’rinishni oladi. Bu yerda <p0( x ,y ) = ^ ^ / K
(8.47)
(8.49)
if/Jx.y) =
'
tenglamaning (8.48) chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini
Bubnov-Galyorkin usuliga asosan
W ( x .y ,t) - '£ Y JIVim(t ) sinn nx sin mny
(8.50)
ko’rinishda qidiramiz. Bu yerda li',„„(t) - hozircha noma’ium funksiya. (8.50) ni
(8.47) ga olib borib qo’yib,
- 214 -
( п я ) 2( mn ) 2 +Л>( m it / \sm n 7a sin m n y +
X! ¿LW«*. ( 1Jk nn )' +
»=l ш—
!
.V
M
+^
W¡m( I ) sin nTüxsinmny =
q
»:-l m=\
tenglamani hosil qiiamiz. Bu tenglamaning ikkala tomonini sinim sinjny ga
ko’paytirib [O.l] oraliqdax va y bo’yicha integrallaymiz, natijada
1y ¡ ( t) + a¡WIJ(t) = q J t ) , /=1,2.... /V;
7
= 1,2..... M
(8.51)
ko’rinishidagi oddiy differensial tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Bu yerda
a„ = ( i 7 i f +2X-(ÍTV)2( j n ) 2 + X ( j n ) \ c¡ (t ) =
( - 1 ) ’ ].
tjx~
(8.51) chiziqli differensial tenglamalar sistemasida W' = U
almashtirish
qilib uni quyidagi
ÍW' =U .
J ;
"
t/ 4 = a‘ 4 - a VWУ
l.
(8.52)
ko’rinishda yozib olamiz. (8.52) sistema uchun boshlang’ich shart
ÍW. (0)=<p
1 "
1
(8.53)
• •
I i
Bu yerda <pmi = 4jj<pn(x,y)sininxsinjnydxdy,
= 4jji//„(x,y)sininxsinjnydxdy
0 II
l>It
(8.52), (8.53) Koshi masalasini Runge-Kutta usulida yechib, WJt) funksiyani
aniqlayiniz va uni (8.50) ga qo’yib, W(x,y,t) funksiyaning qiymatini hosil qilamiz.
Plastinka tebranishini hisoblashga Paskal tilida tuzilgan dastur matni:
program tebran jylast; uses crt;
const lam = l: n=l: m - l : nt-15!; ht=0.1: nurav=2;
type
vektor2=array[I..2] of real;
m atr-array[l ..n. l.m .L .nt] qf real:
var
r0,v:vektor2; w.matr; tl.real:
i,j.ikjk:in/eger;
-
2\b -
function fdel(x: real) :real;
var aaa:real;
begin
aaa: =x/2-trunc(x/2); if aaa=0 then fdel: =0 else fdel: =2;
end;
function fq(x:real):real;
begin
fq:=2*x;
end;
function qij(i,j: integer):real;
begin
qij: =4 *fdel(i) *fdel(j)/(i *j*pi *pi)
end;
function aij(i,j: integer):real;
begin
aij: =sqr(sqr(i *pi))+2 *sqr(lam) *sqr(i *pi) *sqr(j *pi)Jsqr(sqr(lam)) *sqr(sqr(j *pi));
end;
procedure pv(x: real; y: vektor2: var dy: vektor2);
begin
dyfl]: =y[2]; dy[2]: =qij(ikjk) *fq(x)-aij(ikjk) *y[1]
end;
procedure nmgikytta(t: real: yO: vektor2;
var dy: veklor2);
var v3Jc,fkl,fk2Jk3,fk4: vektor2;
begin
pv(t.yO.fc);
for i: = I to mirav do begin fk lfi]: =ht1:f c[i];
v3fi]: =y0[i]^0.5*fkl[i] end;
t:=t-0.5*ht: pv(t,\3,fc); for i: = l to mirav do beginfk2[i]r-ht*fc[i]:
- 216 -
v 3 fij: = y0[i]+ 0.5*fk2[i] end;
p v(t,v3,fc); f o r i:= I to nurav do begin fk3[i]:= ht*fc[i];
v3[i]: =yO[i] +Jk3[i] end:
t: =t+0.5*ht; pv(t, v3,fc); for i:=1 to nurav do beginfk4[iJ :-h i* fc [i]:
dyfi]: = y0[ij+0.I66666667*(fkl[i]+2*fk2[i]+2*fk3[i]+fk4[i]) end;
end;
begin clrscr;
fo r ik:=1 to n do forjk: =1 to m do
for i:^I to nurav do v0[i]:=0;
for j: = 1 to nt do
begin tl:=(f-l)*ht; nmgikytta(tl,vO,v);
for i: = ! to nurav do vOfi]: =v[ij;
wpk,jk,j]: -~v[l];
end;
for i:=I to nt do write(w[ /, I,i]:8:3);
end.
8.6. Elastik plastinka turg’unligi masalasining
matematik modcli
Tomonlarining uzunliklari a va b bo’lgan, o’zgarmas h0 qalinlikka ega
bo’lgan to 'g ’ri to'rtburchak shaklidagi bir jinsli izotropik raaterialdan tayyorlangan, chetlari sharnir mahkamlangan plastinka bir tomoni bo’yicha p ( t) = St siquvchi kuch ta’siri ostida bo’lsin. Aniqlik uchun faraz qilaylik p (t) kuch a tomon
bo’yicha ta’sir qilsin.
Plastinkada
hosil
bo’ladigan
kuchlanish
va
deformatsiya
orasidagi
bog’lanishlarni
E
E
---------
a
*
y
(8.54)
1-A
va geometrik bog’lanishlarni
d~W
o~W
oy
s.
-
21V -
=
8-W
8x8)/
(8.55)
ham da
m o m e n tla rin i
M,
j z a xdz,
My = jzcr^dz,
M n.~ \ z r ndz
(8.56)
ko’rinishda olaylik. U larni plastinkaning harakat tenglamasi
дгм
3!m,
'd 2w
, ,d2w
---- ~ + 2------ - + ---- + ph— - + p ( t ) — —= q
Sr
dxdy
dy~
Зг
Sr
ga qo’yib,
dJw „ d4W
D — i
d x
d*W
2 — э— г ^----- г
d x d y ’
d y
, ,d 2W
, d 2W
+р(1)-^
dxт +рь ^dt г =я
(8.57)
ni hosil qilamiz.
(8.57) tenglama
WLo =0,
d2W
dx2
= 0, W\y.o =0,
drlV
dy2
=0
(8.58)
chegaraviy va
w\,=„=Р(Х'У)’
dW
dt'
=¥(x,y)
(8.59)
boshlang’ich shartlar bilan birgalikda elastik plastinkaning turg’unligi haqidagi
masalaning matematik modelini tashkil qiladi.
Bubnov-Galyorkin usuliga ko’ra (8.57) tenglamaning (8.58) shartni qanoatlantiruvchi yechimini
f
tíS
W ( x ,y ,t) = y V ( f
"
, . плх . mm
a
b
( t ) s i n ----- s in -------
(8.60)
ko’rinishda qidiramiz. Bu yerda WnJ t) noma’lum funksiya.
(8.60) ni (8.57) tenglamaga qo’yib, hosil bo’lgan tenglikni ikkala tomonini
s in ^ - s in -— -
a
b
( i = 1. /V; j = 1,M )
larga ketma-ket ko’paytirib, x va y
o’zgaruvchilar bo’yicha mos ravishda [O. o] va [O; b] oraliqda integrallaymiz, nati-
oddiy
differensial
tenglamalar
sisteraasini
hosil
qilamiz.
Bu
yerda
\2
(8.61)da
K
, = ^ . = 3 ', p = H -~
Pi V.9
E \h a
—i f iccEh Y
s=p
__ K
\K j
o’lchovsiz parametrlami kiritsak,
=" H T J '
va qulaylik uchun oldingi belgilashlardan foydalansak,
+s
+ 7"
- 1! 1'
\2 s([~ u2)a„
IV. = — '—
q
(8.62)
tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. (8.62) tenglamalar sistemasini
(iv..(o;=^„
(8.63)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini Runge-Kutta usulida topish
uchun, uni standart ko’rinishda yozib olamiz:
IV..'I = U..'!
12s ( \ ------- / j 2)a
I] =-----Ii
Bu yerda
(poJ ~ 4 | j<p0(x ,y)sin ixxsin jxydxdy,
l>0
\ \
(//„, = 4 ^ y /n(x ,y Jsininxsin jnydxdy.
oa
Elastik plastinka turg’unligini aniqlashga Paskal tilida tuzilgan dastur matni:
program turgplast: uses crt;
label 1;
const lam=l; n=3; m=3; nl-151: ht=0.1; nurav-2;
omega =6.28: ¡0=0.001: l0t=0; s ^O.l; q0=0; muy=0.5;
type
-
219 -
vektor2=array[J..2] of real; matr=array[l..m] o f real;
var
v0,v:vektor2; w;matr; tl:real;
ijjkjk:integer;
function fdel(x:real):real;
var aaa. real;
begin
aaa: =x/2-tmnc(x/2');
if aaa=0 thenfdel: =0 else fdel: =2;
end;
procedure pv(x: real; y: vektor2; var dy: vektor2);
var al,a2;real;
begin
al;~-12 *s*(I-muy*muy) *fdel(n) *fdel(m)/sqr(sqr(pi));
a2:=sqr(sqr(n/lam)+m*m)/4-sqr(n/'lam)*x;
dy[lJ:=y[2J;
dy[2f:=al *q0-s*a2*y[l]
end;
procedure rungikytta(t: real; yO: vektor2;
var dy: vektor2);
var v3fc,fkl, fk2,fk3,fk4: vektor2;
begin
pv(t,yO,fc);
for i;= l to nurav do beginfkl[i]:=ht*fc[ij;
v3[ i]; =yO[i]+0.5*fkl[i] end;
t : - t —0.5*ht; pv(t,v3Jc);
for i;= l to nurav do begin fk2[i];=ht*fc[i];
v3[i]: ~yO[i] +0.5 *fk2[ i] end;
pv(t,v3,fc);
for i: ~ l to nurav do begin fk3[i]:=ht*fc[i];
v3[i]:=y0[ij+fk3[i] end:
-
220 -
t:=t+0.5*ht; pv(t,v3,fc);
for i: = l to mirav do beginfk4[i]:T=ht*fc[i];
dy[i]: =yO[i] +-0.166666667*(fkl[i]+2*fk2[iJ+2*flc3[i]+fk.4[i]) end;
end;
begin clrscr;
vO[]]:=tO; v[2]:^t0t;
for j : - I to nl do
begin ll:=(j-])*ht;
rungikylla(t 1,vO,v): fo r i:= I to m irav do vO[i]: ~-v[i];
u'// 7 ' =v/ / /;
if'w [j]> ~ l then goto i;
end;
1: writeln('n=',n:2,’ m=',m;2, 1 t^',tl:7:2);
for i;= l to j do write(w[i];8:3);
end.
8.7. Sterjenning parametrik tcbranishi
masalasinining matematik modeli
Uzunligi / ga teng bo’lgan to’g’ri chiziq ko’rinishidagi o’zgarmas kesimli
elastik sterjenni qaraylik. Sterjenning uchlari shamirli mahkamlangan bo’lib u
bo’ylama siquvchi P(t) kuch ta’siri ostida bo’lsin (8.4-rasm).
Kuchlanish a va deformatsiya s orasidagi bog’lanish Guk qonuniga asosan
(8.64)
<7 = Es
ko’rinishga ega bo’ladi. Deformatsiya s
bilan u = u(x,t)
egilish funksiyasi
orasidagi bog’lanishni
d1«
"S.r
(8.65)
ko’rinishidaolaylik. U holda, egilish momenti
8x'
formula yordamida hisoblanadi.
- 221 -
(8.66)
7 ///'7 7 7 ~
8.4-rasm
Ma’lumki, sterjenning harakat tenglamasi
d2M
. dlu
dlu
— - = p(t) — - + m— dx2
dx2
dt1
ko’rinishda yoziladi. (8.66) ni bu tenglamaga qo’yib
E J ^ +
ox
P ( t) ^ +m ^ - = 0
ox~
(8.67)
at~
ni olamiz.
Ko’pgina hollarda amaliyotda P (t) bo’ylama siquvchi kuch davriy kuchdan
iborat bo’ladi, ya’ni: P (t) = l \ + P. co sd t. Bu yerda P„,P, = const; 8 - tashqi
kuch chastotasi.
(8.67) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozaylik:
E J ~ + (P0 + Pt c o s 8 l ) ™ + m ^
dx
dx'
dt~
( 8 .68 )
(8.68) uchun chegaraviy shartlar quyidagi
:0. ZJL „ = 0
dx'
(8.69)
ko’rinishga ega bo’ladi.
(8.68) tenglamani Bubnov - Galerkin usuli yordamida yechamiz. (8.68)
- 222 -
tenglamaning (8.69) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini
ffv
и ( X ,t ) = T ( l ) sin —jko’rinishda ifodalaymiz. Bu yerda
(8.70)
T - T ( t ) - vaqtning noma’lum funksiyasi.
(8.70) ni (8.68) ga qo’yamiz va hosil bo’lgan tenglamani har ikkala tomonini
sin^j- - ga ko’paytirib
x
bo’yicha [O;/] oralig’ida integrallasak T = T (t)
noma’lum funksiyasini topish uchun Mate tipidagi quyidagi tenglamaga ega
bo’lamiz:
T + p 2( l - 2 t i c o s 9 t ) T = 0
(8.71)
Bu yerda
f - = a 2{ l - ^ \ , p ^ E j { - \ ,
PJ
’
P'
\U
2 (P ,-P J
Parametrik tebranishlar nazariyasidan ma’lumki, (8.71) tenglamada qatnashuvchi,
p , jli ,9
parametrlaming ma’lum qiymatlarida ushbu tenglama
chegaralanmagan yechimga ega bo’ladi. Parametrlaming bu qiymatlar to’plami
koordinat sistemasida ma’lum sohani tashkil etadi. Ana shu parametrlaming qiy­
matlar sohasiga ularning dinamik noturg’unlik sohasi (DNS) deb yuritiladi.
Bu nazariyaning eng asosiy vazifalaridan biri parametrlaming DNS ni topishdan iborat. DNS ni topishda juda ko’plab usullardan foydalaniladi. Biz pa­
rametrlaming DNS ni qurishda V.V.BoIotinning usulidan foydalanamiz. Bu usulga
ko’ra (8.71) tenglamaning davriy yechimini
T ( 1 ) = a cos — + b sin —
2
2
(8.72)
ko’rinishida qidiramiz.
(8.72) ni (8.71) ga qo’yib, quyidagiga ega bo’lamiz
(0 V
9t , ( # V . 9t
,
8t
,, . 9t
- a \ — \ cos-----b\ — sin — и p acos— v p 'bsin ------
UJ
2
U)
2
2
2 p :J.Icos Ûl^a cos —+ b sin -y
- 223 -
j =0
2
Agar bu yerda trigonometrik funksiyalar ko’paytmasini yig’indi bilan almashtirsak
i<?Y et J e )2 . a
1 a lL . a
c o s----- b — s in — I- p a c o s — + p b s in -----12J
2 12 J
2
2
2
( №
ei\
, ,( . № . 0t\ A
- a —
a| cos~^~+ cos~^j ~
№ I sm~ — sm~ I= 0
ni olamiz.
Agar bu tenglamada
cos -
va
sin — Iar oldidagi koeffitsiyentlarni
tenglashtirsak a va b lami aniqlash uchun quyidagi sistemaga ega bo’lamiz:
,2
—
— I + p 2a - p 1¡Lia - 0, - i>| — | + p 1b - p Ipb = 0
Bundan
2P.
= p20 - v ) , I— I =P:(\+M)
yoki
6
R----
6
h----
2p
2p
larga ega bo’lamiz. Bu ikkala chiziq bilan chegaralangan shtrixlangan (8.5- rasm)
soha parametrlaming asosiy DNS ni tashkil etadi.
8.8. O’zaro induktiv bog’langan zanjirdagi
tok kuchining matematik modeli
O’zaro indukdiv bog’langan ikkita A va B zanjiiiar berilgan bo’lib, ularning o’zaro iduktivlik koeffitsiyenti m bo’lsin. A zanjir U (t) kuchlanishli man-
- 224 -
baga uiangan (8.6-rasm). O ’zinduktsiya natijasida B zanjirda hosil bo’lgan tok kuchini aniqlash amaliyotda muhim ahamiyatga ega. Odatda o’zaro induktiv
bog’Iangan ikki zanjir transformator ham deb yuritiladi.
Agar A zanjir uchta ikkiqutblilikdan: a fi, -
induktivlik, b,c, - /?, ichki
qarshilik, a,c{ - kuchlanishi U(I) ga teng manbadan; B zanjir ham uchta ikkiqut­
blilikdan: a 7b , -
induktivlik, c2b2- R, ichki qarshilik, c2a 2 - foydalanuvchi qar-
shiligi R dan tashkil topganligini hisobga olsak, Kirxgofning birinchi qonuniga
asosan
~
l b|C|
— K io|
—
l l >
—
l h2c i
~
, c ;o 2 — l !
/, va /, tok kuchlariga ega bo’lamiz. Tok kuchi uchun Kirxgoffning ikkinchi qonunini qo’llab,
(8.73)
ai
ai
differensial tenglamalar sistemaga ega bo’lamiz. Bu sistema uchun
=
i2(0) =0
(8.74)
boshlang’ich shartlar o ’rinli bo’ladi. (8.73), (8.74) boshlang’ich shartli masalani 5bobda keltirilgan usullardan biri yordamida yechib, ixtiyoriy t uchun zanjirdagi
tok kuchini aniqlash mumkin.
8.9. Elektr zanjiridagi noma’lum tokni topish
masalasining matematik modeli
Quyidagi elektr zanjirida elektr yurituvchi kuchlar va qarshiliklarnig qiymatlari berilgan bo’lib zanjir qismlaridagi noma’lum toklarni topish kerak.
Sxemadagi shaxobchalar
bfa, adc, ba, be, ca lar bo’lib, ularning soni
Nnl= 5 , tugunlar esa a,b,c bo’lib, ularning soni N, = 3. Tok manbalari yo’q
bo'lib, ularning soni /VJU = 0 .
Noma’lum toklar soni esa N„¡ -/V,,, = 5 . Kirx­
goffning 1-qonunidan foydalanib tuzilgan tenglamalar soni tugunlar sonidan bitta
-
225
-
kam: N, = N r-1 = 3-1 = 2.
14
8.6-rasm
Kirxgoffning 2-qonunidan foydalanib tuzilgan tenglamalar soni tugunlar
sonidan bitta kam: N 2 - N m-NT +1- Nm = 5-3 +1-0 = 3.
U holda Kirxgoffning
birinchi va ikkinchi qonunlaridan foydalanib tuziladigan tenglamalar soni
noma’lumlar soniga teng bo’ladi: Nt + N ,= 3 + 2 = 5. Zanjirdagi toklarning mus­
bat yo’nalishi va konturlardagi yo’nalishlar ixtiyoriy tanlanadi. Natijada tugunlar
uchun quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
a tugun uchun: -/, + /,- /, - I¡ = 0
b tugun uchun: /, + /, + / 4 = 0
Konturlar uchun esa quyidagi tenglamalarni hosil qilamiz:
I kontur uchun: (¡I + r,)l-(R. + r j l , = E. + E,
II kontur uchun: (R. + rJI.-R J, R ,y = -E,
III kontur uchun: (R2 + r, J/, + RJ: = E,
Natijada berilgan masalaning quyidagi tenglamalar sistemasidan iborat
matematik modelini hosil qilamiz:
- 226 -
-/, + /,- / , - / 5= о
/, + /, + / 4- о
■(К, + r,;/,-(7í, + r j l , = £ , + £ ,
( R t+ r ^ - R J , Ril i = -£,
(R, + r,)I, -+ Ri Ij = E:
8.10. Agroinjeneriyada optimallashtirish
masalalaríning matematik modellari
1-masala. Korxona n xil mahsulot ishlab chiqarish uchun m xil xom ashyodan foydalanadi. Xom ashyo zaxiralari bv b,,
bv birlik mahsulotlardan olinadi-
gan foyda ct, c,.......cn birlik mahsulotlarni ishlab chiqish uchun zarur bo’lgan
xom ashyo miqdorlari a n, a¡„ . . . , a ia: berilgan. Mahsulot ishlab chiqishning shunday rejasini tuzish kerakki, bunda xom ashyo sarfi uning zaxiralaridan oshib ketmasligi, mahsulot ishlab chiqishdan maksimal foyda olish kerak. Ishlab chiqazilayotgan mahsulotlar hajmi noma’lum bo’lib, ularni x v x 2,,.,,x u orqali belgilaymiz. 1-turdagi birlik mahsulotni ishlab chiqish uchun zarur bo’lgan 1-tur xom
ashyo miqdori au ni 1-tur xom ashyo mahsulot miqdori x. ga ko’paytirib, 1-tur
mahsulot uchun sarflanadigan 1-tur xom ashyoning umumiy miqdori a nx, ni hosil
qilamiz. Xuddi shu kabi ikkinchi, uchinchi va hokazo /7-turdagi mahsulotlarni ishlab chiqish uchun zarur bo’lgan I-turdagi xom ashyo sarfi mos ravishda
a i;x , , япх , , ahix n ga teng bo’ladi. Ushbu ifodalarni qo’shib, 1-tur xom ashyoning
umumiy sarfini hosil qilamiz: a llx >+ a px 2 + a„x, + a blx ti. Shartga ko’ra xom
ashyo
sarfi
uning
zaxirasidan
oshib
ketmasligi
kerak:
a ux , + a nx , + í7i;x, + a Ulx n < b t .
Xuddi shu kabi qolgan xom ashyolar uchun ham yuqoridagi munosabatlarni
olamiz:
a ,tx t + a„x2 + a,,x, + a,„x„
аш1х, + <2,„,x, + am.x, + сг,„„лг„ < br¡
-
227
-
1-tur mahsulotdan olinadigan foyda c\x¡t 2-tur mahsulotdan olinadigan foyda
c,x,. ...
«-tur mahsulotdan olinadigan foyda esa e x
ga teng bo’ladi.
Mahsulotlardan olinadigan umumiy foyda esa quyidagi c,x, + c 2x: +... + c„x„
ko’rinishga kelib, maksimal foyda olish uchun ushbu
z = ctxt + c,x, +... + cnxi:
max
funksiyani maksimumga tekshiramiz. Mahsulot ishlab chiqish hajmi manfiy
bo’lishi mumkin emas. Shuning uchun quyidagi munosabatlarga ega bo’lamiz:
x, > 0 ,
x, >0 , ..., xu > 0 .
Hosil qilingan munosabatlarning barchasini birlashtirib, berilgan masalaning
quyidagi matematik modelini hosil qilamiz:
z = c,x, + c,x , + ... + c„xu -> max
a ^ + a ^ x , + a,,x, + ahlxn <b¡
a,,.*,+a„x, + a,,x. + a,„x; <5,
amtx¡ + a,„,x, + amix} + aimlxn < bm
x, > 0 ,
2-masala.
x, > 0 , ..., x„ >0
Fermada qoramolni boqish uchun n xil yem-xashakdan
foydalanib, ularnig tarkibida m xil oziq moddasi mavjud. 1-turdagi birlik yemxashak tarkibida au birlik 1-turdagi oziq moddasi. a;i birlik 2-turdagi oziq mod­
dasi ... amí birlik m-turdagi oziq moddasi mavjud. 2-turdagi birlik yem-xashak
tarkibida an birlik 1-turdagi oziq moddasi, a.,, birlik 2-turdagi oziq moddasi ...
am, birlik /«-turdagi oziq moddasi mavjud. «-turdagi birlik yem-xashak tarkibida
au birlik 1-turdagi oziq moddasi, a,„ birlik 2-turdagi oziq moddasi atm birlik mturdagi oziq moddasi mavjud. 1-turdagi birlik yem-xashakani sotib olish uchun c,
xarajat, 2-turdagi birlik yem-xashakni sotib olish uchun c xarajat, n- turdagi birlik
yemxashakni sotib olish uchun cu xarajat qilinadi. Qoramolning oziq moddalariga
bo’lgan kunlik talabini esa at,
bilan belgilaymiz. Yuqoridagi berilgan
ma’lumotlar jadval ko’rinishida quyidagicha ifodalanadi.
- 228 -
^''~~-~-^__^^Yem-xashak
A
P7
Oziq moddaga
- I X
Oziq moddalari
bo’lgan talab
a,
<7>
<h
«2,
an
a»
<7,„
0«.
am,
«2
a 2,,
a „.
Birlik yem-xashak
C,
sotib olish xarajati
Qoramollarga
C„
C2
kunlik yem-xashak berishning shunday rejasini tuzish
kerakki, bunda qoramolnig oziq moddalariga bo’lgan kunlik talabi qondirilsin va
yem-xashak sotib olish uchun minimal xarajat qilinsin. Bir bosh qoramolga bir
kunda beriladigan yem-xashak miqdori noma’lum bo’lib, ularni mos ravishda
x,, x,,..., x„ bilan belgilaymiz. Bir bosh qoramolning kunlik ratsionida qt oziq
moddasi p. yem-xashak tarkibida altxt miqdor,
miqdor,
po yem-xashak
xashaklardagi
qx oziq
tarkibida
moddasi
p 2 yem-xashak tarkibida a,,x.
ahxn miqdor bo’Iadi.
miqdori
Barcha yem-
anx, + a l2x, + ...+ a hxn bo’lib,
qoramolning q, ozuqaga bo’lgan talabidan kam bo’lmasligi kerak, ya’ni
* ar
Xuddi shu kabi, qolgan oziq moddalari uchun quyidagi tengsizliklarni hosil
qilamiz:
a2lxi + a vx2 + ... alux„ > a 2
a,n]x, + o,„,x, +... amxn > a m
Birinchi turdagi birlik yem-xashak narxi c, ni uning miqdori x. ga ko’paytirib, 1turdagi yem-xashakka ketadigan umumiy xarajat c, x, ni hosil qilamiz. Xuddi shu
kabi
qolgan
yem-xashaklar
uchun
ketadigan
xarajatlarni
aniqlaymiz:
:c:x,,...„ cuxn. Yuqoridagi xarajatlar uchun hosil qilingan ifodalarni qo’shib, bar­
cha yem-xashak uchun qilingan umumiy xarajatni hosil qilamiz:
-
229
-
z = с, х, + с, X, + .... + е„ х„
Umumiy xarajatni minimallashtirish kerak, ya’ni
z = с, X, + с, X, +.... + c„ x„ -> mirt
qoramolga
beriladigan
yem-xashak
miqdori
nomanfiy
bo’lgani
uchun
x , > 0 , x , > 0 .......X, > 0 bo’ladi. Yuqoridagi barcha munosabatlami birlashtirib,
berilgan masaia uchun quyidagi matematik modelni hosil qilamiz:
sH
IV
ja
z = c, X, + c2 X, +.... + c, x„
+ a,
[l,*l + apx, +
+ a?
2,*. + anxi +
...
Al
...
-\-a ,x„ > a,
X
IV
о
...
,s*
IV
©
IV
о
.!*■ + am7x7+
X
3-masala. Xo’jalik w xil qishloq xo’jalik ekinlarini yetishtirishi kerak bo’lib,
ularni yetishtirish uchun zarur bo’lgan suv, mineral o’g’itlar, ishchi kuchlari
zaxiralari mos ravishda bv b2, ..., bn, har bir ekin bo’yicha 1 gayerdan olinadigan
hosil mos ravishda cv cv
kuchlari au, a,,,
1 ga ekin uchun zarur bo’lgan o 'g ’il, suv, ishchi
bo’lsin. Ekinlami yetishtirishning shunday rejasini tuzish
kerakki, suv, o’g’it, ishchi kuchlari sarfi ulaming zaxiralaridan oshib ketmasligi,
umumiy hosil maksimal bo’lishi kerak. Yuqoridagi masalani quyidagi jadval
ko’rinishida ifodalaymiz:
- 230 -
Har bir ekin uchun ajratilgan maydon noma’lum bo’Iib, ulami x,, x2,...,xn
orqali belgilaymiz. 1 ga yerdagi 1- ekin uchun zarur bo’lgan suv miqdori au ni 1tur ekin uchun ajratilgan maydon x, ga ko’paytirib, 1 -tur ekin uchun sarflanadigan suv hajmi aux, ni hosil qilamiz. Xuddi shu kabi, ikkinchi, uchinchi va hokazo
w-turdagi
ekinlar uchun
suv sarfl mos ravishda a VJx,, anx a ^ x B ga teng
bo’ladi.
Ushbu ifodalarni qo’shib, suvning umumiy
sarfini hosil qilamiz:
auxt + <312x, + ... + ahlxn. Shartga ko’ra suv sarfi suv zaxiralardan oshib ketmasligi
kerak:tfuxt + a l2x, + ...+ a lnx„ < b ^
Xuddi shu kabi qolgan ekinlar uchun ham yuqoridagi kabi munosabatlami
olamiz:
a2ix, + a22x2 +... + a2„xu < b,
a mlx, + am2x2 +... + amx„ < bm
1-tur ekindan olinadigan hosil c,x,, 2-tur ekindan olinadigan hosil c,,x, n
-tur ekindan olinadigan hosil esa c„x„ ga teng bo’ladi. Ekinlardan olinadigan
umumiy hosil esa quyidagi c,x, + c,x, + ... + c„x„ ko’rinishga kelib, maksimal ho­
sil
olish
uchun
yuqoridagi
funksiyani
maksimumga
tekshiramiz:
r = clx, + c,x, + ...+ c x n -» max. Ekin ekiladigan maydon manfiy bo’lishi mumkin
emas.
Shuning
uchun
quyidagi
munosabatlarga
ega
bo’lamiz:
x, > 0 , x2 >0, ... ,x„ >0..
Yuqorida hosil qilingan munosabatlarning barchasini birlashtirib, berilgan
masalaning quyidagi matematik modelini tuzamiz:
z = c,x, + c,x, + ...+ c,xn —>max
aux, + a,,x, +... + ainxu < b ]
£7,,,v, + a.,x, + ... + a,nxn <b2
V , + a M2xz +...+ amuxn< b m
x, > 0 , x; > 0.......x„ > 0
-
231
-
4 -m a s a la .
n ta xo’jalik m ta sug’orish tizimi orqali suv bilan ta’minlanishi
mumkin. Har bir sug’orish tizimi bo’yicha birlik xajmdagi suvni xo’jaliklarga yetkazib
berishdagi
isrof
cM, cp.......cUl, c21, c2,,..., c,„...
bo’ladigan
suv
hajmini
cm bilan beigilaymiz. Sug’orish tarmo-
qlaridagi suv zaxiralarini b„ bv ...,bm bilan, xo’jaliklardagi suvga bo’lgan talabni
av a ,.....an orqali beigilaymiz. Xo’jaliklami suv bilan ta’minlashning shunday rejasini tuzish kerakki, bunda suv zaxiralaridan to ’liq foydalansin, suvga bo’lgan talab qondirilishi va suv isrofi minimal bo’lishi kerak.
Yuqoridagi masalani quyidagi jadval orqali ifodalaymiz:
1-sug’orish tarmog’idan 1-xo’jalikka yuboriladigan suv miqdorinijt,,, 2xo’jalikka yuboriladigan suv hajmini ,xr ,
miqdorini
w-xo’jalikka yuboriladigan suv
bilan beigilaymiz. 1-sug’orish tarmog’idagi suv zaxralaridan to’liq
foydalanish kerak, ya’ni xn •)- xl; + . . . + xu = b Xuddi shu kabi munosabatlarni
qolgan sug’orish tarmoqlari uchun ham hosil qilamiz:
x,, + x,, + ... + x,„ = b,
x,,„ + x,„, + ... + xma = bm
Har bir x o ’jalikka yuboriladigan suv hajmi xo’jaliklarning suvga bo’lgan
talablariga teng b o ’lishi kerak, ya’ni
- 232 -
x u + x 2l + ...
+ x,„ + ... + x m = a„
x,„
Suv
isrofi
=a,
nomanfiy
qiymatlami
qabul
qiladi:
x v > 0 , i = \,2 ,...,m ; j = 1,2 ......n.
Suvning umumiy sarfi quyidagi funksiya orqali ifodalanadi va uning mini­
mal qiymatini topishimiz kerak:
2=
c n *„ + c'i: *12 + c ,„ X
ln
+ C\, X21 +
c , :, x u + . . . + C„,X„, + Cm2
C 22
x22 +
+ Clmx im —» OTW
Yuqoridagi munosabatlarni birlashtirib berilgan masalaning quyidagi matematik modelini hosil qilamiz:
Z = cn x M +
C,„ X u, +
c , , x l; +
c;i X, ,
+
C„ X, , +
+ c,„ x," + ... + c iulx ml + c m, x m, + c imx m -> min
xu + xn + . . . + jrW
i = bt
x2l +
x„
+ ... +*,„
=b,
Xm\ + xm, + ... + x„ = bm
xn + x 2l + ... + x mi = a ,
x 2i + x J5 + ... + X M, = a z
x,„ +
x,„
+
...
= au
+
x0 > 0 , i - \ , 2 , . . . , m ; j =1.2,...,«
Mustaqil yechish uchun masalalar
Xo'jalik 5 xil qishloq xo’jalik mahsulotlarini yetishtirishga mo’ljallagan
bo’lib, suv, o ’g’it, ishchi kuchi zaxirasi, birlik qishloq xo’jaligi mahsuloti uchun
zarur bo’lgan suv, o’g ’it, ishchi kuchi miqdori, birlik qishloq xo’jaligi maxsulotlaridan olinadigan foyda quyidagi jadvalda berilgan:
-
233
-
Xo’jaliklar
Zaxira
Suv
1500, m3
O’g’it
200, kg
Ishchi
1000, soat
kuchi
Birlik mahsulotdan
olinadigan foyda
A
В
С
D
F,
20
8
10
15
6
12
17
10
13
23
8
10
25
11
9
20
30
25
26
32
Mahsulot yetishtirishning shunday rejasini tuzish kerakki, undan maksimal
foyda olinsin va suv, o’g’it, ishchi kuchi sarfi uning zaxirasidan oshib ketmasin.
2.
Uch xildagi <1, tl, ß qishloq xo’jaligi mahsulotlarini yetishtirish uchun
to’rt xil y l , y2, y3, y4 xom ashyo talab qilinadi. Xom ashyo zaxiralari, birlik
mahsulotni ishlab chiqish uchun zarur bo’lgan xom ashyo miqdori, birlik
mahsulotdán olinadigan foyda quyidagi jadvaldakeltirilgan:
Xom ashyo
turlari
Xom ashyo
zaxirasi
30
.yl
40
У2
v3
50
y4
20
Birlik mahsulotdan olinadigan
foyda
Birlik mahsulotni ishlab chiqish uchun
zarur bo’lgan xom ashyo miqdori
12
il
13
2
4
3
л>
3
5
2
5
5
4
2
3
30
20
40
Mahsulot ishlab chiqarishning shunday rejasini tuzish kerakki, xom ashyo
sarfi uning zaxirasidan oshib ketmasligi, ishlab chiqilgan mahsulotdan. maksimal
foyda olinishi kerak.
3.
Korxona 3 xil mahsulot ishlab chiqaradi va buning uchun 3 xil xom
ashyodan foydalaniladi. Quyidagi jadvalda xom ashyo zaxiralari, birlik mahsulotni
ishlab chiqish uchun zarur bo’lgan xom ashyo miqdori, birlik mahsulotni sotishdan
keladigan foyda keltirilgan.
-
234
-
Xom ashyo
turlari
Birlik
foyda
Mahsulot
turlari
9i
q?.
Qi
Zaxira
Pi
2
4
3
10
Pi
3
5
6
24
4
1
2
2
5
3
16
Pi
mahsulotdan
olinadigan
Mahsulotlar ishlab chiqishning shunday rejasini tuzingki, ularni sotislidan
maksimal foyda olinsin.
Tayanch so’z va iboralar
Matematik model, to’sin, sterjen, inersiya momenti, kritik vaqt, elastik
plastinka, dinamik kuch, statik kuch, kuchlanish, deformatsiya, Guk qonuni, Mate
tipidagi tenglama, kontur, tugun, zanjir, Kirxgoff qonuni, elektr yurituvchi kuch,
ikkiqutblilik, induktivlik, qarshilik, simpleks usul, tayanch yechim, optimal
yechim, potentsiallar usuli.
Savollar
1. O’zgaruvchan kesimli to’sin egilishi masalasining matematik modeli.
2. Inersiya kuchi va inersiya momenti nima?
3. To’sin muvozanat tenglamasi nima?
4. To’sin chetlarining mahkamlanish turlarini ayting.
5. O’zgaruvchan kesimli sterjen tebranishi masalasini matematik modeli.
6. Sterjen turg’unligi haqidagi masalani matematik modeli.
7. Kritik vaqt va kritik kuch nima?
8. Kritik vaqt va kritik kuchni aniqlash kritiriyasi nimadan iborat?
9. O’zgaruvchan kesimli plastinka egilishi masalasini matematik modeli.
10.Plastinka tebranishi masalasini matematik modeli.
11. Elastik plastinka turg’unligi masalasini matematik modeli.
-
235
-
12.0’zaro induktiv bog’langan ikki zanjirdagi elektr tok kuchini matematik mod­
eli.
13.Korxonada mavjud xom ashyo zaxiralaridan ishlab chiqilgan mahsulotdan
maksimal foyda olish masalasi quyilishini tushuntiring.
H.Korxonada mavjud xom ashyo zaxiralaridan foydalanib ishlab chiqilgan
mahsulotdan maksimal foyda olish modelini tuzing.
15.Xo’jalikda mavjud resurslardan foydalangan holda ekinlardan maksimal foyda
olish masalasining qo’yilishini tushuntiring.
lö.Xo’jalikda mavjud resurslardan foydalangan holda ekinlardan maksimal foyda
olish masalasining matematik modelini tuzing.
17.Sug’orish tizimlarining xo’jaliklarni suv bilan ta’minlash masalasining mate­
matik modelini tuzing.
18.Elektr zanjirida noma’lum toklarni aniqlash masalasi qo’yilishini tushuntiring.
-
236 -
Foydalanilgan
1.
adabiyotlar
Эшматов X., Абдуллаев 3.C., Акбаров У.Й. «Математическое модели­
рование нелинейных несвязанных задач динамики термовязкоупругих
систем». -Тошкент, 2004.
2.
Эшматов X., Бобаназаров Ш.П., Ахмеров И .С., Абдикаримов P.A. «Ма­
тематическое моделирование нелинейных задач о колебаниях и дина­
мической устойчивости вязкоупругих систем». -Тошкент, 2006.
3.
Isroilov М. Hisoblash metodlari.- Toshkent, O’qituvchi, 1988.
4.
Eshmatov X., Akbarov U.Y., Abdullayev Z.S. “Matematik modellashtirish”
fani buyicha ma’ruzalar to’plami. - Toshkent, 2001.
5.
Eshmatov X., Yusupov M. Ba’zi bir injenerlik masalalarining matematik
modeii ulami yechish uchun Paskal tilidagi dasturiy ta’minoti. -Toshkent,
2004.
6.
Eshkobilov Yu.X., Yusupov M., Bobonazarov Sh. Matematik modellashtirishda sonii usullar. - Toshkent, 2003.
7.
Вольмир A.C. “Устойчивость деформируемых систем” . - Москва, Нау­
ка, 1967.
8.
Абрамов С.А., Зима Е.В. Начала информатики. - Москва, 1989.
9.
Jumayev X.N., Otaniyozov В ., Yugay L.P ., Jalilov A. Matematik programmalash. - Toshkent, 2005.
10.
Полунин И.П. Курс математического программирования.- Минск, 1973.
11.
Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран
и Паскаль. - Томск, 1992.
12.
Джамилев Н.И., Эйдельнант М.й. Сборник задач по математическому
программированию, Тошкент, 1990.
13.
Алексеев В.Е. и др. Вычислительная техника и программирование. Москва, 1991.
M U N D A R I JA
K. i r i sh..........................................................................................................
3
1-BOB. MATEMATIK MODELLASHTIRISH ASOSLARI....................
4
1.1. Obyekt va matematik modellashtirish
... 4
1.2. Matematik modellashtirishning asosiy bosqichlari
... 5
1.3. Modellashtirishda analitik va tajriba (eksperiment)usullar
... 6
1.4. Model adekvatligi......................................
...8
1.5. Matematik modellashtirishda xatoliklar
...9
1.6. Matematik modelni yechish usullari
.. 11
2-BOB. CH1ZIQLI ALGEBRA1K TENGLAMALAR SISTEMAS1 VA
TRANTSENDENT TENGLAMALARN1
YECHISH USUL­
LARI
.. 14
2.1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda Kramer qoidasi
usuli
... 14
2.2. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda Gauss usuli.... 16
2.3. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda teskari matritsa
usuli
... 20
2.4. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda iteratsiya usuli. 25
2.5. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda Jordan
us ul i
...30
2.6. Transendent tenglamalami yechishda oraliqni teng ikkiga bo’lish
usuli
...37
2.7. Transendent tenglamalami yechishda vatarlar usuli
..39
2.8. Transendent tenglamalami yechishda urinmalar usuli
...41
2.9. Transendent tenglamalami yechishda oddiy iteratsiya usuli
..43
3-BOB. TAQRIBIY INTEGRALLASH USULLARI
...47
3.1. To’g ’ri to’rtburchak usuli......................................................................
47
3.2. Trapetsiya usuli.......................................................................................
50
3.3. Simpson usuli.........................................................................................
52
4-BOB.INTERPOLYATSION FORMULALAR..............
....56
4.1. Chekli ayirmalar
....56
4.2. Umumlashgan daraja
... 58
4.3. Interpolyatsiya masalasi. Nyutonning interpolyatsion formulalari....
4.4. Lagranjning interpolyatsion formulasi
59
... 63
5-BOB. D1FFERENS1AL TENGLAMALAR VA ULARNI YECHISH
USULLARI
... 67
5.1. Operatsion hisob usuli
...68
5.2. Funksiyani sonli differensiallash
...72
5.3. Ketma-ket yaqinlashish usuli
..75
5.4. Eyler va Runge-Kutta usullari
...78
5.5. Chekli ayirmalar usuli
... 85
5.6. Oddiy progonka usuli
...88
5.7. Kvadratura formulasi usuli
..93
5.8. Differensial progonka usuli
.. 95
5.9. Bubnov-Galyorkin usuli
..101
5.10. Fur’e usuli
..102
6-BOB. INTEGRAL VA 1NTEGRO-D1FFERENS1AL TENGLAMA­
LAR HAMDA ULARNI YECHISH USULLARI
..111
6.1. 1-tur Volterra tipidagi integral tenglamalami yechish.......................... 112
6.2. 2-tur Volterra tipidagi integral tenglamalami yechish.......................... 115
6.3. Fredgolm tipidagi integral tenglamalami yechish........................
117
6.4. Integro-differensial tenglamalami kvadratura formulasi yordamida
yechish
121
7-BOB. CHIZIQLI DASTURLASH MASALASI
127
7.1. Chiziqli dasturlash masalasini grafik usulda yechish
127
7.2. Chiziqli dasturlash masalasini simpleks usulda yechish
140
7.3. Chiziqli dasturlash masalasida ikkilanganlik........................................
7.4. Transport masalasini va uni potentsiallar usulida yechish
7.5. Chiziqsiz dasturlash masalasi.................................................................
-
239
-
153
161
181
8-BOB. BA’ZI BIR 1NJENERLIK MASALALARINI MATEMATIK
M O D E L L A SH TIR ISH ..............................................................................
192
8.1. O’zgaruvchan kesimli elastik to’sin egilishi masalasining matematik
modeli.....................................................................................................
192
8.2. O’zgaruvchan kesimli sterjen tebranishi masalasining matematik
modeli......................................................................................................
198
8.3. Sterjen turg’unligi masalasining matematik modeli.............................
205
8.4. O ’zgaruvchan kesimli plastinka egilishi masalasining matematik
modeli.....................................................................................................
209
8.5. Plastinka tebranishi masalasining matematik modeli...........................
212
8.6. Elastik plastinka turg’unligi masalasining matematik modeli.............
217
8.7. Sterjenning parametrik tebranishi masalasini matematik modeli........
221
8.8. O’zaro induktiv bog’langan zanjirdagi tok kuchining
matematik
modeli....................................................................................................
224
8.9. Elektr zanjiridagi noma’lum tokni topish masalasining matematik
modeli.....................................................................................................
225
8.10. Agroinjenerivada optimallashtirish masalalarining matematik modellari.........................................................................................................
Foydalanilgan
a d a b i y o t l a r . ...................................................
-
240
-
227
237
ESHMATOV XASAN
YUSUPOV MAJID
AYNAKULOV SHAROFIDDIN
XODJAYEV DADAXAN
Matematik modellashtirish
(O ’Q U V Q O ’LLANMA)
Muharrir:
R.Qodirova
Musahhih:
D.Boyzaqova
B osis/isa ruxsat etildi 2 H.02.20OH Qog'oz o ’lc lu tm i6 0 x S 4 -J /I6
Hu/mi 15,0 bosma Uiboa. 51) m is’ha. buyurtnui N2 035
ТШ 1 bosmaxonasidan chop etildi
Toshkent-100000. Qori Niyoziy ко ’chusi 39 uy.
- 241 -