Relazioni
1
divCYA)
.
2
4
.
.
grady
:
ro+IYA)
.
3
Utili
:
grady
dive (A* B) = B
Not rotA=
+
.
y di
+
yrotA
rotE- A rotE
.
.
gruddiA-AA
Distribuzione
S(I t)
di volume
=
=
,
forma analoga
Com
Carica
si
può
definire
,
t)
elementi
Distribuzione
wiza
=
-(In t)
,
Dipolo
p
I
=
specie
(x(I
=
,
K-sesima
t)
9
I (1 t)
neutri
superficiale
,
Distribuzione
=
materiali
la
=
k
megli
elettrica
carica
(n)
S(P
:
di
=
0
,
di
carica
(n]
lineare
di
can'ca
E
elettrico
191
momento
&
dipolo
=
-
↳
elettrico
vettore
AT
volume
di
[c
-
m)
polarizzazione
[]
di
portatori
di
Carica Totale
Q
(1)
Se
=
Sede
19
di
di
in
carica
densità
Intensità
di
bas
()
:
5(p
:
,
H
19r=rt .
:
corrente
se
5.nds)
SUr>O damno
(Canica
At
+
moto
corrente
JAt . DS
:
xdl
,
Sorgenti
rettore
( vi dI+/
+
in
Ex (p
=
AS
,
=
/
=
contributo
S)
J.mdS= ist
,
*
Q,
( tz)
(
=
,
I
ist) dt
Vettore densità
5
=
(il
solemoidale
è
(P t)
di corrente
2
=
,
,
S
Je/P t)
.
in
=
=
filiforme
&
k
Je(P
=
x
,
[A]
t)
4
t) 2
.
,
Exp
=
=
=)Je(p t))
,
cui
divergenza
superficiali
((p 1) P .
is=)Inds
Corrente
la
rettoriale
campo
[]
=(P t)
[C]
,
Q
t)
è
mullal
positivo
,
[]
della
Meccanismi
1)
Meccanismi
·
in
di
corrente
elettrica
corrente
di
assenze
Conduttore
:
convezione
che
si
com
·
corrente
di
diffusione
:
esterne
azioni
cariche
I
:
moore
velocità
uniforme
non
metallico
mello
No
:
-
K
di
Campi
Campi
tipo
altro
Dipolo
i
=
elettromagnetici
E
:
impressi
in
magneti
Jet
momento
=
di
Distribuzione
in
(1
,
di
presenza
delle
specie
↳
azioni
di
Concentrazione
Carica
.
esterne
E B
,
dispositiv
trasformano
che
elettrica
energia
l'energia
di
.
co
m
dipolo
in
cariche
.
gradC
portatore
Movimento
spazio
concentrazione
Is
2)
carico
=
(Jet) S
magnetico
di
I
di
volume
1) = E
i
E
F
iSm
dipoli magnetici
Fo
;
&
in =
=
0
#F0
mei
materiali
mei materiali
non
faromagnetici
ferroragmatici
del
Vettori
Nell'ambiente
possibile
è
dalla seguente
formula
E
rettore
,
E
Per definive B
si
dalla
95xB
=
Per
Fm=0
wi
T
I
B
,
Il
,
Fm
modulo
B
=
B
costituiscono
B
di
una
Ec B
E
,
=
elettromagnetico
assieme
a
-er
=
0
,
costante
B
=
5)
:
0
Em dipende
dalla direzione
individuare
occorre
054
-
10
dielettrica
vuoto
due
FIm
del
destrorsa
terma
Ab
nel
dalla
=
la
di
direzione
di
per
:
se
relazione
930
e
simestrorsa
se
90
:
T
moto
costanti
,
modo
questo
in
definito
è
Intmax
campo
di
definito
è
qu
I
x
.
di
verso
-
relazioner
Il modulo di
9 =
direzione
la
trovare
2
Fm= F-Er
indica
(5 sin Ol
=
+
=
-
Fr
q(E
=
Fe (E)
dove
E
=
caratterizzato
:
definito
E
moto
Semomemo
il seguente
trovare
E
I
nel
elettromagnetico
campo
Mo
descritto
è
fondamentali
GH
=
10
*
completamente
:
H/m
Permeabilità magnetica
vicoto
del
I
V
dai
vettori
In
di
presenza
del
nucleo
Inoltre
della
e
diverge
elettrico
campo
,
dell'elettrome
carica
flutuazioni
somo
oi
il
materiali
mezzi
im
corrispondenza
.
dovute
temporali
al
di
moto
degli
rinduzione
elettromi.
E
livelare
pertanto
necessario
spazio-temporale
media
la
com
,
campi
i
formula
seguente
E-censityij
&
stiamo
Su
questo
media
.
Per
x5x
descrivere
due
I def
I
I
E
.
,
E
,
B I Il
elettromagnetico
=
,
.
.
somo
mezzi
materiali
è
utile
introdurre
campo metico
0
downto
i
mei
:
samento Attrico
ore
=
I
5 dt
AT
I
P
0
DeFI
,
,
I
M
ha
a
AT
lettore
E+ P
contributo
M
FI
M
si
wots
1
elettromagnetico
campo
ausiliare
-
AT
spazio
E
=
il
vettori
B
Fidet
Nel
elettrico
Considerando
media
umo
=
:
intervallo
integra le
B
campo
una
mediando
tempo
di
mediante
microscopici
=
alla
vettore
F
eD
=
materia
the
mel
descrivono
=
.
dE
veneto
il
campo
scompare
.
di
Relazioni
B
legame
5
f (E)
=
,
B
Relazione
Nel
Per
tutti
in
Ei)
,
verifica
si
Tale
walove
Tutti
Solidi
Xe E
X
campo
ha
si
=
isolanti
di
gassosi
e
dielettrica
rigidità
la
e
maggior
[V/m]
parte
di
.
dielettrica
B
3
=
3
1
=
E
3
=
E
=
+
.
+
I
3
=
Xe
.
(1
+
Xe) E
dielettrica
Costante
permettività
Per
i
(i)
I
=
lineari
materiali
=
relativa
del
mezzo
[F/m]
elettrica
amisotropi
e
,
si
ha
.
:
I ** El
ci
2 Ye
=
dielettrica
Costante
Er
dErE 3E
=
E
"
per
:
:
=
12
3
,
,
Di
=I
Es
per
in
.
quelli
suscettività
e
F
0
al
elettrico
proprietà
sue
tr
.
isotropi
e
le
perde
nome
liquidi
limeari
somo
E
il
prende
di
valore
un
scarica
una
riferimento
al
rispetto
materiale
dielettrici
i
-
esiste
il
quale
0
=
quiete
isolanti
gli
del
sopra
=
macroscopico
mezzo
um
I
,
PedE (DedE)
tra
approccio
e
f (E
=
fr(Fl)
=
Per
materiale
en
=
di
Fe
Dielettrici
isotropi
mon
,
D
B
3(E)
=
-
lineare
di
privi
,
isteress
I~
I
E
Relazione
I
material
melle
legame
di
essere
possono
cotegorie
seguenti
classificati
,
BeF
tra
materiale
il
per
comportamento
magnetico
:
Diamagmetici
·
·
Parametrici
·
I
-erromagmetici
Le
lineari
F
B
=
=
=
1
+
F
=
materiali
+
F)
=
Mo
=
+
Permeabilità
di
suscettività
Mo(1 Xn)F
Permeabilità
Xm
costituite
somo
da
materiali
↳
Xm=
Mo Un
E
di
:
Xm F
Relazione
J
classi
isotropi
e
Mo(
=
Ur
U
due
prime
legame
+
magnetica
M
magnetica
Ft
=
u
relativa
magnetica
materiale
tra
5
Varibilità
5
*
=
1
I
E
a
erica
I
resistività
-
elettrica
-
I
impressi
campi
che
agis
trasformazione
o
di
presenza
.
-
.
D
Ieri
di
emergia
nelle
tipo
altro
di
in
emergia
.
.
.
si
impressi
campi
conduttori
.
.
lineari
VE
2
=
,
.
.
ha
.
amisotropi
:
.
si
,
J
=
:
2
1
,
,
- - -
=
0
si
lineari,
non
elettrica
una
(generatori)
-
y(E Ei)
.
.
.
.
.......
:
-
-
-
-
-
-
-
isotropi
(E) E
natura
esistono
non
utilizza
. . . . . . . . .
- -
-
-
Im
anviene
Un materiale è isotropo se è
caratterizzato da proprietà meccaniche
e termiche identiche in tutte le direzioni.
Sono 3 i parametri perché rappresentano le coordinate nello spazio
J
si
ca
+
ha
.
,
=
.
3
i
- -
Conduttori
elettromagneti
mon
in
regione
-
I
natura
(utilizzatori)
viceversa
Im
di
elettriche
cariche
sulle
como
forze
di
campi
somo
la
·
Conduttori
·
Isolanti
isolanti
perfetti (V 0)
=
classificazione
seguente
U
G
10
-
U
<
10
12
=
10
.
In
:
-m
-m
-
1
elettrotecnica
Campo
Sia
Scalare
Dun
4(x t)
Y(x
=
,
I
In
xi
=
+
specie
Nello
yj
+
caso
continua
,
e
superfici
variazziomi
Esempio
,
.
,
zk
ID
una
,
al
funzione
più
generalmente
è
finito
numero
un
tridimensionale
continua
è
se
discontinuità
di
punti
anziché
di
hammo
si
di
superfici
.
funzione
una
al
ammette
di
I
più
specie
scalare
finito
di
di
sorgenti
Continua
è
se
di
superfici
.
schematizzamo
delle
generalmente
è
numere
un
proprietà
la
presenza
dei
materiali
brusche
oppure
.
:
I
I
Un
Ez
Es
Una superficie
campo
di
scalare
Livello
Un
Mu
Ne
un
y (x t)
scalare
campo
un
3 , 2 t)
discontinuità
Tali
definito
è
ci
.
spazio
tal
in
ammette
e
discontinuità
In
,
dominio
un
continua
I
dominio
è
assume
una
valore
I
di
superficie
Separa
materiali
superficie
costante
tra
ziome
diversi
sulla
:
.
quale
y(x
,
t)
=
(
Campo
Si
ha
rettoriale
campo
un
esiste
legge
una
istante
vettoriale
the
wettore
um
su
ad
associa
curve
Si
tangenti
definisce
in
che
funzione
Componenti
ogni
di
ad
De
ogni
generalmente
,
le
linee
di
forza
del
direzione
regione
di
spazio
delle linee
di
forza
una
dice
si
rettoriale
somo
alla
punto
inviluppo
è
quando
(x t)
in
=
associamo
si
Flusso
di
tubo
superficie
Una
vettoriale
campo
un
punto
ogni
D
:
i
Ad
dominio
un
generalmente
continue
che
somo
,
Campo
.
delimitata
del
continua
se
campo
le
da
una
.
sue
.
Gradiente
I
def
grady
.
Definizione
.
valida
im
qualunque
riferimento
I
gradiente
grad y
Im
.
E
coordinate
grady
=
ortogonale
è
=
E
=
(i
di
0
si
cartesiame
+
superfici
alle
i
+
ha
:
=)
=
4
livello
.
sistema
di
Circolazione
Se
A
e
la
di
di
circolazione
B
il
,
Campo Vettoriale
am
dice
si
campo
dipende
i
I
conservativo
B
ide
Au
di
Circuitazione
0
i
.
de
in
I
ai
=
dai
punti
estremi
.
de
u
rettoriale
Campo
un
e
solo
linea
ama
chiusa
,
e
Se
il
campo
Um campo
scalare
is
=
conservativo
è
conservativ
è
sila
:
of
adt
esprimibile
sempre
=o
come
gradiente
di
una
funzione
.
grady
I
0
e
i
de
-
o
grady de
.
=
/
Ede=f(A)
=
4
Divergenza
Operatore differenziale
rettoriale
la
formisce
e
confluire
verso
Matematicamente
,
al
flusso di
diviso
fimo
per
di
attraverso
-
coincidere
con
campo
il
P
punto
div
P
da
uscente
il
i
l'integrale
ds
,
dove
il
è
sistema
punto
è
o
della
pari
+I
diminuisce
regione
dell'integrale
tratta
di
,
·
i
AT
0
versore
mormale
alla
Se
superficie
,
essa
di
flusso
.
nel
- flusso di
/im
is=
-
=
si
,
a
.
regione spaziale
una
determina
che
vettoriale
particolare
is
funzione
una
scalare
essa
dimensione
la
a
campo
un
di
Ovvero
.
AT
0 (i)
da
rettoriale
an
in
applica
un
a
frontiera
una
limite
mel
,
di
riferimento
un
si
funzione
una
diramarsi
o
fare
senza
it
il volume
farla
a
,
che
flusso
di
sorgente
divergenza
la
bordinate
linee
una
ordine
primo
risultato
come
delle
tendenza
del
Applicando
.
la
attraverso
in
div
della
i
della
teorema
il
superficie
divergenza
S
chiusa
secondo
an
,
coincide
com
.
Rotore
Operatore differenziale
formisce
e
AS
è
i
come
una
continua
del
ordine
risultato
assieme
n ot
aperta
alle
i .
sue
=
in
si
funzione
una
superficie
che
avente
a
rettoriale
per
componenti
applica
conformo
uma
funzione
rettoriale
.
la
limea
·
adelie h te
M
su
,
ci
in
Discontinuita
Si
consideri
attraverso
di
-
↑
[
superficie
una
Po
~
-
"-
Mz
it
Si
------ Ne
PEn
i
=
+
Tir
i
discontinuità
una
Y(r i)
.
=
i (tUn
-
+
=
:
I
ti
div
ir
>
=
(tr Tr) (tr
=
-
.
I
subisce
=
t is
L
it
che
.
i
I
.....
-
rettoriale
campo
un
rettoriale
Campo
am
i
(vis -un)= I
(
=
-
,
)
divergenza
-
ir )
,
+
(i-
-
2
i)
=
dive in
superficiale
di
I
rappresenta
* Xi
2x(i
=
it i
=
-
+
ix)
xπ
=
x(x (i is))
E
i
x
(i +2)
rotore
-
,
superficiale
della
+
=
i
-
di
is
x
x
i
=
-
ix
.
)
-
=
AI
-
rxxix
divergenza superficiale
=
=
=
=
componente normale
rotz
x
-
=
della
superficiale
Interpretazione
*
=
xi
=
discontinuità
rotore
=
xix
-
-
rotz i
+
la
+
I
=
~
i)
=
dis
i
Teorema
div
i
divergenza
della
biw.
=
idt
Um
solemoidale
campo
flusso
Ds
solemoidale
dice
si
i
qualunque
attraverso
mullo
in
Indivergente
Um
rettoriale
campo
=
①
i
Se
su
=
0
il
oppure
③
Se
il
si
is
in
Di
campo
um
quel
⑧ Se
3
P
i
dive
im
dominio
un
superficie
Ds
presenta
se
contementa
interamente
Chiusa
.
Campo
div
discontinu
campi
/dirge e
+
7
Campo
an
bene) ds
=
Bands=(dir
esteso
e
dice
imdivergente
De
T
solemoidale
è
num
le
linee
um
dominio
Di
dominio
esse
se
:
indivergente
è
dominio
dominio
si
DI
estendomo
dominio
illimitato
è
dall'infinito
Dy
è
hammo
inizio
e
,
termine
,
di
forza
di
i
somo
chiuse
.
limitato
An
oppure
in
su
le
sul
linee
di forza
Conforma
del
ti
is
dominio
somo
.
chimse
Dominie
Um
dominio
Se
D
dominio
nel
Se
Superficie
continue
dominio
il
superficiale
di
in
semplice
chimsa
senza
un
D
i
ands=(divide +)
6
/
mullo
perche
superficie
qualunque
alcum
se
non
buco
avremo
nel
contenuta
attraverso
.
commessione
a
i
solemoidale
è
DI
in
di ad
I
o
0
I
punto
dominio
vettoriale
campo
semplice
interamente
dal
uscive
divergenza
il
ad
vidurla
semplice
superficiale
commessione
a
possibile
è
,
trasformazioni
④
dice
si
qualunque
presa
superficiale
Commessione
a
mostro
&
sempre
dominio
idS
=
premdendo
perciò
,
0
S
dominio
Un
si
dice
a
commessione
superficiale
multipla
se
mon
è
a
commessione
-
superficiale
⑤
Se
il
è
mon
semplice
.
Di
dominio
solemoidale
ia
in
superficiale
Connessione
multipla
0 ands=/divade+)
⑥
Is
flusso
di
wettore
un
trasversale
sezione
Bunds
=
di
un
X
S
0
di
I
im
Se
,
rimame
flusso
attraverso
costante
del
vettore
e
dS+/
=
i
=
-
is1
4 + :0
=
qualunque
e
>
,
ands
settoriale
.
Günds+)wds+( ands
-
perche
·
campo
dirgid[
X
solemoidale
tubo
il
2
>
S
,
fat
⑦
Se
im
Superficie
allora
vettoriale
campo
che
aperta
presenta
flusso
lo
stesso
flusso
ad
una
generica
presenta
appoggi
si
attraverso
mallo
limea
Superficie
qualumque
qualunque
attraverso
chiusa
,
Chiusa
.
Dimostrazione
sands /minads
:
(ands
S
I
Scusa
:
=
in
S
sa
,
=
,
l
linea
alla
concatemato
-
,
(ands+(ands=( ands. (and
:
Flusso
S
con
in
So
su
e
:
⑮
indS=
e
S
Teorema
di
Stokes
noti
-
esteso
6)
mode=
1
Sn
=
I
,
~1
I
I
,
tangente
&
. de
-)Ó
e
,
:
i
In
discontinuità
di
superficie
a
0
I rotinds+/rotz
S
l
Ride
-def- /im
AS -
discontinui
campi
ai
m
=
Is
consideriamo
superficie
una
discontinua
Ex
campo
dalla
div
perchè
di i
vettoriale
superficie
rot i
=
0
roti
d'appoggio
presenta
,
e
per
un
flusso
tamdo
è
indipendente
solemoidale
Leggi
Im
del
trattazione
questa
dall'
eventuale
elettromagnetico
campo
di
presenza
Le leggi
integrali valgono
Un
in
dello
punto
quel
Una
curva
Stessa
si
alcun
in
cur ve
semplice
punto
se
e
rispetto
devivata
,
ad
riferimento
punti
per
e
prescinde
si
e
e
devivata
multipli ,
regolari
superfici
settoriale
campo
am
continua
prima
presenta
non
semplici
se
in
seconda
le
componenti
generalmente
ave rs
non
del
campo
continua
interseca
.
se
.
legge fordamentale legge
I
al
rispetto
integrale
superficiali
regolare
Com
quiete
in
regolari
dice
si
continue
dice
mezzi
correnti
per
spazio
somo
punto
consideramo
si
forma
in
della
circuitazione
maymetica
(Ampere Maxwell)
-
La
circuitazione
0
F
.
de
I
+
2
densità
↳densità
-
#
lungo
concatena
si
=
2)
.
qualsiasi
una
com
chiusa
e
orientata
linea
quella
ds
limea
re
S
,
S
:
I
che
/ (5
=
,
5
magnetic
campo
totale
corrente
alla
del
di
di
=
di
corrente
=
spostamento
GE 2 3
+
m
demsità
corrente
nel
di
di Spostamento
Unoto
totale
corrente
conduzione
di
corrente
2(E P)
+
di
densità
densità
di
corrente
di
polarizzazione
(associato
allo
spostamento
dei
dipoli
mei
dielettrici)
le
mymale
I
legge
di
densità
solemoidalietà
della
devivata
totale
corrente
5, )
/
.
Is
densità
vettore
chiusa
la
della
totale
corrente
.
TS
0
presenta
campo
variazione
alla
opposto
circitazione
del
circuitazione
Segmo
=
bettore
Chiusa
flusso
attraverso
mallo
superficie
qualmumque
.
Legge
La
di
d
del
lunge
elettrice
una
di
mellumità
elettrica
linea
qualsiasi
del
tempo
(II legge
flusso
di
chinsa
le
orientata
e
induzione
fondamentale)
magnetica
quale
concatemato
e
di
com
limea
p
E
.
de
=
)
-
.
Se
la
linea
è
fissa
magnetica
B dS
.
=
.
,
ha
,s
:
del
Solemoidaleta
0
Il
induzione
rettore
superficie
Principio
si
ve
settore
induzio
flusso
attraverso
me
.
S
Nessuma
indeformabile
derivata
I legge
I
0
è
BandS
di
carica
chiusa
I
,
può
J
.
mallo
.
conservazione
elettrica
presenta
magnetica
della
essere
nds=-
carica
Creata
o
inte
elettrica
distrutta
qualunque
#
E
Per
devivata
legge
P
J
.
mdS
I (5 2)
I
=
it
-
+
.
ds
=
ds
I
:
int e
0
,
S
superficie
I
D
↳
.
nds
Fissa
D ndS=
Qit
.
,
,
il
principio
di
mel
tempo
Si ha
s
casmalità
+C
2
=
0
0
6)
0
=
B
Quit
Leggi
della
Analisi
-
:
,
sit
=
,
Per
di Ganss
,
una
I
Legge
:
fisica
rettoriale
->
.
,
+
dS=
s
:
in
Leggi
in
C
C
/
=
0
Qints]
Sde
+
legge
Jamss
/ud
forma
forma
di
Locale
integrale
a
Equazioni
differenziali
posizione
e
tempo
nei
rispetto
a
punti
regolari
16
>Relazioni
L
Condizioni
Equazioni
di
di
legame
materiale
Complementari
di
raccordo
alle
superfici
discontinuità
a
a
3b
Condizione
Condizioni
al
Conformo
iniziali
sul
per
confine
campi
del
variabili
dominio
mel
di
tempo
studio
Esempio
Elettrostatica
I dominio
Le
I
*
C
leggi
........
:
-
......
...
..:
.........
-
↑
.....
·
ester ne
Le
30
3b
Le
Leggi
Per
esteso
e
il
considerato
eq
.
di
Poissom
valida
mei
di
raccordo
valida
punti
regolari
-
div
D=
=
B Em
=
-
condizione
~
sulla
discontinuità E
di
superficie
.
al
conforma
tengomo
conto
del
all'interno
di
contributo
al
campo
all'interno
di
T
downto
alle
esterne
condizioni
del
ottenere
ai
contributo
2E
condizioni
cariche
del
/
1b
=
volume
conto
-
...
D
del
temgomo
locali
=-
19
aviche
-
2
forme
interne
-
-
-
in
all'interro
cariche
-
S
Studio
di
campi
teorema della
iniziali
descrivono
campo
le
discontinen
divergenza
campo
T
t
per
=
0
elettromagnetico
del
leggi
il
campo
ai
esteso
ar
re t t o r i
campi
elettromagnetice
Fe
discontinui
E
as
di
forma
an
compare
Je
B
,
,
locale
la
JeD
variabili
mel
a
compare
locale
applicare
o c c o r re
melle
circuitazione
di
tempol
forma
in
in
settori
(campi
il
flusso
il
leggi
nelle
teorema
in
leggi
forma
integrali
di
Stokes
integrale
Passaggio
P
Fi
6
per
de=(
.
F
.
de
-
l
piccola
Ve
l'arbitrarietà
FI
Srotz
Per
5
=
di l
Hands
=
0
a
piacere
Si
#
rotz
=
0
e
per
nei
D
E
della
.
de
-
nds+(rotzFd
e
s
i
,
S
#-
(5
piana
termini
due
separatamente riquali
essere
superficie
ama
)]
+
per
linea
una
tratto
=
+
the
0
a
))
.
si
di
queste
Somma
.
nds
=
appoggi
0
a
delle
punti
assenza
di
0
=
0
punti
mei
Am
picadla
superfici
a
Si
(legge
regolari
locale)
forma
in
As
linea
di
A
.
:
scrivere
può
magnetica
del
(im
Legge
))
+
l'arbitrarietà di
deromo
Valida
,
l'arbitrarietà
(5
#-
I [ro+
E
+
per
+ notzF
,
ro t
( [ro+
locale
e
Sro+ FI- (5
Per
·
s
,
forma
alla
:
ha
si
,
integrale
ds
(rotFondS
=
linea
quella
15+)
limea
una
forma
dalla
piacere
ha
si
della
circuitazione
.
ha
rotz
:
,
For B
:
,
di
discontinuità
.
Superficiali (
Correnti
Circuitazione
) Binds=-)
=
-
.
ds
,
& de=I rotE
E
.
rotE
rotz
=
E
CB
-
=
O
-
dS+(rotzE
mer
-
->
-
punti
forma
Valida
d
=( (ro+ 2- ) dS+) rot E .
-
,
regolari
(legge
della
circuitazione
locale (
sulla
dr
superficie
di
discontinuità
elettrica
in
=
o
Principio
0
0
di
conservazione
=
.
-
dt
,
nds
.
(
=
,
d5d1
(
+
,
Sappiamo
di
56 -
Rint:
che
Quets=(
Carica
dQins
J ndS
5
della
567
+
,
/UdI
Bands-d+5
Per
l'arbitrarietà
((dir
Per
div I
+
5
=
-
una
(drz
d7
AT
E)
+
+
T
ha .
si
0
si
piacere
a
valida
mei
forma
+
,
ha
:
,
=0
A
4)
&I
AZ
superficie
5
=
piccolo
E
((divg5
Per
2)
valove
un
(div
5
Se
di
e
)A
locale)
=
regolari
leq
.
di
Conservazione
della
.
0
piccola
=
punti
a
piacere
si
ha
:
,
0
D
dieg 5 =-
Valida
per
le
superfici
di
discontinuità
carica
in
solenoidalità
6 15
I
é
un
div (5
) mds
+
+
=
-
0
solemoidale
vettore
2P )
=
divg(5 2)
=
+
0
⑧
,
Per
B
.
nell'intero
Nei
0
punti
Valida
0
spazio
,
regolari
e
pertanto
è
(solenoidaletà
superfici
sulle
di
totale
corrente
indivergente
It
di
in
.
forma locale)
discontinuità
di
B
di
Solemoidalità
Bonds
d e n s i tà
del rettore
0
=
nds=(
div
,
l'arbitrarietà
Bd+)
di
div
di S
Te
B
=
diveB
0
=
1
div Bd
si
ha
+
,
(di
d
:
valida
0
di B de
valida
mei
punti regolari
melle
superfici
discontinue
=
0
Legge
di Gauss
6D
.
nds=
Qi=) 3de+Sudt
,
6 D mds=
-
,
(
div
Quadro
Formulazione
superfici
Sulle
delle
Gemerale
punti regolari
mei
=
integrale
dz
diz
[
div5= I
div D
+(
de
legg,
com
dell'elettromagnetismo
Eq differenziali
.
ai
PF
G
di
.
E di
.
(
=
=
(5
65
0, (5
=
/
nds
i)
+
ds
ds
int
-
-
nds
8)
0
Dinds=
,
-
Binds
=
B
.
2)
punti
F
ro+
regolari
5
=
,
.
.
+
=
=
0
rot
B
div (5
Ques
div
+
E
-
=
div I
div
0
discontinuità
E
=
-
+2)
B
B
=
alle
sup
rotz
di
.
#I
rotz
B
di
0
=
0
=
divg 5
=-
divg (5 2)
5
div
=
B
divat
=
raccordo
discontinuità
+
=
0
=
Condizioni
=
0
=
0
Regole dell'elettromagnetismo
⑪ Le
② Le
eq
fondamentale
.
Circolarità
delle
forza
di
⑤ Le linee
di
forza
di
tempo
⑥
I
⑦
Le
densità
la
Ee
linee
rotz
=
i
=
elettrica
risiedono
densità
la
o
Omde
magnetica
e
elettromagnetica
.
inizio
avere
termine
o
superficiale
0
3
si
mel
senza
dominio
si
possomo
distribuzione
si
is
im
di
dello
punti
Carica
spazio
variabili
somo
nel
dice
uscire
dice
a
,
è
dal
volumetrica
imotazionale
=
o
termine
in
punti
dello
che
spazio
.
lineare
possibile
su
dominio
un
Dirr
quando
si
ha
:
To
Lineare
commessione
dominio
inizio
ave re
.
S
DinED
a
tangenziale
irrotazionali
Commessione
dice
discontinuità
subire
B
di
Se
a
interamente
Un
0
dominio
Continue
linearità
mon
spaziale
chiuse
sono
possomo
possomo
Campi
vettoriale
in
mon
una
dei
Dominio
Un
B
volumetrica
forza
di
sede
campo
rot
Il
di
Proprietà
Un
I
dimensione
circuitazione
e
Le
.
.
vettori
somo
Jz
lineari
somo
.
la
della
equazioni
di
an
materiale
includono
④ Le linee
in
dell'elettromagnetismo
legame
di
relazioni
melle
③
fondamentali
equazioni
fondamentali
ridurla
semplice
semplice
ad
un
se
,
presa
attraverso
punto
Linda
qualunque
Chir
sa
trasformazioni
dominio
.
commessione
lineare
multipla
se
non
è
a
commessione
lineare
semplice
①
Un
I
de
i
rotz
0
I rotindS+) rotzi
=
Campo
un
vettoriale
conservativo
I
in
ad
y
e
irrotazionale
è
is
espresso
essere
può
Se
um
walove
solo
un
I
⑪ ide=
③
su
vettoriale
campo
esso
di
funzione
una
3
è
scalare
④ L'operatore
entrambi
un
lo
di
stesso
i
:
i
dominio
di
grade
=
irrotazionale
conservativo
,
ma
lineare
commessione
a
funzione
una
semplice
4
scalare
allora
:
Y
E
.
questa
in
possibile
comunque
mon
ad
I
dominio
un
um
solo
esprimere
valore
lineare
commessione
a
gradiente
come
is
.
Fo
A
0
linea
dominio
.
rotzandr
Guide=/rotunds+/~
Se
quel
su
I rotzunds=0
is
è
nom
un
gradiente
come
continua
e
otänds+
multipla
⑥
irrotazionale
de
.
is
com
De
dominio
um
P
=
i
② Se
=
conservativo
is
0
=
rot
vettoriale
campo
X
rotore
il
casi
Campo
forza
valore
grady
del
gradiente
campo
vettoriale
del
e
in
Campo
mon
irrotazionale
è
può
piò
essere
avere
chiusa
l
ne
sempre Fo
è
positiva
i
de
come
gradiente
inizio
o
de
=
di
termine
ma
walove
mallo
,
y
.
41B) -Y(A)
=
funzione
punti
in
.
S mode=/grade
->
formisce
scalare
amo
quindi
in
.
espresso
è
non
ad
applicato
0
in
scalare
una
,
any
assume
Forza
Si
elettromotrice
definisce
di
E
=
.
e
.
m
(e(t)
lungo
.
compiuto
carica
k
f
F
+
B
x
lungo
linea
la
E
+
del
R
:
E
G
=
(Peit)
la
rappresenta
La Forza
.
de
forze
della
velocità
sollecita
che
linea
di
in
natura
sulle
agenti
per
unità
elettriche
cariche
.
elettromagnetica
non
S
d
.
.
r
.
la
linea
la
lungo
moto
lavoro
forze agenti
di
al
il
orientata
e
forze
di
campo
rispetto
carica
una
chiusa
campo
=
->
e(t)
l
linea
una
q
velocità
pari
è
&
Fq
q(E Vqx B)
,
+
=
,
B
x
1
x
Per
linea
una
e(t)
=
&
(E
Tensione
A
B
verso
E)
.
tensione
il
lavoro
B
VA
,
B e
,
(t)
=
In
di
.
de
de
=
0
1
0
=
de
Eide
+
(F
-
E)
.
de
il
A
presenza
tra
elettrica
compiuto
il
dalla
-SEFxB)
per Gesin te
Im
GE
=
Petx
.
e
=
,
(t)
eg(t)
+
elettrica
definisce
Si
+
i
quiete
in
a
carica
de
,
al
rispetto
i
i
riferimento
P
,
si
campo
induzione
il
tratto
la
magnetica
linea &
lungo
E
A
,
la
.
la
due
variabile
è
Fo
costante
Erde=
limea
l
.
e
line
in
induzione
tempo
,
una
le
,
mel
tempo
differenza
potenziale
si
,
ha
misura
generica
.
VIAl-VID
di
mel
distinti
punti
di
campo
um
B
I de=1
da
orientata
della
velocità
di
presenza
magnetica
di
di
una
e
linea
um
lungo
rappresenten
In
=
B
e
percore
per
, e
di
A
punta
:
Confronto
5=
5
=
22
+
5
tra
e
J(P t)
:
B(P
t)
,
(p
Mettiamoli
B
E
z
=
J
e
Circuiti
55
5
:
rE
=
elettrici
div
1
di
tubo
Circuiti
Per
51:0
elettrico
circuito
flusso
o
,
elettrici
0
+
il
in
wa/U
=
=
div 5
=>
divz
di
w
18 /10 =
=
di
viene
,
del
rettore
stazionari
mon
in
to
,
un
limitato
isolante
mezzo
S
div J
0
=
I
div
Conosciamo
I
*
0
r i s c r i ve re
divz
J
/Ja-51)
=
↓(5 -5)
punti
mer
=
:
r
.
(
*
siame
je e el contenee
-
=
0
t
isolanti
=
-
t
=
0
->
J
coincidere
=
- >
-
5: r
)
-
=
=
E
=
=
d
a
a
a
-
illimitator
.........
⑳
:
Conduttore
divz I
com
.
=
-
divz
=
-E
:
:
divz
-
,
A
div 5+dirz
->
e-divz
)
degli
a
.........
sidante
conduttori
dei
intermi
div) J +2)
che
possiamo
div I
=
intermi
Punti
mei
1010
stazionari
non
-
campi
.
0
flusso
Campi
w
stazionari
0
5
the
sappendo
(
IPE
Ora
.
=>
di campi
stazionarie
tubi
di
presenza
=
PrW/5m
=>
=
presenza
insieme
un
Jr
rapporto =
condizioni
in
,
(P))
+
Dr()wcs(w+ B(I)
=
im
=
div
Un
t)
sen(w+
wEnd/VE
=
E
,
(wt +(1)
Sea
(n(P)
=
facendome
confronto
in
Ju(I)
=
,
il -
)
,
quindi diventa
.
b
Mezzo
a
Um
I
di
Le
del
linee
abbia
di
forza
Un
f<
ilt)
che
questo
kHz
Im
=
si
più
è
composti
somo
condensatore
un
da
me
tromco
inserito
di
densità
di
inizio
avere
possomo
e
di
superficiale
termine
e
carica
in
punti
in
cui
.
illimitato
conduttore
da
alimentato
aperto
generatore
un
ad
alta
frequenza
.
cos(Wt)
è
,
vicimi
downto
è
aperte
somo
un
totale
corrente
com
flusso
isolamte
esempio
10
I
variazione
una
Mezzo
↓
di
tronco
um
metallica
spira
uma
è
di
densità
vettore
è
limitato
isolante
mezzo
flusso
I
flusso
si
di
esempio
tubi
limitato
isolante
al
il
studiando
parte
alla
fatto
del
aperta
flusso
il
che
tra
flusso
due
:
conduttori
la
conduttore
corrente
concentrato
più
i
separati
in
è
osserviamo
maggiore
ar
mezzo
Conduttori
in
=
J
Jinds
D
=
E E
,
A
in
:
I
J Jands
=
JE
.
Distribuzione
div
Conduttore
div 5
=
ohmico
0
div D= I
->
->
di
(5
+2)
(lineare
div rE
carica
=
0
e
-
->
conduttori
mei
div J
isotropole
UdivE
=
divsE-EdivE= S
=
0
/
privo
0
-
->
mei
di
conduttori
campi
divE
=
2 0:1
.
impressi
0
->
1
=
0
Comogenes
e
isotermal
.
Emergia Elettromagnetica
Mettiamo
I
FI
rot
②
Applicando
le
J
div
E
-
.
=
(E
·
.
[
E
->
FI
tutto
in
E 5
=
.
volume
il
(Er
=
+
F ..
#
rotz
-(
Quindi
.
E
S
7
=
I
Ei
:
-
E
P
=
E
Ei) x(Hr
+
Sappiamo
B
=
.
#
/
jdT=
(ExF)
H_)
.
(rotA)
.
FI)
+
è
+
-
A
.
(rot B)
de
Ohmici
div (ExF)d1
=
-E J
=d
.
+
J
:
ha
si
=
-
&
,
2
=
=
dell'
elettromagnetismo
ndS-( divz
(ExFIld[
ErxF .
F
continue
,
,
-
rot-E
che
=
0
=
:
jd7
.
fondamentale
+
Er
x
=
Ex
attraverso
E
0
=
/(E - Fi) de
+
.
diventa
de
v)E+Ei)
J Ei
(Ex F)
-
ndS
+)
,
lE
. Fd
+
Exx F) .
+
E
x
,
#
attraverso e
div
.
+
+
continue
7
=
mezzi
F
+
+ (E .
.
ler
Fl .
-
.
fE 5d7 glExs+/E+
3
elettrico
:
emergetica
T
che
=
campo
E.
I+
.
il
=
/div (ExF) de
-
rotE
.
com
m] [w]
Relazione
=E
F
+
(dvlExFdY
=
-.
(ExF1) .
E
rot FI=
.
div(AxB)
:
utili
+E
E
+
.
(ExFl)
5dT
-
rotE
.
relazioni
Applicandola
-
magnetica
:
FI-F
rot
.
-
G-2
faccio
E
E
=
d'induzione
campo
+
J
=
E
rot
il
relazione
in
(ExFI)
:
=
0
=
Potenza
Rg
/
=
the
di
generatori
E56e
5
,
SE
=
IndTE ...
cos'e
(
,
⑳
,
elettrica
energia
Pg
lamoro
lavoro
<0
motore
per
tempo (potenzal
di
unità
di
ca
ad
corrispondente
,
lamoro
forza
cari
0
E se de
,
I
e
permmita
>
(ESE) de E
=
:
.. in
8
carica
Pg
E
trasformazione
una
di
di
emergia
tipo
altro
in
.
resistente
alla
Corrispondente
,
trasformazione
di
corrisponde
all'energia
elettrice
energia
in
tipo
altro
.
Potenza Joule
= J,
P
,
des,
I
I
rappresenta
una
calore
in
P
G
=
,
positivo
di energia
emidirezionale
del
di
passaggio
una
che
corrente
( Ex F1)
rappresenta
delimita
·
ndS
ExFI
potenza
una
corrisponde
e
che
ad
wettore
>0
antemma
trasmittente
Is
<O
antemma
ricevente
elettrodinamica
finita
,
le
valgono
del
Interpretare
errato
di
f
Conducibilit
di
condizioni
potenza
quasi
o
poynting
I
volume
irradiata
stazionaria
e
la
attraverso
superficie
S
che
lo
-
per
del
sorgenti
campo
poste
a
distanza
:
all'infinito
normali
te
queste
Sorgenti
condutt
num
-2
Str
In
in
irreversivilmente
1
Ec
Ha
stazionaria
dal
esce
una
Ps
In
elettrica
dissipata
irradiata
,
Ps
è
scalare
trasformazione
effetto
per
Potenza
U
-
-
↓
la
condizioni
/
campo
il
1
5
vettore
->
r
0
00
potenza
irradiata
è
trascurabile
a
sufficente
distanza
dalle
ExFl
:
di
poynting
come
un
indicatore
della
potenza
irradiata
per
unità
di
superficie
⑲
E
i
Se
D
Sa
Prendendo
magneti
e
.
&
(E
dato
In
#
the
.
.
Si
=
elettrostatica
in
La
/(F1
evidenza
associata
sempre
come
prendendo
dT
necessaria
x
Sy
.
+
certa
superficie
rotE
com
per
il
generare
l'energia
per
=
0
e
avviene
rot
#
:
=D
campo
che
quantità
di
all'esistenza
di
energia
um
generare
il
campo
elettromagnetico
campo
è
.
*
t
per
unità
i
et
**. dB
è
chimsa
irradiata
S
0
=
Se di Tari
,
potenza
com
Stazionaria
all'istante
Wi
quiete
E.) de
esperimentale
una
e
della
equivalenza
uma
=(divCExFdY
rotE-ErotF
=
im
O
+
della
che
ads
siamo
Potenza
Pac
#I
risultato
dato
FI)
x
cariche
cor
·
Fo
il
sbagliato
stazionario
E Fo
dS
Interpretare
elettromagnetico
sistema
com
permanenti
(ExF)
i
Se
una
di
+)
BeDassumono
Campi
rispettare
DH
E d5
.
volume
.
e
Wic
wgc
Wic
Si
:
/
+
punto
L'energia
spazio
elettrica
wge
il
che
quale
I "Fod=-)
ErdeT
Fod
Energia
=
spesa
generare
campo
D
E di =
.
=-
*
spesa
generare
per
via
per
il
del
principio
campo
in
am
elettromagnetico
quando
il
il
campo
è
si
l'emergia
ammulla
femomemo
che
=
!
.
*
E dis
.
il
-
viene
.
dell'ister esi
.
Wat
**
per
di volume
unità
forme
limeavi
,
isotropi
,
primi
Dr
immagazzimata
per
l'energia
presentano
BR
energia
Nge
Presentano
non
non
/ lod+)
D
=
energia
come
magnetica
o
**
we
0
+
.
che
Materiali
Wic
/Ne
=
per
,
Materiali
:
0
immagazzinata nel campo
dal
sistema
elettromagnetico
restituita
a)
de
locale
dello
=
,
West
azione
1 5dT
,
interpretare
può
di
3
=
wm
we
=Wa=-)
Fod=wg
di
isteress
.
Si
B
Consideri
d (B I1)
che
F
=
E dD
E
=
.
Wgc
/
:
E
w
we
=
=)
drE
.
!
·
Fido
=
Wm
necessaria
W
I
sc
t
I
-
I
F
dB
nel
dalla
campo
.
+B dE
.
El
.
·
d(Ea)
*
(
nel
=
115
. I1)
+
Ele .)
=
& MI
-
F
&25
+
=
We
An
elettromagnetico
campo
il
campo
campo
in
,
mezzi
di
prim
isteressi
femome no
il
presentano
#
magnetica
storia
=
Be
tra
e
si
comporta
dell'istere si
nor
di
I
I dB
.
ad
sol
un
punto
.
=
Ac
I·illI
Az
Wa
&
I
!II
Al
I
I
un
è
e
valore
dal
2
- - - - -
·
DE
elettrico
.
C
G
.
magmetro
campo
nel
immagazzinata
De E
tra
del
valore
+
di
elettrica
o
relazione
E)
immagazzinata
che
materiali
.
.
-
Id(E I)
-
.
creare
per
Id(B
=
:
E
=
wen
=
immagazzinato
B dF
=
d(E D)
.
,
dE=D dE
Energia
.
.
(Ed(5
energia
magnetica
,
dEl
.
.
=
we
+
E d
Mezzi
I
=.5
L de
d
L'energia
La
E
=
D
Il
l'energic
uF)
=
B diT
+
.
duFt
.
-
E
+
M dB
=
.
.
·
.
omogenei
e
=
# d
⑳
lineari
isotropi ,
materiali
D 2E
,
Sappiamo
di
caso
uF1
=
=>
il
C
I
:
I
I
!
-
An
Wac
.
materiale
come
L'emergia
dissipata
irreversibilmente
Wist
Quindi
abbiamo
=
W
-
ga
/(E .
che
isteressi
per
+
per
di valume
unità
:
Nm
.)
FI
de
e
d Nem
la
(derinata
dt
7
rispetto
al
↓Wem
oppure
i
1
Pist (derivata dell'energia
In
:
mezzi
potenza
prini
forze
del
sistema
un
impresse
potenza
ascente
di
la
t
immagazzinata elettromagnetica
di
privi
isterest
dissipata
potenza
dal
ha
Si
isteresi
,
gemeratore
Pj
=
Pj
,
+
all'interno
volume
per
T
dell'emergia
di
P,
+
Teorema
dWem
Poynting
di
det
: potenza
elettromagnetico
dissipata
variazione
mezzi
per
.
Pg
Pg
elettromagnetical
immagazzinata
at
dell'isteresi)
Per
dell'emergia
tempo
um
effetto
per
di
privo
volume
Joule
delimitata
immagazzimata
effetto
istere si
è
della
,
da
una
,
Joule
,
la
uguale
:
alla
potenza irradiata
formita
potenza
Somma
dalle
della
irradiata
potenza
superficie
elettromagnetica
P,
S
della
e
mell'unità
di
tempo
.
Classificazione dei problemi
di
elettromagnetico
campo
Elettromagnetismo
elettro statica
5
0
=
im
cariche
=
1
elettrodinamica
I
quiete
F
0
-
0
6t
elettrodinamica
elettrodinamica
non
1
moto
I
elettrodinamica
Stazionari
in
cariche
quasi
Stazionaria
a
Stazionaria
I
to
6t
=
2
0
=
0
2t
0
I to
ot
Teorema
Definito
determinare
per
irrotazionali
definire
um
=
i
campo
E
Irrotazionale
divz
Elettrostatica
E
I
0
=
-
=
Legge
im
cariche
0
quiete
stazionario
di
5
Ohm
=
VE E)
+
=
0
-
=
0
UFO
isolante
(E
conduttore
=
,
0
(E
=
,
=
0)
EFO
=
E
=
0
=
0
-
U
è
efficente
:
div I
=
X-(P)
campi
I irrotazionale
,
campo
um
XP)
di
umicità
0
,
(E
+
E)
=
0
rot F
rotz
=
=
0
0
Equazione
E
rot
=
=
-
rot
rot
E
z
div
0
I= I
-
n
=
rotzE
= >
=
E
Sorgenti
del
0
=
0
campo
E
-
divz
B
B
I
=
EE
=
Potenziale
E
Campo
E
=
irrotazionale
grade
-
Elettrostatico
v
V potenziale
(scalare)
elettrostatico
Proprietà
E -grad
=
I
1)
S
=
PE
condizioni
V
4)
>
VIA)
:
.
de=-
0
(
/gradv
r
per
.
de
.
di
=
V(A)
<
-
S
S
=
lineare
omogeneo
div
I
=
D
=
3E
=
isotropo
↑
VIA) -VIB)
d
.
d
.
P
-(E)
00
V(00)
-o
0
Se
Se
Eq
=
Poissom
.
c'è
mom
(f
AV
=
=
div (EE)
(Egradv) 1
=dir (gradv)
.
a(I)
00
r-
div I
=
--div
VI
=
-
*
r
per
0
"E
chiusa
all'infinito
normali
-
E
Fl
0
.
Va
2)
3)
E de
=
per
densità
-
1
=
=
AV
=
Eq
di
.
-
=
3
l'elettrostatica
di
carica
0
0
=
Laplace
Condizioni
divz D
dato
di
0
=
D
SrFdn
Se
1
del
in
&
=
se
caso
D
di
=
=
0
I ruol
0
5
=
.
V
2
-
che
se
~
8
0
=
,
e
tra
continuità
due
le
-
rotzE
che
rotz E
=
0
a
elettrostatico
è
continua
mel
esprimere
caso
.
Ein -EEim=
abbiamo
o
=
campo
lo andiamo
,
discontinuità
c'è
non
e
del
tangenziale
D
=
I
continua
è
Eng
-
verificata
è
E .. -E..
I
E =-grad
da
allora
dato
~
che
E=-gradV
allora
:
da
+
2
sappiamo
=
la
garantisce
mi
componente
dis D
Dalla formulazione precedente
E =-grad V .
dire
la
raccordo
potenziale
che
Dim
=
.
rotzE
Osserviamo
Dim
E.E : -SE:
:
mon
De E
campo
=
0
=
sostituirlo
questo
mel
,
2
e
Condizioni
=
possiamo
EcFEn
dive
la
Se
-D: m
SE
:
e
superfici
Se la
Dc
=
che
diveD
raccordo
possiamo
V
scrivere
E
.
=- grad V
.
E
=
-
E
tangenzia
alla
I
-
-
rotz
E
zV
=-
+
+
2
=
2)ViK)
=
dato
0
che
possiamo
risolvere
dell'elettrostatica
problemi
i
2
I
E
rot
=
V
0
=
-
1
E
rotz E
div
=
dive D
D
=
P
-E
D=
3E
2 2V
I
En
ama
S
=
Ve
continuo
(dato
che
1
2
Quindi
2
~
Sappendo
,
limeare
che
il materiale è
omogeneo
e
isotropo
2
V
=I
2m
1
in
due
modi
:
è
continua)
le
Potenziale
Elettrostatico
mezzo
-P
M
↑ ↑↑
~
~
~
~
~
~
-
-
~
di
volume
↑·
a
SErGY)
V
lineare
W
Omo yem 2 0
Equazione
P
.
soluzione
VIP)
Quinti
S
VIP)=
:
se de
a) Sede
=
La funzione integramda diverge
Globalmente
-
La
-
La
l'integrale
soluzione
soddisfa
soluzione
soddisfa
Campo
il
è
=
5
I-
En
=
potenziale
.
=
-
E
Siammulla
I and de
hts
P =P
per
-
-
Er
La
=
elettrostatico
di
c
non
perche
somo
too T
cariche
,
I
=
0
volume
(rpop-o)
comwerge
condizioni normali
la
lea
.
(AV
Poisson
di
all'infinito
=
-1)
elettrostatico
E grate grab (stobesite eesteposo. se non
e
grat
il
grade) ro)"
Quindi
Er
ror"-
E(ps-aia
gradiente
fa
l'inverso
neamente
(
l
roop
/Po
.
da
5
,
=
I) e
de
-
Conduttori
Prendiamo
5
,
(dato da E
cost
=
30
dato
0
=
+
=
elettrostatico
campo
Conduttore
um
U(E E)
=
V
nel
E
e
0
=
E
UFO
che
=
dato
0
legge
la
applichiamo
di
Ohm
E=-grad
che
,
V
:
->
0)
↳
equi potenziale
campo
Consideriamo
consideriamo
div B
:
divD
:
1
=
=
->
<
&
div (EE) I
=
E
->
Di-Di
=
5
=
D
+
I
=
0
.
m
=
0
=
E
5
i.
=
all'interno
0
Conduttore
I
E
campo
E E= - grad
.
dato
·
E
·
-
=
cost
=
:
che
T
sa
=
&4
=
E
=
0
.
E
=
E//n
=
0
,
carica
Sulla
.
=
m
c
Osserviamo
.
=
r
.
n
che
D//m D
=
0
=
B
=
r
V
.
m
=
=
0=
-
-
dato
me
26 a
=
B
=
(ud
<E
=
Superficie
Il/n
.
-
=
D
1
=
-
av
dz
.
dato
dalla
concentrata
che
E =- grad
B
& dato
um
Ohm
Osserviamo
Da
·
V
che
~
S
superficie dato
alla
1
legge
di
data
di
che
Campi
Campi
armonici
I
wettoriali
S
T
rot
irrotazionali
imdivergenti
U
ro+
Dind
1
Caso
Dir
2
dia U
dato
0
=
=
=
0
Dirr
2
Dimd
E
.
I
.
div U
che
=
0
divl-grady)
=
,
rot
=
Laplace
.
div
.
I
0
=
eq
rot(rotA)
eq
0
=
.
4
di
Laplace
.
U
=
dato
dato
,
0
div U
.
Dinde
E
.
Dind . Dir
casi
U =-grady
che
AA
Dir
E
.
=
0
=
due
distinguere
possomo
Caso
0
=
rotz
Si
E
0
=
=
U
rot
che
=
0
AA+grad (divA)
-
(coordinate
rettoriale
rot(vo
=
div
Supponiamo
Ax
Cartesiame
=
A)
+
Ag
0
,
A
=
=
=
0
0
,
0
allora
Az =0
.
(
Proprietà
La funzione
dominio
y
può
non
assumere
valori
di
m a ss i m o
relativo
:
massimo
-
di
punto
2
"y
L
0
2x
dato
impossibile
4
che
=
c'4
+
2x
problema
interno
problema
esterno
4
2
=
X(P)
campo
un
yI
=
XP)
al
4
=
regione
e
delimitato
illimitato
Neuman
[si
ha
,
conforma
Sulla
cost
regione
:
Diricklet
[si
ha
2
,
co
64
t
2y2
bst
=
Condizioni
Dato
è
Contorno
Sulla
,
limitato
dominio
:
al
campo
un
dominio
:
Condizioni
Dato
relative
minimo
o
:
da
<0
.
24
=
0
22
una
superficie
all'interno
del
=
0
scalare
Teorema
Legge
9
mdS
.
superfici
corrispondenti
~Da
Gauss
di
B
delle
=
&
Qa
+
,
s
⑧
02
,
Se
9) D
nds=
.
,
(5 nds+)D dS+) D
.
.
.
B
Se
Va
V V
,
=
-
grad V
On
,
On
,
Qu
,
E
conduttori
assegnati
,
E
We
N
di
determinare
Om
,
determinare
Qu Om
,
Qu ,
....,
Qu
in
I
assegnati
determinare
Je
,
5.
Ve
Va
,
. .
...
, .....
=0 D
-
dS
=
Q
+
,
Q
=
,
0
=
Q
,
I
0
=
D
Conduttore
fondamentali
problemi
Sistema
=
del
all'intermo
Due
ndS
-
ne
I!
-
In
determinare
Un
determinare
equilibrio
elettrostatica
elettrostatic
1 problema
3
2o
problema
in
an
dielettrico
lime a re
,
omogene isotropo
,
Problema 1
1o
fondamentale
problema
Sistema
N
di
elettrostatica
Conduttori
è
div)-EgradV)
V(P)
Per
tale
4
(P)
S
che
la
ricavare
:
Ye
,
-funzioni
1
=
4(P)
-
N
Funzioni
:
itesimo
conduttori
altri
geometria
monotono
e
dalla
momotomo)
(dell'andamento
tra
conduttore
dei
forma
conduttori
perché
abbiamo
E
nelle
mostre
i
condensatore
"
12
-
conduttore
assumiamo
conduttore
,
,
.
Esempio
4
,
andamento
,
dalla
solo
del
(Va V Ur(
Ta
,
armoniche
-dipendomo
formas
Ti
.....,
,
assegnati
superficie
Sugli
all'infinito
normali
valori
a ss u m e
sulla
Neost
.
co
condizioni
sal
0
Y
armomi
esterno
elettrostatical
soluzione
If
=
(dalla
0
=
Diricklet
di
problema
am
,
i
!
andamento
........
I
Il i
..
è
momotomo
IStrettamente
3
2'X
Potenziale
V(P)
=
4 (P) Va
,
+
&(P) V
+
.
.
.
.
.
+
4(9)V
=
VIp)
-
E
,
YilP3V :
E
:
-grad V=-grad Ble
:
Demsità
di
superficiale
8
carica
rispetto
-
di B
=>
r
(
=
Carica
a
=
0
-
5.
+
0
32Vi)
sulla
-
del
:
!
=
V
=
=
=
(- a
(V)).
da
Vi
=a=
:
~
al Conduttore
rispetto
costante
insimo
di
coefficente
E
&
Cij
,
d
una
=
conduttore
() ) dE
E
f)
i
R
Q
=
(2) 3)
=
:
=
r
-
m-esimo
:
superficie
resima
=
-
(
=
conduttore
Q
totale
(adz
=
Cj
=
al
2
G
=
Capacità
V
+
,
propria
CrVc+
CaV +C22V2+
=
G
itj
se
Cam Un
+
. .
...
Cande
d
-
. .
impropria its
:
Qm
CreV2+(nzV
=
+
GUn
+
....
Problema 2
Assegnate
de
determinare
Conduttori
il
,
secondo
=
dei
cariche
conduttori
Nel
a
le
distribuzioni
le
e
superficiali
fondamentale
problema
somo
di
campo
corica
assegnate
le
elettrostatico
dielettrico
mel
potenzial
i
,
.
cariche
:
CF normalel
:
/(2) d
:
.
Zi
anziché
r
La
=
la
derivata
f a)
condizione
l'equipotenziale
:
potenziale
in
ogni
punto
(non
posso
Newmana)
applicare
:
sottointesa
delle
(0] (C) (V)
del
mormale
che
di
superfici
=>
[v]
consente
=
di
Conduttori
visowere
.
[ c[[a)
il
II
problema
fondamentale
è
Si
consideri
conduttori
i
Q
Xi
[a)
=
dell'
eq.
.
Questo
di
(2)
L'ipotesi
=
=
cui
tratti
:
0
=
otterrebbe
Si
dalla
ovvia
.
fisicamente
è
da
diversi
Zero
e
,
,
diversa
soluzione
una
mulle
assurdo
quindi
poiché
di
elettrico
mon
mullo
.
=
conduce
0
[C]
ovvero
205 [0]
l'esistenza
implica
campo
un
:
a
assurdi
risultati
invertibile
[P][0]
dell'elemento
det [C]
Cis
an
deve
essere
.
Pe
,
per
,
detta
potenziali
Pij
in
(2)
0
det [C]
det2C]F0
[V]
=
tutte
cariche
elettrostatica
w
, ....,
risultato
potenziali
com
condizione
(1)
[C]
det
1
0
Sc][v)
Se
=
particolare
una
Scarichi
somo
0
=
assurdo
per
.
matrice
dei
Coefficenti
,
Significato
consideriamo
Ri
I
di
coefficente
tutti
Vi
Per
Cj1V
=
j
Ci
Il
V
1
=
(iV
+
Vi
di
lefficente
j-esimo
dato
collegato
che
Proprietà
Si
di
capacità
+
,
matrice
divz
=
collegato
conduttore
terra
a
o
. . . . .
-
Q
/I
:
i-esimo
:
=(
alla
mantenuto
è
the
carica
a
potenziale
unitario
di
(i
capacità
0)
=
propria
Cow
some
& Fo
e
VitO
V
e
:
&
=
e
Vite
0
,
ë3
W
.
I
=
c
Di r
-
=
0
d: 0
->
Gi =
legge
dalla
dentro
d Ohm
un
poiche
dalla
e
Conduttore
i
ViC0
,
0
=
ag
=
C
;,
1
·
condizione
=
0
gi
sei
-
.
Q,30
i7
!
,
(Ciro
positivi
sempre
=
Ci
Conduttore
Capacità
2
=
il
assume
.
di
mulli
uguale
-
d
0
*
essendo
CmVn
+
che
5: 30
unitario
potenziale
.
numericamente
E
coefficenti
i
negativa
I 2
3
=
occor re
simmetrical
e
Gij
il
quando
-
D
CjVt
mutua
che
mutua
assuma
the
carica
-i
coefficenti
dimostrare
può
quelli
dei
terra
a
alla
uguale
Q
=
.
(la
mon
Gin Vo
numericamente
è
affinche
collegati
.....
terra
l'unico
è
Cir
vesimo
capacità
a
+
.....
E
=
+
Cij
=
GieVit
propria
C
=>
Ri
=
Capacità
XKEi
0
. . . .
Conduttori
altri
=
k
Conduttore
al
gli
V
capacità
di
coefficenti
+
C
=
:
dei
,
CicV
GiV
=
formine
&
ViE0
an
Cias
=
E
fisico
L
①
Rispetto
alla
Conduttori
tubi
conduttore
sul
,
di
dei
Somma
tra
flusso
valori
vesimo
incluso
è
conduttore
il
Vediamo
quale
vieme
Vi
Ci
Abbiamo
Qi
I
=
=
=
dato
Esas1
=
i
Cio
CV
=>
:
canal
Vo
=
dal
norvisor
C
.
parziale
del
conduttore
d
itesimo
-Gij=
!
jz0
C
=
=
Z
>0
e
al
cavo
Conduttori
m
cano
flusso
di
tra il
supponiamo
Si Cis
Gij
verso
conduttore
l'infinite
e
CioWi-Vo)
il
potenziale
C j
:
=
,
,
-
+
VE
l'infinito
Capacità
vesimo
=
V
+
Cis(V-V (
+
è
Vi
conduttore
tubo
Conduttore
um
E VE-Ve -
Capacità
is
Ri
OV
=
in
Viti
,
Quindi
.
parziale
E
=
fuori
l'infinito
dani
jti
Ea
a=
è
accumulata
carica
e
Conduttore
Ci Vil
=
,
Capacità
&j
che
consiste
un
conduttore
insurato
10 1
Q:
Quindi
(fuoridal
0
0
interno
swo
la
anche
altri
il
che
configurazione
al
messo
Vico
:
quindi
Poi
un'altra
sugli
cariche
itesimo
Q:
2
delle
assoluti
parziale
e
il
tra
tra
il
il
conduttore
conduttore
Es Cis(V-Vj)
+
possiamGravi
all'infinito
sent E finare
0
~
mette
Gr asso
Ci
=
*
~
il
pime
Ci E
ai
jesimo
Simmetria
Q.
Per
della
C (VX )
=
!
-Vi)
C:
=
.
&2
Cj
=
Qij
:
0
=
Q
=
FO
(20 V
,
il
è
isotropo
Vogliamo
Questo
S
+
=
campo
Ca (V V)
+
=
è
E
4
4
=
1
0
del
la
D
ma
,
0
Sul
Conduttore
↑
sel
Conduttore
2
mon
S
Gy
di
è
-
--/
/"
Q
/
i
-"
Frau~
92
~
~
~
e
I
/
/
-
conduttore
ha
degli
Diricklet
2
effetti
intermo
(mei
sul
campo
all'interno
.
punti
regolari)
2
condizione
=
dielettrico
mal
1
conduttore
sul
=
=
indivergente
⑧
I
A Do
problema
Conduttore
sul
armonica
=
conduttore
all'interno
Ve
cariche
X
E
(s(V -V) ~
~
il
presenta
Applichiamo
4
il
se
Scoprire
campo
di
privo
.
/
Qu
,
i
VIP)
E si
=
1
GoVs +Ca(Vs-Va)
=
Cij Cin
e
~
&
Rji
-
201
-
=
=
l'intermo
verso
Gz(V k)
=
=
(V-Vs)
:
omogenes
,
0
=
Q
:S
(V,
solemoidale
=
Ce
lineare
è
Schermo
C
:
capacità
elettrostatico
Dinds
6
C
:
dielettrico
,
=
di
coefficenti
corrispondenti
Cj (Vs-V)
-
Schermo
I
Ri
,
delle superfici
teorema
il
dei
matrice
funzione
armonica
per
ci
abbiamo
del
Qu
dipende
4
V(P)
V
=
Vediamo
&V
=
VIP)
il
forma
0
=
cavità
e
matematica
per
esprimere
dallo
non
il
sistera
da
VIP) dipendente
di
valore
del
elettrico
stato
4(P)
:
&(V -V) YIP)
+
della
geometria
(V-V)4(P)
+
se
V(P)
dalla
solo
0
=
+
,
(V
-
k))
=
0
-
punti
nei
dielettrico
del
regolari
D
ECP)=- grade VIP)=-grad(V +(Vi -V2) <(P))
Quindi
Dalla formula E(P)
del
conduttore
Dalla
sina
(io
1
:
Q
C
:
(V-V)
z
.
=
=
dipende
=
.
Schermatura
campo
calcolandolo
E(P)
=
E
-
combinazioni
somo
sul
V
V
assegnate
sono
V
=
(P)
(P)
del
dipende
non
&2-R21
2
conduttore
da
Q
,
superficie
Sulla
.
del
conduttore
2
si
risolvere
può
·
Sommatoria
di
dipendente
dalla
Conduttori
(s)
possibili
dentro
posizione
il
4(P)
Com
,
sistena
.
,
Que De
.
lineari
delle
,
cariche
dei
stesse
Conduttori ,
le
quindi
i
potenziali
anche
della
Va
carica
e
VI
I
.
PaQz
P Re
Pa Q
Pzz Qz
Paz Qa
+
ma
,
Vs grad Y (P)
Pas Q
,
Ry
Carica
dell'elettrostatica
problema
-
:
De
all'esterno
grad4 ;
:
interno l
conduttore
=
I
il
con
EIP)=- V gradf
Se
geometric
l'esterno
verso
dielettrico
nel
da
dalla
esterna
,
dalla
e
Quel
ne
I
.
.
N -VI)
:
(V- V ) grad 4(P)
da (Vi-Va)
dipende
the
rediamo
--
(soluzione
#I
problema
fondamentale)
Se
collegato
viene
del
L
V
E
8
+
costante
dipende
=
E
esterno
Pe
dell'eq 3)
via
.
stazionaria
di
le
Cariche
grandezze
fisiche
nel
costanti
somo
tempo
=
elettrico
0
=
=
nei
elettrice
dominio
-grad
div (5
a
=
=
+
divz
regolari
I
=
=
0
0
-
I
0
e
lineare
V
V
div (5 2)
div J
stazionario
commessione
2)
+
punti
alle
di
superfici
discontinuità
0
campo
=
at
entre
cariche
movimento
è
tutte
0
Dig (per
da
solo
dalle
vi
rotz E
un
elethostativo
campo
cavo
nota
e
solo
0
rot E
I,
conduttore
il
se
,
=
Campo
E
mallo
cioe
,
da
dipende
Elettro dimamica
I
P
tensione il
a
o
non
=dipende
↳
e
,
terra
a
conduttore
Vi
Qu Ve
assegnati
somo
0
irrotazionale
s
nei
melle
spazio
,
che
e
semplice
potenziale
è
elettrico
punti
stazionario
nell'intero
indivergente
superficiale
Commessione
S
nell'intero
spazio
di
discontinuità
continuo
che
,
semplice
regolari
superfici
,
.
è
un
e
ad
um
dominio
solo
a
malore
Le
linee
Un
circuito
di
elettrico
Circuito
Un
di
può
+
vo
Andiamo
I
(E+E: )
divlti)
E
i
/
A
esiste
la
de
S
imrotazionale
andiamo
EtE
quindi
an
a
mell'intero
spazio
dalle
5 grady de
.
possiamo
/
grade 4
=
:
dissipato
=f
spazio
.
-
=
div(Y5)
=>
=
discontinui
campi
5 + grady
4
ah e
relazioni
To
.
5
E
0
Sedio
Le
15
(457d7=
condizioni
-
d)
normali
=
0
=
Se ↳
di
campo
0) Eidl
im
impresso
nell'intero
irrotazionale
è
potenza
5 - EtE)
En
oppure
scrivere
divl45)dentess
~4(45
Il
.
irrotazionale
mon
(doly5dy= (45ds (dive
Per
J
di
flusso
campo
um
-
->
di
tubi
all'infinito
dall'infinito
sammo
rotzlE+E)
EtE:
dir +gradf
=
oppure
di
E0
il
e
3
=0
i
chiuse
=
assurdo
calcolare
a
dT=
I
rot
E
rot
+
I
1
insieme
-
E
roIE
·
un
5
per
il
-0
rot
som
esistere
Consideri
calcolarci
I
semplice
corrente
stazionario
·
è
elettrico
campo
Si
di
forza
FO
questo
corrente
-
Caso
f
.
:
e
.
m
dE
/27
generatore
dato
che
4
Solo
um
:
4
di 5)
è
continuo
valore
.
all'infinito
può
dive 145)
ad
des
stazionario
del
(45)
essere
ha
si
,
=
0
:
fa
solo
.
·
,
Jat
Sa
2
,
amare
sostenuto
C
I
"Eidé
lg
Fo
dall'esistenza
di
un
Campo E
:
mon irr
.
Generatore
Un generatore
di
del
sughi
generatore
elettrodi
ayli
Sugli
E
=
a
All'interno
+
del
E::
il
di
:
im
campi
se
,
del
la
conducibilità
all'interno
Collegati
conduttore
APE Sa
I
o
potenziale
~PeS
elethodi
sugli
=
,
0
&
ly
2
generatore
genera
conduttori
ai
ideale
una
quali
:
,
E
=
-
.
ideale
E
il
impresso
campo
è
equilibrato
1
I de=(-Erde=
,
ha
si
generatore
un
.
quale
dei
conducibilità
della
(5 finital
0
=
,
9
E
r
I
maggiore
E
generatore
1
:
teoria
mella
,
è
:
the
I
All'interno
eg
ideale
equipotenziale
cioè
E
ideale
.
ha
si
dice
si
elettrodi
dire
svol
0
tensione
stessi
elettrodi
tensione
di
lg
di
.
ai
-
=
V Va
ilg
tensione
di dp
somo
!
gradV de
può
essere
dei
capi
attaccati
,
suoi
(VVe
definito
come
elettrodi
Stazionari)
an
dispositivo
indipendentemente
.
il
dal
Determinazione
Vogliamo
da
FREC
Udiograd
Quindi
V(P)
VIP)
Ja
=
=
J
divg
V
0
F
Er
I
=
-0
1
=
0
=
0
=
0
funzione
F
P t
P =
F PE
F
WE
Pe
=
0
.
.
,
UdivE
->
O
=
-
0
Diricklet
di
condizione
=
0
dato
-
=
.
che
intermo
+
=
UIgadV il
V
una
div
stazionaria
isotermo
isotropo
Sistema
um
·
I
che
ce
non
-
.
=D
problema
consideri
Se
PE
e
in
.
Su
Jr-Jr
->
ideale
seguente
C
=
di tensione
V
X
abbiamo
I
la
Stazionaria
stazionaria
+
>
Va
Quindi
4(P)
0
corrente
corrente
amogeneo
0
pe S
j
y(P)
=
X
0
V
J
Va
Quindi
Si
=
abbiamo
=
sia
dir
sia
di
campo
C
che
di
campo
generatore
un
suppone
->
il
trovare
composto
Si
del
C
è
r()
=
0
,
condizione
una
di
0
=
-
E
=
0
XpeSe
Neumann
misto
armonica
4(P)
tale
Tale
che
funzione
S1
problema
Sc
pertanto
Se
dipende
misto
:
è
soluzione
di
ed
è
interno
univocamente
solo
conduttore
dalla
(forma
,
determinata
geometria
e
um
del
dimensione)
e
Si
VIP)
(Ve-V2)
=
VIP)
tale
ECP)
J(P)
=
funzione VIP)
la
consideri
S
che
Quindi
( V.-V2)
=
(P)
(V
=
1
0
-
4(P)
se
+
V2)
=
V)6
Va
Fpt S
V
↑
-
ptS
il potenziale
,
=
+
0
-grad4(P)(V -V)
Y(P)
p
Va da
da
wa
il
quindi
aV2
Verso
Se
=
grady
va
Ve
se
grabe
.
:
sequento modo
WIVc-V2)grad4(P)
dalla
dall'
Ve
(per
e
U
abbiamo
abbiamo
TIP)
Y(P)=0
C
e
-(V-V2) gradf(P)
.
.
.
(Vi-Vil
.
e
non
dal
dipende
.
elettrodo
potenziale
a
più
alto
verso
quello
.
direzione
J(P)
di
dipende
da
solo
Y
ovvero
,
dalla
geometria
del
conduttore
⑭ Assegnando
Le
fe
.
conduttore
ovvero
,
mentre
=
:
d d p
potenziali
O
+
WCVEValgrad4(P)
mel
caratteristiche
dei
-
=
impostata
è
diretta
basso
V
+
=
va
=
abbiamo
assoluto
è
V2
+
FPEC
0
=
d
dipendente
è
&41P)
.
:
4
abbiamo
J(P)
La
(V -V)
:
VIP) ( V-V)
se
valore
③
VIP)
grady
JIP)
più
VIP)
rE(P) =- 2gradIva-K)
=
e-gradi
⑧
Va
+
-grad((V-V2)
Abbiamo
①
4(P)
:
il
.
m
.
del
Vi-Vn
potenziale
è
eg
,
il
di
ideale
vettore
determind
a
tansione
I(P)
mero
è
di
che
alimenta
univocamente
una
costante
il
determinato
addittura
Campo
elettrico
dielettrico
mel
il
circostante
conduttore
Si
esteso
Sulla
di
privo
e
Ve(P) V (P)
omogenes
,
(per
:
Su
la
del
continuità
VelP)
(P)
(p)
è
di
soluzione
Ve(P)
termine
um
mon
costante
è
dalla
derivante
moto
problema
um
misto
conforma
sul
Ve
Velp)
Siccome
Quindi
divgD=
la
costante
è
mon
F
Se
carica
dominio
del
Din-in
=
r
EF0
superficie
sulla
=
=
=
Cr 0
=
potenziale
=
esterno
potenziate
=
intermo
laterale
superficie
=
stazionario
intermo
dielettrico
sul
-
cost
indefinitamente
,
elettrice
potenziale
I
Live
mon
una
superficie
è
dielettrico
mel
equale
Di
=
0
=
Vi(P)= Ve(p)
-
SEin
=
=
r
Se
dato
l'altra
e
all'infinito
Su
Siamo
tra
e
Se
.
divz D
premento
:
a
continua
sempre
Ve(P)
me
=>
isotropo
,
superficie
la
tutta
= pz Se
=
Vi
siha
,
lineare
sia
.
irrotazionale
è
che
cariche
Se
superficie
doto
dielettrico
il
the
suppone
=
-
↓
8
=
E()!-
I
0
Conoscendo
Conduttore
Vale
Sempre
I
si
,
la
perfanto
a
,
~
Ve
la
li
mon
sono
determina
densità
cariche
la
derivata
superficiale
libere demtro
normale
alla
superficie
laterale
.
Conduttore
um
sia im
altermata
de im
.
pache
->
(a
2I
div (D) g
=
=0
->
dv(5 +2)
+
B GE
=
-
div (5)
-
divISE g
:
=
al
9
=
0
=
0
->
div(E)
=
0
-
divIE)
=
0
Continua
La distribuzione
di
campo
di
cari ca
Stazionario
corrente
durante
stabilisce
si
formazione
di
transitorio
seguito
in
costante
rimane
e
il
del
.
M
-I
-
.
.
.
7
t
Resistenza
Prendiamo
J(P)
I
=
R
=
-
di
conduttore
un
con
d d
una
.
p
.
in
.
punto
an
:
5 (V-V) gradY(P)
(5
d)
-
-)wWirl
=
1
=
↳
-
I as
W
Vi-Vi
Conduttore
um
=
grade
-
resistenza
=
è
Scalare
materiale
legge
di
Ohn
=
I
diretto
ds
La
·
V
> Va
>
conducibilità
Per
=
=
Un
=
U
-
2
diretto
I
ideale
(Va- V) gradY(P)
-2
R
grad4(P)
da ScaS
da
dalla
dipende
generatore
un
J(P)
IIP)
V
si
-U
=
-
SnaSe
in
temperatura
ha
:
~gradYIP)
con
modulo
:
Vi-V
RI
stazionaria
Rio
RO
chimico-fisiche
proprietà
Ri
=
grad Y(P)
=
[cp>
I
grandela
=
v)
eds
e
direzione
Se
s
S
S
vettore
eg
=
=
dalle
e
RIgrad4(P)=-y
=
-
I(P)
ICO
Conduttore
elethodinamica
I 70
=
=
del
geometria
integrale
dalla
dipendente
positiv
Se
·
Vive
=
R
dalla
e
forma
in
S
WIV-V)
-
uno
del
Conducibilità
RI
S
che
dipendono
solo
dalla
geometria
del
Conduttore
Definizione
P
di
/ =d
=
=
T
=WI-V)
da
R
Pj
Se
SV
=
In
I
Im
Joule
di
UIva-VilYgrady
elettrodinamica
stazionaria
Ohm
mon
forma
in
Joule
di
legge
la
e
,
:
P
Per
Pj
:
un
)
Edt
R
um
=
filiforme
da a
=
Gjde=
Conduttore
I2
0
=
RI
=
si
5
,
=
(5
R
=
di
omogenea
sfde
dimostriamo
indifferentemente
forma integrale
in
solo
.
partire
a
efficaci
di
tensione
dalla
corrente
e
R
=
=
valori
sei
lo
Jord integrale
Ohm
de
=
:
scrivere
può
Sde
,
quindi siccome
Linea
=I
Per
(basato
integrale
di
resistenza
di
definita
essere
può
la
legge
legge
la
Stazionaria
non
Ro
la
con
o
=
I gradide--I Eds
one
integrale
definire
può
integrale
resistenza
conduttore
dimostrare
-VI
si
Joule
W
I
,
simodifica
wiverl grade de
=
de
di
legge
ma
-
di
=/
possibile
è
V
=
legge
la
gradeusde
,
la
attraverso
I
legge
elettrodinamica
com
55 (ri)
gradycdT
(Verl"
=
resistenza
=
35
Düsde
sezione
.
certante
:
chiusa
:
il conduttore
è
una
filiforme
Conduttori
Da
the
un
di
punto
nello
si mmove
alla
traiettoria
Per
tali
dal
I
che
baricentro
è
soddisfata
è
molto
del
molto
al
del
e
uno
al
di
Is In
corrente
=
del
ortogonale
conduttore
di
raggi
i
.
arratura
normale
sezione
piama
all'asse
stazionario
in
conduttore
e
di
punto
qualunque
direzione
una
coincidente
Conduttore
T
=
E
~
,
Is
maggiore
=
3Se
,
se
la
stessa
resistenza
I 5S
all'interno
dello
sezione
dalla
Ja Ja
-
stesso
ha
che
un'utilità
amo
(Elabbiamo
lunghezzal
quindi
,
conduttore
.
geometrico
asse
dei
all'estero
amo
dipende
:
e
,
all'suo
prendiamo
particolare
in
com
la
tangenziale
curvatura
magnetico
intermo
che
di
raggio
compongono
fatto
sezione
con
campo
swo
Ry> Ra (dal
->
del
um
lo
che
quale
della
uniforme
all'asse
la
I
mantenendosi
e
geometrica
asse
condizione
rettore
modulo
conduttore
generare
flusso
dimensione
un'area
massiccio
grande
più
e
da
generato
S
Conduttore
um
solido
um
detta
grande
più
del
abbia
all'asse
la
5
Abbiamo
é
forma
continuita
com
swo
normale
sezione
quella
filiforme
conduttore
,
filiforme
assume
generica
com
descritta
geometric
Campo
am
variando
spazio
conduttori
dell'asse
Si
geometrico
vista
tanti
=>
tubi
sezione
com
la
motevole
abbiamo
I
una
So
(R)
condizione
seguente
Ri
di
.
Ru
densità
:
Relazione
Nel
due
di
caso
tra
resistenza
illimitati
conduttori
Capacità
e
da
limitati
oppure
,
due
superfic
-
l'uma
il
considerino
Dato
dove
e
Dato
S
V
V
=
=
=
Va
Sappiamo
che
C
abbiamo
S1
DirI
due
la
aventi
dato
IE
che
=
Casi
=
No
C
=
=
Se
=
IE
all'interno
sia
Quindi
5 . ds
,
Se limettiamo
somo
RC
lineari
mezzi
=
,
soluzione
.
di
V
=
allora
pr)
anche
E
di
P 5 ds
<P
,
=
.
S Edi
1
.
,
de
EndS
,
-
JE de
-
l
1
,
l
,
relazione
in
all'esterno
the
un'unica
abbiamo
la condizione
wo Ends
-
I
isotropi
the
osserviamo
omogenei
e
del condensatore
dielettrico
il
e
il
Conduttore
.
E
Esempi
Sappiamo
applichiamo
di
applicazioni
formula
la
R
per
=
2
=
:
D
=
applicare
possiamo
I
R
geometric
-
S2
Erde
stessa
0
=
valido
3
regolari
stazionario
limitato
è
mei
è
che
corrente
condensatore
un
costanti
superfice
sulla
e
condensatore
Ve
superficie
Sulla
=
il
dato
punti
mei
di
tra
un'analogia
evidenza
im
mettere
campo
limitato
e
intermo
0
Un
V
è
abbiamo
Dirichlet
*
dove
0
conduttore
il
the
di
=
il
e
conduttore
un
divD
the
possibile
è
,
elettrostatico
campo
Si
all'altra
interna
determinare
x 5
=
la
=
capacità
36
con
5
=
C
i
che
=
c
I
I
gamma
conduttività
materiale
del
dian
ad
condensatore
armature
parallele
Teoremi
L'indivergenza
di
è
necessaria
condizione
I
A
vettoriale
potenziale
vettore
A
=
rot
div
si
Mulla
Il
com
②
condizioni
sia
Esempio
·
rettore
dato
O
=
lo
ha
chinsa
è
che
definito
per
quindi
a
is
flusso
stesso
e
al
qualora
del
memo
not
attraverso
rotz #
=
5
=
0
=
o
qualunque
solemoidale
è
divi
abbiamo
e
le
:
VV(P)
assegnino
continua
e
stazionario
:
rotz ({i)
=
particolare
div B
=
,
per
e
posizione
modulo
di
sorgenti
del
deB /
tale
e
campo
a
O
e
per
Ak
I
Il &
Fz
i so
:
datoche
H
=
su DI
B
il
finita
distanza
Sup
W(P) -> I
WEIP)=
che
is
all'infinito
normali
0
della
continua
del
monotona
condizioni
che
A
settore
si
generalmente
In
imdivergenti
campi
acommessione
rot (FI)
grad P
(5 i)
rot
funzione
conformo
Sappiamo
dei
potenziale
con
scalare
una
assegnare
:
rotore
superficiale
,
occorre
il
A
linea
XV(P)=
rotazionale
se
rettore
= il potenziale
i
not
determinato
rotazionale
di
=
unicità
di
E(p ips) funzione
modulo
potenziale
di
rotore
come
scriversi
possa
...
dis
alla
esso
semplice
.
è univocamente
E
affinche
superficiale
commessione
a
scalare
rot
indivergente
campo
I
=
the
appoggi
Teorema
⑪
funzione
dominio
um
detto
,
mmico
è
scrivere
abbiamo
superficie
Un
non
rotgrady
possiamo
fisicamente
Continuo
↑
vott
=
Quindi
ha
A
in
i
sufficente
e
A
grad 4
+
vettoriale
campo
un
campo
un
imdivergenti
campi
sei
la
mostra
gefe
.
Sem
,
Condensatore
ad
armature
piame
parallele
e
com
dielettrico
& mogemeo
Abbiamo
di
dielettrico
un
bordo
lineare
e
isotropo
mella
sola
omogenes
,
che
mosti
dati
studiamo
moi
Saranno
il
sistema
seguenti
i
V(x 3 z)
:
,
,
V1z
Con
S
I>
da
A
:
(2 (0
V
=
=>
B
=
=
=
-
z)
E(z)
=
al
condizioni
(
+Adz
Va
conV(z d)
Al
=
=
,
VIz
conforma
+
=
B
V
=
=
0)
=
Va
,
VIz=d)
Ez
=>
+
Va
=
cui
possiamo
Calcolarci
E
Variazione
di
=
il
campo
-gradv=
E
V
=
Ad
+
Un
=
V
E
Potenziale elettrostatico
:
-
E
=
Vi
Ve E
V
E
!
--------------
r
-
-
-
-
-
tana
-
=
/El
1
-
1
i
a
Fort
I
*
Z
=
Viz)
V
-
=
B
i
z
0
le
com
:
0
=
V
:
=0
arremo
Integriano
Laplace
di
leg
utiliziamo
,
coordinate
V(z)
->
,
E(x y
l
gli effetti
.
dato
da
trascurabili
con
,
i
>
Z
Va
Quindi
abbiamo
divz D
elettrostatico
campo
un
DE
=
=
E
=
funzione
in
D
=>
:
d
E
=
2E =
=
5
della
.
=
carica
+
=
3E
=
1
d
0
Carica
Q
totale
(rds (cds c(ds
dES
=
=
=
=
Capacità
E
:
=
Es
del
da
Campo magnetico generato
=
B può
0
essere
E
#I
Vale
i
è
semplice
,
-
&
la
Husso
in
=
è
0
concatenato
=( B mdS =(
.
A
A
not
lo
che
materiali
im
solmoidale
possiamo
calcolarci
rotz
e
mullo
,
a
= per
il
Theorem
Stokes
poiche
A
è
continu
.
B
poiché
semplice
.
occor re
B MF
da
regione
omogenei
=
mei
in
cui
.
punti
intermi
superficiale
.
flusso
il
e
commessione
.
rot - ds
isotropi
materiale
,
il
lineari
dominio
Sul
univocamente
costituito
sia
dominio
um
superficiale
commessione
a
Continuo
rettore
#I
spazio
legame
di
relazione
è
di
somo
stazionarie
potenziale
determinare
per
,
superficiale
mezzi
divergente
esso
I Binds
-
come
supponiamo
pertanto
Poiché
Too
=
rotazionale
0
=
DI
correnti
To
5
=
rotz #
in
scritto
il
asseymare
rot
I
0
div= B
=
Ci
=
=
E
&Es =)
=
Condensatore
=
divB
Q
=
A de
.
che
è
indipendente
dal
flusso
>
Fregor
rot #
5
=
Dalle
#
->
A
eq
FIE A)
=
.
.
Poissom
di
valida
mei
B
-
utili
relazioni
rotrot
=
DA
DA
vettoriale
punti reg
M5
=
prendiamo
la
continuità
l'ultima
rotz
il
e
F
eq
=
.
mi
x(F F)
=
-
=
A
vettore
=
Pe
e
le
di
il
campo
B
che
ro
+
A
=
A1-0
L
00
le
il
=
0
#
in elettro dimamica
stazionaria
FE
=
.
particolare
Ai
campo
somo
-
-
infinitesima
: Birr
=
esplicitarlo
00
a
:
#
=
0
E
=- MJ
Superfici
:
dirg B
e
distanza
all'infinito
0
in
AA
di
punti
nei
1
Al
Enhal
deve soddisfare
t
grazie
be Est de
=x)(-)
0
soddisfatta
automaticamente
.
condizioni normali
B &
in
D
scrivere
continuo
generamo
Soddisfano
re
DA
è
=
dobbiamo
e
xorAla (rotAlz)
correnti
regolare
.
Fide=
0
=
0
G Ende
=
B
=
_
Se
punti
nei
univocamente
div A
pone
studiamo
e
permettere
0
A
vettore
=
rotz#
è
potenziale
la
A
di
si
divyB
superficie
1
I Büd= BI
Bird
Per definire
=>
di
BewI
=
-
.
M5
Gulomb
di
raccordo
una
=
.
del potenziale
continuità
alla
Se
di
condizione
FIF A)
=
-UJ
=
Scelta
La
rotrotE
-
Ex (Ex)
:
-
rotE
=
finita
mei
di
regolari
discontinuità
il
,
punti
potenziale
mettore
A
Determinazione
del
B
campo
(può
.
studi
il
omogeneo
Dalle
e
Si
una
um
Conduttore
in
distribuzione
da
T
volume
un
di
e
correnti
massicciol
generato
magnetica
magnetic
di
distribuzione
uma
di
infinito
corrente
lineare
mezzo
un
,
,
trovate
condizioni
che
prima
la
trovare
deve
si
l'equazione
soddisf
,
consideri
I(Po)
densità
isotopo
all'infinito
essere
vettore
da
di induzione
campo
di
Stazionaria
potenziale
generati
Stazionarie
Si
del
funzione
di
potenziale
un
rettoriale
poisson
#
vettore
parti
nei
continuo
regolari
normale
e
A
:
=
MI
.
:
Asp)
=
E
S 5e
T
Alp)
in
converge
potenziale
rotp (Acps)
quindi
è
Relazioni
,
Com
e
in
qualunque
(*
de)
commutare
l'operatore
rotp
=
=
=
rotazionale
approfondita
anche
dello
per
i
spazio
punti
.
per
,
si
esterno
p
rotazionale
(Fa )
(rot 51)-grad
-
integrale
punto
)
x(PE)
:
utili
l'operatore
attraverso
un'analisi
l'operatore
A
Soddisfa
,
diverge
l'integranda
=
-
MI
l'integranda
ma
,
per tanto
il
e
è
determinare
possibile
B
.
,
possibile
(5)
rot
all'infinito
normale
,
T
a
.
Side
=
(per P intermo
spazio
generalizzato)
senso
cercato
Dalla
B(P)
mell'intero
Continua
è
+
A
(a)
l'integranda
,
l'operatore
e
limitata
è
Continua
ed
,
integranda
.
5
Yoox
=
x
-
51P )
=
.
Yo
514
-***
.
=
Bla)
=) Si de
formula
dimostra
Pintermi
e
d(FxE)
+
*
T
a
a
che
7
,
è
per
commutare
possibile
ci
la
l'operatore
di
Biot-Sawart
rotazionale
) IlPordT
E
valida
Formula
A(P)
M)
=
5iP
Up
,
J(P )dT
AIP)
E
abbiamo
contributo
dBIP)
B(P)
/
=
-
I (P)
al
del
lunghezza
B
campo
* Expor
daT
I
.
I
dei
=
di
elemento
un
dalla
formula
ros
~p
di
percorso
+
0
y
*
=
52P0)=
filiforme
conduttori
:
per
I de
:
elementare
di
filiforme
che
visto
filiformi
conduttori
per
P
Io
=
I
.
de
= Sde
=
.
Biot-Savart
di
1
corrente
di
elementare
conduttore
pari
è
a
Biot-Sawart
:
.
UR
Emergia
Dalla
ha
che
Im
=
=
necessaria
Wgc
rotE
+
A
5
.
con
.
com
quindi
smitta
per
le
il
teorema
dato
sogeti
de
al
Wm
=
A
1)
=
rotz
#
)
->
dew
in
(AxF)
2
-
a
=
0
=>
distantes
FlodB
O
+I
A
A
E
.
# E
.
5
,
divz
continuo
I]-
as
=
studiamo
continuo
esterne
finte
.
lineari
FlavotIA)
che
sappiamo
immagazzimat
mezzi
per
campo
dimostrato
abbiamo
all'emerga
il
creare
per
B
BdT
.
divExI)
divergenza
della
campo
0
5
Yo
continuo
=
Too
equale
è
Xm=f
rotAdY
dY)
si
elettromagnetica
meccessaria
/
:
campo
the
Yn=E)
=( A #1) 5
↳
il
generan
sappiano
,
div(AxF)
per
Wyc
-
stazionarie
correnti
dell'energia
l'energi
dice
ci
induzione magnetica
l'energia
B
fondamentale
formula
di
magnetico
campo
relazione
la
di
del
,
che
Nm
isotropi
e
angerei
Arrot(F) +divAxI
div(ExF)
(AxFI)
=
=
0
.
campi
INCExE)
discontinui
=
P
non
può
essere
E* Fon dS
,
valgon
he
condino
allieferto
.
I
Ac
I
/A+FIS
0
2 vi
S
(ExF)
o
-
V
In
&
1
a
I/
Wm=
>00
-
d
.
A
567
.
,
messi
bene
Sono
di
Si
conduttori
magnetiche
proprietà
Pe
Abbiamo
ienergia
I)
A(6)
Wes
Wiz
+
positivo
se
Mis
Witua
megativ
+1)
a
in
com
mezzo
un
di
del
da
propria
è
energia
l'energia
il potenziale
è
,
generato
di
principio
conduttore
sola
calcolar a
possiamo
.
il
per
agisce
magnetic
o
immersi
The Te
conduttori
5 a) AcaldT
dT
propria
eneys
:
!
:
spazio
An(a)
magnetica
In
corrente
Tre Te
mdumi
rispettivi
nell
-
+
dei
panti
SR Alpi
Ac(G)
=
energia
22
dae
&
di
massici
stazionen
angue
induzione
mutua
e
e
.
immagazzimate
=
W
due
considerino
auto
IS As
,
Vale
Coefficenti
=
1
sonrapposizione
rappresenta
.
dalle
due
mettere
comento
degli
.
effett
l'emerga magnetica
associate
.
C
.
2
metra
magnetica
delle
dovet
due
alla
Correnti
presenze
di
,
avvero
due
l'incremente
Conditor
.
l'equazioni
usando
A
W
J
:
M]
=
Poissom
di
) IP5P
=
(P)
I(P) In
=
#6)
esplicitions
-
=>
M
EIP)
.
didE
(P)
+
-
del coefficante
definizione
) Se de
=
,
Alt
)
=
ad
r
QG
Tu
. . . . . .e
T
Wes
. . . . .
New
di autoinduzione
12
massici
.
I
=
. 2
I
i)
End)
=
T
Lir
=
:
+
=
52 (0) I (a) In
↳
Ac(6)
e
dTedT
Wm
:
vettoriale
Mas
=
M
di
coefficenti
auto
del
geometric
NataInt
e
il
dipendono
Conduttore
dal
solo
e
2
.
mezzo
dalla
e
.
di
·
tra
induzione
induzione
mutra
MenIsIntE
de
matra
Conduttore
Coefficenti
↳=
di
coefficente
auto
E si
MesIzIs+LzI=
e
Ade decodes
=
formula
so
di
induzione
mutua
filiforme
conduttori
Neumann
di
L'ap
com
la
Ar (2)
diverge
M:
se
del
riscrizione
)
:
:
M
De Den
per
ALL
l'energia mmageficen
si
intersecano
Dete
=
perche
,
allora
Julid =
-
Per P ide
=
nom
aliforme
conduttore
I dT=
anche
Men
5
commergono
Pendte
E .. Sedi
potenziali
diverge
metra
induzione
Ise
Fo
p
allora
=
Commerge
diverge)
In di
Upa
rettori
sempre
Inde=
.
divergomo
,
e
con
esi
Mm=
2
Ind
=
IsIz
rediamo
Mas
Per
4
con
due
Mij
si
superficie
sulla
Dir
scrivere
può
filiformi
conduttor
=
Li
i
: En rota =Ez) Bids=
-
,
S
the
la
agisce
sulla
sempre
negativ
è
o
,
l'autoinduzione
per
entra
Pre
di
concatenato
flusso
il
the
I
:
flusso
il
rediamo
se
Eucalde
Accad =
.
1
spira
Sulla
spira
1
dedurre
possiamo
me
.
2
spira
the
.
In
autoconcatenato
si
ej
.
(a
generalizzare
può
(3)
Scrivendo
:
is
=
Ij
Il flusso
concatenato
di
principio
com
Sovrapposizione
degli effetti
da
la
suc
Wa=
energia
d'asse
In linea
Allenterno
regioni
irrotazionale
è
dentro
e
Scalare
tal
Che
,
mon
ottenere
per
A
Fo
fine
ve r r a
quindi
è
unilo
um
solo
occorre
chiamato
sede
El
:
essere
calcolato
applicanto
,
-
il
;
:
Mist
:
E da In
Is =
magnetico
di
di
distribuzione
una
fuori
abbiamo
lineare
commessione
a
puo
il campo
correnter
,
an
per
,
iresime
==
Scalare
Il
IM
:
is
E
E
conduttore
,
potenziale
delle
del
grad Ym
valore
mettere
diaframma
o c c o r re
una
,
Ym
farsi
dal
multipla ,
è
che
superficie
invalicabile
rotz FIO
conduttore
detto
per
an
potenziale
sia
dentro
a
not
FI
ammette
scalare
commercione
il
e
Conduttore
=
0
potenziale
magnetic
lineare
cavo
,
semplice
.
Quindi
Se
Si
si
tendere
fammo
ottie me
La
div
I
=
B
=
Con
scalvare
Y
·
0]
La
-
⑧
di
Ym(P) Ym(PC)
=
l
,
solo
um
al
pari
valore
funzione
el
le
al
pari
di
questo
/GP
,)
problema
d
è
il
del
conduttore
è
le
.
I
della
14
=
0
=
condizioni·
seguenti
dominio
esterno
correnti
alle
.
all'infinito)
tutti
della
valore
l'angolo
corrente
corrispondenza
in
Conduttore
,
sotto
i
filiforme
e
YmlP)
dal
la
I
.
dal
,
punto
dipendete
dalla
geometric
(P )
generico
del
e
.
del
punto
p
assume
quale
.
funzione
,
fili forme
solido
sequente
G(Po P)
campo
& (P)
e
semplice
commenzione
a
superficie I
sistema
un
do-grad4
all'infinito
somo
e
:
isati
mel
Lineame
dominio
Conispendenza
soddisfare
normali
discontinuità
una
il
in
e
=>
armonica
correnti
I
amogenei
dever
magnetico
condizioni
sorgenti
Presenta
:
quanto
della
valore
Lineari
im
divg=
le
I
=
-
div ME
Im
soluzione
Per
4) -PP!
=
:
,
divF=0
,
le
=
Pr dé
.
Pr l
div MI=0
0
(se
4
H
materiali
scalare
soddisfa
della
-
,
0
=
è
mezzi
per
Im
Im
·
F
[
la
verso
ad
discontinuità
una
potenziale
·
punti
(* de=1 grad
chiuderano
si
non
Pa
subisce
div B
due
:
:
funzione
ma
le linee
che
avremo
.
la
punto
seguente
campo
P
forma
:
trede
la
si
·.0
& (P)
e
in
è
Pr(P)
limea
<
questo
0
caso
negativo
(r)
:
d'asse
Condensatore
Sistera
E
due
di
Conduttori
Ry Qu Quo
Gn)V-VI)
=
=
+
Q
Qas Q2o
=
dimostrato
Abbiamo
Cas)V-V)
=
+
+
Qu2=-Qzz
che
GoVa
CcoVa
C2 Cas
=
=
e
definire
per
di
Se
sufficente
è
tali
Conduttori
=
Go
se
I
Es
.
lineare
En
-trascuriamo
V(z)
=>
effetti
dV
=
0
sistema
Can Go 220
parametri
(i
due
,
,
di
sistema
un
bisogno
abbiamo
due
conduttori
Conduttore
,
definite
somo
necessario
(12
=>
0
⑧
>0
Vi
=
V Go
=>
0
=
=
0
con
VnQo
=
=)
4
Cen
omogeneo
mon
isotropo
bordo
abbiamo
0
-
dielettrico
E(z) (dipendono daz)
,
parametro
cavo
con
omogeneo
i)
ecco
20
conduttore
Condensatore
è
definire
per
Condensatore
un
Gr C1
CASO 1
-
parametro
costituiscomo
armature)
CASO
solo
um
3
il
potenziale
V
com
Varmonico d
e
,
=
dato
O
da
è
lo
da
stesso
E
=
dielettrico
mel
0
.
.
dz
d
=
0
-
sidere
in
spezzare
due
spazi
dato
the
some
diversi
-
-
0
=
=
:
(d
=
/ /Adz
+
=
Az
+
B
tra Oz
d1
->
↳
d
integriamo
=
de
;
VIE)
=
=
de
CE + D
trade
Ed
condizioni al
1
V
Campo
VI
armonico
O
di
divgD
-
=
3
V
n)
V(z d)
/z
=
raccordo
+
.
-
0)
S
A
Cd +D
Ads
B
+
VI
=
E -Es
=
r
r
=
=
0
=
2
.
&Er E
-
=
E
=-gradv
2
z
per
+
D
Condizioni
=
EA
-
Az
=
C
:
3
1
.
-2
elettrostatico
+
2z
=
Campo
+
andamento
(2 0)
B
=
com
< =
=
ds
comd
=
z
rappresentazione
Carteriana
Em
da
in
32
:
&
Va
A
=
-
di D
01
C
=
0
d
=
0
=
z
-
tand- tarai e
- I>
de
2
de
de
2
d
Di n -Bi
=
0
=
:
va
Va
(2 d)
D
0
elettrostatio
=
Ec
E
L
d
=
Conform
condizione
0
=
al
a
Es
.
Ed la
4
per
V
2 dx
Potenziale
V(z)
Continua
-
-32C
V(z)
-
le
sistema
=
=
funzione
una
Ve
=
+B
0
.
Ve
Va
=
a
=
E
=
.
perche
I
sa
Es gradV E
condizione
questa
assegnato
Din -Dim
=
=
Mettiamo
abbiamo
&
E
Es grad V
=>
.
Va
-
Condizioni
2
comtorno
Er
=
&Er
de
EcEd= ErFEs
F dz
Campo
elettrostatico
div D= Us
divz B
nell'armatura 2
D
g
Armatura
1
Armatura
div
=
·
51
Daz -Dun=
Wa
b
E
=
carica
1
nell'armatura
In
=
della
funzione
in
dies D
Es
0
Dez Daz
E
E
We
=
3 Es
Dim
=>
- 32
dato
Ec
Tz
quindi
Eik
:
uniformemente
distribuito
=>
infazone
distribuito
3 Er
02
·
=
=
Diz
:
Tz
=
Dun
-EcEck
=
2
P
E
vada0
=
Qu= &S
Q2
Ti S
=
:
E E se
-
=
2 ErS
3
->
Corrispondenti
superfici
Quz
=
=
teorema
verifica
Q2z =- Q22
=
Es
scrivere
possiamo
Fr
-c
=
8
=
Oz uniformemente
Estr
che
s
S
E
=
Es
=
=
W1
51
=
Dmz
↓
mell'conduttore
Daz
2
= =
=
d1
SeS
Er
e
E
=
possiamo
I
=
la
calcolarci
2
E
.
de
d
=
+
ViV
=
-
da
=
-
!
capacità
=
d
:
de
ds
- da)
z
I
db
↳4
=
-
Va-V
Ende=
->
-V
=
Ere+ E
an(
)
=
=
> Eidn+ En(t-de)- N e
Viv
=
c
se
Materiali
I
ferromagnetic
feromagnetici
materiali
B
H
Mo
=
,
H
per
preventano
elevati
molto
caratteristica
una
:
ha
si
B
B(H)
ani
per
ha
diversi
valori
Bs+ MoH
=
A
AH
n e
.....
B
---
S
- = =
- 8
-
- -
-
-
- - - . . . .
.
spostamento
.
B
. . . .
.
-
dominio
delle
irreversibile
dorini
dei
pareti
.
dei
rotazione
-
- -
.
.............
Spostamento
-
Dopo
qualche
di
cido
ciclo
istereri
Materiali
Piccola
ha
un'elevata
Energia
la
tam
di
isteress
induzione
residua
ciclo
Wist
potenza
e
caratteristica
=
·
16
=
pareti
dei
>
del
magnetica
matriale
si
ripete
creamdo
il
H
dolci
ferromagnetici
del
a re a
,
delle
reversibile
- - - - - - -
domini
I
,
adatti
basso
Brax
:
per
correnti
campo
-
16
alternata
coercitivo
formula
= 2
di
Steinmetz
I
mi ciclo
2
-
Pist
mei
=
·f
MB
materiali
delle
perdite
N
~
fequenza
feromagnetici
se
doli
.
magnificiation
mormale
~
approssimazione
- -
voglio
=>
YBrux
e
censità
non
si
trascura
la
parte
dell
ciclo
di
isteresi
tenendo
conto
Relazioni
dei componenti
costitutive
dei
circuiti
↑As
magnetici
.
S
Tratto
&
B
ferro
di
-
-
e
&
↳
!
L
e
B
B
=
&
.
E
,
B
=
MF
YA
,
:
A
S
I
Fide=
il
/ ed
.
Avvolgimento
e
u
rot
#
=
0
0
E
Vre"
F de
.
=
Ni
u
Fide+
In
~
v
=
A
-
↑
I
,
Legge
di
Hopkinson
7
MI M
⑧
-
En
-
-
0
·
↳
J JndS
=
.
=
Ni
.
B MF
=
e Mo
=
"Fide=
S
e I
F de
Wi=
⑳
Fide= Yat
R
=
,
RY
Rj Rq
+
B
=
2
Yax
de=
e
Circuiti
&
Fide=
Hqlq
permamenti
magneti
com
Hil
=
=
Hele+ Hala=O
+
He
=
-Ha
Hy
u
e
=
,
BaSa
:
BeSetBeSe
0
I
B
=
Ba=
By =
,
E if ee se
facciamo
:
il
rapporto
tra
BI
=- Balt=-Mo
Sf
a
⑥
·.
B 10
H10
.
⑳
⑱
.
P
è
-
il
punto
lavoro
di
By
-
H10Hf
By
magnete
0
permanente
las las
B71
Bfz
la
=
0
-r
=
=
-
I
=
>
By
Mo A
>
j
del
=
arcam(-)
=
e
=
Br
#q
=
0
Hq
=>
:
By
=
.ei
M
-
di
Dimensionamento
Bf Hy
Batta Sala
=
-
=
-
lf
Se
Wa
=
S3
Elettrodinamica
rot
divzB
E
=
3
0
0
=
=
-
otlE +
I
)
rotz)E GE)
+
=
B
=
rot E
0
=
0
nor
rotE
=
,
-
Et
Poiche
I
dimensionamento
di
magnete
D
elettromagnetismo :
E
=
al
=
CE
,
B
=
MF
,
5
Et
-gradU
=
-gradV-
(E
+
Ei)
A
continuo
.
rot()
E
rotzE
irrotazionale man'intero spacio
La
lineare
condizione
superficiale)
=
0
,
rotz E
ComVpotenziale
um
E
=
inotazionale
è
cor
=
poiche
continuo
:
dell'aria
Stazionaria
mon
-B
=
div B
rot
dell'
generali
Ba HaVa
=
Vy
=>
Criterio
amax
.
Be HqVf
* energica
IlB1HIVq= EBataVa
Eq
permamente
magnete
um
solo
valore
scalare
.
A
è
.
continuo
e
ad
Circuitazione
& E de= G-grad
.
e
E
di
v
.
ne
de-de * de=-
*. de
=
) rds--
-
,
②
Circolazione
V Belt)
&B
,
el
:
:
(t)
/E
di
E
B
.
S
de=-gradVade
-
(AB ei(t) WAbet)=-
,
i
.
VIAS-Vede
=
1 de=VIAL-VIB)=)
B
(E de+(e de=-( di+) di]
.
-
.
sl"
/. de
=-
Equazioni
E
V
A
Vo
=
Fo
=
-
=-
.
V
E
=
.
de
delle Onde
=
omogenee
non
che
grade
scegliendo
oportumi
Vo-Go
A
c
Bo
e
A
=
-gradV-E=
+
.
grad
potenziali
infiniti
rot
A
=
rot
Questa
E
potenziali ritardati
=
rot
indeterminazione
L'assegnazione
di
è
è
fatte
=
dovuta
im modo
otterrà
E
sempre
a
B
Y
-gradY=
-grad V .
Fotogradp
si
.
O
B
e
grade Y
+
V-2
=
GA
-
2
Dimostriamo
E
=
E
B
.
al
da
fatto
che
semplificare
la
div
le
leggi
non
e
assegnata
dell'elettromagnetism
,
.
dir
A
=
M
Equazioni
E
B
=
gad
-
ande
div A
=
-
B
omogenee
②
ac
③
div (EE) =
I
:
mon
E
-
rot
=
div
delle
die (-gradV
-E)
=
=
=
(V
-
21
-
=
)
E
=
AV-ME =
2
FI
rot
5
=
A
rot
ot rot
A
=
+
5
=
B
+
=
1
rotA
,
rotrotA= grad dio A-AE
E)-E grad-E
5M-hEb grad-us
A
Ju-UE gadV-ME E
graddio A-AA=
gradi-nE
gad-SE Ju-USE
=
+BE
-
ME
=
-
dalla
Ju
E
relazione
1
vediamo
:
Potenziali
2
1
=1
=
una
Il
dV
all'istante
t
all'istante
t
Questo
Upop
effetti
alle
cause
dovuto
p
=
si
,
della
luce
li
fo
-
=
0
o
Sorgenti
nelle
melle
S (Pit)
regioni
,
im
5 (Post)
ai
0
nelle
la
percorrere
distanza
rinamenti
in
ci
rimamenti
rispetto
a
si
assume
:
,
Bassume
valore
elevato
(bobine)
.
Dassume
.
=
a
.
stazionari
C condensatore)
I
.
ritardo
certo
un
generati
quasi
regioni
melle
com
hammo
regioni
necessario
ind7
indT
contenuta
carica
t-)d7
tempo
contenuta
carica
.
manifestano
the
della
valore
al
il
rappresenta
della
valore
/P,
ovvero
Elettrodinamica
Supponendo
al
ma
,
relocità
Gli
=
Mode
S (Po t)dT
,
risultato
alla
1
Madr
o
contributo
Co
=
.
D'Alambert
di
ritardati
regioni
·
valore
elevato
Pertanto
nell'approssimazione
,
delle
equazioni
seconde
AV
=
SA
-
I (P
=
stazionaria
Zero
non
dei
tempo
nella
-
-
: "
3
ik
A
↳
⑧
-
S
n e
20
di
mai
spazio
derivate
le
Ve A
potenziali
t)
e
....
regione
ammullamo
si
somo
t)
...
I
nom
Stessa
omogenee
Bobine
....
e
,
,
5(P,
=
omde
al
rispetto
da
diverse
contemporaneamente
Nelle
quasi
mM
I↓.......
l
I
=
e've"
*
A,
E
.
e
A
Edé
de+)
je
I
A
.
de+
BA
=
-
=
-
a
,
-
E
=
I
UBA
=
-
R
.
i
i)
I
=
=
-
d
legge
+
=
-Un
=
Roi
+
d
=
costitutiva
convezione
SA
un
del
convezione
-
6
della
bobima
con
gemeratore
dell'utilizzatore
la
.
Condensatore
Usando
m
-
~*
I
A
m
72
F /
s
=
-
c
(
=A
E5d7
-
=o
è
dato
-
che
assente
b
-
ExF.Ids
-
=>
=0
I
I
/
E
-
=
e
(V5nds--15
v
=>
B
assente
Stones
s
+
relazioni
,
v
.
SA
consenzione
e
:
-
ndS
(VIi)
rot
:
=
-
V
=
not
FI+gradVaI
- V5ndS
=
,
teorema
dal
mads
*
(ExF)ndS= Vini
=-
dS
+, rot(VE)
Vrot(F)
-
.
di
=-
assente
=O
End= Land
I
GradvxF
-
=
=
=0
-
I
e
I
-OlExF) IdS=
,
Vsnds
+
C
=>
ExFdS
elettromagnetica
+/ 8dT+)lE .
ds
-
UCA
ICt)
=
.
Sa
S2
We
& (Exa)
=
devieneric
relazione
e
i
sei
-
........
"
=
la
/ 5 ads =- V
1
+
V.
1-
(Vo-Vall
Sc
dei utilizatore
.
Se
Generatore
di
Tensione
·
in
L
B
(E
e
Se
·
(Ei5d7=
(ExF)
·
la
Usando
dS
=
.
5d7
i).
Ede
Vi
=
=
Ex
egi
;
J
T
='d7
2
=
Ry i
5
:
-
=E
S
1) Ide
E
-
I
supp che
siamo
in
:
un
conduttore
fligorme
i
= >
O
dell'energia elettromagnetica
relazione
egi
:
zi+
Regi
2
S
ey= Sat Rye
generator
ideale
+
6
-> 00
Dalla
Va
+
LKT
V Via
=
=
0
Esc
e
gi+)
-
Legge
Ohm
di
filiforme
eg
=
Ri
+
in
forman integrale
.
L
+
2)
rid
&1
=
o
generalizzaten
per
um
circuito