群论介绍
群就是只有一种二元运算，
要么乘要么加，不能做减法
和除法。结合律，identity，
逆元，必须同时满足。交换
律不是必要的除非是阿贝尔
群。群就是一个set包含一个
运算和一些元素。
把ring放着一起讲比较clear，ring是可以同时具有两种运算，它同时是个加法阿贝尔群和乘法半群，半群就是没有
inverse的，同时满足分配律。
Field同时是一个加法阿贝尔群和乘法阿贝尔群，满足四种运算，这里虽然只定义了两种运算但是也允许逆运算，就是
减法和除法，ring Z 和它的理想pZ做商就是个field，p为素数。因为Z/pZ没有零因子，如果Z/nZ的时候n是符合数就有
零因子，那些零因子是与n不互素的元素，简单说零因子代表相乘=0，例如：Z4里面2*2=0. 注意：只有finite integral
domain 才是field，但写成Z/pZ形式的都是finite的。
这个是coset陪集的定义，左右陪集相等是共轭子群，形似gHg^(-1)=H. 相当于两边陪集对称，陪集要么不相等要么不相
交群中的每个元素属于且仅属于一个左（右）陪集：这个就是陪集分解。我认为陪集分解就是为了确定共轭子群，而
共轭子群是为了确定大群结构。我在群表示之类的地方看见过共轭子群。通过陪集的性质我们很容易得到拉格朗日定
理：大群的阶可以整除子群的阶，并且结果跟[G:H]是相等的，代表同样的含义。同时也满足左陪集的形式gH。拉格朗
日的逆（就是如果把if then）反过来只对有限循环群有效，。
这里是群同态的定义，不论它是surjective，injective还是bijective都可以同态，automorphism这里有个例子。Group
homomorphism我一般是按照定义证明，我不确定有没有其他的证法（我太菜了）。
这个Theorem写证明的时候挺重要的，当|H交K|=1的时候就是direct product。
Sn（对称群）的元素个数是n！。例如S3的元素为 {e（12）（13）（23）（123）（132）}.3！=6证明它就是把每一个
元素map到它剩下置换的次数上，S3={1，2，，，，n}，1 map 到n 上， 2 map到n-1以此类推，最后就是n！种方式置
换。
An是偶数个对换，所以An的元素个数是n！/2。A3={e（123）（132）}因为只有三位数才满足这种对换。
Sylow定理：给一个群Cn，n是正整数，把n素因子分解后d是因子，存在d阶子群，这个通常用于寻找子群
还有个很好用的theorem：Zm+Zn同构于Zmn前提是gcd（m，n）=1. （这里是直和）
有一种代数几何很喜欢用的group叫Dihedral group，同时定义了旋转和反射变换。记为D2n，一共有2n个元素，一般
为n个旋转对称，n个反射对称，以旋转多少角度或反射多少次回到原处来分类。