Elliptic curves
Galois theory
6.1 Abelian Extensions of Q
这里是degree的定义，在Galois理论中很常见， degree of polynomial example有x^3+1
degree 3, x^4+1 degree 4，x的最高次阶就是algebraic的数量就是dimension， field Q 上多
项式环是Euclid domain从而也是PID，所以它一定是UFD，所以是finite 的integral domain，
所以是个field。 这表示向量空间K是在有理数域Q上定义的， K中的标量乘法中的标量
取自Q。这也是number of linearly independent vectors in K spans vector space。【C： R】
=2，[R： Q】=infinity。Number field 一定over Q。 这里的example来自Richard E
Borcherds的视频field extension。
这里就是Galois group的定义。就是automorphisms K 到K的集合，
Galois extension当且仅当Aut（K）集合元素的数量等于degree
of K over Q 的时候。这里两种map满足结合律。
factor Q中的多项式后，会发现它的根落在K里面，这些根就叫algebraic。但是并不是所有根都落在K里面（书上K才
是扩域，跟视频不一样，视频里面L是扩域。Fx也是个ufd，是finite integral domain，因为n不等于无穷，所以就是个
field。
通过费马的方程我们有了分圆多项式，e^(2pai i/n)代表从x的正半轴开始转1/n个圆，或者把圆分成n份只
取一份。 e^(2pai i/n)的0到n-1次方作为了分圆多项式的根，分布在圆上，整个圆是单位圆，指的是半径
为1的圆。分圆多项式也是个field。
t is relatively prime to n，这与（Z/nZ)*定义相吻合，如果t成为a的话，从而
我们可以推断出galois group的结构与（Z/nZ)* 是类似的。例如，如果n=5，
Z/nZ元素，1234都与5是互素的，这时候
标记多项式后会发现规律，number of phi都是多项式degree的因子。
用群同态的定义和Galois group具有结合律证明同态。还有上一页根据
我们的galois group结构得出的公式来证明。重申定理。