2
Phan Nhật Linh
CHỦ ĐỀ
A
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
8
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Một số định nghĩa cần nhớ
• Hình lăng trụ là hình có hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song với
nhau và các mặt bên đều là các hình bình hành.
• Hình lăng trụ đứng
Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Tính chất: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
•
Hình lăng trụ đều
Định nghĩa. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Tính chất. Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với
mặt đáy.
•
•
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
Hình hộp đứng
Định nghĩa. Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Tính chất. Hình hộp đứng có 2 đáy là hình bình hành, 4 mặt xung quanh là 4 hình chữ nhật.
•
Hình hộp chữ nhật
Định nghĩa. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Tính chất. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.
•
Hình lập phương
Định nghĩa. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật 2 đáy và 4 mặt bên đều là hình vuông
Tính chất. Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông.
• Hình chóp là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh.
2. Thể tích khối đa diện
1. Công thức tính thể tích khối chóp
1
V = S .h
3
Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao khối
chóp.
•
Chú ý: Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều
cao thì ta phải xác định được vị trí chân đường cao trên
đáy.
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
▪ Chóp có cạnh bên vuông góc chiều cao chính là cạnh bên.
▪ Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc
đáy.
▪ Chóp có mặt bên vuông góc đáy chiều cao của mặt bên vuông góc đáy.
▪ Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.
▪ Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnh lên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường
cao là từ đỉnh tới hình chiếu.
2. Công thức tính thể tích khối lăng trụ V = B.h
•
Trong đó: B là diện tích đáy, h là hiều cao khối lăng trụ.
Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c
Trong đó: a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
•
Thể tích khối lập phương: V = a 3
Trong đó a là độ dài cạnh của hình lập phương.
3. Tỷ số thể tích
Cho khối chóp S . ABC và A, B, C  là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC , ta có:
Công thức tỉ số thể tích:
VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '
(hay gọi là công thức Simson)
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC
Phương pháp này được áp dụng khi khối chóp không xác đinh được chiều cao một cách dễ dàng
hoặc khối chóp cần tính là một phần nhỏ trong khối chóp lớn và cần chú ý đến một số điều kiện
sau:
▪ Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh.
▪ Đáy hai khối chóp phải là tam giác.
▪ Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng.
FA DB EC
.
.
= 1 với DEF là một đường thẳng cắt
Định lý Menelaus: Cho ba điểm thẳng hàng
FB DC EA
ba đường thẳng BC , CA, AB lần lượt tại D, E , F .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
4. Một số công thức tính nhanh thể tích và tỷ số thế tích khối chóp và khối lăng trụ.
a3 2
.
12
➢ Công thức 2 : Với tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c đôi một vuông góc thì thể tích của
➢ Công thức 1 : Thể tích tứ diện đều cạnh a : VS . ABC =
1
nó là VABCD = abc .
6
➢ Công thức 3 : Với tứ diện ABCD có AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c thì thể tích của
nó là VABCD =
2
12
(a
2
)(
)(
)
+ b2 − c 2 b2 + c 2 − a 2 a 2 + c 2 − b2 .
➢ Công thức 4 : Cho khối chóp S . ABC có SA = a, SB = b, SC = c, BSC =  , CSA =  , ASB =  thì
abc
1 + 2cos  cos  cos  − cos 2  − cos 2  − cos 2  .
6
➢ Công thức 5 : Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác ABC. ABC  lần lượt tại
AM
BN
CP
x+ y+z
M , N , P sao cho
= x,
= y,
= z thì ta có VABC .MNP =
VABC . ABC  .
AA
BB
CC 
3
➢ Công thức 6 : Mặt phẳng cắt các cạnh của khối hộp ABCD. ABC D lần lượt tại M , N , P, Q sao
thể tích của nó là VS . ABC =
AM
BN
CP
DQ
x+ y+ z +t
= x,
= y,
= z,
= t thì ta có VABCD.MNPQ =
VABCD. ABC D và
AA
BB
CC 
DD
4
x+ z = y+t .
cho
➢ Công thức 7 : Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình bình hành
SM
SN
SP
SQ
= x,
= y,
= z,
= t thì ta có công thức sau đây
lần lượt tại M , N , P, Q sao cho
SA
SB
SC
SD
VS .MNPQ =
xyzt  1 1 1 1 
1 1
1 1
 + + + VS . ABCD và + = + + .
4 x y z t
x z
y t
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên gấp đôi cạnh đáy. Tỉ lệ giữa diện tích xung quanh và diện
tích đáy của hình chóp này bằng
A. 15.
B. 3.
C. 4 3.
D.
3.
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 2:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a . Cạnh SA vuông góc với
đáy, góc SBD = 60 . Thể tích khối chóp đã cho bằng
S
A
D
B
A.
2a 3
.
3
B.
C
a3 3
.
2
C.
a3
.
3
D. a 3 .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 3:
Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với
đáy ( ABC ) và có SA = 2a . Thể tích khối chóp SABC bằng
a3 3
A.
.
2
a2 3
B.
.
6
a3 3
C.
.
12
a3 6
D.
.
12
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 4:
Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh huyền bằng a 2 và
SA = a 3 , SA vuông góc với đáy. Thể tích V của khối chóp đã cho bằng
A. V =
4a 3
.
3
B. V =
4a 3 6
.
3
C. V =
a3 3
.
6
D. V = 2a 3 2 .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 5:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA ⊥ ( ABCD ) và
SA = a 3 . Thể tích khối chóp S . ABCD là
a3 3
A.
.
3
B. a
3
a3
C.
.
4
3.
a3 3
D.
.
12
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 6:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB
a , AD
a 3 , SA vuông góc
với đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD
A. V
3a3
.
3
B. V
3
C. V
3a .
a3
.
3
D. V
a3 .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 7:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy,
AB = a, AD = 2a . Góc giữa SB và đáy bằng 450 . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
A.
2a 3
.
3
B.
a3
.
3
C.
a3 2
.
6
D.
a3 2
.
3
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 8:
Cho hình chóp S . ABCD có SA vuông góc đáy, hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) vuông góc với
nhau, SB = a 3 , góc giữa SC và ( SAB ) là 45 và ASB = 30 . Gọi thể tích khối chóp
S . ABCD là V . Tỉ số
A.
8
.
3
a3
là
V
B.
8 3
.
3
C.
2 3
.
3
D.
4
.
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 9:
Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 , cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng ( ABCD ) và SB tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích của khối chóp S . ABCD .
3
A. 9a .
9a 3
B.
.
2
C. 3a 3 .
D.
3 3
a .
4
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, góc giữa SA và mặt phẳng ( SBD ) bằng 45 . Thể tích khối chóp S . ABD bằng
a3 6
A.
.
4
a3 3
B.
.
12
a3 3
C.
.
4
a3 2
D.
.
12
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Dạng 1: Mở đầu về thể tích khối đa diện
Dựa vào kiến thức được nêu trong phần lý thuyết
Câu 1:
Thể tích khối lập phương là 27cm3 . Diện tích toàn phần của hình lập phương tương ứng bằng
A. 54cm 2 .
B. 36cm 2 .
C. 16cm 2 .
D. 9cm 2 .
Câu 2:
Cho khối chóp có thể tích bằng 30cm3 và chiều cao bằng 5cm . Diện tích đáy của khối chóp đã
cho bằng
A. 6cm.
B. 18cm.
C. 24cm.
D. 12cm.
Câu 3:
Cho hình lập phương có cạnh bằng 3 . Tổng diện tích các mặt của hình lập phương đã cho bằng
A. 54 .
B. 12 .
C. 36 .
D. 24 .
Câu 4:
Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a , có thể tích V =
9
dm3 ) . Tính giá trị
(
4
của a .
A. a = 3 3 ( dm ) .
Câu 5:
B. a = 3 ( dm ) .
C.
3 ( dm ) .
D. 9 ( dm ) .
Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 2a và thể tích bằng a 3 . Chiều cao của khối chóp
đã cho bằng
A.
3a .
B. 2 3a .
C.
3
a.
3
D.
3
a.
2
Câu 6:
Cho hình lập phương có cạnh bằng 2. Tổng diện tích các mặt của hình lập phương đó bằng
A. 16 .
B. 12 .
C. 4 .
D. 24 .
Câu 7:
Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là
khối lăng trụ bằng
A.
3
6a .
B.
3a 2 , độ dài cạnh bên là a 2 . Khi đó thể tích của
3
3a .
C.
3
2a .
D.
6a 3
.
3
Câu 8:
Cho hình lập phương có cạnh bằng 2 . Tổng diện tích các mặt của hình lập phương đã cho bằng
A. 16 .
B. 12 .
C. 4 .
D. 24 .
Câu 9:
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
B. Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
D. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
Câu 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
1
A. Thể tích khối chóp có đường cao h và diện tích đáy B là V = Bh .
3
B. Thể tích khối lăng trụ có đường cao h và diện tích đáy B là V = B.h .
1
C. Thể tích khối tứ diện có đường cao h và diện tích đáy B là V = Bh .
6
D. Thể tích khối lập phương cạnh a là V = a 3 .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 11: Khối chóp S . ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và có thể tích bằng
16
. Tính cạnh của khối
3
chóp.
A. 2 2 .
B.
2.
C.
3.
D. 2 .
Câu 12: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 6a 2 và chiều cao h = 2a . Thể tích của khối lăng trụ đã
cho bằng
4
A. 8a 3 .
B. a 3 .
C. 4a 3 .
D. 12a 3 .
3
Câu 13: Cho khối lăng trụ có thể tích bằng 24a 3 và chiều cao bằng 3a . Diện tích một mặt đáy của khối
lăng trụ đã cho bằng
A. 16a 2 .
B. 8a 2 .
C. 6a 2 .
D. 72a 2 .
Câu 14: Tính tổng diện tích các mặt của một hình bát diện đều cạnh a .
A.
2a 2 3 .
B. 4a 2 .
C.
a2 3 .
D.
4a 2 3 .
Câu 15: Tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều cạnh bằng 2a là
A. 2a 2 3.
B. 8a 2 3.
C. a 2 3.
D. 4a 2 3
Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a và cạnh bên 2a . Tính diện
tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ đứng ABC. ABC  .
A. a 2 3 .
B.
a 2 3
.
3
C.
2a 2 3
.
3
D.
4a 2 3
.
3
Câu 17: Cho hình lăng trụ đứng ABCD. ABC D với đáy là hình thoi có cạnh bằng 4a , AA = 6a ,
BCD = 1200 . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm của AB, BC , BD . Tính thể tích khối đa diện
lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , K .
A. 9a 3 .
B. 16a 3 3 .
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C. 9a 3 3 .
D. 12a 3 3
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 2: Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
▪
Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao.
▪
Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến của hai
mặt đó vuông góc với đáy.
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a 3, AD = a , cạnh SA có độ
dài bằng 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp SABCD
a3
A.
.
3
a3 3
C.
.
3
2a 3
B.
.
3
2a 3 3
D.
.
3
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 2:
Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3 , tam giác SAC đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
3
.
12
B.
3 3
.
8
C.
3 3
.
4
D.
3
.
8
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 3:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SCD đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy, CD = a , BC = a 3 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng
A.
3a 3
.
2
B.
a3
.
6
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C.
a3
.
2
D. a 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 4:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 4a và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng
( ABCD )
là 30o . Thể tích của khối chóp S . ABCD là
A. 24 3a 3 .
B. 16 3a 3 .
C. 4 3a 3 .
D. 48 3a 3 .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 5:
Cho hình chóp S . ABC có SAB và ABC là hai tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng
vuông góc với nhau. Tính theo a thể tích của khối chóp S . ABC .
A.
2a 3
.
3
B.
a3
.
3
C. a 3 .
D. 3a 3 .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Câu 6:
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a 3, tam giác SBC vuông
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng ( SBC )
một góc 60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
3
a 3.
B.
a
3
a3 6
.
C.
6
6.
a3 6
.
D.
3
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 7:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a , AD = 2a . Tam giác SAB cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng
45 . Thể tích của khối chóp S . ABCD là:
a 3 17
A.
.
9
B.
a 3 17
3
a 3 17
C.
.
3
.
a 3 17
D.
.
6
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
C
Câu 1:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA ⊥ ( ABCD ) và
SA = a 3 . Thể tích của khối chóp S . ABCD là:
a3 3
A.
.
12
Câu 2:
B. a
3
3.
Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = 2, SA = 12, SA ⊥ ( ABC )
. Tính thể tích khối chóp S . ABC ?
A. 8 .
B. 16 .
Câu 3:
a3
D.
.
4
a3 3
C.
.
3
D. 6 .
C. 24 .
Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC , AD đôi một vuông góc và AB = AC = 2a, AD = 3a . Thể
tích V của khối tứ diện đó là:
A. V = 4a 3 .
Câu 4:
B. V = 2a 3 .
D. V = 3a 3 .
C. V = a 3 .
Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA ⊥ ( ABC ) , SA = a (tham khảo hình
vẽ bên dưới).
Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
A.
Câu 5:
3a 3
.
4
B.
3a 3
.
6
C.
3a 3 .
D.
Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và
SA = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC
1
3
A. V = a 3 .
B. V = a 3 .
C. V = 2a 3 2 .
2
4
Câu 6:
3a 3
.
12
D. V = a 3 .
Cho tứ diện SABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Biết SA = 3a,
SB = 4a, SC = 5a. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện SABC .
A. V = 5a 3 .
Câu 7:
B. V =
5a 2
.
2
C. V = 10a 3 .
D. V = 20a 3 .
Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết SA ⊥ ( ABC ) và SA = a 3 .
Tính thể tích khối chóp S . ABC
A.
Câu 8:
a
.
4
B.
a3
.
2
C.
a3
.
4
D.
3a3
.
4
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 2a .
Tính thể tích khối chóp S . ABCD
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
4a 3
.
3
A. V =
Câu 9:
B. V =
4 a3
.
3
C. V = 4a 3 .
D. V = 4 a 3 .
Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hai mặt bên ( SAB ) và ( SAC )
cùng vuông góc với đáy và SC = a 3 . Thể tích khối chóp bằng
A.
a3 3
.
4
B.
a3 3
.
2
C.
a3 6
.
12
D.
2a 3 6
.
9
Câu 10: Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hai mặt bên ( SAB ) và ( SAC )
cùng vuông góc với đáy và SC = a 3 . Thể tích khối chóp bằng
A.
a3 3
.
4
B.
a3 3
.
2
C.
a3 6
.
12
D.
2a 3 6
.
9
Câu 11: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Cạnh bên SC vuông góc với mặt
phẳng ( ABC ) , SC = a . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
a3 3
.
3
B.
a3 3
.
9
C.
a3 2
.
12
D.
a3 3
.
12
Câu 12: Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , ABC = 600 , cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy, mặt bên ( SCD ) tạo với đáy một góc 600 . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A. a 3 3 .
B. 3a 3 3 .
C. 2a 3 3 .
D. 2a 3 .
Câu 13: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA ⊥ ( ABCD ) và
SA = a 3 . Thể tích của khối chóp S . ABCD là:
A. a
3
3.
a3 3
B.
.
12
a3 3
C.
.
3
a3 3
D.
.
6
Câu 14: Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a 3, SA vuông góc với mặt đáy
và SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) một góc 300 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
4 3
a .
3
B.
6 3
a .
3
C.
2 6 3
a .
3
D. 2 6a 3 .
Câu 15: Cho tứ diện SABC có các mặt SAB, SBC là các tam giác cân tại S và SA, SB, SC đôi một
vuông góc với nhau, AB = a 2 . Thể tích của khối tứ diện đã cho bằng
3
A. 2a .
a3
B.
.
3
a3
C.
.
6
D. a 3 .
Câu 16: Cho khối chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình thang, AB / / CD,
SA = AD = DC = a, BC = a 7 . Tam giác SBC vuông tại C , tam giác SCD vuông tại D . Thể
tích khối chóp đã cho bằng
A. 2a 3 .
B.
4 3
a .
3
C.
2 3
a .
3
D.
1 3
a .
2
Câu 17: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a , góc giữa
đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 30o (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối chóp
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
S . ABCD bằng
A.
a3
.
2
B.
a3
.
4
C.
a3 3
.
6
D.
a3
.
6
Câu 18: Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BC = 3, BA = 4 . Cạnh bên
SA = 5 vuông góc với đáy, khi đó thể tích khối chóp bằng
A. V = 60 .
B. V = 20 .
C. V = 30 .
D. V = 10 .
Câu 19: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD )
cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết rằng
A. VABCD = a .
3
B. VSABCD
a3 3
=
.
3
C. VSABCD
a3 3
=
.
9
SC = a 3 .
D. VSABCD =
a3
.
3
Câu 20: Cho khối chóp S . ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm O ; AC = 2 AB = 2a ; SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết rằng SD = a 5.
A. VS . ABCD =
a3 5

3
B. VS . ABCD =
a3 15

3
C. VS . ABCD =
a3 6

3
D. VS . ABCD = a 3 6 
Câu 21: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , AC = a 5 ,
SA ⊥ ( ABC ) và SA = a 3 . Thể tích khối chóp SABC bằng
a3 3
A. V =
.
3
B. V = a
3
3.
a3 3
C. V =
2
a3 5
D. V =
.
3
Câu 22: Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a 3 , ACB = 60
, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SB hợp với mặt đáy một góc 30 . Tính thể tích V
của khối chóp S . ABC .
a3 6
a3 3
a3 3
a3 3
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
6
6
18
9
Câu 23: Cho hình chóp S . ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) . Biết SA = a , tam
giác ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = 2a . Tính theo a thể tích V của khối chóp
S . ABC .
A. V =
a3
.
6
B. V =
a3
.
2
C. V =
2a 3
.
3
D. V = 2a 3 .
Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a và AD = 3a , cạnh bên SA
vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD biết góc giữa hai mặt phẳng ( SBD )
và ( ABCD ) bằng 60 .
Câu 25: Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a , SA vuông góc với đáy, góc
giữa cạnh bên SC và đáy bằng 30 . Tính thể tích của khối chóp đã cho.
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
A. V =
2 15 3
a .
3
B. V =
2 3
a .
3
C. V =
2 15 3
a .
9
D. V = 2 15a 3 .
Câu 26: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hai mặt ( SAB ) và ( SAC ) cùng
vuông góc với đáy và
SB = a 3 . Tính thể tích S . ABC .
a3 6
A.
.
4
a3 6
B.
.
12
a3 6
C.
.
3
2a 3 6
D.
.
9
Câu 27: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , BC = 2a 3 , BAC = 1200 , cạnh bên
SA vuông góc với mặt đáy và SA = 2a . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .
A. V =
2a 3 3
.
3
3
B. V = a 3 .
C. V =
a3 3
.
2
D. V =
a3 3
6
Câu 28: Cho hình chóp S . ABC , đáy là tam giác vuông cân tại B , AB = a , SA vuông góc với đáy, góc
giữa SC và đáy bằng 45 . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
a3 2
.
6
B.
a3 2
.
2
C.
a3
.
6
D.
a3
.
2
Câu 29: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA = 3a . Biết góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( SAC ) bằng 30. Thể tích khối chóp đã
cho bằng
A. 27a 3 .
B. a 3 .
C. 3a 3 .
D. 9a 3 .
Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = 2a và AD = 4a , cạnh bên SA
vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD biết góc giữa hai mặt phẳng ( SBD )
và ( ABCD ) bằng 300 .
A.
15a 3
.
5
B.
8a 3 15
.
15
C.
8a 3 15
.
45
D.
3a 3
.
3
Câu 31: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BC = 3a, AC = a 10, cạnh bên SA
vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng đáy bằng 30o. Tính thể tích khối
chóp S . ABC là
A.
a3 3
.
6
B.
a3 3
.
3
C.
a3 3
.
2
D. a 3 3.
Câu 32: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a ,cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy, góc giữa SC với mặt phẳng ( SAB ) bằng 30 . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
2a 3
8 2a 3
2 2a 3
8a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 33: Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC đều cạnh a , SA ⊥ ( ABC ) . Gọi M là điểm trên cạnh
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
AM 2
= . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng
AB 3
thể tích khối chóp S . ABC .
AB sao cho
a3 3
A.
.
6
a3 3
B.
.
4
2a 3 3
C.
.
3
a
. Tính
13
a3 3
D.
.
2
Câu 34: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA ⊥ ( ABCD ) . Góc giữa
hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD ) bằng  với cos  =
9
. Thể tích của khối chóp S . ABCD
16
bằng:
A.
a3 7
.
3
B.
a 3 57
.
3
C.
a 3 57
.
9
D.
a3 7
.
9
Câu 35: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với đáy, mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng
( SBC ) , góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) bằng 600 , SB = a 2; BSC = 450. Tính thể
tích khối chóp S . ABC
A.
2 3
a .
4
B.
2 3
a .
2
C.
3 3
a .
2
D.
5 3 3
a.
2
Câu 36: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A , AB = a , BC = 2a và SB vuông
góc với mặt phẳng ( ABC ) . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) bằng 600 . Thể tích
của khối chóp S . ABC bằng
a3 2
A.
.
6
a3 6
B.
.
12
a3 6
C.
.
4
a3 2
D.
.
2
Câu 37: Cho tam giác ABC đều cạnh a , gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng
( ABC ) . Trên d lấy điểm S và đặt AS = x, ( x  0 ) . Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các
tam giác ABC và SBC . Biết HK cắt d tại điểm S  . Khi SS  ngắn nhất thì khối chóp S . ABC
có thể tích bằng
A.
a3 6
.
6
B.
a3 3
.
8
C.
a3 2
.
27
D.
a3 6
.
24
Câu 38: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều có cạnh bằng 4 , SA vuông góc với đáy, khoảng
cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
A. V = 8 3 .
B. V =
16 2
.
3
3 . Thể tích V của khối chóp S . ABC là
C. V =
8 3
.
3
D. V =
16 3
.
3
Câu 39: Cho hình chóp S . ABCD , mặt đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với
mặt đáy. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD . Tính theo a thể tích
khối chóp S . ABCD biết góc giữa hai mặt phẳng ( ABCD ) và ( AHK ) là 30 .
a3 2
A.
.
3
a3 6
B.
.
2
a3 6
C.
.
3
D.
a3 6
.
9
Câu 40: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BC = a 2 . Biết SA ⊥ ( ABC )
, góc giữa SC và đáy bằng 60 . Thể tích khối chóp SABC bằng
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
A.
a3 3
.
6
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
B.
a3 3
.
3
C.
a3
.
12
D.
2a 3 3
.
3
Câu 41: Cho chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết SA ⊥ ( ABCD ) , AB = 2 BC = 2a , góc
giữa ( SBD ) và đáy bằng 30 . Thể tích của khối chóp S . ABCD là
A.
15 3
a .
15
B.
4 15 3
a .
45
C.
15 3
a .
45
D.
4 15 3
a .
15
Câu 42: Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = 2a 2 , SA vuông góc với mặt
phẳng ( ABC ) , góc giữa 2 mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) bằng 600 . Tính thể tích của khối chóp
S . ABC
A.
1 3
a .
3
B. a 3 .
C.
5 3
a
3
D.
4 3
a
3
Câu 43: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a 2 . Cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Góc giữa hai mặt phẳng
( AMN ) và ( ABC )
A.
a3 2
.
2
là  . Biết cos  =
B.
2
. Thể tích khối chóp S . ABC bằng
3
a3 5
.
3
C.
a3 7
.
3
D.
a3 2
.
3
Câu 44: Cho hình chóp S . ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng BD và SC là
A.
2a 3
.
3
B.
a
. Tính thể tích khối chóp S . ABCD.
2
a3
.
6
C. a 3 2 .
D.
a3 2
.
3
Câu 45: Cho khối chóp S . ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, đáy là tam giác cân tại
A, độ dài đường trung tuyến AD = a , cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy góc 450 và tạo với
mặt phẳng ( SAD ) góc 300. Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
a3 2
.
9
B.
a3 2
.
3
C. a 3 2.
D. 3a 3 2.
Câu 46: Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) vuông góc với nhau.
a
a
SA = ; AB =
, góc tạo bởi hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) là 600 . Tính theo
2
2
a
thể tích
khối chóp S . ABC .
a3 3
A.
24
a3
B.
4
a3
C.
12
a3 3
D.
12
Câu 47: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
Biết AB = 2a, AD = 2a, ABC = 45o và góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) , ( SCD ) bằng 30o .
Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. 3a 3 .
B. a 3 .
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C.
2 3
a .
3
D.
3 3
a .
4
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 48: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a 3 và SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC , SD lần lượt
tại B, C , D. Thể tích khối chóp S . ABC D bằng
A.
3 3a 3
.
20
B.
9 3a 3
.
20
C.
3 3a 3
.
10
Câu 49: Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh x và SA
A đến mặt phẳng
( SCD )
D.
3 3a 3
.
40
ABCD . Khoảng cách từ điểm
bằng a 2 . Biết thể tích nhỏ nhất của khối chóp S . ACD là
m 3
. Tính P m n .
a , m, n
n
A. 10 .
B. 9 .
C. 8 .
D. 11 .
Câu 50: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M là trung điểm của
CD . Trung tuyến CN của tam giác SCM kéo dài cắt SD tại P . Biết rằng AB = 3 ,
12
5
cos( SC , ( ABCD)) =
và d (C , ( SBD)) = . Tính VS . ANP .
13
26
1
1
1
1
A. .
B. .
C.
.
D. .
2
3
12
6
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10
Phan Nhật Linh
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 3: Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Bài toán: Cho hình chóp có mặt phẳng ( P ) ( mặt phẳng ( P ) chứa đỉnh hình chóp). Mặt phẳng ( P )
vuông góc với mặt đáy của hình chóp. Cách tìm đường cao của hình chóp như thế nào?
Cách tìm đường cao hình chóp:
•
Bước 1: Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( P ) và mặt phẳng đáy
•
Bước 2: Từ đỉnh S của hình chóp kẻ đoạn thẳng SH vuông góc với giao tuyến d
Lưu ý: Chúng ta phải đặc biệt lưu ý đến tính chất hình học của mặt phẳng ( P ) để xác định được cụ thể,
tính chất của chân đường cao H .
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , AB = a , BAC = 120 , tam giác SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ABC ) . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
3a 3
.
2
B.
a3
.
2
C.
a3
.
8
D.
a3
.
3
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 2:
Cho hình chóp S . ABC có SAB và ABC là hai tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng
vuông góc với nhau. Tính theo a thể tích của khối chóp S . ABC .
A.
2a 3
.
3
B.
a3
.
3
C. a 3 .
D. 3a 3 .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 3: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a 3, tam giác SBC vuông
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng ( SBC )
một góc 60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. a 3 3.
B. a 3 6.
C.
a3 6
.
6
D.
a3 6
.
3
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 4:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 2 , tam giác SAB cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = 2a . Thể tích khối chóp S . ABCD là:
A.
a3 3
.
2
B.
a3 6
.
3
C.
a3 2
.
3
D.
a3 6
.
4
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 5:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a , AD = 2a . Tam giác SAB cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD )
bằng 45 . Thể tích của khối chóp S . ABCD là:
a3 17
A.
.
9
B.
a3 17
3
.
C.
a3 17
.
3
D.
a3 17
.
6
 Lời giải
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 6:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng
đáy là H sao cho AB = 3 AH . Góc giữa cạnh SD và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 45 . Tính thể
tích V của khối chóp S .HCD .
A. V =
a3 2
.
9
B. V =
a3 10
a3 10
.
C. V =
.
9
6
 Lời giải
D. V =
a3 10
.
18
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 7:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với BC = a ; tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AB , I là tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S . ABCD . Biết góc giữa đường thẳng IM và mặt phẳng ( SAB ) bằng
60O . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
A.
3a 3 .
B.
3a 3
.
2
C.
3a 3
.
6
D.
2a 3
2
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 8: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB = a, BC = a 3 . Mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tính thể tích
V của khối khóp S . ABC .
A. V =
2a 3 6
.
12
B. V =
a3 6
a3 6
.
C. V =
.
6
12
 Lời giải
D. V =
a3 6
.
4
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 9:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = a 3 , tam giác SAB cân
3a
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách giữa AB và SC bằng
. Tính thể
2
tích V của khối chóp S . ABCD .
A.
3a 3 .
B. 2 3a 3 .
C. a 3 .
D. 3 3a 3 .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 10: Cho tứ diện MNPQ . Biết rằng mặt phẳng ( MNP ) vuông góc với mặt phẳng ( NPQ ) , đồng thời
MNP và NPQ là hai tam giác đều có cạnh bằng 8a . Tính theo a thể tích V của khối tứ
diện MNPQ .
A. V = 64a3 .
B. V = 128a 3 .
C. V = 64 3a 3 .
 Lời giải
D. V = 192a3 .
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
C
Câu 1:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Cho tứ diện SABC có các cạnh SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau. Biết SA = 3a ,
SB = 4a , SC = 5a . Tính theo a thể tích V của khối tứ diện SABC .
A. V = 10a 3 .
B. V =
5a 3
.
2
C. V = 20a3 .
D. V = 5a 3 .
Câu 2:
Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau, OA = 1 , OB = 2 , OC = 3 .
Thể tích khối tứ diện OABC là
2
A. 1 .
B. 2 .
C. 6 .
D. .
3
Câu 3:
Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác cân tại A , AB = AC = a , BAC = 120 . Mặt bên SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Thể tích V của khối chóp
S . ABC là
a3
a3
.
B. V = a3 .
C. V = .
D. V = 2a3 .
8
2
Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , tam giác SAB vuông cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S . ABC theo a .
A. V =
Câu 4:
a3 3
A.
.
24
Câu 5:
a3 3
B.
.
8
a3 3
C.
.
6
a3 3
D.
.
12
Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a , mặt bên SBC là tam giác vuông cân
tại S và ( SBC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. 3 3a 3 .
Câu 6:
B.
3 3
a .
3
C.
3 3
a .
12
D.
3a 3 .
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a . Mặt bên ( SAB ) là
tam giác đều và vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A. 2 3a 3 .
Câu 7:
B.
2 3 3
a .
3
C.
3a 3 .
D.
3 3
a .
3
Cho hình chóp S . ABC có ABC cân tại A và BAC = 120, AC = a . Cạnh bên SC vuông
góc với mặt đáy và SC = a . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
a3 3
.
6
B.
a3 3
.
4
C.
a3 3
.
12
D.
a3 3
.
2
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 8: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
a3 3
A.
.
3
Câu 9:
2a 3
C.
.
3
a3 3
B.
.
6
a3
D.
.
3
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , AC = a 5 ,
SA ⊥ ( ABC ) và SA = a 3 . Thể tích khối chóp SABC bằng
A. V =
a3 3
.
3
B. V = a3 3 .
C. V =
a3 3
2
D. V =
a3 5
.
3
Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SAB đều cạnh a và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với ( ABCD ) . Biết SC tạo với ( ABCD ) một góc bằng 30 . Tính thể tích V
của khối chóp S . ABCD .
a3 6
A. V =
.
3
a3 3
B. V =
.
6
a3 6
D. V =
.
6
a3 3
C. V =
.
3
Câu 11: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB
a,
BC
a 3 . Mặt
bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC . Tính theo
a thể tích của khối chóp
a3 6
.
12
A. V
S . ABC .
a3 6
.
4
B. V
C. V
a3 6
.
8
D. V
a3 6
.
6
Câu 12: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác BCD cân tại D và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với ( ABC ) . Biết AD hợp với mặt phẳng ( ABC ) một góc 600. Tính thể
tích V của khối tứ diện ABCD.
A. V =
3a3
.
6
B. V =
a3
.
12
C. V =
3a3
.
8
D. V =
3a3
.
24
Câu 13: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B. Biết tam giác SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC).Biết AB = a, AC = a 3 . Thể tích khối
chóp S . ABC là
A.
a3
.
4
B.
a3 6
.
4
C.
a3 2
.
6
D.
a3 6
.
12
Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình chữ nhật, tam giác SBC đều cạnh a nằm trong mặt
phẳng vuông góc với ( ABCD ) biết góc giữa SD và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 45 . Thể tích
hình chóp S . ABCD là
a3 6
A.
.
4
Câu 15: Cho khối chóp
SA
SB
AB
S . ABC
BC
CA
3
A.
a
.
4
a3 3
C.
.
4
a3
B.
.
3
B.
có
H
là trung điểm của
a3 6
D.
.
12
AB , biết
SH
ABC
,
a . Thể tích của khối chóp đã cho là
3a 3
.
4
C.
3a 3
.
8
D.
a3
.
8
Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a , AD = a . Mặt bên
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
( SAB ) là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy.
Thể tích của khối chóp S . ABC bằng
A. 2 3a 3 .
B.
2 3 3
a .
3
C.
3a 3 .
3 3
a .
3
D.
Câu 17: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho biết AB = a , SA = 2 SD , mặt phẳng ( SBC )
tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối chóp S . ABCD .
A.
5a 3
.
2
B. 5a 3 .
C.
15a 3
.
2
D.
3a 3
.
2
Câu 18: Hình chóp S . ABCD đáy là hình chữ nhật có AB = 2a 3; AD = 2a . Mặt bên ( SAB ) là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S . ABD là
A.
2 3 3
a .
3
B. 4 3a 3 .
C. 4a 3 .
D. 2 3a 3 .
Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh
2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Góc giữa mặt phẳng ( SBC )
và mặt phẳng ( ABCD ) là 30 . Thể tích của khối chóp S . ABCD là:
A.
2a 3 3
.
3
B. 2a 3 3 .
C.
4a 3 3
.
3
D.
a3 3
.
3
Câu 20: Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình chữ nhật ABCD với AD = 2a nằm trên hai
mặt phẳng vuông góc. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) . Biết tan  =
2 2
.
3
Thể tích của khối chóp S . ABC là
a3 3
a3 3
a3 2
.
B. V = a 3 3 .
C. V =
D. V =
.
2
8
12
Câu 21: Cho hình chóp S . ABC có mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , tam giác SAB
A. V =
là tam giác đều cạnh a 3 ; BC = a 3 . Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc
60 . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
a3 3
.
3
B.
a3 6
.
2
C.
a3 6
.
6
D. 2a 3 6 .
Câu 22: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAD cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa ( SBC ) và mặt đáy bằng 600 . Tính thể tích
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
khối chóp S . ABCD .
2a 3 3
A.
.
3
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
4a 3 3
B.
.
3
8a 3 3
C.
.
3
D. 2a 3 3 .
Câu 23: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , mặt bên SBC là tam giác đều cạnh
a và ( SBC ) vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp đó là
A.
a3 3
.
4
B.
a3 3
.
24
C.
a3 3
.
8
D.
a3 3
.
12
Câu 24: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , cạnh BC = 2a . Gọi M là trung điểm
của BC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của AM , tam giác
SAM vuông tại S . Thể tích khối chóp S . ABC là
A.
a3
.
2
B.
a3
.
6
C.
a3
.
3
D.
a3
.
9
Câu 25: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = 2 SA, BC = 2a và mặt phẳng ( SCD ) tạo với mặt
phẳng đáy một góc 600 . Thể tích của khối chóp S . ABCD tính theo a bằng
32 3a 3
A.
.
3
3
B. 16 3a .
32a 3
D.
.
3
3
C. 16a .
Câu 26: Cho hình chóp S . ABC có mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , SAB là tam giác
đều cạnh a 3 , BC = a 3 , đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60 . Thể tích của
khối chóp S . ABC bằng
a3 6
A.
.
2
a3 3
B.
.
3
C.
2a
3
6
.
a3 6
D.
.
6
Câu 27: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2 , tam giác SAB là tam giác đều và
tam giác SCD vuông tại S . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
A. V =
2 3
.
3
B. V =
8 3
.
3
C. V =
4 3
.
3
D. V = 2 3 .
Câu 28: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt
đáy là trung điểm H của cạnh AB . Biết SH =
a 3
và mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt
2
phẳng ( SBC ) . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
a3
.
4
B.
a3
.
16
C.
a3
.
2
D.
3a 3
.
8
Câu 29: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , mặt bên SAB là tam giác
đều, SC = SD = a 3 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng
a3 2
A.
.
3
a3 2
B.
.
6
a3
C.
.
6
D.
a3 2
.
2
Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh a góc BAD = 1200 , tam giác SAB cân tại S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, góc giữa SCD và mặt đáy bằng 600 . Tính thể
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
tích khối chóp S . ABCD .
A. V
a3 3
.
4
B. V
a3 3
.
12
C. V
3a 3
.
4
D. V
a3 3
.
2
Câu 31: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên ( SAB ) là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD )
bằng a 3 . Tính thể tích V của khối chóp
A.
7 a 3 21
.
6
B.
7 a 3 21
.
2
C.
7a3 7
.
6
D.
3a 3 7
.
2
Câu 32: Hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAD cân và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của CD , cạnh bên SB hợp với đáy góc 60 .
Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABM
a3 15
A. V =
.
4
a3 15
B. V =
.
6
a3 15
C. V =
.
12
a3 15
D. V =
.
3
Câu 33: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang cân, AB = 2a , AD = BC = CD = a . Mặt bên SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ABCD ) . Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp khối chóp S . ABC .
A. R =
2a 3
3
B. R = a
C. R =
a 3
3
D. R =
2a
3
Câu 34: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ; AB = BC = 4a . Tam
giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi H là trung
điểm của AB , biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SHD ) bằng a 10 . Tính thể tích khối
chóp S . ABCD .
A. V =
10a 3 10
.
3
B. V = 10a 3 3 .
C. V =
40a 3 3
.
3
D. V =
20a 3 3
.
3
Câu 35: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy; H là trung điểm của AB . Biết SD = 2a và lần lượt tạo
với các mặt phẳng ( ABCD ) và ( SHC ) các góc bằng 30 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng
A.
a3 3
.
6
B.
a3 3
.
3
C.
2a 3 3
.
3
D.
a3 6
.
6
Câu 36: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh là 2a. Mặt bên SAB là tam giác cân
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến ( SCD ) là a. Tính thể tích khối
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10
Phan Nhật Linh
chóp S . ABCD .
A. 8 3a 3 .
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
B.
8 3 3
a .
5
C.
8 3 3
a .
7
D.
8 3 3
a .
9
Câu 37: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt
đáy là trung điểm H của cạnh AB . Biết SH =
a 3
và mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt
2
phẳng ( SBC ) . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
a4
.
4
B.
a4
.
16
C.
a4
.
2
D.
3a 4
.
8
Câu 38: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt
đáy là trung điểm H của cạnh AB . Biết SH =
a 3
và mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt
2
phẳng ( SBC ) . Thể tích của khối chóp S . ABC bằng
a3
..
A.
2
a3
B. . .
4
a3
..
C.
16
3a 3
..
D.
8
Câu 39: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB vuông tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết AB = 2 SA, BC = 2a và mặt phẳng ( SCD ) tạo với mặt
phẳng đáy một góc 60 . Thể tích khối chóp S . ABCD tính theo a bằng
B. 16 3a 3 .
B.
32 3a 3
.
3
C.
32a 3
.
3
D. 16a 3 .
Câu 40: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với đáy, mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng
( SBC ) , góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) bằng 600 , SB = a 2; BSC = 450. Gọi thể tích
khối chóp S . ABC là V . Khi đó tỉ số
A.
2
.
4
B.
a3
bằng
V
2
.
2
C.
3
.
2
D.
5 3
.
2
Câu 41: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều cạnh
a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Biết góc giữa KS và DA bằng 30 . Thể tích khối chóp S . ABCD
A.
a3 3
4
B.
a3 3
2
C.
a3 3
36
D.
5a 3 3
36
Câu 42: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD )
bằng
a 2
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
2
A. a 3 .
B. 3a 3 .
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C.
3 3
a .
3
D.
1 3
a
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 43: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) . Gọi  là
góc tạo bởi mặt phẳng ( SAB ) và mặt phẳng ( SCD ) , với tan  = 2 . Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa
CD và vuông góc với ( ABCD ) . Trên ( P ) lấy điểm M bất kỳ, thể tích khối tứ diện S . ABM
bằng
A. a 3 3 .
B.
2a 3
.
3
C.
a3 3
.
3
D.
a3
.
4
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 12
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 4: Thể tích khối chóp đều
Công thức tính thể tích khối chóp đều và một số công thức giải nhanh:
•
Chiều cao h khối chóp xác định bởi h = b 2 − Rd 2 , trong đó Rd là bán kính đường tròn ngoại tiếp
•
đa giác đáy và b là độ dài cạnh bên.
2a 3
3h3
a 6
Khối tứ diện đều cạnh a có V =
và V =
, trong đó h =
là chiều cao khối tứ diện
12
8
3
đều.
•
Khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng b có V =
•
•
•
•
Khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng b có V =
a 2 2 ( 2b 2 − a 2 )
6
3
2a
6
Khối bát diện đều cạnh a là hợp của hai khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a có
2a 3
V=
3
Khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a , có V =
Khối chóp lục giác đều cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng b có V =
B
Câu 1:
a 2 3b 2 − a 2
12
a 2 3( b2 − a 2 )
2
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích của khối chóp tương ứng tính
theo a sẽ bằng
A.
a3 2
.
2
B.
a3 2
.
6
C.
a3 2
.
3
D.
a3 2
.
12
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 2:
Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc 60o . Thể tích
khối chóp đó bằng
A.
a3 3
.
12
B.
a3 3
.
6
C.
a3 3
.
36
D.
a3 3
.
4
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 3:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng
tích của khối chóp S . ABCD bằng
A.
4 5a3
.
3
B.
4 3a3
.
3
C.
3a và độ dài cạnh bên bằng
8 3a3
.
3
5a . Thể
D. 4 3a 3 .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 4:
Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích
khối chóp S . ABCD .
A. 4a 3 3 .
B.
4 3 3
a .
3
C.
4 3
a .
3
D. 4a 3 .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 5:
Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên tạo với đáy một góc 600.
Tính theo a thể tích khối chóp S . ABC .
A. a 3 3 .
B.
a3 3
.
3
C. 2a 3 3 .
D.
2a 3 3
.
3
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 6: Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45
. Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .
A. V =
2 3
a .
6
B. V =
2 3
2 3
C. V =
a .
a .
12
3
 Lời giải
D. V = 2a 3 .
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 7:
3 3a
và O là tâm của đáy.
2
Gọi M , N , P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên các mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC )
Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng
, ( SCD ) và ( SDA ) . Thể tích của khối chóp O.MNPQ bằng
A.
9a 3
.
16
B.
2a 3
.
3
C.
9a 3
.
32
D.
a3
.
3
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 8:
Cho khối chóp tứ giác đều S . ABCD có diện tích xung quanh gấp 2 lần diện tích đáy, diện tích
đáy bằng 4a 2 . Thể tích của khối chóp S . ABC tương ứng bằng
A.
4a 3 3
.
3
B.
2a 3 3
.
3
C.
8a 3 3
.
3
D.
5a 3 6
.
3
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 9:
Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 8a 2 . Thể tích
của khối chóp đó bằng
A.
2 3 3
a.
3
B. 4 3a 3 .
C.
4 3 3
a.
3
D. 2 3a 3 .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh bên bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
60 . Thể tích khối chóp S . ABCD là
A.
32a3
15 5
.
B.
32 3 a 3
15 5
.
C.
32 5 a 3
.
15
D.
32 15 a3
.
15
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Câu 1:
Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 2a và thể tích bằng a 3 . Chiều cao của khối chóp
đã cho bằng
A.
Câu 2:
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
3a .
15 3 3
cm .
4
a3
B.
.
12
a3 3
C.
.
6
a3
D.
.
4
B. 45cm .
C. 45cm3 .
D.
45 3 3
cm .
4
B. 3a 3 .
C. 3a 2
Thể tích khối
D. a 2
a3
.
12
B. V =
a3 3
.
12
a3
.
4
C. V =
D. V =
a 3
là
3
a3 3
.
4
Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a và có mặt bên tạo với mặt đáy một góc
bằng 600
A.
Câu 7:
3
a.
2
Tính thể tích khối chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng
A. V =
Câu 6:
D.
Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và đường cao bằng 3a.
chóp S . ABCD bằng
A. a 3 .
Câu 5:
3
a.
3
Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh 3cm , chiều cao 5cm. Thế tích khối chóp đó là
A.
Câu 4:
C.
Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng a 3 . Thể tích khối chóp bằng
a3 3
A.
.
4
Câu 3:
B. 2 3a .
4 3
a .
3
B.
4 3 3
a .
3
C.
4
3 3
a3 .
D. 4 3a 3 .
Cho khối chóp đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết diện tích tam giác SAC
2a 2 , thể tích của khối chóp đã cho bằng
2
A. a 3 .
B. a 3 .
3
là
Câu 8:
D.
4 3
a .
3

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên tạo với đáy góc 60 . Thể tích của
khối chóp đó bằng
A.
Câu 9:
C. 2 2a 3 .
4a 3 6

3
B.
a3 3

3
C.
4a 3

3
D.
2a 3 3

3
Thể tích của khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh a và chiều cao 4a bằng
4
A. a 3 .
3
3
B. 4a .
3.
a3 3
D.
.
3
a3 2
C.
.
12
a3 3
D.
.
4
C. a
3
Thể tích của khối tứ diện đều cạnh a là?
Câu 10:
a3 2
A.
.
4
a3 3
B.
.
12
Câu 11: Thể tích của khối tứ diện đều cạnh a là
A.
a3 2
.
4
B.
a3 3
.
12
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C.
a3 2
.
12
D.
a3 3
.
4
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 12: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a là
A. a 3 .
B.
a3 2
.
3
C.
a3 2
.
6
D.
a3 2
.
2
Câu 13: Cho khối chóp đều S . ABC có cạnh đáy là a , mặt bên tạo với đáy một góc 600 . Thể tích khối
chóp S . ABC là
A.
a3 3
.
24
B.
a3 3
.
4
C.
a3 3
.
8
D.
a3 3
.
12
D.
2a 3 .
Câu 14: Thể tích của khối chóp đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a là
A.
2 3
a .
2
B.
2 3
a .
3
C.
2 3
a .
6
Câu 15: Thể tích của khối chóp tứ giác đều S . ABCD có chiều cao bằng
A.
8 3a 3
.
3
B. 4 3a 3 .
C.
4 5a 3
.
3
3a và độ dài cạnh bên 3a bằng
D.
4 3a 3
.
3
Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
30 . Khi đó thể tích của khối chóp bằng
A.
4a 3 6
.
9
B. 4a 3 6 .
C.
4a 3 6
.
3
D.
Câu 17: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
bên và mặt đáy là 60 . Thể tích của khối chóp này bằng
A.
a3 3
12
B.
a3 3
.
24
C.
a3 3
.
8
2a 3 6
.
9
a. Biết góc giữa mặt
D.
a3 3
.
6
Câu 18: Cho khối chóp đều có tất cả 5 mặt có diện tích bằng nhau và bằng a 2 . Thể tích của khối chóp
tương ứng bằng:
A.
3 3
a .
2
B.
15 3
a .
2
C.
15 3
a .
6
D.
6 3
a .
4
Câu 19: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a 6 , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
60 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
A. V = 3a 3 .
B. V = 2a 3 .
C. V = 6a 3 .
D. V = 9a 3 .
Câu 20: Khối chóp tam giác đều có chiều cao bằng 9dm và cạnh đáy bằng 2dm có thể tích là
A. V
9 3dm 3 .
12dm 3 .
B. V
3dm 3 .
C. V
D. V
3 3dm 3 .
Câu 21: Cho khối chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp với đáy một góc 600 . Tính
thể tích của khối chóp S . ABC
a3 3
A.
.
12
a3 3
B.
.
4
C.
a3 3
.
36
D.
a3 3
.
2
Câu 22: Cho hình chóp đều S . ABCD đáy là hình vuông cạnh a . Biết SBD = 60 . Tính thể tích khối
chóp S . ABCD .
A.
2 3a 3
.
3
B.
6a 3
.
6
C.
6a 3
.
3
D.
4 6a 3
.
3
Câu 23: Cho khối chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V
của khối chóp S . ABC .
11a3
A. V =
.
6
11a3
B. V =
.
4
13a3
C. V =
.
12
11a3
D. V =
.
12
Câu 24: Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
2 2a 3
.
3
B.
8a 3
.
3
C.
8 2a 3
.
3
D.
4 2a 3
.
3
Câu 25: Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Thể
tích của hình chóp đều đó là
a3 6
A.
.
6
a3 3
B.
.
6
a3 3
C.
.
2
a3 6
D.
.
2
Câu 26: Cho hình chóp đều S . ABCD đáy là hình vuông cạnh a . Biết SBD = 60 . Tính thể tích khối
chóp S . ABCD .
A.
2 3a 3
.
3
B.
6a 3
.
6
C.
6a 3
.
3
D.
4 6a 3
.
3
Câu 27: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một
góc 600 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
a3 6
A. V =
.
2
a3 6
B. V =
.
3
a3 3
C. V =
.
2
a3 6
D. V =
.
6
Câu 28: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với đáy một góc 450 .
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Tính thể tích của khối chóp S . ABC ?
a3
a3
a3
a3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
24
8
12
4
Câu 29: Cho khối chóp đều S . ABCD có AC = 6a và góc tạo bởi hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) bằng
600 . Thể tích khối chóp đã cho bằng:
A. 108 3a 3 .
B. 9 6a 3 .
C. 36 3a 3 .
D. 27 6a 3 .
Câu 30: Cho khối chóp đều S . ABCD có AC = 4a , hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) vuông góc với
nhau. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
16 2 3
a .
3
B.
8 2 3
a .
3
C. 16a 3
D.
16 3
a .
3
Câu 31: Cho khối chóp tứ giác đều S . ABCD có AC = 4a , hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) tạo với nhau
một góc 600 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
2 2 3
a
3
B. 2 2a 3 .
C. 16a 3 .
D.
8 2 3
a .
3
Câu 32: Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh
SB, SC. Biết rằng mặt phẳng ( AEF ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) . Thể tích khối chóp
S . ABC bằng
A.
a3 5
.
24
B.
a3 5
.
8
C.
a3 5
.
12
D.
a3 5
.
16
Câu 33: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh bên bằng 2cm , các điểm D, E lần lượt là trung
điểm của SA, SC , đồng thời AE vuông góc với BD . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
4 21 3
cm .
27
B.
4 21 3
cm .
7
C.
4 21 3
cm .
3
D.
4 21 3
cm .
9
Câu 34: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD , đáy tâm O , SA = SB = SC = SD = a 3 . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm cạnh CD, AB . Biết khoảng cách từ M đến ( SNC ) bằng a 510 a . Tính thể
51
tích khối chóp S . ABCD .
a 3 10
A.
.
6
3
B. a 10 .
3
C. a 5 .
2
3
D. a 5 .
2
6
Câu 35: Cho hình chóp đều S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi E , F lần lượt là trung
điểm của các cạnh SB, SC. Biết mặt phẳng ( AEF ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) . Thể tích
khối chóp S . ABC bằng
A.
a3 5
.
8
B.
a3 3
.
24
C.
a3 5
.
24
D.
a 3 15
.
27
Câu 36: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh AB = 2a . Các cạnh bên tạo với đáy một góc 60 .
Thể tích của khối chóp S . ABC bằng
A. 2 3a 3 .
B.
2 3 3
a .
3
C. 4 3 .
D.
4 3 3
a .
3
Câu 37: Xét khối tứ diện đều ABCD có cạnh AB = x . Với giá trị nào của x thì thể tích khối tứ diện
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
ABCD bằng 3a 3
A. x = 2 6a .
B. x = 6a .
C. x = 2 .
D. x = 3 2a .
Câu 38: Cho hình chóp đều S . ABCD với O là tâm đáy. Khoảng cách từ O đến mặt bên bằng 1 và góc
giữa mặt bên với đáy bằng 450 . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
A. V =
4 2
.
3
B. V =
8 2
.
3
C. V = 2 3 .
D. V =
4 3
.
3
Câu 39: Cho khối chóp đều S . ABCD có AB = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SC , SD , hai mặt
phẳng ( AMN ) và ( SCD ) vuông góc với nhau. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
4a 3 3
.
3
B. 4a 3 3 .
C.
8a 3
3
D.
4a 3 2
.
3
Câu 40: Cho khối chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các
cạnh SB, SC . Biết mặt phẳng ( AMN ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) . Thể tích của khối chóp
S . ABC bằng:
A.
a3 5
.
3
B. a 3 5.
C.
a3 5
.
9
D. 3a 3 5.
Câu 41: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm của đáy là O . Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của SA và BC . Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( ABCD ) bằng
600 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
A.
a 3 10
.
6
B.
a 3 30
.
2
C.
a 3 30
.
6
D.
a 3 10
3
Câu 42: Cho khối chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) vuông góc
với nhau. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
a3 2
.
24
B.
a3 2
.
8
C.
a3 5
.
12
D.
a3 5
.
4
Câu 43: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của SA và CD . Cho biết MN tạo với mặt đáy một góc bằng 30 . Tính thể tích khối chóp
S . ABCD .
A.
a 3 30
.
18
B.
a 3 15
.
3
C.
a3 5
.
12
D.
a 3 15
.
5
Câu 44: Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD )
bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a .
a3
A.
.
2
a3
B.
.
6
a3 2
C.
.
12
a3 2
D.
.
4
Câu 45: Cho khối chóp đều S . ABCD có AC = 6a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh SB và SD .
Biết ( AMC ) và ( CMN ) cùng vuông góc nhau. Tính thể tích khối chóp đã cho.
A. 72a 3 .
B. 108a 3 .
C. 36a 3 .
D. 216a 3 .
Câu 46: Cho khối chóp đều S . ABCD có AC = 4a , hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) vuông góc với
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
nhau. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
16 2 3
a .
3
B.
8 2 3
a .
3
C. 16a 3 .
D.
16 3
a .
3
Câu 47: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1 , biết khoảng cách từ A đến ( SBC )
là
6
15
30
, từ B đến ( SCA ) là
, từ C đến ( SAB ) là
và hình chiếu vuông góc H của S
4
20
10
xuống đáy nằm trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp VS . ABC .
A.
1
.
12
B.
1
.
36
C.
1
.
24
D.
1
48
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 5: Tổng hợp về thể tích khối chóp
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Diện tích đáy và chiều cao của khối
lần lượt S và h . Tính thể tích của khối chóp S . ABC là
1
1
2
A. Sh .
B. Sh .
C. Sh .
D. Sh .
3
6
3
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 2:
Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và có thể tích bằng 3a 3 . Tính chiều cao
h của hình chóp đã cho.
A. h =
3 3a
.
2
B. h =
3a
.
C. h = 3a .
3
 Lời giải
D. h = 2 3a .
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 3:
Khối chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a , chân đường cao trùng với trung điểm
H của AB , mặt bên ( SCD ) tạo với mặt đáy một góc 300 . Gọi M là trung điểm của SC . Thể
tích khối chóp H .BCM là
A.
a3 2
.
3
B.
a3 3
.
8
C.
a3 3
.
9
D.
a3 6
.
3
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 4:
Cho hình chóp S . ABC có AB = 3a , BC = 4a , CA = 5a , các mặt bên cùng tạo với đáy một góc
60 , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) thuộc miền trong tam giác ABC . Tính
thể tích khối chóp S . ABC .
A. 2a 3 3 .
B. 6a 3 3 .
C. 12a 3 3 .
D. 2a 3 2
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 5:
Cho tứ diện ABCD có ABC , ABD và ACD là các tam giác vuông tương ứng tại A, B và C .
Góc giữa AD và ( ABC ) bằng 45 ; AD ⊥ BC và khoảng cách giữa AD và BC bằng a . Tính
thể tích khối tứ diện ABCD .
A.
a3 3
.
6
B.
4a 3 3
.
3
C.
a3 2
.
6
D.
4a 3 2
.
3
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Câu 6:
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Biết AD = 3a , AB = 2a ,
AC = 4a và BAC = 60 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của B lên AC và CD . Đường thẳng
HK cắt AD tại E . Thể tích khối tứ diện BCDE bằng
A.
52a 3 3
.
9
B. a 3 3 .
C.
26a 3 3
.
9
D.
19a3 3
.
6
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 7:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a . Biết rằng
SA = a, SA ⊥ AD, SB = a 3, AC = a . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng.
A.
a3 2
.
2
B.
a3 2
.
3
C.
a3 2
.
6
D.
a3 6
.
2
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 8:
Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2 . Tam giác SAB là tam giác đều, tam
giác SCD vuông tại S . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. V =
4 3
.
3
B. V = 2 3 .
C. V =
8 3
.
3
D. V =
2 3
.
3
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 9: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2a 3 , BD = 2a và
cắt nhau tại O , hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng
a 3
. Tính thể tích V của khối chóp
4
S . ABCD .
A. V =
a3 3
.
12
B. V =
a3 3
a3 2
.
C. V =
.
6
6
 Lời giải
D. V =
a3 3
.
3
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 10: Cho hình chóp tam giác S . ABC có SA = 2a và SA tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 30 . Tam giác
ABC vuông cân tại B , G là trọng tâm tam giác ABC . Hai mặt phẳng ( SGB ) và ( SGC ) cùng
vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S . ABC theo a .
9a 3
A.
.
10
9a 3
B.
.
40
27a3
C.
.
10
81a 3
D.
.
10
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
C
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:
Cho khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h . Thể tíc V của khối chóp đã cho được tính
theo công thức nào dưới đây?
2
1
A. V = Bh .
B. V = Bh .
C. V = 3Bh .
D. V = Bh .
3
3
Câu 2:
Thể tích của khối chóp tam giác bằng 6 , diện tích đáy bằng 2 . Chiều cao của khối chóp bằng?
A. 18 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 9 .
Câu 3:
Tính thể tích khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh a và chiều cao của khối chóp bằng 3a .
A.
a3 3
.
4
B. a 3 .
C. a 3 3 .
D.
a3 3
.
12
Câu 4:
Cho khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h . Thể tích V của khối chóp đã cho được tính
theo công thức vào dưới đây?
1
1
4
A. V = Bh .
B. V = Bh .
C. V = Bh .
D. V = Bh .
2
3
3
Câu 5:
Cho khối chóp có diện tích đáy S = 5 , chiều cao h = 3 . Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. 5 .
B. 12 .
C. 15 .
D. 35 .
Câu 6:
Cho hình chóp S . ABC có AB = a, BC = a 3, AC = a 2, SA = SB = SC =2a. Tính thể tích khối
chóp S . ABC .
a 3 26
A.
.
24
Câu 7:
a 3 26
B.
.
12
a 3 26
C.
.
4
a 3 26
D.
.
8
Cho khối chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình thang, AB / / CD ,
SA = AD = DC = a, BC = a 2 . Tam giác SBC vuông tại C , tam giác SCD vuông tại D . Thể
tích khối chóp đã cho bằng
A. 2a 3 .
Câu 8:
4 3
a .
3
C.
2 3
a .
3
D.
1 3
a .
2
Cho hình chóp S . ABCD ,có AC vuông góc với BD và AC = 3cm , BD = 4cm .Khoảng cách từ
điểm S đến mặt phẳng ( ABC ) bằng 9cm . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng
A. 36cm 3 .
Câu 9:
B.
B. 18cm 3 .
C. 54cm 3 .
D. 6cm3 .
Cho hình chóp S . ABC có tất cả các mặt bên cùng hợp với đáy một góc 60. Biết rằng mặt phẳng
đáy là tam giác ABC đều cạnh a. Tính thể tích khối chóp đã cho.
A.
a3 3
.
24
B.
a3 3
.
8
C.
a3 3
.
12
D.
a3 3
.
4
Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh
S lên đáy ( ABCD ) là trọng tâm của tam giác ABD . Biết góc tạo bởi cạnh SC với đáy bằng
60 . Thể tích khối chóp S . ABC bằng:
a3 3
A.
.
4
a3 2
B.
.
3
a3 3
C.
.
6
a3
D.
.
3
Câu 11: Cho hình chóp S . ABC có các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy các góc bằng nhau và bằng 60
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
. Biết AB = 13a, AC = 14a và BC = 15a . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .
A. V =
455 3 3
a .
6
B. V = 455 3a 3 .
C.
455 3 3
a .
3
D. V =
455 3 3
a .
2
Câu 12: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , tam giác SAB cân tại S và thuộc
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , góc giữa hai mặt phẳng ( SCA ) và ( SCB ) bằng
600 . Gọi H là trung điểm của đoạn AB . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. Thể tích khối chóp S . ABC bằng
a3 2
.
16
B. Thể tích khối chóp B.SHC bằng
C. Thể tích khối chóp S . AHC bằng
a3 2
.
64
D. Không tồn tại hình chóp đã cho.
a3 2
.
16
Câu 13: Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A , BAC = 120 và AB = a . Các cạnh
bên SA, SB, SC bằng nhau và góc giữa SA với mặt phẳng đáy bằng 60 . Thể tích khối chóp đã
cho bằng
A.
3 3
a .
4
B.
3 3
a .
4
C.
a3
.
4
D.
3a 3 .
Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có AC = a 3, ABC = 600 . Biết rằng
SA = SC , SB = SD và khoảng cách từ A mặt phẳng ( SBC ) bằng
a 6
. Tính thể tích khối chóp
2
S . ABC bằng:
9 6a 3
B.
.
16
3 6a 3
A.
.
8
3 15a 3
C.
.
40
3 6a 3
D.
.
16
Câu 15: Cho tứ diện MNPQ . Biết rằng mặt phẳng ( MNP ) vuông góc với mặt phẳng ( NPQ ) , đồng thời
MNP và
NPQ là 2 tam giác đều cạnh 4a . Tính theo a thể tích V của khối tứ diện MNPQ .
A. V = 24 3a 3 .
B. V = 24a 3 .
C. V = 8 3a 3 .
D. V = 8a 3 .
Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = a, SA = 2SD và mặt phẳng ( SBC )
tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng
5
15 3
3
a .
A. a 3 .
B. a 3 .
C. 5a 3 .
D.
2
2
2
Câu 17: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 , SAB đều, SCD vuông tại S .Tính thể
tích V của khối chóp S . ABCD .
A. V =
2 3
.
3
B. V =
8 3
.
3
C. V =
4 3
.
3
D. V = 2 3 .
Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1 , AD = 20 , SA = SB ,
SC = SD . Biết mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) vuông góc nhau đồng thời tổng diện tích của hai
tam giác SAB và SCD bằng 3 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng
8
13
26
A. .
B.
.
C.
.
3
6
3
D.
13
.
2
Câu 19: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a , SA ⊥ AB và
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
9
SC ⊥ CB . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) là  thỏa mãn cos  =
Thể tích
16
khối chóp S . ABC bằng
A.
5a 3
.
18
B.
7a3
.
9
C.
7a3
.
6
D.
7a3
.
18
Câu 20: Cho tứ diện ABCD có AB = a , AC = a 5 , DAB = CBD = 90 , ABC = 135 . Biết góc giữa
hai mặt phẳng ( ABD ) và ( BCD ) bằng 30 . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng
a3
A.
.
2
a3
B.
.
3 2
a3
C.
.
2 3
a3
D.
.
6
Câu 21: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ABC = 60 . Biết SA = SB = SC
và góc giữa mặt bên ( SCD ) và mặt đáy bằng 60 . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
A.
a3 3
.
2
B.
a3 3
.
6
C.
a3 2
.
2
D.
a3 2
.
6
Câu 22: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a , tam giác SBA vuông tại B , tam
giác SAC vuông tại C . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABC ) bằng 60 . Thể tích khối
chóp S . ABC bằng
A.
3a 3
.
8
3a 3
B.
.
12
C.
3a 3
.
6
D.
3a 3
.
4
Câu 23: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , cạnh SA vuông góc với mặt đáy
và SA = AB = 2a , CAB = 30 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC , B  là điểm đối
xứng của B qua mặt phẳng ( SAC ) . Thể tích của khối chóp H . ABB bằng
A.
a3 3
.
7
B.
6 3 a3
.
7
C.
4 3 a3
.
7
D.
2 3 a3
.
7
Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B . Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm của AB. Biết AB = a, BC = 2a, BD = a 10. Góc
giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và mặt phẳng đáy là 30. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD
theo a.
A. V =
3 30a 3

2
B. V =
30a 3

4
C. V =
a 3 30

24
30a 3

8
D. V =
Câu 25: Cho khối chóp tứ giác đều S . ABCD có BD = 2a 2 , gọi M là trung điểm của DC , góc giữa
SM và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 600 . Thể tích V của khối chóp S . ABCD bằng,
A. V =
3a3 3
2
B. V =
4a 3 2
3
C. V =
4a 3 3
3
D. V =
a3 3
6
Câu 26: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm của đáy là O . Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của SA và BC . Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( ABCD ) bằng
600 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A.
a 3 10
6
B.
a 3 30
2
C.
a 3 30
6
D.
a 3 10
3
Câu 27: Cho hình chóp S . ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , đáy nhỏ của hình
thang là CD , cạnh bên SC = a 15 . Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy hình chóp. Gọi H là trung điểm cạnh AD , khoảng cách từ B tới mặt
phẳng ( SHC ) bằng 2 6a . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
A. V = 4 6a 3 .
B. V = 12 6a 3 .
C. V = 8 6a 3 .
D. V = 24 6a 3 .
Câu 28: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy, biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng a và
BDC = 300 . Tính thể tích của khối chóp S . ABCD .
3a 3 3
A.
.
2
a3 6
B.
.
9
a3 3
C.
.
6
a3 3
D.
.
2
Câu 29: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với ( ABCD ) . Biết BD = 2a, AB = a , khoảng cách giữa AB và SD bằng
a 2 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
a3 3
A.
.
3
3
B. 3 2a .
a3 2
C.
.
3
D. a 3 2 .
Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , BC = 2a . SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng
2 3a
. Tính thể tích
31
của khối chóp S . ABCD .
A.
3a 3 .
B.
a3 3
.
3
C.
2a 3 3
.
3
D. 2a 3 3
Câu 31: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M ; N lần lượt là trung điểm
của AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng
( ABCD )
và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC bằng
2a 57
. Tính thể tích khối
19
chóp S . ABCD ?
A. a 3 .
B.
a3 6
.
9
C.
a3 3
.
3
D. 3 3a 3 .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 6: Tỷ số thể tích khối chóp
Cho khối chóp S . ABC và A, B, C  là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC , ta có:
Công thức tỉ số thể tích:
VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '
(hay gọi là công thức Simson)
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC
Phương pháp này được áp dụng khi khối chóp không xác đinh được chiều cao một cách dễ dàng
hoặc khối chóp cần tính là một phần nhỏ trong khối chóp lớn và cần chú ý đến một số điều kiện sau:
▪ Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh.
▪ Đáy hai khối chóp phải là tam giác.
▪ Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng.
FA DB EC
.
.
= 1 với DEF là một đường thẳng cắt ba
Định lý Menelaus: Cho ba điểm thẳng hàng
FB DC EA
đường thẳng BC , CA, AB lần lượt tại D, E , F .
Chú ý: (Áp dụng cho khối chóp với mọi đáy)
▪ Hai hình chóp có cùng chiều cao thì tỉ số thể tích chính là tỉ số diện tích đáy tương ứng.
▪ Hai hình chóp có cùng diện tích đáy thì tỉ số thể tích chính là tỉ số đường cao tương ứng.
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE = 3EB . Khi đó
thể tích khối tứ diện EBCD bằng
V
V
V
V
A. .
B. .
C. .
D. .
4
3
5
2
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 2:
Cho hình chóp S . ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SA , SB , SC . Tỉ số
bằng
3
A. .
2
B. 8.
C.
1
.
8
VS . ABC
VS .MNP
D. 6.
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 3:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và M , N
lần lượt là trung điểm của SC , SD . Biết thể tích khối chóp S . ABCD là V , tính thể tích khối
chóp S .GMN .
V
A. .
8
B.
V
.
4
C.
V
.
6
D.
V
.
12
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 4: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, SA vuông góc với đáy,
góc hợp bởi SB và đáy bằng 60 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các
đường thẳng chứa cạnh SB, SC . Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích các khối đa diện SAHK và
ABCKH . Tỉ số
A.
7
.
9
V1
bằng
V2
B.
7
.
16
C.
9
.
7
D.
9
.
16
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 5:
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB ,
AC , BC , AD . Tính thể tích tứ diện MNPQ theo V .
A.
3V
.
8
B.
V
.
4
C.
V
.
8
D.
V
.
12
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 6:
Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N là trung điểm của AB, AC , lấy điểm P thuộc cạnh AD sao
cho AP
2
V
AD . Khi đó tỉ số AMNP bằng
3
VABCD
1
.
6
B.
A.
1
.
8
C.
1
.
3
D.
1
.
4
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 7:
Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, SB = 12 , SB vuông góc với
mặt phẳng
( ABC ) .
Gọi D, E lần lượt là các điểm thuộc các đoạn SA, SC sao cho
SD = 2 DA, ES = EC . Biết DE = 2 3 , hãy tính thể tích khối chóp B. ACED .
A.
96
.
5
B.
144
.
5
C.
288
.
5
D.
192
.
5
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 8:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, côsin góc hợp
1
bởi SD và mặt phẳng đáy ( ABCD ) bằng
. Gọi E ; F lần lượt là hình chiếu của A lên SB
3
; SD . Mặt phẳng ( AEF ) chia khối chóp thành hai phần. Tính thể tích phần khối chóp không
chứa đỉnh S :
A. V =
2a 3
.
9
B. V =
2a 3
2 2a 3
.
C. V =
.
4
9
 Lời giải
D. V =
2a 3
.
6
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
C
Câu 1:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Cho khối chóp S . ABC có thể tích V . Các điểm A , B  , C  tương ứng là trung điểm các cạnh
SA , SB , SC . Thể tích khối chóp S . ABC  bằng
V
V
V
V
.
B. .
C. .
D. .
2
8
4
16
Cho khối chóp S . ABC có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Tính
thể tích khối chóp M . ANC theo V .
V
V
V
V
A. .
B.
C.
.
D. .
4
8
6
12
A.
Câu 2:
Câu 3:
Cho tứ diện MNPQ . Gọi I , J và K lần lượt là trung điểm của MN , MP và MQ (tham khảo hình
vẽ). Tỉ số thể tích
A. 1 .
B. 1 .
8
Câu 4:
VMIJK
là:
VMNPQ
4
C. 1 .
6
D. 1 .
3
Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác cân tại A, AB = a và góc A bằng 300 . Cạnh bên
SA = 2a và SA ⊥ ( ABC ) . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC . Khi đó thể
tích khối đa diện có các đỉnh A, B, C , M , N bằng
3a 3
a3
a3
a3
.
B.
.
C.
.
D.
.
8
4
12
8
Cho khối chóp S . ABC . Trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điển A, B, C  sao cho
SA = 2SA, SB = 3SB, SC = 4 SC  . Mặt phẳng ( ABC  ) chia khối chóp thành hai khối. Gọi V
A.
Câu 5:
và V  lần lượt là thể tích các khối đa diện S . ABC  và ABC. ABC  . Khi đó tỉ số
A.
Câu 6:
1
.
59
B.
1
.
12
1
.
23
D.
1
.
24
Cho tứ diện ABCD . Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC , AD sao cho
MA
MB, NA
2 NC , PA
3PD. Biết thể tích khối tứ diện AMNP bằng V thì khối tứ diện
ABCD tính theo V có giá trị là
A. 6V .
B. 4V .
Câu 7:
C.
V
là:
V
C. 8V .
D. 12V .
Cho hình chóp S . ABCD . Gọi A, B, C , D theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC , SD . Tính
tỉ số thể tích của hai khối chóp S . ABC D và S . ABCD .
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1
1
A.
.
B. .
16
4
Câu 8:
C.
1
.
8
D.
1
.
2
Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC  . Biết diện tích mặt bên ( ABBA ) bằng 15 , khoảng cách từ
C đến mặt phẳng ( ABBA ) bằng 6 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A. 60 .
Câu 9:
B. 45 .
C. 90 .
D. 30
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E thỏa mãn EA = −3EB . Khi đó thể tích khối
tứ diện EBCD bằng
V
V
V
V
A. 
B. 
C. 
D. 
2
3
5
4
Câu 10: Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = 2a và vuông góc với mặt
SM 1 SN 2
= ,
= (tham
phẳng ( ABC ) . Trên cạnh SB, SC lần lượt lấy các điểm M , N sao cho
SB 2 SC 3
khảo hình vẽ). Thể tích của khối chóp S . AMN bằng
A.
3a 3
.
36
B.
3a 3
.
9
C.
3a 3
.
18
D.
3a 3
.
3
Câu 11: Cho hình chóp S . ABC , trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A, B, C  sao cho
SA = 2 AA, SB = 4 BB, SC  = CC  . Gọi V1 là thể tích khối chóp S . ABC  , V2 là thể tích khối
chóp S . ABC . Tính
A.
V1 4
= .
V2 15
V1
V2
B.
V1
1
.
=
V2 24
C.
V1 8
= .
V2 15
D.
V1 1
= .
V2 16
Câu 12: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 3a , đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng
a . M , N , P lần lượt là trùng điểm của các cạnh bên SA, SB, SC . Tính thể tích khối đa diện
MNP ABC .
A.
a3 3
.
8
B.
3 3a 3
.
16
C.
7 3a 3
.
32
D.
3a 3
.
6
Câu 13: Cho khối chóp S . ABC . Trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B , C  sao cho
2 SA = SA, 4 SB = SB, 5SC  = SC . Tính tỉ số
A.
1
.
10
B.
1
.
40
VS . A ' B ' C '
VS . ABC
C.
1
.
8
D.
1
.
20
Câu 14: Cho hình chóp S . ABC , gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của cạnh SA, SB, SC . Biết thể tích
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
khối chóp S .MNP bằng 5 .
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Khi đó thể tích của khối đa diện MNP. ABC bằng:
A. 40 .
B. 10 .
C. 35 .
D. 25 .
Câu 15: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm I . Gọi V1 , V2 lần lượt là
thể tích của khối chóp S . ABI và S . ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
V 1
V 1
V 1
V 1
A. 1 = .
B. 1 = .
C. 1 = .
D. 1 = .
V2 6
V2 2
V2 4
V2 8
Câu 16: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, AC , AD và điểm O tùy ý trên mặt phẳng ( BCD ) . Thể tích tứ diện OMNP bằng
a3 2
A.
.
96
a3 2
B.
.
24
a3 2
C.
.
48
a3 2
D.
.
36
Câu 17: Cho khối chóp S . ABC . Gọi A ' , C ' lần lượt là trung điểm của SA và SC . Khi đó tỉ số thể tích
của hai khối chóp S .BA ' C ' và S . ABC bằng
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
2
3
4
6
Câu 18: Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho thể tích
khối AMCD bằng
A. 3MA = 2 MB .
2 3
a . Phát biểu nào sau đây đúng?
18
B. 3MA = MB .
C. MA = 3MB .
D. MA = 2 MB .
Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm cạnh bên SC .
Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD , mặt phẳng ( P ) cắt SB và SD lần lượt
tại B  và D . Tính tỷ số
A.
1
.
6
VS . ABMD
.
VS . ABCD
B.
1
.
3
C.
3
.
4
D.
2
.
3
Câu 20: Cho hình chóp đều S . ABCD . Mặt phẳng ( P ) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác
SAC cắt SC , SD lần lượt tại M , N . Tỉ lệ T =
A.
1
.
2
B.
VS . ABMN
có giá trị là
VS . ABCD
3
.
8
C.
1
.
4
D.
3
.
4
Câu 21: Cho hình chóp S . ABCD có thể tích bằng 2 và đáy ABCD là hình bình hành. Lấy các điểm
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
SM SN
=
= k ( 0  k  1) . Mặt phẳng ( AMN
SB SD
1
cạnh SC tại P . Biết khối chóp S . AMPN có thể tích bằng , khi đó giá trị của k bằng
3
M , N lần lượt thuộc các cạnh SB, SD thỏa mãn
A.
1
.
2
B.
1
.
3
C.
2
.
3
D.
) cắt
1
.
4
Câu 22: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O . Gọi H và K lần lượt là trung
VAOHK
bằng
VS . ABCD
điểm của SB, SD . Tỷ số thể tích
A. 1 .
B. 1 .
12
C. 1 .
6
D. 1 .
8
4
Câu 23: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng (  ) đi qua A, B và trung
điểm M của SC . Mặt phẳng (  ) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là
V1 , V2
với V1  V2 . Tính tỉ số V1 .
V2
A. V1 = 1 .
V2
4
B. V1 = 3 .
V2
8
C. V1 = 5 .
V2
8
D. V1 = 3 .
V2
5
Câu 24: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD đáy là hình bình hành có thể tích bằng V . Lấy điểm B  , D
lần lượt là trung điểm của cạnh SB và SD . Mặt phẳng qua ( ABD ) cắt cạnh SC tại C  . Khi
đó thể tích khối chóp S . ABC D bằng
V
A.
3
2V
B.
.
3
V3
C.
.
3
D.
V
.
6
Câu 25: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B . AB = BC = 2a, AD = 4a .
Mặt phẳng ( ) đi qua A và trung điểm các cạnh SB , SC chia khối chóp S . ABCD thành hai
khối đa diện. Gọi V là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S , V  là thể tích khối đa diện không chứa
V
đỉnh S . Tỉ số
bằng
V
5
5
7
7
A.
.
B. .
C.
.
D. .
12
7
12
5
Câu 26: Cho khối chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy AB = a , cạnh bên SA = 2a . Gọi M và N lần
lượt là trung điểm SA, SC . Mặt phẳng ( BMN ) cắt SD tại K .
Thể tích khối chóp S .MNK bằng
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
A.
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
14 3
a .
112
B.
14 3
a .
84
C.
14 3
a .
12
D.
14 3
a .
144
Câu 27: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N là trung điểm của SA, SB. Mặt
phẳng ( MNCD) chia hình chóp đã cho thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần là (số bé chia số
lớn).
3
A. .
5
B.
3
.
4
C.
1
.
3
D.
4
.
5
Câu 28: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy,
SA = a 2 . Gọi B, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD . Mặt phẳng
( ABD ) cắt
SC tại C  . Thể tích khối chóp S . ABC D là
2a 3 2
A. V =
.
3
2a 3 3
B. V =
.
3
a3 2
C. V =
.
9
2a 3 3
D. V =
.
9
Câu 29: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SD . Mặt phẳng ( ) chứa MN cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại Q, P . Đặt
SQ
= x , V1 là thể tích khối chóp S .MNPQ, V là thể tích khối chóp S . ABCD . Tìm x để
SB
1
V1 = V .
2
A. x =
1
.
2
B. x = 2 .
C. x =
−1 + 41
.
4
D. x =
−1 + 33
.
4
Câu 30: Cho tứ diện ABCD , trên các cạnh BC , BD , AC lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho
3
BC = 3BM , BD = BN , AC = 2 AP . Mặt phẳng ( MNP ) chia khối tứ diện ABCD thành hai
2
V
phần có thể tích là V1 , V2 . Tính tỉ số 1 .
V2
A.
V1 26
= .
V2 13
B.
V1 26
= .
V2 19
C.
V1 3
= .
V2 19
D.
V1 15
= .
V2 19
Câu 31: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a 3, SA = a và SA
vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên
SB, SD . Mặt phẳng ( AHK ) cắt SC tại điểm P . Thể tích của khối S . AHPK là:
A.
a3 3
.
40
B.
a3 3
.
120
C.
a3 3
.
60
D.
a3 3
.
30
Câu 32: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của
SA, SC và G là trọng tâm của tam giác ABC . Mặt phẳng ( EFG ) chia khối chóp S . ABCD
thành hai phần có thể tích lần lượt là V1 , V2 với V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S . Tỉ số
V1
bằng
V2
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A.
V1 31
= .
V2 59
B.
V1 31
= .
V2 49
C.
V1 25
= .
V2 59
D. VO. AEMF =
25
.
49
Câu 33: Cho tứ diện ABCD có thể tích là 27cm3 . Điểm M di động trên BC ( M khác B, C ), điểm S
di động trên đường thẳng CD . Một mặt phẳng qua M song song với hai đường thẳng AB, CD
đồng thời cắt AC , AD, BD lần lượt tại N , P, Q . Gọi V là thể tích của khối chóp S .MNPQ . Khi
M , N thay đổi thì thể tích lớn nhất của V bằng
A. 12 .
C. 4 .
B. 18 .
D. 8 .
Câu 34: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng
( ABCD ) . Góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD )
bằng 60 . Gọi M là điểm đối xứng
của C qua B và N là trung điểm của SC . Mặt phẳng ( MND ) chia khối chóp S . ABCD
thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V1 , khối đa diện còn lại có
thể tích V2 . Tính tỉ số
A.
V2 7
= .
V1 5
V2
V1
B.
V2 7
= .
V1 9
C.
V2 9
= .
V1 7
D.
V2 5
= .
V1 7
Câu 35: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích 24 cm3 . Gọi E là trung
điểm của SC . Một mặt phẳng chứa AE cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Tìm
giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S . AMEN .
A. 9 cm3 .
Câu 36: Cho
hình
cos BSC =
A. V =
C. 6 cm3 .
B. 8 cm3 .
chóp
1
2 3
2a 3 6
.
9
S . ABC
thỏa
mãn
D. 7 cm3 .
SA = a, SB = SC = 2a, ASB = 60, ASC = 90
và
. Thể tích khối chóp đã cho là:
B. V =
a3 2
.
6
C. V =
a3 6
.
4
D. V =
2a 3 3
.
3
Câu 37: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi luôn song
song với mặt phẳng chứa đa giác đáy và cắt các cạnh bên SA , SB , SC , SD lần lượt tại I , J ,
K , L . Gọi E , F , G , H lần lượt là hình chiếu vuông góc của I , J , K , L lên mặt phẳng
( ABCD ) . Thể tích khối đa diện IJKL.EFGH đạt giá trị lớn nhất khi SI = a ( a, b  N * , a là
b
SA b
2
2
phân số tối giản). Giá trị biểu thức T = a + b bằng
A. T = 10 .
B. T = 5 .
C. T = 13 .
D. T = 25 .
Câu 38: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành, gọi G là trọng tâm tam giác SAD , mặt
phẳng ( ) chứa BG và song song với AC cắt SA, SD, SC lần lượt tại A, D, C  . Tỉnh số
VS . ABC D
bằng
VS . ABCD
A.
3
.
8
B.
9
.
20
C.
5
.
16
D.
117
.
128
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 39: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy là hình vuông tâm O , cạnh đáy bằng 2a , góc giữa
hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABCD ) bằng 45o . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SA ,
SB và AB . Thể tích khối tứ diện DMNP bằng
A.
a3
.
6
B.
a3
.
12
C.
a3
.
2
D.
a3
.
4
Câu 40: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có thể là V . Gọi M là điểm nằm trên cạnh BB ' sao cho
2 MB = 3MB ' , điểm N nằm trên cạnh AA ' sao cho 4 AN = NA ' , điểm P nằm trên cạnh CC '
sao cho 3CP = C ' P . Các đường thẳng NM và PM cắt các cạnh A ' B ' và C ' B ' lần lượt tại H
và K . Hãy tính theo V thể tích của khối tứ diện MB ' HK .
16V
6V
4V
2V
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
105
35
15
7
Câu 41: Cho tứ diện ABCD . Hai điểm M , N lần lượt di động trên hai đoạn thẳng BC và BD sao cho
BC
BD
+ 3.
= 10 . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của các khối tứ diện ABMN và ABCD . Tìm
BM
BN
V
giá trị nhỏ nhất của 1 .
V2
2.
A.
3
.
8
B.
2
.
7
C.
6
.
25
D.
5
.
8
Câu 42: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = a , AB ⊥ SA , BC ⊥ SC
. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SC , AC . Góc giữa hai mặt phẳng ( BMN ) và ( SAB ) là
 thỏa mãn cos  =
A.
a3
.
24
5
. Thể tích khối chóp S .BMN bằng bao nhiêu?
3
B.
a3
.
3
C.
a3
.
12
D.
a3
.
6
Câu 43: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của S
với mặt phẳng đáy là trung điểm cạnh AB và ( SCD ) tạo với đáy một góc 600 . Mặt phẳng chứa
AB và vuông góc với ( SCD ) cắt SC , SD lần lượt tại M và N . Thể tích của khối chóp
S . ABMN bằng
3
3
7 3a
21 3a
7 3a 3
21a 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
2
4
4
Câu 44: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi M là một
MA
điểm trên cạnh AB sao cho
= x , 0  x  1 . Mặt phẳng ( ) qua M và song song với
AB
( SBC ) chia khối chóp S . ABCD thành hai phần, trong đó phần chứa điểm A thể tích bằng 4 V
27
1− x
. Tính giá trị của biểu thức P =
.
1+ x
1
1
1
3
A. .
B. .
C. .
D. .
2
5
3
5
A.
Câu 45: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có thể tích là V . Gọi M là một điểm
trên AB sao cho MA = x, 0  x  1 . Mặt phẳng ( ) qua M và song song với ( SBC ) chia khối
AB
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
chóp S . ABCD thành hai phần, trong đó phần chứa điểm A có thể tích bằng 4 V . Tính giá trị
27
của biểu thức P = 1 − x .
1+ x
A. 1 .
2
B.
1
5
C.
1
.
3
D.
3
5
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 12
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 7: Thể tích khối lăng trụ đứng
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC = 2a , AB = a . Mặt bên
BBC C là hình vuông. Khi đó thể tích lăng trụ là
a3 3
A.
.
3
C. 2a 3 3 .
B. a 3 2 .
D. a 3 3 .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 2:
Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại C , AB = 3a , BC = 2a
. Góc giữa BC  và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 . Tính thể tích khối lăng trụ đó.
A. 2a 3 15 .
B.
2a 3 15
.
C. a 3 15 .
3
 Lời giải
D.
a3 15
.
3
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 3:
Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , BC = 2 2. Góc
giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( BCC B ) bằng 30. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. 12 .
B. 4 .
C. 4 2 .
D. 16 .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 4: Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác ABC vuông tại A , AC = a ,
ACB = 60 . Đường thẳng BC  tạo với mặt phẳng ( AC CA ) một góc 30 . Tính thể tích khối
lăng trụ đã cho.
A.
3a 3
.
2
B. 2 3a 3 .
C.
6a 3 .
D.
3a 3
.
3
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 5:
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có AB = a , góc giữa đường thẳng AB và mặt
phẳng ( BCC B ) bằng 30 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3 3
a .
2
B.
3 3
a .
4
C.
6 3
a .
12
D.
6 3
a .
4
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 6:
Cho hình hộp đứng ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình vuông. Gọi S là tâm hình vuông
ABC D . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Biết rằng, nếu MN tạo với mặt
phẳng ( ABCD ) một góc bằng 600 và AB = a thì thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
a 3 30
.
12
B.
a 3 30
.
3
C. a 3 30 .
D.
a3 3
.
2
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 7: Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a. Biết diện tích tam
giác ABC bằng 2a 2 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  .
A. 9 3a 3 .
B. 6 3a 3 .
C. 3 3a 3
D.
3a 3 .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 8:
Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Khoảng cách từ đường
thẳng AA đến mặt phẳng ( BCC B ) bằng khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABC  ) và
cùng bằng 1 . Góc giữa hai mặt phẳng ( ABC  ) và ( ABC ) bằng  . Tính tan  khi thể tích khối
lăng trụ ABC. ABC  nhỏ nhất.
A. tan  = 2 .
C. tan  =
B. tan  = 3 .
1
3
.
D. tan  =
1
2
.
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 9:
Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có BAC = 60 , AB = 3a và AC = 4a . Gọi M là trung
điểm của BC  , biết khoảng các từ M đến mặt phẳng ( BAC ) bằng
3a 15
. Thể tích khối lăng
10
trụ bằng
A. 4a 3
B. 27a 3
C. 7a 3
D. 9a 3
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:
Một khối lăng trụ có thể tích bằng V , diện tích mặt đáy bằng S . Chiều cao của khối lăng trụ đó
bằng
S
3V
V
S
A. .
B.
.
C. .
D.
.
V
S
S
3V
Câu 2:
Thể tích khối hộp chữ nhật có các kích thước 2, 3, 4 là
A. 6 .
B. 8 .
C. 72 .
D. 24 .
Câu 3:
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 5 và chiều cao bằng 3. Thể tích của khối lăng trụ đã cho
bằng
A. 45 .
B. 24 .
C. 5 .
D. 15 .
Câu 4:
Khối lăng trụ có diện tích đáy là 6 cm 2 và có chiều cao là 3 cm thì có thể tích V là
A. V = 6 cm3 .
B. V = 108 cm3 .
C. V = 54 cm3 .
D. V = 18 cm3 .
Câu 5:
Khối hộp chữ nhật có cách kích thước lần lượt là a, 2a, 3a có thể tích bằng
A.
Câu 6:
3a 3 2
.
5
B. 6a 3 .
C. 2a 3 .
D. 6a 2 .
Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB = 1m, AA ' = 3m, BC = 2m . Thể tích của khối
hộp đã cho bằng
3
A. 3m .
B. 6m3 .
C. 3 5m3 .
D.
5m3 .
Câu 7:
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là
4
1
1
A. V = B.h .
B. V = B.h .
C. V = B.h .
D. V = B.h .
3
2
3
Câu 8:
Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước là 4,5, 6 . Thể tích của khối hộp đã cho bằng:
A. 120 .
Câu 9:
B. 80 .
C. 40 .
D. 60 .
Khối lập phương ABCD. ABC D có độ dài đoạn AC = a . Thể tích khối đó là
A.
a3 3
.
9
B.
a3 3
.
6
C.
a3 3
.
3
D. a 3 .
Câu 10: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có BB ' = a , đáy ABC là tam giác vuông tại A và
AB = 2a, AC = 3a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. a 3 .
B. 6a 3 .
C. 3a 3 .
D. 2a 3 .
Câu 11: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 3a 2 và chiều cao h = a . Thể tích của khối lăng trụ đã
cho bằng
A.
a3 3
.
4
B.
a3 3
.
3
3
C. 3a 3 .
3
D. a 3 .
Câu 12: Cho một hình hộp chữ nhật có 3 kích thước bằng 12,15 và 20. Tính thể tích của hình hộp chữ
nhật đó.
A. V = 3600 .
B. V = 1800 .
C. V = 60 .
D. V = 2880 .
Câu 13: Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B . Biết C A = a 2
và AC C = 45 (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
A.
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
a3
.
6
B.
a3
.
12
C.
a3
.
4
D.
a3
.
2
Câu 14: Cho lăng trụ đứng ABC. AB C  có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 . Mặt phẳng ( AB C ) tạo
với mặt đáy bằng 45 . Thể tích lăng trụ ABC. AB C  bằng
B. 4 2
A. 3
D. 2 2
C. 6
Câu 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có tất cả các cạnh bằng a . Tính thể tích V của khối lăng
trụ ABC. ABC  .
A. V =
a3 3
.
2
B. V =
a3 2
.
3
C. V =
a3
.
2
D. V =
a3 3
.
4
Câu 16: Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2a và diện tích đáy bằng 2a 2 . Tính thể tích khối lăng trụ.
4a 3
A. V =
.
3
2a 3
B. V =
.
3
C. V = 2a 3 .
D. V = 4a 3 .
Câu 17: Cho khối lăng trụ tam giác đều, cạnh bên có độ dài gấp hai lần cạnh đáy. Biết tổng diện tích các
(
)
B. V =
a3 6
.
3
mặt của khối lăng trụ là 12 + 3 a 2 . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho
A. V = a 3 6 .
6 3
a .
8
C. V =
D. V = 2a 3 6 .
Câu 18: Cho khối hộp đứng ABCD. A1 B1C1 D1 có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC = 120o , đường
thẳng AC1 tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc 60o . Tính thể tích khối hộp đã cho
A.
3a 3
2
B.
3a 3
2
C.
a3
2
D.
3 3a 3
2
Câu 19: Cho lăng trụ đứng ABC . ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 . Gọi M là trung điểm
của BC , AM = a 3 . Thể tích khối lăng trụ ABC . ABC  bằng
A.
27a 3

8
B.
9a 3 3

8
C.
9a 3

8
D.
3a 3 3

8
Câu 20: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng 2 , một mặt bên có diện tích
bằng 4 2 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. 2 6.
B.
4 6
.
3
C.
2 6
.
3
D. 4 6.
Câu 21: Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có BB = a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
AC = 2a . Thể tích V của khối lăng trụ đã cho là
A. V = a .
3
B. V =
a3
.
3
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C. V =
a3
.
6
D. V =
a3
.
2
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 22: Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có BB = a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
BA = BC = a . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V = a 3 .
B. V =
a3
.
2
C. V =
a3
.
3
D. V =
a3
.
6
Câu 23: Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a và AA = 2a . Thể tích của
khối lăng trụ đã cho bằng
A.
a3 3
..
3
B.
a3 3
..
6
C.
3a 3 .
D.
a3 3
.
2
Câu 24: Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có BB = a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
AC = a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V = a 3 .
B. V =
a3
.
3
C. V =
a3
.
2
D. V =
a3
.
6
Câu 25: Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh 3a . Gọi M là một điểm trên mặt phẳng ( ABC D )
(tham khảo hình vẽ). Thể tích khối chóp M . ABCD .
3
A. 9a .
a3
B. .
3
C. 3a 3 .
D. 8a 3 .
Câu 26: Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a , biết
rằng ( A ' BC ) hợp với đáy ( ABC ) một góc 45o .Thể tích lăng trụ là:
A.
a3 2
.
2
B.
a3 3
.
3
C. a 3 3 .
D. a 3 2 .
Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là ABC vuông tại A , biết AB = a , AC = 2a và
AB = 3a . Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.
2 2a 3
.
3
5a 3
.
3
B.
C.
5a 3 .
D. 2 2a 3 .
Câu 28: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vuông, AC = 2 2a , góc giữa hai mặt
phẳng ( C ' BD ) và ( ABCD ) bằng 450 . Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng:
A. 4 2a 3 .
B.
4 2 3
a .
3
C. 32a 3 .
D.
32 3
a .
3
Câu 29: Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABC ) là 30 ,
tam giác ABC đều và có diện tích bằng
A. 2 3
B. 6.
3 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
C.
3 3
.
4
3
.
4
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
D.
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 30: Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABC ) là 30 ,
tam giác ABC đều và diện tích bằng
A. 2 3 .
3 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
B. 6 .
C.
3 3
.
4
D.
3
.
4
Câu 31: Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác ABC vuông tại A , AB = a, AC = 2a . Góc
giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABC ) bằng 60 . Thể tích V của khối lăng trụ ABC. ABC 
theo a .
A. V =
2 15 3
a .
5
B. V =
2 15 3
a .
15
C. V =
2 15 3
a .
45
D. V =
6 15 3
a .
45
Câu 32: Cho hình hộp ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a và góc ABC = 600 .
2a
Cạnh bên AA =
; A cách đều các đỉnh A, B, C . Tính theo a thể tích của khối hộp
3
ABCD. ABC D .
A.
a3 3
.
2
B.
a3 3
.
6
C. 16a 3 3 .
D. 8a 3 3 .
Câu 33: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A , mặt bên là BCC B
hình vuông, khoảng cách giữa AB và CC  bằng a . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  là
A.
2a 3 .
B.
2a 3
.
3
C. a 3 .
D.
2a 3
.
2
Câu 34: Cho hình hộp đứng ABCD. ABC D có đáy là hình thoi, góc BAD = 60 đồng thời AA = a .
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Biết rằng khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( ABD ) bằng
a 21
. Tính thể tích khối hộp ABCD. ABC D theo a .
21
a 2
A.
.
6
a 2
C.
.
2
a 3
B.
.
6
a 3
D.
.
2
Câu 35: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và BC = 2a .
Góc giữa đường thẳng A ' B với ( ABC ) bằng 30o . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho?
A.
6a 3
.
6
B.
6a 3 .
C.
6a 3
.
9
D.
6a 3
3
Câu 36: Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a . Biết
khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( ABC )
bằng
3
a . Tính thể tích của khối lăng trụ
3
ABC. ABC .
a3
a3 2
a3 3
.
C.
.
D.
.
9
2
3
Câu 37: Cho hình hộp đứng ABCD. ABC D có đáy là hình vuông cạnh a , góc giữa mặt phẳng ( DAB )
A.
a3 3
.
3
B.
và mặt phẳng ( ABBA ) bằng 30 . Thể tích khối hộp ABCD. ABC D bằng
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
a3 3
A.
.
18
B. a
3
3.
a3 3
C.
.
3
a3 3
D.
.
9
Câu 38: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. ABC D có AB = 2a , BC = 3a . Góc giữa hai mặt phẳng
( ABCD )
và ( ABCD ) bằng 45 . Thể tích khối hộp chữ nhật bằng
A. 12a 3 .
B. 18 2a 3 .
C. 18a 3 .
D. 6 13a 3 .
Câu 39: Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng ( ABC ) tạo với đáy một
góc 30 và tam giác ABC có diện tích bằng 32 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. 64 3 .
B.
64 3
.
3
C. 128 .
D.
128
.
3
Câu 40: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông tại A ; AC = b; ACB = 60 .
Đường thẳng BC ' tạo với mặt phẳng ( AA ' C ' C ) một góc 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ
đã cho theo b .
A.
b3 6
.
3
B. 2b3 6 .
C.
b3
.
6
D. b3 6 .

Câu 41: Cho khối hộp đứng ABCD. ABC D có đáy là hình thoi cạnh đáy bằng 2 cm , góc BAD = 30 ,
góc giữa AC và mặt phẳng đáy bằng 45 . Thể tích khối hôp đã cho bằng
A. 4 2 − 3 .
B. 2 2 + 3 .
C. 2 2 − 3 .
D. 4 2 + 3 .
Câu 42: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. ABC D có đáy là hình vuông. Gọi M là trung điểm của BB ,
góc giữa hai mặt phẳng ( MAC ) và ( ABC D ) bằng 300 . Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng
32a3 3
. Tính độ dài cạnh hình vuông.
3
A.
3a .
B. 2 3a .
C.
2a .
D. 2 2a .
Câu 43: Cho lăng trụ đứng ABCD. ABC D có đáy là hình chữ nhật, CD = a, CB = 2a , góc giữa hai
mặt phẳng ( C ' BD ) và ( ABCD ) bằng 60 . Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
A. 2a 3 .
B. 2 2a 3 .
C. 3 2a 3 .
D. 3a 3 .
Câu 44: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có AA = 2 , góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng
( AAC C ) bằng 45 . Tính thể tích V của lăng trụ ABC. ABC  .
A. V = 2 3 .
B. V = 4 3 .
C. V = 3 2 .
D. V = 7 2 .
Câu 45: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A1 B1C1 D1 có AB = 2 , AD = 4 , cosin của góc giữa AC và DA1
4
. Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. A1 B1C1 D1 .
30
24
A. 16 2 .
B.
.
C. 16 .
30
bằng
D. 32 2 .
Câu 46: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm
a
O của tam giác ABC đến mặt phẳng ( ABC ) bằng . Thể tích khối lăng trụ bằng
6
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
A.
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
3a 3 2
.
4
B.
3a 3 2
.
8
C.
3a 3 2
.
28
D.
3a 3 2
16
Câu 47: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. ABC D có đáy là hình vuông cạnh a . Khoảng cách từ A đến
mặt phẳng ( ABCD ) bằng
A. V = 2a . .
3
2a 5
. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đã cho.
5
2a 3
B. V =
..
3
a3 3
C. V =
.
2
D. V = 2a 3 3 .
Câu 48: Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có AC = a 7, ABC = 30 , AB = AA . Gọi M là trung điểm
của BB , khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC  bằng a 3 . Thể tích của khối lăng trụ
đứng ABC. ABC  là
A.
5 3 3
a .
3
B.
25a 3
.
2
C.
25 3a 3
.
6
D.
5 3 3
a
6
Câu 49: Cho hình hộp đứng ABCD. ABC D có cạnh AA = 2 , đáy ABCD là hình thoi với ABC là tam
giác đều cạnh bằng 4. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , C D, DD và Q thuộc cạnh
BC sao cho QC = 3QB . Tính thể tích tứ diện MNPQ .
A. 3 3 .
B.
3 3
.
2
C.
3
.
4
D.
3
.
2
Câu 50: Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh
BC = a . Gọi M là trung điểm của cạnh AA , biết hai mặt phẳng ( MBC ) và ( MBC ) vuông
góc với nhau, thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.
a3 2
.
8
B.
a3
.
4
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C.
a3 2
.
24
D.
a3
.
8
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 8: Thể tích khối đa diện đều
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có AB = a, góc giữa đường thẳng AC và mặt
phẳng ( ABC ) bằng 45. Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
a3 3
A.
.
12
a3 3
B.
.
4
a3 3
C.
.
2
a3 3
D.
.
6
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 2:
Cho lăng trụ đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng a , AC tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60 .
Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  theo a .
A.
3a 3
.
4
B.
3a 3
.
12
C.
a3
.
4
D.
3a3
.
4
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 3:
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai
đáy và bằng 18 3 . Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' tính theo đơn vị thể tích bằng
A. 18 3 .
C. 36 3 .
B. 27 .
D. 64 .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng ( ABC  ) tạo với mặt
phẳng ( ABC ) một góc 60 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.
a3 3
.
2
B.
3a3 3
.
4
C.
a3 3
.
8
D.
3a3 3
.
8
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 5:
Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.
27 3
.
4
B.
9 3
.
8
C.
9 3
.
2
D.
27 3
.
12
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 6:
Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh đáy bằng a , góc giữa A ' B và mặt phẳng
A ' ACC ' bằng 300 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A. V = a 3 .
B. V = a3 3 .
C. V = a 3 2 .
 Lời giải
D. V = 2a 3 .
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 7:
Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng a . Mặt phẳng ( A ' BC ) hợp với mặt
phẳng đáy một góc 450 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
3a3
A.
8
a3 3
B.
8
a3 3
C.
4
a3
D.
8
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 8:
Cho hình lăng trụ đều ABC  A BC  . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
(
) (
)
a, góc giữa hai mặt phẳng ABC  và BCCB bằng  với cos  =
1
2 3
( ABC ) bằng

. Tính thể tích khối
lăng trụ ABC  A BC  .
A. V =
3a3 2
.
4
B. V =
3a3 2
a3 2
.
C. V =
.
8
2
 Lời giải
D. V =
3a3 2
.
2
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 9:
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng a . Đường thẳng BC  tạo với mặt
phẳng ( ACC A ) góc  thỏa mãn cot  = 2 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.
33 3
a .
8
B.
4 11 3
C.
a .
3
 Lời giải
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
11 3
a .
8
D.
2 33 3
a .
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có AB = 2a, đường thẳng AB tạo với mặt phẳng
( BCCB) một góc 30. Tính thể tích V
A. V = a3 6 .
B. V =
của khối lăng trụ đã cho.
a3 6
.
C. V = 2a3 6 .
3
 Lời giải
D. V =
a3 6
.
2
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
C
Câu 1:
Câu 2:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Thể tích V khối lập phương cạnh 3a là
A. V = 81a 3 .
B. V = 9a 3 .
Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có tam giác ABC đều cạnh
thể tích V của khối lăng trụ ABC. ABC  .
3a3
A. V =
.
4
Câu 3:
Câu 5:
Câu 6:
3a 3
.
4
Câu 9:
B. V =
a3
.
4
Thể tích khối lập phương cạnh 2a bằng
A. 32a 3 .
B. 16a 3 .
a và độ dài cạnh bên 2a . Tính
= 3a 3 .
D. V
C. V = a 3 .
C. 64a 3 .
D. V = 3a 3 .
D. 8 .
D. 8a 3 .
Cho khối lập phương có thể tích bằng 64. Cạnh của khối lập phương đã cho bằng
B. 4.
C. 32.
D. 8.
Thể tích của một khối lập phương có cạnh bằng 1m là
1
C. V = m3 .
D. V = 1m 2
3
Cho khối lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Thể tích khối lăng trụ đã
cho bằng
4
2
A. 4a 3 .
B. a 3 .
C. a 3 .
D. 2a 3 .
3
3
Thể tích của khối lập phương cạnh 4a bằng
A. 16a 3 .
B. 64a 3 .
C. 4a 3 .
D. a 3 .
A. V = 3m.
Câu 8:
V = 2 3a .
3a3
C. V =
.
2
Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 2 bằng
8
A. .
B. 4 .
C. 6 .
3
A. 4 2.
Câu 7:
B.
3
D. V = 27 a 3 .
Cho lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng 2a , độ dài cạnh bên bằng a 3 . Thể tích V
của khối lăng trụ bằng
A. V =
Câu 4:
C. V = a 3 .
B. V = 1m3 .
Câu 10: Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 3 là
A. 36 .
B. 9 .
C. 27 .
D. 81 .
Câu 11: Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng 3 và đáy là tam giác đều có độ dài cạnh bằng 2 . Tính
thể tích khối lăng trụ đã cho
A. 3 .
B. 3 3 .
Câu 12: Thể tích khối lập phương cạnh 3a bằng
A. 3a 3 .
B. 27a 3 .
C.
3.
C. a 3 .
D. 6 .
D. 9a 3 .
Câu 13: Cho ( H ) là lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, thể tích của ( H ) bằng
dài cạnh của khối lăng trụ ( H ) là
A.
3
3.
B.
3
.
4
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
3
C. 1 .
D.
16
.
3
3
. Độ
4
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 14: Khối lập phương có cạnh bằng 2a thì có thể tích V là
A. V = 4a .
3
B. V = a .
3
Câu 15: Thể tích của khối lập phương cạnh 2 bằng
A. 6 .
B. 8 .
Câu 16: Khối lập phương đơn vị có thể tích bằng
1
A. 3 .
B. .
3
C. V = 8a .
8a 3
D. V =
.
3
C. 2 .
D. 4 .
C. 1 .
D. 12 .
3
Câu 17: Cho hình lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng a 2 , cạnh bên bằng a 5 . Thể tích của khối
lăng trụ đó bằng
A.
2a 3 5
.
9
B. a 3 5 .
C. 2a 3 5 .
D.
2a 3 5
.
3
Câu 18: Cho lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3a . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.
9 3a 3
.
2
B.
9 3a 3
.
4
C.
27 3a 3
.
2
D.
27 3a 3
.
4
Câu 19: Cho khối lăng trụ đều ABC . A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 3 . Thể tích của
khối lăng trụ bằng
a3
A.
.
3
B.
3a 3
.
4
a3
C.
.
6
3a 3
D.
.
4
Câu 20: Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng
A. a 3 .
B. 8a 3 .
Câu 21: Thể tích của khối lập phương cạnh 3a bằng
A. 3a 3 .
B. a 3 .
C
.
a 31
.
4
C. 27a 3 .
D.
2a 5
.
5
D. 9a 3 .
Câu 22: Thể tích của khối lăng trụ đều có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng a là:
A. 8a 3 .
B. a 3 3 .
C.
a3 3
.
3
D. 2a 3 .
Câu 23: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng a . Góc tạo bởi đường thẳng AB và
mặt phẳng ( AAC ) bằng 300 . Thể tích khối lăng trụ bằng
A.
a3 6
.
4
B.
a3 3
.
2
C.
a3 6
.
12
D.
a3 3
.
4
Câu 24: Tính thể tích V của khối lập phương ABCD. ABC D biết AC  = 2a 3 .
A. V = a 3 .
B. V = 24a 3 3 .
C. 8a 3 .
D. V = 3 3a 3 .
Câu 25: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có AB = a , góc giữa đường thẳng AC và mặt
phẳng ( ABC ) bằng 45 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.
a3 3
.
4
B.
a3 3
.
6
C.
a3 3
.
12
D.
a3 3
.
2
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 26: Cho lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng
A.
9
.
4
B.
3
.
4
C.
3 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
9
.
12
D.
3
.
8
Câu 27: Cho một khối lập phương ABCD. ABC D có đường chéo AC  = a 6 có thể tích là
A. 2a 3 2 .
B. a 3 .
C. 6a 3 6 .
D. 4a 3 .
Câu 28: Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a .
A. V =
a3 3 .
2
B. V =
a3 3 .
4
C. V =
a3 3 .
12
D. V =
a3 3 .
6
Câu 29: Tính thể tích V của khối lập phương ABCD. ABC D , biết AC  = a 3
A. V =
3 6a 3
.
4
B. V = a 3 .
1
C. V = a 3 .
3
D. V = 3 3a 3 .
Câu 30: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có AC  = 2a 3 . Tính thể tích hình lập phương
ABCD. ABC D .
8
A. V = 8a 3 .
B. V = 4a 3 .
C. V = a 3 .
D. V = a 3 .
3
Câu 31: ) Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC . ABC  có AB = a và AA ' = 2a. Thể tích của khối lăng
trụ ABC . ABC  bằng
A.
a3 3
.
2
B.
a3 3
.
6
C. a 3 3 .
D.
a3 3
.
12
Câu 32: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  , biết AB = a , AB = a 7 . Thể tích V của khối lăng
trụ là
3
3
3
a 3
3a 3
a 3
3a3 2
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
4
4
3
4
Câu 33: Cho lăng trụ tam giác đều ABC . AB C  có cạnh bên bằng 2a . Đáy ABC nội tiếp đường tròn
bán kính R = a . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A.
3a 3 3
.
2
B. 3a 3 .
C.
3a 3
.
2
D.
a3 3
.
2
Câu 34: Cho hình lăng trụ đều ABC. ABC  , đáy là tam giác đều cạnh a góc giữa hai mặt phẳng ( ABC )
và ( ABC ) bằng 60 . Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
3 3a 3
3a 3
3 3a 3
3a 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4
8
8
Câu 35: Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF . ABC DE F  có cạnh đáy bằng a , biết thể tích của
A.
khối lăng trụ ABCDEF . ABC DE F  là V = 3 3a 3 . Tính chiều cao h của khối lăng trụ
ABCDEF . ABC DE F  .
A. h = 2a .
B. h = a 3 .
C. h =
2a 3
.
3
D. h = a .
Câu 36: Cho khối lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có diện tích mặt chéo ACC ' A ' bằng 2 2a 2 . Thể tích
của khối lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' bằng
A. 2a 3 .
B. 2 2a 3 .
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C. a 3 .
D. 8a 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 37: Cho khối lăng trụ đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng 2a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng ( ABC  ) bằng a . Thể tích khối lăng trụ đã cho là
3 2a 3
A.
.
2
3 2a 3
B.
.
8
2a 3
.
2
C.
3 2a 3
D.
.
6
Câu 38: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BD bằng
2 3a
. Thể tích của khối lập phương ABCD. ABC D bằng
3
A. 8a 3 .
B.
3 6 3
a .
4
C. 3 3a 3 .
Câu 39: Cho hình lăng trụ đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng
D. a 3 .
2a 3
. Đường thẳng BC  tạo với mặt
3
phẳng ( ACC A ) góc  thỏa mãn cot  = 2 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A. 4 a 3 11 .
3
B. 1 a 3 11 .
9
C. 1 a 3 11 .
3
D. 2 a 3 11 .
3
Câu 40: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABC D . Biết khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng AC
và DC  lần lượt là
A.
a 3 21
.
6
a 21
2
và  , cos  =
. Tính thể tích lăng trụ ABCD. ABC D
7
4
B.
a3 7
.
2
C.
a 3 15
.
2
D. a 3 3 .
Câu 41: Cho hình lăng trụ đều ABC. ABC  . Biết cosin góc giữa hai mặt phẳng ( ABC  ) và ( BCC B )
bằng
1
2 3
và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABC  ) bằng a . Thể tích khối lăng trụ
ABC. ABC  bằng:
A.
3a 3 2
.
8
B.
a3 2
.
2
C.
3a 3 2
.
4
D.
3a 3 2
.
2
Câu 42: Cho khối bát diện đều có cạnh a . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác
SAB, SBC , SCD, SDA ; gọi M , N , P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác
S AB, S BC , S CD, S DA (như hình vẽ dưới). Thể tích của khối lăng trụ MNPQ.M N PQ là
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
A.
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
2a 3
.
72
B.
2 2a 3
.
81
C.
2a 3
.
24
D.
2 2a 3
.
27
Câu 43: Cho hình lăng trụ đều ABC. ABC  có cạnh đáy a ; biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
và A C bằng
A.
3 3a 3
.
8
a 15
. Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  tính theo a bằng:
5
B.
3a 3
.
2
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C.
3a 3
.
8
D.
3a 3
.
4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 9: Thể tích khối lăng trụ xiên
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a . Hình
chiếu vuông góc của A ' trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của cạnh AB và AA ' = a 2
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng?
A.
a
3
3.
B. 2a 3 2 .
C.
a3 6
.
2
D.
a3 6
.
6
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 2:
Cho khối lăng trụ ABC. AB C  có thể tích bằng 18 ( cm 3 ) . Gọi M , N , P theo thứ tự là trung
điểm các cạnh CC , BC , B C  . Khi đó thể tích V của khối chóp A.MNP là
A. 9 ( cm 3 ) .
B. 3 ( cm 3 ) .
C. 12 ( cm 3 ) .
D. 6 ( cm 3 ) .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 3:
Cho lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AA = AB = AC . Biết rằng
AB = a, BC = a 3 và mặt phẳng ( ABC ) tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Thể tích khối
lăng trụ ABC. ABC  bằng?
A.
3a 3
.
4
B.
3a 3
2
C. a 3 .
 Lời giải
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D.
a3
4
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 4:
Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của
A trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa AA và
BC bằng
a 3
. Khi đó thể tích khối lăng trụ là
4
a3 3
A.
.
12
a3 3
B.
.
6
a3 3
C.
.
3
a3 3
D.
.
24
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 5:
Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A xuống
mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của đoạn AB . Mặt bên ( AAC C ) tạo với đáy 1 góc 45 .
Tính thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  .
A.
3 3a 3
.
16
B.
3a3
.
8
C.
3a3
.
16
D.
3 3a 3
.
8
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 6: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của
A trên ( ABC ) là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng AC với mặt phẳng đáy bằng
60 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.
2a 3
.
4
3 3a 3
B.
.
4
C.
3a 3
.
4
3 3a 3
D.
.
8
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:
Cho khối lăng trụ có thể tích V = 45 và diện tích đáy B = 9 . Chiều cao của khối lăng trụ đã cho
bằng
A. 20 .
B. 10 .
C. 15 .
D. 5 .
Câu 2:
Một lăng trụ có diện tích đáy bằng 5 và chiều cao bằng 6 có thể tích bằng.
A. 12 .
B. 30 .
C. 10 .
D. 18 .
Một khối lăng trụ có diện tích đáy B = 5 và chiều cao h = 6 . Thể tích của khối lăng trụ đó bằng
A. 25 .
B. 10 .
C. 15 .
D. 30 .
Câu 3:
Câu 4:
Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a . Thể tích của khối lăng
trụ đã cho bằng ?
16 3
4
a .
A. 4a 3 .
B. 16a 3 .
C.
D. a 3 .
3
3
Câu 5:
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h . Thể tích V của khối lăng trụ đã cho được
tính theo công thức nào dưới đây?
1
4
A. V = Bh .
B. V = Bh .
C. V = 6 Bh .
D. V = Bh .
3
3
Câu 6:
Cho hình hộp ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O . Hình chiếu vuông góc
3a
của A lên ( ABCD ) trùng với O . Biết AB = 2a , BC = a , cạnh bên AA bằng
. Thể tích của
2
khối hộp ABCD. ABC D bằng
3
A. 2a .
Câu 7:
3
B. 3a .
4a 3
C.
.
3
3a 3
D.
.
2
Cho lăng trụ ABC. ABC  có diện tích tam giác ABC bằng 4, khoảng cách từ A đến BC bằng
3, góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABC  ) bằng 30 . Thể tích khối lăng lăng trụ
ABC. ABC  bằng
A. 12 .
Câu 8:
C. 2 .
D. 3 3 .
Cho khối lăng trụ ABCD. AB C D  có đáy là hình thoi cạnh a , BAD = 120 , khoảng cách giữa
hai đường thẳng B D  và AC bằng 2a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.
Câu 9:
B. 6 .
3a 3 .
B.
3 3
a .
6
C.
3 3
a .
2
D.
3 3
a .
3
Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' . Mặt bên ( BCC ' B ') có diện tích bằng 10, khoảng cách
từ A ' đến mặt phẳng ( BCC ' B ') bằng 6. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
A. 40 .
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
B. 30 .
C.
40
.
3
D. 60 .
Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt phẳng
đáy bằng 30 . Hình chiếu của A xuống mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm của BC . Tính
thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  .
a3 3
A.
.
24
a3
B.
.
8
a3 3
C.
.
8
a3 3
D.
.
4
Câu 11: Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh 3, cạnh bên bằng 2 3 và tạo với mặt
phẳng đáy một góc 30. Khi đó thể tích khối lăng trụ là?
A.
9
.
4
B.
27 3
.
4
C.
27
.
4
D.
9 3
.
4
Câu 12: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng
4 a . Mặt phẳng ( BCC B ) vuông góc với đáy và BBC = 30 . Thể tích khối chóp A.CC B  bằng
a3 3
A.
.
2
a3 3
B.
.
12
a3 3
C.
.
18
a3 3
D.
.
6
Câu 13: Cho khối lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC = 60 . Chân đường
cao hạ từ B  trùng với tâm O của đáy ABCD , góc giữa mặt phẳng ( BBC C ) với đáy bằng
60 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3a 3 3
.
8
B.
2a 3 3
.
9
C.
3a 3 2
.
8
D.
3a 3
.
4
Câu 14: Cho khối lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AA = AB = AC . Biết
rằng AB = a và BC = a 3 và mặt phẳng ( ABC ) tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60 .
Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
3a 2
A.
.
2
3a 2
B.
.
2
3a 2
C.
.
4
a2
D.
.
4
Câu 15: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có tất cả các cạnh bằng a , các cạnh bên tạo với đáy góc 60 .
Tính thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.
a3 3
.
24
B.
a3 3
.
8
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C.
3a 3
.
8
D.
a3
.
8
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 16: Cho khối lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hình chiếu của B  lên
mp ( ABCD ) trùng với giao điểm của AC và BD , biết góc giữa hai mặt phẳng ( ABA ) và
( ABCD )
A.
bằng 60 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD. ABC D .
a3 3
.
3
B.
a3 6
.
6
C.
a3 3
.
2
D.
a3 6
.
2
Câu 17: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,
AB = 3a, AC = 5a , hình chiếu của A xuống mặt phẳng ( ABC ) là trọng tâm tam giác ABC .
Biết mặt bên ACC A hợp với mặt đáy ABC  một góc 600 , thể tích khối lăng trụ ABC. ABC 
là
A.
24a 3 3
.
5
B.
8a 3 3
.
5
C.
12a 3 3
.
5
D.
6a 3 3
.
5
Câu 18: Cho khối hộp ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC = 120 . Hình chiếu
vuông góc của D lên ( ABCD ) trùng với giao điểm của AC và BD , góc giữa hai mặt phẳng
( ADDA)
A.
và ( ABC D ) bằng 45 . Thể tích khối hộp đã cho bằng
3 3
a .
8
B.
1 3
a .
8
C.
3 3
a .
16
D.
3 3
a .
4
Câu 19: Cho lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và AB = a , AD = a 3 ;
AO vuông góc với đáy ( ABCD ) . Cạnh bên AA hợp với mặt đáy ( ABCD ) một góc 45 . Tính
theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho
A. V =
a3 3
.
3
B. V =
a3 3
.
6
C. V = a 3 3 .
D. V =
a3 6
.
2
Câu 20: Cho hình lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a , ABC = 600 . Chân đường
cao hạ từ B ' trùng với O của đáy ABCD , góc giữa mặt phẳng ( BB ' C ' C ) với đáy bằng 600 . Thể
tích lăng trụ bằng
A.
16a 3 3
.
9
B. 3a 3 2 .
C. 3a 3 3 .
D. 6a 3 .
Câu 21: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  cạnh bên có độ dài bằng 4 , BB tạo với đáy góc 600 . Hình chiếu
vuông góc của A trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC . Biết
khoảng cách từ điểm A đến các đường thẳng BB và CC  bằng nhau và bằng 3 . Tính thể tích
khối lăng trụ ABC. ABC  .
A. 18 3 
B. 9 3 
C. 6 3 
D. 12 3 
Câu 22: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC vuông tại A , AB = a, BC = 2a , biết hình
chiếu của A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm của cạnh BC . Góc giữa AA ' và mặt
phẳng ( ABC ) bằng 600 . Khi đó thể tích của hình trụ ABC. A ' B ' C ' bằng:
A.
1 3
a .
2
B.
1 3
a .
6
C.
3 3
a .
2
D.
1 3
a .
3
Câu 23: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
trên mặt phẳng ( ABC  ) trùng với trung điểm H của BC  . Biết rằng góc giữa AA và mặt
phẳng ( ABC  ) bằng 60 . Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.
3 3 3
a .
8
B.
3 3 3
a .
4
C.
3 3
a .
4
D.
3 3
a .
8
Câu 24: Cho lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều. Điểm M là trung điểm cạnh AB , tam
giác MAC đều cạnh 2a 3 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối lăng trụ
ABC. ABC  là
A. 10a 3 3 .
B. 4a 3 3 .
C. 12a 3 3 .
D. 8a 3 3 .
Câu 25: Cho lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A
lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường
thẳng AA và BC bằng
A.
a3 3
.
12
a 3
. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là
4
B.
a3 3
.
6
C.
a3 3
.
3
D.
a3 3
.
24
Câu 26: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB = 3, AD = 4, AA ' = 5 , BAD = DAA ' = A ' AB = 600 .
Thể tích khối hộp đã cho là
A. 30 2 .
B. 60 .
C. 30 .
D. 60 3 .
Câu 27: Cho lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A . Mặt phẳng ( ACC A )
vuông góc đáy, BC = a 2 và C A = C C = CA . Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  là
A.
3 3
a .
12
B.
3 3
a .
2
C.
3a 3 .
D.
3 3
a .
4
Câu 28: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A lên mặt phẳng
( ABC ) trùng với trung điểm cạnh AB, góc giữa AA và mặt đáy của hình lăng trụ đã cho bằng
60 . Tính thể tích V của khối chóp A.BCC B.
a3
A. V = .
4
B. V =
a3
.
8
C. V =
3a 3
.
4
D. V =
3a 3
.
8
Câu 29: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có AA = AB = AC  . Tam giác ABC vuông cân tại A có
BC = 2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCC B ) là
a 3
. Tính thể tích khối lăng trụ đã
3
cho.
A. V =
a3 2
.
2
B. V =
a3 2
.
6
C. V =
a3 3
.
6
D. V =
a3 3
.
3
Câu 30: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều. Biết AA ' = AB = a . Các
mặt bên ( A ' AB ) và ( A ' AC ) cùng hợp với đáy ( ABC ) 1 góc 600 . Thể tích khối lăng trụ
ABC. A ' B ' C ' bằng?
A.
3a 3 7
.
28
B.
3a 3 7
.
4
C.
3a 3
.
7
D.
a3 7
28
Câu 31: Cho lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác vuông cân tại B , AC = 2a . Hình chiếu vuông góc
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
của A lên mặt phẳng ( ABC ) là điểm H thuộc cạnh AC sao cho AH =
( ABBA)
1
AC . Mặt bên
3
tạo với đáy một góc 60 . Thể tích khối lăng trụ là
a3 6
a3 6
a3
a3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
9
3
9
3
Câu 32: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh là a . Tam giác AAB cân tại
A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, mặt bên ( AACC ) tạo với mặt phẳng
( ABC ) một góc 45

A. V =
3a 3
.
32
. Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  là
B. V =
3a 3
.
4
C. V =
3a 3
.
8
D. V =
3a 3
.
16
Câu 33: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có AA = AB = AC . Tam giác ABC vuông cân tại A có
BC = 2a . Hai mặt phẳng ( AABB) và ( ABC ) vuông góc nhau. Tính thể tích khối lăng trụ đã
cho.
A. V =
a3 2
.
2
B. V =
a3 2
.
6
C. V =
a3 3
.
2
D. V =
a3 3
.
6
Câu 34: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , AB = 2a, BC = a, ABC = 600 . Hình chiếu vuông góc của
điểm A ' lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm O của cạnh AC . Góc giữa hai mặt phẳng
( ABB ' A ')
a3 3
A.
.
2
và ( ABCD ) bằng 600 . Thể tích của hình hộp đã cho bằng
3a 3 7
B.
.
4
3a 3
C.
.
2
3a 3 3
D.
.
4
Câu 35: Cho hình lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , ABC = 60 .
Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABCD trùng với tâm O . Góc giữa mặt phẳng
( ADDA) và mặt đáy ( ABCD ) bằng 60 . Tính thể tích lăng trụ ABCD. ABC D .
A.
3a 3
.
4
B.
a3
.
4
C.
3a 3 3
.
8
D.
a3 3
.
8
Câu 36: Cho hình lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O có AB = 2a ,
AC = 4a và AA = AB = AC . Biết hai mặt phẳng ( AAC ) và ( DAC  ) tạo với nhau góc 30 .
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A. 6 3a 3 .
B. 12 2a 3 .
C. 6 2a 3 .
D. 12 3a 3 .
Câu 37: Cho hình lăng trụ ABCD. ABC D có đáy là hình thang vuông tại A, B ( BC //AD ) , góc giữa hai
mặt phẳng ( ABCD ) và ( AABB ) bằng 90 và BC = 12, AD = 16, CD = 5 ,tam giác ABA
đều. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là
A. 126
3.
B. 252 .
C.
63 3 .
D. 410 .
Câu 38: Lăng trụ tam giác ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy
bằng 30 . Hình chiếu của A lên ( ABC ) là trung điểm I của BC . Thể tích khối lăng trụ là
A.
a3 3
.
12
B.
a3 3
.
6
C.
a3 3
.
2
D.
a3 3
.
8
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 39: Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a .
Mặt phẳng ( BCC B ) vuông góc với đáy và góc giữa hai đường thẳng AA ' và BC bằng 300 .
Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A.
3a 3
.
9
B.
3a 3
.
3
C.
3a 3
.
6
D.
3a 3
.
2
Câu 40: Cho hình lăng trụ ABCD. ABC D có ABCD là hình chữ nhật. Tính thể tích khối lăng trụ đã
cho biết AA = AB = AD và AB = a, AD = a 3, AA = 2a
A. 3a 3 .
B. a 3 .
C. a 3 3 .
D. 3a 3 3 .
Câu 41: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm
A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường
thẳng AA và BC bằng
a 3
. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC. ABC  .
4
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
6
12
3
24
Câu 42: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABC D có đáy là hình vuông; khoảng cách và góc giữa
A. V =
hai đường thẳng AC và DC  lần lượt bằng
3 7a
2
và  với cos  =
. Thể tích khối lăng trụ
7
4
đã cho bằng
A. 3a 3 .
B. 9a 3 .
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C. 3 3a 3 .
D.
3a 3 .
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 10: Tỷ số thể tích khối lăng trụ
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho khối lăng trụ tam giác ABC. ABC  có thể tích
2
1
A. V .
B. V .
C.
3
3
 Lời giải
V . Thể tích của khối chóp B. ACC A bằng
1
3
D. V .
V.
2
4
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 2:
Cho hình hộp ABCD. ABC D . Tính tỷ số thể tích của khối tứ diện BDAC  và khối hộp
ABCD. ABC D .
1
2
1
2
A. .
B. .
C. .
D. .
5
3
3
5
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 3:
Cho hình hộp ABCD. ABC D , gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
AB, AD, BC  . Tỷ số thể tích của khối MNPD  và khối hộp ABCD. ABC D bằng
A.
1
.
6
B.
1
.
8
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C.
1
.
24
D.
1
.
12
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 4:
Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có thể tích bằng V . Thể tích của khối tứ diện A ' BC ' D bằng
V
V
V
V
A. .
B. .
C. .
D. .
2
6
3
4
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
C
Câu 1:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Cho khối lăng trụ ABC. ABC  có thể tích V và M là trung điểm của cạnh AA , thể tích khối
chóp M . ABC là
A.
Câu 2:
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
V
.
6
B.
V
.
4
C.
V
.
2
D.
V
.
3
Cho lăng trụ ABC. ABC  biết diện tích mặt bên ( ABBA ) bằng 15 , khoảng cách từ C đến mặt
phẳng ( ABBA ) bằng 6 . Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A. 60 .
B. 45 .
C. 90 .
D. 30 .
Câu 3:
Cho lăng trụ ABC. ABC  , gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AA và BC . Biết khối
tứ diện AMNB có thể tích là 3a 3 . Tính thể tích lăng trụ ABC. ABC  .
A. 9a 3 .
B. 12a 3 .
C. 36a 3 .
D. 18a 3 .
Câu 4:
Câu 5:
Cho khối lăng trụ tam giác ABC. ABC  . Biết thể tích của khối chóp A. ABC bằng V . Thể tích
khối lăng trụ ABC. ABC  là
V
3V
2V
.
.
A. .
B.
C.
D. 3V .
3
2
3
Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có thể tích bằng V . Gọi M là trung điểm cạnh BB , điểm N
V
thuộc cạnh CC  sao cho CN = 2C N . Khối chóp A.BCNM có thể tích là V1 . Tính 1 .
V
1
7
7
5
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
3
18
12
18
Câu 6:
Cho khối hộp ABCD. ABC D có thể tích bằng 1 . Thể tích của khối tứ diện ABC C bằng
A.
2
.
3
B.
1
.
3
C.
1
.
2
D.
1
.
6
Câu 7:
Cho khối lăng trụ tam giác ABC. ABC  có thể tích là V . Gọi M là trung điểm cạnh AA . Khi
đó thể tích khối chóp M .BCC B là
V
2V
V
V
A. .
B.
.
C. .
D. .
2
3
3
6
Câu 8:
Cho hình hộp ABCD. ABC D có O = AC  BD . Với thể tích khối chóp A. AOD là a 3 thì thể
tích khối hộp ABCD. ABC D là
A. 6a 3 .
B. 12a 3 .
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C. 3a 3 .
D. 4a 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' . Gọi I là trung điểm BC. Tính tỉ số thể tích khối tứ diện
A’ABI và thể tích khối lăng trụ đã cho.
A.
1
.
4
B.
1
.
12
C.
1
.
6
D.
1
.
3
Câu 10: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. ABC  có thể tích V . Gọi M là trung điểm của AA , N là
trung điểm AM , P nằm trên BB sao cho BP = 4 BP . Gọi thể tích khối đa diện MNBCC P là
V
V1 . Tỉ số 1 bằng
V
41
37
41
2
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
60
49
57
3
Câu 11: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có thể tích là V . M , N , P là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh
AA ', BB ', CC ' sao cho
AM 1 BN
CP
= ,
= x,
= y . Biết thể tích khối đa diện ABC.MNP bằng
AA ' 3 BB '
CC '
2V
. Giá trị lớn nhất của xy bằng:
3
17
25
A.
.
B.
.
21
36
C.
5
.
24
D.
9
.
16
Câu 12: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BB ' và CC ' . Tỉ số thể tích
VABCMN
là
VABC . A ' B 'C '
A.
1
.
6
B.
1
.
3
C.
1
.
2
D.
2
.
3
Câu 13: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC  có thể tích là V và độ dài cạnh bên AA = 6 đơn vị. Cho
điểm A1 thuộc cạnh AA sao cho AA1 = 2 . Các điểm B1 , C1 lần lượt thuộc cạnh BB , CC  sao
cho BB1 = x, CC1 = y , ở đó x, y là các số thực dương thỏa mãn xy = 12. Biết rằng thể tích của
1
V . Giá trị của x − y bằng
2
A. 3 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 0 .
Câu 14: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M là điểm thuộc đoạn CC ' thỏa mãn
CC ' = 4CM . Mặt phẳng ( AB ' M ) chia khối lập phương thành hai phần có thể tích V1 và V2 .
khối đa diện ABC. A1 B1C1 bằng
Gọi V2 là phần có chứa điểm B . Tính tỉ số k =
A.
32
.
25
B.
7
.
16
V1
.
V2
C.
25
.
7
D.
7
.
32
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia



Câu 15: Cho hình lăng trụ ABC. ABC
V . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA , BB ,
CC  sao cho AM = 2 MA , NB
ũ  = 2 NB , PC = PC  . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của hai khối
V
đa diện ABCMNP và ABCăMNP . Tính tỉ số
n
V1
.
V2
V
A. 1 = 2 .
V2
V
V 1
V 2
B. B1 = 1 .
C. 1 = .
D. 1 = .
Vắ2
V2 2
V2 3
c . ABC  có thể tích V . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của
Câu 16: Cho khối lăng trụ tam giác ABC
các cạnh AB; BC ; CC  . Mặt phẳng ( MNP ) chia khối lăng trụ đã cho thành 2 phần, phần chứa
điểm B có thể tích là V1 . Tỉ số
A.
61
.
144
B.
V1
bằng
V
37
.
144
C.
49
.
144
D.
25
.
144
Câu 17: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm B ' A ' và B ' B . Mặt
phẳng ( P ) đi qua MN và tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') một góc  sao cho tan  = 2 . Biết
( P)
cắt các cạnh DD ' và DC . Khi đó mặt phẳng ( P ) chia khối lập phương thành hai phần,
gọi thể tích phần chứa điểm A là V1 và phần còn lại có thể tích V2 . Tỉ số
A.
V1
= 1.
V2
B.
V1
= 2.
V2
C.
V1 1
= .
V2 3
V1
là
V2
D.
V1 1
= .
V2 2
Câu 18: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , điểm M thuộc cạnh CC ' sao cho CC ' = 3CM . Mặt phẳng
( AB ' M )
chia khối hộp thành hai khối đa diện.
thể tích khối đa diện chứa đỉnh B . Tính tỉ số
A.
13
.
41
B.
41
.
108
V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A ' , V2 là
V1
?
V2
C.
13
.
8
D.
41
.
13
Câu 19: Cho lăng trụ ABCD. ABC D có ABCD là hình thang đáy AB, CD sao cho AB = 2CD . Gọi
AM 3 DN 4
= ;
= , mặt phẳng ( BMN ) chia khối
MA 4 ND 3
lăng trụ thành hai khối đa diện, gọi V1 là thể tích của khối đa diện có chứa đỉnh A;V2 là thể tích
M , N lần lượt thuộc cạnh AA, DD sao cho
khối đa diện còn lại. Biết
A. 167 .
V1 a
= . Giá trị của biểu thức a + 2b bằng
V2 b
B. 211 .
C. 293 .
D. 208 .
Câu 20: Cho hình hộp ABCD .ABC D có thể tích bằng V . Điểm M là trung điểm cạnh CC  . Mặt
phẳng ( P ) chứa AM cắt các cạnh BB, DD lần lượt tại N , P chia khối hộp thành hai phần.
Thể tích phần chứa đỉnh C  bằng
V
V
A. .
B. .
2
3
C.
V
.
6
D.
V
.
4
Câu 21: Cho lăng trụ ABC. ABC  có thể tích bằng V . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc AA ,
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
BB , AC  sao cho
AM BN C P 1
=
=
= . Gọi Q là trung điểm BC . Thể tích khối tứ diện
AM BN AP 2
MNPQ bằng
A.
2
V.
9
B.
1
V.
3
C.
2
V.
7
D.
2
V.
3
Câu 22: Cho hình hộp ABCD  ABC D có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng a và BAC = 60 .
Gọi I , J lần lượt là tâm của các mặt bên ABBA, CDDC  . Biết AI =
a 7
, AA = 2a và góc
2
giữa hai mặt phẳng ( ABBA ) , ( ABC D ) bằng 60 . Tính theo a thể tích khối tứ diện AOIJ .
A.
3 3a 3
.
64
B.
3a 3
.
48
C.
3a 3
.
32
D.
3a 3
.
192
1
Câu 23: Cho lăng trụ ABC . A ' B ' C '. Điểm M thỏa mãn BM = − .BA , D là trung điểm của BB ' và
2
E là trung điểm của AC  . Mặt phẳng ( MDE ) chia khối lăng trụ ABC . A ' B ' C ' thành hai khối
đa diện có thể tích là V1 , V2 ( V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A ). Biết tỉ số
các số nguyên dương và
A. 2a + b = 193 .
a
là phân số tối giản), tính 2a + b .
b
B. 2a + b = 144 .
C. 2a + b = 187 .
V1 a
= ( a, b là
V2 b
D. 2a + b = 239 .
Câu 24: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M là một điểm trên cạnh BC sao cho
BM = 2 MC , E là giao điểm của AM và CD , F là giao điểm của DM và BE . Mặt phẳng
( )
đi qua trung điểm của A ' D ' và vuông góc với CF chia khối lập phương ra thành hai phần
có thể tích là V1 , V2 , (V1  V2 ) . Đặt
giản. Giá trị a − b bằng
A. −7 .
B. −11 .
a
V1 a
tối
= với a, b là các số nguyên dương và phân số
b
V2 b
C. −10 .
D. −5 .
Câu 25: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. ABC  có thể tích là V . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của
hai cạnh AA và BB . Khi đó thể tích khối đa diện ABCIJC  bằng
2
3
3
4
A. V .
B. V .
C. V .
D. V .
3
5
4
5
Câu 26: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CC  và BB . Tính tỉ số
VABCMN
.
VABC . ABC 
A.
1
.
2
B.
2
.
3
C.
1
.
3
D.
1
.
6
Câu 27: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC  có thể tích là V . Gọi M là trung điểm AA và N là
trung điểm của AB . Mặt phẳng ( MNC  ) chia lăng trụ thành hai phần trong đó phần chứa đỉnh
A có thể tích V  . Thể tích của khối V  theo V là
11
1
13
A. V  = V .
B. V  = V .
C. V  = V .
25
5
36
5
D. V  = V .
7
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 28: Cho hình lăng trụ ABC. AB ' C  có thể tích V . Gọi M là điểm nằm trên cạnh BB sao cho
2 MB = 3MB , điểm N nằm trên cạnh AA sao cho 4AN = NA , điểm P nằm trên cạnh CC 
sao cho 3CP = PC  . Các đường thẳng NM , PM lần lượt cắt các cạnh AB và C B lần lượt
tại H , K . Hãy tính theo V thể tích của khối tứ diện MB HK ?
16V
6V
4V
2V
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
105
35
15
7
Câu 29: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có A. ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = 1 , cạnh
bên AA = 2 . Tính thể tích khối chóp A.BBC C .
11
2 6
2 3
15
B.
C.
D.
.
.
.
.
6
3
3
3
Câu 30: Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có P là trọng tâm tam giác A ' B ' C ' và Q là trung điểm của
A.
BC. Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích hai khối tứ diện B ' PAQ và A ' ABC . Tính tỉ số
A.
1
.
3
Câu 31: Cho hình lập phương
B.
2
.
3
C.
1
.
6
D.
V1
.
V2
1
.
2
ABCD. ABC D , gọi I là trung điểm của BB . Mặt phẳng ( DIC  ) chia
khối lập phương thành 2 phần. Tính tỷ số thể tích phần bé chia phần lớn.
7
1
1
1
A.
.
B. .
C. .
D. .
17
3
2
7
Câu 32: Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC  . M , N lần lượt là trung điểm AB, AC ; P thuộc đoạn CC 
CP
= x. Tìm x để mặt phẳng ( MNP ) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện có tỉ lệ
CC 
1
thể tích là .
2
8
5
4
5
A. .
B. .
C. .
D. .
5
8
5
4
sao cho
Câu 33: Cho khối hộp ABCD. ABC D có thể tích V . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB ,
V
BC  DD . Gọi thể tích khối tứ diện CMNP là V  . Khi đó thể tích
bằng:
V
1
3
1
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
64
64
16
16
Câu 34: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' . Trên tia đối của tia B ' A ' lấy điểm M sao cho
1
B ' M = B ' A ' . Gọi N , P lần lượt là trung điểm của A ' C ', BB ' . Mặt phẳng ( MNP ) chia khối
2
trụ ABC. A ' B ' C ' thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện có chứa đỉnh A ' có thể tích V1 và
khối đa diện chứa đỉnh C ' có thể tích V2 . Tỉ số
A.
95
.
144
B.
97
.
59
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
V1
bằng
V2
C.
49
.
144
D.
49
.
95
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 11: Góc, khoảng cách liên quan đến thể tích khối đa diện
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và thể tích bằng
3a 3 . Tính chiều cao h của lăng trụ đã cho.
A. h = a .
B. h = 9a .
C. h =
a
.
3
D. h = 3a .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 2:
Cho khối chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a . Gọi M là trung điểm SA . Biết thể tích khối
a3
chóp bằng
, khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ABC ) bằng
2
A. a 3 .
B. 3a .
C.
a 3
.
3
D. 2a 3 .
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 3:
Lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = a , biết thể tích của lăng
trụ ABC. ABC  là V =
A. h =
3a
.
8
4a 3
. Tính khoảng cách h giữa AB và BC  .
3
2a
8a
B. h =
.
C. h =
.
3
3
 Lời giải
D. h =
a
.
3
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Tam giác SAB cân tại S và
( SAB )
vuông góc với ( ABCD ) . Giả sử thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. cos  =
15
.
5
B. cos  =
6
30
C. cos  =
.
.
6
6
 Lời giải
4a 3
. Gọi  là
3
D. cos  =
3 5
.
5
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 5:
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của
đỉnh S lên đáy ( ABCD ) là trọng tâm tam giác ACD và góc tạo bởi SB với đáy ( ABCD ) bằng
30o . Thể tích khối chóp SABD bằng
A.
a3 6
.
27
B.
2a 3 6
.
27
C.
a3
.
9
D.
a3 3
.
6
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 6: Cho hình chóp S . ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = a , SB = 2a ,
SC = 3a . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, BC , CA . Khoảng cách từ M đến mặt
phẳng ( SNP ) .
A.
a 13
.
2
B.
a 15
.
2
C.
6a
.
7
D.
a 13
.
2
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 7:
Cho hình hộp ABCD. ABC D có tất cả các cạnh đều bằng a và BAA = DAA = BAD = 600.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC  . Khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( DAC  ) bằng
A.
a 22
.
66
B.
4a 11
.
11
C.
2a 11
.
11
D.
a 22
.
11
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 8:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy. Biết thể
tích khối chóp S . ABCD bằng
A.
a
.
2
B.
a3 3
. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
3
a 3
.
2
C.
a 2
.
2
D.
2a 39
.
13
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 9:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AC = 2a , BD = 2 3a ,
SO ⊥ ( ABCD ) . Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
a 3
. Tính thể tích của
4
khối chóp S . ABCD theo a .
a3 3
A.
.
3
a3 3
B.
.
6
a3 3
C.
.
12
a3 3
D.
.
4
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 10: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy là tam giác đều cạnh 6 . Biết khoảng cách từ B đến mặt
phẳng ( SAC ) bằng 3 ; khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng 2 . Khoảng cách từ
điểm S đến mặt phẳng ( ABC ) nằm trong khoảng nào dưới đây?
 5 11 
A.  ;  .
4 8 
 11 3 
B.  ;  .
 8 2
7 5
C.  ;  .
8 4
 3 13 
D.  ;  .
2 8 
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
C
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:
Thể tích của khối chóp tam giác bằng 6 , biết diện tích đáy bằng 2 . Chiều cao của khối chóp
bằng
A. 18 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 9 .
Câu 2:
Cho hình chóp có thể tích V = 36 cm3 và diện tích đáy B = 6 cm2 . Chiều cao của khối chóp là
A. h = 72cm .
Câu 3:
B. h = 18cm .
D. h =
C. h = 6cm .
Cho khối lăng trụ ( H ) có diện tích đáy bằng 4, thể tích bằng
1
cm .
2
4
. Tính chiều cao h của khối lăng
3
trụ.
A. h = 1 .
1
B. h = .
3
C. h = 3 .
D. h = 9 .
Câu 4:
Cho khối chóp có thể tích V = 32 và đáy là hình vuông có cạnh bằng 4 . Chiều cao của khối
chóp đã cho bằng
A. 8 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 6 .
Câu 5:
Khối chóp có thể tích bằng 144 và diện tích đáy bằng 12 thì chiều cao của nó bằng
A. 24 .
B. 4 .
C. 12 .
D. 36 .
Câu 6:
Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF . ABC DE F  có cạnh đáy bằng a , biết thể tích của
khối lăng trụ ABCDEF . ABC DE F  là V = 3 3a3 . Tính chiều cao h của khối lăng trụ lục giác
đều đó.
A. h = a 3 .
B. h = 2a .
C. h =
2a 3
.
3
D. h = a .
Câu 7:
Cho khối chóp tam giác đều. Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần thì thể
tích khối chóp đó sẽ
A. Không thay đổi.
B. Giảm đi hai lần.
C. Tăng lên hai lần.
D. Giảm đi ba lần.
Câu 8:
Một hình lập phương có thể tích bằng 3 3a 3 thì cạnh của khối lập phương đó bằng
A. a 3 .
Câu 9:
B. 3a .
C. 3a 3 .
D.
a 3
.
3
Khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 20cm 2 và thể tích bằng 60cm 2 thì chiều cao bằng
A. 30cm .
B. 3cm .
C. 9cm .
D. 1cm .
Câu 10: Khối chóp có chiều cao bằng 7cm và thể tích bằng 28cm3 thì diện tích đáy bằng
A. 12cm 2 .
B. 36cm 2 .
C. 4cm 2 .
D. 15cm 2 .
Câu 11: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC  có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 600 , đáy
ABC là tam giác đều cạnh a và A cách đều A, B, C . Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình
lăng trụ.
A. a .
B. a 2 .
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C.
a 3
.
2
D.
2a
.
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 12: Cho khối chóp tam giác S . ABC có BC
khối chóp đó bằng
A. a 3 .
a và tam giác ABC vuông cân tại B . Biết thể tích
3a 3
. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC là
6
B.
a 3
.
3
C.
a 3
.
2
D. 3a .
Câu 13: Cho tứ diện đều cạnh a. Tính độ dài đường cao h của tứ diện đều.
A. h =
a 6
.
3
B. h =
a 6
.
2
C. h =
a 3
.
2
D. h =
a 3
.
3
Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB = AD = a ,
CD = 2a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm của BD . Biết thể
a3
tích tứ diện SBCD bằng
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .
6
A.
a 3
.
2
B.
a 2
.
6
C.
a 3
.
6
D.
a 6
.
4
Câu 15: Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ABD ) là
A. d ( A, ( ABD ) ) =
3VABCD. ABC D
.
S ABD
B. d ( A, ( ABD ) ) =
VABCD. ABC D
.
S ABD
C. d ( A, ( ABD ) ) =
VABCD. ABC D
.
3S ABD
D. d ( A, ( ABD ) ) =
VABCD. ABC D
.
2S ABD
Câu 16: Cho khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh a và có thể tích là V = a 3 3 . Chiều cao h của khối
chóp đã cho bằng
A. h = 10a .
B. h =12 3a .
C. h =10 3a .
D. h = 12a .
Câu 17: Cho hình tứ diện ABCD có AB = a, CD = a 3, góc giữa hai đường thẳng AB, CD bằng 600 ,
thể tích của khối tứ diện ABCD là a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD.
A.
2a
.
3
B. 2a .
C. 3a .
D. 4a .
Câu 18: Cho khối chóp tứ giác có thể tích V = 2a 3 đáy là hình vuông có cạnh bằng a . Tính chiều cao
,
khối chóp.
A. 2a .
B. 6a .
C. 3a .
D. a .
Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = 3a 2 và SA vuông góc
với mặt phẳng ( ABCD ) . Tính tan góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ( SAD ) ?
A.
19
.
19
B. 3 .
C.
1
.
3
D. 19 .
Câu 20: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng 2a , chiều cao bằng a . Tính số
đo góc tạo bởi hai mặt phẳng ( AB ' C ' ) và ( ABC ) ?
0
A. 45 .
B. 600 .
C. 300 .
0
D. 26 33' .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 21: Một khối trụ có thể tích bằng 16 . Nếu chiều cao khối trụ tăng lên hai lần và giữ nguyên bán
kính đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng 16 . Bán kính đáy của khối trụ
ban đầu là
A. r = 1 .
B. r = 4 .
C. r = 3 .
D. r = 8 .
Câu 22: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi M là trung điểm của SD
. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SAC ) bằng
A.
a 2
.
2
B.
a
.
4
C.
a 2
.
4
D.
a
.
2
Câu 23: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AB = AD = a , CD = 2a . Hình
chiếu của đỉnh S lên mặt ( ABCD ) trùng với trung điểm của BD . Biết thể tích khối chóp
S . ABCD bằng
A.
2a 3
. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
2
5a
.
2
B.
5a
.
5
C.
10a
.
5
D.
Câu 24: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng
mặt bên và mặt đáy của hình chóp S . ABCD .
A. 30
B. 45
C. 60
10a
.
2
a3
. Tính góc giữa
2 3
D. 75
Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD , O là giao điểm của AC và BD . Biết mặt bên của hình
chóp là tam giác đều và khoảng cách từ O đến mặt bên là a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD
theo a .
A. 2a 3 3 .
B. 4a 3 3 .
C. 6a 3 3 .
D. 8a 3 3 .
Câu 26: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi và thể tích bằng 2 . Gọi M , N lần lượt là
SM SN
=
= k . Mặt phẳng ( AMN ) cắt cạnh SC tại Q
SB SD
2
. Tìm giá trị của k để thể tích khối chóp S . AMNQ bằng
3
các điểm nằm trên SB và SD sao cho
A. k =
2
.
3
1
B. k = .
8
C. k =
1
.
4
D. k =
2
.
4
Câu 27: Cho lăng trụ ABC .A B C có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của điểm A
lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của đường trung tuyến AM trong
thể tích lăng trụ bằng
3a 3
. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AA và BC .
16
A. d AA , BC
a 3
4
B. d AA , BC
a 3
8
C. d AA , BC
a 6
4
D. d AA , BC
a 6
2
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
ABC , biết
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 28: Cho hình chóp S . ABC , có SA = SB = SC , đáy là tam giác đều cạnh a . Biết thể tích khối chóp
S . ABC bằng
A.
a3 3
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng
3
4a
.
7
B.
3 13a
.
13
C.
6a
.
7
D.
a 3
.
4
Câu 29: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC = 600 , SA vuông góc với
đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
a 2
. Thể tích của khối chóp S . ABCD
2
bằng
A.
2 3
a .
4
B.
3 3
a .
6
C.
6 3
a .
6
D.
a3
.
3
Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB = BC , AD = 2 AB . Biết
SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a và thể tích khối chóp S . ABCD bằng 3a 3 . Gọi  là
góc giữa hai mặt phẳng ( SCD ) và ( ABCD ) , tính tan  .
A. tan  =
6
.
2
1
B. tan  = .
3
C. tan  =
6
.
3
D. tan  =
2
.
3
Câu 31: Cho hình chóp S . ABC , có SA = SB = SC , đáy là tam giác đều cạnh a . Biết thể tích khối chóp
S . ABC bằng
A. 4a .
7
a3 3
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng
3
B.
3 13a
.
13
C. 6a .
7
D.
a 3
.
4
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 12: Cực trị khối đa diện
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh bằng a không đổi. Độ dài CD
thay đổi. Tính giá trị lớn nhất đạt được của thể tích khối tứ diện ABCD .
a3
A.
.
8
a3 3
C.
.
8
a3 2
B.
.
12
a3 3
D.
.
12
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
Câu 2:
Cho một hình lập phương ( H ) và một hình lăng trụ tam giác đều ( L ) có tổng độ dài các cạnh
bằng nhau. Tỷ lệ thể tích khối lăng trụ ( L ) và khối lập phương ( H ) tương ứng có giá trị lớn nhất
bằng
A.
16 3
.
27
B.
17 3
.
24
C.
32
.
27
D.
8 3
.
9
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có các cạnh bên bằng
phẳng đáy là
4a 3 7
A.
.
49
a , góc tạo bởi mặt phẳng bên và mặt

 với    0;  . Thể tích khối chóp S . ABCD đạt giá trị lớn nhất là

2
4a 3 3
B.
.
27
2a 3 3
C.
.
9
4a 3 15
D.
.
75
 Lời giải
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………………
……………………………………………………………
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
C
Câu 1:
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a 3, SA = SB = SC = SD = 2a
.Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S . ABCD bằng:
A.
13 3
a .
12
B.
13 2 3
a .
12
C.
13 6 3
a .
12
D.
13 3 3
a .
12
Câu 2:
Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh bên bằng a , góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và
mặt bên bằng  . Tìm  để thể tích S . ABCD là lớn nhất.
A. 30 .
B. 60 .
C. 45 .
D. 75 .
Câu 3:
Cho khối chóp S . ABCD , có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 2a 5 và tất cả các cạnh bên của
hình chóp bằng 5a . Thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho bằng
A.
Câu 4:
20a 3 5
.
3
B.
8a 3
.
3
C.
40 5a 3
.
3
D. 15 5a 3 .
Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành, một cạnh của hình bình hành bằng a và các
cạnh bên đều bằng a 2 . Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là
A.
Câu 5:
7a3
.
12
B. 8a 3 .
C.
2 6 a3
.
3
D. 2 6a 3 .
Cho khối chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng 1 . Gọi M , N lần lượt là các
điểm thuộc các cạnh BC , CD sao cho MN = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện
S . AMN .
A.
Câu 6:
4− 2
.
24
B.
3
.
12
C.
2
.
12
D.
1+ 2
.
12
Một tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều cạnh a , cạnh AD thay đổi. Khi thể
tích tứ diện đạt giá trị lớn nhất, gọi  giữa hai mặt ( ADB ) và ( ADC ) . Tính cos .
A. cos =
1
.
5
B. cos =
5
.
7
C. cos =
6
.
7
1
D. cos = .
5
Câu 7:
Cho lăng trụ ABC. ABC  có thể tích là V . M , N , P là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh
AM 1 BN
CP
AA , BB , CC  sao cho
= ,
= x,
= y . Biết thể tích khối đa diện ABC.MNP
AA 3 BB
CC 
2V
bằng
. Giá trị lớn nhất của x. y bằng
3
17
9
25
5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
16
21
36
24
Câu 8:
Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh 1 , người ta lấy điểm M sao cho
AM = x ( 0  x  1) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông,
người ta lấy điểm S với SA = y thỏa mãn y  0 và x 2 + y 2 = 1 . Biết khi M thay đổi trên đoạn
AD thì thể tích của khối chóp S . ABCM đạt giá trị lớn nhất bằng
nguyên tố cùng nhau. Tính T = m + n .
A. 11 .
B. 17 .
C. 27 .
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
m
với m, n 
n
D. 35 .
*
và m, n
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi O là tâm của tứ giác ABCD
Một mẳng phẳng thay đổi và vuông góc với SO cắt các cạnh SO, SA, SB, SC, SD lần lượt tại I,
M, N, P, Q. Một hình trụ có một đáy nội tiếp tứ giác MNPQ và một đáy nằm trên hình vuông
ABCD . Khi thể tích của khối trụ lớn nhất thì đội dài đoạn SI bằng
A. SI =
a 2
.
2
B. SI =
3a 2
.
2
C. SI =
a
.
3
D. SI =
a 2
.
3
Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = 1 , cạnh bên SA = 1 và vuông góc
với mặt phẳng đáy ( ABCD ) . Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động
trên đoạn CB sao cho MAN = 45 . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S . AMN là
2 −1
.
3
A.
B.
2 +1
.
9
2 +1
.
6
C.
D.
2 −1
.
9
Câu 11: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi M và N lần lượt là hai điểm di chuyển trên các cạnh BC và DC sao cho
MAN = 45. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S . AMN .
(
A.
)
2 − 1 a3
3
.
a3
B.
.
6
(
C.
)
3 − 1 a3
3
.
D.
2a 3
.
3
Câu 12: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích là V . Gọi M là trung
điểm của cạnh SA , N là điểm trên cạnh SB sao cho SN = 3 NB . Mặt phẳng ( P ) thay đổi đi
qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC , SD lần lượt tại hai điẻm phân biệt P, Q . Tìm giá trị lớn
nhất của thể tích khối chóp S .MNPQ .
A.
V
.
3
B.
27
V.
80
C.
27
V.
40
D.
V
.
6
Câu 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có diện tích toàn phần bằng 18 và độ dài đường chéo
AC ' = 18 . Thể tích lớn nhất của khối hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' là
A. Vmax = 8 .
B. Vmax = 3 .
C. Vmax = 4 .
D. Vmax = 8 .
Câu 14: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  , có đáy là tam giác đều và thể tích bằng V . Gọi E , F , I là các
điểm lần lượt di động trên các cạnh AB, BC , CA sao cho AE = BF = CI . Thể tích khối chóp
A.EFI đạt giá trị nhỏ nhất bằng
V
V
A. .
B.
.
9
6
C.
V
.
4
D.
V
.
12
Câu 15: Một khối gỗ dạng hình chóp O. ABC CÓ OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.
OA = 3cm, OB = 6cm, OC = 12cm . Trên mặt đáy ABC người ta đánh dấu một điểm M sau đó
người cắt gọt khối gỗ để thu được một khối hộp chữ nhật có OM là một đường chéo, đồng thời
hình hộp có ba mặt trên ba mặt bên của hình chóp (tham khảo hình vẽ). Khối hộp chữ nhật thu
được có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
3
3
A. 12cm .
B. 36cm .
C. 24cm3 .
D. 8cm3 .
Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = 1 , cạnh bên SA = 1 và vuông
góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) . Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di
động trên đoạn CB sao cho góc MAN bằng 45 . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S . AMN
là
A.
2 −1
.
3
B.
2 +1
.
9
C.
2 +1
.
6
D.
2 −1
.
9
Câu 17: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy
( ABCD )
và góc giữa SC với mặt phẳng ( SAB ) bằng 30 . Gọi M là điểm di động trên cạnh
CD và H là hình chiếu vuông góc của S lên đường thẳng BM . Khi điểm M di động trên
cạnh CD thì thể tích chóp S . ABH lớn nhất là
A. V =
a3 2
.
15
B. V =
a3 2
.
6
C. V =
a3 2
.
8
D. V =
a3 2
.
12
Câu 18: Cho tứ diện đều có cạnh bằng 3, điểm M thuộc miền trong đa diện, gọi d1 ; d 2 ; d3 ; d 4 là khoảng
cách từ M đến 4 mặt của tứ diện. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = d12 + d 22 + d32 + d 42 ?
A. Pmin =
3
.
2
B. Pmin = 3 .
C. Pmin =
3
.
2
D. Pmin = 6 .
Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , SA = 2 và SA vuông góc
với mặt phẳng đáy ( ABCD ) . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB, AD sao cho mặt
phẳng ( SMC ) vuông góc với mặt phẳng ( SNC ) . Biết rằng khi thể tích khối chóp S . AMCN đạt
giá trị nhỏ nhất thì biểu thức P = 2022 AM − 2021AN = a b − a với a, b 
. Tính a + b .
A. 4 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 2 .
Câu 20: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, SA vuông góc với mặt phẳng chứa
đáy. Gọi M là trung điểm của AB và  là góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng ( SBC ) .
Biết sin  =
A.
3.
6
, hãy tìm giá trị lớn nhât của thể tích khối chóp S . ABC .
8
4
1
B.
.
C. 1 .
D.
.
3
3
Câu 21: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng
6 . Biết rằng các mặt bên của
hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng 3 2 . Tính thể tích nhỏ nhất
của khối chóp S . ABC
A. 4 .
B. 3 .
C. 2 2 .
D. 2 3 .
Câu 22: Cho hình chóp S . ABC có SA = 4 , AB = 2 , AC = 1 và SA ⊥ ( ABC ) . Gọi O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC . Mặt cầu tâm O , đi qua A và cắt các tia SB , SC lần lượt tại D và
E . Khi độ dài đoạn thẳng BC thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S . ADE là
64
8
4
256
A.
.
B. .
C. .
D.
.
85
3
3
255
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 23: Cho tam giác OAB đều cạnh 2a . Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng
( OAB )
lấy điểm M sao cho OM = x . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên
MB và OB . Gọi N là giao điểm của EF với đường thẳng d . Tìm x sao cho tứ diện ABMN
có thể tích nhỏ nhất.
B. a 2 .
A. a .
C. 2a .
D. a 3 .
Câu 24: Cho hình chóp S . ABC có AB = a, BC = a 3, ABC = 60. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng ( ABC ) là một điểm thuộc cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC )

bằng 45 . Thể tích khối chóp S . ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng
a3 3
A.
.
12
a3 3
B.
.
8
a3 3
C.
.
6
a3 3
D.
.
3
Câu 25: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích là V . Gọi M là trung
điểm của cạnh SA , N là điểm trên cạnh SB sao cho SN = 2 NB . Mặt phẳng ( P ) thay đổi đi
qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC , SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K , Q . Tìm giá trị
lớn nhất của thể tích khối chóp S .MNKQ .
A.
V
.
2
B.
V
.
3
C.
3V
.
4
D.
2V
.
3
Câu 26: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1 . Gọi d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
( ABC ) tại A . Trên đường thẳng d lấy điểm S . Gọi P và Q lần lượt là trực tâm của tam giác
ABC và SBC . Thể tích tứ diện PQBC lớn nhất bằng:
A.
1
.
144
B.
3
.
144
C.
1
.
48
D.
6
.
72
Câu 27: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , SA = AB = 2 . Cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC
. Tính thể tích lớn nhất
A. Vmax =
3
.
3
Vmax của khối chóp S . AHK .
B. Vmax =
3
.
6
C. Vmax =
2
.
6
D. Vmax =
2
.
3
Câu 28: Cho hình chóp S . ABC . Mặt phẳng ( P ) song song với đáy và cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt
D, E , F . Gọi D1, , E1 , F1 tương ứng là hình chiếu của D, E , F lên mặt phẳng đáy (tham khảo hình
vẽ) V là thể tích khối chóp S . ABC . Giá trị lớn nhất của thể tích khối đa diện DEF .D1 E1 F1 bằng
A.
V
.
6
B.
4V
.
9
C.
2V
.
3
D.
Câu 29: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang, AB //CD, AB = 2CD,
V
.
12
ABC = 45 . Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm của cạnh AB và SC ⊥ BC ,
SC = a . Gọi góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) là
 . Khi 
thay đổi, tìm
cos để
thể tích khối chóp S . ABCD có giá trị lớn nhất.
A. cos  = −
6
.
3
B. cos  =
6
.
3
C. cos  =
3
.
3
D. cos  = 
6
.
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 30: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, SA vuông góc với mặt phẳng chứa
đáy. Gọi M là trung điểm của AB và φ là góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng ( SBC ) .
Biết rằng sin φ =
A.
3.
6
, tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S . ABC .
8
4
1
B.
.
C. 1.
D.
.
3
3
Câu 31: Cho x, y là những số thực dương không đổi. Xét hình chóp S . ABC có SA = x, BC = y và các
cạnh còn lại đều bằng 1. Khi thể tích khối chóp S . ABC đạt giá trị lớn nhất thì tích x. y bằng
4
4 3
1
.
B. .
C.
.
D. 2 3 .
3
3
3
Câu 32: Cho hình chóp S . ABC , O là trung điểm của AB . Điểm M di động trên cạnh SB . Đặt
SM
= x . Mặt phẳng qua A , M song song với OC , cắt SC tại N . Thể tích khối chóp
SB
ABMN lớn nhất khi
A.
A. x = 3 − 1 .
B. x = 1 .
C. x = 3 − 5 .
D. x = −1 + 2 .
Câu 33: Cho hình chóp S . ABC có SA = x , BC = y , AB = AC = SB = SC = 1 . Thể tích khối chóp
S . ABC lớn nhất khi x + y bằng
A.
3.
B.
2
.
3
C.
4
.
3
D. 4 3 .
Câu 34: Cho tam giác OAB đều cạnh 2a . Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng
( OAB ) lấy điểm M sao cho OM = x . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên
MB và OB . Gọi N là giao điểm của EF và d . Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ
nhất.
A. x =
a 2
.
2
B. x =
a 6
.
12
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C. x =
a 3
.
2
D. x = a 2 .
2
Phan Nhật Linh
CHỦ ĐỀ
A
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
8
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Một số định nghĩa cần nhớ
• Hình lăng trụ là hình có hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song với
nhau và các mặt bên đều là các hình bình hành.
• Hình lăng trụ đứng
Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Tính chất: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
•
Hình lăng trụ đều
Định nghĩa. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Tính chất. Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với
mặt đáy.
•
•
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
Hình hộp đứng
Định nghĩa. Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Tính chất. Hình hộp đứng có 2 đáy là hình bình hành, 4 mặt xung quanh là 4 hình chữ nhật.
•
Hình hộp chữ nhật
Định nghĩa. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Tính chất. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.
•
Hình lập phương
Định nghĩa. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật 2 đáy và 4 mặt bên đều là hình vuông
Tính chất. Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông.
• Hình chóp là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh.
2. Thể tích khối đa diện
1. Công thức tính thể tích khối chóp
1
V = S .h
3
Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao khối
chóp.
•
Chú ý: Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều
cao thì ta phải xác định được vị trí chân đường cao trên
đáy.
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
▪ Chóp có cạnh bên vuông góc chiều cao chính là cạnh bên.
▪ Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc
đáy.
▪ Chóp có mặt bên vuông góc đáy chiều cao của mặt bên vuông góc đáy.
▪ Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.
▪ Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnh lên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường
cao là từ đỉnh tới hình chiếu.
2. Công thức tính thể tích khối lăng trụ V = B.h
•
Trong đó: B là diện tích đáy, h là hiều cao khối lăng trụ.
Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c
Trong đó: a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
•
Thể tích khối lập phương: V = a 3
Trong đó a là độ dài cạnh của hình lập phương.
3. Tỷ số thể tích
Cho khối chóp S . ABC và A, B, C  là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC , ta có:
Công thức tỉ số thể tích:
VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '
(hay gọi là công thức Simson)
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC
Phương pháp này được áp dụng khi khối chóp không xác đinh được chiều cao một cách dễ dàng
hoặc khối chóp cần tính là một phần nhỏ trong khối chóp lớn và cần chú ý đến một số điều kiện
sau:
▪ Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh.
▪ Đáy hai khối chóp phải là tam giác.
▪ Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng.
FA DB EC
.
.
= 1 với DEF là một đường thẳng cắt
Định lý Menelaus: Cho ba điểm thẳng hàng
FB DC EA
ba đường thẳng BC , CA, AB lần lượt tại D, E , F .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
4. Một số công thức tính nhanh thể tích và tỷ số thế tích khối chóp và khối lăng trụ.
a3 2
.
12
➢ Công thức 2 : Với tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c đôi một vuông góc thì thể tích của
➢ Công thức 1 : Thể tích tứ diện đều cạnh a : VS . ABC =
1
nó là VABCD = abc .
6
➢ Công thức 3 : Với tứ diện ABCD có AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c thì thể tích của
nó là VABCD =
2
12
(a
2
)(
)(
)
+ b2 − c 2 b2 + c 2 − a 2 a 2 + c 2 − b2 .
➢ Công thức 4 : Cho khối chóp S . ABC có SA = a, SB = b, SC = c, BSC =  , CSA =  , ASB =  thì
abc
1 + 2cos  cos  cos  − cos 2  − cos 2  − cos 2  .
6
➢ Công thức 5 : Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác ABC. ABC  lần lượt tại
AM
BN
CP
x+ y+z
M , N , P sao cho
= x,
= y,
= z thì ta có VABC .MNP =
VABC . ABC  .
AA
BB
CC 
3
➢ Công thức 6 : Mặt phẳng cắt các cạnh của khối hộp ABCD. ABC D lần lượt tại M , N , P, Q sao
thể tích của nó là VS . ABC =
AM
BN
CP
DQ
x+ y+ z +t
= x,
= y,
= z,
= t thì ta có VABCD.MNPQ =
VABCD. ABC D và
AA
BB
CC 
DD
4
x+ z = y+t .
cho
➢ Công thức 7 : Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình bình hành
SM
SN
SP
SQ
= x,
= y,
= z,
= t thì ta có công thức sau đây
lần lượt tại M , N , P, Q sao cho
SA
SB
SC
SD
VS .MNPQ =
xyzt  1 1 1 1 
1 1
1 1
 + + + VS . ABCD và + = + + .
4 x y z t
x z
y t
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên gấp đôi cạnh đáy. Tỉ lệ giữa diện tích xung quanh và diện
tích đáy của hình chóp này bằng
A. 15.
B. 3.
C. 4 3.
Lời giải
D.
3.
Chọn A
Gọi độ dài cạnh đáy là 2a  độ dài cạnh bên bằng 4a.
Diện tích xung quanh: S1 = 4.SSAB = 4. 5a ( 5a − 4a )( 5a − 4a )( 5a − 2a ) = 4a 2 15.
Diện tích đáy: S 2 = 4a 2 . Vậy
Câu 2:
S1 4a 2 15
=
= 15.
S2
4a 2
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a . Cạnh SA vuông góc với
đáy, góc SBD = 60 . Thể tích khối chóp đã cho bằng
S
A
D
B
2a 3
A.
.
3
a3 3
B.
.
2
C
a3
C.
.
3
Lời giải
D. a 3 .
Chọn C
Dễ thấy SB = SA2 + AB 2 = SA2 + a 2 ; SD = SA2 + AD 2 = SA2 + a 2 .
Từ đó suy ra SBD cân tại S , kết hợp với SBD = 60 ta được SBD đều.
AB 2 + AD 2 = BD = SB = AB 2 + SA2  SA = AD = a .
1
1
Vậy VS . ABCD = SA. AB. AD = a 3 .
3
3
Do vậy
Câu 3:
Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với
đáy ( ABC ) và có SA = 2a . Thể tích khối chóp SABC bằng:
A.
a3 3
.
2
B.
a2 3
.
6
C.
a3 3
.
12
D.
a3 6
.
12
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Lời giải
Chọn B
S
2a
a
C
A
a
a
B
Vì ABC là tam giác đều có cạnh bằng a nên SABC =
a2 3
.
4
1
1
a 2 3 a3 3
=
Khi đó VSABC =  SA  SABC =  2a 
.
3
3
4
6
Câu 4:
Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh huyền bằng a 2 và
SA = a 3 , SA vuông góc với đáy. Thể tích V của khối chóp đã cho bằng
A. V =
4a 3
.
3
B. V =
4a 3 6
.
3
C. V =
a3 3
.
6
D. V = 2a 3 2 .
Lời giải
Chọn C
1
1
a3 3
Ta có AB = a  V = SABC .SA = a.a.a 3 =
.
3
6
6
Câu 5:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA ⊥ ( ABCD ) và
SA = a 3 . Thể tích khối chóp S . ABCD là
a3 3
A.
.
3
B. a
3
3.
a3
C.
.
4
Lời giải
a3 3
D.
.
12
Chọn A
1
1
1
a3 3
Thể tích khối chóp S . ABCD là VS . ABCD = SA.S ABCD = SA. AB 2 = .a 3.a 2 =
.
3
3
3
3
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 6:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB
a , AD
a 3 , SA vuông góc
với đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD
3a3
.
3
A. V
B. V
3
3a .
C. V
a3
.
3
D. V
a3 .
Lời giải
Chọn D
Ta có
SBC ; ABCD
SBA
60
SAB vuông tại A ta có tan SBA
Xét
Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là V
Câu 7:
SA
SA
tan 60
SA a 3 .
AB
a
1
1
.SA.S ABCD
.a 3.a.a 3 a 3 .
3
3
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy,
AB = a, AD = 2a . Góc giữa SB và đáy bằng 450 . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
2a 3
A.
.
3
a3
B.
.
3
a3 2
C.
.
6
Lời giải
D.
a3 2
.
3
Chọn A
Ta có SBA = ( SB, ( ABCD ) ) = 450 . Suy ra SAB vuông cân tại A  SA = AB = a .
1
2a 3
VS . ABCD = .SA. AB. AD =
.
3
3
Câu 8:
Cho hình chóp S . ABCD có SA vuông góc đáy, hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) vuông góc với
nhau, SB = a 3 , góc giữa SC và ( SAB ) là 45 và ASB = 30 . Gọi thể tích khối chóp
S . ABCD là V . Tỉ số
A.
8
.
3
a3
là
V
B.
8 3
.
3
C.
2 3
.
3
4
.
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
D.
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Lời giải
Chọn A
Ta có SA ⊥ ( ABC )  ( SAB ) ⊥ ( ABC ) .
( SBC ) ⊥ ( SAB ) ; ( ABC ) ⊥ ( SAB )
 BC ⊥ ( SAB ) .
Ta có 
( SBC )  ( ABC ) = BC
Khi đó ( SC , ( SAB ) ) = ( SC , SB ) = BSC = 45  BSC vuông cân tại B  BC = a 3.
Câu 9:
Ta có AB = SB.sin ASB =
a 3
1
1 a 3
3a 2
 S ABC = AB  BC = 
a 3 =
.
2
2
2 2
4
Ta có SA = SB.cos ASB =
3a
1
1 3a 2 3a 3a3
a3 8
. Vậy VS . ABC = S ABC  SA = 
 =
 = .
2
3
3 4 2
8
V 3
Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 , cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng ( ABCD ) và SB tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích của khối chóp S . ABCD .
3
A. 9a .
B.
9a 3
.
2
C. 3a 3 .
D.
3 3
a .
4
Lời giải
Chọn C
 SA ⊥ ( ABCD )
 AB là hình chiếu của SB lên ( ABCD )
Ta có 
 SB  ( ABCD ) = B
 ( SB, ( ABCD ) ) = ( SB, AB ) = SBA do SAB vuông ở A ( SA ⊥ ( ABCD )  SA ⊥ AB )
 SBA = 60o .
Tam giác SAB vuông ở A  tan SBA =
(
)
SA
 SA = AB tan SBA = 3a .
AB
2
1
1
Vậy VS . ABCD = SA.S ABCD = .3a. a 3 = 3a 3 .
3
3
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, góc giữa SA và mặt phẳng ( SBD ) bằng 45 . Thể tích khối chóp S . ABD bằng
A.
a3 6
.
4
B.
a3 3
.
12
C.
a3 3
.
4
D.
a3 2
12
Lời giải
Chọn D
Giao điểm của SA và mặt phẳng ( SBD ) là S .
Gọi O là trung điểm BD thì AO ⊥ BD .
Có SA ⊥ BD nên ( SAO ) ⊥ BD . Từ đó góc giữa SA và mặt phẳng ( SBD ) là góc ASO = 45
Xét tam giác SAO vuông cân tại A : SA = AO =
Vậy VS . ABD
a 2
2
1
1 a 2 a 2 a3 2
= .SA.S ABD = .
. =
.
3
3 2 2
12
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
C
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Dạng 1: Mở đầu về thể tích khối đa diện
Dựa vào kiến thức được nêu trong phần lý thuyết
Câu 1:
Thể tích khối lập phương là 27cm3 . Diện tích toàn phần của hình lập phương tương ứng bằng
A. 54cm 2 .
B. 36cm 2 .
C. 16cm 2 .
Lời giải
D. 9cm 2 .
Chon A
V = 27cm3 suy ra cạnh của hình lập phương bằng 3 .
Diện tích toàn phần của hình lập phương là 32.6 = 54 .
Câu 2:
Cho khối chóp có thể tích bằng 30cm3 và chiều cao bằng 5cm . Diện tích đáy của khối chóp đã
cho bằng
A. 6cm.
B. 18cm.
C. 24cm.
D. 12cm.
Lời giải
Chọn B
3V 90
S=
=
= 18cm.
h
5
Câu 3:
Cho hình lập phương có cạnh bằng 3 . Tổng diện tích các mặt của hình lập phương đã cho bằng
A. 54 .
B. 12 .
C. 36 .
D. 24 .
Lời giải
Chọn A
Tổng diện tích các mặt của hình lập phương là: S = 6.32 = 54 .
Câu 4:
Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a , có thể tích V =
9
( dm3 ) . Tính giá trị
4
của a .
A. a = 3 3 ( dm ) .
B. a = 3 ( dm ) .
C.
3 ( dm ) .
D. 9 ( dm ) .
Lời giải
Chọn C
Lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ đứng và có đáy ABC là tam giác đều.
Chiều cao lăng trụ h = AA ' = a .
a2 3
.
4
Thể tích khối lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' là:
Diện tích đáy ABC : S ABC =
VABC . A ' B 'C ' = h.S ABC
a 2 3 a3 3
.
= a.
=
4
4
a3 3 9
=  a3 3 = 9  a = 3 ( dm ) .
Ta có
4
4
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 5: Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 2a và thể tích bằng a 3 . Chiều cao của khối chóp
đã cho bằng
A.
3a .
B. 2 3a .
C.
3
a.
3
D.
3
a.
2
Lời giải
Chọn A
1
Ta có V =  S  h
3
Suy ra h =
Câu 6:
3V
=
S
3a 3
3
( 2a ) 
4
= 3a .
2
Cho hình lập phương có cạnh bằng 2. Tổng diện tích các mặt của hình lập phương đó bằng
A. 16 .
B. 12 .
C. 4 .
D. 24 .
Lời giải
Chọn D
Hình lập phương có diện tích toàn phần: 6.22
Câu 7:
Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là
khối lăng trụ bằng
A.
6a 3 .
B.
3a 3 .
24 .
3a 2 , độ dài cạnh bên là a 2 . Khi đó thể tích của
C.
2a 3 .
D.
6a 3
.
3
Lời giải
Chọn A
Ta có: V = 3a 2 .a 2 = 6a 3 .
Câu 8:
Cho hình lập phương có cạnh bằng 2 . Tổng diện tích các mặt của hình lập phương đã cho bằng
A. 16 .
B. 12 .
C. 4 .
D. 24 .
Lời giải
Chọn D
Hình lập phương có 6 mặt là hình vuông có các cạnh bằng nhau.
Do đó tổng diện tích các mặt là S 22.6 24 .
Câu 9:
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
B. Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
D. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
Lời giải
Chọn A
Ta có thể tích khối lăng trụ bằng B.h , với B là diện tích đáy, h là chiều cao. Do đó B đúng.
1
Thể tích khối chóp bằng B.h , với B là diện tích đáy, h là chiều cao. Do đó D đúng.
3
Hai khối lập phương có diện tích toàn phần 6.canh 2 bằng nhau, thì cạnh a bằng nhau do đó thể
tích bằng nhau. Suy ra C đúng.
Vậy chọn phương án A sai.
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10
Phan Nhật Linh
Câu 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
1
A. Thể tích khối chóp có đường cao h và diện tích đáy B là V = Bh .
3
h
V
B. Thể tích khối lăng trụ có đường cao và diện tích đáy B là = B.h .
1
C. Thể tích khối tứ diện có đường cao h và diện tích đáy B là V = Bh .
6
D. Thể tích khối lập phương cạnh a là V = a 3 .
Lời giải
Chọn C
1
Thể tích khối tứ diện có đường cao h và diện tích đáy B là V = Bh .
3
Câu 11: Khối chóp S . ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và có thể tích bằng
16
. Tính cạnh của khối
3
chóp.
A. 2 2
B.
2.
C. 3 .
Lời giải
D. 2 .
Chọn A
x2
x
Đặt độ dài cạnh hình chóp là x . Ta có: SO = SA − AO = x −
.
=
2
2
2
V=
2
2
x3 16
16
1
16

=
 x=2 2.
 .SO.S ABCD =
3
3
3
3 2 3
Câu 12: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 6a 2 và chiều cao h = 2a . Thể tích của khối lăng trụ đã
cho bằng
4
A. 8a 3 .
B. a 3 .
C. 4a 3 .
D. 12a 3 .
3
Lời giải
Chọn D
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B = 6a 2 và chiều cao h = 2a là:
V = B.h = 6a 2 .2a = 12a 3 .
3
Câu 13: Cho khối lăng trụ có thể tích bằng 24a và chiều cao bằng 3a . Diện tích một mặt đáy của khối
lăng trụ đã cho bằng
2
A. 16a .
2
B. 8a .
2
C. 6a .
Lời giải
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
2
D. 72a .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chọn B
Ta có VLT = Sð .h  Sð =
VLT 24a3
=
= 8a 2 .
h
3a
Vậy diện tích một mặt đáy của khối lăng trụ đã cho bằng 8a 2 .
Câu 14: Tính tổng diện tích các mặt của một hình bát diện đều cạnh a .
A.
2a 2 3 .
B. 4a 2 .
C. a
Lời giải
2
3.
D.
4a 2 3 .
Chọn A
Một hình bát diện đều là hình có 8 mặt đều là tam giác đều có cạnh a .
a2 3
S = 8.
= 2a 2 3 .
4
Câu 15: Tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều cạnh bằng 2a là
A. 2a 2 3.
B. 8a 2 3.
C. a 2 3.
Lời giải
D. 4a 2 3
Chọn B
Hình bát diện đều có 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng 2a .
Tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều cạnh bằng 2a là:
(2a)2 3
= 8a 2 3 .
4
Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a và cạnh bên 2a . Tính diện
tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ đứng ABC. ABC  .
S = 8.
A. a 2 3 .
B.
a 2 3
.
3
C.
2a 2 3
.
3
D.
4a 2 3
.
3
Lời giải
Chọn D
Gọi H là trung điểm BC khi đó ta có AH ⊥ BC .
Xét ABH vuông tại H ta có AH = AB 2 − BH 2 = a 2 −
a2 a 3
=
.
4
2
2
2 a 3 a 3
AH = .
=
.
3
3 2
3
Vậy diện tích xung quang hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ đứng ABC. ABC  là
Gọi ( O, R ) là đường tròn ngoại tiếp ABC khi đó ta có: R =
S xq = 2 Rh = 2 .
a 3
4a 2 3
.2a =
.
3
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 12
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 17: Cho hình lăng trụ đứng ABCD. ABC D với đáy là hình thoi có cạnh bằng 4a , AA = 6a ,
BCD = 1200 . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm của AB, BC , BD . Tính thể tích khối đa diện
lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , K .
A. 9a 3 .
B. 16a 3 3 .
C. 9a 3 3 .
Lời giải
Chọn C
Ta có: BCD = 1200  ABC = 600 .
1 1

VB. ABC = VB. ACD = .  .4a.4a.sin 600  .6a = 8 3a 3 .
3 2

Ta có:
VB.BMN 1
1
3
=  VB.BMN = VB. ABC  VMNABC = VB. ABC = 6 3a 3 .
VB. ABC 4
4
4
Mặt khác:
VB.KMN 1
1
7
=  VB.KMN = VB.DAC  VMNKACD = VB. DAC
VB.DAC 8
8
8
7
1
3
 VMNKAC = VMNKACD − VK . ACD = VB.DAC − VB.DAC = VB.DAC = 3 3a 3 .
8
2
8
Vậy VMNKABC = VMNABC + VMNKAC = 6 3a 3 + 3 3a 3 = 9 3a 3 .
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. 12a 3 3
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 2: Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
▪
Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao.
▪
Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến của hai
mặt đó vuông góc với đáy.
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a 3, AD = a , cạnh SA có độ
dài bằng 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp SABCD
a3
A.
.
3
a3 3
C.
.
3
2a 3
B.
.
3
2a 3 3
D.
.
3
Lời giải
Chọn D
Ta có VSABCD
Câu 2:
1
1
2a 3 3
= SSABCD .SA = .a 3.a.2a =
3
3
3
Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3 , tam giác SAC đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
3
.
12
B.
3 3
.
8
C.
3 3
.
4
D.
3
.
8
Lời giải
Chọn B
Gọi H là trung điểm của AC , hai tam giác SAC và ABC là hai tam giác đều, bằng nhau và
AB 3 3
= .
2
2
Ba đường thẳng AC , HS , HB đôi một vuông góc với nhau, suy ra:
HS = HB =
VS . ABC =
Câu 3:
1
1
3 3 3 3
AC.HB.HS =
3. . =
.
6
6
2 2
8
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SCD đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy, CD = a , BC = a 3 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng
A.
3a 3
.
2
B.
a3
.
6
C.
Lời giải
Chọn C
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
a3
.
2
D. a 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi I là trung điểm CD  SI ⊥ CD .
( SCD ) ⊥ ( ABCD )

Ta có ( SCD )  ( ABCD ) = CD  SI ⊥ ( ABCD ) .

 SI  ( SCD ) ; SI ⊥ CD
1
1 a 3
a3
Do đó VS . ABCD = SI .S ABCD = .
.a.a 3 = .
3
3 2
2
Câu 4:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 4a và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng
( ABCD )
là 30o . Thể tích của khối chóp S . ABCD là
A. 24 3a 3 .
B. 16 3a 3 .
C. 4 3a 3 .
Lời giải
D. 48 3a 3 .
Chọn B
Gọi H là trung điểm của AD  SH = 2a 3, SH ⊥ ( ABCD ) .
0
Gọi K là trung điểm của BC  ( ( SBC ) , ( ABCD ) ) = SKH  SKH = 30
 HK =
Câu 5:
SH
1
= 6a  AB = 6a . Vậy V = SH .S ABCD = 16 3a 3 .
0
tan 30
3
Cho hình chóp S . ABC có SAB và ABC là hai tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng
vuông góc với nhau. Tính theo a thể tích của khối chóp S . ABC .
A.
2a 3
.
3
B.
a3
.
3
C. a 3 .
D. 3a 3 .
Lời giải
Chọn C
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Gọi H là trung điểm của AB . Suy ra SH ⊥ AB .
( SAB ) ⊥ ( ABC )

Ta có: ( SAB )  ( ABC ) = AB  SH ⊥ ( ABC ) .
 SH ⊥ AB

( 2a ) 3 = a 2 3 .
2a 3
= a 3, SABC =
Ta có: SH =
2
4
1
1
Vậy VS . ABC = SABC .SH = .a 2 3.a 3 = a 3 .
3
3
2
Câu 6:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a 3, tam giác SBC vuông
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng ( SBC )
một góc 60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
3
a 3.
B.
a
3
a3 6
.
C.
6
6.
a3 6
.
D.
3
Lời giải
Chọn D
Kẻ SH ⊥ BC. Từ giả thiết suy ra SH ⊥ ( ABCD ) .
Xác định được hình chiếu vuông góc của D lên ( SBC ) là điểm C .
Do đó: ( SD, ( SBC ) ) = ( SD, SC ) = DSC = 60 .
Tam giác vuông SCD vuông tại C có SC = DC.cot DSC = a .
2
2
Tam giác vuông SBC vuông tại S có SB = BC − SC = a 2, SH =
Vậy thể tích khối chóp: VS . ABCD
1
1 2
a3 6
= S ABCD .SH = AB .SH =
.
3
3
3
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
SB.SC a 6
=
.
BC
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 7: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a , AD = 2a . Tam giác SAB cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng
45 . Thể tích của khối chóp S . ABCD là:
a 3 17
A.
.
9
B.
a 3 17
3
a 3 17
C.
.
3
.
a 3 17
D.
.
6
Lời giải
Chọn C
S
A
D
M
B
C
Ta có có: S ABCD = AB. AD = 2a .
2
Gọi M là trung điểm của AB, khi đó SM ⊥ AB  SM ⊥ ( ABCD ) .
(
) (
)
Do đó SC , ( ABCD ) = SC , MC = SCM = 45 .
a 2 a 17
=
Khi đó SM = MC = 4a +
.
4
2
2
1
1 a 17 2 a3 17
V
=
SM
.
S
=
.
.2a =
Vậy S . ABCD
.
ABCD
3
3 2
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
C
Câu 1:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA ⊥ ( ABCD ) và
SA = a 3 . Thể tích của khối chóp S . ABCD là:
A.
a3 3
.
12
B. a 3 3 .
C.
a3 3
.
3
D.
a3
.
4
Lời giải
Chọn C
1
1
a3 3
Thể tích khối chóp S . ABCD là: VS . ABCD = .SA. AB 2 = .a 3.a 2 =
.
3
3
3
Câu 2:
Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = 2, SA = 12, SA ⊥ ( ABC )
. Tính thể tích khối chóp S . ABC ?
A. 8 .
B. 16 .
D. 6 .
C. 24 .
Lời giải
Chọn A
1
1 1
Thể tích khối chóp là V = .S .h = . .2.2.12 = 8 .
3
3 2
Câu 3:
Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC , AD đôi một vuông góc và AB = AC = 2a, AD = 3a . Thể
tích V của khối tứ diện đó là:
A. V = 4a 3 .
B. V = 2a 3 .
D. V = 3a 3 .
C. V = a 3 .
Lời giải
Chọn B
Do khối tứ diện ABCD có AB, AC , AD đôi một vuông góc nên VABCD =
Câu 4:
1
AB. AC. AD = 2a 3 .
6
Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA ⊥ ( ABC ) , SA = a (tham khảo hình
vẽ bên dưới). Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
A.
3a 3
.
4
B.
3a 3
.
6
C.
3a 3 .
D.
3a 3
.
12
Lời giải
Chọn D
Vì SA ⊥ ( ABC ) nên ta có SA là đường cao của hình chóp hay h = SA = a .
Do đáy của hình chóp là tam giác đều cạnh a nên ta có: S =
a2 3
.
4
1
1 3a 2
3a 3
Khi đó thể tích của khối chóp đã cho là: V = S .h = .
(đvtt).
.a =
3
3 4
12
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 5: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và
SA = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC
1
3
A. V = a 3 .
B. V = a 3 .
C. V = 2a 3 2 .
2
4
Lời giải
Chọn D
D. V = a 3 .
4a 2 3
= a2 3 .
4
1
1
Thể tích V của khối chóp S . ABC bằng VS . ABC = SA.SABC = a 3.a 2 3 = a 3 .
3
3
Cho tứ diện SABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Biết SA = 3a,
SB = 4a, SC = 5a. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện SABC .
Ta có tam giác đều cạnh 2a nên SABC =
Câu 6:
A. V = 5a .
3
5a 2
B. V =
.
2
C. V = 10a 3 .
D. V = 20a 3 .
Lời giải
Chọn C
1
1
SA.SB.SC = .3a.4a.5a = 10a 3 .
6
6
Thể tích của khối tứ diện là: V =
Câu 7:
Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết SA ⊥ ( ABC ) và SA = a 3 .
Tính thể tích khối chóp S . ABC
A.
a
.
4
B.
a3
.
2
C.
a3
.
4
D.
3a3
.
4
Lời giải
Ta có: S ABC =
Câu 8:
3a 2
1
a3
 VS . ABC = SA.S ABC =
4
3
4
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 2a .
Tính thể tích khối chóp S . ABCD
A. V =
4a 3
.
3
B. V =
4 a3
.
3
C. V = 4a 3 .
D. V = 4 a 3 .
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
(
Diện tích hình vuông ABCD là: S ABCD = a 2
)
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
2
= 2a 2
1
1
4a 3
Thể tích khối chóp S . ABCD là: VS . ABCD = SA.S ABCD = .2a 2 .2a =
3
3
3
Câu 9:
Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hai mặt bên ( SAB ) và ( SAC )
cùng vuông góc với đáy và SC = a 3 . Thể tích khối chóp bằng
A.
a3 3
.
4
B.
a3 3
.
2
C.
a3 6
.
12
D.
2a 3 6
.
9
Lời giải
Chọn C
( SAB ) ⊥ ( ABC )

 SA ⊥ ( ABC )
Ta có ( SAC ) ⊥ ( ABC )

( SAB )  ( ABC ) = SA
Xét SAC vuông tại A ta có: SA = SC 2 − AC 2 = 3a 2 − a 2 = a 2
Diện tích của tam giác ABC là
a2 3
4
1
1
a 2 3 a3 6
Thể tích khối chóp VS . ABC = .SA.SABC = .a 2.
.
=
3
3
4
12
Câu 10: Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hai mặt bên ( SAB ) và ( SAC )
cùng vuông góc với đáy và SC = a 3 . Thể tích khối chóp bằng
A.
a3 3
.
4
B.
a3 3
.
2
C.
a3 6
.
12
D.
Lời giải
Chọn C
S
C
A
B
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
2a 3 6
.
9
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
( SAB )  ( SAC ) = SA

 SA ⊥ ( ABC ) .
Ta có ( SAB ) ⊥ ( ABC )

( SAC ) ⊥ ( ABC )
Trong tam giác SAC vuông tại A có SA = SC 2 − AC 2 = a 2 .
Diện tích tam giác ABC là SABC =
a2 3
.
4
1
1
a 2 3 a3 6
Thể tích khối chóp S . ABC là V = SA.SABC = .a 2.
.
=
3
3
4
12
Câu 11: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Cạnh bên SC vuông góc với mặt
phẳng ( ABC ) , SC = a . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
a3 3
A.
.
3
a3 3
B.
.
9
a3 2
C.
.
12
Lời giải
a3 3
D.
.
12
Chọn D
a2 3
Do đáy là tam giác đều nên niện tích đáy B =
và chiều cao h = SC = a
4
1
a3 3
Vậy thể tích khối chóp đã cho V = B.h =
.
3
12
Câu 12: Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , ABC = 600 , cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy, mặt bên ( SCD ) tạo với đáy một góc 600 . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A. a 3 3 .
B. 3a 3 3 .
C. 2a 3 3 .
Lời giải
D. 2a 3 .
Chọn A
Gọi I là trung điểm của CD .
Vì ABCD là hình thoi có ABC = 600  ADC = 600 , AD = DC  ACD đều  AI ⊥ CD .
Vậy ( SCD ) ; ( ABCD ) = SIA = 600 . Vì ACD đều  AI =
3
AD = a 3 .
2
SAI vuông tại A : SA = AI .tan SIA = a 3. 3 = 3a .
Dễ thấy ABC đều: SABC =
1
1
3
AB 2 = a 2 3 . Vậy VS . ABC = SA.SABC = .3a.a 2 3 = a 3 3 .
3
3
4
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 13: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA ⊥ ( ABCD ) và
SA = a 3 . Thể tích của khối chóp S . ABCD là:
A. a
3
3.
a3 3
B.
.
12
a3 3
C.
.
3
Lời giải
a3 3
D.
.
6
Chọn C
Ta có VS . ABCD
1
a3 3
2
= AB .SA =
.
3
3
Câu 14: Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a 3, SA vuông góc với mặt đáy
và SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) một góc 300 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
4 3
a .
3
B.
6 3
a .
3
C.
2 6 3
a .
3
D. 2 6a 3 .
Lời giải
Chọn C
 BC ⊥ AB

 BC ⊥ ( SAB)  SB là hình chiếu của SC trên (SAB)
Ta có:  BC ⊥ SA
 AB  SA = A
 

 ( SC , ( SAB ) ) = CSB = 300
Vì SBC vuông tại B  SB =
BC
= 3a
tan 30
Xét SAB vuông tại A , ta có: SA = SB 2 − AB 2 = 2a 2
1
1
2 6 3
Thể tích khối chóp là: V = Bh = .a.a 3.2a 2 =
a .
3
3
3
Câu 15: Cho tứ diện SABC có các mặt SAB, SBC là các tam giác cân tại S và SA, SB, SC đôi một
vuông góc với nhau, AB = a 2 . Thể tích của khối tứ diện đã cho bằng
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
a3
B.
.
3
3
A. 2a .
a3
C.
.
6
Lời giải
D. a 3 .
Chọn C
Do SA ⊥ SB , SAB cân tại S  2 SA2 = AB 2 = 2a 2  SA = SB = a .
Do SBC cân tại S nên SC = SB = a  SSBC =
1
a2
SB.SC = .
2
2
1
a3
Thể tích khối tứ diện bằng V = SA.SSBC = .
3
6
Câu 16: Cho khối chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình thang, AB / / CD,
SA = AD = DC = a, BC = a 7 . Tam giác SBC vuông tại C , tam giác SCD vuông tại D . Thể
tích khối chóp đã cho bằng
A. 2a 3 .
B.
4 3
a .
3
C.
2 3
a .
3
D.
1 3
a .
2
Lời giải
Chọn C
Ta có:
CD ⊥ SA 
  CD ⊥ ( SAD )  CD ⊥ AD  ( SAD )
CD ⊥ SD 
Suy ra, tam giác ACD vuông tại D  AC = AD 2 + DC 2 = a 2 + a 2 = a 2
BC ⊥ SA 
  BC ⊥ ( SAC )  BC ⊥ AC  ( SAC )
BC ⊥ SC 
Suy ra, tam giác ABC vuông tại C  AB = AC 2 + BC 2 = 2a 2 + 7a 2 = 3a
Ta có: S ABCD =
( CD + AB ) . AD = ( a + 3a ) .a = 2a 2 .
2
2
1
1
2
Thể tích của khối chóp S . ABCD là: VS . ABCD = .SA.S ABCD = .a.2a 2 = a 3 .
3
3
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 17: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a , góc giữa
đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 30o (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối chóp
S . ABCD bằng
A.
a3
.
2
B.
a3
.
4
C.
a3 3
.
6
D.
a3
.
6
Lời giải
Chọn A
(
)
SA ⊥ ( ABCD )  SC , ( ABCD ) = SCA = 30O .
Xét tam giác vuông SAC , ta có: AC = SA.cot 30o = a 3 . Suy ra: AB =
AC a 3
=
.
2
2
2
VS . ABCD
1
1 a 3
a3
= SA.S ABCD = . 
.
a
=
.

3
3  2 
2
Câu 18: Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BC = 3, BA = 4 . Cạnh bên
SA = 5 vuông góc với đáy, khi đó thể tích khối chóp bằng
A. V = 60 .
B. V = 20 .
C. V = 30 .
Lời giải
Chọn D
1
1 1
1 1
Ta có V = S ABC .SA = . BA.BC.SA = . .3.4.5 = 10 .
3
3 2
3 2
D. V = 10 .
Câu 19: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD )
cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết rằng
A. VABCD = a .
3
B. VSABCD
a3 3
=
.
3
C. VSABCD
Lời giải
Chọn D
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
a3 3
=
.
9
SC = a 3 .
D. VSABCD
a3
= .
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
( SAB ) ⊥ ( ABCD )

Ta có ( SAD ) ⊥ ( ABCD )  SA ⊥ ( ABCD ) .

( SAB )  ( SAD ) = SA
ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a 2 .
2
2
Tam giác SAC vuông tại A nên SA = SC − AC = a .
1
1
a3
VS . ABCD = SA.S ABCD = SA. AB 2 = .
3
3
3
Câu 20: Cho khối chóp S . ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm O ; AC = 2 AB = 2a ; SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết rằng SD = a 5.
A. VS . ABCD =
a3 5

3
B. VS . ABCD =
a3 15
a3 6
 C. VS . ABCD =

3
3
Lời giải
D. VS . ABCD = a 3 6 
Chọn C
Ta có: AC = 2 AB = 2a  AB = a.
Do ABCD là hình chữ nhật  AB ⊥ BC.
Xét ABC vuông tại B có
BC =
AC 2 − AB 2  BC =
( 2a )
2
− a 2 = a 3.
Xét SAD vuông tại A có
SA = SD 2 − AD 2  SA =
(a 5 ) − (a 3)
2
2
= a 2.
Do SA ⊥ ( ABCD ) suy ra SA là đường cao của khối chóp.
Thể tích khối chóp S . ABCD là
1
1
a3 6
VS . ABCD = SA  S ABCD = SA  AB  BC =

3
3
3
Câu 21: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , AC = a 5 ,
SA ⊥ ( ABC ) và SA = a 3 . Thể tích khối chóp SABC bằng
A. V =
a3 3
.
3
B. V = a3 3 .
C. V =
a3 3
2
D. V =
a3 5
.
3
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 12
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Ta có: BC = AC 2 − AB 2 = 5a 2 − a 2 = 2a .
1
1
1
a3 3
Thể tích khối chóp là: V = .SA.S ABC = .a 3. .a.2a =
.
3
3
2
3
Câu 22: Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a 3 , ACB = 60
, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SB hợp với mặt đáy một góc 30 . Tính thể tích V
của khối chóp S . ABC .
A. V =
a3 3
.
18
B. V =
a3 6
.
6
C. V =
a3 3
.
6
D. V =
a3 3
.
9
Lời giải
Chọn C
Ta có ABC là tam giác vuông tại B , AB = a 3 , ACB = 60  BC =
AB
a 3
=
= a.
0
tan 60
3
Vì SA ⊥ ( ABC )  AB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng ( ABC ) .
Khi đó ( SB, ( ABC ) ) = ( SB, AB ) = SBA = 30  SA = AB .tan 30 = a 3 .
Vậy VS . ABC
1
=a.
3
1
1 1
1
a3 3
= SABC . SA = . BA . BC . SA = . a 3. a . a =
.
3
3 2
6
6
Câu 23: Cho hình chóp S . ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) . Biết SA = a , tam
giác ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = 2a . Tính theo a thể tích V của khối chóp
S . ABC .
a3
A. V = .
6
a3
B. V = .
2
2a 3
C. V =
.
3
Lời giải
Chọn C
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. V = 2a 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Diện tích tam giác ABC vuông cân tại A là S ABC =
1
1
AB. AC = 2a.2a = 2a 2 .
2
2
1
1
2a 3
Thể tích khối chóp S . ABC là: VS . ABC = SA.S ABC = .a.2a 2 =
.
3
3
3
Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a và AD = 3a , cạnh bên SA
vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD biết góc giữa hai mặt phẳng ( SBD )
và ( ABCD ) bằng 60 .
Lời giải
( SBD )  ( ABCD ) = BD

Kẻ AH ⊥ BD ( H  BD ) . Vì  BD ⊥ SH  ( SBC )

 BD ⊥ AH  ( ABCD )
Suy ra
( ( SBD ) , ( ABCD ) ) = ( SH ; AH ) = SHA = 60
Xét
ABD vuông tại A có AH =
Xét
SAH vuông tại A có SA = AH .tan 60 =
AD. AB
AD 2 + AB 2
=
3a 2
3a 10
.
=
10
a 10
3a 10
3a 30
.
. 3=
10
10
1
1 3a 30
3a 3 30
Khi đó thể tích khối chóp S . ABCD là: V = SA.S ABCD = .
.
.3a 2 =
3
3 10
10
Câu 25: Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a , SA vuông góc với đáy, góc
giữa cạnh bên SC và đáy bằng 30 . Tính thể tích của khối chóp đã cho.
A. V =
2 15 3
a .
3
B. V =
2 3
a .
3
C. V =
2 15 3
a .
9
D. V = 2 15a 3 .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 14
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Lời giải
Chọn C
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ABC ta được:
AC = AB 2 + BC 2 = a 2 + ( 2a ) = a 5
2
Ta có SA ⊥ ( ABCD )  A là hình chiếu vuông góc của S trên ( ABCD )
 AC là hình chiếu vuông góc của SC trên ( ABCD )
 ( SC , ( ABCD ) ) = ( SC ; AC ) = SCA = 30
Xét tam giác vuông SAC có: SA = AC.tan SCA = a 5.
1 a 15
=
3
3
Diện tích đáy ABCD là: S ABCD = AB. AD = 2a 2
1
1 a 15
2a3 15
Khi đó thể tích khối chóp là: V = SA.S ABCD = .
.2a 2 =
3
3 3
9
Câu 26: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hai mặt ( SAB ) và ( SAC ) cùng
vuông góc với đáy và
A.
a3 6
.
4
SB = a 3 . Tính thể tích S . ABC .
B.
a3 6
.
12
C.
a3 6
.
3
Lời giải
Chọn B
( SAB ) ⊥ ( ABC )

 SA ⊥ ( ABC ) tại A .
Ta có: ( SAC ) ⊥ ( ABC )
( SAC )  ( SAB ) = SA
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D.
2a 3 6
.
9
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
SA = SB 2 − AB 2 = 3a 2 − a 2 = a 2 .
1
1 a2 3
a3 6
VS . ABC = S ABC .SA =
.a 2 =
.
3
3 4
12
Câu 27: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , BC = 2a 3 , BAC = 1200 , cạnh bên
SA vuông góc với mặt đáy và SA = 2a . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .
2a 3 3
A. V =
.
3
B.
V =a 3.
3
a3 3
C. V =
.
2
a3 3
D. V =
6
Lời giải
Chọn A
Trong tam giác ABC kẻ đường cao AM vuông góc BC .
Do tam giác ABC cân tại A , BAC = 1200 nên BAM = 600 .
Do đó: AM =
BM
a 3
=
=a
o
tan 60
3
1
1 a.2a 3
2a 3 3
.2a =
Vậy thể tích khối chóp S . ABC là: V = B.h = .
.
3
3
2
3
Câu 28: Cho hình chóp S . ABC , đáy là tam giác vuông cân tại B , AB = a , SA vuông góc với đáy, góc
giữa SC và đáy bằng 45 . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
a3 2
.
6
B.
a3 2
.
2
C.
a3
.
6
D.
a3
.
2
Lời giải
Chọn A
Đáy là tam giác vuông cân tại B nên diện tích đáy S ABC =
1
a2
AB 2 =
và AC = a 2 .
2
2
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 16
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia

Góc giữa SC và đáy bằng 45 nên SA = AC = a 2
1
1
a 2 a3 2
Thể tích cảu khối chóp là V = SA.S ABC = a 2. =
.
3
3
2
6
Câu 29: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA = 3a . Biết góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( SAC ) bằng 30. Thể tích khối chóp đã
cho bằng
A. 27a 3 .
B. a 3 .
C. 3a 3 .
Lời giải
D. 9a 3 .
Chọn D
Gọi độ dài cạnh hình vuông ABCD là x ( x  0 ) .
 DO ⊥ AC
 DO ⊥ ( SAC )  ( SD, ( SAC ) ) = OSD = 30 .
Gọi O = AC  BD  
 DO ⊥ SA
Do đó tan OSD =
OD 1
=

OS
3
2
x
2
 2 
9a 2 + 
x
 2 
2
=
1
1
 x = 3a  VS . ABCD = S ABCD .SA = 9a 3 .
3
3
Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = 2a và AD = 4a , cạnh bên SA
vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD biết góc giữa hai mặt phẳng ( SBD )
và ( ABCD ) bằng 300 .
A.
15a 3
.
5
8a 3 15
B.
.
15
8a 3 15
C.
.
45
Lời giải
Chọn C
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D.
3a 3
.
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Kẻ AE ⊥ BD .
(
)
300 = ( SBD ) , ( ABCD ) = SEA .
Xét ABD vuông tại A có AE =
AD. AB
AD 2 + AB 2
Xét SAE vuông tại A có SA = AE.tan 300 =
=
8a 2
4a 5
.
=
5
2a 5
4a 5 3 4a 15
.
=
.
5
3
15
1
1 4a 15 2 8a3 15
.2a =
Khi đó thể tích S . ABCD là V = SA.S ABCD = .
.
3
3 15
45
Câu 31: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BC = 3a, AC = a 10, cạnh bên SA
vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng đáy bằng 30o. Tính thể tích khối
chóp S . ABC là
A.
a3 3
.
6
B.
a3 3
.
3
C.
a3 3
.
2
D. a 3 3.
Lời giải
Chọn A
 AB = AC 2 − BC 2 = a
1
1
3a 2

S
=
AB
.
BC
=
.3
a
.
a
=
Ta có 
và
ABC
a 3
2
2
2
30o = SBA  SA = AB.tan 30o =
3

1
a3 3
Vậy VS . ABC = .SABC .SA =
.
3
6
Câu 32: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a ,cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy, góc giữa SC với mặt phẳng ( SAB ) bằng 30 . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 18
Phan Nhật Linh
A.
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
2a 3
.
3
B.
8a 3
.
3
8 2a 3
.
3
C.
D.
2 2a 3
.
3
Lời giải
Chọn C
SC  ( SAB ) = S 
0
  ( SC  ( SAB ) ) = ( SC ; SB ) = CSB = 30 .
CB ⊥ ( SAB )

BC
BC
2a
Xét tam giác SBC vuông tại B có: tan 300 =
 SB =
=
= 2 3a .
0
SB
tan 30
3
3
Ta có:
Xét tam giác SAB vuông tại A có: SA =
( 2a 3 )
2
− 4a 2 = 2a 2 .
1
1
8a3 2
Thể tích khối chóp VS . ABCD = .SA.S ABCD = .2a 2.4a 2 =
.
3
3
3
Câu 33: Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC đều cạnh a , SA ⊥ ( ABC ) . Gọi M là điểm trên cạnh
AM 2
= . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng
AB 3
thể tích khối chóp S . ABC .
AB sao cho
a3 3
A.
.
6
a3 3
B.
.
4
2a 3 3
C.
.
3
Lời giải
a
. Tính
13
a3 3
D.
.
2
Chọn A
AN 2
a 3
= , G = MN  AI  AG =
.
AC 3
3
1
Ta có d ( SM , BC ) = d ( BC , ( SMN ) ) = d ( B, ( SNM ) ) = d ( A, ( SMN ) )
2
2a
Suy ra d ( A, ( SMN ) ) =
13
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SG .
Khi đó MN ⊥ AG, MN ⊥ SA  MN ⊥ ( SAG )  MN ⊥ AK . Vậy AK ⊥ ( SMN ) , hay
Gọi I là trung điểm của BC , N  AC :
d ( A, ( SMN ) ) = AK =
2a
.
13
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ta có
1
a 2 3 a3 3
1
1
1
13
3
1
V
=
.2
a
.
=
=
−
=
−
=

SA
=
2
a
.
Vậy
.
S . ABC
3
4
6
SA2 AK 2 AG 2 4a 2 a 2 4a 2
Câu 34: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA ⊥ ( ABCD ) . Góc giữa
hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD ) bằng  với cos  =
9
. Thể tích của khối chóp S . ABCD
16
bằng:
A.
a3 7
.
3
B.
a 3 57
.
3
C.
a 3 57
.
9
D.
a3 7
.
9
Lời giải
Chọn D
Dựng BH ⊥ SC  SC ⊥ ( BHD )  SC ⊥ DH  ( ( SBC ) , ( SCD ) ) = ( BH , DH )
Trường hợp 1: cos BHD = −
9
16
Ta có: BD = AC 2 = a 2 suy ra BD 2 = BH 2 + DH 2 − 2 BH  DH  cos BHD
Mà BH = DH ( SBC = SDC )
−9 25
8
4
=
BH 2  BH 2 =
2a 2  BH = a
16 8
25
5
1
1
1
1
1
1
BH  BC
4
Mặt khác:
= 2+
 2 =
−
 SB =
= a
2
2
2
2
2
2
BH
SB
BC
SB
BH
BC
3
BC − BH
Nên BD 2 = BH  + BH 2 − 2 BH  BH 
Khi đó: SA = SB 2 − AB 2 =
7
a
3
1
1 7
7 3
 VS . ABCD = SA  AB  AD = 
aaa =
a
3
3 3
9
9
Trường hợp 2: cos BHD =
16
Ta có: BD 2 = BH 2 + DH 2 − 2 BH  DH  cos BHD = BH  + BH 2 − 2BH  BH 
 BH 2 =
9 7
= BH 2
16 8
8 2
4 7
2a  BH =
a  BC (vô lý)
7
7
Câu 35: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với đáy, mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng
( SBC ) , góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) bằng 600 , SB = a 2; BSC = 450. Tính thể
tích khối chóp S . ABC
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 20
Phan Nhật Linh
A.
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
2 3
a .
4
B.
2 3
a .
2
C.
3 3
a .
2
D.
5 3 3
a.
2
Lời giải
Chọn D
Dựng AH ⊥ SB ( H  SB)  AH ⊥ ( SBC )
 BC ⊥ SA
 BC ⊥ ( SAB)  ABC vuông tại B.
Ta có: 
 BC ⊥ AH
Dựng BI ⊥ AC ( I  AC )  BI ⊥ SC
Dựng BK ⊥ SC ( K  SC )  SC ⊥ ( BIK ) . Suy ra: (( SAC );( SBC )) = BKI = 600.
Ta lại có: SBC vuông cân tại B ( BSC = 450 ; BC ⊥ SB)  SB = BC = a 2.
Suy ra: BK = a ( K là trung điểm của SC )
 BI ⊥ SC
a 3
.
 BI ⊥ ( SAC )  BI ⊥ IK nên BIK vuông tại I  BI = BK .sin 600 =
Do 
2
 BI ⊥ AC
ABC tại B 
SABC
1
1
1
a 30
=
+
 AB =
.
2
2
2
BI
AB BC
5
1
a 2 15
2a 5
= AB.BC =
; SA = SB 2 − AB 2 =
.
2
5
5
 V = VS . ABC
2a 3 3
a3 5 3
=
 =
.
15
V
2
Câu 36: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A , AB = a , BC = 2a và SB vuông
góc với mặt phẳng ( ABC ) . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) bằng 600 . Thể tích
của khối chóp S . ABC bằng
a3 2
A.
.
6
a3 6
B.
.
12
a3 6
C.
.
4
Lời giải
Chọn B
21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
a3 2
D.
.
2
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 AH ⊥ BC
. Ta có: AH ⊥ ( SBC )  AH ⊥ SC .
 AK ⊥ SC (1)
Kẻ 
Khi đó: SC ⊥ ( AHK )  SC ⊥ KH ( 2 ) .
Từ (1) , ( 2 ) suy ra: Góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) là AKH = 600
Tam giác vuông ABC có:
AB = a , BC = 2a  AC = BC 2 − AB 2 = a 3
AH .BC = AB. AC  AH =
AC 2 = CH .CB  CH =
a 3
2
3
a
2
a 3
AH
1
 tan 600 = 2  HK = a .
Xét tam giác vuông AHK vuông tại H : tan K =
HK
HK
2
Xét tam giác vuông HKC vuông tại K : KC =
Khi đó: tan C =
1
3
HC 2 − HK 2 = a 2 .
SB KH
2
=
 SB =
a.
BC KC
2
1 1
3 2
Vậy: VS . ABC = .S ABC .SB = . . AB. AC.SB =
a3 6
.
12
Câu 37: Cho tam giác ABC đều cạnh a , gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng
( ABC ) . Trên d lấy điểm S và đặt AS = x, ( x  0 ) . Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các
tam giác ABC và SBC . Biết HK cắt d tại điểm S  . Khi SS  ngắn nhất thì khối chóp S . ABC
có thể tích bằng
a3 6
A.
.
6
a3 3
B.
.
8
a3 2
C.
.
27
Lời giải
a3 6
D.
.
24
Chọn D
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 22
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Gọi A, I lần lượt là trung điểm của BC và AC , B  là chân đường cao của tam giác SBC hạ từ
đỉnh B .
Xét tam giác SAS  có H là trực tâm, ta có
S AH ∽ AAS 
AS  AH
a 3 a 3 a2
=
 AS . AS = AA. AH =
.
=
AA AS
2
3
2
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: SS  = SA + AS   2 AS . AS  = 2
Dấu “ = ” xảy ra khi SA = AS  = x =
a2
=a 2
2
a 2
.
2
a 2
1
1 a 2 a 2 3 a3 6
. Khi đó VS . ABC = SA.S ABC = .
.
.
=
2
3
3 2
4
24
Câu 38: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều có cạnh bằng 4 , SA vuông góc với đáy, khoảng
Do đó SS  ngắn nhất khi x =
cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
A. V = 8 3 .
B. V =
3 . Thể tích V của khối chóp S . ABC là
16 2
.
3
C. V =
8 3
.
3
D. V =
16 3
.
3
Lời giải
Gọi M là trung điểm của BC , suy ra AM ⊥ BC (1) .
Ta có SA ⊥ ( ABC )  SA ⊥ BC ( 2 ) .
Từ (1) , ( 2 ) suy ra BC ⊥ ( SAM ) .
Kẻ AH ⊥ SM , vì AH  ( SAM ) nên AH ⊥ BC .
Do đó AH ⊥ ( SBC ) , suy ra d ( A , ( SBC ) ) = AH = 3 .
4 3
42. 3
= 2 3 , S ABC =
=4 3.
2
4
1
1
1
Tam giác SAM vuông tại A , ta có:
= 2+
2
AH
SA
AM 2
1
1
1
1
1
1
 2 =
−
=
−
=  SA = 2 .
2
2
2
2
SA
AH
AM
4
3
2 3
ABC là tam giác đều cạnh bằng 4 nên AM =
( ) (
)
1
1
8 3
Thể tích khối chóp: V = S ABC .SA = .4 3.2 =
.
3
3
3
Câu 39: Cho hình chóp S . ABCD , mặt đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với
mặt đáy. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD . Tính theo a thể tích
23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
khối chóp S . ABCD biết góc giữa hai mặt phẳng ( ABCD ) và ( AHK ) là 30 .
A.
a3 2
.
3
B.
a3 6
.
2
C.
a3 6
.
3
D.
a3 6
.
9
Lời giải
Chọn C
 BC ⊥ AB
 BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ AH
Ta có: 
 BC ⊥ SA
 AH ⊥ BC
 AH ⊥ ( SBC )  SC ⊥ AH (1)
Khi đó 
 AH ⊥ SB
Tương tự SC ⊥ AK ( 2 )
Từ (1) và (2) suy ra SC ⊥ ( AHK ) ( 3)
Theo giả thiết SA ⊥ ( ABCD ) ( 4 )
Từ (3) và (4) suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( ABCD ) và ( AHK ) là  = ( SC , SA) = ASC = 30
 tan  =
AC
 SA = a 2. 3 = a 6
SA
1
a3 6
.
 VS . ABCD = .a 6.a 2 =
3
3
Câu 40: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BC = a 2 . Biết SA ⊥ ( ABC )
, góc giữa SC và đáy bằng 60 . Thể tích khối chóp SABC bằng
A.
a3 3
.
6
B.
a3 3
.
3
C.
a3
.
12
D.
2a 3 3
.
3
Lời giải
Chọn D
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 24
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia

 SC  ( ABC ) = C
Ta có 
 ( SC , ( ABC ) ) = SCA = 60 .
SA
⊥
ABC
(
)


Vì ABC là tam giác vuông cân tại B , AC = AB 2 + BC 2 =
(a 2 ) + (a 2 )
2
2
= 2a .
SA
 SA = AC.tan 60 = 2a 3 .
AC
1
1
= AB.BC = .a 2.a 2 = a 2 .
2
2
Tam giác SAC vuông tại A  tan 60 =
Tam giác ABC vuông tại B  S ABC
Vậy VSABC
1
1
2a 3 3
2
= .SA.S ABC = .2a 3.a =
.
3
3
3
Câu 41: Cho chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết SA ⊥ ( ABCD ) , AB = 2 BC = 2a , góc
giữa ( SBD ) và đáy bằng 30 . Thể tích của khối chóp S . ABCD là
A.
15 3
a .
15
B.
4 15 3
a .
45
C.
15 3
a .
45
D.
4 15 3
a .
15
Lời giải
Chọn B
Kẻ AI ⊥ BD tại I .
 BD ⊥ AI
 BD ⊥ ( SAI )  BD ⊥ SI .
Ta có 
 BD ⊥ SA
( SBD )  ( ABCD ) = BD

Ta có  AI ⊥ BD
 ( ( SBD ) , ( ABCD ) ) = ( AI , SI ) = SIA = 30 .
 SI ⊥ BD

BD =
AD 2 + AB 2 = a 5 ; AI =
SA = AI .tan SIA =
AD. AB 2 5
=
a.
BD
5
2 5
3 2 15
a.
=
a.
5
3
15
1
1
2 15
4 15 3
VS . ABCD = .S ABCD .SA = .a.2a.
a=
a .
3
3
15
45
Câu 42: Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = 2a 2 , SA vuông góc với mặt
phẳng ( ABC ) , góc giữa 2 mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) bằng 600 . Tính thể tích của khối chóp
S . ABC
A.
1 3
a .
3
B. a 3 .
25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C.
5 3
a
3
D.
4 3
a
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Lời giải
Chọn D
 BM ⊥ AC
 BM ⊥ ( SAC )  BM ⊥ SC .
Gọi M là trung điểm của AC ⇒ BM ⊥ AC . Ta có: 
 BM ⊥ SA
 SC ⊥ BM
 SC ⊥ MH .
Kẻ BH ⊥ SC tại H. Ta có: 
 SC ⊥ BH
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) là góc BHM = 600
Từ giả thiết AC = 2a 2 . nên AB = BC = 2a và BM = MC = a 2
Xét tam giác BMH vuông tại M: tan BHM =
CH = CM 2 − MH 2 =
BM
BM
a 6
 MH =
=
.
0
MH
tan 60
3
2a 3
.
3
Xét hai tam giác đồng dạng CAS , CHM (tam giác vuông có chung góc nhọn C ), do đó:
SA
AC
MH . AC
1
1
4
=
 SA =
= 2a . Thể tích khối chóp: VS . ABC = .SA. . AB.BC = a 3 .
MH CH
CH
3
2
3
Câu 43: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a 2 . Cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Góc giữa hai mặt phẳng
( AMN ) và ( ABC )
a3 2
A.
.
2
là  . Biết cos  =
a3 5
B.
.
3
2
. Thể tích khối chóp S . ABC bằng
3
a3 7
C.
.
3
Lời giải
a3 2
D.
.
3
Chọn C
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 26
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
 A  ( AMN )  ( ABC )

 MN  ( AMN )
Vì 
 BC  ( ABC )
 MN || BC

nên giao tuyến của ( AMN ) và ( ABC ) là đường thẳng d đi qua A và song song với BC , MN .
 AB ⊥ BC  AB ⊥ d
Ta có 
 BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ AM  AM ⊥ d
Suy ra
(( AMN ) , ( ABC )) = ( AM , AB ) = MAB.
Đặt SA = x, ( x  0 ) .
Xét tam giác vuông SAB, có SB = 2a 2 + x 2  BM = AM =
2a 2 + x 2
.
2
Áp dụng định lí Côsin cho ABM , ta có
cos MAB =
AM 2 + AB 2 − BM 2
2
=

2. AM . AB
3
2a 2
2.
2a 2 + x 2
.a 2
2
=
2
x=a 7.
3
1 1
1
a3 7
Thể tích khối chóp đã cho bằng V = . AB 2 .SA = .2a 2 .a 7 =
.
3 2
6
3
Câu 44: Cho hình chóp S . ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng BD và SC là
2a 3
A.
.
3
a3
B.
.
6
a
. Tính thể tích khối chóp S . ABCD.
2
C. a
3
2.
Lời giải
Chọn D
Gọi O = AC  BD .
Vẽ OH ⊥ SC
( H  SC )
(1).
 BD ⊥ AC
 BD ⊥ ( SAC )  BD ⊥ OH (2).
Ta có 
 BD ⊥ SA
Từ (1) và (2) ta có OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC.
a
Vậy d ( BD , SC ) = OH = .
2
Xét hai tam giác đồng dạng CHO và CAS ta có
27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
a3 2
D.
.
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
a
a 2
OH CO
1
1
a3 2
2
=
 2 =
 SA = a 2 . Vậy VS . ABCD = .SA.S ABCD = .a 2.a 2 =
.
SA SC
SA
3
3
3
SA2 + 2a 2
Câu 45: Cho khối chóp S . ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, đáy là tam giác cân tại
A, độ dài đường trung tuyến AD = a , cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy góc 450 và tạo với
mặt phẳng ( SAD ) góc 300. Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
a3 2
.
9
B.
a3 2
.
3
C. a 3 2.
D. 3a 3 2.
Lời giải
Chọn B
Ta có vì SA ⊥ ( ABC ) nên ( SB, ( ABC ) ) = ( SB, AB ) = SBA = 45 suy ra tam giác SAB vuông
cân tại A . Đặt AB = x ( x  0 )  SA = x, SB = x 2;
Do
tam
giác
cân
ABC
tại
A
AD ⊥ BC
nên
,
BD = x 2 − a 2
.
Ta
có:
BD ⊥ AD, BD ⊥ SA  BD ⊥ ( SAD ) , suy ra ( SB, ( SAD ) ) = ( SB, SD ) = BSD = 30.
Xét tam giác vuông SBD có:
1
BD = SB.sin 30  x 2 − a 2 = x 2.  2 ( x 2 − a 2 ) = x 2  x = a 2.
2
Suy ra BD = a ; SA = a 2
1
1
1
a3 2
Vậy VS . ABC = SA.S ABC = .a 2. .a.2a =
.
3
3
2
3
Câu 46: Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) vuông góc với nhau.
a
a
SA = ; AB =
, góc tạo bởi hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) là 600 . Tính theo a thể tích
2
2
khối chóp S . ABC .
a3 3
A.
24
a3
B.
4
a3
C.
12
a3 3
D.
12
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 28
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
S
E
a
60°
2
H
C
A
a
2
Ta có
Gọi
B

( SAB ) ⊥ ( SBC )

SA ⊥ ( ABC )  ( SAB ) ⊥ ( ABC ) . Ta có ( SAB ) ⊥ ( ABC )
  BC ⊥ ( SAB )
( SBC )  ( ABC ) = BC 
H,E
lần lượt là chân đường cao hạ từ A xuống
SB , SC
, vì
( SAB ) ⊥ ( SBC )
và
( SAB )  ( SBC ) = SB  AH ⊥ ( SBC )  AH ⊥ SC
Ta có
SC ⊥ AH , SC ⊥ AE  SC ⊥ EH
Xét tam giác SAB :
nên ( SAC ) ; ( SBC ) = AEH = 600
1
1
1
= 2+
 AH =
2
AH
SA
AB 2
SA. AB
SA2 + AB 2
=
a a
.
2 2
2
a  a 
  +

2  2 
2
=
a 6
6
a 6
3
a 2
= 6  AE =
Xét tam giác AHE vuông tại H : sin AEH = sin 600 =
2
AE
3
Xét tam giác SAC vuông tại A :
1
1
1
1
1
1
= 2+

=
+
 AC = a 2
2
2
2
2
2
AE
SA AC
AC
a
a 2  

 2
 3   
2
2
Xét tam giác ABC vuông tại B : BC = AC − AB =
a 6
2
1
1 a 1 a a 6 a3 3
Vậy V = SA.S ABC = . . .
.
.
=
3
3 2 2 2 2
24
Câu 47: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
o
Biết AB = 2a, AD = 2a, ABC = 45o và góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) , ( SCD ) bằng 30 .
Thể tích khối chóp đã cho bằng
3
A. 3a .
3
B. a .
C.
Lời giải
Chọn C
29 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
2 3
a .
3
D.
3 3
a .
4
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
o
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên BC  BK = AB.cos 45 = 2a.
2
= a.
2
Khi đó K là trung điểm của BC và AK ⊥ BC nên AC = AB = 2a
Nhận thấy tam giác ABC , ACD là các tam giác vuông lần lượt tại A và C .
Ta có: BC ⊥ ( SAK ) , CD ⊥ ( SAC ) suy ra ( SBC ) ⊥ ( SAK ) , ( SCD ) ⊥ ( SAC ) .
Gọi I , H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SK , SC
Khi đó AI ⊥ ( SBC ) , AH ⊥ ( SCD ) .
Dẫn đến AI ⊥ IH hay tam giác AIH vuông tại I .
Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) , ( SCD ) bằng IAH = 30o .
Gọi h = SA , AI =
Ta có cos IAH =
a.h
a +h
2
AI

AH
2
2a.h
, AH =
2a 2 + h 2
2a 2 + h 2
2. a + h
2
2
=
3
 h = a.
2
Diện tích hình bình hành ABCD là S = AK . AD = 2a .
1
1
2
Thể tích khối chóp V = Sh = .2a 2 .a = a 3 .
3
3
3
2
Câu 48: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a 3 và SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC , SD lần lượt
tại B, C , D. Thể tích khối chóp S . ABC D bằng
3 3a 3
A.
.
20
9 3a 3
B.
.
20
3 3a 3
C.
.
10
3 3a 3
D.
.
40
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 30
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
1
Ta có: VS . ABCD = .a 3.a 2
3
AC  ⊥ SC ( do SC ⊥ ( P ) , AC   ( P ) ) .

 AD ⊥ SC ( do SC ⊥ ( P ) , AD  ( P ) )
 AD ⊥ SD.


AD
⊥
CD
do
CD
⊥
AD
,
CD
⊥
SA
(
)



 AB ⊥ SC ( do SC ⊥ ( P ) , AB  ( P ) )
 AB ⊥ SB.


AB
⊥
BC
do
BC
⊥
AB
,
BC
⊥
SA
(
)


SB SA2 3
=
= .
Trong SAB
SB SB 2 4
SD SA2 3
2
=
= .
Trong SAD vuông tại A có: SA = SD '.SD 
SD SD 2 4
SC  SA2 3
2

=
= .
Trong SAC vuông tại A có: SA = SC .SC 
SC SC 2 5
VS . ABC  SB SC  9
V   SC  SD 9
=
.
=
.
= .
và S . AC D =
VS . ABC
SB SC 20
VS . ACD SC SD 20
2
vuông tại A có: SA = SB.SB 

VS . ABC  VS . AC D VS . ABC  + VS . ACD VS . ABCD ' 2.VS . ABCD ' 9
+
=
=
=
= .
VS . ABC VS . ACD
VS . ABC
VS . ABC
VS . ABCD
10
Vậy VS . ABC D ' =
9
3 3a3
.VS . ABCD =
.
20
20
Câu 49: Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh x và SA
A đến mặt phẳng
m 3
a , m, n
n
A. 10 .
ABCD . Khoảng cách từ điểm
( SCD ) bằng a 2 . Biết thể tích nhỏ nhất của khối chóp
. Tính P
B. 9 .
m
n.
C. 8 .
Lời giải
Chọn C
31 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. 11 .
S . ACD là
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Kẻ AH
1 . Ta có
SD
CD
SAD
AH
SAD
Từ 1 và 2 ta có AH
Xét
SCD suy ra
AH
CD 2
d A, SCD
AH
a 2.
SAD ta có
1
AH 2
1
AS 2
1
AD 2
Diên tích tam giác
1
AS 2
1
AH 2
ACD là
S
ACD
1
AD 2
AD 2 . AH 2
AD 2 AH 2
AS
2ax
x
2
2a 2
.
x2
2
1
AD.CD
2
Vậy thể tích của khối chóp S . ACD là
VS . ACD
1
1 1 2 ax 2
a 2
x3
.
= .SA.S ACD = . x .
=
.
3
3 2
6
x 2 − 2a 2
x 2 − 2a 2
Xét hàm số f ( x ) =
f ( x) =
x3
x 2 − 2a 2
với x  a 2 .
 x = 0 ( KTM )

, f  ( x ) = 0   x = −a 3 ( KTM ) .
( x 2 − 2a 2 )

x = a 3
2 x4 − 6 x2a2
(x
2
− 2a 2 )
Bảng biến thiên:
Vậy ta có P = m + n = 8 .
Câu 50: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M là trung điểm của
CD . Trung tuyến CN của tam giác SCM kéo dài cắt SD tại P . Biết rằng AB = 3 ,
cos( SC ,( ABCD)) =
A.
1
.
2
5
12
và d (C , ( SBD)) = . Tính VS . ANP .
13
26
B.
1
.
3
C.
1
.
12
D.
1
.
6
Lời giải
Chọn D
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 32
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SMD với cát tuyến CNP ta có
SP DC MN
SP
SP 1
SP 1 VS . ANP SN SP 1 1 1


=1
 2 1 = 1 
= 
= 
=

=  =
PD CM NS
PD
PD 2 SD 3 VS . AMD SM SD 2 3 6
Gọi O là giao điểm của AC và BD . Kẻ AK ⊥ BD tại K , AH ⊥ AK tại H .
Ta có: AC = AB 2 + AD 2 = 9 + AD 2 , tan( SC , ( ABCD)) =
AC là hình chiếu của SC trên

1
1
−1 = .
cos ( SC , ( ABCD))
5
2
( ABCD )
1
SA
1
= tan( SC , ( ABCD)) = tan( SC , AC ) = tan SCA =
 SA =
9 + AD 2
5
AC
5
 AK =
AH =
AB  AD
3 AD
=
AC
9 + AD 2
SA  AK
=
SK
1
3 AD
9 + AD 2 
5
SA. AK
9 + AD 2
9 + AD 2 = 3 AD
=
AD 4 + 243 AD 2 + 81
SA2 + AK 2
1
9 AD 2
2
( 9 + AD ) + 9 + AD 2
25
 BD ⊥ AK
Ta có: 
 BD ⊥ ( SAK )  BD ⊥ AH
 BD ⊥ SA
mà SK ⊥ AH  AH ⊥ ( SBD)  d ( A,( SBD)) = AH .
AC  ( SBD) = O 
d (C ,( SBD)) CO
=
= 1  d (C ,( SBD)) = AH
d ( A,( SBD)) AO
AD 2 ( 9 + AD 2 )
12
9 + AD 2
16

= 3 AD

=
13
AD 4 + 243 AD 2 + 81 169 AD 4 + 243 AD 2 + 81
 153 AD 4 − 2367 AD 2 − 1296 = 0  AD = 4  SA = 1
1
1 1
1
1
1
1
 VS . AMD =  SA  S AMD = 1 AD  MD =  4  AB =  3 = 1  VS  ANP = .
3
3 2
6
2
3
6
33 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 34
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 3: Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Bài toán: Cho hình chóp có mặt phẳng ( P ) ( mặt phẳng ( P ) chứa đỉnh hình chóp). Mặt phẳng ( P )
vuông góc với mặt đáy của hình chóp. Cách tìm đường cao của hình chóp như thế nào?
Cách tìm đường cao hình chóp:
•
Bước 1: Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( P ) và mặt phẳng đáy
•
Bước 2: Từ đỉnh S của hình chóp kẻ đoạn thẳng SH vuông góc với giao tuyến d
Lưu ý: Chúng ta phải đặc biệt lưu ý đến tính chất hình học của mặt phẳng ( P ) để xác định được cụ thể,
tính chất của chân đường cao H .
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , AB = a , BAC = 120 , tam giác SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ABC ) . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
3a 3
.
2
B.
a3
.
2
C.
a3
.
8
D.
a3
.
3
Lời giải
Chọn C
1
1 2
a2 3
Ta có: SABC = AB. AC.sin A = a .sin120 =
.
2
2
4
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với ( ABC )  SI ⊥ ( ABC )  SI =
a 3
.
2
1
1 a 2 3 a 3 a3
Thể tích khối chóp S . ABC là V = Bh = .
.
= .
3
3 4
2
8
Câu 2:
Cho hình chóp S . ABC có SAB và ABC là hai tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng
vuông góc với nhau. Tính theo a thể tích của khối chóp S . ABC .
A.
2a 3
.
3
B.
a3
.
3
C. a 3 .
Lời giải
Chọn C
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. 3a 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi H là trung điểm của AB . Suy ra SH ⊥ AB .
( SAB ) ⊥ ( ABC )

Ta có: ( SAB )  ( ABC ) = AB  SH ⊥ ( ABC ) .
 SH ⊥ AB

( 2a ) 3 = a 2 3 .
2a 3
SH =
= a 3, SABC =
2
4
1
1
Vậy VS . ABC = SABC .SH = .a 2 3.a 3 = a3 .
3
3
2
Câu 3:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a 3, tam giác SBC vuông
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng ( SBC )
một góc
60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. a 3 3.
B. a 3 6.
C.
a3 6
.
6
D.
a3 6
.
3
Lời giải
Chọn D
Kẻ SH ⊥ BC. Từ giả thiết suy ra SH ⊥ ( ABCD ) .
Xác định được hình chiếu vuông góc của D lên ( SBC ) là điểm C .
Do đó: ( SD, ( SBC ) ) = ( SD, SC ) = DSC = 60 .
Tam giác vuông SCD vuông tại C có SC = DC.cot DSC = a .
Tam giác vuông SBC vuông tại S có SB = BC 2 − SC 2 = a 2, SH =
SB.SC a 6
.
=
BC
3
1
1
a3 6
Vậy thể tích khối chóp: VS . ABCD = S ABCD .SH = AB 2 .SH =
.
3
3
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Câu 4:
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 2 , tam giác SAB cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = 2a . Thể tích khối chóp S . ABCD là:
A.
a3 3
.
2
B.
a3 6
.
3
C.
a3 2
.
3
D.
a3 6
.
4
Lời giải
Chọn B
Gọi H là trung điểm của AB .
Theo bài tam giác SAB cân tại S nên ta có SH ⊥ AB
( SAB )  ( ABCD ) = AB

Ta có:  SH  ( SAB )
 SH ⊥ ( ABCD )
 SH ⊥ AB

2
a 2
Xét tam giác BHC vuông tại B có: HC = BH + BC = 
 + a 2
 2 
2
2
(
)
2
=
a 10
2
2
 a 10 
a 6
Xét tam giác SHC vuông tại H có: SH = SC − HC = 4a − 
 =
2
 2 
2
(
2
2
)
2 a 6
1
a3 6
Vậy VS . ABCD = . a 2 .
=
3
2
3
Câu 5:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a , AD = 2a . Tam giác SAB cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD )
bằng 45 . Thể tích của khối chóp S . ABCD là:
A.
a3 17
.
9
B.
a3 17
3
.
C.
a3 17
.
3
Lời giải
Chọn C
S
A
D
M
B
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C
D.
a3 17
.
6
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ta có có: S ABCD = AB. AD = 2a 2 .
Gọi M là trung điểm của AB, khi đó SM ⊥ AB  SM ⊥ ( ABCD ) .
(
) (
)
Do đó SC , ( ABCD ) = SC , MC = SCM = 45 .
Khi đó SM = MC = 4a 2 +
a 2 a 17
.
=
4
2
1
1 a 17
a3 17
Vậy VS . ABCD = SM .S ABCD = .
.
.2a 2 =
3
3 2
3
Câu 6:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng
đáy là H sao cho AB = 3 AH . Góc giữa cạnh SD và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 45 . Tính thể
tích V của khối chóp S .HCD .
a3 2
A. V =
.
9
a3 10
B. V =
.
9
a3 10
C. V =
.
6
Lời giải
a3 10
D. V =
.
18
Chọn D
S
A
450
D
H
O
a
a
B
C
)
(
Ta có SH ⊥ ( ABCD )  SD, ( ABCD ) = SDH = 450 .
Lại có HD = AH 2 + AD 2 =
a 10
a 10
a 10
; SH = HD.tan SDH =
.
.tan 450 =
3
3
3
1
a2
Diện tích tam giác HCD là SHCD = .BC.CD =
.
2
2
1
1 a 10 a 2 a3 10
Vậy VS .HCD = .SH .SHCD = .
.
. =
3
3 3
2
18
Câu 7:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với BC = a ; tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AB , I là tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S . ABCD . Biết góc giữa đường thẳng IM và mặt phẳng ( SAB ) bằng
60O . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
A.
3
3a .
B.
3a 3
.
2
C.
3a 3
.
6
D.
2a 3
2
Lời giải
Chọn C
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Gọi O là tâm của hình chữ nhật, G là trọng tâm tam giác SAB , suy ra O, G là các tâm đường
tròn giao tuyến của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD và các mặt phẳng ( ABCD ) , ( SAB ) .
Trong mặt phẳng ( SMN ) ( N là trung điểm của CD ), dựng các trục đường tròn ngoại tiếp đáy
và tam giác SAB cắt nhau tại I , suy ra I là tâm mặt cầu. IG ⊥ ( SAB ) , suy ra góc giữa đường
thẳng IM và mặt phẳng ( SAB ) là góc GMI .
Đặt AB = x  SM =
x 3
x 3
IG
 GM =
 tan IMG =
= 3  IG = 3MG .
2
6
GM
a x 3
a 3
.
=
. 3  x = a  SM =
2
6
2
1
1 a 3 2 a3 3
Vậy VS . ABCD = SM .S ABCD = .
.
.a =
3
3 2
6
Câu 8:
Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB = a, BC = a 3 . Mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tính thể tích
V của khối khóp S . ABC .
2a 3 6
A. V =
.
12
a3 6
B. V =
.
6
a3 6
C. V =
.
12
Lời giải
a3 6
D. V =
.
4
Chọn C
Gọi K là trung điểm của đoạn AB . Vì SAB là tam giác đều nên SK ⊥ AB .
( SAB ) ⊥ ( ABC )
theo giao tuyến AB .
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1
SK ⊥ ( ABC )  VS . ABC = SK .SABC .
3
ABC vuông tại A có AB = a, BC = a 3  AC = BC 2 − AB 2 = a 2
SABC =
1
1
a2 2
.
AB. AC = a.a 2 =
2
2
2
SAB là tam giác đều  SK =
a 3
.
2
1
1 a 3 a 2 2 a3 6
.
VS . ABC = SK .SABC = .
.
=
3
3 2
2
12
Câu 9:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = a 3 , tam giác SAB cân
3a
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách giữa AB và SC bằng
. Tính thể
2
tích V của khối chóp S . ABCD .
A.
3a 3 .
B. 2 3a 3 .
D. 3 3a 3 .
C. a 3 .
Lời giải
Chọn A
S
K
A
D
H
I
O
B
C
Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, CD, kẻ HK ⊥ SI .
Vì tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Suy ra SH ⊥ ( ABCD ) .
CD ⊥ HI
 CD ⊥ ( SIH )  CD ⊥ HK  HK ⊥ ( SCD )

CD ⊥ SH
CD
AB  d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) = HK
Suy ra HK =
3a
; HI = AD = a 3
2
Trong tam giác vuông SHI ta có SH =
HI 2 .HK 2
= 3a
HI 2 − HK 2
1
1
Vậy VS . ABCD = SH .S ABCD = 3a.a 2 3 = a3 3 .
3
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 10: Cho tứ diện MNPQ . Biết rằng mặt phẳng ( MNP ) vuông góc với mặt phẳng ( NPQ ) , đồng thời
MNP và NPQ là hai tam giác đều có cạnh bằng 8a . Tính theo a thể tích V của khối tứ
diện MNPQ .
A. V = 64a3 .
C. V = 64 3a 3 .
Lời giải
B. V = 128a 3 .
D. V = 192a3 .
Chọn A
M
8a
N
Q
H
8a
P
Gọi H là trung điểm cạnh NP .
Do tam giác MNP đều nên MH ⊥ NP (1)
( MNP ) ⊥ ( NPQ )
Mà 
( 2)
MNP

NPQ
=
NP
(
)
(
)

Từ (1) và ( 2 ) suy ra MH ⊥ ( NPQ ) hay MH là đường cao của hình chóp
1
1 ( 8a ) 3 8a 3
= 64a 3 .
.
Vậy thể tích của khối tứ diện MNPQ là V = S NPQ .MH = .
3
3
4
2
2
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
C
Câu 1:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Cho tứ diện SABC có các cạnh SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau. Biết SA = 3a ,
SB = 4a , SC = 5a . Tính theo a thể tích V của khối tứ diện SABC .
A. V = 10a 3 .
B. V =
5a 3
.
2
C. V = 20a3 .
D. V = 5a 3 .
Lời giải
Chọn A
1
Ta có V = .3a.4a.5a = 10a3 .
6
Câu 2:
Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau, OA = 1 , OB = 2 , OC = 3 .
Thể tích khối tứ diện OABC là
2
A. 1 .
B. 2 .
C. 6 .
D. .
3
Lời giải
Chọn A
1
1
Thể tích khối tứ diện OABC là VOABC = OA.OB.OC = .1.2.3 = 1 (đvtt).
6
6
Câu 3:
Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác cân tại A , AB = AC = a , BAC = 120 . Mặt bên SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Thể tích V của khối chóp
S . ABC là
a3
A. V = .
8
B. V = a .
3
a3
C. V = .
2
Lời giải
D. V = 2a3 .
Chọn A
Vì tam giác SAB đều nên gọi H là trung điểm của AB  SH ⊥ AB . Mặt bên SAB nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt đáy  SH ⊥ ( ABC ) , SH =
S ABC
Câu 4:
3
a.
2
1
3 2
1 3
3 2 a3
= a.a.sin120 =
a V = .
a.
a = ..
2
4
3 2
4
8
Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , tam giác SAB vuông cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S . ABC theo a .
a3 3
A.
.
24
a3 3
B.
.
8
a3 3
C.
.
6
a3 3
D.
.
12
Lời giải
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
Chọn A
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Vì tam giác SAB cân tại S nên hạ SH ⊥ AB  H là trung điểm AB .
( SAB ) ⊥ ( ABC )

Vì ( SAB )  ( ABC ) = AB  SH ⊥ ( ABC )
 SH ⊥ AB

Tam giác SAB vuông cân tại S nên SA = SB =
VS . ABC
Câu 5:
a
; SH = AB = a
2
2
2
1
1 a a2 3 a2 3
= SH .S ABC = . .
=
3
3 2 4
24
Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a , mặt bên SBC là tam giác vuông cân
tại S và ( SBC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. 3 3a 3 .
B.
3 3
a .
3
C.
3 3
a .
12
Lời giải
Chọn B
( SBC ) ⊥ ( ABC )

( SBC )  ( ABC ) = BC
Dựng SM ⊥ BC , ta có 
 SM ⊥ ( ABC ) .
SM
⊥
BC

 SM  ( SBC )

1
Do SBC vuông cân ở S , suy ra SM = .BC = a .
2
1
1 ( 2a ) . 3
3a3
Vậy VS . ABC = .SM .S SBC = .a.
.
=
3
3
4
3
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
2
D.
3a 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 6: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a . Mặt bên ( SAB ) là
tam giác đều và vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A. 2 3a 3 .
B.
2 3 3
a .
3
C.
3a 3 .
D.
3 3
a .
3
Lời giải
Chọn D
Vì tam giác SAB là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy nên SH ⊥ ( ABCD ) .
Ta có SH = SA.sin 60 = 2a.
3
=a 3
2
1
1 1
1
3 3
Vậy VS . ABC = VS . ABCD = . .SH . AB.BC = .a 3.2a.a =
a .
2
2 3
6
3
Câu 7:
Cho hình chóp S . ABC có ABC cân tại A và BAC = 120, AC = a . Cạnh bên SC vuông
góc với mặt đáy và SC = a . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
a3 3
A.
.
6
a3 3
B.
.
4
a3 3
C.
.
12
Lời giải
a3 3
D.
.
2
Chọn C
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Ta có SABC =
Vậy VS . ABC
Câu 8:
1
1
3 a2 3
AB. AC.sin120 = .a.a.
=
.
2
2
2
4
1
1 a2 3
a3 3
= SABC .SC = .
.a =
.
3
3 4
12
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
A.
a3 3
.
3
B.
a3 3
.
6
C.
2a 3
.
3
D.
a3
.
3
Lời giải
Chọn A
Lấy H  AB sao cho SH ⊥ AB (do tam giác SAB đều nên H cũng là trung điểm của AB )
 SH ⊥ AB

 AB = ( SAB )  ( ABCD )
 SH ⊥ ( ABCD ) .

SH

SAB
(
)

( SAB ) ⊥ ( ABCD )

Ta có SH =
a 3
; S ABCD = AB. AD = 2a 2 .
2
1
a3 3
Vậy VS . ABCD = S ABCD .SH =
.
3
3
Câu 9:
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , AC = a 5 ,
SA ⊥ ( ABC ) và SA = a 3 . Thể tích khối chóp SABC bằng
A. V =
a3 3
.
3
C. V =
B. V = a3 3 .
a3 3
2
Lời giải
Chọn A
Ta có: BC = AC 2 − AB 2 = 5a 2 − a 2 = 2a .
1
1
1
a3 3
Thể tích khối chóp là: V = .SA.S ABC = .a 3. .a.2a =
.
3
3
2
3
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. V =
a3 5
.
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SAB đều cạnh a và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với ( ABCD ) . Biết SC tạo với ( ABCD ) một góc bằng 30 . Tính thể tích V
của khối chóp S . ABCD .
a3 6
A. V =
.
3
a3 3
B. V =
.
6
a3 6
D. V =
.
6
a3 3
C. V =
.
3
Lời giải
Chọn D
Gọi H là trung điểm của AB . Vì tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB .
( SAB )  ( ABCD ) = AB

 SH ⊥ ( ABCD ) . Suy ra ( SC , ( ABCD ) ) = SCH = 30 .
( SAB ) ⊥ ( ABCD )
 SH ⊥ AB

Vì SH là đường cao của tam giác đều cạnh a nên SH =
 CH = SH .cot 30 =
a 3
.
2
a 3
3a
.
. 3=
2
2
Trong tam giác vuông BHC , ta có: BC 2 = HC 2 − HB 2 =
9a 2 a 2
− = 2a 2  BC = a 2 .
4
4
Diện tích của hình chữ nhật ABCD là S ABCD = AB.BC = a.a 2 = a 2 2 .
1
1 a 3 2
a3 6
Vậy thể tích hình chóp S . ABCD là V = SH .S ABCD = .
.
.a 2 =
3
3 2
6
Câu 11: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB
a,
BC
a 3 . Mặt
bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC . Tính theo
a thể tích của khối chóp
A. V
a
3
12
6
.
S . ABC .
B. V
a3 6
.
4
C. V
a3 6
.
8
D. V
a3 6
.
6
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 12
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC nên đường cao
SH của tam giác SAB ( H là trung điểm AB ) là đường cao của hình chóp.
SAB đều có cạnh AB = a  SH =
Ta có
a 3
.
2
Ta lại có AC = BC 2 − AB 2 = 3a 2 − a 2 = a 2  SABC = 1 . AB. AC = 1 .a.a 2 = 1 a 2 2.
2
1
3
1 1
3 2
2
Từ đó VS . ABC = .SABC .SH = . a 2.
2
2
a 3 a3 6
=
.
2
12
Câu 12: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác BCD cân tại D và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với ( ABC ) . Biết AD hợp với mặt phẳng ( ABC ) một góc 600. Tính thể
tích V của khối tứ diện ABCD.
a3
B. V = .
12
3a3
.
A. V =
6
C. V =
3a3
.
8
D. V =
3a3
.
24
Lời giải
Chọn C
Ta có: S ABC
a2 3
.
4
Gọi H là trung điểm của BC , khi đó: DH ⊥ ( ABC )
( AD, ( ABC ) ) = ( AD , AH ) = DAH = 60 .
AH =
a 3
a 3
3a
. 3= .
; DH = AH .tan 60 =
2
2
2
1
1 a 2 3 3a a3 3
VABCD = .S ABC .DH = .
. =
.
3
3 4 2
8
Câu 13: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B. Biết tam giác SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC).Biết AB = a, AC = a 3 . Thể tích khối
chóp S . ABC là
A.
a3
.
4
B.
a3 6
.
4
C.
Lời giải
Chọn D
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
a3 2
.
6
D.
a3 6
.
12
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi H là trung điểm của AB, từ giả thiết suy ra SH ⊥ ( ABC ), SH=
ABC có BC = a 2  S ABC
a 3
. Trong tam giác vuông
2
a2 2
1
a3 6
=
 VS . ABC = SH .S ABC =
.
2
3
12
Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình chữ nhật, tam giác SBC đều cạnh a nằm trong mặt
phẳng vuông góc với ( ABCD ) biết góc giữa SD và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 45 . Thể tích
hình chóp S . ABCD là
A.
a3 6
.
4
B.
a3
.
3
C.
a3 3
.
4
D.
a3 6
.
12
Lời giải
Chọn D
Gọi H là trung điểm của cạnh BC  SH ⊥ BC . Mà ( SBC ) ⊥ ( ABCD )  SH ⊥ ( ABCD ) và
( SD, ( ABCD )) = SDH = 45
Tam giác SBC đều cạnh a nên SH =
a 3
.
2
Tam giác SHD vuông cân tại H  HD =
Suy ra CD = DH 2 − CH 2 =
Câu 15: Cho khối chóp
SA
A.
SB
a3
.
4
AB
S . ABC
BC
CA
B.
a 3
2
1
1
a3 6
a 2
. Vậy VS . ABCD = .SH .S ABCD = .SH .BC.CD =
.
3
3
12
2
có
H
là trung điểm của
AB , biết
SH
ABC
,
a . Thể tích của khối chóp đã cho là
3a 3
.
4
C.
3a 3
.
8
D.
a3
.
8
Lời giải
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 14
Phan Nhật Linh
Chọn D
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Vì tam giác ABC đều với cạnh bằng a nên có diện tích S ABC
a2 3
.
4
Vì tam giác SAB đều với cạnh bằng a nên có đường cao SH
a 3
.
2
Do đó, thể tích khối chóp là V
1
S ABC .SH
3
1 a2 3 a 3
.
.
3 4
2
a3
.
8
Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a , AD = a . Mặt bên
( SAB ) là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy.
Thể tích của khối chóp S . ABC bằng
A. 2 3a 3 .
B.
2 3 3
a .
3
C.
3a 3 .
D.
3 3
a .
3
Lời giải
Chọn D
Gọi SH là đường cao của tam giác SAB .
Vì mặt bên ( SAB ) là tam giác đều và vuông góc với đáy nên ta có SH ⊥ ( ABCD ) và
SH =
1
1
AB 3
= a 3 . Ta có SABC = S ABCD = .2a.a = a 2 .
2
2
2
1
3 3
Vậy thể tích của khối chóp S . ABC là V = .a 3.a 2 =
a .
3
3
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 17: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho biết AB = a , SA = 2 SD , mặt phẳng ( SBC )
tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối chóp S . ABCD .
A.
5a 3
.
2
B. 5a 3 .
C.
15a 3
.
2
D.
3a 3
.
2
Lời giải
Chọn A
Gọi H là hình chiếu của S trên AD và K là hình chiếu của H trên BC .
( SAD ) ⊥ ( ABCD )
 SH ⊥ ( ABCD ) .
Ta có: 
 SH ⊥ AD
HK ⊥ BC 
  BC ⊥ SK . Do đó góc tạo bởi hai mặt phẳng
SH ⊥ BC 
( SBC )
và
( ABCD )
là góc
SKH = 60 , SH = HK .tan 60 = a 3
1
1
1
1
5
15a
5 3a
= 2+
 2 =
, SA = a 15 , AD =
.
 SD =
2
2
2
SH
SA SD
3a
4SD
2
2
1
1
5 3a 5a 3
VS . ABCD = SH .S ABCD = a 3.a.
.
=
3
3
2
2
Câu 18: Hình chóp S . ABCD đáy là hình chữ nhật có AB = 2a 3; AD = 2a . Mặt bên ( SAB ) là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S . ABD là
A.
2 3 3
a .
3
B. 4 3a 3 .
C. 4a 3 .
D. 2 3a 3 .
Lời giải
Chọn D
Gọi H là trung điểm của AB  SH ⊥ ( ABCD ) .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 16
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
2a 3  3
= 3a .
2
1
1
=  3a   2a 3  2a = 2 3a 3 .
3
2
Tam giác SAB là tam giác đều cạnh 2a 3 nên SH =
1
Vậy thể tích khối chóp SABD là V =  SH  S ABD
3
Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh
2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Góc giữa mặt phẳng ( SBC )
và mặt phẳng ( ABCD ) là 30 . Thể tích của khối chóp S . ABCD là:
A.
2a 3 3
.
3
B. 2a 3 3 .
C.
4a 3 3
.
3
D.
a3 3
.
3
Lời giải
Chọn B
Gọi I là trung điểm của AD  SI ⊥ AD  SI ⊥ ( ABCD ) .
 BC ⊥ MI
 BC ⊥ ( SIM )  BC ⊥ SM .
Gọi M là trung điểm của BC , ta có: 
 BC ⊥ SI
( SBC )  ( ABCD ) = BC

Khi đó:  SM  ( SBC ) , SM ⊥ BC  ( ( SBC ) , ( ABCD ) ) = ( SM , MI ) = SMI = 30

 MI  ( ABCD ) , MI ⊥ BC
Vì SAD đều cạnh 2a nên SA = AD = 2a và SI = SA2 − AI 2 =
( 2a ) 2 − a 2
=a 3.
SI
= 3a .
tan 30
Lại có AB = IM = 3a . Vậy thể tích của khối chóp S . ABCD là:
1
1
1
V = S ABCD .SI = AD. AB.SI = .2a.3a.a 3 = 2a 3 3 (đvtt).
3
3
3
Xét SIM vuông tại I ta có: IM =
Câu 20: Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình chữ nhật ABCD với AD = 2a nằm trên hai
mặt phẳng vuông góc. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) . Biết tan  =
Thể tích của khối chóp S . ABC là
A. V =
a3 3
.
2
C. V =
B. V = a 3 3 .
Lời giải
Chọn B
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
a3 3
8
D. V =
a3 2
.
12
2 2
.
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) là đường thẳng d đi qua S
và song song với AB, CD.
Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Trong mặt phẳng ( SAB ) có SH ⊥ AB  SH ⊥ d .
CD ⊥ HK
 CD ⊥ ( SHK )  CD ⊥ SK  d ⊥ SK .
Vì 
CD ⊥ SH
( SAB )  ( SCD ) = d

Ta có  SH ⊥ d , SH  ( SAB ) . Do đó

 SK ⊥ d , SK  ( SCD )
(( SAB ) , ( SCD )) = ( SH , SK ) = HSK.
Xét tam giác vuông SHK , có tan HSK =
Xét tam giác đều SAB có: SH =
HK 2 2
2a 2 2
3a 2
.
=

=
 SH =
SH
3
SH
3
2
AB 3
3a 2 AB 3

=
 AB = a 6
2
2
2
1 1
3a 2
Thể tích khối chóp S . ABC bằng V = . a 6.2a.
= a3 3 .
3 2
2
Câu 21: Cho hình chóp S . ABC có mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , tam giác SAB
là tam giác đều cạnh a 3 ; BC = a 3 . Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc
60 . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
a3 3
.
3
B.
a3 6
.
2
C.
a3 6
.
6
D. 2a 3 6 .
Lời giải
Chọn C
Gọi H là trung điểm của AC . Vì ABC cân tại B nên BH ⊥ AC .
Mặt khác ( SAC ) ⊥ ( ABC )  BH ⊥ ( SAC ) .
Ta thấy BHA = BHS = BHC  HA = HC = HS  SAC vuông tại S .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 18
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) là góc SCA = 60 .
Ta có SC = SA.cot 60 = a ; AC = SA2 + SC 2 = 3a 2 + a 2 = 2a  AH = HC = a .
BH = BC 2 − HC 2 = 3a 2 − a 2 = a 2 .
1
1 1
a3 6
Thể tích khối chóp B.SAC là V = .SSAC .BH = . .a 3.a.a 2 =
.
3
3 2
6
Câu 22: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAD cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa ( SBC ) và mặt đáy bằng 600 . Tính thể tích
khối chóp S . ABCD .
2a 3 3
A.
.
3
4a 3 3
B.
.
3
8a 3 3
C.
.
3
D. 2a 3 3 .
Lời giải
Chọn C
Gọi H là trung điểm của AD . Vì tam giác SAD cân tại S nên SH ⊥ AD . Hai mặt phẳng
( SAD ) và ( ABCD ) vuông góc nhau và cắt nhau theo giao tuyến AD có SH  ( SAD ) mà
SH ⊥ AD nên SH ⊥ ( ABCD ) .
 BC ⊥ HI
 BC ⊥ ( SHI )  BC ⊥ SI suy ra góc giữa hai
Gọi I là trung điểm của BC ta có 
 BC ⊥ SH
mặt phẳng ( SBC ) và mặt đáy ( ABCD ) là góc SIH = 600 .
Xét tam giác SHI vuông tại H có SH = HI .tan 600 = 2a 3 .
1
1
8a3 3
2
Vậy VS . ABCD = S ABCD .SH = ( 2a ) .2a 3 =
.
3
3
3
Câu 23: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , mặt bên SBC là tam giác đều cạnh
a và ( SBC ) vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp đó là
a3 3
A.
.
4
a3 3
B.
.
24
a3 3
C.
.
8
Lời giải
Chọn B
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
a3 3
D.
.
12
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi H là trung điểm của BC mà tam giác SBC đều cạnh a nên SH ⊥ BC và SH =
a 3
.
2
Do ( SBC ) ⊥ ( ABC )  SH ⊥ ( ABC )
BC
a
1
a2
Ta có AB = AC =
=
 S ABC = AB. AC =
2
4
2
2
1
1 a 3 a 2 a3 3
Vậy VS . ABC = SH .S ABC =
.
=
3
3 2 4
24
Câu 24: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , cạnh BC = 2a . Gọi M là trung điểm
của BC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của AM , tam giác
SAM vuông tại S . Thể tích khối chóp S . ABC là
A.
a3
.
2
B.
a3
.
6
C.
a3
.
3
D.
a3
.
9
Lời giải
Chọn B
Gọi H là trung điểm của AM . Theo giả thiết: SH ⊥ ( ABC ) .
Ta có:
ABC vuông cân tại A  AM =
1
BC = a .
2
Mà SAM vuông tại S và H là trung điểm của AM  SH =
 VS . ABC
1
= .SH .S
3
ABC
1
a
AM = .
2
2
1
1
a3
= .SH . AM .BC = .
3
2
6
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 20
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
1
1
a3 2
Ta có VS . ABCD = .SH .S ABCD = .a 2.a 2 =
.
3
3
3
Câu 25: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = 2 SA, BC = 2a và mặt phẳng ( SCD ) tạo với mặt
phẳng đáy một góc 600 . Thể tích của khối chóp S . ABCD tính theo a bằng
32 3a 3
A.
.
3
32a 3
D.
.
3
3
3
C. 16a .
B. 16 3a .
Lời giải
Chọn D
Kẻ SH ⊥ AB
( SAB ) ⊥ ( ABCD )

Ta có ( SAB )  ( ABCD ) = AB  SH ⊥ ( ABCD ) .
 SH ⊥ AB

( SCD )  ( ABCD ) = CD

 ( ( SCD ) ; ( ABCD ) ) = SKH = 600
Ta có  HK ⊥ CD
 SK ⊥ CD

Xét tam giác SKH vuông tại H : SH = HK .tan 600 = 2 3a
Đặt SA = x
Xét tam giác SAB vuông tại S : SB = AB 2 − SA2 = 3x
3x 2
SH =
 2 3x =
 x = 4a . Suy ra S ABCD = 16a 2
2
2
2x
SA + AB
SA. AB
1
32 3a3
Vậy VS . ABCD = .16a 2 .2 3a =
.
3
3
Câu 26: Cho hình chóp S . ABC có mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , SAB là tam giác
đều cạnh a 3 , BC = a 3 , đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60 . Thể tích của
khối chóp S . ABC bằng
a3 6
A.
.
2
a3 3
B.
.
3
C.
Lời giải
Chọn D
21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
2a
3
6
.
a3 6
D.
.
6
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi O là trung điểm của AC , vì BA = BC nên BO ⊥ AC .
Mà ( SAC ) ⊥ ( SAB ) nên BO ⊥ ( SAC ) .
Khi đó, các tam giác vuông BOA , BOC , BOS bằng nhau nên OA = OC = OS .
Suy ra tam giác SAC vuông tại S .
Vì ( SAC ) vuông góc với ( ABC ) và góc giữa SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 nên góc
SCA = 60 .
Như vậy OS = OA = OC =
AC
SA
=
=a.
2 2sin SCA
Suy ra BO = SB − OS = a 2 .
Diện tích SAC tính bằng công thức
2
2
1
1
3 2
S =  SA  AC sin SAC =  3a  2a  sin 30 =
a.
2
2
2
1
3
Như vậy V =  BO  S
SAC
=
6 3
a .
6
Câu 27: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2 , tam giác SAB là tam giác đều và
tam giác SCD vuông tại S . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
A. V =
2 3
.
3
B. V =
8 3
.
3
C. V =
4 3
.
3
D. V = 2 3 .
Lời giải
Chọn A
Gọi E , F lần lượt là trung điểm AB, CD . Gọi H là chân đường cao của hình chóp,
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 22
Phan Nhật Linh
H  ( ABCD ) .
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Ta có AB ⊥ SE , AB ⊥ EF  AB ⊥ ( SEF ) do đó H  EF .
1
Tam giác SCD vuông tại S và có trung tuyến SF nên SF = CD = 1 .
2
Tam giác SEF có SE = 3, EF = 2, SF = 1 nên tam giác SEF vuông tại S .
Do đó SH .EF = SE.SF  SH =
SE.SF
3.1
3
.
=
=
EF
2
2
1
1
3 2 3
Vậy thể tích khối chóp là V = S ABCD .SH = .22.
.
=
3
3
2
3
Câu 28: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt
đáy là trung điểm H của cạnh AB . Biết SH =
a 3
và mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt
2
phẳng ( SBC ) . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
a3
.
4
B.
a3
.
16
C.
a3
.
2
D.
3a 3
.
8
Lời giải
Chọn A
AB ⊥ HC 
  AB ⊥ ( SHC )  AB ⊥ SC .
AB ⊥ SH 
Kẻ HK ⊥ SC tại K
 SC ⊥ HK
 SC ⊥ ( AKB )  SC ⊥ KB; SC ⊥ AK .
Có: 
 SC ⊥ AB
Ta có:
Suy ra ( ( SAC );( SBC ) ) = AKB = 900 .
Đặt AB = x , AKB vuông tại K có H là trung điểm của AB  KH =
ABC đều nên CH =
1
x
AB = .
2
2
x 3
.
2
Xét tam giác SHC vuông tại H có: HK là đường cao 
23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
1
1
1
=
+
2
2
HK
SH
HC 2
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1
 x
 
2
2
=
1
a 3


 2 
2
+
1
x 3


 2 
2
 x=a 2.
1
1
1
1a 3
3 a3
Thể tích khối chóp: VS . ABC = .SH .S ABC = .SH . CH . AB =
.
.a 2.a 2.
=
3
3
2
6 2
2
4
Câu 29: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , mặt bên SAB là tam giác
đều, SC = SD = a 3 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng
A.
a3 2
.
3
B.
a3 2
.
6
C.
a3
.
6
D.
a3 2
.
2
Lời giải
Chọn B
Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB và CD .
Từ giả thiết ta có: SE ⊥ AB, SF ⊥ CD  ( SEF ) ⊥ ( ABCD ) .
Kẻ SH ⊥ EF tại H. Khi đó SH ⊥ ( ABCD ) .
Vì SAB đều cạnh a nên SE =
a 3
.
2
a 11
.
2
Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên EF = a .
Vì SCD cân, có SC = SD = a 3 nên SF =
Xét SEF , theo công thức hê-rông ta có: SSEF =
Mà SSEF =
a2 2
.
4
2S
1
a 2
.
SH .EF  SH = SEF =
2
EF
2
1
1 a 2 2 a3 2
Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là: V = .SH .S ABCD = .
.
.a =
3
3 2
6
Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh a góc BAD = 1200 , tam giác SAB cân tại S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, góc giữa SCD và mặt đáy bằng 600 . Tính thể
tích khối chóp S . ABCD .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 24
Phan Nhật Linh
A. V
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
a3 3
.
4
B. V
a3 3
.
12
C. V
3a 3
.
4
D. V
a3 3
.
2
Lời giải
Chọn A
Gọi H là trung điểm của đoạn AB .
Vì SAB là tam giác cân đỉnh S nên SH ⊥ AB , mà ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , ( SAB )  ( ABCD ) = AB
suy ra SH ⊥ ( ABCD ) .
Vì đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 1200 nên tam giác BAC là tam giác đều
a 3
.
2
Vì BAC là tam giác đều nên CH
cạnh a , suy ra CH =
AB mà CD AB suy ra CH ⊥ CD .
Vì CD ⊥ CH ; CD ⊥ SH suy ra CD ⊥ SC .
Vì CD ⊥ CH ; CD ⊥ SC; ( SCD )  ( ABCD ) = CD suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( SCD ) và
( ABCD ) bằng góc giữa hai đường thẳng
SC và HC suy ra góc SCH = 600 .
Xét tam giác SHC vuông tại H ta có SH = HC.tan 600  SH =
Diện tích hình thoi ABCD là: S ABCD = 2S ABC = 2.
a 3
3
. 3= a.
2
2
a2 3 a2 3
=
4
2
1 3 a 2 3 a3 3
Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là: V = . .a.
.
=
3 2
2
4
Câu 31: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên ( SAB ) là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD )
bằng a 3 . Tính thể tích V của khối chóp
A.
7 a 3 21
.
6
B.
7 a 3 21
.
2
C.
Lời giải
Chọn A
25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
7a3 7
.
6
D.
3a 3 7
.
2
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi cạnh của hình vuông ABCD là x .
H , M là trung điểm của AB, CD . Do tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy nên SH vuông góc với AB , SH =
x 3
, SH ⊥ ( ABCD ) .
2
AH // ( SCD )  d ( A, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) .
CD ⊥ MH
 CD ⊥ ( SHM )  CD ⊥ HK (2).
Kẻ HK ⊥ SM (1), 
CD ⊥ SH
Từ (1) và (2)  HK ⊥ ( SDC ) hay d ( H , ( SDC ) ) = HK = a 3.
Trong tam giác vuông SHM :

1
1
1
4
1
1
+
=
 2+ 2= 2
2
2
2
SH
HM
HK
3x x
3a
7
1
= 2  x = a 7.
2
3x
3a
VS . ABCD
(
1
= a 7
3
)
2
a 21 7a 3 21
=
.
2
6
Câu 32: Hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAD cân và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của CD , cạnh bên SB hợp với đáy góc 60 .
Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABM
A. V =
a3 15
.
4
B. V =
a3 15
.
6
C. V =
a3 15
.
12
D. V =
a3 15
.
3
Lời giải
Chọn C
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 26
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Gọi H là trung điểm của AD  SH ⊥ AD  SH ⊥ ( ABCD ) .
Khi
đó
ta
 SH = HB.tan SBH = AH 2 + AB 2 .tan 60 =
Có S ABM =
( SB, ( ABCD ) ) = ( SB, HB ) = SBH = 60
có:
a 15
.
2
1
1
S ABCD = a 2
2
2
1
1 1
a 15 a3 15
 V = VS . ABM = S ABM .SH = . a 2 .
=
3
3 2
2
12
Câu 33: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang cân, AB = 2a , AD = BC = CD = a . Mặt bên SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ABCD ) . Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp khối chóp S . ABC .
A. R =
2a 3
3
B. R = a
C. R =
a 3
3
D. R =
2a
3
Lời giải
Chọn A
Do AB và CD không bằng nhau nên hai đáy của hình thang là AB và CD . Gọi H là trung
điểm của AB . Khi đó SH vuông góc với AB nên SH vuông góc với ( ABCD ) .
Gọi I là chân đường cao của hình thang ABCD từ đỉnh C của hình thang ABCD .
AB − CD a
=
Ta có BI =
2
2
Do BI .BC = a 2 = BC 2 . Từ đó ta có tam giác ABC vuông tại C .
Do đó SH chính là trục đường trong ngoại tiếp của tam giác ABC .
Mặt khác do tam giác SAB đều nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC chính là trọng tâm
27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
G của tam giác SAB .
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là R =
AB 3 2a 3
=
.
3
3
Câu 34: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ; AB = BC = 4a . Tam
giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi H là trung
điểm của AB , biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SHD ) bằng a 10 . Tính thể tích khối
chóp S . ABCD .
A. V =
10a 3 10
.
3
B. V = 10a 3 3 .
C. V =
40a 3 3
.
3
D. V =
20a 3 3
.
3
Lời giải
Chọn C
Tam giác SAB cân nên  SH ⊥ AB
SAB) ⊥ ( ABCD)


Ta có: ( SAB)  ( ABCD) = AB   SH ⊥ ( ABCD)

SH ⊥ AB

Kẻ CK ⊥ HD, K  HD mà SH ⊥ ( ABCD )  SH ⊥ CK .
Do đó CK ⊥ ( SHD)  d (C ,( SHD)) = CK = a 10
Tính được CH = a 20  HK = a 10 = CK . Do đó tam giác CHK vuông cân tại K


Nên KHC = 45  DHC = 45  tan DHC = 1
Tam giác BHC vuông tại B nên tan BHC = 2
và tan BHD = tan( BHC + CHD) =
tan BHC + tan CHD
= −3
1 − tan BHC.tan CHD
AD

= 3  AD = 6a
Mà BHD + AHD = 180 . Do đó tan AHD = 3 
AH
Vậy thể tích khối chóp là :
1
1 ( AD + BC ) AB
1
40a3 3
V = .S ABCD .SH =
.SH = ( 6a + 4a ) 4a.2a 3 =
3
3
2
6
3
Câu 35: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy; H là trung điểm của AB . Biết SD = 2a và lần lượt tạo
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 28
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
với các mặt phẳng ( ABCD ) và ( SHC ) các góc bằng 30 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng
a3 3
A.
.
6
a3 3
B.
.
3
2a 3 3
C.
.
3
Lời giải
a3 6
D.
.
6
Chọn B
Do tam giác SAB cân tại S , H là trung điểm cạnh AB nên SH ⊥ AB .
Mặt khác ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , ( SAB )  ( ABCD ) = AB nên SH ⊥ ( ABCD ) .
)
(
 SD, ( ABCD ) = SDH = 30 .
Gọi I là hình chiếu của D lên HC .
 DI ⊥ HC
 DI ⊥ ( SHC )  SD, ( SHC ) = DSI = 30 .

 DI ⊥ SH
Tam giác SHD vuông tại H có:
(
)
HD = SD.cos 30 = 2a.cos 30 = a 3  HC = a 3
SH = SD.sin 30 = 2a.sin 30 = a
Trong tam giác vuông SID có DI = SD.sin 30 = 2a.sin 30 = a .
1
a2 3
 S HDC = .HC.DI =
 S ABCD = 2S HDC = a 2 3 .
2
2
Vậy VS . ABCD
1
a3 3
= .S ABCD .SH =
.
3
3
Câu 36: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh là 2a. Mặt bên SAB là tam giác cân
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến ( SCD ) là a. Tính thể tích khối
chóp S . ABCD .
A. 8 3a 3 .
B.
8 3 3
a .
5
C.
Lời giải
Chọn D
29 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
8 3 3
a .
7
D.
8 3 3
a .
9
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Suy ra IJ = AD = a
( SAB ) ⊥ ( ABCD )

Ta có: ( SAB )  ( ABCD ) = AB  SI ⊥ ( ABCD ) .
 SI ⊥ AB

Vì AB // ( SCD ) nên d ( A, ( SCD ) ) = d ( I , ( SCD ) ) .
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ I đến SJ . Khi đó:
 IH ⊥ SJ

 IH ⊥ CD ( CD ⊥ IJ , CD ⊥ SI )
 IH ⊥ ( SCD )  d ( I , ( SCD ) ) = IH = a

SJ

C
D
=
J

 SJ , CD  ( SCD )

Xét tam giác SIJ vuông tại I , đường cao IH , ta có:
1
1
1
= 2 + 2  SI =
2
IH
IJ
SI
IJ 2 .IH 2
==
IJ 2 − IH 2
( 2a ) .a 2
2
( 2a ) − a 2
2
=
2a 3
.
3
1 2a 3
8 3 3
2
. ( 2a ) =
a .
Thể tích khối chóp S . ABCD : V = .
3 3
9
Câu 37: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt
đáy là trung điểm H của cạnh AB . Biết SH =
a 3
và mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt
2
phẳng ( SBC ) . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
a4
A.
.
4
a4
B.
.
16
a4
C.
.
2
Lời giải
3a 4
D.
.
8
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 30
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
 SH ⊥ AB
 AB ⊥ ( SHC )  AB ⊥ SC .
Kẻ MB ⊥ SC ( M  SC ) . Ta có 
 HC ⊥ AB
x 3
.
2
Trong AMB vuông tại M có MH ⊥ AB tại trung điểm H của AB nên AMB vuông cân tại
AB x
M . Suy ra MH =
= .
2
2
Do đó SC ⊥ ( AMB )  SC ⊥ MH và AMB = 900 . Đặt AB = x  HC =
Ta có CHS
a 3
x
SH HM
3a
=
 2 = 2  SC =
.
CMH nên
SC HC
SC
2
x 3
2
Trong SHC có HC = SC 2 − SH 2 =
a 6 x 3
=
x=a 2.
2
2
(
)
1
1 a 3 a 2
.
Vậy thể tích khối chóp S . ABC là V = .SH .S ABC = .
3
3 2
4
2
3
=
a3
.
4
Câu 38: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt
đáy là trung điểm H của cạnh AB . Biết SH =
a 3
và mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt
2
phẳng ( SBC ) . Thể tích của khối chóp S . ABC bằng
A.
a3
..
2
B.
a3
..
4
C.
Lời giải
Chọn B
31 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
a3
..
16
D.
3a 3
..
8
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ta có H là trung điểm cạnh AB , SH ⊥ AB  SAB cân tại S  SA = SB .
Trong tam giác SAC kẻ AK ⊥ SC ; ( K  SC )
( SAC ) ⊥ ( SBC )

Ta có: ( SAC )  ( SBC ) = SC  AK ⊥ ( SBC )  AK ⊥ BK (1) .

 AK  ( SAC ) ; AK ⊥ SC
 AK ⊥ SC
Mà SAC = SBC  AK = BK ( 2 ) và 
.
 BK ⊥ SC
Từ (1) và ( 2 )  AKB vuông cân tại K .
Gọi cạnh tam giác ABC là x , ( x  0 )  HC =
x 3
AB x
; HK =
= .
2
2
2
 AK ⊥ SC
 SC ⊥ ( ABK )  SC ⊥ HK .
Mà 
 BK ⊥ SC
x
Xét tam giác SHC vuông tại H đường cao HK có: HK =
 =
2
2
2
SH + HC
SH .HC
a 3 x 3
.
2
2
2
3a 3x 2
+
4
4
x 2 3a 2 + 3x 2 9a 2 x 2
 .
=
 x 2 = 2a 2  x = a 2 .
4
4
16
Vậy thể tích khối chóp S . ABC bằng: VS . ABC
3
1
1 a 3 2a 2 3 a
= .
= SH .SABC =
.
4
3
3 2
4
Câu 39: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB vuông tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết AB = 2 SA, BC = 2a và mặt phẳng ( SCD ) tạo với mặt
phẳng đáy một góc 60 . Thể tích khối chóp S . ABCD tính theo a bằng
B. 16 3a 3 .
B.
32 3a 3
.
3
C.
32a 3
.
3
D. 16a 3 .
Lời giải
Chọn B
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 32
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Kẻ SH ⊥ AB ( H  AB ) , HK ⊥ CD ( K  CD ) .
Ta có ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  SH ⊥ ( ABCD ) .
Có
HK ⊥ CD 
  CD ⊥ ( SHK )  CD ⊥ SK  ( SCD ) ; ( ABCD ) = SKH = 60 .
SH ⊥ CD 
)
(
Xét SHK vuông tại H có: SH = HK .tan SKH = 2a.tan 60 = 2a 3 .
Xét SAB vuông tại S , có SH . AB = SB.SA
Mà AB = 2 SA nên SH .2 SA = SB.SA  SB = 4a 3 .
Mặt khác SB 2 + SA2 = AB 2  SB 2 = 3SA2  SA = 4a  AB = 8a .
Khi đó diện tích mặt đáy là: S ABCD = AB.BC = 8a.2a = 16a 2 .
1
1
32 3a3
Thể tích khối chóp S . ABCD là: VS . ABCD = SH .S ABCD = 2a 3.16a 2 =
(đvtt).
3
3
3
Câu 40: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với đáy, mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng
( SBC ) , góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) bằng 600 , SB = a 2; BSC = 450. Gọi thể tích
khối chóp S . ABC là V . Khi đó tỉ số
A.
2
.
4
B.
a3
bằng
V
2
.
2
C.
Lời giải
Chọn D
Dựng AH ⊥ SB ( H  SB)  AH ⊥ ( SBC )
33 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
3
.
2
D.
5 3
.
2
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 BC ⊥ SA
Ta có: 
 BC ⊥ ( SAB)  ABC vuông tại B.
 BC ⊥ AH
Dựng BI ⊥ AC ( I  AC )  BI ⊥ SC
Dựng BK ⊥ SC ( K  SC )  SC ⊥ ( BIK ) . Suy ra: (( SAC );( SBC )) = BKI = 600.
Ta lại có: SBC vuông cân tại B ( BSC = 450 ; BC ⊥ SB)  SB = BC = a 2.
Suy ra: BK = a ( K là trung điểm của SC )
 BI ⊥ SC
a 3
 BI ⊥ ( SAC )  BI ⊥ IK nên BIK vuông tại I  BI = BK .sin 600 =
Do 
.
2
 BI ⊥ AC
ABC tại B 
SABC =
1
1
1
a 30
=
+
 AB =
.
2
2
2
BI
AB
BC
5
1
a 2 15
2a 5
2a 3 3
a3 5 3
AB.BC =
; SA = SB 2 − AB 2 =
 V = VS . ABC =

=
.
2
5
5
15
V
2
Câu 41: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều cạnh
a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Biết góc giữa KS và DA bằng 30 . Thể tích khối chóp S . ABCD
a3 3
A.
4
a3 3
B.
2
a3 3
C.
36
Lời giải
5a 3 3
D.
36
Chọn A
Góc giữa 2 đường thẳng KS và DA là góc giữa hai đường thẳng KS và KH và là góc
( KS , KH ) = SKH = 30 .
Tam giác SAB là tam giác đều cạnh a nên ta có: SH =
a 3
2
a 3
SH
3a
Xét SHK vuông tại H , có HK =
.
= 2 =
1
tan 30
2
3
H , K lần lượt là trung điểm của AB, CD nên HK = BC = AD =
Diện tích: S ABCD = AB. AD = a.
3a
.
2
3a 3 2
= a .
2 2
1
1 a 3 3 2 a3 3
Vậy VS . ABCD = SH .S ABCD = .
.
. a =
3
3 2 2
4
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 34
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 42: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD )
bằng
a 2
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
2
B. 3a 3 .
A. a 3 .
C.
3 3
a .
3
D.
1 3
a
3
Lời giải
Chọn D
Gọi H là trung điểm của AB  SH ⊥ AB

( SAB ) ⊥ ( ABCD )

Ta có: ( SAB )  ( ABCD ) = AB   SH ⊥ ( ABCD ) .


Gọi I là trung điểm của CD. Suy ra HI = a; HI ⊥ CD .
SH ⊥ AB
CD ⊥ HI


CD ⊥ SH ( SH ⊥ ( ABCD ) ) 
 CD ⊥ ( SHI )  CD ⊥ HK mà HK ⊥ SI  HK ⊥ ( SCD ) .
Gọi K là hình chiếu của H lên SI. Ta có:
Ta có AH / / CD  AH / / ( SCD )  d ( A; ( SCD ) ) = d ( H ; ( SCD ) ) = HK =
a 2
.
2
Xét tam giác SHI vuông tại H có HK là đường cao
1
1
1
2
1
1
=
+ 2 2=
+ 2  SH = a .
2
2
2
HK
SH
HI
a
SH
a
1
1
1
Thể tích khối chóp: VS . ABCD = SH .S ABCD = a.a 2 = a 3 .
3
3
3
Câu 43: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) . Gọi  là
góc tạo bởi mặt phẳng ( SAB ) và mặt phẳng ( SCD ) , với tan  = 2 . Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa
CD và vuông góc với ( ABCD ) . Trên ( P ) lấy điểm M bất kỳ, thể tích khối tứ diện S . ABM
bằng
35 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. a 3 3 .
B.
2a 3
.
3
C.
a3 3
.
3
D.
a3
.
4
Lời giải
Chọn B
Gọi H là hình chiếu của S đường thẳng AB . Suy ra SH ⊥ ( ABCD ) .
Gọi K là hình chiếu vuông góc của S đường thẳng CD .
Khi đó góc tạo bởi mặt phẳng ( SAB ) và mặt phẳng ( SCD ) là HSK =  .
Trong SHK vuông tại H ta có tan HSK =
Do
( P ) ⊥ ( ABCD )
( SAB ) ⊥ ( ABCD )
HK
HK
 SH =
= a.
SH
tan 
 ( P ) / / ( SAB ) .
Khi đó d ( M , ( SAB ) ) =d ( K , ( SAB ) ) = HK = 2a .
Ta có SSAB =
1
1
SH . AB = .a.2a = a 2 .
2
2
1
1 2
2a 3
Vậy thể tích khối chóp S . ABM là V = .SSAB .HK = .a .2a =
.
3
3
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 36
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 4: Thể tích khối chóp đều
Công thức tính thể tích khối chóp đều và một số công thức giải nhanh:
•
Chiều cao h khối chóp xác định bởi h = b 2 − Rd 2 , trong đó Rd là bán kính đường tròn ngoại tiếp
•
đa giác đáy và b là độ dài cạnh bên.
2a 3
3h3
a 6
Khối tứ diện đều cạnh a có V =
và V =
, trong đó h =
là chiều cao khối tứ diện
12
8
3
đều.
•
Khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng b có V =
•
•
•
•
Khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng b có V =
a 2 2 ( 2b 2 − a 2 )
6
3
2a
6
Khối bát diện đều cạnh a là hợp của hai khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a có
2a 3
V=
3
Khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a , có V =
Khối chóp lục giác đều cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng b có V =
B
Câu 1:
a 2 3b 2 − a 2
12
a 2 3( b2 − a 2 )
2
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích của khối chóp tương ứng tính
theo a sẽ bằng
A.
a3 2
.
2
B.
a3 2
.
6
C.
a3 2
.
3
D.
a3 2
.
12
Lời giải
Chọn B
Gọi khối chóp tứ giác đều là S . ABCD như hình vẽ.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD , suy ra SO ⊥ ( ABCD ) .
Do ABCD là hình vuông cạnh a nên BD = a 2  OD = OB =
2
BD a 2
.
=
2
2
a 2
a 2
Ta có SO = SD − OD = a − 
và S ABCD = a 2 .
 =
2
 2 
2
2
2
1
1 a 2 2 a3 2
Vậy VSABCD = SO. S ABCD = .
.
.a =
3
3 2
6
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 2: Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc 60o . Thể tích
khối chóp đó bằng
A.
a3 3
.
12
B.
a3 3
.
6
C.
a3 3
.
36
D.
a3 3
.
4
Lời giải
Chọn A
Gọi H là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác ABC . Ta có SG ⊥ ( ABC ) .
Tam giác ABC đều cạnh a nên SABC =
a2 3
2
2 a 3 a 3
và AG = AH = 
.
=
4
3
3 2
3
( SA, ( ABC ) ) = SAG = 60o .
Trong tam giác vuông SGA , ta có SG = AG.tan SAG =
a 3
 3 =a.
3
1
1
a 2 3 a3 3
Vậy VS . ABC =  SG  SABC =  a 
.
=
3
3
4
12
Câu 3:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng
tích của khối chóp S . ABCD bằng
A.
4 5a3
.
3
B.
4 3a3
.
3
C.
3a và độ dài cạnh bên bằng
8 3a3
.
3
5a . Thể
D. 4 3a 3 .
Lời giải
Chọn B
BO = SB 2 − SO 2 = 2a .
BD = 2 BO = 2 2a  AB =
BD
2
= 2a .
1
1
4 3 3
2
VS . ABCD = .S ABCD .SO = ( 2a ) . 3a =
a .
3
3
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Câu 4:
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích
khối chóp S . ABCD .
A. 4a 3 3 .
B.
4 3 3
a .
3
C.
4 3
a .
3
D. 4a 3 .
Lời giải
Chọn C
Ta có OD =
1
1
BD =  2a 2 = a 2 .
2
2
Xét tam giác SOD vuông tại O , ta có SO = SD 2 − OD 2 =
(a 3) − (a 2 )
2
2
=a.
Diện tích hình vuông ABCD : S ABCD = ( 2a ) = 4a 2 .
2
1
1
4
Thể tích khối chóp S . ABCD là VS . ABCD =  S ABCD  SO =  4a 2  a = a 3 .
3
3
3
Câu 5:
Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên tạo với đáy một góc 600.
Tính theo a thể tích khối chóp S . ABC .
A. a 3 3 .
B.
a3 3
.
3
C. 2a 3 3 .
Lời giải
Chọn D
Ta có: AO =
2
2 2a 3 2a 3
AI = .
=
. Mà ( SA, ( ABC ) ) = SAO = 600.
3
3 2
3
 SO = AO.tan 600 =
2 3
a. 3 = 2a
3
( 2a ) 3 = 2 3a3 .
1
= .2a.
3
4
3
2
Suy ra VS . ABC
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D.
2a 3 3
.
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 6: Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45
. Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .
2 3
a .
6
A. V =
B. V =
2 3
a .
12
C. V =
2 3
a .
3
D. V = 2a 3 .
Lời giải
Chọn B
Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Ta có: SO ⊥ ( ABCD )  OB là hình chiếu của SB lên mặt
phẳng ( ABCD ) . Suy ra: ( SB, ( ABCD ) ) = ( SB, OB ) = SBO = 45 .
Ta có:  SOB vuông cân tại O  SO = OB =
a 2
.
2
1
1 a 2 1 2
2 3
Vậy VS . ABC = SO.S ABC = .
. a =
a .
3
3 2 2
12
Câu 7:
3 3a
và O là tâm của đáy.
2
Gọi M , N , P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên các mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC )
Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng
, ( SCD ) và ( SDA ) . Thể tích của khối chóp O.MNPQ bằng
A.
9a 3
.
16
B.
2a 3
.
3
C.
9a 3
.
32
D.
a3
.
3
Lời giải
Chọn C
Gọi E , F , G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC , CD, DA .
 AB ⊥ SO
 AB ⊥ ( SOE )  ( SAB ) ⊥ ( SOE ) .
Ta có: 
 AB ⊥ OE
Mặt khác: ( SAB )  ( SOE ) = SE đồng thời M là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng
( SAB )
nên OM ⊥ SE tại M .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
2
2
 3a 3   3a 2 
3a
Ta có: SO = SA − OA = 
−
=
= OE .
 2   2 
2

 

2
2
Khi đó tam giác SOE vuông cân tại O  M là trung điểm SE .
Chứng minh tương tự ta cũng có N , P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SF , SG , SH .
1
3a
1
1
9a 2
Khi đó d (O,( MNPQ)) = d ( S ,( MNPQ)) = SO =
, S MNPQ = S EFGH = S ABCD =
.
2
4
4
8
8
Câu 8:
Suy ra VO.MNPQ
1
1 3a 9a 2 9a3
.
=  S MNPQ .d (O,( MNPQ)) = . 
=
3
3 4 8
32
Vậy VO.MNPQ =
9a 3
.
32
Cho khối chóp tứ giác đều S . ABCD có diện tích xung quanh gấp 2 lần diện tích đáy, diện tích
đáy bằng 4a 2 . Thể tích của khối chóp S . ABC tương ứng bằng
A.
4a 3 3
.
3
B.
2a 3 3
.
3
C.
8a 3 3
.
3
D.
5a 3 6
.
3
Lời giải
Chọn B
Diện tích hình vuông ABCD : S ABCD = AB 2 = 4a 2  AB = 2a .
Gọi M là trung điểm cạnh AB .
1
Diện tích xung quanh của khối chóp S . ABCD : 4.SSAB = 4. .SM . AB = 8a 2  SM = 2a .
2
Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD , trong tam giác vuông SOM có
SO 2 = SM 2 − OM 2 = 3a 2  SO = a 3 .
VS . ABC
Câu 9:
1
1 1
1
2a 3 3
2
.
= VS . ABCD = . .SO.S ABCD . = .a 3.4a =
2
2 3
6
3
Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 8a 2 . Thể tích
của khối chóp đó bằng
A.
2 3 3
a.
3
B. 4 3a 3 .
C.
Lời giải
Chọn C
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
4 3 3
a.
3
D. 2 3a 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Xét hình chóp S . ABCD thỏa các giả thiết. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung
1
1
điểm CD . Ta có S SCD = SI .CD  2a 2 = .SI .2a  SI = 2a .
2
2
Dễ thấy OI = a và tam giác SOI vuông tại O . Suy ra SO = SI 2 − OI 2 = a 3 .
1
1
4 3 3
VS . ABCD = SO.S ABCD = a 3.4a 2 =
a.
3
3
3
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh bên bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
60 . Thể tích khối chóp S . ABCD là
A.
32a3
15 5
.
B.
32 3 a 3
15 5
.
C.
32 5 a 3
.
15
D.
32 15 a3
.
15
Lời giải
S
A
B
M
O
D
C
ABCD là hình vuông có tâm O và cạnh bằng x .
Gọi M là trung điểm của BC . Góc giữa ( SBC ) và ( ABCD ) là góc SMO bằng 60 .
Ta có SM 2 = 4a 2 −
Và cos SMO =
x2
x2
, SO 2 = 4a 2 − .
4
2
OM
 cos 60 =
SM
Suy ra SO = 4a 2 −
x
2
2
x
4a −
4
2

1
=
4
x2
4
2
x
4a −
4
2
 x=
4a
5
.
x 2 2 3a
.
=
2
5
1
32 3 a3
Vậy VS . ABCD = SO. AB 2 =
.
3
15 5
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
C
Câu 1:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 2a và thể tích bằng a 3 . Chiều cao của khối chóp
đã cho bằng
A.
3a .
B. 2 3a .
C.
3
a.
3
D.
3
a.
2
Lời giải
Chọn A
Diện tích đáy của hình chóp là
Chiều cao của khối chóp là h =
Câu 2:
( 2a )
S=
2
4
. 3
= a2 3 .
3V
3a 3
=
= 3a .
S a2 3
Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng a 3 . Thể tích khối chóp bằng
A.
a3 3
.
4
B.
a3
.
12
C.
a3 3
.
6
D.
a3
.
4
Lời giải
Chọn D
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC , suy ra SH ⊥ ( ABC )
Ta có SH = a 3 , S ABC =
Câu 3:
a2 3
1 a2 3
a3
. Vậy V = .
.a 3 =
3 4
4
4
Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh 3cm , chiều cao 5cm. Thế tích khối chóp đó là
A.
15 3 3
cm .
4
C. 45cm3 .
B. 45cm .
D.
45 3 3
cm .
4
Lời giải
Chọn A
Tam giác đều cạnh 3  S ABC =
32 3 9 3 2
=
cm .
4
4
1
1 9 3 15 3 3
Thế tích khối chóp là VS . ABC = .h.S ABC = .5.
=
cm .
3
3
4
4
Câu 4:
Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và đường cao bằng 3a.
chóp S . ABCD bằng
A. a 3 .
B. 3a 3 .
C. 3a 2
D. a 2
Lời giải
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
Thể tích khối
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chọn A
Vì S . ABCD là hình chóp tứ giác đều, đường cao bằng 3a nên có đáy ABCD là hình vuông.
Khi đó, diện tích đáy S ABCD = a 2 .
1
Thể tích VS . ABCD = a 2 .3a = a 3 .
3
Câu 5:
Tính thể tích khối chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng
A. V =
a3
.
12
B. V =
a3 3
.
12
C. V =
a3
.
4
D. V =
a 3
là
3
a3 3
.
4
Lời giải
Chọn A
Diện tích đáy là: S =
a2 3
4
1 a 3 a 2 3 a3
= .
Thể tích khối chóp là: V =
3 3
4
12
Câu 6:
Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a và có mặt bên tạo với mặt đáy một góc
bằng 600
A.
4 3
a .
3
B.
4 3 3
a .
3
C.
4
3 3
a3 .
D. 4 3a 3 .
Lời giải
Chọn B
Gọi hình chóp tứ giác đều là S . ABCD và O là tâm của hình vuông ABCD cạnh là 2a , M là
trung điểm của BC
0
 OM = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy là SMO = 60 ,
SOM vuông tại O  SO = OM .cos SMO = a.tan 600 = a 3
1
1
4a3 3
2
.
V = .S ABCD .SO = . ( 2a ) .a 3 =
3
3
3
Câu 7:
Cho khối chóp đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết diện tích tam giác SAC
2a 2 , thể tích của khối chóp đã cho bằng
2
A. a 3 .
B. a 3 .
C. 2 2a 3 .
3
Lời giải
Chọn A
là
D.
4 3
a .
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Gọi O = AC  BD  SO ⊥ ( ABCD ) , SO ⊥ AC , BD .
SSAC =
Câu 8:
1
1
2a 3
.
SO. AC = 2a 2  SO = 2a  VS . ABCD = SO.S ABCD =
2
3
3

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên tạo với đáy góc 60 . Thể tích của
khối chóp đó bằng
A.
4a 3 6

3
B.
a3 3

3
C.
4a 3

3
D.
2a 3 3

3
Lời giải
Chọn A
Giả sử khối chóp tứ giác đều là S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Gọi O là tâm
của đáy ta có SO ⊥ ( ABCD ) . Khi đó tất cả các cạnh bên đều tạo với đáy các góc bằng nhau. Xét
cạnh bên SB và ( ABCD ) , ta có ( SB, ( ABCD)) = SBO = 60 .
Xét
tam
giác
SBO vuông
tại
O ,
SBO = 60 ,
OB =
1
BD = a 2 ,
2
do
đó
SO = OB.tan 60 = a 2. 3 = a 6 .
1
1
4a 3 6
Vậy VS . ABCD = .SO.S ABCD = .a 6.(2a) 2 =
.
3
3
3
Câu 9:
Thể tích của khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh a và chiều cao 4a bằng
A.
4 3
a .
3
3
C. a 3 3 .
B. 4a .
D.
a3 3
.
3
Lời giải
Chọn D
Công thức tính thể tích khối chóp: V =
1
B.h, trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao của
3
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
khối chóp.
Diện tích tam giác đều cạnh a là B =
a2 3
. Chiều cao của khối chóp là
4
h = 4a.
1 a2 3
a3 3
.4a =
.
Khi đó, thể tích khối chóp là V = .
3 4
3
Thể tích của khối tứ diện đều cạnh a là?
Câu 10:
a3 3
B.
.
12
a3 2
A.
.
4
a3 3
D.
.
4
a3 2
C.
.
12
Lời giải
Xét tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi G là trọng tâm tam giác BCD .
Ta có DG =
a 3
a2 a 6
=
, suy ra AG = a 2 −
.
3
3
3
Diện tích tam giác BCD : S BCD
a2 3
=
.
4
1 a 6 a2 3 a3 2
.
=
Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là: V = .
.
3 3
4
12
Câu 11: Thể tích của khối tứ diện đều cạnh a là
A.
a3 2
.
4
B.
a3 3
.
12
C.
a3 2
.
12
D.
a3 3
.
4
Lời giải
Chọn C
Vì khối tứ diện đều nên diện tích đáy: SBCD =
Ta có: BM =
a2 3
.
4
a 3
2
2 a 3 a 3
 BG = BM = .
=
.
2
3
3 2
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
2
a 3
a 6
Trong ABG vuông tại G có: AG = AB − BG = a − 
.
 =
3
 3 
2
Theo công thức, thể tích khối chóp: V =
2
2
1 a 2 3 a 6 a3 2
=
.
3 4
3
12
Câu 12: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a là
A. a 3 .
B.
a3 2
.
3
C.
a3 2
.
6
D.
a3 2
.
2
Lời giải
Chọn C
Gỉa sử S . ABCD là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a .
Trong ( ABCD ) , gọi O = AC  BD suy ra SO ⊥ ( ABCD ) .
2
a 2
1
1
a 2
a 2
 SO = SA2 − OA2 = a 2 − 
Ta có OA = AC = . AB 2 =
.
 =
2
2
2
2
2


1
1 a 2 2 a3 2
.a =
Thể tích khối chóp VS . ABCD = SO.S ABCD = .
.
3
3 2
6
Câu 13: Cho khối chóp đều S . ABC có cạnh đáy là a , mặt bên tạo với đáy một góc 600 . Thể tích khối
chóp S . ABC là
A.
a3 3
.
24
B.
a3 3
.
4
C.
Lời giải
Chọn A
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
a3 3
.
8
D.
a3 3
.
12
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi M là trung điểm BC . Do ABC đều  AM ⊥ BC .
Lại có SBC là tam giác cân tại S do S . ABC là chóp đều  BC ⊥ SM .
Vậy
( ( SBC ) ; ( ABC ) ) = ( SM ; AM ) .
Gọi G là trọng tâm ABC . Do S . ABC là chóp đều  SG ⊥ ( ABC ) .
Ta có: tan SMG =
 SG = GM 3 =
SG
SG
 tan 600 =
.
GM
GM
AM 3 AB 3 3 a
=
.
= .
3
2
3
2
1
1 a a 2 3 a3 3
Vậy VS . ABC = SG.SABC = . .
.
=
3
3 2 4
24
Câu 14: Thể tích của khối chóp đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a là
A.
2 3
a .
2
B.
2 3
a .
3
C.
2 3
a .
6
D.
2a 3 .
Lời giải
Chọn C
Ta có S ABCD = a 2 và OD =
BD
2
=
a.
2
2
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 12
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
2
 2 
2
Vì tam giác SOD vuông tại O nên SO = SD − OD = a − 
a  =
a.
2
2


2
2
2
1
2 3
Vậy VS . ABCD = .S ABCD .SO =
a.
3
6
Câu 15: Thể tích của khối chóp tứ giác đều S . ABCD có chiều cao bằng
A.
8 3a 3
.
3
B. 4 3a 3 .
C.
4 5a 3
.
3
3a và độ dài cạnh bên 3a bằng
D.
4 3a 3
.
3
Lời giải
Chọn B
Trong hình chóp tứ giác đều, đáy là hình vuông, hình chiếu của đỉnh xuống mặt đáy trùng với
tâm O của hình vuông ABCD .
SO = a 3; SA = 3a  AO = a 6 ( ĐL Py-ta-go)
AO = a 6  AC = 2a 6  S ABCD =
AC 2
= 12a 2
2
1
1
VS . ABCD = SO.S ABCD = a 3.12a 2 = 4a  3 .
3
3
Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
30 . Khi đó thể tích của khối chóp bằng
A.
4a 3 6
.
9
B. 4a 3 6 .
C.
Lời giải
Chọn A
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Khi đó,
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
4a 3 6
.
3
D.
2a 3 6
.
9
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
h = SO

SO ⊥ ( ABCD )  
.
0
 SD, ( ABCD ) = SDO = 30
)
(
Xét tam giác SOD vuông tại O , ta có
tan SDO =
SO
1
a 6
 SO = OD.tan SDO = .2a. 2.tan 300 =
.
OD
2
3
Ta lại có: S ABCD = ( 2a ) = 4a 2 .
2
1
1
a 6 4a 3 . 6
Vậy VS . ABCD = .S ABCD .SO = .4a 2 .
=
..
3
3
3
9
Câu 17: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
bên và mặt đáy là 60 . Thể tích của khối chóp này bằng
a3 3
A.
12
a3 3
B.
.
24
a3 3
C.
.
8
a. Biết góc giữa mặt
a3 3
D.
.
6
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( SBC )  ( ABC ) = BC

AE ⊥ BC



SE ⊥ BC

(( SBC ) , ( ABC )) = ( SE, AE ) = SEA = 60
Tam giác SOE vuông tại O
 SO = OE.tan SEO =
AE
a 3
a
.tan 600 =
. 3= .
3
6
2
Diện tích tam giác đều ABC là S ABC
Vậy thể tích khối chóp S . ABC : VS . ABC
a 3
.a
AE.BC
a2 3
2
=
=
=
.
2
2
4
1
a3 3
= SABC .SO =
.
3
24
Câu 18: Cho khối chóp đều có tất cả 5 mặt có diện tích bằng nhau và bằng a 2 . Thể tích của khối chóp
tương ứng bằng:
A.
3 3
a .
2
B.
15 3
a .
2
C.
15 3
a .
6
D.
6 3
a .
4
Lời giải
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 14
Phan Nhật Linh
Chọn C
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Theo đề bài, S . ABCD là khối chóp đều nên ABCD là hình vuông và SA = SB = SC = SD .
Gọi O là giao điểm của AC và BD , khi đó: SO ⊥ ( ABCD ) .
Diện tích các mặt đều bằng a 2 nên ta có: S ABCD = SSBC = a 2 .
Với S ABCD = a 2  AB = BC = CD = DA = a , OH =
AB a
= .
2
2
1
2a 2
BC.SH  SH =
= 2a .
2
a
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác SOH vuông tại O ta được:
Gọi H là trung điểm của BC , khi đó: SSBC =
SO = SH − OH =
2
2
( 2a )
2
2
a 15
a
−  =
.
2
2
1
a 15
15 3
Thể tích khối chóp S . ABCD là: VS . ABCD = .a 2 .
=
a .
3
2
6
Câu 19: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a 6 , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
60 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
A. V = 3a 3 .
B. V = 2a 3 .
C. V = 6a 3 .
Lời giải
Chọn C
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. V = 9a 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi O là tâm hình vuông ABCD suy ra SO ⊥ ( ABCD ) .
Do đó, OB là hình chiếu của SB trên ( ABCD )  ( SB, ( ABCD ) ) = ( SB, OB ) = SBO .
ABCD là hình vuông cạnh a 6  BD = 2 3a  OB = 3a .
Xét tam giác SOB vuông tại O ta có SO = OB.tan SBO = a 3.tan 60 = 3a .
2
1
1
1
VS . ABCD = SO.S ABCD = SO. AB 2 = .3a. 6a = 6a 3 .
3
3
3
(
)
Câu 20: Khối chóp tam giác đều có chiều cao bằng 9dm và cạnh đáy bằng 2dm có thể tích là
A. V
9 3dm 3 .
B. V
12dm 3 .
C. V
Lời giải
3dm 3 .
D. V
3 3dm 3 .
Chọn D
Diện tích đáy B
3dm2 . Thể tích khối chóp V
1
B.h
3
3 3 dm3 .
Câu 21: Cho khối chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp với đáy một góc 600 . Tính
thể tích của khối chóp S . ABC
A.
a3 3
.
12
B.
a3 3
.
4
C.
a3 3
.
36
D.
a3 3
.
2
Lời giải
Chọn A
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC khi đó ta có SH ⊥ ( ABC ) và AH =
ta có SAH = 600 . Xét tam giác SAH ta có SH = AH .tan 600 =
ABC bằng
a 3
. Theo giả thiết thì
3
a 3
. 3 = a . Diện tích tam giác
3
a2 3
1
1 a 2 3 a3 3
. Vậy thể tích của khối chóp S . ABC là V = .SH .SABC = .a.
.
=
4
3
3
4
12
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 16
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 22: Cho hình chóp đều S . ABCD đáy là hình vuông cạnh a . Biết SBD = 60 . Tính thể tích khối
chóp S . ABCD .
A.
2 3a 3
.
3
B.
6a 3
.
6
C.
6a 3
.
3
D.
4 6a 3
.
3
Lời giải
Chọn B
Gọi O tâm của hình vuông ABCD .
Hình chóp S . ABCD đều nên SO ⊥ ( ABCD ) .
Hình vuông ABCD có cạnh bằng a  BD = 2a .
Ta có
SBD là tam giác đều nên SO =
3
6
. 2a =
a.
2
2
1
1 6
6a 3
a  a2 =
Thể tích khối chóp S . ABCD là V = SO  S ABCD = 
.
3
3 2
6
Câu 23: Cho khối chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V
của khối chóp S . ABC .
A. V =
11a3
.
6
B. V =
11a3
.
4
C. V =
13a3
.
12
D. V =
11a3
.
12
Lời giải
Chọn C
Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm cạnh BC , khi đó AI là đường cao của tam giác
đáy. Theo định lý Pitago ta có AI = a 2 −
a2 a 3
2
2a 3 a 3
=
, và AO = AI =
.
=
4
2
3
3.2
3
a2
11a
Trong tam giác SOA vuông tại O ta có SO = 4a −
.
=
3
3
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
2
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1 1 a 3 11a
11a3
Vậy thể tích khối chóp S . ABC là V = . a
.
.
=
3 2
2
12
3
Câu 24: Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
2 2a 3
.
3
B.
8a 3
.
3
C.
8 2a 3
.
3
D.
4 2a 3
.
3
Lời giải
Chọn D
Gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a là S . ABCD và I tâm của đáy ta có:
SA = SC = BA = BC = DA = DC  SAC = BAC = DAC  SAC ; BAC ; DAC lần lượt
vuông tại S , B, D .
I là trung điểm của AC suy ra SI =
VS . ABCD
1
1
AC = 2a. 2 = a 2
2
2
1
1
4 2a 3
2
= S ABCD .SI = ( 2a ) .a 2 =
3
3
3
Câu 25: Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Thể
tích của hình chóp đều đó là
A.
a3 6
.
6
B.
a3 3
.
6
C.
a3 3
.
2
D.
a3 6
.
2
Lời giải
Chọn A
Gọi O = AC  BD  SO ⊥ ( ABCD ) .
(
) (
)
Ta có: SC , ( ABCD ) = SC , OC = SCO  SCO = 60
Xét tam giác vuông SOC ta có: tan 60 =
SO
a
3
 SO = OC 3 =
. 3=a
OC
2
2
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 18
Phan Nhật Linh
S ABCD = a 2
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
1
1
3 2 a3 6
Thể tích của hình chóp đều là: V = .SO.S ABCD = .a .a =
.
3
3
2
6
Câu 26: Cho hình chóp đều S . ABCD đáy là hình vuông cạnh a . Biết SBD = 60 . Tính thể tích khối
chóp S . ABCD .
2 3a 3
A.
.
3
B.
6a 3
.
6
C.
6a 3
.
3
4 6a 3
D.
.
3
Lời giải
Chọn B
Gọi O tâm của hình vuông ABCD .
Hình chóp S . ABCD đều nên SO ⊥ ( ABCD ) .
Hình vuông ABCD có cạnh bằng a  BD = 2a .
Ta có
SBD là tam giác đều nên SO =
3
6
. 2a =
a.
2
2
1
1 6
6a 3
Thể tích khối chóp S . ABCD là V = SO  S ABCD = 
.
a  a2 =
3
3 2
6
Câu 27: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một
góc 600 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
a3 6
A. V =
.
2
a3 6
B. V =
.
3
a3 3
C. V =
.
2
Lời giải
a3 6
D. V =
.
6
Chọn D
2
Ta có: S ABCD = a .
Gọi M là trung điểm BC , góc giữa mặt bên ( SBC ) và ( ABCD ) là SMO
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ta có OM =
1
a
AB = .
2
2
a
a 3
Chiều cao SO : SO = OB.tan SBO = .tan 600 =
.
2
2
Vậy VS . ABCD
1
1 2 a 3 a3 3
= .S ABCD .SO = .a .
=
.
3
3
2
6
Câu 28: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với đáy một góc 450 .
Tính thể tích của khối chóp S . ABC ?
a3
A.
.
8
a3
B.
.
12
a3
C.
.
4
Lời giải
a3
D.
.
24
Chọn D
Do đáy là tam giác đều cạnh a nên S ABC
a2 3
.
=
4
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC ta có SH ⊥ ( ABC )
Gọi I là trung điểm cạnh BC khi đó góc
SIA = 45o .Ta có SH = tan 45o.HI =
a 3
.
6
1
a3
Vậy thể khối chóp là: V = SH .S ABC = .
3
24
Câu 29: Cho khối chóp đều S . ABCD có AC = 6a và góc tạo bởi hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) bằng
600 . Thể tích khối chóp đã cho bằng:
A. 108 3a 3 .
B. 9 6a 3 .
C. 36 3a 3 .
Lời giải
D. 27 6a 3 .
Chọn B
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 20
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
S
d
A
D
M
O
B
N
C
Gọi O = AC  BD và M , N lần lượt là trung điểm AB, CD .
AC
= 3a 2 . Đồng thời ( SAB )  ( SCD ) = d AB CD
2
Dễ dàng chứng minh SM ⊥ AB và SN ⊥ CD (do SAB, SCD cân tại S ).
Do AC = 6a  AB =
Suy ra ( SAB ) , ( SCD )  = ( SM ; SN ) = 600 .
Từ đó suy ra SMN đều hay SO =
MN 3 AB 3 3a 6
.
=
=
2
2
2
(
1
1 3a 6
Vậy VS . ABCD = SO.S ABCD = .
. 3a 2
3
3 2
)
2
= 9 6a 3 .
Câu 30: Cho khối chóp đều S . ABCD có AC = 4a , hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) vuông góc với
nhau. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
16 2 3
a .
3
B.
8 2 3
a .
3
C. 16a 3
D.
16 3
a .
3
Lời giải
Chọn B
Gọi M , O, N lần lượt là trung điểm của AB, AC , CD nên AB ⊥ SM , CD ⊥ SN .
Qua S dựng đường thẳng Sx //AB .
 AB  ( SAB )

Vì CD  ( SCD ) nên ( SAB )  ( SCD ) = Sx //AB //CD .
 AB //CD

21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 Sx ⊥ SM
Ta có 
 Sx ⊥ ( SMN )  MSN = 90 .
 Sx ⊥ SN
Hình chóp S . ABCD đều  ABCD là hình vuông, có AC = 4a  AB = BC =
 MN = 2 2a  SO =
AC
= 2a 2
2
MN
=a 2.
2
(
1
1
Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là V = .SO.S ABCD = . 2a. 2a 2
3
3
)
2
=
8 2 3
a .
3
Câu 31: Cho khối chóp tứ giác đều S . ABCD có AC = 4a , hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) tạo với nhau
một góc 600 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
2 2 3
a
3
C. 16a 3 .
B. 2 2a 3 .
D.
8 2 3
a .
3
Lời giải
Chọn D
Gọi O = AC  BD vì S . ABCD chóp tứ giác đều nên SO ⊥ ( ABCD )
 SB ⊥ AH
Kẻ đường cao AH của tam giác SAB , suy ra 
 SB ⊥ CH
Nên góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) là góc giữa AH và CH = 600
Trường hợp 1: AHC = 600 khi đó, tam giác AHC đều cạnh AC = 4a nên HO = 2a 3
1
1
1
1
1
1
=
+

=
+ 2 (vô lý)
Ta có SOB vuông tại O và OH ⊥ SB nên
2
2
2
2
2
OH
SO OB
12a
SO 4a
OC
2a
=
Trường hợp 2: AHC = 1200 khi đó, HO =
3
tan OHC
(
Ta có SOB vuông tại O và OH ⊥ SB nên
Nên SO = 2a . Mà diện tích đáy S ABCD
)
1
1
1
3
1
1
=
+
 2 =
+ 2
2
2
2
2
OH
SO OB
4a
SO 4a
AC 2
=
= 8a3 .
2
1
1
8 2 3
a .
Do đó, VS . ABCD = SO.S ABCD = . 2a.8a 3 =
3
3
3
Câu 32: Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh
SB, SC. Biết rằng mặt phẳng ( AEF ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) . Thể tích khối chóp
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 22
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
S . ABC bằng
A.
a3 5
.
24
B.
a3 5
.
8
C.
a3 5
.
12
D.
a3 5
.
16
Lời giải
Chọn A
Gọi N là trung điểm của BC , O là tâm đường tròn đáy.
Gọi H là giao điểm của EF và SN , tam giác AEF là tam giác cân tại A nên AH ⊥ EF
Vì ( AEF ) ⊥ ( SBC ) nên ta có AH ⊥ ( SBC )  AH ⊥ SN .
Suy ra tam giác SAN cân tại A .
Khi đó SA = AN =
Ta lại có AO =
a 3
.
2
3a 2 a 2 a 15
a 3
 SO = SA2 − AO 2 =
−
=
.
4
3
6
3
Câu 33: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh bên bằng 2cm , các điểm D, E lần lượt là trung
điểm của SA, SC , đồng thời AE vuông góc với BD . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
4 21 3
cm .
27
B.
4 21 3
cm .
7
C.
4 21 3
cm .
3
D.
4 21 3
cm .
9
Lời giải
Chọn A
Gọi M trung điểm SE  DM / / AE . Theo giả thiết BD ⊥ AE  BD ⊥ DM .
Đặt AB = x ( x  0 ) . BD 2 = BE 2 = AE 2 =
BA2 + BS 2 SA2 x 2 + 2
.
−
=
2
4
2
23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1
x2 + 2
BS2 + BE 2 SE 2 x 2 + 9
.
DM 2 = AE 2 =
, BM 2 =
−
=
4
8
2
4
4
Tam giác BDM vuông tại D : BD 2 + DM 2 = BM 2 
x2 + 2 x2 + 2 x2 + 9
+
=
2
8
4
2 6
= AB .
3
Gọi N trung điểm BC , O trọng tâm tam giác ABC .
x=
Tam giác ABC đều cạnh
và S
ABC
=
2 6
2
2 2
cm nên AO =
cm
AB 2 − BN 2 =
3
3
3
x2 3 2 3
=
( cm2 ) .
4
3
Vì S . ABC là hình chóp đều nên SO ⊥ ( ABC ) .Ta có SO = SA2 − AO 2 = 4 −
1
VS . ABC = SO.S
3
ABC
8 2 7
=
( cm ) .
9
3
1 2 7 2 3 4 21
cm3 ) .
= .
.
=
(
3 3
3
27
Câu 34: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD , đáy tâm O , SA = SB = SC = SD = a 3 . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm cạnh CD, AB . Biết khoảng cách từ M đến ( SNC ) bằng a 510 a . Tính thể
51
tích khối chóp S . ABCD .
A.
a 3 10
.
6
3
B. a 10 .
3
C. a 5 .
2
3
D. a 5 .
2
6
Lời giải
Chọn A
 AN / / MC
 AMCN là hình bình hành.

 AN = MC
Do đó AM / / CN  AM / / ( SCN ) .
Ta có
Từ đó suy ra d ( M ; ( SCN ) ) = d ( A; ( SCN ) ) = 2d ( O; ( SCN ) )
Kẽ OH ⊥ CN tại H mà SO ⊥ CN . Suy ra CN ⊥ ( SHO )
Kẽ OK ⊥ SH tại K
Từ (1)  OK ⊥ CN
(1) .
( 2) .
( 3) .
Từ ( 2 )( 3)  OK ⊥ ( SCN )  d ( O; ( SCN ) ) = OK .
(Có thể sử dụng tứ diện vuông O.SCE )
Đặt AB = x  0
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 24
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
1
1
x 2
Gọi E = CN  OB . Khi đó E là trọng tâm ABC . Do đó OE = OB = BD =
.
3
6
6
1
1
1
=
+
Xét ACE vuông tại O có
.
2
2
OH
OE OC 2
1
1
1
1
1
=
+ 2=
+
 x = a.
Xét SOH vuông tại O có:
2
2
2
2
OK
OH SO
OH
SC − OC 2
SO = SC 2 − CO 2 = 3a 2 −
a 2 a 10
=
.
2
2
3
Vậy VS . ABCD = 1 SO.S ABCD = 1 a 10 .a 2 = a 10 .
3
3
2
6
Câu 35: Cho hình chóp đều S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi E , F lần lượt là trung
điểm của các cạnh SB, SC. Biết mặt phẳng ( AEF ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) . Thể tích
khối chóp S . ABC bằng
A.
a3 5
.
8
B.
a3 3
.
24
C.
a3 5
.
24
D.
a 3 15
.
27
Lời giải
Chọn C
Gọi M là trung điểm BC , O là trọng tâm tam giác ABC.
 SN ⊥ EF
Suy ra SO ⊥ ( ABC ) . Gọi N = SM  EF  
nên ( AEF ) , ( SBC ) = SNA = 900.
 AN ⊥ EF
Xét tam giác SAM , có AN là đường trung tuyến và cũng là đường cao nên tam giác SAM cân
tại A  SA = AM =
a 3
.
2
Tam giác vuông SAO, có SO = SA2 − AO 2 =
a 5
1
a3 5
. Vậy VS . ABC = SABC .SO =
.
3
24
2 3
Câu 36: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh AB = 2a . Các cạnh bên tạo với đáy một góc 60 .
Thể tích của khối chóp S . ABC bằng
A. 2 3a 3 .
B.
2 3 3
a .
3
C. 4 3 .
Lời giải
Chọn B
25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D.
4 3 3
a .
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC và E là trung điểm của cạnh BC .
Vì hình chóp tam giác đều S . ABC nên SH ⊥ ( ABC ) .
Các cạnh bên tạo với đáy một góc 60 nên SAH = SBH = SCH = 60 .
Ta có: AH =
tan SAH =
2
2 2a 3 2 3a
AE = .
=
.
3
3 2
3
SH
2 3a
 SH = tan 60.
= 2a .
AH
3
1
1 ( 2a ) 3
2 3 3
= .SABC .SH = .
.2a =
a .
3
3
4
3
2
VS . ABC
Câu 37: Xét khối tứ diện đều ABCD có cạnh AB = x . Với giá trị nào của x thì thể tích khối tứ diện
ABCD bằng 3a 3
A. x = 2 6a .
B. x = 6a .
C. x = 2 .
Lời giải
D. x = 3 2a .
Chọn B
Gọi M là trung điểm CD , O là trọng tâm BCD.
ABO vuông tại O có AB = x; BO =
2
2
Suy ra AO = AB − BO =
SBCD
2
2x 3 x 3
BM =
=
.
3
3 2
3
x 6
.
3
x2 3
=
.
4
1
x3 2
VABCD = SBCD . AO =
= 3a3  x = 6a. .
3
12
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 26
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 38: Cho hình chóp đều S . ABCD với O là tâm đáy. Khoảng cách từ O đến mặt bên bằng 1 và góc
giữa mặt bên với đáy bằng 450 . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
A. V =
4 2
.
3
B. V =
8 2
.
3
C. V = 2 3 .
D. V =
4 3
.
3
Lời giải
Chọn B
Gọi I là trung điểm của CD  OI ⊥ CD , CD = 2OI .
Kẻ OH ⊥ SI tại H  OH ⊥ ( SCD )  d ( O, ( SCD ) ) = OH = 1.
 ( SCD )  ( ABCD ) = CD

Ta có  SI  ( SCD ) , SI ⊥ CD  ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ( SI , OI ) = SIO = 450.
OI  ( ABCD ) , OI ⊥ CD

OH
1
Xét tam giác vuông HIO  OI =
=
= 2  CD = 2OI = 2 2.
0
sin SIO sin 45
Ta có SIO là tam giác vuông cân tại O  SO = OI = 2.
Vậy VS . ABCD =
(
)
2
1
1
8 2
2
.
( CD ) .SO = 2 2 . 2 =
3
3
3
Câu 39: Cho khối chóp đều S . ABCD có AB = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SC , SD , hai mặt
phẳng ( AMN ) và ( SCD ) vuông góc với nhau. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
4a 3 3
.
3
B. 4a 3 3 .
C.
8a 3
3
D.
4a 3 2
.
3
Lời giải
Chọn A
Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, CD, MN , ta có S , R, Q thẳng hàng.
27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ta có ( AMN )  ( SCD ) = MN , PR  ( AMN ) , PR ⊥ MN nên PR ⊥ ( SCD )  PR ⊥ SQ .
Tam giác PSQ có PR vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên PSQ cân tại P.
Ta được SP = PQ = 2a ; SO = SP 2 − OP 2 = a 3 .
1
1
4a 3 3
2
Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là V = .SO.S ABCD = .a 3. ( 2a ) =
3
3
3
Câu 40: Cho khối chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các
cạnh SB, SC . Biết mặt phẳng ( AMN ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) . Thể tích của khối chóp
S . ABC bằng:
A.
a3 5
.
3
B. a 3 5.
C.
a3 5
.
9
D. 3a 3 5.
Lời giải
Chọn A
Gọi O là trọng tâm giác đều ABC . Vì S . ABC là chóp tam giác đều nên SO là chiều cao.
Gọi E là trung điểm của MN . SE cắt BC tại D suy ra E là trung điểm của SD . Trong tam
giác SAD có AE là đường trung tuyến ứng với cạnh SD (1) .
Tam giác SMN cân tại S nên SD ⊥ MN .
 SD ⊥ MN

Ta có  MN = ( AMN ) ( SBC )  SD ⊥ ( AMN )  AE ⊥ SD ( 2 ) .

( AMN ) ⊥ ( SBC )
Từ (1) và ( 2 ) suy ra tam giác SAD cân tại A nên
SA = AD = ( 2a )
3
2
2 3
= 3a; AO = AD =
a.
2
3
3
Tam giác SAO vuông tại O có: SO = SA − AO =
2
Diện tích tam giác ABC bằng ( 2a )
2
2
2
2 3 
15
3a − 
a  =
a.
3
3


( )
2
3
= 3a 2 .
4
1
15
5 3
. 3a 2 .
a=
a.
3
3
3
Câu 41: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm của đáy là O . Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của SA và BC . Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( ABCD ) bằng
Vậy thể tích của khối chóp S . ABC bằng:
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 28
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
60 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
0
a 3 10
A.
.
6
a 3 30
B.
.
2
a 3 30
C.
.
6
Lời giải
a 3 10
D.
3
Chọn C
Gọi H là trung điểm AO  MH / / SO  MH ⊥ ( ABCD ) . Khi đó góc giữa MN và ( ABCD )
là MNH .
Ta có HN = CN 2 + CH 2 − 2CN .CH .cos 450 =
Suy ra MH = HN .tan 600 =
a 10
.
4
a 10
a 30
a 30
. 3=
 SO = 2MH =
.
4
4
2
1
1 a 30 2 a3 30
Do đó thể tích khối chóp VS . ABCD = .SO.S ABCD = .
.
.a =
3
3 2
6
Câu 42: Cho khối chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) vuông góc
với nhau. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
a3 2
.
24
B.
a3 2
.
8
C.
a3 5
.
12
Lời giải
Chọn A
Gọi O là tâm của ABC suy ra SO ⊥ ( ABC )
Gọi N là trung điểm của AB , ta được AB ⊥ ( SNC )  AB ⊥ SC
29 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D.
a3 5
.
4
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Dựng NM ⊥ SC , M  SC . Suy ra ( ABM ) ⊥ SC


AB a
=
Ta có ( SAC )  ( SBC ) = SC   AM ⊥ BM  MN =
2
2

( ABM ) ⊥ SC

Đặt SO = x .
( SAC ) ⊥ ( SBC )
a 3 a
a2
a2
a 6
2
2
= . x +
x =
x=
Trong tam giác SNC ta có SO.NC = MN .SC  x.
2
2
3
6
6
1
1 a 6 a 2 3 a3 2
Vậy VS . ABC = SO.SABC = 
.

=
3
3 6
4
24
Câu 43: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của SA và CD . Cho biết MN tạo với mặt đáy một góc bằng 30 . Tính thể tích khối chóp
S . ABCD .
a 3 30
A.
.
18
a 3 15
B.
.
3
a3 5
C.
.
12
Lời giải
a 3 15
D.
.
5
Chọn A
Gọi O = AC  BD , ta có SO ⊥ ( ABCD ) .
Gọi H là trung điểm OA , ta có MH // SO  MH ⊥ ( ABCD ) .
Do đó ( MN , ( ABCD ) ) = ( MN , NH ) = MNH = 30 .
2
2
5
a 10
3
 1

Ta có: NH =  AD  +  CD  = a 2  NH =
.
8
4
4
 4

2
tan MNH =
MH
3
a 30
MH
=
 MH =
.
=
NH a 10
3
12
4
Mặt khác: SO = 2MH =
a 30
.
6
1
1
a 30 a 3 30
=
Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là: V = .S ABCD .SO = .a 2 .
.
3
3
6
18
Câu 44: Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD )
bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a .
a3
A.
.
2
a3
B.
.
6
a3 2
C.
.
12
Lời giải
a3 2
D.
.
4
Chọn B
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 30
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Gọi O là tâm của hình vuông. Do S . ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥ ( ABCD ) .
Ta có: BD ⊥ SO, BD ⊥ AC nên BD ⊥ ( SAC ) .
Trong tam giác SBC , dựng BH ⊥ SC . Do BD ⊥ ( SAC ) nên BD ⊥ SC .
Khi đó SC ⊥ ( BDH ) nên SC ⊥ DH .
Vậy
( ( SBC ) , ( SCD ) ) = ( BH , HD ) .
Ta có BSC = DSC nên BH = DH do đó tam giác HBD cân tại H .
Nhận thấy: BD ⊥ OH và BD = a 2 .
TH1: BHD = 600 nên tam giác BHD là tam giác đều cạnh bằng a 2 .
Do đó OH =
a 2. 3 a 6
.
=
2
2
Nhận thấy: OH =
a 6 a 2

= OC vô lí (vì tam giác HOC vuông tại H ).
2
2
TH2: BHD = 1200 .
a 2
BO
a 6
Xét tam giác BHO : tan BHO =
.
 HO = 2 0 =
HO
tan 60
6
1
1
1
1
1
1
6 2
4
=
+

=
−
= 2− 2= 2
Xét tam giác OSC :
2
2
2
2
2
2
OH
SO OC
SO
OH
OC
a a
a
a
Suy ra SO = .
2
1
a3
Khi đó: VS . ABCD = .SO.S ABCD = .
3
6
Câu 45: Cho khối chóp đều S . ABCD có AC = 6a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh SB và SD .
Biết ( AMC ) và ( CMN ) cùng vuông góc nhau. Tính thể tích khối chóp đã cho.
A. 72a 3 .
B. 108a 3 .
C. 36a 3 .
Lời giải
D. 216a 3 .
Chọn C
Gọi O = AC  BD . Dễ thấy SO = ( SAC )  ( SBD ) và MN = ( AMN )  ( CMN ) .
31 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ta có : MC = NC (2 đường trung tuyến của 2 tam giác bằng nhau SBC và SCD )
Gọi I là trung điểm MN  IC ⊥ MN .
Tương tự ta có AM = AN  AI ⊥ MN .
AC
= 3a .
Vậy ( AMN ) , ( CMN )  = ( IA; IC ) = 900  IA ⊥ IC  IO =
2
Mặt khác I là trung điểm SO do MN  SO = I với MN là đường trung bình SBD
Suy ra SO = 2OI = 6a .
2
Vậy VS . ABCD
1
1
 6a 
3
= .SO.S ABCD = .6a. 
 = 36a .
3
3
 2
Câu 46: Cho khối chóp đều S . ABCD có AC = 4a , hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) vuông góc với
nhau. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
16 2 3
a .
3
B.
8 2 3
a .
3
C. 16a 3 .
D.
16 3
a .
3
Lời giải
Chọn B
Gọi O là tâm hình vuông suy ra SO ⊥ ( ABCD )
Ta có ( SAB )  ( SCD ) = Sx //AB //CD
Gọi I là trung điểm của AB , suy ra SI ⊥ AB  SI ⊥ Sx  SI ⊥ ( SCD )  SI ⊥ SD
AC = 4a  AD = 2 2a  DI = a 10
Đặt SD = x  SI = x 2 − 2a 2 . Ta có hệ thức x 2 − 2a 2 + x 2 = 10a 2  x 2 = 6a 2  x = a 6
Từ đó ta tính được SO = a 2 .
(
1
Vậy VS . ABCD = .a 2. 2 2a
3
)
2
=
8 2 3
a
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 32
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 47: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1 , biết khoảng cách từ A đến ( SBC )
là
6
15
30
, từ B đến ( SCA ) là
, từ C đến ( SAB ) là
và hình chiếu vuông góc H của S
4
20
10
xuống đáy nằm trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp VS . ABC .
A.
1
.
12
B.
1
.
36
C.
1
.
24
D.
1
48
Lời giải
Chọn D
Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AC , BC , AB .
1
3 h 3
=
Đặt SH = h  VS . ABC = .h.
.
3
4
12
Ta có AP =
2SSAB
6VS . ABC
h 3 30
= 2SSAB =
=
:
= h 10
AB
2
20
d ( C; ( SAB ) )
Tương tự, tính được HM = 2h, HN = h
 PH = SP 2 − SH 2 = 3h
Ta có S ABC = S HAB + S HAC + S HBC =
Vậy VS . ABC =
3
3
1
( HP + HM + HN )  3h =  h =
2
4
12
3 3 1
.
=
.
12 12 48
33 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 5: Tổng hợp về thể tích khối chóp
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Diện tích đáy và chiều cao của khối
lần lượt S và h . Tính thể tích của khối chóp S . ABC là
1
1
2
A. Sh .
B. Sh .
C. Sh .
D. Sh .
3
6
3
Lời giải
Chọn B
1
1 1
1
Ta có: VSABC = VS . ABCD = . Sh = Sh .
2
2 3
6
Câu 2:
Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và có thể tích bằng 3a 3 . Tính chiều cao
h của hình chóp đã cho.
A. h =
3 3a
.
2
B. h =
3a
.
3
D. h = 2 3a .
C. h = 3a .
Lời giải
Chọn C
Tam giác ABC đều cạnh 2a có diện tích S ABC =
( 2a ) 2
3
4
= a2 3 .
1
Thể tích chối chóp S . ABC là: V = .h.S ABC .
3
Suy ra chiều cao h của hình chóp đã cho: h =
Câu 3:
3V
3 3a3
= 2
= 3a .
S ABC a 3
Khối chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a , chân đường cao trùng với trung điểm
H của AB , mặt bên ( SCD ) tạo với mặt đáy một góc 300 . Gọi M là trung điểm của SC . Thể
tích khối chóp H .BCM là
A.
a3 2
.
3
B.
a3 3
.
8
C.
Lời giải
Chọn C
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
a3 3
.
9
D.
a3 6
.
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ta có
VM .HBC MC 1
1
1
=
=  VM .HBC = VS .HBC = VS . ABCD .
VS .HBC
SC 2
2
8
( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SKH = 300 .
Gọi K là trung điểm của CD . Khi đó
Ta có SH = HK .tan 300 =
Câu 4:
1 1
a3 3
2 2a
.
 VH .BCM = VM .HBC = . .( 2a ) .
=
8 3
9
3
3
2a
Cho hình chóp S . ABC có AB = 3a , BC = 4a , CA = 5a , các mặt bên cùng tạo với đáy một góc
60 , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) thuộc miền trong tam giác ABC . Tính
thể tích khối chóp S . ABC .
A. 2a 3 3 .
B. 6a 3 3 .
C. 12a 3 3 .
D. 2a 3 2
Lời giải
Chọn A
S
A
P
C
I
F
E
B
Gọi I là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC ) ; F , E , P lần lượt là hình chiếu của I trên
AB, BC , CA . Suy ra SFI = SEI = SPI = 60  FI = EI = PI = r  I là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác ABC , bán kính r .
Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC , ta có p =
AB + BC + CA 3a + 4a + 5a
=
= 6a .
2
2
Ta có : AB 2 + BC 2 = 9a 2 + 16a 2 = 25a 2 = AC 2 nên tam giác ABC vuông tại B
Do đó SABC =
1
1
S
6a 2
BA.BC = 3a.4a = 6a 2 và r = ABC =
= a.
2
2
p
6a
Tam giác vuông SFI có : SI = IF .tan 600 = r.tan 60 = a 3 .
1
1
Thể tích khối chóp S . ABC là: VS . ABC = SI .SABC = .a 3.6a 2 = 2 3a3 .
3
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 5: Cho tứ diện ABCD có ABC , ABD và ACD là các tam giác vuông tương ứng tại A, B và C .
Góc giữa AD và ( ABC ) bằng 45 ; AD ⊥ BC và khoảng cách giữa AD và BC bằng a . Tính
thể tích khối tứ diện ABCD .
A.
a3 3
.
6
B.
4a 3 3
.
3
C.
a3 2
.
6
D.
4a 3 2
.
3
Lời giải
Chọn D
 DH ⊥ AB
Dựng DH ⊥ ( ABC ) . Vì 
 AB ⊥ ( BDH )  AB ⊥ BH
 AB ⊥ BD
 DH ⊥ AC
Tương tự 
 AC ⊥ ( CDH )  AC ⊥ CH .
 AC ⊥ CD
Tứ giác ABHC có A = B = C = 90 suy ra ABHC là hình chữ nhật.
 BC ⊥ AD
 BC ⊥ ( AHD )  BC ⊥ AH suy ra ABHC là hình vuông.

 BC ⊥ DH
Kẻ OI ⊥ AD  d ( BC , AD ) = IO = a ; ( AD, ( ABC ) ) = DAH = 45 .
OAI vuông tại I có OAI = 45 suy ra OAI cân tại I  AI = IO = a
 OA = AI 2 + IO 2 = a 2  AH = 2OA = 2a 2 .
DHA ⊥ H có DAH = 45 suy ra DHA cân tại H  DH = AH = 2a 2
ABC vuông cân tại A  AB = AC = 2a
1
1
1
4a 3 2
.
VABCD = DH .S ABC = 2a 2. .2a.2a =
3
3
2
3
Câu 6:
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Biết AD = 3a , AB = 2a ,
AC = 4a và BAC = 60 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của B lên AC và CD . Đường thẳng
HK cắt AD tại E . Thể tích khối tứ diện BCDE bằng
52a 3 3
A.
.
9
B. a 3 3 .
26a 3 3
C.
.
9
Lời giải
Chọn C
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
19a3 3
D.
.
6
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 BH ⊥ AC
Theo bài ra 
 BH ⊥ ( ACD )  BH ⊥ CD .
 BH ⊥ AD
 CD ⊥ BE
Mà BK ⊥ CD  CD ⊥ ( BHK )  
.
CD ⊥ EK
KC CH
AC.CH
=
 KC =
Ta có HKC ∽ DAC 
(1)
AC CD
CD
DE DK
DC.DK
=
 DE =
Ta có DEK ∽ DCA 
( 2)
DC DA
DA
Vì tam giác ABH vuông tại H nên AH = AB.cos A = 2a.cos 60 = a .
Mà AC = AH + CH  CH = AC − AH = 4a − a = 3a .
Vì tam giác ACD vuông tại A nên CD = AC 2 + AD 2 =
( 3a )2 + ( 4a )2
= 5a .
4a.3a 12a
12a 13a
=
 DK = DC − KC = 5a −
=
.
5a
5
5
5
13a
5a.
1
1
13a 26a
5 = 13a  S
=
Từ ( 2 ) suy ra DE =
.
DEC = . AC.DE = .4a.
3a
3
2
2
3
3
Từ (1) suy ra KC =
(
)
1
1
26a 26a3 3
.
 VBCDE = .BH .S DCE = . a 3 .
=
3
3
3
9
Câu 7:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a . Biết rằng
SA = a, SA ⊥ AD, SB = a 3, AC = a . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng.
a3 2
A.
.
2
a3 2
B.
.
3
a3 2
C.
.
6
Lời giải
a3 6
D.
.
2
Chọn C
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Gọi O = AC  BD  BD = 2 BO = a 3 . Ta có SD = SA2 + AD 2 = a 2
Suy ra: SO 2 =
SB 2 + SD 2 BD 2 3a 2 + 2a 2 3a 2 7a 2
.
−
=
−
=
2
4
2
4
4
Lại có: SO 2 =
SA2 + SC 2 AC 2 a 2 + SC 2 a 2 7a 2
−
=
−
=
 SC = a 3 .
2
4
2
4
4
Xét SCD vuông tại D vì SC 2 = SD 2 + DC 2 và AS = AD = AC nên hình chiếu của A lên
( SCD ) là điểm H trung điểm SC .
Câu 8:
1
1 a a 2 2 a3 3
a3 2
Do đó, VA.SDC = VS . ADC = . AH .SSDC = . .
.
=
 VS . ABCD = 2VS . ADC =
3
3 2 2
12
6
Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2 . Tam giác SAB là tam giác đều, tam
giác SCD vuông tại S (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. V =
4 3
.
3
B. V = 2 3 .
C. V =
8 3
.
3
D. V =
2 3
.
3
Lời giải
Chon D
Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, CD  MN ⊥ AB (1)
Do SAB đều nên SM ⊥ AB ( 2 ) , từ (1) , ( 2 ) suy ra AB ⊥ ( SMN )  ( SMN ) ⊥ ( ABCD )
Kẻ SH ⊥ MN  SH ⊥ ( ABCD ) .
SM = 3, MN = 2, SN = 1  SM 2 + SN 2 = MN 2  SMN vuông tại S
Khi đó: SH =
SM .SN
3
.
=
MN
2
1
2 3
Thể tích khối chóp S . ABCD là V = SH .S ABCD =
.
3
3
Câu 9:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2a 3 , BD = 2a và
cắt nhau tại O , hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng
a 3
. Tính thể tích V của khối chóp
4
S . ABCD .
a3 3
A. V =
.
12
a3 3
B. V =
.
6
a3 2
C. V =
.
6
Lời giải
a3 3
D. V =
.
3
Chọn D
( SAC ) ⊥ ( ABCD )

Ta có ( SBD ) ⊥ ( ABCD )
 SO ⊥ ( ABCD ) .

( SAC )  ( SBD ) = SO
Kẻ OH ⊥ AB tại H và OK ⊥ SH tại K .
Suy ra OK ⊥ ( SAB )  d ( O, ( SAB ) ) = OK =
Lại có
1
1
1
1
=
+
=
2
2
2
OH
OA
OB
a 3
(
)
2
+
a 3
.
4
1
a 3
nên OH =
.
2
2
a
a
1
1
1
1
1
1
1
1
nên SO = .
=
+

=
−
=
−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
OK
OH
OS
OS
OK
OH
a 3
a 3




 4 
 2 
1
1
S ABCD = . AC.BD = .2a 3.2a = 2a 2 3
2
2
Vậy VS . ABCD
1
1 2
a a3 3
.
= .SO.S ABCD = .2a 3. =
3
3
2
3
Câu 10: Cho hình chóp tam giác S . ABC có SA = 2a và SA tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 30 . Tam giác
ABC vuông cân tại B , G là trọng tâm tam giác ABC . Hai mặt phẳng ( SGB ) và ( SGC ) cùng
vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S . ABC theo a .
A.
9a 3
.
10
B.
9a 3
.
40
C.
27a3
.
10
D.
81a 3
.
10
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
S
A
C
G
M
B
( SGB ) ⊥ ( ABC )

 SG ⊥ ( ABC ) .
Ta có ( SGC ) ⊥ ( ABC )

( SGB )  ( SGC ) = SG
Suy ra hình chiếu của SA lên ( ABC ) là AG .
(
)
Do đó ( SA, ( ABC ) ) = SA, AG = SAG = 300 .
Nên AG = SA.cos30 = 2a.
AM =
3
=a 3.
2
3
3a 3
AG =
2
2
Suy ra AB 2 + BM 2 = AM 2 
5
27a 2
3a 15
.
AB 2 =
 AB =
4
4
5
2
Vậy VSABC
1
1 1  3a 15 
9a 3
= SG.S ABC = a. 
.
 =
3
3 2  5 
10
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:
Cho khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h . Thể tíc V của khối chóp đã cho được tính
theo công thức nào dưới đây?
2
1
A. V = Bh .
B. V = Bh .
C. V = 3Bh .
D. V = Bh .
3
3
Lời giải
Chọn D
Câu 2:
Thể tích của khối chóp tam giác bằng 6 , diện tích đáy bằng 2 . Chiều cao của khối chóp bằng?
A. 18 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 9 .
Lời giải
Chọn D
1
3V 3.6
Ta có V = B.h  h =
=
= 9.
3
B
2
Câu 3:
Tính thể tích khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh a và chiều cao của khối chóp bằng 3a .
A.
a3 3
.
4
B. a 3 .
C. a 3 3 .
D.
a3 3
.
12
Lời giải
Chọn B
Ta có đáy là tam giác đều cạnh a nên diện tích đáy là S =
a2 3
.
4
1
1 a2 3
a3 3
Vậy thể tích khối chóp là V = S .h = .
.
.3a =
3
3 4
4
Câu 4:
Cho khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h . Thể tích V của khối chóp đã cho được tính
theo công thức vào dưới đây?
1
1
4
A. V = Bh .
B. V = Bh .
C. V = Bh .
D. V = Bh .
2
3
3
Lời giải
Chọn B
1
Thể tích của khối chóp được tính bởi công thức: V = Bh .
3
Câu 5:
Cho khối chóp có diện tích đáy S = 5 , chiều cao h = 3 . Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. 5 .
B. 12 .
C. 15 .
D. 35 .
Lời giải
Chọn A
1
1
Thể tích khối chóp: V = S .h = .5.3 = 5 .
3
3
Câu 6:
Cho hình chóp S . ABC có AB = a, BC = a 3, AC = a 2, SA = SB = SC =2a. Tính thể tích khối
chóp S . ABC .
a 3 26
A.
.
24
a 3 26
B.
.
12
a 3 26
C.
.
4
Lời giải
a 3 26
D.
.
8
Chọn B
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Gọi M là trung điểm của BC , do tam giác ABC vuông tại A nên M là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC . Mà SA = SB = SC =2a nên SM ⊥ ( ABC ) . Xét tam giác SMA vuông tại M
3a 2 13a 2
a 13
: SM = SA − AM = 4a −
.
=
 SM =
4
4
2
2
Vậy VS . ABC
Câu 7:
2
2
2
1 1
1
a 13 a3 26
= . AB. AC.SM = .a.a 2.
=
3 2
6
2
12
Cho khối chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình thang, AB / / CD ,
SA = AD = DC = a, BC = a 2 . Tam giác SBC vuông tại C , tam giác SCD vuông tại D . Thể
tích khối chóp đã cho bằng
4
2
1
A. 2a 3 .
B. a 3 .
C. a 3 .
D. a 3 .
3
3
2
Lời giải
Chọn D
CD ⊥ SA
 CD ⊥ AD .
Ta có: 
CD ⊥ SD
Ta lại có AD = DC = a nên ADC vuông cân tại D .
Suy ra AC = a 2 .
CB ⊥ SA
 CB ⊥ AC .
Ta có: 
CB ⊥ SC
Suy ra ABC vuông cân tại C nên AB = BC 2 = 2a .
1
1 AB + DC
1 2a + a
a3
 AD = a.
a = .
Thể tích khối chóp đã cho là V = SA  S ABCD = a.
3
3
2
3
2
2
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 8: Cho hình chóp S . ABCD ,có AC vuông góc với BD và AC = 3cm , BD = 4cm .Khoảng cách từ
điểm S đến mặt phẳng ( ABC ) bằng 9cm . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng
A. 36cm 3 .
B. 18cm 3 .
C. 54cm 3 .
Lời giải
D. 6cm3 .
Chọn B
Do AC
Suy ra: VSABCD
Câu 9:
1
AC .BD
2
6 (cm 2 ) .
1
d(S ,(ABC )).S ABCD
3
18(cm 3 ) .
BD nên SABCD
Cho hình chóp S . ABC có tất cả các mặt bên cùng hợp với đáy một góc 60. Biết rằng mặt phẳng
đáy là tam giác ABC đều cạnh a. Tính thể tích khối chóp đã cho.
a3 3
.
A.
24
a3 3
.
B.
8
a3 3
.
C.
12
a3 3
.
D.
4
Lời giải
Chọn A
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AB  AM , CN là 2 đường trung tuyến của ABC
đồng thời là 2 đường phân giác của ABC .
Gọi AM  CN = H   H là tâm đường tròn nội tiếp ABC  SH ⊥ ( ABC ) .
Do đó
(( SBC ) , ( ABC )) = SMH = 60.
a2 3
AM a 3
và HM =
=
.
4
3
6
SH
SH
a
Xét SHM vuông tại H có tan SMH =
 tan 60 =
 SH = .
HM
2
a 3
6
Mà ABC đều cạnh a  SABC =
1
1 a 2 3 a a3 3
Vậy thể tích của khối chóp S . ABC là VS . ABC = .SABC .SH = .
. =
.
3
3 4 2
24
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh
S lên đáy ( ABCD ) là trọng tâm của tam giác ABD . Biết góc tạo bởi cạnh SC với đáy bằng
60 . Thể tích khối chóp S . ABC bằng:
a3 3
A.
.
4
a3 2
B.
.
3
a3 3
C.
.
6
Lời giải
D.
a3
.
3
Chọn D
Nếu gọi O là giao điểm của hai đường chéo đáy ABCD và H là chân đường cao hạ từ đỉnh S
1
1
1
1
2
2a 2
AO = AC  HC = HO + OC = AC + AC = AC =
3
6
6
2
3
3
Góc tạo bởi SC và đáy ( ABCD ) là: SCH = 60 và SHC vuông tại H , suy ra:
xuống đáy thì ta có: HO =
2a 3
tan 60 = 2a
3
1
a2
Diện tích tam giác ABC là: S ABC = AB  BC =
2
2
1
1 a2
a3
Thể tích khối chóp S . ABC là: VSABC = S ABC  SH =   2a =
.
3
3 2
3
SH = h = HC  tan 60 =
Câu 11: Cho hình chóp S . ABC có các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy các góc bằng nhau và bằng 60
. Biết AB = 13a, AC = 14a và BC = 15a . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .
A. V =
455 3 3
a .
6
B. V = 455 3a 3 .
C.
455 3 3
a .
3
Lời giải
Chọn D
Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC )  SH ⊥ ( ABC ) .
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. V =
455 3 3
a .
2
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 SAH = ( SA, ( ABC ) )


Khi đó ta có  SBH = ( SB, ( ABC ) ) . Theo giả thiết thì SAH = SBH = SCH = 60 .

 SCH = ( SC , ( ABC ) )
Suy ra SHA = SHB = SHC  HA = HB = HC  H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và
bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R = HA = HB = HC .
Nửa chu vi tam giác ABC là p =
AB + BC + AC 13a + 14a + 15a
=
= 21a .
2
2
Diện tích tam giác ABC là SABC =
p ( p − AB )( p − BC )( p − AC ) = 84a 2 .
AB.BC. AC
4R
AB.BC. AC 13a.14a.15a 65a
R=
=
=
= HA = HB = HC .
4S
4.84a 2
8
Lại có SABC =
Xét SHA vuông tại H có SH = HA.tan SAH =
65a
65 3a
.
.tan 60 =
8
8
1
1 65 3a
455 3a3
Thể tích khối chóp S . ABC là V = .SH .SABC = .
.
.84a 2 =
3
3
8
2
Câu 12: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , tam giác SAB cân tại S và thuộc
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , góc giữa hai mặt phẳng ( SCA ) và ( SCB ) bằng
600 . Gọi H là trung điểm của đoạn AB . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
a3 2
A. Thể tích khối chóp S . ABC bằng
.
16
a3 2
B. Thể tích khối chóp B.SHC bằng
.
16
a3 2
C. Thể tích khối chóp S . AHC bằng
.
D. Không tồn tại hình chóp đã cho.
64
Lời giải
Chọn C
Tam giác SAB thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC )  SH ⊥ ( ABC ) , từ đó suy
ra đường cao của hình chóp S . AHC là SH
Kẻ AK ⊥ SC  SC ⊥ ( AKB )  SC ⊥ KB
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 12
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
 AKB = 600
 ( ( SAC ) ; ( SBC ) ) = ( KA; KB ) = 60  
 AKB = 1200
0
Nếu AKB = 600 thì dễ thấy KAB đều  KA = KB = AB = AC (vô lí). Vậy AKB = 1200
AH
a
khi đó KAB cân tại K và AKH = 600  KH =
=
0
tan 60
2 3
Trong SHC vuông tại H ta có
thay KH =
VS . AHC
a
2 3
và HC =
1
1
1
=
+
2
2
KH
HC
HS 2
a 3
a 6
a 6
vào ta được SH =
. Vậy h =
.
2
8
8
1
1 a 6 1 a 3 a a3 2
.
= .SH .dtAHC = .
. .
. =
3
3 8 2 2 2
64
Câu 13: Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A , BAC = 120 và AB = a . Các cạnh
bên SA, SB, SC bằng nhau và góc giữa SA với mặt phẳng đáy bằng 60 . Thể tích khối chóp đã
cho bằng
3
A. a 3 .
4
a3
C.
.
4
Lời giải
3 3
B.
a .
4
D.
3a 3 .
Chọn C
Ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2. AB. AC.cos BAC = a 2 + a 2 − 2.a.a.cos120 = 3a 2  BC = a 3 .
SABC =
1
1
a2 3
.
AB. AC.sin BAC = a.a.sin120 =
2
2
4
Khối chóp S . ABC có SA, SB, SC bằng nhau. Gọi SH ⊥ ( ABC ) nên H là tâm của đáy  H
là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  HA = R .
SABC =
AB. AC.BC a.a.a 3 a 2 3
=
=
R=a.
4R
4R
4
Ta có SH ⊥ ( ABC ) hình chiếu của SA lên mặt phẳng ( ABC ) là AH  SAH = 60 là góc giữa
SA và mặt phẳng đáy.
Xét SHA vuông ở H có: tan SAH =
SH
 SH = AH tan 60 = a. 3 .
AH
1
1
a 2 3 a3
.
VS . ABC = SH .SABC = a 3.
=
3
3
4
4
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có AC = a 3, ABC = 600 . Biết rằng
SA = SC , SB = SD và khoảng cách từ A mặt phẳng ( SBC ) bằng
a 6
. Tính thể tích khối chóp
2
S . ABC bằng:
9 6a 3
B.
.
16
3 6a 3
A.
.
8
3 15a 3
C.
.
40
3 6a 3
D.
.
16
Lời giải
Chọn D
Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC , BD . Khi đó SO ⊥ ( ABCD ) .
Dựng AK , OI lần lượt vuông góc với BC . Dựng OH ⊥ SI tại H .
Vì AC = a 3, ABC = 600 nên tam giác ABC đều.
 BC ⊥ OI
 BC ⊥ ( SOI )  BC ⊥ OH .
Ta có 
 BC ⊥ SO
Lại có OH ⊥ SI  OH ⊥ ( SBC )  d ( O, ( SBC ) ) = OH .
Mặt khác
Nên
1
a 6
a 3. 3 3a
3a
, AK =
d ( A; ( SBC ) ) = d ( O; ( SBC ) ) = OH =
=
 OI = .
2
4
2
2
4
1
1
1
16 16
3 2a
.
=
− 2 = 2 − 2  SO =
2
2
SO
OH
OI
6a 9a
4
Thể tích khối chóp VS . ABC
(
)
1
1 a 3
= S ABC .SO = .
3
3
4
2
3 3 2a 3 6a 3
.
=
.
4
16
Câu 15: Cho tứ diện MNPQ . Biết rằng mặt phẳng ( MNP ) vuông góc với mặt phẳng ( NPQ ) , đồng thời
MNP và
NPQ là 2 tam giác đều cạnh 4a . Tính theo a thể tích V của khối tứ diện MNPQ .
A. V = 24 3a 3 .
B. V = 24a 3 .
C. V = 8 3a 3 .
Lời giải
D. V = 8a 3 .
Chọn D
M
N
P
H
4a
Q
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 14
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Trong mặt phẳng ( MNP ) dựng MH ⊥ NP và MH  NP = H .
( MNP)  ( NPQ) = NP

Ta có  ( MNP) ⊥ ( NPQ)

MH ⊥ NP

 MH ⊥ ( NPQ)  MH là chiều cao tứ diện MNPQ .
Xét MNP : ta có MH là đường cao tam giác đều  MH =
Ta có NPQ là tam giác đều  S
1
Vậy VMNPQ = S
3
NPQ
NPQ
=
4a 3
= 2a 3 .
2
(4a) 2 3
= 4a 2 3 .
4
1
.MH = .4a 2 3.2a 3 = 8a 3 . .
3
Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = a, SA = 2SD và mặt phẳng ( SBC )
tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng
5
15 3
3
a .
A. a 3 .
B. a 3 .
C. 5a 3 .
D.
2
2
2
Lời giải
Chọn A
Kẻ SH ⊥ AD  SH ⊥ ( ABCD ) . Kẻ HM ⊥ BC ta có góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt
phẳng đáy là góc SMH = 60 .
Ta có MH = AB = a . Xét tam giác SMH , ta có SH = MH .tan 60 = a 3 .
Mà tam giác SAD vuông tại S nên ta có
1
1
1
1
1
5
5SH 2 15a 2
2
=
+
=
+
=

SD
=
=
SH 2 SA2 SD 2 4SD 2 SD 2 4SD 2
4
4
Suy ra SD =
a 15
15a 2 5a 3
.
 SA = a 15, AD = SA2 + SD 2 = 15a 2 +
=
2
4
2
1
3
1
3
1
3
Vậy VS . ABCD = .S ABCD .SH = . AB. AD.SH = .a.
5a 3
5
.a 3 = a 3 .
2
2
Câu 17: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 , SAB đều, SCD vuông tại S .Tính thể
tích V của khối chóp S . ABCD .
A. V =
2 3
.
3
B. V =
8 3
.
3
C. V =
Lời giải
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
4 3
.
3
D. V = 2 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chọn A
Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB, CD và H là hình chiếu của S lên đường thẳng EF .
AB ⊥ SE 
AB ⊥ SH 
  AB ⊥ ( SEF ) 
  SH ⊥ ( ABCD ) .
AB ⊥ EF 
EF ⊥ SH 
Ta có AB CD  CD ⊥ ( SEF )  CD ⊥ SF  SCD vuông cân tại S .
SE = 3, SF = 1, EF = 2  EF 2 = SE 2 + SF 2  SEF vuông tại S .
SH =
SE.SF
3
.
=
EF
2
1
1
3 2 3
.
V = S ABCD .SH = .4.
=
3
3
2
3
Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1 , AD = 20 , SA = SB ,
SC = SD . Biết mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) vuông góc nhau đồng thời tổng diện tích của hai
tam giác SAB và SCD bằng 3 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng
8
13
26
A. .
B.
.
C.
.
3
6
3
Lời giải
Chọn A
D.
13
.
2
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , CD .
Do
S  ( SAB )  ( SCD )
AB / / CD
S  d
 ( SAB )  ( SCD ) = d với 
.
d / / AB
Do SAB cân tại S nên SM ⊥ AB  SM ⊥ d .
Mà ( SAB ) ⊥ ( SCD ) nên SM ⊥ ( SCD )  SM ⊥ SN và ( SMN ) ⊥ ( ABCD ) .
Kẻ SH ⊥ MN  SH ⊥ ( ABCD ) .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 16
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
1
1
Do SSAB + SSCD = 3  .SM . AB + .SN .CD = 3  AB ( SM + SN ) = 6  SM + SN = 6 (1) .
2
2
Do SMN vuông tại S nên ta có:
SM 2 + SN 2 = MN 2  SM 2 + SN 2 = AD 2  SM 2 + SN 2 = 20 ( 2 ) .
Từ và ta có
  SM = 4

 SM + SN = 6
 SM + SN = 6
 SM + SN = 6
 SN = 2



.

2
2
2
  SM = 2
 SM + SN = 20 ( SM + SN ) − 2.SM .SN = 20  SM .SN = 8

  SN = 4
Trong SMN ta có SH .MN = SM .SN  SH =
SM .SN
8
4 5
.
=
=
MN
5
2 5
1
1 4 5
8
.2 5 = .
Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là V = .SH .S ABCD = .
3
3 5
3
Câu 19: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a , SA ⊥ AB và
9
SC ⊥ CB . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) là  thỏa mãn cos  =
Thể tích
16
khối chóp S . ABC bằng
A.
5a 3
.
18
B.
7a3
.
9
C.
7a3
.
6
D.
7a3
.
18
Lời giải
Chọn D
Xét hai tam giác vuông SAB và SCB , có BA = BC ,có SB chung. Nên SAB = SCB .
Gọi CI là đường cao của SCB thì AI cũng là đường cao của SAB . Suy ra góc giữa hai mặt
phẳng ( SAB ) và ( SBC ) là góc giữa AI và CI .
Đặt SA = x  SB = a 2 + x 2 , AC = a 2 .
Trong tam giác vuông SAB , có: AB.SA = AI .SB  AI =
Xét 2 trường hợp:
TH1: Góc giữa AI và CI bằng góc AIC =  .
Áp dụng định cosin cho tam giác AIC ta có:
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
AB.SA
=
SB
ax
a + x2
2
= IC .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
a2 x2
a2 x2
a2 x2 9
AC = AI + CI − 2 AI .CI .cos   2a = 2
+
−2 2
.
a + x2 a2 + x2
a + x 2 16
 16a 2 + 16 x 2 = 7 x 2 .
2
2
2
2
TH2: Góc giữa AI và CI bằng góc bù của góc AIC . Suy ra cos AIC = −
9
16
Áp dụng định cosin cho tam giác AIC ta có:
a2 x2
a2 x2
a2 x2 9
+
+
2
.
a2 + x2 a2 + x2
a 2 + x 2 16
4a
5a
 16a 2 + 16 x 2 = 25 x 2  x =
 SB = a 2 + x 2 = .
3
3
Cách 1:
Do SAB = SCB  SA = SC , suy ra SAC cân tại S .
AC 2 = AI 2 + CI 2 − 2 AI .CI .cos   2a 2 =
Gọi M là trung điểm AC thì SM ⊥ AC , BM ⊥ AC  AC ⊥ ( SBM )  ( ABC ) ⊥ ( SBM ) .
IM = AI 2 − AM 2 =
a 7
1
a 2
, BM = AC =
2
2
5 2
Gọi H là hình chiếu của S lên ( ABC ) thì SH thuộc ( SBM ) .
Xét tam giác SBM , có các đường cao là SH , MI nên ta có:
5a a 7
.
SB.IM
3 5 2 a 7
.
SH .BM = SB.IM  SH =
=
=
BM
3
a 2
2
Diện tích tam giác ABC bằng
1 2
1
1 a 7 1 2
7 3
a . Vậy VS . ABC = SH .dtABC = .
. a =
a .
2
3
3 3 2
18
Cách 2:
Ta có: AI = IC =
VS . ABC
4a
.
5
1
1 5a 1
1 5a 1  4a 
= SB.SAIC = . . AI .IC sin AIC =
.  
3
3 3 2
3 3 2 5 
2
2
7 3
 9
1−  −  =
a
18
 16 
Câu 20: Cho tứ diện ABCD có AB = a , AC = a 5 , DAB = CBD = 90 , ABC = 135 . Biết góc giữa
hai mặt phẳng ( ABD ) và ( BCD ) bằng 30 . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng
A.
a3
.
2
B.
a3
.
3 2
C.
a3
.
2 3
D.
a3
.
6
Lời giải
Chọn D
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 18
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng ( ABC ) .
 BA ⊥ DA
 BA ⊥ ( DHA)  BA ⊥ AH . Tương tự: BC ⊥ BH .
Ta có: 
 BA ⊥ DH
Tam giác ABH vuông tại A và ABH = 45  ABH vuông cân tại A  AH = AB = a và
HB = a 2 .
Dựng HM vuông góc với DA tại M và dựng HN vuông góc với DB tại N .
Suy ra HM ⊥ ( DAB ) và HN ⊥ ( DBC )  ( ( DBA) , ( DBC ) ) = ( HM , HN ) = MHN = 30 .
Đặt DH = x  HM =
ax
; HN =
ax 2
a +x
2a 2 + x 2
Trong tam giác HMN vuông tại M ta có
2
2
.
HM
3
2a 2 + x 2

=
 x = a  DH = a .
HN
2
2a 2 + 2 x 2
Theo định lí cosin ta có:
cos MHN =
AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 AB.BC.cos135  BC = a 2  S ABC =
1
a2
AB.BC.sin135 = .
2
2
1
a3
Vậy VABCD = DH .SABC = .
3
6
Câu 21: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ABC = 60 . Biết SA = SB = SC
và góc giữa mặt bên ( SCD ) và mặt đáy bằng 60 . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
A.
a3 3
.
2
B.
a3 3
.
6
C.
a3 2
.
2
Lời giải
Chọn B
Ta có ABC = 60 suy ra tam giác ABC là tam giác đều.
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC suy ra SH ⊥ ( ABCD ) .
Gọi I là trung điểm của AB  IH ⊥ AB  IH ⊥ CD .
Hay SCH = 60 .
Mà CI =
a 3
a 3
 HC =
 SH = HC tan SCH = a .
2
3
Diện tích hình thoi ABCD là S ABCD = 2S ABC =
a2 3
.
2
1
a3 3
Thể tích khối chóp S . ABCD là V = S ABCD .SH =
.
3
6
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D.
a3 2
.
6
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 22: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a , tam giác SBA vuông tại B , tam
giác SAC vuông tại C . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABC ) bằng 60 . Thể tích khối
chóp S . ABC bằng
A.
3a 3
.
8
3a 3
B.
.
12
C.
3a 3
.
6
D.
3a 3
.
4
Lời giải
Chọn B
Gọi D là hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC ) , suy ra SD ⊥ ( ABC ) .
Ta có SD ⊥ AB và SB ⊥ AB ( gt ) , suy ra AB ⊥ ( SBD )  BA ⊥ BD .
Tương tự có AC ⊥ DC hay tam giác ACD vuông ở C .
Dễ thấy SBA = SCA (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB = SC . Từ đó ta chứng minh
được SBD = SCD nên cũng có DB = DC .
Vậy DA là đường trung trực của BC , nên cũng là đường phân giác của góc BAC .
a
Ta có DAC = 30 , suy ra DC =
. Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABC ) là
3
SD
a
SBD = 60 , suy ra tan SBD =
 SD = BD tan SBD =
. 3=a.
BD
3
1
1 a2 3
a3 3
Vậy VS . ABC = .SABC .SD = .
.
.a =
3
3 4
12
Câu 23: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , cạnh SA vuông góc với mặt đáy
và SA = AB = 2a , CAB = 30 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC , B  là điểm đối
xứng của B qua mặt phẳng ( SAC ) . Thể tích của khối chóp H . ABB bằng
A.
a3 3
.
7
B.
6 3 a3
.
7
C.
4 3 a3
.
7
D.
2 3 a3
.
7
Lời giải
Chọn D
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 20
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Trong tam giác ABC ta có cos CAB =
AC
 AC = a 3 và BC = AB 2 − AC 2 = a .
AB
Trong tam giác SAC ta có SC = SA2 + AC 2 = a 7 và HC.SC = AC 2  HC =
Trong tam giác SAC kẻ MI ⊥ AC tại I . Khi đó ta có HI =
AC 2 3 7a
=
SC
7
SA.HC 6a
.
=
SC
7
1
1 6a 1
1 6a 1
2 3 3
Ta có VH . ABB = HI .SABB = . . AC.BB = . . .a 3.2a =
a .
3
3 7 2
3 7 2
7
Cách 2:
Trong tam giác SAC ta có SC = SA2 + AC 2 = a 7 và HC.SC = AC 2  HC =
Ta có :
AC 2 3 7a
=
SC
7
VH . ABB HI HC 3
3
=
=
=  VH . ABB = VS . ABB .
VS . ABB SA SC 7
7
1
1
1
1
4 3 3
VS . ABB = .SA. AC.BB = .2a. .a 3.2a =
a .
3
2
3
2
6
Vậy VH . ABB =
2 3 3
a .
7
Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B . Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm của AB. Biết AB = a, BC = 2a, BD = a 10. Góc
giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và mặt phẳng đáy là 30. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD
theo a.
A. V =
3 30a 3

2
B. V =
30a 3

4
C. V =
a 3 30

24
D. V =
30a 3

8
Lời giải
Chọn C
Xét ABD vuông ở A  AD 2 = BD 2 − AB 2 = 9a 2  AD = 3a.
3a + 2a
5a 2
a =
2
2
Góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và mặt phẳng đáy ( ABCD ) là  = 30
Diện tích đáy: S ABCD =
Từ H kẻ HM ⊥ BD  BD ⊥ ( SHM )  SMH = 30 là góc giữa ( SBD ) và ( ABCD )
1
AN .
2
21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
Từ A kẻ AN ⊥ BD  MH //AN và MH =
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Xét ABD vuông ở A có
 MH =
1
1
1
1
1
10
3a
=
+
= 2 + 2 = 2  AN =
2
2
2
AN
AB
AD
a 9a
9a
10
3a
2 10
Xét SHM vuông ở H có tan SMH =
SH
3a
1
3a
 SH = MH .tan 30 =

=
MH
2 10 3 2 30
1
1 3a 5a 2 a3 30
 VS . ABCD = SH .S ABCD = 

=

3
3 2 30 2
24
Câu 25: Cho khối chóp tứ giác đều S . ABCD có BD = 2a 2 , gọi M là trung điểm của DC , góc giữa
SM và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 600 . Thể tích V của khối chóp S . ABCD bằng,
A. V =
3a3 3
2
B. V =
4a 3 2
3
C. V =
4a 3 3
3
D. V =
a3 3
6
Lời giải
Chọn C
Gọi O là tâm của đáy. Vì S . ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥ ( ABCD ) và ABCD là hình
vuông.
 SM  ( ABDC ) = M
Ta có 
, suy ra góc giữa SM và mặt phẳng ( ABCD ) là SMO = 600 .
 SO ⊥ ( ABCD ) = O
Gọi cạnh của hình vuông ABCD là
x.
Có OM =
x 3
0
1
x
.
BC = , SO = OM tan 60 =
2
2
2
S ABCD = x 2
Lại có BD = 2 2a , ABCD là hình vuông nên x 2 = 2 2a  x = 2a . Suy ra SO = a 3 ,
S ABCD = 4a 2
Thể tích khối chóp S . ABCD là VS . ABCD
1
1
4a 3 3
2
= SO.S ABCD == a 3.4a =
.
3
3
3
Câu 26: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm của đáy là O . Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của SA và BC . Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( ABCD ) bằng
600 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
A.
a 3 10
6
B.
a 3 30
2
C.
a 3 30
6
D.
a 3 10
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 22
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Lời giải
Chọn C
Gọi H là trung điểm AO . Khi đó góc giữa MN và ( ABCD ) là MNH .
Ta có HN = CN 2 + CH 2 − 2CN .CH .cos 450 =
Suy ra MH = HN .tan 600 =
Do đó SO = 2MH =
a 10
.
4
a 10
a 30
.
. 3=
4
4
a 30
.
2
1
30 a3 30
.
VS . ABCD = a 2 .a
=
3
2
6
Câu 27: Cho hình chóp S . ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , đáy nhỏ của hình
thang là CD , cạnh bên SC = a 15 . Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy hình chóp. Gọi H là trung điểm cạnh AD , khoảng cách từ B tới mặt
phẳng ( SHC ) bằng 2 6a . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
A. V = 4 6a 3 .
B. V = 12 6a 3 .
C. V = 8 6a 3 .
Lời giải
D. V = 24 6a 3 .
Chọn A
Theo giả thiết ta có
( SAD ) ⊥ ( ABCD ) = AD
 SH ⊥ ( ABCD ) .

 SH ⊥ AD, SH  ( SAD )
Ta có SH = SD 2 − DH 2 = a 3 , HC = SC 2 − SH 2 = 15a 2 − 3a 2 = 2 3a ,
23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
CD = HC 2 − HD 2 = 12a 2 − a 2 = a 11 .
 BF ⊥ HC
Ta có 
 BF ⊥ ( SHC ) nên d ( B, ( SHC ) ) = BF = 2 6a .
 BF ⊥ SH
1
1
S HBC = BF .HC = .2 3a.2 6a = 6 2a 2 .
2
2
Đặt AB = x nên S AHB =
S ABCD =
1
a
1
a 2 11
AH . AB = .x ; SCDH = DH .DC =
,
2
2
2
2
(
)
1
( CD + AB ) AD = a 11 + x a .
2
(
)
(
)
a
a 2 11
S AHB = S ABCD − SCDH − S BHC  .x = a 11 + x a −
− 6 2a 2  x = 12 2 − 11 a .
2
2
(
))
(
S ABCD = a 11 + 12 2 − 11 a a = 12 2a 2 .
1
1
Vậy VS . ABCD = SH .S ABCD = .a 3.12 2a 2 = 4 6a 3 .
3
3
Câu 28: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy, biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng a và
BDC = 300 . Tính thể tích của khối chóp S . ABCD .
A.
3a 3 3
.
2
B.
a3 6
.
9
C.
a3 3
.
6
D.
a3 3
.
2
Lời giải
Chọn D
( SAB ) ⊥ ( ABCD )
Gọi H là trung điểm của AB . Có SH ⊥ AB mà 
( SAB )  ( ABCD ) = AB
Nên SH ⊥ ( ABCD ) và có CD //AB  CD // ( SAB )
 d ( SB, CD ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( C , ( SAB ) )
CB ⊥ AB
 CB ⊥ ( SAB )  d ( C , ( SAB ) ) = CB = a
Ta có: 
CB ⊥ SH
BC
a

= tan 300  CD = a 3 .
Có tan BDC =
CD
CD
Tam giác SAB đều có SH là đường cao  SH = a 3.
3 3a
=
.
2
2
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 24
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
1 3a
a3 3
1
Thể tích S . ABCD : VS . ABCD = SH .S ABCD = . .a.a 3 =
.
3
3 2
2
Câu 29: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với ( ABCD ) . Biết BD = 2a, AB = a , khoảng cách giữa AB và SD bằng
a 2 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
A.
a3 3
.
3
B. 3 2a 3 .
C.
a3 2
.
3
D. a 3 2 .
Lời giải
Chọn D
Gọi H là trung điểm AB . Do tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
( ABCD )
nên SH ⊥ AB  SH ⊥ ( ABCD )  SH ⊥ CD .
Gọi M là trung điểm CD , do SH ⊥ CD, HM ⊥ CD nên CD ⊥ ( SHM )  ( SHM ) ⊥ ( SCD ) .
Dựng HK ⊥ SM  HK ⊥ ( SCD ) .
Vì AB // ( SCD )  d ( AB, SD ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) = HK = a 2 .
AD = BD 2 − AB 2 =
( 2a )
2
− a 2 = a 3 = HM .
Vì SHM vuông tại H nên:
1
1
1
1
=
+

2
2
2
HK
SH
HM
a 2
(
)
2
=
1
1
+
2
SH
a 3
(
)
2
 SH = a 6
1
1
1
Vậy: VS . ABCD = SH .S ABCD = SH . AB. AD = .a 6.a.a 3 = a 3 2 .
3
3
3
Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , BC = 2a . SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng
2 3a
. Tính thể tích
31
của khối chóp S . ABCD .
A.
3a 3 .
B.
a3 3
.
3
C.
Lời giải
Chọn C
25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
2a 3 3
.
3
D. 2a 3 3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Đặt SA = x, x  0
Gọi O là tâm hình chữ nhật và M là trung điểm SA , ta có: SC //MO  SC // ( BMD ) .
Do đó d ( SC , BD ) = d ( SC , ( BMD ) ) = d ( S , ( BMD ) ) = d ( A, ( BMD ) ) = h
Ta có: AM , AB, AD đôi một vuông góc nên
1
1
1
1
4 1
1
31
4
4
=
+
+
= 2+ 2+ 2 =
 2 = 2 x=a 3
2
2
2
2
2
h
AM
AB
AD
x a
4a
12a
x
3a
1
1
2 3a3
Thể tích khối chóp S . ABCD là: VSABCD = SA.S ABCD = .a. 3.a.2a =
.
3
3
3
Câu 31: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M ; N lần lượt là trung điểm
của AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng
( ABCD )
và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC bằng
2a 57
. Tính thể tích khối
19
chóp S . ABCD ?
A. a 3 .
B.
a3 6
.
9
C.
a3 3
.
3
D. 3 3a 3 .
Lời giải
Chọn C
Ta có: ADM = DCN (c – g – c).
 ADM = DCN  ADM + CDM = DCN + CDM = 90 .
 DHC = 90  DM ⊥ HC.
HC ⊥ DM 
Ta có:
  DM ⊥ ( SHC ) .
SH ⊥ DM 
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 26
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Trong ( SHC ) ; kẻ HK ⊥ SC ( K  SC ); mà DM ⊥ ( SHC )  DM ⊥ HK .
 HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng DM và SC .
2a 57
.
19
Xét CDN vuông tại D ; đường cao DH có:
 d ( DM ; SC ) = HK =
DC 2 = HC.CN  HC =
DC 2
=
CN
DC 2
DN 2 + DC 2
=
a2
2
a
2
  +a
2
 
=
2a 5
.
5
Xét SHC vuông tại H ; đường cao HK có:
1
1
1
1
1
1
=
+

=
+
 SH = a 3.
2
2
2
2
2
2
HK
SH
HC
SH
 2a 57 
 2a 5 




 19 
 5 
1
1
a3 3
Thể tích của khối chóp S . ABCD : V = .S ABCD .SH = .a 2 .a 3 =
(đvtt).
3
3
3
27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 6: Tỷ số thể tích khối chóp
Cho khối chóp S . ABC và A, B, C  là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC , ta có:
Công thức tỉ số thể tích:
VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '
(hay gọi là công thức Simson)
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC
Phương pháp này được áp dụng khi khối chóp không xác đinh được chiều cao một cách dễ dàng
hoặc khối chóp cần tính là một phần nhỏ trong khối chóp lớn và cần chú ý đến một số điều kiện sau:
▪ Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh.
▪ Đáy hai khối chóp phải là tam giác.
▪ Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng.
FA DB EC
.
.
= 1 với DEF là một đường thẳng cắt ba
Định lý Menelaus: Cho ba điểm thẳng hàng
FB DC EA
đường thẳng BC , CA, AB lần lượt tại D, E , F .
Chú ý: (Áp dụng cho khối chóp với mọi đáy)
▪ Hai hình chóp có cùng chiều cao thì tỉ số thể tích chính là tỉ số diện tích đáy tương ứng.
▪ Hai hình chóp có cùng diện tích đáy thì tỉ số thể tích chính là tỉ số đường cao tương ứng.
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
B
VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1:
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE = 3EB . Khi đó
thể tích khối tứ diện EBCD bằng
V
V
V
V
A. .
B. .
C. .
D. .
4
3
5
2
Lời giải
Chọn C
V
EB 1
V
1
=  VEBCD = .
Vì AE = 3EB  EB = AB . Ta có EBCD =
VABCD AB 4
4
4
Câu 2:
Cho hình chóp S . ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SA , SB , SC . Tỉ số
bằng
3
A. .
2
B. 8.
C.
1
.
8
VS . ABC
VS .MNP
D. 6.
Lời giải
Chọn B
Ta có
Câu 3:
VS . ABC
SA SB SC
=
.
.
= 2.2.2 = 8 .
VS .MNP SM SN SP
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và M , N
lần lượt là trung điểm của SC , SD . Biết thể tích khối chóp S . ABCD là V , tính thể tích khối
chóp S .GMN .
V
A. .
8
B.
V
.
4
C.
V
.
6
D.
V
.
12
Lời giải
Chọn D
Gọi K là trung điểm AB , ta có :
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
SKCD =
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
1
1
V
S ABCD  VS .KCD = VS . ABCD = .
2
2
2
Mặt khác:
Câu 4:
VS .MNG SN SM SG 1 1 2 1
1
V
=
.
.
= . . =  VS .MNG = VS .CDK = .
VS .CDK SD SC SK 2 2 3 6
6
12
Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, SA vuông góc với đáy,
góc hợp bởi SB và đáy bằng 60 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các
đường thẳng chứa cạnh SB, SC . Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích các khối đa diện SAHK và
ABCKH . Tỉ số
A.
7
.
9
V1
bằng
V2
B.
7
.
16
C.
9
.
7
D.
9
.
16
Lời giải
Chọn C
Ta có SA = a 3, SB = SC = 2a, SH = SK .
2
4
V SH SK  SH   SA 
9
V1 9
.
=
Nên 1 =
 =
 =  =
V SB SC  SB   SB  16 V2 7
Câu 5:
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB ,
AC , BC , AD . Tính thể tích tứ diện MNPQ theo V .
A.
3V
.
8
B.
V
.
4
C.
Lời giải
Chọn C
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
V
.
8
D.
V
.
12
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ta có tam giác MNP đồng dạng với tam giác CBA theo tỉ số
Câu 6:
1
1
nên SMNP = SABC .
2
4
1
Q là trung điểm AD nên d (Q;( ABC )) = d ( D;( ABC )) .
2
1
VMNPQ 3 SMNP .d (Q;( ABC )) 1
V
=
= hay VMNPQ = .
Do đó
VABCD 1 S
8
8
ABC .d ( D;( ABC ))
3
Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N là trung điểm của AB, AC , lấy điểm P thuộc cạnh AD sao
2
V
AD . Khi đó tỉ số AMNP bằng
cho AP
3
VABCD
A.
1
.
6
B.
1
.
8
C.
1
.
3
D.
1
.
4
Lời giải
Chọn A
A
M
P
N
D
B
C
VAMNP
VABCD
Câu 7:
AM AN AP
.
.
AB AC AD
1 1 2
. .
2 2 3
1
6
Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, SB = 12 , SB vuông góc với
mặt phẳng
( ABC ) .
Gọi D, E lần lượt là các điểm thuộc các đoạn SA, SC sao cho
SD = 2 DA, ES = EC . Biết DE = 2 3 , hãy tính thể tích khối chóp B. ACED .
A.
96
.
5
B.
144
.
5
C.
288
.
5
D.
192
.
5
Lời giải
Chọn D
Đặt AB = AC = x  0 . Ta có SA = x 2 + 144 ; BC = x 2  SC = 2 x 2 + 144 .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
SA2 + SC 2 − AC 2 SD 2 + SE 2 − ED 2
=
2SA.SC
2SD.SE
4 2
1
x + 144 ) + ( 2 x 2 + 144 ) − 12
2
2
2
(
x + 144 + 2 x + 144 − x
4

=9
2
1
SA.SC
SA. SC
3
2
Định lý hàm số cos: cos ASC =
 2 x 2 + 288 =
4 2
3
12 5
.
x + 144 ) + ( 2 x 2 + 144 ) − 36  x =
(
3
4
5
2
Vậy VB. ACED
Câu 8:
2
2 1
2 1  12 5 
192
 SD SE 
= 1 −
.
.
 .12 =
 VS . ABC = VS . ABC = . S ABC .SB = . 
SA SC 
3
3 3
9 2 5 
5

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, côsin góc hợp
1
bởi SD và mặt phẳng đáy ( ABCD ) bằng
. Gọi E ; F lần lượt là hình chiếu của A lên SB
3
; SD . Mặt phẳng ( AEF ) chia khối chóp thành hai phần. Tính thể tích phần khối chóp không
chứa đỉnh S :
2a 3
A. V =
.
9
2a 3
B. V =
.
4
2 2a 3
C. V =
.
9
Lời giải
2a 3
D. V =
.
6
Chọn C
SE SF
=
 EF / / BD
SA SB
Do SA ⊥ ( ABCD ) nên AD là hình chiếu của SD lên mặt phẳng ( ABCD )
Dễ thấy SAB = SAD  AE = AF 
 cos ( SD ; ( ABCD ) ) = cos SDA =
 SA = SD 2 − AD 2 =
(a 3)
Trong ( ABCD ) : gọi O = AC
Trong ( SAC ) : gọi M = SC
2
AD
1
 SD = AD 3 = a 3
=
SD
3
− a 2 = a 2 = AC  Tam giác SAC vuông cân tại A
BD . Trong ( SBD ) : gọi I = SO
EF
 SA ⊥ BC
 BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ AE
 AB ⊥ BC
AI . Lại có: 
Mà AE ⊥ SB  AE ⊥ ( SBC )  AE ⊥ SC (1)
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 SA ⊥ CD
 CD ⊥ ( SAD )  CD ⊥ AF

AD
⊥
CD

Mà AF ⊥ SD  AF ⊥ ( SCD )  AF ⊥ SC
( 2)
Từ (1) và ( 2 )  SC ⊥ ( AEF )  SC ⊥ AM  M là trung điểm SC  I là trọng tâm tam
giác SAC 
Ta có:
VSAEM
VSABC
2 3a
SE SF 2
=
=  SE = SF =
SA SB 3
3
SA SE SM 1
1
1
=
. .
=  VSAEM = VSABC = VS . ABCD
SA SB SC 3
3
6
VSAMF SA SM SF 1
1
1
=
.
.
=  VSAMF = VSACD = VS . ABCD
VSACD SA SC SD 3
3
6
1
 VS . AEMF = VSAEM + VSAMF = VS . ABCD
3
2
2 1
2 3a3
V
=
V
−
V
=
V
=
.
SA
.
S
=
.

S . ABCD
S . AEMF
S . ABCD
ABCD
3
3 3
9
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
C
Câu 1:
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Cho khối chóp S . ABC có thể tích V . Các điểm A , B  , C  tương ứng là trung điểm các cạnh
SA , SB , SC . Thể tích khối chóp S . ABC  bằng
A.
V
.
8
B.
V
.
2
C.
V
.
4
D.
V
.
16
Lời giải
Chọn A
Áp dụng định lý Sim-son ta có:
Câu 2:
VSABC  SA SB SC  1
V
=
.
.
=  VSABC  = .
8
VSABC
SA SB SC 8
Cho khối chóp S . ABC có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Tính
thể tích khối chóp M . ANC theo V .
V
V
A. .
B.
8
6
C.
V
.
12
D.
V
.
4
Lời giải
Chọn D
VM . ANC d  M , ( ANC )  S ANC 1 1 1
V
=
.
= . =  VM . ANC = .
VS . ABC
4
d  S , ( ABC )  S ABC 2 2 4
Câu 3:
Cho tứ diện MNPQ . Gọi I , J và K lần lượt là trung điểm của MN , MP và MQ (tham khảo hình
vẽ). Tỉ số thể tích
VMIJK
là:
VMNPQ
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. 1 .
8
B. 1 .
C. 1 .
4
6
D. 1 .
3
Lời giải
Chọn A
Vì I , J và K lần lượt là trung điểm của MN , MP và MQ nên theo công thức tỉ số thể tích ta có
VMIJK
MI MJ MK 1 1 1 1
=
.
.
= . . = .
VMNPQ MN MP MQ 2 2 2 8
Câu 4:
Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác cân tại A, AB = a và góc A bằng 300 . Cạnh bên
SA = 2a và SA ⊥ ( ABC ) . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC . Khi đó thể
tích khối đa diện có các đỉnh A, B, C , M , N bằng
A.
a3
.
4
B.
a3
.
12
C.
3a 3
.
8
D.
a3
.
8
Lời giải
Chọn D
1
1
a3
Ta có VSABC = .2a. a.a.sin 300 = .
3
2
6
VSAMN SM SN 1 1 1
a3
=
.
= . =  VSAMN =
.
VSABC
SB SC 2 2 4
24
Vậy VAMNBC
Câu 5:
a3 a3 a3
= −
=
6 24 8
Cho khối chóp S . ABC . Trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điển A, B, C  sao cho
SA = 2SA, SB = 3SB, SC = 4 SC  . Mặt phẳng ( ABC  ) chia khối chóp thành hai khối. Gọi V
và V  lần lượt là thể tích các khối đa diện S . ABC  và ABC. ABC  . Khi đó tỉ số
A.
1
.
59
B.
1
.
12
C.
1
.
23
D.
V
là:
V
1
.
24
Lời giải
Chọn C
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
Ta có
Câu 6:
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
V
VS . ABC
=
SA SB SC  1
V
1
.
.
=
 = .
SA SB SC 24 V  23
Cho tứ diện ABCD . Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC , AD sao cho
MA
MB, NA
2 NC , PA
3PD. Biết thể tích khối tứ diện AMNP bằng V thì khối tứ diện
ABCD tính theo V có giá trị là
A. 6V .
B. 4V .
C. 8V .
Lời giải
D. 12V .
Chọn B
Ta có: AM
VAMNP
VABCD
Câu 7:
V
VABCD
1
AB, AN
2
2
3
AC , AP
AD
3
4
1
2
3
AB. AC. AD
AM . AN . AP 2
3
4
AB. AC. AD
AB. AC. AD
VABCD
4V .
Cho hình chóp S . ABCD . Gọi A, B, C , D theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC , SD . Tính
tỉ số thể tích của hai khối chóp S . ABC D và S . ABCD .
1
1
1
1
A.
.
B. .
C. .
D. .
16
4
8
2
Lời giải
Chọn C
Ta có
VS . ABC  1 VS . AC D 1
= ;
= .
VS . ABC 8 VS . ACD 8
Khi đó VS . ABC D = VS . ABC  + VS . AC D =
Câu 8:
1
4
1
1
(VS . ABC + VS . ACD ) = VS . ABCD
8
8
Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC  . Biết diện tích mặt bên ( ABBA ) bằng 15 , khoảng cách từ
C đến mặt phẳng ( ABBA ) bằng 6 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A. 60 .
B. 45 .
C. 90 .
Lời giải
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. 30
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chọn B
1
Ta có VABC . ABC  = 3VA '. ABC = 3VC . AAB = 3. .S
3
Câu 9:
AAB
.d ( C; ( ABBA ) ) =
15
.6 = 45 .
2
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E thỏa mãn EA = −3EB . Khi đó thể tích khối
tứ diện EBCD bằng
V
V
V
V
A. 
B. 
C. 
D. 
2
3
5
4
Lời giải
Chọn D
Từ giả thiết EA = −3EB ta suy ra điểm E trên đoạn AB thỏa
AE 3
= .
AB 4
VEBCD V − VAECD
V
AE
3 1
=
= 1 − AECD = 1 −
= 1− =
V
V
V
AB
4 4
V
 VEBCD = .
4
Câu 10: Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = 2a và vuông góc với mặt
SM 1 SN 2
= ,
= (tham
phẳng ( ABC ) . Trên cạnh SB, SC lần lượt lấy các điểm M , N sao cho
SB 2 SC 3
khảo hình vẽ). Thể tích của khối chóp S . AMN bằng
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10
Phan Nhật Linh
A.
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
3a 3
.
36
B.
3a 3
.
9
C.
3a 3
.
18
3a 3
.
3
D.
Lời giải
Chọn C
Ta có SABC =
a2 3
.
4
1
1
a 2 3 a3 3
=
Thể tích của khối chóp S . ABC là: VS . ABC = SA.SABC = .2a.
.
3
3
4
6
VS . AMN SA SM SN 1 2 1
1
1 a3 3 a3 3
=
.
.
= . =  VS . AMN = VS . ABC = .
=
Mà
VS . ABC SA SB SC 2 3 3
3
3 6
18
Câu 11: Cho hình chóp S . ABC , trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A, B, C  sao cho
SA = 2 AA, SB = 4 BB, SC  = CC  . Gọi V1 là thể tích khối chóp S . ABC  , V2 là thể tích khối
chóp S . ABC . Tính
A.
V1 4
= .
V2 15
V1
V2
B.
V1
1
.
=
V2 24
C.
V1 8
= .
V2 15
D.
V1 1
= .
V2 16
Lời giải
Chọn A
V1 SA SB SC  2 4 1 4
=
.
.
= . . = .
V2 SA SB SC 3 5 2 15
Câu 12: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 3a , đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng
a . M , N , P lần lượt là trùng điểm của các cạnh bên SA, SB, SC . Tính thể tích khối đa diện
MNP ABC .
A.
a3 3
.
8
B.
3 3a 3
.
16
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C.
7 3a 3
.
32
D.
3a 3
.
6
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Lời giải
Chọn C
Diện tích tam giác ABC là S ABC
a2 3
.
=
4
Thể tích của khối chóp S . ABC là VS . ABC =
Ta có
VS .MNP SM SN SP 1
=
.
.
=  VS .MNP
VS . ABC
SA SB SC 8
Vậy VMNP. ABC =
1 3a.a 2 3 a 3 3
.
=
3
4
4
V
7
= S . ABC  VMNP. ABC = VS . ABC − VS .MNP = VS . ABC .
8
8
7 a3 3 a3 7 3
.
=
8 4
32
Câu 13: Cho khối chóp S . ABC . Trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B , C  sao cho
2 SA = SA, 4 SB = SB, 5SC  = SC . Tính tỉ số
A.
1
.
10
B.
1
.
40
VS . A ' B ' C '
VS . ABC
C.
1
.
8
D.
1
.
20
Lời giải
Chọn B
2 SA = SA, 4 SB = SB, 5SC  = SC 
SA 1 SB 1 SC  1
= ,
= ,
= .
SA 2 SB
4 SC
5
VS . A ' B ' C ' SA SB SC  1 1 1 1
.
=
.
.
= . . =
VS . ABC
SA SB SC 2 4 5 40
Câu 14: Cho hình chóp S . ABC , gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của cạnh SA, SB, SC . Biết thể tích
khối chóp S .MNP bằng 5 .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 12
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Khi đó thể tích của khối đa diện MNP. ABC bằng:
A. 40 .
B. 10 .
C. 35 .
Lời giải
Chọn C
V
SM SN SP 1
Ta có S .MNP =
.
.
=  VS . ABC = 8.VS .MNP = 40 .
VS . ABC
SA SB SC 8
D. 25 .
Khi đó VMNP. ABC = VS . ABC − VS .MNP = 40 − 5 = 35 .
Câu 15: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm I . Gọi V1 , V2 lần lượt là
thể tích của khối chóp S . ABI và S . ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
V 1
V 1
V 1
V 1
A. 1 = .
B. 1 = .
C. 1 = .
D. 1 = .
V2 6
V2 2
V2 4
V2 8
Lời giải
Chọn D
V
V1
1 BS BA BI 1 1 1
= B.SAI = .
.
.
= . = .
V2 2.VB.SAD 2 BS BA BD 2 2 4
Câu 16: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, AC , AD và điểm O tùy ý trên mặt phẳng ( BCD ) . Thể tích tứ diện OMNP bằng
A.
a3 2
.
96
B.
a3 2
.
24
C.
Lời giải
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
a3 2
.
48
D.
a3 2
.
36
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chọn A
Thể tích của tứ diện đều ABCD là VA.BCD =
2 3
a
12
1
1
Ta có VO.MNP =  d ( O, ( MNP ) )  SMNP =  d ( A, ( MNP ) )  S MNP = VA.MNP
3
3
V
AM AN AP 1 1 1 1
Mà ta có A.MNP =


=   =
VA.BCD
AB AC AD 2 2 2 8
1
1 2 3
2 3
a3 2
Suy ra VA.MNP = VA.BCD = 
.
a =
a . Vậy VO.MNP =
8
8 12
96
96
Câu 17: Cho khối chóp S . ABC . Gọi A ' , C ' lần lượt là trung điểm của SA và SC . Khi đó tỉ số thể tích
của hai khối chóp S .BA ' C ' và S . ABC bằng
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
2
3
4
6
Lời giải
Chọn C
Ta có
VS .BA 'C ' SB SA ' SC ' 1 1 1
=
.
.
= . = .
VS .BAC SB SA SC 2 2 4
Câu 18: Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho thể tích
khối AMCD bằng
A. 3MA = 2 MB .
2 3
a . Phát biểu nào sau đây đúng?
18
B. 3MA = MB .
C. MA = 3MB .
Lời giải
D. MA = 2 MB .
Chọn D
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 14
Phan Nhật Linh
VABCD =
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
a3 2
AM VAMCD 2

=
=  MA = 2MB .
12
AB VABCD 3
Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm cạnh bên SC .
Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD , mặt phẳng ( P ) cắt SB và SD lần lượt
tại B  và D . Tính tỷ số
A.
1
.
6
VS . ABMD
.
VS . ABCD
B.
1
.
3
C.
3
.
4
D.
2
.
3
Lời giải
Chọn B
Trong ( SAC ) gọi I = SO  AM  I  SO và I  AM
Mà SO  ( SBD ) nên suy ra I  ( SBD )
Trong ( SBD ) vẽ đường thẳng đi qua I và song song với BD , cắt cạnh SB , SD lần lượt tại B '
và D '
Từ đó suy ra BD / / ( AB ' MD ' )
Xét SAC ta có AM và SO là đường trung tuyến mà AM  SO = I
SI 2
= .
Từ đó suy ra I là trọng tâm SAC suy ra
SO 3
SI SB ' 2
=
=
Xét SBO có B ' I / / BO ta có
SO SB 3
SI SD ' 2
=
= . Ta có VS . AB ' MD ' = VS . AB ' M + VS . AMD '
Chứng minh tương tự
SO SD 3
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ta có
VS . AB ' M SB ' SM 2 1 1
1
1 1
1
=
.
= . =  VS . AB ' M = VS . ABC = . VS . ABCD = VS . ABCD
VS . ABC
SB SC 3 2 3
3
3 2
6
Ta có
VS . AMD ' SD ' SM 2 1 1
1
1 1
1
=
.
= . =  VS . AMD ' = VS . ABC = . VS . ABCD = VS . ABCD
VS . ABC
SD SC 3 2 3
3
3 2
6
1
1
1
Từ đó suy ra VS . AB ' MD ' = VS . AB ' M + VS . AMD ' = VS . ABCD + VS . ABCD = VS . ABCD
6
6
3
V
1
Vậy S . AB ' MD ' = .
VS . ABCD 3
Câu 20: Cho hình chóp đều S . ABCD . Mặt phẳng ( P ) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác
SAC cắt SC , SD lần lượt tại M , N . Tỉ lệ T =
A.
1
.
2
B.
VS . ABMN
có giá trị là
VS . ABCD
3
.
8
C.
1
.
4
D.
3
.
4
Lời giải
Chọn B
Gọi O = AC  BD . Mà S . ABCD là chóp đều nên ABCD là hình vuông  O là trung điểm của
AC , BD
 G là trọng tâm của tam giác SAC thì G cũng là của tam giác SBD .
SM SN 1 SB SD
 M , N lần lượt là trung điểm của SC , SD 
=
= ;
=
=1
SC SD 2 SB SD
V
SA SM SN 1
1
1 1
1
Ta có:. S . AMN =
.
=  VS . AMN = VS . ACD = . VS . ABCD = VS . ABCD .
VS . ACD SA SC SD 4
4
4 2
8
VS . ABM SA SB SM 1
1
1 1
1
=
.
=  VS . ABM = VS . ABC = . VS . ABCD = VS . ABCD .
VS . ABC SA SB SC 2
2
2 2
4
V
3
3
VS . ABMN = VS . AMN + VS . ABM = VS . ABCD  T = S . ABMN = .
8
VS . ABCD 8
Câu 21: Cho hình chóp S . ABCD có thể tích bằng 2 và đáy ABCD là hình bình hành. Lấy các điểm
SM SN
=
= k ( 0  k  1) . Mặt phẳng ( AMN
SB SD
1
cạnh SC tại P . Biết khối chóp S . AMPN có thể tích bằng , khi đó giá trị của k bằng
3
M , N lần lượt thuộc các cạnh SB, SD thỏa mãn
A.
1
.
2
B.
1
.
3
C.
2
.
3
D.
) cắt
1
.
4
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 16
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Lời giải
Chọn A
Gọi O = AC  BD; I = MN  SO; P = AI  SC . Ta có:
Mà
VS . AMPN 1 SP  SM SN 
= .
+

 (*)
VS . ABCD 2 SC  SB SD 
SC
SB SD
SP
k
+1 =
+

=
SP
SM SN
SC 2 − k
1

k = (TM )

1
1 1 k
2
Do đó: (*)  = .
. Vậy k =
.2k  6k 2 + k − 2 = 0  
2
6 2 2−k
 k = −2 ( KTM )

3
Câu 22: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O . Gọi H và K lần lượt là trung
điểm của SB, SD . Tỷ số thể tích
A. 1 .
VAOHK
bằng
VS . ABCD
B. 1 .
12
C. 1 .
6
8
Lời giải
Chọn C
Gọi VS . ABCD = V , VS . ABD = V1 , VAOHK = V2 .
Ta có:
VSAHK SH SK
SH SK
=
.
 VSAHK =
. .V1 ;
V1
SB SD
SB SD
VBHAO BH BO
BH BO
=
.
 VBHAO =
.
.V1 ;
V1
BS BD
BS BD
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. 1 .
4
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
VDAOK DK DO
DK DO
=
.
 VDAOK =
.
.V1
V1
DS DB
DS DB
BH BO
DK DO 
 SH SK
. .V1 +
.
.V1 +
.
.V1 
BS BD
DS DB 
 SB SD
1 1
1 1 
3
1
1 1
1
1 1
= V1 −  . .V1 + . .V1 + . .V1  = V1 − V1 = V1 = . V = V
2 2
2 2 
4
4
4 2
8
2 2
V
V 1
Vậy tỷ số thể tích AOHK = 2 = .
VS . ABCD V 8
Ta lại có V2 = V1 − (VSAHK + VBHAO + VDAOK ) = V1 − 
Câu 23: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng (  ) đi qua A, B và trung
điểm M của SC . Mặt phẳng (  ) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là
V1 , V2
với V1  V2 . Tính tỉ số V1 .
V2
A. V1 = 1 .
V2
4
B. V1 = 3 .
V2
C. V1 = 5 .
8
V2
8
D. V1 = 3 .
V2
5
Lời giải
Chọn D
Gọi N = ( )  SD  MN || CD , suy ra N là trung điểm của SD .
SA
SB
SC
SD
= 1, b =
= 1, c =
= 2, d =
=2.
SA
SB
SM
SN
V
V
a + b + c + d 1+1+ 2 + 2 3
5
Suy ra S . ABMN =
=
=  ABCDMN =
VS . ABCD
4abcd
VS . ABCD 8
4.1.1.2.2
8
Ta có a =
Vậy V1 = VS . ABMN , V2 = VABCDMN và
V1 3
= .
V2 5
Câu 24: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD đáy là hình bình hành có thể tích bằng V . Lấy điểm B  , D
lần lượt là trung điểm của cạnh SB và SD . Mặt phẳng qua ( ABD ) cắt cạnh SC tại C  . Khi
đó thể tích khối chóp S . ABC D bằng
A.
V
3
B.
2V
.
3
C.
V3
.
3
D.
V
.
6
Lời giải
Chọn D
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 18
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD thì SO  BD = H . Khi đó H là trung
điểm của SO và C  = AH  SO .
Trong mặt phẳng ( SAC ) : Ta kẻ ( d ) //AC và AC  cắt ( d ) tại K . Khi đó áp dụng tính đồng
dạng của các tam giác ta có:
OH OA
SK 1 SK SC  1
SC  1
=
= 1  SK = OA 
= ;
=
= 
=
SH SK
AC 2 AC CC  2
SC 3
.
1
V
1
V
SA SB SD 1
Vì VS . ABD = VS .BCD = .VS . ABCD = nên ta có S . ABD =


=  VS . ABD = V và
2
2
8
VS . ABD SA SB SD 4
SC  V
VS .BC D SB SC  SD 1 SC 
 .
=


= 
 VS .BC D =
SC 8
VS .BCD
SB SC SD 4 SC
1
SC  V V  SC   V
Suy ra VS . ABC D = VS . ABD + VS .BC D = V +
 = 1 +
= .
8
SC 8 8 
SC  6
SA SC SB SD
Lưu ý : Có thể sử dụng nhanh công thức
+
=
+
SA SC  SB SD
Câu 25: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B . AB = BC = 2a, AD = 4a .
Mặt phẳng ( ) đi qua A và trung điểm các cạnh SB , SC chia khối chóp S . ABCD thành hai
khối đa diện. Gọi V là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S , V  là thể tích khối đa diện không chứa
V
đỉnh S . Tỉ số
bằng
V
5
5
7
7
A.
.
B. .
C.
.
D. .
12
7
12
5
Lời giải
Chọn B
Ta có: MN là đường trung bình của tam giác SBC  MN / / BC / / AD .
Mặt phẳng ( ) đi qua A và chứa MN / / BC nên ( )  ( ABCD ) = AD .
Do đó thiết diện của hình chóp S . ABCD khi cắt bởi mặt phẳng ( ) là hình thang AMND .
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1
1


1
S
=
S
V
=
VS . ABCD
. AB.BC

ABC
ABCD
S
.
ABC


SABC 2
BC 2a 1
3
3

Ta có:
.
=
=
=
= 
2
2
SACD 1 . AB. AD AD 4a 2
S
V
S ABCD
VS . ABCD
ACD =
S . ACD =
2
3
3


SM SN
SN
1
1
V = VS . AMN + VS . AND =
.
.VS . ABC +
.VS . ACD = VS . ABC + VS . ACD
SB SC
SC
4
2
11
 12
 5
=  VS . ABCD  +  VS . ABCD  = VS . ABCD
43
 2 3
 12
 V  = VS . ABCD − V =
7
V 5
VS . ABCD . Do đó,
= .
12
V 7
Câu 26: Cho khối chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy AB = a , cạnh bên SA = 2a . Gọi M và N lần
lượt là trung điểm SA, SC . Mặt phẳng ( BMN ) cắt SD tại K .
Thể tích khối chóp S .MNK bằng
A.
14 3
a .
112
B.
14 3
a .
84
C.
14 3
a .
12
D.
14 3
a .
144
Lời giải
Chọn D
Gọi I = MN  SO , suy ra I là trung điểm SO .
Gọi K = BI  SD , suy ra K = ( BMN )  SD
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SOD , cát tuyến BIK .
BO IS KD
1 1 KD
KD
. .
=1 . .
=1
=2.
BD IO KS
2 1 KS
KS
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 20
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
AB = a  OA =
a 2
a 14
 SO = SA2 − OA2 =
.
2
2
1
1 a 14 a 2 a 3 14
.
VS . ACD = .SO.S ACD = .
. =
3
3 2
2
12
VS .MNK SM SN SK 1 1 1 1
=
.
.
= . . = .
VS . ACD
SA SC SD 2 2 3 12
Vậy VS .MNK =
1
1 a3 14 a3 14
VS . ACD = .
=
.
12
12 12
144
Câu 27: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N là trung điểm của SA, SB. Mặt
phẳng ( MNCD) chia hình chóp đã cho thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần là (số bé chia số
lớn).
3
A. .
5
B.
3
.
4
C.
1
.
3
D.
4
.
5
Lời giải
Chọn A
Giả sử thể tích của khối chóp S . ABCD là V .
V
SM SD SC 1 VS .MNC SM SN SC 1
.
.
= ;
=
.
.
= ;
Ta có S .MDC =
VS . ADC
SA SD SC 2 VS . ABC
SA SB SC 4
VS .MDC VS .MNC VS .MDC VS .MNC VS .MNCD 1 1 3
+
=
+
=
= + =
1
1
1
VS . ADC VS . ABC
2 4 4
V
V
V
2
2
2
V
3
3
5
3
 VS .MNCD = V  VMNABCD = V − V = V  S .MNCD = .
8
8
8
VMNABCD 5
Câu 28: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy,
SA = a 2 . Gọi B, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD . Mặt phẳng
( ABD ) cắt
SC tại C  . Thể tích khối chóp S . ABC D là
2a 3 2
A. V =
.
3
2a 3 3
B. V =
.
3
a3 2
C. V =
.
9
Lời giải
Chọn C
21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
2a 3 3
D. V =
.
9
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1
1
a3 2
Ta có thể tích khối chóp S . ABCD là VS . ABCD = .S ABCD .SA = .a 2 .a 2 =
.
3
3
3
1
a3 2
Do đó VS . ABC = VS . ADC = VS . ABCD =
.
2
6
 BC ⊥ AB
 BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ AB

 BC ⊥ SA
 AB ⊥ SB
 AB ⊥ SC

 AB ⊥ BC
Tương tự ta chứng minh được AD ⊥ SC , từ đó suy ra SC ⊥ ( ABD ) và suy ra SC ⊥ AC  .
Xét tam giác SAB vuông tại A , đường cao AB :
SB SA2
SA2
2a 2
2
= 2= 2
=
= .
2
2
2
SB SB
SA + AB
2a + a
3
2
SD SA
2
Tương tự
=
= .
2
SD SD
3
2
2
SC  SA
SA
2a 2
1
=
=
=
= .
2
2
2
2
2
SC SC
SA + AC
2a + 2a
2
SA2 = SB.SB 
Ta có
VS . ABC  SA SB SC 
2 1 1
1
1 a3 2 a3 2
.
=
.
.
= 1. . =  VS . ABC  = VS . ABC = .
=
VS . ABC SA SB SC
3 2 3
3
3 6
18
Tương tự VS . ADC  =
a3 2
.
18
Vậy VS . ABC D = VS . ABC + VS . ADC
a3 2 a3 2 a3 2
=
+
=
.
18
18
9
Câu 29: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SD . Mặt phẳng ( ) chứa MN cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại Q, P . Đặt
SQ
= x , V1 là thể tích khối chóp S .MNPQ, V là thể tích khối chóp S . ABCD . Tìm x để
SB
1
V1 = V .
2
A. x =
1
.
2
B. x = 2 .
C. x =
−1 + 41
.
4
D. x =
−1 + 33
.
4
Lời giải
Chọn D
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 22
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Vì M , N lần lượt là trung điểm của SA, SD nên MN // AD . Mà AD // BC , dẫn đến MN // BC .
Ta có
( )  ( SBC ) = PQ

SP SQ
=
= x.
 MN  ( ) ; BC  ( SBC )  PQ // BC // MN 
SC SB
 MN // BC

SA
SB 1
SC 1
SD
= 2; b =
= ; c=
= ;d=
= 2 . Khi đó
Đặt a =
SM
SQ x
SP x
SN
VS .MQPN
VS . ABCD
1 1
+ +2
V
a+b+c+d
x x
=
 1=
.
1 1
4abcd
V
4.2. . .2
x x
2+

−1 + 33
2
1
x=
4
+
V

1
4
x  2 x2 + x − 4 = 0  
Do V1 = V nên: 2 =
16
2
V

−1 − 3
x =
x2
4

Vì x  0 nên x =
−1 + 33
.
4
Câu 30: Cho tứ diện ABCD , trên các cạnh BC , BD , AC lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho
3
BC = 3BM , BD = BN , AC = 2 AP . Mặt phẳng ( MNP ) chia khối tứ diện ABCD thành hai
2
V
phần có thể tích là V1 , V2 . Tính tỉ số 1 .
V2
A.
V1 26
= .
V2 13
B.
V1 26
= .
V2 19
C.
Lời giải
Chọn B
23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
V1 3
= .
V2 19
D.
V1 15
= .
V2 19
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi VABCD = V , I = MN  CD , Q = IP  AD ta có Q = AD  ( MNP ) .
Thiết diện của tứ diện ABCD được cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) là tứ giác MNQP .
Áp dụng định lí Menelaus trong các tam giác BCD và ACD ta có:
NB ID MC
ID 1
ID PC QA
QA
. .
=1 
= và
.
.
=1 
= 4.
ND IC MB
IC 4
IC PA QD
QD
Áp dụng bài toán tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác, ta có:
VANPQ AP AQ 2
2
2
1
2
1
=
.
=  VANPQ = VANCD = V . Suy ra VN .PQDC = V − V = V .
5
15
3
15
5
VANCD AC AD 5
và
VCMNP CM CP 1
1
2
=
.
=  VCMNP = VCBNA = V .
VCBNA
CB CA 3
3
9
19
V.
45
V 26
26
Do đó V1 = V − V2 = V . Vậy 1 = .
V2 19
45
Suy ra V2 = VN .PQDC + VCMNP =
Câu 31: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a 3, SA = a và SA
vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên
SB, SD . Mặt phẳng ( AHK ) cắt SC tại điểm P . Thể tích của khối S . AHPK là:
a3 3
A.
.
40
a3 3
B.
.
120
a3 3
C.
.
60
Lời giải
a3 3
D.
.
30
Chọn A
1
a3 3
1
a3 3
Thế tích khối chóp VS . ABCD = .a.a 3.a =
và VS . ABC = VS . ACD = VS . ABCD =
.
2
6
3
3
Ta có trong tam giác vuông SAB vuông tại A và AH ⊥ SB ta được
SH SA2 1
=
= .
SB SB 2 2
Tương tự, trong tam giác vuông SAD vuông tại A và AK ⊥ SD ta được
SK SA2 1
=
= .
SD SD 2 4
Trong mặt phẳng ( ABCD ) có AC  BD = O , trong ( SBD ) có SO  HK = I và AI  SC = P
ta có P là giao điểm của ( AKH ) với SC .
Ta có công thức
SB SD SA SC
SC
SP 1
+
=
+
 2 + 4 = 1+

= .
SH SK SA SP
SP
SC 5
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 24
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Từ đây ta có
Tương tự
VS . AHP SA SH SP 1
1
a3 3
=
.
.
=
suy ra VS . AHP = VS . ABC =
.
VS . ABC SA SB SC 10
10
60
VS . AKP SA SK SP 1
1
a3 3
=
.
.
=
suy ra VS . AKP = VS . ADC =
.
VS . ADC SA SD SC 20
20
120
Do vậy VS . AHPK = VS . AHP + VS . AKP =
a3 3 a3 3 a3 3
+
=
.
60
120
40
Câu 32: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của
SA, SC và G là trọng tâm của tam giác ABC . Mặt phẳng ( EFG ) chia khối chóp S . ABCD
thành hai phần có thể tích lần lượt là V1 , V2 với V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S . Tỉ số
V1
bằng
V2
A.
V1 31
= .
V2 59
B.
V1 31
= .
V2 49
C.
V1 25
= .
V2 59
D. VO. AEMF =
25
.
49
Lời giải
Chọn A
Đặt V = VS . ABCD .
Vẽ đường thẳng qua G và song song với AC cắt các đường thẳng AD, AB, BC , CD lần lượt tại
M , H , I , N .Gọi J là giao điểm của SO và EF , K là giao điểm của GJ và SD .
Thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( EFG ) và hình chóp S . ABCD là ngũ giác EKFIH .
Ta chứng minh được: K , E , M thẳng hàng và K , F , N thẳng hàng; J là trung điểm của SO .
Theo định lý Menelaus, ta có:

d  K , ( ABCD ) 
d  S , ( ABCD ) 
=
GO JS KD
1 KD
KD
.
.
= 1  .1.
=1
=4
GD JO KS
4 KS
KS
DK 4
=
DS 5
DM DN DG 4
=
=
=
DA DC DO 3
1
DM .DN .sin ADC
S DMN
8
2
=
=
=
2 S ACD
9
DA.DC.sin ADC
Vì AC // MN nên
Ta có:
S DMN
S ABCD
25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1
d  K , ABCD )  .S DMN
VK .DMN 3  (
32
32
Suy ra:
=
=
 VK .DMN = V
VS . ABCD 1 d  S , ABCD  .S
45
(
) ABCD 45
3 
1
1 1
1
1
SCIN = .CI .CN .sin ICN = . DA. DC.sin ADC = S ABCD
2
2 3
3
18
1
1 1
1
1
VF .CIN = .d  F , ( ABCD )  .SCIN = . d  S , ( ABCD )  . S ABCD = V
3
3 2
18
36
1
Tương tự, ta có: VE . AMH = V
36
32
1
1
59
Suy ra: V2 = VK .DMN − VF .CIN − VE . AMH = V − V − V = V
45
36
36
90
V1 = V − V2 =
V1 31
31
= .
V . Suy ra:
V2 59
90
Câu 33: Cho tứ diện ABCD có thể tích là 27cm3 . Điểm M di động trên BC ( M khác B, C ), điểm S
di động trên đường thẳng CD . Một mặt phẳng qua M song song với hai đường thẳng AB, CD
đồng thời cắt AC , AD, BD lần lượt tại N , P, Q . Gọi V là thể tích của khối chóp S .MNPQ . Khi
M , N thay đổi thì thể tích lớn nhất của V bằng
A. 12 .
C. 4 .
Lời giải
B. 18 .
D. 8 .
Chọn D
Nhận xét: CS / / ( MNPQ )  VS .MNPQ = VC .MNPQ = VABCD − (VC .PQD + VANPBMQ )
CM
BM
=x0
= 1− x .
CB
BC
VC .PQD SPQD DP DQ
=
=
.
= x 2  VCPQD = x 2 .27 .
Ta có:
VC . ABD SABD DA DB
Đặt
Ta có: VANPBMQ = VN . ABQP + VN .BMQ
VN . ABQP
VC . ABD
Và
=
S ABQP
SABD
d ( N , ( ABD ) ) .S ABQP
d ( C , ( ABD ) ) .S ABD
=
SABD − SPQD
SABD
, trong đó
d ( N , ( ABD ) )
d ( C , ( ABD ) )
=
AN
=1− x
AC
= 1 − x2
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 26
Phan Nhật Linh
Suy ra
Ta có:
VN . ABQP
VC . ABD
VN .BMQ
VA.BCD
=
=
d ( N , ( ABD ) ) .S ABQP
d ( C , ( ABD ) ) .S ABD
d ( N , ( BCD ) ) .SBMQ
d ( A, ( BCD ) ) .SBCD
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
(
)
(
)
= (1 − x ) 1 − x 2  VN . ABQP = (1 − x ) 1 − x 2 .27
=
CN BM BQ
2
.
.
= x (1 − x )
CA BC BD
 VN .BMQ = x (1 − x ) .27
2
(
)
Nên VANPBMQ = VN . ABQP + VN .BMQ = (1 − x ) 1 − x 2 .27 + x (1 − x ) .27
2
Vậy ta được: VS .MNPQ = VC .MNPQ = VABCD − (VC .PQD + VANPBMQ )
(
)
2
 VS .MNPQ = 27 −  27 x 2 + (1 − x ) 1 − x 2 .27 + x (1 − x ) .27   VS .MNPQ = −54 x3 + 54 x 2


 x = 0 ( loai )
Xét: f ( x ) = −54 x + 54 x , x  0; f ' ( x ) = −162 x + 108 x ; f ' ( x ) = 0  
x = 2

3
3
2
2
Từ bảng biến thiên suy ra thể tích lớn nhất là V = 8 .
Câu 34: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng
( ABCD ) . Góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD )
bằng 60 . Gọi M là điểm đối xứng
của C qua B và N là trung điểm của SC . Mặt phẳng ( MND ) chia khối chóp S . ABCD
thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V1 , khối đa diện còn lại có
thể tích V2 . Tính tỉ số
A.
V2 7
= .
V1 5
V2
V1
B.
V2 7
= .
V1 9
C.
V2 9
= .
V1 7
D.
V2 5
= .
V1 7
Lời giải
Chọn D
Goi O = AC  BD , K = MN  SB , I = MD  AB . Khi đó I là trung điểm của AB .
27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD ) bằng 60  SOA = 60 .
 SA = AO.tan 60 =
a 2
a 6
.
. 3=
2
2
1
a 6 a3 6
1
Thể tích khối chóp S . ABCD bằng: V = SA.S ABCD = .a 2 .
.
=
3
2
6
3
Thể tích khối chóp N .MCD bằng thể tích khối chóp N . ABCD , gọi thể tích này là V  thì:
1
a3 6
.
V = V =
2
12
NS MC KB
KB 1
1
Chú ý rằng
.
.
=1
=  KB = SB .
NC MB KS
KS 2
3
1 1
Gọi thể tích khối chóp KMIB là V  thì: V  = . SA.S
3 3
Khi đó: V2 = V  − V  =
Vậy
MBI
1 a 6 a 2 a3 6
.
= .
. =
9 2 4
72
a 3 6 a 3 6 5 6a 3
a 3 6 5 6a 3 7 a 3 6
; V1 = V − V2 =
.
−
=
−
=
12
72
72
6
72
72
V2 5
= .
V1 7
Câu 35: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích 24 cm3 . Gọi E là trung
điểm của SC . Một mặt phẳng chứa AE cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Tìm
giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S . AMEN .
A. 9 cm3 .
C. 6 cm3 .
B. 8 cm3 .
D. 7 cm3 .
Lời giải
Chọn B
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD .
Trong mặt phẳng
( SAC ) , gọi I
là giao điểm của AE và SO . Ta có
SO, AE là 2 đường
trung tuyến của SAC nên I là trọng tâm của tam giác SAC .
Suy ra
Ta có
SI 2
SO 3
= hay
= .
SO 3
SI 2
BO SD DO SB SO
SB SD
.
+
.
=

+
= 3.
BD SN DB SM SI
SM SN
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 28
Phan Nhật Linh
Mà
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
SB SD
SB SD
SB SD
SM .SN 4
nên 3  2
hay
+
2
.
.
 .
SM SN
SM SN
SM SN
SB.SD 9
VS . AMEN 1 SA SE  SM SN  1
SM .SN 1
4 1
= . .
+
 .2.
= .

  .2.
VS . ABCD 2 SA SC  SB SD  4
SB.SD 4
9 3
1
1
 VS . AMEN  .VS . ABCD = .24 = 8 cm3 .
3
3
SM SN
Dấu đẳng thức xảy ra khi
=
 MN // BD .
SB SD
Vậy thể tích khối chóp S . AMEN đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 cm3 khi MN // BD .
Câu 36: Cho
hình
cos BSC =
chóp
1
2 3
S . ABC
thỏa
mãn
SA = a, SB = SC = 2a, ASB = 60, ASC = 90
và
. Thể tích khối chóp đã cho là:
2a 3 6
A. V =
.
9
a3 2
B. V =
.
6
a3 6
C. V =
.
4
Lời giải
2a 3 3
D. V =
.
3
Chọn A
Trên cạnh SB, SC lấy điểm E , F tương ứng sao cho SE = a, SF = a 3 . Gọi D là trung điểm
của AF . Ta có: AF = SA2 + SF 2 = 2a  AD = a và SAE đều.
Xét tam giác SEF , ta có:
EF 2 = SE 2 + SF 2 − 2SE.SF cos ESF = a 2 + 3a 2 − 2.a.a 3
1
2 3
= 3a 2  EF = a 3 .
Do vậy: AF 2 = 4a 2 = AE 2 + EF 2  AEF vuông tại E  ED =
1
AF = a . Khi đó tứ diện
2
SAED là tứ diện đều.
Gọi M là trung điểm của ED và H là trọng tâm của AED  SH ⊥ ( AED ) . Ta có:
AM =
a 3
a 3
a 6
1 1 a 3 a 6 a3 2
 AH =
 SH = SA2 − AH 2 =
 VS . AED = . a.
.
=
2
3
3
3 2
2
3
12
Mặt khác S AEF = 2S AED  VS . AEF = 2VS . AED
a3 2
. Ta lại có:
=
6
29 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
VS . AEF SE SF
a a 3
3
4
4 a 3 2 2a 3 6
.
=
.
= .
=
 VS . ABC =
.VS . AEF =
.
=
VS . ABC SB SC 2a 2a
4
9
3
3 6
Câu 37: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi luôn song
song với mặt phẳng chứa đa giác đáy và cắt các cạnh bên SA , SB , SC , SD lần lượt tại I , J ,
K , L . Gọi E , F , G , H lần lượt là hình chiếu vuông góc của I , J , K , L lên mặt phẳng
( ABCD ) . Thể tích khối đa diện IJKL.EFGH đạt giá trị lớn nhất khi SI = a ( a, b  N * , a là
b
SA b
2
2
phân số tối giản). Giá trị biểu thức T = a + b bằng
A. T = 10 .
B. T = 5 .
C. T = 13 .
D. T = 25 .
Lời giải
Chọn C
Theo đề bài ta suy ra được IJKL.EFGH là hình hộp chữ nhật. Do đó: VIJKL. EFGH = IE.IJ .IL .
Gọi
(
)
IE
AI
SI
=
= 1 − x  IE = (1 − x ) d S , ( ABCD ) .
= x ( 0  x  1) . Ta có:
SA
d ( S , ( ABCD ) ) AS
IJ
SI
IL
SI
=
= x  IJ = x. AB .
=
= x  IL = x. AD .
AB SA
AD SA
(
)
2
2
Vậy VIJKL.EFGH = (1 − x ) x d S , ( ABCD ) . AB. AD  VIJKL.EFGH = (1 − x ) x .3VS . ABCD .
 x = 0 (l )
Xét hàm số y = (1 − x ) x , ( 0  x  1)  y = −3 x + 2 x . Có y = 0  
 x = 2 (n)

3
Bảng biến thiên:
2
2
Vậy thể tích khối đa diện IJKL.EFGH đạt giá trị lớn nhất khi
SI 2
=  a = 2, b =3.
SA 3
 T = a 2 + b 2 = 13 .
Câu 38: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành, gọi G là trọng tâm tam giác SAD , mặt
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 30
Phan Nhật Linh
phẳng ( )
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
chứa BG và song song với AC cắt SA, SD, SC lần lượt tại A, D, C  . Tỉnh số
VS . ABC D
bằng
VS . ABCD
A.
3
.
8
B.
9
.
20
C.
5
.
16
D.
117
.
128
Lời giải
Chọn B
Nhắc lại công thức tỉ số thể tích liên quan khối chóp tứ giác:
Cho hình chóp tứ giác S . ABCD . Một mặt phẳng ( ) cắt các cạnh SA , SB , SC , SD lần lượt
tại A , B  , C  , D .
Đặt
SA
SB
SC 
SD
= x,
= y,
= z,
= t . Khi đó ta có:
SA
SB
SC
SD
VS . ABC D xyzt  1 1 1 1 
=

 + + + 
4 x y z t
 VS . ABCD
.

1 + 1 = 1 + 1

x z y t
Gọi M là trung điểm AD ; gọi N là giao điểm của BM và AC ; gọi I là giao điểm của SN
và BG .
( )  ( SAC ) = AC 
 AC // AC  và I  AC  .
Dễ thấy: 
( ) // AC
31 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
MG 1
= .
MS 3
AM 1
MN 1
=
= 
= .
CB 2
MB 3
1
AA IN GN 1
= 
=
=
= .
3
SA SI SB 3
Theo đề bài: G là trọng tâm SAD 
MN
BN
GN
Suy ra GN // SB và
SB
SA SC  3
=
= .
Do đó
SA SC 4
Áp dụng công thức trên, ta được:
SD SB SA SC
SD SA SC SB 4 4
5
+
=
+

=
+
−
= + −1 = .
SD SB SA SC 
SD SA SC  SB 3 3
3
SD 3
= .
Suy ra
SD 5
3 3 3
VS . ABC D 4 .1. 4 . 5  4
9
4 5
Vậy
.
=
. + 1 + +  =
4
3 3  20
VS . ABCD
3
AMN ∽ CNB 
Câu 39: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy là hình vuông tâm O , cạnh đáy bằng 2a , góc giữa
hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABCD ) bằng 45o . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SA ,
SB và AB . Thể tích khối tứ diện DMNP bằng
A.
a3
.
6
B.
a3
.
12
C.
a3
.
2
D.
a3
.
4
Lời giải
Chọn A
Dễ thấy OP là đường trung bình trong ABC nên OP =
BC
= a.
2
Mặt khác góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABCD ) bằng góc SPO và bằng 45o .
Xét SPO vuông tại O , có SPO = 45o  SPO vuông cân tại O , suy ra SO = OP = a .
4a 3
1
1
Thể tích khối chóp S . ABCD bằng VS . ABCD = .SO.S ABCD = .a.4a 2 =
.
3
3
3
Suy ra VS . ABD =
1
2a 3
VS . ABCD =
.
2
3
Xét SAB với MN , NP , PM là các đường trung bình, suy ra
S MNP 1
= .
SSAB 4
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 32
Phan Nhật Linh
Ta có
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
VD.MNP
VS . ABD
1
.d ( D , ( SAB ) ) .S MNP
1
3
= .
=
1
.d ( D , ( SAB ) ) .S SAB 4
3
3
Vậy VD.MNP
3
1 2a
a
1
= .
= .VS . ABD = .
4 3
6
4
Câu 40: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có thể là V . Gọi M là điểm nằm trên cạnh BB ' sao cho
2 MB = 3MB ' , điểm N nằm trên cạnh AA ' sao cho 4 AN = NA ' , điểm P nằm trên cạnh CC '
sao cho 3CP = C ' P . Các đường thẳng NM và PM cắt các cạnh A ' B ' và C ' B ' lần lượt tại H
và K . Hãy tính theo V thể tích của khối tứ diện MB ' HK .
16V
6V
4V
2V
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
105
35
15
7
Lời giải
Chọn A
Ta có 2MB = 3MB '  M ' B =
2
4
BB ' , 4 AN = NA '  NA' = AA '
5
5
3
CC '
4
HB ' B ' M 1
Vì MB '/ / A ' N nên
=
=  HB ' = A ' B '
HA ' A ' N 2
KB ' B ' M
8
KB ' 8
MB '/ / C'P nên
=
= 
=  d ( H , KC ') = d ( A ', KC ' )
KC'
C'P 15
B 'C ' 7
S
KB ' 8
Khi đó: HKB ' =
=
SA ' B 'C' B ' C ' 7
3CP = C ' P  C ' P =
Ta có
d ( M ; ( A ' B 'C ))
d ( B; ( A ' B ' C ) )
=
MB ' 2
=
BB ' 5
1
1 2
8
16
VM .KHB ' = .d ( M ; ( HKB ') ) .SHKB ' = . d ( B; ( HKB ' ) ) . .SA 'C ' B ' =
V
3
3 5
7
105
Câu 41: Cho tứ diện ABCD . Hai điểm M , N lần lượt di động trên hai đoạn thẳng BC và BD sao cho
BC
BD
+ 3.
= 10 . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của các khối tứ diện ABMN và ABCD . Tìm
BM
BN
V
giá trị nhỏ nhất của 1 .
V2
2.
33 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
3
2
A. .
B. .
8
7
C.
6
.
25
D.
5
.
8
Lời giải
Chọn C
Cách 1
BD
= a ( a  1) .
BN
BC 10 − 3a
3
8
Suy ra 1 
=
= 5− a 1 a  .
BM
2
2
3
V1 VABMN BM BN 1
1
1
=
=
.
= .
=
.
V2 VABCD
BC BD a 5 − 3 a 5a − 3 a 2
2
2
Vì M  BC , N  BD nên ta đặt
 V1 
3 2
3 


5a − a 2  .
    5a − a  . Tìm max

8
  
2 max
2 

 V2 min
1; 
 3
3
5
 8
Xét hàm số f ( a ) = 5a − a 2 , a  1;  ; f ' ( a ) = 5 − 3a; f ' ( a ) = 0  a = .
2
3
 3
Suy ra max f ( a ) =
 8
1; 
 3
V 
6
25
. Vậy  1  = .
6
 V2 min 25
Cách 2
1
.BM .BN .sin B
V1 VABMN S BMN 2
BM .BN
=
=
=
=
.
1
V2 VABCD S BCD
BC
.
BD
.BC.BD.sin B
2
 V1 
 BM .BN 
 BC.BD 
  
 
 .
 BC.BD min
 BM .BN max
 V2 min
Theo giả thiết; 10 =
2.BC 3.BD
2.BC 3.BD
BC BD
+
 2.
.
= 2. 6.
.
.
BM
BN
BM BN
BM BN
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 34
Phan Nhật Linh
 5  6.
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
V 
BC.BD
BC.BD 25
6

 . Do đó  1  = .
BM .BN
BM .BN 6
 V2 min 25
2
 2.BC 3.BD

=
BM = .BC




BN
5
Đẳng thức xảy ra   BM
.

2. BC + 3. BD = 10
 BN = 3 .BD
 BM

BN
5


Câu 42: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = a , AB ⊥ SA , BC ⊥ SC
. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SC , AC . Góc giữa hai mặt phẳng ( BMN ) và ( SAB ) là
 thỏa mãn cos  =
A.
a3
.
24
5
. Thể tích khối chóp S .BMN bằng bao nhiêu?
3
B.
a3
.
3
C.
a3
.
12
D.
a3
.
6
Lời giải
Chọn C
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC).
 BA ⊥ SH
 BA ⊥ HA ;
Ta có: 
 BA ⊥ SA
 BC ⊥ SH
 BC ⊥ HC . Suy ra tứ giác HABC là hình vuông.

 BC ⊥ SC
Gọi K là trung điểm HC; P là trung điểm BC; E là trung điểm NH; trong mặt phẳng (MKE) kẻ
KQ ⊥ ME (Q  ME ) . Khi đó:
 =  ( ( BMN );( SAB) ) =  ( ( BMN );( PMN ) ) , vì ( PMN ) / /( SAB )
d ( P;( BMN ) = d ( K ;( PMN ) ) = KQ , vì KP / / HB .
d ( P; MN ) = PN =
Ta có: sin  =
a
5
2
; cos  =
 sin  = .
2
3
3
d ( P;( BMN ) )
d ( P; MN )
a 2 a
 d ( P;( BMN ) ) = d ( P; MN ) .sin  = . = .
2 3 3
Xét tam giác MKE vuông tại K có:
1
1
1
1
=
−
= 2  KM = a  SH = 2a .
2
2
2
KM
KQ KE
a
1
1
a 2 a3
1
a3
Có: VS . ABC = .SH .S ABC = .2a. =  VS .BNC = VS . ABC = .
3
3
2
3
2
6
35 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
VS .BNM SM 1
1
a3
=
=  VS .BNM = VS .BNC = .
VS .BNC
SC 2
2
12
Câu 43: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của S
với mặt phẳng đáy là trung điểm cạnh AB và ( SCD ) tạo với đáy một góc 600 . Mặt phẳng chứa
AB và vuông góc với ( SCD ) cắt SC , SD lần lượt tại M và N . Thể tích của khối chóp
S . ABMN bằng
21a 3
A.
.
4
7 3a 3
B.
.
2
21 3a 3
C.
.
4
Lời giải
7 3a 3
D.
.
4
Chọn D
Gọi H là trung điểm của cạnh AB  SH ⊥ ( ABCD ) . Gọi P là trung điểm của CD .
CD ⊥ HP
 CD ⊥ ( SHP ) . Do vậy :
Suy ra 
CD ⊥ SH
( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SPH = 60
0
 SH = HP.tan 600 = 2a 3; SP = SH 2 + HP 2 = 4a .
Kẻ HK ⊥ SP  HK ⊥ ( SCD )  ( ABK ) ⊥ ( SCD )  ( ABCD )  ( ABK ) .
 AB / / CD

Mặt khác  AB  ( ABMN )  ( ABMN )  ( SCD ) = MN / / CD / / AB nên MN là đường thẳng

CD  ( SCD )
đi qua K và song song với CD .
Ta có : VS . ABMN
1
11
1
3a 
7 3a3

= VABMN .SK =  ( AB + MN ) .HK  .SK =  2a +  3a.3a =
.
3
3 2
6
2 
4

Câu 44: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi M là một
MA
điểm trên cạnh AB sao cho
= x , 0  x  1 . Mặt phẳng ( ) qua M và song song với
AB
( SBC ) chia khối chóp S . ABCD thành hai phần, trong đó phần chứa điểm A thể tích bằng 4 V
27
1− x
. Tính giá trị của biểu thức P =
.
1+ x
1
1
1
3
A. .
B. .
C. .
D. .
2
5
3
5
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 36
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Trong ( ABCD ) , kẻ MN // BC , N  CD . Trong ( SAB ) , kẻ MQ // SB , Q  SA .
Trong ( SAD ) , kẻ QP // AD , P  SD . Dễ thấy thiết diện là hình thang MNPQ .
Gọi S  = MQ  NP , suy ra SS  là giao tuyến của ( SAB ) và ( SCD ) , SS  // AB // CD .
Suy ra d ( S ; ( ABCD ) ) = d ( S  ; ( ABCD ) ) .
Ta có:
VS . AMND AM
S P S Q SQ BM
=
= x và
=
=
=
= 1− x .
VS . ABCD
AB
S N S M SA AB
VS .PDA S P
1
=
= 1 − x  VS .PDA = (1 − x )VS . NAD = (1 − x )VS .MNDA .
VS . NAD S N
2
VS .PQA
VS . NMA
=
S P S Q
2
1
2
2
.
= (1 − x )  VS .PQA = (1 − x ) VS . NMA = (1 − x ) VS .MNDA .
S N S M
2
1
1
2
1 − x ) + (1 − x )  .VS .MNDA = ( x 2 − 3x + 2 )VS .MNDA
(

2
2
 1

 1

= 1 − x 2 − 3x + 2  VS .MNDA = x 1 − x 2 − 3x + 2  VS . ABCD
 2

 2

Suy ra VS .PQDA =
 VPQMNDA
(
)
(
)
1
3
4
1
 1
 4
Gt  x 1 − ( x 2 − 3x + 2 )  =
 − x3 + x 2 −
=0 x= .
2
2
27
3
 2
 27
1− x 1
Vậy P =
= .
1+ x 2
Câu 45: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có thể tích là V . Gọi M là một điểm
trên AB sao cho MA = x, 0  x  1 . Mặt phẳng ( ) qua M và song song với ( SBC ) chia khối
AB
chóp S . ABCD thành hai phần, trong đó phần chứa điểm A có thể tích bằng 4 V . Tính giá trị
27
của biểu thức P = 1 − x .
1+ x
A. 1 .
B.
2
1
5
C.
1
.
3
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng ( ) được dựng thành mặt phẳng ( MEGF )
Khi đó: 4 V = VF . AME + VG. ADE + VE . A FG = VF . AMED + VE . A FG
27
37 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D.
3
5
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

4 VF . AMED VE. AGF
4 d ( F , ( ABCD ) ) S AMED VE. AGF VG. AED
=
+
 =
.
+
.
27
V
V
27 d ( S , ( ABCD ) ) S ABCD VE . AGD V

4 AM AM S AGF 1 VF . AMED
4
FG 1 2
4
SF 1
=
.
+
. .
 = x2 +
. .x 
= x2 +
. .x
27 AB AB S AGD 2
V
7
AD 2
27
SA 2
1

 x = 3 (n)

4
1
1
3
4

= x 2 + (1 − x ) . .x 2  x 3 − x 2 +
= 0   x  2,97 ( l )
27
2
2
2
27

 x  −0,3 ( l )

P=
1− x
1
P= .
1+ x
2
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 38
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 7: Thể tích khối lăng trụ đứng
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC = 2a , AB = a . Mặt bên
BBC C là hình vuông. Khi đó thể tích lăng trụ là
a3 3
A.
.
3
C. 2a 3 3 .
B. a 3 2 .
D. a 3 3 .
Lời giải
Chọn D
Vì BBC C là hình vuông nên BB = BC = 2a .
Vì tam giác ABC vuông tại A nên AC = BC 2 − AB 2 = 4a 2 − a 2 = a 3 .
Ta có SABC =
1
1
a2 3
.
AB. AC = .a.a 3 =
2
2
2
Vậy thể tích của lăng trụ đứng là V = SABC .BB =
Câu 2:
a2 3
.2a = a3 3 .
2
Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại C , AB = 3a , BC = 2a
. Góc giữa BC  và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 . Tính thể tích khối lăng trụ đó.
A. 2a 3 15 .
B.
2a 3 15
.
3
C. a 3 15 .
Lời giải
Chọn A
Tam giác ABC vuông tại C nên diện tích:
1
1
1
S ABC =  CA  CB =  AB 2 − BC 2  BC =  9a 2 − 4a 2  2a = 5a 2 .
2
2
2
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D.
a3 15
.
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Góc giữa BC  và ( ABC ) là góc C BC = 60 . Tam giác CC B vuông tại C nên
CC 
 CC  = BC  tan C BC = 2a  tan 60 = 2a 3 .
BC
Thể tích khối lăng trụ V = S ABC  CC  = 5a 2  2 3a = 2 15a 3 .
tan C BC =
Câu 3:
Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , BC = 2 2. Góc
giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( BCC B ) bằng 30. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. 12 .
B. 4 .
C. 4 2 .
D. 16 .
Lời giải
Chọn D
Ta có AC ⊥ BC , AC ⊥ CC   AC ⊥ ( BCC B ) .
Mà AB  ( BCC B ) = B  ( AB, ( BCC B ) ) = ABC = 30 .
1
Tam giác ABC vuông cân tại C nên AC = BC = 2 2 và SABC = CA.CB = 4. .
2
Tam giác ACB vuông tại C , có BC = AC.cot ABC = 2 6.
Tam giác CBB vuông tại B  BB = BC 2 − BC 2 = 4 . Vậy VABC . ABC  = SABC .BB = 16.
Câu 4:
Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác ABC vuông tại A , AC = a ,
ACB = 60 . Đường thẳng BC  tạo với mặt phẳng ( AC CA ) một góc 30 . Tính thể tích khối
lăng trụ đã cho.
A.
3a 3
.
2
B. 2 3a 3 .
C.
6a 3 .
D.
3a 3
.
3
Lời giải
Chọn C
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Theo giả thiết, AB = AC.tan 60 = a 3 . Suy ra SABC =
1
3 2
AB. AC =
a
2
2
Mặt khác:
 AB ⊥ AC
 AB ⊥ ( ACCA)  AC  là hình chiếu vuông góc của BC  trên ( AC CA ) .

 AB ⊥ AA
Suy ra ( BC  , ( AC CA) ) = ( BC  , AC  ) = BC A = 30 .
Do AB ⊥ ( AC CA ) nên AB ⊥ AC   ABC  vuông tại A có AB = a 3 , BC A = 30 .
AB
= 3a  CC = AC2 − AC 2 = 2 2a .
tan 30
Vậy VABC . ABC  = SABC .CC  = 6a3 .
Khi đó, AC =
Câu 5:
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có AB = a , góc giữa đường thẳng AB và mặt
phẳng ( BCC B ) bằng 30 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3 3
a .
2
B.
3 3
a .
4
C.
6 3
a .
12
D.
6 3
a .
4
Lời giải
Chọn D
Gọi I là trung điểm của BC   AI ⊥ BC  .
 AI ⊥ BC
 AI ⊥ ( BBCC )  ( AB, ( BBCC ) ) = ( AB, BI ) = ABI = 30
Khi đó 
 AI ⊥ BB
Đặt h = BB . Ta có tan 30 =
AI
1

=
BI
3
a 3
a2
2. h 2 +
4
h=a 2
a2 3
a3 6
Suy ra thể tích khối lăng trụ đã cho là V =
.
.a 2 =
4
4
Câu 6:
Cho hình hộp đứng ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình vuông. Gọi S là tâm hình vuông
ABC D . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Biết rằng, nếu MN tạo với mặt
phẳng ( ABCD ) một góc bằng 600 và AB = a thì thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
a 3 30
.
12
B.
a 3 30
.
3
C. a 3 30 .
Lời giải
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D.
a3 3
.
2
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chọn A
D'
C'
S
A'
B'
D
C
M
I
600
H
A
N
a
a
B
Gọi I là tâm của đáy ABCD suy ra SI ⊥ ( ABCD ) .
Kẻ MH ⊥ ( ABCD )  NH // SI , NH =
1
SI và H là trung điểm của đoạn AI đồng thời suy ra
2
( MN , ( ABCD ) ) = MNH = 60 .
Xét tam giác HCN có HC =
1
a
3
3
3a 2
; CN = BC = ; HCN = 45 ,
AC =
AB 2 + BC 2 =
2
2
4
4
4
5
a 10
theo định lý côsin ta có HN 2 = HC 2 + CN 2 − 2 HC.CN .cos HCN = a 2  HN =
.
8
4
Do đó MH = HN .tan MNH =
a 10
a 30
a 30
.
.tan 60 =
 SI = 2 HM =
4
4
2
Lại có diện tích của tam giác ABC là S ABC =
Vậy VS . ABC
Câu 7:
1
a2
.
AB.BC =
2
2
1
a3 30
.
= .SI .S ABC =
3
12
Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a. Biết diện tích tam
giác ABC bằng 2a 2 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  .
A. 9 3a 3 .
B. 6 3a 3 .
C. 3 3a 3
Lời giải
D.
3a 3
Chọn C
Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng S ABC . AA .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Vì tam giác ABC đều nên có diện tích bằng
( 2a ) 2
3
4
= a2 3 .
1
Gọi H là trung điểm cạnh BC . Tam giác ABC cân tại A nên S ABC = .BC. AH = 2a 2 3 .
2
Với BC = 2a  AH =
2a 2 3
= 2a 3 .
1
.2a
2
Xét tam giác AAH vuông tại A có cạnh AH =
AA = AH 2 − AH 2 =
( 2a 3 ) − ( a 3 )
2
2
( 2a )
2
3
= a 3 và AH = 2a 3 , suy ra
= 3a.
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng: a 2 3.3a = 3a 3 3
Câu 8:
Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Khoảng cách từ đường
thẳng AA đến mặt phẳng ( BCC B ) bằng khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABC  ) và
cùng bằng 1 . Góc giữa hai mặt phẳng ( ABC  ) và ( ABC ) bằng  . Tính tan  khi thể tích khối
lăng trụ ABC. ABC  nhỏ nhất.
A. tan  = 2 .
C. tan  =
B. tan  = 3 .
1
3
D. tan  =
.
1
2
.
Lời giải
Chọn D
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC , khi đó d ( A, ( BCC B ) ) = AH = 1 .
Gọi K là hình chiếu vuông góc của C lên AC  , do AB ⊥ ( ACCA )  AB ⊥ CK khi đó
CK ⊥ ( ABC  ) hay d ( C , ( ABC  ) ) = CK = 1 .
Ta có  = ( ( ABC  ) , ( ABC ) ) = CAC  .
1
1
1
1
1
; CC  =
;
=1−
= 1 − sin 2  = cos 2   AB =
.
2
2
sin 
cos  AB
cos 
AC
1
1
Vậy VABC . ABC  = AB. AC.CC  =
.
2
2sin .cos 2 
Ta có AC =
(
)
Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  nhỏ nhất hhi sin .cos 2  = sin  1 − sin 2  đạt giá trị lớn
nhất
Đặt t = sin  , t  ( 0;1) .
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Xét f ( t ) = −t 3 + t trên ( 0;1) , ta có f  ( t ) = −3t 2 + 1  f  ( t ) = 0  t =
Vậy f ( t ) đạt GTLN khi t =
Câu 9:
1
3
hay sin  =
1
3
 tan  =
1
2
1
3
.
.
Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có BAC = 60 , AB = 3a và AC = 4a . Gọi M là trung
điểm của BC  , biết khoảng các từ M đến mặt phẳng ( BAC ) bằng
3a 15
. Thể tích khối lăng
10
trụ bằng
A. 4a 3
B. 27a 3
C. 7a 3
Lời giải
D. 9a 3
Chọn B
Gọi BC  BM = G , ta có:
d ( M ; ( BAC ) )
d ( B; ( BAC ) )
=
MG BM 1
3a 15
.
=
=  d ( B; ( BAC ) ) =
BG
BC 2
5
Kẻ BK ⊥ AC , mà AC ⊥ BB nên AC ⊥ ( BBK )  ( BAC ) ⊥ ( BBK ) .
( BAC )  ( BBK ) = BK , trong mp ( BBK )
Do đó: d ( B; ( BAC ) ) = BH =
kẻ BH ⊥ BK , khi đó: BH ⊥ ( BAC ) .
3a 15
.
5
3 3a 3
.
=
2
2
1
1
1
1
1
1
Mặt khác:
=
+

=
+
 BB = 3a 3 .
2
2
2
2
2
BH
BK
BB
BB2
 3a 15 
 3a 3 




 5 
 2 
1
Vậy V = BB.SABC = 3a 3. .3a.4a.sin 60o = 27a 3 .
2
AKB vuông tại K nên BK = AB.sin 60o = 3a.
C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 1: Một khối lăng trụ có thể tích bằng V , diện tích mặt đáy bằng S . Chiều cao của khối lăng trụ đó
bằng
A.
S
.
V
B.
3V
.
S
C.
V
.
S
D.
S
.
3V
Lời giải
Chọn C
Gọi h là chiều cao của khối lăng trụ.
Ta có thể tích khối lăng trụ là V = S .h  h =
Câu 2:
V
.
S
Thể tích khối hộp chữ nhật có các kích thước 2, 3, 4 là
A. 6 .
B. 8 .
C. 72 .
Lời giải
Chọn D
Ta có: thể tích khối hộp chữ nhật ba kích thước a , b , c là V = a.b.c .
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật cần tìm là: V = 2.3.4 = 24 .
D. 24 .
Câu 3:
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 5 và chiều cao bằng 3. Thể tích của khối lăng trụ đã cho
bằng
A. 45 .
B. 24 .
C. 5 .
D. 15 .
Lời giải
Chọn D
Thể tích khối lăng trụ là: V = 5.3 = 15 .
Câu 4:
Khối lăng trụ có diện tích đáy là 6 cm 2 và có chiều cao là 3 cm thì có thể tích V là
A. V = 6 cm3 .
B. V = 108 cm3 .
C. V = 54 cm3 .
D. V = 18 cm3 .
Lời giải
Chọn D
Ta có V = 3.6 = 18 .
Câu 5:
Khối hộp chữ nhật có cách kích thước lần lượt là a, 2a, 3a có thể tích bằng
A.
3a 3 2
.
5
C. 2a 3 .
B. 6a 3 .
D. 6a 2 .
Lời giải
Chọn B
V = a.2a.3a = 6a 3 .
Câu 6:
Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB = 1m, AA ' = 3m, BC = 2m . Thể tích của khối
hộp đã cho bằng
3
A. 3m .
B. 6m3 .
C. 3 5m3 .
Lời giải
Chọn B
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D.
5m3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Thể tích của khối hộp đã cho là: V = AA '.S ABCD = AA '. AB.BC = 6m3 .
Câu 7:
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là
4
1
1
A. V = B.h .
B. V = B.h .
C. V = B.h .
D. V = B.h .
3
2
3
Lời giải
Chọn D
Ta có V = B.h .
Câu 8:
Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước là 4,5, 6 . Thể tích của khối hộp đã cho bằng:
A. 120 .
B. 80 .
C. 40 .
Lời giải
D. 60 .
Chọn A
Thể tích khối hộp chữ nhật là: V = 4.5.6 = 120 .
Câu 9:
Khối lập phương ABCD. ABC D có độ dài đoạn AC = a . Thể tích khối đó là
a3 3
A.
.
9
a3 3
B.
.
6
a3 3
C.
.
3
Lời giải
D. a 3 .
Chọn A
Ta có: AC 2 = AA2 + AC 2 = AA2 + AB 2 + BC 2 = 3 AB 2 .
3
 a  a3 3
AC
a
V
=
=
Suy ra: AB =
. Do đó: ABCD. ABC D 
 = 9 .
3
3
 3
Câu 10: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có BB ' = a , đáy ABC là tam giác vuông tại A và
AB = 2a, AC = 3a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. a 3 .
B. 6a 3 .
C. 3a 3 .
Lời giải
D. 2a 3 .
Chọn C
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
1
Ta có: VABC . ABC  = BB.S ABC = a. .2a.3a = 3a 3 .
2
Câu 11: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 3a 2 và chiều cao h = a . Thể tích của khối lăng trụ đã
cho bằng
a3 3
A.
.
4
a3 3
B.
.
3
3
C. 3a 3 .
3
D. a 3 .
Lời giải
Chọn D
Ta có V = B.h = 3a 2 .a = 3a 3 .
Câu 12: Cho một hình hộp chữ nhật có 3 kích thước bằng 12,15 và 20. Tính thể tích của hình hộp chữ
nhật đó.
A. V = 3600 .
B. V = 1800 .
C. V = 60 .
D. V = 2880 .
Lời giải
Chọn A
Thể tích của hình hộp chữ nhật đó là
V = a.b.c = 12.15.20 = 3600 .
Câu 13: Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B . Biết C A = a 2
và AC C = 45 (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.
a3
.
6
B.
a3
.
12
C.
Lời giải
Chọn C
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
a3
.
4
D.
a3
.
2
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Trong ACC  có AC = AC .sin AC C = a 2.
2
2
= a ; CC  = AC .cos AC C = a 2.
= a.
2
2
Trong BAC có AC 2 = BA2 + BC 2  AC 2 = 2 BA2  BA =
Thể tích của khối lăng trụ là VABC . ABC  = CC .SABC
AC a 2
.
=
2
2
1
1 a 2 a3
2
= CC . .BA = a. . = .
2
2 2
4
Câu 14: Cho lăng trụ đứng ABC. AB C  có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 . Mặt phẳng ( AB C ) tạo
với mặt đáy bằng 45 . Thể tích lăng trụ ABC. AB C  bằng
B. 4 2
A. 3
D. 2 2
C. 6
Lời giải
Chọn A
Xét ( AB C ) và ( AB C ) : Gọi M là trung điểm của B C  , vì tam giác AB C  đều nên
AM ⊥ B C  , mặt khác lăng trụ ABC. AB C  là lăng trụ đứng nên AA ⊥ B C  . Do đó
( AAM ) ⊥ B C  . Vậy (( AB C ), ( AB C )) = AMA = 45 .
Tam giác AAM vuông tại A và có AMA = 45 nên vuông cân tại A do đó
AA = AM =
2 3
22. 3
= 3 ; S ABC  =
= 3
2
4
Suy ra VABC . ABC  = AA.S ABC  = 3. 3 = 3 .
Câu 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có tất cả các cạnh bằng a . Tính thể tích V của khối lăng
trụ ABC. ABC  .
A. V =
a3 3
.
2
B. V =
a3 2
.
3
C. V =
a3
.
2
D. V =
a3 3
.
4
Lời giải
Chọn D
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Ta có VABC . ABC  = SABC . AA =
a3 3
.
4
Câu 16: Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2a và diện tích đáy bằng 2a 2 . Tính thể tích khối lăng trụ.
A. V =
4a 3
.
3
B. V =
2a 3
.
3
D. V = 4a 3 .
C. V = 2a 3 .
Lời giải
Chọn D
Áp dụng công thức tính thể tích hình lăng trụ V = S  h = 2a  2a 2 = 4a 3 .
Câu 17: Cho khối lăng trụ tam giác đều, cạnh bên có độ dài gấp hai lần cạnh đáy. Biết tổng diện tích các
(
)
B. V =
a3 6
.
3
mặt của khối lăng trụ là 12 + 3 a 2 . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho
A. V = a 3 6 .
6 3
a .
8
C. V =
D. V = 2a 3 6 .
Lời giải
Chọn A
Đặt độ dài một cạnh của tam giác đều ABC là x . Do độ dài của cạnh bên của hình lăng trụ gấp
hai lần cạnh đáy nên hình chữ nhật ABBA có AB = x; AA = 2 x .Diện tích xung quanh của khối
lăng trụ là S1 = 3.x.2 x = 6 x 2
3 2
x
4
Tổng diện tích các mặt của trụ tam giác đều là
Diện tích hai đáy của khối lăng trụ là S2 = 2.
S = S1 + S2 = 6 x 2 +
(
)
3 2 12 + 3 2
x =
x = 12 + 3 a 2 . Suy ra x = 2.a
2
2
(
Diện tích một đáy của khối lăng trụ là S ABC =
)
(
3
. a 2
4
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
)
2
=
3 2
a
2
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Thể tích khối lăng trụ V = AA.S ABC = 2.a 2.
3 2
a = 6 a3 .
2
Câu 18: Cho khối hộp đứng ABCD. A1 B1C1 D1 có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC = 120o , đường
thẳng AC1 tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc 60o . Tính thể tích khối hộp đã cho
3a 3
A.
2
B.
a3
C.
2
Lời giải
3a 3
2
3 3a 3
D.
2
Chọn D
)
(
Ta có CC1 ⊥ ( ABCD )  AC1 , ( ABCD ) = C1 AC = 60o ;
AC 2 = BA2 + BC 2 − 2 BA.BC.cos ABC = a 3 .
Xét tam giác vuông ACC1 , có: CC1 = AC.tan C1 AC = 3a .
Vậy VABCD. A1B1C1D1 = S ABCD .CC1 = BA.BC.sin120o.CC1 =
3a3 . 3

2
Câu 19: Cho lăng trụ đứng ABC . ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 . Gọi M là trung điểm
của BC , AM = a 3 . Thể tích khối lăng trụ ABC . ABC  bằng
27a 3

A.
8
9a 3 3
B.

8
9a 3

C.
8
Lời giải
D.
3a 3 3

8
Chọn C
AA =
AM − AM =
VABC . ABC
2
2
= SABC . AA =
(a 3)
2
2
a 3
 3a 
−  =
.
2
 2 
3a 2 3 a 3 9a3
.
=
.
4
2
8
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 12
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 20: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng 2 , một mặt bên có diện tích
bằng 4 2 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. 2 6.
B.
4 6
.
3
C.
2 6
.
3
D. 4 6.
Lời giải
Chọn A
Mặt bên ABB ' A ' có diện tích là S ABB ' A ' = AA '. AB  4 2 = AA '.2  AA ' = 2 2.
Tam giác ABC là tam giác đều  S ABC =
22. 3
= 3.
4
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là V = AA '.S ABC = 2 2. 3 = 2 6.
Câu 21: Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có BB = a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
AC = 2a . Thể tích V của khối lăng trụ đã cho là
A. V = a 3 .
B. V =
a3
.
3
C. V =
a3
.
6
D. V =
a3
.
2
Lời giải
Chọn D
Ta có ABC vuông vuông cân tại B nên AC = AB 2 + BC 2 = 2a  2 AB = 2a
1
1
 AB = a  BC = a suy ra SABC = AB.BC = a 2 .
2
2
1
1
Vậy thể tích khối lăng trụ là: VABC . ABC  = BB.S ABC = a. a 2 = a 3 .
2
2
Câu 22: Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có BB = a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
BA = BC = a . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V = a 3 .
B. V =
a3
.
2
C. V =
Lời giải
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
a3
.
3
D. V =
a3
.
6
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chọn B
Ta có diện tích đáy là S ABC =
1
a2
BA.BC = .
2
2
Thể tích khối lăng trụ là V = S ABC .h =
a2
a3
.a = .
2
2
Câu 23: Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a và AA = 2a . Thể tích của
khối lăng trụ đã cho bằng
A.
a3 3
..
3
B.
a3 3
..
6
C.
3a 3 .
D.
a3 3
.
2
Lời giải
Chiều cao của lăng trụ: AA = 2a . Diện tích tam giác đều: S
=
ABC
Vậy thể tích khối lăng trụ: V
=S
. AA =
ABC
ABC. ABC 
a2 3
.
4
a3 3
..
2
Câu 24: Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có BB = a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
AC = a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V = a 3 .
B. V =
a3
.
3
C. V =
a3
.
2
D. V =
a3
.
6
Lời giải
Chọn C
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 14
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = a 2 suy ra AB = BC =
AC
= a.
2
1
1 2
a3
Khi đó V = S ABC .BB = AB.BC.BB = a .a = .
2
2
2
Câu 25: Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh 3a . Gọi M là một điểm trên mặt phẳng ( ABC D )
(tham khảo hình vẽ). Thể tích khối chóp M . ABCD .
a3
B. .
3
3
A. 9a .
C. 3a 3 .
D. 8a 3 .
Lời giải
Chọn A
Do M thuộc mặt phẳng ( ABC D ) nên d ( M ,( ABCD) ) = MH = AA = 3a .
Vì thế VM . ABCD = 1 .MH .S ABCD = 1 .3a.9a 2 = 9a 3 .
3
3
Câu 26: Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a , biết
rằng ( A ' BC ) hợp với đáy ( ABC ) một góc 45o .Thể tích lăng trụ là:
a3 2
A.
.
2
a3 3
B.
.
3
C. a 3 3 .
Lời giải
Chọn D
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. a 3 2 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Do tam giác ABC vuông cân tại B, độ dài cạnh huyền AC = 2a nên ta có : BA = BC = a 2
Góc tạo bởi mặt phẳng ( A ' BC ) và đáy ( ABC ) là góc A ' BA = 45o do đó: AA ' = AB = a 2
Vậy thể tích lăng trụ là: V = B.h =
a 2.a 2
.a 2 = a 3 2.
2
Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là ABC vuông tại A , biết AB = a , AC = 2a và
AB = 3a . Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.
2 2a 3
.
3
B.
5a 3
.
3
C.
5a 3 .
D. 2 2a 3 .
Lời giải
Chọn D
A'
C'
B'
3a
2a
A
C
a
B
Diện tích đáy là SABC =
1
1
AB. AC = .a.2a = a 2 .
2
2
Tam giác ABA vuông tại A nên có AA = AB 2 − AB 2 =
( 3a )
2
− a 2 = 2a 2 .
Thể tích cần tính là V = S ABC . AA = a 2 .2a 2 = 2 2a 3 .
Câu 28: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vuông, AC = 2 2a , góc giữa hai mặt
phẳng ( C ' BD ) và ( ABCD ) bằng 450 . Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng:
A. 4 2a 3 .
B.
4 2 3
a .
3
C. 32a 3 .
D.
32 3
a .
3
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 16
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
D'
C'
B'
A'
C
D
O
B
A
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Dễ thấy AC ⊥ BD tại O và BD ⊥ CC '
Suy ra BD ⊥ ( ACC ' A ')  BD ⊥ OC ' . Suy ra ( C ' BD ) , ( ABCD )  = ( OC ', OC ) = 450 .
2
AC
 AC 
= a 2 . Vậy, VABCD. A ' B 'C ' D ' = CC '. 
Suy ra CC ' = OC =
= a 2.4a 2 = 4 2a3 .

2
 2
Câu 29: Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABC ) là 30 ,
tam giác ABC đều và có diện tích bằng
A. 2 3
3 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
B. 6.
C.
3 3
.
4
D.
3
.
4
Lời giải
Chọn C
3
= 3  x=2.
4
Gọi M là trung điểm của BC suy ra BC ⊥ AM (Do tam giác
 BC ⊥ AM
 BC ⊥ AM .
Khi đó ta có: 
 BC ⊥ AA
Đặt BC = x  S
Vậy
ABC
= x2
( ( ABC ) ; ( ABC ) ) = ( AM ; AM ) = AMA = 30
Áp dụng CT: S  = S .cos   S
ABC
ABC đều).
1
3
.
 AA = AM .sin 30 = 3. =
2 2
3
= S ABC .cos 30o = .
2
Suy ra thể tích của lăng trụ là: VABC . ABC  = AA.S
o
ABC
=
3 3 3 3
.
. =
2 2
4
Câu 30: Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABC ) là 30 ,
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
tam giác ABC đều và diện tích bằng
3 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
B. 6 .
A. 2 3 .
C.
3 3
.
4
D.
3
.
4
Lời giải
Chọn C
Trong ( ABC ) vẽ AH ⊥ BC tại H .
Dễ thấy BC ⊥ ( AAH )  BC ⊥ AH nên
( ( ABC ) , ( ABC ) ) = ( AH , AH ) = AHA = 30 .
Tam giác ABC đều có AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến.
AA
AA
= AA. 3 và AH =
= 2 AA .
Ta có AH =
tan 30
sin 30
Diện tích S ABC = BC 2
Mà AH =
3
3
 BC 2
= 3  BC 2 = 4  BC = 2 .
4
4
BC 3
3
3
= 3  AA =
; AH = .
2
2
2
3 1 3
3 3
1

Thể tích khối lăng trụ VABC . ABC  = AA.S ABC = AA.  . AH .BC  =
.
. . .2 =
4
2
 2 2 2
Câu 31: Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác ABC vuông tại A , AB = a, AC = 2a . Góc
giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABC ) bằng 60 . Thể tích V của khối lăng trụ ABC. ABC 
theo a .
A. V =
2 15 3
a .
5
B. V =
2 15 3
a .
15
C. V =
2 15 3
a .
45
D. V =
6 15 3
a .
45
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 18
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC và mp ( ABC ) .
Khi đó: ( ABC ) , ( ABC ) = AHK = 60 . Theo giả thiết ta tính được AH =
Ta có: AK = AH .sin 60 =
2 5
a.
5
15
S
AB. AC
a và S ABC = ABC =
= 2a 2
cos60 2cos60
5
1
2 15 3
2 15 3
 VA. ABC = . AK .S ABC =
a  VABC. ABC  =
a
3
15
5
Câu 32: Cho hình hộp ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a và góc ABC = 600 .
2a
Cạnh bên AA =
; A cách đều các đỉnh A, B, C . Tính theo a thể tích của khối hộp
3
ABCD. ABC D .
A.
a3 3
.
2
B.
a3 3
.
6
D. 8a 3 3 .
C. 16a 3 3 .
Lời giải
Chọn A
Ta có ABCD là hình thoi và ABC = 600 , suy ra ABC đều cạnh a .
a2 3 a2 3
=
.
4
2
Gọi G là trọng tâm ABC , vẽ trục Gx vuông góc mp ( ABC ) . Vì A cách đều các đỉnh A, B, C
Diện tích hình thoi ABCD là: S ABCD = 2SABC = 2.
suy ra A  Gx  AG ⊥ ( ABC ) .
Xét ABC đều cạnh a , có AM là đường trung tuyến: AG =
2
2 a 3 a 3
AM = .
=
.
3
3 2
3
Ta có: AG ⊥ ( ABC )  AG ⊥ AG  ( ABC ) .
2
 2a   a 3 
Xét AAG vuông tại G , ta có: AG = AA − AG = 
 = a.
 −
 3   3 
2
2
2
a2 3
a3 3
.a =
.
Thể tích của khối hộp ABCD. ABC D là V = S ABCD . AG =
2
2
Câu 33: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A , mặt bên là BCC B
hình vuông, khoảng cách giữa AB và CC  bằng a . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  là
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A.
3
2a .
B.
2a 3
.
3
3
C. a .
D.
2a 3
.
2
Lời giải
Chọn D
Theo giả thiết, ta có: d ( CC ; AB ) = d ( CC , ( ABBA ) ) = d ( C , ( ABBA ) ) = CA = a .
1
2
Do đó, thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  là V = CC .SABC = a 2. .a 2 =
2a 3
.
2
Câu 34: Cho hình hộp đứng ABCD. ABC D có đáy là hình thoi, góc BAD = 60 đồng thời AA = a .
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Biết rằng khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( ABD ) bằng
a 21
. Tính thể tích khối hộp ABCD. ABC D theo a .
21
a 2
A.
.
6
a 2
C.
.
2
a 3
B.
.
6
a 3
D.
.
2
Lời giải
Chọn D
Gọi O là giao điểm của AC và BD .
Ta có AG  ( ABD ) = O nên d ( G, ( ABD ) ) =
GO
1
d ( A, ( ABD ) ) = d ( A, ( ABD ) ) .
AO
3
Dễ thấy BD ⊥ ( AAO ) , trong ( AAO ) vẽ AH ⊥ AO tại H .
 AH ⊥ BD
 AH ⊥ ( ABD )  d ( A, ( ABD ) ) = AH .
Khi đó 
 AH ⊥ AO
Gọi x là cạnh hình thoi ABCD , ta có BAD = 60 nên ABD đều.
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 20
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Suy ra AO =
1
1
1
7
4
1
x 3
=
+
 2 = 2 + 2  x = a.
, khi đó
2
2
2
AH
AO
AA
3a
3x a
2
 a2 3  a 3
Thể tích khối hộp ABCD. ABC D là VABCD. ABCD = AA.S ABCD = a.  2.
.
 =

4
2


Câu 35: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và BC = 2a .
Góc giữa đường thẳng A ' B với ( ABC ) bằng 30o . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho?
A.
6a 3
.
6
B.
6a 3 .
6a 3
.
9
C.
D.
6a 3
3
Lời giải
Chọn D
Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và BC = 2a . Nên AB = AC = a 2  S ABC = a 2 .
Góc giữa đường thẳng A ' B với
( ABC )
bằng 30o . Xét tam giác vuông A ' AB có
a 6
a3 6
Vậy
.
A ' A = AB tan 30 =
.
VABC . A ' B 'C ' = A ' A.S ABC =
3
3
o
Câu 36: Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a . Biết
khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( ABC )
bằng
3
a . Tính thể tích của khối lăng trụ
3
ABC. ABC .
A.
a3 3
.
3
B.
a3
.
2
C.
Lời giải
Gọi M là trung điểm của BC . Suy ra AM
Khi đó BC
BC .
A AM .
21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
a3 2
.
3
D.
a3 3
.
9
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Trong A BC kẻ AK A M với K
AM.
Khi đó AK ⊥ ( ABC )  d ( A, ( ABC ) ) = AK =
a 3
.
3
a 2
a 3
; AK =
.
3
2
1
1
1
1
1
1
1
9
4
1
=
+

=
−

= 2 − 2 = 2  AA = a .
Ta có
2
2
2
2
2
2
2
AK
AA AM
AA
AK
AM
AA 3a 2a
a
2
3
a
a
Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  là V = AA.SABC = a. =
(đvtt).
2
2
A AM vuông tại A ta có AM
Trong
BC
2
Câu 37: Cho hình hộp đứng ABCD. ABC D có đáy là hình vuông cạnh a , góc giữa mặt phẳng ( DAB )
và mặt phẳng ( ABBA ) bằng 30 . Thể tích khối hộp ABCD. ABC D bằng
A.
a3 3
.
18
B. a 3 3 .
C.
a3 3
.
3
D.
a3 3
.
9
Lời giải
Chọn B
( ABBA )  ( DAB ) = AB
Ta có 
nên góc giữa mặt phẳng ( DAB ) và mặt phẳng ( ABBA ) là
( ADDA ) ⊥ AB
AD
góc giữa AD và AA hay AAD = 30 . Suy ra AA =
=a 3.
tan 30
Ta có S ABCD = a.a = a 2 .
Vậy thể tích hình hộp là VABCD. ABC D = AA.S ABCD = a 2 .a 3 = a 3 3 .
Câu 38: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. ABC D có AB = 2a , BC = 3a . Góc giữa hai mặt phẳng
( ABCD )
3
A. 12a .
và ( ABCD ) bằng 45 . Thể tích khối hộp chữ nhật bằng
B. 18 2a 3 .
3
C. 18a .
Lời giải
D. 6 13a 3 .
Chọn C
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 22
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Ta có S ABCD = AB.BC = 2a.3a = 6a .
2
( ABCD )  ( ABCD ) = CD

Lại có  BC ⊥ CD
, suy ra
 BC ⊥ CD

( ( ABCD ) , ( ABCD ) ) = BCB = 45 .
Tam giác BCB vuông tại B và BCB = 45 nên BCB vuông cân tại B  BC = BB = 3a .
Vậy VABCD. A ' B 'C ' D ' = S ABCD .BB = 6a 2 .3a = 18a 3 .
Câu 39: Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng ( ABC ) tạo với đáy một
góc 30 và tam giác ABC có diện tích bằng 32 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. 64 3 .
B.
64 3
.
3
C. 128 .
D.
128
.
3
Lời giải
Chọn A
Gọi  là góc giữa mặt phẳng ( ABC ) và ( ABC ) . Gọi M là trung điểm của BC .
Khi đó AM ⊥ BC và AA ⊥ BC .
( ABC )  ( ABC ) = BC

Suy ra BC ⊥ ( AAM )  BC ⊥ AM . Ta có:  AM ⊥ BC
.
 AM ⊥ BC

Suy ra góc  = AMA = 30 . Ta có: cos 30 =
Đặt BC = x  0  AM =
Ta lại có: SABC =
AM
AM
3
2

=
 AM =
AM .
AM
AM
2
3
2 x 3
x 3
.
= x.
và AM =
2
3 2

1
1
 AM = 4 3
AM .BC  32 = x.x  x = 8  
 AA = 4.
2
2

 AM = 8
Suy ra VABC  ABC  = SABC . AA =
82. 3
.4 = 64 3 .
4
Câu 40: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông tại A ; AC = b; ACB = 60 .
Đường thẳng BC ' tạo với mặt phẳng ( AA ' C ' C ) một góc 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ
đã cho theo b .
A.
b3 6
.
3
B. 2b3 6 .
23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C.
b3
.
6
D. b3 6 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Lời giải
Chọn D
BA ⊥ AA '
  BA ⊥ ( AA ' C ' C )  ( BC '; ( AA ' C ' C ) ) = BC ' A = 30 .
BA ⊥ AC 
AC
Xét tam giác ABC ta có: AB = AC  tan 60 = b 3 ; BC =
= 2b .
cos 60
AB
Xét tam giác BAC ' ta có: BC ' =
= 2b 3 .
sin 30
Ta có:
Xét tam giác vuông BB ' C ta có: BB ' = BC '2 − B ' C '2 = 12b 2 − 4b 2 = 2b 2 .
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là:
1
VABC . A ' B 'C ' = S ABC  BB ' =  b  b 3  2b 2 = b3 6 .
2

Câu 41: Cho khối hộp đứng ABCD. ABC D có đáy là hình thoi cạnh đáy bằng 2 cm , góc BAD = 30 ,
góc giữa AC và mặt phẳng đáy bằng 45 . Thể tích khối hôp đã cho bằng
A. 4 2 − 3 .
B. 2 2 + 3 .
C. 2 2 − 3 .
D. 4 2 + 3 .
Lời giải
Chọn D
Ta có: BAD = 30  ABC = 150 .
Xét tam giác ABC , áp dụng định lý cosin ta có:
(
)
AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2. AB.BC.Cos ABC = 4 + 4 + 2.2.2.
3
= 8 + 4 3 = 4(2 + 3) .
2
 AC = 2 2 + 3 ( cm ) .
Vì AA ⊥ ( ABCD )  AA ⊥ AC (1) .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 24
Phan Nhật Linh
Vì ( AC , ( ABCD ) ) = ( AC , AC ) = ACA = 45 ( 2 ) .
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Từ (1) và ( 2 ) suy ra AAC vuông cân tại A  AA = AC = 2 2 + 3 ( cm ) .
VABCD. ABC D = S ABCD . AA = 2.S ABD . AA
1
1
1
= 2. . AB. AD.sin 30. AA = 2. .2.2. .2 2 + 3 = 4 2 + 3 ( cm3 ) .
2
2
2
Câu 42: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. ABC D có đáy là hình vuông. Gọi M là trung điểm của BB ,
góc giữa hai mặt phẳng ( MAC ) và ( ABC D ) bằng 300 . Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng
32a3 3
. Tính độ dài cạnh hình vuông.
3
A.
3a .
B. 2 3a .
C. 2a .
Lời giải
D. 2 2a .
Chọn D
Ta có: ( ABCD ) / / ( ABC D ) → ( ( MAC ) ; ( ABC D ) ) = ( ( MAC ) ; ( ABCD ) ) = 300 .
ABCD là hình vuông → AC ⊥ BD tại O .
 AC ⊥ BO
 AC ⊥ ( MBO )  AC ⊥ MO .
Ta có: 
 AC ⊥ MB
( MAC )  ( ABCD ) = AC

Ta có:  MO  ( MAC ) , MO ⊥ AC  ( ( MAC ) ; ( ABCD ) ) = ( MO, BO ) = MOB = 300 .

 BO  ( ABCD ) , BO ⊥ AC
Đặt độ dài cạnh hình vuông là x ( x  0 ) .
Ta có: OB =
BD x 2
x 2
x 6
x 6
.
=
 MB = OB.tan MOB =
.tan 300 =
 BB =
2
2
2
6
3
Ta có: V = BB.S ABCD =
x 6 2 32a3 3
.x =
 x = 2 2a .
3
3
Câu 43: Cho lăng trụ đứng ABCD. ABC D có đáy là hình chữ nhật, CD = a, CB = 2a , góc giữa hai
mặt phẳng ( C ' BD ) và ( ABCD ) bằng 60 . Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
A. 2a 3 .
B. 2 2a 3 .
C. 3 2a 3 .
Lời giải
Chọn A
25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. 3a 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ta có S ABCD = CB.CD = 2a 2 .
Kẻ CH ⊥ BD (1) kết hợp với C ' C ⊥ BD suy ra DB ⊥ CH (2)
Từ (1),(2) suy ra ((C ' BD);( ABCD)) = (C ' H ; CH ) = C ' HC  C ' HC = 600 .
Xét tam giác CBD , ta có
1
1
1
1
1
3
2
=
+
= 2 + 2 = 2  CH =
a.
2
2
2
CH
CB CD
2a a
2a
3
Xét tam giác C ' CH , ta có tan C ' HC =
CC '
2
 CC ' = tan 600.CH = 3. a = 2a .
CH
3
Nên suy ra VABCD. A ' B 'C ' D ' = C ' C.S ABCD = 2a. 2a 2 = 2a 3 .
Câu 44: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có AA = 2 , góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng
( AAC C ) bằng 45 . Tính thể tích V của lăng trụ ABC. ABC  .
A. V = 2 3 .
B. V = 4 3 .
C. V = 3 2 .
Lời giải
D. V = 7 2 .
Chọn B
Gọi độ dài cạnh tam giác đều ABC là x và I là trung điểm AC.
Vì tam giác ABC đều nên BI ⊥ AC
Mặt khác BI ⊥ AA nên BI ⊥ mp ( ACC A)
 ( AB, ( ACC A ) ) = ( AB, AI ) = BAI = 45 (do tam giác ABI vuông tại I nên BAI  90 )
Khi đó BAI vuông cân tại I, suy ra AI = IB =
Ta có AI 2 − AI 2 = AA2 
x 3
x
, AI =
2
2
3x 2 x 2
− = 4 x = 2 2
4
4
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 26
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Diện tích tam giác ABC là: S ABC =
1
x2 3
AB. AC.sin 60o =
=2 3
2
4
Thể tích lăng trụ ABC. ABC  là: V = AA.S ABC = 4 3 .
Câu 45: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A1 B1C1 D1 có AB = 2 , AD = 4 , cosin của góc giữa AC và DA1
4
. Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. A1 B1C1 D1 .
30
24
A. 16 2 .
B.
.
C. 16 .
30
Lời giải
Chọn A
bằng
Vì A ' C ' //AC nên góc giữa AC và DA1 là DA1C1  cos DA1C1 =
D. 32 2 .
4
30
Đặt x = AA , ta có: AC = 2 5 , DC1 = x 2 + 4 , A1 D = x 2 + 16 .
Áp dụng định lí cosin cho tam giác A1 DC1 ta có:
DC12 = A1 D 2 + A1C12 − 2. A1D. A1C1.cos DA1C1 .
 x 2 + 4 = x 2 + 16 + 20 − 2 x 2 + 16.2 5.
16.
(x
2
+ 16 )
6
= 32 
(x
2
4
30
+ 16 ) = 2 6  x 2 + 16 = 24  x 2 = 8  x = 2 2 .
Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. A1 B1C1 D1 : V = AB. AD. AA = 2.4.2 2 = 16 2
Câu 46: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm
a
O của tam giác ABC đến mặt phẳng ( ABC ) bằng . Thể tích khối lăng trụ bằng
6
A.
3a 3 2
.
4
B.
3a 3 2
.
8
C.
Lời giải
Chọn D
27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
3a 3 2
.
28
D.
3a 3 2
16
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên A ' M .
BC ⊥ AM 
Ta có
  BC ⊥ ( AAM )  BC ⊥ AH (1)
BC ⊥ AA 
Mà AH ⊥ AM ( 2 )
Từ (1) và (2)  d ( A, ( ABC ) ) = AH .
Ta có
d ( O, ( ABC ) )
d ( A, ( ABC ) )
=
MO 1
= (do tính chất trọng tâm).
MA 3
 d ( A, ( ABC ) ) = 3d ( O, ( ABC ) ) =
Xét tam giác vuông A ' AM :
a
a
 AH = .
2
2
1
4
4
a 3
1
1
1
.

= 2 − 2  AA =
=
+
2
2
2
2
AH
AA
AM
AA
a 3a
2 2
Suy ra thể tích lăng trụ ABC. A ' BC  là: V = AA.SABC =
a 3 a 2 3 3 2a 3
.
=
.
16
2 2 4
Câu 47: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. ABC D có đáy là hình vuông cạnh a . Khoảng cách từ A đến
mặt phẳng ( ABCD ) bằng
A. V = 2a 3 . .
2a 5
. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đã cho.
5
B. V =
2a 3
..
3
C. V =
a3 3
.
2
D. V = 2a 3 3 .
Lời giải
Chọn A
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 28
Phan Nhật Linh
Kẻ AH ⊥ AD tại H .
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
CD ⊥ AD
Ta có 
 CD ⊥ ( ADDA )  CD ⊥ AH
CD ⊥ DD
 AH ⊥ CD
 AH ⊥ ( ABCD ) tại H .
Ta có 

AH
⊥
A
D

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ABCD ) là AH .
Tam giác AAD vuông tại A có AH là đường cao.
1
1
1
1
1
1
5
1
1
Suy ra
=
+

=
−
= 2− 2 = 2
2
2
2
2
2
2
AH
AA
AD
AA
AH
AD
4a a
4a

Vậy AA = 2a .
Suy ra V = AA.S ABCD = 2a.a 2 = 2a 3 . .
Câu 48: Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có AC = a 7, ABC = 30 , AB = AA . Gọi M là trung điểm
của BB , khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC  bằng a 3 . Thể tích của khối lăng trụ
đứng ABC. ABC  là
5 3 3
A.
a .
3
25a 3
B.
.
2
C.
25 3a 3
.
6
D.
5 3 3
a
6
Lời giải
Chọn C
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB .
Có ABC. ABC  là hình lăng trụ đứng nên CH ⊥ ( ABBA )  d ( C , ( ABBA ) ) = CH
CC  / / BB  CC  / / ( ABBA ) nên d ( CC , AM ) = d ( CC , ( ABBA ) ) = d ( C , ( ABBA ) ) = CH
Tam giác ACH vuông tại H nên AH = AC 2 − HC 2 = 2a
Mặt khác, BH = HC.cot 300 = 3a  AB = AA = 5a
SABC =
1
5 3a 2
.
AB.CH =
2
2
Vậy VABC . ABC  =
1
25 3 3
AA.S ABC =
a (đvtt).
3
6
Câu 49: Cho hình hộp đứng ABCD. ABC D có cạnh AA = 2 , đáy ABCD là hình thoi với ABC là tam
giác đều cạnh bằng 4. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , C D, DD và Q thuộc cạnh
BC sao cho QC = 3QB . Tính thể tích tứ diện MNPQ .
29 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. 3 3 .
B.
3 3
.
2
C.
3
.
4
3
.
2
D.
Lời giải
Chọn D
Gọi I = NP  CC  ; K = IQ  BC  . Do N , P lần lượt là trung điểm của C D, DD nên N là
1
1
trung điểm của IP và IC  = DP = CC  . Suy ra: VMNPQ = VMNIQ = SIMQ .d ( N , ( IMQ ) ) (1) .
2
3









A
B
C
A
M
⊥
B
C
Theo giả thiết
đều nên
, mà A M ⊥ B B ( do ABCD. ABC D là hình hộp
đứng). Suy ra: AM ⊥ ( BBC C ) .
1
1
1
Do đó: d ( N , ( IMQ ) ) = d ( D, ( IMQ ) ) = d ( A, ( BCC B ) ) = AM = 3 .
2
2
2
IK IC  KC  1
IQ 3
1
1
=
=
= 
= ; KC  = QC = BC = 1 .
Ta có:
IQ IC QC 3
KQ 2
3
4
Suy ra: SIMQ =
IQ
3
3
3
3
3
SKMQ = SKMQ = MK .BB = . ( MC  − KC  ) BB = . ( 2 − 1) .2 = .
KQ
2
4
4
4
2
1 3
3
Vậy từ (1) ta có: VMNPQ = . . 3 =
.
3 2
2
Câu 50: Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh
BC = a . Gọi M là trung điểm của cạnh AA , biết hai mặt phẳng ( MBC ) và ( MBC ) vuông
góc với nhau, thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.
a3 2
.
8
B.
a3
.
4
C.
a3 2
.
24
D.
a3
.
8
Lời giải
Chọn B
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 30
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Đặt AA = h .
 M  ( MBC )  ( MBC  )

Ta có:  BC  ( MBC ) ; BC   ( MBC  )  ( MBC )  ( MBC  ) =  , với  qua M và
 BC / / BC 

 / / BC / / BC  .
Gọi I , J lần lượt là trung điểm của BC và BC  , khi đó MI ⊥ BC , MJ ⊥ BC  (vì các tam giác
MBC và MBC  cân tại M ), hay MI ⊥  , MJ ⊥  .
( MBC )  ( MBC  ) = 

Ta có:  MI  ( MBC ) , MI ⊥   ( ( MBC );( MBC ) ) = ( MI ; MJ ) = 90 .

 MJ  ( MBC  ) , MJ ⊥ 
Ta có : AB = AC =
h2 a 2
a
a
+ .
; AI = ; MI = MJ = MA2 + AI 2 =
4 4
2
2
Xét tam giác MIJ vuông cân tại M có: IJ 2 = 2MI 2  h 2 =
Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  là :
1
1 a a
a3
VABC . ABC  = S ABC . AA = . AB. AC. AA = .
.
.a = .
2
2 2 2
4
31 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
h2 a 2
+ h=a.
2
2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 8: Thể tích khối đa diện đều
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có AB = a, góc giữa đường thẳng AC và mặt
phẳng ( ABC ) bằng 45. Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
a3 3
A.
.
12
a3 3
B.
.
4
a3 3
C.
.
2
Lời giải
a3 3
D.
.
6
Chọn B
Ta có lăng trụ ABC. ABC  đều nên AA ⊥ ( ABC )  ( AC , ( ABC ) ) = CAC  = 45 .
 CC  = AC = a.
Lại có tam giác ABC đều cạnh a nên SABC
Vậy VABC . ABC 
Câu 2:
= S ABC .CC  =
a2 3
=
.
4
a3 3
.
4
Cho lăng trụ đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng a , AC tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60 .
Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  theo a .
A.
3a 3
.
4
3a 3
B.
.
12
a3
C.
.
4
Lời giải
3a3
D.
.
4
Chọn D
Vì AA ⊥ ( ABC ) tại A nên AC là hình chiếu của AC trên ( ABC ) .
Suy ra ( AC , ( ABC ) ) = ( AC , AC ) = ACA = 60  AA = AC.tan 60 = a 3 .
3 3a3
.
=
4
4
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
Do đó VABC . ABC  = AA. SABC = a 3. a 2 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai
đáy và bằng 18 3 . Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' tính theo đơn vị thể tích bằng
A. 18 3 .
B. 27 .
C. 36 3 .
Lời giải
D. 64 .
Chọn B
Ta có S xq = 3ax, S2ñ = 2 
Mà S2 ñ = 18 3 do đó
x2 3 x2 3
=
.
4
2
x2 3
= 18 3  x 2 = 36  x = 6.
2
Khi đó: S xq = 3ax = 3a.6 = 18a mà S xq = 18 3  18a =18 3  a = 3.
Vậy: V = Sñ .h =
Câu 4:
62 3
. 3 = 27.
4
Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng ( ABC  ) tạo với mặt
phẳng ( ABC ) một góc 60 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.
a3 3
.
2
B.
3a3 3
.
4
C.
a3 3
.
8
D.
3a3 3
.
8
Lời giải
Chọn D
Gọi H , H  lần lượt là trung điểm của BC , BC  .
Do lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a nên AH =
SABC  =
a2 3
. Ta có:
4
a 3
và
2
( ( ABC) , ( ABC ) ) = ( AH , AH ) = H AH = 60 .
Xét tam giác H HA vuông tại H có tan 60 =
H H
a 3
3
 H H = AH .tan 60 =
. 3= a
AH
2
2
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
3
mà AA = H H nên AA = a .
2
Câu 5:
3 a2 3 3 3 3
Vậy VABC . ABC  =AA.SABC  = a.
=
a .
2
4
8
Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.
27 3
.
4
B.
9 3
.
8
C.
9 3
.
2
D.
27 3
.
12
Lời giải
Chọn A
Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.
32 3
27 3
(đvtt).
.3 =
4
4
Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh đáy bằng a , góc giữa A ' B và mặt phẳng
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là V = SABC . AA =
Câu 6:
A ' ACC ' bằng 300 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A. V = a 3 .
B. V = a3 3 .
C. V = a 3 2 .
Lời giải
Chọn A
OB ⊥ AC
 OB ⊥ ( A ' ACC ')
Gọi O = AC  BD . Vì 
OB ⊥ AA '
Nên: ( A ' B, ( ACC ' A ' ) ) = BA ' O  BA ' O = 300
Ta có: A ' O =
OB
a 6
 AA ' = A ' O 2 − AO 2 = a
=
0
2
tan 30
Vậy V = a 3
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. V = 2a 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 7: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng a . Mặt phẳng ( A ' BC ) hợp với mặt
phẳng đáy một góc 450 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
A.
3a3
8
B.
a3 3
8
C.
a3 3
4
D.
a3
8
Lời giải
Chọn A
Vì đáy ABC là tam giác đều cạnh a nên diện tích bằng
Gọi M trung điểm BC , ta có
( ( A ' BC ) , ( ABC ) ) = ( A ' M , AM ) = A ' MA = 450 .
Xét A ' AM ta có AA ' = AM =
a 3
.
2
Thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là VABC . A ' B ' C ' = AA '.S ABC
Câu 8:
a2 3
.
4
3a3
=
8
Cho hình lăng trụ đều ABC  A BC  . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
(
) (
)
a, góc giữa hai mặt phẳng ABC  và BCCB bằng  với cos  =
1
2 3
( ABC ) bằng

. Tính thể tích khối
lăng trụ ABC  A BC  .
A. V =
3a3 2
.
4
B. V =
3a3 2
.
8
C. V =
a3 2
.
2
D. V =
3a3 2
.
2
Lời giải
Chọn D
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
x 3
, với M là trung điểm của AB .
2
Kẻ CH ⊥ C M  CH ⊥ ( C AB )  CH = d ( C , ( C ' AB ) ) = a
Gọi AB = x  CM =
1
1
1
1
4
3 x 2 − 4a 2
3a 2 x 2
=
−
=
−
=

CC
'
=
CC '2 CH 2 CM 2 a 2 3x 2
3a 2 x 2
3 x 2 − 4a 2
Gọi I là trung điểm của BC  AI ⊥ ( BBC C )
Ta có ( C ' AB )  ( BB ' C ' C ) = C ' B
 IK ⊥ C B
Kẻ IK ⊥ C ' B  
 ( ( C AB ) , ( BBC C ) ) = AKI = 

IA
⊥
C
B

1
AI
cos  =
 tan  = 11 
= 11
IK
2 3
3a 2 x 2
IK
BI
CC '.BI
3a 2 x 2 x
3a 2 x 2
2
=
 IK =
=
. :
+x =
CC ' BC '
BC '
3 x 2 − 4a 2 2 3 x 2 − 4a 2
4 3x 2 − a 2
(
)
3x 2
3a 2 x 2
11a 2
AI
AI 2
= 11.

1
=
= 11  2 = 11 
4
IK
3x 2 − a 2
IK
4 3x 2 − a 2
(
)
 3 x 2 − a 2 = 11a 2  3 x 2 = 12a 2  x = 2a
Câu 9:
2

2a ) . 3
(
 S ABC =
= 3a 2
3 2a 3

4
2 a 6
.

V
=
3
a
.
=

2 2
2
2
2
2
3a x
3a .4a
a 6

h = CC  = 3 x 2 − 4a 2 = 3.4a 2 − 4a 2 = 2

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng a . Đường thẳng BC  tạo với mặt
phẳng ( ACC A ) góc  thỏa mãn cot  = 2 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.
33 3
a .
8
B.
4 11 3
a .
3
C.
11 3
a .
8
D.
2 33 3
a .
3
Lời giải
Chọn A
Kẻ BH ⊥ AC với H  AC . Khi đó BH ⊥ ( ACC A ) và H là trung điểm AC .
Khi đó góc giữa đường thẳng BC  với mặt phẳng ( ACC A ) là góc giữa đường thẳng BC  với
đường thẳng HC  hay HC B =  .
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Trong BHC  vuông tại H với BH =
a 3
khi đó ta có
2
HC 
= 2  HC  = 2.BH = a 3 .
BH
a
Trong CHC  vuông tại C với CH = khi đó ta có
2
cot HC B = 2 
a 2 a 11
.
=
4
2
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  là
CC  = HC 2 − CH 2 = 3a 2 −
a 11 a 2 3 a3 33
(đvtt).
.
=
2
4
8
Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có AB = 2a, đường thẳng AB tạo với mặt phẳng
V = CC .SABC =
( BCCB) một góc 30. Tính thể tích V
A. V = a3 6 .
B. V =
a3 6
.
3
của khối lăng trụ đã cho.
C. V = 2a3 6 .
D. V =
a3 6
.
2
Lời giải
Chọn C
Gọi M là trung điểm BC.
Vì ABC đều nên AM ⊥ BC. Mà AM ⊥ BB (do ABC. ABC  là hình lăng trụ tam giác đều)
Suy ra AM ⊥ ( BBC C ) .
Khi đó BM là hình chiếu của AB lên ( BBC C ) .
Suy ra ( AB, ( BBC C ) ) = ( AB, BM ) = ABM = 30.
Vì ABC đều nên AM =
AB 3
= a 3.
2
ABM vuông tại M có sin ABM =
ABB vuông tại B có BB =
AM
AM
a 3
 AB =
=
= 2a 3.
1
AB
sin 30
2
AB2 − AB 2 = 2a 2.
Thể tích của khối lăng trụ đã cho là V = BB.S ABC = 2a
2
2a )
(
2.
4
3
= 2a3 6 (đvtt).
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
C
Câu 1:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Thể tích V khối lập phương cạnh 3a là
A. V = 81a 3 .
B. V = 9a 3 .
C. V = a 3 .
Lời giải
D. V = 27 a 3 .
Chọn D
Thể tích V khối lập phương cạnh 3a là V = ( 3a ) = 27a 3 .
3
Câu 2:
Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có tam giác ABC đều cạnh
thể tích V của khối lăng trụ ABC. ABC  .
3a3
A. V =
.
4
B.
3a3
C. V =
.
2
V = 2 3a .
3
a và độ dài cạnh bên 2a . Tính
D. V
= 3a 3 .
Lời giải
Chọn C
Thể tích khối lăng trụ là V = SABC . AA =
Câu 3:
a2 3
3a3
.2a =
.
4
2
Cho lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng 2a , độ dài cạnh bên bằng a 3 . Thể tích V
của khối lăng trụ bằng
A. V =
3a 3
.
4
B. V =
a3
.
4
C. V = a 3 .
D. V = 3a 3 .
Lời giải
Chọn A
Theo tính chất lăng trụ tam giác đều, đáy là tam giác đều ABC và cạnh bên vuông góc với đáy.
Do đó áp dụng công thức V = SABC .h = ( 2a ) .
2
Câu 4:
3
3a 3
.a 3 =
.
4
4
Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 2 bằng
8
A. .
B. 4 .
C. 6 .
3
Lời giải
Chọn D
D. 8 .
Ta có V = 23 = 8 .
Thể tích khối lập phương cạnh 2a bằng
A. 32a 3 .
B. 16a 3 .
C. 64a 3 .
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
Câu 5:
D. 8a 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Lời giải
Chọn D
Thể tích khối lập phương cạnh 2a bằng ( 2a ) = 8a 3 .
3
Câu 6:
Cho khối lập phương có thể tích bằng 64. Cạnh của khối lập phương đã cho bằng
A. 4 2.
B. 4.
C. 32.
Lời giải
D. 8.
Chọn B
Gọi cạnh của khối lập phương là a. Ta có V = a 3 = 64  a = 4.
Vậy cạnh của khối lập phương đã cho bằng 4.
Câu 7:
Thể tích của một khối lập phương có cạnh bằng 1m là
A. V = 3m.
B. V = 1m3 .
1
C. V = m3 .
3
Lời giải
D. V = 1m 2
Chọn B
Thể tích khối lập phường có cạnh bằng 1m là: V = 13 = 1m3
Câu 8:
Cho khối lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Thể tích khối lăng trụ đã
cho bằng
4
2
A. 4a 3 .
B. a 3 .
C. a 3 .
D. 2a 3 .
3
3
Lời giải
Chọn D
Ta có: V = B.h = a 2 .2a = 2a 3 .
Câu 9:
Thể tích của khối lập phương cạnh 4a bằng
A. 16a 3 .
B. 64a 3 .
C. 4a 3 .
Lời giải
D. a 3 .
Chọn B
Thể tích của khối lập phương cạnh 4a là V = ( 4a ) = 64a 3 .
3
Câu 10: Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 3 là
A. 36 .
B. 9 .
C. 27 .
Lời giải
D. 81 .
Chọn C
Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 3 là V = 33 = 27 .
Chọn C
Câu 11: Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng 3 và đáy là tam giác đều có độ dài cạnh bằng 2 . Tính
thể tích khối lăng trụ đã cho
A. 3 .
B. 3 3 .
C. 3 .
Lời giải
D. 6 .
Chọn B
Diện tích đáy bằng B =
22 3
= 3.
4
Thể tích của khối lăng trụ là V B.h 3 3 .
Câu 12: Thể tích khối lập phương cạnh 3a bằng
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
A. 3a 3 .
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
C. a 3 .
D. 9a 3 .
Lời giải
3
B. 27a .
Chọn B
Thể tích khối lập phương V = ( 3a ) = 27a 3 .
3
Câu 13: Cho ( H ) là lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, thể tích của ( H ) bằng
dài cạnh của khối lăng trụ ( H ) là
A.
3
3.
B.
3
3
.
4
C. 1 .
D.
16
.
3
Lời giải
Chọn C
Gọi a là cạnh của hình lăng trụ.
Diện tích tam giác ABC là S ABC =
a2 3
.
4
Thể tích của khối lăng trụ là V = S ABC .AA =
Theo bài ra ta có
a3 3
.
4
a3 3
3
=
 a3 = 1  a = 1 .
4
4
Câu 14: Khối lập phương có cạnh bằng 2a thì có thể tích V là
A. V = 4a 3 .
B. V = a 3 .
C. V = 8a 3 .
D. V =
Lời giải
Chọn C
Khối lập phương có cạnh bằng 2a thì có thể tích V = ( 2a ) = 8a 3 .
3
Câu 15: Thể tích của khối lập phương cạnh 2 bằng
A. 6 .
B. 8 .
C. 2 .
Lời giải
D. 4 .
Chọn B
Thể tích của khối lập phương cạnh 2 là: V = 23 = 8 .
Câu 16: Khối lập phương đơn vị có thể tích bằng
1
A. 3 .
B. .
3
C. 1 .
Lời giải
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. 12 .
8a 3
.
3
3
. Độ
4
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chọn C
Khối lập phương đơn vị có thể tích bằng 1 .
Câu 17: Cho hình lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng a 2 , cạnh bên bằng a 5 . Thể tích của khối
lăng trụ đó bằng
2a 3 5
A.
.
9
B. a
3
5.
C. 2a
3
2a 3 5
D.
.
3
5.
Lời giải
Chọn C
Lăng trụ đã cho là lăng trụ tứ giác đều nên đáy là hình vuông cạnh bằng a 2 . Cạnh bên vuông
góc với mặt đáy.
(
 Diện tích đáy của hình lăng trụ là B = a 2
)
2
= 2a 2 .
2
3
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng V = B.h = 2a .a 5 = 2a 5.
Câu 18: Cho lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3a . Thể tích khối lăng trụ đã cho
bằng
A.
9 3a 3
.
2
B.
9 3a 3
.
4
C.
27 3a 3
.
2
D.
27 3a 3
.
4
Lời giải
Chọn D
Diện tích đáy của hình lăng trụ là: B = ( 3a ) .
2
3 9a 2 3
.
=
4
4
Chiều cao của hình lăng trụ là: h = 3a .
Thể tích khối lăng trụ là: V = B.h =
9a 2 3
27a3 3
.
.3a =
4
4
Câu 19: Cho khối lăng trụ đều ABC . A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 3 . Thể tích của
khối lăng trụ bằng
a3
A.
.
3
B.
a3
C.
.
6
3a 3
.
4
3a 3
D.
.
4
Lời giải
Chọn D
a2 3
Diện tích đáy S ABC =
.
4
Khối lăng trụ đều ABC . A ' B ' C ' có chiều cao bằng AA ' .
Thể tích khối lăng trụ là: VABC . A ' B ' C ' = SABC . AA ' =
a2 3
3a3
.a 3 =
.
4
4
Câu 20: Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng
A. a 3 .
B. 8a 3 .
C
.
Lời giải
a 31
.
4
D.
2a 5
.
5
Chọn B
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Thể tích của khối lập phương: V = ( 2a ) = 8a 3 .
3
Câu 21: Thể tích của khối lập phương cạnh 3a bằng
A. 3a 3 .
B. a 3 .
C. 27a 3 .
Lời giải
Chọn C
D. 9a 3 .
Thể tích của khối lập phương cạnh 3a là V = ( 3a ) = 27a 3 .
3
Câu 22: Thể tích của khối lăng trụ đều có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng a là:
A. 8a 3 .
B. a 3 3 .
C.
a3 3
.
3
D. 2a 3 .
Lời giải
Chọn B
Thể tích của khối lăng trụ là V = B.h .
Ta có:
( 2a )
B=
2
4
3
= a2 3 , h = a .
Vậy thể tích của khối lăng trụ là V = a 2 3.a = a 3 3.
Câu 23: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng a . Góc tạo bởi đường thẳng AB và
mặt phẳng ( AAC ) bằng 300 . Thể tích khối lăng trụ bằng
A.
a3 6
.
4
B.
a3 3
.
2
C.
a3 6
.
12
D.
a3 3
.
4
Lời giải
Chọn A
Gọi I là trung điểm của cạnh AC . Khi đó, BI ⊥ AC (do tam giác ABC đều).
( AA ' C ' C ) ⊥ ( ABC )

Lại có, ( AA ' C ' C )  ( ABC ) = AC

 BI  ( ABC )
nên BI ⊥ ( AA ' C ' C )  BI ⊥ ( AA ' C ) . Do đó, góc tạo bởi đường thẳng A ' B và mặt phẳng
( AA ' C ) chính là góc BA ' I = 300 .
a 3
BI
BI
 A' B =
= 2 0 =a 3.
Xét tam giác A ' BI vuông tại I , ta có: sin BA ' I =
A' B
sin BA ' I sin 30
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 AA ' =
A ' B 2 − AB 2 = a 2.
Ta có: VABC . A ' B 'C ' = SABC . AA ' =
a2 3
a3 6
.a 2 =
.
4
4
Câu 24: Tính thể tích V của khối lập phương ABCD. ABC D biết AC  = 2a 3 .
A. V = a 3 .
B. V = 24a 3 3 .
D. V = 3 3a 3 .
C. 8a 3 .
Lời giải
Chọn D
Vì ABCD. ABC D là hình lập phương nên ta có
(
2a 3
AC 2
AC 2 = AC 2 + CC 2 = AB 2 + BC 2 + CC 2 = 3 AB 2  AB 2 =
=
3
3
)
2
= 4a 2  AB = 2a
Vậy V = AB 3 = ( 2a ) = 8a 3 .
3
Câu 25: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có AB = a , góc giữa đường thẳng AC và mặt
phẳng ( ABC ) bằng 45 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.
a3 3
.
4
B.
a3 3
.
6
a3 3
.
12
C.
D.
a3 3
.
2
Lời giải
Chọn A
Ta có ( AC , ( ABC ) ) = ACA = 45 nên
AAC vuông cân tại A suy ra AA = AC = a .
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  là V = Sh =
a2 3
a3 3
.a =
.
4
4
Câu 26: Cho lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng
A.
9
.
4
B.
3
.
4
C.
9
.
12
3 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
D.
3
.
8
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 12
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Lời giải
Chọn A
Ta có VLT = B.h . Theo bài ra thì: B =
Suy ra VLT =
( )
2
3
3
4
=
3 3
và h = 3
4
3 3
9
. 3= .
4
4
Câu 27: Cho một khối lập phương ABCD. ABC D có đường chéo AC  = a 6 có thể tích là
A. 2a 3 2 .
B. a 3 .
C. 6a 3 6 .
Lời giải
D. 4a 3 .
Chọn A
Đường chéo của hình lập phương là AC  = a 6 nên khối lập phương có cạnh bằng a 2 . Do
(
đó, khối lập phương có thể tích là a 2
)
3
= 2a 3 2 .
Câu 28: Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a .
A. V =
a3 3 .
2
B. V =
a3 3 .
4
C. V =
a3 3 .
12
Lời giải
Chọn B
Gọi lăng trụ tam giác đều là ABC.DEF có các cạnh bằng a .
Diện tích đáy là SDEF =
a2 3
.
4
Thể tích khối lăng trụ là V = SDEF .CF =
a3 3
.
4
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. V =
a3 3 .
6
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 29: Tính thể tích V của khối lập phương ABCD. ABC D , biết AC  = a 3
3 6a 3
A. V =
.
4
1
C. V = a 3 .
3
Lời giải
B. V = a 3 .
D. V = 3 3a 3 .
Chọn B
Gọi cạnh của hình lập phương là x , khi đó ta có:
AC 2 = AA2 + AC 2  AC 2 = AA2 + AB 2 + BC 2  3a 2 = x 2 + x 2 + x 2  x = a .
Vậy thể tích của hình lập phương là V = a 3 .
Câu 30: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có AC  = 2a 3 . Tính thể tích hình lập phương
ABCD. ABC D .
8
A. V = 8a 3 .
B. V = 4a 3 .
C. V = a 3 .
D. V = a 3 .
3
Lời giải
Chọn A
Gọi cạnh hình lập phương có độ dài x .
Xét tam giác ABC  vuông tại B  có AC  = x 2 .
Xét
tam
giác
AAC 
vuông
tại
A
AC  = AA2 + AC 2 = x 3
có
suy
ra
x 3 = 2a 3  x = 2a
Vậy thể tích hình lập phương ABCD. ABC D là V = 8a 3 .
Câu 31: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC . ABC  có AB = a và AA ' = 2a. Thể tích của khối lăng
trụ ABC . ABC  bằng
a3 3
A.
.
2
a3 3
B.
.
6
C. a
3
3.
a3 3
D.
.
12
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 14
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Diện tích ABC đều cạnh AB = a là: SABC =
a2 3
.
4
Thể tích của khối lăng trụ đều VABC . ABC  = AA.SABC
a 2 3 a3 3
= 2a.
=
.
4
2
Câu 32: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  , biết AB = a , AB = a 7 . Thể tích V của khối lăng
trụ là
A. V =
3a3 2
.
4
B. V =
a3 3
.
4
C. V =
3a3 3
.
4
D. V =
a3 3
.
3
Lời giải
Chọn A
Ta có AA =
( AB) − ( AB)
2
Diện tích đáy ABC là S ABC =
2
=
(a 7 )
2
− a2 = a 6 .
a2 3
.
4
Thể tích khối lăng trụ là VABC . ABC  = AA.S ABC = a 6.
a 2 3 3a3 2
.
=
4
4
Câu 33: Cho lăng trụ tam giác đều ABC . AB C  có cạnh bên bằng 2a . Đáy ABC nội tiếp đường tròn
bán kính R = a . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A.
3a 3 3
.
2
B. 3a 3 .
C.
3a 3
.
2
D.
a3 3
.
2
Lời giải
Chọn A
C'
A'
B'
C
A
I
N
M
B
Gọi M là trung điểm BC , N là trung điểm của AB và I = AM  CN . Đặt AB = x .
Đáy ABC là tam giác đều và nội tiếp đường tròn bán kính R = a nên AI = a , suy ra
3
3
AM = AI = a.
2
2
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
2
2
2
x 2 3x 2
 BC 
 3  3x
2
 x 2 = 3a 2  x = 3a .
Khi đó, AM = AB − 
=
x
−
=

a
=

 
4
4
4
 2 
2 
2
2
Vậy VABC . ABC  = S ABC . AA =
1
1 3
3 3 3
AM .BC. AA = . a. 3a.2a =
a.
2
2 2
2
Câu 34: Cho hình lăng trụ đều ABC. ABC  , đáy là tam giác đều cạnh a góc giữa hai mặt phẳng ( ABC )
và ( ABC ) bằng 60 . Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.
3 3a 3
.
4
B.
3a 3
.
4
C.
3 3a 3
.
8
D.
3a 3
.
8
Lời giải
Chọn C
Gọi M là trung điểm của BC , ta có AM ⊥ BC
Mặt khác ABC. ABC  là lăng trụ đều nên AA ⊥ BC
Suy ra AM ⊥ BC , góc giữa hai hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABC ) là AMA = 60
Tam giác ABC đều cạnh a , ta có AM =
a 3
a2 3
; S ABC =
.
2
4
Tam giác AAM vuông tại A , ta có AA = AM .tan 60 =
Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  là V = SABC . AA =
a 3
3a
.
. 3=
2
2
a 2 3 3a 3 3a 3
.
 =
4
2
8
Câu 35: Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF . ABC DE F  có cạnh đáy bằng a , biết thể tích của
khối lăng trụ ABCDEF . ABC DE F  là V = 3 3a 3 . Tính chiều cao h của khối lăng trụ
ABCDEF . ABC DE F  .
A. h = 2a .
B. h = a 3 .
C. h =
2a 3
.
3
D. h = a .
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 16
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
360
Do ABCDEF . ABC DE F  là lăng trụ đều nên ta có: BOC  =
= 60 .
6
Suy ra BOC  đều cạnh a S ABC DE F  = 6SBOC  = 6 
3a 2 3 3a 2
.
=
4
2
Thể tích của khối lăng trụ: V = h.S ABC DE F  = 3 3a 3  h =
3 3a 3
= 2a .
3 3a 2
2
Câu 36: Cho khối lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có diện tích mặt chéo ACC ' A ' bằng 2 2a 2 . Thể tích
của khối lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' bằng
B. 2 2a 3 .
A. 2a 3 .
C. a 3 .
Lời giải
D. 8a 3 .
Chọn B
Gọi x là cạnh của hình lập phương ( x  0 ) .
2
Ta có S ACC ' A ' = AC. AA ' = x.x 2 = 2 2a  x = a 2 .
(
Vậy thể tích của khối lập phương là V = a 2
)
3
= 2 2a 3 .
Câu 37: Cho khối lăng trụ đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng 2a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng ( ABC  ) bằng a . Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A.
3 2a 3
.
2
B.
3 2a 3
.
8
C.
2a 3
.
2
D.
3 2a 3
.
6
Lời giải
Chọn A
Gọi M là trung điểm của BC  và I là hình chiếu của A lên AM . Khi đó ta có
 BC  ⊥ AM
 BC  ⊥ ( AMA)  BC  ⊥ AI (1)

 BC  ⊥ AA
Mà AM ⊥ AI
( 2)
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Từ (1) và (2) suy ra AI ⊥ ( ABC  )  d ( A, ( ABC  ) ) = AI = a .
Xét tam giác vuông AAM :
1
1
1
a 6
=
+
 AA =
2
2
2
AI
AA
AM
2
 Thể tích khối lăng trụ đã cho là V = AA.SABC =
3 2a 3
a 6 4a 2 3
.
.
=
2
2
4
Câu 38: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BD bằng
2 3a
. Thể tích của khối lập phương ABCD. ABC D bằng
3
A. 8a 3 .
B.
3 6 3
a .
4
C. 3 3a 3 .
D. a 3 .
Lời giải
Chọn A
Gọi O là giao điểm của BD và AC .
 BD ⊥ AC

 BD ⊥ ( ACC A ) .
Ta có:  BD ⊥ CC 
 AC  CC  = C

Trong ( ACC A ) : Từ C hạ CH ⊥ C ' O tại H
CH ⊥ BD

 CH ⊥ ( BDC ')
Khi đó ta có: CH ⊥ C O
C ' O  BD = O

Ta lại có: AB // DC   ( BDC  ) và AB '  ( BDC ')  AB // ( BDC  )
 d ( AB; BD ) = d ( AB; ( BDC  ) ) = d ( A; ( BDC  ) ) = d ( C , ( BDC  ) ) = CH =
2a 3
.
3
CC  = x

Đặt cạnh hình lập phương là x  
x 2
CO =

2
1
1
1
3
3
1 2
=
+
 2 = 2 + 2 = 2  x 2 = 4a 2  x = 2a .
Khi đó
2
2
2
CH
CC ' CO
x
4a
x x
Do đó thể tích của khối lập phương là ( 2a ) = 8a 3 .
3
Câu 39: Cho hình lăng trụ đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng
2a 3
. Đường thẳng BC  tạo với mặt
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 18
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
phẳng ( ACC A ) góc  thỏa mãn cot  = 2 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A. 4 a 3 11 .
B. 1 a 3 11 .
3
C. 1 a 3 11 .
9
3
D. 2 a 3 11 .
3
Lời giải
Chọn C
Gọi H là trung điểm cạnh AC .
2a 3 3
.
=a.
3
2
Ta có: BH ⊥ AC , BH ⊥ AA (do AA ⊥ ( ABC ) ) suy ra BH ⊥ ( ACC A ) .
Do tam giác ABC đều nên BH ⊥ AC và BH =
Do đó: ( BC , ( ACC A ) ) = ( BC , HC  ) = BC H
= .

BH
Xét tam giác vuông HBC  : cot  = C H  C H = BH .cot  = 2a .
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông CHC  : CC  = C H 2 − CH 2 = 4a 2 −
3a 2 a 33
=
9
3
Thể tích khối lăng trụ:
1
1 2a 3 a 33 1 3
VABC . ABC = S ABC .CC  = .BH . AC.CC  = .a.
.
= a 11 .
2
2
3
3
3
Câu 40: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABC D . Biết khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng AC
và DC  lần lượt là
A.
a 3 21
.
6
a 21
2
và  , cos  =
. Tính thể tích lăng trụ ABCD. ABC D
7
4
B.
a3 7
.
2
C.
Lời giải
Chọn D
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
a 3 15
.
2
D. a 3 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi x , y lần lượt chiều dài cạnh đáy của hình vuông và chiều cao của lăng trụ đều.
Vì AB // DC  nên ta có góc ( AC , DC  ) = ( AC , AB ) = CAB =  .
Xét tam giác cân BAC tại B  : BC 2 = AB2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos   AC =
Suy ra x 2 = x 2 + y 2
AB 2
2
2
 y = 3x .
2
1
1
7
7
Diện tích của tam giác ACB : S ACB = . AC. AB.sin  = .x 2.2 x.
.
= x2
2
2
8
2
1
1
1
x3 3
Thể tích của khối chóp B. ACD là VB. ACD = .VB. ABCD = VABCD. ABC D = .x 2 .x 3 =
2
6
6
6
Mặt khác AB // DC  suy ra khoảng cách
d ( AC , DC  ) = d ( DC , ( BAC ) ) = d ( D, ( BAC ) ) =
a 21
7
1
x3 3 1 x 2 7 a 21
Suy ra VB. ACD = .SBAC .d ( D, ( BAC ) ) 
= .
.
x=a
3
6
3 2
7
Vậy thể tích của khối lăng trụ là VABCD. ABC D = x 2 .x 3 = a 3 3
Câu 41: Cho hình lăng trụ đều ABC. ABC  . Biết cosin góc giữa hai mặt phẳng ( ABC  ) và ( BCC B )
bằng
1
2 3
và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABC  ) bằng a . Thể tích khối lăng trụ
ABC. ABC  bằng:
A.
3a 3 2
.
8
B.
a3 2
.
2
C.
3a 3 2
.
4
D.
3a 3 2
.
2
Lời giải
Chọn D
Đặt AB = x, AA = y , x  0, y  0 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB . Kẻ
CH ⊥ C N tại H và AK ⊥ C B tại K.
Ta có: d ( A, ( BCC B ) = AM =
3x 2
1
x 3
+ y2 =
3x 2 + 4 y 2 .
, C N = CC 2 + CN 2 =
4
2
2
C B = CC 2 + BC 2 = x 2 + y 2
1
2
1
2
AC B cân tại C   S AC B = . AK .C B = .C N . AB  AK =
C N . AB x 3 x 2 + 4 y 2
=
.
C B
2 x2 + y 2
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 20
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
 sin ( ( ABC ), ( BCC B) ) =
d ( A, ( BCC B) ) AM
3. x 2 + y 2
=
=
d ( A, BC  )
AK
3x 2 + 4 y 2
2
3. x 2 + y 2
x 6
 1 
 1− 
=
 3x 2 = 8 y 2  y =

4
2 3
3x 2 + 4 y 2
Mặt khác: d ( C ,( ABC ) = CH =
CC.CN
3xy
=
= a  a 2 ( 3x 2 + 4 y 2 ) = 3x 2 y 2 ( 2 )
2
2
CN
3x + 4 y
Thay (1) và ( 2 ) ta tìm được x = 2a  y =
Vậy VABC . ABC  = S ABC
( 2a )
. AA =
(1)
a 6
.
2
2
3 a 6 3a3 2
.
.
=
4
2
2
Câu 42: Cho khối bát diện đều có cạnh a . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác
SAB, SBC , SCD, SDA ; gọi M , N , P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác
S AB, S BC , S CD, S DA (như hình vẽ dưới). Thể tích của khối lăng trụ MNPQ.M N PQ là
A.
2a 3
.
72
B.
2 2a 3
.
81
C.
2a 3
.
24
D.
2 2a 3
.
27
Lời giải
Chọn D
Gọi O = AC  BD ; I , J lần lượt là trung điểm của AB, BC .
Do M , N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC nên ta có MN =
21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
2
1
a 2
IJ = AC=
3
3
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Do SABCDS  là bát diện đều nên hoàn toàn tương tự ta có tất cả các cạnh còn lại của của khối
a 2
.
3
Mặt khác AC ⊥ BD , mà MN //AC//PQ, MQ//BD //NP nên MNPQ là hình vuông.
Tương tự ta có tất cả các mặt còn lại của lăng trụ MNPQ.M N PQ cũng là hình vuông.
lăng trụ MNPQ.M N PQ cũng bằng
Suy ra lăng trụ MNPQ.M N PQ là hình lập phương có cạnh bằng
a 2
.
3
3
Vậy VMNPQ.M N PQ
 a 2  2a 3 2
= 
.
 =
27
 3 
Câu 43: Cho hình lăng trụ đều ABC. ABC  có cạnh đáy a ; biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
và A C bằng
a 15
. Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  tính theo a bằng:
5
3 3a 3
A.
.
8
3a 3
B.
.
2
3a 3
C.
.
8
Lời giải
3a 3
D.
.
4
Chọn D
Ta có AB / / AB  AB / / ( ABC )  d( AB , AC ) = d( AB ,( ABC )) = d( B ,( ABC )) =
a 15
5
Đặt AA = x  0 .
2
2
Tam giác CAB cân tại C , CA = CB = a + x .
Diện tích tam giác CAB là
1
1
a2 1
3a 2 + 4 x 2 1
SCAB = CH . AB = .a. a 2 + x 2 −
= a.
= a 3a 2 + 4 x 2
2
2
4 2
4
4
Thể tích lăng trụ V = x.
a2 3
4
(1)
1
a 15 1
. a. 3a 2 + 4 x 2 .
Lại có V = 3VB. ABC = 3. d( B ,( ABC )) .S ABC =
3
5 4
Do đó x.
a 2 3 a 15 1
=
. a. 3a 2 + 4 x 2  5 x 3 = 15. 3a 2 + 4 x 2  x = a 3 .
4
5 4
a2 3
3a3
V = x.
=
.
4
4
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 22
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 9: Thể tích khối lăng trụ xiên
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a . Hình
chiếu vuông góc của A ' trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của cạnh AB và AA ' = a 2
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng?
A.
a
3
3.
B. 2a 3 2 .
C.
a3 6
.
2
D.
a3 6
.
6
Lời giải
Chọn C
o
Xét tam giác vuông cân ABC : sin 45 =
AB AB
2 2
=
 AB =
a = 2a
AC 2a
2
Mà tam giác ABC vuông cân nên AB = BC = 2a và SABC =
1
1
AB.BC =
2a. 2a = a 2 .
2
2
2
 2 
6
AA ' − AH = 2a − 
a  =
a.
2
2


Xét tam giác vuông AA ' H : A ' H =
2
Khi đó: VABC . A ' B 'C ' = SABC . A ' H = a .
Câu 2:
2
2
2
6
6 3
a=
a.
2
2
Cho khối lăng trụ ABC. AB C  có thể tích bằng 18 ( cm 3 ) . Gọi M , N , P theo thứ tự là trung
điểm các cạnh CC , BC , B C  . Khi đó thể tích V của khối chóp A.MNP là
A. 9 ( cm 3 ) .
B. 3 ( cm 3 ) .
C. 12 ( cm 3 ) .
Lời giải
Chọn B
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. 6 ( cm 3 ) .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
2
1
Ta có VA.CBBC  = VABC . ABC  = 12 cm3 . Lại có SMNP = S BCC B
3
4

Câu 3:
VAMNP
VABC CB
1
d ( A, ( BCC B ) ) .S MNP
1
1
3
=
=  VAMNP = VABC CB = 3 cm3 .
1
4
d ( A, ( BCC B ) ) .S BCC ' B ' 4
3
Cho lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AA = AB = AC . Biết rằng
AB = a, BC = a 3 và mặt phẳng ( ABC ) tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Thể tích khối
lăng trụ ABC. ABC  bằng?
A.
3a 3
.
4
B.
3a 3
2
C. a 3 .
D.
a3
4
Lời giải
Chọn A
Gọi H là trung điểm của AC , vì tam giác ABC vuông tại B nên H là tâm đường tròn ngoại
tiếp của tam giác ABC .
 AA = AB = AC
 AH ⊥ ( ABC ) .
Ta có: 
 HA = HB = HC
Kẻ HM ⊥ BC 
(( ABC ) ; ( ABC )) = AMH = 60 .
Diện tích tam giác ABC : S ABC
Câu 4:
1
a2 3
= AB.BC =
.
2
2
Xét tam giác vuông AHM có: AH = HM .tan 60 =
1
3a
AB.tan 60 =
.
2
2
Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  : V = AH .S ABC =
3a 3a 2 3a3
.
=
.
2
2
4
Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của
A trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa AA và
BC bằng
A.
a3 3
.
12
a 3
. Khi đó thể tích khối lăng trụ là
4
B.
a3 3
.
6
C.
a3 3
.
3
D.
a3 3
.
24
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Do tam giác ABC đều có trọng tâm G và A ' G ⊥ ( ABC ) nên A. ABC là hình chóp đều.
a 3
2
a 3
 AG = AH =
.
2
3
3
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên AA  HK ⊥ AA (1) .
Gọi H là trung điểm của BC , khi đó AH ⊥ BC và AH =
Lại có BC ⊥ ( AHA ) mà HK  ( AHA ) nên BC ⊥ HK
Từ
(1)
và
( 2)
suy ra HK là đoạn vuông góc chung của BC và AA . Do đó
d ( AA, BC ) = HK =
a 3
a2
. Đặt AA = AB = AC = x , khi đó AG = x 2 −
.
3
4
Ta có 2SAHA = HK . AA = AG. AH 
Khi đó AG = x 2 −
Câu 5:
( 2) .

a 3
a2 a 3
a2 
2a
.x = x 2 − .
 x2 = 4  x2 −   x =
.
4
3 2
3
3


a a2 3 a3 3
a2 a
a2 3
= , SABC =
=
.
 VABC . ABC  = AG.S ABC = .
3 3
4
3 4
12
Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A xuống
mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của đoạn AB . Mặt bên ( AAC C ) tạo với đáy 1 góc 45 .
Tính thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  .
A.
3 3a 3
.
16
B.
3a3
.
8
C.
3a3
.
16
D.
3 3a 3
.
8
Lời giải
Chọn C
Gọi I , K lần lượt là trung điểm các đoạn AC và AI .
Do tam giác ABC đều nên BI ⊥ AC . HK là đường trung bình của tam giác ABI nên HK ⊥ AC .
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Mặt khác AH ⊥ ( ABC )  AH ⊥ AC . Từ đó AC ⊥ ( AHK ) suy ra góc giữa mặt phẳng
( ABC ) và mặt phẳng ( AAC C ) là góc AKH  AKH = 45 .
BI a 3
.
=
2
4
Tam giác AKH vuông cân tại H  AH = HK =
Mà S
Câu 6:
ABC
=
a2 3
.Vậy VABC . ABC  = AH .S
4
ABC
=
3a3
.
16
Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của
A trên ( ABC ) là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng AC với mặt phẳng đáy bằng
60 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.
2a 3
.
4
B.
3 3a 3
.
4
C.
3a 3
.
4
D.
3 3a 3
.
8
Lời giải
Chọn D
Gọi H là trung điểm cạnh AB . Vì hình chiếu vuông góc của A trên ( ABC ) là trung điểm của
cạnh AB nên AH ⊥ ( ABC ) , do đó CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mặt phẳng
( ABC ) .
Suy ra ( AC , ( ABC ) ) = ( AC , HC ) = ACH = 60 .
(
)
Xét tam giác vuông AHC vuông tại H , ta có AH = CH .tan ACH =
a 3
3
. 3= a.
2
2
3 a 2 3 3 3a 3
Khi đó VABC . ABC  = AH .S ABC = a.
.
=
2
4
8
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
C
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:
Cho khối lăng trụ có thể tích V = 45 và diện tích đáy B = 9 . Chiều cao của khối lăng trụ đã cho
bằng
A. 20 .
B. 10 .
C. 15 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn D
V 45
Thể tích của khối lăng trụ V = B.h  h = =
=5.
B 9
Câu 2:
Một lăng trụ có diện tích đáy bằng 5 và chiều cao bằng 6 có thể tích bằng.
A. 12 .
B. 30 .
C. 10 .
D. 18 .
Lời giải
Chọn B
V = B.h = 5.6 = 30.
Câu 3:
Một khối lăng trụ có diện tích đáy B = 5 và chiều cao h = 6 . Thể tích của khối lăng trụ đó bằng
A. 25 .
B. 10 .
C. 15 .
D. 30 .
Lời giải
Chọn D
Thể tích khối lăng trụ đã cho là V = B.h = 5.6 = 30 (đvtt).
Câu 4:
Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a . Thể tích của khối lăng
trụ đã cho bằng ?
16 3
4
a .
A. 4a 3 .
B. 16a 3 .
C.
D. a 3 .
3
3
Lời giải
Chọn A
Ta có Sday = a 2 , h = 4a .
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng Vlt = Sday .h = a 2 .4a = 4a 3 .
Câu 5:
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h . Thể tích V của khối lăng trụ đã cho được
tính theo công thức nào dưới đây?
1
4
A. V = Bh .
B. V = Bh .
C. V = 6 Bh .
D. V = Bh .
3
3
Lời giải
Chọn D
Ta có thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V = Bh .
Câu 6:
Cho hình hộp ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O . Hình chiếu vuông góc
3a
của A lên ( ABCD ) trùng với O . Biết AB = 2a , BC = a , cạnh bên AA bằng
. Thể tích của
2
khối hộp ABCD. ABC D bằng
A. 2a 3 .
B. 3a 3 .
C.
Lời giải
Chọn A
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
4a 3
.
3
D.
3a 3
.
2
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Từ giả thiết ta có AO ⊥ ( ABCD )  A 'O ⊥ AO
Trong hình chữ nhật ABCD : AC = AB 2 + BC 2 = a 5  AO =
Trong tam giác vuông AAO : AO = AA2 − AO 2 =
a 5
.
2
9a 2 5a 2
−
=a.
4
4
Diện tích ABCD, S ABCD = 2a.a = 2a 2 .
Thể tích khối hôp là: V = S ABCD . AO = 2a 2 .a = 2a 3 .
Câu 7:
Cho lăng trụ ABC. ABC  có diện tích tam giác ABC bằng 4, khoảng cách từ A đến BC bằng
3, góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABC  ) bằng 30 . Thể tích khối lăng lăng trụ
ABC. ABC  bằng
B. 6 .
A. 12 .
D. 3 3 .
C. 2 .
Lời giải
Chọn B
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BC và ( ABC ) .
Khi đó
( ( ABC ) , ( ABC) ) = ( ( ABC ) , ( ABC ) ) = AHK = 30  AK = AH .sin 30 = 32 .
Vậy VABC . ABC  = 3VA. ABC = 3VA. ABC = AK .S ABC = 6 .
Câu 8:
Cho khối lăng trụ ABCD. AB C D  có đáy là hình thoi cạnh a , BAD = 120 , khoảng cách giữa
hai đường thẳng B D  và AC bằng 2a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
A.
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
3a 3 .
B.
3 3
a .
6
C.
3 3
a .
2
D.
3 3
a .
3
Lời giải
Chọn A
Góc BAD = 120 suy ra tam giác ABC đều. Do đó diện tích hình thoi ABCD là
a2 3 a2 3
=
.
4
2
Mặt khác d ( A, ( ABCD ) ) = d ( B D , AC ) = 2a . Suy ra thể tích khối lăng trụ là
S = 2.
a2 3
V = 2a.
= a3 3 .
2
Câu 9:
Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' . Mặt bên ( BCC ' B ') có diện tích bằng 10, khoảng cách
từ A ' đến mặt phẳng ( BCC ' B ') bằng 6. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A. 40 .
B. 30 .
C.
40
.
3
D. 60 .
Lời giải
Chọn B
1
VA '.BCC ' B ' = .6.10 = 20
3
1
3
3
VA '. ABC = VABC . A' B 'C '  VABC . A' B ' C ' = VA'. BCC ' B ' = .20 = 30 .
3
2
2
Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt phẳng
đáy bằng 30 . Hình chiếu của A xuống mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm của BC . Tính
thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  .
a3 3
A.
.
24
a3
B.
.
8
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C.
a3 3
.
8
D.
a3 3
.
4
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Lời giải
Chọn C
Gọi H là trung điểm BC . Khi đó ( AA, ( ABC ) ) = ( AA, BH ) = AAH = 30 .
Suy ra AH = AH .tan 30 =
a 3 1 a
a a 2 3 a3 3
.
= . Vậy V = .
.
=
2
2 4
8
3 2
Câu 11: Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh 3, cạnh bên bằng 2 3 và tạo với mặt
phẳng đáy một góc 30. Khi đó thể tích khối lăng trụ là?
A.
9
.
4
B.
27 3
.
4
C.
27
.
4
D.
9 3
.
4
Lời giải
Chọn C
Gọi H là hình chiếu của C ' trên mặt phẳng ( ABC ) .
CH là hình chiếu của CC ' trên ( ABC )  ( CC ; ( ABC ) ) = C CH .
Bài ra ( CC ; ( ABC ) ) = 30  C CH = 30  sin 30 =
C H 1
1
2 3
=  C H = CC  =
= 3.
CC  2
2
2
1
1
3 27
Do đó VABC . ABC  = C H .S ABC = C H . AB. AC.sin 60 = 3. .3.3.
= .
2
2
2
4
Câu 12: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng
4 a . Mặt phẳng ( BCC B ) vuông góc với đáy và BBC = 30 . Thể tích khối chóp A.CC B  bằng
A.
a3 3
.
2
B.
a3 3
.
12
C.
a3 3
.
18
D.
a3 3
.
6
Lời giải
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
Chọn D
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
A'
C'
B'
A
B
C
H
Ta có ( BCC B ) ⊥ ( ABC ) (theo giả thiết).
Hạ BH ⊥ BC  BH ⊥ ( ABC ) và BBH = BBC = 30 .
Suy ra chiều cao của lăng trụ ABC. ABC  là h = BH = BB.sin 30 = 2a .
Do đáy là tam giác đều cạnh a  Diện tích đáy là Sđáy
a2 3
.
=
4
Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  là VLT = Sđáy .h =
a2 3
a3 3
.2a =
.
4
2
1
a3 3


Thể tích khối chóp A.CC B là V = VLT =
.
3
6
Câu 13: Cho khối lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC = 60 . Chân đường
cao hạ từ B  trùng với tâm O của đáy ABCD , góc giữa mặt phẳng ( BBC C ) với đáy bằng
60 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3a 3 3
.
8
B.
2a 3 3
.
9
C.
3a 3 2
.
8
D.
3a 3
.
4
Lời giải
Chọn A
ABCD là hình thoi nên AB = BC . Lại có ABC = 60 nên ABC là tam giác đều cạnh a .
Diện tích đáy ABCD là S ABCD = 2.S ABC = 2.
a2 3 a2 3
.
=
4
2
Kẻ OH ⊥ BC  Góc giữa mặt phẳng ( BBC C ) với đáy khi đó là BHO = 60 .
1
1
1
1
1
4
4
16
a 3
=
+
= 2 + 2 = 2 + 2 = 2  OH =
.
2
2
2
3a
a
OH
OB OC
3a
a
3a
4
4
4
Theo giả thiết, BO là đường cao lăng trụ ABCD. ABC D .
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
Ta có
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
BO = OH .tan BHO =
a 3
3a
.
tan 60 =
4
4
VABCD. ABC D = S ABCD .BO =
a 2 3 3a 3a 3 3
.
. =
2
4
8
Câu 14: Cho khối lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AA = AB = AC . Biết
rằng AB = a và BC = a 3 và mặt phẳng ( ABC ) tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60 .
Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
3a 2
A.
.
2
3a 2
B.
.
2
3a 2
C.
.
4
Lời giải
a2
D.
.
4
Chọn C
Gọi O, I lần lượt là trung điểm của đoạn AC , BC .
Nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và OI ⊥ BC .
Do AA = AB = AC nên AO ⊥ ( ABC ) .
AB a
1
1
a2 3
=
Ta có: S ABC = . AB.BC = .a.a 3 =
; OI =
2
2
2
2
2
AO ⊥ BC , OI ⊥ BC  BC ⊥ ( AOI )  BC ⊥ AI .
( ABC )  ( ABC ) = BC

 AI  ( ABC ) , AI ⊥ BC  ( ( ABC ) , ( ABC ) ) = ( AI , OI ) = AIO = 60 .

OI  ( ABC ) , OI ⊥ BC
Tam giác AIO vuông tại O nên tan AIO =
Vậy VABC . ABC  = AO.S ABC =
AO
a 3
.
 AO = OI .tan 60 =
OI
2
a 3 a 2 3 3a 3
.
.
=
2
2
4
Câu 15: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có tất cả các cạnh bằng a , các cạnh bên tạo với đáy góc 60 .
Tính thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
a3 3
A.
.
24
a3 3
B.
.
8
3a 3
C.
.
8
Lời giải
a3
D.
.
8
Chọn C
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
A'
B'
C'
60o
A
B
H
C
Kẻ AH ⊥ ( ABC )  ( AA, ( ABC ) ) = AAH = 60.
Xét AHA : sin 60 =
AH
a 3
 AH = AA.sin 60 =
.
AA
2
a 2 3 a 3 3a 3
.
=
.
Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  : V = SABC . AH =
4
2
8
Câu 16: Cho khối lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hình chiếu của B  lên
mp ( ABCD ) trùng với giao điểm của AC và BD , biết góc giữa hai mặt phẳng ( ABA ) và
( ABCD )
A.
bằng 60 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD. ABC D .
a3 3
.
3
B.
a3 6
.
6
C.
a3 3
.
2
D.
a3 6
.
2
Lời giải
Chọn C
Gọi O là giao điểm của AC và BD . Kẻ OH ⊥ AB . Theo giả thiết suy ra BHO = 60 .
Ta có BO = OH .tan 60 =
a 3
a 3 a3 3
. Khi đó: VABCD. ABC D = a 2 .
=
2
2
2
Câu 17: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,
AB = 3a, AC = 5a , hình chiếu của A xuống mặt phẳng ( ABC ) là trọng tâm tam giác ABC .
Biết mặt bên ACC A hợp với mặt đáy ABC  một góc 600 , thể tích khối lăng trụ ABC. ABC 
là
A.
24a 3 3
.
5
B.
8a 3 3
.
5
C.
Lời giải
Chọn A
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
12a 3 3
.
5
D.
6a 3 3
.
5
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
( ( ACCA) , ( ABC) ) = ( ( ACCA ) , ( ABC ) )
Kẻ GH ⊥ AC , AG ⊥ AC  AC ⊥ ( AGH )  AC ⊥ AH
( ACC A )  ( ABC ) = AC

Ta có:  AC ⊥ AH
 ( ( ACC A ) , ( ABC ) ) = ( AH , GH ) = AHG = 600 .
 AC ⊥ GH

BC =
AC 2 − AB 2 = 25a 2 − 9a 2 = 4a .
1
1
1
1
1
25
12a
=
+
= 2+
=
 BK =
.
2
2
2
2
2
BK
AB
BC
9a 16a 144a
5
GH MG 1
1
1 12a 4a
=
=  GH = BK = .
=
Có BK / / GH 
.
BK MB 3
3
3 5
5
Kẻ BK ⊥ AC 
Tam giác AHG vuông tại G có: tan AHG =
AG
4a
4a 3
 AG =
tan 600 =
.
GH
5
5
1
4a 3 24a3 3
=
Vậy VABC . ABC  = AG.S ABC = 3a.4a.
.
2
5
5
Câu 18: Cho khối hộp ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC = 120 . Hình chiếu
vuông góc của D lên ( ABCD ) trùng với giao điểm của AC và BD , góc giữa hai mặt phẳng
( ADDA)
A.
3 3
a .
8
và ( ABC D ) bằng 45 . Thể tích khối hộp đã cho bằng
B.
1 3
a .
8
C.
3 3
a .
16
D.
3 3
a .
4
Lời giải
Chọn A
Gọi O là giao điểm của AC và BD .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 12
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Ta có DO ⊥ ( ABCD ) và ( ADDA )
( ABCD ) = AD . Dựng
giữa hai mặt phẳng ( ADDA ) và ( ABCD ) là DMO .
Vì ( ABC D ) song song với ( ABCD ) nên DMO = 45 .
OM ⊥ AD tại M . Khi đó góc
Do ABC = 120 nên BAC = 60 và do đó tam giác ABD đều.
Ta tính được OM = OD.sin 60 =
a 3 a 3
a 3

=
, OD = OM =
.
2 2
4
4
Diện tích hình thoi ABCD là S ABCD = a.a.sin120 =
Vậy thể tích khối hộp đã cho là V = S ABCD .OD =
a2 3
.
2
3a3
.
8
Câu 19: Cho lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và AB = a , AD = a 3 ;
AO vuông góc với đáy ( ABCD ) . Cạnh bên AA hợp với mặt đáy ( ABCD ) một góc 45 . Tính
theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho
A. V =
a3 3
.
3
B. V =
a3 3
.
6
C. V = a 3 3 .
D. V =
a3 6
.
2
Lời giải
Chọn C
 AO ⊥ ( ABCD )
 AO là hình chiếu của AA trên ( ABCD )

 AA  ( ABCD ) = A
 ( AA, ( ABCD ) ) = ( AA, AO ) = AAO = 45 .
(
)
1
AC = a
2
Tam giác AAO vuông cân tại O nên AO = AO = a .
AC = a 2 + a 3
2
= 2a  AO =
(
)
VABCD. ABC D = S ABCD . AO = a.a 3 .a = a 3 3 (đvtt).
Câu 20: Cho hình lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a , ABC = 600 . Chân đường
cao hạ từ B ' trùng với O của đáy ABCD , góc giữa mặt phẳng ( BB ' C ' C ) với đáy bằng 600 . Thể
tích lăng trụ bằng
A.
16a 3 3
.
9
C. 3a 3 3 .
B. 3a 3 2 .
Lời giải
Chọn C
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. 6a 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Tam giác ABC có AB = BC = 2a, ABC = 60  ABC đều cạnh 2a
 S ABC = 3a 2  S ABCD = 2S ABC = 2 3a 2 .
Gọi I là trung điểm của BC  AI ⊥ BC .
Gọi K là trung điểm của CI  OK // AI và OK =
1
a 3
.
AI =
2
2
 AI ⊥ BC
 OK ⊥ CB .

 AI // OK
( ( BCC B) , ( ABCD ) ) = ( BK , OK ) = BKO = 60 .
Tam giác BOK vuông tại O : BO = OK .tan BKO =
3a
.
2
VABCD. ABC D = BO.S ABCD = 3 3a 3 .
Câu 21: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  cạnh bên có độ dài bằng 4 , BB tạo với đáy góc 600 . Hình chiếu
vuông góc của A trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC . Biết
khoảng cách từ điểm A đến các đường thẳng BB và CC  bằng nhau và bằng 3 . Tính thể tích
khối lăng trụ ABC. ABC  .
A. 18 3 
B. 9 3 
C. 6 3 
Lời giải
D. 12 3 
Chọn B
Gọi M , M  lần lượt là trung điểm BC và BC  .
Gọi H , K  lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB và CC  .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 14
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB và CC  .
Khi đó d ( A; BB ) = AH  = 3 và d ( A; CC  ) = AK  = 3 và AA ⊥ ( AH K  ) .
Góc giữa ( BB, ( ABC ) ) = ( AA, ( ABC ) ) = AAG = 600 .
Trong tam giác vuông AAG ta có AG = sin 600. AA = 2 3 ,
3
AG = cos 600. AA = 2 suy ra AM = AG = 3
2
Gọi I = MM   H K  . Khi đó I là trung điểm H K  .
Ta có VABC . A ' B 'C ' = VA ' H ' K '. AHK (vì VA '. B 'C ' H ' K ' = VA.BCHK ).
AG.S A ' B 'C ' = AA.S A' H ' K ' 
Góc giữa hai mặt phẳng
S A' H ' K '
3
=
= cos 300 .
S A' B 'C '
2
( ( ABC ) , ( AH K ) ) = M A ' I = 30
Trong tam giác vuông M IA ta có AI = cos 300. AM  =
Trong tam giác vuông AIK  ta có IK =
0
.
3 3
.
2
3
suy ra H K  = 2 IK  = 3 .
2
1 3 3 9 3
Diện tích tam giác S A ' H ' K ' = .3.
.
=
2
2
4
Thể tích lăng trụ V = AA.S A ' H ' K ' = 4.
9 3
=9 3.
4
Câu 22: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC vuông tại A , AB = a, BC = 2a , biết hình
chiếu của A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm của cạnh BC . Góc giữa AA ' và mặt
phẳng ( ABC ) bằng 600 . Khi đó thể tích của hình trụ ABC. A ' B ' C ' bằng:
A.
1 3
a .
2
B.
1 3
a .
6
C.
3 3
a .
2
D.
Lời giải
Chọn C
A'
C'
B'
A
C
I
B
Gọi I là trung điểm của BC , theo giả thiết ta có AI ⊥ ( ABC ) .
Hình chiếu của AA lên mặt phẳng đáy ( ABC ) là AI .
Suy ra ( AA; ( ABC ) ) = ( AA; AI ) = AAI = 60 .
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
1 3
a .
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ta có AC = BC − AB = a 3 ; Do đó SABC
2
Mặt khác, AI =
2
1
a2 3
.
= . AB. AC =
2
2
1
BC = a nên AI = AI .tan AAI = a 3 .
2
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC. A'B'C' là VABC . A'B'C' = SABC . AI =
3a3
.
2
Câu 23: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A
trên mặt phẳng ( ABC  ) trùng với trung điểm H của BC  . Biết rằng góc giữa AA và mặt
phẳng ( ABC  ) bằng 60 . Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.
3 3 3
a .
8
B.
3 3 3
a .
4
C.
3 3
a .
4
D.
3 3
a .
8
Lời giải
Chọn A
Vì hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ABC  ) trùng với trung điểm H của BC  nên
AH ⊥ ( ABC  ) . Khi đó, góc giữa AA và mặt phẳng ( ABC  ) là AAH = 60 .
Vì ABC  là tam giác đều cạnh a và H là trung điểm của BC  nên độ dài đường cao
AH =
a 3
.
2
Xét trong tam giác AHA vuông tại H có tan AAH =
AH
nên
AH
a 3
3
.tan 60 = a .
2
2
Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  là
AH = AH .tan AAH =
VABC . ABC  = AH .SABC  =
3
3 2 3 3 3
a.
a =
a (đơn vị thể tích).
2 4
8
Câu 24: Cho lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều. Điểm M là trung điểm cạnh AB , tam
giác MAC đều cạnh 2a 3 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối lăng trụ
ABC. ABC  là
A. 10a 3 3 .
B. 4a 3 3 .
C. 12a 3 3 .
Lời giải
D. 8a 3 3 .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 16
Phan Nhật Linh
Chọn C
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Gọi H là trung điểm của MC .
 AH ⊥ MC

Ta có ( AMC ) ⊥ ( ABC )
 AH ⊥ ( ABC ) .
 
( A MC )  ( ABC ) = MC

 MC = 2a 3
Tam giác MAC đều cạnh 2a 3  

 AH = 3a
Đặt AC = x  0 , vì tam giác ABC đều, suy ra
Suy ra S ABC =
x 3
= 2a 3  x = 4a .
2
1
AB. AC.sin 600 = 4a 2 3 . Do đó VABC . ABC  = AH .S ABC = 12a 3 3 .
2
Câu 25: Cho lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A
lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường
thẳng AA và BC bằng
A.
a3 3
.
12
a 3
. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là
4
B.
a3 3
.
6
C.
a3 3
.
3
Lời giải
Chọn A
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm BC. Ta có:
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D.
a3 3
.
24
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 AH ⊥ BC

 BC ⊥ ( AAI )  BC ⊥ AA.
 AI ⊥ BC
 AH  AI = H

Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên AA . Khi đó IK là đoạn vuông góc chung của AA
và BC nên IK =d ( AA, BC ) =
IK =
a 3
. Xét tam giác vuông AIK vuông tại K có
4
a 3
a 3
1
, AI =
 IK = AI  KAI = 30.
4
2
2
Xét tam giác vuông AAH vuông tại H có AH =AH .tan30 =
Vậy VABC . ABC =
a 3 3 a
.
= .
3
3
3
1
a 2 3 a a3 3
A'H .SABC =
. =
.
3
4 3
12
Câu 26: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB = 3, AD = 4, AA ' = 5 , BAD = DAA ' = A ' AB = 600 .
Thể tích khối hộp đã cho là
B. 60 .
A. 30 2 .
C. 30 .
Lời giải
D. 60 3 .
Chọn A
Ta có VABCD. ABC D = 6VA. ABD .
Xét tứ diện AABD , trên các cạnh AD và AA lần lượt lấy hai điểm M , N sao cho
AM = AN = 3
VABMN =
Khi
đó
tứ
diện
ABMN
là
tứ
diện
đều
cạnh
3
nên
2
2 3 9 2
.
. AB3 =
.3 =
12
12
4
Ta có : VABDA =
AB AD AA
4 5 9 2
.
.
.VABMN = . .
=5 2.
AB AM AN
3 3 4
Vậy VABCD. ABC D = 6VA. ABD = 6.5 2 = 30 2 .
Câu 27: Cho lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A . Mặt phẳng ( ACC A )
vuông góc đáy, BC = a 2 và C A = C C = CA . Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  là
A.
3 3
a .
12
B.
3 3
a .
2
C.
3a 3 .
D.
3 3
a .
4
Lời giải
Chọn D
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 18
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC =
BC
2
=
a 2
2
=a.
Ta có C A = C C = CA  C AC đều.
Gọi C H là đường cao của C AC  C H =
a 3
.
2
( ACC A ) ⊥ ( ABC )

Ta có ( ACC A )  ( ABC ) = AC  C H ⊥ ( ABC ) .
C H ⊥ AC

1
a 3
3 3
VABC . AB C  = SABC .C H = a.a.
=
a
2
2
4
Câu 28: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A lên mặt phẳng
( ABC ) trùng với trung điểm cạnh AB, góc giữa AA và mặt đáy của hình lăng trụ đã cho bằng
60 . Tính thể tích V của khối chóp A.BCC B.
A. V =
a3
.
4
B. V =
a3
.
8
C. V =
3a 3
.
4
D. V =
3a 3
.
8
Lời giải
Chọn A
Gọi H là trung điểm của AB
Vì AH ⊥ ( ABC ) , nên ( AA, ( ABC )) = ( AA, AH ) = AAH = 60  AH = AH .tan 60 =
 VABC . AB C 
 VA.BCC ' B '
a 3
.
2
a 2 3 a 3 3a3
= SABC . AH =
.
=
.
4
2
8
1
2
a3
a3
= VABC . AB C  − VA. AB C  = VABC . AB C  − VABC . AB C  = VABC . AB C  = . Vậy V = .
4
3
3
4
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 29: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có AA = AB = AC  . Tam giác ABC vuông cân tại A có
BC = 2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCC B ) là
a 3
. Tính thể tích khối lăng trụ đã
3
cho.
A. V =
a3 2
.
2
B. V =
a3 2
.
6
C. V =
a3 3
.
6
D. V =
a3 3
.
3
Lời giải
Chọn A
Gọi H là trung điểm BC  . Vì tam giác ABC  là tam giác vuông cân tại A nên H là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC  .
Mặt khác AA = AB = AC  , từ đó suy ra A, H cách đều 3 điểm A, B, C  hay AH ⊥ ( ABC  )
.
Gọi I là trung điểm của BC khi đó AI ⊥ BC (1)
Mà BC  ⊥ AH và BC // BC  suy ra BC ⊥ AH ( 2 )
Từ (1) và ( 2 ) ta suy ra BC ⊥ ( AHI )  ( BCC B ) ⊥ ( AHI ) theo giao tuyến là HI ( 3)
Kẻ AK ⊥ HI , ta được AK ⊥ ( BCC B ) hay d ( A, ( BCC B ) ) = d ( A, ( BCC B ) ) = AK =
Xét tam giác AIH vuông tại A, ta được
(
a 3
3
1
1
1
3 1
2
a 2
=
− 2 = 2 − 2 = 2  AH =
2
2
AH
AK
AI
a a
a
2
a 2 1
 . a 2
Vậy thể tích khối lăng trụ V =
2 2
)
2
a3 2
=
.
2
Câu 30: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều. Biết AA ' = AB = a . Các
mặt bên ( A ' AB ) và ( A ' AC ) cùng hợp với đáy ( ABC ) 1 góc 600 . Thể tích khối lăng trụ
ABC. A ' B ' C ' bằng?
3a 3 7
A.
.
28
3a 3 7
B.
.
4
3a 3
C.
.
7
Lời giải
a3 7
D.
28
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 20
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Gọi K , H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A ' trên các cạnh AB, AC .
Vẽ đường cao A ' O của khối lăng trụ ( O  ( ABC ) ).
Ta được OK ⊥ AB , OH ⊥ AC . Theo giả thiết ta có OKA ' = OHA ' = 600 .
Suy ra A ' HO = A ' KO  OH = OK . Do đó AO là phân giác góc BAC nên OAK = 300 . Đặt
AH = AK = x .
Ta có: A ' O = OK .tan 600 = AK .tan 300.tan 600 = AK = x .
4
2
2
( A ' O ) = ( AA ')2 − ( OA) = a 2 − x 2 .
3
4
21
Từ đó suy ra x 2 = a 2 − x 2  x = a
.
3
7
Suy ra VABC . A ' B 'C ' = A ' O.S ABC = a
21 2 3
7
.
.a
= 3a 3
7
4
28
Câu 31: Cho lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác vuông cân tại B , AC = 2a . Hình chiếu vuông góc
1
của A lên mặt phẳng ( ABC ) là điểm H thuộc cạnh AC sao cho AH = AC . Mặt bên
3
( ABBA) tạo với đáy một góc 60 . Thể tích khối lăng trụ là
A.
a3
.
9
B.
a3 6
.
9
C.
a3 6
.
3
D.
a3
.
3
Lời giải
Chọn C
Tam giác ABC vuông cân tại B , AC = 2a . Do đó: AB = BC = a 2  S ABC = a 2 .
Ta có ( ABBA ) tạo với đáy một góc 60 là AIH = 60 , với IH // BC .
1
a 6
= h.
Suy ra AH = IH tan 60 = BC. 3 =
3
3
21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
a3 6
.
3
Câu 32: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh là a . Tam giác AAB cân tại
A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, mặt bên ( AACC ) tạo với mặt phẳng
Vậy thể tích khối lăng trụ là: VABC . ABC  = SABC .h =
( ABC ) một góc 45

A. V =
3a 3
.
32
. Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  là
B. V =
3a 3
.
4
C. V =
3a 3
.
8
D. V =
3a 3
.
16
Lời giải
Chọn D
B'
C'
A'
B
C
I
M
A
Gọi I là trung điểm của AB .
Tam giác AAB cân tại A nên AI ⊥ AB .
( ABA ) ⊥ ( ABC )

Theo giả thiết, ta có ( ABA )  ( ABC ) = AB  AI ⊥ ( ABC ) .

 AI ⊥ AB, AI  ( ABA )
Kẻ IM ⊥ AC .
 IM ⊥ AC
 ( AIM ) ⊥ AC  AM ⊥ AC .
Ta có 
 AI ⊥ AC
( ACC A )  ( ABC ) = AC


Lại có  AM ⊥ AC
 IM ⊥ AC

(( ACCA) ; ( ABC )) = ( AM ; IM ) = AMI = 45 .
a
a 3
Xét tam giác IAM vuông tại M nên IM = AI .sin IAM = .sin 60 =
.
2
4
Xét tam giác AMI vuông tại I nên AI = IM .tan AMI =
a 3
a 3
.
.tan 45 =
4
4
Thể tích của khối lăng trụ là
VABC . A ' B 'C ' = AI  SABC
a 3 a 2 3 3a 3
=
.
=
.
4
4
16
Câu 33: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có AA = AB = AC . Tam giác ABC vuông cân tại A có
BC = 2a . Hai mặt phẳng ( AABB) và ( ABC ) vuông góc nhau. Tính thể tích khối lăng trụ đã
cho.
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 22
Phan Nhật Linh
A. V =
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
a3 2
.
2
B. V =
a3 2
.
6
C. V =
a3 3
.
2
D. V =
a3 3
.
6
Lời giải
Chọn A
Gọi M trung điểm AB .
Gọi H là trung điểm BC . Theo giả thiết có AH ⊥ ( ABC ) và HM
AC .
 AB ⊥ HM
 AB ⊥ AM . (1)
Suy ra 
 AB ⊥ AH
( ABBA) ⊥ ( ABC )
Theo giả thiết 
(2)
 ABBA)  ( ABC ) = AB.
Từ (1), (2) suy ra AM ⊥ (CAB) hay AM ⊥ AC .
Gọi AH = x .
Xét tam giác AMC có CM = a
5
.
2
Xét tam giác AMH có AM = x 2 + a 2 .
Xét tam giác ACM có AC = x 2 +
a2
.
2
Xét tam giác ACM vuông tại A có
CM 2 = AM 2 + AC 2 
5a 2
a2
a 2
= x2 + a2 + x2 +  x =
.
2
2
2
Vậy thể tích khối lăng trụ V =
a 2 2 a3 2
a =
.
2
2
Câu 34: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , AB = 2a, BC = a, ABC = 600 . Hình chiếu vuông góc của
điểm A ' lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm O của cạnh AC . Góc giữa hai mặt phẳng
( ABB ' A ')
a3 3
A.
.
2
và ( ABCD ) bằng 600 . Thể tích của hình hộp đã cho bằng
3a 3 7
B.
.
4
3a 3
C.
.
2
Lời giải
Chọn D
23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
3a 3 3
D.
.
4
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ta có A ' O ⊥ ( ABCD) .
Từ O dựng OH ⊥ AB tại H , lại có A ' O ⊥ AB nên AB ⊥ ( A ' OH ) suy ra góc giữa hai mặt
phẳng ( ABB ' A ') và ( ABCD ) bằng A ' HO = 600
S
ABC
Mà S
1
a2 3
= . AB.BC.sin B =
 S ABCD = 2S
2
2
ABC
ABC
= a 2 3.
1
a 3
= . AB.d ( C , AB )  d ( C , AB ) =
.
2
2
Suy ra OH =
1
a 3
d ( C , AB ) =
.
2
4
Tam giác A ' OH vuông tại O : A ' O = OH .tan A ' HO =
3a
.
4
Vậy thể tích hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' là:
VABCD. A ' B 'C ' D ' = A ' O.S ABCD =
3a 2
3a3 3
.a 3 =
.
4
4
Câu 35: Cho hình lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , ABC = 60 .
Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABCD trùng với tâm O . Góc giữa mặt phẳng
( ADDA) và mặt đáy ( ABCD ) bằng 60 . Tính thể tích lăng trụ ABCD. ABC D .
A.
3a 3
.
4
B.
a3
.
4
C.
3a 3 3
.
8
D.
a3 3
.
8
Lời giải
Chọn C
Gọi H , M lần lượt là trung điểm AD , AH . Tam giác ACD đều nên CH ⊥ AD .
OM // CH nên OM ⊥ AD .
Ta thấy AD ⊥ OM , AD ⊥ AO nên AD ⊥ AM .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 24
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
( ABCD )  ( ADDA ) = AD

OM  ( ABCD ) , OM ⊥ AD 
 
 A M  ( ADDA ) , AM ⊥ AD
CH =
(( ABCD ) , ( ABCD)) = AMO = 60 .
a 3
1
a 3
 OM = CH =
.
2
4
2
Tam giác AOM vuông tại O , ta có: AO = OM .tan 60 =
S ABCD = 2SABC
3a
.
4
a2 3 a2 3
a 2 3 3a 3a3 3
= 2.
=
. =
; VABCD. ABC D =
.
4
2
2
4
8
Câu 36: Cho hình lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O có AB = 2a ,
AC = 4a và AA = AB = AC . Biết hai mặt phẳng ( AAC ) và ( DAC  ) tạo với nhau góc 30 .
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
B. 12 2a 3 .
A. 6 3a 3 .
C. 6 2a 3 .
Lời giải
D. 12 3a 3 .
Chọn D
Vì AA = AB = AC và ABCD là hình chữ nhật tâm O nên AO ⊥ ( ABCD ) .
Ta có ( AAC )  ( DAC  ) = AC  (1) .
Vì OD = OC = CD = 2a nên DOC đều. Gọi M là trung điểm OC .
 DM ⊥ AC , mà DM ⊥ AO  DM ⊥ ( AACC  )  DM ⊥ AC  .
Kẻ MN ⊥ AC  ( 2 ) (với N thỏa AN =
1
AC  )
4
 AC  ⊥ ( MND )  AC  ⊥ DN ( 3) .
Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) suy ra
(( AAC ) , ( DAC)) = ( MN , DN ) = DNM = 30 .
Ta có AD = AC 2 − AB 2 = 2 3a và DM = CD
3
=a 3.
2
DM
= 3a (vì MN // AO ).
tan MND
Khi đó thể tích khối lăng trụ ABCD. ABC D là:
AO = MN =
VABCD. ABC D = AB. AD. AO = 2a.2 3a.3a = 12 3a 3 .
Câu 37: Cho hình lăng trụ ABCD. ABC D có đáy là hình thang vuông tại A, B ( BC //AD ) , góc giữa hai
mặt phẳng ( ABCD ) và ( AABB ) bằng 90 và BC = 12, AD = 16, CD = 5 ,tam giác ABA
25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
đều. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là
A. 126
3.
B. 252 .
C. 63
Lời giải
3.
D. 410 .
Chọn C
Trong mp ( ABCD ) kẻ CH vuông góc với AD tại H .
Khi đó ta có ABCH là hình chữ nhật
Suy ra BC = AH = 12  HD = 4
Xét tam giác CHD vuông tại H ta có: HC = AB = 3
Ta thấy ( ABCD )  ( AABB ) = AB
Kẻ AI ⊥ AB
Suy ra AI ⊥ ( ABCD ) ( I là trung điểm của AB )
Tam giác ABA đều nên AI =
3 3
2
1
2
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là V = S ABCD . AI = . AI . ( BC + AD ) .CH = 63 3
Câu 38: Lăng trụ tam giác ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy
bằng 30 . Hình chiếu của A lên ( ABC ) là trung điểm I của BC . Thể tích khối lăng trụ là
A.
a3 3
.
12
B.
a3 3
.
6
C.
a3 3
.
2
D.
a3 3
.
8
Lời giải
Chọn D
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 26
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Ta có AI ⊥ ( ABC )  ( AA, ( ABC ) ) = AAI = 30 .
Do tam giác ABC đều nên AI = AB.sin 60 =
a 3
.
2
Suy ra độ dài đường cao của lăng trụ là: AI = AI .tan 30 =
Ta lại có: S ABC =
a 3
a
.tan 30 = .
2
2
1
a2 3
.
AB. AC.sin 60 =
2
4
Vậy thể tích khối lăng trụ là: V = S ABC . AI =
a 2 3 a a3 3
.
. =
4 2
8
Câu 39: Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a .
Mặt phẳng ( BCC B ) vuông góc với đáy và góc giữa hai đường thẳng AA ' và BC bằng 300 .
Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A.
3a 3
.
9
B.
3a 3
.
3
C.
3a 3
.
6
D.
3a 3
.
2
Lời giải
Chọn D
Diện tích tam giác ABC là S ABC =
a2 3
.
4
Giả sử tứ giác BCC ' B ' có góc B nhọn.
Gọi H là hình chiếu của B  trên BC . Từ giả thiết suy ra BH ⊥ ( ABC ) .
Ta có ( AA ', BC ) = ( BB ', BC ) = B ' BC
Diện tích tam giác BBC là S BBC =
Mặt khác S BBC =
1
1
BB.BC.sin BBC = 4a.a.sin 30 = a 2 .
2
2
2a 2
2S
1
= 2a .
BH .BC  BH = BBC =
a
2
BC
Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  là V = BH .S ABC = 2a.
a2 3 a3 3
.
=
4
2
Câu 40: Cho hình lăng trụ ABCD. ABC D có ABCD là hình chữ nhật. Tính thể tích khối lăng trụ đã
cho biết AA = AB = AD và AB = a, AD = a 3, AA = 2a
A. 3a 3 .
B. a 3 .
27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C. a 3 3 .
D. 3a 3 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Lời giải
Chọn A
Gọi H là hình chiếu của A trên ( ABCD ) . Vì AA = AB = AD  HA = HB = HD
 H = AC  BD ; AH = AA2 − AH 2 = AA2 −
AB 2 + AD 2
=a 3.
4
Vậy VABCD. ABC D = AH .S ABCD = a 3.a 2 3 = 3a 3 .
Câu 41: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm
A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường
thẳng AA và BC bằng
a 3
. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC. ABC  .
4
a3 3
A. V =
.
6
a3 3
B. V =
.
12
a3 3
C. V =
.
3
Lời giải
a3 3
D. V =
.
24
Chọn B
Ta có AG ⊥ ( ABC ) nên AG ⊥ BC ; BC ⊥ AM  BC ⊥ ( MAA )
Trong mặt phẳng (MAA ') kẻ MI ⊥ AA , mà BC ⊥ (MAA ')  MI ⊥ BC
nên d ( AA; BC ) = IM =
a 3
4
Trong mặt phẳng (MAA ') kẻ GH ⊥ AA , ta có
1
1
1
=
+
 AG =
2
2
HG
AG
AG 2
AG GH 2
2 a 3 a 3
=
=  GH = .
=
AM IM 3
3 4
6
a 3 a 3
.
6 =a
= 3
3
AG 2 − HG 2
a2 a2
−
3 12
AG.HG
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 28
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
a a2 3 a2 3
VABC . ABC  = AG.S ABC = .
=
( đvtt).
3 4
12
Câu 42: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABC D có đáy là hình vuông; khoảng cách và góc giữa
3 7a
2
và  với cos  =
. Thể tích khối lăng trụ
7
4
hai đường thẳng AC và DC  lần lượt bằng
đã cho bằng
A. 3a 3 .
B. 9a 3 .
C. 3 3a 3 .
Lời giải
D.
3a 3 .
Chọn B
A'
D'
B'
C'
H
A
D
O
B
C
Ta có ABCD. ABC D là hình lăng trụ tứ giác đều nên BB ⊥ ( ABCD ) và DC  // AB nên
( AC , DC ) = ( AC , AB) =  .
Vì BCC B và ABB A là hai hình chữ nhật bằng nhau nên AB ' = CB ' , suy ra  = BAC .
Lại có DC  // AB  DC  // ( ABC )
 d ( AC , DC  ) = d ( DC , ( ABC ) ) = d ( D, ( ABC ) ) = d ( B, ( ABC ) ) .
Do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD , mà BB ⊥ ( ABCD )  BB ⊥ AC .
Từ đó suy ra AC ⊥ ( BDDB ) .
Gọi O = AC  BD , kẻ BH ⊥ BO thì BH ⊥ ( ABC )
 BH = d ( B, ( ABC ) ) = d ( AC , DC  ) =
3 7a
.
7
AC x 2
.
=
2
2
1
1
1
7
2
1
=
+
 2= 2+
Tam giác BBO vuông tại B có BH ⊥ BO nên
2
2
2
BH
BO
BB
9a
x
BB 2
1
7
2
3ax

= 2 − 2  BB =
.
2
BB
9a
x
7 x 2 − 18a 2
Giả sử AB = x ( x  0 )  AC = BD = AB 2 + BC 2 = x 2  AO = BO =
7 x 4 − 9a 2 x 2
.
7 x 2 − 18a 2
Tam giác ABC cân tại B  và O là trung điểm của AC nên BO ⊥ AC .
Suy ra BC = AB = BB2 + AB 2 =
29 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
2
AO

=
Suy ra cos  = cos BAC =
4
AB
x 2
7 x 4 − 9a 2 x 2
2

= 2x
7 x 2 − 18a 2
7 x 4 − 9a 2 x 2
7 x 2 − 18a 2
7 x 4 − 9a 2 x 2
= 4 x 2  7 x 4 − 9a 2 x 2 = 4 x 2 ( 7 x 2 − 18a 2 )  7 x 2 − 9a 2 = 4 ( 7 x 2 − 18a 2 )
7 x 2 − 18a 2
 x 2 = 3a 2  x = 3a .

Do đó BB = 3a , S ABCD = AB 2 = 3a 2 .
Vậy VABCD. ABC D = BB.S ABCD = 9a 3 .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 30
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 10: Tỷ số thể tích khối lăng trụ
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho khối lăng trụ tam giác ABC. ABC  có thể tích V . Thể tích của khối chóp B. ACC A bằng
2
1
1
3
A. V .
B. V .
C. V .
D. V .
3
3
2
4
Lời giải
Chọn A
1
1
2
Ta có: VB. ABC  = d ( B, ( ABC  ) ) .S ABC  = V  VB. ACC A = V − VB. ABC = V .
3
3
3
Câu 2:
Cho hình hộp ABCD. ABC D . Tính tỷ số thể tích của khối tứ diện BDAC  và khối hộp
ABCD. ABC D .
1
2
1
2
A. .
B. .
C. .
D. .
5
3
3
5
Lời giải
Chọn C
Gọi thể tích của khối hộp ABCD. ABC D là V .
1
Ta có: VB. ABC  = VD. AC D = VC .BCD = VA. ABD = V .
6
1
 VBDAC  = V − (VB. ABC  + VD. AC D + VC .BCD + VA. ABD ) = V .
3
Câu 3:
Cho hình hộp ABCD. ABC D , gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
AB, AD, BC  . Tỷ số thể tích của khối MNPD  và khối hộp ABCD. ABC D bằng
A.
1
.
6
B.
1
.
8
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
C.
1
.
24
D.
1
.
12
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Lời giải
Chọn D
Ta có chiều cao của khối MNPD  và khối hộp ABCD. ABC D bằng nhau, giả sử cùng bằng h
.
Diện tích đáy của khối MNPD  và khối hộp ABCD. ABC D lần lượt bằng: S ABC D và
VABCD. ABC D = h.S ABC D

1
S NPD = S ABC D . Nên 
1
1 1
1
1
4
VMNPD = 3 h.S NPD = 3 h. 4 S ABC D = 12 h.S ABC D = 12 VABCD. ABC D
1
Vậy tỷ số thể tích của khối MNPD  và khối hộp ABCD. ABC D bằng
.
12
Câu 4:
Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có thể tích bằng V . Thể tích của khối tứ diện A ' BC ' D bằng
V
V
V
V
A. .
B. .
C. .
D. .
2
6
3
4
Lời giải
Chọn C
Ta có:
VAABD
V
1
d ( A, ( ABCD ) ) .S ABD
1 1 1
V
3
=
= . =  VAABD = .
d ( A, ( ABCD ) ) .S ABCD 3 2 6
6
Hoàn toàn tương tự VCBCD = VDACD = VBABC =
V
6
 VABCD = V − (VAABD + VCBCD + VDACD + VBABC ) = V − 4.
V V
= .
6 3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
C
Câu 1:
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Cho khối lăng trụ ABC. ABC  có thể tích V và M là trung điểm của cạnh AA , thể tích khối
chóp M . ABC là
A.
V
.
6
B.
V
.
4
C.
V
.
2
D.
V
.
3
Lời giải
Chọn A
Vì M là trung điểm cạnh AA nên VM . ABC = 1 VA. ABC .
2
Mặt khác VA. ABC = 1 VABC . ABC  = 1 V , vậy nên VM . ABC = 1 VA. ABC = V .
3
Câu 2:
3
2
6
Cho lăng trụ ABC. ABC  biết diện tích mặt bên ( ABBA ) bằng 15 , khoảng cách từ C đến mặt
phẳng ( ABBA ) bằng 6 . Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A. 60 .
B. 45 .
C. 90 .
Lời giải
D. 30 .
Chọn B
Ta có VC . ABC  =
VABC . ABC 
2V
 VC . ABBA = ABC . ABC 
3
3
1
1
Ta có thể tích khối chóp C. ABBA bằng VC . ABBA = d(C ,( ABBA)) .S ABBA = .6.15 = 30
3
3
3
 VABC . ABC  = VC . ABBA = 45 .
2
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 3: Cho lăng trụ ABC. ABC  , gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AA và BC . Biết khối
tứ diện AMNB có thể tích là 3a 3 . Tính thể tích lăng trụ ABC. ABC  .
A. 9a 3 .
B. 12a 3 .
C. 36a 3 .
D. 18a 3 .
Lời giải
Chọn C
Gọi V là thể tích lăng trụ ABC. ABC 
1
1 1
1 1
1
Ta có VM . ABN = VM . ABC = . VA. ABC = . V = V nên V = 12VAMNB = 36a 3 .
2
2 2
4 3
12
Câu 4:
Cho khối lăng trụ tam giác ABC. ABC  . Biết thể tích của khối chóp A. ABC bằng V . Thể tích
khối lăng trụ ABC. ABC  là
A.
V
.
3
B.
3V
.
2
C.
2V
.
3
D. 3V .
Lời giải
Chọn D
Thể tích khối lăng trụ là VABC . ABC  = S ABC .d ( A, ( ABC ) )
1
Thể tích khối chóp A. ABC là VA. ABC = S ABC .d ( A, ( ABC ) ) = V
3
Vậy VABC . ABC  = 3V .
Câu 5:
Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có thể tích bằng V . Gọi M là trung điểm cạnh BB , điểm N
V
thuộc cạnh CC  sao cho CN = 2C N . Khối chóp A.BCNM có thể tích là V1 . Tính 1 .
V
1
7
7
5
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
3
18
12
18
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Lời giải
Chọn D
Diện tích hình thang BCNM :
1
7
1 1
2
S BCNM = ( BM + CN ) .d ( B; CC  ) =  CC  + CC   .d ( B; CC  ) = .CC .d ( B; CC  )
2
12
22
3

=
7
S BCC B
12
7
7
7
1
VA.BCC B = (V − VA. ABC  ) =  V − .d ( A; ( ABC  ) ) .S ABC  
12
12
12 
3

V
7
7
1  7V
. Suy ra 1 =
= V − V  =
V 18
12 
3  18
Cách 2: Áp dụng công thức
V
1
AM
BN
CP
Nếu
= a;
= b;
= c thì ABC.MNP = ( a + b + c )
VABC. ABC  3
AA
BB
CC 
Khi đó: V1 =
Khi đó:
Câu 6:
V1 1  CN BM AA  1  2 1
 7
= 
+
+
=  + + 0 = .

V 3  CC  BB AA  3  3 2
 18
Cho khối hộp ABCD. ABC D có thể tích bằng 1 . Thể tích của khối tứ diện ABC C bằng
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A.
2
.
3
B.
1
.
3
C.
1
.
2
D.
1
.
6
Lời giải
Chọn D
1
Ta có VABC C = .d ( C , ( ABC ) ) .S ABC
3
1
1
1
1
1
= d ( C , ( ABC ) ) . S ABCD = d ( C , ( ABC ) ) .S ABCD = .VABCD. A ' BC D = .
3
2
6
6
6
Câu 7:
Cho khối lăng trụ tam giác ABC. ABC  có thể tích là V . Gọi M là trung điểm cạnh AA . Khi
đó thể tích khối chóp M .BCC B là
V
2V
V
V
A. .
B.
.
C. .
D. .
2
3
3
6
Lời giải
Chọn B
Vì AA // ( BBC C ) nên d ( M , ( BBC C ) ) = d ( A, ( BBC C ) ) suy ra VM .BBC C = VA.BBC C
1
2
Mà VA.BBCC = VABC . ABC − VAABC = V − V = V
3
3
2
Vậy VM .BBC C = V .
3
Câu 8:
Cho hình hộp ABCD. ABC D có O = AC  BD . Với thể tích khối chóp A. AOD là a 3 thì thể
tích khối hộp ABCD. ABC D là
A. 6a 3 .
B. 12a 3 .
C. 3a 3 .
Lời giải
D. 4a 3 .
Chọn B
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Ta có: VABCD. ABC D = S ABCD .d ( A, ( ABCD ) ) = 4.S AOD .d ( A, ( AOD ) )
1
= 4.3. .SAOD .d ( A, ( AOD ) ) = 12VA. AOD = 12a 3 .
3
Câu 9:
Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' . Gọi I là trung điểm BC. Tính tỉ số thể tích khối tứ diện
A’ABI và thể tích khối lăng trụ đã cho.
1
1
1
1
A. .
B.
.
C. .
D. .
4
12
6
3
Lời giải
Chọn C
1
1
Ta có: VABC . A ' B 'C ' = S ABC . AA ' và VA ' ABI = S ABI . AA ' mặt khác S ABI = S ABC
3
2
1
1 1
S ABI . AA '
. S ABC . AA '
VA ' ABI
1
=3
=3 2
= .
Suy ra
VABC . A ' B 'C '
S ABC . AA '
S ABC . AA '
6
Câu 10: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. ABC  có thể tích V . Gọi M là trung điểm của AA , N là
trung điểm AM , P nằm trên BB sao cho BP = 4 BP . Gọi thể tích khối đa diện MNBCC P là
V
V1 . Tỉ số 1 bằng
V
41
37
41
2
A.
.
B.
.
C.
.D .
60
49
57
3
Lời giải
Chọn A
Ta có
VN . ABC NA 1
1
1
=
=  VN . ABC = VA. ABC = V .
VA. ABC AA 4
4
12
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Mặt khác
VC . ABPM S ABPM
=
VC . ABBA
S ABBA
1
1
AA + AA


AM +BP 2
7
5
=
=
=
.
AA + BB
2 AA
20
7
7 2
7
VC . ABBA = . V = V .
20
20 3
30
41
V 41
1 7 
Do đó V1 = V − (VN . ABC + VC . ABPM ) = V −  + V = V . Suy ra 1 =
.
60
V 60
 12 30 
 VC . ABPM =
Câu 11: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có thể tích là V . M , N , P là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh
AA ', BB ', CC ' sao cho
AM 1 BN
CP
= ,
= x,
= y . Biết thể tích khối đa diện ABC.MNP bằng
AA ' 3 BB '
CC '
2V
. Giá trị lớn nhất của xy bằng:
3
17
25
A.
.
B.
.
21
36
C.
5
.
24
D.
9
.
16
Lời giải
Chọn B
1
1
Ta có VABC .MNP = VM . ABC + VM . NBCP = d ( M , ( ABC ) ) S ABC + d ( M , ( NBCP ) ) S BNPC
3
3
1 AM
1  BN CP 
=
d ( A ', ( ABC ) ) S ABC + 
+
 d ( A, ( NBCP ) ) S BB 'C 'C
3 AA '
3  BB ' CC ' 
AM BN CP
+
+
1 AM
1  BN CP 
AA ' BB ' CC ' V
=
VABC . A ' B 'C ' + 
+
V
=
ABC . A ' B ' C '
 ABC . A ' B 'C '
3 AA '
3  BB ' CC ' 
3
AM BN CP 1
2
+
+
+ x+ y
x + y)
(
VABC .MNP
2
5
25
AA
'
BB
'
CC
'
3
=
=
=  x + y =  xy 
=
Ta có
.
VABC . A ' B 'C '
3
3
3
3
4
36
Đẳng thức xảy ra khi x = y =
5
.
6
Câu 12: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BB ' và CC ' . Tỉ số thể tích
VABCMN
là
VABC . A ' B 'C '
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
A.
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
1
.
6
B.
1
.
3
C.
1
.
2
D.
2
.
3
Lời giải
Chọn B
Ta có:
1
VABCMN
1
= (hai hình chóp có chung đỉnh và đáy nhưng đáy này bằng đáy kia).
2
VA.BCC ' B ' 2
Ta có:
VA.BCC ' B '
V
2
1
= (vì A. A ' B 'C ' = )
VABC . A ' B 'C ' 3
VABC . A ' B 'C ' 3
Vậy
VABCMN
1 2 1
= . = .
VABC . A ' B 'C ' 2 3 3
Câu 13: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC  có thể tích là V và độ dài cạnh bên AA = 6 đơn vị. Cho
điểm A1 thuộc cạnh AA sao cho AA1 = 2 . Các điểm B1 , C1 lần lượt thuộc cạnh BB , CC  sao
cho BB1 = x, CC1 = y , ở đó x, y là các số thực dương thỏa mãn xy = 12. Biết rằng thể tích của
1
V . Giá trị của x − y bằng
2
B. 4 .
C. 1 .
Lời giải
khối đa diện ABC. A1 B1C1 bằng
A. 3 .
Chọn C
Cách 1:
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. 0 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi M , N lần lượt thuộc BB và CC  sao cho BM = CN = 2. Khi đó ta có
x+ y−4
1
x+ y−4 2
VABCC B = V +
 V.
12
3
12
3
1
Mặt khác theo giả thiết ta có VABC . A1B1C1 = V nên suy ra
2
1
x+ y−4 2
1
1 x+ y−4 2 1
V+
 V= V  +
 =  x + y = 7 , kết hợp với xy = 12. Ta có
3
12
3
2
3
12
3 2
x = 3
x = 4
hoặc 
. Do đó x − y = 1.

y = 3
y = 4
Cách 2: Vận dụng công thức:
 AA1 BB1 CC1 
2 x y
 AA + BB + CC  
6+6+6
 2+ x+ y 
VABC . A1B1C1 = 
 VABC . ABC  = 
VABC . ABC  = 
VABC . ABC 
3
3
 18 








1
2+ x+ y 1
Giả thiết: VABC . A1B1C1 = VABC . ABC 
=  x+ y =7
2
18
2
kết hợp với xy = 12. Ta có
1
3
VABC . A1B1C1 = VABC . A1MN + VA1MNC1B1 = V +
x = 3
x = 4
hoặc 
. Do đó x − y = 1.

y = 3
y = 4
Câu 14: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M là điểm thuộc đoạn CC ' thỏa mãn
CC ' = 4CM . Mặt phẳng ( AB ' M ) chia khối lập phương thành hai phần có thể tích V1 và V2 .
Gọi V2 là phần có chứa điểm B . Tính tỉ số k =
A.
32
.
25
B.
7
.
16
V1
.
V2
C.
25
.
7
D.
7
.
32
Lời giải
Chọn C
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
B'
C'
A'
D'
B
M
C
K
J
A
D
Gọi K = MB ' BC ; J = AK  CD và V là thể tích của khối lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' .
CK
CM 1
KM KJ KC 1
=
= 
=
=
= .
B ' C ' MC ' 3
KB ' KA KB 4
V
KC KM KJ 1 1 1 1
.
.
= . . = .
Ta có V2 = VB '. ABK − VK .CMJ ; K .CMJ =
VK .BB ' A KB KB ' KA 4 4 4 64
Ta có
63
VB '. ABK .
64
1
1
4
2
2
Ta có SABK = d ( A, BK ).BK = d ( A, BK ). BC = S ABCD  VB '. ABK = V .
2
2
3
3
9
V 25
7
25
Suy ra V2 = V  V1 = V  k = 1 = .
32
32
V2 7
Suy ra V2 =



Câu 15: Cho hình lăng trụ ABC. ABC
V . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA , BB ,
CC  sao cho AM = 2 MA , NB
ũ  = 2 NB , PC = PC  . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của hai khối
V
đa diện ABCMNP và ABCăMNP . Tính tỉ số
n
V
A. 1 = 2 .
V2
V1
.
V2
V
B. B1 = 1 .
Vắ2
c
C.
V1 1
= .
V2 2
D.
Lời giải
Chọn B
Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  . Ta có V1 = VM . ABC + VM .BCPN .
1
1 2
2
VM . ABC = S ABC .d ( M , ( ABC ) ) = . S ABC .d ( A, ( ABC ) ) = V .
3
3 3
9
1
1 1
1
VM . ABC = S ABC .d ( M , ( ABC  ) ) = . S ABC .d ( A, ( ABC  ) ) = V .
3
3 3
9
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
V1 2
= .
V2 3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Do BCC B là hình bình hành và NB = 2 NB , PC = PC  nên S BC PN =
7
S BCPN .
5
7
Suy ra VM .BC PN = VM .BCPN , Từ đó V = VM . ABC + VM .BCPN + VM . ABC  + VM .BC PN
5
2
1
7
5
 V = V + VM .BCPN + V + VM .BCPN  VM .BCPN = V .
9
9
5
18
V
2
5
1
1
Như vậy V1 = V + V = V  V2 = V . Bởi vậy: 1 = 1 .
V2
9
18
2
2
Câu 16: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. ABC  có thể tích V . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB; BC ; CC  . Mặt phẳng ( MNP ) chia khối lăng trụ đã cho thành 2 phần, phần chứa
điểm B có thể tích là V1 . Tỉ số
A.
61
.
144
B.
V1
bằng
V
37
.
144
C.
49
.
144
D.
25
.
144
Lời giải
Chọn C
Gọi S và h lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ ABC. ABC   V = Sh .
Gọi NP  BB = E , NP  BC  = F , MF  AC  = Q, ME  AB = R
Suy ra mặt phẳng ( MNP ) cắt khối lăng trụ theo thiết diện là MRNPQ .
1
1
Ta có BEPC  là hình bình hành  BE = PC  = CC  = BB , tương tự ta có BNFC  là hình
2
2
1
1
bình hành  C F = BN = BC = BC  .
2
2
1
3 1
3
Ta có : S MBF = .BM .BF .sin MBF = . . AB.BC .sin ABC  = S
2
4 2
4
3
3
Khi đó : d ( E , ( ABC  ) ) = d ( B, ( ABC  ) ) = h
2
2
1
1 3 3
3
 VE .BMF = .d ( E , ( ABC  ) ) .S BMF = . h. S = V .
3
3 2 4
8
3
V
1
1 3
1
 EB 
=
 VE .BNR = . V = V
Lại có E .BNR = 

VE .BFM  EB  27
27 8
72
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 12
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Ta cũng có
VF .C PQ
VF .BEM
=
FC  FP FQ 1 1 1 1
1 3
1
.
.
= . . =  VF .C PQ = . V = V .
FB FE FM 3 3 2 18
18 8
48
(
)
Suy ra V1 = VE .BMF − VVE . BNR + VF .C PQ =
Vậy
49
V.
144
V1 49
.
=
V 144
Câu 17: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm B ' A ' và B ' B . Mặt
phẳng ( P ) đi qua MN và tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') một góc  sao cho tan  = 2 . Biết
( P)
cắt các cạnh DD ' và DC . Khi đó mặt phẳng ( P ) chia khối lập phương thành hai phần,
gọi thể tích phần chứa điểm A là V1 và phần còn lại có thể tích V2 . Tỉ số
A.
V1
= 1.
V2
B.
V1
= 2.
V2
C.
V1 1
= .
V2 3
V1
là
V2
D.
V1 1
= .
V2 2
Lời giải
Chọn A
Không mất tính tổng quát, giả sử độ dài cạnh của hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' là 1.
Gọi Q, R, I lần lượt là trung điểm của các cạnh DC , DD ', AA ' .
Ta có QR // MN // DC // AB nên M , N , Q, R đồng phẳng.
( MNQR )  ( ABB ' A ') = MN . Trong ( ABB ' A ') , ta có IM ⊥ MN .
RI ⊥ ( ABB ' A ')  RI ⊥ MN . Do đó, MN ⊥ ( IMR )  MR ⊥ MN .
Suy ra  = ( ( MNQR ) , ( ABB ' A ') ) = ( IM , MR ) = RMI , tan  =
( P)
RI
= 2 . Như vậy, mặt phẳng
MI
chính là mặt phẳng MNQR .
Gọi T = MN  AA ', K = MN  AB, P = QK  BC , S = RT  A ' D ' . Khi đó, thiết diện của khối
lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cắt bởi mặt phẳng ( P ) là lục giác MNPQRS .
V1 = VA.MNPQRS + VAA ' MS + VADRQ + VABNP
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
V2 = VC '.MNPQRS + VC ' D ' RS + VC 'CPQ + VC ' MNB '
Dễ thấy VA.MNPQRS = VC '.MNPQRS và
2
VAA ' MS = VADRQ = VABNP = VC ' D ' RS = VC 'CPQ = VC ' MNB '
Do đó, V1 = V2 
1 11
1
.
= .1.   =
3 2  2  24
V1
=1.
V2
Câu 18: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , điểm M thuộc cạnh CC ' sao cho CC ' = 3CM . Mặt phẳng
( AB ' M )
chia khối hộp thành hai khối đa diện.
thể tích khối đa diện chứa đỉnh B . Tính tỉ số
A.
13
.
41
B.
41
.
108
V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A ' , V2 là
V1
?
V2
13
.
8
C.
D.
41
.
13
Lời giải
Chọn D
Gọi E = B ' M  BC , F = AE  DC .
(
)
Gọi V là thể tích khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D '. Ta có: V = S ABB ' A ' .d C , ( ABB ' A ' ) .
Ta có: VE . ABB ' = SABB ' .d ( E , ( ABB ') ) = . S ABB ' A ' . d ( C , ( ABB ' A ' ) ) = V .
1
1
3
3
EF EC EM
1
VE . FCM =
.
.
.VE . ABB ' =
VE . ABB '
EA EB EB '
27
1
1
Suy ra: V2 = VE . ABB ' − VE . FCM = V −
V
4
108
Vậy:
1
2
3
2
1
4
1
V.
108
13
13
41
=
V . Và V1 = V − V2 = V − V = V .
54
54
54
=
V1 41
= .
V2 13
.
Câu 19: Cho lăng trụ ABCD. ABC D có ABCD là hình thang đáy AB, CD sao cho AB = 2CD . Gọi
AM 3 DN 4
= ;
= , mặt phẳng ( BMN ) chia khối
MA 4 ND 3
lăng trụ thành hai khối đa diện, gọi V1 là thể tích của khối đa diện có chứa đỉnh A;V2 là thể tích
M , N lần lượt thuộc cạnh AA, DD sao cho
khối đa diện còn lại. Biết
V1 a
= . Giá trị của biểu thức a + 2b bằng
V2 b
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 14
Phan Nhật Linh
A. 167 .
B. 211 .
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
C. 293 .
D. 208 .
Lời giải
Chọn B
Gọi E , E  lần lượt là trung điểm của AB, AB ; I = BM  EE 
( BMN )  ( ECC E  ) = IK

Ta có: ( BMN )  ( ADDA ) = MN  IK //MN

( ECC E  ) // ( ADDA )
EI
1
EI
1
EI
3
EI
3
= 
= 
= 
=
3
AM 2
AA 14
EE  14
AA 2
7
AM CK
EI
DN
CK
5
Mặt khác:
+
=
+

= .
AA CC  EE  DD
CC  14
Ta lại có
VADCE .MNKI = VAECD.MKN + VBEIKC
1  AM DN CK
EI 
1  CK
EI 
= 
+
+
+
VAECD. AEC D + 
+

 VECBECB
4  AA DD CC  EE  
3  CC  EE  
V 41
2 1 11
1 1 4
41
= . . V+ . . V=
V  1 =
 a = 41, b = 85  a + 2b = 211
3 4 7
3 3 7
126
V2 85
Câu 20: Cho hình hộp ABCD .ABC D có thể tích bằng V . Điểm M là trung điểm cạnh CC  . Mặt
phẳng ( P ) chứa AM cắt các cạnh BB, DD lần lượt tại N , P chia khối hộp thành hai phần.
Thể tích phần chứa đỉnh C  bằng
V
V
A. .
B. .
2
3
C.
Lời giải
Chọn D
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
V
.
6
D.
V
.
4
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 AA C M
2
+
V1
AA C C

=
Áp dụng công thức
V
4
1

20 + 
V
2 1
= .
Khi đó: 1 = 
V
4
4


 . Ta có AA = 0, C M = 1 .
AA
C C 2
Câu 21: Cho lăng trụ ABC. ABC  có thể tích bằng V . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc AA ,
AM BN C P 1
=
=
= . Gọi Q là trung điểm BC . Thể tích khối tứ diện
BB , AC  sao cho
AM BN AP 2
MNPQ bằng
A.
2
V.
9
B.
1
V.
3
C.
2
V.
7
D.
2
V.
3
Lời giải
Chọn A
Trong ( AAC C ) , gọi K = MP  CC  . Trong ( BBC C ) , gọi I = NQ  CC  .
Ta có:
2
2
2
d ( P ; ( MNQ ) ) = d ( K ; ( MNQ ) )  VMNPQ = VP.MNQ = VK .MNQ = VQ.MNK .
3
3
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 16
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
1
1
1
d ( Q ; ( MNK ) ) = d ( I ; ( MNK ) )  VQ.MNK = VI .MNK = VM .INK .
2
2
2
1
1
d ( M ; ( INK ) ) = d ( A ; ( INK ) )  VM .INK = VA.INK  VQ.MNK = VA.INK = VN . AKI .
2
2
1
1
d ( N ; ( AKI ) ) = d ( B ; ( AKI ) )  VN . AKI = VB. AKI  VQ.MNK = VB. AKI = VI . ABK .
2
2
3
3
1 3
3
d ( I ; ( ABK ) ) = d ( C ; ( ABK ) )  VI . ABK = VC . ABK  VQ.MNK = . VC . ABK = VK . ABC .
2
2
2 2
4
4
4
3 4
1
d ( K ; ( ABC ) ) = d ( C  ; ( ABC ) )  VK . ABC = VC . ABC  VQ.MNK = . VC . ABC = VC . ABC = V .
3
3
4 3
3
2 1
2
VMNPQ = . V = V .
3 3
9
Câu 22: Cho hình hộp ABCD  ABC D có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng a và BAC = 60 .
Gọi I , J lần lượt là tâm của các mặt bên ABBA, CDDC  . Biết AI =
a 7
, AA = 2a và góc
2
giữa hai mặt phẳng ( ABBA ) , ( ABC D ) bằng 60 . Tính theo a thể tích khối tứ diện AOIJ .
A.
3 3a 3
.
64
B.
3a 3
.
48
3a 3
.
32
C.
D.
3a 3
.
192
Lời giải
Chọn C
Ta có AI 2 =
AA2 + AB 2 AB 2
−
 AB 2 = 2 ( AA2 + AB 2 ) − 4 AI 2 = 3a 2  AB = a 3
2
4
Do AB 2 + AB 2 = AA2 nên tam giác AAB vuông tại B  S AAB =
Tam giác ABC đều cạnh a nên S ABC =
Theo đề
a2 3
2
a2 3
4
(( ABBA) , ( ABCD)) = 60 , nên suy ra V
AABC
=
2S AAB .S ABC . sin 60 a3 3
=
3 AB
8
1
1 1
1
1
1
a3 3
VAOIJ = d (O;( IAJ )).S LAJ =  d ( B; ( BAD ) )  S BAD = VBABD = VAABC =
3
3 2
2
4
4
32
1
Câu 23: Cho lăng trụ ABC . A ' B ' C '. Điểm M thỏa mãn BM = − .BA , D là trung điểm của BB ' và
2
E là trung điểm của AC  . Mặt phẳng ( MDE ) chia khối lăng trụ ABC . A ' B ' C ' thành hai khối
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
đa diện có thể tích là V1 , V2 ( V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A ). Biết tỉ số
các số nguyên dương và
A. 2a + b = 193 .
a
là phân số tối giản), tính 2a + b .
b
B. 2a + b = 144 .
C. 2a + b = 187 .
Lời giải
V1 a
= ( a, b là
V2 b
D. 2a + b = 239 .
Chọn A
Gọi A ' B ' ME = R .
Kéo dài MD cắt AB, AA ' lần lượt tại P, F .
Gọi EF  AC = Q .
Suy ra thiết diện là ngũ giác ERDPQ . Đặt V = VABC . A ' B 'C ' .
Ta có: V1 = VF . A ' EM − VF . AQP − VM . B ' DR .
1
1 1
3
3
Ta có: S AME = .d ( E; AM ) . AM = . .d ( C ; AB ) . AB = .S A ' B ' C '
2
2 2
2
4
1
Lại có D là trung điểm của BB ' mà BM = − .BA  P là trung điểm của AB
2

FA
AP 1
FA 3

=
= 
= .
FA AM 3
AA 2
1
.d F ; A ' B ' C ' ) ) .S A ' ME
VF . A ' ME 3 ( (
1 FA ' S A ' ME 1 3 3 3
3

=
= .
.
= . . =  VF . A ' ME = V .
V
3 AA ' S A ' B 'C ' 3 2 4 8
8
d ( A; ( A ' B ' C ' ) ) .S A ' B 'C '
Ta có: APQ

VF . APQ
V
A ' ME 
S APQ
S A ' ME
2
1
1
1
 AP  1
=
=  S APQ = S A ' ME = S A ' B ' C ' = S ABC .

9
12
12
 AM  9
1
.d ( F ; ( ABC ) ) .S APQ
1 FA S APQ 1 1 1
1
1
=3
= .
.
= . . =
 VF . APQ = V
3 AA ' S ABC 3 2 12 72
72
d ( A '; ( ABC ) ) .S ABC
Áp dụng định lí Mennelaus, ta có
MA ' RB ' EC '
RB ' 2
.
.
=1
= .
MB ' RC ' EA '
RC ' 3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 18
Phan Nhật Linh
CE BA RM
RM
RM
.
.
=1
=1
CA BM RE
RE
ME
S
MB ' RM 1
 B ' RM =
.
=  S B ' RM =
S A ' ME MA ' ME 6
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
=
1
.
2
1
1
.S A ' ME = .S A ' B ' C '
6
8
1
.d D; A ' B ' C ') ) .S B ' RM
VD.B ' RM 3 ( (
1 DB ' S B ' RM 1 1 1 1
1

=
= .
.
= . . =
 VD.B ' RM = V
V
d ( B; ( A ' B ' C ' ) ) .S A ' B ' C '
3 BB ' S A ' B ' C ' 3 2 8 48
48
Suy ra V1 =
V 49
49
V 1 =
 a = 49, b = 95  2a + b = 193 .
144
V2 95
Câu 24: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M là một điểm trên cạnh BC sao cho
BM = 2 MC , E là giao điểm của AM và CD , F là giao điểm của DM và BE . Mặt phẳng
( )
đi qua trung điểm của A ' D ' và vuông góc với CF chia khối lập phương ra thành hai phần
có thể tích là V1 , V2 , (V1  V2 ) . Đặt
a
V1 a
tối
= với a, b là các số nguyên dương và phân số
b
V2 b
giản. Giá trị a − b bằng
A. −7 .
B. −11 .
C. −10 .
Lời giải
D. −5 .
Chọn C
Ta có
EC MC 1
1
=
=  CE = CD .
ED AD 3
2
DC EF BM
EF 3
.
.
=1
= .
DE FB MC
FB 4
3
3
3
3
3


 


Xét AE.CF =  AD + DC  CE + EB  =  AD + DC  CE + EC − BC 
2
7
2
7
7


 


Theo định lý Menelaus trong BCE có
3
3

 2

=  AD + DC  DC − AD  = 0 .
2
7

 7

Vậy AE ⊥ CF .
Gọi H , K làn lượt là trung điểm của A ' D ', AD và KP //AM , PQ //CC ' thì ( )  ( HKPQ )
1
MC  DP = 3PC .
2
V
3
3
13
3
= DD '.S ABCD = V  V2 = V  1 = .
16
16
16
V2 13
Gọi KP  BC = I  IM = KA  IC =
3
V1 = DD '.S DKP = DD '.S DAC
8
Vậy a − b = −10 .
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 25: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. ABC  có thể tích là V . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của
hai cạnh AA và BB . Khi đó thể tích khối đa diện ABCIJC  bằng
2
3
3
A. V .
B. V .
C. V .
3
5
4
Lời giải
Chọn A
A'
D.
4
V.
5
C'
B'
I
J
A
C
B
Có
VABC .IJC 
1  AI
BJ CC   1  1 1  2
= 
+
+
 =  + + 1 = .
VABC . AB C  3  AA BB CC   3  2 2  3
2
2
 VABC .IJC  = VABC . AB C  = V .
3
3
Câu 26: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CC  và BB . Tính tỉ số
VABCMN
.
VABC . ABC 
A.
1
.
2
B.
2
.
3
1
.
3
Lời giải
C.
D.
1
.
6
Chọn C
Đặt VABC . ABC  = V .
1
1
1
2
VA. ABC  = S ABC  .d ( A, ( ABC  ) ) = V  VA.BCC B = V − V = V .
3
3
3
3
1
1 1
1
1 2
1
VABCMN = S BCMN .d ( A, ( BCC B ) ) = . S BCC B .d ( A, ( BCC B ) ) = VA.BCC B = . V = V .
3
3 2
2
2 3
3
V
1
Vậy ABCMN = .
VABC . ABC  3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 20
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 27: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC  có thể tích là V . Gọi M là trung điểm AA và N là
trung điểm của AB . Mặt phẳng ( MNC  ) chia lăng trụ thành hai phần trong đó phần chứa đỉnh
A có thể tích V  . Thể tích của khối V  theo V là
11
1
13
A. V  = V .
B. V  = V .
C. V  = V .
25
5
36
Lời giải
Chọn C
5
D. V  = V .
7
Trong ( ABBA ) , gọi I = MN  AB và S = MN  BB
Trong ( BCC B ) ,gọi E = SC   BC .
AI 1 SB 1 BE 1
= ,
= ,
= .
AB 2 BB 2 BC 3
Gọi h là chiều cao và S là diện tích đáy của lăng trụ  V = hS .
1 3h 3S h S h S  23V
VABC MNBE = VS .BC I − VS .BEN − VM . AC I =   − 
.
−  =
3  2 2 2 3.2 2 2  36
Ta có
Suy ra V  = V −
23V 13
= V.
36 36
Câu 28: Cho hình lăng trụ ABC. AB ' C  có thể tích V . Gọi M là điểm nằm trên cạnh BB sao cho
2 MB = 3MB , điểm N nằm trên cạnh AA sao cho 4AN = NA , điểm P nằm trên cạnh CC 
sao cho 3CP = PC  . Các đường thẳng NM , PM lần lượt cắt các cạnh AB và C B lần lượt
tại H , K . Hãy tính theo V thể tích của khối tứ diện MB HK ?
16V
6V
4V
2V
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
105
35
15
7
Lời giải
Chọn A
2
4
3
Có 2MB = 3MB  MB = BB , 4 AN = NA  NA = AA , 3CP = PC   PC  = CC  .
5
5
4
Gọi E là hình chiếu của điểm B trên ( ABC  ) , F là hình chiếu của điểm M trên ( ABC  )
suy ra B  , F , E thẳng hàng.
21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Xét hai tam giác BMF , BBE có góc B  chung, MFB = BEB = 90o suy ra hai tam giác
MF BM 2
2
BMF , BBE đồng dạng, ta có:
=
=  MF = BE .
BE
BB 5
5
KB BM
8
8
8
Vì BB / / CC  ta có:
=
=
 KB = KC   KB = BC ' .
KC  C P 15
15
7
HB BM 1
1
BB / / AA ta có:
=
=  HB = HA  HB = A ' B ' .
HA AN 2
2
Góc HBK = ABC  (đối đỉnh).
1
1 1
1 1
8
2
Ta có: VMBHK = S BHK .MF = . BH .BK .sin HBK .MF = . BA. BC .sin ABC . BE .
3
3 2
3 2
7
5
16 1
16V
.
VMBHK =
. BA.BC .sin ABC .BE =
105 2
105
Câu 29: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có A. ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = 1 , cạnh
bên AA = 2 . Tính thể tích khối chóp A.BBC C .
A.
11
.
6
B.
2 6
.
3
2 3
.
3
C.
D.
15
.
3
Lời giải
Chọn A
Gọi H là tâm của tam giác ABC , suy ra AH ⊥ ( ABC ) .
Xét tam giác đều ABC , có AH =
2
2 3
3
.
AI =
=
3
3 2
3
2
 3
33
.
AA − AH = 2 − 
 =
3
 3 
Tam giác AAH vuông tại H , suy ra : AH =
Suy ra VABC . ABC  = AH .SABC =
2
2
2
33 3
11
.

=
3
4
4
2
2 11
11
Vậy VA.BBC C = VABC . ABC =
.
=
3
3 4
6
Câu 30: Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có P là trọng tâm tam giác A ' B ' C ' và Q là trung điểm của
BC. Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích hai khối tứ diện B ' PAQ và A ' ABC . Tính tỉ số
A.
1
.
3
B.
2
.
3
C.
1
.
6
D.
V1
.
V2
1
.
2
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 22
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Lời giải
Chọn D
Gọi M là trung điểm của B ' C '  A, M , P thẳng hàng.
Do đó S PAQ =
1
1
S AA ' MQ  VB ' PAQ = VB '. AA ' MQ . Dễ thấy
2
2
1
2
2 1
VB ' ABQ = VB ' A ' M .BAQ  VB '. AA ' MQ = VB ' A ' M .BAQ = . VA ' B 'C '. ABC
3
3
3 2
V 1
1 2 1
1
 VB ' PAQ = . . .3VA ' ABC = VA ' ABC  1 = .
2 3 2
2
V2 2
Câu 31: Cho hình lập phương
ABCD. ABC D , gọi I là trung điểm của BB . Mặt phẳng ( DIC  ) chia
khối lập phương thành 2 phần. Tính tỷ số thể tích phần bé chia phần lớn.
7
1
1
1
A.
.
B. .
C. .
D. .
17
3
2
7
Lời giải
Chọn A
Do
( ABBA ) ( CC DD )
nên
( DIC )  ( ABBA ) = Ix
DC  . Gọi M = Ix  AB  M là
trung điểm của AB . Do đó, thiết diện của hình lập phương cắt bởi ( DIC  ) là tứ giác DC IM .
Và mặt phẳng ( DIC  ) chia khối lập phương thành 2 phần BIM .CC D và DDC .IMAAB .
Ta có, VBIM .CC D = VC .BCDM + VC .IMB .
1
VC .BCDM = a.S BCDM
3
a

+ aa
3
1  2
 =a .
= a.
3
2
4
23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
VC .IMB
1
1  1 a a  a3



= a.d ( C , ( ABB A ) ) .S BIM = a.  . .  =
3
3  2 2 2  24
a 3 a 3 7a 3
+
=
4 24 24
7a3 17a3
V
7
 V2 = VABCD. ABC D − V1 = a 3 −
=
 1 = .
24
24
V2 17
 V1 = VBIM .CC D = VC .BCDM + VC .IMB =
Câu 32: Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC  . M , N lần lượt là trung điểm AB, AC ; P thuộc đoạn CC 
CP
= x. Tìm x để mặt phẳng ( MNP ) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện có tỉ lệ
CC 
1
thể tích là .
2
8
5
4
5
A. .
B. .
C. .
D. .
5
8
5
4
Lời giải
Chọn C
sao cho
 P  ( MNP )  ( BB ' C ' C )

BT
 MN / / BC
 ( MNP )  ( BB ' C ' C ) = PT / / MN / / BC 
= x   0;1
Ta có 
MN

MNP
BB
'
(
)

 BC  ( BB ' C ' C )

.
Thiết diện tạo bởi ( MNP ) với khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là hình tứ giác MNPT .
Ta có VTPMNCB = VT .BCNM + VN .TPC (1) . Mà:
1
1
S BNCM .d (T ; ( BCNM ) ) = ( S ABC − S AMN ) .d (T ; ( BCNM ) )
3
3
1  1 1
x
= . 1 − .  S ABC .x.d ( B '; ( ABC ) ) = VABC . A ' B ' C '
3  2 2
4
VT .BCNM =
1
1
1
STPC .d ( N ; ( BB ' C ' C ) ) = ( S BB ' C ' C − S BTC − S B ' C ' PT ) . d ( A; ( BB ' C ' C ) )
3
3
2
1
x
1
x
x 2
x

= 1 − − (1 − x )  S BB ' C ' C . d ( A; ( BB ' C ' C ) ) = VA.BCC ' B ' = . VABC . A ' B ' C ' = VABC . A ' B ' C ' .
3 2
2
4
4 3
6

VN .TPC =
5x
x x
Thay vào (1) , ta được VTPMNCB =  + VABC . A ' B ' C ' = VABC . A ' B ' C ' .
12
4 6
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 24
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
1
Mặt phẳng ( MNP ) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện có tỉ lệ thể tích là
2
1

 5x 1

VTPMNCB = 3 VABC . A ' B ' C '
 12 = 3
x =



2
5x 2
V

x =
= V
=
 TPMNCB 3 ABC . A ' B ' C '
 12 3

Vậy x =
4
5
8
4
( Nhan )
( Loai )
.
4
thoả mãn yêu cầu bài toán.
5
Câu 33: Cho khối hộp ABCD. ABC D có thể tích V . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB ,
V
BC  DD . Gọi thể tích khối tứ diện CMNP là V  . Khi đó thể tích
bằng:
V
1
3
1
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
64
64
16
16
Lời giải
Chọn D
Gọi Q là trung điểm BC  NQ // DD .
Trong ( NQDD ) : gọi K = QD  NP . Suy ra DP là đường trung bình của KNQ .
Ta có V  = VCMNP = VK .MNC − VK .MPC . Mà
VK .MPC KP 1
1
=
=  VK .MPC = VK .MNC .
VK .MNC KN 2
2
1
1
1
Nên V  = VK .MNC − VK .MNC = VK .MNC = VN .KMC (*) .
2
2
2
Dựng hình bình hành TKEB như hình vẽ. Khi đó TB = 2 AB và EB =
Ta có S KMC = STKEB − S MBC − SCEK − STMK (1) .
3
STKEB = 2. S ABCD = 3S ABCD ;
2
1
1 1
1
S MBC = S ABC = . S ABCD = S ABCD ;
2
2 2
4
25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
3
BC .
2
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1
1 1
1 1
1
SCEK = S BEK = . STKEB = . .3S ABCD = S ABCD ;
3
3 2
3 2
2
3
3 1
3 1
9
STMK = STBK = . STKEB = . .3S ABCD = S ABCD .
4
4 2
4 2
8
9
Thay vào (1) ta đượ S KMC = S ABCD .
8
Lại có d ( N ; ( KMC ) ) = d ( A; ( ABCD ) ) . Do đó, từ (*) ta có:
1
1 1
1 1 9
1 1 9
3V
.
V  = VN .KMC = . S KMC .d ( N ; ( KMC ) ) = . . S ABCD .d ( A; ( ABCD ) ) = . . V =
2
2 3
2 3 8
2 3 8
16
V 3
Suy ra
.
=
V 16
Câu 34: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' . Trên tia đối của tia B ' A ' lấy điểm M sao cho
1
B ' M = B ' A ' . Gọi N , P lần lượt là trung điểm của A ' C ', BB ' . Mặt phẳng ( MNP ) chia khối
2
trụ ABC. A ' B ' C ' thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện có chứa đỉnh A ' có thể tích V1 và
khối đa diện chứa đỉnh C ' có thể tích V2 . Tỉ số
A.
95
.
144
B.
97
.
59
V1
bằng
V2
C.
49
.
144
D.
49
.
95
Lời giải
Chọn D
Ta gọi: K = MP  AB, S = MP  AA ', L = NS  AC ;
Khi đó thiết diện cần tìm chính là ngũ giác NJPKL chia hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' thành 2 phần
 NF / / B ' M
 B ' J = JF
như hình vẽ. Cho J là trung điểm BF mà ta có: 
 NF = B ' M
Tương tự ta lại có thêm được: MJ = JN nên từ đó suy ra B ' NFM là hình bình hành
 AK = KB
MP B ' P 1
 SA = BP = B ' P
=
=
Mặt khác: 
MS A ' S 3
 SA / / BP
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 26
Phan Nhật Linh
Ta có:
VM .PJB '
VM .SNA '
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
MP MJ MB ' 1 1 1 1
1
=
.
.
= . . =  VM .PJB ' = VM .SNA '
MS MN MA ' 3 2 3 18
18
3
Mặt khác: ta có
SL SA 1
V
SK SA SL  1 
1
1
=
=  S . ALK =
.
.
=  =
 VS . ALK = VS . A ' NM
SN SA ' 3 VS . A ' NM SM SA ' SN  3  27
27
1
1 
49

Khi đó: V1 = VS .MNA ' − VM .PJB ' − VS . ALK = 1 − − VM .SNA ' = VM .SNA '
54
 18 27 
Ta lại có:
49
49 3
49
95
VS . A ' NM = VM .SNA ' = . VABC . A ' B ' C ' =
VABC . A ' B ' C '  V2 = VABC . A ' B ' C ' − V1 =
VABC . A ' B ' C '
54
54 8
144
144
V 49
Vậy: 1 =
.
V2 95
27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 11: Góc, khoảng cách liên quan đến thể tích khối đa diện
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và thể tích bằng
3a 3 . Tính chiều cao h của lăng trụ đã cho.
A. h = a .
B. h = 9a .
C. h =
a
.
3
D. h = 3a .
Lời giải
Chọn D
Thể tích khối lăng trụ V = Bh  h =
Câu 2:
V 3a3
=
= 3a .
B a2
Cho khối chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a . Gọi M là trung điểm SA . Biết thể tích khối
chóp bằng
a3
, khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ABC ) bằng
2
A. a 3 .
B. 3a .
C.
a 3
.
3
D. 2a 3 .
Lời giải
Chọn A
Gọi I là trọng tâm tam giác ABC , J là trung điểm AI .
3.V
1
Ta có: VS . ABC = SI .S ABC  SI = S . ABC .
3
S ABC
a3
a 3
=
 SI = 2 2 = 2a 3 .
4
a 3
4
2
Do tam giác ABC đều cạnh a nên S ABC
Lại có:
Câu 3:
d ( M ; ( ABC ) )
d ( S; ( ABC ) )
=
3.
MA 1
1
1
= d ( M ; ( ABC ) ) = d (S; ( ABC ) ) = .2a 3 = a 3 .
2
2
SA 2
Lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = a , biết thể tích của lăng
trụ ABC. ABC  là V =
4a 3
. Tính khoảng cách h giữa AB và BC  .
3
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
3a
2a
A. h =
.
B. h =
.
8
3
C. h =
8a
.
3
D. h =
a
.
3
Lời giải
Chọn C
1
a2
AB. AC =
2
2
Vì AB // ( ABC  ) nên h = d ( AB, BC  ) = d ( AB, ( ABC  ) ) = d ( A, ( ABC  ) ) .
Ta có: ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = a  SABC =
 h là đường cao của lăng trụ ABC. ABC  .
Khi đó V = h.S ABC  h =
Câu 4:
V
SABC
4a 3
8a
.
= 32 =
3
a
2
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Tam giác SAB cân tại S và
( SAB )
vuông góc với ( ABCD ) . Giả sử thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. cos  =
15
.
5
B. cos  =
6
.
6
C. cos  =
30
.
6
4a 3
. Gọi  là
3
D. cos  =
3 5
.
5
Lời giải
Chọn C
Gọi M là trung điểm của SA  SM ⊥ ( ABCD )  ( SC , ( ABCD ) ) = SCM .
3V
1
Ta có VS . ABCD = S ABCD .SM  SM = S . ABCD = a.
3
S ABCD
Lại có MC = BM 2 + BC 2 = 5a  SC = 6a.
Trong tam giác SMC vuông tại M , ta có cos  =
MC
30
=
.
SC
6
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của
đỉnh S lên đáy ( ABCD ) là trọng tâm tam giác ACD và góc tạo bởi SB với đáy ( ABCD ) bằng
30o . Thể tích khối chóp SABD bằng
A.
a3 6
.
27
B.
2a 3 6
.
27
C.
a3
.
9
D.
a3 3
.
6
Lời giải
Chọn A
Gọi H là trọng tâm tam giác ACD . Từ giả thiết bài toán ta có SH ⊥ ( ABCD ) và SBH = 300
Gọi
O
là
giao
AC
điểm
của
2
1
2
2 2
2
DH = DO = DB  HB = DB =
a + a2 = a 2 .
3
3
3
3
3
và
.
DB
Ta
có
2
1
2a 6
Trong tam giác SHB vuông tại H có SH = HB.tan 30o = a 2.
.
=
3
9
3
Suy ra VSABD
Câu 6:
1
1 2a 6 a 2 a 3 6
= SH .SABD = .
. =
.
3
3 9
2
27
Cho hình chóp S . ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = a , SB = 2a ,
SC = 3a . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, BC , CA . Khoảng cách từ M đến mặt
phẳng ( SNP ) .
A.
a 13
.
2
B.
a 15
.
2
C.
Lời giải
Chọn C
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
6a
.
7
D.
a 13
.
2
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1
1
Thể tích khối chóp S . ABC : VS . ABC = SA.SB.SC = .a.2a.3a = a 3 .
6
6
1
Vì M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, BC , CA nên SMNP = S ABC .
4
1
a3
Vì d( S ,( MNP ) ) = d( S ,( ABC ) ) nên VS .MNP = .VS . ABC = .
4
4
Ta có SBC vuông tại S  SN =
1
1
a 13
.
BC =
(2a)2 + (3a)2 =
2
2
2
Ta có SAC vuông tại S  SP =
1
1 2
a 10
.
AC =
a + (3a)2 =
2
2
2
Ta có NP là đường trung bình của ABC  NP =
Vậy SSNP =
p( p − a)( p − b)( p − c) =
1
1 2
a 5
.
AB =
a + (2a)2 =
2
2
2
7a
.
8
3V
1
6a
Xét hình chóp S .MNP có d( M ;( SNP ) ) = h  VS .MNP = SSNP .h  h = S .MNP =
.
3
S
7
Câu 7:
Cho hình hộp ABCD. ABC D có tất cả các cạnh đều bằng a và BAA = DAA = BAD = 600.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC  . Khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( DAC  ) bằng
A.
a 22
.
66
B.
4a 11
.
11
2a 11
.
11
C.
D.
a 22
.
11
Lời giải
Chọn D
Gọi H là trọng tâm tam giác ABD và K là trung điểm AD.
Do BAA ' = DAA ' = BAD = 600 và AA = AB = AD = AB = AD = BD = a.
 A ' ABD là tứ diện đều cạnh bằng a  VAABD =
 đường cao A ' H =
a3 2
.
12
a3 2
a 6
.
,  VD.DAC  = VD. AC D = VAABD =
12
3
Xét DA ' C ', có A ' D = a, A ' C ' = DC ' = a 3.
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
 C K =
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
(a 3)
2
2
a 11
1
a 2 11
a
−  =
 S DA ' C ' = AD.C K =
.
2
2
4
2
Do G là trọng tâm của tam giác A ' BC ' và BO //OD
 d ( G, ( DAC  ) ) = d ( B, ( DAC  ) ) = d ( D, ( DAC  ) ) =
Vậy khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( DAC  ) bằng
Câu 8:
3VD.DAC 
SDAC 
a3 2
a 22
= 2 12 =
.
11
a 11
4
3.
a 22
.
11
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy. Biết thể
tích khối chóp S . ABCD bằng
A.
a
.
2
B.
a3 3
. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
3
a 3
.
2
C.
a 2
.
2
D.
2a 39
.
13
Lời giải
Chọn B
3V
1
Vì SA vuông góc với đáy nên ta có VS . ABCD = SA.S ABCD  SA = S . ABCD =
3
S ABCD
3.
a3 3
3 =a 3.
a2
Ta có AD song song với mặt phẳng ( SBC ) nên d(D,( SBC )) = d(A,(SBC)) .
 BC ⊥ AB
Lại có 
 BC ⊥ ( SAB)  ( SAB) ⊥ ( SBC ) theo giao tuyến SB
 BC ⊥ SA
Vẽ AH ⊥ SB  AH ⊥ ( SBC ) nên AH = d ( A,( SBC )) và AH =
Vậy d(D,( SBC )) =
a 3
.
2
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
SA. AB a 3.a a 3
=
=
SB
2a
2
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 9: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AC = 2a , BD = 2 3a ,
SO ⊥ ( ABCD ) . Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
a 3
. Tính thể tích của
4
khối chóp S . ABCD theo a .
A.
a3 3
.
3
B.
a3 3
.
6
C.
a3 3
.
12
D.
a3 3
.
4
Lời giải
Chọn A
S
H
A
D
B
O
C
G
Ta có OC = a , BO = a 3  BC = 2a .
Kẻ OG ⊥ BC ( G  BC ) , OH ⊥ SG ( H  SG )  OH ⊥ ( SBC )
 d ( O, ( SBC ) ) = OH =
OG =
a 3
.
4
OB.OC a 3
OH .OG
a
, SO =
=
= .
BC
2
OG 2 − OH 2 2
S ABCD =
1
a3 3
1
.
AC.BD = 2a 2 3  VS . ABCD = SO.S ABCD =
2
3
3
Câu 10: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy là tam giác đều cạnh 6 . Biết khoảng cách từ B đến mặt
phẳng ( SAC ) bằng 3 ; khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng 2 . Khoảng cách từ
điểm S đến mặt phẳng ( ABC ) nằm trong khoảng nào dưới đây?
 5 11 
A.  ;  .
4 8 
 11 3 
B.  ;  .
 8 2
7 5
C.  ;  .
8 4
Lời giải
 3 13 
D.  ;  .
2 8 
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dựng hình bình hành ABDC . Do ABC là tam giác đều nên ABDC là hình thoi.
Dựng SI ⊥ AC ( I  AC ), SH ⊥ ( ABC ) ( H  ( ABC ) ) .
Gọi IH  BD = K suy ra AC ⊥ ( SIK ) và IK = d ( B, AC ) = 3 3 .
Trong tam giác SIK , dựng IQ ⊥ SK , KP ⊥ SI với Q  SK , P  SI .
 AC ⊥ KP
Ta có: AC ⊥ ( SIK )  
suy ra KP ⊥ ( SAC ) , IQ ⊥ ( SBD ) .
 AC ⊥ IQ
Khi đó: d ( K , ( SAC ) ) = KP mà d ( B, ( SAC ) ) = d ( K , ( SAC ) ) nên KP = 3 ;
d ( AC , SB ) = d ( AC , ( SBD ) ) = d ( I , ( SBD ) ) = IQ suy ra IQ = 2 .
Xét tam giác SIK : IQ.SK = SI .PK 
Đặt SI = x suy ra SK =
SK PK 3
=
= .
SI
IQ 2
3x
.
2
Ta có: SH .IK = SI .PK  SH =
SI .PK
3x
x 3
=
=
IK
3
3 3
Mặt khác IH + HK = IK = 3 3 nên
SI 2 − SH 2 + SK 2 − SH 2 = 3 3
3x 2
9 x 2 3x 2
x 6 x 69
18 3
+
−
=3 3 
+
=3 3  x=
9
4
9
3
6
2 6 + 69
18
 1,363 .
Vậy SH =
2 6 + 69
 x2 −
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:
Thể tích của khối chóp tam giác bằng 6 , biết diện tích đáy bằng 2 . Chiều cao của khối chóp bằng
A. 18 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 9 .
Lời giải
Chọn D
1
3V 3.6
Ta có V = B.h  h =
=
= 9.
3
B
2
Câu 2:
Cho hình chóp có thể tích V = 36 cm3 và diện tích đáy B = 6 cm2 . Chiều cao của khối chóp là
A. h = 72cm .
B. h = 18cm .
D. h =
C. h = 6cm .
1
cm .
2
Lời giải
Chọn B
1
3V
3.36
h=
 h = 18cm.
Ta có V = B.h  h =
3
B
6
Câu 3:
Cho khối lăng trụ ( H ) có diện tích đáy bằng 4, thể tích bằng
4
. Tính chiều cao h của khối lăng
3
trụ.
A. h = 1 .
1
B. h = .
3
C. h = 3 .
D. h = 9 .
Lời giải
Chọn B
Ta có thể tích của khối lăng trụ là V = B.h với B là diện tích đáy và h là chiều cao.
V 4
1
Do đó h = = : 4 = .
B 3
3
Câu 4:
Cho khối chóp có thể tích V = 32 và đáy là hình vuông có cạnh bằng 4 . Chiều cao của khối chóp
đã cho bằng
A. 8 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn D
1
1
Ta có: V = S .h  32 = .42.h  h = 6 .
3
3
Câu 5:
Khối chóp có thể tích bằng 144 và diện tích đáy bằng 12 thì chiều cao của nó bằng
A. 24 .
B. 4 .
C. 12 .
D. 36 .
Lời giải
Chọn D
1
1
Ta có thể tích khối chóp V = B.h  144 = .12.h  h = 36 .
3
3
Câu 6:
Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF . ABC DE F  có cạnh đáy bằng a , biết thể tích của khối
lăng trụ ABCDEF . ABC DE F  là V = 3 3a3 . Tính chiều cao h của khối lăng trụ lục giác đều
đó.
A. h = a 3 .
B. h = 2a .
C. h =
2a 3
.
3
D. h = a .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Lời giải
Chọn B
Diện tích đáy S = 6.a 2 .
Chiều cao h =
Câu 7:
3 3 3 2
=
a .
4
2
V
= 2a .
S
Cho khối chóp tam giác đều. Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần thì thể
tích khối chóp đó sẽ
A. Không thay đổi.
B. Giảm đi hai lần.
C. Tăng lên hai lần.
D. Giảm đi ba lần.
Lời giải
Chọn A
1
Gọi B  0 là diện tích đáy của khối chóp, chiều cao là h  0 . Khi đó V = B.h .
3
Khi tăng cạnh đáy lên hai lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần
3
3
2
 B1 = ( 2a ) .
= 4 B , với a là cạnh đáy của khối chóp ban đầu )
4
4
Tức là ta có B1 = 4 B .
(vì B = a 2 .
Chiều cao giảm đi 4 lần, tức là h1 =
Câu 8:
h
1
1
.Khi đó V1 = B1h1 = Bh = V .
4
3
3
Một hình lập phương có thể tích bằng 3 3a 3 thì cạnh của khối lập phương đó bằng
A. a 3 .
C. 3a 3 .
B. 3a .
D.
a 3
.
3
Lời giải
Chọn A
Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là x ( x  0 ) .
Ta có x3 = 3 3a3  x = a 3 .
Câu 9:
Khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 20cm 2 và thể tích bằng 60cm 2 thì chiều cao bằng
A. 30cm .
B. 3cm .
C. 9cm .
D. 1cm .
Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức VLT = S .h  h =
V 60
=
= 3 cm
S 20
Câu 10: Khối chóp có chiều cao bằng 7cm và thể tích bằng 28cm3 thì diện tích đáy bằng
A. 12cm 2 .
B. 36cm 2 .
C. 4cm 2 .
Lời giải
D. 15cm 2 .
Chọn A
1
3V
3.28
 Sd =
= 12cm 2 .
Ta có: V = Sd .h  Sd =
3
h
7
Câu 11: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC  có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 600 , đáy
ABC là tam giác đều cạnh a và A cách đều A, B, C . Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng
trụ.
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. a .
B. a 2 .
C.
a 3
.
2
D.
2a
.
3
Lời giải
Chọn A
Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC . Vì A cách đều A, B, C nên hình chiếu vuông góc của
đỉnh A là H cũng cách đều A, B, C . Khi đó khoảng cách giữa hai đáy chính là AH .

 H = 900


2
2 a 3 a 3
a 3
=
 AH = AH .tan 600 =
. 3 = a.
Xét tam giác AAH có:  AH = AM = .
3
3
2
3
3



0
 AA, ( ABC )  = A ' AH = 60


Vậy khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ là AH = a.
Câu 12: Cho khối chóp tam giác S . ABC có BC
a và tam giác ABC vuông cân tại B . Biết thể tích khối
3
chóp đó bằng
3a
. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC là
6
A. a 3 .
B.
a 3
.
3
C.
a 3
.
2
D. 3a .
Lời giải
Chọn A
ABC vuông cân tại B nên diện tích
Ta có
Mà VS . ABC
ABC là S ABC
1
BC 2
2
a2
.
2
1
S ABC .d S , ( ABC )
3
Suy ra d S , ( ABC )
3VS . ABC
S ABC
3.
3a 3
6
2
a
2
a 3.
Câu 13: Cho tứ diện đều cạnh a. Tính độ dài đường cao h của tứ diện đều.
A. h =
a 6
.
3
B. h =
a 6
.
2
C. h =
a 3
.
2
D. h =
a 3
.
3
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
A
B
D
H
E
C
Gọi ABCD là tứ diện đều cạnh a , đường cao là AH . Do ABCD là tứ diện đều nên H là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BCD và BH =
2
2a 3 a 3
.
BE =
=
3
3 2
3
1
6
Áp dụng định lý pitago cho tam giác ABH  AH = AB 2 − BH 2 = a 2 − a 2 =
a.
3
3
Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB = AD = a , CD = 2a .
Hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm của BD . Biết thể tích tứ diện
SBCD bằng
A.
a3
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .
6
a 3
.
2
B.
a 2
.
6
C.
a 3
.
6
D.
a 6
.
4
Lời giải
Chọn D
Gọi H và I lần lượt là trung điểm của BD và CD ; K là hình chiếu của H lên SB .
 AB // DI

Tứ giác ABID có  AB = DI = AD = a  ABID là hình vuông cạnh a  BI = a .

 BAD = 90
Do đó BI = 1 CD  BCD vuông tại B  BC ⊥ BD .
2
Vì ABID là hình vuông nên AH ⊥ BD và HB = 1 BD = 1 .AB. 2 =
2
Trong ( ABCD ) ta có
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
2
a 2
.
2
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 AH ⊥ BD
 AH // BC  AH // ( SBC )  d ( A, ( SBC ) ) = d ( H , ( SBC ) ) .

BC
⊥
BD

 SH ⊥ BC ( vì SH ⊥ ( ABCD ) )
Khi đó 
 BD ⊥ BC
 BC ⊥ ( SBD )  BC ⊥ HK .
 HK ⊥ BC
 HK ⊥ ( SBC )  d H , ( SBC ) = HK .
Ta có 
 HK ⊥ SB
(
)
a 6
a3
1
a3
1 1
a3
 SH =
 SBCD .SH =
 . .BI .CD.SH =
.
2
3
3 2
6
6
6
Vì SHB vuông tại H và có HK là đường cao nên
VSBCD =
1
1
16
1
1
1 =
+
= 2
=
+
2
2
2
2
2
6a
HK
SH
HB
a 6 a 2


 2 
 HK =


 2 
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
a 6
.
4
a 6
.
4
Câu 15: Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ABD ) là
A. d ( A, ( ABD ) ) =
3VABCD. ABC D
.
S ABD
B. d ( A, ( ABD ) ) =
VABCD. ABC D
.
S ABD
C. d ( A, ( ABD ) ) =
VABCD. ABC D
.
3S ABD
D. d ( A, ( ABD ) ) =
VABCD. ABC D
.
2S ABD
Lời giải
Chọn D
3V
Ta có d ( A, ( ABD ) ) = A. ABD =
S ABD
1
3. VABCD. A ' BC D
V
6
= ABCD. A ' BC D .
S ABD
2S ABD
Câu 16: Cho khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh a và có thể tích là V = a 3 3 . Chiều cao h của khối
chóp đã cho bằng
A. h = 10a .
B. h =12 3a .
C. h =10 3a .
D. h = 12a .
Lời giải
Chọn D
Diện tích đáy của khối chóp là: B =
a2 3
.
4
1
3V 3a 3 3
Ta có: V = Bh  h =
= 2
= 12a .
3
B
a 3
4
Vậy chiều cao của khối chóp là: h = 12a .
Câu 17: Cho hình tứ diện ABCD có AB = a, CD = a 3, góc giữa hai đường thẳng AB, CD bằng 600 , thể
3
tích của khối tứ diện ABCD là a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD.
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 12
Phan Nhật Linh
2a
A.
.
3
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
B. 2a .
C. 3a .
D. 4a .
Lời giải
Chọn D
1
AB.CD.h.sin( AB, CD) với h = d ( AB, CD ) (Bài tập SGK (cơ bản) trang 26) nên
6
6VABCD
6a 3
h=
=
= 4a.
AB.CD.sin( AB, CD)
3
a.a 3.
2
Vậy khoảng cần tìm là 4a.
Có VABCD =
3
Câu 18: Cho khối chóp tứ giác có thể tích V = 2a đáy là hình vuông có cạnh bằng a . Tính chiều cao khối
,
chóp.
A. 2a .
B. 6a .
C. 3a .
D. a .
Lời giải
Chọn B
Ta có h =
3V 3.2a3
= 2 = 6a .
B
a
Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = 3a 2 và SA vuông góc với
mặt phẳng ( ABCD ) . Tính tan góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ( SAD ) ?
A.
19
.
19
B. 3 .
C.
1
.
3
D. 19 .
Lời giải
Chọn A
Vì ABCD là hình vuông suy ra CD ⊥ AD (1) .
Mặt khác, theo giả thiết ta có SA ⊥ ( ABCD ) nên SA ⊥ CD (2) .
Từ (1) và (2) suy ra CD ⊥ ( SAD )  SD là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ( SAD ) Do đó
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
( SC , (SAD ) = ( SC , SD ) = CSD .
Xét tam giác SCD vuông tại D , ta có:
tan CSD =
CD
=
SD
CD
SA2 + AD 2
=
a
(3a 2 )
2
=
+ a2
1
19
=
.
19
19
Câu 20: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng 2a , chiều cao bằng a . Tính số đo
góc tạo bởi hai mặt phẳng ( AB ' C ' ) và ( ABC ) ?
A. 450 .
B. 600 .
D. 26033' .
C. 300 .
Lời giải
Chọn C
Gọi H là trung điểm của B ' C ' , do các tam giác A ' B ' C ', AB ' C ' lần lượt cân đỉnh A ' và A
nên AH ⊥ B ' C ' , A ' H ' ⊥ B ' C ' nên
( ( AB ' C ') , ( ABC ) ) = ( ( AB ' C ') , ( A ' B ' C ') ) = ( AH , A ' H ) = AHA '
Xét tam giác AHA ' có A ' = 900 , A ' H = a 3 và tan AHA ' =
AA '
1
 AHA ' = 300
=
A' H
3
Câu 21: Một khối trụ có thể tích bằng 16 . Nếu chiều cao khối trụ tăng lên hai lần và giữ nguyên bán kính
đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng 16 . Bán kính đáy của khối trụ ban đầu là
A. r = 1 .
B. r = 4 .
C. r = 3 .
D. r = 8 .
Lời giải
Chọn B
16
.
r2
Nếu chiều cao khối trụ tăng lên hai lần và giữ nguyên bán kính đáy, suy ra:
Thể tích khối trụ: V =  r 2 h = 16  h =
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 14
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Diện tích xung quanh: A = 2 r.
2.16
2.2.16
= 16  r =
= 4.
2
r
16
Câu 22: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi M là trung điểm của SD .
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SAC ) bằng
A.
a 2
.
2
B.
a
.
4
C.
a 2
.
4
D.
a
.
2
Lời giải
Chọn C
Do S . ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông.
Gọi O là tâm của hình vuông ta có SO ⊥ ( ABCD ) .
Ta thấy rằng DO ⊥ AC và SO ⊥ OD nên DO ⊥ ( SAC ) do đó d( D;( SAC )) = DO =
a 2
.
2
Mà M là trung điểm của SD nên
1
a 2
d( M ;( SAC )) = d( D;( SAC )) =
.
2
4
Câu 23: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AB = AD = a , CD = 2a . Hình
chiếu của đỉnh S lên mặt ( ABCD ) trùng với trung điểm của BD . Biết thể tích khối chóp S . ABCD
bằng
A.
2a 3
. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
2
5a
.
2
B.
5a
.
5
C.
10a
.
5
D.
10a
.
2
Lời giải
Chọn C
Gọi O , M lần lượt là trung điểm của BD , DC ; H là hình chiếu của O trên SB (1) .
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Dễ thấy ABMD là hình vuông nhận O là tâm; tam giác BDC vuông tại B do
MB = MC = MD .
S ABCD =
1
3a 2
1
a2
a3 2
 SO = a 2 .
( AB + CD ) AD = ; VS . ABCD = SO.S ABCD = .SO =
2
2
3
2
2
Ta có AM //BC  d ( A, ( SBC ) ) = d ( O, ( SBC ) ) ; BC ⊥ BD,SO  BC ⊥ ( SBD )
 OH ⊥ BC ( 2 ) .
Từ (1) , ( 2 )  OH ⊥ ( SBC )  d ( O, ( SBC ) ) = OH .
Xét tam giác vuông BSO có OB =
Vậy d ( A, ( SBC ) ) =
1
a
OB.OS
a 10
, SO = a 2  OH =
.
BD =
=
2
2
2
5
2
OB + OS
a 10
.
5
Câu 24: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng
bên và mặt đáy của hình chóp S . ABCD .
A. 30
B. 45
C. 60
Lời giải
a3
. Tính góc giữa mặt
2 3
D. 75
Chọn C
1
3V
Ta có V = S ABCD .SI  SI =
=
3
S ABCD
Gọi M là trung điểm BC  IM =
Ta có:
3.
a3
2 3 =a 3.
a2
2
a
.
2
( ( SBC ) , ( ABCD ) ) = ( SM , IM ) = SMI .
a 3
SI
Lại có tan SMI =
= 2 = 3  SMI = 60 .
a
IM
2
Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD , O là giao điểm của AC và BD . Biết mặt bên của hình chóp
là tam giác đều và khoảng cách từ O đến mặt bên là a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a .
A. 2a 3 3 .
B. 4a 3 3 .
C. 6a 3 3 .
Lời giải
D. 8a 3 3 .
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 16
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Gọi M là trung điểm của BC . Vì mặt bên là tam giác đều nên BC ⊥ SM . Mặt khác BC ⊥ SO
nên BC ⊥ ( SOM )  ( SOM ) ⊥ ( SBC ) .
Gọi H là hình chiếu của O lên SM ta có OH ⊥ ( SBC ) , do đó d ( O; ( SBC ) ) = OH .
x2
x 3
x
.
; OM = ; SO 2 = SM 2 − OM 2 =
2
2
2
Tam giác SOM vuông tại O có OH là đường cao nên
Đặt AB = x , ta có SA = x , SM =
1
1
1
x 6
=
+
 OH =
.
2
2
2
OH
SO OM
6
Theo giả thiết d ( O; ( SBC ) ) = OH = a nên a =
x 6
x=a 6.
6
1
Từ đó suy ra SO = a 3; S ABCD = 6a 2 . Thể tích khối chóp là VS . ABCD = .a 3.6a 2 = 2 3a 3 .
3
Câu 26: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi và thể tích bằng 2 . Gọi M , N lần lượt là các
SM SN
=
= k . Mặt phẳng ( AMN ) cắt cạnh SC tại Q . Tìm
SB SD
2
giá trị của k để thể tích khối chóp S . AMNQ bằng
3
điểm nằm trên SB và SD sao cho
A. k =
2
.
3
1
B. k = .
8
C. k =
1
.
4
Lời giải
Chọn A
SM
SM
SA
SQ
= k = x;
= k = y;
= 1 = z;
=t
SB
SB
SA
SC
SB SD SA SC
1 1
SC
SC 2 − k
SQ
k
+
=
+
 + = 1+

=

=
SM SN SA SQ
k k
SQ
SQ
k
SC 2 − k
Đặt
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
D. k =
2
.
4
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
k
k .k .1.
xyzt  1 1 1 1 
2
2−k
S . AMNQ =
 + + +  .VS . ABCD  =
4 x y z t
3
4
2−k 
1 1
 + +1+
 .2
k 
k k
k3 4
2
 4 = 3.
.  3k 2 = 2 − k  k =
2−k k
3
2
Vậy k =
3
Câu 27: Cho lăng trụ ABC .A B C có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của điểm A lên
mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của đường trung tuyến AM trong
ABC , biết thể tích
3a 3
lăng trụ bằng
. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AA và BC .
16
A. d AA , BC
a 3
4
B. d AA , BC
a 3
8
C. d AA , BC
a 6
4
D. d AA , BC
a 6
2
Lời giải
Chọn C
S
ABC
a2 3
;AO
4
2
Vì
a 3
3a 3
nên A O.
4
16
AMA kẻ MK AA .
BC
AM
BC
AO
BC
MK , do đó MK
Ta có tam giác A ' AO có AO
Mà MK .A A
a 3
.
4
ABC .
Thể tích lăng trụ bằng
Trong
a 3
, AO
2
ABC đều cạnh a nên AM
Vì trung tuyến AM trong
A O.AM
AO
MK
3a 3
16
AO
a 3
.
4
d AA , BC
a 3
4
A O.AM
AA
AA
a 6
.
4
a 6
.
4
Câu 28: Cho hình chóp S . ABC , có SA = SB = SC , đáy là tam giác đều cạnh a . Biết thể tích khối chóp
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 18
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
S . ABC bằng
A.
4a
.
7
a3 3
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng
3
B.
3 13a
.
13
C.
6a
.
7
D.
a 3
.
4
Lời giải
Chọn C
Gọi O là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) . Suy ra SO ⊥ ( ABC ) .
Mặt khác, vì SA = SB = SC nên OA = OB = OC . Vậy O là tâm của tam giác đều ABC .
Gọi I là trung điểm cạnh BC , J là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng SA .
Khi đó BC ⊥ AI và IJ ⊥ SA .
 BC ⊥ SO
 BC ⊥ ( SAI )  BC ⊥ IJ .
Ta có: 
 BC ⊥ AI
Vì IJ ⊥ SA tại J và IJ ⊥ BC tại I nên IJ là đoạn vuông góc chung của SA và BC .
Dẫn đến khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng độ dài đoạn thẳng IJ .
Đặt x = SA = SB = SC . Suy ra SO = x 2 −
a2
.
3
1
1
a 2 a 2 3 a3 3
a2
=
 x2 −
= 4a
Thể tích VS . ABC = SO.SABC =  x 2 − 
3
3
3
4
3
3
a2
49
7a 3
7a 3
 x − = 16a 2  x 2 = a 2  x =
 SA =
và SO = 4a .
3
3
3
3
2
Ta có: S SAI

a 3
 4a 

2  6a
1
1
SO. AI 
= SO. AI = SA.IJ  IJ =
=
=
.
2
2
SA
7
 7a 3 


 3 
Câu 29: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC = 600 , SA vuông góc với đáy
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
A.
2 3
a .
4
B.
3 3
a .
6
a 2
. Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
2
C.
Lời giải
Chọn A
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
6 3
a .
6
D.
a3
.
3
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ta có, ABCD là hình thoi cạnh a , ABC = 600 , nên ABC là tam giác đều cạnh a .
Gọi H là trung điểm của BC , K là hình chiếu vuông góc của A lên SH .

c ñeà
u)
 BC ⊥ AH ( Do ABC laøtam giaù
 BC ⊥ ( SAH )
Ta có: 
B
C
⊥
S
A
Do
SA
⊥
ABC
D
(
)
(
)



 AK ⊥ SH
 AK ⊥ ( SBC )
Ta lại có: 

 AK ⊥ BC ( Do BC ⊥ ( SAH ) )
Do đó: d ( A, ( SBC ) ) = AK =
a 2
2
Xét ABH vuông tại H , ta có: AH = AB.sin ABH = a.sin 600 =
a 3
2
Xét SAH vuông tại A , ta có:
1
1
1
1
1
1
1
1
2
= 2+
 2 =
−
=
−
= 2
2
2
2
2
2
2
AK
SA
AH
SA
AK
AH
3a
a 2 a 3

 

 2   2 
3a 2
a 6
 SA =
2
2
Thể tích khối chóp S . ABCD là:
 SA2 =
1
1
2 1
1 a 3 a 6
2 3
VS . ABCD = .S ABCD .SA = .2S ABC .SA = . . AH .BC.SA = .
.a.
=
a
3
3
3 2
3 2
2
4
Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB = BC , AD = 2 AB . Biết SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a và thể tích khối chóp S . ABCD bằng 3a 3 . Gọi  là góc
giữa hai mặt phẳng ( SCD ) và ( ABCD ) , tính tan  .
A. tan  =
6
.
2
1
B. tan  = .
3
C. tan  =
6
.
3
D. tan  =
2
.
3
Lời giải
Chọn C
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 20
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Gọi M là trung điểm của AD . Khi đó các tam giác AMC , CMD vuông cân tại M nên
AC ⊥ CD .
Lại có: CD ⊥ SA suy ra CD ⊥ SC . Do đó  = SCA là góc giữa hai mặt phẳng ( SCD ) và
( ABCD ) ,
tan  =
SA
.
AC
Ta
có:
1
9a 2
1
9a 2
.S ABCD .SA = 3a3  S ABCD =
 ( BC + AD) AB =
 3 AB 2 = 9a 2  AB = a 3.
3
2
2
2
Suy ra AC = a 6. Vậy tan  =
SA
2a
6
=
=
.
AC a 6
3
Câu 31: Cho hình chóp S . ABC , có SA = SB = SC , đáy là tam giác đều cạnh a . Biết thể tích khối chóp
a3 3
S . ABC bằng
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng
3
A. 4a .
7
B.
3 13a
.
13
C. 6a .
7
D.
a 3
.
4
Lời giải
Chọn C
Gọi O là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) . Suy ra SO ⊥ ( ABC ) .
Mặt khác, vì SA = SB = SC nên OA = OB = OC . Vậy O là tâm của tam giác đều ABC .
Gọi I là trung điểm cạnh BC , J là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng SA .
Khi đó BC ⊥ AI và IJ ⊥ SA .
 BC ⊥ SO
 BC ⊥ ( SAI )  BC ⊥ IJ .
Ta có: 
 BC ⊥ AI
21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Vì IJ ⊥ SA tại J và IJ ⊥ BC tại I nên IJ là đoạn vuông góc chung của SA và BC .
Dẫn đến khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng độ dài đoạn thẳng IJ .
a2
Đặt x = SA = SB = SC . Suy ra SO = x − .
3
2
1
1
a 2 a 2 3 a3 3
a2
=
 x2 −
= 4a
Thể tích VS . ABC = SO.SABC =  x 2 − 
3
3
3
4
3
3
a2
49
7a 3
7a 3
= 16a 2  x 2 = a 2  x =
 SA =
và SO = 4a .
3
3
3
3

a 3
 4a 

2  6a
1
1
SO. AI 
=
=
Ta có: S SAI = SO. AI = SA.IJ  IJ =
.
2
2
SA
7
 7a 3 


 3 
 x2 −
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 22
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 12: Cực trị khối đa diện
B
Câu 1:
VÍ DỤ MINH HỌA
Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh bằng a không đổi. Độ dài CD
thay đổi. Tính giá trị lớn nhất đạt được của thể tích khối tứ diện ABCD .
a3
A.
.
8
a3 3
C.
.
8
Lời giải
a3 2
B.
.
12
a3 3
D.
.
12
Chọn A
Cách 1.
C
x
N
D
A
M
B
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có MN là đoạn vuông góc chung của AB và
CD .
1
3a 2 − x 2 .
2
1
1
Khi đó, thể tích khối tứ diện ABCD là V = AB.CD.MN = a.x. 3a 2 − x 2 .
6
12
Đặt CD = x , với x  0 ta có MN = CM 2 − CN 2 =
a
a
Từ đó, V = . x 2 ( 3a 2 − x 2 )  .
12
12
Vậy Vmax =
( 3a )
2 2
4
hay V 
a 6
a3
khi x 2 = 3a 2 − x 2  x =
.
8
2
Cách 2.
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
a3
.
8
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi M lần lượt là trung điểm của AB . Vì ABC và ABD là các tam giác đều cạnh bằng a nên
a 3
và CM ⊥ AB, DM ⊥ AB do đó AB ⊥ ( CDM ) .
2
Thể tích khối tứ diện ABCD là
CM = DM =
V = VA.CDM + VB.CDM =
1
1
1
1
AM . CM .DM .sin CDM + BM . CM .DM .sin CDM
3
2
3
2
2
1
1 a 3
a3
= AB.CM .DM .sin CDM  .a. 
=
.

6
6  2 
8
Vậy Vmax
Câu 2:
a3
a 6
khi CM ⊥ DM  CD = CM 2 + DM 2 =
.
=
8
2
Cho một hình lập phương ( H ) và một hình lăng trụ tam giác đều ( L ) có tổng độ dài các cạnh
bằng nhau. Tỷ lệ thể tích khối lăng trụ ( L ) và khối lập phương ( H ) tương ứng có giá trị lớn nhất
bằng
A.
16 3
.
27
B.
17 3
.
24
C.
32
.
27
D.
8 3
.
9
Lời giải
Chọn A
Giả sử cạnh hình lập phương ( H ) có độ dài bằng a và hình lăng trụ tam giác đều ( L ) có độ dài
cạnh đáy bằng x và chiều cao bằng y .
Theo giả thiết ta có 12a = 6 x + 3 y  4a = 2 x + y , ( a ; x ; y  0 ) .
x2 y 3
Khối lăng trụ ( L ) và khối lập phương ( H ) có thể tích lần lượt là:
và a 3 .
4
 Tỷ lệ thể tích khối lăng trụ
( L)
và khối lập phương ( H ) tương ứng bằng:
3 x 2 ( 4a − 2 x )
3x 2 y
3 2 3
x
T=
=
=
2t − t ) , t =  0 .
(
3
3
4a
4a
2
a
Do: 4a = 2 x + y  4a  2 x 
Bảng biến thiên của f ( t ) =
Vậy MaxT =
x
 2.
a
3 2 3
( 2t − t ) , t  ( 0; 2) .
2
16 3
.
27
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có các cạnh bên bằng a , góc tạo bởi mặt phẳng bên và mặt
phẳng đáy là
A.

 với    0;  . Thể tích khối chóp S . ABCD đạt giá trị lớn nhất là

2
B.
4a 3 3
.
27
4a 3 7
.
49
C.
2a 3 3
.
9
D.
4a 3 15
.
75
Lời giải
S
A
D
α
M
O
B
C
Gọi O là giao điểm của AC và BD  SO ⊥ ( ABCD )
Gọi M là trung điểm CD  ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SMO = 
Gọi độ dài một cạnh hình vuông là x
Tam giác SMC vuông tại M có: SM = SC 2 − CM 2 = a 2 −
x2
4
x
x2
Tam giác SOM vuông tại O có: OM = SM .cos SMO  = a 2 − .cos
2
4
1
4a 2 .
2
2
4
a
cos

4a 2
1 + tan 2  =
 x2 =
=
1
1 + cos 2 
2 + tan 2 
1+
1 + tan 2 
 S ABCD = x 2 =
4a 2
2 + tan 2 
x
a.tan 
Ta có: SO = OM .tan SMO = .tan  =
2
2 + tan 2 
1
1
4a 2
a.tan 
4a 3 .tan 
VS . ABCD = .S ABCD .SO = .
.
=
3
3 2 + tan 2  2 + tan 2  3 2 + tan 2  3
(
)
 
Do    0;   tan   0.
 2
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất khi
Ta xét f ( ) =
4
.
3
( 2 + tan  )
2
tan 2 
( 2 + tan  )
3
đạt giá trị lớn nhất.
3
2
3
=
tan 
1
1
ta có:
;
;
2
2
2 + tan  2 + tan  2 + tan 2 
tan 2 
1
1
.
.
2
2
2 + tan  2 + tan  2 + tan 2 
 1  tan 2 
1
1
 
+
+
2
2
2
 3  2 + tan  2 + tan  2 + tan 
Maxf ( ) =
( 2 + tan  )
2
tan 2 
Áp dụng BĐT AM − GM cho ba số dương
f ( ) =
a 3 .tan 
3

1
 =
27

1
tan 2 
1


=
 tan 2  = 1   =
2
2
27
2 + tan  2 + tan 
4
4a 3
Vậy MaxVS . ABCD =
3
( 2 + 1)
3
=
4a 3 3
.
27
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4
Phan Nhật Linh
C
Câu 1:
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a 3, SA = SB = SC = SD = 2a .
Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S . ABCD bằng:
A.
13 3
a .
12
B.
13 2 3
a .
12
C.
13 6 3
a .
12
D.
13 3 3
a .
12
Lời giải
Chọn D
Gọi AD = x ( x  0 ) .
Ta có AC = x 2 + 3a 2  AH =
1
1 2
AC =
x + 3a 2
2
2
x 2 + 3a 2
13 2 x 2
=
a − .
Khi đó: SH = 4a −
4
4
4
2
1
1
13 2 x 2 2a x 13a 2 x 2
Thể tích khối chóp V = B.h = .a 3x.
a −
=
. .
− .
3
3
4
4
4
4
3 2
x 2 13a 2 x 2
+
−
x 13a
x
13a 2
4
4
4
−

=
Đặt f ( x ) = .
2
4
4
2
8
2
2
Thể tích lớn nhất của khối chóp V =
Câu 2:
2a 13a 2 13 3a3
.
=
.
12
3 8
Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh bên bằng a , góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và
mặt bên bằng  . Tìm  để thể tích S . ABCD là lớn nhất.
A. 30 .
B. 60 .
C. 45 .
D. 75 .
Lời giải
Chọn C
Vì S . ABCD là hình chóp đều có đường cao SH nên H là tâm của hình vuông ABCD .
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Vẽ HE ⊥ BC ( E  BC ) , HF ⊥ SE ( F  SE ) .
Ta chứng minh được HF ⊥ ( SBC )  SF là hình chiếu vuông góc của SH lên ( SBC )
 ( SH ; ( SBC ) ) = ( SH ; SF ) = FSH = ESH =  .

BD AB 2

=
 x = BH =
 AB = x 2
Đặt x = BH  
.

2
2
2
2
SH
=
a
−
x


2
2
2
2

 SH = SB − BH = a − x
x  0
x  0
Điều kiện: 

0 xa.
 2
 2
2
2
a
−
x

0
a
−
x

0



Thể tích khối chóp S . ABCD là:
2
1
1 2
2
V = SH .S ABCD =
a − x 2 . x 2 = x 2 a 2 − x 2 , x  ( 0; a ) .
3
3
3
2
Xét hàm số V ( x ) = x 2 a 2 − x 2 , x  ( 0; a ) .
3
(
V ( x) =
)
2 x 2a 2 − 3 x 2

,
3
a2 − x2

2
x=
a  ( 0; a )

 x = 0  ( 0; a )
2 2
3
2
V ( x) = 0   2
x = a 
x=
2

3
 2a − 3 x = 0
2
 x = − a  ( 0; a )
3

2
a.
3
Bảng biến thiên của hàm V ( x ) trên ( 0; a ) :
Dựa vào bảng biến thiên, thể tích V đạt giá trị lớn nhất khi x =
2
2
a  BH =
a.
3
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6
Phan Nhật Linh

3
2
2
a
 SH = a − x =

3
.

 HE = 1 AB = 1 x 2 = 3 a

2
2
3
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Xét tam giác vuông SHE có tan  = tan ESH =
Câu 3:
HE
= 1   = 45 .
SH
Cho khối chóp S . ABCD , có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 2a 5 và tất cả các cạnh bên của
hình chóp bằng 5a . Thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho bằng
20a 3 5
A.
.
3
8a 3
B.
.
3
C.
40 5a 3
.
3
D. 15 5a 3 .
Lời giải
Chọn C
Ta gọi độ dài cạnh BC = x , x  0 .
Ta có: BO =
BD
=
2
x 2 + 20a 2
80a 2 − x 2
; SO =
; S ABCD = 2a.x 5 ;
2
2
1
VS . ABCD = .S ABCD .SO
3
 VS . ABCD
2
2
2
1
80a 2 − x 2 2ax 5. 80a 2 − x 2 2a 5 x (80a − x )
(1).
= .2a.x 5.
=
=
3
2
6
6
Ta có: x 2 + ( 80a 2 − x 2 )  2 x 2 ( 80a 2 − x 2 )  40a 2  x 2 ( 80a 2 − x 2 ) (2).
2a 5.40a 2 40 5a3
=
.
6
3
Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành, một cạnh của hình bình hành bằng a và các
Thế (2) vào (1), suy ra VS . ABCD 
Câu 4:
cạnh bên đều bằng a 2 . Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là
A.
7a3
.
12
B. 8a 3 .
C.
Lời giải
Chọn A
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
2 6 a3
.
3
D. 2 6a 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi H = AC  BD . Vì SA = SB = SC = SD nên HA = HB = HC = HD
 ABCD là hình chữ nhật và H là hình chiếu vuông góc của S xuống ( ABCD )
Giả sử AB = a . Đặt AD = x . Khi đó: S ABCD = ax.
AH =
AC
=
2
AB 2 + BC 2
a2 + x2
=
.
2
2
SH = SA2 − AH 2 = 2a 2 −
a2 + x2
7a 2 − x 2
=
.
4
2
Ta có
2
2
2
1
1 7a 2 − x 2
ax 7 a 2 − x 2 1 ( x + 7 a − x )
VS . ABCD = .SH .S ABCD = .
.ax =
 .a.
3
3
2
6
6
2
3
7a
 VS . ABCD 
.
12
Dấu xảy ra khi x = 7 a 2 − x 2 hay x =
a 14
.
2
Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là
Câu 5:
7a3
a 14
khi x =
.
12
2
Cho khối chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng 1 . Gọi M , N lần lượt là các
điểm thuộc các cạnh BC , CD sao cho MN = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện
S . AMN .
A.
4− 2
.
24
B.
3
.
12
C.
2
.
12
D.
1+ 2
.
12
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Hình chóp S . ABCD có đường cao h =
2
.
2
1
2
Ta có VS . AMC = SAMN .h =
.SAMN .
3
6
Thể tích khối tứ diện S . AMN đạt giá trị nhỏ nhất khi S AMN nhỏ nhất.
Đặt x = CM , y = NC  MB = 1 − x, DN = 1 − y
Ta có x 2 + y 2 = 1  xy =
( x + y)2 − 1
2
Với ( x + y ) 2  2( x 2 + y 2 )  1  x + y  2 .
1
1
1
Ta có SAMN = 1 − SABM − SCMN − SADN = 1 − (1 − x) − x. y − .(1 − y )
2
2
2
( x + y)2 1 
1 − x x. y 1 − y 1 
=  ( x + y) −
+ .
= 1−
−
−
2
2
2
2
2
2
1
1
1
Đặt t = x + y  SAMN = − t 2 + t + .
4
2
4
Tam giác có diện tích nhỏ nhất là Smin =
2 2 −1
khi t = 2 .
4
Vậy thể tích nhỏ nhất của tứ diện S . AMN là Vmin =
Câu 6:
2 2 2 −1 4 − 2
.
.
=
6
4
24
Một tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều cạnh a , cạnh AD thay đổi. Khi thể
tích tứ diện đạt giá trị lớn nhất, gọi  giữa hai mặt ( ADB ) và ( ADC ) . Tính cos .
A. cos =
1
.
5
B. cos =
5
.
7
C. cos =
Lời giải
Chọn D
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
6
.
7
1
D. cos = .
5
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi I là trung điểm của AD . Khi đó AD ⊥ IC và AD ⊥ IB . Suy ra góc  giữa hai mặt ( ADB )
và ( ADC ) thoả mãn cosCIB = cos .
Đặt IA = x ( x  0 )  IC = IB = a 2 − x 2  VABCD = 2.VAICB =
1
x(a 2 − x 2 )sin 
3
(1) .
Ta có:
1
1
S IBC = .IB.IC.sin  = d ( I , BC ) .BC
2
2
 (a 2 − x 2 ).sin  = a.
3a 2
a. 3a 2 − 4 x 2
− x 2  sin  =
4
2 ( a2 − x2 )
(2)
Từ (1) và ( 2 ) :
1
1
a 3a 2 − 4 x 2 ax 3a 2 − 4 x 2 a 3a 2 x 2 − 4 x 4
.
VABCD = 2.VAICB = x(a 2 − x 2 )sin  = x(a 2 − x 2 )
=
=
3
3
6
6
2 ( a2 − x2 )
Xét hàm số: f ( x ) = −4 x 4 + 3a 2 x 2 , ( x  0 )
 f  ( x ) = −16 x3 + 6a 2 x; f  ( x ) = 0  x =
a 6
.
4
Bảng biến thiên:
Vậy VABCD đạt giá trị lớn nhất khi x =
a 6
.
4
6a 2 a 10
=
Suy ra: IC = IB = a − x = a −
.
16
4
2
Ta có: cos =
Câu 7:
2
2
IC 2 + IB 2 − CB 2 1
2 6
1
= (hoặc sin  =
 cos  = )
2.IC.IB
5
5
5
Cho lăng trụ ABC. ABC  có thể tích là V . M , N , P là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
AM 1 BN
CP
AA , BB , CC  sao cho
= ,
= x,
= y . Biết thể tích khối đa diện ABC.MNP
AA 3 BB
CC 
2V
bằng
. Giá trị lớn nhất của x. y bằng
3
17
9
25
5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
16
21
36
24
Lời giải
Chọn C
AM 1 BN
CP
= ,
= x,
= y . Khi đó:
AA 3 BB
CC 
1
+x+ y
2V
1
5
3
VMNP. ABC =
V=
 +x+ y = 2 x+ y = .
3
3
3
3
5
25
Áp dụng BĐT Cauchy: x + y  2 xy   2 xy  xy 
.
3
36
Ta có:
Câu 8:
Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh 1 , người ta lấy điểm M sao cho
AM = x ( 0  x  1) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông,
người ta lấy điểm S với SA = y thỏa mãn y  0 và x 2 + y 2 = 1 . Biết khi M thay đổi trên đoạn
AD thì thể tích của khối chóp S . ABCM đạt giá trị lớn nhất bằng
nguyên tố cùng nhau. Tính T = m + n .
A. 11 .
B. 17 .
C. 27 .
Lời giải
Chọn A
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
m
với m, n 
n
D. 35 .
*
và m, n
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1
1 x +1 1
= ( x + 1) 1 − x 2 .
Ta có VS . ABCM = SA.S ABCM = . y.
3
3
2
6
Xét f ( x ) = ( x + 1) (1 − x 2 ) = − x 4 − 2 x3 + 2 x + 1 trên  0;1 .
2
 x = −1
Có f  ( x ) = −4 x 3 − 6 x 2 + 2 ; f  ( x ) = 0  
.
 x = 0.5
 1  27
Lập bảng xét dấu của f  ( x ) trên  0;1 ta được max f ( x ) = f   =
.
0;1
 2  16
Vậy thể tích lớn nhất của khối S . ABCM là Vmax =
Câu 9:
1 27
3
=
.
6 16
8
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi O là tâm của tứ giác ABCD
Một mẳng phẳng thay đổi và vuông góc với SO cắt các cạnh SO, SA, SB, SC, SD lần lượt tại I,
M, N, P, Q. Một hình trụ có một đáy nội tiếp tứ giác MNPQ và một đáy nằm trên hình vuông
ABCD . Khi thể tích của khối trụ lớn nhất thì đội dài đoạn SI bằng
A. SI =
a 2
.
2
B. SI =
3a 2
.
2
C. SI =
a
.
3
D. SI =
a 2
.
3
Lời giải
Chọn D
Ta có SO =
Ta có
a 2
a 2
a 2
. Đặt SI = x , 0  x 
. Suy ra IO =
− x.
2
2
2
MP SI x 2
x 2
=
=
 MP =
. AC = 2 x .
AC SO
a
a
Đường tròn nội tiếp hình vuông MNPQ có bán kính R =
x 2
.
2
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 12
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Thể tích khối trụ có chiều cao SO và đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác MNPQ là
3
x x a 2

−x
2
 + +




x
a
2
x
x
a
2
2
2
 =
V =  R 2 .IO =  . . 
− x  = 2 . . . 
− x   2 .  2 2
.
2  2
2
2
2
3
54









Dấu " = " xảy ra khi
x a 2
a 2
a 2
. Do đó SI =
.
=
−x x=
2
2
3
3
Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = 1 , cạnh bên SA = 1 và vuông góc
với mặt phẳng đáy ( ABCD ) . Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động
trên đoạn CB sao cho MAN = 45 . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S . AMN là
A.
2 −1
.
3
B.
2 +1
.
9
2 +1
.
6
C.
D.
2 −1
.
9
Lời giải
Chọn A
Đặt DM = x; BN = y ( 0  x, y  1)
1
1
Ta có SAMN = S ABCD − SABN − SADM − SCMN = 1 −  x + y + (1 − x )(1 − y )  = (1 − xy )
2
2
Xét tam giác vuông CMN : MN 2 = (1 − x ) + (1 − y )
2
2
(1) .
Áp dụng định lí cos cho tam giác AMN :
MN 2 = AM 2 + AN 2 − 2. AM . AN .cos 45 = 1 + x 2 + 1 + y 2 − 2. x 2 + 1. y 2 + 1
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
(1 − x )
2
+ (1 − y ) = 1 + x 2 + 1 + y 2 − 2. x 2 + 1. y 2 + 1
2
 2 x + 2 y = 2 ( x 2 + 1)( y 2 + 1)  x 2 + y 2 = x 2 y 2 + 1 − 4 xy ( 3)
Ta có x 2 + y 2  2 xy ( 4 )
 xy  3 + 2 2 ( loai )
2
Từ (3) và (4) suy ra x 2 y 2 + 1 − 4 xy  2 xy  ( xy ) − 6 xy + 1  0  
 xy  3 − 2 2
 SAMN =
1
2 −1
1
(1 − xy )  2 − 1  VS . AMN = .SA.SAMN 
2
3
3
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 x = y
 x = y = 3− 2 2
Dấu " = " xảy ra 
 xy = 3 − 2 2
2 −1
3
Vậy thể tích nhỏ nhất của khối chóp S . AMN bằng
Câu 11: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi M và N lần lượt là hai điểm di chuyển trên các cạnh BC và DC sao cho
MAN = 45. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S . AMN .
(
A.
)
2 − 1 a3
3
.
a3
B.
.
6
(
C.
)
3 − 1 a3
.
3
D.
2a 3
.
3
Lời giải
Chọn A
Đặt BAM = α  NAD = 450 − α .
a
a
Ta có: AM =
; AN =
.
cos ( 45 − α )
cosα
1
a
a
2
1
1
.
.
VS . AMN = SA.SΔAMN = SA. AM . AN .sin 45 = a.
6 cosα cos ( 45 − α ) 2
3
6
VS . AMN =
a3 2
6 cos 45 + cos ( 45 − 2α )
VS . AMN đạt giá trị nhỏ nhất khi cos ( 45 − 2α ) đạt giá trị lớn nhất bằng 1  α = 22,50 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của VS . AMN là VS . AMN =
a3 2
 2 
6
+ 1
 2

(
=
)
2 − 1 a3
3
.
Câu 12: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích là V . Gọi M là trung
điểm của cạnh SA , N là điểm trên cạnh SB sao cho SN = 3 NB . Mặt phẳng ( P ) thay đổi đi
qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC , SD lần lượt tại hai điẻm phân biệt P, Q . Tìm giá trị lớn
nhất của thể tích khối chóp S .MNPQ .
A.
V
.
3
B.
27
V.
80
C.
27
V.
40
D.
V
.
6
Lời giải
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 14
Phan Nhật Linh
Chọn C
Đặt k =
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
SC
SD
;q =
( k , q  1) .
SP
SQ
Vì bốn điểm M , N , K , Q đồng phẳng nên ta có
SA SC SB SD
.
+
=
+
SM SP SN SQ
4
2
+qq=k+ .
3
3
SA SB SC
4
8
3V
.
=
.
.
= 2. .k = k  VS .MNP =
SM SN SP
3
3
8k
Suy ra 2 + k =
Ta có
VS . ABC
VS .MNP
VS . ADC
SA SD SC
V
.
=
.
.
= 2.q.k = 2qk  VS .MQP =
VS .MQP SM SQ SP
2qk




 3
1 
3
1

V .
V
=
+
Suy ra VS .MNPQ = VS .MNP + VS .MQP =  +

 8k 2  k + 2  k 
 8k 2qk 



3  


3
1
+
Để VMNPQ lớn nhất khi và chỉ khi f ( k ) =
đạt giá trị lớn nhất.
2
8k

2 k +  k
3

1
k+
3
3  0, k  1 . Suy ra Max f ( k ) = f (1) = 27 .
Ta có f  ( k ) = − 2 −
2
8k
40
( k + 3) k 2
Suy ra MaxVMNPQ =
27
V.
40
Câu 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có diện tích toàn phần bằng 18 và độ dài đường chéo
AC ' = 18 . Thể tích lớn nhất của khối hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' là
A. Vmax = 8 .
B. Vmax = 3 .
C. Vmax = 4 .
D. Vmax = 8 .
Lời giải
Chọn C
Gọi a , b , c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
Theo giả thiết ta có: Diện tích toàn phần Stp = 2 ( ab + bc + ca ) = 18  ab + bc + ca = 9.
Độ dài đường chéo AC ' = a 2 + b 2 + c 2 = 18  a 2 + b 2 + c 2 = 18.
Từ đó: ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 36 suy ra a + b + c = 6 .
2
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ta có b + c = 6 − a  bc = 9 − a ( b + c ) = 9 − a ( 6 − a ) .
Lại có: ( b + c )  4bc  ( 6 − a )  4 9 − a ( 6 − a )   3a 2 − 12a  0  0  a  4.
Tương tự ta cũng có 0  b  4 , 0  c  4 .
2
2
Khi đó V = abc = a 9 − a ( 6 − a )  = a 3 − 6a 2 + 9a .
Khảo sát hàm số f ( a ) = a 3 − 6a 2 + 9a với 0  a  4 có f  ( a ) = 3a 2 − 12a + 9
Bảng biến thiên:
Vậy Vmax = 4 . ( Bộ giá trị của a , b , c là ( 4;1;1) và các hoán vị).
Câu 14: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  , có đáy là tam giác đều và thể tích bằng V . Gọi E , F , I là các
điểm lần lượt di động trên các cạnh AB, BC , CA sao cho AE = BF = CI . Thể tích khối chóp
A.EFI đạt giá trị nhỏ nhất bằng
V
V
A. .
B.
.
9
6
C.
V
.
4
D.
V
.
12
Lời giải
Chọn D
Tam giác ABC đều và AE = BF = CI nên AEI = BFE = CIF suy ra S AEI = S BEF = S CFI .
Ta có:
VA.EFI 1 SEFI
.
= .
V
3 SABC
Gọi cạnh của tam giác ABC là a ( a  0 ) , AE = BF = CI = x ( 0  x  a ) .
Khi đó:
SAEI AE AI x ( a − x )
x (a − x)
=
.
=
 SAEI =
.SABC .
2
SABC AB AC
a
a2
Suy ra: SEFI = SABC − 3.SAEI =
Vậy
SEFI a 2 − 3ax + 3x 2
a 2 − 3ax + 3x 2
.
S

=
ABC
a2
SABC
a2
VA.EFI 1 SEFI 1 a 2 − 3ax + 3x 2
1 a 2 − 3ax + 3x 2
= .
= .

V
=
.
.V .
A. EFI
V
3 SABC 3
a2
3
a2
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 16
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
VA. EFI đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi biểu thức a 2 − 3ax + 3 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất trên  0; a 
Ta có: min ( a 2 − 3ax + 3x 2 ) =
0;a 
a
a2
khi x = .
2
4
Vậy giá trị nhỏ nhất của VA. EFI là
V
.
12
Câu 15: Một khối gỗ dạng hình chóp O. ABC CÓ OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.
OA = 3cm, OB = 6cm, OC = 12cm . Trên mặt đáy ABC người ta đánh dấu một điểm M sau đó
người cắt gọt khối gỗ để thu được một khối hộp chữ nhật có OM là một đường chéo, đồng thời
hình hộp có ba mặt trên ba mặt bên của hình chóp (tham khảo hình vẽ). Khối hộp chữ nhật thu
được có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. 12cm3 .
B. 36cm3 .
C. 24cm3 .
Lời giải
D. 8cm3 .
Chọn D
Gọi I , H , K lần lượt là hình chiếu của điểm M lên mp ( OAB ) , ( OBC ) , ( OCA)
Ta có VO. ABC = VM .OAB + VM .OBC + VM .OCA
1
1
1
1
 .OA.OB.OC = .MI .OA.OB + .MI .OB.OC + .MI .OC.OA  MI + 4 MH + 2 MK = 12
6
6
6
6
1
Khi đó thể tích khối hộp chữ nhật V = MI .MH .MK = MI . ( 4MH ) . ( 2MK )
8
1 3
1  MI + 4MH + 2MK 
V  
  V  .4  V  8
8
8
3

3
Vậy Vmax = 8 khi MI = 4MH = 2MK  MI = 1cm, MH = 4cm, MK = 2cm.
Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = 1 , cạnh bên SA = 1 và vuông
góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) . Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di
động trên đoạn CB sao cho góc MAN bằng 45 . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S . AMN
là
A.
2 −1
.
3
B.
2 +1
.
9
C.
Lời giải
Chọn A
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
2 +1
.
6
D.
2 −1
.
9
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Đặt BAN =  suy ra MAD = 45 −  .
AD
1
AB
1
=
=
Khi đó AN =
và AM =
.
cos ( 45 −  ) cos ( 45 −  )
cos  cos 
Do đó diện tích tam giác AMN bằng BAMN =
1
2
1
AM . AN .sin 45 =
.
.
2
4 cos  .cos ( 45 −  )
1
2
1
.
Thể tích S . AMN bằng VS . AMN = BAMN .SA =
.
3
12 cos  .cos ( 45 −  )
Thể tích của khối chóp S . AMN nhỏ nhất khi cos  .cos ( 45 −  ) lớn nhất.
Xét f ( ) = cos  .cos ( 45 −  ) trong đó   ( 0; 45 ) .
45
.
2
Ta có f  ( ) = sin ( 45 − 2 ) ; f  ( ) = 0   =
Bảng biến thiên
 45  2 + 2
Từ bảng biến thiên ta có max f ( ) = f 
.
=
 0;45
4
 2 
Vậy thể tích nhỏ nhất của S . AMN bằng VS . AMN =
Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là
2
1
2 −1
.
=
.
12 2 + 2
3
4
7a3
a 14
khi x =
.
12
2
Câu 17: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy
( ABCD )
và góc giữa SC với mặt phẳng ( SAB ) bằng 30 . Gọi M là điểm di động trên cạnh
CD và H là hình chiếu vuông góc của S lên đường thẳng BM . Khi điểm M di động trên
cạnh CD thì thể tích chóp S . ABH lớn nhất là
A. V =
a3 2
.
15
B. V =
a3 2
.
6
C. V =
a3 2
.
8
D. V =
a3 2
.
12
Lời giải
Chọn D
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 18
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
 BC ⊥ AB
 BC ⊥ ( SAB )  ( SC , ( SAB ) ) = ( SC , SB ) = BSC = 30 .
Ta có 
 BC ⊥ SA
Xét SBC vuông tại B , ta có SB = BC.cot 30 = a 3 .
Xét SBA vuông tại A , ta có SA = SB 2 − AB 2 = 3a 2 − a 2 = a 2 .
 BH ⊥ SH
 BH ⊥ ( SAH )  BH ⊥ AH .
Ta có 
BH
⊥
SA

1
1
1
VS . ABH = .SA.S ABH = .SA. .HA.HB .
3
3
2
Lại có HA.HB
AM −GM

1
1
1
1 1
2 3
HA2 + HB 2 ) = . AB 2  VS . ABH  .SA. . . AB 2 =
a .
(
2
2
3
2 2
12
Dấu “=” xảy ra khi HA = HB  AHB vuông cân tại H , suy ra ABH = 45  M  D .
Vậy maxVS . ABH =
2 3
a khi M  D .
12
Câu 18: Cho tứ diện đều có cạnh bằng 3, điểm M thuộc miền trong đa diện, gọi d1 ; d 2 ; d3 ; d 4 là khoảng
cách từ M đến 4 mặt của tứ diện. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = d12 + d 22 + d32 + d 42 ?
A. Pmin =
3
.
2
C. Pmin =
B. Pmin = 3 .
Lời giải
Chọn C
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
3
.
2
D. Pmin = 6 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi tứ diện đều là ABCD , O là trọng tâm tam giác BCD , chiều cao tứ diện là h, I là trung
điểm CD
2
Khi đó: h = AO = AB − BO =
2
2
2
2
3
2 
AB −  BI  = 32 −  .3.
 = 6.
2 
3 
3
2
Ta có VABCD = VMABC + VMBCD + VMACD + VMABD
 1=
d d d d
VMABC VMBCD VMACD VMABD
 1= 1 + 2 + 3 + 4
+
+
+
h h h h
VABCD VABCD VABCD VABCD
 d1 + d 2 + d3 + d 4 = 6 .
(
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: (d1 + d 2 + d3 + d 4 ) 2  4. d12 + d 2 2 + d32 + d 4 2
 4P 
( 6)
2
P
)
3
3
. Vậy Pmin = .
2
2
6
4
 M là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Dấu “=” xảy ra  d1 = d 2 = d3 = d 4 =
Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , SA = 2 và SA vuông góc
với mặt phẳng đáy ( ABCD ) . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB, AD sao cho mặt
phẳng ( SMC ) vuông góc với mặt phẳng ( SNC ) . Biết rằng khi thể tích khối chóp S . AMCN đạt
giá trị nhỏ nhất thì biểu thức P = 2022 AM − 2021AN = a b − a với a, b 
A. 4 .
B. 5 .
C. 6 .
Lời giải
. Tính a + b .
D. 2 .
Chọn B
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 20
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Đặt AM = x, AN = y . Trong ( ABCD ) , gọi O = AC  BD, E = BD  CM , F = BD  CN .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên SC , khi đó:  CHO đồng dạng  CAS
HO CO
CO. AS

=
 HO =
=
AS CS
CS
2 2
.2
2
(
22 + 2 2
)
2
2
.
3
=
 BD ⊥ AC
 BD ⊥ ( SAC )  BD ⊥ SC .
Ta có: 
 BD ⊥ SA
 SC ⊥ OH
 SC ⊥ HE
 SC ⊥ ( HBD )  
Khi đó: 
.
 SC ⊥ BD
 SC ⊥ HF
Do đó:
(( SCM ) , ( SCN )) = ( HE, HF ) = 90 hay HE ⊥ HF .
1
1
Ta có: S AMCN = S ABCD − S BCM − S CDN = 4 − .2. ( 2 − x ) − .2. ( 2 − y ) = 4 − 2 + x − 2 + y = x + y .
2
2
1
2
Suy ra: VS . AMCN = SA. S AMCN = ( x + y ) .
3
3
Xét tam giác HEF vuông tại H , có đường cao OH 2 = OE.OF (1) . Ta cần tính OE , OF .
Xét
tam
giác
OAB
với
EM  OA = C
;
theo
định
lí
Menelaus,
ta
có:
2y
AM BE OC
x BE 1
2x
. Tương tự: OF =
.
.
.
=1
.
. = 1  OE =
4− y
MB EO AC
2 − x OE 2
4− x
Thay OE , OF vừa tìm được vào
(1) :
2
2 xy
=
 3xy = 16 − 4 ( x + y ) + xy
3 ( 4 − x )( 4 − y )
 xy + 2 x + 2 y = 8  ( x + 2 )( y + 2 ) = 12 .


 8
2
2
2 

x
+
y
=
x
+
2
+
y
+
2
−
4

2
x
+
2
y
+
2
−
4
3 −1 .
(
)
(
) (
)
(
)(
) =
 3
3
3
 3
AM − GM
=12




8
3 − 1 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
(VS . AMCN )min =
3
(
Ta có: VS . AMCN =
Do
đó:
(
)
x + 2 = y + 2 = 12  x = y = 2 3 − 2 = AM = BN .
Vì vậy P = 2022 AM − 2021AN = 2 3 − 2 = a b + a  a = 2, b = 3 . Ta có: a + b = 5 .
21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
)
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 20: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, SA vuông góc với mặt phẳng chứa
đáy. Gọi M là trung điểm của AB và  là góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng ( SBC ) .
Biết sin  =
A.
3.
6
, hãy tìm giá trị lớn nhât của thể tích khối chóp S . ABC .
8
4
1
B.
.
C. 1 .
D.
.
3
3
Lời giải
Chọn C
Diện tích tam giác ABC là S ABC = 3 .
Gọi K là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A trên SK  AH ⊥ ( SBC ) .
 d ( A, ( SBC ) ) = AH .
Gọi I là hình chiếu của M trên mặt phẳng ( SBC )  ( SM , ( SBC ) ) = MSI =  .
Đặt SA = x, ( x  0 )  SM = x 2 + 1 .
1
1
1
1 1
=
+ 2 = + 2  AH =
2
2
AH
AK
SA
3 x
x 3
x2 + 3
.
Vì M là trung điểm của AB nên  d ( M , ( SBC ) ) =
1
1
x 3
d ( A, ( SBC ) )  MI = AH =
2
2
2 x2 + 3
.
x 3
2
6
MI
6
 2 x +3 =

Ta có: sin  =
=
2
8
SM
8
x +1
x 3
x 2 + 3. x 2 + 1
=
6
x2
1
 2
= .
2
4
( x + 3)( x + 1) 8
 x2 = 1  x = 1
x2
1
4
2
2
4
2
=

x
+
4
x
+
3
=
8
x

x
−
4
x
+
3
=
0


.
 2
x
=
3
( x 2 + 3)( x 2 + 1) 8
x = 3

1
1
3
Với x = 1  VS . ABC = SA.S ABC = .1. 3 =
.
3
3
3
1
1
Với x = 3  VS . ABC = SA.S ABC = . 3. 3 = 1 .
3
3
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích của khối chóp S . ABC là V = 1 .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 22
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 21: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng
6 . Biết rằng các mặt bên của
hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng 3 2 . Tính thể tích nhỏ nhất
của khối chóp S . ABC
A. 4 .
B. 3 .
C. 2 2 .
Lời giải
D. 2 3 .
Chọn B
Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng đấy ( ABC ) .
Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu của H trên AB , BC , CA . Do vậy SM , SN và SP là
đường cao của các mặt bên tương ứng.
Vì các mặt bên của hình chóp có cùng diện tích nên SM = SN = SP . Do vậy HM = HN = HP ,
hay ta có H là tâm đường tròn nội tiếp hoặc bàng tiếp tam giác ABC .
Trường hợp 1: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
Khi đó hình chóp S . ABC là hình chóp đều có cạnh đáy bằng
Ta có SH = SA − AH =
2
2
(3 2 )
6 , cạnh bên bằng 3 2 .
2
2
 2 6. 3 
−  .
 = 4 .
3
2


1 ( 6) .
= .4.
2
3
1
=2 3.
Thể tích khối chóp S . ABC là V = SH .S ABC
3
3
4
Trường hợp 2: H là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC .
Do tam giác ABC đều nên không mất tổng quát, giả sử H là tâm đường tròn bàng tiếp góc
A của tam giác ABC .
Ta có AH = 2.
6. 3
= 3 2 và BH = CH = 6 .
2
23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Nếu SA = 3 2 thì SH = SA2 − SH 2 = 0 (vô lý).
Nếu SA  3 2 thì SB = SC = 3 2  SH = SB 2 − BH 2 = 2 2 .
( 6) .
2
1
1
Thể tích khối chóp S . ABC là V = SH .S ABC = .2 3.
3
3
Vậy thể tích nhỏ nhất của khối chóp S . ABC bằng 3 .
4
3
=3.
Câu 22: Cho hình chóp S . ABC có SA = 4 , AB = 2 , AC = 1 và SA ⊥ ( ABC ) . Gọi O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC . Mặt cầu tâm O , đi qua A và cắt các tia SB , SC lần lượt tại D và
E . Khi độ dài đoạn thẳng BC thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S . ADE là
64
8
4
256
A.
.
B. .
C. .
D.
.
85
3
3
255
Lời giải
Gọi AM là đường kính của mặt cầu tâm O và đi qua A .
 MB ⊥ AB
Ta có 
 MB ⊥ ( SAB )  MB ⊥ AD .
 MB ⊥ SA
Mà AD ⊥ DM  AD ⊥ ( SBM )  AD ⊥ SB .
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ta có
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 24
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
SD SA
SA2
42
4
SD.SB = SA2 
=
=
=
= .
2
2
2
2
2
SB SB
SA + AB
4 +2
5
2
Tương tự ta cũng có SE.SC = SA2 
Ta có
SE SA2
SA2
42
16
.
=
=
=
=
2
2
2
2
2
SC SC
SA + AC
4 + 1 17
VS . ADE SD SE 4 16 64
64
=
.
= . =
 VS . ADE = VS . ABC , do đó VS . ADE đạt giá trị lớn nhất khi
VS . ABC SB SC 5 17 85
85
VS . ABC đạt giá trị lớn nhất.
1
1
1
1
1
4
Mà VS . ABC = SA.S ABC = SA. AB. AC.sin BAC  SA. AB. AC = .4.2.1 = .
3
3
2
6
6
3
64 4 256
Suy ra VS . ADE  . =
.
85 3 255
Câu 23: Cho tam giác OAB đều cạnh 2a . Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng
( OAB ) lấy điểm M sao cho OM = x . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên
MB và OB . Gọi N là giao điểm của EF với đường thẳng d . Tìm x sao cho tứ diện ABMN
có thể tích nhỏ nhất.
A. a .
B. a 2 .
C. 2a .
Lời giải
D. a 3 .
Chọn B
Ta có MA = MB = x 2 + 4a 2 .
Gọi C là trung điểm của đoạn AB  MC = x 2 + 3a 2 .
MC. AB 2a x 2 + 3a 2
x 2 + 2a 2
2a 2
=
 ME = MA2 − AE 2 =
 BE =
.
MB
x 2 + 4a 2
x 2 + 4a 2
x 2 + 4a 2
Vì tam giác OAB đều nên F là trung điểm của cạnh OB .
Theo định lí Menelaus, ta có:
ON EM FB
ON
EB
ON
2a 2
2a 2
2a 2
.
.
=1
=

= 2

ON
=

MN
=
x
+
.
NM EB FO
ON + x EM
ON + x x + 2a 2
x
x
2a 2
Theo BĐT Cosi  MN = x +
 2a 2; dấu bằng khi x = a 2.
x
Ta có AE =
25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1
Ta có VABMN = MN .SOAB  Để thể tích VABMN đạt GTNN khi MN đạt GTNN
3
Theo chứng minh trên suy ra x = a 2.
Câu 24: Cho hình chóp S . ABC có AB = a, BC = a 3, ABC = 60. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng ( ABC ) là một điểm thuộc cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC )

bằng 45 . Thể tích khối chóp S . ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng
A.
a3 3
.
12
B.
a3 3
.
8
C.
a3 3
.
6
D.
a3 3
.
3
Lời giải
Chọn B
Giả sử SH là đường cao của hình chóp S . ABC , khi đó H  BC .
Gọi AK là đường cao của tam giác ABC.
2S
1
3a 2
a 3
 AK = ABC =
Ta có S ABC = AB  BC  sin ABC =
.
2
4
BC
2
Góc giữa đường thẳng SA và ( ABC ) là SAH = 45. Suy ra SH = AH .
Thể tích khối chóp S . ABC
1
a3
là V = S ABC  SH =  SH .
3
4
Khi đó thể tích khối chóp S . ABC nhỏ nhất khi AH nhỏ nhất, điều này xảy ra khi
a 3
a3 3
H  K  SH =
. Vậy VS . ABC =
.
2
8
Câu 25: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích là V . Gọi M là trung
điểm của cạnh SA , N là điểm trên cạnh SB sao cho SN = 2 NB . Mặt phẳng ( P ) thay đổi đi
qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC , SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K , Q . Tìm giá trị
lớn nhất của thể tích khối chóp S .MNKQ .
A.
V
.
2
B.
V
.
3
C.
3V
.
4
D.
2V
.
3
Lời giải
Chọn B
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 26
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Ta có hai công thức sau
V
SA.SB.SC
Công thức thứ nhất S . ABC =
VS . A ' B 'C ' SA.SB.SC 
Công thức thứ hai cho hình chóp có đáy là hình bình hành
SA SC SB SD
+
=
+
SA SC  SB SD
Mặt khác ta có theo công thức thứ nhất
VS .MNKQ VS .MNK VS .MQK 1  SM .SN .SK SM .SQ.SK  1  1.SK 1.SQ.SK 
=
+
= 
+
+
= 

VS . ABCD 2VS . ABC 2VS . ADC 2  SA.SB.SC
SA.SD.SC  2  3.SC 2.SD.SC 
Và theo công thức thứ hai
x=
(1)
SA SC SB SD
SC 3 SD
1
+
=
+
 2+
= +
 y = + x với
SM SK SN SQ
SK 2 SQ
2
SC
SD
,y=
.
SK
SQ
Khi đó thế lại (1) ta được
Xét hàm số f ( x ) =
VS .MNKQ
VS . ABCD
1 1
1  1 1
1 
x+2
1
=  +
 .
=  +
= 2
2  3x 2 xy  2 x  3 2 x + 1  6 x + 3x 3
x+2
−6 x 2 − 24 x − 6

x

1
f
x
=
 0, x  1 nên hàm số
,
với
.
Ta
có
(
)
2
2
6 x 2 + 3x
6
x
+
3
x
(
)
luôn nghịch biến trên nửa khoảng 1; + ) .
1
Suy ra f ( x )  f (1) ,   1 hay f ( x )  , x  1 .
3
Vậy thể tích khối chóp S .MNKQ đạt giá trị lớn nhất bằng
V
, đạt được khi K  C .
3
Câu 26: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1 . Gọi d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
( ABC ) tại A . Trên đường thẳng d lấy điểm S . Gọi P và Q lần lượt là trực tâm của tam giác
ABC và SBC . Thể tích tứ diện PQBC lớn nhất bằng:
A.
1
.
144
B.
3
.
144
C.
Lời giải
Chọn A
27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
1
.
48
D.
6
.
72
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Gọi BI là đường cao của tam giác SBC , M là trung điểm BC , H là chân đường vuông góc
hạ từ Q xuống ( BPC ) . Suy ra SM ⊥ BC , H  AM
Đặt
SA = x ( x  0 )
tan MBQ = tan CSM =
,
MC
=
SM
dễ
3
4
,
và
1
2 x2 +
3
4
1
Khi đó MQ = MB.tan MBQ =
4 x2 +
Ta có S PQM =
SM = SA2 + AM 2 = x 2 +
có
3
4
, sin SMA =
SA
=
SM
x
x2 +
3
4
1
1
x
PM .MQ.sin SMA = QH .PM  QH = 2
2
2
4x + 3
3x
1
1
1
3
x

=
, x  ( 0; + )
VPQBC = QH .S PBC = QH .S ABC =
. 2
3
9
36 4 x + 3 36.2.2. 3x 144
Dấu bằng xảy ra khi x =
3
2
Hay thể tích tứ diện PQBC lớn nhất bằng
1
.
144
Câu 27: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , SA = AB = 2 . Cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC
. Tính thể tích lớn nhất
A. Vmax =
3
.
3
Vmax của khối chóp S . AHK .
B. Vmax =
3
.
6
C. Vmax =
2
.
6
D. Vmax =
2
.
3
Lời giải
Chọn C
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 28
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
 SA ⊥ AB
Ta có SA ⊥ ( ABC )  
.
 SA ⊥ AC
Vì SA = AB = 2  SAB vuông cân tại A  H là trung điểm của AB .
Đặt AC = x .
SK SA2
4
= 2 = 2
Trong tam giác vuông SAC ta có SA = SK .SC 
.
SC SC
x +4
2
Khi đó
VS . AHK SH SK 1 4
2
2
=
.
= . 2
= 2
 VS . AHK = 2
.VS . ABC
VS . ABC SB SC 2 x + 4 x + 4
x +4
 VS . AHK
Xét T =
(
)
2
2
2 1 1
2 x 4 − x2 2 x 4 − x
2
.
= 2
. .2. .x. 4 − x = . 2
= .
2
3 x +4
3
x +4 3 2
x2 + 4
(
(
x2 4 − x2
(
x2 + 4
)
2
) , x 
)
( 0; 2 ) .
2
Đặt t = x  t  ( 0; 4 ) .
Khi đó T = g ( t ) =
Ta có g  ( t ) =
t (4 − t )
(t + 4)
16 − 12t
(t + 4)
3
2
t  ( 0; 4 ) .
 g  (t ) = 0  t =
4
 ( 0; 4 ) .
3
1
1
2 1
2
=
Khi đó ta có g ( t )  , t  ( 0; 4 )  T   VS . AHK 
.
8
8
3 8
6
29 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t =
Vậy Vmax =
4
2 3
x=
.
3
3
2
.
6
Câu 28: Cho hình chóp S . ABC . Mặt phẳng ( P ) song song với đáy và cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt
D, E , F . Gọi D1, , E1 , F1 tương ứng là hình chiếu của D, E , F lên mặt phẳng đáy (tham khảo hình
vẽ)
V là thể tích khối chóp S . ABC . Giá trị lớn nhất của thể tích khối đa diện DEF .D1 E1 F1 bằng
A.
V
.
6
B.
4V
.
9
C.
2V
.
3
D.
V
.
12
Lời giải
Chọn B
Ta có: mặt phẳng ( P ) song song với đáy và cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt D, E , F
 DE , DF , EF song song với mặt phẳng ( ABC )
DE SD
=
 Hai tam giác ABC và DEF theo tỉ số
AB SA
SD
AD SA − SD
S
= x , 0  x  1 . Khi đó
=
= 1 − x và DEF = x 2
SA
SA
SA
SABC
Đặt
Do D1, , E1 , F1 tương ứng là hình chiếu của D, E , F lên mặt phẳng đáy nên khối đa diện
DEF .D1 E1 F1 là một hình lăng trụ đứng có chiều cao DD1 và đáy là DEF
Gọi h là chiều cao của hình chóp S . ABC thì
DD1 AD
=
= 1 − x  DD = (1 − x)h
h
AS
Thể tích khối đa diện DEF .D1 E1 F1 là:
1
VDEF .D1 E1 F1 = DD1.SDEF = (1 − x).h.SDEF = 3( x 2 − x 3 ). .h.S ABC = 3( x 2 − x 3 )V
3
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số không âm, ta có:
3
3( x − x ) = .x.x(2 − 2 x) 
2
2
3
3  x + x + 2 − 2x  3 8 4
4V

 = . = hay VDEF .D1 E1 F1 
9
2
3
 2 27 9
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 30
Phan Nhật Linh
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = 2 − 2 x  x =
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
2
3
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối đa diện DEF .D1 E1 F1 bằng
4V
9
Câu 29: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang, AB //CD, AB = 2CD,
ABC = 45 . Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm của cạnh AB và SC ⊥ BC ,
SC = a . Gọi góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) là
 . Khi 
thay đổi, tìm
cos để
thể tích khối chóp S . ABCD có giá trị lớn nhất.
A. cos  = −
6
.
3
B. cos  =
6
.
3
C. cos  =
3
.
3
D. cos  = 
6
.
3
Lời giải
Chọn B
Gọi H là trung điểm của AB ta có SH ⊥ ( ABCD ) suy ra SH ⊥ BC . Theo giả thiết SC ⊥ BC
ta có BC ⊥ ( SHC ) suy ra BC ⊥ HC , lại vì
ABC = 45 nên tam giác HBC vuông cân tại C .
Từ trên ta cũng suy ra được góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) là
SCH do đó
SH = a.sin  và CH = a.cos  .
Đáy ABCD là hình thang với AB //CD, AB = 2CD do vậy diện tích đáy được tính theo công thức
S ABCD = 3SHCB =
Ta
V =
có
thể
3
3
CH 2 = a 2 .cos 2  .
2
2
tích
khối
chóp
S . ABCD
được
tính
theo
công
thức
1
1
1
SH .S ABCD = a 3 .cos 2  .sin  = a 3 . ( sin  − sin 3  ) .
3
2
2
Cách 1:
 
2
3
 nên đặt t = sin  , 0  t  1 , xét hàm số g (t ) = t − t , t  ( 0;1) ta có g (t ) = 1 − 3t ;
 2
Do    0;
1 − 3t 2 = 0
1
. Khi đó ta có bảng biến thiên của g (t ) như sau
g (t ) = 0  
t =
0

t

1
3

31 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
2
 1 
g (t )  g (t ) 
Qua bảng ta thấy g (t )  g 
do đó thể tích của khối chóp lớn nhất
 = max
0;1
3 3
 3 ( )
bằng Vmax
a3 3
1
6
=
 cos  =
đạt được khi sin  =
.
9
3
3
Cách 2: V = 1 SH .S ABCD = 1 a 3 .cos 2  .sin 
3
Ta có: 1
Vmax =
cos2
2
2
cos2
2
AM GM
2
sin
3
3
cos2 sin
2
2
V
a3 3
9
a3 3
1
6
 cos  =
đạt được khi sin  =
.
9
3
3
Câu 30: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, SA vuông góc với mặt phẳng chứa
đáy. Gọi M là trung điểm của AB và φ là góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng ( SBC ) .
Biết rằng sin φ =
A.
3.
6
, tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S . ABC .
8
4
1
B.
.
C. 1.
D.
.
3
3
Lời giải
Chọn C
Vì đáy của khối chóp S . ABC là tam giác đều cạnh bằng 2 nên có diện tích S ABC =
22 3
= 3.
4
Đặt SA = a ( a  0 ) là chiều cao của khối chóp S . ABC .
Do khối chóp S . ABC có diện tích đáy không đổi nên thể tích lớn nhất khi và chỉ khi chiều cao
lớn nhất, tức là ta đi tìm giá trị lớn nhất của a .
 AI ⊥ BC

Gọi I là trung điểm của BC . Vì tam giác ABC đều, cạnh bằng 2 nên 
.
2 3
AI
=
=
3


2
Cách 1:
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 32
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Gọi N , K lần lượt là trung điểm của SB và IB .
 MN ⊥ ( ABC )
 MN // SA



Xét tam giác SAB có MN là đường trung bình  
.
1
a
MN
=
SA
MN
=


2

2
 MK ⊥ BC
 MK // AI



Xét tam giác ABI có MK là đường trung bình  
1
3 .
MK
=
AI
MK
=


2

2
Trong mặt phẳng ( MNK ) , kẻ MH ⊥ NK tại H .
 BC ⊥ MK
 BC ⊥ ( MNK ) , mà MH  ( MNK ) do đó BC ⊥ MH .
Ta có 
 BC ⊥ MN ( Do MN ⊥ ( ABC ) )
 MH ⊥ NK t¹i H
 MH ⊥ ( SBC ) tại H .
Lại có 
 MH ⊥ BC
 SM  ( SBC ) = S
 SH là hình chiếu của SM trên mặt phẳng ( SBC )
Mặt khác 
MH
⊥
SBC
t¹
i
H
(
)

(
) (
)
 SM , ( SBC ) = SM , SH = MSH = φ .
Xét tam giác SAM vuông tại A có SM = SA2 + AM 2 = a 2 + 1 .
Xét tam giác MNK vuông tại M , có MH ⊥ NK 
 MH =
a 3
2 3 + a2
1
1
1
4 4 12 + 4a 2
=
+
=
+ =
MH 2 MN 2 MK 2 a 2 3
3a 2
.
a 3
Xét tam giác SHM vuông tại H có sin MSH =
MH
6 2 3 + a2

=
SM
8
a2 + 1
a = 1
 4a = 2. a 2 + 3. a 2 + 1  2a 4 − 8a 2 + 6 = 0  
(Vì a  0 ).
a = 3
Suy ra giá trị lớn nhất của a là
3.
33 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1
1
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp S . ABC là Vmax = S ABC .SAmax = . 3. 3 = 1 .
3
3
Cách 2:
Trong mặt phẳng ( SAI ) , kẻ AE ⊥ SI tại E .
 BC ⊥ AI
 BC ⊥ ( SAI ) , mà AE  ( SAI ) suy ra BC ⊥ AE .
Ta có: 
 BC ⊥ SA ( V×SA ⊥ ( ABC ) )
 AE ⊥ SI t¹ i E
 AE ⊥ ( SBC ) tại E  d ( A, ( SBC ) ) = AE .
Lại có: 
AE
⊥
BC

Xét tam giác SAI vuông tại A , có AE ⊥ SI 
 AE =
a 3
a2 + 3
1
1
1
1 1 a2 + 3
=
+
=
+ =
AE 2 SA2 AI 2 a 2 3 3a 2
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( SBC ) , thế thì d ( M , ( SBC ) ) = MH .
Ta có: AM  ( SBC ) = B 
d ( A, ( SBC ) )
d ( M , ( SBC ) )
=
AB
1
a 3
= 2  MH = AE =
.
MB
2
2 a2 + 3
 SM  ( SBC ) = S
Lại có: 
 SH là hình chiếu của SM trên mặt phẳng ( SBC )
MH
⊥
SBC
t¹
i
H
(
)

(
) (
)
 SM , ( SBC ) = SM , SH = MSH = φ .
Xét tam giác SAM vuông tại A có SM = SA2 + AM 2 = a 2 + 1 .
a 3
Xét tam giác SHM vuông tại H có sin MSH =
MH
6 2 3 + a2

=
SM
8
a2 + 1
a = 1
 4a = 2. a 2 + 3. a 2 + 1  2a 4 − 8a 2 + 6 = 0  
(Vì a  0 ).
a
=
3

Suy ra giá trị lớn nhất của a là
3.
1
1
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp S . ABC là Vmax = S ABC .SAmax = . 3. 3 = 1 .
3
3
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 34
Phan Nhật Linh
Cách 3:
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc O trùng với điểm I , chiều dương trục Ox cùng chiều
với IA , chiều dương trục Oy cùng chiều với IB , chiều dương trục Oz cùng chiều với AS .
Khi đó ta có tọa độ các điểm I ( 0;0;0 ) , A
(
)
3 ;0;0 , B ( 0;1;0 ) , C ( 0; − 1;0 ) , S
(
)
3 ;0; a và
 3 1 
M 
; ;0  .
2
2 

 3 1 
MS = 
; − ; a  , IB = ( 0;1;0 ) , IS =
2
2 

(
)
3 ;0; a .
(
)
Mặt phẳng ( SBC ) có 1 vectơ pháp tuyến là n =  IB , IS  = a ;0; − 3 .


Ta có:
(
)
sin φ = sin SM , ( SBC ) = cos  MS , n  =


3
1
.a − .0 − a 3
2
2
3 1
+ + a 2 . a 2 + 02 + 3
4 4
=
a 3
2 a 2 + 1. a 2 + 3
=
6
8
a = 1
 4a = 2. a 2 + 3. a 2 + 1  2a 4 − 8a 2 + 6 = 0  
(Vì a  0 ).
a
=
3

Suy ra giá trị lớn nhất của a là
3.
1
1
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp S . ABC là Vmax = S ABC .SAmax = . 3. 3 = 1 .
3
3
Câu 31: Cho x, y là những số thực dương không đổi. Xét hình chóp S . ABC có SA = x, BC = y và các
cạnh còn lại đều bằng 1. Khi thể tích khối chóp S . ABC đạt giá trị lớn nhất thì tích x. y bằng
A.
1
.
3
B.
4
.
3
C.
Lời giải
Chọn B
35 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
4 3
.
3
D. 2 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ta có: do AB = AC = SB = SC nên các tam giác SBC và ABC cân tại S , A . Gọi M , N lần
 BC ⊥ SM
 BC ⊥ ( SAM ) . Từ đây ta hạ SH ⊥ AM , H  AM
lượt là trung điểm BC , SA thì 
 BC⊥ AM
Mà SH ⊥ BC ( BC ⊥ ( ASM )) nên SH ⊥ ( ABC )
Suy ra AM = 1 −
y2
1
y
y2
1−
nên SABC = . AM.BC =
4
2
2
4
y 2 x2
−
Mặt khác vì SM = AM nên SAM cân tại M  MN = AM − AN = 1 −
4
4
2
Mà ta có: MN .SA = SH . AM  SH =
MN .SA
=
AM
2
x2 + y 2
4 − x2 − y 2
4
=x
y2
4 − y2
1−
4
1− x
Suy ra, ta có được
1
1
4 − x2 − y 2 y
y 2 xy
VS . ABC = SH .S ABC = .x
.
1
−
=
4 − x2 − y2 =
2
3
3
4− y
2
4 12

x 2 y 2 (4 − x 2 − y 2 )
12
1 x2 + y 2 + 4 − x2 − y 2 2 3
=
12
3
27
2
2 3
2
4
 2 
Vậy VS . ABC max =
khi và chỉ khi x 2 = y 2 = 4 − 2 x 2  x = y =
 xy = 
= .

27
3
3
 3
Câu 32: Cho hình chóp S . ABC , O là trung điểm của AB . Điểm M di động trên cạnh SB . Đặt
SM
= x . Mặt phẳng qua A , M song song với OC , cắt SC tại N . Thể tích khối chóp
SB
ABMN lớn nhất khi
A. x = 3 − 1 .
B. x = 1 .
C. x = 3 − 5 .
D. x = −1 + 2 .
Lời giải
Chọn D
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 36
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Trong mặt phẳng ( SAB ) , gọi I là giao điểm của SO và AM .
Mặt phẳng qua A, M , song song với SO , cắt ( SOC ) theo giao tuyến là đường thẳng qua I ,
đường thẳng đó cắt SC tại N .
Áp dụng định lý Menelauyt đối với tam giác SOB và bộ ba điểm thẳng hàng A, I , M ta có
SM BA OI
SI SM BA
2x
SN
2x
NS
2x
.


=1
=

=

=

=
MB AO IS
OI MB AO 1 − x
CN 1 − x
CS x + 1
Thể
tích
khối
1
VABMN = VN . ABM =  S ABM  d ( N , ( ABM ) )
3
chóp
1
2x
2x
=  (1 − x ) SSAB 
d ( C , ( SAB ) ) = (1 − x )
VS . ABC
3
x +1
x +1


4
4


+ 6VS . ABC = 6 − 4 2 VS . ABC
=  −2 ( x + 1) −
+ 6VS . ABC   −2 2 ( x + 1) 
x +1 
x +1 


(
Do
đó
2 ( x + 1) =
thể
tích
khối
chóp
lớn
ABMN
nhất
bằng
)
( 6 − 4 2 )V
S . ABC
khi
4
 x +1 = 2  x = 2 −1.
x +1
Câu 33: Cho hình chóp S . ABC có SA = x , BC = y , AB = AC = SB = SC = 1 . Thể tích khối chóp
S . ABC lớn nhất khi x + y bằng
A.
3.
B.
2
.
3
C.
Lời giải
Chọn C
37 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
4
.
3
D. 4 3 .
CHƯƠNG 02: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 SH ⊥ BC
 BC ⊥ ( SAH ) .
Gọi H là trung điểm của BC khi đó: 
 AH ⊥ BC
1
Ta có VS . ABC = VB.SAH + VC .SAH = SSAH .BC
3
Gọi E là trung điểm của SA  HE ⊥ AS
Ta có AH = SH = 1 − HC 2 = 1 −
y2
y 2 x2
 HE = AH 2 − AE 2 = 1 − −
4
4 4
x2 + y 2 x
1
= 1−
.  VS . ABC = .xy. 4 − x 2 − y 2 .
4
2
12
 SSAH
3
 a 2 + b2 + c2  2
a 2 + b2 + c2 3 2 2 2
 a b c  abc  
Theo bất đăng thức Cô – si ta có:

3
3


3
 4 2
Do đó xy 4 − x 2 − y 2    . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
3
x2 = y 2 = 4 − x2 − y 2  x = y =
2
4
 x+ y =
.
3
3
Câu 34: Cho tam giác OAB đều cạnh 2a . Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng
( OAB ) lấy điểm M sao cho OM = x . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên
MB và OB . Gọi N là giao điểm của EF và d . Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ
nhất.
A. x =
a 2
.
2
B. x =
a 6
.
12
C. x =
a 3
.
2
D. x = a 2 .
Lời giải
Chọn D
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 38
Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Vì tam giác OAB đều cạnh 2a nên F là trung điểm của OB do đó OF = a . Ta có
AF ⊥ OB; AF ⊥ MO  AF ⊥ ( MOB )  AF ⊥ MB mà MB ⊥ AE suy ra MB ⊥ ( AEF ) . Do
đó MB ⊥ EF hay OBM
ONF . Từ đó ta có
OB ON
OB.OF 2a.a 2a 2
.
=
 ON =
=
=
OM OF
OM
x
x
Thể tích
1
1 4a 2 3 
2a 2  a 2 3
2a 3 6
VABMN = VABOM + VABON = SOAB ( OM + ON ) = .
.2 2a 2 =
 x +
 
3
3
4 
x 
3
3
Dấu bằng xảy ra khi x =
2a 2
 x=a 2.
x
39 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716