HOEPLI TEST
Monotematico Matematica
MATEMATICA
Per lo studio e il ripasso di tutti gli argomenti:
• algebra
• equazioni e disequazioni
• funzioni e geometria analitica
• trigonometria e geometria classica
• statistica
EDITORE ULRICO HOEPLI MILANO
Copyright © Ulrico Hoepli Editore S.p.A., 2018
Tutti i diritti sono riservati a norma di legge
e a norma delle convenzioni internazionali.
Immagini di copertina:
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Elaborazione dati e produzione eBook:
Edigeo S.r.l., Milano
SOMMARIO
Insiemi, numeri e operazioni
Insiemi
Numeri e operazioni di base
Criteri di divisibilità
Massimo comun divisore e minimo comune multiplo
Frazioni
Radicali
Logaritmi
Proporzioni e proporzionalità diretta e inversa
Progressioni aritmetiche e geometriche
Algebra
Monomi
Polinomi (1): addizione e moltiplicazione
Polinomi (2): prodotti notevoli
Problemi risolubili con i prodotti notevoli
Polinomi (3): scomposizione per raccoglimento
Polinomi (4): scomposizione con i prodotti notevoli
Polinomi (5): divisione
Polinomi (6): M.C.D. e m.c.m.
Frazioni algebriche
Equazioni
Uguaglianze ed equivalenza
Equazioni lineari
Equazioni di secondo grado
Equazioni di grado superiore al secondo
Equazioni frazionarie e letterali
Equazioni esponenziali
Equazioni logaritmiche
Problemi risolubili con un'equazione
Disequazioni
Disuguaglianze
Disequazioni equivalenti
Disequazioni lineari
Disequazioni di secondo grado
Disequazioni polinomiali
Disequazioni frazionarie
Sistemi
Sistemi lineari
Sistemi di secondo grado
Problemi risolubili con sistemi
Sistemi di disequazioni
Equazioni risolubili con sistemi
Geometria analitica
Piano cartesiano
Retta (1): equazioni della retta
Retta (2): reciproche posizioni fra rette
Retta (3): determinazione dell'equazione di una retta
Retta (4): fascio proprio e improprio
Retta (5): problemi risolubili con le rette
Circonferenza (1): equazione della circonferenza
Circonferenza (2): rette e circonferenze
Parabola (1): equazione della parabola
Parabola (2): intersezione con gli assi
Parabola (3): intersezione con una retta
Ellisse
Iperbole
Problemi relativi alle curve
Funzioni
Funzioni (1): dominio
Funzioni (2): proprietà
Limiti e derivate
Trigonometria
Angoli e funzioni circolari
Equazioni trigonometriche
Triangoli e funzioni circolari
Geometria piana e solida
Triangoli (1)
Triangoli (2): relazioni tra angoli
Triangoli (3): terne di numeri
Aree di figure piane
Volumi di solidi
Statistica
Media
Moda e mediana
Percentuale
Calcolo combinatorio e disposizioni
Probabilità (1)
Probabilità (2): eventi compatibili e incompatibili
Probabilità (3): eventi dipendenti e indipendenti
Indici di variabilità
Insiemi, numeri e operazioni
La matematica è la scienza con tradizione più antica presso tutte le
popolazioni; già gli assiri e i greci ne facevano uso quotidianamente.
La definizione moderna di matematica è quella di un sistema formale,
basato su un insieme di regole che consente, a partire da una serie di
proposizioni assunte come vere senza dimostrazione (dette assiomi o
postulati), di dimostrarne altre (dette teoremi) relativamente a un insieme
di enti perlopiù di natura numerica o geometrica. L'insieme di procedure
che, per ogni problema, permettono di giungere alla sua soluzione tramite
l'applicazione di un insieme finito di regole precise è detto algoritmo.
La matematica si è inizialmente sviluppata come geometria (misurazione di
terreni), per poi evolversi in molti campi (per esempio l'astronomia, nata dai
rudimentali calcoli basati sull'osservazione degli astri e spesso con scopi
tutt'altro che matematici, quali la predizione del futuro), ha gettato le basi
della fisica (dapprima della meccanica, successivamente della
termodinamica e dell'elettrotecnica), ha dettato le leggi che governano il
funzionamento dei computer (l'algebra di Boole e la teoria dei sistemi),
studia la nostra società (statistica ed economia) e perché no, ci fa anche
divertire sotto forma di matematica ricreativa (chi di noi non ha mai giocato
a tetris, a tris oppure all'onnipresente sudoku...).
A fronte della basilare importanza della matematica, il suo insegnamento è
ormai presente in qualsiasi indirizzo di studio ed è per questo che se ne
porge una descrizione ad ampio spettro, partendo dalla teoria degli insiemi e
arrivando allo studio di funzioni e alla statistica e fornendo gli strumenti per
valutare la propria preparazione – ovvero i quiz a risposta multipla –
ognuno dei quali presenta la soluzione commentata.
Questo primo capitolo getta le basi dei concetti primitivi di insieme,
elemento, numero e delle operazioni che su di essi sono definite.
Gli argomenti trattati all'interno della sezione sono i seguenti:
• Insiemi
• Numeri e operazioni di base
• Criteri di divisibilità
• Massimo comun divisore e minimo comune multiplo
• Frazioni
• Radicali
• Logaritmi
• Proporzioni e proporzionalità diretta e inversa
• Progressioni aritmetiche e geometriche
Insiemi
Con il termine insieme si indica un raggruppamento di oggetti chiamati
elementi dell'insieme. Il fatto che l'elemento x appartiene all'insieme A si
indica con la scrittura x ∈ A. Se x non appartiene all'insieme A si indica con
x ∉ A.
Gli elementi non possono comparire più volte e non hanno un ordine di
comparizione. Gli elementi caratterizzano l'insieme univocamente: due
insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi.
• Se un insieme è finito, può essere definito per elencazione di tutti i suoi
elementi:
A = {cane, gatto, elefante}
• Un insieme può anche essere definito per proprietà come l'unione di tutti
gli oggetti che verificano una determinata proprietà P:
A = {x: x è un animale a quattro zampe}
• Un insieme che non contiene elementi è detto vuoto e viene indicato con
∅.
• L'insieme che contiene tutti gli altri insiemi (incluso l'insieme vuoto) è
detto universo U.
Graficamente gli insiemi vengono rappresentati con i diagrammi di Venn
(o di Eulero-Venn), formati da linee chiuse che contengono gli elementi
degli insiemi e i rapporti tra un insieme e l'altro.
Dati due insiemi A e B diremo che B è sottoinsieme di A e scriveremo B ⊆
A (B è incluso o uguale ad A) se ogni elemento di B è anche elemento di A.
Quando ogni elemento di B è anche elemento di A ma A contiene anche
altri elementi, si ha una inclusione stretta e si indica con B ⊂ A.
Operazioni tra insiemi
Le principali operazioni tra insiemi sono:
• l'unione di due insiemi A e B si indica con A ∪ B ed è data dall'insieme
formato da tutti gli elementi che appartengono all'insieme A o all'insieme
B o a entrambi;
• l'intersezione di due insiemi A e B si indica con A ∩ B ed è data
dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia all'insieme
A sia all'insieme B;
• la differenza di due insiemi A e B si indica con A – B ed è data
dall'insieme formato dai soli elementi di A che non appartengono a B; si
chiama differenza simmetrica di A e B l'insieme (A – B) ∪ (B – A):
• il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è formato da tutte le coppie
ordinate di elementi (a, b), con a ∈ A e b ∈ B.
Proprietà degli insiemi
Se A, B e C sono tre insiemi, si verificano le seguenti proprietà:
• proprietà commutativa dell'unione e dell'intersezione:
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
• proprietà associativa dell'unione e dell'intersezione:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione e
dell'intersezione rispetto all'unione:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Esempio
Consideriamo gli insiemi X, Y e Z = X ∩ Y. Quale delle seguenti
affermazioni è vera?
A Se x appartiene a X, x appartiene a Z
B Se y appartiene a Y, y appartiene a Z
C Se z appartiene a Z, z appartiene a X o a Y
D Se z appartiene a Z, z appartiene a X e a Y
E Se z non appartiene a Z, z non appartiene a X
Scartiamo subito l'opzione A: se x ∈ X non è detto che x ∈ Z poiché può
essere un elemento appartenente solo a X e non a Y, quindi non essere in Z;
per lo stesso motivo scartiamo anche l'opzione B. L'opzione C è errata
poiché se z ∈ Z, allora z appartiene sia a X sia a Y, in quanto Z è
l'intersezione dei due insiemi. Anche l'opzione E non è corretta poiché se
l'elemento z non appartiene all'intersezione, può comunque appartenere a X.
L'unica riposta corretta è la D: se z ∈ Z, significa che z appartiene sia a X
sia a Y; per definizione infatti l'intersezione di due insiemi è un terzo
insieme formato dagli elementi che appartengono a entrambi.
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Numeri e operazioni di base
Diamo una breve descrizione degli insiemi numerici, delle loro operazioni e
delle loro proprietà.
• L'insieme dei numeri naturali si indica con ℕ; i suoi elementi sono
numeri interi privi di segno: ℕ = {0, 1, 2, ...}
• L'insieme dei numeri interi relativi si indica con ℤ, i suoi elementi sono
numeri interi positivi o negativi: ℤ = {... –2, –1, 0, 1, 2, ...}
• L'insieme dei numeri razionali si indica con ℚ, i suoi elementi sono
numeri che possono essere espressi come rapporto fra due numeri interi:
ℚ = {n/m con n e m ∈ ℤ e m ≠ 0};
ℚ ={–1/2, –1/1, 0, +1/1, +1/2, ... +2/3, ...}
I numeri razionali possono essere espressi anche come numeri decimali
limitati, o illimitati e periodici.
• L'insieme dei numeri reali si indica con ℝ, che è costituito dai numeri
razionali e dai numeri irrazionali:
• I numeri irrazionali sono numeri non razionali, che scritti nella forma
decimale rappresentano numeri illimitati e non periodici.
• I numeri preceduti da segno + o – sono numeri relativi.
• Due numeri relativi che hanno lo stesso segno sono concordi, due numeri
relativi che hanno segno diverso sono discordi.
• Il valore assoluto di un numero relativo è il numero privato di segno e si
indica con |+a| = a e |–a| = a.
• Due numeri relativi sono uguali se hanno lo stesso valore assoluto e sono
concordi, sono opposti se hanno lo stesso valore assoluto e sono discordi.
Negli insiemi numerici si definiscono le operazioni di addizione,
sottrazione, moltiplicazione divisione ed elevamento a potenza.
Addizione e sottrazione
• La somma di due numeri concordi è un numero di segno concorde ai
due addendi che ha per valore assoluto la somma dei valori assoluti.
• La somma di due numeri discordi è un numero intero concorde con il
numero che ha valore assoluto maggiore e che ha come valore assoluto la
differenza fra valori assoluti.
Moltiplicazione e divisione
• Il prodotto di due numeri concordi è un numero positivo che ha per
valore assoluto il prodotto dei valori assoluti.
• Il prodotto di due numeri discordi è un numero negativo che ha per
valore assoluto il prodotto dei valori assoluti.
• Il quoziente di due numeri concordi è un numero positivo che ha per
valore assoluto il quoziente dei valori assoluti.
• Il quoziente di due numeri discordi è un numero negativo che ha per
valore assoluto il quoziente dei valori assoluti.
Per risolvere le espressioni si calcolano prima le moltiplicazioni e le
divisioni nell'ordine in cui sono scritte e poi le addizioni e le sottrazioni
sempre nell'ordine in cui compaiono.
Se nell'espressione ci sono parentesi, si risolvono le operazioni interne alle
stesse a partire da quelle più interne.
Esempio
Quale delle seguenti espressioni ha come risultato 4?
A (6 – 3 – 2 – 1)
B (8 – 2) – (2 + 1)
C 8 – (3 – 2 + 1)
D 6 – [4 – (1 + 1)]
E Nessuna delle precedenti risposte è corretta
Svolgiamo i calcoli: A: (6 – 3 – 2 – 1) = 0; B: (8 – 2) – (2 + 1) = 6 – 3 = 3;
C: 8 – (3 – 2 + 1)= 8 – 2 = 6, risposta corretta; D: 6 – [4 – (1 + 1)]= 6 – [4 –
2] = 6 – 2 = 4.
L'addizione e la moltiplicazione nell'insieme ℝ godono delle seguenti
proprietà:
• commutativa
addizione: a + b = b + a
moltiplicazione: a · b = b · a
• associativa
addizione: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
moltiplicazione: a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
• esistenza elemento neutro
addizione: a + 0 = 0 + a
moltiplicazione: a · 1 = 1 · a
• elemento assorbente rispetto alla moltiplicazione
addizione:
moltiplicazione: a · 0 = 0 · a = 0
• elemento simmetrico
addizione: l'opposto di a è (–a) a · (–a) = 0
moltiplicazione: il reciproco di a/b è b/a (a/b) · (b/a) = 1, con a ≠ 0 e b ≠ 0
• distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione
addizione e moltiplicazione: a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
La sottrazione e la divisione nell'insieme ℝ godono delle seguenti
proprietà
Proprietà invariantiva della sottrazione:
a – b = (a + c) – (b + c) con a ≥ b
a – b = (a – c) – (b – c) con a ≥ b ≥ c
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione:
a · (b – c) = (a · b) – (a · c)
Elemento neutro a destra della sottrazione:
a–0=a
Proprietà invariantiva della divisione:
a : b = (a · c) : (b · c) con b ≠ 0 e c ≠ 0
a : b = (a : c) : (b : c) con b ≠ 0 e c ≠ 0
Proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione:
(a + b) : c = (a : c) + (b : c)
Elemento neutro a destra della divisione:
a:1=a
Esempio
Indica la proprietà distributiva:
A 3+5=5+3
B 3 · (4 + 5) = 3 · 4 + 3 · 5
C 5–3=3+5
D 3 + 4 + 5 = (3 + 4) + 5
E (3 + 4) + 5 = 3 + 4 + 5
La proprietà distributiva è relativa a due operazioni, moltiplicazione e
addizione, oppure divisione e addizione. L'unica alternativa in cui
compaiono le due operazioni è la risposta B.
Elevamento a potenza
Dato un numero razionale a e un numero intero positivo n >1, la potenza
ennesima di a è il prodotto di n fattori uguali ad a. In simboli si scrive an =
b.
Dalla definizione segue che 00 non è definito.
Casi particolari:
a1 = a
a0 = 1, per a ≠ 0
1n = 1
0n = 0 per n ≠ 0
Le regole per determinare il prodotto di due numeri permettono di stabilire
anche il segno della potenza n-esima di un numero.
• Se il numero a > 0, an > 0 per n qualsiasi n ≠ 0.
• Se a < 0, an > 0 se n è pari, an < 0 se n è dispari.
Per risolvere le espressioni si deve calcolare prima l'elevamento a potenza
di qualsiasi altra operazione. Per la sequenza delle altre operazioni e delle
parentesi valgono le indicazione dette sopra.
Esempio
Qual è il valore della seguente espressione? {2[1 + 5(2 + 3²)] – 1} + 3:
A 114
B 36
C 134
D 59
E 48
{2[1 + 5(2 + 3²)] – 1} + 3 = {2[1 + 5(2 + 9)] – 1} + 3 si calcola la potenza
{2[1 + 5(2 + 9)] – 1} + 3 = {2[1 + 5 · 11] – 1} + 3 si calcola la parentesi
tonda
{2[1 + 5·11] – 1} + 3 = {2[1 + 55] – 1} + 3 si esegue la moltiplicazione
{2[1 + 55] – 1} + 3 = {2 · 56 – 1} + 3 si calcola la parentesi quadra
{2· 56 – 1} + 3 = {112 – 1} +3 si esegue la moltiplicazione
{112 – 1} +3 = 111 +3 = 114 si calcola la parentesi graffa e si somma con il
termine 3.
Risposta A.
L'elevamento a potenza gode delle seguenti proprietà.
Moltiplicazione di potenze di uguale base:
an · am = an + m
Divisione di potenze di uguale base:
an : am = an – m
Elevamento a potenza di una potenza:
(am)n = am · n
Elevamento a potenza del prodotto di due numeri:
(a · b)n = an · bn
Elevamento a potenza del quoziente di due numeri:
(a : b)n = an : bn
Esempio 1
Qual è il risultato di (4³ · 28 · 16²)/8?
A 211
B 219
C 218
D 210
E 222
Trasformiamo ciascun termine in potenze della stessa base, ossia 2
4³ = (2²)³= 26; 16² = (24)² = 28; 8 = 2³
(4³ · 28 · 16²)/8 = (26 · 28 · 28)/2³= 26+8+8–3 = 219
Risposta B.
Esempio 2
Se 2k = (4² – 2³)(2³ – 2²), quanto vale k?
A 2
B 4
C 5
D 6
E 9
Primo metodo. Svolgiamo i calcoli all'interno delle parentesi:
(4² – 2³)(2³ – 2²) = (16 – 8)(8 – 4) = 8 · 4 = 32
ed esprimiamo il numero trovato come potenza di 2, ossia 32 = 25: si ricava
2k = 25 → k = 5
Secondo metodo. Applichiamo le proprietà delle potenze e riscriviamo
l'espressione come potenze di 2:
(4² – 2³)(2³ – 2²) = (24 – 2³) (2³ – 2²)
Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione otteniamo:
2³ (2 – 1) · 2² (2 – 1) = 2³ · 2² = 25 = 2k, da cui si ricava k = 5.
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Criteri di divisibilità
Un numero naturale a è divisibile per un numero naturale b non nullo se
l'operazione a : b è esatta, ossia ha resto uguale a zero. Si può dire anche
che a è multiplo di b, oppure b è divisore o sottomultiplo di a.
Un numero naturale maggiore di 1 è un numero primo se è divisibile
soltanto per se stesso e per 1.
Un numero naturale > 1 che non è primo è composto, in questo caso può
essere scomposto nel prodotto di fattori primi, determinando i suoi divisori.
Esistono le seguenti convenzioni:
• il numero 1, per convenzione, non è primo;
• il numero 0 non è primo in quanto ha infiniti divisori;
• l'unico numero pari e primo è il numero 2.
Due o più numeri si dicono primi fra loro se ammettono come unico
divisore comune il numero 1.
Esempio
I numeri che terminano per 1 sono:
A primi
B a volte primi, a volte no
C non sono mai primi
D divisibili per 11
E positivi
Escludiamo subito la risposta E perché anche i numeri negativi possono
finire con 1. Escludiamo l'opzione D, in quanto 11 è divisore solo dei suoi
multipli e non tutti i numeri che terminano con 1 sono multipli di 11, per
esempio 41. Anche l'opzione C risulta errata, infatti ci sono numeri che
terminano per 1 e che sono primi, per esempio: 11, 31 ... . La risposta A
risulta errata poiché, per esempio 21, 51 non sono numeri primi. Unica
risposta corretta risulta essere la B: numeri che hanno come cifra delle unità
uguale a 1 possono essere sia primi che composti.
Ogni numero composto può essere scritto come prodotto di fattori primi.
A meno dell'ordine la scomposizione è unica.
Criteri di divisibilità
• Divisibilità per 2. Un numero è divisibile per 2 se e solo se l'ultima cifra,
ossia la cifra delle unità, è uguale a zero oppure è pari (ossia è uguale a 2,
4, 6, 8).
• Divisibilità per 3. Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma
delle sue cifre è uguale a un multiplo di 3 (ossia 3, 6, 9).
• Divisibilità per 4. Un numero è divisibile per 4 se e solo se le due ultime
cifre sono entrambe uguali a zero oppure formano un multiplo di 4 (ossia
04, 08, 12, 16, ...).
• Divisibilità per 5. Un numero è divisibile per 5 se e solo se la cifra delle
unità è 5 o 0.
• Divisibilità per 9. Un numero è divisibile per 9 se e solo se la somma
delle sue cifre è uguale a un multiplo di 9 (ossia 9, 18, 27, ...).
• Divisibilità per 11. Un numero è divisibile per 11 se e solo se la
differenza fra la somma delle sue cifre di posto pari e la somma delle sue
cifre di posto dispari è uguale a 0, 11 o un multiplo di 11.
• Divisibilità per 10, 100, ... Un numero è divisibile per 10, 100, ... se e
solo se termina con uno zero, due zeri, ecc.
Esempio
Il numero 143 è divisibile per:
A 7
B 3
C non è divisibile per nessun numero
D 5
E 13
Il numero non è pari per cui non è divisibile per 2. Calcoliamo la somma
delle sue cifre: 1 + 4 + 3 = 8, quindi non è divisibile per 3. Non termina per
0 o per 5, per cui non è divisibile per 5. Si può osservare che 140 è
divisibile per 7 (poiché 14 è divisibile per 7), dunque 143 non può essere
anch'esso divisibile per 7, dato che la differenza tra i due numeri è 3. La
differenza fra somma delle cifre di posto pari e posto dispari è 1 + 3 – 4 = 0:
il primo divisore di 143 è perciò 11. Calcoliamo 143 : 11 = 13. I divisori di
143 sono dunque 11 e 13, per cui 143 è divisibile per 13. Risposta E.
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Massimo comun divisore e minimo comune multiplo
Il massimo comun divisore (M.C.D.) di due o più numeri naturali (interi) è
il maggiore fra i divisori comuni a tutti i numeri dati.
Per calcolare il M.C.D. tra due o più numeri naturali si scompongono i
numeri in fattori primi e poi si determina il prodotto dei fattori primi
comuni presi una sola volta con il minimo esponente.
Il prodotto così ottenuto è il M.C.D.
Se i numeri sono primi fra loro, il M.C.D. è 1.
Esempio
Sia n un numero naturale. Sotto quali condizioni è vero che il massimo
comun divisore di n e (n + 2) è diverso da 1?
A Non è mai possibile
B È vero solo se n non è primo
C È vero solo se n è pari
D Qualche volta è possibile, ma non si può stabilire una regola
E Nessuna delle riposte precedenti è vera
Il M.C.D. è uguale a 1 solo se i numeri sono primi fra loro.
I numeri n e (n + 2) possono essere entrambi pari o entrambi dispari, a
seconda che n sia pari o dispari. Se n è pari, allora n e n + 2 hanno almeno il
numero 2 come M.C.D. Pertanto M.C.D. > 1 solo se n è pari.
La risposta corretta è C.
Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri naturali è il
minore fra i multipli comuni a tutti i numeri dati.
Per calcolare il m.c.m. tra due o più numeri naturali si scompongono i
numeri in fattori primi e poi si determina il prodotto dei fattori primi
comuni e non comuni presi una sola volta con il massimo esponente.
Il prodotto così ottenuto è il m.c.m.
Esempio
I valori del massimo comun divisore e del minimo comune multiplo dei
numeri 15, 45 e 105 sono:
A 15 e 105
B 5 e 210
C 15 e 210
D 5 e 420
E 15 e 315
Scomponiamo i tre numeri in fattori primi:
15 = 3 · 5
45 = 3² · 5
105 = 3 · 5 · 7
I fattori comuni sono 3 e 5, per cui M.C.D. (15, 45, 105) = 15
Il m.c.m. (15, 45, 105) = 3² · 5 · 7 = 315.
La risposta corretta è E.
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Frazioni
Una frazione è il quoziente fra due numeri interi a e b, con a e b
appartenenti all'insieme ℤ e b ≠ 0.
La frazione si scrive
, dove a è il numeratore e b è il denominatore.
Se numeratore e denominatore hanno lo stesso segno la frazione è positiva,
se hanno segno discorde la frazione è negativa.
Dalla definizione si deduce che:
Due frazioni
e
sono equivalenti se a · d = b · c e si scrive
.
Proprietà invariantiva: moltiplicando, o dividendo, numeratore o
denominatore di una frazione per un numero diverso da zero, si ha una
frazione equivalente:
a/b = (a · c) / (b · c) e a / b = (a/c) / (b/c).
Una frazione a/b si dice irriducibile o ridotta ai minimi termini se a e b
sono primi fra loro. Per ridurre una frazione ai minimi termini si applica la
proprietà invariantiva dividendo numeratore e denominatore per il M.C.D.
1. Operazioni con le frazioni
Dati due numeri razionali a/b e c/d le operazioni sono così definite:
• addizione:
dove b · d è il minimo comune multiplo fra i denominatori (detto anche
minimo comune denominatore, m.c.d.)
• moltiplicazione:
Esempio
Qual è la maggiore delle seguenti frazioni?
A 6/5
B 3/5
C 4/3
D 2/7
E 2/3
Primo metodo. Possiamo banalmente eseguire la divisione fra numeratore e
denominatore:
A: 6/5 = 1,2; B: 3/5 = 0,6; C: 4/3 = 1,33; D: 2/7 = 0,29; E. 2/3 = 0, 66.
Disponendo in ordine crescente otteniamo: 0,29; 0,6; 0, 66; 1,2; 1,33 →
2/7, 3/5, 6/5, 4/3. Perciò la risposta corretta è C.
Secondo metodo. Si può osservare che solo le frazioni A e C sono maggiori
di 1, in quanto hanno numeratore maggiore del denominatore. Si possono
così scartare le opzioni B, D ed E che sono < 1.
Facendo il confronto fra 6/5 e 4/3 si ricava: m.c.d. (3, 5) = 15, da cui: 6/5 =
18/15; 4/3 = 20/15 → → 20 > 18.
L'opposto di
b ≠ 0).
è
(da cui si deduce che
Il reciproco di
è
(da cui si deduce che
b ≠ 0).
Si possono quindi definire sottrazione e divisione:
• sottrazione:
• divisione:
, con
, con a ≠ 0 e
Per eseguire le operazioni si adottano le stesse regole viste nella scheda
sulle operazioni di base.
Esempio
Per quale coppia di numeri m e n il rapporto m/n è uguale a 9/1?
A 9, 1/9
B 18, 1/9
C 3, 1/3
D 1/9, 9
E 1/3, 3
Il rapporto fra due numeri è uguale alla divisione del primo numero per il
secondo, che nel caso di un numero frazionario diventa il prodotto per il
reciproco.
A 9 : (1/9) = 9 · 9 = 81.
B 18 : (1/9) = 18 · 9.
C 3 : (1/3) = 3 · 3 = 9 = 9/1, risposta corretta.
D (1/9) : 9 = (1/9) · (1/9) = 1/81.
E (1/3) : 3= (1/3) · (1/3) = 1/9.
2. Elevamento a potenza
La potenza n-esima di un numero razionale
da
, con n ∈ ℕ e n > 0, è dato
Le proprietà delle potenze sono le stesse viste in precedenza e valgono
anche le stesse regole relative ai segni.
Ampliamo il concetto di potenza considerando la potenza n-esima di un
numero relativo a ≠ 0 con esponente intero negativo:
Esempio
La metà di (1/2)50 è uguale a:
A (1/4)50
B (1/2)25
C (1/2)49
D (1/4)25
E (1/2)51
Trovare la metà di un numero significa dividere il numero per 2, che
equivale a moltiplicare il numero per 1/2: (1/2)50 : 2 → (1/2)50 · 1/2 →
(1/2)50+1 = (1/2)51. Risposta E.
Si può anche procedere utilizzando la scrittura 1/an = a–n → (1/2)50 = 2–50.
Allora 2–50 : 2 = 2–50–1 = 2–51 = (1/2)51
3. Numeri decimali
Il valore di una frazione può essere espresso eseguendo la divisione tra
numeratore e denominatore. Il quoziente ottenuto può essere:
• un numero intero se il numeratore è multiplo del denominatore;
• un numero decimale finito, cioè un numero che presenta dopo la virgola
un numero finito di cifre;
• un numero decimale illimitato periodico (chiamato semplicemente
numero periodico).
Esempio
Il prodotto 82,66 · 42,57 è uguale a:
A 3518,8366
B 3518,8364
C 3518,8368
D 3518,8362
E 3518,8363
Senza una calcolatrice è possibile rispondere al quesito notando che i
risultati delle varie opzioni differiscono solo per l'ultima cifra decimale. I
due fattori della moltiplicazione terminano il primo con un 6 e il secondo
con un 7. Dato che 6 · 7 = 42, il prodotto dei due numeri dovrà
necessariamente terminare con ultima cifra decimale uguale a 2. Unica
risposta possibile è la D: 3518,8362.
Una frazione che ha come denominatore una potenza di 10, con esponente
maggiore di zero, si chiama frazione decimale, e il numero decimale
corrispondente si ottiene spostando a sinistra la virgola:
a/10 = 0,a b/100= 0,0b c/1000 = 0,00c
Una frazione ridotta ai minimi termini genera un numero decimale finito
solo se i fattori primi del denominatore sono potenze di 2 e di 5.
Una frazione con denominatore uguale a 100 può anche essere espressa
utilizzando la notaziope percentuale (con simbolo %, che significa ×1/100:
si veda scheda Percentuale nel capitolo Statistica).
Quando i fattori primi del denominatore di una frazione (ridotta ai minimi
termini) non sono potenze di 2 e di 5, il risultato è un numero decimale
illimitato periodico, ovvero un numero che dopo la virgola presenta un
gruppo di cifre, dette periodo, che si ripetono indefinitamente. Il periodo si
scrive una sola volta soprassegnato:
.
Le cifre comprese tra la virgola e il periodo sono dette antiperiodo:
, dove bcd è l'antiperiodo.
4. Frazione generatrice
È possibile trasformare un numero decimale nella frazione dalla quale
discende; la frazione ottenuta è detta frazione generatrice.
Se il numero decimale è limitato, la frazione generatrice è ottenuta
scrivendo al numeratore il numero e al denominatore la cifra 1 seguita da
tanti zeri quante sono le cifre decimali:
0,a = a/10
0,0b = b/100
Si può poi, se necessario, ridurre la frazione ai minimi termini,
semplificandola.
Per ricavare la frazione generatrice di un numero decimale periodico si
applica la seguente regola:
• il numeratore è uguale alla differenza tra il numero intero che si ottiene
togliendo la virgola e il numero intero che si ottiene togliendo le cifre del
periodo;
• il denominatore è composto da tanti nove quante sono le cifre del periodo
e tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo:
Per esempio:
E, nel caso il numero presenti un antiperiodo:
Per esempio:
Esempio
Quale dei seguenti numeri è compreso tra
<x<
?
A 1/9
B 2/3
C 4/9
D 5/9
E 5/18
Poiché i risultati sono espressi tutti in forma di frazione, trasformiamo i
numeri periodici nelle frazioni generatrici corrispondenti.
Il numero deve perciò essere compreso nell'intervallo 2/9 < x < 3/9.
Possiamo scartare C e D perché 4/9 > 3/9 e 5/9 > 3/9. Possiamo scartare A
perché 1/9 < 2/9.
Consideriamo l'opzione B: 2/3 = 6/9 > 3/9, risposta sbagliata.
La risposta corretta perciò è E. Possiamo verificare trasformando le frazioni
2/9 e 3/9 in frazioni equivalenti con denominatore 18:
2/9 = 4/18 e 3/9 = 6/18,
da cui 4/18 < 5/18 < 6/18.
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Radicali
Si dice radice n-esima di un numero reale a quel numero b che elevato a n
dà come risultato a.
In simboli
con n ∈ ℕ, n ≥ 2.
Il numero n è l'indice, a è l'argomento della radice o radicando.
Dalla definizione si ricava che:
• La radice di indice 0:
è priva di significato.
• La radice di indice 1 equivale all'argomento:
.
• La radice con argomento nullo è nulla:
.
• La radice con indice uguale all'esponente del radicando è pari
all'argomento
.
Se la radice ha indice 2 si chiama radice quadrata, se l'indice è 3 si chiama
radice cubica.
A seconda che l'indice della radice sia pari o dispari è necessario porre le
condizioni di esistenza per l'argomento della radice:
• se l'indice n è dispari
è definita per qualsiasi valore di n ∈ ℝ; inoltre
è negativa se a < 0, positiva se a > 0, nulla se a = 0;
• se l'indice n è pari
è definita solo per i valori di a ≥ 0; inoltre è nulla
se a = 0, positiva in tutti gli altri casi.
Esempio
Trova la scrittura errata:
A
B
C
D
E
Per determinare quale scrittura è errata è necessario verificare se bn = a.
A 13² = 169.
B 8² = 64.
C 16² = 256.
D 4² = 16 ≠ 8 perciò la scrittura è errata: questa è la risposta corretta.
E 9² = 81.
Per i radicali vale la proprietà invariantiva: il valore di un radicale non
cambia se si moltiplica o divide per uno stesso numero diverso da zero sia
l'indice sia l'esponente del radicando.
Con n, m, r ∈ ℕ, m ≠ 0, n ≠ 0, r ≠ 0, e a numero reale.
Applicando la proprietà invariantiva è possibile eseguire le seguenti
operazioni di semplificazione.
Semplificazione dei radicali
• si scompone il radicando
• si determinano le eventuali condizioni di esistenza
• si calcola il M.C.D. tra l'indice e gli esponenti
• si dividono indici ed esponenti per M.C.D.
Riduzione di più radicali allo stesso indice
• si semplificano se possibili i radicali
• si determinano le eventuali condizioni di esistenza
• si calcola il m.c.m. degli indici
• si riscrivono i radicali tutti con lo stesso indice uguale al m.c.m., e si
moltiplica contemporaneamente l'esponente di ciascun radicando per il
quoziente tra il nuovo indice e l'indice originario.
Esempio
I radicali
A
B
C
, ridotti allo stesso indice sono uguali a:
D
E
Si può notare che il secondo radicale si può semplificare, mentre il primo e
il terzo si possono trasformare in potenze di numeri primi.
M.C.D. (3,9) = 3.
Dividendo indice ed esponente per 3 si ottiene
Riscriviamo gli altri due radicali
.
Il m.c.m. tra gli indici dei radicali è: m.c.m. (2, 3, 5) = 30.
Riscrivendo tutti i radicali con indice 30, ed elevando in modo opportuno
gli esponenti si ricava:
La risposta corretta è B.
1. Operazioni con i radicali
Moltiplicazione e divisione
Il prodotto o il quoziente di due radicali (nel caso della divisione il divisore
deve essere non nullo) con lo stesso indice è il radicale con lo stesso indice
che ha per radicando il prodotto o il quoziente dei radicandi:
Esempio
L'espressione
equivale a:
A
B
C
D
E
L'espressione contiene moltiplicazioni e divisioni di radicali con indici
diversi. Riduciamo quindi tutti i radicali allo stesso indice, calcolando il
minimo comune multiplo.
m.c.m. (2,3,4) = 12
L'espressione diventa:
Semplifichiamo il radicale dividendo indice ed esponente del radicando per
il M.C.D.
M.C.D. (8, 12) = 4
Elevamento a potenza
Per la proprietà invariantiva vista prima, per elevare a potenza un radicale
basta elevare a potenza il radicando ed eventualmente semplificare il
risultato ottenuto:
Trasporto di un fattore sotto il segno di radice
• Se a ≥ 0, si può trasportare il fattore dentro il segno di radice dopo averlo
elevato all'indice della radice:
• Se a < 0 si può trasportare dentro il segno di radice l'opposto del fattore,
elevato all'indice della radice, mettendo il segno – davanti al radicale:
Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice
L'operazione si può eseguire solo se l'esponente del fattore è un multiplo
dell'indice.
Prima di trasportare fuori dalla radice un fattore, è necessario scomporre il
fattore, porre le condizioni di esistenza del radicando, considerare
l'eventuale valore assoluto del fattore, per mantenere la positività del
radicale.
Esempio
Se x è un qualsiasi numero reale non nullo, quale delle seguenti uguaglianze
è vera?
A
B
C
D
E
Per verificare l'uguaglianza è necessario trasportare fuori dalla radice un
fattore.
Raccogliendo x² nel radicando, si ricava
.
Il fattore x² ha lo stesso indice della radice, per cui possiamo trasportarlo
fuori. Non dobbiamo porre alcuna condizione di esistenza, in quanto x > 0 e
dunque x² è sempre positivo. Pertanto
Risposta D.
.
Addizione
Due radicali sono simili se hanno lo stesso indice e lo stesso radicando; due
radicali simili possono differire solo per il coefficiente del radicale.
Si può eseguire l'addizione solo fra radicali simili e la somma algebrica di
due radicali è il radicale simile agli addendi, che ha come coefficiente la
somma algebrica dei coefficienti. Per effettuare l'addizione tra due radicali
simili è necessario scomporli fino a evidenziare i termini simili.
Esempio
Quanto vale
?
A
B
C
D
E
I due radicali non sono simili per cui non si possono sommare. Si possono
però scomporre, e cercare se esiste un radicale simile:
Risposta D.
Razionalizzazione dei denominatori
Frazioni in cui compaiono radicali al denominatore possono essere
trasformate in frazioni in cui i radicali compaiono solo al numeratore.
Questa operazione, detta razionalizzazione, si esegue applicando la
proprietà invariantiva. Si possono presentare i seguenti casi:
• il denominatore è una radice quadrata:
• il denominatore è una radice n-esima:
• il denominatore è la somma o la differenza tra radicali quadratici:
• il denominatore è la somma o la differenza tra un numero e un radicale
quadratico:
Esempio
Razionalizzando il denominatore della frazione
si ottiene:
A
B
C
D
E
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per
.
Risposta B.
I radicali come potenze
La potenza di un numero reale a con esponente razionale m/n è uguale al
radicale che ha come indice il denominatore dell'esponente e come
radicando il numero reale am.
con m e n ∈ ℕ, m ≠ 0 e n ≠ 0.
Da questa definizione si ricava che:
• se m = 0 si ha il caso degenere a0 = 1.
• se m/n < 0 e a ≠ 0, ricordando quanto detto nella scheda sulle frazioni, si
ha
Anche per le potenze con esponente razionale valgono le proprietà viste in
precedenza per le potenze con esponente intero.
Esempio
Sia a un numero reale positivo. Allora l'espressione
è uguale a:
–1/2
A a
B a–7/2
C a–2
D 1/a
E 1
Riscriviamo l'argomento sotto radice utilizzando la notazione delle potenze:
Applicando le proprietà delle potenze si ricava:
In conclusione, riportando sotto radice il termine:
In modo analogo, il termine
Risposta A.
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alla destra dell'uguale si può scrivere:
Logaritmi
Si dice logaritmo in base a di un numero reale b, detto argomento,
l'esponente c che si deve dare ad a per ottenere b:
c = loga b → ac = b
Dalla definizione di logaritmo discende che:
• a deve essere positivo e diverso da zero: a > 0 e a ≠ 1
• b, in quanto risultato di una potenza con base positiva deve essere
maggiore di zero: b > 0
• c, in quanto esponente da dare ad a per ottenere b può essere positivo,
negativo o nullo.
Valgono le seguenti relazioni:
1. alogab = b poiché logab è l'esponente che si deve attribuire ad a per
avere b
2. loga = 1 infatti a1 = a
0
3. loga1 = 0 infatti a = 1
4. logaak = k
Ogni numero reale positivo diverso da zero può essere base del logaritmo.
Esiste una relazione che lega logaritmi in basi diverse:
Tuttavia le due basi utilizzate più comunemente sono la base 10 (i logaritmi
decimali si indicano con le notazioni loga oppure log10a o Loga) e la base e
(i logaritmi naturali si indicano con lna, e la quantità e – numero di Nepero
– è un numero irrazionale trascendente: e = 2,71828...).
L'addizione e la sottrazione sono possibili unicamente tra logaritmi con la
stessa base.
1. Proprietà dei logaritmi
Esempio
Calcolare: log216 – log2(0,25) – 2log232
A 0
B 8
C –4
D 9
E 4
I logaritmi hanno tutti la stessa base per cui è possibile sommarli fra loro.
Riscriviamo ciascun logaritmo semplificandolo, utilizzando le proprietà dei
logaritmi:
log216 = log224 = 4 log22 = 4 (ricordando che log22 = 1)
–log2(0,25) = –log2(1/4) = –log2(2–2) = 2 log22 = 2
–2log232 = –2log225 = 5(–2 log22) = –10 log22 = –10
L'espressione diventa: 4 + 2 – 10 = –4. Risposta C.
1. Il logaritmo del prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma dei
logaritmi dei fattori:
loga(b·c) = logab + logac
2. Il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla
differenza fra il logaritmo del dividendo e quello del divisore:
loga(b/c) = logab – logac
Caso particolare:
loga(1/b) = loga1 – logab = 0 – loga b = –loga b
Esempio
log(5 – 3/2) è equivalente a:
A log5 + log3 – log2
B log7 – log2
C log5 – log(3/2)
D log(–15/2)
E log(2) – log(1/2)
Prima si sommano gli elementi dell'argomento, poi si applica la proprietà
dei logaritmi relativa alla differenza di due logaritmi aventi la stessa base
. Risposta B.
3. Il logaritmo della potenza di un numero positivo è uguale al prodotto
fra l'esponente della potenza e il logaritmo del numero
logabk = klogab
Casi particolari:
logaak = kloga = k
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Proporzioni e proporzionalità diretta e inversa
1. Proporzioni
Quattro variabili si dicono in proporzione e si scrive a : b = c : d se vale la seguente uguaglianza
dove k è il rapporto di proporzionalità.
Nella proporzione:
• a e c sono detti antecedenti
• b e d sono detti conseguenti
• b e c sono detti medi
• a e c sono detti estremi
Le proporzioni godono delle seguenti proprietà:
• proprietà dell'invertire: b : a = d : c
• proprietà del comporre: (a + b) : a = (c + d) : c e (a + b) : b = (c + d) : d
• proprietà dello scomporre:
(a – b) : a = (c – d) : c se a > b e c > d
(a – b) : b = (c – d) : d se a > b e c > d
• proprietà del permutare i medi: a : c = b : d
• proprietà del permutare gli estremi: d : b = c : a
Esempio
Tre amici ricevono complessivamente € 36 da suddividere tra di loro nelle seguenti proporzioni
2:3:7. Qual è la differenza tra l'ammontare più grande e quello più piccolo ricevuto dai tre amici?
A € 15
B €3
C €6
D €9
E € 12
Utilizzando la proprietà del comporre possiamo impostare la proporzione in questo modo: (2 + 3 + 7)
: 36 = 2 : x1, da cui si ricava: x1 = (36 · 2)/12 = 3 · 2 = 6. Pertanto x2 = 3 · 3 = 9, x3 = 3 · 7 = 21. La
differenza fra x3 e x1 è 15. Risposta A.
2. Proporzionalità diretta e inversa
Due grandezze variabili omogenee x e y sono direttamente proporzionali
se se il loro rapporto è un valore costante k.
x/y = k → y = kx
La funzione y = kx rappresenta l'equazione della funzione proporzionalità
diretta. Il suo grafico è una retta passante per l'origine degli assi.
Due grandezze variabili omogenee x e y sono inversamente proporzionali
se se il loro prodotto è un valore costante k.
xy = k → y = k/x
La funzione y = k/x rappresenta l'equazione della funzione proporzionalità
inversa. Il suo grafico è un'iperbole equilatera che ha gli assi come asintoti.
Esempio
Date due variabili x = 3 e y = –1 tra loro inversamente proporzionali, quali
delle seguenti affermazioni è errata?
A se x = 6, allora y = –1/2
B k = –1/3
C k = –3
D se x > 0, allora y < 0
E il grafico della funzione è nel secondo e quarto quadrante
Determiniamo per prima cosa il coefficiente di proporzionalità k = x · y = –
3.
Osservando le risposte si verifica che se k = –3, non può essere k = –1/3,
pertanto la risposta errata è C.
Esaminiamo le altre opzioni. A: 6 · (–1/2) = 3, x e y sono inversamente
proporzionali.
D: k < 0, pertanto x e y devono essere discordi, quindi se x > 0, allora y < 0
e viceversa.
E: Nel piano cartesiano i punti del secondo e quarto quadrante hanno
ascissa e ordinata discordi, soddisfano perciò la relazione esposta
nell'opzione D.
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Progressioni aritmetiche e geometriche
1. Progressione aritmetica
Una successione numerica è una sequenza di tre o più numeri, scritti
secondo un ordine dato.
Gli elementi della successione sono chiamati termini, e si indicano
generalmente con
a1, a2, a3, a4... an...
Una progressione aritmetica è una successione di numeri reali tali che la
differenza fra ciascun termine, escluso il primo, con il suo precedente sia
costante. Tale differenza si chiama ragione: d = an – an–1
La progressione aritmetica gode delle seguenti proprietà.
1. Ogni termine, escluso il primo, si ottiene dal precedente aggiungendo la
ragione d: an = an–1 + d.
2. Il termine n-esimo si ottiene aggiungendo al primo termine il prodotto
della ragione per il numero dei termini che lo precedono: an = a1 + (n – 1)
d.
3. In una progressione aritmetica finita la somma di due termini equidistanti
dagli estremi è costante e uguale alla somma dei termini estremi: a1 + an =
ai + an–i+1.
4. La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è uguale
alla semisomma dei termini estremi moltiplicata per il numero dei termini S
= n · (a1 + an)/2.
Esempio
Indica la somma dei primi 50 numeri dispari:
A 500
B 2500
C 3500
D 4500
E 6500
Per calcolare la somma dei 50 numeri dispari possiamo utilizzare la
proprietà espressa dalla formula: S = n · (a1 + an)/2, dove a1 = 1 e n = 50.
Per ricavare il termine a50 della progressione, utilizziamo la proprietà per
cui: an = a1 + (n – 1) d; poiché la successione è formata da numeri dispari,
la ragione è d = 2, quindi: a50 = 1 + (50 – 1) · 2 = 99.
Sostituendo i dati trovati si ha: S = 50 · (1+99) / 2} = 2500. Risposta B.
2. Progressione geometrica
Una progressione geometrica è una successione di numeri reali tali che sia
costante il rapporto fra un termine successivo al primo e il suo precedente.
Tale rapporto si chiama ragione: q = an/an–1.
La progressione geometrica gode delle seguenti proprietà.
1. Ogni termine, escluso il primo, si ottiene dal precedente moltiplicando
per la ragione q: an = an–1 · q.
2. Il termine n-esimo si ottiene moltiplicando il primo termine per la
potenza (n–1)-esima della ragione: an = a1 · qn–1. Se si conoscono due
termini as e ar con s > r, si ha che il termine: as = ar · qs–r.
3. In una progressione geometrica finita il prodotto di due termini
equidistanti dagli estremi è costante e uguale al prodotto dei termini
estremi: a1 · an = ai · an–i+1.
4. La somma dei primi n termini di una progressione geometrica è data da:
S = a1 · (1 – qn)/(1 – q).
5. Il prodotto dei primi n termini di una progressione geometrica è data da:
.
Esempio
In una progressione geometrica il primo elemento è 2 e il sesto è 0,0625. Il
quinto valore della progressione è:
A 0,125
B 0,0125
C 0,5
D 0,05
E nessuno dei valori precedenti è corretto
Il primo termine e il termine n-esimo di una progressione geometrica sono
legati tra loro dalla relazione an = a1 · qn–1. Da questa relazione possiamo
ricavare la ragione
. Con i dati forniti calcolare la radice
quinta di un numero decimale fratto 2 non è cosa agevole.
Affrontiamo il problema in altro modo: sappiamo che n = 6, a1 = 2, a6 =
0,0625. La progressione geometrica è decrescente, in quanto il sesto
termine è minore del primo. Inoltre è un numero decimale. Possiamo
pensare che sia la successione di potenze decrescenti di 2, ossia potenze di
2 con esponente negativo. Verifichiamo qual è il valore di alcune potenze di
2:
2–1 = 1/2 = 0,5
2–2 = 1/4 = 0,25
Poiché 625 = 54, da questi risultati possiamo dedurre che 0,0625 = 2–4. La
progressione geometrica è una successione di potenze, per cui la ragione è
uguale a: an/an–1 = a.
Calcoliamo q = (2–2)/(2–1) = 1/2.
Determiniamo il valore di a5 = a1 · q5–1:
a5 = 2 (1/2)5–1 = (1/2)³ = 0,125.
Risposta A.
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Algebra
Il termine algebra deriva dall'arabo al-jabr, che significa “ricostruzione” o
“riduzione” (con riferimento al trasporto di un termine da un membro
all'altro di un'equazione) e fu introdotto per la prima volta nel IX secolo,
come titolo del trattato scritto dal matematico persiano al-Khuvarizmi (dal
cui nome latinizzato deriva anche il termine “algoritmo”).
L'algebra classica estende le operazioni aritmetiche tramite l'introduzione
di oggetti simbolici, le variabili, e consiste nel calcolo letterale e nella
teoria di soluzione delle equazioni, già nota ai babilonesi nel XX secolo
a.C. e giunta alla sua formulazione moderna all'inizio del XVIII secolo con
Gauss, Ruffini e Abel, che dimostrarono l'impossibilità di esprimere le
soluzioni di equazioni di grado superiore al quarto solo con radicali o con
funzioni razionali dei coefficienti.
In questa sezione vengono trattati solamente i concetti di base del calcolo
letterale, introducendo monomi, polinomi e frazioni algebriche e i metodi
di semplificazione delle espressioni. I concetti più avanzati dell'algebra
classica, come le equazioni, le disequzioni e i sistemi verranno trattati in
sezioni dedicate.
Gli argomenti trattati all'interno della sezione sono i seguenti:
• Monomi
• Polinomi:
– addizione e moltiplicazione
– prodotti notevoli
– scomposizione per raccoglimento
– scomposizione con i prodotti notevoli
– divisione
– M.C.D. e m.c.m.
• Frazioni algebriche
Monomi
1. Definizioni
Un monomio è un'espressione algebrica composta dal prodotto di un fattore
numerico per uno o più fattori letterali, con esponenti naturali.
Il fattore numerico è il coefficiente, l'insieme dei fattori letterali è la parte
letterale.
Il grado del monomio è uguale alla somma degli esponenti delle lettere
presenti nella parte letterale.
Esempio
Individua il grado del monomio seguente: x³yz4
A 4
B 7
C 8
D 12
E 9
Quando non è indicato alcun esponente, si sottintende che l'esponente sia
uguale a 1. Pertanto x ha esponente 3, y ha esponente 1 e z ha esponente 4.
Il grado del monomio considerato è 3 + 1 + 4 = 8. Risposta C.
• Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale.
• Due monomi sono uguali se sono simili e hanno lo stesso coefficiente.
• Due monomi sono opposti se sono simili e hanno coefficienti opposti.
2. Le operazioni fra monomi
Moltiplicazione
Il prodotto di due o più monomi è un monomio che ha come coefficiente il
prodotto dei coefficienti e come parte letterale il prodotto dei fattori
letterali.
Per determinare il prodotto dei fattori letterali che compaiono nel monomio
si utilizzano le proprietà delle potenze.
Esempio
Il prodotto dei monomi –2xy e 1/2 y è:
A 4xy²
B xy²
C –2xy
D –xy²
E –2x
Il prodotto dei coefficienti è uguale a : –2 · 1/2 = –1.
Il prodotto della parte letterale è uguale a: xy · y = xy².
Il prodotto dei due monomi è uguale a –xy². Risposta D.
Potenza
La potenza n-esima di un monomio è un monomio che ha come
coefficiente la potenza n-esima del coefficiente e come parte letterale la
potenza n-esima dei fattori letterali.
Per determinare la potenza n-esima del monomio si utilizzano le proprietà
delle potenze.
Esempio
La potenza del monomio (–3x²y)³ è
A 27x6y³
B –27x6y³
C –9x6y³
D –27x5y4
E 27x5y4
Per elevare a potenza il monomio si utilizza la proprietà della potenza (am)n
= am · n.
Un monomio con segno negativo che ha come esponente un numero
dispari, ha come risultato un monomio negativo. Se eleviamo ciascun
fattore del monomio alla terza si ottiene: –3³ = –27; (x²)³ = x6; (y)³ = y³. La
risposta corretta è B.
Divisione
Il quoziente di due monomi, se esiste, è un monomio che ha come
coefficiente il quoziente dei coefficienti e come parte letterale il quoziente
dei fattori letterali.
Per determinare la divisione fra monomi si applicano le proprietà delle
potenze.
Esempio
La divisione tra i monomi 2x³y e –2/3xy è
A –3x²
B 4/3x²
C 3x²
D –3x²y
E –4/3xy
La divisione dei coefficienti è uguale a: 2/(–2/3) = 2 · (–3/2) = –3.
Calcoliamo separatamente la divisione delle singole lettere che compaiono
nel monomio, applicando le proprietà delle potenze:
x³/x = x3–1 = x²
y/y = y1–1 = 1
La divisione fra i due monomi è uguale a –3x². Risposta A.
Addizione algebrica
La somma di due o più monomi simili è un monomio simile ai monomi
addendi, che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti dei
monomi addendi.
• L'addizione può essere eseguita solo tra monomi simili.
• La somma algebrica di due monomi opposti è uguale a 0.
La differenza fra due monomi simili si ottiene eseguendo l'addizione di un
monomio con l'opposto dell'altro.
Esempio
L'espressione 2ab + 1/3 xy² – ab (–4/3) xy² equivale a:
A ab + 5/3xy²
B ab + xy²
C ab – xy²
D –3xy²
E –ab – 4/3xy
Poiché è possibile eseguire le operazioni di addizione e sottrazione solo con
monomi simili, si individuano i monomi simili, che sono:
2ab e –ab; 1/3 xy² e (–4/3)xy².
Eseguiamo la somma algebrica.
2ab – ab = ab
1/3 xy² + (–4/3)xy² = (1/3 – 4/3) xy² = –xy²
L'espressione equivale a: ab – xy². Risposta C.
3. M.C.D. e m.c.m.
Tra due o più monomi è possibile calcolare il massimo comun divisore
(M.C.D.) e il minimo comune multiplo (m.c.m.).
Il M.C.D. di due o più monomi è il monomio che tra tutti i divisori comuni
ai monomi dati ha il grado più alto.
Il coefficiente del massimo comune divisore è:
• uguale al M.C.D. dei coefficienti di ciascun monomio, presi con il segno
positivo, se tutti hanno come coefficiente numeri interi;
• uguale a 1 per convenzione in tutti gli altri casi.
La parte letterale è composta da tutti i fattori letterali comuni ai monomi,
presi una sola volta con il minimo esponente.
Esempio
Il massimo comun divisore dei monomi 1/3 ax²y³; –6x³y4; –abx²y³ è:
A x³y4
B –x²y³
C axy²
D x²y³
E 2 x²y³
Analizziamo i coefficienti: 1/3, –6, –1 non sono tutti numeri interi. Il
coefficiente del M.C.D. è perciò uguale a 1.
Consideriamo la parte letterale:
ax²y³; x³y4; abx²y³; le lettere comuni a tutti e tre i monomi sono x e y:
• x è comune a tutti e tre i monomi con l'esponente minimo uguale a 2: x² è
il fattore comune.
• y è comune a tutti e tre i monomi con l'esponente minimo uguale a 3: y³ è
il fattore comune.
Pertanto il M.C.D. è x²y³. Risposta D.
Il m.c.m. di due o più monomi è il monomio di grado più basso, che è
divisibile per ognuno dei monomi dati.
Il coefficiente del minimo comune multiplo è
• uguale al m.c.m. dei coefficienti di tutti i monomi, preso con il segno
positivo, se tutti hanno come coefficiente numeri interi;
• uguale a 1 per convenzione in tutti gli altri casi.
La parte letterale è composta da tutti i fattori letterali comuni e non comuni
ai monomi, presi una sola volta con il massimo esponente.
Esempio
Il minimo comune multiplo dei monomi 4 x²y; –3 ax³; 6 y³ è:
A ax5y4
B –x³y³
C 12ax³y³
D ax³y³
E –12ax³y³
Analizziamo i coefficienti: sono tutti numeri interi; calcoliamo allora il
m.c.m. dei coefficienti presi con il segno positivo: m.c.m. (4, 3, 6) = 12
Consideriamo la parte letterale:
x²y; ax³; y³; le lettere comuni e non comuni a tutti e tre i monomi
sono a, x e y:
• l'esponente massimo di a è 1.
• l'esponente massimo di x è 3: x³.
• l'esponente massimo di y è 3: y³.
Pertanto il m.c.m. è: 12ax³y³. Risposta C.
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Polinomi (1): addizione e moltiplicazione
1. Definizioni
Un polinomio è un'espressione algebrica data dalla somma algebrica di due
o più monomi non simili. I monomi che lo compongono sono detti termini
del polinomio.
Dato un polinomio P, il suo opposto –P è il polinomio che ha come termini
i monomi opposti che costituiscono P.
Il grado di un polinomio è il grado del monomio che ha grado maggiore.
Un polinomio costituito da due monomi è detto binomio.
2. Addizione algebrica
La somma di due o più polinomi si ottiene scrivendo di seguito tutti i
termini dei polinomi, ciascuno con il proprio segno, e riducendo i termini
simili.
La differenza di due polinomi si ottiene addizionando al primo polinomio
l'opposto del secondo.
Esempio
La differenza fra (5a + 3ab + 2b) e (8b – 2ab + 3a) è:
A –2a – 5ab + 6b
B 8a + ab + 10b
C 2a + 5ab – 6b
D 8a + 5ab + 6b
E –2a + ab + 10b
Si deve sommare al primo polinomio l'opposto del secondo, ossia:
(5a + 3ab + 2b) – (8b – 2ab + 3a)
Svolgendo i calcoli si ottiene:
5a + 3ab + 2b – 8b + 2ab – 3a
Sommando fra loro i monomi simili si ha: 2a + 5ab – 6b.
Risposta C.
3. Moltiplicazione di un monomio per un polinomio
Il prodotto di un polinomio per un monomio è il polinomio uguale alla
somma algebrica dei termini ottenuti moltiplicando ciascun termine del
polinomio dato per il monomio.
L'operazione si esegue applicando la proprietà distributiva.
Esempio
Il prodotto di (x³ + 2x² – 2x + 4) per (–3x) è uguale a:
A +3x4 + 6x³ + 6x² – 12
B +3x4 + 6x³ – 6x² + 12x
C –3x4 + 6x³ – 6x² – 12x
D –3x4 – 6x³ + 6x² – 12x
E –3x³ – 6x² + 6x – 12
Applichiamo la proprietà distributiva e moltiplichiamo ogni termine del
polinomio per il monomio (–3x), prestando attenzione ai segni:
(–3x)(x³) + (–3x)(2x²) + (–3x)(–2x) + (–3x)(+4) = –3x4 – 6x³ + 6x² –
12x.
Risposta D.
4. Moltiplicazione di due polinomi
Il prodotto di due polinomi è il polinomio uguale alla somma algebrica dei
termini ottenuti moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per
ciascun termine del secondo polinomio.
Anche in questo caso si deve applicare la proprietà distributiva facendo
attenzione a eseguire la moltiplicazione secondo un ordine preciso per non
omettere alcun termine.
Esempio
Il prodotto dei due polinomi (2x + 3y + z) (3x – 2y) è uguale a:
A 6x² + 5xy – 6y² + 3xz – 2yz
B 6x² + 13xy – 6y² + 3xz – 2yz
C 6x² + 5xy + 6y² + 3xz + 2yz
D 6x² – 5xy + 6y² – 3xz + 2yz
E 6x² – 13xy + 6y² + 3xz – 2yz
Applicando la proprietà distributiva, moltiplichiamo ciascun monomio del
primo polinomio per ciascun monomio del secondo (che è un binomio)
2x(3x) + 2x(–2y) + 3y(3x) + 3y(–2y) + z(3x) + z(–2y)
Svolgendo le moltiplicazioni si ottiene:
6x² – 4xy + 9xy – 6y² + 3xz – 2yz
Riducendo i monomi simili si ottiene: 6x² + 5xy – 6y² + 3xz – 2yz
Risposta A.
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Polinomi (2): prodotti notevoli
La moltiplicazione fra particolari polinomi permette di individuare regole
che rendono il calcolo più semplice. Queste moltiplicazioni prendono il
nome di prodotti notevoli.
1. Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza
Il prodotto di due binomi (a – b) (a + b) è uguale alla differenza fra il
quadrato di a e il quadrato di b.
(a – b) (a + b) = a² – b²
2. Quadrato di un binomio
Il quadrato di un binomio (a + b) è un trinomio formato dal quadrato di a,
più il doppio prodotto di a e b, più il quadrato di b.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Esempio
Indicare quale dei seguenti polinomi è lo sviluppo di (4a – 3b)²:
A 16a² + 9b²
B 16a² – 9b²
C 16a² + 12ab + b²
D 16a² – 24ab + 9b²
E 16a² + 24ab + 9b²
Si chiede di elevare al quadrato un binomio. I due termini del binomio sono
rispettivamente 4a e –3b.
Scriviamo per esteso tutti i termini del prodotto notevole:
• quadrato del primo termine: (4a)² = 16a²
• doppio prodotto del primo per il secondo: 2(4a) (–3b) = –24ab
• quadrato del secondo termine: (–3b)² = 9b²
Confrontiamo con le risposte: In A e B manca il doppio prodotto. In C il
quadrato di b è errato.
D è la risposta corretta. In E il doppio prodotto ha segno positivo invece che
negativo.
3. Quadrato di un trinomio
Il quadrato di un trinomio (a + b + c) è un polinomio formato dalla somma
dei quadrati di a, b, c, più il doppio prodotto di ciascun termine per gli altri
due.
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Esempio
Indicare quale dei seguenti polinomi è lo sviluppo di (2x – 3xy + 2y)²:
A 4x² + 9x²y² + 4y² – 12x²y + 8x²y² + 12xy²
B 4x² + 9x²y² + 4y² + 12x²y – 8xy + 12xy²
C 4x² + 9x²y² + 4y² – 12x²y + 8xy – 12xy²
D 4x² + 9x²y² + 4y² + 12x²y + 8xy + 12xy²
E 4x² + 9x²y² + 4y² – 12x²y – 8xy – 12xy²
Applichiamo la formula del quadrato di un trinomio ai monomi a = 2x, b =
–3xy, c = 2y:
(2x)² + (–3xy)² + (2y)² + 2 (2x)(–3xy) + 2 (2x)(2y) + 2(–3xy)(2y)
→
→ 4x² + 9x²y² + 4y² – 12x²y + 8xy – 12xy².
Risposta corretta: C.
4. Cubo di un binomio
Il cubo di un binomio (a + b) è un quadrinomio formato dal cubo di a, più il
triplo prodotto di a al quadrato per b, più il triplo prodotto di b al quadrato
per a, più il cubo di b.
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Esempio
Indicare quale dei seguenti polinomi è lo sviluppo di (3a – 2b)³:
A 27a³ + 54a²b + 36ab² + 8b³
B 27a³ – 54a²b + 36ab² – 8b³
C 27a³ + 54a²b – 36ab² – 8b³
D 27a³ – 54a²b – 36ab² + 8b³
E 27a³ – 54ab + 36ab – 8b³
Applichiamo la formula del cubo di un binomio ai monomi
a: 3a; b: –2b
(3a)³ + 3(3a)²(–2b) + 3(3a) (–2b)² + (–2b)³ →
→ 27a³ + 3(9a²)(–2b) + 3(3a)(4b²) – 8b³ →
→ 27a³ – 54a²b + 36ab² – 8b³.
Risposta corretta: B.
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Problemi risolubili con i prodotti notevoli
La conoscenza dei prodotti notevoli permette di risolvere alcuni problemi
che riguardano la relazione fra due o più numeri e il loro prodotto o i loro
quadrati.
Esempio 1
Siano a, b, c tre numeri interi negativi. La somma dei loro quadrati è:
A uguale al quadrato della somma
B nessuna delle risposte è vera
C dipende dai numeri
D minore del quadrato della somma
E maggiore del quadrato della somma
La somma dei quadrati di tre numeri interi negativi è uguale a:
(–a)² + (–b)² + (–c)² = a² + b² + c² > 0
Poiché tre delle risposte chiedono di confrontare la somma dei quadrati con
il quadrato della somma, calcoliamo:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.
Sappiamo che a < 0, b < 0 e c < 0, pertanto tutti i doppi prodotti sono
positivi.
Confrontando i due sviluppi abbiamo che:
a² + b² + c² < a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.
La somma dei quadrati dei tre numeri a, b, c, è perciò minore del quadrato
della loro somma. Risposta D.
Esempio 2
Sapendo che x + y = 2, quanto vale x² + y²?
A 4 – 2xy
B 2x + y²
C 4
D 2 + xy
E Nessuno dei valori precedenti
Possiamo procedere elevando al quadrato x + y, che fornisce l'espressione:
(x + y)² = x² + y² + 2xy
Sostituendo a (x + y) il valore 2 della domanda, si ottiene:
(2)² = x² + y² + 2xy → 4 = x² + y² + 2xy → 4 – 2xy = x² + y²
Risposta corretta: A.
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Polinomi (3): scomposizione per raccoglimento
Scomporre un polinomio di grado n ≥ 2 significa trasformarlo, se possibile,
nel prodotto di due o più polinomi di grado minore di n.
Se i fattori del polinomio non sono ulteriormente scomponibili, si dice che i
fattori sono irriducibili, o anche che sono fattori primi.
Tutti i polinomi di primo grado sono irriducibili.
1. Scomposizione per raccoglimento a fattore comune
Questa scomposizione è possibile quando tutti i termini del polinomio
hanno fattori comuni diversi dall'unità.
Si può perciò calcolare il M.C.D. fra i termini del polinomio, quindi
dividere ciascun termine per il M.C.D.
Il polinomio dato si riscrive come prodotto fra il fattore comune (M.C.D.) e
la somma algebrica dei quozienti ottenuti dalla divisione per il M.C.D.
Questa operazione è possibile in quanto si utilizza la proprietà distributiva
della moltiplicazione rispetto all'addizione.
Esempio
La scomposizione in fattori primi del polinomio 2x – 4xy + 6x² è:
A 2(x – 2y + 3x²)
B x(2 – 4y + 6x)
C 2x(1 – 2y + 3x)
D 2x(1 + 2y + 3x)
E 2x(2y + 3x)
I termini del polinomio hanno fattori comuni diversi da zero.
I coefficienti sono numeri interi per cui si può calcolare il M.C.D., che è
diverso da 1. M.C.D. (2, 4, 6) = 2.
Il M.C.D. della parte letterale è: M.C.D. (x, xy, x²) = x.
Si dividono tutti i termini del polinomio per 2x: (2x)/(2x) – (4xy)/(2x) +
(6x²)/(2x) → 1 – 2y + 3x.
Quindi il polinomio dato si può riscrivere come prodotto: 2x(1 – 2y + 3x).
Risposta C. Si può osservare che il prodotto dei fattori nelle risposte A e B
rappresenta un corretto raccoglimento comune, ma il polinomio che si
ottiene dalla divisione per 2 o per x non è un fattore primo in quanto è
ancora scomponibile.
2. Scomposizione per raccoglimento parziale
In alcuni casi il polinomio presenta fattori comuni solo considerando gruppi
di monomi. Si può allora procedere eseguendo un primo raccoglimento
parziale fra i termini. Il polinomio che si ottiene è una somma di prodotti. Si
può poi procedere a un successivo raccoglimento fra i fattori comuni per
ottenere il polinomio come prodotto di fattori.
Anche nella scomposizione per raccoglimento parziale si utilizza la
proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.
Questa scomposizione è possibile solo se i termini del polinomio sono in
numero pari, maggiore o uguale a 4.
Esempio
La scomposizione in fattori primi del polinomio x²y – 2xz – x²z + y – z + 2xy
è:
A (x + 1)(y + z)²
B (x – 1)²(y – z)
C (xy – z)²
D (x + 1)(x – 1)(y + z)
E (x + 1)²(y – z)
Primo metodo. Riordiniamo i termini, per esempio mettendo vicino i
termini in x², poi in x e poi gli altri:
x²y – x²z – 2xz + 2xy + y – z.
Raccogliendo x² fra il primo e il secondo termine, –2x fra il terzo e il quarto
si ottiene:
x²(y – z) + 2x(y – z).
Il binomio (y – z) è un fattore comune, e per evidenziarlo anche negli ultimi
due termini raccogliamo il fattore 1, ossia 1·(y – z)
x²y – 2xz – x²z + y – z + 2xy = x²(y – z) + 2x(y – z) + 1(y – z).
Raccogliendo (y – z) si ottiene:
x²(y – z) + 2x(y – z) = (y – z)(x² + 2x + 1).
Inoltre (x² + 2x + 1) = (x + 1)², quindi
x²(y – z) + 2x(y – z) + 1(y – z) → (y – z)(x + 1)².
Risposta corretta: E.
Secondo metodo. Possiamo anche procedere con una scomposizione
parziale in un altro modo.
Si può osservare che tre termini presentano la lettera y e tre termini
presentano la lettera z.
Riordiniamo i termini secondo questa sequenza:
x²y + y + 2xy – 2xz – x²z – z.
Raccogliamo y fra i primi tre termini e –z fra gli altre tre:
y(x² + 1 + 2x) – z(2x + x² + 1).
A meno dell'ordine, le due espressioni all'interno delle parentesi sono
uguali, perciò possiamo raccoglierle: (x² + 2x + 1)(y – z). Da cui si ricava (x
+ 1)²(y – z).
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Polinomi (4): scomposizione con i prodotti notevoli
I prodotti notevoli dei polinomi possono essere letti da destra a sinistra per
scomporre i polinomi stessi in prodotti di fattori.
1) Differenza di due quadrati:
(a² – b²) = (a – b) (a + b)
2) Quadrato di un binomio:
(a² ± 2ab + b²) = (a ± b)²
3) Quadrato di un trinomio:
a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)²
4) Cubo di un binomio:
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³
a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = (a – b)³
5) Somma e differenza di cubi:
(a³ + b³) = (a + b) (a² – ab + b²)
(a³ – b³) = (a – b) (a² + ab + b²)
Si osservi che la somma (differenza) di cubi si scompone nel binomio delle
basi dei cubi, moltiplicata la somma dei quadrati delle basi diminuita (o
aumentata) del loro prodotto.
Esempio
27a³ – 8 si può scomporre nel seguente modo:
A (3a – 2)³
B (3a + 2)(9a² + 6a + 4)
C (3a – 2)(9a² + 12a + 4)
D (3a – 2)(9a² + 6a + 4)
E (3a – 3)³
L'espressione rappresenta un prodotto notevole, in particolare la differenza
di due cubi, infatti 27 = 3³ e 8 = 2³. Quindi, applicando la formula (5) si
ottiene: 27a³ – 8 = (3a – 2) · (9a² + 6a + 4). Risposta D.
Possiamo osservare che in A è scritto il cubo di un binomio, in B è
sbagliato il segno del binomio, in C nel trinomio è presente un doppio
prodotto di a e b, in E è sbagliato il termine numerico.
Scomposizione del trinomio di secondo grado del tipo x² + sx + p
Particolari trinomi di secondo grado presentano le seguenti caratteristiche:
• il coefficiente del termine di secondo grado è uguale a 1;
• il coefficiente del termine di primo grado è uguale alla somma di due
numeri a e b;
• il termine noto è uguale al prodotto degli stessi numeri a e b.
Il trinomio può allora essere scritto nella forma:
x² + (a + b)x + ab
dove s = (a + b) e p = ab
Svolgendo il prodotto e raccogliendo successivamente a fattore parziale si
ottiene
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Per cercare i due numeri a e b, conviene esaminare il termine noto e
scrivere le coppie di numeri che sono divisori di p.
Se il prodotto ha segno positivo, i due termini sono concordi, ossia sono
entrambi positivi o entrambi negativi. Sono entrambi positivi se la somma
(a + b) è positiva, sono negativi se la somma è negativa.
Se il prodotto è negativo i due numeri sono discordi, se la somma s > 0
allora è positivo il numero con valore assoluto maggiore, se s < 0, è positivo
il numero con valore assoluto minore.
Esempio
Qual è la scomposizione in fattori primi del polinomio x² + 4x – 12?
A (x – 6)(x + 2)
B (x + 6) (x + 2)
C (x + 6) (x – 2)
D (x – 6) (x – 2)
E (x + 3) (x – 4)
Cerchiamo due numeri che soddisfino le condizioni a + b = 4 e ab = –12.
I divisori di 12 sono: ±1, ±2, ±3, ± 4, ±6, ±12.
Le possibili coppie che danno come prodotto 12 sono:
±1 e ±12; ±2 e ±6; ±3 e ±4.
Il prodotto è < 0, per cui i due numeri di ogni coppia sono discordi.
La somma è > 0, per cui il numero con valore assoluto maggiore è positivo.
La coppia che dà come somma 4 è: 6 – 2, che sono i valori cercati:
x² + 4x –12 = (x + 6)(x – 2).
Risposta corretta: C.
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Polinomi (5): divisione
È possibile definire la divisione fra due polinomi in modo analogo a quanto
si fa con i numeri.
Dati due polinomi in una sola variabile A(x) di grado m e B(x) di grado n,
con m ≥ n, esistono e sono unici i polinomi Q(x) e R(x), detti
rispettivamente quoziente e resto della divisione, tali che
A(x) = B(x) · Q(x) + R(x)
Il grado di Q(x) è m – n e il grado di R(x) è minore di n.
Se R(x) = 0, il polinomio A(x) è divisibile per B(x).
Nel caso particolare in cui B(x) sia un binomio del tipo (x – a), il resto della
divisione è dato dall'espressione A(a), ossia:
R(x) = A(a)
Se R(x) = 0 → A(a) = 0.
In conclusione, un polinomio è divisibile per il binomio (x – a) se e solo se
A(a) = 0.
Il numero a che annulla il polinomio è uno zero, o radice, del polinomio.
Gli eventuali zeri del polinomio vanno ricercati fra i divisori del termine
noto, se il coefficiente del termine di grado massimo è uguale a 1.
Se il coefficiente del termine di grado massimo è diverso da 1, gli zeri del
polinomio, se esistono, vanno ricercati fra le frazioni che hanno al
numeratore i divisori del termine noto e al denominatore i divisori del
coefficiente del termine di grado massimo.
Esempio 1
Il polinomio x³ + 6x² + 11x + 6 ha tre radici reali e distinte che sono:
A tutte e tre positive
B tutte e tre negative
C una positiva e due negative
D una negativa e due positive
E una uguale a 0, una positiva e una negativa
Primo metodo. Le radici del polinomio sono quei valori di x che annullano
il polinomio, e se esistono sono i divisori del termine noto, ossia i divisori
di 6: ±1, ±2, ±3, ±6.
Poiché il polinomio presenta tutti i termini con segno positivo, per poter
avere un resto uguale a zero è necessario sostituire un valore di x < 0.
Proviamo con –1:
R(–1) = –1³ + 6 · (–1)² + 11 · (–1) + 6 = –1 + 6 – 11 + 6 = 0.
–1 è un valore che annulla il polinomio, ossia è la prima radice, negativa.
Proviamo a sostituire gli altri valori negativi.
R(–2) = –2³ + 6 · (–2)² + 11 · (–2) + 6 = –8 + 24 – 22 + 6 = 0
R(–3) = –3³ + 6 · (–3)² + 11 · (–3) + 6 = –27 + 54 – 33 + 6 = 0
Abbiamo trovato tutte e tre le radici, che sono tutte e tre reali, distinte e
negative.
Poiché il trinomio è di terzo grado, ammette al più tre radici reali, per cui è
inutile verificare se anche –6 è radice del polinomio. Risposta corretta: B.
Secondo metodo. Si può arrivare alla risposta anche facendo le seguenti
considerazioni: poiché il polinomio presenta solo termini positivi, le
eventuali radici dovranno avere tutte valore negativo, affinché il polinomio
diventi uguale a zero. Inoltre, poiché il trinomio è di terzo grado, ammette
al più tre radici reali.
Analizzando le risposte si verifica che solo B soddisfa le caratteristiche
richieste.
Terzo metodo. Una volta trovata la prima radice (–1) si può eseguire la
divisione usando la regola di Ruffini (si veda lo svolgimento di questo
esempio dopo la spiegazione della regola).
Regola di Ruffini
La regola di Ruffini permette la divisione di un qualunque polinomio in
una sola variabile (per esempio nella variabile x) per un binomio di primo
grado della forma (x – a), con a costante.
Per illustrare la regola di Ruffini, esaminiamo un esempio.
Esempio 2
Siano i due polinomi:
P(x) = x³ + 4x² – 2x + 5
Q(x) = x – 2
Vogliamo dividere P(x) per Q(x) usando la regola di Ruffini.
Nel nostro caso a = 2.
• Scriviamo i coefficienti di P(x) e a nella seguente tabella:
• Riportiamo in basso il primo coefficiente:
• Moltiplichiamo il numero più a destra sotto la riga per a e lo scriviamo
nella seconda riga della
tabella, nel primo spazio libero, ovvero:
• Sommiamo i valori della nuova colonna:
• Ripetiamo il procedimento fino alla fine:
I primi tre coefficienti dell'ultima riga rappresentano i coefficienti del
polinomio cercato, mentre l'ultimo termine è il resto.
Dunque:
(x³ + 4x² – 2x + 5) = (x – 2)(x² + 6x + 10) + 25
La regola di Ruffini ha come conseguenza alcuni importanti criteri di
divisibilità tra polinomi:
1. (an – bn) è sempre divisibile per (a – b);
2. (an – bn) è divisibile per (a + b) solo per n pari;
3. (an + bn) non è mai divisibile per (a – b);
4. (an + bn) è divisibile per (a + b) solo per n dispari.
Esempio 1 bis
Riprendiamo ora il caso dell'Esempio 1, in cui avevamo trovato una prima
radice: x = –1. Possiamo proseguire utilizzando la regola di Ruffini:
giungendo al risultato
cioè al polinomio x² + 5x + 6.
Per scomporre questo polinomio possiamo vederlo come un polinomio nella
forma x² + sx + p, dove s = x1 + x2 e p = x1x2, quindi con due radici la cui
somma è pari a 5 e il cui prodotto è 6.
Poiché sia prodotto che somma hanno segno positivo, dobbiamo cercare la
coppia fra tutti i divisori di 6 con segno positivo: esistono solo +2 e +3. Per
cui x² + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3).
Possiamo verificare che i valori trovati annullino il polinomio:
R(–2) = 4 – 10 + 6 = 0;
R(–3) = 9 –15 + 6 = 0.
Le radici del polinomio sono dunque: x = –1; x = –2; x = –3. Tre radici reali
distinte e negative. Risposta corretta: B.
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Polinomi (6): M.C.D. e m.c.m.
Il massimo comun divisore (M.C.D.) di due o più polinomi è il polinomio
di grado massimo, che è divisore di tutti i polinomi dati.
Per determinare il M.C.D. tra polinomi:
• si scompongono i polinomi dati in prodotti di fattori irriducibili;
• si calcola il prodotto dei fattori comuni a tutti i polinomi dati, presi una
sola volta e con il minimo esponente comune; questo è il M.C.D.
Esempio
Il M.C.D. tra i polinomi (x – 1)³ e (x² – 1)² è:
A (x – 1)²(x² – 1)
B (x – 1)²(x + 1)
C (x + 1)²
D (x – 1)(x + 1)
E (x – 1)²
Scriviamo i polinomi come prodotto di fattori:
(x – 1)³ = (x – 1) (x – 1) (x – 1)
(x² – 1)² = (x² – 1) (x² – 1) = (x – 1) (x + 1) (x – 1) (x + 1)
Il fattore comune a entrambi i polinomi è: (x – 1) (x – 1) = (x – 1)².
Risposta E.
Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più polinomi è il polinomio
di grado minimo, che è multiplo di tutti i polinomi dati.
Per determinare il m.c.m. tra polinomi:
• si scompongono i polinomi dati in prodotti di fattori irriducibili;
• si calcola il prodotto dei fattori comuni e non comuni a tutti i polinomi
dati, presi una sola volta e con il massimo esponente; questo è il m.c.m.
Se i polinomi sono primi fra loro, il M.C.D. è uguale a 1 e il m.c.m. è
uguale al loro prodotto.
Esempio
Il m.c.m. tra i polinomi (x² – 2x – 15) e (2x² – 10x) è
A (x + 3) (x – 5)
B x(x + 3) (x – 5)
C 2x(x + 3) (x – 5)
D (x – 5)
E 2(x + 3) (x – 5)
Scomponiamo i polinomi in fattori
(x² – 2x – 15) = (x + 3) (x – 5)
(2x² – 10x) = 2x(x – 5)
Il prodotto dei fattori comuni e non comuni presi una sola volta e con il
massimo esponente è:
m.c.m. = 2x(x + 3) (x – 5). Risposta C.
La risposta non può essere B, in quanto fra i fattori si considerano anche i
coefficienti numerici.
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Frazioni algebriche
Dati due polinomi A e B, con B non nullo, si dice frazione algebrica
l'espressione algebrica
.
A prende il nome di numeratore e B di denominatore.
Una frazione ha significato solo se il suo denominatore è diverso da zero.
L'insieme dei valori attribuibili alle variabili che compaiono nel polinomio
a denominatore, che non lo rendono nullo, è detto dominio della frazione
algebrica.
Se si indicano, invece, i soli valori che debbono essere esclusi si parla di
condizioni di esistenza (C.E.).
Una frazione algebrica è nulla se è nullo il suo numeratore.
Data una frazione algebrica non nulla
reciproco della frazione algebrica.
, la frazione algebrica
è il
Esempio
La frazione algebrica
è definita per:
A x ≠ ±2
B x ≠ ±4
C x = ±1
D x≠0
E x ≠ ±1
L'unica condizione d'esistenza da imporre all'espressione è che il suo
denominatore sia ≠ 0, quindi: (x8 – 4x6 + 6x4 – 4x² + 1) ≠ 0.
Se ricerchiamo gli zeri del polinomio, si ottiene che i possibili zeri sono ±
1. Perciò la frazione algebrica è definita per i valori che non annullano il
polinomio, ossia per x ≠ ± 1.
Risposta: E.
Semplificazione delle frazioni algebriche
Applicando la proprietà invariantiva, secondo la quale moltiplicando o
dividendo numeratore e denominatore di una frazione per una stessa
espressione diversa da zero, si ottiene una frazione equivalente a quella
data, le frazioni algebriche possono essere semplificate, ossia ridotte ai
minimi termini.
Per semplificare una frazione algebrica:
• si scompongono in fattori sia il numeratore sia il denominatore;
• si dividono numeratore e denominatore per i fattori comuni, ossia per il
M.C.D.
Esempio
Semplificare l'espressione
A Non si può semplificare
B a+b+c
C –a – b – c
D 2ab/(c – a – b)
E c–a–b
Possiamo osservare che il numeratore è la differenza di due quadrati (a +
b)² e c².
Scomponendolo si ottiene: (a + b + c) (a + b – c).
Riscriviamo il denominatore raccogliendo il segno meno: –(a + b – c).
Semplificando i due fattori comuni, e facendo attenzione di moltiplicare per
–1 il numeratore per tener conto del segno negativo al denominatore, si
ottiene:
Vediamo quali sono le procedure per operare con le frazioni algebriche.
Procedura per addizionare (sottrarre) più frazioni algebriche
• Semplificarle, riducendole ai minimi termini, se possibile.
• Calcolare il minimo comune multiplo fra i denominatori (minimo comun
denominatore, m.c.d.).
• Ridurre le frazioni a un'unica frazione che ha come denominatore il
denominatore comune.
• Calcolare il numeratore dividendo il m.c.m. per il denominatore di
ciascuna frazione e moltiplicando per il corrispondente numeratore.
• Semplificare la frazione ottenuta, se possibile.
Esempio
L'espressione
è equivalente a:
A
B
C
D
E
L'espressione contiene somme algebriche; le frazioni non sono semplificate,
occorre perciò ridurle ai minimi termini.
Calcoliamo il denominatore comune: m.c.d. = 2y(y + 2)(y – 2)
Riduciamo le frazioni allo stesso denominatore:
Svolgendo i calcoli si ottiene:
Risposta corretta: B.
Procedura per moltiplicare due o più frazioni algebriche
• Scomporre i numeratori e i denominatori delle frazioni.
• Eseguire tutte le possibili semplificazioni.
• Calcolare il prodotto dei numeratori e dei denominatori.
Procedura per dividere due frazioni algebriche
• Trasformare la divisione nel prodotto della prima frazione per il reciproco
della seconda.
• Eseguire la moltiplicazione seguendo la relativa procedura.
Esempio
L'espressione
è uguale a:
A
B
C
D
E
Scomponiamo i denominatori che presentano polinomi che possono essere
ridotti in fattori primi:
2y² – 2 = 2(y – 1) (y + 1)
6 – 6y = –6(y –1)
L'espressione che si ottiene è
Il m.c.m. fra i denominatori è: 6(y – 1) (y + 1)
Riducendo tutte le frazioni allo stesso denominatore si ottiene:
Raccogliamo 6 al numeratore
Risposta corretta: C.
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Equazioni
Le equazioni sono uguaglianze fra due espressioni contenenti una o più
variabili incognite (funzioni o enti di vario genere), la cui risoluzione
consiste nel determinare per le incognite quei valori (radici dell'equazione)
che soddisfano l'uguaglianza, trasformandola in un'identità.
Le equazioni sono catalogate in base al tipo delle variabili e costituiscono il
cuore dell'algebra classica e uno degli elementi centrali del formalismo
matematico.
In particolare, si chiamano equazioni algebriche quelle equazioni ottenute
uguagliando a zero un polinomio di grado n.
Lo studio elementare delle equazioni prevede i metodi di risoluzione delle
equazioni algebriche di primo e di secondo grado, e i metodi di riduzione –
ove possibile – di equazioni di grado superiore al secondo.
Gli argomenti trattati all'interno della sezione sono i seguenti:
• Uguaglianze ed equivalenza
• Equazioni lineari
• Equazioni di secondo grado
• Equazioni di grado superiore al secondo
• Equazioni frazionarie e letterali
• Equazioni esponenziali
• Equazioni logaritmiche
• Problemi risolubili con un'equazione
Uguaglianze ed equivalenza
1. Generalità
Abbiamo un'uguaglianza ponendo due quantità – aritmetiche, algebriche,
ecc. – ai due lati del simbolo di uguale.
Un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni algebriche, contenenti
variabili, che diventa vera per determinati valori attribuiti alle variabili
stesse.
Se l'uguaglianza tra due espressioni algebriche, contenenti variabili, è
sempre vera per qualsiasi valore attribuito alle variabili, si ha un'identità.
Un'equazione algebrica in una sola variabile x assume la forma a(x) = b(x)
dove a(x) e b(x) sono espressioni algebriche nella variabile x.
L'espressione a sinistra del simbolo uguale si dice primo membro, quella
alla destra secondo membro.
La variabile x si dice anche incognita e i termini presenti nelle espressioni
a(x) e b(x) che non contengono l'incognita sono i termini noti
dell'equazione.
I valori delle incognite che trasformano l'equazione in un'uguaglianza vera
sono le soluzioni o radici dell'equazione. Il loro valore va ricercato
nell'insieme di definizione o dominio o campo di esistenza dell'equazione.
Il dominio è l'insieme dei valori che può assumere la x, tali che l'espressione
algebrica presente nell'equazione non perda di significato. Per esempio se
a(x) = 1/x, l'espressione è definita per i valori di x tali che x ≠ 0, valore che
annulla il denominatore della frazione.
Risolvere un'equazione significa trovare l'insieme delle soluzioni
dell'equazione, indicato di solito con S, che è un sottoinsieme del dominio.
Nella risoluzione di un equazione a un'incognita si possono avere i seguenti
casi:
• determinata: se l'insieme delle soluzioni è finito e non vuoto;
• indeterminata: se l'insieme delle soluzioni è infinito;
• impossibile: se l'insieme delle soluzioni è l'insieme vuoto.
Esempio
La soluzione dell'equazione (x – 1)(x – 1) = (x – 1)² è:
A x = –2
B x = –1
C x = 1/2
D x=3
E ha infinite soluzioni
L'equazione rappresenta il quadrato di un binomio, scritto come prodotto di
due binomi di primo grado nel primo membro e come quadrato nel secondo.
L'uguaglianza è perciò un'identità, e come tale ha infinite soluzioni.
Risposta corretta E.
2. Equazioni equivalenti e principi di equivalenza
Due equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.
Perché due equazioni siano equivalenti è necessario che tutte le soluzioni
della prima equazione verifichino anche la seconda e viceversa.
Per risolvere un'equazione è opportuno trasformarla, applicando le regole
del calcolo letterale, in una più semplice ad essa equivalente.
Le possibili trasformazioni sono regolate dai principi di equivalenza.
• Primo principio. Addizionando a entrambi i membri lo stesso numero o la
stessa espressione algebrica, con lo stesso dominio dell'equazione, si
ottiene una equazione equivalente a quella data.
• Secondo principio. Moltiplicando entrambi i membri di un'equazione per
lo stesso numero, diverso da zero, o la stessa espressione algebrica con lo
stesso dominio dell'equazione, e tale che non si annulli in quel dominio,
si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Da un punto di vista operativo i principi consentono di svolgere le seguenti
operazioni:
• portare un termine da un membro all'altro cambiando il segno. Questo
consente di portare tutti i termini in un unico membro, ponendo l'altro
uguale a zero;
• elidere due monomi uguali che si trovano uno al primo e uno al secondo
membro; elidere due monomi opposti presenti nello stesso membro;
• moltiplicare o dividere tutti i termini per un medesimo fattore non nullo;
• se i coefficienti numerici sono frazionari, moltiplicare tutti i termini per il
minimo comune multiplo (m.c.m.) dei loro denominatori.
Esempio
L'equazione –9x² + 3x – 1 = 4x – 5 + 6x² è equivalente a:
A 15x² – x = 4
B –15x² + x = 4
C 15x² + x = 4
D x – 4 = –9x²
E 15x² + x = –4
Applicando i principi di equivalenza portiamo tutti i termini in x nel primo
membro e i termini noti nel secondo cambiando i segni in modo opportuno:
–9x² + 3x – 1 = 4x – 5 + 6x² → –9x² + 3x – 4x – 6x² = –5 + 1
Sommando i termini simili si ottiene: –15x² – x = –4
Moltiplicano tutti i termini per –1 si ottiene: 15x² + x = 4. La risposta
corretta è C.
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Equazioni lineari
Un'equazione in forma normale si presenta nella forma a(x) = 0, dove a(x)
è un polinomio.
Il grado di un'equazione scritta in forma normale, è il grado del polinomio
a(x).
L'equazione lineare in un'incognita (o equazione di primo grado) è
l'equazione che può essere ridotta nella forma:
ax + b = 0
dove x è l'incognita, a e b sono numeri reali.
In base ai valori che assumono i coefficienti a e b si possono presentare tre
casi.
1. a ≠ 0 Possiamo dividere entrambi i membri per a:
x = –b/a
L'equazione è determinata e –b/a è la sua soluzione.
2. a = 0 e b ≠ 0
L'equazione canonica diventa:
0 · x = –b
L'equazione è impossibile, poiché l'insieme delle soluzioni è vuoto.
3. a = 0 e b = 0
L'equazione canonica diventa:
0·x=0
L'equazione è indeterminata, poiché ammette come soluzione qualsiasi
numero reale.
Esempio
Quali fra le seguenti equazioni sono equivalenti fra loro?
1) 6x – 4 = 8
2) 6x – 1 = 2
3) x(6x – 4) = 8x
4) 3x – 6 = 0
A La 2) e la 4)
B La 1) e la 2)
C La 1) e la 3)
D La 1) e la 4)
E La 3) e la 2)
Calcoliamo le soluzioni delle quattro equazioni
1): 6x – 4 = 8 → x = (8 + 4)/6 → x = 2
2): 6x – 1 = 2 → x = 3/6 → x = 1/2.
3): x(6x – 4) = 8x → 6x² – 4x – 8x = 0 → 6x² –12x = 0
Utilizzando le regole del calcolo letterale possiamo raccogliere 6x → 6x (x
– 2) = 0.
Per la legge di annullamento del prodotto possiamo porre:
6x = 0 → x = 0
x–2=0→x=2
Le soluzioni dell'equazione sono perciò due.
4): 3x – 6 = 0 → x = 2.
Le equazioni che hanno lo stesso insieme di soluzione, x = 2, sono la 1) e la
4).
Anche la 3) ha soluzione x = 2, ma ne ha anche un'altra; poiché ha due
soluzioni, il suo insieme delle soluzioni non coincide con quello della 1) e
della 4). La risposta esatta è la D.
Vai agli esercizi
Equazioni di secondo grado
Un'equazione di secondo grado o quadratica in un'incognita ha forma
normale:
ax² + bx + c = 0
dove a, b, c sono numeri reali e a ≠ 0.
Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono:
dove b² – 4ac = Δ è detto determinante.
A seconda del valore che assume il determinante si possono avere tre casi.
L'equazione è:
• determinata se Δ = b² – 4ac > 0
ammette due soluzioni reali e distinte;
• indeterminata se Δ = b² – 4ac = 0 ammette due soluzioni reali
coincidenti;
• impossibile se Δ = b² – 4ac < 0 non ammette alcuna soluzione reale.
Esempio 1
Determinare tutte le soluzioni dell'equazione di secondo grado x² = x + 6
A x = –2, x = 3
B x = –2, x = 0
C x = –1, x = 3
D x = 2, x = 3
E non ha soluzioni reali
Riscriviamo l'equazione nella forma normale: x² – x – 6 = 0.
Calcoliamo il determinante; se Δ < 0 l'equazione non ammette soluzioni per
cui è inutile sviluppare i calcoli.
Δ = 1 + 24 = 25 > 0
L'equazione ammette due soluzioni reali distinte. Applicando la formula
risolvente si ottiene:
La risposta corretta è A.
Esempio 2
L'equazione di secondo grado x² + 5x = 0, nell'incognita x:
A non ammette nessuna soluzione reale
B ha la sola soluzione reale x = 0
C ha soluzioni reali x = –5 e x = +5
D ha soluzioni reali x = 0 e x = –5
E ha soluzioni reali x = 0 e x = +5
Primo metodo. Nell'equazione di secondo grado manca il termine noto. Si
può risolvere utilizzando la formula risolvente con c = 0.
Secondo metodo. Un'altra procedura è la seguente. Si raccoglie il fattore
comune x:
x² + 5x = 0 → x(x + 5) = 0
Applicando la legge di annullamento del prodotto, possiamo porre
separatamente i due termini uguale a zero:
x=0
x + 5 = 0 → x = –5
La risposta corretta è D.
Relazioni tra coefficienti e radici. Fra i coefficienti di un'equazione di
secondo grado nella forma normale ax2 + bx + c = 0 e le sue soluzioni x1 e
x2 esistono le seguenti relazioni:
Esempio 3
Data l'equazione 2x² + bx + c = 0, qual è la coppia di valori di b e c che
produce le soluzioni 11 e 3?
A b = –28 c = –33
B b = 14 c = –66
C b = –28 c = 66
D b = –7 c = 33/2
E b = 14 c = –33
Le relazioni fra i coefficienti letterali e le soluzioni dell'equazione sono
x1 + x2 = –b/a → 11 + 3 = –b/a → 14 = –b/a
x1 · x2 = c/a → 11 · 3 = c/a → 33 = c/a
Poiché a = 2, possiamo riscrivere le relazioni: 14 = –b/2 → b = –28; 33 =
c/2 → c = 66. Risposta C.
Vai agli esercizi
Equazioni di grado superiore al secondo
Le equazioni di grado superiore al secondo sono equazioni che presentano
polinomi con l'incognita di grado maggiore di 2. Le equazioni ammettono
un numero di soluzioni uguali al loro grado, perciò le equazioni di grado
superiore al secondo hanno un numero di soluzioni maggiore di 2. Non è
detto che tutte le radici siano reali e distinte, possono essere coincidenti o
non reali (complesse).
Non esiste una procedura univoca o una formula per risolvere questo tipo di
equazioni. Poiché sappiamo risolvere solo equazioni di secondo grado, per
trovare le soluzioni di queste equazioni è necessario riscrivere i polinomi di
grado n, come prodotti di polinomi di primo e secondo grado. Applicando
la legge di annullamento del prodotto, si pone ciascun binomio o trinomio
della scomposizione e si determinano le radici.
Esempio 1
Quale delle seguenti equazioni ha quattro radici reali e distinte?
A (x² – 1)(x² – 4) = 0
B 4x² + 1 = 0
C x² – 3x + 2 = 0
D x4 – 1 = 0
E Nessuna delle precedenti risposte è corretta
Prima di procedere alla risoluzione delle equazioni analizziamo le opzioni
proposte.
Possiamo scartare l'opzione B, perché la somma di due numeri positivi (x² >
0 sempre) non può mai essere uguale a zero.
Scartiamo l'opzione C perché è un'equazione di secondo grado che può
avere al più due radici reali e distinte.
Risolviamo equazione A. L'equazione è il prodotto della differenza di
quadrati, che possiamo scomporre nel prodotto di due binomi di primo
grado:
(x² – 1)(x² – 4) = 0 → (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) = 0.
Ponendo ciascun binomio uguale a zero si ottengono quattro radici reali e
distinte. A è la risposta corretta.
Verifichiamo anche l'opzione D. Il primo membro si scompone nel seguente
prodotto:
(x² + 1)(x + 1)(x – 1).
Dato che (x² + 1) = 0 non ha soluzione, le uniche soluzioni reali sono (x – 1)
= 0 e (x + 1) = 0, ossia x = ± 1: le radici reali e distinte sono solo 2. La
risposta non è corretta.
Esempio 2
L'equazione in campo reale x4 + 3x² – 4 = 0 ha:
A due soluzioni positive e nessuna soluzione negativa
B nessuna soluzione
C una soluzione positiva e una soluzione negativa
D due soluzioni negative e nessuna soluzione positiva
E due soluzioni positive e due soluzioni negative
Primo metodo. Il trinomio è di quarto grado per cui si può scomporre
ricorrendo alla regola di Ruffini. I possibili divisori sono i divisori del
termine noto 4. Per x = 1, l'equazione diventa un'identità, per cui 1 è un
divisore del polinomio.
Svolgendo i calcoli si ottiene: (x – 1)(x³ + x² + 4x + 4).
Si applica nuovamente la regola di Ruffini al polinomio x³ + x² + 4x + 4, per
x = –1, l'equazione è verificata.
Svolgendo i calcoli si ottiene: x³ + x² + 4x + 4 → (x + 1)(x² + 4).
Il polinomio x4 + 3x² – 4 = (x – 1)(x + 1)(x² + 4).
Possiamo riscrivere l'equazione: (x – 1)(x + 1)(x² + 4) = 0.
Applicando la legge di annullamento del prodotto si ottiene:
(x – 1) = 0 → x = 1
(x + 1) = 0 → x = –1
x² + 4 = 0 non ammette nessuna soluzione in quanto la somma di due
numeri positivi non può mai essere uguale zero.
L'equazione ha dunque due soluzioni: x = ±1, reali e distinte, una positiva e
una negativa. Risposta corretta C.
Secondo metodo. Si può osservare che l'incognita nel polinomio è presente
solo con esponenti pari: 4 e 2.
In questi casi si può riscrivere l'equazione operando la sostituzione:
x² = t, e ponendo la condizione t > 0, in quanto uguale a un numero al
quadrato.
x4 + 3x² – 4 = 0 → t² – 3t – 4 = 0, che è un'equazione di secondo grado.
Svolgendo i calcoli si ottiene:
t1 = 1, e t2 = –4 < 0
L'unica soluzione accettabile è t1 = 1, da cui si ricava: x² = 1 → x = ± 1.
Vai agli esercizi
Equazioni frazionarie e letterali
1. Equazioni frazionarie
In un'equazione frazionaria (o fratta) l'incognita si trova anche al
denominatore, nelle frazioni presenti. Nel risolvere equazioni di questo tipo
è necessario escludere dal dominio dell'equazione quei valori che annullano
il denominatore, rendendo priva di significato l'equazione stessa.
Esempio
L'equazione nell'incognita reale x:
A non ha soluzioni
B ha due soluzioni
C ha l'unica soluzione x = 3
D ha più di due soluzioni
E ha un'unica soluzione la quale è diversa da 3
Affinché l'equazione abbia un senso è necessario imporre le condizioni di
esistenza (C.E.) della frazione, ossia porre il denominatore ≠ 0:
3 – x ≠ 0 → x ≠ 3. Fatto questo, possiamo risolvere l'equazione
moltiplicando i termini per il m.c.m. (3 – x):
Risolvendo con la formula delle radici per le equazioni di secondo grado
otteniamo le due soluzioni x1 = –2 e x2 = 3.
Per le CE la soluzione x = 3 non è accettabile, perciò l'equazione ha come
unica soluzione x = –2.
La risposta corretta è E.
2. Equazioni letterali
Le equazioni letterali sono equazioni in cui compaiono più lettere di cui
una viene scelta come incognita, mentre le altre rappresentano i coefficienti
letterali, detti parametri, che sono valori reali costanti. Le soluzioni
dell'equazione dipendono dal valore che assumono i coefficienti letterali
dell'incognita. La risoluzione prende il nome di discussione in quanto è
necessario discutere i valori che assumono i parametri per determinare
l'insieme delle soluzioni.
Esempio
Per quale valore di k l'equazione kx + 6 = k + 2x + 6 è determinata?
A k=2
B k = ± 1/2
C k = –3
D k≠2
E k≠±3
Applicando i principi di equivalenza si trova l'equazione equivalente:
kx + 6 = k + 2x + 6 → kx – 2x = k → x (k – 2) = k, da cui si ricava
Perché la frazione abbia significato deve avere il denominatore diverso da
zero, quindi anche in questo caso occorre determinare le condizioni di
esistenza (in questo caso riferite al parametro e non alla variabile
dell'equazione): k – 2 ≠ 0 → k ≠ 2. Per tutti gli altri valori di k l'equazione è
determinata. La risposta corretta è D.
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Equazioni esponenziali
Un'equazione è esponenziale quando l'incognita è presente soltanto
nell'esponente di una o più potenze. L'equazione esponenziale più semplice
è del tipo
ax = b con a > 0
Poiché per a > 0, si ha sempre che ax > 0 e si possono isolare i seguenti
casi:
• L'equazione è impossibile:
– per b ≤ 0, perché come già detto ax è sempre > 0 per a > 0;
– per a = 1 e b ≠ 1, perché 1x è sempre uguale a 1 per qualsiasi valore di
x.
• L'equazione è indeterminata:
– per a = 1 e b = 1, perché l'espressione 1x = 1 è un'identità.
• L'equazione è determinata:
– per a ≠ 1 e b > 0; in questo caso l'equazione ha una e una sola
soluzione, data da x = loga(b).
È possibile determinare la soluzione di un'equazione esponenziale, se esiste,
se è possibile riscrivere l'equazione ax = b, in modo che in entrambi i
membri compaia una potenza della stessa base, infatti due potenze sono
uguali se sono uguali i lori esponenti:
af(x) = ag(x)
Un'equazione di questo tipo si risolve ponendo
f(x) = g(x)
Quando non è possibile uguagliare le basi, le equazioni si risolvono
ricorrendo ai logaritmi (si veda il paragrafo sulle equazioni logaritmiche).
Esempio 1
Il valore di x che soddisfa l'equazione esponenziale 82x–3=1/4 è:
A x = –7
B x = 7/2
C x = 7/6
D x=2
E x=0
Per riscrivere le espressioni con la stessa base si può osservare che 8 e 4
sono entrambe potenze di 2: 8 = 2³ e 1/4 = 2–2. Riscrivendo l'equazione si
ottiene:
23(2x – 3) = 2–2 → 3 (2x – 3) = –2 → 6x = 9 – 2 → x = 7/6.
Risposta C.
Esempio 2
Le soluzioni dell'equazione (x + 2)x–2 = 1 sono:
A x = 4, x = 1
B x = –2, x = 2
C x = –2, x = 3
D x = 2, x = –1
E x = 3, x = –2
Per trovare la soluzione di questa equazione si ricorre alle proprietà delle
potenze: ax = 1 se x = 0 oppure se a = 1. Ponendo l'esponente uguale a zero
si ricava x – 2 = 0 → x = 2. Ponendo la base uguale a 1 si ricava x + 2 = 1
→ x = –1. Risposta D.
Esempio 3
Si consideri la seguente equazione per i valori reali della variabile x:
L'equazione data ha:
A nessuna soluzione
B una soluzione
C infinite soluzioni
D due soluzioni
E quattro soluzioni
Le sole due risposte possibili sono A e B, nessuna soluzione, una soluzione.
Tutte le altre risposte sono errate perché l'equazione esponenziale con a ≠ 1,
può essere impossibile o avere una sola soluzione.
Riscriviamo l'equazione uguagliando le basi in entrambi i membri:
L'equazione è impossibile per cui non ha nessuna soluzione. Risposta A.
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Equazioni logaritmiche
Un'equazione logaritmica è un'equazione in cui l'incognita compare
nell'argomento di uno o più logaritmi. Prima di determinare le soluzioni
dell'equazione logaritmica è necessario definire le condizioni di esistenza
per ogni argomento del logaritmo, che deve essere sempre maggiore di
zero.
Successivamente, utilizzando le proprietà dei logaritmi si riconduce
l'equazione alla forma:
log A(x) = log B(x)
Poiché due logaritmi nella stessa base sono uguali se è uguale il loro
argomento, si deduce che
log A(x) = log B(x) → A(x) = B(x)
Le soluzioni di quest'ultima equazione sono le soluzioni dell'equazione
logaritmica.
Esempio 1
L'equazione logaritmica ln(x – 9) + ln(x) = ln(10) ha soluzione:
A 10
B 10e + 1
C +1
D –1
E 10e – 1
Determiniamo, in primo luogo, le condizioni di esistenza degli argomenti
dei logaritmi in cui è presente l'incognita.
x > 0 e x – 9 > 0 → x > 9, per cui C.E.: x > 9.
Riconduciamo l'espressione a primo membro alla forma lnA(x), applicando
le proprietà dei logaritmi, per cui la somma dei logaritmi dei due numeri è
uguale al logaritmo del prodotto di due numeri:
ln(x – 9) + ln(x) = ln[(x – 9) · x]
ln[x(x – 9)] = ln10
Poiché i logaritmi hanno la stessa base possiamo uguagliare gli argomenti:
x² – 9x = 10 → x² – 9x – 10 = 0.
L'equazione di secondo grado ammette due soluzioni:
x1 = (9 + 11)/2 = 10; x2 = (9 – 11)/2 = –1.
La soluzione negativa non soddisfa le condizioni di esistenza, per cui
l'equazione ha un sola soluzione x = 10.
L'equazione logaritmica si può presentare anche nella forma:
loga A(x) = k
Un'equazione di questo tipo nella forma più semplice è loga x = k, la cui
soluzione è immediata perché è sufficiente applicare la definizione di
logaritmo. Se infatti la soluzione esiste, questa è x = ab.
Esempio 2
L'espressione log2 2x = –5 è verificata per:
A x = 1/16
B x = 1/64
C x = 1000
D x = –4
E x = –16
Determiniamo le condizioni di esistenza 2x > 0 → x > 0.
Per ottenere l'espressione del primo membro nella forma loga x, utilizziamo
la proprietà per cui il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla
somma dei logaritmi dei singoli numeri:
log2 2x = log2 2 + log2 x per cui log2 2 + log2 x = –5
Ricordando che loga a = 1: 1 + log2 x = –5 → log2 x = –6
Da cui si ricava: x = 2–6 = 1/64. Risposta B.
Equazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi
In alcuni casi le equazioni esponenziali possono essere risolte utilizzando i
logaritmi. In questo caso si utilizzano le espressioni dei membri
dell'equazione come se fossero gli argomenti di due logaritmi nella stessa
base. L'equazione si risolve uguagliando fra loro i logaritmi. Questa
operazione è detta “passaggio ai logaritmi”. La scelta della base dei
logaritmi è arbitraria, ma per comodità di calcolo è preferibile sceglierli a
base naturale o decimale.
Esempio
L'equazione
ha soluzione:
A x=2
B x = –2, x = 2
C x = 2e
D non ha soluzione
E x=½
Determiniamo la condizione di esistenza relativa al logaritmo:
lnx² = 2lnx, per cui C.E.: x > 0
Consideriamo i due membri dell'equazione come gli argomenti di due
logaritmi in base naturale:
Per la proprietà relativa alla potenza dell'argomento dei logaritmi si ottiene:
ln x² · ln e = ln 4
Poiché ln e = 1, si ha: ln x² = ln 4.
Uguagliando gli argomenti si ha: x² = 4 → x1 = 2 e x2 = –2.
Poiché x > 0, la soluzione x2 = –2 non è accettabile, per cui la risposta
corretta è A.
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Problemi risolubili con un'equazione
Alcuni comuni problemi possono essere risolti ricorrendo alle equazioni. Il
testo del problema, espresso in linguaggio naturale, deve essere tradotto in
un'equazione utilizzando il linguaggio simbolico della matematica. La
soluzione dell'equazione trovata, detta equazione risolvente, se esiste, è la
soluzione del problema.
È quindi importante familiarizzare con il meccanismo di traduzione dal
linguaggio naturale in cui i problemi vengono espressi al linguaggio
matematico formale, e viceversa.
Esempio 1
L'espressione y = 3x² – 2x + 1 rappresenta una relazione tra le variabili reali
x e y che, usando il linguaggio naturale significa:
A y è uguale al quadrato del triplo di x aumentato di uno e diminuito del
suo doppio
B la somma di y con il doppio di x si ottiene aggiungendo uno al quadrato
di x
C la somma di y con il doppio di x si ottiene aggiungendo uno al triplo del
quadrato di x
D y è la differenza tra il quadrato del triplo e il doppio del quadrato di x
aumentata di uno
E y è la differenza tra il quadrato del triplo e il doppio di x aumentata di
uno
Traduciamo in linguaggio matematico le relazioni fra x e y espresse in
linguaggio naturale.
A: “quadrato del triplo di x: (3x)² = 9x²; aumentato di uno: + 1; diminuito
del suo doppio: –2x, che equivale a: y = 9x² + 1 – 2x
B: y + 2x = x² + 1 → y = x² – 2x + 1
C: y + 2x = 3x² + 1 → y = 3x² – 2x + 1, risposta corretta.
D: y = (3x)² – 2x² + 1 → y = 9x² – 2x² + 1
E: y = (3x)² – 2x + 1 → y = 9x² – 2x + 1
La risposta corretta è C.
Esempio 2
Nella scatola A vi sono 9 palline verdi e 4 rosse. Nella scatola B vi sono
invece 12 palline verdi e 5 rosse. Quante palline verdi dovrebbero essere
spostate dalla scatola A alla B per far sì che la frazione di palline verdi in A
sia uguale alla frazione di palline rosse in B?
A 5
B 8
C 4
D 7
E 2
Detti V il numero delle palline verdi e R quello delle palline rosse, il
rapporto richiesto fra le palline della scatola A si esprime VA/RA, mentre il
rapporto fra le palline nella scatola B è RB/VB.
L'uguaglianza si scrive: VA/RA = RB/VB
Dette x le palline verdi da togliere dalla scatola A possiamo scrivere il
rapporto come (9 – x)/4.
Per la scatola B il rapporto è dato da: 5/(12 + x), quindi:
(9 – x)/4 = 5/(12 + x)
Moltiplicando per il m.c.m. e svolgendo i calcoli, si ottiene l'equazione:
x² + 3x – 88 = 0 da cui
x1 = (–3 – 19)/2 = –22/2
x2 = (–3 + 19)/2 = 16/2 = 8
Si considera solo il numero positivo, ossia 8.
La risposta corretta è D.
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Disequazioni
Il concetto di maggiore o minore tra due espressioni, proprio di una
disuguaglianza, implica l'aver stabilito una relazione d'ordine tra gli
elementi considerati. Poiché vengono qui trattate solamente disuguaglianze
tra elementi numerici, il concetto di relazione d'ordine è intuitivo, e può
essere rappresentato graficamente da una retta orientata, sulla quale
qualsiasi numero reale occupa una posizione precisa relativamente a numeri
più piccoli o più grandi.
Disuguaglianze e disequazioni ricalcano il modello del rapporto tra
uguaglianze ed equazioni già visto nella sezione Equazioni.
L'unica grande differenza tra equazioni e disequazioni sta nel fatto che
mentre le prime devono essere verificate per valori puntuali delle variabili,
le disequazioni sono verificate per valori delle variabili compresi in un
intervallo.
La loro risoluzione consiste quindi nel risolvere l'equazione corrispondente
e quindi utilizzare le radici dell'equazione per identificare gli intervalli di
valori delle variabili all'interno (o all'esterno) dei quali la disequazione è
soddisfatta.
In caso di equazioni di secondo grado o della composizione di più
disequazioni (per esempio nelle disequazioni fratte), riveste quindi
particolare importanza la rappresentazione grafica degli intervalli.
Gli argomenti trattati all'interno della sezione sono i seguenti:
• Disuguaglianze
• Disequazioni equivalenti
• Disequazioni lineari
• Disequazioni di secondo grado
• Disequazioni polinomiali
• Disequazioni frazionarie
Disuguaglianze
Dati due numeri a e b appartenenti all'insieme dei numeri reali è sempre
possibile stabilire fra essi una delle seguenti relazioni d'ordine:
a > b; a = b; a < b
Le relazioni a > b e a < b sono disuguaglianze. Due disuguaglianze che
hanno lo stesso simbolo, per esempio entrambe >, sono concordi, o dello
stesso verso; due disuguaglianze che hanno simboli opposti, per esempio >
e <, sono dette discordi o di verso contrario.
Le disuguaglianze godono delle seguenti proprietà.
1. Aggiungendo (o sottraendo) uno stesso numero, positivo o negativo, a
entrambi i membri della disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza nello
stesso verso. Se a, b, c sono numeri reali:
a>b→a+c>b+c
a<b→a+c<b+c
2. Moltiplicando (o dividendo) per uno stesso numero positivo entrambi i
membri della disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza nello stesso
verso.
Se a, b, c sono numeri reali e c > 0
a > b → ac > bc; a > b → a:c > b:c;
a < b → ac < bc; a < b → a:c < b:c
3. Moltiplicando (o dividendo) per uno stesso numero negativo entrambi i
membri della disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza discorde.
Se a, b, c sono numeri reali e c < 0
a > b → ac < bc; a> b → a:c < b:c
a < b → ac < bc; a < b → a:c < b:c
4. Elevando a potenza con esponente intero positivo n diverso da zero i due
membri di una disuguaglianza, entrambi maggiori di zero, si ottiene una
disuguaglianza concorde con quella data.
Se a, b sono numeri reali, a > 0 e b > 0, n è intero positivo, n ≠ 0
a > b → an > bn
a < b → an < bn
5. Elevando a potenza con esponente intero negativo n diverso da zero i due
membri di una disuguaglianza, entrambi maggiori di zero, si ottiene una
disuguaglianza discorde con quella data.
Se a, b sono numeri reali, a > 0 e b > 0, n è intero negativo, n ≠ 0
a > b → an < bn
a < b → an > bn
In particolare se n = –1 si ha
a > b → 1/a < 1/b, a < b → 1/a >1/b
ossia, la disuguaglianza fra i reciproci di due numeri diversi da zero e con lo
stesso segno ha verso contrario rispetto a quella data.
Esempio 1
Se x è maggiore di 3 allora:
A x/b > 3/b, per ogni b numero relativo
B 3/x < 0
C x³ < 27
D (3 – x)³ < 0
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
Se x > 3, x è un numero positivo.
Analizziamo le diverse opzioni. La risposta A è sbagliata in quanto deve
essere b ≠ 0, poiché b è denominatore di una frazione.
La risposta B è sbagliata perché il rapporto fra due numeri positivi è
maggiore di zero.
C è sbagliata perché il cubo di un numero positivo maggiore di 3 è
maggiore di 27.
Analizziamo la risposta D. (3 – x) è un numero negativo, il cubo di un
numero negativo è negativo, perciò la risposta è corretta.
Esempio 2
Se x ≠ 0, quale di queste affermazioni è corretta?
A 1/x < x per ogni x tranne x = 1
B 1/x > x quando 0 < x < 1 o quando x ≤ –1, ma 1/x < x quando –1 < x < 0
o quando x ≥ 1
C 1/x > x quando 0 < x < 1 o quando x < –1, ma 1/x < x quando –1 < x < 0
o quando x > 1
D 1/x > x quando –1 < x < 0 o quando x > 1, ma 1/x < x quando –0 < x < 1
o quando x < –1
E Nessuna delle precedenti affermazioni è corretta
Esaminiamo per quali valori 1/x < x.
Il reciproco di un numero è minore del numero stesso per x > 1 o –1 < x < 0.
Il reciproco è maggiore del numero stesso per x < –1 o per 0 < x < 1.
Analizzando le risposte e confrontandole con le soluzioni trovate si scarta
A; inoltre si scarta D perché inverte i segni della disuguaglianza e B perché
considera anche la soluzione uguale a 1, che non è prevista nella
disuguaglianza di partenza. La risposta corretta è C.
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Disequazioni equivalenti
Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni algebriche
verificata per un insieme di valori attribuiti alle incognite.
Una disequazione in una sola variabile x assume le forme seguenti
a(x) < b(x)
a(x) > b(x)
dove a(x) e b(x) sono espressioni algebriche nella variabile x.
I simboli < e > possono essere sostituiti dai simboli ≤ e ≥, che stanno a
indicare che, oltre alla disuguaglianza in senso stretto, la disequazione è
soddisfatta anche quando i due membri sono uguali.
Come per le equazioni, l'espressione a sinistra del simbolo è detta primo
membro; l'espressione a destra è detta secondo membro.
La variabile x è chiamata anche incognita; i termini presenti nelle
espressioni a(x) e b(x) che non contengono l'incognita sono i termini noti
della disequazione.
Il grado della disequazione rispetto a una incognita è l'esponente massimo
con cui compare l'incognita nella disequazione.
La disequazione di primo grado a una incognita è detta disequazione
lineare.
Risolvere una disequazione significa trovare l'insieme S delle soluzioni,
ossia l'intervallo di valori che attribuiti all'incognita trasformano la
disequazione in una disuguaglianza vera.
La procedura risolutiva di una disequazione ha lo scopo di semplificare
l'espressione di una disequazione in una equivalente a quella data.
Due disequazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle
soluzioni.
Per risolvere una disequazione è opportuno trasformarla, applicando le
regole del calcolo letterale, in una più semplice a essa equivalente,
utilizzando i principi di equivalenza che si basano sulle proprietà delle
disuguaglianze numeriche.
Primo principio. Addizionando o sottraendo a entrambi i membri lo stesso
numero o la stessa espressione algebrica, con lo stesso dominio della
disequazione, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.
Secondo principio. Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una
disequazione per la stessa quantità numerica, maggiore di zero, si ottiene
una disequazione equivalente a quella data.
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per la
stessa quantità numerica, minore di zero, si ottiene una disequazione
equivalente a quella data, con verso opposto.
In questo caso si deve, cioè, cambiare il verso della disequazione, ovvero
sostituire il simbolo > con < e viceversa.
Da un punto di vista operativo i principi consentono di svolgere le seguenti
operazioni:
• portare un termine da un membro all'altro cambiando segno. Questo
consente di portare tutti termini in un unico membro, ponendo l'altro
uguale a zero;
• elidere due monomi uguali che si trovano uno al primo e uno al secondo
membro; elidere due monomi opposti presenti nello stesso membro;
• moltiplicare o dividere tutti i termini per un fattore numerico positivo;
• moltiplicare o dividere tutti i termini per un fattore numerico negativo,
cambiando il verso della disequazione;
• cambiare i segni di tutti i termini purché si cambi anche il verso della
disequazione: ciò equivale a moltiplicare per –1 i termini di entrambi i
membri;
• se i coefficienti numerici sono frazionari, moltiplicare tutti i termini per il
m.c.m. dei loro denominatori, sempre rispettando la regola del segno
(cioè cambiando il verso alla disequazione se il m.c.m. è negativo).
Esempio
Una sola delle seguenti disequazioni è equivalente a 4x – 4 > 9x + 6
A 12x > 10
B x < –10/5
C –5x < –10
D 5x < 10
E x > –10/5
Applicando i principi di equivalenza spostiamo i termini in x al primo
membro e i termini noti al secondo:
4x – 9x > 6 + 4 → –5x > 10
Moltiplichiamo entrambi i membri per –1, e cambiamo il verso della
disequazione:
5x < –10
Dividendo per 5 entrambi i membri si ottiene:
x < –10/5. Risposta B.
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Disequazioni lineari
1. Intervalli
Per esprimere le soluzioni di una disequazione, che di solito non sono in
numero finito nell'insieme dei numeri reali, si utilizza il concetto di
intervallo. Un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali.
Dati due numeri reali a e b con a < b, un intervallo è ognuno dei
sottoinsiemi dei numeri reali proposti in tabella. a e b sono gli estremi
dell'intervallo limitato la cui rappresentazione geometrica è un segmento.
In base alle convenzioni ci sono quattro tipi di intervalli limitati.
intervallo
simbolo rappr.
insiemistica
aperto
(a,b)
{x ∈ ℝ; a < x <
b}
chiuso
[a,b]
{x ∈ ℝ; a ≤ x ≤
b}
chiuso a
destra
(a,b]
{x ∈ ℝ; a < x ≤
b}
chiuso a
sinistra
[a,b)
{x ∈ ℝ; a ≤ x <
b}
rappresentazione grafica
Quando uno dei due estremi invece di essere un numero reale è infinito (che
si rappresenta graficamente con il simbolo ∞), si ha un intervallo illimitato
la cui rappresentazione geometrica è una semiretta di origine c.
In base alle convenzioni ci sono quattro tipi di intervalli illimitati.
intervallo
simbolo rappr.
insiemistica
aperto a
destra
(–∞,c) {x ∈ ℝ; x < c}
chiuso a
destra
aperto a
(–∞,c] {x ∈ ℝ; x ≤ c}
(c,+∞) {x ∈ ℝ; x > c}
rappresentazione grafica
sinistra
chiuso a
sinistra
[c,+∞) {x ∈ ℝ; x ≥ c}
La rappresentazione grafica è utile per determinare le soluzioni delle
disequazioni di secondo grado, e di particolari sistemi di equazioni e
disequazioni.
2. Disequazioni lineari
Una disequazione di primo grado in una incognita e con coefficienti interi è
detta anche disequazione lineare. Può assumere una delle seguenti forme:
ax + b > 0 oppure ax + b < 0
(oppure con i segni ≥ o ≤ ) dove a e b sono numeri reali. Il dominio di
queste disequazioni è l'insieme dei numeri reali.
• Se a > 0, a seconda del verso della disequazione possiamo avere i
seguenti casi:
disequazione soluzione
algebrica
ax + b > 0
x > –b/a
ax + b ≥ 0
x ≥ –b/a
ax + b < 0
x < –b/a
ax + b ≤ 0
x ≤ –b/a
soluzione grafica
• Se a < 0, si invertono i segni delle soluzioni. Per esempio:
ax + b > 0 a < 0 x < –b/a
• Se a = 0 si hanno i seguenti casi degeneri:
– se b > 0, la disequazione è indeterminata (è soddisfatta per qualsiasi
valore di x);
– se b ≤ 0, la disequazione è impossibile (non esiste alcun valore di x che
la soddisfa).
Esempio
La disequazione: x/2 + (x + 1)/3 > (x + 2)/4 ha per soluzione l'intervallo:
A x > –2/7
B x > –7/2
C x < 2/7
D x > 2/7
E x > 10/7
Trasformiamo le frazioni a denominatore comune. Il m.c.m. di 3 e 4 è 12.
Eseguendo i calcoli si ha:
6x + 4x + 4 > 3x + 6
Portando i termini in x nel primo membro e i termini noti nel secondo si
ottiene:
6x + 4x – 3x > 6 – 4 → 7x >2 → x > 7/2.
Risposta D.
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Disequazioni di secondo grado
Una disequazione intera di secondo grado, o quadratica, nell'incognita x, ha
una delle seguenti forme canoniche:
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < 0
(oppure con i segni ≥ o ≤ ) dove a e b sono numeri reali. In tutti casi deve
essere a ≠ 0; in caso contrario la disequazione è lineare.
• Una disequazione può sempre essere ridotta in forma canonica applicando
i principi di equivalenza.
• Per comodità di solito si applicano i principi di equivalenza anche per far
sì che il coefficiente a del termine di secondo grado sia maggiore di zero.
Di seguito supporremo sempre a > 0.
Risolvere una disequazione quadratica significa determinare gli intervalli di
valori che assegnati alla variabile x rendono il trinomio maggiore o minore
di zero.
Per studiare il segno del trinomio è necessario determinare le radici (o
soluzioni) dell'equazione associata ax² + bx + c = 0 (si veda il paragrafo
sulle equazioni di secondo grado).
Posto Δ = b² – 4ac, si possono avere tre casi, a seconda che sia Δ < 0, Δ > 0,
Δ = 0.
1. Δ < 0
L'equazione associata ax² + bx + c = 0, non ammette soluzioni reali.
La disequazione ax² + bx + c > 0 è indeterminata, ovvero è verificata per
ogni valore di x (anche nel caso in cui il segno della disuguaglianza sia ≥).
La disequazione ax² + bx + c < 0 è impossibile, ovvero non è verificata per
nessun valore di x (anche nel caso in cui il segno della disuguaglianza sia
≤).
2. Δ > 0
Il trinomio ax² + bx + c può essere scomposto come:
a(x – x1)(x – x2)
dove x1 e x2 (poniamo qui x1 > x2) sono le soluzioni dell'equazione
associata ax² + bx + c = 0.
Poiché abbiamo posto a > 0, gli intervalli per i quali la disequazione è
verificata sono gli intervalli in cui il prodotto (x – x1)(x – x2) è positivo (nel
caso ax² + bx + c > 0) o negativo (nel caso ax² + bx + c < 0).
Studiamo in dettaglio i due casi:
• caso a)
ax² + bx + c > 0
a(x – x1) (x – x2) > 0
Ricordiamo che (x – x1) > 0 → x > x1 e (x – x2) > 0 → x > x2.
Il prodotto dei fattori è maggiore di zero per
x < x1 e x > x2
ossia nell'intervallo (–∞, x1) e (x2,+∞)
La rappresentazione grafica corrispondente è la seguente:
Se il segno della disuguaglianza è ≤, le soluzioni comprendono anche i
valori x1 e x2, e gli intervalli sono perciò chiusi: (–∞, x1] e [x2,+∞). La
rappresentazione grafica corrispondente è la seguente:
• caso b)
ax² + bx + c < 0
a (x – x1) (x – x2) < 0
Il prodotto dei fattori è minore di zero per
x1 < x < x2
ossia nell'intervallo (x1, x2).
La rappresentazione grafica corrispondente è la stessa del caso a, ma la
sua interpretazione è diversa perché bisogna considerare gli intervalli in
cui il prodotto dei segni è negativo:
Se il segno della disuguaglianza è ≥, le soluzioni comprendono anche i
valori x1 e x2, e l'intervallo è perciò chiuso: [x1, x2]. La rappresentazione
grafica è la seguente:
3. Δ = 0
L'equazione associata ax² + bx + c = 0 ammette due soluzioni reali e
coincidenti x1 = x2.
Eseguendo la scomposizione si ottiene quindi
a(x – x1)(x – x1) = a(x – x1)²
Si può riscrivere la disequazione in una delle forme equivalenti:
a(x – x1)² > 0
a(x – x1)² < 0
• caso a)
a(x – x1)² > 0
(x – x1)² > 0
(x – x1)² è un quadrato per cui è sempre maggiore di zero, tranne nel
punto x = x1 in cui si annulla.
La disequazione è verificata per ogni x ≠ x1.
Se il segno della disuguaglianza è ≥, la soluzione comprende anche il
valore x1, e la disequazione è verificata per ogni valore di x.
• caso b)
a(x – x1)² < 0
(x – x1)² < 0
(x – x1)² è un quadrato per cui è sempre maggiore di zero, tranne nel
punto x = x1 in cui si annulla.
La disequazione non è mai verificata.
Se il segno della disuguaglianza è ≤, la soluzione comprende anche il
valore x1, e la disequazione è quindi verificata solo per x = x1.
Esempio 1
La soluzione della disequazione 15 – 7x – 2x² > 0 è:
A –5 < x < 1,5
B –1,5 < x < 5
C x < –1,5 o x > 5
D x > 1,5
E x < –5 o x > 1,5
Primo metodo. Riscriviamo la disequazione nella forma canonica, in modo
da avere il coefficiente del termine di secondo grado positivo. Poiché si
moltiplica per –1, si inverte il segno di disuguaglianza.
2x² + 7x – 15 < 0
Calcoliamo le radici dell'equazione associata 2x² + 7x – 15 = 0.
Δ = 49 + 120 = 169 > 0, l'equazione ha due soluzioni distinte.
da cui si ricava
x1 = –5 e x2 = 3/2 = 1,5.
Poiché si richiede per quali valori di x la disequazione è minore di zero,
dobbiamo considerare i valori interni all'intervallo x1, x2. La soluzione è –5
< x < 1,5, risposta A.
Secondo metodo. Possiamo anche risolvere il quesito facendo alcune
considerazioni.
Una volta riscritta l'equazione nella forma 2x² + 7x – 15 < 0, si deduce che
le soluzioni sono interne all'intervallo delle soluzioni, per cui si possono
escludere le opzioni C, D, E.
Per determinare fra A e B la soluzione corretta possiamo sostituire
nell'equazione un valore degli estremi, e verificare quale soddisfa
l'equazione associata. Per esempio, sostituiamo 5: 50 + 35 – 15 > 0, per cui
la risposta B è sbagliata. La risposta corretta è perciò A.
Esempio 2
Per quali valori di x risulta x² > 100?
A x < –10
B –10 < x < 10
C x > 10
D x < –10 o x > 10
E Nessuno
Primo metodo. Dall'equazione associata x² = 100 si ricavano le radici x1 = –
10 e x2 = 10. La disequazione è verificata per i valori di x esterni
all'intervallo, ovvero per x < –10 o per x > 10.
Secondo metodo. Il coefficiente a è positivo, il segno della disequazione è
anch'esso positivo e la disequazione è quindi soddisfatta per valori esterni
alle radici (che sono due) dell'equazione associata. Le risposte A, B, C non
soddisfano queste richieste. A e C considerano una sola soluzione, B
l'intervallo compreso fra le radici. L'unica risposta valida è D.
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Disequazioni polinomiali
Una disequazione razionale intera di grado superiore al secondo in
un'incognita è detta anche disequazione polinomiale.
La sua forma canonica è del tipo
A(x) > 0
A(x) < 0
A(x) > 0 è un polinomio di grado n > 2, che può essere scomposto nel
prodotto di fattori di primo o secondo grado.
La soluzione della disequazione si ricava studiando il segno di ciascun
fattore, come nel caso di disequazioni lineari e quadratiche, e determinando
poi l'intervallo di valori in cui il prodotto dei vari fattori risulta positivo o
negativo.
Esempio
La disequazione x³ – x² – 2x < 0 è soddisfatta per
A x<0ox>2
B –1 < x < 0
C x < –1 o 0 < x < 2
D x < –1 o x > 0
E –1 < x < 2
Riduciamo la disequazione polinomiale nel prodotto di fattori di primo o
secondo grado.
Raccogliendo x si ottiene:
x (x² – x – 2) < 0
Troviamo le radici dell'equazione x² – x – 2 = 0
da cui x1 = –1 e x2 = 2.
Verifichiamo per quali valori i termini sono maggiori di 0:
x>0
per qualsiasi x
x² – x – 2 > 0
per –1< x o x > 2
La disequazione è minore di zero quando il prodotto dei termini è negativo,
ossia quando i due termini hanno segno opposto.
Rappresentiamo graficamente le soluzioni
I due termini hanno segno opposto per x < –1 o 0 < x < 2. Risposta C.
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Disequazioni frazionarie
Le disequazioni frazionarie (o fratte) sono quelle in cui al denominatore
compaiono polinomi di primo o secondo grado (o ad essi riducibili).
I denominatori presenti nelle disequazioni frazionarie non possono essere
eliminati moltiplicando tutti i termini per il minimo comune multiplo.
Infatti non si può conoscere a priori il segno del m.c.m., che contiene
l'incognita, perciò non si può stabilire se il verso della disequazione rimane
lo stesso o vada cambiato a seguito della moltiplicazione.
Per risolvere una disequazione frazionaria, la si riduce a una delle due
forme
Si studia poi separatamente il segno del numeratore e del denominatore e si
determinano gli intervalli in cui sono concordi o discordi. Si ricava quindi
per quali intervalli il rapporto fra numeratore e denominatore è positivo o
negativo, ossia dove la disequazione fratta risulta > 0 o < 0.
Esempio
La disequazione
ammette come soluzione:
A x < –1
B –1 < x < –1/5
C –1< x ≤ –1/5
D –1 ≤ x ≤ –1/5
E x ≤ –1/5
Eseguiamo i calcoli per ridurre la disequazione nella forma
.
Riduciamo le due frazioni allo stesso denominatore comune: m.c.m. = 5(x +
1)
Poniamo separatamente il numeratore N ≥ 0 e il denominatore D > 0, in
quanto per le condizioni di esistenza non può mai essere D = 0. Risolviamo
le due equazioni associate.
N: 40x + 8 = 0 → x = –1/5, da cui N ≥ 0 per x ≥ –1/5.
D: 5 (x + 1) ≠ 0 → x ≠ –1, da cui D > 0 per x > –1.
Rappresentiamo graficamente le soluzioni
La disequazione è ≤ 0 nell'intervallo in cui N e D hanno segno discorde,
ossia per –1 < x < –1/5. Risposta esatta B.
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Sistemi
Si parla di sistemi quando due o più equazioni o disequazioni devono essere
verificate contemporaneamente. Graficamente si esprime tale
contemporaneità raccogliendo le equazioni o le disequazioni con una
parentesi graffa aperta posta alla loro sinistra:
I sistemi sono dunque utilizzati ogniqualvolta una sola variabile non basta a
descrivere completamente un problema.
Un sistema è risolubile quando il numero delle equazioni (o delle
disequazioni) è almeno pari al numero delle variabili incognite.
Per risolvere un sistema, che costituisce il capitolo finale dell'algebra
classica, è necessario fare ricorso ai metodi di risoluzione già illustrati nelle
sezioni sulle Equazioni e sulle Disequazioni.
Gli argomenti trattati all'interno della sezione sono i seguenti:
• Sistemi lineari
• Sistemi di secondo grado
• Problemi risolubili con sistemi
• Sistemi di disequazioni
• Equazioni risolubili con sistemi
Sistemi lineari
Un sistema lineare è composto da una coppia di due equazioni lineari in
due incognite x e y:
Per risolvere un sistema lineare è necessario ricavare dal sistema un'unica
equazione risolvente in una sola incognita, dalla quale si ricava il valore di
una delle due variabili il quale, sostituito nell'altra equazione, fornisce il
valore della seconda incognita.
Un sistema lineare ammette una e una sola coppia ordinata di valori solo se
l'equazione risolvente è determinata.
A seconda delle relazioni che si stabiliscono fra i coefficienti delle due
equazioni il sistema è:
• determinato, quando
• indeterminato, quando
• impossibile, quando
Esempio 1
Quale tra i seguenti sistemi è impossibile?
A
B
C
D
E
Per verificare se un sistema ammette soluzioni calcoliamo le relazione fra i
coefficienti.
A a/a' = 3/1 = 3; b/b' = 3/1 = 3. I due rapporti sono uguali; verifichiamo
allora anche c/c': poiché anch'esso è uguale a 3, il sistema è indeterminato.
B a/a' = 1/1; b/b' = 2/1 = 2. I due rapporti sono diversi, dunque il sistema è
determinato.
C a/a' = 1/2; b/b' = 1/3. I due rapporti sono diversi, il sistema è determinato.
D a/a' = 1/2; b/b' = 1/2. I due rapporti sono uguali; verifichiamo allora
anche c/c' = 1/3, che è diverso dagli altri due, dunque il sistema è
impossibile. D è la risposta corretta.
E a/a' = 5/1; b/b' = 1/1. I due rapporti sono diversi, il sistema è determinato.
Se il sistema è determinato si procede alla sua risoluzione utilizzando il
metodo di sostituzione.
1. Si risolve un'equazione, scelta a piacere, rispetto a una incognita, ossia si
ottiene un'equazione del tipo y = f(x) oppure x = f'(y).
2. Si sostituisce il valore dell'incognita trovata, che è un'espressione
algebrica, nell'altra equazione del sistema.
3. Si risolve l'equazione di primo grado ottenuta (equazione risolvente).
4. Si sostituisce il valore trovato per questa incognita nell'equazione del
punto 1, e si determina il valore della seconda incognita.
Esempio 2
Le equazioni y = 2x e x + y = 3 sono verificate contemporaneamente per:
A x=0ey=0
B x=1ey=2
C x = 1/2 e y = 1
D x = 3 e y = –1
E x=0ey=1
Trovare i valori per i quali due equazioni sono verificate
contemporaneamente equivale a risolvere il sistema lineare formato dalle
due equazioni:
1. La prima equazione è già risolta rispetto a y: y = 2x.
2. Sostituiamo 2x a y nella seconda equazione e otteniamo l'equazione
risolvente x + 2x = 3 che, risolta rispetto a x, dà x = 1.
3. Sostituendo x = 1 nella prima equazione otteniamo y = 2.
La risposta corretta è B.
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Sistemi di secondo grado
Il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi delle equazioni che lo
compongono.
Un sistema di secondo grado è composto da due equazioni in due incognite,
una di primo grado e una di secondo grado. Il sistema si risolve trovando
l'equazione risolvente del sistema, che è di secondo grado, applicando lo
stesso metodo spiegato nel paragrafo dei sistemi lineari.
A seconda del valore che assume il determinante Δ = b² – 4ac
dell'equazione risolvente si possono avere tre casi. Il sistema è:
• determinato quando Δ > 0; l'equazione risolvente ha due soluzioni reali e
distinte;
• indeterminato quando Δ = 0; l'equazione risolvente ammette infinite
soluzioni;
• impossibile quando Δ < 0; l'equazione risolvente non ha soluzioni reali.
Esempio
Il sistema
A ha due soluzioni distinte
B ha infinite soluzioni
C non ha soluzioni
D ha una sola soluzione
E ha due soluzioni coincidenti
Ricaviamo dalla seconda equazione: x = –(3/4) y
Sostituiamo il valore nella prima equazione del sistema:
4[(–3/4) y]² – 9y² – 36 = 0 → 9(– 3y² – 16) = 0 → y² = – 16/3
Poiché un numero elevato al quadrato non può mai essere negativo,
l'equazione risolvente non ha soluzione reale, per cui anche il sistema non
ha soluzioni ed è impossibile. Risposta C.
1. Sistemi simmetrici
Alcuni sistemi di secondo grado si distinguono per una particolare
caratteristica: scambiando tra loro le variabili il sistema non varia. Questi
sistemi sono detti simmetrici e la forma tipica è:
Poiché scambiando tra loro x e y il sistema non cambia, le sue soluzioni, se
esistono, sono le due coppie ordinate (x,y) e (y,x).
Questi sistemi possono essere risolti applicando la relazione che esiste fra i
coefficienti di un'equazione di secondo grado e le sue soluzioni: in
un'equazione di secondo grado del tipo: t² – st + p = 0, in cui s = x + y e p =
x · y, le soluzioni – se esistono – sono le soluzioni (t1,t2) e (t2,t1)
dell'equazione nell'incognita ausiliaria t.
Esempio
Quale delle seguenti è una delle coppie di soluzioni del sistema
A x = 1, y = –6
B x = 3, y = –2
C x = –1, y = 6
D x = 2, y = –3
E x = 1, y = –2
Il sistema è simmetrico, possiamo perciò risolverlo utilizzando l'equazione
ausiliaria in t:
t² – 1t – 6 = 0
Il suo determinante Δ = 1 + 24 = 25 è positivo, dunque il sistema ammette
le due soluzioni t1 = (1 + 5)/2 = 3 e t2 = (1 – 5)/2 = –2, che corrisponono
alla risposta B. Il sistema ha anche come soluzione la coppia x = –2; y = 3.
I sistemi simmetrici sono utili, in particolare, per risolvere problemi
algebrici in cui si richiede di trovare il valore di due grandezze.
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Problemi risolubili con sistemi
I sistemi permettono di risolvere problemi di vario genere in cui un'unica
variabile incognita non è sufficiente a rappresentare la situazione.
Il sistema risolvente di un problema si determina traducendo le relazioni
enunciate nel testo del problema in relazioni fra variabili. Vediamo alcuni
esempi.
Esempio 1
Cinque fratelli sono nati a distanza di un anno l'uno dall'altro. La somma
delle loro età è uguale alla somma delle età dei genitori. La madre, che è più
giovane di cinque anni rispetto al padre, aveva 30 anni quando è nato il
primo figlio. Qual è l'età attuale della madre?
A 60 anni
B 50 anni
C 45 anni
D 55 anni
E Nessuna delle precedenti risposte è corretta
Dobbiamo scegliere le incognite rispetto alle quali scrivere in forma
matematica le relazioni date nel problema. Indichiamo con una variabile il
dato richiesto “età della madre” e con la seconda variabile l'età di un figlio:
per esempio con x l'età dell'ultimo nato e con y l'età della madre.
La madre aveva 30 anni quando è nato il primo figlio, perciò quando è nato
il quinto ne aveva 34. Oggi perciò ha y = x + 34 anni.
La somma delle età dei genitori si esprime: y + (y + 5)
La relazione fra l'età dei figli e quella dei genitori è data da:
x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) = y + (y + 5) → 5x + 10 = 2y
+5
Il sistema risolvente è perciò il seguente:
Da cui si ricava: 5x + 10 = 2(x + 34) + 5 → 3x = 63 → x = 21.
Sostituendo il valore trovato nella seconda equazione del sistema si ricava:
y = 21 + 34 = 55.
La risposta esatta è D.
Esempio 2
Trovare il numero tale che la somma delle sue cifre è 12, la cifra delle unità
è uguale a quella delle centinaia e scambiando tra loro la cifra delle unità e
quella delle decine si ottiene un numero che supera di 27 quello di partenza.
A 444
B 282
C 525
D 353
E 535
Indichiamo con x la cifra delle unità (quindi anche quella delle centinaia) e
con y quella delle decine. Utilizzando la notazione esponenziale possiamo
esprimere il numero nella forma 100x + 10y + x.
La somma delle cifre del numero è 12, ovvero x + y + x = 12 → 2x + y = 12.
Scambiando la cifra delle unità con quella delle decine si ottiene il nuovo
numero: 100x + 10x + y.
Questo numero è pari al numero di partenza + 27: 100x + 10x + y = 27 +
100x + 10y + x → x – y = 3.
Impostiamo dunque il sistema
Da cui si ricava
Il numero cercato pertanto è 5 · 100 + 2 · 10 + 5 = 525. Risposta corretta:
C.
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Sistemi di disequazioni
Un sistema di disequazioni è costituito da due o più disequazioni in
un'incognita.
L'insieme S delle soluzioni del sistema è dato dall'intervallo di valori che
soddisfa contemporaneamente tutte le disequazioni, quindi è l'intersezione
tra gli insiemi delle soluzioni delle singole disequazioni.
Per risolvere un sistema di disequazioni è perciò necessario:
• risolvere ogni disequazione singolarmente trovando l'intervallo che le
soddisfa;
• determinare – se esiste – l'intervallo comune tra i vari intervalli di
soluzione di ciascuna disequazione.
Esempio
Quale intervallo soddisfa il sistema:
A x > 1/5
B x >1/2
C x < 1/2
D 1/5 < x < 1/2
E x < 1/5
Risolviamo separatamente ciascuna disequazione del sistema.
5x – 1 > 0 → x > 1/5
1 – 2x < 0 → 2x – 1 > 0 → x > 1/2
Rappresentiamo graficamente le soluzioni
L'intervallo comune alle due disequazioni e x > 1/2. Risposta B.
1. Disequazioni con valori assoluti
Quando una disequazione presenta espressioni contenenti il valore assoluto
(o modulo), per risolverla è necessario trasformare la disequazione in un
sistema di due disequazioni.
Infatti, poiché un valore assoluto non può per definizione assumere valori
negativi, le soluzioni di una disequazione della forma
|A(x)| < a oppure |A(x)| > a
con a > 0, in cui l'espressione A(x) contiene valori assoluti, corrispondono
alle soluzioni del sistema:
Esempio
Per quali valori di x è verificata la disequazione |2x + 3| < 5x – 1
A x < 4/3
B –2/7 < x < 4/3
C x > 2/7
D x > 4/3
E x < –2/7
La disequazione è equivalente al sistema di disequazioni
L'intervallo di soluzioni comuni delle sue disequazioni e x > 4/3. Risposta
D.
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Equazioni risolubili con sistemi
Esistono alcuni tipi di equazioni che per la loro caratteristica devono essere
trasformate in un sistema prima di poter essere risolte.
1. Equazioni irrazionali
Un'equazione è irrazionale se l'incognita compare come argomento di
espressioni radicali (sotto il segno di radice).
Per risolvere un'equazione irrazionale è necessario elevare a potenza i due
membri dell'equazione, in modo da ottenere un'equazione razionale;
l'equazione risultante, in generale, non è equivalente a quella di partenza:
l'equazione razionale può infatti ammettere soluzioni che non sono anche
soluzioni dell'equazione irrazionale di partenza. Prima di procedere
all'elevamento a potenza è perciò necessario determinare il dominio
dell'equazione irrazionale.
Un'equazione irrazionale contenente un solo radicale si presenta nella
forma:
A seconda dell'indice, abbiamo due casi:
• se l'indice del radicale è dispari, il dominio di A(x) è ℝ, per cui
l'equazione può essere risolta elevando entrambi i membri alla n-esima
potenza. Infatti, con n dispari, a = b → an = bn;
• se invece l'indice del radicale è pari, l'argomento della radice deve essere
sempre maggiore di zero, e l'espressione nel secondo membro non può
essere negativa. Il dominio dell'equazione è perciò la soluzione del
sistema di disequazioni:
Dopo aver determinato le soluzioni di tale sistema, è possibile elevare alla
n-esima potenza entrambi i membri, risolvendo l'equazione:
A(x) = [B(x)]n
Delle radici trovate si accetteranno solo quelle che appartengono all'insieme
delle soluzioni del sistema, ossia al dominio.
Esempio
L'equazione
ammette come soluzione:
A x=1
B x = –1
C x = –1/2
D x=2
E nessuna soluzione reale
Analizziamo i due membri dell'equazione.
sempre
Ora passiamo ad analizzare A(x); poniamo l'argomento del radicale > 0
La disequazione fratta è > 0 quando numeratore e denominatore hanno
segni concordi (entrambi positivi ed entrambi negativi):
N < 0: –(x² + 1) < 0 per qualsiasi x.
D < 0: per x < 0.
Le condizioni di esistenza del radicale sono x < 0.
Elevando al quadrato i due membri dell'equazione di partenza e svolgendo i
calcoli si ottiene:
x² + 2x + 1 = 0
Δ=4–4=0
L'equazione ha due soluzioni reali coincidenti x1 = x2 = –1.
Poiché –1 < 0, la soluzione è accettabile. Risposta B.
2. Equazioni con valori assoluti
Le equazioni in cui compare il valore assoluto dell'incognita o di una o più
espressioni che la contiene si risolvono utilizzando due sistemi.
La sua forma canonica è:
|A(x)| = a
Il valore assoluto infatti non può per definizione assumere valori negativi.
L'insieme delle soluzioni dipende dal segno di a.
1. a > 0
La soluzione è data dall'unione dei due sistemi misti:
I sistemi misti sono formati da un'equazione e una disequazione.
L'insieme delle soluzioni dei sistemi misti si ottiene intersecando gli
intervalli di soluzione di ciascuna relazione del sistema.
2. a = 0
L'equazione e risolvibile, e l'unica soluzione è:
A(x) = 0
3. a < 0
L'equazione non ha soluzioni, è dunque impossibile.
Esempio
L'equazione nell'incognita reale |x² – 3x| = –4x + 6
A ha un'unica soluzione
B ha due soluzioni positive
C ha due soluzioni di segno opposto
D ha quattro soluzioni
E non ha soluzioni
La soluzione dell'equazione, in cui è presente un valore assoluto, è data
dall'unione delle soluzioni dei due sistemi misti:
a) Risolviamo il primo sistema
Determiniamo le soluzioni dell'equazione
x² – 3x = –4x + 6 → x² + x – 6 = 0 → (x + 3) (x – 2) = 0
Da cui x1 = –3 e x2 = 2
Determiniamo le soluzioni della disequazione
x² – 3x ≥ 0 → x (x – 3) ≥ 0
La disequazione è soddisfatta per x < 0 o x ≥ 3
Rappresentiamo le soluzioni trovate in uno schema grafico
Dal grafico si deduce che solo x = –3 soddisfa le condizioni della
disequazione, x = 2 non è compreso nell'intervallo di soluzione, per cui è
inaccettabile.
b) Risolviamo il secondo sistema
Determiniamo le soluzioni dell'equazione
x² – 3x = –(–4x + 6) → x² – 7x + 6 = 0 → (x – 1) (x – 6) = 0
Da cui x1 = 1 e x2 = 6
Determiniamo le soluzioni della disequazione
x² – 3x < 0 → x (x – 3) < 0
La disequazione è soddisfatta per 0 < x < 3
Rappresentiamo le soluzioni trovate in uno schema grafico
Dal grafico si deduce che solo x = 1 soddisfa le condizioni della
disequazione; x = 6 non è compreso nell'intervallo di soluzione, per cui è
inaccettabile.
L'insieme di soluzioni dell'equazione è perciò x = –3, x = 1, che sono due
soluzioni di segno opposto. Risposta C.
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Geometria analitica
La geometria analitica è quella parte della geometria che studia le proprietà
degli enti geometrici secondo il metodo introdotto dal matematico francese
Renato Cartesio (1596-1650) nel 1637, rappresentando questi ultimi
attraverso un sistema di coordinate cartesiane e stabilendo tra esse relazioni
algebriche.
Ciò permette di stabilire un rapporto biunivoco tra la rappresentazione
geometrica e quella analitica di un problema, utilizzando entrambe le
risorse per la sua soluzione.
La trattazione di base della geometria analitica contempla funzioni
rappresentabili in un piano cartesiano bidimensionale: gli elementi
fondamentali sono costituiti dalle rette (dal punto di vista algebrico
equazioni di primo grado in due variabili) e dalle coniche (circonferenze,
parabole, ellissi, iperboli, rappresentate da particolari equazioni di secondo
grado in due variabili).
Per un approfondimento sulle funzioni rappresentabili nel piano cartesiano,
si veda la sezione sulle Funzioni e quella sulla Trigonometria.
Gli argomenti trattati all'interno della sezione sono i seguenti:
• Piano cartesiano
• Retta
– equazioni della retta
– reciproche posizioni fra rette
– determinazione dell'equazione di una retta
– fascio proprio e improprio
– problemi risolubili con le rette
• Circonferenza
– equazione della circonferenza
– rette e circonferenze
• Parabola
– equazione della parabola
– intersezione con gli assi
– intersezione con una retta
• Ellisse
• Iperbole
• Problemi relativi alle curve
Piano cartesiano
1. Punti nel piano cartesiano
Si definisce retta orientata una retta sulla quale è stabilito un verso di
percorrenza, a partire da un punto O, detto origine.
Consideriamo nel piano due rette orientate perpendicolari che indichiamo
con x e y, che si intersecano in un punto O. Fissiamo su di esse un sistema
di riferimento prendendo O come punto di origine comune e fissando, per
comodità, una stessa unità di misura per entrambi gli assi.
Le rette x e y sono gli assi cartesiani, e in particolare la retta x è l'asse delle
ascisse e la retta y è l'asse delle ordinate. Per convenzione si sceglie x
come asse orizzontale, orientato da sinistra a destra, e y come asse verticale,
orientato dal basso all'alto. In questo modo nel piano si è stabilito un
sistema di riferimento di assi cartesiani che si indica con xOy oppure
Oxy.
Un piano dotato di un sistema di riferimento cartesiano è detto piano
cartesiano.
Consideriamo un punto P qualsiasi del piano e conduciamo da P le rette
parallele agli assi. Siano P1 e P2 le loro intersezioni con l'asse delle ascisse e
con quello delle ordinate. A P1 e P2 associamo i numeri reali xP e yP, che
rappresentano le ascisse e le ordinate sugli assi cartesiani. In questo modo a
ogni punto del piano corrisponde infatti una coppia ordinata di numeri reali
(x, y) che si chiamano coordinate di P: x è l'ascissa e y è l'ordinata.
Viceversa a ogni coppia ordinata di numeri reali (x, y) corrisponde uno e un
solo punto nel piano cartesiano. Per indicare che P ha coordinate x e y si
scrive P(x, y).
Alcune considerazioni
• L'origine O ha coordinate (0, 0).
• I punti A che appartengono all'asse delle ascisse hanno ordinata nulla:
A(x, 0)
• I punti B che appartengono all'asse delle ordinate hanno ascissa nulla:
B(0, y)
Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti che per
convenzione sono indicati con numeri romani e seguono un verso
antiorario.
Un punto P(x, y) che appartiene:
• al I quadrante ha entrambe le coordinate positive: x > 0, y > 0
• al II quadrante ha ascissa negativa e ordinata positiva: x < 0, y > 0
• al III quadrante ha entrambe le coordinate negative: x < 0, y < 0
• al IV quadrante ha ascissa positiva e ordinata negativa: x > 0, y < 0
Esempio
Il punto di coordinate (–x, –y), con x e y numeri reali, si trova nel:
A terzo quadrante
B primo quadrante
C secondo quadrante
D può trovarsi in qualunque quadrante
E sia nel primo che nel terzo quadrante
Le coordinate x e y sono numeri reali, per cui possono essere numeri
positivi, negativi o nulli.
Una volta fissato un valore di x e un valore di y, si considerano i valori
opposti rispetto agli assi cartesiani, che quindi, a loro volta, sono positivi,
negativi o nulli. Il punto perciò può trovarsi in qualunque quadrante.
Risposta D.
2. Distanza fra due punti
In un sistema di riferimento cartesiano Oxy consideriamo due punti A (xA,
yA) e B (xB, yB).
La distanza fra i due punti coincide con la misura del segmento di estremi A
e B.
Il segmento può essere considerato l'ipotenusa del triangolo rettangolo AHB
a cui si può applicare il teorema di Pitagora.
AB² = AH² + BH² da cui
La distanza AH è data da: d(A, H) = |xB – xA|
La distanza BH è data da: d(B, H) = |yB – yA|
La distanza AB:
Casi particolari
• Uno dei due punti è l'origine degli assi O(0, 0):
• I due punti si trovano sull'asse x, A(xA,0) e B(xB,0):
• I due punti si trovano sull'asse y, A(0, yA) e B(0,yB):
Esempio
Quale tra i seguenti punti ha distanza da (0, –4) pari a 5?
A (10, 6)
B (0, 9)
C (–3, 0)
D (5, 1)
E (0, 4)
La distanza fra due punti si calcola con la formula:
.
In questo caso xA = 0, per cui la formula si riduce a:
.
Deve essere d(A,B) = 5, che significa che
,
da cui si ricava che
.
Per determinare il risultato si possono sostituire le coordinate dei punti e
verificare quali soddisfano l'equazione, ossia per quali valori si ha
un'identità.
Esaminando le risposte si possono scartare le opzioni B ed E, perché hanno
ascissa uguale a 0, e quindi, come il punto dato, si trovano sull'asse y. La
loro distanza in questo caso è data dalla differenza delle ordinate che è
maggiore di 5. (dB = 13; dE = 8). Si scartano A e D perché per soddisfare
l'equazione solo il quadrato delle ascisse deve essere minore di 25.
L'unico punto che soddisfa le richieste è C:
.
Per rispondere si può applicare la relazione della distanza e calcolare il
risultato per ciascuna delle opzioni. Si può anche osservare che se la
distanza fra due punti deve essere uguale a 5, significa che il quadrato della
distanza deve essere uguale a 25.
Il punto dato ha coordinate (0, –4). Il quadrato dell'ordinata –4 è 16.
Pertanto l'unico punto che può soddisfare la relazione deve avere una
coordinata che dà come quadrato 9, (9 + 16 = 25), ossia uguale a ± 3.
L'unico punto che soddisfa le richieste è C, che ha ascissa uguale –3.
3. Punto medio di un segmento
In un sistema di riferimento cartesiano xOy consideriamo due punti A(xA,
yA) e B(xB,yB). Sia M il punto medio del segmento AB, e indichiamo con
xM l'ascissa e con yM l'ordinata di M.
In un piano cartesiano le coordinate del punto medio si determinano
calcolando la semisomma delle ascisse e la semisomma delle ordinate.
Esempio
Calcolare il punto medio del segmento avente come estremi i punti (p, 2p) e
(1 – 2p, 6p – 3)
A
B
C
D
E
Applicando le formule si ricava che
Risposta A.
4. Luoghi geometrici
In geometria si definisce luogo geometrico l'insieme di tutti e soli i punti
che godono di una stessa proprietà.
Nella geometria analitica la proprietà caratteristica di un luogo geometrico è
descritta dalla relazione tra l'ascissa x e l'ordinata y dei punti del piano. Un
luogo geometrico quindi è costituito da tutti e soli i punti che soddisfano
l'equazione del tipo f(x,y) = 0.
Ciò significa che se un punto P(px, py) appartiene al luogo geometrico,
allora le sue coordinate soddisfano l'equazione e viceversa se le sue
coordinate soddisfano l'equazione allora P appartiene al luogo.
Esempio
Dati due punti P(1, 2) e Q(–2, 3) verificare se appartengono al luogo
geometrico descritto dall'equazione 2x + 3y – 8 = 0.
Per appartenere al luogo geometrico le coordinate del punto devono
soddisfare l'equazione, perciò sostituendo si ha:
2(1) + 3(2) – 8 = 0 → 2 + 6 – 8 = 0
L'equazione è verificata: P appartiene al luogo geometrico.
Consideriamo il punto Q:
2(–2) + 3 (3) – 8 = 0 → –2 + 9 – 8 ≠ 0
L'equazione non è soddisfatta, Q non appartiene al luogo geometrico.
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Retta (1): equazioni della retta
1. Equazione implicita della retta
Nel piano cartesiano una retta è rappresentata da un'equazione di primo
grado nelle variabili x e y, del tipo:
ax + by + c = 0 con a e b non contemporaneamente nulli
che è detta equazione generale o equazione implicita della retta e
rappresenta una generica retta non passante per l'origine degli assi.
Gli assi cartesiani hanno rispettivamente equazione:
• asse x delle ascisse: y = 0
• asse y delle ordinate: x = 0
Casi particolari
• Una retta parallela all'asse x ha equazione y = k, e interseca l'asse y nel
punto A(0, k).
• I punti che appartengono alla parallela all'asse x hanno tutti la stessa
ordinata.
• Una retta parallela all'asse y ha equazione x = h, e interseca l'asse x nel
punto A(h, 0).
• I punti che appartengono a una parallela all'asse y hanno tutti la stessa
ascissa.
• La retta bisettrice del I e III quadrante ha equazione x = y.
• I punti appartenenti alla bisettrice del I e III quadrante hanno tutti
coordinate uguali: x = y.
• La retta bisettrice del II e IV quadrante ha equazione x = –y.
• I punti appartenenti alla bisettrice del II e IV quadrante hanno tutti
coordinate opposte: x = –y.
2. Equazione esplicita della retta
Se b ≠ 0 si può ricavare la variabile y in funzione di x trasportando ax e c al
secondo membro:
by = –ax – c → y = (–a/b)x – (c/b)
ponendo m = –a/b e q = –c/b si ottiene:
y = mx + q
che è l'equazione cartesiana o equazione esplicita della retta; m è il
coefficiente angolare della retta e il termine noto q è l'intercetta o ordinata
del punto di intersezione della retta con l'asse y.
Con b = 0 non si può ottenere la forma esplicita, quindi la forma y = mx + q
rappresenta tutte le rette escluse quelle parallele all'asse y per le quali non è
definito il coefficiente angolare.
3. Coefficiente angolare e termine noto
Il coefficiente angolare m individua la pendenza della retta rispetto all'asse
x, ossia è legato all'angolo α che la retta forma con l'asse delle ascisse.
Per m > 0, l'angolo α varia nell'intervallo 0 ≤ α ≤ 90°; l'inclinazione della
retta aumenta al crescere di m.
Per m < 0, l'angolo α varia nell'intervallo 90° < α < 180°; l'inclinazione
della retta aumenta al decrescere di m.
a≠0
b≠0
c≠0
equazione implicita
equazione esplicita
m
q
ax + by + c = 0
y = mx + q
–a/b
–c/b
a≠0
b≠0
c=0
equazione implicita
equazione esplicita
m
q
Retta passante per l'origine degli
assi
ax + by = 0
y = mx + q
–a/b
0
a≠0
b=0
c≠0
equazione implicita
equazione esplicita
m
q
Retta parallela all'asse y
ax + c = 0
x=k
non definito
non definito
a≠0
b=0
c=0
equazione implicita
equazione esplicita
m
q
a=0
b≠0
c≠0
equazione implicita
equazione esplicita
m
q
a=0
b≠0
c=0
equazione implicita
Asse y
ax = 0
x=0
non definito
non definito
Retta parallela all'asse x
by + c = 0
y=q
0
–c/b
Asse x
by = 0
equazione esplicita
m
q
y=0
0
0
Per calcolare m consideriamo due punti sulla retta P1(x1, y1) e P2(x2, y2)
Utilizzando le relazioni goniometriche si ricava:
L'intercetta q, che è l'ordinata per x = 0, individua il punto P(0, q) di
intersezione fra la retta e l'asse delle ordinate.
Casi particolari
• Per m = 0: → y = 0, asse delle ascisse
• Per m = 1: → y = x, bisettrice I-III quadrante
• Per m = –1: → y = –x, bisettrice II-IV quadrante
• Per q = 0 la retta passa per l'origine O degli assi
Esempio 1
y – 2 = 3x – 4/2 passa per il punto:
A (1,0)
B (1,1)
C (0,0)
D (–1,1)
E (1,–1)
Una retta passa per un punto P se le coordinate del punto soddisfano
l'equazione, ossia se sostituendo le coordinate di P a x e y si ottiene
un'uguaglianza.
Riscriviamo l'equazione nella forma esplicita y = mx + q: y = 3x –4/2 + 2 →
y = 3x – 2 + 2 → y = 3x. Poiché il termine noto q = 0, la retta passa per
l'origine degli assi, per cui passa per il punto (0,0). La risposta corretta è C.
Sostituendo le coordinate si ha: 0 = 3·0 → 0 = 0
Si può verificare che coordinate degli altri punti non soddisfano l'equazione,
infatti:
A: 1 = 3 · 0 → 1 ≠ 0; B: 1 = 3 ·1 → 1 ≠ 3; D: –1 = 3·1 → –1 ≠ 3; E: 1 = 3 ·
(–1) → 1 ≠ –3
Esempio 2
Una retta che forma un angolo di 45° con l'asse delle x deve avere il
coefficiente angolare uguale a:
A –1
B 1
C 2
D 0
E tg0
Per definizione il coefficiente angolare di una retta rappresenta la sua
pendenza ed è uguale alla tangente dell'angolo formato dalla retta e l'asse
delle x. Quindi se l'angolo tra la retta e l'asse delle ascisse è uguale a 45°, la
sua tangente è uguale a 1, quindi 1 è il coefficiente angolare della retta. La
risposta corretta è B.
Si può anche osservare che se α = 45°, il triangolo formato dalla retta e
dalle due coordinate di un punto sulla retta stessa è un triangolo rettangolo
isoscele. Le due coordinate sono i cateti, uguali, del triangolo rettangolo,
per cui il loro rapporto è uguale a 1.
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Retta (2): reciproche posizioni fra rette
Nel piano cartesiano esistono particolari relazioni algebriche fra i
coefficienti angolari delle equazioni di due rette tra loro parallele o
perpendicolari.
1. Rette parallele
Nel piano cartesiano, due rette r e s parallele hanno la stessa inclinazione
rispetto all'asse x, perciò hanno lo stesso coefficiente angolare. Viceversa
due rette r e s che hanno lo stesso coefficiente angolare, hanno la stessa
inclinazione rispetto all'asse x, sono perciò parallele.
Due rette r e s, non parallele all'asse y, che hanno rispettivamente
coefficiente angolare mr e ms sono parallele se e solo se hanno lo stesso
coefficiente angolare:
r // s se e solo mr = ms
Se facciamo riferimento a rette la cui equazione è data in forma generale:
r: a1x + b1y + c1 = 0
s: a2x + b2y + c2 = 0
r // s se e solo se
Esempio
Solo una delle seguenti rette è parallela a 2x + y – 2 = 0; indica qual è:
A 4x + 3y – 2 = 0
B –4x – 2y + 3 = 0
C 2x + 4y – 1 = 0
D –2x + y – 2 = 0
E 2x – y – 12 = 0
L'equazione è data nella forma generale: ax + by + c = 0. Il coefficiente
angolare è uguale a: –a/b = 2/1 = –2.
Calcoliamo il coefficiente angolare delle rette date:
Opzione A: –a/b = –4/3
Opzione B: –a/b = –4/–2 = –2
Opzione C: –a/b = –2/4
Opzione D: –a/b = 2/1 = 2
Opzione E: –a/b = –2/–1 = 2
La retta che ha coefficiente angolare uguale a –2 è la B.
2. Rette perpendicolari
Se due rette r e s, nel piano cartesiano, sono tra loro perpendicolari, allora
il prodotto dei loro coefficienti angolari e uguale a –1, viceversa se il
prodotto dei loro coefficienti angolari è uguale a –1 le due rette sono
perpendicolari.
Due rette r e s che hanno rispettivamente coefficiente angolare mr e ms sono
perpendicolari se e solo se:
mr · ms = –1, relazione che si può anche scrivere: mr = –1/ms
Se facciamo riferimento a rette la cui equazione è data in forma generale:
r: a1x + b1y + c1 = 0
s: a2x + b2y + c2 = 0
r ⊥ s se e solo se a1/b1 = –b2/a2 → a1a2 = –b1b2 → a1a2 + b1b2 = 0
Esempio
Per quale valore del parametro k le rette y = 2x + 1 e y = (1/k) (x + 1) sono
perpendicolari?
A k=2
B Tutti
C Nessuno
D k = 1/2
E k = –2
Le due rette sono date nella forma esplicita y = mx + q, dove m rappresenta
il coefficiente angolare. Il coefficiente angolare della retta y = 2x + 1 è m1 =
2, il coefficiente angolare della seconda retta y = (1/k) (x + 1) è m2 = 1/k.
Scriviamo la condizione di perpendicolarità: m1 = –1/m2 → 2 = –1/(1/k) →
2 = –k → k = –2. La risposta corretta è E.
3. Intersezione fra rette
Dalla geometria euclidea sappiamo che due rette complanari possono
assumere tre posizioni reciproche:
• se si intersecano in un punto sono incidenti;
• se non hanno alcun punto di intersezione sono parallele distinte;
• se hanno più di un punto in comune sono parallele coincidenti.
Nella geometria analitica determinare la posizione reciproca di due rette
significa risolvere il sistema composto dalle rispettive equazioni:
• se il sistema ammette una soluzione, significa che è determinato e le
rette si intersecano in un punto, che ha come coordinate le soluzioni del
sistema;
• se il sistema non ammette soluzioni, significa che è impossibile e le due
rette sono parallele;
• se il sistema ammette infinite soluzioni, significa che è indeterminato e
le rette sono coincidenti.
In particolare, consideriamo l'equazione in forma generale di due rette:
r: a1x + b1y + c1 = 0
s: a2x + b2y + c2 = 0
e analizziamo il sistema da loro formato:
In base al rapporto dei coefficienti dei due sistemi possiamo determinare il
tipo di sistema:
• se
il sistema è determinato;
• se
il sistema è impossibile;
• se
il sistema è indeterminato.
Esempio
Le due rette r: 2x – y + 1 = 0 e s: 2y – x + 1 = 0
A sono perpendicolari
B sono parallele
C sono coincidenti
D si intersecano in (–1, –1)
E si intersecano in (1, 1)
Riscriviamo la retta s: –x + 2y + 1, in modo da poter confrontare più
facilmente i termini simili.
Determiniamo i coefficienti angolari.
mr = –2/–1 = 2
ms = 1/2
I coefficienti angolari sono diversi, perciò possiamo scartare l'opzione B e
C. Il prodotto mr · ms = 2 (1/2) = 1, quindi le rette non sono perpendicolari,
perciò scartiamo anche l'opzione A.
Calcoliamo in quale punto si intersecano risolvendo il sistema
Da cui
Le rette si intersecano nel punto (–1,–1).
La risposta corretta è D.
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Retta (3): determinazione dell'equazione di una retta
Per determinare l'equazione di una retta è necessario conoscere due
condizioni analitiche, per esempio due punti appartenenti alla retta oppure
un punto e il suo coefficiente angolare. In pratica si traduce in una
espressione analitica l'assioma euclideo che afferma che per due punti passa
una e una sola retta.
1. Dato un punto e il coefficiente angolare
Determiniamo l'equazione della retta r che passa per il punto P(x0, y0) e ha
coefficiente angolare noto m0. Se x e y sono le generiche coordinate di un
punto P appartenente alla retta, sappiamo che il coefficiente angolare si
calcola:
, dove m0, x0 e y0 sono noti.
Risolvendo rispetto a y si ottiene: y = m0 (x – x0) + y0 che è l'equazione
della retta cercata.
Esempio
Quale delle seguenti rette passa per il punto A(0, 2) e forma un angolo di
45° con il semiasse positivo delle x?
A y=x+2
B y = –x + 2
C y = –x – 2
D 2y = x
E y=x–2
a) Calcoliamo il coefficiente angolare
1. La retta forma un angolo di 45° con il semiasse positivo delle x. Si può
determinare il coefficiente angolare m della retta ricordando che m = tgα da
cui si ricava che m = tg45° = 1.
2. Si può ricavare m, anche ricordando che la bisettrice del I e III quadrante
forma un angolo di 45°. L'equazione della bisettrice ha coefficiente
angolare uguale a 1, per cui anche la retta richiesta che è parallela, ha lo
stesso coefficiente angolare.
3. Si può ricordare che preso un punto qualsiasi su una retta e tracciando la
parallela all'asse y, si ottiene un triangolo rettangolo (vedi figura). Se uno
degli angoli acuti è di 45° il triangolo è rettangolo e isoscele sull'ipotenusa.
Il coefficiente angolare si calcola anche come rapporto fra Δy/Δx, che nel
caso del triangolo rettangolo isoscele è uguale a 1.
b) Determiniamo l'equazione della retta
1. Sostituendo nell'equazione y = m0 (x – x0) + y0 le coordinate del punto A
si ottiene:
y = 1 (x – 0) + 2 → y = x + 2
Risposta A.
2. Esaminiamo le opzioni proposte. Scartiamo le opzioni B, C, D che hanno
coefficiente angolare diverso da 1. Sostituendo nelle equazioni in A ed E le
coordinate del punto si ottiene per A un'identità: 2 = 2, quindi la retta passa
per il punto.
2. Dati due punti
Determiniamo l'equazione della retta r che passa per i punti P1(x1, y1) e
P2(x2, y2).
Prima procedura. Utilizzando le coordinate dei punti ricaviamo il
coefficiente angolare, applicando la definizione:
Ci siamo così ricondotti al caso precedente, poiché sono noti il coefficiente
angolare e un punto.
Seconda procedura. Consideriamo un generico punto P(x, y) che appartiene
alla retta individuata dai punti P1 e P2. Possiamo esprimere il coefficiente
angolare in due modi:
oppure
Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza possiamo scrivere:
.
che è la formula della retta passante per due punti.
Esempio
Determinare l'equazione della retta passante per i punti di coordinate (–1, 2)
e (3, 4):
A y = (x + 7)/4
B y=x+l
C y = (x + 5)/2
D y = –2x
E y = (x – 5)/2
Troviamo l'equazione della retta passante per due punti P1(–1, 2) e P2(3, 4):
La risposta corretta è C.
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Retta (4): fascio proprio e improprio
Quando nell'equazione esplicita di una retta y = mx + q, uno dei due
parametri è indeterminato, l'equazione parametrica di primo grado non
descrive una retta, bensì un insieme di rette che sono dette fascio. A
seconda di quale è il parametro indeterminato si ha un fascio proprio o un
fascio improprio.
1. Fascio proprio di rette
Si chiama fascio proprio l'insieme di tutte e sole le rette che hanno in
comune un punto, detto centro o sostegno del fascio. Si ha un fascio
proprio di rette se è indeterminato il coefficiente angolare m. L'equazione di
un fascio proprio di rette di centro C(h, k) è:
y – k = m(x – h)
che rappresenta le infinite rette passanti per C, ad eccezione della retta
parallela all'asse delle ordinate, per la quale non è definito il coefficiente
angolare.
Esempio
Considerare l'equazione parametrica mx – y – 2m + 1 = 0 dove m è un
parametro reale. Individuare, tra le seguenti, la proposizione corretta. Al
variare di m l'equazione data:
A individua tutte le rette del piano passanti per il punto (2, 1)
B individua tutte le rette del piano passanti per il punto (2, 1), eccetto due
C individua tutte le rette del piano passanti per il punto (2, 1), eccetto una
D non rappresenta alcuna retta passante per l'origine
E non rappresenta alcuna retta orizzontale
L'equazione rappresenta un fascio proprio di rette, che passano tutte per un
punto centro del fascio. Si devono quindi determinare le coordinate del
centro. Riscrivendo l'equazione nella forma y – 1 = mx – 2m si ricava che
mh = 2m → h = 2 e k = 1. Il centro del fascio ha coordinate C(2, 1). Al
variare di m l'equazione individua tutte le rette del piano passanti per il
punto (2, 1), eccetto la retta x = 2, parallela all'asse delle ordinate. La
risposta esatta è C.
2. Fascio improprio di rette
Un fascio improprio di rette è l'insieme di rette del piano che sono fra loro
parallele.
Il coefficiente indeterminato è il termine noto q.
L'equazione di un fascio improprio di rette, non parallele all'asse delle
ordinate, di coefficiente angolare m è:
y = mx + q
La retta che passa per l'origine degli assi cartesiani è detta retta base del
fascio, che ha quindi equazione y = mx.
Esempio
Considerare l'equazione parametrica 2x + 5y + k = 0 dove k è un parametro
reale. Individuare, tra le seguenti, la proposizione corretta. Al variare di k
l'equazione data:
A individua tutte le rette del piano perpendicolari all'asse x
B individua un fascio improprio di rette parallele
C individua un fascio improprio di rette parallele che ha retta di base 2x +
5y + 3 = 0
D individua tutte le rette che passano per il punto (–5, 2)
E non rappresenta alcuna retta passante per l'origine
Riscrivendo l'equazione nella forma y = 2x/5 + k/5 si ottiene l'equazione di
un fascio improprio di rette parallele. La risposta corretta è perciò B.
Esaminiamo le altre risposte.
Risposta A: le rette perpendicolari all'asse x sono tutte e sole le rette
parallele all'asse y, che hanno equazione x = h.
Risposta C: la retta base del fascio è quella che passa per l'origine degli
assi, ossia ha il termine noto nullo. Ponendo k/5 = 0, da cui k = 0,
l'equazione della retta di base è: 2x + 5y = 0.
Risposta D: le rette sono parallele, pertanto non possono avere punti in
comune. Per il punto dato passa la retta base del fascio.
Risposta E: la retta passante per l'origine deve esistere, in quanto è la retta
base del fascio.
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Retta (5): problemi risolubili con le rette
Alcuni dei quesiti proposti nelle prove di ammissioni sono relativi a
problemi che necessitano la conoscenza della geometria analitica per essere
risolti. In particolare si richiedono le conoscenze relative alla retta. Non è
possibile fornire indicazioni specifiche, se non quella di rappresentare sul
piano cartesiano i dati, in modo da rendere più facile individuare eventuali
relazioni.
Esempio 1
Nel piano cartesiano indichiamo con H la proiezione ortogonale dell'origine
O(0, 0) sul segmento AB di estremi A(2, 0) e B(0, 1). Quanto vale la
distanza fra O e H?
A
B
C
D
E
Rappresentiamo i punti A e B nel piano cartesiano e tracciamo la proiezione
ortogonale da O.
I punti OAB individuano un triangolo rettangolo in O, che ha cateti OA e
OB e ipotenusa BA.
Per determinare la distanza fra OH si può procedere in due modi.
Primo metodo
Si determina l'equazione della retta AB: m = –1/2, y – 0 = –1/2(x – 2) → r:
y = –(1/2)x + 1
Si determina l'equazione della retta perpendicolare ad AB, passante per
l'origine, che equivale a trovare il coefficiente angolare m1, q = 0 perché la
retta passa per O.
m1 = –1/m = 2; s: y = 2x
Il punto H è l'intersezione fra le due rette r e s, risolvendo il sistema
composto dalle due equazioni:
si ottiene x = 2/5 e y = 4/5, perciò H(2/5, 4/5).
Si calcola la distanza OH,
. Risposta E.
Secondo metodo
OA e OB sono base e altezza del triangolo rettangolo, ma se consideriamo
l'ipotenusa come base del triangolo, OH rappresenta la sua altezza relativa.
L'area del triangolo può quindi essere calcolata indifferentemente come S =
OA · OB/2 oppure come S = AB ·OH/2. Da qui si deriva che OA · OB/2 =
AB · OH/2
Dall'equazione possiamo ricavare OH, noti OA, OB e AB.
• d(O, A) = 2
• d(O, B) = 1
•
• OA · OB/2 = (2·1)/2 = 1
•
Esempio 2
Quale retta parallela alla retta y = –2x – 3 forma con gli assi cartesiani nel
primo quadrante un triangolo di area 16?
A y = 2x – 3
B y = –2x + 8
C y = –2x
D y = –2x + 3
E Tale retta non esiste.
La retta data r: y = –2x – 3 ha coefficiente angolare negativo, per cui forma
un angolo ottuso con l'asse delle ascisse. Inoltre ha q = –3, dunque il
triangolo formato dalla retta r con gli assi si trova nel III quadrante.
La retta parallela ha m = –2, e il termine noto q deve essere q > 0, affinché
il triangolo si trovi nel primo quadrante. Si possono così escludere le
risposte A e C.
Troviamo i punti di intersezione A e B della retta con gli assi cartesiani nel
caso delle rette B e D.
Consideriamo il caso B. A: per y = 0 → 0 = –2x + 8 → x = 4; B: per x = 0
→y=8
Abbiamo dunque A(4, 0) e B(0, 8).
Calcoliamo l'area relativa a questo triangolo che ha base b = AO = 4 e
altezza h = BO = 8
S = (4 · 8)/2 = 16
B è perciò la risposta corretta e non è necessario esaminare l'opzione D.
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Circonferenza (1): equazione della circonferenza
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano che hanno la
stessa distanza da un punto fisso detto centro. La distanza di un generico
punto della circonferenza dal centro si chiama raggio. Fissato un sistema di
riferimento cartesiano Oxy, detto C(α, β) il centro della circonferenza e r il
raggio, l'equazione della circonferenza che si ottiene applicando la
definizione di distanza fra due punti è:
(x – α)² + (y – β)² = r²
Svolgendo i calcoli e ponendo:
a = –2α
b = –2β
c = α² + β² – r²
si ricava l'equazione:
x² + y² + ax + by + c = 0
che è l'equazione canonica di una circonferenza (se a, b, c ∈ ℝ e non
contemporaneamente nulli), che ha centro in C(–a/2, –b/2) e raggio
.
Dato che il raggio è la misura di una lunghezza deve essere r > 0, per cui
deve essere soddisfatta la condizione a² + b² – 4c > 0.
Se a² + b² – 4c = 0 il raggio ha misura nulla, la circonferenza degenera in un
punto le cui coordinate sono quelle del centro C. Se a² + b² – 4c < 0 non è
possibile rappresentare la circonferenza.
Conoscendo le coordinate del centro C(α, β) e di un generico punto P(xp, yp)
è possibile determinare il raggio:
.
Alcune osservazioni sull'equazione canonica della circonferenza:
• è un'equazione di secondo grado in x e y;
• i termini di secondo grado devono avere lo stesso coefficiente numerico;
se tale coefficiente è diverso da 1, per ricavare l'equazione canonica è
sufficiente dividere tutti termini dell'equazione per il coefficiente
numerico;
• non è presente il termine in xy.
Alcune circonferenze particolari
a=0
x² + y² + by + c = 0
C(0, –b/2)
b=0
x² + y² + ax + c = 0
C(–a/2, 0)
c=0
x² + y² + ax + bx = 0
La circonferenza passa per l'origine O(0, 0)
a=0eb=0
x² + y² + c = 0
C(0, 0)
, con c < 0
a=0ec=0
x² + y² + by = 0
C(0, b/2)
r = b/2
b=0ec=0
x² + y² + ay = 0
C(a/2, 0)
r = a/2
Esempio
Consideriamo l'equazione generica: ax² + ay² + bx + cy + d = 0 di una
circonferenza. Indicare quale delle seguenti affermazioni è vera.
A Se d = 0 la circonferenza ha centro nell'origine
B È una circonferenza se e solo se a = 1
C Se b e c sono uguali a 0, è una circonferenza con centro nell'origine se e
solo se d > 0
D Se b = 0 il centro della circonferenza è sull'asse delle y
E Nessuna delle precedenti risposte è corretta
A. Se d = 0, l'origine di coordinate (0, 0) soddisfa l'equazione, la
circonferenza passa per l'origine, che non è il centro. Per avere centro
nell'origine devono essere contemporaneamente uguali a zero b e c.
B. In una circonferenza i coefficienti di x² e y² devono essere uguali. Infatti,
come nell'esempio, è sufficiente dividere tutti i termini per a, per ottenere
l'espressione x² + y² + ... = 0 . Risposta sbagliata.
C. Se b = 0 e c = 0 la circonferenza ha il centro nell'origine. L'equazione è:
x² + y² + d = 0, e il raggio è r = –d. Pertanto d deve assumere valori
negativi, in caso contrario avremmo r < 0, che non può essere.
D. Se b = 0, bx = 0, da cui si deduce che l'ascissa di C è uguale a zero. Le
coordinate di C sono C(0, c/2), per cui il centro della circonferenza è
sull'asse y. Risposta corretta.
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Circonferenza (2): rette e circonferenze
Rispetto a una circonferenza una retta può essere:
• esterna se retta e circonferenza non hanno punti di intersezione;
• tangente se retta e circonferenza hanno un punto di intersezione;
• secante se retta e circonferenza hanno due punti di intersezione.
Indicato con C il centro della circonferenza, con r il suo raggio e s la retta,
le relazioni si possono riscrivere in questo modo:
• s è esterna alla circonferenza se d(C, s) > r
• s è tangente alla circonferenza se d(C, s) = r
• s è secante alla circonferenza se d(C, s) < r
Per determinare le intersezioni della circonferenza di equazione x² + y² + ax
+ by + c = 0 con una generica retta di equazione y = mx + q, si deve
risolvere il sistema di secondo grado:
che equivale a trovare le soluzioni dell'equazione associata di secondo
grado:
x² + (mx + q)² + ax + b(mx + q) + c = 0.
Si hanno tre casi:
• se Δ > 0, le soluzioni sono reali e distinte e la retta interseca la
circonferenza in due punti distinti;
• se Δ = 0 le soluzioni sono reali e coincidenti, la retta è tangente alla
circonferenza in un punto;
• se Δ < 0 non c'è nessuna soluzione reale, la retta è esterna alla
circonferenza.
Esempio 1
La retta di equazione y = 2x interseca la circonferenza di equazione x² + y² =
20 nel punto di coordinate (a, b), dove a ≥ 0 e b ≥ 0. Qual è il valore di a+
b?
A 6
B 2
C 4
D 8
E 3
Per trovare le intersezioni della retta con la circonferenza scriviamo il
sistema risolvente:
da cui si ricava l'equazione: x² + 4x² = 20 → x² = 20/5 = 4 → x = ± 2.
La circonferenza ha il centro nell'origine degli assi. La retta passa per
l'origine degli assi, per cui interseca la circonferenza in due punti il primo
nel primo quadrante e il secondo (simmetrico) nel terzo quadrante. Il punto
che ha entrambe le coordinate maggiori di zero, si trova nel primo
quadrante. Per x = + 2 → y = 4. Allora a + b = 6, opzione A.
Esempio 2
In un piano cartesiano, la circonferenza di centro C di coordinate (1, 1) e
tangente all'asse delle x ha equazione:
A x² + y² + 2x + 2y = 2
B x² + y² – 2x + 2y = 0
C x² + y² – 2x – 2y + 1 = 0
D x² + y² – 2x – 2y = 0
E x² + y² – 2x – 2y = 1
Ricordando che a = –2α, b = –2β, dove α e β sono le coordinate di C, si può
scrivere l'equazione della circonferenza riferita al suo centro:
x² + y² – 2x – 2y + c = 0
Per determinare il termine incognito c, si scrive il sistema con l'equazione
della circonferenza trovata e l'equazione dell'asse x, ossia y = 0.
Si ricava l'equazione associata: x² – 2x + c = 0
La circonferenza e la retta sono tangenti se Δ = 0, ossia
Δ = 4 – 4c = 0 → c = 1
L'equazione della circonferenza è: x² + y² – 2x – 2y + 1 = 0, opzione C.
Per ricavare il termine incognito c si può anche utilizzare la relazione: d(C,
s) = r.
La distanza della retta s da C è uguale a 1, come si deduce dalla figura.
Da c = α² + β² – r², si ricava : c = 1 + 1 – 1 = 1.
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Parabola (1): equazione della parabola
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un
punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.
La retta che passa per il fuoco ed è perpendicolare alla direttrice è l'asse di
simmetria della parabola. L'asse della parabola interseca la parabola in un
punto detto vertice.
Parabola con asse verticale
Fissato un sistema di riferimento cartesiano xOy, l'equazione generale di
una parabola con asse parallelo all'asse y (e con la direttrice parallela
all'asse x) è:
y = ax² + bx +c con a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0.
Se a = 0 l'equazione diventa y = bx + c, che è l'equazione di una retta.
Utilizzando i parametri a, b, c, si ricavano le coordinate del vertice, del
fuoco e le equazioni relative alle due rette, all'asse di simmetria e alla
direttrice. Posto Δ = b² – 4ac:
Vertice
Fuoco
Asse di simmetria:
Direttrice:
Osserviamo che l'ascissa del vertice e l'ascissa del fuoco sono uguali; infatti
entrambi si trovano sull'asse di simmetria della parabola, la cui equazione è
x = –b/2a. Inoltre il vertice, poiché è un punto della parabola, si trova alla
stessa distanza fra il fuoco e la direttrice.
Il significato geometrico dei parametri
Il grafico della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y presenta
caratteristiche diverse a seconda dei valori che assumono i tre parametri a,
b, c, presenti nell'equazione.
Il valore del parametro a determina la concavità della curva. Se a > 0, la
concavità è rivolta verso l'alto, se a < 0, la concavità è rivolta verso il basso.
Il valore assoluto di a determina l'apertura della parabola.
Il valore del parametro b, insieme a quello di a, determina la posizione
dell'asse di simmetria, e di conseguenza quello dell'ascissa del vertice e del
fuoco.
Il valore del parametro c è l'ordinata del punto di intersezione fra la
parabola e l'asse y.
Parabola con asse orizzontale
L'equazione generale della parabola con asse parallelo all'asse x è:
x = ay² + by + c con a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0.
Posto Δ = b² – 4ac, le coordinate del vertice e del fuoco, e le equazioni
dell'asse di simmetria e della direttrice sono:
Vertice
Fuoco
Asse di simmetria: y =
Direttrice: x =
Si noti che le coordinate sono scambiate, pertanto il fuoco e il vertice hanno
la stessa ordinata che è uguale al valore che assume l'asse di simmetria. Per
quanto concerne i parametri:
se a > 0, la parabola rivolge la concavità verso sinistra, se a < 0 la concavità
è verso destra.
Il parametro c determina l'ordinata del punto di intersezione fra la parabola
e l'asse delle ascisse.
Alcune parabole particolari
asse parallelo asse y
b=0
y = ax² + c
l'asse della parabola coincide con l'asse y, il vertice ha
coordinate V(0, c)
c=0
y = ax² + bx
la parabola passa per l'origine degli assi
b=0ec=0
y = ax²
l'asse della parabola coincide con l'asse y, il vertice
coincide con l'origine degli assi
asse parallelo asse x
b=0
x = ay² + c
l'asse della parabola coincide con l'asse x, il vertice ha
coordinate V(c, 0)
c=0
x = ay² + by
la parabola passa per l'origine degli assi
b=0ec=0
x = ay²
l'asse della parabola coincide con l'asse x, il vertice
coincide con l'origine degli assi
Esempio 1
Individuare tra i seguenti punti il vertice della parabola di equazione: y = –
2x² + 6x –7:
A (3/2, 5/2)
B (–3/2, –5/2)
C (3/2, –5/2)
D (–3/2, 5/2)
E (–2/3, 2/5)
L'equazione data è quella di una parabola con asse parallelo all'asse y.
L'ascissa del vertice è x = –b/2a. Sostituendo i valori b = 6, a = –2, si ricava
x = 3/2.
Per determinare il valore dell'ordinata si può procedere in due modi.
Primo metodo: si utilizza l'espressione dell'ordinata y = –Δ/4a, con Δ = b² –
4ac. Sostituendo i valori si ricava y = –5/2.
Secondo metodo: il vertice è un punto della parabola per cui le sue
coordinate devono soddisfare l'equazione, perciò si può sostituire il valore
dell'ascissa nell'equazione:
y = –2(3/2)² + 6 (3/2) – 7 = –5/2.
La risposta corretta è C.
Esempio 2
Se il fuoco di una parabola ha coordinate (0, –3) e la direttrice ha equazione
y = 1, la parabola:
A non interseca l'asse delle ascisse
B ha asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse
C passa per l'origine degli assi cartesiani
D non interseca l'asse delle ordinate
E ha il vertice nel punto di coordinate (–2, 0)
La direttrice che ha equazione y = 1 è una retta parallela all'asse x, perciò la
parabola ha equazione del tipo y = ax² + bx + c, il che esclude la risposta B.
Il fuoco e il vertice hanno la stessa ascissa: x = –b/2a = 0, per cui si esclude
il punto E.
Poiché b = 0, l'equazione della parabola è del tipo: y = ax² + c. Il vertice
perciò ha coordinate V(0, c), ed essendo c ≠ 0, la parabola non passa per
l'origine: si esclude la risposta C. Il vertice si trova sull'asse y, per cui la
parabola interseca l'asse delle ordinate: si elimina la risposta D.
La risposta corretta perciò è A, infatti la direttrice si trova nel semipiano
positivo delle y, mentre il fuoco si trova nel semipiano negativo. La
parabola pertanto ha la concavità rivolta verso il basso e si trova al di sotto
dell'asse x.
È possibile rispondere al test disegnando la parabola: sul piano cartesiano
segniamo il fuoco e la direttrice, che è una retta parallela all'asse x. Il
vertice della parabola si trova sull'asse di simmetria, perpendicolare alla
direttrice e passante per il fuoco. Ricordando che la direttrice è esterna alla
parabola si ricava che la parabola ha la concavità rivolta verso il basso.
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Parabola (2): intersezione con gli assi
1. Intersezione con l'asse delle ordinate
1. La parabola di equazione y = ax² + bx + c interseca l'asse delle ordinate y,
di equazione x = 0, in un unico punto C di coordinate (0, c).
2. Per determinare le intersezioni della parabola di equazione y = ax² + bx +
c con l'asse delle ascisse x, di equazione y = 0, si calcolano le soluzioni del
sistema:
che equivale a trovare le soluzioni dell'equazione associata : ax² + bx + c =
0.
Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono:
dove b² – 4ac = Δ
L'equazione di secondo grado ammette:
• due soluzioni reali e distinte se Δ = b² – 4 ac > 0; la parabola interseca
l'asse x in due punti distinti;
• due soluzioni reali coincidenti se Δ = b² – 4ac = 0; la parabola è tangente
all'asse delle x;
• nessuna soluzione reale se Δ = b² – 4ac < 0; la parabola non interseca
l'asse delle x.
Esempio
In quale punto l'asse y interseca la curva 5y² = x + 5?
A Nessuno
B ±1
C ±5
D +1
E –1
Riscriviamo l'equazione isolando la variabile di primo grado: x = 5y² – 5.
L'equazione ha asse di simmetria parallelo all'asse x. Per trovare le sue
intersezioni con l'asse y, si devono trovare le soluzioni dell'equazione
risolvente associata al sistema:
cioè: 5y² – 5=0 → y² = 1 → y1 = +1 e y2 = –1. La risposta corretta è B.
2. Intersezione con l'asse delle ascisse
1. La parabola di equazione x = ay² + by + c interseca l'asse delle ascisse, di
equazione y = 0, in un unico punto C di coordinate C (c, 0).
2. Per determinare le intersezioni della parabola con l'asse delle ordinate, di
equazione y = 0, si risolve il sistema:
che equivale a trovare le soluzioni dell'equazione associata : ay² + by + c =
0.
In modo analogo a quanto visto precedentemente, le soluzioni
dell'equazione di secondo grado permettono di stabilire le posizioni
reciproche fra parabola e retta.
Esempio
y = x² – 3x – 4 interseca l'asse delle x nei punti di ascissa:
A nessun punto
B x = –4 e x = 1
C x = –1 e x = 4
D x = 2 e x = –2
E x=1
L'asse delle ascisse ha equazione y = 0. L'equazione associata al sistema
risolvente è: x² – 3x – 4 = 0. Calcoliamo il Δ:
Δ = b² – 4ac = 9 + 16 = 25 > 0, l'equazione ammette due soluzioni:
La risposta corretta è C. La parabola interseca l'asse delle ascisse in due
punti: P1(–1, 0) e P2(4, 0).
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Parabola (3): intersezione con una retta
1. Parabola con asse verticale
Per determinare le intersezioni della parabola di equazione y = ax² + bx + c
con una generica retta di equazione y = mx + q, si deve risolvere il sistema
di secondo grado:
che equivale a trovare le soluzioni dell'equazione associata di secondo
grado:
ax² + x(b – m) + c – q = 0.
Anche in questo caso si possono avere tre casi differenti:
• se Δ > 0, le soluzioni sono reali e distinte e la retta interseca la parabola in
due punti distinti;
• se Δ = 0 le soluzioni sono reali e coincidenti e la retta è tangente alla
parabola in un punto;
• se Δ < 0 non c'è nessuna soluzione reale e la retta è esterna alla parabola.
Esempio
Consideriamo, nel piano cartesiano, la parabola di equazione y = x², e la
retta di equazione y = x + a, dove a è un parametro reale. La retta e la
parabola non hanno punti di intersezione se e solo se:
A 1 + 4a < 0
B a≥0
C a<0
D a+1>0
E a>0
Per determinare le soluzioni si scrive il sistema risolvente:
da cui si ricava l'equazione associata : x² – x – a = 0.
La parabola e la retta non hanno soluzioni reali solo se il sistema, quindi
l'equazione associata, non ha soluzioni reali. Condizione soddisfatta se Δ <
0.
Calcoliamo, allora, il Δ dell'equazione e poniamo la condizione Δ < 0.
Δ = 1 + 4a < 0
La risposta corretta è A.
2. Parabola con asse orizzontale
Per determinare le intersezioni della parabola di equazione x = ay² + by + c
con una generica retta di equazione y = mx + q, si deve risolvere il sistema
di secondo grado:
Dalla seconda equazione si ricava x in funzione di y: x = (y – q)/m
L'equazione associata di secondo grado è:
Anche in questo caso a seconda del valore di Δ si possono determinare le
reciproche posizioni della parabola e della retta.
Esempio
Consideriamo la parabola x = y² + 1. Indicare quale delle seguenti
affermazioni è falsa.
A Non interseca mai l'asse delle y
B Ha l'asse parallelo all'asse delle x
C Passa per il punto P (4, 16)
D Ha vertice in (1, 0)
E Ha una intersezione con la retta y = ½x nel punto Q (2, 1)
Primo metodo: Per trovare l'intersezione con l'asse y, si pone x = 0 e si
ottiene y² + 1 = 0; la somma di due quantità positive non può mai essere
uguale a zero, perciò la parabola non interseca l'asse y: la risposta A è
corretta.
L'equazione è quella di una parabola con asse parallelo all'asse x, per cui la
risposta B è corretta.
Sostituendo nell'equazione della parabola x = 4 e y = 16, si ottiene 4 = 16² +
1, l'identità non è verificata, per cui l'affermazione C è falsa.
Dai valori dei parametri b = 0 e c = 1, si ricava che il vertice della parabola
ha coordinate (1, 0); la risposta D è corretta.
Verifichiamo la correttezza della frase E. Risolviamo il sistema
da cui si ricava
che sono le coordinate del punto Q. Inoltre
poiché Q è l'unico punto di intersezione la retta è tangente in quel punto alla
parabola.
Secondo metodo: Si osserva che l'equazione è quella di una parabola con
asse parallelo all'asse x, pertanto x è uguale al quadrato di y più o meno una
quantità (in questo caso 1). Perché un punto P appartenga alla parabola,
ossia sia verificata l'uguaglianza, deve essere x >> y. Nel caso C è y >> x,
per cui P non appartiene alla parabola.
L'equazione di secondo grado presenta discriminante negativo, non esiste
quindi soluzione reale. La parabola non interseca dunque l'asse delle
ascisse.
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Ellisse
L'ellisse è il luogo geometrico dei punti, in un piano, per i quali è costante
la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi.
Detti F1 e F2 i fuochi e P un generico punto che appartiene all'elisse si ha:
F1P + F2P = k
La retta che passa per i due fuochi interseca l'ellisse in due punti A1 e A2. Il
segmento di estremi A1 e A2 è l'asse maggiore. Il punto medio dell'asse
maggiore è il centro C dell'ellisse.
La retta passante per C e perpendicolare all'asse maggiore interseca l'ellisse
nei punti B1 e B2: il segmento di estremi B1 e B2 è l'asse minore.
La distanza tra i due fuochi, F1 F2, è detta distanza focale. I punti A1, A2,
B1 e B2 sono i vertici dell'ellisse.
Fissato un sistema di riferimento cartesiano Oxy, tale che C coincida con
l'origine degli assi cartesiani si possono presentare due casi: l'ellisse ha i
fuochi sull'asse x o sull'asse y.
L'ellisse ha i fuochi sull'asse x
Le coordinate dei fuochi e dei vertici sono:
• fuochi: F1(–c, 0) e F2(c, 0)
• vertici : A1(–a, 0), A2 (a, 0), B1(–b, 0), B2(b, 0)
Le misure degli assi e della distanza focale sono:
• distanza focale: F1F2 = 2c
• asse maggiore: A1A2 = 2a; semiasse A2C = a
• asse minore: B1B2 = 2b; semiasse B2C = b
con la relazione a² – b² = c².
L'equazione canonica dell'ellisse è:
con a > b.
L'ellisse ha i fuochi sull'asse y
Le coordinate dei fuochi e dei vertici sono:
• fuochi: F1(0, –c) e F2(0, c)
• vertici: A1(–a, 0), A2(a, 0), B1(–b, 0), B2(b, 0)
Le misure degli assi e della distanza focale sono:
• distanza focale: F1F2 = 2c
• asse maggiore: A1A2 = 2a
• asse minore: B1B2 = 2b
con la relazione b² – a² = c².
L'equazione canonica dell'ellisse è:
con a < b.
Eccentricità
Si chiama eccentricità e di un'ellisse il rapporto fra la semidistanza focale e
il semiasse maggiore.
e = c/a con a > 0
Poiché c è sempre minore di a, l'eccentricità di un'ellisse è un numero
compreso tra 0 e 1: 0 ≤ e ≤ 1.
Se e = 0 si ha c = 0 , allora i due fuochi coincidono e coincidono con
l'origine O degli assi cartesiani; in questo caso a² = b² e l'equazione si
riduce a quella di una circonferenza con centro in O e raggio r = a.
Esempio
Consideriamo l'ellisse 2x² + y² – 4 = 0. Quale di queste affermazioni è vera?
A Ha i fuochi sull'asse delle y
B Ha i fuochi sull'asse delle x
C Ha un fuoco in (2, 0)
D È contenuta nel primo quadrante
E Il semiasse maggiore è uguale a 4
L'equazione canonica dell'ellisse è:
; per trasformare
l'equazione data in questa forma, dividiamo tutti i termini per 4.
Si ottiene:
.
Dall'equazione si deduce che a < b, per cui l'ellisse ha i fuochi sull'asse
delle y. Pertanto la risposta corretta è A.
Analizziamo le altre risposte. La B è in contrapposizione con la A, per cui
solo una delle due può essere vera. Opzione C: se il fuoco è sull'asse y le
sue coordinate devono essere del tipo F(0, k), ossia l'ascissa deve essere
uguale a zero, perciò non può essere 2. Opzione D: l'ellisse ha centro
nell'origine degli assi e i suoi fuochi sono simmetrici rispetto all'asse x,
perciò non può essere contenuta nel primo quadrante. Opzione E. Il
semiasse maggiore è b: se b² = 4, allora b = 2.
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Iperbole
L'iperbole è il luogo geometrico dei punti, in un piano, per i quali è
costante, in valore assoluto, la differenza delle distanze da due punti fissi,
detti fuochi.
Detti F1 e F2 i fuochi e P un generico punto che appartiene all'iperbole, la
relazione si scrive
|F1P – F2P| = k
dove abbiamo considerato il modulo perché si possono verificare i due casi
F1P > F2P, in cui la differenza è positiva, oppure F1P < F2P in cui la
differenza è negativa.
La distanza fra F1 e F2 è detta distanza focale. Il punto medio del segmento
F1F2 è il centro C dell'iperbole.
La retta che passa per i due fuochi interseca l'iperbole in due punti A1 e A2,
vertici dell'iperbole. Il segmento di estremi A1 e A2 è l'asse trasverso. La
retta passante per C e perpendicolare all'asse trasverso è l'asse non
trasverso.
Fissato un sistema di riferimento cartesiano Oxy, in modo tale che O sia il
centro dell'iperbole, si possono avere due casi: F1 e F2 sono sull'asse x o F1
e F2 sono sull'asse y.
L'iperbole ha i fuochi sull'asse x
• fuochi: F1(–c, 0) e F2(c, 0)
• vertici: A1(–a, 0), A2 (a, 0)
• distanza focale: F1F2 = 2c
• asse trasverso: A1A2 = 2a; semiasse A2C = a
con la relazione b² = c² – a².
L'equazione canonica dell'iperbole è:
con a > 0, b > 0 e a > b.
L'iperbole ha i fuochi sull'asse y
• fuochi: F1(0, –c) e F2(0, c)
• vertici : A1(0, –a), A2 (0, a)
• distanza focale: F1F2 = 2c
• asse trasverso: A1A2 = 2a
con la relazione b² = c² – a².
L'equazione canonica dell'iperbole è:
con a > 0, b > 0 e a < b.
Asintoti ed eccentricità
L'iperbole è una curva compresa entro due rette che si intersecano nel
centro dell'iperbole stessa.
Le due rette si chiamano asintoti e hanno equazione:
r1: y = (–b/a)x r2: y = (b/a)x
se F1 e F2 sono sull'asse x.
r1: y = (–a/b)x r2: y = (a/b)x
se F1 e F2 sono sull'asse y.
L'iperbole non ha punti di intersezione con gli asintoti, mentre ne ha con gli
assi cartesiani (i vertici).
Anche nel caso dell'iperbole si definisce eccentricità e il rapporto fra la
semidistanza focale e il semiasse trasverso.
e = c/a con a > 0
Poiché c > a, l' eccentricità di un'iperbole è e > 1, sempre.
Iperbole equilatera
Se a = b si ha l'iperbole equilatera. In questo caso l'equazione canonica
diventa:
• x² – y² = a², se i fuochi sono sull'asse x;
• y² – x² = a², se i fuochi sono sull'asse y.
Nel caso in cui gli asintoti della curva siano gli assi cartesiani (x = 0, y = 0),
l'equazione dell'iperbole equilatera diventa: xy = k con k > 0, da cui: y = k/x
con x ≠ 0 e k > 0.
Esempio
La curva y = 9/x interseca l'asse delle x nei punti:
A x = –3, x = 3
B x = –1, x = 1
C x = –3
D nessun punto
E x = 1, x = 0
L'equazione data è l'equazione di un'iperbole equilatera che ha per asintoti
gli assi cartesiani.
L'iperbole non ha punti di intersezione con gli asintoti, perciò non può avere
punti di intersezione con l'asse x. La risposta corretta è D.
Si può anche determinare la risposta corretta mettendo a sistema l'equazione
dell'iperbole con l'equazione dell'asse x:
L'equazione non ha soluzioni, perciò non ci sono punti di intersezione.
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Problemi relativi alle curve
Una tipologia di quesiti – data un'equazione generica – richiede di
individuare quale curva rappresenta, anche al variare dei parametri.
Vediamo quali sono, in generale, le considerazioni necessarie per risolvere
questo tipo di test.
• La retta è l'unica curva rappresentata da un'equazione di primo grado.
• Nell'equazione di una parabola deve essere presente un solo termine di
secondo grado.
• Se le variabili x e y compaiono al secondo grado non può essere presente
il termine in xy.
• L'equazione della circonferenza ha i coefficienti di x² e y² uguali.
• Nell'equazione dell'ellisse è presente la somma di due termini di secondo
grado.
• Nell'equazione dell'iperbole è presente la differenza di due termini di
secondo grado.
• Equazioni con grado superiore al secondo non rappresentano nessuna
delle curve precedenti.
Ricordiamo che circonferenze, parabole, ellissi e iperbole sono chiamate
collettivamente coniche.
Esempio 1
Se a, b, d sono valori positivi, l'equazione generica ax² + by² + d = 0
rappresenta:
A un'ellisse, se e solo se d < 0
B un'iperbole, se e solo se d > 0
C una parabola
D un'ellisse, se e solo se d > 0
E una circonferenza
L'equazione presenta due termini di secondo grado, per cui possiamo
scartare l'opzione C.
I coefficienti dei termini di secondo grado, a e b, sono diversi, perciò
possiamo scartare anche l'opzione E.
I termini di secondo grado rappresentano una somma, per cui si può
eliminare anche l'opzione B, perché nell'iperbole si ha una differenza.
Il termine noto rappresenta una distanza perciò la somma ax² + by² > 0. Se
si sposta d nel secondo membro si ha ax² + by² = –d. Ma –d > 0 se d < 0. La
risposta corretta è A.
Esempio 2
Che cosa rappresenta nel piano l'equazione x² – y² = 0?
A Una circonferenza
B Una parabola
C Un'ellisse
D Un'iperbole
E Due rette
L'equazione non è quella di una circonferenza (i coefficienti di a e b sono
diversi, rispettivamente +1 e –1), non è una parabola (ci sono due termini di
secondo grado), non è un ellisse perché tra i termini c'è una differenza. Non
può essere neanche un'iperbole equilatera perché la differenza fra i termini è
uguale a zero (per essere un'iperbole dobbiamo avere d > 0).
Verifichiamo se l'equazione rappresenta due rette. L'equazione è la
differenza di due quadrati che possiamo scomporre: (x – y) (x + y) = 0,
ossia:
(x – y) = 0 → x = y, equazione della bisettrice del primo e del terzo
quadrante
(x + y) = 0 → x = –y, equazione della bisettrice del secondo e del
quarto quadrante.
L'equazione x² – y² = 0 rapprersenta quindi due rette nel piano, risposta E.
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Funzioni
Una funzione è una corrispondenza tra gli elementi x di un insieme X e gli
elementi y di un insieme Y (eventualmente coincidente con X) che associa a
ogni x un ben determinato y, detto funzione di x ed espresso nella forma
Questa definizione, attribuita al matematico tedesco di origine francese
Peter Dirichlet (1805-1859), prescinde completamente dalla natura degli
elementi variabili x e delle corrispondenti immagini y.
I principali concetti legati a quello di funzione sono la continuità e la
derivabilità.
Lo studio delle funzioni è di importanza fondamentale in analisi
matematica, e può avvenire anche tramite rappresentazioni grafiche, di cui
le più comuni fanno uso del piano cartesiano (si veda la sezione Geometria
analitica).
Per il concetto funzionale di proporzionalità, si veda la scheda Proporzioni
e proporzionalità diretta e inversa nella sezione Insiemi, numeri e
operazioni.
Gli argomenti trattati all'interno della sezione sono i seguenti:
• Funzioni
– dominio
– proprietà
• Limiti
• Derivate
Funzioni (1): dominio
Come già detto, dati due insiemi X e Y non vuoti si chiama funzione (o
applicazione) una relazione che a ogni elemento x dell'insieme X associa
uno e un solo elemento y dell'insieme Y.
Se gli insiemi X e Y sono entrambi l'insieme ℝ dei numeri reali, le funzioni
sono dette funzioni reali di variabile reale.
Dato un sottoinsieme non vuoto D dell'insieme ℝ si chiama funzione reale
della variabile reale x una relazione che a ogni x ∈ D associa uno e un
solo valore y ∈ ℝ.
D è il dominio, o l'insieme di definizione o di esistenza della funzione.
Indicando con f la funzione per ogni x ∈ D, il corrispondente valore di y si
indica con f(x), che si chiama immagine di x nella funzione f:
y = f(x)
dove x è la variabile indipendente e y la variabile dipendente.
L'insieme delle immagini di x è il codominio C della funzione.
Esempio 1
Una funzione è definita da f(x + 1) = f(x) + 4, f(1) = 1. Quanto vale f(3)?
A f(x) + 1
B 5
C 9
D 12
E 8
Abbiamo che f(x + 1) = f(x) + 4 e sappiamo che f(1) = 1.
Allora possiamo scrivere f(2) = f(1 + 1).
Da cui si ricava f(1+ 1) = f(1) + 4 = 1 + 4 = 5.
In modo analogo ricaviamo f(3) = f(2 + 1) = f(2) + 4 = 5 + 4 = 9. Risposta
C.
È possibile rappresentare graficamente, in un sistema di riferimento Oxy, le
coppie ordinate di numeri reali che soddisfano la relazione y = f(x).
Data una funzione f si dice grafico l'insieme G = {(x; y) | y = f(x)} di tutti e
soli i punti del piano che hanno per ascissa un valore x del dominio e per
ordinata l'immagine f(x).
Il grafico di f è pertanto l'insieme delle soluzioni dell'equazione y = f(x).
Gli zeri di una funzione sono le ascisse dei punti di intersezione del
grafico della funzione con l'asse x, e si determinano cercando i valori per i
quali f(x) è nulla. In altri termini, gli zeri si trovano risolvendo l'equazione
f(x) = 0.
Gli eventuali punti di intersezione del grafico con l'asse delle ordinate
hanno ascissa nulla (x = 0), ed esistono solo se la funzione è definita per x =
0. Si determinano ponendo x = 0 nella funzione, ossia calcolando y = f(0).
Per determinare il segno della funzione si ricercano i valori di x per cui la
funzione risulta positiva, f(x) > 0, ovvero si trova nel semipiano delle
ordinate positive. I valori per cui è la funzione è negativa, f(x) < 0, si trova
nel semipiano delle ordinate negative.
Esempio 2
La funzione y = a–x con a > 0:
A può essere sia positiva che negativa
B è sempre positiva
C è sempre negativa
D interseca l'asse delle ascisse
E non interseca l'asse delle ordinate
Per la proprietà delle potenze, la funzione y = a–x è equivalente alla
funzione y = 1/ax.
Se a > 0, l'esponenziale è sempre positivo, quindi la funzione è sempre
positiva.
Per x = 0, y = 1/a0 = 1, la funzione non interseca l'asse delle y.
L'equazione 1/ax non si annulla mai, perciò la funzione non interseca l'asse
delle ascisse.
Risposta B.
Dominio delle funzioni
Il dominio della funzione reale y = f(x) è l'insieme di tutti i valori reali che
si possono attribuire alla variabile x affinché il corrispondente valore della
variabile y sia un numero reale.
Analizziamo in che modo si determina il dominio delle principali funzioni.
La funzione razionale intera, o funzione polinomiale:
f(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a2x² + a1x + a0
ha dominio uguale a ℝ. Ha intersezione con l'asse y nel punto (0, a0).
La funzione razionale fratta:
ha dominio ℝ con esclusione dei valori che annullano il denominatore: B(x)
≠ 0.
Il grafico interseca l'asse x nel punto in cui A(x) = 0.
Esempio 1
Qual è il campo di esistenza della funzione
?
A x ≠ ±1
B x≠1
C x < –1 e x > 1
D È sempre definita
E –1 < x < 1
Unica condizione di esistenza da imporre alla funzione è che il
denominatore sia diverso da zero: x² – 1 ≠ 0 → x² ≠ 1 → x ≠ ±1. Risposta
A.
La funzione irrazionale intera:
• nel caso di radici con indice n dispari ha dominio ℝ;
• nel caso di radici con indice n pari ha dominio ℝ con esclusione dei
valori che rendono negativi i radicandi, ossia deve essere A(x) ≥ 0.
Esempio 2
Per quali valori della x esiste
?
A 0<x=1
B x=1
C x=0
D x=1
E x≤1ex≥4
L'unica condizione d'esistenza della funzione è che l'argomento della radice,
che è di ordine pari, sia ≥ 0. Quindi: x² – 5x + 4 ≥ 0. L'equazione associata
ha come soluzioni x = 4 e x = 1. Pertanto la disequazione è positiva per i
valori esterni all'intervallo delle soluzioni: x ≤ 1 o x ≥ 4. Risposta E.
La funzione irrazionale fratta:
• nel caso di radici con indice n dispari ha dominio ℝ con esclusione dei
valori che annullano il denominatore, ossia deve essere B(x) ≠ 0;
• nel caso di radici con indice n pari ha dominio ℝ con esclusione dei
valori che rendono negativi i radicandi, e dei valori che annullano il
denominatore.
La funzione esponenziale:
y = ax
in cui la variabile indipendente compare come esponente di una potenza:
• se la base a è positiva e costante ha come dominio il dominio in cui è
definito l'esponente x;
• se la base a è variabile, ha come dominio i valori di x che rendono la base
della potenza positiva e diversa da 1 e per i quali l'esponente è definito.
Esempio 3
Qual è il dominio della funzione y = 3x–5?
A x>0
B è sempre definita
C x>5
D x<5
E x<0
La base è 3, che è un valore costante e positivo, quindi il dominio della
funzione coincide con il dominio dell'esponente x – 5, funzione definita per
ogni x ∈ ℝ. Pertanto la funzione y = 3x–5 è sempre definita, risposta B.
La funzione logaritmica:
y = log f(x)
ha come dominio i valori per cui f(x) > 0, ossia quando l'argomento del
logaritmo è positivo.
Esempio 4
Qual è il dominio della funzione y = log(3x – 3)?
A x>1
B x < –1
C x>3
D x > –3
E x > –1
Unica condizione d'esistenza della funzione è che l'argomento del logaritmo
sia strettamente maggiore di 0: 3x – 3 > 0 → x > 1. La risposta corretta
perciò è A.
Continuità
Intuitivamente, si può pensare a una funzione continua come a una funzione
il cui grafico possa essere tracciato senza mai staccare la penna dal foglio.
Dal punto di vista matematico una funzione y = f(x) è continua in un punto
x0 quando in quel punto coincide con il suo limite, ovvero quando
(per la definizione di limite, si veda la scheda Limiti e derivate).
Una funzione è continua in un intervallo (o nell'intero dominio) quando è
continua in ogni punto dell'intervallo (o del dominio).
Una funzione che non sia continua è detta discontinua.
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Funzioni (2): proprietà
1. Classificazione delle funzioni
Le funzioni si possono classificare in base alle caratteristiche del legame
che associa ciascun elemento del dominio alla sua immagine:
• una funzione è iniettiva se ogni elemento del codominio C è al più
immagine di un elemento del dominio D;
• una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio C è immagine
di almeno un elemento del dominio D;
• una funzione è biunivoca o biiettiva se è contemporaneamente iniettiva e
suriettiva: ogni elemento del dominio ha una sola immagine e ogni
elemento del codominio è immagine di uno e un solo elemento del
dominio.
2. Funzione inversa
Data una funzione f biunivoca da D a C, la funzione inversa f–1 è una
funzione da C a D che associa a ogni y ∈ C il valore x ∈ D.
Una funzione che ammette l'inversa è detta invertibile.
Per determinare l'equazione della funzione inversa:
• si scrive l'equazione della funzione nella forma y = f(x)
• si invertono x e y nell'equazione x = f(y)
• si risolve l'equazione x = f(y) rispetto a y e si ottiene l'equazione della
funzione f–1.
Esempio
Data la funzione f(x) = 3x – 6, quale delle seguenti risposte rappresenta la
funzione inversa?
A
B
C
D
E
Scriviamo la funzione nella forma y = 3x – 6.
Invertiamo la x e la y nell'equazione: x = 3y – 6.
Risolvendo l'equazione rispetto a y si ottiene: y = x/3 + 2, ossia f–1(x) = x/2
+ 3, che rappresenta la funzione inversa. Risposta A.
3. Funzioni pari e dispari
Una funzione è pari se il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle
ordinate.
In una funzione pari sostituendo a x il valore –x il valore della funzione non
cambia:
f(–x) = f(x)
Una funzione è dispari se il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine del
sistema di riferimento.
In una funzione dispari sostituendo a x il valore –x il valore della funzione
cambia di segno:
f(–x) = –f(x)
Una funzione può essere non pari e non dispari.
Esempio
Quali delle seguenti funzioni non è dispari?
A f(x) = x³
B f(x) = x + (1/x)
C
D f(x)= |x|
E Nessuna delle precedenti risposte è corretta
Determiniamo per ciascuna delle funzioni la funzione f(–x).
A:
f(–x) = –x³ = –f(x) la funzione è dispari
B:
f(–x) = –x + (1/–x) = –f(x) la funzione è dispari
C:
la funzione è dispari
D:
f(–x) = |x| ≠ –f(x)= –|x| la funzione non è dispari.
Quindi D è la risposta esatta. Si può anche osservare che l'unica funzione
pari tra quelle proposte nell'esempio (che non si modifica sostituendo –x a
x) è la funzione valore assoluto.
4. Funzione periodica
Una funzione è periodica con periodo T > 0, se per un qualsiasi k ∈ ℤ si
ha:
f(x + kT) = f(x)
T è il periodo minimo (k = 1) e il grafico della funzione si ripete uguale a
ogni intervallo.
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Limiti e derivate
1. Limite
Consideriamo la funzione y = f(x) in un intorno di un punto x0, nel quale la
funzione sia continua. All'intervallo [x0–δ, x0+δ] del dominio corrisponde
l'intervallo [l–ε, l+ε] del codominio. Possiamo restringere in modo
arbitrario l'intervallo del dominio x e conseguentemente si rimpicciolirà
l'intervallo dei corrispondenti valori di y.
Se per x che si avvicina a x0 la f(x) si avvicina al valore l, ovvero se esiste
un numero positivo ε piccolo a piacere tale che se |f(x) – l| < ε, anche |x – x0|
< δ, allora l è il limite di y = f(x) per x tendente a x0 e si scrive
Se si considera solo l'intorno destro o l'intorno sinistro del punto x0, si
possono definire i limiti destro o sinistro di f(x) per x che tende a x0 da
destra o da sinistra, e si scrive:
2. Derivata
Consideriamo la funzione y = f(x) e un punto P di coordinate P(x0, f(x0)) in
un intervallo in cui la funzione è continua.
Se incrementiamo x di un valore Δx, spostandoci da x0 a (x0 +Δx), la
variabile dipendente y subirà di conseguenza una variazione, passando da
f(x0) a f(x0 + Δx).
Si definisce rapporto incrementale il rapporto:
Al tendere di x a x0, il limite del rapporto incrementale, se esiste ed è
finito, viene chiamato derivata di f(x) in x0 e si scrive:
Se la derivata esiste per tutti i punti xi di un intervallo, il concetto viene
esteso con la costruzione di una funzione f’(x), derivata della funzione f(x)
in quell'intervallo. Il simbolo di derivata può essere espresso in vari modi:
dy/dx, df(x)/dx, y’, f’(x).
Dalla definizione si deduce che la derivata di una costante è nulla: se y = k,
allora y’ = 0.
3. Derivate notevoli
y=x
y’ = 1
y = |x|
y = logax
y = xn (n ∈ ℝ)
y’ = nxn–1
y = lnx
y = ax
y = ex
y = senx
y = cosx
y’ = axlna
y’ = ex
y’ = cosx
y’ = –senx
y = tgx
y = ctgx
y = arcsenx
y = arccosx
y = arctgx
y = arcctgx
4. Significato geometrico della derivata
Il concetto matematico di derivata è ben visualizzabili geometricamente nel
piano cartesiano: la derivata di una funzione in un punto coincide con il
coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto.
Dunque, se la derivata in un punto è positiva significa che la funzione è
crescente in quel punto, mentre se la derivata è negativa significa che la
funzione è decrescente in quel punto. Se la derivata in un punto è nulla,
significa che la funzione decresce alla sinistra del punto e cresce a destra (e
quindi il punto è un punto di minimo della funzione, come nel caso di x2 in
figura) oppure viceversa significa che la funzione cresce alla sinistra del
punto e decresce alla sua destra (e quindi il punto è un punto di massimo
della funzione). Lo studio della derivata fornisce quindi informazioni
fondamentali per capire l'andamento della funzione e tracciarne un grafico.
5. Regole di derivazione
Derivata di una somma o differenza di funzioni. La derivata di una somma
(o differenza) di funzioni è la somma (o la differenza) delle derivate delle
singole funzioni.
Derivata del prodotto di funzioni. La derivata del prodotto di due funzioni
è pari al prodotto della derivata della prima funzione per la seconda più la
prima funzione per la derivata della seconda.
Quindi la derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale
alla costante per la derivata della funzione.
Derivata del quoziente tra due funzioni. Innanzitutto è necessario imporre
che il denominatore sia diverso da zero, quindi la derivata di un quoziente
esiste solo in quei punti ove la funzione al denominatore non si annulla.
Con questa premessa, la derivata del quoziente di due funzioni è la derivata
della prima funzione per la seconda, meno la prima funzione per la derivata
della seconda, il tutto fratto la seconda funzione al quadrato:
Derivata di una funzione di funzione. La derivata di una funzione di
funzione è la derivata della funzione esterna per la derivata di quella
interna.
Casi particolari:
Esempio
Calcolare la derivata della funzione:
A
B
C
D
E Nessuna delle precedenti
Al numeratore abbiamo il prodotto di una costante per la funzione (x²+1); la
costante viene ignorata; facendo riferimento alla tabella delle derivate
notevoli, sappiamo che la derivata del numeratore vale 2x, in quanto
derivata della somma di x² e di una costante. La derivata del denominatore
vale 1.
Possiamo ora calcolare la derivata del quoziente:
Risposta B.
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Trigonometria
La trigonometria è la parte della matematica che studia le relazioni tra gli
elementi di un triangolo tramite l'uso delle funzioni circolari (o
trigonometriche).
Tali funzioni sono seno, coseno e le loro derivate, e sono definite in base a
un cerchio di raggio unitario e centro nell'origine O di un riferimento
cartesiano – sul quale viene assunto positivo il verso di percorrenza
antiorario – e, dato un punto P mobile su tale cerchio, hanno come variabile
l'angolo compreso tra l'asse x e il vettore OP.
Questi strumenti della trigonometria piana, la cui prima sistemazione risale
al matematico tedesco Johannes Müller (conosciuto come Regiomontano,
1436-1476) vengono oggi estesi allo studio di porzioni della superficie
sferica identificata dalla proiezione di un triedro uscente dal centro.
Grazie alle numerose relazioni notevoli che intercorrono tra le funzioni
trigonometriche e alla possibilità di scomporre in triangoli qualsiasi figura,
la trigonometria riveste fondamentale importanza nel calcolo pratico degli
elementi geometrici e in topografia.
Gli argomenti trattati all'interno della sezione sono i seguenti:
• Angoli
• Funzioni circolari
• Equazioni trigonometriche
• Triangoli e funzioni circolari
Angoli e funzioni circolari
1. Angoli
Un angolo è ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette s
e r che hanno origine in comune nel vertice V.
Se le semirette assumo particolari posizioni si hanno angoli particolari:
angolo nullo:
angolo piatto:
angolo giro:
angolo retto:
Un angolo per cui si stabilisce un verso di rotazione (orario o antiorario) si
dice orientato.
Le unità di misura degli angoli sono il grado e il radiante.
Il grado (indicato dal simbolo °) è uguale alla 360-esima parte dell'angolo
giro.
1° = 1/360° dell'angolo giro
Data una circonferenza di raggio r, il radiante α è l'angolo al centro che
sottende l'arco di lunghezza l: α = l/r
Poiché la lunghezza dell'intera circonferenza è l = 2π, per trasformare i
gradi in radianti e viceversa si utilizzano le due formule ricavate dalla
proporzione α° : αrad = 360° : 2 π
gradi
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
360°
radianti
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2/3π
3/4π
5/6π
π
2π
In un sistema di rifermento Oxy, viene detta circonferenza trigonometrica
una circonferenza che ha il centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio
1. La sua equazione è perciò: x² + y² = 1.
2. Funzioni circolari (o trigonometriche)
Considerando sulla circonferenza trigonometrica un punto P associato
all'angolo orientato α si definiscono le seguenti funzioni:
seno:
coseno:
tangente:
cotangente:
Tangente e la cotangente si indicano anche con tan e cotan.
Le equazioni che descrivono le funzioni sono:
y = senx; y = cosx; y = tgx; y = cotgx
Le funzioni seno e coseno hanno dominio uguale a ℝ, e poiché sulla
circonferenza trigonometrica possono assumere solo i valori compresi fra –
1 e 1 il loro codominio è l'intervallo chiuso [–1, 1].
sinusoide
cosinusoide
Le funzioni seno e coseno dopo un intervallo uguale a 2π si ripetono uguali,
sono perciò funzioni periodiche di periodo 2π: senx = sen(x +2kπ) e cosx =
cos(x + 2kπ).
Poiché sen(–x) = –senx, il seno è una funzione dispari.
Poiché cos(–x) = cosx, il coseno è una funzione pari.
Esempio
Determinare quali delle seguenti funzioni soddisfa la relazione f(–x) = –f(x)
per ogni numero reale x.
A sen³x
B cos³(x)
C cos(x³)
D sen²(x)
E sen(x²)
Si chiede di determinare quali fra le funzioni date è una funzione dispari.
Primo metodo. Quando si ha la composizione di due funzioni vale la
seguente relazione:
– la composizione di due funzioni di cui una pari dà una funzione
pari
– la composizione di due funzioni dispari dà una funzione dispari
A: sen³x è la composizione di due funzioni dispari: senx e x³, per cui f(x) è
dispari. Risposta corretta.
B: è la composizione di una funzione pari (cosx) e di una funzione dispari
(x³), per cui f(x) è pari.
C: è la composizione di una funzione dispari (x³) e una pari (cosx), per cui
f(x) è pari.
D: è la composizione di una funzione dispari (senx), per una pari (x²), per
cui f(x) è pari.
E: è la composizione di una funzione pari (x²) e una dispari (senx), per cui
f(x) è pari.
Secondo metodo. Si determina la parità della funzione sostituendo –x nella
funzione:
A: sen³(–x) = [sen(–x)]³ = [–senx]³ = –sen³x. Funzione dispari.
B: cos³(–x) = [cos(–x)]³ = [cosx]³ = cos³x. Funzione pari.
C: cos((–x)³) = cos(–x³) = cosx³. Funzione pari.
D: sen²(–x) = [sen(–x)]² = [–senx]² = sen²x. Funzione pari.
E: sen(–x)² = senx². Funzione pari.
La funzione tangente ha dominio ℝ, esclusi i valori per cui xP = 0, ossia
per cosα ≠ 0 → α ≠ π/2 + kπ con k ∈ ℤ. Il suo codominio è ℝ.
La funzione cotangente ha dominio ℝ, esclusi i valori per cui yP = 0, ossia
per senα ≠ 0 → α ≠ π + k π con k ∈ ℤ e il suo codominio è ℝ.
Tangente e cotangente sono funzioni periodiche di periodo π:
tgx = tg(x + kπ)
cotgx = cotg(x + kπ)
Tangente e cotangente sono funzioni dispari:
tg(–x) = –tgx
cotg(–x) = –cotgx
Valori di seno, coseno e tangente per alcuni angoli
gradi
0°
radianti
0
senx
0
30°
π/6
1/2
45°
π/4
60°
90°
π/3
π/2
120°
2/3π
135°
3/4π
cosx
1
tgx
0
1
1
1/2
0
√3
n.d.
–1/2
–1
150°
5/6π
1/2
180°
360°
π
2π
0
0
–1
1
–1
0
Esempio
Calcolare il valore dell'espressione: cosπ + cos2π + cos3π + cos4π + ... +
cos10π (gli angoli sono misurati in radianti):
A 0
B 2
C 4
D 8
E 3
L'espressione è formata dalla somma dei valori del coseno di angoli uguali
a multipli di π (angolo di 180°) e del coseno di angoli uguali a multipli 2π
(angolo di 360°). Gli addendi sono in numero uguale. Poiché cosπ = –1 e
cos2π = 1, la somma complessiva è 0. Risposta A.
Relazione fondamentale
Il punto P appartiene alla circonferenza trigonometrica, per cui deve
soddisfare l'equazione della circonferenza di raggio OP = 1:
.
Sostituendo senα a x e cosα a y si ricava la relazione fondamentale della
trigonometria:
sen²α + cos²α = 1
3. Formule trigonometriche
Nella rotazione del punto P sulla circonferenza trigonometrica, le funzioni
assumono valori uguali in valore assoluto. Gli angoli che hanno questa
caratteristica si dicono angoli associati, e tra loro valgono le seguenti
relazioni.
angoli opposti: α e –α
sen(–α) = –sen α
cos(–α) = cos α
tg(–α) = –tg α
angoli complementari: α e (π/2 – α)
sen(π/2 – α) = cos α
cos(π/2 – α) = sen α
tg(π/2 – α) = 1/tg α
angoli supplementari: α e (π – α)
sen(π – α) = sen α
cos (π – α) = –cos α
tg(π – α) = –tg α
angoli esplementari: α e (2π – α)
sen(2π – α) = –sen α
cos(2π – α) = cos α
tg(2π – α) = –tg α
angoli che differiscono di π/2: α e (π/2 + α)
sen (π/2 + α) = cos α
cos(π/2 + α) = -sen α
tg(π/2 + α) = -1/tg α
angoli che differiscono di π: α e (π + α)
sen(π + α) = –sen α
cos(π + α) = –cos α
tg (π + α) = tg α
Esempio 1
Determinare il più grande tra i seguenti numeri:
A cos20°
B sen30°
C cos40°
D sen50°
E cos60°
Per confrontare i valori è necessario trasformare tutte le funzioni
trigonometriche in coseno oppure tutte in seno. Trasformiamo le funzioni
seno in coseno. Il seno di un angolo è uguale al coseno dell'angolo
complementare. Perciò sen30° = cos60° e sen50° = cos40°.
Mettendo in ordine rispetto alla misura degli angoli le 5 risposte, si ottiene:
cos60°; cos60°; cos40°; cos40°; cos20°.
Per gli angoli compresi fra 0° e 90° il coseno diminuisce all'aumentare
dell'angolo, perciò il valore maggiore corrisponde all'angolo minore, che è
20°. Risposta A.
Esempio 2
Quale tra i seguenti è l'unico risultato equivalente a
?
A tan 20°
B sen(2/7)°
C cos20°
D 2/7
E tan70°
Si osserva che l'angolo di 70° può essere espresso come la differenza fra
l'angolo di 90° e quello di 20°: sen70° = sen(90° – 20°) = cos20°.
Risposta corretta A.
Formule di duplicazione
Le formule di duplicazione esprimono il valore delle funzioni
trigonometriche di un angolo 2α in funzione di quelle relative all'angolo α.
Esempio
L'espressione [sen(π/12) – cos(π/12)]² è anche uguale a:
A 1/2
B 1
C
D 3/2
E
Poniamo per comodità π/12 = α.
(senα – cosα)² = sen²α + cos²α – 2 senα cosα.
Possiamo semplificare l'espressione ottenuta ricorrendo alla relazione
fondamentale della trigonometria:
sen²α + cos²α = 1 e alle formule di duplicazione:
2 senα cosα = sen2α
Se α = π/12 → 2α = π/6, e sappiamo che sen(π/6) = 1/2.
Sostituendo si ricava: 1 – 1/2 = 1/2. Risposta A.
Formule di addizione
Le formule di addizione permettono di esprimere i valori delle funzioni
trigonometriche di somme di angoli in funzione di quelle di α.
Formule di sottrazione
In modo analogo, le formule di sottrazione permettono di esprime i valori
delle funzioni trigonometriche di differenze di angoli in funzione di quelle
di α.
Esempio
La funzione –sen(3a + b) è uguale a:
A cos3a cosb – sen3a senb
B cosa cosb + sena senb
C –3cosa senb – 3sena cosb
D –cos3a senb – sen3a cosb
E –cos3a senb + sen3a cosb
Utilizzando le formule di addizione si ottiene:
–sen(3a + b) = –(sen3a cosb + cos3a senb) = –sen3a cosb – cos3a
senb.
Risposta D.
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Equazioni trigonometriche
In un'equazione trigonometrica l'incognita compare nell'argomento di una
o più funzioni trigonometriche.
Per risolvere equazioni o disequazioni trigonometriche si ricorre alla
circonferenza trigonometrica e agli angoli associati, tenendo presente che il
codominio delle funzioni seno e coseno è sempre l'intervallo [–1, 1].
Esempio 1
La condizione cui deve soddisfare il parametro k affinché l'equazione 4senx
= 3k abbia soluzione è:
A k ≥ –4/3
B –4/3 ≤ k ≤ 4/3
C k = ±4/3
D non c'è nessuna limitazione ai valori di k
E k ≤ 4/3
Isolando senx si ottiene 4senx = 3k → senx = (3/4)k. Poiché il codominio
della funzione seno è definito dall'intervallo [–1, 1], (3/4)k deve essere
compreso in questo intervallo: –1 ≤ (3/4)k ≤ 1 → –4/3 ≤ k ≤ 4/3. Risposta
B.
Esempio 2
Le soluzioni in [0, 2π] dell'equazione 4cos³x + 4sen²x cosx – 6cosx – √3
sono:
A x = ±π/6
B x = 5π/6 e x = 7π/6
C x = 2π/3 e x = 4π/3
D x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ
E x = π/6 e x = 5π/6
Trasformiamo l'equazione in una equivalente in cui compaia solo cosx.
Poiché sen²x = 1 – cos²x, sostituendo si ricava:
4cos³x + 4 (1 – cos²x)cosx – 6cosx – √3 = 0
4cos³x + 4cosx – 4cos³x – 6cosx – √3 = 0 →
– 2cosx – √3 = 0 → cosx = –√3/2
Da cui si deduce x = 5π/6 e x = 7π/6.
La risposta corretta è B. D non è corretta perché le soluzioni devono essere
comprese nell'intervallo [0, 2π].
Esempio 3
La disequazione cos²x – cosx – 2 ≥ 0 è verificata per:
A qualunque valore reale di x
B x = 3kπ per ogni k intero
C nessun valore reale di x
D x = (2k + 1)π per ogni k intero
E x = 2kπ per ogni k intero
Per comodità di calcolo operiamo la sostituzione: cosx = t. L'equazione
associata diventa così:
t² – t – 2 = 0. Le sue soluzioni sono t1 = –1 e t2 = 2.
La funzione coseno ha codominio [–1, 1], per cui l'unico valore accettabile
della soluzione è t1: cosx = –1 → x = π + 2kπ = π (2k + 1). Risposta D.
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Triangoli e funzioni circolari
Applicando le definizioni delle funzioni trigonometriche ai triangoli si
deducono alcune relazioni utili nello svolgimento dei problemi di
geometria.
Consideriamo un generico triangolo ABC di lati a, b, c e angoli α, β e γ
come quello in figura.
Teorema dei seni
Il rapporto tra la lunghezza di un lato e il seno dell'angolo opposto è sempre
costante:
Teorema di Carnot
La relazione tra la lunghezza dei tre lati e l'ampiezza di uno degli angoli è la
seguente:
Area del triangolo
L'area del triangolo in funzione di due lati e dell'angolo compreso è:
Triangolo rettangolo
In un triangolo rettangolo ABC, dove a e b sono i cateti, c è l'ipotenusa e α,
β e γ sono gli angoli opposti ai lati a, b e c, valgono le seguenti
uguaglianze:
a = c senα = c cosβ
b = c senβ = c cosα
Esempio
In un triangolo isoscele il lato misura 15 cm e la base 15√3. L'ampiezza
dell'angolo alla base è uguale a:
A 60°
B 45°
C 30°
D 75°
E 120°
Disegniamo la figura e tracciamo l'altezza del triangolo isoscele relativa alla
base.
Si ottiene un triangolo rettangolo di cui si conosce l'ipotenusa c = 15 cm e
un cateto che è uguale alla metà della base: b = 15√3/2.
Dalle relazioni goniometriche fra angoli e lati del triangolo rettangolo
possiamo ricavare l'angolo β.
senβ = b/c = (15√3/ 2)/15 = √3/2 → β = 60°
L'angolo α è il complementare di β, perciò α = 30°. Risposta C.
Il problema poteva essere risolto anche applicando semplicemente il
teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di ipotenusa c = 15 cm e cateto b
= 15√3/2: il secondo cateto h è dato da:
Quindi il triangolo rettangolo risulta essere la metà di un triangolo
equilatero, e l'angolo β è pari a 60°.
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Geometria piana e solida
La geometria è quella parte della matematica che si occupa della struttura e
delle proprietà dello spazio, delle figure, della loro misura e
rappresentazione.
È una delle discipline più antiche: il termine (che in greco “significa misura
della Terra”) fu adottato per la prima volta da Erodoto nel descrivere le
operazioni che gli egizi effettuavano per ridefinire i confini dei campi
coltivati dopo le periodiche inondazioni del Nilo. Già presso gli assiri e gli
egizi i processi di astrazione necessari ai calcoli poggiavano su conoscenze
teoriche precise, come la risoluzione di problemi in cui era presente il
rapporto fra circonferenza e diametro o quello di confronto tra le aree.
Il contributo iniziale alla geometria dell'antichità greca si ebbe con Talete di
Mileto, Pitagora, Eudosso di Cnido e in particolare con la sistemazione
rigorosa e pressoché definitiva apportata da Euclide (III secolo a.C.) nei 13
libri degli Elementi.
La maggior parte degli argomenti affrontati in questa sezione riguarda i
triangoli e le relazioni tra angoli e lati, tra le quali riveste importanza
fondamentale il teorema di Pitagora, ma la tipologia di figure utilizzate
comprende anche quadrilateri, poligoni, cerchi e le principali figure solide.
Gli argomenti trattati all'interno della sezione sono i seguenti:
• Triangoli
– triangoli particolari, teoremi di Pitagora e di Euclide
– triangoli e relazioni tra angoli
– triangoli e terne di numeri
• Aree di figure piane
• Volumi di solidi
Triangoli (1)
1. Definizioni
Il triangolo è un poligono formato da tre lati che gode di particolari
proprietà (vedi Triangoli (2): relazioni tra angoli).
• La mediana è il segmento che unisce il vertice di un triangolo con il
punto medio del lato opposto. La definizione si riferisce a ogni lato per
cui le mediane sono tre.
• L'altezza relativa a un lato è il segmento di perpendicolare condotto da un
vertice alla retta a cui appartiene il lato opposto. La definizione si
riferisce a ogni lato per cui le altezze sono tre.
• La bisettrice relativa a un angolo interno è il segmento di bisettrice
compreso tra il vertice e il lato opposto. La definizione si riferisce ad
ogni angolo per cui le bisettrici sono tre.
2. Triangoli particolari
Un triangolo è equilatero quando ha tutti i lati di uguale lunghezza e tutti
gli angoli uguali e di ampiezza 60° (o π/3).
L'altezza, la mediana e la bisettrice relative a ciascun lato coincidono.
Un triangolo è isoscele quando ha due lati di uguale lunghezza. Il terzo lato
è detto base. Sono uguali anche i due angoli adiacenti alla base.
L'altezza, la mediana e la bisettrice relative alla base coincidono.
Un triangolo è rettangolo quando ha un angolo retto. Gli altri due angoli
sono complementari. I lati che formano l'angolo retto sono detti cateti e il
lato opposto all'angolo retto è l'ipotenusa.
Se i due cateti sono uguali, il triangolo è rettangolo isoscele e gli angoli
complementari sono uguali e misurano 45°.
3. Triangoli rettangoli
Per i triangoli rettangoli valgono i seguenti teoremi.
Teorema di Pitagora
In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente
alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
In altri termini vale la relazione:
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo, ogni cateto è medio proporzionale fra l'ipotenusa
e la sua proiezione sull'ipotenusa.
CB : AC = AC : CH oppure CB : AB = AB : HB
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio
proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
CH : AH = AH : HB
4. Perimetro e area
Il perimetro 2p di qualsiasi triangolo è uguale alla somma dei suoi lati:
2p = a + b + c
L'area di un triangolo è uguale a:
A = (a · h)/2
dove h è l'altezza relativa al lato a.
Per il triangolo rettangolo, detti b e c i due cateti, a l'ipotenusa e h l'altezza
relativa ad a:
A = (b · c)/2 = (a · h)/2.
Esempio
Il triangolo ABC ha un angolo retto nel vertice C. La lunghezza del lato AC
è di 5 cm. L'ampiezza dell'angolo CÂB è di 60°. Viene tracciato un
segmento dal vertice C fino ad intersecare nel punto H il lato AB, in modo
che CHB risulti essere un triangolo rettangolo. Qual è la lunghezza in
centimetri del segmento HB?
A 7,5
B 10
C 2,5
D 5√3/2
E 5√3
Primo metodo. Disegniamo la figura secondo le indicazioni fornite dal
testo, tenendo presente che in un triangolo rettangolo, se un angolo è di 60°,
l'altro è di 30°.
Possiamo vedere il triangolo ABC come metà di un triangolo equilatero,
con lato AB.
CB rappresenta l'altezza e la mediana del triangolo, per cui AC è uguale a
metà del lato.
Pertanto CB = 1/2 AB = 5 → AB = 10.
Consideriamo ora il triangolo ACH, che possiamo considerare come metà
di un triangolo equilatero, di cui CH è l'altezza e la mediana.
In questo caso AC è il lato e AH = 1/2 AC.
AH = 5/2 = 2,5.
HB = AB – AH → HB = 10 – 2, 5 = 7, 5
La risposta corretta è A.
Secondo metodo. Il problema può essere risolto anche utilizzando le
relazioni trigonometriche relative al triangolo rettangolo (si veda la sezione
di Trigonometria).
Poiché un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il seno dell'angolo
opposto, si ha:
CH = AC · sen 60° = 5 · (√3/2)
Un cateto è anche uguale al prodotto dell'ipotenusa per il coseno dell'angolo
adiacente:
AH = AC · cos 60° = 5 · (1/2) = 5/2.
Applichiamo il secondo teorema di Euclide :
CH² = AH · HB → [5(√3/2)]² = (5/2) HB → 75/4 = (5 HB)/2 → HB =
15/2
Da cui si ricava HB = 7,5.
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Triangoli (2): relazioni tra angoli
In geometria sono frequenti problemi relativi ai triangoli per lo più
risolvibili conoscendo le relazioni che legano fra loro gli angoli delle figure
geometriche. In particolare si chiede di determinare gli angoli del triangolo
o dei triangoli.
Le principali relazioni tra gli angoli di un triangolo sono le seguenti:
• la somma degli angoli interni è uguale a 180°
• l'angolo esterno è uguale alla somma degli angoli non adiacenti
• angoli opposti al vertice sono congruenti
Esempio 1
Qual è la somma degli angoli a, b, c, d, e, f?
A 240°
B 280°
C 325°
D 360°
E 540°
Contrassegniamo con una lettera gli angoli non considerati in figura.
La somma degli angoli m, n, o, p, q, r è uguale a un angolo giro, perciò m +
n + o + p + q = 360°; inoltre m e p, n e q, o e r sono coppie di angoli opposti
al vertice, pertanto sono congruenti:
m = p; n = q; o = r
Possiamo perciò riscrivere la precedente uguaglianza in questo modo:
2 (n + p + r) = 360° da cui n + p + r = 180°
Nella figura ci sono tre triangoli; la somma degli angoli di un triangolo è
uguale a 180°, per cui la somma totale degli angoli di tutti e tre è uguale a:
3 · 180 = 540°
Per trovare la somma degli angoli a, b, c, d, e, f, si devono sottrarre gli
angoli n, p, r: 540° – 180° = 360°, risposta D.
Esempio 2
Il triangolo ABC è equilatero e l'angolo z è pari a 3/4 dell'angolo x. Quanto
vale l'angolo y?
A 55°
B 70°
C 75°
D 80°
E Nessuna delle precedenti risposte
Il triangolo ABC è equilatero, perciò l'angolo z = 60°, da cui si ricava: x =
4/3 · z = 4/3 · 60° = 80°.
L'angolo esterno relativo a z è uguale alla somma dell'angolo in A e
dell'angolo in B: 60° + 60° = 120°.
Il quadrilatero considerato ha pertanto tre angoli noti: x = 80°, 120° l'angolo
esterno e 90° l'angolo retto segnato.
Per ricavare y, è sufficiente sottrarre a 360°, che è la somma degli angoli di
un quadrilatero, gli angoli noti: y = 360° – (80° + 120° + 90°) = 70°,
risposta B.
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Triangoli (3): terne di numeri
I quesiti che hanno a che fare con terne di numeri si dividono
principalmente in due categorie: quelli in cui le terne di numeri si
riferiscono alle misure di lati di triangoli qualsiasi e quelli in cui si
considerano i triangoli rettangoli. Consideriamo i due casi separatamente.
Caso a.
Il test chiede di individuare quali terne di numeri corrispondono ai lati di
un triangolo (oppure se non è possibile costruire un triangolo con quelle
terne).
Per risolvere il problema è necessario ricordare che:
• ogni lato è sempre minore della somma degli altri due;
• ogni lato è sempre maggiore della differenza fra gli altri due.
Quando si affrontano questi test per prima cosa è opportuno calcolare la
somma fra i due lati minori. Se la somma risulta maggiore del terzo lato, la
terna non rappresenta le misure dei lati di un triangolo; per esempio, se i lati
sono 2, 4, 8, sommando 4 + 2 si ottiene 6 che è minore di 8. Se questa
condizione è rispettata, si verifica se vale anche per le altre combinazioni.
Consideriamo il seguente esempio.
Esempio
Se i due lati di un triangolo sono 5 e 7, quale deve essere la misura del terzo
lato, espressa da un numero intero?
Disegnando i due lati del triangolo si può osservare che la misura del terzo
varia al variare dell'angolo compreso fra i lati dati.
Per determinare l'intervallo applichiamo le due regole sopra esposte,
tenendo presente che in questo caso la misura è un numero intero.
5 + 7 = 12, per cui il terzo lato deve essere un numero intero, positivo,
minore di 12, quindi può variare da 1 a 11.
7 – 5 = 2, per cui il terzo lato deve essere maggiore di 2. Il primo numero
intero maggiore di 2 è 3.
Unendo le due condizioni abbiamo che il terzo lato è un numero intero
compreso fra 3 e 11, ossia può assumere i valori: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
Caso b.
Il test chiede di individuare quali terne sono terne pitagoriche.
In questo caso è necessario ricordare che le terne pitagoriche sono quelle in
cui numeri interi soddisfano il teorema di Pitagora, ossia a² + b² = c², dove
a, b, sono le misure dei cateti del triangolo rettangolo e c è la misura
dell'ipotenusa.
È importante sottolineare che le terne pitagoriche sono costituite da numeri
interi, mentre il teorema di Pitagora è valido anche con numeri non interi.
La terna pitagorica più nota è costituita dai numeri: 3– 4– 5.
Esistono altre terne pitagoriche che, come quella già citata, sono dette
primitive perché i numeri che le compongono sono numeri naturali e primi
fra loro, per esempio: 5–12–13, 8–15–17, 7–24–25, 9–40–41.
Moltiplicando i numeri di una terna pitagorica primitiva per uno stesso
numero intero e positivo si ottiene una nuova terna pitagorica, detta
derivata. Per esempio moltiplicando per 2 la terna (3–4–5) si ottiene la
terna: 6–8–10.
Esempio
Individua quali tra le seguenti è una terna pitagorica:
A 12, 16, 25 B 14, 49, 50 C 45, 108, 117 D 24, 30, 34 E 6, 12, 15
Nessuna delle proposte è una terna primitiva. Verifichiamo allora quale è
multiplo di una terna.
A 12 e 16 sono 3 · 4 e 4 · 4, ma il terzo termine dovrebbe essere 20, non 25:
non è una terna pitagorica.
B 14 = 7 · 2, così come 50 = 25 · 2; ma 49 ≠ 24 · 2. Non è una terna
pitagorica
C 45 = 5 · 9; 108 = 12 · 9; 117 = 13 · 9. Questa è una terna pitagorica
derivata da 5, 12, 13.
È possibile verificare che D ed E non sono terne pitagoriche.
Vai agli esercizi
Aree di figure piane
Molti test di geometria richiedono di calcolare una misura di una figura
piana in base alle altre misure note. In questi casi è utile solamente
ricordare le formule che legano tra loro tali grandezze. Per il triangolo, si
veda la scheda dedicata.
parallelogramma
A=b·h
rettangolo
A=b·h
2p = 2(b + h)
quadrato
A = l²
2p = 4l
rombo
2p = 4l
trapezio
2p = b1 + l1 + b2 + l2
cerchio
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A = πr²
2p = 2πr
Volumi di solidi
Anche per il caso di figure solide, è sufficiente ricordare le formule che
legano tra loro le grandezze lineari, le superfici e il volume.
parallelepipedo
STOT = 2 (ab + ac + cb)
V=a·b·c
cubo
STOT = 6 l²
V = l³
piramide
STOT = ABASE + SLAT
cono
SLAT = πra
STOT = πr² + πra = πr(r +
a)
cilindro
SLAT = 2πrh
STOT = 2πr² + 2πrh =
2πr(r + h)
V = πr²h
sfera
S = 4πr²
Vai agli esercizi
Statistica
La statistica è quell'insieme di metodi di analisi quantitativa di un
fenomeno variabile, allo scopo di astrarne una informazione sintetica sul
suo andamento.
I metodi matematici di cui si avvale fanno largo ricorso al calcolo delle
probabilità; i campi di applicazione elettivi sono quelli delle scienze
naturali e sociali, i cui problemi hanno a che fare con l'analisi di una serie di
dati o eventi dal punto di vista probabilistico.
Tali problemi si presentano in due tipologie distinte: la prima consiste nella
descrizione di uno o più eventi, dei quali viene richiesto di valutare la
probabilità con la quale possono avverarsi; la seconda presenta invece una
successione (o distribuzione) di dati numerici e si domanda di evidenziarne
una precisa caratteristica dal punto di vista combinatorio (si veda anche la
scheda Progressioni aritmetiche e geometriche nella sezione Insiemi,
numeri e operazioni).
In particolare, per l'analisi di una distribuzione di dati risultano
fondamentali dei numeri che ne rappresentano i valori medi, detti indici
centrali, compresi fra il valore più piccolo e il valore più grande della
distribuzione di dati; gli indici centrali più utilizzati sono la moda, la
mediana, la media aritmetica e la media geometrica.
Alla base di tutti questi problemi c'è il fondamentale concetto di frequenza
di un dato.
La frequenza assoluta (f) è il numero che indica quante volte un dato
compare.
La frequenza relativa (fr) è uguale al rapporto fra la frequenza assoluta e il
numero totale (n) dei dati:
Gli argomenti trattati all'interno della sezione sono i seguenti:
• Media
• Moda e mediana
• Percentuali
• Calcolo combinatorio e disposizioni
• Probabilità semplice
• Probabilità di eventi compatibili e incompatibili
• Probabilità di eventi dipendenti e indipendenti
• Indici di variabilità
Media
La prima tipologia di quiz sul calcolo delle probabilità richiede di calcolare
il valore della media, aritmetica o geometrica.
La media aritmetica (m) di un insieme di n dati si ottiene sommando gli n
dati tra loro e dividendo il risultato per n.
Esempio 1
Calcolare la media dei seguenti numeri: 70, 24, 57, 57, 64, 57, 56, 17.
A 116, 5 B 117 C 71 D 10,15 E 50,25
Sommiamo tutti i numeri e dividiamo per 8:
Risposta E.
Un altro modo per giungere alla risposta corretta è quello di considerare che
la media è un valore che è sempre minore del valore massimo (in questo
caso < 70) e maggiore del valore minimo (> 17), pertanto si possono
escludere a priori le risposte A, B, C e D.
Esempio 2
Calcolare la media dei numeri 4 e (–5)
A –5 B 2 C –0,5 D 0,5 E 1
La somma fra i due numeri deve tener conto del segno dei numeri:
4 + (–5) = –1; –1: 2 = –0,5.
La risposta corretta è C.
Esempio 3
46 è la media aritmetica fra 14 e ...
A 56 B 78 C 98 D 89 E 68
Se 46 è la media fra due numeri, per ricavare il numero che è uguale alla
somma complessiva dei dati si deve moltiplicare per due il risultato 46 · 2 =
92.
Sottraendo 14 da 92 otteniamo l'altro numero: 92 – 14 = 78 . Risposta B.
La media geometrica (M) di un insieme di n dati si ottiene estraendo la
radice n-esima del prodotto degli n dati.
Esempio 4
La media geometrica di 3 e 7 è:
A 1/7
B 1/21
C 10
D 211/2
E 21
Il prodotto di 3 · 7 = 21. Poiché n = 2, dobbiamo calcolarne la radice
quadrata. Ricordiamo che, utilizzando la simbologia delle potenze, la radice
quadrata di un numero si può scrivere come quel numero elevato a 1/2. La
risposta corretta è quindi D.
Vai agli esercizi
Moda e mediana
La seconda tipologia di quiz sul calcolo delle probabilità richiede il calcolo
della moda o della mediana, valori che dipendono dalla posizione all'interno
della distribuzione.
La moda è il valore che si presenta con frequenza maggiore in un
insieme di dati.
Esempio
Calcola la moda dei seguenti numeri: 17, 24, 56, 57, 57, 57, 64, 70
A 70 B 64 C 57 D 17 E 88
Si osserva che la risposta E è da scartare a priori in quanto presenta un
valore che non compare nell'elenco. In questo caso i numeri sono già
presenti in successione per cui è facile verificare che il valore più frequente
è 57, che compare tre volte. La risposta corretta perciò è D.
Nel caso in cui i numeri siano elencati in ordine sparso, si possono
riscrivere in ordine crescente o decrescente per individuare con più facilità i
valori che si ripetono.
La mediana è il valore che si trova esattamente a metà della serie di
dati, disposti in ordine crescente o decrescente.
Se il numero dei dati è dispari la mediana è il valore centrale, se il numero
dei dati è pari la mediana è un valore compreso tra i due valori centrali e si
determina sommando i due valori centrali e dividendo per 2. In questo caso
il valore trovato non fa parte dell'insieme dei dati.
Esempio
Calcolare la mediana dei numeri: 23, 59, 23, 92, 23, 3, 57
A 92
B 23,5
C 23
D 32
E 56
Per prima cosa è necessario ordinare i dati secondo un ordine, per esempio
crescente:
3, 23, 23, 23, 57, 59, 92.
I dati sono in numero dispari per cui il valore centrale è 23, risposta C.
Si può giungere al risultato anche con un altro ragionamento. Contando i
dati si verifica che sono dispari, pertanto B, D, E si possono scartare perché
i numeri non fanno parte dell'insieme dato. A si scarta perché è il valore
maggiore della sequenza di numeri, e non può essere un valore centrale,
rimane perciò solo l'opzione C.
Esempio
Calcolare la mediana dei numeri: 39, 39, 87, 70, 2, 50, 39, 70
A 42
B 45
C 43,5
D 44,5
E 44
Per prima cosa è necessario ordinare i dati secondo un ordine, per esempio
crescente:
2, 39, 39, 39, 50, 70, 70, 87.
In questo caso i dati sono in numero pari per cui è necessario considerare i
due valori, calcolare la loro somma e dividere per 2.
La risposta corretta è D.
Vai agli esercizi
Percentuale
La percentuale è un modo per rappresentare una frazione (o un rapporto)
che ha denominatore uguale a 100. Come numeratore può avere un numero
intero o un numero decimale. La percentuale si indica con un numero,
intero o decimale, seguito dal simbolo %.
La relazione tra la percentuale, la corrispondente frazione con denominatore
100 e il numero decimale è la seguente:
10) oppure = 0,0n (se n < 10)
(se n ≥
Per esempio:
Per passare da una generica frazione alla percentuale è più conveniente
esprimere la frazione come numero decimale e poi trasformarla in
percentuale:
.
I problemi relativi al calcolo della percentuale si risolvono utilizzando le
proporzioni. La proporzione è l'uguaglianza fra due rapporti che si presenta
nella forma: a : b = c : d.
Gode di un'importante proprietà: noti tre valori è possibile calcolare il
quarto a · d = b · c
I problemi più semplici relativi alla percentuale possono essere divisi in tre
gruppi.
Caso a. Calcolare la percentuale, conoscendo il totale e la parte
corrispondente
Esempio
In un gruppo di 400 persone si trovano 160 maggiorenni. Quale percentuale
di persone del gruppo è minorenne?
A 80% B 60% C 40% D 20% E 5%
Il totale è 400 persone. Per trovare la parte rispetto alla quale calcolare la
percentuale bisogna prestare attenzione al testo. È infatti fornito il dato
relativo ai maggiorenni, ma la domanda richiede la percentuale dei
minorenni.
Perciò prima è necessario eseguire la sottrazione: 400 – 160 = 240 quindi si
scrive la proporzione 400 : 100 = 240 : x
Da cui si ricava x = 60%, risposta B.
Caso b. Calcolare la parte corrispondente, conoscendo il totale e la
percentuale
Esempio
Quest'anno un commerciante ha incassato dalle vendite dei suoi prodotti
60 000 euro. Tolte le spese ha guadagnato il 40% del totale. Quanto ha
guadagnato?
A 30 000 B 24 000 C 12 340 D 18 000 E 3 000
Si conosce la quantità totale e la percentuale relativa alla parte da ricavare:
si imposta la proporzione 60 000 : 100 = x : 40.
Da cui si ricava x = (60 000 · 40)/100 = 24 000. Risposta B.
Si osservi che per ricavare x, in questo caso è sufficiente moltiplicare la
quantità totale per la percentuale, dividendo per 100.
Caso c. Calcolare il totale, conoscendo la parte corrispondente e la
percentuale
Esempio
In una scuola è stata fatta un'indagine dalla quale è emerso che il 40% degli
studenti ha la macchina e il 5% (8 studenti) ha il motorino. Uno studente ha
sia il motorino sia la macchina. Quanti sono gli studenti della scuola?
A 80 B 400 C 140 D 160 E 180
Si sa che il 5% del totale è uguale a 8 studenti, quindi si conosce la
percentuale e la quantità corrispondente, pertanto è sufficiente impostare la
proporzione: 5 : 8 = 100 : x
Da cui si ricava: x (8 · 100)/5 = 160. Risposta D.
Si osservi che il fatto che il 40% degli studenti abbia la macchina o che uno
studente abbia sia la macchina sia il motorino sono informazioni inutili per
lo svolgimento del problema.
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Calcolo combinatorio e disposizioni
Il calcolo combinatorio è un utile strumento che permette di determinare
quanti raggruppamenti composti da k elementi si possono formare con un
insieme di n elementi.
Per esempio è possibile determinare in quanti modi si possono disporre 6
rose di colore diverso due per ogni vaso: n = 6 e k = 2.
Prima di descrivere quali sono i diversi raggruppamenti possibili, è
necessario introdurre una notazione che permette di scrivere in modo
sintetico il prodotto di più fattori consecutivi.
Il prodotto dei numeri interi positivi da 1 a n: è detto fattoriale del numero
n e si scrive:
n! = n · (n – 1) · (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1
Per esempio il fattoriale del numero 6 è: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720.
In particolare si ha: 1! = 1, 2! = 2 e, per convenzione, 0! = 1.
1. Combinazioni
Le combinazioni sono i raggruppamenti per i quali non conta l'ordine con
cui gli elementi sono presi e differiscono l'uno dall'altro almeno per un
elemento. Il numero di combinazioni di n oggetti presi a gruppi di k è:
Esempio
In una classe un professore decide di interrogare i suoi 20 alunni due alla
volta. Determinare quante sono le possibili coppie.
Per prima cosa è evidente che le possibili coppie non dipendono dall'ordine
con cui scelgo gli alunni, in altri termini la coppia A e B è equivalente alla
coppia B e A.
Il numero degli elementi è: n = 20. La classe è k = 2
Applicando la formula si ottiene:
2. Permutazioni
Le permutazioni sono i raggruppamenti che è possibile formare prendendo
ogni volta tutti gli n elementi, ossia n = k. I gruppi differiscono per l'ordine
con cui vengono presi gli elementi.
Le permutazioni semplici si indicano con il simbolo Pn e si calcolano con la
formula: Pn = n!
Esempio
Luigi vuole andare a trovare i suoi quattro amici più cari che abitano in 4
città diverse. Quanti sono i possibili percorsi per passare dalle quattro città
una sola volta?
Dette A, B, C, D le città, si devono trovare tutti i possibili itinerari. È chiaro
che seguire un percorso ABCD è diverso che seguire il percorso ACDB, per
cui l'ordine ha importanza. Inoltre è necessario considerare tutti gli elementi
contemporaneamente: si tratta perciò di determinare la permutazione
semplice.
Poiché n = 4: Pn = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Luigi può scegliere fra 24
percorsi.
3. Disposizioni
Le disposizioni sono i raggruppamenti in cui gli n elementi distinti sono
presi in gruppi di k per volta, e differiscono fra loro o per l'ordine o per
almeno un elemento.
Le disposizioni si indicano con il simbolo Dn,k e si calcolano con la
formula:
Esempio
Otto amici si sfidano ad una gara di corsa. In quanti modi possibili possono
arrivare i primi tre all'arrivo?
Gli elementi totali sono n = 8, e i raggruppamenti sono in classi di k = 3.
L'ordine di arrivo è fondamentale, per cui si deve determinare la
disposizione semplice:
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Probabilità (1)
Il calcolo delle probabilità studia come determinare il valore che si può
associare al verificarsi di un dato evento per indicarne il grado di possibilità
che tale evento si verifichi.
Per esempio, quante volte si realizza l'uscita del numero 2 lanciando un
dado, oppure con quale probabilità si può estrarre un asso da un mazzo di
52 carte?
Si definisce probabilità di un evento A il rapporto fra il numero (f) dei
casi favorevoli e il numero (n) di tutti i casi possibili, che si suppone
siano tutti ugualmente possibili.
La probabilità di un evento è un numero sempre compreso fra 0 e 1, perché
il numero dei casi favorevoli è minore (o al massimo uguale) a quello dei
casi possibili.
0 ≤ P(A) ≤ 1
0 è la probabilità dell'evento impossibile, ossia dell'evento per il quale non
esistono casi favorevoli (per esempio estrarre una pallina rossa da una
scatola che contiene solo palline bianche).
1 è la probabilità dell'evento certo, ossia dell'evento per il quale tutti i casi
sono favorevoli (per esempio estrarre una pallina bianca da una scatola che
contiene solo palline bianche).
Un evento che ha una probabilità di realizzarsi compresa fra 0 e 1 è detto
evento aleatorio.
L'evento che si verifica tutte le volte che non si verifica l'evento A è detto
evento contrario, e si indica con Ā . La probabilità dell'evento contrario è
uguale a:
Per esprimere i valori della probabilità si possono utilizzare diverse
notazioni:
• le frazioni;
• il numero decimale corrispondente;
• la percentuale corrispondente.
Per esempio, se la probabilità che si verifichi un evento è 1 su 4, si può
scrivere:
Il caso più semplice si presenta quando l'evento è uno solo: si parla in tal
caso di probabilità semplice.
Esempio
In un mazzo di carte napoletano (40 carte, 4 semi, 3 figure per ogni seme) la
probabilità di estrarre una carta che non sia una figura è:
A 2/3
B 4/40
C 7/40
D 7/10
E 4/10
Il numero dei casi possibili è 40, come le carte del mazzo.
È necessario, ora, trovare il numero dei casi favorevoli. Se le figure sono 3
per ognuno dei 4 semi, nel mazzo di carte ci sono 12 figure.
L'evento “non è una figura” è allora uguale a:
40 – 12 = 28, da cui P(A) = 28/40 = 7/10 (risposta D).
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Probabilità (2): eventi compatibili e incompatibili
Esaminiamo ora come si calcola la probabilità nel caso in cui gli eventi
sono più di uno.
A seconda che gli eventi possano verificarsi contemporaneamente o meno,
la loro probabilità deve essere calcolata in modo diverso.
Esaminiamo il primo caso: quando due eventi non si possono verificare
contemporaneamente si dice che essi sono incompatibili.
La probabilità di due eventi incompatibili è data dalla somma delle
probabilità dei singoli eventi.
Esempio 1
In un'urna ci sono 4 biglie rosse, 6 biglie verdi, 7 biglie gialle e 3 biglie
bianche.
Qual è la probabilità di estrarre una biglia rossa o una biglia bianca?
A 30% B 0,4 C 35% D 3/20 E 0,8
Il numero totale dei casi possibili: n = 20
Gli eventi favorevoli sono:
– esce una biglia rossa:
– esce una biglia bianca:
I due eventi non si possono verificare contemporaneamente:
che corrisponde alla risposta C.
Quando invece, tra i casi favorevoli, esistono eventi che possono verificarsi
contemporaneamente, tali eventi si dicono compatibili.
La probabilità di due eventi compatibili è data dalla somma delle
probabilità dei due eventi (quindi la probabilità degli eventi se fossero
incompatibili) diminuita della probabilità che si verifichino entrambi.
Esempio 2
Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo di 52 carte un fante o una
figura nera?
A 2/13 B 4/52 C 15% D 2/52 E 18%
Il numero totale dei casi possibili n = 52.
Gli due eventi favorevoli sono:
– esce un fante: i fanti in un mazzo di carte sono 4, perciò
– esce una figura nera: le figure sono 3 per ogni seme, i semi neri sono 2
(picche e fiori), perciò
Tra i casi favorevoli, tuttavia, troviamo anche il fante di picche e il fante di
fiori che riguardano entrambi gli eventi, quindi questi sono compatibili.
Poiché ci sono 2 fanti neri nel mazzo, la probabilità che si verifichi l'uscita
di un fante nero è:
Quindi la probabilità totale è uguale a:
che corrisponde alla risposta A.
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Probabilità (3): eventi dipendenti e indipendenti
Esaminiamo ora il caso in cui due eventi si verificano in successione.
Consideriamo il caso del lancio di due dadi: il fatto che esca un numero sul
primo dado non influenza il fatto che esca lo stesso numero sul secondo;
allo stesso modo, se si estrae una biglia da un'urna e poi la si rimette
nell'urna non modifica la probabilità di estrazione successiva. In questo
caso gli eventi si dicono indipendenti, poiché la probabilità che si verifichi
il primo evento non influisce sulla probabilità che si verifichi il secondo.
La probabilità di due eventi indipendenti è data dal prodotto delle loro
probabilità.
Esempio 1
Qual è la probabilità che, lanciando due volte un dado, esca al primo lancio
il numero 1 e al secondo lancio un numero pari?
A 1/18 B 1/12 C 1/6 D ½ E 1/36
Poiché il dado è lanciato due volte di seguito i due eventi sono indipendenti.
Un dado ha 6 facce e le probabilità relative ai due eventi sono:
– il numero 1 compare su una sola faccia, perciò: P(1) = 1/6
– i numeri pari presenti sulle facce sono 2, 4, 6, perciò: P(p) = 3/6
La risposta corretta è B.
Tuttavia spesso il verificarsi del primo evento influenza la probabilità che si
verifichi il secondo.
Per esempio, se si estrae una biglia da un'urna e non la si reinserisce, la
probabilità di estrazione viene modificata, in quanto il numero dei casi
possibili è minore rispetto al primo evento.
In questo caso gli eventi si dicono dipendenti e la probabilità che si
verifichi il secondo evento è condizionata dal fatto che si verifichi il primo
evento.
Se si indicano con A e B due eventi, con B condizionato da A, la
probabilità condizionata si indica con P(B/A). La probabilità P(E) dei due
eventi è data dal prodotto della probabilità di A per la probabilità
condizionata di B:
P(E) = P(A) · P(B/A)
Per determinare il valore della probabilità condizionata è necessario
analizzare il problema di volta in volta.
Esempio 2
Una squadra di calcio è composta da 16 giocatori, di cui 12 stranieri e 4
italiani. Fra i 16 giocatori se ne scelgono 3 a caso. Qual è la probabilità che
siano tutti stranieri?
A 1/28 B 11/28 C 1/5 D 2/3 E 7/8
Formalizziamo i dati del problema. Usiamo l'indice 1, 2, 3 per indicare la
scelta del primo, del secondo e del terzo giocatore.
– la probabilità dell'evento A1 è uno straniero è: P(A1) = 12/16
– se si è verificato l'evento A1, si hanno a disposizione 15 giocatori di
cui 11 stranieri, perciò la probabilità che si verifichi l'evento A2 è uno
straniero è: P(A2) = 11/15
– se si è verificato l'evento A2, si hanno a disposizione 14 giocatori di
cui 10 stranieri, perciò la probabilità che si verifichi l'evento A3 è uno
straniero è: P(A3) = 10/14
La risposta corretta è B.
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Indici di variabilità
Gli indici di variabilità sono parametri che descrivono la dispersione dei
dati rispetto a un valore centrale, di solito la media aritmetica.
1. Indici di dispersione assoluta
Il più semplice indice di variabilità è il campo di variazione, definito come
la differenza tra il valore massimo e il valore minimo dei dati statistici: v =
xmax – xmin; è sempre un numero positivo.
Si definisce scarto dalla media la differenza fra ciascuno dei valori dei dati
statistici e la media aritmetica degli stessi. Detta m la media aritmetica, lo
scarto è dato da:
s1 = x1 – m; s2 = x2 – m ... sn = xn – m
Gli scarti possono essere positivi, negativi o nulli, ma la loro somma è
sempre uguale a zero.
Per eliminare l'influenza dei segni, si definisce la varianza σ² di una
distribuzione di dati, uguale alla media aritmetica dei quadrati degli scarti.
Se m è la media aritmetica e n il numero dei dati:
Poiché i termini della varianza sono i quadrati degli scarti, se i dati sono
espressi con unità di misura non è possibile confrontarli tramite la varianza.
Per questo motivo si introduce lo scarto quadratico medio o deviazione
standard σ, pari alla radice quadrata della varianza:
Esempio
Considerando i numeri 2, 3, 6, 8, 10, si calcolino media e scarto quadratico
medio della popolazione
A 19; 5,8
B 2,9; 2,99
C 5,8; 8,96
D 5,8; 2,99
E 2,99; 5,8
La media della popolazione è uguale a: M = (2 + 3 + 6 + 8 + 10)/5= 5,8.
Calcoliamo la varianza:
Determiniamo lo scarto quadratico medio
.
Risposta D.
Per evitare calcoli laboriosi si può procedere per approssimazione dei valori
degli scarti:
Le uniche risposte con m = 5,8 sono C e D; fra le due, D presenta un valore
di σ più vicino a 3.
2. Indice di dispersione relativa
Il coefficiente di variazione χ di una distribuzione statistica di dati è uguale
al rapporto tra lo scarto quadratico medio σ e il valore assoluto della sua
media aritmetica m.
L'indice di dispersione relativa è un numero puro, che può essere espresso
anche in forma percentuale.
Esempio
Una fabbrica produce una batteria che ha durata media di 1380 ore, con
scarto quadratico medio di 160 ore. Si calcoli la dispersione relativa:
A 6,8%
B 9,5%
C 11,6%
D 12%
E 14,6%
Il valore medio è quello della durata della batteria. Applicando la
definizione di coefficiente di variazione si ha:
Esprimendo il valore trovato in forma percentuale si ha: 0,116= 11,6%.
Risposta C.
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Insiemi: esercizi
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1 Posti A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}, quale delle seguenti relazioni è
vera?
A A ∪ B = {1, 2, 3}
B A ∩ B = {1, 2}
C A ∩ B = {1, 2, 3}
D A ∪ B = {1, 2, 3, 5}
E Nessuna delle precedenti risposte è corretta
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2 Siano A, B e C tre insiemi non vuoti; allora A ∩ (B ∪ C) è uguale a:
A (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
B (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
C (A ∩ B) ∪ (B ∩ C)
D (A ∪ B) ∩ (B ∪ C)
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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3 Siano A, B e C tre insiemi non vuoti; allora A ∩ (A ∪ B) ∪ (A ∩ C) è
uguale a:
A (A ∪ B) ∩ (B ∪ C)
B (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
C (A ∩ B) ∪ (B ∩ C)
D (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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4 Dati gli insiemi A = {1, 3, 5, 7,9}, B = {0, 2, 4, 6, 8} indicare quale delle
seguenti affermazioni è corretta:
A A∩B=∅
B A ∩ B = {0}
C A∪B=∅
D A ∪ B ∩ B = {1, 2, 5, 6, 9}
E A ∩ B ∪ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
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5 Dati i due insiemi A = {1, 7, 9, 15} e B = {12, 41, 9, 101} quale delle
seguenti relazioni è corretta?
A A ∪ B = {1, 7, 9, 9, 12, 15, 41, 101}
B A∪B=∅
C A∪B=B
D A∪B=A
E A ∪ B = {1, 7, 9, 12, 15, 41, 101}
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6 Dati i due insiemi A = {t, n, l, h, m} e B = {t, h}, quale dei seguenti
insiemi ne rappresenta l'intersezione?
A A
B {n, l, m}
C {t, h}
D {t}
E {h}
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Numeri e operazioni di base: esercizi
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1 Quale parte viene definita valore assoluto del numero –9?
A Il segno meno
B Il numero 9
C Il suo quadrato 81
D La sua radice
E L'intero numero –9
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2 Inserisci i segni aritmetici (anche davanti al primo termine) che rendono
esatta l'uguaglianza ...7 ... 2 ... 4 ... 3 ... 4 = 0:
A ++–+–
B +––+–
C +++––
D –+++–
E +–+––
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3 Dati due numeri interi positivi m e n, quale delle seguenti affermazioni è
sempre verificata?
A se m + n è pari, allora m · n è pari
B se m + n è pari, allora m · n è dispari
C se m + n è dispari, allora m · n è pari
D se m + n è dispari, allora m · n è dispari
E Nessuna delle precedenti affermazioni
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4 Qual è il risultato di 3 · 3² · 34?
A 729
B 243
C 3
D 2187
E 6561
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5 Qual è il risultato di 45/4²?
A 410
B 47
C 64
D 4
E 4²
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6 Qual è il risultato di (5²)7?
A 55
B 549
C 55
D 59
E 514
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7 La decima parte di 1014 equivale a:
A 1012
B 1013
C 10
D 1010
E 1016
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8 34 + 3³ equivale a:
A 35
B 312
C 37
D 3(3³)
E 3³(3 + 1)
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9 Sia n un numero intero positivo. Allora l'espressione 3n+1 – 3n è uguale
a:
A 3
B 3n
C 3(n + 1)/n
D (2 · 3)n
E 2 · 3n
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10 La metà di 214 è:
A 213
B 27
C 2
D 210
E 212
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11 Quale delle seguenti uguaglianze è vera?
A
B
C
D
E
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12 Quale dei risultati elencati coincide con la somma dei cubi di 2, 3, 1, 4?
A 100
B 90
C 110
D 112
E 95
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Criteri di divisibilità: esercizi
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1
A
B
C
D
E
Non è numero primo:
23
7
17
49
nessuna delle precedenti risposte è corretta, poiché tutti i numeri dati
sono primi
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2 Indicato con P l'insieme dei numeri primi, indica quale delle seguenti
relazioni è corretta.
A 1 appartiene a P
B 25 appartiene a P
C 5 non appartiene a P
D 103 appartiene a P
E 164 appartiene a P
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3 Fra i numeri da 1 a 1000 (inclusi) quanti sono (a) i multipli di 3, (b) i
multipli di 5, (c) i multipli sia di 3 che di 5, (d) i multipli di 3 oppure di 5
(cioè di uno solo dei due)?
A 300, 200, 100, 500
B 333, 200, 133, 1000
C 332, 201, 100, 500
D 333, 200, 66, 467
E 334, 200, 66, 533
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4 Indicato per P l'insieme dei numeri primi, indica quale delle seguenti
relazioni non è corretta:
A 1 non appartiene a P
B 25 non appartiene a P
C 5 appartiene a P
D 6 appartiene a P
E 17 appartiene a P
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5 La corretta scomposizione in fattori primi di 30 è:
A 5·3·1
B 15 · 2
C 5·3·3
D 5·3·2
E nessuna delle precedenti risposte
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6 L'insieme A contiene tutti i numeri interi positivi che sono divisori di 30.
L'insieme B contiene tutti i numeri che sono multipli di 5. Quanti sono gli
elementi comuni ai due insiemi?
A 6
B 2
C 4
D 0
E 3
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Massimo comun divisore e minimo comune multiplo: esercizi
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1 Quanto vale il massimo comun divisore dei numeri 105, 21 e 63?
A 21
B 3
C 7
D 105
E 63
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2 Qual è il m.c.m. tra 12, 5, 6 e 4?
A 30
B 60
C 120
D 96
E 90
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3 Quanto vale il minimo comune multiplo dei numeri 12, 15 e 8?
A 110
B 124
C 120
D 118
E 60
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4 Calcolare il minimo comune multiplo dei numeri 42, 75 e 140:
A 2100
B 700
C 140
D 210
E 300
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5 Il M.C.D. tra 169 e 145 è:
A 9
B 13² · 3² · 5
C 3² · 24 · 5²
D (144 · 225)/9
E 1
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6 Indicare m.c.m. e M.C.D. tra i seguenti numeri: 24, 12, 10, 2.
A m.c.m. = 120, M.C.D. = 2
B m.c.m. = 10, M.C.D. = 120
C m.c.m. = 2, M.C.D. = 24
D m.c.m. = 240, M.C.D. = 2
E m.c.m. = 576, M.C.D. = 2
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7 Il M.C.D. tra 144 e 225 è:
A 25
B 9
C 32 · 24
D 30
E (144 · 225)/9
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8 Il M.C.D. tra 169 e 39 è:
A 13
B 13² · 3² · 5
C 3² · 24 5²
D (144 · 225)/9
E 1
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Frazioni: esercizi
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1 4/5 è equivalente a:
A 5/4
B 4,5
C 4/10
D 8/10
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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2 Indicare la corretta riduzione ai minimi termini della frazione 36/108:
A 1/3
B 0,5
C 3
D 4/9
E 1/4
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3 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 vale:
A 213/315
B 248/630
C 248/315
D 496/945
E 496/315
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4 Qual è la risoluzione dell'espressione 1/a + 1/b + 1/ab?
A (a + b)/ab
B (b + 1)/ab
C (a + 1)/ab
D (a + b + 1)/ab
E (ab + 1)/ab0
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5 Disporre in ordine decrescente i seguenti numeri: a = –1/4, b = –2/5, c =
–2/3, d = –5/6:
A c–d–b–a
B a–b–c–d
C a–b–d–c
D b–a–c–d
E b–a–d–c
Vai alla risposta commentata
6 2–3 equivale a:
A 64
B 1
C –8
D 1/8
E –1/8
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7
è uguale a:
A 9/4
B –9/4
C 4/9
D –4/9
E –1/4
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8 Posto a = (1/2)n e b = (1/3)n con n ∈ ℕ e n ≠ 0, quale delle seguenti
relazioni è corretta?
A Non si può rispondere perché non si conosce il valore di n
B a<b
C a>b
D a > b solo per n pari
E Nessuna delle precedenti risposte è corretta
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9 L'espressione (1 + x)–n può essere scritta come:
A
B (1 + x)n – 1
C 1/(1 + x)n
D 1 – [1/(1 + x)n
E 1/(1 – x)n
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10 La frazione generatrice di 0,66667 è:
A 1/66 667
B 1/6
C 66 667/100 000
D 6 667/10 000
E 10/66 667
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11 Quale dei seguenti numeri è compreso nell'intervallo
A 1/7
B 5/9
C 0,33
D 0,2
E 0,34
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<x<
?
Radicali: esercizi
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1 Quanto vale
A 625/4
B 125
C 1/5
D 1/25
E 5
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2 Quale tra le seguenti uguaglianze è quella vera?
A
B
C
D
E
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3
A
B
C
D
E Nessuna delle precedenti
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4 Semplificare la seguente espressione:
A
B 3
C
D
E
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5 A quanto equivale la radice quadrata del numero 16 · 4 · 9?
A 32
B 24
C 64
D 403
E 18
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6 A quanto equivale la radice quadrata del numero 16 · 1 · 25?
A 400
B 40
C 200
D 20
E 14
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7
è uguale a:
A
B
C 10
D
E
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8 Razionalizzare:
A
B
C
D
E
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9 La radice cubica di un numero reale x, con 0 < x < 1, risulta:
A un numero reale negativo
B un numero maggiore di x
C un numero minore di x
D non essere un numero reale
E un numero sempre maggiore di 1
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10 Semplificare la seguente espressione:
A x
B 64x
C x/4
D x2/4
E x2
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, con x > 0
11 L'espressione (1 + x)3/2 può essere scritta come:
A (1 + x)³ – (1 + x)²
B (1 + x)³/(1 + x)²
C
D (1 + x)6
E
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Logaritmi: esercizi
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1 Disporre in ordine crescente i seguenti logaritmi: a = log39, b = log381, c
= log101000, d = log232
A a, b, c, d
B a, c, b, d
C b, c, d, a
D b, c, a, d
E a, b, d, c
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2 Se 3a = 21 allora:
A a = log321
B a = 21³
C a = 321
D a³ = 21
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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3 log3(log101/1000) è uguale a:
A 0
B 1
C –1
D 8
E non esiste
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4 log749 + log71/7 – 3 è uguale a:
A 0
B 2
C –2
D 5
E non si può risolvere
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5 Si considerino i 2 valori a = 2 log232 e
seguenti affermazioni è vera?
A a=b
B a<b
C a>b
D a≫b
E a≪b
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. Quali delle
6 L'espressione 2log((1 + x)3/2) può essere riscritta come:
A 3log(1 + x)
B (2/3)log(1 + x)
C 2log(1 + x) · log(3/2)
D (3/2)log(1+ x)
E 2log((1+ x)³)
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7 Posti x > 0, y > 0 e z > 0 si conclude che log(16xyz) è uguale a:
A xyz + log (16)
B 4log (2) + log (x) + log (y) + log (z)
C 16log(xyz)
D 2log (4) · log (x) · log (y) · log (z)
E 4log (2) · log (x) · log (y) · log (z)
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Proporzioni e proporzionalità diretta e inversa: esercizi
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1 Individuare il valore di x che rende esatta la proporzione 2 : 11 = 16 : x.
A 66
B 44
C 22
D 88
E 176
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2 Calcolare i valori di x che soddisfano la proporzione: 3 : x = x : 27.
A ±3
B 3
C 9
D ±9
E ±6
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3 A quanto corrisponde un voto di 27/30 in una scala da 0 a 110?
A 99
B 100
C 101
D 102
E 103
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4 Data la proporzione ay = b/a, calcolare qual è l'espressione di y:
A y=b
B y = ba²
C y = 1/b
D y = b/a²
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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5 Specificare quale fra le seguenti è una relazione di proporzionalità
diretta tra le variabili x e y:
A xy = ky(hy)
B x = –ky(k + y)
C x = ky(y – kx)
D kx = k/y
E xy = –k(1 + y)
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6 Due grandezze variabili sono direttamente proporzionali tra loro quando:
A all'aumentare della prima aumenta anche la seconda
B al variare delle grandezze il loro rapporto si mantiene costante
C se diminuisce la prima, aumenta la seconda
D al variare delle grandezze il loro prodotto si mantiene costante
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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7 Due grandezze sono inversamente proporzionali:
A se la rappresentazione grafica in un piano cartesiano risulta una retta
passante per l'origine
B se il loro prodotto è costante
C se la rappresentazione grafica nel piano cartesiano risulta una retta non
passante per l'origine
D se la loro somma è costante
E se il loro rapporto è costante
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8 Data la coppia di insiemi X = {2, 4, 8, 24} e Y = {12, 6, 3, 1} costituiti
da numeri inversamente proporzionali, determinare il coefficiente di
proporzionalità inversa:
A 36
B 54
C 24
D 48
E 12
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Progressioni aritmetiche e geometriche: esercizi
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1 Indica la somma di tutti i numeri naturali da 1 a 100:
A 50
B 150
C 505
D 1100
E 5050
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2 Indica la somma dei primi 200 numeri naturali:
A 18 200
B 19 700
C 20 001
D 20 100
E 21 200
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3 Il termine a4 della progressione aritmetica di ragione d = 4 e a1 = 3 è:
A 18
B 14
C 15
D 24
E 19
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4 Nella progressione aritmetica di ragione d = 3, con a1 = –9 e an = 3, n è
uguale a:
A –3
B 5
C 12
D 4
E 3
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5 Indica la somma delle prime sette potenze di 3 partendo da 30:
A 1093
B 2100
C 2401
D 3200
E 6300
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6 Quanto vale la somma dei primi cinque numeri della progressione
geometrica di ragione 4 e il cui primo termine è uguale a 2?
A 400
B 1364
C 682
D 124
E 312
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7 In una progressione geometrica il secondo elemento è –1/2 e l'ottavo è –
4 . Il valore della ragione è:
A
B
C
D
E
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Monomi: esercizi
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1 Il monomio 4a³b è di grado:
A 0
B 2
C 4
D 5
E 3
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2 Il prodotto di –2x4 per –5x³y è:
A –7x12y
B 10x7y
C –10x7y
D 7x7y
E 10x12y
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3 (3xy)(–4x)(–2xy²) = ?
A 48x³y²
B –2x³y³
C 12x³y³
D 24x³y³
E 28x³y³
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4 La potenza del monomio (–5xy²)² è:
A –25x²y4
B –25x³y4
C 25x³y4
D 25x²y4
E 5x²y4
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5 La divisione tra i monomi –10a5b³ e –5a³b² è:
A 50a²b
B 2a²b
C ½a²b
D –2a²b
E –2a³b²
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6 A quanto equivale l'espressione: 2x + (4 – 6x)?
A 4x + 4
B 2 · (x + 2)
C 4 · (1 – x)
D 4 · (x + 1)
E 4 · (x + 2)
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7 Semplificare i termini simili dell'espressione: 3r – 5pq + 2r + 7pq
A 6r – 35pq
B 5r² – 12p²q²
C 5r + 2pq
D 5r · 2pq
E 5r – 2pq
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8 Il massimo comun divisore dei monomi 8a4b²c; –4a³b³; 12a²b²c² è:
A –4a²b²
B –4ab
C a²b²
D 4a²b²
E 4a²b²c²
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9 Il minimo comune multiplo dei monomi –1/2x²y; –3/2x²y²; x³yz è:
A xyz
B x³y²z
C 1/3x³y²z
D –x³y²z
E –x³y²
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Polinomi (1): addizione e moltiplicazione: esercizi
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1 Qual è il grado del polinomio x³ + 7x²y4 – 11z³ + 6x²y4z³?
A Secondo
B Terzo
C Quarto
D Sesto
E Nono
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2 La somma fra 3b² – 5b + 19 e –2b² + 8b – 14 è uguale a
A 5b² – 3b + 5
B b² + 3b + 5
C b² – 3b + 5
D b² + 13b + 5
E 5b² + 13b + 33
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3 Indicare la differenza fra (x² – 9x + 2) e (–4x + x²)
A +13x + 2
B –5x – 2
C –5x + 2
D 5x – 2
E 2x² + 13x + 2
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4 Indicare il prodotto fra (7a² – 2b – ab) e 2ab
A 14a³b + 4ab – 2a²b²
B 14a²b – 4ab² – 2a²b²
C 14a³b – 4ab² + 4a²b²
D 14a³b – 4ab² – 2a²b²
E 14a³b + 4ab² + 2a²b²
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5 Il prodotto dei due polinomi (a² + b – 3) (4 – b) è uguale a:
A 4a² + ab + b – b² – 12
B 4a² – a²b + 7b – b² – 12
C 4a² + a²b + 7b – b² + 12
D –4a² – a²b + b + b² – 12
E 4a² – a²b – 7b – b² – 12
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Polinomi (2): prodotti notevoli: esercizi
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1 Quanto vale (2ax + 3)(2ax – 3)?
A 4ax
B 4a²x² – 9
C 4ax² + 9
D 4ax² + 6
E 4ax² – 6
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2 (a – 2b)² è uguale a:
A a² + 4b²
B a² – 4b²
C a² – 2ab + b²
D a² – 4ab + 2b²
E a² – 4ab + 4b²
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3 (a – b)² è uguale a:
A a² + b²
B a² – b²
C a² + 2ab + b²
D a² – 2ab + b²
E 2a – 2b
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4 Lo sviluppo di (2a – b)² è:
A 4a² + b²
B 4a² – b²
C 4a² + 4ab + b²
D 4a² – 4ab + b²
E 4a – 2b
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5 L'espressione matematica (a + b – c)² può essere sviluppata come:
A (a + b)(a – c)
B (a + b)² – (a – c)²
C a² + b² + c²
D a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
E a² + b² + c² + 2ab – 2ac – 2bc
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6 Quale delle seguenti espressioni è lo sviluppo di (x – y)³?
A (x² – y²) · (x + y)
B (x – y) · (x² + 2xy + y²)
C (x + y) · (x² – xy + y²)
D x³ + 3x²y – 3xy² + y³
E x³ – 3x²y + 3xy² – y³
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Problemi risolubili con i prodotti notevoli: esercizi
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1 Siano a e b due numeri negativi, la somma dei loro quadrati è:
A uguale al quadrato della somma
B minore del quadrato della somma
C dipende dai numeri
D maggiore del quadrato della somma
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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2 Siano a un numero positivo e b un numero negativo; la somma dei loro
quadrati è:
A uguale al quadrato della somma
B minore del quadrato della somma
C dipende dai numeri
D maggiore del quadrato della somma
E nessuna delle precedenti
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3 Quale delle seguenti proposizioni è vera per qualsiasi a e b reali?
A a² + b² = 2ab + (a – b)²
B a³ + b³ = (a + b)³
C a1/2 + b1/2 = (a + b)1/2
D 1/a + 1/b = 1/(a + b)
E 2(a + b) = 2a + b
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4 Siano a e b due numeri reali tali che a + b < 0 e ab > 0. Quale delle
seguenti proposizioni è vera?
A a<0eb<0
B a>0eb>0
C a > 0 e b< 0
D a < –b
E b < –a
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5 La somma dei quadrati di 3 numeri reali positivi è:
A minore del quadrato della somma dei 3 numeri
B maggiore del quadrato della somma dei 3 numeri
C dipende dai numeri
D uguale al quadrato della somma dei 3 numeri
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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Polinomi (3): scomposizione per raccoglimento: esercizi
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1 La scomposizione in fattori primi del polinomio 12x³y4 – 15x²y² + 21x4y4
– 9x4y³ è:
A 3xy (4x²y³ – 5xy + 7x³y³ – 3x³y²)
B –3x²y² (4xy² – 5 + 7x²y² – 3x²y)
C x²y² (12xy² – 15 + 21x²y² – 9x²y)
D 3x²y² (4xy² – 5 + 7x²y² – 3x²y)
E 3x² (4xy4 – 5y² + 7x²y4 –3x²y³)
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2 La scomposizione in fattori primi del polinomio (3/4)ab² – (1/2)ab +
(3/7)ab³ è:
A ab((3/4)b + (1/2) + (3/7)b²)
B ab((3/4)b – (1/2) + (3/7)b²)
C b((3/4)ab – (1/2)a + (3/7)ab²)
D (1/2)ab((3/2)b – 1 + (3/14)b²)
E non si può scomporre
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3 Il polinomio 2x²y + 6x³z + 4xy + 12x²z si scompone in:
A (x + 2)(2xy + 6x²z)
B (2x + 1)(6xy – 3x²z)
C 2x²z (y + 3x²) – 4(xy + 3x²z)
D 2x²z (y – 3x²) + 2(3xy – x²z)
E (x – 2)(2xy – 6x²z)
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4 La scomposizione in fattori primi del polinomio 2ax + bx + 6ay + 3by è:
A (3x + y) (a + 2b)
B (x + y) (2a + 3b)
C (x + 3y) (2a + b)
D (2x + 3y) (a + b)
E (x + 3y) (a + b)
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5 La scomposizione in fattori primi del polinomio 3a² – 6ab + 3ac + 3a –
6b + 3c è:
A (a + 1) (3a – 6b + 3c)
B –3(a + 1) (a + 2b + c)
C 3 (a – 1) (a – 2b + c)
D 3 (a + 1) (a – 2b + c)
E –3(a + 1) (a – 2b + c)
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Polinomi (4): scomposizione con i prodotti notevoli: esercizi
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1 In quale modo x³ – 8y³ si può scomporre?
A Non si può scomporre
B (x + 2y )(x² – 2xy + 4y²)
C (x + 2y )(x² – 4xy + 4y²)
D (x² + 2xy + 4y²)(x – 2y)
E (x–2y)³
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2 x³ + y6 è divisibile per:
A x+y
B x–y
C x² + xy + y²
D x + y²
E x + 2y
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3 In quale modo 8x³ – 8y³ si può scomporre?
A Non si può scomporre
B (x + 2y)(x² – 2xy + 4y²)
C (2x – 2y)(4x² + 4xy + 4y²)
D (x² + 2xy + 4y²)(x –2y)
E 2(x – y)³
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4 Quale delle seguenti risposte è la scomposizione in fattori del polinomio
–x² + 2x – 4?
A (x – 2)²
B –(x – 2)²
C x–2
D (x + 2)(x – 2)
E Nessuna delle risposte precedenti è vera
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5 Qual è la scomposizione in fattori del polinomio –a² + 2a – 1?
A (a – 1)²
B –(a – 1)²
C a–1
D a+1
E Nessuna delle risposte precedenti è vera
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6 Il polinomio x² + 3x + 2 può essere scomposto in fattori:
A (x – 1) (x + 2)
B (x + 1) (x + 2)
C (x – 1) (x – 2)
D (x + 1) (x – 2)
E (x – 2) (x + 2)
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7 Qual è la scomposizione in fattori del polinomio –a² + 2ax² – x4?
A (a – x²)²
B –(a – x²)²
C a – x²
D a – x²
E –(a + x²)²
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8 Calcolare il valore della seguente frazione:
A 1 458
B 5 400
C 10 000
D 10 800
E 20 000
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9 Il polinomio (x² – 3x – 10) si scompone in:
A (x + 2)(x – 5)
B (x + 5)(x + 2)
C (x – 3)(x + 5)
D (x + 3)(x + 5)
E (x + 3)(x + 2)
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Polinomi (5): divisione: esercizi
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1 Quali dei seguenti polinomi divide x³ + 2x² – 4x – 8?
A x–2
B x+2
C x–3
D x+4
E Non si può dividere per nessun polinomio
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2 Il polinomio x³ + 3x² – 4x è divisibile per:
A x³
B x+2
C x+4
D x+1
E x–4
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3 linomio P(x) è divisibile per x² – 4, allora:
A P(x) non ha radici reali
B 2 non è una radice di P(x)
C –2 non è una radice di P(x)
D √2 e –√2 sono certamente radici di P(x)
E 2 e –2 sono certamente radici di P(x)
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4 Il resto della divisione del polinomio x4 – 3x³ + 5x² – 8x + 14 per (x –
2) è uguale a:
A –6
B –10
C +4
D 10
E +24
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5 La divisione fra 2a3+3a2+4a+15 e il binomio a+3 è uguale a:
A 2a2–3a–5
B 2a2–3a+5
C –2a2–3a+5
D 2a2+3a+5
E (2a2+9a+23)+45
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6 La divisione fra x4–x2–x+4 e il binomio x+2 è uguale a:
A x3–3x2+2x–7; R = 12
B x3+2x2–3x+7; R = 10
C x3–2x2+3x-7; R = 18
D x2–3x+6; R = 10
E x3–2x2–3x-7; R = 18
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7 La divisione fra x4+4x2+3x–26 e x+2 è uguale a:
A x3–3x2-10x+26
B x3+2x2+8x+13
C –x3+2x2–8x–13
D x3–2x2–8x–13
E x2+8x–26
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Polinomi (6): M.C.D. e m.c.m.: esercizi
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1 Il M.C.D tra i polinomi (x – 1)³ e (x² + 1)² è:
A (x – 1)²(x² – 1)
B (x – 1)²(x + 1)
C (x + 1)²
D (x – 1)(x + 1)
E 1
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2 Il M.C.D tra i polinomi (x – 1)³ e (x² – 1) è:
A (x –1)²(x² – 1)
B (x –1)²(x + 1)
C (x + 1)
D (x – 1)(x + 1)
E (x – 1)
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3 Il m.c.m. tra i polinomi 6(x – 1)² e 2(x² – 1) è:
A 2(x – 1)²(x² – 1)
B 6(x – 1)²(x + 1)
C (x + 1)²(x – 1)
D 3(x – 1)(x + 1)
E 3(x – 1)²(x + 1)²
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4 Il m.c.m. tra i polinomi 8(x + 1)² e 2(x² – 1) è:
A (x + 1)²(x – 1)
B 8(x – 1)²(x + 1)
C (x + 1)²(x – 1)
D 8(x – 1)(x + 1)
E 8(x + 1)²(x – 1)
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5 Il m.c.m. tra i polinomi (x + 1)³ e (x² – 1)² è:
A (x – 1)²(x² – 1)²
B (x – 1)³(x + 1)²
C (x + 1)³(x – 1)²
D (x – 1)(x + 1)
E (x – 1)²(x + 1)²
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6 Il m.c.m. tra i polinomi (x – 1)² e (x² – 1) è:
A (x – 1)²(x² – 1)
B (x – 1)(x + 1)
C (x – 1)(x + 1)
D (x – 1)²(x + 1)²
E (x – 1)²(x + 1)
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7 Il m.c.m. tra i polinomi (x + 1)² e (x² – 1) è:
A (x – 1)² · (x² – 1)
B (x – 1)²(x + 1)
C (x + 1)² · (x – 1)
D (x – 1) · (x + 1)
E (x – 1)² · (x + 1)²
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8 Il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo dei polinomi x
– y e x³ – y³ sono, rispettivamente:
A x – y e (x – y)² (x² + xy + y²)
B x² – y² e x³ – y³
C 1 e x³ – y³
D x – y e (x – y)(x² + xy + y²)
E x – y e x4 – y4
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Frazioni algebriche: esercizi
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1 Riducendo ai minimi termini la frazione algebrica (a² – 1)/(a5 – a³ + 4a²
– 4) si ottiene:
A 1/(a³ + 4)
B 1/(a + 1)
C (a – 1)/(a³ + 4)(a + 1)
D (a + 1)(a – 1)/(a³ + 4)
E (a + 1)/(a + 4)³
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2 Indicare la corretta semplificazione in una sola frazione algebrica della
seguente espressione:
A
B
C
D a³c
E
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3 Semplificare la seguente frazione algebrica: (4a² – 4ab + b²)/(2ab + 2a –
b² – b)
A (2 – 2b)/b
B (2a – b)/(b + 1)
C (4a + 2b)/(b – 1)
D (b – 2a)/(b – 1)
E (2a + b)/(b – 1)
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4 Semplificare
A (x + 3)
B
C
D
E
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5 Semplificare la seguente espressione:
A
B
C
D
E
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6 Semplificare la seguente espressione:
A
B
C
D
E
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Uguaglianze ed equivalenza: esercizi
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1 Moltiplicando i due membri di un'equazione per il numero –1, le
soluzioni dell'equazione che si ottiene:
A sono l'opposto di quelle dell'equazione di partenza
B sono le stesse di quella di partenza
C non hanno alcun legame con le soluzioni dell'equazione di partenza
D sono l'inverso delle soluzioni dell'equazione di partenza
E hanno legami con le soluzioni dell'equazione di partenza che dipendono
dal grado dell'equazione stessa
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2 L'equazione 3x – 5 = 2x – 7 è equivalente a:
A 5x = –13
B 5x = 2
C x = +2
D x = –2
E 5x = 13
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3 Data la proporzione a³y = b6/a, calcolare qual è l'espressione di y:
A y = b6
B y = b6a²
C y = 1/b
D y = b6/a4
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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4 L'equazione 5x + 2y = 10 può essere riscritta come:
A y = –(5/2)x + 5
B x = –(5/2)y + 5
C y = –(5/2)x – 5
D y = (5/2)x + 10
E y = –(2/5)x – 10
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5 Dalla seguente uguaglianza A = B (1 + C) ricavare l'espressione di C:
A
B
C
D
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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Equazioni lineari: esercizi
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1 Due equazioni si dicono equivalenti quando ammettono lo stesso
insieme di soluzioni. In quale delle seguenti coppie le equazioni sono
equivalenti?
A |x| = 1 e x² = 1
B x = 1 e x = –1
C 5x – 2 = 4x + 8 e x = 6
D x = 3 e x(x – 3) = 0
E 4 – 2x = 10 e x = 3
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2 Quale delle seguenti equazioni ammette come soluzione il numero 9?
A 5x – 2 = 4x + 9
B 8x – 1 = 5x + 23
C 4x – 1 = 3x + 8
D 4x – 1 = 3x + 6
E Nessuna delle precedenti risposte è corretta
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3 L'equazione 2(3x – 3) + 1 = 0 ha soluzione uguale a:
A 5/6
B –1/6
C –5/6
D –6
E –5
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4 L'equazione –4(3x – 2) – 8 = 2x + 7/2 ha soluzione:
A –7/5
B –1/4
C 7/20
D 7/5
E –7/20
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5 L'equazione 3x – 5 = 2x + 2 + x:
A ha soluzione x = 4
B è indeterminata
C ha soluzione x = 1/4
D è impossibile
E ha soluzione x = –2
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6 Se 3x – 1 = 9 allora 6x – 1 è uguale a:
A 19
B 18
C 20/30
D 17/6
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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7 Quale delle seguenti equazioni ammette come soluzione il numero 7?
A 3x + 6 = 4x – 3
B 6x + 6 = 4x – 1
C 4x + 7 = 5x – 2
D 3x – 6 = 4x + 1
E 3x + 6 = 4x – 1
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8 Qual è la soluzione dell'equazione 5(2x – 1) = 4(x + 1)?
A x = 7/8
B x = 2/3
C x=0
D x = 3/2
E x = 8/7
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9 Qual è la soluzione di 3 = 24x/5?
A x = 8/5
B x = 10
C x = 8/9
D x = 5/8
E x = 15/8
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10 L'equazione 2(x – 1/2) = 2 ha soluzione:
A x=1
B x = 1/2
C x=3
D x=2
E x = 3/2
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11 L'equazione 2(x – 1) + 8 = 0 ha soluzione:
A 1
B 2
C –3
D 3
E 0
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Equazioni di secondo grado: esercizi
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1 L'equazione x² + 8x + 15 = 0 ha come soluzioni:
A x1 = 3 e x2 = –5
B x1 = –3 e x2 = 5
C x1 = 3 e x2 = 5
D x1 = –3 e x2 = –5
E x1 = 0 e x2 = 15
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2 Quali sono le soluzioni dell'equazione 3x² – 27x = 0?
A 3, –3
B 9, con molteplicità doppia
C 3, con molteplicità doppia
D 0, 9
E Nessuna delle precedenti risposte è corretta
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3 Se l'equazione x² + ax + b = 0 ha soluzioni 5 e 1, il determinante vale:
A 4
B 16
C 56
D 29
E 6
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4 L'equazione x² + 2x – 8 = 0 ha per soluzioni:
A 2, –8
B 2, 8
C 8, –4
D +2, –4
E 2, 4
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5 Quali sono le soluzioni dell'equazione x² – 2x + 1 = 0?
A x1 = 1, x2 = –1
B x1 = 0, x2 = –1
C x1 = 0, x2 = 1
D x1 = x2 = 1
E Nessuna soluzione reale
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6 Quali sono le soluzioni dell'equazione x² – 2x + 10 = –2x + 1?
A x1 = 2, x2 = 11
B x1 = 3, x2 = –3
C x1 = x2 = –11
D Una sola soluzione reale
E Nessuna soluzione reale
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7 La soluzione dell'equazione
A x = –2
B x = –1
C x = 1/2
D x=3
E x=1
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(x – 1)(x + 1) = (x – 1)² è:
8 L'equazione 4x = x(x – 1):
A ha infinite soluzioni reali
B ha due soluzioni reali
C ha tre soluzioni reali
D ha una soluzione reale
E non ha alcuna soluzione reale
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Equazioni di grado superiore al secondo: esercizi
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1 Dire quante soluzioni reali ha l'equazione (x² + 1)(x + 3) = 0
A nessuna
B infinite
C una soluzione
D due soluzioni
E tre soluzioni
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2 Indica quale dei seguenti valori è soluzione dell'equazione x³ – 2x² + x –
12 = 0:
A +2
B –2
C –1
D +3
E –3
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3 Solo uno dei seguenti valori è soluzione dell'equazione 4x³ – 8x² + 4x –
48 = 0. Quale?
A +24
B 2
C –6
D +3
E –3
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4 Dire quante soluzioni reali ha la seguente equazione nell'incognita x:
x(x²–2000) = x(x²–x):
A infinite
B tre
C due
D nessuna
E una
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5 L'equazione x³ – 1 = 0 ammette:
A due radici reali
B tre radici reali
C nessuna radice reale
D due radici reali e una complessa
E una radice reale e due complesse
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Equazioni frazionarie e letterali: esercizi
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1. Equazioni frazionarie
1 Qual è la soluzione dell'equazione
A x=1
B Infinite
C x=0
D Nessuna
E x=3
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2 L'equazione:
A non ha soluzioni
B ha 2 soluzioni immaginarie
C ha 2 soluzioni, x = –3 e x = 0
D ha 2 soluzioni, x = 0 e x = 3
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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3 Calcolare x se 5/x = 3/7:
A 35/3
B 35
C 8
D 3
E 3/35
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4 Quali sono le soluzioni dell'equazione 3/(x² – 1) = 1/(x² – 3)?
A –2; 2
B –2; 0
C 1; 3
D –4; 4
E L'equazione non ha soluzione
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5 L'equazione nell'incognita reale x: (x² – 3x)/(3 – x) = –2:
A non ha soluzioni
B ha l'unica soluzione x = 3
C ha un'unica soluzione, la quale è diversa da 3
D ha più di due soluzioni
E ha due soluzioni
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2. Equazione letterali
1 Per quale valore di k, x = –2 è soluzione dell'equazione x³ + x² + x = k?
A –6
B –2
C 2
D 6
E Nessuno
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2 L'equazione x + 4 = 2x – 4 – 3k ha soluzione x = 2 per quale valore di k?
A k = –2
B k=2
C k=3
D k=5
E k = –5
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3 Per quale valore di k, l'equazione 2x + 4 = 4x – 5 – 3k, ha soluzione x =
1?
A k = –2/3
B k = 2/3
C k=3
D k = 7/3
E k = –7/3
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4 L'equazione: 3x² + (k³ – 8k) x – 6 = 0 ha una soluzione x1 = 1. L'altra
soluzione è:
A –2
B –1
C 0
D 5
E –3
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5 Per quale valore di k l'equazione x² + k² + 1 = 0 ammette soluzioni reali?
A Per k > 0
B Per k < 0
C Per k = 0
D Per ogni valore di k
E Per nessun valore di k
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Equazioni esponenziali: esercizi
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1 Il valore di x che soddisfa l'equazione esponenziale 2x–4 = 16 è:
A x=8
B x = 81
C x=4
D x = 27
E x=2
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2 Il valore di x che soddisfa l'equazione esponenziale 22x–3 = 32 è:
A x=4
B x=5
C x=6
D x = 3/2
E x = 2/5
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3 Il valore di x che soddisfa l'equazione esponenziale 72x–3 = 343 è:
A x = –3
B x=3
C x=6
D x = 3/2
E x=2
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4 Quali sono le soluzioni dell'equazione (x + 3)x–3 = 1?
A 0,1
B –3,3
C 3, 2
D 3
E 3, –2
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5 Il valore di x che soddisfa l'equazione esponenziale 4x–4 = 2 è:
A x=1
B x = 9/2
C x=9
D x=5
E x = 7/2
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6 Il valore di x che soddisfa l'equazione esponenziale 2x/2–3 = 1 è:
A x=4
B x = –3/2
C x=6
D x = 3/2
E x = 2/3
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7
è:
A
B
C
È data l'equazione
{–2; +2}
{2}
{4}
D
E {– (1/2)ln16; + (1/2)ln16}
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. L'insieme di tutte le sue soluzioni reali
Equazioni logaritmiche: esercizi
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1 L'equazione log1/16 x = 1/4 ha soluzione:
A x = –1/2
B x=4
C x=2
D x = 1/4
E x = 1/2
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2 L'equazione log10 (4x) + log10 (9x) = 2 è verificata per:
A x = ± 10/6
B x = 10/6
C x = 100/36
D x = 20/13
E x = 100/13
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3 Risolvere l'equazione logaritmica log2x = –1:
A x = –2
B x = 1/2
C x = –4
D x = –8
E x = –1/2
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4 Se log2x = –3, x = ?
A x=8
B x = 1/8
C x = 1000
D x = –8
E x=3
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5 Quale di queste espressioni equivale a y = e2x:
A x = log(y)
B y=x
C ln(y) = x
D y = 1/x
E 1/2 · ln(y) = x
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6 L'equazione elnx = –4 ha come soluzione:
A x = –4e
B x=2
C x = –4
D non ha soluzione
E x=4
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Problemi risolubili con un'equazione: esercizi
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1 Lo studente A ha superato 3 esami più dello studente B e la metà dello
studente C; B ne ha superati 10 in meno dello studente D. I quattro studenti,
nel complesso, hanno superato 29 esami. Determinare il numero di esami
sostenuto da D:
A 25
B 10
C 1
D 12
E 4
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2 Determinare quel numero che sottratto al suo quadrato dia come risultato
56.
A 6
B 4
C 8
D 3
E 14
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3 Determinare quel numero la cui radice quadrata equivale al triplo della
radice quadrata di 16.
A 81
B 64
C 144
D 121
E 100
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4 Il numero (x + 5)(x + 8) con x numero naturale è:
A multiplo di 3
B multiplo di 11
C multiplo di 5
D dispari
E pari
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5 In un paese in cui ogni cittadino è tenuto a pagare in tasse il 25% del
proprio reddito, un certo anno l'aliquota viene abbassata al 20%. Viene però
contestualmente introdotta una tassa una tantum di 1 000 € che ogni
contribuente è tenuto a pagare. Si può dire che in quello stesso anno, in
rapporto a questa operazione:
A i cittadini con un reddito superiore a 25 000 € hanno dovuto pagare un
importo maggiorato di un quinto rispetto a quello che avrebbero dovuto
pagare secondo le norme dell'anno precedente
B il peso fiscale è rimasto invariato per tutti
C solo i cittadini con un reddito superiore a 10 000 € sono stati
avvantaggiati
D i cittadini con un reddito superiore a 25 000 € sono stati avvantaggiati
E solo i cittadini con un reddito inferiore a 20 000 € sono stati
avvantaggiati
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6 Determinare il numero x sapendo che sottraendo 5 al doppio di x si
ottiene un quarto del triplo di x:
A 1
B 10
C 5
D 4
E 9
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7 Giuseppe acquista due t-shirt al prezzo di 11 euro e 10 centesimi. Una
costa 10 euro più dell'altra. Quanto costa ciascuna t-shirt?
A Una t-shirt costa 10 euro e l'altra 1 euro e 10 centesimi
B Una t-shirt costa 10 euro e 55 centesimi e l'altra 55 centesimi
C Una t-shirt costa 10 euro e 10 centesimi e l'altra 1 euro
D Una t-shirt costa 7 euro e l'altra 4 euro e 10 centesimi
E Una t-shirt costa 5 euro e l'altra 5 euro e 10 centesimi
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Disuguaglianze: esercizi
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1 Quale affermazione è corretta?
A 2x è maggiore di x per valori negativi di x, ma minore per valori positivi
B 2x è maggiore di x tutte le volte che x è una frazione
C 2x è maggiore di x per tutti i valori di x, tranne x = 0
D 2x è minore di x per valori negativi di x, ma maggiore per valori positivi
E 2x è minore di x per x < 1, ma maggiore per x > 1
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2 Se vale la relazione 0 < a < b < 1, allora:
A non si può fare alcuna deduzione sui valori di 1/a e 1/b
B 1/a < 1/b
C 1/a > 1/b
D 0 < 1/a + 1/b < 1
E 1/a può, a seconda dei casi, essere maggiore oppure minore di 1/b
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3 Se per ipotesi si ha 0 < x < y < 1 allora:
A x² > x
B x² > y
C y1/2 < x
D x·y>x
E x·y<x
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4 Dati tre numeri interi relativi a, b e c con b < a e c ≠ 0, la disuguaglianza
(b/c) < (a/c) è vera per:
A qualunque valore di c
B solo per c > 0
C solo per c < 0
D c>a
E solo per c ≠ 0
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5 Siano a e b due numeri reali tali che a < 3 e b ≤ 0. Allora:
A ab ≤ 3b
B ab ≥ 0
C ab < 3b
D ab > 3b
E ab ≥ 3b
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6 Siano x e y due numeri reali tali che 2x < y, con x e y entrambi positivi.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
A x>y
B x² < y²
C (x – y)³ > 0
D (x – y)² < 0
E y/2 < x
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7 Se x < –8 quale delle seguenti diseguaglianze è vera?
A x² < –64
B |x| < 8
C |x| > 8
D x² < 64
E Nessuna delle precedenti risposte è corretta
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Disequazioni equivalenti: esercizi
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1 Una sola tra le seguenti disequazioni è equivalente a: – 2x + 1 > – x – 3.
Quale?
A 2x –3 < 1 + x
B – 2x + 3 < –1 – x
C 2x –3 > 1 + x
D – 2x + 3 > –1 + x
E Nessuna delle precedenti risposte è corretta
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2 Indicare in quale delle seguenti disequazioni è stato effettuato
correttamente il trasporto dei termini:
A 8x + 7 > 2 → 8x > 2 + 7
B 8x + 7 > 2 → 8x > 2 – 7
C 8x + 7 > 2 → 0 > – 7 – 8x
D 8x + 7 > 2 → 7 < 2 – 8x
E 8x + 7 > 2 → 0 < 2 – 7 – 8x
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3 Se entrambi i membri di una disuguaglianza si dividono per uno stesso
numero negativo la disuguaglianza:
A mantiene lo stesso verso
B cambia di verso
C cambia di verso solo se il primo membro è maggiore del secondo
D cambia di verso solo se il primo membro è minore del secondo
E cambia di verso solo se i due membri sono discordi
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4 Sottraendo a entrambi i membri di una disequazione la stessa quantità
algebrica, la disequazione:
A cambia di verso
B cambia di verso solo se la quantità sottratta è negativa
C cambia di verso solo se il primo membro è maggiore del secondo
D cambia di verso solo se il primo membro è minore del secondo
E mantiene lo stesso verso della disuguaglianza originale
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5 Un termine di una disuguaglianza può essere trasportato da un membro
all'altro purché:
A lo si cambi di segno
B lo si cambi di segno solo se positivo
C lo si cambi di segno solo se negativo
D non lo si cambi mai di segno
E nessuna delle precedenti
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6 Moltiplicando 5x > –2 per –1 si ottiene la disequazione:
A 5x > –2
B –5x > –2
C –5x < 2
D 5x > 2
E 5x < 2
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Disequazioni lineari: esercizi
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1 In base alla seguente relazione 4 > x > 2, quale valore può assumere la
variabile x?
A 2
B 5
C 1
D 4
E 3
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2 La disequazione x > –(7x – 4) ha per soluzione:
A x>–1
B x > –1/2
C x<1
D x>2
E x > 1/2
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3 La soluzione della disequazione 2x – 1 < 3 è:
A x=2
B x>2
C x > –2
D x < –2
E x<2
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4 La disequazione x + 1 < 5 – 3x ha soluzione:
A x<5
B x>0
C x<4
D x>1
E x<1
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5 La disequazione 0x > –1 è una disequazione:
A solo se x ≠ –1
B indeterminata
C impossibile
D solo se x > –1
E nessuna delle precedenti
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6 La disequazione (x + 1)/–2 < 1/4 ha soluzione:
A x < –3/2
B x > –3/2
C x < 3/2
D x > 3/2
E x > 1/2
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Disequazioni di secondo grado: esercizi
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1 x² – 5x + 6 > 0 per quali valori?
A x<2ex>3
B x < –2 e x > –3
C 2<x<3
D –2 < x < –3
E x>4
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2 La disequazione x(x – 4) < 0 è soddisfatta per:
A x<–4ex>0
B 0<x<4
C –4 < x < 0
D x<0ex>4
E x<0
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3 x² – x – 6 > 0 per:
A x<1ox>3
B x < –2 o x > 3
C x<–3ox>2
D –2 < x < 3
E –3 < x < 2
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4 Per quali valori reali di x l'espressione x² + 4 ha valori positivi?
A Per x > 2
B Per nessun valore di x
C Solo per x = 4
D Per tutti i valori di x
E Non si può stabilire con i dati forniti
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5 La disequazione x² < 4 è soddisfatta solo per:
A x < – 2, x > 2
B x<2
C –2<x<2
D x>2
E x>±2
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6 Per quali valori di x è verificata la seguente disequazione x² + 9 > 0?
A x < –3 e x > 3
B –3 < x < 3
C x > ±3
D x < ±3
E per qualsiasi valore di x
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7 Trovare le soluzioni della disequazione (x + 2)² – 2x < x² – 4x – 3
A x>0
B x < –3
C x > –7/6
D x < –7/6
E x<5
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8 La disuguaglianza x² + y² ≥ 2xy è verificata:
A soltanto se x e y sono positivi
B soltanto se x = y = 0
C sempre
D soltanto se x e y sono negativi
E soltanto se x e y sono concordi
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Disequazioni polinomiali: esercizi
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1 La disequazione (x² – 1)(x + 1) > 0 è soddisfatta per
A x<0
B x>1
C x > –1
D x<1
E –1 < x < 1
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2 La disequazione (x – 1)(x – 2)(x – 3) > 0 è verificata se e solo se:
A x>3
B 1 < x < 2 oppure x > 3
C x>1
D x < 1 oppure x > 3
E x è diverso da 1, da 2 e da 3
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3 La disequazione x³ ≤ x4 è verificata se e solo se:
A x≥0
B x≥1
C x ≤ –1 oppure x ≥ 1
D x ≤ 0 oppure x ≥ 1
E x è un numero reale qualunque
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4 La disequazione (x4 + 2) (x² – 9) < 0 è verificata per:
A x>3
B x>0
C –√3 < x < √3
D x < –√3 oppure x > √3
E x<0
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5 La disequazione x³ – 4x ≥ 0 è verificata per:
A –2 ≤ x ≤ 0 oppure x ≥ +2
B –2 ≤ x ≤ 2
C x≥0
D x ≤ –2 oppure x > +2
E x < 0 oppure ≥ +2
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Disequazioni frazionarie: esercizi
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1 Da quale valore di x è soddisfatta la disequazione
A 1<x<2
B x≥1
C x<0
D x<5
E x < –1
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2 Risolvere la seguente disequazione:
A –1 < x ≤–1/3
B x ≤ –1, x > –1/3
C x < –1, x ≤ –1/3
D –1 ≤ x < –1/3
E –1 < x < –1/3
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3 La disequazione
A x>0
B x>2
C x > –1
D –1 < x < 1
E x < –1 oppure x > 1
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è soddisfatta per:
4 Per ogni x negativo, l'espressione
è:
A positiva
B negativa
C per x < –4 è negativa
D per x = –2 l'espressione è uguale a 0
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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5 Da quale valore di x è soddisfatta la disequazione
A x < 0 o x > 1/3
B x >1/3
C x<0
D 0 < x < 1/3
E x < 1/3
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6 Da quale valore di x è soddisfatta la disequazione
A x>3
B x < 3 o x > 10
C x >10
D 0<x<3
E x < 10
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Sistemi lineari: esercizi
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1 Dei seguenti sistemi lineari uno solo è indeterminato (ha infinite
soluzioni). Quale di essi?
A
B
C
D
E
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2 Quale tra i seguenti sistemi è indeterminato?
A
B
C
D
E Nessuno dei precedenti
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3 Risolvere il seguente sistema:
A x = 1; y = 0
B x = 3; y = 1
C x = 0; y = 0
D x = 4; y = 4
E x = 2/4; y = 3/5
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4 Quale tra i seguenti sistemi è impossibile?
A
B
C
D
E Nessuno dei precedenti
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Sistemi di secondo grado: esercizi
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1 Per quali valori di x e y è soddisfatto il sistema:
A x = 6, y = –2
B x = 12, y = 1
C x = 2, y = –10
D x = –1, y = –6
E x = –4, y = –3
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2 Per quali valori di x e y è soddisfatto il sistema:
A x = 6, y = –2
B x = 12, y = 1
C x = 2, y = –10
D x = –2, y = –6
E x = –4, y = –3
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3 Per quali valori di x e y,
x + y = –6 e xy = 8?
A x = –4, y = –2
B x = 5, y = 10
C x = –5, y = –10
D x = –2, y = –25
E x = –2, y = –3
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4 Il sistema
A non ha soluzioni
B ha infinite soluzioni
C ha due soluzioni distinte
D ha una sola soluzione
E ha due soluzioni coincidenti
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5 Il sistema
A lineare
B di secondo grado
C di terzo grado
D di sesto grado
E nessuna delle precedenti
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è:
6 Il sistema di equazioni
A x = 1, y = –6
B x = 3, y = –2
C x = –1, y = 6
D x = 2, y = –3
E x = 1, y = –2
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ha per soluzione:
Problemi risolubili con sistemi: esercizi
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1 Trovare due numeri reali x e y tali che la loro somma sia 3 e il loro
prodotto sia 4:
A –1, –3
B 4, –1
C 1, 3
D –4, –1
E non esistono
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2 In un numero di due cifre, la cifra delle unità è il doppio di quella delle
decine: scambiando l'ordine delle cifre si ottiene un secondo numero che
supera di 18 il primo. Qual è il primo numero?
A 84
B 48
C 36
D 42
E 24
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3 La somma, la differenza e il prodotto di due numeri stanno tra loro come
7, 3 e 40. Quali sono questi due numeri?
A 15 e 6
B 2e5
C 4 e 10
D 20 e 8
E Nessuna delle precedenti risposte è corretta
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4 Trovare due numeri reali a e b tali che la loro somma sia 10 e il loro
prodotto 16.
A 2, 8
B 4, 4
C 6, 4
D 6, 3
E 6, 10
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5 Determinare due numeri sapendo che il minore supera di 6 la metà del
maggiore e che la somma dei 2/5 del maggiore e di 1/4 del minore è 12.
A 10, 16
B 16, 20
C 5, –16
D 20, –16
E I dati forniti sono insufficienti
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6 La somma di due numeri interi è uguale a 6 volte le loro differenza e il
loro prodotto è 25 volte il loro quoziente. Quali sono i due numeri?
A 3e5
B 6 e 12
C 5e9
D 7e5
E 8e2
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Sistemi di disequazioni: esercizi
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1 Quale fra i seguenti punti soddisfa il sistema:
A P (2; 6)
B P (4; 0)
C P (6; –1)
D P (0; 3)
E P (0; 7)
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2 Da quale condizione è soddisfatto il sistema
A x>2
B 1<x<2
C da tutti i numeri reali
D non ammette alcuna soluzione
E x<2
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3 Indicare tutti i valori di x per cui la disequazione |x| < x –1 è verificata:
A x=0
B –1 < x < 1
C x < –1
D x > 1/2
E nessun valore
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4 La disequazione |x² + 1| > 1 è verificata
A per ogni valore di x
B per ogni x > 0
C per ogni x < 0
D solo per x = 0
E per ogni x diverso da zero
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5 Per quali valori di a e b è verificata la disequazione a |b – 2| < 0:
A a<0eb≠2
B a<0eb=2
C a≠0eb>2
D a>0eb<2
E a=0eb=2
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6 Per quali valori di x è soddisfatto il sistema:
A
B
C
D
E Nessuno degli intervalli precedenti
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Equazioni risolubili con sistemi: esercizi
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1. Equazioni irrazionali
1 Quante soluzioni ha l'equazione
A 0
B 1
C Due soluzioni reali coincidenti
D Due soluzioni reali distinte
E Nessuna soluzione reale
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2 L'equazione
parametro reale, ha soluzione:
A solo per valori di k non negativi
B per ogni valore di k
C solo per valori positivi di k
D solo per k uguale a uno
E solo per k uguale a zero
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nell'incognita x, con k
3 Quante soluzioni ha l'equazione
A 0
B 1
C 2
D Nessuna soluzione reale
E Nessuna soluzione
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4 Quante soluzioni ha l'equazione
A nessuna soluzione reale
B 1
C nessuna soluzione
D 0
E 2
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2. Equazioni con valori assoluti
1 L'equazione nell'incognita reale
A ha due soluzioni di segno opposto
B ha un'unica soluzione
C ha due soluzioni positive
D ha infinite soluzioni
E non ha soluzioni
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2 L'equazione x² – 3|x| + 2 = 0 ha:
A quattro soluzioni
B tre soluzioni
C due soluzioni
D una sola soluzione
E nessuna soluzione
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3 Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, il luogo
dei punti le cui coordinate (x, y) soddisfano l'equazione |x² – y²| = 1 è
costituito da:
A un'iperbole
B una coppia di iperboli
C una coppia di circonferenze
D una circonferenza
E una coppia di rette
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Piano cartesiano: esercizi
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1 Rispetto a un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy i punti
del piano diversi dal punto (–1,2) sono tutti e soli i punti (x, y) tali che:
A y≠2
B xy ≠ –2
C x ≠ –1
D x ≠ –1 oppure y ≠ 2
E x ≠ –1 e y ≠ 2
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2 Quanto dista dall'origine degli assi un punto A di coordinate (3, 4)?
A 1
B 5
C
D 7
E
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3 Quanto dista il punto di coordinate (1, –7) dal punto di coordinate (4, –
3)?
A 4
B
C 5
D
E
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4 In un sistema cartesiano i tre punti A(3, 4) B(2, 5) C(0, 6) hanno
distanze dall'origine degli assi:
A dA > dB > dC
B dB > dC > dA
C dC > dB > dA
D dA = dC > dB
E dA > dC > dB
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5 La lunghezza del segmento di estremi A(1/2, –1/4) e B(–5/2, 15/4) è:
A
B
C
D 5
E 4
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6 Determinare il punto che ha distanza 10 dall'origine degli assi:
A (1, 9)
B (1, –9)
C (6, 8)
D (4, 6)
E (10, 0,00000001)
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7 Qual è il punto medio tra (4, 3) e (2, 5)?
A (3, 4)
B (3, –4)
C (2, –3)
D (–3,5, 4)
E (3, 3)
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8 Il punto medio di (2, 3) e (–3/2, –2) è:
A (3/2, 0)
B (–1/2, 5/4)
C (1/4, –1/2)
D (1/4, 1/2)
E (–1, –1)
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9 Il punto medio di (3, 3) e (–3/2, 2) è:
A (3/2, 0)
B (3/2, 5/2)
C (3/4, 3/2)
D (3/4, 5/2)
E (–1, –1)
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10 Quali sono le coordinate del punto medio del segmento di estremi (5 ; –
2) e (–7 ; 4)?
A (6, 3)
B (1, –1)
C (–2, –2)
D (–1, 1)
E (0, +1)
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Retta (1): equazioni della retta: esercizi
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1 La retta 10y + 2 = 0:
A è inclinata positivamente
B è inclinata negativamente
C è la bisettrice del primo quadrante
D è parallela all'asse x
E è parallela all'asse y
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2 Indica l'equazione della bisettrice del I e III quadrante:
A x=0
B y=0
C y=x
D y = –x
E y=y
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3 Indica l'equazione della bisettrice del II e IV quadrante:
A x=0
B y=0
C y=x
D y = –x
E y=y
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4 y = 4x –5 passa per il punto:
A (0, 0)
B (1, 0)
C (1, 1)
D (1, –1)
E (–1, 1)
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5 2y + 3 = 3x – 5 passa per il punto:
A (1, 5/2)
B (1, –5/2)
C (0, 0)
D (–1, –5/2)
E (–1, 1)
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6 Quale coefficiente angolare ha la retta passante per (2, 7) e (5, 10)?
A 0
B 2/7
C 3
D 1
E 2,5
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7 Tra le rette y = 3x e y = 4x, quale delle due è più inclinata rispetto
all'asse x?
A Nessuna delle due poiché sono entrambe parallele all'asse x
B La prima
C La seconda
D Nessuna delle due poiché sono parallele
E Una delle due è parallela all'asse y
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8 La retta y = –5x interseca l'asse y nel punto:
A –5
B 6
C 5
D 0
E non taglia l'asse y
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Retta (2): reciproche posizioni fra rette: esercizi
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1 Quali delle seguenti rette è parallela a 2y – 4x + 5 = 0?
A y = –2x + 5
B y = 1/2x – 4
C y = –1/2x + 1
D y = 2x – 3
E y=x+4
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2 Consideriamo l'equazione della retta r: 4x – 8y + 3 = 0; quale delle
seguenti affermazioni è falsa?
A È parallela a y = ½x
B È perpendicolare a y = –2x + 5
C Passa per il punto P(0, –3/8)
D È perpendicolare a 2x + y –3 = 0
E La retta non passa per l'origine
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3 Le rette y = –x + 1 e 2x + 2y – 2 = 0:
A si intersecano nel punto (1, –2)
B sono perpendicolari
C sono coincidenti
D non hanno alcun punto in comune
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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4 La retta –y = 2x + 4 interseca l'asse delle x nel punto:
A x=0
B x = –1
C in nessun punto
D x = –2
E x=2
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5 Le due rette r: 6x – 3y + 1 = 0 e s: 2y + x + 1 = 0:
A sono perpendicolari
B sono parallele
C sono coincidenti
D si intersecano in (–1, –6)
E si intersecano in (1, 2)
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6 La retta y = 3x + 10 interseca l'asse delle ascisse nel punto:
A (10/3, 0)
B (–10/3, 0)
C (0, –10)
D (0, 10)
E (0, –1)
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7 Le equazioni y = 2x e x + y = 3 sono verificate contemporaneamente per:
A x=0ey=0
B x=1ey=2
C x = 1/2 e y = 1
D x = 3 e y = –1
E x=0ey=1
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8 La retta r: 3x – 4y + 2 = 0:
A passa per l'origine
B è parallela a 3x + 4y – 2 = 0
C è perpendicolare a 4x – 3y + 2 = 0
D passa per (0, 1/2)
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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9 Le due rette r: x + y/2 + 1 = 0 e s: 8y + 16x – 9 = 0:
A sono perpendicolari
B sono parallele
C sono coincidenti
D si intersecano in (–5/7, 4)
E si intersecano in (2/3, –1/3)
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10 Le due rette y = 2 e y = –3x + 2 si intersecano per x uguale a:
A –3
B –2
C 2
D 0
E 3
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Retta (3): determinazione dell'equazione di una retta: esercizi
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1 Quale delle seguenti rette passa per il punto (0,3) e forma con l'asse delle
x un angolo di 60 gradi?
A
B
C
D y = 3x – 3
E y = 60x – 3
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2 Quale delle seguenti rette passa per il punto (0, –2) e forma con l'asse
delle x un angolo di 120 gradi?
A
B
C
D y = 3x – 2
E y = 120x – 3
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3 Indica l'equazione della retta passante per (0, 2) e per (1, 4):
A y = 2x
B y = 2x + 2
C y=x–4
D y=x+2
E y = 2x + 3
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4 L'equazione della retta passante per il punto (1, –2) e per l'origine degli
assi è uguale a:
A y = (–1/2)x
B y + 2x = 0
C y – 2x = 0
D y + 2x + 4 = 0
E 2y + x = 0
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5 Trovare l'equazione della retta passante per i punti (2, 5) e (6, –1).
A 2y = 3x – 20
B 2y = 3x + 4
C 3y + 2x = 16
D 2y + 3x = 16
E 3y = 2x – 15
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6 Quale retta passa per l'origine e per (2, –4)?
A y = –1/2x
B y = 1/2x
C y = –12x + 24
D y = –2x
E y = 2x
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Retta (4): fascio proprio e improprio: esercizi
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1 Per quali valori di k una retta del fascio di equazione y = x (k – 2) – 5k +
16 passa per il punto (0, 4)?
A k = –2
B k=2
C k = 12/5
D k = –12/5
E k = 5/4
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2 Un fascio proprio di rette che ha come centro il punto P (–3, 4) ha
equazione:
A y – 3 = mx + 4
B y = mx + 7
C y = –4mx + 3
D y = mx + 3m + 4
E y = 3mx + 4
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3 Qual è l'equazione del fascio proprio di rette a cui appartengono le due
rette r: y = x – 3 e s: y = 2x + 1?
A y + 7 = mx + 4m
B y – 7 = mx + 4m
C y – 7 = mx – 4m
D y – 7 = mx
E y –7 = 2mx + m
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4 Per quale valore di k la retta x + ky – 2 = 0 appartiene al fascio y = –1/3x
+ c?
A 2/3
B 3
C 0
D –1/3
E –2/3
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5 L'equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta di equazione
2x = 7 è:
A 2x + y = 7
B y=h
C x=h
D x = 7/2
E 2x – 7y = 0
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6 Qual è l'equazione del fascio improprio di rette parallele perpendicolari
alla retta di equazione r: y = –4x + 5?
A y = (1/4) x + k
B y = (1/4) x
C y = 4x + k
D y = (1/4) x + 5
E y = –(1/4) x – k
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Retta (5): problemi risolubili con le rette: esercizi
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1 Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0, 0), (0, 1),
(13, 12) del piano cartesiano:
A 78
B 12
C 13
D 13/2
E 6
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2 Quanto misura l'area del triangolo che ha i vertici collocati nei punti
A(2, 5), B(7, 5), C(11, 0) del piano cartesiano?
A 13,5
B 12
C 14
D 12,5
E 14,5
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3 Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy,
consideriamo i punti A(1, 0) e B(0, 2). Per quale scelta del punto C il
triangolo ABC non è rettangolo?
A C = (0; –1/2)
B C = (–1; 0)
C C = (1; 2)
D C = (–4; 0)
E C = (0; 0)
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4 Quanto vale l'area del triangolo di vertici A(0, 0), B(2, 5) e C(12, 0)?
A 30
B 15
C 60
D 75
E 45
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5 Rispetto a un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy la
distanza del punto di coordinate (–4, 2) dalla retta di equazione x = 2 è:
A –2
B 2
C –6
D 6
E 4
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6 Nel piano cartesiano Oxy sono date le 4 rette di equazioni: y = x + 3, y =
x + 4, y = –x e y = 2 – x. Qual è l'area del quadrilatero formato dai punti
d'incontro delle quattro rette?
A 1
B √2
C 2
D 2 + √2
E 2 – √2
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Circonferenza (1): equazione della circonferenza: esercizi
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1 Consideriamo la circonferenza x² + y² – 3 = 0. Quale di queste
affermazioni è vera?
A Ha raggio 3
B Non è una circonferenza
C Ha centro in (2, 3)
D È contenuta nel primo quadrante
E Ha centro in (0, 0)
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2 Qual è il raggio della circonferenza x² + y² – 2x + 8y – 8 = 0?
A 1,5
B 4
C 5
D 6
E 9
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3 Se nell'equazione cartesiana di una circonferenza non c'è il termine noto,
possiamo ricavare che:
A ha il centro nell'origine
B è contenuta nel primo quadrante
C non interseca l'asse delle x
D passa per l'origine
E il centro è su uno degli assi
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4 Se nell'equazione cartesiana della circonferenza non c'è il termine di
primo grado, possiamo ricavare che:
A ha il vertice nell'origine
B la direttrice passa per l'origine
C non interseca l'asse delle x
D la parabola passa per l'origine
E il vertice è su uno degli assi
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5 Quale delle seguenti equazioni rappresenta una circonferenza?
A x² – y² + 1 = 0
B x² – y² = 1
C x² + y² + 2x = 1
D x² – y² + 2x = –4
E x² + 2x = 0
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6 Fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy,
quale delle seguenti è l'equazione di una circonferenza?
A x² + y² – 2xy – 1 = 0
B 4x² – 3x + 4y² – 5y – 1 = 0
C x² + y² + 1 = 0
D (x – 1)² – (y – 2)² – 1 = 0
E Nessuna delle precedenti equazioni
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Circonferenza (2): rette e circonferenze: esercizi
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1 Indica i punti di intersezione tra la circonferenza x² + y² = 1 e la retta y =
x:
A (1, 0), (–1, 0)
B (1, 1), (–1, –1)
C
D (1, 1), (1, –1)
E (0, 0)
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2 Quanti punti di intersezione possono avere una retta e una circonferenza,
come minimo e come massimo rispettivamente?
A 0e4
B 2e4
C 1e2
D 0e1
E 0e2
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3 La retta x – 2 = 0:
A non ha intersezioni con la curva x² + y² – 5 = 0
B è tangente alla curva x² + y² – 5 = 0 in un punto di ascissa nulla
C è secante la curva x² + y² – 5 = 0
D è parallela all'asse x
E è tangente alla curva x² + y² – 5 = 0 nel punto (2, 0)
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4 Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, siano C e
C’ le due circonferenze di equazione x² + y² = 9 e (x – 1)² + y² = 1. Quante
sono le rette tangenti comuni a C e C’?
A Due
B Infinite
C Più di due, ma in numero finito
D Nessuna
E Una
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5 Una circonferenza e una retta tangente hanno in comune:
A 2 punti distinti
B 1 punto
C 2 punti opposti
D punti immaginari
E nessun punto
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6 Una retta si dice tangente rispetto a una circonferenza se:
A la interseca in un solo punto
B la interseca in almeno due punti
C è totalmente esterna alla circonferenza
D individua il diametro
E è sempre parallela al raggio
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Parabola (1): equazione della parabola: esercizi
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1 Il fuoco della parabola y = x² – 5x + 6 ha coordinate:
A (0, 6)
B (1, 2)
C (3, 0)
D (5/2, 0)
E (–5, 6)
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2 Se nell'equazione della parabola non c'è il termine noto, possiamo
ricavare che:
A ha il vertice nell'origine
B la direttrice passa per l'origine
C non interseca l'asse delle x
D la parabola passa per l'origine
E il vertice è su uno degli assi
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3 La direttrice della parabola y = x² – 5x + 6 ha equazione:
A y = –1/2
B y = 3x
C y = 5x
D y=1
E y=5
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4 Una parabola e la sua direttrice hanno in comune:
A 2 punti distinti
B 1 punto
C 2 punti coincidenti
D 2 punti immaginari
E nessun punto
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5 Quanti fuochi ha una parabola?
A 0
B 1
C 2
D 3
E Nessuna delle risposte precedenti è vera
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6 In un riferimento cartesiano, nell'equazione di una parabola con asse di
simmetria parallelo all'asse delle y, il coefficiente del termine x² è negativo;
la parabola quindi ha:
A la concavità rivolta verso il basso
B ampiezza minima
C la concavità rivolta verso l'alto
D ampiezza massima
E direttrice parallela all'asse delle y
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7 Il vertice della parabola y = x² – 7x + 6 ha coordinate:
A (0, 0)
B (1, –1)
C (3, 0)
D (7/2, 25/4)
E (–7, 6)
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8 L'equazione di una parabola è di:
A primo grado
B terzo grado
C non esiste
D grado negativo
E secondo grado
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Parabola (2): intersezione con gli assi: esercizi
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1 La parabola y = x² – 2x + 1 interseca l'asse delle x nei punti di ascissa:
A +1 e –1
B nessun punto
C +1
D 0
E –1
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2 La parabola y = x² – 2x + 1 interseca l'asse delle y nei punti di ordinata:
A +1 e –1
B nessun punto
C +1
D 0
E –1
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3 La parabola y = 5x² + 3x + 1 interseca l'asse delle x nei punti di ascissa:
A +1 e –1
B nessun punto
C +1
D 0
E –1
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4 La parabola y = x² – 1 interseca l'asse delle x in:
A +1 e –1
B nessun punto
C +1
D 0
E –1
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5 La parabola y = x² + 1 interseca l'asse delle x in:
A +1 e –1
B nessun punto
C +1
D 0
E –1
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6 La parabola y = x² – 9 interseca l'asse delle y nei punti con ordinata
uguale a:
A +3 e –3
B nessun punto
C –9
D 3
E –1
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7 y = x² + 3x + 4 interseca l'asse delle x nei punti di ascissa:
A x = 1, x = 4
B x = –1, x = –4
C nessun punto
D x = –1
E x = –3, x = –5
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8 La parabola di equazione y = –3x² + √3:
A non interseca l'asse delle ascisse
B ha come asse di simmetria l'asse delle ascisse
C ha il vertice nel punto (√3, 0)
D ha il fuoco nel punto (0, √3)
E ha come asse di simmetria l'asse delle ordinate
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Parabola (3): intersezione con una retta: esercizi
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1 Consideriamo la retta y = –10 e la parabola y = x² + 5x. La retta è:
A secante in un punto
B tangente
C secante in due punti
D esterna
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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2 La retta tangente a una parabola in un punto P:
A è parallela all'asse della parabola
B coincide con la direttrice della parabola
C è perpendicolare all'asse della parabola
D interseca la parabola solo in quel punto
E esiste solo se P è il vertice della parabola
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3 Una parabola e una retta secante hanno in comune:
A 2 punti distinti
B 2 punti immaginari
C 1 punto
D 2 punti coincidenti
E nessun punto
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4 Consideriamo la retta x = –10 e la parabola x = y² + 5y. La retta è:
A secante in un punto
B tangente
C secante in due punti
D esterna
E nessuna delle precedenti
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5 Consideriamo la parabola x = –1/2 y² + 1 e la retta x + 2y – 3 = 0. La
retta rispetto alla parabola è:
A secante in due punti
B tangente
C esterna
D il suo asse di simmetria
E secante in un punto
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6 Consideriamo la parabola y = x² + 4x – 5 e la retta x = 2. La retta rispetto
alla parabola è:
A esterna
B secante in due punti
C secante in un punto
D tangente
E la direttrice
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Ellisse: esercizi
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1 Calcolando il rapporto della distanza tra i due fuochi e la lunghezza
dell'asse maggiore di un'ellisse, si ottiene:
A il centro
B l'eccentricità
C il raggio medio
D l'area
E il fascio delle rette tangenti
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2 Quanti fuochi ha un'ellisse?
A 0
B 3
C 1
D 2
E Nessuna delle precedenti risposte è corretta
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3 Consideriamo l'equazione 2x² + y² – 4 = 0. Quale di queste affermazioni
è vera?
A È una circonferenza
B Non è un'ellisse
C È un'ellisse con il semiasse maggiore sull'asse delle y
D È contenuta nel terzo quadrante
E È un'ellisse con il semiasse maggiore sull'asse delle x
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4 Il luogo dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da
2 punti fissi detti fuochi è:
A una circonferenza
B un'ellisse
C un'iperbole
D una parabola
E un'iperbole equilatera
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Iperbole: esercizi
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1 y = 2/x interseca l'asse delle x nei punti:
A x = –2, x = 2
B x = –1, x = 1
C nessun punto
D x = –1
E x = 1, x = 0
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2 La funzione k/y = x rappresenta:
A un'iperbole equilatera
B una retta passante per l'origine
C una circonferenza
D una retta
E nessuna delle precedenti risposte è vera
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3 L'equazione di un'iperbole è di:
A primo grado
B secondo grado
C non esiste
D è di grado negativo
E terzo grado
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4 Quanti fuochi ha un'iperbole?
A 0
B 1
C 2
D 3
E Nessuna delle precedenti risposte è corretta
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5 Gli asintoti delle iperboli sono:
A rette
B parabole
C circonferenze
D non ha asintoti
E ellissi
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6 La circonferenza x² + y² – 1 = 0 e l'iperbole xy = 2 hanno in comune:
A nessun punto
B 1 punto
C 2 punti
D 3 punti
E 4 punti
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Problemi relativi alle curve: esercizi
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1 L'equazione 5x – 4y² + 2 = 0 rappresenta:
A una circonferenza
B un'ellisse
C una parabola
D un'iperbole
E una retta
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2 Cosa rappresenta x² + y² – 4x + 8y = 0?
A Retta
B Parabola passante per l'origine degli assi
C Circonferenza
D Iperbole
E Ellisse
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3 Cosa rappresenta l'equazione y = 3x + 4?
A Una parabola passante per l'origine
B Un'iperbole
C Una retta passante per l'origine
D Una retta che non passa per l'origine
E Una parabola che non passa per l'origine
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4 L'equazione 4(x – 1)² + 4(y + 2)² = k² rappresenta:
A un'ellisse per ogni k
B una circonferenza per ogni k
C un'ellisse per k ≠ 2 e una circonferenza per k = 2
D una circonferenza per k ≠ 0 e un punto per k = 0
E una circonferenza per k > 1
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5 L'equazione generica ax² – ay² + d = 0 rappresenta:
A un'ellisse
B un'iperbole
C una parabola
D una retta
E una circonferenza
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6 Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, il luogo
dei punti le cui coordinate (x, y) soddisfano l'equazione x(2x + y – 1) = 0 è:
A una parabola
B una retta o un punto
C una retta
D una coppia di rette
E una circonferenza
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7 L'equazione ax² + bx + cy + d = 0 con a ≠ 0 e c ≠ 0 è rappresentata nel
piano cartesiano:
A da una retta non parallela agli assi cartesiani
B da un grafico che dipende dai valori di a, b, c, d
C da un grafico che non corrisponde a una conica
D da una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate
E da una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse
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8 Rispetto a un riferimento cartesiano ortogonale Oxy del piano,
l'equazione (x – 1)² – y² = 0 individua:
A due rette incidenti
B una parabola
C due soli punti
D una circonferenza
E due rette parallele
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9 L'equazione x² – y³ = 1 rappresenta:
A un'iperbole
B un'ellisse
C una circonferenza
D una parabola
E non rappresenta una conica
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Funzioni (1): dominio: esercizi
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1 Una funzione è definita da f(x+1) = f(x)+2, f(1) = 1. Quanto vale f(3)?
A f(x)+1
B 3
C 4
D 6
E 5
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2 Data la funzione
A
B
C
D
E
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, f(2x) vale:
3 Quale delle seguenti equazioni rappresenta una funzione lineare y = f(x)
tale che f(–2) = 3 e f(3) = –2?
A y=x–5
B y=x+5
C y = –x + 1
D y = –2x –1
E y = –2x + 4
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4 Una funzione è definita da f(x+1) = f(x) + 4, f(1) = 2. Quanto vale f(4)?
A f(x)+1
B 14
C 10
D 6
E 16
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5 Al variare di x, 2x assume valori:
A sempre maggiori di 2
B per x < 0, valori negativi
C non è mai < 1
D valori < 1, per x < 0
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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6 Al variare di x, (2/3)–x assume valori:
A sempre maggiori di 1/3
B per x < 0, valori > 1
C non è mai < 1
D per x > 0, assume valori negativi
E per x < 0, assume valori < 1
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7 Qual è il campo di esistenza della funzione y = (8x4 + x)/(x – 4)?
A x≠–4
B x≠4
C x<4
D È sempre definita
E x > –4
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8 Qual è il campo di esistenza della funzione y = x/(x² – 1)?
A x ≠ ±1
B x≠1
C x < –1 e x > 1
D È sempre definita
E –1 < x < 1
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9 Qual è il campo di esistenza della funzione y = x/(x² – 2x + 1)?
A x ≠ ±1
B x ≠ +1
C x < –1 e x > +1
D È sempre definita
E –1 < x < +1
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10 Qual è il campo di esistenza della funzione
A x ≠ ±1
B x≠1
C x < –1 e x > 1
D La funzione è sempre definita
E x≠0
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11 In quale intervallo è definita la funzione y = log(x – 8)?
A x≠8
B x>8
C [8, ∞)
D x<8
E (–∞, 8]
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Funzioni (2): proprietà: esercizi
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1 Quale delle seguenti funzioni rappresenta l'inversa di
A
B
C
D
E
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2 Quale delle seguenti funzioni rappresenta l'inversa di
A
B
C
D
E
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3 y = x³ – 5x + 6 è una funzione:
A pari
B passante per l'origine
C non definita in x = 1
D suriettiva
E nessuna delle precedenti
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4 y = 44x³ – 9x + 6 è una funzione:
A dispari
B passante per l'origine
C non definita in x = 1
D suriettiva, ma non iniettiva
E iniettiva
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5 Com'è la funzione
A sempre positiva
B dispari
C definita solo per x > 0
D passante per l'origine degli assi
E passante per il punto (0,1/5)
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6 Data la funzione
risposte è corretta?
A è pari
B passa per l'origine degli assi
C è definita per qualsiasi x
D interseca l'asse y
E è sempre positiva
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quali delle seguenti
7 Data la funzione
A interseca l'asse y
B è definita per x > 0
C è sempre positiva
D è dispari
E non interseca l'asse delle x
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quali delle seguenti risposte è corretta?
Limiti e derivate: esercizi
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1 La derivata di log(3x³ + 1) è:
A (3x³ + 1)
B 3x² + 2x
C 3x²/(3x³ + 1)
D 9x²/(3x³ + 1)
E 1/(x³ + x² + 1)
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2 La derivata di 4sen(5/2 · x) è:
A 10cos(5/2 · x)
B 5/2 · x
C –10cos(5/2 · x)
D 10sen(5/2 · x)
E 4sen5/2
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3 La derivata di x²/2 + 4x è:
A x+4
B 2x
C 0
D 4x + 4
E 2x + 4
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4 Qual è la derivata di e2x/2?
A 2e2x
B 1/2e2x
C x
D e2x
E logx
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5 La derivata di 6 è uguale a:
A 67
B 67x
C e(67)
D log(67)
E 0
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6 Deriva y = logx:
A y’ = logx
B y’ = sen²x
C y’ = 1 / (x · loge10)
D y’ = ex
E y’ = 1/x · logx
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7 La derivata di esen(x) è:
A esen(x)
B senx
C 0
D cosx · esen(x)
E senx · esen(x)
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8 La derivata di ex è:
A 0
B e
C x
D ex
E logx
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9 La derivata di sen4x è:
A 4cos4x
B 2
C 2sen2x
D –sen2x
E cos2x
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10 La derivata di 4 cos(3x/2) è:
A 6 sen(3x/2)
B 3x/2
C –6 cos(3x/2)
D –6 sen(3x/2)
E 4 cos3/2
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Angoli e funzioni circolari: esercizi
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1 Se x = –y, allora:
A senx = seny
B cosx = cosy
C x² = –y²
D x + 1 = –y – 1
E nessuna delle precedenti
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2 Dire se la funzione sen(x/2) è periodica:
A sì, di periodo 2π
B no
C sì, di periodo 4π
D sì, di periodo 3π/2
E sì, di periodo π
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3 La funzione y = senx cosx:
A non è periodica
B è periodica di periodo π
C è periodica di periodo 3/2π
D è periodica di periodo π/2
E è periodica di periodo 2/3π
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4 Quale, fra le seguenti relazioni, costituisce un'identità?
A senα = 1 – cosα
B senα = 1 + cosα
C sen²α = 1 – cos²α
D sen²α = 1 + cos²α
E senα = cosα – 1
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5 Se cosx = 0,6 allora senx vale:
A 0,4
B 0,3
C 0,8
D 0,234
E 0,68
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6 Quale valore dell'angolo a soddisfa: sena + cosa = 0?
A 45°
B 90°
C 135°
D 180°
E 360°
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7 La tangente di 315° vale:
A 1
B –1
C 2
D 0
E 45
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8 Il valore dell'espressione sen30° – cos45° è:
A 1
B positivo
C negativo
D 0
E 2
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9 Noto cosa, quanto vale sena?
A
B
C cos²a
D 2cos²a
E –cos²a
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10 Se il coseno di un angolo misura 1/3, una possibile misura per il suo
seno è:
A 2/3
B 8/9
C
D 4/3
E –2/3
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11 L'espressione trigonometrica (sen2x)/2 risulta uguale a:
A senx
B senx · cosx
C 1–x
D 4cos2x · sen2x
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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12 sen(α + 180) è uguale a:
A –senα
B senα
C cosα
D –cosα
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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Equazioni trigonometriche: esercizi
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1 Se indichiamo con x un angolo la cui misura in radianti può variare tra 0
e 2π, allora l'equazione senx + cosx = 0 ammette:
A quattro soluzioni
B due soluzioni
C una soluzione
D otto soluzioni
E nessuna soluzione
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2 L'equazione senx – 2 = 0
A ha 4 soluzioni
B è impossibile
C ha infinite soluzioni
D ha per soluzioni x = π/6 + kπ
E ha per soluzioni x = π/6 + 2kπ e x = 5π/6 + 2kπ
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3 L'equazione 2cosx = 1 ha per soluzione:
A 30°
B 45°
C 120°
D 60°
E 0°
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4 L'equazione cosx = 2 ha per soluzione:
A x = 90
B x = 45
C x=0
D non esiste soluzione
E x=8
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5 L'equazione |sen(x)| + log2(x) = 0 ha:
A nessuna soluzione reale
B due soluzioni reali di segno opposto
C le soluzioni x = 0 e x = π
D infinite soluzioni reali
E una soluzione reale
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6 La disequazione 2sen²x – senx – 1 ≥ 0 è verificata nell'intervallo 0 ≤ x ≤
π per:
A ogni x
B x = π/2
C x < π/2
D 0 < x < π/2
E nessun x
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Triangoli e funzioni circolari: esercizi
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1 In un triangolo rettangolo, se il cateto a è opposto all'angolo α ed il
cateto b è opposto all'angolo β, e c è l'ipotenusa abbiamo che:
A sinα = a/b
B cosβ = b/c
C cosα = a/c
D sinα = a/c
E a + b = c (senα + cosβ)
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2 In un triangolo due lati misurano rispettivamente
l'angolo compreso è di 60°. L'area del triangolo è:
A
B
C
cm²
cm²
cm²
D
cm²
E non si può determinare
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cm e 2 cm e
3 In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in C, i due cateti misurano
rispettivamente
opposto ad a è:
A
B
C
D
E
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cm e
cm. La tangente dell'angolo α
4 Un triangolo in cui α, β, γ sono gli angoli opposti ai lati a, b, c, si sa che
a = 1/2, α = π/6 e β = (3/4)π. Quanto è lungo il lato b?
A
B
C
D
E non si può determinare
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Triangoli (1): esercizi
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1 I cateti di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente
e
A 4
B 16
. Quanto misura l'ipotenusa?
C
D
E
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2 Si consideri un triangolo rettangolo il cui cateto maggiore misura 3 cm.
L'altezza del triangolo relativa all'ipotenusa misura 1 cm. Calcolare la
lunghezza dell'ipotenusa.
A
B
C
D
E
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3 I cateti di un triangolo rettangolo sono lunghi, rispettivamente, 303 e
404. Determinare la lunghezza dell'ipotenusa.
A 505
B 707
C 507
D 705
E 575
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4 Un triangolo isoscele che abbia due lati uguali a 2 cm e l'area uguale a 2
cm²:
A è inscritto in un cerchio di raggio uguale a 2 cm
B è anche equilatero
C ha il terzo lato uguale a 1 cm
D non può esistere
E è anche rettangolo
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5 Quanto misura in cm la proiezione ortogonale su una retta r inclinata a
45° di un segmento lungo 2 cm, se il segmento ha un estremo su r?
A
B
C
D
E 1/2
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6 Si consideri un triangolo rettangolo isoscele con l'ipotenusa di lunghezza
h cm e area di S cm². Quale tra le seguenti esprime la corretta relazione tra
h ed S?
A
B
C
D
E
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Triangoli (2): relazioni tra angoli: esercizi
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1 Con riferimento alla figura sottostante, quanto vale l'angolo 4x? (Nota:
gli angoli non sono stati disegnati in scala)
A 45°
B 88,8°
C 106°
D 102,86°
E Nessuna delle precedenti
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2 Quanto vale y – x?
A 45°
B 60°
C 80°
D 85°
E 100°
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3 Quale delle seguenti affermazioni riguardo gli angoli della figura
sottostante è corretta?
A a=c+d–b
B a=b+d–c
C a=c–d+b
D a=c–d–b
E Nessuna delle risposte precedenti
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4 Con riferimento alla figura sottostante, se a = b = 60°, c = 110°, d =
100° ed e = 20°, quanto vale l'angolo x? (Nota: alcuni angoli non sono stati
disegnati in scala)
A 5°
B 10°
C 12°
D 20°
E 45°
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5 Quanti gradi è ampio l'angolo x?
A 40°
B 50°
C 60°
D 70°
E 80°
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Triangoli (3): terne di numeri: esercizi
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Caso a.
1 Quale delle seguenti terne di numeri corrisponde ai lati di un triangolo?
A 2, 3, 6
B 7, 14, 21
C 1, 2, 3
D 3, 4, 6
E 1, 5, 6
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2 Quale delle seguenti terne di numeri corrisponde ai lati di un triangolo?
A 2, 1, 4
B 4, 2, 7
C 3, 4, 7
D 2, 4, 8
E 11, 6, 16
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3 Quali delle seguenti terne possono essere lati di un triangolo?
A 5; 6; 7
B 3; 3; 6
C 2; 3; 9
D 4; 6; 11
E 5; 10; 15
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4 Quale delle seguenti terne di numeri corrisponde ai lati di un triangolo?
A 2, 3, 6
B 4, 6, 11
C 3, 4, 7
D 2, 4, 8
E 11, 12, 16
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Caso b.
1 Quale delle seguenti terne di numeri non soddisfa il teorema di Pitagora?
A 12, 16, 20
B 6, 8, 10
C 25, 15, 20
D 3, 6, 9
E 3, 4, 5
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2 Considerati tre segmenti di differente lunghezza: quale terna di numeri
assicura la creazione di un triangolo rettangolo?
A 3; 6; 9
B 1; 2; 3
C 3; 4; 5
D 2; 4; 6
E 1; 1,5; 3
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3 Dati 3 segmenti di lunghezza 6 m, 8 m e 10 m, dire quale delle seguenti
affermazioni è vera:
A si può costruire un triangolo rettangolo
B non si può costruire un triangolo
C si può costruire un triangolo ottusangolo
D non si può costruire un triangolo rettangolo
E nessuna delle precedenti
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4 Quale delle seguenti terne di numeri soddisfa il teorema di Pitagora?
A 3, 4, 5
B 5, 7, 9
C 3, 9, 2
D 1, 4, 7
E 2, 4, 7
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Aree di figure piane: esercizi
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1 Si calcoli l'area del parallelogramma in figura.
A 120 √3
B 200 √3
C 344,5
D 125 √2
E Nessuna delle precedenti
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2 Un'automobile viaggia per 3 km verso sud, poi per 9 km verso est e
infine per 9 km nuovamente verso sud. Qual è la distanza in linea d'aria tra
il punto di partenza e il punto d'arrivo?
A 6 km
B 7,5 km
C 9 km
D 15 km
E 21 km
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3 Il rettangolo mostrato in figura ha area 35 e lati paralleli agli assi
cartesiani. Calcolare a, b, c, d ed e.
A a = 3, b = 9, c = 7, d = 9, e = 3
B a = 1, b = 9, c = 8, d = 8, e = 2
C a = 2, b = 9, c = 8, d = 9, e = 3
D a = –2, b = 11, c = 8, d = 6, e = 3
E a = 2, b = 11, c = 8, d = –6, e = 3
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4 La somma dei perimetri di tre quadrati è pari a 192 cm. Sapendo che i
lati dei quadrati sono rispettivamente proporzionali ai numeri 3, 4, 5, la
somma delle loro aree sarà pari a centimetri quadrati:
A 450
B 700
C 800
D 550
E 1024
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5 Ogni lato di un quadrato misura 6 cm. Se un rettangolo è largo 3 cm e ha
la stessa area del quadrato, quale sarà il suo perimetro?
A 12 cm
B 18 cm
C 24 cm
D 30 cm
E 32 cm
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6
A
B
C
D
Calcolare l'area della zona colorata contenuta nel rettangolo in figura.
23
25
31
33
E 44
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7 Qual è l'area di un rettangolo che ha i lati di 10–2 cm e di 10–4 m?
A 10–2 cm²
B 10–2 m²
C 10–6 m²
D 10–4 cm²
E 10–4 dm²
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8 Calcolare l'area di una corona circolare avente i raggi r1 = 2 cm e r2 = 3
cm.
A 2π/3
B 4π/5
C 3π
D 5π
E π
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Volumi di solidi: esercizi
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1 Un cono ha il raggio 5 cm e superficie di 90π cm². Qual è la sua altezza?
A 10 cm
B 12 cm
C 20 cm
D 10π cm
E Nessuna delle precedenti
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2 Un cubo di legno di 60 cm di lato viene dipinto di verde.
Successivamente lo si taglia in cubetti più piccoli, ognuno di 15 cm di lato.
Quanti cubi sono verniciati di verde su una faccia?
A 16
B 24
C 32
D 36
E 40
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3 Si vuole rivestire un bidoncino con della plastica adesiva. Il bidone è
alto 30 cm e ha un diametro di 40 cm. Quanta plastica sarà necessaria per
rivestirlo completamente?
A 2000 cm²
B 2000π cm²
C 2250π cm²
D 2580π cm²
E 3255 cm²
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4 Una vasca è lunga 10 m e larga 5 m. Se in un metro cubo si possono
collocare 21,6 casse, quanto dovrà essere alta la vasca per contenere 4320
casse?
A 1,25 m
B 3,2 m
C 4m
D 4,8 m
E 6,25 m
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5 Un parallelepipedo a base quadrata ha lo spigolo di base l = 30 cm,
l'altezza h = 40 cm e presenta una cavità conica con la base inscritta in una
base del parallelepipedo. Sapendo che il volume VTOT del solido è 30 000
cm³, determinare l'altezza del cono:
A 8,48
B 25,46
C 24,56
D 20,66
E Nessuna delle precedenti
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6 Supponete di avere una scatola di 5 × 5 × 5 cm (ovvero 125 centimetri
cubi di capacità). All'interno della scatola vi è poggiato un cuscinetto a sfera
d'acciaio di 25 centimetri cubi. Vicino alla scatola è posto un secchio di 5
litri pieno di mercurio. Quanti centimetri cubi di mercurio dovete versare
nella scatola per sommergere completamente il cuscinetto a sfera?
A 50
B 60
C 75
D 100
E È impossibile sommergere completamente il cuscinetto a sfera
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7 Il liquido che riempie una sfera di raggio K viene travasato in cilindri
aventi diametro di base K e altezza K. Qual è il numero minimo di cilindri
che occorrono per compiere questa operazione?
A 4
B 5
C 6
D 3
E 9
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Media: esercizi
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1 Calcolare la media dei seguenti numeri: 97, 80, 37, 37, 99, 37, 80, 37.
A 80
B 55
C 63
D 65
E 37
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2 Calcolare la media dei seguenti numeri: 39, 39, 87, 70, 39, 70, 2, 50.
A 50,5
B 49,5
C 50
D 51
E 49
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3 Calcolare la media dei numeri (–4) e 3:
A –5
B 2
C –0,5
D 0,5
E 1
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4 Calcolare la media dei numeri – 2 e 2:
A –4
B 0
C 1
D 4
E 2
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5 56 è la media aritmetica tra 24 e ...
A 56
B 88
C 98
D 89
E 68
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6 Uno studente universitario, dopo aver superato due esami, ha la media di
24. Nell'esame successivo lo studente prende 21. Qual è la sua media dopo
il terzo esame?
A 22
B 22,5
C 23
D 23,5
E 24
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7 Uno studente ha avuto 5 e mezzo ai primi due compiti. Quale voto dovrà
raggiungere al terzo compito per ottenere la media del 6?
A 7
B 5 e mezzo
C 6
D 6 e mezzo
E Non ce la può fare
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8 La media geometrica di 2 e 3 è:
A 1/6
B 1/2
C 1/3
D 61/2
E 6
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Moda e mediana: esercizi
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Moda
1 Calcolare la moda dei seguenti numeri: 81, 13, 84, 23, 59, 23, 92, 23, 33,
57, 81, 84, 57.
A 57
B 3
C 92
D 59
E 23
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2 Calcolare la moda dei seguenti numeri: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,
2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3.
A 2
B 3
C 1
D 2,5
E 3,5
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3 Calcolare la moda dei seguenti numeri: 104, 44, 34, 74, 44, 34, 84, 34,
64, 54, 94.
A 74
B 84
C 64
D 34
E 44
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Mediana
1 Calcolare la mediana dei numeri 24, 15, 77, 86, 60, 15, 63.
A 86
B 77
C 60
D 15
E 63
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2 Ordinare in modo crescente e calcolare la mediana dei numeri 52, 68,
17, 33, 33, 89, 72.
A 33
B 33,5
C 56,5
D 52
E 56
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3 Calcolare la mediana dei seguenti numeri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
A 5
B 4,5
C 6
D 5,5
E 6,5
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4 Calcolare la mediana dei numeri 44, 34, 74, 44, 34, 84, 34, 64.
A 42
B 45
C 43,5
D 44,5
E 44
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Percentuale: esercizi
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Caso a.
1 In una classe ci sono 30 tavoli, se ne comprano altri 9. Quale percentuale
è stata aggiunta?
A 43%
B 30%
C 32,5%
D 25%
E 130%
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2 Se si hanno 70 uova e se ne vendono 14, che percentuale è rimasta
invenduta?
A 80%
B 30%
C 60%
D 15%
E 20%
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3 Se si hanno 450 kg di patate, e se ne vendono 81 kg, qual è la
percentuale delle patate vendute?
A 28%
B 18%
C 20%
D 10%
E 15%
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4 In un edificio ci sono 30 scrivanie. Se ne comprano altre 15. Che
percentuale si è aggiunta?
A 150%
B 10%
C 25%
D 30%
E 50%
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Caso b.
1 Se un operaio trascorre il 50% delle sue 36 ore settimanali a
confezionare pacchi, quante ore impiega a confezionare pacchi in una
settimana?
A 9
B 18
C 27
D 15
E Nessuna delle precedenti risposte è corretta
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2 Nel 2003 un professionista ha versato come imposte il 30% del suo
reddito lordo. Gli rimane un reddito netto di 42 000 euro. Quanto ha versato
di imposte?
A 30 000 euro
B 1 500 euro
C 12 340 euro
D 18 000 euro
E 3 000 euro
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Caso c.
1 Degli iscritti a un corso di judo 45 sono principianti e il 40% sono
esperti. Quanti sono in tutto gli iscritti?
A 180
B 90
C 75
D 120
E 85
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2 Il titolare di una azienda aveva un garage nel quale non entravano 8 dei
suoi camion. Lo fece quindi allargare del 50% e quindi non solo poté
metterci gli 8 camion, ma gli rimase spazio per altri 8. Quanti camion aveva
in tutto il suddetto titolare?
A 20
B 24
C 32
D 40
E 48
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Calcolo combinatorio: esercizi
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1. Combinazioni
1 In quanti modi si possono disporre 6 rose di colore diverso due per ogni
vaso?
A 10
B 6
C 5
D 15
E 20
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2 Durante un brindisi fra sei amici, ognuno incrocia il proprio calice una
sola volta con tutti gli altri. Quanti tintinnii si ascoltano:
A 30
B 36
C 15
D 18
E 100
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3 A una riunione d'affari si incontrano 15 manager. Ognuno di loro saluta
ciascuno degli altri partecipanti con una stretta di mano. Quante strette di
mano ci sono state in totale?
A 30
B 225
C 210
D 15
E 105
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2. Permutazioni
1 In quante diverse maniere si possono disporre le prime 5 lettere
dell'alfabeto?
A 15
B 50
C 75
D 120
E 240
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2 Un fattorino deve consegnare 7 pacchi a 7 indirizzi; fra quanti percorsi
può scegliere?
A 720
B 840
C 4900
D 3750
E 5040
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3 Aldo, Bruno, Carlo, Dario, Eva e Fabio vanno in treno e trovano uno
scompartimento a 6 posti libero. Dato che Eva e Fabio vogliono stare vicino
al finestrino, quanti modi diversi hanno i sei amici di occupare i posti nello
scompartimento?
A 10
B 48
C 240
D 8
E 4
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3. Disposizioni
1 Quanti numeri di 3 cifre diverse si possono formare utilizzando i numeri
1, 2, 3, 4, 5?
A 30
B 40
C 60
D 90
E 120
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2 In una saletta ci sono 5 sedie per assistere a un concerto. Le persone
presenti sono 7. In quanti modi si possono sedere sulle sedie?
A 350
B 2520
C 1260
D 6300
E 5040
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Probabilità (1): esercizi
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1 Quale è la probabilità di estrarre una carta J, Q oppure K di colore rosso
da un mazzo di carte da poker?
A 1/15
B 2/25
C 3/26
D 1/10
E 2/27
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2 Considerando l'alfabeto italiano (21 lettere), qual è la probabilità di
estrarre una vocale?
A 1/21
B 4/21
C 6/21
D 5/21
E 3/21
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3 In un mazzo di carte napoletane (40 carte, 4 semi, 3 figure per ogni
seme), la probabilità di estrarre una carta che non sia un numero è:
A 2/3
B 4/40
C 7/40
D 3/10
E 4/10
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4 In un mazzo di carte da poker, la probabilità di estrarre una figura è:
A 6/51
B 3/13
C 1/13
D 3/52
E 2/13
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5 In un mazzo di carte da poker qual è la possibilità di estrarre un asso?
A 1/13
B 3/52
C 2/13
D 2/52
E 1/14
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6 In un mazzo di carte napoletane (40 carte, 4 semi) qual è la probabilità di
estrarre una carta di bastoni?
A 20%
B 25%
C 50%
D 100%
E 75%
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7 Due dadi vengono lanciati contemporaneamente; qual è la probabilità di
ottenere un punteggio pari?
A 55%
B 75%
C 100%
D 50%
E 25%
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8 In una ciotola vi sono 4 palline, due rosse e due bianche. Qual è la
probabilità di trovare una pallina rossa al primo colpo?
A 66,7%
B 20%
C 50%
D 25%
E 75%
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9 Si lanciano due dadi (uno verde, l'altro rosso) non truccati. Quale è la
probabilità che il punteggio totale sia 2?
A 0
B 1/36
C 2/36
D 5/36
E 7/36
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Probabilità (2): eventi compatibili e incompatibili: esercizi
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1 Una scatola contiene le lettere A, B, C, D, E. Se si estraggono due
lettere, quale è la probabilità che una delle due sia B?
A 1/3
B 1/5
C 2/5
D 1/4
E 1/10
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2 In una busta sono contenuti fogli di vari colori: 7 azzurri, 5 rossi, 12
gialli e 6 verdi. Qual è la probabilità di estrarre un foglio rosso o verde?
A 19/30
B 11/30
C 1/30
D 29/30
E 1/3
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3 Qual è la probabilità che nel lancio di un dado esca un numero dispari
oppure che esca il numero 2?
A 1/6
B 1/2
C 0,25
D 2/3
E 3/4
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4 In un mazzo di 40 carte napoletane, qual è la probabilità di estrarre un
onore, cioè un asso o una figura?
A 40%
B 50%
C 36%
D 30%
E 48%
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5 Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo di 52 carte una carta che sia
un cinque o una carta di quadri?
A 4/52
B 2/13
C 7/52
D 13/52
E 4/13
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6 Lanciando un dado qual è la probabilità che esca un numero maggiore di
3 o un numero dispari?
A 2/3
B 5/6
C 1/2
D 1/3
E 1/4
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Probabilità (3): eventi dipendenti e indipendenti: esercizi
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1 Qual è la probabilità che estraendo due carte da un mazzo da poker, una
alla volta e senza reinserimento, escano 2 assi?
A 3/52
B 1/169
C 1/13
D 1/17
E 1/221
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2 In un mazzo di carte napoletane (40 carte – 4 semi) qual è la probabilità
di estrarre due re senza riporre la carta nel mazzo?
A 1/4
B 1/12
C 3/130
D 1/130
E 2/130
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3 Un'urna contiene 10 palline delle quali 4 rosse e 6 nere. Tra le 10 palline
ne vengono estratte 3 a caso. Qual è la probabilità di estrarre 3 palline rosse
senza riporle nuovamente nell'urna?
A 1/30
B 1/60
C 2/30
D 2/40
E 1/10
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4 Qual è la probabilità che lanciando due dadi contemporaneamente
escano due numeri dispari?
A 62,5%
B 100%
C 50%
D 75%
E 25%
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5 Una scatola contiene 4 carte, delle quali 3 con la lettera A e l'altra con la
B. Un'altra scatola contiene tre carte (2 rosse, 1 verde). Se si estrae una
carta dalla prima scatola e una carta dalla seconda, qual è la probabilità che
si ottenga la combinazione A-rosso?
A 1/2
B 1/3
C 1/12
D 1/6
E 1/8
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6 In un'urna ci sono 5 biglie rosse e 7 biglie gialle. Se si estraggono a caso
due biglie, senza reinserirle qual è la probabilità che la prima sia rossa e la
seconda gialla?
A 35/144
B 30/135
C 35/132
D 30/144
E 28/132
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Indici di variabilità: esercizi
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1 La seguente tabella riporta 12 temperature:
21 23 24 31 19 15 10 41 44 17 22 25
Quanto vale il campo di variazione?
A 32
B 33
C 34
D 36
E 54
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2 Dato il campione (2, 5, 8), si calcoli la sua varianza:
A 4
B 5
C 5,5
D 6
E 6,5
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3 Dati i campioni A (2, 5, 8) e B (2, 3, 6, 8), si calcolino media e varianza
di A e B:
A 5; 4,75; 6; 5,69
B 5; 2,33; 6; 12
C 4,90; 0,15; 6; 5,69
D 6,5; 4,75; 5,69; 12
E 4,86; 6; 5,69; 12
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4 Dati i campioni A (2, 5, 8) e B (2, 3, 6, 8), si calcolino media e varianza
di A e B congiunti:
A 6; 5,33
B 4,76; 5,85
C 5; 4,75
D 5,45; 0.75
E 4,86; 5,84
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5 In una distribuzione tutti i dati sono uguali: allora lo scarto quadratico
medio vale:
A 1
B –1
C 0
D 100%
E non si può determinare
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6 Una distribuzione ha scarto quadratico medio pari a 2,92. Quanto vale la
sua varianza?
A Si può calcolare ma in assenza di altre informazioni sulla distribuzione
potremmo ottenere un risultato non significativo
B 8,53
C 1,71
D 0,34
E Non si può calcolare poiché non conosciamo i dati della distribuzione
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7 Considerando i numeri 2, 3, 6, 8, 10, si estraggano tutti i possibili
campioni di ampiezza 2 senza ripetizione e si calcolino media e scarto
quadratico medio della distribuzione della media campionaria:
A 5,8; 2,12
B 5,8; 1,83
C 6,1; 1,88
D 6,3; 1,91
E nessuna delle precedenti risposte è corretta
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8 Una fabbrica di lampadine produce un modello che ha durata media di
1250 ore, con scarto quadratico medio di 100 ore. Si calcoli la dispersione
relativa:
A 7%
B 8%
C 10%
D 12%
E 26%
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Insiemi: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: B. L'intersezione di due insiemi contiene solo gli elementi comuni
ai due insiemi; la D è sbagliata perché manca il 4; la C è sbagliata perché
include il 3 che non è presente nell'insieme B; la A non è corretta perché
l'unione esclude il 4 e il 5.
2 Torna alla domanda
Risposta: A. Per la proprietà distributiva degli insiemi: A ∩ (B ⋃ C) = (A ∩
B) ⋃ (A ∩ C).
3 Torna alla domanda
Risposta: E. L'espressione equivale infatti all'insieme A. Svolgendo le
operazioni si ha: A ∩ (A ⋃ B) = A → A ⋃ (A ∩ C) = A.
4 Torna alla domanda
Risposta: A. A ∩ B = ∅ in quanto non c'è alcun elemento appartenente sia
ad A sia a B, per cui l'intersezione dei due insiemi è l'insieme vuoto.
5 Torna alla domanda
Risposta: E. L'insieme contiene tutti gli elementi di A e di B presi una sola
volta. L'opzione A è errata poiché vi è la ripetizione dell'elemento 9.
L'opzione B è errata perché l'unione di due insiemi non vuoti non può
essere l'insieme vuoto, così come non può coincidere con uno dei due
insiemi.
6 Torna alla domanda
Risposta: C. L'intersezione di due insiemi è costituito dagli elementi
contenuti in entrambi gli insiemi. A ∩ B = {t, h}.
Torna alla teoria
Numeri e operazioni di base: risposte commentate
Torna agli esercizi
Torna alla teoria
1 Torna alla domanda
Risposta: B. Il valore assoluto di un numero è pari al numero stesso privato
del suo segno. Il valore assoluto di –9 (che è un numero relativo negativo) è
dunque uguale a 9.
2 Torna alla domanda
Risposta: B. +7 – 2 – 4 + 3 – 4 = 0.
3 Torna alla domanda
Risposta: C. Vediamo come si comportano somma e prodotto di due numeri
se questi sono pari o dispari:
• se due numeri sono entrambi pari, la loro somma è pari e il loro prodotto
anche;
• se due numeri sono entrambi dispari, la loro somma è pari e il loro
prodotto è dispari;
• se un numero è pari e l'altro dispari, la loro somma è dispari e il loro
prodotto è pari. Esaminiamo le prime 4 affermazioni: se la somma dei due
numeri è pari, i numeri sono entrambi pari o entrambi dispari, quindi il
prodotto può essere sia pari sia dispari; le affermazioni A e B non sono
dunque sempre verificate; se la somma dei due numeri è dispari, i numeri
sono uno pari e l'altro dispari, quindi il prodotto è sempre dispari;
l'affermazione C è dunque sempre verificata, mentre la D non è corretta.
4
Torna alla domanda
Risposta: D. In una moltiplicazione tra potenze con la stessa base, per
calcolare il risultato si sommano gli esponenti mantenendo la base
invariata: 3 · 3² · 34 = 31+2+4 = 37 = 2187.
5 Torna alla domanda
Risposta: C. Essendo una divisione tra potenze con la stessa base, per
calcolare il risultato si sottraggono gli esponenti, mentre la base rimane
invariata: 45–2 = 4³ = 64.
6 Torna alla domanda
Risposta: E. Per le proprietà delle potenze, il risultato si ottiene
moltiplicando tra loro gli esponenti: 52 · 7 = 514.
7 Torna alla domanda
Risposta: B. Trovare la decima parte significa dividere il numero per 10;
1014/10 = 1014–1 = 1013.
8 Torna alla domanda
Risposta: E. Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione e le
proprietà delle potenze si ottiene: 34 + 3³ = 33+1 + 3³ = 3 · 3³ + 3³ = 3³(3 +
1).
9 Torna alla domanda
Risposta: E. Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione e le
proprietà delle potenze si ottiene: 3n+1 – 3n = 3n · 3 – 3n = 3n(3 – 1) = 2 · 3n.
10 Torna alla domanda
Risposta: A. Trovare la metà di un numero significa dividerlo per 2; 214/2 =
213.
11 Torna alla domanda
Risposta: D. Per ogni opzione riscriviamo il primo termine utilizzando le
proprietà delle potenze.
A:
;
B:
;
C:
;
D:
E:
;
.
12 Torna alla domanda
Risposta: A. La somma dei cubi dei numeri dati è 8 + 27 + 1 + 64 = 100.
Torna alla teoria
Criteri di divisibilità: risposte commentate
Torna agli esercizi
Torna alla teoria
1 Torna alla domanda
Risposta: D. I numeri: 23, 7 e 17 sono tutti numeri primi poiché divisibili
solo per 1 o per se stessi. Il numero 49 invece è un numero composto, infatti
ha come divisori 1, 7 e 49.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. 103 è un numero primo, quindi appartiene all'insieme P dei
numeri primi. Il numero 1 non è un numero primo, quindi la A è falsa.
3 Torna alla domanda
Risposta: D. I multipli di 3 sono 1000/3 = 333,3 (ma dobbiamo considerare
solo la parte intera della divisione, cioè 333), quelli di 5 sono 1000/5 = 200,
quelli di entrambi, ovvero i multipli di 15, sono 1000/15 = 66 e infine quelli
di 3 oppure di 5 sono tutti quelli di 3 più quelli di 5, con l'accortezza di
sottrarre quelli di 15 per non contarli due volte, sono 333 + 200 – 66 = 467.
4 Torna alla domanda
Risposta: D. 1 non è primo per cui la risposta A è giusta. 25 non è primo in
quanto è 5², l'opzione B è giusta. 5 è primo, per cui C è giusta. 6 non è un
numero primo, è 2 · 3, quindi non appartiene a P, pertanto D è sbagliata ed
è quindi la risposta corretta. 17 è primo per cui l'opzione E è giusta.
5 Torna alla domanda
Risposta: D. Sapendo che 30 è divisibile per 5 (poiché termina con uno 0),
possiamo scrivere 30 = 5 · 6; il procedimento non è ancora ultimato perché
mentre 5 è numero primo, non lo è 6, che è scomponibile in 2 · 3. Quindi 30
scomposto in fattori primi risulta: 5 · 3 · 2.
6 Torna alla domanda
Risposta: C. L'insieme A è formato dagli elementi {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30};
di questi, i multipli di 5 sono quattro elementi: {5, 10, 15, 30}.
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Massimo comun divisore e minimo comune multiplo: risposte
commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: A. Riducendo i numeri in fattori primi si ottiene: 105 = 3 · 5 · 7;
21 = 3 · 7; 63 = 3 · 3 · 7. Il massimo comun divisore dei tre numeri è
dunque: 3 · 7 = 21.
2 Torna alla domanda
Risposta: B. Il minimo comune multiplo tra 12, 5, 6 e 4 è in effetti il
minimo comune multiplo tra 12 e 5 dato che 12 è multiplo sia di 6 sia di 4;
il m.c.m. è quindi uguale a 60.
3 Torna alla domanda
Risposta: C. Riducendo i numeri in fattori primi si ottiene: 12 = 2² · 3; 15 =
3 · 5; 8 = 2³. Il minimo comune multiplo dei tre numeri è dunque: 2³ · 3 · 5
= 120.
4 Torna alla domanda
Risposta: A. Scomponiamo prima i numeri in fattori primi: 42 = 2 · 3 · 7;
75 = 3 · 5²; 140 = 2² · 5 · 7. Calcoliamo il minimo comune multiplo
moltiplicando tutti i fattori che compaiono, presi una volta sola con
l'esponente maggiore: m.c.m. = 2² · 3 · 5² · 7 = 2100.
5 Torna alla domanda
Risposta: E. Scomponendo i due numeri si ha: 169 = 13²; 145= 5 · 29. I due
numeri non hanno fattori comuni, quindi M.C.D. = 1.
6 Torna alla domanda
Risposta: A. Scomponiamo i numeri dati in fattori primi: 2 = 2; 10 = 2 · 5;
12 = 2² · 3; 24 = 2³ · 3, dunque m.c.m. = 2³ · 3 · 5 = 120 e M.C.D. = 2
7 Torna alla domanda
Risposta: B. Dato che 144 = 3² · 24 e 255 = 3² · 5², il M.C.D. è il fattore
comune 3² = 9.
8 Torna alla domanda
Risposta: A. Si scompongono i due numeri in fattori primi: 169 = 13² e 39 =
3 · 13. Il fattore primo comune con il minimo esponente è 13.
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Frazioni: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: D. Unica risposta corretta è la D. Infatti la frazione 8/10 ridotta ai
minimi termini dividendo numeratore e denominatore per 2 diventa: 4/5. Si
può anche osservare che 5/4 è il reciproco di 4/5; inoltre dividendo 4 : 5 =
0, 8, per cui si scarta B, C che è uguale a 0, 4. Rimane D che è proprio
uguale a 0,8.
2 Torna alla domanda
Risposta: A. Per ridurre ai minimi termini la frazione 36/108 bisogna
rendere 36 e 108 primi tra loro. 36 = 2² · 3²; 108 = 2² · 3³. Dividendo
numeratore e denominatore per (2² · 3²) si ottiene 1/3.
3 Torna alla domanda
Risposta: C. Per eseguire i calcoli di devono ridurre le frazioni al minimo
comun denominatore. m.c.d. (5, 7, 9) = 315
Dunque 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 = (105 + 63 + 45 + 35)/315 = 248/315.
4 Torna alla domanda
Risposta: D. 1/a + 1/b + 1/ab = (b + a + 1)/ab.
5
Torna alla domanda
Risposta: B. Sono tutti numeri negativi, quindi si ordinano in maniera
decrescente da quello con valore assoluto minore a quello con valore
assoluto maggiore.
6 Torna alla domanda
Risposta: D. Applicando la definizione di potenza con esponente negativo si
ha:
.
7 Torna alla domanda
Risposta: C. La base è negativa, ma l'esponente è pari, per cui si possono
scartare le opzioni che presentano un numero negativo: B, D, E.
Applicando la definizione (–3/2)–2 = –2²/3² = 4/9.
8 Torna alla domanda
Risposta: C. Poiché: 1/2 > 1/3, elevando allo stesso esponente (intero e
positivo) le due quantità, non cambia la relazione d'ordine. Se x > y, allora
xn > yn (con n intero e positivo). Quindi: a > b.
9 Torna alla domanda
Risposta: C. a–n = 1/(a)n. Quindi: (1 + x)–n = 1/(1 + x)n.
10 Torna alla domanda
Risposta: C. Il numero è decimale finito, la frazione generatrice ha come
numeratore il numero privato della virgola (66 667) e al denominatore 1
seguito da 5 zeri quante sono le cifre decimali 66 667/100 000.
11 Torna alla domanda
Risposta: C.
;
escludere le opzioni D perché
Si possono
ed E in quanto
. Calcoliamo il valore delle due frazioni.
;
. Pertanto la risposta
corretta è C, che ha un numero con solo due cifre decimali
.
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Radicali: risposte commentate
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1
Torna alla domanda
Risposta: E.
2
Torna alla domanda
Risposta: A. Infatti
3 Torna alla domanda
Risposta: B. Per la definizione di prodotto tra radicali:
4
Torna alla domanda
Risposta: D.
5 Torna alla domanda
Risposta: B. Si può leggere l'uguaglianza relativa alla moltiplicazione da
destra a sinistra, perciò la radice quadrata del prodotto può essere
scomposta nel prodotto delle radici quadrate:
6 Torna alla domanda
Risposta: D. Si può leggere l'uguaglianza relativa alla moltiplicazione da
destra a sinistra, perciò la radice quadrata del prodotto può essere
scomposta nel prodotto delle radici quadrate:
7 Torna alla domanda
Risposta: D. Non è possibile sommare direttamente i due radicali (non è
vero che
); si possono però scomporre i radicandi
e mettere in evidenza il termine √2:
8
Torna alla domanda
Risposta: C. Moltiplicando numeratore e denominatore per
si ottiene:
9 Torna alla domanda
Risposta: C. La radice cubica di un numero reale positivo < 1 sarà sempre
un numero compreso tra 0 e 1, inferiore al valore di partenza. Per esempio
(1/2)³ = 1/8 → 1/2 > 1/8
10 Torna alla domanda
Risposta: C. Esprimiamo la radice come potenza
L'espressione diventa:
.
11 Torna alla domanda
Risposta: C. Nell'esponente frazionario 3/2, il 3 è la potenza del radicando e
il 2 è l'indice della radice, che in quanto quadrata si sottintende.
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Logaritmi: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: B. Eseguendo i calcoli, risulta: a = log39 = 2; b = log101000 = 3; c
= log381 = 4; d = log232 = 5. Di conseguenza l'ordine esatto è a, c, b, d.
2 Torna alla domanda
Risposta: A. ax = b → logab = x, da cui 3a = 21 → log321 = a
3 Torna alla domanda
Risposta: E. Calcoliamo log101/1000 = log10(10–3) = –3log1010 = –3. Il
logaritmo di un numero negativo non esiste.
4 Torna alla domanda
Risposta: C. Riscrivendo gli argomenti dei logaritmi come potenze delle
basi e applicando le proprietà dei logaritmi si ottiene: log749 + log7(1/7) – 3
= log7(7²) + log7(7–1) – 3 = 2 log7(7) – log7(7) – 3 = 2 – 1 – 3 = –2.
5 Torna alla domanda
Risposta: A. Riscrivendo le due espressioni utilizzando le proprietà dei
logaritmi e dei radicali si ottiene a = 2log232 = 2log225 = 10log22 = 10
Da cui a = b.
6 Torna alla domanda
Risposta: A. Per le proprietà dei logaritmi: il logaritmo di un numero
elevato a un esponente è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo
del numero. Quindi: 2log((1 + x)3/2) = (2 · 3/2) · log(1 + x) = 3log(1 + x).
7 Torna alla domanda
Risposta: B. Per le proprietà dei logaritmi: il logaritmo del prodotto di due
numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei due numeri: log(xy) = logx +
logy; il logaritmo di un numero elevato a un esponente è uguale al prodotto
dell'esponente per il logaritmo del numero: log(xn) = nlogx. Quindi: log10
16xyz = log10 24 + log10 x + log10 y + log10 z = 4 log10 2 + log10 x + log10 y
+ log10 z
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Proporzioni e proporzionalità diretta e inversa: risposte
commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: D. Poiché il prodotto degli estremi è uguale a quello dei medi si
ha: 2x = 11 · 16 → x = (11 · 16)/2 → x = 88.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. Per le proprietà delle proporzioni: il prodotto dei medi è pari a
quello degli estremi. Quindi: x² = 81 → x = ± 9.
3 Torna alla domanda
Risposta: A. Applichiamo la seguente proporzione: 30 : 27 = 110 : x. Per la
proprietà delle proporzioni, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli
estremi, dunque: 30x = 2970 → x = 99.
4 Torna alla domanda
Risposta: D. ay = b/a → y = b/a².
5 Torna alla domanda
Risposta: A. Poiché due variabili si definiscono direttamente proporzionali
se è costante il loro rapporto, ossia se y/x = k. Svolgendo i calcoli si ottiene:
xy = ky(hy) → xy = khy² → x = khy → x/y = kh.
6 Torna alla domanda
Risposta: B. Quella data è la definizione di grandezze direttamente
proporzionali.
7 Torna alla domanda
Risposta: B. Quella data è la definizione di grandezze inversamente
proporzionali.
8 Torna alla domanda
Risposta: C. La costante di proporzionalità inversa k che lega gli insiemi X
e Y si determina calcolando il prodotto fra i corrispondenti numeri dei due
insiemi: k = 2 · 12 = 4 · 6 = 3 · 8 = 24 · 1 = 24.
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Progressioni aritmetiche e geometriche: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: E. La successione di numeri è una progressione aritmetica finita.
La ragione della progressione è uguale a 1, per cui a1 = 1 e a100 = 100.
Applicando la proprietà per cui la somma è uguale a: S = n · (a1 + an/2);
sostituendo i valori numerici si ha: S = 100 · (1+100 / 2) = 5050.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. La successione di numeri è una progressione aritmetica finita.
La ragione della progressione è uguale a 1, per cui a1 = 1 e a200 = 200.
Applicando la proprietà per cui la somma è uguale a: S = n · (a1 + an) / 2;
sostituendo i valori numerici si ha: S = 200 · (1+200) / 2 = 20 100.
3 Torna alla domanda
Risposta: C. Per determinare il termine a4, si ricorre alla formula: an = a1 +
(n – 1) d. Sostituendo i dati n = 4, d = 4, a1 = 3, si ottiene a4 = 3 + (4 – 1) ·
4 = 15.
4 Torna alla domanda
Risposta: B. Il termine n-esimo della progressione aritmetica è uguale a: an
= a1 + (n – 1) d, da cui si può ricavare n = (an – a1)/d + 1. Sostituendo i dati
si ha: n = (3+9)/3+1 = 5.
5 Torna alla domanda
Risposta: A. La successione di potenze è una progressione geometrica,
perché il rapporto fra due potenze successive è costante an/an–1 = a, per
qualsiasi valore di a e di n, e la ragione è proprio uguale alla base della
potenza. Poiché q = 3, a1 = 30 = 1, n = 7, sostituendo i valori nella formula
si ottiene:
6 Torna alla domanda
Risposta: C. La somma dei termini di una progressione geometrica è data
da: S = a1 · (1 – qn)/(1 – q). Sappiamo che a1 = 2, q = 4 ed n = 5.
Sostituendo i valori numerici si ottiene:
7 Torna alla domanda
Risposta: B. Dati i termini as e ar con s > r, la loro relazione è: as = ar · qs–r,
da cui
Sostituendo i dati si ha:
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. Sappiamo che a8 = –4, a2 = –1/2, s = 8, r = 2.
Monomi: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: C. Il grado di un monomio è la somma degli esponenti delle
lettere che vi compaiono. In questo caso 3 + 1 = 4. Il monomio è di grado 4.
2 Torna alla domanda
Risposta: B. Il prodotto dei coefficienti è: (–2) · (–5) = 10. Il prodotto della
parte letterale è uguale a: x4 · x³y = (x4 · x³)y = x7y.
3 Torna alla domanda
Risposta: D. Calcoliamo il prodotto dei tre monomi, moltiplicando fra loro i
coefficienti, con i relativi segni, e la parte letterale: (3xy)(–4x)(–2xy²) = 3 ·
(–4) · (–2) · xy · x · xy² = 24x³y³.
4 Torna alla domanda
Risposta: D. Il quadrato di un numero positivo è sempre positivo, per cui si
scartano le opzioni A e B. Considerando il quadrato del coefficiente, si ha
che (–5)² = 25: scarto l'ipotesi E. Il prodotto degli esponenti della x è uguale
a 1 · 2 = 2. Per cui si scarta l'ipotesi C. La risposta corretta è D.
5 Torna alla domanda
Risposta: B. Il quoziente fra due numeri negativi è un numero positivo.
Eseguendo la divisione si ha: (–10a5b³)/(–5a³b²) = –10 · (–1/5) · a5–3 · b3–2
= 2a²b.
6 Torna alla domanda
Risposta: C. Eseguendo i calcoli si ha 2x + (4 – 6x) = 2x + 4 – 6x = 4 – 4x =
4(1 – x).
7 Torna alla domanda
Risposta: C. Poiché è possibile eseguire le operazioni di addizione e
sottrazione solo con monomi simili, solo monomi simili sono semplificabili.
I monomi simili nell'espressione sono 3r e 2r; –5pq e 7pq. L'espressione
semplificata è uguale a 5r + 2pq.
8 Torna alla domanda
Risposta: D. Analizziamo i coefficienti: sono tutti numeri interi. Calcoliamo
allora il M.C.D. dei coefficienti presi con il segno positivo: M.C.D. (8, 4,
12) = 4. Consideriamo la parte letterale: a4b²c; a³b³; a²b²c²; le lettere
comuni a tutti e tre i monomi sono a e b:
• a è comune a tutti e tre i monomi con esponente minimo uguale a 2: a² è il
fattore comune.
• b è comune a tutti e tre i monomi con esponente minimo uguale a 2: b² è il
fattore comune. Pertanto il M.C.D. è 4a²b².
9 Torna alla domanda
Risposta: B. Analizziamo i coefficienti: non sono tutti numeri interi. Il
coefficiente comune è quindi uguale a 1. Consideriamo la parte letterale:
x²y, x²y², x³yz; le lettere comuni e non comuni a tutti e tre i monomi sono x,
y e z:
• l'esponente massimo di x è 3: x³ è il m.c.m.
• l'esponente massimo di y è 2: y² è il m.c.m.
• l'esponente massimo di z è 1. Pertanto il m.c.m è: x³y²z.
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Polinomi (1): addizione e moltiplicazione: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: E. Il monomio di grado maggiore è 6x²y4z³, che è di nono grado in
quanto la somma degli esponenti della parte letterale è: 2 + 4 + 3 = 9.
2 Torna alla domanda
Risposta: B. Sommando tra loro i monomi simili si ottiene il risultato b² +
3b + 5.
3 Torna alla domanda
Risposta: C. Scrivendo il primo polinomio più l'opposto del secondo si
ottiene: x² – 9x + 2 – x² + 4x. Sommando i termini simili si ha: –5x + 2.
4 Torna alla domanda
Risposta: D. Svolgendo i calcoli si ottiene: 2ab(7a²) + 2ab(–2b) + 2ab (–
ab) = = 14a³b – 4ab² – 2a²b².
5 Torna alla domanda
Risposta: B. Svolgendo i calcoli si ricava: 4a² – a²b + 4b – b² – 12 + 3b.
Riducendo i termini simili si ha: 4a² – a²b + 7b – b² – 12.
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Polinomi (2): prodotti notevoli: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: B. I due binomi rappresentano la somma e la differenza di due
monomi. Si tratta perciò di un prodotto notevole, che è uguale alla
differenza fra il quadrato del primo termine e il quadrato del secondo:
(2ax)² – (3)³ = 4a²x² – 9.
2 Torna alla domanda
Risposta: E. Si tratta del quadrato di un binomio i cui termini sono a e –2b.
In C è errato il doppio prodotto e il quadrato di b, in D è sbagliato il
quadrato di b.
3 Torna alla domanda
Risposta: D. L'espressione rappresenta il quadrato di un binomio che
sviluppato diventa: a² – 2ab + b². La risposta C è sbagliata perché il doppio
prodotto è riportato con segno positivo: 2 · (a) · (–b) = –2ab.
4 Torna alla domanda
Risposta: D. La formula del quadrato di binomio prevede il doppio prodotto
dei monomi. Pertanto A, B, E sono risposte sbagliate. Inoltre il binomio è
una differenza fra monomi, per cui il doppio prodotto è negativo, mentre C
ha il doppio prodotto positivo.
5 Torna alla domanda
Risposta: E. L'espressione rappresenta un prodotto notevole, in particolare
il quadrato di un trinomio che prevede il quadrato dei tre termini più i doppi
prodotti. Si eliminano così le risposte A, B e C. Nel trinomio di partenza un
monomio ha segno negativo (–c), per cui devono essere presenti doppi
prodotti con segno negativo. Si scarta perciò anche la risposta D, in cui
sono tutti postivi.
6 Torna alla domanda
Risposta: E. Il cubo di un binomio rappresenta uno dei prodotti notevoli: se
il binomio rappresenta la differenza di due monomi si ha: (x – y)³ = x³ –
3x²y + 3xy² – y³. Nella risposta D non sono corretti i segni dei monomi.
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Problemi risolubili con i prodotti notevoli: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: B. Calcoliamo la somma dei quadrati (–a)² + (–b)² = a² + b².
Determiniamo il quadrato della somma (–a – b)² = a² + b² + 2ab.
Confrontando i due risultati si ha a² + b² < a² + b² + 2ab.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. La somma dei quadrati è (a)² + (–b)² = a² + b². Il quadrato
della somma è: (a – b)² = a² – 2ab + b². In questo caso alla somma dei
quadrati si sottrae il doppio prodotto per cui a² + b² > a² + b² – 2ab.
3 Torna alla domanda
Risposta: A. Possiamo escludere la risposta B, perché la somma di due cubi
è diversa dal cubo della somma. Allo stesso modo possiamo escludere C,
perche
. In D la somma è sbagliata perché 1/a +
1/b = (a + b)/ab. La E è sbagliata perché non è stato moltiplicato b per 2.
Verifichiamo la risposta A. Sviluppiamo il secondo termine
dell'uguaglianza: 2ab + (a – b)² = 2ab + a² – 2ab + b² = a² + b².
4 Torna alla domanda
Risposta: A. Se ab > 0 allora a e b sono entrambi positivi o negativi. Si
possono scartare le opzioni C, D, E che considerano a e b discordi. Se sono
entrambi positivi la loro somma è maggiore di zero, per cui si esclude anche
B. Infatti solo se entrambi sono negativi la loro somma è negativa.
5 Torna alla domanda
Risposta: A. Quadrato di un trinomio: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab +
2ac + 2bc. Poiché i tre numeri sono positivi, per la presenza dei doppi
prodotti tra i termini il quadrato di un trinomio risulta maggiore rispetto alla
semplice somma dei quadrati dei tre numeri: a² + b² + c² < a² + b² + c² +
2ab + 2ac + 2bc.
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Polinomi (3): scomposizione per raccoglimento: risposte
commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: D. I coefficienti sono numeri interi, per cui si può calcolare il
M.C.D., che è diverso da 1. M.C.D. (12, 15, 21, 9) = 3. Per la parte letterale
è: M.C.D. (x³y4, x²y², x4y4, x4y³) = x²y². Dividendo ciascun termine per 3x²y²,
si ricava: 12x³y4 – 15x²y² + 21x4y4 – 9x4y³ = = 3x²y² (4xy² – 5 + 7x²y² –
3x²y).
2 Torna alla domanda
Risposta: B. I coefficienti non sono numeri interi, per cui il M.C.D. dei
coefficienti è 1. Per la parte letterale è: M.C.D. (ab², ab, ab³) = ab.
Dividendo tutti i termini per ab, si ottiene ab((3/4)b – (1/2) + (3/7)b²).
3 Torna alla domanda
Risposta: A. Si raccoglie 2xy fra il primo e il terzo termine dell'addizione e
6x²z fra il secondo e il quarto termine dell'addizione. Si ottiene 2x²y + 6x³z +
4xy + 12x²z = 2xy(x + 2) + 6x²z (x + 2). Raccogliendo il binomio tra
parentesi (x + 2) si ricava: (x + 2)(2xy + 6x²z). Da notare che il polinomio
sarebbe ulteriormente scomponibile: infatti raccogliendo 2x nel secondo
binomio si ottiene 2x(x + 2)(y + 3x).
4 Torna alla domanda
Risposta: C. Scomponendo il polinomio tramite raccoglimento parziale, si
ottiene: 2a(x + 3y) + b(x + 3y) = (2a + b)(x + 3y).
5 Torna alla domanda
Risposta: D. Nel polinomio compaiono le lettere a, b e c. Riordiniamo i
termini scrivendo i termini in cui compaiono le lettere simili vicine: 3a² +
3a – 6ab – 6b + 3ac + 3c. Tutti i termini sono divisibili per 3, per cui
eseguiamo la scomposizione per raccoglimento totale: 3(a² + a – 2ab – 2b +
ac + c). Eseguiamo un raccoglimento parziale dei fattori a, b e c. 3[a(a + 1)
– 2b(a + 1) + c (a + 1)] → 3(a + 1)(a – 2b + c). La risposta A non è corretta
in quanto il secondo fattore non è primo, infatti si può ulteriormente
scomporre raccogliendo il fattore comune 3.
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Polinomi (4): scomposizione con i prodotti notevoli: risposte
commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: D. Il polinomio x³ – 8y³ è una differenza di cubi; la sua
scomposizione è la seguente: (x² + 2xy + 4y²)(x – 2y).
2 Torna alla domanda
Risposta: D. L'espressione nel quesito rappresenta un prodotto notevole, in
particolare il cubo di un binomio. x³ + y6 si scompone quindi come: (x + y²)
(x² – xy² + y4). L'espressione è divisibile per (x + y²).
3 Torna alla domanda
Risposta: C. 8x³ – 8y³ = (2x – 2y)(4x² + 4xy + 4y²)
4 Torna alla domanda
Risposta: E. Il polinomio non è scomponibile (non è un quadrato di
binomio, né un trinomio particolare).
5 Torna alla domanda
Risposta: B. Raccogliendo il fattore –1 si ottiene –a² + 2a – 1 = –(a² – 2a +
1). Il trinomio ottenuto è il quadrato del binomio (a – 1)². Pertanto –a² + 2a
– 1 = –(a – 1)².
6 Torna alla domanda
Risposta: B. Cerchiamo due numeri tali che il loro prodotto sia 2 e la loro
somma 3. Poiché il prodotto è positivo i due numeri sono concordi, e dato
che la somma è > 0, i due numeri sono positivi. I divisori di 2 sono ±1, ±2.
Scegliendo i valori positivi si ricava che i numeri cercati sono +1 e +2.
Pertanto x² + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2).
7 Torna alla domanda
Risposta: E. –a² + 2ax² – x4 = –(a² – 2ax² + x4) = –(a + x²)².
8 Torna alla domanda
Risposta: B. Senza dover svolgere calcoli complicati, si può osservare che il
numeratore rappresenta la differenza di 2 quadrati. Scomponendoli si ha:
(127 + 73) · (127 – 73) = 200 · 54. Perciò (200 · 54)/2 = 5400.
9 Torna alla domanda
Risposta: A. Cerchiamo due numeri tali che la loro somma sia –3 e il loro
prodotto sia –10. Le coppie di numeri che danno come prodotto –10 sono:
±1, ±10; e ±2, ±5. Il prodotto è negativo, quindi i due numeri sono discordi
ed è maggiore in valore assoluto il numero negativo. L'unica coppia che dà
come somma –3 è: –5, +2, che sono i numeri cercati. Pertanto (x² – 3x – 10)
= = (x + 2)(x – 5).
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Polinomi (5): divisione: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: A. x = 2 è soluzione dell'equazione di terzo grado; infatti
sostituendo il valore nel polinomio si ha che P(2) = 8 + 8 – 8 – 8 = 0.
Pertanto x – 2 è divisore del polinomio.
2 Torna alla domanda
Risposta: C. Per semplificare il polinomio raccogliamo prima la x ottenendo
x(x² + 3x – 4). Ora scomponiamo il polinomio tra le parentesi tramite la
regola di Ruffini: gli zeri del polinomio x² + 3x – 4 sono da ricercare nei
divisori del termine noto, ossia ±1, ±2, ±4. Sostituendo nel polinomio si
ricava che gli zeri sono x = –4 e x = 1, quindi il trinomio di secondo grado
si scompone nel prodotto di due binomi di primo grado: (x + 4)(x – 1). Il
polinomio è dunque divisibile per x, (x + 4) e (x – 1).
3 Torna alla domanda
Risposta: E. Se il polinomio è divisibile per (x² – 4), è divisibile per i fattori
della sua scomposizione, ossia: (x + 2) e (x – 2). Allora +2 e –2 sono valori
che annullano il polinomio.
4 Torna alla domanda
Risposta: D. Il resto della divisione del polinomio si determina sostituendo
il valore 2 al posto della x nel polinomio dato. R(2) = 24 – 3 · 2³ + 5 · 2² – 8
· 2 + 14 = 16 – 24 + 20 – 16 + 14 = 10.
5 Torna alla domanda
Risposta: B. Compiliamo la tabella per la soluzione con Ruffini:
Si ottiene Q(x) = 2a2 – 3a + 5, con R = 0.
6 Torna alla domanda
Risposta: C. Compiliamo la tabella per la soluzione con Ruffini, osservando
che manca il termine in x³, che va posto = 0:
Si ottiene Q(x) = x3 – 2x2 + 3x – 7, con R = 18.
7
Torna alla domanda
Risposta: D. Compiliamo la tabella per la soluzione con Ruffini, osservando
che manca il termine in x³, che va posto = 0:
Si ottiene Q(x) = x3 – 2x2 – 8x – 13, con R = 0.
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Polinomi (6): M.C.D. e m.c.m.: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: E. Il primo polinomio è il prodotto di tre fattori uguali a (x – 1). Il
secondo polinomio è il prodotto di due fattori uguali a (x² + 1). I due
polinomi non hanno fattori in comune, sono perciò primi fra loro: M.C.D. =
1.
2 Torna alla domanda
Risposta: E. Scomponiamo i polinomi: (x – 1)³ = (x – 1) (x – 1) (x – 1) (x² –
1) = (x – 1) (x + 1). Dunque (x – 1) è il fattore in comune, quindi il massimo
comune divisore dei due polinomi.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. Il polinomio (x² – 1) = (x + 1) (x – 1). Il prodotto di tutti i
polinomi con esponente maggiore è: (x – 1)² (x + 1). È necessario
considerare anche i coefficienti numerici: m.c.m. (6, 2) = 6. Il m.c.m. fra i
polinomi è: 6(x – 1)² (x + 1).
4 Torna alla domanda
Risposta: E. Il polinomio (x² – 1) = (x + 1) (x – 1). Il prodotto di tutti i
polinomi con esponente maggiore è: (x + 1)² (x – 1). Il minimo comune
multiplo fra i coefficienti numerici è m.c.m. (8, 2) = 6. Il minimo comune
multiplo fra i polinomi è –8(x + 1)² (x – 1).
5 Torna alla domanda
Risposta: E. Scomponendo i polinomi abbiamo che: (x² – 1) = (x + 1)² (x –
1)² e (x + 1)³ = = (x + 1) (x + 1) (x + 1), da cui si ricava che m.c.m. = (x –
1)² (x + 1)².
6 Torna alla domanda
Risposta: E. Scomponendo i polinomi, abbiamo che: (x – 1)² = (x – 1)(x –
1) e (x² – 1) = = (x + 1)(x – 1), da cui m.c.m. = (x – 1)²(x + 1).
7 Torna alla domanda
Risposta: C. Procediamo per prima cosa alla scomposizione dei due
polinomi, ottenendo: (x + 1) · (x + 1) e (x – 1) · (x + 1). Quindi: m.c.m. = (x
+ 1)² · (x – 1).
8 Torna alla domanda
Risposta: D. x – y è un polinomio irriducibile. x³ – y² = (x – y)(x² + xy + y²)
Il fattore comune ai due polinomi è (x – y), che è il M.C.D. Il m.c.m. è (x –
y)(x² + xy + y²).
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Frazioni algebriche: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: A. Il numeratore rappresenta la differenza di due quadrati e si
scompone in: (a + 1)(a – 1). Il denominatore è scomponibile tramite
raccoglimento parziale e diventa: (a² – 1)(a³ + 4) = = (a + 1)(a – 1)(a³ + 4).
La frazione algebrica è quindi equivalente a: [(a + 1)(a – 1)]/[(a + 1)(a – 1)
(a³ + 4)] = 1/(a³ + 4).
2 Torna alla domanda
Risposta: A. Il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni è
bc. Ponendo le frazioni a denominatore comune si ottiene: (ab + c² + a²)/bc.
La frazione è irriducibile e quindi rappresenta la semplificazione
dell'espressione iniziale.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. Il numeratore rappresenta il quadrato di un binomio,
semplificabile con (2a – b)2. Il denominatore è scomponibile tramite
raccoglimento parziale in: (2a – b)(b + 1). La frazione scomposta risulta
quindi essere: (2a – b)²/(2a – b)(b + 1). Semplificando i termini uguali si
ottiene: (2a – b)/(b + 1).
4 Torna alla domanda
Risposta: D. Scomponendo il numeratore e il denominatore in fattori
irriducibili si ottiene
5 Torna alla domanda
Risposta: A. Si determina il m.c.m. fra i denominatori: m.c.m. = x(x + 2);
eseguendo i calcoli si ha:
6 Torna alla domanda
Risposta: A. Determiniamo il m.c.m. fra i denominatori: (2x + 3) e (4x² –
9). (4x² – 9) = (2x – 3) (2x + 3) differenza di quadrati. Perciò m.c.m. = (2x –
3) (2x + 3). Riduciamo a un'unica frazione:
Svolgendo i calcoli al numeratore si ottiene:
Semplificando il fattore comune (2x + 3) si ottiene la frazione
, risposta A.
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Uguaglianze ed equivalenza: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: B. Per il secondo principio di equivalenza: moltiplicando o
dividendo i due membri di un'equazione per una stessa espressione, diversa
da zero, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. Applicando i principi di equivalenza portiamo tutti i termini in
x nel primo membro e i termini noti nel secondo cambiando i segni in modo
opportuno: 3x – 2x = –7 + 5
Eseguendo i calcoli si ottiene: x = –2.
3 Torna alla domanda
Risposta: D. Si pone a ≠ 0, e si dividono entrambi i membri per a³ → y =
b6/a4
4 Torna alla domanda
Risposta: A. Si chiede di trovare un'equazione in modo che una variabile sia
uguale all'altra ± il termine noto. Il termine noto si trova già al secondo
membro, per cui mantiene il suo segno +. Possiamo perciò scartare le
risposte C ed E. Se spostiamo nel secondo membro una delle due variabili,
queste assumono segno negativo, si può scartare la risposta D. Per isolare la
y, si dividono tutti i termini per il coefficiente della y, cioè per 2: y = –(5/2)x
+ 5, che è l'equazione della risposta A. Per isolare la x si dividono tutti i
termini per 5: x = –(2/5)y + 5 che è diversa dall'equazione della risposta B.
5 Torna alla domanda
Risposta: B. Si divide tutto per B, ottenendo A/B = 1 + C e successivamente
C = A/B – 1 = (A – B)/B.
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Equazioni lineari: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: A. Le due equazioni sono equivalenti: infatti entrambe hanno per
soluzioni ± 1.
2 Torna alla domanda
Risposta: C. Risolvendo le equazioni si ottiene:
Opzione A: x = 11
Opzione B: 3x = 24 → x = 8
Opzione C: x = 9
Opzione D: x = 7
Si può anche procedere sostituendo il valore dato (9) all'incognita in ogni
equazione e verificare per quale si ottiene 0 = 0.
3 Torna alla domanda
Risposta: A. 2(3x – 3) + 1 = 0 → 6x – 6 + 1 = 0 → x = 5/6
4 Torna alla domanda
Risposta: B. –4 (3x – 2) – 8 = + 2 x + 7/2 → –12x + 8 – 8 = 2x + 7/2 → –
14x = 7/2 → x = –1/4.
5
Torna alla domanda
Risposta: D. Semplificando l'equazione 3x – 5 = 2x + 2 + x otteniamo –5 =
2 ovvero un'equazione impossibile.
6 Torna alla domanda
Risposta: A. Risolvo la prima equazione: 3x – 1 = 9 → x = 10/3. Sostituisco
il valore trovato nella seconda espressione: (6 · 10/3) – 1 = 19.
7 Torna alla domanda
Risposta: E. Esaminiamo le singole opzioni. Opzione A: 3x + 6 = 4x – 3 →
x = 9. Opzione B: 6x + 6 = 4x – 1 → x = –7/2. Opzione C: 4x + 7 = 5x – 2
→ x = 9. Opzione D: 3x – 6 = 4x + 1 → x = –7. Opzione E: 3x + 6 = 4x – 1
→ x = 7. L'unica equazione che ammette soluzione x = 7 è l'equazione E.
8 Torna alla domanda
Risposta: D. 5(2x – 1) = 4(x + 1) → 10x –5 = 4x + 4 → 6x = 9 → x = 3/2.
L'equazione ha come soluzione: x = 3/2.
9 Torna alla domanda
Risposta: D. Si moltiplicano entrambi i membri per 5 ottenendo: 24x = 15,
da cui si ottiene x = 15/24 = 5/8.
10 Torna alla domanda
Risposta: E. Moltiplicando si ha: 2x – 1 = 2 → x = 3/2
11 Torna alla domanda
Risposta: C. 2(x – 1) + 8 = 0 → 2x – 2 + 8 = 0 → x = –6/2 → x = –3
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Equazioni di secondo grado: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: D. Calcoliamo il determinante Δ = 64 – 60 > 0. L'equazione
ammette due soluzioni reali distinte. Applicando la formula risolvente si
ottiene:
2 Torna alla domanda
Risposta: D. L'equazione 3x² – 27x = 0 si semplifica raccogliendo la x ed
equivale perciò a: x(3x – 27) = 0. Imponendo l'annullamento del prodotto
otteniamo x = 0 e 3x – 27 = 0 → x = 9.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. Il determinante è: Δ = b² – 4ac. L'equazione di secondo grado
ha soluzioni: x = 1 e x = 5, ossia è uguale al prodotto dei binomi: (x – 5)(x –
1) = 0 → x² – 6x + 5 = 0. Il suo determinante quindi è uguale a: Δ = 36 – 20
= 16.
4
Torna alla domanda
Risposta: D. Senza risolvere l'equazione né sostituire le cinque coppie di
soluzioni, basta notare che essendo c = –8, il prodotto delle due soluzioni
deve valere –8, in quanto il termine noto rappresenta il prodotto delle due
soluzioni. L'unica coppia di numeri che ha come prodotto –8 è quella della
risposta D. Il coefficiente del termine di primo grado esprime la loro
somma: +2 – 4 = –2.
5 Torna alla domanda
Risposta: D. L'equazione x² – 2x + 1 = 0 ha determinante Δ = 4 – 4 = 0,
quindi ha due soluzioni reali e coincidenti, x1 = x2 = 1. Ciò è più evidente
notando che x² – 2x + 1 = (x – 1)² = 0.
6 Torna alla domanda
Risposta: E. L'equazione data equivale a x² = –9 ed essendo x² una quantità
positiva uguagliata a un numero negativo, non ha soluzioni reali. Si
perviene allo stesso risultato calcolando il determinante, che risulta minore
di zero.
7 Torna alla domanda
Risposta: E. Svolgendo i calcoli si ottiene: (x – 1)(x + 1) = (x – 1)² → x² – 1
= x² – 2x + 1. Semplificando i termini di secondo grado si ottiene: 2x = 2 →
x = 1.
8 Torna alla domanda
Risposta: B. Svolgendo l'equazione e portando tutto a primo membro
otteniamo: x² – 5x = 0 → x · (x – 5) = 0 → x = 0 e x = 5. L'equazione ha
dunque 2 soluzioni reali e distinte.
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Equazioni di grado superiore al secondo: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: C. Possiamo scomporre l'equazione nelle due equazioni: x² + 1 =
0 e x + 3 = 0. La prima non ha soluzioni poiché per qualsiasi x il primo
membro è sempre maggiore di zero. La seconda è un'equazione di primo
grado la cui soluzione è x = –3, perciò abbiamo una sola soluzione
accettabile.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. Un valore qualsiasi della variabile si definisce soluzione
dell'equazione se sostituito in essa rende verificata l'identità. Sostituendo
nell'equazione il valore 3 si verifica che la soddisfa. Infatti: 3³ – 2(3)² + 3 –
12 → 27 – 2(9) + 3 – 12 → 27 – 18 + 3 – 12 = 0.
3 Torna alla domanda
Risposta: D. Riscriviamo l'equazione come: 4(x³ – 2x² + x – 12) = 0. Per la
risoluzione applichiamo la regola di Ruffini al polinomio (x³ – 2x² + x – 12).
Il primo passo sta nel trovare un valore della x che sia soluzione
dell'equazione (ossia un valore che sostituito nell'equazione verifichi
l'identità). I possibili divisori sono i divisori del termine noto 12.
Procedendo per tentativi scartiamo x = 1 (–12 ≠ 0) e x = 2 (–10 ≠ 0),
accettiamo invece x = 3 (sostituito nell'equazione al posto della x otteniamo
0 = 0). Con l'applicazione della regola si ottiene: (x – 3)(x² – x – 4). Il
polinomio x² – x – 4 non ha soluzioni ammissibili perché Δ < 0, quindi
l'unico valore che soddisfa l'equazione di terzo grado è x = 3.
4 Torna alla domanda
Risposta: C. Svolgendo i calcoli si ha: x(x² – 2000) = x(x² – x) → x³ – 2000x
– x³ + x² → → x(x – 2000) = 0. L'equazione ha dunque due soluzioni
distinte: x = 0 e x = 2000.
5 Torna alla domanda
Risposta: E. Scomponendo, abbiamo che x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1).
Applicando la legge di annullamento del prodotto si ottiene: (x – 1) = 0 e (x²
+ x + 1) = 0. (x – 1) = 0 → x = + 1 x² + x + 1 = 0 → Δ < 0, per cui ammette
due radici complesse.
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Equazioni frazionarie e letterali: risposte commentate
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1. Equazioni frazionarie
1 Torna alla domanda
Risposta: D. Dal momento che i due termini al primo membro hanno lo
stesso denominatore possiamo, riscrivere i termini utilizzando il
denominatore comune:
Il primo membro è sempre uguale a 1, per cui l'uguaglianza non è mai
verificata.
2 Torna alla domanda
Risposta: A. Ricordando che una frazione è uguale a zero se il suo
numeratore è uguale a zero, poiché nell'equazione data la x compare solo al
denominatore, e il numeratore è 2, l'equazione non può avere soluzioni.
3 Torna alla domanda
Risposta: A. La condizione di esistenza della frazione è x ≠ 0. Svolgendo i
calcoli si ha: 5/x = 3/7 → (35 – 3x)/7x = 0 → x = 35/3, soluzione accettabile
in quanto non annulla il denominatore.
4
Torna alla domanda
Risposta: A. L'equazione è frazionaria, per cui determiniamo le condizioni
di esistenza per i denominatori di entrambe le frazioni. (x² – 1) ≠ 0 → x ≠ ±
1 (x² – 3) ≠ 0 → x ≠ ± √3. Risolviamo l'equazione spostando i termini nel
primo membro e riducendoli a fattore comune. Il m.c.m. è (x² – 1) (x² – 3)
Svolgendo i calcoli si ottiene 3x² – 9 – x² + 1 = 0 → 2(x² – 4) = 0. Le
soluzioni di questa equazione si hanno per (x² – 4) = (x – 2)(x + 2) = 0,
ovvero per x = 2 e x = –2, che sono entrambe accettabili in quanto non
annullano il denominatore.
5 Torna alla domanda
Risposta: C. Per prima cosa imponiamo le condizioni di esistenza
all'equazione: denominatore ≠ 0 → x ≠ 3. Portando tutto al primo membro e
mettendo a denominatore comune, otteniamo: x2 – 3x + 6 – 2x = 0 → x2 –
5x + 6 = 0 → x = 3, x = 2. Per le condizioni di esistenza la soluzione x = 3
non è accettabile; l'equazione ha un'unica soluzione accettabile: x = 2.
2. Equazione letterali
1 Torna alla domanda
Risposta: A. Un determinato valore di x è soluzione dell'equazione se,
sostituito all'incognita, permette di verificare l'uguaglianza ottenuta.
Sostituendo x = –2 otteniamo –8 + 4 – 2 = k → → k = –6.
2 Torna alla domanda
Risposta: A. Riscriviamo l'equazione eseguendo i calcoli opportuni. x + 4 =
2x – 4 – 3k → x = 8 + 3k. Per trovare per quali valori di k l'equazione ha
soluzione x = 2, si pone: 8 + 3k = 2 → k = –6/3 = –2.
3
Torna alla domanda
Risposta: E. Sviluppando l'equazione otteniamo: –2x = –9 –3k → x = 9/2 +
3k/2. Poniamo la soluzione di x trovata in funzione di k uguale alla
soluzione 1, e ricaviamo k: 9/2 + 3k/2 = 1 → k = –7/2 · 2/3 → k = –7/3.
4 Torna alla domanda
Risposta: A. Utilizzando la relazione x1x2 = c/a, che mette in relazione
radici e coefficienti dell'equazione, possiamo scrivere: 1 · x2 = –6/3 = –2.
L'altra relazione, x1 + x2 = –(k³ – 8k)/3, è verificata solo per quei valori di k
tali che –(k³ – 8k)/3 = 1 – 2 = –1.
5 Torna alla domanda
Risposta: E. Poiché sia x² che k² sono positivi per qualsiasi valore, la
somma di tre numeri positivi non può essere uguale a zero, ovvero
l'equazione è impossibile. Nessun valore di k può soddisfare l'equazione.
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Equazioni esponenziali: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: A. 2x–4 = 16 → 2x–4 = 24. La base ora è uguale; si risolve
l'equazione x – 4 = 4 → x = 8.
2 Torna alla domanda
Risposta: A. Si risolve l'equazione 2x – 3 = 5, poiché 32 = 25. Quindi x = 4.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. 72x–3 = 343 → 72x–3 = 7³. La base ora è uguale; si risolve
l'equazione 2x – 3 = 3, da cui ricaviamo x = 3.
4 Torna alla domanda
Risposta: E. Ponendo l'esponente uguale a zero si ricava una soluzione: x –
3 = 0 → x = 3. Ponendo la base uguale a 1 si ricava la seconda soluzione: x
+ 3 = 1 → x = –2.
5 Torna alla domanda
Risposta: B. 4x–4 = 2 → 22(x–4) = 21. Ora che la base è la stessa si risolve
l'equazione 2x – 8 = 1, che ha come soluzione x = 9/2.
6
Torna alla domanda
Risposta: C. 2x/2 – 3 = 1 → 2x/2 – 3 = 20. La base ora è uguale, dunque si
risolve l'equazione x/2 – 3 = 0 → x = 6.
7
Torna alla domanda
Risposta: A.
Torna alla teoria
.
Equazioni logaritmiche: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: E. Il logaritmo di un numero (argomento del logaritmo) in una
data base, è definito come l'esponente a cui elevare la base del logaritmo
per ottenere l'argomento stesso. Dunque:
.
2 Torna alla domanda
Risposta: B. Per prima cosa determiniamo le condizioni d'esistenza:
l'argomento dei logaritmi deve essere > 0 → x > 0. Procediamo ora alla
risoluzione: dalla proprietà della somma dei logaritmi otteniamo log10 4x +
log10 9x = 2 → log10 36x2 = log10 100; poiché i logaritmi hanno la stessa
base, possiamo scrivere
Per le condizioni di esistenza x > 0, quindi la soluzione x = – 10/6 non è
accettabile. L'equazione è verificata dunque per il valore x = 10/6.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. log21/2 = log22–1 = –1.
4
Torna alla domanda
Risposta: B. Utilizzando la definizione di logaritmo si deduce: x = 2³ = 1/8
5 Torna alla domanda
Risposta: E. Passando al logaritmo naturale si ottiene e2x = y → lne2x = lny.
Applicando le proprietà dei logaritmi si ha: lne2x = lny → 2xlne = lny → x =
1/2 · ln(y).
6 Torna alla domanda
Risposta: D. La C.E. è x > 0. Passando al logaritmo naturale si ha: eln x = –4
→ ln x = ln –4. Poiché non esiste il logaritmo di un numero negativo,
l'equazione non ha soluzione, è impossibile.
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Problemi risolubili con un'equazione: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: D. Detti A, B, C e D il numero di esami superati dai quattro
studenti, abbiamo che A = B + 3; A = C/2, B = D – 10. Portando tutto in
funzione di A: B = A – 3, C = 2A e D = B + 10 = A – 3 + 10 = A + 7. Il
numero totale di esami superati è A + B + C + D = A + (A – 3) + 2A + (A +
7) = 5A + 4 = 29 da cui A = 5 e D = 12.
2 Torna alla domanda
Risposta: C. L'equazione risolvente è: x² – x = 56. Le soluzioni sono: x1 = 8
e x2 = –7. Consideriamo la soluzione positiva, ossia 8.
3
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Risposta: C. L'equazione risolvente è:
Elevando entrambi i membri al quadrato si ottiene: x = 144.
.
4 Torna alla domanda
Risposta: E. Se calcoliamo le due parentesi otteniamo che (x + 5)(x + 8) =
x² + 13x + 40. I termini di primo e secondo grado risultano essere entrambi
dispari per x dispari, ed entrambi pari per x pari, ma se sommiamo tra loro 2
numeri dispari il risultato sarà un numero pari, mentre la somma di 2
numeri pari dà sempre un numero pari. Quindi la somma dei primi 2 termini
dà sempre come risultato un numero pari che sommato a un altro numero
pari mi dà un altro numero pari.
5 Torna alla domanda
Risposta: D. Periodo 1: aliquota fiscale pari al 25%. Periodo 2: aliquota
fiscale pari al 20% e tassa una tantum pari a 1 000. Imponendo
l'uguaglianza dei due flussi fiscali si ottiene il reddito per cui è indifferente
la variazione nella tassazione: 0,25x = 0,20x + 1 000 → x = 20 000. I redditi
inferiori ai 20 000 € sono svantaggiati dalla modifica (per esempio: reddito
di 10 000 €: periodo 1 tasse pari a 2 500 €, periodo 2 tasse pari a 2 000 +
1 000 = 3 000 €); mentre quelli superiori ai 20 000 € ne hanno beneficiato
(per esempio: reddito di 30 000 €: periodo 1 tasse pari a 7 500 €, periodo 2
tasse pari a 6 000 + 1 000 = 7 000 €).
6 Torna alla domanda
Risposta: D. Si imposta l'equazione: 2x – 5 = 3x/4 → 8x – 20 = 3x → 5x =
20 → x = 4.
7 Torna alla domanda
Risposta: B. Detti x e (x + 10) i due costi, abbiamo x + x + 10 = 11,10;
dunque la t-shirt più economica costa x = 1,10/2, ovvero 0,55 euro, e l'altra
x + 10, ovvero 10,55 euro.
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Disuguaglianze: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: D. Se x > 0, 2x > x (per es., 10 > 5); se invece x < 0, 2x < x (–10 <
–5). Quindi la risposta corretta è la D.
2 Torna alla domanda
Risposta: C. a e b sono entrambi positivi, per cui interessa verificare solo la
relazione che sussiste fra loro: a < b, per cui i loro reciproci hanno verso
opposto 1/a > 1/b.
3 Torna alla domanda
Risposta: E. Infatti, se sia x che y sono inferiori all'unità il loro prodotto è
minore di entrambi i fattori.
4 Torna alla domanda
Risposta: B. Se b < a, la disuguaglianza b/c < a/c è vera per c > 0 in quanto
se dividessimo la relazione b < a per un numero negativo, dovremmo
cambiare il verso della disequazione.
5 Torna alla domanda
Risposta: E. a maggiore di zero solo per 0 < a < 3, in tutti gli altri casi è
negativo. 3b < 0 sempre. Il prodotto ab è maggiore di zero per a < 0, per cui
è maggiore anche di 3b (negativo). Nel caso in cui 0 < a < 3, poiché a > 0
possiamo dividere entrambi i membri per a: b > 3b/a, che è vero sempre (b
è negativo). Poiché nelle relazioni iniziali era considerata la disuguaglianza
b ≤ 0, la soluzione esatta è E.
6 Torna alla domanda
Risposta: B. Elevando al quadrato la disuguaglianza si ottiene 4x² < y².
Dividendo entrambi i membri per il numero positivo 4 si ha: x² < y²/4 < y².
7 Torna alla domanda
Risposta: C. La risposta A è sbagliata perché il quadrato non può essere un
numero negativo, D è sbagliata perché un numero negativo minore di 8 ha
come quadrato un valore maggiore di 64. Consideriamo i valori assoluti: se
|x| > 8, allora x < –8 e x > 8. Risposta C.
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Disequazioni equivalenti: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: A. Riscriviamo l'equazione data in modo da portare i termini in x
al primo membro e i termini noti nel secondo membro: –2x + x > –3 – 1 →
–x > –4 → x < 4. Operiamo nello stesso modo con le opzioni proposte. A:
2x – x < 1 + 3 → x < 4, risposta corretta; B: –2x + x < –1 – 3 → x > 4; C: 2x
– x > 1 + 3 → x > 4; D: –2x – x > –1 – 3 → –3x > –4.
2 Torna alla domanda
Risposta: B. È stato spostato il termine +7, cambiandolo di segno. In A non
è stato modificato il segno +7 → –7. In C manca il termine 2. In D e in E è
stato modificato il verso della disequazione, ma non sono stati cambiati i
segni dei termini.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. Per il principio della moltiplicazione: moltiplicando o
dividendo entrambi i membri di una disequazione per una stessa
espressione che sia sempre positiva, si ottiene una disequazione equivalente
a quella data; moltiplicando o dividendo per un'espressione negativa si
otterrà una disequazione con segno contrario alla disequazione di partenza.
4 Torna alla domanda
Risposta: E. Per il primo principio di equivalenza, aggiungendo o
sottraendo a entrambi i membri di una disequazione una stessa espressione,
si ottiene una disequazione equivalente (la disequazione mantiene lo stesso
verso).
5 Torna alla domanda
Risposta: A. Per il primo principio di equivalenza, aggiungendo o
sottraendo a entrambi i membri di una disequazione una stessa espressione,
si ottiene una disequazione equivalente (la disequazione mantiene lo stesso
verso). Questo implica che è possibile eliminare da entrambi i membri uno
stesso termine oppure spostarlo da un membro all'altro cambiandolo di
segno.
6 Torna alla domanda
Risposta: C. –1 è un fattore negativo, per cui bisogna cambiare segno ai
termini e cambiare il verso della disequazione.
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Disequazioni lineari: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: E. Possiamo riscrivere la disequazione leggendola da sinistra a
destra: 2 < x < 4, che rappresenta un intervallo limitato aperto di estremi 2 e
4. La variabile x può assumere tutti i valori compresi fra questi due estremi,
escluso il valore 2 e 4. L'unico numero interno all'intervallo, fra quelli dati,
è 3.
2 Torna alla domanda
Risposta: E. Svolgiamo i calcoli portando i termini in x nel primo membro e
i termini noti nel secondo membro: x > –(7x – 4) → x > – 7x + 4 → x + 7x >
4 → 8x > 4 → x > 1/2.
3 Torna alla domanda
Risposta: E. Portando –1 al secondo membro si ha: 2x – 1 < 3 → 2x < 3 + 1
→ 2x < 4 → x < 2.
4 Torna alla domanda
Risposta: E. Svolgendo i calcoli si ha: x + 1 < 5 – 3x → 4x < 4 → x < 1.
5 Torna alla domanda
Risposta: B. La disequazione è indeterminata, poiché è verificata per ogni
possibile valore della x. Infatti, sostituendo alla x qualsiasi numero
otterremo sempre un valore uguale a 0 e quindi un numero sempre
maggiore di qualsiasi numero negativo.
6 Torna alla domanda
Risposta: B. Il denominatore del termine (x + 1)/–2 è negativo. Il m.c.m.
pertanto è –4. Si deve perciò moltiplicare ciascun numeratore per un
numero < 0. In questo caso si cambia anche il verso della disequazione.
Svolgendo i calcoli si ottiene: 2 (x + 1) > –1 → 2x > –1 – 3 → 2x > –3 → x
> –3/2.
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Disequazioni di secondo grado: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: A. Le soluzioni dell'equazione associata x² – 5x + 6 = 0, sono x1 =
2 e x2 = 3. La disequazione è > 0 per i valori esterni all'intervallo (2, 3) cioè
per x < 2 o x > 3.
2 Torna alla domanda
Risposta: B. È necessario trovare le soluzioni di x (x – 4) = 0, che sono x1 =
0 e x2 = 4. I valori per cui la disequazione è < 0 sono compresi
nell'intervallo 0 < x < 4.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. Le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata: x² – x –
6 = 0 sono x1 = –2 e x2 = 3. I valori per cui la disequazione è > 0 sono
esterni all'intervallo, per cui x < –2 o x > 3.
4 Torna alla domanda
Risposta: D. L'equazione associata x² + 4 = 0 è impossibile poiché la
somma di due numeri positivi non può essere negativa. L'equazione
associata non ammette dunque soluzioni reali, e la disequazione risulta
verificata per ogni x reale.
5
Torna alla domanda
Risposta: C. Si risolve prima l'equazione associata x² – 4 = 0 → (x – 2) (x +
2) = 0. Le soluzioni sono x1 = –2 e x2 = 2. La disequazione è soddisfatta per
i valori interni all'intervallo, –2 < x < 2.
6 Torna alla domanda
Risposta: E. x² + 9 = 0 non ha soluzioni (determinante < 0); il coefficiente
della x² è maggiore di 0, quindi è positivo per ogni x appartenente a ℝ.
7 Torna alla domanda
Risposta: D. Eseguiamo i calcoli: x² + 4x + 4 – 2x < x² – 4x – 3 → x² + 4x –
2x – x² + 4x < –4 – 3. La disequazione è apparentemente di secondo grado,
ma i termini di secondo grado si annullano. 6x < –7 → x < –7/6.
8 Torna alla domanda
Risposta: C. La disequazione x² + y² ≥ 2xy diventa x² + y² – 2xy ≥ 0. Ovvero
(x – y)² ≥ 0; essendo il primo membro un termine al quadrato, qualsiasi sia
il valore numerico di (x – y) avremo un valore nullo o positivo dopo
l'elevamento al quadrato.
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Disequazioni polinomiali: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: B. La disequazione è > 0 se il prodotto dei termini è > 0, cioè se i
termini sono entrambi o positivi o negativi. Il primo termine è negativo per
i valori compresi nell'intervallo –1 < x < 1, è positivo per tutti gli altri valori
di x; il secondo temine è negativo per x < –1 e positivo con x > 1.
Analizzando le condizioni, risulta che i due termini hanno lo stesso segno
solo per x > 1.
2 Torna alla domanda
Risposta: B. Il prodotto dei tre termini deve essere maggiore di zero; in
questo caso è necessario fare attenzione ai segni: (x – 1) > 0 per x > 1; (x –
2) > 0 per x > 2; (x – 3) > 0 per x > 3. Si deduce che il prodotto risulta
positivo per x > 3, situazione in cui tutti gli elementi risultano maggiori di
zero, e per 1 < x < 2, situazione in cui uno solo dei fattori è positivo e gli
altri due negativi.
3 Torna alla domanda
Risposta: D. Effettuiamo alcuni calcoli per ridurre la disequazione in forma
canonica: x³ ≤ x4 → – x4 + x³ ≤ 0 → x4 – x³ ≥ 0. x³ (x – 1) ≥ 0 da cui si
ricava x³ ≥ 0 per x ≥ 0 e (x – 1) ≥ 0 per x ≥ 1. Gli intervalli in cui il prodotto
dei termini è positivo sono: x ≤ 0 o x ≥ 1.
4
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Risposta: C. La disequazione è uguale al prodotto di due binomi. Il termine
(x4 + 2) è sempre positivo per qualsiasi x, perché somma di due numeri
positivi. Perciò il segno del prodotto dipende solo dal segno di (x² – 9) che è
minore di zero (come il segno della disequazione) per i valori interni
all'intervallo aperto
, ossia per
.
5 Torna alla domanda
Risposta: A. Scomponiamo il polinomio, raccogliendo il termine x: x(x² – 4)
≥ 0. Studiamo i segni dei termini del prodotto: x ≥ 0 è già di per sé una
condizione. (x² – 4) ≥ 0 per x esterno all'intervallo chiuso [–2, 2], ossia per x
≤ –2 oppure x ≥ 2. Gli intervalli in cui il prodotto dei termini è positivo o
nullo è –2 ≤ x ≤ 0 oppure x ≥ 2.
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Disequazioni frazionarie: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: B. Ponendo il numeratore della disequazione maggiore o uguale a
0 si ottiene: x ≥ 1. Poniamo ora il denominatore maggiore di 0 (non può mai
essere = 0) e otteniamo: ∀ x ∈ ℝ (poiché l'equazione associata ha
discriminante negativo per cui non si annulla per alcun valore di x, e inoltre
è sempre > 0.
2 Torna alla domanda
Risposta: A. Svolgiamo i calcoli:
Poniamo il numeratore ≥ 0 e il denominatore > 0, scartando la sua radice x
= –1: –3x –1 ≥ 0 → x ≤ –1/3; x + 1 > 0 → x > –1
Per x < –1 numeratore e denominatore sono discordi, quindi la frazione è
negativa. Per –1 < x ≤ –1/3 numeratore e denominatore sono discordi,
quindi la frazione è positiva. Per x > –1/3 numeratore e denominatore sono
discordi, quindi la frazione è negativa. Quindi la soluzione è –1 < x ≤ –1/3.
3 Torna alla domanda
Risposta: E. Per prima cosa imponiamo le condizioni di esistenza della
disequazione: una condizione è che il denominatore sia diverso da 0.
Quindi: x² + 1 ≠ 0 → ∀ x ∈ ℝ. Il denominatore è dunque sempre positivo;
analizziamo ora il numeratore: x² – 1 > 0 → x < –1 o x > 1. Quindi la
disequazione ha come soluzioni: x < –1 o x > 1.
4 Torna alla domanda
Risposta: B. Il denominatore è sempre > 0, per cui il segno della frazione
dipende dal numeratore; per x < 0, il numeratore è minore di zero, per cui la
frazione è negativa.
5 Torna alla domanda
Risposta: D. Moltiplichiamo la prima frazione per –1, in modo da ottenere
il denominatore con lo stesso segno. Determiniamo il dominio della
frazione: 3x – 1 ≠ 0 → x ≠ 1/3. Spostando il termine 1 al primo membro e
svolgendo i calcoli si ottiene: –x/(3x – 1) > 0. Studiamo ora i segni della
frazione: N > 0 per x < 0; D > 0 per x > 1/3. L'intervallo aperto in cui
numeratore e denominatore hanno lo stesso segno è 0 < x < 1/3.
6 Torna alla domanda
Risposta: B. Determiniamo il dominio della frazione x – 3 ≠ 0 → x ≠ 3.
Spostando il termine 2 al primo membro e svolgendo i calcoli si ottiene: (–x
+ 10)/(x – 3) < 0. Studiamo i segni della frazione: N > 0 per x > 10; D > 0
per x > 3. Gli intervalli aperti in cui numeratore e denominatore hanno segni
discordi sono x < 3 o x > 10.
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Sistemi lineari: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: A. Se moltiplichiamo per un fattore 2 l'equazione x – 1/2y = 1/2,
essa diventa uguale all'equazione y = 2x – 1: le due equazioni del sistema
sono quindi coincidenti, ovvero il sistema ammette infinite soluzioni.
2 Torna alla domanda
Risposta: E. Esaminiamo le opzioni. Opzione A: il sistema ha una
soluzione: x = –5, y = –12. Opzione B: il sistema ha una soluzione: x = 6, y
= –16/10. Opzione C: il sistema ha una soluzione: x = 30, y = 18. Opzione
D: il sistema ha una soluzione: x = 0, y = 5. Nessun sistema risulta
indeterminato in quanto tutti ammettono un'unica soluzione, unica risposta
corretta è dunque la E.
3 Torna alla domanda
Risposta: A. Risolviamo la seconda equazione rispetto a y: y = x – 1.
Sostituiamo il valore trovato nell'altra equazione:
Risolvendo rispetto a x la prima equazione si ottiene 5x = 5 → x = 1;
sostituendo il valore trovato nella seconda equazione si ricava x = 1, y = 0.
4
Torna alla domanda
Risposta: D. Il sistema è impossibile poiché le due equazioni affermano
cose diverse: moltiplicando la prima per –2 si nota infatti che il primo
membro delle due equazioni risulta uguale, mentre al secondo membro
risultano i valori –10 e 0.
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Sistemi di secondo grado: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: D. Il sistema dato è simmetrico, possiamo perciò risolverlo
utilizzando l'equazione ausiliaria in t. x + y = –7 xy · 2 = 12 → xy = 6
t² + 7t + 6 = 0
Calcoliamo il determinante dell'equazione per verificare se ammette
soluzioni. Δ = 49 – 24 = 25 > 0, il sistema ammette due soluzioni. t1 = (–7
+ 5)/2 = –1; t2 = (–7 – 5)/2 = –6. Questa coppia corrisponde alla risposta D.
Il sistema ha anche come soluzione la coppia x = –6; y = –1.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. È un sistema simmetrico: si risolve l'equazione t² + at + b = 0,
dove a = –(x + y) = –(–8) = 8 e b = xy = 12; le soluzioni dell'equazione di
secondo grado t² + 8t + 12 = 0 sono t1 = –6 e t2 = –2, e corrispondono alle
soluzioni del sistema, che ha come soluzione anche la coppia x = –2, y = –6.
3 Torna alla domanda
Risposta: A. È un sistema simmetrico: si risolve l'equazione t² + at + b = 0,
dove a = –(x + y) = –(–6) = 6 e b = xy = 8; le soluzioni dell'equazione di
secondo grado t² + 6t + 8 = 0 sono t1 = –4 e t2 = –2, e corrispondono alle
soluzioni del sistema, che ha come soluzione anche la coppia x = –2, y = –4.
4 Torna alla domanda
Risposta: A.
L'equazione: 13y2 + 32y + 28 = 0 non ammette alcuna soluzione reale,
poiché ha determinante Δ = 32² – 4 · 13 · 28 < 0. Il sistema allora è
impossibile, non avendo soluzione.
5 Torna alla domanda
Risposta: D. Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle singole
equazioni che lo costituiscono. La prima equazione è di secondo grado e la
seconda di terzo, quindi il sistema è di sesto grado.
6 Torna alla domanda
Risposta: B. Il sistema è simmetrico: si risolve l'equazione t² + at + b = 0,
dove a = –1 e b = –6; le soluzioni dell'equazione di secondo grado t² –t – 6
= 0 sono t1 = 3 e t2 = –2, e corrispondono alle soluzioni del sistema, che ha
come soluzione anche la coppia x = –2, y = 3.
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Problemi risolubili con sistemi: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: E. Si imposta il sistema simmetrico
considerando l'equazione risolvente t² + at + b = 0, dove a = –(x + y) = –3 e
b = xy = 4; l'equazione di secondo grado che si ottiene è t² – 3t + 4 = 0. Il
determinante Δ = 9 – 16 < 0. L'equazione non ha soluzione, quindi non
esistono x e y che soddisfano le relazioni.
2 Torna alla domanda
Risposta: E. Dette x e y le cifre delle decine e delle unità rispettivamente,
utilizzando la notazione esponenziale, è possibile scrivere ogni numero
come 10x + y. Le relazioni elencate si possono tradurre in linguaggio
matematico nelle equazioni del sistema:
Sostituendo la y nella seconda equazione, si ottiene 12x + 18 = 21x → 9x =
18 → x = 2. Da cui: y = 2x → y = 4. Il numero cercato è dunque 24, ovvero
2 · 10 + 4.
3 Torna alla domanda
Risposta: D. (x + y) : (x – y) = 7 : 3. Per la proprietà delle proporzioni, il
prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi: 7(x – y) = 3(x
+ y) → 4x = 10y. Inoltre (x – y) : (xy) = 3 : 40, quindi: 3xy = 40(x – y).
Ponendo a sistema le due equazioni ottenute si ha:
La soluzione y = 0 non è accettabile.
4 Torna alla domanda
Risposta: A. È un sistema simmetrico: si risolve l'equazione t² + at + b = 0,
dove a = –(x + y) = –10 e b = xy = 16; le due soluzioni dell'equazione di
secondo grado t² – 10t + 16 = 0 sono t1 = 2 e t2 = 8 e corrispondono alle
soluzioni del sistema.
5 Torna alla domanda
Risposta: B. Si imposta il sistema
dal quale si ha
ovvero
Per sostituzione si ricavano x = 2y – 12 e y = 16, dalla quale si ricava x = 20
6
Torna alla domanda
Risposta: D. Detti x e y i due numeri, abbiamo che (x + y) = 6(x – y) da cui
otteniamo x = 7y/5. La seconda relazione si esprime nella forma xy = 25x/y.
Impostiamo il sistema:
Sostituendo la x nella seconda equazione si ottiene:
Considerando solo i numeri positivi si ha: y = 5. Sostituendo il valore di y
nella prima equazione si ricava x = 7.
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Sistemi di disequazioni: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: C. Dalla seconda disequazione del sistema si ricava che x > y. Si
possono così scartare le risposte A, D ed E in cui x < y. Sostituendo i valori
delle due coppie rimaste nella prima disequazione, si verifica che B non
soddisfa la relazione, mentre C sì: 6 – 1 ≥ 5.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. La prima disequazione è impossibile (0 > 1); la seconda ha
come soluzione: x > 2. Il sistema dunque non ha alcuna soluzione.
3 Torna alla domanda
Risposta: E. Per x maggiore o uguale a zero si ha x < x – 1 → 0 < –1 che è
impossibile. Per x < 0 si ha –x < x – 1, che per il valore assoluto
diventerebbe maggiore di zero, quindi avremmo un termine positivo minore
di un termine negativo, e anche questo è impossibile.
4 Torna alla domanda
Risposta: E. Il termine elevato al quadrato è sempre positivo. Quindi x² + 1
è sempre positivo per ogni x diverso da zero. Per x = 0, la relazione diventa
1 > 1, non accettabile.
5
Torna alla domanda
Risposta: A. Affinché la disequazione sia verificata, è necessario che i due
termini a e |b – 2| siano discordi e non nulli. Dato che |b – 2| è sempre
positivo, in quanto è un valore assoluto, deve essere negativo a, quindi la
prima condizione è a < 0. Inoltre i due termini devono essere non nulli,
ovvero a ≠ 0 e b – 2 ≠ 0 → b ≠ 2. La disequazione ha soluzione a < 0 e b ≠
2.
6 Torna alla domanda
Risposta: A. La prima disequazione può essere riscritta come (x + 3)(x – 1)
< 0, che è verificata per i valori compresi nell'intervallo aperto (–3, 1). La
seconda disequazione è verificata per x ≤ 1/2. Le soluzioni comuni alle due
disequazioni sono i valori di x compresi nell'intervallo aperto (–3, 1/2).
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Equazioni risolubili con sistemi: risposte commentate
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1. Equazioni irrazionali
1 Torna alla domanda
Risposta: E. L'espressione sotto radice x² + 2 è > 0, per qualsiasi valore di x,
per cui l'equazione non ha nessuna soluzione reale.
2 Torna alla domanda
Risposta: B. L'unica condizione di esistenza da porre all'equazione è che
l'argomento della radice sia positivo, quindi: x – 1 ≥ 0 → x ≥ 1. Le
condizioni di esistenza dell'equazione non dipendono dal parametro k,
quindi l'equazione ha soluzione per ogni valore di k.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. Determiniamo il dominio dell'equazione risolvendo il sistema:
Il dominio dell'equazione è allora: x > 0. Si elevano entrambi i membri al
quadrato, in modo da eliminare la radice al primo membro. x² + 8 = 9x² →
8x² – 8 = 0 → x² = 1, da cui si ricava x1 = –1; x2 = +1 La soluzione x1 < 0
non è accettabile, perché non appartiene al dominio. L'unica soluzione è x2
> 0.
4 Torna alla domanda
Risposta: B. Determiniamo il dominio dell'equazione risolvendo il sistema:
Il dominio dell'equazione è allora: x > 0. Si elevano entrambi i membri al
quadrato, in modo da eliminare la radice al primo membro. x² + x + 1 = 9x²
→ 8x² – x – 1 = 0, che ha determinante Δ = 33 > 0
La soluzione x1 < 0 non è accettabile, perché non appartiene al dominio.
L'unica soluzione è x2 > 0.
2. Equazioni in valore assoluto
1 Torna alla domanda
Risposta: A. Per la presenza del valore assoluto è necessario trasformare
l'espressione in due sistemi misti.
Si riscrive l'equazione isolando il valore assoluto: 3 |x – 3| = 11 – x
Risolvendo il primo sistema si ottiene
La soluzione del sistema è x = 5
Risolvendo il secondo sistema si ottiene
La soluzione del sistema è x = 3.
L'equazione ha quindi due soluzioni reali distinte: x = 5 e x = –1, una
positiva e l'altra negativa, quindi di segno opposto.
2 Torna alla domanda
Risposta: A. Per la presenza del valore assoluto l'espressione si scompone
in due sistemi misti.
Si riscrive l'equazione isolando il valore assoluto: 3|x| = x² + 2
Risolvendo il primo sistema si ottiene
Le soluzioni dell'equazione sono: x1 = 1 e x2 = 2
La soluzione del sistema è: x1 = 1 e x2 = 2
Risolvendo il secondo sistema si ottiene
Le soluzioni dell'equazione sono: x1 = –2 e x2 = –1
La soluzione del sistema è: x1 = –2 e x2 = –1
L'equazione ha perciò quattro soluzioni: x = ± 1 e x = ± 2.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. Per la presenza del valore assoluto l'equazione si sdoppia in un
sistema di due equazioni:
La prima di queste due equazioni rappresenta un'iperbole avente centro
coincidente con l'origine degli assi, che interseca l'asse delle ascisse e con
asintoti di equazione: y = ± x (quindi coincidenti alle bisettrici del I e III
quadrante e del II e IV quadrante); la seconda rappresenta un'iperbole
avente centro nell'origine degli assi, intersezione con l'asse delle ordinate e
asintoti anch'essi coincidenti con le due bisettrici.
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Piano cartesiano: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: E. Poiché ogni coppia ordinata di numeri reali individua uno e un
solo punto e viceversa, i punti diversi da (–1, 2) sono tutti i punti che hanno
contemporaneamente ascissa diversa da –1 e ordinata diversa da 2, cioè i
punti per i quali x ≠ –1 e y ≠ 2. In pratica sono diversi tutti i punti del piano
ad eccezione del punto stesso.
2 Torna alla domanda
Risposta: B. L'origine degli assi ha coordinate O(0,0), per cui la distanza
.
3 Torna alla domanda
Risposta: C. Applicando la formula della distanza fra due punti, prestando
attenzione ai segni si ricava
.
4 Torna alla domanda
Risposta: C. Poiché l'origine degli assi ha coordinate (0, 0) la distanza di un
punto dall'origine si calcola con la formula
Applicandola ai punti A e B si ottiene:
.
;
, ... Il punto C si trova sull'asse y, e la
sua distanza da O è uguale alla sua ordinata: dC = 6. Da cui si deduce dC >
dB > dA.
5 Torna alla domanda
Risposta: D. Si usa la formula della distanza tra due punti:
Sostituendo le coordinate dei punti si ha
6 Torna alla domanda
Risposta: C. La distanza di un punto dall'origine degli assi O (0,0) è uguale
a:
. d(A, O) = 10, per cui
. Si possono sostituire le coordinate dei punti e
verificare quali soddisfano l'equazione. Si può anche fare il seguente
ragionamento: se
, ossia la
somma del quadrato dell'ascissa e del quadrato dell'ordinata deve essere
uguale a 100. Possiamo scartare l'opzione A e B per le quali si verifica
senza fare calcoli che il risultato è minore di 100. La risposta E perché il
risultato è >100. Rimangono D e C; per D si ha 16 + 36 ≠ 100, per cui
l'unica opzione è C: 36 + 64 = 100.
7 Torna alla domanda
Risposta: A. Le coordinate del punto medio si calcolano con le seguenti
formule: xM = (4 + 2)/2 = 3 e yM = (3 + 5)/2 = 4.
8 Torna alla domanda
Risposta: D. Le coordinate del punto medio si calcolano con le seguenti
formule: xM = (2 – 3/2)/2 = 1/4 e yM = (3 – 2)/2 = 1/2.
9 Torna alla domanda
Risposta: D. Le coordinate del punto medio si calcolano con le seguenti
formule: xM = (3 – 3/2)/2 = 3/4 e yM = (3 + 2)/2 = 5/2.
10 Torna alla domanda
Risposta: D. Le coordinate del punto medio si determinano calcolando la
semisomma delle ascisse dei suoi estremi e la semisomma delle ordinate.
Dunque xM = (5 – 7)/2 = –1 e yM = (–2 + 4)/2 = 1.
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Retta (1): equazioni della retta: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: D. Riscriviamo l'equazione nella forma esplicita: y = mx + q: y =
2/10 → y = 5 che è l'equazione di una retta parallela all'asse x, con
equazione y = q.
2 Torna alla domanda
Risposta: C. I punti che si trovano sulla bisettrice del I e III quadrante per
definizione hanno coordinate uguali, per cui la bisettrice ha equazione: y =
x.
3 Torna alla domanda
Risposta: D. La bisettrice del II e IV quadrante ha coefficiente angolare m =
–1 e passa per l'origine degli assi, per cui ha equazione: y = –x.
4 Torna alla domanda
Risposta: D. Per verificare l'appartenenza di un punto a una retta si
sostituiscono le sue coordinate nell'equazione della retta stessa: il punto
appartiene alla retta se è verificata l'uguaglianza. L'opzione A è errata
(sostituendo le coordinate si ottiene: 0 = –5 quindi l'uguaglianza non è
verificata), come le opzioni B (0 ≠ –1), C (1 ≠ –1) ed E (1 ≠ –9). Unica
opzione corretta è la D, infatti sostituendo le coordinate del punto (–1, 1) si
ottiene: –1 = –1; l'identità è verificata quindi il punto appartiene alla retta.
5 Torna alla domanda
Risposta: B. Per verificare se un punto appartiene alla retta, sostituiamo le
sue coordinate nell'equazione della stessa: la retta passerà per quel punto se
è verificata l'uguaglianza. L'opzione A è sbagliata (si ottiene: 8 ≠ –2,
l'uguaglianza non è verificata quindi il punto non appartiene alla retta), così
come la C (3 ≠ –5), la D (–2 ≠ –8) e la E (5 ≠ –8). Unica risposta corretta
risulta essere la B, infatti sostituendo le coordinate del punto (1, –5/2) si
ottiene: –2 = –2, la retta passa quindi per il punto.
6 Torna alla domanda
Risposta: D. Il coefficiente angolare di una retta è dato da m = (y2 – y1) / (x2
– x1); sostituendo le coordinate dei due punti si ottiene: m = (10–7) / (5–2)}
= 3/3 = 1.
7 Torna alla domanda
Risposta: C. Nella forma esplicita della retta y = mx + q, m rappresenta il
coefficiente angolare della retta. Se m > 0 la retta aumenta la pendenza
all'aumentare di m. La seconda delle due rette, che ha m = 4, risulta più
inclinata rispetto all'asse orizzontale, in quanto ha coefficiente angolare
maggiore.
8 Torna alla domanda
Risposta: D. La retta y = –5x non presenta termine noto (q = 0), quindi
passa per l'origine degli assi O(0, 0), che è il punto di intersezione con l'asse
y.
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Retta (2): reciproche posizioni fra rette: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: D. Le rette sono date nella forma y = mx + q, per cui conviene
riscrivere l'equazione della retta data in questa forma: y = (4/2)x + 5/2 → y
= 2x + 5/2. L'equazione della retta parallela deve perciò avere coefficiente
angolare m = 2. L'unica è la retta y = 2x – 3.
2 Torna alla domanda
Risposta: C. Determiniamo il coefficiente angolare della retta: m = –4/(–8)
= ½. A è vera: la retta è parallela alla retta data. B è vera: la retta è
perpendicolare, infatti il prodotto (–2) · 1/2 = –1. C è falsa: sostituendo le
coordinate del punto P nell'equazione della retta si ricava: 4 · 0 – 8 · (–
3/8) + 3 = 3 + 3 ≠ 0, per cui la retta non passa per P. D è vera: mD = –2, per
cui la retta è perpendicolare. E è vera: il termine noto della retta è diverso
da zero, per cui la retta non passa per l'origine.
3 Torna alla domanda
Risposta: C. Scrivendo la seconda retta nella forma esplicita si ottiene: y =
–(2/2) x + 2/2 → y = –x + 1. Le due rette hanno equazioni identiche, perciò
sono coincidenti.
4 Torna alla domanda
Risposta: D. L'asse delle x ha equazione y = 0. Ponendo a sistema le due
equazioni, si ricava l'equazione risolvente il sistema. Sostituendo y = 0
nell'equazione della retta, si ottiene: 2x + 4 = 0 → x = –2.
5 Torna alla domanda
Risposta: A. Determiniamo il coefficiente angolare delle due rette: mr = –
6/(–3) = 2, ms = –1/2. I due coefficienti non sono uguali per cui le due rette
non sono parallele e neppure coincidenti; si scartano le risposte B e C. Il
prodotto dei coefficienti angolari mr · ms = 2 (–1/2) = –1, quindi le due rette
sono perpendicolari: la risposta corretta è A. Due rette perpendicolari,
tuttavia, si incontrano in un punto; risolvendo il sistema formato dalle
equazioni delle due rette si verifica che il punto di intersezione è P(–1/3, –
1/3).
6 Torna alla domanda
Risposta: B. L'asse delle x ha equazione y = 0. Ponendo a sistema le due
equazioni, si ricava l'equazione risolvente il sistema. Sostituendo y = 0,
nell'equazione della retta, si ottiene: 3x + 10 = 0 → x = –10/3. La retta
interseca l'asse x nel punto (–10/3, 0). Esaminando le risposte si possono
scartare a priori le opzioni C, D, E perché l'ordinata di un punto che deve
appartenere all'asse x deve essere uguale a zero. Per determinare se la
risposta corretta è A o B, si può sostituire alla x 10/3 e –10/3. Solo per –
10/3 si ottiene 0 = 0, ossia l'equazione è soddisfatta. Pertanto B è la risposta
esatta.
7 Torna alla domanda
Risposta: B. Le due equazioni rappresentano le equazioni di due rette e
sono verificate contemporaneamente nel loro punto di intersezione.
Ponendo a sistema le due equazioni, si ricava l'equazione risolvente: x + 2x
= 3 → x = 1. L'opzione B è l'unica che ha questo valore per la x. Per
un'ulteriore verifica, sostituendo il valore della x nella prima equazione si
ottiene y = 2.
8 Torna alla domanda
Risposta: D. La retta r riscritta in forma esplicita è: y = (3/4)x + 1/2. La retta
ha intercetta q = 1/2 e coefficiente angolare mr = 3/4. Scartiamo la risposta
A (l'intercetta non è 0); la retta in B ha mB = –3/4 ≠ mr, quindi non è
parallela alla retta data; la retta in C ha mC = 4 che è inverso ma non
opposto alla retta data, quindi le due rette non sono perpendicolari;
l'opzione D risulta corretta perché sostituendo le coordinate del punto
nell'equazione della retta è verificata l'identità (1/2=1/2) a conferma che il
punto appartiene alla retta.
9 Torna alla domanda
Risposta: B. Determiniamo il coefficiente angolare delle due rette: mr = –
1/(1/2) = –2, ms = –16/8 = –2. I due coefficienti sono uguali per cui le due
rette sono parallele. Non sono coincidenti perché hanno il coefficiente –c/b
diverso, infatti per r si ha: –1/(1/2) = –2, mentre per s si ha 9/8.
10 Torna alla domanda
Risposta: D. Ponendo a sistema le due equazioni, si ricava l'equazione
risolvente: 2 = –3x + 2 → x = 0.
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Retta (3): determinazione dell'equazione di una retta: risposte
commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: A. Il coefficiente angolare m di una retta è uguale alla tangente
dell'angolo formato dalla retta e dall'asse delle ascisse. Se la retta forma con
l'asse orizzontale un angolo di 60°: tg60° = √3 → m = √3. La retta ha
equazione: y = √3 x + q. Poiché la retta passa per (0; 3) sostituendo le
coordinate del punto nella sua equazione si trova l'intercetta q: 3 = 0 + q →
q = 3. La retta ha dunque equazione: y = √3 x + 3. Per calcolare il
coefficiente angolare si può anche osservare che il triangolo formato dalla
retta data e dalla parallela all'asse condotta da un generico punto P della
retta stessa, è un triangolo rettangolo, uguale alla metà di un triangolo
equilatero. Il coefficiente angolare è il rapporto fra l'altezza e metà della
base, ossia √3.
2 Torna alla domanda
Risposta: A. Il coefficiente angolare della retta m è uguale alla tangente
dell'angolo formato dalla retta con l'asse orizzontale: tg120° = –√3 → m = –
√3. L'equazione della retta è dunque: y = –√3 x + q. Poiché la retta passa per
(0, –2), sostituendo le coordinate del punto nella sua equazione si trova
l'intercetta q: –2 = q. L'equazione della retta è dunque: y = –√3 x – 2.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. Calcoliamo il coefficiente angolare della retta utilizzando la
formula
Poiché la retta passa per il punto (0, 2), sostituendo le coordinate
nell'equazione y = m0 (x – x0) + y0 si ottiene: y = 2x + 2.
4 Torna alla domanda
Risposta: B. La retta passa per i due punti (0, 0) e (1, –2). Nell'equazione
esplicita della retta y = mx + q, la retta che passa per l'origine ha intercetta q
= 0. Per determinare l'equazione della retta cercata è sufficiente calcolare il
coefficiente angolare:
La retta ha perciò equazione y = –2x → y + 2x = 0. La risposta corretta è B.
5 Torna alla domanda
Risposta: D. Usiamo l'espressione della retta per due punti
Sostituendo le coordinate abbiamo
6 Torna alla domanda
Risposta: D. Per la risoluzione è possibile procedere applicando la formula
della retta passante per due punti. In alternativa possiamo subito scartare
l'opzione C (q ≠ 0, quindi la retta non passa per l'origine), mentre tutte le
altre hanno intercetta nel punto 0. Sostituiamo le coordinate del punto (2, –
4) nelle varie equazioni: se la retta passa per il punto sarà verificata
l'identità: A errata (–4 = –1); B errata (–4 = 1); E errata (–4 = 4). Unica
risposta corretta è la D: sostituendo le coordinate del punto otteniamo infatti
–4 = –4, l'identità è verificata quindi la retta passa per il punto, oltre che per
l'origine.
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Retta (4): fascio proprio e improprio: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: C. Il punto P(0,4) si trova sull'asse y, perciò l'ordinata è uguale al
termine noto q dell'equazione. Poiché q = –5k + 16 si pone –5k + 16 = 4, da
cui si ricava k = 12/5.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. Per determinare l'equazione delle rette del fascio proprio, dato
il centro, si sostituiscono le coordinate nell'equazione y – k = m(x – h) → y
– 4 = m(x + 3) → y = mx + 3m + 4.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. La caratteristica del fascio proprio di rette è quella di avere
tutte un punto in comune. Il punto in comune fra r e s, è il loro punto di
intersezione. Mettendo le equazioni a sistema si ricava l'equazione x – 3 =
2x + 1 → x = –4 e y = –7. Il punto di intersezione, che è anche il centro del
fascio, è C(–4, –7). Indicando con m il coefficiente angolare, l'equazione del
fascio è: –y – 7 = mx + 4m.
4 Torna alla domanda
Risposta: B. Una retta appartenente a un fascio improprio di rette ha in
comune con esso il coefficiente angolare. Scrivendo l'equazione esplicita
del fascio si ottiene: y = –x/k + 2/k. Il coefficiente angolare del fascio di
rette è m = –1/3 quindi la retta risulterà appartenente al fascio se –1/k = –1/3
→k=3
5 Torna alla domanda
Risposta: C. L'equazione della retta data è del tipo x = 7/2, ossia è
l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate. Tutte le rette
parallele all'asse y sono descritte da x = h.
6 Torna alla domanda
Risposta: A. Detto m il coefficiente angolare della retta r, le rette
perpendicolari alla retta r hanno coefficiente angolare m1 = –1/m, pertanto
m1 = 1/4. La retta perpendicolare a r che passa per l'origine ha equazione y
= (1/4)x, retta base del fascio improprio di rette che è descritto
dall'equazione parametrica: y = (1/4)x + k.
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Retta (5): problemi risolubili con le rette: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: D. Rappresentiamo i punti sul piano cartesiano, O(0, 0); A(0, 1) e
B(13, 12).
L'area di un triangolo è dato da S = (b · h)/2. Se consideriamo il triangolo
che ha base OA, l'altezza è la perpendicolare all'asse delle ordinate condotta
da B. La base è uguale a d(O, A) = 1; l'altezza d(B, H) = 13. S = (1 · 13)/2 =
13/2.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. Rappresentiamo i punti sul piano cartesiano.
I punti A e B hanno la stessa
ordinata, perciò possiamo considerare il segmento AB come base del
triangolo. L'altezza si trova tracciando la perpendicolare alla retta per AB
condotta da C. L'area del triangolo ABC: S = (b · h)/2 → S = d(A, B) · d(C,
H)/2 d(A, B) = xB – xA = 7 – 2 = 5; d(C, H) = yH –yC = 5; dunque S = (5 ·
5)/2 = 12,5
3 Torna alla domanda
Risposta: B. La retta passante per i punti A e B ha equazione: y = –2x + 2.
Scartiamo subito le opzioni C ed E poiché i punti (1, 2) e (0, 0) sono i
vertici, con i punti A e B, di un rettangolo. Il punto C non deve appartenere
alle rette perpendicolari a r passanti per A e B, che sono rispettivamente: s:
y = x/2 – 1/2 e t: y = x/2 + 2. Scartiamo l'opzione A poiché il punto (0, –1/2)
appartiene a s e l'opzione D dato che il punto (–4, 0) appartiene a t. L'unico
punto per il quale il triangolo ABC non sia rettangolo è (–1, 0).
4 Torna alla domanda
Risposta: A. Disegniamo il triangolo su un piano cartesiano. La base del
triangolo AC ha lunghezza 12 (differenza tra le ascisse dei punti C e A, in
quanto giacciono entrambi sull'asse orizzontale); l'altezza BH del triangolo
ha lunghezza 5 (differenza tra le ordinate dei punti B e H, proiezione
sull'asse orizzontale del punto B, quindi con coordinate H(2, 0)). L'area del
triangolo sarà dunque: A = (b · h)/2 = (12 · 5)/2 = 60/2 = 30.
5 Torna alla domanda
Risposta: D. La retta x = 2 è una retta verticale parallela all'asse delle
ordinate. Per trovare la distanza del punto dalla retta è necessario conoscere
la sua coordinata x (–4), quindi d = 2 – (–4) = 6.
6
Torna alla domanda
Risposta: A. Osserviamo che r: y = x +3 e s: y = x + 4 sono rette parallele in
quanto hanno lo stesso coefficiente angolare m = 1, sono quindi anche
parallele alla bisettrice del I-III quadrante. Le rette p: y = –x e q: y = 2 – x
sono parallele e p è la bisettrice del II-IV quadrante. Poiché le rette sono a
due a due parallele e sono a due a due perpendicolari, il quadrilatero che
formano è un rettangolo. Per determinare l'area occorrono tre punti che
individuano i due lati AB e AC del rettangolo. I punti di intersezione sono
le soluzioni dei sistemi formati dalle rette p e r → A (–3/2, 3/2), dalle rette
p e s → B (–2, 2) e dalle rette r e q → C (–1/2, 5/2). Applicando la formula
per il calcolo della distanza fra due punti
si ricava
. L'area è
.
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Circonferenza (1): equazione della circonferenza: risposte
commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: E. Se il centro della circonferenza è nell'origine degli assi (0, 0)
l'equazione diventa: x² + y² = r². Una circonferenza con centro in O non
presenta termini di primo grado nella sua equazione. La risposta A è
sbagliata perché il raggio della circonferenza è √3; B è sbagliata perché
l'equazione è la forma canonica della circonferenza, C perché ha centro in
(0, 0) e D perché avendo centro nell'origine e raggio uguale a √3 non può
essere contenuta solo nel primo quadrante.
2
Torna alla domanda
Risposta: C. Utilizzando la formula
sostituendo i corrispondenti valori si ottiene:
,
.
3 Torna alla domanda
Risposta: D. Il termine noto c rappresenta il punto di intersezione della
circonferenza con l'asse delle ordinate. Quindi se il coefficiente c è uguale a
0, il punto ha coordinate (0, 0) e la circonferenza passa per l'origine degli
assi.
4
Torna alla domanda
Risposta: E. I coefficienti a e b determinano le coordinate del centro della
circonferenza. Se uno dei due termini di primo grado è assente, la
circonferenza ha centro su uno dei due assi: se b = 0 il centro è sull'asse x,
se a = 0 il centro è sull'asse y.
5 Torna alla domanda
Risposta: C. L'equazione in forma canonica della circonferenza è x² + y² +
ax + by + c = 0. Per poter rappresentare una circonferenza i termini di
secondo grado devono essere entrambi presenti (scartiamo opzione E) ed
avere coefficienti uguali, scartiamo perciò le opzioni A, B e D in cui a = 1 e
b = –1. L'unica equazione che rappresenta una circonferenza è perciò
l'opzione C.
6 Torna alla domanda
Risposta: B. L'equazione generale di una circonferenza è x² + y² + ax + by +
c = 0. L'opzione A è errata poiché è presente il termine xy; la C è errata
poiché il raggio della circonferenza non può mai essere negativo; la D non è
corretta poiché i termini di secondo grado devono avere coefficiente
positivo. Unica risposta corretta è la B.
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Circonferenza (2): rette e circonferenze: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: C. Per verificare la presenza di intersezioni tra le due curve
occorre mettere a sistema le loro equazioni. Quindi sostituendo y = x
nell'equazione della circonferenza si ottiene: x² + x² = 1, cioè: 2x² = 1, da
cui si ricava:
2 Torna alla domanda
Risposta: E. Le possibili posizioni reciproche tra una retta e una
circonferenza sono tre: a) la retta è esterna alla circonferenza: in questo
caso le due curve non hanno alcun punto in comune; b) la retta è tangente
alla circonferenza: le due curve si intersecano in un unico punto, il punto di
tangenza; c) la retta è secante la circonferenza: le due curve si intersecano
in due punti. Al minimo le due curve non possiedono nessun punto in
comune, al massimo 2; non è possibile che abbiano più di due punti in
comune poiché il sistema formato dall'equazione della circonferenza e
quella della retta è di secondo grado, quindi ammette al più 2 soluzioni.
3 Torna alla domanda
Risposta: C. Risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle due curve
si ottiene y² = 1 → y = ±1. Rette e circonferenza hanno perciò due punti
d'intersezione: (2, 1) e (2, –1).
4 Torna alla domanda
Risposta: D. Dalle equazioni delle due circonferenze si deduce che: C ha
centro nell'origine (non sono presenti termini di primo grado) e ha raggio r
= 3; C’ ha centro in (1, 0) e raggio r = 1. La circonferenza C’ è dunque
contenuta interamente in C, senza alcun punto in comune. Quindi non esiste
alcuna retta tangente comune alle due curve, in quanto una tangente a C non
avrà alcun punto in comune con C’, mentre una tangente a C’ sarà secante
alla circonferenza C.
5 Torna alla domanda
Risposta: B. Per la definizione geometrica di tangente, la retta tangente a
una curva ha in comune con quest'ultima due punti coincidenti, ossia un
unico punto in comune.
6 Torna alla domanda
Risposta: A. Si definisce retta tangente a una curva una retta che ha in
comune con essa un unico punto.
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Parabola (1): equazione della parabola: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: D. L'ascissa del fuoco è x = –b/2a, perciò x = –(–5/2) = 5/2. Solo
la risposta D presenta questo valore come ascissa, per cui F(5/2, 0). È
inutile calcolare il valore della y.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. Il termine noto c rappresenta il punto di intersezione della
parabola con l'asse delle ordinate, quindi se il coefficiente c è uguale a 0, il
punto di intersezione della parabola con l'asse y ha coordinate C (0, 0),
perciò la parabola passa per l'origine degli assi.
3 Torna alla domanda
Risposta: A. L'equazione della direttrice di una parabola ad asse verticale è:
y = (–1 – Δ)/ 4a, con Δ = b² –4 ac. Sostituendo i valori dei parametri si
ricava: Δ = 5² – 4 · 6 = 1. y = (–1 – 1)/4 = –1/2.
4 Torna alla domanda
Risposta: E. Poiché la parabola è il luogo dei punti equidistanti da una retta
detta direttrice e da un punto fisso, il fuoco, nessun punto della parabola
può appartenere alla direttrice o essere coincidente con il fuoco.
5
Torna alla domanda
Risposta: B. Per definizione la parabola è il luogo geometrico dei punti
equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice,
perciò ha soltanto un fuoco.
6 Torna alla domanda
Risposta: A. Nell'equazione generale di una parabola con asse parallelo
all'asse y, il coefficiente del termine quadrato a è il parametro che identifica
la concavità della parabola. Se a < 0, la concavità è rivolta verso il basso.
7 Torna alla domanda
Risposta: D. L'equazione data è quella di una parabola con asse parallelo
all'asse y. L'ascissa del vertice è x = –b/2a. Sostituendo i valori b = –7, a =
1, si ricava x = –7/2. Solo la risposta D presenta 7/2 come ascissa, per cui
non è necessario calcolare l'ordinata.
8 Torna alla domanda
Risposta: E. L'equazione della parabola è del tipo: y = ax² + bx + c, che è di
secondo grado.
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Parabola (2): intersezione con gli assi: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: C. Per trovare i punti di intersezione della parabola con l'asse
delle ascisse si pone y = 0 e si risolve l'equazione associata x² – 2x + 1 = 0,
quadrato del binomio (x – 1)² = 0 → x = +1. L'equazione di secondo grado
ha due soluzioni reali e coincidenti (entrambe = 1). La parabola ha perciò
un solo punto di intersezione con l'asse x (o meglio due punti coincidenti).
2 Torna alla domanda
Risposta: C. Per trovare i punti di intersezione della parabola con l'asse
delle ordinate si pone x = 0 nell'equazione della parabola, da cui y = 0² – 2 ·
0 + 1 → y = +1.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. Per trovare i punti di intersezione della parabola con l'asse
delle ascisse si pone y = 0 e si risolve l'equazione associata: 5x² + 3x + 1 =
0. Si calcola il determinante Δ = 9 – 20 < 0. L'equazione non ammette
soluzioni reali, perciò la parabola non ha punti di intersezione con l'asse
delle ascisse.
4 Torna alla domanda
Risposta: A. Per verificare l'esistenza di intersezioni tra la parabola e l'asse
delle ascisse si pone a sistema l'equazione della parabola e y = 0, ricavando
l'equazione associata: x² – 1 = 0 → x = ± 1. La parabola intercetta quindi
l'asse delle ascisse nei punti (+1, 0) e (–1, 0).
5 Torna alla domanda
Risposta: B. Per verificare l'esistenza di intersezioni tra la parabola e l'asse
delle ascisse si pone a sistema l'equazione della parabola e quella dell'asse x
(y = 0) ottenendo così l'equazione associata: x² + 1 = 0 → x² = –1.
L'equazione risulta impossibile (un termine al quadrato non può mai
assumere valori negativi) quindi la parabola non ha punti di intersezione
con l'asse orizzontale.
6 Torna alla domanda
Risposta: C. La parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle
ordinate interseca quest'ultimo in un unico punto P di coordinate (0, c), cioè
P(0, –9).
7 Torna alla domanda
Risposta: C. Imponendo y = 0 (equazione dell'asse delle ascisse)
nell'equazione della parabola, si ottiene un'equazione con determinante
negativo, quindi la parabola non ha punti di intersezione con l'asse x.
8 Torna alla domanda
Risposta: E. La parabola ha coefficiente b = 0, per cui il suo asse di
simmetria coincide con l'asse delle ordinate.
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Parabola (3): intersezione con una retta: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: D. Per verificare le intersezioni tra le due curve poniamo a
sistema le due equazioni:
da cui si ricava l'equazione associata: x² + 5x + 10 = 0. Il determinante Δ =
25 – 40 < 0. La retta e la parabola non hanno punti di intersezione per cui la
retta è esterna alla parabola.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. Scartiamo le opzioni A e C perché la retta tangente può anche
essere non parallela o non perpendicolare all'asse. Scartiamo l'opzione B
perché direttrice e parabola non hanno punti in comune. Scartiamo l'opzione
E perché il punto di tangenza può non coincidere con il vertice della
parabola.
3 Torna alla domanda
Risposta: A. Per definizione, la retta secante a una curva ha con
quest'ultima due punti distinti in comune.
4 Torna alla domanda
Risposta: D. Per verificare le eventuali intersezioni tra le due curve si
pongono a sistema le due equazioni:
L'equazione di secondo grado associata è y² + 5y + 10 = 0. Calcoliamo il
determinante: Δ = 25 – 40 < 0. L'equazione di secondo grado ha
determinante negativo, quindi non ammette soluzioni reali. Le due curve
per questo motivo non hanno alcun punto di intersezione: la retta sarà
dunque esterna alla parabola.
5 Torna alla domanda
Risposta: B. Escludiamo subito la risposta D. L'asse di simmetria della
parabola è una retta parallela all'asse x, che quindi ha equazione y = k. Il
sistema risolvente è:
Da cui si ricava l'equazione associata: –(1/2)y² + 1 = –2y + 3 → (1/2)y² – 2y
+ 2 = 0. Δ = 4 – 4 = 0, quindi la retta è tangente.
6 Torna alla domanda
Risposta: C. La retta x = 2 è parallela all'asse di simmetria, per cui interseca
la parabola in un solo punto P. Sostituendo nell'equazione della parabola il
valore di x si trova l'ordinata di P. y = 4 + 8 – 5 = 7.
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Ellisse: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: B. Per definizione l'eccentricità dell'ellisse è uguale al rapporto
fra la semidistanza focale e il semiasse maggiore, che equivale al rapporto
fra la distanza e l'asse maggiore.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. In geometria si definisce ellisse il luogo dei punti per i quali è
costante la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi.
3 Torna alla domanda
Risposta: C. L'equazione canonica dell'ellisse è: (x2/a2) + (y2 / b2) = 1; per
trasformare l'equazione data nella forma canonica si dividono tutti i termini
per 4. Si ottiene: (x2 / 2) + (y2 / 4) = 1. Dall'equazione si deduce che a < b,
per cui l'ellisse ha i fuochi sull'asse delle y.
4 Torna alla domanda
Risposta: B. Il quesito riporta esattamente la definizione di ellisse, di
conseguenza la risposta corretta è l'opzione B.
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Iperbole: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: C. L'equazione data è l'equazione di un'iperbole equilatera, xy =
2, che ha per asintoti gli assi cartesiani, perciò non può avere punti di
intersezione con l'asse x.
2 Torna alla domanda
Risposta: A. Riscrivendo l'equazione nella forma xy = k, si verifica subito
che è l'equazione di un'iperbole equilatera che ha per asintoti gli assi
cartesiani.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. L'equazione generale di un'iperbole (con i fuochi sull'asse x) è:
(x²/a²) – (y²/b²) = 1. L'equazione dell'iperbole è quindi di secondo grado.
4 Torna alla domanda
Risposta: C. In geometria si definisce iperbole il luogo dei punti del piano
per cui è costante la differenza, in valore assoluto, delle distanze da due
punti fissi, detti fuochi.
5 Torna alla domanda
Risposta: A. In geometria si definisce asintoto una retta alla quale si
avvicina indefinitamente una curva rappresentata dalla funzione data.
6 Torna alla domanda
Risposta: A. Per verificare se hanno punti in comune, si pongono a sistema
le due equazioni:
Per risolvere la seconda equazione poniamo y² = t, si ottiene: t² – t + 4 = 0.
L'equazione è impossibile poiché il suo determinante è negativo. Essendo
impossibile l'equazione in t, lo è anche l'equazione di partenza in y. Il
sistema non ammette dunque nessuna soluzione reale: le due curve non
hanno alcun punto d'intersezione. Si può anche osservare che l'equazione x²
+ y² – 1 = 0 è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a 1,
perciò –1 ≤ x ≤ 1; –1 ≤ y ≤ 1. L'equazione xy = 2 è l'equazione di
un'iperbole equilatera che ha come asintoti gli assi cartesiani, è perciò
compresa nel I e nel III quadrante. Per x = 1, y = 2, e per y = 1, x = 2,
l'iperbole perciò è sempre esterna alla circonferenza.
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Problemi relativi alle curve: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: C. Nell'equazione è presente solo un termine di secondo grado, y².
Riscriviamo l'equazione esplicitando la x: x = (4/5)y² – 2/5. Questa è
l'equazione di una parabola con asse orizzontale che ha il vertice sull'asse y.
2 Torna alla domanda
Risposta: C. L'equazione presenta due termini di secondo grado con
coefficienti uguali, quindi è una circonferenza. Poiché manca il termine
noto (c = 0), l'equazione rappresenta una circonferenza con centro
nell'origine.
3 Torna alla domanda
Risposta: D. L'equazione è di primo grado, per cui è una retta, e poiché il
termine noto è diverso da zero (4 ≠ 0), la retta interseca l'asse delle ordinate
nel punto (0, 4), quindi non passa dall'origine.
4 Torna alla domanda
Risposta: B. Nell'equazione è presente la somma di due quadrati con
coefficienti uguali. Perciò dividendo primo e secondo membro per 4
otteniamo l'equazione di una circonferenza. L'equazione è riferita alle
coordinate del centro della circonferenza. k rappresenta il raggio, e non può
assumere valori negativi nell'equazione in quanto è elevato al quadrato.
Quindi l'equazione rappresenta una circonferenza per ogni valore di k.
5 Torna alla domanda
Risposta: B. Scartiamo subito l'opzione C perché nell'equazione della
parabola è presente un solo termine di secondo grado; è da scartare anche
l'opzione D in quanto l'equazione della retta prevede solo termini di primo
grado. Si scartano A ed E perché ellisse e circonferenza presentano la
somma dei termini al quadrato. L'equazione nel quesito corrisponde quindi
all'equazione di un'iperbole. Il valore di d deve essere considerato in valore
assoluto.
6 Torna alla domanda
Risposta: D. L'equazione x(2x + y – 1) = 0 è scomponibile in: x = 0 e 2x + y
– 1 = 0. x = 0 rappresenta l'equazione dell'asse delle ordinate ed è quindi
una retta; 2x + y – 1 = 0 può essere riscritta come y = –2x + 1, che
rappresenta l'equazione di una retta con intercetta pari a +1 e coefficiente
angolare pari a –2. Il luogo dei punti che soddisfano la relazione è quindi
determinato da una coppia di rette.
7 Torna alla domanda
Risposta: D. L'equazione nel quesito può essere riscritta in forma esplicita
come: y = –ax²/c – bx/c – d/c. Rappresenta quindi una parabola con asse di
simmetria parallelo all'asse y, concavità rivolta verso il basso (a < 0),
intersezione con l'asse y nel punto (0, –d/c).
8 Torna alla domanda
Risposta: A. La differenza dei quadrati diventa: (y + x – 1)(y – x + 1) = 0. È
il prodotto di due equazioni di primo grado che rappresentano due rette: y =
–x +1 e y = x –1. L'equazione individua dunque una coppia di rette
perpendicolari, che si intersecano nel punto (1, 0).
9
Torna alla domanda
Risposta: E. L'equazione presenta il termine y³ di terzo grado, per cui non
può rappresentare una conica.
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Funzioni (1): dominio: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: E. f(x+1) = f(x) + 1 = 1 → f(2) = f(1) + 2 = 3 → f(3) = f(2) + 2 =
5.
2 Torna alla domanda
Risposta: E. La funzione f(2x) si ottiene sostituendo alla x semplicemente
2x, tenendo conto del valore assoluto.
3 Torna alla domanda
Risposta: C. Sostituendo x = –2 si ha y = 3 mentre sostituendo x = 3 si ha y
= –2.
4 Torna alla domanda
Risposta: B. f(2) = f(1) + 4 = 6 f(3) = f(2) + 4 = 6 + 4 = 10 f(4) = f(3) + 4 =
10 + 4 = 14
5 Torna alla domanda
Risposta: D. La base è maggiore di uno, quindi per x < 0 assume valori
compresi tra 0 e 1.
6
Torna alla domanda
Risposta: E. (2/3)–x = (3/2)x; la base è maggiore di 1, quindi per x < 0
assume valori < 1.
7 Torna alla domanda
Risposta: B. Unica condizione di esistenza da porre alla funzione è che il
denominatore sia ≠ 0. Quindi: x – 4 ≠ 0 → x ≠ 4. Il campo di esistenza della
funzione sarà: ∀ x ∈ ℝ, x ≠ 4.
8 Torna alla domanda
Risposta: A. Poiché è una funzione razionale fratta si deve porre il
denominatore diverso da 0: (x² – 1) ≠ 0 → x ≠ ±1.
9 Torna alla domanda
Risposta: B. Poiché è una funzione razionale fratta si deve porre il
denominatore ≠ 0: x² – 2x + 1 ≠ 0 → x ≠ +1.
10 Torna alla domanda
Risposta: D. La funzione è razionale fratta e ha al denominatore una
funzione esponenziale. Per determinare il dominio dobbiamo porre il
denominatore ≠ 0.
per qualsiasi valore di x. Bisogna anche
verificare il dominio della funzione a esponente: x2 – 1 è una funzione
polinomiale che ha dominio uguale a ℝ. La funzione è perciò definita in ℝ,
ossia è sempre definita.
11 Torna alla domanda
Risposta: B. L'argomento del logaritmo deve essere sempre > 0, per cui x –
8 > 0 → x > 8.
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Funzioni (2): proprietà: risposte commentate
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1
Torna alla domanda
Risposta: B. Scrivendo la funzione nella forma
invertendo x con y e risolvendo si ottiene:
2
,
Torna alla domanda
Risposta: C. Scrivendo la funzione nella forma
invertendo la x con la y e risolvendo si ottiene
Pertanto
,
.
3 Torna alla domanda
Risposta: D. Esaminiamo le singole risposte. A: la funzione non è pari,
poiché f(x) ≠ f(–x). B: la funzione non passa per l'origine degli assi,
sostituendo le coordinate (0; 0) nell'equazione si ottiene: 0 = 6,
l'uguaglianza non è verificata, quindi il punto non appartiene al grafico. C:
per x = 1 → y = 2 la funzione è dunque definita in quel punto, si può
osservare che la funzione è polinomiale per cui è definita in ℝ. D: la
funzione è suriettiva in quanto ogni elemento y del codominio corrisponde a
un elemento x del dominio.
4 Torna alla domanda
Risposta: D. La funzione non è pari (poiché f(x) ≠ f(–x), né dispari (poiché
f(–x) ≠ –f(–x)). La funzione non passa per l'origine degli assi (sostituendo le
coordinate (0, 0) nell'equazione si ottiene: 0 = 6, l'uguaglianza non è
verificata, quindi il punto non appartiene alla curva); inoltre nel punto x = 1
la funzione è y = 29 ed è dunque definita in quel punto. La funzione non è
iniettiva ma è suriettiva, in quanto l'immagine della funzione coincide con il
codominio, ovvero ogni elemento y del codominio è immagine di almeno
un punto del dominio.
5 Torna alla domanda
Risposta: B. Infatti sostituendo a x (–x) si ottiene:
Esaminiamo le altre risposte. A: il numeratore è sempre positivo, ma il
denominatore può assumere valori > 0 e < 0, perciò la funzione può essere
positiva o negativa. C: la funzione è definita per i valori del denominatore
diversi da 0, ossia 5x ≠ 0 → x ≠ 0. D: poiché x = 0 è un valore escluso dal
dominio, la funzione non può passare per l'origine degli assi e non può
passare per il punto (0, 1/5).
6 Torna alla domanda
Risposta: D. Infatti calcolando la funzione per x = 0 si ha y = 5/(–9). La
funzione interseca l'asse y nel punto (0, –5/9). A: la funzione non è pari
poiché f(x) ≠ f(–x). La B non passa per l'origine degli assi perché il
numeratore non si annulla mai. C: la funzione è definita per: x² – 9 ≠ 0, da
cui si ricava x ≠ +3 e x ≠ –3. E: il numeratore è sempre > 0, ma il
denominatore è negativo per –3 < x < 3.
7 Torna alla domanda
Risposta: C. La funzione è una radice quadrata, che è sempre positiva nel
suo dominio. Il dominio della funzione si determina ponendo (9 – x²)/(x² –
2x) > 0, che è la condizione di esistenza del radicale, e x² – 2x ≠ 0, che è la
condizione di esistenza del denominatore. Da cui si ricava che x ≤ –3, 0 < x
< 2, x ≥ 3. Dopo aver definito il dominio, possiamo scartare l'opzione A
poiché x = 0 non appartiene al dominio, e l'opzione B. C La funzione non è
dispari poiché f(–x) ≠ –f(x). E è sbagliata, perché la funzione interseca l'asse
x (y = 0) nei punti (–3, 0) e (3, 0).
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Limiti e derivate: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: D. y = log f(x) è una funzione composta. Applicando le regole di
derivazione si ha: f’(x) = 9 x², quindi y’ = 9x²/(3x³ + 1).
2 Torna alla domanda
Risposta: A. y = senf(x) → y’ = f’(x) · cos(f(x)) y = 4 sen(5/2 · x), f’(x) =
5/2, quindi y’ = 5/2 · 4 · cos(5/2 · x).
3 Torna alla domanda
Risposta: A. y = f(x)m → y’= m · f(x)m–1 y = x²/2 + 4x, quindi y’= 2 · x/2 + 4.
4 Torna alla domanda
Risposta: D. y = ef(x) → y’ = f’(x) · ef(x); f’(x) = 2, quindi y’ = 2 · 1/2 · e2x =
e2x
5 Torna alla domanda
Risposta: E. La derivata di una costante è sempre 0.
6
Torna alla domanda
Risposta: C. Utilizzando le derivate notevoli si ricava y = log10x → y’ =
1/(x · loge10).
7 Torna alla domanda
Risposta: D. y = ef(x) → y’ = f’(x) · ef(x) · lne = f’(x) · ef(x). y = esenx, f’(x) =
cosx, quindi y’ = cosx · esenx
8 Torna alla domanda
Risposta: D. y = ef(x) → y’ = f’(x) · ef(x) · lne = f’(x) · ef(x). y = ex, quindi y’ =
ex.
9 Torna alla domanda
Risposta: A. y = senf(x) → y’= f’(x) cosf(x) y = sen4x, f’(x) = 4, y’= 4cos4x.
10 Torna alla domanda
Risposta: D. y = cos(f(x)) → y’ = –sen(f(x)) · f’(x) y = 4 cos(3x/2), quindi y’
= –4sen(3x/2) · 3/2 = –6sen(3x/2).
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Angoli e funzioni circolari: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: B. Il coseno è una funzione pari: cosx = cos(–x) = cosy.
2 Torna alla domanda
Risposta: C. senx è una funzione trigonometrica con periodo 2kπ. La
funzione sen(x/2) è periodica di periodo 4kπ.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. Dalle formule goniometriche di duplicazione si ricava che
sen2α = 2senα cosα. Quindi senx cosx = (1/2)sen2x. senx è periodica di
periodo 2π. Il periodo di sen2x si determina calcolando 2π/k = 2π/2 = π.
4 Torna alla domanda
Risposta: C. In matematica è detta identità un'uguaglianza tra due
espressioni nelle quali intervengono una o più variabili, che risulta vera per
tutti i valori che si possono attribuire alle variabili. Dall'equazione
fondamentale della trigonometria: sen2α + cos2 α = 1 → sen2α = 1 – cos2α.
5 Torna alla domanda
Risposta: C. La relazione fondamentale della trigonometria è: cos²x + sen²x
= 1; sostituendo il valore di cosx = 0,6 otteniamo
.
6 Torna alla domanda
Risposta: C. Procedendo nella risoluzione scartiamo le opzioni: A (sen45°
+ cos45° = √2), B (sen90° + cos90° = 1), D (sen180° + cos180° = – 1), E
(sen360° + cos360° = 1). Analizziamo ora l'opzione C: l'angolo di 135° può
essere visto come la somma di due angoli di 90° e 45°. Utilizzando le
formule degli angoli associati (in particolare per gli angoli che differiscono
di π/2) possiamo scrivere: cos(90° + 45°) = – sen45°; sen(90° + 45°) =
cos45°. Quindi si ottiene: cos45° – sen45° = √2/2 – √2/2 = 0.
7 Torna alla domanda
Risposta: B. Per le formule degli angoli associati, relativi al quarto
quadrante: tan (2π – α) = –tan (α). Quindi tan(315°) = tan(360° – 45°) = –
tan45° = –1.
8 Torna alla domanda
Risposta: C. sen30° = 1/2; cos45° = √2/2. Quindi sen30° < cos45° →
sen30° – cos45° < 0.
9 Torna alla domanda
Risposta: A. La relazione fondamentale della trigonometria è: sen²a + cos²a
= 1. Quindi:
10 Torna alla domanda
Risposta: C. La relazione fondamentale della trigonometria è: sen²α + cos²α
= 1. Quindi:
Dunque cosα = ± 2 · √2 / 3.
11 Torna alla domanda
Risposta: B. Per le formule di duplicazione: sen2x = 2senx cosx. Quindi
l'espressione diventa: (2senx cosx)/2 = senx cosx.
12 Torna alla domanda
Risposta: A. Dalle formule degli angoli associati relative agli angoli del
terzo quadrante: sen(π + α) = –senα. È possibile giungere alla medesima
conclusione mediante le formule di addizione:
sen(α + β) = senα cosβ +
cosα senβ → → sen(α + π) = senα cosπ + cosα senπ = senα · (–1) + cosα
· 0 = –senα.
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Equazioni trigonometriche: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: B. Dividendo entrambi i membri per cosx si ottiene: senx + cosx
= 0 → tgx + 1 → tgx = –1 → x = 3π/4 + kπ (la tangente è una funzione
periodica di periodo π). Poiché l'intervallo di variazione è compreso tra 0 e
2π, le soluzioni sono x = 3π/4 e x = 3π/4 + π = 7π/4. L'equazione ha quindi
due soluzioni.
2 Torna alla domanda
Risposta: B. Isolando senx si ottiene senx = 2. Il seno di un angolo è sempre
compreso tra –1 e 1 per cui non può mai essere uguale a 2; l'equazione
quindi non ha soluzioni reali.
3 Torna alla domanda
Risposta: D. cosx = 1/2 → x = 60°.
4 Torna alla domanda
Risposta: D. Il coseno ha valori compresi tra –1 e 1; quindi non esiste alcun
x tale che cosx = 2.
5 Torna alla domanda
Risposta: E. Confrontiamo la funzione |senx| (che è la funzione seno con le
parti negative ribaltate specularmente al di sopra dell'asse x) e la funzione –
logx (che è la funzione speculare di logx). Dato che –logx è una curva a
sviluppo verticale passante per (1, 0), mentre |senx| si sviluppa
orizzontalmente tra i valori 0 e 1 delle ordinate, le due curve hanno un solo
punto di intersezione, con ascissa e ordinata < 1.
6 Torna alla domanda
Risposta: B. Per comodità di calcolo operiamo la sostituzione senx = t. La
disequazione si riscrive come 2t² – t – 1 ≥ 0. L'equazione associata ha
soluzioni t1 = –1/2 e t2 = 1. La disequazione perciò ammette soluzioni per t
≤ –1/2 o t ≥ 1, ovvero per senx ≤ –1/2 o senx ≥ 1. La funzione senx è < 0 per
x compreso nell'intervallo (π, 2π), che è esterno all'intervallo considerato.
Poiché la funzione senx può assumere valori compresi nell'intervallo [–1,
1], senx ≥ 1 è verificato solo per senx = 1. La disequazione ha quindi come
unica soluzione senx = 1 → x = π/2, che corrisponde alla risposta B. Si può
anche osservare che nell'intervallo 0 ≤ x ≤ π si ha 0 ≤ 2senx ≤ 2 → 0 ≤ senx
≤ 1. Sostituendo nella disequazione i valori massimi, che si hanno per x =
π/2, otteniamo: 2 – 1 – 1 ≥ 0, che è vera solo per x = π/2; sostituendo i
valori minimi per x = 0 si ha: 0 – 0 – 1, che è < 0. La disequazione è
quindi soddisfatta solo per x = π/2.
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Triangoli e funzioni circolari: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: D. La risposta si ricava dalle relazioni fra angoli e lati del
triangolo rettangolo.
2 Torna alla domanda
Risposta: B. I dati permettono di applicare la formula relativa all'area di un
triangolo qualsiasi riferita a due lati e l'angolo compreso: A = 1/2 a · b senβ.
Il seno dell'angolo di 60° è sen60° = √3/2, dunque A = 1/2 · 2 · 2√2 · √3/2 =
√6 cm².
3 Torna alla domanda
Risposta: D. La tangente di un angolo è tanα = senα/cosα. Dalle relazioni
relative ai triangoli rettangoli, possiamo esprimere senα e cosα in funzione
dei cateti e dell'ipotenusa. senα = a/c; cosα = b/c → tanα = a/b → tanα =
√(15)/√5 = √3. La tangente di un angolo è un numero privo di unità di
misura, per questo l'opzione A è errata.
4 Torna alla domanda
Risposta: C. Per il teorema dei seni, il rapporto tra la misura di un lato e il
seno dell'angolo opposto è costante. Se a = 1/2 e α = π/6, senα = 1/2 e
quindi a/senα = 1. Affinché sia b/senβ = 1, è necessario che b sia pari
all'inverso di senβ. Poiché β = (3/4)π, senβ = √2/2 e dunque b = 2/√2.
Risposte commentate
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Triangoli (1): risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: A. Applicando il teorema di Pitagora e svolgendo i calcoli si
ricava:
uguale a
. L'ipotenusa è
.
2 Torna alla domanda
Risposta: A. Disegniamo un triangolo seguendo le indicazioni date nel
testo. Sappiamo che: AC = 3 cm, AH = 1 cm. Possiamo esprimere
l'ipotenusa CB in funzione di BH e CH: CB = CH + HB.
Determiniamo CH applicando il teorema di Pitagora al triangolo AHC,
rettangolo in H:
Per determinare BH applichiamo il secondo teorema di Euclide al triangolo
rettangolo ABC:
CH : AH = AH : HB
3 Torna alla domanda
Risposta: A. Per determinare l'ipotenusa si applica il teorema di Pitagora.
Per effettuare i calcoli si possono scomporre i due numeri dati in 303 = (300
+ 3) e 404 = (400 + 4). (300 + 3)² + (400 + 4)² = 90000 + 9 + 1800 +
160000 + 16 + 3200 = = 250000 + 25 + 5000 = (500 + 5)² L'ipotenusa è
quindi uguale a 505.
4 Torna alla domanda
Risposta: E. L'area di un triangolo è uguale a base per altezza diviso 2: A =
(b· h)/2. Poiché abbiamo la misura dell'area, possiamo considerare come
base un lato del triangolo: 2 = (2 · h)/2, da cui si ricava che h = 2, ossia è
uguale al lato. L'unico triangolo per cui l'area è uguale al semiprodotto di
due lati è il triangolo rettangolo, in cui i lati sono i cateti.
5 Torna alla domanda
Risposta: B. Disegniamo la figura. La retta forma con il segmento un
angolo di 45°. La perpendicolare condotta alla retta forma con il segmento e
la sua proiezione sulla retta un triangolo rettangolo, con i due angoli acuti
uguali a 45°. ABH è perciò un triangolo rettangolo isoscele. Chiamando x
uno dei due cateti uguali, abbiamo AB² = AH² + HB² → 4 = 2x². x = 2/√2
= √2.
6 Torna alla domanda
Risposta: A. Dato che il triangolo è rettangolo isoscele, detto l uno dei due
cateti, per il teorema di Pitagora si ha 2l2 = h2, ma poiché S = l2/2,
sostituendo abbiamo h2 = 4S, dunque h = 2√S
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Triangoli (2): relazioni tra angoli: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: D. 7x = 180°, quindi 4x = 102,86°
2 Torna alla domanda
Risposta: E. x = 180° – 50° – 90° = 40°, quindi y = 140° e y – x = 100°.
3 Torna alla domanda
Risposta: A. (a + b) e (c + d) sono supplementari ad angoli alterni interni
ovvero uguali.
4 Torna alla domanda
Risposta: B. Il triangolo in alto è equilatero (ha quindi tre angoli di 60°). I
sei angoli intorno al punto centrale sono (partendo dal triangolo equilatero e
in senso orario) di 60°, 50°, 70°, 60°, 50°, 70°. Il triangolo a destra ha due
angoli da 70° e 100° e quindi il terzo vale 10°.
5 Torna alla domanda
Risposta: E. Se due rette si intersecano, gli angoli opposti sono uguali e la
somma degli angoli sullo stesso lato di una retta è 180°:
Dato che 50 + 70 = 120, l'angolo
m nel disegno sottostante è 180° – 120° = 60°, e così l'angolo n, che deve
essere uguale a m. Quindi x = 180° – 60° – 40° = 80°.
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Triangoli (3): terne di numeri: risposte commentate
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Caso a.
1 Torna alla domanda
Risposta: D. In ogni triangolo, ogni lato è maggiore della differenza degli
altri due e minore della loro somma.
2 Torna alla domanda
Risposta: E. In un triangolo la somma di due lati deve essere sempre minore
del terzo lato: 11 + 6 > 16, 11 + 16 > 6, 16 + 6 > 11
3 Torna alla domanda
Risposta: A. La lunghezza di un lato deve essere sempre minore della
somma degli altri due: 5 < 6 + 7, 6 < 5 + 7 , 7 < 5 + 6
4 Torna alla domanda
Risposta: E. La somma di due lati deve sempre essere maggiore del terzo.
Caso b.
1 Torna alla domanda
Risposta: D. 3² + 6² ≠ 9²; il teorema di Pitagora non è soddisfatto.
2 Torna alla domanda
Risposta: C. Per generare un triangolo rettangolo è necessario che i lati di
questo rispettino il teorema di Pitagora, cioè che la somma dei quadrati
generati sui lati dei cateti sia uguale al quadrato generato sull'ipotenusa,
infatti 3² + 4² = 5².
3 Torna alla domanda
Risposta: A. Si può applicare il teorema di Pitagora con questi valori.
4 Torna alla domanda
Risposta: A. I 3 lati devono soddisfare l'uguaglianza a² = b² + c², dove a è la
lunghezza dell'ipotenusa; l'unica terna che soddisfa questa relazione è: 5² =
3² + 4².
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Aree di figure piane: risposte commentate
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1
Torna alla domanda
Risposta: B.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. Si traccia un diagramma con gli spostamenti dell'auto, nel
quale è stata disegnata una linea obliqua tratteggiata che rappresenta lo
spostamento in linea d'aria tra il punto di partenza e il punto d'arrivo. I
cateti del triangolo rettangolo sono 9 km e 12 km, dunque per il teorema di
Pitagora l'ipotenusa vale:
Dunque la distanza percorsa in linea d'aria è 15 km.
3 Torna alla domanda
Risposta: C. L'altezza è 8 – 3 = 5 e conseguentemente la base vale 7.
Quindi a = 2, b = 9, c = 8, d = 9, e = 3.
4 Torna alla domanda
Risposta: C. La somma dei perimetri dei quadrati è: 12x + 16x + 20x = 192,
da cui si ricava x = 4. I tre lati sono rispettivamente uguali: 12, 16 e 20. La
somma delle aree è: 144 + 256 + 400 = 800.
5 Torna alla domanda
Risposta: D. L'area del quadrato è 6 · 6 = 36 cm². Se anche il rettangolo ha
quest'area e la sua larghezza è 3 cm, allora la sua altezza è 36/3 = 12 cm. Si
può dunque calcolare il perimetro: 2p = 3 + 3 + 12 + 12 = 30 cm.
6 Torna alla domanda
Risposta: A. A = 50 – 32/2 – 4/2 – 12/2 – 6/2 = 23.
7 Torna alla domanda
Risposta: D. 10–2 cm · 10–4 m = 10–2 cm · 10–2 cm = 10–4 cm²
8 Torna alla domanda
Risposta: D. L'area della corona circolare è π(r2² – r1²) = π(9 – 4) = 5π.
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Volumi di solidi: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: B. Dapprima calcoliamo la superficie della base: SBASE = πr² =
π5² = 25π cm² procediamo calcolando anche il perimetro di base: 2p = 2πr
= 2π · 5 = 10π cm Detta h l'altezza incognita, dobbiamo calcolare la
superficie laterale per risalire ad h: SLAT = S – SBASE = 90π – 25π = 65π Per
arrivare all'altezza dobbiamo però calcolare prima l'apotema:
Dall'apotema, attraverso il teorema di Pitagora, risaliamo finalmente
all'altezza:
2 Torna alla domanda
Risposta: B. Il cubo iniziale, totalmente dipinto di verde all'esterno, viene
diviso in 64 cubetti di lato 15 cm, infatti 60/15 = 4 e 4 · 4 · 4 = 64. Di questi
solo i quattro più interni di ognuna delle sei facce sono verniciati solo su un
lato, per un totale di 4 · 6 = 24.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. S = 2(40² · π) + 40π · 30 = 2000π cm²
4
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Risposta: C. 4320 casse occupano 200 m³, i quali divisi per 50 m² di base ci
danno l'altezza di 4 m.
5 Torna alla domanda
Risposta: B. Calcoliamo dapprima il volume del parallelepipedo (non
considerando la cavità conica): V = l · l · h = 30 · 30 · 40 = 36 000 cm³
Il volume del cono lo calcoliamo per differenza: VCONO = VTOT – V =
36 000 – 30 000 = 6 000 cm³
Mentre la sua base la calcoliamo sapendo che il suo diametro è l (essendo
inscritta nella base del parallelepipedo) e quindi il suo raggio è l/2 = 15 cm:
SBASE-CONO = πr² = π · 15² = 225π cm²
Dal volume del cono si risale alla sua altezza:
6 Torna alla domanda
Risposta: D. La vasca possiede una capacità di 125 cm³, questi però sono
già occupati in parte, dalla sfera di 25 cm³. Quindi il mercurio necessario a
sommergere la sfera sarà 125 cm³ – 25 cm³ = 100 cm³.
7 Torna alla domanda
Risposta: C. Il volume della sfera si calcola come Vsfera = 4/3 · π · K³,
mentre il volume di un cilindro avente le misure espresse nel problema è
pari a:
Se calcoliamo il rapporto tra le due grandezze vediamo che Vsfera/Vcil =
5,33333, il che indica che per svuotare completamente il contenuto della
sfera sono necessari 6 cilindri.
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Media: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: C. Sommando tutti i numeri e dividendo per il numero di elementi
(in questo caso 8), abbiamo 63.
2 Torna alla domanda
Risposta: B. Sommando tutti i numeri e dividendo per il numero di
elementi, in questo caso 8, otteniamo 49,5.
3 Torna alla domanda
Risposta: C. Infatti (–4 + 3)/2 = –0,5.
4 Torna alla domanda
Risposta: B. Infatti la loro somma è nulla e quindi anche la loro media
(definita come la loro semisomma).
5 Torna alla domanda
Risposta: B. Si procede così: 56 · 2 = 112 (somma dei due termini da
mediare) e 112 – 56 = 88.
6 Torna alla domanda
Risposta: C. La nuova media è [(24 · 2) + 21]/3 = 23.
7 Torna alla domanda
Risposta: A. La media del 6 in tre compiti equivale a un voto totale di 18;
avendo ottenuto complessivamente 11 ai primi due compiti, lo studente
dovrà ottenere 7 al terzo.
8 Torna alla domanda
Risposta: D. La media geometrica di due numeri è uguale alla radice del
loro prodotto (2 · 3)1/2 = 61/2.
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Moda e mediana: risposte commentate
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Moda
1 Torna alla domanda
Risposta: E. L'elemento che compare più frequentemente è il 23 (tre volte).
2 Torna alla domanda
Risposta: A. Il numero 2 compare ben otto volte, mentre il numero 1 sette
volte e il 3 compare sei volte, pertanto la moda è il 2.
3 Torna alla domanda
Risposta: D. L'elemento che compare più volte è il 34.
Mediana
1 Torna alla domanda
Risposta: C. L'elemento che occupa la posizione centrale dopo aver
ordinato i numeri in ordine crescente è il 60.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. L'elemento che occupa la posizione centrale, dopo aver
ordinato i numeri in ordine crescente, è il 52.
3 Torna alla domanda
Risposta: D. Dopo aver ordinato i numeri in ordine crescente, la mediana è
la media dei due valori mediani ovvero (5 + 6)/2 = 5,5.
4 Torna alla domanda
Risposta: E. Dopo aver ordinato i numeri in ordine crescente, la mediana è
la media dei due valori mediani ovvero (44 + 44)/2 = 44.
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Percentuale: risposte commentate
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Caso a.
1 Torna alla domanda
Risposta: B. Facciamo la proporzione: 30 : 100 = 9 : X da cui segue che la
percentuale aggiunta è X = (100 · 9)/30 = 30%.
2 Torna alla domanda
Risposta: A. Facciamo la proporzione: 70 uova : 100 = 14 uova : X da cui
segue che la percentuale venduta X = 100 · 14/70 ovvero 20%. La
percentuale invenduta è quindi data dalla differenza 100 – 20 ovvero la
soluzione A.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. Facendo la proporzione, la percentuale di quelle vendute è
81/450 · 100 = 18%.
4 Torna alla domanda
Risposta: E. Facciamo la proporzione: 30 : 100 = 15 : X da cui segue che
X = 100 · 15/30 ovvero la soluzione E.
Caso b.
1 Torna alla domanda
Risposta: B. Utilizziamo una proporzione per ottenere il risultato. Quindi il
100% è dato da 36, mentre l'incognita X è il 50%. Quindi 36: 100 = X: 50,
cioè X = (36 · 50)/100 e il suo risultato sarà 18.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. Prima bisogna trovare il reddito lordo: 42 000 · 100/70 =
60 000, poi il 30% del risultato, cioè 18 000 euro.
Caso c.
1 Torna alla domanda
Risposta: C. Se gli esperti sono il 40%, il restante 60% sarà composto da
principianti che sappiamo essere in numero di 45; quindi se impostiamo la
proporzione 45/60 = x/40, troviamo il numero degli esperti che è 30. Da
qui, per trovare il totale degli iscritti, è sufficiente farne la somma.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. L'ampliamento del garage ospita 8 + 8 = 16 camion, pari al
50% di quelli che prima entravano nel vecchio garage, ovvero 16 · 2 = 32.
Dunque vi erano 32 camion dentro e 8 fuori, per un totale di 40.
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Calcolo combinatorio: risposte commentate
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1. Combinazioni
1 Torna alla domanda
Risposta: D. Cn,k = n!/[k! · (n–k)!]; C6,2 = 6!/(2! · 4!) = 15.
2 Torna alla domanda
Risposta: C. Se n è il numero di amici, il numero di brindisi è dato dalla
formula n(n – 1)/2, ovvero 15 se n = 6.
3 Torna alla domanda
Risposta: E. Ognuno dei 15 manager stringe la mano agli altri 14; quindi
avremo 15 · 14 = 210 strette di mano, se non fosse che così le contiamo due
volte (se A stringe la mano a B e B la stringe ad A, la stretta di mano è in
effetti una sola). Quindi 210/2 = 105 strette di mano.
2. Permutazioni
1 Torna alla domanda
Risposta: D. Le combinazioni possibili sono 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
2
Torna alla domanda
Risposta: E. I percorsi possibili sono 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040.
3 Torna alla domanda
Risposta: B. Accantoniamo inizialmente i 2 posti vicino al finestrino e
consideriamo gli altri. Questi possono essere occupati in 4 · 3 · 2 · 1 = 24
modi (lo si può dedurre con un semplice calcolo combinatorio). I restanti
posti possono essere occupati in 2 modi che moltiplicati per i 24 iniziali
danno 48.
3. Disposizioni
1 Torna alla domanda
Risposta: C. Le disposizioni di 5 cifre a gruppi di 3 sono 5!/(5 – 3)! = 120/2
= 60.
2 Torna alla domanda
Risposta: B. Le disposizioni di 7 persone su 5 sedie sono 7!/(7 – 5)! =
5040/2 = 2520.
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Probabilità (1): risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: C. La probabilità totale è 6/52 = 3/26.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. Le vocali sono 5 pertanto la probabilità sarà di 5/21.
3 Torna alla domanda
Risposta: D. Le carte che non siano un numero, ovvero le figure, sono 3 per
seme, moltiplicate per i 4 semi sono in totale 12. Quindi 12/40 = 3/10.
4 Torna alla domanda
Risposta: B. Le figure sono 3 per ogni seme, quindi 3 ogni 13 carte del
mazzo.
5 Torna alla domanda
Risposta: A. Vi sono 4 assi nel mazzo, pertanto 4/52 = 1/13.
6 Torna alla domanda
Risposta: B. La probabilità è di 10/40 = 1/4 = 25%.
7 Torna alla domanda
Risposta: D. I casi totali sono 36; i casi favorevoli invece 18; pertanto avrò
18/36 = 1/2 = 50%.
8 Torna alla domanda
Risposta: C. La probabilità si ottiene dividendo il numero di eventi
favorevoli (2) per quello di eventi totali (4): 2/4 = 1/2 = 50%.
9 Torna alla domanda
Risposta: B. Poiché accade in un solo caso (1 + 1).
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Probabilità (2): eventi compatibili e incompatibili: risposte
commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: B. La probabilità è 1/5 per entrambi i casi, ovvero 1/5 + 1/5 = 2/5.
2 Torna alla domanda
Risposta: B. Possiamo calcolarlo in due modi: sommando le probabilità di
estrazione dei fogli rossi con quelli verdi (5/30 + 6/30 = 11/30, dove 30 = 7
+ 5 + 12 + 6) oppure calcolando la probabilità di estrazione dei fogli sia
rossi sia verdi (ovvero (5 + 6)/30).
3 Torna alla domanda
Risposta: D. I due eventi sono incompatibili, il primo con probabilità 1/2, il
secondo 1/6. La probabilità totale sarà di 2/3.
4 Torna alla domanda
Risposta: A. Potrebbe sembrare un caso di eventi incompatibili, ma in realtà
questo evento è unico, con un numero di casi favorevoli pari a 16 (4 assi e
12 figure) sui 40 possibili. 16/40 = 0,4 = 40%.
5 Torna alla domanda
Risposta: E. I due eventi sono compatibili. La probabilità di estrarre un
cinque è 4/52, quella di estrarre una carta di quadri è 13/52 e quella di avere
il cinque di quadri è 1/52. La probabilità totale è quindi (4/52) + (13/52) –
(1/52) = 16/52 = 4/13.
6 Torna alla domanda
Risposta: B. I due eventi sono compatibili. Le probabilità sono: 3/6 per
avere un numero maggiore di 3, 3/6 per avere un numero dispari e 1/6 per
avere un numero dispari maggiore di 3 (c'è solo il 5). Quindi 3/6 + 3/6 – 1/6
= 5/6.
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Probabilità (3): eventi dipendenti e indipendenti: risposte
commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: E. Gli assi sono 4 e le carte sono 52, dunque la probabilità alla
prima estrazione è 4/52; alla seconda abbiamo 3/51, quindi (4/52) · (3/51) =
1/221.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. Nel primo caso sarà 4/40, nel secondo invece 3/39, quindi
(4/40) · (3/39) = 1/130.
3 Torna alla domanda
Risposta: A. Nella prima estrazione avremo una probabilità 4/10, nella
seconda estrazione 3/9 e nella terza 2/8. Quindi la probabilità totale si
ottiene moltiplicando: (4/10) · (3/9) · (2/8) = 1/30.
4 Torna alla domanda
Risposta: E. La probabilità di avere un numero pari lanciando il primo dado
è 3/6 ovvero 1/2; idem col secondo, quindi (1/2) · (1/2) = 1/4 = 25%.
5 Torna alla domanda
Risposta: A. La probabilità totale è 3/4 · 2/3 = 1/2.
6 Torna alla domanda
Risposta: C. I due eventi sono dipendenti: avremo una probabilità di 5/12
per la prima estrazione, 7/11 per la seconda; la probabilità totale è (5/12) ·
(7/11) = 35/132.
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Indici di variabilità: risposte commentate
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1 Torna alla domanda
Risposta: C. Il campo di variazione è la differenza tra il valore massimo e
quello minimo; una volta ordinati i dati in maniera crescente, esso risulta 44
– 10 = 34.
2 Torna alla domanda
Risposta: D. Per determinare la varianza è necessario calcolare la media: M
= (2 + 5 + 8)/3 = 5. La varianza è uguale alla somma delle differenze al
quadrato degli scarti, ossia:
3 Torna alla domanda
Risposta: A. Calcoliamo le medie dei campioni A e B:
Controllando le risposte si verifica che solo la A ha come dati per la media i
valori trovati, per cui quella è la risposta corretta, senza necessità di
calcolare le due varianze.
4 Torna alla domanda
Risposta: E. I campioni A e B congiunti formano il campione (2, 2, 3, 5, 6,
8, 8). La media dei dati è uguale a:
e la varianza è uguale a:
5 Torna alla domanda
Risposta: C. Infatti lo scarto quadratico medio indica la distanza dei dati dal
valor medio; se i dati sono tutti uguali, essi coincidono tutti con il loro valor
medio.
6 Torna alla domanda
Risposta: B. La varianza è il quadrato dello scarto quadratico medio: 2,92²
= 8,5264. Senza dover calcolare il quadrato si può osservare che 2,92 ≈ 3. Il
quadrato di 3 è 9, e il numero che più approssima 9 è 8,53.
7 Torna alla domanda
Risposta: B. Di tutte le possibili combinazioni di coppie dei 5 elementi,
dobbiamo considerare solo le coppie che non siano formate dalla stessa
coppia di numeri (per esempio (2, 3) e (3, 2)) e che non siano formate da
coppie di numeri uguali (per esempio, [2, 2]). Le coppie che soddisfano le
condizioni sono in tutto 10: (2, 3), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (3, 6), (3, 8), (3,
10), (6, 8), (6, 10), (8, 10). Calcoliamo le medie relative a ogni coppia che
sono rispettivamente 2,5; 4; 5; 6; 4,5; 5,5; 6,5; 7; 8; 9. La media tra questi
valori è 5,8 e il loro scarto quadratico medio vale 1,83.
8 Torna alla domanda
Risposta: B. La dispersione relativa è uguale allo scarto quadratico medio
diviso il valore medio, ossia la durata media della lampadina:
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