II
미분법
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2018-05-25 오후 1:42:07
| 이 단원을 배우면 |
미생물
의 배양
. 여러 가지 함수의 미분
•지수함수와 로그함수의 극한을 구하고, 지수함수와 로그함수를 미분할 수 있다.
•삼각함수의 덧셈정리를 이해한다.
•삼각함수의 극한을 구하고, 사인함수와 코사인함수를 미분할 수 있다.
•함수의 몫을 미분할 수 있다.
•합성함수를 미분할 수 있다.
•매개변수로 나타낸 함수를 미분할 수 있다.
•음함수와 역함수를 미분할 수 있다.
•이계도함수를 구할 수 있다.
•도함수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.
같은 소리도 왜 다르게 느껴질까?
물 로켓이 날아간 거리를 알아보자!
혈액의 속도의 변화율
. 여러 가지 미분법
해발고도가 높아지면 소리의 속도는 어떻게 변할까?
역함수의 미분계수를 그림으로 확인해 보자!
3차 원 캐릭터 디자인
. 도함수의 활용
자동차의 속력과 정지 거리는 어떤 관계일까?
진로 탐색
컴퓨터 그래픽 디자이너
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2018-05-25 오후 1:42:08
스스로 준비하는 중단원
고 수학Ⅰ | 지수함수와
로그함수
고 수학Ⅰ | 삼각함수의
뜻과 그래프
고 수학Ⅱ | 미분계수와
도함수
1. 다음 함수의 그래프를 그리시오.
2. 다음 함수의 그래프를 그리시오.
3. 다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=2Å`
⑴ y=sin`x
⑴ f(x)=x+2
⑵ y=logª`x
⑵ y=cos`x
⑵ f(x)=xÛ`-2x
여러 가지 함수의 미분
01. 지수함수와 로그함수의 극한
02. 지수함수와 로그함수의 미분
04. 삼각함수의 극한
03. 삼각함수의 덧셈정리
05. 사인함수와 코사인함수의 미분
좋은 환경 조건을 갖춘 미생물 배양실에서 시간에
따른 미생물의 개체 수는 지수함수의 형태로 증가한
다. 이 함수를 미분하면 시간에 따른 미생물의 개체
수의 변화율을 연구할 수 있다.
출처: 『과학동아』, 2009
위의 글에서 제시된 중심 단어나 문장을 도서관이나 인터넷을 통해 알아보고 이 단원의 학습 내용의 중요성을 말해 보자.
50
II. 미분법
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2018-05-25 오후 1:42:11
들어가기 전에
지수함수와 로그
함수의 그래프를 그릴 수 있나요?
예
아니요 50쪽
지수함수와 로그함수의 극한
학습 목표
•지수함수와 로그함수의 극한을 구할 수 있다.
지수함수의 극한은 어떻게 구할까?
생각과
활동
오래된 목재를 원료로 하여 만든 종이에서 방사성 동
위 원소인 Ú`Ý`C의 비율을 측정하면 그 종이가 얼마나 오
래된 것인지 추정할 수 있다. 방사성 동위 원소의 원래
양이 절반으로 감소하는 데 걸리는 기간을 반감기라 하
고 Ú`Ý`C의 반감기는 약 5730년이다. Ú`Ý`C 1`g이 5730t년
후에 남아 있는 양을 f(t)`g이라고 하면
f(t)={;2!;}`^
으로 나타낼 수 있다. 출처: 두산백과사전 두피디아
활동 1 탐구형 소프트웨어를 이용하여 함수 y=f(t)의 그래프를 그려 보자.
활동 2 t가 한없이 커질 때 f(t)의 값은 어떻게 되는지 확인해 보자.
활동 3 함수 f(t)={;2!;}`^ 의 역함수를 구하고, 탐구형 소프트웨어를 이용하여 함수 y=f`ÑÚ`(t)의 그래프를
그려 보자.
활동 4 t가 0에 한없이 가까워질 때 f`ÑÚ`(t)의 값은 어떻게 되는지 확인해 보자.
1. 여러 가지 함수의 미분
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51
2018-05-25 오후 1:42:13
지수함수 y=aÅ` (a>0, a+1)의 그래프를 이용하여 aÅ`의 극한에 대하여 알아보자.
오른쪽 그래프에서
0<a<1
a>1
y=ax y
Ú a>1일 때,
y=ax
lim aÅ`=¦, lim aÅ`=0
x Ú¦
x Ú -¦
Û 0<a<1일 때,
1
lim aÅ`=0, lim aÅ`=¦
x Ú¦
O
x Ú -¦
x
임을 알 수 있다.
{;3!;}/`=0
2. xlim
Ú¦
개념 확인
3Å`=¦
1. xlim
Ú¦
1.
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim 4ÑÅ`
⑵ lim (2Å`+3)
x Ú¦
x Ú -¦
지수함수가 포함된 함수의 극한값 구하기
예제 1
풀이
3Å`+2Å`
의 값을 구하시오.
3Å`-2Å`
lim
x Ú¦
과정 1.
분자와 분모를 각각 3Å` 으로 나누기
분자와 분모를 각각 3Å`으로 나누면
lim
x Ú¦
3Å`+2Å`
= lim
3Å`-2Å` x Ú ¦
과정 2.
1+{;3@;}/`
1-{;3@;}/`
극한값 구하기
이때 0<;3@;<1이므로 xlim
{;3@;}/`=0이다. 따라서
Ú¦
lim
x Ú¦
2.
1+{;3@;}/`
1-{;3@;}/`
1+0
=1
1-0
답
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú¦
52
=
2Å` ±Ú`+3Å`
2Å` ÑÚ`+3Å` ÑÚ`
⑵ lim
x Ú¦
4Å`-2ÑÅ`
4Å`+2ÑÅ`
II. 미분법
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2018-05-25 오후 1:42:13
로그함수의 극한은 어떻게 구할까?
로그함수 y=log`x (a>0, a+1)의 그래프를 이용하여 log`x의 극한에 대하여 알
아보자.
오른쪽 그래프에서
a>1
y
Ú a>1일 때,
y=loga`x
lim log`x=-¦, lim log`x=¦
x Ú 0+
x Ú¦
O
Û 0<a<1일 때,
lim log`x=¦, lim log`x=-¦
x Ú 0+
1
x
y=loga`x
0<a<1
x Ú¦
임을 알 수 있다.
개념 확인
log£`x=¦
1. xlim
Ú¦
3.
log;3!;`x=¦
2. xlim
Ú 0+
다음 극한을 조사하시오.
⑴ lim log£`x
⑵ lim log0.2`x
x Ú 0+
x Ú¦
로그함수가 포함된 함수의 극한값 구하기
예제 2
풀이
lim {logª (4x+1)-logª`x}의 값을 구하시오.
x Ú¦
lim {logª (4x+1)-logª`x}= lim logª`
x Ú¦
x Ú¦
4x+1
x
=xlim
logª`{4+;[!;}
Ú¦
=logª`4=2
4.
답
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim{log (2x+1)+log (x+2)}
x Ú0
⑵ lim {log£`9Å`-log£ (9Å`+3)}
x Ú¦
1. 여러 가지 함수의 미분
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53
2018-05-25 오후 1:42:14
무리수 e란 무엇일까?
;[!;
n이 한없이 커지면
{1+;n!;}n`의 값은 e에 가까
워짐을 알 수 있다.
n
{1+;n!;}n`
1
2.0000000
2
2.2500000
3
2.3703704
⋮
⋮
10
2.5937425
100
2.7048138
1000
2.7169239
10000
2.7181459
⋮
⋮
오른쪽 표에서 x의 값이 0에 한없이 가까워질 때, (1+x)
x
(1+x)
의 값은 2와 3 사이의 어떤 일정한 값에 가까워짐을 알 수 있다.
0.1
2.59374y
0.01
2.70481y
0.001
2.71692y
0.0001
2.71814y
⋮
⋮
;[!;
실제로 lim (1+x) 의 값이 존재한다는 것이 알려져 있고
x Ú0
그 값을 e로 나타낸다. 즉,
;[!;
lim (1+x) =e
x Ú0
;[!;
2.71828y
이다.
이때 e는 무리수이며 그 값은
e=2.718281828459045 y
임이 알려져 있다.
⋮
⋮
-0.0001
2.71841y
-0.001
2.71964y
-0.01
2.73199y
-0.1
2.86797y
이상을 정리하면 다음과 같다.
수학자 이야기
무리수 e의 정의
;[!;
lim (1+x) =e
x Ú0
스위스의 수학자 오일러
(Euler, L ., 1707~1783)는
극한을 이용하여 무리수 e를 정의했다.
출처: D. M. Burton,
『The History of
예제
Mathematics: An
introduction』
무리수 e의 정의를 이용하여 극한값 구하기
3
풀이
;[!;
lim(1+4x) 의 값을 구하시오.
x Ú0
4x=t로 놓으면 x Ú 0일 때 t Ú 0이므로
1
;[!;
Ý`
lim (1+4x) =lim [(1+4x) 4x ]
x Ú0
x Ú0
[(1+t);t!;]Ý`=eÝ`
=lim
t Ú0
5.
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim {1+;[!;}/`
x Ú¦
54
답
⑵ lim {1-;[!;}3`/`
x Ú¦
II. 미분법
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2018-05-25 오후 1:42:15
자연로그란 무엇일까?
로그의 밑이 무리수 e일 때, logÒ`x를 자연로그라고 하며, 자
ln은 자연로그를 뜻하는
natural logarithm의 첫
글자를 따서 나타낸 것이다.
y
y=ex y=x
연로그 logÒ`x를 간단히 ln`x로 나타낸다. 또, 지수함수 y=aÅ`
(a>0, a+1)에서 a=e인 경우 e를 밑으로 하는 지수함수 y=eÅ`
을 생각할 수 있다. 이때 지수함수 y=eÅ``과 로그함수 y=ln`x는
서로 역함수 관계에 있다.
y=ln`x
1
O
1
x
개념 확인
1. ln`1=0
3. ln`eÛ`=2 ln`e=2
6.
2. ln`e=1
4. ln`2+ln`3=ln (2_3)=ln`6
다음 값을 구하시오.
1
eÛ`
⑴ ln`eÜ`
⑵ ln`
⑶ ln`'e
⑷ ln`2e-ln`2
밑이 e인 지수함수와 로그함수의 극한값 구하기
예제 4
함수 f(x)에 대하
여 f(x)>0이고 a가
1이 아닌 양수이고 c
가 실수일 때, 다음
이 성립함이 알려져
있다.
⑴ lim f(x)=a
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
ln (1+x)
x
⑴ lim
x Ú0
ln (1+x)
=lim
;[!; ln (1+x)
x Ú0
x
x Ú0
풀이
=ln`e=1
x Úc
x Úc
⑵ lim f(x)=b
x Ú¦
답
⑵ eÅ`-1=t로 놓으면 eÅ`=1+t이므로
x=ln (1+t)
(b>0)이면,
lim {log`f(x)}
또, x Ú 0일 때 t Ú 0이므로
=log{ lim f(x)}
lim
x Ú¦
x Ú¦
=log`b
eÅ`-1
x
;[!;
(a>0)이면,
lim {log`f(x)}
=log{lim f(x)}
x Ú0
=lim
ln (1+x)
x Ú0
x Úc
=log`a
⑵ lim
x Ú0
eÅ`-1
t
=lim
t Ú 0 ln (1+t)
x
=lim
t Ú0
=
1
ln (1+t)
t
1
=1
ln`e
답
1. 여러 가지 함수의 미분
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55
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7.
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú0
8.
추론
생각
키우기
9.
태도 및
실천
ln (1+4x)
x
⑵ lim
x Ú0
eÜ`Å`-1
2x
lim x{ln (x+2)-ln`x}의 값을 구하시오.
x Ú¦
lim
x Ú0
aÅ`-1
=ln`a가 성립함을 보이시오. (단, a>0, a+1)
x
원리합계와 무리수 e
문제 해결 창의·융합
은아는 다음과 같이 3종류의 상품 중에서 하나를 골라 100만 원을 예금하려고 한다. 다음 물음에 답해 보자.
어떤 상품으로
하시겠어요?
이자가 얼마인지
알 수가 없네….
⑴ 예금을 가입한 후 약정한 기간이 지나면 원금과 이자를 함께 받는데 이때 원금과 이자를 합한 금액을 원리합계라
고 한다. 계산기를 이용하여 1년 후 각 상품에 대한 원리합계를 구하여 표를 완성해 보자.
원리합계(만 원)
A 상품
100_(1+0.02)Ú`=102
B 상품
C 상품
⑵
12
개월마다 복리 ;nR;`%인 상품에 원금 a원을 1년 동안 예금하였을 때 1년 후의 원리합계를 구해 보자.
n
⑶ ⑵에서 구한 원리합계에서 n이 한없이 커지면 어떤 값에 가까워지는지 구해 보자.
56
II. 미분법
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들어가기 전에
도함수의 정의를 알고 있나요?
예
아니요 50쪽
지수함수와 로그함수의 미분
학습 목표
•지수함수와 로그함수를 미분할 수 있다.
지수함수의 도함수는 어떻게 구할까?
생각과
활동
물을 통과하는 빛은 물속 입자에 의해 흩어지므로 수
출처: R . A . Barnett 외 2인,
『Calculus for Business,
Economics, Life Sciences
and Social Sciences』
심이 깊어질수록 빛이 도달하는 양이 줄어든다. 어느
호수의 수면에서의 빛의 밝기가 10이고 수심이 x`m
인 곳에서의 빛의 밝기를 f(x)라고 할 때
f(x)=10(0.8)Å`
인 관계가 성립한다고 한다.
활동 1 닫힌구간 [0, 2], [1, 2]에서의 평균변화율을 각각 구해 보자.
활동 2 x=2에서 함수 f(x)의 순간변화율을 어떻게 구할 수 있는지 토론해 보자.
도함수의 정의를 이용하여 지수함수 y=eÅ`의 도함수를 구해 보자.
지수함수 y=eÅ`에서 x의 증분 Dx에 대한 y의 증분을 Dy라고 하면
Dy=ex+Dx-eÅ`=eÅ`(eDx-1)
이므로
Dy
eÅ`(eDx-1)
= lim
Dx Ú 0 Dx
Dx Ú 0
Dx
y '= lim
=eÅ` lim
Dx Ú 0
eDx-1
Dx
=eÅ`_1=eÅ`
이다. 따라서 함수 y=eÅ`의 도함수는
y '=eÅ`
이다.
1. 여러 가지 함수의 미분
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 57
57
2018-07-24 오후 12:26:54
또, 함수 y=aÅ` (a>0, a+1)의 도함수는
y '= lim
Dx Ú 0
ax+Dx-aÅ`
aÅ`(aDx-1)
= lim
Dx Ú 0
Dx
Dx
aDx-1
Dx Ú 0
Dx
=aÅ` lim
=aÅ`_ln`a=aÅ` ln`a
이다. 따라서 함수 y=aÅ`의 도함수는
y '=aÅ` ln`a
이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
지수함수의 도함수
❶ y=eÅ` 이면 y '=eÅ`
❷ y=aÅ` 이면 y '=aÅ``ln`a (단, a>0, a+1)
개념 확인
1. 함수 y=eÅ` ±Ú`의 도함수는 y '=(eÅ` ±Ú`)'=(e_eÅ` )'=e_(eÅ` )'=e_eÅ`=eÅ` ±Ú`
2. 함수 y=3Å`의 도함수는 y '=(3Å` )'=3Å` ln`3
지수함수의 도함수 구하기
예제 1
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=2Å` ±Ú`
풀이
⑵ y=xeÅ`
⑴ y=2Å` ±Ú`=2_2Å` 이므로
y '=(2_2Å` )'=2_(2Å` )'=2_2Å` ln`2=2Å` ±Ú` ln`2
답
⑵ y '=(xeÅ` )'=(x)'eÅ`+x(eÅ` )'=1_eÅ`+xeÅ`=(1+x)eÅ`
1.
58
답
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=3Å`-eÅ`
⑵ y=2Å`eÅ`
⑶ y=2Û`Å` ±Ú`
⑷ y={;e!;}Å`
II. 미분법
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2018-05-25 오후 1:42:20
2.
어느 여름날 방의 온도가 35`¾가 되어 냉방기를
가동했다. 가동한 지 t시간 후 방의 온도를 f(t)라
고할때
f(t)=32(eÑâ`.ß`)^`+3
인 관계가 성립한다고 한다. 냉방기를 가동한 지 10
시간 후 방의 온도 f(t)의 순간변화율을 구하시오.
로그함수의 도함수는 어떻게 구할까?
도함수의 정의를 이용하여 로그함수 y=ln`x의 도함수를 구해 보자.
로그함수 y=ln`x에서 x의 증분 Dx에 대한 y의 증분을 Dy라고 하면
Dy=ln (x+Dx)-ln`x=ln`
x+Dx
Dx
=ln {1+
}
x
x
이므로
y '= lim
Dx Ú 0
이때
Dy
1
Dx
= lim
ln {1+
}
Dx Dx Ú 0 Dx
x
Dx
=t로 놓으면 Dx Ú 0일 때 t Ú 0이므로
x
lim
Dx Ú 0
1
Dx
1
ln {1+
}= lim
ln (1+t)
t Ú 0 xt
Dx
x
=;[!; lim ;t!; ln (1+t)
t Ú0
;t!;
=;[!; lim ln (1+t)
t Ú0
=;[!;_ln`e=;[!;
이다. 따라서 로그함수 y=ln`x의 도함수는
y '=;[!;
이다.
또, 함수 y=log`x (a>0, a+1)에서 log`x=
logÒ`x
ln`x
=
이므로
ln`a
logÒ`a
함수 y=log`x의 도함수는
y '={
ln`x '
1
1
}=
(ln`x)'=
ln`a
ln`a
x ln`a
이다.
1. 여러 가지 함수의 미분
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59
2018-05-25 오후 1:42:20
이상을 정리하면 다음과 같다.
로그함수의 도함수
❶ y=ln`x이면 y '=;[!;
❷ y=log`x이면 y'=
1
(단, a>0, a+1)
x ln`a
개념 확인
1. 함수 y=ln`2x의 도함수는 y '=(ln`2x)'=(ln`2+ln`x)'=(ln`x)'=;[!;
1
2. 함수 y=logª`x의 도함수는 y '= x ln`2
로그함수의 도함수 구하기
예제 2
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=x ln`x
풀이
⑵ y=logª`4x
⑴ y '=(x ln`x)'=(x)' ln`x+x(ln`x)'
=1_ln`x+x_;[!;=ln`x+1
답
⑵ y=logª`4x=logª`4+logª`x
=logª`2Û`+logª`x=2+logª`x
이므로
y '=(2+logª`x)'=
3.
60
1
x ln`2
답
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=xÛ` ln`x
⑵ y=(2x+1)ln`x
⑶ y=log£`9x
⑷ y=(2x-1)log£`x
II. 미분법
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2018-05-25 오후 1:42:21
들어가기 전에
삼각함수를 설명할
수 있나요?
아니요 50쪽
예
삼각함수의 덧셈정리
학습 목표
•삼각함수의 덧셈정리를 이해한다.
삼각함수의 덧셈정리란 무엇일까?
생각과
활동
y
오른쪽 그림은 대관람차의 중심을 원점으로 하는 좌표평면
위에 두 곤돌라 A, B의 위치를 나타낸 것이다. 두 직선 OA
A
와 OB가 x축의 양의 부분과 이루는 각의 크기를 각각 a, b
å
라고 하자.
O
∫
B
x
활동 1 선분 OA의 길이가 1일 때, a, b를 이용하여 두 곤돌라 A, B의
좌표를 나타내 보자.
활동 2
sec`x, csc`x, cot`x
활동 1
에서 구한 좌표를 이용하여 두 곤돌라 A, B 사이의 거리를 구해 보자.
오른쪽 그림과 같이 좌표평면의 원점 O에서 x축의 양의
y
r
방향을 시초선으로 하고, 일반각의 크기 h가 나타내는 동경
OP와 중심이 원점이고 반지름의 길이가 r인 원이 만나는 점
을 P(x, y)라고 하자. 이때 ;[R; (x+0), ;]R; (y+0),
;]{; (y+0)의 값은 r의 값에 관계없이 h의 값에 따라 각각
y
-r
O
r
Ω
P{x,`y}
x
r x
-r
하나씩 결정된다.
1. 여러 가지 함수의 미분
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 61
61
2018-05-25 오후 1:42:23
따라서
h Ú`;[R; (x+0), h Ú`;]R; (y+0), h Ú`;]{; (y+0)
와 같은 대응은 각각 h에 대한 함수이다.
함수의 정의역의 원소는
보통 x로 나타내므로 sec`h,
csc`h, cot`h에서 h를 x로
바꾸어 sec`x, csc`x, cot`x
로 쓰기도 한다.
이 함수를 차례로 시컨트함수, 코시컨트함수, 코탄젠트함수라 하고, 기호
sec`h=;[R; (x+0), csc`h=;]R; (y+0), cot`h=;]{; (y+0)
로 나타낸다.
참고
1.
삼각함수의
덧셈정리
sec`h=
1
1
1
, csc`h=
, cot`h=
cos`h
sin`h
tan`h
원점 O와 점 P(3, 4)를 지나는 동경 OP가 나타내는 각의 크기를 h라고 할 때, sec`h, csc`h,
cot`h의 값을 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 두 각 a, b가 나타내는 두 동경이 중
P, Q라고 하면
P(cos`a, sin`a), Q(cos`b, sin`b)
-1
O
∫
1 x
-1
PQÓ Û`=OPÓ Û`+OQÓ Û`-2_OPÓ_OQÓ_cos(∠POQ)
A
B
Q
å
이므로 삼각형 POQ에서 코사인법칙에 의하여
수학Ⅰ 코사인법칙
삼각형 ABC에서
c
P
심이 원점이고, 반지름의 길이가 1인 원과 만나는 점을 각각
y
1
이고 OPÓ=OQÓ=1, ∠POQ=a-b이므로
b
a
PQÓ Û`=1+1-2_1_1_cos(a-b)=2-2 cos(a-b)
C
aÛ`=bÛ`+cÛ`-2bc cos`A
bÛ`=cÛ`+aÛ`-2ca cos`B
cÛ`=aÛ`+bÛ`-2ab cos`C
이다. 또, 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식에 의하여
PQÓ Û`=(cos`b-cos`a)Û`+(sin`b-sin`a)Û`
=2-2(cos`a cos`b+sin`a sin`b)
이므로
2-2 cos(a-b)=2-2(cos`a cos`b+sin`a sin`b)
이다. 이 식을 정리하면
cos(a-b)=cos`a cos`b+sin`a sin`b yy ①
가 성립한다.
62
II. 미분법
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 62
2018-05-25 오후 1:42:24
cos(-b)=cos`b
sin(-b)=-sin`b
또, ①에 b 대신 -b를 대입하여 정리하면
cos(a+b)=cos`a cos`b-sin`a sin`b
가 성립한다.
cos{;2Ò;-h}=sin`h
한편, sin`h=cos{;2Ò;-h}이므로
sin{;2Ò;-h}=cos`h
sin(a+b)=cos[;2Ò;-(a+b)]=cos[{;2Ò;-a}-b]
=cos {;2Ò;-a} cos`b+sin {;2Ò;-a} sin`b
=sin`a cos`b+cos`a sin`b yy ②
가 성립한다.
또, ②에 b 대신 -b를 대입하여 정리하면
sin(a-b)=sin`a cos`b-cos`a sin`b
가 성립한다.
한편,
tan(a+b)=
sin(a+b)
sin`a cos`b+cos`a sin`b
=
cos(a+b) cos`a cos`b-sin`a sin`b
에서 우변의 분자와 분모를 각각 cos`a cos`b (cos`a cos`b+0)로 나누면
tan(a+b)=
tan`a+tan`b
…… ③
1-tan`a tan`b
가 성립한다.
tan(-b)=-tan`b
또, ③에 b 대신 -b를 대입하여 정리하면
tan(a-b)=
tan`a-tan`b
1+tan`a tan`b
가 성립한다.
이상을 정리하면 다음과 같고 이것을 삼각함수의 덧셈정리라고 한다.
삼각함수의 덧셈정리
❶ sin(a+b)=sin`a cos`b+cos`a sin`b
sin(a-b)=sin`a cos`b-cos`a sin`b
❷ cos(a+b)=cos`a cos`b-sin`a sin`b
cos(a-b)=cos`a cos`b+sin`a sin`b
❸ tan(a+b)=
tan`a+tan`b
1-tan`a tan`b
tan(a-b)=
tan`a-tan`b
1+tan`a tan`b
1. 여러 가지 함수의 미분
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 63
63
2018-05-25 오후 1:42:25
개념 확인
1. sin`75ù=sin(45ù+30ù)=sin`45ù cos`30ù+cos`45ù sin`30ù
=
'2 '3 '2
'6+'2
_ + _;2!;=
2
2
2
4
2. cos`75ù=cos(45ù+30ù)=cos`45ù cos`30ù-sin`45ù sin`30ù
=
2.
'2 '3 '2
'6-'2
_ - _;2!;=
2
2
2
4
다음 삼각함수의 값을 구하시오.
⑴ sin`15ù
⑵ cos`15ù
⑶ tan`75ù
삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값 구하기
예제 1
sin`a=;5$;, cos`b=-;5#;일 때, 다음 삼각함수의 값을 구하시오.
{단, ;2Ò;<a<p, ;2Ò;<b<p}
⑴ sin(a+b)
풀이
⑵ cos(a+b)
;2Ò;<a<p, ;2Ò;<b<p이므로
cos`a=-"Ã1-sinÛ``a=-®É1-{;5$;}Û`=-;5#;
sin`b="Ã1-cosÛ``b=®É1-{-;5#;}Û`=;5$;
⑴ sin(a+b)=sin`a cos`b+cos`a sin`b
=;5$;_{-;5#;}+{-;5#;}_;5$;=-;2@5$;
답
⑵ cos(a+b)=cos`a cos`b-sin`a sin`b
={-;5#;}_{-;5#;}-;5$;_;5$;=-;2¦5;
3.
64
답
sin`a=;2!;, cos`b=;3!;일 때, 다음 삼각함수의 값을 구하시오. {단, ;2Ò;<a<p, 0<b<;2Ò;}
⑴ sin(a-b)
⑵ cos(a-b)
⑶ tan(a+b)
⑷ tan(a-b)
II. 미분법
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 64
2018-05-25 오후 1:42:25
삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 등식 증명하기
예제 2
삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 다음이 성립함을 보이시오.
sin`2a=2 sin`a cos`a
증명
sin(a+b)=sin`a cos`b+cos`a sin`b이므로 b 대신 a를 대입하면
sin(a+a)=sin`a cos`a+cos`a sin`a
즉, sin`2a=2 sin`a cos`a
추론
태도 및
실천
4.
삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 다음이 성립함을 보이시오.
⑴ cos`2a=2 cosÛ``a-1
⑵ tan`2a=
2 tan`a
1-tanÛ``a
두 직선이 이루는 예각의 크기 구하기
예제 3
풀이
두 직선 y=2x-1, y=;3!;x+1이 이루는 예각의 크기를 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 두 직선 y=2x-1, y=;3!;x+1이
y
y=2x-1
y= 1 x+1
3
x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라
하고, 두 직선이 이루는 예각의 크기를 h라고 하면
h=a-b
-3
이때 tan`a=2, tan`b=;3!;이므로
직선 y=mx+n이
x축의 양의 방향과 이
루는 각의 크기를 h라
고 하면 tan`h=m
이다.
∫
1
O
-1
Ω
1
2
å
x
tan`h=tan(a-b)
=
=
tan`a-tan`b
1+tan`a tan`b
2-;3!;
1+2_;3!;
=1
따라서 두 직선이 이루는 예각의 크기는 ;4Ò;이다.
5.
답
두 직선 2x-y+1=0, x-2y+3=0이 이루는 예각의 크기를 h라고 할 때, tan`h의 값을 구
하시오.
1. 여러 가지 함수의 미분
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 65
65
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삼각함수의 덧셈정리를 활용해 보자!
문제 해결 창의·융합
프랑스의 수학자 푸리에
(Fourier, J. B. J., 1768~
1830)는 복잡한 형태의 파
동을 나타내는 곡선도 주기
적이면 사인함수 또는 코사
인함수의 급수로 표현할 수
있다는 사실을 알아냈다.
출처: V. J. Katz,
『A History of Mathematics:
An introduction』
삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 a sin`h+b cos`h`(a+0, b+0)와 같은 형태의 삼각함수의
합을 sin(h+a) 또는 cos(h+a)꼴의 하나의 함수로 나타낼 수 있다. 다음 활동을 해 보자.
오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 점 P(a, b)를 잡고 동경
OP가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 a라고 하면
cos`a=
y
a
b
, sin`a=
"ÃaÛ`+bÛ`
"ÃaÛ`+bÛ`
Âa@°+·b@·
이다. 따라서
a sin`h+b cos`h="ÃaÛ`+bÛ` {
P{a,`b}
b
a
b
sin`h+
cos`h}
"ÃaÛ`+bÛ`
"ÃaÛ`+bÛ`
å
O
a
x
="ÃaÛ`+bÛ` (cos`a`sin`h+sin`a`cos`h)
="ÃaÛ`+bÛ` sin(h+a)
활동 1
위의 방법을 이용하여 삼각함수의 합을 하나의 삼각함수로 나타내면 그 함수의 최댓값과 최솟값을 쉽
게 구할 수 있다. 다음 과정을 보고
'3`sin`h+cos`h=2{
안에 알맞은 수를 써넣어 보자.
'3
`sin`h+;2!;`cos`h}
2
=2{cos`
`sin`h+sin`
=2 sin{h+
P{Â3,`1}
1
`cos`h}
2
O
}
따라서 함수 '3`sin`h+cos`h의 최댓값은
활동 2
y
, 최솟값은
Â3
x
이다.
서로 다른 두 소리의 파동이 만나면 파동의 모양이 변하고, 두 소리가 합성되어 나오는 소리를 들을 수
있다. 한곳에서 나오는 서로 다른 두 소리의 파동이 각각 y=2 sin`60pt, y=4 cos`60pt와 같을 때, 두
소리가 합성되어 나오는 소리의 파동의 최댓값과 최솟값을 구해 보자.
활동 평가
나와 친구의 활동을 서로 평가해 보자.
자기 평가
좋음
보통
평가 항목
부족
친구 평가
좋음
보통
부족
주어진 글을 스스로 이해했다.
내용
활동 1 을 과정을 이해하고 알맞은 수를 구했다.
활동 2 의 두 식을 하나의 삼각함수로 나타내어 결과를 구했다.
태도
66
활동에 적극적으로 참여했다.
II. 미분법
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 66
2018-05-25 오후 1:42:28
들어가기 전에
삼각함수의 그래프를
그릴 수 있나요?
아니요 50쪽
예
삼각함수의 극한
학습 목표
•삼각함수의 극한을 구할 수 있다.
삼각함수의 극한은 어떻게 구할까?
생각과
활동
함수 f(x)=
sin`x
에 대하여 다음 활동을 해 보자.
x
활동 1 x=0에서 함수 f(x)의 값이 정의되는지 서로 토론해 보자.
활동 2 계산기를 이용하여 다음 표의 빈칸을 채우고, 함수 f(x)의 그래프의 개형을 추론해 보자.
Ñ1.0
x
Ñ0.5
Ñ0.3
Ñ0.1
Ñ0.01
sin`x
x
함수의 극한과 삼각함수의 그래프를 이용하여 삼각함수의 극한에 대하여 알아보자.
오른쪽 세 함수 y=sin`x, y=cos`x,
y
1
y=sin`x
3π
2
y=tan`x의 그래프에서
lim sin`x, lim cos`x,
x Ú¦
x Ú¦
lim tan`x의 값은 존재하
x Ú ;2Ò;
지 않는다.
O
lim sin`x=0, lim sin`x=1
x Ú0
x Ú ;2Ò;
lim cos`x=1, lim cos`x=0
x Ú0
x Ú ;2Ò;
lim tan`x=0, lim tan`x=1
x Ú0
임을 알 수 있다.
x Ú ;4Ò;
π
π
2
-1
2π x
y=cos`x
y
y=tan`x
1
O
π
4
π
2
π
3π
2
1. 여러 가지 함수의 미분
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 67
2π
x
67
2018-05-25 오후 1:42:30
1.
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim (sin`x-2x+1)
⑵ lim x cos`x
x Ú0
x Ú ;2Ò;
삼각함수의 극한값 구하기 ⑴
예제 1
풀이
sinÛ``x
lim
의 값을 구하시오.
x Ú 0 1-cos`x
sinÛ``x=1-cosÛ``x이므로
lim
x Ú0
sinÛ``x
1-cosÛ``x
(1-cos`x)(1+cos`x)
=lim
=lim
1-cos`x x Ú0 1-cos`x x Ú 0
1-cos`x
=lim
(1+cos`x)
x Ú0
=1+1=2
다른
풀이
답
분자와 분모에 각각 1+cos`x를 곱하면
lim
x Ú0
sinÛ``x
sinÛ``x(1+cos`x)
sinÛ``x(1+cos`x)
=lim
=lim
1-cos`x x Ú0 (1-cos`x)(1+cos`x) x Ú 0
1-cosÛ``x
=lim
x Ú0
sinÛ``x(1+cos`x)
sinÛ``x
=lim
(1+cos`x)
x Ú0
=1+1=2
2.
lim
x Ú ;4Ò;
답
1-tanÛ``x
의 값을 구하시오.
cos`x-sin`x
대소 관계를 이용하여 삼각함수의 극한값 구하기
예제 2
f(x)Éh(x)Ég(x)
이고
lim f(x)
풀이
x Ú0
x+0일 때 -1Ésin`;[!;É1이므로 -|x|É|x sin`;[!;|É|x|
이때 lim
(-|x|)=0, lim
|x|=0이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여
x Ú0
x Ú0
x Úa
=lim g(x)=a
lim |x sin`;[!;|=0, 즉 lim x sin`;[!;=0
x Úa
이면 lim h(x)=a
x Ú0
x Úa
3.
68
lim x sin`;[!;의 값을 구하시오.
x Ú0
답
lim x cos`;[!;의 값을 구하시오.
x Ú0
II. 미분법
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 68
2018-05-25 오후 1:42:30
lim
x Ú0
sin`x
의 값은 어떻게 구할까?
x
함수의 극한에 대한 성질을 이용하여 lim
x Ú0
sin`x
의 값을 구해 보자.
x
Ú 0<x<;2Ò;일 때
오른쪽 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름의 길이가 1인
y
원에서 ∠BOA의 크기를 x라디안이라 하고, 점 A에서의
1
B
O
x
1
접선과 선분 OB의 연장선의 교점을 T라고 하면
△BOA<(부채꼴 BOA의 넓이)<△TOA
-1
이므로
;2!; sin`x<;2!;x<;2!; tan`x, 즉 sin`x<x<tan`x
•반지름의 길이가 r이고
중심각의 크기가 h인 부
채꼴의 넓이는 ;2!;rÛ`h
•두 변의 길이가 a, b이고
그 끼인각의 크기가 h인
삼각형의 넓이는
T
tan`x
1
A
x
-1
이다.
이때 sin`x>0이므로 위 부등식의 각 변을 sin`x로 나누면
;2!;ab sin`h
1<
x
1
sin`x
<
, 즉 cos`x<
<1
sin`x cos`x
x
이고 lim cos`x=1이므로
x Ú 0+
lim
x Ú 0+
sin`x
=1
x
이다.
Û -;2Ò;<x<0일 때
x=-t로 놓으면 x Ú 0-일 때 t Ú 0+이므로
lim
x Ú 0-
sin`x
sin(-t)
sin`t
= lim
= lim
=1
t Ú 0+
t Ú 0+
x
-t
t
이다.
Ú, Û에 의하여 lim
x Ú0
sin`x
=1이다.
x
이상을 정리하면 다음과 같다.
lim
x Ú0
sin`x
의값
x
lim
x Ú0
sin`x
=1
x
1. 여러 가지 함수의 미분
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 69
69
2018-05-25 오후 1:42:31
삼각함수의 극한값 구하기`⑵
예제 3
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú0
풀이
sin`2x
x
⑵ lim
x Ú0
tan`x
x
⑴ 2x=t로 놓으면 x Ú 0일 때 t Ú 0이므로
lim
x Ú0
sin`2x
sin`2x
sin`2x
=lim
{2_
}=2lim
x Ú0
x Ú0
x
2x
2x
=2lim
t Ú0
sin`t
=2_1=2
t
답
sin`x
tan`x
cos`x
1
sin`x
⑵ lim
=lim
=lim
{
_
}
x Ú0
x Ú0
x Ú0
x
x
cos`x
x
=lim
x Ú0
4.
1
sin`x
_lim
=1_1=1
cos`x x Ú 0 x
답
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú0
sin`2x
sin`3x
⑵ lim
x Ú0
tan`4x
sin`2x
삼각함수의 극한값 구하기`⑶
예제 4
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú0
풀이
1-cos`x
xÛ`
⑵ lim
x Ú0
x sin`x
1-cos`x
⑴ 분자와 분모에 각각 1+cos`x를 곱하면
lim
x Ú0
1-cos`x
(1-cos`x)(1+cos`x)
1-cosÛ``x
=lim
=lim
x Ú0
x Ú 0 xÛ`(1+cos`x)
xÛ`
xÛ`(1+cos`x)
=lim
x Ú0
sin`x Û`
sinÛ``x
1
=lim [{
}_
]
x
1+cos`x
xÛ`(1+cos`x) x Ú 0
=1Û`_;2!;=;2!;
답
⑵ 분자와 분모에 각각 1+cos`x를 곱하면
lim
x Ú0
x sin`x
x sin`x(1+cos`x)
x sin`x(1+cos`x)
=lim
=lim
1-cos`x x Ú 0 (1-cos`x)(1+cos`x) x Ú 0
1-cosÛ``x
=lim
x Ú0
x
x sin`x(1+cos`x)
=lim
[
_(1+cos`x)]
x Ú0
sin`x
sinÛ``x
=1_2=2
70
답
II. 미분법
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2018-05-25 오후 1:42:32
5.
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú0
1-cos`2x
xÛ`
⑵ lim
x Ú0
x sin`x
1-cos`2x
삼각함수의 극한값 구하기`⑷
예제 5
sin(p-h)=sin`h
풀이
lim
x Úp
sin`x
의 값을 구하시오.
p-x
p-x=t로 놓으면 x Ú p일 때 t Ú 0이므로
lim
x Úp
sin`x
sin(p-t)
=lim
p-x t Ú0
t
=lim
t Ú0
6.
sin`t
=1
t
답
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú ;2Ò;
x-;2Ò;
cos`x
⑵ lim
x Úp
tan`x
x-p
삼각형 ABC에서 외접원의
반지름의 길이를 R라고 하면
a
b
c
=
=
=2R
sin`A sin`B sin`C
이고 이것이 사인법칙이야!
A
c
b
O
B
생각
키우기
사인법칙과 삼각함수의 극한
R
C
a
문제 해결 의사소통
오른쪽 그림은 중심이 O이고 길이가 2인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이다.
P
∠APO=∠OPC를 만족하도록 호 AB 위에 점 P, 선분 OB 위에 점 C를 잡고
∠OAP=h`{0<h<;4Ò;}라고 할 때, 다음 물음에 답해 보자.
⑴ 사인법칙을
이용하여 삼각형 OCP에서 변 OC의 길이를 h에 대한 식으로 나타
A
Ω
O
C
B
내 보자.
⑵ lim OCÓ의 값을 구해 보자.
h Ú 0+
1. 여러 가지 함수의 미분
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 71
71
2018-05-25 오후 1:42:34
정보 처리 태도 및 실천
여러 가지 함수의 극한값을 확인해 보자!
수학
실험실
;[!;
태블릿 앱을 이용하면 lim
(1+x) =e임을 확인할 수 있다. 아래 순서대로 태블릿 앱을 이용
x Ú0
하여 실습해 보고, 다음 활동을 해 보자.
1
과정 1.
;[!;
입력 창에 f(x)=(1+x) x 을 입력하면 대수창에 f(x)=(1+x) 가 나타나고, 기하창에
곡선 y=f(x)가 그려진다.
과정 2.
입력 창에 g(x)=e를 입력하면 대수창에 g(x)=e가 나타나고, 기하창에 직선 y=g(x)
가 그려진다.
과정 3.
두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프에서 x의 값이 0에 한없이 가까워지면 함수 f(x)
의 값은 e에 가까워짐을 확인할 수 있다.
활동 평가
활동 1
lim
ln (1+x)
=1임을 확인해 보자.
x
활동 2
lim
sin`x
=1임을 확인해 보자.
x
x Ú0
x Ú0
이번 활동을 하면서 새롭게 알게 된 것, 느낀 점을 자유롭게 적어 보자.
알게 된 것
느낀 점
72
II. 미분법
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 72
2018-07-24 오후 12:27:11
들어가기 전에
삼각함수의 극한을
구할 수 있나요?
예
아니요 67쪽
사인함수와 코사인함수의 미분
학습 목표
•사인함수와 코사인함수를 미분할 수 있다.
사인함수와 코사인함수의 도함수는 어떻게 구할까?
생각과
활동
다음은 두 함수 f(x)=sin`x, g(x)=cos`x의 그래프와 곡선 y=f(x) 위의 점
{;4Ò;, f {;4Ò;}}에서의 접선을 나타낸 것이다.
y
-3
2π
활동 1 lim
x Ú0
활동 2
사인함수의 도함수
-π
-π
2
y=cos`x
1
O
π π
4 2
π
-1
3
2π
2π
x
y=sin`x
sin`x
=1임을 이용하여 점 {;4Ò;, f {;4Ò;}}에서의 접선의 기울기를 구해 보자.
x
활동 1
에서 구한 접선의 기울기와 g{;4Ò;}의 값을 비교해 보자.
삼각함수 y=sin`x의 도함수를 구해 보자.
삼각함수 y=sin`x에서 x의 증분 Dx에 대한 y의 증분을 Dy라고 하면
Dy=sin(x+Dx)-sin`x
=sin`x`cos`Dx+cos`x`sin`Dx-sin`x
이므로
1. 여러 가지 함수의 미분
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 73
73
2018-05-25 오후 1:42:39
y '= lim
Dx Ú 0
= lim
Dx Ú 0
Dy
Dx
sin`x`cos`Dx+cos`x`sin`Dx-sin`x
Dx
=sin`x_ lim
Dx Ú 0
cos`Dx-1
sin`Dx
+cos`x_ lim
yy ①
Dx Ú 0
Dx
Dx
이다. 이때
lim
Dx Ú 0
cos`Dx-1
Dx
= lim
Dx Ú 0
cosÛ``Dx-1
Dx(cos`Dx+1)
-sinÛ``Dx
Dx Ú 0 Dx(cos`Dx+1)
=0
lim
Dx Ú 0
sin`Dx
cos`Dx-1
=1, lim
=0
Dx Ú 0
Dx
Dx
이므로 ①에서
= lim
y '=sin`x_ lim
Dx Ú 0
cos`Dx-1
sin`Dx
+cos`x_ lim
Dx Ú 0
Dx
Dx
=sin`x_0+cos`x_1
=cos`x
이다. 즉,
(sin`x)'=cos`x
이다.
코사인함수의
도함수
같은 방법으로 삼각함수 y=cos`x의 도함수를 구해 보자.
삼각함수 y=cos`x에서 x의 증분 Dx에 대한 y의 증분을 Dy라고 하면
Dy=cos(x+Dx)-cos`x
=cos`x`cos`Dx-sin`x`sin`Dx-cos`x
이므로
y '= lim
Dx Ú 0
= lim
Dx Ú 0
Dy
Dx
cos`x`cos`Dx-sin`x`sin`Dx-cos`x
Dx
=cos`x_ lim
Dx Ú 0
cos`Dx-1
sin`Dx
-sin`x_ lim
Dx Ú 0
Dx
Dx
=cos`x_0-sin`x_1
=-sin`x
이다. 즉,
(cos`x)'=-sin`x
이다.
74
II. 미분법
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 74
2018-05-25 오후 1:42:39
이상을 정리하면 다음과 같다.
사인함수와 코사인함수의 도함수
❶ y=sin`x이면 y '=cos`x
❷ y=cos`x이면 y '=-sin`x
사인함수와 코사인함수의 도함수 구하기
예제 1
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=x+sin`x
풀이
⑵ y=sin`x`cos`x
⑴ y '=(x)'+(sin`x)'=1+cos`x
답
⑵ y '=(sin`x)'cos`x+sin`x(cos`x)'
=cos`x_cos`x+sin`x_(-sin`x)
=cosÛ``x-sinÛ``x
1.
답
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=x`cos`x
생각
키우기
⑵ y=eÅ``sin`x
경사면에서 물체를 끌어올리는 힘
문제 해결 창의·융합
선사 시대 사람들은 고인돌을 만들 때 바닥에 구덩이를 파서 받침
돌을 세운 후, 받침돌의 높이만큼 주변에 흙을 쌓아 경사면을 만든 뒤
그 경사면을 이용하여 덮개돌을 끌어올렸다고 한다. 이와 같이 경사
면을 이용하면 물체를 수직으로 들어 올리는 힘보다 적은 힘으로 물
체를 끌어올릴 수 있다. 경사면이 지면과 이루는 각의 크기를 h라고
할 때, 질량이 m인 물체를 끄는 데 필요한 힘 F는
F(h)=lmg cos`h (l는 정지 마찰 계수, g는 중력 가속도)
이다. F '{;6Ò;}의 값을 구해 보자.
1. 여러 가지 함수의 미분
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 75
75
2018-05-25 오후 1:42:40
스스로 익히는
여러 가지 함수의 미분
개념 1
무리수 e의 정의
;[!;
lim (1+x) = ① e
x Ú0
개념을 정리하고, 얼마나 이해했는지 문제를 통해 확인해 보자.
개념 1
54쪽
01. 다음 함수의 극한값을 구하시오.
;[!;
⑴ lim (1+2x)
x Ú0
⑵ lim x{ln(1+x)-ln`x}
x Ú¦
개념 2
지수함수와 로그함수의 도함수
⑴ y=eÅ 이면 y '=eÅ
⑵ y=aÅ 이면 y '= ② aÅ ln`a (a>0, a+1)
⑶ y=ln`x이면 y '= ③ ;[!;
⑷ y=log`x (a>0, a+1)이면
y '= ④
개념 3
1
x ln`a
개념 2
57쪽
02. 다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=eÅ`+2Å`
⑵ y=xeÅ`+xÛ`
삼각함수의 덧셈정리
⑴ sin(a+b)
= ⑤ sin`a`cos`b+cos`a`sin`b
sin(a-b)=sin`a`cos`b-cos`a`sin`b
개념 2
59쪽
03. 다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=ln`x+logª`x
⑵ cos(a+b)
⑵ y=x ln`x-xÛ`
= ⑥ cos`a`cos`b-sin`a`sin`b
cos(a-b)=cos`a`cos`b+sin`a`sin`b
⑶ tan(a+b)= ⑦
tan(a-b)=
tan`a+tan`b
1-tan`a`tan`b
tan`a-tan`b
1+tan`a`tan`b
개념 3
62쪽
04. sin`a=;5#;, cos`b=;5$;일 때, 다음 삼각함수의 값을 구하시오.
개념 4
lim
x`Ú 0
sin`x
의값
x
sin`x
lim
= ⑧1
x Ú0
x
개념 5
사인함수와 코사인함수의 도함수
⑴ (sin`x)'= ⑨ cos`x
⑵ (cos`x)'= ⑩ -sin`x
{단, 0<a<;2Ò;, 0<b<;2Ò;}
⑴ sin(a+b)
개념 4
70쪽
05. 다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú0
76
⑵ cos(a+b)
3x
sin`2x
⑵ lim
x Ú0
tan`2x
3x
II. 미분법
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 76
2018-05-25 오후 1:42:41
정답 및 풀이 190쪽
중단원 학습 점검
자기 평가
개념 5
73쪽
06. 다음 함수를 미분하시오.
맞힌
개념에 해당하는 칸에 색칠하고
정답률을 나타내 보자.
⑵ y=eÅ` cos`x
⑴ y=cos`x+sin`x
①
⑩
②
⑨
%
③
④
( eÛ`Å`-1
(x<0)
ax
함수 f(x)={
이 실수 전체의 집합에서 연속
9[ xÛ`+2x+3 (x¾0)
개념 1
07.
일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
⑦
⑤
56쪽
⑧
⑥
각
개념별로 해결한 문제 수만큼 색칠해
보자.
개념 1
개념 2
개념 3
개념 4
개념 2
08.
60쪽
함수 f(x)=ln`x에 대하여 lim
h Ú0
개념 5
f(a+h)-f(a-h)
=4일 때,
h
상수 a의 값을 구하시오.
각
난이도별로 해결한 문제 수를 세어
보자.
/6
개념 3
64쪽
09. 오른쪽 그림과 같이 중심이 원점이고,
P
반지름의 길이가 5인 반원 위의 두 점
P, Q에서 지름 AB에 내린 수선의 발 A
을 각각 R, S라고 하면 ORÓ=3,
Ω
O
Q
이
단원에서 나의 학습 만족도를 평가해
보자.
0
25
50
75
100%
잘한
점은 발전시키고, 부족한 점은 보
완할 수 있도록 학습 계획을 세워 보자.
70쪽
=;4!;일 때, f(10)의 값을 구
10. 일차함수 f(x)에 대하여 lim tan`x
f(x)
x Ú0
/1
RS B
OSÓ=4이다. ∠POQ=h라고 할 때, cos`h의 값을 구하시오.
개념 4
/3
다음 단원에서 우리는
다양하게 표현된 함수를 미분하는 여러 가지
방법을 알아본다.
하시오.
중단원 학습 점검
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 77
77
2018-05-25 오후 1:42:42
같은 소리도 왜 다르게 느껴질까?
문제 해결 의사소통
주어진 글을 읽고 다음 활동을 해 보자.
도서관에서는 시계 초침의 작은 소리까지 들리지만 달리는 지하철 안에서는 목소리가 잘 들리
지 않아 평소보다 더 크게 친구와 대화하게 된다. 즉, 조용한 곳에서는 소리가 조금만 커져도 그
변화를 알 수 있지만 시끄러운 곳에서는 소리가 조금 커지면 그 변화를 쉽게 알 수 없다. 이런 사
실을 통해 베버(Weber, E. H., 1795~1878)는 변화를 느낄 수 있는 자극의 강도의 최소 변화
량은 이전 자극의 강도에 비례한다는 것을 알아냈다.
자극에 민감한 정도는 감각 기관마다 다른데 시각은 ;12!0; ~ ;10!0;, 청각은 ;7!;, 미각은 ;6!;, 압각
은 ;12!0;이라고 알려져 있다. 예를 들어, 처음 소리의 크기가 7`dB이었다면 1`dB만 커져도 소리
의 크기 변화를 알 수 있지만 처음 소리의 크기가 70`dB이었다면 10`dB 이상 커져야 소리의 크
기 변화를 느낄 수 있다. 페히너(Fechner, G. T., 1801~1887)는 이것을 수식화하여 자극의
강도를 I, 감각의 양을 S라 하고
S
S=k log`I`(k는 상수)
S=k`log`I
로 표현했다. 즉, 자극의 강도가 증가할수록 감각의 양의 증
가율은 감소하는 것을 알 수 있다. 이것을 ‘베버–페히너의
법칙’이라고 한다.
활동 1
출처: 『과학동아』, 2012,
『수학동아』, 2014
O
1
I
자극의 강도를 x, 감각의 양을 f(x)라고 할 때
f(x)=k log`x`(k는 상수)
이다. k=;10!0;일 때, f '(1)과 f '(10)의 값을 각각 구해 보자.
활동 2
활동 평가
활동 1 에서 구한 두 값을 비교하고 그 의미에 대하여 토론해 보자.
나의 활동을 스스로 평가해 보자.
평가 항목
자기 평가
좋음
보통
부족
주어진 글을 읽고 스스로 이해했다.
내용
활동 1 의 결과를 정확히 구했다.
활동 2 에서 활동 1 의 결과에 대한 의미를 설명했다.
태도
78
활동에 적극적으로 참여했다.
II. 미분법
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 78
2018-05-25 오후 1:42:44
물 로켓이 날아간 거리를 알아보자!
문제 해결 추론 정보 처리 태도 및 실천
다음 글을 보고 활동을 해 보자.
오른쪽 그림과 같이 경사면을 향해 A 지
점에서 지면과 h {;4Ò;<h<;2Ò;}의 발사각을
B
이루고 v¼의 속도로 물 로켓을 발사하려고
한다. 경사면이 지면과 이루는 각의 크기는
l{Ω}
45ù이고 물 로켓이 경사면에 떨어진 지점을
B라고 할 때, 두 지점 A, B 사이의 거리를
l(h)라고 하면
l(h)=
v¼Û`'2
cos`h(sin`h-cos`h)
16
A
Ω
45æ
인 관계가 성립한다고 한다. (단, 공기의 저항은 무시한다.)
출처: M. Sullivan, 『ALGEBRA & TRIGONOMETRY』
활동 1
삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 다음 등식이 성립함을 증명해 보자.
l(h)=
활동 2
v¼Û`'2
(sin`2h-cos`2h-1)
32
물 로켓을 발사할 때의 속도 v¼가 8'2 일 때, 탐구형 소프트웨어를 이용하여 함수 y=l(h)의 그래프
를 그려 보자.
활동 3
활동 평가
l '(h)=0을 만족시키는 h에 대하여 tan h의 값을 구해 보자.
나와 친구의 활동을 서로 평가해 보자.
자기 평가
좋음
보통
평가 항목
부족
친구 평가
좋음
보통
부족
활동 1 을 스스로 증명했다.
내용
탐구형 소프트웨어를 이용하여 활동 2 의 그래프를 나타냈다.
활동 3 의 결과를 정확하게 구했다.
태도
활동에 적극적으로 참여했다.
교과 역량 키우기+
(048~079)고등수학교과서_미적분.indd 79
79
2018-05-28 오후 12:25:56
스스로 준비하는 중단원
고 수학Ⅱ | 미분계수와
도함수
고 수학Ⅱ | 미분계수와
도함수
고 미적분 | 여러
가지 함수의 미분
1. 함수 f(x)=xÜ`-2x+1에 대하
2. 다음 함수의 도함수를 구하시오.
3. 다음 함수의 도함수를 구하시오.
여 x=2에서의 미분계수를 구하시
⑴ f(x)=;3!;xÜ`+xÛ`+2
⑴ f(x)=x sin`x
오.
⑵ f(x)=(2x-1)(xÛ`+x+1)
⑵ f(x)=(2x-1)eÅ`
여러 가지 미분법
01. 함수의 몫의 미분법
03. 매개변수로 나타낸 함수의 미분법
02. 합성함수의 미분법
04. 음함수와 역함수의 미분법
05. 이계도함수
혈관의 단면을 원으로 생각했을 때 혈액의 속도는
혈관의 중심에서 가장 빠르고, 혈관의 벽면으로 갈수
록 감소한다. 즉, 혈액의 속도는 혈관 내의 위치에 따
라 달라지기 때문에 혈관의 중심에서 혈관 내 어느 한
지점까지의 거리에 대한 함수를 미분하면 혈액의 속
도의 변화율을 구할 수 있다. 혈액의 속도는 세포의
활동과 관련되어 있으므로 이 수치를 통해 혈관의 이
상 여부를 판단한다.
출처: L. Fisher, 『슈퍼마켓 물리학』, 강윤재 역
위의 글에서 제시된 중심 단어나 문장을 도서관이나 인터넷을 통해 알아보고 이 단원의 학습 내용의 중요성을 말해 보자.
80
II. 미분법
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2018-07-24 오후 12:27:35
들어가기 전에
여러 가지 함수의
도함수를 구할 수 있나요?
예
아니요 57쪽
함수의 몫의 미분법
학습 목표
•함수의 몫을 미분할 수 있다.
함수의 몫의 미분법이란 무엇일까?
생각과
활동
온도가 일정할 때 기체의 부피와 압력은 서로 반비례한
다. 어떤 기체에 가해지는 압력이 x일 때 기체의 부피를
y라고 하면
y=;[K; (k는 양의 상수)
이다.
출처: 임태훈 외 10인, 『과학①』
활동 1 x가 1에서 1+Dx까지 변할 때, y의 평균변화율을 구해 보자.
활동 2
활동 1
에서 Dx Ú 0일 때, y의 순간변화율을 구해 보자.
함수 g(x)가 미분가능할 때, 함수 y=
함수 y=
1
( g(x)+0)의 도함수를 구해 보자.
g(x)
1
( g(x)+0)에서 x의 증분 Dx에 대한 y의 증분을 Dy라고 하면
g(x)
Dy=
1
1
g(x+Dx) g(x)
=-
g(x+Dx)-g(x)
g(x+Dx)g(x)
이므로
2. 여러 가지 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 81
81
2018-05-25 오후 1:43:17
[
1 '
Dy
] = lim
Dx Ú 0 Dx
g(x)
= lim
Dx Ú 0
1
g(x+Dx)-g(x)
[]
Dx
g(x+Dx)g(x)
=- lim [
Dx Ú 0
g(x+Dx)-g(x)
1
_
]
Dx
g(x+Dx)g(x)
=-g '(x)_ lim
Dx Ú 0
1
g(x+Dx)g(x)
이때 미분가능하고 연속인 함수 g(x)에 대하여 lim g(x+Dx)=g(x)이므로
Dx Ú 0
[
1 '
1
] =-g '(x)_ lim
Dx Ú 0 g(x+Dx)g(x)
g(x)
=-
g '(x)
{ g(x)}Û`
이다.
한편, 미분가능한 두 함수 f(x), g(x)에 대하여
f(x)
1
=f(x)_
이므로 함수
g(x)
g(x)
1
f(x)
의 도함수와 함수의 곱의 미분법을 이용하면 함수 y=
(g(x)+0)의 도함수
g(x)
g(x)
도 구할 수 있다.
[
f(x) '
1 '
] =[ f(x)_
]
g(x)
g(x)
=f '(x)_
1
1 '
+f(x)_[
]
g(x)
g(x)
=
f '(x)
g '(x)
-f(x)_
g(x)
{ g(x)}Û`
=
f '(x)g(x)-f(x)g '(x)
{ g(x)}Û`
이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
함수의 몫의 미분법
두 함수 f(x), g(x)가 미분가능하고 g(x)+0일 때
82
❶[
1 '
g '(x)
] =g(x)
{ g(x)}Û`
❷[
f(x) ' f '(x)g(x)-f(x)g '(x)
]=
g(x)
{ g(x)}Û`
II. 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 82
2018-05-25 오후 1:43:18
함수의 몫의 미분법을 이용하여 도함수 구하기
예제 1
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=
풀이
1
x+1
⑴ y '=⑵ y '=
=
1.
환경 수학
2.
(x+1)'
1
=(x+1)Û`
(x+1)Û`
⑵ y=
x
2x+1
답
x'_(2x+1)-x_(2x+1)'
(2x+1)Û`
2x+1-2x
1
=
(2x+1)Û`
(2x+1)Û`
답
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=
1
xÛ`+1
⑵ y=
x-1
x+1
⑶ y=
eÅ`
eÅ`+1
⑷ y=
cos`x
1+sin`x
최근 미세 먼지로 인해 외부 활동 시 마스크를 착용하는 경
우가 많고 실내에서도 공기 정화기를 사용하는 경우가 늘
어나고 있다. 미세 먼지 농도가 200`lg/mÜ` 인 어느 교실에
공기 정화기를 가동한 지 t시간 후 교실의 미세 먼지 농도
를 y라고 할 때
200
tÛ`+1
인 관계가 성립한다고 한다. 다음 물음에 답하시오.
y=
⑴ 시각 t에 대한 교실의 미세 먼지 농도 y의 변화율
dy
를 구하시오.
dt
⑵ 공기 정화기를 가동한 지 3시간 후 교실의 미세 먼지 농도 y의 순간변화율을 구하시오.
2. 여러 가지 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 83
83
2018-05-25 오후 1:43:18
함수 y=xÇ` (n은 정수)의 도함수는 어떻게 구할까?
생각과
활동
다음 활동을 해 보자.
활동 1 함수의 몫의 미분법을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하고 표를 완성해 보자.
;[!;
f(x)
1
xÛ`
1
xÜ`
1
xÝ`
f '(x)
활동 2
활동 1
로부터 함수 y=xÇ (n은 정수)의 도함수를 생각해 보자.
수학Ⅱ에서 n이 양의 정수일 때 함수 y=xÇ 과 상수함수의 도함수에 대하여 학습한 내
용을 정리하면 다음과 같다.
y=xâ`=1로 정의하면
y '=0이다. 따라서 n=0일
때 y '=nxÇ` ÑÚ`이 성립한다.
❶ y=xÇ` (n은 양의 정수)이면 y '=nxÇ` ÑÚ`
❷ y=c (c는 상수)이면 y '=0
이제 함수의 몫의 미분법을 이용하여 n이 음의 정수일 때 함수 y=xÇ 의 도함수를 구
해 보자.
양의 정수 m에 대하여 n=-m으로 놓으면 xÇ =xѵ``=
(xÇ )'={
1
이므로
xµ``
1 '
(xµ``)'
mxµ``ÑÚ`
} ==xµ``
(xµ``)Û`
xÛ`µ``
=-mxѵ``ÑÚ`=nxÇ` ÑÚ`
이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
함수 y=xÇ` (n은 정수)의 도함수
n이 정수일 때
y=xÇ`이면 y '=nxÇ` ÑÚ`
개념 확인
1. y=xÑÚ`이면 y '=-xÑÚ`ÑÚ`=-xÑÛ`
2. y=xÑÝ`이면 y '=-4xÑÝ`ÑÚ`=-4xÑÞ`
84
II. 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 84
2018-05-25 오후 1:43:19
함수 y=xÇ`` (n은 정수)의 도함수 구하기
예제 2
풀이
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=
2
xÛ`
⑴ y=
2
=2_xÑÛ`이므로
xÛ`
⑵ y=
y '=2_(-2xÑÛ`ÑÚ`)=-4xÑÜ`=⑵ y=
4
xÜ`
답
xÝ`+1
=xÛ`+xÑÛ`이므로
xÛ`
y '=2xÛ`ÑÚ`-2xÑÛ`ÑÚ`=2x-2xÑÜ`=2x-
3.
xÝ`+1
xÛ`
2
xÜ`
답
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=
3
xÜ`
⑵ y=-
⑶ y=
xß`-1
xÜ`
⑷ y=
1
xÞ`
(xÛ`+1)(xÛ`-1)
xÝ`
함수 y=tan`x의 도함수는 어떻게 구할까?
함수의 몫의 미분법을 이용하여 함수 y=tan`x의 도함수를 구해 보자.
삼각함수 사이의 관계에서 tan`x=
y '=(tan`x)'={
(sin`x)'=cos`x
(cos`x)'=-sin`x
sinÛ``x+cosÛ``x=1
sin`x
이므로
cos`x
sin`x '
}
cos`x
=
(sin`x)'cos`x-sin`x(cos`x)'
cosÛ``x
=
cosÛ``x+sinÛ``x
1
=
cosÛ``x
cosÛ``x
=secÛ``x
이다.
2. 여러 가지 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 85
85
2018-05-25 오후 1:43:19
이상을 정리하면 다음과 같다.
함수 y=tan`x의 도함수
y=tan`x이면 y '=secÛ``x
개념 확인
y=x tan`x이면 y '=(x)'tan`x+x(tan`x)'=tan`x+x secÛ``x
4.
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=xÛ`-tan`x
⑵ y=sin`x tan`x
몫의 미분법 활용하기
예제 3
다음이 성립함을 보이시오.
⑴ (sec`x)'=sec`x`tan`x
증명
⑴ sec`x=
⑵ (csc`x)'=-csc`x`cot`x
1
이므로 함수의 몫의 미분법을 이용하면
cos`x
(sec`x)'={
=
1
(cos`x)'
}'=cos`x
cosÛ``x
sin`x
1
sin`x
=
_
cosÛ``x cos`x cos`x
=sec`x`tan`x
⑵ csc`x=
1
이므로 함수의 몫의 미분법을 이용하면
sin`x
(csc`x)'={
1
(sin`x)'
}'=sin`x
sinÛ``x
=-
cos`x
1
cos`x
=_
sin`x
sin`x
sinÛ``x
=-csc`x`cot`x
86
II. 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 86
2018-05-25 오후 1:43:20
cot`x=
5.
1
tan`x
(cot`x)'=-cscÛ``x가 성립함을 보이시오.
삼각함수의 도함수를 정리하면 다음과 같다.
삼각함수의 도함수
❶ y=sin`x이면 y '=cos`x
❷ y=cos`x이면 y '=-sin`x
❸ y=tan`x이면 y '=secÛ``x
❹ y=sec`x이면 y '=sec`x`tan`x
❺ y=csc`x이면 y '=-csc`x`cot`x
❻ y=cot`x이면 y '=-cscÛ``x
6.
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=cos`x`cot`x
⑶ y=
생각
키우기
x
tan`x
⑵ y=sec`x+csc`x
⑷ y=
sec`x+1
tan`x
그림자 길이의 순간변화율
문제 해결 창의·융합
오른쪽 그림과 같이 지면에 수직으로 서 있는 석탑의 높이가 15.2`m이다. 지면에 생
긴 석탑 그림자의 끝에서 태양을 올려다본 각의 크기를 h, 석탑의 중앙에서 석탑 그림
자의 끝부분까지의 길이를 y`m라고 할 때, 다음 물음에 답해 보자. {단, 0<h<;2Ò;}
⑴ y를 h에 대한 식으로 나타내 보자.
⑵ h에 대한 y의 변화율
dy
를 구해 보자.
dh
⑶ h=;4Ò;일 때, 석탑의 중앙에서 석탑 그림자의 끝부분까지의 길이의 순간변화율을
구해 보자.
Ω
y
2. 여러 가지 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 87
87
2018-05-25 오후 1:43:22
들어가기 전에
y=xÇ``(n은 정수)의 도함수를 구할 수
있나요?
예
아니요 84쪽
합성함수의 미분법
학습 목표
•합성함수를 미분할 수 있다.
합성함수의 미분법이란 무엇일까?
생각과
활동
두 함수 f(x)=xÛ`, g(x)=3x-1에 대하여 다음과 같이 f( g(x))를 미분하는 과정을 보
고 활동을 해 보자.
y=f(u), u=g(x)
합성함수
y=f(g(x))에서 …
y=f(g(x))=(3x-1)Û`
=9xÛ`-6x+1
이므로
dy
=18x-6
dx
활동 1
y=uÛ`, u=3x-1에서
로 놓으면 …
dy
du
=2u,
=3이므로
du
dx
dy du
´
=2u ´ 3=18x-6
du dx
dy
dy du
와
`´`
를 비교해 보자.
dx
du dx
두 함수 y=f(u), u=g(x)가 미분가능할 때, 합성함수 y=f( g(x))의 도함수를 구
해 보자.
함수 u=g(x)에서 x의 증분 Dx에 대한 u의 증분을 Du라 하고 함수 y=f(u)에서 u
의 증분 Du에 대한 y의 증분을 Dy라고 하면
Dy Dy Du
=
`´`
(Du+0)
Dx Du Dx
곱셈 기호 _는 ´로 사용
하기도 한다.
이다.
88
II. 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 88
2018-05-25 오후 1:43:23
두 함수 y=f(u), u=g(x)가 미분가능하므로
lim
Du Ú 0
Dy dy
Du du
= , lim
=
Du du Dx Ú 0 Dx dx
이다. 이때 미분가능한 함수 u=g(x)는 연속이므로 Dx Ú 0일 때 Du Ú 0이다.
함수 u=g(x)가 연속이면
lim Du
Dx Ú 0
= lim { g(x+Dx)-g(x)}
Dx Ú 0
따라서
=g(x)-g(x)=0
lim
Dx Ú 0
Dy
Dy Du
= lim {
`´`
}
Dx Dx Ú 0 Du Dx
= lim
Du Ú 0
=
Dy
Du
`´` lim
Du Dx Ú 0 Dx
dy du
`´`
du dx
이므로
dy dy du
= `´`
dx du dx
가 성립한다.
여기서
dy
dy
du
={ f(g(x))}'이고
=f '(u)=f '(g(x)),
=g '(x)이므로
dx
du
dx
{ f(g(x))}'=f '(g(x))g '(x)
이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
합성함수의 미분법
두 함수 y=f(u), u=g(x)가 미분가능할 때, 합성함수 y=f(g(x))의 도함수는
dy dy du
= `´`
dx du dx
또는 { f(g(x))}'=f '(g(x))g '(x)
합성함수의 도함수 구하기
예제 1
풀이
함수 y=eÛ`Å` ±Ú`을 미분하시오.
u=2x+1로 놓으면 y=eÉ 이므로
dy
du
=eÉ ,
=2
du
dx
따라서
dy dy du
= `´` =eÉ``´`2=2eÉ`=2eÛ`Å` ±Ú`
dx du dx
답
2. 여러 가지 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 89
89
2018-05-25 오후 1:43:24
1.
다음 함수를 미분하시오.
1
(2x+1)Ü`
⑴ y=(xÛ`+x+1)Ü`
⑵ y=
⑶ y=sin(3x+2)
⑷ y=`exÛ`+1
함수 y=x¨` (x>0, r는 유리수)의 도함수는 어떻게 구할까?
함수 y=x¨` (x>0,`r는 유리수)의 도함수를 구해 보자.
함수 y=x¨` 에서 r=
n
`(m, n은 정수, m+0)으로 놓으면
m
n
y=x m , 즉 yµ``=xÇ`
이다.
이때 f(y)=yµ``, g(x)=xÇ`으로 놓으면 합성함수의 미분법에 의하여
df(y) df(y) dy
dy
=
´
=myµ`` ÑÚ` ´
,
dx
dy
dx
dx
dg(x)
=nxÇ` ÑÚ`
dx
이다. 이때
df(y) dg(x)
=
이므로
dx
dx
myµ`` ÑÚ` ´
dy
=nxÇ` ÑÚ`
dx
이다. 따라서
dy
nxÇ` ÑÚ`
n
xÇ` ÑÚ`
=
= ´
dx myµ`` ÑÚ` m (x mn )µ`` ÑÚ`
=
n
n
´ x m ÑÚ`=rx¨` ÑÚ`
m
이 성립한다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
함수 y=x¨` (x>0, r는 유리수)의 도함수
r가 유리수일 때
y=x¨`이면 y '=rx¨` ÑÚ`
개념 확인
;2!;
;2!;-1
y='x이면 y '=('x)'=(x )'=;2!;x
90
-;2!;
=;2!;x
=
1
2'x
II. 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 90
2018-05-25 오후 1:43:25
2.
과학 수학
3.
다음 함수를 미분하시오.
1
x'x
⑴ y=Ü "xÛ`
⑵ y=
⑶ y='Ä2x+1
⑷ y=Ü 'Ä4x-3
어느 제약 회사에서 만든 종합 영양제 10`mg을 복용한 지 t시
간 후 체내에 남아 있는 종합 영양제의 양을 y`mg이라고 할 때
y=
10
"Ã(t+1)Ü`
인 관계가 성립한다고 한다. 시각 t에 대한 체내에 남아 있는 종
합 영양제의 양 y의 순간변화율을 구하시오.
절댓값이 포함된 로그함수 y=ln|x|의 도함수는 어떻게 구할까?
절댓값이 포함된 로그함수 y=ln|x|의 도함수를 구해 보자.
(ln`x)'=;[!;
(log`x)'=
Ú x>0일 때, y=ln|x|=ln`x이므로
1
x ln`a
y '=;[!;
(단, x>0, a>0, a+1)
이다.
Û x<0일 때, y=ln|x|=ln(-x)이므로
y '=
(-x)'
=;[!;
-x
이다.
Ú, Û에 의하여 (ln|x|)'=;[!;이다.
또, 함수 y=log|x| (a>0,`a+1)의 도함수는
y '=(log|x|)'={
ln|x| '
}
ln`a
=
1
1
(ln|x|)'=
`´`;[!;
ln`a
ln`a
=
1
x ln`a
이다.
2. 여러 가지 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 91
91
2018-05-25 오후 1:43:25
이상을 정리하면 다음과 같다.
절댓값이 포함된 로그함수 y=ln|x|의 도함수
❶ y=ln|x|이면 y '=;[!;
❷ y=log|x|이면 y '=
1
(단, a>0,`a+1)
x ln`a
한편, 함수 f(x)가 미분가능하고 f(x)+0일 때, 합성함수의 미분법을 이용하여 함수
y=ln|f(x)|의 도함수를 구하면
y=log|f(x)|
(a>0,`a+1)이면
y '=
y '=(ln|f(x)|)'=
f '(x)
f(x) ln`a
f '(x)
f(x)
이다.
절댓값이 포함된 로그함수의 도함수 구하기
예제 2
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=ln|2x+1|
풀이
4.
92
⑵ y=logª|3x-1|
⑴ y '=
(2x+1)'
2
=
2x+1
2x+1
⑵ y '=
(3x-1)'
3
=
(3x-1)ln`2 (3x-1)ln`2
답
답
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=ln|xÛ`-2|
⑵ y=ln|sin`x|
⑶ y=logª|xÜ`-1|
⑷ y=logª|xÛ`-x+1|
II. 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 92
2018-05-25 오후 1:43:26
함수 y=xa (x>0, a는 실수)의 도함수는 어떻게 구할까?
함수 y=xa (x>0,`a는 실수)의 도함수를 구해 보자.
y=xa 의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면
ln|y|=ln|xa|=a ln|x|
이다.
이때 f(y)=ln|y|, g(x)=a ln|x|로 놓으면 합성함수의 미분법에 의하여
df(y) df(y) dy 1 dy
=
´
= ´
,
dx
dy
dx y dx
dg(x) a
=
dx
x
이다. 이때
df(y) dg(x)
=
이므로
dx
dx
1 dy a
´
=
y dx x
이다. 따라서
dy ay axa
= =
=axaÑÚ`
x
dx
x
이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
함수 y=xa (x>0, a는 실수)의 도함수
a가 실수일 때
y=xa이면 y '=axaÑÚ`
참고
xÉ0인 경우에도 함수 y=xa (a는 실수)의 도함수가 존재하면 y '=axaÑÚ`이 성립함이
알려져 있다.
개념 확인
y=x'2이면 y '=(x'2)'='2x'2-1
5.
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=x'3
⑵ y=xp
2. 여러 가지 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 93
93
2018-05-25 오후 1:43:27
여러 가지 방법으로 함수를 미분해 보자!
문제 해결 의사소통 태도 및 실천
두 학생이 함수 f(x)=
x(x-1)
의 도함수를 각자의 방법으로 구하여 발표한 것이다. 다음
(x+1)Û`
활동을 해 보자.
f(x)=
x(x-1)
xÛ`-x
=
이므로
(x+1)Û`
(x+1)Û`
f '(x)=
저는 함수의 몫의
미분법을 이용했어요!
(2x-1)(x+1)Û`-(xÛ`-x) ´ 2(x+1)
(x+1)Ý`
=
(x+1){(2xÛ`+x-1)-(2xÛ`-2x)}
(x+1)Ý`
=
3x-1
(x+1)Ü`
ln|f(x)|=ln|
x(x-1)
|
(x+1)Û`
=ln|x|+ln|x-1|-2 ln|x+1|
양변을 각각 x에 대하여 미분하면
저는 양변의 절댓값에
자연로그를 취한 뒤 합성함수의
미분법을 이용했어요!
f '(x)
3x-1
1
2
=;[!;+
=
이므로
f(x)
x-1 x+1 x(x-1)(x+1)
f '(x)=
활동 1
함수 f(x)=
3x-1
x(x-1)
3x-1
´
=
x(x-1)(x+1) (x+1)Û`
(x+1)Ü`
(x+1)Ü`(x-2)
의 도함수를 각자의 방법으로 구해 보고, 그 결과를 친구들과 비교해
(x-1)Û`
보자.
활동 평가
나와 친구의 활동을 서로 평가해 보자.
자기 평가
좋음
보통
평가 항목
부족
친구 평가
좋음
보통
부족
주어진 글을 스스로 이해했다.
내용
활동 1 의 도함수를 정확하게 구했다.
활동 1 에서 도함수를 구한 과정을 명확하게 설명했다.
태도
94
활동에 적극적으로 참여했다.
II. 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 94
2018-05-25 오후 1:43:28
들어가기 전에
여러 가지 함수의 미분을 알고 있나요?
예
아니요 73쪽
매개변수로 나타낸 함수의 미분법
학습 목표
•매개변수로 나타낸 함수를 미분할 수 있다.
매개변수로 나타낸 함수란 무엇일까?
생각과
활동
y
오른쪽 그림은 중심이 원점 O이고 반지름의 길이가 1인
1
원 위에 풍력 발전기 날개를 나타낸 것이다. 날개 중 하나의
P
끝을 점 P라고 하자.
활동 1 원 위를 움직이는 점 P의 좌표를 P(x, y)라고 할 때, x와 y의
-1
1 x
O
관계식을 구해 보자.
-1
y
활동 2 점 P와 점 A(1, 0)에 대하여 각 POA의 크기를 t라고 할 때,
1
x와 y를 각각 t에 대한 식으로 나타내 보자.
P
t
-1
O
A
1 x
-1
일반적으로 두 변수 x,`y 사이의 관계가 변수 t를 매개로 하여
x=f(t), y=g(t)
매개변수를 영어로
parameter라고 한다.
와 같이 나타내어질 때, 변수 t를 x,`y의 매개변수라 하고 두 함수 x=f(t), y=g(t)를
매개변수로 나타낸 함수라고 한다.
2. 여러 가지 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 95
95
2018-05-25 오후 1:43:31
예를 들어, 매개변수 t로 나타낸 함수
x=2t, y=3t-1
에서 t를 소거하여 정리하면 y=;2#;x-1이다.
즉, 함수 x=2t, y=3t-1은 직선 y=;2#;x-1을 매개변수 t로 나타낸 함수이다.
매개변수로 나타낸 함수는 어떻게 미분할까?
두 함수 f(t),`g(t)가 미분가능하고 f '(t)+0일 때, 매개변수 t로 나타낸 함수
x=f(t), y=g(t)의 도함수
dy
를 구해 보자.
dx
매개변수 t의 증분 Dt에 대한 x의 증분을 Dx, y의 증분을 Dy라고 하면 함수
x=f(t), y=g(t)가 미분가능하므로
lim
Dt Ú 0
Dx dx
Dy dy
=
, lim
=
Dt dt Dt Ú 0 Dt dt
이다.
여기서 함수 x=f(t)가 미분가능하고 f '(t)+0일 때, 역함수가 존재하며 역함수는
연속임이 알려져 있다. 따라서 Dx Ú 0일 때 Dt Ú 0이다.
Dy
Dt
dy
Dy
= lim
= lim
Dx
Ú
0
Dt
Ú
0
Dx
dx
Dx
Dt
dy
dt
g '(t)
=
=
dx
f '(t)
dt
이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
매개변수로 나타낸 함수의 미분법
두 함수 x=f(t), y=g(t)가 미분가능하고 f '(t)+0일 때
dy
dy
g '(t)
dt
=
=
dx
f '(t)
dx
dt
96
II. 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 96
2018-05-25 오후 1:43:32
매개변수로 나타낸 함수의 도함수 구하기
예제 1
풀이
dy
매개변수 t로 나타낸 함수 x=tÛ`+t, y=2t+1에 대하여
를 구하시오.
dx
x=tÛ`+t에서
dx
dy
=2t+1, y=2t+1에서
=2이므로
dt
dt
dy
dt
dy
2
=
=
{단, t+-;2!;}
dx
2t+1
dx
dt
1.
매개변수 t로 나타낸 다음 함수에 대하여
답
dy
를 구하시오.
dx
⑴ x=tÛ`-2, y=tÜ`+2t
⑵ x=2tÛ`-1, y=3tÛ`-2t+1
⑶ x=1+cos`t, y=1-sin`t
⑷ x=e^`+eÑ^`, y=e^`-eÑ^`
매개변수로 나타낸 함수의 미분법 응용하기
예제 2
매개변수 t로 나타낸 곡선 x=t+;t!;, y=t-;t!; 에 대하여 t=2에서의 접선의 기울기를 구
하시오.
풀이
x=t+;t!; 에서
dx
1
dy
1
=1- , y=t-;t!; 에서
=1+ 이므로
dt
dt
tÛ`
tÛ`
1
dy
1+
tÛ`
dy
dt
tÛ`+1
=
=
=
(단, t+Ñ1)
dx
dx
1
tÛ`-1
1dt
tÛ`
따라서 t=2에서의 접선의 기울기는
2.
dy 2Û`+1
=
=;3%;
dx 2Û`-1
답
매개변수 h로 나타낸 곡선 x=cos`h, y=2 sin`h에 대하여 h=;6Ò; 에서의 접선의 기울기를 구
하시오.
2. 여러 가지 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 97
97
2018-05-25 오후 1:43:33
들어가기 전에
y=x¨` (r는 유리수)
의 도함수를 구할 수
있나요?
예
아니요 90쪽
음함수와 역함수의 미분법
학습 목표
•음함수와 역함수를 미분할 수 있다.
음함수는 어떻게 미분할까?
생각과
활동
다음은 탐구형 소프트웨어를 이용하여 세 방정식
xÛ`+yÛ`=1, y="Ã1-xÛ`, y=-"Ã1-xÛ`
의 그래프를 나타낸 것이다.
x@+y@=1
y=Â1-·x@·
y=-Â1-·x@·
활동 1 주어진 그래프를 보고 각 방정식이 닫힌구간 [-1, 1]에서 함수인지 아닌지 말해 보자.
98
II. 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 98
2018-05-25 오후 1:43:35
음함수
원의 방정식 xÛ`+yÛ`=1은 열린구간 (-1, 1)에 속하는 임의의 값 x에 대응되는 y의
값이 두 개이므로 닫힌구간 [-1, 1]에서 함수가 아니다.
그러나 xÛ`+yÛ`=1에서 y의 값의 범위를 y¾0 또는 yÉ0으로 정하고 y를 x로 나타
내면
y¾0일 때 y="Ã1-xÛ`, yÉ0일 때 y=-"Ã1-xÛ`
이고, 이들은 모두 닫힌구간 [-1, 1]에서 y는 x의 함수가 된다.
일반적으로 방정식 f(x, y)=0에서 x와 y의 값의 범위를 적당히 정하면 y는 x의 함
수가 된다. 이와 같이 x의 함수 y가 방정식
f(x, y)=0
의 꼴로 주어졌을 때, y를 x의 음함수 표현이라고 한다.
예를 들어, xÛ`+yÛ`-1=0, xy-x+y=0은 모두 음함수 표현이다.
음함수의 미분법
이제 방정식 xÛ`+yÛ`-1=0의 도함수
dy
를 구해 보자.
dx
y를 x의 함수로 보고, 양변의 각 항을 x에 대하여 미분하면
d
d
d
d
(xÛ`)+
(yÛ`)(1)=
(0)
dx
dx
dx
dx
이다. 이때 합성함수의 미분법에 의하여
2x+
d
dy
(yÛ`) ´` =0
dy
dx
2x+2y
dy
=0
dx
dy
=-;]{; (y+0)
dx
이다.
이와 같이 x의 함수 y가 음함수 표현 f(x, y)=0의 꼴로 주어졌을 때, y를 x의 함수
로 보고 양변의 각 항을 x에 대하여 미분하여
dy
를 구하는 것을 음함수의 미분법이라
dx
고 한다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
음함수의 미분법은 음함수
표현 f(x, y)=0을 y=f(x)
의 꼴로 고치기 어려운 함수
를 미분할 때 유용하게 사용
된다.
음함수의 미분법
음함수 표현 f(x, y)=0에서 y를 x의 함수로 보고, 양변의 각 항을 x에 대하여 미분하여
dy
를 구한다.
dx
2. 여러 가지 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 99
99
2018-05-25 오후 1:43:36
음함수의 도함수 구하기
예제 1
풀이
dy
방정식 xÛ`+xy+yÛ`=1에서
를 구하시오.
dx
y를 x의 함수로 보고, 양변의 각 항을 x에 대하여 미분하면
d
d
d
d
(xÛ`)+
(xy)+
(yÛ`)=
(1)
dx
dx
dx
dx
2x+
d
d
d
dy
(x) ´`y+x`´`
(y)+
(yÛ`) ´` =0
dx
dx
dy
dx
2x+y+x
따라서
1.
dy
dy
+2y
=0
dx
dx
dy
2x+y
=(단, x+2y+0)
dx
x+2y
다음 방정식에서
답
dy
를 구하시오.
dx
⑴ yÛ`+x=0
⑵ xÛ`+yÛ`-x=2
⑶ xÜ`+xy-y=2
⑷ x+y+xy+4=0
음함수의 미분법 응용하기
예제 2
풀이
곡선 xy+x=6 위의 점 (2, 2)에서의 접선의 기울기를 구하시오.
과정 1.
dy
구하기
dx
y를 x의 함수로 보고, 양변의 각 항을 x에 대하여 미분하면
d
d
d
(xy)+
(x)=
(6)
dx
dx
dx
d
d
(x) ´ y+x ´
(y)+1=0
dx
dx
y+x
dy
+1=0
dx
dy
y+1
=(단, x+0)
dx
x
과정 2.
점 (2, 2)에서의 접선의 기울기 구하기
따라서 점 (2, 2)에서의 접선의 기울기는
dy
2+1
==-;2#;
dx
2
100
답
II. 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 100
2018-05-25 오후 1:43:36
문제
해결
2.
곡선 xÜ`+2xy+yÜ`=4 위의 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기를 구하시오.
3.
오른쪽 그림과 같이 길이가 5`m인 장대가 지면에 수직인 벽에
걸쳐 있다. 이 장대의 한끝은 지면을 따라, 다른 한끝은 벽을 따
라 미끄러질 때, 지면에 닿아 있는 장대의 한끝에서 벽까지의
5`m
거리를 x`m, 지면에서 다른 한끝까지의 높이를 y`m라고 하자.
y`m
장대의 두께는 무시한다고 할 때, 다음 물음에 답하시오.
x`m
⑴ x와 y 사이의 관계식을 구하시오.
⑵ x에 대한 y의 변화율
⑶ x=3일 때,
생각
키우기
dy
를 구하시오.
dx
dy
를 구하시오.
dx
같은 문제, 다른 방법
문제 해결 추론
함수 y=Ü "Ã(x+1)Û` 의 도함수를 구하기 위한 두 학생의 대화를 보고 다음 물음에 답해 보자.
r가 유리수일 때 함수 y=x¨`의
도함수는 y '=rx¨`ÑÚ`이니까
;3@;
y=Ü "Ã(x+1)Û`=(x+1) 으로 놓고
도함수를 구할 수 있어!
;3@;-1
-;3!;
dy
=;3@;(x+1) =;3@;(x+1)
dx
2
=
가 되겠네!
3Ü '¶x+1
음함수의 미분법을 이용하려면
어떻게 해야 할까?
⑴ 함수 y=Ü "Ã(x+1)Û`을 음함수 표현으로 나타내 보자.
⑵
dy
를 구해 보자.
dx
⑶ x=7일 때,
dy
를 구해 보자.
dx
2. 여러 가지 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 101
101
2018-05-25 오후 1:43:37
역함수는 어떻게 미분할까?
생각과
활동
오른쪽 그림은 함수 f(x)=xÜ` 의 그래프와 그 역함수
g(x)=Ü '¶x의 그래프를 나타낸 것이다.
y
y=x
y=f{x}
8
활동 1 함수 y=f(x)의 x=2에서의 미분계수 f '(2)의 값을 구해 보
자.
y=g{x}
2
1
활동 2 함수 y=g(x)의 x=8에서의 미분계수 g '(8)의 값을 구해
O1 2
8
x
보자.
활동 3 f '(2), g '(8)의 값 사이의 관계에 대하여 토론해 보자.
미분가능한 함수 f(x)의 역함수 f ÑÚ`(x)가 존재하고 이 역함수가 미분가능할 때, 함
수 y=f ÑÚ`(x)의 도함수를 구해 보자.
역함수의 정의에 의하여 f( f ÑÚ`(x))=x이므로 이 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '( f ÑÚ`(x))( f ÑÚ`)'(x)=1
이다.
따라서
y=f ÑÚ`(x)이므로
dy
=( f ÑÚ`)'(x)이고,
dx
x=f(y)이므로
dx
=f '(y)
dy
이다.
( f ÑÚ`)'(x)=
즉,
1
1
=
`( f '(y)+0)
'
(y)
f
f '( f ÑÚ`(x))
dy
1
dx
=
{ +0}이다.
dx
dx
dy
dy
이상을 정리하면 다음과 같다.
역함수의 미분법
미분가능한 함수 f(x)의 역함수 y=f ÑÚ`(x)가 존재하고 이 역함수가 미분가능할 때,
( f ÑÚ`)'(x)=
102
1
`(단, f '(y)+0) 또는
f '(y)
dy
1
dx
=
{단,
+0}
dx
dy
dx
dy
II. 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 102
2018-05-25 오후 1:43:38
역함수의 미분법을 이용하여 도함수 구하기
예제 3
풀이
역함수의 미분법을 이용하여 함수 y=Ü 'x의 도함수를 구하시오.
y=Ü 'x에서 x=yÜ`
x=yÜ`의 양변을 y에 대하여 미분하면
함수 y=Ü 'x의 도함수는
dx
=3yÛ`이므로
dy
dy
1
1
1
=
=
=
(단, x+0)
dx
dx
3yÛ` 3 Ü "xÛ`
dy
4.
답
역함수의 미분법을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하시오.
⑴ y=Ý '¶x
⑵ y=Ü 'Ä2x+3
역함수의 미분법을 이용하면 역함수를 직접 구하지 않아도 역함수의 미분계수를 구
할 수 있다.
역함수의 미분계수 구하기
예제 4
풀이
함수 f(x)=xÜ`+3x의 역함수를 g(x)라고 할 때, g '(4)의 값을 구하시오.
g(4)=k로 놓으면 f(k)=4, 즉 kÜ`+3k=4
kÜ`+3k-4=0에서 (k-1)(kÛ`+k+4)=0
즉, k=1
따라서 g(4)=1이고, f '(x)=3xÛ`+3이므로
g '(4)=
5.
1
1
=
=;6!;
f '(g(4))
f '(1)
답
함수 f(x)=xÜ`+2x의 역함수를 g(x)라고 할 때, g '(3)의 값을 구하시오.
2. 여러 가지 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 103
103
2018-05-25 오후 1:43:38
들어가기 전에
여러 가지 함수의
도함수를 구할 수 있
나요?
예
아니요 57쪽
이계도함수
학습 목표
•이계도함수를 구할 수 있다.
이계도함수란 무엇일까?
생각과
활동
함수 f(x)=;3!;xÜ`+x+1에 대하여 다음 활동을 해 보자.
활동 1 함수 f(x)의 도함수 f '(x)를 구해 보자.
활동 2 주어진 a의 값에 대하여 lim
Dx Ú 0
f '(a+Dx)-f '(a)
의 값을 구하여 다음 표를 완성해 보자.
Dx
a
lim
Dx Ú 0
-2
-1
0
1
2
f '(a+Dx)-f '(a)
Dx
활동 3 함수 f '(x)의 도함수를 구해 보자.
일반적으로 함수 y=f(x)의 도함수 f '(x)가 미분가능할 때, 함수 f '(x)의 도함수
lim
Dx Ú 0
f '(x+Dx)-f '(x)
Dx
를 함수 f(x)의 이계도함수라 하고, 이것을 기호
f "(x), y ",
dÛ`y
dÛ`
,`
f(x)
dxÛ` dxÛ`
로 나타낸다.
예를 들어, 함수 y=xÜ`-xÛ`+x+1의 도함수는 y '=3xÛ`-2x+1이고, 이계도함수는
y "=6x-2이다.
104
II. 미분법
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2018-05-25 오후 1:43:40
이계도함수 구하기
예제 1
다음 함수의 이계도함수를 구하시오.
⑴ y=ln`x ⑵ y=xeÅ`
풀이
⑴ y '=;[!;이므로 y "=-
1
xÛ`
답
⑵ y '=eÅ +xeÅ =(1+x)eÅ 이므로
y "=eÅ +(1+x)eÅ =(2+x)eÅ
1.
답
다음 함수의 이계도함수를 구하시오.
⑵ y=x cos`x
⑴ y=(2x+1)Ü`
이계도함수의 값 구하기
예제 2
풀이
함수 f(x)=xÛ` ln`x에 대하여 f "(e)의 값을 구하시오.
과정 1.
이계도함수 f "(x) 구하기
f '(x)=2x ln`x+xÛ` ´`;[!;=x(2 ln`x+1)
f "(x)=2 ln`x+1+x ´`;[@;=2 ln`x+3
과정 2.
f "(e)의 값 구하기
따라서 f "(e)=2 ln`e+3=5
2.
다음 함수에 대하여 주어진 x의 값에서 이계도함수의 값을 구하시오.
⑴ f(x)='Äx+1, x=3
열린 생각
3.
답
⑵ f(x)=
x
, x=1
x+1
함수 f(x)=eÅ cos`x에 대하여 f(x)=;2!;{2f '(x)-f "(x)}가 성립함을 보이시오.
2. 여러 가지 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 105
105
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스스로 익히는
여러 가지 미분법
개념 1
개념을 정리하고, 얼마나 이해했는지 문제를 통해 확인해 보자.
개념 1
함수의 몫의 미분법
두 함수 f(x), g(x)가 미분가능하고 g(x)+0
01. 다음 함수를 미분하시오.
일때
⑴ y=
① g '(x)
1 '
⑴[
] =g(x)
{g(x)}Û`
⑵[
81쪽
2
x-1
⑵ y=
x
eÅ`
② f '(x)g(x)-f(x)g '(x)
f(x) '
]=
g(x)
{g(x)}Û`
개념 2
개념 2
합성함수의 미분법
두 함수 y=f(u), u=g(x)가 미분가능할 때,
02. 다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=2Ü`Å` ÑÚ`
{ f(g(x))}'= ③ f '(g(x))g '(x)
개념 3
88쪽
⑵ y=ln|3x+1|
매개변수로 나타낸 함수의 미분법
두 함수 x=f(t),`y=g(t)가 미분가능하고
f '(t)+0일 때
dy
=
dx
④
dy
dt
g '(t)
=⑥
f '(t)
dx
⑤
dt
개념 3
03.
95쪽
dy
매개변수 t로 나타낸 다음 함수에 대하여
를 구하시오.
dx
⑴ x=3t-1, y=tÜ`-1
⑵ x=2 cos`t, y=3 sin`t
개념 4
음함수와 역함수의 미분법
⑴음함수 표현 ⑦ f(x, y)=0 에서 y를 x의
함수로 보고, 양변의 각 항을 x에 대하여 미
분하여
dy
를 구한다.
dx
⑵ `미분가능한 함수 f(x)의 역함수 y=f ÑÚ`(x)
가 존재하고 이 역함수가 미분가능할 때,
⑧ ( f ÑÚ`)'(x) =
또는
개념 5
dy
=
dx
개념 4
04.
1
(단, f '(y)+0)
f '(y)
⑴ 2xy+yÛ`=3
1
⑵ xÛ`+2yÛ`-2xy=1
dx
⑨
dy
{단,
dx
+0}
dy
99쪽
dy
다음 방정식에서
를 구하시오.
dx
이계도함수
함수 f(x)의 도함수 f '(x)가 미분가능할 때,
f '(x)의 도함수를 함수 f(x)의
⑩ 이계도함수 라고 한다.
개념 5
104쪽
05. 다음 함수의 이계도함수를 구하시오.
⑴ y=(2x-1)ln(x+1)
⑵ y=eÑÅ` sin`x
106
II. 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 106
2018-05-25 오후 1:43:41
정답 및 풀이 193쪽
중단원 학습 점검
자기 평가
개념 2
90쪽
06. 미분가능한 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여
맞힌
개념에 해당하는 칸에 색칠하고
정답률을 나타내 보자.
f(3x+2)=x+"ÃxÛ`+3
을 만족시킬 때, f '(5)의 값을 구하시오.
①
⑩
②
⑨
%
③
④
개념 4
102쪽
f '(1)=3일 때, g '(2)의 값을 구하시오.
⑦
⑤
07. 미분가능한 함수 f(x)와 그 역함수 g(x)에 대하여 f(1)=2,
⑧
⑥
각
개념별로 해결한 문제 수만큼 색칠해
보자.
개념 1
개념 4
102쪽
개념 2
08. 함수 f(x)=eÅ` ÑÚ`의 역함수 g(x)에 대하여
개념 3
g(1+2h)-g(1-h)
lim
h Ú0
h
개념 4
개념 5
의 값을 구하시오.
각
난이도별로 해결한 문제 수를 세어
보자.
개념 5
문제 해결
104쪽
09. 함수 f(x)=(ax+b)e`Å` 에 대하여 f '(0)=1, f "(0)=6일 때, 두
/5
/2
/3
상수 a,`b의 값을 각각 구하시오. (단, a>0)
이
단원에서 나의 학습 만족도를 평가해
보자.
개념 2
문제 해결
89쪽
10. 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 점
A(1, 0)과 원점을 중심으로 하는 원
25
50
75
100%
y
2
x@+y@=4
xÛ`+yÛ`=4가 있다. 원 위의 점
P(x, y)에 대하여 직선 AP가 원과
0
-2
O
A
Ω
P
잘한
점은 발전시키고, 부족한 점은 보
완할 수 있도록 학습 계획을 세워 보자.
2 x
만나는 점 중에서 P가 아닌 점을 Q라
하고, 직선 AP와 x축의 양의 방향이
Q -2
이루는 각의 크기를 h라고 하자. 선분
다음 단원에서 우리는
PQ의 길이를 l(h)라고 할 때, l'{;4Ò;}의 값을 구하시오.
가속도에 활용해 본다.
여러 가지 미분법을 함수의 그래프, 속도와
(단, 점 P는 제1사분면 위의 점이다.)
중단원 학습 점검
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107
2018-05-25 오후 1:43:42
해발고도와 합성함수의 미분법
창의
·
융합
해발고도가 높아지면 소리의 속도는 어떻게 변할까?
프
로
젝
트
목표 해발고도에 따른 기온과 소리의 속도 변화를 이용하여 합성함수의 미분법을 이해한다.
주어진 글을 읽고 모둠별로 다음 활동을 해 보자.
2017년 10월 14일 북한산(837`m)의 첫 단풍이 관측되었다. 대부분
의 낙엽수는 보통 일 최저 기온이 5`¾ 이하로 떨어지면 단풍이 들기 시
작하는데, 해발고도가 높은 산의 정상부터 단풍이 들기 시작한다. 이는
문제 해결 창의·융합 의사소통 태도 및 실천
해발고도가 높아질수록 기온이 낮아지기 때문인데 일반적으로 해발고
도가 100`m 높아질 때마다 기온은 0.6`¾씩 낮아진다.
한편, 소리의 속도는 기온의 영향을 받는데, 기온이 1`¾ 낮아지면 소
리의 속도는 0.6`m/s씩 느려진다. 출처: 기상청, 보도 자료,
두산백과사전 두피디아
어느 산의 해발고도가 800`m인 지점에서 측정한 기온은 15`¾이고, 소리의 속도는 340`m/s였다. 이 산
의 해발고도가 (800+x)`m인 지점에서의 기온을 u=f(x)`¾라 하고, 기온이 u`¾일 때 소리의 속도를
y=g(u)`m/s라고 하자.
활동 1
함수 u=f(x)를 구하여 x에 대한 u의 변화율
화율
du
를 구해 보고, 함수 y=g(u)를 구하여 u에 대한 y의 변
dx
dy
를 구해 보자.
du
활동 2
x와 y의 관계식을 구하고 x에 대한 y의 변화율
활동 3
활동 1 에서 구한
dy
를 구해 보자.
dx
du dy
dy
,
와 활동 2 에서 구한
의 관계를 알아보고, 해발고도와 소리의 속도 사이의 관
dx du
dx
계를 발표해 보자.
활동 평가
3점 잘함
모둠별 활동을 서로 평가해 보자.
평가 항목
2점 보통
1점 부족
모둠 평가
A
B
C
D
E
주어진 글을 읽고 이해했다.
du dy
,
를 정확하게 구했다.
dx du
dy
활동 2 에서
를 정확하게 구했다.
dx
활동 1 에서
내용
활동 3 에서 해발고도와 소리의 속도 사이의 관계를 이해했다.
태도
108
활동에 적극적으로 참여했다.
II. 미분법
(080~109)고등수학교과서_미적분.indd 108
2018-05-25 오후 1:43:43
역함수의 미분계수를 그림으로 확인해 보자!
문제 해결 의사소통 태도 및 실천
오른쪽 그림은 함수 y=f(x)와 그 역함수 y=g(x)의 그래프
를 나타낸 것이다. 곡선 y=f(x) 위의 점 P(a, b)에서의 접선
을 l, 곡선 y=g(x) 위의 점 Q(b, a)에서의 접선을 m, 두 직선
l, m이 만나는 점을 R라고 할 때, 다음 활동을 해 보자.
y=g{x}
y
y=x
Q{b,`a}
P{a,`b}
y=f{x}
R{c,`c}
x
l
O
m
활동 1
두 곡선 y=f(x), y=g(x)는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 점 R는 직선 y=x 위에 있고
R(c, c)로 놓을 수 있다. 두 직선 l, m의 기울기를 a, b, c를 이용하여 나타내 보자.
활동 2
직선 l의 기울기는 f '(a)이고, 직선 m의 기울기는 g '(b)이다. 활동 1 의 결과를 이용하여 f '(a)와
g '(b) 사이의 관계를 말해 보자.
활동 3
활동 2 의 결과를 이용하여 다음 문제를 해결해 보자.
오른쪽 그림은 함수 f(x)=xÜ`+1과 그 역함수 y=g(x)
y
C
의 그래프를 나타낸 것이다. 곡선 y=f(x) 위의 점 A(1, 2)
y=f{x}
y=x
에서의 접선의 일부를 빗변으로 하는 직각삼각형 ABC를 직
선 y=x에 대하여 대칭이동한 직각삼각형을 A'BC'이라고
하자. 이때 g '(2)의 값을 구해 보자.
O
활동 평가
B
2 A
1
A'
C'
y=g{x}
x
1
나의 활동을 스스로 평가해 보자.
평가 항목
자기 평가
좋음
보통
부족
활동 1 을 스스로 해결했다.
내용
활동 2 에서 두 미분계수 사이의 관계를 명확하게 설명했다.
활동 3 의 문제를 정확하게 해결했다.
태도
활동에 적극적으로 참여했다.
교과 역량 키우기+
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109
2018-05-25 오후 1:43:44
스스로 준비하는 중단원
고 수학Ⅱ | 도함수의
활용
고 수학Ⅱ | 도함수의
활용
고 수학Ⅱ | 도함수의
활용
1. 곡선 y=xÜ`+1 위의 점 (1, 2)에
2. 함수 f(x)=xÜ`-3xÛ`의 그래프를
3. 방정식 xÝ`-4xÜ`-5=0의 실근의
서의 접선의 방정식을 구하시오.
그리시오.
개수를 구하시오.
도함수의 활용
01. 접선의 방정식
03. 방정식과 부등식에의 활용
02. 함수의 그래프
04. 속도와 가속도
3차원 캐릭터를 디자인할 때, 먼저 컴퓨터가 점과 선
으로 캐릭터를 인식할 수 있도록 캐릭터의 표면을 작
은 다각형으로 둘러싼 형태로 나타낸다. 그 후 다각형
이 맞닿은 부분이 각지지 않도록 여러 번 미분하여 접
선을 그으면서 부드러운 형태의 캐릭터를 완성한다.
출처: 동아사이언스
위의 글에서 제시된 중심 단어나 문장을 도서관이나 인터넷을 통해 알아보고 이 단원의 학습 내용의 중요성을 말해 보자.
110
II. 미분법
(110~135)고등수학교과서_미적분.indd 110
2018-05-25 오후 1:44:11
들어가기 전에
다항함수에서
접선의 방정식을
구할 수 있나요?
아니요 110쪽
예
접선의 방정식
학습 목표
•접선의 방정식을 구할 수 있다.
접선의 방정식은 어떻게 구할까?
생각과
활동
화력발전소에서는 석탄을 연료로 하여 전기를 생산하는데 이때 굴뚝을 통해 이산화황을
출처: R . A . Barnett 외 2인,
『Calculus for Business,
Economics, Life Sciences
and Social Sciences』
배출한다. 어느 화력발전소를 기준으로 x`km 떨어진 곳에서 측정되는 이산화황의 농도를
C(x)라고 할 때
0.1
xÛ`
인 관계가 성립한다고 한다.
C(x)=
활동 1 함수 C(x)의 도함수 C '(x)를 구하고, 점 (1, 0.1)
에서의 접선의 기울기를 구해 보자.
활동 2 점 (1, 0.1)에서의 접선의 방정식을 구해 보자.
수학Ⅱ에서 접선의 방정식에 대하여 학습한 내용을 정리하면 다음과 같다.
곡선 y=f(x) 위의 점 P에서의 접선의 기울기는 x=a에서
y
y=f{x}
의 미분계수 f '(a)와 같다.
따라서 곡선 y=f(x) 위의 한 점 P에서의 접선은 점
f{a}
P
P(a, f(a))를 지나고 기울기가 f '(a)이므로 접선의 방정식은
y-f(a)=f '(a)(x-a)
O
a
x
이다.
3. 도함수의 활용
(110~135)고등수학교과서_미적분.indd 111
111
2018-07-24 오후 12:28:33
이제 지수함수, 로그함수, 삼각함수의 그래프와 같이 여러 가지 형태의 곡선에 대한
접선의 방정식을 구해 보자.
곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식 구하기
예제 1
풀이
곡선 y=eÅ` 위의 점 (0, 1)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
과정 1.
y=ex
y
접선의 기울기 구하기
f(x)=eÅ` 로 놓으면 f '(x)=eÅ` 이므로
f '(0)=1
과정 2.
접선의 방정식 구하기
1
점 (0, 1)에서의 접선의 기울기가 1이므로
x
O
구하는 접선의 방정식은
y-1=x-0
즉, y=x+1
1.
답
다음 곡선 위의 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하시오.
⑵ y=sin`x, {;6Ò;, ;2!;}
⑴ y=;[!;, (1, 1)
기울기가 주어질 때의 접선의 방정식 구하기
예제 2
풀이
곡선 y=x ln`x에 접하고 기울기가 2인 접선의 방정식을 구하시오.
과정 1.
y
접점의 좌표 구하기
y=x`ln`x
접점의 좌표를 (a, a ln`a)라고 하자.
f(x)=x ln`x로 놓으면 f '(x)=ln`x+1이므로
e
이 접점에서의 접선의 기울기는 f '(a)=ln`a+1
이때 접선의 기울기가 2이므로 ln`a=1, a=e
O
따라서 접점의 좌표는 (e, e)이다.
과정 2.
1
e
x
접선의 방정식 구하기
접점의 좌표가 (e, e)이고 접선의 기울기가 2이므로 구하는 접선의 방정식은
y-e=2(x-e), 즉 y=2x-e
112
답
II. 미분법
(110~135)고등수학교과서_미적분.indd 112
2018-05-25 오후 1:44:17
2.
다음 접선의 방정식을 구하시오.
⑴ 곡선 y=cos`x에 접하고 기울기가 -1인 접선 (단, 0<x<p)
⑵ 곡선 y=tan`x에 접하고 기울기가 2인 접선 {단, 0<x<;2Ò;}
곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식 구하기
예제 3
풀이
원점에서 곡선 y=ln`x에 그은 접선의 방정식을 구하시오.
과정 1.
y
접선의 기울기 구하기
접점의 좌표를 (a, ln`a)라고 하자.
1
f(x)=ln`x로 놓으면 f '(x)=;[!;이므로
O
이 접점에서의 접선의 기울기는 f '(a)=;a!;
과정 2.
y=ln`x
1
e
x
접선의 방정식 만들기
접선의 방정식은
y-ln`a=;a!;(x-a)
즉, y=;a!;x+ln`a-1 yy ①
과정 3.
a의 값 구하기
이 접선이 원점 (0, 0)을 지나므로
0=ln`a-1, ln`a=1
즉, a=e
과정 4.
접선의 방정식 구하기
a의 값을 ①에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y=;e!;x
답
3.
원점에서 곡선 y=eÅ 에 그은 접선의 방정식을 구하시오.
4.
곡선 y='Äx+1에 접하고 기울기가 1인 접선의 방정식을 구하시오.
5.
매개변수 t로 나타낸 곡선 x=tÛ`, y=t+;t!;에 접하고 기울기가 -3인 접선의 방정식을 구하시오.
3. 도함수의 활용
(110~135)고등수학교과서_미적분.indd 113
113
2018-05-25 오후 1:44:18
들어가기 전에
다항함수의 그래프를
그릴 수 있나요?
예
아니요 110쪽
함수의 그래프
학습 목표
•함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있다.
함수의 그래프의 개형은 어떻게 그릴까?
생각과
활동
용존 산소(DO)는 물속에 녹아 있는 산소를 의미한다. 이 산소로 어패류와 미생물이 호흡
하기 때문에 용존 산소의 양은 수질 오염을 판단하는 지표가 된다. 다음은 하수 처리장에서 방
류수를 내보낸 시점부터 10일 동안 하천의 어느 한 지점의 용존 산소량을 측정하여 그 변화를
나타낸 그래프이다. 이때, t는 경과 시간(일)을 나타내고 y는 용존 산소량(ppm)을 나타낸다.
y
O
a
t
활동 1 t=a의 좌우에서 접선의 기울기의 특징에 대하여 발표해 보자.
활동 2 t=a에서 y의 변화율이 어떤지 발표해 보자.
114
II. 미분법
(110~135)고등수학교과서_미적분.indd 114
2018-05-25 오후 1:44:19
수학Ⅱ에서 미분가능한 함수 f(x)의 증가와 감소, 극대와 극소의 판정에 대하여 학습
한 내용을 정리하면 다음과 같다.
1. 증가와 감소
함수 f(x)가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 x에 대하여
❶ f '(x)>0이면 f(x)는 이 구간에서 증가한다.
❷ f '(x)<0이면 f(x)는 이 구간에서 감소한다.
2. 극대와 극소
미분가능한 함수 f(x)에 대하여 f '(a)=0이고 x=a의 좌우에서
❶ f '(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극대이다.
❷ f '(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극소이다.
이제 여러 가지 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 판정해 보자.
함수의 증가와 감소 조사하기
예제 1
풀이
닫힌구간 [0, p]에서 함수 f(x)=x+2 sin`x의 증가와 감소를 조사하시오.
과정 1.
도함수의 부호 확인하기
f '(x)=1+2 cos`x이므로 f '(x)=0에서 x=;3@;p
닫힌구간 [0, p]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 나타내는 표를 만들면 다음과 같다.
x
0
f '(x)
f(x)
과정 2.
0
y
;3@;p
y
+
0
-
↗
;3@;p+'3
↘
p
p
증가, 감소하는 범위 구하기
따라서 함수 f(x)=x+2 sin`x는 닫힌구간 [0, ;3@;p]에서 증가하고
닫힌구간 [;3@;p, p]에서 감소한다.
1.
답
다음 함수의 증가와 감소를 조사하시오.
⑴ f(x)=eÅ -2x
⑵ f(x)=ln |x|+x
3. 도함수의 활용
(110~135)고등수학교과서_미적분.indd 115
115
2018-05-25 오후 1:44:19
함수의 극값 구하기
예제 2
풀이
함수 f(x)=x ln`x의 극값을 구하시오.
과정 1.
f '(x)=0이 되는 x의 값 구하기
f '(x)=ln`x+x ´ ;[!;=ln`x+1이므로 f '(x)=0에서 x=;e!;
과정 2.
함수의 증가와 감소 확인하기
f '(x)의 부호를 조사하여 함수 f(x)의 증가와 감소를 나타내는 표를 만들면 다음과 같다.
y
;e!;
y
f '(x)
-
0
+
f(x)
↘
-;e!;
↗
x
과정 3.
(0)
함수의 극값 구하기
따라서 함수 f(x)는 x=;e!;에서 극소이고 그때의 극솟값은 f {;e!;}=-;e!;이다.
2.
답
다음 함수의 극값을 구하시오.
⑴ f(x)=xÛ`eÅ ⑵ f(x)=x+2 cos`x (0ÉxÉ2p)
⑶ f(x)=x+;[!;
⑷ f(x)=Ü "xÝ`
이제 함수 f(x)의 이계도함수를 이용하여 곡선 y=f(x)의 오목과 볼록에 대하여 알
아보자.
Ú 어떤 구간에서 곡선 y=f(x) 위의 임의의 서로 다른 두 점
y
y=f{x}
Q
P, Q에 대하여 두 점 P, Q를 잇는 곡선 부분이 선분 PQ
P
보다 아래쪽에 있으면 곡선 y=f(x)는 이 구간에서 아래
로 볼록하거나 위로 오목하다고 하고, f '(x)는 증가한다.
이때 f "(x)>0이면 f '(x)가 증가하므로 f "(x)>0이 되
O
b x
a
는 구간에서 곡선 y=f(x)는 아래로 볼록하게 된다. (위로 오목하게 된다.)
Û 어떤 구간에서 곡선 y=f(x) 위의 임의의 서로 다른 두 점
y
P, Q에 대하여 두 점 P, Q를 잇는 곡선 부분이 선분 PQ
보다 위쪽에 있으면 곡선 y=f(x)는 이 구간에서 위로 볼
록하거나 아래로 오목하다고 하고, f '(x)는 감소한다. 이
때 f "(x)<0이면 f '(x)가 감소하므로 f "(x)<0이 되는
P
Q
y=f{x}
O a
b
x
구간에서 곡선 y=f(x)는 위로 볼록하게 된다. (아래로 오목하게 된다.)
116
II. 미분법
(110~135)고등수학교과서_미적분.indd 116
2018-05-25 오후 1:44:20
이상을 정리하면 다음과 같다.
곡선의 오목과 볼록
함수 f(x)가 어떤 구간에서
❶ f "(x)>0이면 곡선 y=f(x)는 이 구간에서 아래로 볼록하거나 위로 오목하다.
❷ f "(x)<0이면 곡선 y=f(x)는 이 구간에서 위로 볼록하거나 아래로 오목하다.
곡선의 오목과 볼록 조사하기
예제 3
풀이
곡선 y=ln`x의 오목과 볼록을 조사하시오.
과정 1.
y=f(x)로 놓고 f "(x) 구하기
f(x)=ln`x로 놓으면
f '(x)=;[!;, f "(x)=과정 2.
1
xÛ`
곡선의 오목과 볼록 조사하기
따라서 f "(x)<0이므로 곡선 y=ln`x는 x>0에서 위로 볼록하다.
3.
답
다음 곡선의 오목과 볼록을 조사하시오.
⑴ y=eÅ ⑵ y=cos`x (0<x<p)
곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에 대하여 x=a의 좌우에서 곡선의 모양이 위로 볼
록에서 아래로 볼록으로 바뀌거나 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 바뀔 때, 이 점을 곡
선 y=f(x)의 변곡점이라고 한다.
즉, x=a의 좌우에서 이계도함수 f "(x)의 부호가 바뀌는 점이 곡선 y=f(x)의 변곡
점이고, 이때 f "(a)=0이다.
y
f{a}
y
y=f{x}
{a,`f{a}}
f{a}
{a,`f{a}}
y=f{x}
O
a
x
O
a
x
3. 도함수의 활용
(110~135)고등수학교과서_미적분.indd 117
117
2018-05-25 오후 1:44:22
이상을 정리하면 다음과 같다.
변곡점의 판정
함수 f(x)에서 f "(a)=0이고, x=a의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌면 점 (a, f(a))
는 곡선 y=f(x)의 변곡점이다.
변곡점 구하기
예제 4
풀이
곡선 y=xÜ`+3x의 변곡점을 구하시오.
y=f(x)로 놓고 f "(x)=0이 되는 x의 값 구하기
과정 1.
f(x)=xÜ`+3x로 놓으면 f '(x)=3xÛ`+3, f "(x)=6x
f "(x)=0에서 x=0
과정 2.
변곡점의 좌표 구하기
함수 f(x)의 증가와 감소, 곡선 y=f(x)의 오목과 볼록을 나타내는 표를 만들면 다음과
같다.
x
y
0
y
f '(x)
+
+
+
f "(x)
-
0
+
f(x)
위로 볼록
변곡점
아래로 볼록
따라서 x=0의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점은 (0, 0)이다.
4.
답
다음 곡선의 변곡점을 구하시오.
⑴ y=xÝ`-6xÛ`+1
⑵ y=sin`x (0<x<2p)
함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 다음과 같은 사항을 조사하여 그린다.
118
❶ 함수의 정의역과 치역
❷ 곡선의 대칭성과 주기
❸ 좌표축과의 교점
❹ 함수의 증가와 감소, 극대와 극소
❺ 곡선의 오목과 볼록, 변곡점
❻ lim f(x), lim f(x), 점근선
x Ú¦
x Ú -¦
II. 미분법
(110~135)고등수학교과서_미적분.indd 118
2018-05-25 오후 1:44:23
함수의 그래프 그리기
예제 5
풀이
x
함수 f(x)=
의 그래프의 개형을 그리시오.
xÛ`+1
❶ xÛ`+1+0이므로 정의역은 실수 전체의 집합이다.
❷ f(-x)=
-x
x
==-f(x)이므로 주어진 함수의 그래프는 원점에 대
(-x)Û`+1
xÛ`+1
하여 대칭이다.
❸ f(0)=0이므로 점 (0, 0)을 지난다.
❹, ❺ f '(x)=
-xÛ`+1 -(x-1)(x+1)
=
이므로
(xÛ`+1)Û`
(xÛ`+1)Û`
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
f "(x)=
2x(x+'3)(x-'3)
이므로
(xÛ`+1)Ü`
f "(x)=0에서 x=-'3 또는 x=0 또는 x='3
함수 f(x)의 증가와 감소, 곡선 y=f(x)의 오목과 볼록을 나타내는 표를 만들면 다음과
같다.
표에서 는 위로
볼록하면서 증가,
는 아래로 볼록하면서
증가, 는 위로 볼록
하면서 감소, 는 아
래로 볼록하면서 감소
를 나타낸다.
x
y
-'3
y
-1
y
0
y
1
y
'3
y
f '(x)
-
-
-
0
+
+
+
0
-
-
-
f "(x)
-
0
+
+
+
0
-
-
-
0
+
f(x)
-;2!;
;2!;
-
'3
4
(변곡점)
(극솟값)
0
(변곡점)
(극댓값)
'3
4
(변곡점)
❻ xlim
f(x)=0, x lim
f(x)=0이므로 점근선은 x축이다.
Ú¦
Ú -¦
따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 다음과 같다.
1
2
-Â3 -1
5.
y
f{x}=
Â3
4
O
1
Â3
-4
- 12
Â3
x
x@+1
x
함수 f(x)=eÅ -eÑÅ 의 그래프의 개형을 그리시오.
3. 도함수의 활용
(110~135)고등수학교과서_미적분.indd 119
119
2018-05-25 오후 1:44:24
수학Ⅱ에서 함수의 최댓값과 최솟값에 대하여 학습한 내용을 정리하면 다음과 같다.
함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이면 최대·최소
y
정리에 의하여 함수 f(x)는 최댓값과 최솟값을 갖는다.
y=f{x}
`f{b}
그러므로 그림과 같이 최댓값은 이 구간에서 함수의 극댓
f{a}
값, f(a), f(b) 중에서 가장 큰 값이고, 최솟값은 극솟값,
f(a), f(b) 중에서 가장 작은 값이다.
O a
b x
이제 여러 가지 함수의 최댓값과 최솟값을 구해 보자.
함수의 최댓값과 최솟값 구하기
예제 6
풀이
닫힌구간 [0, p]에서 함수 f(x)=sin`x+sin`x cos`x의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
f '(x)=0이 되는 x의 값 구하기
과정 1.
f '(x)=cos`x+cos`x cos`x+sin`x(-sin`x)
=cos`x+cosÛ``x-sinÛ``x
=cos`x+cosÛ``x-(1-cosÛ``x)
=2 cosÛ``x+cos`x-1
=(2 cos`x-1)(cos`x+1)
f '(x)=0에서 x=;3Ò; 또는 x=p
과정 2.
함수의 최댓값과 최솟값 구하기
닫힌구간 [0, p]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 나타내는 표를 만들면 다음과 같다.
x
0
f '(x)
f(x)
0
y
;3Ò;
y
p
+
0
-
0
↗
3'3
4
↘
0
따라서 함수 f(x)는 x=;3Ò;에서 최대이고 그때의 최댓값은 f {;3Ò;}=
x=0, x=p에서 최소이고 그때의 최솟값은 f(0)=f(p)=0이다.
6.
3'3
,
4
답
다음 함수의 주어진 구간에서의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
⑴ f(x)=x"Ã4-xÛ` (-2ÉxÉ2)
⑵ f(x)=xÛ`eÑÅ` (0ÉxÉ3)
120
II. 미분법
(110~135)고등수학교과서_미적분.indd 120
2018-05-25 오후 1:44:24
정보 처리 태도 및 실천
수학
실험실
함수, 도함수, 이계도함수의 그래프를 비교해 보자!
탐구형 소프트웨어를 이용하면 함수 f(x)=esin`x의 그래프와 f(x)의 도함수, 이계도함수의 그
래프를 한눈에 비교할 수 있다. 아래 순서대로 탐구형 소프트웨어를 이용하여 실습해 보고, 다음
활동을 해 보자.
과정 1.
입력 창에 f(x)=e^sin(x)를 입력하면 대수창에 f(x)=esin`(x)가 나타나고, 기하창에 곡
선 y=f(x)가 그려진다.
과정 2.
입력 창에 f '(x)를 입력하면 대수창에 f '(x)=cos`(x) esin`(x)가 나타나고, 기하창에 곡
선 y=f '(x)가 그려진다.
과정 3.
입력 창에 f "(x)를 입력하면 대수창에 f "(x)=cosÛ``(x) esin`(x)-sin`(x) esin`(x)가 나타
나고, 기하창에 곡선 y=f "(x)가 그려진다.
활동 1
함수 g(x)=sin(x+sin`x)에 대하여 함수 g(x)의 그래프와 도함수, 이계도함수의 그래프
를 나타내 보자.
활동 평가
이번 활동을 하면서 새롭게 알게 된 것, 느낀 점을 자유롭게 적어 보자.
알게 된 것
느낀 점
3. 도함수의 활용
(110~135)고등수학교과서_미적분.indd 121
121
2018-07-24 오후 12:31:26
들어가기 전에
다항함수의 그래프와
방정식과 부등식을 이해
하나요?
예
아니요 110쪽
방정식과 부등식에의 활용
학습 목표
•방정식과 부등식에 대한 문제를 해결할 수 있다.
도함수는 방정식과 부등식에 어떻게 활용될까?
생각과
활동
팔에 주사를 맞은 지 t시간 후 혈액 속 주사약의 농도를 C(t)라
고할때
3t
(t¾0)
tÜ`+2
인 관계가 성립한다고 한다.
C(t)=
활동 1 탐구형 소프트웨어를 이용하여 함수 y=C(t)의 그래프를 그려 보자.
활동 2 함수 y=C(t)의 그래프와 직선 y=1의 교점의 개수를 구해 보자.
수학Ⅱ에서 도함수를 이용하여 방정식의 실근의 개수를 구하는 것에 대하여 학습한 내
용을 정리하면 다음과 같다.
방정식 f(x)=0의 실근은 함수 y=f(x)의 그래프와 x축과의 교점의 x좌표와 같다.
따라서 방정식 f(x)=0의 서로 다른 실근의 개수는 함수 y=f(x)의 그래프와 x축의
교점의 개수와 같다.
또, 방정식 f(x)=g(x)의 서로 다른 실근의 개수는 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의
그래프의 교점의 개수와 같다.
122
II. 미분법
(110~135)고등수학교과서_미적분.indd 122
2018-05-25 오후 1:44:28
이제 여러 가지 함수의 그래프를 이용하여 방정식의 실근의 개수를 구해 보자.
방정식의 실근의 개수 구하기
예제 1
풀이
방정식 ln`x=x-2의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.
과정 1.
함수의 그래프의 개형 확인하기
f(x)=ln`x-x+2로 놓으면 f '(x)=;[!;-1=
1-x
x
f '(x)=0에서 x=1
또, xlim
f(x)=-¦, xlim
f(x)=-¦이다.
Ú 0+
Ú¦
함수 f(x)의 증가와 감소를 나타내는 표를 만들고 그래프를 그리면 다음과 같다.
y
1
y
f '(x)
+
0
-
f(x)
↗
1
↘
x
과정 2.
(0)
y
1
O
함수의 그래프와 x축과의 교점의 개수 확인하기
1
x
y=f{x}
따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 x축과 두 점에서 만나므로
방정식 ln`x=x-2의 서로 다른 실근의 개수는 2이다.
1.
다음 방정식의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.
⑴ eÅ =x+2 2.
답
⑵ sin`x=x
방정식 xÛ`-;[@;+k=0의 서로 다른 실근의 개수가 2 이상이 되도록 하는 실수 k의 값의 범위
를 구하시오.
수학Ⅱ에서 도함수를 이용하여 부등식을 증명하는 것에 대하여 학습한 내용을 정리하
면 다음과 같다.
어떤 구간에서 부등식 f(x)>0이 성립함을 보이려면 함수 y=f(x)의 그래프가 주어
진 구간에서 x축의 위쪽에 있음을 보이면 된다.
또, 어떤 구간에서 부등식 f(x)>g(x)가 성립함을 보이려면 h(x)=f(x)-g(x)
로 놓고 함수 y=h(x)의 그래프가 주어진 구간에서 x축의 위쪽에 있음을 보이면 된다.
3. 도함수의 활용
(110~135)고등수학교과서_미적분.indd 123
123
2018-05-25 오후 1:44:28
이제 여러 가지 함수의 그래프를 이용하여 부등식이 성립함을 보이자.
부등식 증명하기
예제 2
증명
x>1일 때, 부등식 x¾ln(x-1)이 성립함을 보이시오.
과정 1.
주어진 부등식 변형하기
주어진 부등식을 변형하면
x-ln(x-1)¾0
과정 2.
함수의 그래프의 개형 확인하기
f(x)=x-ln(x-1)로 놓으면
f '(x)=1-
1
x-2
=
x-1 x-1
f '(x)=0에서 x=2
구간 (1, ¦)에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 나타내는 표를 만들고 그래프를 그리면
y
다음과 같다.
y
2
y
f '(x)
-
0
+
f(x)
↘
2
↗
x
과정 3.
(1)
주어진 범위에서 부등식이 성립하는지 확인하기
함수 f(x)는 x=2일 때 극소이면서 최소이다.
y=f{x}
2
O
x
1 2
따라서 x>1일 때, 함수 f(x)의 그래프는 x축의 위쪽에 있으
므로 주어진 부등식은 성립한다.
3.
다음 부등식이 성립함을 보이시오.
⑴ 모든 실수 x에 대하여 2eÅ >2x
생각
키우기
부등식의 증명을 통한 명제의 참, 거짓
⑵ x¾0일 때, cos`x¾1-2x`
문제 해결 추론
함수 f(x)=3x-a sin`2x에 대하여 명제
‘x¾0이면 f(x)¾0이다.’
가 참이 되기 위한 양수 a의 값의 범위를 구해 보자.
124
II. 미분법
(110~135)고등수학교과서_미적분.indd 124
2018-05-25 오후 1:44:29
들어가기 전에
이계도함수를 구할 수 있나요?
아니요 104쪽
예
속도와 가속도
학습 목표
•속도와 가속도에 대한 문제를 해결할 수 있다.
속도와 가속도는 어떻게 구할까?
생각과
활동
어느 다이빙 선수가 다이빙대에서 뛰어오른 지 t초 후의 수면으로부터의 높이를 x`m라고
할때
x=-4.9tÛ`+4.9t+9.6
인 관계가 성립한다고 한다.
활동 1 다이빙 선수가 수면에 닿을 때까지 걸린 시간을 구해 보자.
활동 2 다이빙 선수가 수면에 닿는 순간의 속도와 가속도를 구해 보자.
수학Ⅱ에서 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도에 대하여 학습한 내용을 정리
하면 다음과 같다.
수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치가 x=f(t)일 때, 점 P의 시각 t에서
의 속도 v와 가속도 a는
v=
1.
dx
dv
=f '(t), a= =f "(t)
dt
dt
수직선 위에서 원점을 출발하여 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치가
x=2t-4't
일 때, 시각 t=1에서의 속도와 가속도를 구하시오.
3. 도함수의 활용
(110~135)고등수학교과서_미적분.indd 125
125
2018-05-25 오후 1:44:32
이제 좌표평면 위를 움직이는 점의 시각 t에서의 속도와 가속도에 대하여 알아보자.
좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치를 좌표 (x, y)로 나타내면 x, y는
시각 t를 매개변수로 하는 함수
x=f(t), y=g(t)
로 나타낼 수 있다.
이때 두 함수 f(t), g(t)의 시각 t에서의 순간변화율
dx
dy
=f '(t),
=g '(t)
dt
dt
에 대하여
( f '(t), g '(t))
를 점 P의 시각 t에서의 속도라 하고,
"Ã{ f '(t)}Û`+{ g '(t)}Û`
을 점 P의 속력이라고 한다.
또, 두 함수 f '(t), g '(t)의 순간변화율
dÛ`x
dÛ`y
=f "(t),
=g "(t)
dtÛ`
dtÛ`
에 대하여
( f "(t), g "(t))
를 점 P의 시각 t에서의 가속도라 하고,
"Ã{ f "(t)}Û`+{ g "(t)}Û`
을 점 P의 가속도의 크기라고 한다. 이상을 정리하면 다음과 같다.
좌표평면에서의 속도와 가속도
좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치가 x=f(t), y=g(t)일 때, 점 P의 시
각 t에서의 속도와 가속도는
❶ 속도 ( f '(t), g '(t))
속력 "Ã{ f '(t)}Û`+{ g '(t)}Û`
❷ 가속도 ( f "(t), g "(t))
가속도의 크기 "Ã{ f "(t)}Û`+{ g "(t)}Û`
126
II. 미분법
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속도와 가속도 구하기
예제 1
좌표평면 위를 움직이는 점 P(x, y)의 시각 t에서의 위치가
x=tÜ`, y=tÛ`
일 때, 다음을 구하시오.
⑴ 1초 후의 점 P의 속도와 속력
⑵ 2초 후의 점 P의 가속도와 가속도의 크기
풀이
⑴ 과정 1. 속도를 t에 대한 식으로 나타내기
dx
dy
=3tÛ`,
=2t
dt
dt
이므로 시각 t에서의 점 P의 속도는 (3tÛ`, 2t)이다.
과정 2.
1초 후의 점 P의 속도와 속력 구하기
1초 후의 속도는 (3, 2)이고 속력은 "Ã3Û`+2Û`='¶13이다.
답
⑵ 과정 1. 가속도를 t에 대한 식으로 나타내기
dÛ`x
dÛ`y
=6t,
=2
dtÛ`
dtÛ`
이므로 시각 t에서의 점 P의 가속도는 (6t, 2)이다.
과정 2.
2초 후의 점 P의 가속도와 가속도의 크기 구하기
2초 후의 가속도는 (12, 2)이고 가속도의 크기는 "Ã12Û`+2Û`=2'¶37이다.
2.
답
좌표평면 위를 움직이는 점 P(x, y)의 시각 t에서의 위치가
x=e^`, y=eÛ``^
일 때, 다음을 구하시오.
⑴ 1초 후의 점 P의 속도와 속력
⑵ 2초 후의 점 P의 가속도와 가속도의 크기
3.
좌표평면 위를 움직이는 점 P(x, y)의 시각 t에서의 위치가
x=t-sin`t, y=t-cos`t
일 때, 다음을 구하시오.
⑴ p초 후의 점 P의 속도와 속력
⑵ 2p초 후의 점 P의 가속도와 가속도의 크기
3. 도함수의 활용
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스스로 익히는
도함수의 활용
개념 1
접선의 방정식
곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선
개념을 정리하고, 얼마나 이해했는지 문제를 통해 확인해 보자.
개념 1
111쪽
01. 곡선 y='x 위의 점 (4, 2)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
의 방정식은
y-f(a)= ① f '(a) (x-a)
개념 2
곡선의 오목과 볼록
함수 f(x)가 어떤 구간에서
⑴f "(x) ② > 0이면 곡선 y=f(x)는 이 구
개념 2
115쪽
02. 함수 y=x-ln`x의 증가와 감소를 조사하시오.
간에서 아래로 볼록하다.
⑵f "(x) ③ < 0이면 곡선 y=f(x)는 이 구
간에서 위로 볼록하다.
개념 3
개념 2
변곡점의 판정
함수 f(x)에서 f "(a)= ④ 0 이고, x=a의
116쪽
의 극값을 구하시오.
03. 함수 f(x)= xÝ`xÛ+1
`
좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌면 점 (a, f(a))
는 곡선 y=f(x)의 변곡점이다.
개념 4
방정식과 부등식에의 활용
⑴방정식 f(x)=0의 서로 다른 실근의 개수는
함수 y=f(x)의 그래프와 x축과의
개념 2
117쪽
04. 0<x<;2Ò;에서 곡선 y=tan`x의 오목과 볼록을 조사하시오.
⑤ 교점 의 개수와 같다.
⑵부등식 f(x)>0이 성립함을 보이려면 함수
y=f(x)의 그래프가 주어진 구간에서 x축
의 ⑥ 교점 에 있음을 보이면 된다.
개념 3
개념 5
118쪽
05. 곡선 y=xeÅ` 의 변곡점을 구하시오.
속도와 가속도
좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의
위치가 x=f(t), y=g(t)일 때, 점 P의 시각 t
에서의 속도와 가속도는
⑴ 속도 ⑦ ( f '(t), g '(t))
속력 ⑧ "Ã{ f '(t)}Û`+{ g '(t)}Û`
⑵ 가속도 ⑨ ( f "(t), g "(t))
가속도의 크기 ⑩ "Ã{ f "(t)}Û`+{ g "(t)}Û`
개념 4
추론
122쪽
06. 다음 물음에 답하시오.
⑴ 방정식 eÅ +eÑÅ =4의 실근의 개수를 구하시오.
⑵ x>0일 때, 부등식 x¾ln`x+1이 성립함을 보이시오.
128
II. 미분법
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정답 및 풀이 196쪽
중단원 학습 점검
자기 평가
개념 5
127쪽
07. 좌표평면 위를 움직이는 점 P(x, y)의 시각 t에서의 위치가
맞힌
개념에 해당하는 칸에 색칠하고
정답률을 나타내 보자.
x=t-;t@;, y=2t+;t!;
①
이다. 1초 후의 점 P의 가속도를 구하시오.
⑩
②
⑨
%
③
④
⑦
⑤
개념 1
⑧
⑥
112쪽
08. 곡선 y=2Å` 위의 점 P에서의 접선이 x
y
y=2x
각
개념별로 해결한 문제 수만큼 색칠해
보자.
축과 만나는 점을 Q라 하고, 점 P에서
P
x축에 내린 수선의 발을 H라고 할 때,
개념 1
선분 QH의 길이를 구하시오. 개념 2
O Q
H
개념 3
x
개념 4
개념 5
개념 3
창의·융합
120쪽
09. 바닷가의 어느 한 지점에서 하루 동안 바다의 깊이를 측정했다. 시
각
난이도별로 해결한 문제 수를 세어
보자.
/3
각 t에서 바다의 깊이를 h(t)`km라고 할 때,
h(t)=2 cos`
각 구하고, 변곡점을 구하시오.
개념 3
이
단원에서 나의 학습 만족도를 평가해
보자.
0
25
50
75
100%
119쪽
잘한
점은 발전시키고, 부족한 점은 보
완할 수 있도록 학습 계획을 세워 보자.
123쪽
다음 단원에서 우리는
xÛ`-3x+2
함수 y=
의 그래프의 개형을 그리시오.
xÛ`
개념 4
/3
pt
+3 (0<t<24)
6
인 관계가 성립한다고 한다. 바다의 깊이의 최댓값과 최솟값을 각
10.
/5
11. 방정식 eÅ`=x+k가 실근을 가지기 위한 실수 k의 값의 범위를 구
미분의 역관계에 있는 적분을 알아본다.
하시오.
중단원 학습 점검
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창의
·
융합
자동차의 속력과 정지 거리는 어떤 관계일까?
프
로
젝
트
목표 탐구형 소프트웨어를 이용하여 정지 거리와 관련된 문제를 해결할 수 있다.
출처: R. Larson 외 1인, 『Calculus』,
정우택 외 3인, 「활주거리와 제동전 속도간의 상관관계에 관한 연구」
자동차의 정지 거리에 대한 다음 글을 읽고 활동을 해 보자.
자동차의 정지 거리는 운전자가 위험을 감지하고 브레이크를 밟아 브레이크가 작동할 때까지 주행한 거리
문제 해결 창의·융합 정보 처리 태도 및 실천
(반응 거리)와 브레이크가 작동하고 자동차가 정지할 때까지 주행한 거리(제동 거리)의 합이다. 이때 제동 거
리는 도로의 상태, 자동차의 무게, 주행 속력에 따라 달라진다.
새로 개통하는 어떤 다리에서 최고 제한 속도를 정하기 위해 자동차의 속력 x`km/h에 따른 정지 거리 d`m
를 측정했더니 다음 표와 같은 결과를 얻었다고 한다.
활동 1
x`(km/h)
20
40
60
80
100
d`(m)
5.1
13.7
27.2
44.2
66.4
탐구형 소프트웨어를 이용하면 위의 표에 나타난 자료를 이차함수
d(x)=axÛ`+bx+c (단, a, b, c는 상수)
로 나타낼 수 있다. 다음 과정에 따라 함수 d(x)를 구해 보자.
과정 1.
자료를 5개의 점의 좌표로 생각하여 입력 창에 각각의 점의 좌표를 입력한다.
과정 2.
5 개의 점을 이차함수로 나타내 주는 2차 다항적합선 기능을 이용하기 위해 입력 창에
d(x)=다항적합선({A, B, C, D, E}, 2)를 입력한다.
130
II. 미분법
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정지 거리와 도함수의 활용
활동 2 다리 위의 같은 차선에서 안전한 정지 거리를 유지하며 일정한 속력 x`km/h로 달리는 두 자동차가 있다. 두
자동차의 평균 길이가 5`m일 때, 다리 위의 일정한 지점을 두 자동차가 지나는 순간의 시간 차를 T(초)라고
하면
T(x)=
d(x) 5
+
x
x
인 관계가 성립한다고 한다. 자동차의 속력이 120`km/h를 넘지 않는다고 할 때, 활동 1 과 다음의 과정을
보고 탐구형 소프트웨어를 이용하여 함수 y=T(x)의 그래프를 나타내고, 두 자동차가 일정한 지점을 지나
는 순간의 시간 차를 최소화하기 위한 두 자동차의 속력을 구해 보자.
과정 1.
입력 창에 T(x)=d(x)/x+5/x를 입력하여 함수 y=T(x)의 그래프를 나타낸다.
과정 2.
입력 창에 최솟값(T(x), 0, 120)을 입력하여 그 구간에서 함수 T(x)의 최솟값을 구한다.
활동 3 기후 조건을 제외한 다른 조건은 똑같이 유지하고, 자동차의 정지 거리를 측정한 결과가 다음 표와 같을 때,
활동 1 , 활동 2 를 참고하여 두 자동차가 일정한 지점을 지나는 순간의 시간 차를 최소화하기 위한 두 자동
차의 속력을 구해 보자.
활동 평가
x`(km/h)
20
40
60
80
100
d`(m)
4.5
14.6
31.4
56.3
88
나의 활동을 스스로 평가해 보자.
평가 항목
자기 평가
좋음
보통
부족
주어진 글을 읽고 스스로 이해했다.
내용
활동 1 에서 탐구형 소프트웨어를 활용하여 이차함수 d(x)를 구했다.
활동 2 에 주어진 식을 이해하고 자동차의 속력을 구했다.
활동 1 , 활동 2 의 과정을 이해하고, 활동 3 의 새로운 조건에서 자동차의 속력을 구했다.
태도
활동에 적극적으로 참여했다.
창의·융합 프로젝트
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스스로 마무리하는
미분법
56쪽
01.
102쪽
ln(e+x)-ln`e
lim
의 값은?
x Ú0
x
① ;2Áe;
② ;e!;
③1
04. 정의역이 [x|0Éx<;2Ò;]인 함수 f(x)=tan`x의
`④ e
역함수를 g(x)라고 할 때, g '(1)의 값은?
⑤ 2e
① ;4!;
x Ú0
② ;2!;
③1
④2
⑤4
05. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)가 모든
sin(3xÛ`+2x)
의 값은?
x
① ;3!;
③1
56쪽
70쪽
02. lim
② ;2!;
실수 x에 대하여
`④ 2
⑤3
xf(x)=eÛ`Å`-1
이 성립할 때, f(0)의 값은?
①2
②3
③4
④5
⑤6
91쪽
03. 함수 f(x)=ln|cos`x|의 도함수 f '(x)는?
① tan`x
② sin`x
④ -sin`x
⑤ -tan`x
학습 관리
112쪽
06. 곡선 xÛ`+xy=3 위의 점 (1, 2)에서의 접선과 x
③ cos`x
축, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?
① ;2&;
문제를 얼마나 잘 풀었는지 스스로 점검해 보자.
평가 항목
01
02
③ ;2(;
②4
3점 매우 만족
03
04
05
06
07
2점 만족
08
⑤ :Á2Á:
④5
09
1점 노력을 요함
10
11
12
문제를 해결하는 데 필요한 내용을 알고 있다.
풀이 과정에 오류가 없다.
정답을 맞혔다.
총점
132
II. 미분법
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대단원 학습 점검
추론
정답 및 풀이 197쪽
105쪽
07. 함수 f(x)=ln`x
116쪽
10. 함수 f(x)=eÅ`(xÛ`+4x+a)의 극값이 존재하지
ln`x
①e
② 'e
에 대하여 f "('e)의 값은?
③1
④
1
'e
않도록 하는 실수 a의 최솟값을 구하시오.
⑤ ;e!;
127쪽
11. 좌표평면 위를 움직이는 점 P(x, y)의 시각 t에
서의 위치가
116쪽
08. 함수 f(x)=xÛ`eÅ`+a의 극솟값이 1일 때, 극댓값
x=ln(t+1), y=tÛ`+1
일 때, 1초 후의 점 P의 속력을 구하시오.
은? (단, a는 상수이다.)
①
4
eÛ`
② ;e!;+1
④ ;e!;+2
⑤
③
4
+1
eÛ`
4
+3
eÛ`
문제 해결
83쪽
12. 그림과 같이 직사각형 모양의
종이에 사진을 출력하려고 한
다. 종이의 오른쪽과 왼쪽 여
백을 각각 1`cm, 위쪽과 아래
쪽 여백을 각각 ;2#;`cm로 정
69쪽
09.
aeÅ`+b (x<0)
함수 f(x)=à[
가 x=0에서 미분
sin`x (x¾0)
하면 사진이 출력되는 부분의
가능할 때, 두 상수 a, b에 대하여 ab의 값은?
넓이는 24`cmÛ`이다. 이 직사각형 모양의 종이의
① -2
넓이의 최솟값을 구하시오.
② -1
③0
④1
⑤2
출처: R. Larson 외 1인, 『Calculus』
자기 관리
학습 태도는 어떠했는지 스스로 점검해 보자.
평가 항목
01
02
3점 잘함
03
04
05
06
07
08
2점 보통
09
10
1점 부족
11
12
틀린 문제는 배운 내용을 복습하고 다시 풀었다.
문제를 자신 있게 해결했다.
끈기 있게 도전했다.
대단원 학습 점검
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133
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스스로 마무리하는
대단원 학습 점검
정답 및 풀이 198쪽
미분법
118쪽
과정을 평가하는 서술·논술형 문제
14. 다음 그래프는 어떤 함수 f(x)의 도함수 y=f '(x)
[ 13~14 ] 다음 문제의 풀이 과정과 답을 쓰시오.
13. 함수 f(x)=à[
xÛ`sin`;[!; (x+0)
0
(x=0)
의 그래프이다. 다음 물음에 답하시오.
y
69쪽
y=f '{x}
에 대하여 다음
-3-2
물음에 답하시오.
-1 O
1 2
3
4
5
6
7 x
⑴ f '(0)의 값이 존재하면 그 값을 구하시오.
풀이
⑴ 함수 f(x)가 극값을 갖는 x의 값을 구하시오.
풀이
⑵ x=0에서 함수 f '(x)의 연속성을 조사하시오.
풀이
⑵ f "(-1)=f "(1)=f "(2)=f "(3)=f "(5)=0
임을 이용하여 이계도함수 y=f "(x)의 그래
프의 개형을 그리시오.
풀이
이 단원을 마무리하며
이 단원을 학습하면서 재미있었거나 어려웠던 내용을 적어 보자.
이 단원이 왜 중요한지 생각해 보고, 앞으로 나의 학습 계획을 자유롭게 적어 보자.
134
II. 미분법
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수학 ,
미래를
만들다
상상하는 것을 그려 내는
컴퓨터 그래픽 디자이너
다음 표를 완성하여 컴퓨터 그래픽 디자이너에 대한 자신의 적성을 평가해 보자.
A
적성 평가표 작성 방법
상상력
다른 사람이 생각하지 못
하는 상상을 할 때가 많다.
5. 매우 그렇다.
4. 그렇다.
3. 보통이다.
2. 그렇지 않다.
E
1. 전혀 그렇지 않다.
A
E
4 5
12 3
D
B
관찰력
창의력
유행의 변화를 빠르게
인식한다.
관계없어 보이는 것을 연
결하여 생각해 보곤 한다.
B
C
D
C
공간 지각 능력
과제 집중력
공간에서의 위치를 잘 파
악하고 구상한다.
한 가지 문제를 해결할
때까지 집중한다.
컴퓨터 그래픽 디자이너와 톡톡 인터뷰
어떤 일을 하나요?
사람이 손으로 표현하기 힘든 그림을 컴퓨터를 이용해 형상화하는 일을 합니다.
키보드나 태블릿 펜으로 입력한 도형의 매개변수를 바꿔가면서 원하는 도형으
로 변환하는 작업을 합니다.
어떤 분야에서 일을 하게 되나요?
배경이나 인물을 컴퓨터 그래픽으로 구현하는 영화의 제작에 참여하거나, 애니
메이션이나 게임 등에서 입체 영상이나 특수 효과를 작가와 협업하여 시각화하
기도 합니다.
어떤 능력을 기르면 좋을까요?
색채 감각과 조형 감각을 기르는 것이 중요하고, 세심하면서도 독창적인 생각을
할 수 있어야 좋은 결과물이 나올 수 있겠죠. 또, 작업을 효율적으로 하려면 컴퓨
터 프로그램을 능숙하게 사용할 수 있어야 하고, 상품의 기능과 소비자의 취향을
파악하고 분석하여 디자인에 적용하는 능력도 필요합니다.
#그래픽 디자이너를 검색하여 그래픽 디자이너의 인터뷰를 읽고 친구들에게 소개해 보자.
출처: 커리어넷
수학, 미래를 만들다
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