절댓값 함수를 바라보는 세 가지 관점에 관하여 MUSIK 참고 : 문과 학생들의 이해를 위해 모든 예시는 문과 범위 내에서 선별하였습니다. 문과 학생과 이과 학생 모두를 수능을 응시하는 그 날까지 괴롭히는 요소를 꼽으라 하면, 모두가 주저하지 않고 ‘절댓값’을 선택할 것입니다. 중학교 시절 ‘왜 존재하는지 이유를 몰랐던’ 절댓값이 이렇게 우리를 괴롭히는 요소로 돌아올 줄은 저 역시 꿈에도 몰랐습니다. 마치 아무것도 아니었던 주인공이 여러 친구들의 힘을 받아 가장 강력한 1인자가 된 것처럼요. 그래도 문제를 풀다 보면 생기는 스킬이나 경험을 통해 자신만의 ‘절댓값 대처법’이 생겼을 것입니다. 뭔지 잘 모르시겠다고요? 이 글에서 다 설명해 드릴 것입니다. 우리의 마르지 않는 샘물인 평가원 기출문제를 통해서요. 우선, 절댓값 함수를 바라보는 관점에는 크게 세 가지가 있는데, 첫 번째가 ‘기하적 거리의 관점’, 두 번째가 ‘구간별 함수의 관점’, 세 번째가 ‘대칭이동의 관점’입니다. 어떤 상황에서 해당 관점을 적용하면 좋을 지를 기출을 통해 알아 봅시다. ① ‘기하적 거리의 관점’의 경우 이 말을 더욱 풀어서 설명하면, ‘수직선에서의 거리’, ‘일차원적인 거리’로 치환하여 보는 관점이라는 말입니다. 이 경우는 미지의 상수로 이루어진 다항식 혹은 일차식을 포함하는 부등식 에서 유용하게 쓰일 수 있습니다. 예시 1) 120606(나) 이 문제의 경우, ‘ 와 사이의 거리’ = ‘ 와 사이의 거리’ 라고 생각하시면 아주 편하게 접근하실 수 있습니다. 물론 쉬운 문제이므로 자신의 수학적 감각을 믿고 숫자를 대입해 보아도 상관은 없습니다. 두 번째 예시는 조금 더 복잡한 문제에서 시간 단축을 위해 쓰입니다. 예시 2) 091106(가) 이 경우에는 를 구체적으로 구하는 과정에서 등비수열의 공비를 세분화해야 합니다. 이후 그래프를 그릴 때 를 바로 로부터의 거리가 미만인 구간으로 생각하면 계산 없이도 빠르게 그래프를 그릴 수 있습니다. ② ‘구간별 함수의 관점’ 수학 문제를 풀다 보면 드는 깨달음 중에는 ‘아! 절댓값 함수는 그냥 구간별로 함수를 나눈 것을 하나로 퉁친 것이구나!’도 있습니다. 상당히 좋은 관점 중에 하나로, 절대값과 다른 함수가 사칙연산 등으로 결합되어 있는데 그 꼴이 복잡한 경우 유용하게 쓰일 수 있습니다. 예시 1) 111006(가) 이런 경우는 ≥ 인 경우와 인 경우의 함수의 꼴을 따로 구하는 것이 효율적인 풀이라고 할 수 있습니다. 예시 2) 050610(가) ㄷ 보기에서와 같이 와 같은 형태 역시 구간별로 정의한다면 편하겠죠? 물론, 이 문제는 이차함수의 최고차항의 계수의 부호에 따라 한 형태로만 정의되기에 유용성이 크다고 하기는 어렵겠죠. ③ ‘대칭이동의 관점’의 경우 처음 절댓값 함수를 배울 때에 직관적으로 생각하기 쉬운 관점입니다. 대수적인 사고를 요구하는 문제에서보다 기하적 사고를 요구하는 문제에서 유용하게 쓰일 수 있는 관점이기도 합니다. 이 유형으로 접근할 수 있는 문제는 정말 무궁무진하지만, 지면관계상 몇 개만 인용하였습니다. 예시 1) 131119(가) 아주 대표적인 유형 중의 하나로, ‘ 축을 기준으로 접어 올렸다’라는 느낌을 받기 좋고, 또 그에 따라 두 가지 개형이 생기기도 하는 문제입니다. 순수한 기하적 상황이기에 이 방법을 제외한다면 접근법이 존재하지 않기도 합니다. 예시 2) 100624(가) 전설적인 문제 중 하나로, 처음으로 ‘ 를 기준으로 접어 올린다’라는 개념이 문제에 적용되었던 사례입니다. 이듬해 수능에서도 111124(가)라는 무시무시한 문제로 기출 분석의 중요성을 다시금 깨닫게 해 주었던 문제입니다. 예제 3) 111124(가) 특이한 점을 찾자면, 접어올리는 ‘기준을 변수화’하여 다양한 시도를 하게끔 만들었다는 점이죠. 등장 당시에 어떤 충격이었을지 상상이 가지 않습니다. 지금까지 여러 유형의 절댓값 문제에 대한 접근을 살펴보았습니다. 생각해 보면 별 것 아닌 내용이지만, 문제를 바라보는 눈은 많으면 많을수록 좋아지는 법입니다. 이 칼럼의 내용을 자기 것으로 만드셔서 절댓값 함수에 대한 무조건적 공포에서 탈출하시길 바랍니다.