ព្រះរាជាណាចព្ររម្ពជា ុ ជាតិ សាសនា ព្រះម្ហារសព្ត 6 ព្រសួងអប់រ ំយុជន និងរីឡា វិ ទ្យាស្ថានជាតិអប់រ ំ ស ិ ៀវសៅកច្ច សេសរៀន និង លំហាត់ ិ ការស្រាវជ្រាវគណិតវទ្យា ជ្រាប់ជ្រគូ និង ិ ស េធ្យេ េិ ិ កាទ្យុតយភូ ិ គរ ុនិសស ិតគណិតវិទ្យាព្រុម្២ ជំនាន់ទ្យី ១៨ សាស្ត្សាាចារយណណនា ំាំៈ ថៃ ហេង ឆ្ន ំសិរា ២០១២-២០១៣ អារម្ភកថា ិ សសៀវសៅកម្រងស្រាវម្ាវគណិតវទ្យាសម្ាប់ ជំនយ ួ ដល ់ការសិកា និងាឯការស្រាវម្ាវ ិ ា គណិតវទ្យាខាងន្នែ ិ សដរ កចំសណេះដង ក ា៉ាម្ទ្យីស និងសដន្ទ្យរីណង ់ ។ ការសរៀប ើ បពម្ងី ឹ បន្នែរសលើរុខវា ី ចំឲ្យានកចច ិ ការស្រាវម្ាវសនេះស ើ ង គកង ្ ុងសបលបំណងពម្ពឹងនិងពម្ងីកសរតែភាពបន្នែរសៅសលើផ្នែក ិ ិ ិ ំនាន់ទ្យ១៨ គណិតវទ្យា ដល ់គរុនិសសតជ ននវទ្យាា ែ នាតអប់ រ ំ ន្នែកសដប៉ាសតរ៉ាង ់ គណិតវទ្យាទ ងរូ ំ ល ិ ី ិ ិ សៅសលើម្គប់ផ្នែក ននគណិតវទ្យា និងបនន្បងន្ចកាម្កុរកងុងការស្រាវម្ាវ ។ សសៀវសៅកចច ិ ការស្រាវ ម្ាវសនេះសដោតសំ ខាន់សៅសលើផ្នែកា៉ាម្ទ្យីស និងសដន្ទ្យរីណង ់ ។ ខរារសរសរៀនម្តូ វបនសសងេបគនលឹេះ ឹល សំ ខាន់ៗម្ពរទងានឧទហរណ ំ ៍ បញ្ជ ា ក់ ន្ដលានសម្ាយងាយយល ់ ។ កងុងសសៀវសៅសនេះរួរាន លំហាត់បន្នែរ ម្ពរទងដ ំ សំ េះស្រាយ ងាយយល ់ និងសកបេះកបយ សនេះនឹងអាចជួយដល ់កងវេះខាតខ លេះៗ របស់ប្ូ នៗ អ ។ សយើងខស ំុ ្ ងឃរថាសសៀវសៅ ឹ និងរិតតអងកអានកងុងការស្រាវម្ាវសលើផ្នែកគណិត ិ វទ្យាសនេះ សហើយនិងអាចនតល ់នូវចំសណេះដង ំ យ ដល ់សិសស និសសត ឹ ថ្មីៗដល ់រិតតអងកអានម្ពរទងជួ ិ និង រិតតអងកអានម្គប់រប ូ នងន្ដរ ។ សូរអភ័យសទសទ្យុការុននូវរាល ់កំហុសឆ្គង ន្ដលបនសកត ើ ានស ើ ងសោយសចតនាកតសោយ ី អសចតនាកតី សហើយនឹងទ្យទ្យួលនូវរតិ រិៈិ គន់សដរ ំ សោយសសចកតរី ករាយ ី ើ បា ី ែ បនាពីរតត ិ អងកអានទងអស់ បំនត ុ សដរ សៅកចច ំុ ្ ឹងទ្យទ្យួលរាល ់ការរេះគន់ ិ សដរ ើ បឲ្យសសៀវ ើ បផ្ក ី ិ ការស្រាវម្ាវសនេះកាន់ផ្តម្ប្សសើរ សយើងខន ី សម្រួលបន្នែរអំ ពី សំ ិ ័ សិកាសលើផ្នែកគណិតវទ្យា ក់អងកអាន ាពិសសសសោកម្គូអងកម្គូបញ្ជ ា វនោ សនេះឲ្យកាន់ផ្តានគុណភាព ។ ប សូរន្ថ្លងអំ ណរគុណដល ់ាតា បីតា ម្គប់រប ូ ន្ដលបនខតខំ បីបច់ផ្ថ្រកាកូនសៅ និងបណ ិ ុ ត េះ ិ ា ោ លចំសណេះវា ិ ាពិសសសវទ្យាា ែ នាតអប់ រផ្ដលបនខ ំ តខំ បណ ិ ិ ុ ោ េះប សុទ្យ ធសឹងន្តានសរតែភាព និងចំសណេះដង ឹ ពិតៗ ។ ចសម្រីន ត លនូវគរុនិសសតន្ដល ិ សូរជូនពរប្អូនៗ សិសស និសសត ម្ពរទង ំ រិតតអងកអានទងអស់ ំ បង ជួបម្ប្ទ្យេះន្តសសចកតសុ ិ ី ខ ានសុខភាពលអ ម្ាថាងសរៀងៗខន ួល ។ ម្ាា្សវៀងនវ និងសូរឲ្យទ្យទ្យួលបននូវលទ្យ ធនលលអ តារន្ដលខនប៉ា ង ួល សរៀបសរៀងសោយ ិ គរុនិសសតគណ រ២ ិ ិ តវទ្យាម្កុ ជំនាន់ទ្យ១៨ ី I មាតិកា មា៉ាទ្រីស 1. សញ្ញ ា ណនៃមា៉ាទ្រីស .......................................................................................... 1 1.1. នយ ិ មន័យ ......................................................................................................................... 1 1.2. ប្រភេទម៉ាប្ទីស .................................................................................................................... 2 2. ទ្រមាណវិធីល មា ើ ៉ា ទ្រីស ........................................................................................... 3 2.1. ម៉ាប្ទស ី ភសមគ្ន ើ ា ....................................................................................................................................3 2.2. វិ ធីបូក និង វិ ធីដកននម៉ាប្ទស ី .................................................................................................... 3 2.3. ផលគុណមួយចំនួនពត ិ នឹងម៉ាប្ទស ី ............................................................................................. 3 2.4. វិ ធគ ី ុណននពរី ម៉ាប្ទស ី .........................................................................................................................4 3. 4. 5. 6. 7. 8. រទ្ម្ង់មា៉ាទ្រីសនៃទ្រព័ៃធសម្ីការ លី ៃអ ៊ែរ ........................................................ 5 មា៉ាទ្រីសទ្តង់ស្ ៉ូ ៉ា ................................................................................................. 6 ចំរាសនៃមា៉ាទ្រីសកាលរ ........................................................................................ 7 មា៉ាទ្រីសសវយ ័ គុណ ............................................................................................. 9 កខណៈនៃមា៉ាទ្រីសទ្តង់ស្ ............................................................................... 9 ៉ូ ៉ា មា៉ាទ្រីសសុលី ម្ទ្រី ................................................................................................. 10 លេអរម្ីណង់ 1. ៃុគម្ៃ៏លេអរម្ីណង់ ....................................................................................... 11 2 ......................................................................................11 2. លេអរម្ីណង់ ដា ំ រ់ 3. លេអរម្ីណង់ ដា ំ រ់ 3 ........................................................................................ 11 3.1 គណនាភដទទមណ សារុស ........................................................................ 11 ី ង់លំដាប់ 3 តាមកបនរបស់ ួ 3.2 គណនាភដទទមណ ី ង់លំដាប់ 3 តាមមីន័រ ...................................................................................... 12 4. លដាោះទ្ាយទ្រព័ៃធសម្ីការ លី ៃអ ៊ែរ ................................................................. 12 4.1. ទប្មងម ់ ៉ា ប្ទស ី ននប្រព័នធសមកា ី រលភី នទ ៊ែរ ...................................................................................... 12 4.2. ភដាោះប្សាយប្រព័នស ធ មកា ី រតាមប្កាម័រ .......................................................................................... 13 4.3. ភដាោះប្សាយប្រព័នស ធ មីការតាម (Guass Jordan) .........................................................................14 II 4.4. ភដាោះប្សាយប្រព័នស ធ មកា ី រតាមចប្មសននម៉ាប្ទស ី ........................................................................... 15 អនែក អនែកេំល ហា ំ ត់ .............................................................................................................. 17 ោះទ្ាយ..................................................................................................... 23 III ឯការលោង 1. Elementary Linear Algebra-Howard Anton-6 Edition 2. Linear Algebra "J. Henderson" (University of Sydney) 3. Algébre: tome 2 "Guy Auliac" 4. MathématiQues: DEUG – SCiENCES 5. សសៀវសៅ ១៥ ភាគ សរសរៀនា៉ាម្ទ្យីស និងសដន្ទ្យរណង ់ ី 6. សសៀវសៅគណិតរបស់ម្កសួងអប់រយុ ំ វជន និង កឡា ី IV វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ ម៉ាទ្រីស ( Matric) 1. សញ្ញ ា ណននម៉ាទ្រីស ( Matrices Nation) 1.1. នយ ិ មន័យ រ ម៉ាទ្រីស គជាការររៀបរេខ ឬចំនន ួ ជារាងចតុរកាណកែង ឬ ការររៅែនុងសញ្ញ ា ដរងកៀប ឺ ើ ងតាងម៉ាទ្រីសរោ អែសរធំ A, B, C,... ។ [] ។ រេខ ឬ ចំនន ួ កដេរគររៀបរនេះរៅថា ធាតុ ( Entries) ននម៉ាទ្រីសកដេែំណត់តាងធាតុម៉ាទ្រីសរោ អែសរតូច a, b, c,... សទ្មប់តាងឲ្យបរមិ ណជារេខ ។ ឧទាហរណ៏ រគមនម៉ាទ្រីសេំោប់ ជួរឈររ ី 1 ជួរឈររ ី 2 A 3 ជារូដៅ 2 3 ( អានថា 2 កខ ែង 3 ជួរឈររ ី 2 3 ជួររដែរ ី 1 7 2 1 4 ) ដូចខាងរទ្កាម ៖ ជួររដែរ ី 2 ម៉ាទ្រីស គជាការររៀបចំ នន ួ ជារាងចតុរកាណកែង ឬការរោែ់ែុងសញ្ញ ន ា ដរទ្ងៀប ឺ រគែំណត់តាងម៉ាទ្រីសរោ រោ អែសរតូច អែសរធំដច ូ ជា a, b, c,... ។ ម៉ាទ្រីស A a11 a21 A a31 am1 []។ A , B , C,... និងធាតុននម៉ាទ្រីសតាង មនេំោប់ m n ែំណត់រោ ៈ m a12 a13 ... a1n a22 a33 ... a2 n a32 a33 ... a3n am 2 am 3 ... amn n ម៉ាទ្រីស n កដេមន n Matrixof Order n ) ជួររដែ និង រហើ ធាតុ n ជួរឈររៅថា ម៉ាទ្រីសការរេំោប់ a11 , a22 , ...an n Main Diagonal Entries ននម៉ាទ្រីស a11 a21 A a31 an1 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ a12 a22 a32 an 2 n (Square រៅថា ធាតុអងកតទ្់ រូងសំ ខាន់ A ែំណត់រោ a13 ... a1n a33 ... a2 n a33 ... a3n an 3 ... ann ៈ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 1 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ ម៉ាទ្រីសការរ កដេមនធាតុទាងអស់ ំ រសមើសូនយ រេើែកេងកតធាតុអងកតទ្់ រូងសំ ខាន់ រ ម៉ាទ្រីសអងកតទ្់ រូង Diagonal Matrix ែំណត់រសររសររោ a11 0 0 ... 0 0 a 0 ... 0 22 A 0 0 a33 ... 0 0 0 0 ... amn េះរៅថា ៈ m n 1.2. ប្រភេទម៉ាប្ទីស្ ក. ម៉ាប្ទីស្ស្ូនយ ម៉ាទ្រីសសូនយ គជាម ៉ា ទ្រីសកដេមនធាតុទាងអស់ ំ រសមើសូនយ រគែំណត់តាងរោ ឺ 0 0 O ; 0 0 ខ. េំោប់1 2 0 0 0 0 O 0 0 0 0 0 0 0 0 េំោប់ 3 1 េំោប់ 3 4 ម៉ាប្ទស្ ី កាភរ 3 A 4 2 A 2 ជារូដៅ 9 6 មន 2 ជួររដែ និង 2 ជួរឈរ រគថាម៉ាទ្រីសការរេំោប់ 2 ។ 8 0 មន 2 ជួររដែ និង 3 ជួរឈរ រគថា ម៉ាទ្រីសការរេំោប់ 3 ។ 1 3 ម៉ាទ្រីសការរ ជាម៉ាទ្រីសមនចំនន ួ ជួររដែរសមើនឹងចំនន ួ ជួរឈរ តាងរោ a11 a21 A a31 an1 គ. ។ 0 O 0 ; 0 O 0 0 ; េំោប់ 2 2 O a12 a13 ... a1n a22 a33 ... a2 n a32 a33 ... a3n an 2 an 3 ... ann រៅថា ម៉ាទ្រីសការរេំោប់ ម៉ាប្ទីស្ឯកតា ម៉ាទ្រីសការរកដេធាតុរៅរេើអងកតទ្់ រូងពិរសស រសសងររៀតរសមើនឹងសូនយ រៅថា ម៉ាទ្រីសឯែតាតាងរោ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ n ។ a11 a22 a33 ... ann 1 រហើ I ។ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 2 ធាតុ វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ ឧទាហរណៈ ម៉ាទ្រីសខារទ្កាមសុរ ធកតជាម៉ាទ្រីសឯែតា 1 0 េំោប់ 3 3 ; I 0 0 1 0 0 1 0 េំោប់ 2 2 ; I 0 1 0 I 0 1 0 0 1 2. ទ្រមណវិធីដ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 េំោប់ 4 4 0 1 ម ើ ៉ា ទ្រីស 2.1. ម៉ាប្ទស្ ី ភស្មគ្ន ើ ា ម៉ាទ្រីសពីររសមើគ្ននកាេណា ម៉ាទ្រីសទាងព ំ ី រមនេំោប់ដច ូ គ្នននិងមនធាតុទ្តូវគ្ននរសមើររៀងគ្នន ។ ឧទាហរណ រគមនម៉ាទ្រីស ម៉ាទ្រីស ម៉ាទ្រីស 2.2 2 A 3 A រសមើម៉ាទ្រីស B កាេណា A រសមើនឹងម៉ាទ្រីស B 9 0 b11 b12 b13 , B មនេំោប់ 2 3 ដូចគ្នន ។ 4 0 b b b 21 22 23 b11 2; b12 9; b13 0; b21 3; b22 4; b23 0 ។ រគសររសររោ ៈ A B ។ វិ ធប ី ូក នង ិ វិ ធដ ី កននម៉ាប្ទស្ ី និយមន័យ របើ A និង B ជាម៉ាទ្រីសពីរកដេមនេំោប់ដច ូ គ្នន រ កដេបានមែរោ េះសេបូែ A B ជាម៉ាទ្រីស ការបូែនូវធាតុកដេទ្តូវគ្ននែនុងម៉ាទ្រីសទាងព ំ ី រ ។ ម៉ាទ្រីសកដេ ិ បូ មនេំោប់ខស ុ គ្ននមិនអាចរធែទ្រមណវ ធ ើ ី ែបានររ ។ និយមន័យ របើ A និង B ជាម៉ាទ្រីសពីរកដេមនេំោប់ដច ូ គ្នន រ កដេបានមែរោ េះសេដែ A B ជាម៉ាទ្រីស ការដែនូវធាតុកដេទ្តូវគ្ននែនុងម៉ាទ្រីសទាងព ំ ី រ ។ ម៉ាទ្រីសកដេមន ិ ដែបានររ។ េំោប់ខស ុ គ្ននមនអាចរធែ ទ្រមណវ ធ ិ ើ ី 2.3 ផលគុណមួយចំនួនពត ិ នង ឹ ម៉ាប្ទស្ ី ជារូដៅ របរគមនចំ នន ួ ពិត ើ នីមួ របើ ៗននម៉ាទ្រីស a b A c d A រ A នឹងចំនន ួ ពិត k ។ k រ និងម៉ាទ្រីស េះ ១) ២) A, B A k បានរោ គុណធាតុ a b a b ka kb k Ak Ak k kc kd c d c d លកខណៈផលបូក ផលដក នង ិ ផលគុណស្កាលល របើ េះម៉ាទ្រីស និង C ជាម៉ាទ្រីសមនេំោប់ m n និង c,d ស្កកកេរគបានៈ A B B A េែខណៈទ្តេប់ននសេបូែម៉ាទ្រីស A ( B C ) ( A B) C គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ េែខណៈស្ុំននសេបូែម៉ាទ្រីស គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 3 ។ វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ៣) ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ (cd ) A c(dA) េែខណៈស្ុំននសេគុណស្កកកេ ៥) 1 A A 1 A េែខណៈស្កកកេណឺត c( A B) cA cB េែខណៈបំបបែននសេគុណស្កកកេចំរ ៦) (c d ) A cA dA ៤) ិ បូ ិ ដែម េះវធ ៉ា ទ្រីស ី ែឬវធ ី ិ បូ ិ ដែស្ក េះវធ ក កេ ី ែឬវធ ី េែខណៈបំបបែននសេគុណម៉ាទ្រីសចំរ 2.4. វិ ធគ ី ុណននពរី ម៉ាប្ទស្ ី និយមន័យ ម៉ាទ្រីសពីរគុណគ្ននបានេុេះទ្តាកត ចំនន ួ ននជួរឈរម៉ាទ្រីសរមួ ី រសមើនឹងចំនន ួ ធាតុនន ជួររដែម៉ាទ្រីសរព ី ីរ ។ ជារូដៅ របើ m n និង B bi j ជាម៉ាទ្រីសមនេំោប់ េះសេគុណម៉ាទ្រីស A និង B ែំណត់រោ A B មនេំោប់ m p A ai j រ n p ជាម៉ាទ្រីសមនេំោប់ A B aij bij cij n p m p េំោប់ m n ជារូដៅ កដេ ci j ai1 b1 j ai 2b2 j ai 3 b3 j ... ai nbn j របើ ជាម៉ាទ្រីសេំោប់ A ជាម៉ាទ្រីស m n និង B ជាម៉ាទ្រីសេំោប់ n p m p កដេធាតុរបស់វាែំណត់រោ រដម រៅែនុងជួររដែរ ី i និងជួរឈររ ី ើ បរែធាតុ ី គត់រចញពីម៉ារស ី A ។ និងជួររ ី j កតមួ j រ េះសេគុណ AB ៈ នន AB រ ើង គត់រចញពីម៉ាទ្រីស គុណធាតុកដេទ្តូវគ្ននពីជួររដែ និងជួរឈររនេះរហើ B ែជួររដែរ ី i កតមួ ។ បូែេរ ធសេកដេររួេបានរ េះ រគសររសរែំណត់រោ a11 a12 a11 a12 b11 b12 b11 b12 A AB , B b b a a 21 22 a21 a22 21 22 b21 b22 a11b11 a12b21 a11b12 a12b22 a21b11 a22b21 a21b12 a22 b22 លកខណៈផលគុណម៉ាប្ទស្ ី តាង i) A, B និង C ជាម៉ាទ្រីស និងតាង A( BC ) ( AB)C ii) AB BA ជាស្កកកេ េែខណៈស្ុំននសេគុណ ជាសេគុណគ្នានេែខណៈទ្តេប់ iii) A( B C ) AB AC iv) ( A B)C AC BC គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ c ិ គុ េែខណៈបំបបែខាងរវែងននវធ ី ណចំរ ិ គុ េែខណៈបំបបែខាងស្កដ ំននវធ ី ណចំរ ិ បូ េះវធ ី ែម៉ាទ្រីស ិ បូ េះវធ ី ែម៉ាទ្រីស គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 4 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ c( AB) (cA) B A(cB) v) vi) I n A AI n A vii) A( B C ) AB AC viii) ( A B)C AC BC ix) (a b)C aC bC ិ គុ េែខណៈបំបបែខាងរវែងននវធ ី ណចំរ ិ គុ េែខណៈបំបបែខាងស្កដ ំននវធ ី ណចំរ ិ ដែម េះវធ ៉ា ទ្រីស ី ិ បូ េះវធ ី ែម៉ាទ្រីស x) (a b)C aC bC xi) a(bC ) (ab)C 3. រទ្មង់ម៉ាទ្រីសននទ្រព័នធសមីការ ិ គុ ទ្រមណវធ វត្មួ ី ណម៉ាទ្រីស គជាអនុ ឺ ទ្រព័នស ធ មីការមួ រោ កដេមន m ដី នទ ៊ែរ Matrix Form of a Linear System ដ ៏សំ ខាន់ចរំ សមីការេីរនកអ៊ែរ និងមន េះទ្រព័នស ធ មីការេីរនកអ៊ែរ ។ ពិនិតយ n អញ្ញ ា តខាងរទ្កាមៈ a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm ម៉ាទ្រីសពីររសមើគ្នន េុេះទ្តាកតធាតុកដេទ្តូវគ្ននទាងអស់ ំ របស់វារសមើគ្នន រ សមីការរៅែនុងទ្រព័នស ធ មីការរនេះរោ សមីការម៉ាទ្រីសមួ េះរ ួ ើ ងអាចជំនស m a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 22 2 2n n 21 1 2 am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm ម៉ាទ្រីស m 1 រៅខាងរវែងននសមីការម៉ាទ្រីសរនេះអាចសររសរជាសេគុណម៉ាទ្រីសែំណត់រោ a11 a12 ...a1n x1 b1 a 21 a22 ...a2 n x2 b2 am1 am 2 ... amn xn bm តាងម៉ាទ្រីសទាងប ំ រនេះរោ ី សមីការេីរនកអ៊ែរ និងមន ម៉ាទ្រីស A ែនុងសមីការ m អែសរ A , X និង B ររៀងគ្ននរ n អញ្ញាតទ្តូវជំនស ួ រោ រៅថា ម៉ាទ្រីសរមគុណ េះទ្រព័នស ធ មីការរដម ើ កដេមន សមីការម៉ាទ្រីសមួ គឺ m AX B (1) Coeffficient Matrix ចំរ េះទ្រព័នធ សមការេ ី ីរនកអ៊ែរខាងរេើ ។ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 5 ៈ វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ x1 x2 x3 x4 x5 3 2 x 3x 3x x x 0 1 2 3 4 5 ឧទាហរណ រគមនទ្រព័នស ធ មការខាងរទ្កាម ៖ ី x1 2 x2 5 x3 2 x4 x5 1 3x1 x2 2 x3 3 x4 2 x5 1 x1 1 1 1 1 1 3 x 2 2 0 3 3 1 1 , X x3 , b រគបាន A 1 1 2 5 2 1 x 4 2 3 2 3 1 1 x 5 x1 1 1 1 1 3 1 x2 2 3 3 1 1 0 x3 រគអាចសររសរជា AX B 1 2 5 2 1 1 x 2 3 2 4 1 3 1 x 5 4. ម៉ាទ្រីសទ្រង់ស្ ូ ៉ា (Transpose of a Matrix) និយមន័យ ម៉ាទ្រីស កដេ ឧទាហរណ A aij AT a ji ម៉ាទ្រីស ជាម៉ាទ្រីសេំោប់ m n រ ។ េះទ្តង ់សបូ នន ៉ា a11 b12 c13 A a21 b22 c23 ម៉ាទ្រីសទ្តង ់សបូ នន A ៉ា a31 b32 c33 គឺ A ែំណត់រោ a11 a21 a31 AT b12 b22 b32 c13 c23 c33 េែខណៈម៉ាទ្រីសទ្តង ់សបូ ៉ា 5. i) ( AT )T A ii ) ( A B )T AT BT iii ) ( A B )T AT BT iv) ( AB)T AT BT v) ( A)T AT ចំរាសននម៉ាទ្រីសកាដរ និយមន័យ របើ រ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ A កដេ ជាស្កកកេ Inverse of ជាម៉ាទ្រីសការរមួ េះរគបានម៉ាទ្រីស រហើ Square Matrix របើមនម៉ាទ្រីស A1 ជាម៉ាទ្រីសទ្ាសនន A A1 កដេ AA1 A1 A I ។ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 6 AT វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ជារូដៅ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ a b A រ c d 1 d b A1 ad bc c a របើម៉ាទ្រីស ែរណីរបើ ad bc 0 A គ្នានចំរាសររ របើ ចំរ និយមន័យ របើ A េះរគបាន ចំរាសននម៉ាទ្រីស របើ ad bc 0 ឬមនន័ ។ ជាម៉ាទ្រីស nn និង ើ ងរៅគឺ រ A1 A1 ែំណត់រោ ។ ថា រដករមណង ់នន A រសមើសូនយ រ ី A1 ជាម៉ាទ្រីសទ្ាសននម៉ាទ្រីស A េះម៉ាទ្រីសេំោប់បីរ A េះរគបាន េះម៉ាទ្រីស AA1 A1 A I 1 adj ( A) , adj adjoint det( A) cij (1)i j M ij ជា Cofactor នន aij រ េះ c11 c12 c1n c c c2 n 21 22 ម៉ាទ្រីស រៅថាម៉ាទ្រីសនន Cofactor នន A ។ ម៉ាទ្រីសទ្តង ់សបូ ៉ា cn1 cn 2 cnn adj ( A) ។ ននម៉ាទ្រីសរនេះ រៅថា adjoint នន A កដេរគតាងរោ 3 2 1 ឧទាហរណ រគឲ្យម៉ាទ្រីស A 1 6 3 រ េះម៉ាទ្រីស Cofactor នន A ែំណត់រោ 2 4 0 6 3 1 3 ci j (1)i j M ij c11 (1)11 12 , c12 (1)1 2 6 4 0 2 0 1 6 2 1 c13 (1)13 16 , c21 (1) 21 4 2 4 4 0 3 1 3 2 c22 (1) 2 2 2 , c23 (1) 23 16 2 0 2 4 2 1 3 1 c31 (1)31 12 , c32 (1)3 2 10 6 3 1 3 3 2 c33 (1)33 16 1 6 6 16 12 រគបានម៉ាទ្រីស Cofactor នន A គឺ 4 2 16 ។ 12 10 16 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 7 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 6 16 12 12 4 12 adj ( A) 4 2 16 6 2 10 ។ 12 10 16 16 16 16 រដម ៉ា ទ្រីសទ្ាសននម៉ាទ្រីសមនចំរាស់ A រ ើ ងទ្តូវសទ្មួេ A ើ បរែម ី T រហើ ិ ជួ ទ្រមណវធ ី ររដែ រហើ េែខណៈរនេះ រ ប ា ប់មែរ I A នឹងមនរទ្មង ់ៈ I A1 A1 ។ រដម ើ បបំ ី រពញ រួចបរងកតម ៉ា ទ្រីសរាងៈ ើ A| I េះម៉ាទ្រីសរនេះរហូ តដេ ់អងគខាងរវែងទ្តូវ ិ រនេះន ។ ទ្រមណវធ ខាងស្ក្ ំផ្លាស់ជា ី ឹងរធែឲ្យអងគ ើ ដូរចែេះ ម៉ាទ្រីសចុងរទ្កា មនន័ ថា A1 ។ A I I A1 ។ 1 2 3 1 0 0 1 0 0 40 16 9 2 5 3 0 1 0 0 1 0 13 5 3 1 0 8 0 0 1 0 0 1 5 2 1 ឧទាហរណ 40 16 9 A1 13 5 3 5 2 1 របើ ទ្រឹសរ ីត រ B និង ។ ជាម៉ាទ្រីសទ្ាសននម៉ាទ្រីស C សទ្ម រោ B ជាម៉ាទ្រីសទ្ាសនន រគបាន ( BA)C IC C ដូរចែេះ BC ទ្រឹសរ ីត រ រដ ើ មបបាន ី I ើ ងនឹងភ្ជាប់ម៉ាទ្រីសឯែតារៅកសែែខាងស្ក្ ំនន ិ ជួ ើ ងនឹងអនុវត្ទ្រមណវធ ី ររដែចំរ សទ្មួេរៅជា ដូរចែេះ ិ រនេះរេ អនុវត្នទ្រមណវធ ី ើ រៅជាម៉ាទ្រីសឯែតាតាម A រ េះ A រ េះ BC ។ បញ្ញ ា ែ់ BA I ( BA)C B( AC ) BI B (C ជាម៉ាទ្រីសទ្ាសនន A ) របើ a) B និង C ។ ម៉ាទ្រីស ជាម៉ាទ្រីសមនចំរាសកដេមនេំោប់ដច ូ គ្នន រ េះរគបាន ៖ AB មនចំរាស b) ( AB)1 B1 A1 សទ្ម រ ើ ងទ្គ្នន់បតបង្ហាញថាៈ ម៉ាទ្រីស រគបានៈ រហើ បញ្ញ ា ែ់ ( AB)( B1 A1 ) ( B1 A1 )( AB) I ិ រេ ។ តាមេែខណៈទ្រមណវធ ី ើ ( AB)( B1 A1 ) A( BB1) A1 AIA1 AA1 I ( B1 A1 )( AB) B1( A1 A) B B 1IB B 1B I គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 8 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ដូរចែេះ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ ។ ( AB)( B1 A1 ) ( B1 A1 )( AB) I រ ា ែ់នវូ រូបមន្ដច ូ ខាងរទ្កាម ើ ងអាចទាញបញ្ញ សេគុណននម៉ាទ្រីសទ្ាស ជាម៉ាទ្រីសមនចទ្មសជានិចច រហើ ម៉ាទ្រីសទ្ាសននម៉ាទ្រីសសេ គុណជាសេគុណននម៉ាទ្រីសទ្ាសតាមេំោប់ទ្ាស ។ េែខណៈននម៉ាទ្រីសទ្ាស 1) AB BA I n 2) AA1 I n , A1 A I n 3) ( A1 ) 1 A 4) AB I n 5) ( AB) 1 B 1 A1 6) A1 ( AB) B របើ B និង C ជាម៉ាទ្រីសទ្ាសនន A 7) 6. រ េះ B A1 រ េះ BC ម៉ាទ្រីសសវយ ័ គុណ ( Power of a Matrix) និយមន័យ របើ និង របើ A ជាម៉ាទ្រីសមនការរ រ េះរគែំណត់ស ែ័ An AA........ A , (n 0) ិ មននន គុណចំនន ួ គត់វជា A រោ A0 1 ។ n time A មនចទ្មសែំណត់ស ែ័ ិ មននន គុណចំនន ួ គត់អវជា A n ( A1 )n A1 A1... A1 A1 A រោ ។ n time ក្ខណៈ របើម៉ាទ្រីស a) b) c) 7. A មនចទ្មស រ A1 មនចទ្មស រហើ េះរគបាន ( A1 )1 A An មនចទ្មស រហើ ចំរ េះស្កគកេ ( An )1 ( A1 )n , n 0, 1 ,2 ,... 1 k 0 , kA មនចទ្មស រហើ (kA)1 A1 k ក្ខណៈននម៉ាទ្រីសទ្រង់ស្ ូ ៉ា (Property of Transpose' s Matrix) ទ្រឹសរ ីត រ ិ បាន របេំ ធ រ ើ ោប់ននម៉ាទ្រីសជាេំោប់បដេអាចរធែទ្រមណវ ើ ី េះេែខណៈខាងរទ្កាម រនេះរសាៀងផ្លាត់ ៖ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 9 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ 8. ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ a) ( AT )T A b) c) ( A B)T AT BT (kA)T kAT កដេ k d) ( AB)T BT AT ម៉ាទ្រីសសុដី មទ្រី ជាស្កកកេ Symmetric Matrix ម៉ាទ្រីសសុដី មទ្រី ម៉ាទ្រីសសុីរមទ្រីគជាម ៉ា ទ្រីសការរកដេមនធាតុសី រមទ្រី ុ រធៀបនឹងអងកតទ្់ រូង ឺ រមរសមើគ្នន ។ រ ចំរ ើ ងរ្ូរពីជួររដែរៅជាជួរឈរននម៉ាទ្រីស a11 a12 a13 a11 A a21 a22 a23 AT a12 a a a 31 32 a33 13 T េះម៉ាទ្រីសសុីរមទ្រីរគបាន A A ។ A រ េះរគបានៈ a12 a31 a22 a32 a23 a33 ម៉ាទ្រីសទ្ាសសុដី មទ្រី ម៉ាទ្រីស A ជាម៉ាទ្រីសទ្ាសសុីរមទ្រីកាេណា គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ AT A គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 10 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ ដេទរមីណង់ 1. ( Determinant ) នុគមន៏ដេទរមីណង់ រ និង ំ ើ ងនឹងសិែានូវអនុគមន ៏ទាងឡា f ( x) sin x រហតុថា ណាកដេមនរទ្មង ់ដូចគ្នននឹងអនុគមន ៏ កដេែំណត់បាននូវចំនន ួ ពិត ួ ពិត x និង f ( x) មនតនមាជាចំនន ពិតននអរេរពិតមួ ម៉ាទ្រីសមួ ។ មនន័ f ( x) មួ ចំរ នឹង អនុគមន ៏បដករមណង ់ កដេជាអនុគមន ៏ ី ថា វានឹងែំណត់បាននូវតនមាពិតនន និយមន័យ ំឲ្យរ A េះតនមាននអរេរពិត x ដូរចែេះ អនុគមន ៏បបបរនេះរគរៅថា អនុគមន ៏ f ( x) ។ រោ ែ តនមា ែតនមាពិតននអរេរមនរាងជា តាមតនមាននម៉ាទ្រីស អនុគមន ៏រដករមណងរនេះ និងស្េ ់ស្ករៈសំ ខាន់សទ្មប់អនុវត្ចរំ ី កអ៊ែរ រហើ f ( x) x 2 X ។ ការសិែា េះទ្រឹសី បរននទ្រព័ ្ នស ធ មីការេីរន- ។ ើ ងអាចទាញបាននូវរូបមន្ចទ្មសននម៉ាទ្រីសកដេអាចរធែចទ្មសបាន ើ ជាម៉ាទ្រីសការរមួ ។ អនុគមន ៏រដករមណង ់តាងរោ ី det រហើ រ ើ ងអាចតាង ំ ូងកដេមនសញ្ញ det( A) គជាសេបូ ែននទ្គប់សេគុណដប ា ទាងអស់ ំ ននម៉ាទ្រីស A ។ ឺ េរ ធសេនន 2. ដេទរមីណង់ det( A) រនេះរៅថា រដករមណង ់នន A ី ដា ំ រ់ 2 របរគមនម ៉ា ទ្រីសេំោប់ ើ េំោប់ ដូរចែេះ 3. 2 ននម៉ាទ្រីស A det A A 2 កដេ a b A c d ។ រគែំណត់សររសររោ ៈ det( A) ឬ A ់ ad cb រៅថារដករមណង ី ឬ a b c d ។ ដា ំ រ់ 3 3.1 គណនាភដលទមណ ស្ករុស្ ី ង់លំដាប់ 3 តាមកបនរបស្់ ួ a1 A េំោប់3 កដេ A a2 a3 a1 b1 det( A) a2 b2 a3 b3 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ ។ ែរនាម a b ad bc c d ដេទរមីណង់ រគមនម៉ាទ្រីស ។ b1 b2 b3 c1 c2 ។ រដករមីណង ់នន A ែំណត់រោ c3 c1 a1 b1 c2 a2 b2 a1b2c3 b1c2a3 c1a2b3 a3b2c1 b3c2a1 c3a2b1 c3 a3 b3 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 11 ។ វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 3.2 គណនាភដលទមណ ី ង់លំដាប់ 3 តាមមន ី ័រ រគមន a1 b1 a2 b2 a3 b3 c1 c2 a1b2c3 b1c2 a3 c1a2b3 a3b2c1 b3c2 a1 c3a2b1 c3 a1 b1 c1 រគអាចសររសរ a2 b2 c2 (a1b2c3 a1c2b3 ) (b1a2c3 b1c2 a3 ) (c1a2b3 c1b2 a3 ) a3 b3 c3 a1 (b2c3 c2b3 ) b1 (a2c3 c2 a3 ) c1 (a2b3 b2 a3 ) a1 b1 c1 b c a c a b a2 b2 c2 a1 2 2 b1 2 2 c1 2 2 ។ ដូរចែេះ b3 c3 a3 c3 a3 b3 a3 b3 c3 រគរៅថាព ា តមីន័រតាមជួររដែរ ី 1 រទ្ មន័ ី រននធាតុ a1 , a2 c2 a3 c3 េះ មន័ ី រននធាតុ a1 , b1 , c1 b1 , a2 b2 a3 b3 ជាធាតុសិ តរៅជួ ថ ររដែរ ី មីន័រននធាតុ មន័ ី រននធាតុ a1 បានពីការេុបជួរឈរ និងជួររដែកដេមនធាតុ មន័ ី រននធាតុ b1 បានពីការេុបជួរឈរ និងជួររដែកដេមនធាតុ មន័ ី រននធាតុ c1 បានពីការេុបជួរឈរ និងជួររដែកដេមនធាតុ ចំណ ំ ែនុងការគណ មនសញ្ញ ា 1 , 1 1 2 គូរ , b1 1 4. និងជួរឈររ ី ៗអាស្ស័ រទ្ េះ ជាធាតុរៅជួររដែរ ី 1 និងជួរឈររ ី មនសញ្ញ ា 2 , 1 2 3 ដដាោះទ្ាយទ្រព័នធសមីការ 4.1 ទប្មងម ់ ៉ា ប្ទីស្ននប្រព័នធស្មកា ី រលភី នល ៊ែរ រទ្ ទ្រព័នស ធ មការេ ី ីបនកអ៊ែរកដេមន m េះ រសស ។ b1 b2 b3 b1 b2 b3 b1 b2 b3 b1 ជាធាតុរៅជួររដែរ ី c1 c2 c3 c1 c2 c3 c1 c2 c3 ែ ៏បានប៉ាុកន្ ដី នទ ៊ែរ ិ គុ ទ្រមណវធ វត្មួ ី ណម៉ាទ្រីស គជាអនុ ឺ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ a1 a1 a2 a3 a1 b1 a2 a3 a1 c1 a2 a3 នឹងេំោប់របដេធាតុ សិ តរៅដូ ថ ចជា ៖ ី a1 b2 c2 b3 c3 ។ រដករមណង ់េំោប់តាមមន័ ី ី រ រគអាចព ា តតាមជួរណាមួ សញ្ញ ា ននតនមានីមួ c1 c1 1 ដ ៏សំ ខាន់ចរំ េះទ្រព័នស ធ មីការេីបនកអ៊ែរ ។ ពិនិតយ សមការេ ី ីរនកអ៊ែរនិងមន n គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 12 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ អញ្ញ ា តខាងកដេមនរាង រោ a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm ម៉ាទ្រីសពីររសមើគ្ននេុេះទ្តាកត ធាតុកដេទ្តូវគ្ននទាងអស់ ំ របស់វារសមើគ្នន រ សមីការរៅែនុងទ្រព័នស ធ មីការរនេះរោ សមីការម៉ាទ្រីសមួ a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 2n n 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn េះរ ៈ ួ ើ ងអាចជំនស m b1 b 2 bn ម៉ាទ្រីស m 1 រៅអងគខាងរវែងននសមីការម៉ាទ្រីសរនេះអាចសររសរជាសេគុណម៉ាទ្រីសែំណត់រោ a11 a12 a1n a 21 a22 a2 n am1 am 2 amn របើរ m ំ ីរនេះរោ ើ ងតាងម៉ាទ្រីសទាងប សមការេ ី ីរនកអ៊ែរនិងមន 4.2 AX B សមការមនចរមា ី ើ A, X និង អញ្ញ ា តទ្តូវជំនស ួ រោ ភដាោះប្ស្កយប្រព័នស្ ធ មកា ី រតាមប្កាម័រ របើ B កតមួ ររៀងគ្ននរ សមីការមួ Cramer Rule ជាទ្រព័នស ធ មីការេីរនកអ៊ែរកដេមន គត់គ៖ឺ x1 កដេ n អែសរ x1 b1 x b 2 2 xn bn ឧទាហរណ៏ រោេះស្ស្ក រគបាន គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ គៈឺ AX B ។ n អញ្ញាតិ កដេ det( A) 0 រ េះទ្រព័នធ det( A1 ) det( A2 ) det( An ) , x2 , ....., x2 det( A) det( A) det( A) ួ ធាតុរៅែនុងជួររ ី j A j ជាម៉ាទ្រីសកដេបានមែពីការជំនស កដេម៉ាទ្រីស B ែំណត់រោ េះទ្រព័នស ធ មីការរដម ើ កដេមន ននម៉ាទ្រីស A រោ ម៉ាទ្រីស B។ b1 b B 2 bn 3x 2 y 2 z 2 2 x 3 y z 2 x y z 0 ិ ទ្កាម័ ទ្រព័នស ធ មការតាមវ ធ រ ី ី 3 2 2 D 2 3 1 4 1 1 1 , 2 2 2 Dx 2 3 1 8 0 1 1 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 13 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ 3 2 2 3 2 2 Dy 2 2 1 4 , Dz 2 3 2 12 1 0 1 1 1 0 D D D x x 2 , y y 1 , z z 3 D D D រគបាន ដូចរនេះ 4.3 ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ ចរមាើ ននទ្រព័នស ធ មីការគឺ ភដាោះប្ស្កយប្រព័នស្ ធ មីការតាម រោេះស្ស្ក x 2 , y 1 , z 3 ។ (Guass Jordan) ិ ី ទ្រព័នស ធ មការខាងរទ្កាមតាមវ ធ ី (Guass Jordan) 3x 2 y 2 z 2 2 x 3 y z 2 x y z 0 រគបាន 3 2 2 3 1 1 1 1 2 3 3 2 2 2 R1 R3 1 2 1 0 1 0 1 2 R1 R2 2R1 2 2 R3 R3 3R1 1 1 1 0 1 0 5 1 2 R R2 2 5 0 1 1 2 1 1 1 0 R1 R1 R2 0 1 1 5 2 5 0 1 1 2 R R R 3 3 2 1 0 0 1 0 0 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ 0 4 5 2 5 1 1 5 2 5 5 0 4 5 12 5 R3 R3 4 4 0 4 5 2 5 R1 R1 R3 5 1 1 5 2 5 R2 R2 1 R3 5 0 1 3 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 14 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 3 ដូរចែេះ ទ្រព័នស ធ មការមនចរមា ី ើ ៈ x 2 , y 1 , z 3 4.4 ភដាោះប្ស្កយប្រព័នស្ ធ មីការតាមចប្មស្ននម៉ាប្ទស្ ី របើ A ជាម៉ាទ្រីសកដេមនចទ្មស រ A1 ឧទាហរណ៏ រោេះស្ស្ក ។ េះម៉ាទ្រីសទ្ាសនន 1 adj ( A) det( A) A តាងរោ A1 ែំណត់រោ ។ ិ ម ទ្រព័នស ធ មការតាមវ ធ ី ី ៉ា ទ្រីសទ្ាស ( InverseMatrix) 3x 2 y 2 z 2 2 x 3 y z 2 x y z 0 តាង 3 2 2 2 x A 2 3 1 , B 2 , X y 1 1 1 0 z ទ្រព័នស ធ មការអាចសររសរបានជារាង ី តាមរូបមន្ តាម 1 adj ( A) det( A) cofuctor A1 AX B X A1B រោ det( A) 4 c11 3 1 2 1 4 , c12 1 , c13 1 1 1 1 c21 2 2 3 2 3 2 0 , c22 1 , c23 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 8 , c32 1 , c33 3 1 2 1 5 4 1 cof ( A) 0 1 1 8 1 13 c31 2 3 5 1 1 3 2 13 2 3 5 4 0 8 4 1 T adj ( A) (cof ) 0 1 1 1 1 1 8 1 13 5 1 0 T គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 15 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ រគបាន 4 1 8 2 2 x 1 X A1B 1 1 1 2 X 1 y 4 5 1 0 0 3 z ដូរចែេះ ទ្រព័នស ធ មីការមនគូរចរមាើ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ មនចំរេើ x 2 , y 1, z 3 ។ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 16 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 17 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ១. ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ រគឲ្យម៉ាទ្រីស 3 0 1 5 2 6 1 3 4 1 1 4 2 A 1 2 ; B ; C ; D 1 0 1 ; E 1 1 2 0 2 3 1 5 1 1 3 2 4 4 1 3 គណ ២. ែ. DE ខ. ច. 4E 2D វ. រោេះស្ស្ក ែ. គ. ង. ៣. ែរនាមខាងរទ្កាមរបអាចរធែ បានៈ ើ ើ DE 3 D 2 E គ. ឃ. 5A ជ. A A។ ទ្រព័នស ធ មការេ ី ីរនកអ៊ែរខាងរទ្កាមតាមរូបមនដទ្កាម័រ 7C ខ. x 17 y 18 z 2 19 x 18 y z 0 x 3y 2z 2 x 3y 2z 2 x 4 y 3z 3 2 x 7 y 6 z 8 x y z 4 ឃ. x 2 y z 5 x y 1 2 x 6 y 4 z 1 ច. x 3 y 2 z 4 2 x y 3z 7 ទ្រព័នស ធ មការខាងរទ្កាមតាមរូ បមនដ ី 4 x 3 y 2 3x 4 y 5 Guass Jordan x 2 y 3z 1 ខ. 2 x y z 6 x 3 y 2 z 13 x y z 1 ឃ. x 2 y 2 z 0 2 x 3 y z 5 ែ. 2 x 3 y 5 3x 2 y 12 គ. x 2 y 3z 1 x y 7 z 4 2 x 4 y 9 z 9 ង. 2 x y z 0 x 2 y 2z 0 x y z 0 ច. វ. 2sin cos 3tan 3 4sin 2cos 2 tan 2 6sin 3cos tan 9 0 2 0 2 0 2 ជ. x2 y 2 z 2 6 2 2 2 x y 2z 2 2 2 2 2 x y z 3 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ 3B C Gramer ' s Rule 3x y 1 x 2 y 0 រោេះស្ស្ក ង. កដេ a 2b c 3d 2 3a b 2c d 6 a b 3c 2d 3 2a 2b 3c d 9 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 18 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ៤. ែំណត់តនមា a មនអស់ ិ ៥. ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ រដម នស ធ មីការគ្នានចរមាើ ើ បឲ្យទ្រព័ ី ៧. 2 x1 3x2 5 x3 7 9 x1 x2 x3 1 x 5x 4 x 0 2 3 1 ខ. 3 1 2 x1 2 4 3 7 x 1 2 2 1 5 x3 4 ខ. 3 5 3 2 2 0 1 5 0 2 4 1 ៗខាងរទ្កាមៈ 1 w 0 2 x 0 7 y 0 6 z 0 រគឲ្យម៉ាទ្រីស a11 a12 a a22 A 21 am1 am 2 ែ. គណ a1n d1 0 0 d a2 n 2 ; D amn 0 0 DA និង AE ខ. ែំណត់ជរួ រដែនន DA និងជួរឈរនន AE គុណរេើម៉ាទ្រីសអងកតទ្់ រូងមួ គ. គណ AB និង BA រោ 2 1 5 A 3 0 2 7 1 5 ៨. រាប់ 3x3 x4 1 4 x1 5 x x 8 x4 3 1 2 2 x1 5 x2 9 x3 x4 0 3x2 x3 7 x4 2 សររសរសមីការម៉ាទ្រីស ជាទ្រព័នស ធ មីការេីរនកអ៊ែរែនុងែរណីនីមួ ែ. គត់ និងមនចរមាើ ធ មីការេីរនកអ៊ែរខាងរទ្កាមជាសមការម ៉ា ទ្រីស , X និង B កដេសររសរទ្រព័នស ី AX B ៦ កតមួ x 2 y 3z 4 3x y 5 z 2 2 4 x y (a 14) z a 2 រែម៉ាទ្រីស A ែ. , មនចរមាើ រោេះស្ស្ក គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ និង ។ 0 e1 0 0 e 0 2 ; E dm 0 0 0 0 en ិ ិ ី រួចទាញរែវធានព ធ ី រយ៉ាងសទ្មប់រធែទ្រមណវ ើ ិ រទ្រីវធានកដេបានរៅែន ុងសំ ណួរ ខ កដេ 4 0 0 B 0 1 0 0 0 3 សមការម ៉ា ទ្រីសរែ ី a, b, c និង d របើ b c 8 1 a b 3d c 2a 4d 7 6 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា ។ 19 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ៩. ១០. គណ ែ. ឃ. 1 2 0 7 0 7 6 3 0 3 0 6 3 0 1 5 ខ. 3 17 4 0 5 1 0 0 2 គ. 1 3 0 1 4 1 5 2 2 ង. 2 7 6 5 1 2 3 8 4 ច. 5 a 3 3 a 2 5 0 2 A 6 1 2 2 3 1 5 6 2 1 3 រគមនម៉ាទ្រីសពីរគឺ និង B 0 2 2 1 ចូរគណ រដករមីណង ់ននម៉ាទ្រីសទាងព ំ ី រតាម Cofactor ែនុងែរណីខាងរទ្កាម៖ ជួររដែរ១ ី ខ. ជួរឈររ១ ី រគមនម៉ាទ្រីសបដូ ី ចខាងរទ្កាម ៖ 2 4 A 1 3 6 3 ែ. , 7 3 2 B 1 2 3 1 6 5 ចូរទ្តង ់សបូ ននម ៉ា ៉ា ទ្រីសទាងប ំ រនេះ ។ ី ខ. ១២. រដករមណង ់បនម៉ាទ្រីសខាងរទ្កាម៖ ី 3 5 2 4 ែ. ១១. ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ បង្ហាញថា រគឲ្យម៉ាទ្រីស រទ្កាម A a A d g det ( B) det ( BT ) មនេំោប់ b e h c f i , 2 1 3 C 1 2 4 5 3 6 det (C ) det (CT ) និង 3 3 កដេ det( A) 7 , កដេម៉ាទ្រីស A ែំណត់ដច ូ ខាង ។ ចូរគណ ែ. a) det (3 A) , b) 3det ( A) , c) det (2 A1) , d ) det ((2 A)1 ) ខ. រធែការសនន ើ ិោានចំរ ១៣. រគឲ្យម៉ាទ្រីស ែ. គណ ខ. គណ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ េះ a) និង b) រួចចំរ េះ c ) និង d ) 1 2 3 A 6 7 1 ។ 3 1 4 ំ នន A Minors ទាងអស់ Cofactors ទាងអស់ ំ នន A គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 20 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ១៤. ១៥. ១៦. ១៧. 1 2 E 1 1 1 2 1 ។ ចូរគណ រគឲ្យម៉ាទ្រីស adj E និង E ។ 9 2 2 1 1 1 3 ។ គណ det( F ) និង det( F 1 ) ។ រគឲ្យម៉ាទ្រីស F 4 2 1 3 0 1 0 0 0 0 0 2 , 0 , i 1,2,..., n ចូររែ adj A រោ ដង ឹ ថា A n 0 0 0 រែតនមា ែ. ១៨. ១៩. រដម ើ បឲ្យ ី 3 5 3 3 1 2 8 2 det A 0 1 2 A 5 4 ខ. 0 2 0 A 0 2 0 3 1 3 1 2 1 1 ចូរបង្ហាញថា adj A. A det A .I រគមនម៉ាទ្រីស A 0 1 1 0 cos sin 0 បង្ហាញថាម៉ាទ្រីស A sin cos 0 មនចទ្មសចំរ េះទ្គប់តនមា 0 0 1 A1 រោ រួចគណ ២០. ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ រោ រទ្រីរប ូ មន្ ិ រទ្រីវធានទ្កាម័ រ ចូររែមុំ A1 , , 1 adj A det( A) កដេ ។ ។ ។ 0 2 ,0 2 ,0 2 ននទ្រពនធស ័ មការខាងរទ្កាម ៖ ី 2sin cos 3tan 3 4sin 2cos 2tan 2 6sin 3cos tan 9 ២១. ចំរ េះទ្តីរកាណែនុងរូបរោ bcos c cos a c cos acos b acos bcos c a) b) រទ្រីទ្តីរកាណមទ្តចូរបង្ហាញថា៖ រោ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ ិ រទ្រីវធានទ្កាម័ រ បង្ហាញថា a b b2 c 2 a 2 cos 2bc c គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 21 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ រួចទាញរែរូបមន្ចរំ ២២. ចូរែំណត់តនមា និង ចរមាើ ២៣. k េះ cos និង cos ិ រទ្រីវធានទ្កាម័ រ ។ រោ រដម នស ធ មីការខាងរទ្កាមមន ចរមាើ ើ បឲ្យទ្រព័ ី រាប់មិនអស់ ែ. x y z 1 2 x 3 y kz 3 x ky 3z 2 a) បង្ហាញថា ចំរ A និង គត់ , គ្នានចរមាើ 3z 3 x 2 x ky z 2 x 2 y kz 1 ខ. េះម៉ាទ្រីសការរ កតមួ រគបានសមភ្ជព B ( A B)2 A2 2 AB B 2 េុេះទ្តាកត AB BA ។ b) ២៤. A2 4 A I បង្ហាញថា រសាៀងផ្លាត់សមីការចុងរទ្កា រហើ ទាញរែ រនេះរៅនឹងការគណ រោ ចូរពិនិតយរមេម ៉ា ទ្រីសខាងរទ្កាមៈ ើ 1 2 1 2 3 1 1 A 3 1 4 , B 3 1 4 , C 7 2 3 1 1 2 1 2 ចូររែម៉ាទ្រីសង្ហ ៗ E1 , E2 , E3 និង E4 កដេ E1 A B រែម៉ាទ្រីសទ្ាសនន ២៥. រគមនម៉ាទ្រីស រួចបង្ហាញថា E1 , E2 , E3 រែម៉ាទ្រីសកដេមនេំោប់ ២៧. រគមនសែុីត Fibonacci ចូររែតនមា b) តាង ចំរ c) គណ 0 1 0 A 1 0 1 0 1 0 ។ ទាញរចញពីសមីការរនេះ ថា ២៦. 2 2 , A ែំណត់រោ f 2 , f3 ,..., f10 មួ រំ កដេ ែ់ ។ 2 1 7 6 ។ 3 1 , E2 B A , E3 A C , E4C A ។ គណ A A2 រហើ A3 គ្នានចទ្មស ។ A2 O22 ប៉ាុកន្ A 022 A5 X1 X 6 េះ ររ ។ n 1 ។ បង្ហាញថា AX n X n1 រដម ើ បរែ ី a) ។ f6 ។ ចូររសាៀងផ្លាត់ចរមាើ 1 2 A ជាម៉ាទ្រីសការរេំោប់ 3 2 កដេែំណត់រោ A 3 4 រគរអា 1 4 ចូររែទ្គប់ម៉ាទ្រីស B កដេ BA I , I ជាម៉ាទ្រីសការរេំោប់ 2 ។ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ នឹង ។ រៅនឹងេរ ធសេរបស់អនែរៅែនុងេំហាត់ ២៨. A4 f0 1, f1 1, f n1 f n f n1 កដេ n 1 ។ f n1 0 1 រហើ A Xn ចំរ 1 1 f n n េះ n 1 និង បង្ហាញថា A X1 X n1 ។ A2 , A3 , A5 រហើ ផ្លាេ ់នន E4 ។ A េំោប់ 3 3 កដេ A3 2 A a) និង ។ A4 56 A 15I របស់អនែ ។ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 22 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ២៩. រគរអា រ ៣០. ើ ងរៅថា និង I គណ A2 b) គណ A2 2aA a 2 c) ចូរសររសរ រគមនម៉ាទ្រីស A A មនរទ្មង ់ A បង្ហាញថាសំ ណុំេែខណៈ (1) A ឧបមថា រ េះ គឺ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ b ។ គណ និង (2) b a 0 M X មួ កដេ ។ ។ ជាអនុគមននន n ( n ជា ា សមគេ ់ ើ ងរៅសញ្ញ កដេរសាៀងផ្លាត់ រំ ែ់រន ំ ង (3) : X T AX AT ។ 2 2 កដេរសាៀងផ្លាត់ A2 A ។ a, b, c ។ N ( I M )1 ( I M ) N 1 N T An សមមូេនឹងេែខណៈ ជាចំនន ួ ពិតមិនសូនយ ។ បង្ហាញថាម៉ាទ្រីស ម៉ាទ្រីសទ្ាស ។ c) និង កដេជាម៉ាទ្រីសការរេំោប់ c 0 0 ពិនិតយម៉ាទ្រីស M c b a 3 a ) រែរំ ែ់រន ំ ងរវាង M និង a, I ។ ឧបមម៉ាទ្រីស ។ តាង ។ a, b 0 0 J 0 0 m, n មនរមគុណជាចំននួ ពិត ។ រ (1) AXA A T ( XA) XA (2) ិ ម៉ាទ្រីស X a ) រែវមទ្តរបស់ b) រហើ ។ ជាអនុគមន នន ជាម៉ាទ្រីសទ្តង ់សបូនន រែទ្គប់ម៉ាទ្រីស 0 a ។ ចំនន ួ គត់ធមាជាតិ ) ។ b) ៣២. a 2 2 កដេ A b 1 0 J ជាម៉ាទ្រីសកដេ I និង 0 1 ជាម៉ាទ្រីសការរេំោប់ A a) AT ៣១. ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ ។ I M និង I M មន ។ បង្ហាញថា N មនចទ្មសរហើ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា ចទ្មស 23 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 24 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ១. គណ រ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ ែរនាមខាងរទ្កាមរបអាចរធែ បានៈ ើ ើ ើ ងមន 3 0 4 1 A 1 2 ; B ; 0 2 1 1 1 5 2 6 ែ. A D 1 0 1 1 3 2 4 4 1 5 2 6 1 1 4 2 C ; D 1 0 1 ; E 1 1 3 1 5 3 2 4 4 1 1 3 1 6 5 1 2 3 7 6 5 1 2 1 1 0 1 1 2 2 1 3 1 3 3 4 2 1 4 3 7 3 7 5 1 2 3 5 4 1 5 2 6 1 3 1 6 1 ខ. D E 1 0 1 1 1 2 1 1 0 1 1 2 0 3 2 4 4 1 3 3 4 2 1 4 3 1 1 3 0 5 3 5 0 15 0 គ. 5 A 5 1 2 5 1 5 2 5 10 1 1 5 1 5 1 5 5 1 4 2 7 1 7 4 7 2 7 28 14 ឃ. 7C 7 7 3 7 1 7 5 21 7 35 3 1 5 ង. ច. វ. ជ. 2B C មនអាចែំ ណត់បាន ិ 6 4 E 2 D 4 1 4 22 2 10 1 1 1 6 4 0 3 1 5 2 24 4 12 2 10 4 2 2 1 0 1 4 4 8 2 0 2 3 2 4 16 4 12 6 4 8 3 8 6 4 1 5 2 6 1 3 3 D 2 E 3D 6 E 3 1 0 1 6 1 1 2 3 2 4 4 1 3 3 15 6 36 6 18 39 21 24 3 0 3 6 6 12 9 6 15 9 6 12 24 6 18 33 12 30 3 0 3 0 0 0 A A 1 2 1 2 0 0 1 1 1 1 0 0 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 25 3 2 3 1 1 1 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ២. រោេះស្ស្ក ែ. ដូចរនេះ ខ. ទ្រព័នស ធ មការេ ី ីរនកអ៊ែរខាងរទ្កាមតាមរូបមនដទ្កាមម័រ 3x y 1 x 2 y 0 Dy ំឲ្យ ដូចរនេះ រគបាន D 3 1 6 (1) 7 1 2 3 1 ំឲ្យ 0 1 1 1 0 2 1 x , y ជាគូចរមាើ 7 7 4 x 3 y 2 3x 4 y 5 Dx ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ រគបាន D x , Gramer’s Rule Dx 1 1 202 0 2 D Dx 2 1 , y y D 7 D 7 ននទ្រព័នស ធ មីការ ។ 4 3 16 (9) 25 3 4 2 3 4 2 8 (15) 23 , Dy 20 6 14 5 4 3 5 D 14 D 23 x x , y y D 25 D 25 23 14 ធ មីការ ។ x , y ជាគូចរមាើ ននទ្រព័នស 25 25 x 17 y 18 z 2 គ. 19 x 18 y z 0 \ x 3y 2z 2 1 17 18 D 19 18 1 36 17 1026 (324) 646 (3) 760 រគបាន 1 3 2 2 17 18 Dx 0 18 1 72 34 0 (648) 0 (6) 760 2 3 2 1 2 18 Dy 19 0 1 0 (2) 684 0 (76) (2) 760 1 2 2 1 17 2 Dz 19 18 0 36 0 114 (36) (646) 0 760 1 3 2 D Dx 760 760 D 760 1, y y 1, z z 1 ំឲ្យ x D 760 D 760 D 760 ដូចរនេះ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ x 1, y 1, z 1 ជាចរមាើ ននទ្រព័នស ធ មីការេីរនកអ៊ែរ ។ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 26 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 1 1 1 x y z 4 2 1 0 1 (1) 2 0 (1) 1 ឃ. x 2 y z 5 រគបាន D 1 x y 1 1 1 0 4 1 1 Dx 5 2 1 0 (1) (5) (2) 0 (4) 0 1 1 0 1 4 1 Dy 1 5 1 0 4 (1) 5 0 (1) 1 1 1 0 1 1 4 Dz 1 2 5 2 5 (4) 8 (1) (5) 3 1 1 1 D Dx 0 1 D 3 ំឲ្យ x 0, y y 1, z z 3 D 1 D 1 D 1 ដូចរនេះ x 0, y 1, z 3 ជាចរមាើ ននទ្រព័នស ធ មីការេីរនកអ៊ែរ ។ 1 3 2 x 3y 2z 2 ង. x 4 y 3 z 3 រគបាន D 1 4 3 24 18 14 16 18 21 1 2 x 7 y 6 z 8 2 7 6 2 3 2 Dx 3 4 3 48 72 42 64 54 42 2 8 7 6 1 2 2 Dy 1 3 3 18 12 16 12 12 24 2 2 8 6 1 3 2 Dz 1 4 3 32 18 14 16 24 21 3 2 7 8 D Dx 2 2 D 3 ំឲ្យ x 2, y y 2, z z 3 D 1 D 1 D 1 ដូចរនេះ x 2, y 2, z 3 ជាចរមាើ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ ននទ្រព័នស ធ មីការេីរនកអ៊ែរ ។ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 27 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ 2 x 6 y 4 z 1 ច. x 3 y 2 z 4 2 x y 3z 7 2 6 D 1 3 រគបាន 2 1 1 6 Dx 4 3 7 1 2 1 Dy 1 4 2 7 2 6 Dz 1 3 2 1 រោ ទ្រព័នស ធ មីការគ្នានចរមាើ រោេះស្ស្ក ែ. 4 2 18 24 4 24 18 4 0 3 4 2 9 84 16 84 72 2 49 3 4 2 24 4 28 32 3 28 7 3 1 4 42 48 1 6 42 8 35 7 D 0, Dx 0, Dy 0, Dz 0 ដូចរនេះ ៣. ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ ។ ទ្រព័នស ធ មការខាងរទ្កាមតាមរូ បមនដ ី Guass Jordan 2 x 3 y 5 c 3 x 2 y 12 រគបាន 2 3 5 3 2 12 1 3 2 5 2 L1 1 2 L1 2 12 3 1 3 2 5 2 0 13 2 39 2 L2 3L1 L2 1 3 2 5 2 1 3 L2 2 13 L2 0 1 0 2 L1 L1 3 2 L2 0 1 3 ដូចរនេះ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ x 2, y 3 ជាចរមាើ ននទ្រព័នស ធ មីការេីរនកអ៊ែរ ។ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 28 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ខ. ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ x 2 y 3z 1 2 x y z 6 x 3 y 2 z 13 រគបាន 1 2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 3 1 1 1 6 3 2 13 2 3 1 5 7 8 5 1 6 2 3 1 5 7 8 0 6 6 L3 L2 L3 2 3 1 5 7 8 0 1 1 L3 1 6 L3 1 2 0 5 0 0 1 2 0 1 0 0 0 4 L1 L1 3L3 0 15 L2 L2 7 L3 1 1 0 4 0 3 L2 1 5 L2 1 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 1 ដូចរនេះ គ. L2 L2 2 L1 L3 L3 L1 L1 L1 2 L2 x 2, y 3, z 1 ជាចរមាើ ននទ្រព័នស ធ មីការេីរនកអ៊ែរ ។ x 2 y 3z 1 x y 7 z 4 2 x 4 y 9 z 9 រគបាន គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ 1 2 3 1 1 1 7 4 2 4 9 9 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 29 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 2 3 1 1 4 5 L2 L1 L2 8 3 11 L3 L3 2 L1 2 3 1 1 4 5 0 29 29 L3 L3 8L1 2 3 1 1 4 5 0 1 1 L3 1 29 L3 2 0 4 L1 L1 3L3 1 0 1 L2 L2 4 L3 0 1 1 1 2 0 4 0 1 0 1 L2 L2 0 0 1 1 1 0 0 4 L1 L1 2 L2 0 1 0 1 0 0 1 1 ដូចរនេះ x 2, y 1, z 1 x y z 1 ឃ. x 2 y 2 z 0 2 x 3 y z 5 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 រោ ដូចរនេះ ននទ្រព័នស ធ មីការេីរនកអ៊ែរ ។ រគបាន 1 1 1 1 1 2 2 0 2 3 1 5 1 1 3 1 L2 L2 L1 3 3 L3 L3 2 L1 1 1 3 1 0 4 L3 L3 L2 0x 0 y 0z 4 មិនរសាៀងផ្លាត់ចរំ ទ្រព័នស ធ មការគ្ន ា នចរមាើ ី គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ ជាចរមាើ េះទ្គប់តនមា x, y, z ។ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 30 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ង. ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 2 x y z 0 x 2 y 2z 0 x y z 0 2 1 1 2 0 0 2 0 0 2 0 0 រគបាន 2 0 0 1 0 0 រោ រគបាន 1 1 0 2 2 0 1 1 0 1 1 0 5 5 0 L2 L1 2 L2 3 3 0 L3 L3 L2 1 1 0 1 1 0 L2 1 5 L2 1 1 0 L3 1 3 L3 1 1 0 1 1 0 0 0 0 L3 L3 L2 0 0 0 L1 L1 L2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 L1 1 2 L1 1 1 0 0 0 0 0 x 0 y 0 z 0 សមីការរសាៀងផ្លាត់ចរំ ទ្រព័នស ធ មការមនចរមា ី ើ រោ រគបាន y z 0 y z t ច. រគបាន x, y, z រាប់មនអស់ ិ 0 x y z 0 0 x 0 y 0 z 0 ដូចរនេះ េះទ្គប់តនមា តាង z t , t IR x 0,y t , z t , t IR ជាចរមាើ ននទ្រព័នស ធ មីការ ។ a 2b c 3d 2 3a b 2c d 6 a b 3c 2d 3 2a 2b 3c d 9 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 31 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ 1 3 រគបាន 1 2 1 0 0 0 ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 2 1 3 2 1 2 1 6 1 3 2 3 2 3 1 9 2 1 3 2 5 1 8 0 L2 L2 3L1 1 4 1 5 L3 L3 L1 2 1 5 5 L4 L4 2 L1 1 2 1 3 2 0 0 5 1 8 0 1 4 1 5 0 0 9 3 15 L4 L4 2 L3 1 2 1 3 2 8 0 0 5 1 0 0 19 3 25 L3 L2 5 L3 3 1 5 L4 1 3 L4 0 0 1 2 1 3 2 8 0 0 5 1 0 0 19 3 25 0 10 20 L4 19 L4 3L3 0 0 1 2 1 3 2 8 0 0 5 1 0 0 19 3 25 0 1 2 L4 1 10 L4 0 0 1 2 1 0 5 1 0 0 19 0 0 0 1 2 1 0 5 1 0 0 1 0 0 0 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ 0 8 L1 L1 3L4 0 16 L2 L2 8 L4 0 19 L3 L3 3L4 1 2 0 8 0 16 0 1 L3 1 19 L3 1 2 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 32 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 1 0 0 0 2 5 0 0 0 0 1 0 0 7 L1 L1 L3 0 15 L2 L3 L2 0 1 L3 1 19 L3 1 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0 7 0 3 L2 1 5 L2 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 L1 L1 2 L2 0 3 0 1 1 2 ដូចរនេះ a 1, b 3, c 1, d 2 2sin cos 3tan 3 វ. 4sin 2cos 2 tan 2 6sin 3cos tan 9 2 X Y 3Z 3 រគបាន 4 X 2Y 2 Z 2 6 X 3Y Z 9 2 1 3 4 2 2 6 3 1 2 1 3 0 4 8 0 0 8 2 1 0 1 0 0 2 1 0 1 0 0 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ ជាចរមាើ កដេ ននទ្រព័នស ធ មីការេីរនកអ៊ែរ ។ 0 2 0 2 0 2 X sin តាង Y cos Z tan 3 2 9 3 4 L2 L2 2 L1 0 L3 L3 3L1 3 3 2 1 L2 1 4 L2 1 0 L3 1 8 L3 0 3 L1 L3 3L3 0 1 L2 L2 2 L3 1 0 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 33 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ 2 0 0 1 0 0 ំឲ្យ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 0 0 2 L1 L1 L2 1 0 1 0 1 0 0 0 1 L1 1 2 L1 1 0 1 0 1 0 sin 1 2 , 0 2 X 1,Y 1, Z 0 រគបាន cos 1 , 0 2 tan 0 0 , 0 2 ដូចរនេះ 2 , , 0 ជាចរមាើ ននទ្រព័នស ធ មីការ ។ x2 y 2 z 2 6 2 2 2 2 2 2 ជ. x y 2 z 2 តាង X x , Y y , Z z 2 2 2 2 x y z 3 X Y Z 6 រគបាន X Y 2 Z 2 2 X Y Z 3 1 1 1 6 1 1 2 2 2 1 1 3 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ កដេ X ,Y , Z 0 1 1 6 2 1 4 L2 L1 L2 1 3 9 L3 L3 2 L1 1 1 6 2 1 4 0 7 14 L3 L2 2 L3 1 1 6 2 1 4 0 1 2 L3 1 7 L3 1 0 4 L1 L1 L3 2 0 6 L2 L2 L3 0 1 2 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 34 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ 1 0 0 1 0 0 ំឲ្យ 1 0 4 2 0 6 L2 1 2 L2 0 1 2 0 0 1 L1 L1 L2 1 0 3 0 1 2 x2 1 x 1 X 1 2 Y 3 y 3 y 3 Z 2 2 z 2 z 2 ដូចរនេះ ៤. ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ x 1, y 3, z 2 ែំណត់តនមា មនអស់ ិ a ជាចរមាើ រដម នស ធ មីការគ្នានចរមាើ ើ បឲ្យទ្រព័ ី x 2 y 3z 4 3x y 5 z 2 2 4 x y (a 14) z a 2 ននទ្រព័នស ធ មីការ ។ , មនចរមាើ កតមួ គត់ និងមនចរមាើ រាប់ 1 2 3 4 5 2 3 1 4 1 a 2 14 a 2 1 2 3 4 0 7 14 10 L2 L2 3L1 0 7 a 2 2 a 6 L3 L3 4 L1 រគបាន 1 0 0 1 0 0 2 3 4 1 2 10 7 L2 1 7 L2 7 a 2 2 a 6 2 3 4 1 2 10 7 0 a 2 16 a 4 L3 L3 7 L2 ទ្រព័នស ធ មីការមនចរមាើ a 2 16 0 a 4 a4 កាេណា a 4 a 4 0 2 កតមួ គត់កាេណា a 16 0 a 4 ទ្រព័នស ធ មការមនចរមា ី ើ រាប់មនអស់ កាេណា ិ ទ្រព័នស ធ មការគ្ន ា នចរមាើ ី គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ a 2 16 0 a 4 a 4 a 4 a 4 0 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 35 ។ វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ៥. រែម៉ាទ្រីស និង ធ មីការេីរនកអ៊ែរខាងរទ្កាមជាសមការម ៉ា ទ្រីស B កដេសររសរទ្រព័នស ី AX B 2 x1 3x2 5 x3 7 2 3 5 x1 7 ែ. 9 x1 x2 x3 1 អាចសររសរ 9 1 1 x2 1 x 5x 4 x 0 x3 0 1 5 4 2 3 1 x1 2 3 5 7 A 9 1 1 ; X x2 និង B 1 ។ 1 5 4 x3 0 ដូរចែេះ ខ. 3x3 x4 1 4 x1 5 x x 8 x4 3 1 2 2 x1 5 x2 9 x3 x4 0 3 x2 x3 7 x4 2 ដូរចែេះ ៦. A, X ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ អាចសររសរ x1 4 0 3 1 x 5 1 0 8 ; X 2 A x3 2 5 9 1 0 3 1 7 x4 4 0 3 1 x1 1 5 1 0 8 x 3 2 2 5 9 1 x3 0 0 3 1 7 x4 2 និង 1 3 B 0 2 សររសរសមីការម៉ាទ្រីសជាទ្រព័នស ធ មីការេីរនកអ៊ែរែនុងែរណីនីមួ 3 ែ. 4 2 3 5 ខ. 3 2 ៧. ែ. គណ រ 1 2 x1 2 3 7 x2 1 1 5 x3 4 2 0 1 w 0 0 2 2 x 0 1 4 7 y 0 5 1 6 z 0 DA និង AE ើ ងមនម៉ាទ្រីស គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ ។ ៗខាងរទ្កាមៈ 3x1 x2 2 x3 2 រគបាន 4 x1 3 x2 7 x3 1 2 x x 5 x 4 3 1 2 z0 3w 2 x 5w 2 y 2z 0 រគបាន 3w x 4 y 7 z 0 2 w 5 x y 6 z 0 a11 a12 a a22 A 21 am1 am 2 a1n a2 n amn d1 0 0 d 2 ;D 0 0 0 0 dm គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 36 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 0 e1 0 0 e 0 2 រគបាន និង E en 0 0 d1a1n d1a11 d1a12 d a d 2 a22 d 2 a2 n 2 21 DA d m amn d m am1 d m am 2 a1nen a11e1 a12e2 a e a e a2 nen 21 2 22 2 AE amnen am1e1 am 2e2 ខ. + ជួររដែននម៉ាទ្រីស DA គមន m ឺ រដម ើ បគុ ី ណម៉ាទ្រីស របស់ម៉ាទ្រីស A រោ រដម ើ បគុ ី ណម៉ាទ្រីស របស់ ម៉ាទ្រីស គ. គណ AB និង A A A រោ ខាងរវែងរោ រោេះស្ស្ក ខាងស្ក្ ំរោ រ នន i D j នន D D AE E និង n ជួរឈរ ។ i ននសេគុណ គុណទ្គប់ធាតុននជួរឈររ ី រដម រឈររ ី ើ បបានជួ ី ិ រទ្រីវធានកដេបានរៅែន ុងសំ ណួរ ខ កដេ a, b, c មន គុណទ្គប់ធាតុននជួររដែរ ី រដម ររដែរ ី ើ បបានជួ ី ម៉ាទ្រីសអងកតទ្់ រូង ធាតុអងកតទ្់ រូង BA រោ សមការរែ ី ម៉ាទ្រីសអងកតទ្់ រូង ធាតុអងកតទ្់ រូងរ ី 2 1 5 4 A 3 0 2 និង B 0 7 1 5 0 8 1 15 0 6 និង រគបាន AB 12 28 1 15 ៨. ជួររដែ និងជួរឈរននម៉ាទ្រីស 0 0 1 0 0 3 8 4 20 BA 3 0 2 21 3 15 j ននសេគុណ ។ ។ d b c 8 1 a b 3d c 2a 4d 7 6 a b 8 1 3d c 7 2 រគបាន b c 1 3 2a 4d 6 4 ើ ងមន ែ 1 3 និង គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ ែ j 4 2 3 4 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 37 i វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ a c 9 5 a c 9 5 6a 4c 46 6 3a 2c 23 6 ែ 3 5 6 រគបាន c 4 រគបាន ែc (2) និង (3) រគបាន រគបាន ដូរចែេះ a 5; b 3; c 4 គណ រដករមណង ់ខាងរទ្កាម៖ ី ែ. និង d a5 d 1 និង b 3 1 3 5 3 4 — 2 5 22 2 4 3 0 0 1 1 5 17 5 0 3 4 2 ឃ. 1 2 0 7 0 7 6 3 ង. 2 7 6 5 1 2 2 1 4 7 2 3 8 5 6 – 3 1 6 – 5 7 4 3 8 4 –8 2 2 0 ច. a 3 5 (a 3)(a 2) (3)(5) a 2 5a 6 15 a 2 5a 21 3 a 2 ខ. គ. ១០. ជំនស ួ ែនុង ួ ែនុង (1) b 3 ជំនស ែ ៩. 4 គណ 4 1 3 5 2 30 2 0 1 1 4 2 3 1 5 0 1 2 2 5 4 0 2 1 0 – 3 1 5 7 0 3 0 6 1 7 5 3 0 0 3 1 6 2 0 0 0 1 3 3 6 3 0 546 1 5 រដករមីណង ់ននម៉ាទ្រីសទាងព ំ ី រតាម ែ. ជួររដែរ១ ី 5 A 6 2 5 B 0 2 0 1 3 6 1 2 ដូចរនេះ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ 2 1 2 5 3 1 2 1 3 5 2 1 Cofactor ែនុងែរណី 2 6 2 6 1 0 2 5 5 0 2 16 57 1 2 1 2 3 3 0 3 0 1 6 2 5 5 6 6 2 2 57 1 2 1 2 2 det( A) det( B) 57 ។ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 38 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ ខ. ជួរឈររ១ ី 5 A 6 2 5 B 0 2 0 1 3 6 1 2 ដូចរនេះ ១១. 2 1 2 5 3 1 2 1 3 5 2 1 2 0 2 0 2 6 2 5 5 6 (6) 2(2) 57 1 3 1 1 2 3 6 2 6 2 0 2 5 5 – 0 2 16 57 1 2 1 1 3 det( A) det( B) 57 រគមន 2 4 A 1 3 6 3 , ។ 7 3 2 B 1 2 3 1 6 5 , 2 1 3 C 1 2 4 5 3 6 ែ. ចូរទ្តង ់សបូ ននម ៉ា ៉ា ទ្រីសទាងប ំ ី 2 AT 1 6 7 T B 1 1 T 4 2 1 6 2 1 6 T 3 A 4 3 3 4 3 3 3 T 3 2 7 1 1 7 T 2 3 3 2 6 B 3 2 3 5 6 5 2 T 2 1 3 2 1 5 2 1 C T 1 2 4 1 2 3 C T 1 2 5 3 6 3 4 6 3 4 T ខ. បង្ហាញថា det( B) det( B ) 1 1 2 6 3 5 5 3 6 រោ det B 7 2 5 3 3 1 2 1 6 – 1 2 2 រហើ det( BT ) (7)( 2)(5) (1)(6)(2) ( 1)(3)( 3) (2)( 2)( 1) – 1 3 5 – 7 3 6 164 (3)(1)(5) (7)(3)(6) 164 ដូរចែេះ det( B) det( BT ) បង្ហាញថា ។ det(C ) det(CT ) រោ det C 2 2 6 1 4 5 1 33 – 5 2 3 រហើ det(CT ) (2)(2)(6) (1)(3)(3) (5)(4)(1) (3)(2)(5) – 1 1 6 – 2 3 4 5 (1)(1)(6) (2)(3)(4) 5 ដូរចែេះ det(C ) det(CT ) គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ ។ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 39 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ១២. រោ A ែ. គណ គណ a) រ គណ រ det 3 A det(3 A) 33 det( A) 33 (7) 189 3det A 3det A 3 7 21 ើ ងបាន det(2 A1 ) det(2 A1 ) គណ d) រ 23 8 8 det( A) 7 7 det((2 A)1 ) គណ ើ ងបាន តាមសទ្ម េះ ខាងរេើរ គណ Minors Ci , j (1) a) និង b) រួចចំរ េះ ើ ងរឈើញថា និង i j ំ នន A Cofactors ទាងអស់ M i, j 1 2 3 ; A 6 7 1 3 1 4 M1,1 7 1 7 4 – 1 1 29 1 4 M1,2 6 1 24 3 21 3 4 M1,3 6 7 6 21 27 3 1 M 2,1 2 3 8 3 11 1 4 រ ើ ងបាន M 2,2 1 3 4 9 13 3 4 រ ើ ងបាន M 2,3 1 2 1 6 5 3 1 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ c ) និង d ) ; det(2 A1) det(2 A) 1 det(3 A) 3det ( A) រោ 1 1 1 1 3 det(2 A) 2 det( A) 8 7 56 det(2 A)1 ខ. រធែការសនន ើ ិោានចំរ ១៣. det A 7 3 3 រហើ ើ ងបាន c) រ ជាម៉ាទ្រីស រដករមណង ់ ី ើ ងបាន b) ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ រ រ រ រ ើ ងបាន ើ ងបាន ើ ងបាន ើ ងបាន C1,1 29 C1,2 21 C1,3 27 C2,1 11 C2,2 13 C2,2 5 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 40 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ M 3,1 2 3 2 21 19 7 1 រ ើ ងបាន C3,1 19 M 3,2 1 3 1 18 19 6 1 រ ើ ងបាន C3,2 19 M 3,3 ១៤. ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 1 2 7 12 19 6 7 adj E គណ adj E 1 2 E 1 1 និង 1 2 8 2 1 2 9 2 រ ើ ងបាន C3,3 19 E 1 គជាម ៉ា ទ្រីសកដេរែតរ ឺ ើ 3 5 3 3 រ ើ ងបាន ើ ង រោ ម៉ាទ្រីសទ្តង ់សបូ ននម ៉ា ៉ា ទ្រីស C11 C adj E 21 C31 C41 C12 C22 C32 C42 Cofactor ( E ) C13 C14 C23 C24 C33 C34 C43 C44 កដេ T កដេ 5 2 2 C11 3 8 9 80 54 12 48 12 90 4 3 2 2 2 2 2 C12 1 8 9 32 18 4 – 16 – 4 36 2 1 2 2 2 5 2 C13 1 3 9 12 45 6 6 10 54 7 1 3 2 2 5 2 C14 1 3 8 12 40 6 6 10 – 48 6 1 3 2 3 1 1 C21 3 8 9 48 27 6 24 6 54 3 3 2 2 1 1 1 C22 1 8 9 16 9 2 8 – 2 18 1 1 2 2 1 3 1 C23 1 3 9 6 27 3 3 6 27 0 1 3 2 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 41 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 1 3 1 C24 1 3 8 6 24 3 3 6 24 0 1 3 2 3 1 1 C31 5 2 2 12 6 10 6 – 10 – 12 0 3 2 2 1 1 1 C32 2 2 2 4 2 4 2 4 4 0 1 2 2 1 3 1 C33 2 5 2 10 6 6 5 – 12 6 1 1 3 2 1 3 1 C34 2 5 2 10 6 6 5 12 6 1 1 3 2 3 1 1 C41 5 2 2 54 6 40 6 45 48 1 3 8 9 1 3 1 C43 2 5 2 45 6 6 5 54 6 8 1 3 9 1 3 1 C44 2 5 2 40 6 6 5 48 6 7 1 3 8 រ ើ ងបាន ៖ T 4 2 7 6 4 3 0 1 3 1 0 0 2 1 0 0 adj ( E ) 0 0 1 1 7 0 1 8 1 0 8 7 6 0 1 7 4 3 0 1 1 1 2 1 0 0 1 E adj E det E 1 7 0 1 8 6 0 1 7 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ ។ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 42 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ១៥. ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ det( F ) និង det( F 1 ) គណ 2 1 1 F 4 1 3 រ ើ ងបាន រោ 2 1 3 det F 2 1 3 1 3 2 1 1 4 – 2 11 – 4 13 – 2 3 1 12 ដូរចែេះ ១៦. det F 12 ចូររែ រោ adj A រោ រគបាន det( F 1 ) ។ ដង ឹ ថា 0 1 0 0 0 0 0 2 , 0 , i 1,2,..., n A n 0 0 0 ម៉ាទ្រីស A ជាម៉ាទ្រីសអងកតទ្់ រូងរ ើ ងទាញបាន 1 1 0 0 0 1 0 1 2 A 0 0 0 0 0 1 n n រោ det( A) 1.2 .3...n i រហើ A1 រ 1 12 i 1 ើ ងបាន ដូចរនេះ 1 adj A det( A) 1 1 0 0 0 1 0 n 1 2 adj(A) A .det A i i 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 n 2 adj(A) i i 1 0 0 0 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ 0 0 1 n 0 0 1 n ។ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 43 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ១៧. រែតនមា ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ រដម ើ បឲ្យ ី det( A) 0 1 2 A 5 4 រោ det A (2)(4) 51 2 2 3 ែ. រ ខ. រោ រ 2 2 3 0 រ េះ 1 ; 3 ។ 0 2 0 A 0 2 0 3 1 det A ( 2)( )( 1) – ( 2) 2 3 ( 2)( 3)( 2) ើ ងបាន ើ ងបាន ដូចរនេះ ១៨. ( 2)( 3)( 2) 2 ; 3 ; 2 បង្ហាញថា ។ adj A. A det A .I 3 1 2 1 1 រ ើ ងមនម៉ាទ្រីស A 0 1 1 0 រគបាន det A 3 1 1 1 1 1 2 1 0 1 1 2 – 0 1 0 – 3 1 1 2 រហើ adj ( A) Cofactor ( A) C11 (1)11 T C11 C12 C21 C22 C31 C32 0 1 (0 (1)) 1 1 0 C13 (1)13 0 1 0 (1) 1 1 1 C21 (1) 21 1 2 (0 2) 2 1 0 C22 (1)22 3 2 0 (2) 2 1 0 C23 (1)23 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ C31 C32 C33 1 1 0 1 1 1 0 C12 (1)1 2 C31 (1)31 T C13 C11 C21 C23 C12 C22 C13 C23 C33 3 1 (3 (1) 4 1 1 1 2 1 2 1 1 1 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 44 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ C32 (1)32 3 2 (3 0) 3 0 1 C33 (1)33 3 1 30 3 0 1 1 រ ើ ងបាន adj ( A) 1 1 1 រគបាន adj ( A) A 1 1 2 1 2 3 4 3 2 1 3 1 2 3 0 1 4 3 1 1 1 0 0 2 det( A) I (2) 0 1 0 0 0 0 1 0 រហើ adj A. A det A.I ដូរចែេះ ១៨. បង្ហាញថាម៉ាទ្រីស ម៉ាទ្រីស កដេ ដូរចែេះ គណ A det( A) 1 ម៉ាទ្រីស A A1 រោ ។ cos A sin 0 មនចទ្មសេុេះទ្តាកត cos sin 2 2 0 0 1 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 sin cos 0 0 0 1 មនចទ្មសចំរ េះទ្គប់តនមា det( A) 0 sin cos 2 sin 2 0 cos មនចទ្មសចំរ រទ្រីរប ូ មន្ េះទ្គប់តនមា A1 ។ 1 adj A det( A) T រោ adj ( A) Cofactor ( A) T C11 (1)11 cos 0 C12 (1)12 sin 0 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ C11 C12 C13 C11 C21 C31 C 21 C 22 C23 C12 C22 C32 C31 C32 C33 C13 C23 C33 0 cos 0 cos 1 0 ( sin 0) sin 1 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 45 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ C13 (1)13 sin 0 cos 000 0 C21 (1)21 sin 0 C22 (1)22 cos 0 0 cos 0 cos 1 C23 (1)23 cos 0 sin (0 0) 0 0 C31 (1)31 sin cos 0 000 0 C32 (1)32 cos sin 0 (0 0) 0 0 C33 (1)33 cos sin sin cos 2 sin 2 1 cos 0 (sin 0) sin 1 cos sin 0 cos 0 រគបាន adj ( A) sin 0 0 1 cos sin 0 cos 1 1 cos 0 sin រ ើ ងបាន A sin 1 0 0 1 0 ២០. រោ ិ រទ្រីវធានទ្កាម័ រ រែមុំ , , កដេ 0 ននទ្រព័នស ធ មការខាងរទ្កាម ៖ ី 2sin cos 3tan 3 4sin 2cos 2tan 2 6sin 3cos tan 9 រគបាន រគបាន 2 X Y 3Z 3 4 X 2Y 2 Z 2 រ 6 X 3Y Z 9 2 1 3 D 4 2 2 64 6 3 1 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ តាង sin cos 0 0 0 1 ។ 2 ,0 2 ,0 2 sin X cos Y tan Z 2 1 3 X 3 2 2 Y 2 ើ ងអាចសររស ៖ 4 6 3 1 Z 9 3 1 3 DX 2 2 2 64 , 9 3 1 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 46 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 2 3 3 DY 4 2 2 64 6 9 1 D 64 រគបាន X X 1 , D 64 sin 1 រ ើ ងបាន cos 1 រគបាន tan 0 ដូចរនេះ ២១. ចរមាើ ចំរ a) ននទ្រព័នស ធ មីការគឺ េះទ្តីរកាណែនុងរូប រោ bcos c cos a c cos acos b acos bcos c រោ គូសែំពស់ , Z DZ 0 0 D 64 ។ រទ្រីទ្តីរកាណមទ្ត បង្ហាញថា ៖ C ដូចគ្ននកដររ ដូរចែេះ រគបាន រោ ើ ងបាន h a b រ ើ ងបាន ៖ AH b cos , HB a cos A H c b cos a cos c (1) រគបាន b) កត 3 2 0 9 2 , , 0 CH មែរេើបាត AB AH HB c ស្ស្ក 2 1 DZ 4 2 , 6 3 D 64 Y Y 1 D 64 2 0 bcos ccos a , ccos acos b bcos c cos a c cos acos b acos bcos c ិ រទ្រីវធានទ្កាម័ រ បង្ហាញថា ទ្រព័នស ធ មការខាងរេ ី ើអាចសររសរជា ៖ ។ b2 c 2 a 2 cos 2bc 0 c b cos a c 0 a cos b b a 0 cos c រគបាន 0 c b D c 0 a b a 0 a c Dcos b 0 c a គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ 0 abc abc 0 0 2abc b a 0 ac 2 ab 2 a3 0 0 ac 2 ab2 a3 0 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 47 B វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ 0 Dcos c b 0 Dcos c b រគបាន ដូចរនេះ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ a b c c 0 a Dcos ac 2 ab2 a3 c 2 b2 a 2 cos D 2abc 2bc Dcos a 2b bc 2 b3 a 2 c2 b2 cos D 2abc 2ac 2 2 3 2 Dcos b c a c c b a 2 c2 cos D 2abc 2ab cos ២២. ចូរែំណត់តនមា និង ចរមាើ ែ. រគបាន b a 0 a 2b bc 2 b3 0 0 a 2b bc 2 b3 0 a b 0 b 2c a 2c 0 c 3 0 b 2 c a 2 c c3 c k c 2 b2 a 2 a 2 c 2 b2 b2 a 2 c 2 , cos , cos 2bc 2ac 2ab រដម នស ធ មីការខាងរទ្កាមមន ចរមាើ ើ បឲ្យទ្រព័ ី រាប់មិនអស់ កតមួ ។ គត់ , គ្នានចរមាើ x y z 1 2 x 3 y kz 3 x ky 3z 2 1 2 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 3 k 3 k 3 2 1 1 1 1 k 2 1 L2 L2 2 L1 k 1 4 1 L3 L3 L1 1 1 1 1 k 2 1 0 k 2 k 6 k 2 L3 L3 (k 1) L1 រដម នស ធ មីការមនចរមាើ ើ បឲ្យទ្រព័ ី កតមួ គត់េេះុ ទ្តាកត k2 k 6 0 k 2 2k 3k 6 0 k (k 2) 3(k 2) 0 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 48 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ (k 2)(k 3) 0 ដូចរនេះ k 2 0 k 2 k 3 0 k 3 ទ្រព័នស ធ មីការមនចរមាើ កតមួ រដម នស ធ មីការគ្នានចរមាើ ើ បឲ្យទ្រព័ ី គត់ េុេះទ្តាកត k 2 ; 3 ។ េុេះទ្តាកត k 2 k 6 0 (k 2)(k 3) 0 k 2 ; 3 k 2 k 2 k 2 0 ដូចរនេះ ទ្រព័នស ធ មីការមនចរមាើ កតមួ គត់េេះុ ទ្តាកត k 3 ។ រដម នស ធ មីការមនចរមាើ ើ បឲ្យទ្រព័ ី រាប់មិនអស់េេះុ ទ្តាកត k 2 k 6 0 (k 2)(k 3) 0 k 2 ; 3 k 2 k 2 k 20 ដូចរនេះ ទ្រព័នស ធ មីការមនចរមាើ រាប់មិនអស់េេះុ ទ្តាកត k 2 ។ ខ. 3z 3 x 2 x ky z 2 x 2 y kz 1 រគបាន 1 2 1 1 0 0 0 3 3 k 1 2 2 k 1 0 3 3 k 5 4 L2 L2 2 L1 2 k 3 4 L3 L3 L1 1 0 3 5 0 k 2 0 0 k 3k 10 រដម នស ធ មីការមនចរមាើ ើ បឲ្យទ្រព័ ី 3 4 4k 8 L3 kL3 2 L1 កតមួ គត់េេះុ ទ្តា k 2 3k 10 0 k 2 2k 5k 10 0 k (k 2) 5(k 2) 0 (k 2)(k 5) 0 ដូចរនេះ រគបាន k 2 ឬ k 5 ទ្រព័នម ធ នចរមាើ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ កតមួ គត់ ។ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 49 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ រដម នស ធ មីការគ្នានចរមាើ ើ បឲ្យទ្រព័ ី េុេះទ្តាកត k 2 (k 5) 0 k 2 3k 10 0 k 2 ; 5 k2 4k 8 0 4k 8 0 ដូចរនេះ រគបាន k 5 ទ្រព័នស ធ មីការគ្នានចរមាើ ។ រដម នស ធ មីការមនចរមាើ ើ បឲ្យទ្រព័ ី រាប់មិនអស់េេះុ ទ្តាកត k 2 (k 5) 0 k 2 3k 10 0 k 2 ; 5 k 2 4k 8 0 4k 8 0 ដូចរនេះ រគបាន k 2 ទ្រព័នស ធ មីការមនចរមាើ រាប់មិនអស់ ។ ២៣. a ) បង្ហាញថារបើ A B A2 2 AB B 2 2 រគបាន របើ រ េះ AB BA A B A B A B A2 2 AB B2 2 A B A2 2 AB B2 រ េះរគបាន 2 A2 AB BA B2 A2 2 AB B2 AB BA ពិត ស្ស្ក រោ របើ បញ្ញ ា ែ់ថា របើ A B 2 AB BA រ AB BA រ េះ A B 2 A2 2 AB B 2 A B A B A2 2 AB B 2 េះ A2 AB BA B 2 A2 AB AB B 2 A2 2 AB B 2 A B ដូចរនេះ b) A B ស្ស្ក 2 A2 2 AB B 2AB BA បញ្ញ ា ែ់ថា របើ 2 3 A 1 2 រ េះ 2 ។ A2 4 A I រគបាន 2 3 2 3 2 2 3 1 2 3 3 2 7 12 A A A2 1 2 1 2 2 1 1 3 2 2 4 7 1 1 2 2 3 8 12 1 0 រហ 4A 4 I ើ 0 1 1 2 4 8 8 12 1 0 8 1 12 0 7 12 4A I 2 4 8 0 1 4 0 8 1 4 7 2 តាម (1) និង (2) រគបាន A 4 A I ទាញបញ្ញ ា ែ់ថា រគមន A4 56 A 15I A2 4 A I គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ និង AI IA A ; I 2 I គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 50 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ រគបាន កត A 2 2 ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 4 A I 16 A2 8 AI I 2 16 A2 8 A I 2 A2 4 A I A4 16 4 A I 8 A I 64 A 16I 8 A I 56 A 15I ដូចរនេះ A4 56 A 15I o គណ A4 រោ ពិត ផ្លាេ ់ 7 12 A2 រ េះរគបាន 4 7 7 12 7 12 7 7 12 4 7 12 12 7 97 168 A4 A2 A2 4 7 4 7 7 4 4 12 7 7 56 97 i 4 7 2 3 1 0 112 168 15 0 97 168 56 A 15I 56 15 0 1 56 112 0 15 56 97 ii 1 2 រោ តាម ២៤. (i ) និង រែម៉ាទ្រីស រគមន (ii ) រគបាន A4 56 A 15I ។ E1 , E2 , E3 , E4 E1 A B E1 BA1 1 cof ( AT ) det( A) 1 2 1 1 3 2 T រគបាន A 3 1 4 A 2 1 3 2 3 1 1 4 1 1 2 1 1 2 1 5 1 det A 3 1 4 0 5 1 5 1 6 1 1 2 3 1 0 1 1 11 1 7 11 1 7 1 cof AT 5 1 1 A1 5 1 1 6 7 7 1 5 1 5 កត A1 2 3 1 11 1 1 E1 BA1 3 1 4 5 1 6 1 2 1 7 1 0 0 6 0 0 1 0 6 0 0 1 6 6 0 0 1 0 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ រគបាន 7 22 15 7 2 3 1 14 3 5 1 1 33 5 28 3 1 4 21 1 20 6 11 10 7 1 2 1 7 2 5 5 1 0 0 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 51 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ដូចរនេះ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 0 0 1 E1 0 1 0 1 0 0 ។ 2 3 1 2 3 1 E2 B A E2 AB 1 កដេ B 3 1 4 BT 3 1 2 1 2 1 1 4 1 1 1 1 កត B adjA cof BT det B det A 2 3 1 det B 3 1 4 1 2 1 7 1 T cof B 1 1 5 1 2 3 1 5 11 5 11 0 5 11 6 1 1 1 1 0 11 7 1 11 1 1 5 B 1 1 5 6 5 1 7 7 1 2 1 7 1 1 E2 3 1 4 1 1 6 2 3 1 5 1 0 0 6 0 1 0 6 0 0 6 6 0 0 1 11 7 2 5 1 2 1 11 10 7 1 5 21 1 20 3 1 4 33 5 28 6 14 3 5 2 3 1 22 15 7 7 0 1 1 0 E1 0 0 0 ដូចរនេះ E1 E2 0 1 1 2 E3 CA1 7 7 2 3 E4 AC 1 កត 0 1 1 0 ។ 0 0 1 11 1 7 1 0 0 1 6 5 1 1 0 1 2 6 7 1 1 5 0 0 1 1 1 C 1 adjA cof C T det C det A 2 1 1 7 2 7 6 C T 2 7 3 1 6 1 3 1 1 C 7 រោ 2 1 2 1 1 2 1 det C 7 7 6 0 7 1 7 1 6 2 3 1 0 1 1 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ , cof C T 11 1 5 5 1 1 7 1 7 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 52 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 1 E4 AC 1 3 2 1 1 3 6 2 រគបាន 2 1 11 1 1 4 5 6 7 3 1 2 1 11 1 1 4 5 1 3 1 7 1 1 5 1 1 1 7 5 1 7 11 10 7 1 2 1 5 2 7 1 33 5 28 3 1 4 15 1 28 6 22 15 7 2 3 1 10 3 7 6 0 0 1 0 0 1 0 6 12 0 1 2 6 0 0 6 0 0 1 1 0 0 E4 0 1 2 0 0 1 ដូចរនេះ រែម៉ាទ្រីសទ្ាស រគមន ។ E11 , E21 , E31 , E41 E1 A B , E2 B A , E3 A C , E4C A រគបាន E1 A B E1 E2 B B E1E2 B B E1E2 B B 1 BB 1 E1E2 I E2 E11 រហើ E2 E1 ( សំ រា E3E4C C 1 CC 1 E3E4 I E3 E41 , E41 E3 E3 E4C C ២៥. គណ រគបាន E11 E1 , E21 E1 E3 A C , E4C A E3 E4C C មយ៉ាងររៀត ដូចរនេះ ខាងរេើ ) E11 E1 E2 , E31 E1 , E31 E4 , E41 E3 0 1 A , A កដេ A 1 0 0 1 0 1 0 0 A2 A. A 1 0 1 1 0 1 0 0 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ 2 3 ។ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 0 1 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 53 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 1 0 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 A3 A2 . A 0 2 0 1 0 1 2 0 2 2 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 3 ទាញបញ្ញ ា ែ់ថា A 2 A 0 1 0 A 2 1 0 1 2 A ពិត រោ 0 1 0 ទាញបញ្ញ ា ែ់ថា A គ្នានចទ្មស់ 3 ដូចរនេះ A3 2 A ។ 3 1 1 រោ A 2 A រ េះ A A3 det A det A3 2 3 0 2 0 0 2 0 3 3 3 A 2 0 2 រ េះ det A 0 រទ្ េះ det A 2 0 2 0 រោ 0 2 0 0 2 0 មនជួរឈររ១ ដូចគ្នន ។ រគបាន det A 0 រ េះ A គ្នានចទ្មស ។ ី និងរ៣ ី 3 ២៦. រែម៉ាទ្រីស A កដេ A មនេំោប់ 2 2 កដេ A2 0 a b A កដេ A 0 រគបាន c d a b a b a 2 bc ab bd 2 A A. A c d 2 c d ac cd bc d a 2 bc 0 1 a 2 bc 0 1 ab bd 0 2 b a d 0 2 2 A 0 ac cd 0 3 c a d 0 3 bc d 2 0 4 bc d 2 0 4 តាង កត ទ្រព័នស ធ មីការរសាៀងផ្លាត់ទ្គប់ែរណីរបើ មនអាចរទ្ ិ េះ A0 រ a bc d 0 ើ ងចង ់រែម៉ាទ្រីស ទ្រព័នស ធ មីការរសាៀងផ្លាត់ទ្គប់ែរណីបដររបើ ដូចរនេះ ម៉ាទ្រីសកដេរែមនរទ្មង ់ ២៧. a) រគមន គណ តនមា A0 កត េះរគបាន 0 0 A 0 0 A2 0 a b c d 0 និង b 0 b A b 0 0 កដេ A2 0 ។ f1, f 2 ,..., f n f0 1, f1 1, f n1 f n f n1 , n 1 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ រ រគបានៈ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 54 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ f 2 f1 f 0 1 1 2 f3 f 2 f1 2 1 3 f 4 f3 f 2 3 2 5 f5 f 4 f3 5 3 8 f 6 f5 f 4 8 5 13 f 7 f 6 f5 13 8 21 f8 f 7 f 6 21 13 34 f9 f8 f 7 34 21 55 f10 f9 f8 55 34 89 ដូចរនេះ f 2 2, f3 3, f 4 5, f5 8, f6 13, f7 21, f8 34, f9 55, f10 89 បង្ហាញថា b) រគមនៈ រគបានៈ AX n X n1 , n 1 f f 0 1 A , X n n1 , X n1 n 1 1 fn f n1 0 1 f n1 f n AX n f f កត f n f n1 f n1 1 1 n n1 f AX n n X n1 f n1 បង្ហាញថា រ ើ ងស្ស្ក របើ របើ ។ ពិត f 0 1 An X1 X n1 , A , X n n1 1 1 fn n ែំរណើនថា A X1 X n1 ចំរ េះ n 1 0 1 f 0 f1 f1 n 1 រគបាន AX1 X 2 X2 1 1 f1 f 0 f1 f 2 1 1 1 1 f 0 f1 n 2 រគបាន A2 X 1 X 1 1 2 f f 2 f 1 2 1 0 1 ពិត f1 f1 f1 f f f ពិត f f f 2 0 1 1 0 3 n n1 ឧបមពិតដេ ់ n គឺ A X1 X n1 រ ើ ងនឹងស្ស្ក ថាពិតដេ ់ n 1 គឺ A X1 X n2 រគមនៈ An X1 X n1 0 An1 X1 AX n1 1 n ដូចរនេះ A X1 X n1 ពិត គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ 1 f n f n1 f n1 X n 2 1 f n1 f n f n2 f n3 n 1 ពិត ។ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 55 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ គណ c) រ A2 , A3 , A5 0 A 1 0 A2 A. A 1 1 1 ើ ងមន និង A5 X1 X 6 1 0 1 1 1 1 A2 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 2 1 3 A3 A2 . A A 2 1 2 1 1 2 3 1 2 1 1 3 5 3 5 A5 A3. A2 A 5 2 3 1 2 5 8 រគបានៈ គណ រគបាន រគបាន ដូចរនេះ ២៨. ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ 1 2 2 3 5 8 f f 1 A5 X 1 , X 1 0 , X 6 5 f1 1 f6 3 5 1 8 A5 X1 5 8 1 13 f 8 ិ រគបានវបាែៈ A5 X 1 X 6 5 f 13 6 1 1 1 2 3 5 A2 , A3 , A5 1 2 2 3 5 8 រែម៉ាទ្រីស B កដេ f5 8 f 6 13 8 , A5 X 1 X 6 13 ។ BA I 1 2 1 0 4 , I រគមន A 3 0 1 1 4 ិ ិ រោ (2,2) A មនវមទ្ត 3,2 និង I មនវមទ្ត B រគបាន ិ មនវមទ្ត (2,3) a c BA I b d a c e B b d f 1 2 e a 3c e 3 4 b 3d f f 1 4 1 តាងរោ 2a 4c 4e 1 0 2b 4d 4 f 0 1 a 3c e 1 2a 4c 4e 0 2 រគបាន 3 b 3d f 0 2b 4d 4 f 1 4 តាម (2) និង (1) រគបានៈ a 3c e 2 c e 3c e 1 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 56 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ តាម ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ c 3e 1 c 1 3e (3) និង (4) រគបានៈ 2 f 3d 4d 4 f 1 6 f 2d 1 d 6 f 1 1 3f 2 2 a 2 1 3e 2e 2 6e 2e 2 1 4e , b f ដូរចែេះ ម៉ាទ្រីស ២៩. B 2 1 4e 1 3e B 3 1 8 f 3f 2 2 កដេរែគឺ ែ. គណ e , e, f f A2 a 0 A , a, b b a a 0 a 2 រគបាន A A. A b a b ខ. គណ A2 2aA a 2 I រ 18 f 3 3 8f 2 2 2 ើ ងមន រគបាន 0 a2 0 a 2ab a 2 a2 a 0 0 2 1 0 A 2aA a I 2 a a 0 1 2 b a 2ab a a 2 2a 2 a 2 0 0 0 0 0 0 2ab 2ab 2 2 0 0 A2 2aA a 2 I J ។ 0 0 សររសរ A ជាអនុគមននន a , I និង b ដូចរនេះ គ. a A b a 0 0 A 0 a b 0 0 A aI b 1 0 An គណ រ ើ ងមនម៉ាទ្រីស រ ឹ ថា ើ ងដង រ េះរ I I , n n ើ ងគណ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ An 0 a រគបាន 0 1 0 0 0 a b 0 1 1 0 0 0 រហើ p 2 , 1 0 Newton រវាង I និង 1 1 0 ,I 0 1 n តាមរូបមន្ររ ែធា p 0 0 0 0 0 0 0 0 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 57 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ n 0 0 n n 1 0 0 a I na b រគបាន A aI b 1 0 1 0 0 0 0 0 រទ្ េះ p 2 , 1 0 1 0 an 0 an 0 n n1 0 0 ដូចរនេះ A na b , n 0 1 0 n1 n n 0 a na b a n ៣០. ិ ែ. រែវមទ្តរបស់ រោ ិ មនវមទ្ត A តាម (1) រគបាន ដូចរនេះ ម៉ាទ្រីស X (m, n) តាង ិ មនវមទ្ត ខ. បង្ហាញថាសំ ណុំេែខខណខ តាម កត 1: ៣១. (m, n) ។ និង (2) (1) AXA A AXA AT X xn y m សមមូេនឹង 3 : X T AX AT T AXA T រគបាន ិ ជាវមទ្តរបស់ ( x, y) m, n x, y m, n m, n X ។ A. XA XA AT T រែម៉ាទ្រីសការរេំោប់ េះ XA T XA តាម (2) ) 2 2 កដេ A2 A x y x y x y A. A A z t z t z t x 2 yz xy yt x y 2 xz zt yz t z t yz x 1 x 1 x 2 yz x xz tz z z x t 1 0 2 រគបាន xy ty y y x t 1 0 3 yz t 2 t yz t 1 t 4 តាមសមីការ (2) និង (3) រគបាន តាង 2 : y t ( រទ្ ។ XA. AT AT x A z T រគបាន z x t 1 0 រគបានបីែរណីដូចខាងរទ្កាម ៖ z 0 z 0 z 0 ឬ ឬ x t 1 0 x t 1 0 x t 1 0 3: y x t 1 0 រគបានបីែរណីដូចខាងរទ្កាម ៖ គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 58 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ y 0 x t 1 0 ឬ y 0 x t 1 0 តាមែរណីខាងរេើរគបាន ៖ ដូចរនេះ រ េះ (1) ដូចរនេះ b) y 0 x t 1 0 z 0 , x t 1 0 , y 0 x 1 t , y 0 , z 0 x 0 x 1 x 1 x 0 t 0 t 1 t t 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 រគបានម៉ាទ្រីស A គឺ A , A , A , A 0 0 0 1 0 0 0 1 និង (4) សមីការ រគបាន (2) និងសមីការ (3) x 1 x 0 , t 1 t 0 ដូចរនេះ រគបានចរមាើ c) ឬ របើ y0 រ េះ ដូចែរណី x t 1 0 រសាៀងផ្លាត់របើ y0, z 0 រ ។ េះរគបាន a រគបាន t 1 x y x ដូចរនេះ ម៉ាទ្រីស A x 1 x 1 x y t 1 d ) របើ y 0 , x t 1 0 រគបាន x 0 និង z x 1 x y 0 0 z , A z 1 t 0 1 0 មយ៉ាងររៀត y 0 រ េះ និង z , A x 1 z 0 c b 0 3 0 a ៣២. a ) រែរំ ែ់រន ំ ងរវាង M និង M កដេ M c b a 0 និង រគបាន c b 0 c b 0 M 2 M .M c 0 a c 0 a b a 0 b a 0 c2 b2 ab ac 2 2 ab c a bc 2 2 ac bc b c គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 59 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ c2 b2 ab ac M 3 M 2 .M ab c2 a2 bc ac bc b2 c2 0 c a 2 b 2 c 2 c a 2 b2 c2 0 b a 2 b 2 c 2 a a 2 b2 c2 c b 0 2 2 2 a b c c 0 a b a 0 ដូចរនេះ b) រគមន c b o M c 0 a b a 0 រគបាន េះ , 0 0 o c b c b 0 c 0 a c a 0 b a 0 b a 0 0 o c b c b 0 c 0 a c a 0 b a 0 b a 0 c det I M c b a b a c a c a c b a b b a 2 a 2 c c ab b ac b 3 a 2 c 2 abc abc b 2 3 a 2 b2 c2 0 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ b a 2 b2 c2 2 2 2 a a b c 0 ។ I M និង I M មនចទ្មស់ចរំ រគបាន I M 0 0 I M 0 និង 0 M 3 a 2 b2 c 2 .M បង្ហាញថាម៉ាទ្រីស c b 0 c 0 a b a 0 គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 60 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ c det I M c b b a c a c a c b a b b a a 3 a 2 c 2 abc abc b 2 3 a 2 b2 c2 0 រោ ដូចរនេះ c) I M និង I M មនចទ្មស់ ។ ម៉ាទ្រីស I M មនចទ្មស់ 1 1 det N det I M I M det I M .det I M បង្ហាញថា រគបាន N I M 1 det I M 0 det I M រោ រ det I M 0 និង det I M 0 េះរគបាន ដូរចែេះ N បង្ហាញថា រគមន det I M 1 1 0 .det I M 0 និង det I M 0 មនចទ្មស់ ។ N 1 N t N I M N 1 I M N T I M 1 1 1 I M រ 1 I M I M I M T T T I M I M I M T I M T c b o M c 0 a រោ b a 0 1 I M 1 T 1 I M I M និង T 1 T T I M T I M t េះរគបាន 1 1 រ េះរគបាន T c b c b o 0 c b o M T c 0 a c 0 a c 0 a M b a 0 b a 0 b a 0 1 t រគបាន N I M I M 2 គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 61 វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ 1 2 មនន័ ថា ( I M )1 និង I M មនេែខណៈទ្តេប់ 1 ចំរ េះ I M I M 1 1 តាង C I M I M I M M I 2 I 1 1 I M ( I M ) 2 I I M រ ើ ងនឹងបង្ហាញថា រគបាន ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់ C I 2 ( I M )1 (*) I M I M 1 1 តាង D I M I M M I 2 I I M ចំរ 1 េះ រគបាន ( I M )1 ( I M ) 2 I ( I M )1 D I 2 ( I M )1 (**) តាម (*) និង (**) រគបាន C ដូចរនេះ រគបាន គរុនិស្សត ិ ជំនាន់ទី ១៨ (1) (2) D មនន័ ិ ។ វបាែ ថា ( I N 1 N t M )1 និង ( I M ) មនេែខណៈទ្តេប់ ។ គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា 62