Uploaded by Davith Chien

matrix

advertisement
ព្រះរាជាណាចព្ររម្ពជា
ុ
ជាតិ សាសនា ព្រះម្ហារសព្ត
6
ព្រសួងអប់រ ំយុជន និងរីឡា
វិ ទ្យាស្ថានជាតិអប់រ ំ
ស
ិ
ៀវសៅកច្ច
សេសរៀន និង លំហាត់
ិ ការស្រាវជ្រាវគណិតវទ្យា
ជ្រាប់ជ្រគូ និង
ិ
ស េធ្យេ
េិ
ិ កាទ្យុតយភូ
ិ
គរ ុនិសស ិតគណិតវិទ្យាព្រុម្២ ជំនាន់ទ្យី ១៨
សាស្ត្សាាចារយណណនា ំាំៈ ថៃ ហេង
ឆ្ន ំសិរា ២០១២-២០១៣
អារម្ភកថា
ិ
សសៀវសៅកម្រងស្រាវម្ាវគណិតវទ្យាសម្ាប់
ជំនយ
ួ ដល ់ការសិកា
និងាឯការស្រាវម្ាវ
ិ ា គណិតវទ្យាខាងន្នែ
ិ
សដរ
កចំសណេះដង
ក ា៉ាម្ទ្យីស និងសដន្ទ្យរីណង ់ ។ ការសរៀប
ើ បពម្ងី
ឹ បន្នែរសលើរុខវា
ី
ចំឲ្យានកចច
ិ ការស្រាវម្ាវសនេះស
ើ ង គកង
្ ុងសបលបំណងពម្ពឹងនិងពម្ងីកសរតែភាពបន្នែរសៅសលើផ្នែក
ិ
ិ
ិ
ំនាន់ទ្យ១៨
គណិតវទ្យា
ដល ់គរុនិសសតជ
ននវទ្យាា
ែ នាតអប់
រ ំ ន្នែកសដប៉ាសតរ៉ាង ់ គណិតវទ្យាទ
ងរូ
ំ ល
ិ
ី
ិ
ិ
សៅសលើម្គប់ផ្នែក ននគណិតវទ្យា
និងបនន្បងន្ចកាម្កុរកងុងការស្រាវម្ាវ ។ សសៀវសៅកចច
ិ ការស្រាវ
ម្ាវសនេះសដោតសំ ខាន់សៅសលើផ្នែកា៉ាម្ទ្យីស
និងសដន្ទ្យរីណង ់ ។
ខរារសរសរៀនម្តូ
វបនសសងេបគនលឹេះ
ឹល
សំ ខាន់ៗម្ពរទងានឧទហរណ
ំ
៍ បញ្ជ
ា ក់ ន្ដលានសម្ាយងាយយល ់ ។ កងុងសសៀវសៅសនេះរួរាន
លំហាត់បន្នែរ ម្ពរទងដ
ំ សំ
េះស្រាយ ងាយយល ់ និងសកបេះកបយ
សនេះនឹងអាចជួយដល ់កងវេះខាតខ លេះៗ
របស់ប្ូ នៗ
អ
។ សយើងខស
ំុ ្ ងឃរថាសសៀវសៅ
ឹ
និងរិតតអងកអានកងុងការស្រាវម្ាវសលើផ្នែកគណិត
ិ
វទ្យាសនេះ
សហើយនិងអាចនតល ់នូវចំសណេះដង
ំ យ ដល ់សិសស និសសត
ឹ ថ្មីៗដល ់រិតតអងកអានម្ពរទងជួ
ិ និង
រិតតអងកអានម្គប់រប
ូ នងន្ដរ ។
សូរអភ័យសទសទ្យុការុននូវរាល ់កំហុសឆ្គង ន្ដលបនសកត
ើ ានស
ើ ងសោយសចតនាកតសោយ
ី
អសចតនាកតី សហើយនឹងទ្យទ្យួលនូវរតិ រិៈិ គន់សដរ
ំ
សោយសសចកតរី ករាយ
ី
ើ បា
ី ែ បនាពីរតត
ិ អងកអានទងអស់
បំនត
ុ សដរ
សៅកចច
ំុ ្ ឹងទ្យទ្យួលរាល ់ការរេះគន់
ិ
សដរ
ើ បឲ្យសសៀវ
ើ បផ្ក
ី
ិ ការស្រាវម្ាវសនេះកាន់ផ្តម្ប្សសើរ សយើងខន
ី
សម្រួលបន្នែរអំ ពី សំ
ិ
័ សិកាសលើផ្នែកគណិតវទ្យា
ក់អងកអាន ាពិសសសសោកម្គូអងកម្គូបញ្ជ
ា វនោ
សនេះឲ្យកាន់ផ្តានគុណភាព ។
ប
សូរន្ថ្លងអំ ណរគុណដល ់ាតា បីតា ម្គប់រប
ូ ន្ដលបនខតខំ
បីបច់ផ្ថ្រកាកូនសៅ និងបណ
ិ
ុ ត េះ
ិ ា
ោ លចំសណេះវា
ិ
ាពិសសសវទ្យាា
ែ នាតអប់
រផ្ដលបនខ
ំ
តខំ
បណ
ិ
ិ
ុ ោ េះប
សុទ្យ ធសឹងន្តានសរតែភាព និងចំសណេះដង
ឹ ពិតៗ ។
ចសម្រីន
ត លនូវគរុនិសសតន្ដល
ិ
សូរជូនពរប្អូនៗ សិសស និសសត
ម្ពរទង
ំ រិតតអងកអានទងអស់
ំ
បង ជួបម្ប្ទ្យេះន្តសសចកតសុ
ិ
ី ខ
ានសុខភាពលអ
ម្ាថាងសរៀងៗខន
ួល ។
ម្ាា្សវៀងនវ
និងសូរឲ្យទ្យទ្យួលបននូវលទ្យ ធនលលអ
តារន្ដលខនប៉ា
ង
ួល
សរៀបសរៀងសោយ
ិ
គរុនិសសតគណ
រ២
ិ
ិ តវទ្យាម្កុ
ជំនាន់ទ្យ១៨
ី
I
មាតិកា
មា៉ាទ្រីស
1.
សញ្ញ
ា ណនៃមា៉ាទ្រីស .......................................................................................... 1
1.1. នយ
ិ មន័យ ......................................................................................................................... 1
1.2. ប្រភេទម៉ាប្ទីស .................................................................................................................... 2
2.
ទ្រមាណវិធីល
មា
ើ ៉ា ទ្រីស ........................................................................................... 3
2.1. ម៉ាប្ទស
ី ភសមគ្ន
ើ ា ....................................................................................................................................3
2.2. វិ ធីបូក និង វិ ធីដកននម៉ាប្ទស
ី .................................................................................................... 3
2.3. ផលគុណមួយចំនួនពត
ិ នឹងម៉ាប្ទស
ី ............................................................................................. 3
2.4. វិ ធគ
ី ុណននពរី ម៉ាប្ទស
ី .........................................................................................................................4
3.
4.
5.
6.
7.
8.
រទ្ម្ង់មា៉ាទ្រីសនៃទ្រព័ៃធសម្ីការ
លី ៃអ ៊ែរ ........................................................ 5
មា៉ាទ្រីសទ្តង់ស្ ៉ូ ៉ា ................................................................................................. 6
ចំរាសនៃមា៉ាទ្រីសកាលរ ........................................................................................ 7
មា៉ាទ្រីសសវយ
័ គុណ ............................................................................................. 9
កខណៈនៃមា៉ាទ្រីសទ្តង់ស្ ...............................................................................
9
៉ូ ៉ា
មា៉ាទ្រីសសុលី ម្ទ្រី ................................................................................................. 10
លេអរម្ីណង់
1.
ៃុគម្ៃ៏លេអរម្ីណង់ ....................................................................................... 11
2 ......................................................................................11
2.
លេអរម្ីណង់
ដា
ំ រ់
3.
លេអរម្ីណង់
ដា
ំ រ់ 3 ........................................................................................ 11
3.1 គណនាភដទទមណ
សារុស ........................................................................ 11
ី ង់លំដាប់ 3 តាមកបនរបស់
ួ
3.2 គណនាភដទទមណ
ី ង់លំដាប់ 3 តាមមីន័រ ...................................................................................... 12
4.
លដាោះទ្ាយទ្រព័ៃធសម្ីការ
លី ៃអ ៊ែរ ................................................................. 12
4.1. ទប្មងម
់ ៉ា ប្ទស
ី ននប្រព័នធសមកា
ី រលភី នទ ៊ែរ ...................................................................................... 12
4.2. ភដាោះប្សាយប្រព័នស
ធ មកា
ី រតាមប្កាម័រ .......................................................................................... 13
4.3. ភដាោះប្សាយប្រព័នស
ធ មីការតាម (Guass  Jordan) .........................................................................14
II
4.4. ភដាោះប្សាយប្រព័នស
ធ មកា
ី រតាមចប្មសននម៉ាប្ទស
ី ........................................................................... 15
អនែក
អនែកេំល
ហា
ំ
ត់ .............................................................................................................. 17
ោះទ្ាយ..................................................................................................... 23
III
ឯការលោង
1.
Elementary Linear Algebra-Howard Anton-6 Edition
2.
Linear Algebra "J. Henderson" (University of Sydney)
3.
Algébre: tome 2 "Guy Auliac"
4.
MathématiQues: DEUG – SCiENCES
5.
សសៀវសៅ ១៥ ភាគ សរសរៀនា៉ាម្ទ្យីស និងសដន្ទ្យរណង
់
ី
6.
សសៀវសៅគណិតរបស់ម្កសួងអប់រយុ
ំ វជន និង កឡា
ី
IV
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
ម៉ាទ្រីស ( Matric)
1.
សញ្ញ
ា ណននម៉ាទ្រីស ( Matrices Nation)
1.1. នយ
ិ មន័យ
រ
ម៉ាទ្រីស គជាការររៀបរេខ
ឬចំនន
ួ ជារាងចតុរកាណកែង ឬ ការររៅែនុងសញ្ញ
ា ដរងកៀប
ឺ
ើ ងតាងម៉ាទ្រីសរោ
អែសរធំ
A, B, C,... ។
[]
។
រេខ ឬ ចំនន
ួ កដេរគររៀបរនេះរៅថា ធាតុ
( Entries) ននម៉ាទ្រីសកដេែំណត់តាងធាតុម៉ាទ្រីសរោ
អែសរតូច
a, b, c,...
សទ្មប់តាងឲ្យបរមិ
ណជារេខ ។
ឧទាហរណ៏
រគមនម៉ាទ្រីសេំោប់
ជួរឈររ ី 1 ជួរឈររ ី
2
A 
3
ជារូដៅ
2  3 ( អានថា 2 កខ ែង 3
ជួរឈររ ី
2
3
ជួររដែរ ី 1
7
2 
1
4
) ដូចខាងរទ្កាម ៖
ជួររដែរ ី
2
ម៉ាទ្រីស គជាការររៀបចំ
នន
ួ ជារាងចតុរកាណកែង ឬការរោែ់ែុងសញ្ញ
ន
ា ដរទ្ងៀប
ឺ
រគែំណត់តាងម៉ាទ្រីសរោ
រោ
អែសរតូច
អែសរធំដច
ូ ជា
a, b, c,... ។ ម៉ាទ្រីស A
 a11

 a21
A   a31



 am1
[]។
A , B , C,... និងធាតុននម៉ាទ្រីសតាង
មនេំោប់
m n
ែំណត់រោ
ៈ




m




a12 a13 ... a1n 

a22 a33 ... a2 n 
a32 a33 ... a3n 



am 2 am 3 ... amn 
n
 ម៉ាទ្រីស
n
កដេមន
n
Matrixof Order n )
ជួររដែ និង
រហើ
ធាតុ
n
ជួរឈររៅថា ម៉ាទ្រីសការរេំោប់
a11 , a22 , ...an n
 Main Diagonal Entries  ននម៉ាទ្រីស
 a11

 a21
A   a31



 an1
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
a12
a22
a32
an 2
n (Square
រៅថា ធាតុអងកតទ្់ រូងសំ ខាន់
A ែំណត់រោ
a13 ... a1n 

a33 ... a2 n 
a33 ... a3n 



an 3 ... ann 
ៈ
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
1
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
 ម៉ាទ្រីសការរ កដេមនធាតុទាងអស់
ំ
រសមើសូនយ រេើែកេងកតធាតុអងកតទ្់ រូងសំ ខាន់ រ
ម៉ាទ្រីសអងកតទ្់ រូង
 Diagonal Matrix  ែំណត់រសររសររោ
 a11 0 0 ... 0 


0
a
0
...
0
22



A  0 0 a33 ... 0 




0
0 0 ... amn 


េះរៅថា
ៈ
m
n
1.2. ប្រភេទម៉ាប្ទីស្
ក.
ម៉ាប្ទីស្ស្ូនយ
ម៉ាទ្រីសសូនយ គជាម
៉ា ទ្រីសកដេមនធាតុទាងអស់
ំ
រសមើសូនយ រគែំណត់តាងរោ
ឺ
0 0 
O
 ;
0 0 
ខ.
េំោប់1  2
0 0 0 0
O  0 0 0 0 


0 0 0 0 
េំោប់ 3  1
េំោប់ 3  4
ម៉ាប្ទស្
ី កាភរ
3
A
 4
2
A
 2
ជារូដៅ
9
6 
មន 2 ជួររដែ និង
2 ជួរឈរ រគថាម៉ាទ្រីសការរេំោប់ 2 ។
8 0
មន 2 ជួររដែ និង 3 ជួរឈរ រគថា ម៉ាទ្រីសការរេំោប់ 3 ។
1 3 
ម៉ាទ្រីសការរ ជាម៉ាទ្រីសមនចំនន
ួ ជួររដែរសមើនឹងចំនន
ួ ជួរឈរ តាងរោ
 a11

 a21
A   a31



 an1
គ.
។
0
O  0  ;
 
0
O   0 0 ;
េំោប់ 2  2
O
a12 a13 ... a1n 

a22 a33 ... a2 n 
a32 a33 ... a3n 



an 2 an 3 ... ann 
រៅថា ម៉ាទ្រីសការរេំោប់
ម៉ាប្ទីស្ឯកតា
ម៉ាទ្រីសការរកដេធាតុរៅរេើអងកតទ្់ រូងពិរសស
រសសងររៀតរសមើនឹងសូនយ រៅថា ម៉ាទ្រីសឯែតាតាងរោ
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
n
។
a11  a22  a33  ...  ann  1 រហើ
I
។
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
2
ធាតុ
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
ឧទាហរណៈ ម៉ាទ្រីសខារទ្កាមសុរ ធកតជាម៉ាទ្រីសឯែតា
1
0
េំោប់ 3  3 ; I  
0

0
1 0 0 
1 0 


េំោប់ 2  2 ; I  0 1 0
I 



0 1 
0 0 1 
2.
ទ្រមណវិធីដ
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
 េំោប់ 4  4
0

1
ម
ើ ៉ា ទ្រីស
2.1. ម៉ាប្ទស្
ី ភស្មគ្ន
ើ ា
ម៉ាទ្រីសពីររសមើគ្ននកាេណា ម៉ាទ្រីសទាងព
ំ ី រមនេំោប់ដច
ូ គ្នននិងមនធាតុទ្តូវគ្ននរសមើររៀងគ្នន ។
ឧទាហរណ
រគមនម៉ាទ្រីស
ម៉ាទ្រីស
ម៉ាទ្រីស
2.2
2
A
3
A រសមើម៉ាទ្រីស B កាេណា
A រសមើនឹងម៉ាទ្រីស B
9 0
b11 b12 b13 
, B
 មនេំោប់ 2  3 ដូចគ្នន ។

4 0
b
b
b
 21 22 23 
b11  2; b12  9; b13  0; b21  3; b22  4; b23  0 ។
រគសររសររោ
ៈ
A B
។
វិ ធប
ី ូក នង
ិ វិ ធដ
ី កននម៉ាប្ទស្
ី
និយមន័យ របើ A និង B ជាម៉ាទ្រីសពីរកដេមនេំោប់ដច
ូ គ្នន រ
កដេបានមែរោ
េះសេបូែ
A B
ជាម៉ាទ្រីស
ការបូែនូវធាតុកដេទ្តូវគ្ននែនុងម៉ាទ្រីសទាងព
ំ ី រ ។ ម៉ាទ្រីសកដេ
ិ បូ
មនេំោប់ខស
ុ គ្ននមិនអាចរធែទ្រមណវ
ធ
ើ
ី ែបានររ ។
និយមន័យ របើ A និង B ជាម៉ាទ្រីសពីរកដេមនេំោប់ដច
ូ គ្នន រ
កដេបានមែរោ
េះសេដែ
A B
ជាម៉ាទ្រីស
ការដែនូវធាតុកដេទ្តូវគ្ននែនុងម៉ាទ្រីសទាងព
ំ ី រ ។ ម៉ាទ្រីសកដេមន
ិ ដែបានររ។
េំោប់ខស
ុ គ្ននមនអាចរធែ
ទ្រមណវ
ធ
ិ
ើ
ី
2.3 ផលគុណមួយចំនួនពត
ិ នង
ឹ ម៉ាប្ទស្
ី
ជារូដៅ
របរគមនចំ
នន
ួ ពិត
ើ
នីមួ
របើ
ៗននម៉ាទ្រីស
a b 
A

c d 
A
រ
A នឹងចំនន
ួ ពិត k
។
k
រ
និងម៉ាទ្រីស
េះ
១)
២)
A, B
A k
បានរោ
គុណធាតុ
a b  a b 
 ka kb 
k Ak Ak


k

 

 kc kd 
c d  c d 


 លកខណៈផលបូក ផលដក នង
ិ ផលគុណស្កាលល
របើ
េះម៉ាទ្រីស
និង C ជាម៉ាទ្រីសមនេំោប់
m n
និង
c,d
ស្កកកេរគបានៈ
A  B  B  A េែខណៈទ្តេប់ននសេបូែម៉ាទ្រីស
A  ( B  C )  ( A  B)  C
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
េែខណៈស្ុំននសេបូែម៉ាទ្រីស
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
3
។
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
៣)
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
(cd ) A  c(dA)
េែខណៈស្ុំននសេគុណស្កកកេ
៥)
1 A  A 1  A េែខណៈស្កកកេណឺត
c( A  B)  cA  cB េែខណៈបំបបែននសេគុណស្កកកេចំរ
៦)
(c  d ) A  cA  dA
៤)
ិ បូ
ិ ដែម
េះវធ
៉ា ទ្រីស
ី ែឬវធ
ី
ិ បូ
ិ ដែស្ក
េះវធ
ក កេ
ី ែឬវធ
ី
េែខណៈបំបបែននសេគុណម៉ាទ្រីសចំរ
2.4. វិ ធគ
ី ុណននពរី ម៉ាប្ទស្
ី
និយមន័យ ម៉ាទ្រីសពីរគុណគ្ននបានេុេះទ្តាកត ចំនន
ួ ននជួរឈរម៉ាទ្រីសរមួ
ី
រសមើនឹងចំនន
ួ ធាតុនន
ជួររដែម៉ាទ្រីសរព
ី ីរ ។
ជារូដៅ
របើ
m  n និង B  bi j  ជាម៉ាទ្រីសមនេំោប់
េះសេគុណម៉ាទ្រីស A និង B ែំណត់រោ
A  B មនេំោប់ m  p
A   ai j 
រ
n p
ជាម៉ាទ្រីសមនេំោប់
A  B  aij   bij   cij 
n p  m p
េំោប់ m  n
ជារូដៅ
កដេ
ci j  ai1 b1 j  ai 2b2 j ai 3 b3 j  ...  ai nbn j
របើ
ជាម៉ាទ្រីសេំោប់
A
ជាម៉ាទ្រីស
m  n និង B ជាម៉ាទ្រីសេំោប់ n  p
m  p កដេធាតុរបស់វាែំណត់រោ
 រដម
រៅែនុងជួររដែរ ី i និងជួរឈររ ី
ើ បរែធាតុ
ី
គត់រចញពីម៉ារស
ី
A
។
និងជួររ ី
j
កតមួ
j
រ
េះសេគុណ
AB
ៈ
នន
AB
រ
ើង
គត់រចញពីម៉ាទ្រីស
 គុណធាតុកដេទ្តូវគ្ននពីជួររដែ និងជួរឈររនេះរហើ
B
ែជួររដែរ ី
i
កតមួ
។
បូែេរ ធសេកដេររួេបានរ
េះ
រគសររសរែំណត់រោ
 a11 a12 
 a11 a12  b11 b12 
b11 b12 
A

AB

 , B




b
b
a
a
21
22
 a21 a22 



 21 22  b21 b22 
 a11b11  a12b21 a11b12  a12b22 


 a21b11  a22b21 a21b12  a22 b22 
 លកខណៈផលគុណម៉ាប្ទស្
ី
តាង
i)
A, B
និង C ជាម៉ាទ្រីស និងតាង
A( BC )  ( AB)C
ii) AB  BA
ជាស្កកកេ
េែខណៈស្ុំននសេគុណ
ជាសេគុណគ្នានេែខណៈទ្តេប់
iii) A( B  C )  AB  AC
iv) ( A  B)C  AC  BC
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
c
ិ គុ
េែខណៈបំបបែខាងរវែងននវធ
ី ណចំរ
ិ គុ
េែខណៈបំបបែខាងស្កដ ំននវធ
ី ណចំរ
ិ បូ
េះវធ
ី ែម៉ាទ្រីស
ិ បូ
េះវធ
ី ែម៉ាទ្រីស
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
4
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
c( AB)  (cA) B  A(cB)
v)
vi) I n A  AI n  A
vii) A( B  C )  AB  AC
viii) ( A  B)C  AC  BC
ix) (a  b)C  aC  bC
ិ គុ
េែខណៈបំបបែខាងរវែងននវធ
ី ណចំរ
ិ គុ
េែខណៈបំបបែខាងស្កដ ំននវធ
ី ណចំរ
ិ ដែម
េះវធ
៉ា ទ្រីស
ី
ិ បូ
េះវធ
ី ែម៉ាទ្រីស
x) (a  b)C  aC  bC
xi) a(bC )  (ab)C
3.
រទ្មង់ម៉ាទ្រីសននទ្រព័នធសមីការ
ិ គុ
ទ្រមណវធ
វត្មួ
ី ណម៉ាទ្រីស គជាអនុ
ឺ
ទ្រព័នស
ធ មីការមួ
រោ
កដេមន
m
ដី នទ ៊ែរ  Matrix Form of a Linear System 
ដ ៏សំ ខាន់ចរំ
សមីការេីរនកអ៊ែរ និងមន
េះទ្រព័នស
ធ មីការេីរនកអ៊ែរ ។ ពិនិតយ
n
អញ្ញ
ា តខាងរទ្កាមៈ
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2


am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
ម៉ាទ្រីសពីររសមើគ្នន េុេះទ្តាកតធាតុកដេទ្តូវគ្ននទាងអស់
ំ
របស់វារសមើគ្នន រ
សមីការរៅែនុងទ្រព័នស
ធ មីការរនេះរោ
សមីការម៉ាទ្រីសមួ
េះរ
ួ
ើ ងអាចជំនស
m
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 
 a x  a x  ...  a x  b 
22 2
2n n 
 21 1
 2

  

  
 am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm 
ម៉ាទ្រីស
m  1 រៅខាងរវែងននសមីការម៉ាទ្រីសរនេះអាចសររសរជាសេគុណម៉ាទ្រីសែំណត់រោ
 a11 a12 ...a1n   x1  b1 
a
   
 21 a22 ...a2 n   x2   b2 

   

   
 am1 am 2 ... amn   xn  bm 
តាងម៉ាទ្រីសទាងប
ំ រនេះរោ
ី
សមីការេីរនកអ៊ែរ និងមន
ម៉ាទ្រីស
A
ែនុងសមីការ
m
អែសរ
A , X និង B ររៀងគ្ននរ
n អញ្ញាតទ្តូវជំនស
ួ រោ
រៅថា ម៉ាទ្រីសរមគុណ
េះទ្រព័នស
ធ មីការរដម
ើ កដេមន
សមីការម៉ាទ្រីសមួ
គឺ
m
AX  B (1)
 Coeffficient Matrix  ចំរ
េះទ្រព័នធ
សមការេ
ី
ីរនកអ៊ែរខាងរេើ ។
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
5
ៈ
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
 x1  x2  x3  x4  x5  3
2 x  3x  3x  x  x  0
 1
2
3
4
5
ឧទាហរណ
រគមនទ្រព័នស
ធ មការខាងរទ្កាម
៖ 
ី
 x1  2 x2  5 x3  2 x4  x5  1
3x1  x2  2 x3  3 x4  2 x5  1
 x1 
1
1 1 1
 1
 3
x 
2
 2

 0
 
3
3 1 1
 , X   x3  , b   
រគបាន A  
 1
 1
2  5 2 1 
 
x


 
 4
2  3  2
 3 1
 1
x 
 5
 x1 
1
1 1 1     3
 1
x2
 2
3
3 1 1     0 
  x3    
រគអាចសររសរជា AX  B  
 1
2  5 2 1     1 

 x
 
2  3  2   4   1
 3 1
x 
 5
4.
ម៉ាទ្រីសទ្រង់ស្ ូ ៉ា (Transpose of a Matrix)
និយមន័យ ម៉ាទ្រីស
កដេ
ឧទាហរណ
A   aij 
AT   a ji 
ម៉ាទ្រីស
ជាម៉ាទ្រីសេំោប់
m n
រ
។
េះទ្តង ់សបូ នន
៉ា
 a11 b12 c13 
A   a21 b22 c23   ម៉ាទ្រីសទ្តង ់សបូ នន
A
៉ា
 a31 b32 c33 
គឺ
A ែំណត់រោ
 a11 a21 a31 
AT  b12 b22 b32 
c13 c23 c33 
 េែខណៈម៉ាទ្រីសទ្តង ់សបូ ៉ា
5.
i)
( AT )T  A
ii )
( A  B )T  AT  BT
iii )
( A  B )T  AT  BT
iv)
( AB)T  AT BT
v)
( A)T   AT
ចំរាសននម៉ាទ្រីសកាដរ
និយមន័យ របើ
រ
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
A
កដេ

ជាស្កកកេ
 Inverse of
ជាម៉ាទ្រីសការរមួ
េះរគបានម៉ាទ្រីស
រហើ
Square Matrix 
របើមនម៉ាទ្រីស
A1 ជាម៉ាទ្រីសទ្ាសនន A
A1 កដេ AA1  A1 A  I
។
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
6
AT
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ជារូដៅ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
a b
A
រ
c d 
1 d  b
A1 
ad  bc  c a 
 របើម៉ាទ្រីស
 ែរណីរបើ
ad  bc  0
A គ្នានចំរាសររ
 របើ
ចំរ
និយមន័យ របើ
A
េះរគបាន ចំរាសននម៉ាទ្រីស
របើ
ad  bc  0
ឬមនន័
។
ជាម៉ាទ្រីស
nn
និង
ើ ងរៅគឺ
រ
A1 
A1
ែំណត់រោ
។
ថា រដករមណង
់នន A រសមើសូនយ រ
ី
A1 ជាម៉ាទ្រីសទ្ាសននម៉ាទ្រីស A
េះម៉ាទ្រីសេំោប់បីរ
A
េះរគបាន
េះម៉ាទ្រីស
AA1  A1 A  I
1
adj ( A) , adj  adjoint
det( A)
cij  (1)i  j  M ij
ជា
Cofactor
នន
aij
រ
េះ
c11 c12 c1n 
c c
c2 n 
21
22

ម៉ាទ្រីស
រៅថាម៉ាទ្រីសនន Cofactor នន A ។ ម៉ាទ្រីសទ្តង ់សបូ ៉ា




cn1 cn 2 cnn 
adj ( A) ។
ននម៉ាទ្រីសរនេះ រៅថា adjoint នន A កដេរគតាងរោ
3 2  1 

ឧទាហរណ
រគឲ្យម៉ាទ្រីស A  1
6 3  រ េះម៉ាទ្រីស Cofactor នន A ែំណត់រោ


 2  4 0 
 6 3
1 3
ci j  (1)i  j M ij  c11  (1)11 
 12
, c12  (1)1 2 

6

4
0
2
0




1 6 
 2 1
c13  (1)13 
 16 , c21  (1) 21 

  4
2

4

4
0




 3 1
3 2 
c22  (1) 2 2 
 2 , c23  (1) 23 

  16
2
0
2

4




 2 1
3 1
c31  (1)31 
 12 , c32  (1)3 2 

  10
6
3
1
3




3 2 
c33  (1)33 
  16
1
6


6  16 
12

រគបានម៉ាទ្រីស Cofactor នន A គឺ 4
2 16  ។


12  10 16 
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
7
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
6  16 
12
 12  4 12 
adj ( A)   4 2 16    6 2  10  ។




12  10 16 
 16 16 16 
រដម
៉ា ទ្រីសទ្ាសននម៉ាទ្រីសមនចំរាស់ A រ ើ ងទ្តូវសទ្មួេ A
ើ បរែម
ី
T
រហើ

ិ ជួ
ទ្រមណវធ
ី ររដែ រហើ
េែខណៈរនេះ រ
ប ា ប់មែរ
I
A
នឹងមនរទ្មង ់ៈ
 I A1 


A1
។
រដម
ើ បបំ
ី រពញ
រួចបរងកតម
៉ា ទ្រីសរាងៈ
ើ
A| I
េះម៉ាទ្រីសរនេះរហូ តដេ ់អងគខាងរវែងទ្តូវ
ិ រនេះន
។ ទ្រមណវធ
ខាងស្ក្ ំផ្លាស់ជា
ី
ឹងរធែឲ្យអងគ
ើ
ដូរចែេះ ម៉ាទ្រីសចុងរទ្កា
មនន័
ថា
A1 ។
 A I    I A1 
។
1 2 3 1 0 0  1 0 0 40 16 9 

 

2
5
3
0
1
0

0
1
0
13

5

3

 

1 0 8 0 0 1  0 0 1 5 2 1
ឧទាហរណ
 40 16 9 
A1   13 5 3


 5
2 1
របើ
ទ្រឹសរ
ីត រ
B
និង
។
ជាម៉ាទ្រីសទ្ាសននម៉ាទ្រីស
C
សទ្ម
រោ
B
ជាម៉ាទ្រីសទ្ាសនន
រគបាន
( BA)C  IC  C
ដូរចែេះ
BC
ទ្រឹសរ
ីត រ
រដ ើ មបបាន
ី
I
ើ ងនឹងភ្ជាប់ម៉ាទ្រីសឯែតារៅកសែែខាងស្ក្ ំនន
ិ ជួ
ើ ងនឹងអនុវត្ទ្រមណវធ
ី ររដែចំរ
សទ្មួេរៅជា
ដូរចែេះ
ិ រនេះរេ
អនុវត្នទ្រមណវធ
ី
ើ
រៅជាម៉ាទ្រីសឯែតាតាម
A
រ
េះ
A
រ
េះ
BC
។
បញ្ញ
ា ែ់
BA  I
( BA)C  B( AC )  BI  B (C ជាម៉ាទ្រីសទ្ាសនន A )
របើ
a)
B និង C
។
ម៉ាទ្រីស
ជាម៉ាទ្រីសមនចំរាសកដេមនេំោប់ដច
ូ គ្នន រ
េះរគបាន ៖
AB មនចំរាស
b) ( AB)1  B1 A1
សទ្ម
រ
ើ ងទ្គ្នន់បតបង្ហាញថាៈ
ម៉ាទ្រីស រគបានៈ
រហើ
បញ្ញ
ា ែ់
( AB)( B1 A1 )  ( B1 A1 )( AB)  I
ិ រេ
។ តាមេែខណៈទ្រមណវធ
ី
ើ
( AB)( B1 A1 )  A( BB1) A1  AIA1  AA1  I
( B1 A1 )( AB)  B1( A1 A) B  B 1IB  B 1B  I
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
8
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ដូរចែេះ

ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
។
( AB)( B1 A1 )  ( B1 A1 )( AB)  I
រ
ា ែ់នវូ រូបមន្ដច
ូ ខាងរទ្កាម
ើ ងអាចទាញបញ្ញ
សេគុណននម៉ាទ្រីសទ្ាស ជាម៉ាទ្រីសមនចទ្មសជានិចច រហើ
ម៉ាទ្រីសទ្ាសននម៉ាទ្រីសសេ
គុណជាសេគុណននម៉ាទ្រីសទ្ាសតាមេំោប់ទ្ាស ។

េែខណៈននម៉ាទ្រីសទ្ាស
1)
AB  BA  I n
2)
AA1  I n , A1 A  I n
3)
( A1 ) 1  A
4)
AB  I n
5)
( AB) 1  B 1 A1
6)
A1 ( AB)  B
របើ B និង C ជាម៉ាទ្រីសទ្ាសនន A
7)
6.
រ
េះ
B  A1
រ
េះ
BC
ម៉ាទ្រីសសវយ
័ គុណ ( Power of a Matrix)
និយមន័យ
 របើ
និង
 របើ
A
ជាម៉ាទ្រីសមនការរ រ
េះរគែំណត់ស ែ័
An  AA........ A , (n  0)
ិ មននន
គុណចំនន
ួ គត់វជា
A
រោ
A0  1
។
n time
A
មនចទ្មសែំណត់ស ែ័
ិ មននន
គុណចំនន
ួ គត់អវជា
A n  ( A1 )n  A1 A1... A1 A1
A
រោ
។
n time
ក្ខណៈ
របើម៉ាទ្រីស
a)
b)
c)
7.
A
មនចទ្មស រ
A1 មនចទ្មស រហើ
េះរគបាន
( A1 )1  A
An មនចទ្មស រហើ
ចំរ
េះស្កគកេ
( An )1  ( A1 )n , n  0, 1 ,2 ,...
1
k  0 , kA មនចទ្មស រហើ (kA)1  A1
k
ក្ខណៈននម៉ាទ្រីសទ្រង់ស្ ូ ៉ា (Property of Transpose' s Matrix)
ទ្រឹសរ
ីត រ
ិ បាន
របេំ
ធ
រ
ើ ោប់ននម៉ាទ្រីសជាេំោប់បដេអាចរធែទ្រមណវ
ើ
ី
េះេែខណៈខាងរទ្កាម
រនេះរសាៀងផ្លាត់ ៖
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
9
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
8.
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
a)
( AT )T  A
b)
c)
( A  B)T  AT  BT
(kA)T  kAT កដេ k
d)
( AB)T  BT AT
ម៉ាទ្រីសសុដី មទ្រី
ជាស្កកកេ
 Symmetric Matrix 
 ម៉ាទ្រីសសុដី មទ្រី ម៉ាទ្រីសសុីរមទ្រីគជាម
៉ា ទ្រីសការរកដេមនធាតុសី រមទ្រី
ុ
រធៀបនឹងអងកតទ្់ រូង
ឺ
រមរសមើគ្នន ។ រ
ចំរ
ើ ងរ្ូរពីជួររដែរៅជាជួរឈរននម៉ាទ្រីស
 a11 a12 a13 
 a11
A   a21 a22 a23   AT   a12
a a

a
 31 32 a33 
 13
T
េះម៉ាទ្រីសសុីរមទ្រីរគបាន A  A ។
A រ េះរគបានៈ
a12 a31 
a22 a32 
a23 a33 
 ម៉ាទ្រីសទ្ាសសុដី មទ្រី ម៉ាទ្រីស A ជាម៉ាទ្រីសទ្ាសសុីរមទ្រីកាេណា
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
AT   A
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
10
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
ដេទរមីណង់
1.
( Determinant )
នុគមន៏ដេទរមីណង់
រ
និង
ំ
ើ ងនឹងសិែានូវអនុគមន ៏ទាងឡា
f ( x)  sin x
រហតុថា
ណាកដេមនរទ្មង ់ដូចគ្នននឹងអនុគមន ៏
កដេែំណត់បាននូវចំនន
ួ ពិត
ួ ពិត
x និង f ( x) មនតនមាជាចំនន
ពិតននអរេរពិតមួ
ម៉ាទ្រីសមួ
។
មនន័
f ( x)
មួ
ចំរ
នឹង
អនុគមន ៏បដករមណង
់ កដេជាអនុគមន ៏
ី
ថា វានឹងែំណត់បាននូវតនមាពិតនន
និយមន័យ
ំឲ្យរ
A
េះតនមាននអរេរពិត
x
ដូរចែេះ អនុគមន ៏បបបរនេះរគរៅថា អនុគមន ៏
f ( x)
។ រោ
ែ តនមា
ែតនមាពិតននអរេរមនរាងជា
តាមតនមាននម៉ាទ្រីស
អនុគមន ៏រដករមណងរនេះ
និងស្េ ់ស្ករៈសំ ខាន់សទ្មប់អនុវត្ចរំ
ី
កអ៊ែរ រហើ
f ( x)  x 2
X
។ ការសិែា
េះទ្រឹសី បរននទ្រព័
្
នស
ធ មីការេីរន-
។
ើ ងអាចទាញបាននូវរូបមន្ចទ្មសននម៉ាទ្រីសកដេអាចរធែចទ្មសបាន
ើ
ជាម៉ាទ្រីសការរមួ
។ អនុគមន ៏រដករមណង
់តាងរោ
ី
det រហើ
រ
ើ ងអាចតាង
ំ ូងកដេមនសញ្ញ
det( A) គជាសេបូ
ែននទ្គប់សេគុណដប
ា ទាងអស់
ំ
ននម៉ាទ្រីស A ។
ឺ
េរ ធសេនន
2.
ដេទរមីណង់
det( A) រនេះរៅថា រដករមណង
់នន A
ី
ដា
ំ រ់
2
របរគមនម
៉ា ទ្រីសេំោប់
ើ
េំោប់
ដូរចែេះ
3.
2
ននម៉ាទ្រីស
A
det A  A 
2
កដេ
a b 
A

c d 
។ រគែំណត់សររសររោ
ៈ
det( A)
ឬ
A
់
ad  cb រៅថារដករមណង
ី
ឬ
a b
c d
។
ដា
ំ រ់ 3
3.1 គណនាភដលទមណ
ស្ករុស្
ី ង់លំដាប់ 3 តាមកបនរបស្់
ួ
 a1
A េំោប់3 កដេ A   a2
 a3
  
a1 b1
det( A)  a2 b2
a3 b3
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
។ ែរនាម
a b
 ad  bc
c d
ដេទរមីណង់
រគមនម៉ាទ្រីស
។
b1
b2
b3
c1 
c2  ។ រដករមីណង ់នន A ែំណត់រោ

c3 
c1 a1 b1
c2 a2 b2  a1b2c3  b1c2a3  c1a2b3  a3b2c1  b3c2a1  c3a2b1
c3 a3 b3
  
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
11
។
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
3.2 គណនាភដលទមណ
ី ង់លំដាប់ 3 តាមមន
ី ័រ
រគមន
a1 b1
a2 b2
a3 b3
c1
c2  a1b2c3  b1c2 a3  c1a2b3  a3b2c1  b3c2 a1  c3a2b1
c3
a1 b1 c1
រគអាចសររសរ a2 b2 c2  (a1b2c3  a1c2b3 )  (b1a2c3  b1c2 a3 )  (c1a2b3  c1b2 a3 )
a3 b3 c3  a1 (b2c3  c2b3 )  b1 (a2c3  c2 a3 )  c1 (a2b3  b2 a3 )
a1 b1 c1
b c
a c
a b
a2 b2 c2  a1 2 2  b1 2 2  c1 2 2 ។
ដូរចែេះ
b3 c3
a3 c3
a3 b3
a3 b3 c3
រគរៅថាព ា តមីន័រតាមជួររដែរ ី 1 រទ្
មន័
ី រននធាតុ
a1 ,
a2 c2
a3 c3
េះ
មន័
ី រននធាតុ
a1 , b1 , c1
b1 ,
a2 b2
a3 b3
ជាធាតុសិ តរៅជួ
ថ
ររដែរ ី
មីន័រននធាតុ
 មន័
ី រននធាតុ a1 បានពីការេុបជួរឈរ និងជួររដែកដេមនធាតុ
 មន័
ី រននធាតុ b1 បានពីការេុបជួរឈរ និងជួររដែកដេមនធាតុ
 មន័
ី រននធាតុ c1 បានពីការេុបជួរឈរ និងជួររដែកដេមនធាតុ
ចំណ ំ
ែនុងការគណ
មនសញ្ញ
ា

1 , 1  1  2 គូរ , b1
1
4.
និងជួរឈររ ី
ៗអាស្ស័
រទ្
េះ
ជាធាតុរៅជួររដែរ ី 1 និងជួរឈររ ី
មនសញ្ញ
ា
2 , 1 2  3
ដដាោះទ្ាយទ្រព័នធសមីការ
4.1 ទប្មងម
់ ៉ា ប្ទីស្ននប្រព័នធស្មកា
ី រលភី នល ៊ែរ
 រទ្
ទ្រព័នស
ធ មការេ
ី
ីបនកអ៊ែរកដេមន
m
េះ
រសស ។
b1
b2
b3
b1
b2
b3
b1
b2
b3
b1
ជាធាតុរៅជួររដែរ ី
c1
c2
c3
c1
c2
c3
c1
c2
c3
ែ ៏បានប៉ាុកន្
   
  


    
ដី នទ ៊ែរ
ិ គុ
ទ្រមណវធ
វត្មួ
ី ណម៉ាទ្រីស គជាអនុ
ឺ
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
a1
a1 a2
a3
a1
b1 a2
a3
a1
c1 a2
a3
នឹងេំោប់របដេធាតុ
សិ តរៅដូ
ថ
ចជា ៖
ី
a1
b2 c2
b3 c3
។
រដករមណង
់េំោប់តាមមន័
ី
ី រ រគអាចព ា តតាមជួរណាមួ
សញ្ញ
ា ននតនមានីមួ
c1
c1
1
ដ ៏សំ ខាន់ចរំ
េះទ្រព័នស
ធ មីការេីបនកអ៊ែរ ។ ពិនិតយ
សមការេ
ី
ីរនកអ៊ែរនិងមន
n
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
12
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
អញ្ញ
ា តខាងកដេមនរាង
រោ
 a11 x1 a12 x2
a x a x
 21 1
22 2


am1 x1 am 2 x2
a1n xn  b1
a2 n xn  b2
amn xn  bm
ម៉ាទ្រីសពីររសមើគ្ននេុេះទ្តាកត ធាតុកដេទ្តូវគ្ននទាងអស់
ំ
របស់វារសមើគ្នន រ
សមីការរៅែនុងទ្រព័នស
ធ មីការរនេះរោ
សមីការម៉ាទ្រីសមួ
 a11 x1  a12 x2  a1n xn
a x  a x  a x
2n n
 21 1 22 2


 am1 x1  am 2 x2  amn xn
េះរ
ៈ
ួ
ើ ងអាចជំនស
m
 b1 
 b 
   2
  
  
 bn 
ម៉ាទ្រីស m 1 រៅអងគខាងរវែងននសមីការម៉ាទ្រីសរនេះអាចសររសរជាសេគុណម៉ាទ្រីសែំណត់រោ
 a11 a12 a1n
a
 21 a22 a2 n


 am1 am 2 amn
របើរ
m
ំ ីរនេះរោ
ើ ងតាងម៉ាទ្រីសទាងប
សមការេ
ី
ីរនកអ៊ែរនិងមន
4.2
AX  B
សមការមនចរមា
ី
ើ
A, X
និង
អញ្ញ
ា តទ្តូវជំនស
ួ រោ
ភដាោះប្ស្កយប្រព័នស្
ធ មកា
ី រតាមប្កាម័រ
របើ
B
កតមួ
ររៀងគ្ននរ
សមីការមួ
 Cramer Rule 
ជាទ្រព័នស
ធ មីការេីរនកអ៊ែរកដេមន
គត់គ៖ឺ
x1 
កដេ
n
អែសរ
  x1  b1 
  x  b 
 2   2
   
   
  xn  bn 
ឧទាហរណ៏
រោេះស្ស្ក
រគបាន
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
គៈឺ
AX  B
។
n អញ្ញាតិ កដេ det( A)  0 រ
េះទ្រព័នធ
det( A1 )
det( A2 )
det( An )
, x2 
, ....., x2 
det( A)
det( A)
det( A)
ួ ធាតុរៅែនុងជួររ ី j
A j ជាម៉ាទ្រីសកដេបានមែពីការជំនស
កដេម៉ាទ្រីស B ែំណត់រោ
េះទ្រព័នស
ធ មីការរដម
ើ កដេមន
ននម៉ាទ្រីស
A រោ
ម៉ាទ្រីស
B។
b1 
b 
B   2
 
 
bn 
3x  2 y  2 z  2

2 x  3 y  z  2
x  y  z  0

ិ ទ្កាម័
ទ្រព័នស
ធ មការតាមវ
ធ
រ
ី
ី
3 2 2
D  2 3 1  4
1 1 1
,
2
2 2
Dx  2 3 1  8
0
1 1
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
13
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
3 2 2
3 2 2
Dy  2 2 1  4
, Dz  2 3 2  12
1 0 1
1 1 0
D
D
D
x  x  2 , y  y 1 , z  z  3
D
D
D
រគបាន
ដូចរនេះ
4.3
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
ចរមាើ
ននទ្រព័នស
ធ មីការគឺ
ភដាោះប្ស្កយប្រព័នស្
ធ មីការតាម
រោេះស្ស្ក
x  2 , y 1 , z  3
។
(Guass  Jordan)
ិ ី
ទ្រព័នស
ធ មការខាងរទ្កាមតាមវ
ធ
ី
(Guass  Jordan)
3x  2 y  2 z  2

2 x  3 y  z  2
x  y  z  0

រគបាន
3 2

 2 3
1 1
1 1

 2 3
 3 2
2 2  R1  R3

1 2 
1 0 
1 0 

1 2  R1  R2  2R1
2 2  R3  R3  3R1
1 1 1 0 


1
0

5
1

2
R


R2

 2
5
0 1 1 2 
1 1
1 0  R1  R1  R2


0
1

1
5
2
5


0 1 1 2  R  R  R
3
3
2
1

0
0
1

0
0
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
0 4 5 2 5

1 1 5 2 5 
5
0 4 5 12 5  R3  R3
4 4
0 4 5 2 5 R1  R1  R3
5

1 1 5 2 5  R2  R2  1 R3
5
0
1
3 
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
14
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
1 0 0 2 


0
1
0
1


0 0 1 3 
ដូរចែេះ
ទ្រព័នស
ធ មការមនចរមា
ី
ើ
ៈ
x  2 , y 1 , z  3
4.4 ភដាោះប្ស្កយប្រព័នស្
ធ មីការតាមចប្មស្ននម៉ាប្ទស្
ី
របើ
A ជាម៉ាទ្រីសកដេមនចទ្មស រ
A1 
ឧទាហរណ៏
រោេះស្ស្ក
។
េះម៉ាទ្រីសទ្ាសនន
1
adj ( A)
det( A)
A តាងរោ
A1 ែំណត់រោ
។
ិ ម
ទ្រព័នស
ធ មការតាមវ
ធ
ី
ី ៉ា ទ្រីសទ្ាស
( InverseMatrix)
3x  2 y  2 z  2

2 x  3 y  z  2
x  y  z  0

តាង
 3 2 2 
 2
x 




A  2 3 1 , B  2 , X   y 


 
 
1 1 1
 0 
 z 
ទ្រព័នស
ធ មការអាចសររសរបានជារាង
ី
តាមរូបមន្

តាម
1
adj ( A)
det( A)
cofuctor
A1 
AX  B  X  A1B
រោ
det( A)  4
c11 
3 1
2 1
 4 , c12  
 1 , c13 
1 1
1 1
c21  
2 2
3 2
3 2
 0 , c22 
 1 , c23  
 1
1 1
1 1
1 1
2 2
3 2
 8 , c32  
 1 , c33 
3 1
2 1
5 
4 1
 cof ( A)   0 1 1 


 8 1 13
c31 
2 3
5
1 1
3 2
 13
2 3
5   4 0 8
4 1
T

 adj ( A)   (cof )  0 1 1   1 1 1

 

 8 1 13 5 1 0 
T
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
15
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
រគបាន
 4 1 8   2 
2  x 
1
X  A1B  1 1 1  2   X  1    y 
 
   
4
 5 1 0  0 
3   z 
ដូរចែេះ ទ្រព័នស
ធ មីការមនគូរចរមាើ
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
មនចំរេើ
x  2 , y  1, z  3
។
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
16
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
17
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
១.
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
រគឲ្យម៉ាទ្រីស
 3 0
 1 5 2
 6 1 3
4

1
1
4
2




A   1 2 ; B  
; C
; D   1 0 1  ; E   1 1 2 








0 2
3 1 5


 1 1 
 3 2 4 
 4 1 3 
គណ
២.
ែ.
DE
ខ.
ច.
4E  2D
វ.
រោេះស្ស្ក
ែ.
គ.
ង.
៣.
ែរនាមខាងរទ្កាមរបអាចរធែ
បានៈ
ើ
ើ
DE
3 D  2 E 
គ.
ឃ.
5A
ជ.
A  A។
ទ្រព័នស
ធ មការេ
ី
ីរនកអ៊ែរខាងរទ្កាមតាមរូបមនដទ្កាម័រ
7C
ខ.
 x  17 y  18 z  2

19 x  18 y  z  0
x  3y  2z  2

x  3y  2z  2

 x  4 y  3z  3
2 x  7 y  6 z  8

x  y  z  4

ឃ.  x  2 y  z  5
 x  y  1

2 x  6 y  4 z  1

ច.  x  3 y  2 z  4
2 x  y  3z  7

ទ្រព័នស
ធ មការខាងរទ្កាមតាមរូ
បមនដ
ី
4 x  3 y  2

3x  4 y  5
Guass  Jordan
 x  2 y  3z  1

ខ.  2 x  y  z  6
 x  3 y  2 z  13

x  y  z  1

ឃ.  x  2 y  2 z  0
2 x  3 y  z  5

ែ.
2 x  3 y  5

3x  2 y  12
គ.
 x  2 y  3z  1

 x  y  7 z  4
2 x  4 y  9 z  9

ង.
2 x  y  z  0

x  2 y  2z  0
x  y  z  0

ច.
វ.
2sin   cos   3tan   3

4sin   2cos   2 tan   2
6sin   3cos   tan   9

0    2

0    2
0    2

ជ.
 x2  y 2  z 2  6
 2
2
2
x  y  2z  2
 2
2
2
2 x  y  z  3
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
3B  C
 Gramer ' s Rule 
3x  y  1

x  2 y  0
រោេះស្ស្ក
ង.
កដេ
a  2b  c  3d  2
3a  b  2c  d  6


a  b  3c  2d  3
2a  2b  3c  d  9
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
18
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
៤.
ែំណត់តនមា
a
មនអស់
ិ
៥.
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
រដម
នស
ធ មីការគ្នានចរមាើ
ើ បឲ្យទ្រព័
ី
៧.
2 x1  3x2  5 x3  7

 9 x1  x2  x3  1
 x  5x  4 x  0
2
3
 1
ខ.
 3 1 2   x1   2 
 4 3 7   x    1

 2  
 2 1 5   x3   4 
ខ.
 3
 5

 3

 2
2
0
1
5
0
2
4
1
ៗខាងរទ្កាមៈ
1   w  0 
2   x  0 
    
7   y  0
   
6   z  0
រគឲ្យម៉ាទ្រីស
 a11 a12
a
a22
A   21


 am1 am 2
ែ. គណ
a1n 
 d1 0

0 d
a2 n
2
 ; D




amn 
0 0
DA និង AE
ខ. ែំណត់ជរួ រដែនន
DA និងជួរឈរនន AE
គុណរេើម៉ាទ្រីសអងកតទ្់ រូងមួ
គ. គណ
AB
និង
BA រោ
 2 1 5 
A   3 0 2


 7 1 5 
៨.
រាប់
 3x3  x4  1
4 x1
5 x  x
 8 x4  3
 1 2

2 x1  5 x2  9 x3  x4  0

3x2  x3  7 x4  2
សររសរសមីការម៉ាទ្រីស ជាទ្រព័នស
ធ មីការេីរនកអ៊ែរែនុងែរណីនីមួ
ែ.
គត់ និងមនចរមាើ
ធ មីការេីរនកអ៊ែរខាងរទ្កាមជាសមការម
៉ា ទ្រីស
, X និង B កដេសររសរទ្រព័នស
ី
AX  B
៦
កតមួ
 x  2 y  3z  4

3x  y  5 z  2

2
4 x  y  (a  14) z  a  2
រែម៉ាទ្រីស A
ែ.
, មនចរមាើ
រោេះស្ស្ក
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
និង
។
0
e1 0

0 e
0
2
 ; E




dm 
0 0
0
0



en 
ិ
ិ ី
រួចទាញរែវធានព
ធ
ី រយ៉ាងសទ្មប់រធែទ្រមណវ
ើ
ិ
រទ្រីវធានកដេបានរៅែន
ុងសំ ណួរ ខ កដេ
4 0 0 
B  0 1 0 


 0 0 3
សមការម
៉ា ទ្រីសរែ
ី
a, b, c
និង
d
របើ
b  c  8 1 
 a b
3d  c 2a  4d   7 6 

 

គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
។
19
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
៩.
១០.
គណ
ែ.
ឃ.
1
2

0

7
0
7
6
3
0 3
0 6

3 0

1 5
ខ.
 3 17 4 
0 5
1


0 0
2 
គ.
 1 3 0 
 1 4 1 


 5 2 2 
ង.
 2 7 6 
 5 1 2 


 3 8 4 
ច.
5 
a  3
 3 a  2


 5 0 2 
A   6 1 2


 2 3 1 
 5 6 2 

1 3
រគមនម៉ាទ្រីសពីរគឺ
និង B  0


 2 2 1 
ចូរគណ រដករមីណង ់ននម៉ាទ្រីសទាងព
ំ ី រតាម Cofactor ែនុងែរណីខាងរទ្កាម៖
ជួររដែរ១
ី
ខ.
ជួរឈររ១
ី
រគមនម៉ាទ្រីសបដូ
ី ចខាងរទ្កាម ៖
 2 4 
A  1 3 


 6 3
ែ.
,
 7 3 2
B   1 2 3 


 1 6 5 
ចូរទ្តង ់សបូ ននម
៉ា
៉ា ទ្រីសទាងប
ំ រនេះ
។
ី
ខ.
១២.
រដករមណង
់បនម៉ាទ្រីសខាងរទ្កាម៖
ី
 3 5
 2 4 


ែ.
១១.
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
បង្ហាញថា
រគឲ្យម៉ាទ្រីស
រទ្កាម
A
a
A  d

 g
det ( B)  det ( BT )
មនេំោប់
b
e
h
c
f

i 
,
 2 1 3 
C  1 2 4 


 5 3 6 
det (C )  det (CT )
និង
3  3 កដេ det( A)  7 ,
កដេម៉ាទ្រីស
A
ែំណត់ដច
ូ ខាង
។
ចូរគណ
ែ.
a) det (3 A) , b) 3det ( A) , c) det (2 A1) , d ) det ((2 A)1 )
ខ. រធែការសនន
ើ
ិោានចំរ
១៣.
រគឲ្យម៉ាទ្រីស
ែ.
គណ
ខ.
គណ
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
េះ
a)
និង
b)
រួចចំរ
េះ
c ) និង d )
 1 2 3 
A   6 7 1 ។


 3 1 4 
ំ
នន A
Minors ទាងអស់
Cofactors
ទាងអស់
ំ
នន
A
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
20
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
១៤.
១៥.
១៦.
១៧.
1
2
E
1

1
1
2
1
 ។ ចូរគណ
រគឲ្យម៉ាទ្រីស
adj  E  និង E ។
9

2
 2 1 1 

1 3 ។ គណ det( F ) និង det( F 1 ) ។
រគឲ្យម៉ាទ្រីស F  4


 2 1 3 
0
1 0 0
0  0
0
2

 ,   0 , i  1,2,..., n
ចូររែ adj  A រោ ដង
ឹ ថា A 




n 
 0 0 0
រែតនមា
ែ.
១៨.
១៩.

រដម
ើ បឲ្យ
ី
3
5
3
3
1
2
8
2
det  A  0
1 
  2
A

 5   4 
ខ.
0 
  2 0
A 0

2 


 0
3   1
 3 1 2

1 1  ចូរបង្ហាញថា adj  A. A   det  A .I
រគមនម៉ាទ្រីស A  0




1
1
0

 cos sin 0 


បង្ហាញថាម៉ាទ្រីស A   sin cos 0 មនចទ្មសចំរ េះទ្គប់តនមា 


 0
0
1 
A1 រោ
រួចគណ
២០.
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
រោ
រទ្រីរប
ូ មន្
ិ
រទ្រីវធានទ្កាម័
រ ចូររែមុំ
A1 
 ,  ,
1
adj  A
det( A)
កដេ
។
។
។
0    2 ,0    2 ,0    2
ននទ្រពនធស
័ មការខាងរទ្កាម
៖
ី
 2sin  cos   3tan  3

4sin  2cos   2tan  2
 6sin  3cos   tan  9

២១.
ចំរ
េះទ្តីរកាណែនុងរូបរោ
bcos  c cos  a

 c cos  acos  b
 acos  bcos  c

a)
b)
រទ្រីទ្តីរកាណមទ្តចូរបង្ហាញថា៖
រោ
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
ិ
រទ្រីវធានទ្កាម័
រ បង្ហាញថា

a
b
b2  c 2  a 2
cos  
2bc


c
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
21
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
រួចទាញរែរូបមន្ចរំ
២២. ចូរែំណត់តនមា
និង ចរមាើ
២៣.
k
េះ
cos
និង
cos
ិ
រទ្រីវធានទ្កាម័
រ ។
រោ
រដម
នស
ធ មីការខាងរទ្កាមមន ចរមាើ
ើ បឲ្យទ្រព័
ី
រាប់មិនអស់
ែ.
x  y  z  1

2 x  3 y  kz  3
 x  ky  3z  2

a)
បង្ហាញថា ចំរ
A
និង
គត់ , គ្នានចរមាើ
 3z  3
x

2 x  ky  z  2
 x  2 y  kz  1

ខ.
េះម៉ាទ្រីសការរ
កតមួ
រគបានសមភ្ជព
B
( A  B)2  A2  2 AB  B 2 េុេះទ្តាកត AB  BA ។
b)
២៤.
A2  4 A  I
បង្ហាញថា
រសាៀងផ្លាត់សមីការចុងរទ្កា
រហើ
ទាញរែ
រនេះរៅនឹងការគណ
រោ
ចូរពិនិតយរមេម
៉ា ទ្រីសខាងរទ្កាមៈ
ើ
1 2 1 
2 3 1
1




A  3 1 4 , B  3 1 4 , C  7





 2 3 1 
1 2 1 
 2
ចូររែម៉ាទ្រីសង្ហ ៗ E1 , E2 , E3 និង E4 កដេ E1 A  B
រែម៉ាទ្រីសទ្ាសនន
២៥.
រគមនម៉ាទ្រីស
រួចបង្ហាញថា
E1 , E2 , E3
រែម៉ាទ្រីសកដេមនេំោប់
២៧.
រគមនសែុីត
Fibonacci
ចូររែតនមា
b)
តាង
ចំរ
c)
គណ
0 1 0 
A  1 0 1 


0 1 0 
។ ទាញរចញពីសមីការរនេះ ថា
២៦.
2 2 , A
ែំណត់រោ
f 2 , f3 ,..., f10
មួ
រំ
កដេ
ែ់
។
2 1
7 6 ។

3 1 
, E2 B  A , E3 A  C , E4C  A
។ គណ
A
A2 រហើ
A3
គ្នានចទ្មស ។
A2  O22
ប៉ាុកន្
A  022
A5 X1  X 6
េះ
ររ ។
n  1 ។ បង្ហាញថា AX n  X n1
រដម
ើ បរែ
ី
a)
។
f6
។ ចូររសាៀងផ្លាត់ចរមាើ
 1 2
A ជាម៉ាទ្រីសការរេំោប់ 3  2 កដេែំណត់រោ A   3 4 
រគរអា
 1 4 
ចូររែទ្គប់ម៉ាទ្រីស B កដេ BA  I , I ជាម៉ាទ្រីសការរេំោប់ 2 ។
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
នឹង
។
រៅនឹងេរ ធសេរបស់អនែរៅែនុងេំហាត់
២៨.
A4
f0  1, f1  1, f n1  f n  f n1 កដេ n  1 ។
 f n1 
0 1
រហើ
A
Xn  
 ចំរ

1
1
f


 n
n
េះ n  1 និង បង្ហាញថា A X1  X n1 ។
A2 , A3 , A5 រហើ
ផ្លាេ ់នន
E4 ។
A េំោប់ 3  3 កដេ
A3  2 A
a)
និង
។
A4  56 A  15I
របស់អនែ
។
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
22
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
២៩.
រគរអា
រ
៣០.
ើ ងរៅថា
និង
I
គណ
A2
b)
គណ
A2  2aA  a 2
c)
ចូរសររសរ
រគមនម៉ាទ្រីស
A
A
មនរទ្មង ់
A
បង្ហាញថាសំ ណុំេែខណៈ
(1)
A
ឧបមថា
រ
េះ គឺ
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
b
។ គណ
និង
(2)
b 
a

0 
M
X
មួ
កដេ
។
។
ជាអនុគមននន
n
(
n
ជា
ា សមគេ ់
ើ ងរៅសញ្ញ
កដេរសាៀងផ្លាត់ រំ
ែ់រន
ំ ង
(3) : X T AX  AT
។
2  2 កដេរសាៀងផ្លាត់ A2  A ។
a, b, c 
។
N  ( I  M )1 ( I  M )
N 1  N T
An
សមមូេនឹងេែខណៈ
ជាចំនន
ួ ពិតមិនសូនយ ។ បង្ហាញថាម៉ាទ្រីស
ម៉ាទ្រីសទ្ាស ។
c)
និង
កដេជាម៉ាទ្រីសការរេំោប់
c
0

0
ពិនិតយម៉ាទ្រីស M  c

 b a
3
a ) រែរំ ែ់រន
ំ ងរវាង M និង

a, I
។ ឧបមម៉ាទ្រីស
។
តាង
។
a, b
0 0
J 

0 0
 m, n  មនរមគុណជាចំននួ ពិត ។ រ
(1)
 AXA  A

T
( XA)  XA (2)
ិ
ម៉ាទ្រីស X
a ) រែវមទ្តរបស់
b)
រហើ
។
ជាអនុគមន នន
ជាម៉ាទ្រីសទ្តង ់សបូនន
រែទ្គប់ម៉ាទ្រីស
0
a 
។
ចំនន
ួ គត់ធមាជាតិ ) ។
b)
៣២.
a
2  2 កដេ A  
b
1 0 
J ជាម៉ាទ្រីសកដេ I  
 និង
0
1


ជាម៉ាទ្រីសការរេំោប់
A
a)
AT
៣១.
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
។
 I  M  និង  I  M  មន
។ បង្ហាញថា
N
មនចទ្មសរហើ
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
ចទ្មស
23
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
24
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
១.
គណ
រ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
ែរនាមខាងរទ្កាមរបអាចរធែ
បានៈ
ើ
ើ
ើ ងមន
 3 0
 4 1
A   1 2 ; B  
;


0 2 

 1 1 
 1 5 2  6

 
ែ. A  D  1 0 1  1

 
 3 2 4   4
 1 5 2
6 1
1 4 2 


C
; D  1 0 1 ; E   1 1




3 1 5 
 3 2 4 
 4 1
1 3   1  6 5  1 2  3  7 6 5 
1 2    1  1 0  1 1  2    2 1 3 
 
 

1 3   3  4 2  1 4  3  7 3 7 
5  1 2  3  5 4
 1 5 2  6 1 3  1  6

 
 
 
1
ខ. D  E  1 0 1  1 1 2  1   1 0  1 1  2  0

 
 
 
 3 2 4  4 1 3   3  4
2  1 4  3  1 1
 3 0   5  3 5  0  15 0 

 
 

គ. 5 A  5 1 2  5   1 5  2  5 10

 
 

 1 1   5  1
5  1   5
5 
1 4 2  7  1 7  4 7  2   7 28 14 
ឃ. 7C  7 
   7  3 7  1 7  5    21 7 35 
3
1
5

 
 

ង.
ច.
វ.
ជ.
2B  C
មនអាចែំ
ណត់បាន
ិ
6
4 E  2 D  4  1

 4
 22
  2
10
1
1
1
6
4
0
3
 1 5 2  24 4 12   2 10 4 

2  2  1 0 1    4 4 8    2 0 2 


 
 

 3 2 4 16 4 12   6 4 8 
3
8
6 
4 
 1 5 2
 6 1 3
3 D  2 E   3D  6 E  3  1 0 1   6  1 1 2 




 3 2 4 
 4 1 3 
 3 15 6   36 6 18  39 21 24 
 3
0
3    6 6 12    9
6 15

 
 

 9 6 12   24 6 18  33 12 30 
 3 0   3 0  0 0
A  A   1 2    1 2   0 0 

 
 

 1 1   1 1  0 0 
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
25
3
2

3 
1
1

1 
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
២.
រោេះស្ស្ក
ែ.
ដូចរនេះ
ខ.
ទ្រព័នស
ធ មការេ
ី
ីរនកអ៊ែរខាងរទ្កាមតាមរូបមនដទ្កាមម័រ
3x  y  1

x  2 y  0
Dy 
ំឲ្យ
ដូចរនេះ
រគបាន
D
3 1
 6  (1)  7
1 2
3 1
ំឲ្យ
 0  1  1
1 0
2
1
x  , y  ជាគូចរមាើ
7
7
4 x  3 y  2

3x  4 y  5
Dx 
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
រគបាន
D
x
,
 Gramer’s Rule 
Dx 
1 1
202
0 2
D
Dx 2
1
 , y y 
D 7
D
7
ននទ្រព័នស
ធ មីការ ។
4 3
 16  (9)  25
3 4
2 3
4 2
 8  (15)  23 , Dy 
 20  6  14
5 4
3 5
D 14
D 23
x x 
, y y 
D 25
D 25
23
14
ធ មីការ ។
x
, y  ជាគូចរមាើ ននទ្រព័នស
25
25
 x  17 y  18 z  2

គ. 19 x  18 y  z  0 \
x  3y  2z  2

1 17 18
D  19 18 1  36  17  1026  (324)  646  (3)  760
រគបាន
1
3 2
2 17 18
Dx  0 18 1  72  34  0  (648)  0  (6)  760
2 3 2
1 2 18
Dy  19 0 1  0  (2)  684  0  (76)  (2)  760
1 2 2
1 17 2
Dz  19 18 0  36  0  114  (36)  (646)  0  760
1
3 2
D
Dx 760
760
D 760

 1, y  y 
 1, z  z 
1
ំឲ្យ x 
D 760
D 760
D 760
ដូចរនេះ
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
x  1, y  1, z  1 ជាចរមាើ
ននទ្រព័នស
ធ មីការេីរនកអ៊ែរ ។
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
26
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
1 1 1
x  y  z  4

2 1  0  1  (1)  2  0  (1)  1
ឃ.  x  2 y  z  5 រគបាន D  1
 x  y  1
1 1 0

4 1 1
Dx  5 2 1  0  (1)  (5)  (2)  0  (4)  0
1 1 0
1 4 1
Dy  1 5 1  0  4  (1)  5  0  (1)  1
1 1 0
1 1 4
Dz  1 2 5  2  5  (4)  8  (1)  (5)  3
1 1 1
D
Dx 0
1
D 3
ំឲ្យ x 

 0, y  y 
 1, z  z 
3
D 1
D 1
D 1
ដូចរនេះ
x  0, y  1, z  3
ជាចរមាើ
ននទ្រព័នស
ធ មីការេីរនកអ៊ែរ ។
1 3 2
x  3y  2z  2

ង.  x  4 y  3 z  3
រគបាន D  1 4 3  24  18  14  16  18  21  1
2 x  7 y  6 z  8
2 7 6

2 3 2
Dx  3 4 3  48  72  42  64  54  42  2
8 7 6
1 2 2
Dy  1 3 3  18  12  16  12  12  24  2
2 8 6
1 3 2
Dz  1 4 3  32  18  14  16  24  21  3
2 7 8
D
Dx 2
2
D 3
ំឲ្យ x 
  2, y  y 
 2, z  z   3
D 1
D
1
D 1
ដូចរនេះ
x  2, y  2, z  3 ជាចរមាើ
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
ននទ្រព័នស
ធ មីការេីរនកអ៊ែរ ។
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
27
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
2 x  6 y  4 z  1

ច.  x  3 y  2 z  4
2 x  y  3z  7

2 6
D 1 3
រគបាន
2 1
1 6
Dx  4 3
7 1
2 1
Dy  1 4
2 7
2 6
Dz  1 3
2 1
រោ
ទ្រព័នស
ធ មីការគ្នានចរមាើ
រោេះស្ស្ក
ែ.
4
2  18  24  4  24  18  4  0
3
4
2  9  84  16  84  72  2  49
3
4
2  24  4  28  32  3  28  7
3
1
4  42  48  1  6  42  8  35
7
D  0, Dx  0, Dy  0, Dz  0
ដូចរនេះ
៣.
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
។
ទ្រព័នស
ធ មការខាងរទ្កាមតាមរូ
បមនដ
ី
Guass Jordan
2 x  3 y  5
c

3
x

2
y

12

រគបាន
 2 3 5


 3 2 12 
1 3 2 5 2  L1  1 2 L1

2 12 
3
1 3 2 5 2 


0 13 2 39 2  L2  3L1  L2
1 3 2 5 2 

1
3  L2  2 13 L2
0
1 0 2  L1  L1  3 2 L2


0 1 3 
ដូចរនេះ
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
x  2, y  3
ជាចរមាើ
ននទ្រព័នស
ធ មីការេីរនកអ៊ែរ ។
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
28
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ខ.
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
 x  2 y  3z  1

2 x  y  z  6
 x  3 y  2 z  13

រគបាន
1

2
1
1

0
0
1

0
0
1

0
0
2 3 1
1 1 6

3 2 13 
2 3 1
5 7 8

5 1 6 
2 3 1
5 7 8

0 6 6  L3  L2  L3
2 3 1
5 7 8

0 1 1 L3  1 6 L3
1 2

0 5
0 0
1 2

0 1
0 0
0 4  L1  L1  3L3
0 15  L2  L2  7 L3

1 1
0 4 
0 3  L2  1 5 L2

1 1
1 0 0 2 


0 1 0 3 
0 0 1 1
ដូចរនេះ
គ.
L2  L2  2 L1
L3  L3  L1
L1  L1  2 L2
x  2, y  3, z  1
ជាចរមាើ
ននទ្រព័នស
ធ មីការេីរនកអ៊ែរ ។
 x  2 y  3z  1

 x  y  7 z  4
2 x  4 y  9 z  9

រគបាន
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
1 2 3 1 


1 1 7 4 
 2 4 9 9 
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
29
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
1

0
0
1

0
0
1

0
0
1

0
0
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
2 3 1 
1 4 5  L2  L1  L2

8 3 11  L3  L3  2 L1
2 3 1 
1 4 5 

0 29 29  L3  L3  8L1
2 3 1 
1 4 5 

0 1 1  L3  1 29 L3
2 0 4  L1  L1  3L3
1 0 1  L2  L2  4 L3

0 1 1 
1 2 0 4 


0 1 0 1  L2   L2
0 0 1 1 
1 0 0 4  L1  L1  2 L2


0 1 0 1 
0 0 1 1 
ដូចរនេះ
x  2, y  1, z  1
x  y  z  1

ឃ.  x  2 y  2 z  0
2 x  3 y  z  5

1 1

0 1
0 1
1 1

0 1
0 0
រោ
ដូចរនេះ
ននទ្រព័នស
ធ មីការេីរនកអ៊ែរ ។
រគបាន
1 1 1 1 


1 2 2 0 
 2 3 1 5 
1 1
3 1  L2  L2  L1

3 3  L3  L3  2 L1
1 1
3 1

0 4  L3  L3  L2
0x  0 y  0z  4
មិនរសាៀងផ្លាត់ចរំ
ទ្រព័នស
ធ មការគ្ន
ា នចរមាើ
ី
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
ជាចរមាើ
េះទ្គប់តនមា
x, y, z
។
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
30
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ង.
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
2 x  y  z  0

x  2 y  2z  0
x  y  z  0

2

1
1
2

0
 0
2

0
 0
2

0
 0
រគបាន
2

0
 0
1

0
0
រោ
រគបាន
1 1 0
2 2 0 

1 1 0 
1 1 0
5 5 0  L2  L1  2 L2

3 3 0  L3  L3  L2
1 1 0
1 1 0  L2  1 5 L2

1 1 0  L3  1 3 L3
1 1 0
1 1 0

0 0 0  L3  L3  L2
0 0 0  L1  L1  L2
1 1 0

0 0 0 
0 0 0  L1  1 2 L1
1 1 0

0 0 0 
0 x  0 y  0 z  0 សមីការរសាៀងផ្លាត់ចរំ
ទ្រព័នស
ធ មការមនចរមា
ី
ើ
រោ
រគបាន
y  z  0  y   z  t
ច.
រគបាន
x, y, z
រាប់មនអស់
ិ
0
x

y z 0

0 x  0 y  0 z  0

ដូចរនេះ
េះទ្គប់តនមា
តាង
z  t , t  IR
x  0,y  t , z  t , t  IR
ជាចរមាើ
ននទ្រព័នស
ធ មីការ ។
a  2b  c  3d  2
3a  b  2c  d  6


a  b  3c  2d  3
2a  2b  3c  d  9
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
31
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
1

3
រគបាន 
1

 2
1

0
0

0
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
2 1 3 2 
1 2 1 6 

1
3 2 3 

2 3 1 9 
2 1 3 2 
5 1 8 0  L2  L2  3L1

1 4 1 5  L3  L3  L1

2 1 5 5  L4  L4  2 L1
 1 2 1 3 2 

0 
0 5 1 8

0 1 4 1 5 


0 0 9 3 15  L4  L4  2 L3
1 2
1 3 2 

8 0 
0 5 1

0 0 19 3 25  L3  L2  5 L3


3
1 5  L4  1 3 L4
0 0
1 2
1 3
2 

8
0 
0 5 1

0 0 19 3
25 


0 10 20  L4  19 L4  3L3
0 0
1 2
1 3 2 

8 0 
0 5 1

0 0 19 3 25 


0
1 2  L4  1 10 L4
0 0
1 2
1

0 5 1
0 0 19

0
0 0
1 2 1

0 5 1
0 0 1

0 0 0
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
0 8  L1  L1  3L4
0 16  L2  L2  8 L4

0 19  L3  L3  3L4

1 2 
0 8 
0 16 

0 1  L3  1 19 L3

1 2 
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
32
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
1

0
0

0
2
5
0
0
0
0
1
0
0 7  L1  L1  L3
0 15  L2  L3  L2

0 1  L3  1 19 L3

1 2 
1

0
0

0
2
1
0
0
0
0
1
0
0 7 
0 3  L2  1 5 L2

0 1 

1 2 
1

0
0

0
0
1
0
0
0
0
1
0
0 1  L1  L1  2 L2
0 3 

0 1 

1 2 
ដូចរនេះ
a  1, b  3, c  1, d  2
2sin   cos   3tan   3

វ.  4sin   2cos   2 tan   2
6sin   3cos   tan   9

2 X  Y  3Z  3

រគបាន
4 X  2Y  2 Z  2
6 X  3Y  Z  9

 2 1 3

 4 2 2
 6 3 1
 2 1 3

 0 4 8
 0 0 8
 2 1

0 1
 0 0
 2 1

0 1
 0 0
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
ជាចរមាើ
កដេ
ននទ្រព័នស
ធ មីការេីរនកអ៊ែរ ។
0    2

0    2
0    2

 X  sin 

តាង Y  cos 
 Z  tan 

3
2

9 
3 
4  L2  L2  2 L1

0  L3  L3  3L1
3 3 
2 1  L2  1 4 L2

1 0  L3  1 8 L3
0 3  L1  L3  3L3
0 1  L2  L2  2 L3

1 0 
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
33
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
2

0
 0
1

0
0
ំឲ្យ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
0 0 2  L1  L1  L2
1 0 1 

0 1 0 
0 0 1  L1  1 2 L1
1 0 1 

0 1 0 
sin   1
   2 , 0    2


X  1,Y  1, Z  0 រគបាន cos   1      , 0    2
 tan   0
  0 , 0    2



ដូចរនេះ

2
,    ,  0
ជាចរមាើ
ននទ្រព័នស
ធ មីការ ។
 x2  y 2  z 2  6
 2
2
2
2
2
2
ជ.  x  y  2 z  2 តាង X  x , Y  y , Z  z
 2
2
2
2 x  y  z  3
X  Y  Z  6

រគបាន  X  Y  2 Z  2
2 X  Y  Z  3

1 1 1 6 


1 1 2 2 
 2 1 1 3 
1

0
0
1

0
0
1

0
0
1

0
0
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
កដេ
X ,Y , Z  0
1 1 6 
2 1 4  L2  L1  L2

1 3 9  L3  L3  2 L1
1 1
6 
2 1 4 

0 7 14  L3  L2  2 L3
1 1 6
2 1 4 

0 1 2  L3  1 7 L3
1 0 4  L1  L1  L3
2 0 6  L2  L2  L3

0 1 2 
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
34
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
1

0
0
1

0
0
ំឲ្យ
1 0 4
2 0 6  L2  1 2 L2

0 1 2 
0 0 1  L1  L1  L2
1 0 3

0 1 2 
 x2  1
 x  1
X 1



2
Y  3   y  3   y   3
Z  2
 2


z   2
z  2
ដូចរនេះ
៤.
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
x  1, y   3, z   2
ែំណត់តនមា
មនអស់
ិ
a
ជាចរមាើ
រដម
នស
ធ មីការគ្នានចរមាើ
ើ បឲ្យទ្រព័
ី
 x  2 y  3z  4

3x  y  5 z  2

2
4 x  y  (a  14) z  a  2
ននទ្រព័នស
ធ មីការ ។
, មនចរមាើ
កតមួ
គត់ និងមនចរមាើ
រាប់
1 2
3
4 


5
2 
 3 1
 4 1 a 2  14 a  2 
1 2
3
4 


0

7
14

10

 L2  L2  3L1
0 7 a 2  2 a  6  L3  L3  4 L1
រគបាន
1

0
0
1

0
0
2
3
4 

1
2 10 7  L2  1 7 L2
7 a 2  2 a  6 
2
3
4 

1
2 10 7 
0 a 2  16 a  4  L3  L3  7 L2
 ទ្រព័នស
ធ មីការមនចរមាើ
a 2  16  0
a  4

 a4
កាេណា 
a


4
a

4

0


2
កតមួ គត់កាេណា a  16  0  a  4
 ទ្រព័នស
ធ មការមនចរមា
ី
ើ
រាប់មនអស់
កាេណា
ិ
 ទ្រព័នស
ធ មការគ្ន
ា នចរមាើ
ី
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
a 2  16  0 a  4

 a  4

a


4
a

4

0


គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
35
។
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
៥.
រែម៉ាទ្រីស
និង
ធ មីការេីរនកអ៊ែរខាងរទ្កាមជាសមការម
៉ា ទ្រីស
B កដេសររសរទ្រព័នស
ី
AX  B
2 x1  3x2  5 x3  7
 2 3 5   x1   7 


   
ែ.  9 x1  x2  x3  1
អាចសររសរ 9 1 1 x2  1

   
 x  5x  4 x  0

  x3   0 
1
5
4
2
3

 1
 x1 
 2 3 5 
7
A  9 1 1  ; X   x2  និង B   1 ។


 
 
1 5 4 
 x3 
 0 
ដូរចែេះ
ខ.
 3x3  x4  1
4 x1
5 x  x
 8 x4  3
 1 2

2 x1  5 x2  9 x3  x4  0

3 x2  x3  7 x4  2
ដូរចែេះ
៦.
A, X
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
អាចសររសរ
 x1 
 4 0 3 1 
x 
 5 1 0  8
; X   2 
A
 x3 
 2 5 9 1
 


 0 3 1 7 
 x4 
 4 0 3 1   x1  1 
 5 1 0 8  x   3 

 2   
 2 5 9 1  x3   0 

   
 0 3 1 7   x4   2 
និង
1 
3
B 
0
 
2
សររសរសមីការម៉ាទ្រីសជាទ្រព័នស
ធ មីការេីរនកអ៊ែរែនុងែរណីនីមួ
3

ែ. 4

 2
 3
 5
ខ. 
 3

 2
៧. ែ. គណ
រ
1 2   x1   2 
3 7   x2    1
   
1 5   x3   4 
2 0 1   w 0 
0 2 2   x  0 
    
1 4 7   y  0
   
5 1 6   z  0
DA និង AE
ើ ងមនម៉ាទ្រីស
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
។
ៗខាងរទ្កាមៈ
3x1  x2  2 x3  2

រគបាន  4 x1  3 x2  7 x3  1
2 x  x  5 x  4
3
 1 2
z0
3w  2 x
5w
 2 y  2z  0

រគបាន 
3w  x  4 y  7 z  0
2 w  5 x  y  6 z  0
 a11 a12
a
a22
A   21


 am1 am 2
a1n 
a2 n 



amn 
 d1 0
0 d
2
;D  


0 0
0
0



dm 
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
36
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
0
e1 0
0 e
0
2

 រគបាន
និង E 




en 
0 0
d1a1n 
 d1a11 d1a12
d a
d 2 a22
d 2 a2 n 
2 21


DA 




d m amn 
 d m am1 d m am 2
a1nen 
 a11e1 a12e2
a e a e
a2 nen 
21 2
22 2


AE 




amnen 
 am1e1 am 2e2
ខ.
+ ជួររដែននម៉ាទ្រីស DA គមន
m
ឺ

រដម
ើ បគុ
ី ណម៉ាទ្រីស
របស់ម៉ាទ្រីស

A
រោ
រដម
ើ បគុ
ី ណម៉ាទ្រីស
របស់ ម៉ាទ្រីស
គ. គណ
AB
និង
A
A
A
រោ
ខាងរវែងរោ
រោេះស្ស្ក
ខាងស្ក្ ំរោ
រ
នន
i
D
j
នន
D
D
AE
E
និង
n
ជួរឈរ ។
i
ននសេគុណ
គុណទ្គប់ធាតុននជួរឈររ ី
រដម
រឈររ ី
ើ បបានជួ
ី
ិ
រទ្រីវធានកដេបានរៅែន
ុងសំ ណួរ ខ កដេ
a, b, c
មន
គុណទ្គប់ធាតុននជួររដែរ ី
រដម
ររដែរ ី
ើ បបានជួ
ី
ម៉ាទ្រីសអងកតទ្់ រូង
ធាតុអងកតទ្់ រូង
BA រោ
សមការរែ
ី
ម៉ាទ្រីសអងកតទ្់ រូង
ធាតុអងកតទ្់ រូងរ ី
 2 1 5 
4
A   3 0 2  និង B   0



 7 1 5 
 0
 8 1 15

0 6  និង
រគបាន AB  12


 28 1 15
៨.
ជួររដែ និងជួរឈរននម៉ាទ្រីស
0 0
1 0

0 3
 8 4 20 
BA   3 0
2 


 21 3 15
j
ននសេគុណ ។
។
d
b  c  8 1 
 a b
3d  c 2a  4d   7 6

 

a  b  8 1

3d  c  7  2 
រគបាន 
b  c  1  3
 2a  4d  6  4 

ើ ងមន
ែ
1   3 និង
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
ែ
j
4   2  3   4
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
37
i
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
a  c  9  5
a  c  9  5


6a  4c  46  6 3a  2c  23  6
ែ 3   5  6 រគបាន c  4
រគបាន
ែc
(2)
និង
(3)
រគបាន
រគបាន
ដូរចែេះ
a  5; b  3; c  4
គណ
រដករមណង
់ខាងរទ្កាម៖
ី
ែ.
និង d
a5
d  1 និង b  3
1
3 5
  3 4  — 2  5   22
2 4
3
0
0
1
1
5
17
5
0
3
4
2
ឃ.
1
2
0
7
0
7
6
3
ង.
2 7 6
5 1 2   2   1  4  7  2   3  8  5  6 – 3 1  6 – 5  7  4
3 8 4
–8  2  2   0
ច.
a 3
5
 (a  3)(a  2)  (3)(5)  a 2  5a  6  15  a 2  5a  21
3 a  2
ខ.
គ.
១០.
ជំនស
ួ ែនុង
ួ ែនុង (1)
b  3 ជំនស
ែ
៩.
4
គណ
4
1   3 5  2   30
2
0
1  1  4  2   3  1  5  0   1 2 
2  5  4  0   2  1  0 –  3  1  5   7
0 3
0 6
 1  7  5   3  0  0  3  1  6  2  0  0  0  1  3  3  6
3 0
 546
1 5
រដករមីណង ់ននម៉ាទ្រីសទាងព
ំ ី រតាម
ែ. ជួររដែរ១
ី
5
A 6
2
5
B 0
2
0
1
3
6
1
2
ដូចរនេះ
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
2
1
2  5
3
1
2
1
3  5
2
1
Cofactor
ែនុងែរណី
2
6 2
6 1
0
2
  5  5   0   2 16   57
1
2 1
2 3
3
0 3
0 1
6
2
  5  5   6  6    2  2   57
1
2 1
2 2
det( A)  det( B)  57
។
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
38
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
ខ. ជួរឈររ១
ី
5
A 6
2
5
B 0
2
0
1
3
6
1
2
ដូចរនេះ
១១.
2
1
2  5
3
1
2
1
3  5
2
1
2
0 2
0 2
6
2
  5  5    6  (6)  2(2)  57
1
3 1
1 2
3
6 2
6 2
0
2
 5  5  – 0  2  16  57
1
2 1
1 3
det( A)  det( B)  57
រគមន
 2 4 
A  1 3 


 6 3
,
។
 7 3 2 
B   1 2 3 


 1 6 5 
,
 2 1 3 
C  1 2 4 


 5 3 6 
ែ. ចូរទ្តង ់សបូ ននម
៉ា
៉ា ទ្រីសទាងប
ំ ី
2
AT  1

 6
7
T
B 1

 1
T
4 
2 1 6
2 1 6
T
3  

A

 4 3 3
  4 3 3


3
T
3 2 
 7 1 1
7



T
2 3  3 2 6  B   3




 2 3 5 
6 5 
 2
T
 2 1 3 
2 1 5
2 1
C T  1 2 4    1 2 3  C T   1 2





 5 3 6 
 3 4 6 
 3 4
T
ខ.  បង្ហាញថា det( B)  det( B )
1 1
2 6 

3 5 
5
3

6 
រោ
det  B   7  2   5   3  3   1  2 1  6 –  1 2  2
រហើ
det( BT )  (7)( 2)(5)  (1)(6)(2)  ( 1)(3)( 3)  (2)( 2)( 1)
– 1 3  5 – 7  3  6  164
 (3)(1)(5)  (7)(3)(6)  164
ដូរចែេះ
det( B)  det( BT )

បង្ហាញថា
។
det(C )  det(CT )
រោ
det  C    2  2  6    1 4  5  1 33 – 5 2 3
រហើ
det(CT )  (2)(2)(6)  (1)(3)(3)  (5)(4)(1)  (3)(2)(5)
– 1 1 6  –  2  3 4  5
 (1)(1)(6)  (2)(3)(4)  5
ដូរចែេះ
det(C )  det(CT )
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
។
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
39
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
១២.
រោ
A
ែ. គណ
គណ
a)
រ
គណ
រ
det  3 A
det(3 A)  33 det( A)  33 (7)  189
3det  A
3det  A  3   7   21
ើ ងបាន
det(2 A1 ) 
det(2 A1 )
គណ
d)
រ
23
8
8


det( A) 7
7
det((2 A)1 )
គណ
ើ ងបាន
តាមសទ្ម
េះ
ខាងរេើរ
គណ
Minors
Ci , j  (1)
a)
និង
b)
រួចចំរ
េះ
ើ ងរឈើញថា
និង
i j
ំ
នន A
Cofactors ទាងអស់
M i, j
 1 2 3 
; A   6 7 1


 3 1 4 
M1,1 
7 1
 7  4 – 1   1  29
1 4
M1,2 
6 1
 24  3  21
3 4
M1,3 
6 7
 6  21  27
3 1
M 2,1 
2 3
 8  3  11
1 4
រ
ើ ងបាន
M 2,2 
1 3
 4  9  13
3 4
រ
ើ ងបាន
M 2,3 
1 2
 1  6  5
3 1
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
c ) និង d )
; det(2 A1)  det(2 A) 1
det(3 A)  3det ( A)
រោ
1
1
1
1
 3


det(2 A) 2 det( A) 8  7 
56
det(2 A)1 
ខ. រធែការសនន
ើ
ិោានចំរ
១៣.
det  A   7
3  3 រហើ
ើ ងបាន
c)
រ
ជាម៉ាទ្រីស
រដករមណង
់
ី
ើ ងបាន
b)
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
រ
រ
រ
រ
ើ ងបាន
ើ ងបាន
ើ ងបាន
ើ ងបាន
C1,1  29
C1,2  21
C1,3  27
C2,1  11
C2,2  13
C2,2  5
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
40
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
M 3,1 
2 3
 2  21  19
7 1
រ
ើ ងបាន
C3,1  19
M 3,2 
1 3
 1  18  19
6 1
រ
ើ ងបាន
C3,2  19
M 3,3 
១៤.
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
1 2
 7  12  19
6 7
adj  E 
គណ
adj  E 
1
2
E
1

1
និង
1
2
8
2
1
2

9

2
រ
ើ ងបាន
C3,3  19
E 1
គជាម
៉ា ទ្រីសកដេរែតរ
ឺ
ើ
3
5
3
3
រ
ើ ងបាន
ើ ង រោ
ម៉ាទ្រីសទ្តង ់សបូ ននម
៉ា
៉ា ទ្រីស
 C11
C
adj  E    21
C31

C41
C12
C22
C32
C42
Cofactor ( E )
C13 C14 
C23 C24 

C33 C34 

C43 C44 
កដេ
T
កដេ
5 2 2
C11  3 8 9  80  54  12  48  12  90  4
3 2 2
2 2 2
C12   1 8 9    32  18  4 – 16 – 4  36   2
1 2 2
2 5 2
C13  1 3 9  12  45  6  6  10  54  7
1 3 2
2 5 2
C14   1 3 8   12  40  6  6  10 – 48   6
1 3 2
3 1 1
C21   3 8 9    48  27  6  24  6  54   3
3 2 2
1 1 1
C22  1 8 9  16  9  2  8 – 2  18   1
1 2 2
1 3 1
C23   1 3 9    6  27  3  3  6  27   0
1 3 2
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
41
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
1 3 1
C24  1 3 8  6  24  3  3  6  24  0
1 3 2
3 1 1
C31  5 2 2  12  6  10  6 – 10 – 12  0
3 2 2
1 1 1
C32   2 2 2    4  2  4  2  4  4   0
1 2 2
1 3 1
C33  2 5 2  10  6  6  5 – 12  6   1
1 3 2
1 3 1
C34   2 5 2   10  6  6  5  12  6   1
1 3 2
3 1 1
C41   5 2 2    54  6  40  6  45  48   1
3 8 9
1 3 1
C43   2 5 2    45  6  6  5  54  6   8
1 3 9
1 3 1
C44  2 5 2  40  6  6  5  48  6  7
1 3 8
រ
ើ ងបាន ៖
T
 4 2 7 6 
 4 3 0 1
 3 1 0 0 
 2 1 0 0 
 

adj ( E )  
 0 0 1 1 
 7 0 1 8 




 1 0 8 7 
 6 0 1 7 
 4 3 0 1


1
1  2 1 0 0 
1
E 
 adj  E  
det  E 
1  7 0 1 8 


 6 0 1 7 
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
។
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
42
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
១៥.
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
det( F ) និង det( F 1 )
គណ
 2 1 1 
F   4 1 3 រ ើ ងបាន
រោ


 2 1 3 
det  F    2 1 3   1 3 2   1 1 4  –  2 11 –  4  13 
–  2  3 1  12
ដូរចែេះ
១៦.
det  F   12
ចូររែ
រោ
adj  A រោ
រគបាន
det( F 1 ) 
។
ដង
ឹ ថា
0
1 0 0
0  0
0
2

 ,   0 , i  1,2,..., n
A




n 
 0 0 0
ម៉ាទ្រីស A ជាម៉ាទ្រីសអងកតទ្់ រូងរ ើ ងទាញបាន
1 1 0 0
 0 1 0
1
2
A 


0 0
 0
0 
0 



1 n 
n
រោ
det( A)  1.2 .3...n  i
រហើ
A1 
រ
1
12
i 1
ើ ងបាន
ដូចរនេះ
1
 adj  A
det( A)
1 1 0 0
 0 1 0
n
1
2
adj(A)  A .det  A   i  

i 1

0 0
 0
1 1 0 0
 0 1 0
n
2
adj(A)  i  

i 1

0 0
 0
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
0 
0 



1 n 
0 
0 



1 n 
។
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
43
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
១៧.
រែតនមា

ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
រដម
ើ បឲ្យ
ី
det( A)  0
1 
  2
A

 5   4
រោ
det  A  (2)(4)   51   2  2  3
ែ.
រ
ខ.
រោ
រ
 2  2  3  0 រ េះ   1 ;  3 ។
0 
  2 0
A 0

2 


 0
3   1
det  A  (  2)( )(  1) – (  2)  2 3  (  2)(  3)(  2)
ើ ងបាន
ើ ងបាន
ដូចរនេះ
១៨.
(  2)(  3)(  2)
 2 ; 3 ; 2
បង្ហាញថា
។
adj  A. A   det  A .I
 3 1 2

1 1
រ ើ ងមនម៉ាទ្រីស A  0



 1 1 0 
រគបាន det  A  3  1  1  1   1  1  2  1  0   1  1  2 – 0 1  0 – 3 1 1  2
រហើ
adj ( A)  Cofactor ( A)
C11  (1)11 
T
 C11 C12
 C21 C22

C31 C32
0 1
 (0  (1))  1
1 0
C13  (1)13 
0 1
 0  (1)  1
1 1
C21  (1) 21 
1 2
 (0  2)  2
1 0
C22  (1)22 
3 2
 0  (2)  2
1 0
C23  (1)23 
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
C31 
C32 

C33 
1 1
 0  1  1
1 0
C12  (1)1 2 
C31  (1)31 
T
C13 
 C11 C21

C23  C12 C22


C13 C23
C33 
3 1
 (3  (1)  4
1 1
1 2
 1  2  1
1 1
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
44
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
C32  (1)32 
3 2
 (3  0)  3
0 1
C33  (1)33 
3 1
 30  3
0 1
 1

រ ើ ងបាន adj ( A)  1

 1
 1

រគបាន adj ( A)  A  1

 1
2 1
2 3

4 3 
2 1  3 1
2 3  0 1

4 3   1 1
1 0 0   2
det( A)  I  (2)  0 1 0    0

 
0 0 1   0
រហើ
adj  A. A det  A.I
ដូរចែេះ
១៨.
បង្ហាញថាម៉ាទ្រីស
ម៉ាទ្រីស
កដេ
ដូរចែេះ
គណ
A
det( A)  1
ម៉ាទ្រីស
A
A1 រោ
។
 cos
A    sin

 0
មនចទ្មសេុេះទ្តាកត
cos
 sin 
2  2 0 0 
1    0 2 0 
 

0   0 0 2
0 0
2 0 

0 2 
sin
cos
0
0
0

1 
មនចទ្មសចំរ
េះទ្គប់តនមា

det( A)  0
sin 
 cos 2   sin 2   0
cos
មនចទ្មសចំរ
រទ្រីរប
ូ មន្
េះទ្គប់តនមា
A1 

។
1
adj  A
det( A)
T
រោ
adj ( A)  Cofactor ( A) 
T
C11  (1)11 
cos
0
C12  (1)12 
 sin 
0
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
 C11 C12 C13 
C11 C21 C31 


 C 21 C 22 C23  C12 C22 C32 




C31 C32 C33 
C13 C23 C33 
0
 cos  0  cos
1
0
 ( sin   0)  sin 
1
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
45
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
C13  (1)13 
 sin 
0
cos
000
0
C21  (1)21 
sin 
0
C22  (1)22 
cos
0
0
 cos  0  cos
1
C23  (1)23 
cos
0
sin 
 (0  0)  0
0
C31  (1)31 
sin 
cos
0
000
0
C32  (1)32 
cos
 sin 
0
 (0  0)  0
0
C33  (1)33 
cos
 sin 
sin 
 cos 2   sin 2   1
cos
0
 (sin   0)   sin 
1
cos  sin 0 

cos 0 
រគបាន adj ( A)  sin


 0
0
1 
cos  sin 0 cos
1 
1
cos 0   sin
រ ើ ងបាន A   sin
 
1 
 0
0
1   0
២០.
រោ
ិ
រទ្រីវធានទ្កាម័
រ រែមុំ 
,  ,
កដេ 0  
ននទ្រព័នស
ធ មការខាងរទ្កាម
៖
ី
 2sin  cos   3tan  3

4sin  2cos   2tan  2
 6sin  3cos   tan  9

រគបាន
រគបាន
2 X  Y  3Z  3

4 X  2Y  2 Z  2 រ
6 X  3Y  Z  9

2 1 3
D  4 2 2  64
6 3 1
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
តាង
 sin
cos
0
0
0

1 
។
 2 ,0    2 ,0    2
sin   X

cos   Y
 tan   Z

 2 1 3   X  3 

2 2 Y    2 
ើ ងអាចសររស ៖  4
   
 6 3 1   Z  9 
3 1 3
DX  2 2 2  64
,
9 3 1
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
46
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
2 3 3
DY  4 2 2  64
6 9 1
D
64
រគបាន
X X 
1 ,
D 64
sin   1

រ ើ ងបាន cos   1 រគបាន
 tan   0

ដូចរនេះ
២១.
ចរមាើ
ចំរ
a)
ននទ្រព័នស
ធ មីការគឺ
េះទ្តីរកាណែនុងរូប រោ
bcos  c cos  a

 c cos  acos  b
 acos  bcos  c

រោ
គូសែំពស់
, Z
DZ
0

0
D 64
។
រទ្រីទ្តីរកាណមទ្ត បង្ហាញថា ៖
C

ដូចគ្ននកដររ
ដូរចែេះ រគបាន
រោ
ើ ងបាន
h a
b
រ
ើ ងបាន ៖
AH  b cos , HB  a cos 

A

H
c
b cos  a cos   c (1)
រគបាន
b)
កត
3
2 0
9
  2 ,   ,   0
CH មែរេើបាត AB
AH  HB  c
ស្ស្ក
2 1
DZ  4 2
,
6 3
D
64
Y Y 
 1
D 64
   2

  
  0

bcos  ccos  a , ccos  acos  b
bcos  c cos   a

 c cos  acos  b
 acos  bcos  c

ិ
រទ្រីវធានទ្កាម័
រ បង្ហាញថា
ទ្រព័នស
ធ មការខាងរេ
ី
ើអាចសររសរជា ៖
។
b2  c 2  a 2
cos  
2bc
0 c b  cos    a 
 c 0 a  cos    b 


  
b a 0  cos   c 
រគបាន
0 c b
D c 0 a
b a 0
a c
Dcos   b 0
c a
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
 0  abc  abc  0  0  2abc
b
a  0  ac 2  ab 2  a3  0  0  ac 2  ab2  a3
0
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
47
B
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
0
Dcos   c
b
0
Dcos   c
b
រគបាន
ដូចរនេះ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
a
b
c
c
0
a
Dcos ac 2  ab2  a3 c 2  b2  a 2
cos  


D
2abc
2bc
Dcos  a 2b  bc 2  b3 a 2  c2  b2
cos  


D
2abc
2ac
2
2
3
2
Dcos  b c  a c  c b  a 2  c2
cos  


D
2abc
2ab
cos 
២២. ចូរែំណត់តនមា
និង ចរមាើ
ែ.
រគបាន

b
a  0  a 2b  bc 2  b3  0  0  a 2b  bc 2  b3
0
a
b  0  b 2c  a 2c  0  c 3  0  b 2 c  a 2 c  c3
c
k
c 2  b2  a 2
a 2  c 2  b2
b2  a 2  c 2
, cos  
, cos  
2bc
2ac
2ab
រដម
នស
ធ មីការខាងរទ្កាមមន ចរមាើ
ើ បឲ្យទ្រព័
ី
រាប់មិនអស់
កតមួ
។
គត់ , គ្នានចរមាើ
x  y  z  1

2 x  3 y  kz  3
 x  ky  3z  2

1

2
1
1

0
0
1

0
0
1 1 1 

3 k 3
k 3 2 
1
1
1

1
k  2 1 L2  L2  2 L1
k 1
4
1 L3  L3  L1
1
1
1 

1
k 2
1 
0 k 2  k  6 k  2  L3  L3  (k  1) L1
រដម
នស
ធ មីការមនចរមាើ
ើ បឲ្យទ្រព័
ី
កតមួ
គត់េេះុ ទ្តាកត
 k2  k  6  0
  k 2  2k  3k  6  0
  k (k  2)  3(k  2)  0
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
48
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
 (k  2)(k  3)  0
ដូចរនេះ

k  2  0
k  2
 

k  3  0
k  3
ទ្រព័នស
ធ មីការមនចរមាើ
កតមួ
រដម
នស
ធ មីការគ្នានចរមាើ
ើ បឲ្យទ្រព័
ី
គត់ េុេះទ្តាកត
k  2 ; 3
។
េុេះទ្តាកត
k 2  k  6  0
(k  2)(k  3)  0
k  2 ;  3
 
 

k 2
k  2
k  2  0
ដូចរនេះ ទ្រព័នស
ធ មីការមនចរមាើ កតមួ គត់េេះុ ទ្តាកត k  3 ។

រដម
នស
ធ មីការមនចរមាើ
ើ បឲ្យទ្រព័
ី
រាប់មិនអស់េេះុ ទ្តាកត
k 2  k  6  0
(k  2)(k  3)  0
k  2 ;  3
 
 

k 2

 k 2
 k 20
ដូចរនេះ ទ្រព័នស
ធ មីការមនចរមាើ រាប់មិនអស់េេះុ ទ្តាកត k  2 ។
ខ.
 3z  3
x

2 x  ky  z  2
 x  2 y  kz  1

រគបាន
1

2
1
1

0
0
0 3 3

k 1 2 
2 k
1 
0 3 3

k
5
4  L2  L2  2 L1
2 k  3 4  L3  L3  L1
1 0
3

5
0 k
2
0 0 k  3k  10

រដម
នស
ធ មីការមនចរមាើ
ើ បឲ្យទ្រព័
ី
3 

4 
4k  8  L3  kL3  2 L1
កតមួ
គត់េេះុ ទ្តា
k 2  3k  10  0  k 2  2k  5k  10  0
 k (k  2)  5(k  2)  0
 (k  2)(k  5)  0
ដូចរនេះ រគបាន k  2 ឬ k  5 ទ្រព័នម
ធ នចរមាើ
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
កតមួ
គត់ ។
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
49
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
រដម
នស
ធ មីការគ្នានចរមាើ
ើ បឲ្យទ្រព័
ី

េុេះទ្តាកត
 k  2  (k  5)  0
k 2  3k  10  0
k  2 ;  5
 
 

 k2
 4k  8  0
 4k  8  0
ដូចរនេះ
រគបាន k  5 ទ្រព័នស
ធ មីការគ្នានចរមាើ
។
រដម
នស
ធ មីការមនចរមាើ
ើ បឲ្យទ្រព័
ី

រាប់មិនអស់េេះុ ទ្តាកត
 k  2  (k  5)  0
k 2  3k  10  0
k  2 ;  5

 


 k 2
 4k  8  0
 4k  8  0
ដូចរនេះ
រគបាន k  2 ទ្រព័នស
ធ មីការមនចរមាើ រាប់មិនអស់ ។
២៣.
a ) បង្ហាញថារបើ  A  B   A2  2 AB  B 2
2
រគបាន
 របើ
រ
េះ
AB  BA
 A  B    A  B  A  B   A2  2 AB  B2
2
 A  B   A2  2 AB  B2 រ េះរគបាន
2
A2  AB  BA  B2  A2  2 AB  B2  AB  BA ពិត
 ស្ស្ក
រោ
របើ
បញ្ញ
ា ែ់ថា របើ
 A  B
2
AB  BA រ
AB  BA រ
េះ
 A  B
2
 A2  2 AB  B 2
  A  B  A  B   A2  2 AB  B 2
េះ
A2  AB  BA  B 2  A2  AB  AB  B 2  A2  2 AB  B 2   A  B 
ដូចរនេះ
b)
 A  B
ស្ស្ក
2
 A2  2 AB  B 2AB  BA
បញ្ញ
ា ែ់ថា របើ
2 3
A

1 2
រ
េះ
2
។
A2  4 A  I
រគបាន


 2 3  2 3  2  2  3  1 2  3  3  2 7 12
A  A  A2  
 1 2  1  2  2  1 1  3  2  2    4 7  1
1
2


 
 

 2 3 8 12
1 0 
រហ
4A  4

I

ើ
 

0 1 
1 2  4 8 


8 12 1 0  8  1 12  0  7 12 
 4A  I  



  2
 4 8  0 1   4  0 8  1   4 7 
2
តាម (1) និង (2) រគបាន A  4 A  I
ទាញបញ្ញ
ា ែ់ថា
រគមន
A4  56 A  15I
A2  4 A  I
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
និង
AI  IA  A ; I 2  I
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
50
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
រគបាន
កត
A 
2 2
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
  4 A  I   16 A2  8 AI  I 2  16 A2  8 A  I
2
A2  4 A  I  A4  16  4 A  I   8 A  I  64 A  16I  8 A  I  56 A  15I
ដូចរនេះ
A4  56 A  15I
o គណ
A4
រោ
ពិត
ផ្លាេ ់
7 12 
A2  
 រ េះរគបាន
4
7


 7 12  7 12   7  7  12  4 7  12  12  7   97 168 
A4  A2  A2  
 4 7    4  7  7  4 4  12  7  7    56 97   i 
4
7


 
 

 2 3
 1 0  112 168  15 0   97 168 
56 A  15I  56 

15

 0 1    56 112    0 15    56 97   ii 
1 2

 
 
 

រោ
តាម
២៤.
(i )
និង
រែម៉ាទ្រីស
រគមន
(ii )
រគបាន
A4  56 A  15I
។
E1 , E2 , E3 , E4
E1 A  B  E1  BA1
1
cof ( AT )
det( A)
1 2 1 
1 3 2 




T
រគបាន A  3 1 4  A  2 1 3




 2 3 1 
1 4 1 
1 2 1 1 2 1
5 1
 det A  3 1 4  0 5 1 
 5 1  6
1 1
2 3 1 0 1 1
 11 1 7 
 11 1 7 
1
cof AT   5 1 1  A1   5 1 1



6
 7
 7
1 5
1 5
កត
A1 
 
 2 3 1   11 1
1
E1  BA1   3 1 4   5 1

6
1 2 1   7
1
0 0 6  0 0
1
 0 6 0   0 1
 
6
6 0 0  1 0
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
រគបាន
7
 22  15  7 2  3  1 14  3  5 
1
1   33  5  28 3  1  4 21  1  20 
 6

 11  10  7 1  2  1 7  2  5 
5
1
0

0 
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
51
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ដូចរនេះ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
0 0 1 
E1  0 1 0 


1 0 0 
។
2 3 1
2 3 1 
E2 B  A  E2  AB 1 កដេ B   3 1 4   BT   3 1 2 
1 2 1 
1 4 1 
1
1
1
កត B 
adjA 
cof BT
det  B 
det A
 
2 3 1
 det  B   3 1 4 
1 2 1
 7 1
T
cof B   1 1

 5 1
 
2
3 1
5 11
5 11 0 
 5  11  6
1 1
1 1 0
11 
 7 1 11 
1

1
5  B  
1 1 5 


6
 5 1 7 
7 
1 2 1   7 1
1
 E2    3 1 4   1 1

6
 2 3 1   5 1
 0 0 6  0
1

0 6 0   0

 
6
 6 0 0  1
11 
 7  2  5 1  2  1 11  10  7 
1
5     21  1  20 3  1  4 33  5  28


6
 14  3  5 2  3  1 22  15  7 
7 
0 1
1 0   E1

0 0 
0

ដូចរនេះ E1  E2  0

1
1 2
E3  CA1  7 7

 2 3
E4  AC 1 កត
0 1
1 0 ។

0 0 
1
 11 1 7  1 0 0 
1
6   5 1 1  0 1 2 
 6
 

 7
1 
1 5 0 0 1 
1
1
C 1 
adjA 
cof C T
det C
det A
2 1
1 7 2 
7 6  C T  2 7 3



1 6 1 
3 1 
 
1
C  7
រោ

 2
1 2 1 1 2 1
det  C   7 7 6  0 7 1  7  1  6
2 3 1 0 1 1
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
,
 
cof C T
 11 1 5 
  5 1 1 


 7
1 7 
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
52
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
1
E4  AC 1   3

 2
1
1
 3
6
 2
រគបាន
2 1
 11
1
1 4   5
 6
 7
3 1 
2 1   11 1
1 4   5 1

3 1   7
1
1 5
1 1 

1 7 
5
1

7 
 11  10  7 1  2  1 5  2  7 
1
 33  5  28 3  1  4 15  1  28 

6
 22  15  7 2  3  1 10  3  7 
 6 0 0  1 0 0 
1
 0 6 12   0 1 2 
 

6
0 0 6  0 0 1 
1 0 0 
E4  0 1 2 


0 0 1 
ដូចរនេះ
រែម៉ាទ្រីសទ្ាស
រគមន
។
E11 , E21 , E31 , E41
E1 A  B , E2 B  A , E3 A  C , E4C  A
រគបាន
E1 A  B  E1  E2 B   B E1E2 B  B   E1E2 B  B 1  BB 1
 E1E2  I  E2  E11
រហើ
E2  E1
( សំ រា
  E3E4C  C 1  CC 1  E3E4  I  E3  E41 , E41  E3
 E3 E4C  C
២៥.
គណ
រគបាន
 E11  E1 , E21  E1
E3 A  C , E4C  A  E3  E4C   C
មយ៉ាងររៀត
ដូចរនេះ
ខាងរេើ )
E11  E1  E2 , E31  E1 , E31  E4 , E41  E3
0 1
A , A កដេ A  1 0

0 1
0 1 0  0
A2  A. A  1 0 1  1


0 1 0  0
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
2
3
។
0
1

0 
1 0  1 0 1 
0 1   0 2 0 
 

1 0  1 0 1 
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
53
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
1 0 1   0 1 0   0 2 0 
0 1 0 
 A3  A2 . A  0 2 0  1 0 1   2 0 2   2 1 0 1 


 



1 0 1  0 1 0  0 2 0 
0 1 0 
3
ទាញបញ្ញ
ា ែ់ថា A  2 A
0 1 0 
A  2 1 0 1   2 A ពិត
រោ


0 1 0 
ទាញបញ្ញ
ា ែ់ថា A គ្នានចទ្មស់
3
ដូចរនេះ
A3  2 A
។
3
1
1
រោ
A  2 A រ េះ A  A3 det A    det A3
2
3
0 2 0
0 2 0


3
3
3
A  2 0 2 រ េះ det A  0 រទ្ េះ det A  2 0 2  0
រោ


 0 2 0 
0 2 0
មនជួរឈររ១
ដូចគ្នន ។ រគបាន det A  0 រ េះ A គ្នានចទ្មស ។
ី និងរ៣
ី
3
២៦.
រែម៉ាទ្រីស
A
កដេ
A មនេំោប់ 2  2 កដេ A2  0
a b 
A
 កដេ A  0 រគបាន
c
d


 a b   a b   a 2  bc ab  bd 
2
A  A. A  
 c d   
2
c
d


  ac  cd bc  d 
 a 2  bc  0 1
 a 2  bc  0 1


 ab  bd  0  2 
 b  a  d   0  2
2
A  0 

 ac  cd  0  3
c  a  d   0  3 
bc  d 2  0
 4   bc  d 2  0  4 

តាង
កត
ទ្រព័នស
ធ មីការរសាៀងផ្លាត់ទ្គប់ែរណីរបើ
មនអាចរទ្
ិ
េះ
A0
រ
a bc d 0
ើ ងចង ់រែម៉ាទ្រីស
ទ្រព័នស
ធ មីការរសាៀងផ្លាត់ទ្គប់ែរណីបដររបើ
ដូចរនេះ ម៉ាទ្រីសកដេរែមនរទ្មង ់
២៧.
a)
រគមន
គណ
តនមា
A0
កត
េះរគបាន
0 0
A

0 0
A2  0
a  b  c  d  0 និង b
0 b 
A
 b 
0 0 
កដេ
A2  0
។
f1, f 2 ,..., f n
f0  1, f1  1, f n1  f n  f n1 , n  1
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
រ
រគបានៈ
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
54
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
f 2  f1  f 0  1  1  2
f3  f 2  f1  2  1  3
f 4  f3  f 2  3  2  5
f5  f 4  f3  5  3  8
f 6  f5  f 4  8  5  13
f 7  f 6  f5  13  8  21
f8  f 7  f 6  21  13  34
f9  f8  f 7  34  21  55
f10  f9  f8  55  34  89
ដូចរនេះ
f 2  2, f3  3, f 4  5, f5  8, f6  13, f7  21, f8  34, f9  55, f10  89
បង្ហាញថា
b)
រគមនៈ
រគបានៈ
AX n  X n1 , n  1
f 
 f 
0 1
A
, X n   n1  , X n1   n 

1 1
 fn 
 f n1 
0 1  f n1   f n 
AX n  
  f    f  កត f n  f n1  f n1
1
1

  n   n1 
 f 
 AX n   n   X n1
 f n1 
បង្ហាញថា
រ
ើ ងស្ស្ក
របើ
របើ
។
ពិត
f 
0 1
An X1  X n1 , A  
, X n   n1 

1 1
 fn 
n
ែំរណើនថា A X1  X n1 ចំរ េះ n  1
0 1  f 0   f1   f1 
n  1 រគបាន AX1  X 2  
     X2
   
1 1  f1   f 0  f1   f 2 
1 1 
1 1   f 0   f1 
n  2 រគបាន A2 X 1  
X

1

1 2  f    f  2 f 
1
2



 1  0
1
ពិត
f1

  f1   f1 

   f  f    f  ពិត
f

f

f
2
 0 1 1  0
 3
n
n1
ឧបមពិតដេ ់ n គឺ A X1  X n1 រ ើ ងនឹងស្ស្ក ថាពិតដេ ់ n  1 គឺ A X1  X n2
រគមនៈ
An X1  X n1
0
 An1 X1  AX n1  
1
n
ដូចរនេះ A X1  X n1 ពិត
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
1  f n   f n1   f n1 


 X n 2
1  f n1   f n  f n2   f n3 
n  1
ពិត
។
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
55
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
គណ
c)
រ
A2 , A3 , A5
0
A
1
0
A2  A. A  
1
1
1
ើ ងមន
និង
A5 X1  X 6
1 0 1 1 1 
1

 A2  




1 1 1 1 2
1
1 1  0 1 1 2
1
3
A3  A2 . A  


A


 

2
1 2 1 1  2 3

1 2 1 1  3 5
3
5
A5  A3. A2  


A


 

5
 2 3 1 2 5 8

រគបានៈ
គណ
រគបាន
រគបាន
ដូចរនេះ
២៨.
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
1
2
2
3
5
8
f 
 f  1
A5 X 1 , X 1   0     , X 6   5 
 f1  1
 f6 
3 5 1  8 
A5 X1  
    
5 8 1 13
f 
8
ិ
រគបានវបាែៈ
A5 X 1     X 6   5 
f
13
 
 6
1 1 
1 2
3 5
A2  
, A3  
, A5  



1 2
 2 3
5 8 
រែម៉ាទ្រីស
B
កដេ
 f5  8

 f 6  13
8
, A5 X 1  X 6   
13
។
BA  I
 1 2
1 0 

4 , I  
រគមន A  3


0 1 

 1 4 
ិ
ិ
រោ
(2,2)
A មនវមទ្ត
 3,2  និង I មនវមទ្ត
 B
រគបាន
ិ
មនវមទ្ត
(2,3)
a c
BA  I  
b d
a c e 
B

b d f 
 1 2
e
   a  3c  e
3
4
 b  3d  f
f  
 1 4 
1
តាងរោ
2a  4c  4e  1 0

2b  4d  4 f  0 1 
 a  3c  e  1

2a  4c  4e  0  2 
រគបាន 
 3
 b  3d  f  0
 2b  4d  4 f  1  4 
តាម (2) និង (1) រគបានៈ a  3c  e  2  c  e   3c  e  1
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
56
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
តាម
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
 c  3e  1  c  1  3e
(3) និង (4) រគបានៈ 2  f  3d   4d  4 f  1
 6 f  2d  1  d 
6 f 1
1
3f 
2
2
 a  2 1  3e   2e  2  6e  2e  2 1  4e  , b  f 
ដូរចែេះ ម៉ាទ្រីស
២៩.
B
2 1  4e  1  3e
B 3
1

8 f
3f 
 2
2
កដេរែគឺ
ែ. គណ
e
 , e, f 
f

A2
a 0 
A
 , a, b 
b
a


a 0  a
2
រគបាន A  A. A  

b a  b
ខ. គណ
A2  2aA  a 2 I
រ
18 f 3 3
  8f
2
2 2
ើ ងមន
រគបាន
0  a2
0



a   2ab a 2 
 a2
a 0 
0
2 1 0 
A  2aA  a I  

2
a

a



0 1 
2
b a 


 2ab a 
 a 2  2a 2  a 2 0   0 0 



0  0 0 
 2ab  2ab
2
2
0 0
A2  2aA  a 2 I  
J ។
0 0
សររសរ A ជាអនុគមននន a , I និង b
ដូចរនេះ
គ.
a
A
b
 a 0  0
 A

 0 a  b
0 0 
A  aI  b 

1 0 
An
គណ
រ
ើ ងមនម៉ាទ្រីស
រ
ឹ ថា
ើ ងដង
រ
េះរ
I  I , n 
n
ើ ងគណ
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
An
0
a 
រគបាន
0
1 0 
0 0 

a

b
0 1 
1 0 
0 




0
រហើ
p  2 , 
1
0
Newton រវាង I និង 
1
1 0 
,I 

0 1 
n
តាមរូបមន្ររ ែធា
p
0
0 0 

0 0 
0 


0
0 
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
57
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
n

0 0  
n
n 1  0 0 

a
I

na
b
រគបាន A   aI  b 


1
0


1 0 


0 0  0 0 
រទ្ េះ p  2 , 


1 0  1 0 
an 0 
 an
0
n
n1  0 0 
ដូចរនេះ
A 

na
b

, n  0
1 0  n1
n
n
0
a
na
b
a






n
៣០.
ិ
ែ. រែវមទ្តរបស់
រោ
ិ
មនវមទ្ត
A
តាម
(1)
រគបាន
ដូចរនេះ
ម៉ាទ្រីស
X
(m, n)
តាង
ិ
មនវមទ្ត
ខ. បង្ហាញថាសំ ណុំេែខខណខ
តាម
កត
1:
៣១.
(m, n)
។
និង
(2)
(1)
AXA  A   AXA  AT
X
xn

y  m
សមមូេនឹង
 3 :
X T AX  AT
T
 AXA
T
រគបាន
ិ
ជាវមទ្តរបស់
( x, y)
 m, n  x, y  m, n    m, n 
X
។
  A. XA   XA AT
T
រែម៉ាទ្រីសការរេំោប់
េះ
 XA
T
 XA
តាម
(2)
)
2  2 កដេ A2  A
x y x y x y
A. A  A  



z t  z t  z t 
 x 2  yz xy  yt   x y 



2
 xz  zt yz  t   z t 
 yz  x 1  x  1
 x 2  yz  x


 xz  tz  z
 z  x  t  1  0  2 

រគបាន  
xy

ty

y

 y  x  t  1  0  3
 yz  t 2  t
 yz  t 1  t   4 
តាមសមីការ (2) និង (3) រគបាន
តាង
 2 :
y
t 
( រទ្
។
XA. AT  AT
x
A
z
T
រគបាន
z  x  t  1  0
រគបានបីែរណីដូចខាងរទ្កាម ៖
z  0
z  0
z  0
ឬ
ឬ 


x  t 1  0
x  t 1  0
x  t 1  0
 3: y  x  t  1  0 រគបានបីែរណីដូចខាងរទ្កាម ៖
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
58
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
y  0

x  t 1  0
ឬ
y  0

x  t 1  0
តាមែរណីខាងរេើរគបាន ៖
ដូចរនេះ
រ
េះ
(1)
ដូចរនេះ
b)
y  0

x  t 1  0
z  0 , x  t 1  0 , y  0
x 1 t , y  0 , z  0
x  0  x  1
 x 1  x   0
 

t  0  t  1
 t  t  1  0
1 0 
1 0 
0 0
0 0
រគបានម៉ាទ្រីស A គឺ A  
,
A

,
A

,
A


0 0
0 1 
0 0
0 1 






និង
(4)
សមីការ
រគបាន
(2)
និងសមីការ
(3)
x 1  x   0 , t 1  t   0
ដូចរនេះ រគបានចរមាើ
c)
ឬ
របើ
y0 រ
េះ
ដូចែរណី
x  t 1  0
រសាៀងផ្លាត់របើ
y0, z 0
រ
។
េះរគបាន
a
រគបាន
t 1 x
y 
 x


ដូចរនេះ ម៉ាទ្រីស A  x 1  x 

1  x
 y

 t 1
d ) របើ y  0 , x  t  1  0 រគបាន 
x  0
និង
z
x 1  x 
y
0 0
z , A  

 z 1
t  0
1 0 
មយ៉ាងររៀត y  0 រ េះ 
និង z , A  

x  1
 z 0
c b 
0

3
0
a
៣២. a ) រែរំ ែ់រន
ំ ងរវាង M និង M កដេ M  c


 b a 0 
និង
រគបាន
c b   0
c b 
0
M 2  M .M   c 0
a   c 0
a



 b a 0   b a 0 
 c2  b2

ab
ac


2
2



ab
 c a
bc


2
2 

ac
bc
 b c



គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨





គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
59
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់


 c2  b2
ab
ac

 M 3  M 2 .M  
ab
 c2  a2
bc


ac
bc
 b2  c2


0
c a 2  b 2  c 2

  c a 2  b2  c2
0

 b a 2  b 2  c 2
a a 2  b2  c2

c b 
0
2
2
2 
  a  b  c c 0
a


 b a 0 






ដូចរនេះ
b)
រគមន







c b 
o

M  c 0
a


 b a 0 
រគបាន



េះ

, 0
0  o
c b   
c b 
 0    c 0 a    c 
a

0    b a 0   b a  
0 0  o
c b    c b 
 0    c 0 a    c  a 
0    b a 0   b a  
0
c
det  I  M   c 
b a

b
 a
c a
c 
a 
c
b
a 
b 
b a


   2  a 2  c   c  ab   b  ac   b 
  3   a 2   c 2  abc  abc   b 2


  3   a 2  b2  c2  0
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨


b a 2  b2  c2 

2
2
2 
a a  b  c


0

។
 I  M  និង  I  M  មនចទ្មស់ចរំ


រគបាន  I  M  0

 0

 I  M   0
និង
 0


M 3   a 2  b2  c 2 .M
បង្ហាញថាម៉ាទ្រីស


c b 
 0

 c 0
a




b

a
0


គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
60
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់

c
det  I  M   c
b

b
 a
c a
c 
a  
c
b
a 
b 
b a

a
  3   a 2   c 2  abc  abc   b 2


  3   a 2  b2  c2  0
រោ
ដូចរនេះ
c)
 I  M  និង  I  M  មនចទ្មស់ ។
ម៉ាទ្រីស
 I  M  មនចទ្មស់
1
1
det N  det   I  M   I  M    det   I  M  .det  I  M 
បង្ហាញថា
រគបាន
N   I  M 
1

det  I  M   0  det  I  M 
រោ
រ
det  I  M   0 និង det  I  M   0
េះរគបាន
ដូរចែេះ
N
បង្ហាញថា
រគមន

det  I  M 
1
1
0
.det  I  M   0
និង
det  I  M   0
មនចទ្មស់ ។
N 1  N t
N   I  M 
N 1   I  M 

N T    I  M 

1
1
1
 I  M  រ
1
 I  M     I  M 

 I  M 
T
T
T
   I  M    I  M  





  I  M T  I  M T 
c b 
o

M  c 0
a
រោ


 b a 0 
1
 I  M  1
T
1
   I  M    I  M  


និង
T
1
T
T
   I   M T   I   M t 



េះរគបាន
1
1
រ
េះរគបាន
T
c b 
c b 
o
 0 c b 
o
M T   c 0
a   c
0  a     c 0
a   M






 b a 0 
 b a


0
 b a 0 
1
t
រគបាន N   I  M  I  M 
 2
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
61
វិទ្យាស្ថានជាតិអប់រំ
1   2  មនន័ ថា ( I  M )1 និង  I  M មនេែខណៈទ្តេប់
1
ចំរ េះ  I  M   I  M 
1
1
តាង C   I  M   I  M    I  M   M   I  2 I 
1
1
   I  M  ( I  M )  2 I  I  M 
រ

ើ ងនឹងបង្ហាញថា
រគបាន

ម៉ាទ្រីស និង ដេទរមីណង់
C   I  2 ( I  M )1
(*)
 I  M  I  M 
1
1
តាង D   I  M  I  M    M   I  2 I  I  M 
ចំរ
1
េះ
រគបាន
 ( I  M )1 ( I  M )  2 I ( I  M )1
D   I  2 ( I  M )1 (**)
តាម (*) និង (**) រគបាន C
ដូចរនេះ រគបាន
គរុនិស្សត
ិ ជំនាន់ទី ១៨
(1)  (2)
D
មនន័
ិ
។ វបាែ
ថា ( I
N 1  N t
 M )1 និង ( I  M ) មនេែខណៈទ្តេប់
។
គណិតវិ ទា និង រូបវិ ទា
62
Download