111 年分科測驗 數學甲考科
111 年度分科測驗詳解
數學甲考科
第壹部分：選擇題
一、單選題
1. log an an +1 = log10n 10n +1 = 1 +
1
n
3
3
1
5
b =  log an an +1 =  (1 + ) = 4
n
6
n =1
n =1
故選(3)
1 −1 1
2. Δ = 2 c 3 = c 2 − c − 6 = (c − 3)(c + 2)
3 −3 c
0 −1 1
1 0 1
1 −1 0
Δx = 1 c 3 = c − 3 ， Δ y = 2 1 3 = c − 3 ， Δz = 2 c 1 = 0
0 −3 c
3 0 c
3 −3 0
當 c = 3 時， Δ = Δ x = Δ y = Δ z = 0  方程式有無限多解
當 c = −2 時， Δ = 0 ， Δ x ≠ 0 且 Δ y ≠ 0  方程式無解
故選(2)


3. 設 P( x, y, z )  OP = ( x, y, z) ， nx = (1, 0, 0)
2

 OP⋅ nx = 1⋅1⋅ cos 45° = x  x =
2
6
2
2 1 1
6
d ( P, y 軸) = x 2 + z 2 =
 x2 + z 2 =  z 2 = − =  z =
3
3
3 2 6
6
故選(4)
1
111 年分科測驗
數學甲考科
二、 多選題
4. ∵ g ( x ) = 0 有虛根  a 2 − 4 < 0  a 2 < 4  −2 < a < 2
 −3 − 2 a + a 2 = 0 ， k − 2 + a = 0
 ( a − 3)( a + 1) = 0 ， k = 2 − a
 a = −1 ， k = 3
 f ( x ) = x 3 + 2 x 2 − 2 x + 3 = ( x + 3)( x 2 − x + 1)
f ( x ) = 0 的根為 −3 或
1 ± −3
2
故選(1)(4)
5. (1) 將 y = 0 代入 Γ 可得 x = −9 或 11，將 x = 0 代入 Γ 可得 y = −9 或 11
 Γ 與 x 軸負向、y 軸負向分別交於 ( −9, 0) 、 (0, − 9)
(2) Γ 上 x 坐標最大的點是 (1 + 101, 1)
(3) 令 A(1, 1) ， Γ 上與原點距離的最大值為 OA + 101
 OA = 12 + 12 = 2
 Γ 上與原點距離的最大值為 2 + 101
(4) Γ 在第三象限內的點與原點的距離不是固定為 9，故無法用 [9, θ ] 表示
(5) Γ 是一個圓，經過旋轉線性變換後還是一個圓，故仍可用一個不含 xy 項的二元二次
方程式表示
故選(1)(3)(5)
 a b  1   3   a b   0   − 3 
6. 
  a = 3，b = − 3 ，c = 3 ，d = 3
  =   ，
  = 
 c d   0   3   c d  1   3 
a b   3

=
 c d   3
(1)
a b
=
c d
3
3
− 3
 cos 30° − sin 30° 
 =2 3

3 
 sin 30° cos 30° 
− 3
3
= 9 + 3 = 12
(2) ∵ OC = 1  OC ′ = 2 3
(3) C ′ 為 C 旋轉 30°  ∠COC ′ = 30°
2
111 年分科測驗
 x′   3 − 3   2 3  9 3 
(4) 令 (x, y ) = (2 3, − 3)    = 

=
  y′ = y
3   −3   −3 
 y ′  3
 x ′   3 − 3   − 3   −2 3 
(5) 令 ( x, y ) = ( − 3, − 1)    = 

=
  y ′ < x′
3   −1   −6 
 y ′  3
故選(2)(4)
7. (1) tan ∠1 =
A′A A′F ′
≠
A′F ′ AA′
(2) sin ∠2 = sin ∠A′AF ′ =
(3) sin ∠3 =
A′F ′ A′F ′
≠
AF ′ AA′
A′F ′ A′F ′
=
AF
AA′
(4) ∵ AA′// FF ′  ∠4 = ∠3  cos ∠4 = cos ∠3 ≠ sin ∠3 =
A′F ′
AA′
F ′B′ FB
=
A′F ′ FA
F ′B′ F ′B′ A′F ′ A′F ′
tan ∠5 = tan ∠F ′BB′ =
=
=
=
BB′ FB
AF
AA′
故選(3)(5)
(5) ∵ AA′// FF ′// BB′  ∠5 = ∠F ′BB′ 
8. (1) ∵ an 不一定等於 6，故錯誤
4n − 1
4n − 1
4n − 1
< 3bn  2bn >
 bn >
，故正確
n
n
2n
4n − 1
) ≤ lim an = 6  lim bn + 4 ≤ 6  lim bn ≤ 2
(3) lim(bn +
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n
(2) bn +
lim an ≤ lim 3bn  3lim bn ≥ 6  lim bn ≥ 2
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
由夾擠定理可知 lim bn = 2 ，故錯誤
n →∞
(4)(5) 令 a10000 = α ， b10000 = β  β + 3.9999 < α < 3β  β > 1.99995
 α > 5.99985 ，故(4)錯誤、(5)正確
故選(2)(5)
數學甲考科
3
111 年分科測驗 數學甲考科
三、選填題
1 1 4 1 1 1
4
9
9. 抽到紅包的機率 P = ⋅ + ⋅ ⋅ =
+
=
5 5 5 5 5 25 125 125
E( X ) =
1 125
=
= 13.8 ≈ 14
P
9
10. 每天至少發其中 1 科  一到四有一天要發 2 科，其餘天數發 1 科
1° 週一發 2 科
 n ( 國文以外的 4 科任排 ) − n ( 英文排在周二 ) = 4 ! − 3 ! = 24 − 6 = 18
2° 週二發 2 科
3
 n ( 週一發國文 ) × n ( 週二發英文以外的 2 科 ) × n ( 週三、四各發 1 科) = 1× C2 × 2 ! = 6
3° 週三發 2 科
 n ( 週一發國文 ) × n ( 週二發英文以外的 1 科 ) × n ( 週三發 2 科 ) × n ( 週四發 1 科)
= 1× C13 × C23 × C11 = 9
4° 週四發 2 科
 n ( 週一發國文 ) × n ( 週二發英文以外的 1 科 ) × n ( 週三發 1 科 ) × n ( 週四發 2 科)
= 1× C13 × C13 × C22 = 9
 18 + 6 + 9 + 9 = 42
11. z = a + bi = cos θ + i sin θ
3 4
令 A(cos θ , sin θ ) ， B (cos 2θ , sin 2θ ) ， C (cos 3θ , sin 3θ ) ， D( − , )
5 5
−3 + 4i 3
−3 + 4i
∵|
−z |=|
− z |  CD = AD  D = B
5
5
3
4
cos 2θ = − ， sin 2θ =
5
5
3
1−
3
5=1
 2 cos 2 θ − 1 = −  cos 2 θ =
5
2
5
5
2 5
 cos θ =
 sin θ =
5
5
5
2 5
故a =
、b =
5
5
4
111 年分科測驗
第貳部分：混合題或非選擇題
12. AD 在平面 BCFE 的投影為 PP′
 PM =
MN − PP′ 40 − 30
=
=5
2
2
 tan ∠AMP =
AP 15
=
=3
MP 5
13. ∵ ΔABC ≅ ΔACQ  TS = SR
SR AH
SR x
2x
=

=  SR =
10 15
3
BC AP
 W 所截之矩形面積 = (30 + TS ) ⋅ SR
= (30 +
14. Pk 面積 = (30 +
2x 2x
4
)⋅
= 20 x + x 2
3
3
9
10k 10k
15
)⋅
， Pk −1 Pk =
n
n
n
n
 黎曼和 = lim  (30 +
n →∞
k =1
10k 10k 15
)⋅
⋅
n
n n
1
=  (100 x 2 + 300 x) ×15dx
0
1
= 1500 ( x 2 + 3x)dx
0
1
1
3
11
= 1500( x 3 + x 2 ) = 1500 ⋅ = 2750
0
3
2
6




15. ∵ | a | + | b | = 9  | b | = 9 − | a | = 9 − x


 
| b |2 + | a |2 − | a − b |2 (9 − x)2 + x 2 − 49
cos θ =
=
 
2(9 − x) x
2| b |⋅| a |
=
2 x 2 − 18 x + 32 x 2 − 9 x + 16
16
=
=
−1
2
2
2(9 x − x )
9x − x
9 x − x2
16
−1 ，1 < x < 8
9 x − x2
−16(9 − 2 x) 32 x − 144
 f ′( x) =
=
，1 < x < 8
(9 x − x 2 )2
(9 x − x 2 )2
f ( x) =
數學甲考科
5
111 年分科測驗 數學甲考科
9
16. f ′( ) = 0
2
當1 < x <
9
時， f ′( x) < 0  f ( x) 遞減
2
9
當 < x < 8 時， f ′( x) > 0  f ( x) 遞增
2
故當 x =
9
17
時， f ( x) 有最小值 = − ，此時 θ 最大
2
81
17. f ( x) ≈ f ′(a)( x − a) + f (a)
 f (4.96) ≈ f ′(5)(4.96 − 5) + f (5) = 0.04 ⋅ (−0.04) + (−0.2) = −0.2016
6