Udvalgte nyttige formler - Statistik
Prædiktionsinterval (PI)
Risikodifferens
En normalfordelt stikprøve:
RD = 𝑝1 − 𝑝0
√︀
̂︂ = se(^
se(RD)
𝑝1 )2 + se(^
𝑝0 )2
95%-PI: 𝑥
¯ ± 1.96 · sd
95%-CI(RD):
Sikkerhedsinterval (CI)
95%-CI:
̂︂ ± 1.96 · se(RD)
̂︂
RD
Test for hypotesen: RD = 0
𝑥
¯ ± 1.96 · sem
sd
sem = √
𝑛
𝑧=
̂︂
RD
̂︂
se(RD)
Sammenligning af to middelværdier
To uafhængige normalfordelte stikprøver:
̂︁ = 𝑥
diff
¯1 − 𝑥
¯2
√︁
̂︁ = sem2 + sem2
se(diff)
1
2
ln (𝑥 · 𝑦) = ln 𝑥 + ln 𝑦,
Test for hypotesen: diff = 0
ln
𝑥
𝑥
= ln 𝑥 − ln 𝑦, eller = 𝑒ln 𝑥−ln 𝑦 = 10log 𝑥−log 𝑦
𝑦
𝑦
̂︁
diff
̂︁
se(diff)
Relativ risiko
Sammenligning af to uafhængige størrelser
RR =
Generelt (middelværdi, diff, 𝑝, 𝛽, RD, OR, RR):
est1 − est2
𝑧 = √︀
se(est1 )2 + se(est2 )2
√︂
̂︂ =
se(ln (RR))
95%-CI(RR):
Test af en fast værdi
1
1
1
1
−
+
−
𝑎1
𝑛1
𝑎0
𝑛0
̂︂ ± 1.96 · se(ln (RR))}
̂︂
exp {ln (RR)
Test for hypotesen: RR = 1
Test af hypotese H: 𝜃 = 𝜃0
𝑧=
(𝜃 er for eksempel en middelværdi 𝜇, 𝛽, 𝑝, RD, ...)
𝜃^ − 𝜃0
^
se(𝜃)
odds =
Skadet
Ja Nej
𝑎1
𝑏1
𝑎0
𝑏0
Proportion
̂︂
ln (RR)
̂︂
se(ln (RR))
Odds ratio
Antalstabel
Eksponeret
Ja
Nej
𝑝1
𝑝0
̂︂ ± 1.96 · se(ln (RR))
̂︂
95%-CI(ln (RR)): ln (RR)
Husk 𝑙𝑛 ved OR og RR.
𝑧=
ln 𝑥𝑎 = 𝑎 · ln 𝑥
𝑒𝑎+𝑏·𝑦 = 𝑒𝑎 · 𝑒𝑏·𝑦 = 𝑒𝑎 · (𝑒𝑦 )𝑏
̂︁ ± 1.96 · se(diff)
̂︁
95%-CI(diff): diff
𝑧=
Den naturlige logaritme og titalslogaritmen
I alt
𝑛1
𝑛0
𝑝
,
1−𝑝
𝑝=
odds
1 + odds
𝑝1
𝑝0
̂︂ = 𝑎1 · 𝑏0 )
/
(OR
1 − 𝑝1 1 − 𝑝0
𝑎0 · 𝑏1
√︂
1
1
1
1
̂︂ =
se(ln (OR))
+
+
+
𝑎1
𝑏1
𝑎0
𝑏0
OR =
Prævalensproportion eller kummuleret incidens proportion.
𝑎1
̂︂ ± 1.96 · se(ln (OR))
̂︂
95%-CI(ln (OR)): ln (OR)
𝑝^1 =
𝑛1
√︃
̂︂ ± 1.96 · se(ln (OR))}
̂︂
95%-CI(OR): exp {ln (OR)
𝑝^1 · (1 − 𝑝^1 )
se(^
𝑝1 ) =
Test for hypotesen: OR = 1
𝑛1
95%-CI(𝑝1 ):
𝑝^1 ± 1.96 · se(^
𝑝1 )
𝑧=
̂︂
ln (OR)
̂︂
se(ln (OR))
Test i R×C-tabeller
Tosidet variansanalyse (twoway ANOVA)
∑︁
𝑋2 =
alle celler
Kontinuert respons 𝑦 og 𝑘 grupper (G) under
𝑛 forsøgsomstændigheder (F).
rækkesum · søjlesum
total
forventet =
(observeret − forventet)2
forventet
𝑦 = 𝜇G,F + fejl
Hypotese:
H: 𝜇G,F = 𝛼G + 𝛽F
𝑝-værdi findes i en 𝜒2 -fordeling med (𝑅 − 1) · (𝐶 − 1)
Stikprøvestørrelsesberegning
frihedsgrader.
To middelværdier fra to uafhængige stikprøver
Simpel lineær regression
Signifikansniveau
𝛼
Styrke
1−𝛽
Standard deviation 𝜎
Forskel
𝛿
[︁ 𝜎 ]︁2
𝑛 = 𝑓 (𝛼, 𝛽) · 2 ·
𝛿
Kontinuert respons 𝑦.
forventet 𝑦 = 𝛼 + 𝛽 · 𝑥
eller
𝑦 = 𝛼 + 𝛽 · 𝑥 + fejl
^
95%-PI(𝑥): 𝛼
^ + 𝛽 · 𝑥 ± 1.96 · sdres
𝛼∖𝛽
0.10
0.05
0.02
0.01
sd2 − sd2res
R2 =
sd2
Korrelation
1
ln
2
{︂
}︂
1+𝑟
,
1−𝑟
se(𝑧𝑟 ) = √
1
𝑛−3
95% − CI(𝑧𝜌 ) : [𝑧𝑟 − 1.96 · se(𝑧𝑟 ) , 𝑧𝑟 + 1.96 · se(𝑧𝑟 )]
Omregnes til CI for 𝜌 ud fra:
𝑟=
exp (2𝑧𝑟 ) − 1
exp (2𝑧𝑟 ) + 1
R2 = 𝑟2 og
𝑧=
0.50
2.7
3.8
5.4
6.6
Type II fejl: Acceptere en falsk hypotese. Risikoen for
en type II fejl = 𝛽.
Måler styrken af den lineære sammenhæng
𝑧𝑟 =
over 𝑓 (𝛼, 𝛽)
0.10 0.20
8.6
6.2
10.5
7.8
13.0 10.0
14.9 11.7
Type I fejl: Forkaste en sand hypotese. Risikoen for en
type I fejl = 𝛼.
Pearson korrelation (𝜌):
Estimat 𝑟,
Tabel
0.05
10.8
13.0
15.8
17.8
√
𝛽^
𝑟
= 𝑛 − 2√
^
1 − 𝑟2
se(𝛽)
Multipel lineær regression
Kontinuert respons 𝑦.
𝑦 = 𝛼 + 𝛽1 · 𝑥1 + . . . + 𝛽𝑚 · 𝑥𝑚 + fejl
Person A relativ til Person B:
SE generelt
se bestemt ud fra et sikkerhedsinterval:
øvre − nedre
se =
2 · 1.96
Husk ln til grænserne ved relative størrelser.
Fortolkninger
95%-PI: Indeholder de midterste 95% af observationerne. Ved en ny stikprøve af målpopulationen vil 95% af
data ligge i dette interval. Formlen 𝑥
¯ ± 1.96 · sd kræver
normalfordelte data.
95%-CI: Indeholder den sande værdi af parameteren
med 95% sandsynlighed. Den sande værdi er det estimat vi ville få hvis vi kunne observere alle i målpopulationen.
𝛽: Den forventede forskel i respons mellem to personer
som kun adskiller sig ved at den ene har en 𝑥-værdi
som er 1 højere end den anden.
forventet forskel =
𝛽1 · (𝑥A1 − 𝑥B1 ) + . . . + 𝛽𝑚 · (𝑥A𝑚 − 𝑥B𝑚 )
Accept af H: 𝛽 = 0 betyder, at der ikke er signifikant
sammenhæng mellem 𝑥 og 𝑦 udover hvad der kan forklares af de øvrige variable.
𝑦 = 𝛼G + fejl
p−værdi: Sandsynligheden for at få det estimerede
(aktuelle estimat) eller noget der er længere væk fra hypotesen såfremt hypotesen er sand. Typisk siger man
at hypotesen forkastes hvis 𝑝−værdien er mindre end
0.05.
H: 𝛼1 = 𝛼2 = · · · = 𝛼𝑘
Husk at formulere fortolkningerne ud fra den
konkrete problemstilling.
Ensidet variansanalyse (oneway ANOVA)
Kontinuert respons 𝑦 og 𝑘 grupper (G).
Hypotese: