НОРКО А. В. ГР. №13
Р ЕФЕРАТ № 7
Эмпирические и теоретические кривые обеспеченности
По кривым распределения можно определить частоту, или вероятность,
появления переменной величины в заданном интервале. В практике гидрологических исследований задачи чаще ставятся иначе. Необходимо определить
частоту, или вероятность, появления исследуемой переменной, большей или
равной заданному значению. Такие задачи решаются на основе кривых обеспеченности. Кривые обеспеченности бывают эмпирическими и теоретическими.
Эмпирическая кривая – это кривая, для построения которой используются
данные фактических наблюдений. Эмпирические кривые обеспеченности
строятся по эмпирическим кривым распределения и представляют собой
суммарные значения частоты появления переменной начиная от максимального до наименьшего значения переменной в ряду наблюдений.
Эмпирические кривые обеспеченности могут быть построены двумя способами. Для случаев с длинными рядами (n > 100) построение эмпирической
кривой обеспеченности производится следующим образом. Из ряда переменной величины выбираются ее максимальное и минимальное значения и вычисляется размах (амплитуда) изменения переменной R = xmax – xmin. Полученную амплитуду разбивают на интервалы, или группы. Число интервалов
назначается в зависимости от объема материала и от амплитуды. Обычно
назначается порядка 15–20 интервалов. Границы интервалов записываются,
начиная от максимального значения переменной.
Далее подсчитывается число случаев попадания переменной в каждый интервал. Очевидно, что сумма числа случаев по всем интервалам равна общей
сумме вариантов. Составленная таким образом таблица дает распределение
абсолютных частот и называется таблицей эмпирического распределения.
Выражая абсолютные частоты в процентах от общей суммы вариантов, получаем распределение относительных частот.
Последовательно суммируя абсолютные и относительные частоты по интервалам, начиная от максимального интервала, получаем абсолютные и относительные накопленные частоты, или обеспеченности.
Эмпирические распределения и обеспеченности можно представить в виде
графиков. При их построении на оси ординат обычно откладываются интервалы переменной, а по оси абсцисс – частота или ее выражение в процентах.
График распределения частот строится в виде прямоугольников и называется, как было отмечено, гистограммой. Табличное и графическое изображение частот называется эмпирическим распределением.
График нарастания частот строится в виде плавной линии. Значения
накопленных частот в гидрологии обычно относятся к нижним границам интервалов. Такая кривая показывает повторяемость переменной выше или ниже заданного значения и в относительном выражении – обеспеченность переменных, больших или равных заданному значению.
Табличное и графическое изображение нарастания частот называется эмпирической кривой обеспеченности.
Порядок обработки длинных рядов наблюдений (n > 100) и построения
эмпирической кривой обеспеченности рассмотрим на следующем примере.
Исходные данные – измеренные характеристики снежного покрова в 1024
точках (табл. 1).
Таблица 1
№
точек
п/п
0
1
2
3
…
506
507
508
…
1022
1023
Характеристики снежнoго пoкрова в точках измерений
Запас воды, мм
Угодье, элемент
Плотность
Высота
в
рельефа, характеснега,
суммарснега, см
в снеге
ледяной
3
ристика леса
г/см
ный
корке
11
0,34
37
8
45
Равнина, зябь
1
0,38
4
–
4
То же
3
0,38
11
–
11
»
11
0,38
42
–
42
»
…
…
…
…
…
…
Склон, лес,
147
0,30
441
–
441
С экспозиция
36
0,30
108
–
108
То же
100
0,30
300
–
300
»
…
…
…
…
…
…
28
0,45
126
–
126
Склон, озимые,
С–В экспозиция
22
0,43
95
–
95
То же
Из таблицы 1 выбраны максимальное и минимальное значения суммарных
запасов воды в снеге. Они равны соответственно 441 и 4 мм. Амплитуда изменения запасов воды разбита на интервалы по 20 мм. Далее подсчитано
число точек измерения в пределах каждого интервала и нарастающая сумма
числа точек по мере уменьшения запасов воды в снеге по интервалам.
В таблице 2 приведен расчет распределения и нарастания числа точек с
максимальными снегозапасами в пределах интервалов. При пересчете в проценты за 100% принималось общее число точек измерений, т. е. 1024. На рис.
1 приведены график распределения и кривая обеспеченности запасов воды в
снеге, построенные по данным табл. 2. При построении кривой обеспеченности значения обеспеченностей относились к нижним границам интервалов.
По кривой обеспеченности можно определить значения снегозапасов заданных обеспеченностей. Например, запас воды в снеге 102 мм имеет обеспеченность 20%, 44 мм – 80%.
Таблица 2
Распределение по площади водосбора суммарных запасов воды в
снежном покрове (включая ледяную корку)
Запас воды
по интервалам, мм
Наиб. 441
460–441
440–421
…
200–181
180–161
160–141
140–121
120–101
100–81
80–61
60–41
40–21
20–4 наим.
Сумма
Распределение числа точек по интервалам
число
%
1
1
…
0
3
13
54
140
141
239
182
145
99
1024
0,1
0,1
…
0
0,3
1,2
5,3
13,7
13,8
23,3
17,8
14,1
9,7
100
Нарастание
числа точек по интервалам
число
%
1
2
…
8
11
24
78
218
359
598
780
925
1024
0,1
0,2
…
0,8
1,1
2,3
7,6
21,3
35,1
58,4
76,2
90,3
100
Однако изложенный прием построения эмпирической кривой обеспеченности дает удовлетворительные результаты только при большом числе членов ряда. Часто в гидрологических исследованиях эмпирические кривые
обеспеченности строятся и для коротких рядов. В этих случаях для расчета
эмпирической кривой обеспеченности применяется следующий прием.
Переменные исходного ряда располагаются в убывающем порядке. Для
каждого значения переменной ранжированного таким образом ряда вычисляется эмпирическая обеспеченность (в процентах) по формуле
𝑃𝑚 =
𝑚
100%
𝑛
где n – общее число членов ряда; m – порядковый номер рассматриваемого
члена в ранжированном ряду.
Рис.1. График распределения (1) и кривая обеспеченности (2) максимальных запасов
воды в снеге
Формула используется в случаях, когда представлены все возможные значения переменной, что не всегда бывает. Поэтому в практических расчетах
для определения обеспеченности используются иные формулы. Так, согласно
СНиП 2.01.14–83, эмпирическая вероятность превышения Pm гидрологических характеристик (величин) определяется по формуле
m
Pm =
100%.
n 1
По значениям переменной xi и соответствующим им обеспеченностям
строят эмпирическую кривую обеспеченности, откладывая в выбранном
масштабе по вертикальной оси значения xi, по горизонтальной – Pm.
Вид кривой обеспеченности для каждого гидрологического объекта (переменной гидрометеорологической величины) индивидуален и обычно не зависит от длительности наблюдений. Поэтому кривую обеспеченности условно можно считать устойчивой характеристикой изменчивости гидрологических величин. Эта особенность кривой обеспеченности позволяет утверждать, что вероятность колебания рассматриваемой гидрологической величины останется в будущем такой же, как она получилась по материалам за
прошлые годы. Из этого следует, что кривая обеспеченности позволяет прогнозировать, т. е. дает возможность учитывать при проектировании сооружений желательную изменчивость гидрологической величины.
По кривой вероятности превышения для какой-либо гидрологической величины x, откладываемой по оси ординат, можно определить время (%), на
протяжении которого любое рассматриваемое значение величины x было
равно этому значению или превышало его.
Величина, которая показывает, за сколько лет в среднем будет превышено
значение данной гидрологической характеристики, называется повторяемостью (П).
При обеспеченности Pm ≤ 50% повторяемость определяется по формуле
100
П=
𝑃𝑚
а при Pm > 50% – по формуле
П=
100
100 − 𝑃𝑚
Допустим, что какая-либо величина x1 будет иметь вероятность превышения Pm = 1%. Это значит, что только один раз в 100 лет будет наблюдаться
значение x ≥ x1. Для величины x0,1, что соответствует Pm = 0,1%, только один
раз в 1000 лет будет наблюдаться значение x ≥ x0,1. С другой стороны, величина x99 с вероятностью превышения Pm = 99% будет гарантирована 99 лет из
100 (99 раз из 100 x ≥ x99) и только один год из 100 величина x может быть
меньше x99 (x < x99).
Вероятность превышения принимают в зависимости от характера сооружения и его значимости. Так, гидротехнические сооружения в соответствии
со СНиП II–50–74 «Гидротехнические сооружения речные» делят на четыре
класса (I–IV). Класс устанавливают в зависимости от народнохозяйственного
значения сооружений с учетом последствий при их аварии или нарушении их
эксплуатации. При расчете сооружений I-го класса в качестве расчетного
максимального расхода принимается расход с обеспеченностью Pm = 0,01%;
II-го – 0,1%; III-го – 0,5% и IV-го – 1%. Для небольших гидросооружений
(плотины малых прудов, противоэрозионные сооружения и др.) значения
максимальных расходов воды принимают в пределах 5–10%. Обеспеченность
устанавливается строительными нормами и правилами (СНиП) и специальными инструкциями различных ведомств.
Эмпирические кривые обеспеченности, построенные в прямоугольных координатах, имеют сложные выпукло-вогнутые очертания. На концах эти кривые при незначительных приращениях обеспеченности имеют большие приращения аргумента. Это затрудняет выполнение графического сглаживания и
особенно экстраполяцию кривых в зонах малых и больших обеспеченностей,
не освещенных материалами наблюдений. Экстраполяция – распространение
закономерностей изменения переменной за пределы ряда фактических
наблюдений.
Эмпирические кривые обеспеченности широко используются в гидрологии для решения ряда практических задач, связанных с использованием фактических данных и не требующих определения значений переменных за пределами ряда наблюдений.
Для решения задач, связанных с экстраполяцией кривых обеспеченности,
используются теоретические кривые обеспеченности. В практике гидрологических исследований применяется несколько типов теоретических кривых,
которые могут быть использованы для сглаживания и экстраполяции эмпирических кривых обеспеченности. Согласно СНиП 2.01.14–83, рекомендуется
для этих целей применять трехпараметрическое гамма-распределение при
любом соотношении Cs / Cv.
Обычно для выбора кривых определяются три параметра: среднеарифметическое значение переменной x , коэффициент вариации Cv и коэффициент
асимметрии Cs.
Оценка репрезентативности (достоверности) данных наблюдений для
установления параметров кривых обеспеченности производится путем расчета относительных средних квадратичных ошибок параметров.
Средняя квадратическая ошибка среднего арифметического (ε x , %) вычисляется по формуле
C
ε x = v 100 %
n
Относительная средняя квадратическая ошибка коэффициента вариации
(ε C , %) определяется по формуле
v
1  C v2
100%
2n
Длина вариационного (статистического) ряда считается достаточной для
дальнейших расчетов, если ε x ≤ 5–10%, а ε C ≤ 10–15%.
εC =
v
v
Следует учесть, что при ε x ≤ 5–10% среднеарифметическое значение переменной величины ( x ) можно считать нормой (x0). Различие между ними
состоит в том, что значение x можно использовать только в пределах той совокупности, по данным которой оно получено, а x0 (норма) свидетельствует
об устойчивом значении переменной величины и может использоваться при
прогнозных расчетах (например, норма стока воды в реке – это среднее значение стока за многолетний период).
Теоретические кривые обеспеченности получены путем обработки эмпирических данных. В специальной литературе приводятся ординаты теоретических кривых (модульные коэффициенты Kр) или отклонения ординат от
среднего значения (Фр). Для построения теоретических кривых обеспеченности c помощью вычисленных по эмпирическим рядам параметров x , Cv и Cs
выписываются соответствующие модульные коэффициенты Kр или отклонения ординат (Фр) от среднего значения.
Для случаев кратного соотношения Cs / Cv в вышеуказанных работах для
основных соотношений Cs / Cv даются значения модульных коэффициентов
Кр как функции Cv. При некратном соотношении Cs / Cv в таблицах даются
значения нормированных отклонений ординат теоретических кривых от
среднего значения, т. е. величины Фр, по которым вычисляются модульные
коэффициенты Kр по формуле
Kр = ФрСv + 1
По значениям модульных коэффициентов вычисляются абсолютные значения переменной (xp) по формуле
xp = Kр x ,
где x – среднее значение переменной.
При построении теоретической кривой значения обеспеченности откладываются по оси абсцисс, а соответствующие им значения переменной в абсолютном выражении или модульные коэффициенты – по оси ординат.
Преимущество и необходимость построения теоретических кривых обеспеченности состоит в том, что они позволяют не только сглаживать, но и экстраполировать эмпирические данные.