Curso de Apoyo en Matemática
8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS
La palabra trigonometría proviene del griego trí = tres, gonon = ángulo y metria =
medida. Es la parte de la Matemática que nos ayuda a resolver problemas relacionando y
haciendo cálculos con las medidas de los lados y los ángulos de un triángulo.
En esta Unidad estudiaremos dos sistemas de medición de ángulos para luego recordar las
principales funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, observando su relación en los
distintos cuadrantes. Finalmente, las funciones trigonométricas inversas nos permitirán obtener el
valor de un ángulo conociendo su ubicación y el valor de la función.
Todos estos recursos nos ayudarán a resolver problemas como el siguiente.
¿Cómo medir el ancho de un río sin cruzarlo?
Supongamos que se tienen aparatos para medir distancias y para medir ángulos pero no se
puede cruzar el río. Además la orilla es escarpada y sólo es posible moverse perpendicularmente al
río, donde hay un camino. ¿Cómo medir el ancho del río?
Este y otros problemas similares han podido ser resueltos desde la antigüedad utilizando las
relaciones trigonométricas entre los ángulos y los lados de los triángulos. En esta Unidad
recordaremos algunas de ellas.
8.1. Ángulos
Un ángulo α en el plano es la re gión determinada por dos
semirrectas l 1 y l 2 con origen común O, cuando se hace
girar el lado inicial l 1 hasta el lado final l 2 en el sentido
contrario al de las agujas del reloj. Este sentido también es
llamado antihorario. l 1 se denomina lado inicial y l 2 lado
Ángulo
Ejemplo:
Ángulo nulo
l 1 coincide con l 2.
Página 134
∧
final de α y lo denotamos por α = A O B.
Trigonometría
Ángulo recto
l 2 es perpendicular a l 1.
Ángulo llano
l 2 es opuesta a l 1.
Ángulo de 1 giro
.l 1 coincide con l 2 después de un
giro.
∧
Si colocamos el origen de un ángulo α = AO B en el origen de coordenadas y hacemos coincidir el
lado inicial l1 con el semieje positivo de las x, entonces el lado terminal l2 quedará en algún
cuadrante.
l 2 está en el primer cuadrante.
l 2 está en el segundo cuadrante.
De esta manera, podemos hablar del cuadrante al que pertenece un ángulo α.
Por definición, los ángulos agudos son los que pertenecen al primer cuadrante.
Página 135
Curso de Apoyo en Matemática
8.1.1. Sistemas de Medición de Ángulos
Para medir la amplitud de un ángulo tenemos diferentes sistemas de medición.
El sistema sexagesimal consiste en tomar como unidad de
medida la 90-ava parte de un ángulo recto.
Sistema
Sexagesimal
Se denomina a dicha unidad grado sexagesimal y se la
denota 1º.
A la 60-ava parte de un grado se la llama minuto y se la
denota 1' ; y la 60-ava parte de un minuto se la denomina
segundo y se denota 1''.
Si se requiere más precisión se consideran décimas,
centésimas, etc. de segundo.
Ejemplos:
1) Un ángulo recto mide 90º.
2) Un ángulo llano mide 180º.
3) Expresemos en grados, minutos y segundos el ángulo que
mide 30,28º.
En principio separamos la parte entera
y la parte decimal de 30,28º
30,28º = 30º + 0,28º
Ahora, usando proporcionalidad
directa calculamos
cuántos minutos son 0,28º.
1º → 60'
0,28º → 60' . 0,28 = 16,80'
Separando luego la parte entera y la
parte decimal de los minutos.
= 16' + 0,80'
Con la regla de tres simple calculamos
cuántos segundo son 0,80'
1' → 60''
0,80' → 60'' . 0,80 = 48''
Consulta el manual de tu calculadora
para poder expresar 30,28º
como 30º 16' 48''
Así obtenemos:
30,28º = 30º 16' 48''
Otra unidad de medida de ángulos, de uso frecuente es el radián.
Sistema
Radial
Un radián representa la medida de un ángulo central de
una
circunferencia, de modo tal que la longitud del arco
comprendido sea igual al radio de la circunferencia y se
denota por 1 rad.
El siguiente cuadro muestra la correspondencia entre las longitudes de distintos arcos de
circunferencia y sus correspondientes ángulos centrales medidos en radianes.
Página 136
Trigonometría
longitud del arco AB =
longitud del radio 0A
Longitud del arco
↔
Ángulo central
1 radio
↔
1 rad.
2 radios
↔
2 rad.
2π radios
↔
2π rad.
Se podría llegar a pensar que el valor de un radián depende de
la circunferencia elegida para formular la definición.
Observemos sin embargo que si el radio de una circunferencia
se duplica, su longitud también se duplica.
2 π (2 r) = 2 (2 π r)
En consecuencia, el arco correspondiente a un ángulo central
también se duplica.
Siguiendo este razonamiento, podemos afirmar que nuestra
definición no depende de la circunferencia elegida.
PASO DE RADIANES A GRADOS Y DE GRADOS A RADIANES
Siguiendo la definición, a un ángulo de 2 radianes le
corresponderá un arco de circunferencia que mide dos veces el
radio.
En símbolos,
360º = 2 π rad
Longitud del arco
↔
Ángulo central
2 radios
↔
2 rad.
Como la longitud de la circunferencia es 2 π r, el número de
radianes de un ángulo de un giro es 2 π , ya que es el número
de veces que el radio está contenido en la longitud de la
2π r
circunferencia, es decir,
= 2π .
r
Longitud del arco
↔
Ángulo central
2π radios
↔
2π radios
Página 137
Curso de Apoyo en Matemática
Otras equivalencias entre los dos sistemas son:
1º =
2π
rad
360
1 rad =
360
2π
Ejemplos:
a) Veamos cuántos radianes son 225º .
360º → 2 π rad
225º →
2 π rad x 225º
5
=
π rad
360º
4
b) Veamos cuántos grados son
2 π rad → 360º
π
rad →
6
360º
2π
π
radianes
6
π
6 = 30º
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
1) ¿A qué cuadrante pertenecen los siguientes ángulos?
300º, 192º, 93º, 180º 1', 150º, 35º
2) Expresar en grados, minutos y segundos los ángulos que miden 23,18º , 107,03º
3) Dibujar el triángulo de vértices
A (0 , 0)
B (2 , 0)
C (1 ,
ˆ mide 60º.
Probar que es equilátero y que en particular el ángulo A
3)
4) Encontrar un punto P(x , y) del primer cuadrante de tal manera que la semirecta l2 de origen O
y que pasa por P determine un ángulo de 30º.
5) Completar la siguiente tabla:
Grados
Radianes
0
0
30º
90º
π
4
π
3
6) ¿Cuántos grados mide un radián?.
Página 138
135º 150º
2
π
3
240º 270º
π
360º
5
π
3
2π
Trigonometría
7) En una circunferencia de 10 cm de radio, un arco mide 6 cm. ¿Cuánto mide, en grados y en
radianes, el ángulo correspondiente?.
8) Un ángulo mide 3 radianes. Si dibujamos su arco tomando un radio de 5 cm, ¿cuánto medirá
dicho arco?.
8.2. Funciones trigonométricas de un ángulo
Si tomamos un ángulo α con lado terminal l2 y
punto sobre l2 , la distancia de P al origen es
l2
y
P(x , y) un
P(x, y)
r
r=
α
x
0
El cociente
Seno
Coseno
l2
P
y
y
se llama seno de α y se denota:
r
sen α =
y el cociente
x2 + y2
x
r
y
ordenada de P
=
r
distancia de P al origen
se llama coseno de α y se denota:
cos α =
x
r
=
abscisa de P
distancia de P al origen
Estos cocientes aparentemente dependen del punto P(x , y)
elegido sobre l2 , pero no es así, pues dependen únicamente del
ángulo α.
y’
En efecto, si P'(x' , y') es otro punto sobre l2 , observemos las
figuras de la izquierda.
α
0
x’
x
∆
∆
Como los triángulos rectángulos PX0 y P' X'0 donde
X = (x , 0) y X’ = (x’ , 0) son semejantes, los lados son
Página 139
Curso de Apoyo en Matemática
X = (x , 0) y X’ = (x’ , 0)
proporcionales, luego:
l2
P
y
P’
y’
x’
r=
x
r’ =
=
r
x'
r'
y
y'
=
r
r'
y
α
r
x
x
son semejantes, los lados son
0
2
+y
2
Como cos α =
x
r
muestran que cos α
elegido sobre la recta.
2
2
x' + y'
y
, las igualdades anteriores
r
y sen α son independientes del punto
y sen α =
Para pensar...
A partir de las definiciones se deduce que:
- 1 ≤ sen α ≤ 1
,
- 1 ≤ cos α ≤ 1
¿Por qué?
Además, podemos obtener la relación fundamental
x2
sen2 α + cos2 α =
r2
+
y2
r2
=
x2 + y 2
r2
=
r2
r2
= 1
es decir,
Relación
Fundamental
Ejemplo:
Sea α el ángulo cuyo lado terminal l2 pasa por P(2 , 3).
Entonces:
y
l2
3
sen2 α + cos 2 α = 1
P
r =
α
0
2
x
sen α =
3
13
2 2 + 32 =
13
,
cos α =
2
13
En este ejemplo se calcularon las funciones trigonométricas de un ángulo cuya medida no se conoce.
Ahora veremos cómo se pueden calcular los valores de las funciones trigonométricas para los
ángulos de 30º, 45º y 60º.
Página 140
Trigonometría
Ejemplo: ángulo de 45º
y
l2
1
P(1, 1)
Como r =
r
45º
0
sen 45º =
x
1
12 + 12 =
1
=
2
2 , entonces
2
2
cos 45º =
1
=
2
2
2
Ejemplo: ángulo de 60º (recordar el ejercicio 3 )
y
l2
3
P(1,
Como r =
3)
12 +
( 3)
2
=
4 = 2, entonces
r
60º
0
1
sen 60º =
x
3
2
cos 60º =
1
2
A partir de las funciones seno y coseno es posible obtener una nueva función llamada la tangente
del ángulo α , definida por:
Tangente
Tangente
tg α =
sen α
cos α
O sea
Observemos que....
y
sen α
y
ordenada de P
tg α =
= r =
=
x
cos α
x
abscisa de P
r
como no se puede dividir por 0,
debemos excluir los ángulos
de 90º y 270º.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
9) Mostrar que:
1
sen 30 º =
2
;
cos 30º =
3
2
Recordar el ejercicio 4.
10) Mostrar que:
sen 0º = 0
sen 90º = 1
sen 180º = 0
sen 270º = -1
;
;
;
;
cos 0º = 1
cos 90º = 0
cos 180º = -1
cos 270º = 0
Página 141
Curso de Apoyo en Matemática
11) Hallar la tangente de los ángulos que miden: 0º , 30º , 45º , 60º
12) Hallar sen α, cos α y tg α , si α es el ángulo cuyo lado terminal l2 pasa por P(- 2 , 3).
Para las aplicaciones es importante conocer los valores de las funciones trigonométricas de
cualquier ángulo. Los métodos para calcularlos no son elementales y se basan en el cálculo
infinitesimal; dichos métodos permiten calcular los valores con la precisión que se quiera.
No obstante, una calculadora común da los valores con una aproximación que resulta muy buena
para la mayoría de los problemas.
Para los ángulos especiales de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º es conveniente usar los valores exactos
calculados con anterioridad.
8.3. Triángulos Rectángulos
β
Consideremos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a
y b y su hipotenusa c. Sean α y β sus ángulos agudos.
c
α
b
α y β se dicen ángulos complementarios y su suma es
siempre
α + β = 90º.
Las relaciones entre estas cantidades que conviene tener
presente son:
Teorema de
Pitágoras
c2 = a2 + b2
Las definiciones de las
funciones trigonométricas
sen α =
a
c
cos α =
b
c
tg α =
a
b
y las correspondientes para β.
sen β =
b
c
cos β =
a
c
tg β =
b
a
La suma de los ángulos interiores de
un triángulo vale 180º; por lo que en
un triángulo rectángulo:
Página 142
β = 90º - α
Trigonometría
Relaciones
trigonométricas
de ángulos
complement a rios
Ejemplo:
A partir del triángulo anterior y usando las relaciones
mencionadas, obtenemos:
b
sen (90º - α) = sen β = = cos α
c
a
cos (90º - α) = cos β = = sen α
c
b
1
tg (90º - α) = tg β = =
a
tg α
Veamos ahora cómo podemos hallar los ángulos de un
triángulo rectángulo, si se conocen sus lados.
Ejemplo:
Supongamos que
a = 3 , b = 4
Pitágoras,
c = 5. Queremos hallar el valor de α .
por el teorema de
5
3
De la definición de las funciones trigonométricas tenemos que
α
4
tg α =
Este valor de α, también se podría
haber hallado a partir del seno y
coseno de ángulos agudos, es decir:
sen α =
y,
3
y α = arc sen
5
3
3
4
Denotamos por
α = arc tg
el ángulo agudo cuya tangente es
5
3
4
3
.
4
Su valor numérico
cos α =
4
y α = arc cos
5
4
5
α = 36,86º = 36º 51' 36''
puede ser hallado utilizando la calculadora.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
13) Calcular sen α, cos α y tg α en los siguientes casos.
a) a = 5 ; b = 3.
b) a = 6 ; c = 10.
Página 143
Curso de Apoyo en Matemática
14)
a) Si sen α =
1
y a = 2 , calcular el valor exacto de b y c.
3
b) Si tg β = 2 y a = 2 , calcular el valor exacto de b y c.
c) Calcular el valor exacto del área del triángulo si c = 1 y cos β =
1
.
4
15)
a) Hallar el área de un triángulo rectángulo en el cual un ángulo mide 30º y la hipotenusa mide 4.
b) En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 60º y el cateto opuesto mide 3. Hallar su perímetro.
16)
a) Hallar los ángulos del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 30 y 35.
b) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 18 y uno de sus catetos 7. Hallar sus ángulos.
8.4. Signos de las Funciones Trigonométricas
Los signos de las funciones trigonométricas dependen del cuadrante en que se encuentra el ángulo.
Así por ejemplo, si α está en el segundo cuadrante, como r > 0 :
x <0
P(x, y)
;
sen α =
y
>0
r
cos α =
x
y
r
α
x
0
y >0
tg α =
r
<0
y
<0
x
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
17) Comprobar que los signos de las funciones trigonométricas en los distintos cuadrantes son los
indicados en las figuras siguientes:
Página 144
Trigonometría
18) Hallar el signo de las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos, sin hallar el valor
numérico:
98º , 220º , 75º , 160º , 300º , 185º
19) Determinar el cuadrante en que se encuentra el ángulo α en cada uno de los siguientes casos:
a) sen α < 0
y
cos α > 0
b) sen α > 0
y
cos α < 0
c) sen α < 0
y
tg α > 0
d) tg α < 0
y
cos α > 0
8.5. Relaciones entre las Funciones Trigonométricas
Hemos visto que para cada ángulo α vale la relación fundamental
sen2 α + cos2 α = 1
y definimos la tangente de un ángulo α distinto de 90º y 270º como:
tg α =
sen α
.
cos α
Ejemplo: Sea α un ángulo del tercer cuadrante del cual se conoce que sen α = -
1
3
a) Calculemos el cos α:
Como sen2 α + cos2 α = 1, entonces
cos α = ±
y
α
x
= ±
0
r
1 - sen 2 α
 1
1 - - 
 3
2
= ±
8
= ±
9
8
3
y como α está en el tercer cuadrante, cos α < 0 , luego,
cos α = -
8
.
3
Página 145
Curso de Apoyo en Matemática
b) Calculemos la tangente de α:
tg α =
sen α
=
cos α
-
1
3
8
3
1
.
8
=
Ejemplo: Sea α el ángulo del segundo cuadrante tal que tg α = - 3.
a) Calculemos cos α
sen α
Como - 3 = tg α =
, entonces sen α = - 3 cos α
cos α
Usando que
sen2 α + cos2 α = 1 , tenemos que:
(- 3)2 cos2 α + cos2 α = 1
P(x, y)
10 cos2 α = 1
y
r
x
cos2 α =
α
1
10
0
cos α = ±
1
10
Dado que α está en el segundo cuadrante, cos α < 0 , luego
1
cos α = 10
b) Calculemos sen α:
Utilizamos la
relación fundamental
Como - 3 = tg α =
sen 2 α
sen α +
= 1
9
2
sen α + cos α = 1.
2
sen α
sen α
, entonces cos α =
cos α
−3
2
10
sen2 α = 1
9
sen2 α =
P(x, y)
y
r
x
sen α = ±
α
0
9
=±
10
3
10
Como α está en el segundo cuadrante, sen α > 0 , entonces
3
sen α =
.
10
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Página 146
9
10
Trigonometría
20) Calcular las funciones trigonométricas del ángulo α en los siguientes casos:
2
a) sen α = , α en el cuarto cuadrante;
3
b) tg α =
3 , α en el primer cuadrante;
2
c) cos α = , α en el segundo cuadrante;
5
d) tg α =
2 , α en el tercer cuadrante;
8.6. Funciones Trigonométricas Inversas de un Angulo
Hemos visto que conocido el valor de una función trigonométrica para ángulos agudos, es posible
hallar el valor del ángulo mediante las funciones arco seno, arco coseno , arco tangente.
Nuestro objetivo es ahora, calcular estas funciones para ángulos del segundo, tercero y cuarto
cuadrante, para lo que debemos tener en cuenta el signo de las funciones trigonométricas seno,
coseno y tangente.
Observemos que...
las calculadoras científicas devuelven:
y
+
Ø mediante la función arc sen
• si sen α > 0 , un ángulo α del primer cuadrante,
x
• si sen α < 0 , un ángulo α del cuarto cuadrante,
sen
y
+
Ø mediante la función arc cos
x
cos
• si cos α > 0 , un ángulo α del primer cuadrante,
• si cos α < 0 , un ángulo α del segundo cuadrante,
Página 147
Curso de Apoyo en Matemática
y
Ø mediante la función arc tg
+
• si tg α > 0 , un ángulo α del primer cuadrante
x
• si tg α < 0 , un ángulo α del cuarto cuadrante.
tg
Si el ángulo que nos interesa no se encuentra en el cuadrante que la calculadora nos devuelve,
debemos hacer la reducción correspondiente.
Ejemplo:
Calculemos α sabiendo que sen α = 0,83867 y α está en el
segundo cuadrante.
Operando con la calculadora obtenemos:
β = arc sen 0,83867 ≈ 57º
ángulo que pertenece al primer cuadrante.
∆
y
P’
P
r
α β
-x
0
x
Ejemplos:
1) Calculemos el ángulo α sabiendo que
α está en el cuarto cuadrante.
sen α = - 0,5 y
Con la calculadora obtenemos:
β = arc sen (- 0,5) = - 30º
α
β
x
Aquí el signo menos delante del valor del ángulo significa, que
el mismo se ha medido en sentido de las agujas del reloj.
De la figura obtenemos que:
α = 360º - 30º = 330º
Página 148
∆
Observemos en la figura que los triángulos 0XP y 0X' P' son
congruentes, pues son simétricos respecto del eje
y,
X = (x , 0) y X’ = (- x , 0).
y
Luego, sen β =
= sen α.
r
Para calcular α, que es el ángulo que nos interesa, basta
observar del dibujo que α = 180º - β ≈ 180º - 57º = 123º
Trigonometría
2) Calculemos el ángulo α sabiendo que
α está en el tercer cuadrante.
sen α = - 0,5 y
Como en el ejemplo anterior, la calculadora nos devuelve:
β = arc sen (- 0,5) = - 30º
∆
α
-x
x
β
0 r
y
P’
P
P’
y
3) Calculemos α sabiendo que cos α = 0,61566
en el cuarto cuadrante.
En la calculadora obtenemos:
β = arc cos 0,61566 ≈ 52º
α
y α está
∆
De la figura vemos que, si
β
x
0
r
-y
P
X = (x , 0) ,
0XP es congruente
∆
con
0XP' por ser simétricos respecto al eje x de aquí
x
= cos α
r
concluimos que α = 360º - β
cos β =
4) Calculemos α sabiendo que cos α = - 0,342
en el tercer cuadrante
De la calculadora obtenemos:
β = arc cos (- 0,342) ≈ 110º
P’
∆
-y
α
β
x
0
r
P
∆
Observamos en la figura que los triángulos
0XP y 0X' P' ,
donde X = (x , 0) y X’ = (- x, 0) , son congruentes por ser
simétricos respecto del eje y, en consecuencia,
y
sen β =
= sen α
r
De la figura observamos que como los triángulos mencionados
son congruentes:
ˆ ' P = 0X
ˆ P = 30º
0X
luego,
ˆ P = 180º + 30º = 210º
α = 180º + 0X
y
y α está
∆
Vemos que, si X = (x , 0), 0XP' es congruente con 0XP por
ser simétricos respecto al eje x, luego
x
cos β =
= cos α
r
ˆ P = 0X
ˆ P' = 180º - β.
y también 0X
ˆ P = 180º + (180º - β) = 360º - β, es
Entonces α = 180º + 0X
decir, α = 360º - 110º = 250º
Página 149
Curso de Apoyo en Matemática
Retomemos el ejemplo que presentamos al comienzo de la Unidad
¿Cómo podremos medir el ancho de un río sin cruzarlo?
Tenemos aparatos para medir distancias y para medir ángulos pero no podemos cruzar el río.
Además la orilla es escarpada y sólo es posible moverse perpendicularmente al río, donde hay un
camino. ¿Cómo medir el ancho del río?
En primer lugar, debemos situarnos frente a algún objeto
ubicado en la orilla opuesta que nos sirva de referencia.
Desde allí nos movemos a lo largo de la orilla y en dirección
perpendicular al árbol una distancia d, como muestra la figura.
Desde este punto P medimos el ángulo α que forma la
dirección al árbol con el camino que acabamos de recorrer.
Para fijar ideas, supongamos que d = 100m. y α = 24º.
a
a
Como tg α = =
entonces a = 100 tg 24º ≈ 44,52 m.
d 100
Ejemplo:
Un árbol y un observador se encuentran en orillas opuestas de un río. El observador mide el
ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35 º; retrocede 10 m. y
mide el nuevo ángulo, obteniendo un valor de 25 º . ¿Qué altura tiene el árbol?, y ¿ cuál es el
ancho del río?.
Página 150
Trigonometría
Llamando h a la altura del árbol y a el
ancho del río, el gráfico muestra los
datos del problema.
tg 35º =
h
a
y
h = a tg35º
Despejando la variable h
tg 25º =
y
h
a + 100
h = (a + 100) tg25º
a tg35º = a tg25º + 100 tg25º
Igualando ambas ecuaciones
a (tg35º - tg25º) = 100 tg25º
a=
Reemplazando en alguna de las
ecuaciones anteriores
100 tg 25º
≈ 199,36 m.
tg 35º− tg25º
Entonces h = a tg35º ≈ 139,59 m.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
21) Determinar α en cada uno de los siguientes casos:
a) sen α = 0,63465
y
α en el segundo cuadrante,
b) tg α = - 1,42814
y
α en el segundo cuadrante.
c) cos α = - 0,656
y
α está en el tercer cuadrante,
d) tg α = - 2
y
α está en el cuarto cuadrante,
y
α está en el tercer cuadrante,
y
α está en el segundo cuadrante
1
3
f) cos α = - 0,659
e) sen á = −
22) Completar
α1
α2
α3
α4
α5
α6
α7
α8
Sexagesimal
36º
Radial
sen
cos
tg
1
(3/4) π
210º 30'
(7/8) π
810º
- (7/6) π
- 162º 38' 20''
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Curso de Apoyo en Matemática
23) Escribir todos los ángulos α (comprendidos entre 0 y 360) cuyo coseno valga -0.5.
24) ¿Para qué valores de α ∈ [0 , 2π] el seno y el coseno coinciden?
25) Resolver los siguientes triángulos:
a) a = 5 cm
, β = 30º
, α = 90º
b) b = 2 cm , c = 5 cm , α = 90º
c) b = 82 cm , α = 90º , γ = 57º
26) Cuando el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte es de 30º, una torre proyecta una
sombra de 75 m. Calcular su altura.
27) ¿Cuán larga es la sombra que arroja un mástil de 11 m de altura cuando el sol tiene una
elevación de 20º?.
28) El hilo que sujeta un barrilete mide 250 m y forma un ángulo de 32º con la vertical. Hallar la
altura a que se halla si se supone que el hilo está en línea recta.
29) Un automóvil asciende una cuesta que tiene una ni clinación de 22º. Si viaja a una velocidad de
60 km/h, ¿cuántos metros varía su altura sobre el nivel del mar en 15 minutos?.
30) Se piensa construir una pista de aviación y debido a la orientación elegida se ve que al final de
la misma quedará una arboleda de 25 m de altura. ¿A qué distancia mínima de la arboleda debe
terminar la pista si el ángulo de despegue de los aviones es de 16º?.
31) Cuando se apoya una escalera de 3 m de largo en una de las paredes de un pasillo, llega a una
altura de 2,50 m. Si se la inclina sobre la otra pared llega a 2 m de altura. Averiguar el ancho del
pasillo.
32) Un carpintero desea construir una escuadra de madera y necesita que uno de los ángulos sea de
30º. Desea saber las relaciones que deben guardar los lados entre sí.
33) Los lados paralelos de un trapecio miden 6 cm y 8 cm, y los otros dos miden 3 cm. Hallar las
longitudes de sus diagonales y su área.
34) El frente de un terreno da sobre una diagonal y tiene las dimensiones que se indican en el
esquema. Calcular los metros que tiene el frente y el área que ocupa.
35) Se quiere saber cuántos metros de alambrado son necesarios para cerrar el terreno sombreado de
la figura:
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Trigonometría
36) En un triángulo sabemos que la hipotenusa mide 4 cm y la tangente del ángulo que esta
determina con la base es igual a 0,2. Calcular el área de dicho triángulo.
37) Un sitio rectangular mide 102m x 296 m. Determinar la longitud de la diagonal y el ángulo que
esta forma con el lado mayor.
38) Calcular los lados de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8 cm y calcular las medidas de
los ángulos interiores.
39) Un poste de teléfono está sujeto por medio de varios cables que parten del extremo superior.
Uno de estos cables está atado a una estaca situada a 5 m del pie del poste y forma con la horizontal
un ángulo de 60º. Calcular la altura del poste y la longitud del cable.
40) En una circunferencia de 7 cm de radio se traza una cuerda de 9 cm. ¿Qué ángulo central abarca
dicha cuerda?.
41) El radio de una circunferencia mide 6 cm. ¿Cuál es la longitud del arco correspondiente a un
ángulo de 20º?:
42) Dos ángulos de un triángulo miden 50º y
π
radianes respectivamente. ¿Cuánto mide el otro
6
ángulo?.
43) Un barco navega a 30 kilómetros por hora en dirección norte-oeste. ¿Qué distancia ha recorrido
en una hora hacia el norte?. ¿Y hacia el oeste?.
44) Calcular el perímetro y el área de un triángulo isósceles, cuyos ángulos iguales miden 27º y sus
dos lados iguales 40 m.
45) Calcular el perímetro y el área de un pentágono regular inscripto en una circunferencia de 10 cm
de radio.
46) Para conocer la altura de una torre se ha medido el ángulo que forma la visual al punto más alto
con la horizontal obteniendo 43º al acercarse 15 metros hacia la torre, se obtiene un nuevo ángulo
de 57º. ¿Cuánto mide la altura de la torre?.
47) Desde un acantilado de 50 metros se ve un barco bajo un ángulo de 70º con la vertical. ¿A qué
distancia de la costa se encuentra el barco?.
48) Un árbol y un observador se encuentran en orillas opuestas de un río. El observador mide el
ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35º; retrocede 10 metros y
mide el nuevo ángulo, obteniendo un resultado de 25º. ¿Qué altura tiene el árbol?.
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Curso de Apoyo en Matemática
49) A los ángulos que están relacionados con los de 30º, 45º y 60º se les puede calcular en forma
exacta el valor de las funciones trigonométricas, ellos son: 120º , 135º, 150º, 210º, 225º, 240º, 300º,
315º y 330º. Hallar dichos valores.
50) En un triángulo isósceles la altura correspondiente a la base mide el doble que esta. Hallar el
valor de sus ángulos.
51) ¿Qué ángulos del primer cuadrante son adecuados para calcular las razones trigonométricas de
718º, 516º, 342º?.
52) Dibujar los ángulos que cumplen las siguientes condiciones y dar el valor de sus razones
trigonométricas:
1
a) sen α = y tg α > 0
b) tg α = - 1 y cos α < 0
2
53) Si tg α =
3
3
y
α>
π
, calcular sen α y cos α.
2
8.7. Identidades trigonométricas
En lo que resta de esta unidad veremos un listado de las identidades trigonométricas más
importantes. Las mismas son de suma utilidad en la resolución de problemas de cálculo, álgebra y
geometría.
8.7.1. Razones trigonométricas de α + β y de α – β
sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β
cos(α + β) = cos α cos β – sen α sen β
Puedes verificar la veracidad de estas
identidades asignando valores a los
ángulos α y β, o mejor aún, buscar las
demostraciones de estas identidades
en un libro de Cálculo.
tg(α + β) =
tgα + tgβ
1 − tgα tgβ
sen(α – β) = sen α cos β – cos α sen β
cos(α – β) = cos α cos β + sen α sen β
tg(α – β) =
tgα − tgβ
1 + tgα tgβ
8.7.2. Razones trigonométricas del ángulo doble
sen 2α = 2 sen α cos α
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Trigonometría
cos 2α = cos2 α – sen2 α
tg 2α =
2tgα
1 − tg 2α
8.7.3. Teoremas del seno y del coseno
Teorema del seno
γ
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de
los ángulos opuestos.
a
b
β
α
c
a
b
c
=
=
senα senβ senγ
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Curso de Apoyo en Matemática
Teorema del coseno
γ
El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados
de los otros lados menos el doble del producto de estos lados
por el coseno del ángulo comprendido.
a
b
β
α
c
a2 = b2 + c2 – 2ab cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac cos β
c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
54) Comprobar que las siguientes igualdades son ciertas utilizando las identidades vistas.
a)
1
= 1 + tg 2α
2
cos α
b) sen (α + β) sen (α – β) = sen2 α – cos2 β
c) cos2 α = sen2 α cos2 α + cos4 α
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