CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA. UNIDAD LEGARIA
Influencias de una experiencia didáctica intercultural en las creencias matemáticas docentes Tesis que para obtener el grado de Doctora en Matemática Educativa Presenta: Pilar Alejandra Peña Rincón Directores de Tesis: Dr. Francisco Rojas Sateler Dr. Francisco Javier Lezama Andalón Mexico, Distrito Federal Junio, 2016 Autorización de uso de obra Instituto Politécnico Nacional Presente Bajo protesta de decir verdad la que suscribe Pilar Alejandra Peña Rincón, manifiesto ser autora y titular de los derechos morales y patrimoniales de la obra titulada: Influencias de una experiencia didáctica intercultural en las creencias matemáticas docentes, en adelante “La Tesis” y de la cual se adjunta copia, por lo que por medio del presente y con fundamento en el artículo 27 fracción II, inciso b) de la Ley Federal del Derecho de Autor, otorgo a el Instituto Politécnico Nacional, en adelante El IPN, autorización no exclusiva para comunicar y exhibir públicamente total o parcialmente en medios digitales (formato electrónico en formato PDF) “La Tesis” por un periodo de 10 años contado a partir de la fecha de la presente autorización, dicho periodo se renovará automáticamente en caso de no dar aviso a “El IPN” de su terminación. En virtud de lo anterior, “El IPN” deberá reconocer en todo momento mi calidad de autora de “La Tesis”. Adicionalmente, y en mi calidad de autora y titular de los derechos morales y patrimoniales de “La Tesis”, manifiesto que la misma es original y que la presente autorización no contraviene ninguna otorgada por el suscrito respecto de “La Tesis”, por lo que deslindo de toda responsabilidad a El IPN en caso de que el contenido de “La Tesis” o la autorización concedida afecte o viole derechos autorales, industriales, secretos industriales, convenios o contratos de confidencialidad o en general cualquier derecho de propiedad intelectual de terceros y asumo las consecuencias legales y económicas de cualquier demanda o reclamación que puedan derivarse del caso. México, D.F., a 29 de junio de 2016 Atentamente Pilar Alejandra Peña Rincón INDICE RELACIÓN DE CUADROS Y TABLAS ...................................................................................................... 5 RESUMEN .......................................................................................................................................................... 6 ABSTRACT ........................................................................................................................................................ 8 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................................... 10 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................................................................... 15 2. MARCO CONCEPTUAL .......................................................................................................................... 24 2.1 La Etnomatemática ......................................................................................................................... 24 2.2. Pespectivas sobre la(s) matemática(s) y su naturaleza ................................................ 27 2.3 Creencias matemáticas docentes ............................................................................................. 33 2.4 Experiencias didácticas matemáticas interculturales ..................................................... 38 3. DISEÑO METODOLÓGICO DE LA INVESTIGACIÓN .................................................................. 46 3.1 Fundamentación metodológica ................................................................................................. 46 3.2 Contexto y participantes .............................................................................................................. 48 3.3 Diseño de la investigación. .......................................................................................................... 51 4. CONSTRUCCIÓN DE UNA EXPERIENCIA DIDÁCTICA MATEMÁTICA INTERCULTURAL COMO PROCESO DE DESARROLLO PROFESIONAL DOCENTE (EDMIp) ............................................................................................................................................................ 56 4. 1 Validación de la EDMIp ................................................................................................................. 58 4.2 Seminarios de Estudio .................................................................................................................. 60 4.2.1 Matemática y Etnomatemática ......................................................................................... 64 4.2.1 La actividad de jugar y los juegos mapuche ................................................................ 64 4.2.2 El kimeltuwün y la cosmovisión mapuche .................................................................... 71 3 4.2.3 El ciclo didáctico del aprendizaje matemático ........................................................... 75 4.3 Diseño, implementación y evaluación de la experiencia didáctica matemática intercultural de aula (EDMIa) ............................................................................................................ 77 4.4 Reflexión crítica en torno a la Experiencia Didáctica Matemática Intercultural como proceso de desarrollo profesional docente .................................................................... 81 5. CARACTERIZACIÓN Y ANÁLISIS DE LAS CREENCIAS MATEMÁTICAS DOCENTES EN LAS ETAPAS INICIAL, INTERMEDIA Y FINAL DE LA EDMIP ..................................................... 84 5.1 Recolección y selección de datos .............................................................................................. 84 5.2 Fundamentos analíticos ............................................................................................................... 86 5.3 Caracterización de las creencias matemáticas docentes en la EDMIp ...................... 87 5.3.1 Caracterización de las creencias matemáticas docentes en la etapa inicial de la EDMIp ................................................................................................................................................. 88 5.3.2 Caracterización de las creencias matemáticas docentes en la etapa intermedia de la EDMIp ................................................................................................................ 100 5.3.3 Caracterización de las creencias matemáticas docentes en la etapa final de la EDMIp ................................................................................................................................................... 108 5.4 Análisis relacional entre las creencias de las tres etapas ........................................... 112 6. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES ....................................................................................................... 119 6.1 Enfoques inclusivos de enseñanza en contextos percibidos como culturalmente homogéneos ........................................................................................................................................... 119 6.2 Conclusiones: movilización de creencias matemáticas docentes a nivel epistemológico y didáctico .............................................................................................................. 119 4 RELACIÓN DE CUADROS Y TABLAS Tabla 1 Sintesis de investigaciones sobre enfoques matemáticos culturalmente inclusivos ............................................................................................................................................... 20 Tabla 2: Características de las matemáticas escolares y extraescolares. ............................ 32 Tabla 3. Caracterización perspectivas epistemológicas sobre las matemáticas .............. 32 Tabla 4 Caracterización de paradigmas didáctico-­‐matemáticos ............................................ 36 Tabla 5. Diferencias entre la interculturalidad funcional y la interculturalidad crítica. Elaboración propia en base a Walsh (2009) .......................................................................... 43 Tabla 6. Etapa de Validación de la EDMIp ......................................................................................... 59 Tabla 7. Seminarios de estudio: segunda etapa de la EDMIp .................................................... 63 Tabla 8. Juegos mapuche analizados en la etapa de Seminarios de Estudio ...................... 66 Tabla 9. Ficha explicativa del awarkuden ......................................................................................... 69 Tabla 10. Ficha explicativa del komikan ............................................................................................ 71 Tabla 11. Formato de diseño de clase de EDMIa ............................................................................ 80 Tabla 12. Síntesis de las perspectivas epistemológicas sobre las matemáticas ............... 89 Tabla 13 Síntesis de los paradigmas didáctico-­‐matemáticos ................................................... 97 Tabla 14 Síntesis creencias matemáticas docentes etapa inicial de la EDMIp .................. 99 Tabla 15 Síntesis creencias matemáticas docentes etapa intermedia de la EDMIp ..... 101 Tabla 16. Síntesis creencias matemáticas docentes al final de la EDMIp ......................... 109 Tabla 17. Síntesis de la movilización de las creencias matemáticas docentes a através de la EDMIp ........................................................................................................................................ 117 5 RESUMEN Esta investigación indaga cómo influye un proceso de desarrollo profesional docente concebido como una experiencia didáctica matemática intercultural (EDMIp) en las creencias matemáticas docentes en un contexto escolar urbano percibido como culturalmente homogéneo. La literatura muestra que, en contextos multiculturales, los enfoques matemáticos socioculturalmente inclusivos contribuyen a profundizar la comprensión de las matemáticas. La hipótesis que guía esta investigación sostiene que dichos enfoques también pueden contribuir a la profundización matemática de docentes y estudiantes, y en particular a la movilización de las creencias matemáticas docentes, en contextos que no son percibidos como multiculturales. El estudio se realizó mediante una metodología colaborativa junto a una docente que imparte matemáticas en tercer año básico y a un educador tradicional mapuche1, en una escuela municipal de la comuna de El Bosque. Se utiliza la perspectiva teórica de la Etnomatemática, para comprender que existen diversas formas de matematizar surgidas a partir de la necesidad de explicar y relacionarse con el entorno (etno). Los resultados muestran que, en contextos escolares percibidos como culturalmente homogéneos, las experiencias didácticas matemáticas interculturales como procesos de desarrollo profesional docente y como experiencia de aula, al propiciar el diálogo entre diferentes formas de matematizar, contribuyen a la movilización de las creencias matemáticas docentes desde una perspectiva epistemologica lógico-­‐racional hacia una perspectiva sociocultural. Mientras que el plano didáctico, las creencias matemáticas docentes se movilizan desde un paradigma didáctico-­‐matemático de transmisión hacia un paradigma didáctico-­‐matemático constructivista. Sin embargo, los resultados no son concluyentes en cuanto a si la movilización del paradigma 1 Mapuche significa gente de la tierra en mapudungun ; mapudungun significa habla de la tierra. En adelante utilizaremos el tipo de letra Harrington cada vez que mencionemos una palabra en mapudungun 6 didáctico obedece a la influencia del carácter intercultural de la experiencia didáctica o principalmente del modelo didáctico utilizado en el diseño. Este proceso de desarrollo profesional docente de carácter intercultural permitió a la docente diseñar e implementar una actividad en el aula donde los estudiantes pudieron participar con sus propias producciones, generando mayor interacción y logrando así un aprendizaje matemático más profundo y variado culturalmente. 7 ABSTRACT This research investigates how it influences a process of teacher professional development conceived as a mathematical intercultural learning experience in math teachers beliefs in a perceived as culturally homogeneous urban school context. The literature shows that in multicultural contexts, socio-­‐culturally inclusive mathematical approaches contribute to deepening the understanding of mathematics. The hypothesis that guides this research argues that these approaches can also contribute to deepening mathematics of teachers and students, and particularly the mobilization of mathematics teachers beliefs, in contexts that are not perceived as multicultural. The study was performed using a collaborative methodology together with a teacher who teaches mathematics in third grade and a traditional Mapuche teacher in a municipal school in the municipality of El Bosque. The theoretical perspective of Ethnomathematics is used to understand that there are various forms of mathematize arising from the need to explain and relate to the environment (ethno). The results show that in school contexts perceived as culturally homogeneous, the learning experiences intercultural mathematics as processes of teacher professional development and as a classroom experience, to promote dialogue between different forms of mathematize contribute to the mobilization of mathematics beliefs teachers from a platonic epistemological perspective towards a sociocultural perspective. While the teaching background, beliefs mathematics teachers are mobilized from transmission teaching-­‐mathematical paradigm to a constructivist teaching-­‐
mathematical paradigm. However, the results are inconclusive as to whether the mobilization of the educational paradigm due to the influence of intercultural character of teaching experience or training mainly used in the design model. This process of teacher professional development of intercultural allowed the teacher to design and implement an activity in the classroom where students were able to 8 participate with their own productions, generating greater interaction and thus achieving a deeper and more culturally diverse mathematical learning. 9 INTRODUCCIÓN En esta investigación nos interesa ahondar en los procesos de transformación de las creencias matemáticas docentes desde una perpectiva teórica que nos hace ver las matemáticas como una producción eminentemente sociocultural originada a partir de necesidades y racionalidades diversas. A su vez, entendemos la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas como un hecho en el que se involucran aspectos cognitivos, afectivos, asociados a experiencias sociales y culturales de docentes y estudiantes, las que al ser compartidas, enriquecen la construcción de significados. A partir de esta visión, pensamos en el aula como un espacio en el cual se manifiestan las creencias matemáticas docentes en unas prácticas concretas. Sin embargo, dichas creencias son en sí mismas complejas, porque tienen componentes afectivos y cognitivos, porque no siempre son explícitas, porque suelen estar muy arraigadas en las prácticas y porque los cambios se producen fundamentalmente a través de la experiencia y no a través de procesos de orden cognitivo. Por ello, nos interesa comprender cómo son los procesos a través de los cuales se generan estos cambios y cuáles son los factores implicados. Para lograr este objetivo hemos diseñado un proceso de desarrollo profesional docente intercultural como una experiencia en sí misma que incluye el diseño, desarrollo e implementación de una experiencia de aula que incorpora algunas formas de saber hacer matemáticas de un pueblo indígena. Así, hemos podido identificar y caracterizar las crencias matemáticas de una docente antes, durante y después de haber implementado la experiencia didáctica matemática intercultural de aula. Luego hemos analizado cuáles son los cambios que observamos y los factores que los impulsan. Con ello hemos podido establecer un modelo que favorece la movilización de crencias matematicas docentes hacia una perspectiva epistemológica sociocultural y un paradigma didáctico-­‐matemático constructivista. Este modelo, se funda en la incorporación de las contribuciones matemáticas de pueblos y comunidades a la 10 escuela, y de las contribuciones de los alumnos al aula de matemáticas, permitiendo que ambas componentes se inserten en la construcción de significado para fomentar un aprendizaje significativo. En el transcurso de esta tesis se presentan los pasos que seguimos a nivel conceptual, metodológico y analítico. En el primer capítulo de este documento mostramos una discusión que pone de relieve la importancia de la incorporación de las formas de hacer matemáticas de pueblos y comunidades a la escuela y a la formación docente. Sostenemos que los enfoques de la enseñanza matemática culturalmente inclusivos que fomentan el diálogo entre diferentes sistemas de conocimiento, incluyendo una diversidad de procedimientos, formas de interactuar, formas de representar, etc., a la vez que promueven el conocimiento y la comprensión profunda de las matemáticas, amplian la percepción docente sobre las matemáticas su aprendizaje y su enseñanza. En base a lo anterior, planteamos la pregunta general que guía el estudio y los objetivos que permiten responderla. Éstos abordan tres áreas concretas: la noción de experiencia didáctica matemática intercultural como proceso de desarrollo profesional docente, la caracterización de los grupos de creencias matemáticas en las distintas etapas del proceso de desarrollo profesional docente, además de una cracaterización de las relaciones entre las creencias matemáticas docentes en cada etapa y entre las etapas. En el capítulo dos, planteamos las perspectivas teóricas que consideramos necesarias para responder a nuestra pregunta de investigación. En primer lugar, hacemos un recorrido por la Etnomatemática como un enfoque que pone de relieve la igualdad epistemológica de los conocimientos y por lo tanto de la existencia de distintas formas de saber hacer matemáticas. En segundo lugar, hacemos un recorrido por algunas perspectivas epistemológicas sobre las matemáticas y su naturaleza, profundizando en la perspectiva sociocultural. Esto nos permite entender que las matemáticas son una producción sociocultural y que está determinada tanto por las ncesidades como por las racionalidades de quienes la producen. En tercer lugar, consideramos un conjunto de elementos teóricos que nos permiten caracterizar las creencias matemática docentes. Así pudimos comprender las creencias matemáticas docentes 11 como aquellas creencias que forman parte del conocimiento subjetivo implícito de los docentes basado en la experiencia referidos principalmente a la naturaleza de las matemáticas, a su enseñanza y su aprendizaje. En cuarto lugar, caracterizamos las experiencias didácticas matemáticas interculturales como proceso de desarrollo profesional docente y como experiencia de aula. Enfatizando en el rol que juega la experiencia en los procesos de aprendizaje de distinta índole, y porqué planteamos que en este estudio esta debe ser intercultural. En el capítulo tres, presentamos el posicionamiento metodológico del presente trabajo, las características del contexto y los participantes de la investigación, y el diseño de la investigación. Nuestra investigación se enmarca en un paradigma cualitativo-­‐interpretativo colaborativo que concibe que la realidad social se constituye a partir de la interacción de los participantes entre sí y con su entorno social, cultural y natural, y que reconoce la existencia de múltiples realidades: la de los investigadores, de los participantes, y de los lectores. Y adhiere al enfoque colaborativo porque en él los participantes se unen con un objetivo en común; a partir de experiencias, competencias y perspectivas diversas; y porque interactúan, dialogan y reflexionan en conjunto. La docente participante de esta investigación es una profesora de educación básica que realiza su labor docente en una escuela pública de una comuna ubicada en la zona sur de Santiago de Chile. El educador tradicional es una persona designada por la comunidad indígena para la enseñanza escolar de su cultura y su lengua. La escuela participa en un programa de educación intercultural, que tenía disponibilidad para llevar a cabo un proceso de desarrollo profesional docente, y se percibe a sí misma como culturalmente homogénea, reuniendo las características de contexto. El diseño de la investigación utiliza el modelo de Ciclos Interactivos de Investigación y Desarrollo (Goodchild, 2008; 2014; Goodchild, Fuglestad, & Jaworski, 2013), para promover simultáneamente el desarrollo profesional docente junto con el estudio acerca de las consecuencias de la introducción de un proceso de desarrollo profesional docente intercultural en las creencias matemáticas docentes. En el cuarto capítulo presentamos los resultados del primer objetivo de la investigación, es decir, exponemos el proceso a través del cual construimos un 12 proceso de desarrollo profesional docente concebido como una experiencia didáctica matemática intercultural. Mostramos como el proceso se estructuró en base a los Ciclos Interactivos de Investigación y Desarrollo. Inició con la conformación de un equipo de trabajo colaborativo que validó y ajustó el diseño del mismo, y continuó con el desarrollo de los seminarios de estudio centrados en cuatro temas que fueron el corazón del ciclo de investigación: la matemática y la etnomatemática, la actividad de jugar, la forma de educar mapuche, y el ciclo didáctico para el aprendizaje matemático. Mientras el ciclo de desarrollo estuvo centrado en el diseño, implementación y evaluación de una experiencia didáctica matemática intercultural como experiencia de aula para el trabajo con los estudiantes (EDMIa). El proceso culmina con una reflexión crítica en torno al proceso global que permitió recoger información detallada de la perspectiva de la docente sobre cada una de las etapas del proceso de desarrollo profesional que condujo al desarrollo de la experiencia didáctica matemática intercultural de aula. En el quinto capítulo presentamos la caracterización y el análisis de las creencias matemáticas de la docente en las tres etapas del proceso de desarrollo profesional docente: inicial, intermedia y final. Vale decir antes de, durante y después de la vivencia de diseñar, implementar y evaluar una experiencia didáctica matemática intercultural de aula. Estos procesos corresponden a los resultados del segundo y tercer objetivo específico de esta investigación. Mediante cuatro apartados explicamos cómo se realizó el proceso de recolección y selección de datos, cuáles son los fundamentos analíticos de la investigación, cuál fue la caracterización las creencias matemáticas de la docente en cada uno de las tres etapas mencionadas, y cómo se relacionan dichas creencias dentro de cada etapa y entre las tres etapas. Por último, en el sexto capítulo, confrontamos los resultados obtenidos con los antecedentes planteados en el primer capítulo y presentamos las conclusiones del estudio. Así, confirmamos la potencialidad de la incorporación de enfoques de enseñanza inclusivos de las formas de saber hacer matemáticas de pueblos y comunidades en los procesos de desarrollo profesional docente en contextos percibidos como culturalmente homogéneos. Por cuanto el desarrollo de un proceso 13 de desarrollo profesional docente concebido como una experiencia didáctica matemática intercultural por una parte, logra promover aprendizajes significativos en los estudiantes, y por otra moviliza y amplía las concepciones matemáticas y didácticas de la docente. Por lo tanto se cumple con los objetivos del estudio dado que: i) se logra construir una experiencia didáctica matemática intercultural (EDMI p) como un proceso de desarrollo profesional docente en un contexto escolar percibido como culturalmente homogéneo, ii) se caracterizan las creencias matemáticas docentes en un contexto escolar percibido como culturalmente homogéneo en las etapas inicial y final de una EDMIp., iii) a partir del analisis de las relaciones entre los conjuntos de creencias matemáticas docentes de las etapas inicial, intermedia y final de una EDMIp, se determinan las influencias de las creencias matemáticas de las distintas etapas. 14 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En contextos de multiculturalidad, existe amplia investigación que aborda la importancia de la incorporación de las formas de saber hacer matemáticas de pueblos y comunidades a la escuela y a la formación docente (Da Costa, Tenório, & Tenório, 2014; Dawson, 2013; D’Ambrosio, 2008; Gerdes, 1996; Greer & Mukhopadhyay, 2015; Huencho, 2015; Jorgensen, Grootenboer, & Niesche, 2013) (Knijnik, Wanderer, & de Oliveira, 2005; Luitel & Taylor, 2007; Nicol, Archibald, & Baker, 2013; Nkopodi & Mosimege, 2009; Nutti, 2013; Oliveras & Gavarrete, 2012) (Owens, 2014a; 2014b; 2015; Shirley, 2001). En algunos lugares, como por ejemplo en Australia, Papúa Nueva Guinea, Canadá, Suecia, Micronesia se han desarrollado diversos programas e investigaciones con propósitos tales como reconocer las formas de saber hacer matemáticas de pueblos y comunidades indígenas, mejorar el rendimiento matemático escolar de los estudiantes que pertenecen a dichos pueblos, y contribuir al desarrollo de modelos pedagógicos culturalmente inclusivos (Dawson, 2013; Jorgensen, Grootenboer, & Niesche, 2013; Nicol, Archibald, & Baker, 2013; Nutti, 2013; Owens, 2014a; 2015). Debido a que los docentes son un factor clave en tanto son mediadores del aprendizaje (Darling-­‐Hammond L. , 2000; Darling-­‐Hammond, Wei, & Johnson, 2009), varias de estas investigaciones se han focalizado en los procesos de formación de los docentes en servicio. Especialmente relevantes son las siguientes investigaciones, que tienen como marco común la incorporación de formas de saber hacer matemáticas de pueblos, comunidades y grupos socioculturales no hegemónicos a la escuela. En primer lugar destacamos el proyecto Maths in the Kimberley, MITK, desarrollado por Jorgensen y sus colegas (Jorgensen, Grootenboer, Richard, & Stepehen, 2010; Jorgensen, Grootenboer, & Niesche, 2013; Sullivan, Jorgensen, Boaler, & Lerman, 2013). Este estuvo dirigido a mejorar el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas en 6 escuelas indígenas remotas en Australia, en las cuales se trabajó durante 3 años con los docentes para desarrollar un modelo pedagógico culturalmente inclusivo con foco en la calidad intelectual, la conectividad, el ambiente de apoyo en el aula, y el trabajo y valoración de la diferencia (Jorgensen, Grootenboer, Richard, & Stepehen, 2010) con el objetivo de contribuir a alinear las creencias y 15 prácticas docentes. El análisis posterior mostró que hubo una mejora en torno a lo que los docentes creen que sus alumnos son capaces de hacer, en la identidad matemática del docente (conocimientos personales, habilidades y actitudes) y en el ambiente de aprendizaje positivo, aspectos que en su conjunto implicaron una mejora en la calidad de las clases de matemáticas. Asimismo se apreció un desplazamiento del foco de la evaluación de los aprendizajes desde lo que los estudiantes no saben hacia lo que ellos sí saben. Sin embargo, este estudio mostró que si bien los profesores creen que es importante desarrollar clases de matemáticas culturalmente inclusivas, las evidencias señalan que carecen de la comprensión, el conocimiento y las habilidades suficientes para poner estas creencias en práctica (Jorgensen, Grootenboer, & Niesche, 2013). Por otra parte, al reflexionar en torno al mejoramiento del aprendizaje de los estudiantes los autores señalan que este estudio ha puesto de manifiesto que los maestros que toman en cuenta el contexto cultural y construyen pedagogías vinculadas con el entorno son eficaces, dado que al mismo tiempo que garantizan la incorporación de los aspectos culturales de los estudiantes en los enfoques pedagógicos, apoyan el aprendizaje matemático profundo de éstos (Sullivan, Jorgensen, Boaler, & Lerman, 2013). Por otra parte, recientemente en Papúa nueva Guinea y en Australia se han desarrollado interesantes experiencias que han permitido que los docentes reconozcan el valor social y educativo de la incorporación de los conocimientos matemáticos comunitarios, que transformen su autopercepción con respecto a las matemáticas, y que modifiquen las formas de enseñar matemáticas. Owens (2014a), realizó un estudio en Papúa Nueva Guinea para indagar si un proyecto basado en la cultura impacta en la identidad matemática de un profesor. Con este fin se analizaron 60 informes de docentes que habían vivido la experiencia de diseñar clases que incorporan tanto el pensamiento matemático ecocultural 2 como el pensamiento matemático escolar. El análisis mostró que las diferencias entre el conocimiento matemático percibido como parte del currículo y el conocimiento matemático 2 Owens señala que el concepto ecocultural “se refiere a la ecología y la cultura en términos de contexto de la educación” (2014a, p 204.) 16 incrustado en las prácticas culturales brindó a los docentes la oportunidad para crear nuevos conocimientos al reconocer el valor patrimonial de las matemáticas culturales y su pertinencia para la educación matemática escolar. La autora señala que a pesar de que las conexiones entre las matemáticas escolares y comunitarias no eran sencillas, los profesores valoraron sus culturas como fondos de conocimientos matemáticos en proceso y producto (González et al., 2005), como analogías, como insumo para la motivación y como contextualización para los problemas. Así, los docentes reconocieron el valor social y educativo de una pedagogía ecocultural, puesto que junto con valorarse a sí mismos como agentes que pueden incidir activamente en sus propias vidas y en el desarrollo de la sociedad, transformaron sus perspectivas sobre las matemáticas, lo que en su conjunto contribuyó al desarrollo de su identidad como un profesor que piensa en términos matemáticos. Otra investigación realizada por la misma autora en Australia (Owens, 2015) explora cómo una escuela en una ciudad rural Wiradjuri3 en Nueva Gales del Sur (NSW) mejoró su currículo de matemáticas, la enseñanza y el aprendizaje, mediante la participación en tres proyectos clave que abordaban la inclusión cultural. El primero de ellos, el proyecto Stronger Smarter Learning Communities (SSLC) consistió en la creación de comunidades de aprendizaje para transformar las escuelas a través de la construcción de la capacidad de liderazgo y contribuir a mantener y acrecentar la mejora de resultados de los estudiantes dentro de comunidades indígenas, poniendo un especial énfasis en el desarrollo de altas expectativas sobre estos estudiantes. Por su parte, el 8-­‐Ways Project, fue un proyecto estatal que consistió en vincular 8 propuestas específicas para fomentar la competencia cultural de los maestros de las escuelas (e.g. conectar a través de las historias compartidas, ver, pensar, actuar, hacer y compartir sin palabras; trabajar con clases desde la tierra y la naturaleza, poner diversas ideas juntas y crear nuevos conocimientos) con las actividades cotidianas de la escuela. Finalmente, Make It Count (MIC) fue un proyecto de la asociación 3 Wiradjuri es el nombre del pueblo indígena mayoritario en NSW y también el de su lengua. 17 australiana de docentes de matemáticas 4 , que mediante el trabajo activo de las escuelas con sus comunidades indígenas, buscó principalmente desarrollar enfoques para mejorar el aprendizaje matemático, y documentar y compartir modelos eficaces de desarrollo profesional docente. Después de analizar entrevistas a docentes y directivos y la documentación5 de una de las escuelas implicada en los tres proyectos, la autora concluye que los docentes transformaron su perspectiva sobre educación y sobre las matemáticas y su enseñanza desde un modelo de déficit centrado en lo que a los estudiantes les falta hacia un modelo que reconoce la diversidad de formas de pensar y de expresar las ideas. Así, Owens (2015) señala que la enseñanza de las matemáticas fue cambiando en esta escuela, lo que se pudo apreciar a través de la realización de clases fuera del aula, mayor claridad en los propósitos, el uso de la narrativa, y un cambio en las relaciones con los estudiantes; y que se espera que con el tiempo, la escuela no sólo incorpore procesos de enseñanza, sino que también los contenidos matemáticos estén más culturalmente basados en cómo los docentes y la comunidad discuten las matemáticas como conocimiento cultural. Por otra parte, en relación con el impacto de esta experiencia en los estudiantes, la autora señala que pese a que la escuela en estudio tenía menos de un 10% de estudiantes indígenas, las altas expectativas no sólo se reflejaron en los resultados de las evaluaciones, sino también en la auto-­‐identificación de los estudiantes como indígenas, y en el hecho de estar a gusto al incorporar las formas de pensar y de expresarse de su cultura, reconociendo el impacto de la colonización y del traslado de las familias de sus tierras de origen. A una escala menor, pero no por ello menos relevante, el estudio desarrollado por Nutti (2013) en la parte sueca de Sápmi 6 también evidenció cambios en las perspectivas de enseñanza. Junto a 6 docentes se desarrollaron actividades 4 The Australian Association of Mathematics Teachers 5 La documentación incluye políticas educativas, planes y estrategias de acción, diarios murales, periódicos y otras publicaciones de la escuela, planes de aprendizaje de Wiradjuri, etc. 6 Sápmi comprende lo que hoy es el norte de Noruega, Suecia y Finlandia, como así como la península de Kola en Rusia. 18 matemáticas basadas en la cultura para educación inicial y primaria buscando transformar la enseñanza y su contenido a partir del conocimiento de la cultura Sámi. Este estudio mostró que los profesores se sintieron más auto-­‐empoderados en su rol docente, y que percibieron que los nuevos conocimientos desarrollados mejoraron su trabajo con la enseñanza de las matemáticas. La autora destaca que los docentes transformaron su perspectiva desde una centrada en los problemas hacia una perspectiva de las posibilidades de una enseñanza basada en la cultura indígena (Nutti, 2013). En la tabla 1 que presnetamos a continuación se sintetiza, los aportes de estas investigaciones: Investigación lugar Australia, MITK Papúa Nueva Guinea (Owens 2014a) Indagar si proyecto basado en la cultura impacta en la identidad matemática del profesor Australia, Wuradjuri (Owens, 2015) Explorar como una escuela que participó en 3 proyectos culturalmente inclivos mejoró su currículo. Tranformar enseñanza y contenido a partir del conocimiento de Desarrollo de actividades matemáticas basadas en la cultura con 6 Sapmi, Suecia (Nutti, 2013) Mejorar aprendizaje y enseñanza de las matemáticas en 6 escuelas indígenas Metodologia Trabajo con docentes en el desarrollo de un modelo pedagógico culturalmente inclusivo para alinear creencias y prácticas docentes Análisis de 60 informes de docentes que diseñaron clases culturalmente inclusivas (Jorgensen, Grootenboer, & Niesche, 2013) Ojetivo Resultados -­‐Mejora en expectativas docentes sobre estudiantes-­‐ -­‐Mejora en identidad matemática de docentes. -­‐Mejora en ambiente de aprendizaje. -­‐Desplazamiento del foco de evaluación desde lo que no saben a lo que sí sabe. -­‐Docentes no aben cómo poner en práctica sus nuevas creencias. -­‐Docentes son más eficaces al promover aprendizaje profundo de las matematicas -­‐Docentes crearon nuevos conocimientos a partir del diálogo intercultural. -­‐Valoración de conocimientos culturales como fondos de conocimientos, analogías, insumos para la motivación y para la contextualización. -­‐Transformación de perspectivas sobre las matemáticas. -­‐Desarrollo de identidad como profesor que piensa matemáticamente. Análisis de -­‐ Transformación desde modelo de déficit entrevistas a a modelo de valoración de la diversidad. docentes y -­‐Cambios en lña enseñanza: clases fuera directivos y de de aula, mayor claridad en propósitos, documentación cambio en relación con estudiantes. -­‐Docentes más empoderados, autopercepción de mejora en la enseñanza de las matemáticas -­‐Trasnformación desde la perspectiva centrada en problemas a perspectiva 19 la cultura Sapmi docentes centrada en las posibilidaddes de la inclusión Tabla 1 Sintesis de investigaciones sobre enfoques matemáticos culturalmente inclusivos Si bien la mayoría de estas investigaciones se han desarrollado en contextos interculturales con presencia de uno o de varios pueblos indígenas, los resultados de dichos estudios son aplicables para contextos urbanos percibidos como culturalmente homogéneos, puesto que muestran que los enfoques de la enseñanza matemática culturalmente inclusivos que dan cabida al diálogo entre diferentes sistemas de conocimiento, incluyendo una diversidad de procedimientos, formas de interactuar, formas de representar, etc., promueven el conocimiento y la comprensión profunda de las matemáticas en vez de una matemática simbólica empobrecida (Sullivan, Jorgensen, Boaler, & Lerman, 2013), ampliando la percepción docente sobre las matemáticas y su enseñanza. En el contexto chileno, por su parte, se conocen pocas iniciativas que busquen incorporar formas de pensar, hacer y expresar las matemáticas de los pueblos indígenas (Peña-­‐Rincón & Huencho, 2014). Una de las iniciativas de mayor envergadura es la creación del Programa de Educación Intercultural Bilingüe (PEIB), en el año 1996, por parte del Ministerio de Educación (MINEDUC). El objetivo de dicho programa es “contribuir a mejorar los logros de aprendizaje, a partir del fortalecimiento de la identidad étnica de las niñas y los niños de establecimientos educacionales de Educación Básica ubicados en contextos de diversidad cultural y lingüística” (MINEDUC, 2005, p. 5). Este programa se ha implementado a través de la incorporación de una asignatura específica llamada Sector Lengua Indígena en todas aquellas escuelas que tienen al menos un 20% de estudiantes con ascendencia indígena. Tal como señalamos en Peña-­‐Rincón & Blanco-­‐Alvarez (2015) existen escasos tiempos para abordar las formas culturales de pensar, hacer y expresar las matemáticas puesto que esta asignatura ha estado destinada fundamentalmente al aprendizaje de la lengua. 20 Asimismo, se conocen pocas investigaciones nacionales sobre experiencias matemáticas culturalmente inclusivas (Peña-­‐Rincón & Huencho, 2014). Uno de los estudios que revisa la relación entre matemática y cultura es el realizado por Huencho (2012) quien analizó las orientaciones curriculares elaboradas por el PEIB referidas a las matemáticas y la cultura mapuche (MINEDUC, 2005). Huencho señala que éstas incorporan elementos culturales para contextualizar los programas de estudios nacionales, con el objetivo de alcanzar mayores aprendizajes matemáticos escolares y no con el objetivo de comprender los saberes de la cultura. Así, la autora critica que estos saberes sean incorporados a un currículo diferenciado (dirigido a escuelas con al menos un 20% de estudiantes indígenas) y no al currículo nacional, considerando que esta última opción enriquecería el desarrollo curricular de la educación matemática, mediante la comprensión del valor de la matemática mapuche, una matemática desarrollada únicamente a partir de la oralidad. Actualmente, Huencho (2015) desarrolla un proyecto de investigación junto a representantes de tres comunidades indígenas de la Región de la Araucanía en la zona sur de Chile y docentes de tres escuelas ubicadas en sus territorios o cercanías en el que se han propuesto construir un modelo de enseñanza de las matemáticas con pertinencia cultural para estudiantes mapuche de primer ciclo de educación básica (1º a 4º grado). La autora destaca que este estudio se proponen abordar algunas de las deficiencias comunes a este tipo de estudios señaladas por la literatura: se consideran las formas de matematizar, pero no las formas propias de enseñanza de la comunidad en estudio, y las actividades se diseñan y evalúan en función de las capacidades y objetivos determinados por agentes externos a la comunidad investigada (Greer B. , 2013; Knijnik G. , 2009; Lipka, Yanez, Andrew-­‐Ihrke, & Adam, 2009; Pinxten & Francois, 2011). De este modo, esperan poder contribuir al desarrollo de lineamientos éticos con sensibilidad cultural para la incorporación del conocimiento matemático de pueblos originarios al contexto de la Educación Matemática escolar (Huencho, 2015). A partir de los antecedentes expuestos, y dado que se muestra la relevancia de incorporar los conocimientos culturales en el proceso de aprendizaje, surge la 21 inquietud sobre cómo hacerlo en contextos urbanos percibidos como culturalmente homogéneos, y no sólo en contextos en los cuales se reconoce su carácter multicultural (habitualmente sectores rurales en los que se emplazan las comunidades indígenas). Una de las vías para abordar esta pregunta, es conocer cómo el docente las puede incorporar, tanto a nivel de creencias como de prácticas. Es sabido que los docentes son el factor más significativo en la promoción de aprendizaje en las escuelas (Darling-­‐Hammond, Wei, & Johnson, 2009; Jorgensen, Grootenboer, Richard, & Stepehen, 2010; Jorgensen, Grootenboer, & Niesche, 2013) y que las creencias de estos agentes son un factor crítico dado el impacto que tienen sobre las percepciones, interpretaciones y decisiones instruccionales que forman parte de la práctica docente (Kaiser et al., 2006; Leder, Pekhonen & Törner, 2002; Leinhardt & Greeno, 1986; Richarson, 1996). Por otra parte, los estudios expuestos (Jorgensen, Grootenboer, & Niesche, 2013; Nutti, 2013; Owens, 2014a; 2015) muestran que la vivencia de experiencias matemáticas culturalmente inclusivas, dado que desestabiliza las formas de actuar y de pensar (Owens, 2015), resulta clave para transformar dichas creencias sobre las matemáticas y su enseñanza. Además, cuando las creencias de los profesores sobre inclusión matemática están alineadas con prácticas inclusivas es posible mejorar el acceso a las ideas y conceptos matemáticos de los estudiantes (Zevenbergen, Mousley, & Sullivan, 2004). Es decir, las creencias docentes se relacionan y afectan recíprocamente con las prácticas docentes pero no se determinan automáticamente una a la otra (Lerman, 2003), pues para movilizar las creencias es necesario experimentar alguna experiencia desestabilizadora que las desafíe, pero a su vez estas creencias modifican las percepciones, interpretaciones y decisiones que toman los docentes en sus prácticas. Por lo tanto, considerando las influencias de experiencias matemáticas culturalmente inclusivas en las creencias de los docentes sobre las matemáticas y su enseñanza, proponemos responder la siguiente pregunta: cómo influye una experiencia didáctica matemática intercultural en las creencias matemáticas docentes en un contexto escolar urbano percibido como culturalmente homogéneo. 22 Así, el objetivo general de esta investigación es identificar las influencias de un proceso de desarrollo profesional docente intercultural en las creencias matemáticas docentes en un contexto escolar percibido como culturalmente homogéneo. Para lograr dicho objetivo, se han definido tres objetivos específicos de investigación: a) Construir una Experiencia Didáctica Matemática Intercultural (EDMI p)7 como un proceso de desarrollo profesional docente en un contexto escolar percibido como culturalmente homogéneo. b) Caracterizar las creencias matemáticas docentes en un contexto escolar percibido como culturalmente homogéneo en las etapas inicial, intermedia y final de una EDMIp. c) Analizar las relaciones entre los conjuntos de creencias matemáticas docentes de las etapas inicial, intermedia y final de una EDMIp para determinar las influencias de unas en otras. Hasta aquí hemos querido mostrar por qué pensamos que esta investigación resulta actual y relevante en el campo de la Educación Matemática. Sin duda existen muchas otras investigaciones que desde diferentes perpectivas estudian las potenciales metodologías para transformar las creencias matemáticas docentes y sus efectos en docentes y estudiantes. Sin embargo, la perspectiva planteada en esta investigación, avalada por las reflexiones derivadas de los recientes trabajos en formación docente desde el ámbito intercultural, nos permite comprender que existe una relación entre las experiencias matemáticas interculturales y la modificación de las creencias matemáticas. Nuestro trabajo pretende aportar nuevas formas de entender esta relación a la vez que contribuir al marco conceptual sobre la transformación de las creencias matemáticas docentes. Es lo que expondremos a continuación. 7 El concepto de Experiencia Didáctica Matemática Intercultural se aborda de manera detallada en el apartado 2.4 23 2. MARCO CONCEPTUAL En este capítulo abordaremos los conceptos que hemos utilizado como marco de nuestra investigación. Esta constituido por cuatro apartados a través de los cuales explicamos por qué nos situamos desde el enfoque etnomatemático, cuáles son las perspectivas epistemológicas desde las cuales se abordan las matemáticas, qué es lo que sabemos sobre las creencias matemáticas docentes y cómo las concebimos, y cuales son las dimensiones de las experiencias didácticas matemáticas interculturales como proceso de desarrollo profesional docente y como experiencias de aula 2.1 La Etnomatemática Existen diversos enfoques dan cuenta del carácter dinámico y situado de la Educación Matemática (Artigue, 2011) al reconocer: a) que las matemáticas son producto de la actividad social y cultural; b) que existen pensamientos matemáticos diversos al margen de la disciplina matemática y la matemática escolar; y c) que los problemas de aprendizaje y enseñanza van más allá de lo cognitivo y lo metodológico. Dentro de estos enfoques podemos distinguir la Teoría Socioepistemológica (Cantoral & Farfán, 2003), la Teoría Cultural de la Objetivación (Radford, 2006), la Educación Matemática Crítica (Skovmose, 1999) y la Etnomatemática (D'Ambrosio, 1985; 2008). Todos ellos consideran que es necesario considerar factores socioculturales para comprender y explicar los fenómenos educativos (Artigue, 2011; Goñi, 2006). Hemos elegido utilizar la Etnomatemática como la perspectiva teórica que guía esta investigación por cuanto dicho enfoque pone énfasis en el reconocimiento del pluralismo epistemológico de los conocimientos disciplinares e indisciplinares8 como un punto de partida que le permite incorporar las formas de saber/hacer matemáticas 8 El concepto de indisciplinar lo entendemos en el sentido abordado por Miguel (2010): “no como sinónimo de no disciplinar o de anti-­‐disciplinar, sino como un procedimiento metodológico que traspasa las fronteras de los campos culturales disciplinares establecidos, reconociendo así como legítimas las prácticas socioculturales que, por cualquier razón, no han alcanzado el estatuto disciplinar”. 24 de los pueblos y grupos socioculturales a la escuela. Esto no sólo con la finalidad de mejorar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas escolares sino con el objetivo de desarrollar el pensamiento matemático de los estudiantes a partir de las contribuciones de unos y otros conocimientos sin jerarquizar sus respectivos estatus epistemológicos. La Etnomatemática es un enfoque y un campo de investigación que asume que puede haber tantas formas de conocer como formas de situarse en el mundo, y que en consecuencia pueden existir diversos conocimientos matemáticos surgidos a partir de las variadas formas de matematizar el mundo. Es decir, la Etnomatemática considera que cada pueblo ha desarrollado ciertos conocimientos en función de i) su forma de ser, conocer y relacionarse con el mundo del cual forman parte, y de ii) las necesidades que surgen de la forma de vida que se ha dado. Además, considera que la acción de matematizar hace parte de esas particulares formas de ser, conocer y relacionarse con el mundo; específicamente, de las que se ocupan de expresar las regularidades observadas en el mundo social y natural, mediante acciones que implican cuantificar, orientarse en el espacio y en el tiempo, explicar, predecir, clasificar, etc., en el contexto del desarrollo de prácticas socioculturales determinadas. Por lo tanto, si bien la Etnomatemática no aborda exclusivamente problemas relacionados con la enseñanza de las matemáticas escolares -­‐puesto que en las prácticas socioculturales los conocimientos se movilizan indisciplinarmente-­‐ históricamente, sí ha aspirado a contribuir al desarrollo de una Educación Matemática basada en la equidad y el respeto por la diferencia y la diversidad sociocultural, que sea sensible a los factores sociales, culturales y políticos, tanto en el marco de sistemas educativos nacionales, como en el de proyectos de educación intercultural o de educación propia (Peña-­‐
Rincón, Tamayo-­‐Osorio, & Parra, 2015). La Etnomatemática surge en la década de los 80 (D'Ambrosio, 1985) como un programa de investigación que buscaba destacar la necesidad de abordar la Educación Matemática desde una perspectiva sociocultural. Así, en un primer periodo sus esfuerzos se centraron en evidenciar los factores sociales, históricos, culturales y lingüísticos que influyen en la Educación Matemática. Luego de que este propósito 25 comenzó a tener eco en el campo de la Educación Matemática, en un segundo período que se inicia aproximadamente en la década de los 90, el programa se ocupó, además, de profundizar el estudio de los aspectos epistemológicos y políticos de la Etnomatemática buscando contribuir a democratizar la enseñanza de las matemáticas (Gavarrete, 2013). En este periodo se cuestiona la neutralidad aparente de la matemática disciplinar utilizada principalmente para difundir y consolidar las formas de vida dominantes, en el caso de Latinoamérica, la de los Estados-­‐nación, y se busca visibilizar las formas de saber/hacer matemáticas de los pueblos y grupos socioculturales no hegemónicos. Algunas de las preguntas que se formulan en aquel momento son: ¿por qué enseñar las matemáticas?, ¿qué matemática debe enseñarse?, ¿por quién y para quién?, ¿quién participa en el desarrollo del currículo? (Gerdes,
1996). Esta visión dio paso un tercer periodo durante el cual emergen nuevos focos de investigación que se suman a los anteriores. En este nuevo momento, se hace evidente que para desarrollar una Educación Matemática socioculturalmente equitativa y respetuosa es necesario investigar sobre: i) las diversas formas de matematizar de pueblos indígenas, comunidades y grupos socioculturales, ii) cómo incorporar esas prácticas y conocimientos a los proyectos educativos de distinta índole, tanto a nivel curricular como a nivel de formación docente inicial y en servicio. Así, en las últimas dos décadas ha habido un interés creciente en el campo etnomatemático por comprender qué y cómo puede aportar la Etnomatemática al conocimiento y desarrollo profesional docente, ya sea a través de la formación inicial o en servicio de docentes que imparten matemáticas, foco en el cual se enmarca este proyecto de investigación. La literatura indica que para formar profesores desde una perspectiva etnomatemática es necesario considerar la reflexión sobre la naturaleza de las matemáticas; el desarrollo de currículos escolares flexibles, abiertos a otras racionalidades y a nuevos actores (como la comunidad); la inclusión de investigaciones en formación docente desde la etnomatemática; y el diseño de actividades que incluyan las formas de matematizar de diversas culturas (Blanco-­‐
26 Álvarez, Oliveras, & Fernández-­‐Oliveras, en evaluación). Si bien los cuatro aspectos mencionados son importantes, en esta investigación nos centraremos en el primer aspecto. Puesto para poder conocer la existencia de diversas formas de matematizar es necesario transformar las perspectivas tradicionales sobre la naturaleza de las matemáticas. En el siguiente apartado ahondaremos en las perspectivas sobre la naturaleza de las matemáticas, para luego poder abordar las creencias sobre las matemáticas, su aprendizaje y su enseñanza asociadas a cada una de ellas. 2.2. Pespectivas sobre la(s) matemática(s) y su naturaleza La discusión sobre la naturaleza de la(s) matemática(s) es un tópico en torno al cual se registran debates que datan del siglo IV en la antigua Grecia y que han ido evolucionando a través de la historia de la matemática como disciplina. Recientemente, se ha profundizado la reflexión en torno a esta temática debido a las enormes implicancias que tiene en las formas de aprenderlas y de enseñarlas. Por lo general, se suelen identificar dos perspectivas o visiones contrapuestas de las matemáticas: Thompson (1992) distingue la matemática instrumental de la relacional; Flores (1998) se refiere a la matemática realista y a la constructivista; Godino, Batanero, & Font (2004) diferencian la matemática idealista-­‐platónica de la constructivista. Por su parte, Grigutsch (1996) distingue cuatro categorías para detectar las concepciones sobre las matemáticas de estudiantes, que luego fueron utilizadas por Kaiser & Maaß (2007) para abordar las concepciones sobre las matemáticas de estudiantes y docentes. Cada una de ellas alude a aspectos de las matemáticas que están relacionados con diferentes comprensiones de la matemática como ciencia: a) La matemática es una ciencia compuesta principalmente de los procesos de resolución de problemas (aspectos del proceso), b) La matemática es una ciencia relevante para la sociedad y la vida (aspectos de la aplicación), 27 c) La matemática es una ciencia exacta, formal y lógica (aspectos del formalismo). d) La matemática es una ciencia compuesta por una colección de reglas, fórmulas y temas (aspectos de esquema). Kaiser & Maaß (2007) señalan que las dos primeras conceptualizaciones que destacan la función social de la disciplina son concordantes con una perspectiva dinámica de la matemática y las dos últimas que acentúan su organización interna corresponden a una perspectiva estática de la matemática. Cerón, Mesa y Rojas (2012) también buscaron distinguir las diversas perspectivas sobre las matemáticas con el objeto de analizar su impacto en los docentes. Para ello analizaron detalladamente las concepciones matemáticas de las diversas corrientes filosóficas de las matemáticas y las agruparon en dos perspectivas que también denominaron visión estática y dinámica. La visión estática comprende a aquellas corrientes que conciben la matemática como una disciplina rígida, acabada y formal, y siguen la tradición iniciada por Platón quien señala que la matemática sería una actividad mental abstracta acerca de objetos que existen en un mundo externo. En cambio, la visión dinámica, concibe que la matemática es construida, falible y que sus realizaciones son productos culturales y están en continua revisión; Si bien compartimos las macro-­‐distinciones realizadas por estas autoras, sostenemos que son tendencias dado que resulta complejo hacer una asociación rígida entre cada corriente filosófica y una de las dos perspectiva propuestas, pues existen tensiones entre los planteamientos teóricos y lo que ocurre en la realidad. Por otro lado, nos interesa destacar el rol que juegan las motivaciones y los acontecimientos históricos en las transformaciones conceptuales. Así, Descartes, en el siglo XVII, enfatizó en la importancia de la razón, concibiendo que la matemáticas es una suma de deducciones a partir de axiomas aceptados, dado que su preocupación era encontrar un fundamento para la ciencia (Pérez, 1998). A Kant, en cambio, en el siglo XVIII, le interesaba distinguir la existencia de una Razón Teórica y una Razón 28 Práctica (Pérez, 1998)9, a ello se debe que plantee que los axiomas y teoremas de las matemáticas son verdades y que el ser humano tenía un conocimiento a priori de la geometría euclidiana, pero que no niega el valor que juega la experiencia en la construcción del conocimiento. De este modo, la existencia de la geometría euclidiana desarrollada mediante el razonamiento deductivo en base a unos postulados básicos propuestos por Euclides fundamentó la postura racionalista que indica que es posible identificar verdades a través de la razón sin recurrir a la experiencia. Paralelamente la corriente empirista plantea que todo conocimiento se funda en la experiencia, pero en el ámbito de las matemáticas sigue imperando la razón, porque asume que muchos conocimientos matemáticos se fundan en conceptos abstractos. Posteriormente a mediados del siglo XIX, el cuestionamiento al quinto postulado de Euclides abrió paso al desarrollo de nuevas geometrías: las geometrías no-­‐euclidianas. Hoy resulta evidente que el desarrollo de las geometrías euclidianas mostró que era posible construir distintas geometrías y en consecuencia, distintas matemáticas, sin embargo esta idea no cobró demasiada fuerza en ese entonces. Así, las corrientes logicista y formalista, desarrolladas a continuación, conciben que las matemáticas son ideas cuyo carácter matemático está dado por la lógica de una disciplina organizada axiomáticamente. La postura logicista básicamente buscaba fundamentos para demostrar que la matemática clásica es parte de la lógica, en tanto la formalista enfatiza en el uso de axiomas, reglas y propiedades para intentar demostrar que no existen contradicciones en la construcción de los objetos matemáticos. Es decir, si variamos los axiomas, variamos los objetos matemáticos construidos a partir de ellos, pero al interior de dichas construcciones no existirían contradicciones. Sin embargo, la observación de algunas contradicciones en la matemática clásica, (teoría de conjuntos de Cantor y paradoja de Rusell) dio fundamentos a la perspectiva intuicionista, para plantear el tema de la falibilidad de las matemáticas. Esta corriente, que algunos también han llamado constructivista, concibe que la matemática se erige 9 En el texto de Pérez (1998) se explica con detalle este tema al analizar los fundamentos de la filosofía de la ciencia. 29 a partir de lo intuitivamente dado mediante procesos constructivos, y que por ende es una construcción falible. Aquello permite que Cerón, Mesa y Rojas (2012) la asocien con la perspectiva dinámica. Sin embargo, el intuicionismo continua sosteniendo que existen unas únicas verdades matemáticas o un cuerpo de conocimientos matemáticos correctos, lo que desde nuestra perspectiva la vincula también con la perspectiva estática. En 1931, nuevos planteamientos refuerzan la idea de la falibilidad matemática planteada por el intuicionismo: Godel determina ciertas inexactitudes en el sistema matemático al mostrar que mediante el uso de axiomas es posible encontrar contradicciones. Así surgen dos nuevas corrientes que proponen una perspectiva dinámica de la naturaleza de la matemática: el cuasi empirismo que además de plantear que la matemática es falible, señala que es conjetural y especulativa, de tal modo que sus producciones no son finales ni perfectas; y el constructivismo social que asume que la matemática es un conocimiento al que se accede a través de la experiencia y que, en consecuencia, dependerá del contexto y de los valores en los cuales se genera, lo que la hace un conocimiento falible y modificable. Si bien los análisis sobre la evolución de las concepciones sobre la naturaleza de las matemáticas revisados en la literatura han sido realizados en el marco de la disciplina matemática, desde el enfoque etnomatemático, es posible observar que tanto el cuasi empirismo como el constructivismo social, permiten ir más allá de la matemática disciplinar. En efecto, si consideramos que la naturaleza de la matemática es conjetural y especulativa, que sus producciones no son finales ni perfectas, que su desarrollo depende del contexto y de los valores en los cuales se generan, podemos considerar que la matemática disciplinar es la matemática producida en la práctica sociocultural desarrollada por los matemáticos dentro de la racionalidad científica; pero es perfectamente posible que se produzcan otras matemáticas en prácticas socioculturales extra académicas y/o extraescolares que responden a otras racionalidades. Postulamos entonces que es posible distinguir dos perspectivas de las matemáticas. Una perspectiva lógica-­‐racional que se caracteriza por ser estática dado que concibe 30 la matemática como algo preexistente en el sentido platónico, como un cuerpo de conocimientos fijo y objetivo, estático acumulativo, y unificado (Cerón, Mesa, & Rojas, 2012; Miguel A. , 2010; Blanco-­‐Álvarez H. , 2008); y que la concibe como una ciencia racional en el sentido aristótelico exacta, formal y lógica compuesta por reglas, fórmulas y temas (Grigutsch, 1996). Y una perspectiva sociocultural de las matemáticas (Blanco-­‐Álvarez H. , 2008) que se caracteriza por ser dinámica dado que plantea que la matemática es construida, que sus realizaciones son productos culturales; y que por lo tanto es falible porque sus productos están en continua revisión (Cerón, Mesa, & Rojas, 2012), pero que además se caracteriza por trasladar el foco de la pregunta desde el objeto (que es la matemática o qué son las matemáticas) a la acción (qué es hacer matemáticas). De tal modo que la perspectiva sociocultural de las matemáticas pone el énfasis en la acción de matematizar o de producir matemáticas, más que en los objetos matemáticos producidos; explicita la existencia de diversas matemáticas -­‐una de las cuales es la matemática disciplinar, una ciencia relevante para la sociedad compuesta principalmente de los procesos de resolución de problemas (Grigutsch, 1996)– y reconoce que las diversas producciones matemáticas gozan de igualdad epistemológica dado que cada una cobra sentido desde la racionalidad desde la cual es producida; por lo tanto hay una alta valoración de las producciones de esas otras formas de matematizar que por lo general se han desarrollado fuera de la escuela y de manera oral, cuyos potenciales aportes a la educación matemática se pueden apreciar en la tabla 2. Producciones matemáticas escolares ´ Situaciones generales ´ Énfasis en algoritmos, fórmulas, secuencias ´ Cálculos escritos ´ Disociación de los cálculos de las actividades reales, pudiendo llegar a respuestas sin sentido ´ Deductiva ´ Solución correcta y superior ´ Escrita Producciones matemáticas extraescolares ´ Situaciones particulares ´ Esfuerzo en resolver problemas ´ Cálculos mentales: procesos agrupamiento y redondeo “sensatos” ´ Cálculos contextualizados de ´ Inductiva ´ Solución adecuada ´ Oral ´ No generaliza ´ Informal 31 ´ Tiende a generalizar ´ Resultado asociado a una decisión ´ Formal ´ Resultado/número ´ Número abstracto ´ Número de cosas reales ´ Resultados aproximados ´ Con significados para quien las hace ´ Resultados únicos ´ Sin significado para el alumno Tabla 2: Características de las matemáticas escolares y extraescolares. Adaptación en base a Oliveras & Blanco (en prensa) y a Vilela (2006) Es decir, la perspectiva sociocultural comprende las caracteristicas de la perspectiva calificada como dinámina pero cambia el foco en el objeto matemático en sí hacia los proceso de matematización que dan origen a las diversas producciones matemáticas. La siguiente tabla (tabla 3) sintetiza las caracteristicas de ambas perspectivas PERSPECTIVA LÓGICO-­‐RACIONAL SOBRE LA MATEMÁTICA • Se pregunta sobre la naturaleza de la matemática como objeto, qué es la matemática •
•
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Concibe que es un cuerpo de conocimientos fijo y objetivo, estático acumulativo, y unificado (Cerón, Mesa, & Rojas, 2012; Miguel A. , 2010; Blanco-­‐Álvarez H. , 2008) •
Concibe la matemática como una ciencia exacta, formal y lógica compuesta por una colección de reglas, fórmulas y temas (Grigutsch, 1996). •
PERSPECTIVA SOCIOCULTURAL SOBRE LAS MATEMÁTICAS Se pregunta por la naturaleza de las matemáticas como acción qué es hacer matemáticas o matematizar. Entiende que todos los pueblos y culturas matematizan el mundo social y natural buscando expresar las regularidades observadas mediante actividades que implican cuantificar, orientarse en el espacio y en el tiempo, diseñar, explicar, predecir, clasificar, jugar, etc., desde sus particulares formas de ser, conocer y relacionarse con el mundo en el contexto del desarrollo de prácticas socioculturales determinadas (Bishop, 1999; D'Ambrosio, 2008). Así el conocimiento matemático es un producto de la creación humana, no acabado, falible, en continua expansión y revisión (Cerón, Mesa, & Rojas, 2012). Por lo tanto, no existe un cuerpo único sino producciones matemáticas diversas producidas desde diferentes racionalidades, una de las cuales es la matemática disciplinar. Esta es una ciencia compuesta principalmente de los procesos de resolución de problemas y es relevante para la vida y sociedad (Grigutsch, 1996). Tabla 3. Caracterización perspectivas epistemológicas sobre las matemáticas Luego de analizar las diversas perspectivas sobre las matemáticas, y de fundamentar por qué enmarcamos esta investigación en la perspectiva sociocultural, continuaremos caracterizando las creencias matemáticas docentes asociadas a cada una de dichas perspectivas. 32 2.3 Creencias matemáticas docentes La literatura de investigación sobre creencias indica que es un concepto de considerable complejidad y que por lo mismo no hay consenso en una definición común ni en si se distingue o no de las concepciones (Grootenboer, 2008; Liljedahl & Oesterle, 2014; McLeod & McLeod, 2002; Philipp, 2007; Richardson, 1996; Thompson, 1992). Los desacuerdos varían desde si las creencias son expresiones del conocimiento o la opinión hasta si pertenecen al dominio cognitivo o afectivo (Schuck & Grootenboer, 2004). Sin embargo, existe acuerdo en que las creencias son supuestos personales de verdad, construidas a partir de la experiencia, que emplea un sujeto -­‐a menudo inconscientemente-­‐ para interpretar nuevas experiencias e información y para guiar la acción (Grootenboer, 2008; Richardson, 1996; Tarmizi & Tarmizi, 2010), de tal modo que estructuran las maneras de percibir el mundo y lo que éste comprende (Liljedahl & Oesterle, 2014; Schmeisser, Krauss, Bruckmaier, Ufer, & Blum, 2013). Así, se produce un proceso cíclico en el que las creencias a la vez que son afectadas por las experiencias, influyen sobre las decisiones y sobre las percepciones e interpretaciones de dichas experiencias (Bandura, 1986; Nisbett & Ross, 1980; Pajares, 1992; Thompson, 1992). Por otra parte, se acepta que las creencias son contextuales (Green, 1971; Pajares, 1992), es decir, contextos diferentes pueden generar creencias diferentes sobre procesos similares. Las creencias se constituyen en sistemas que se forjan a lo largo de la experiencia puesto que forman redes, es posible identificar nodos centrales y periféricos e interdependencia mutua (Kaiser & Maaß, 2007). Si se desarrollan a partir de la experiencia directa se denominan creencias primarias y si no, creencias derivadas. Según el grado de fuerza se distinguen creencias centrales (más robustas) y creencias periféricas. Por otra parte, al interior de los sistemas de creencias es posible identificar grupos aislados unos de otros (Green, 1971; Thompson, 1992). El refuerzo social les brinda una gran significancia e impacto a las creencias centrales y el carácter aislado puede ayudar a explicar por qué las personas tienen creencias contradictorias en diferentes contextos (Grootenboer, 2008). 33 Los docentes desarrollan sus creencias sobre enseñanza y aprendizaje directamente a través de su experiencia como estudiantes (Lortie, 1975, citado en Grootenboer, 2008), por lo tanto sus creencias son primarias y si se van reforzando a lo largo de su formación son también centrales. Los docentes comienzan su proceso de formación profesional con estas creencias centrales y primarias ya formadas, las cuales son más fuertes y más difíciles de cambiar (Kane, Sandretto, & Heath, 2002), especialmente si se han agrupado de manera relativamente independiente (Grootenboer, 2008). Por ello, los procesos de cambio de creencias no son sencillos (Kaiser & Maaß, 2007). Por una parte, se relacionan con la fuerza de las mismas; y por otra parte, los cambios no se producen principalmente a través de procesos cognitivos tales como el razonamiento ni el análisis lógico, sino a partir de la experiencia: “el cambio de creencias requiere tanto de la revisión de los episodios que dan lugar a las creencias, como de la creación de nuevas experiencias en las que las creencias deseables puedan tener éxito” (Grootenboer, 2008, p. 481). En el ámbito de la educación matemática, debido al impacto que tienen sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje, las creencias han jugado un rol crucial en el quehacer docente (Grootenboer, 2008; Philipp, 2007; Richardson, 1996; Schmeisser, Krauss, Bruckmaier, Ufer, & Blum, 2013; Thompson, 1992; Voss, Kleickmann, Kunter, & Hachfeld, 2013). Por ello, Carrillo, Contreras, & Flores (2013) colocan al centro de su modelo de conocimiento profesional del profesor de matemáticas las creencias sobre la naturaleza de las matemáticas, su enseñanza y aprendizaje, las cuales median y afectan los dominios de conocimiento específico (e.g. pedagogical content knowledge, matter knowledge). A partir de las experiencias vividas a lo largo de toda su trayectoria de formación escolar, inicial y continua, los docentes de matemáticas construyen un sistema de creencias relativas a la matemática, su enseñanza y aprendizaje (Kane, Sandretto, & Heath, 2002; Philipp, 2007; Richardson, 1996; 2003) que opera como un filtro que estructura el conocimiento, las percepciones y las decisiones docentes en el aula de matemática (Cerón, Mesa, & Rojas, 2012) (Kane, Sandretto, & Heath, 2002; Pajares, 1992; Schmeisser, Krauss, Bruckmaier, Ufer, & Blum, 2013; Thompson, 1992; Voss, Kleickmann, Kunter, & Hachfeld, 2013). Por lo 34 tanto, concebimos las creencias matemáticas docentes como aquellas creencias que forman parte del conocimiento subjetivo implícito de los docentes basado en la experiencia principalmente sobre la naturaleza de las matemáticas, sobre su enseñanza y su aprendizaje, (Gómez-­‐Chacón, 2000) pero también sobre sí mismo, sobre el sistema educacional y el contexto social en el cual éste se desarrolla y sobre la heterogeneidad en la cultura escolar (Kuhs & Ball, 1986; Voss, Kleickmann, Kunter, & Hachfeld, 2013; Woolfolk Hoy, Davis, & Pape, 2006). Pajares (1992) señala que las creencias sobre las matemáticas pueden determinar la forma en la que uno construye mentalmente la idea de las matemáticas. En relación con las creencias matemáticas docentes la literatura también las agrupa en las dos grandes perspectivas ya mencionadas (estática y dinámica) que se traducen en dos paradigmas didáctico-­‐matemáticos discordantes: el paradigma de transmisión, que pone el foco en los contenidos matemáticos, y el paradigma constructivista que pone el foco en la construcción del conocimiento matemático por parte de los y las estudiantes El paradigma de transmisión se basa en una concepción estática y acumulativa de las matemáticas y tiene una visión rígida de la clase, pues cree que el docente debe enseñar directamente los conceptos y procedimientos y que el estudiante debe recibirlos. Así, desde este paradigma, se cree que el aprendizaje matemático exitoso dependerá fundamentalmente de las habilidades intrínsecas del estudiante para captar las matemáticas que le son transmitidas (Fennema, Carpenter, & Loef, 1990; Köller, Baumert, & Neubrand, 2000; Staub & Stern, 2002). En tanto el paradigma constructivista se basa en una concepción dinámica de las matemáticas y de la clase, pues cree que el aprendizaje se desarrolla a través de un proceso de interacción social en el cual los estudiantes y las experiencias resultan claves. Este paradigma es concordante con la perspectiva sociocultural de las matemáticas que cree que el conocimiento matemático es socialmente construido. Desde este enfoque se piensa que el éxito del aprendizaje de las matemáticas dependerá de las características de las actividades propuestas, de la capacidad del profesor para conducirlas, y de las 35 oportunidades de interacción brindadas a los estudiantes (Fennema, Carpenter, & Loef, 1990; Köller, Baumert, & Neubrand, 2000; Staub & Stern, 2002). En la tabla 4 caracterizamos cada paradigma didáctico-­‐matemático en función desus focos, del proceso de enseñanza, y del aprendizaje en base a los aportes de Blanco-­‐
Alvarez (2008; 2011; 2012), Cerón, Mesa y Rojas (2012), y Fuentes (2013). PARADIGMA DIDACTICO-­‐MATEMATICO DE TRANSMISIÓN PARADIGMA DIDACTICO-­‐MATEMATICO CONSTRUCTIVISTA FOCO en la transmisión de conocimientos FOCO en la construccción de los conocimientos matemáticos: definiciones, teoremas y algoritmos matemáticos escolares o sociales mediante la interacción y el diálogo. PROCESO DE ENSEÑANZA: el protagonista el es PROCESO DE ENSEÑANZA: el protagonista es el profesor quien transmite los conocimientos a los estudiante quien produce los conocimientos. La estudiantes. La comunicación tiende a ser interacción es dialógica. El docente se ocupa de unidrireccional desde el docente hacia el conocer a sus estudiantes y contextualizar los estudiante. conocimientos para generar una actitud favorable hacia las matemáticas; valorar y respetar la diversidad de formas de matematizar y el conocimiento matemático extraescolar (generalmente oral) METODOLOGÍA: frecuentemente expositiva; se usa METODOLOGÍA: resolución de problemas, tecnología como fuente para resolver algoritmos. situaciones didácticas, trabajo en equipo. APRENDIZAJE: depende de las características del APRENDIZAJE: depende de las caracteristicas de estudiante, de su capacidad y habilidad intrínseca las actividades planteadas, de la capacidad del para aprender matemáticas. profesor para conducirlas, y de las oportunidades de interacción brindadas a los estudiantes Tabla 4 Caracterización de paradigmas didáctico-­‐matemáticos Sabiendo que es necesario cambiar el paradigma de la enseñanza hacia una visión más constructivista (Chapman, 2008), que existe una relación dialéctica (Beswick, 2005) pero no linealmente causal (Cobb, Wood, & Yackel, 1990; Lerman, 2003) entre creencias y prácticas, y que las creencias son contextuales (Pajares, 1992), se ha establecido que la formación docente debiese desarrollar, modificar y transformar las creencias docentes, buscando hacer sentido entre qué se enseña, cómo se enseña, (Green, 1971; Fenstermacher, 1978; Thompson, 1992; Richardson, 1996; Kaiser & Maaß, 2007) y para qué se enseña (Owens, 2015). Sin embargo, como los docentes han estado expuestos a prácticas de enseñanza por largo tiempo durante su formación escolar y su formación inicial docente, han forjado creencias matemáticas robustas y resistentes al cambio (Kane, Sandretto, & Heath, 2002), especialmente cuando dichas 36 prácticas de enseñanza –junto a las que el docente ha implementado y observado en su propia comunidad de práctica (Owens, 2015)-­‐ responden a paradigmas didáctico-­‐
disciplinares distintos de los que se intenta propiciar (Chapman, 2008; Deulofeu, Figueiras & Pujol, 2011; Wilson y Cooney, 2003). Más aún, White, Way, Perry y Southwell (2005) advierten que la experiencia matemática de los docentes podría generar además de creencias robustas, una autopercepción negativa respecto de la disciplina. A su vez, dicha percepción podría contribuir a desarrollar estrategias de enseñanza que repliquen esta forma de relacionarse con las matemáticas, las que al mismo tiempo podrían reforzar las creencias, actitudes y resultados de rendimiento negativos de los estudiantes. Además, si posteriormente estos estudiantes se convierten en docentes, podría crearse un ciclo de negatividad, “a menos que una adecuada intervención rompa el ciclo” (p. 36). Es lo que han hecho algunos programas de formación en servicio que han logrado impactar las creencias matemáticas de docentes que trabajan en escuelas situadas en contextos indígenas, o con algún porcentaje de estudiantes indígenas, mediante la incorporación de experiencias didácticas matemáticas interculturales o culturalmente inclusivas (Jorgensen, Grootenboer, & Niesche, 2013; Nutti, 2013; Owens, 2014a; 2015). Por este motivo, pensamos que es importante que los procesos de desarrollo profesional docente incorporen las creencias matemáticas docentes como un elemento importante que impacte en sus prácticas, y que en concordancia con Grootenboer (2008) utilicen experiencias didácticas innovadoras. Nosotros proponemos utilizar las experiencias didácticas matemáticas interculturales como hilo conductor del proceso de desarrollo profesional en sí y como base para el diseño de una experiencia de aula. Así, estas experiencias por una parte, podrían permitir a los docentes revisar sus propias creencias matemáticas y por otra, construir nuevas creencias que amplíen su visión sobre las matemáticas, su enseñanza y su aprendizaje. 37 2.4 Experiencias didácticas matemáticas interculturales Dado que las creencias se interrelacionan dialécticamente con las experiencias, es necesario caracterizar éstas y definir qué estamos entendiendo por las distintas dimensiones que constituyen una experiencia didáctica matemática intercultural. Entendemos la experiencia en el sentido de Larrosa (2002) quien señala que la experiencia no es lo que pasa sino lo que nos pasa, enfatizando en que no es una situación que observamos sino que nos involucra. Por lo tanto, tener una experiencia significa “permitirnos ser llevados dentro de nosotros mismos a partir de lo que nos interpela, nos penetra y nos sujeta a ella" (2002, p. 139). En el ámbito educativo asumimos que las experiencias didácticas son parte constitutiva del proceso de formación, dado que los procesos de construcción de conocimientos están vinculados fuertemente a nuestras experiencias personales y colectivas (Soto, 2008). Así, las experiencias didácticas cobran valor en dos dimensiones: como parte implícita de los procesos formativos y como herramienta explícita para propiciar la construicción de conocimientos. Compartimos el planteamiento de Knijnik, Wanderer y de Oliveira (2005) cuando indican que un proceso formativo en sí mismo puede ser pensado como una experiencia puesto que es un proceso de producción de conocimiento a partir de la experiencia del aprendiz. Desde esta mirada, el foco formativo no está puesto en el conocimiento construido como un "objetivo", sino en “su producción que a su vez nos produce como sujetos, tocando nuestras subjetividades y transformándolas” (Knijnik, Wanderer, & de Oliveira, 2005, p. 106). En tanto, la experiencia didáctica como herramienta es una experiencia explícitamente diseñada por el formador de profesores10 y/o por el docente para que sus estudiantes aprendan. 10 Utilizamos el concepto de formador para referirnos a quienes enseñan a los futuros docentes o a los docentes en servicio, y docentes para quienes enseñan en las escuelas. 38 Respecto a la dimensión matemática de la experiencia didáctica, concordamos con D’Ambrosio (2008) en que “no es posible llegar a una teoría final de la manera de saber hacer matemáticas de una cultura” (p. 17), dado que la producción de los conocimientos en sí misma es dinámica y que lo matemático puede ser entendido de diferentes maneras desde las diversas formas de ver, sentir, pensar y situarse en el mundo, o simplemente puede no existir como concepto en una cultura (Tamayo, 2012). Así, adherimos a la metáfora de Oliveras y Blanco (en prensa) que indica que las matemáticas no son un edificio único constituido por conceptos universales, sino que está constituida por múltiples edificios interconectados que tienen lugar en diversas formas de vida. Por lo tanto, entendemos que la disciplina matemática no es el único referente para delimitar, denotar o identificar el carácter matemático de una experiencia, dado que es sólo una forma de vida entre tantas; y que en las formas de vida no escolares los conocimientos no están disciplinarizados sino inmersos en las prácticas sociales11 (Tamayo, 2012). Entonces surge una de las grandes tensiones al interior de los enfoques, que asumiendo la existencia de múltiples maneras de saber/hacer matemáticas, buscan identificar algunas de ellas: ¿cómo distinguir lo matemático sin tener como referente la matemática disciplinar? Una opción muy difundida ha sido utilizar las actividades matemáticas crosculturales propuestas por Bishop (1999). El definió dichas actividades a partir de las cuales se han producido conocimientos matemáticos en distintos tiempos y espacios: contar, medir, localizar, diseñar, jugar y explicar. Sin embargo, considerando que estas actividades genéricas suelen estar presentes en prácticas sociales12 específicas de cada grupo cultural, tales como tejer, cultivar plátanos, pescar en el hielo, etc. y sabiendo que los conocimientos asociados a dichas prácticas también están dotados de sentidos diversos, otros estudios han utilizado las prácticas sociales de un grupo cultural como referente, con la intención de tratar de entender las formas de saber 11 Actividades realizadas por grupos culturales, en un determinado tiempo y espacio, con un sentido histórico, cultural, social, político, ético y estético (Tamayo, 2012). 12 Con prácticas sociales nos referimos a las prácticas que se realizan en el marco de un determinado grupo social. 39 hacer matemáticas producidas en cada grupo cultural desde sus propias dinámicas y sus propias lógicas, optando por hablar del conocimiento [matemático] de la cultura para denotar que lo matemático es una categoría externa a dicha cultura (Tamayo, 2012). Un estudio que se adentra en la identificación de las matemáticas en una práctica artesanal (Albertí, 2007), propone el método de la Interpretación Matemática Situada (IMS) consistente en considerar y examinar tres factores de la práctica: el producto, mediante la visualización de la obra acabada; el proceso, mediante la observación de la obra en curso; y las explicaciones, a través de la interpelación simple y de la interpelación situada en la que el investigador aprende y realiza la tarea. Este autor asume que una práctica no es matemática sino que puede ser calificada como tal13 cuando las resoluciones a los problemas que plantea implican realizar deducciones lógicas14 y se basan en la cuantificación15. Otra alternativa que se ha explorado desde hace algunos años ha sido utilizar la noción de semejanzas de familia de Wittgenstein (1999) para argumentar que algunos juegos de lenguaje16 que tienen lugar en formas de vida no escolares son matemáticos porque se identifican semejanzas entre ellos y algunos de las formas de vida académicas (Knijnik, 2012; Oliveras & Blanco, en prensa; Vilela, 2007). Si bien coincidimos con Olivera y Blanco (en prensa) en que no existe una realidad independiente del punto de vista de quien observa y en que quienes hemos sido formados en la cultura occidental tendremos en nuestro imaginario el conocimiento 13 Puesto que cualquier aseveración al respecto corresponde a una interpretación del investigador. 14 Sin tener que ser necesariamente formalizadas ni analíticas. 15 Albertí (2007), asume que se cuantifica cuando la interrogante del problema se transforma en la pregunta ¿cuánto? involucrando las nociones de número y/o de cantidad; pero advierte que la respuesta no debe ser absolutamente precisa o darse de una determinada forma puesto que se puede cuantificar en forma explícita o implícita. Por ejemplo, en el contexto de la medición la repetición de una medida en base a una unidad de longitud, sería una forma de cuantificación explícita. En cambio, en la determinación del caracter ortogonal de un segmento con respecto a otro a partir de la reflexión de este considerando al otro como eje de simetría, el autor entiende que la cuantificación está presente en la coincidencia del reflejo sobre sí mismo, de tal manera que la perpendicularidad sería una forma de cuantificación implícita (ver figura 2.3 en p. 61 de Albertí, 2007).
16 Este concepto de Wittgenstein (1999) busca denotar que una misma palabra puede tener distintos significados según el contexto en el que se la utiliza (Oliveras & Blanco, en prensa). 40 matemático disciplinar a la hora de observar, pensamos que es posible hacer un esfuerzo por trascender esos límites teniendo presente el origen sociocultural de lo matemático. Desde ese lugar asumimos que las experiencias didácticas son matemáticas cuando se refieren a formas de saber/hacer desde las cuales se expresan las regularidades observadas en el entorno social o natural, a través de acciones que involucran maneras de orientarse en el tiempo y en el espacio, de cuantificar, y de establecer relaciones, explicaciones, predicciones, clasificaciones, etc. en el desarrollo de una práctica sociocultural determinada (Peña-­‐Rincón, Tamayo-­‐Osorio, & Parra, 2015). En relación con la dimensión cultural de la experiencia didáctica matemática entendemos que es intercultural cuando busca producir un diálogo entre las culturas con el objeto de aprender y reconstituirnos a partir de la pluralidad epistemológica de los diversos sistemas de conocimientos que coexisten en nuestras sociedades (Samanamud, 2010; Santos, 2009; Walsh, 2009). Comprendemos la cultura como una producción social, en la que se interrelacionan dialécticamente conocimientos y comportamientos (D’Ambrosio, 2008) en base a sistemas de signos interpretables y al contexto que forma parte de dicha producción (Geertz, 2003). Estamos de acuerdo con Gasché (2008) en destacar el carácter dinámico de la cultura, ya que como actividad humana depende de las decisiones que sus miembros toman a cada instante; por lo tanto una cultura que es mucho más que un conjunto de elementos, representaciones y valores disponibles que determinarían el actuar humano17. Así, en este contexto de interacciones, el sujeto transforma a la vez que se transforma, por lo tanto la cultura no sólo es recibida sino transformada por las personas que pertenecen a dicha cultura; lo mismo ocurre con los conocimientos que circulan en ella (Tamayo, 2012). 17 Gasché advierte que reducir la cultura a un conjunto de elementos ha propiciado su folclorización en la sociedad y en la educación, valorándola por “lo pintoresco, colorido, curioso y extraño que son los elementos culturales de otra cultura” (2008, p. 314) y no por ser la producción de un grupo humano diferenciado. 41 Esto releva la necesidad de establecer relaciones dialógicas entre culturas en la escuela ya sea en contextos con presencia de pueblos indígenas y comunidades afrodescendientes en los que la interacción intercultural es manifiesta o en contextos percibidos como culturalmente homogéneos en los que la interacción intercultural no es tan evidente. Si bien los programas de educación intercultural en Latinoamérica surgieron a raíz de las demandas de reconocimiento, derechos y transformación social de los pueblos indígenas y afrodescendientes (Bengoa, 2009; Walsh, 2009), la reflexión profunda en torno a esta problemática ha permitido comprender que interpela y beneficia a la sociedad completa. En ese sentido, Walsh (2009) sostiene que es posible comprender la interculturalidad como el contacto e intercambio entre culturas en condiciones de igualdad o desigualdad sin referirse a la jerarquización de las diferencias culturales (perspectiva relacional); como el reconocimiento explícito del otro con miras a incluirlo en la estructura social establecida, sin cuestionar las causas de la asimetría (perspectiva funcional); o como un proyecto que propone la construcción de relaciones -­‐de saber, ser, poder y de la vida misma-­‐ radicalmente distintas reconociendo que la diferencia ha sido construida dentro de una matriz colonial de poder racializado y jerarquizado (perspectiva crítica). La interculturalidad funcional es la que ha guiado mayoritariamente los procesos de implementación de proyectos educativos interculturales. La siguiente tabla (tabla 5) muestra las diferencia entre la interculturalidad funcional y la propuesta de interculturalidad crítica según diversos criterios: Criterio Interculturalidad Funcional Según intereses Responde a y parte de instituciones Es una construcción desde y con los dominantes excluidos, no es funcional al sistema Según focos Se centra en la diversidad: reconocer Se centra en la desigualdad (orígenes, para incluir estructuras que la generan y perpetúan, etc.); en el problema estructural-­‐colonial-­‐
racial que la genera Interculturalidad Crítica 42 No enfrenta dispositivos y patrones de Parte desde el problema del poder, su Según explicación del poder que mantienen la desigualdad, al patrón de racialización y la diferencia incluir intenta regular y apaciguar construida subsecuentemente problema Según propuesta Propone reconocer para incluir (en esta Propone transformar estructuras, misma sociedad) instituciones, relaciones sociales, concepciones de conocimiento para construir una “sociedad otra”. Tabla 5. Diferencias entre la interculturalidad funcional y la interculturalidad crítica. Elaboración propia en base a Walsh (2009) La autora advierte que las dos primeras perspectivas conllevan el riesgo de poder utilizar el reconocimiento y respeto de la diversidad cultural como una estrategia de control social mediante la "inclusión"; en cambio, la interculturalidad crítica se plantea como un instrumento-­‐proceso-­‐proyecto dirigido a todos los sectores de la sociedad y no sólo a las poblaciones indígenas y afrodescendientes (Walsh, 2009). En el ámbito educativo esta propuesta implica el desafío de visibilizar esas otras maneras de ser, saber y vivir y crear instancias para que dialoguen con igualdad de estatus (Owens, 2015), vale decir, sin establecer jerarquías entre ellas. Para poder avanzar en lo que sostienen tanto Owens como Walsh, es necesario adentrarse en el currículo escolar para observar como es posible incorporar los conocimientos de grupos socioculturales. En este sentido, Banks (2004), distingue cuatro enfoques/niveles de incorporación curricular de conocimientos de grupos socioculturales según si cambian o no la estructura del currículo y de acuerdo al nivel de participación social de los estudiantes: el contributivo con foco en celebraciones y elementos discretos que resultan atractivos18; el aditivo que añade contenidos, conceptos, temas o perspectivas de grupos culturales; el de transformación que modifica la estructura curricular para incorporar dichos contenidos, conceptos, temas o perspectivas; y el de acción social, en el cual la transformación curricular contempla la toma de decisiones por parte de 18 Se relaciona con la folclorización a la que hacía alusión Gasché (2008) 43 los estudiantes sobre temas sociales importantes y su participación en acciones para resolverlos. Si bien adherimos a la idea de construir una educación intercultural crítica en el sentido descrito por Walsh (2009) que implique la transformación curricular socialmente activa propuesta por Banks (2004), entendemos que aquello es parte de un proceso que se extiende más allá del sistema educativo. Por lo tanto, es esperable que en investigaciones educativas a pequeña escala19, las experiencias didácticas interculturales, al llevar las matemáticas de grupos culturales no hegemónicos a la escuela, impulsen pequeños pasos hacia el reconocimiento de la pluralidad epistemológica de dichos conocimientos y en tal sentido puedan calificarse tan sólo como culturalmente inclusivas. El interés con el que se lleve a cabo dicha incorporación es lo que hace la diferencia, pudiendo ser éste de tipo cognitivo, amplificador o político (Vilela D. , 2006). Existe un interés cognitivo cuando el objetivo es favorecer la comprensión de la matemática escolar; existe un interés amplificador cuando se busca incrementar el conocimiento matemático escolar, posibilitando nuevas reflexiones sobre los límites y alcances de cada enfoque matemático; en tanto el interés político busca reconocer y legitimar otros sistemas de conocimiento con la intención de contribuir a la equidad social. Como podemos observar son categorías no excluyentes que muestran que es posible transitar progresivamente desde el interés cognitivo hacia el interés político, a medida que por una parte, se comprende el valor intrínseco que tiene cada cultura con sus respectivas cosmovisiones y sistemas de conocimiento, y por otra, se aprecia la importancia de contribuir a la construcción de un sistema educativo que lejos de jerarquizar las diferencias culturales, pueda constituirse y aprender a partir de ellas. En palabras de Monteiro y Mendes (2011), la valorización y la legitimación de prácticas y saberes excluidos del contexto
escolar procuran, ante todo, permitir a los sujetos, no sólo su identificación con el
ambiente escolar, entendiendo éste como un espacio por ellos comprendido, sino
19 O en las fases iniciales de programas mayores que pretendan contribuir a la equidad social mediante la legitimación de los diversos sistemas de conocimiento. 44 también su participación en debates que promuevan la interacción y la
clarificación de las relaciones de poder que sustentan los procesos de legitimación
de producción de saberes en las diferentes prácticas (p. 42). Así, y considerando las fuentes anteriores utilizaremos el concepto de Experiencia Didáctica Matemática Intercultural (EDMI) en un doble sentido: i)
EDMIp: para referirnos al proceso de desarrollo profesional docente a través del cual se incorporan prácticas sociales y/o conocimientos matemáticos de un grupo sociocultural no hegemónico a la escuela con el objeto promover la reflexión en torno a la naturaleza de las matemáticas y a su proceso de aprendizaje y enseñanza. ii)
EDMIa: para referirnos a la experiencia didáctica como experiencia de aula, es decir, a las herramientas explícitas diseñadas por docentes y/o formadores de profesores para promover los aprendizajes matemáticos de los estudiantes a partir del diálogo matemático intercultural. Por lo tanto, considerando la necesidad de desarrollar una educación matemática de calidad (OEI, 2014; UNESCO, 2009; UNESCO, 2012) pensamos que, tanto en contextos reconocidos como en los no percibidos como multiculturales, es adecuado realizar programas de formación docente (inicial y continua) que constituyan en sí mismos una EDMIp. Esto es relevante dado que la comparación entre las formas no hegemónicas de saber/hacer matemáticas contenidas en ambas EDMI y las maneras usuales de hacer matemáticas en el contexto escolar, desencadena naturalmente en los docentes reflexiones profundas sobre la naturaleza de las matemáticas, sobre su enseñanza y su aprendizaje (Sullivan, Jorgensen, Boaler, & Lerman, 2013) que los llevan a reconocer el origen sociocultural y el pluralismo epistemológico de los conocimientos matemáticos, y a enriquecer su comprensión de la matemática escolar. 45 3. DISEÑO METODOLÓGICO DE LA INVESTIGACIÓN En este capítulo exponemos el proceso a través del cual fuimos construyendo la investigación en base a un enfoque cualitativo interpretativo y colaborativo. Luego caracterizamos el diseño de la investigación describiendo los periodos y fases que la componen. 3.1 Fundamentación metodológica Nuestra investigación se enmarca en un paradigma cualitativo-­‐interpretativo. Este paradigma concibe que la realidad social se constituye a partir de la interacción de los participantes entre sí y con su entorno social, cultural (Merriam, 1998) y natural (D'Ambrosio, 2008), de manera que existen múltiples realidades: la realidad de la persona que investiga, aquéllas de las personas que participan en el estudio y aquéllas de los lectores que interpretan y analizan el informe de la investigación. Desde el punto de vista ontológico, el paradigma cualitativo-­‐ interpretativo indica que la compresión de la realidad alcanzada con la investigación es única, pero puede compartir muchos elementos con otras comprensiones que si bien no permiten descubrir “la realidad” permiten construir una realidad cada vez más clara y sólida. Desde el punto de vista epistemológico este paradigma asume que aunque se clarifiquen las descripciones y se dé solidez a las interpretaciones, la recolección y la interpretación de los datos están influenciadas por la experiencia e intención del investigador, por lo cual es necesario reportar de manera activa esos juicios y valores propios, esto es, hacer a los demás conscientes de ellos. Para minimizar la distancia entre el investigador y las personas a quienes observa, el investigador interactúa con las personas estudiadas por tiempo prolongado (Ceballos-­‐Herrera, 2009). El paradigma cualitativo-­‐interpretativo considera la educación como un proceso y reconoce que las situaciones educativas en tanto fenómenos sociales son situaciones complejas, de manera que se “busca describirlas y caracterizarlas a través de la investigación, estableciendo significados en las acciones e interacciones que se 46 observan y justificando los resultados obtenidos a través de una descripción detallada” (Rojas, 2009). Otra característica destacada del paradigma cualitativo-­‐ interpretativo es que intenta comprender y dar sentido a los fenómenos sociales a partir del significado atribuido por las propias personas que participan de ellos (Merriam, 1998). Utilizamos este paradigma porque pensamos que en un estudio como el nuestro que pretende comprender procesos específicos, tales como la movilización de las creencias matemáticas docentes, necesita considerar tanto los contextos socioculturales que las afectan como los discursos que los propios participantes tienen sobre ellas. En cuanto a la relación de los investigadores con los participantes de la investigación, este estudio adopta la propuesta de investigación colaborativa (Boavida & Ponte, 2002) que concibe la investigación como un proceso emergente marcado por la imprevisibilidad, por continuas negociaciones y decisiones, por estar basado en el respeto por las diferencias, y porque contiene objetivos comunes y diferenciados, ya sean explícitos o implícitos (Tamayo, 2012). Así, esta perspectiva metodológica entiende la colaboración como el trabajo conjunto en una relación no jerárquica en la que todos contribuyen, caracterizada por la mutualidad, porque todos los participantes se benefician con el proyecto, y el equilibrio entre las distintas funciones de los miembros del equipo. Lo anterior requiere confianza personal y profesional para desarrollar el trabajo en un clima de respeto y atención, lo que implica disponibilidad para escuchar atentamente a los otros, valorar sus contribuciones y desarrollar un sentimiento de pertenencia al grupo. En este proceso se ha de recurrir al diálogo como instrumento de confrontación de ideas y de construcción de nuevas comprensiones, porque ninguna idea es definitiva y porque "a medida que una voz se entrelaza con otras voces, la comprensión se enriquece y la conversación se torna más informada" (Boavida & Ponte, 2002, p. 7). Al mismo tiempo se da una negociación de objetivos, modos de trabajo, formas de relación, prioridades e incluso significados de los conceptos fundamentales como parte de un proceso de autoaprendizaje y aprendizaje acerca de las relaciones humanas (Tamayo, 2012). 47 Boavida y Da Ponte (2002) señalan que según la relación entre los miembros, una investigación colaborativa puede darse entre pares o entre actores con estatus y roles diferenciados, que es nuestro caso. Esta modalidad tiene la ventaja de que al proporcionar múltiples puntos de vista sobre la misma realidad, es posible esbozar marcos interpretativos más amplios; en tanto conlleva la dificultad de conciliar variedad de lenguajes, marcos de referencia y estilos de trabajo lo que suele implicar mucho tiempo y esfuerzo. Por otra parte, según la iniciativa, una investigación colaborativa puede ser espontánea, si los mismos miembros del equipo acuerdan investigar, o forzada si es a instancias de un superior. En síntesis, adherimos al enfoque colaborativo porque en él los participantes se unen i) con un objetivo en común, lo que implica reunir más energías de las que posee una sola persona; ii) con experiencias, competencias y perspectivas diversas, brindando más recursos y mayor seguridad; iii) y que interactúan, dialogan y reflexionan en conjunto, posibilitando mayores posibilidades de aprender y de enfrentar obstáculos e incertidumbres (Boavida & Ponte, 2002; Tamayo, 2012) 3.2 Contexto y participantes En Chile existe desde el año 1996, un Programa de Educación Intercultural Bilingüe (PEIB) creado a partir de un acuerdo entre el Ministerio de Educación de Chile (MINEDUC) y la Corporación Nacional de Desarrollo Indígena (CONADI) con el objetivo de “contribuir a mejorar los logros de aprendizaje, a partir del fortalecimiento de la identidad étnica de las niñas y los niños de establecimientos educacionales de Educación Básica ubicados en contextos de diversidad cultural y lingüística” (MINEDUC, 2005, p. 5). Este programa se ha implementado a través de la incorporación de una asignatura específica llamada Sector Lengua Indígena (SLI). La normativa indica que ésta debe ser impartida por una dupla pedagógica compuesta por la o el docente a cargo del curso (profesor/a mentor) y un educador tradicional mediante clases semanales de 90 minutos en todas aquellas escuelas que tienen al menos un 20% de estudiantes con ascendencia indígena. El educador tradicional es 48 una persona designada por la comunidad indígena para la enseñanza escolar de su cultura y su lengua (Acuña, 2012)20. Como este estudio se propone identificar las influencias de una experiencia didáctica matemática intercultural (EDMI)p en las creencias matemáticas docentes en un contexto escolar percibido como culturalmente homogéneo, era necesario poder trabajar en una escuela que por una parte tuviese la disponibilidad para llevar a cabo un proceso de desarrollo profesional docente, pero que por otra se percibiese a sí misma como culturalmente homogénea. Se revisó el listado de establecimientos que a la fecha del trabajo de campo(2014) formaban parte del PEIB, y se observó que existián seis establecimientos educacionales ubicados en la ciudad de Santiago (Chile) que cumplían con la condición de percibirse como culturalmente homogéneas. La selección de la escuela se hizo considerando dos criterios i) accesibilidad de campo, dado que las características de un proceso de desarrollo profesional docente requería de una interrelación constante entre la investigadora y los demás participantes del proceso; y ii) garantías para realizar una investigación colaborativa, que implica mutualidad, equilibrio, confianza y continuas negociaciones. Así, se seleccionó un establecimiento de educación básica de la comuna de El Bosque en el sector sur de Santiago, de dependencia municipal21, cuyo Director había trabajado antes con la investigadora. Considerando que la cercanía existente favorecía las condiciones de realización de una investigación colaborativa, el Director facilitó el establecimiento de relaciones de confianza, y autorizó a una docente para ocupar parte de sus carga horaria en el proceso de desarrollo profesional docente. Es importante mencionar que por lo general los equipos 20 El educador tradicional es quien acompaña al docente de aula o profesor mentor en la implementación del PEIB. Fue pensado inicialmente para trabajar en escuelas con una alta concentración de estudiantes pertenecientes a un pueblo originario. Inicialmente era una persona elegida por la comunidad indígena para trabajar junto a el o la docente hoy en día, dadoq ue se desarrollan proyectos de eudcación intercultural en contextos diversos y que el sistema educativo ha venido imponiendo nuevos requisitos al educador tradicional no siempre es una persona elegida por una comunidad indígena. 21 En Chile, los establecimientos educacionales obedecen a tres tipos de dependencias: Particulares Pagados y Particulares Subvencionados (ambos privados) y Municipales (públicos). 49 directivos son renuentes a participar de este tipo de investigaciones ya que el poco tiempo que los docentes no están en aula es destinado a la planificación de clases. A la fecha de la investigación (año 2014), la escuela llevaba 4 años implementando voluntariamente22 un taller de Educación Intercultural bajo el alero del Programa Pueblos Originarios de la comuna y con el apoyo del Ministerio de Educación. Este contexto permitió la posibilidad de trabajar con una profesora de educación básica del establecimiento y el educador tradicional mapuche que desarrollaban dicho taller. El taller de Educación Intercultural está destinado a abordar aspectos ligados a la lengua, la cultura y la historia del pueblo Mapuche, y es implementado mediante clases semanales de 90 minutos en un curso de 1º a 4º básico, lo que dio cabida a la implementación de una experiencia de aula matemática e intercultural. El equipo de investigación colaborativo estuvo constituido por la docente, por el educador tradicional mapuche, y por la propia investigadora. La docente es una profesora de Educación General Básica, de 25 años de edad, y es una docente novel que a la fecha del trabajo de campo tenía tres años de experiencia profesional, todos en la misma escuela. En ese momento, la docente era la profesora jefe (tutora) de un grupo de 3º año básico (9 a 10 años), lo que implica que impartía la mayoría de las asignaturas en ese curso, incluyendo la de matemáticas. El educador tradicional mapuche es un chachai (hombre mayor) y kimche (sabio conocedor) de la cultura mapuche, de 60 años de edad, quien nació y vivió en su comunidad de origen hasta los 20 años. Pese a que luego emigró a diversas ciudades, continuó conservando sus costumbres y su lengua. En ese momento él trabajaba como educador tradicional y como asesor intercultural en el Programa Pueblos Originarios de la comuna de El Bosque, y trabajaba junto a la docente en el desarrollo del taller intercultural desde el año anterior a la investigación. La investigadora es profesora de Matemática de formación inicial, especialista en didáctica de las matemáticas y a la fecha de la 22 La voluntariedad se explica por el hecho que esta escuela solo tiene un 12% de estudiantes que reconocen tener ascendencia mapuche, mientras el Decreto 280 (Mineduc, 2009) indica que las escuelas que tienen más de un 20% de estudiantes pertenecientes a un pueblo indígena deben obligatoriamente implementar la asignatura Sector Lengua Indígena del PEIB. 50 investigación tenía vasta experiencia como docente de aula y como formadora en programas de formación docente continua en escuelas básicas rurales y urbanas. 3.3 Diseño de la investigación. Tal como señalamos en el capítulo destinado a plantear el problema de investigación, nos interesa estudiar si en contextos que no son declaradamente multiculturales y que con frecuencia son percibidos como culturalmente homogéneos, es posible movilizar las creencias matemáticas docentes a partir de la vivencia de una Experiencia Didáctica Matemática Intercultural (EDMIp) como un proceso de desarrollo profesional docente a través del cual se incorporan prácticas sociales y/o conocimientos matemáticos de un grupo sociocultural no hegemónico a la escuela para promover la reflexión en torno a la naturaleza de las matemáticas y a su proceso de aprendizaje y enseñanza. El siguiente esquema muestra las etapas de la investigación. Figura 3.1 Períodos de la investigación Tal como se puede observar, este estudio comprende dos grandes períodos y tres fases a través de las cuales se operacionalizan cada uno de los tres objetivos específicos de la investigación. 51 Así, el primer periodo estuvo destinado a la recolección de datos mediante la construcción e implementación de un proceso de desarrollo profesional docente concebido como una Experiencia Didáctica Matemática Intercultural (EDMIp) (fase 1) que contempla las subfases de validación, estudio, planeación, implementación y evaluación de una experiencia de aula, y de reflexión entorno al proceso global . El segundo periodo, secuencial al anterior, consistió en el análisis de los datos recolectados y abarcó dos fases: la primera en la que se caracteriza las creencias matemáticas docentes surgidas en la EDMIp previas y posteriores al desarrollo de clases (fase 2), y la segunda en se analiza las relaciones entre dichos conjuntos de creencias matemáticas docentes (fase 3). Para la fase 1, el diseño del proceso de desarrollo profesional docente se basó en el modelo de Ciclos Interactivos de Investigación y Desarrollo (The Developmental Research Cycle – TDRC) (Goodchild, 2008; 2014; Goodchild, Fuglestad, & Jaworski, 2013), el cual guarda mucha concordancia con el enfoque colaborativo anteriormente expuesto. La forma recursiva que utiliza el TDRC para llevar a cabo el proceso de desarrollo profesional docente propicia el desarrollo de procesos dialógicos y reflexivos, de beneficio mutuo y con funciones equilibradas. Este enfoque se basa en la conformación de comunidades de práctica (Wenger, 1998) en las que participan didactas y profesores para realizar un proceso de indagación sobre las propias prácticas, mediante el desarrollo de experiencias de enseñanza. La idea de la indagación es importante por cuanto los participantes se convierten en agentes activos, negociando los cambios de la práctica a través del compromiso crítico reflexivo. Este enfoque fue formulado en el contexto de trabajo con docentes en escuelas de Noruega para promover el desarrollo profesional docente de forma simultánea con el estudio de dicho proceso. En esta investigación, el modelo se utiliza para promover al mismo tiempo un proceso de desarrollo profesional docente intercultural junto con el estudio acerca de sus influencias en las creencias matemáticas docentes. En la figura 3.2 se muestra el diagrama que representa los componentes principales del TDRC. 52 Figura 3.2. Diagrama del modelo TDRC (Godchild, 2008) Como metodología, el modelo TDRC se basa en las ideas articuladas por Freudenthal (1991) y Gravemeijer (1994) en el contexto del desarrollo curricular. Su aplicación al ámbito del desarrollo de la enseñanza implica ciclos interconectados de creación de conocimiento y de desarrollo de la práctica que modelizan una evolución dialéctica de la teoría y la práctica (Goodchild, Fuglestad, & Jaworski, 2013), tal como se puede apreciar en la figura 3.2, en la cual se grafica la simultaneidad y recursividad de los procesos de investigación y desarrollo, y la sinergia que existe entre ambos. El ciclo de investigación, a la derecha del diagrama, está centrado en la creación de conocimiento académico, mientras que el ciclo de desarrollo, a la izquierda del diagrama, se centra en el mejoramiento de la práctica y en la creación de conocimiento práctico. Ambos ciclos se basan en la articulación, implementación, prueba y evaluación de hipótesis y tienen que ver con la creación de conocimiento. Como se sugiere en el diagrama, el desarrollo y la investigación son procesos continuos y simultáneos. La propuesta para el proceso de desarrollo profesional docente, contempló cuatro fases de desarrollo distintas: la validación de la propuesta de EDMIp por parte del equipo de investigación con la finalidad de asegurar el carácter colaborativo del proceso; el estudio de las teorías globales y locales para considerarlas en la construcción de una experiencia didáctica intercultural de aula (EDMIa); el diseño, 53 implementación y evaluación de la EDMIa, y la reflexión crítica sobre el proceso de desarrollo profesional docente. El ciclo de investigación estuvo sustentado a través de seminarios internos. Consideró como teoría global el enfoque etnomatemático puesto que al reconocer el pluralismo epistemológico de los distintos conocimientos matemáticos da cabida a la existencia de distintas matemáticas. Como teorías locales, especialmente relevantes para una experiencia intercultural de la enseñanza de las matemáticas, fueron consideradas las formas de enseñar mapuche (apartado 4.2.2) y el ciclo del aprendizaje matemático (apartado 4.2.3) las cuales se introducen se introducen para producir una teoría del desarrollo de experiencias didácticas matemáticas interculturales dentro del marco global elegido. El ciclo de desarrollo estuvo sustentado en el diseño, implementación y evaluación de la EDMIa. La práctica estuvo constituida por la propia implementación de la experiencia de aula, y la reflexión estuvo presente tanto al momento de diseñar la EDMIa -­‐buscando la mejor manera de incorporar en ella los aprendizajes construidos a partir del estudio de las teorías globales y locales-­‐ como al momento de reflexionar sobre la práctica, después de haber implementado la experiencia. Es importante observar el carácter sincrónico del modelo TDRC, puesto que los ciclos de investigación y desarrollo no se trabajan secuencialmente uno después de otro, con lo cual es esperable que se “vaya y vuelva” de un ciclo a otro. Por ejemplo, mientras el foco esté puesto en mejorar la práctica, en este caso en crear una experiencia didáctica matemática intercultural de aula, y crear conocimiento empírico (ciclo de desarrollo), es posible que sea necesario “regresar” a procesos de estudio relacionados con la creación de conocimiento académico (ciclo de investigación) para nutrir algún aspecto del ciclo de desarrollo que antes no fue considerado. Por otra parte, en el modelo TRDC, la investigación y el desarrollo actúan dialécticamente, dado que las acciones de desarrollo generan datos para su análisis en la investigación, y los procesos de generación de datos proporcionan oportunidades de desarrollo. (Goodchild, 2014). El autor destaca la importancia de la participación de docentes e investigadores-­‐didactas en este proceso dinámico, puesto que la participación de los docentes en los ciclos de 54 investigación ofrece oportunidades para el aprendizaje y desarrollo de los conocimientos prácticos; y la participación de los investigadores-­‐didactas y su propia investigación sistemática contribuyen al ciclo de desarrollo, a la vez que sustentan el desarrollo teórico del ciclo de investigación. Así, en el modelo TDRC, todos los participantes son actores centrales que comparten la acción y el resultado. Si bien la literatura no reporta que este modelo haya sido utilizado para el desarrollo de proyectos que fomenten el diálogo intercultural, lo hemos seleccionado por dos razones fundamentales. En primer lugar, permite promover un proceso de desarrollo profesional docente al mismo tiempo que se estudia dicho proceso, creando tanto conocimiento académico como conocimiento práctico, lo que implica beneficios para todos los participantes del proceso y no sólo para el investigador principal. En segundo lugar, el modelo en sí mismo es dinámico, dialógico y reflexivo, lo que permite construir en conjunto un proyecto de desarrollo en torno a objetivos comunes pero considerando perspectivas didácticas y culturales diversas. 55 4. CONSTRUCCIÓN DE UNA EXPERIENCIA DIDÁCTICA MATEMÁTICA INTERCULTURAL COMO PROCESO DE DESARROLLO PROFESIONAL DOCENTE (EDMIp) En este capítulo queremos exponer el proceso mediante el cual construimos un proceso de desarrollo profesional docente concebido como una experiencia didáctica matemática intercultural cuyo producto final fue la EDMIp, vale decir, la experiencia didáctica matemática intercultural concebida como proceso de desarrollo profesional . El diseño de este proceso, como recién lo expusimos, se realizó en base al modelo TDRC desarrollado por Goodchild (2014). El autor, plantea que los proyectos basados en este modelo comienzan “con una reflexión sobre los objetivos de aprendizaje y un análisis epistemológico de las matemáticas a ser aprendidas, a continuación, la planificación colaborativa para el aula, la aplicación de la lección planificada con la observación de colegas (y/o didactas), la revisión y la reflexión crítica, y la presentación de informes y la retroalimentación en ciclos de investigación posteriores” (p. 308). El siguiente esquema (fig. 4.1), muestra la puesta en marcha de la EDMIp en base al modelo de Goodchild: 56 Figura 4.1 Esquema de EDMIp en base a modelo de Goodchild (2008) Tal como lo señalamos en el apartado anterior, las teorías globales que sustentaron la EDMIp son los enfoques socioculturales de las matemáticas, en particular la Etnomatemática, y dentro de las teorías o marcos conceptuales locales, identificamos la forma tradicional de educación mapuche (Carihuentru, 2007) y el ciclo didáctico del aprendizaje matemático (Peña Rincón, 2013). La práctica estuvo constituida por el diseño, implementación y evaluación de la EDMIa, y la reflexión relacionada con la práctica formó parte del ciclo de desarrollo del modelo TDRC pero también estuvo presente en la reflexión global de todo el proceso de desarrollo profesional docente (EDMIp). Por consiguiente, se formuló una propuesta inicial consistente en la conformación de un equipo de trabajo colaborativo para desarrollar una EDMIp estructurada sobre la base de seminarios de estudio que abordan temas didácticos y culturales; de sesiones para el diseño, implementación y evaluación de una experiencia didáctica matemática intercultural como experiencia de aula para el trabajo con los estudiantes (EDMIa), y la posterior reflexión crítica en torno al proceso global. 57 Figura 4.2. Construcción de una Experiencia Didáctica Matemática Intercultural como proceso de desarrollo profesional docente A través del proceso de desarrollo de la EDMIp, fue posible identificar las cuatro etapas de desarrollo (fig. 4.2) que describiremos a continuación. 4. 1 Validación de la EDMIp La validación de este tipo de trabajos no se suele documentar ya que se entiende que es un paso previo a la investigación y que en el enfoque colaborativo la negociación está presente durante toda la investigación. Sin embargo, consideramos que en una investigación colaborativa la validación entendida como negociación hace parte esencial del proceso investigativo, dado que es el momento en que se plantea el proyecto a los participantes y se establecen acuerdos en torno a cuales serán el o los objetivos comunes, los objetivos particulares, los potenciales beneficios, y las contribuciones que debe realizar cada uno. Así, esta etapa consistió fundamentalmente en plantear el proyecto de desarrollo profesional docente al Director de la escuela (para solicitar su autorización), a la 58 docente y al educador tradicional, y evaluar junto a ellos la factibilidad de realizarlo, considerando los intereses de la docente, del educador tradicional y de la propia investigadora. Con este fin se realizaron tres sesiones: 1 entrevista con el Director, 1 entrevista inicial con la docente y el educador, y 1 reunión con los apoderados (tabla 6). Propósito SESIONES ACTIVIDAD/TEMA ABORDADO Validación: Plantear proyecto y evaluar factibilidad de realizarlo considerando los intereses de la docente, del educador tradicional y de la investigadora. a) Entrevista con el Director Investigadora plantea el proyecto y las implicancias; indaga sobre la implementación del programa de Educación intercultural en la escuela, se conversa sobre los intereses de la docente y el educador tradicional, y se evalúa factibilidad del proyecto. b) Entrevista inicial con la docente de 3º básico y el educador tradicional c) Presentación del proyecto a padres y apoderados Profesora junto a investigadora plantea el proyecto a los padres y apoderados y pide su autorización para implementarlo. Tabla 6. Etapa de Validación de la EDMIp En la entrevista con el Director del establecimiento se le planteó la idea de proyecto23 (implementar un proceso de desarrollo profesional docente intercultural), se evaluó la factibilidad de realizarlo en la escuela y se obtuvo su autorización. En la entrevista con la docente de educación básica y el educador tradicional se les planteó cuáles eran los objetivos de este proyecto, se les invitó a participar en el desarrollo de esta investigación, se indagó en torno a sus potenciales intereses y se evaluó la factibilidad de realizarlo con el curso en el que hacían clases (3º básico). En esta sesión, la docente se mostró interesada en participar del proyecto, principalmente porque vio la posibilidad de aprender sobre la enseñanza de las matemáticas, pero pidió que se validara con los apoderados dado que ellos debían 23 Cuando hablemos del proyecto nos referiremos al proceso de desarrollo profesional docente intercultural 59 saber en qué iniciativas estaban participando sus hijos. Para ello, la docente y la investigadora, como representantes del equipo de trabajo colaborativo, concurrieron a una reunión de apoderados en la que expusieron las ideas medulares del proyecto, obteniendo su autorización para implementarlo con sus hijos. El educador tradicional también se mostró interesado en participar porque hasta ese momento no había hecho la relación entre matemáticas y cultura mapuche, y vio la posibilidad de incorporar este tipo de conocimientos al taller de educación intercultural. El equipo acordó reunirse una hora y media semanalmente durante todo el año escolar, ocupando parte del tiempo de planificación de clases de la docente y del tiempo personal del educador. La primera sesión de trabajo en equipo estuvo destinada a compartir las diversas percepciones sobre la(s) matemática(s), sus expectativas e intereses en torno al proyecto y a consensuar los objetivos y la estructura del mismo. Tanto la profesora como el educador validaron la propuesta inicial que consideraba la posterior definición y/o validación colectiva de los temas específicos a tratar en los seminarios de estudio. La entrevista inicial y la reunión con los apoderados se registraron a través de notas de campo de la investigadora dado que la audio-­‐grabación podía resultar invasiva al ser la primera vez que veían a la investigadora. El Director, en cambio, conocía a la investigadora con anterioridad lo que permitió registrar la conversación mediante audio-­‐grabación. La sesión 1 fue registrada mediante grabación de audio pues ya se contaba con el consentimiento de los participantes. 4.2 Seminarios de Estudio Esta etapa se realizó mediante seminarios y conversatorios llevados a cabo a través de 11 sesiones. Inicialmente los seminarios se estructuraron en torno a tres temas centrales que trataríamos en un número de 5 o 6 sesiones que podía ser modificado según necesidad: i) Las 60 matemáticas y la forma en las que se conciben desde la Etnomatemática para abrir la conversación sobre la naturaleza de las matemáticas y visualizar que el pueblo mapuche también ha desarrollado formas de hacer matemáticas; ii) las actividades matemáticas crosculturales propuestas por Bishop para poder establecer relaciones con diversos conocimientos matemáticos mapuche y luego seleccionar los que incorporaríamos en la experiencia de aula; iii) el ciclo didáctico del aprendizaje matemático como modelo base para diseñar la experiencia de aula en el marco de un paradigma didáctico matemático constructivista. Sin embargo, hubo dos situaciones que nos llevaron a modificar el camino trazado inicialmente. La primera fue que al analizar las actividades matemáticas crosculturales y establecer la relación con las prácticas mapuche, observamos que no era fácil distinguir conocimientos matemáticos mapuche puesto que los únicos conocimientos fácilmente identificables para el equipo fueron el sistema de numeración mapuche, las formas de medir y algunos juegos de azar y de destreza conocidos por el educador tradicional. El equipo decidió centrarse en la actividad de jugar porque el sistema de numeración mapuche había sido tratado el año anterior, y la actividad de medir, aunque no había sido abordada en el contexto mapuche, se había tratado en el curso anterior. Sin embargo, como la docente estaba interesada en conocer también juegos de estrategia que le permitieran establecer vínculos con las habilidades matemáticas propuestas por el currículo de educación matemática, destinamos 4 sesiones a indagar sobre diversos juegos mapuche y en aprender a jugarlos para poder establecer las conexiones con el currículo. En ese proceso consideramos tanto los juegos que siguen formando parte de las prácticas mapuche actuales y que eran conocidos por el educador tradicional, como algunos que están siendo recuperados y revitalizados porque han caído en desuso, y que no eran conocidos por el educador tradicional. La segunda situación fue que, a medida que conversábamos, la docente y la investigadora nos íbamos dando cuenta que resultaba imprescindible poder ahondar en la cosmovisión mapuche, para poder contextualizar el sentido y las normas de los diversos juegos. Junto con ello, surgió la idea de conocer las formas tradicionales de 61 educar mapuche para poder integrar esos elementos en la estructura de las sesiones de aula que diseñaríamos para que así hubiese concordancia entre lo que estábamos enseñando y cómo lo estábamos enseñando. La cosmovisión mapuche fue emergiendo naturalmente a través de las distintas conversaciones con el educador, pero se profundizó en ella a la hora de analizar las formas tradicionales de educar mapuche ya que pudimos observar que éstas no se podían estudiar como a un conjunto de técnicas o métodos puesto que estaban sustentadas en metas, valores y actitudes. De tal modo que dedicamos 3 sesiones al estudio de la cosmovisión y la educación mapuche. Así, finalmente, los temas tratados en los seminarios de estudio fueron: a) las matemáticas y la Etnomatemática; b) las actividades crosculturales de Bishop con foco en la actividad de jugar; c) juegos de azar y de estrategia mapuche; d) la cosmovisión mapuche y las formas de educar; e) el ciclo didáctico del aprendizaje matemático. En la tabla 7 presentamos una síntesis de las sesiones y temas abordados a través de los seminarios de estudio. 62 SESIONES ACTIVIDAD/TEMA ABORDADO Conversatorio sobre objetivos del proyecto, Sesión1: Compartiendo percepciones sobre la(s) matemática(s), sus intereses y expectativas expectativas e intereses en el proyecto a desarrollar. educador tradicional y la investigadora; a qué conocimientos se pueden integrar; y cómo podrían ser incorporados en la escuela. Estudio: Debatir con el equipo en torno a cuál es o cuáles son las ideas acerca de las matemáticas y de la Etnomatemática de la docente, el Propósito Conversatorio sobre las matemáticas y la Etnomatemática a partir del texto “La Educación Sesión 2: ¿matemática o Matemática desde un punto de vista sociocultural y la etnomatemática? formación de Licenciados en Matemáticas y Etnoeducadores con énfasis en matemáticas” (Blanco-­‐
Álvarez H. , 2008) Exposición sobre las actividades matemáticas Sesión 3: Actividades crosculturales de Bishop (1999). Análisis de las matemáticas relaciones posibles entre la actividad de jugar y las crosculturales matemáticas, exposición de algunos juegos mapuche expuestos por el educador tradicional. Profesora e investigadora comparten la información Sesión 4: Relación recopilada en torno a los juegos y analizan posibles relaciones de juegos mapuche con el programa de juegos/currículo estudios de 3º básico. Sesión 5: Análisis de Participantes analizan juegos específicos (cómo juegos específicos jugarlos, reglas y roles) Sesión 6: Análisis y Participantes analizan juegos pendientes de selección de juegos comprender (cómo jugarlos, reglas y roles). Se específicos. seleccionan juegos a incorporar. Sesión 7: Práctica del Participantes practican los juegos seleccionados para Awarkuden y el Komikan analizar las estrategias y potencialidades didácticas. Análisis colectivo de capítulo 4 de texto de Sergio Sesión 8: Formas de Carihuentru (2007): Saberes mapuche que debiera educación mapuche incorporar la educación formal en contexto interétnico e intercultural según sabios mapuche. Análisis de planificaciones de clase del Programa Sesión 9: Elaboración de Pueblos Originarios. mapa conceptual formas Elaboración de mapa conceptual con los elementos de educar mapuche extraidos del texto de Carihuentru (2007) y de las planificaciones del PPO Sesión 10: La educación Validación (con educador tradicional) del mapa mapuche en la conceptual propuesto en la sesión anterior. Selección experiencia de aula de estrategias y actitudes a incorporar al aula Sesión 11: Ciclo didáctico Presentación del modelo de ciclo didáctico del del aprendizaje aprendizaje matemático. Relación de este ciclo con la Matemático práctica en aula de los juegos seleccionados. Tabla 7. Seminarios de estudio: segunda etapa de la EDMIp 63 A continuación reportaremos el proceso de diálogo, reflexión y toma de decisiones en torno a cada tema que cimentó la posterior elaboración de la EDMIa. 4.2.1 Matemática y Etnomatemática Las dos primeras sesiones se centraron en indagar acerca de las ideas de los miembros del equipo sobre las matemáticas y la Etnomatemática con la finalidad de poder profundizar en las creencias matemáticas docentes en la etapa inicial del proceso. Para ello se realizó una sesión inicial en la que se conversó sobre la experiencia de trabajo en el PEIB, las percepciones sobre las matemáticas y las expectativas e intereses comunes y personales en el proyecto a desarrollar. En la segunda sesión se profundizó la conversación sobre las matemáticas y la Etnomatemática tomando como base para la discusión el texto “La Educación Matemática desde un punto de vista sociocultural y la formación de Licenciados en Matemáticas y Etnoeducadores con énfasis en matemáticas” (Blanco-­‐Álvarez H. , 2008). 4.2.1 La actividad de jugar y los juegos m apuche La tercera sesión estuvo abocada a conversar acerca de las actividades matemáticas a través de las cuales se podían apreciar los conocimientos matemáticos de diversos pueblos y grupos socioculturales. Para ello la investigadora hizo una presentación en base a las actividades matemáticas crosculturales propuestas por Bishop (1999): contar, medir, localizar, diseñar, explicar y jugar. Como ya explicamos al inicio del capítulo el equipo estableció relaciones entre la actividades de contar, medir y jugar y las prácticas mapuche, eligiendo finalmente la de jugar. Al respecto, Bishop (1999) señala que la actividad de jugar es una actividad importante desde el punto de vista cultural y desde el punto de vista matemático. Algunas de sus características destacadas son que es una parte integral de la vida y una necesidad; está relacionada con el ingenio, el humor, la tensión, la incertidumbre, la fortuna; crea y es orden, tiene reglas, ritmos y armonía. Quienes participan del 64 juego de alguna manera se distancian de la realidad, al convertirse en jugadores que deben respetar las reglas de ese contexto llamado juego. Aquello permite que haya quienes planteen que en el juego se encuentra la raíz del pensamiento hipotético. Vigotsky (1978), por ejemplo, señala que el juego ejerce una enorme influencia en el niño porque en él se pueden separar la acción y el significado dando origen al pensamiento abstracto. Pero el juego no es sólo una actividad infantil. Existen diversos tipos de juegos, algunas categorías, no necesariamente excluyentes entre sí son las siguientes: juegos imaginativos, imitativos (de la naturaleza o la sociedad), realistas (placeres), de adivinación o discriminación, de destreza, de exultación (hacer música, bailar), de impulsión (con pelotas), de mesa, de azar y de estrategias. La extendida práctica de los juegos de azar y de estrategia ha dado nacimiento a la Teoría de Juegos que busca determinar las estrategias que aumentan la probabilidad de ganar en los primeros, o bien simplemente las estrategias para ganar, en los segundos (Deulofeu, 2010). En la cuarta y quinta sesión el educador compartió algunos de los juegos que se practican en su comunidad y la docente y la investigadora compartieron algunos de los juegos mapuche que habían recopilado, buscando conocer a través del educador tradicional los contextos sociales en los que se juegan y aclarar sus reglas cuando correspondía. Ello no fue posible en todos los casos pues varios no eran conocidos por él, entre los cuales, al equipo le llamó la atención un juego de estrategia llamado komikan, conocido como el ajedrez mapuche y un juego de antigua data llamado kechukawe en el que se utiliza un dado de cinco caras. Se analizaron en total los 11 juegos que se exponen en la tabla 7 y se indagó en sus potenciales relaciones con el programa de estudios de 3ª básico (MINEDUC, 2012), visualizando relaciones explícitas entre los juegos de azar y los objetivos de aprendizaje referidos al registro de información obtenida de juegos aleatorios. Juegos mapuche analizados ´ Allimllim; juego que consiste en lanzar al aire seis o más piedras pequeñas puestas en fila en el suelo. La idea básica es lanzar una piedra y recoger la siguiente antes de que caiga la que lanzó (pues debe atraparla en el aire), luego lanza las dos, recoge una tercera y atrapa las dos lanzadas… existen variaciones usando el dorso de la mano… Gana quien lanza y atrapa la 65 máxima cantidad de ellas sin que se le haya caído ninguna. Juego de destreza ´ Trentrikawe: se juega con zancos hechos con una vara de 2 metros por 5 cms con un palito perpendicular a diversas altura (según el tamaño del niño) para apoyar el pie. Juego de destreza ´ Ellkawkantun: juego que consiste en esconder un objeto y luego ir dando pistas para encontrarlo, permite desarrollar la orientación espacial (derecha/izquierda, adelante/atrás). Juego de discriminar. ´ Maumillan: a un niño se le venda la vista y debe buscar a los demás sólo a través las voces, si toca a alguien lo atrapa y gana. Juego de discriminar. ´ Peukutun, Hay una persona en el centro y luego dos círculos concéntricos formados por los jugadores. Los miembros del círculo de afuera tratan de rescatar a quien está en el centro. Juego de disputa. ´ Nürü kuram: sale una persona que es el huevo del zorro y se esconde, los demás lo buscan. Gana quien lo encuentra. Juego de discriminación e imitativo. ´ Choiketun, 20 o 30 niños corren a un metro y medio de distancia, los que van detrás imitan al primero. Juego imitativo. ´ Palin, dos equipos con wiños (bastones) de 1,30 metros aprox deben llevar una pelota al lado contrario. Juego de destreza, disputa e impulsión. ´ Awarkuden: 8 habas quemadas o teñidas de color por un lado, se dejan caer de cierta altura y se obtienen puntos según cuantas caigan de cada color. Juego de azar. ´ Komikan: se utiliza una pieza para representar a un puma y 12 para representar perros. Los perros deben llegar a la casa del puma y este debe intentar comerse los perros. Ambos se mueven un espacio a la vez pero el puma puede comerse los perros. Se juega en un tablero de cinco por 5 puntos con un triángulo en la base. Juego de estrategia. (ver figura 4.4) ´ Kechukawe: juego que utiliza un dado de cinco caras. Al momento de realizar la investigación no pudimos recopilar las reglas. Juego de azar. Tabla 8. Juegos mapuche analizados en la etapa de Seminarios de Estudio En la sexta sesión se analizaron algunos juegos pendientes de comprender, se profundizó en las relaciones con el currículo y se decidió qué juegos incorporar en el diseño didáctico. Se dedicó una especial atención al komikan por ser un juego de estrategia que requiere pensar lógicamente, mientras que el kechukawe finalmente tuvo que ser descartado porque en ese momento no fue posible conseguir información sobre sus reglas y formas de jugarlo. Se observó que era posible establecer vínculos entre los juegos y el currículo a través del desarrollo de las habilidades matemáticas, tales como: representar, modelar, argumentar y comunicar, y resolver problemas. El equipo decidió focalizarse en un juego de azar, el awarkuden, y uno de estrategia, el komikan. Esta opción se tomó considerando que el educador tradicional vinculó naturalmente el awarkuden con las prácticas de su comunidad de origen, y se interesó en poder contribuir a la revitalización del komikan. Desde el punto de vista de la docente, se optó por estos juegos porque permitían establecer vínculos con las 66 habilidades matemáticas propuestas por el currículo, y porque no le implicaba variar su programación de la asignatura de matemáticas ni correr el riesgo de que algún objetivo de aprendizaje obligatorio no fuese alcanzado, dado que este contenido no forma parte del programa de estudios ni es evaluado en las pruebas estandarizadas. La investigadora validó la decisión del equipo de incorporar el komikan porque coincidía con el educador tradicional en la importancia de revitalizar esta forma de saber/hacer matemáticas mapuche. Asimismo validó la incorporación del awarkuden porque permitía visualizar que los conocimientos matemáticos son producciones situadas que cumplen una función social y cultural24. Además, la investigadora vio que ambos juegos brindaban posibilidades de aportar al desarrollo profesional docente no sólo a través del desarrollo de una experiencia de aula matemática e intercultural sino también mediante el trabajo de la habilidad de argumentar y comunicar en la clase de matemáticas. A continuación explicamos en forma detallada en qué consisten los juegos seleccionados. El awarkuden o juego de las habas: Este juego (figura 4.3) tiene registros muy antiguos (Coña, 1930; Manquilef, 1914) y ha sido transmitido de generación en generación mediante las prácticas de relatar epew y piam25. Antiguamente se raspaba una cara de las habas, se pintaba con carbón y se jugaba en el suelo o sobre una manta. 24 Esto no era posible visualizarlo con el komikan porque no logramos recabar antecedentes sobre los contextos en los que se lo practicaba, sino sólo sobre sus reglas y formas de jugarlo. 25 Historias o relatos reales, propios. 67 Figura 4.3 Estudiantes jugando awarkuden Este juego lo practican tanto los adultos como los pichikeche26. Puede utilizarse como forma de diversión, para compartir entre amigos y familiares o para resolver ciertas diferencias. A través de este juego se destaca la importancia de la relación con los wenüy27 y se desarrolla el rakin28 tanto en el conteo de los puntos obtenidos en el juego, como en la suma y resta de las habas. Es común acompañar el juego con cantos para llamar el newen o fuerza interior de cada jugador; en la comunidad del educador tradicional se cantaba: Tranañen, tranañen, tranañen, cachilla (machacar trigo) Tranañen, tranañen, tranañen cahuella (machacar cebada) Tranañen, tranañen, tranañen allvida (machacar arveja) Llelletun, llelletun, llelletun cachilla (llevar trigo) Llelletun, llelletun, llelletun cahuella (llevar cebada) Llelletun, llelletun, llelletun allvida (llevar arveja) A continuación, se muestra una ficha del juego en la que se registran los materiales, cantidad de participantes e instrucciones. 26 Niños, literalmente significa gente pequeña. 27 Amigos. 28 Cuenta, cálculo 68 Materiales 8 habas29 con uno de sus lados pintado de color negro. Makuñ o manta que se utiliza como tablero y 12 kow (fichas o porotos, palitos, piedras o semillas) Participantes 2 personas Instrucciones Cada jugador lanza las habas sobre una manta, y las deja caer al azar. Las jugadas tienen puntajes asociados del siguiente modo: si caen las 8 del lado pintado o paylanagün (de espalda) o del lado sin pintar o lüpünagün (de “guata” o de panza) obtiene 2 puntos; si caen 4 pintadas y 4 sin pintar obtiene 1 punto; cualquier otra tirada, 0 punto. Los jugadores se van turnando una vez cada uno y anotan el puntaje con las fichas o porotos30. El jugador que logre primero un cierto puntaje y número de partidas es el ganador y se lleva el premio apostado. Los puntajes y partidas varían según la zona y época. En la comunidad del educador tradicional eran tres partidas de 20 puntos cada una. Manuel Manquilef (2014) indica que eran 4 partidas de 10 puntos cada una y Pascual Coña (1930) habla de dos partidas continuas de 20 puntos cada una. Tabla 9. Ficha explicativa del awarkuden Antiguamente, este juego sólo era practicado por los hombres de las comunidades mapuche, y es una evolución de un juego similar que utiliza porotos 31 llamado "Lliguetun" (Ovalle, 1646) (fig. 4.4). Figura 4.4 Lliguetün en Alonso Ovalle (1646) 29 En otros territorios se juega con 12 habas 30 En algunos lugares el turno de un jugador se termina cuando obtiene 0 puntos
31 Frijoles
69 El komikan o el cómelo todo: Es un juego de estrategia que simula una caza y utiliza un tablero compuesto por un cuadrado subdividido en 16 cuadrados en los que se han trazado algunas de sus diagonales y un triángulo en la base. En algunas versiones el triángulo del tablero se subdivide en 4 partes, en otras, en 10 (fig 4.5). •
Figura 4.5. Tableros de komikan Es conocido como el ajedrez mapuche. El sacerdote Juan Ignacio Molina, en 1787, lo nombra el leoncito y lo describió como el artificioso juego del ajedrez, al cual dan el nombre de komikan. Es un juego prehispánico que comparten muchos pueblos de Latinoamérica e incluso de Asia. Se lo conoce como: Taptana en quechua (fig. 4.6); Kumisiña en aymara, El león y las ovejas en aymara; Adugo o El jaguar y los perros en Brasil (bororo); Kokuli en Perú; Bagh-­‐Gayian o juego del tigre en Nepal. Figura 4.6. Taptana prehispánica inscrita en las paredes de Chinchero (Alcina, 1980) Materiales Una piedra, semilla o ficha grande para el puma o león y doce más pequeñas para los perros. 70 Participantes Dos personas Instrucciones Un jugador tiene una pieza (depredador: león o puma) y el otro tiene doce (presas: perros, ovejas o cabras). El puma o kom ikelu (en mapudungun, el que come de todo) puede moverse un espacio a la vez o bien capturar las piezas del otro jugador saltando sobre ellos en línea recta hasta el lugar inmediatamente posterior. Los perros sólo pueden moverse un espacio cada vez. Como estas piezas no capturan, deben intentar llegar a la casa del león para que no pueda entrar. Ganan los perros si copan la casa del león o el león si come al menos 7 perros32 Tabla 10. Ficha explicativa del komikan Este juego cayó en desuso en muchas comunidades mapuche que habitan en Chile y se siguió practicando en las comunidades mapuche que habitan en Argentina. Sin embargo, en los últimos dos años se ha difundido ampliamente en Chile a través de diversos proyectos que están promoviendo y difundiendo los juegos mapuche. 4.2.2 El k imeltuwün y la cosmovisión m apuche Para conocer, comprender y analizar tanto las formas de saber/hacer matemáticas como las formas de educar del pueblo mapuche fue necesario comprender algunos aspectos basales de la cosmovisión que les brinda sentido. Ésta fue emergiendo transversalmente a través de las distintas sesiones de trabajo junto al educador tradicional, pero se abordó en forma sistemática a través de tres sesiones de los seminarios de estudio. En la octava sesión se analizó el capitulo referido a los resultados de la investigación “Saberes mapuche que debiera incorporar la educación formal en contexto interétnico e intercultural según sabios mapuche” desarrollada por el profesor mapuche Sergio Carihuentru (2007). Con esa base y con los conocimientos del educador tradicional se comenzó a construir un mapa conceptual sobre la formación mapuche. En la novena sesión, la docente y la investigadora (el educador 32 En otros territorios gana el león si se come 5 perros. Manquilef (1914) señala que un buen jugador no se deja comer ningún perro. 71 tradicional no asistió) complementaron el mapa a partir del contraste del análisis previo con los valores y actitudes promovidos en las planificaciones de clases del Programa Pueblos Originarios (Programa Pueblos Originarios, 2014). Y en la décima sesión de esta etapa se terminó de elaborar y validar el mapa conceptual (figura 4.7) con el educador tradicional. Figura 4.7. Aspectos implicados en las formas de educar del pueblo mapuche Así, pudimos establecer que la forma de ver, conocer y sentir el mundo mapuche está determinada por la idea de pertenencia a un territorio y de un vínculo indivisible con la naturaleza dado que el mapuche no se concibe si no es como parte de ese espacio, y por el mapudungun como la lengua que expresa esa relación. El pueblo Mapuche concibe el cosmos o Wallontu mapu de manera tridimensional: a) El Wenu mapu o tierra de arriba es el mundo donde moran los antepasados quienes influencian de manera positiva a los mapuche por medio del pülli; 72 b) El Nag mapu o tierra de abajo es a la vez el espacio que habitamos y el tiempo que vivimos, aquí habitan los seres que cuidan los espacios, los ngen, a quienes se les pide permiso para ocuparlos; c) El Minche mapu, o debajo de la tierra es el interior de la tierra, un mundo sobrenatural que representa lo desconocido y las fuerzas negativas (no en el sentido moral) que complementan a las positivas para mantener el equilibrio vital. Para los mapuche no existe un orden jerárquico entre los distintos seres que habitan los diversos espacios; de allí que los mapuche -­‐al igual que la gran mayoría de los pueblos indígenas-­‐ no se sientan dueños sino hijos de la ñuke mapu o madre tierra y que sientan el mandato de cuidar el equilibrio energético y vital. En ese contexto cobran sentido los propósitos, las estrategias y las actitudes que forman parte de la educación mapuche. Carihuentru (2007) señala que la formación de la persona mapuche está guiada por la búsqueda del desarrollo integral para que el individuo pueda participar en forma adecuada en su sociedad. Indica que “al respecto, los kimche plantean cuatro conceptos valorativos de gran importancia, que determinan el carácter y la personalidad, denominada “Az Che” y por ende la forma de comportarse en la sociedad y con la naturaleza” (p. 57). Estos conceptos o principios (que a la vez son metas) son llegar a ser: i.
Kümeche: persona con poder pero empática y solidaria. ii.
Kimche: persona con sabiduría, respetuosa y con buenos pensamientos. iii.
Norche: persona recta o correcta, razonable. iv.
Newenche: persona con fortaleza espiritual y psicológica, capaz de dirigirse a otros con desplante. En ese camino, el autor indica que resulta muy importante utilizar la identidad personal y social como fundamento del proceso de formación del Az Che, que en el caso del pueblo mapuche está dada por la relación de pertenencia a la naturaleza en 73 base a dos conceptos clave: el Tuwün referido a la procedencia territorial o lof33 de la persona, es decir, el contexto sociocultural donde la persona nació y fue socializada, y el küpan o Küpalme referido a la procedencia familiar, que hereda tanto los rasgos físicos como los psicológicos y espirituales. Con estas bases, el pueblo mapuche ha desarrollado el Kimeltuwün que contiene las formas propias de educar mapuche con el propósito explícito de formar el Az Che de la persona mediante el desarrollo de dos capacidades básicas para los mapuche: •
“el ngüneduamün: que es la capacidad para darse cuenta a través de la introspección permanente sobre su accionar cotidiano, •
el rakiduamün: que es la capacidad para pensar en forma autónoma, siendo capaz de generar nuevas reflexiones en todos los ámbitos sociales” (Carihuentru, 2007, p. 78). A partir del análisis del texto de Carihuentru (2007) y de las planificaciones de las clases del taller de Educación Intercultural elaboradas por el Programa Pueblos Originarios (Programa Pueblos Originarios, 2014), el equipo distinguió estrategias y actitudes a través de las cuales es posible alcanzar las metas propuestas para la formación del Az Che. De hecho, es a través de estrategias tales como proporcionar ngulamtun (consejos) entablar nütramun (conversaciones), relatar epew, y entonar ülkantun, que es posible desarrollar las actitudes. Las actitudes más valoradas son azkintun, observar los diferentes fenómenos y acontecimientos que ocurren a su alrededor para internalizarlos a través de la visión; y alkütun o escuchar, considerado como un ejercicio básico para poder comprender cualquier situación o fenómeno. Otras actitudes promovidas en el Kimeltuwün son azumazumtun, el acto de aprender echando a perder; fellentun, pensar en hacer lo ha sido enseñado; llamügun, respetar a los demás y a sí mismos; quellugun, proporcionar ayuda mutua; pollentun, quererse entre las personas; y allegun, sentirse contento con lo que ha sido aprendido. 33 Comunidad. 74 4.2.3 El ciclo didáctico del aprendizaje matemático La onceava y última sesión de esta etapa se destinó a analizar un modelo didáctico-­‐
matemático que permitiese estructurar las clases fomentando el desarrollo de las habilidades matemáticas. Se eligió considerar este ciclo porque a la vez que propicia el desarrollo del pensamiento autónomo (rakizuamun) y del tener conciencia de lo que uno hace -­‐en este caso al aprender-­‐ (ngünezuam), permite fomentar el desarrollo de la habilidad de argumentar y comunicar. Esta habilidad había llamado la atención de la docente puesto que si bien forma parte del marco curricular vigente, ella no sabía cómo abordar su desarrollo en forma específica en la clase de matemáticas. Este modelo plantea que para optimizar los aprendizajes posibles de alcanzar mediante el trabajo con una actividad matemática es importante presentar una problematización matemática al estudiante, y brindar espacios para que todos los estudiantes puedan reflexionar y compartir sus estrategias (Peña Rincón, 2013) lo que se traduce en los cuatro momentos o fases de desarrollo que se describen en el esquema (fig. 4.8). Problematización matemática Exploración/ Monitoreo Conclusiones matemáticas Puesta en común Fig. 4.8 Ciclo didáctico del aprendizaje matemático (Peña Rincón, 2013) 75 a) Problematización matemática del estudiante: Consiste en plantear una actividad matemática que resulte desafiante para el estudiante, y en no indicarle cómo resolverla. Es importante considerar que la categoría de problema matemático es relativa, ya que un problema matemático resulta ser tal cuando quien lo enfrenta no lo sabe resolver. De lo contrario, si ya lo sabe resolver o si se le indica cómo hacerlo, pasa a ser un simple ejercicio y no permite desarrollar el pensamiento matemático. b) Tiempo para la exploración/monitoreo: En este momento los estudiantes exploran diversos caminos para resolver el desafío planteado mientras el o la docente observa los distintos procedimientos, sean errados o no, para reflexionar en torno a ellos. Si la o el docente necesita intervenir, lo hace mediante preguntas y contrapreguntas que propicien que los/as estudiantes reflexionen sobre sus propios procesos de búsqueda de una solución (sin indicar la solución ni el camino), que descubran sus errores (sin indicárselos) y que comuniquen sus ideas matemáticas. La visión panorámica acerca de los distintos caminos desarrollados por los estudiantes le permite a la o el docente escoger quienes compartirán sus procedimientos en la puesta en común y en qué orden lo harán, procurando que esté presente toda la gama de procedimientos y resultados, y que expongan primeros quienes tienen errores. c) Puesta en común: Es el momento en que los estudiantes explican a sus compañeros cómo resolvieron el desafío planteado. El poner el foco en los procedimientos abre las posibilidades de reflexión y de desarrollo de la argumentación, en cambio, si se pone el foco en las respuestas se cierran las posibilidades de interacción pedagógica. Algunas preguntas que permiten gestionar esta fase son ¿alguien lo hizo de otro modo? ¿están de acuerdo con esta manera de resolverlo? ¿Cuáles son las ventajas de las distintas propuestas? d) Conclusiones matemáticas: Es el momento en el que se sistematizan las ideas surgidas en la puesta en común. Para ello el o la docente pueden elaborar con los estudiantes una síntesis de las ideas matemáticas surgidas en la clase y analizar cuáles son las ventajas o desventajas de los distintos procedimientos desarrollados, 76 y si es posible, establecer cuál es la técnica más eficiente para solucionar el problema propuesto. 4.3 Diseño, implementación y evaluación de la experiencia didáctica matemática intercultural de aula (EDMIa) En esta etapa pudimos corroborar que el enfoque colaborativo resultaba ser apropiado para este tipo de proyectos ya que al concebir la investigación como un proceso emergente prevé la realización de ajustes y negociaciones de común acuerdo. Inicialmente esta fase se había proyectado en 16 sesiones que contemplaban una sesión de trabajo después de la implementación de cada una de las primeras cinco clases para hacer ajustes entre clase y clase. Sin embargo, pocas semanas antes de llegar a la fase del diseño el equipo enfrentó una situación que aceleró el curso de la investigación: en ocho semanas la docente debía salir con licencia médica prenatal por un embarazo no detectado, lo que implicó adelantar todo el proceso para resguardar que se pudiese implementar la Experiencia Didáctica Matemática Intercultural de aula (EDMIa) antes de la entrada en vigencia de la licencia médica. De este modo, se redujo esta etapa a 10 sesiones y no fue posible realizar ajustes entre clase y clase porque las clases debieron ser implementadas en poco tiempo, tal como se puede apreciar en la tabla 10, y la docente no tenía más tiempo disponible para dedicar al proyecto. Propósito Diseñar implementar y evaluar una experiencia didáctica matemática intercultural de aula (EDMIa) SESIONES Sesión 12 ACTIVIDAD/TEMA ABORDADO Análisis retrospectivo del trabajo realizado. (23/09) Diseño de formato de planificación incorporando el kimeltuwün. Sesión 13 (02/10) Diseño clase a clase de las tres primeras sesiones de la EDMIa. Sesión 14 Diseño clase a clase de las tres siguientes sesiones de la EDMIa. (09/10) 77 Experiencia Didáctica Matemática Intercultural de aula Sesión clase (09/10) 15, Conocer el awarkuzen: Función social, ulkatün, reglas 1 del juego. Awarkuzen: un juego de azar. Sesión 16, -­‐Aprender ventajas y riesgos de juegos de azar. clase 2 -­‐Determinar las tiradas con mayor y menos (14/10) frecuencia. Sesión clase 3 (15/10) 17, Conocer el komikan: datos históricos, reglas del juego. 18, Komikan : un juego de estrategia. -­‐Identificar estrategias que han emergido al jugar al komikan. (16/10) Sesión clase 4 Sesión 19, Komikan : un juego de estrategia. clase 5 -­‐Indagar en las condiciones para utilizar estrategias (22/10) específicas. Sistematizar y poner en práctica estrategias Sesión 20, aprendidas. clase 6 Establecer relaciones entre las estrategias del juego y (23/10) la forma de vida del pueblo mapuche. Sesión 21 6 de noviembre Evaluación de la EDMIa. . Etapa 3 de la EDMIp: Diseño, implementación y evaluación de la experiencia de aula El diseño de la EDMIa se realizó en tres sesiones. En la primera sesión se discutieron las características de la EDMIa, hubo acuerdo en considerar una visión sociocultural de las matemáticas, las formas de educar mapuche, y en fomentar especialmente el desarrollo de la habilidad de argumentar y comunicar puesto que era la habilidad que la docente menos había trabajado en la clase de matemáticas. De este modo se definieron los siguientes objetivos: i) contribuir al desarrollo de las formas de educar del pueblo mapuche (kimeltuwün) mediante el uso de estrategias de enseñanza propias (nütramun, ulkantun y epewtun) y el fomento de la práctica de escuchar lo que se enseña (alkütun) y de respetarse unos a otros (llamügun); ii) contribuir a valorar y practicar los awkantun (juegos) como parte importante de las actividades del pueblo mapuche. 78 iii) fomentar que los estudiantes comprendan que las matemáticas son conocimientos que nos sirven para representar e interpretar la realidad; iv) contribuir al desarrollo de las habilidades matemáticas de argumentar y comunicar. Se elaboró un formato tipo que incorpora algunos elementos centrales del kimeltuwün: propiciar el rakizuamun y el ngünezuam (pensar en forma autónoma y darse cuenta de sus propios actos); y las estrategias de enseñanza nütramun, ulkantun y epewtun (conversar, cantar y hacer relatos). En las dos siguientes sesiones se realizó la planificación clase a clase en base a dicho formato. El formato (tabla 12) contempla el chalin o saludo mapuche, un espacio de nütramun o conversación en los que se relata un epew (cuento o relato) que aborda la función social del juego a practicar, se practican los ulkantun que acompañan los juegos y/o se retoma la experiencia de la clase anterior; la problematización matemática; y un chalitun o despedida mapuche. A continuación, se presenta un ejemplo de formato de planificación de clase, considerando los elementos descritos. Clase 4 (90’) Objetivos de aprendizaje (de la EDMIa) i) contribuir al desarrollo de las formas de educar del pueblo mapuche (kimeltuwün) mediante el uso de estrategias de enseñanza propias (nütramun, ulkantun y epewtun) y el fomento de la práctica de escuchar lo que se enseña (alkütun) y de respetarse unos a otros (llamügun); ii) contribuir a valorar y practicar los awkantun (juegos) como parte importante de las actividades del pueblo mapuche. iii) fomentar que los estudiantes comprendan que las matemáticas son conocimientos que nos sirven para representar e interpretar la realidad; iv) contribuir al desarrollo de las habilidades matemáticas de argumentar y comunicar. Objetivo de aprendizaje de la Actividades clase: • Ponen práctica estrategias aprendidas. • Identifican comunicar nuevas Chalin (5 min): saludo mapuche en Ulkantun: recordar canto mapuche que acompaña los juegos Nütramun (10 min): Se propiciará un nütramun acerca de las estrategias identificadas en la clase anterior para jugar al komikan Perros: Acercarse a la casa cuando el puma está lejos Moverse por las orillas para evitar que los coman y Pensar en si después de hacer un movimiento me pueden comer. las Puma: Bloquear la casa 79 estrategias que surgen al jugar el komikan argumentando su eficacia. • Identifican situaciones las que producen empates. Cuando quedan pocos perros, seguirlos desde cerca Problematización/Awkantun (60 min) Desafío: Los estudiantes ya saben jugar el komikan, y han detectado algunas estrategias. En esta clase se les pedirá que jueguen buscando determinar: ¿qué pueden hacer los perros para llegar a la cueva y para que no los coman?,¿qué pueden hacer los pumas para impedir que lleguen a la cueva y para comer muchos perros?, ¿en qué situaciones se producen empates? en Exploración: Los estudiantes practican el juego por turnos. Los docentes se observan y hacen preguntas acerca de cómo saben qué pieza tienen que mover y qué movimientos hacen. No dan indicaciones. Registran las estrategias que van observando (fotos y videos). Puesta en común: los estudiantes cuentan cómo jugaron, qué estrategias utilizaron, qué movimientos les dieron buenos resultados y responden las preguntas. Conclusiones: generalizan las situaciones experimentadas para extraer conclusiones. Conclusiones generales de las clase (5 min): Preguntas guía: ¿Qué es importante tener en cuenta al jugar?, ¿cuáles estrategias fueron efectivas?, ¿cuándo se producen empates? Chalitun o despedida (5 min): P eucallal (nos vemos pronto). Tabla 11. Formato de diseño de clase de EDMIa La implementación de la EDMIa se realizó en seis clases distribuidas en tres semanas, dos de las cuales fueron llevadas a cabo conjuntamente por la profesora, el educador tradicional y la investigadora y cuatro, por la profesora y la investigadora puesto que el educador tradicional tuvo dificultades de salud. Las clases se realizaron en las horas destinadas al taller de educación intercultural y a religión, pues la profesora no quiso alterar el ritmo de avance de la asignatura de matemáticas dado que planificaba e implementaba las clases en los mismos tiempos con la docente del curso paralelo del mismo nivel. En las dos primeras clases se dio a conocer, se practicó y analizó el awarkuden. Se analizó su función social mediante relatos de niñez y juventud del educador tradicional en los que se refirió a los momentos y contextos en los que se jugaba el awarkuden, y a las ventajas y desventajas de los juegos de azar, propiciando que los estudiantes también contaran sus experiencias con los juegos de azar; y se enseñaron y practicaron los ulkantun que se cantan mientras se juega. Se dieron a conocer las reglas del juego y se lo practicó buscando identificar los tipos de tiradas que resultaban tener mayor y menor frecuencia. 80 Las cuatro clases siguientes estuvieron abocadas al komikan. Se compartieron datos históricos acerca de la presencia del juego en el pueblo mapuche y en otros pueblos ancestrales cercanos y lejanos, se dieron a conocer las reglas del juego, se fueron haciendo sistematizaciones parciales (clase a clase) de las estrategias emergentes, y se reflexionó en torno a las condiciones para utilizar estrategias específicas. Además, en la última clase se sistematizaron las estrategias elaboradas y se establecieron relaciones entre dichas estrategias y la forma de vida del pueblo Mapuche. Para la evaluación de la EDMIa, el equipo de trabajo analizó segmentos de los videos de cada una de las seis sesiones que la compusieron contrastando cada sesión con los objetivos de aprendizaje definidos para la experiencia con la intención de conocer la percepción de la docente y del educador tradicional sobre los logros de aprendizaje que obtuvieron los estudiantes en la experiencia. Posteriormente se conversó en torno a los aspectos más destacados de cada sesión y los que podrían ser mejorados, para identificar aquellos aspectos de la experiencia didáctica que tuvieron mayor impacto entre los miembros del equipo. La conversación se centró principalmente en el aprendizaje de las formas tradicionales de educar mapuche, en el aprendizaje de la función social de los conocimientos matemáticos abordados y en el desarrollo de las habilidades matemáticas de argumentar y comunicar y de modelar por parte de los estudiantes. 4.4 Reflexión crítica en torno a la Experiencia Didáctica Matemática Intercultural como proceso de desarrollo profesional docente Esta es la última etapa de la primera fase de la investigación formulada como una EDMIp, se la consideró en el diseño porque era necesaria para explicitar y/o validar las influencias de la EDMIa en las creencias matemáticas docentes. Por lo tanto, tuvo el doble objetivo de cerrar el ciclo de trabajo junto al equipo colaborativo y 81 recoger datos sobre las creencias matemáticas de la docente después de haber experimentado un proceso de desarrollo profesional docente con un enfoque etnomatemático e intercultural, y de haber vivido la experiencia de diseñar, implementar y evaluar una experiencia didáctica matemática intercultural de aula . Inicialmente se pensó en realizar una o dos sesiones de cierre, pero por las razones antes mencionadas tuvimos que ajustarnos a una única sesión ya que la docente se encontraba haciendo uso de su licencia médica pre-­‐natal. Lamentablemente, el educador tradicional no pudo concurrir a la sesión programada debido a sus obligaciones laborales, de manera que finalmente la sesión se realizó sólo con la participación de la investigadora-­‐didacta y la profesora. Considerando que ya habíamos realizado las etapas anteriores y que, por lo tanto, la investigadora ya tenía algunas ideas acerca de la información que era importante recoger, la sesión se realizó mediante una entrevista semi-­‐estructurada diseñada a posteriori. La pauta para la entrevista se elaboró considerando en primer lugar evaluar cada una de las etapas de la EDMIp -­‐incluyendo la experiencia de aula-­‐ para posteriormente poder profundizar en las creencias de la docente sobre la naturaleza de las matemáticas y sobre su enseñanza y aprendizaje. De este modo se esperaba poder recoger información detallada de la perspectiva de la docente sobre cada una de las etapas del proceso de desarrollo profesional que condujo al desarrollo de la experiencia didáctica matemática intercultural de aula, sobre sus creencias matemáticas al final del proceso, sobre las eventuales transformaciones de dichas creencias matemáticas a través de todo el proceso y sobre los factores que inciden en esa transformación. Para la evaluación general de la EDMIp se consideraron los objetivos definidos para cada etapa del proceso de desarrollo profesional: validación, seminarios de estudio, diseño, implementación y evaluación de la EDMIa. Considerando el alto impacto que tuvo la EDMIa en particular, se profundizó en la reflexión en torno a esta experiencia, considerando algunos aspectos específicos que dan cuenta del carácter constructivista del paradigma didáctico constructivista y sociocultural de la perspectiva 82 epistemológica, tales como la importancia de incorporar los valores culturales, de la accesibilidad, de la acción en el proceso de aprendizaje, de la interdisciplinaridad, de propiciar el desarrollo de habilidades, y la forma de entender las matemáticas. En el siguiente capítulo expondremos las caracterizaciones de las creencias matemáticas de la docente en un contexto escolar percibido como culturalmente homogéneo en las etapas inicial y final de un proceso de desarrollo profesional docente concebido como una experiencia didáctica matemática intercultural (EDMIp) 83 5. CARACTERIZACIÓN Y ANÁLISIS DE LAS CREENCIAS MATEMÁTICAS DOCENTES EN LAS ETAPAS INICIAL, INTERMEDIA Y FINAL DE LA EDMIP En este capítulo presentaremos la caracterización y el análisis de las creencias matemáticas de la docente en la etapa inicial, intermedia y final de un proceso de desarrollo profesional docente. Es decir, antes de, durante y después de la vivencia de diseñar, implementar y evaluar una experiencia didáctica matemática intercultural de aula. Estos procesos corresponden a los resultados del segundo y tercer objetivo específico de esta investigación. El capítulo está estructurado en tres apartados. Comenzaremos explicando cómo se realizó el proceso de recolección y selección de datos, continuaremos exponiendo cuál fue la metodología y herramienta para realizar el análisis de los datos, para culminar caracterizando las creencias matemáticas de la docente en los tres momentos. 5.1 Recolección y selección de datos Los datos fueron recolectados a través del proceso de desarrollo profesional docente que en este caso consistió en el desarrollo de una experiencia didáctica matemática intercultural (EDMI)p. Dicho proceso contempló un total de 25 sesiones de trabajo distribuidas del siguiente modo: 3 sesiones para la validación de la EDMIp; 11 sesiones para seminarios de estudio; 10 sesiones para el diseño, implementación y evaluación de la experiencia de aula (EDMIa); y 1 sesión para la reflexión crítica sobre el proceso global (EDMIp). Los datos de la investigación fueron registrados mediante: i)
audiograbaciones de la entrevista inicial con el Director, de los conversatorios de la etapa de seminarios de estudio, y de las entrevistas realizadas al final de la EDMIa y de la EDMIp 84 ii)
videograbaciones de la implementación de la EDMIa y de las entrevistas finales (EDMIa y EDMIp) iii)
documentos elaborados por el equipo y notas de campo de la didacta-­‐
investigadora través de las distintas etapas de la fase de recolección de datos. La selección de los datos se hizo analizando los datos recopilados en relación con los objetivos de la investigación. Para ello se transcribieron las grabaciones, se leyó la totalidad de los datos y se seleccionaron aquellos que proporcionaban información referida a la creencias de la docente en relación con las matemáticas, con su enseñanza y su aprendizaje. Así, los datos analizados en esta investigación fueron para la etapa inicial las transcripciones de las sesiones de seminario referidas a las matemáticas, la Etnomatemática y a la Educación Matemática desde una perspectiva sociocultural; para la etapa intermedia, las videograbaciones de la EDMIa; y para la etapa final, las transcripciones de las entrevistas realizadas al final de la EDMIa y de la EDMIp correspondientes a la evaluación de la EDMIa y a la reflexión critica en torno al proceso de desarrollo profesional docente intercultural respectivamente; y en todas las etapas las notas de campo de la investigadora elaboradas a través de todo el proceso. El siguiente diagrama (fig 5.1) muestra los datos recogidos y los datos seleccionados: los recuadros morados representan los registros de audio, los azules en video, y los grises mediante documentos y notas de campo; los recuadros con marcos rojos son los datos seleccionados para el análisis en profundidad por cuanto permiten caracterizar las creencias matemáticas docentes en las etapas inicial, intermedia y final de la EDMIp 85 Figura 5.1 Datos registrados y datos seleccionados para el análisis 5.2 Fundamentos analíticos El análisis de los datos fue realizado utilizando algunos elementos de la metodología propuesta por la Teoría Fundamentada (Strauss & Corbin, 2002) mediante los procesos de codificación (temas centrales), categorización (reagrupación códigos bajo un criterio común) e inferencia (interpretación de los resultados). Como herramienta para el análisis utilizamos el software Atlas.Ti. Esta propuesta metodológica-­‐analítica está basada en una estrecha relación entre la recolección de los datos, el análisis y la teoría que permite construir explicaciones a partir de los datos integrando los conceptos que emergen e indicando las relaciones entre ellos. Para ello propone tres instancias de codificación: abierta, axial y selectiva. La codificación abierta es el “proceso analítico por medio del cual se identifican los conceptos y se descubren en Ios datos sus propiedades y dimensiones” (Strauss & 86 Corbin, 2002, p. 110). Consiste en un procedimiento inductivo a través del cual se fragmentan los datos obtenidos en partes discretas, se examinan minuciosamente para compararlos en busca de similitudes y diferencias que permitan establecer categorías. La codificación axial consiste en un procedimiento que permite unir los datos que fueron fragmentados en la codificación abierta, construyendo un discurso general, y estableciendo conexiones entre categorías y subcategorías. Así, algunas de las tareas básicas de la codificación axial son acomodar las propiedades de una categoría y sus dimensiones, buscar claves en los datos que denoten cómo se pueden relacionar las categorías principales entre sí. En tanto, la codificación selectiva consiste en integrar y refinar las categorías principales para formar un esquema teórico mayor que permita identificar y desarrollar los aspectos centrales y atingentes a los objetivos de la investigación. En nuestro estudio utilizamos la codificación abierta para fragmentar los datos buscando identificar las creencias matemáticas docentes en las distintas fases del proceso de desarrollo profesional EDMIp, e identificar algunas de sus características y dimensiones, como por ejemplo su estabilidad o grado de arraigo. Luego empleamos la codificación axial buscando identificar grupos de creencias, qué relaciones existen entre estos grupos en las distintas etapas de la EDMIp y bajo qué condiciones y acciones se producen movilizaciones de algunas de ellas. Y por último recurrimos a la codificación selectiva para realizar un análisis más refinado de las relaciones entre las creencias matemáticas docentes en cada etapa y entre las etapas, y determinar los factores que afectan su movilización. 5.3 Caracterización de las creencias matemáticas docentes en la EDMIp En este apartado caracterizaremos las creencias matemáticas de la docente detectadas en los distintos momentos del proceso de desarrollo profesional docente (EDMIp), vale decir, en las etapas inicial, intermedia y final. Las creencias fueron 87 caracterizadas en concordancia con las categorías señaladas en el capitulo 2: i) según si se construyen a partir de la experiencia directa o no en creencias primarias o derivadas, ii) según su fuerza en creencias centrales si están muy arraigadas o en periféricas si tienen poca fuerza, iii) como creencias aisladas cuando no se conectan con las demás creencias y iv) vinculándolas a las perspectivas epistemológicas o a los paradigmas didáctico–matemáticos según corresponda. 5.3.1 Caracterización de las creencias matemáticas docentes en la etapa inicial de la EDMIp A continuación, caracterizaremos las creencias matemáticas de la docente detectadas al inicio del proceso de desarrollo profesional docente. Tal como señalamos anteriormente, los datos en base a los cuales realizamos esta caracterización fueron recogidos en las sesiones iniciales de los seminarios de estudio con la docente y el educador tradicional en las cuales conversamos acerca de las concepciones de cada miembro del equipo colaborativo acerca de las matemáticas, la Etnomatemática y a la Educación Matemática desde una perspectiva sociocultural. La selección de la unidad de análisis se realizó considerando que era importante consignar las creencias matemáticas de la docente antes de que haya tenido acceso a una experiencia didáctica matemática intercultural de aula (EDMIa). Recordaremos brevemente los aspectos esenciales de las perspectivas epistemológicas (tabla 12) para tenerlos como referencia en la revisión posterior. PERSPECTIVA LÓGICO-­‐RACIONAL ü Se pregunta sobre la naturaleza de la matemática como objeto: qué es la matemática ü Concibe que la matemática es un cuerpo de conocimientos fijo (estático), objetivo, acumulativo y unificado. ü Concibe la matemática como una ciencia exacta, formal y lógica compuesta por una colección de fórmulas, reglas y temas. 88 PERSPECTIVA SOCIOCULTURAL ü
ü
ü
ü
Se pregunta por la naturaleza de las matemáticas como acción qué es hacer matemáticas o matematizar. Concibe que todos los pueblos y grupos socioculturales matematizan el mundo social y natural buscando expresar las regularidades observadas en él desde sus propias racionalidades. Por lo tanto las matemáticas son una producción humana, inacabada, falible, en continua expansión y revisión y la matemática disciplinar (ciencia) es una de esas producciones posibles Concibe que, como ciencia, la matemática está compuesta de los procesos de resolución de problemas y es muy relevante para la vida y la sociedad. Tabla 12. Síntesis de las perspectivas epistemológicas sobre las matemáticas El análisis de la etapa inicial permitió identificar tres grupos de creencias: sobre la naturaleza de las matemáticas; sobre el aprendizaje y enseñanza (en general y de las matematicas); sobre la heterogeneidad cultural y escolar. El primer grupo de creencias sobre la naturaleza de las matemáticas se caracteriza por estar anclado a dos de las creencias más arraigadas en la comunidad de docentes de matemáticas: la matemática es un cuerpo de conocimientos estático y unificado compuesto por una colección de reglas, fórmulas y temas (C1), y la matemática se registra, desarrolla y transmite en forma escrita (C2). Consideramos que estas creencias son de gran arraigo por cuanto se desprenden y son reforzadas de manera constante por la estructura del curriculum escolar, en particular porque está formulado mediante temas que se abordan y evaluan en forma escrita. La primera creencia se manifestó en la primera sesión cuando la docente señala que para ella la matemática es un conjunto de temas (C1) y nombra aquellos que constituyen o han constituido los ejes del currículo de matemáticas en educación básica: "tiene que ver con geometría, tiene que ver con álgebra, con patrones, operaciones”. Se refuerza implícitamente cuando explica que pensó que no se había trabajado con matemáticas en el Taller de Educación Intercultural del Programa Pueblos Originarios (en adelante TEI-­‐PPO), porque no se abordó nada referido a operatoria ni a geometría con los números en mapudungun. Y también se manifiesta 89 en la segunda sesión cuando la docente valida un afirmación del educador (referida a que sus abuelos no escolarizados hacían matemáticas al contar las cebollas por agrupaciones 10, de 15 o de 25) haciendo la correspondencia con el conjunto de temas que forma parte de las matemáticas que ella conoce y señala “claro, ahí está involucrado el conteo, la suma, la división”. Algo similar ocurre cuando en el contexto de los conversatorios, la docente y el educador calculan cuánto es 31 menos 28, el educador lo hace en forma mental y la docente en forma escrita, en ese momento la docente se da cuenta que el método escrito es menos eficiente que el mental, pero que el arraigo de su creencia en que la matemática es escrita (C2) la lleva automáticamente a resolver de esa manera. Sostenemos que ambas creencias (C1 y C2) son centrales y primarias porque están muy arraigadas y provienen de la experiencia directa (Green, 1971; Thompson, 1992). A través de toda la experiencia de formación escolar y profesional de la docente, la matemática ha sido asociada con los temas que se abordan en el contexto escolar y se la ha abordado en forma escrita. Estas creencias han sido reforzada socialmente por sus profesores, los textos escolares, el discurso de los formadores en la universidad, y luego por el discurso de los demás profesores y del sistema escolar (marco curricular, programas de estudio). A ello se debe en gran medida que la docente plantee inicialmente que no se ha trabajado nada de matemática en el TEI-­‐PPO, y que cree que decir los números en mapudungun no corresponde a lo que desde su experiencia es la matemática (C3). Esta creencia se manifiesta implicitamente cuando enfatiza en que sólo mencionaron los números en forma oral y que dibujaron los objetos correspondientes a la cantidad que indicaba la palabra: "en matemáticas no teníamos nada, no se había trabajado nada (…) los números en mapudungun se los aprendieron el año pasado me parece que hasta el 20 (…) pero sólo que los mencionaran, (…) pusieron la palabra y al lado la cantidad de objetos que simbolizaba (sesión 1)" Esto resulta ser muy importante porque el pueblo mapuche, al igual que muchos pueblos originarios, tiene una tradición oral y no cuenta con un símbolo escrito para representar los números; no obstante aquello tiene un sistema numérico compuesto 90 por 12 unidades léxicas (para nombrar los números del 1 al 10, el 100 y el 1000) que combina en forma aditiva y multiplicativa utilizando explícitamente la base del sistema decimal. Pero desde la experiencia de la docente, el decir los números en mapudungun corresponde al aprendizaje de la lengua, y es en ese contexto en el que lo ha abordado; y por otra, su experiencia le indica que la matemática, además de las palabras, siempre usa símbolos para identificar los números. Pensamos que esta (C3) es una creencia primaria porque proviene de la experiencia directa de la docente Algo similar ocurre con la invisibilización de los aspectos matemáticos del Palin, un juego de destreza mapuche que ocupa una pelota, tiene una forma específica de contar los puntos y de establecer relaciones entre los jugadores. Pese a ello cuando al inicio de la EDMIp la docente y el educador estaban recordando las actividades realizadas en el TEI-­‐PPO para revisar si alguna de ellas se relacionaba con las matemáticas, la docente no reconoció este juego como una práctica matemática. Pensamos que esta es una creencia primaria porque desde la experiencia de la docente, los juegos, que no forman parte de los temas matemáticos curriculares, no son matemáticos, por lo tanto jugar Palin no es matemática (C4), idea que ha sido reforzada desde el TEI-­‐PPO al abordar dicho juego como una actividad recreativa y social. Estas cuatro creencias muestran que la docente inicialmente está alineada con una perspectiva logico-­‐racional de la matemática al concebirla como un cuerpo de conocimiento estático, objetivo, acumulativo y unificado, compuesto por reglas, fórmulas y principalmente por temas que se transmiten por escrito. Dentro de los temas identifica la geometría, el álgebra, los patrones, las operaciones. No identifica los juegos y no visualiza que decir los números en una lengua originaria es parte de una práctica matemática. Una idea importante que surge en esta caracterización inicial es que dado que la matemática es concebida como un conjunto de temas, se concibe como algo que se estudia, y no como algo que se produce. Por lo tanto el ámbito de acción suele reducirse a lo que ocurre dentro del aula, es decir, a los ejercicios o problemas que resuelve el estudiante en la clase de matemáticas. Sin embargo, consytituye un alineamiento parcial, dado que hay factores que logran movilizar algunas de estas creencias. Uno de estos factores es la interacción con el 91 educador intercultural. Cuando la docente señala que no habían abordado nada de matemáticas en el TEI-­‐PPO y el educador le pregunta "¿hasta qué número vimos?" se produce una desestabilización de la creencia primaria decir los números no es matemáticas debido a que el educador tradicional le muestra implícitamente a través de su pregunta que sí vieron los números en mapudungun, y que desde el punto de vista del educador tradicional aquello sí forma parte de las matemáticas. En ese momento, la docente comienza a movilizar su creencia (C3) y a considerar que decir los números en mapudungun también puede ser matemática. Aquello se manifiesta en forma tácita cuando después de que el educador la ha interpelado, reflexiona y señala "sí, se me había olvidado lo de los números". El diálogo completo entre la docente y el educador nos pueden ayudar a comprender más este proceso: Docente: [refiriéndose a la implementación del TEI-­‐PPO](...) el año pasado tuvimos una unidad de yerbas medicinales, fueron a un huerto de plantas medicinales, entonces también aprendieron ciertos principios activos de las plantas que tiene harta relación con ciencias, música, ahora educación física, entonces está como bien amplio, súper bueno, en matemáticas no teníamos nada, no se había trabajado nada… Educador tradicional: ¿trabajamos hasta qué numero? Docente: los números en mapudungun se los aprendieron el año pasado me parece que hasta el 20, pero no estoy segura, si mi memoria no me falla, me parece que hasta el 20. Pero sólo que los mencionaran. Educador tradicional: La parte oral Docente: Claro, decir los números Educador tradicional: pero con números también Docente: Conteo, le pusieron la palabra y al lado la cantidad de objetos que simbolizaba (…) Educador tradicional: Usted pensaba que no había hecho matemática Docente: Sí, se me había olvidado lo de los números… Un segundo ejemplo de movilización de creencias a partir de la interacción con el educador tradicional ocurre cuando éste comenta que para él, las matemáticas implican acciones: "saber cuándo son las cosechas, cuántos manzanales hay, cuántos parronales hay". En ese momento se produce una desestabilización de la creencia primaria y central la matemática es un conjunto de temas estático y único puesto que el educador le está mostrando que la matemática es práctica y se utiliza en acciones cotidianas. La docente da cuenta que observa que la matemática es práctica, y que 92 obecedece a necesidades -­‐aunque no incorpora que la matemática se hace, sino sólo que está implícita-­‐ al parafrasear al educador diciendo "matemáticas prácticas, que sirvan…" y al añadir que ella piensa que las matemáticas están presentes en la vida cotidiana junto a otros conocimientos cuando afirma "ciertamente en toda actividad humana yo creo que la matemática está implícita, igual que en lenguaje (...) son [conocimientos] unidos". Otro factor que logra movilizar algunas de las creencias sobre la naturaleza de las matemáticas es la lectura compartida del texto, puesto que en diversos momentos de la lectura fueron emergiendo ideas que llevaban a cuestionar dichas creencias. Un momento clave en este sentido se produjo cuando leíamos los ejemplos del texto sobre la existencia de distintas formas de matematizar según las necesidades y características de quienes realizan la acción. En una parte en la que el texto señalaba que en algunos lugares las distancias se miden en función del tiempo que se tarda en realizar una acción y que por ejemplo, un determinado lugar puede quedar “a un tabaco y medio”, se desestabiliza nuevamente la creencia primaria y central la matemática es un conjunto de temas estàtico y único. Esto se manifiesta cuando la docente indica que existen matemáticas diversas “en plural, porque tal como señala el texto son diversificadas de acuerdo a los distintos grupos humanos, y las necesidades que presentan los distintos grupos humanos”. Y reafirma su carácter plural al señalar: “las matemáticas -­‐entre comillas-­‐ subrayé las ‘eses’, y puse en plural, ya que se diversifican de acuerdo a las necesidades” El segundo grupo de creencias gira en torno a aspectos relativos a la enseñanza y al aprendizaje en términos generales y luego en relación con las matemáticas. A través de la lectura y las conversaciones, la docente va haciendo relaciones con sus creencias sobre el aprendizaje. Ella ha sido formada en una escuela constructivista y es una profesora novel con tres años de ejercicio que conserva ciertos conceptos estudiados en la universidad que resultaron ser significativos para ella. De manera que en distintos momentos relaciona el contenido de texto con lo que ella dice y hace en general, indicando que es importante promover aprendizajes significativos para todos los estudiantes (C5) incluyendo los diversos estilos de aprendizaje, y 93 considerando sus conocimientos previos (C6) puesto que los niños traen aprendizajes a la escuela (C7). Así la docente señala: Yo lo relacioné harto [el texto] con el aprendizaje, con la teoría del aprendizaje significativo. Y también con la teorías más constructivistas del aprendizaje (…) Y también creo que esto del tema de apelar a los conocimientos previos y al bagaje cultural con los que cuenta cada niño es transversal, no se desarrolla solo en matemáticas. Yo lo aplico harto, porque yo creo que de ahí parte cualquier conocimiento. Como decía en denante34 en el texto -­‐que yo también lo había escuchado hartas veces-­‐ los niños no son un vaso vacío que uno llene con agua, o no son una llama de fuego apagada que uno tenga que prender. Sino que ellos tienen su propia agua y el fuego que tienen hay que mantenerlo vivo y hacer que crezca, quizás, pero ellos tienen un montón de cosas que ya saben, y que han aprendido durante los años que tienen. Pero al hacer la relación con la asignatura de matemáticas a partir de los ejemplos compartidos referidos a que los estudiantes pueden aprender a través de la contrastación de las formas de matematizar (ya sean escolares o no), la docente se da cuenta que la forma tradicional de enfrentar la enseñanza de las matemáticas no necesariamente conduce a desarrollar aprendizajes significativos que satisfagan las necesidades de los estudiantes. En este momento, indica que ella cree que es importante que los estudiantes aprendan matemáticas con sentido (C8) y que el aprendizaje de las matemáticas satisfaga las necesidades de todos los estudiantes (C9). Esto se manifiesta en distintas intervenciones pero especialmente cuando señala: “es un tema transversal yo creo en esto de la integración y de que uno genera aprendizaje significativo para todos (…) en todas las asignaturas [creo que es importante] que los niños aprendan matemáticas con un sentido, con una intención y que sea un aprendizaje significativo”. Las tres primeras creencias de este grupo (C5, C6 y C7) son creencias primarias y centrales en tanto han sido desarrolladas y reforzadas a través de la experiencia logrando un gran arraigo, pero están aisladas o desconectadas de las matemáticas ya que no se aplican en su enseñanza, precisamente porque no hay una experiencia constructivista de enseñanza de las matemáticas a la que la docente pueda acudir. Las 34 Se refiere a que lo dijo hace un rato 94 otras dos creencias (C8 y C9) están recién emergiendo y tienen escaso arraigo, por lo tanto al parecer aún son periféricas, y pensamos que son primarias porque son producto de la experiencia que está viviendo la docente al contrastar un discurso constructivista del cual está convencida (creencia central) con su práctica en la clase de matemática a la luz de las ideas y ejemplos planteados en el texto. El tercer y último grupo de creencias está compuesto por tres creencias referidas a la heterogeneidad cultural y escolar, y en particular, a las matemáticas extraescolares orales. Cuando la docente compara lo que señala el texto sobre considerar los aportes provenientes de las formas de matematizar de diversos grupos socioculturales con la experiencia vivida con el TEI-­‐PPO en relación con los aprendizajes en diversas asignaturas, señala explicitamente que la diversidad cultural enriquece el aprendizaje (C10) pero no hace la conexión específica con el aprendizaje de las matemáticas. Por eso pensamos que es una creencia central por su fuerza, primaria porque se forjó en la experiencia vivida en el TEI-­‐PPO, y aislada porque no se conecta con las creencias en torno al aprendizaje de las matemáticas en contextos culturales diversos. Así puede apreciarse cuando la docente, como un ejemplo de las importancia de considerar las diferencias culturales, señala que hay muchos estudiantes “deprivados culturalmente” que tienen dificultades para aprender matemáticas porque sus padres no han sido escolarizados y/o son analfabetos. A pesar de que anteriormente el educador tradicional ha contado varias experiencias que relatan como sus abuelos -­‐no escolarizados-­‐ hacían matemáticas, la creencia en que los niños con padres analfabetos tienen menos estimulación y menos posibilidades de aprender matemática (C11) porque saben poca matemática (C12) está tan arraigada y reforzada tanto por la sociedad como por el propio sistema educativo, que la docente no es consciente de la discordancia con las ideas en torno a que se producen matemáticas diversas según las necesidades, discutidas anteriormente. Y aquello no le permite ver que, por lo tanto, es probable que muchos de esos padres también necesiten usarlas y produzcan sus propias maneras de hacer matemáticas. Además si tiene la creencia central que indica que las matemáticas son escritas, la probabilidad de creer que alguien que no lee ni escribe pueda hacer matemáticas se 95 reduce o se anula. Pensamos que las creencias C11 y C12 son centrales producto de su gran arraigo, y primarias porque son fruto de la experiencia directa de la docente. Tal como vimos anteriormente, las creencias contenidas en el grupo referido a la naturaleza de las matemáticas (C1, C2, C3 y C4) muestran un alineamiento parcial con una perspectiva epistemológica lógico-­‐racional de la matemática puesto que la conciben como un conjunto de temas fijos, objetivos y unificados consignados por escrito. Esta concepción estática de la matemática fundamenta también la arraigada creencia que indica que las personas analfabetas saben poca matemática (C12) y la ubica también en la perspectiva lógico-­‐racional. Las creencias contenidas en los grupos referido al aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas y a la heterogeneidad cultural y escolar se vinculan con uno de los dos paradigmas didáctico-­‐matemáticos antes mencionados. Recordaremos brevemente los aspectos esenciales de cada paradigma (tabla 13) para tenerlos como referencia en la revisión posterior. PARADIGMA DIDÁCTICO-­‐MATEMATICO DE TRANSMISIÓN ü
ü
ü
ü
ü
ü
Se centra en la transmisión de conocimientos matemáticos: definiciones, teoremas y algoritmos. El protagonista de la enseñanza es el docente quien transmite los conocimientos a los estudiantes. Interaccción unidireccional. Metodología expositiva. Considera contenidos y procedimientos escolares. El aprendizaje depende de las habilidades del estudiante. PARADIGMA DIDÁCTICO-­‐MATEMATICO CONSTRUCTIVISTA ü Se centra en la construccción de los conocimientos matemáticos escolares o sociales. ü El protagonista de la enseñanza es el estudiante quien produce los conocimientos a partir de lo que sabe. ü Interacción dialógica. ü Metodología interactiva (problemas, situaciones didácticas, trabajo en equipo…) ü Considera contenidos y procedimientos diversos: escolares y extraescolares. 96 ü El aprendizaje depende de las características de las actividades propuestas y de las oportunidades de interacción. Tabla 13 Síntesis de los paradigmas didáctico-­‐matemáticos Al analizar las creencias del grupo sobre el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas en función de los paradigmas didácticos observamos que las creencias C5, C6 y C7 son creencias intrínsecamente relacionadas con un paradigma constructivista del proceso de enseñanza-­‐aprendizaje –y al parecer muy arraigadas-­‐ pero hasta aquel momento de la EDMIp (seminarios de estudio) la docente no había hecho la relación entre esa concepción constructivista y la propia manera de conducir el proceso de enseñzanza-­‐aprendizaje de las matemáticas. Al hacer la reflexión, la docente se da cuenta que el aprendizaje matemático se puede tornar significativo (C5) si se abordan el origen y función de los conocimientos; y que si se apela a lo que los estudiantes ya saben (C6 y C7) es posible resguardar que el aprendizaje matemático tenga sentido (C8) y satisfaga las necesidades de todos los estudiantes (C9) en términos sociales, culturales, cognitivos, etc. Ambas creencias (C8 y C9) también se asocian con el paradigma didáctico-­‐matemático constructivista porque el rol protagónico lo tiene el estudiante al producir los conocimientos a partir de lo que sabe. Algo parecido sucede en el grupo sobre la heterogeneidad cultural y escolar pues si bien la docente cree con bastante fuerza que la diversidad cultural enriquece el aprendizaje (C10), no logra vincular esta creencia con el aprendizaje de las matemáticas, y ello explica que la otra creencia ubicada en este grupo (C11) sea discordante con la anterior. Asociamos la creencia la diversidad cultural enriquece el aprendizaje (C10) al paradigma didáctico-­‐matemático constructivista, del mismo modo que lo hicimos antes con C5, C6 y C7, porque a la base hay un paradigma didáctico constructivista aunque no necesariamente matemático, que indica que pueden incorporarse una diversidad de contenidos y procedimientos culturales a la clase. Pensamos que el hecho de que la docente tenga esta creencia la acerca a este paradigma porque tiende un puente que puede servir de fundamento para cuando logre hacer el vínculo con la diversidad cultural en el aprendizaje de las matemáticas. 97 Por otra parte, relacionamos la creencia que indica que los hijos de padres analfabetos tienen menos posibilidades de aprender matemáticas con el paradigma didáctico-­‐
matemático de transmisión, principalmente porque en este paradigma el aprendizaje depende de las habilidades intrínsecas del estudiante y no de las oportunidades que brinden las actividades y las gestiones propuestas por la docente. La siguiente tabla (14) resume las creencias identificadas a través de los seminarios de estudio. Creencia Sobre la C1 La matemática es un naturaleza de conjunto de temas: las matemáticas geometría, álgebra, y de hacer patrones, operaciones. matemáticas C2 La matemática es escrita. C3 Decir los números en mapudungun no es matemática C4 Jugar Palin no es matemática Sobre la C5 Es importante promover enseñanza y el aprendizajes significativos aprendizaje en para todos los estudiantes. general y de las matemáticas C6 Es importante considerar los conocimientos previos para el aprendizaje. Tipo de creencia PDM PDM
T C Central y primaria ü
Central y primaria ü
Primaria ü
Primaria ü
ü
ü
ü
ü
ü
ü
Central y primaria, pero desconectada de las matemáticas Central y primaria, pero desconectada de las matemáticas Central y primaria, C7 Los niños traen aprendizajes pero a la escuela desconectada de las matemáticas C8 Es importante que los Periférica y estudiantes aprendan primaria matemáticas con sentido C9 Es importante que las matemáticas satisfagan Periférica y necesidades de todos los primaria estudiantes Sobre la C10 La diversidad cultural Central y primaria, heterogeneidad enriquece el aprendizaje pero PP PS
C 98 cultural y las matemáticas extraescolares orales desconectada de las matemáticas C11 Los niños con padres analfabetos tienen menos estimulación y menos Central y primaria posibilidades de aprender matemática C12 Las personas analfabetas Central y primaria ü
saben poca matemática • ü
Tabla 14 Síntesis creencias matemáticas docentes etapa inicial de la EDMIp En síntesis la mayoría de las creencias matemáticas docentes que se manifiestan en la etapa inicial de la EDMIp, se caracterizan por ser centrales dado están muy arraigadas. Las cuatro creencias sobre la naturaleza de las matemáticas se caracterizan por ser primarias y dos de ellas centrales, y por adherir a la perspectiva lógico-­‐racional de las matemáticas, aunque en el proceso algunas de ellas comenzaron a movilizarse. Tres de las cinco creencias sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas son centrales y primarias pero están desconectadas de las matemáticas, y dos de ellas son primarias pero periféricas en razón de su fuerza; las cinco adhieren parcialmente al paradigma didáctico-­‐matemático constructivista ya que comparten sus fundamentos dinámicos e interactivos pero no los conectan con las formas de enseñanza de las matemáticas. En tanto las tres creencias del grupo referido a la heterogeneidad cultural y escolar son centrales en razón de su arraigo, y primarias porque surgen a partir de la experiencia directa de la docente, pero la primera también está desconectada de las matemáticas. En relación con la perspectivas epistemológicas y los paradigmas didáctico-­‐matemáticos este grupo es el que presenta más dispersión, puesto que una creencia se vincula con la perspectiva epistemológica lógico-­‐racional, una con el paradigma didáctico-­‐matemático de transmisión y otra con el paradigma didáctico-­‐matemático constructivista. Es importante destacar que el análisis de la microinteracción de esta etapa evidenció que al inicio de este proceso de desarrollo profesional, la docente comenzó a movilizar algunas de sus creencias desde una concepción de la matemática como un cuerpo de conocimientos estático hacia una concepción de las matemáticas como una 99 producción humana, lo que implica un desplazamiento parcial desde una perspectiva epistemológica lógico-­‐racional hacia una sociocultural. 5.3.2 Caracterización de las creencias matemáticas docentes en la etapa intermedia de la EDMIp En este apartado caracterizaremos las creencias matemáticas de la docente durante la etapa intermedia del proceso de desarrollo profesional docente. Los datos en base a los cuales realizamos esta caracterización fueron recogidos a partir de la experiencia de aula (EDMIa), en particular de su implementación y evaluación. La selección de la unidad de análisis se realizó considerando que era importante consignar las creencias matemáticas de la docente durante el proceso de desarrollo para posteriormente poder comprender las relaciones y potenciales transformaciones de los diversos grupos de creencias. Además, las investigaciones sobre creencias matemáticas docentes dan cuenta que los procesos de internalización de las creencias a nivel de discurso y a nivel de prácticas no son procesos simultáneos ni correlativos, y si bien no ha sido posible llegar a generalizaciones concluyentes sobre este punto (Speer, 2008) consideramos importante dar cuenta de las diferencias entre ambos procesos. Es importante recordar que la implementación de la experiencia didáctica también se realizó en forma colaborativa, entre los distintos miembros del equipo de trabajo, y que las clases fueron estructuradas en base a la forma tradicional de educar mapuche, que contempla un espacio importante de contextualización mediante un nütramun
(una conversación inicial) en el que se abordó la función social del conocimiento matemático; y a un ciclo didáctico consistente en proponer un desafío a los estudiantes, darles tiempo para resolverlo, hacer una puesta en común de sus procedimientos y resultados, y explicitar la conclusiones matemáticas de la clase. De manera que los tres miembros del equipo participaban en diversos momentos de la clase. Las seis creencias identificadas en esta etapa (ver tabla 15) se refieren al aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas, aunque una de ellas se relaciona también con el 100 rupo referido a la naturaleza de las matemáticas. Tres de ellas fueron identificadas a partir de observación de la práctica de la docente en la implementación de la experiencia de aula, y las tres restantes son producto del análisis de la sesión de evaluación de la experiencia de aula. Creencia Tipo de creencia PP PSC C13 Para aprender matemáticas los niños deben estar Central y primaria quietos, ordenados y en silencio. C14 Al enseñar matematicas es importante señalar claramente las instrucciones Central y primaria sobre qué hacer y cómo hacerlo. C15 Al enseñar matemáticas es Sobre la importante que el docente enseñanza y indique a los estudiantes Central y primaria el cuando están equivocados y aprendizaje cuando están en lo correcto de las . matemáticas C16 Los estudiantes son capaces Periférica y de desarrollar sus propias primaria estrategias matemáticas C17 Los estudiantes son capaces Periférica y de comunicar sus formas de primaria hacer matemáticas C18 Al aprender matemáticas conectadas con su función Periférica y ü
social y valórica se brinda primaria sentido a su aprendizaje35 PDMT PDMC ü
ü
ü
ü
ü
ü
Tabla 15 Síntesis creencias matemáticas docentes etapa intermedia de la EDMIp Las creencias identificadas en la implementación de la experiencia de aula se manifestaron tanto en la interacción de la docente con los estudiantes como en la 35 También se vincula con el grupo de creencias referido a la naturaleza de las matemáticas.
101 interacción con la didacta antes y durante la implementación de las clases. La primera de ellas indica que para que los niños puedan aprender matemática en forma óptima deben estar quietos, ordenados y en silencio (C13). La siguiente intervención es un ejemplo de lo observado al inicio de la primera clase de la experiencia de aula que muestra el énfasis que la docente pone en los aspectos normativos: Docente: [dirigiéndose al grupo completo] Supongo que no van a estar conversando con los compañeros, que van a tener buena conducta y que cada vez que quieran hablar levantarán la mano. Docente: [dirigiéndose a un estudiante que está inquieto] ¿Te quieres ir para afuera? Estudiante: No Docente: Entonces, si te vas a ubicar en un lugar, te vas a ubicar en un lugar, y no te vas a estar moviendo todo el rato (…) Docente: [dirigiéndose al grupo completo] No porque estén sentados en el suelo se estarán moviendo todo el rato (…) boca bien cerrada… para escuchar las instrucciones de lo que vamos a hacer La docente cree que al estar ordenados y en silencio podrán poner atención y seguir las indicaciones sobre qué hacer y cómo hacerlo transmitidas por la docente (C14) que constituye la segunda creencia identificada en esta etapa. Aquello se refrendó al observar que mientras los estudiantes practicaban el juego, la docente estaba atenta a si éstos seguian las indicaciones dadas por ella con anterioridad, y corregía los procedimientos utilizados por los estudiantes en caso de considerarlo necesario. La tercera creencia identificada en la implementación de la experiencia de aula es que la docente cree que es importante indicar a los estudiantes cuando están equivocados y cuando están en lo correcto (C15). Aquello se hizo evidente en la puesta en común de una de las sesiones en las que se jugó al awarkuden cuando se le pidió a los estudiantes que explicasen en qué consiste el juego. El foco de la docente estaba puesto en que lograran decir correctamente las reglas del juego aprendido, más que en darse cuenta cuáles aspectos del juego se internalizaron, cuáles les presentaron dificultades o bien cuáles les resultaron complejos de explicar, considerando que no estaban habituados a comunicar sus producciones en la clase de 102 matemáticas. Así, en un momento en que uno de los estudiantes estaba explicando las reglas y no logra hacerlo con claridad, la profesora lo interrumpe y le pide a otra estudiante que lo explique, sin indagar en lo que el primero no estaba logrando comprender o expresar: Investigadora: si ustedes tuviesen que explicar a una persona que no lo conoce, cómo se juega este juego ¿qué le dirían? Estudiante 136: [levanta la mano] que se juega… Docente: explícaselo, como si fuera una persona que no lo conoce Estudiante 1: que se juega de dos personas, y que necesitan 8 habas que sean cuatro negras y cuatro blancas Investigadora: ¿las habas eran completamente negras y completamente blancas? Estudiante 1: No Investigadora: ¿cómo eran las habas? Estudiante1: estaban… las dos partes eran blancas pero las otras estaban pintadas con pincel, ah no [hace el gesto que indica que no es lo que quiso decir y que quiere rectificar] Docente: [interrumpiéndolo] ¿como podría explicar bien? porque él se confundió para explicarlo ¿no? Estudiante 2: [levanta la mano] Docente: explíquele el juego a una persona que nunca lo ha jugado, a ver estudiante 2… Estudiante 2: se juega de dos a cuatro personas y tiene que tener 8 habas, las habas tienen que tener un lado de color negro… Docente: ¿y que más? Bien, estamos super bien hasta el momento. Nunca lo he jugado y entendí perfecto, pero que más pasa ahora?… Estudiante 2: se queda en silencio Investigadora: ¿quién puede seguir la explicación?... [silencio] porque estudiante 1 dijo una parte, estudiante 2 dijo otra, ¿quién puede seguir?… Sostenemos que las tres creencias identificadas en esta etapa son centrales y primarias porque están fuertemente arraigadas y han sido desarrolladas a partir de la experiencia directa de la docente. Y que resultan ser concordantes con un paradigma didáctico-­‐matemático de transmisión pues desde dicho paradigma es importante que los estudiantes asimilen los conocimientos y procedimientos correctos que les fueron transmitidos por el o la docente, en un contexto de 36 Usaremos números y no nombres para conservar el anonimato de los estudiantes. 103 interacción en el que la comunicación es unidireccional desde la docente hacia los estudiantes, y en el que el aprendizaje depende especialmente de las habilidades y actitudes de los estudiantes. En las siguientes sesiones dedicadas a abordar el juego de estrategia komikan se refrendan estas tres creencias pero también se comienzan a movilizar. Pensamos que esto puede deberse al carácter del juego (de estrategia) y a que ya había una mayor asimilación del ciclo didáctico en base al cual se estructuraron las clases (problematización-­‐ experimentación/monitoreo -­‐ puesta en común – conclusiones). El hecho de que fuese un juego de estrategia desconocido para la docente implicó que no pudiera anticipar todas las jugadas posibles, y que estuviera más atenta a las producciones de los estudiantes. Y la asimilación de la estructura de la clase, también la impulsó a observar el trabajo de los estudiantes para luego poder organizar la puesta en común. Así, de manera natural, se abrieron más espacios para que los estudiantes pudiesen experimentar y comunicar diversas formas de jugar observando cuáles jugadas resultaban ser más exitosas que otras y en qué circunstancias. Este diálogo grafica parte de lo que ocurrió en las sesiones del komikan, corresponde a la puesta en común de la cuarta clase: Docente: Ya chiquillos paramos el juego, las manitos en la mesa todos mirando adelante porque vamos a terminar la clase, no quiero escuchar ningún poroto, ni ver a nadie manipulando el material porque ya terminamos de trabajar en eso. Docente: [dirigiéndose al curso] ¿Jugaron todos? Estudiantes [a coro] : Siiiií Docente: así los vi, ví que todos estaban jugando, muy concentrados algunos, algunos no tan concentrados en realidad. Como que movían las piezas por moverlas, pero en realidad no pensaban mucho… Docente: [dirigiéndose a un estudiante] Siéntese bien, [dirigiéndose a otro estudiante] sientese bien. Docente: [dirigiéndose al curso] y yo me di cuenta que había personas que sí ocupaban estrategias porque siempre ganaban, y le quiero preguntar a esas personas qué estrategias ocupaban para siempre ganar, pues ganaban casi todos los juegos. Por ejemplo la pareja que tiene el tablero número 4, ¿quién tiene el tablero número 4. Estudiante 3: [levanta la mano] 104 Docente: [dirigiéndose al curso]: Me di cuenta que el estudiante 3 ganó casi todos los juegos y la estudiante 4 no. ¿Por qué será eso chiquillos, por qué creen que el estudiante 3 ganó casi todos los juegos y la estudiante 4 no? Estudiantes: [levantan la mano] Docente: [le hace un gesto al estudiante 5 para autorizarlo a hablar] Estudiante 5: [en tono de pregunta] ¿porque tenía una estrategia? Docente: [con tono de aprobación] porque tenía una estrategia Docente: [dirigiéndose al estudiante 3] ¿usted nos podría contar qué estrategia ocupó para ganar casi todos los juegos? Estudiante 3: cuando tenía el puma y ella se me acercaba yo me tiraba pa’tras Docente: ¿pa’? Estudiante 3: para que ella esté en el centro y yo me tiraba para acá [muestra la entrada a la casa del puma] Docente: ¿A qué estrategia, se parece esa, de las que habíamos visto? [muestra la pizarra, en la que están anotadas las estrategias identificadas en la clase anterior] ¿o es una distinta a las que abordamos al principio de la clase? Estudiante 3: no Docente: ¿es una nueva? Estudiante 3: sí Poco a poco la docente va brindando más espacios para que los estudiantes comuniquen sus producciones y se va interesando en que éstos visibilicen y comuniquen lo que hay detrás de sus estrategias, aun cuando no lo sepan explicar. El siguiente diálogo en la puesta en común de la clase siguiente grafica la diferencia con lo experimentado en la primera clase y muestra cómo se movilizaron las creencias referidas a que los estudiantes deben seguir los procedimientos indicados (C14) y a que es necesario señalarles sus aciertos y sus errores (C15) desplazando el foco de una interacción basada en la comunicación del resultado o respuesta correcta hacia una basada en la elicitación del pensamiento que hay detrás de la respuesta del estudiante: Docente: [a estudiante 6] ¿Con qué estrategia le podías ganar a tu compañera? Estudiante 6: moviendo los perros por la orilla, y dejar dos perros al medio Docente: ¿y por qué dos perros? Estudiante 6: porque yo iba avanzando, después la estudiante 7 movía, después yo movía los de al lado, ella movía esos… Docente: ¿pero por qué eran dos perros? ¿por qué no era uno? Estudiante 6: Porque los dejaba juntos en la línea 105 Docente: ¿pero con qué objetivo los dejabas juntos? ¿qué lograbas al dejar juntos dos perros? [dirigiéndose al curso] ¿qué lograba el compañero al tener siempre dos perros juntos? Estudiante 7: ¿ganar? Docente: Obvio!, ¿pero qué lograba, estudiante 8? Estudiante 8: ¿para que no se lo coman? Docente: protegerlo ¿cierto?, como el puma no podía saltar porque habia blo… Estudiantes: [a coro] ¡queo! Docente: había un bloqueo, ¿cierto? Esa estrategia ocupó el compañero, ¿se parece a alguna de las que mencionamos el principio de la clase? Estudiante 6: [hace gesto afirmativo] Docente: ¿a cuál, estudiante 6? Estudiante 6: ¿Los perros se mueven por la orilla? Docente: Ya, los perros se mueven por la orilla, ¿y la otra que me explicaste de poner dos perros juntos para bloquear? ¿aparece en las estrategias o no? Estiudiantes: sí Docente: ¿dónde? Estudiante 6: ¿en la 1? Docente: [leyendo las estrategias que están anotadas en la pizarra] dice el puma puede bloquear la entrada, ¿es lo mismo? Estudiante 6: No Docente: [dirigiéndose al curso] el puma puede bloquear la entrada, ¿es lo mismo que me explicó el estudiante 6? Estudiantes: [silencio] Docente: es una nueva estrategia!, anotémosla. Por su parte, las creencias identificadas en la evaluación de la EDMIa, confirman que hay un proceso de movilización del paradigma didáctico-­‐matemático puesto que la docente destacó que en la experiencia de aula pudo observar que a partir del trabajo exploratorio y colaborativo los estudiantes son capaces de desarrollar sus propias estrategias matemáticas (C16). Esta creencia desestabiliza la que indica que los niños deben estar quietos y en silencio para aprender matemáticas, puesto que parte importante para la producción de estrategias por parte de los estudiantes es que tengan posibilidades de explorar solos y con otros y de compartir los resultados de esas exploraciones. Así, la docente observa también que los estudiantes son capaces de comunicar y reflexionar sobre sus formas de hacer matemáticas (C17). Esta última creencia la refrenda cuando señala que los estudiantes comunicaron sus 106 estrategias “cuando ellos decían, no, yo me voy por la orilla, yo sacrifico perros…” y que ella cree que “se desarrolló harto la argumentación y la comunicación [especialmente] durante las puestas en común, [pues] constantemente los estudiantes estuvieron participando y comunicando sus conclusiones”. Pensamos que la estructura de la clase fomentó una mayor interacción de la docente con los estudiantes al contemplar un espacio de conversación con ellos al inicio (nütramun) y al final de la clase (puesta en común y conclusiones) y al formalizar el monitoreo de sus producciones para organizar la puesta en común, pero también propició una mirada distinta hacia lo que son las matemáticas y lo que implica producirlas o practicarlas. Así al vivenciar las implicancias de un paradigma didáctico constructivista en matemáticas, la docente amplió las expectativas en relación con las capacidades de hacer y de comunicar matemáticas de sus estudiantes, pero también amplió su perspectiva de las matemáticas, comprendiendo, por una parte, que éstas tienen una función y una razón de ser, y por otra, que si son enseñadas conectadas con su función social y valórica, se puede aprender matemáticas con sentido (C18). Esta es la sexta creencia de este grupo, que si bien, junto con las dos anteriores (C16 y C17) se vinculan con un paradigma didáctico-­‐matemático constructivista al centrarse en la construcción de los conocimientos por parte de los estudiantes y propiciar una interacción dialógica, también se vincula con la perspectiva sociocultural de las matemáticas al asumir que las matemáticas son una producción social. Pensamos que estas tres creencias identificadas en la evaluación de la EDMIa son primarias porque son producto de la vivencia directa de la docente en la experiencia de aula y al parecer son periféricas en razón de su fuerza dado que se han construido en forma reciente. Así, la EDMIa brindó la posibilidad de que la profesora tuviese una experiencia de aula concreta en las que los estudiantes tuvieron un rol protagónico en la construcción de sus aprendizajes matemáticos, desestabilizando algunas creencias ancladas al paradigma didáctico-­‐matemático de transmisión especialmente cuando la docente se da cuenta que los estudiantes mediante la interacción en el aula han elaborado estrategias que ella no había anticipado. Y movilizándolas hacia el paradigma 107 didáctico-­‐matemático constructivista en el que los estudiantes tienen el rol protagónico en la clase al producir los conocimientos a partir de lo que saben, y en el que el aprendizaje depende de las características de las actividades propuestas y de las oportunidades de interacción. 5.3.3 Caracterización de las creencias matemáticas docentes en la etapa final de la EDMIp En este apartado caracterizaremos las creencias matemáticas de la docente identificadas en la etapa final del proceso de desarrollo profesional docente. Los datos en base a los cuales realizamos esta caracterización fueron recogidos en la sesión destinada a la reflexión crítica de todo el proceso. La selección de la unidad de análisis se realizó considerando que era importante consignar las creencias matemáticas de la docente después de haber vivenciado una experiencia didáctica matemática intercultural de aula (EDMIa). El análisis de la etapa inicial permitió identificar creencias referidas a la naturaleza de las matemáticas, y al aprendizaje y enseñanza de las matemáticas, (tabla 16). Junto con ello en esta etapa se pudo dar cuenta del proceso de movilización de las creencias desde la mirada de la propia docente. Creencia Sobre la C19 Las matemáticas son un producto naturaleza de las sociocultural y responden a una matemáticas necesidad C18 Al aprender matemáticas conectadas con su función social y valórica se brinda sentido a su aprendizaje C20 Al enseñar matemáticas mediante la exploración se fomenta el desarrollo de las habilidades matemáticas Sobre la C21 Al enseñar matemáticas es importante enseñanza y el fomentar el desarrollo de habilidades aprendizaje de las matemáticas C22 Los juegos de estrategia permiten desarrollar las habilidades de argumentar y comunicar, y de modelar. C23 El juego como actividad exploratoria y colaborativa fomenta la inclusión didáctica y cognitiva Tipo de creencia Periférica y primaria PLR PSC PDMT PDMC ü
ü
ü
ü
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Periférica y primaria Periférica y primaria Periférica y primaria Periférica y primaria Periférica y primaria 108 Tabla 16. Síntesis creencias matemáticas docentes al final de la EDMIp Así, la docente comienza evidenciando la desestabilización de la creencia planteada inicialmente acerca de que las matemáticas son un conjunto de temas, algoritmos y fórmulas (C1) porque señala que luego de este proceso ella cree que las matemáticas son un producto sociocultural y responden a una necesidad (C19), en palabras de la propia docente: “la matemática no es sólo un aprendizaje de cálculos y de fórmulas sino que es una actividad social que atiende a ciertos requerimientos de un grupo humano, y de distintos grupos humanos”. Ella identifica como factores importantes la lectura compartida del texto sobre el enfoque sociocultural de las matemáticas, las conversaciones con el educador intercultural sobre cómo hacian matemáticas sus abuelos y la propia vivencia de la experiencia de aula. De este modo, tanto el proceso de estudio de otras formas de entender las matemáticas como la experiencia de abordar los juegos a partir de su función social en la EDMIa, le ayudaron a “considerar la matemática como una actividad social y cómo la matemática (…) en algunas culturas, era un acto natural que se generaba de acuerdo a [sus] necesidades”. En la experiencia de aula, esta concepción se visualizó al contextualizar los juegos propiciando que los estudiantes también pudieran acceder a esta perspectiva epistemológica de las matemáticas. Un ejemplo de aquello ocurrió cuando en la EDMIa se explicitó que el komikan permitía desarrollar también estrategias de guerra. En palabras de la docente: “se da como una conexión entre matemáticas y la sobrevivencia, la vida o estrategias de guerra… cosas que son parte de la vida real pues, porque ese es el problema de las matemáticas que se ven como algo (…) que no tiene mucho que ver con ellos, como algo que tengo que aprender pero que no tiene tanto que ver conmigo porque no va a tener tanta trascendencia en mi vida”. Pensamos que esta es una creencia periférica, dado que no tiene un gran arraigo al emerger recién como parte del proceso de desarrollo profesional, y que es primaria porque proviene de la experiencia directa de la docente. Asimismo, se vincula con una perspectiva epistemológica sociocultural de las matemáticas al concebirla como 109 un producto humano dinámico, pues depende de las necesidades y racionalidades desde las cuales se las produzcan. Este vínculo de las matemáticas con su función social, tuvo también un impacto didáctico, puesto que permitió brindar sentido a las matemáticas que se enseñan, produciendo aprendizajes matemáticos significativos (C18). Esta creencia, que se manifestó también en la evaluación de la EDMIa, es planteada nuevamente en la reflexión crítica cuando la docente indica: “Porque como yo señalé en la parte de la evaluación anterior, por ejemplo, que ellos recordaran que un juego de azar era que sus vecinas jugaran a las máquinas, allí ya se generó un aprendizaje significativo, quizás no sólo relacionado con la matemática sino con la comprensión del mundo” Los otros tres aspectos destacados en cuanto a la enseñanza y al aprendizaje de las matemáticas son el rol de la exploración en el aprendizaje de las matemáticas, particularmente para el desarrollo de habilidades matemáticas, y de los juegos como una herramienta de aprendizaje que a la vez que fomenta el desarrollo de habilidades matemáticas favorece la inclusión. Así la docente plantea que cree que al enseñar matemáticas mediante la exploración se fomenta el desarrollo de las habilidades matemáticas (C20): “yo creo que fue súper pertinente el ciclo de primero plantear que ellos lograran explorar y pensar, razonar antes de llegar a un consenso y eso genera que ellos desarrollen habilidades matemáticas más avanzadas, cada vez más avanzadas (…) tuvo buenos resultados, se logró el objetivo de que ellos pudiesen llegar a un razonamiento sin que se les diera previamente”, desestabilizando la creencia manifestada en la EDMIa acerca de la necesidad de señalar a los estudiantes claramente las instrucciones sobre qué hacer y cómo hacerlo en la clase de matemáticas (C14). En la EDMIa nos centramos en el desarrollo de dos de las habilidades matemáticas planteadas en el marco curricular vigente: la habilidad de argumentar y comunicar, y la habilidad de modelar. Pensamos que como la docente no sabía como trabajar estas habilidades (lo señaló en la etapa anterior) y la EDMIa le proporcionó un referente acerca de cómo gestionar su desarrollo y evidencias del aprendizaje construido por 110 los estudiantes, particularmente con los juegos de estrategia, la docente comenzó a creer que es importante fomentar el desarrollo de habilidades matemáticas (C21) y que los juegos de estrategia son una herramienta apropiada para el desarrollo de estas habilidades (C22). Pensamos que esto se debe al carácter de los juegos de estrategia, porque, más allá del fomento de la exploración por parte del ciclo didáctico mediante el cual se lo abordó, los juegos de estrategia en sí mismos propician espacios para la exploración cuando los jugadores lo practican y buscan las estrategias para ganar. Así lo explica la docente cuando da cuenta de los aprendizajes observados a partir de la EDMIa: Primero fue el tema de argumentar y comunicar, o sea primero de practicar para poder argumentar y comunicar, para finalmente poder modelar y establecer patrones. Porque eso es modelar, eso tiene que ver con generalizar o establecer patrones, tanto en el juego de las habas [como en el otro] pero yo creo que más en el segundo juego del komikan, porque ellos pudieron establecer estrategias y generalizarlas, y eso no se da generalmente en una clase de matemática (…) El tema de modelar y de apelar a ese proceso mental -­‐porque igual es un proceso mental y yo encuentro que súper avanzado-­‐ y que los niños tengan la capacidad de razonar y de darse cuenta que están modelando o generalizando un proceso, yo creo que es súper valioso. Al analizar la riqueza de la experiencia de aula, la docente observó que durante la EDMIa no fue necesario hacer actividades especiales para los niños con dificultades cognitivas y que el juego atendió las necesidades de los diversos estilos de aprendizaje. Así la docente manifestó creer que el juego, como una actividad de aprendizaje exploratoria y colaborativa fomentó la inclusión didáctica y cognitiva (C23): “porque al ser un trabajo colaborativo de partida incluye distintos estilos de aprendizaje (…) [en cambio] en las otras clases sí se nota la diferencia, sí hay que adecuar porque como son otro tipo de clase… En matemáticas hay que adecuar tanto objetivos como actividades, o material, porque las actividades de las clases estándar, en general generan una exclusión que no se generó mediante esta experiencia” Pensamos que las creencias referidas al aprendizaje y enseñanza de las matemáticas que se manifiestan el la etapa final de la EDMIp (C18, C20, C21, C22 y C23), son 111 creencias primarias porque han sido desarrolladas a partir de la vivencia de la profesora a través de todo el proceso de desarrollo profesional docente y son periféricas en razón de su incipiente arraigo. Por otra parte, sostenemos que adhieren a un paradigma didáctico-­‐matemático constructivista porque se centra en la construccción de los conocimientos matemáticos por parte de los estudiantes, porque fomentan la interacción dialógica, y el aprendizaje depende precisamente de las oportunidades de interacción. Así, tenemos que en la etapa final de la EDMIp identificamos principalmente creencias vinculadas con un paradigma didáctico-­‐matemático constructivista y con una perspectiva sociocultural de las matemáticas, que muestran que algunas de las creencias centrales y primarias identificadas en las fases anteiores han sido deses tabilizadas. 5.4 Análisis relacional entre las creencias de las tres etapas El análisis de las relaciones entre las distintas etapas de la EDMIp mostró que algunas de las creencias matemáticas docentes alineadas con la perspectiva epistemológica lógico-­‐racional, identificadas a partir del conversatorio inicial, se desestabilizan a partir de la interacción con el educador tradicional en el mismo conversatorio, de las reflexiones de la docente en el contexto de la lectura compartida del texto sobre un enfoque sociocultural de las matemáticas, y de la vivencia de la docente en el contexto de la EDMIa. Las intervenciones del educador tradicional en el conversatorio inicial -­‐quien va relatando ejemplos concretos de las formas de matematizar de su comunidad mapuche de origen-­‐ dan cuenta implícitamente del carácter sociocultural de las matemáticas y cuestionan la creencia más central de la primera etapa, mostrando que las matemáticas pueden ser algo más que un conjunto de temas y fórmulas, y que por lo tanto en el decir los números en mapudungún y el jugar palín también están implicados aspectos matemáticos. 112 En el contexto de la lectura compartida de la etapa inicial, la docente interactúa con el educador tradicional y con la didacta, conversando sobre las ideas planteadas en el propio texto, y estableciendo relaciones con sus ideas sobre el aprendizaje en general. Aquí se producen dos fenómenos que muestran que hay una desconexión entre algunas ideas generales de la docente sobre el aprendizaje y las matemáticas . Por una parte, el texto plantea que la diversidad cultural enriquece el aprendizaje y la docente manifiesta estar de acuerdo con esta idea, pero en seguida la interpreta desde el punto de vista que indica que hay que considerar la diversidad cultural a la hora de enseñar, señalando que aquellos niños cuyos padres son analfabetos son menos estimulados y tienen menos posibilidades de aprender matemáticas. Por lo tanto si bien está de acuerdo en que la diversidad enriquece el aprendizaje no logra hacer la conexión con los potenciales aportes de los estudiantes cuyos padres no leen ni escriben. Pensamos que esto puede deberse a que la creencia en que las matemáticas son escritas -­‐que también forma parte de la perspectiva epistemológica lógico-­‐racional de las matemáticas-­‐ es una creencia muy arraigada. El segundo fenómeno tiene que ver con que producto de la interacción en torno a la lectura, la docente manifiesta un conjunto de creencias bastante arraigadas que responden a un paradigma constructivista de la enseñanza pero que en este momento no se conectan con la enseñanza de las matemáticas. En el contexto de la EDMIa, la docente tiene la posibilidad de observar que los estudiantes alcanzaron aprendizajes significativos, al abordar los conocimientos matemáticos -­‐en este caso los juegos-­‐ a partir de su función sociocultural. En este caso, fueron las evidencias de estos aprendizajes, en particular las relaciones que establecen los estudiantes entre los juegos y sus implicancias sociales, las que reforzaron la movilización de la creencia central inicial desde una concepción estática de las matemáticas hacia una concepción de las matemáticas como un producto sociocultural en continua construcción, según las necesidades de cada comunidad. En la etapa intermedia, se observa que la docente manifiesta creencias matemáticas que forman parte del paradigma didáctico-­‐matemático de transmisión en las clases iniciales de la EDMIa. Sin embargo, a través de las clases, algunas de estas creencias se 113 van desestabilizando a partir de la interacción con el educador y la didacta, pero particularmente a partir de las evidencias de aprendizaje de los estudiantes. Así, se produce una movilización de dichas creencias hacia el paradigma constructivista, que se refrenda en la evaluación de la EDMIa. Al inicio de la EDMIa, la interacción de la docente tiende a centrarse en aspectos normativos, resguardando que los estudiantes estén ordenados, quietos y en silencio; a ser unidireccional, indicando claramente lo que deben hacer; y apunta a conseguir respuestas correctas por parte de los estudiantes, por lo tanto les señala sus aciertos y sus errores. Esta forma de actuar en la clase resultaría ser concordante con lo que ella ha observado y vivido en su experiencia de formación matemática escolar y docente. Sin embargo, a medida que van transcurriendo las clases, por una parte, va teniendo la posibilidad de observar cómo la didacta gestiona las clases de una manera dialógica y participativa, y por otra, de observar cómo se involucran los estudiantes en esta interacción dialógica, en concordancia con los principios de diseño de la EDMIa. De este modo, observamos que a partir de la cuarta clase de la EDMIa la docente va incorporando progresivamente las producciones de los estudiantes y realizando preguntas para elicitar su pensamiento, propiciando una interacción progresivamente más dialógica con los estudiantes. Ello ocurre dado que al observar los estudiantes explorando y trabajando colaborativamente son capaces de desarrrollar, reflexionar y comunicar sus propias estrategias y formas de hacer matemáticas, se desestabilizan las creencias matemáticas centrales sobre la necesidad de silencio y orden por parte de estudiantes y de instrucciones y correcciones por parte de la docente. Emergen así las creencias matemáticas relacionadas con la necesidad de exploración y de trabajo autónomo por parte de los estudiantes para desarrollar óptimamente sus habilidades matemáticas, tal como lo manifestó la propia docente en la evaluación de la EDMIa y en la reflexión crítica. En la etapa final, en la que se reflexiona críticamente acerca de toda la EDMIp, es posible apreciar el proceso de movilización de algunas creencias manifestadas u observadas en las dos primeras etapas, a través de la emergencia de creencias alineadas con la perspectiva epistemológica sociocultural, que se contraponen con las 114 declaradas al inicio del proceso, y de otras alineadas con el paradigma didáctico-­‐
matemático constructivista que se contraponen con las que se observaron en la EDMIa en la etapa anterior. En la dimensión epistemológica se consolida la ampliación de la concepción de las matemáticas de la docente como un producto sociocultural a partir de las necesidades de comunidades específicas, superando la concepción de la matemática como un compilado de fórmulas y temas e incorporando las formas diversas de hacer matemáticas implícitas en las prácticas culturales. En la dimensión didáctica, al reflexionar en torno a las observaciones de las producciones de los estudiantes que realizó la docente en la EDMIa, se desestabilizó la creencia que indica que es necesario dar instrucciones precisas para resolver los desafíos, y se destaca el rol de la exploración -­‐y particularmente del juego-­‐ como herramientas metodológicas para el desarrollo de las habilidades en matemáticas. Al analizar las limitaciones para desarrollar un paradigma didáctico matemático constructivista la docente hizo ver que una de las dificultades proviene de la aplicación de evaluaciones nacionales estandarizadas, y otra proviene de la poca disponibilidad de tiempo que destina el sistema educativo para preparar clases. La docente planteó que las evaluaciones estandarizadas ponen el foco en el resultado por sobre el proceso de aprendizaje, y que si bien, en su caso particular, la dirección del establecimiento educativo no exigía prepararla ni obtener determinados resultados, de igual modo generan una presión social. Asi lo deja ver cuando señala: “… se pierde el rumbo. Yo creo que por el tema del SIMCE37, influyen tantas cosas de repente… que uno se pone muy mecánico y cae en eso, aunque obviamente nadie quiere. Yo sé que hay muchos profesores que tiene muy buenas ideas -­‐y me incluyo-­‐ pero de repente uno se preocupa más del resultado que del proceso (…). [Las evaluaciones estandarizadas] requieren de tiempo, de esfuerzo, y todo el tiempo que uno podría tener para que los chiquillos tuvieran otras experiencias de aprendizaje mas significativas quizás, lo ocupa preparándolos para el SIMCE 37 Sistema de Medición de la Calidad de la Educación, evaluación nacional estandarizada obligatoria que se aplica en Chile en tres niveles de la enseñanza. 115 preparando las preguntas estándar, las pruebas estándar, todo siempre es lo mismo, fome [aburrido]. Por otra parte señaló que a pesar de que esta experiencia enriqueció su aprendizaje, no veía factible trabajar todas las clases de matemáticas desde este paradigma porque requiere de tiempo para el estudio y el diseño de las clases del cual no dispone. No sé si me facilita mi trabajo pero sí lo enriquece, porque igual tiene una exploración previa el tema de trabajar matemáticas así, (…) requiere de más tiempo, más esfuerzo, más estudio, más preparación -­‐yo no tenia idea de estos juegos ni de la parte teórica que estudiamos previamente, ni nada de eso yo no sabía. Requiere una mayor preparación, mayor estudio, pero sí le da sentido a las matemáticas, le da un sentido más amplio y más enriquecedor. Pero no hay tiempo para preparar así nuestras clases en la escuela. Al analizar los factores detectados a través de toda la EDMIp que impulsan la movilización de las creencias matemáticas de la docente vinculadas con la perspectiva epistemológica identificamos la lectura compartida del texto sobre el enfoque sociocultural de las matemáticas; las conversaciones con el educador intercultural sobre cómo hacian matemáticas sus abuelos; y el ver que al contextualizar los conocimientos matemáticos abordados, los estudiantes le dan un sentido a su aprendizaje matemático. En tanto, en relación con las creencias vinculadas con el paradigma didáctico los factores más relevantes que impulsaron su movilización fueron el ciclo didáctico del aprendizaje, la interacción colaborativa con la didacta en el aula, la interacción propia de la docente con los estudiantes y las evidencias de aprendizaje de los estudiantes. Todos ellos en conjunto permitieron que la docente pudiese observar los resultados de poner en práctica de una gestión participativa que brinda una experiencia de aula de estas características. Sobre la naturaleza de las matemáticas Creencia C1 La matemática es un conjunto de temas: geometría, álgebra, patrones, operaciones. C3 Decir los números en mapudungun no es matemática Tipo d e creencia Central y primaria PL
R Primaria C4 Jugar Palin no es matemática Primaria C2 La matemática es escrita. Central y PL
R PL
R Creencia C19 Las matemáticas son un producto sociocultural y responden a una necesidad Tipo de creencia Periférica y primaria PSC 116 primaria Sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas C13 Para aprender matemáticas los niños deben estar quietos, ordenados y en silencio. C14 Al enseñar matematicas es importante señalar claramente las instrucciones sobre qué hacer y cómo hacerlo. C15 Al enseñar matemáticas es importante que el docente indique a los estudiantes cuando están equivocados y cuando están en lo correcto . Central y primaria Central y primaria Central y primaria P
D
M
T P
D
M
T P
D
M
T Sobre la heterogeneidad cultural y las matemáticas extraescolares orales C11 Los niños con padres analfabetos tienen menos estimulación y menos posibilidades de aprender matemática C12 Las personas analfabetas saben poca matemática Central y primaria Central y primaria P
D
M
T PL
R C5 Es importante promover aprendizajes significativos para todos los estudiantes. C6 Es importante considerar los conocimientos previos para el aprendizaje. C7 Los niños traen aprendizajes a la escuela C8 Es importante que los estudiantes aprendan matemáticas con sentido C9 Es importante que las matemáticas satisfagan necesidades de todos los estudiantes C16 Los estudiantes son capaces de desarrollar sus propias estrategias matemáticas C20 Al enseñar matemáticas mediante la exploración se fomenta el desarrollo de las habilidades matemáticas C17 Los estudiantes son capaces de comunicar y reflexionar sobre sus formas de hacer matemáticas C18 Al aprender matemáticas conectadas con su función social y valórica se brinda sentido a su aprendizaje C21 Al enseñar matemáticas es importante fomentar el desarrollo de habilidades C22 Los juegos de estrategia permiten desarrollar las habilidades de argumentar y comunicar, y de modelar. C23 El juego como actividad exploratoria y colaborativa fomenta la inclusión didáctica y cognitiva C10 La diversidad cultural enriquece el aprendizaje Central y primaria, pero desconectada de las matemáticas Central y primaria, pero desconectada de las matemáticas Central y primaria, pero desconectada de las matemáticas PDMC PDMC PDMC PDMC Periférica y primaria PDMC Periférica y primaria PDMC Periférica y primaria PDMC Periférica y primaria Periférica y primaria PDMC PDMC Periférica y primaria PDMC Periférica y primaria PDMC Periférica y primaria PDMC Periférica y primaria Central y primaria, pero desconectada de las matemáticas PDMC Tabla 17. Síntesis de la movilización de las creencias matemáticas docentes a através de la EDMIp Queremos culminar este análisis con una cita que sintetiza la movilización de las creencias matemáticas que hemos descrito, pero esta vez en palabras de la propia docente: 117 Claro, se amplió mi visión de matemáticas aunque fue una experiencia como señalamos corta, que quizás hubiese requerido de más tiempo, pero fue súper significativo para mí y matemáticas sí se abordó de una forma distinta a como yo la abordaba. Porque por lo general las clases de matemáticas son mas conductistas, aunque uno no quiera caer en eso uno siempre dice ¡no!. Yo quiero ser constructivista quiero que los niños… pero no, en general uno en matemática se preocupa de que los niños lleguen a un resultado que entiendan una operación, un procedimiento que es único. En cambio, mediante esta experiencia se generó realmente una matemática mas constructivista: que los niños aprendieran jugando, que fuera un aprendizaje significativo también, porque ellos apelaron al conocimiento que ellos tenían del mundo antes. Porque como yo señalé en la parte de la evaluación anterior [EDMIa] por ejemplo que ellos recordaran que un juego de azar era que sus vecinas jugaran a las máquinas, allí ya se generó un aprendizaje significativo quizás no tan relacionado con la matemática sino con la comprensión del mundo. Entonces fue totalmente distinto a la matemática que por lo general uno trabaja en el aula. Porque uno qué es lo que promueve, que los niños están ordenados, sentados derecho, pensando, como maquinitas. Y en realidad no se si eso es tan [efectivo], uno pierde el rumbo del constructivismo de repente y se vuelve un profe súper conductista sobre todo en el área de matemáticas. A mí me cuesta harto matemáticas, personalmente, entonces yo creo que para entender matemáticas o para poder realizar algún procedimiento hay que estar en silencio absoluto porque es la forma como yo puedo. Pero los niños no. Y mediante esta experiencia vimos que no, porque ellos mediante el juego, y gritar, y sentarse en el suelo, y conversar con el compañero y jugar pudieron desarrollar habilidades más avanzadas quizás que las que hubiesen desarrollado estando sentado derechos y callados, digamos, y no, fue una matemática diferente. 118 6. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES En este capítulo confrontamos los resultados obtenidos con los antecedentes planteados en el primer capítulo y presentamos las conclusiones del estudio. 6.1 Enfoques inclusivos de enseñanza en contextos percibidos como culturalmente homogéneos Así, confirmamos la potencialidad de la incorporación de enfoques de enseñanza inclusivos de las formas de saber hacer matemáticas de pueblos y comunidades en los procesos de desarrollo profesional docente en contextos percibidos como culturalmente homogéneos. Por cuanto el desarrollo de un proceso de desarrollo profesional docente concebido como una experiencia didáctica matemática intercultural por una parte, logra promover aprendizajes significativos en los estudiantes, y por otra moviliza y amplía las concepciones matemáticas y didácticas de la docente. 6.2 Conclusiones: movilización de creencias matemáticas docentes a nivel epistemológico y didáctico Por lo tanto se cumple con los objetivos del estudio dado que: i) se logra construir una experiencia didáctica matemática intercultural (EDMI p) como un proceso de desarrollo profesional docente en un contexto escolar percibido como culturalmente homogéneo, ii) se caracterizan las creencias matemáticas docentes en un contexto escolar percibido como culturalmente homogéneo en las etapas inicial y final de una EDMIp., iii) a partir del analisis de las relaciones entre los conjuntos de creencias matemáticas docentes de las etapas inicial, intermedia y final de una EDMIp, se determinan las influencias de las creencias matemáticas de las distintas etapas. 119 Movilización de creencias matemáticas docentes en dimensión epistemológica y didáctica •
Etapa inicial: desestabilización perspectiva epistemológica •
Etapa intermedia: desestabilización paradigma didáctico y perspectiva epistemológica •
Etapa final: movilización de creencias matemáticas docentes en ambas dimensiones Factores que influyen en la movilización Favorecen •
Dimensión epistemológica Ø interacción con el educador tradicional Ø Interacción con investigadora y educador tradicional en la lectura compartida del texto Ø Interacción con estudiantes en la EDMIa •
Dimensión didáctica Ø Ciclo didáctico del aprendizaje Ø Interacción con investigadora y con estudiantes en la EDMIa Ø Evidencias de aprendizaje Limitan Ø Aplicación de evaluaciones nacionales estandarizadas. Ø Poca disponibilidad de tiempo que destina el sistema educativo para preparar clases. Para la movilización de las CMD relacionadas con la dimensión epistemológica hay evidencias de la influencia del carácter intercultural de la experiencia, con foco en los procesos de interacción. 120 Para la movilización de las CMD relacionadas con la dimensión didáctica, hay evidencias de la influencia del modelo didáctico utilizado en el diseño con foco en las evidencias de aprendizaje. 121 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS (texto estático) Acuña, M. E. (2012). Perfil de educadores tradicionales y profesores mentores en el marco de la implementación del sector Lengua Indígena [Extraído de http:. MINEDUC-­‐UNICEF. Santiago: Mineduc. Albertí, M. (2007). Interpretación matemática situada de una práctica artesanal. Universidad Autónoma de Barcelona, Departament de Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències Experimentals Facultat de Ciències de l’Educació. Barcelona: Tesis doctoral no publicada. Alcina, J. (1980). Juegos y Ritual Funerario en Chinchero (Cuzco). III Congreso Peruano: El hombre y la cultura andina. Actas y trabajos. , ISegunda serie,V, págs. 441, 456. LIma. Artigue, M. (2011). La educación matemática como un campo de investigación y como un campo de práctica: Resultados, Desafíos. Conferencia Interamericana de Educación Matemática. Bandura, A. (1986). Social foundations of thought and action: A social cognitive theory. Prentice-­‐Hall, Inc. Banks, J. A. (2004). Multicultural education: Historical development, dimensions, and practice. En J. A. Banks, Handbook of research on multicultural education (2nd ed., págs. 3–29). San Francisco: Jossey-­‐Bass AWiley Imprint. Bengoa, J. (2009). ¿Una segunda etapa de la Emergencia Indígena en América Latina? . Cuadernos de Antropología Social , 29, 7-­‐22. Beswick, K. (2005). It depends on the students: Influencing teacher beliefs about the ends and means of numeracy teaching. En P. Clarkson, A. Downton, D. Gronn, M. Horne, A. McDonough, R. Pierce, y otros (Ed.), Building connections: Research, theory and practice. Proceedings of the 28th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia. 1, págs. 137-­‐144. Sydney: MERGA. Bishop, A. (1999). Enculturación Matemática. Madrid: Paidós. 122 Blanco-­‐Álvarez, H. (2008). La Educación Matemática desde un punto de vista sociocultural y la formación de Licenciados en Matemáticas y Etnoeducadores con énfasis en matemáticas. ASOCOLME , 4-­‐6. Blanco-­‐Álvarez, H. (2011). La postura sociocultural de la educación matemática y sus implicaciones en la escuela. Revista Educación y Pedagogía , 23 (59), 59-­‐66. Blanco-­‐Álvarez, H. (2012). Actitudes, postura sociocultural y formación. Journal of Research in Mathematics Education , 1 (1), 57-­‐78. Blanco-­‐Álvarez, H. (2013). La etnomatemática y sus posibilidades pedagógicas en el aula . Primer Encuentro Educación Matemática y Diversidad de Iquique. Iquique: en prensa. Blanco-­‐Álvarez, H., & Oliveras, M. L. (2015). Investigación sobre formación de maestros de matemáticas desde una perspectiva etnomatemática: estado de desarrollo y tendencias. Bolema (en evaluación) . Blanco-­‐Álvarez, H., Oliveras, M. L., & Fernández-­‐Oliveras, A. (en evaluación). Formación de profesores de matemáticas desde la Etnomatemática: estado de desarrollo. . BOLEMA: Boletim de Educação Matemática . Boaler, J. (2008). Promoting ‘relational equity’ and high mathematics achievement through an innovative mixed ability approach. British Educational Research Journal, , 34 (2), 167–194. Boavida, A., & Ponte, J. P. (2002). Investigação colaborativa: Potencialidades e problemas. En G. (Org.), Reflectir e investigar sobre a prática profissional (págs. 43-­‐55). Lisboa: APM. Cantoral, R., & Farfán, R. (2003). Mathematics education : A vision of its evolution. Educational Studies in Mathematics , 53 (3), 255-­‐270. Carihuentru, S. (2007). Saberes mapuche que debiera incorporar la educación formal en contexto interétnico e intercultural según sabios mapuche. Universidad de Chile. Facultad de Ciencias Sociales, Tesis de magister no publicada, Santiago. Carrillo, J., Contreras, L., & Flores, P. (2013). Un modelo de conocimiento especializado del profesor de matemáticas. En L. Rico, M. C. Cañadas, J. M. Gutierrez, & I. Segovia, 123 Investigación en Didáctica de la Matemática. Libro homenaje a Encarnación Castro (págs. 193-­‐200). Granada: Comares. Ceballos-­‐Herrera, F. (2009). El informe de investigación con estudio de casos. Magis, Revista Internacional de Investigación En Educación , 1 (2), 413–423. Cerón, D., Mesa, Y., & Rojas, C. (2012). La naturaleza del conocimiento matemático y su impacto en las concepciones del profesor. Revista Investigación y Desarrollo , 2 (2), 49-­‐
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