Cál
c
inte ulo
gra
l
Irm
aR
Sam
uel
osa
Fue
Ins
nla
bra
to P da
Fue
Cen Depa
olit
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n
m
l
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c
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b
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I
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E
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Gerente editorial: Alejandra Martínez Ávila
Editor sponsor: Sergio G. López Hernández
Editora: Irma Pérez Guzmán
Supervisora de producción: Marxa de la Rosa Pliego
Diseño de portada: Paulina Olguín /Factor02
Cálculo integral
Cuarta edición
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 2013, 2007 respecto a la cuarta edición por:
McGRAW-HILL INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C. V.
Punta Santa Fe,
Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A,
Piso 17, Col. Desarrollo Santa Fe,
Delegación Álvaro Obregón
C. P. 01376, México, D. F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. No. 736
ISBN: 978-607-15-0897-3
(ISBN 978-970-10-6195-4 tercera edición)
Agradecemos la lectura, los comentarios y las sugerencias del M. en C. Josueth Vázquez Román,
Jefe de la Academia de matemáticas de la DGETI del Distrito Federal y profesor de matemáticas
en el CETIS 50.
1234567890
1098765423
Impreso en México
Printed in Mexico
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Presentación
difícilmente se puede estar en desacuerdo con las propuestas educativas de la reforma integral de la educación media superior (riems), uno de cuyos pilares es el
enfoque por competencias, que sustenta el marco curricular común, el cual, a su
vez, sirve de punto de contacto de las instituciones educativas que están formando
el sistema nacional de bachillerato.
al margen de la nueva terminología (por ejemplo, competencias genéricas, disciplinares y profesionales), los maestros siempre hemos querido que tú y todos los
alumnos accedan al conocimiento y pongan a prueba lo que han aprendido resolviendo problemas diversos; más aún, en el fondo quisiéramos promover en ti el gusto no sólo por la matemática sino también porque aprendas por iniciativa e interés
propio.
sin embargo, una y otra vez los profesores comprobamos que la mayoría de
los estudiantes no tienen los conocimientos que supuestamente deberían haber adquirido en niveles educativos anteriores y que más que gusto por el conocimiento
matemático lo padecen como un mal necesario.
en cierta medida, ello se debe a que por un lado tenemos la cultura de los reformadores de la educación, que suelen presuponer la existencia de una escuela uniforme e independiente de particularidades contextuales, y por el otro, la cultura de los
profesores frente al grupo.
en este marco, ¿qué te ofrecen los libros de matemáticas de la serie fuenlabrada? ¿cómo puedes usarlos para desarrollar las competencias propuestas por la
riems a la que nos referimos al principio de esta presentación?
para empezar, los libros de la serie tienen en cuenta las condiciones que encaran
a diario los docentes en el aula, de quienes hay que señalar que en general asumen
con la mejor disposición la responsabilidad de modificar, en lo que está en sus manos, la enseñanza de la matemática a fin de posibilitar mejores aprendizajes.
estos libros son resultado de más de 30 años de práctica docente e investigación
sobre el hacer y deshacer de los alumnos en el proceso de aprendizaje. en esta 4a.
edición se han hecho ajustes y reformulaciones del contenido temático y se han incorporado nuevos ejercicios.
en cada capítulo se hace una breve síntesis del contenido y su utilidad; los temas se desarrollan mediante demostraciones que permiten la comprensión de los
conceptos, los cuales se presentan en un lenguaje claro y accesible y con el apoyo de
diversos problemas resueltos (ejemplos). asimismo, se destacan las relaciones (fórmulas) empleadas en demostraciones posteriores y para la resolución de problemas.
los textos resultan comprensibles para los alumnos como tú porque en ellos se
incorporan, en la explicación y en la ejemplificación de los temas, conocimientos
que debiste adquirir en cursos anteriores pero que a veces los estudiantes suelen no
recordar o no los aprendieron bien, lo cual es la causa por la que no comprenden los
nuevos conceptos que están aprendiendo.
en todos los capítulos hay dos secciones: "ejercicios" y "ejercicios de repaso";
en la primera se plantean problemas relacionados directamente con los contenidos
recién estudiados, mientras que la segunda es una selección de ejercicios ilustrativos
de los principales temas estudiadas en el capítulo.
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iv
presentación
todos los ejercicios y problemas propuestos tienen los resultados respectivos, de
modo que cuando los estudies puedas confrontar contra ellos lo que tú obtienes por
respuesta y, en caso de que sean diferentes, sostengas al respecto un diálogo reflexivo
con tu maestro y con tus compañeros.
se incorpora en esta nueva edición una sección denominada "lo que debes saber", en la que se presenta una lista de conceptos clave que debes haber aprendido
al terminar de estudiar cada capítulo; en caso de no tener claridad sobre alguno de
ellos, en esta sección puedes estudiarlos de nuevo.
fundamentalmente, con todo lo anterior se busca que, con la coordinación de
tu profesor, durante la clase atiendas y participes en la discusión de ideas, plantees
dudas y prestes atención a las explicaciones del maestro o de tus compañeros. Que
tomes notas puntuales de lo que se está estudiando y de lo que llame tu atención
para que, posteriormente, consultes los libros otra vez con la certeza de que ahí hallarás expuestos los conceptos explorados en clase.
en suma, ten la seguridad de contar con un libro escrito en un lenguaje adecuado a tu nivel en el que podrás revisar ejemplos y resolver ejercicios y problemas, lo
que te permitirá afianzar y enriquecer tu conocimiento.
así, con los libros, las explicaciones del profesor y tu disposición por aprender
se tenderá un puente que permitirá realizar cabalmente la reforma en la educación.
Los autores
Dedicatoria
“aprender algo es el más grande los placeres, no solamente para el filósofo, sino
también para el resto de la humanidad, por pequeña que sea su capacidad para
ello.”
para mis hijos:
aristóteles
maría del consuelo y gustavo alberto,
leitmotiv de mi vida.
para mi pequeño nieto emilio
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Características del libro
este libro consta de 15 capítulos, más un apartado de formulario. a continuación
presentamos esquemáticamente la definición, organización y las características de
cada sección que integra cada capítulo:
CAPÍTULO
15
definida
La integración de volúmenes
en el cálculo
lución
Sólido de revo
n no negativa
Sea f una funció
do [a, b].
Entrada de capítulo
en un intervalo
y
cerra-
apertura del capítulo inicia con una breve
introducción del tema a tratar.
y = f(x)
b
a
O
x
del plano cariera de los ejes
de
e como sólido
alrededor de cualqu
región del plano al sólido resultante se le conoc
Si se gira esta
recta del plano,
tesiano o de una
eje de revolución.
eje citado como
revolución y al
ión
Eje de revoluc
El volumen de
ción se
un sólido de revolu
Método del disco
para
men
calcular el volu
de
o de un sólido
El caso más sencill sus lados.
de
alrededor de uno
144
o del disco.
Cálculo integra
l
por el métod
puede calcular
EJERCICIOS
aquel en que
revolución es
un rectángulo
gira
1. Para que
puedas entend
er mejor la diferen
completa el desarr
cia con las integr
ollo que falta
ales trigonométr
en los ejercicios
icas directas,
siguientes:
a)
cos (3 + 2
∫
x ) dx
Δw
Solución: 1 sen
u = 3 + 2x
2
(3 + 2 x ) + C
u ( x ) = 3 + 2x
r
du ( x ) = 2dx
Ejercicios
ción.
es el eje de revolu
.
Uno de sus lados r es el radio y w es su ancho
Rectángulo donde
∫ tan (x − 2) dx
b)
aparecen después de haber estudiado
un tema con extensión y complejidad
considerables.
2
Solución: tan
( x − 2) − x + C
tan 2 x = sec 2
x −1
2. Integra. Se
incluy
∫ 3 cos
a)
en algunas integr
ales trigonométr
2
icas directas.
5x dx
Solución: 3 x
2
b)
∫ tan
4
+ 3 sen 10 x +
C
20
3x dx
Solución: 1 tan 3
9
ción de
Capítulo 3 Integra
esta
una función compu
3x − 1 tan 3x
+x+C
3
39
∫ sen
c)
3
2x dx
Solución: − 1
cos 2 x + 1 cos 3
2x
Ejercicios de
2
repaso
siguientes
1. Calcula las
a) ∫ dx
integrales:
Solución: x +
dx
x
∫
Solución:
c)
∫
34
x dx
4 x 4 x3 + C
7
Solución:
d)
∫
3
5x dx
5 x4 + C
4
Solución:
∫
e)
f)
3
2bx dx
∫
1
1
2
 4
+ 3 − 2  dx
x − x
x
x

+C
Ejercicios de repaso
x +C
Solución: ln
b)
6
C
b x4 + C
2
Solución:
con los ejercicios de esta sección
concluyes el estudio de cada capítulo,
los planteamientos de este apartado
incluyen aplicaciones en todos los temas
analizados. sirve como una herramienta
de autoevaluación y guía de estudio.
3
1
5
x − x − 12 + +C
x
2x
3
5
Formulario
Integrales
∫
13.
1. kdx = kx +
C
∫
∫
3. [f (x) ± g(x)]
∫
4. [f (x)  g(x)]
Formulario
al final de tu libro encontrarás un formulario
que te ayudará a identificar las operaciones
básicas de la asignatura.
5.
6.
∫u
n
∫u
−1
dx = ∫ f (x)dx
dx = ∫ f (x)dx
15.
± ∫ g (x) dx
16.
 ∫ g (x) dx
n +1
du = u
+ C , con n ≠ −
1
n+1
du =
∫
7. sen u du = −
∫ du
u
∫
∫
∫
10. sec 2 u du =
tan
∫
= ln u + C =
L u +C
18.
19.
u+C
u+C
csc u + C
cot u + C
∫
22.
24.
∫
∫
du
= arc sen u +
C
a2 − u2
a
du
= 1 arc tan u
+C
a + u2
a
a
2
du
= 1 arc sec u
u u2 − a2
+C
a
a
∫ e du = e
u
∫a
u
u
+C


du =  1  a u
+C

 ln a 
∫ tan u du
∫ cot u du
∫ csc u du
21.
23.
∫
∫
∫
∫ sec u du
20.
= sec u + C
11. csc u cot u
du = −
12. csc 2 u du =
−
17.
cos u + C
8. cos u du = sen
9. sec u tan u
du
∫
14.
∫f (x)dx + C
2. kf (x)dx = k
= ln sec u + C
= ln sen u + C
= ln sec u + tan
u +C
= ln csc u − cot
u +C
du
= 1 ln u − a
u2 − a2
2a u + a + C
du
= 1 ln a + u
a2 − u2
2a a − u + C
du
= ln u +
u2 − a2
u2 − a2 + C
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Contenido
Capítulo 1
Capítulo 2
Capítulo 3
Capítulo 4
Capítulo 5
Capítulo 6
Capítulo 7
Diferenciales
1
Introducción
Consideraciones generales
Diferenciales
Interpretación geométrica de la diferencial
Diferenciación implícita
Diferenciales sucesivas de una función
1
1
2
4
7
8
Antiderivadas. Integración indefinida
13
Introducción
Antiderivada
Definición
Integral indefinida
Fórmulas de derivación. Fórmulas de integración
Conceptos básicos de la integración
13
13
13
14
15
17
Integración de una función compuesta
27
Introducción
Sustitución por cambio de variable
Deducción de fórmulas para derivar integrales
de la forma ∫ tan x dx, ∫ cot x dx, ∫ sec x dx,
27
27
∫
csc x dx
32
Constante de integración
45
Introducción
Cálculo de valor numérico de la constante C
Significa geométrico de la constante de integración
45
45
49
Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
51
Introducción
Recordatorio de trigonometría
Algunos procedimientos de integración de las funciones
trigonométricas directas
51
51
Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas
77
Introducción
Fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas
Algunos procedimientos de integración de las funciones
trigonométricas inversas
El integrando se expresa como la suma
de dos cocientes
77
77
Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas
99
Fórmulas de integración exponencial
Fórmulas de integración logarítmica
Resumen de las integrales
52
77
79
99
108
125
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contenido
Capítulo 8
Métodos de integración. Integración de funciones
trigonométricas
127
Introducción
Algunos procedimientos de solución
127
127
Integración de la forma
Integración de la forma
Integración de la forma
Integración de la forma
Capítulo 9
Capítulo 10
∫ sen u cos u du
∫ tan u sec u du
∫ cot u csc u du
∫ sen mu cos nu du
m
m
m
Capítulo 12
128
133
n
135
137
Métodos de integración. Integración por partes
147
Fórmula de integración
Procedimiento de integración por partes
147
147
Métodos de integración. Integración por sustitución
trigonométrica
167
Desarrollo de la expresión
a −x
2
Desarrollo de la expresión
a +x
2
2
= a cos θ
168
= a sec θ
169
Desarrollo de la expresión x − a = a tan θ
Procedimiento para resolver una integral
por sustitución trigonométrica
El integrando incluye una expresión de la forma
a2 − x2
171
172
El integrando incluye una expresión de la forma
a2 + x2
176
El integrando incluye una expresión de la forma
x −a
179
2
Capítulo 11
n
n
2
vii
2
170
2
2
Métodos de integración. Integración por fracciones parciales
185
Introducción
El resultado de la integración de una función racional impropia
puede expresarse como la suma de un polinomio y de una
función racional propia
Caso 1. Todos los factores lineales del denominador
son distintos
Caso 2. Algunos de los factores lineales del denominador
se repiten
Caso 3. Todos los factores cuadráticos (irreducibles)
del denominador son distintos
Caso 4. Algunos factores cuadráticos (irreducibles)
del denominador se repiten
185
Métodos de integración. Integración por racionalización
215
Introducción
Racionalización de expresiones que incluyen potencias
p q
rt
fraccionarias de a + bx, como ( a + bx ) , ( a + bx )
Racionalización de expresiones que únicamente
incluyen una potencia fraccionaria de x
215
185
187
191
193
195
215
217
217
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viii
contenido
Racionalización de expresiones que incluyen diferentes
ab
c d
potencias fraccionarias de x, como x , x
Racionalización de expresiones que incluyen una potencia
m n
fraccionaria del tipo ( a + bx )
Racionalización de expresiones que incluyen funciones
racionales de sen u y de cos u en el denominador
Capítulo 13
Capítulo 14
Capítulo 15
219
224
227
La integral definida
233
Antecedentes históricos
Suma de Riemann
Propiedades de las sumas de Riemann
Fórmulas de las sumas de Riemann
Sumas de Riemann notación con sigma
Áreas (interpretación intuitiva)
Integración definida como el límite de una suma
(interpretación intuitiva)
Sumatorias de Riemann (continuación)
La integral definida como límite de las sumatorias
de Riemann
Procedimiento para calcular la integral definida
Integrales definidas por cambio de variable
(cálculo de nuevos extremos)
233
235
237
237
238
240
La integral definida en el cálculo de áreas
255
Teorema fundamental del cálculo
Áreas
Áreas entre dos curvas en un intervalo
255
255
263
La integración definida en el cálculo de volúmenes
273
El sólido de revolución con un agujero.
El método de las arandelas
Longitud de un arco (curva)
279
283
241
243
247
247
250
287
Formulario
Integrales
Diferenciales
287
288
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CAPíTULO
1
Diferenciales
Introducción
En este capítulo analizaremos la diferencial de una
función. Para resolver integrales es necesario aplicar un
procedimiento llamado cambio de variable, en el cual se requiere calcular la diferencial de la expresión seleccionada. La integral
∫ cos 2xdx se resuelve por cambio de variable.
Consideraciones generales
En cálculo diferencial aplicamos una regla general de derivación conocida como
derivada por definición. Con esta regla podemos obtener las fórmulas para derivar
todo tipo de funciones.
En cálculo integral, sin embargo, no existe una regla general que se pueda aplicar para integrar las diferenciales. En realidad, cada caso requiere un trato especial.
La integración es un proceso de ensayos; por esa razón, en este libro te presentaremos diversas fórmulas y métodos para facilitar su estudio.
Los científicos y los matemáticos que usan integrales en su trabajo utilizan con
frecuencia las tablas de integrales. Sin embargo, muchas de las fórmulas que aparecen en ellas se obtuvieron a partir de los métodos de integración que analizaremos
en este texto. Por eso te recomendamos no utilizar estas tablas hasta que hayas desarrollado suficiente experiencia en los métodos de integración normales. Además,
te sugerimos no mecanizar los métodos, sino que trates de entenderlos dentro de
la estructura general del cálculo. Es conveniente que resuelvas sólo los ejercicios
propuestos y los que señale tu profesor. Si tienes dificultad con algunos, insiste en
obtener la solución; revisa la parte teórica y los ejemplos desarrollados para aclarar
y afirmar tu conocimiento.
Consideramos oportuno citar algunos conceptos de René Descartes, quien en
uno de sus libros señala: “Separar y jerarquizar las dificultades procediendo de la
menor a la mayor cuando se aborda un tema nuevo (…)”.
En efecto, es recomendable que la enseñanza se plantee bajo un esquema gradual
de dificultad. Hay profesores que por impresionar a sus alumnos empiezan por los
temas más difíciles y dejan hasta el último los más sencillos. “Conviene dirigir toda
la fuerza del espíritu a las cosas más sencillas y fáciles de entender y detenerse en
ellas largo tiempo hasta acostumbrarse a intuir la verdad con claridad y distinción”.
Una vez que tienes un conocimiento firme o eres capaz de manejar los métodos
para resolver un problema, debes practicar y trabajar con ese conocimiento el tiempo que sea necesario para dominarlo. Sólo hasta entonces serás capaz de resolver
otros problemas semejantes e incluso de mayor complejidad.
Si no comprendes el desarrollo de un problema y sólo lo repites, caerás en una
mecanización que no te brindará ningún beneficio, pues por sí sola, la repetición
causa entorpecimiento.
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2
Cálculo integral
El estudio de la parte teórica y de los ejercicios de este libro te facilitará la solución de los problemas que tu profesor te dicte y que seguramente propondrá para
el examen.
En cálculo diferencial dividimos infinitesimalmente una línea, un área, un volumen o cualquier otro cuerpo multidimensional representado por una ecuación; es
decir, hacemos divisiones cada vez más pequeñas. En cálculo integral, por el contrario, la suma total de estas divisiones se acerca cada vez más al resultado que se
desea: una distancia, un área, un volumen o cualquier otro parámetro.
El cálculo es una disciplina sencilla en sus conceptos fundamentales, pero difícil
y compleja en su aplicación.
En el libro Cálculo diferencial, los autores definen:
“La derivada de una función con respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable cuando el incremento de la
variable tiende a cero.
Se expresa:
derivada =
dy
∆y
= lím
∆x → 0
dx
∆x
Cuando el límite de la razón existe, se dice que la función tiene una derivada”.
Diferenciales
Definición
d n
x = nx n − 1
dx
La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente.
Para expresar la diferencial de una función usamos la letra d colocada antes de
la función.
EJEMPLOS 1
a) Sea la función y = x
4
4 −1
3
Su primera derivada es y′ = 4x = 4x
Su diferencial se expresa
dy = 4x 3 ∆x
b) Calcula la diferencial de la función
y = 3x2 para x = 4 y el Dx = 0.2
y′ = 3 (2 x ) = 6x
dy = 6x ∆x
Sustituyendo:
d (3x 2 ) = 6 ( 4)( 0.2 ) = 4.8
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Capítulo 1 Diferenciales
3
Para expresar la derivada de una función podemos utilizar cualquiera de las
formas siguientes:
Df (x) Cauchy
f ′ (x) Lagrange
y ′ Lagrange
dy
Leibnitz (Se lee “derivada de y con respecto a x”)
dx
Por lo tanto:
derivada =
dy
∆y
= lím
= Df ( x ) = f ′ ( x ) = y′
∆x → 0
dx
∆x
Sea la función y = f (x)
La primera derivada se expresa así:
dy
= f ′ (x)
dx
Si multiplicamos ambos miembros por dx, tenemos:
dy = f ′(x)dx
la cual aceptamos como otra definición de la diferencial de una función y se lee: la
diferencial de una función es igual al producto de la derivada por la diferencial de
la variable independiente.
EJEMPLOS 2
a) Calcula la diferencial de y = 5x − x + 2
3
y = 5x 3 − x + 2
y′ = 15x 2 − 1
d (5x − x + 2 ) = (15x − 1) dx
3
2
b) Calcula la diferencial de y =
1 − 3x
y =
1 − 3x
y′ = −
3
2 1 − 3x
d
(
)
1 − 3x = −
d
x =1
dx
d
C = 0
dx
3dx
2 1 − 3x
Una vez señalada la función de la que hay que obtener su diferencial, debemos
calcular su primera derivada.
du
d
u = dx
dx
2 u
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4
Cálculo integral
Interpretación geométrica de la diferencial
En la gráfica de la función y = f (x) observamos:
AD = ∆x
CD = ∆y
y
B
C
x
α
O
∆y
α
∆x
A
E
∆x
dy
D
F
x + ∆x
x
En el triángulo rectángulo ADB
tan α =
BD
AD
BD = AD tan α = ∆xf ′ ( x )
(1)
Al considerar la definición inicial de la diferencial tenemos:
dy = f ′ (x) ∆x de donde en (1)
dy = BD
La diferencial de una función y = f (x) en un punto es el incremento de la tangente
a la curva en ese punto.
Entonces, de acuerdo con la gráfica anterior: ∆y = CD; dy = BD serán aproximadamente iguales cuando ∆x = AD sea muy pequeño.
EJEMPLO 3
Calcula la diferencia de la función y = 5x2 para x = 4 y el Dx = 0.2
y = 5x 2
y′ = 10 x
Sustituyendo:
dy = f ′ ( x ) ∆x
d (5x 2 ) = 10 ( 4)( 0.2 ) = 8.0
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Capítulo 1 Diferenciales
5
Problemas que se resuelven en forma aproximada,
calculando el incremento de una función
EJEMPLOS 4
a) Calcula el incremento aproximado del área de un cuadrado, cuyo lado mide
5 m, si éste recibe un aumento de 0.002 m.
Fórmula del área de un cuadrado:
A = l2
l=5m
Dl = 0.002 m
El área del cuadrado depende de la magnitud del lado, por lo que decimos que
el área es función del lado
A = f (l) = l 2
A ′ = f ′(l) = 2l
dA = f ′(l)  dl
dA = 2l × dl
dA = 2(5)(0.002) = 0.020 m2
Incremento = 0.020 m2
b) Determina el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo, cuyo
lado mide 2 m, al aumentar el lado 0.003 m.
Fórmula del volumen de un cubo
dv = f ′(l)dl
dv = 3l 2 × dl
dv = 3(2)2(0.003) = 0.036 m3
Incremento = 0.036 m3
v = l3
l=2m
Dl = 0.003 m
v ′ = f ′(l) = 3l 2
c) Si
Los números reales
tienen estructura de
campo.
36 = 6 , calcula el valor aproximado de
38 .
Función:
y =
x
36 = 6
∆x = 38 − 36 = 2
y =
x
y′ = f ′ ( x ) =
1
2 x
dy = f ′ ( x ) dx
dy =
dx
2
1
=
=
= 0.166
2 x
2 36
6
38 = 6 + 0.166 = 6.166
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6
Cálculo integral
Fórmulas de diferenciación
Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por
la diferencial de la variable independiente, aceptamos que a cada fórmula de derivación desarrollada en el curso de cálculo diferencial le corresponde una diferenciación, la cual citamos a continuación:
En las fórmulas que siguen u y v son funciones de x, C es una constante y n un
número natural.
1. d(C) = 0(dx) = 0
13. d(csc u) = −cot u csc u du
2. d(x) = 1(dx) = dx
14.
d (arc sen u ) =
15.
d (arc cos u ) = −
16.
d (arc tan u ) =
17.
d (arc cot u ) = −
18.
d (arc sec u ) =
19.
d (arc csc u ) = −
20.
d ( ln u ) =
11. d(cot u) = −csc2 u du
21.
d ( log b u ) =
12. d(sec u) = tan u sec u du
22. d(eu) = eudu
3. d(u + v − w) = du + dv − dw
4. d(Cu) = C du
5. d(uv) = udv + vdu
6. d(un) = mun − 1du
7.
 u  vdu − udv
d  =
v 
v2
8. d(sen u) = cos u du
9. d(cos u) = −sen u du
10. d(tan u) = sec2 u du
du
1 − u2
du
1 − u2
du
1 + u2
du
1 + u2
du
u u2 − 1
du
u u2 − 1
du
u
du
u ln b
EJEMPLOS 5
(
a) Calcula d 5x 2 − 2 x + 4
)
Primero aplicamos la fórmula 3; para el primer y segundo términos aplicamos
las fórmulas 4 y 6. Para el último término aplicamos la fórmula 1.
d (5x 2 − 2 x + 4) = d (5x 2 ) − d (2 x ) + d ( 4) = 10 xdx − 2 dx
Factorizando dx:
= (10 x − 2 ) dx
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Capítulo 1 Diferenciales
7


b) Calcula d  x + sen x 

2
Primero aplicamos la fórmula 3; para el primer término aplicamos la fórmula
2 y para el segundo término aplicamos la fórmula 8.


x
x
d  x + sen  = d ( x ) + d sen 


2
2

x d x
= 1 dx +  cos 
  dx

2  dx  2 

x  1 
= dx +  cos    dx

2  2 
factorizando dx:

1
x
= 1 + cos  dx

2
2
Diferenciación implícita
Hecha la derivación se despeja dy:
EJEMPLO 6
Multiplicando por −1
Diferenciar
x − 5y 2 = 2y
x − 5y 2 − 2y = 0
d (0)
d
x − 5 y 2 − 2 y) =
(
dx
dx
d (x)
dx
−
d (5 y 2 )
dx
−
d (2 y )
dx
= 0
dy
dy
−2
= 0
1 − 10 y
dx
dx
dy
(10 y + 2 ) = 1
dx
dy (10 y + 2 ) = 1 ( dx )
Como:
1 ( dx ) = dx
dy =
dx
10 y + 2
dy
(−10 y − 2) = − 1
dx
−
dy
(10 y + 2) = − 1
dx
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8
Cálculo integral
Diferenciales sucesivas de una función
La segunda diferencial de una función es la diferencial de la primera, considerando
para dx un valor fijo.
f ′ ( x ) = u′
dy = f ′ ( x ) dx
du
∆u
= lím
∆x → 0
dx
∆x
d 2 y = f ″ (x) d 2 x
La tercera diferencial resulta igual a la diferencial de la segunda (si dx es constante)
y así sucesivamente.
EJEMPLO 7
Calcula la tercera diferencial de y = 4x 5 − 5x 2 − 1
d ( 4x 5 − 5x 2 − 1) = (20 x 4 − 10 x ) dx
d 2 ( 4x 5 − 5x 2 − 1) = (20 x 4 − 10 x ) dx
= (80 x 3 − 10 ) dx
d 3 ( 4x 5 − 5x 2 − 1) = d (80 x 3 − 10 ) d 2 x
= 240 x 2 d 3x
Lo que debes saber
Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se
enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!
•
•
•
•
Regla de los cuatro pasos
Integración
Tablas de integrales
Diferencial de una función
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Capítulo 1 Diferenciales
9
Ejercicios de repaso
1. Calcula las diferenciales de las siguientes funciones:
a) y = 5x
Solución: dy = 10x dx
2
(
)
b) y = 3x − 5x + 4x − 1
Solución: dy = 12 x − 15x + 4 dx
c) y =
3 − 5x
Solución: dy = −
2
( x − 4)
Solución: dy =
2 dx
3 x−4
sen x
Solución: dy =
cos xdx
4
d) y =
e) y =
3
f) y = tan 2 x
3
3
2
5dx
2 3 − 5x
3
2 sen x
12
Solución: dy = 2 sec 2 xdx
2
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10
Cálculo integral

3
3 sen  dx
x
2
x
g) y = cos 3
Solución: dy = 
x
3x
1− x
h) f ( x ) =
i)
y = tan x − 2 x
j)
y = arc sen
x
a
k) y = arc cot x
l)
y = arc cos
(
3
(
2
)
3 (2 − x ) dx
(1 − x ) (1 − x )
)
Solución: dy = sec x − 2 dx
Solución: dy =
x
3
m) y = 3x − 1
Solución: f (x) dx =
2
dx
a − x2
2
Solución: dy = − 2 xdx
1 + x4
Solución: dy = −
dx
9 − x2
Solución: dy = 9x dx
2
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Capítulo 1 Diferenciales
n) y = 2 sen
o) y = ln x
x
2
11
Solución: dy = cos x dx
2
Solución: dy = 2 dx
2
x
Solución: dy =
p) y = arc cos 2 x
q) Calcula el valor aproximado de
39 si
r) Determina el valor aproximado de
3
36 = 6
129 si
3
125 = 5
− 2 dx
1 − 4x 2
Solución: 6.25
Solución: 5.053
s) Calcula el incremento del área de un cuadrado de lado 7 m al aumentar el lado 3 mm.
Solución: DA = 0.042 m2
t) Calcula el incremento aproximado del volumen de un cubo de lado 5.3 m al aumentar el
lado 0.007 m.
Solución: DV = 0.589 m3
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12
Cálculo integral
u) Determina el valor aproximado en el aumento que tendrá el área de una esfera de 8 cm
de radio cuando el radio aumenta 3 cm.
Solución: DA = 603.19 cm2
2. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) La expresión
dy
= f ′ ( x ) representa la diferencial de la función f(x).
dx
b) dy = f ′ ( x ) dx es igual a dy = f ′ ( x ) ∆x .
c) Para calcular la diferencial de una función no es necesaria la derivada de la función.
d) Es imposible calcular la diferencial de funciones implícitas.
Solución:
a) Falsa
b) Verdadera
c) Falsa
d) Falsa
3. Resuelve aplicando las diferenciales
a) Calcula el valor aproximado de
27
Solución: 5.2
b) Calcula el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 60 cm, si éste
recibe un aumento de 0.5 cm.
Solución: DA = 30 cm2
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CAPÍTULO
2
Antiderivadas.
Integración indefinida
Introducción
Para estudiar el crecimiento de las poblaciones, los
dy
= ky . Si la población
expertos utilizan la fórmula
dt
(y) crece cuando aumenta el tiempo (t), se aplica la ley de crecimiento natural. Si la población disminuye mientras transcurre
el tiempo, se aplica la ley de decrecimiento natural. La fórmula que se
utiliza para estos cálculos es una derivada y para encontrar la función que
pueda aplicarse a un determinado problema, necesitamos expresarla primero
dy
= kdt y después integrar cada miembro de
como una ecuación diferencial
y
la igualdad, quedando de la siguiente manera: ∫ dy = ∫ k dt .
y
Antiderivada
La adición y la sustracción son operaciones inversas, al igual que la división y la
multiplicación; lo mismo se puede decir de elevar una potencia y extraer la raíz
correspondiente. En cálculo diferencial estudiamos el problema para obtener la derivada f ′(x) de una función f (x).
Ahora nos ocuparemos del problema inverso, es decir, dada la derivada f ′(x)
trataremos de obtener la función f (x).
Definición
A una función F se le llama antiderivada de una función f, en un intervalo cerrado I,
si F ′(x) = f (x) para todo valor de x en el intervalo cerrado.
Por comodidad, este concepto se expresa con la frase “F (x) es una antiderivada
de f (x)”.
Las expresiones integral indefinida y función primitiva son sinónimos de la palabra antiderivada.
EJEMPLOS 1
a) Integra las siguientes expresiones:
2
3
• 3x dx es la diferencial de x
3
x es la antidiferencial de 3x 2 dx
• −sen x dx es la diferencial de cos x
cos x es la antidiferencial de −sen x dx
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14
Cálculo integral
b) Deriva las siguientes expresiones:
• f (x) = x 4
F ′ ( x ) = 4x 3
• f (x) = x 4 − 6
F ′ ( x ) = 4x 3
• f (x) = x 4 +
4
5
F ′ ( x ) = 4x 3
Las funciones (1, 2 y 3) representadas por f (x) = x4 + C, donde C es una constante
(un número real no especificado) tienen por derivada F ′ ( x ) = 4x 3 .
Integral indefinida
A la operación de calcular la antiderivada (primitiva) de una función se le llama
integración y se denota con el símbolo ∫, que es la inicial de la palabra suma.
Si F (x) es una función primitiva de f (x) se expresa:
y =
∫ f (x ) dx
La expresión
= F ( x ) + C si y sólo si F ′(x) = f (x)
∫ f (x ) dx
es la antiderivada de f (x)
∫ es el signo de integración y se lee "integral de"
f (x)
dx
x
F(x)
C
Integrando
Diferencial de la variable
Variable de integración
Función primitiva
Constante de integración
si en la expresión
y =
∫ f (x ) dx
= F (x ) + C
(1)
y como en la definición de la antiderivada señalamos que F ′(x) = f (x), sustituimos
en la expresión anterior:
∫ F ′ (x ) dx
= f (x) + C
queda:
d 
d

[ F ′ (x) + C ]
 ∫ f ( x ) dx =
dx
dx
f (x ) = F ′ (x )
Dado que la derivación y la integración son operaciones inversas, podemos obtener
las fórmulas de integración directamente de las fórmulas de derivación.
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Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida
15
Fórmulas de derivación. Fórmulas de integración
d
k = 0
dx
• La derivada de una constante respecto a x es cero.
d
kx = k dx
dx
∫ k dx
d
[ kf (x )] = kf ′ (x )
dx
∫ kf (x ) dx
= kx + C
= k ∫ f ( x ) dx
• La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la
derivada de la función.
d
(x) = 1
dx
• La derivada de una variable con respecto a sí misma es igual a la unidad.
De suma o diferencia
d
[ f ( x ) ± g ( x )] = f ′ ( x ) ± g ′ ( x )
dx
∫ [ f (x ) ± g (x )] dx
=
∫ f (x ) dx ± ∫ g (x ) dx
• La derivada con respecto a x de la suma o diferencia de un número finito de
funciones es igual a la suma o diferencia de sus derivadas.
De potencia
A partir de aquí consideraremos a u como cualquier función de la variable x.
d n
u = nu n − 1 dx
dx
∫
u n du =
u n +1
+ C con n ≠ −1
n+1
El campo de los números complejos incluye
a los números imaginarios puros y a los
números reales.
• La derivada de una función u elevada a un exponente entero positivo es igual
al producto del exponente por la función u elevada a ese exponente disminuida en uno, por la derivada de la función u.
Si n = −1
∫u
−1
du =
∫ duu
∫ u1 du
= ln u + C
= ln u + C
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16
Cálculo integral
Trigonométricas
d
du
sen u = cos u
dx
dx
∫
cos u du = sen u + C
• La derivada del seno de una función u es el coseno de la función u multiplicado por la derivada de la función u respecto a x.
d
du
cos u = − sen u
dx
dx
∫
sen u du = − cos u + C
• La derivada del coseno de una función u es igual a menos el seno de la función
u, multiplicado por la derivada de la función u con respecto a x.
d
du
tan u = sec 2 u
dx
dx
∫
sec 2 u du = tan u + C
• La derivada de la tangente de una función u es igual al cuadrado de la secante
de la función u, multiplicada por la derivada de la función u con respecto a x.
d
du
cot u = − csc 2 u
dx
dx
∫
csc 2 u du = − cot u + C
• La derivada de la cotangente de una función u es igual a menos la cosecante
cuadrada de la función u, multiplicada por la derivada de la función u respecto a x.
d
du
sec u = sec u tan u
dx
dx
d
du
csc u = − cot u
dx
dx
∫
sec u tan u du = sec u + C
∫
csc u cot u du = − csc u + C
∫
tan u du = ln sec u + C
∫
cot u du = ln sen u + C
∫
sec u du = ln sec u + taan u + C
∫
csc u du = ln csc u − cot u + C
Algunas de las fórmulas de integración citadas pueden estar multiplicadas por
una constante.
d
(uv ) = u dv + v du
dx
dx
dx
• Las derivadas de un producto de dos funciones son igual a la primera función
por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la
primera.
Se usará para deducir el método de integración por partes.
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Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida
17
Conceptos básicos de la integración
La integral de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales de las funciones
∫ [ f (x ) + g (x ) − h (x )] dx
=
∫ f (x ) dx + ∫ g (x ) dx − ∫ h (x ) dx
EJEMPLOS 2
a)
∫ (5x
2
+ 7 x − 2 ) dx
En este ejemplo f ( x ) = 5x 2 , g ( x ) = 7 x, h ( x ) = 2 , por lo tanto:
∫ (5x
5
b)
∫
∫
x 2 dx + 7
∫
2
+ 7 x − 2 ) dx =
x dx − 2
∫
dx =
5 3 7 2
x + x − 2x + C
3
2
 x 4 − 3x 2 + 4 

 dx


x
Primero separamos el integrando en tres fracciones y después aplicamos la
fórmula.
∫
 x 4 − 3x 2 + 4 
 dx =



x
∫
x4
3x 2
4
−
+ 

x
x
x
4
3x 2
dx +
x
∫ 4 dx
=
∫ xx
=
∫
=
1 4 3 2
x − x + 4 ln x + C
4
2
dx −
∫
x 3 dx − 3 ∫ x dx + 4 ∫
x
dx
x
A cada integral habría que sumarle una constante C, pero solamente se escribe la del
final porque la suma de varias constantes es otra constante.
A continuación analizaremos con detalle los procesos que seguimos para resolver cada integral presentada en los ejemplos anteriores.
La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante
por la integral de la función.
Si k es una constante que está como factor en el integrando se puede poner
como factor de la integral, como ya lo hicimos en los dos ejemplos anteriores.
∫
kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
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18
Cálculo integral
EJEMPLOS 3
a)
∫
7 x 2 dx = 7 ∫ x 4 dx
=
b)
∫
7 5
x +C
5
2 3
2
x dx =
5
5
∫
x 3 dx
=
2 x4 
 +C
5 4 
=
1 4
x +C
10
La integral de una función u de una variable x elevada a un exponente es igual a la
función elevada al exponente original más uno, todo dividido entre el exponente
original más uno.
n +1
[ u ( x )]
n
u
x
du
x
=
(
)
(
)
∫
n+1
Dado que u es una función de x, esta notación puede abreviarse de la forma siguiente:
∫
u n du =
u n +1
con n ≠ −1
n+1
∫
u − 1 du =
∫
1
du
u
=
∫
du
u
Si n = −l
= ln u + C
= L |u| + C
Esta fórmula se lee: “La integral de la diferencial de una función dividida entre la
función es igual al logaritmo natural de la función”.
EJEMPLOS 4
a)
∫
x 2 dx =
x 2 +1
x3
+c =
+c
2+1
3
En este ejemplo n = 2
b)
∫
dx
= ln x + C
x
Se toma el valor absoluto de x porque no hay logaritmos de números negativos,
por eso se escribe ln |x|.
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Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida
19
Para no complicar el desarrollo de una integral al aplicar los signos de
agrupación y del valor absoluto, éste se coloca en el resultado final.
c)
∫
x dx =
∫
x 1 2 dx =
x 1 2 +1
x3 2
2
+C =
+ C = x3 2 + C
3
1 +1
3
2
2
d)
∫
dx
1
=
2x 3
2
∫
x − 3 dx =


1 −2
1  x − 3+1 
1 x −2 
C
+
=
+C = − x +C



4
2  − 3 + 1
2  −2 
En el ejemplo 3, el radical se expresó como exponente fraccionario aplicando
la siguiente ley de los radicales:
n
a m = a m n , en este caso m = 1 y n = 2
Para resolver el ejemplo 4 primero pasamos x3 al numerador de la fracción
aplicando la siguiente ley de los exponentes:
1
= a−m
m
a
Dentro del signo de integración se pueden conmutar los factores del integrando.
EJEMPLO 5
∫ x (x
2
− 1) dx =
3
∫ (x
2
− 1) x dx
3
Por ningún motivo la variable de integración puede quedar fuera del signo de integración.
EJEMPLO 6
∫
x 2 dx ≠ x ∫ x dx
Este desarrollo no es correcto porque la variable de integración x quedó fuera
del signo de integral.
En algunos casos la integración se facilita si primero se realizan las operaciones
indicadas (productos o cocientes de polinomios).
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20
Cálculo integral
EJEMPLOS 7
a)
∫ (2x + 1) (x − 3) dx
Primero realizamos la multiplicación de los binomios. El producto que resulte
será el integrando.
(2x + 1) (x − 3) = 2x (x − 3) + 1 (x − 3)
= 2 x 2 − 6x + x − 3
= 2 x 2 − 5x − 3
∫ (2x + 1) (x − 3)
∫ (2 x
= dx
=
∫
= 2
2
− 5x − 3) dx
2 x 2 dx −
∫
∫
x 2 dx − 5
5x dx −
∫
∫
x dx − 3
3 dx
∫
dx
x3 
x2 
= 2   − 5   − 3x + C
2 
 3
=
b)
∫
2 3 5 2
x − x − 3x + C
3
2
x3 − 1
dx
x−2
Primero realizaremos la división. El cociente que se obtenga será el integrando.
x 2 + 2x + 4
x − 2 x3 − 1
)
− x 3 + 2x 2
2x 2 − 1
− 2 x 2 + 4x
4x − 1
− 4x + 8
La integración se
facilita si primero se
realizan las operaciones
indicadas de productos
y cocientes de polinomios.
7
x3 − 1
7
= x 2 + 2x + 4 +
x−2
x−2
∫
x3 − 1
dx =
x−2
∫
 2
7 
 dx
 x + 2x + 4 +

x − 2
=
∫
x 2 dx +
=
∫
x 2 dx + 2
∫
2 x dx +
∫
∫
x dx + 4
4 dx +
∫
∫
dx + 7
7 dx
x−2
∫
dx
x−2
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Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida
21
En la última integral u = x − 2; du = dx
=
x2 
x3
du
+ 2   + 4x + 7 ∫
2 
u
3
=
1 3
x + x 2 + 4x + 7 ln u + C
3
=
1 3
x + x 2 + 4x + 7 ln x − 2 + C
3
Otras integrales se pueden resolver al sumar y restar al integrando una misma cantidad.
EJEMPLO 8
∫
xdx
x+5
Para resolver este ejemplo debemos tomar el número 5 de la expresión x + 5.
Este número se suma y se resta al numerador; la integral que resulte se
descompone en dos integrales.
∫
xdx
=
x+5
∫
x+5−5
dx
x+5
=
∫
x+5
dx +
x+5
=
∫
dx − 5
∫
∫
−5
x+5
dx
dx
x+5
Para resolver la segunda integral, al denominador le llamaremos u y dado que
la integral estará en función de u, necesitaremos obtener la diferencial de u.
u=x+5
du = 1(dx) = dx
Ahora realizaremos el cambio de variable en las dos integrales:
=
∫
dx − 5
∫
du
u
= x − 5 ln u + C
Sustituimos el valor de u:
∫
xdx
= x − 5 ln x + 5 + C
x+5
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22
Cálculo integral
Recuerda que la diferencial de una función es dy = f ′ ( x ) dx , donde f ′(x) es la derivada de la función. La derivada de x + 5 es 1 porque d x = 1 y d 5 = 0 .
dx
dx
Lo que debes saber
Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se
enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!
• Integral indefinida
• Función primitiva
• Antiderivada
• Método de integración
Ejercicios de repaso
1. Calcula las siguientes integrales:
a)
∫
dx
Solución: x + C
b)
∫
3 dy
Solución: 3y + C
c)
∫
dx
x
Solución: ln|x| + C
d)
∫
x 3 4 dx
Solución:
4 4 3
x x +C
7
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Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida
e)
∫
5x 3 dx
Solución:
5 4
x +C
4
f)
∫
2 bx 3 dx
Solución:
b 4
x +C
2
g)
∫
3 12
x dx
4
Solución:
1
x x +C
2
h)
∫
dy
y3
Solución: −
i)
∫
dx
y3
Solución:
1 3
x +C
3
j)
∫
 4
1
1 
2
− 2  dx
x − x +
3

x 
4x
Solución:
x5
x3
1
1
−
−
+ +C
2
x
5
3
2x
k)
∫
4
Solución:
4
x x +C
5
x dx
23
1
+C
2y 2
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24
Cálculo integral
3 3 2
x x +C
5
l)
∫
m)
∫
n)
∫
 3
 3 −
 x
o)
∫
5 5x dx
Solución:
p)
∫
(x − 3) dx
Solución: x − 6 ln |x + 3| + C
q)
∫
x+2
dx
x+1
Solución: x + ln |x − 1| + C
r)
∫
x 2 − 3x + 5
dx
x
Solución:
x 2 dx
Solución:
dx
x2
Solución: 3
3
3
5 
 dx
3
x2 
x+3
Solución: −
3
x +C
4
− 15 3 x + C
x
10
x 5x + C
3
2 2
x x − 2 x x + 10 x + C
5
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Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida
x 3dx
x −1
s)
∫
t)
∫ ( y + 2) ( y − 1) dy
u)
∫
2
(4 − x ) dx
Solución:
x3 x2
+
+ x + ln x − 1 + C
3
2
Solución:
y3 y2
− 2y + C
3 2
Solución: 32
x
x −
25
16
2
x x + x2 x + C
3
5
2. Indica si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas.
x −3
+C
−3
a)
∫
x − 2 dx =
b)
∫
y6
1 7
dx =
y +C
2
14
c)
∫
5x − 1 dx = ln x + C
Solución:
a) Falsa
b) Verdadera
c) Falsa
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26
Cálculo integral
3. Calcula las siguientes integrales.
x (2 x 2 + x − 3) dx
a)
∫
b)
∫
x 2 + 3x + 2
dx
x+2
c)
∫
(x − 1) dx
Solución:
4 3
2
x x + x 2 x − 2x x + C
7
5
Solución:
1 2
x +x+C
2
Solución: x − 2ln |x + 1| + C
x+1
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CAPÍTULO
3
Integración de una función
compuesta
Introducción
La probabilidad y la estadística son herramientas que
se utilizan en diversas disciplinas. En probabilidad manejamos el concepto de valor esperado o esperanza matemática,
que en el caso de una variable aleatoria continua se calcula con
la siguiente integral:
∞
∫
−∞
()
xf x dx
Observa que en el integrando se tiene el producto de x por una función también
en términos de x.
Debido a que en cálculo integral no tenemos una fórmula directa para resolver esta integral, debemos realizar la multiplicación y después hacer la integración, proceso que puede resultar complicado. Otra alternativa es aplicar el método conocido como método de sustitución el cual resulta más sencillo.
Sustitución por cambio de variable
A pesar de que existen varias técnicas para realizar una sustitución, el propósito de
todas es identificar en el integrando una función que esté multiplicada por la diferencial de esa función y así poder aplicar una fórmula de integración.
En el método de sustitución, se escoge una literal. En nuestro caso, se eligió la u,
que se iguala a la función que incluye el integrando.
EJEMPLOS 1
Identifica en las siguientes integrales su función y su diferencial.
a)
∫
sen 7
x (7 ) dx
u (x )
du ( x )
Señalamos:
u = 7x
u (x) = 7x
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28
Cálculo integral
Ahora calcularemos la diferencial aplicando la fórmula dy = f ′ ( x ) dx . En
este caso como tenemos u ( x ) = 7 x , la fórmula será du ( x ) = f ′ ( x ) dx , con
f ′ (x ) = d 7x = 7 .
dx
du ( x ) = 7 dx
7x es la función y 7 dx su diferencial.
b)
∫
cos 5y

 dx
u ( y ) du ( y )
Señalamos:
u = 5y
u ( y) = 5 y
Como en el ejemplo anterior, calculamos la diferencial; en este caso como la
variable es y, u ( y ) = 5 y y du ( y ) = f ′ ( y ) dy con f ′ ( y ) = d 5 y
dy
du ( y ) = 5dy
5y es la función y dy la diferencial (incompleta).
Observa que la variable de la función es y, así que la diferencial en el integrando está
incompleta porque dy no se multiplica por 5, como en la diferencial que calculamos.
En el primer ejemplo hemos escogido la literal u. A continuación señalamos u(x)
indicando con ello que u está en función de x, en seguida con du(x) calculamos su
diferencial.
Algunos autores y profesores, por costumbre y comodidad, proceden de la siguiente forma cuando piden integrar una expresión como la que se muestra a continuación:
∫
sen 7
x (7 ) dx
u
du
u = 7x
du = 7 dx
Desde luego que este procedimiento es correcto, pero no debes olvidar que la variable u en el primer ejemplo está en función de x y en el segundo de y. Esta aclaración
te será de gran ayuda en cursos superiores.
Para que puedas identificar en el integrando la función y su diferencial, analizaremos varios ejemplos.
EJEMPLO 2
∫ (x
2
+ 3) (2 x ) dx
2
Existen dos formas de resolver este ejemplo. La primera es a partir del método de
sustitución y la otra es desarrollando la operación que se indicó en la página 17,
del capítulo 2.
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Capítulo 3 Integración de una función compuesta
29
Primero lo resolveremos por sustitución:
2 x ) dx
(x+3) (
∫
2
2
=
du ( x )
u (x )
u = x2 + 3
u (x ) = x 2 + 3
du ( x ) = 2 xdx
En este ejemplo du = f ′ ( x ) dx , donde f ′ ( x ) = d ( x 2 + 3) 2 x .
dx
El integrando está completo porque incluye la función multiplicada por su
diferencial. Por lo tanto, se puede aplicar la fórmula de integración de la potencia
de una función.
Sustituyendo:
=
∫
=
u3
+C
3
u 2 du
Integrando:
Con el valor de u, queda:
=
(x
2
+ 3)
3
3
+C
Otra solución se encuentra desarrollando la operación en el integrando:
∫ (x
2
+ 3) (2 x ) dx
2
∫
u n du =
u n +1
+c
n+1
El integrando es un polinomio, por eso podemos desarrollar su producto e integrar
término a término.
∫ (x
2
+ 3) (2 x ) dx =
∫ (x
=
∫ (2 x
2
= 2
∫x
+ 6x 2 + 9) (2 x ) dx
4
5
5
+ 12 x 3 + 18x ) dx
dx + 12 ∫ x 3 dx + 18 ∫ x dx
=
2 6 12 4 18 2
x +
x +
x +C
6
4
2
=
1 6
x + 3x 4 + 9x 2 + C
3
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30
Cálculo integral
Los dos resultados son correctos porque si desarrollamos el primero de ellos
tenemos:
(x
2
+ 3)
3
∫
∫
3
+C =
=
kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
k es una constante
x 6 + 9x 4 + 27 x 2 + 27
+C
3
1 6
x + 3x 4 + 9x 2 + 9 + C
3
La constante en el primer desarrollo es 9 + C, la del segundo es C, que son
equivalentes.
EJEMPLO 3
∫
cos 5x dx
Para poder aplicar la fórmula ∫ cos u du es necesario determinar si el integrando
está completo o no; es decir, si cuenta con su función y su diferencial.
∫
cos 5x dx =
u = 5x
u ( x ) = 5x
du ( x ) = 5 dx
Para completar la diferencial en este ejemplo se tiene que multiplicar y dividir entre
5, lo cual no altera el valor del integrando porque, de hecho, se está multiplicando
por uno.
1
5
∫
cos 5
x (5) dx

u (x )
=
1
5
∫
cos u du
=
1
sen u + C
5
=
1
sen 5x + C
5
=
du ( x )
Sustituyendo:
Integrando:
Con el valor de u, queda:
∫
cos u du = sen u + C
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Capítulo 3 Integración de una función compuesta
31
EJEMPLO 4
∫
∫ (3x − 1)
3x − 1 dx =
Para poder aplicar la fórmula
diferencial du(x).
∫
12
dx
u n du es necesario identificar u(x) y calcular su
∫ (3x − 1)
12
dx
u = 3x − 1
u ( x ) = 3x − 1
du ( x ) = 3dx
Aquí observamos que falta un 3 en el diferencial de la función. Se completa
multiplicando y dividiendo por 3.
− 1) (3) dx
∫ 13 (3x
12
u (x )
du ( x )
Se sustituye:
1=
=
1
3
∫
u 1 2 du
n
2
2
am = am n
Se integra:
=
1 u1 2+2 2
+C
3 3
2
Con el valor de u, queda:
2
(3x − 1) 3x − 1 + C
9
Los dos resultados son correctos.
Como puedes observar del desarrollo de los dos ejemplos anteriores, para completar
el integrando fue necesario multiplicar y dividir por una cantidad.
Justificando el desarrollo, y por comodidad, se acostumbra a proceder como se
indica a continuación:
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32
Cálculo integral
EJEMPLOS 5
a)
∫
sen 7 x dx =
u = 7x
1
7
∫
sen 7
x (7 ) dx =
u (x )
du ( x )
1
cos 7 x + C
7
u (x) = 7x
du ( x ) 7 dx
b)
Para integrar es
necesario identificar la
función u y su diferencial u′.
∫
3 cos 3x dx = sen 3x + C
Como pudiste notar en este ejemplo, la selección de la fórmula correcta se hizo
mentalmente y no tuvimos que desarrollar el proceso señalado para la integración
por sustitución.
Para poder aplicar una fórmula de integración es necesario que en el integrando
esté la derivada de una función, lo cual significa que debe incluir la función u(x) y
su diferencial du(x).
Es común que se cometan errores en el desarrollo de la integración por no saber
identificar en forma correcta la función y su diferencial. En ocasiones, sucede que
a la diferencial de la función le falta algún factor numérico y tenemos que hacer las
operaciones necesarias para completarla.
Al igual que en este apartado, en el resto del texto se incluyen conceptos y ejemplos que permiten entender con facilidad los ejercicios de cada tema.
Deducción de fórmulas para derivar integrales
de la forma ∫ tan x dx, ∫ cot x dx, ∫ sec x dx, ∫ csc x dx
Como ya estudiamos el método de sustitución, podemos aplicarlo para deducir las
fórmulas de derivación de la ∫ tan x dx, ∫ cot x dx, ∫ sec x dx, ∫ csc x dx
Para ∫ tan x ddx
Por trigonometría demostramos que:
sen x
cos x
tan x =
de donde:
∫
tan x dx =
∫
sen xdx
cos x
u = cos x
u ( x ) = cos x
du ( x ) = − sen xdx
Si multiplicamos dos veces por (−1) en el integrando y además sustituimos, tenemos:
= −
∫
= −
∫
− (sen x dx )
cos x
du
u
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Capítulo 3 Integración de una función compuesta
33
Por integración:
= − ln ( u ) + C
Con el valor de u, tenemos:
= − ln ( cos x ) + C
además:


1 
− L ( cos x ) = − ln 

 sec x 
= − ( ln 1 − ln sec x )
= − ln 1 + ln sec x
como − ln (1) = 0 se tiene que − ln ( cos x ) = ln sec x
Por lo tanto:
∫
tan x dx = ln sec x + C
Para ∫ cot x ddx
Demostramos en trigonometría que:
cot x =
cos x
sen x
de donde:
∫
cot x dx =
∫
cos xdx
=
∫
du
u
sen x
u = sen x
u ( x ) = sen x
du ( x ) = cos xdx
Si sustituimos:
y luego integramos:
= ln ( u ) + C
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34
Cálculo integral
con el valor de u, queda:
= ln (sen x ) + C
por lo tanto:
∫
cot x dx = ln sen x + C
Para ∫ sec x ddx
Multiplicamos y dividimos el integrando por (sen x + tan x )
∫
sec x dx =
=
∫
∫
sec x (sec x + tan x ) dx
sec x + tan x
(sec
2
x + sec x tan x ) dx
sec x + tan x
u = sec x + tan x
u ( x ) = sec x + tan x
n x + sec 2 x ) dx
du ( x ) = (sec x tan
Si sustituimos:
=
sen A =
1
csc A
1 − cos 2 A
= ln ( u ) + C
Con el valor de u, tenemos:
= tan A cos A
=
cos A
cot A
du
u
y luego integramos:
= cos (90° − A)
=
∫
= ln (sec x + tan x ) + C
por lo tanto:
∫
Para ∫ csc x ddx
sec x dx = ln sec x + tan x + C
Se calcula en forma semejante a la
grando por ( csc x − cot x ) .
∫
csc x dx =
=
∫
∫
∫
sec x dx . Multiplicamos y dividimos el inte-
csc x ( csc x − cot x ) dx
csc x − cot x
(csc
2
x − csc x cot x ) dx
csc x − cot x
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Capítulo 3 Integración de una función compuesta
35
u = csc x − cot x
u ( x ) = csc x − cot x
du ( x ) = csc 2 x − csc x cot x dx
Si sustituimos tenemos:
=
∫
du
u
luego integramos:
= ln ( u ) + C
= ln ( csc x − cot x ) + C
por lo tanto:
∫
csc x dx = ln csc x − cot x + C
Lo que debes saber
Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se
enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!
• Método de sustitución
• Cambio de variable
EJERCICIOS
1. Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Qué elementos debe tener el integrando de cualquier integral para poder aplicar una
fórmula de integración?
b) ¿Cuál es el objetivo de aplicar el método de sustitución?
c) ¿Qué debes hacer si al calcular la diferencial de una función ésta no se encuentra completa
en el integrando de una determinada integral?
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36
Cálculo integral
2. Calcula las siguientes integrales:
5
1
x 2 − 6) + C
(
10
Solución:
2
4 + 3x 2 + C
3
∫ (x
b)
∫
c)
∫ (x
d)
∫
− sen ( ay + 1) dy
Solución:
e)
∫
2 sen (6x ) dx
Solución: −
f)
∫
cos (3x + 2 ) dx
Solución:
2
− 6) x dx
Solución:
a)
4
2 xdx
4 + 3x 2
3
+ 3x 2 )
13
(x
2
+ 2 x ) dx
Solución:
2 3
x + 3x 2 ) x 3 + 3x 2 + C
(
9
1
cos ( ay + 1) + C
a
1
cos (6x ) + C
3
1
sen (3x + 2 ) + C
3
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Capítulo 3 Integración de una función compuesta
g)
∫
 y
− tan   dy
2
Solución: − 2 ln sec
h)
∫
x
− sen   dx
a
Solución: a cos   + C
i)
∫ (2x − 5x ) (2 − 10x ) dx
Solución:
2
1
2 x − 5x 2 ) + C
(
2
j)
∫
Solución:
10
x 5x + C
3
k)
∫ ( 4x
l)
∫
a
5 5x dx
− 2 x ) ( x − x − 5) dx
4
4x 3 dx
1+ x
4
y
+C
2
x
2
3
37
2
3
(x
Solución:
4
− x 2 − 5)
4
Solución: ln 1 + x
4
4
+C
+C
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38
Cálculo integral
m)
∫
2 dx
1 + 2x
Solución: ln 1 + 2 x + C
n)
∫
x+2
dx
x+1
Solución: x + ln x + 1 + C
o)
∫
x 2 − 3x + 5
dx
x
Solución:
2 2
x x − 2 x x + 10 x + C
5
p)
∫
x 3dx
x −1
Solución:
x3 x2
+
+ x + ln x − 1 + C
3
2
q)
∫ (x + 2) (x − 1) dx
Solución:
x3 x2
+
− 2x + C
3
2
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Capítulo 3 Integración de una función compuesta
39
Ejercicios de repaso
1. Calcula las siguientes integrales:
a)
∫
dx
Solución: x + C
b)
∫
dx
x
Solución: ln x + C
c)
∫
x 3 4 dx
Solución:
4 4 3
x x +C
7
d)
∫
5x 3 dx
Solución:
5 4
x +C
4
e)
∫
2bx 3 dx
Solución:
b 4
x +C
2
f)
∫
 4
1
1 
2
 x − x + 3 − 2  dx

x
x 
Solución:
x5
x3
1
1
−
−
+ +C
x
5
3
2x 2
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40
Cálculo integral
g)
∫ 5 (5x − 1)
h)
∫
i)
∫
j)
∫
3
k)
∫
 2
 3 −
 x
l)
∫
3 12
x dx
4
4
3
dx
xdx
dx
5
(x − 1)
Solución:
4
1
(5x − 1) + C
4
Solución:
4 4
x x +C
5
Solución: −
x 2 dx
Solución:
5 
 dx
3
x2 
3 3 2
x x +C
5
Solución: −
Solución:
1
+C
4
4 ( x − 1)
4
− 15
x
3
x +C
1
x x +C
2
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Capítulo 3 Integración de una función compuesta
1
+C
2x 2
m)
∫
dx
x3
n)
∫
dx
x −2
Solución:
o)
∫
dx
2
(x + 1)
Solución: −
1
+C
x+1
p)
∫
Solución: 3
3
q)
∫
dx
4
x
( − 2)
Solución: −
r)
∫
(x − 3) dx
(x + 3)
Solución: x − 6 ln x + 3 + C
dx
x2
3
Solución: −
41
1 3
x +C
3
x +C
1
+C
3
3 (x − 2)
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42
Cálculo integral
s)
∫ (x
t)
∫
u)
∫
3 dx
v)
∫
2 x ( x 2 − 3) dx
Solución:
3
1 2
x − 3) + C
(
3
w)
∫
3x 2 ( x 3 − 1) dx
Solución:
4
1 3
x − 1) + C
(
4
x)
∫ (3x + 4)
Solución:
3
1
(3x + 4) + C
9
y)
∫
Solución:
1 2
x + 4) x 2 + 4 + C
(
3
3
− 5x ) (3x 2 − 5) dx
5
x − 2 dx
Solución:
6
1 3
x − 5x ) + C
(
6
Solución:
2
(x − 2) x − 2 + C
3
Solución: 3x + C
2
3
2
dx
x x 2 + 4 dx
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Capítulo 3 Integración de una función compuesta
x 2 dx
1
ln x 3 − 2 + C
3
z)
∫
aa)
∫
ab)
∫ (5x − 1)
ac)
∫
6x 2 dx
ad)
∫
x dx
ae)
∫
x 5 − x 2 dx
Solución: −
1
5 − x 2) 5 − x 2 + C
(
3
af)
∫
3x 2
dx
3 − 4x 3
Solución: −
1
3 − 4x 3 + C
2
Solución: −
x −2
3
5 ydy
Solución:
2y + 3
2
3
dx
5
2y2 + 3 + C
2
4
1
(5x − 1) + C
20
Solución: 2 ln x − 1 + C
3
x −1
3
(x + 2)
Solución:
43
2
Solución: ln x + 2 +
2
+C
x+2
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44
Cálculo integral
(x + 2) dx
2
Solución:
1
ln x 2 + 4x + C
2
Solución:
2 3
x + 1) x 3 + 1 + C
(
9
ag)
∫
ah)
∫ (x
ai)
∫
5x 3
3 dx
4
x
−
1
(
)
Solución: −
aj)
∫
x2
dx
4
x3 − 1
Solución: 4 x 3 − 1
ak)
∫
2 x 3 − 2 x 2 dx
Solución: −
1
3 − 2x 2 ) 3 − 2x 2 + C
(
3
al)
∫
x 3 3 − x 2 dx
Solución: −
3
3 − x 2) 3 3 − x 2 + C
(
8
x + 4x
3
+ 1)
12
x 2 dx
5
2 + C
8 ( x − 1)
4
(
9
)
34
+C
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CAPíTULO
4
Constante de integración
Introducción
En tu curso de geometría analítica aprendiste a identificar las curvas que representan a ciertas ecuaciones.
Por ejemplo, recordarás que y = x 2 + 3 es la ecuación de
una parábola vertical que abre hacia arriba y cuyo vértice está en
el punto (0, 3). Si calculamos la diferencial de esta misma ecuación
obtenemos dy = 2 xdx . En este ejemplo realizamos la operación inversa, es decir, integramos y obtenemos y = x 2 + C , que no es exactamente
la expresión que derivamos. En este capítulo aprenderás a calcular el valor de C
para así obtener la ecuación exacta de la parábola.
Al integrar la diferencial 2x dx se obtiene la función y:
y =
∫
2 x dx = x 2 + C
donde C es la constante de integración. Por cada valor de C1, C2, C3,... de C, se
obtiene una función primitiva x2 + C1, x2 + C2, x2 + C3,...
De hecho, la expresión y = x 2 + C representa una familia de parábolas que
se trasladan verticalmente una de la otra con el mismo valor de la pendiente para
cada punto.
dy
= 2x
dx
Cálculo de valor numérico de la constante C
Para calcular el valor de constante de integración es necesario tener la expresión diferencial que se va a integrar y algunos otros lados, procedimiento que ilustraremos
en los siguientes ejemplos.
EJEMPLOS 1
a) Determina la función y = f ( x ) , tal que f ′ ( x ) = 9x − 6x + 1 cuando
2
f (1) = 5 .
Es una función en forma de ecuación que se cumple en el punto (1, 5). Como
y = f (x)
se tiene que:
df ( x )
dy
=
dx
dx
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46
Cálculo integral
pero
df ( x )
dx
= 9x 2 − 6x + 1
entonces
dy
= 9x 2 − 6x + 1
dx
dy = (9x 2 − 6x + 1) dx
Integrando:
∫
dy =
∫ (9x
= 9
=
∫
2
− 6x + 1) dx
x 2 dx − 6
∫
x dx +
∫
dx
9x 3 6x 2
−
+x+C
3
2
y = 3x 3 − 3x 2 + x + C
Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones del
problema, este resultado debe ser igual a 5 para f (1).
f (1) = 3 (1) − 3 (1) + 1 + C
3
2
= 3 − 3+1+C
condición que señala el problema:
f (1) = 5
5 = 1+C
5−1= C
C = 4
al sustituir el valor de C:
y = f ( x ) = 3x 3 − 3x 2 + x + C
y = 3x 3 − 3x 2 + x + 4
b) Calcula el valor de la contante de integración cuya f ′ ( x ) = x + x − 2
cuando f (1) = 6. Determina también la función.
2
Es una función que se cumple en el punto (1, 6)
como y = f (x)
se tiene que:
df ( x )
dy
=
dx
dx
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Capítulo 4 Constante de integración
47
pero,
df ( x )
dx
= x2 + x − 2
entonces:
dy
= x2 + x − 2
dx
dy = ( x 2 + x − 2 ) dx
Integrando:
∫
dy =
=
y =
∫ (x
∫
2
+ x − 2 ) dx
x 2 dx +
∫
x dx − 2 ∫ dx
x3 x2
+
− 2x + C
3
2
Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones del
problema, este resultado debe ser igual a 6 para f (1).
(1) + (1) − 2 1 + C
f (1) =
()
3
3
2
2
=
1 1
+ −2+C
3 2
=
2 + 3 − 12
+C
6
= −
7
+C
6
condición que señala el problema:
f (1) = 6
6 = −
6+
7
+C
6
7
=C
6
C =
n
n
43
6
a
=
b
n
a
b
sustituyendo el valor de C:
y = f (x) =
y =
x3 x2
+
− 2x + C
3
2
x3 x2
43
+
− 2x +
3
2
6
Esta expresión no se simplifica porque es una función y no una ecuación.
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48
Cálculo integral
c) Determina la función cuya f ′ ( x ) = x − 2 x + 4 tenga el valor de 6 cuando
x = 2.
2
Es una función que se cumple en el punto (2, 6) como y = f (x), se tiene que:
df ( x )
dy
=
dx
dx
pero,
df ( x )
dx
= x 2 − 2x + 4
entonces:
dy
= x 2 − 2x + 4
dx
dy = ( x 2 − 2 x + 4) dx
Integrando:
∫
dy =
∫ (x
2
− 2 x + 4) dx
= x 2 dx − 2
y =
∫
x dx + 4 ∫ dx
x 3 2x 2
−
+ 4x + C
3
2
3
Calculamos el valor de C cuando y = x − x 2 + 4x + C tenga el valor de 6
3
cuando x = 2
f (2 ) =
(2 ) − 2 2 + 4 2 + C
( )
( )
3
3
=
8
−4+8+C
3
=
8 − 12 + 24
+C
3
=
20
+C
3
Condición que señala el problema:
f (2 ) = 6
6 =
6−
20
+C
3
20
=C
3
C = −
2
3
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Capítulo 4 Constante de integración
49
Comprobación
Sustituyendo el valor de C:
y = f (x) =
x3
− x 2 + 4x + C
3
6 =
23
2
− 2 2 + 4 (2 ) −
3
3
6 =
8
2
−4+8−
3
3
6 =
8 − 12 + 24 − 2
3
6 = 6
Significa geométrico de la constante de integración
x2 es una de las funciones primitivas de la función 2x cuando la contante de integración vale cero; es decir, 2x es la derivada de una función y = f ( x ).
Si de f ′ ( x ) = 2 x se quiere obtener la familia de las funciones f (x) que tienen
como derivada a 2x, se tiene entonces:
df ( x )
dy
= f ′ (x )
=
dx
dx
dy = f ′ ( x ) dx
Integrando:
∫
dy =
y =
∫
2 x dx
2x 2
+C
2
y = x2 + C
(1)
donde C es la constante de integración. Si asignamos a C varios valores, por ejemplo
3, 0, −2 se tiene de la ecuación (1) las siguientes expresiones:
y
2
y = x +3
y x2 3
y = x2
x2
y
y = x2 − 2
cuyos lugares geométricos son parábolas que intersecan al eje de las y a distancias del origen de 3, 0,
−2, respectivamente.
dy
Todas estas parábolas tienen el mismo valor dx ,
es decir, tienen la misma pendiente 2x para el mismo
valor de x. Además, la diferencia de sus ordenadas
O
x
y
x2
2
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50
Cálculo integral
permanece igual para todos los valores de x, el valor de C no afecta la pendiente de
ninguna de estas parábolas.
Si establecemos la condición de que la curva de la parábola de nuestro ejemplo
pase por el punto (1, 3), entonces las coordenadas de este punto deben satisfacer la
expresión y = x 2 + C , de donde:
y = x2 + C
3 = (1) + C
2
C = 3−1
C = 2
Por lo tanto, la ecuación de la parábola que se pide es y = x 2 + 2 , se grafica tabulando y = x 2 + 2 .
x
0
1
2
y
2
3
6
y
y = x2 + 2
(1, 3)
f (x) = x 2
f (0) = 0 + 2 = 2
f (1) = (1) + 2 = 3
2
O
x
f (2 ) = (2 ) + 2 = 6
2
Lo que debes saber
Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se
enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!
• Constante de integración
• Valor de la constante de integración
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CAPÍTULO
5
Integrales inmediatas.
Funciones trigonométricas
directas
Introducción
En el capítulo 3 analizamos el método de sustitución
para resolver una integral. En una gran cantidad de integrales no es tan obvio el cambio por realizar, ya que en otras
es necesario realizar algún procedimiento previo a la sustitución.
En este capítulo aprenderás algunos de los procedimientos más comunes para resolver una integral donde intervienen las funciones trigonométricas directas por el método de sustitución o método de cambio de variable.
Recordatorio de trigonometría
En tu curso de geometría y trigonometría comprobaste las funciones e identidades
siguientes:
sen x =
1
=
cot x
1 − cos 2 x = tan x cos x =
cos x =
1
=
sec x
1 − sen 2 x = cot x sen x =
tan x =
1
=
cot x
sec 2 x − 1 =
1
cot x =
=
tan x
csc x − 1 =
1
sec x =
=
cos x
1 + tan x
1
=
sen x
1 + cot 2 x
csc x =
2
cos x
cot x
sen x
tan x
sen x
cos x
cos A =
cos x
sen x
sen x =
1
csc x
cos x sec x = 1
cos x =
1
sec x
1
sec A
= sen (90 º − A)
2
=
1 − sen 2 A
= cot A sen A
=
Funciones trigonométricas recíprocas
sen x csc = 1
El cálculo se facilita si
tienes presente tu conocimiento de álgebra y
trigonometría.
1
sec x =
cos x
sen A
tan A
tan x cot x = 1
tan x =
1
cot x
cot x =
1
tan x
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52
Cálculo integral
Identidades trigonométricas del teorema de Pitágoras
sen 2 x + cos 2 x = 1
sec 2 x = 1 + tan 2 x
sen 2 x = 1 − cos 2 x
csc 2 x − cot 2 x = 1
cos 2 x = 1 − sen 2 x
csc 2 x = 1 + cot 2 x
sec 2 x − tan
n2 x = 1
cot 2 x = cscc 2 x − 1
tan 2 x = sec 2 x − 1
Fórmulas de integración de las funciones trigonométricas directas
∫
sen u du = − cos u + C
∫
sec 2 u du = tan u + C
∫
cos u du = sen u + C
∫
csc u cot u du = − csc u + C
∫
sec u du = sec u + C
∫
csc 2 u du = − cot u + C
Algunos procedimientos de integración de las funciones
trigonométricas directas
El integrando es el producto de la potencia de una función
trigonométrica por su diferencial
EJEMPLO 1
∫
3 sen 2 x cos x dx
En el integrando tenemos dos funciones: una elevada a un exponente diferente
de uno y la otra elevada a la potencia uno. Como primera opción elegimos
u = sen x porque es la función que está al cuadrado y podríamos usar la fórmula
n +1
n
+ C , siempre y cuando en el integrando esté la du.
∫ u du = u
n+1
u = sen x
u ( x ) = sen x
du ( x ) = cos xdx
Sustituyendo u(x) y du(x) en el integrando, se tiene:
= 3
∫
= 3
u3
+C
3
u 2 du
Integrando:
Si una expresión algebraica se multiplica y
divide por un mismo
número diferente de
cero, su valor no se
altera.
Con el valor de u queda:
= sen 3 x + C
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
53
Sustitución del integrando por una identidad pitagórica
EJEMPLO 2
∫
tan 2 7x dx
Dado que en las fórmulas de integración de funciones trigonométricas directas
sólo las funciones secante y cosecante están al cuadrado, aplicamos una identidad
trigonométrica para expresar la tan 2 7x en términos de una de estas funciones.
Como tan 2 x = sec 2 x − 1
Sustituyendo en el integrado:
cot A =
=
∫ (sec
2
7 x − 1) dx
1
tan A
= tan (90 º −A)
u = 7x
u ( x ) = 7x
=
du ( x ) = 7 dx
=
csc 2 A − 1
cos A
sen A
Completamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 7:
=
1
7
∫ (sec
2
7 x − 1) 7 dx
=
1
7
∫ (sec
2
7 x (7 )) dx −
=
1
tan 7 x − x + C
7
1
7
∫
7 dx
Integrando:
Sustitución del integrando por una identidad trigonométrica recíproca
EJEMPLOS 3
a)
∫
− 3dx
sen 2 x
Como en el caso anterior, tenemos que expresar sen 2 x en función de la
secante o la cosecante, que son las funciones que están al cuadrado en las
fórmulas de integración.
Como csc x =
1
sen x
Al elevar al cuadrado ambos miembros, tenemos:
csc 2 x =
1
sen 2 x
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54
Cálculo integral
Si sustituimos en el integrando:
= − 3 ∫ csc 2 x dx
Integrando:
= − 3 (− cot x ) + C
= 3 cot x + C
b)
∫
dx
cos x tan x + 2
2
Como sec x =
1
cos x
Al elevar al cuadrado ambos miembros, tenemos:
sec 2 x =
1
cos 2 x
Si sustituimos en el integrando:
=
∫
=
∫
sec 2 x dx
tan x + 2
sec 2 x dx
12
(tan x + 2)
Si la función es:
u = tan x + 2
u ( x ) = tan x + 2
du ( x ) = sec 2 xdx
Se sustituye en el integrando:
=
∫
=
u1 2
+C
1
2
u − 1 2 du
Integrando:
= 2u 1 2 + C
Con el valor de u, queda:
a = a12
= 2 (tan x + 2 )
1
= a−m
m
a
12
+C
= 2 tan x + 2 + C
c)
∫
sen 3x
(1 − cos 3x )
3
dx
=
∫ (1 − cos 3x )
−3
sen 3x dx
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
55
Si la función es:
u − 1 − cos 3x
u ( x ) − 1 − cos 3x
du ( x ) = sen 3x (3) dx
Completamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 3:
1
3
=
∫ (1 − cos 3x )
−3
sen 3x (3) dx
Si sustituimos en el integrando:
1
=
3
∫
m n
u
−3
du
a = mn a
Integrando
=


1 u−2 

+C
3−2 
=
u−2
+C
−6
= −
1
+C
6u 2
= −
1
+C
2
6 (1 − cos 3x )
Con el valor de u, queda:
Multiplicación del integrando por su conjugado
EJEMPLO 4
∫
dx
2 + 2 cos x
Como el conjugado de (2 + 2 cos x ) es (2 − 2 cos x ) multiplicamos el numerador
y el denominador del integrando por dicho conjugado.
=
∫
 2 − 2 cos x 
1

 dx


2 + 2 cos x  2 − 2 cos x 
El producto de un binomio conjugado es igual a la diferencia de sus cuadrados.
=
∫
2 − 2 cos x
(2 + 2 cos x ) (2 − 2 cos x )
dx
tan A cot A = 1
tan A =
1
cot A
cot A =
1
tan A
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56
Cálculo integral
Factorizando:
=
∫
=
∫
2 − 2 cos x
dx
4 − 4 cos 2 x
2 (1 − cos x )
4 (1 − cos 2 x )
dx
Reduciendo 24 = 21 y extrayéndola del símbolo de integración, tenemos:
1 − cos x
=
1
2
∫
=
1
2
∫
1 − cos x
=
1
2
∫
1
1
dx −
2
2
sen x
1 − cos 2 x
dx
Como sen 2 x = 1 − cos 2 x
2
(a + b) (a − b) = a − bSustituyendo
2
(a + b) (a − b) = a 2 − b 2
Como csc x =
sen 2 x
dx
∫
cos x
sen 2 x
dx
1
sen x
sen 2 x = sen x sen x
cot x =
cos x
sen x
; csc x =
1
sen x
Al sustituir en los integrandos tenemos:
=
1
2
∫
csc 2 x dx −
1
2
∫
cot x csc x dx
Integrando
= −
1
1
cot x + csc x + C
2
2
Multiplicación y división del integrando por una misma cantidad
EJEMPLO 5
∫
tan 2 x sec 2 x dx
Si multiplicamos y dividimos el integrando por
sec 2x , tenemos:
 sec 2 x 
 dx
tan 2 x sec 2 x 
 sec 2 x 


=
∫
=
∫
=
∫ (sec 2x )
tan 2 x sec 2 x
sec 2 x
−12
dx
tan 2 x sec 2 x dx
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
57
Si la función es:
u = sec 2 x
u ( x ) = sec 2 x
du ( x ) = tan 2 x sec 2 x (2 ) dx
Sustituyendo el integrando y multiplicando y dividiendo por 2 para completar la
diferencial:
=
1
2
∫ (sec 2x )
=
1
2
∫
−12
2 tan 2 x sec 2 x dx
u − 1 2 du
csc A =
Integrando
1 u +1 2
+C
2 1
2
=
= u1 2 + C
1
sen A
= sec (90° − A)
= 1 + cot A
Si sustituimos el valor de u, queda:
=
sec 2x + C
Descomposición de una parte del integrando en sus factores
EJEMPLO 6
∫
sen x dx
cos 2 x
cos 2 x = cos x cos x
Como tan x =
sen x
cos x
; sec x =
sen x
=
∫ cos x cos x dx
=
∫ cos x cos1 x dx
sen x
1
, tenemos:
cos x
=
∫
tan x sec x dx
Integrando
= sec x + C
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58
Cálculo integral
Desarrollo de algunas operaciones algebraicas en el integrando
EJEMPLO 7
∫ (sec x + tan x )
sen A
cos A
cos A
sen A
2
Al desarrollar el binomio cuadrado perfecto, tenemos:
= tan A
= cot A
=
∫ (sec
=
∫
2
x + 2 sec x tan x + tan 2 x ) dx
∫
sec 2 x dx + 2
sec x tan x dx +
∫
tan 2 x dx
Como tan 2 x = sec 2 x − 1
Integrando la primera y la segunda integral, y sustituyendo la identidad en la
última:
= tan x + 2 sec x +
∫ (sec
= tan x + 2 sec x +
∫
2
x − 1) dx
sec 2 x dx −
∫
dx
Integrando
= tan x + 2 sec x + tan x − x + C
= 2 tan x + 2 sec x − x + C
EJEMPLOS 8
Integrar las siguientes expresiones:
a)
∫
3 cos (3x − 1) dx
u = 3x − 1
u ( x ) = 3x − 1
du ( x ) = 3dx
=
3
3
∫
=
∫
cos u du
cos (3x − 1)(3) dx
Sustituyendo
Integrando
= sen u + C
Si sustituimos el valor de u, tenemos:
= sen (3x − 1) + C
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
b)
∫
59
2
sen x dx
3
u =
2
x
3
u (x) =
2
x
3
du ( x ) =
2
dx
3
Multiplicamos y dividimos el integrando por
=
1
2
∫
sen
2 2
3
x   dx =
3 3
2
2
3
∫
sen u du
Integrando:
= −
3
cos u + C
2
= −
3
2
cos x + C
2
3
Si sustituimos el valor de u, obtenemos:
c)
∫
sen 3x dx
u = 3x
u ( x ) = 3x
du ( x ) = 3dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3:
=
1
3
∫
sen 3 x (3) dx
=
1
3
∫
sen u du
Integrando
= −
1
cos u + C
3
Si sustituimos el valor de u, obtenemos:
= −
d)
∫
sen 2 x cos x dx
1
cos 3x + C
3
u = sen x
u ( x ) = sen x
du ( x ) = − cos x dx
Sustituyendo en
∫
u 2 du y multiplicamos y dividimos el integrando por -1.
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60
Cálculo integral
Integrando
= −
u3
+C
3
Si sustituimos el valor de u, tenemos:
= −
e)
∫
1
sen 3 x + C
3
x sen x 2 dx
u = x2
u (x) = x 2
du ( x ) = 2 xdx
∫
u n du =
Multiplicamos y dividimos el integrando por 2:
u n +1
+C
n+1
=
1
2
∫
x sen x (2 ) dx
=
1
2
∫
sen u du
Integrando
1
cos u du
2
Si sustituimos el valor de u, queda:
= −
1
cos x 2 + C
2
En el curso de cálculo diferencial se estableció que:
= −
sen 2 x = (sen x )
2
Estas expresiones son diferentes a sen x 2 , pero todas ellas tienen validez,
como pudiste observar en los ejemplos anteriores.
f)
∫
cot 2 y dy
Como cot 2 y = csc 2 y − 1
Sustituyendo en el integrando:
=
∫ (csc
=
∫
2
y − 1) dy
csc 2 y dy −
∫
dy
Integrando
= − cot y − y + C
g)
∫ sec
dx
(3x − 1)
Como cos x =
1
sec x
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
61
Sustituyendo en el integrando
=
∫
cos (3x − 1) dx
sec 2 A − tan 2 A = 1
u = 3x − 1
tan 2 A − sec 2 A = 1
u ( x ) = 3x − 1
cos 2 A − cot 2 A = 1
du ( x ) = 3dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3:
=
1
3
∫
cos (3x − 1)(3) dx
=
1
3
∫
cos u du
=
1
sen u + C
3
Integrando
Si sustituimos el valor de u, tenemos:
=
h)
∫
cos 3x
2
sen 3x
dx =
∫
1
sen (3x − 1) + C
3
sen − 2 3x cos 3x dx
u = sen 3x
u ( x ) = sen 3x
du ( x ) = csc 3x (3) dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3:
=
1
3
∫
sen − 2 3x cos 3x (3) dx
=
1
3
∫
u − 2 du
=
1  u −1 

+C
3  −1 
=
u −1
+C
−3
Integrando
= −
1
+C
3u
Si sustituimos el valor de u tenemos:
= −
1
+C
3 sen 3x
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62
Cálculo integral
i)
∫
− 3dx
sen 2 2 x
Como csc x =
1
sen x
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
csc 2 x =
1
sen 2 x
Sustituimos en el integrando:
=
∫ − 3 csc
2
2 x dx
u = 2x
u (x ) = 2x
du ( x ) = 2 dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 2:
= −
3
2
∫ csc
= −
3
2
∫ csc
= −
3
(− cot u) + C
2
2
2 x (2 ) dx
2
u du
Integrando
=
3
cot u + C
2
Si sustituimos el valor de u, obtenemos:
=
j)
∫
3
cot 2 x + C
2
tan 5x dx
cos 2 5x
Como sec x =
1
cos x
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
cos A sec A = 1
cos A =
sec A =
1
sec A
1
cos A
sec 2 x =
1
cos 2 x
Si sustituimos en el integrando, obtenemos:
= ∫ tan 5x sec 2 5x dx
u = tan 5x
u ( x ) = tan 5x
du ( x ) = sec 2 5x (5) dx
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
63
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 5:
=
1
5
∫
tan 5x sec 2 5x (5) dx
=
1
5
∫
u du
=
1 u2
+C
5 5
Integrando
Si sustituimos el valor de u, tenemos:
=
1 (tan 5x )
+C
5
2
=
1
tan 2 5x + C
10
2
k)
∫
dx
5 + 5 cos x
Multiplicamos el integrando por el conjugado del denominador:
=
∫
=
∫
=
∫
=
∫

  5 + 5 cos x 
1


 dx



 5 + 5 cos x   5 − 5 cos x 
5 − 5 cos x
(5 + 5 cos x ) (5 − 5 cos x )
5 − 5 cos x
25 − 25 cos 2 x
dx
Factorizando
5 (1 − cos x )
25 (1 − cos 2 x )
dx
Como sen 2 x = 1 − cos 2 x
Sustituimos en el integrando y reducimos
=
1
5
∫
1 − cos x
sen 2 x
5
:
25
dx
Separamos en dos integrales:
Como csc 2 =
=
1
5
=
1
5
∫
1
1
dx −
2
5
sen x
∫
1
1
dx −
2
5
sen x
∫
∫
cos x
sen 2 x
dx
cos x  1 

 dx


sen x  sen x 
cos x
1
1
; cot x =
; csc x =
2
sen x
sen x
sen x
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64
Cálculo integral
Sustituimos en los integrados:
=
1
5
∫
csc 2 x dx −
1
5
∫
cot x csc x dx
Integrando
l)
∫
= −
1
1
cot x − (− csc x ) + C
5
5
= −
1
1
cot x + csc x + C
5
5
5dx
cos 2 x tan x + 1
Como sec x =
1
cos x
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
sec 2 x =
1
cos 2 x
Sustituimos en el integrando:
sec 2 x
= 5
∫
= 5
∫
= 5
∫ (tan x + 1)
tan x + 1
dx
sec 2 x
(tan x + 1)
12
dx
−1 2
sec 2 x dx
u = tan x + 1
u ( x ) = tan x + 1
du ( x ) = sec 2 x dx
= 5
∫
u − 1 2 du
Integrando
u1 2
+C
1
2
Sustituyendo el valor de u, queda:
= 5
= 10 tan x + 1 + C
m)
∫
sec 4 x dx
Como sec 4 x = sec 2 x sec 2 x
=
∫
sec 2 x sec 2 x dx
Además, sec 2 x = 1 + tan 2 x
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
65
Sustituimos en el integrando:
=
∫ (1 + tan x ) sec
=
∫ (sec
=
∫
2
2
x dx
x + tan 2 x sec 2 x ) dx
2
sec 2 x dx
x+
∫
tan 2 x sec 2 x dx
u = tan x
u ( x ) = tan x
du ( x ) = sec 2 x dx
Integramos la primera integral y realizamos la sustitución en la segunda:
= tan x +
∫u
= tan x +
u3
+C
3
2
du
Integrando
Si sustituimos el valor de u, tenemos:
1
= tan x + tan 3 x + C
3
n)
∫
sen 3 x dx =
∫
sen x sen 2 x dx
Como sen 2 x = 1 − cos 2 x
Sustituimos en el integrando:
=
∫
sen x (1 − cos 2 x ) dx
=
∫
sen x − sen x cos 2 x dx
=
∫
sen x dx −
u = cos x
∫
sen x cos 2 x dx
u ( x ) = cos x
du ( x ) = − sen x dx
Integramos la primera integral y hacemos el cambio de variable en la segunda
integral:
(
= − cos x − − ∫ u 2 du
= − cos x +
∫
= − cos x +
1 3
u +C
3
)
u 2 du
Integrando
Si sustituimos el valor de u, obtenemos:
1
= − cos x + cos 3 x + C
3
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66
Cálculo integral
o)
∫
csc 5x cot 5x dx
u = 5x
u ( x ) = 5x
du ( x ) = 5dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 5
=
1
5
∫
csc 5x cot 5x (5) dx
=
1
5
∫
csc 5u cot u du
Integrando
= −
1
csc u + C
5
Si sustituimos el valor de u, obtenemos:
= −
p)
∫ (tan
2
1
csc 5x + C
5
3x − sec 2 5x ) dx
=
∫
tan 2 3x dx −
∫
sec 2 5x dx
Como tan 2 x = sec 2 x − 1 , entonces tan 2 3x = sec 2 3x − 1
Sustituimos en el primer integrando:
=
∫ (sec
2
3x − 1) dx −
∫
sec 2 5x dx
u = 3x
w = 5x
u ( x ) = 3x
w ( x ) = 5x
du ( x ) = 3dx
dw ( x ) = 5dx
Multiplicamos y dividimos el primer integrando entre 3 y el último entre 5:
=
1
3
∫
sec 2 3x (3) dx −
∫
dx −
1
5
∫
sec 2 5x (5) dx
Hacemos los cambios de variable:
=
1
3
=
1
1
tan u − x − tan w + C
3
5
∫
sec 2 u du −
∫
dx −
1
5
∫
sec 2 w dw
Integramos
Sustituimos el valor de u y el valor de w para obtener:
=
1
1
tan 3x − x − tan 5x + C
3
5
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
q)
∫
tan 6x
cos 2 6x
67
dx
1
1
, entonces sec 6x =
cos x
cos 6x
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
Como sec x =
sec 2 6x =
1
cos 2 6x
Sustituimos en el integrando:
=
∫
tan 6x sec 2 6x dx
u = tan 6x
u ( x ) = tan 6x
du ( x ) = sec 2 6x (6) dx
Multiplicamos y dividimos entre 6:
=
1
tan 6x sec 2 6x (6) dx
6
=
1
6
=
1 u2
+C
6 2
∫
u du
Integrando:
Si sustituimos el valor de u, obtenemos:
=
r)
∫ (sec x − tan x )
2
1
tan 2 6x + C
12
dx
Al desarrollar el binomio cuadrado perfecto:
=
∫ (sec
2
x − 2 sec x tan x + tan 2 x ) dx
2
x − 2 sec x tan x + sec 2 x − 1) dx
Como tan 2 x = sec 2 x − 1
Sustituimos en el integrando:
=
∫ (sec
=
∫ (2 sec
= 2
∫
2
x − 2 sec x tan x − 1) dx
sec 2 x dx − 2
∫
sec x tan x dx −
∫
dx
Integrando
= 2 tan x − 2 sec x − x + C
Factorizamos el número 2 en el primer y segundo términos:
= 2 (tan x − sec x ) − x + C
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68
Cálculo integral
s)
∫
dx
1 + sen x
Multiplicamos el integrando por su conjugando del denominador:
=
∫
=
∫
=
∫
 1 − sen x 
1

 dx


1 + sen x  1 − sen x 
1 − sen x
(1 + sen x ) (1 − sen x )
1 − sen x
1 − sen 2 x
dx
dx
2
2
Como 1 − sen x = cos x
Sustituimos en el integrando:
=
∫
1 − sen x
=
∫
1
dx −
cos 2 x
cos 2 x
dx
sen
dx
cos 2 x
∫
1
; cos 2 x = cos x cos x
cos x
Sustituimos en los integrandos:
Como sec x =
=
∫
sec 2 x dx −
sen x  1 

 dx


cos x  cos x 
∫
sen x
1
= tan x; sec x =
cos x
cos x
Sustituimos el segundo de los integrandos:
Como
=
∫
sec 2 x dx −
∫
tan x sec x dx
Integrando:
= tan x − sec x + C
Lo que debes saber
Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se
enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!
• Integrales inmediatas
• Identidad pitagórica
• Identidad trigonométrica recíproca
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
69
Ejercicios de repaso
1. Calcula las siguientes integrales. Se incluyen ejercicios de otras integrales inmediatas.
1
sen 5 y + C
5
a)
∫
sen 4 y cos y dy
b)
∫
sec 2
c)
∫
6dx
x3
Solución: −
3
+C
x2
d)
∫
cos 2 5 y sen 5 y dy
Solución: −
1
cos 3 5 y + C
15
e)
∫
3x sen x 2 dx
Solución: −
3
cos x 2 + C
2
2 y
y
dy
Solución:
Solución: tan
y +C
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70
Cálculo integral
f)
∫
7 tan 2 x dx
Solución: 7 tan x − 7 x + C
g)
∫
dy
5
3
+
( y)
Solución: −
h)
∫
cos 4x dx
Solución:
1
sen 4x + C
4
i)
∫
x − 1 3 dx
Solución:
33 2
x +C
2
j)
∫ dx
x
Solución: −
k)
∫
Solución:
3
sec 2 2x dx
1
+C
4
4 (3 + y )
1
+C
2x 2
1
tan 2 x + C
2
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
9
(2 y 2 − 8) 3 2 y 2 − 8 + C
16
l)
∫
3 y 3 2 y 2 − 8 dy
Solución:
m)
∫
cos 4 3 y sen 3 y dy
Solución: −
n)
∫
sen 3 y cos y dy
Solución:
o)
∫ (2 − y )
p)
∫
5 tan 2 y dy
Solución: 5 tan y − 5 y + C
q)
∫
tan 2 (3x − 1) dx
Solución:
3 2
dy
71
1
cos 5 3 y + C
5
1
sen 4 y + C
4
Solución: 4 y − y +
4
y7
+C
7
1
tan (3x − 1) − x + C
3
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72
Cálculo integral
y4
y7
+
+C
2
7
r)
∫ (1 + y )
s)
∫
x 3 cos x 4 dx
Solución:
1
sen x 4 + C
4
t)
∫
sen 2 3x cos 3x dx
Solución:
1
sen 3 3x + C
9
u)
∫
tan 5 2 x sec 2 2 x dx
Solución:
6
1
(tan 2x ) + C
12
v)
∫
5dx
cos x tan x − 2
Solución: 10 (tan x − 2 )
w)
∫
tan 2 2y dy
Solución:
3 2
dy
2
Solución: y +
12
+C
1
tan 2 y − y + C
2
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
Solución:
1
tan 3 x − tan x + x + C
3
Solución:
2
4
2
x x − x2 x + x3 x + C
3
5
7
x)
∫
y)
∫ (1 − x )
z)
∫
2+x
dx
x3
Solución: −
aa)
∫
sec 2 5x dx
Solución:
ab)
∫
csc 2 (3 + 5x ) dx
Solución: −
1
cot (3 + 5x ) + C
5
ac)
∫
2 dy
sen 2 5 y
Solución: −
2
cot 5 y + C
5
4
tan x dx
2
x dx
73
1
1
− +C
2
x
x
1
tan 5x + C
5
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74
Cálculo integral
ad)
∫ (sen
3
2 y cos 2 y ) dy
Solución:
ae)
∫ (tan
2
3x − sec 2 3x ) dx
Solución: − x + C
af)
∫
3 − cos x
ag)
∫
1
dy
sen 2 y
ah)
∫
csc
1
sen 4 2 y + C
8
Solución: − 3 cot x + csc x + C
sen 2 x
Solución: − cot y + C
3
3
x cot x dx
4
4
Solución: − 4 csc 3 x + C
3
4
2. Para cada una de las siguientes integrales indica cuál de los procedimientos vistos en el
capítulo aplicarías para resolverla.
a)
∫
tan 2 ax dx
Solución: Sustituir el integrando por una
identidad pitagórica.
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
b)
c)
d)
e)
∫
dy
sen y − 3
Solución: Multiplicar el integrando por su
∫
− cos 1 2 3x sen 3x dx
Solución: El integrando es el producto de una
∫
dx
cos 2 ax
Solución: El integrando se sustituye por una
∫
sec 2 y tan y + 5 dy
Solución: El integrando es el producto de una
75
conjugado.
potencia trigonométrica por su
diferencial.
identidad trigonométrica recíproca.
potencia trigonométrica por su
diferencial.
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76
Cálculo integral
3. Calcula las siguientes integrales:
a)
∫
sen 5x cos 4 3 5x dx
Solución:
3
cos 2 5x 3 cos 5x + C
35
b)
∫
2 tan 2 5x dx
Solución:
2
tan 5x − 2 x + C
5
c)
∫
−
dy
sen 2 by
Solución:
1
cot by + C
b
d)
∫
e)
∫
tan x
cos x sec x − 1
2 dx
sec x sen 3 x
dx
Solución: 2 sec x − 1 + C
Solución: − csc x + C
2
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CAPÍTULO
6
Integrales inmediatas.
Funciones trigonométricas
inversas
Introducción
En este capítulo analizaremos las últimas fórmulas
básicas de integración. Con esto daremos por terminado
el estudio de las integrales inmediatas.
Fórmulas de integración de funciones
trigonométricas inversas
∫
du
u
= arc sen + C
2
a
a −u
∫
1
du
u
= arc tan + C
2
a +u
a
a
∫
1
du
u
= arc sec + C
2
2
a
a
u u −a
2
2
Algunos procedimientos de integración de las funciones
trigonométricas inversas
EJEMPLOS 1
a) Integrar:
∫
dx
9 − x2
∫
du
= arc sen u + C , es necesario identificar
a
a2 − u2
2
2
los valores de a , a, u , u y calcular u(x) y du (x).
Para aplicar la fórmula
a2 = 9
u2 = x2
a = 3
u = x
u (x) = x
du ( x ) = dx
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78
Cálculo integral
El integrando está completo porque incluye la función multiplicada por su
diferencial. De este modo, podemos aplicar la fórmula de integración citada.
dx
=∫
9 − x2
∫
du
a − u2
2
Integramos:
= arc sen
u
+C
a
Al sustituir los valores de a y de u:
= arc sen
b)
∫
x
+C
3
dx
3 + 4x 2
∫
du
= 1 arc tan u + C se identifican los
a
a
a2 + u2
valores de a2, a, u2, u y se calculan u(x) y du(x).
Para aplicar la fórmula
u 2 = 4x 2
u = 2x
a2 = 3
a =
u (x) = 2x
3
du ( x ) = 2 dx
a  c 
ac
   =
b d 
bd
Para completar la diferencial se tiene que multiplicar y dividir entre 2. Con este
procedimiento no se altera el valor del integrando porque se está multiplicando
por 1:
=
1
2
∫
2 dx
3 + 4x 2
1
2
∫
du
a + u2
Sustituimos en el integrando:
=
2
Integramos:
=
1 1
u
  arc tan + C


2 a
a
Con los valores de a y de u, tenemos:
2 3x
1
3 arc tan
+C
6
3
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Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas
c)
∫
79
3
dx
x2 + 2
Identificamos a2, a, u2, u y calculamos u (x) y du(x)
a2 = 2
a =
u2 = x2
u = x
2
u (x) = x
du ( x ) = dx
Sustituimos en el integrando:
= 3
∫
du
u + a2
2
Integramos:
1
u
= 3   arc tan + C
a
a
Con los valores de a y u, tenemos:
=
2x
3
2 arc tan
+C
2
2
Estos ejemplos se han resuelto aplicando en forma directa las fórmulas de integración. En el segundo de ellos únicamente fue necesario completar su diferencial. En
otros casos, es necesario aplicar alguno de los procedimientos que se citan a continuación.
El integrando se expresa como la suma
de dos cocientes
EJEMPLO 2
∫
x+4
dx
9 − x2
Separamos en dos integrales:
∫
x
dx + ∫
9 − x2
4
dx
9 − x2
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80
Cálculo integral
u = 9 − x2
u (x) = 9 − x 2
du ( x ) = − 2 x dx
Multiplicamos y dividimos entre (−2) la primera integral:
= −
1
2
∫ x (9 − x )
2 −12
(− 2) dx + 4 ∫
dx
9 − x2
Para el resultado de la segunda integral, tomamos el del primer ejemplo de
este apartado:
= −
1
2
∫
u − 1 2 du + 4 arc sen
x
+C
3
Integramos:
= −
1 u1 2
x
+ 4 arc sen + C
1
2
3
2
Con el valor de u, tenemos:
= − (9 − x 2 )
12
+ 4 arc sen
x
+C
3
Este resultado se puede expresar en la forma siguiente:
= − 9 − x 2 + 4 arc sen
x
+C
3
El integrando es una fracción donde el numerador es dx y el
denominador es de la forma ax 2 + bx + C , esté dentro o fuera de
un radical de índice 2.
Algunos de estos casos pueden integrarse completando el cuadrado ax 2 + bx . La
integral resultante puede ser cualquiera de las formas siguientes:
∫
du
u ± a2
2
∫
du
a − u2
∫
du
u2 ± a2
∫
du
u2
2
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Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas
81
Completar el cuadrado es un procedimiento que resulta de gran utilidad cuando el
integrando incluye funciones cuadráticas. En el curso de aritmética y álgebra aprendiste que para completar un cuadrado debes sumar a la expresión el cuadrado de la
mitad del coeficiente de x.
2
2
b
b
x + bx + c = x + bx +   −   + c
2
2
2
2
().
b
Observa que para conservar la igualdad hemos sumado y restado 2
2
EJEMPLO 3
6dx
x − 4x + 8
∫
2
Al completar el cuadrado del denominador, se tiene:
x 2 − 4x + 8 = ( x 2 − 4x + 4) − 4 + 8
= (x − 2) + 4
2
()
2
2
4
El tercer término del trinomio se obtuvo con la mitad de b al cuadrado 2 = 2 = 4 .
Recuerda que la factorización del trinomio cuadrado perfecto es un binomio formado por la raíz del primer término, el signo del segundo y la raíz del tercero, elevado
al cuadrado.
= 6
∫
a
b = ad
c
bc
d
dx
2
(x − 2) + 4
u 2 = (x − 2)
2
u = x−2
a2 = 4
u (x) = x − 2
a = 2
du ( x ) = dx
Sustituimos en el integrando:
= 6
∫
du
u + a2
2
Integramos:
1
u
= 6   arc tan + C
a
a
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82
Cálculo integral
EJEMPLO 4
Con los valores de a y u, tenemos:
1
x−2
= 6   arc tan
+C
2 
2
(a )
m
n
= a mn
=
x−2
6
arc tan
+C
2
2
= 3 arc tan
x−2
+C
2
Cómo completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 es negativo
EJEMPLO 5
∫
dx
3x − x 2
Si se completa el cuadrado del denominador tenemos:
3x − x 2 = − ( x 2 − 3x )
2
2

3
3 
= − x 2 − 3x +   −   
2
 2  

2
2


3 
3
= −  x −  −   
 2  

2
Observa el signo menos que precede a los corchetes.
2

3
3
=   − x − 
2

2
a
2
3
=  
2
a =
3
2
2
2

3
u 2 = x − 

2
u = x−
3
2
u (x) = x −
3
2
2
du ( x ) = dx
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Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas
83
Sustituimos en el integrando:
∫
dx
2
3

3
  − x − 
2

2
2
=
du
a − u2
∫
2
Integramos:
= arc sen
u
+C
a
Con los valores de a y u, tenemos:
x− 3
2 +C
= arc sen
3
2
2x − 3
2
= arc sen
+C
3
2
= arc sen
= arc sen
2 (2 x − 3)
2 (3)
+C
(2x − 3) + C
3
Cómo completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 no es la unidad
EJEMPLO 6
∫
x
2 x 2 − 8x + 9
Factorizamos la expresión 2 x 2 − 8x antes de completar el cuadrado.
2 x 2 − 8x + 9 = 2 ( x 2 − 4x ) + 9
= 2 ( x 2 − 4x + 4 − 4) + 9
Observa que el factor 2 afecta toda la expresión que está entre paréntesis:
= 2 ( x 2 − 4x + 4) − 2 ( 4) + 9
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84
Cálculo integral
Factorizamos el trinomio y sumamos:
= 2 (x − 2) + 1
2
Sustituimos en el integrando:
=
u 2 = 2 (x − 2)
dx
2
2 (x − 2) + 1
∫
2
u =
2 (x − 2)
a2 = 1
u (x ) =
2 (x − 2)
a =1
du ( x ) =
2 dx
Multiplicamos y dividimos en el integrando entre
=
1
2
∫
2 dx
2
 2 ( x − 2 ) + 1


du
u + a2
2
Sustituimos en el integrando:
=
1
2
∫
=
1
2
1
u
  arc tan + C
a
a
2
Integramos:
Con el valor de u y con el de a, tenemos:
=
2 (x − 2)
1  1
+C
  arc tan
2  1
1
=
1
arc tan 2 ( x − 2 ) + C
2
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Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas
85
EJEMPLOS 7
Integra:
a)
∫
dx
9 − 16x 2
u 2 = 16x 2
u = 4x
a2 = 9
u ( x ) = 4x
a = 3
du ( x ) = 4dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 4:
1
4
∫
4dx
9 − 16x 2
=
1
4
∫
du
a − u2
=
1
u
arc sen + C
4
a
=
Sustituimos en el integrando:
2
Integramos:
Con los valores de a y u, tenemos:
1
4x
arc sen
+C
4
3
=
b)
∫
dy
y y 2 − 16
u2 = y2
a 2 = 16
a = 4
u = y
u ( y) = y
du ( y ) = dy
Sustituimos en el integrando:
=
∫
du
=
u u2 − a2
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86
Cálculo integral
Integramos:
1
u
arc sec + C
a
a
=
Con los valores de a y u, tenemos:
y
1
arc sec + C
4
4
=
c)
∫
dx
25 − 4 y 2
u 2 = 4y 2
u = 2y
a 2 = 25
u ( y ) = 2 dy
a = 5
du ( y ) = 2 dy
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 2:
=
1
2
∫
2 dx
25 + 4 y 2
1
2
∫
du
a + u2
Sustituimos en el integrando:
=
2
Integramos:
1 1
u
  arc tan + C
2 a
a
=
Con los valores de a y u, tenemos:
=
2y
1 1
+C
  arc tan
2 5 
5
=
2y
1
arc tan
+C
10
5
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Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas
d)
∫
87
ydy
5 + 2y 4
u 2 = 2y 4
u =
2y 2
u ( y) =
2y 2
a2 = 5
a =
5
du ( y ) = 2 2 y dy
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 2 2 .
=
1
2 2
∫
2 2 y dy
∫
du
a + u2
5 + 2y 4
Sustituimos en el integrando:
=
1
2 2
2
Integramos:
=
ab =
a b
1 1
u
  arc tan + C
2 2 a
a
Con los valores de a y u, tenemos:
e)
=
2 y2
1  1 
+C
  arc tan
2 2  5
5
=
1
2 2
arc tan
y +C
2 10
5
cos y d y
∫ 4 + sen
2
y
u 2 = sen 2 y
u = sen y
a2 = 4
u ( y ) = sen y
a = 2
du ( x ) = cos y dy
Sustituimos en el integrando:
=
∫a
2
du
+ u2
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88
Cálculo integral
Integramos:
1
u
arc tan + C
a
a
=
Con los valores a y u, tenemos:
=
f)
∫
 sen y 
1
arc tan 
+C
 2 
2
dy
9 − ( y + 1)
2
a
2
u 2 = ( y + 1)
= 9
2
u = y+1
a = 3
u ( y) = y + 1
du ( y ) = dy
Sustituimos en el integrando:
=
∫
du
a2 − u2
Integramos:
= arc sen
u
+C
a
Con los valores de a y u, tenemos:
= arc sen
g)
∫
y+1
+C
3
sec 2 y dy
1 − 9 tan 2 y
u 2 = 9 tan 2 y
a =1
2
a =1
u = 3 tan y
u ( y ) = 3 tan y
du ( y ) = 3 sec 2 y dy
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Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas
89
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3:
=
∫
2
1 sec y (3) dy
3 1 − 9 tan 2 y
Sustituyendo en el integrando:
=
1
3
=
1
u
arc sen + C
3
a
∫
du
a − u2
2
Integramos:
Con los valores de a y u, tenemos:
=
h)
∫1+
1
arc sen (3 tan y ) + C
3
dx
2
(x − 2)
a2 = 1
u = (x − 2)
a =1
2 =
u (x − 2)2
u(x) = (x − 2)
du(x) = dx
Sustituyendo en el integrando:
=
∫
du
a2 + u2
Integramos:
=
1
u
arc tan + C
a
a
Con los valores de a y u, tenemos:
= arc tan ( x − 2 ) + C
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90
Cálculo integral
i)
∫
arc tan 2 x
1 + 4x 2
dx
u = arc tan 2 x
u ( x ) = arc tan 2 x
du ( x ) =
2 dx
1 + 4x 2
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 2:
1
2
=
arc tan 2 x (2 ) dx
∫
1 + 4x 2
Sustituimos en el integrando:
=
1
2
=
1 u2
+C
2 2
∫
u du
Integramos:
Con el valor de u, tenemos:
=
j)
∫
1
arc tan 2 2 x + C
4
arc cos 2 3 xdx
1 − 9x 2
u = arc cos 3x
u ( x ) = arc cos 3x
du ( x ) = −
3 dx
1 − 9x 2
Multiplicamos y dividimos el integrando entre −3:
= −
1
3
∫
arc cos 2 3x (− 3) dx
1 − 9x 2
Sustituimos en el integrando:
= −
1
3
∫
u 2 du
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Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas
91
Integramos:
1 u3
+C
3 3
= −
Con el valor de u, tenemos:
1
arc cos 3 3x + C
9
= −
k)
∫
( y + 3) dy
1 − y2
Separamos en dos integrales:
y dy
=
∫
=
∫ y (1 − y )
1− y
2
+
∫
2 −1 2
3dy
1 − y2
dy + 3
∫
dy
1 − y2
u = 1 − y2
u ( y) = 1 − y 2
du ( y ) = − 2 y dy
Se hace método de sustitución en la primera integral, la segunda es directa y
queda la integral:
= −
1
2
= −
1 u1 2
+ 3 arc sen y + C
2 1
2
∫
u 1 2 du + 3 arc sen y + C
Integramos:
Con el valor de u, tenemos:
= − (1 − y 2 )
12
+ 3 arc sen + C
= − 1 − y 2 + 3 arc sen y + C
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92
Cálculo integral
l)
∫
dx
2x − x 2
Se completa el cuadrado:
2x − x 2 = − (x 2 − 2x )
= − ( x 2 − 2 x + 1 − 1)
2
= − ( x − 1) − 1
= 1 − ( x − 1)
∫
dx
=∫
2x − x 2
2
dx
1 − ( x − 1)
2
a2 = 1
u 2 = ( x − 1)
a =1
u = x −1
2
u (x) = x − 1
du ( x ) = dx
Sustituimos en el integrando:
du
a − u2
∫
=
2
Integramos:
= arc sen u + C
Con el valor de u y de a, tenemos:
= arc sen ( x − 1) + C
Al inicio de este capítulo se indica el procedimiento para completar el
trinomio cuadrado perfecto.
m)
∫
dx
x − 2x + 1
2
En este caso, el denominador es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que
tenemos que factorizar el trinomio.
x
2
(x − 1)
=
∫
=
∫ (x − 1)
−2
dx
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Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas
93
u = x −1
u (x) = x − 1
du ( x ) = dx
Sustituimos en el integrando:
=
∫
=
u −1
+C
−1
u − 2 du
Integramos:
1
+C
u
= −
Con el valor de u, tenemos:
1
+C
x −1
= −
n)
∫
dy
y − 6 y − 16
2
y 2 − 6 y − 16 = ( y 2 − 6 y + 9) − 9 − 16
= (y − 3)2 − 25
∫
dy
=
y − 6 y − 16
2
∫
u 2 = ( y − 3)
dy
2
( y − 3) − 25
a0 = 1 por definición
a 2 = 25
2
a = 5
u = y−3
du = dy
Sustituimos en el integrando:
=
∫
du
u − a2
2
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94
Cálculo integral
Para realizar esta integral aplicaremos la fórmula
∫
du
1
u−a
=
+C
ln
u2 − a2
2a
u+a
1
u−a
+C
ln
10
u+a
=
Con los valores de a y u, tenemos:
y−3−5
1
ln
+C
10
y−3+5
=
=
o)
∫
y−8
1
ln
+C
10
y−2
dx
x 2 + 4x + 4
dx
2
(x + 2)
=
∫
=
∫ (x + 2)
=
∫
−2
dx
u n du
Integramos:
=
u −1
+C
−1
= −
1
+C
u
Con el valor de u, tenemos:
= −
1
+C
x+2
Lo que debes saber
Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se
enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!
• Integrales inmediatas de funciones trigonométricas inversas
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07/04/13 12:25
Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas
95
Ejercicios de repaso
1. Calcula las siguientes integrales. Se incluyen ejercicios de otras integrales inmediatas.
1
3x
arc tan
+C
12
4
a)
∫
dx
9x + 16
b)
∫
dy
c)
∫
d)
∫
dy
3
( y − 2)
Solución: −
e)
∫
sen 3 y cos y dy
Solución: 1 sen 4 y + C
f)
∫
2 x 2 dx
x x6 − 9
Solución: 2 arc sen x
2
16 − y
3
2
5x dx
3
Solución:
Solución: arc sen
Solución:
y
+C
4
3 3
x 5x + C
4
1
+C
2
2 ( y − 2)
4
9
3
3
+C
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07/04/13 12:25
96
Cálculo integral
g)
∫
h)
∫
i)
∫
j)
∫
Solución: 1 arc sec y + C
dy
4
y y − 16
2
Solución: 1 arc tan y
5 y dy
2
y 4 + 25
x −2 − 3
dx
x2
(x
−2
4
− x −5 − x −4)
x
2
5
Solución: − 1
3x 3
dx
Solución: −
2
+
+C
3
+C
x
1
1
1
+
+
+C
3
6
3x
6x
5x 5
2. Calcula las integrales siguientes. Se incluyen ejercicios de otras integrales inmediatas.
a)
∫
b)
∫
c)
∫
sen
3x
dx
4
Solución: −
sen y dy
5 − cos y
2
dy
y − 8 y + 20
2
4
3x
cos
+C
3
4
Solución: − arc sen
Solución:
cos y
5
+C
y−4
1
arc tan
+C
2
2
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Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas
sec y tan y dy
Solución:
sec y
1
arc tan
+C
4
4
Solución:
y
1
arc sec + C
2
2
d)
∫
e)
∫
f)
∫
g)
∫
h)
∫
dy
y + 8 y + 25
Solución:
y+4
1
+C
arc tan
3
3
i)
∫
dx
x + 2 x + 10
Solución:
1
x+1
+C
arc tan
3
3
j)
∫
dx
4x + 8x + 5
Solución:
1
arc tan (2 x + 2 ) + C
2
16 + sec y
2
dy
y y −4
2
dx
1 + 7x 2
dy
−y − 6y + 7
2
2
2
Solución:
7
arc tan 7 x + C
7
Solución: arc sen
2
97
y+3
+C
4
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07/04/13 12:26
98
Cálculo integral
k)
∫
l)
∫
m)
∫
n)
∫
o)
∫
p)
∫
2 y 2 dy
y3
y6 − 9
8dy
y + 4y + 7
Solución: 2 arc sec y
9
Solución:
2
dx
4 + 6x − x 2
− 4x dx
3
8 3
3
3 ( y + 2)
arc tan
Solución: arc sen
3
13 ( x − 3)
13
Solución: − 2 arc sen x
9 − x4
+C
3
3
3
dy
5 + 4 sec y
+C
y
1
arc sec + C
2
2
Solución:
2 5 sec y
5
arc tan
+C
10
5
y y −4
2
+C
Solución:
2
sec y tan y dy
+C
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07/04/13 12:26
CAPÍTULO
7
Integrales inmediatas.
Funciones exponenciales
y logarítmicas
Fórmulas de integración
exponencial
∫
e u du = e u + C
∫


1  u
a u du = 
a + C
 ln a 
EJEMPLOS 1
Integra:
a) ∫e5xdx
u = 5x
u ( x ) = 5x
du ( x ) = 5dx
Multiplicamos y dividimos en el integrando entre 5:
1
5
=
∫
e x 5 dx
Sustituimos:
=
1
5
=
1 u
e +C
5
=
1 5x
e +C
5
∫
e u du
Integramos:
Con el valor de u, tenemos:
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07/04/13 12:28
100
Cálculo integral
b)
∫
ex
2
+3
x dx
u = x2 + 3
u (x) = x 2 + 3
du ( x ) = 2 x dx
Multiplicamos y dividimos en el integrando entre 2:
=
1
2
∫
ex
=
1
2
∫
e u du
=
1
2
∫
eu + C
2
+3
(2) x dx
Luego sustituimos:
Integramos:
Con el valor de u, tenemos:
1 x2+ 3
e
+C
2
=
c)
∫
e sen x cos x dx
u = sen x
u ( x ) = sen x
du ( x ) = cos x dx
Sustituimos:
=
∫
e u du
Integramos:
= eu + C
Con el valor de u, queda:
= e sen x + C
d)
∫
2
xe − 6 x dx
u = − 6x 2
u ( x ) = − 6x 2
du ( x ) = − 12 x dx
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07/04/13 12:28
Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas
101
Multiplicamos y dividimos el integrando entre −12:
= −
1
12
∫
e − 6 x (− 12 ) x dx
Sustituimos:
= −
1
12
= −
1 u
e +C
12
∫
e u du
Integramos:
Con el valor de u, queda:
= −
e)
1
12
∫
2
e − 6x + C
∫ (7x − e ) dx
2x
= 7
∫
x dx −
∫
e 2 x dx
u = 2x
u (x) = 2x
du ( x ) = 2 dx
Multiplicamos y dividimos la segunda integral entre 2:
= 7
∫
x dx −
1
2
∫
e 2 x (2 ) dx
= 7
∫
x dx −
1
2
∫
e u du
=
7 2 1 u
x − e +C
2
2
Integramos:
Con el valor de u, tenemos:
=
7 2 1 2x
x − e +C
2
2
∫
e u du = e u + C
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07/04/13 12:28
102
Cálculo integral
f)
∫ (e
3x
− 4) dx
2
Primero desarrollamos el binomio al cuadrado
=
∫ (e
=
∫
− 8e 3x + 16) dx
6x
e 6 x dx − 8
∫
e 3x dx + 16
∫
dx
u = 6x
v = 3x
u ( x ) = 6x
v ( x ) = 3x
du ( x ) = 6 dx
dv ( x ) = 3dx
Multiplicamos y dividimos entre 6 y entre 3 la primera y la segunda de las
integrales, respectivamente:
1
6
=
∫
e 6 x (6) dx −
8
3
∫
=
1
6
8
3
∫e
e 3x (3) dx + 16
∫ dx
Sustituimos:
∫e
u
du −
v
dv + 16 ∫ dx
e integramos:
1 u 8 v
e − e + 16x + C
6
3
=
Con los valores de u y de v, tenemos:
=
g)
∫
−
6dx
= −6
e 2x
∫
1 6 x 8 3x
e − e + 16x + C
6
3
e − 2 x dx
u = − 2x
u (x) = − 2x
du ( x ) = − 2 dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre −2:
= 3
∫
e − 2 x (− 2 ) dx
Hacemos la sustitución:
= 3
∫
e u du
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07/04/13 12:28
Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas
103
y la integración:
= 3e u + C
Con el valor de u, tenemos:
= 3e − 2 x + C
=
h)
∫
9dx
= 9
e 4x
∫e
− 4x
3
e
+C
2x
1
= a−m
m
a
dx
u = − 4x
u ( x ) = − 4x
du ( x ) = − 4dx
Al multiplicar y dividir el integrando entre − 4 queda:
9
4
= −
Sustituimos: = −
9
4
∫
∫
e − 4 x (− 4) dx
e u du
Integramos:
= −
9 u
e +C
4
= −
9
+C
4e 4 x
Con el valor de u, tenemos:
i)
∫
dx
= ∫ e − 3x dx
3x
e
u = − 3x
u ( x ) = − 3x
du ( x ) = − 3dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre − 3
= −
1
3
∫
e − 3x (− 3) dx
Sustituimos:
= −
1
3
∫
e u du
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07/04/13 12:28
104
Cálculo integral
Integramos:
= −
1 u
e +C
3
Con el valor de u, tenemos:
1
= − e − 3x + C
3
= −
j)
(a )
m
n
∫
= a mn
3dx
= 3
ex
= 3
∫
∫
1
+C
3e 3x
dx
(e )
x 12
e − x 2 dx
u = −
x
2
u (x) = −
x
2
du ( x ) = −
1
dx
2
Multiplicamos y dividimos el integrando entre − 21
=
3
−1
2
∫
 1
e − x 2 −  dx
 2
Sustituimos:
= −6
∫
e u du
Integramos:
= − 6e u + C
Con el valor de u, tenemos:
= − 6e − x 2 + C
= −
k)
∫
6
+C
ex
e − x dx
u = −x
u (x) = − x
du ( x ) = − dx
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07/04/13 12:28
Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas
105
Consideramos el signo “menos” de la diferencial:
= −
∫ e (− dx )
−x
Sustituimos:
∫e
= −
u
du
e integramos:
= −eu + C
Con el valor de u, tenemos:
= − e−x + C
= −
l)
∫
1
+C
ex
2 x dx
u = x
u (x) = x
du = dx
a = 2
Sustituimos:
∫
=
a u du
Integramos:


1  u
= 
a + C
 ln a 
Con los valores de a y u, tenemos:
=
m)
∫
1 x
2 +C
ln 2
2
3xe − x dx
u = − x2
u (x) = − x 2
du ( x ) = − 2 x dx


1  u
u

a
du
=
∫

a + C
 ln u 
Al multiplicar y dividir el integrando entre −2 resulta:
= −
3
2
∫
e − x (− 2 ) x dx
2
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07/04/13 12:28
106
Cálculo integral
Luego sustituimos:
= −
3
2
= −
3 u
e +C
2
= −
3
2 + C
2e x
∫
e u du
Integramos:
Con el valor de u, tenemos:
n)
∫
e1 x
dx
x2
u =
1
x
u (x ) =
1
x
du ( x ) = −
1
dx
x2
Se considera el signo “menos” de la diferencial:
= −
∫e
= −
∫e
1x
 1 
− 2  dx
 x 
Sustituimos:
u
du
Integramos:
= −eu + C
Con el valor de u, tenemos:
= − e1 x + C
o)
∫
sen xe cos x dx
u = cos x
u ( x ) = cos x
du ( x ) = − sen x dx
Se considera el signo menos de la diferencial
= −
∫
e cos x (− sen x dx )
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07/04/13 12:29
Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas
107
Sustituimos:
∫
= −
e u du
Enseguida integramos:
= −eu + C
Con el valor de u, tenemos:
= − e cos x + C
p)
∫
e sen 6 x cos 6x dx
u = sen 6x
u ( x ) = sen 6x
du ( x ) = 6 cos 6x dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 6:
=
1
6
∫e
sen 6 x
6 cos 6x dx
Luego sustituimos:
1
6
=
∫e
u
du
Integramos:
=
1 u
e du
6
Con el valor de u, tenemos:
=
q)
∫
1 sen 6 x
e
+C
6
9 x dx
u = x
u (x) = x
du ( x ) = dx
a = 9
Hacemos la sustitución:
=
∫
a u du
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07/04/13 12:29
108
Cálculo integral
y la integración:


1  u
= 
a + C
 ln a 
=
au
+C
ln a
Con los valores de a y u, tenemos:
=
9x
+C
ln 9
Fórmulas de integración logarítmica
∫
du
= ln u + C
u
∫
tan u du = ln sec u + C
∫
cot u du = ln sen u + C
∫
sec u du = ln sec u + tan u + C
∫
csc u du = ln csc u − cot u + C
∫
du
1
u−a
=
+C
ln
u2 − a2
2a
u+a
∫
1
du
a+u
=
+C
ln
2
2a a − u
a −u
∫
2
du
= ln u +
u2 − a2
u2 − a2 + C
EJEMPLOS 2
Integra:
a)
∫
dx
1
=
5x
5
∫
dx
x
u = x
u (x) = x
du ( x ) = dx
Sustituimos en el integrando:
=
1
5
∫
du
u
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07/04/13 12:29
Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas
109
Integramos:
=
1
ln u + C
5
=
1
ln x + C
5
Con el valor de u, queda:
Aplicamos la siguiente propiedad de los logaritmos:
log A n = n log A
= ln ( x )
b)
∫
5dx
= 5
2 + 3x
∫
15
+C
dx
2 + 3x
u = 2 + 3x
u ( x ) = 2 + 3x
du ( x ) = 3 dx
Multiplicamos y dividimos entre 3:
=
5
3
∫
=
5
3
3 dx
2 + 3x
Sustituimos en el integrando:
∫
du
u
Integramos:
=
5
ln u + C
3
Con el valor de u, tenemos:
=
c)
∫
5
ln 2 + 3x + C
3
(2x − 1) dx
x2 − x − 6
u = x2 − x − 6
u (x) = x 2 − x − 6
du ( x ) = (2 x − 1) dx
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07/04/13 12:29
110
Cálculo integral
Sustituimos en el integrando:
du
u
∫
=
Integramos:
= ln u + C
∫
Con el valor de u, tenemos:
du
= ln u + C
u
= ln x 2 − x − 6 + C
d)
∫
x 3dx
3x 4 − 5
u = 3x 4 − 5
u ( x ) = 3x 4 − 5
du ( x ) 12 x 3 dx
Multiplicamos y dividimos entre 12:
=
12 x 3 dx
1
12
∫
=
1
12
3x 4 − 5
Sustituimos en el integrando:
∫
du
u
Integramos:
=
1
ln u + C
12
Con el valor de u, tenemos:
=
e)
∫
1
ln 3x 4 − 5 + C
12
x+3
dx
x+2
Dado que el grado del numerador es igual al grado del denominador, podemos
realizar la división. Recuerda que el grado lo da el mayor exponente de la
variable.
1
x +2x +3
−x − 2
1
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Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas
El resultado de la división es 1 +
111
1
x+2
Sustituimos en la integral:
∫

1 
1 +
 dx

x + 2
x+3
dx = ∫
x+2
Separando en dos integrales:
=
∫
dx +
∫
1
dx
x+2
u = x+2
u (x) = x + 2
du ( x ) = dx
Sustituimos en el integrando:
∫
dx + ∫
du
u
Integramos:
= x + ln u + C
Con el valor de u, tenemos:
= x + ln x + 2 + C
f)
∫
cos ( x + 2 )
sen ( x + 2 )
dx
u = sen ( x + 2 )
u ( x ) = sen ( x + 2 )
du ( x ) = cos ( x + 2 ) dx
Sustituimos en el integrando:
=
∫
du
u
Integramos:
= ln u + C
Con el valor de u, tenemos:
= ln sen ( x + 2 ) + C
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112
Cálculo integral
g)
∫
tan (5x − 1) dx
u = 5x − 1
u ( x ) = 5x − 1
du ( x ) = 5 dx
Multiplicamos y dividimos entre 5:
=
1
5
∫
5 tan (5x − 1) dx
Sustituimos en el integrando:
=
1
5
=
1
ln sec u + C
5
∫
5 tan u du
Integramos:
Con el valor de u, tenemos:
=
h)
∫
ln x
x
1
ln sec (5x − 1) + C
5
dx
u = ln x
u ( x ) = ln x
du ( x ) =
1
dx
x
Sustituimos en el integrando:
=
∫
=
u2
+C
2
u du
Integramos:
Con el valor de u, queda:
=
ln 2 x
2
+C
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07/04/13 12:29
Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas
i)
∫
 2
−

 x
113
2

x  dx

Desarrollamos el binomio al cuadrado:
=

4
 − 4 + x  dx

x
∫
= 4
∫
u = x
dx −
4
x
∫
dx +
∫ x dx
∫
dx + ∫ x dx
u (x) = x
du ( x ) = dx
Sustituimos en la primera integral:
= 4
∫
du
−4
u
Integramos:
= 4 ln u − 4x +
x2
+C
2
Con el valor de u, tenemos:
= 4 ln x − 4x +
j)
∫
x2
+C
2
dx
cos x 6 tan ( x − 3)
2
Dado que sec x =
sec 2 =
1
, elevamos al cuadrado ambos miembros. Así, queda:
cos x
1
cos 2 x
Sustituimos en el integrando:
=
∫
sec 2 x dx
6 tan ( x − 3)
u = 6 tan ( x − 3)
u ( x ) = 6 tan ( x − 3)
du ( x ) = 6 sec 2 ( x − 3) dx
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114
Cálculo integral
Multiplicamos y dividimos entre 6:
=
1
6
6 sec 2 ( x − 3) dx
∫
6 tan ( x − 3)
Sustituimos nuevamente en el integrando:
=
1
6
∫
du
u
Integramos:
=
1
ln u + C
6
Con el valor de u, tenemos:
=
k)
∫
1
ln 6 tan ( x − 3) + C
6
dx
x −9
2
u2 = x2
u = x
u (x) = x
du ( x ) = dx
a2 = 9
a = 3
Sustituimos en el integrando:
=
∫
du
u − a2
2
Integramos:
=
1
u−a
ln
+C
2a
u+a
Con el valor de a y u, tenemos:
=
1
x−3
ln
+C
6
x+3
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07/04/13 12:29
Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas
l)
∫
(e
x
+ sec 2 x )
e x + tan x
115
dx
u = e x + tan x
u ( x ) = e x + tan x
du ( x ) = (e x + sec 2 x ) dx
Sustituimos en el integrando:
=
∫
du
u
Integramos:
= ln u + C
Con el valor de u, tenemos:
= ln e x + tan x + C
m)
∫
e x − e−x
dx
e x + e−x
u = e x + e−x
u (x) = e x + e − x
du ( x ) = (e x − e − x ) dx
Sustituimos en el integrando:
=
∫
du
u
Integramos:
= ln u + C
Con el valor de u, tenemos:
= ln e x + e − x + C
n)
∫ x (2
− 3x 2
) dx
u = − 3x 2
a = 2
u ( x ) = − 3x 2
du ( x ) = − 6x dx
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07/04/13 12:29
116
Cálculo integral
Multiplicamos y dividimos entre − 6:
1
6
= −
∫2
− 3x 2
(− 6) x dx
Sustituimos en el integrando:
= −
1
6
∫a
u
du
Integramos:
= −


1 1  u

a + C
6  ln a 
Con el valor de u, tenemos:
= −
o)
∫
sen x + cos x
cos x


1 − 3x 2  1 
2

+C
6
 ln 2 
dx
Separamos en dos integrales y aplicamos la siguiente identidad trigonométrica:
tan A =
sen A
cos A
.
=
∫
sen x
=
∫
tan x dx +
cos x
dx +
cos x
∫
∫
cos x
dx
dx
Integramos:
= ln sec x + x + C
p)
∫
tan 2x dx
u = 2x
u (x) = 2x
du ( x ) = 2 dx
Multiplicamos y dividimos entre 2:
=
1
2
∫
tan 2 x (2 ) dx
=
1
2
∫
tan u du
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07/04/13 12:29
Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas
117
Integramos:
=
1
ln sec u + C
2
=
1
ln sec 2 x + C
2
Sustituimos el valor de u:
q)
∫
sec x
dx
x
u =
x = x1 2
u (x) = x 1 2
du ( x ) =
1 12
1
x dx =
dx
2
2 x
Multiplicamos y dividimos entre 2:
= 2
∫


 1 sec x dx 


2 x

= 2
∫
sec u du
Integramos:
= 2 ln sec u + tan u + C
Sustituimos el valor de u y obtenemos:
= 2 ln sec x + tan x + C
r)
∫ (1 + tan x )
2
dx
Desarrollamos el binomio al cuadrado:
=
∫ (1 + 2 tan x + tan x ) dx
2
Dado que tan 2 x = sec 2 x − 1 , sustituimos en el integrando:
=
∫ ( 1 + 2 tan x + sec
=
∫ (2 tan x + sec x ) dx
= 2
2
x − 1 ) dx
2
∫ tan x dx + ∫ sec
2
x dx
Integramos:
= 2 ln sec x + tan x + C
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07/04/13 12:29
118
Cálculo integral
s)
∫
5x 3 − 3
dx
x2 + 2
Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, se
divide
5x
x + 2 5x 3 + 0 + 0 − 3
2
− 5x 3 − 10 x
− 10 x − 3
Entonces:
5x 3 − 3
−10 x − 3
= 5x +
2
x +2
x2 + 2
Sustituimos en el integrando:
=


∫ 5x − 10x x ++ 23  dx
= 5
2
∫ x dx − ∫ x10+x 2 dx − ∫ x
2
2
3
dx
x
+2
Integramos la segunda integral:
∫
10 x
dx
x2 + 2
u = x2 + 2
u (x) = x 2 + 2
du ( x ) = 2 xdx
= 5
2 x dx
∫x
2
+2
Sustituimos en el integrando:
= 5
∫ duu
Integramos:
∫ kf (x ) dx
∫ kf (x ) dx = k ∫ f (x ) dx
= k ∫ f ( x ) dx
Con el valor de u, tenemos:
= 5 ln u + C
= 5 ln x 2 + 2 + C
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Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas
119
Integramos la tercera integral:
∫
3
dx
x2 + 2
u2 = x2
u=x
du(x) = dx
a2 = 2
a = 2
Sustituimos:
= 3
∫u
2
du
+ a2
Integramos:
1
u
= 3   arc tan + C
a
a
Con los valores a y u, tenemos:
=
3
2
arc tan
x
+C
2
Teníamos que:
∫
5x 3 − 3
dx = 5
x2 + 2
10 x dx
∫ x dx − ∫ x
2
+2
−
∫ x dx+ 2
2
Si calculamos la primera integral y sustituimos cada uno de los resultados de
las integrales segunda y tercera, obtenemos:
=
3
5x 2
x
− 5 ln x 2 + 2 −
+C
arc tan
2
2
2
EJERCICIOS
1. Calcula las integrales siguientes. Se incluyen ejercicios de otras integrales inmediatas.
a)
∫
e 6 x dx
Solución:
1 6x
e +C
6
b)
∫
e 3x 5 dx
Solución:
5 5 3x
e +C
3
c)
∫
dx
3x + 25
Solución:
3
3
arc tan
x+C
15
5
2
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07/04/13 12:30
120
Cálculo integral
Solución:
1
arc sen 2 x + C
4
Solución:
1
ln y + C
7
∫ lny y dy
Solución:
1 3
ln y + C
3
g)
∫ 5 −dy9 y
Solución: −
h)
∫
3x 2 − 5 x
i)
∫
5 + 2 y dx
j)
∫
e cot 2 x csc 2 2 x dx
k)
∫
y 3e y dy
l)
∫ (e
m)
∫ (e
dx
4 − 16x 2
d)
∫
e)
∫ 7dyy
f)
2
x
dx
4
x2
2x
Solución:
1
(5 + 2 y) 5 + 2 y + C
3
Solución:
1
(5 + 2 y) 5 + 2 y + C
3
Solución: −
Solución:
− e − x 2 ) dx
+ 3) dx
2
1
ln 5 − 9 y + C
9
1 cot 2 x
e
+C
2
1 y4
e +C
4

Solución: 2  e

Solución:
x
+
1 
+C
ex 
1 4x
e + 3e 2 x + 9x + C
4
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Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas
2
n)
∫ 163x−dxx
o)
∫
6
ln ( x − 3) dx
x−3
Solución:
1
4 + x3
ln
+C
8
4 − x3
Solución:
1 2
ln x − 3 + C
2
121
Ejercicios de repaso
1. Calcula las integrales siguientes. Se incluyen ejercicios de otras integrales inmediatas.
a)
csc 2 x dx
∫ 3 − 8 cot x
(x
2
+ 3) dx
Solución:
1
ln 3 − 8 cot x + C
8
Solución:
x2
− x + 4 ln x + 1 + C
2
b)
∫
c)
∫
9e 3x dx
Solución: 3e
d)
∫
e 5x + e − 4x
dx
e 2x
Solución:
e)
∫
dx
ex
Solución: −
x+1
3x
+C
1 3x
1
e −
+C
3
6e 6 x
1
+C
ex
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122
Cálculo integral
f)
∫e
g)
∫ 10
h)
∫3
i)
∫
j)
∫3
k)
∫ (e
l)
∫3
x2
m)
∫
dx
9x 2 − 2
n)
∫ 4x dx− 9
sen y
2x
5y
sen y
+C
cos y dy
Solución: e
dx
Solución:
10 2x
+C
2 ln 10
Solución:
35y
+C
5 ln 3
dy
12
e y dy
y1 2
2x
Solución: 2e
dx
3x
+ 7 3x ) dx
y
+C
Solución:
3 2x
+C
2 ln 3
Solución:


1  3x
7 3x 
e
+

+C
3
ln 7 
2
x dx
2
3x
Solución:
+C
2 ln 3
Solución:
1
ln 3x +
3
Solución:
1
2x − 3
ln
+C
12
2x + 3
9x 2 − 2 + C
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Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas


o)
∫ tan 5x − cot 23 x  dx
Solución:
1
2
3
ln (sec 5x ) − ln sen x + C
5
3
2
p)
∫ cosdx5x
Solución:
1
ln sec 5x + tan 5x + C
5
q)
∫ 3 − ex
r)
∫ tan 2x dx
Solución:
1
ln sec 2 x + C
2
s)
∫ sen 5x tan 5x dx
Solución:
1
sec 5x + C
5
t)
∫ csc
Solución: −
u)
∫x
v)
∫ 16 −dx4x
w)
∫
8x dx
3
2
Solución: −
2
5x dx
sec 2 x 4 dx
2
dx
2
(x − 3) + 4
123
4
ln 3 − ex 2 + C
e
1
cot 5x + C
5
Solución:
1
tan x 4 + C
4
Solución:
1
4 + 2x
ln
+C
16
4 − 2x
Solución:
 x − 3
1
arc tan 
+C
 2 
2
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124
Cálculo integral
x)
∫ x dx
−
y)
∫ x cot x
z)
∫
sen x cos x
aa)
∫
sen x dx
ab)
∫ 2 sec 4 y dy
Solución:
1
ln sec 4 y + tan 4 y + C
2
ac)
∫ x cot x
dx
Solución:
1
ln sen x 2 + C
2
ad)
∫
dy
Solución:
1
ln tan 4 y + C
4
ae)
∫ − 2 ydy− y
Solución:
y+2
1
ln −
+C
2
y
af)
∫ 5 −dx9x
Solución:
5
ln
30
Solución: ln x − 2 + C
2
2
dx
dx
cos x
sec 2 4 y
tan 4 y
2
2
1
ln sen x 2 + C
2
Solución: ln sec x + x + C
Solución: − 2 cos x + C
x
2
Solución:
5 + 3x
+C
5 − 3x
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Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas
ag)
∫x
2
dx
+ 16
Solución:
125
x
1
arc tan + C
4
4
Resumen de las integrales
A continuación se presentan las integrales inmediatas que hemos aplicado en este
capítulo. Aparecen de acuerdo al orden en que se analizaron.
∫ k dx
∫ kf (x ) dx
∫ [ f (x ) ± g (x )] dx
∫u
∫u
−1
n
= k ∫ f ( x ) dx + C
=
du =
∫ duu
du =
= kx + C
∫ sen u du
∫ f (x ) dx ± ∫ g (x ) dx
u n +1
+ C con n ≠ −1
n+1
= ln u + C = ln u + C = L u + C
= − cos u + C
∫ cos u du = sen u + C
∫ sec u tan u du
∫ sec
2
u du = tan u + C
∫ csc u cot u du
∫ csc
2
= sec u + C
= − csc u + C
u du = − cot u + C
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126
Cálculo integral
du
u
= arc sen + C
2
a
a −u
∫
2
∫a
∫
2
1
du
u
= arc tan + C
a
a
+ u2
1
du
u
= arc sec + C
2
2
a
a
u u −a
∫e
∫a
u
u
du = e u + C


1  u
du = 
a + C
 ln a 
∫ tan u du
= ln sec u + C = − ln cos u + C
∫ cot u du
= ln sen u + C
∫ sec u du
= ln sec u + tan u + C
∫ csc u du
= ln csc u − cot u + C = − ln csc u + cot u + C
∫u
∫
∫
2
du
1
u−a
=
+C
ln
2
−a
2a
u+a
1
du
a+u
=
+C
ln
2
2a
a −u
a −u
2
du
= ln u +
u − a2
2
u2 − a2 + C
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8
CAPÍTULO
Métodos de integración.
Integración de funciones
trigonométricas
Introducción
Cuando se trata de obtener la solución de una integral
es probable que ésta no se incluya en los formularios que
presentan los libros de texto.
Sin embargo, los métodos de integración que a continuación
analizaremos te ayudarán a transformar esas integrales en otras que
pueden resolverse con la ayuda de los formularios comunes.
En la solución de las integrales directas e inversas se aplicaron las fórmulas
de integración correspondientes y, en algunos casos, fue necesario realizar algunas
sustituciones para obtener el resultado.
Ahora consideraremos las integrales trigonométricas de la forma:
∫ sen
∫ tan
∫ cot
m
u cos n u du
m
u sec n u du
m
u csc n u du
∫ sen mu cos nu du
Tales como:
∫ cos
∫ tan
∫
2
4x dx;
∫ sen (3x + 2)
4
3x dx;
∫ tan
sen 3 x
cos 5 x
dx;
2
∫
4
x sec 4 x dx;
tan 3 x
3
cos (3x + 2 ) dx;
sec x
dx
Algunos procedimientos de solución
Para integrar estas expresiones aplicamos los procedimientos que ya estudiamos;
además aplicaremos, donde sea necesario, las fórmulas que se conocen como del
ángulo medio y que fueron demostradas en el libro de Geometría y trigonometría de
la serie Fuenlabrada. A continuación, las volveremos a presentar para que tengas
una mejor referencia:
sen 2 x =
cos 2 x =
1 − cos 2 x
2
1 + cos 2 x
2
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128
Cálculo integral
Integración de la forma ∫ sen m u cos n u du
Se presentan dos casos:
Primer caso:
m y n son pares y positivos, o algunos de ellos es nulo. Se aplican las fórmulas del
ángulo medio para bajar el grado de la expresión.
EJEMPLOS 1
a)
∫ sen
2
x cos 2 x dx
con m = 2
n=2
Como:
sen 2 x =
cos 2 x =
1 − cos 2 x
2
1 + cos 2 x
2
Multiplicamos miembro a miembro las dos igualdades anteriores. Recordemos
que el producto binomio conjugado es igual al cuadrado del primer término
menos el cuadrado del segundo.
(a − b) (a + b) = a 2 − b 2
(a − b) (a + b) = a 2 − b 2
 1 − cos 2 x   1 + cos 2 x 
sen 2 x cos 2 x = 





2
2
=
=
(1 − cos 2x ) (1 + cos 2x )
4
1
(1 − cos 2 2x)
4
Sustituimos en el integrando:
∫ sen
2
∫ 14 (1 − cos
x cos 2 x dx =
=
1
4
2
2 x ) dx
∫ dx − 1 ∫ cos
4
2
2 x dx
Aplicamos a la segunda integral la identidad:
cos 2 x =
1 + cos 2 x
2
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Capítulo 8 Métodos de integración. Integración de funciones trigonométricas 129
Al aplicar la identidad obtenemos el coseno del doble del ángulo. En este caso
será cos 2 (2 x ) = cos 4x . Entonces:
1 + cos 4x
cos 2 2 x =
2
Calculamos la primera integral y en la segunda sustituimos la identidad.
=
x 1
−
4 4
∫ cos
=
x 1
−
4 4
∫
2
2 x dx
 1 + cos 4x 

 dx


2
Separando en dos integrales:
=
x 1 1
−  ∫ dx +
4 4 2
=
x 1
−
4 8
=
x x 1 1
− −  
4 8 8 4
=
x x
1
− −
sen 4x
4 8 32
=
x
1
−
sen 4x + C
8 32
∫
cos 4x
2

dx 

∫ dx − 81 ∫ cos 4x dx
Integramos:
b)
∫ cos
2
∫ 4 cos 4x dx
4x dx
con m = 0
n=2
Como:
cos 2 x =
1 + cos 2 x
2
Entonces:
cos 2 4x =
1 + cos 8x
2
Sustituimos en el integrando:
=
∫ 21 (1 + cos 8x ) dx
=
1
2
∫ dx + 1 ∫ cos 8x dx
2
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130
Cálculo integral
Integramos y complementamos la segunda integral:
c)
∫ sen
4
=
x 1 1
+  
2 2 8 
=
1
x
+
sen 8x + C
2 16
∫
8 cos 8x dx
x dx
con m = 4
n=0
Factorizamos:
=
∫ (sen x )
2
2
dx
Como:
sen 2 x =
1 − cos 2 x
2
Entonces:
2
=
 1 − cos 2 x 
∫  2  dx
Desarrollamos el binomio al cuadrado:
=
∫
1 − 2 cos 2 x + cos 2 2 x
4
dx
Separamos en tres integrales:
1 2

1
2
 − cos 2 x + cos 2 x  dx
4 4

4
=
∫
=
∫ dx
4
−
2
4
∫ cos 2x dx + 14 ∫ cos
2
2x dx
Aplicamos la identidad a la última integral:
cos 2 x =
1 + cos 2 x
2
Obtenemos:
cos 2 2 x =
=
1 + cos 4x
2
∫ dx
4
−
1
2
∫ cos 2x dx + 14 ∫
1 + cos 4x
2
dx
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Capítulo 8 Métodos de integración. Integración de funciones trigonométricas 131
Resolvemos la primera integral, complementamos la segunda y separamos la
tercera:
=
x 1 1
−  
4 2 2
1
+ ∫
∫ 2 cos 2x dx + 14 ∫ dx
2
4
cos 4x dx
2
Resolvemos la primera y segunda integral y completamos la tercera:
=
x 1
1  x  1  1  1 
− sen 2 x +   +    
4 4
4  2  4  2  4 
∫ 4 cos 4x dx
Integramos:
=
x 1
x
1
− sen 2 x + +
sen 4x + C
4 4
8 32
=
3x 1
1
− sen 2 x +
sen 4x + C
8
4
32
x x
+ , expresamos la primera fracción en octavos, pa4 8
2x x
3x
+
=
ra lo que multiplicamos el numerador y el denominador por 2:
8
8
8
Para realizar la suma
Segundo caso:
m o n son impar y positivo.
Si m es impar y positivo, se factoriza la función sen x dx y se aplica la identidad
pitagórica sen 2 x = 1 − cos 2 x .
Si n es impar y positivo, se factoriza la función cos x dx y se aplica la identidad
pitagórica cos 2 x = 1 − sen 2 x .
EJEMPLOS 2
a)
sen 3 x
∫ cos
5
x
dx
como m = 3, es impar y positivo
=
∫ sen
3
x cos − 5 x dx
Como:
sen 3 x = sen 2 x sen x
Sustituimos en el integrando:
=
∫ sen
2
x cos − 5 x sen x dx
Con:
sen 2 x = 1 − cos 2 x
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132
Cálculo integral
Sustituimos en el integrando:
=
∫ (1 − cos x ) cos
2
−5
x sen x dx
Multiplicamos y separamos en dos integrales:
=
∫ cos
−5
x sen x dx − ∫ cos − 3 x sen x dx
u = cos x
u ( x ) = cos x
du ( x ) = − sen x dx
Sustituimos y afectamos las integrales por el signo (−); por lo tanto, los signos
de las integrales cambiarán:
a−n =
1
an
= −
∫u
= −
u−4
u−2
+
+C
−4
−2
−5
du +
∫u
−3
du
Integramos:
=
1
1
−
+C
4
4u
2u 2
Con el valor de u, queda:
b)
∫ sen
4
=
1
1
sec 4 x − sec 2 x + C
4
2
=
1
1
−
+C
4
4 cos x 2 cos 2 x
=
∫ cos
x cos 3 x dx
3
x sen 4 x dx
n = 3, es impar y positivo
Como:
cos 3 x = cos 2 x cos x
Sustituimos en el integrando:
=
∫ cos
2
x sen 4 x cos x dx
Con:
cos 2 x = 1 − sen 2 x
Sustituimos en el integrando:
=
∫ (1 − sen x ) sen
2
4
x cos x dx
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07/04/13 13:09
Capítulo 8 Métodos de integración. Integración de funciones trigonométricas 133
Multiplicamos y separamos en dos integrales:
=
∫ sen
4
x cos x dx − ∫ sen 6 x cos x dx
u = sen x
u ( x ) = sen x
du ( x ) = cos x dx
Sustituimos en el integrando:
=
∫u
=
u5
u7
−
+C
5
7
4
du − ∫ u 6 du
Integramos:
Con el valor de u, queda:
=
sen 5 x sen 7 x
−
+C
5
7
Integración de la forma ∫ tan m u sec n u du
También se presentan dos casos.
Primer caso:
m es impar y positivo
Para integrar estas expresiones se factoriza sec x tan x dx . A continuación aplicamos la identidad pitagórica tan 2 x = sec 2 x − 1 .
EJEMPLO 3
∫ tan
3
x sec 5 x dx
como m = 3 es impar y positivo,
tan 3 x tan 2 x tan x
sec 5 x = sec 4 x sec x
Sustituimos en el integrando:
=
∫ sec
4
x tan x (sec x tan x ) dx
Como:
tan 2 x = sec 2 x − 1
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134
Cálculo integral
Sustituimos en el integrando:
x (sec 2 x − 1) (sec x tan x ) dx
=
∫ sec
=
∫ (sec
=
∫ (sec x ) (sec x tan x ) dx − ∫ sec
4
6
x − sec 4 x ) (sec x tan x ) dx
6
4
x (sec x tan x ) dx
u = sec x
u ( x ) = sec x
du ( x ) = sec x tan x dx
Sustituimos en el integrando:
=
∫u
=
u7
u5
−
+C
7
5
6
du − ∫ u 4 du
Integramos:
Con el valor de u, queda:
=
sec 7 x sec 5 x
−
+C
7
5
Este procedimiento también es válido para integrales de la forma
∫ cot
m
u csc n u du con m impar y positivo.
Segundo caso:
n es par y positiva
Para integrar estas expresiones se factoriza sec x dx. A continuación se aplica la
identidad pitagórica sec 2 x = 1 + tan 2 x .
EJEMPLO 4
a)
∫ tan
2
x sec 4 x dx
como n = 4, es par y positivo,
sec 4 x = sec 2 x sec 2 x
Sustituimos en el integrando:
=
∫ tan
2
x sec 2 x sec 2 x dx
Como:
sec 2 x = 1 + tan 2 x
Sustituimos:
=
∫ tan x (1 + tan x ) sec
2
2
2
x dx
∫ (tan x + tan x ) sec x dx
= ∫ tan x sec x dx + ∫ tan x sec
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=
2
2
4
2
2
4
2
x dx
u = tan x
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u ( x ) = tan x
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=
∫ tan x (1 + tan x ) sec
2
=
∫ (tan
=
∫ tan
2
2
2
x dx
Capítulo 8 Métodos de integración. Integración de funciones trigonométricas 135
2
x + tan 4 x ) sec 2 x dx
x sec 2 x dx + ∫ tan 4 x sec 2 x dx
u = tan x
u ( x ) = tan x
duu ( x ) = sec 2 x dx
=
∫u
du + ∫ u 4 du
2
Integramos:
=
u3 u5
+
+C
3
5
Con el valor de u, queda:
tan 3 x tan 5 x
+
+C
3
5
=
Integración de la forma ∫ cot m u
csc n u du
Para integrar estas expresiones se factoriza cot x dx. A continuación se aplica la
identidad pitagórica cot 2 x = csc 2 x − 1. Si se factoriza csc x dx se aplica la identidad pitagórica csc 2 x = 1 + cot 2 x .
EJEMPLOS 5
a)
∫ cot
5
x dx
con m = 5
n=0
cot 5 x = cot 3 x cot 2 x
Sustituimos en el integrando:
=
∫ cot
3
x cot 2 x dx
Como:
cot 2 x = csc 2 x − 1
Sustituimos en el integrando:
=
∫ cot x (csc
=
∫ (cot
3
=
∫ cot
x csc 2 x dx − ∫ cot 3 x dx
=
∫ cot
3
3
3
2
x − 1) dx
x csc 2 x − cot 3 x ) dx
x csc 2 x dx − ∫ cot 2 x cot x dx
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136
Cálculo integral
Realizamos la sustitución:
=
∫ cot
=
∫ cot
3
3
x csc 2 x dx − ∫ ( csc 2 x − 1) cot x dx
x csc 2 x dx − ∫ cot x csc 2 x dx + ∫ cot x dx
u = cot x
u ( x ) = cot x
du ( x ) = − csc 2 x dx
Realizamos el cambio de variable y multiplicamos por (−) la primera y la
segunda integrales. La tercera es directa porque tenemos una fórmula para
integrarla.
= − ∫ u 3 du − ( − ∫ u du ) + ∫ cot x dx
= − ∫ u 3 du + ∫ u du + ∫ cot x dx
Integramos:
= −
u4
u2
+
+ ln sen x + C
4
2
Con el valor de u, tenemos:
= −
b)
∫ cot
2
cot 4 x cot 2 x
+
+ ln sen x + C
4
2
x csc 4 x dx
con m = 2
n=4
csc 4 x = csc 2 x csc 2 x
Sustituimos en el integrando:
=
∫ cot x (csc
2
2
x csc 2 x ) dx
Como:
csc 2 x = 1 + cot 2 x
Sustituimos en el integrando:
x (1 + cot 2 x ) csc 2 x dx
=
∫ cot
=
∫ (cot
2
=
∫ cot
x csc 2 x dx + ∫ cot 4 x csc 2 x dx
2
2
x csc 2 x + cot 4 x csc 2 x ) dx
u = cot x
u ( x ) = cot x
du ( x ) = − csc 2 x dx
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Capítulo 8 Métodos de integración. Integración de funciones trigonométricas 137
Debemos multiplicar por (−) ambas integrales al realizar el cambio de variable.
= − ∫ u 2 du −
∫u
4
du
Integramos:
= −
u3
u5
−
+C
3
5
Con el valor de u, tenemos:
= −
cot 3 x
cot 5 x
−
+C
3
5
Integración de la forma ∫ sen mu cos nu du
Para integrar estas expresiones se aplican las fórmulas de productos de senos y
cosenos
cos u cos v =
1
[cos (u + v ) + cos (u − v )]
2
sen u sen v =
1
[cos (u − v ) − cos (u + v )]
2
EJEMPLO 6
∫ cos 5x cos 2x dx
Aplicamos la primera de las identidades señaladas en el párrafo anterior.
cos 5x cos 2 x =
=
1
[cos (5x + 2x ) + cos (5x − 2x )]
2
1
(cos 7x + cos 3x )
2
Sustituimos en el integrando:
∫ cos 5x cos 2x dx
=
1
2
∫ (cos 7x + cos 3x ) dx
=
1
2
∫ cos 7x dx + 21 ∫ cos 3x dx
u = 7x
w = 3x
u ( x ) = 7x
w ( x ) = 3x
du ( x ) = 7dx
dw ( x ) = 3dx
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138
Cálculo integral
=
1 1
 
2 7
 
∫ cos 7x (7) dx + 21  13  ∫ cos 3x (3) dx
Integramos:
=
1
1
sen 7 x + sen 3x + C
14
6
EJEMPLOS 7
a)
∫ tan
4
x dx
Factorizamos:
=
∫ tan
2
x tan 2 x dx
Como:
tan 2 x = sec 2 x − 1
Sustituimos en el integrando:
=
∫ (sec
2
x − 1) tan 2 x dx
=
∫ (tan
2
x sec 2 x − tan 2 x ) dx
=
∫ tan
=
∫ tan
2
2
x sec 2 x dx − ∫ tan 2 x dx
x sec 2 x dx − ∫ (sec 2 x − 1) dx
u = tan x
u ( x ) = tan x
du ( x ) = sec 2 x dx
=
∫u
=
u3
− tan x + x + C
3
2
du − ∫ sec 2 x dx + ∫ dx
Integramos:
Con el valor de u, tenemos:
=
1
tan 3 x − tan x + x + C
3
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Capítulo 8 Métodos de integración. Integración de funciones trigonométricas 139
b)
∫ 5 sen
2
x cos x dx
u = sen x
u ( x ) = sen x
du ( x ) = cos x dx
Sustituimos en el integrando:
= 5
∫u
= 5
u3
+C
3
2
du
Integramos:
Con el valor de u, tenemos:
5
sen 3 x + C
3
=
c)
∫ sec
4
3x dx
Factorizamos:
=
∫ sec
2
3x sec 2 3x dx
Como:
sec 2 3x = 1 + tan 2 3x
Sustituimos en el integrando:
=
∫ (1 + tan
=
∫ sec
2
2
3x ) sec 2 3x dx
3x dx + ∫ tan 2 3x sec 2 3x dx
u = tan 3x
u ( x ) = tan 3x
du ( x ) = 3 sec 2 3x dx
1
3
=
∫ sec
=
1
1 u3
tan 3x +
+C
3
3 3
2
3x dx +
∫u
2
du
Integramos:
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140
Cálculo integral
Con el valor de u, obtenemos:
1
1
tan 3x + tan 3 3x + C
3
9
=
d)
∫ csc
4
3x dx
Factorizamos:
=
∫ csc
2
3x csc 2 3x dx
Como:
csc 2 3x = 1 + cot 2 3x
Sustituimos en el integrando:
=
∫ (1
+ cot 2 3x ) csc 2 3x dx
=
∫ (csc
=
∫ csc
2
2
3x + cot 2 3x csc 2 3x ) dx
3x dx + ∫ cot 2 3x csc 2 3x dx
u = cot 3x
u ( x ) = cot 3x
du ( x ) = − 3 csc 2 3x dx
Sustituimos en el integrando:
= −
1
1
cot 3x −
3
3
= −
1
1 u3
cot 3x −
+C
3
3 3
∫u
2
du
Integramos:
Con el valor de u, obtenemos:
= −
e)
∫ sen
5
1
1
cot 3x − cot 3 3x + C
3
9
7 x cos 7 x dx
u = sen 7x
u ( x ) = sen 7x
du ( x ) = 7 cos 7x dx
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Capítulo 8 Métodos de integración. Integración de funciones trigonométricas 141
Sustituimos en el integrando:
=
1
7
=
1 u6
+C
7 6
∫u
5
du
Integramos:
Con el valor de u, tenemos:
=
f)
1
sen 6 7 x + C
42
sen 4x dx
∫2−
cos 4x
u = 2 − cos 4x
u ( x ) = 2 cos 4x
du ( x ) = 4 sen 4x dx
Sustituimos en el integrando:
=
1
4
=
1
ln u + C
4
=
1
ln (2 − cos 4x ) + C
4
∫ duu
Integramos:
Con el valor de u, obtenemos:
g)
∫ tan
4
x sec 4 x dx
Factorizamos:
=
∫ tan
4
x (sec 2 x sec 2 x ) dx
Como:
sec 2 x = 1 + tan 2 x
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142
Cálculo integral
Sustituimos en el integrando:
=
∫ tan
=
∫ (tan
4
x (1 + tan 2 x ) sec 2 x dx
4
x sec 2 x + tan6 x sec 2 x ) dx
u = tan x
u ( x ) = tan x
du ( x ) = sec 2 x dx
Sustituimos en el integrando e integramos:
=
u5
u7
+
+C
5
7
Con el valor de u, tenemos:
=
h)
tan 5 x tan 7 x
+
+C
5
7
∫ sen 5x sen 3x dx
Como:
sen u sen v =
1
[cos (u − v ) − cos (u + v )]
2
Sustituimos en el integrando:
=
∫ 21 (cos 2x − cos 8x ) dx
=
1
2
=
1
1
sen 2 x −
sen 8x + C
4
16
∫ cos 2x dx − 1 ∫ cos 8x dx
2
Integramos:
i)
∫
sec 4 x dx
tan x
=
∫ tan
−12
x sec 4 x dx
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Capítulo 8 Métodos de integración. Integración de funciones trigonométricas 143
Factorizamos:
=
∫ tan
−1 2
x sec 2 x sec 2 x dx
Como:
sec 2 x = 1 + tan 2 x
Sustituimos en el integrando:
=
∫ tan
=
∫ (tan
=
∫ tan
−1 2
x (1 + tan 2 x ) sec 2 x dx
−1 2
−1 2
x sec 2 x + tan 3 2 x sec 2 x ) dx
x sec 2 x dx +
∫ tan
32
x sec 2 x dx
u = tan x
u ( x ) = tan x
du ( x ) = sec 2 xdx
Sustituimos en el integrando:
=
∫u
=
u1 2
u5 2
+
+C
1
5
2
2
−12
du + ∫ u 3 2 du
Integramos:
= 2 u +
2
u5 + C
5
Con el valor de u, tenemos:
= 2 tan x +
2
tan 5 x + C
5
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144
Cálculo integral
EJERCICIOS
1. Para que puedas entender mejor la diferencia con las integrales trigonométricas directas,
completa el desarrollo que falta en los ejercicios siguientes:
a)
∫ cos (3 + 2x ) dx
Solución:
1
sen (3 + 2 x ) + C
2
u = 3 + 2x
u ( x ) = 3 + 2x
du ( x ) = 2dx
b)
∫ tan (x − 2) dx
2
Solución: tan ( x − 2 ) − x + C
tan 2 x = sec 2 x − 1
2. Integra. Se incluyen algunas integrales trigonométricas directas.
a)
∫ 3 cos
b)
∫ tan
c)
∫ sen
2
5x dx
Solución:
3
3
x+
sen 10 x + C
2
20
1
1
tan 3 3x − tan 3x + x + C
9
3
4
3x dx
Solución:
3
2x dx
Solución: −
1
1
cos 2 x + cos 3 2 x + C
2
6
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Capítulo 8 Métodos de integración. Integración de funciones trigonométricas 145
d)
∫ sen
e)
∫ 1 −sencos2x2x dx
4
Solución: −
2 x cos 2 x dx
Solución:
1
sen 5 2 x + C
10
1
ln 1 − cos 2 x + C
2
Ejercicios de repaso
1. Para que puedas entender mejor la diferencia con las integrales trigonométricas directas,
completa el desarrollo que falta en los ejercicios siguientes:
a)
∫ x csc (x
2
2
− 3) dx
Solución: −
1
cot ( x 2 − 3) + C
2
u = x2 − 3
u (x) = x 2 − 3
du ( x ) = 2x dx
b)
∫ tan
5
2x sec 2 2x dx
Solución:
u = tan 2 x
1
tan 6 2 x + C
12
u ( x ) = tan 2 x
du ( x ) = 2 sec 2 2x dx
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146
Cálculo integral
c)
tan 2 x
∫ cos
2
2x
sec x =
d)
∫ tan 3x
dx
Solución:
1
tan 2 2 x + C
4
Solución:
2
sec 3x + C
3
1
cos x
sec 3x dx
Multiplicamos y dividimos el integrando por
sec 3x .
2. Integra las siguientes expresiones. Se incluyen algunas integrales trigonométricas directas.
a)
∫ sen
b)
∫ cos
4
3x dx
Solución:
3
1
1
x−
sen 6x +
sen 12 x + C
8
12
96
2
x dx
Solución:
x 1
+ sen 2 x + C
2 4
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9
CAPíTULO
Métodos de integración.
Integración por partes
Fórmula de integración
El objeto de la integración por partes es calcular la
función primitiva del producto de una función por la diferencial de otra función de la misma variable. Se basa en la
fórmula de la derivada de un producto de dos funciones:
d ( uv ) = u dv + v du
Integrando ambos miembros resulta:
∫ u dv + ∫ v du
uv =
Se despeja la primera de las dos integrales:
∫ v du
uv −
=
∫ u dv
Se obtiene la fórmula de integración por partes:
∫ u dv
= uv −
∫ v du
Se usa para integrar gran número de integrales no inmediatas que se plantean como
producto de funciones algebraicas, producto de funciones logarítmicas y producto de
funciones trigonométricas inversas, como:
∫ x cos x dx; ∫ ln x dx; ∫ x
x − 3 dx;
∫ sen
2
x dx;
∫ arc tan x dx
Procedimiento de integración por partes
Para aplicar la fórmula procedemos en la manera siguiente:
EJEMPLOS 1
Integra
a)
∫ x cos x dx
Se descompone el integrando en dos factores:
uyv
De la expresión del integrando que se iguala a u, se calcula su diferencial:
u=x
du = dx
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07/04/13 13:22
148
Cálculo integral
La función, en apariencia, más complicada y que contiene a dx se iguala a dv:
dv = cos x dx
Para obtener el valor de v se integra la expresión que se igualó a dv:
v =
∫ cos x dx
v = sen x
La expresión del integrando que se iguala a dv debe ser fácilmente integrable.
Nota: Al integrar ∫ cos x dx no consideramos en la solución la constante C,
la cual se retomará cuando se realice la integral que aparece en la fórmula de
integración por partes.
Los valores obtenidos de u, du y de v, se sustituyen en la fórmula, para proceder
a integrar.
∫ u dv
∫ x cos x dx
= uv − ∫ v du
= x sen x − ∫ sen x dx
Integramos:
= x sen x − (− cos x ) + C
= x sen x + cos x + C
La elección de cuál expresión es u y cuál dv del integrando es arbitraria pero es
la acertada cuando la integral del segundo miembro resulta más sencilla que la
función inicial. De no ser así, habrá que hacer una nueva elección.
b)
∫ x sen x dx
dv = sen x dx
u = x
du = dx
v =
∫ sen x dx
= − cos x
Sustituimos en la fórmula:
∫ u dv
∫ x sen x dx
= uv − ∫ v du
= x (− cos x ) − ∫ (− cos x ) dx
= − x cos x +
∫ cos x dx
Integramos:
= − x cos x + sen x + C
= sen x − x cos x + C
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Capítulo 9 Métodos de integración. Integración por partes
149
La expresión resultante fue más fácil de integrar que la original.
Para continuar con el mismo ejercicio, analiza lo que sucede si elegimos a
u y a dv de manera diferente:
∫ x sen x dx
u = sen x
dv = x dx
du = cos x dx
v =
∫ x dx
v =
x2
2
Sustituimos en la fórmula:
∫ u dv
= uv −
∫ v du
x 2 sen x
=
2
−
∫
x 2 cos x
2
dx
Resulta evidente que la integral del segundo miembro es más complicada que
la expresión inicial; por lo tanto, la elección que ahora hicimos no es la más
conveniente.
Es muy importante seleccionar del integrando la parte que sea u y dv.
Al calcular v a partir de dv se debía haber sumado la constante C, pero al
calcular la segunda integral aparece otra constante. Dado que la suma de dos
constantes es otra constante, ésta se agrega al final.
En algunos casos, será necesario aplicar este método de integración a una
misma función varias veces y en forma sucesiva.
c)
∫x
2
cos x d x
dv = cos x dx
u = x2
du = 2x dx
v =
∫ cos x dx
v = sen x
Sustituimos en la fórmula:
∫ u dv
= uv − ∫ v du
= x 2 sen x −
∫ sen x (2x ) dx
= x 2 sen x −
∫ 2x sen x dx
Es necesario realizar una segunda interacción por partes en:
− ∫ 2x sen x dx
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150
Cálculo integral
Debes tener cuidado de seleccionar el mismo tipo de función como u y dv, es
decir, si en la primera selección dv es la función trigonométrica (cos x), en la
segunda ocasión, será la función trigonométrica.
dv = sen x dx
u = 2x
du = 2 dx
∫ sen x dx
v =
v = − cos x
Sustituimos en la fórmula:
= − 2x (− cos x ) −
∫ − cos x (2) dx
Por lo tanto,
∫x
2
cos x dx = x 2 sen x − 2x (− cos x ) − ∫ − 2 cos x dx
Multiplicamos signos:
= x 2 sen x + 2x cos x + 2 ∫ cos x dx
Integramos:
= x 2 sen x + 2x cos x + 2 sen x + C
d)
∫ xe
2
dx
dv = e 2x dx
u = 2x
du = 2 dx
Por cambio de variable tenemos:
w = 2x; dw = 2 dx
Tenemos que multiplicar y dividir entre 2:
=
1
2
∫e
=
1
2
∫e
=
1 w
e
2
v =
2x
w
2 dx
dw
1 2x
e
2
Sustituimos en la fórmula:
= x
=
1 2x
e −
2
∫ 21 e
1 2x 1 1
xe −
2
22
2x
dx
∫ e (2) dx
2x
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Capítulo 9 Métodos de integración. Integración por partes
Integramos:
=
e)
151
1 2x 1 2x
xe − e + C
2
4
∫ x cos 3x dx
u = x
dv = cos 3x
du = dx
v =
=
v =
∫ cos 3x dx
1
3
∫ cos 3x (3) dx
1
sen 3x
3
Sustituimos en la fórmula:
1
1
= x   sen 3x −
3
3
=
1 1
x
sen 3x −
3
3 3
∫ sen 3x dx
∫ sen 3x (3) dx
Integramos:
f)
∫ x sec
2
=
x
1
sen 3x − (− cos 3x ) + C
3
9
=
x
1
sen 3x + cos 3x + C
3
9
x dx
dv = sec 2 xdx
u = x
du = dx
v =
∫ sec
2
x dx
v = tan x
Sustituimos en la fórmula:
= x tan x −
∫ tan x dx
Integramos
∫ u dv
= uv −
∫ v du
= x tan x − ln sec x + C
g)
∫ ln x dx
En el formulario de integrales inmediatas no existe una que se pueda emplear
para integrar ln x, pero sí se puede derivar, por lo tanto:
u = ln x
du =
1
dx
x
dv = dx
v =
∫ dx
v = x
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152
Cálculo integral
Sustituimos en la fórmula:
 
∫ x  x1  dx
= ln x ( x ) −
= x ln x −
Integramos:
∫ dx
= x ln x − x + C
h)
∫x
2
e x dx
u = x2
dv = e x dx
du = 2x dx
∫e
v =
x
dx
v = ex
Sustituimos en la fórmula:
= x 2e x −
∫ e (2x ) dx
= x 2e x −
∫ 2xe
x
x
dx
Se realiza una segunda integración por partes en donde dv debe ser la misma
función que en el paso anterior (ex):
∫ 2xe
x
dx = 2 ∫ xe x dx
u = x
dv = e x dx
∫e
du = dx
v =
dv = e x dx
v = ex
x
dx
v = ∫ e x dx
Sustituimos en la fórmula de integración por partes:
v = ex
= 2 [ xe x −
∫e
x
dx ]
= 2 ( xe x − e x )
Por lo tanto,
∫x
2
e x dx = x 2e x − 2 ( xe x − e x ) + C
Observa que se puede factorizar ex:
= e x (x 2 − 2x + 2) + C
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Capítulo 9 Métodos de integración. Integración por partes
i)
153
∫ arc tan x dx
Como en el caso del ln x, para el arc tan x, tampoco tenemos una fórmula para
integrarlo pero sí se puede derivar, por lo tanto:
u = arc tan x
du =
dx
1 + x2
dv = dx
v =
∫ dx
v = x
Sustituimos en la fórmula:
∫ 1 +xx
= arc tan x ( x ) −
2
dx
u = 1 + x2
u (x) = 1 + x 2
du ( x ) = 2 dx
Integramos:
= x arc tan x −
j)
1
ln 1 + x 2 + C
2
∫ x ln x dx
u = ln x
du =
dx
x
dv = x dx
v =
∫ x dx
v =
x2
2
Sustituimos en la fórmula:
=
x2
ln x −
2
∫ 2xx dx
2
=
x2
ln x −
2
∫ x2 dx
=
x2
x2
+C
ln x −
2
4
Integramos:
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154
Cálculo integral
k)
∫x
x − 3 dx
dv = ( x − 3)
u = x
du = dx
v =
dv = ( x − 3)
∫ (x − 3)
v =
=
12
dx
12
=
dx
12
∫ (x − 3)
dx
12
dx
32
(x − 3)
3
2
32
(x − 3) v = 2 x − 3 3 2
(
)
3
2
3
Sustituimos en la fórmula:
32
2
v = ( x − 3)
3
32
32
2x
=
(x − 3) − 2 ∫ (x − 3) dx
3
3
Integramos:
=
=
l)
∫x
2
(x − 3)
32
2x
(x − 3) − 2
5
3
3
2
52
+C
2
2x (
4 (
x − 3) x − 3 −
x − 3)
3
15
x −3 +C
ln x dx
u = ln x
du =
dv = x 2 dx
v =
∫x
v =
1 3
x
3
1 
= ln x  x 3  −
3 
∫ 13 x
dx
x
2
dx
Sustituimos en la fórmula:
3
dx
x
=
1 3
1
x ln x −
3
3
=
1 3
1 x3
x ln x −
+C
3
3 3
=
1 3
x3
x ln x −
+C
3
9
∫x
2
dx
Integramos:
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Capítulo 9 Métodos de integración. Integración por partes
m)
155
∫ arc tan 3x dx
dv = dx
u = arc tan 3x
du =
3dx
1 + 9x 2
v =
∫ dx
v = x
Sustituimos en la fórmula:
3 dx
= (arc tan 3x ) x −
∫ x 1 + 9x
= x arc tan 3x − 3
∫ 1 + 9x
2
x dx
2
Por cambio de variable tenemos:
w = 1 + 9x 2
w ( x ) = 1 + 9x 2
dw ( x ) = 18 x dx
Multiplicamos y dividimos entre 18:
18x dx
= x arc tan 3x −
3
18
∫ 1 + 9x
= x arc tan 3x −
3
18
∫ dw
w
2
Reducimos la fracción e integramos:
n)
∫ xe
− 2x
= x arc tan 3x −
1
ln w + C
6
= x arc tan 3x −
1
ln 1 + 9x 2 + C
6
dx
u = x
du = dx
dv = e − 2x
v =
∫e
− 2x
dx
Integramos por cambio de variable:
v = −
1
2
v = −
1 − 2x
e
2
∫e
− 2x
(− 2) dx
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156
Cálculo integral
Sustituimos en la fórmula:
= −
1 − 2x
xe
−
2
∫ − 21 e
= −
x − 2x 1  1  − 2x
e
+ −  ∫ e (− 2 ) dx
2
2  2
= −
x
1
−
+C
2x
2e
4e 2 x
− 2x
dx
Integramos:
∫e
o)
x
cos x dx
dv = cos x dx
u = ex
v =
du = e x dx
∫ cos x dx
v = sen x
Sustituimos en la fórmula:
= e x sen x −
∫e
x
sen x dx
Realizamos una segunda integración por partes en:
∫e
x
sen x dx
u = ex
du = e x dx
dv = sen x dx
v =
∫ sen x
dx
v = − cos x
Por lo tanto,
∫ − cos x e
= e x sen x − ( − e x cos x −
x
dx )
Recuerda que en el miembro izquierdo de la igualdad tenemos
∫e
x
cos x dx = e x sen x + e x cos x −
Sumamos
∫∫ee
∫e
x
∫e
x
∫e
x
cos x dx :
cos x dx
cos x dx a ambos miembros de la igualdad:
x
x
x
x
x
cos
cosxxdx
dx++∫∫ee xcos
cosxxdx
dx == ee xsen
senxx++ee xcos
cosxx −− ∫∫ee xcos
cosxxdx
dx++∫∫ee xccoossxxdx
dx
xx
x
x
22 ∫∫eexxcos
cosxxdx
dx == ee xsen
senxx++ee xco
cossxx
x
22 ∫∫eexxcos
cosxxdx
dx == ee x((sen
senxx++cos
cosxx))
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Capítulo 9 Métodos de integración. Integración por partes
157
Despejamos:
∫e
x
cos x dx =
e x (sen x + cos x )
cos x dx =
e x (sen x + cos x )
2
+C
Por lo tanto,
∫e
p)
∫ − 7x e
3
x2
x
2
+C
dx
2
x
En este caso se debe tomar dv = e dx . Para integrar esta expresión es
necesario tener a x multiplicando a dx.
Como x 3 = x 2 ( x )
= −7
∫x
2
e x ( x ) dx
2
2
dv = e x x dx
u = x2
du = 2 x dx
v =
∫e
x2
x dx
Integrando por cambio de variable:
=
1
2
∫ e (2x ) dx
x2
1 x2
e
2
v =
Sustituimos en la fórmula:
 1 2
= − 7 x 2 e x −
 2
∫ 21 e
x2

2 x dx 

= −
7 2 x2
x e +7
2
∫ 21 (2x ) e
= −
7 2 x2 7
x e +
2
2
∫e
= −
7 2 x2 7 x2
x e + e +C
2
2
x2
x2
dx
2 x dx
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158
Cálculo integral
q)
∫ sen
2
x dx
Aplicamos la fórmula de reducción del seno y del coseno
sen n − 1 x cos x
∫ sen n x dx = −
∫ sen
2
n
sen
x dx = −
2 −1
x cos x
2
+
n −1
sen n − 2 x dx
∫
n
+
2 −1
∫ sen 2 − 2 x dx
2
Toda cantidad elevada a la cero potencia es igual a uno
sen x cos x
= −
1
2
+
2
∫ dx 0
Resolvemos la integral y ordenamos los términos:
sen x cos x
1
x−
+C
2
2
=
r)
∫ xa
x
dx
u = x
dv = a x dx
du = dx
dv = a x dx
v =
∫a
x
v =
∫a
v =
ax
ln a
dx
x
dx
Sustituimos en la fórmula:
ax
v =
 xlna
a 
= x 
−
 ln a 
s)
∫ sec
=
3
x
∫ lna a dx
=
xa x
1
−
ln a
ln a
=


a xx
1  ax 
−

+C
ln a
ln a  ln a 
=
a xx
ax
− 2 +C
ln a
ln a
∫a
x
dx
x dx
∫ sec x sec
2
x dx
u = sec x
du = sec x tan x dx
dv = sec 2 x dx
v =
∫ sec
2
x dx
v = tan x
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Capítulo 9 Métodos de integración. Integración por partes
159
Sustituimos en la fórmula:
= sec x tan x −
∫ tan x sec x tan x dx
= sec x tan x −
∫ tan
2
x sec x dx
Como tan 2 x = sec 2 x − 1:
∫ sec
Sumando
∫ sec
3
3
= sec x tan x −
∫ (sec
2
= sec x tan x −
∫ sec
x dx + ∫ sec x dx
3
x − 1) sec x dx
x dx en ambos miembros de la igualdad
x dx + ∫ sec 3x dx = sec x tan x − ∫ sec 3 x dx + ∫ sec x dx + ∫ sec 3x dx
2
∫ sec
3
x dx = sec x tan x + ∫ sec x dx
Dividimos entre 2 ambos miembros:
∫ sec
3
x dx =
1
1
sec x tan x +
2
2
∫ sec x dx
Integramos:
=
t)
∫
1
1
sec x tan x + ln sec x + tan x + C
2
2
sen x dx
ex
=
∫ (sen x ) (e ) dx
−x
u = sen x
dv = e − x dx
du = cos x dx
Integrando por cambio de variable:
v =
∫e
−x
dx
v = (− 1) ∫ e − x (− 1) dx
v = − e−x
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160
Cálculo integral
Sustituimos en la fórmula:
∫ −e
= − e − x sen x −
−x
cos x dx
Realizamos una segunda integración por partes en
∫ −e
x
cos x dx , con:
u = cos x, du = − sen x dx y dv = − e − x , v = e − x
∫ −e
−x
cos x dx =
= e − x cos x −
∫ e (− sen x ) dx
= e − x cos x +
∫e
−x
−x
sen x dx
Por lo tanto,
∫
sen x dx
e
= − e − x sen x − e − x cos x +
x
∫ (sen x ) (e ) dx
−x
= − e − x sen x − e − x cos x − ∫ (sen x ) (e − x ) dx
−x
Sumamos
∫ (sen x ) (e ) dx
∫ (sen x ) (e ) a ambos miembros de la igualdad:
−x
2
∫ sen x (e ) dx
= − e − x sen x − e − x cos x
∫ sen x (e ) dx
=
−x
Despejamos:
−x
− e − x (sen x + cos x )
2
= −
∫
sen x dx
e
x
=−
sen x + cos x
2e x
sen x + cos x
2e x
+C
+C
En algunos casos, la integración por partes se puede usar para obtener fórmulas
de reducción de integrales, mismas que se utilizan para expresar una integral
en términos en las que se obtienen potencias menores a la expresión inicial.
Como ejemplos citamos las fórmulas de reducción del seno y del coseno.
∫ sen n x dx = −
∫ cos
n
x dx =
sen n − 1 x cos x
co
os
n
n −1
x sen x
n
+
+
n −1
sen n − 2 x dx
∫
n
n −1
cos n − 2 x dx
∫
n
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Capítulo 9 Métodos de integración. Integración por partes
161
EJEMPLO 2
Integra:
∫ sen x dx
6
∫ sen
con la fórmula de reducción del
∫ sen
6
x dx = −
sen 5 x cos x
6
n
+
x dx
5
6
∫ sen
4
x dx
Se aplica nuevamente la fórmula de reducción:
= −
= −
= −
sen 5 x cos x
6
sen 5 x cos x
6
sen 5 x cos x
6
+
3
5  sen x cos x 3
+
−
6
4
4
−
5
5
sen 3 x cos x +
24
8
−
5
5  sen x cos x 1
sen 3 x cos x + −
+
24
8
2
2
∫ sen
∫ sen
2
2

x dx

x dx
∫ sen
0

x dx

Integramos:
= −
sen 5 x cos x
6
−
5
5
5
sen 3 x cos x −
sen x cos x +
x+C
24
16
16
Lo que debes saber
Para que evalúes tus conocimientos, revisa el concepto clave estudiado en este capítulo, ¿sabes a qué
se refiere? Si tienes dudas, ¡estúdialo nuevamente!
• Integración por partes
Ejercicios de repaso
1. Completa el desarrollo que falta en los siguientes ejercicios, se incluyen algunas integrales
inmediatas.
a)
∫ x sec
2
3x dx
u = x
du = dx
Solución:
x
1
tan 3x + ln sec 3x + C
3
9
dv = sec 3 3x dx
v =
∫ sec
v =
1
tan 3x
3
2
3x dx
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162
Cálculo integral
b)
∫ x sen x2 dx
u = x
Solución: − 2 x cos
dv = sen
v =
du = dx
c)
x
x
+ 4 sen + C
2
2
x
dx
2
∫ sen x dx
2
v = − 2 cos
cos 2 x
∫ 1 + sen 2x dx
x
2
Solución:
1
ln 1 + sen 2 x + C
2
u = 1 + sen 2x
u ( x ) = 1 + sen 2x
du ( x ) = cos 2x (2 ) dx
d)
∫e
e)
∫
3
− 6x
dx
y dy
Solución: −
1
+C
6e 6 x
Solución: 3 y
4
3
y +C
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Capítulo 9 Métodos de integración. Integración por partes
∫ yy +−11 dy
2
f)
Solución:
163
y2
− y+C
2
y 2 − 1 = ( y + 1)( y − 1)
g)
∫ xe
−x
Solución: −
dx
u = x
dv = e − x dx
v =
du = dx
h)
∫x
2
∫e
dx
v = − e−x
Solución: − x 2 cos x + 2 x sen x + 2 cos x + C
dv = sen x dx
v =
du = 2 x dx
i)
−x
sen x dx
u = x2
∫ sen x dx
v = − cos x
∫ x cos x2 dx
u = x
Solución: 2 x sen
dv = cos
v =
du = dx
1
( x − 1) + C
ex
x
x
+ 4 cos + C
2
2
x
dx
2
∫ cos x dx
2
v = 2 sen
x
2
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164
Cálculo integral
x dx
j)
∫
k)
∫ 16x dx
1− x
Solución: − 1 − x
2
Solución:
− 13
2
u 2 = 16x 2
u = 4x
2
+C
13
4x − 13
ln
+C
104
4x + 13
a 2 = 13
a =
13
u ( x ) = 4x
du ( x ) = 4 dx
l)
∫ x csc
2
Solución: − x cot x + ln sen x + C
x dx
u = x
u (x) = x
du ( x ) = dx
dv = csc 2 x dx
v =
∫ csc
2
x dx
v = − cot x
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Capítulo 9 Métodos de integración. Integración por partes
m)
∫ x sen 5x dx
u = x
Solución: −
n)
∫ sen 5x dx
v = −
Solución:
du =
dx
x
∫ x dx
v=
1 2
x
2
∫ arc sen x dx
u = arc sen x
du =
dx
1 − x2
1 2
1
x ln 3x − x 2 + C
2
4
dv = x dx
v =
o)
1
cos 5x
5
∫ x ln 3x dx
u = ln 3x
1
1
x cos 5x +
sen 5x + C
5
25
dv = sen 5x dx
v =
du = dx
165
Solución: x arc sen x +
1
(1 − x 2 ) 3 + C
3
dv = dx
v =
∫ dx
v = x
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166
Cálculo integral
p)
∫ arc cos x dx
u = arc cos x
− dx
du =
1− x
Solución: x arc cos x −
dv = dx
v =
2
∫ dx
v = x
∫ xx +− 39 dx
2
q)
1
1 − x2 + C
4
Solución: x
2
2
− 3x + C
x 2 − 9 = ( x + 3)( x − 3)
r)
∫ cot
2
Solución: − cot x − x + C
x dx
cot 2 x = csc 2 x − 1
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CAPíTULO
10
Métodos de integración.
Integración por sustitución
trigonométrica
Si un integrando contiene expresiones del tipo
a2 + x2 ,
a 2 − x 2 , x 2 − a 2 , donde a > 0 y
2
2 2
2
2 n
otras como ( x + a ) , ( x + a ) semejantes a las
citadas; inicialmente deben tratarse de resolver por sustitución algebraica, como en el siguiente ejemplo.
∫
x
dx =
4 + x2
∫ x (4 + x )
2 12
dx
u = 4 + x2
u (x) = 4 + x 2
du ( x ) = 2x dx
Multiplicamos y dividimos entre 2:
=
1
2
∫ x (4 + x )
=
1
2
∫u
2 −12
Integramos:
=
−12
(2) dx
du
1 u1 2
+C
2 1
2
= u1 2 + C
Si sustituimos el valor de u, obtenemos:
=
4 + x2 + C
Si este procedimiento de sustitución algebraica no se puede aplicar, en algunos casos es posible realizar la integración transformando la integral en una integral trigonométrica, aplicando las sustituciones siguientes:
a 2 − x 2 = a cos θ se sustituye x con la expresión trigonométrica x = a sen q.
a 2 + x 2 = a sec θ se sustituye x con la expresión trigonométrica x = a tan q.
x 2 − a 2 = a tan θ se sustituye x con la expresión trigonométrica x = a sec q.
Demostración de los resultados que se obtienen al hacer las sustituciones propuestas.
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168
Cálculo integral
Desarrollo de la expresión
a 2 − x 2 = a cos θ
Se sustituye x con a sen q para obtener la expresión trigonométrica a cos q de la ex2
2
presión algebraica a − x .
Por el teorema de Pitágoras
a
x
θ
c
a2 = x2 + C 2
a
x
c2 = a2 − x2
θ
c = a 2− x 2
c =
a2 − x2
(1)
Función trigonométrica que relaciona a x y a a:
sen θ =
x
a
x = a sen θ
Se elevan al cuadrado ambos miembros:
x 2 = a 2 sen 2 θ
Al integrar una
expresión es necesario
identificar la función y
su diferencial.
Se sustituye en (1) el valor de x2:
c =
a 2 − a 2 sen 2 θ
c =
a 2 (1 − sen 2 θ )
Se factoriza a2:
c = a 1 − sen 2 θ
2
2
Como cos θ = 1 − sen θ
c = a cos 2 θ
c = a cos θ
Queda en (1):
a 2 − x 2 = a cos θ
Hecha la sustitución trigonométrica, cancelamos el radical al introducir q como una
nueva variable.
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Capítulo 10 Métodos de integración. Integración por sustitución trigonométrica
Desarrollo de la expresión
169
a 2 + x 2 = a sec θ
Sustituimos x con a tan q para obtener la expresión trigonométrica a sec q de la
2
2
expresión algebraica a + x .
Por el teorema de Pitágoras:
h
x
θ
a
2
2
h=
θ
a
a
x
+
h2 = a2 + x2
x
h =
a2 + x2
(1)
Función trigonométrica que relaciona a x y a a:
tan θ =
x
a
x = a tan θ
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
x 2 = a 2 tan 2 θ
Sustituimos en (1) el valor de x2:
h =
a 2 + a 2 tan 2 θ
h =
a 2 (1 + tan 2 θ )
Factorizamos a2:
h = a 1 + tan 2 θ
Como sec 2 θ = 1 + tan 2 θ :
h = a sec 2 θ
h = a sec θ
Queda en (1):
a 2 + x 2 = a sec θ
Hecha la sustitución trigonométrica, cancelamos el radical al introducir q como una
nueva variable.
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170
Cálculo integral
Desarrollo de la expresión
x 2 − a 2 = a tan θ
Sustituimos x con a sec q para obtener la expresión trigonométrica a tan q de la
expresión algebraica x 2 − a 2 .
Por el teorema de Pitágoras:
x
θ
c
a
x
θ
x2 = a2 + c2
c2 = x2 − a2
c = x2 − a 2
c =
x2 − a2
(1)
a
Función trigonométrica que relaciona a x y a a:
sec θ =
x
a
x = a sec θ
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
x 2 = a 2 sec 2 θ
Sustituimos en (1) el valor de x2:
c =
a 2 sec 2 θ − a 2
c =
a 2 (sec 2 θ − 1)
Factorizamos a2:
2
2
Como tan θ = sec θ − 1 :
c = a tan 2 θ
c = a tan θ
Queda en (1):
x 2 − a 2 = a tan θ
Hecha la sustitución trigonométrica cancelamos el radical al introducir q como una
nueva variable.
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Capítulo 10 Métodos de integración. Integración por sustitución trigonométrica
171
Procedimiento para resolver una integral
por sustitución trigonométrica
Una vez que se calculan los valores de a, x y de dx, se realizan las sustituciones.
En el desarrollo de las operaciones se pueden aplicar, según proceda, alguna de
las siguientes identidades trigonométricas:
De las pitagóricas:
sen 2 θ = 1 − cos 2 θ
cos 2 θ = 1 − sen 2 θ
tan 2 θ = sec 2 θ − 1
cot 2 θ = csc 2 θ − 1
sec 2 θ = 1 + tan 2 θ
csc 2 θ = 1 + cot 2 θ
Del ángulo medio:
sen 2 θ =
cos 2 θ =
1 − cos 2 θ
2
1 + cos 2 θ
2
Del doble de un ángulo:
sen 2 θ = 2 sen θ cos θ
Trazaremos uno o dos triángulos rectángulos para calcular el resultado a partir del
teorema de Pitágoras.
En otros casos, para calcular el resultado será necesario aplicar alguna función
trigonométrica inversa donde, por ejemplo:
u = sen q
Entonces q = ángulo cuyo seno es u.
Estas dos igualdades expresan la misma relación entre u y q. La primera en forma directa y la segunda a la inversa.
"Ángulo cuyo seno es u” se expresa “arc sen u” y se lee “arco seno de u”.
Algunos autores en lugar de la palabra arco, usan ángulo: “ang sen u”, que se
lee: “seno inverso de u” o “ángulo seno u”.
Para las funciones inversas de las otras funciones se usa una notación semejante.
EJEMPLO 1
arc cot
1
1
es un ángulo cuya cotangente es
2
2
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172
Cálculo integral
El integrando incluye una expresión de la forma
a2 − x2
EJEMPLOS 2
a)
∫
dx
32 =
9
−
( x2)
∫
dx
(9 − x )
2 3
a2 = 9
a=3
x = a sen q
x = 3 sen q
dx = 3 cos q d q
(1)
Por comodidad, y antes de realizar la integración, se hace por separado la
transformación trigonométrica de la expresión cuadrática.
(9 − x )
2 32
=
9 − (3 sen θ ) 2 


3
=
9 − (9 sen 2 θ )


3
=
9 (1 − sen 2 θ )


=
9 ( cos 2 θ )


=
(3
=
3 6 cos 6 θ
Se factoriza el 9:
3
Como cos 2 θ = 1 − sen 2 θ
2
cos 2 θ )
3
3
= 3 3 cos 3 θ
Sustituimos en el integrando:
∫
dx
(9 − x )
Con sec θ =
2 3
3 cos θ d θ
=
∫
=
∫3
=
1
9
3 3 cos 3 θ
dθ
2
cos 2 θ
1
cos θ
∫ sec
2
θdθ
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Capítulo 10 Métodos de integración. Integración por sustitución trigonométrica
173
Integramos:
dx
∫
(9 − x )
2 3
=
1
tan θ + C
9
1
Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de tan θ + C en función de
9
la variable x original. Despejando en (1):
x = 3 sen θ
3
x
sen θ =
3
θ
3
x
b
x
θ
b=
32 − x
2
Con el teorema de Pitágoras podemos calcular el valor del cateto adyacente, el
cual identificaremos con b.
32 = x 2 + b 2
tan θ =
b 2 = 32 − x 2
b =
x
9 − x2
32 − x 2
Por lo tanto,
∫
dx
(9 − x )
2 3
=
1
tan θ + C
9
Sustituimos:
=

x
1

+C
2
9 9 − x 
Es decir:
∫
dx
(9 − x )
2 3
=
x
+C
9 9 − x2
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174
Cálculo integral
b)
∫
x2
dx
4 − x2
a2 = 4
x = a sen θ
a = 2
x = 2 sen θ
dx = 2 cos θ d θ
(1)
4 − 4 sen 2 θ
a2 − x2 =
Factorizamos el 4:
4 (1 − sen 2 θ )
=
Como cos 2 θ = 1 − sen 2 θ :
= 2 cos 2 θ
= 2 cos θ
Sustituimos en el integrando:
∫
x2
dx =
4 − x2
=
∫
4 sen 2 θ (2 cos θ d θ )
2 cos θ
∫ 4 sen
∫ sen
=4
2
2
θdθ
θdθ
De la expresión del ángulo medio:
sen 2 θ =
1 − cos 2 θ
2
Sustituimos en el integrando:
1 − cos 2 θ
= 4
∫
= 4
∫ 21 d θ − 4 ∫ 21 cos 2 θ d θ
2
dθ
Integramos:
= 2θ − 2
∫ cos 2 θ d θ
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Capítulo 10 Métodos de integración. Integración por sustitución trigonométrica
175
Integramos por cambio de variable:
2
2
= 2θ −
∫ cos 2 θ (2) d θ
= 2 θ − sen 2 θ + C
Función trigonométrica inversa, en (1)
Si x = 2 sen q
x
= sen θ
2
Entonces:
arc sen
x
=θ
2
2 θ = 2 arc sen
x
2
Sustituimos:
∫
x2
x
dx = 2 arc sen − sen 2 θ + C
2
2
4−x
x
Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de 2 arc sen − sen 2 θ + C ,
2
despejando en (1):
x = 2 sen θ
sen θ =
x
2
Calculamos el cateto adyacente a:
22 = x2 + a2
a
2
= 2 −x
a =
2
2
4−x
2
4 − x2
cos θ =
2
θ
x
a
2
2
x
θ
a=
22 − x2
Para expresar sen2q en función de los datos del triángulo, es necesario aplicar
una identidad trigonométrica porque los datos están en función de q y no de
2q.
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176
Cálculo integral
Por lo tanto:
∫
x2
x
dx = 2 arc sen − sen 2 θ + C
2
2
4−x
Como sen 2 θ = 2 sen θ cos θ :
= 2 arc sen
x
− 2 sen θ cos θ + C
2
= 2 arc sen
x 4 − x2
x
− 2 
+C
2
2
2
= −
x
x
4 − x 2 + 2 arc sen + C
2
2
A medida que te familiarices con el desarrollo de este tipo de integrales, iremos eliminando algunas anotaciones.
El integrando incluye una expresión de la forma
a2 + x2
EJEMPLOS 3
a)
∫x
x 2 + 4 dx
Este ejemplo se puede resolver por sustitución, pero lo resolveremos por
sustitución trigonométrica para que puedas analizar el procedimiento:
a2 = 4
x = a tan θ
a = 2
x = 2 tan θ
dx = 2 sec 2 θ d θ
(1)
Si x = 2 tan θ , x 2 = ( 2 tan θ ) 2 = 4 tan 2 θ . Por lo tanto:
x2 + 4 =
4 tan 2 θ + 4
Factorizamos el 4:
=
4 (tan 2 θ + 1)
Como sec 2 θ = tan 2 + 1
= 2 sec 2 θ
= 2 sec θ
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Capítulo 10 Métodos de integración. Integración por sustitución trigonométrica
177
Sustituimos en el integrando:
∫x
x 2 + 4 dx =
∫ (2 tan θ )(2 sec θ ) (2 sec
= 8
∫ sec
2
2
θ d θ)
θ sec θ tan θ d θ
u = sec θ
u (θ ) = sec θ
du (θ ) = sec θ tan θ d θ
= 8
∫u
= 8
u3
+C
3
2
du
Integramos:
∫x
x 2 + 4 dx =
8
sec 3 θ + C
3
8
sec 3 θ + C en la función
3
de la variable x original, despejando en (1) tenemos:
x = 2 tan q
Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de
Calculamos la hipotenusa h:
h2 = x2 + 22
h =
x +2
2
x2 + 4
2
sec θ =
2
h
θ
sec θ =
2
x +4
2
Sustituimos:
∫x
2
2
2
h=
θ
Por lo tanto:
x
x
+2
x
2
x 2 + 4 dx =
8
sec 3 θ + C
3
3
8  x 2 + 4 
= 
 +C
3
2

3
12
 2
8  ( x + 4) 
=
+C

3 
2

=
32
8
x 2 + 4) + C
(
3 (8)
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178
Cálculo integral
Es decir:
∫x
b)
∫
x 2 + 4 dx =
1 2
x + 4) x 2 + 4 + C
(
3
x2
dx
9 + x2
a2 = 9
a=3
x = a tan q
x = 3 tan q
dx = 3 sec 2 θ d θ
9 + x2 =
9 + 9 tan 2 θ
Factorizamos el 9:
9 (1 + tan 2 θ )
=
Como:
sec 2 θ = 1 + tan 2 θ
=
9 sec 2 θ
= 3 sec θ
Sustituimos en el integrando:
∫
x2
dx =
9 + x2
=
∫
9 tan 2 θ 3 sec 2 θ d θ
∫ 9 tan
3 sec θ
2
θ sec θ d θ
Con tan 2 θ = sec 2 θ − l :
= 9
∫ (sec
2
= 9
∫ sec
θdθ − 9
3
θ − 1) sec θ d θ
∫ sec θ d θ
La integral de ∫ sec 3 θ d θ se integra por partes como se desarrolló anteriormente. Al integrar queda:
=
9
9
sec θ tan θ + ln (sec θ + tan θ ) − 9 ln (sec θ + tan θ ) + C
2
2
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Capítulo 10 Métodos de integración. Integración por sustitución trigonométrica
179
Simplificamos:
=
9
9
sec θ tan θ − ln (sec θ + tan θ ) + C
2
2
Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de
9
9
sec θ tan θ − ln (sec θ + tan θ ) + C en la función de la variable x
2
2
original, al despejar en (1).
x = 3 tan θ
tan θ =
x
3
2
2
h =
x +9
3
2
sec θ =
x 2 + 32
h=
θ
x
+3
x
3
h 2 = x 2 + 32
Por lo tanto:
∫
x2
9
9
dx = sec θ tan θ − ln (sec θ + tan θ ) + C
2
2
2
9+x
Sustituimos:
=
9
2
=
x 2 + 9  x  9  x 2 + 9 x  +
+  C
  − ln 
3 2 
3
3
3
x x2 + 9
2
−
9  x 2 + 9 + x 
ln 
+C
2 
3

El integrando incluye una expresión de la forma
x2 − a2
EJEMPLO 4
∫
x2
dx
x2 − 9
a2 = 9
x = a sec θ
a = 3
x = 3 sec θ
(1)
dx = 3 tan θ sec θ d θ
Si x = 3 sec θ , x 2 = ( 3 sec θ ) 2 = 9 sec 2 θ . Por lo tanto:
x2 − 9 =
9 sec 2 θ − 9
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180
Cálculo integral
Factorizamos el 9:
=
9 (sec 2 θ − 1)
=
9 tan 2 θ
Como tan 2 θ = sec 2 θ − 1
= 3 tan θ
Sustituimos en el integrando:
∫
9 sec 2 θ 3 tan θ sec θ d θ
x2
dx =
3 tan θ
x2 − 9
= 9
∫ sec
3
θdθ
 sec θ tan θ 1

= 9
+ ln (sec θ + tan θ ) + C


2
2
La integral ∫ sec 3 θ d θ se integra por partes, como se desarrolló anteriormente.
∫
x2
dx = 9
x2 − 9
∫ sec
3
θdθ

 sec θ tan θ 1
= 9
+ ln (sec θ + tan θ ) + C


2
2
=
9
sec θ tan θ + ln (sec θ + tan θ ) + C
2
9
sec θ tan θ + ln (sec θ + tan θ ) + C
2
9
sec θ tan θ + ln (sec θ + tan θ ) + C en la función de la variable x original, despejando
2
en (1):
Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de
x = 3 sec θ
sec θ =
x
3
x
x
a
θ
3
a = x 2 − 32
θ
3
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Capítulo 10 Métodos de integración. Integración por sustitución trigonométrica
181
Calculamos el cateto opuesto a:
x 2 = 32 + a 2
a 2 = x 2 − 32
a =
x2 − 9
3
tan θ =
x 2 − 32
Por lo tanto:
∫
x2
9
dx = (sec θ tan θ ) + ln (sec θ + tan θ ) + C
2
x2 + 9
Sustituimos:
=


9 x  x 2 − 9 
 + ln  x +

2  3 
3
3


x 2 − 9  +
 C
3

=
2


9 x x − 9  9 x +
 + 2 ln 
2 
9


x 2 − 9  +
 C
3

Es decir:
∫
(
)
x2
x+
1
9
dx =
x x 2 − 9 + ln
2
2
2
x −9
x2 − 9
+C
3
Lo que debes saber
Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se
enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!
• Sustitución algebraica
• Integral trigonométrica
Ejercicios de repaso
1. Aplica el método de sustitución trigonométrica para resolver las siguientes integrales:
a)
∫x
3 + x 2 dx
Solución:
1
3 + x2) 3 + x2 + C
(
3
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182
Cálculo integral
3 dx
b)
∫
c)
∫
y
dy
y + 16
Solución:
d)
∫
dx
4x 2 − 1
Solución:
e)
∫
Solución: 3 arc sen x + C
1 − x2
2
dy
1 + ( y − 1)
2
y 2 + 16 + C
1
ln 2 x +
2
Solución: ln y − 1 +
4x 2 − 1 + C
1 + ( y − 1)
2
+C
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Capítulo 10 Métodos de integración. Integración por sustitución trigonométrica
f)
∫
dx
32
2
x
( + 9)
x 2 dx
g)
∫
h)
∫ y (4 − y )
i)
∫
5 − x2
2 32
x2 − 9
dx
x
dy
Solución:
x
+C
9 x2 + 9
Solución:
5
5
1
arc sen
x − x 5 − x2 + C
2
5
2
Solución: −
2
1
4 − y2) 4 − y2 + C
(
5
Solución:
x 2 − 9 − 3 arc sec
183
x
+C
3
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184
Cálculo integral
j)
∫ x (1 + x )
k)
∫
2 52
x 2 + 9 dx
dx
(
7
Solución: 1 1 + x 2
Solución:
)
3
1 + x2 + C
1
9
y y 2 + 9 + ln
2
2
y2 + 9 + y
3
+C
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CAPÍTULO
11
Métodos de integración.
Integración por fracciones
parciales
Introducción
Una función racional es aquella en que tanto el numerador como el denominador son expresiones en donde la
variable tiene solamente exponentes enteros y positivos.
P (x)
es una función racional, donde P y Q son polinomios.
Q (x)
f (x) =
Si el grado de P es menor al grado de Q, entonces f (x) es una fracción racional
propia; en caso contrario, es impropia.
El resultado de la integración de una función racional
impropia puede expresarse como la suma de un
polinomio y de una función racional propia
En secciones anteriores hemos integrado funciones racionales como las siguientes.
EJEMPLO 1
a)
∫x
2
+ 4x − 5
dx
x3

5 
 dx
x3 
=
∫  x1 + x4
=
dx
+4∫
∫ dx
x
x
2
−
2
−5
∫ dx
x
3
Integramos:
= ln ( x ) + 4 ∫ x − 2 dx − 5 ∫ x − 3 dx
= ln ( x ) +
4x − 1 5x − 2
−
+C
−1
−2
= ln x −
4
5
+
+C
x 2x 2
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186
Cálculo integral
b)
∫
x3 − 2
x+3
dx
)
x 2 − 3x + 9
x + 3 x3 + 0 + 0 − 2
−xx 3 − 3x 2
−3x 2 + 0 − 2
+3x 2 + 9 x
9x − 2
−9 x − 27
− 29
∫ xx +− 32 dx
3

29 
 dx
x + 3
=
∫  x
=
∫x
=
x 3 3x 2
−
+ 9x − 29 ln x + 3 + C
3
2
2
2
− 3x + 9 −
dx − 3
∫ x dx + 9 ∫ dx − 29 ∫ x dx+ 3
Integramos:
No olvides que ln y L son símbolos que se utilizan para representar la función
logaritmo natural.
De ser posible, se factoriza el denominador Q como un producto de factores lineales
o cuadráticos. Las fracciones racionales propias se pueden expresar como una suma
de fracciones simples.
P (x)
Una vez hecha la factorización, la integral Q ( x ) se expresa como una suma
de funciones racionales más simples, y cada una se integra aplicando la integración
inmediata.
Para que puedas aplicar este método de integración, es importante que recuerdes los siguientes puntos:
•
•
•
•
La factorización.
Los procedimientos para la solución de un sistema de ecuaciones lineales.
La solución de integrales inmediatas.
Las propiedades de los logaritmos de cualquier base (reglas).
log b AB = log b A + log b B
log b
A
= log b A − log b B
B
log b A n = n log b A
log b
n
A =
log b A
n
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Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales
187
Una vez que Q(x) se ha factorizado, el procedimiento para determinar las fracciones
parciales depende de la naturaleza de los factores lineales y cuadráticos. El número
de constantes por determinar es igual al grado del denominador.
Se pueden presentar cuatro casos.
Caso 1. Todos los factores lineales del denominador
son distintos
EJEMPLO 2
∫x
3
3x − 2
dx
− x 2 − 2x
Factorizamos el denominador:
x 3 − x 2 − 2x = x ( x 2 − x − 2 )
= x ( x − 2 ) ( x + 1)
A cada factor lineal ax + b que aparezca en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción simple de la forma ax A+ b , donde A es
una constante cuyo valor tendremos que calcular.
En el ejemplo, descomponemos la fracción en tres fracciones cuyos numeradores serán A, B y C. Observa que el grado del denominador es tres y éste es el mismo
número de constantes por determinar.
∫x
3
El mcm es el producto
de los factores comunes y no comunes con
el mayor exponente.
Previa factorización.
3x − 2
dx
− x 2 − 2x
Factorizamos el denominador:
3x − 2
3x − 2
=
x 3 − x 2 − 2x
x ( x − 2 ) ( x + 1)
=
A
B
C
+
+
x
x −2 x+1
(1)
Reducimos a una sola fracción y aplicamos el mcm, que en este caso es:
mcm = x ( x − 2 ) ( x + 1)
A ( x − 2 ) ( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 2 )
3x − 2
=
2
x − x − 2x
x ( x − 2 ) ( x + 1)
3
Dado que los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también deben ser iguales, por lo tanto:
3x − 2 = A ( x − 2 ) ( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 2 )
(2)
Para calcular los valores de las constantes A, B y C obtenemos las raíces de x,
(x − 2), (x + 1), que son:
x=0
x−2=0
x=2
x+l=0
x = −1
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Cálculo integral
Evaluando las raíces en (2)
3x − 2 = A ( x − 2 ) ( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 2 )
Para x = 0:
3 ( 0 ) − 2 = A ( 0 − 2 ) ( 0 + 1) + B ( 0 ) ( 0 + 1) + C ( 0 ) ( 0 − 2 )
− 2 = A (− 2 ) (1) + B ( 0 ) + C ( 0 )
− 2 = − 2A
A = 1
Para x = 2:
3 (2 ) − 2 = A (2 − 2 ) (2 + 1) + B (2 ) (2 + 1) + C (2 ) (2 − 2 )
4 = A ( 0 ) + 6B + C ( 0 )
4 = 6B
B =
2
3
Para x = − l:
3 (− l ) − 2 = A (− 1 − 2 ) (− 1 + 1) + B (− l ) (− l + 1) + C (− 1) (− 1 − 2 )
− 5 = A ( 0 ) + B ( 0 ) + C (3)
− 5 = 3C
C = −
5
3
Sustituimos los valores obtenidos de A, B y C en (1)
2
−5
3x − 2
1
3
3 +
=
+
x 3 − x 2 − 2x
x x −2 x+1
Ahora integramos:
∫
3x − 2
dx =
x 3 − x 2 − 2x
=

2
−5 
1 + 3 +
3  dx
∫ x x −
+
x
2
1 

dx
+ 2 ∫
∫ dx
x
3 x−2
= ln x +
−
5
3
∫ xdx+ 1
2
5
ln x − 2 − ln x + 1 + C
3
3
Por la propiedad de los logaritmos el resultado queda:
= ln x + ln ( x − 2 )
23
− ln ( x + 1)
53
(x − 2)
+ C = ln
+C
2
(x + 1) 3 (x + 1)
x
3
2
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Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales
189
Otro procedimiento para resolver la integral antes citada es el siguiente:
∫x
3
3x − 2
dx
− x 2 − 2x
Factorizamos el denominador:
x 3 − x 2 − 2 x = x (x 2 − x − 2)
= x (x − 2) (x + l)
Reducimos a una sola fracción aplicando el mcm, que en este caso es:
3x − 2
x − x − 2x
3
2
=
A ( x − 2 ) ( x + 1) + B x ( x + 1) + C x ( x − 2 )
x ( x − 2 ) ( x + 1)
Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los
numeradores también deben ser iguales, por lo tanto:
3x − 2 = A ( x − 2 ) ( x + 1) + B x ( x + 1) + C x ( x − 2 )
Si efectuamos las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupamos
los coeficientes de x2, x y del término independiente, obtenemos:
3 x − 2 = A (x 2 − x − 2) + B x 2 + B x + C x 2 − 2C x
= Ax 2 − Ax − 2 A + B x 2 + B x + C x 2 − 2 C x
Ordenando de acuerdo al grado de la variable, tenemos:
= Ax 2 + Bx 2 + Cx 2 − Ax + Bx − 2Cx − 2A
= ( A + B + C ) x 2 + (− A + B − 2C ) x − 2A
Hasta este punto hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x.
A continuación estableceremos un sistema de ecuaciones:
Para estructurar la ecuación (1) se consideraron los coeficientes de x2, que en
el miembro derecho de la igualdad es (A + B + C). En el miembro izquierdo no
tenemos x2, por esa razón igualamos la ecuación a cero. Para la estructura de la
ecuación (2), los coeficientes de x, que en el miembro derecho es (−A + B − 2C), se
igualó a 3, que es el coeficiente de x en el izquierdo. La ecuación (3) se forma al
igualar los términos independientes.
A+B+C=0
(1)
−A + B − 2C = 3
(2)
−2A = −2
(3)
De la ecuación (3) despejamos A:
− 2A = − 2
A =
−2
−2
A =1
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Cálculo integral
Sustituimos en (1) y en (2):
l+B+ C= 0
− l + B − 2C = 3
Despejamos y obtenemos las ecuaciones (4) y (5)
B + C = −1
(4)
B − 2C = 4
(5)
Multiplicamos la ecuación (5) por (−1) y sumamos con la ecuación (4)
B + C = −1
− B + 2C = − 4
3C = − 5
C = −
5
3
Calculamos B sustituyendo el valor de C en la ecuación (4)
B−
5
= −1
3
B = −1 +
B =
5
3
2
3
Sustituimos los valores de A, B y C:
2
−5
3x − 2
1
3 +
3
=
+
x 3 − x 2 − 2x
x x −2 x+1
∫
3x − 2
dx =
3
x − x 2 − 2x
=

2
−5 
1 + 3 +
3  dx
∫ x
2
x
−
x
+
1 

∫ dx + 2 ∫
x
3
dx
5
−
x−2 3
∫
dx
x+1
Integramos:
= ln x +
2
5
ln x − 2 − ln x + 1 + c
3
3
Por la propiedad de los logaritmos, el resultado queda así:
= ln x + ln ( x − 2 )
23
− ln ( x + 1)
53
(x − 2)
+ C = ln
+C
2
(x + 1) 3 (x + 1)
x
3
2
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Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales
191
Caso 2. Algunos de los factores lineales
del denominador se repiten
EJEMPLO 3
∫x
3x + 5
dx
− x2 − x + 1
3
Factorizamos el denominador:
x 3 − x 2 − x + 1 = x 2 ( x − l ) − l ( x − 1)
= ( x − 1) ( x 2 − 1)
= ( x − 1)( x − 1) ( x + 1)
= ( x − 1) ( x + 1)
2
3x + 5
3x + 5
=
2
2
x −x −x+1
(x + 1) (x − 1)
3
El factor repetido es (x − 1)2, se escribe la fracción con el denominador (x − 1)2 y
todas las potencias inferiores. En este caso con denominador (x − 1).
3x + 5
A
B
C
+
=
+
2
x3 − x2 − x + 1
x + 1 ( x − 1)
x −1
Reducimos a una sola fracción aplicando el mcm.
mcm = ( x + l ) ( x − 1)
2
A ( x − 1) + B ( x + 1) + C ( x + 1) ( x − 1)
2
3x + 5
x3 − x2 − x + 1
=
2
(x + 1) (x − 1)
Dado que los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también deben ser iguales. Por lo tanto:
3 x + 5 = A ( x − 1) + B ( x + 1) + C ( x + l ) ( x − 1)
2
Si realizamos las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupamos
los coeficientes de x2, x y del término independiente, obtenemos:
3 x + 5 = A ( x 2 − 2 x + 1) + B x + B + C x 2 − C
= Ax 2 − 2 Ax + A + B x + B + C x 2 − C
= ( A + C ) x 2 + ( B − 2 A) x + ( A + B − C )
Hasta este punto hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x,
a continuación estableceremos un sistema de ecuaciones:
A+C=0
−2A + B = 3
(1)
A+B−C=5
(3)
(2)
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192
Cálculo integral
Con (2) y (3), multiplicando en (3) por − 1, tenemos:
− 2A + B
=
3
− A−B+ C =−5
− 3A
+ C =−2
(4)
Con (1) y (4), multiplicando en (1) por − 1
− A−C
=0
− 3A + C
=−2
− 4A
=−2
A =
1
2
Sustituimos en (1):
1
+C = 0
2
C = −
1
2
Sustituimos en (2):
1
−2  + B = 3
2 
B = 4
Sustituimos los valores de A, B y C:
1
−1
4
2
2
=
+
+
2
x3 − x2 − 2x
x + 1 ( x − 1)
x −1
3x − 2
∫x
3x − 2
3
− x2 − 2x
dx =
 1
∫  x 2+

1
+
1 
4
2  dx
−
2
x − 1
( x − 1)
=
1
2
=
1
4
1
ln x + 1 −
− ln x − 1 + C
2
x −1 2
∫ xdx+ 1 + 4 ∫
1
dx
−
2
−
1
2
x
(
)
∫ xdx− 1
Integramos:
= ln
x+1
4
−
+C
x −1
x −1
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Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales
193
Caso 3. Todos los factores cuadráticos (irreducibles)
del denominador son distintos
Por cada factor de la forma ax 2 + bc + c , que es un polinomio cuadrático y que
Ax + B
resulta de la factorización Q(x), queda un sumando del tipo
. Si ade2
ax + bx + c
más resultan factores lineales repetidos, éstos se resuelven como en los casos 1 y 2.
EJEMPLO 4
∫x
2x2 + x
4
+ 3x 3 + 4x 2 + 3x + 1
dx
Factorizamos el denominador:
2x2 + x
x 4 + 3x 3 + 4x 2 + 3x + 1
=
=
2x2 + x
2
(x + 1) (x 2 + x + 1)
Cx + D
A
B
+
+ 2
2
x+1 x +x+1
(x + 1)
Reducimos a una sola fracción aplicando el mcm, que en este caso es:
mcm = ( x + 1) ( x 2 + x + 1)
2
2x2 + x
x 4 + 3x 3 + 4x 2 + 3x + 1
=
A ( x 2 + x + 1) + B ( x + 1) ( x 2 + x + 1) + (Cx + D ) ( x + 1)
2
2
( x + 1) ( x 2 + x + 1)
Dado que los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también deben ser iguales, por lo tanto,
2 x 2 + x = A ( x 2 − x + 1) + B ( x + l ) ( x 2 + x + 1) + (C x + D ) ( x + 1)
2
Al efectuar las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupar los coeficientes de x2, x y del término independiente, obtenemos:
2 x 2 + x = A ( x 2 − x + l ) + B ( x + l ) ( x 2 + x + 1) + (C x + D ) ( x + 1)
2
= Ax 2 − Ax + A + B ( x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1) + C x 3 + 2C x 2 + C x + D x 2 + 2 D x + D
= Ax 2 − Ax + A + B x 3 + 2 B x 2 + 2 B x + B + C x 3 + 2C x 2 + C x + D x 2 + 2 D x + D
= ( B + C ) x 3 + ( A + 2 B + 2C + D ) x 2 + ( A + 2 B + C + 2 D ) x + ( A + B + D )
Hasta este punto hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x,
a continuación estableceremos un sistema de ecuaciones:
B+ C=0
(1)
A + 2B + 2C + D = 2
(2)
A + 2B + C + 2D = 1
(3)
D =0
(4)
A+ B+
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194
Cálculo integral
En la ecuación (1):
B+C=0
B = −C
(5)
Sustituimos en las ecuaciones (2), (3) y (4):
A + 2(− C) + 2C + D = 2
(2)
A + 2(− C) + C + 2D = l
(3)
D =0
(4)
A
+ D=2
(2)
A − C
+ 2D = l
(3)
A − C
+ D=0
(4)
A + (− C) +
Con (3) y (4) multiplicando en (4) por −1, tenemos:
A − C + 2D = l
(3)
−A + C − D = 0
(4)
D=l
Sustituimos en (2):
A+D=2
A+1=2
A=1
Sustituimos en (4):
A+B+D=0
1+B+1=0
B=−2
Sustituimos en (5):
B=−C
−2=−C
C=2
Sustituimos los valores de A, B, C y D:
2x 2 + x
1
2
2x + 1
=
−
+ 2
2
4
3
2
x + 3x + 4x + 3x + 1
x+1 x +x+1
(x + 1)
∫x
4
2x 2 + x
dx =
+ 3x + 4x 2 + 3x + 1
3
∫
dx
−2
2
( x + 1)
∫ xdx+ 1 + ∫ x 2+x x+ 1+ 1 dx
2
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Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales
195
Integramos:
= −
1
− 2 ln ( x + 1) + ln ( x 2 + x + 1) + C
x+1
= −
2
1
n ( x + 1) + C
+ ln ( x 2 + x + 1) − ln
x+1
= −
1
x2 + x + 1
+C
+ ln
2
x+1
(x + 1)
= ln
1
x2 + x + 1
−
+C
2
x+1
( x + 1)
Caso 4. Algunos factores cuadráticos (irreducibles)
del denominador se repiten
Por cada factor de la forma ( ax 2 + bx + c ) que resulte de la factorización de Q(x),
le corresponde una suma de n fracciones de la forma:
n
Ax + B
Cx + D
Lx + M
n +
n −1 +  +
2
2
ax
+ bx + c
(ax + bx + c ) (ax + bx + c )
2
De haber factores lineales repetidos, éstos se resuelven como los casos 1 y 2.
EJEMPLOS 5
a)
∫ x2x + +2xx ++31 dx
3
4
2
Factorizamos el denominador:
x 4 + 2 x 2 + 1 = ( x 2 + 1)
2
= ( x 2 + 1) ( x 2 + 1)
2x 3 + x + 3
Ax + B
Cx + D
=
2
2 +
2
2
(x + 1)
(x + 1) x 2 + 1
Reducimos a una sola fracción y aplicamos el mcm, que en este caso es
2
∫ [ f (x ) ± g (x )] dx =
mcm = ( x 2 + 1) :
∫ [ f (x ) ± g (x )] dx = ∫ f (x ) dx ± ∫ g (x
∫ f (x ) dx ± ∫ g (x ) dx
Ax + B + (Cx + D ) ( x 2 + 1)
2x 3 + x + 3
=
2
2
(x 2 + 1)
(x 2 + 1)
Dado que los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también deben ser iguales, por lo tanto:
2 x 3 + x + 3 = Ax + B + (Cx + D ) ( x 2 + 1)
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196
Cálculo integral
Al efectuar las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupar los
coeficientes de x2, x y del término independiente, tenemos:
2 x 3 + x + 3 = Ax + B + Cx 3 + Cx + Dx 2 + D
= Cx 3 + Dx 2 + ( A + C ) x + ( B + D )
Hasta este punto hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias
de x. A continuación estableceremos un sistema de ecuaciones:
C=2
(1)
D=0
(2)
A+C=l
(3)
B+D=3
(4)
Sustituimos en (3) el valor de C que se obtiene de la ecuación (1):
A+2=
1
A=−l
Sustituimos en (4) el valor de D que se obtiene de la ecuación (2):
B+0=3
B=3
Además:
C=2
D=0
Sustituimos los valores de A, B, C y D:
−x + 3
2x 3 + x + 3
2x + 0
=
2 +
4
2
2
x + 2x + 1
(x + 1) x 2 + 1
∫ x2x + +2 x + 3
3
x +1
4
2
dx =
∫
−x + 3
(x
2
+ 1)
2
dx +
∫
2x
dx
x +1
2
Por comodidad, las integrales señaladas se resuelven por separado:
∫ x 2x+ 1 dx
2
∫
−x + 3
(x
−
∫
2
+ 1)
(x
2
dx = −
x dx
2
= ln ( x 2 + 1) + C
+ 1)
2
∫
(x
x dx
2
+ 1)
2
2
1 1 ( x + 1)
= −
2
−1
=
1
2 ( x + 1)
2
+3
∫
dx
2
(x + 1)
2
−1
+C
+C
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11_Calculo_Integral.indd 196
07/04/13 13:34
Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales
197
Las dos integrales anteriores se resolvieren aplicando el método de sustitución
o cambio de variable.
Para resolver la integral que se cita a continuación se aplica una de las
fórmulas de reducción.
3
∫

3 x
dx
+ arc tan x  + C
 2
2 =

(x + 1) 2  x + 1
2
Reunimos ahora los resultados parciales
∫ x2x + +2xx ++31 dx
3
4
b)
∫ 5x dx x
+
2
= ln x 2 + 1 +
3x + 1
3
+ arc tan x + C
2 ( x 2 + 1) 2
2
Factorizamos el denominador:
1
1
=
2
5x + x
x (5 + x )
Los factores del denominador son lineales y distintos como en el caso 1.
=
A
B
+
x
x+5
mcm = x (5 + x )
A (5 + x ) + Bx
1
+
x (5 + x )
x (5 + x )
Como los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son
iguales.
1 = A ( x + 5) + Bx
= Ax + 5A + Bx
= ( A + B ) x + 5A
Sistema de ecuaciones:
A+B =0
(1)
=1
(2)
5A
De (2):
A =
1
5
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198
Cálculo integral
Sustituimos en (1):
A+B = 0
1
+B = 0
5
B = −
1
5
sustituimos los valores de A y B
1
1
1
5
5
=
−
x (5 + x )
x x+5
∫
dx
1
=
x (5 + x )
5
∫ dx
x
−
1
5
∫
dx
x+5
Integramos y aplicamos las leyes de los logaritmos:
a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b )
a − b = ( a + b )( a − b )
2
=
1
1
ln ( x ) − ln ( x + 5) + C
5
5
=
1
x
ln
+C
5
x+5
2
c)
∫x
2
dx
− 36
Factorizamos el denominador:
1
1
=
6
x 2 − 36
x
+
(
) ( x − 6)
=
A
B
+
x+6 x−6
mcm = ( x + 6) ( x + 6)
A ( x − 6) + B ( x + 6)
1
=
x − 36
( x + 6) ( x + 6)
2
Como los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son
iguales.
1 = A ( x − 6) + B ( x − 6)
= A ( x − 6) + B ( x + 6)
= Ax − 6A + Bx + 6B
= ( A + B ) x − 6A + 6B
Sistema de ecuaciones:
A + B =0
(1)
− 6A + 6B = l
(2)
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Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales
199
Multiplicamos en (1) por 6:
6A + 6B = 0
− 6A + 6B = l
12B = 1
B =
1
12
Sustituimos en (1):
A+B = 0
A+
1
= 0
12
A = −
1
12
Sustituimos los valores de A y B:
1
1
1
12 + 12
=
−
x 2 − 36
x+6 x−6
∫x
2
1
dx
=
12
− 36
∫ x dx− 6 − 121 ∫ x dx
+6
Integramos y aplicamos las leyes de los logaritmos:
d)
∫x
=
1
1
ln ( x − 6) −
ln ( x + 6)
12
12
=
1
x−6
ln
+C
12
x+6
2x − 1
dx
(x + 3x + 2)
2
Factorizamos el denominador:
x ( x 2 + 3x + 2 ) = x ( x + 2 ) ( x + 1)
2x − 1
A
B
C
=
+
+
x ( x + 3x + 2 )
x
x+2 x+1
2
mcm = x ( x + 2 ) ( x + 1)
A ( x + 2 ) ( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x + 2 )
2x − 1
=
x ( x + 3x + 2 )
x ( x + 2 ) ( x + 1)
2
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200
Cálculo integral
Como los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son
iguales:
2 x − 1 = A ( x + 2 ) ( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x + 2 )
= A ( x 2 + 3x + 2 ) + Bx 2 + Bx + Cx 2 + 2Cx
= Ax 2 + 3Ax + 2 A + Bx 2 + Bx + Cx 2 + 2Cx
= ( A + B + C ) x 2 + (3A + B + 2C ) x + 2 A
Sistema de ecuaciones:
A+B+ C= 0
3A + B + 2C =
(1)
2
(2)
2A = −1
(3)
De (3):
A=−
1
2
Sustituimos en (1) y en (2):
−
1
+B+ C = 0
2
−
3
+ B + 2C = 2
2
−
1
+B+ C = 0
2
−
3
+ B + 2C = 2
2
Multiplicamos en (1) por −1:
−1
+C = 2
C = 3
Sustituimos en la ecuación (1):
−
1
+B+3 = 0
2
B = −
5
2
Sustituimos los valores de A, B y C:
5
1
2x − 1
3
2
= − − 2 +
2
x ( x + 3x + 2 )
x x+2 x+1
∫x
2x − 1
dx = 3
(x + 3x + 2)
2
∫ xdx+ 1 − 21 ∫ dx
x
−
5
2
∫ x dx
+2
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Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales
201
Integramos y aplicamos las leyes de los logaritmos:
= 3 ln x + 1 −
1
5
ln x − ln x + 2 + C
2
2
= ln ( x + 1) − ln x 1 2 − ln ( x + 2 )
3
= ln
3
(x + 1) − ln x + 2 5 2 + C
(
)
12
= ln
(x + 1)
+C
52
12
x (x + 2)
52
+C
x
3
= ln
e)
∫
3
(x + 1)
5 + C
x (x + 2)
1
dx
x
−
4
(
) (x − 3)
En este ejemplo, el denominador ya está factorizado, por lo que no hay necesidad de factorizarlo de nuevo.
1
(x − 4) (x − 3)
=
A
B
+
x−4 x−3
mcm = ( x − 4) ( x − 3)
1
(x − 4) (x − 3)
=
A ( x − 3) + B (− 4)
(x − 4) (x − 3)
1 = A ( x − 3) + B ( x − 4)
= Ax − 3A + Bx − 4B
= ( A + B ) x − 3A − 4B
Sistema de ecuaciones:
A+ B=0
(1)
− 3A − 4B = l
(2)
Multiplicamos la ecuación (1) por 3:
3A + 3B = 0
− 3A − 4B = l
− B= 1
B=−1
Sustituimos en la ecuación (1)
A−1=0
A=l
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202
Cálculo integral
Sustituimos los valores de A y B:
1
( x − 4) ( x − 3)
∫
=
dx
=
( x − 4) ( x − 3)
1
1
−
x−4 x−3
dx
− ∫
∫ x dx
x−3
−4
Integramos:
= ln x − 4 − ln x − 3 + C
= ln
f)
∫x
2
x−4
+C
x−3
+ 3x + 4
dx
x−2
El grado del numerador es mayor que el grado del denominador; por lo
tanto, primero realizamos la división.
x+5
x − 2 x + 3x + 4
)
2
− x 2 + 2x
5x + 4
− 5x + 10
14
El resultado de la división es x + 5 + 14 . Si sustituimos en la integral
x−2
queda:
∫x
2
+ 3x + 4
dx =
x−2


∫  x + 5 + x 14− 2  dx
=
∫ x dx + 5 ∫ dx + 14 ∫ x dx
−2
=
x2
+ 5x + 14 ln x − 2 + C
2
Integramos:
g)
∫x
2
x + 16
dx
+ 2x − 8
Factorizamos el denominador:
∫x
2
x + 16
=
+ 2x − 8
x + 16
A
B
=
+
( x − 2 ) ( x + 4) x − 2 x + 4
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Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales
203
mcm = ( x − 2 ) ( x + 4)
A ( x + 4) + B ( x − 2 )
x + 16
=
( x − 2 ) ( x + 4)
( x − 2 ) ( x + 4)
x + 16 = A ( x + 4) + B ( x − 2 )
= Ax + 4 A + Bx − 2 B
= ( A + B ) x + 4A − 2B
Sistema de ecuaciones:
A+ B=1
(1)
4 A − 2B = 16
(2)
Multiplicamos la ecuación (1) por 2:
2A + 2B = 2
4A − 2B = 16
6A = 18
A =3
Sustituimos en la ecuación (1):
3+B=l
B=−2
Sustituimos los valores de A y B:
3
2
x + 16
=
−
2
4
−
2
+4
x
x
x
x
−
+
(
)(
)
∫x
2
x + 16
dx = 3
+ 2x − 8
∫ x dx
−2
−2
∫ x dx
+4
= 3 ln x − 2 − 2 ln x + 4 + C
= ln
h)
∫ 2xx
3
2
3
(x − 2) + C
2
( x + 4)
+ 3x 2 − 4
dx
− 4x + 3
2 x + 11
x 2 − 4x + 3 2 x 3 + 3x 2 + 0 − 4
)
− 2 x 3 + 8x 2 − 6x
11x 2 − 6x − 4
− 11x 2 + 44x − 33
38x − 37
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204
Cálculo integral
El resultado de la división es:
2 x + 11 +
38x − 37
x 2 − 4x + 3
Si sustituimos en la integral, tenemos:
∫ 2xx
2
2
+ 3x 2 − 4
dx =
− 4x + 3


∫ 2x + 11 + x 38−x 4−x 37+ 3  dx
2
= 2
∫ x dx + 11 ∫ dx + ∫ x 38−x 4−x 37+ 3 dx
2
Por comodidad, las integrales señaladas se resuelven por separado:
∫ x dx
= x2 + C
11 ∫ dx = 11x + C
∫ x 38x 4−x 37 3 dx
2
−
+
=
Factorizamos el denominador:
38x − 37
38x − 37
=
x 2 − 4x + 3
x
( − 3) (x − 1)
=
A
B
+
x
3
x
−
(
) ( − 1)
mcm = ( x − 3) ( x − 1)
A ( x − 1) + B ( x − 3)
38x − 37
=
(x − 3) (x − 1)
( x − 3) ( x − 1)
Dado que los denominadores son iguales, entonces los numeradores también
son iguales:
38x − 37 = A ( x − 1) + B ( x − 3)
= Ax − A + Bx − 3B
= ( A + B ) x − A − 3B
Sistema de ecuaciones:
A + B = 38
(1)
− A − 3B = − 37
(2)
− 2B = 1
B = −
1
2
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Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales
205
Sustituimos en la ecuación (2)
 1
− A − 3 −  = − 37
 2
−A +
3
= − 37
2
− A = − 37 −
A = 37 +
3
2
3
2
A =
74 3
+
2
2
A =
77
2
Sustituimos los valores de A y B:
77
1
38x − 37
2
2
=
−
x 2 − 4x + 3
x −3 x −1
∫ x 38−x 4−x 37+ 3
2
=
77
2
=
77
1
ln x − 3 − ln x − 1 + C
2
2
∫ x dx− 3 − 21 ∫ xdx− 1
= ln ( x − 3)
= ln
77 2
( x − 3) 77
x −1
− ln ( x − 1)
12
+C
+C
Reunimos los resultados parciales:
∫
i)
2
∫ 4xx
2
(x − 3) x − 3 + C
2 x 3 + 3x 2 − 4
dx = x 2 − 11x + ln
2
x − 4x + 3
x −1
38
+ 3x − 1
dx
(x − 1)
Como x2 = xx, corresponde al caso 2:
4x 2 + 3x − 1
A
B
C
=
+ 2 +
2
x ( x − 1)
x
x
x −1
mcm = x 2 ( x − 1)
Ax ( x − 1) + B ( x − 1) + Cx 2
4x 2 + 3x − 1
=
x 2 ( x − 1)
x 2 ( x − 1)
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07/04/13 13:35
206
Cálculo integral
Dado que los denominadores son iguales, entonces los numeradores también
son iguales:
4x 2 + 3x − 1 = A ( x 2 − x ) + B ( x − l ) + Cx 2
= Ax 2 − Ax + Bx − B + Cx 2
= ( A + C ) x 2 + (− A + B ) x − B
Sistema de ecuaciones:
A+C=4
(1)
−A+B=3
(2)
−B=−l
(3)
Para obtener el valor de B, multiplicamos la ecuación (3) por (−1):
B=1
Sustituimos en la ecuación (2):
−A + l = 3
−A = 2
A = −2
Sustituimos en la ecuación (1):
−2 + C = 4
C = 6
Sustituimos los valores de A, B y C:
4x 2 + 3x − 1
2
1
6
=− + 2 +
2
x ( x − 1)
x x
x −1
2
∫ 4xx
2
+ 3x − 1
dx = − 2
(x − 1)
dx
dx
+ ∫
+6∫
∫ dx
x
x
x −1
2
Integramos:
= − 2 ln ( x ) −
1
+ 6 ln ( x − 1) + C
x
(x − 1)
1
= − + ln
x
x2
6
+C
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Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales
j)
∫ xx
2
2
207
+ 2x + 1
dx
− 3x + 2
Como el grado del numerador es igual al grado del denominador, se puede
realizar la división:
1
x 2 − 3x + 2 x 2 + 2 x + 1
)
− x 2 + 3x − 2
5x − 1
5x − 1 . Si sustituimos en la integral
El resultado de la división es 1 +
2
x − 3x + 2
queda:
∫ xx
2
2
+ 2x + 1
dx =
− 3x + 2
=

∫ 1 + x
5x − 1 
 dx
2
− 3x + 2 
∫ dx + ∫ x
2
5x − 1
dx
− 3x + 2
Por comodidad, las integrales señaladas se resuelven por separado:
∫ dx
∫
= x
5x − 1
dx =
x − 3x + 2
2
∫
5x − 1
dx
( x − 2) ( x − 1)
mcm = ( x − 2 ) ( x − 1)
A ( x − 1) + B ( x − 2 )
5x − 1
=
( x − 2) ( x − 1)
( x − 2) (− 1)
Dado que los denominadores son iguales, entonces los numeradores también
son iguales.
5x − 1 = A ( x − 1) + B ( x − 2 )
= Ax − A + Bx − 2 B
= ( A + B ) x − A − 2B
Formamos el sistema de ecuaciones y la sumamos para encontrar el valor de B:
A+ B= 5
(1)
− A − 2B = − l
(2)
−B= 4
B=−4
Sustituimos en (1):
A−4=5
A=9
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208
Cálculo integral
Sustituimos los valores de A y B:
5x − 1
9
4
=
−
x − 3x + 2
x −2 x −1
2
∫x
2
5x − 1
dx = 9
− 3x + 2
∫ x dx
−2
−4
∫ xdx− 1
Integramos:
= 9 ln x − 2 − 4 ln x − 1 + C
Reunimos los resultados parciales:
∫ xx
2
2
+ 2x + 1
dx = x + 9 ln x − 2 − 4 ln x − 1 + C
− 3x + 2
= x + ln x − 2
9
4
− ln x − 1 + C
(x − 2) + C
4
(x − 1)
9
= x + ln
k)
∫x
2
x
dx
+ 2x + 1
Factorizamos el denominador:
x
x
=
2
x + 2x + 1
(x + 1)
2
=
mcm = ( x + 1)
A
B
+
2
x + 1 ( x + 1)
2
A ( x + 1) + B
x
=
2
(x + 1)
(x + 1) 2
Como los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son
iguales
x = A ( x + 1) + B
= Ax + A + B
Sistema de ecuaciones
A+B=0
(1)
A=1
(2)
De la ecuación (2) sabemos que el valor de A es 1, sustituimos este valor en la
ecuación (1) y despejamos B:
B=−1
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Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales
209
Sustituimos los valores de A y B:
x
1
1
=
−
2
x 2 + 2x + 1
x + 1 ( x + 1)
∫x
x
=
+ 2x + 1
2
∫ xdx+ 1 − ∫ (x + 1)
−2
dx
Integramos:
= ln x + 1 +
l)
∫x
2
1
+C
x+1
dx
+ 3x + 2
Factorizamos el denominador:
1
1
=
2
x 2 + 3x + 2
x
+
(
) (x + 1)
=
A
B
+
x+2 x+1
mcm = ( x + 2 ) ( x + 1)
1
( x + 2) ( x + 1)
=
A ( x + 1) + B ( x + 2 )
( x + 2) ( x + 1)
Como los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son
iguales:
l = A ( x + 1) + B ( x + 2 )
= Ax + A + Bx + 2 B
= ( A + B ) x + A + 2B
Sistema de ecuaciones:
A+B=0
(1)
A + 2B = 1
(2)
Multiplicamos la ecuación (1) por − 1:
−A− B=0
A + 2B = l
B=l
Sustituimos en la ecuación (2):
A+2=1
A=−1
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07/04/13 13:35
210
Cálculo integral
Sustituimos los valores de A y B:
1
1
1
= −
+
x + 3x + 2
x+2 x+1
2
∫x
2
dx
=
+ 3x + 2
∫ xdx+ 1 − ∫ x dx
+2
Integramos:
= ln x + 1 − ln x + 2 + C
= ln
m)
∫
x+1
+C
x+2
7x + 1
x
3) ( x − 1)
+
(
7x + 1
A
B
=
+
+
−1
x
3
x
1
x
3
x
+
−
(
)(
)
mcm = ( x + 3)( x − 1)
A ( x − 1) + B ( x + 3)
7x + 1
=
( x + 3) ( x − 1)
( x + 3) ( x − 1)
Como los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son
iguales.
7 x + 1 = A ( x − 1) + B ( x + 3)
= Ax − A + Bx + 3B
= ( A + B ) x − A + 3B
Sistema de ecuaciones:
A+B=1
(1)
− A + 3B = l
(2)
4B = 8
B=2
Sustituimos en la ecuación (1):
A+2=7
A=5
Sustituimos los valores de A y B:
7x + 1
5
2
=
+
(x + 3) (x − 1) x + 3 x − 1
∫
7x + 1
= 5
(x + 3) (x − 1)
∫ x dx+ 3 + 2 ∫ xdx− 1
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Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales
211
Integramos:
= 5 ln x + 3 + 2 ln x − 1 + C
= ln ( x + 3) ( x − 1) + C
5
n)
∫ x5xx −− 210xx + 82
2
(
)( + )
2
dx
5x 2 − 10 x + 8
A
B
C
=
+
+
x (x − 2) (x + 2)
x
x−2 x+2
mcm = x ( x − 2 ) ( x + 2 )
A ( x − 2 ) ( x + 2 ) + Bx ( x + 2 ) + Cx ( x − 2 )
5x 2 − 10 x + 8
=
x (x − 2) (x + 2)
x (x − 2) (x + 2)
Como los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son
iguales.
5x 2 − 10 x + 8 = A ( x − 2 ) + B ( x 2 + 2 x ) + C ( x 2 − 2 x )
= A ( x 2 − 4) + Bx 2 + 2 Bx + Cx 2 − 2Cx
= Ax 2 − 4 A + Bx 2 + 2 Bx + Cx 2 − 2Cx
= ( A + B + C ) x 2 + (2 B − 2C ) x − 4 A
Sistema de ecuaciones
A+ B + C =
5
2B − 2C = − 10
− 4A =
8
(1)
(2)
(3)
Despejamos A de la ecuación (3) y obtenemos:
A=−2
Sustituimos en la ecuación (1):
−2+B+C=5
B+C=7
(4)
Formamos un sistema de ecuaciones con (2) y (4), multiplicando la ecuación
(4) por 2:
2B − 2C = − 10
2B + 2C =
14
4B =
4
B=
1
Ahora calculamos C en la ecuación (4):
1+C=7
C=6
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212
Cálculo integral
Sustituimos los valores de A, B y C
5x 2 − 10 x + 8
2
1
6
= − +
+
x (x − 2) (x + 2)
x x−2 x+2
∫ x5xx −− 210xx ++ 82
2
(
)(
)
dx = − 2 ∫
dx
+
x
dx
+6∫
∫ x dx
−2
x+2
Integramos:
= − 2 ln ( x ) + ln x − 2 + 6 ln x + 2 + C
= − ln ( x ) + ln ( x − 2 ) + ln ( x + 2 ) + C
2
6
6
x − 2) (x + 2)
(
= ln
+C
2
x
Lo que debes saber
Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se
enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!
• Función racional
• Fracción racional propia
• Fracción racional impropia
Ejercicios de repaso
1. Calcula las siguientes integrales aplicando el método de fracciones parciales.
a)
b)
∫ x2xx + 31
( − )
∫
dx
x −1
dx
(x + 1) (x + 4)
Solución: ln
5
(x − 1) + C
3
Solución: ln
2
( x + 4) 3 ( x + 4)
+C
3 x + 1 2
(
)
x
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Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales
c)
∫x
d)
∫x
e)
∫x
+ 5x + 4
dx
3
(x + 2)
2
2
2
1
1
x+1
−
+ ln x + 2 −
+C
2
2
x+2
(x + 2)
(x + 2)
3x + 1
dx
− 2x + 1
Solución: ln ( x − 1)
2
dx
+ 2 x − 15
Solución: ln
f)
∫
2x
dx
2
x ( x − 1)
g)
∫
(x + 4) dx
x − 2x
3
Solución:
2
213
4
3
−
4
+C
x −1
x−3
+C
x+5
2
 x − 1
Solución: ln 
 +C
 x 
Solución:
2
x−2 x−2
+ ln
+C
x
x
x
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214
Cálculo integral
h)
∫x
i)
∫
j)
∫ xx
2 − 3x
dx
+ x 2 − 2x
3
Solución: ln
x2 − x − 3
dx
(x 2 + 1) (x + 4)
4
2
+ 2x + 1
dx
+ 6x 2 + 9
(x + 2) 3 x + 2 + C
3
x x −1
Solución: ln x + 4 − arc tan x + C
Solución:
2 3
9
arc tan
x+3
3
x−
+C
3
3 ( x 2 + 3)
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CAPÍTULO
12
Métodos de integración.
Integración por
racionalización
Introducción
El proceso de integrar una función no racional sustituyendo la variable por una nueva, de tal manera que
el resultado sea una expresión racional, se llama integración
por racionalización. Hecha la sustitución, en la expresión resultante se despeja la variable x y se calcula su derivada.
Racionalización de expresiones que incluyen
potencias fraccionarias de a + bx, como (a + bx ) p q , (a + bx ) r t
Se transforman a forma racional con la sustitución a + bx = z n . Donde n es el mcm
de los denominadores de los exponentes fraccionarios de las expresiones a + bx.
EJEMPLOS 1
a)
∫
dx
x−2 +
4
(x − 2)
3
=
∫
(x - 2)
12
dx
34
+ (x - 2)
En este ejemplo, x − 2 corresponde a a + bx; por lo tanto, a = −2; b = 1.
El mcm de los denominadores de 1 y 3 es 4:
4
2
mcm (2, 4) = 4; de donde:
x − 2 = z4
x = z4 + 2
dx = 4 z 3dz
Sustituimos:
∫
(x − 2)
12
dx
=
34
+ (x − 2)
∫
= 4
(z )
4x 3dz
34
+ (z 4 )
4 12
3
∫ z z +dzz
2
3
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216
Cálculo integral
Factorizamos el denominador y simplificamos:
z 3dz
2
(1 + z )
= 4
∫z
= 4
∫1+ z
z dz
Dividimos:
1
z + 1z
−z −1
−1
El resultado de la división es 1 −
(a )
m
n
= a mn
am
= a m−n
n
a
1
. Sustituyendo en la integral, tenemos:
1+ z


= 4
∫ 1 − 1 +1 z  dz
= 4
∫ dz − 4 ∫ 1 dz
+z
Integramos:
= 4 z − 4 ln 1 + z + C
Sustituimos el valor de z 4 = x − 2 ; z =
= 4 4 x − 2 − 4 ln
=
b)
∫
4
x − 2 − ln
(
4
4
4
x−2
x −2 +1 +C
)
x −2 +1
4
+C
dx
12
(x − 2) (x + 2)
El denominador del exponente fraccionario es 2; de donde:
x + 2 = z2
x = z2 − 2
z =
x+2
dx = 2 zdz
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Capítulo 12 Métodos de integración. Integración por racionalización
217
Sustituimos:
∫
2 zdz
dx
=∫
12
12
2
(x − 2) (x + 2)
( z − 2 − 2)( z 2 )
=
∫
= 2
(z
2 zdz
− 4) ( z )
2
∫ z dz− 4
2
Aplicamos la fórmula de integración:
∫u
2
du
1
u−a
ln
=
+C
2
−a
2a
u+a
a2 = 4
a=2
2


1
z − 2
+C
ln
= 2
 2 (2 )
z + 2 
−4
∫ x dz
2
=
1
z−2
+C
ln
2
z+2
Sustituyendo el valor de z = ( x + 2 )
=
1
ln
2
12
x+2 −2
x+2 +2
+C
Racionalización de expresiones que únicamente
incluyen una potencia fraccionaria de x
Se convierte a forma racional con la sustitución x = zn, donde n es el denominador
del exponente fraccionario de x.
EJEMPLOS 2
a)
dx
=
x −1
∫
∫x
dx
−1
12
El denominador del exponente fraccionario es 2; por lo tanto, n = 2.
x = z2
dx = 2 z dz
z =
x
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218
Cálculo integral
Sustituimos:
dx
=
x −1
∫
2 z dz
∫ z −1
= 2
z dz
∫z −1
Dividimos:
1
z − 1z
−z +1
1
El resultado de la división es 1 +
1 . Sustituyendo en la integral:
z −1

1 
 dz
z − 1
= 2
∫ 1 +
= 2
∫ dz + 2 ∫ z dz− 1
= 2 z + 2 ln z − 1 + C
Sustituimos el valor de z =
x
= 2 x + 2 ln
= 2 x + ln
b)
∫ 11 +−
x
dx =
x
∫ 11 +− xx
12
12
(
x −1 +C
)
x −1
2
+C
dx
El mcm de los denominadores de los exponentes es 2; de donde:
x = z2
z =
x = x1 2
dx = 2 zdz
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Capítulo 12 Métodos de integración. Integración por racionalización
219
Sustituimos:
12
∫ 11 +− xx 1 2 dx =
=
∫
1 + (z 2 )
1 − (z 2 )
12
12
dz
∫ 1 + z dz
1− z
Dividimos:
−1
1 − z 1+ z
1− z
2
=


∫ − 1 + 1 −2 z  dz
= −
∫ dz + 2 ∫ 1 dz
−z
Integramos:
= − z − 2 ln 1 − z + C
Sustituimos el valor de z = x y aplicamos la siguiente propiedad de los
logaritmos logb An = n logb A:
= − x + ln
(1 −
1
x
)
2
+C
Racionalización de expresiones que incluyen diferentes
potencias fraccionarias de x, como x a b , x c d
Se transforma a forma racional con la sustitución x = zn, donde n es el mcm de los
denominadores de los exponentes fraccionarios.
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220
Cálculo integral
EJEMPLOS 3
a)
∫
dx
=
x − 4x
∫x
12
dx
− x1 4
1
1
El mcm de los denominadores de 2 y 4 es 4:
mcm (2, 4) = 4; de donde:
n=4
z =
x = z4
4
x
dx = 4 z 3dz
Sustituimos:
∫x
dx
=
12
− x1 4
=
∫
(z )
4 z 3dz
14
− (z 4 )
4 12
3
∫ z4z −dzz
2
3
= 4
∫ z zz dz
−1
= 4
∫ zz −dz1
(
)
2
Dividimos:
z +1
z − 1 z2
− z2 + z
z
−z +1
1
El resultado de la división es z + 1 + z 1− 1 . Sustituyendo en la integral,
tenemos:

1 
 dz
z − 1
= 4
∫  z + 1 +
= 4
∫ z dz + 4 ∫ dz + 4 ∫ z dz− 1
Integramos:
= 2 z 2 + 4 z + 4 ln z − 1
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Capítulo 12 Métodos de integración. Integración por racionalización
Sustituimos el valor de z =
4
( x)
= 2
4
2
x
+ 4 4 x + 4 ln
= 2 x + 4 4 x + ln
b)
∫ 1 + x x dx
4
=
14
∫ 1 +x x
12
221
(
4
4
x −1 +C
)
x +1
4
+C
dx
el mcm de los denominadores de 14 y 21 es 4:
mcm (2, 4) = 4; de donde:
x = z4
dx = 4 z 3dz
z =
4
x
Sustituimos:
( z ) (4z dz )
∫
1 + (z )
4 14
=
=
3
4 12
z (4z 3 )
∫ 1+ z
= 4
∫
2
dz
z4
dz
1 + z2
Dividimos:
z2 − 1
z2 + 1 z4
− z4 − z2
− z2
z2 + 1
1

1 
= 4 ∫ z 2 − 1 +
 dz

1 + z2 
= 4 ∫ z 2 dz − 4 ∫ dz + 4 ∫
dz
1 + z2
Integramos:
=
4 3
z − 4 z + 4 arc tan z + C
3
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222
Cálculo integral
Sustituimos el valor de z =
c)
dx
=
x + 3x
∫
∫x
4
( x)
x
=
4
3
=
44 3
x − 4 4 x + 4 arc tan 4 x + C
3
12
4
3
− 4 4 x + 4 arc tan 4 x + C
dx
+ x1 3
1
1
El mcm de los denominadores de 2 y 3 es 6.
mcm (2, 3) = 6; de donde:
x = z6
z =
6
x
dx = 6z 5 dz
Sustituimos:
∫
dx
=
x + 3x
=
∫
6 z 5 dz
12
13
(z 6 ) + (z 6 )
5
∫ z6z+dzz
3
2
z 5 dz
2
( z + 1)
= 6
∫z
= 6
∫ zz +dz1
3
Dividimos:
z2 − z + 1
z + 1 z3
− z3 − z2
− z2
z2 + z
z
−z −1
−1
=6
=


1 
2

1
z
−
z
+
−
∫
 dz
z + 1

∫z
2
dz − 6
∫ z dz + 6 ∫ dz − 6 ∫
dz
z +1
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Capítulo 12 Métodos de integración. Integración por racionalización
223
Integramos:
= 6
z3
z2
−6
+ 6 z − 6 ln z + 1 + C
3
2
Sustituimos el valor de z =
6
x = x1 6 :
= 2 ( x 1 6 ) − 3 ( x 1 6 ) + 6 ( x 1 6 ) − 6 ln x 1 6 + 1 + C
3
2
= 2 x 1 2 − 3x 1 3 + 6x 1 6 − 6 ln x 1 6 + 1 + C
= 2 x − 3 3 x + 6 6 x − ln
d)
∫
xdx
=
1 + 4 x3
(
6
)
x +1
6
+C
12
∫ 1x+ xdx
34
El mcm de los denominadores de 1 y 3 es 4.
4
2
mcm (2, 4) = 4; de donde:
x = z4
dx = 4 z 3dz
z =
4
x
Sustituimos:
12
∫ 1x+ xdx3 4 =
=
( z ) (4z dz )
∫
1 + (z )
4 12
3
4 34
5
∫ 14z+ dz
z
3
= 4∫
z 5 dz
1 + z3
Dividimos:
z2
z3 + 1 z5
− z5 − z2
− z2
Como el grado del residuo (−z2) es menor que el grado del divisor (z3 + 1), ya
no se puede continuar dividiendo; por lo tanto, el resultado de la división es
 2
z2 
z −


1 + z 3 .
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224
Cálculo integral
Sustituimos en la integral:

= 4
∫  z
= 4
∫z
2
2
−
z2 
 dz
1 + z3 
dz − 4
2
∫ 1 +z z
3
dz
Integramos:
=
4 3 4
z − ln 1 + z 3 + C
3
3
14
Sustituimos el valor de z = x :
=
3
4 14 3 4
x ) − ln 1 + ( x 1 4 ) + C
(
3
3
=
4 34 4
x − ln 1 + x 3 4 + C
3
3
=
44 3
x − ln 1 +
3
(
4
)
x3 + C
Racionalización de expresiones que incluyen una
potencia fraccionaria del tipo (a + bx ) m n
Se convierte a forma racional con la sustitución a + bx = z n , donde n es el denominador del exponente fraccionario m .
n
EJEMPLOS 4
a)
∫
x2
5
(1 + 4x )
dx =
∫
x2
dx
52
(1 + 4x )
El denominador del exponente fraccionario es 2; de donde:
1 + 4x = z 2
z =
1 + 4x
Despejamos a x, la elevamos al cuadrado porque en el numerador del
integrando tenemos x2. También debemos calcular dx.
x =
dx =
z2 − 1
4
2
 z 2 − 1
z 4 − 2z 2 + 1
x2 = 
 =
 4 
16
z
dz
2
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Capítulo 12 Métodos de integración. Integración por racionalización
225
Sustituimos:
∫
x
2
∫
dx =
5
(1 + 4x )
 z 4 − 2 z 2 + 1 z 

 

 2 
16
dz
2 52
(z )
Multiplicando los denominadores de las fracciones del numerador, tenemos
1 1 = 1 y dado que es una constante, queda multiplicando a la integral.
16 2
32
4
2
1 ( z − 2 z + 1) ( z )
=
dz
∫
32
z5
( )( )
4
− 2z 2 + 1
dz
z4
=
1
32
=
1  z4
dz − 2
∫
32  z 4
=
1 
 ∫ dz − 2
32 
=
1 
2
1 
z + −
+C
32 
z 3z 3 
∫z
∫ zz
∫ dz
z
2
2
dz + ∫
4
+
dz 

z4

∫ dz 
z
4
Integramos:
Sustituimos el valor de z =
=
b) ∫
1
32
1 + 4x

 1 + 4x +


2
1
−
+
C

1 + 4x
3 ( 1 + 4x ) 3

dx
dx
= ∫
12
3+ x+2
3 + (x + 2)
El denominador del exponente fraccionario es 2; de donde:
x + 2 = z2
z =
x+2
x = z2 − 2
dx = 2 z dz
Sustituimos:
∫3+
2 z dz
dx
=∫
12
x+2
3 + (z 2 )
= 2
z dz
∫3+z
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226
Cálculo integral
Dividimos:
1
z + 3z
−z − 3
−3
Integramos:


= 2
∫ 1 − 3 +3 z  dz
= 2
∫ dz − 6 ∫ 3 dz
+z
= 2 z − 6 ln 3 + z + C
Sustituimos el valor de z =
x+2
= 2 x + 2 − 6 ln 3 +
(
= 2 x + 2 − ln 3 +
c)
∫
x dx
3
(2x + 3)
4
=
∫
x+2 +C
x+2
)
6
+C
x dx
43
(2x + 3)
El denominador del exponente fraccionario es 3; de donde:
z =
2x + 3 = z 3
x =
z3 − 3
2
dx =
3z 2
dz
2
3
2x + 3
Sustituimos:
∫
x dx
43
(2x + 3)
=
∫
z 3 − 3  3z 2 


2  2  dz
43
(z 3 )
(z
=
∫
=
3
4
∫
=
3
4
∫
3
− 3) 3z 2
(z)
(z
5
4
dz
− 3z 2 )
dz
3 ( 4) 3
z4
z 2 ( z 3 − 3)
z4
dz
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07/04/13 13:44
Capítulo 12 Métodos de integración. Integración por racionalización
=
3
4
∫ z z− 3 dz
=
3
4
∫  zz
=
3
4
∫ z dz − 34 ∫ z3
227
3
2

3
2
−
3
 dz
z2 
2
dz
Integramos:
=
3 2
9
z +
+C
8
4z
Sustituimos el valor de z =
=
3
8
=
3
8
(
3
)
3
2x + 3
+
9
+C
4 2x + 3
2
(2 x + 3) +
9
+C
4 2x + 3
3
2x + 3
2
3
3
Racionalización de expresiones que incluyen funciones
racionales de sen u y de cos u en el denominador
Se convierte a forma racional la sustitución de sen u =
1 − z2
2z
; cos u =
.
2
1 + z2
1+ z
Estas relaciones se deducen de considerar la sustitución tan
trigonométrica de la tangente de la mitad de un ángulo tan
u
= z en la función
2
u
=
2
1 − cos u
1 + cos u
En la forma siguiente:
tan
u
=
2
1 − cos u
1 + cos u
Se elevan al cuadrado los dos miembros:
tan 2
Se sustituye con tan
1 − cos u
u
=
2
1 + cos u
u
= z
2
z2 =
1 − cos u
1 + cos u
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228
Cálculo integral
Y se despeja con cos u:
z 2 (1 + cos u) = 1 − cos u
z 2 + z 2 cos u = 1 − cos u
z 2 cos u + cos u = 1 − z 2
cos u ( z 2 + 1) = 1 − z 2
cos u =
1 − z2
1 + z2
Para calcular el valor de sen u, la relación del cos u se expresa en un triángulo rectángulo.
Con el teorema de Pitágoras calculamos el valor del cateto opuesto, b.
(1 + z )
2 2
= (1 − z 2 ) + b 2
2
b 2 = (1 + z 2 ) − (1 − z 2 )
2
1+
2
u
b = 1 + 2z + z − 1 + 2z − z
2
2
4
2
z
2
4
b
1− z2
b 2 = 4z 2
b = 2z
Calculado el valor de b = 2z, se sustituye en el triángulo el valor de b para obtener
sen u.
sen u =
2z
1 + z2
2
z
1+
u
1− z2
2z
Señalamos que:
tan
u
= z; de donde:
2
u
= arc tan z
2
de la cual su función inversa es:
u = 2 arc tan z
du =
2 dz
1 + z2
En el mismo triángulo se pueden deducir las funciones tan u, cot u, sec u, csc u
porque éstas se pueden expresar racionalmente en términos de sen u o de cos u o de
ambas.
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07/04/13 13:45
Capítulo 12 Métodos de integración. Integración por racionalización
Por lo tanto,
tan u =
2z
1 − z2
cot u =
1 − z2
2z
sec u =
1 + z2
1 − z2
csc u =
1 + z2
2z
229
EJEMPLOS 5
a)
∫ 3 + dxcos x
Escribimos u = x
Como tan x = z y su función inversa es:
2
x = 2 arc tan z
dx =
2 dz
1 + z2
Y con cos x =
1 − z2
1 + z2
Sustituimos:
∫
dx
=
3 + cos x
∫
2 dz
1 + z2
2 =
3 + 1 − z2
1+ z
a2 = 4
u2 = 2z2
a=2
u =
∫
2 dz
1 + z2
= 2
3 + 3z 2 + 1 − z 2
1 + z2
∫ 4 +dz2 z
2
2z
Integramos:
= 2
1
2z
arc tan
+C
2
2
Sustituimos el valor de z = tan
x
2
 2
x
tan  + C
= arc tan 
 2
2
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230
Cálculo integral
b)
∫ tan x dx
+
sen x
Como:
tan
x
= z
2
Su función inversa es:
x = 2 arc tan z
dx =
2 dz
1 + z2
tan x =
2z
1 − z2
sen x =
2z
1 + z2
Sustituimos:
∫
dx
=
tan x + sen x
=
∫
2 dz
1 + z2
2z + 2z
1 − z2 1 + z2
∫
2 dz
1 + z2
2 z (1 + z 2 ) + 2 z (1 − z 2 )
(1 − z ) (1 + z )
2
2
Tenemos un cociente de fracciones, por lo que el producto de los extremos será
el numerador de la nueva fracción y el producto de los medios el denominador.
=
=
∫
∫
2 (1 − z 2 )(1 + z 2 )
dz =
(1 + z 2 )2 z (1 + z 2 ) + 2 z (1 − z 2 )
(1 − z ) dz
2
2z
=
2
∫ dz − ∫ z dz
2
2
z
z
=
1
2
∫ dzz
∫ 2z
−
1
2
2 (1 − z 2 )
(1 + z
2
+ 1 − z2)
dz
2
∫ z zdz
Integramos:
=
1
1
ln z − z 2 + C
2
4
Sustituimos el valor de z = tan
=
x
:
2
1
x
1
x
ln tan − tan2 + C
2
2
4
2
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Capítulo 12 Métodos de integración. Integración por racionalización
c)
231
∫ 1 + dx
cos x
Como tan
x
= z , su función inversa es:
2
x = 2 arc tan z
dx =
2 dz
1 + z2
Además:
cos x =
1 − z2
1 + z2
Sustituimos:
2 dz
2
dx
∫ + cos x = ∫ 1 +1 −z z 2 =
1
1+
1 + z2
∫
2 dz
1 + z2
1 + z2 + 1 − z2
1 + z2
Como los denominadores de las fracciones son iguales, se eliminan. Esto se
debe a que al realizar la división, uno quedará multiplicando en el numerador
y el otro en el denominador de la nueva fracción.
=
∫ 22dz
=
∫ dz
Integramos:
= z +C
Sustituimos el valor de z = tan
= tan
d)
x
:
2
x
+C
2
∫ 2 +dxsen x
Como tan x = 2z , su inversa es:
x = 2 arc tan z
dx =
2 dz
1 + z2
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232
Cálculo integral
Además:
2z
1 + z2
sen x =
Sustituimos:
∫
dx
=
2 + sen x
=
∫
2 dz
1 + z2
=
2 + 2z 2
1+ z
∫z
2
∫
2 dz
1 + z2
=
2 + 2z 2 + 2z
1 + z2
∫2
2 dz
(1 + z 2 + z )
dz
+ z +1
Factorizamos completando el cuadrado:
2

1
1
z + z + 1 = z +  + 1 −

2
4
2
2

1
3
= z +  +


2
4
Sustituyen
ndo en el integrado:
dz
2
1
3
z
+

 +


2
4
∫
=

1
u 2 = z + 

2
u = z +
2
1
2
a2 =
3
4
a =
3
2
Integramos:

1
z + 
1
2 + C
=
arc tan 
3
 3 


 2 
2
x
Sustituimos el valor de z = tan
2
=
2 3 
x 1 
arc tan 
tan +  + C
3
 3 
2 2 
2 3
Lo que debes saber
Para que evalúes tus conocimientos, revisa el concepto clave estudiado en este capítulo, ¿sabes a qué
se refiere? Si tienes dudas, ¡estúdialo nuevamente!
• Integración por racionalización
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07/04/13 13:45
CAPÍTULO
13
La integral definida
Antecedentes históricos
El objetivo principal del cálculo integral es obtener el
límite de la suma de un gran número de magnitudes, cada
una de las cuales tiende a cero.
Desde la antigüedad, los filósofos y matemáticos se plantearon la solución de los problemas siguientes:
• Trazar la tangente a una curva en un punto determinado.
• Obtener el área de una superficie de contornos curvos.
El filósofo Brison, contemporáneo de Sócrates, trató de calcular el área de un
círculo por medio de polígonos regulares inscritos y circunscritos al círculo. Este
legendario método se conoce como proceso de reducción porque a medida que el
número de lados de un polígono aumenta, la diferencia entre las áreas de éstos se
va reduciendo.
El perímetro de los polígonos se aproxima cada vez más al valor del perímetro
del círculo.
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234
Cálculo integral
Arquímedes (287-212 a. de C.) aplicó este método utilizando polígonos regulares de
96 lados inscritos y circunscritos a un círculo de diámetro de una unidad, o de cualquier medida, y logró aproximarse al número irracional p. El proceso que se aplica
en cálculo para determinar el área de una región plana es similar al empleado por
Arquímides.
La importancia de esta técnica la podemos observar si se plantea el problema
siguiente:
Calcular el área A de la superficie limitada por la parábola y = x2 + 1 y las rectas
y = 1, x = 0, x = 4
y
y
D
C
y
17
10
5
2
1
B
A
E
F
Figura 1
x
O
1 2 3 4
Figura 2
x
x
O
Figura 3
El área achurada de la parábola (figura 1) debe estar entre las áreas de los rectángulos.
ABEF;
4(1) = 4
EFDC;
4(17) = 68
De donde 4 < A < 68
Si se divide el segmento 0 a 4 en partes iguales y se trazan dos series de rectángulos,
unos tocarán la curva con vértice superior izquierdo y los otros la tocarán con el
vértice superior derecho (figuras 2 y 3).
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Capítulo 13 La integral definida
235
La suma de las áreas de las dos series de rectángulos se presenta a continuación. En
la figura 2 todos los rectángulos tienen base 1.
El primer rectángulo tiene altura 1, de donde
1(1) = 1
El segundo tiene altura 2, de donde
1(2) = 2
El tercero tiene altura 5, de donde
1(5) = 5
El cuarto tiene altura 10, de donde
1(10) = 10
suma 18
En la figura 3 todos los rectángulos tienen base 1.
El primer rectángulo tiene altura 2, de donde
1(2) =2
El segundo tiene altura 5, de donde
1(5) = 5
El tercero tiene altura 10, de donde
1(10) = 10
El cuarto tiene altura 17, de donde
1(17)=17
suma 34
El área para obtener está en 18 y 34 unidades cuadradas:
18 < A < 34
Para una segunda aproximación, dividimos el segmento 0 a 4 en 8 partes iguales,
cada una de 0.5 unidades. Se marcan las dos series de rectángulos, como lo hicimos
en el caso anterior. Se trazan además las gráficas y se obtienen las áreas. Podrás
observar que el área de la región achurada quedará limitada entre las dos series y se
aproxima cada vez más al área que se está calculando.
Suma de Riemann
La sumatoria de n términos {a1, a2, a3,…an} se expresa así:
n
∑a
i
= a 1 + a 2 + a 3 + ... a n
i =1
De donde:
• ∑ es la letra sigma mayúscula del alfabeto griego. En nuestro alfabeto corresponde a la letra s y en matemáticas se emplea para identificar una sumatoria.
• i es el índice de la suma o variable de la sumatoria.
• aq representa el q−ésimo término de la sumatoria.
• n y m indican los valores externos y son el extremo superior e inferior de la
sumatoria, respectivamente, donde m ≤ n.
Algunos autores usan la palabra límite en lugar de extremos; sin embargo, en este
texto evitaremos utilizar el término límite, ya que éste se aplicó en el cálculo diferencial.
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236
Cálculo integral
EJEMPLOS 1
a) Calcula la siguiente sumatoria.
4
∑ (2i + 1)
i =1
En este ejemplo, a1 = (2i + 1). Para calcular la suma sustituimos la i sucesivamente
por los enteros 1, 2, 3, 4 desde el 1 hasta el 4, que en el ejemplo son los externos
de la sumatoria, luego se suman los términos así obtenidos.
4
∑ (2i + 1) = [2 (1) + 1] + [2 (2) + 1] + [2 (3) + 1] + [2 (4) + 1]
i =1
= 3+5+7+9
= 24
Cualquier variable se puede usar como índice de la sumatoria. Sin embargo,
preferimos las letras i, j, k porque normalmente están asociadas con los enteros.
El extremo inferior no tiene que ser necesariamente el número 1, pues
cualquier número entero menor o igual al extremo superior es válido.
7
∑a
1
= a 4 + a5 + a6 + a7
i=4
Este tipo de condiciones se conoce como suma de Riemann.
b) Calcula las siguientes suma.
4
∑
i=0
2i
20
21
22
23
24
=
+
+
+
+
(i + 2 ) (0 + 2 ) (1 + 2 ) (2 + 2 ) (3 + 2 ) (4 + 2)
=
La fracción
1 2 4 8 16
+ + + +
2 3 4 5
6
4
1
es equivalente a
4
1
=
1 2 1 8 16
+ + + +
2 3 1 5
6
El mcm de los denominadores (2, 3, 1, 5, 6) es 30, de donde:
=
15 + 20 + 30 + 48 + 80
30
=
193
30
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Capítulo 13 La integral definida
237
Propiedades de las sumas de Riemann
n
∑ ka
A.
n
= k ∑ a 1, donde k es una constante
1
i =1
n
∑ (a
B.
i =1
i
i =1
± bi ) =
n
∑a
i =1
1
±
n
∑b
i
i =1
EJEMPLO 2
6
∑ 3i
= 3 (2 ) + 3 (3) + 3 ( 4) + 3 (5) + 3 (6)
i =2
= 6 + 9 + 12 + 15 + 18
= 60
Por la propiedad A:
6
6
∑ 3i
= 3∑ i
i =2
i =2
= 3(2 + 3 + 4 + 5 + 6)
= 3 (20)
= 60
Fórmulas de las sumas de Riemann
n
A.
∑k
= kn
la suma de una constante k, n veces.
j =1
n
B.
∑
j =
j =1
n
C.
∑
D.
∑
j2 =
n ( n + 1)
n ( n + 1) (2 n + 1)
6
j =1
n
j3 =
j =1
la suma de los n-primeros números naturales.
2
n 2 ( n + 1)
4
la suma de los cuadrados de los n-primeros
números naturales.
2
la suma de los cubos de los n-primeros números naturales.
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238
Cálculo integral
Sumas de Riemann notación con sigma
EJEMPLOS 3
1. Expresa las sumatorias que se indican con la notación sigma.
a)
1
1
1
1
+
+
+ ...
2 (1) 2 (2 ) 2 (3)
2 (8)
8
∑
i =1
 1
 7

 2
 7

1
2i
 7

+ 3
 7

b) 2   + 3 + 2   + 3 + ... + 2


n
 

+ 3

7
∑ 2  k
k =1
  2
1
 
1
  5 
  2
5
 
1
  5 
c)   + 2   + ... +   + 2  
 5 
 5 
2
5 

 j
1

∑   + 2
5 j =1  5

3
  3



3
3   3  + ... +  3n  − 3n   3 

−
 
 
 
d)  
 n 
 n 
n   n 
n   n 
  3  
∑  3k  −  3k  3
n n
k =1  n
n
 
e) 2 1 +
 
5

n
2
2
 
 
  
  5  + ... + 2 1 + 5 n    5 
  n 
 
n    n 
2
 
 5
5
i
∑ 2 1 +  
n n
i =1 
n
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Capítulo 13 La integral definida
239
2. Calcula ahora las sumas que se indican.
5
a)
∑ (3 j + 1) = [3 (1) + 1] + [3 (2) + 1] + [3 (3) + 1] + [3 (4) + 1] + [3 (5) + 1]
j =1
= 4 + 7 + 10 + 13 + 16
= 50
3
b)
∑
i=0
1
1
1
1
1
=
+ 2
+ 2
+ 2
0+1 1 +1 2 +1 3 +1
i +1
2
= 1+
4
c)
∑k
i =1
1 1
1
+ +
2 5 10
=
10 + 5 + 2 + 1
10
=
18
10
= k
k
+ k +
k
+
4 veces
= 4k
4
d)
∑ ( j − 1)
3
2
3
2
3
+ ( j + 1)  = (1 − 1) + (1 + 1)  + (2 − 1) + (2 + 1) 
2
j =1
2
3
2
3
+ (3 − 1) + (3 + 1)  + ( 4 − 1) + ( 4 + 1) 
= 8 + 28 + 68 + 134
= 238
5
e)
∑ (3 j − 10) = [3 (1) − 10] + [3 (2) − 10] + [3 (3) − 10] + [3 (4) − 10] + [3 (5) − 10]
i =1
= −7 − 4 − 1 + 2 + 5
= −5
8
f)
∑2
k
= 21 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 25 + 2 6 + 2 7 + 28
k =1
= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256
= 510
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240
Cálculo integral
20
g)
∑i
= 1 + 2 + 3 + 4 + … + 20
i =1
= 210
Aplicando la fórmula B de las sumas de Riemann:
n
∑
n ( n + 1)
j =
2
j =1
20
∑
20 (20 + 1)
j =
2
i =1
20 (21)
=
2
= 210
20
h)
20
∑ 2k
= 2 ∑k
k =1
k =1
= 2(1 + 2 +... + 20)
= 2(210) = 420
Aplicando la fórmula B de las sumas de Riemann:
=
2 (20 ) (20 + 1)
2
= 420
Áreas (interpretación intuitiva)
Así como estudiamos las pendientes de las rectas tangentes para motivar la definición de la derivada, a continuación analizaremos las áreas para facilitar el estudio
de la integral definida.
Primero expondremos una definición de la integral definida, posteriormente se
citará otra, como un límite de las sumas de Riemann.
EJEMPLOS 4
Se requiere calcular el área acotada por las rectas verticales x = a, x = b que
intersecan al eje x (figura 4), y por la gráfica de una función f que es continua y no
negativa en el intervalo cerrado [a, b]. Nos referimos al área como la superficie de
f entre las rectas a y b (figura 4).
y
Área
O
a
b x
Figura 4
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07/04/13 13:57
Capítulo 13 La integral definida
241
El área por calcular es mayor que la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 5 y menor que la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 6.
y
y
b x
a
O
O
Figura 5
a
b x
Figura 6
Se repite este proceso y, al hacerlo, el área de los rectángulos que están por “debajo”
de la curva (figura 7) es casi igual al área de los rectángulos que están por “encima” de
la curva (figura 8). En el límite, es decir, cuando la base de los rectángulos tiende a
cero, la suma de las áreas de los rectángulos que están por “debajo” de la curva es
igual a la suma de los otros rectángulos, entonces se obtiene el área bajo la curva
en el intervalo a, b.
y
y
O
bx
a
O
Figura 7
a
bx
Figura 8
Este proceso nos lleva a obtener el área como un límite; a este límite se le conoce
como integral de la función.
Integración definida como el límite de una suma
(interpretación intuitiva)
Sea f (x) una función cuya curva es JQ (figura 9) y f (x) dx = d F (x), es decir,
∫ f (x ) dx = F (x ) concepto que estudió en la integral indefinida.
y
Q
J
O
a = x0 x 1 x2 x3 x4
xn − 1 b = x n x
Figura 9
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242
Cálculo integral
Si se divide el intervalo [a, b] en n intervalos iguales entre sí, la amplitud de cada
intervalo es:
b−a
= ∆x o también x 1 − a = ∆x
n
x2 − x1 = ∆x
b − xn − 1 = ∆x
La suma del área de los rectángulo es una aproximación al área bajo la curva de f (x)
limitada por las rectas x = a, x = b, y = 0.
Por lo tanto,
f ( a ) ( x 1 − a ) + f ( x 1 )( x 2 − x 1 ) + … + f (b ) (b − x n − 1 ) =
= f ( a ) ∆x + f ( x 1 ) ∆x + f ( x 2 ) ∆x + … + f (b ) ∆x =
n
∑
f ( x i ) ∆x
xi = 0
Ésta es una sumatoria infinita de áreas de rectángulos cuando n → ∞ y ∆x → 0 la
suma se aproxima más al área buscada y el límite es el área bajo la curva y también
es su integral.
n
lím ∑
n →∞ i = 0
∆x → 0
f ( x i ) ∆x =
=
b
lím ∑ f ( x ) ∆x
∆x → 0
∫
b
a
a
f ( x ) dx
b
= F (x) a
= F (b ) − F ( a )
Definición
La integral definida de una función dada, calculada entre los dos extremos de un intervalo cerrado, es el incremento de la función primitiva o antidiferencial propuesta
cuando la variable pasa de un valor inicial a un valor final b.
Se expresa:
∫
b
a
f ( x ) dx = F (b ) − F ( a )
Representa el área de la superficie limitada por la curva de una función f (x) cuyos
extremos tiene como abscisas a y b.
El resultado de una integral definida se expresa en unidades cuadradas de superficie.
Si se invierte el valor de los límites de una integral definida, el nuevo valor es
simétrico al primero con:
∫
b
a
f ( x ) dx = F (b ) − F ( a )
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Capítulo 13 La integral definida
243
Cambiando los extremos:
∫
a
b
f ( x ) dx = F ( a ) − F (b )
= − [ F (b ) − F ( a )]
= −
∫
b
a
f ( x ) dx
Si el extremo inferior de integración es igual al extremo superior, entonces:
∫
a
b
f ( x ) dx = 0
Conclusión
La integral definida se obtiene con:
∫
b
a
f ( x ) dx = F (b ) − F ( a )
donde el incremento está en función de los extremos a y b.
Si se pone fijo el extremo inferior y variable el superior e igual a x, obtenemos:
∫
b
a
f ( x ) dx = F ( x ) − F ( a )
= F (x) + C
Donde:
C = −F(a) = Constante
Esta integral indefinida en un extremo fijo y otro variable se ha convenido en expresar así:
∫
x
a
f ( x ) dx = F ( x ) + C
Es decir, la integral indefinida es la antidiferencial; por lo cual, y desde este punto de
vista, la integración es la operación inversa de la diferenciación.
Sumatorias de Riemann (continuación)
La integración definida ya había sido expuesta y aplicada antes de que Bernhard
Riemann (1826-1866) generalizara el concepto para poder ser aplicado a funciones
más complicadas. Con base en este conocimiento, es posible resolver funciones que
incluyen las condiciones siguientes:
A.
B.
C.
D.
La función puede ser discontinua en algunos puntos de [a, b].
Las longitudes de los subintervalos pueden ser diferentes entre sí.
f (x) puede ser negativa para algún valor de x en [a, b].
El número w, puede ser cualquier número en [xi − 1, xi] para i = 1, 2, 3,…, n
Si una función f está definida en un intervalo [a, b] no necesariamente continua, se
puede hacer una partición arbitraria, que identificaremos con el símbolo ∆.
a = x0 < x1 < x2 <…< xn − 1 < xn = b
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244
Cálculo integral
La siguiente figura representa una partición del intervalo [a, b]
∆x1
a = x0
∆x2
x1
∆x3
x2
∆xi
x3
xi − 1
∆xn
xi
xn − 1
xn = b
Al mayor de los números ∆x1, ∆x2,…, ∆xn se le llama norma de la partición (p) y se
le identifica ||∆||.
∆xi es la longitud del n-ésimo subintervalo.
xi es cualquier punto del subintervalo n-ésimo.
La sumatoria de Riemann, que se expresa Rp, para la partición ∆ se cita con la definición:
Si f es una función definida en un intervalo cerrado [a, b] y ∆ es una partición del
[a, b], una sumatoria de Riemann de f para ∆ es cualquier expresión Rp de la forma:
Rp =
n
∑ f (w ) ∆x
i
i
i =1
donde wi es un número en [xi − 1, xi ] para i = 1, 2 , 3,…, n
Cuando expresamos el concepto de la derivada señalamos: “Si a la variable independiente x con un valor inicial a se le da un valor final b, a la diferencia a − b se le llama
incremento de la variable; esto se expresa usando la letra griega delta (∆) antepuesta
la variable:
∆x = b − a
EJEMPLOS 5
Si se registra un aumento, el incremento es positivo”.
Obtener el valor del incremento de la variable x, con el valor inicial a = 4 y valor
final b = 9
∆x = 9 − (4)
=9−4
=5
EJEMPLOS 6
Si hay disminución, el valor del incremento es negativo.
Obtener el valor del incremento de la variable x con valor inicial a = 3 y valor final
b=0
∆x = 0 − (3)
= −3
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07/04/13 13:57
Capítulo 13 La integral definida
245
EJEMPLOS 7
Si no hay diferencia, el incremento es nulo.
∆x = 4 − (4)
=4−4
=0
El concepto anterior se citó porque nos permitirá, en parte, resolver problemas
que se plantean con las sumatorias de Rienmann.
Observa la partición que se hizo en el intervalo [a, b] en subintervalos; cuando el
número de éstos tiende a infinito, la norma de partición tiende a cero.
n → ∞ implica ||∆|| → 0
Con las sumatorias de Riemann se plantean problemas como el siguiente:
2
Si f ( x ) = 10 − x , calcular la sumatoria de Riemann Rp de f donde p es la parti1 9
ción de  ,  en cuatro subintervalos determinados por:
4 4
x0 =
si
3
1
7
9
, x 1 = 1, x 2 = , x 3 = , x 4 =
4
2
4
4
w0 =
1
5
7
, w1 = , w 2 = , w 3 = 2
2
4
4
Son cuatro rectángulos cuyas áreas son los términos de las sumatorias de Riemann.
Rp =
4
∑
i =1
f = f (w1 ) ∆x 1 = f (w1 ) ∆x 1 + f (w 2 ) ∆x 2 + f (w 3 ) ∆x 3 + f (w 4 ) ∆x 4
Para expresar el segundo factor de cada término de la expresión anterior debes recordar lo que analizamos sobre incremento de la variable. En caso de que tengas
algún problema, puedes expresar los valores en la recta numérica.
Sustituimos los valores:
 1 
 5  3

 7  7 3 
9 7
1
Rp = f   1 −  + f    − 1 + f    −  + f (2 )  − 
 4  4 2 
 2 
 4  2

4 4
4
(1)
Operaciones
Con los valores de w1, w2, w3, w4 señalados y sustituyendo en:
f (x) = 10 −x2
2
1
1
39
f   = 10 −   =
2
2 
4
2
5
5 
135
f   = 10 −   =
4
4
16
2
7
7 
111
f   = 10 −   =
4
4
16
f (2) = 10 − (2)2 = 6
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246
Cálculo integral
Para calcular el área de la región entre la curva y el eje de las x se sustituye en (1):
 39   3   135   1   111  1 
1
Rp =     + 
  + 
  + 6  
 4   4   16   2   16   4 
2
=
117 135 111
+
+
+3
16
32
64
=
4688 + 270 + 111 + 192
64
=
1041
64
= 16
17
64
Cada segmento unidad de la gráfica en el eje x se hizo de dos unidades para facilitar
la localización de los puntos.
Sobre el eje de las x se marcaron los valores:
w0 =
1
5
7
, w1 = , w 2 = , w 3 = 2
2
4
4
Para trazar la gráfica de f ( x ) = 10 − x 2 , la evaluamos para x = 0, 1, 2, 3
y
10
Tabulación:
9 3
4
x
0
1
2
3
y
10
9
6
1
8 7
16
Observa que los puntos w0, w1, w2,
w3, w4 están sobre el eje de las x. A
partir de estos puntos se trazan las
coordenadas con relación al eje de
las y cuyos valores ya se calcularon:
6 15
16
6
 1  39
3
= 9
f  =
2 
4
4
5
 5  135
7
= 8
f  =
4
16
16
 7  111
15
f  =
= 6
4
16
16
f(2) = 6
O
x0 w0
1 w1 x2 w2 2 x4
x1
x3 w3
3
x
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Capítulo 13 La integral definida
247
La integral definida como límite de las sumatorias
de Riemann
A continuación se expresa otra definición de la integral definida, ahora como un
límite de las sumatorias de Riemann.
Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a, b] y si el límite de la sumatoria de Riemann existe, entonces se dice que f es integrable en ese intervalo y se
expresa así:
n
lím
∆→0
∑ f (w ) ∆x
i
i
∫
=
i =1
b
a
f ( x ) dx
El proceso de obtener el número representado por el límite señalado se le llama
calcular la integral.
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces f siempre es
integrable en [a, b]
Al usar el intervalo [a, b] se acepta que a < b. De no ser así, a > b queda:
∫
a
b
f ( x ) dx = −
∫
b
a
f ( x ) dx
Si el extremo inferior de integración es igual al extremo superior, entonces:
∫
a
a
f ( x ) dx = 0
Procedimiento para calcular la integral definida
A. Integrar la expresión diferencial dada.
B. Sustituir en el resultado obtenido (integral indefinida) inicialmente con el valor
del extremo superior, a continuación con el inferior, y se resta el segundo resultado del primero.
C. No es necesario tomar en cuenta la constante de integración porque siempre se
cancela en la sustracción.
EJEMPLOS 8
a)
∫
4
2 x dx = 2
1
∫
2
La expresión x
b)
c)
d)
∫
5
x 2 dx =
1
∫
0
∫
π
2
0
2
x 3 dx =
x3
3
x4
4
4
1
4
1
4
 x2 
x dx = 2  = x 2
 2 1
4
1
= 42 − 12 = 15u 2
4
2
es igual x 1 . Nosotros usaremos la de la línea vertical.
5
=
5 3 13
125 1
124 2
−
=
− =
u
3
3
3
3
3
=
24
04
16 0
−
=
−
= 4u2
4
4
4
4
1
2
0
cos x dx = sen x
π
2
o
= sen
π − sen 0 = 1 − 0 = 1u2
2
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248
Cálculo integral
e)
∫
0
f)
∫
1
π
e
sen x dx = − cos x
π
0
= − cos π − (− cos 0) = − (− 1) − (−(1)) = 1 + 1 = 2 u 2
e
dx
= ln x 1 = ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1u 2
x
0
g)
∫
0 3
−2
∫
x 2 dx =
0
−2
x5 3
5
3
x 2 3 dx =
3
(−2 )
5
= 0−
3
3 3 2
x x
5
=
0
−2
−2
2
(−2 ) = 6 3 4u2
5
Las integrales definidas de funciones discontinuas para algunos valores en [a, b] en
ocasiones existen y en otras no. Todo depende de la naturaleza de la discontinuidad.
Propiedades de la integral definida
A. Si f es integrable en [a, b] y k es un número real cualquiera, entonces kf es integrable en [a, b]
∫
b
a
∫
kf ( x ) dx = k
b
f ( x ) dx
a
Si se cita, un factor constante en el integrado se puede extraer del signo de integral.
B. La integral definida de una suma (o resta) de funciones es la suma (o resta) de las
integrales definidas de las funciones.
∫ [ f (x ) ± g (x )]dx
b
a
=
∫
b
a
f ( x ) dx ±
∫
b
a
g ( x ) dx
C. Si f y g son integrables en [a, b] y f (x) ≤ g (x) para toda x en el intervalo, entonces:
∫
b
a
f ( x ) dx ≤
∫
b
a
g ( x ) dx
Observa en los siguientes ejemplos cómo se aplican las propiedades A y B antes
señaladas.
EJEMPLOS 9
a)
∫ (− x
2
1
2
+ 5x − 4) dx = −
∫
2
1
x 2 dx + 5
∫
2
1
x dx − 4
∫
2
1
dx
Integramos por separado cada integral:
−
∫
5
2
1
∫
−4
x 2 dx = −
2
1
x3
3
x2
x dx = 5
2
∫
2
1
dx = − 4x
2
1
2
1
2
1
8 1
7
= − −  = −
3 3
3
4 1
 3  15
= 5 −  = 5  =
2 2 
2 
2
= − 4 (2 − 1) = − 4 (1) = − 4
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Capítulo 13 La integral definida
249
Por lo tanto,
∫ (− x
2
+ 5x − 4) dx = −
2
1
= −
=
∫
2
1
x 2 dx + 5 ∫ x dx − 4 ∫ dx
2
∫ (3x
3
2
0
− 4x + 1) dx = 3
∫
3
0
1
7 15
−4
+
3
2
− 14 + 45 − 24
6
7
= u2
6
b)
2
1
∫
x 2 dx − 4
3
0
x dx + 1
∫
3
0
dx
Integramos por separado cada integral:
3
∫
−4
3
0
∫
x 2 dx = 3
3
0
x3
3
x dx = − 4
3
= x3
x2
2
3
= − 2x 2
0
∫
2
− 4x + 1) dx = 3
3
= 27 − 0 = 27 u 2
0
1
0
3
0
3
0
= − 18 − 0 = − 18u 2
3
dx = x 0 = 3u 2
Por lo tanto,
∫ (3x
3
0
∫
3
0
x 2 dx − 4
∫
3
0
x dx + 1
∫
3
0
dx
= (27 − 18 + 3)u2
= 12 u2
c)
∫ (x
6
− 2 x ) dx =
2
3
∫
6
3
x 2 dx − 2 ∫ x dx
6
3
Integramos por separado cada integral:
∫
−2
6
3
∫
x 2 dx =
6
3
x3
3
6
=
3
x dx = − x 2
6
3
216 27
−
= 72 − 9 = 63u 2
3
3
= − (36 − 9) = − 27 u 2
Por lo tanto:
∫ (x
6
3
2
− 2 x ) dx =
∫
6
3
x 2 dx − 2
∫
6
3
x dx
= 63 − 27
= 36 u2
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13_Calculo_Integral.indd 249
07/04/13 13:57
250
Cálculo integral
Integrales definidas por cambio de variable
(cálculo de nuevos extremos)
Cuando una función u = g (x) tiene derivada continua en el intervalo [a, b] y f tiene
una integral indefinida sobre el recorrido de g, entonces:
∫
b
a
∫
f [ g ( x )] g ′ ( x ) dx =
g (b )
g (a )
f ( u ) du
De la fórmula anterior, obtenemos g (x) = u y g ′(x)dx = du. Por lo que para aplicarla
debemos identificar u y calcular su diferencial.
EJEMPLOS 10
Efectuar un cambio de variable en las integrales siguientes:
a)
∫
2
0
x ( x 2 + 1) dx
3
Si escribimos:
u = x2 + 1
du = 2xdx
Evaluamos los extremos superior e inferior
Extremo superior:
Cuando x = 2
u = x2 + 1
u = 22 + 1
u=5
Extremo inferior:
Cuando x = 0
u = x2 + 1
u = 02 + 1
u=1
Y sustituimos:
∫
2
0
x (x 2 + 1) 3 dx =
1
2
∫ (x
=
1
2
∫
2
2
0
5
1
+ 1) (2 x ) dx
3
u 3 du
4
1 (u )
=
2 4 1
5
=
1 5 4
1
1  625 1 
−  = 
− 

2 4
4 2  4
4
=
1  624 


2 4 
= 78 u 2
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13_Calculo_Integral.indd 250
07/04/13 13:57
Capítulo 13 La integral definida
b)
∫ (6x + 1) (3x
3
0
2
251
+ x ) dx
2
Escribimos:
u = 3x 2 + x
du = (6x + 1) dx
Evaluamos los extremos superior e inferior:
Extremo superior:
Cuando x = 3
u = 3(3)2 + 3
u = 27 + 3
u = 30
Extremo inferior:
Cuando x = 0
u = 3(0)2 + 0
u=0
Sustituimos:
∫
3
0
(6x + 1) ( 2 x 3 + x) 2 dx =
=
∫
30
0
u3
3
u 2 du
30
0
(30) − 0
3
=
3
= 9000 u
c)
∫
2
0
3
2
(x + 1) dx
2 x 2 + 2x
Escribimos:
u = x 2 + 2x
du = (2x + 2 ) dx
du = 2 ( x + 1) dx
Evaluamos los extremos superior e inferior:
Extremo superior:
Cuando x = 2
u = (2)2 + 2(2)
u=4+4
u=8
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07/04/13 13:57
252
Cálculo integral
Extremo inferior:
Cuando x = 0
u = (0)2 + 2(0)
u=0
Sustituimos:
∫
2
0
(x + 1) dx
2 x + 2x
2
2 ( x + 1) dx
=
1
2
∫
0
=
1
2
∫
0
=
1
u
2
=
8 −
2
=
2u 2
2
2 x 2 + 2x
8
du
2 u
8
0
0
En algunos casos al tratar de resolver integrales definidas por cambio de
variable, sucede que el extremo superior de la variable u resulta menor que
el extremo inferior. Si esto llega a suceder, no se deben cambiar los extremos,
únicamente se debe calcular la operación como en los ejemplos anteriores.
Lo que debes saber
Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se
enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!
•
•
•
•
•
Proceso de reducción
Suma de Riemann
Índice de la suma o variable de la suma
q-ésimo término de la suma
Valores extremos
•
•
•
•
Integral de la función
Integral definida
Norma de la partición
Proceso de cálculo de la integral
Ejercicios de repaso
1. Calcula el valor de las integrales definidas.
a)
∫
3
3
x dx
Solución: 0u2
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13_Calculo_Integral.indd 252
07/04/13 13:57
Capítulo 13 La integral definida
15 2
u
2
b)
∫
c)
∫ (x
d)
∫
0
e)
∫
1
f)
∫ (x − 4) dx
Solución: −
g)
∫
−2
x 2 dx
Solución: 6
h)
∫
0
x dx
Solución: 16 u 2
i)
∫
1
4
Solución: −
x dx
2
3
1
4
e
3x
+ x ) dx
(
x +
dx
x
3
0
0 3
4
π
2
π
6
cos x dx
253
Solución: 21 u 2
4
)
3 dx
(
)
Solución: 8 3 + 16 u
2
Solución: 1u2
15 2
u
2
5
3
4u 2
3
Solución:
1 2
u
2
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13_Calculo_Integral.indd 253
07/04/13 13:57
254
Cálculo integral
j)
∫ (2x + 3)
0
−1
2
dx
Solución:
13 2
u
3
Solución:
65
2
2. Calcular el valor de las sumas de Riemann.
a)
10
( j + 1)
j =1
2
∑
5
b)
∑
j +1
Solución: 18
∑ (3k + 2 )
Solución: 50
j =2
5
c)
k =2
3. Expresa las siguientes sumas con notación sigma.
a)
3
3
3
3
+
+
+ ... +
1+1 1+ 2 1+ 3
1+ 6
2
2
2


2 
1  
4 





+
...
+
−
+
−
1
−
1
1
b)
 
 
  
 5  
 5   
 5  


6
Solución:
∑
i =1
3
1+i
2

i  

1
−
Solución: ∑
  
 5  
i =1 

4
4. Resuelve el siguiente problema:
Si f (x) = x3, calcula la suma de Riemann Rp de f (x) donde p es la partición de (−2, 4) en
cuatro subintervalos determinados por:
x0 = −2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3, x4 = 4
Si la función toma valores en: w1 = −1, w2 = 1, w3 = 2, w4 = 4
Solución: 79u2
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13_Calculo_Integral.indd 254
07/04/13 13:57
14
CAPÍTULO
La integral definida
en el cálculo de áreas
Teorema fundamental del cálculo
Si una función es continua en un intervalo cerrado
[a, b], entonces f es siempre integrable en [a, b]:
El teorema fundamental del cálculo establece que si una
función f es continua en el intervalo [a, b], entonces:
∫
b
a
f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a )
donde F es cualquier función tal que F ( x ) =
∫
b
a
f ( x ) para toda x en [a, b].
Áreas
Por el teorema fundamental de cálculo sabemos que si f es una función continua en
b
el intervalo [a, b], entonces existe la integral definida ∫ a f ( x ) dx .
El resultado de esta integral es igual al área bajo la curva f (x) representada en
el plano.
EJEMPLOS 1
El segmento unidad en que se dividirán los ejes cartesianos para las gráficas de las
áreas de los ejercicios siguientes es de 0.5 cm, excepto que se indique una magnitud
diferente.
a) Calcula el área limitada por la gráfica de y = f ( x ) = − x + 2x + 3 , el eje de
2
las x y las líneas verticales x = 0 y x = 2. Traza además la gráfica.
Área =
∫
=
∫
2
0
(− x 2 + 2 x + 3) dx
2
0
− x 2 dx + 2
∫
2
0
x dx + 3
∫
2
0
dx
Integramos por separado:
−
∫
2
0
x 2 dx =−
2
x3
3
= −
0
2
2x 2
2 ∫ x dx =
0
2
2
3
∫
2
0
dx = 3x
23 03
8
+
= − u2
3
3
3
= 2 2 − 0 2 = 4u 2
0
2
0
= 3 ( 2 ) − 3 ( 0 ) = 6u 2
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07/04/13 13:59
256
Cálculo integral
Por lo tanto:
∫
2
0
( − x 2 + 2 x + 3) dx = −
=
8
+4+6
3
− 8 + 12 + 18
3
22 2
=
u
3
Para trazar las gráficas se calculan los puntos de intersección de la curva con
el eje de las x, haciendo y = 0 y resolviendo para x:
− x² + 2x + 3 = 0
− 1(− x² + 2x + 3) = − 1(0)
x² − 2x − 3 = 0
Factorizamos para obtener las raíces:
x² − 2x − 3 = (x − 3) (x + 1)
(x − 3)(x + 1) = 0
x−3=0
x1 = 3
x+1=0
x2 = − 1
Los puntos de intersección son (3, 0), (− 1, 0).
También puedes calcular las raíces de la ecuación utilizando la fórmula
general.
Recuerda que toda ecuación de segundo grado representa una parábola. En
este caso como la variable que está al cuadrado es x, la parábola es vertical. La
ecuación de la parábola cuando su eje es paralelo al eje de las y es:
2
(x − h) = 4p ( y − k )
Calculamos las coordenadas del vértice de la parábola:
− x 2 + 2x + 3 = y
Se disponen los términos dejando espacio para completar al cuadrado:
− x 2 + 2x + 3 = y
Multiplicamos la ecuación por (− 1):
x 2 − 2x − 3 = y
x 2 − 2x = − y + 3
x 2 − 2x + 1 = − y + 3 + 1
Factorizamos los dos miembros de la ecuación:
2
(x − 1) = − ( y − 4)
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Capítulo 14 La integral definida en el cálculo de áreas
257
Las coordenadas del vértice son (1, 4).
Tabulamos:
y = − x2 + 2x + 3
x
0
1
2
y
3
4
3
y = −x 2 + 2x + 3
y
f (x) = − x2 + 2x + 3
f (0) = − (0)2 + 2(0) + 3 = 3
f (1) = − (1)2 + 2(1) + 3 = 4
x
O
f (2) = − (2)2 + 2(2) + 3 = 3
b) Calcula el área limitada por f (x) = 4, el eje x, y las verticales x = 5 y x = 2. Traza
además la gráfica.
Área =
∫
= 4
5
2
∫
= 4x
4 dx
5
2
y
dx
f(x) = 4
5
2
= 4 (5) − 4 (2 )
O
= 12u 2
x
La integral definida ∫ 2 4 dx corresponde al área del rectángulo, que es una
figura geométrica sencilla. Por ello, podemos comprobar el resultado obtenido
aplicando la fórmula de su área.
5
A = bh
A = 3(4)
= 12u2
c) Determina el área de la región comprendida entre y = x + 3, el eje de las x, y
las líneas verticales x = 0, x = 4. Traza además la gráfica.
Área =
∫
0
=
∫
0
4
4
( x + 3) dx
x dx + 3
∫
4
0
dx
Integramos por separado:
3
∫
0
∫
0
4
4
x dx =
4
x2
2
dx = 3x
=
0
4
0
42
02
−
= 8u 2
2
2
= 3 ( 4 ) − 3 ( 0 ) = 12 u 2
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258
Cálculo integral
Por lo tanto,
∫
4
0
( x + 3) dx = 8 + 12
= 20 u 2
Tabulamos:
x
0
1
4
y
3
4
7
La integral definida ∫ 0 (x + 3) dx corresponde al área de la región de
un trapezoide de altura 4 y bases paralelas de longitudes 3 y 7. Podemos
comprobar el resultado obtenido aplicando la fórmula de su área.
4
y=x+3
y
3
x
4
o
1
h (a + b)
2
1
= (4)(3 + 7)
2
A =
= 2 0u 2
d) Calcula el área de la región comprendida por la gráfica de x = − y 2 + y + 12
con el eje de las y a = 0, b = 4. El intervalo [a, b] está en el eje de las y.
Áreas
∫
4
0
(− y 2 + y + 12) dy
Integramos por separado:
∫∫ 0 −− yy 22 dy
dy =
=−
−
4
4
0
y 33
2
2 dy = − y
y
∫∫ 00 y dy = − 3
3
yy 22
∫∫ 00 yy dy
dy =
=
22
4
4
12
12
∫∫
4
4
0
0
4
4
4
4
0
0
dy
dy =
= 12
12 yy
44 22
=
−
=
−
22
4
4
0
0
4
4
0
0
44 33 00 33
64
64 u 22
=
−
−
=
= −
−
=−
−
u
33
33
33
00 22
2
=
= 88uu 2
22
2
=
= 12
12 ((44)) −
− 12
12 ((00)) =
= 48
48uu 2
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07/04/13 13:59
Capítulo 14 La integral definida en el cálculo de áreas
259
Por lo tanto,
∫
4
0
(− y 2 + y + 12) dy = −
=
=
64
+ 8 + 48
3
− 64 + 24 + 144
3
104 2
u
3
Para trazar la gráfica se calculan los puntos de intersección de la curva con el
eje de las y haciendo x = 0 y resolviendo para y:
− y2 + y + 12 = 0
y2 − y − 12 = 0
Factorizamos para obtener las raíces:
y 2 − y − 12 = ( y − 4) ( y + 3)
y − 4 = 0
y+3 = 0
y1 = 4
y2 = − 3
Los puntos de intersección son (0, 4) (0, − 3).
La ecuación de la parábola cuando su eje es paralelo al eje de las x es:
2
( y − k ) = 4p (x + h)
Calculamos las coordenadas del vértice de la parábola
− y 2 +− yy 2++12y +
= 12
x = x
2
− ydejando
+ y +espacio
12 = x para complementar el cuadrado:
Se disponen los términos
2
− y + y + 12 = x
2
− yy +− 12
12 == x− x
− yy 2 +
2
y − y − 12 = − x
y 2 − y − 12 = − x
2
yy2 −− yy − 12 == −−xx + 12
y2 − y
= − x + 12
2
y − y
= − x + 12
1
1
22
y
−
y
+
12 +
y − y
== −− xx ++ 12
14
14
y2 − y +
= − x + 12 +
12
1
y 2 −yy−+14 == −− x x+−1249+ 4

2

 14
1
2
4
4+
y − y +12 = − x + 1249
 y − 4 2 = −  x −
4

21  = −  x − 49
4 
y
−

2


149

 1  
49 
Las coordenadas del vérticeson
y − 2  , = −  x − 4 
2 4 2  

4
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260
Cálculo integral
Tabulamos:
x = − y2 + y + 12
y
y
−2
−1
2
3
x
6
10
10
6
x = − y2 + y + 12
f (y) = − y2 + y + 12
f (− 2) = − (− 2)2 − 2 + 12 = 6
x
O
f (− 1) = − (− 1)2 − 1 + 12 = 10
f (2) = − (2)2 + 2 + 12 = 10
f (3) = − (3)2 + 3 + 12 = 6
e) Calcula el área de la región comprendida por la curva de f ( y) = y3 con el eje de
∫
b
a
las y entre y = 0, y =
k f (x) dx
= k ∫ f (x) dx
b
Área =
a
∫ [ f (x) ± g (x)] dx
= ∫ f (x) dx
± ∫ g (x) dx
b
=
a
b
∫
3
2
0
3
. Traza además la gráfica.
2
y 3 dy
y4
3
2
4
0
a
4
3
 
 
04
= 2 −
4
4
b
a
Si
∫ f (x ) dx ≤ ∫ g (x ) dx
=
Entonces
∫
b
a
f (x) dx ≤
∫
b
a
g (x) dx
81 2
u
64
Tabulamos:
x = y3
y
0
1
2
x
0
1
8
El segmento unidad es de 0.8 cm
y
f (y) = y3
2
3
2
1
f (0) = 0
f (1) = 13 = 1
O
8
x
f (2) = 23 = 8
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Capítulo 14 La integral definida en el cálculo de áreas
261
f) Calcula el área de la región comprendida por la gráfica de f (x) = x − 4 con el
eje de las x entre x = − 3, x = − 1. Traza además la gráfica.
Área =
∫
−3
=
∫
−3
−1
−1
(x − 4) dx
x dx − 4 ∫
−1
−3
dx
Integramos por separado:
2
∫ − 3 x dx = x
2
−1
−1
−4
∫
=
−3
(− 1)
2
2
−
(− 3)
2
2
=
1 9
−
= − 4u 2
2
2
−1
−1
−3
= − 4 (− 1) − [− 4 (− 3)] = 4 − 12 = − 8u 2
dx = −4x
−3
Por lo tanto,
∫
−1
−3
(x − 4) dx = − 4 − 8
= − 12
= 12 u 2
El resultado es negativo porque el área está por debajo del eje de las x.
Tabulamos:
y
y=x−4
x
O
x
0
2
y
−4
−2
y=x−4
f (x) = x − 4
f (0) = 0 − 4 = − 4
f (2) = 2 − 4 = − 2
g) Calcula el área de la región que se indica en la gráfica.
Si y = 9 − x 2
Como la variable independiente es x, los límites de la integral serán en x.
Área =
∫
= 9
3
0
(9 − x 2 ) dx
∫
3
0
dx −
∫
3
0
x 2 dx
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262
Cálculo integral
Integramos por separado:
3
∫
9
3
0
dx = 9x
= 9 (3) − 9 (0) = 27 u 2
y
0
x3
− ∫ x dx = −
0
3
3
3
2
0
y = 9 − x2
33  0 3  = − 2
= −
+ 
9u
3
3
Por lo tanto,
∫
3
0
(9 − x 2 ) dx = 27 − 9
x
O
= 18u 2
h) Calcula el área de la región que se indica en la gráfica.
Si f (x) = sen x
Como la variable independiente es x los límites de la integral serán en x.
Área
∫
π
2
0
sen x dx = − cos x
y
1
− cos x
π
2
= − cos
0
π − − cos 0
(
)
2
f (x) = sen x
O
π
2
= 0+1
x
π
= 1u 2
El segundo segmento unidad es de 1 cm
i) Calcula el área de la región que se indica.
Si f ( y ) = ( y − 2 )
2
Como la variable independiente es y, los límites de la integral serán en y.
f ( y) = ( y − 2)
2
= y 2 − 4y + 4
Área =
∫
0
=
∫
0
1
1
( y 2 − 4 y + 4) dy
y 2 dy − 4
∫
1
0
y dy + 4
y
∫
1
0
f (y) = (y − 2)2
dy
O
x
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07/04/13 13:59
Capítulo 14 La integral definida en el cálculo de áreas
263
Integramos por separado:
3
∫ 0 y dy = y
3
1
−4
∫
1
=
2
1
0
y dy = − 4
0
y2
2
13
03
1
−
= u2
3
3
3
1
= −
0
4 (1)
2
2
+
4 (0)
2
2
= − 2u 2
1
∫
4
1
0
dy = 4 y
= + 4 (1) − 4 (0) = 4u 2
0
Por lo tanto,
∫
1
0
( y 2 − 4 y + 4) dy =
1
−2+4
3
=
1 − 6 + 12
3
=
7 2
u
3
Áreas entre dos curvas en un intervalo
En general se procede en forma semejante a como se hizo al calcular el área bajo la
curva en un intervalo.
Si f (x) y g (x) son dos funciones continuas definidas para x en un intervalo
[a, b] y aceptado que:
f (x) − g(x) y que los extremos del intervalo sean a ≥ x ≥ b.
El área de la región entre las rectas x = a, x = b las dos curvas están dadas por:
Área =
∫
b
a
f (x) dx −
∫
b
a
g (x) dx =
∫ [ f (x) − g (x)] dx
b
a
Se presentan los casos siguientes:
A. Si una de las curvas está por encima del eje de las x y otra está por debajo.
y
y = f(x)
O x=a
x=b
x
y = g(x)
∫
−
b
a
∫
f (x) dx es el área por debajo de f (x) y por encima del eje x.
b
a
g (x) dx es el área entre el eje x y g (x).
Se suman para obtener el área de las curvas.
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264
Cálculo integral
EJEMPLO 2
Determina el área de la región limitada por las gráficas de y = x 2 + 2 , y = − x + 1,
con las líneas verticales x = 1 y x = 2.
Primero calculamos las áreas generadas por y y x.
∫
2
1
(x 2 + 2) dx =
∫
2
1
x 2 dx + 2 ∫ dx
2
1
Integramos por separado:
∫
2
1
x3
x dx =
3
2
2 3 13
7
−
= u2
3
3
3
=
2
1
2
2 ∫ dx = 2 x
2
= 4 − 2 = 2u 2
1
1
∫
∫
7
(x 2 + 2) dx = + 2
7
2
(x + 2) dx = 3 + 2
1
3
13 2
=
u
13
= 3 u2
3
2
12
13 2
u es el área limitada por la curva y = x + 2; las rectas x = 1 y x = 2 y el eje de
3
las x. El signo positivo de área significa que la curva del intervalo [1, 2] está por
encima del eje de las x.
∫
2
1
(− x + 1) dx =
∫
2
1
− x dx +
∫
2
1
dx
Integramos por separado:
−
∫
2
1
2
x2
x dx = −
2
= −
1
22  1
4 1
3
− −  = − + = − u 2
 2
2
2 2
2
2
∫
2
1
dx = x
= 2 − 1 = 1u 2
1
Por lo tanto,
∫
2
1
(− x + 1) dx = −
3
+1
2
1
= − u2
2
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Capítulo 14 La integral definida en el cálculo de áreas
265
El signo negativo del área significa que la recta y = − x + 1 y el eje de las x en el intervalo [1, 2] están por debajo de las x.
Para calcular el área entre la curva f ( x ) = x 2 + 2 y la recta g ( x ) = −x + 1
y el eje de las x en el intervalo [1, 2] es necesario determinar cuál de ellas está por
encima de la otra. Para ello podemos trazar las gráficas y observar o aplicar las propiedades de la “desigualdad” y determinar si f (x) ≥ g(x) en cualquier x del intervalo
citado. Como se hará a continuación:
x 2 + 2 ≥ −x + 1
x2 + 2 + x − 1 ≥ 0
x2 + x + 1 ≥ 0
Si en la desigualdad resultante le asignamos cualquier valor a las x del intervalo
[1, 2], el resultado es positivo; por ello f (x) ≥ g(x).
Por lo tanto, el área entre estas dos funciones en el intervalo es:
∫
2
1
f (x) dx −
∫
2
1
g ( x ) dx =
13  1 
− − 
 2
3
=
13 1
+
3
2
=
29 2
u
6
Trazo de las gráficas
Tabulamos:
y = x2 + 2
y
x
−1
0
1
2
y
3
2
3
6
y = x2 + 2
f (x) = x2 + 2
f (1) = 1 + 2 = 3
f (0) = 0 + 2 = 2
y=−x+1
f (1) = 1 + 2 = 3
f (2) = 4 + 2 = 6
x
O
El segmento unidad es de 1 cm
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266
Cálculo integral
Tabulando:
y=−x+1
x
0
2
y
1
−1
g(x) = − x + 1
g(0) = 1
g(2) = − 2 + 1 = − 1
Conclusión
El problema principal para aplicar la fórmula y calcular el área de la región entre dos
curvas consiste en verificar cuál de las dos es mayor que la otra en todo el intervalo.
Para resolverlo, podemos trazar previamente las gráficas de las funciones y decidir
aplicar o no las propiedades de la “desigualdad”, como se hizo en este ejemplo. Una
vez que esto ha sido determinado, se procede a aplicar el procedimiento señalado.
B. Área de una región situada entre dos curvas que se intersecan en dos puntos.
EJEMPLOS 3
a) Determina el área de la región limitada por las curvas y = x2, y = 3x entre las
líneas verticales x = 0 y x = 2.
Como ya se mencionó, para determinar qué función está por encima de la
otra trazamos sus gráficas, o bien, si suponemos de antemano que una de ellas
es mayor o igual a la otra en el intervalo, procedemos a verificar si la desigualdad
es cierta para todas las x del intervalo.
Digamos que 3x ≥ x2 en el intervalo (0, 2).
Para comprobar la aseveración dividimos ambos miembros entre x, la
desigualdad se conserva porque x es positiva.
3x
x2
≥
x
x
3 ≥ x
Podemos probar con cualquier valor de x en el intervalo (0, 2); por ejemplo:
x = 0 ⇒ 3 ≥ 0
x =
1
1
⇒ 3 ≥
2
2
x =1⇒ 3 ≥1
x = 2 ⇒ 3 ≥ 2
Concluimos señalando que f (x) = 3x está por encima de g (x) = x2 por lo que
no fue necesario cambiar nuestra apreciación ni la función.
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Capítulo 14 La integral definida en el cálculo de áreas
267
Trazo de las gráficas.
Tabulando:
y = 3x
y
y = x2
10
x
0
1
y
0
3
y = 3x
5
f (x) = 3x
f (0) = 3(0) = 0
f (1) = 3(1) = 3
Tabulamos:
x
1 2 3 4
O
El segmento unidad es de 0.3 cm
y=x
2
x
0
1
2
3
4
y
0
1
4
9
16
g (x) = x2
g (0) = 0
g (1) = 1
g (2) = 22 = 4
g (3) = 32 = 9
g (4) = 42 = 16
Área =
=
∫ [ f (x ) − g (x )] dx
b
a
∫ (3x − x ) dx
2
2
0
∫
=
2
0
∫
3x dx −
2
0
x 2 dx
Integramos por separado:
2
∫ 0 3x dx = 3 ∫ 0 x dx = 3 x2
2
∫
2
0
2
x 2 dx =
x3
3
2
=
0
2
=
3 (2) 2
2
0
−
3 (0) 2
2
= 6u 2
23
03
8
−
= u2
3
3
3
Por lo tanto,
∫ (3x − x ) dx
2
0
2
= 6−
8
10 2
=
u
3
3
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268
Cálculo integral
b) Calcula el área de la región limitada por las curvas y2 = 9x y y = 3x.
Para determinar el intervalo en que estas curvas se intersecan, es necesario
establecer un sistema de ecuaciones
y² = 9x
(1)
y = 3x
(2)
Para resolver el sistema de ecuaciones sustituimos (2) en (1):
2
(3x ) = 9x
9x 2 − 9x = 0
9x ( x − 1) = 0
9x = 0
x =
0
9
x −1= 0
x =1
x = 0
El intervalos es (0, 1).
Las coordenadas de los puntos de intersección son (0, 0) y (1, 3).
Para determinar cuál de las curvas está por encima trazamos las gráficas.
Tabulamos
y
y = ± 9x
x
0
1
y
0
±3
f (x) = ± 9x
f (0) = 0
O
x
f (1) = ± 9 (1) = ± 3
y = ± 9x también se puede
expresar como y = ± 3 x
Tabulamos:
y = 3x
x
0
1
y
0
3
El segmento unidad es de 1 cm
g(x) = 3x
g(0) = 0
g(1) = 3(1) = 3
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Capítulo 14 La integral definida en el cálculo de áreas
269
Como la curva y2 = 9x está por encima de la recta y = 3x en el intervalo [0, 1].
El área entre ellas es:
Área =
=
∫ [ f (x ) − g (x )] dx
b
a
∫ (3
)
1
x − 3x dx =
0
∫
1
0
∫
3 x dx −
1
0
3x dx
Integramos por separado:
3
∫
3
1
x dx =
0
∫
1
0
x dx =
3x 3 2
= 2 x3
3
2
3x 2
2
1
1
0
= [2 (1) − 0 ] = 2 u 2
3
3
− 0 = u2
2
2
=
0
Por lo tanto,
∫ (3
1
0
)
x − 3x dx = 2 −
3
1
= u2
2
2
C. Área de una región de curvas que se intersecan en más de dos puntos.
EJEMPLO 4
Calcula el área de las regiones limitadas por la curva y = x3 − 4x y la recta y = 5x.
Primero necesitamos determinar las regiones limitadas por las curvas a partir
de un sistema de ecuaciones. A continuación, tabulamos para obtener algunos
puntos, trazar las gráficas y así poder determinar los intervalos. Finalmente, se
calculan las áreas y su suma será el resultado.
Sistema de ecuaciones
y = x3 − 4x
(1)
y = 5x
(2)
Para resolver el sistema de ecuaciones sustituimos (2) en (1):
5x = x 3 − 4x
x 3 − 9x = 0
Calculamos las raíces:
x ( x 2 − 9) = 0
x1 = 0
x2 − 9 = 0
x2 = 9
x = ± 9
x2 = 3
x3 = − 3
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270
Cálculo integral
Las coordenadas de los puntos de intersección son:
Para x1 = 0
En y = 5x
y1 = 5(0) = 0
(0, 0)
Para x2 = 3
En y = 5x
y2 = 5(3) = 15
(3, 15)
Para x3 = − 3
En y = 5(x)
y3 = 5(− 3) = − 15
(− 3, − 15)
Trazo de las gráficas:
Tabulamos
y = x3 − 4x
−3
−2
−1
0
1
2
3
y
− 15
0
3
0
−3
0
15
y=
x
5x
y
y = x 3 − 4x
f (x) = x3 − 4x
f (− 3) = (− 3)3 − 4(− 3) = − 27 + 12 = − 15
f (− 2) = (− 2)3 − 4(− 2) = − 8 + 8 = 0
f (− 1) = (− 1)3 − 4(− 1) = − 1 + 4 = 3
R1
x
f (0) = 0
f (1) = 13 − 4(1) = 1 − 4 = − 3
f (2) = 23 − 4(2) = 8 − 8 = 0
R2
f (3) = 33 − 4(3) = 27 − 12 = 15
Tabulamos:
y = 5x
x
−3
1
y
− 15
5
f (x) = 5x
f (− 3) = 5(− 3) = − 15
f (1) = 5(1) = 5
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Capítulo 14 La integral definida en el cálculo de áreas
271
Observamos en la gráfica que hay dos regiones: una en el segundo y el tercer
cuadrantes, que designamos como R1 en el intervalo [− 3, 0] y otra R2 en
el primer y cuarto cuadrantes en el intervalo [0, 3]. Sus áreas son A1 y A2,
respectivamente.
En R1 la curva y = x3 − 4x está por encima de y = 5x
Para R2 la curva de y = 5x está por encima de y = x3 − 4x
El área total entre las dos curvas es:
Área total = A1 + A2
Cálculo de las áreas:
Áreas entre y = x³ − 4x, y = 5x en el intervalo [− 3, 0]
Área1 =
∫ [ f (x ) − g (x )] dx
b
a
=
∫
=
∫ (x
0
−3
x 3 − 4x − (5x ) dx
0
3
−3
− 9x ) dx
Integramos por separado:
=
∫
0
−3
4
∫ − 3 x dx = x
4
0
9
∫
0
−3
x 3 dx − 9 ∫ x dx
0
−3
(− 3)
04
=
−
4
4
0
3
x dx = 9
= −
Área 1
−3
x2
2
0
=
9 (0)
811 2
u
4
= −
2
−9
2
−3
4
(− 3)
2
= −
2
81 2
u
2
− 81 + 162
81  81
81 81
81 2
− −  = −
+
=
=
u
4  2
4
2
4
4
Área entre y = 5x, y = x3 − 4x en el intervalo [0, 3]
∫ [ f ( x ) − g ( x )]
b
Área 2 =
a
5x − ( x 3 − 4x ) dx


=
∫
=
∫ (9x − x ) dx
3
0
3
3
0
Integramos por separado:
=
9
∫
∫
3
0
3
0
∫
x dx = 9
x 3 dx =
Área 2 =
3
0
9x dx −
3
x2
2
x4
4
=
0
3
=
0
∫
3
0
x 3 dx
9 (3)
2
2
−
(0)
34
−
4
4
9 (0)
2
4
=
2
=
81 2
u
2
81 2
u
4
81 81 162 − 81 81 2
=
u
−
=
2
4
4
4
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Cálculo integral
Área total = Área 1 + Área 2
=
81 81 162 = 81 u 2
+
=
2
4
4
4
Lo que debes saber
Para que evalúes tus conocimientos, revisa el concepto clave estudiado en este capítulo, ¿sabes a qué
se refiere? Si tienes dudas, ¡estúdialo nuevamente!
• Función continua
Ejercicios de repaso
1. Calcula las áreas de las regiones que se indican.
a) y = x2, y = − x con las líneas verticales x = 1 y x = 3
Solución:
38 2
u
3
b) f (x) = x2 − 4x, g(x) = 0
Solución:
32 2
u
3
c) y = x2, y = 9x
Solución:
46 2
u
3
d) y = x2, y = x + 2
Solución:
9 2
u
2
2. Resuelve los siguientes problemas:
a) Calcula el área de la región limitada por y =
verticales x = − 2 y x = 2.
2 2
x + 1 con el eje de la x y por las rectas
3
Solución:
68 2
u
9
b) Calcula el área de la región limitada por la intersección de y = − x2 + 2, y = x
Solución:
9 2
u
2
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CAPÍTULO
15
La integración definida
en el cálculo de volúmenes
Sólido de revolución
Sea f una función no negativa en un intervalo cerrado [a, b].
y
y = f(x)
O
a
b
x
Si se gira esta región del plano alrededor de cualquiera de los ejes del plano cartesiano o de una recta del plano, al sólido resultante se le conoce como sólido de
revolución y al eje citado como eje de revolución.
Eje de revolución
El volumen de un sólido de revolución se puede calcular por el método del disco.
Método del disco para calcular el volumen
El caso más sencillo de un sólido de revolución es aquel en que un rectángulo gira
alrededor de uno de sus lados.
Δw
r
Uno de sus lados es el eje de revolución.
Rectángulo donde r es el radio y w es su ancho.
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274
Cálculo integral
Cuando gira este rectángulo sobre su eje de revolución, genera un disco cuyo
volumen v es:
Dv = pr2 Dw
w
r
Para calcular el volumen del sólido de revolución procedemos de forma semejante a
cuando nos referimos a la interpretación intuitiva del área.
Al girar los rectángulos que aparecen en la figura siguiente alrededor del eje de
las x, se obtienen cilindros cuyo volumen v es menor que el volumen del sólido
de revolución vs.
y
y = f(x)
x
Δw = Δx
O
Si se procede de la misma forma con los rectángulos de la figura siguiente, el volumen del sólido de revolución vs es menor al volumen de los cilindros v2.
y
y = f(x)
O
x
Δw = Δx
Entonces:
v1 < vs < v2
La diferencia entre v2 v1 va tendiendo a cero y en el límite, la suma de los volúmenes
de los cilindros es igual al volumen del sólido de revolución generado por la función
f(x) al girar alrededor del eje de las x, que se expresa:
Nota: En las integrales de volumen se utiliza dx en lugar de Dx y dy en lugar de Dy.
A. Cuando el eje de revolución es horizontal
Volumen =
∫
b
a
π [ f ( x )] dx
2
y
Δx
r = f (x)
v = π
∫
b
a
f ( x ) dx
2
O a
b
x Eje de revolución
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Capítulo 15 La integración definida en el cálculo de volúmenes
B. Cuando el eje de revolución es vertical
Volumen =
v = π
∫
b
a
∫
b
a
275
y
π [ f ( y )] dy
2
b
f ( y ) dy
2
Δy
a
O
x
r = ∫ (y)
EJEMPLOS 1
a) Calcula el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la superficie
12
limitada por la curva y = x con el eje de las x, desde el eje de las y hasta la
línea vertical x = 2, alrededor del eje de las x. Traza además la gráfica.
v = π ∫ f ( x ) dx
b
2
a
= π∫
2
0
(x 1 2 ) dx
2
Tabulamos:
y = x1/2
= π ∫ x dx
x
0
1
2
y
0
1
1.4
2
0
π
= x2
2
=
f (x) =
y
2
0
π 2
(2 − 0 2 )
2
r = f(x)
O
a
b
x
Región plana
= 2 πu 3
x
f (x) = 0
f (1) =
1 =1
f (2 ) =
2 = 1.4
Normalmente, para obtener de una integral el volumen de un sólido de
revolución, resulta más útil la representación gráfica de la región plana que
un dibujo del sólido porque es más fácil localizar el radio en la región plana.
y
O
x
Sólido de revolución
En el ejemplo anterior el eje de revolución es horizontal, en consecuencia se
integra con respecto a x.
En el siguiente ejemplo el eje de revolución es vertical, por lo que se integra
respecto a y.
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276
Cálculo integral
b) Calcula el volumen que genera la región limitada por x =
y con el eje de las
y, las rectas horizontales y = 0 y y = 3 si giran alrededor del eje de las y. Traza
además la gráfica.
v =
∫
v =
∫ ( y)
π [ f ( y )] dy
2
3
2
0
= π
=
b
a
∫
3
0
dy
y dy
=
π 2
y
2
=
π 2
3 − 02)
(
2
3
0
9 3
πu
2
Tabulamos:
x =
y
y
0
1
2
9
x
0
1
1.4
3
y
y
x=
f ( y) =
y
y
y=3
f (0) = 0
f (1) =
1 =1
f (2 ) =
2 = 1.41
f (9) =
9 = 3
O
x
Región plana
O
x
Sólido de revolución
c) Calcula el volumen que genera la región limitada por y = x + 2 y la parábola
y = x2 si gira alrededor del eje de las x.
Calculamos los puntos de intersección de estas curvas
y = x2
(1)
y=x+2
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Capítulo 15 La integración definida en el cálculo de volúmenes
277
Por igualación:
x2 = x + 2
x2 − x − 2 = 0
Calculamos las raíces:
x 2 − x − 2 = ( x − 2 ) ( x + 1)
x −2 = 0
x1 = 2
x +1 = 0
x2 = − 1
Sustituimos en (1)
y = x2
y = x2
y = (2 )
y = (− 1)
2
2
y = l
y = 4
Las coordenadas de los puntos de
intersección (2, 4), (−1, 1)
y
Tabulamos:
y=x+2
x
−1
2
y
1
4
x
O
f(x) = x + 2
f(−1) = −1 + 2 = 1
f(2) = 2 + 2 = 4
Para y = x2
f(x) = x2
f(0) = 0
f(−1) = 1
x
0
−1
1.5
2
y
0
1
2.25
4
f(1.5) = (1.5)2 = 2.25
f(2) = (2)2 = 4
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278
Cálculo integral
Primero calculamos el volumen del sólido generado por la recta y = x + 2 entre
a = −l y b = 2 al girar alrededor del eje de las x que citaremos como v1.
v1 =
∫
b
a
π [ f ( x )] dx
2
= π
∫
= π
∫ (x + 2)
b
f ( x ) dx
2
a
2
2
−1
=
3
π
(x + 2)
3
=
π
[(64) − (1)]
3
=
π
63
3
dx
2
−1
= 21 π u 3
A continuación, calculamos el volumen del sólido generado por la parábola
y = x2 entre a = −1 y b = 2 al girar alrededor del eje de las x, la citaremos
como v2.
v2 =
La integración definida se obtiene con:
∫
b
a
f ( x ) dx
= F (b ) − F ( a )
∫
b
a
π [ f ( x )] dx
2
= π
∫
= π
∫ (x )
f ( x ) dx
2
2
2 2
−1
= π∫
= π
b
a
2
−1
x5
5
dx
x 4 dx
2
−1
5
 5
(− 1) 
2
= π −
 5
5 
 32 1 
= π
+ 
5
5
=
33
π u3
5
Para obtener el volumen de la región “achurada” en la gráfica, del volumen v,
restamos el valor v2.
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Capítulo 15 La integración definida en el cálculo de volúmenes
279
Volumen = vl − v2
33
π
5
= 21 π −
=
105 − 33
π
5
=
72
π u3
5
El sólido de revolución con un agujero.
El método de las arandelas
Una arandela se obtiene haciendo girar un rectángulo alrededor de un eje.
Δw
Δw
r
r
r1
r1
Eje de revolución
r es el radio exterior
r1 es el radio interior
Eje de
revolución
Arandela
Volumen de la arandela = p[(radio exterior)2 − (radio interior)2] multiplicado por el
grueso. En la integración se expresará por Dx o por Dy.
Por lo tanto, se debe restar del volumen generado por la región mayor el volumen que produce la menor de las regiones.
v =
∫
b
a
2
π  f ( x )  dx −
∫
b
a
2
π  g ( x )  dx
Fórmula que se puede expresar en la forma siguiente:
v = π
∫ {[ f (x )]
b
a
2
− [ g ( x )]
2
} dx
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280
Cálculo integral
EJEMPLOS 2
a) Calcula el volumen que genera la región limitada por las gráficas de y = x2 + 2
con y = x + 1, con x = 0, x = 1 si gira alrededor del eje de las x.
2
v = π∫
b
a
{[ f (x)]
− [ f ( x )]
2
2
} dx
2

x
 
2
2
v = π ∫ ( x + 2 ) −  + 1  dx
0
2
 

1
= π
∫
= π
∫
= π
∫
 4
x2

+ x + 1 dx
x + 4x 2 + 4 − 

0
 4


1
1
0
 4

x2
2
− x − 1 dx
 x + 4x + 4 −


4

 4 15 2
x +
x − x + 3 dx

0


4
1
1
x 5 5 3 1 2

= π
+ x − x + 3x
5
0
4
2

1 5 1
= π  + − + 3 − 0

5 4 2
 4 + 25 − 10 + 60 
= π



20
=
79
π u3
20
b) Calcula el volumen que genera la región limitada por y =
y las rectas x = 0, x = 4 si gira alrededor del eje x.
x , el eje de las x
v = π ∫ f ( x ) dx
b
2
a
= π
∫ ( x)
= π
∫
4
2
0
4
0
dx
x dx
=
π 2
x
2
=
π 2
4 − 02)
(
2
4
0
= 8 π u3
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Capítulo 15 La integración definida en el cálculo de volúmenes
281
c) Calcula el volumen del sólido de revolución que se genera cuando la región
limitada por y = 2 5x , el eje de las x y las rectas x = 0, x = 4 gira alrededor
del eje x.
v = π
∫
b
a
f ( x ) dx
2
= π
∫ (2
= π
∫ 4 (5x ) dx
= π
∫
4
5x
0
)
2
dx
4
0
4
0
= 20 π
20 x dx
∫
= 10 πx 2
4
0
x dx
4
0
= 10 π ( 4 2 − 0 2 )
= 160 π u 3
Volumen de un sólido cuando el eje de revolución
es paralelo al eje de las x o al de las y
EJEMPLO 3
Calcula el volumen del sólido de revolución que se genera cuando la región limitada
por y = 4x − x2, el eje x y las rectas x = 0, x = 4 gira alrededor de la recta y = 6.
Tabulamos:
y = 4x − x2
x
0
1
2
3
4
y
0
3
4
3
0
f(x) = 4x − x2
f(0) = 0
f(1) = 4(1) − 12 = 3
f(2) = 4(2) − 22 = 4
f(3) = 4(3) − 32 = 3
f(4) = 4(4) − 42 = 0
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282
Cálculo integral
La región sombreada es la que al girar alrededor de y = 6 genera el sólido de revolución.
y
O
El segmento unidad es de 1 centímetro
E F
Eje de rotación y = 6
B
C
A
D
Prolongamos los dos lados del
rectángulo ABCD hasta el eje de
rotación EF. Cuando este rectángulo gira alrededor del eje de rotación, resulta un cilindro cuyo volumen es igual a la diferencia entre
los volúmenes generados por los
rectángulos ADEF y BCEF al girar con respecto al mismo eje. Se
obtiene la diferencia de los volúmenes y se procede como en los
ejemplos anteriores.
x
Δx
De este modo:
v = π
∫ (6)
4
2
0
2
− (6 − y )  dx
36 − (36 − 12 y + y 2 ) dx


= π
∫
= π
∫ (12 y − y ) dx
4
0
4
2
(1)
0
Como y = 4x − x2 y sustituyendo en (1):
= π
∫
0
= π
∫
0
= π
∫
0
4
4
4
12 4x − x 2 − 4x − x 2 2  dx
) (
) 
 (
48x − 12 x 2 − (16x 2 − 8x 3 + x 4 ) dx


48x − 28x 2 + 8x 3 − x 4  dx
 48
28 3 8 4 x 5 
= π  x2 −
x + x −

2
3
4
5 
4
0
5

(4) 
4
2
3
28
= π 24 ( 4) −
4
2
4
+
−
( )
( )

3
5 


1792
1024 
= π 384 −
+ 512 −


3
5 
 5760 − 8960 + 7680 − 3072 
= π



15
=
1408 π
15
u3
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Capítulo 15 La integración definida en el cálculo de volúmenes
283
Longitud de un arco (curva)
Si un lugar geométrico está dado en la forma de una función y = f(x) con a ≤ x ≤ b y
si f es continua en el intervalo [a, b], entonces el lugar geométrico de f se llama arco.
La longitud del arco ab de una curva es, por definición, el límite de la suma de
las longitudes de las distintas cuerdas (segmentos) aQ 1, Q1Q 2 , , Q n − 1b que une los
puntos del arco cuando al número de éstos crece indefinidamente, de manera que la
longitud de cada cuerda tiende a cero.
y
b
Q n −1
Q2
a Q0
Q1
x
Por el teorema de Pitágoras podemos obtener la distancia entre los puntos Q0
y Q 1.
(Q Q )
0
1
2
= (Q 0C ) + (CQ1 )
2
2
(1)
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.
En consecuencia, podemos obtener la longitud de una curva sumando el conjunto de los puntos entre sí, unidos por segmentos rectos cortos.
y
Q1
Q0
C
x
O
Si el incremento de una función se sustituye en (1)
(Q C ) por Dx o dx
0
(CQ ) por Dy o dy
1
y
Δs
Δy
Δx
O
x
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284
Cálculo integral
Y la diferencia de la longitud de la curva por ds tenemos por el citado teorema de
Pitágoras que
ds2 = dx2 + dy2
Como dy = f’(x)dx, queda:
{
ds 2 = 1 + [ f ′ ( x )]
2
} dx
2
1 + [ f ′ ( x )] dx
2
ds =
La longitud L de una curva es igual a la suma de los segmentos rectos de longitud ds
cuando ds tiende a cero. Se expresa así:
∑ ds = ∑ {1 + [ f ′ (x )] } dx
2
En el límite, ds tiende a cero:
L = lím ds → 0 ∑ 1 + [ f ′ ( x )] dx
2
Por lo tanto, la longitud L de un arco de la curva y = f(x) desde x = a hasta x = b se
obtiene con:
b
L=
∫
1 + [ f ′ ( x )] dx
2
a
EJEMPLO 4
32
Calcula la longitud del arco de la curva y = x entre x = 0 y x = 5. Calculamos
la derivada de
y = x3 2
y′ = f ′ ( x ) =
L =
∫
a
=
∫
0
=
∫
b
3 12
x
2
1 + [ f ′ ( x )] dx
2
5
1+
9
x dx
4

9 
1 + x 
0

4 
5
u = 1+
9
x
4
u (x) = 1 +
9
x
4
12
dx
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du ( x ) =
15_Calculo_Integral.indd 284
=
9
dx
4
∫
5
4
9 
1 + x 
12
9
dx
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=
∫
=
∫
5
1+
0

9 
1 + x 
0

4 
5
u = 1+
9
x
4
u (x) = 1 +
9
x
4
du ( x ) =
9
x dx
4
12
dx
Capítulo 15 La integración definida en el cálculo de volúmenes
285
9
dx
4
=
∫
=
4
9
5
0
4
9 
1 + x 
9
4 
∫
5
0
12
9
dx
4
u 1 2 du
Integramos:
=
4 2 3 2
 u
9 3
5
0
Con el valor de u, queda
8 
9 
=
1 + x 
27 
4 
32 5
0
=

8 
27 
3


9  
8 
+
1
5
−
( )


4   27 
=
8  49 
8
13
  −
27  4 
27
=
8  49  49
8
−
 


27 4
4
27
=
8  49   7 
8
   −
27  4   2  27
=
343 8
−
27
7
=
335
u
27
3

9  
+
1
0
( )


4  
3
Lo que debes saber
Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se
enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!
• Sólido de revolución
• Eje de revolución
• Arandela
• Arco
• Longitud de un arco
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286
Cálculo integral
Ejercicios de repaso
a) Calcula el volumen que genera la región limitada por y = 2x − 2 con el eje de las x y las rectas
x = 1 y x = 4, al girar alrededor del eje x. Traza la gráfica.
Solución: 36 p u3
b) Calcula el volumen que se genera al girar la región limitada por y = x2 con el eje x, desde x = 0
hasta x = 3, alrededor del eje x. Traza la gráfica.
Solución:
c) Calcula el volumen que se genera al girar la región limitada por x =
las rectas y = 3 y, alrededor del eje y. Traza la gráfica.
243
πu3
5
2 y − 2 con el eje y = 1,
Solución: 4 p u3
d) Calcula el volumen que genera la región limitada por y = 2x y la parábola y = x2 al girar alrededor
del eje x. Traza la gráfica.
Solución:
64 3
πu
15
e) Calcula el volumen que genera la región limitada por las gráficas de y = x + 3 con y = x y las
rectas x = l y x = 0 al girar alrededor del eje x. Traza la gráfica.
Solución: 12 πu
3
f) Calcula el volumen del sólido generado cuando la región limitada por y = x + 2, el eje x y las
rectas x = 0 y x = 2 giran alrededor de la recta y = 5. Traza la gráfica.
Solución:
g) Calcula la longitud del arco de la curva y = 2 x
32
124 3
πu
3
en el intervalo [1, 4].
Solución: 14.33 u
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07/04/13 14:03
Formulario
Integrales
13.
∫
∫
1. kdx = kx + C
∫a
15.
∫
16.
∫ e du = e
17.


1  u
u

a
du
=
∫

a + C
 ln a 
18.
∫ tan u du
= ln sec u + C
∫
19.
∫ cot u du
= ln sen u + C
∫
20.
∫ sec u du
= ln sec u + tan u + C
∫
21.
∫ csc u du
= ln csc u − cot u + C
∫
22.
∫u
∫
23.
∫a
∫
24.
∫
∫
∫
∫
∫
∫
3. [f (x) ± g(x)] dx = f (x)dx ± g (x) dx
∫
∫
∫
4. [f (x)  g(x)] dx = f (x)dx  g (x) dx
6.
du
1
u
= arc tan + C
2
+u
a
a
14.
2. kf (x)dx = k f (x)dx + C
5.
du
u
= arc sen + C
2
a
a −u
2
∫u
n
∫u
du =
−1
u n +1
+ C , con n ≠ − 1
n+1
du =
∫ du
u
= ln u + C = L u + C
7. sen u du = − cos u + C
8. cos u du = sen u + C
9. sec u tan u du = sec u + C
10. sec2 u du = tan u + C
11. csc u cot u du = − csc u + C
12. csc2 u du = − cot u + C
2
du
1
u
= arc sec + C
2
2
a
a
u u −a
u
u
2
2
+C
du
1
u−a
ln
=
+C
2
−a
2a
u+a
du
1
a+u
ln
=
+C
2
−u
2a a − u
du
= ln u +
u − a2
2
u2 − a2 + C
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288
Formulario
Fórmulas de reducción de integrales con
potencias de seno y coseno
∫ sen
n
∫ cos
n
x dx = −
sen
n −1
x cos x
cos n − 1 x sen x
x dx =
+
n
n
+
n −1
∫ sen n − 2 x dx
n
n −1
∫ cos n − 2 x dx
n
• Volumen entre dos curvas
V = π∫
b
a
{[ f (x )]
2
− [ g ( x )]
2
} dx
• Diferencial de una función
dy = f ′(x) dx
Diferenciales
• Integración por partes
∫u dv = uv − ∫v du
2. d(x) = 1(dx) = dx
• Área bajo una curva
∫
b
a
f ( x ) dx = F (b ) − F ( a )
• Área entre dos curvas
∫
b
a
[ f (x ) − g (x )] dx
• Volumen bajo una curva
V =π ∫
b
[ f ( x )]
a
1. d(c) = 0(dx) = 0
2
dx
3. d(u + v − w) = d(u) + d(v) − d(w)
4. d(cu) = c du
5. d(uv) = u dv + v du
6. (un) = nun − 1 du
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