9E
CONTENIDO
O
Ecuaciones diferenciales
con problemas de valores en la frontera
Dennis G. Zill
Loyola Marymount University
Versión métrica preparada por
Aly El-Iraki
Profesor Emérito, Alexandria University, Egipto
Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur
i
NOVENA EDICIÓN
ECUACIONES
DIFERENCIALES
con problemas de valores
en la frontera
DENNIS G. ZILL Loyola Marymount University
Versión métrica preparada por
ALY EL-IRAKI Profesor Emérito, Alexandria University
TRADUCCIÓN
Ana Elizabeth García Hernández
Profesor invitado UAM-Azcapotzalco
REVISIÓN TÉCNICA
Ernesto Filio López
Unidad Profesional Interdisciplinaria
en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas.
Instituto Politécnico Nacional.
Enrique Antoniano Mateos
Universidad Anáhuac México, campus Norte
María Rosa Guadalupe Hernández
Mondragón
Ma. Merced Arriaga Gutiérrez
Universidad de Guadalajara
David Manuel Avila Sereno
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, campus Querétaro
Instituto Universitario del Estado de México
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, campus Querétaro
William Alfredo Cabrer Alonso
Lucio López Cavazos
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, campus Toluca
Luisa Ramírez Granados
Ana Lilia Flores Vázquez
María del Socorro Real Guerrero
Universidad Autónoma del Estado de México
Universidad de Guadalajara
Mauricio García Martínez
Ruth Rodríguez Gallegos
Universidad Autónoma del Estado de México
José Alfredo Gasca González
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, campus Monterrey
Instituto Tecnológico de León.
Raquel Ruíz de Eguino Mendoza
Francisco Giles Hurtado
Universidad Panamericana,
campus Guadalajara
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, campus Querétaro
Universidad Autónoma de Querétaro
Roberto Serna Herrera
Carlos Eduardo Gómez Sánchez
Universidad Iberoamericana
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, campus Toluca
Balaam Valle Aguilar
David Gutiérrez Calzada
Enrique Zamora Gallardo
Universidad Autónoma del Estado de México
Universidad Anáhuac México, campus Norte
Aurora Diana Guzmán Coria
Riquet Zequeira Fernández
Universidad Autónoma del Estado de México
Universidad Autónoma del Estado de México
Universidad Autónoma del Estado de México
Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur
Ecuaciones diferenciales
con problemas de valores en la frontera
Novena edición
Dennis G. Zill
Versión métrica preparada por Aly El-Iraki
Director Higher Education
Latinoamérica:
Renzo Casapía Valencia
Gerente editorial Latinoamérica::
Jesús Mares Chacón
Editor Senior Hardside:
Pablo Miguel Guerrero Rosas
Coordinador de Manufactura:
Rafael Pérez González
Diseño de portada:
Edgar Maldonado Hernández
Imagen de portada:
NASA/ESA
Composición tipográfica:
Karen Medina
© D.R. 2018 por Cengage Learning
Editores, S.A. de C.V., una compañía
de Cengage Learning, Inc.
Carretera México - Toluca 5420, Oficina 2301
Col. El Yaqui, C.P. 05320
Cuajimalpa, Ciudad de México
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DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de
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pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado,
reproducción, escaneo, digitalización,
grabación en audio, distribución en Internet,
distribución en redes de información o
almacenamiento y recopilación en sistemas
de información a excepción de lo permitido
en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal
del Derecho de Autor, sin el consentimiento
por escrito de la Editorial. REG 423
Traducido del libro: Differential Equations with
Boundary-Value Problems
Ninth Edition, Metric Edition,
Dennis G. Zill
Publicado en inglés por Cengage Learning ©2018
ISBN: 978-1-111-82706-9
Datos para catalogación bibliográfica:
Zill, Dennis G.
Ecuaciones diferenciales con problemas
de valores en la frontera, novena edición
ISBN: 978-607-526-647-3
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Impreso en México
1 2 3 4 5 6 7 20 19 18 17
CONTENIDO
O
v
Contenido
Kevin George/Shutterstock.com
1 Introducción a las ecuaciones diferenciales 2
Joggie Botma/Shutterstock.com
Prefacio a esta edición métrica vii
2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 36
1.1
1.2
1.3
Definiciones y terminología 3
Problemas con valores iniciales 15
Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos
REPASO DEL C APÍTULO 1
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
34
Curvas solución sin una solución 37
2.1.1 2.1.1 Campos direccionales 37
2.1.2 ED autónomas de primer orden 39
Variables separables 47
Ecuaciones lineales 55
Ecuaciones exactas 64
Soluciones por sustitución 72
Un método numérico 76
REPASO DEL C APÍTULO 2
Fotos593/Shutterstock.com
22
81
3 Modelado con ecuaciones diferenciales
de primer orden
3.1
3.2
3.3
84
Modelos lineales 85
Modelos no lineales 96
Modelado con sistemas de ED de primer orden
REPASO DEL C APÍTULO 3
107
114
4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 118
Bill Ingalls/NASA
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Teoría preliminar: Ecuaciones lineales 119
4.1.1 Problemas con valores iniciales y con valores en la
frontera 119
4.1.2 Ecuaciones homogéneas 121
4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 127
Reducción de orden 132
Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes
constantes 135
Coeficientes indeterminados: Método de superposición 142
Coeficientes indeterminados: Método del anulador 152
Variación de parámetros 159
Ecuación de Cauchy-Euler 166
v
CONTENIDO
4.8
Funciones de Green 173
4.8.1 Problemas con valores iniciales 173
4.8.2 Problemas con valores en la frontera 179
4.9 Solución de sistemas de ED lineales por eliminación
4.10 Ecuaciones diferenciales no lineales 188
Brian A Jackson/Shutterstock
.com
REPASO DEL C APÍTULO 4
de orden superior
193
5.1
196
Modelos lineales: Problemas con valores iniciales 197
5.1.1 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre no
amortiguado 197
5.1.2 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre
amortiguado 202
5.1.3 Sistemas resorte/masa: Movimiento forzado 204
5.1.4 Circuito en serie análogo 207
Modelos lineales: Problemas con valores en la frontera 213
Modelos no lineales 222
REPASO DEL C APÍTULO 5
Todd Dalton/Shutterstock.com
183
5 Modelado con ecuaciones diferenciales
5.2
5.3
232
6 Soluciones en series de ecuaciones lineales 236
6.1
6.2
6.3
6.4
Repaso de series de potencias 237
Soluciones respecto a puntos ordinarios 243
Soluciones en torno a puntos singulares 252
Funciones especiales 262
REPASO DEL C APÍTULO 6
Raimundas/Shutterstock.com
O
276
7 La transformada de Laplace 278
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
Definición de la transformada de Laplace 279
Transformadas inversas y transformadas de derivadas
7.2.1 Transformadas inversas 286
7.2.2 Transformadas de derivadas 289
Propiedades operacionales I 294
7.3.1 Traslación en el eje s 295
7.3.2 TTraslación en el eje t 298
Propiedades operacionales II 306
7.4.1 Derivadas de una transformada 306
7.4.2 Transformadas de integrales 307
7.4.3 Transformada de una función periódica 313
La función delta de Dirac 318
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 322
REPASO DEL C APÍTULO 7
286
327
8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Pavel L Photo and Video/
Shutterstock.com
vi
de primer orden
8.1
8.2
332
Teoría preliminar: Sistemas lineales 333
Sistemas lineales homogéneos 340
8.2.1 Eigenvalores reales distintos 341
8.2.2 Eigenvalores repetidos 344
8.2.3 Eigenvalores complejos 348
CONTENIDO
8.3
8.4
O
vii
Sistemas lineales no homogéneos 355
8.3.1 Coeficientes indeterminados 355
8.3.2 Variación de parámetros 357
Matriz exponencial 362
REPASO DEL C APÍTULO 8
366
Paul B. Moore/Shutterstock
.com
9 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales
ordinarias
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
368
Métodos de Euler y análisis de errores 369
Métodos de Runge-Kutta 374
Métodos multipasos 378
Ecuaciones y sistemas de orden superior 381
Problemas con valores en la frontera de segundo orden
REPASO DEL C APÍTULO 9
385
389
jspix/imagebroker/Alamy
Stock Photo
10 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
no lineales
10.1
10.2
10.3
10.4
390
Sistemas autónomos 391
Estabilidad de sistemas lineales 397
Linealización y estabilidad local 405
Sistemas autónomos como modelos matemáticos
Science photo/Shutterstock
.com
REPASO DEL C APÍTULO 10
11 Series de Fourier 424
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
Funciones ortogonales 425
Series de Fourier 431
Series de Fourier de cosenos y de senos 436
Problema de Sturm-Liouville 444
Series de Bessel y Legendre 451
11.5.1 Serie de Fourier-Bessel 452
11.5.2 Serie de Fourier-Legendre 455
REPASO DEL C APÍTULO 11
Brian A Jackson/Shutterstock
.com
414
422
458
12 Problemas con valores en la frontera en
coordenadas rectangulares
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
12.8
460
Ecuaciones diferenciales parciales separables 461
EDP clásicas y problemas con valores en la frontera 465
Ecuación de calor 471
Ecuación de onda 473
Ecuación de Laplace 479
Problemas no homogéneos con valores en la frontera 484
Desarrollos en series ortogonales 491
Problemas dimensionales de orden superior 496
REPASO DEL C APÍTULO 12
499
Aceshot1/Shutterstock.com
CONTENIDO
13 Problemas con valores en la frontera en
otros sistemas coordenados
502
13.1 Coordenadas polares 503
13.2 Coordenadas polares y cilíndricas
13.3 Coordenadas esféricas 515
508
REPASO DEL C APÍTULO 13
517
14 Transformadas integrales 520
Lehrer/Shutterstock.com
O
14.1
14.2
14.3
14.4
Función de error 521
Transformada de Laplace 522
Integral de Fourier 530
Transformadas de Fourier 536
REPASO DEL C APÍTULO 14
Sdecoret/Shutterstock.com
viii
542
15 Soluciones numéricas de ecuaciones
diferenciales parciales
544
15.1 Ecuación de Laplace 545
15.2 Ecuación de calor 550
15.3 Ecuación de onda 555
REPASO DEL C APÍTULO 15
559
Apéndices
A
Funciones definidas por integrales APP-3
B
Matrices APP-11
C
Transformadas de Laplace APP-29
Respuestas a los problemas seleccionados con
numeracion impar RES-1
Índice
I-1
Prefacio a esta edición métrica
(VWDYHUVLyQPpWULFDLQWHUQDFLRQDOGL¿HUHGHODYHUVLyQHVWDGRXQLGHQVHGHEcuaciones
diferenciales con problemas de valores en la frontera1RYHQDHGLFLyQHQORVLJXLHQWH
/DVXQLGDGHVGHPHGLGDXWLOL]DGDVHQODPD\RUtDGHORVHMHPSORV\HMHUFLFLRV
VH KDQ FRQYHUWLGR GHO VLVWHPD GH XQLGDGHV DFRVWXPEUDGDV HQ ORV (VWDGRV 8QLGRV
86&6 WDPELpQOODPDGRGH8QLGDGHVLQJOHVDVR,PSHULDOHV DXQLGDGHVPpWULFDV
(VWD YHUVLyQ PpWULFD LQFOX\H WDEODV GH FRQYHUVLyQ SDUD FRQVXOWDUODV FRQIRUPH
WUDEDMHHQODVDSOLFDFLRQHV\HMHUFLFLRVUHODFLRQDGRV
AL ESTUDIANTE
/RVDXWRUHVGHORVOLEURVYLYHQFRQODHVSHUDQ]DGHTXHDOJXLHQHQUHDOLGDGORV
lea$OFRQWUDULRGHORTXHXVWHGSRGUtDFUHHUFDVLWRGRWH[WRGHPDWHPiWLFDVGHQLYHO
XQLYHUVLWDULRHVWiHVFULWRSDUDXVWHG\QRSDUDHOSURIHVRU&LHUWRHVTXHORVWHPDVFX
ELHUWRVHQHOWH[WRVHHVFRJLHURQFRQVXOWDQGRDORVSURIHVRUHV\DTXHHOORVWRPDQOD
GHFLVLyQDFHUFDGHVLKD\TXHXVDUORVHQVXVFODVHVSHURWRGRORHVFULWRHQpOHVWiGLUL
JLGRGLUHFWDPHQWHDXVWHGDOHVWXGLDQWH(QWRQFHVTXHUHPRVLQYLWDUOH²QRHQUHDOL
GDGTXHUHPRVSHGLUOH²TXH£OHDHVWHOLEURGHWH[WR3HURQRORKDJDFRPROHHUtDXQD
QRYHODQRGHEHOHHUORUiSLGR\QRGHEHVDOWDUVHQDGD3LHQVHHQHVWHOLEURFRPRXQ
cuaderno de ejercicios&UHHPRVTXHODVPDWHPiWLFDVVLHPSUHGHEHUtDQVHUHVWXGLD
GDVFRQOiSL]\SDSHODODPDQRSRUTXHPX\SUREDEOHPHQWHWHQGUiTXHtrabajar los
HMHPSORV\KDFHUORVDQiOLVLV/HD²PiVELHQWUDEDMH²todosORVHMHPSORVGHXQD
VHFFLyQDQWHVGHLQWHQWDUFXDOTXLHUDGHORVHMHUFLFLRV/RVHMHPSORVVHKDQGLVHxDGR
SDUDPRVWUDUORTXHFRQVLGHUDPRVVRQORVDVSHFWRVPiVLPSRUWDQWHVGHFDGDVHFFLyQ
\SRUWDQWRPXHVWUDQORVSURFHGLPLHQWRVQHFHVDULRVSDUDWUDEDMDUODPD\RUtDGHORV
SUREOHPDVGHORVFRQMXQWRVGHHMHUFLFLRV6LHPSUHOHVGHFLPRVDQXHVWURVHVWXGLDQWHV
TXHFXDQGROHDQXQHMHPSORWDSHQVXVROXFLyQHLQWHQWHQWUDEDMDUSULPHURHQHOOD
FRPSDUDUVXUHVSXHVWDFRQODVROXFLyQGDGD\OXHJRUHVROYHUFXDOTXLHUGLIHUHQFLD
+HPRVWUDWDGRGHLQFOXLUORVSDVRVPiVLPSRUWDQWHVSDUDFDGDHMHPSORSHURVLDOJR
QRHVFODURXVWHGSRGUtDVLHPSUHLQWHQWDUFRPSOHWDUORVGHWDOOHVRSDVRVTXHIDOWDQ\
DTXtHVGRQGHHOSDSHO\HOOiSL]HQWUDQRWUDYH]3XHGHTXHQRVHDIiFLOSHURHVSDUWH
GHOSURFHVRGHDSUHQGL]DMH/DDFXPXODFLyQGHKHFKRVVHJXLGRVSRUODOHQWDDVLPLOD
FLyQGHODFRPSUHQVLyQVLPSOHPHQWHQRVHSXHGHDOFDQ]DUVLQWUDEDMDUDUGXDPHQWH
(VSHFt¿FDPHQWH SDUD XVWHG HVWi GLVSRQLEOH XQ Manual de recursos del estudiante, (SRM en idioma inglés y se comercializa por separado FRPRXQVXSOHPHQWR
RSFLRQDO $GHPiV GH TXH FRQWLHQH VROXFLRQHV GH SUREOHPDV VHOHFFLRQDGRV GH ORV
FRQMXQWRV GH HMHUFLFLRV HO 650 WLHQH VXJHUHQFLDV SDUD OD VROXFLyQ GH SUREOHPDV
HMHPSORVDGLFLRQDOHV\XQUHSDVRGHODViUHDVGHiOJHEUD\FiOFXORTXHVLHQWRVRQ
SDUWLFXODUPHQWH LPSRUWDQWHV SDUD HO HVWXGLR H[LWRVR GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV
&RQVLGHUHTXHQRWLHQHTXHDGTXLULUHOSRMSXHGHUHYLVDUODVPDWHPiWLFDVDSURSLD
GDVGHVXVYLHMRVOLEURVGHSUHFiOFXORRGHFiOFXOR
(QFRQFOXVLyQOHGHVHDPRVEXHQDVXHUWH\p[LWR(VSHUDPRVTXHGLVIUXWHHOOLEUR
\HOFXUVRTXHHVWiSRULQLFLDU&XDQGRpUDPRVHVWXGLDQWHVGHODOLFHQFLDWXUDHQPDWH
PiWLFDVHVWHFXUVRIXHXQRGHQXHVWURVIDYRULWRVSRUTXHQRVJXVWDQODVPDWHPiWLFDV
TXHHVWiQFRQHFWDGDVFRQHOPXQGRItVLFR6LWLHQHDOJ~QFRPHQWDULRRVLHQFXHQWUD
DOJ~QHUURUFXDQGROHDRWUDEDMHFRQpVWHRVLQRVTXLHUHKDFHUOOHJDUXQDEXHQDLGHD
SDUDPHMRUDUHOOLEURSRUIDYRUSyQJDVHHQFRQWDFWRFRQQRVRWURVDWUDYpVGHQXHVWUR
HGLWRUHQ&HQJDJH/HDUQLQJ
ix
x
O
PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA
AL PROFESOR
(QFDVRGHTXHH[DPLQHHVWHWH[WRSRUSULPHUDYH]Ecuaciones diferenciales con
problemas de valores en la fronteraQRYHQDHGLFLyQVHSXHGHXWLOL]DU\DVHDSDUD
XQ FXUVR GH XQ VHPHVWUH GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV R SDUD FXEULU XQ
FXUVRGHGRVVHPHVWUHVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV\SDUFLDOHV3DUDXQ
FXUVRVHPHVWUDOVXSRQHPRVTXHORVHVWXGLDQWHVKDQFRPSOHWDGRFRQp[LWRDOPHQRV
GRVVHPHVWUHVGHFiOFXOR'DGRTXHXVWHGHVWiOH\HQGRHVWRVLQGXGD\DKDH[DPL
QDGRODWDEODGHFRQWHQLGRVSDUDORVWHPDVTXHFXEULUi
(QHVWHSUHIDFLRQRHQFRQWUDUi³XQSURJUDPDVXJHULGR´1RSUHWHQGHUHPRVVHU
WDQVDELRVFRPRSDUDGHFLUDRWURVSURIHVRUHVORTXHGHEHQHQVHxDUHQVXVFODVHV
6HQWLPRVTXHKD\PXFKRPDWHULDODTXtSDUDHVFRJHU\IRUPDUXQFXUVRDVXJXVWR(O
WH[WRWLHQHXQHTXLOLEULRUD]RQDEOHHQWUHORVPpWRGRVDQDOtWLFRVFXDOLWDWLYRV\FXDQ
WLWDWLYRVHQHOHVWXGLRGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV(QFXDQWRDQXHVWUD³¿ORVRItD
VXE\DFHQWH´ pVWD HV TXH XQ OLEUR SDUD HVWXGLDQWHV GH QLYHO VXSHULRU GHEHUtD HVWDU
HVFULWRFRQVLGHUDQGRVLHPSUHODFRPSUHVLyQGHOHVWXGLDQWHORTXHVLJQL¿FDTXHHO
PDWHULDOGHEHUtDHVWDUSUHVHQWDGRHQXQDIRUPDGLUHFWDOHJLEOH\~WLOFRQVLGHUDQGRHO
QLYHOWHyULFRFRPSDWLEOHFRQODLGHDGHXQ³SULPHUFXUVR´
$ODVSHUVRQDVIDPLOLDUL]DGDVFRQODVHGLFLRQHVDQWHULRUHVQRVJXVWDUtDPHQFLR
QDUOHVDOJXQDVGHODVPHMRUDVKHFKDVHQHVWDHGLFLyQ
6HKDQDFWXDOL]DGRPXFKRVFRQMXQWRVGHHMHUFLFLRVDJUHJDQGRQXHYRVSUREOHPDV
$OJXQRVGHHVWRVSUREOHPDVLPSOLFDQQXHYRV\TXH\RFRQVLGHURLQWHUHVDQWHVPRGHORV
PDWHPiWLFRV
‡ 6HKDQDJUHJDGRFRPHQWDULRV¿JXUDV\HMHPSORVDGLFLRQDOHVDPXFKDVVHFFLRQHV
‡ (QWRGRHOOLEURVHOHKHGDGRXQPD\RUpQIDVLVDORVFRQFHSWRVGHHFXDFLRQHV
GLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVSRUSDUWHV\DODVVROXFLRQHVTXHLPSOLFDQLQWHJUDOHVQR
HOHPHQWDOHV
‡ (O$SpQGLFH$,QWHJUDOHVGH¿QLGDVGHIXQFLRQHVHVQXHYRHQHOOLEUR
‡ 6HKDDJUHJDGRHOSULQFLSLRGHVXSHUSRVLFLyQDODQiOLVLVHQODVHFFLyQ
Ecuación de onda
‡ 6HKDUHHVFULWRODVHFFLyQProblemas con valores en la frontera no homogéneos
‡ 6HKDGDGRPD\RUpQIDVLVDODV)XQFLRQHVGH%HVVHOPRGL¿FDGDVHQODVHFFLyQ
Coordenadas polares y cilíndricas
RECURSOS PARA LOS ESTUDIANTES
• Los Student Resource and Solutions Manual 650HQLGLRPDLQJOpV\VHFRPHU
FLDOL]DQSRUVHSDUDGR HODERUDGRVSRU:DUUHQ6:ULJKW\&DURO':ULJKW
(O YROXPHQ FRQ ,6%1 DFRPSDxD D Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, novena edición, presentan
UHSDVRVGHOPDWHULDOPiVLPSRUWDQWHGHiOJHEUD\FiOFXORWRGDVODVVROXFLRQHV
GHOWHUFHUSUREOHPDGHFDGDFRQMXQWRGHHMHUFLFLRV H[FHSWRORVSUREOHPDVGH
DQiOLVLV\ODVWDUHDVGHOODERUDWRULRGHFyPSXWR ORVFRPDQGRV\VLQWD[LVPiV
importantes de Mathematica \ Maple OLVWDV GH FRQFHSWRV LPSRUWDQWHV DVt
FRPR~WLOHVVXJHUHQFLDVGHFyPRHPSH]DUFLHUWRVSUREOHPDV
RECURSOS PARA EL PROFESOR (en idioma inglés)
• Manual de soluciones del profesor (ISM)HODERUDGRSRU:DUUHQ6:ULJKW\
5REHUWR0DUWLQH]SURSRUFLRQDVROXFLRQHVLQWHJUDOHVGHVDUUROODGDVSRUWRGRVORV
SUREOHPDVHQHOWH[WR(VWiGLVSRQLEOHDWUDYpVGHOD3iJLQD:HEGHOSURIHVRUGH
HVWHOLEURHQcengage.com
PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA
O
xi
• Cengage Learning Testing Powered by CogneroHVXQVLVWHPDHQOtQHDÀH[LEOH
TXHOHSHUPLWHDODXWRUHGLWDU\PDQHMDUHOFRQWHQLGRGHOEDQFRGHUHDFWLYRVFUHDU
P~OWLSOHVYHUVLRQHVGHH[DPHQHQXQLQVWDQWH\RIUHFHUH[iPHQHVSDUDVXVLVWHPD
GHJHVWLyQGHODSUHQGL]DMH /06 GHVXDXODRGRQGHTXLHUD(VWRHVWiGLVSRQLEOH
HQOtQHDHQwww.cengage.com/login
• WebAssign HV HO VLVWHPD GH WDUHDV PiV DPSOLDPHQWH XWLOL]DGR HQ OtQHD HQ
HGXFDFLyQVXSHULRU'LVSRQLEOHSDUDHVWDYHUVLyQPpWULFD:HE$VVLJQOHSHUPLWH
DVLJQDUUHXQLUFDOL¿FDU\UHJLVWUDUODVWDUHDVDWUDYpVGHODZHE(VWHVLVWHPD
SUREDGRGHWDUHDVLQFOX\HHQODFHVDVHFFLRQHVGHOOLEURGHWH[WRXQH%RRNYLGHRV
HMHPSORV \ WXWRULDOHV GH SUREOHPDV HVSHFt¿FRV :HE$VVLJQ SRU &HQJDJH HV
PiVTXHXQVLVWHPDGHWDUHDVHVXQVLVWHPDGHDSUHQGL]DMHFRPSOHWRSDUDORV
HVWXGLDQWHV3RUIDYRUFRPXQtTXHVHFRQVXUHSUHVHQWDQWHORFDOGH&HQJDJHSDUD
GHWDOOHV\XQDGHPRVWUDFLyQ
RECONOCIMIENTOS
&RPSLODUXQOLEURGHWH[WRGHPDWHPiWLFDVFRPRHVWH\DVHJXUDUVHGHTXHVXVPLOHVGH
VtPERORV\FLHQWRVGHHFXDFLRQHVVRQH[DFWDVVRQXQDWDUHDHQRUPHSHUR\DTXHPH
OODPDQ³HODXWRU´HVPLWUDEDMR\UHVSRQVDELOLGDG3HURPXFKDVSHUVRQDVDGHPiVGHPt
KDQLQYHUWLGRHQRUPHVFDQWLGDGHVGHWLHPSR\HQHUJtDHQHOWUDEDMRKDFLDVXSXEOLFDFLyQ
¿QDO$VtTXHPHJXVWDUtDDSURYHFKDUHVWDRSRUWXQLGDGSDUDH[SUHVDUPLPiVVLQFHUR
DJUDGHFLPLHQWRDWRGRHOPXQGRODPD\RUtDGHHOORVGHVFRQRFLGRVSDUDPtHQ&HQJDJH
/HDUQLQJ \ HQ 036 1RUWK $PHULFD TXLHQHV SDUWLFLSDURQ HQ OD SXEOLFDFLyQ GH HVWD
HGLFLyQ8QDSDODEUDHVSHFLDOGHDJUDGHFLPLHQWRD6SHQFHU$UULWW.DWKU\Q6FKUXPSI
-HQQLIHU5LVGHQ9HUQRQ%RHV\-LOO7UDXWSRUVXRULHQWDFLyQHQHOODEHULQWRGHOSURFHVR
GHSURGXFFLyQ
)LQDOPHQWH FRQIRUPH KDQ SDVDGR ORV DxRV HVWH OLEUR GH WH[WR VH KD PHMRUDGR
SRUXQQ~PHURLQFRQWDEOHGHFDPLQRVJUDFLDVDODVVXJHUHQFLDV\ODVFUtWLFDVGHORV
UHYLVRUHVDVtTXHHVMXVWRFRQFOXLUFRQXQUHFRQRFLPLHQWRGHQXHVWUDGHXGDFRQODV
VLJXLHQWHVSHUVRQDVSRUFRPSDUWLUVXPDHVWUtD\H[SHULHQFLD
REVISORES DE EDICIONES ANTERIORES
:LOOLDP$WKHUWRQCleveland State University
3KLOLS%DFRQUniversity of Florida
%UXFH%D\O\University of Arizona
:LOOLDP+%H\HUUniversity of Akron
5*%UDGVKDZClarkson College
%HUQDUG%URRNV Rochester Institute of Technology
$OOHQ%URZQ Wabash Valley College
'HDQ5%URZQYoungstown State University
'DYLG%XFKWKDOUniversity of Akron
1JX\HQ3&DFUniversity of Iowa
7&KRZCalifornia State University, Sacramento
'RPLQLF3&OHPHQFHNorth Carolina Agricultural and Technical State University
3DVTXDOH&RQGRUniversity of Massachusetts, Lowell
9LQFHQW&RQQROO\Worcester Polytechnic Institute
3KLOLS6&URRNHVanderbilt University
%UXFH('DYLVSt. Louis Community College at Florissant Valley
3DXO:'DYLVWorcester Polytechnic Institute
5LFKDUG$'L'LRLa Salle University
-DPHV'UDSHUUniversity of Florida
-DPHV0(GPRQGVRQSanta Barbara City College
-RKQ+(OOLVRQGrove City College
5D\PRQG)DEHFLouisiana State University
'RQQD)DUULRUUniversity of Tulsa
5REHUW()HQQHOOClemson University
:()LW]JLEERQUniversity of Houston
xii
O
PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA
+DUYH\-)OHWFKHUBrigham Young University
3DXO-*RUPOH\Villanova
/D\DFKL+DGMLUniversity of Alabama
5XEHQ+D\UDSHW\DQKettering University
7HUU\+HUGPDQVirginia Polytechnic Institute and State University
=G]LVODZ-DFNLHZLF]Arizona State University
6.-DLQOhio University
$QWKRQ\--RKQSoutheastern Massachusetts University
'DYLG&-RKQVRQUniversity of Kentucky, Lexington
+DUU\/-RKQVRQ Virginia Polytechnic Institute and State University
.HQQHWK5-RKQVRQNorth Dakota State University
-RVHSK.D]LPLUEast Los Angeles College
-.HHQHUUniversity of Arizona
6WHYH%.KOLHITennessee Technological University
+HOPXW.QDXVWThe University of Texas at El Paso
&-.QLFNHUERFNHUSensis Corporation
&DUORQ$.UDQW]Kean College of New Jersey
7KRPDV*.XG]PDUniversity of Lowell
$OH[DQGUD.XUHSDNorth Carolina A&T State University
*(/DWWDUniversity of Virginia
&HFHOLD/DXULHUniversity of Alabama
0XODWX/HPPD Savannah State University
-DPHV50F.LQQH\California Polytechnic State University
-DPHV/0HHNUniversity of Arkansas
*DU\+0HLVWHUVUniversity of Nebraska, Lincoln
6WHSKHQ-0HUULOOMarquette University
9LYLHQ0LOOHUMississippi State University
*HRUJH0RVV Union University
*HUDOG0XHOOHUColumbus State Community College
3KLOLS60XOU\Colgate University
0DUWLQ1DNDVKLPD California State Polytechnic University–Pomona
&-1HXJHEDXHUPurdue University
7\UH$1HZWRQWashington State University
%ULDQ02¶&RQQRUTennessee Technological University
-.2GGVRQUniversity of California, Riverside
&DURO62¶'HOOOhio Northern University
%UXFH2¶1HLOOMilwaukee School of Engineering
$3HUHVVLQLUniversity of Illinois, Urbana, Champaign
-3HUU\PDQUniversity of Texas at Arlington
-RVHSK+3KLOOLSVSacramento City College
-DFHN3ROHZF]DNCalifornia State University Northridge
1DQF\-3R[RQCalifornia State University, Sacramento
5REHUW3UXLWWSan Jose State University
.5DJHUMetropolitan State College
)%5HLVNortheastern University
%ULDQ5RGULJXHVCalifornia State Polytechnic University
7RP5RHSouth Dakota State University
.LPPR,5RVHQWKDOUnion College
%DUEDUD6KDEHOOCalifornia Polytechnic State University
6HHQLWK6LYDVXQGDUDPEmbry-Riddle Aeronautical University
'RQ(6RDVKHillsborough Community College
):6WDOODUGGeorgia Institute of Technology
*UHJRU\6WHLQThe Cooper Union
0%7DPEXUURGeorgia Institute of Technology
3DWULFN:DUGIllinois Central College
-LDQSLQJ=KXUniversity of Akron
-DQ=LMOVWUDMiddle Tennessee State University
-D\=LPPHUPDQTowson University
Dennis G. Zill
Los Angeles, CA
Ecuaciones diferenciales
con problemas de valores en la frontera
1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
© Kevin George/Shutterstock.com
1.1 'H¿QLFLRQHV\WHUPLQRORJtD
1.2 3UREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV
1.3 (FXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRPRPRGHORVPDWHPiWLFRV
REPASO DEL CAPÍTULO 1
L
2
DVSDODEUDVecuaciones\diferencialesFLHUWDPHQWHVXJLHUHQODVROXFLyQGH
DOJ~QWLSRGHHFXDFLRQHVTXHFRQWLHQHQGHULYDGDVy, y$OLJXDOTXHHQ
XQFXUVRGHiOJHEUD\WULJRQRPHWUtDHQORVTXHVHLQYLHUWHPXFKRWLHPSRHQOD
VROXFLyQGHHFXDFLRQHVFRPRx2 5x 4 SDUDODLQFyJQLWDxHQHVWHFXUVRuna
GHODVWDUHDVVHUiUHVROYHUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHOWLSRy 2y y SDUDXQD
IXQFLyQLQFyJQLWDy (x).
&RQIRUPHHOFXUVRVHGHVDUUROOHYHUiTXHKD\PiVHQHOHVWXGLRGHODV
HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVTXHVRODPHQWHGRPLQDUORVPpWRGRVLGHDGRVSRU
PDWHPiWLFRVGHORV~OWLPRVVLJORVSDUDUHVROYHUODV
3HURYDPRVHQRUGHQ3DUDOHHUHVWXGLDU\SODWLFDUVREUHXQWHPDHVSHFLDOL]DGR
HVQHFHVDULRDSUHQGHUODWHUPLQRORJtDGHHVWDGLVFLSOLQD(VDHVODLQWHQFLyQGHODVGRV
SULPHUDVVHFFLRQHVGHHVWHFDStWXOR(QOD~OWLPDVHFFLyQH[DPLQDUHPRVEUHYHPHQWH
HOYtQFXORHQWUHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV\HOPXQGRUHDO
1.1
1.1
DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA
3
O
DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA
INTRODUCCIÓN /DGHULYDGDdydxGHXQDIXQFLyQy (x HVRWUDIXQFLyQ (x TXHVHHQFXHQWUDFRQXQDUHJODDSURSLDGD/DIXQFLyQy e0.1x2HVGHULYDEOHHQHOLQWHUYDOR , \XVDQGR
2
ODUHJODGHODFDGHQDVXGHULYDGDHVdydx 0.2xe0.1x 6LVXVWLWXLPRVe0.1x2SRUyHQHOODGRGHUHFKR
GHODHFXDFLyQODGHULYDGDVHUi
dy
dx
0.2xy
(1)
$KRUD LPDJLQHPRV TXH XQ DPLJR SODQWHy OD HFXDFLyQ XVWHG QR WLHQH LGHD GH FyPR OD KL]R
\VHSUHJXQWD¿cuál es la función representada con el símbolo y?6HHQIUHQWDHQWRQFHVDXQRGHORV
SUREOHPDVEiVLFRVGHHVWHFXUVR
¿Cómo resolver una ecuación como la (1) para la función desconocida y (x)?
UNA DEFINICIÓN $ODHFXDFLyQ VHOHGHQRPLQDecuación diferencial*.$QWHV
GHSURVHJXLUFRQVLGHUHPRVXQDGH¿QLFLyQPiVH[DFWDGHHVWHFRQFHSWR
DEFINICIÓN 1.1.1
Ecuación diferencial
8QDHFXDFLyQTXHFRQWLHQHODVGHULYDGDVGHXQDRPiVIXQFLRQHVGHVFRQRFLGDV
RYDULDEOHVGHSHQGLHQWHV UHVSHFWRDXQDRPiVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHVVH
OODPDEcuación Diferencial (ED).
3DUD KDEODU DFHUFD GH HOODV FODVL¿FDUHPRV D ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SRU tipo,
orden\linealidad.
CLASIFICACIÓN POR TIPO 6L XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO FRQWLHQH VyOR GHULYDGDV
RUGLQDULDVGHXQDRPiVIXQFLRQHVGHVFRQRFLGDVUHVSHFWRDXQDsolaYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHVHGLFHTXHHVXQDecuación diferencial ordinaria (EDO)8QDHFXDFLyQTXH
LQYROXFUDGHULYDGDVSDUFLDOHVGHXQDRPiVYDULDEOHVGHSHQGLHQWHVGHGRVRPiVIXQFLRQHVGHVFRQRFLGDVVHOODPDecuación diferencial parcial (EDP)1XHVWURSULPHUHMHPSOR
LOXVWUDYDULDVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHFDGDWLSR
EJEMPLO 1
Tipos de ecuaciones diferenciales
a)/DVHFXDFLRQHV
8QD('2SXHGHFRQWHQHU
PiVGHXQDIXQFLyQGHVFRQRFLGD
dy
dx
5y
d 2y
dx2
ex,
dy
dx
6y
0,
y
↓
↓
dx
dt
dy
dt
2x
y
(2)
VRQHMHPSORVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV
b)/DVVLJXLHQWHVVRQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUFLDOHV
2
u
x2
2
u
y2
2
0, u
x2
2
u
t2
2
u
u
, y t
y
v
x
([FHSWRHVWDVHFFLyQGHLQWURGXFFLyQHQEcuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado,
GpFLPDSULPHUDHGLFLyQVyORVHFRQVLGHUDQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV(QHVHOLEURODSDODEUD
ecuación\ODDEUHYLDWXUD('VHUH¿HUHQVyORDODV('2/DVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUFLDOHVR('3VH
FRQVLGHUDQHQHOYROXPHQDPSOLDGREcuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera,
QRYHQDHGLFLyQ
*
(3)
4
O
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
2EVHUYHTXHHQODWHUFHUDHFXDFLyQKD\GRVYDULDEOHVGHSHQGLHQWHV\GRVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHVHQOD('3(VWRVLJQL¿FDTXHu\vGHEHQVHUIXQFLRQHVGHdos o másYDULDEOHV
LQGHSHQGLHQWHV
NOTACIÓN $ORODUJRGHOOLEURODVGHULYDGDVRUGLQDULDVVHHVFULELUiQXVDQGRODnotación de Leibniz dydx, d 2ydx 2, d 3ydx 3RODnotación prima y, y, y 8VDQGR
HVWD~OWLPDQRWDFLyQODVSULPHUDVGRVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHQ VHSXHGHQHVFULELUHQ
XQDIRUPDXQSRFRPiVFRPSDFWDFRPRy 5y ex\y y 6y (QUHDOLGDGOD
QRWDFLyQSULPDVHXVDSDUDGHQRWDUVyORODVSULPHUDVWUHVGHULYDGDVODFXDUWDGHULYDGDVH
GHQRWDy(4)HQOXJDUGHy(QJHQHUDOODnpVLPDGHULYDGDGHyVHHVFULEHFRPRd nydx nR
\(n)$XQTXHHVPHQRVFRQYHQLHQWHSDUDHVFULELURFRPSRQHUWLSRJUi¿FDPHQWHODQRWDFLyQ
GH/HLEQL]WLHQHXQDYHQWDMDVREUHODQRWDFLyQSULPDPXHVWUDFODUDPHQWHDPEDVYDULDEOHV
ODVGHSHQGLHQWHV\ODVLQGHSHQGLHQWHV3RUHMHPSORHQODHFXDFLyQ
función incógnita
o variable dependiente
d 2x
–––2 16x 0
dt
variable independiente
VHDSUHFLDGHLQPHGLDWRTXHDKRUDHOVtPERORxUHSUHVHQWDXQDYDULDEOHGHSHQGLHQWH
PLHQWUDVTXHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHVt7DPELpQVHGHEHFRQVLGHUDUTXHHQLQJHQLH
UtD\HQFLHQFLDVItVLFDVODnotación de puntoGH1HZWRQ QRPEUDGDGHVSHFWLYDPHQWH
QRWDFLyQGH³SXQWLWR´ DOJXQDVYHFHVVHXVDSDUDGHQRWDUGHULYDGDVUHVSHFWRDOWLHP
SRt$VtODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOd 2sdt 2 VHUis̈ &RQIUHFXHQFLDODVGHULYDGDVSDUFLDOHVVHGHQRWDQPHGLDQWHXQDnotación de subíndiceTXHLQGLFDODVYDULDEOHV
LQGHSHQGLHQWHV3RUHMHPSORFRQODQRWDFLyQGHVXEtQGLFHVODVHJXQGDHFXDFLyQHQ VHUiu xx u tt 2u t.
CLASIFICACIÓN POR ORDEN (O orden de una ecuación diferencial \D VHD
('2R('3 HVHORUGHQGHODPD\RUGHULYDGDHQODHFXDFLyQ3RUHMHPSOR
segundo orden
primer orden
d 2y
( )
dy 3
––––2 5 ––– 4y ex
dx
dx
HVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHVHJXQGRRUGHQ(QHOHMHPSORODSULPHUD\
ODWHUFHUDHFXDFLyQHQ VRQ('2GHSULPHURUGHQPLHQWUDVTXHHQ ODVSULPHUDV
GRVHFXDFLRQHVVRQ('3GHVHJXQGRRUGHQ$YHFHVODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVGHSULPHURUGHQVHHVFULEHQHQODIRUPDGLIHUHQFLDO
M(x, y) dx N(x, y) dy 0.
EJEMPLO 2
Forma diferencial de una EDO de primer orden
6LVXSRQHPRVTXH\HVODYDULDEOHGHSHQGLHQWHHQOD('2GHSULPHURUGHQHQWRQFHV
UHFXHUGHGHFiOFXORTXHODGLIHUHQFLDO dy VHGH¿QHFRPR dy ydx.
a) $OGLYLGLUSRUHOGLIHUHQFLDO dx sHREWLHQHXQDIRUPDDOWHUQDWLYDGHODHFXDFLyQ (y-x)
dx 4xdy 0 GDGDSRU
y 2 x 1 4x
dy
dy
5 0 o equivalentemente 4x 1 y 5 x.
dx
dx
.
1.1
DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA
O
5
b) 0XOWLSOLFDQGRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
6xy
dy
1 x2 1 y2 5 0
dx
SRUdxYHPRVTXHODHFXDFLyQWLHQHXQDIRUPDGLIHUHQFLDODOWHUQDWLYD
(x2 1 y2) dx 1 6xy dy 5 0.
6LPEyOLFDPHQWHSRGHPRVH[SUHVDUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHnpVLPR
RUGHQFRQXQDYDULDEOHGHSHQGLHQWHSRUODIRUPDJHQHUDO
F(x, y, y , . . . , y(n))
0,
(4)
GRQGHFHVXQDIXQFLyQFRQYDORUHVUHDOHVGHn YDULDEOHVx, y, y, …, y(n)3RUUD]RQHVWDQWRSUiFWLFDVFRPRWHyULFDVGHDKRUDHQDGHODQWHVXSRQGUHPRVTXHHVSRVLEOH
UHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDHQODIRUPDGHODHFXDFLyQ ~QLFDPHQWH
SDUDODPD\RUGHULYDGDy(n)HQWpUPLQRVGHODVn YDULDEOHVUHVWDQWHV/DHFXDFLyQ
GLIHUHQFLDO
d ny
f (x, y, y , . . . , y(n 1)),
(5)
dxn
GRQGHfHVXQDIXQFLyQFRQWLQXDFRQYDORUHVUHDOHVVHFRQRFHFRPRODforma normalGH
ODHFXDFLyQ $VtTXHSDUDQXHVWURVSURSyVLWRVXVDUHPRVODVIRUPDVQRUPDOHVFXDQGR
VHDDGHFXDGR
dy
d 2y
f (x, y) y 2 f (x, y, y )
dx
dx
SDUD UHSUHVHQWDU HQ JHQHUDO ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV GH SULPHU \ VHJXQGRRUGHQ
EJEMPLO 3
Forma normal de una EDO
a) 5HVROYLHQGR SDUD OD GHULYDGD GH dy/dx GH OD IRUPD QRUPDO GH OD HFXDFLyQ
GLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQ
dy
dy x 2 y
1 y 5 x es
5
.
4x
dx
dx
4x
b)5HVROYLHQGRSDUDODGHULYDGDyODIRUPDQRUPDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQ
y0 2 y9 1 6 5 0 es y0 5 y9 2 6y.
CLASIFICACIÓN POR LINEALIDAD 6H GLFH TXH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH
n-pVLPRRUGHQ HVlinealVLFHVOLQHDOHQy, y, . . . , y (n)(VWRVLJQL¿FDTXHXQD('2
GHn-pVLPRRUGHQHVOLQHDOFXDQGRODHFXDFLyQ HVa n(x)y (n) a n1(x)y (n1) a1
(x)y a 0(x)y g(x) R
an(x)
dny
dx n
an 1(x)
d n 1y
dx n 1
a1(x)
dy
dx
a0(x)y
g(x).
(6)
'RV FDVRV HVSHFLDOHV LPSRUWDQWHV GH OD HFXDFLyQ VRQ ODV (' OLQHDOHV GH SULPHU
RUGHQ n \GHVHJXQGRRUGHQ n a1(x)
dy
dx
a0 (x)y
g(x)
y
a2 (x)
d 2y
dx2
a1(x)
dy
dx
a0 (x)y
g(x).
(7)
(QODFRPELQDFLyQGHODVXPDGHOODGRL]TXLHUGRGHODHFXDFLyQ YHPRVTXHODVGRV
SURSLHGDGHVFDUDFWHUtVWLFDVGHXQD('2VRQODVVLJXLHQWHV
• /DYDULDEOHGHSHQGLHQWHy\WRGDVVXVGHULYDGDVy, y, . . . , y (n)VRQGHSULPHU
JUDGRHVGHFLUODSRWHQFLDGHFDGDWpUPLQRTXHFRQWLHQHyHVLJXDOD
• /RV FRH¿FLHQWHV GH a0, a1, . . . , an GH y, y, . . . , y(n) GHSHQGHQ GH OD YDULDEOH
LQGHSHQGLHQWHx.
6
O
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
8QDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDno linealHVVLPSOHPHQWHXQDTXHQRHVOLQHDO/DV
IXQFLRQHVQROLQHDOHVGHODYDULDEOHGHSHQGLHQWHRGHVXVGHULYDGDVWDOHVFRPRVHQyRe y’,
QRSXHGHQDSDUHFHUHQXQDHFXDFLyQOLQHDO
EJEMPLO 4
EDO lineal y no lineal
a)/DVHFXDFLRQHV
(y
x)dx
4x dy
0, y
y
2y
0, y
3
3d y
x 3
dx
x
dy
dx
5y
ex
VRQUHVSHFWLYDPHQWHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVlinealesGHSULPHUVHJXQGR\WHUFHURUGHQ
$FDEDPRVGHPRVWUDUHQHOLQFLVR D GHOHMHPSORTXHODSULPHUDHFXDFLyQHVOLQHDOHQOD
YDULDEOHyFXDQGRVHHVFULEHHQODIRUPDDOWHUQDWLYDxy y x.
b)/DVHFXDFLRQHV
término no lineal:
coeficiente depende de y
término no lineal:
función no lineal de y
(1 y)y 2y e x,
d 2y
––––2 sen y 0,
dx
término no lineal:
el exponente es diferente de 1
y
d 4y
––––4 y 2 0
dx
VRQHMHPSORVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVno linealesGHSULPHUVHJXQGR\
FXDUWRRUGHQUHVSHFWLYDPHQWH
SOLUCIONES &RPR\DVHKDHVWDEOHFLGRHQODSiJXQRGHORVREMHWLYRVGHHVWH
FXUVRHVUHVROYHURHQFRQWUDUVROXFLRQHVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV(QODVLJXLHQWH
GH¿QLFLyQFRQVLGHUDPRVHOFRQFHSWRGHVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULD
DEFINICIÓN 1.1.2
Solución de una EDO
&XDOTXLHUIXQFLyQ SKL GH¿QLGDVREUHXQLQWHUYDORITXHSRVHHDOPHQRV
n GHULYDGDV FRQWLQXDV VREUH I ODV FXDOHV DO VHU VXVWLWXLGDV HQ XQD HFXDFLyQ
GLIHUHQFLDORUGLQDULDGHRUGHQnUHGXFHODHFXDFLyQDXQDLGHQWLGDGVHOODPD
soluciónGHODHFXDFLyQVREUHHOLQWHUYDOR
(QRWUDVSDODEUDVXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHnpVLPRRUGHQ
HVXQDIXQFLyQTXHSRVHHDOPHQRVnGHULYDGDVSDUDODVTXH
F(x, (x),
(x), . . . ,
(n)
(x))
0 para
toda x en I.
'HFLPRVTXH satisfaceODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQI3DUDQXHVWURVSURSyVLWRVVXSRQGUHPRVTXHXQDVROXFLyQ HVXQDIXQFLyQFRQYDORUHVUHDOHV(QQXHVWURDQiOLVLVGHLQWURGXFFLyQYLPRVTXHy e0.1x 2HVXQDVROXFLyQGHdydx 0.2xyVREUHHOLQWHUYDOR , ).
2FDVLRQDOPHQWHVHUiFRQYHQLHQWHGHQRWDUXQDVROXFLyQFRQHOVtPERORDOWHUQDWLYR\࣠(x).
INTERVALO DE DEFINICIÓN 1RSRGHPRVSHQVDUHQODsoluciónGHXQDHFXDFLyQ
GLIHUHQFLDORUGLQDULDVLQSHQVDUVLPXOWiQHDPHQWHHQXQintervalo(OLQWHUYDORIHQOD
GH¿QLFLyQWDPELpQVHFRQRFHFRQRWURVQRPEUHVFRPRVRQLQWHUYDORGHGH¿QLción, intervalo de existencia, intervalo de validezRdominio de la solución\SXHGH
VHUXQLQWHUYDORDELHUWR a, b XQLQWHUYDORFHUUDGR>a, b@XQLQWHUYDORLQ¿QLWR a, ),
HWFpWHUD
1.1
EJEMPLO 5
DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA
O
7
9HUL¿FDFLyQGHXQDVROXFLyQ
9HUL¿TXHTXHODIXQFLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDVREUH
HOLQWHUYDOR , ).
dy
1 4
2y
y 0; y xex
a)
b) y
5 xy1/2; y 5 16
x
dx
SOLUCIÓN 8QDIRUPDGHYHUL¿FDUTXHODIXQFLyQGDGDHVXQDVROXFLyQFRQVLVWHHQ
REVHUYDUXQDYH]TXHVHKDVXVWLWXLGRVLFDGDODGRGHODHFXDFLyQHVHOPLVPRSDUD
WRGDxHQHOLQWHUYDOR
a) (Q
lado izquierdo:
dy
dx
lado derecho:
xy1/2
1
1 3
(4 x 3)
x,
16
4
1 4 1/2
x
x
x
16
1 2
x
4
1 3
x,
4
YHPRVTXHFDGDODGRGHODHFXDFLyQHVHOPLVPRSDUDWRGRQ~PHURUHDOx2EVHUYH
1 4
TXHy1/2 14 x 2HVSRUGH¿QLFLyQODUDt]FXDGUDGDQRQHJDWLYDGH 16
x.
b) (Q ODV GHULYDGDV y xe x e x \ y xe x 2e x WHQHPRV TXH SDUD WRGR Q~PHUR
UHDOx,
lado izquierdo:
lado derecho:
y
0.
2y
y
(xe x
2e x )
2(xe x
e x)
xe x
0,
(QHOHMHPSORREVHUYHWDPELpQTXHFDGDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOWLHQHODVROXFLyQ
FRQVWDQWHy 0, x $ODVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHHVLJXDO
DFHURVREUHXQLQWHUYDORIVHOHFRQRFHFRPRODsolución trivial.
CURVA SOLUCIÓN /D JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ GH XQD ('2 VH OODPD curva
solución. 3XHVWR TXH HV XQD IXQFLyQ GHULYDEOH HV FRQWLQXD VREUH VX LQWHUYDOR GH
GH¿QLFLyQ I3XHGHKDEHUGLIHUHQFLDHQWUHODJUi¿FDGHODfunción \ODJUi¿FDGHOD
solución (VGHFLUHOGRPLQLRGHODIXQFLyQQRQHFHVLWDVHULJXDODOLQWHUYDORGH
GH¿QLFLyQ I RGRPLQLR GHODVROXFLyQ(OHMHPSORPXHVWUDODGLIHUHQFLD
y
1
1
x
EJEMPLO 6
a) función y 1/x, x
0
y
1
1
x
b) solución y 1/x, (0, ∞ )
FIGURA 1.1.1 /DIXQFLyQy 1xQR
HVODPLVPDTXHODVROXFLyQy 1x.
Función contra solución
a) (OGRPLQLRGHy 1xFRQVLGHUDGRVLPSOHPHQWHFRPRXQDfunciónHVHOFRQMXQWRGH
WRGRVORVQ~PHURVUHDOHVxH[FHSWRHO&XDQGRWUD]DPRVODJUi¿FDGHy 1xGLEXMDPRVORVSXQWRVHQHOSODQRxyFRUUHVSRQGLHQWHVDXQMXLFLRVRPXHVWUHRGHQ~PHURVWRPDGRVGHOGRPLQLR/DIXQFLyQUDFLRQDOy 1xHVGLVFRQWLQXDHQHQOD¿JXUD D VH
PXHVWUDVXJUi¿FDHQXQDYHFLQGDGGHORULJHQ/DIXQFLyQy 1xQRHVGHULYDEOHHQx \DTXHHOHMHy FX\DHFXDFLyQHVx HVXQDDVtQWRWDYHUWLFDOGHODJUi¿FD
b) $KRUDy 1xHVWDPELpQXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHSULPHU
RUGHQxy y FRPSUXHEH 3HURFXDQGRGHFLPRVTXHy 1xHVXQDsoluciónGH
HVWD('VLJQL¿FDTXHHVXQDIXQFLyQGH¿QLGDVREUHXQLQWHUYDORIHQHOTXHHVGHULYDEOH
\VDWLVIDFHODHFXDFLyQ(QRWUDVSDODEUDVy 1xHVXQDVROXFLyQGHOD('HQcualquier LQWHUYDOR TXH QR FRQWHQJD WDO FRPR 3, 1), (12, 10), ( R ).
3RUTXHODVFXUYDVVROXFLyQGH¿QLGDVSRUy 1xSDUD3 x \12 x VRQ
VLPSOHPHQWH WUDPRV R SDUWHV GH ODV FXUYDV VROXFLyQ GH¿QLGDV SRU y 1x SDUD
x \ x UHVSHFWLYDPHQWHHVWRKDFHTXHWHQJDVHQWLGRWRPDUHOLQWHUYDORIWDQJUDQGHFRPRVHDSRVLEOH$VtWRPDPRVI\DVHDFRPR R ).
/DFXUYDVROXFLyQHQ HVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E 8
O
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
SOLUCIONES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS 'HEH HVWDU IDPLOLDUL]DGR FRQ ORV
WpUPLQRVfunciones explícitas\funciones implícitasGHVXFXUVRGHFiOFXOR$XQD
VROXFLyQ HQ OD FXDO OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH VH H[SUHVD VyOR HQ WpUPLQRV GH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH \ ODV FRQVWDQWHV VH OH FRQRFH FRPR solución explícita 3DUD
QXHVWURVSURSyVLWRVFRQVLGHUHPRVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDFRPRXQDIyUPXODH[SOtFLWDy (x TXHSRGDPRVPDQHMDUHYDOXDU\GHULYDUPHGLDQWHODVUHJODVXVXDOHV
$FDEDPRV GH YHU HQ ORV GRV ~OWLPRV HMHPSORV TXH y 161 x4 , y xe x \ y 1x
VRQ VROXFLRQHV H[SOtFLWDV UHVSHFWLYDPHQWH GHdydx xy 1/2, y 2y y \
xy y $GHPiV OD VROXFLyQ WULYLDO y HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH FDGD
XQDGHHVWDVWUHVHFXDFLRQHV&XDQGROOHJXHPRVDOSXQWRGHUHDOPHQWHUHVROYHUODV
HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVYHUHPRVTXHORVPpWRGRVGHVROXFLyQQRVLHPSUH
FRQGXFHQGLUHFWDPHQWHDXQDVROXFLyQH[SOtFLWDy (x (VWRHVSDUWLFXODUPHQWH
FLHUWR FXDQGR LQWHQWDPRV UHVROYHU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH SULPHU RUGHQ &RQ
IUHFXHQFLDWHQHPRVTXHFRQIRUPDUQRVFRQXQDUHODFLyQRH[SUHVLyQG(x, y) TXH
GH¿QHXQDVROXFLyQLPSOtFLWDPHQWH
DEFINICIÓN 1.1.3 Solución implícita de una EDO
6HGLFHTXHXQDUHODFLyQG(x, y) HVXQDsolución implícita GHXQDHFXDFLyQ
GLIHUHQFLDORUGLQDULD VREUHXQLQWHUYDORIVLHPSUHTXHH[LVWDDOPHQRVXQD
IXQFLyQTXHVDWLVIDFHODUHODFLyQDVtFRPRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHI.
(VWiIXHUDGHODOFDQFHGHHVWHFXUVRLQYHVWLJDUEDMRTXpFRQGLFLRQHVODUHODFLyQG(x,
y) GH¿QH XQD IXQFLyQ GHULYDEOH 3RU OR TXH VXSRQGUHPRV TXH VL LPSOHPHQWDU
IRUPDOPHQWHXQPpWRGRGHVROXFLyQQRVFRQGXFHDXQDUHODFLyQG(x, y) HQWRQFHV
H[LVWHDOPHQRVXQDIXQFLyQ TXHVDWLVIDFHWDQWRODUHODFLyQ TXHHVG(x, (x)) 0)
FRPRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHHOLQWHUYDORI6LODVROXFLyQLPSOtFLWDG(x, y) 0
HVEDVWDQWHVLPSOHSRGHPRVVHUFDSDFHVGHGHVSHMDUDyHQWpUPLQRVGHx\REWHQHUXQD
RPiVVROXFLRQHVH[SOtFLWDV9HDHQLQFLVRiv)HQORVComentarios.
EJEMPLO 7 Comprobación de una solución implícita
/DUHODFLyQx 2 y 2 HVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
dy
dx
x
y
(8)
VREUHHOLQWHUYDORDELHUWR 'HULYDQGRLPSOtFLWDPHQWHREWHQHPRV
d 2
x
dx
d 2
y
dx
d
25 o
dx
2x
dy
2y
dx
(9)
0.
5HVROYLHQGR OD ~OWLPD HFXDFLyQ SDUD dydx VH REWLHQH $GHPiV UHVROYLHQGR
x 2 y 2 SDUDyHQWpUPLQRVGHxVHREWLHQH y 225 x2 /DVGRVIXQFLRQHV
y 1(x) 125 x2 y y 2(x) 125 x2 VDWLVIDFHQ OD UHODFLyQ TXH HV
x 2 12 \x 2 22 \VRQODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGH¿QLGDVVREUHHOLQWHUYDOR /DVFXUYDVVROXFLyQGDGDVHQODV¿JXUDV E \ F VRQWUDPRVGH
ODJUi¿FDGHODVROXFLyQLPSOtFLWDGHOD¿JXUD D 1.1
y
y
5
DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA
9
y
5
5
5
5
5
O
x
x
x
−5
a) solución implícita
x y 25
2
2
b) solución explícita
y1 25 x , 5
2
c) solución explícita
x
5
y2 25 x 2, 5
x
5
FIGURA 1.1.2 8QDVROXFLyQLPSOtFLWD\GRVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGH HQHOHMHPSOR
'HELGRDTXHODGLIHUHQFLDHQWUHXQDVROXFLyQH[SOtFLWD\XQDVROXFLyQLPSOtFLWD
GHEHUtDVHULQWXLWLYDPHQWHFODUDQRGLVFXWLUHPRVHOWHPDGLFLHQGRVLHPSUH³$TXtHVWi
XQDVROXFLyQH[SOtFLWD LPSOtFLWD ´
FAMILIAS DE SOLUCIONES (OHVWXGLRGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHVVLPLODUDO
GHO FiOFXOR LQWHJUDO &XDQGR REWHQHPRV XQD DQWLGHULYDGD R XQD LQWHJUDO LQGH¿QLGD
HQFiOFXORXVDPRVXQDVRODFRQVWDQWHcGHLQWHJUDFLyQ'HPRGRVLPLODUFXDQGRUHVROYHPRV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ F(x, y, y) 0, usualmente REWHQHPRVXQDVROXFLyQTXHFRQWLHQHXQDVRODFRQVWDQWHDUELWUDULDRSDUiPHWURc8QD
VROXFLyQTXHFRQWLHQHXQDFRQVWDQWHDUELWUDULDUHSUHVHQWDXQFRQMXQWRG(x, y, c) 0
GH VROXFLRQHV OODPDGR familia de soluciones uniparamétrica &XDQGR UHVROYHPRV
XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHRUGHQn, F(x, y, y, . . . , y (n)) EXVFDPRVXQDfamilia de
soluciones n-paramétrica G(x, y, c1, c 2, . . . , cn) (VWRVLJQL¿FDTXHXQDVRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGHWHQHUXQLQ¿QLWRGHVROXFLRQHVTXHFRUUHVSRQGHQDXQQ~PHUR
HQRUPHGHHOHFFLRQHVGHORVSDUiPHWURV8QDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXH
HVWiOLEUHGHODHOHFFLyQGHSDUiPHWURVVHOODPDsolución particular. (QXQDIDPLOLD
GHVROXFLRQHVFRPRG(x, y, c1, c2, ..., cn)ORVSDUiPHWURVVRQKDVWDFLHUWRSXQWR
DUELWUDULRV 3RU HMHPSOR SURFHGLHQGR FRPR HQ XQD UHODFLyQ x2y2c VDWLVIDFH
IRUPDOPHQWHD SDUDFXDOTXLHUFRQVWDQWHc6LQHPEDUJRGHEHVREUHQWHQGHUVHTXH
ODUHODFLyQVyORWLHQHVHQWLGRHQHOVLVWHPDGHORVQ~PHURVUHDOHVDVtVLcQRHV
YiOLGRD¿UPDUTXHx2y2HVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
y
c>0
c=0
x
c<0
EJEMPLO 8 Soluciones particulares
a)/DIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDy cx xFRVxHVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQ
OLQHDOGHSULPHURUGHQ
FIGURA 1.1.3
$OJXQDVVROXFLRQHVGH
OD('GHOLQFLVRD GHOHMHPSOR
xy y x 2VHQx
y
VREUHHOLQWHUYDOR , FRPSUXHEH /D¿JXUDPXHVWUDODVJUi¿FDVGHDOJXQDV
GHODVVROXFLRQHVHQHVWDIDPLOLDSDUDGLIHUHQWHVHOHFFLRQHVGHc/DVROXFLyQy x
FRVxODFXUYDD]XOHQOD¿JXUDHVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUFRUUHVSRQGLHQWHDc 0.
b)/DIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVy c1e x c 2xe xHVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ
x
y 2y y 0
GHOLQFLVRE GHOHMHPSOR FRPSUXHEH (QOD¿JXUDKHPRVPRVWUDGRVLHWHGHODV
³GREOHPHQWHLQ¿QLWDV´VROXFLRQHVGHODIDPLOLD/DVFXUYDVVROXFLyQHQURMRYHUGH\
FIGURA 1.1.4 $OJXQDVVROXFLRQHVGH
D]XOVRQODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVSDUWLFXODUHVy 5[H࣠x (c1 0, c 2 5), y 3e x
OD('GHOLQFLVRE GHOHMHPSOR
(c1 3, c 2 \y 5e x 2xe x (c1 5, c2 UHVSHFWLYDPHQWH
10
O
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
$OJXQDVYHFHVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOWLHQHXQDVROXFLyQTXHQRHVPLHPEURGHXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQHVGHFLUXQDVROXFLyQTXHQRVHSXHGHREWHQHUXVDQGR
XQSDUiPHWURHVSHFt¿FRGHODIDPLOLDGHVROXFLRQHV(VDVROXFLyQH[WUDVHOODPD solución
singular3RUHMHPSORYHPRVTXH y 161 x4 \y VRQVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO dydx xy1/2 VREUH , (Q OD VHFFLyQ GHPRVWUDUHPRV DO UHVROYHUOD
UHDOPHQWHTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdydx xy1/2WLHQHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVXQLSDUDPpWULFD y 14 x2 c 2, c &XDQGRc ODVROXFLyQSDUWLFXODUUHVXOWDQWHHV
y 161 x4 3HUR REVHUYH TXH OD VROXFLyQ WULYLDO y HV XQD VROXFLyQ VLQJXODU \D TXH
QRHVXQPLHPEURGHODIDPLOLDy 14 x2 c 2 SRUTXHQRKD\PDQHUDGHDVLJQDUOHXQ
YDORUDODFRQVWDQWHcSDUDREWHQHUy 0.
(QWRGRVORVHMHPSORVDQWHULRUHVKHPRVXVDGRx\ySDUDGHQRWDUODVYDULDEOHV
LQGHSHQGLHQWH\GHSHQGLHQWHUHVSHFWLYDPHQWH3HURGHEHUtDDFRVWXPEUDUVHDYHU\WUDEDMDUFRQRWURVVtPERORVTXHGHQRWDQHVWDVYDULDEOHV3RUHMHPSORSRGUtDPRVGHQRWDU
ODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHSRUt\ODYDULDEOHGHSHQGLHQWHSRUx.
(
)
(
EJEMPLO 9
)
Usando diferentes símbolos
/DVIXQFLRQHVx c1 FRVt\x c2 VHQtGRQGHc1\c2VRQFRQVWDQWHVDUELWUDULDVR
SDUiPHWURVVRQDPEDVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDO
x
16x
0.
3DUDx c1FRVtODVGRVSULPHUDVGHULYDGDVUHVSHFWRDtVRQx 4c1VHQt\
x 16c1FRVt.6XVWLWX\HQGRHQWRQFHVDx\xVHREWLHQH
x
16x
16c1 cos 4t
16(c1 cos 4t)
0.
'HODPLVPDPDQHUDSDUDx c2VHQtWHQHPRVx 16c 2VHQt\DVt
x
16x
16c2 sen 4t
0.
)LQDOPHQWHHVVHQFLOORFRPSUREDUGLUHFWDPHQWHTXHODFRPELQDFLyQOLQHDOGHVROXFLRQHVRODIDPLOLDGHGRVSDUiPHWURVx c1FRVt c2VHQtHVWDPELpQXQDVROXFLyQ
GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
y
c 1
x
c<1
(OVLJXLHQWHHMHPSORPXHVWUDTXHODVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGH
VHUXQDIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV
EJEMPLO 10
a) dos soluciones explicitas
8QDVROXFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV
/DIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHIXQFLRQHVPRQRPLDOHVFXiUWLFDVy cx4HVXQDVROXFLyQ
H[SOtFLWDGHODHFXDFLyQOLQHDOGHSULPHURUGHQ
xy 4y 0
y
c 1,
x )0
x
c<1,
x0
HQHOLQWHUYDOR , &RPSUXHEH /DVFXUYDVVROXFLyQD]XO\URMDTXHVHPXHVWUDQ
HQOD¿JXUD D VRQODVJUi¿FDVGHy = x4\y = x4\FRUUHVSRQGHQDODVHOHFFLRQHV
GHc \c = UHVSHFWLYDPHQWH
/DIXQFLyQGHULYDEOHGH¿QLGDSRUWUDPRV
y
b) solución definida en tramos
FIGURA 1.1.5
16(c2 sen 4t)
$OJXQDVVROXFLRQHV
GHOD('GHOHMHPSOR
x4,
x4,
x
x
0
0
HVWDPELpQXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQSHURQRVHSXHGHREWHQHUGHODIDPLOLDy cx4SRUXQDVRODHOHFFLyQGHcFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDE ODVROXFLyQ
VHFRQVWUX\HDSDUWLUGHODIDPLOLDHOLJLHQGRc SDUDx \c SDUDx 0.
1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA
11
O
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES +DVWDHVWHPRPHQWRKHPRVDQDOL]DGR VyOR HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV TXH FRQWLHQHQ XQD IXQFLyQ LQFyJQLWD 3HUR FRQ
IUHFXHQFLDHQODWHRUtDDVtFRPRHQPXFKDVDSOLFDFLRQHVGHEHPRVWUDWDUFRQVLVWHPDV
GHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV8Qsistema de ecuaciones diferenciales ordinariasWLHQH
GRVRPiVHFXDFLRQHVTXHLPSOLFDQGHULYDGDVGHGRVRPiVIXQFLRQHVLQFyJQLWDVGHXQD
VRODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH3RUHMHPSORVLx\yGHQRWDQDODVYDULDEOHVGHSHQGLHQWHV
\t GHQRWDDODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHQWRQFHVXQVLVWHPDGHGRVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHSULPHURUGHQHVWiGDGRSRU
dx
dt
f(t, x, y)
(10)
dy
dt
g(t, x, y).
8QDsoluciónGHXQVLVWHPDWDOFRPRHOGHODHFXDFLyQ HVXQSDUGHIXQFLRQHVGHULYDEOHVx 1(t), y 2(t GH¿QLGDVVREUHXQLQWHUYDORFRP~QITXHVDWLVIDFHFDGD
HFXDFLyQGHOVLVWHPDVREUHHVWHLQWHUYDOR
COMENTARIOS
i 3RGUtDQRVHUHYLGHQWHVLXQD('2GHSULPHURUGHQHVFULWDHQVXIRUPDGLIHUHQFLDOM(x, y)dx + N (x, y)dy HVOLQHDORQROLQHDOSRUTXHQRKD\QDGDHQHVWD
IRUPDTXHQRVLQGLFDTXHVtPERORGHQRWDDODYDULDEOHGHSHQGLHQWH9pDQVHORV
SUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV
ii 9HUHPRVHQORVFDStWXORVVLJXLHQWHVTXHXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGHLPSOLFDUXQDIXQFLyQGDGDSRUXQDLQWHJUDOGH¿QLGD8QDPDQHUDGH
GH¿QLUXQDIXQFLyQFGHXQDVRODYDULDEOHxSRUPHGLRGHXQLQWHJUDOGH¿QLGDHV
F(x) 5
x
# g(t) dt.
(11)
a
6LHOLQWHJUDQGRgHQ HVFRQWLQXDVREUHXQLQWHUYDOR>a, b] \D”[”b,HQWRQFHVODIRUPDGHGHULYDGDGHO7HRUHPD)XQGDPHQWDOGHOFiOFXORGLFHTXHFHV
GHULYDEOHVREUH a, b \
F9(x) 5
d
dx
x
# g(t) dt 5 g(x)
(12)
a
/DLQWHJUDOHQ DPHQXGRHVno elementalHVGHFLUXQDLQWHJUDOGHXQDIXQFLyQgTXHQRWLHQHXQDIXQFLyQHOHPHQWDOSULPLWLYD/DVIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV
VRQODVIXQFLRQHVFRQRFLGDVHVWXGLDGDVHQXQFXUVRGHSUHFiOFXORWtSLFR
constante, polinomial, racional, exponencial, logarítmica, trigonométrica, y funciones trigonométricas inversas,
DVtFRPRSRWHQFLDVUDFLRQDOHVGHHVWDVIXQFLRQHVFRPELQDFLRQHV¿QLWDVGHHVWDV
IXQFLRQHVPHGLDQWHVXPDUHVWDPXOWLSOLFDFLyQGLYLVLyQ\FRPSRVLFLyQGHIXQ2
FLRQHV3RUHMHPSORDXQTXH e2t ,Ï1 1 t3, \ cos t2 VRQIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV
2
2t
ODVLQWHJUDOHV ee dt, eÏ1 1 t3 dt, \ e cos t2 dt VRQQRHOHPHQWDOHV9pDQVH
ORVSUREOHPDVDGHORV(MHUFLFLRV7DPELpQYpDVHHODSpQGLFH$
iii $XQTXHHOFRQFHSWRGHXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOKDVLGRVXEUD\DGRHQHVWDVHFFLyQKD\TXHVHUFRQVFLHQWHVTXHXQD('QRQHFHVDULDPHQWH
WLHQHXQDVROXFLyQ9pDVHHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV/DFXHVWLyQGHVL
H[LVWHXQDVROXFLyQVHUiWUDWDGDHQODVLJXLHQWHVHFFLyQ
iv) $OJXQRVFRPHQWDULRV¿QDOHVUHVSHFWRDODVVROXFLRQHVLPSOtFLWDVGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV(QHOHMHPSORSXGLPRVGHVSHMDUIiFLOPHQWHODUHODFLyQ
x 2 y 2 SDUDyHQWpUPLQRVGHxSDUDREWHQHUODVGRVVROXFLRQHVH[SOtFLWDV
12
CAPÍTULO 1
O
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1(x) 125 x2 \2(x) 125 x2GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO 3HUR
QRGHEHPRVHQJDxDUQRVFRQHVWH~QLFRHMHPSOR$PHQRVTXHVHDIiFLORLPSRUWDQWHRTXHVHOHLQGLTXHHQJHQHUDOQRHVQHFHVDULRWUDWDUGHGHVSHMDUyH[SOt
FLWDPHQWHHQWpUPLQRVGHxGHXQDVROXFLyQLPSOtFLWDG(x, y) 7DPSRFRGHEHPRVPDOLQWHUSUHWDUHOHQXQFLDGRSRVWHULRUDODGH¿QLFLyQ8QDVROXFLyQ
LPSOtFLWDG(x, y) SXHGHGH¿QLUSHUIHFWDPHQWHELHQDXQDIXQFLyQGHULYDEOH
TXHHVXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDODXQTXHQRVHSXHGDUHVROYHU
G(x, y) FRQPpWRGRVDQDOtWLFRVFRPRORVDOJHEUDLFRV/DFXUYDVROXFLyQGH
SXHGHVHUXQWUDPRRSDUWHGHODJUi¿FDGHG(x, y) 9pDQVHORVSUREOHPDV
\HQORVHMHUFLFLRV7DPELpQOHDHODQiOLVLVVLJXLHQWHDOHMHPSORGH
ODVHFFLyQ
v 3DUHFHUtDSRFRLPSRUWDQWHVXSRQHUTXHF(x, y, y, . . . , y (n)) VHSXHGHUHVROYHUSDUDy(n)SHURKD\TXHVHUFXLGDGRVRFRQHVWR([LVWHQH[FHSFLRQHV\KD\
UHDOPHQWHDOJXQRVSUREOHPDVFRQHFWDGRVFRQHVWDVXSRVLFLyQ9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV
vi) 6L toda VROXFLyQ GH XQD ('2 GH npVLPR RUGHQ F(x, y, y,…, y(n)) = 0
VREUH XQ LQWHUYDOR I VH SXHGH REWHQHU D SDUWLU GH XQD IDPLOLD nSDUiPHWURV
G(x, y, c1, c2,…, cn HOLJLHQGRDSURSLDGDPHQWHORVSDUiPHWURVci, i = 1, 2, …,
nHQWRQFHVGLUHPRVTXHODIDPLOLDHVOD solución generalGHOD('$OUHVROYHU
('2OLQHDOHVLPSRQHPRVDOJXQDVUHVWULFFLRQHVUHODWLYDPHQWHVLPSOHVHQORVFRH¿FLHQWHVGHODHFXDFLyQFRQHVWDVUHVWULFFLRQHVSRGHPRVDVHJXUDUQRVyORTXH
H[LVWHXQDVROXFLyQVREUHXQLQWHUYDORVLQRWDPELpQTXHXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHV
SURGXFH WRGDV ODV SRVLEOHV VROXFLRQHV /DV ('2 QR OLQHDOHV FRQ H[FHSFLyQ GH
DOJXQDVHFXDFLRQHVGHSULPHURUGHQVRQQRUPDOPHQWHGLItFLOHVRLPSRVLEOHVGH
UHVROYHUHQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV$GHPiVVLREWHQHPRVXQDIDPLOLD
GHVROXFLRQHVSDUDXQDHFXDFLyQQROLQHDOQRHVREYLRVLODIDPLOLDFRQWLHQHWRGDV
ODVVROXFLRQHV(QWRQFHVDQLYHOSUiFWLFRODGHVLJQDFLyQGH³VROXFLyQJHQHUDO´VH
DSOLFDVyORDODV('2OLQHDOHV(VWHFRQFHSWRVHUiUHWRPDGRHQODVHFFLyQ\HQ
HOFDStWXOR
EJERCICIOS 1.1
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1.
(QORVSUREOHPDVHVWDEOH]FDHORUGHQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGDGD'HWHUPLQHVLODHFXDFLyQHVOLQHDORQR
OLQHDOFRPSDUDQGRFRQODHFXDFLyQ x)y
4xy
1.
(1
2.
d3y
x 3
dx
3.
t 5y(4)
4.
d 2u
dr 2
du
dr
5.
d 2y
dx 2
1
6.
d 2R
dt 2
dy
dx
k
R2
0
6y
u
0
cos(r
2
x
0
u)
9. (y 2 1) dx x dy HQyHQx
10. u dv
dy
dx
.
x2 .
x
3
1
2
(QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHVLODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
GDGDGHSULPHURUGHQHVOLQHDOHQODYDULDEOHGHSHQGLHQWHLQGLFDGDDODMXVWDUpVWDFRQODSULPHUDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD
HQ 4
t 3y
8. ẍ
(cos )y
cos x
5y
y
7. (sen )y
(v
uv
ue u) du
0; en v; en u
(QORVSUREOHPDVGHOFRPSUXHEHTXHODIXQFLyQLQGLFDGD
HVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD7RPH
XQLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQDSURSLDGRSDUDFDGDVROXFLyQ
11. 2y y y e x/2
1.1
dy
6 6 20t
20y 24; y
e
dt
5 5
13. y 6y 13y y e 3xFRVx
(QORVSUREOHPDVFRPSUXHEHTXHODIXQFLyQLQGLFDGD
y (x HVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
GDGDGHSULPHURUGHQ3URFHGDFRPRHQHOHMHPSORFRQVLGHUDGRD VLPSOHPHQWHFRPRXQDfunción\GpVXGRPLQLR
/XHJRFRQVLGHUHD FRPRXQDsoluciónGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\GpDOPHQRVXQLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQ
y
8; y
x
4 x
x
30. (Q HO HMHPSOR YLPRV TXH y ␾1(x) 125 x2
\ y 2(x) 125 x2 VRQVROXFLRQHVGHdydx xyVREUHHOLQWHUYDOR ([SOLTXHSRUTXpODIXQFLyQGH¿QLGDHQWUDPRV
2
(QORVSUREOHPDV\FRPSUXHEHTXHODH[SUHVLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD
GH SULPHU RUGHQ (QFXHQWUH DO PHQRV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD
y (x HQFDGDFDVR8WLOLFHDOJXQDDSOLFDFLyQSDUDWUD]DU
JUi¿FDVSDUDREWHQHUODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQH[SOtFLWD'p
XQLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQGHFDGDVROXFLyQ .
2X
2X); ln
X
1)(1
1
1
t
20. 2xy dx (x 2 y) dy 2x 2y y 2 1
(QORVSUREOHPDVFRPSUXHEHTXHODIDPLOLDGHIXQFLRQHV
LQGLFDGDHVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD6XSRQJD
XQLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQDGHFXDGRSDUDFDGDVROXFLyQ
c1et
21. dP P(1 P); P
dt
1 c1et
dy
1 4xy 5 8x3;
dx
2
23. d y 4 dy 4y
dx2
dx
3
d y
d 2y
24. x3 3 2x2 2
dx
dx
22.
c1x
y
1
c2 x
y 5 2x2 2 1 1 c1e22x
c1e2x
0; y
x
dy
dx
2
c2 xe2x
12x2;
y
4x
(QORVSUREOHPDVXWLOLFH SDUDFRPSUREDUTXHODIXQFLyQ LQGLFDGD HV XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD
6XSRQJDXQLQWHUYDORDGHFXDGRGHGH¿QLFLyQGHFDGDVROXFLyQ
25. dy
x
dx
2 3xy 5 1; y 5 e3x
26. 2x dy 2 y 5 2x cos x;
dx
27. x2
x
#
1
x
# cosÏtt dt
4
dy
5 10
1 xy 5 10 sen x; y 5 1
x
x
dx
dy
28. 1 2xy 5 1; y 5 e2x2 1 e2x2
dx
x
x
#
1
# e dt
0
t2
x
x
0
5
31. y 2y 0
32. 5y 2y
33. y 5y 6y 0
34. 2y 7y 4y 0
(QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHORVYDORUHVGHmSDUDTXHOD
IXQFLyQy xmVHDXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD
35. xy 2y 0
36. x2y 7xy 15y 0
(Q ORV SUREOHPDV GHO HPSOHH HO FRQFHSWR GH TXH y c,
x HVXQDIXQFLyQFRQVWDQWHVL\VyORVLy SDUDGHWHUPLQDUVLODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDWLHQHVROXFLRQHVFRQVWDQWHV
37. 3xy 5y 10
38. y y 2 2y 3
39. (y 1)y 1
40. y 4y 6y 10
(QORVSUREOHPDV\FRPSUXHEHTXHHOSDUGHIXQFLRQHV
TXHVHLQGLFDHVXQDVROXFLyQGHOVLVWHPDGDGRGHHFXDFLRQHV
GLIHUHQFLDOHVVREUHHOLQWHUYDOR , ).
sen t
dt
t
x
e
2
42. d x
dt 2
3y
dy
5x
dt
x e 2t
y
e23t
dt
t
y 5 Ïx
5
0
(QORVSUREOHPDVGHWHUPLQHORVYDORUHVGHmSDUDTXHOD
IXQFLyQy emxVHDXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD
41. dx
dt
2
c3 x ln x
x2 ,
x2,
noHVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHHOLQWHUYDOR 5, 5).
18. 2y y 3FRVx y (1 VHQx)1/2
(X
25
25
y
17. y 2xy 2 y 1(4 x 2)
0
0
HVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOxy 2y 0
VREUH , ).
16. y 25 y 2 y WDQx
dX
19.
dt
x2, x
x2, x
y
14. y y WDQx y FRVx OQ VHFx WDQx)
x)y
13
O
29. &RPSUXHEHTXHODIXQFLyQGH¿QLGDHQWUDPRV
12.
15. ( y
DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA
3y;
3e6t,
2t
5e6t
4y
d 2y
4x
dt 2
x cos 2t
y
cos 2t
et
et;
sen 2 t
sen 2 t
1
5
et,
1
5
et
Problemas para analizar
43. &RQVWUX\DXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHQRWHQJDDOJXQD
VROXFLyQUHDO
44. &RQVWUX\DXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHHVWpVHJXURTXHVRODPHQWHWLHQHODVROXFLyQWULYLDOy ([SOLTXHVXUD]RQDPLHQWR
14
O
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
45. ¢4XpIXQFLyQFRQRFHGHFiOFXORFX\DSULPHUDGHULYDGDVHD
HOODPLVPD"¢6XSULPHUDGHULYDGDHVXQP~OWLSORFRQVWDQWH
k GH Vt PLVPD" (VFULED FDGD UHVSXHVWD HQ IRUPD GH XQD
HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQFRQXQDVROXFLyQ
WDQJHQWHTXHHVYHUWLFDOD\XGDDGHWHUPLQDUXQLQWHUYDOR
I GHGH¿QLFLyQGHXQDVROXFLyQ GHOD('"(ODERUHVXV
LGHDV\FRPSDUHFRQVXVHVWLPDFLRQHVGHORVLQWHUYDORVHQ
HOSUREOHPD
46. ¢4XpIXQFLyQ RIXQFLRQHV GHFiOFXORFRQRFHFX\DVHJXQGD
GHULYDGDVHDHOODPLVPD"¢6XVHJXQGDGHULYDGDHVODQHJDWLYDGHVtPLVPD"(VFULEDFDGDUHVSXHVWDHQIRUPDGHXQD
HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQFRQXQDVROXFLyQ
53. (QHOHMHPSORHOLQWHUYDORIPiVJUDQGHVREUHHOFXDOODV
VROXFLRQHVH[SOtFLWDVy 1(x \y 2(x VHHQFXHQWUDQ
GH¿QLGDV HV HO LQWHUYDOR DELHUWR ¢3RU TXp I QR
SXHGHVHUHOLQWHUYDORFHUUDGRI GH¿QLGRSRU>@"
47. 'DGRTXHy VHQxHVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQ
dy
GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ
11 y2 HQFXHQWUH
dx
XQLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQI>Sugerencia: I noHVHOLQWHUYDOR , ).]
54. (Q HO SUREOHPD VH GD XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD GH
VROXFLRQHVGHOD('P P(1P ¢&XDOTXLHUFXUYDVROXFLyQSDVDSRUHOSXQWR "¢<SRUHOSXQWR "
48. $QDOLFHSRUTXpLQWXLWLYDPHQWHVHVXSRQHTXHODHFXDFLyQ
GLIHUHQFLDOOLQHDOy 2y 4y VHQtWLHQHXQDVROXFLyQGHODIRUPDy AVHQt BFRVtGRQGHA\BVRQ
FRQVWDQWHV'HVSXpVGHWHUPLQHODVFRQVWDQWHVHVSHFt¿FDV
A\BWDOHVTXHy AVHQt BFRVtHVXQDVROXFLyQ
SDUWLFXODUGHOD('
(QORVSUREOHPDV49\50OD¿JXUDGDGDUHSUHVHQWDODJUi¿FDGH
XQDVROXFLyQLPSOtFLWDG(x, y) GHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
dydx f (x, y (QFDGDFDVRODUHODFLyQG(x, y) GH¿QH
LPSOtFLWDPHQWHYDULDVVROXFLRQHVGHOD('5HSURGX]FDFXLGDGRVDPHQWHFDGD¿JXUDHQXQDKRMD8VHOiSLFHVGHGLIHUHQWHV
FRORUHV SDUD VHxDODU ORV VHJPHQWRV R WUDPRV GH FDGD JUi¿FD
TXHFRUUHVSRQGDDODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHV5HFXHUGHTXH
XQD VROXFLyQ GHEH VHU XQD IXQFLyQ \ VHU GHULYDEOH 8WLOLFH
OD FXUYD VROXFLyQ SDUD HVWLPDU XQ LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ I
GHFDGDVROXFLyQ.
49.
y
y
50.
1
1
1
1
x
x
FIGURA 1.1.6 *Ui¿FD
SDUDHOSUREOHPD
56. /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOx(y)2 4y 12x3 WLHQHOD
IRUPDGDGDHQODHFXDFLyQ 'HWHUPLQHVLODHFXDFLyQ
VHSXHGHSRQHUHQVXIRUPDQRUPDOdydx f (x, y).
57. /D IRUPD QRUPDO GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH
npVLPRRUGHQHVHTXLYDOHQWHDODHFXDFLyQ VLODVGRV
IRUPDVWLHQHQH[DFWDPHQWHODVPLVPDVVROXFLRQHV)RUPH
XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQSDUDODTXHF(x,
y, y) QRVHDHTXLYDOHQWHDODIRUPDQRUPDOdydx f (x, y).
58. 'HWHUPLQH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH VHJXQGR RUGHQ
F(x, y, y, y) SDUDODFXDOy c1x c 2x 2HVXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURV$VHJ~UHVHGHTXHVX
HFXDFLyQHVWpOLEUHGHORVSDUiPHWURVc1\c2.
$PHQXGRVHSXHGHREWHQHULQIRUPDFLyQFXDOLWDWLYDVREUH
XQDVROXFLyQy (x GHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOD
HFXDFLyQPLVPD$QWHVGHWUDEDMDUFRQORVSUREOHPDV±
UHFXHUGH HO VLJQL¿FDGR JHRPpWULFR GH ODV GHULYDGDV
dydx\d 2ydx 2.
dy
2
59. &RQVLGHUHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO e<[࣠ .
dx
a) ([SOLTXHSRUTXpXQDVROXFLyQGHOD('GHEHVHUXQDIXQFLyQFUHFLHQWHVREUHFXDOTXLHULQWHUYDORGHOHMHGHODVx.
b) ¢$TXpVRQLJXDOHV" lLm dydx y lLm dydx ¢4Xp
x
FIGURA 1.1.7 *Ui¿FD
SDUDHOSUREOHPD
51. /DVJUi¿FDVGHORVPLHPEURVGHXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFD x3 y3 3cxy VH OODPDQ folium de Descartes.
&RPSUXHEHTXHHVWDIDPLOLDHVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGH
ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQ
dy
dx
55. $QDOLFH\PXHVWUHFRQHMHPSORVFyPRUHVROYHUHFXDFLRQHV
GLIHUHQFLDOHVGHODVIRUPDVdydx f (x \G࣠2ydx 2 f (x).
y( y3 2x3)
x(2y3 x3)
52. /D JUi¿FD GH OD ¿JXUD HV HO PLHPEUR GH OD IDPLOLD GHO IROLXP GHO SUREOHPD FRUUHVSRQGLHQWH Dc = 1.
$QDOLFH¢FyPRSXHGHOD('GHOSUREOHPDD\XGDUDGHWHUPLQDUORVSXQWRVGHODJUi¿FDGHx3 y3 3xyGRQGHOD
UHFWDWDQJHQWHHVYHUWLFDO"¢&yPRVDEHUGyQGHXQDUHFWD
x
OH VXJLHUH HVWR UHVSHFWR D XQD FXUYD VROXFLyQ FRQIRUPHx : "
c) '
HWHUPLQH XQ LQWHUYDOR VREUH HO FXDO XQD VROXFLyQ
FXUYDHVFyQFDYDKDFLDDEDMR\VREUHHOFXDOODFXUYD
HVFyQFDYDHQXQLQWHUYDOR
d) %RVTXHMH OD JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ y (x GH OD
HFXDFLyQGLIHUHQFLDOFX\DIRUPDVHVXJLHUHHQORVLQFLVRVD DOF 60. &RQVLGHUHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdydx ±y.
a) <DVHDSRULQVSHFFLyQRDWUDYpVGHOPpWRGRTXHVH
VXJLHUHHQORVSUREOHPDVDHQFXHQWUHXQDVROXFLyQFRQVWDQWHGHOD('
b) 8WLOL]DQGR VyOR OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GHWHUPLQH ORV
LQWHUYDORV VREUH HO HMH y HQ ORV TXH XQD VROXFLyQ QR
FRQVWDQWHy (x VHDFUHFLHQWH'HWHUPLQHORVLQWHUYDORVVREUHHOHMHyHQORVFXDOHVy (x HVGHFUHFLHQWH
1.2
PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
O
15
b) 'HVFULED OD JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ y (x 3RU
HMHPSOR¢SXHGHXQDFXUYDVROXFLyQWHQHUXQH[WUHPR
UHODWLYR"
c) (
[SOLTXH SRU TXp y HV OD FRRUGHQDGD y GH XQ
SXQWRGHLQÀH[LyQGHXQDFXUYDVROXFLyQ
d) 7UDFHODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQy (x GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFX\DIRUPDVHVXJLHUHHQORVLQFLVRV
D DOF 61. &RQVLGHUH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dydx y(a ± by),
GRQGHa\bVRQFRQVWDQWHVSRVLWLYDV
a) <DVHDSRULQVSHFFLyQRDWUDYpVGHOPpWRGRTXHVH
VXJLHUHHQORVSUREOHPDVDGHWHUPLQHGRVVROXFLRQHVFRQVWDQWHVGHOD('
b) 8VDQGRVyORODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHWHUPLQHORVLQWHUYDORVVREUHHOHMHyHQORVTXHXQDVROXFLyQQRFRQVWDQWHy (x HVFUHFLHQWH'HWHUPLQHORVLQWHUYDORV
VREUHORVTXHy (x HVGHFUHFLHQWH
c) 8
WLOL]DQGRVyORODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOH[SOLTXHSRUTXp
y a2bHVODFRRUGHQDGDyGHXQSXQWRGHLQÀH[LyQGH
ODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQQRFRQVWDQWHy (x).
d) (QORVPLVPRVHMHVFRRUGHQDGRVWUDFHODVJUi¿FDVGH
ODV GRV VROXFLRQHV FRQVWDQWHV HQ HO LQFLVR D (VWDV
VROXFLRQHVFRQVWDQWHVSDUWHQHOSODQRxyHQWUHVUHJLRQHV(QFDGDUHJLyQWUDFHODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQ
QRFRQVWDQWHy (x FX\DIRUPDVHVXJLHUHSRUORV
UHVXOWDGRVGHORVLQFLVRVE \F Tarea para el laboratorio de computación
(QORVSUREOHPDV\XVHXQ&$6 SRUVXVVLJODVHQLQJOpV
6LVWHPD$OJHEUDLFR&RPSXWDFLRQDO SDUDFDOFXODUWRGDVODV
GHULYDGDV\UHDOLFHODVVLPSOL¿FDFLRQHVQHFHVDULDVSDUDFRPSUREDUTXHODIXQFLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH
ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
63. y (4) 20y 158y 580y 841y y xe 5xFRVx
62. &RQVLGHUHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOy y2 4.
a) ([SOLTXHSRUTXpQRH[LVWHQVROXFLRQHVFRQVWDQWHVGH
ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
64. x3y 2x2y 20xy 78y 0;
sen(5 ln x)
cos(5 ln x)
3
y 20
x
x
1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
INTRODUCCIÓN &RQIUHFXHQFLDQRVLQWHUHVDQSUREOHPDVHQORVTXHEXVFDPRVXQDVROXFLyQy(x GH
XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQODTXHTXHy(x VDWLVIDFHFRQGLFLRQHVSUHVFULWDVHVGHFLUFRQGLFLRQHVLPSXHVWDV
VREUHXQDy(x GHVFRQRFLGDRVXVGHULYDGDVVREUHDOJ~QLQWHUYDORITXHFRQWLHQHDx0HOSUREOHPDGHUHVROYHU
XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHnpVLPRRUGHQVXMHWRDODVnFRQGLFLRQHVTXHORDFRPSDxDQHVSHFL¿FDGDVHQx0
Resolver::
d ny
dxn
Sujeto a:
y(x0)
f x, y, y , . . . , y(n
y0, y (x0)
1)
y1, . . . , y(n
(1)
1)
(x0)
yn 1,
GRQGHy 0, y1, . . . , yn1VRQFRQVWDQWHVUHDOHVDUELWUDULDVGDGDVVHOODPDproblema con valores iniciales
(PVI) en n-ésimo orden /RV YDORUHV GH y(x \ GH VXV SULPHUDV n ± GHULYDGDV HQ XQ VROR SXQWR x 0,
y(x 0) y 0, y(x 0) y1, . . . , y (n1)(x 0) yn1VHOODPDQcondiciones iniciales (CI).
5HVROYHUXQSUREOHPDGHYDORULQLFLDOGHnpVLPRRUGHQWDOFRPR FRQIUHFXHQFLDLPSOLFDHQFRQWUDU
SULPHURXQDIDPLOLDnSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD\OXHJRXVDUODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVHQx0SDUDGHWHUPLQDUODVnFRQVWDQWHVHQHVWDIDPLOLD/DVROXFLyQSDUWLFXODUUHVXOWDQWHHVWi
GH¿QLGDVREUHDOJ~QLQWHUYDORITXHFRQWLHQHHOSULPHUSXQWRx0.
y
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS PVI /RVFDVRVn \n HQ soluciones de la ED
Resolver::
Sujeto a:
(x0, y0)
\
I
FIGURA 1.2.1
x
&XUYDVROXFLyQGHO
39,GHSULPHURUGHQ
y
Resolver:
Sujeto a:
dy
f (x, y)
dx
y(x0) y0
d 2y
dx 2
y(x0)
(2)
f (x, y, y )
y0, y (x0)
(3)
y1
16
O
y
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
soluciones de la ED
m = y1
(x0, y0)
x
I
FIGURA 1.2.2 &XUYDVROXFLyQGHO
39,GHVHJXQGRRUGHQ
y
(0, 3)
VRQSUREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHprimer\segundo ordenUHVSHFWLYDPHQWH(VWRV
GRVSUREOHPDVVRQIiFLOHVGHLQWHUSUHWDUHQWpUPLQRVJHRPpWULFRV3DUDODHFXDFLyQ HVWDPRVEXVFDQGRXQDVROXFLyQy(x GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOy f(x, y VREUHXQLQWHUYDOR
ITXHFRQWHQJDDx0GHIRUPDTXHVXJUi¿FDSDVHSRUHOSXQWRGDGR x0, y0 (QOD¿JXUD
VHPXHVWUDHQD]XOXQDFXUYDVROXFLyQ3DUDODHFXDFLyQ TXHUHPRVGHWHUPLQDUXQD
VROXFLyQy(x GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOy f (x, y, y VREUHXQLQWHUYDORITXHFRQWHQJD
Dx0GHWDOPDQHUDTXHVXJUi¿FDQRVyORSDVHSRUHOSXQWRGDGR x0, y0 VLQRTXHWDPELpQ
ODSHQGLHQWHDODFXUYDHQHVHSXQWRVHDHOQ~PHURy1(QOD¿JXUDVHPXHVWUDHQ
D]XOXQDFXUYDVROXFLyQ/DVSDODEUDVcondiciones inicialesVXUJHQGHORVVLVWHPDVItVLFRV
GRQGHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHVHOWLHPSRt\GRQGHy(t0) y0\y(t0) y1UHSUHVHQWDQ
ODSRVLFLyQ\ODYHORFLGDGUHVSHFWLYDPHQWHGHXQREMHWRDOFRPLHQ]RRDOWLHPSRLQLFLDOt0.
EJEMPLO 1 Dos PVI de primer orden
a) (QHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRVVHOHSLGLyTXHGHGXMHUDTXHy cexHVXQD
IDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGHSULPHURUGHQy y7RGDVODV
VROXFLRQHVHQHVWDIDPLOLDHVWiQGH¿QLGDVVREUHHOLQWHUYDOR , 6LLPSRQHPRVXQD
FRQGLFLyQLQLFLDOGLJDPRVy(0) HQWRQFHVDOVXVWLWXLUx 0, y HQODIDPLOLDVH
GHWHUPLQDODFRQVWDQWH ce0 cSRUORTXHy 3e xHVXQDVROXFLyQGHO39,
y y, y(0) 3.
x
(1, −2)
FIGURA 1.2.3 &XUYDVVROXFLyQ39,
GHOHMHPSOR
b)$KRUDVLKDFHPRVTXHODFXUYDVROXFLyQSDVHSRUHOSXQWR HQOXJDUGH HQWRQFHVy(1) VHREWHQGUi2 ceRc 2e1(QHVWHFDVRy 2e x1HV
XQDVROXFLyQGHO39,
y y, y(1) 2.
(QOD¿JXUDVHPXHVWUDQHQD]XORVFXUR\HQURMRRVFXURODVGRVFXUYDVVROXFLyQ
y
(OVLJXLHQWHHMHPSORPXHVWUDRWURSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHSULPHURUGHQ(Q
HVWHHMHPSORREVHUYHFyPRHOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQIGHODVROXFLyQy(x GHSHQGHGH
ODFRQGLFLyQLQLFLDOy(x0) y0.
EJEMPLO 2 Intervalo I GHGH¿QLFLyQGHXQDVROXFLyQ
−1
1
x
a) función definida para toda x excepto
en x = ±1
y
−1
1 x
(0, −1)
b) solución definida sobre el intervalo
que contiene x = 0
FIGURA 1.2.4 *Ui¿FDVVREUHOD
IXQFLyQ\GHODVROXFLyQGHO39,GHO
HMHPSOR
(QHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRVVHOHSHGLUiPRVWUDUTXHXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQy 2xy2 HVy 1(x2 c 6LHVWDEOHFHPRVODFRQGLFLyQLQLFLDOy(0) HQWRQFHVDOVXVWLWXLUx \
y HQODIDPLOLDGHVROXFLRQHVVHREWLHQH1 1cRc $Vty 1(x21).
$KRUDHQIDWL]DPRVODVVLJXLHQWHVWUHVGLIHUHQFLDV
• &RQVLGHUDGDFRPRXQDfunciónHOGRPLQLRGHy 1(x2 HVHOFRQMXQWRGH
WRGRVORVQ~PHURVUHDOHVxSDUDORVFXDOHVy(x HVWiGH¿QLGDH[FHSWRHQx \
HQx 9HDOD¿JXUD D • &RQVLGHUDGD FRPR XQD solución de la ecuación diferencial y 2xy2 0,
HOLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQGHy 1(x2 SRGUtDWRPDUVHFRPRFXDOTXLHU
LQWHUYDORVREUHHOFXDOy(x HVWiGH¿QLGD\HVGHULYDEOH&RPRVHSXHGHYHUHQ
OD¿JXUD D ORVLQWHUYDORVPiVODUJRVHQORVTXHy 1(x2 HVXQD
VROXFLyQVRQ , 1), ( \ ).
• &RQVLGHUDGDFRPRuna solución del problema con valores iniciales y 2xy2
0, y(0) HO LQWHUYDOR I GH GH¿QLFLyQ GH y 1(x2 SRGUtD VHU
FXDOTXLHULQWHUYDORVREUHHOFXDOy(x HVWiGH¿QLGDHVGHULYDEOH\FRQWLHQHDO
SXQWRLQLFLDOx HOLQWHUYDORPiVODUJRSDUDHOFXDOHVWRHVYiOLGRHV 1, 1).
9HDODFXUYDURMDHQOD¿JXUD E 9pDQVHORVSUREOHPDVDHQORVHMHUFLFLRVSDUDFRQWLQXDUFRQHOHMHPSOR
EJEMPLO 3 PVI de segundo orden
(QHOHMHPSORGHODVHFFLyQYLPRVTXHx c1FRVt c2VHQtHVXQDIDPLOLDGH
VROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVGHx 16x 'HWHUPLQHXQDVROXFLyQGHOSUREOHPD
FRQYDORUHVLQLFLDOHV
1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
x 16x 0,
x
O
2 2, x2 1.
17
(4)
SOLUCIÓN 3ULPHUR DSOLFDPRV x(ʌ2) HQ OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV
c1 FRVʌ c2VHQʌ 3XHVWRTXHFRVʌ \VHQʌ HQFRQWUDPRVTXH
c1 'HVSXpVDSOLFDPRVx(ʌ2) HQODIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHV
x(t) FRVt c2VHQt'HULYDQGR\GHVSXpVKDFLHQGRt ʌ\x VHRE1
WLHQH VHQ ʌ 4c2 FRVʌ D SDUWLU GH OR FXDO YHPRV TXH c2 4 3RU WDQWR
1
x 2 cos 4t 4 sen 4t HVXQDVROXFLyQGH EXISTENCIA Y UNICIDAD $OFRQVLGHUDUXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVVXUJHQGRVLPSRUWDQWHVSUHJXQWDV
¿Existe la solución del problema?
Si existe la solución, ¿es única?
3DUDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHODHFXDFLyQ SHGLPRV
Existencia
ecuación diferencial dydx f (x, y) tiene soluciones?
{¿La
¿Alguna de las curvas solución pasa por el punto (x , y "
podemos estar seguros de que hay precisamente una
{¿Cuándo
curva solución que pasa por el punto (x , y "
0
Unicidad
0
0
0
2EVHUYHTXHHQORVHMHPSORV\VHXVDODIUDVH³unaVROXFLyQ´HQOXJDUGH³laVROXFLyQ´GHOSUREOHPD(ODUWtFXORLQGH¿QLGR³XQD´VHXVDGHOLEHUDGDPHQWHSDUDVXJHULUOD
SRVLELOLGDGGHTXHSXHGHQH[LVWLURWUDVVROXFLRQHV+DVWDHOPRPHQWRQRVHKDGHPRVWUDGRTXHH[LVWHXQD~QLFDVROXFLyQGHFDGDSUREOHPD(OHMHPSORVLJXLHQWHPXHVWUDXQ
SUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVFRQGRVVROXFLRQHV
EJEMPLO 4 Un PVI puede tener varias soluciones
y y 5 x 4 /16
&DGDXQDGHODVIXQFLRQHVy 0\y 161 x4 VDWLVIDFHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdydx xy 1/2
\ODFRQGLFLyQLQLFLDOy(0) SRUORTXHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV
1
y50
(0, 0)
x
FIGURA 1.2.5 'RVFXUYDVVROXFLyQ
GHOPLVPR39,HQHOHMHPSOR
dy
xy1/2,
dx
y(0) 0
WLHQHDOPHQRVGRVVROXFLRQHV&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDODVJUi¿FDVGHODV
GRVVROXFLRQHVSDVDQSRUHOPLVPRSXQWR 'HQWURGHORVOtPLWHVGHVHJXULGDGGHXQFXUVRIRUPDOGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVXQR
SXHGHFRQ¿DUHQTXHODmayoríaGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVWHQGUiQVROXFLRQHV\TXH
ODVVROXFLRQHVGHORVSUREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHVprobablementeVHUiQ~QLFDV6LQ
HPEDUJRHQODYLGDUHDOQRHVDVt3RUORWDQWRDQWHVGHWUDWDUGHUHVROYHUXQSUREOHPD
FRQYDORUHVLQLFLDOHVHVGHVHDEOHVDEHUVLH[LVWHXQDVROXFLyQ\FXDQGRDVtVHDVLpVWDHV
OD~QLFDVROXFLyQGHOSUREOHPD3XHVWRTXHYDPRVDFRQVLGHUDUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV
GHSULPHURUGHQHQORVGRVFDStWXORVVLJXLHQWHVHVWDEOHFHUHPRVDTXtVLQGHPRVWUDUORXQ
WHRUHPDGLUHFWRTXHGDODVFRQGLFLRQHVVX¿FLHQWHVSDUDJDUDQWL]DUODH[LVWHQFLD\XQLFLGDG
GHXQDVROXFLyQGHXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHSULPHURUGHQGHODIRUPDGDGDHQ
ODHFXDFLyQ (VSHUDUHPRVKDVWDHOFDStWXORSDUDUHWRPDUODSUHJXQWDGHODH[LVWHQFLD
\XQLFLGDGGHXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQ
TEOREMA 1.2.1 Existencia de una solución única
3HQVHPRV HQ R FRPR XQD UHJLyQ UHFWDQJXODU HQ HO SODQR xy GH¿QLGD SRU
a x b, c y dTXHFRQWLHQHDOSXQWR x0, y0 HQVXLQWHULRU6Lf (x, y)
\ ,f,y VRQ FRQWLQXDV VREUH R HQWRQFHV H[LVWH DOJ~Q LQWHUYDOR I 0 x 0 h,
x 0 h), h FRQWHQLGRHQ>a, b@\XQDIXQFLyQ~QLFDy(x GH¿QLGDVREUHI0,
TXHHVXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV 18
CAPÍTULO 1
O
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
(OUHVXOWDGRDQWHULRUHVXQRGHORVWHRUHPDVGHH[LVWHQFLD\XQLFLGDGPiVSRSXODUHVSDUDHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHSULPHURUGHQ\DTXHHOFULWHULRGHFRQWLQXLGDGGH
f (x, y \GH,f,yHVUHODWLYDPHQWHIiFLOGHFRPSUREDU(QOD¿JXUDVHPXHVWUDOD
JHRPHWUtDGHOWHRUHPD
y
d
R
EJEMPLO 5 Revisión del ejemplo 4
(x0 , y0)
c
a
I0
b x
FIGURA 1.2.6 5HJLyQUHFWDQJXODUR.
&RPRYLPRVHQHOHMHPSORODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdydx xy 1/2WLHQHDOPHQRVGRV
VROXFLRQHVFX\DVJUi¿FDVSDVDQSRUHOSXQWR $QDOL]DQGRODVIXQFLRQHV
f
x
f (x, y) xy1/2
y
y 2y1/2
YHPRVTXHVRQFRQWLQXDVHQODPLWDGVXSHULRUGHOSODQRGH¿QLGRSRUy 3RUWDQWRHO
WHRUHPDQRVSHUPLWHFRQFOXLUTXHDWUDYpVGHFXDOTXLHUSXQWR x0, y0), y0 HQOD
PLWDGVXSHULRUGHOSODQRH[LVWHDOJ~QLQWHUYDORFHQWUDGRHQx0HQHOFXDOODHFXDFLyQ
GLIHUHQFLDOGDGDWLHQHXQDVROXFLyQ~QLFD$VtSRUHMHPSORD~QVLQUHVROYHUODVDEHPRV
TXHH[LVWHDOJ~QLQWHUYDORFHQWUDGRHQVREUHHOFXDOHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV
dydx xy1/2, y(2) WLHQHXQDVROXFLyQ~QLFD
(QHOHMHPSORHOWHRUHPDJDUDQWL]DTXHQRKD\RWUDVVROXFLRQHVGHORVSUREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHVy y, y(0) \y y, y(1) GLVWLQWDVDy 3ex
\ y 2ex1 UHVSHFWLYDPHQWH (VWR HV FRQVHFXHQFLD GHO KHFKR GH TXH f(x, y) y
\,f,y VRQFRQWLQXDVHQWRGRHOSODQRxy$GHPiVSRGHPRVGHPRVWUDUTXHHOLQWHUYDORIVREUHHOFXDOFDGDVROXFLyQHVWiGH¿QLGDHV , ).
INTERVALO DE EXISTENCIA Y UNICIDAD 6XSRQJD TXH y(x UHSUHVHQWD XQD
VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV /RV VLJXLHQWHV WUHV FRQMXQWRV GH Q~PHURV UHDOHV VREUH HO HMH x SXHGHQ QR VHU LJXDOHV HO GRPLQLR GH OD IXQFLyQ y(x HO
LQWHUYDOR I VREUH HO FXDO OD VROXFLyQ y(x HVWi GH¿QLGD R H[LVWH \ HO LQWHUYDOR I0 GH H[LVWHQFLD y XQLFLGDG (O HMHPSOR GH OD VHFFLyQ PXHVWUD OD GLIHUHQFLD HQWUH HO GRPLQLR
GH XQD IXQFLyQ \ HO LQWHUYDOR I GH GH¿QLFLyQ $KRUD VXSRQJD TXH x0, y0 HV XQ SXQWR
HQHOLQWHULRUGHODUHJLyQUHFWDQJXODURHQHOWHRUHPD(VWRGDFRPRUHVXOWDGRTXHOD
FRQWLQXLGDGGHODIXQFLyQf (x, y HQRSRUVtPLVPDHVVX¿FLHQWHSDUDJDUDQWL]DUODH[LVWHQFLD
GHDOPHQRVXQDVROXFLyQGHdydx f (x, y), y(x0) y0GH¿QLGDVREUHDOJ~QLQWHUYDORI.
(OLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQSDUDHVWHSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVQRUPDOPHQWHVHWRPD
FRPRHOLQWHUYDORPiVJUDQGHTXHFRQWLHQHx0HQHOFXDOODVROXFLyQy(x HVWiGH¿QLGD\HV
GHULYDEOH(OLQWHUYDORIGHSHQGHWDQWRGHf (x, y FRPRGHODFRQGLFLyQLQLFLDOy(x0) y09HD
ORVSUREOHPDVDHQORVHMHUFLFLRV/DFRQGLFLyQH[WUDGHFRQWLQXLGDGGHODSULPHUD
GHULYDGDSDUFLDO,f,yHQRQRVSHUPLWHGHFLUTXHQRVyORH[LVWHXQDVROXFLyQVREUHDOJ~Q
LQWHUYDORI0TXHFRQWLHQHx0VLQRTXHpVWDHVODúnicaVROXFLyQTXHVDWLVIDFHy(x0) y06LQ
HPEDUJRHOWHRUHPDQRGDQLQJXQDLQGLFDFLyQGHORVWDPDxRVGHORVLQWHUYDORVI e I0el
LQWHUYDORGHGH¿QLFLyQ,QRQHFHVLWDVHUWDQDPSOLRFRPRODUHJLyQ5\HOLQWHUYDORGHH[LVtencia y unicidad I0 puede no ser tan amplio como I. (OQ~PHUR h 0 TXHGH¿QHHOLQWHUYDOR
I0: (x0 h, x0 h SRGUtDVHUPX\SHTXHxRSRUORTXHHVPHMRUFRQVLGHUDUTXHODVROXFLyQ
y(x HVúnica en un sentido localHVWRHVXQDVROXFLyQGH¿QLGDFHUFDGHOSXQWR x0, y0 9HD
HOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV
COMENTARIOS
i /DVFRQGLFLRQHVGHOWHRUHPDVRQVX¿FLHQWHVSHURQRQHFHVDULDV(VWRVLJQL¿FDTXHFXDQGRf (x, y \,f,yVRQFRQWLQXDVHQXQDUHJLyQUHFWDQJXODURVHGHEH
GHGXFLUTXHH[LVWHXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQ \HV~QLFDVLHPSUHTXH x0, y0 VHD
XQSXQWRLQWHULRUDR6LQHPEDUJRVLODVFRQGLFLRQHVHVWDEOHFLGDVHQODKLSyWHVLVGHO
WHRUHPDQRVRQYiOLGDVHQWRQFHVSXHGHRFXUULUFXDOTXLHUFRVDHOSUREOHPDGH
ODHFXDFLyQ puedeWHQHUXQDVROXFLyQ\HVWDVROXFLyQpuedeVHU~QLFDRODHFXD-
1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
O
19
FLyQ puedeWHQHUYDULDVVROXFLRQHVRpuedeQRWHQHUVROXFLyQ$OOHHUQXHYDPHQWHHOHMHPSORYHPRVTXHODKLSyWHVLVGHOWHRUHPDQRHVYiOLGDHQODUHFWD
y SDUDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdydx xy1/2SHURHVWRQRHVVRUSUHQGHQWH\D
TXHFRPRYLPRVHQHOHMHPSORGHHVWDVHFFLyQKD\GRVVROXFLRQHVGH¿QLGDVVREUH
XQLQWHUYDORFRP~Q ±௘h, h TXHVDWLVIDFHy (0) 3RURWUDSDUWHODKLSyWHVLVGHO
WHRUHPDQRHVYiOLGDHQODUHFWDy SDUDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdydx |y
_1RREVWDQWHVHSXHGHSUREDUTXHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVdydx |y 1|, y(0) HV~QLFD¢3XHGHLQWXLUODVROXFLyQ"
ii (VUHFRPHQGDEOHSHQVDUWUDEDMDU\UHFRUGDUHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV
iii /DVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVVHSUHVFULEHQHQXQsoloSXQWRx03HURWDPELpQ
QRVLQWHUHVDODVROXFLyQGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVTXHHVWiQVXMHWDVDODVFRQGLFLRQHV HVSHFL¿FDGDV HQ y(x R VX GHULYDGD HQ dos SXQWRV GLIHUHQWHV x0 \ x1.
&RQGLFLRQHVFRPR
y(1) = 0, y Ry(ʌ2) = 0, y(ʌ) = 1
OODPDGDV condiciones frontera (CF) 8QD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO FRQ FRQGLFLRQHV
IURQWHUDVHFRQRFHFRPRXQproblema con valor en la frontera (PVF)3RUHMHPSOR
y y = 0,
y(0) = 0,
y(ʌ) = 0
HVXQSUREOHPDGHYDORUHQODIURQWHUD9HDORVSUREOHPDVDHQORVHMHUFLFLRV
&XDQGRHPSHFHPRVDUHVROYHUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHQHOFDStWXOROR
KDUHPRVVyORFRQHFXDFLRQHVOLQHDOHVGHSULPHURUGHQ/DVGHVFULSFLRQHVPDWHPiWLFDVGHPXFKRVSUREOHPDVHQFLHQFLDVHLQJHQLHUtDLQYROXFUDQ39,GHVHJXQGR
RUGHQRGRVSXQWRVFRPRYDORUHVIURQWHUD([DPLQDUHPRVDOJXQRVGHHVWRVSUREOHPDVHQORVFDStWXORV\
EJERCICIOS 1.2
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1
(QORVSUREOHPDV\y 1(1 c1ex HVXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHOD('GHSULPHURUGHQy y y2.
(QFXHQWUHXQDVROXFLyQGHO39,GHSULPHURUGHQTXHFRQVLVWHHQ
HVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\ODFRQGLFLyQLQLFLDOGDGD
1. y(0) 13
2. y(1) 2
(QORVSUREOHPDVDy 1(x2 c HVXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHOD('GHSULPHURUGHQy 2xy2 'HWHUPLQHXQDVROXFLyQGHO39,GHSULPHURUGHQTXHFRQVLVWH
HQHVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\ODFRQGLFLyQLQLFLDOGDGD'pHO
LQWHUYDORIPiVODUJRVREUHHOFXDOHVWiGH¿QLGDODVROXFLyQ
3. y(2) 13
4. y(2) 12
5. y(0) 1
6. y
(12) 4
(QORVSUREOHPDVx c1FRVt c2VHQtHVXQDIDPLOLD
GHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVGHOD('GHVHJXQGRRUGHQ
x x 'HWHUPLQHXQDVROXFLyQGHO39,GHVHJXQGRRU
GHQTXHFRQVLVWHHQHVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\ODVFRQGLFLRQHV
LQLFLDOHVGDGDV
7. x(0) 1,
x(0) 8
8. x(ʌ2) 0,
x(ʌ2) 1
9. x( 6)
10. x( 4)
1
2,
x ( 6)
2, x ( 4)
(QORVSUREOHPDVy c1ex c2exHVXQDIDPLOLDGHGRV
SDUiPHWURV GH VROXFLRQHV GH VHJXQGR RUGHQ (' y ± y 0.
(QFXHQWUHXQDVROXFLyQGHO39,GHVHJXQGRRUGHQTXHFRQVLVWH
HQHVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\ODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGDGDV
11. y(0) 1, y(0) 2
12. y(1) 0,
13. y(1) 5,
14. y(0) 0,
15. y 3y 2/3,
16. xy 2y,
y(0) 0
y(0) 0
y(0) 0
(Q ORV SUREOHPDV GHWHUPLQH XQD UHJLyQ GHO SODQR xy
GRQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDWHQGUtDXQDVROXFLyQ~QLFD
FX\DJUi¿FDSDVHSRUXQSXQWR x0, y0 HQODUHJLyQ
dy
y2/3
dx
18.
dy
1xy
dx
dy
y
dx
20.
dy
yx
dx
19. x
22
y(1) 5
(QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHSRULQVSHFFLyQDOPHQRV
GRVVROXFLRQHVGHO39,GHSULPHURUGHQGDGR
17.
0
y(1) e
20
O
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
21. (4 y 2)y x 2
22. (1 y 3)y x 2
23. (x 2 y 2)y y 2
24. (y x)y y x
(QORVSUREOHPDVDGHWHUPLQHVLHOWHRUHPDJDUDQWL]DTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO y 1y2 9 WHQJDXQD
VROXFLyQ~QLFDTXHSDVDSRUHOSXQWRGDGR
25. (1, 4)
26. (5, 3)
27. (2, 3)
28. (1, 1)
29. a) 3RULQVSHFFLyQGHWHUPLQHXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFD
GHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOxy y&RP
SUXHEHTXHFDGDPLHPEURGHODIDPLOLDHVXQDVROXFLyQ
GHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVxy y, y(0) 0.
b) ([SOLTXH HO LQFLVR D GHWHUPLQDQGR XQD UHJLyQ R HQ
HOSODQRxySDUDHOTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOxy y
WHQGUtD XQD VROXFLyQ ~QLFD TXH SDVH SRU HO SXQWR
(x0, y0 HQR.
c) &RPSUXHEHTXHODIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV
y
0,x,
x
x
0
0
VDWLVIDFHODFRQGLFLyQy(0)'HWHUPLQHVLHVWDIXQFLyQHVWDPELpQXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHOLQFLVRD 30. a) &RPSUXHEHTXHy WDQ x c HVXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
y 1 y2.
b) 3XHVWRTXHf (x, y) 1 y2\,f,y 2yVRQFRQWLQXDV HQ GRQGH TXLHUD OD UHJLyQ R HQ HO WHRUHPD
VH SXHGH FRQVLGHUDU FRPR WRGR HO SODQR xy.
8WLOLFH OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV GHO LQFLVR D SDUD
GHWHUPLQDUXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHOSUREOHPDFRQ
YDORUHVLQLFLDOHVGHSULPHURUGHQy 1 y2, y(0)
$XQFXDQGRx0 HVWpHQHOLQWHUYDOR 2, 2),
H[SOLTXHSRUTXpODVROXFLyQQRHVWiGH¿QLGDVREUH
HVWHLQWHUYDOR
32. a) 'HPXHVWUHTXHXQDVROXFLyQGHODIDPLOLDGHOLQFLVR
D GHOSUREOHPDTXHVDWLVIDFHy y2, y(1) HV
y 1(2 x).
b) 'HVSXpV GHPXHVWUH TXH XQD VROXFLyQ GH OD IDPLOLD
GHOLQFLVRD GHOSUREOHPDTXHVDWLVIDFHy y2,
y(3) = HVy 1(2 x).
c) ¢6RQLJXDOHVODVVROXFLRQHVGHORVLQFLVRVD \E "
33. a) 9HUL¿TXH TXH x2 ± y2 c HV XQD IDPLOLD GH VROXFLRQHV XQLSDUDPpWULFDV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO
y dydx 3x.
b) %RVTXHMHDPDQRODJUi¿FDGHODVROXFLyQLPSOtFLWD
3x2±y2 'HWHUPLQHWRGDVODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVy (x GHOD('GHOLQFLVRD GH¿QLGDVSRUHVWD
UHODFLyQ'pHOLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQGHFDGDXQD
GHODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDV
c) (
OSXQWR HVWiHQODJUi¿FDGHx2±y2 SHUR
¢FXiOGHODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGHOLQFLVRE VDWLVIDFHTXHy(2) "
34. a) 8WLOLFHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHOLQFLVRD GHOSUREOHPD
SDUD GHWHUPLQDU XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD GHO SUREOH
PDFRQYDORUHVLQLFLDOHVy dydx 3x, y(2) 'HV
SXpVERVTXHMHDPDQRODJUi¿FDGHODVROXFLyQH[SOtFLWD
GHHVWHSUREOHPD\GpVXLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQ
b) ¢([LVWHQDOJXQDVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGHy dydx 3xTXHSDVHQSRUHORULJHQ"
(QORVSUREOHPDVDVHSUHVHQWDODJUi¿FDGHXQPLHPEUR
GHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQd 2ydx 2 f (x, y, y 5HODFLRQHODFXUYDVROXFLyQ
FRQDOPHQRVXQSDUGHODVVLJXLHQWHVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV
a) y(1) 1, y(1) 2 b) y(1) 0, y(1) 4
c) y(1) 1, y(1) 2
d) y(0) 1, y(0) 2
e) y(0) 1, y(0) 0 f) y(0) 4, y(0) 2
35.
y
5
c) '
HWHUPLQHHOLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQPiVODUJRSDUDOD
VROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHOLQFLVRE 31. a) &RPSUXHEH TXH y 1(x c HV XQD IDPLOLD GH
VROXFLRQHVXQLSDUDPpWULFDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
y y2.
b) 3XHVWRTXHf (x, y) y \,f,y 2yVRQFRQWLQXDV
GRQGH VHD OD UHJLyQ R GHO WHRUHPD VH SXHGH
WRPDUFRPRWRGRHOSODQRxy'HWHUPLQHXQDVROXFLyQ
GHODIDPLOLDGHOLQFLVRD TXHVDWLVIDJDTXHy(0) 1.
'HVSXpVGHWHUPLQHXQDVROXFLyQGHODIDPLOLDGHOLQFLVR D TXH VDWLVIDJD TXH y(0) 'HWHUPLQH HO
LQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQPiVODUJRSDUDODVROXFLyQGH
FDGDSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV
c) '
HWHUPLQHHOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQIPiVODUJRSDUD
ODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVy y2, y(0) >Sugerencia/DVROXFLyQQRHVXQPLHPEURGHOD
IDPLOLDGHVROXFLRQHVGHOLQFLVRD @
5
x
−5
FIGURA 1.2.7 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
2
36.
y
5
5
−5
FIGURA 1.2.8 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
x
1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
37.
21
48. 'HPXHVWUHTXH
y
5
x5
x
5
−5
FIGURA 1.2.9 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
y
5
y
# Ït 11 1 dt
0
3
HVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHOSUREOHPDGHYDORULQLFLDO
2
38.
O
d 2y
dx2
2 3y2 5 0, ys0d 5 0, y9s0d 5 1.
6XSRQJD TXH \ >Sugerencia /D LQWHJUDO HV QR HOHPHQWDO9HDii GHORVComentariosGHODVHFFLyQ@
49. 'HWHUPLQHXQYDORUSRVLEOHSDUDx0SDUDHOTXHODJUi¿FD
GHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVy 2y
3x±y(x0) HVWDQJHQWHDOHMHxHQ x0 ([SOLTXH
VXUD]RQDPLHQWR
x
5
−5
FIGURA 1.2.10 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
(QORVSUREOHPDVy = c1FRVx c2VHQxHVXQDIDPLOLDGH VROXFLRQHV GH GRV SDUiPHWURV GH OD (' GH VHJXQGR
RUGHQy 4y 6LHVSRVLEOHGHWHUPLQHXQDVROXFLyQGHOD
HFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHVDWLVIDFHODVFRQGLFLRQHVGDGDV/DV
FRQGLFLRQHVHVSHFL¿FDGDVHQGRVSXQWRVGLIHUHQWHVVHGHQRPLQDQFRQGLFLRQHVIURQWHUD
39. y(0) 0, y(ʌ4) 3
40. y(0) 0, y(ʌ) 0
41. y(0) 0, y(ʌ6) 0 42. y(0) 1, y(ʌ) 5
43. y(0) 0, y(ʌ) 2
44. y(ʌ2) 1, y(ʌ) 0
Problemas de análisis
(QORVSUREOHPDV\XWLOLFHHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV\ \ GHHVWDVHFFLyQ
50. 6XSRQJDPRVTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQ
dydx f (x, y WLHQH XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD GH
VROXFLRQHV \ TXH f (x, y VDWLVIDFH ODV KLSyWHVLV GHO WHRUHPDHQDOJXQDUHJLyQUHFWDQJXODURGHOSODQRxy.
([SOLTXH SRU TXp GRV FXUYDV VROXFLyQ GLIHUHQWHV QR VH
SXHGHQ LQWHUFHSWDU R VHU WDQJHQWHV HQWUH Vt HQ XQ SXQWR
(x0, y0 HQR.
51. /DVIXQFLRQHV y(x) 161 x 4,
y(x) 0,
1 4
16 x ,
x
x
x
0
0
WLHQHQHOPLVPRGRPLQLRSHURVRQREYLDPHQWHGLIHUHQWHV
9pDQVHODV¿JXUDV D \ E UHVSHFWLYDPHQWH
'HPXHVWUHTXHDPEDVIXQFLRQHVVRQVROXFLRQHVGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVdydx xy1/2, y(2) VREUH
HOLQWHUYDOR , 5HVXHOYDODFRQWUDGLFFLyQDSDUHQWH
HQWUHHVWHKHFKR\OD~OWLPDRUDFLyQGHOHMHPSOR
y
45. (QFXHQWUHXQDIXQFLyQFX\DJUi¿FDHQFDGDSXQWR x, y)
WLHQHXQDSHQGLHQWHGDGDSRUe2x 6x\ODLQWHUVHFFLyQ
FRQHOHMHyHQ (2, 1)
46. 'HWHUPLQHXQDIXQFLyQFX\DVHJXQGDGHULYDGDHVy 12x
HQFDGDSXQWR x, y GHVXJUi¿FD\y x HVWDQJHQWHDODJUi¿FDHQHOSXQWRFRUUHVSRQGLHQWHDx 1.
47. &RQVLGHUHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVy x 2y,
y(0) 12 'HWHUPLQHFXiOGHODVGRVFXUYDVTXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUDHVOD~QLFDFXUYDVROXFLyQSRVLEOH
([SOLTXHVXUD]RQDPLHQWR
\
x
a)
y
y
(2, 1)
1
(0, 12 )
x
1
x
FIGURA 1.2.11 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
b)
FIGURA 1.2.12 'RVVROXFLRQHVGHORV39,GHOSUREOHPD
22
O
CAPÍTULO 1
1.3
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS
INTRODUCCIÓN (QHVWDVHFFLyQLQWURGXFLUHPRVODLGHDGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFRPRXQ
PRGHORPDWHPiWLFR\DQDOL]DUHPRVDOJXQRVPRGHORVHVSHFt¿FRVHQELRORJtDTXtPLFD\ItVLFD8QD
YH]TXHKD\DPRVHVWXGLDGRDOJXQRVGHORVPpWRGRVGHVROXFLyQGHODV('HQORVFDStWXORV\UHWRPDUHPRV\UHVROYHUHPRVDOJXQRVGHHVWRVPRGHORVHQORVFDStWXORV\
MODELOS MATEMÁTICOS &RQIUHFXHQFLDHVGHVHDEOHGHVFULELUHQWpUPLQRVPDWHPiWLFRVHOFRPSRUWDPLHQWRGHDOJXQRVVLVWHPDVRIHQyPHQRVGHODYLGDUHDO\DVHDQItVLFRVVRFLROyJLFRVRLQFOXVRHFRQyPLFRV/DGHVFULSFLyQPDWHPiWLFDGHXQVLVWHPDGHIHQyPHQRVVHOODPDmodelo matemático\VHFRQVWUX\HFRQFLHUWRVREMHWLYRV3RUHMHPSOR
SRGHPRVGHVHDUHQWHQGHUORVPHFDQLVPRVGHFLHUWRHFRVLVWHPDDOHVWXGLDUHOFUHFLPLHQWR
GHODSREODFLyQDQLPDOHQpORSRGHPRVGHVHDUGDWDUIyVLOHV\DQDOL]DUHOGHFDLPLHQWRGH
XQDVXVWDQFLDUDGLDFWLYD\DVHDHQHOIyVLORHQHOHVWUDWRHQHOTXHpVWHIXHGHVFXELHUWR
/DIRUPXODFLyQGHXQPRGHORPDWHPiWLFRGHXQVLVWHPDVHLQLFLDFRQ
i
LGHQWL¿FDFLyQGHODVYDULDEOHVTXHRFDVLRQDQHOFDPELRGHOVLVWHPD3RGUHPRV
HOHJLUQRLQFRUSRUDUWRGDVHVWDVYDULDEOHVHQHOPRGHORGHVGHHOFRPLHQ]R(Q
HVWHSDVRHVSHFL¿FDPRVHOnivel de resoluciónGHOPRGHOR
'HVSXpV
ii V HHVWDEOHFHXQFRQMXQWRGHVXSRVLFLRQHVUD]RQDEOHVRKLSyWHVLVDFHUFDGHO
VLVWHPDTXHHVWDPRVWUDWDQGRGHGHVFULELU(VDVKLSyWHVLVWDPELpQLQFOX\HQ
WRGDVODVOH\HVHPStULFDVTXHVHSXHGHQDSOLFDUDOVLVWHPD
3DUDDOJXQRVREMHWLYRVTXL]iEDVWHFRQFRQIRUPDUVHFRQPRGHORVGHEDMDUHVROXFLyQ
3RUHMHPSORXVWHG\DHVFRQVFLHQWHGHTXHHQORVFXUVRVEiVLFRVGHItVLFDDOJXQDVYHFHV
VHGHVSUHFLDODIXHU]DUHWDUGDGRUDGHODIULFFLyQGHODLUHDOPRGHODUHOPRYLPLHQWRGHXQ
FXHUSRTXHFDHFHUFDGHODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUD3HURVLXVWHGHVXQFLHQWt¿FRFX\RWUDEDMR
HVSUHGHFLUFRQH[DFWLWXGODWUD\HFWRULDGHYXHORGHXQSUR\HFWLOGHODUJRDOFDQFHGHEHUi
FRQVLGHUDUODUHVLVWHQFLDGHODLUH\RWURVIDFWRUHVFRPRODFXUYDWXUDGHOD7LHUUD
&RPRODVKLSyWHVLVDFHUFDGHXQVLVWHPDLPSOLFDQFRQIUHFXHQFLDXQDrapidez de
cambioGHXQDRPiVGHODVYDULDEOHVHOHQXQFLDGRPDWHPiWLFRGHWRGDVHVDVKLSyWHVLVSXHGHVHUXQDRPiVHFXDFLRQHVTXHFRQWHQJDQderivadas(QRWUDVSDODEUDVHO
PRGHOR PDWHPiWLFR SXHGH VHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO R XQ VLVWHPD GH HFXDFLRQHV
GLIHUHQFLDOHV
8QDYH]TXHVHKDIRUPXODGRXQPRGHORPDWHPiWLFR\DVHDXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORXQVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVQRVHQIUHQWDPRVDOSUREOHPDQRIiFLOGH
WUDWDUGHUHVROYHUOR6LSRGHPRVUHVROYHUORHQWRQFHVFRQVLGHUDPRVTXHHOPRGHORHV
UD]RQDEOHVLVXVROXFLyQHVFRQVLVWHQWHFRQORVGDWRVH[SHULPHQWDOHVRFRQORVKHFKRV
FRQRFLGRVDFHUFDGHOFRPSRUWDPLHQWRGHOVLVWHPD6LODVSUHGLFFLRQHVTXHVHREWLHQHQ
VRQGH¿FLHQWHVSRGHPRVDXPHQWDUHOQLYHOGHUHVROXFLyQGHOPRGHORRKDFHUKLSyWHVLV
DOWHUQDWLYDVDFHUFDGHORVPHFDQLVPRVGHFDPELRGHOVLVWHPD(QWRQFHVVHUHSLWHQORV
SDVRVGHOSURFHVRGHPRGHODGRFRPRVHPXHVWUDHQHOVLJXLHQWHGLDJUDPD
Supuestos
e hipótesis
Expresar los supuestos en
términos de las ecuaciones
diferenciales
Si es necesario, modificar
las hipótesis o aumentar
la resolución del modelo
FIGURA 1.3.1 3DVRVHQHOSURFHVRGH
PRGHODGRFRQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV
Comprobar las
predicciones
del modelo con
hechos conocidos
Formulación
matemática
Resolver las ED
Presentar las predicciones
del modelo (por ejemplo,
en forma gráfica)
Obtener
soluciones
1.3
ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS
O
23
3RUVXSXHVWRDODXPHQWDUODUHVROXFLyQDXPHQWDPRVODFRPSOHMLGDGGHOPRGHORPDWHPiWLFR\ODSUREDELOLGDGGHTXHQRSRGDPRVREWHQHUXQDVROXFLyQH[SOtFLWD
&RQIUHFXHQFLDHOPRGHORPDWHPiWLFRGHXQVLVWHPDItVLFRLQGXFLUiODYDULDEOH
WLHPSRt8QDVROXFLyQGHOPRGHORDSRUWDHOestado del sistemaHQRWUDVSDODEUDVORV
YDORUHVGHODYDULDEOHGHSHQGLHQWH RYDULDEOHV SDUDORVYDORUHVDGHFXDGRVGHtTXH
GHVFULEHQHOVLVWHPDHQHOSDVDGRSUHVHQWH\IXWXUR
DINÁMICA POBLACIONAL 8QRGHORVSULPHURVLQWHQWRVSDUDPRGHODUHOcrecimiento de la poblaciónKXPDQDSRUPHGLRGHODVPDWHPiWLFDVVHOOHYyDFDERHQ
SRUHOHFRQRPLVWDLQJOpVThomas Malthus %iVLFDPHQWHODLGHDGHWUiVGHO
PRGHORGH0DOWKXVHVODVXSRVLFLyQGHTXHODUDSLGH]FRQODTXHODSREODFLyQGHXQSDtV
FUHFHHQXQFLHUWRWLHPSRHVSURSRUFLRQDO DODSREODFLyQWRWDOGHOSDtVHQHVHWLHPSR
(QRWUDVSDODEUDVHQWUHPiVSHUVRQDVHVWpQSUHVHQWHVDOWLHPSRtKDEUiPiVHQHOIX
WXUR(QWpUPLQRVPDWHPiWLFRVVLP(t GHQRWDODSREODFLyQDOWLHPSRtHQWRQFHVHVWD
VXSRVLFLyQVHSXHGHH[SUHVDUFRPR
dP
dt
P
o
dP
dt
kP,
(1)
GRQGH k HV XQD FRQVWDQWH GH SURSRUFLRQDOLGDG (VWH PRGHOR VLPSOH TXH IDOOD VL VH
FRQVLGHUDQPXFKRVRWURVIDFWRUHVTXHSXHGHQLQÀXLUHQHOFUHFLPLHQWRRGHFUHFLPLHQWR
SRUHMHPSORLQPLJUDFLyQ\HPLJUDFLyQ UHVXOWyVLQHPEDUJREDVWDQWHH[DFWRSDUD
SUHGHFLUODSREODFLyQGH(VWDGRV8QLGRVHQWUH\/DVSREODFLRQHVTXHFUHFHQFRQXQDUDSLGH]GHVFULWDSRUODHFXDFLyQ VRQUDUDVVLQHPEDUJR D~QVHXVD
SDUDPRGHODUHOcrecimiento de pequeñas poblaciones en intervalos de tiempo cortos
SRUHMHPSORFUHFLPLHQWRGHEDFWHULDVHQXQDFDMDGH3HWUL DECAIMIENTO RADIACTIVO (OQ~FOHRGHXQiWRPRHVWiIRUPDGRSRUFRPELQDFLRQHVGHSURWRQHV\QHXWURQHV0XFKDVGHHVDVFRPELQDFLRQHVVRQLQHVWDEOHVHVGHFLU
ORViWRPRVVHGHVLQWHJUDQRVHFRQYLHUWHQHQiWRPRVGHRWUDVVXVWDQFLDV6HGLFHTXH
HVWRVQ~FOHRVVRQUDGLDFWLYRV3RUHMHPSORFRQHOWLHPSRHOUDGLR5DLQWHQVDPHQWH
UDGLDFWLYRVHWUDQVIRUPDHQHOUDGLDFWLYRJDVUDGyQ5Q3DUDPRGHODUHOIHQyPHQR
GHOdecaimiento radiactivoVHVXSRQHTXHODUDSLGH]dAdtFRQODTXHORVQ~FOHRVGH
XQDVXVWDQFLDVHGHVLQWHJUDQHVSURSRUFLRQDODODFDQWLGDG SDUDVHUPiVSUHFLVRVHO
Q~PHURGHQ~FOHRV A(t)GHODVXVWDQFLDTXHTXHGDDOWLHPSRt
dA
dA
(2)
A
o
kA.
dt
dt
3RUVXSXHVWRTXHODVHFXDFLRQHV \ VRQH[DFWDPHQWHLJXDOHVODGLIHUHQFLDUDGLFD
VyORHQODLQWHUSUHWDFLyQGHORVVtPERORV\GHODVFRQVWDQWHVGHSURSRUFLRQDOLGDG(QHO
FDVRGHOFUHFLPLHQWRFRPRHVSHUDPRVHQODHFXDFLyQ O k \SDUDODGHVLQWHJUDFLyQFRPRHQODHFXDFLyQ k 0.
(OPRGHORGHODHFXDFLyQ SDUDFUHFLPLHQWRWDPELpQVHSXHGHYHUFRPRODHFXDFLyQdSdt rSTXHGHVFULEHHOFUHFLPLHQWRGHOFDSLWDOSFXDQGRHVWiDXQDWDVDDQXDO
GHLQWHUpVrFRPSXHVWRFRQWLQXDPHQWH(OPRGHORGHGHVLQWHJUDFLyQGHODHFXDFLyQ WDPELpQVHDSOLFDDVLVWHPDVELROyJLFRVFRPRODGHWHUPLQDFLyQGHODYLGDPHGLDGHXQ
PHGLFDPHQWRHVGHFLUHOWLHPSRTXHOHWRPDDGHOPHGLFDPHQWRVHUHOLPLQDGR
GHOFXHUSRSRUH[FUHFLyQRPHWDEROL]DFLyQ(QTXtPLFDHOPRGHORGHOGHFDLPLHQWR
HFXDFLyQ VH SUHVHQWD HQ OD GHVFULSFLyQ PDWHPiWLFD GH XQD UHDFFLyQ TXtPLFD GH
SULPHURUGHQ/RLPSRUWDQWHDTXtHV
Una sola ecuación diferencial puede servir como modelo matemático de muchos
fenómenos distintos.
*
6LGRVFDQWLGDGHVu\vVRQSURSRUFLRQDOHVVHHVFULEHu v.(VWRVLJQL¿FDTXHXQDFDQWLGDGHVXQ
P~OWLSORFRQVWDQWHGHRWUDu kv.
24
O
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
&RQ IUHFXHQFLD ORV PRGHORV PDWHPiWLFRV VH DFRPSDxDQ GH FRQGLFLRQHV TXH ORV
GH¿QHQ3RUHMHPSORHQODVHFXDFLRQHV O \ HVSHUDUtDPRVFRQRFHUXQDSREODFLyQLQLFLDOP0\SRURWUDSDUWHODFDQWLGDGLQLFLDOGHVXVWDQFLDUDGLRDFWLYDA06LHOWLHPSRLQLFLDO
VHWRPDHQt VDEHPRVTXHP(0) P0\TXHA(0) A0(QRWUDVSDODEUDVXQPRGHOR
PDWHPiWLFRSXHGHFRQVLVWLUHQXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVRFRPRYHUHPRVPiV
DGHODQWHHQODVHFFLyQHQXQSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD
LEY DE ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO DE NEWTON 'HDFXHUGRFRQOD
OH\HPStULFDGHHQIULDPLHQWRFDOHQWDPLHQWRGH1HZWRQODUDSLGH]FRQODTXHFDPELD
ODWHPSHUDWXUDGHXQFXHUSRHVSURSRUFLRQDODODGLIHUHQFLDHQWUHODWHPSHUDWXUDGHO
FXHUSR\ODGHOPHGLRTXHORURGHDTXHVHOODPDWHPSHUDWXUDDPELHQWH6LT(t UHSUHVHQWDODWHPSHUDWXUDGHOFXHUSRDOWLHPSRt, Tm HVODWHPSHUDWXUDGHOPHGLRTXHOR
URGHD\dTdtHVODUDSLGH]FRQTXHFDPELDODWHPSHUDWXUDGHOFXHUSRHQWRQFHVODOH\GH
1HZWRQGHHQIULDPLHQWRFDOHQWDPLHQWRWUDGXFLGDHQXQDH[SUHVLyQPDWHPiWLFDHV
dT
dt
T
Tm
o
dT
dt
k(T
Tm ),
(3)
GRQGHkHVXQDFRQVWDQWHGHSURSRUFLRQDOLGDG(QDPERVFDVRVHQIULDPLHQWRRFDOHQWDPLHQWRVLTmHVXQDFRQVWDQWHVHHVWDEOHFHTXHk 0.
PROPAGACIÓN DE UNA ENFERMEDAD 8QDHQIHUPHGDGFRQWDJLRVDSRUHMHPSORXQYLUXVGHJULSHVHSURSDJDDWUDYpVGHXQDFRPXQLGDGSRUSHUVRQDVTXHKDQHVWDGR
HQFRQWDFWRFRQRWUDVSHUVRQDVHQIHUPDV6HDTXHx(t GHQRWHHOQ~PHURGHSHUVRQDVTXH
KDQFRQWUDtGRODHQIHUPHGDG\VHDTXHy(t GHQRWHHOQ~PHURGHSHUVRQDVTXHD~QQRKDQ
VLGRH[SXHVWDVDOFRQWDJLR(VOyJLFRVXSRQHUTXHODUDSLGH]dxdtFRQODTXHVHSURSDJD
ODHQIHUPHGDGHVSURSRUFLRQDODOQ~PHURGHHQFXHQWURVRinteraccionesHQWUHHVWRVGRV
JUXSRV GH SHUVRQDV 6L VXSRQHPRV TXH HO Q~PHUR GH LQWHUDFFLRQHV HV FRQMXQWDPHQWH
SURSRUFLRQDODx(t \y(t HVWRHVSURSRUFLRQDODOSURGXFWRxyHQWRQFHV
dx
(4)
kxy,
dt
GRQGHkHVODFRQVWDQWHXVXDOGHSURSRUFLRQDOLGDG6XSRQJDTXHXQDSHTXHxDFRPXQLGDGWLHQHXQDSREODFLyQ¿MDGHnSHUVRQDV6LVHLQWURGXFHXQDSHUVRQDLQIHFWDGDGHQWURGHHVWDFRPXQLGDGHQWRQFHVVHSRGUtDDUJXPHQWDUTXHx(t \y(t HVWiQUHODFLRQDGDV
SRUx y n 8WLOL]DQGRHVWD~OWLPDHFXDFLyQSDUDHOLPLQDUyHQODHFXDFLyQ VHREWLHQHHOPRGHOR
dx
(5)
kx(n 1 x).
dt
8QDFRQGLFLyQLQLFLDOREYLDTXHDFRPSDxDDODHFXDFLyQ HVx(0) 1.
REACCIONES QUÍMICAS 6H GLFH TXH OD GHVLQWHJUDFLyQ GH XQD VXVWDQFLD UDGLDFWLYDFDUDFWHUL]DGDSRUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO HVXQDreacción de primer orden(Q
TXtPLFDKD\DOJXQDVUHDFFLRQHVTXHVLJXHQHVWDPLVPDOH\HPStULFDVLODVPROpFXODVGH
OD VXVWDQFLD A VH GHVFRPSRQHQ \ IRUPDQ PROpFXODV PiV SHTXHxDV HV QDWXUDO VXSRQHU
TXHODUDSLGH]FRQODTXHVHOOHYDDFDERHVDGHVFRPSRVLFLyQHVSURSRUFLRQDODODFDQWLGDGGH
ODSULPHUDVXVWDQFLDTXHQRKDH[SHULPHQWDGRODFRQYHUVLyQHVWRHVVLX(t HVODFDQWLGDG
GHODVXVWDQFLDATXHSHUPDQHFHHQFXDOTXLHUPRPHQWRHQWRQFHVdXdt kXGRQGHk
HVXQDFRQVWDQWHQHJDWLYD\DTXHXHVGHFUHFLHQWH8QHMHPSORGHXQDUHDFFLyQTXtPLFD
GHSULPHURUGHQHVODFRQYHUVLyQGHOFORUXURGHWHUEXWLOR &+3)3&&OHQDOFRKROtEXWtOLFR
(CH3)3&2+
(CH3)3CCl NaOH : (CH3)3COH NaCl.
6yORODFRQFHQWUDFLyQGHOFORUXURGHWHUEXWLORFRQWURODODUDSLGH]GHODUHDFFLyQ3HUR
HQODUHDFFLyQ
CH3Cl NaOH : CH3OH NaCl
VHFRQVXPHXQDPROpFXODGHKLGUy[LGRGHVRGLR1D2+SRUFDGDPROpFXODGHFORUXUR
GHPHWLOR&+3&OSRUORTXHVHIRUPDXQDPROpFXODGHDOFRKROPHWtOLFR&+32+\XQD
1.3
ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS
O
25
PROpFXODGHFORUXURGHVRGLR1D&O(QHVWHFDVRODUDSLGH]FRQTXHDYDQ]DODUHDFFLyQ
HVSURSRUFLRQDODOSURGXFWRGHODVFRQFHQWUDFLRQHVGH&+3&O\1D2+TXHTXHGDQ3DUD
GHVFULELUHQJHQHUDOHVWDVHJXQGDUHDFFLyQVXSRQJDPRVunaPROpFXODGHXQDVXVWDQFLD
ATXHVHFRPELQDFRQunaPROpFXODGHXQDVXVWDQFLDBSDUDIRUPDUunaPROpFXODGHXQD
VXVWDQFLDC6LXGHQRWDODFDQWLGDGGHXQTXtPLFRCIRUPDGRDOWLHPSRt\VL\VRQ
UHVSHFWLYDPHQWHODVFDQWLGDGHVGHORVGRVTXtPLFRVA\BHQt FDQWLGDGHVLQLFLDOHV HQWRQFHVODVFDQWLGDGHVLQVWDQWiQHDVQRFRQYHUWLGDVGHA\BDOTXtPLFRCVRQ X\
XUHVSHFWLYDPHQWH3RUORTXHODUDSLGH]GHIRUPDFLyQGHCHVWiGDGDSRU
dX
(6)
k( X)( X),
dt
GRQGHkHVXQDFRQVWDQWHGHSURSRUFLRQDOLGDG$XQDUHDFFLyQFX\RPRGHORHVODHFXDFLyQ VHOHFRQRFHFRPRXQDreacción de segundo orden.
rapidez de entrada de la salmuera
10 L/min
constante
1000 L
MEZCLAS $O PH]FODU GRV VROXFLRQHV VDOLQDV GH GLVWLQWDV FRQFHQWUDFLRQHV VXUJH
XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQTXHGH¿QHODFDQWLGDGGHVDOFRQWHQLGDHQOD
PH]FOD6XSRQJDPRVTXHXQWDQTXHPH]FODGRUJUDQGHFRQWLHQHLQLFLDOPHQWH/
GHVDOPXHUD HVGHFLUDJXDHQODTXHVHKDGLVXHOWRXQDFDQWLGDGGHVDO 2WUDVROXFLyQ
GHVDOPXHUDHQWUDDOWDQTXHFRQXQDUDSLGH]GH/SRUPLQXWRODFRQFHQWUDFLyQGH
VDOTXHHQWUDHVGHNJSRUOLWUR&XDQGRODVROXFLyQHQHOWDQTXHHVWiELHQPH]FODGDVDOHFRQODPLVPDUDSLGH]FRQODTXHHQWUD9HDOD¿JXUD6LA(t GHQRWDOD
FDQWLGDGGHVDO PHGLGDHQOLEUDV HQHOWDQTXHDOWLHPSRtHQWRQFHVODUDSLGH]FRQOD
TXHA(t FDPELDHVXQDUDSLGH]QHWD
razón de
entrada
de la sal
dA
dt
rapidez de salida de
la salmuera 10 L
razón de
salida
de la sal
Rentra Rsale.
(7)
/DUDSLGH]GHHQWUDGDRentraFRQODTXHODVDOHQWUDHQHOWDQTXHHVHOSURGXFWRGHOD
FRQFHQWUDFLyQGHODDÀXHQFLDGHVDO\ODWDVDGHÀXMRGHÀXLGR$GYLHUWDTXHRentraVH
PLGHHQNLORJUDPRVSRUVHJXQGR
FIGURA 1.3.2 7DQTXHGHPH]FODGR
concentración
de sal en rapidez de entrada rapidez de
el fluido,
de la salmuera, entrada de la sal
Rentra (0.25 kg/L)·(10 L/min) = (2.5 kg/min).
$KRUD\DTXHODVROXFLyQVDOHGHOWDQTXHFRQODPLVPDUDSLGH]FRQODTXHHQWUDHO
Q~PHURGHJDORQHVGHODVDOPXHUDHQHOWDQTXHDOWLHPSRtHVXQDFRQVWDQWHGH/
3RUORTXHODFRQFHQWUDFLyQGHODVDOHQHOWDQTXHDVtFRPRHQHOÀXMRGHVDOLGDHVc(t)
A(t)NJ/\SRUWDQWRODUDSLGH]GHVDOLGDRsaleGHVDOHV
concentración de
rapidez de
sal en el flujo rapidez de salida salida
de salida
de la salmuera de la sal
(
)
A(t)
Rsale –––– kg/L
1000L
A(t)
(10 L/min) –––– kg/min.
100
/DUDSLGH]QHWDHFXDFLyQ HQWRQFHVVHUi
dA
A
dA
1
(8)
2.5 o
A 2.5.
dt
100
dt
100
6L rentra \ rsale GHQRWDQ UDSLGHFHV GH HQWUDGD \ GH VDOLGD GH ODV VROXFLRQHV GH VDOPXHUD HQWRQFHVKD\WUHVSRVLELOLGDGHVrentra rsale, rentra rsale\rentra rsale(QHODQiOLVLVTXHFRQGXFHD KHPRVWRPDGRrentra rsale(QHVWRVGRV~OWLPRVFDVRVHOQ~PHUR
GHOLWURVGHVDOPXHUDHQHOWDQTXHHVFUHFLHQWH rentra rsale RGLVPLQX\H rentra rsale DOD
UDSLGH]QHWDrentra rsale9pDQVHORVSUREOHPDVDHQORVHMHUFLFLRV
*
1RFRQIXQGDHVWRVVtPERORVFRQR entra\R saleTXHVRQODVUDSLGHFHVGHHQWUDGD\VDOLGDGHsal.
26
CAPÍTULO 1
O
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Aw
h
Ah
FIGURA 1.3.3 'UHQDGRGHXQWDQTXH
E(t)
L
R
C
a) Circuito(a)
en serie- LRC
Inductor
inductancia L: henrys (h)
di
caída de voltaje: L
dt
i
L
Resistor
resistencia R: ohms (Ω)
caída de voltaje: iR
i
R
Capacitor
capacitancia C: farads (f)
1
caída de voltaje: q
C
i
C
b)
(b)
FIGURA 1.3.4 6tPERORVXQLGDGHV\
YROWDMHV&RUULHQWHi(t \FDUJDq(t HVWiQ
PHGLGDVHQDPSHUHV $ \HQFRXORPEV
& UHVSHFWLYDPHQWH
DRENADO DE UN TANQUE (QKLGURGLQiPLFDODley de TorricelliHVWDEOHFHTXH
ODUDSLGH]vGHVDOLGDGHODJXDDWUDYpVGHXQDJXMHURGHERUGHVD¿ODGRVHQHOIRQGRGH
XQWDQTXHOOHQRFRQDJXDKDVWDXQDSURIXQGLGDGhHVLJXDODODUDSLGH]GHXQFXHUSR HQ
HVWHFDVRXQDJRWDGHDJXD TXHHVWiFD\HQGROLEUHPHQWHGHVGHXQDDOWXUDhHVWRHV
v 12gh GRQGHgHVODDFHOHUDFLyQGHODJUDYHGDG(VWD~OWLPDH[SUHVLyQVXUJHDO
LJXDODUODHQHUJtDFLQpWLFD 12 mv2 FRQODHQHUJtDSRWHQFLDOmgh, \ VHGHVSHMDv6XSRQJD
TXHXQWDQTXHOOHQRGHDJXDVHYDFtDDWUDYpVGHXQDJXMHUREDMRODLQÀXHQFLDGHOD
JUDYHGDG4XHUHPRVHQFRQWUDUODSURIXQGLGDGh, GHODJXDTXHTXHGDHQHOWDQTXHDO
WLHPSRt&RQVLGHUHHOWDQTXHTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD6LHOiUHDGHODJXMHURHV
Ah HQP2 \ODUDSLGH]GHODJXDTXHVDOHGHOWDQTXHHVv 12gh HQPV HQWRQFHV
HOYROXPHQGHDJXDTXHVDOHGHOWDQTXHSRUVHJXQGRHV Ah 12gh HQP3V $VtVL
V(t GHQRWDDOYROXPHQGHDJXDHQHOWDQTXHDOWLHPSRtHQWRQFHV
dV
Ah 2gh,
(9)
dt
GRQGHHOVLJQRPHQRVLQGLFDTXHVHVWiGLVPLQX\HQGR2EVHUYHTXHDTXtHVWDPRVGHVSUHFLDQGRODSRVLELOLGDGGHIULFFLyQHQHODJXMHURTXHSRGUtDFDXVDUXQDUHGXFFLyQGHOD
UDSLGH]GHÀXMR6LHOWDQTXHHVWDOTXHHOYROXPHQGHODJXDDOWLHPSRtVHH[SUHVDFRPR
V(t) Awh, GRQGHAw HQP2 HVHOiUHDconstante GHODVXSHU¿FLHVXSHULRUGHODJXD YHD
OD¿JXUD HQWRQFHVdVdt Aw dhdt. 6XVWLWX\HQGRHVWD~OWLPDH[SUHVLyQHQOD
HFXDFLyQ REWHQHPRVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHGHVHiEDPRVSDUDH[SUHVDUODDOWXUD
GHODJXDDOWLHPSRt
dh
Ah
(10)
2gh.
dt
Aw
(VLQWHUHVDQWHREVHUYDUTXHODHFXDFLyQ HVYiOLGDDXQFXDQGRAwQRVHDFRQVWDQWH
(QHVWHFDVRGHEHPRVH[SUHVDUHOiUHDGHODVXSHU¿FLHVXSHULRUGHODJXDHQIXQFLyQGH
h, HVWRHV Aw A(h)9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV
CIRCUITOS EN SERIE &RQVLGHUHHOFLUFXLWRHQVHULHVLPSOHTXHWLHQHXQLQGXFWRU
XQUHVLVWRU\XQFDSDFLWRUTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD D (QXQFLUFXLWRFRQHO
LQWHUUXSWRUFHUUDGRODFRUULHQWHVHGHQRWDSRUi(t \ODFDUJDHQHOFDSDFLWRUDOWLHPSR
tVHGHQRWDSRUq(t). /DVOHWUDVL, R\CVRQFRQRFLGDVFRPRLQGXFWDQFLDUHVLVWHQFLD\
FDSDFLWDQFLDUHVSHFWLYDPHQWH\HQJHQHUDOVRQFRQVWDQWHV$KRUDGHDFXHUGRFRQOD
segunda ley de KirchhoffHOYROWDMHDSOLFDGRE(t DXQFLUFXLWRFHUUDGRGHEHVHULJXDO
DODVXPDGHODVFDtGDVGHYROWDMHHQHOFLUFXLWR/D¿JXUD E PXHVWUDORVVtPERORV
\IyUPXODVGHODVFDtGDVUHVSHFWLYDVGHYROWDMHDWUDYpVGHXQLQGXFWRUXQFDSDFLWRU\
XQUHVLVWRU&RPRODFRUULHQWHi(t HVWiUHODFLRQDGDFRQODFDUJDq(t) HQHOFDSDFLWRU
PHGLDQWHi dqdt, VXPDPRVORVWUHVYROWDMHV
LQGXFWRU
UHVLVWRU
FDSDFLWRU
di
d 2q
dq
1
L
L 2,
iR R ,
y
q
dt
C
dt
dt
HLJXDODQGRODVXPDGHORVYROWDMHVFRQHOYROWDMHDSOLFDGRVHREWLHQHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQ
d 2q
dq
1
L 2 R
q E(t).
(11)
dt
dt
C
(QODVHFFLyQH[DPLQDUHPRVFRQGHWDOOHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDODQiORJDD
(11).
CUERPOS EN CAÍDA 3DUD HVWDEOHFHU XQ PRGHOR PDWHPiWLFR GHO PRYLPLHQWR GH
XQFXHUSRTXHVHPXHYHHQXQFDPSRGHIXHU]DVFRQIUHFXHQFLDVHFRPLHQ]DFRQOD
ODV OH\HV GHO PRYLPLHQWR IRUPXODGDV SRU HO PDWHPiWLFR LQJOpV Isaac Newton (1643 5HFRUGHPRV GH OD ItVLFD HOHPHQWDO TXH OD primera ley del movimiento de
Newton HVWDEOHFH TXH XQ FXHUSR SHUPDQHFHUi HQ UHSRVR R FRQWLQXDUi PRYLpQGRVH
FRQ XQD YHORFLGDG FRQVWDQWH D PHQRV TXH VHD VRPHWLGR D XQD IXHU]D H[WHUQD (Q ORV
GRVFDVRVHVWRHTXLYDOHDGHFLUTXHFXDQGRODVXPDGHODVIXHU]DV F Fk , HVWRHV
1.3
O
27
ODIXHU]Dneta RIXHU]DUHVXOWDQWHTXHDFW~DVREUHHOFXHUSRHVFHURODDFHOHUDFLyQa GHO
FXHUSRHV FHUR/Dsegunda ley del movimiento de NewtonLQGLFDTXHFXDQGRODIXHU]D
QHWDTXHDFW~DVREUHXQFXHUSRQRHVFHURHQWRQFHVODIXHU]DQHWDHVSURSRUFLRQDODVX
DFHOHUDFLyQa R PiVH[DFWDPHQWHF ma, GRQGHm HVODPDVDGHOFXHUSR
6XSRQJDPRVDKRUDTXHVHDUURMDXQDSLHGUDKDFLDDUULEDGHVGHHOWHFKRGHXQHGL¿FLRFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD¢&XiOHVODSRVLFLyQs(t GHODSLHGUDUHVSHFWR
DOVXHORDOWLHPSRt"/DDFHOHUDFLyQGHODSLHGUDHVODVHJXQGDGHULYDGDd 2sdt 2. 6L
VXSRQHPRVTXHODGLUHFFLyQKDFLDDUULEDHVSRVLWLYD\TXHQRKD\RWUDIXHU]DDGHPiV
GHODIXHU]DGHODJUDYHGDGTXHDFW~HVREUHODSLHGUDHQWRQFHVXWLOL]DQGRODVHJXQGD
OH\GH1HZWRQVHWLHQHTXH
v0
piedra
s0
ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS
s(t)
edificio
suelo
FIGURA 1.3.5 3RVLFLyQGHODSLHGUD
PHGLGDGHVGHHOQLYHOGHOVXHOR
m
d 2s
dt 2
mg
d 2s
dt 2
o
(12)
g.
(QRWUDVSDODEUDVODIXHU]DQHWDHVVLPSOHPHQWHHOSHVRF F1 WGHODSLHGUDFHUFD
GHODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUD5HFXHUGHTXHODPDJQLWXGGHOSHVRHVW mgGRQGHmHVOD
PDVDGHOFXHUSR\gHVODDFHOHUDFLyQGHELGDDODJUDYHGDG(OVLJQRPHQRVHQODHFXDFLyQ
VHXVDSRUTXHHOSHVRGHODSLHGUDHVXQDIXHU]DGLULJLGDKDFLDDEDMRTXHHVRSXHVWD
DODGLUHFFLyQSRVLWLYD6LODDOWXUDGHOHGL¿FLRHVs0\ODYHORFLGDGLQLFLDOGHODURFDHVv0,
HQWRQFHVsVHGHWHUPLQDDSDUWLUGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQ
d 2s
g,
dt 2
s(0) s0,
s(0) v0.
(13)
$XQTXHQRKHPRVLQGLFDGRVROXFLRQHVGHODVHFXDFLRQHVTXHVHKDQIRUPXODGRREVHUYHTXHODHFXDFLyQVHSXHGHUHVROYHULQWHJUDQGRGRVYHFHVUHVSHFWRDtODFRQVWDQWH±g/DVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGHWHUPLQDQODVGRVFRQVWDQWHVGHLQWHJUDFLyQ'H
ODItVLFDHOHPHQWDOSRGUtDUHFRQRFHUODVROXFLyQGHODHFXDFLyQ FRPRODIyUPXOD
1 2
s(t)
v0 t s0.
2 gt
kv
dirección
positiva
resistencia
del aire
gravedad
mg
FIGURA 1.3.6 &XHUSRGHPDVDm
FD\HQGR
CUERPOS EN CAÍDA Y RESISTENCIA DEL AIRE $QWHV GHO IDPRVR H[SHULPHQWRGHOItVLFR\PDWHPiWLFRLWDOLDQR*DOLOHR*DOLOHL GHODWRUUHLQFOLQDGD
GH3LVDJHQHUDOPHQWHVHFUHtDTXHORVREMHWRVPiVSHVDGRVHQFDtGDOLEUHFRPR XQD
EDOD GH FDxyQ FDtDQ FRQ XQD DFHOHUDFLyQ PD\RU TXH ORV REMHWRV OLJHURV FRPR XQD
SOXPD 2EYLDPHQWH XQD EDOD GH FDxyQ \ XQD SOXPD FXDQGR VH GHMDQ FDHU VLPXOWiQHDPHQWHGHVGHODPLVPDDOWXUDUHDOPHQWHcaenHQWLHPSRVGLIHUHQWHVSHURHVWRQR
HV SRUTXH XQD EDOD GH FDxyQ VHD PiV SHVDGD /D GLIHUHQFLD HQ ORV WLHPSRV VH GHEH
D OD UHVLVWHQFLD GHO DLUH (Q HO PRGHOR TXH VH SUHVHQWy HQ OD HFXDFLyQ VH GHVSUHFLy OD IXHU]D GH OD UHVLVWHQFLD GHO DLUH %DMR FLHUWDV FLUFXQVWDQFLDV XQ FXHUSR GH
PDVDm TXHFDHFRPRXQDSOXPDFRQGHQVLGDGSHTXHxD\IRUPDLUUHJXODUHQFXHQWUD
XQDUHVLVWHQFLDGHODLUHTXHHVSURSRUFLRQDODVXYHORFLGDGLQVWDQWiQHDv6LHQHVWH
FDVRWRPDPRVODGLUHFFLyQSRVLWLYDGLULJLGDKDFLDDEDMRHQWRQFHVODIXHU]DQHWDTXH
HVWiDFWXDQGRVREUHODPDVDHVWiGDGDSRUF F1 F2 mg kv, GRQGHHOSHVR
F1 mg GHOFXHUSRHVXQDIXHU]DTXHDFW~DHQODGLUHFFLyQSRVLWLYD\ODUHVLVWHQFLD
GHO DLUH F2 kv HV XQD IXHU]D TXH VH OODPD GH amortiguamiento viscoso, TXH
DFW~DHQODGLUHFFLyQFRQWUDULDRKDFLDDUULED9HDOD¿JXUD$KRUDSXHVWRTXHv
HVWiUHODFLRQDGDFRQODDFHOHUDFLyQaPHGLDQWHa dvdtODVHJXQGDOH\GH1HZWRQ
VHUiF ma m dvdt. $OLJXDODUODIXHU]DQHWDFRQHVWDIRUPDGHODVHJXQGDOH\
REWHQHPRVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODYHORFLGDGv(t GHOFXHUSRDOWLHPSRt,
m
dv
mg kv.
dt
(14)
$TXt k HV XQD FRQVWDQWH SRVLWLYD GH SURSRUFLRQDOLGDG 6L s(t HV OD GLVWDQFLD TXH HO
FXHUSRKDFDtGRDOWLHPSRtGHVGHVXSXQWRLQLFLDORGHOLEHUDFLyQHQWRQFHVv dsdt
\a dvdt d 2sdt 2(QWpUPLQRVGHsODHFXDFLyQ HVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
GHVHJXQGRRUGHQ
m
d 2s
dt 2
mg
k
ds
dt
o
m
d 2s
dt 2
k
ds
dt
mg.
(15)
28
CAPÍTULO 1
O
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
a) cable de suspensión de un puente
b) alambres de teléfonos
FIGURA 1.3.7 &DEOHVVXVSHQGLGRV
HQWUHVRSRUWHVYHUWLFDOHV
CABLES SUSPENDIDOS ,PDJLQHTXHXQFDEOHÀH[LEOHXQDODPEUHRXQDFXHUGD
SHVDGDTXHHVWiVXVSHQGLGDHQWUHGRVVRSRUWHVYHUWLFDOHV(MHPSORItVLFRVGHHVWRSRGUtDQVHUXQRGHORVGRVFDEOHVTXHVRSRUWDQHO¿UPHGHXQSXHQWHGHVXVSHQVLyQFRPR
HO TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD D R XQ FDEOH WHOHIyQLFR ODUJR HQWUH GRV SRVWHV
FRPRHOTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E 1XHVWURREMHWLYRHVFRQVWUXLUXQPRGHOR
PDWHPiWLFRTXHGHVFULEDODIRUPDTXHWLHQHHOFDEOH
3DUDFRPHQ]DUH[DPLQDUHPRVVyORXQDSDUWHRHOHPHQWRGHOFDEOHHQWUHVXSXQWR
PiVEDMR P1\FXDOTXLHUSXQWRDUELWUDULRP26HxDODGRHQFRORUD]XOHQOD¿JXUD
HVWHHOHPHQWRGHFDEOHHVODFXUYDHQXQVLVWHPDGHFRRUGHQDGDUHFWDQJXODUHOLJLHQGR
DOHMHySDUDTXHSDVHDWUDYpVGHOSXQWRPiVEDMRP1GHODFXUYD\HOLJLHQGRDOHMH
x SDUD TXH SDVH D a XQLGDGHV GHEDMR GH P1 6REUH HO FDEOH DFW~DQ WUHV IXHU]DV ODV
WHQVLRQHVT1\T2HQHOFDEOHTXHVRQWDQJHQWHVDOFDEOHHQP1\P2UHVSHFWLYDPHQWH
\ OD SDUWH W GH OD FDUJD WRWDO YHUWLFDO HQWUH ORV SXQWRV P1 \ P2 6HD TXH T1 T1 ,
T2 T2 \W W GHQRWHQODVPDJQLWXGHVGHHVWRVYHFWRUHV$KRUDODWHQVLyQT2VH
GHVFRPSRQHHQVXVFRPSRQHQWHVKRUL]RQWDO\YHUWLFDO FDQWLGDGHVHVFDODUHV T2FRV
\T2VHQ'HELGRDOHTXLOLEULRHVWiWLFRSRGHPRVHVFULELU
T1
T2 cos
W
y
T2 sen .
$OGLYLGLUODXOWLPDHFXDFLyQSRUODSULPHUDHOLPLQDPRVT2\REWHQHPRVWDQ WT1.
3HURSXHVWRTXHdydx WDQOOHJDPRVD
y
T2
T2 sen θ
P2
alambre
T1
P1
(0, a)
W
(x, 0)
θ
T2 cos θ
x
FIGURA 1.3.8 (OHPHQWRGHOFDEOH
dy
dx
W
.
T1
(16)
(VWDVHQFLOODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQVLUYHFRPRPRGHORWDQWRSDUDPRGHODU
ODIRUPDGHXQDODPEUHÀH[LEOHFRPRHOFDEOHWHOHIyQLFRFROJDGREDMRVXSURSLRSHVR
RSDUDPRGHODUODIRUPDGHORVFDEOHVTXHVRSRUWDQHO¿UPHGHXQSXHQWHVXVSHQGLGR
5HJUHVDUHPRVDODHFXDFLyQ HQORVHMHUFLFLRV\HQODVHFFLyQ
LO QUE NOS ESPERA (QHVWHOLEURYHUHPRVWUHVWLSRVGHPpWRGRVSDUDHODQiOLVLV
GHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV3RUVLJORVODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVKDQVXUJLGRGH
ORVHVIXHU]RVGHFLHQWt¿FRVRLQJHQLHURVSDUDGHVFULELUDOJ~QIHQyPHQRItVLFRRSDUD
WUDGXFLUXQDOH\HPStULFDRH[SHULPHQWDOHQWpUPLQRVPDWHPiWLFRV&RPRFRQVHFXHQFLDHOFLHQWt¿FRLQJHQLHURRPDWHPiWLFRIUHFXHQWHPHQWHSDVDUtDPXFKRVDxRVGHVX
YLGDWUDWDQGRGHHQFRQWUDUODVVROXFLRQHVGHXQD('&RQXQDVROXFLyQHQODPDQRVH
SURVLJXHFRQHOHVWXGLRGHVXVSURSLHGDGHV$HVWDE~VTXHGDGHVROXFLRQHVVHOHOODPD
método analíticoSDUDODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV8QDYH]TXHFRPSUHQGLHURQTXH
ODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVHUDQPX\GLItFLOHVGHREWHQHU\HQHOSHRUGHORVFDVRVLPSRVLEOHVGHREWHQHUORVPDWHPiWLFRVDSUHQGLHURQTXHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSRGUtDQ
VHU XQD IXHQWH GH LQIRUPDFLyQ YDOLRVD HQ Vt PLVPDV (V SRVLEOH HQ DOJXQRV FDVRV
FRQWHVWDUSUHJXQWDVFRPRODVVLJXLHQWHVGLUHFWDPHQWHGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV
¿en realidad la ED tiene soluciones? Si una solución de la ED existe y satisface
una condición inicial, ¿es única esa solución? ¿Cuáles son algunas propiedades
de las soluciones desconocidas? ¿Qué podemos decir acerca de la geometría de
las curvas de solución?
(VWHPpWRGRHVanálisis cualitativo3RU~OWLPRVLXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQRVHSXHGH
UHVROYHUSRUPpWRGRVDQDOtWLFRVD~QDVtSRGHPRVGHPRVWUDUTXHXQDVROXFLyQH[LVWH
ODVLJXLHQWHSUHJXQWDOyJLFDHV
¿de qué modo podemos aproximarnos a los valores de una solución desconocida?
$TXt HQWUDPRV DO UHLQR GHO análisis numérico 8QD UHVSXHVWD D¿UPDWLYD D OD ~OWLPD
SUHJXQWDVHEDVDHQHOKHFKRGHTXHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHSXHGHXVDUFRPRXQ
SULQFLSLREiVLFRSDUDODFRQVWUXFFLyQGHDOJRULWPRVGHDSUR[LPDFLyQPX\H[DFWRV(Q
HOFDStWXORFRPHQ]DUHPRVFRQFRQVLGHUDFLRQHVFXDOLWDWLYDVGHODV('2GHSULPHU
RUGHQGHVSXpVDQDOL]DUHPRVORVDUWL¿FLRVDQDOtWLFRVSDUDUHVROYHUDOJXQDVHFXDFLRQHV
HVSHFLDOHVGHSULPHURUGHQ\FRQFOXLUHPRVFRQXQDLQWURGXFFLyQDXQPpWRGRQXPpULFRHOHPHQWDO9HDOD¿JXUD
1.3
ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS
O
29
¡HÁBLAME!
y'=f(y)
a) analítico
b) cualitativo
c) numérico
FIGURA 1.3.9 'LIHUHQWHVPpWRGRVSDUDHOHVWXGLRGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV
COMENTARIOS
&DGD HMHPSOR GH HVWD VHFFLyQ KD GHVFULWR XQ VLVWHPD GLQiPLFR XQ VLVWHPD TXH
FDPELD R HYROXFLRQD FRQ HO SDVR GHO WLHPSR t 3XHVWR TXH HQ OD DFWXDOLGDG HO
HVWXGLR GH ORV VLVWHPDV GLQiPLFRV HV XQD UDPD GH ODV PDWHPiWLFDV TXH HVWi GH
PRGD D YHFHV XWLOL]DUHPRV OD WHUPLQRORJtD GH HVD UDPD HQ QXHVWURV DQiOLVLV
(QWpUPLQRVPiVSUHFLVRVXQ sistema dinámico FRQVLVWHHQXQFRQMXQWRGH
YDULDEOHVGHSHQGLHQWHVGHOWLHPSRTXHVHOODPDQ variables de estadoMXQWRFRQ
XQDUHJODTXHSHUPLWDGHWHUPLQDU VLQDPELJHGDGHV HOHVWDGRGHOVLVWHPD TXH
SXHGHVHUSDVDGRSUHVHQWHRIXWXUR HQWpUPLQRVGHXQHVWDGRSUHVFULWRDOWLHPSR t0.
/RVVLVWHPDVGLQiPLFRVVHFODVL¿FDQ\DVHDFRPRVLVWHPDVGLVFUHWRVRFRQWLQXRVHQ
HOWLHPSRRGHWLHPSRVGLVFUHWRVRFRQWLQXRV(QHVWHFXUVRVyORQRVRFXSDUHPRV
GHORVVLVWHPDVGLQiPLFRVFRQWLQXRVHQHOWLHPSRVLVWHPDVHQORVTXHtodasODVYDULDEOHVHVWiQGH¿QLGDVGHQWURGHXQLQWHUYDORFRQWLQXRGHWLHPSR/DUHJODRPRGHOR
PDWHPiWLFRHQXQVLVWHPDGLQiPLFRFRQWLQXRHQHOWLHPSRHVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV(Oestado del sistemaDOWLHPSRtHVHO
YDORUGHODVYDULDEOHVGHHVWDGRHQHVHLQVWDQWHHOHVWDGRHVSHFL¿FDGRGHOVLVWHPDDO
WLHPSRt0VRQVLPSOHPHQWHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVTXHDFRPSDxDQDOPRGHORPDWHPiWLFR/DVROXFLyQGHXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVVHOODPDrespuesta del
sistema3RUHMHPSORHQHOFDVRGHOGHFDLPLHQWRUDGLDFWLYRODUHJODHVdAdt kA$KRUDVLVHFRQRFHODFDQWLGDGGHVXVWDQFLDUDGLDFWLYDDOWLHPSRt0GLJDPRV
A(t0) A0HQWRQFHVDOUHVROYHUODUHJODVHHQFXHQWUDTXHODUHVSXHVWDGHOVLVWHPD
SDUDt t0HVA(t) A0 e (t t0) YHDODVHFFLyQ /DUHVSXHVWDA(t HVOD~QLFD
YDULDEOHGHHVWDGRSDUDHVWHVLVWHPD(QHOFDVRGHODSLHGUDDUURMDGDGHVGHHOWHFKR
GHXQHGL¿FLRODUHVSXHVWDGHOVLVWHPDHVGHFLUODVROXFLyQDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOd 2sdt 2 gVXMHWDDOHVWDGRLQLFLDOs(0) s0, s(0) v0HVODIXQFLyQ
1 2
s(t)
v0 t s0; 0 t T, GRQGHTUHSUHVHQWDHOYDORUGHOWLHPSRHQ
2 gt
TXH OD SLHGUD JROSHD HQ HO VXHOR /DV YDULDEOHV GH HVWDGR VRQ s(t \ s(t),
TXH VRQ OD SRVLFLyQ YHUWLFDO GH OD SLHGUD VREUH HO VXHOR \ VX YHORFLGDG
HQ HO WLHPSR t UHVSHFWLYDPHQWH /D DFHOHUDFLyQ s(t), no HV XQD YDULDEOH GH HVWDGR \D TXH VyOR VH FRQRFHQ OD SRVLFLyQ \ OD YHORFLGDG LQLFLDOHV DO
WLHPSR t0 SDUD GHWHUPLQDU HQ IRUPD ~QLFD OD SRVLFLyQ s(t \ OD YHORFLGDG s(t) v(t GH OD SLHGUD HQ FXDOTXLHU PRPHQWR GHO LQWHUYDOR t0 t T.
/DDFHOHUDFLyQs(t) a(t HVWiSRUVXSXHVWRGDGDSRUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
s(t) g, 0 t T.
8Q~OWLPRSXQWR1RWRGRVORVVLVWHPDVTXHVHHVWXGLDQHQHVWHOLEURVRQ
VLVWHPDVGLQiPLFRV([DPLQDUHPRVDOJXQRVVLVWHPDVHVWiWLFRVHQTXHHOPRGHOR
HVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
30
O
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
EJERCICIOS 1.3
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1.
Dinámica poblacional
1. &RQEDVHHQODVPLVPDVKLSyWHVLVGHWUiVGHOPRGHORGH
ODHFXDFLyQ GHWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDOD
SREODFLyQ P(t GH XQ SDtV FXDQGR VH OHV SHUPLWH D ODV
SHUVRQDV LQPLJUDU D XQ SDtV FRQ XQD UDSLGH] FRQVWDQWH
r ¢&XiOHVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODSREODFLyQ
P(t GHOSDtVFXDQGRVHOHVSHUPLWHDODVSHUVRQDVHPLJUDU
GHOSDtVFRQXQDUDSLGH]FRQVWDQWHr "
2. (O PRGHOR GH SREODFLyQ GDGR HQ OD HFXDFLyQ IDOOD DO
QR FRQVLGHUDU OD WDVD GH PRUWDOLGDG OD UDSLGH] GH FUHFLPLHQWRHVLJXDODODWDVDGHQDWDOLGDG(QRWURPRGHORGHO
FDPELRGHSREODFLyQGHXQDFRPXQLGDGVHVXSRQHTXHOD
UDSLGH] GH FDPELR GH OD SREODFLyQ HV XQD UD]yQneta HV
GHFLUODGLIHUHQFLDHQWUHODWDVDGHQDWDOLGDG\ODGHPRUWDOLGDGHQODFRPXQLGDG'HWHUPLQHXQPRGHORSDUDODSREODFLyQ P(t VL WDQWR OD WDVD GH QDWDOLGDG \ OD PRUWDOLGDG
VRQSURSRUFLRQDOHVDODSREODFLyQSUHVHQWHDOWLHPSRt 0.
3. 8WLOLFHHOFRQFHSWRGHUDSLGH]QHWDLQWURGXFLGRHQHOSUREOHPDSDUDGHWHUPLQDUXQPRGHORSDUDXQDSREODFLyQP(t)
VLODWDVDGHQDWDOLGDGHVSURSRUFLRQDODODSREODFLyQSUHVHQ
WHDOWLHPSRtSHURODWDVDGHPRUWDOLGDGHVSURSRUFLRQDODO
FXDGUDGRGHODSREODFLyQSUHVHQWHDOWLHPSRt.
4. 0RGL¿TXHHOSUREOHPDSDUDODUDSLGH]QHWDFRQODTXHOD
SREODFLyQP(t GHXQDFLHUWDFODVHGHSH]FDPELDDOVXSRQHUTXHHOSH]HVWiVLHQGRSHVFDGRFRQXQDUDSLGH]FRQVWDQWHh 0.
Ley de enfriamiento/calentamiento de Newton
5. 8QDWD]DGHFDIpVHHQIUtDGHDFXHUGRFRQODOH\GHHQIULDPLHQWRGH1HZWRQHFXDFLyQ 8WLOLFHORVGDWRVGHODJUi¿FDGHODWHPSHUDWXUDT(t HQOD¿JXUDSDUDHVWLPDU
ODVFRQVWDQWHVTm, T0\kHQXQPRGHORGHODIRUPDGHXQ
SUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHSULPHURUGHQdTdt k
(T Tm), T(0) T0.
T
200
150
100
50
0
25
50
75
minutos
100
t
FIGURA 1.3.10 &XUYDGHHQIULDPLHQWRHQHOSUREOHPD
6. /DWHPSHUDWXUDDPELHQWHTmHQODHFXDFLyQ SRGUtDVHU
XQDIXQFLyQGHOWLHPSRt6XSRQJDTXHHQXQPHGLRDPELHQWH FRQWURODGR Tm(t HV SHULyGLFD FRQ XQ SHULRGR GH
KRUDVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD'LVHxHXQ
PRGHORPDWHPiWLFRSDUDODWHPSHUDWXUDT(t GHXQFXHUSR
GHQWURGHHVWHPHGLRDPELHQWH
Tm (t)
120
100
80
60
40
20
0
12
24
36
48
media medio media medio media
noche día
noche día
noche
t
FIGURA 1.3.11 7HPSHUDWXUDDPELHQWHHQHOSUREOHPD
Propagación de una enfermedad/tecnología
7. 6XSRQJDTXHXQDOXPQRHVSRUWDGRUGHOYLUXVGHODJULSH\
UHJUHVDDXQDLVODGRFDPSXVGHVXXQLYHUVLGDGGHHVWXGLDQWHV'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDHOQ~PHUR
GHSHUVRQDVx(t TXHFRQWUDHUiQODJULSHVLODUDSLGH]FRQOD
TXHODHQIHUPHGDGVHSURSDJDHVSURSRUFLRQDODOQ~PHURGH
LQWHUDFFLRQHVHQWUHHOQ~PHURGHHVWXGLDQWHVTXHWLHQHJULSH
\HOQ~PHURGHHVWXGLDQWHVTXHD~QQRVHKDQH[SXHVWRDHOOD
8. $OWLHPSRGHQRWDGRSRUt VHLQWURGXFHXQDLQQRYDFLyQWHFQROyJLFDHQXQDFRPXQLGDGTXHWLHQHXQDFDQWLGDG¿MDGHnSHUVRQDV'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDHOQ~PHURGHSHUVRQDVx(t TXHKD\DQDGRSWDGR
ODLQQRYDFLyQDOWLHPSRtVLVHVXSRQHTXHODUD]yQFRQOD
TXHVHSURSDJDODLQQRYDFLyQHVFRQMXQWDPHQWHSURSRUFLRQDODOQ~PHURGHSHUVRQDVTXH\DODKDQDGRSWDGR\DO
Q~PHURGHSHUVRQDVTXHQRODKDQDGRSWDGR
Mezclas
9. 6XSRQJDTXHXQWDQTXHJUDQGHGHPH]FODGRFRQWLHQHLQLFLDOPHQWH / GH DJXD HQ ORV TXH VH GLVROYLHURQ NJGHVDO(QWUDDJXDSXUDDXQDUDSLGH]GH/PLQ\
FXDQGRODVROXFLyQHVWiELHQUHYXHOWDVDOHDODPLVPDUDSLGH]'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHH[SUHVHOD
FDQWLGDGA(t GHVDOTXHKD\HQHOWDQTXHDOWLHPSRt 0.
¢&XiQWRYDOHA "
10. 6XSRQJDTXHXQWDQTXHJUDQGHGHPH]FODGRFRQWLHQHLQLFLDOPHQWH/GHDJXDHQORVTXHVHKDQGLVXHOWR
NJGHVDO2WUDVDOPXHUDLQWURGXFLGDDOWDQTXHDXQDUD]yQ
GH/PLQ\FXDQGRODVROXFLyQHVWiELHQPH]FODGDVDOH
DXQDlenta rapidezGH/PLQ6LODFRQFHQWUDFLyQGHOD
VROXFLyQTXHHQWUDHVNJ/GHWHUPLQHXQDHFXDFLyQ
GLIHUHQFLDOTXHH[SUHVHODFDQWLGDGGHVDOA(t TXHKD\HQ
HOWDQTXHDOWLHPSRt 0.
1.3
ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS
11. ¢&XiO HV OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GHO SUREOHPD VL
OD VROXFLyQ ELHQ PH]FODGD VDOH D XQD mayor rapidez GH
/PLQ"
12. *HQHUDOLFH HO PRGHOR GDGR HQ OD HFXDFLyQ GH HVWD
VHFFLyQVXSRQLHQGRTXHHOJUDQWDQTXHFRQWLHQHLQLFLDOPHQWHXQQ~PHURN0GHGHOLWURVGHVDOPXHUDrentra\rsale
VRQODVUDSLGHFHVGHHQWUDGD\VDOLGDGHODVDOPXHUDUHVSHFWLYDPHQWH PHGLGDV HQ OLWURV SRU PLQXWR centra HV OD
FRQFHQWUDFLyQGHVDOHQHOÀXMRTXHHQWUDc(t HVODFRQFHQWUDFLyQ GH VDO HQ HO WDQTXH DVt FRPR HQ HO ÀXMR TXH
VDOHDOWLHPSRt PHGLGDHQNJGHVDOSRUOLWUR \A(t HV
ODFDQWLGDGGHVDOHQHOWDQTXHDOWLHPSRt 0.
Drenado de un tanque
13. 6XSRQJDTXHHVWiVDOLHQGRDJXDGHXQWDQTXHDWUDYpVGH
XQDJXMHURFLUFXODUGHiUHDAhTXHHVWiHQHOIRQGR&XDQGR
HODJXDVDOHDWUDYpVGHODJXMHURODIULFFLyQ\ODFRQWUDFFLyQGHODFRUULHQWHFHUFDGHODJXMHURUHGXFHQHOYROXPHQ
GH DJXD TXH VDOH GHO WDQTXH SRU VHJXQGR D cAh 12gh ,
GRQGHc (0 c HVXQDFRQVWDQWHHPStULFD'HWHUPLQH
XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODDOWXUDhGHODJXDDOWLHPSR
tSDUDHOWDQTXHF~ELFRTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
(OUDGLRGHODJXMHURHVGHPP\g PV2.
Aw
4m
h
agujero
circular
O
31
GLIHUHQFLDOSDUDODFRUULHQWHi(t VLODUHVLVWHQFLDHVROD
LQGXFWDQFLDHVL\HOYROWDMHDSOLFDGRHVE(t).
E
L
R
FIGURA 1.3.14 &LUFXLWRHQVHULH LR GHOSUREOHPD
16. 8QFLUFXLWRHQVHULHFRQWLHQHXQUHVLVWRU\XQFDSDFLWRUFRPR
VHPXHVWUDHQOD¿JXUD'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHH[SUHVHODFDUJDq(t HQHOFDSDFLWRUVLODUHVLVWHQFLDHVRODFDSDFLWDQFLDHVC\HOYROWDMHDSOLFDGRHVE(t).
R
E
C
FIGURA 1.3.15 &LUFXLWRRCHQVHULHGHOSUREOHPD
Caida libre y resistencia del aire
17. 3DUDPRYLPLHQWRVGHJUDQUDSLGH]HQHODLUHFRPRHOGHO
SDUDFDLGLVWDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDTXHHVWiFD\HQGRDQWHVGHTXHVHDEUDHOSDUDFDtGDVODUHVLVWHQFLDGHO
DLUHHVFHUFDQDDXQDSRWHQFLDGHODYHORFLGDGLQVWDQWiQHDv(t 'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODYHORFLGDGv(t GHXQFXHUSRGHPDVDmTXHFDHVLODUHVLVWHQFLDGHO
DLUHHVSURSRUFLRQDODOFXDGUDGRGHODYHORFLGDGLQVWDQWiQHD
6XSRQJDTXHODGLUHFFLyQGHFDtGDHVSRVLWLYD
FIGURA 1.3.12 7DQTXHF~ELFRGHOSUREOHPD
14. 'HOWDQTXHFyQLFRUHFWDQJXODUUHFWRTXHVHPXHVWUDHQOD
¿JXUDVDOHDJXDSRUXQDJXMHURFLUFXODUTXHHVWi
HQHOIRQGR'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDOD
DOWXUDhGHODJXDDOWLHPSRt (OUDGLRGHODJXMHURHV
PPg PV2\HOIDFWRUGHIULFFLyQFRQWUDFFLyQ
LQWURGXFLGRHQHOSUREOHPDHVc 0.6.
kv2
SKYD IVING
MADE
EASY
mg
3m
FIGURA 1.3.16 5HVLVWHQFLDGHODLUHSURSRUFLRQDODO
Aw
FXDGUDGRGHODYHORFLGDGGHOSUREOHPD
h
6m
agujero circular
FIGURA 1.3.13 7DQTXHFyQLFRGHOSUREOHPD
Circuitos en serie
15. 8QFLUFXLWRHQVHULHWLHQHXQUHVLVWRU\XQLQGXFWRUFRPR
VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 'HWHUPLQH XQD HFXDFLyQ
Segunda ley de Newton y Principio de Arquímedes
18. 8QEDUULOFLOtQGULFRGHsPHWURVGLiPHWUR\w1GHSHVRHVWi
ÀRWDQGR HQ DJXD FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD D 'HVSXpV GH XQ KXQGLPLHQWR LQLFLDO HO EDUULO SUHVHQWD XQ
PRYLPLHQWR RVFLODWRULR KDFLD DUULED \ KDFLD DEDMR D OR
ODUJRGHODYHUWLFDO8WLOL]DQGROD¿JXUD E REWHQJD
XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDHVWDEOHFHUHOGHVSOD]DPLHQWR
YHUWLFDOy(t VLVHVXSRQHTXHHORULJHQHVWiHQHOHMHYHUWLFDO
\HQODVXSHU¿FLHGHODJXDFXDQGRHOEDUULOHVWiHQUHSRVR
8VHHOPrincipio de ArquímedesODIXHU]DGHÀRWDFLyQR
32
O
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
KDFLD DUULED TXH HMHUFH HO DJXD VREUH HO EDUULO HV LJXDO DO
SHVRGHODJXDGHVSOD]DGD6XSRQJDTXHODGLUHFFLyQKDFLD
DEDMRHVSRVLWLYDTXHODGHQVLGDGGHPDVDGHODJXDHV
1P3\TXHQRKD\UHVLVWHQFLDHQWUHHOEDUULO\HODJXD
s/2
s/2
superficie
0
a)
0
y(t)
21. 8QSHTXHxRFRKHWHPRQRHWDSDVHODQ]DYHUWLFDOPHQWHFRPR
VHPXHVWUDHQOD¿JXUD8QDYH]ODQ]DGRHOFRKHWH
FRQVXPHVXFRPEXVWLEOH\DVtVXPDVDWRWDOm(t YDUtDFRQ
HO WLHPSRt ! 6L VH VXSRQH TXH OD GLUHFFLyQ SRVLWLYD HV
KDFLDDUULEDODUHVLVWHQFLDGHODLUHHVSURSRUFLRQDODODYHORFLGDGLQVWDQWiQHDvGHOFRKHWH\RHVHOHPSXMHDVFHQGHQWH
R IXHU]D JHQHUDGD SRU HO VLVWHPD GH SURSXOVLyQ HQWRQFHV
FRQVWUX\DXQPRGHORPDWHPiWLFRSDUDODYHORFLGDGv(t GHO
FRKHWH>Sugerencia: YHDODHFXDFLyQ HQODVHFFLyQ@
b)
FIGURA 1.3.17 0RYLPLHQWRRVFLODWRULRGHOEDUULO
ÀRWDQGRGHOSUREOHPD
19. 'HVSXpVGHTXHVH¿MDXQDPDVDmDXQUHVRUWHpVWHVHHVWLUD
sXQLGDGHV\FXHOJDHQUHSRVRHQODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR
FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E 'HVSXpVHOVLVWHPD
UHVRUWHPDVDVHSRQHHQPRYLPLHQWRVHDTXHx(t GHQRWHOD
GLVWDQFLDGLULJLGDGHOSXQWRGHHTXLOLEULRDODPDVD&RPRVH
LQGLFDHQOD¿JXUD F VXSRQJDTXHODGLUHFFLyQKDFLD
DEDMRHVSRVLWLYD\TXHHOPRYLPLHQWRVHHIHFW~DHQXQDUHFWD
YHUWLFDOTXHSDVDSRUHOFHQWURGHJUDYHGDGGHODPDVD\TXH
ODV~QLFDVIXHU]DVTXHDFW~DQVREUHHOVLVWHPDVRQHOSHVR
GHODPDVD\ODIXHU]DGHUHVWDXUDFLyQGHOUHVRUWHHVWLUDGR
8WLOLFH OD ley de Hooke OD IXHU]D GH UHVWDXUDFLyQ GH XQ
UHVRUWHHVSURSRUFLRQDODVXHORQJDFLyQWRWDO'HWHUPLQHXQD
HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOGHVSOD]DPLHQWRx(t DOWLHPSRt 0.
x(t) < 0
s
resorte sin
x=0
m
deformar
x(t) > 0
posición de
equilibrio
m
a)
b)
c)
FIGURA 1.3.18 6LVWHPDUHVRUWHPDVDGHOSUREOHPD
20. (QHOSUREOHPD¢FXiOHVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDHO
GHVSOD]DPLHQWRx(t VLHOPRYLPLHQWRWLHQHOXJDUHQXQPHGLR
TXHHMHUFHXQDIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWRVREUHHOVLVWHPD
UHVRUWHPDVDTXHHVSURSRUFLRQDODODYHORFLGDGLQVWDQWiQHD
GHODPDVD\DFW~DHQGLUHFFLyQFRQWUDULDDOPRYLPLHQWR"
Segunda ley de Newton y el movimiento
de un cohete
&XDQGRODPDVDmGHXQFXHUSRFDPELDFRQHOWLHPSRODVHJXQGDOH\GH1HZWRQGHOPRYLPLHQWRVHFRQYLHUWHHQ
F5
d
(mv),
dt
(17)
GRQGHFHVODIXHU]DQHWDDFWXDQGRVREUHHOFXHUSR\mvHVVX
FDQWLGDGGHPRYLPLHQWR8WLOLFH HQSUREOHPDV\
© James L. Davidson/Shutterstock.com
Segunda ley de Newton y ley de Hooke
FIGURA 1.3.19 &RKHWHPRQRHWDSDGHOSUREOHPD .
22. (QHOSUREOHPDODPDVDm(t HVODVXPDGHWUHVPDVDV
GLIHUHQWHVm(t) mp mv mf (t GRQGHmpHVODPDVD
FRQVWDQWH GH OD FDUJD ~WLO mv HV OD PDVD FRQVWDQWH GHO
YHKtFXOR\mf (t HVODFDQWLGDGYDULDEOHGHFRPEXVWLEOH
a) 'HPXHVWUHTXHODUDSLGH]FRQODFXDOODPDVDWRWDOm(t)
GHOFRKHWHFDPELDHVLJXDODODUDSLGH]FRQODFXDOFDPELDODPDVDGHOFRPEXVWLEOHmf (t).
b) 6LHOFRKHWHFRQVXPHVXFRPEXVWLEOHFRQXQDUDSLGH]
FRQVWDQWHȜGHWHUPLQHm(t)/XHJRUHHVFULEDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOSUREOHPDHQWpUPLQRVGHȜ\GH
ODPDVDWRWDOLQLFLDOm(0) = m0.
c) %
DMR OD VXSRVLFLyQ GHO LQFLVR E GHPXHVWUH TXH HO
WLHPSRGHDJRWDPLHQWRGHOFRKHWHtb!RHOPRPHQWR
HQTXHWRGRHOFRPEXVWLEOHVHFRQVXPHHVtb mf (0) Ȝ
GRQGHmf (0)HVODPDVDLQLFLDOGHOFRPEXVWLEOH
Segunda ley de Newton y la ley
de la gravitación universal
23. 'H DFXHUGR FRQ OD ley de la gravitación universal de
NewtonODDFHOHUDFLyQGHFDtGDOLEUHaGHXQFXHUSRWDOFRPR
HOVDWpOLWHTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDTXHHVWiFD\HQGR
GHVGHXQDJUDQGLVWDQFLDKDFLDODVXSHU¿FLHQRHVODFRQVWDQWH
g0iVELHQODDFHOHUDFLyQaHVLQYHUVDPHQWHSURSRUFLRQDODO
FXDGUDGRGHODGLVWDQFLDGHVGHHOFHQWURGHOD7LHUUDa kr2
GRQGHkHVODFRQVWDQWHGHSURSRUFLRQDOLGDG3DUDGHWHUPLQDU
k XWLOLFHHOKHFKRGHTXHHQODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUDr R\a
g6LODGLUHFFLyQSRVLWLYDVHFRQVLGHUDKDFLDDUULEDXWLOLFH
ODVHJXQGDOH\GH1HZWRQ\ODOH\GHODJUDYLWDFLyQXQLYHUVDO
SDUDHQFRQWUDUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODGLVWDQFLDr.
1.3
ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS
satélite de
satellite
of
mass
masa m
O
33
y
(0, a)
P(x, y)
esquí-acuático
cie
erfi
su p
y
r
R
FIGURA 1.3.20 6DWpOLWH
GHOSUREOHPD
FIGURA 1.3.22 (VTXtDFXiWLFRGHOSUREOHPD
Tierra de masa M
superficie
m
29. 6XSHU¿FLH UHÀHFWRUD 6XSRQJD TXH FXDQGR OD FXUYD
SODQDCTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDVHJLUDUHVSHFWR
DOHMHxJHQHUDXQDVXSHU¿FLHGHUHYROXFLyQFRQODSURSLHGDGGHTXHWRGRVORVUD\RVGHOX]L SDUDOHORVDOHMHxTXH
LQFLGHQHQODVXSHU¿FLHVRQUHÀHMDGRVDXQVRORSXQWRO HO
RULJHQ 8WLOLFHHOKHFKRGHTXHHOiQJXORGHLQFLGHQFLDHV
LJXDODOiQJXORGHUHÀH[LyQSDUDGHWHUPLQDUXQDHFXDFLyQ
GLIHUHQFLDOTXHGHVFULEDODIRUPDGHODFXUYDC(VWDFXUYD
CHVLPSRUWDQWHHQDSOLFDFLRQHVFRPRFRQVWUXFFLyQGHWHOHVFRSLRV R DQWHQDV GH VDWpOLWHV IDURV GHODQWHURV GH DXWRPyYLOHV\FROHFWRUHVVRODUHV>Sugerencia:/DLQVSHFFLyQGH
OD¿JXUDPXHVWUDTXHSRGHPRVHVFULELU 2¢3RUTXp"
$KRUDXWLOLFHXQDLGHQWLGDGWULJRQRPpWULFDDGHFXDGD@
r
TXHSDVDDWUDYpVGHOD7LHUUDGHO
SUREOHPD
C
x
bote con motor
x
24. 6XSRQJDTXHVHKDFHXQDJXMHURTXHSDVDSRUHOFHQWURGHOD
7LHUUD\TXHSRUpOVHGHMDFDHUXQDERODGHPDVDmFRPRVH
PXHVWUDHQOD¿JXUD&RQVWUX\DXQPRGHORPDWHPi
WLFRTXHGHVFULEDHOSRVLEOHPRYLPLHQWRGHODEROD$OWLHPSR
tGHQRWHDrFRPRODGLVWDQFLDGHVGHHOFHQWURGHOD7LHUUDDOD
PDVD m D M FRPR OD PDVD GH OD 7LHUUD TXH Mr GHQRWH
ODPDVDGHODSDUWHGHOD7LHUUDTXHHVWiGHQWURGHXQDHVIHUD
GHUDGLRr\TXHGHQRWHODGHQVLGDGFRQVWDQWHGHOD7LHUUD
FIGURA 1.3.21 $JXMHUR
a
tangente
y
C
R
Más modelos matemáticos
25. Teoría del aprendizaje (QODWHRUtDGHODSUHQGL]DMHVHVXSRQHTXHODUDSLGH]FRQTXHVHPHPRUL]DDOJRHVSURSRUFLRQDO
DODFDQWLGDGTXHTXHGDSRUPHPRUL]DU6XSRQJDTXHMGHQRWDODFDQWLGDGWRWDOGHXQWHPDTXHVHGHEHPHPRUL]DU\TXH
A(t HVODFDQWLGDGPHPRUL]DGDDOWLHPSRt 0'HWHUPLQH
XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDGHWHUPLQDUODFDQWLGDGA(t).
26. Falta de memoria (QHOSUREOHPDVXSRQJDTXHODUDSLGH]FRQODFXDOHOPDWHULDOHVolvidadoHVSURSRUFLRQDODOD
FDQWLGDGPHPRUL]DGDDOWLHPSRt 0'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQ
GLIHUHQFLDOSDUDA(t FXDQGRVHFRQVLGHUDODIDOWDGHPHPRULD
27. Suministro de un medicamento 6HLQ\HFWDXQPHGLFDPHQWRHQHOWRUUHQWHVDQJXtQHRGHXQSDFLHQWHDXQDUDSLGH]FRQVWDQWHGHrJUDPRVSRUVHJXQGR6LPXOWiQHDPHQWH
VHHOLPLQDHOPHGLFDPHQWRDXQDUDSLGH]SURSRUFLRQDODOD
FDQWLGDG x(t SUHVHQWH DO WLHPSR t 'HWHUPLQH XQD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHGHVFULEDODFDQWLGDGx(t).
28. Tractrix 8Q ERWH FRQ PRWRU FRPLHQ]D HQ HO RULJHQ \ VH
PXHYH HQ OD GLUHFFLyQ GHO HMH x SRVLWLYR MDODQGR XQ HVTXtDFXiWLFR D OR ODUJR GH XQD FXUYD C OODPDGD tractrix.
9pDVHOD¿JXUD(OHVTXtDFXiWLFRTXHLQLFLDOPHQWH
HVWDEDVLWXDGRHQHOHMHyHQHOSXQWR D HVMDODGRSRUXQD
FXHUGDGHORQJLWXGFRQVWDQWHTXHVHPDQWLHQHWHQVDGXUDQWH
HOPRYLPLHQWR(QHOWLHPSRt!TXHHOHVTXtDFXiWLFRHVWi
HQHOSXQWRGHP(x, y 6XSRQJDTXHODFXHUGDVLHPSUHHVWDQJHQWHDC8WLOLFHHOFRQFHSWRGHSHQGLHQWHSDUDGHWHUPLQDU
XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHODWUD\HFWRULDCGHOPRYLPLHQWR
P (x, y)
θ
L
θ
φ
O
x
FIGURA 1.3.23 6XSHU¿FLHUHÀHFWRUDGHOSUREOHPD
Problemas de análisis
30. /HDQXHYDPHQWHHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV\
GHVSXpVSURSRUFLRQHXQDVROXFLyQH[SOLFtWDP(t SDUDOD
HFXDFLyQ 'HWHUPLQH XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD GH
VROXFLRQHVGH 31. /HDQXHYDPHQWHODRUDFLyQTXHVHHQFXHQWUDDFRQWLQXDFLyQ
GHODHFXDFLyQ \VXSRQJDTXHTmHVXQDFRQVWDQWHSRVLWLYD
$QDOLFHSRUTXpVHSRGUtDHVSHUDUTXHk HQ HQDPERV
FDVRV GH HQIULDPLHQWR \ GH FDOHQWDPLHQWR 3RGUtD HPSH]DU
SRULQWHUSUHWDUGLJDPRVT(t) TmHQXQDIRUPDJUi¿FD
32. /HD QXHYDPHQWH HO DQiOLVLV TXH FRQGXMR D OD HFXDFLyQ
6L VXSRQHPRV TXH LQLFLDOPHQWH HO WDQTXH FRQVHUYD
GLJDPRVNJGHVDOHVSRUTXHVHOHHVWiDJUHJDQGRVDO
FRQWLQXDPHQWHDOWDQTXHSDUDt 0, A(t VHUiXQDIXQFLyQ
FUHFLHQWH$QDOLFHFyPRSRGUtDGHWHUPLQDUDSDUWLUGHOD
('VLQUHDOPHQWHUHVROYHUODHOQ~PHURGHNLORJUDPRVGH
VDOHQHOWDQTXHGHVSXpVGHXQSHULRGRODUJR
33. Modelo de población /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO
dP
(k cos t)P, GRQGH k HV XQD FRQVWDQWH SRVLWLYD
dt
PRGHODODSREODFLyQKXPDQDP(t GHFLHUWDFRPXQLGDG
34
O
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
$QDOLFHHLQWHUSUHWHODVROXFLyQGHHVWDHFXDFLyQ(QRWUDV
SDODEUDV ¢TXp WLSR GH SREODFLyQ SLHQVD TXH GHVFULEH HVWD
HFXDFLyQGLIHUHQFLDO"
34. Fluido girando &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD D XQ
FLOLQGUR FLUFXODU UHFWR SDUFLDOPHQWH OOHQR FRQ XQ ÀXLGR HVWi
JLUDQGR FRQ XQD YHORFLGDG DQJXODU FRQVWDQWH UHVSHFWR DO
HMH YHUWLFDO TXH SDVD SRU VX FHQWUR (O ÀXLGR JLUDQGR IRUPD
XQD VXSHU¿FLH GH UHYROXFLyQ S 3DUD LGHQWL¿FDU S SULPHUR
HVWDEOHFHPRV XQ VLVWHPD FRRUGHQDGR TXH FRQVLVWH HQ XQ
SODQRYHUWLFDOGHWHUPLQDGRSRUHOHMHy\HOHMHxGLEXMDGRHQ
IRUPDSHUSHQGLFXODUDOHMHyGHWDOIRUPDTXHHOSXQWRGHLQWHUVHFFLyQ GH ORV HMHV HO RULJHQ HVWi ORFDOL]DGR HQ HO SXQWR
LQIHULRU GH OD VXSHU¿FLH S (QWRQFHV EXVFDPRV XQD IXQFLyQ
y f (x TXHUHSUHVHQWHODFXUYDCGHLQWHUVHFFLyQGHODVXSHU¿FLHS\GHOSODQRFRRUGHQDGRYHUWLFDO6HDTXHHOSXQWRP(x, y)
GHQRWHODSRVLFLyQGHXQDSDUWtFXODGHOÀXLGRJLUDQGRGHPDVD
mHQHOSODQRFRRUGHQDGR9HDOD¿JXUD E a) (
QPKD\XQDIXHU]DGHUHDFFLyQGHPDJQLWXGFGHELGD
DODVRWUDVSDUWtFXODVGHOÀXLGRTXHHVSHUSHQGLFXODUDOD
VXSHU¿FLHS8VDQGRODVHJXQGDOH\GH1HZWRQODPDJQLWXG GH OD IXHU]D QHWD TXH DFW~D VREUH OD SDUWtFXOD HV
m2x ¢&XiO HV HVWD IXHU]D" 8WLOLFH OD ¿JXUD E 36. Gotas de lluvia cayendo (QPHWHRURORJtDHOWpUPLQRvirgaVH
UH¿HUHDODVJRWDVGHOOXYLDTXHFDHQRDSDUWtFXODVGHKLHORTXHVH
HYDSRUDQDQWHVGHOOHJDUDOVXHOR6XSRQJDTXHHQDOJ~QWLHPSR
TXHVHSXHGHGHQRWDUSRUt ODVJRWDVGHOOXYLDGHUDGLRr0
FDHQGHVGHHOUHSRVRGHXQDQXEH\VHFRPLHQ]DQDHYDSRUDU
a) 6
LVHVXSRQHTXHXQDJRWDVHHYDSRUDGHWDOPDQHUDTXH
VXIRUPDSHUPDQHFHHVIpULFDHQWRQFHVWDPELpQWLHQHVHQWLGRVXSRQHUTXHODUDSLGH]DODFXDOVHHYDSRUDODJRWDGH
OOXYLDHVWRHVODUDSLGH]FRQODFXDOpVWDSLHUGHPDVDHV
SURSRUFLRQDODVXiUHDVXSHU¿FLDO0XHVWUHTXHHVWD~OWLPD
VXSRVLFLyQLPSOLFDTXHODUDSLGH]FRQODTXHHOUDGLRrGHOD
JRWDGHOOXYLDGLVPLQX\HHVXQDFRQVWDQWH(QFXHQWUHr (t).
>Sugerencia:9HDHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV@
b) 6
L OD GLUHFFLyQ SRVLWLYD HV KDFLD DEDMR FRQVWUX\D XQ
PRGHOR PDWHPiWLFR SDUD OD YHORFLGDG v GH OD JRWD
GH OOXYLD TXH FDH DO WLHPSR t 'HVSUHFLH OD UHVLVWHQFLD GHO DLUH >Sugerencia: 8WLOLFH OD IRUPD GH
OD VHJXQGD OH\ GH 1HZWRQ GDGD HQ OD HFXDFLyQ @
37. Deja que nieve (O ³SUREOHPD GHO TXLWDQLHYHV´ HV XQ FOiVLFR TXH DSDUHFH HQ PXFKRV OLEURV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV
\TXHIXHSUREDEOHPHQWHLQYHQWDGRSRU5DOSK3DOPHU$JQHZ
“Un día comenzó a nevar en forma intensa y constante. Un quitanieve comenzó a medio día, y avanzó
2 millas la primera hora y una milla la segunda. ¿A qué
hora comenzó a nevar?”
SDUDDQDOL]DUODQDWXUDOH]D\HORULJHQGHODVHFXDFLRQHV
F FRV mg,
F VHQ m2x
b) 8
VHHOLQFLVRD SDUDHQFRQWUDUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
TXHGH¿QDODIXQFLyQy f(x).
y
ω
curva C de intersección
del plano xy y la
superficie de
y
revolución
mω 2x
F
θ
P
P(x, y)
mg
θ
recta tangente
a la curva C en P
a)
x
b)
FIGURA 1.3.24 )OXLGRJLUDQGRGHOSUREOHPD
35. Cuerpo en caída (Q HO SUREOHPD VXSRQJD TXH r R sGRQGHsHVODGLVWDQFLDGHVGHODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUD
DO FXHUSR TXH FDH ¢&yPR HV OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH VH
REWXYRHQHOSUREOHPDFXDQGRsHVPX\SHTXHxDHQFRPSDUDFLyQFRQR">Sugerencia:&RQVLGHUHODVHULHELQRPLDOSDUD
(R s)2 R2 (1 sR)2.]
.
REPASO DEL CAPÍTULO 1
(QORVSUREOHPDV\OOHQHHOHVSDFLRHQEODQFR\GHVSXpVHVFULED
HVWH UHVXOWDGR FRPR XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ TXH
QRFRQWLHQHDOVtPERORc1\TXHWLHQHODIRUPDdydx f(x, y (O
VtPERORc1UHSUHVHQWDXQDFRQVWDQWH
d
c e10x
dx 1
d
2.
(5 c1e
dx
6HHQFXHQWUDHQHOOLEURDifferential EquationsGH5DOSK
3DOPHU$JQHZ0F*UDZ+LOO%RRN&RE~VTXHOR\GHVSXpV
DQDOLFHODFRQVWUXFFLyQ\VROXFLyQGHOPRGHORPDWHPiWLFR
38. Dinámica poblacional 6XSRQJDPRVdP/dt = 0.15P(t UHSUHVHQWDXQPRGHORPDWHPiWLFRSDUDHOFUHFLPLHQWRGHXQFLHUWR
FXOWLYRGHFpOXODVGRQGHPHVHOWDPDxRGHOFXOWLYR PHGLGR
HQPLOORQHVGHFpOXODV DOWLHPSRt! PHGLGRHQKRUDV ¢4XpWDQUiSLGRHVWiFUHFLHQGRHOFXOWLYRHQHOPRPHQWRHQ
TXHHOWDPDxRGHOFXOWLYRDOFDQ]DPLOORQHVGHFpOXODV"
39. Decaimiento radiactivo 6XSRQJDPRV TXH dA/dt =
-0.0004332A(t UHSUHVHQWD XQ PRGHOR PDWHPiWLFR SDUD
HOGHFDLPLHQWRGHUDGLRGRQGH$ t HVODFDQWLGDGGH
UDGLR PHGLGR HQ JUDPRV UHVWDQWH HQ HO PRPHQWR t > 0
PHGLGRHQDxRV ¢&XiQWDFDQWLGDGGHODPXHVWUDGHUDGLR
VH PDQWLHQH DO WLHPSR HQ TXH OD PXHVWUD HVWi GHFD\HQGR
FRQXQDUDSLGH]GHJSRUDxR"
40. /HDQXHYDPHQWHHVWDVHFFLyQ\FODVL¿TXHFDGDPRGHORPDWHPiWLFRFRPROLQHDORQROLQHDO
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-1.
(QORVSUREOHPDV\OOHQHHOHVSDFLRHQEODQFR\GHVSXpVHVFULED
HVWHUHVXOWDGRFRPRXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ
TXHQRFRQWHQJDDODVFRQVWDQWHVc1\c2\TXHWHQJDODIRUPDF(y, y)
/RVVtPERORVc1, c2\kUHSUHVHQWDQFRQVWDQWHV
d2
(c1 cos kx c2 sen kx)
dx2
d2
4.
(c1 cosh kx c2 senh kx)
dx2
3.
1.
2x
)
REPASO DEL CAPÍTULO 1
(QORVSUREOHPDV\FDOFXOHy\y\GHVSXpVFRPELQHHVWDVGHULYDGDVFRQyFRPRXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ
TXHQRFRQWLHQHORVVtPERORVc1\c2\TXHWLHQHODIRUPDF(y, y, y)
(VWRVVtPERORVc1\c2UHSUHVHQWDQFRQVWDQWHV
5. y c1e c 2xe
x
x
6. y c1e FRVx c2e VHQx
x
x
(QORVSUREOHPDVDUHODFLRQHFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRQXQDRPiVGHHVWDVVROXFLRQHV
a) y 0,
7.
9.
b) y 2,
xy 2y
y 2y 4
11. y 9y 18
c) y 2x,
d) y 2x 2.
8. y 2
10. xy y
12. xy y 0
(Q ORV SUREOHPDV \ GHWHUPLQH SRU LQVSHFFLyQ DO PHQRV XQD
VROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD
13. y y
14. y y(y 3)
23. y y FRVx VHQx y xVHQx xFRVx
24. y y VHFx y xVHQx FRVx OQ FRVx)
25. x 2y xy y y VHQ OQx)
26. x 2y xy y VHF OQx y FRV OQx OQ FRV OQx)) OQx VHQ OQx)
(QORVSUREOHPDVXWLOLFHODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQSDUDYHUL¿FDUTXHODIXQFLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
GDGD6XSRQJDXQLQWHUYDORDGHFXDGRGHGH¿QLFLyQGHFDGDVROXFLyQ
x
dy
(sen x)y x; y ecos x tecos t dt
dx
0
x
dy
2
2
28.
2xy ex; y ex ett dt
dx
0
27.
29. x2y (x2 x)y (1 x)y 0;
15. (QODJUi¿FDGHy (x ODSHQGLHQWHGHODUHFWDWDQJHQWHHQHO
SXQWR P(x, y HVHOFXDGUDGRGHODGLVWDQFLDGHP(x, y DORULJHQ
30. y0 1 y 5 e x ;
17. a) 'pHOGRPLQLRGHODIXQFLyQy x .
b) 'pHOLQWHUYDORI GHGH¿QLFLyQPiVODUJRHQHOFXDOy x2/3 HV
VROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOxy 2y 0.
19. 'DGRTXHy x±xHVXQDVROXFLyQGHOD('xy y 2x.
'HWHUPLQHx0\HOLQWHUYDORI PiVODUJRSDUDHOFXDOy(x HVXQD
VROXFLyQGHO39,GHSULPHURUGHQxy y 2x, y(x0) 1.
20. 6XSRQJD TXH y(x GHQRWD XQD VROXFLyQ GHO 39, GH SULPHU
RUGHQ y x2 y2, y(1) \ TXH y(x WLHQH DO PHQRV
XQD VHJXQGD GHULYDGD HQ x (Q DOJXQD YHFLQGDG GH
x XWLOLFH OD (' SDUD GHWHUPLQDU VL y(x HVWi FUHFLHQGR R
GHFUHFLHQGR \ VL OD JUi¿FD y(x HV FyQFDYD KDFLD DUULED
RKDFLDDEDMR
21. 8QDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGHWHQHUPiVGHXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHV
a) 'LEXMHGLIHUHQWHVPLHPEURVGHODVIDPLOLDVy 1(x) x2
c1\y 2(x) x2 c2.
b) &RPSUXHEHTXHy 1(x \y 2(x VRQGRVVROXFLRQHVGH
ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQROLQHDOGHSULPHURUGHQ y)2 4x2.
c) &
RQVWUX\DXQDIXQFLyQGH¿QLGDHQWUDPRVTXHVHDXQDVROXFLyQGHOD('QROLQHDOGHOLQFLVRE SHURTXHQRVHDPLHPEUR
GHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHOLQFLVRD 22. ¢&XiO HV OD SHQGLHQWH GH OD UHFWD WDQJHQWH D OD JUi¿FD GH XQD
VROXFLyQGH y
61y 5x3 TXHSDVDSRU "
x
#
2
yx
x et
t
1
x
dt
#e
2
y 5 sen x e t cos t dt 2 cos x
0
t2
sen t dt
0
(QORVSUREOHPDVYHUL¿TXHTXHODH[SUHVLyQLQGLFDGDHVXQD
VROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD´
31. x
2/3
18. a) &
RPSUXHEH TXH OD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD y2 2y
x2±x cHVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
(2y 2)y 2x 1.
b) (QFXHQWUH XQ PLHPEUR GH OD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD HQ
HOLQFLVRD TXHVDWLVIDJDODFRQGLFLyQLQLFLDOy(0) 1.
c) 8
WLOLFH VX UHVXOWDGR GHO LQFLVR E SDUD GHWHUPLQDU XQD
funciónH[SOtFLWDy (x TXHVDWLVIDJDy(0) 'pHO
GRPLQLRGHODIXQFLyQ ¢(Vy (x XQDsoluciónGHO
SUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV"6LHVDVtGpVXLQWHUYDORI
GHGH¿QLFLyQVLQRH[SOLTXHSRUTXp
35
(QORVSUREOHPDVYHUL¿TXHTXHODIXQFLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD'pXQDGH¿QLFLyQGH
LQWHUYDORISDUDFDGDVROXFLyQ
(QORVSUREOHPDV\LQWHUSUHWHFDGDHQXQFLDGRFRPRXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
16. (QODJUi¿FDGHy (x ODUD]yQFRQODTXHODSHQGLHQWHFDPELDUHVSHFWRDxHQXQSXQWRP(x, y HVHOQHJDWLYRGHODSHQGLHQWHGHODUHFWDWDQJHQWHHQP(x, y).
O
32.
dy
1
1 y 5 2 ; x3y3 5 x3 1 1
dx
y
dy
2
1dx2 1 1 5 y1 ;
2
(x 2 5)2 1 y2 5 1
33. y0 5 2y(y9)3; y3 1 3y 5 1 2 3x
34. (1 2 xy)y9 5 y2; y 5 exy
(QORVSUREOHPDVy c1e3x c2ex 2xHVXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVGHOD('GHVHJXQGRRUGHQy±y 3y 6x 'HWHUPLQHXQDVROXFLyQGHO39,GHVHJXQGRRUGHQTXHFRQVLVWHHQHVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\HQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGDGDV
35. y (0) 0, y(0) 0
37. y (1) 4, y(1) 2
36. y (0) 1, y(0) 3
38. y (1) 0, y(1) 1
39. (QOD¿JXUD5VHSUHVHQWDODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQGHXQ
SUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQd 2ydx 2 f (x,
y, y), y(2) y0, y(2) y18WLOLFHODJUi¿FDSDUDHVWLPDUORV
YDORUHVGHy0\y1.
y
5
5
x
−5
FIGURA 1.R.1 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
40. 8QWDQTXHTXHWLHQHODIRUPDGHFLOLQGURFLUFXODUUHFWRGHP
GHUDGLR\PGHDOWXUDHVWiSDUDGRVREUHVXEDVH,QLFLDOPHQWHHO
WDQTXHHVWiOOHQRGHDJXD\pVWDVDOHSRUXQDJXMHURFLUFXODUGH
PPGHUDGLRHQHOIRQGR'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDOD
DOWXUDhGHODJXDDOWLHPSRt 'HVSUHFLHODIULFFLyQ\FRQWUDFFLyQ
GHODJXDHQHODJXMHUR
2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
© Joggie Botma/Shutterstock.com
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Curvas solución sin una solución
Variables separables
Ecuaciones lineales
Ecuaciones exactas
Soluciones por sustitución
Un método numérico
REPASO DEL CAPÍTULO 2
L
36
a historia de las matemáticas tiene muchos relatos de personas que han
dedicado gran parte de sus vidas a la solución de ecuaciones: al principio
de ecuaciones algebraicas y, después, de ecuaciones diferenciales. En las
secciones 2.2 a 2.5 estudiaremos algunos de los métodos analíticos más importantes
para resolver ED de primer orden. Sin embargo, antes de que empecemos a
resolverlas, debemos considerar dos hechos: Es posible que una ecuación diferencial
no tenga soluciones y una ecuación diferencial puede tener una solución que no
se pueda determinar con los métodos analíticos. En las secciones 2.1 y 2.6 no se
soluciona ninguna ED pero se muestra cómo obtener información acerca de sus
soluciones directamente de la ecuación misma.
2.1
2.1
CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN
O
37
CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN
INTRODUCCIÓN Imaginemos por un momento que nos enfrentamos con una ecuación diferencial
de primer orden dydx f (x, y), y que además no podemos encontrar ni inventar un método para
resolverla analíticamente. Esto no es tan malo como se podría pensar, ya que la ecuación diferencial
en sí misma a veces puede “decirnos” concretamente cómo se “comportan” sus soluciones.
Iniciaremos nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden con dos formas
cualitativas de analizar una ED. Estas dos formas nos permiten determinar, de una manera aproximada,
cómo es una curva solución sin resolver realmente la ecuación.
2.1.1
CAMPOS DIRECCIONALES
ALGUNAS PREGUNTAS FUNDAMENTALES En la sección 1.2 vimos que si
f (x, y) y fy satisfacen ciertas condiciones de continuidad, se pueden responder
preguntas cualitativas acerca de la existencia y unicidad de las soluciones. En esta
sección veremos otras preguntas cualitativas acerca de las propiedades de las soluciones: ¿Cómo se comporta una solución cerca de un punto dado? ¿Cómo se comporta
una solución cuando x A ? Con frecuencia se pueden responder cuando la función
f depende sólo de la variable y. Sin embargo, comenzaremos con un simple concepto
de cálculo:
La derivada dydx de una función derivable y y(x) da las pendientes de las
UHFWDVWDQJHQWHVHQSXQWRVGHVXJUi¿FD
PENDIENTE Debido a que una solución y y(x) de una ecuación diferencial de
primer orden
dy
(1)
f (x, y)
dx
y
pendiente = 1.2
(2, 3)
x
a) elemento lineal en un punto.
y
curva
solución
(2, 3)
tangente
x
b) el elemento lineal es tangente
a la curva solución que
pasa por el punto.
FIGURA 2.1.1 El elemento lineal es
tangente a la curva solución en (2, 3).
HVQHFHVDULDPHQWHXQDIXQFLyQGHULYDEOHHQVXLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQ I, debe también
ser continua en I. Por tanto, la curva solución correspondiente en I no tiene cortes y debe
tener una recta tangente en cada punto (x, y(x)). La función f en la forma normal (1) se
llama función pendiente o función tasa. La pendiente de la recta tangente en (x, y(x))
en una curva solución es el valor de la primera derivada dydx en este punto y sabemos
de la ecuación (1) que es el valor de la función pendiente f (x, y(x)). Ahora supongamos que (x, y) representa cualquier punto de una región del plano xy en la que está
GH¿QLGDODIXQFLyQf. El valor f (x, y) que la función f le asigna al punto representa la
pendiente de una recta o, como veremos, un segmento de recta llamado elemento
lineal. Por ejemplo, considere la ecuación dydx 0.2xy, donde f (x, y) 0.2xy.
En donde consideramos al punto (2, 3), la pendiente de un elemento lineal es
f (2, 3) 0.2(2) (3) /D¿JXUD D PXHVWUDXQVHJPHQWRGHUHFWDFRQSHQGLHQWH TXH SDVD SRU &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD E VL XQD FXUYD
solución también pasa por el punto (2, 3), lo hace de tal forma que el segmento de
recta es tangente a la curva; en otras palabras, el elemento lineal es una recta tangente
miniatura en ese punto.
CAMPO DIRECCIONAL Si evaluamos sistemáticamente a f en una cuadrícula rectangular de puntos en el plano xy y se dibuja un elemento lineal en cada punto (x, y)
de la cuadrícula con pendiente f (x, y), entonces al conjunto de todos estos elementos
lineales se le llama campo direccional o campo de pendientes de la ecuación diferencial dydx f (x, y). Visualmente, la dirección del campo indica el aspecto o forma
de una familia de curvas solución de la ecuación diferencial dada y, en consecuencia,
se pueden ver a simple vista aspectos cualitativos de la solución, por ejemplo, regiones
en el plano, en los que una solución presenta un comportamiento poco común. Una
38
CAPÍTULO 2
O
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
VRODFXUYDVROXFLyQTXHSDVDSRUXQFDPSRGLUHFFLRQDOGHEHVHJXLUHOSDWUyQGHÀXMR
del campo: el elemento lineal es tangente a la curva cuando intercepta un punto de la
FXDGUtFXOD/D¿JXUDPXHVWUDXQFDPSRGLUHFFLRQDOJHQHUDGRSRUFRPSXWDGRUD
de la ecuación diferencial dydx sen(x y) sobre una región del plano xy. Observe
FyPRODVWUHVFXUYDVVROXFLyQTXHVHPXHVWUDQDFRORUVLJXHQHOÀXMRGHOFDPSR
EJEMPLO 1 Campo direccional
FIGURA 2.1.2 Las curvas solución
VLJXHQHOÀXMRGHXQFDPSRGLUHFFLRQDO
y
4
2
x
_2
_4
_4
_2
2
4
a) Campo direccional para
dy/dx 0.2xy.
y
4
c>0
2
c=0 x
c<0
_2
El campo direccional para la ecuación diferencial dydx 0.2xyTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
D VHREWXYRXVDQGRXQSDTXHWHFRPSXWDFLRQDOHQHOTXHVHGH¿QLyXQDPDOOD 5
(mh, nh) con m y n enteros, haciendo – 5 m 5, 5 n 5, y h 1. Observe en la
¿JXUD D TXHHQFXDOTXLHUSXQWRGHOHMHGHODVx (y 0) y del eje y (x 0), las pendientes son f (x, 0) 0 y f (0, y) 0, respectivamente, por lo que los elementos lineales son
KRUL]RQWDOHV$GHPiVREVHUYHTXHHQHOSULPHUFXDGUDQWHSDUDXQYDORU¿MRGHx los valores
de f (x, y) 0.2xy aumentan conforme crece y, análogamente, para una y los valores de
f (x, y) 0.2xy aumentan conforme crece x(VWRVLJQL¿FDTXHFRQIRUPHx y y crecen, los
elementos lineales serán casi verticales y tendrán pendiente positiva ( f (x, y) 0.2xy 0
para x 0, y 0). En el segundo cuadrante, f (x, y) aumenta conforme crecen x y y, por
lo que nuevamente los elementos lineales serán casi verticales pero esta vez tendrán pendiente negativa ( f (x, y) 0.2xy 0 para x 0, y 0). Leyendo de izquierda a derecha,
imaginemos una curva solución que inicia en un punto del segundo cuadrante, se mueve
abruptamente hacia abajo, se hace plana conforme pasa por el eje y, y después, conforme
entra al primer cuadrante, se mueve abruptamente hacia arriba; en otras palabras, su
forma sería cóncava hacia arriba y similar a herradura. A partir de esto se podría inferir
que y A conforme x A . Ahora en los cuadrantes tercero y cuarto, puesto que f (x, y)
0.2xy 0 y f (x, y) 0.2xy 0, respectivamente, la situación se invierte: Una curva
solución crece y después decrece conforme nos movamos de izquierda a derecha. Vimos
2
en la ecuación (1) de la sección 1.1 que y e0.1x es una solución explícita de dydx 0.2xy;
usted debería comprobar que una familia uniparamétrica de soluciones de la misma ecua2
ción está dada por: y ce0.1x &RQREMHWRGHFRPSDUDUFRQOD¿JXUD D HQOD¿JXUD
2.1.3(b) se muestran algunos miembros representativos de esta familia.
EJEMPLO 2 Campo direccional
Utilice un campo direccional para dibujar una curva solución aproximada para el problema con valores iniciales dydx sen y, y(0) 32.
_4
_4
_2
2
4
b) Algunas curvas solución
2
en la familia y ce 0.1x .
FIGURA 2.1.3 Campo direccional y
curvas solución.
SOLUCIÓN Antes de proceder, recuerde que a partir de la continuidad de f (x, y) sen y
y fy cos y el teorema 1.2.1 garantiza la existencia de una curva solución única que
pase por un punto dado (x0, y0) en el plano. Ahora, preparamos de nuevo nuestro paquete
computacional para una región rectangular 5 \HVSHFL¿FDPRVSXQWRV GHELGRVDOD
condición inicial) en la región con separación vertical y horizontal de 12 unidad, es decir, en
puntos (mh, nh), h 12 , m y n enteros como 10 m 10, 10 n 10. El resultado
VHSUHVHQWDHQOD¿JXUD3XHVWRTXHHOODGRGHUHFKRGHdydx sen y es 0 en y 0, y
en y ʌ, los elementos lineales son horizontales en todos los puntos cuyas segundas
coordenadas son y 0 o y ʌ. Entonces tiene sentido que una curva solución que pasa
por el punto inicial (0, 32)WHQJDODIRUPDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
CRECIMIENTO/DECRECIMIENTO La interpretación de la derivada dydx como
una función que da la pendiente desempeña el papel principal en la construcción de un
campo direccional. A continuación, se usará otra propiedad contundente de la primera
derivada, es decir, si dydx 0 (o dydx 0) para toda x en un intervalo I, entonces
una función derivable y y(x) es creciente (o decreciente) sobre I.
2.1
y
2
x
_2
_4
_2
O
39
COMENTARIOS
4
_4
CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN
2
4
Dibujar a mano un campo direccional es sencillo pero toma tiempo; por eso es
probable que esta tarea se realice sólo una o dos veces en la vida, generalmente
HVPiVH¿FLHQWHUHDOL]DUODHPSOHDQGRXQSDTXHWHFRPSXWDFLRQDO$QWHVGHODV
calculadoras, de las computadoras personales y de los programas se utilizaba
el método de las isoclinas para facilitar el dibujo, a mano, de un campo direccional. Para la ED dydx f (x, y), cualquier miembro de la familia de curvas
f (x, y) c, con c una constante, se llama una isoclina. Se dibujan elementos
lineales que pasen por los puntos en una isoclina dada, digamos f (x, y) c1
todos con la misma pendiente c1. En el problema 15 de los ejercicios 2.1 tiene
dos oportunidades para dibujar un campo direccional a mano.
FIGURA 2.1.4 Campo direccional
del ejemplo 2 de la pág. 38.
2.1.2
ED AUTÓNOMAS DE PRIMER ORDEN
ED AUTÓNOMAS DE PRIMER ORDEN En la sección 1.1 dividimos las ecuaciones diferenciales ordinarias en dos tipos: lineales y no lineales. Ahora consideraremos
EUHYHPHQWHRWUDFODVHGHFODVL¿FDFLyQGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVXQD
FODVL¿FDFLyQ TXH HV GH SDUWLFXODU LPSRUWDQFLD HQ OD LQYHVWLJDFLyQ FXDOLWDWLYD GH ODV
ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial ordinaria en la que la variable independiente no aparece explícitamente se llama autónoma. Si el símbolo x denota a la
variable independiente, entonces se puede escribir una ecuación diferencial autónoma
de primer orden como f (y, y) 0 o en la forma normal como
dy
(2)
f (y).
dx
Supondremos que la función f en la ecuación (2) y su derivada f son funciones continuas de y sobre algún intervalo I. Las ecuaciones de primer orden
f ( y)
p
dy
5 1 1 y2
dx
f (x, y)
p
y
dy
5 0.2xy
dx
son respectivamente autónoma y no autónoma.
Muchas ecuaciones diferenciales que se encuentran en aplicaciones o ecuaciones
que modelan leyes físicas que no cambian en el tiempo son autónomas. Como ya
hemos visto en la sección 1.3, en un contexto aplicado, se usan comúnmente otros
símbolos diferentes de y y de x para representar las variables dependientes e independientes. Por ejemplo, si t representa el tiempo entonces al examinar
dA
kA,
dt
dx
kx(n 1 x),
dt
dT
k(T Tm),
dt
dA
1
6
A,
dt
100
donde k, n y Tm son constantes, se encuentra que cada ecuación es independiente del
tiempo. Realmente, todas las ecuaciones diferenciales de primer orden introducidas en
la sección 1.3 son independientes del tiempo y por lo tanto, son autónomas.
PUNTOS CRÍTICOS Las raíces de la función f en la ecuación (2) son de especial
importancia. Decimos que un número real c es un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma (2) si es una raíz de f, es decir, f (c) 0. Un punto crítico también
se llama punto de equilibrio o punto estacionario. Ahora observe que si sustituimos
la función constante y(x) c en la ecuación (2), entonces ambos lados de la ecuación
VRQLJXDOHVDFHUR(VWRVLJQL¿FDTXH
Si c es un punto crítico de la ecuación (2), entonces y(x) c es una solución
FRQVWDQWHGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDODXWyQRPD
40
O
CAPÍTULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Una solución constante y(x) c se llama solución de equilibrio; las soluciones de
equilibrio son las únicas soluciones constantes de la ecuación (2).
&RPR \D OR KHPRV PHQFLRQDGR SRGHPRV LGHQWL¿FDU FXDQGR XQD VROXFLyQ QR
constante y y(x) de la ecuación (2) está creciendo o decreciendo determinando el
signo algebraico de la derivada dydx; en el caso de la ecuación (2) hacemos esto idenWL¿FDQGRORVLQWHUYDORVGHOHMHy sobre los que la función f (y) es positiva o negativa.
EJEMPLO 3 Una ED autónoma
La ecuación diferencial
eje P
donde a y b son constantes positivas, tiene la forma normal dPdt f (P), la de la
ecuación (2) con t y P jugando los papeles de x y y respectivamente y por tanto es
autónoma. De f (P) P(a – bP) 0 vemos que 0 y ab son puntos críticos de la
ecuación, así que las soluciones de equilibrio son P(t) 0 y P(t) ab. Poniendo los
SXQWRVFUtWLFRVHQXQDUHFWDYHUWLFDOGLYLGLPRVHVWDUHFWDHQWUHVLQWHUYDORVGH¿QLGRV
por P 0, 0 P ab, ab P /DVÀHFKDVHQODUHFWDTXHVHSUHVHQWD
HQOD¿JXUDLQGLFDQHOVLJQRDOJHEUDLFRGHf (P) P(a – bP) en estos intervalos y
si una solución constante P(t) está creciendo o decreciendo sobre un intervalo. La tabla
VLJXLHQWHH[SOLFDOD¿JXUD
a
b
0
FIGURA 2.1.5 Diagrama fase de
una ED en el ejemplo 3.
Intervalo
(, 0)
(0, a b)
(a b, )
(x0, y0)
I
x
a) región R.
y(x) = c2
y(x) = c1
Signo de f (P )
menos
más
menos
P (t )
decreciente
creciente
decreciente
Flecha
apunta hacia abajo
apunta hacia arriba
apunta hacia abajo
/D¿JXUDHVXQdiagrama fase unidimensional, o simplemente diagrama fase, de
la ecuación diferencial dPdt P(a bP). La recta vertical se llama recta de fase.
y
R
dP
P(a bP),
dt
y
R3
(x0, y0)
R2
R1
x
b) subregiones R1, R2, y R3 de R.
FIGURA 2.1.6 Las rectas y(x) c1 y
y(x) c2 dividen a R en tres subregiones
horizontales.
CURVAS SOLUCIÓN Sin resolver una ecuación diferencial autónoma, normalmente podemos decir mucho respecto a su curva solución. Puesto que la función f en la ecuación (2) es independiente de la variable x, podemos suponer
que fHVWiGH¿QLGDSDUD x o para 0 x . También, ya que f y su derivada
f son funciones continuas de y sobre algún intervalo I del eje y, los resultados principales
del teorema 1.2.1 valen en alguna franja o región R en el plano xy correspondiente a I, y
así pasa por algún punto (x0, y0) en R por el que pasa una curva solución de la ecuación (2).
9HDOD¿JXUD D 3DUDUHDOL]DUQXHVWURDQiOLVLVVXSRQJDPRVTXHODHFXDFLyQ WLHQH
exactamente dos puntos críticos c1 y c2 y que c1 c2/DVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVy(x) c1 y y(x) c2 son rectas horizontales y estas rectas dividen la región R en tres subregiones
R1, R2 y R3FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E $TXtVHSUHVHQWDQVLQFRPSUREDFLyQ
algunas de las conclusiones que podemos extraer de una solución no constante y(x) de la
ecuación (2):
• Si (x0, y0) es una subregión Ri , i 1, 2, 3, y y(x HVXQDVROXFLyQFX\DJUi¿FD
pasa a través de este punto, por lo que y(x) permanece en la subregión Ri para
toda x&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E ODVROXFLyQy(x) en R2 está acotada
por debajo con c1 y por arriba con c2, es decir, c1
y(x)
c2 para toda x.
La curva solución está dentro de R2 para toda xSRUTXHODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQ
QRFRQVWDQWHGHODHFXDFLyQ QRSXHGHFUX]DUODJUi¿FDGHFXDOTXLHUVROXFLyQ
de equilibrio y(x) c1 o y(x) c2. Vea el problema 33 de los ejercicios 2.1.
• Por continuidad de f se tiene que f (y) 0 o f (y)
0 para toda x en una
subregión Ri , i 1, 2, 3. En otras palabras, f (y) no puede cambiar de signo en
una subregión. Vea el problema 33 de los ejercicios 2.1.
2.1
CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN
O
41
• Puesto que dydx f (y(x)) es ya sea positiva o negativa en una subregión Ri ,
i 1, 2, 3, una solución y(x) es estrictamente monótona, es decir, y(x) está
creciendo o decreciendo en la subregión Ri. Por tanto y(x) no puede oscilar, ni
puede tener un extremo relativo (máximo o mínimo). Vea el problema 33 de
los ejercicios 2.1.
• Si y(x) está acotada por arriba con un punto crítico c1 (como en la subregión
R1 donde y(x) c1 para toda x HQWRQFHVODJUi¿FDGHy(x) debe tender a la
JUi¿FDGHODVROXFLyQGHHTXLOLEULRy(x) c1 conforme x A o x A . Si
y(x) está acotada, es decir, acotada por arriba y por debajo por dos puntos
críticos consecutivos (como en la subregión R2 donde c1
y(x)
c2 para
toda x HQWRQFHVODJUi¿FDGHy(x GHEHWHQGHUDODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHV
de equilibrio y(x) c1 y y(x) c2, conforme x A en una y x A en
la otra. Si y(x) está acotada por debajo por un punto crítico (como en la
subregión R3 donde c2
y(x) para toda x HQWRQFHV OD JUi¿FD GH y(x) debe
WHQGHU D OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH HTXLOLEULR y(x) c2 conforme ya sea
x A o x A 9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV
Considerando estos hechos, analicemos la ecuación diferencial del ejemplo 3.
EJEMPLO 4
P
P
R3
decreciente P
0
a
b
creciente
P0
R2
0
t
decreciente P0
recta de fase
R1
Plano tP
FIGURA 2.1.7 Diagrama fase y curvas
VROXFLyQGHOHMHPSOR
Vuelta al ejemplo 3
Los tres intervalos determinados sobre el eje P o recta de fase con los puntos críticos
P 0 y P ab ahora corresponden en el plano tPDWUHVVXEUHJLRQHVGH¿QLGDVSRU
R1: P 0,
R 2: 0 P ab,
y
R 3: a b P ,
donde t (OHVTXHPDGHIDVHGHOD¿JXUDQRVGLFHTXHP(t) está decreciendo en R1, creciendo en R2 y decreciendo en R3. Si P(0) P0 es un valor inicial,
entonces en R1, R2 y R3 tenemos, respectivamente, que:
i)
Para P0 0, P(t) está acotada por arriba. Puesto que P(t) está decreciendo
sin límite conforme aumenta t, y así P(t) A 0 conforme t A . Lo que
VLJQL¿FD TXH HQ HO HMH t QHJDWLYR OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH HTXLOLEULR
P(t) 0, es una asíntota horizontal para una curva solución.
ii)
Para 0 P0 ab, P(t) está acotada. Puesto que P(t) está creciendo, P(t)
A ab conforme t A y P(t) A 0 conforme t A /DVJUi¿FDVGHODV
dos soluciones de equilibrio, P(t) 0 y P(t) ab, son rectas horizontales
que son asíntotas horizontales para cualquier curva solución que comienza
en esta subregión.
iii) Para P0 ab, P(t) está acotada por debajo. Puesto que P(t) está
decreciendo, P(t) A ab conforme t A /D JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH
equilibrio P(t) ab es una asíntota horizontal para una curva solución.
(QOD¿JXUDODUHFWDGHIDVHHVHOHMHP en el plano tP. Por claridad la recta de fase
RULJLQDOGHOD¿JXUDVHKDUHSURGXFLGRDODL]TXLHUGDGHOSODQRHQHOFXDOVHKDQVRPbreado las regiones R1, R2 y R3(QOD¿JXUDVHPXHVWUDQODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVGH
equilibrio P(t) ab y P(t) 0 (el eje t FRQODVUHFWDVSXQWHDGDVD]XOHVODVJUi¿FDVVyOLGDV
UHSUHVHQWDQODVJUi¿FDVWtSLFDVGHP(t) mostrando los tres casos que acabamos de analizar.
En una subregión como R1HQHOHMHPSORGRQGHP(t) está decreciendo y no está acotada por debajo, no se debe tener necesariamente que P(t) A . No interprete que
HVWH ~OWLPR HQXQFLDGR VLJQL¿FD TXH P(t) A conforme t A ; podríamos tener
que P(t) A conforme t A T, donde T HVXQQ~PHUR¿QLWRTXHGHSHQGHGHODFRQdición inicial P(t0) P0. Considerando términos dinámicos, P(t) “explota” en un tiempo
¿QLWRFRQVLGHUDQGRODJUi¿FDP(t) podría tener una asíntota vertical en t T 0. Para
la subregión R3 vale una observación similar.
La ecuación diferencial dydx sen y en el ejemplo 2 es autónoma y tiene un núPHURLQ¿QLWRGHSXQWRVFUtWLFRV\DTXHVHQy 0 en y Qʌ, con n entero. Además,
sabemos que debido a que la solución y(x) pasa por (0, 32) está acotada por arriba y por
debajo por dos puntos críticos consecutivos (ʌ y(x) 0) y decrece (sen y 0 para
42
O
CAPÍTULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
ʌ y ODJUi¿FDGHy(x GHEHWHQGHUDODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVGHHTXLOLEULR
como asíntotas horizontales: y(x) A ʌ conforme x A y y(x) A 0 conforme x A .
EJEMPLO 5
Curvas solución de una ED autónoma
La ecuación autónoma dydx (y 1)2 tiene un solo punto crítico 1. Del esquema
GHIDVHGHOD¿JXUD D FRQFOXLPRVTXHXQDVROXFLyQy(x) es una función creciente
HQODVVXEUHJLRQHVGH¿QLGDVSRU y 1 y 1 y , donde x . Para
una condición inicial y(0) y0 1, una solución y(x) está creciendo y está acotada
por arriba por 1 y así y(x) A 1 conforme x A ; para y(0) y0 1, una solución y(x)
está creciendo y está acotada.
Ahora y(x) 1 1(x c) es una familia uniparamétrica de soluciones de la
HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO YHD HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV 8QD FRQGLFLyQ LQLcial dada determina un valor para c. Para las condiciones iniciales, y(0) 1
1
y y(0) 2 1, encontramos, respectivamente, que y(x) 1 < 1/(x 12), y(x) 1 <1(x < &RPRVHPXHVWUDHQODV¿JXUDV E \ F ODJUi¿FDGHFDGD
y
y
y
x =1
creciente
(0, 2)
y=1
1
y =1
x
x
(0, −1)
creciente
x= −
a) recta de fase
1
2
b) plano xy
y(0) 1
c) plano xy
y(0) 1
FIGURA 2.1.8 Comportamiento de las soluciones cerca de y 1
en el ejemplo 5.
una de estas funciones racionales tienen una asíntota vertical. Pero recuerde que las
soluciones de los problemas con valores iniciales
dy
dy
( y 1) 2, y(0) 1
y
(y 1) 2, y(0) 2
dx
dx
HVWiQGH¿QLGDVVREUHLQWHUYDORVHVSHFLDOHV/DVGRVVROXFLRQHVVRQUHVSHFWLYDPHQWH
1
1
1
,
x 1.
x
y
y(x) 1
,
y(x) 1
2
x 1
x 12
c
y0
y0
c
c
c
y0
a)
y0
b)
c)
d)
FIGURA 2.1.9 El punto crítico c es un
atractor en a) y un repulsor en b) y semiestable en c) y d).
/DVFXUYDVVROXFLyQVRQODVSDUWHVGHODVJUi¿FDVGHODV¿JXUDV E \ F que se muestran en azul. Como lo indica el diagrama fase, para la curva solución de la
¿JXUD E y(x) A 1 conforme x A SDUDODFXUYDVROXFLyQGHOD¿JXUD F y(x) A conforme x A 1 por la izquierda.
ATRACTORES Y REPULSORES Suponga que y(x) es una solución no constante de
la ecuación diferencial autónoma dada en (1) y que c es un punto crítico de la ED.
Básicamente hay tres tipos de comportamiento que y(x) puede presentar cerca de c. En
OD¿JXUDKHPRVSXHVWRDc en las cuatro rectas verticales. Cuando ambas puntas
GHÀHFKDHQFXDOTXLHUODGRGHOSXQWRc, apuntan hacia cFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
D WRGDVODVVROXFLRQHVy(x) de la ecuación (1) que comienzan en el punto inicial
2.1
CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN
O
43
(x0, y0 VX¿FLHQWHPHQWHFHUFDGHc presentan comportamiento asintótico límxAy(x) c.
Por esta razón se dice que el punto crítico c es asintóticamente estable. Utilizando una
analogía física, una solución que comienza en c se parece a una partícula cargada que,
con el tiempo, se transforma en una partícula de carga contraria y así c también se conoce
como un atractor&XDQGRDPEDVSXQWDVGHÀHFKDDORVODGRVGHODÀHFKDGHOSXQWRc
apuntan alejándose de cFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E WRGDVODVVROXFLRQHVy(x)
de la ecuación (1) que comienzan en un punto inicial (x0, y0) se alejan de c conforme crece
x. En este caso se dice que el punto crítico c es inestable. Un punto crítico inestable se conoce como un repulsorSRUUD]RQHVREYLDV(QODV¿JXUDV F \ G VHPXHVWUD
el punto crítico c que no es ni un atractor ni un repulsor. Pero puesto que c presenta caraclas pendientes de los varían las pendientes terísticas tanto de atractor como de repulsor, es decir, una solución que comienza desde
de los elementos sobre
elementos lineales
un punto inicial (x0, y0 TXHHVWiVX¿FLHQWHPHQWHFHUFDGHc es atraída hacia c por un lado
una recta vertical.
sobre una recta
y repelida por el otro, este punto crítico se conoce como semiestable. En el ejemplo 3 el
horizontal son
punto crítico ab es asintóticamente estable (un atractor) y el punto crítico 0 es inestable
todas iguales.
y
(un repulsor). El punto crítico 1 del ejemplo 5 es semiestable.
y
x
FIGURA 2.1.10 Campo direccional
para una ED autónoma.
y
y=3
y=0
FIGURA 2.1.11 Curvas solución
trasladadas de una ED autónoma.
x
ED AUTÓNOMAS Y CAMPOS DIRECCIONALES Si una ecuación diferencial de
primer orden es autónoma, entonces en la forma normal vemos en el miembro derecho
dydx f (y) que las pendientes de los elementos lineales que pasan por los puntos en la
cuadrícula rectangular que se usa para construir un campo direccional para la ED, sólo dependen de la coordenada y de los puntos. Expresado de otra manera, los elementos lineales
que pasan por puntos de cualquier recta horizontal deben tener todos la misma pendiente;
por supuesto, pendientes de elementos lineales a lo largo de cualquier recta vertical, variarán. Estos hechos se muestran examinando la banda horizontal dorada y la banda vertical
D]XOGHOD¿JXUD/D¿JXUDSUHVHQWDXQFDPSRGLUHFFLRQDOSDUDODHFXDFLyQDXWyQRPD
dydx 2(y± /RVHOHPHQWRVOLQHDOHVURMRVHQOD¿JXUDWLHQHQSHQGLHQWHFHURSRUTXHVHHQFXHQWUDQDORODUJRGHODJUi¿FDGHODVROXFLyQGHHTXLOLEULRy 1.
PROPIEDAD DE TRASLACIÓN Recordará del curso de matemáticas de precálculo
TXHODJUi¿FDGHXQDIXQFLyQy f (x – k) donde kHVXQDFRQVWDQWHHVODJUi¿FDGHXQD
función y f (x) rígidamente trasladada o desplazada horizontalmente a lo largo del eje
x por una cantidad k ; la traslación es hacia la derecha si k 0 y hacia la izquierda si
k 0. Resulta que bajo las condiciones establecidas para (2), las curvas solución están
relacionadas con las curvas de una ED autónoma de primer orden por el concepto de
traslación. Para ver esto, consideremos la ecuación diferencial dydx y(3– y) que es un
FDVRHVSHFLDOGHODHFXDFLyQDXWyQRPDFRQVLGHUDGDHQORVHMHPSORV\3XHVWRTXHy 0 y y VRQVROXFLRQHVGHHTXLOLEULRGHOD('VXVJUi¿FDVGLYLGHQHOSODQRxy en tres
subregiones R1, R2 y R3:
R1 :
y
0
R2 : 0
y
3
y
R3 : 3
y
(QOD¿JXUDKHPRVVREUHSXHVWRXQFDPSRGLUHFFLRQDOGHODVFXUYDVGHVHLVVROXFLRQHVGHOD('/D¿JXUDPXHVWUDWRGDVODVFXUYDVVROXFLyQGHOPLVPRFRORUHVGHFLUODV
curvas solución se encuentran dentro de una subregión particular Ri, todas lucen iguales.
Esto no es una coincidencia, ya que es una consecuencia natural del hecho de que los elementos lineales que pasan a través de cualquier recta horizontal son paralelos. Por lo que
la siguiente propiedad de traslación de una ED autónoma debe tener sentido:
Si y(x) es una solución de una ecuación diferencial autónoma dy/dx f (y), entonces
y1(x) y(x k)NXQDFRQVWDQWHWDPELpQHVXQDVROXFLyQ
Por tanto, si y(x) es una solución del problema con valores iniciales dydx f(y), y(0) y0, luego y1(x) y(x x0) es una solución del PVI dydx f(y), y(x0) y0. Por ejemplo,
es fácil de comprobar que y(x) ex, x , es una solución del PVI, dydx y,
y(0) 1 y así una solución y1(x) de, digamos, dydx y, y(5) 1 es y(x) ex trasladado
5 unidades a la derecha:
y1(x) y(x 5) ex5, x
.
44
O
CAPÍTULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
EJERCICIOS 2.1
2.1.1
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1
CAMPOS DIRECCIONALES
1.
y
4
(QORVSUREOHPDVUHSURGX]FDHOFDPSRGLUHFFLRQDOGDGRJHnerado por computadora. Después dibuje, a mano, una curva solución aproximada que pase por cada uno de los puntos indicados.
Utilice lápices de colores diferentes para cada curva solución.
2
x
dy
x2 y2
dx
a) y(2) 1
c) y(0) 2
_2
b) y(3) 0
d) y(0) 0
_4
_4
y
3
_2
4
2
FIGURA 2.1.14 Campo direccional del problema 3.
2
1
4.
x
_1
dy
(sen x) cos y
dx
a) y(0) 1
c) y(3) 3
_2
y
_3
_3 _2 _1
1
2
4
3
FIGURA 2.1.12 Campo direccional del problema 1.
2.
2
x
dy
2
e0.01x y
dx
a) y(6) 0
c) y(0) _2
b) y(0) 1
d) y(8) _4
_4
y
4
x
_4
_8
_8
_4
2
4
4
8
En los problemas 5-12 use un paquete computacional para obtener un campo direccional para la ecuación diferencial dada.
Dibuje a mano una curva solución aproximada que pase por
los puntos dados.
5. y x
6. y x y
a) y(0) 0
a) y(2) 2
b) y(0) 3
b) y(1) 3
dy
x
dx
a) y(1) 1
b) y(0) 7. y
FIGURA 2.1.13 Campo direccional del problema 2.
dy
1 xy
dx
a) y(0) 0
c) y(2) 2
_2
FIGURA 2.1.15 &DPSRGLUHFFLRQDOGHOSUREOHPD
8
3.
b) y(1) 0
d) y(0) 52
9.
b) y(1) 0
d) y(0) dy
0.2x 2 y
dx
a) y(0) 12
b) y(2) 1
8.
10.
dy 1
dx y
a) y(0) 1
b) y(2) 1
dy
xey
dx
a) y(0) 2
b) y(1) 2.5
2.1
11. y y cos
a) y(2) 2
x
2
dy
y
1
dx
x
a) y 12 2
12.
b) y(1) 0
b)
( )
y (32) 0
(QORVSUREOHPDV\OD¿JXUDGDGDUHSUHVHQWDODJUi¿FD
de f (y) y de f (x), respectivamente. Dibuje a mano un campo
direccional sobre una malla adecuada para dydx f (y) (problema 13) y después para dydx f (x SUREOHPD 13.
f
1
1
y
FIGURA 2.1.16 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
14.
f
1
1
x
FIGURA 2.1.17 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
15. En los incisos a) y b) dibuje isoclinas f (x, y) c (vea los
ComentariosGHODSiJLQD SDUDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
dada usando los valores de c indicados. Construya un campo
direccional sobre una cuadrícula dibujando con cuidado
elementos lineales con la pendiente adecuada en los puntos
elegidos de cada isoclina. En cada caso, utilice esta dirección para dibujar una curva solución aproximada para el
PVI que consiste de la ED y de la condición inicial y (0) 1.
a) dydx x y; c un entero que satisface 5 c 5
b) dydx x 2 y 2; c 14, c 1, c 94, c 4
Problemas para analizar
16. a) Considere el campo direccional de la ecuación diferencial dydx x(y± 2 – 2, pero no use tecnología
para obtenerlo. Describa las pendientes de los elementos lineales en las rectas x 0, y 3, y \y 5.
b) Considere el PVI dydx x \± 2 – 2, y(0) y0, donde
y0 $QDOLFHEDViQGRVHHQODLQIRUPDFLyQGHOLQFLVR
a), ¿sí puede una solución y(x) A conforme x A ?
CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN
O
45
17. Para la ED de primer orden dydx f (x, y) una curva en
HOSODQRGH¿QLGRSRUf (x, y) 0 se llama ceroclina de
la ecuación, ya que un elemento lineal en un punto de la
curva tiene pendiente cero. Use un paquete computacional para obtener un campo direccional en una cuadrícula
rectangular de puntos dydx x2 2y y después superSRQJDODJUi¿FDGHODFHURFOLQD y 12 x 2 sobre el campo
direccional. Analice el comportamiento de las curvas soOXFLyQHQUHJLRQHVGHOSODQRGH¿QLGDVSRUy 12 x 2 y por
y 12 x 2. Dibuje algunas curvas solución aproximadas.
Trate de generalizar sus observaciones.
18. a) , GHQWL¿TXHODVFHURFOLQDV YHDHOSUREOHPD HQORV
SUREOHPDV \ &RQ XQ OiSL] GH FRORU FLUFXOH
WRGRV ORV HOHPHQWRV OLQHDOHV GH ODV ¿JXUDV \TXHXVWHGFUHDTXHSXHGHQVHUXQHOHmento lineal en un punto de la ceroclina.
b) ¿Qué son las ceroclinas de una ED autónoma de primer orden?
2.1.2
ED DE PRIMER ORDEN AUTÓNOMAS
19. Considere la ecuación diferencial de primer orden dydx y
– y3 y la condición inicial y(0) y0$PDQRGLEXMHODJUi¿FD
de una solución típica y(x) cuando y0 tiene los valores dados.
a) y 0 1
b) 0 y 0 1
c) 1 y 0 0
d) y 0 1
20. Considere la ecuación diferencial autónoma de primer
orden dydx y2 – y y la condición inicial y(0) y0. A
PDQRGLEXMHODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQWtSLFDy(x) cuando
y0 tiene los valores dados.
a) y 0 1
b) 0 y 0 1
c) 1 y 0 0
d) y 0 1
En los problemas 21-28 determine los puntos críticos y el
diagrama fase de la ecuación diferencial autónoma de primer
RUGHQGDGD&ODVL¿TXHFDGDSXQWRFUtWLFRFRPRDVLQWyWLFDPHQWH
estable, inestable, o semiestable. Dibuje, a mano, curvas solución típicas en las regiones del plano xy determinadas por las
JUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVGHHTXLOLEULR
dy
21.
22. dy y 2 y 3
y 2 3y
dx
dx
dy
23.
24. dy 10 3y y 2
( y 2)4
dx
dx
25.
dy
y 2(4 y 2)
dx
26. dy y(2 y)(4 y)
dx
27.
dy
y ln( y 2)
dx
y
28. dy ye 9y
dx
ey
(Q ORV SUREOHPDV \ FRQVLGHUH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO
autónoma dydx f (y GRQGH VH SUHVHQWD OD JUi¿FD GH f.
8WLOLFHODJUi¿FDSDUDXELFDUORVSXQWRVFUtWLFRVGHFDGDXQDGH
las ecuaciones diferenciales. Dibuje un diagrama fase de cada
ecuación diferencial. Dibuje a mano curvas solución típicas en
las subregiones del plano xyGHWHUPLQDGDVSRUODVJUi¿FDVGHODV
soluciones de equilibrio.
46
29.
O
CAPÍTULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
f
c
y
FIGURA 2.1.18 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
f
los que las curvas solución son cóncavas hacia arriba y en los
que las curvas solución son cóncavas hacia abajo. Analice
por qué cada curva solución de un problema con valores iniciales dydx y2 y – 6, y(0) y0, donde 2 y0 3,
WLHQHXQSXQWRGHLQÀH[LyQFRQODPLVPDFRRUGHQDGDy. ¿Cuál
es la coordenada y? Con cuidado dibuje la curva solución
para la que y(0) 1. Repita para y(2) 2.
37. Suponga que la ED autónoma en la ecuación (2) no tiene
puntos críticos. Analice el comportamiento de las soluciones.
Modelos matemáticos
30.
38. Modelo de población La ecuación diferencial en el
ejemplo 3 es un modelo muy conocido de población.
Suponga que la ED se cambia por
1
1
y
dP
P(aP b),
dt
donde a y b son constantes positivas. Analice qué le pasa
a la población P conforme avanza el tiempo t.
FIGURA 2.1.19 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
Problemas para analizar
31. Considere la ED autónoma dydx (2ʌ)y – sen y.
Determine los puntos críticos de la ecuación. Proponga
un procedimiento para obtener un diagrama fase de la
HFXDFLyQ&ODVL¿TXHORVSXQWRVFUtWLFRVFRPRDVLQWyWLFDmente estables, inestables o semiestables.
32. Se dice que un punto crítico c de una ED de primer orden
autónoma está aislado si existe algún intervalo abierto
que contenga a c pero no a otro punto crítico. ¿Puede
existir una ED autónoma de la forma dada en la ecuación (2) para la cual todo punto crítico no esté aislado?
Analice; no considere ideas complicadas.
33. Suponga que y(x) es una solución no constante de la ecuación diferencial autónoma dydx f (y) y que c es un punto
FUtWLFRGHOD('$QDOLFH¢3RUTXpQRSXHGHODJUi¿FDGH
y(x FUX]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH HTXLOLEULR y c?
¿Por qué no puede f (y) cambiar de signo en una de las reJLRQHVDQDOL]DGDVGHODSiJLQD"¢3RUTXpQRSXHGHy(x)
oscilar o tener un extremo relativo (máximo o mínimo)?
34. Suponga que y(x) es una solución de la ecuación autónoma dydx f (y) y está acotada por arriba y por debajo
por dos puntos críticos consecutivos c1
c2, como una
subregión R2GHOD¿JXUD E 6Lf (y) 0 en la región,
entonces límxA y(x) c 2. Analice por qué no puede existir un número L c2 tal que límxA y(x) L. Como parte
de su análisis, considere qué pasa con y (x) conforme
x A .
35. Utilizando la ecuación autónoma (2), analice cómo se
puede obtener información con respecto a la ubicación de
SXQWRVGHLQÀH[LyQGHXQDFXUYDVROXFLyQ
36. Considere la ED dydx y2 – y – 6. Utilice sus ideas en torno
al problema 35 para encontrar los intervalos en el eje y para
39. Modelo de población Otro modelo de población está
dado por
dP
kP h,
dt
donde h y k son constantes positivas. ¿Para qué valor inicial P(0) P0 este modelo predice que la población desaparecerá?
40. Velocidad terminal En la sección 1.3 vimos que la
ecuación diferencial autónoma
dv
m
mg kv.
dt
donde k es una constante positiva y g es la aceleración
de la gravedad, es un modelo para la velocidad v de un
cuerpo de masa mTXHHVWiFD\HQGREDMRODLQÀXHQFLDGH
la gravedad. Debido a que el término –kv representa la
resistencia del aire, la velocidad de un cuerpo que cae
de una gran altura no aumenta sin límite conforme incrementa el tiempo t. Utilice un diagrama fase de la ecuación
diferencial para encontrar la velocidad límite o terminal
del cuerpo. Explique su razonamiento.
41. 6XSRQJDTXHHOPRGHORGHOSUREOHPDVHPRGL¿FDGHWDO
manera que la resistencia del aire es proporcional a v2, es
decir
dv
m
mg kv2 .
dt
9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV8WLOLFHXQHVquema de fase para determinar la velocidad terminal del
cuerpo. Explique su razonamiento.
42. Reacciones químicas Cuando se combinan ciertas clases de reacciones químicas, la rapidez con la que se forman los nuevos componentes se modela por la ecuación
diferencial autónoma
dX
k( X)( X),
dt
2.2
donde k 0 es una constante de proporcionalidad y ȕ Į 0. Aquí X(t) denota el número de gramos del nuevo
componente al tiempo t.
a) Utilice un esquema de fase de la ecuación diferencial
para predecir el comportamiento de X(t) conforme
t A .
b) Considere el caso en que ȕ. Utilice un esquema
de fase de la ecuación diferencial para predecir el
2.2
VARIABLES SEPARABLES
O
47
comportamiento de X(t) conforme t A cuando X(0)
Į. Cuando X(0) Į.
c) Compruebe que una solución explícita de la ED en
el caso en que k 1 y Į ȕ es X(t) Į 1(t c). Determine una solución que satisfaga que X(0) Į2. Después determine una solución que satisfaga
que X(0) 2Į7UDFHODJUi¿FDGHHVWDVGRVVROXFLRnes. ¿El comportamiento de las soluciones conforme
t A concuerdan con sus respuestas del inciso b)?
VARIABLES SEPARABLES
INTRODUCCIÓN Comenzaremos nuestro estudio de cómo resolver las ecuaciones diferenciales con
la más simple de todas las ecuaciones diferenciales: ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables. Debido a que el método que se presenta en esta sección y que muchas de las técnicas
para la solución de ecuaciones diferenciales implican integración, consulte su libro de cálculo para
recordar las fórmulas importantes (como duu) y las técnicas (como la integración por partes).
SOLUCIÓN POR INTEGRACIÓN Considere la ecuación diferencial de primer
orden dydx f (x, y). Cuando f no depende de la variable y, es decir, f (x, y) g(x),
la ecuación diferencial
dy
g(x)
dx
(1)
se puede resolver por integración. Si g(x) es una función continua, al integrar ambos
lados de la ecuación (1) se obtiene y g(x) dx = G(x) c, donde G(x) es una antiGHULYDGD LQWHJUDOLQGH¿QLGD GHg(x). Por ejemplo, si dydx 1 e2x, entonces su
solución es y
(1 e 2x ) dx o y x 12 e2x c.
UNA DEFINICIÓN La ecuación (l) así como su método de solución no son más que
un caso especial en el que f, en la forma normal dydx f (x, y) se puede factorizar
como el producto de una función de x por una función de y.
DEFINICIÓN 2.2.1
Ecuación separable
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma
dy
g(x)h(y)
dx
se dice que es separable o que tiene variables separables.
Por ejemplo, las ecuaciones
dy
y 2xe3x4y
dx
y
dy
y sen x
dx
48
O
CAPÍTULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
son, respectivamente, separable y no separable. En la primera ecuación podemos factorizar f (x, y) y 2xe 3xy como
g(x)
h( y)
?
?
f (x, y) y2xe3x4y (xe3x )( y2e4y ),
pero en la segunda ecuación no hay forma de expresar a y sen x como un producto
de una función de x por una función de y.
Observe que al dividir entre la función h(y), podemos escribir una ecuación separable dydx g(x)h(y) como
dy
p( y)
g(x),
(2)
dx
donde, por conveniencia p(y) representa a lh(y). Podemos ver inmediatamente que la
ecuación (2) se reduce a la ecuación (1) cuando h(y) 1.
Ahora, si y (x) representa una solución de la ecuación (2), se tiene que p((x))
(x) g(x), y por tanto
p( (x))(x) dx g(x) dx.
(3)
Pero dy (x)dx, y así la ecuación (3) es la misma que
p(y) dy
g(x) dx
o
H(y)
G(x)
c, donde H(y) y G(x) son antiderivadas de p(y) 1h(y) y g(x), respectivamente.
MÉTODO DE SOLUCIÓN /DHFXDFLyQ LQGLFDHOSURFHGLPLHQWRSDUDUHVROYHU
ecuaciones separables. Al integrar ambos lados de p(y) dy g(x) dx, se obtiene una
familia uniparamétrica de soluciones, que usualmente se expresa de manera implícita.
NOTA No hay necesidad de emplear dos constantes cuando se integra una ecuación separable, porque si escribimos H(y) c1 G(x) c2, entonces la diferencia c2 – c1 se
puede remplazar con una sola constante cFRPRHQODHFXDFLyQ (QPXFKRVFDVRVGH
los siguientes capítulos, sustituiremos las constantes en la forma más conveniente para una
ecuación dada. Por ejemplo, a veces se pueden remplazar los múltiplos o las combinaciones
de constantes con una sola constante.
EJEMPLO 1 Solución de una ED separable
Resuelva (1 x) dy y dx 0.
SOLUCIÓN Dividiendo entre (1 x)y, podemos escribir dyy dx(1 x), de
donde tenemos que
dy
y
dx
1x
ln y ln 1 x c1
y eln 1x c1 eln 1x ec1
1x e
; leyes de exponentes
c1
Haciendo c igual a
e (1 x).
c1
e se obtiene y c(1 x)
c1
11 xx 1(1 x, x),
;
x 1
x <1
.
En la solución del ejemplo 1 cada integral da como resultado un logaritmo, la elección
más prudente para la constante de integración es ln c , en lugar de c. Reescribir el segundo renglón de la solución como ln y ln 1 x ln c nos permite combinar los
2.2
VARIABLES SEPARABLES
O
49
términos del lado derecho usando las propiedades de los logaritmos. De ln y ln c(1
x) obtenemos inmediatamente que y c(1 x). Aun cuando no todas las integraOHVLQGH¿QLGDVVHDQORJDULWPRVSRGUtDVHJXLUVLHQGRPiVFRQYHQLHQWHXVDUOQ c . Sin
HPEDUJRQRVHSXHGHHVWDEOHFHUXQDUHJOD¿UPH
En la sección 1.1 vimos que una curva solución puede ser sólo un segmento o un
DUFRGHODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQLPSOtFLWDG(x, y) 0.
EJEMPLO 2
Curva solución
Resuelva el problema con valores iniciales
SOLUCIÓN
y dy x dx
(4, −3)
FIGURA 2.2.1 Curvas solución para
el PVI del ejemplo 2.
y(4) 3.
Si reescribe la ecuación como y dy x dx, obtiene
y
x
dy
x
,
dx
y
y2
x2
c1.
2
2
y
Podemos escribir el resultado de la integración como x 2 y 2 c 2, sustituyendo a la
constante 2c1 por c2. Esta solución de la ecuación diferencial representa una familia de
circunferencias concéntricas centradas en el origen.
Ahora cuando x y 3, se tiene 16 25 c2. Así, el problema con
valores iniciales determina la circunferencia x 2 y 2 25 de radio 5. Debido a su
sencillez podemos despejar de esta solución implícita a una solución explícita que
VDWLVIDJDODFRQGLFLyQLQLFLDO(QHOHMHPSORGHODVHFFLyQYLPRVHVWDVROXFLyQ
como y 2(x) o y 125 x2, 5 x 58QDFXUYDVROXFLyQHVODJUi¿FDGH
la función derivable. En este caso la curva solución es la semicircunferencia inferior
TXHVHPXHVWUDHQD]XORVFXURHQOD¿JXUDTXHFRQWLHQHDOSXQWR 3).
PÉRDIDA DE UNA SOLUCIÓN Se debe tener cuidado al separar las variables. Ya que las variables que sean divisores podrían ser cero en un punto.
Concretamente, si r es una raíz de la función h(y), entonces sustituyendo y r en
dydx g(x)h(y) se encuentra que ambos lados son iguales a cero; es decir, y r es
una solución constante de la ecuación diferencial. Pero después de que las variables
dy
se separan, el lado izquierdo de
g (x) dx HVWi LQGH¿QLGR HQ r. Por tanto, y r
h(y)
podría no representar a la familia de soluciones que se ha obtenido después de la integración
\VLPSOL¿FDFLyQ5HFXHUGHTXHXQDVROXFLyQGHHVWHWLSRVHGHQRPLQDVROXFLyQVLQJXODU
EJEMPLO 3
Resuelva
Pérdida de una solución
dy
y 2 4.
dx
SOLUCIÓN
Poniendo la ecuación en la forma
dy
dx
y2 4
1
4
o
y2
1
4
y2
dy dx.
(5)
La segunda ecuación en la ecuación (5) es el resultado de utilizar fracciones parciales
en el lado izquierdo de la primera ecuación. Integrando y utilizando las leyes de los
logaritmos se obtiene
1
1
ln y 2
ln y 2
x c1
4
4
ln
y
y
2
2
4x
c2
o
y
y
2
2
e4x
c2
.
50
CAPÍTULO 2
O
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
$TXtKHPRVVXVWLWXLGRc1 por c2. Por último, después de sustituir ec2 por c y despejando y de la última ecuación, obtenemos una familia uniparamétrica de soluciones
y2
1 ce4x
.
1 ce4x
(6)
Ahora, si factorizamos el lado derecho de la ecuación diferencial como dydx (y 2)
(y 2), sabemos del análisis de puntos críticos de la sección 2.1 que y 2 y y 2 son
dos soluciones constantes (de equilibrio). La solución y 2 es un miembro de la familia
GHVROXFLRQHVGH¿QLGDSRUODHFXDFLyQ FRUUHVSRQGLHQGRDOYDORUc 0. Sin embargo,
y 2 es una solución singular; ésta no se puede obtener de la ecuación (6) para cualquier elección del parámetro c. La última solución se perdió al inicio del proceso de solución. El examen de la ecuación (5) indica claramente que debemos excluir a y 2
en estos pasos.
EJEMPLO 4 Un problema con valores iniciales
Resuelva (e2y y) cos x
SOLUCIÓN
e2y y
sen 2x
dy dx.
ey
cos x
Antes de integrar, se realiza la división del lado izquierdo y utilizamos la identidad
trigonométrica sen 2x 2 sen x cos x en el lado derecho. Entonces tenemos que
1
x
_1
integración por partes →
se obtiene
_2
_2
_1
2
1
c=4
(0, 0)
_1
_2
_2
x
(π /2,0)
c =2
_1
1
FIGURA 2.2.3 Curvas de nivel
c 2 y c 2
sen x dx
e y yey ey 2 cos x F
(8)
y
y
2
ye y) dy
e y yey ey 2 cos x.
G(x, y) e ye e 2 cos [
y
y
(ey
La condición inicial y 0 cuando x 0 implica que c 3RUWDQWRXQDVROXFLyQGHO
problema con valores iniciales es
FIGURA 2.2.2 Curvas de nivel
1
Dividiendo la ecuación por ey cos x se obtiene
y
2
dy
ey sen 2x, y(0) 0.
dx
2
USO DE COMPUTADORA Los ComentariosDO¿QDOGHODVHFFLyQPHQFLRQDQ
que puede ser difícil utilizar una solución implícita G(x, y) 0 para encontrar una solución explícita y (x). La ecuación (8) muestra que la tarea de despejar a y en términos
de x puede presentar más problemas que solamente el aburrido trabajo de presionar
símbolos, ¡en algunos casos simplemente no se puede hacer! Las soluciones implícitas
FRPRODHFXDFLyQ VRQXQSRFRIUXVWUDQWHV\DTXHQRVHDSUHFLDHQODJUi¿FDGHOD
HFXDFLyQQLHQHOLQWHUYDORXQDVROXFLyQGH¿QLGDTXHVDWLVIDJDTXHy(0) 0. El problema de “percibir” cuál es la solución implícita en algunos casos se puede resolver mediante la tecnología. Una manera* de proceder es utilizar la aplicación contour plot de
un sistema algebraico de computación (SAC). Recuerde del cálculo de varias variables
que para una función de dos variables z G(x, y) las curvas bi-dimensionalesGH¿QLGDV
por G(x, y) c, donde c es una constante, se llaman curvas de nivel de la función. En
OD¿JXUDVHSUHVHQWDQDOJXQDVGHODVFXUYDVGHQLYHOGHODIXQFLyQG(x, y) ey yey ey 2 cos x que se han reproducido con la ayuda de un SAC. La familia de
VROXFLRQHVGH¿QLGDVSRUODHFXDFLyQ VRQODVFXUYDVGHQLYHOG(x, y) c(QOD¿JXUD
2.2.3 se muestra en color azul la curva de nivel G(x, y) TXHHVODVROXFLyQSDUWLFXODU
GHODHFXDFLyQ /DRWUDFXUYDGHOD¿JXUDHVODFXUYDGHQLYHOG(x, y) 2, que
es miembro de la familia G(x, y) c que satisface que y(ʌ2) 0.
*
En la sección 2.6 analizaremos algunas otras maneras de proceder que están basadas en el concepto de un
solucionador numérico.
2.2
VARIABLES SEPARABLES
O
51
6LDOGHWHUPLQDUXQYDORUHVSHFt¿FRGHOSDUiPHWURc en una familia de soluciones
de una ecuación diferencial de primer orden llegamos a una solución particular, hay una
inclinación natural de la mayoría de los estudiantes (y de los profesores) a relajarse y estar
satisfechos. Sin embargo, una solución de un problema con valores iniciales podría no
VHU~QLFD9LPRVHQHOHMHPSORGHODVHFFLyQTXHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV
dy
xy1/2, y(0) 0 dx
1 x . Ahora ya podemos resolver esa ecuatiene al menos dos soluciones, y 0 y y 16
ción. Separando las variables e integrando y12 dy x dx obtenemos
2y1/2 5 12 x 2 1 c1
y
a=0
a>0
Despejando a y y sustituyendo ½ c1 por c, se obtiene
y5
(0, 0)
x
FIGURA 2.2.4 Soluciones de la
HFXDFLyQ GH¿QLGDHQWUDPRV
1
2
1 2
x 1c .
4
2
(10)
&DGDXQDGHODVIXQFLRQHVGHODIDPLOLDGDGDHQ HVXQDVROXFLyQGHOD('GH¿QLGD
sobre el intervalo (-’ ’) siempre que tomamos c • 0. Véase el problema 52 ejercicios 2.2.
1 Ahora cuando se sustituye x 0, y 0 en (10), se tiene c 0. Por lo tanto y 16
x es una
solución del problema con condiciones iniciales. La solución trivial y 0 se pierde al dividir por y1/2(OSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV HQUHDOLGDGSRVHHPXFKDVPiVVROXFLRnes, ya que, para cualquier elección del parámetro D• ODIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV
0,
x a
y 1 2
2 2
(x
a
)
,
x a
16
VDWLVIDFHWDQWRDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFRPRDODFRQGLFLyQLQLFLDO9HDOD¿JXUD
UNA FUNCIÓN DEFINIDA CON UNA INTEGRAL En ii) de los Comentarios al
¿QDO GH OD VHFFLyQ VH LQGLFy TXH XQ PpWRGR GH VROXFLyQ SDUD XQ FLHUWR WLSR GH
HFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGHOOHYDUDXQDIXQFLyQGDGDSRUODLQWHJUDOGH¿QLGD(VWRHV
especialmente cierto para ecuaciones diferenciales separables porque la integración es
el método de solución. Por ejemplo, si g es continua sobre un intervalo I que contiene
a x0 y a x, entonces una solución del sencillo problema con valores iniciales dydx g(x), y(x0) y0TXHHVWiGH¿QLGRVREUHI está dado por
x
y(x) y0 g(t) dt
x0
Para ver esto, tenemos inmediatamente de (12) de la sección 1.1 que dy/dx = g(x) y y(x0)
x
= y0 ya que ex 00 g(t) dt 5 0. Cuando eg(t) dt es no elemental, es decir, no se puede expresar en términos de funciones elementales: la forma y(x) 5 y0 1 exx0 g(t) dt puede ser
lo mejor que podemos hacer para obtener una solución explícita de un PVI. El ejemplo
siguiente ilustra esta idea.
EJEMPLO 5
Un problema con valores iniciales
dy
2
ex , y(3) 5.
dx
2
SOLUCIÓN La función g(x) e<x es continua en (, ), pero su antiderivada
no es una función elemental. Utilizando a t como una variable muda de integración,
podemos escribir
x
x
dy
2
dt et dt
dt
3
3
Resuelva
]x y(t)
3
y(x) y(3) x
et dt
2
3
x
et dt
2
3
y(x) y(3) x
et dt.
2
3
52
CAPÍTULO 2
O
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Utilizando la condición inicial y(3) 5, obtenemos la solución
y(x) 5 x
et dt.
2
3
El procedimiento que se mostró en el ejemplo 5 también funciona bien en las ecuaciones
separables dydx g(x) f (y) donde f (y) tiene una antiderivada elemental pero g(x) no
WLHQHXQDDQWLGHULYDGDHOHPHQWDO9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV
COMENTARIOS
En algunos de los ejemplos anteriores vimos que la constante de la familia uniparamétrica de soluciones de una ecuación diferencial de primer orden se puede
UHGH¿QLU FXDQGR VHD FRQYHQLHQWH 7DPELpQ VH SXHGH SUHVHQWDU FRQ IDFLOLGDG HO
caso de que dos personas obtengan distintas expresiones de las mismas respuestas resolviendo correctamente la misma ecuación. Por ejemplo, separando variables se puede demostrar que familias uniparamétricas de soluciones de la ED
(l y2) dx (1 x2) dy 0 son
xy
c.
arctan x arctan y c
o
1 xy
Conforme avance en las siguientes secciones, considere que las familias de soluciones pueden ser equivalentes, en el sentido de que una se puede obtener de
RWUD\DVHDSRUUHGH¿QLFLyQGHODFRQVWDQWHRXWLOL]DQGRiOJHEUDRWULJRQRPHWUtD
9HDORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV
EJERCICIOS 2.2
/DVUHVSXHVWDVDORVSUREOHPDVVHOHFFLRQDGRVFRQQ~PHURLPSDUFRPLHQ]DQHQODSiJLQD5(6
En los problemas 1-22 resuelva la ecuación diferencial dada por
separación de variables.
1.
dy
dx
sen 5x
2.
dy
dx
1)2
(x
23.
3. dx e 3xdy 0
4. dy ( y 1) 2dx 0
dy
5. x
dx
dy
6.
dx
7.
dy
dx
4y
e3x
dx
9. y ln x
dy
8. e x y
2y
y
1
2
x
10.
2xy
dx
4(x2 1), x(>4) 1
dt
2
24. dy y 1,
2
dx
0
25. x2
dy
dx
dy
dx
2
En los problemas 23-28 encuentre una solución explícita del problema con valores iniciales dados.
e
2y
4x
y
2x
e
3
5
y
26.
2
y(2) 2
x 1
dy
y xy, y(1) 1
dx
dy
2y 1, y(0) 52
dt
27. 11 y2 dx 11 x2 dy 0,
11. csc y dx sec x dy 0
2
y(0) 13
2
12. sen 3x dx 2y cos 33x dy 0
28. (1 x ) dy x(1 y 2) dx 0,
13. (e y 1) 2ey dx (e x 1) 3ex dy 0
(QORVSUREOHPDV\SURFHGDFRPRHQHOHMHPSOR\GHWHUPLQH
una solución explícita del problema con valores iniciales dado.
14. x(1 y 2) 12 dx y(1 x 2) 12 dy
15.
17.
19.
21.
dS
dr
dP
dt
dy
dx
dy
dx
kS
P
P2
xy
xy
3x
2x
x11 y2
y
4y
dQ
16.
dt
dN
18.
dt
dy
3
20.
dx
8
k(Q
dy
2
yex ,
dx
30.
dy
y 2 sen x 2,
dx
70)
N
Ntet
xy
xy
2y
3y
22. (ex ex )
29.
2
x
x
dy
y2
dx
2
3
y(1) 0
y(4) 1
y(2) 31
(QORVSUREOHPDVGHOGHWHUPLQHXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHO
problema con valores iniciales dados. Determine el intervalo I
H[DFWRGHGH¿QLFLyQSRUPpWRGRVDQDOtWLFRV8VHXQDFDOFXODGRUD
JUD¿FDGRUDSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQ
31.
dy 2x 1 1
5
, y(22) 5 21
dx
2y
2.2
dy
32. (2y 2 2) 5 3x2 1 4x 1 2, y(1) 5 22
dx
33. e ydx exdy 0,
y(0) 1
b)
35. a) Encuentre una solución del problema con valores iniciales que consiste en la ecuación diferencial del ejemplo 3
y de las condiciones iniciales y(0) 2, y(0) 2, y
y
(14) 1.
b) Encuentre la solución de la ecuación diferencial en el
ejemplo 3 cuando se utiliza ln c1 como la constante de integración del lado izquierdo HQ OD VROXFLyQ \ OQ c1 se
sustituye por ln F Después resuelva los mismos problemas
con valores iniciales que en el inciso a).
dy
y2 y que pase por los
36. Encuentre una solución de x
dx
puntos indicados.
a) (0, 1)
b) (0, 0)
c)
(12, 12)
d)
(2, 14)
37. Encuentre una solución singular del problema 21 y del problema 22.
38. Muestre que una solución implícita de
2x sen 2 y dx (x2 10) cos y dy 0
está dada por ln(x2 10) csc y c. Determine las soluciones
constantes, si se perdieron cuando se resolvió la ecuación diferencial.
Con frecuencia, un cambio radical en la forma de la solución de
una ecuación diferencial corresponde a un cambio muy pequeño
en la condición inicial o en la ecuación misma.
(QORVSUREOHPDVGHWHUPLQHXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGDGR8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDGLEXMDUODJUi¿FDGHFDGDVROXFLyQ&RPSDUHFDGDFXUYD
solución en una vecindad de (0,1).
39.
dy
(y 1)2,
dx
y(0) 1
40.
dy
(y 1)2,
dx
y(0) 1.01
41.
dy
(y 1)2 0.01, y(0) 1
dx
42.
dy
(y 1)2 0.01, y(0) 1
dx
53
O
hacia abajo (vea los problemas 35 y 36 de los ejercicios
2.1). Utilice el diagrama fase y la concavidad para que, a
mano, dibuje algunas curvas solución típicas.
y(0) 0
34. sen x dx y dy 0,
VARIABLES SEPARABLES
43. Toda ecuación autónoma de primer orden dydx f (y) es separable. Encuentre las soluciones explícitas y1(x), y2(x), y3(x)
y y(x) de la ecuación diferencial dydx y – y3, que satisfagan, respectivamente, las condiciones iniciales y1(0) 2,
y2(0) 12 , y3(0) 12 y y(0) 2. Utilice un programa de
JUD¿FDFLyQSDUDFDGDVROXFLyQ&RPSDUHHVWDVJUi¿FDVFRQ
ODVERVTXHMDGDVHQHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV'pHO
LQWHUYDORGHGH¿QLFLyQH[DFWRSDUDFDGDVROXFLyQ
44. a) La ecuación diferencial autónoma de primer orden
dydx 1(y 3) no tiene puntos críticos. No obstante,
coloque 3 en la recta de fase y obtenga un diagrama fase
de la ecuación. Calcule d2ydx2 para determinar dónde
las curvas solución son cóncavas hacia arriba y cóncavas
Encuentre las soluciones explícitas y1(x), y2(x), y3(x) y
y(x) de la ecuación diferencial del inciso a) que satisfagan, respectivamente, las condiciones iniciales y1(0) y2(0) 2, y3(1) 2 y y(1) 7UDFHODJUi¿FDGH
cada solución y compare con sus dibujos del inciso a).
,QGLTXHHOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQH[DFWRGHFDGDVROXFLyQ
(QORVSUREOHPDV±XWLOLFHXQDWpFQLFDGHLQWHJUDFLyQRXQD
sustitución para encontrar una solución explícita de la ecuación
diferencial dada o del problema con valores iniciales.
45.
dy
dx
1
47.
( x
x)
49.
dy
dx
e x
, y(1)
y
46.
dy
dx
sen x
y
y 48.
dy
dx
y2/3
50.
dy
dx
x tan
y
1
sen x
dy
dx
y
4
y
1
x
, y(0)
3
Problemas para analizar
51. a) ([SOLTXHSRUTXpHOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQGHODVROXFLyQ
explícita y 2(x) del problema con valores iniciales en
el ejemplo 2 es el intervalo abierto (5, 5).
b)
¿Alguna solución de la ecuación diferencial puede cruzar el eje x? ¿Cree usted que x2 y2 1 es una solución
implícita del problema con valores iniciales dydx xy, y(1) 0?
52.a)En la página 51 se demostró que una familia uni-paramétrica
de soluciones de la ecuación diferencial de primer orden
2
dy/dx = xy1/2 es y 5 _14 x4 1 c+ para c $ 0. Cada solución en
HVWDIDPLOLDVHGH¿QHHQ , ). El último enunciado no es
cierto si elegimos c negativo. Para c = 1, explique por qué
2
y 5 _14 x4 2 1+ no es una solución de la ED en el intervalo
(-, (QFXHQWUHXQLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQGHI en el cual
2
y 5 _14 x4 2 1+ es una solución de la ED.
53. (Q ORV SUREOHPDV \ YLPRV TXH WRGD HFXDFLyQ GLferencial autónoma de primer orden dydx f(y) es separable. ¿Ayuda este hecho en la solución del problema
con valores iniciales
dy
11 y2 sen2 y, y(0) 21?
dx
Analice. A mano, dibuje una posible curva solución del problema.
54. a) Resuelva los dos problemas con valores iniciales
dy
dx
y
dy
dx
y
y,
y(0)
y
,
x ln x
1
y(e)
1.
b) Demuestre que hay más de 1.65 millones de dígitos de la
coordenada y del punto de intersección de las dos curvas solución en el inciso a).
55. Determine una función cuyo cuadrado más el cuadrado de su
derivada sea igual a 1.
54
O
CAPÍTULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
56. a) /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOSUREOHPDHVHTXLYDOHQWH
a la forma normal
de la familia de soluciones de la ecuación diferencial
dy
dx
dy
1y
dx
B1 x 2
2
en la región cuadrada del plano xyGH¿QLGDSRU x
1,
y
1. Pero la cantidad dentro del radical es no negaWLYDWDPELpQHQODVUHJLRQHVGH¿QLGDVSRU x 1, y 1. Dibuje todas las regiones del plano xy para las que
esta ecuación diferencial tiene soluciones reales.
b) 5
HVXHOYDOD('GHOLQFLVRD HQODVUHJLRQHVGH¿QLGDVSRU
x 1, y 1. Después determine una solución implícita
y una explícita de la ecuación diferencial sujeta a y(2) 2.
5
.
1
Experimente con diferentes números de las curvas de
nivel así como con diferentes regiones rectangulares
GH¿QLGDVSRU
a x b, c y d.
b) (QGLIHUHQWHVHMHVFRRUGHQDGRVGLEXMHODVJUi¿FDVGHODV
soluciones particulares correspondientes a las condiciones
iniciales: y(0) 1; y(0) 2; y(1) y(1) 3.
59. a)
Determine una solución implícita del PVI
(2y 2) dy (4x3 6x) dx 0, y(0) 3.
Modelo matemático
57. Puente suspendido En la ecuación (16) de la sección 1.3
vimos que un modelo matemático para la forma de un cable
ÀH[LEOHFROJDGRGHGRVSRVWHVHV
dy W
,
dx T1
(11)
donde W denota la porción de la carga vertical total entre los
puntos P1 y P2TXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUD/D(' es separable bajo las siguientes condiciones que describen
un puente suspendido.
Supongamos que los ejes x y y están como se muesWUD HQ OD ¿JXUD HV GHFLU HO HMH x va a lo largo de la
VXSHU¿FLH GH OD FDUUHWHUD \ HO HMH y pasa por (0, a), que
es el punto más bajo de un cable en la región que abarca
el puente, que coincide con el intervalo [L2, L2]. En el caso
de un puente suspendido, la suposición usual es que la carga
vertical en (11) es sólo una distribución uniforme de la super¿FLHGHODFDUUHWHUDDORODUJRGHOHMHKRUL]RQWDO(QRWUDVSDODEUDVVHVXSRQHTXHHOSHVRGHWRGRVORVFDEOHVHVLQVLJQL¿FDQWH
HQFRPSDUDFLyQFRQHOSHVRGHODVXSHU¿FLHGHODFDUUHWHUD\TXH
HOSHVRSRUXQLGDGGHORQJLWXGGHODVXSHU¿FLHGHODFDUUHWHUD
(digamos, newtons por metro horizontal) es una constante .
Utilice esta información para establecer y resolver el problema
indicado con valores iniciales a partir del cual se determine la
forma (una curva con ecuación y (x)) de cada uno de los dos
cables en un puente suspendido. Exprese su solución del PVI en
términos del pandeo h y de la longitud L9HDOD¿JXUD
Tarea del laboratorio de computación
58. a)
8x
3y 2
Utilice un SAC y el concepto de curvas de nivel para
GLEXMDU ODV JUi¿FDV UHSUHVHQWDWLYDV GH ORV PLHPEURV
b) Utilice el inciso a) para encontrar una solución explícita
y (x) del PVI.
c) Considere su respuesta del inciso b) como una sola función8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQRXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHHVWDIXQFLyQ\GHVSXpVXWLOLFHODJUi¿FD
para estimar su dominio.
d) Con la ayuda de una aplicación de un SAC para determinar raíces, determine la longitud aproximada del intervalo
GHGH¿QLFLyQI más grande posible de la solución y (x)
GHOLQFLVRE 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQRXQ6$&
SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODFXUYDVROXFLyQSDUDHO39,HQ
este intervalo.
60. a) Utilice un SAC y el concepto de curvas de nivel para
GLEXMDU ODV JUi¿FDV UHSUHVHQWDWLYDV GH ORV PLHPEURV
de la familia de soluciones de la ecuación diferencial
dy
x(1 x)
. Experimente con diferentes númedx y(2 y)
ros de curvas de nivel así como en diferentes regiones
rectangulares del plano xy hasta que su resultado se paUH]FDDOD¿JXUD
b) (
Q GLIHUHQWHV HMHV FRRUGHQDGRV GLEXMH OD JUi¿FD GH
la solución implícita correspondiente a la condición inicial
y(0) 23. Utilice un lápiz de color para indicar el segmento
GH OD JUi¿FD TXH FRUUHVSRQGH D OD FXUYD VROXFLyQ GH XQD
solución que satisface la condición inicial. Con ayuda de
un programa SAC para determinar raíces, determine el intervalo IGHGH¿QLFLyQDSUR[LPDGRPiVODUJRGHODVROXFLyQ
[Sugerencia: Primero encuentre los puntos en la curva
del inciso a) donde la recta tangente es vertical.]
c) Repita el inciso b) para la condición inicial y(0) 2.
y
y
cable
h (pandeo)
(0, a)
x
L/2
x
L/2
L longitud
superficie de la carretera (carga)
FIGURA 2.2.5 )RUPDGHXQFDEOHGHOSUREOHPD
FIGURA 2.2.6 Curvas de nivel del problema 60.
2.3
2.3
ECUACIONES LINEALES
55
O
ECUACIONES LINEALES
INTRODUCCIÓN Continuamos con nuestra búsqueda de las soluciones de las ED de primer orden
examinando ecuaciones lineales. Las ecuaciones diferenciales lineales son una familia especialmente
“amigable” de ecuaciones diferenciales en las que, dada una ecuación lineal, ya sea de primer orden
o de un miembro de orden superior, siempre hay una buena posibilidad de que logremos encontrar
alguna clase de solución de la ecuación que podamos examinar.
UNA DEFINICIÓN (QODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQVHSUHVHQWDODIRUPDGH
una ED lineal de primer orden. Aquí, por conveniencia, se reproduce esta forma en la
ecuación (6) de la sección 1.1, para el caso cuando n 1.
DEFINICIÓN 2.3.1
Ecuación lineal
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma
a1(x)
dy
a0(x)y g(x)
dx
(1)
se dice que es una ecuación lineal en la variable dependiente y.
FORMA ESTÁNDAR Al dividir ambos lados de la ecuación (1) entre el primer coe¿FLHQWHa1(x), se obtiene una forma más útil, la forma estándar de una ecuación lineal:
dy
P(x)y f(x).
(2)
dx
Buscamos una solución de la ecuación (2) sobre un intervalo I, en el cual las dos funciones P y f sean continuas.
Antes de examinar un procedimiento general para la solución de las ecuaciones de
la forma (2) observamos que en algunos casos (2) se puede resolver por separación de
variables. Por ejemplo, se deberá comprobar que las ecuaciones
Hacemos coincidir cada ecuación con (2).
En la primera ecuación P(x) = 2x, f(x) = 0
y en la segunda P(x) = –1, f(x) = 5.
dy
dx
2xy
dy
dx
y
0
y
5
son separables, pero que la ecuación lineal
dy
dx
y
x
no es separable.
MÉTODO DE SOLUCIÓN El método para resolver (2) depende del hecho notable de
que el lado izquierdo de la ecuación se puede reformular en forma de la derivada exacta
de un producto multiplicando los dos miembros de (2) por una función especial ȝ(x). Es
relativamente fácil encontrar la función ȝ(x) porque se quiere que
producto
d
[ (x)y]
dx
regla del producto
dy
dx
d
y
dx
el miembro izquierdo de (2)
se multiplica por ȝ(x)
dy
dx
Py
estos deben ser iguales
La igualdad es verdadera siempre que
d
dx
P.
56
O
CAPÍTULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
La última ecuación se puede resolver por separación de variables. Integrando
d
Vea el problema 55
en los ejercicios 2.3
ln (x)
Pdx y resolviendo
P(x)dx
c1
se obtiene ȝ(x) c2e P(x)dx$XQTXHH[LVWHXQDLQ¿QLGDGGHRSFLRQHVGHȝ(x) (todos los
múltiplos constantes de e P(x)dx), todas producen el mismo resultado deseado. Por lo
WDQWRQRVSRGHPRVVLPSOL¿FDUODYLGD\HOHJLU c2 1La función
(x)
P(x)dx
e
(3)
se llama un factor integrante para la ecuación (2).
Aquí está lo que tenemos hasta ahora: Multiplicamos ambos lados de (2) por (3) y,
por construcción, el lado izquierdo es la derivada de un producto del factor integrante y y:
e
P(x)dx
dy
dx
P(x)e
d
e
dx
[
P(x)dx
P(x)dx
y
e
P(x)dx
f(x)
]
e
P(x)dx
f(x).
y
Por último, descubrimos por qué (3) se denomina factor integrante. Podemos integrar
ambos lados de la última ecuación,
e
P(x)dx
y
e
P(x)dx
f(x)
c
y resolvemos para y. El resultado es una familia uniparamétrica de soluciones de la
ecuación (2):
y
e
P(x)dx
e
P(x)dx
f(x)dx
ce
P(x)dx
. Hacemos énfasis en que no debe memorizarODIyUPXOD VLQRJXLDUVHSRUHO
siguiente procedimiento cada vez.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN
i) Recuerde poner la ecuación lineal en la forma estándar (2).
ii ,GHQWL¿TXH GH OD LGHQWLGDG GH OD IRUPD HVWiQGDU D P(x) y después
determine el factor integrante e P(x)dx. No se necesita utilizar una
FRQVWDQWHSDUDHYDOXDUODLQWHJUDOLQGH¿QLGD P(x)dx
iii) Multiplique la forma estándar de la ecuación por el factor integrante. El
lado izquierdo de la ecuación resultante es automáticamente la derivada
del factor integrante e P(x)dx y y:
d
e
dx
[
]
y e
P(x)dx
P(x)dx
f(x).
(5)
iv) Integre ambos lados de esta última ecuación y resuelva para y.
EJEMPLO 1
Resuelva
Solución de una ED lineal homogénea
dy
3y 0.
dx
SOLUCIÓN Esta ecuación lineal se puede resolver por separación de variables.
En otro caso, puesto que la ecuación ya está en la forma estándar (2), vemos que
2.3
P(x) 3 y por tanto el factor integrante es e
por este factor y reconocemos que
e
3x
dy
dx
3e
3x
3x
e
y
Entonces e3xy c o y ce 3x, EJEMPLO 2
Resuelva
(3)dx
3x
x
y] dx
57
O
e3x. Multiplicando la ecuación
0 es la misma que
d
[e
dx
Integrando la última ecuación,
ECUACIONES LINEALES
d
[e
dx
3x
y]
0.
0 dx
.
Solución de una ED lineal no homogénea
dy
3y 6.
dx
SOLUCIÓN Esta ecuación lineal, como la del ejemplo 1, ya está en la forma estándar
P(x) 3 y por tanto el factor integrante es de nuevo e3x. Ahora al multiplicar la
ecuación dada por este factor se obtiene
e
3x
dy
dx
3e
3x
y
6e
3x
,
que es la misma que
d
[e
dx
3x
e
3x
y]
6e
3x
.
Integrando la última ecuación,
d
[e
dx
y
1
x
_1
y =_2
_2
_3
_1
1
2
3
4
FIGURA 2.3.1 Curvas solución de la
ED en el ejemplo 2.
3x
y] dx
o y 2 ce 3x, 6 e
x
3x
dx nos da e
3x
y
6
3
c
.
Cuando a1, a0 y g son constantes en la ecuación (1), la ecuación diferencial es autónoma. En el ejemplo 2 podemos comprobar de la forma normal dydx 3(y 2) que
2 es un punto crítico y que es inestable (un repulsor). De este modo, una curva soluFLyQFRQXQSXQWRLQLFLDO\DVHDDUULEDRGHEDMRGHODJUi¿FDGHODVROXFLyQGHHTXLOLEULR
y 2 se aleja de esta recta horizontal conforme aumenta x/D¿JXUDREWHQLGD
FRQODD\XGDGHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQPXHVWUDODJUi¿FDGHy 2 junto con
otras curvas solución.
SOLUCIÓN GENERAL Suponga que las funciones P y f en la ecuación (2) son continuas sobre un intervalo común I(QORVSDVRVTXHFRQGXFHQDODHFXDFLyQ PRVWUDmos que si la ecuación (2) tiene una solución en I, entonces debe estar en la forma dada
HQODHFXDFLyQ 5HFtSURFDPHQWHHVXQHMHUFLFLRGLUHFWRGHGHULYDFLyQFRPSUREDUTXH
FXDOTXLHUIXQFLyQGHODIRUPDGDGDHQ HVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO sobre I(QRWUDVSDODEUDV HVXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQ
(2) y toda solución de la ecuación (2)GH¿QLGDVREUHIHVXQPLHPEURGHHVWDIDPLOLDPor
WDQWROODPDPRVDODHFXDFLyQ ODsolución general de la ecuación diferencial sobre
el intervalo I. (Vea los Comentarios DO¿QDOGHODVHFFLyQ $OHVFULELUODHFXDFLyQ
(2) en la forma normal y F(x, y SRGHPRVLGHQWL¿FDUF(x, y) P(x)y f (x) y
Fy P(x). De la continuidad de P y f sobre el intervalo I vemos que F y Fy
son también continuas sobre I&RQHOWHRUHPDFRPRQXHVWUDMXVWL¿FDFLyQFRQcluimos que existe una y sólo una solución del problema con valores iniciales
dy
P(x)y f(x),
dx
y(x0) y0
(6)
GH¿QLGDVREUHalgún intervalo I0 que contiene a x0. Pero cuando x0 está en I, encontrar
una solución de (6) es exactamente lo mismo que encontrar un valor adecuado de c en
ODHFXDFLyQ HVGHFLUDWRGDx0 en I le corresponde un distinto c. En otras palabras,
58
O
CAPÍTULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
el intervalo de existencia y unicidad I0 del teorema 1.2.1 para el problema con valores
iniciales (6) es el intervalo completo I.
EJEMPLO 3
Resuelva x
Solución general
dy
4y x 6e x.
dx
SOLUCIÓN Dividiendo por x, obtenemos la forma estándar de la ED dada, es
dy 4
y x5e x. dx x
(QHVWDIRUPDLGHQWL¿FDPRVDP(x) x y f (x) x5ex y además vemos que P y f son
continuas sobre (0, ). Por tanto el factor integrante es
podemos utilizar ln x en lugar de ln x ya que x 0
e4
dx/x
4
e4ln x eln x x4.
Aquí hemos utilizado la identidad básica blogbN N, N 0. Ahora multiplicamos la
HFXDFLyQ SRUx y reescribimos
x
En caso de que se pregunte por qué es importante el intervalo (0, ) en el ejemplo
3, lea este párrafo y el párrafo que sigue
DOHMHPSOR
4
dy
dx
4x 5y
xex
d
[x 4y]
dx
como
xex.
'HODLQWHJUDFLyQSRUSDUWHVVHWLHQHTXHODVROXFLyQJHQHUDOGH¿QLGDVREUHHOLQWHUYDOR
(0, ) es xy xe x e x c o y x 5e x x e x cx .
([FHSWRHQHOFDVRHQHOTXHHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDOHVODUHIRUPXODFLyQGHODHFXDción (1) en la forma estándar (2) requiere que se divida por a1(x). Los valores de x para
los que a1(x) 0 se llaman puntos singulares de la ecuación. Los puntos singulares
son potencialmente problemáticos. En concreto, en la ecuación (2), si P(x) (que se
forma al dividir a0(x) por a1(x)) es discontinua en un punto, la discontinuidad puede
conducir a soluciones de la ecuación diferencial.
EJEMPLO 4
Solución general
Determine la solución general de (x 2 9)
dy
xy 0.
dx
SOLUCIÓN Escribimos la ecuación diferencial en la forma estándar
dy
x
y0
dx x 2 9
(8)
HLGHQWL¿FDQGRP(x) x(x2± $XQTXHP es continua sobre (, 3), (3, 3) y
(3, ), resolveremos la ecuación en el primer y tercer intervalos. Sobre estos intervalos
el factor integrante es
e
x d x/(x 29)
e2
1
2x d x/(x 29)
e2 ln x 9 1x2 9 .
1
2
Después multiplicando la forma estándar (8) por este factor, obtenemos
d
1x2 9 y 0.
dx
Integrando ambos lados de la última ecuación se obtiene 1x2 9 y c. De este
modo, ya sea para (, 3) o (3, ) la solución general de la ecuación es
c
y
.
2
1x 9
2.3
ECUACIONES LINEALES
O
59
2EVHUYHHQHOHMHPSORTXHx 3 y x 3 son puntos singulares de la ecuación y
que toda función en la solución general y c1x 2 9 es discontinua en estos puntos. Por otra parte, x 0 es un punto singular de la ecuación diferencial en el ejemplo
3, pero en la solución general y x5ex – xex cx es notable que cada función de esta
familia uniparamétrica es continua en x \HVWiGH¿QLGDVREUHHOLQWHUYDOR ,
) y no sólo sobre (0, ), como se indica en la solución. Sin embargo, la familia y x5ex – xex cxGH¿QLGDVREUH , ) no se puede considerar la solución general de
la ED, ya que el punto singular x 0 aún causa un problema. Vea los problemas 50 y
51 en los ejercicios 2.3.
EJEMPLO 5
Resuelva
Un problema con valores iniciales
dy
y x, y(0) 4.
dx
SOLUCIÓN La ecuación está en forma estándar y P(x) 1 y f(x) x son continuas
sobre (, ). El factor integrante es e
dx
e x, entonces al integrar
d x
[e y] xex
dx
se tiene que exy xex – ex c. Al despejar y de esta última ecuación se obtiene la
solución general y x 1 ce x. Pero de la condición general sabemos que y cuando x 0. El sustituir estos valores en la solución general implica que c 5. Por
tanto la solución del problema sobre el intervalo (, ) es
y x 1 5ex,
y
4
c>0
2
c5
x
_2
c<0
_4 c=0
_4
_2
2
4
FIGURA 2.3.2 Curvas solución de la
x
.
/D¿JXUDTXHVHREWXYRFRQODD\XGDGHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQPXHVWUDOD
JUi¿FDGHODVROXFLyQ HQD]XORVFXURMXQWRFRQODVJUi¿FDVGHODVRWUDVVROXFLRQHV
de la familia uniparamétrica y x – 1 cex. Es interesante observar que conforme x
DXPHQWDODVJUi¿FDVGHtodosORVPLHPEURVGHODIDPLOLDHVWiQFHUFDGHODJUi¿FDGHOD
solución y x – 1. Esta última solución corresponde a c 0 en la familia y se muestra
HQYHUGHRVFXURHQOD¿JXUD(VWHFRPSRUWDPLHQWRDVLQWyWLFRGHVROXFLRQHVHV
debido al hecho de que la contribución de cex, c ⬆ 0 será despreciable para valores
crecientes de x. Decimos que cex es un término transitorio, ya que e–x A 0 conforme
x A . Mientras que este comportamiento no es característico de todas las soluciones
generales de las ecuaciones lineales (vea el ejemplo 2), el concepto de un transitorio es
frecuentemente importante en problemas de aplicación.
ED en el ejemplo 5
ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DEFINIDA EN TRAMOS En la construcción de modelos matemáticos (especialmente en ciencias biológicas e ingeniería)
SXHGHRFXUULUTXHXQRRPiVFRH¿FLHQWHVHQXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHDXQDIXQFLyQ
GH¿QLGDHQWUDPRV(QSDUWLFXODUFXDQGR\DVHDP(x) o f(x HQ HVXQDIXQFLyQGH¿nida en tramos, la ecuación entonces se denomina una ecuación diferencial lineal por
tramos. En el siguiente ejemplo, f(x) es continua en tramos sobre el intervalo [0, )
con un solo salto de discontinuidad en x = 1. La idea básica es solucionar el problema
de valor inicial en los dos tramos correspondientes a los dos intervalos en que f(x) está
GH¿QLGDFDGDWUDPRFRQVWDGHXQDHFXDFLyQOLQHDOVROXEOHSRUHOPpWRGRGHHVWDVHFción. Como veremos, entonces es posible juntar las dos soluciones en x = 1 por lo que
y (x) es continua sobre [0, 9pDQVHORVSUREOHPDVDGHORVHMHUFLFLRV
EJEMPLO 6
Resuelva dy
dx
y
Un problema con valores iniciales
f (x), y(0)
0 donde f (x)
1,
0,
0
x
x
1,
1.
60
CAPÍTULO 2
O
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
SOLUCIÓN (Q OD ¿JXUD VH PXHVWUD OD JUi¿FD GH OD IXQFLyQ GLVFRQWLQXD f.
Resolvemos la ED para y(x) primero sobre el intervalo [0, 1] y después sobre el intervalo
(1, ). Para 0 x 1 se tiene que
y
x
FIGURA 2.3.3 f(x) discontinua en el
ejemplo 6.
dy
d x
y 1
o, el equivalente,
[e y] ex.
dx
dx
Integrando esta última ecuación y despejando y se obtiene y 1 c1ex. Puesto que
y(0) 0, debemos tener que c1 1 y por tanto y 1 ex, 0 x 1. Entonces
para x 1 la ecuación
dy
y0
dx
conduce a y c2ex. Por tanto podemos escribir
1c e e,
x
y
,
x
2
0 x 1,
x 1.
5HFXUULHQGRDODGH¿QLFLyQGHFRQWLQXLGDGHQXQSXQWRHVSRVLEOHGHWHUPLQDUc2, así
que la última función es continua en x 1. El requisito de límxA1 y(x) y(1) implica
que c2e1 1 – e1 o c2 e&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDODIXQFLyQ
y
y
1
x
FIGURA 2.3.4 *Ui¿FDGHODIXQFLyQ
(10) en el ejemplo 6.
1 ex,
(e 1)ex,
0 x 1,
x1
(10)
es continua sobre (0, ).
6HUiLPSRUWDQWHWRPDUHQFXHQWDXQSRFRPiVODHFXDFLyQ \OD¿JXUDSRU
favor lea y conteste el problema 53 de los ejercicios 2.3.
FUNCIÓN ERROR En matemáticas, ciencia e ingeniería aplicadas algunas funciones
importantes están GH¿QLGDV en términos de integrales no elementales. Dos de esas
funciones especiales son la función error y la función error complementario:
2
1
erf(x) x
et dt
2
(2yÏ␲)e
erfc(x) 0
A partir del conocido resultado
` 2t2
e dt
0
y
e0` e2t
2
2
1
et dt.
2
(11)
x
dt 5 Ï␲y2* podemos reescribir
5 1.
5HFXUULHQGR D OD SURSLHGDG DGLWLYD GH ORV LQWHUYDORV GH XQD LQWHJUDO GH¿QLGD
e ` 5 e x 1 e ` podemos reescribir el último resultado en la forma alternativa
0
0
x
erf(x)
erfc(x)
5
5
2
`
#e
Ï␲
0
2t 2
dt 5
2
x
#e
Ï␲
0
2t 2
dt 1
2
`
#e
Ï␲
x
2t 2
dt 5 1.
(12)
Se ve de (12) que la función de error erf(x) y de la función de error complementaria
erfc(x) están relacionadas por la identidad
erf(x) + erfc(x) = 1.
Debido a su importancia en estadística, probabilidad y ecuaciones diferenciales aplicadas, la función de error ha sido ampliamente tabulada. Tenga en cuenta que erf(0) =
0 es un valor obvio de la función. También se pueden encontrar valores numéricos de
erf(x) con un SAC como Mathematica
†
El resultado se encuentra en el apéndice A.
2.3
ECUACIONES LINEALES
61
O
Si usted está resolviendo un problema de valor inicial (6) y reconoce que la inteJUDFLyQ LQGH¿QLGD GHO ODGR GHUHFKR GH GDUtD OXJDU D XQ LQWHJUDO QR HOHPHQWDO
entonces como ya vimos en el ejemplo 5 de la sección 2.2 es conveniente utilizar
en su lugar integración GH¿QLGD sobre el intervalo [x0, x]. El último ejemplo muestra
que este procedimiento incorpora automáticamente a la condición inicial en x0 en la
solución de la ED; en otras palabras, no tenemos que resolver la constante c en su
solución general.
EJEMPLO 7
La función de error
Resuelva el problema con valores iniciales
dy
2xy 2,
dx
y(0) 1.
SOLUCIÓN La ecuación diferencial está en forma estándar, y así vemos que el factor
de integración es ee(22x dx) 5 e2x2 . Multiplicando ambos lados de la ecuación por este
2 dy
2
2
2 2xe2x y 5 2e2x , que es igual que
factor entonces se obtiene e2x
dx
d 2x2
2
e yg 5 2e2x .
f
dx
(13)
<DTXHODLQWHJUDFLyQLQGH¿QLGDGHDPERVODGRVGHODHFXDFLyQ FRQGXFHDODLQ2
tegral no elemental ee2x dxLGHQWL¿FDPRVx \XVDQGRLQWHJUDFLyQGH¿QLGDVREUH
el intervalo [0, x]:
xd
# dt
0
x
#
_e2t y(t)+ dt 5 2 e2t dt
2
2
o
e
0
x
#e
2x2
y(x) 2 y(0) 5 2
2t2
dt.
0
Aplicando y(0) 1 en la última expresión obtenemos c 1. Por tanto, la solución del
problema es
x
2
2
2
y 5 e x 1 2e x e2t dt.
(14)
#
0
Después, insertando el factor Ï␲yÏ␲ en esta solución, de la siguiente manera
y
erf(x)
x
2
x
#e
0
2t 2
dt 5 e x
3 1
2
1 1 Ï␲
5
2
y 5 e x 1 2e x
2
x
#e
Ï␲
0
2t2
24
dt
YHPRVGH TXH SXHGHUHHVFULELUVHHQWpUPLQRVGHODIXQFLyQHUURUFRPR
2
y 5 e x f1 1 Ï␲ erf(x)g.
FIGURA 2.3.5 Curvas solución (15)
GHOD('GHOHMHPSOR
(15)
(QOD¿JXUDVHPXHVWUDODJUi¿FDGHHVWDVROXFLyQREWHQLGDFRQODD\XGDGHXQ
SAC.
9HDORVSUREOHPDVDHQORVHMHUFLFLRV
USO DE COMPUTADORAS Algunos sistemas algebraicos de computación como
Mathematica y Maple permiten obtener soluciones implícitas o explícitas para algunos
tipos de ecuaciones diferenciales, usando la instrucción dsolve.†
Ciertas instrucciones se escriben igual, pero los comandos de Mathematica comienzan con una letra mayúscula
(DSolve) mientras que en Maple la misma instrucción comienza con una letra minúscula (dsolve). Cuando
analizamos estas sintaxis comunes escribimos, como en el ejemplo, dsolve.
†
62
O
CAPÍTULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
COMENTARIOS
i) A veces, una ecuación diferencial de primer orden es no lineal en una variable
pero es lineal en la otra variable. Por ejemplo, la ecuación diferencial
dy
1
dx x y 2
es no lineal en la variable y. Pero su recíproca
dx
x y2
dy
o
dx
x y2
dy
se reconoce como lineal en la variable x. Usted debería comprobar que el factor
integrante es e (1)dy ey e integrando por partes se obtiene la solución explícita x y2 2y 2 ce y para la segunda ecuación. Esta expresión es,
entonces, una solución implícita de la primera ecuación.
ii) Los matemáticos han adoptado como propias algunas palabras de ingeniería
que consideran adecuadas para ciertas descripciones. La palabra transitorio, que
ya hemos usado, es uno de estos términos. En futuros análisis a veces se presentarán las palabras entrada y salida. La función f en la ecuación (2) es la función
de entrada o de conducción; una solución y(x) de la ecuación diferencial para
una entrada dada se llama salida o respuesta.
iii) El término funciones especiales mencionado en relación con la función de
error también se aplica a la función integral senoidal y a la integral seno de
FresnelLQWURGXFLGDVHQORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV³)XQFLRQHV
HVSHFLDOHV´HVXQDUDPDGHODVPDWHPiWLFDVUHDOPHQWHELHQGH¿QLGD(QODVHFFLyQVHHVWXGLDQIXQFLRQHVPiVHVSHFLDOHV
EJERCICIOS 2.3 Las respuestas a los problemas seleccionados FRQQ~PHURLPSDUFRPLHQ]DQHQODSiJLQD5(6
(Q ORV SUREOHPDV GHWHUPLQH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD
ecuación diferencial dada. Indique el intervalo I más largo en
HOTXHHVWiGH¿QLGDODVROXFLyQJHQHUDO'HWHUPLQHVLKD\DOgunos términos transitorios en la solución general.
1.
dy
dx
dy
3.
dx
5y
y
2.
e
dy
dx
2y
dy
4. 3
dx
3x
0
12y
16. y dx ( ye y 2x) dy
dy
(sen x)y 1
dx
dy
18. cos2x sen x (cos3x)y 1
dx
17. cos x
4
5. y 3x 2y x 2
6. y 2xy x 3
20.
7. x 2y xy 1
8. y 2y x 2 5
21.
dy
9. x
dx
11. x
dy
dx
y
4y
dy
10. x
dx
x 2 senx
x3
x
12. (1
13. x 2y x(x 2)y e x
14. xy (1 x)y e sen 2x
x
15. y dx x y 6) dy 0
x)
2y
3
dy
dx
xy
dy
(x 2)y 2xex
dx
dy
(x 2)2
5 8y 4xy
dx
dr
r sec cos d
dP
2tP P 4t 2
dt
dy
x
(3x 1)y e3x
dx
19. (x 1)
22.
x
x2
23.
24. (x 2 1)
dy
2y (x 1)2
dx
2.3
En los problemas 25-36 resuelva el problema con valores iniciales. Indique el intervalo I PiVODUJRHQHOTXHHVWiGH¿QLGD
la solución.
dy
dx
dy
26.
dx
25.
x
5y,
2x
y(0)
3y,
P(x) 5
y(1) 2
27. xy y e ,
x
28. y
dx
x 2y2,
dy
29. L
di
Ri E, i(0) i0,
dt
y(1) 5
42.
P(x) 5
k, T m y T 0 constantes
dy
dx
32. y
y
35. y
1,
2
x3ex ,
4xy
33. (x 1)
34. x(x
4x
dy
dx
y(0)
xy
1,
dy
2 2xy 5 1, y(1) 5 1
dx
1
44.
dy
2 2xy 5 21, y(0) 5 Ï␲y2
dx
y(e)
(QORVSUREOHPDV\SURFHGHUFRPRHQHOHMHPSOR\H[prese la solución del problema de valor inicial dado en térmiQRVGHXQDIXQFLyQGDGDSRUXQDLQWHJUDOGH¿QLGD
1
1
(QORVSUREOHPDVSURFHGDFRPRHQHOHMHPSORSDUDUHVROver el problema con valores iniciales dados. Utilice un programa
GHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODIXQFLyQFRQWLQXDy(x).
37.
dy
dx
f (x), y(0)
2y
38.
dy
dx
y
dy
dx
40. (1
x 2)
dy
dx
f (x)
3
3
dy
2 y 5 x 3, y(1) 5 0
dx
47. La función integral senoidalVHGH¿QHFRPR
Si(x) 5
x
dt,
# sent
t
0
x3
dy
1 2x2y 5 10 sen x, y(1) 5 0
dx
en términos de Si(x).
x
x
0
1,
x,
0,
x
x
0
x,
0
x,
1
1
# sen1␲2 t 2 dt.
x
2
0
dy
2 (senx 2)y 5 0, y(0) 5 5
dx
1
1
x
x
S(x) 5
Vea el apéndice A. Exprese la solución del problema de
valor inicial
2, donde
f (x), y(0)
2xy
46. x 2
48. La función integral seno de FresnelVHGHÀQHFRPR
1,
f (x)
dy
1 e x y 5 1, y(0) 5 1
dx
GRQGHHOLQWHJUDQGRHVGH¿QLGRFRPRHQx = 0. Vea el
apéndice A. Exprese la solución del problema de valor inicial
1, donde
f (x), y(0)
2xy
x
x
0
f (x), y(0)
f (x)
39.
0, donde
1,
0,
f (x)
45.
y(0) 1
36. y (tan x)y cos 2x,
x.1
0#x#2
x.2
43.
2 sen x, y( 2)
(sen x)y
51,5,
8
y(1)
dy
y ln x, y(1) 10
dx
1)
5
(QORVSUREOHPDV\SURFHGDFRPRHQHOHMHPSOR\H[presa la solución del problema de valor inicial dado en términos de erf(x SUREOHPD \HUIF x SUREOHPD dT
k(T Tm ); T(0) T0,
dt
31. x
0#x#1
2,
2
2 ,
x
dy
1 P(x)y 5 0, y(0) 5 4, donde
dx
L, R, E e i 0 constantes
30.
63
dy
1 P(x)y 5 4x, y(0) 5 3, donde
dx
1
3
y(0)
O
QORVSUREOHPDV\SURFHGDHQXQDIRUPDVLPLODUDOHMHP(
plo 6 para resolver el problema con valores iniciales Utilice una
XWLOHUtDJUi¿FDSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODIXQFLyQFRQWLQXDy(x).
41.
3
ECUACIONES LINEALES
en términos de S(x).
0, donde
Problemas para analizar
1
1
49. Lea nuevamente el análisis posterior al ejemplo 2.
Construya una ecuación diferencial lineal de primer
orden para la que todas las soluciones no constantes tiendan a la asíntota horizontal y FRQIRUPHx A .
64
O
CAPÍTULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
50. Lea nuevamente el ejemplo 3 y después analice, usando
el teorema 1.2.1, la existencia y unicidad de una solución del problema con valores iniciales que consiste de
xy ±y x6ex y de la condición inicial dada.
a) y(0) 0
b) y(0) y 0, y 0 0
c) y(x 0) y 0, x 0 0, y 0 0
51. /HDQXHYDPHQWHHOHMHPSOR\GHVSXpVGHWHUPLQHODVROXFLyQ
general de la ecuación diferencial en el intervalo (3, 3).
52. Lea nuevamente el análisis posterior al ejemplo 5.
Construya una ecuación diferencial lineal de primer orden
para la que todas las soluciones son asintóticas a la recta
y 3x 5 conforme x A .
53. Lea nuevamente el ejemplo 6 y después analice por qué
es técnicamente incorrecto decir que la función en (10) es
una “solución” del PVI en el intervalo [0, ).
54. a) Construya una ecuación diferencial lineal de primer
orden de la forma xy + 3y = g(x) para la cual y = 3 + c/
x3VHDVXVROXFLyQJHQHUDO'pXQLQWHUYDORGHGH¿QL
ción I de esta solución.
b) Dé una condición inicial y(x0) y0 para la ED que
se determinó en el inciso a) de modo que la solución
del PVI sea y x3 1x3. Repita si la solución es
y x3 2x3'pXQLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQI de cada
XQDGHHVWDVVROXFLRQHV7UDFHODJUi¿FDGHODVFXUvas solución. ¿Hay un problema con valores iniciales
FX\DVROXFLyQHVWpGH¿QLGDHQ , )?
c) ¿Es único cada PVI encontrado en el inciso b)? Es decir,
puede haber más de un solo PVI para el cual, digamos,
y x3 1x3, x en algún intervalo I, sea la solución?
55. Al determinar el factor integrante (3), no usamos una
constante de integración en la evaluación de P(x) dx.
Explique por qué usar P(x) dx c1 no tiene efecto en la
solución de (2).
56. Suponga que P(x) es continua en algún intervalo I y a es un
número en I. ¿Qué se puede decir acerca de la solución del
problema con valores iniciales y P(x)y 0, y(a) 0?
Modelos matemáticos
57. Serie de decaimiento radiactivo Los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales se encuentran en el estudio del decaimiento de un tipo especial de series de decaimiento radiactivo de elementos:
2.4
dx
1x
dt
dy
1x 2 y,
dt
donde 1 y 2 son constantes. Analice cómo resolver este
sistema sujeto a x(0) x0, y(0) y0. Desarrolle sus ideas
58. Marcapasos de corazón Un marcapasos de corazón
consiste en un interruptor, una batería de voltaje constante
E0, un capacitor con capacitancia constante C y un corazón como un resistor con resistencia constante R. Cuando
se cierra el interruptor, el capacitor se carga; cuando el
interruptor se abre, el capacitor se descarga, enviando estímulos eléctricos al corazón. Todo el tiempo el corazón
se está estimulando, el voltaje E a través del corazón satisface la ecuación diferencial lineal
1
dE
52
E.
dt
RC
Resolver la ED, sujeta a E E0.
Tarea para el laboratorio de computación
59. a) 8WLOLFHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODFXUYDGH
VROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORULQLFLDOSUREOHPD
sobre el intervalo (, ).
b) Use tablas o un SAC para evaluar y(2).
60. a) 8WLOLFHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODFXUYDGH
VROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORULQLFLDOSUREOHPD
en el intervalo [0, ).
b) Use un SAC para encontrar el valor del máximo ab
soluto de la solución y(x) sobre el intervalo.
61. a) 8WLOLFHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODFXUYDGH
VROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORULQLFLDOSUREOHPD
sobre el intervalo (-, ).
b) Se sabe que la integral seno de Fresne S(x) S 12
conforme xĺ y S(x) S 212 FXDQGR [ ĺ .
¢$TXpVHDSUR[LPDODVROXFLyQ\ [ FXDQGR[ĺ? ¿Y
FXiQGR[ĺ?
c)
Utilice un SAC para encontrar los valores máximo
absoluto y mínimo absoluto de la solución y (x) sobre
el intervalo.
ECUACIONES EXACTAS
INTRODUCCIÓN
Aunque la sencilla ecuación diferencial de primer orden
y dx x dy 0
es separable, podemos resolver la ecuación en una forma alterna al reconocer que la expresión del
lado izquierdo de la ecuación es la diferencial de la función f (x, y) xy, es decir
d(xy) y dx [G\
En esta sección analizamos ecuaciones de primer orden en la forma diferencial M(x, y) dx N(x, y) dy 0.
Aplicando una prueba simple a M y a N, podemos determinar si M(x, y) dx N(x, y) dy es la diferencial de una función f (x, y). Si la respuesta es sí, se puede construir f integrando parcialmente.
2.4
ECUACIONES EXACTAS
O
65
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Si z f (x, y) es una
función de dos variables con primeras derivadas parciales continuas en una región R
del plano xy, entonces recuerde de Cálculo que su diferencialVHGH¿QHFRPR
dz f
f
dx dy.
x
y
(1)
En el caso especial cuando f (x, y) c, donde c es una constante, entonces la ecuación
(1) implica que
f
f
dx dy 0.
x
y
(2)
En otras palabras, dada una familia de curvas f (x, y) c, podemos generar una ecuación diferencial de primer orden si calculamos la diferencial de ambos lados de la
igualdad. Por ejemplo, si x2 5xy y3 c, entonces la ecuación (2) da la ED de
primer orden
(2x 5y) dx (5x 3y 2 ) dy 0.
(3)
UNA DEFINICIÓN Por supuesto que no todas las ED de primer orden escritas en
la forma M(x, y) dx N(x, y) dy 0 corresponden a una diferencial de f (x, y) c.
Por tanto, para nuestros objetivos es muy importante regresar al problema anterior;
en particular, si nos dan una ED de primer orden como la ecuación (3), ¿hay alguna
forma de reconocer que la expresión diferencial (2x 5y) dx (5x 3y 2) dy es la
diferencial d(x 2 5xy y 3)? Si la hay, entonces una solución implícita de la ecuación
(3) es x 2 5xy y 3 F Podemos contestar esta pregunta después de la siguiente
GH¿QLFLyQ
DEFINICIÓN 2.4.1
Ecuación exacta
Una expresión diferencial M(x, y) dx N(x, y) dy es una diferencial exacta en
una región R del plano xy si ésta corresponde a la diferencial de alguna función
f (x, y GH¿QLGDHQR. Una ecuación diferencial de primer orden de la forma
M(x, y) dx N(x, y) dy 0
se conoce como una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una
diferencial exacta.
Por ejemplo x 2y 3 dx x 3y 2 dy 0 es una ecuación exacta, ya que su lado izquierdo
es una diferencial exacta:
d 13 x3 y3 x2 y3 dx x3y2 dy.
2EVHUYHTXHVLKDFHPRVODVLGHQWL¿FDFLRQHVM(x, y) x 2y 3 y N(x, y) x 3y 2, entonces
My 3x 2y 2 N[(OWHRUHPDTXHVHSUHVHQWDDFRQWLQXDFLyQPXHVWUD
que la igualdad de las derivadas parciales My y Nx no es una coincidencia.
TEOREMA 2.4.1 Criterio para una diferencial exacta
Si M(x, y) y N(x, y) son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en una región rectangular RGH¿QLGDSRUa x b, c y d, entonces
XQDFRQGLFLyQQHFHVDULD\VX¿FLHQWHSDUDTXHM(x, y) dx N(x, y) dy sea una
diferencial exacta es
M N
.
y
x
66
O
CAPÍTULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
PRUEBA DE LA NECESIDAD Por simplicidad suponemos que M(x, y) y N(x, y) tienen primeras derivadas parciales continuas para todo (x, y). Ahora, si la expresión
M(x, y) dx N(x, y) dy es exacta, existe alguna función f tal que para toda x en R,
M(x, y) dx N(x, y) dy M(x, y) Por tanto
f
,
x
f
f
dx dy.
x
y
N(x, y) f
,
y
M
f
f
2 f
N
.
y
y x
y x x y
x
y
La igualdad de las parciales mixtas es una consecuencia de la continuidad de las primeras derivadas parciales de M(x, y) y N(x, y).
/DSDUWHGHVX¿FLHQFLDGHOWHRUHPDFRQVLVWHHQGHPRVWUDUTXHH[LVWHXQDIXQFLyQ
f para la que fx M(x, y) y fy N(x, y VLHPSUHTXHODHFXDFLyQ VHDYiOLGD
La construcción de la función f en realidad muestra un procedimiento básico para resolver ecuaciones exactas.
MÉTODO DE SOLUCIÓN Dada una ecuación en la forma diferencial M(x, y) dx N(x, y) dy GHWHUPLQHVLODLJXDOGDGGHODHFXDFLyQ HVYiOLGD6LHVDVtHQWRQFHV
existe una función f para la que
f
M(x, y).
x
Podemos determinar f integrando M(x, y) respecto a x mientras y se conserva constante:
f (x, y) M(x, y) dx g(y),
(5)
donde la función arbitraria g(y) es la “constante” de integración. Ahora derivando a
(5) con respecto a y y suponiendo que fy N(x, y):
f
y y
M(x, y) dx g( y) N(x, y).
g( y) N(x, y) Se obtiene
y
M(x, y) dx.
(6)
Por último, se integra la ecuación (6) respecto a y y se sustituye el resultado en la ecuación (5). La solución implícita de la ecuación es f (x, y) c.
Hacen falta algunas observaciones. Primero, es importante darse cuenta de que la
expresión N(x, y) (y) M(x, y) dx en (6) es independiente de x, ya que
N(x, y) x
y
M(x, y) dx
Nx y x
M(x, y) dx N M
0.
x
y
En segundo lugar, pudimos iniciar bien el procedimiento anterior con la suposición de
que fy N(x, y). Después, integrando N respecto a y y derivando este resultado, encontraríamos las ecuaciones que, respectivamente, son análogas a las ecuaciones (5) y (6),
f (x, y) N(x, y) dy h(x)
y
h(x) M(x, y) x
En cualquier caso no se debe memorizar ninguna de estas fórmulas.
N(x, y) dy.
2.4
ECUACIONES EXACTAS
O
67
EJEMPLO 1 Resolviendo una ED exacta
Resuelva 2xy dx (x 2 1) dy 0.
SOLUCIÓN
Con M(x, y) 2xy y N(x, y) x 2 1 tenemos que
M
N
.
2x y
x
&RPRODHFXDFLyQHVH[DFWDSRUHOWHRUHPDH[LVWHXQDIXQFLyQf (x, y) tal que
f
2xy
x
f
x2 1.
y
y
A partir de estas ecuaciones obtenemos, después de integrar:
f (x, y) x 2y g(y).
Tomando la derivada parcial de la última expresión con respecto a y y haciendo el
resultado igual a N(x, y) se obtiene
f
x2 g(y) x2 1.
y
; N(x, y)
Sigue que g(y) 1 y g(y) \ Por tanto f (x, y) x 2y y, así la solución de la
ecuación en la forma implícita es x 2y y c La forma explícita de la solución se puede
ver fácilmente como y c(x 2 1) \ HVWi GH¿QLGD VREUH FXDOTXLHU LQWHUYDOR TXH QR
contenga ni a x 1 ni a x 1.
NOTA La solución de la ED en el ejemplo 1 no es f (x, y) x 2y \ Más bien es
f (x, y) c; si se usa una constante en la integración de g (y), podemos escribir la
solución como f (x, y) 0.
EJEMPLO 2 Solución de una ED exacta
Resuelva (e 2y y cos xy) dx (2xe 2y x cos xy 2y) dy 0.
SOLUCIÓN
La ecuación es exacta ya que
M
N
2e 2y xy sen xy cos xy .
y
x
Por tanto existe una función f (x, y) para la cual
M(x, y) f
x
y
N(x, y) f
.
y
Ahora, para variar, comenzaremos con la suposición de que f y N(x, y); es decir
f
2xe2y x cos xy 2y
y
f (x, y) 2x
e2y dy x
cos xy dy 2
y dy h(x).
Recuerde que la razón por la que x sale del símbolo es que en la integración respecto
a y se considera que x es una constante ordinaria. Entonces se tiene que
f(x, y) xe 2y sen xy y 2 h(x)
f
e2y y cos xy h(x) e 2y y cos xy,
x
; M(x, y)
68
O
CAPÍTULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
y así h (x) 0 o h(x) c. Por tanto una familia de soluciones es
xe 2y sen xy y 2 c 0.
EJEMPLO 3 Problema con valores iniciales
Resuelva
dy xy2 cos x sen x
, y(0) 2.
dx
y(1 x2)
SOLUCIÓN
Al escribir la ecuación diferencial en la forma
(cos x sen x xy 2) dx y(1 x 2) dy 0,
reconocemos que la ecuación es exacta porque
M
N
2xy .
y
x
Ahora
f
y(1 x2)
y
f(x, y) y2
(1 x 2 ) h(x)
2
f
xy2 h(x) cos x sen x xy 2.
x
La última ecuación implica que h (x) cos x sen x. Integrando se obtiene
h(x)
(cos x)( sen x dx)
1
cos 2 x.
2
1
y2
o
y2 (1 x2) cos2 x c,
(1 x2)
cos2 x c1
2
2
donde se sustituye 2c1 por c. La condición inicial y 2 cuando x 0 exige que
cos 2 (0) c, y por tanto c 3. Una solución implícita del problema es entonces y 2(1 x 2) cos 2 x 3.
(QOD¿JXUDODFXUYDVROXFLyQGHO39,HVODFXUYDGLEXMDGDHQD]XOIRUPDSDUWH
GHXQDLQWHUHVDQWHIDPLOLDGHFXUYDV/DVJUi¿FDVGHORVPLHPEURVGHODIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGDGDVHQODHFXDFLyQ VHSXHGHQREWHQHUGHGLIHUHQWHVPDQHUDV
GRVGHODVFXDOHVVRQXWLOL]DQGRXQSDTXHWHGHFRPSXWDFLyQSDUDWUD]DUJUi¿FDVGHFXUYDV
GHQLYHO FRPRVHDQDOL]yHQODVHFFLyQ \HPSOHDQGRXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUD
WUD]DUFXLGDGRVDPHQWHODJUi¿FDGHODVIXQFLRQHVH[SOtFLWDVREWHQLGDVSDUDGLIHUHQWHVYDlores de c resolviendo y 2 (c cos 2 x)(1 x 2) para \
Por tanto
y
x
FIGURA 2.4.1 Curvas solución de la
ED del ejemplo 3.
FACTORES INTEGRANTES Recuerde de la sección 2.3 que el lado izquierdo de la
ecuación lineal y P(x)y f (x) se puede transformar en una derivada cuando multiplicamos la ecuación por el factor integrante. Esta misma idea básica algunas veces
funciona bien para una ecuación diferencial no exacta M(x, y) dx N(x, y) dy 0.
Es decir, algunas veces es posible encontrar un factor integrante (x, y) así que, después de multiplicar, el lado izquierdo de
(x, y)M(x, y) dx (x, y)N(x, y) dy 0
(8)
es una diferencial exacta. En un intento por encontrar a , regresamos a la ecuación
GHOFULWHULRGHH[DFWLWXG/DHFXDFLyQ HVH[DFWDVL\VyORVL M)y ( N)x,
donde los subíndices denotan derivadas parciales. Por la regla del producto de la derivación, la última ecuación es la misma que My y M Nx x N o
x N y M (My Nx) 2.4
ECUACIONES EXACTAS
O
69
Aunque M, N, My y Nx son funciones conocidas de x y yODGL¿FXOWDGDTXtDOGHWHUPLQDU
la incógnita (x, y) GHODHFXDFLyQ HVTXHGHEHPRVUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
parcial. Como no estamos preparados para hacerlo, haremos una hipótesis para simpli¿FDU6XSRQJDTXH es una función de una variable; por ejemplo, depende sólo de x.
En este caso, x d dx y y DVtODHFXDFLyQ VHSXHGHHVFULELUFRPR
d My Nx
.
dx
N
(10)
Estamos aún en un callejón sin salida si el cociente (My Nx)N depende tanto
de x como de y 6LQ HPEDUJR VL GHVSXpV GH TXH VH KDFHQ WRGDV ODV VLPSOL¿FDFLRnes algebraicas resulta que el cociente (My Nx)N depende sólo de la variable x,
entonces (10) es una ecuación diferencial de primer orden, entonces la ecuación
(10) es separable así como lineal. Entonces, de la sección 2.2 o de la sección 2.3
tenemos que (x) e ((MyNx) N)dx.'HPDQHUDVLPLODUGHODHFXDFLyQ WHQHPRVTXH
si depende sólo de la variable y, entonces
d Nx My
.
dy
M
(11)
En este caso, si (N x My)M es una función sólo de y, podemos despejar de la
ecuación (11).
Resumiendo estos resultados para la ecuación diferencial.
M(x, y) dx N(x, y) dy 0.
(12)
• Si (My Nx)N es sólo una función de x, entonces un factor integrante para
la ecuación (12) es
(x) e
MyNx
dx
N
.
(13)
• Si (Nx My)M es una función sólo de y, entonces un factor integrante de (12) es
(y) e
NxMy
dy
M
.
EJEMPLO 4 Una ED no exacta convertida en exacta
La ecuación diferencial no lineal de primer orden
xy dx (2x 2 3y 2 20) dy 0
HVQRH[DFWD,GHQWL¿FDQGRM xy, N 2x 2 3y 2 20, encontramos que las derivadas parciales My x y Nx [ El primer cociente de la ecuación (13) no nos conduce
a nada, ya que
x 4x
3x
My Nx
2
2
2
N
2x 3y 20 2x 3y 2 20
depende de x y de y6LQHPEDUJRODHFXDFLyQ SURGXFHXQFRFLHQWHTXHGHSHQGH
sólo de y:
Nx My 4x x 3x 3
.
M
xy
xy y
Entonces el factor integrante es e 3dyy e 3lny e lny y 3. Después de multiplicar la
ED dada por (y) y3, la ecuación resultante es
3
xy dx (2x 2y 3 3y 5 20y 3) dy 0.
Usted debería comprobar que la última ecuación es ahora exacta así como demostrar,
usando el método que se presentó en esta sección, que una familia de soluciones es
1 2 4
2x y
12 y 6 5y 4 c.
70
CAPÍTULO 2
O
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
COMENTARIOS
i) Cuando pruebe la exactitud de una ecuación se debe asegurar que tiene precisamente la forma M(x, y) dx N(x, y) dy 0. A veces una ecuación diferencial se escribe como G(x, y) dx H(x, y) dy. En este caso, primero reescriba
como G(x, y) dx H(x, y) dy \GHVSXpVLGHQWL¿TXHM(x, y) G(x, y) y
N(x, y) H(x, y) DQWHVGHXWLOL]DUODHFXDFLyQ ii) En algunos libros de ecuaciones diferenciales el estudio de las ecuaciones
exactas precede al de las ED lineales. Entonces el método que acabamos de
describir para encontrar los factores integrantes se puede utilizar para deducir
un factor integrante para y P(x) y f (x). Al escribir la última ecuación en la
forma diferencial (P(x)y f (x)) dx dy 0, vemos que
M y Nx
P(x).
N
A partir de la ecuación (13) hemos obtenido el conocido factor integrante e
utilizado en la sección 2.3.
EJERCICIOS 2.4
P(x) dx
,
Las respuestas a los problemas seleccionadosFRQQ~PHURLPSDUFRPLHQ]DQHQODSiJLQD5(6
En los problemas 1-20 determine si la ecuación diferencial
exacta dada es exacta. Si es exacta, resuélvala.
1. (2x 1) dx (3y dy 0
2. (2x y) dx (x 6y) dy 0
18. (2y sen x cos x y 2y 2e xy ) dx
2
(x sen2 x 4xye xy ) dy
2
19. t 3y 15t 2 y) dt (t 3y 2 t) dy 0
1t t1 t
y
t
dt ye y 2
dy 0
y2
t y2
3. (5x y) dx x 8y 3) dy 0
20.
4. (sen y y sen x) dx (cos x x cos y y) dy 0
En los problemas 21 a 26 resuelva el problema con valores
iniciales.
5. (2xy 3) dx (2x y dy 0
2
6.
2
1
dy
y
2y cos 3x
4x3 3y sen 3x 0
x
dx x 2
7. (x 2 y 2) dx (x 2 2xy) dy 0
8.
1 ln x xy dx (1 ln x) dy
9. (x y 3 y 2 sen x) dx (3xy 2 2y cos x) dy
10. (x y ) dx 3xy dy 0
3
3
2
11. (y ln y e xy) dx 1y x ln y dy 0
12. (3x 2y e y ) dx (x 3 xe y 2y) dy 0
13. x
dy
2xe x y 6x 2
dx
14.
3
dy
3
x
y 1
y
dx
x
15.
1
1
dx
x2y3 x 3y 2 0
2
1 9x dy
16. (5y 2x)y 2y 0
17. (tan x sen x sen y) dx cos x cos y dy 0
2
2
21. (x y)2 dx (2xy x 2 1) dy 0,
22. (e y) dx (2 x ye ) dy 0,
x
y
y(1) 1
y(0) 1
23. y 2t 5) dt (6y t 1) dy 0, y(1) 2
3y y t dydt 2yt
2
24.
2
5
4
0, y(1) 1
25. ( y 2 cos x 3x 2y 2x) dx
(2y sen x x 3 ln y) dy 0,
26.
y(0) e
1 1 y cos x 2xy dxdy y(y sen x), y(0) 1
2
(QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHHOYDORUGHk para el que
la ecuación diferencial es exacta.
27. (y 3 kxy 2x) dx (3xy 2 20x 2y 3) dy 0
28. (6xy 3 cos y) dx (2kx 2y 2 x sen y) dy 0
(Q ORV SUREOHPDV \ FRPSUXHEH TXH OD HFXDFLyQ GLIHrencial dada es no exacta. Multiplique la ecuación diferencial
dada por el factor integrante indicado (x, y) y compruebe que
la nueva ecuación es exacta. Resuelva.
29. (xy sen x 2y cos x) dx 2x cos x dy 0;
(x, y) xy
2.4
30. (x 2 2xy y 2) dx (y 2 2xy x 2) dy 0;
(x, y) (x y)2
En los problemas 31-36 resuelva la ecuación diferencial dada deWHUPLQDQGRFRPRHQHOHMHPSORXQIDFWRULQWHJUDQWHDGHFXDGR
31. (2y 2 3x) dx 2xy dy 0
33. 6xy dx y x 2) dy 0
2
34. cos x dx 1 sen x dy 0
y
35. (10 6y e3x ) dx 2 dy 0
36. (y 2 xy 3) dx (5y 2 xy y 3 sen y) dy 0
(QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHV
LQLFLDOHVGHWHUPLQDQGRFRPRHQHOHMHPSORXQIDFWRULQWHgrante adecuado.
37. x dx (x 2y y) dy 0,
y( 0
38. (x y 5) dx (y xy) dy,
2
2
y(0) 1
39. a) Demuestre que una familia de soluciones uniparamétrica de la ecuación
xy 3x 2) dx (2y 2x 2) dy 0
es x 3 2x 2y y 2 F
b) Demuestre que las condiciones iniciales y(0) 2 y
y(1) 1 determinan la misma solución implícita.
c) Encuentre las soluciones explícitas y1(x) y y2(x) de la
ecuación diferencial del inciso a) tal que y1(0) 2
y y2(1) 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUD
WUD]DUODJUi¿FDGHy1(x) y y2(x).
Problemas para analizar
40. Considere el concepto de factor integrante utilizado en
ORVSUREOHPDVD¢6RQODVGRVHFXDFLRQHVMdx N
dy 0 y M dx N dy 0 necesariamente equivalentes en el sentido de que la solución de una es también una
solución de la otra? Analice.
41. Lea nuevamente el ejemplo 3 y después analice por qué poGHPRVFRQFOXLUTXHHOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQGHODVROXFLyQ
H[SOtFLWDGHO39, FXUYDD]XOGHOD¿JXUD HV 1, 1).
42. Analice cómo se pueden encontrar las funciones M(x, y) y
N(x, y) de modo que cada ecuación diferencial sea exacta.
Desarrolle sus ideas.
a) M(x, y) dx xe x y 2xy b)
43.
x
1/2 1/2
y
1
dy 0
x
x
dx N(x, y) dy 0
x y
2
O
71
observación 12 d(x 2 y 2) x dx y dy puede conducir a
una solución.
44. Verdadero o falso: toda ecuación de primer orden separable dydx g(x)h(y) es exacta.
Modelos matemáticos
32. y(x y 1) dx (x 2y) dy 0
ECUACIONES EXACTAS
Algunas veces las ecuaciones diferenciales
se resuelven con una idea brillante. Este es un pequeño ejercicio de inteligencia: Aunque la ecuación
(x 1x2 y2) dx y dy 0 no es exacta, demuestre
cómo el reacomodo (x dx y dy) 1x2 y2 dx y la
45. Cadena cayendo Una parte de una cadena de 2.5 m de
longitud está enrollada sin apretar alrededor de una clavija en
el borde de una plataforma horizontal, y la parte restante de la
FDGHQDFXHOJDVREUHHOERUGHGHODSODWDIRUPD9HDOD¿JXUD
6XSRQJDTXHODORQJLWXGGHODFDGHQDTXHFXHOJDHVGH
1 m, que la cadena pesa 2.5 N/m y que la dirección positiva
es hacia abajo. Comenzando en t 0 segundos, el peso de
la cadena que cuelga causa que la cadena sobre la plataforma
se desenrolle suavemente y caiga al piso. Si x(t) denota la
longitud de la cadena que cuelga de la mesa al tiempo t 0,
entonces v dxdt es su velocidad. Cuando se desprecian
todas las fuerzas de resistencia se puede demostrar que un
modelo matemático que relaciona a v con x está dado por
dv
xv
v2 9.8x.
dx
a) Reescriba este modelo en forma diferencial. Proceda
como en los problemas 31 a 36 y resuelva la ED para
v en términos de x determinando un factor integrante
adecuado. Determine una solución explícita v(x).
b) Determine la velocidad con que la cadena deja la plataforma.
clavija
borde de la
plataforma
x(t)
FIGURA 2.4.2 &DGHQDGHVHQUROODGDGHOSUREOHPD
Tarea para el laboratorio de computación
/tQHDVGHÀXMR
a) La solución de la ecuación diferencial
2xy
y2 x2
dx
1
dy 0
(x2 y2 ) 2
(x2 y2) 2
es una familia de curvas que se pueden interpretar
FRPROtQHDVGHÀXMRGHXQÀXLGRTXHGLVFXUUHDOUHGHdor de un objeto circular cuya frontera está descrita
por la ecuación x2 y2 1. Resuelva esta ED y observe que la solución f (x, y) c para c 0.
b) 8VH XQ 6$& SDUD GLEXMDU ODV OtQHDV GH ÀXMR SDUD c 0, 0.2, 0.6 y 0.8 de tres maneras diferentes.
Primero, utilice el contourplot de un SAC. Segundo,
despeje x en términos de la variable y. Dibuje las dos
funciones resultantes de y para los valores dados de c,
\GHVSXpVFRPELQHODVJUi¿FDV7HUFHURXWLOLFHHO6$&
para despejar y de una ecuación cúbica en términos de x.
72
O
CAPÍTULO 2
2.5
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN
INTRODUCCIÓN Normalmente resolvemos una ecuación diferencial reconociéndola dentro de
cierta clase de ecuación (digamos, separables, lineales o exactas) y después aplicamos un procedimiento que consiste en SDVRVPDWHPiWLFRVHVSHFt¿FRVSDUDHOWLSRGHHFXDFLyQ que nos conducen a
la solución de la ecuación. Pero no es poco común que nos sorprenda el hecho de que se tenga una
ecuación diferencial que no pertenece a alguna de las clases de ecuaciones que sabemos cómo resolver. Los procedimientos que se han analizado en esta sección pueden ser útiles en este caso.
SUSTITUCIONES Con frecuencia, el primer paso para resolver una ecuación diferencial es transformarla en otra ecuación diferencial mediante una sustitución. Por
ejemplo, suponga que se quiere transformar la ecuación diferencial de primer orden
dydx f (x, y) sustituyendo y g(x, u), donde u se considera una función de la variable x. Si g tiene primeras derivadas parciales, entonces, usando la regla de la cadena
g dx
g du
dy
du
dy
gx (x, u) gu(x, u) .
obtenemos
dx
x dx
u dx
dx
dx
Al sustituir dydx por la derivada anterior y sustituyendo y en f(x, y) por g (x, u), obtedu
f (x, g (x, u)), la
nemos la ED dydx f (x, y) que se convierten en g x (x, u) gu(x, u)
dx
du
du
cual, resuelta para
, tiene la forma
F(x, u). Si podemos determinar una soludx
dx
ción u (x) de esta última ecuación, entonces una solución de la ecuación diferencial original es y g(x, (x)).
En el siguiente análisis examinaremos tres clases diferentes de ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver mediante una sustitución.
ECUACIONES HOMÓGENEAS Si una función f tiene la propiedad f (tx, ty) t f (x, y) para algún número real , entonces se dice que es una función homogénea
de grado . Por ejemplo f (x, y) x 3 y 3 es una función homogénea de grado 3, ya que
f (tx, ty) (tx) 3 (ty) 3 t 3(x 3 y 3) t 3f (x, y),
mientras que f (x, y) x 3 y 3 1 es no homogénea. Una ED de primer orden en
forma diferencial
M(x, y) dx N(x, y) dy 0
(1)
se dice que es homogénea* VL DPEDV IXQFLRQHV FRH¿FLHQWHV M y N son ecuaciones
homogéneas del mismo grado. En otras palabras, la ecuación (1) es homogénea si
M(tx, ty) tM(x, y)
y
N(tx, ty) = tN(x, y).
Además, si M y N son funciones homogéneas de grado , podemos escribir
M(x, y) xM(1, u)
y
N(x, y) xN(1, u)
donde u y x,
(2)
M(x, y) yM(v, 1)
y
N(x, y) yN(v, 1)
donde v x \
(3)
y
Vea el problema 31 de los ejercicios 2.5. Las propiedades (2) y (3) sugieren las sustituciones que se pueden usar para resolver una ecuación diferencial homogénea. En
concreto, cualquiera de las sustituciones y ux o x vy, donde u y v son las nuevas
variables dependientes, reducirá una ecuación homogénea a una ecuación diferencial
Aquí la palabra homogéneaQRVLJQL¿FDORPLVPRTXHHQORVComentariosDO¿QDOGHODVHFFLyQ
Recuerde que una ecuación lineal de primer orden a1(x)y
a 0 (x)y g(x) es homogénea cuando g(x) 0.
*
2.5
SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN
O
73
de primer orden separable. Para demostrar esto, observe que como consecuencia de
(2) una ecuación homogénea M(x, y) dx N(x, y) dy 0 se puede reescribir como
xM(1, u) dx xN(1, u) dy 0
M(1, u) dx N(1, u) dy 0,
o bien
donde u yx o y ux. Sustituyendo la diferencial dy u dx x du en la última
ecuación y agrupando términos, obtenemos una ED separable en las variables u y x:
M(1, u) dx N(1, u)[u dx x du] 0
[M(1, u) uN(1, u)] dx xN(1, u) du 0
dx
N(1, u) du
0.
x
M(1, u) uN(1, u)
o
Aquí le damos el mismo consejo que en las secciones anteriores: No memorice nada
de esto (en particular la última fórmula); más bien,VLJDHOSURFHGLPLHQWRFDGDYH]
Pruebe a partir de la ecuación (3) que las sustituciones x vy y dx v dy y dv también conducen a una ecuación separable siguiendo un procedimiento similar.
EJEMPLO 1
Solución de una ED homogénea
Resuelva (x 2 y 2) dx (x 2 xy) dy 0.
SOLUCIÓN Examinando a M(x, y) x 2 y 2 y a N(x, y) x 2 xy se mues-
WUD TXH HVWRV FRH¿FLHQWHV VRQ IXQFLRQHV GH JUDGR 6L KDFHPRV y ux, entonces
dy u dx x du, de modo que después de sustituir, la ecuación dada se convierte en
(x2
u2x2) dx
2
x (1
(x2
ux2)[u dx
u) dx
0
u) du
0
u
du
u
dx
x
0
du
dx
x
0.
x (1
1
1
1
x du]
3
2
u
1
división larga
Después de integrar la última ecuación se obtiene
u 2 ln 1 u ln x ln c
y
y
2 ln 1 ln x ln c .
x
x
; sustituyendo de nuevo u yx
Utilizando las propiedades de los logaritmos, podemos escribir la solución anterior como
ln
y) 2
(x
y
x
cx
o
(x
y) 2
cxey/x.
Aunque cualquiera de las soluciones indicadas se pueden usar en toda ecuación diferencial homogénea, en la práctica se intenta con x vy cuando la función M(x, y) sea más
fácil que N(x, y). También podría ocurrir que después de utilizar una sustitución, podemos encontrar integrales que son difíciles o imposibles de evaluar en forma cerrada; y
el cambiar las sustituciones puede facilitar la solución del problema.
ECUACIÓN DE BERNOULLI
La ecuación diferencial
dy
P(x)y f (x)y n, dx
donde n es cualquier número real, se denomina ecuación de Bernoulli. Observe que
para n 0 y n ODHFXDFLyQ HVOLQHDO3DUDn ⬆ 0 y n ⬆ 1 la sustitución u y 1n
UHGXFHFXDOTXLHUHFXDFLyQGHODIRUPD DXQDHFXDFLyQOLQHDO
74
O
CAPÍTULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
EJEMPLO 2
Resuelva x
Solución de una ED de Bernoulli
dy
y x 2 y 2.
dx
&RPHQ]DPRVSRUHVFULELUODHFXDFLyQHQODIRUPDGDGDHQ GLYLGLHQGR
SOLUCIÓN
por x:
dy 1
y xy 2
dx x
Con n 2 tenemos u y1 o y u1. Entonces sustituimos
dy dy du
du
u2
dx du dx
dx
; Regla de la cadena
HQODHFXDFLyQGDGD\VLPSOL¿FDQGR(OUHVXOWDGRHV
du 1
u x.
dx x
El factor integrante para esta ecuación lineal en, digamos, (0, ) es
e
d x/x
1
eln x eln x x1.
d 1
[x u] 1
dx
Al integrar
se obtiene x1u x c o u x 2 F[ Puesto que u y1, tenemos que y 1u,
así, una solución de la ecuación dada es y 1(x 2 cx)
Observe que no hemos obtenido una solución general de la ecuación diferencial no
lineal original del ejemplo 2 ya que y 0 es una solución singular de la ecuación.
REDUCCIÓN A SEPARACIÓN DE VARIABLES Una ecuación diferencial de la
forma
dy
(5)
f (Ax By C)
dx
siempre se puede reducir a una ecuación con variables separables por medio de la sustitución u Ax By C, B ⬆ 0. El ejemplo 3 muestra la técnica.
EJEMPLO 3
Resuelva
Un problema con valores iniciales
dy
(2x y) 2 7,
dx
y(0) 0.
Si hacemos u 2x y, entonces dudx 2 dydx, por lo que la
ecuación diferencial se expresa como
SOLUCIÓN
du
2 u2 7
dx
du
u 2 9.
dx
o
La última ecuación es separable. Utilizando fracciones parciales
du
dx
(u 3)(u 3)
1
1
1
du dx
6 u3 u3
o
y después de integrar se obtiene
1 u
ln
6 u
3
3
x
c1
o
u
u
3
3
e6x
6c1
6c
ce6x. sustitu yendo e por c
1
2.5
y
SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN
O
75
Despejando u de la última ecuación y resustituyendo, se obtiene la solución
u
3(1 ce6x )
1 ce6x
o
y 2x 3(1 ce6x)
.
1 ce6x
(6)
Por último, aplicando la condición inicial y(0) 0 a la última ecuación en (6) se obtiene c /D¿JXUDREWHQLGDFRQODD\XGDGHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQ
3(1 e6x)
PXHVWUDHQD]XORVFXURODJUi¿FDGHODVROXFLyQSDUWLFXODU y 2x junto
1 e6x
FRQODVJUi¿FDVGHDOJXQRVRWURVPLHPEURVGHODIDPLOLDGHVROXFLRQHV x
FIGURA 2.5.1 Soluciones de la ED en el ejemplo 3.
EJERCICIOS 2.5
Las respuestas a los problemas seleccionados FRQQ~PHURLPSDUFRPLHQ]DQHQODSiJLQD5(6
&DGDXQDGHODV('GHORVSUREOHPDVHVKRPRJpQHD
En los problemas 1 a 10 resuelva la ecuación diferencial dada
usando las sustituciones adecuadas.
1. (x y) dx x dy 0
2. (x y) dx x dy 0
3. x dx ( y 2x) dy 0
4. y dx 2( x y) dy
19. t2
7.
21. x2
)
dy
y 1x2 y2,
10. x
dx
x0
(QORVSUREOHPDVUHVXHOYDHOSUREOHPDTXHVHSUHVHQWD
con valores iniciales.
dy
y3 x3,
dx
12. (x 2 2y 2)
y(1) 12
dy
y3/2 1, y(0) 4
dx
En los problemas 23 a 28 resuelva la ecuación diferencial
dada usando una sustitución adecuada.
9. y dx x 1xy dy 0
11. xy2
y(1) 2
dx
xy, y(1) 1
dy
13. (x ye yx) dx xe yx dy 0,
y(1) 0
23.
dy
(x y 1) 2
dx
24.
dy 1 x y
dx
xy
25.
dy
tan2 (x y)
dx
26.
dy
sen(x y)
dx
27.
dy
2 1y 2x 3
dx
28.
dy
1 eyx5
dx
(QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDTXHVHSUHVHQWD
con valores iniciales.
29.
dy
cos(x y), y(0) >4
dx
Cada una de las ED de los problemas 15 a 22 es una ecuación
GH%HUQRXOOL
30.
dy
3x 2y
, y(1) 1
dx 3x 2y 2
En los problemas 15 a 20 resuelva cada ecuación diferencial
usando una sustitución adecuada.
Problemas para analizar
14. y dx x(ln x ln y 1) dy 0,
15. x
17.
dy
1
y 2
dx
y
dy
y(xy 3 1)
dx
dy
2ty( y3 1)
dt
Cada una de las ED de los problemas 23-30 es de la forma
GDGDHQODHFXDFLyQ dy x 3y
8.
dx 3x y
(
dy
2xy 3y4,
dx
22. y1/2
dy y x
dx y x
2
20. 3(1 t )
En los problemas 21 y 22 resuelva el problema que se presenta
con valores iniciales.
5. (y 2 yx) dx x 2 dy 0
6. ( y 2 yx) dx x 2 dy 0
dy
y2 ty
dt
16.
y(1) e
dy
y ex y2
dx
18. x
dy
(1 x)y xy2
dx
31. Explique por qué es posible expresar cualquier ecuación diferencial homogénea M(x, y) dx N(x, y) dy 0 en la forma
dy
y
F
.
dx
x
76
O
CAPÍTULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
dy
4
1
2 y y2
dx
x
x
Podría comenzar por demostrar que
M(x, y) xM(1, y x)
y
N(x, y) xN(1, y x).
32. Ponga la ecuación diferencial homogénea
(5x 2 2y 2) dx xy dy 0
en la forma dada en el problema 31.
33. a) Determine dos soluciones singulares de la ED en el
problema 10.
b) Si la condición inicial y(5) 0 es como se indicó para
el problema 10, entonces, ¿cuál es el intervalo más
ODUJRGHGH¿QLFLyQIVREUHHOFXDOHVWiGH¿QLGDODVROXFLyQ"8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DU
ODJUi¿FDGHODFXUYDVROXFLyQSDUDHO39,
34. En el ejemplo 3, la solución y(x) es ilimitada conforme
x A . Sin embargo, y(x) es asintótica a una curva conforme x A y a una curva diferente conforme x A .
¿Cuáles son las ecuaciones de estas curvas?
35. La ecuación diferencial dydx P(x) Q(x)y R(x)y2
se conoce como la ecuación de Riccati.
a) Una ecuación de Riccati se puede resolver por dos
sustituciones consecutivas, siempre y cuando conozcamos una solución particular, y1, de la ecuación.
Demuestre que la sustitución y y1 u reduce la
HFXDFLyQ GH 5LFFDWL D XQD HFXDFLyQ GH %HUQRXOOL con n 2. La ecuación de Bernoulli se puede entonces
reducir a una ecuación lineal sustituyendo w u1.
b) Determine una familia uniparamétrica de soluciones
de la ecuación diferencial
2.6
donde y1 2x es una solución conocida de la ecuación.
36. Determine una sustitución adecuada para resolver
xy y ln(xy).
Modelos matemáticos
37. Cadena cayendo (Q HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV
YLPRVTXHXQPRGHORPDWHPiWLFRSDUDODYHORFLGDGv
de una cadena que se desliza por el borde de una plataforma horizontal es
dv
xv
v 2 32x.
dx
En ese problema se le pidió que resolviera la ED convirtiéndola en una ecuación exacta usando un factor integrante. Esta vez resuelva la ED usando el hecho de que es
una ecuación de Bernoulli.
38. Crecimiento de la población En el estudio de la población dinámica uno de los más famosos modelos para un
crecimiento poblacional limitado es la ecuación logística
dP
P(a bP),
dt
donde a y b son constantes positivas. Aunque retomaremos
esta ecuación y la resolveremos utilizando un método alternativo en la sección 3.2, resuelva la ED por esta primera
vez usando el hecho de que es una ecuación de Bernoulli.
UN MÉTODO NUMÉRICO
INTRODUCCIÓN Una ecuación diferencial puede ser una fuente de información. Comenzaremos este
capítulo observando que podríamos recolectar información cualitativa de una ED de primer orden con
respecto a sus soluciones aún antes de intentar resolver la ecuación. Entonces en las secciones 2.2 a 2.5
examinamos a las ED de primer orden analíticamente, es decir, desarrollamos algunos procedimientos
para obtener soluciones explícitas e implícitas. Pero una ecuación diferencial puede tener una solución
aún cuando no podamos obtenerla analíticamente. Así que para redondear los diferentes tipos de análisis
de las ecuaciones diferenciales, concluimos este capítulo con un método con el cual podemos “resolver”
la ecuación diferencial numéricamenteHVWRVLJQL¿FDTXHOD('VHXWLOL]DFRPRHOSULQFLSLREiVLFRGHXQ
algoritmo para aproximarnos a la solución desconocida.
En esta sección vamos a desarrollar únicamente el más sencillo de los métodos numéricos, un
método que utiliza la idea de que se puede usar una recta tangente para aproximar los valores de una
IXQFLyQHQXQDSHTXHxDYHFLQGDGGHOSXQWRGHWDQJHQFLD(QHOFDStWXORVHSUHVHQWDXQWUDWDPLHQWR
más extenso de los métodos numéricos.
USANDO LA RECTA TANGENTE Suponemos que el problema con valores iniciales
yv f (x, y),
y(x0) y0
(1)
tiene una solución. Una manera de aproximarse a esta solución es emplear rectas tangentes. Por ejemplo, digamos que y(x) denota la solución incógnita para el problema
2.6
UN MÉTODO NUMÉRICO
O
77
con valores iniciales y
0.11y 0.4x2, y(2) 4. La ecuación diferencial no lineal en este PVI no se puede resolver directamente por cualquiera de los métodos conVLGHUDGRVHQODVVHFFLRQHV\QRREVWDQWHD~QSRGHPRVHQFRQWUDUYDORUHV
numéricos aproximados de la incógnita y(x). En concreto, supongamos que deseamos
conocer el valor de y (O 39, WLHQH XQD VROXFLyQ \ FRPR VXJLHUH HO ÀXMR GHO
FDPSRGLUHFFLRQDOGHOD('HQOD¿JXUD D XQDFXUYDVROXFLyQTXHGHEHWHQHU
una forma similar a la curva que se muestra en azul.
(OFDPSRGLUHFFLRQDOGHOD¿JXUD D VHJHQHUyFRQHOHPHQWRVOLQHDOHVTXH
pasan por puntos de una cuadrícula de coordenadas enteras. Puesto que la curva soluFLyQSDVDSRUHOSXQWRLQLFLDO HOHOHPHQWROLQHDOHQHVWHSXQWRHVXQDUHFWDWDQJHQWH
2
1.8. Como se muestra en la
con una pendiente dada por f (2, 4) 0.114 0.4(2)
¿JXUD D \HO³]RRPLQ´ DFHUFDPLHQWR GHOD¿JXUD E FXDQGRx está cerca
de 2, los puntos en la curva solución están cerca de los puntos de la recta tangente (el
HOHPHQWROLQHDO 8WLOL]DQGRHOSXQWR ODSHQGLHQWHf 1.8 y la forma punto
pendiente de una recta, encontramos que una ecuación de la recta tangente es y L(x),
donde L(x) 1.8x . Esta última ecuación se llama linealización de y(x) en x 2
que se puede utilizar para aproximar los valores dentro de una pequeña vecindad de x 2. Si y1 L(x1) denota la coordenada y en la recta tangente y y(x1) es la coordenada y de
la curva solución correspondiente a una coordenada x, x1 que está cerca de x 2, entonces y(x1) y1. Si elegimos x1 2.1, entonces y1 L(2.1) 1.8(2.1) entonces y(2.1) y
curva
solución
4
(2, 4)
2
pendiente
m = 1.8
x
_2
2
a) campo direccional para y
b) elemento lineal
en (2, 4).
0.
FIGURA 2.6.1 $PSOL¿FDFLyQGHXQDYHFLQGDGDOUHGHGRUGHOSXQWR y
curva solución
MÉTODO DE EULER Para generalizar el procedimiento que acabamos de ilustrar,
usamos la linealización de una solución incógnita y(x) de (1) en x x0:
L(x) y0 f (x0 , y0)(x x0).
/DJUi¿FDGHHVWDOLQHDOL]DFLyQHVXQDUHFWDWDQJHQWHDODJUi¿FDGHy y (x) en el punto
(x0, y0). Ahora hacemos que h sea un incremento positivo del eje x, como se muestra en
OD¿JXUD(QWRQFHVVXVWLWX\HQGRx por x1 x0 h en la ecuación (2), obtenemos
(x1, y(x1))
error
(x0, y0)
(x1, y1)
L(x1) y0 f (x0, y0)(x0 h x0)
pendiente = f(x0, y0)
h
L(x)
x0
x1 = x 0 + h
x
FIGURA 2.6.2 Aproximación de y(x1)
usando una recta tangente.
(2)
o
y 1 y0 hf (x1, y1),
donde y1 L(x1). El punto (x1, y1) en la recta tangente es una aproximación del
punto (x1, y(x1)) sobre la curva solución. Por supuesto, la precisión de la aproximación L(x1) y(x1) o y1 y(x1) depende fuertemente del tamaño del incremento h.
Normalmente debemos elegir este tamaño de paso para que sea “razonablemente pequeño”. Ahora repetimos el proceso usando una segunda “recta tangente” en (x1, y1).*
,GHQWL¿FDQGRHOQXHYRSXQWRLQLFLDOFRPR x1, y1) en lugar de (x0, y0) del análisis ante*
Esta no es una recta tangente real, ya que (x1, y1) está sobre la primera tangente y no sobre la curva solución.
78
CAPÍTULO 2
O
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
rior, obtenemos una aproximación y2 y(x 2) correspondiendo a dos pasos de longitud
h a partir de x0, es decir, x 2 x1 h x 0 2h, y
y(x2) y(x0 2h) y(x1 h) y2 y1 hf (x1, y1).
Si continuamos de esta manera, vemos que y1, y2, y3VHSXHGHGH¿QLUUHFXUVLYDmente mediante la fórmula general
yn1 yn hf (xn, yn),
(3)
donde x n x 0 nh, n 0, 1, 2, . . . Este procedimiento de uso sucesivo de las “rectas
tangentes” se conoce como método de Euler.
EJEMPLO 1
TABLA 2.6.1
h 0.1
xn
yn
Método de Euler
Considere el problema con valores iniciales y 0.1 1y 0.4x2, y(2) 4. Utilice
el método de Euler para obtener una aproximación de y(2.5) usando primero h 0.1
y después h 0.05.
SOLUCIÓN
&RQODLGHQWL¿FDFLyQ f (x, y) 0.11y 0.4x2 la ecuación (3) se con-
vierte en
(
)
yn1 yn h 0.11yn 0.4x2n .
Entonces para h 0.1, x0 2, y0 \n 0 encontramos
(
)
(
)
y1 y0 h 0.11y0 0.4x20 4 0.1 0.114 0.4(2) 2 4.18,
que, como ya hemos visto, es una estimación del valor y(2.1). Sin embargo, si usamos el
paso de tamaño más pequeño h 0.05, le toma dos pasos alcanzar x 2.1. A partir de
(
)
y1 4 0.05 0.114 0.4(2)2 4.09
TABLA 2.6.2
xn
(
)
y2 4.09 0.05 0.114.09 0.4(2.05)2 4.18416187
h 0.05
yn
tenemos y1 y(2.05) y y 2 y(2.1). El resto de los cálculos se realizó usando un paquete
computacional. En las tablas 2.6.1 y 2.6.2 se resumen los resultados, donde cada entrada
se ha redondeado a cuatro lugares decimales. Vemos en las tablas 2.6.1 y 2.6.2 que le
toma cinco pasos con h 0.1 y 10 pasos con h 0.05, respectivamente, para llegar a x
2.5. Intuitivamente, esperaríamos que y10 FRUUHVSRQGLHQWHDh 0.05 sea la
mejor aproximación de y(2.5) que el valor y5 FRUUHVSRQGLHQWHDh 0.1.
En el ejemplo 2 aplicamos el método de Euler para una ecuación diferencial para la
que ya hemos encontrado una solución. Hacemos esto para comparar los valores de las
aproximaciones yn en cada caso con los valores verdaderos o reales de la solución y(xn)
del problema con valores iniciales.
EJEMPLO 2
Comparación de los valores aproximados y reales
Considere el problema con valores iniciales y 0.2xy, y(1) 1. Utilice el método de
Euler para obtener una aproximación de y (1.5) usando primero h 0.1 y después h 0.05.
SOLUCIÓN
&RQODLGHQWL¿FDFLyQf (x, y) 0.2xy, la ecuación (3) se convierte en
yn1 yn h(0.2xn yn )
donde x 0 1 y y 0 1. 1. De nuevo con la ayuda de un paquete computacional obWHQJDORVYDORUHVGHODVWDEODV\HQODSiJLQD
En el ejemplo 1 se calcularon los valores verdaderos o reales de la solución cono2
cida y e0.1(x í . (Compruebe.) El error absolutoVHGH¿QHFRPR
valor real – aproximado .
2.6
TABLA 2.6.3
xn
1.00
1.10
h 0.1
UN MÉTODO NUMÉRICO
O
79
TABLA 2.6.4 h 0.05
yn
Valor real
Error absoluto
% Error relativo
1.0000
1.0200
1.0000
1.0212
0.0000
0.0012
0.00
0.12
xn
1.00
1.05
1.10
yn
Valor real
Error absoluto
1.0000
1.0100
1.0206
1.0000
1.0103
1.0212
0.0000
0.0003
0.0006
% Error relativo
0.00
0.03
0.06
El error relativo y el error relativo porcentual son, respectivamente,
error absoluto
valor real y
error absoluto
valor real =
(VHYLGHQWHHQODVWDEODV\TXHODSUHFLVLyQGHODVDSUR[LPDFLRQHVPHMRUD
conforme disminuye el tamaño del paso h. También vemos que aún cuando el error
relativo porcentual esté creciendo en cada paso, no parece estar mal. Pero no se debe
GHMDUHQJDxDUSRUXQHMHPSOR6LVLPSOHPHQWHFDPELDPRVHOFRH¿FLHQWHGHOODGRGHrecho de la ED del ejemplo 2 de 0.2 a 2, entonces en xn 1.5 los errores relativos
SRUFHQWXDOHVFUHFHQGUDPiWLFDPHQWH9HDHOSUREOHPDGHOHMHUFLFLR
UNA ADVERTENCIA El método de Euler sólo es uno de los diferentes métodos en
los que se puede aproximar una solución de una ecuación diferencial. Aunque por su
sencillez es atractivo, el método de Euler rara vez se usa en cálculos serios. Aquí se ha
SUHVHQWDGRVyORSDUDGDUXQSULPHUHVER]RGHORVPpWRGRVQXPpULFRV(QHOFDStWXOR
trataremos en detalle el análisis de los métodos numéricos que tienen mucha precisión,
en especial el método de Runge-Kutta conocido como el método RK4.
SOLUCIONADORES NUMÉRICOS Independientemente de si se puede realmente encontrar una solución explícita o implícita, si existe una solución de una ecuación diferencial, ésta se representa por una curva suave en el plano cartesiano. La idea
básica detrás de cualquier método numérico para las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es de alguna manera aproximar los valores de y de una solución
para valores de x preseleccionados. Comenzamos con un punto inicial dado (x0, y0) de
una curva solución y procedemos a calcular en un modelo paso por paso una secuencia
de puntos (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) cuyas coordenadas y, yi se aproximan a las coordenadas y, y(xi) de los puntos (x1, y(x1)), (x2, y(x2)), …, (xn, y(xn)) que yacen sobre la
JUi¿FDGHODVROXFLyQQRUPDOPHQWHGHVFRQRFLGDy(x). Tomando las coordenadas x más
cercanas (es decir, para valores pequeños de h) y uniendo los puntos (x1, y1), (x2, y2),…,
(xn, yn) con segmentos de recta cortos, obtenemos una curva poligonal cuyas características
cualitativas esperamos sean cercanas a las de una curva solución real. El dibujo de curvas
es algo que bien se puede hacer en una computadora. A un programa de cómputo escrito
para implementar un método numérico o para presentar una representación visual de una
solución aproximada que ajusta los datos numéricos producidos por este segundo método
se le conoce como un solucionador numérico. Comercialmente, hay muchos solucionadores numéricos disponibles ya sea integrados en un gran paquete computacional, como
en un sistema algebraico computacional, o en un paquete autónomo. Algunos paquetes
computacionales simplemente dibujan las aproximaciones numéricas generadas, mientras
que otros generan pesados datos numéricos así como la correspondiente aproximación o
80
CAPÍTULO 2
O
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
y
5
método
RK4
4
3
curvas solución numéricas(QOD¿JXUDVHSUHVHQWDDPDQHUDGHLOXVWUDFLyQODFRQH[LyQQDWXUDOHQWUHORVSXQWRVGHODVJUi¿FDVSURGXFLGDVSRUXQVROXFLRQDGRUQXPpULFR
ODVJUi¿FDVSROLJRQDOHVSLQWDGDVFRQGRVFRORUHVVRQODVFXUYDVVROXFLyQQXPpULFDVSDUD
el problema con valores iniciales y 0.2xy, y(0) VREUHHOLQWHUYDOR>@REWHQLGDV
GHORVPpWRGRVGH(XOHU\5.XVDQGRHOWDPDxRGHSDVRh 1. La curva suave en azul
2
HVODJUi¿FDGHODVROXFLyQH[DFWD y e0.1x GHO39,2EVHUYHHQOD¿JXUDTXHDXQ
con el ridículo tamaño de paso de h HOPpWRGR5.SURGXFHOD³FXUYDVROXFLyQ´PiV
FUHtEOH/DFXUYDVROXFLyQQXPpULFDREWHQLGDGHOPpWRGR5.HVLQGLVWLQJXLEOHGHODFXUYD
VROXFLyQUHDOHQHOLQWHUYDOR>@FXDQGRVHXVDHOWDPDxRGHSDVRGHh 0.1.
solución
exacta
2
1
(0,1)
método
Euler
x
_1
_1
1
2
3
4
USANDO UN SOLUCIONADOR NUMÉRICO No es necesario conocer los diferentes métodos numéricos para utilizar un solucionador numérico. Un solucionador
usualmente requiere que la ecuación diferencial se pueda expresar en la forma normal
dydx f (x, y). Los solucionadores numéricos que sólo generan curvas requieren que se
les proporcione f (x, y) y los datos iniciales x0 y y0 y que se indique el método numérico
deseado. Si la idea es aproximarse al valor numérico de y(a), entonces un solucionador
numérico podría requerir de manera adicional que usted establezca un valor de h o, del
mismo modo, dar el número de pasos que quiere tomar para llegar de x x0 a x DPor
ejemplo, si queremos aproximar y SDUDHO39,TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHQWRQces, comenzando en x 0 le tomaría cuatro pasos llegar a x FRQXQWDPDxRGHSDVR
de h SDVRVVRQHTXLYDOHQWHVDXQWDPDxRGHSDVRGHh 0.1. Aunque aquí no
investigaremos todos los problemas que se pueden encontrar cuando se intenta aproximar
cantidades matemáticas, al menos debe estar consciente del hecho de que el solucionador
numérico puede dejar de funcionar cerca de ciertos puntos o dar una imagen incompleta
o engañosa cuando se aplica a ciertas ecuaciones diferenciales en la forma normal. La
¿JXUDPXHVWUDODJUi¿FDTXHVHREWXYRDODSOLFDUHOPpWRGRGH(XOHUDXQSUREOHPD
con valores iniciales de primer orden dydx f (x, y), y(0) 1. Se obtuvieron resultados
HTXLYDOHQWHV XWLOL]DQGR WUHV VROXFLRQDGRUHV QXPpULFRV VLQ HPEDUJR OD JUi¿FD GLItFLOmente es una posible curva solución. (¿Por qué?) Hay diferentes caminos de solución
FXDQGRXQVROXFLRQDGRUQXPpULFRWLHQHGL¿FXOWDGHVODVWUHVPiVREYLDVVRQGLVPLQXLU
el tamaño del paso, usar otro método numérico e intentar con un solucionador diferente.
5
FIGURA 2.6.3 Comparación de los
PpWRGRVGH5XQJH.XWWD 5. \GH
Euler.
y
6
5
4
3
2
1
x
_1
_2 _1
1
2
3
4
5
FIGURA 2.6.4 Una curva solución
que no ayuda mucho.
EJERCICIOS 2.6
Las respuestas a los problemas seleccionadosFRQQ~PHURLPSDUFRPLHQ]DQHQODSiJLQD5(6
En los problemas 1 y 2 use el método de Euler para obtener
una aproximación a cuatro decimales del valor indicado,
ejecute a mano la ecuación de recursión (3), usando primero
h 0.1 y después usando h 0.05.
1. y 2x 3y 1, y(1) 5; y(1.2)
2. y x y 2, y(0) 0; y(0.2)
(QORVSUREOHPDV\XVHHOPpWRGRGH(XOHUSDUDREWHQHUXQD
aproximación a cuatro decimales del valor indicado. Primero,
utilice h 0.1 y después utilice h 0.05. Determine una solución explícita para cada problema con valores iniciales y
GHVSXpVFRQVWUX\DWDEODVVLPLODUHVDODVWDEODV\
3. y y, y(0) 1; y(1.0)
4. y 2xy, y(1) 1; y(1.5)
En los problemas 5-10 use un solucionador numérico y el método
de Euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del
valor indicado. Primero, utilice h 0.1 y después utilice h 0.05.
5. y e , y(0) 0; y(0.5)
y
6. y x 2 y 2, y(0) 1;
y(0.5)
7. y (x y) 2, y(0) 0.5;
y(0.5)
8. y xy 1y, y(0) 1; y(0.5)
y
9. y xy 2 , y(1) 1; y(1.5)
x
10. y y y 2, y(0) 0.5; y(0.5)
En los problemas 11 y 12 utilice un solucionador para obtener
una curva solución numérica para el problema dado con valores iniciales. Primero, utilice el método de Euler y después,
HO PpWRGR 5. 8WLOLFH h 0.25 en cada caso. Superponga
ambas curvas solución en los mismos ejes coordenados. Si
es posible, utilice un color diferente para cada curva. Repita,
usando h 0.1 y h 0.05.
11. y 2(cos x)y,
12. y y(10 2y),
y(0) 1
y(0) 1
REPASO DEL CAPÍTULO 2
O
81
Problemas para analizar
Tarea para el laboratorio de computación
13. Use un solucionador numérico y el método de Euler para
aproximar y(1.0), donde y(x) es la solución de y 2xy 2,
y(0) 1. Primero use h 0.1 y después use h 0.05.
5HSLWDXVDQGRHOPpWRGR5.$QDOLFHTXpSRGUtDFDXVDU
que las aproximaciones a y GL¿HUDQPXFKR
14. a) 8
WLOLFHXQVROXFLRQDGRUQXPpULFR\HOPpWRGR5.
SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQ
valores iniciales y 2xy 1, y(0) 0.
b) Resuelva el problema con valores iniciales con uno
de los procedimientos analíticos desarrollados en
las secciones anteriores de este capítulo.
c) Use la solución analítica y(x) que encontró en el inciso b) y un SAC para determinar las coordenadas de
todos los extremos relativos.
Las respuestas a los problemas con número impar
comienzan en la página 5(6
REPASO DEL CAPÍTULO 2
Responda los problemas 1-12 sin consultar las respuestas del
libro. Llene los espacios en blanco o responda si es verdadero
o falso.
1. La ED lineal, y ky A, donde k y A son constantes,
de la ecuación
es autónomo. El punto crítico
es un
(atractor o repulsor) para k 0 y un
(atractor o repulsor) para k 0.
dy
4y 0, y(0) k , tiene un
2. El problema x
dx
y no tiene so
LQ¿QLWRGHVROXFLRQHVSDUDk lución para k .
3. La ED lineal, y k1 y k2, donde k1 y k2 son constantes
distintas de cero, siempre tiene una solución constante.
4. La ED lineal, a1(x)y a0(x)y 0 es también separable.
5. Un ejemplo de una ecuación diferencial no lineal de tercer orden en forma normal es
dr
6. La ED de primer orden
Uș r ș 1 no es sed
parable
7. Cada ED autónoma dydx f(y) es separable.
8. Por inspección, dos soluciones de la ecuación diferencial
y |y| 2 son
9. Si y e xy, entonces y (QORVSUREOHPDV\FRQVWUX\DXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
de primer orden autónoma dydx f (y) cuyo diagrama fase
VHDFRQVLVWHQWHFRQOD¿JXUDGDGD
13.
y
y
14.
4
3
2
1
0
FIGURA 2.R.1 *Ui¿FDGHO
problema 13.
FIGURA 2.R.2 *Ui¿FDGHO
SUREOHPD
15. El número 0 es un punto crítico de la ecuación diferencial
autónoma dxdt xn, donde n es un entero positivo. ¿Para
qué valores de n es 0 asintóticamente estable? ¿Semiestable?
¿Inestable? Repita para la ecuación diferencial dxdt xn.
16. Considere la ecuación diferencial dP dt f (P), donde
f (P) 0.5P3 P La función f (P) tiene una raíz real, como se muestra en la
¿JXUD56LQLQWHQWDUUHVROYHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
estime el valor de límtA P(t).
f
1
1
P
10. Si una función derivable y(x) satisface y |x|, y(1) 2,
entonces y(x) x
11. y
ecos x
te
cos t
dt es una solución de la ecuación
0
diferencial lineal de primer orden
12. Un ejemplo de una ED lineal de primer orden autónoma
con un solo punto crítico 3 es
mientras
que una ED de primer orden no lineal autónoma con un
solo punto crítico 3 es
FIGURA 2.R.3 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
17. /D¿JXUD5HVXQDSDUWHGHXQFDPSRGLUHFFLRQDOGH
una ecuación diferencial dydx f (x, y). Dibuje a mano
dos diferentes curvas solución, una que sea tangente al
elemento lineal que se muestra en negro y la otra que sea
tangente al elemento lineal que se muestra de color rojo.
82
CAPÍTULO 2
O
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
27.
28.
29.
30.
dy
1 (4 cos x)y 5 x, y(0) 5
dx
dy
2 4xy 5 sen x 2, y(0) 5 7
dx
dy
2
x 1 2y 5 xe x , y(1) 5 3
dx
2
x
dy
1 (sen x)y 5 0, y(0) 5 10
dx
FIGURA 2.R.4 3DUWHGHXQFDPSRGLUHFFLRQDOGHOSUREOHPD
En problemas de 31 y 32, resuelva el problema de valor inicial
dado.
18. &ODVL¿TXH FDGD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO FRPR VHSDUDEOH
exacta, lineal, homogénea o Bernoulli. Algunas ecuaciones
pueden ser de más de una clase. No las resuelva.
31.
a)
dy x y
dx
x
(x 1)
e)
dy y 2 y
dx x 2 x
g)
y dx ( y xy 2) dy
i)
xy y y 2 2x
k)
y dx x dy 0
l)
x2 f (x) 5
b)
dy
1
dx y x
2y
x
dy
5y y 2
dx
dy
ye x/y x
h) x
dx
2x
50,e ,
0#x,1
x$1
dy
1 P(x)y 5 e x, y(0) 5 21, donde
dx
P(x) 5
1, 0 # x , 1
521,
x$1
f)
j) 2xy y y 2 2x 2
dx (3 ln x 2) dy
dy x y
m) dx y x 1
n)
y dy
3
2
e 2x y 0
x 2 dx
(QORVSUREOHPDVUHVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD
19. ( y 2 1) dx y sec2 x dy
20. y(ln x ln y) dx (x ln x x ln y y) dy
21. (6x 1)y2
32.
dy
dy
1
y 10 d)
dx
dx x(x y)
c)
dy
1 y 5 f (x), y(0) 5 5, donde
dx
dy
3x2 2y3 0
dx
4y2 6xy
dx
2
dy
3y 2x
dQ
23. t
Q t 4 ln t
dt
24. (2x y 1)y 1
22.
25. (x 2 dy (2x 8xy) dx
26. (2r 2 cos sen r cos ) d r sen 2r cos2 )
dr 0
(Q SUREOHPDV ± H[SUHVH OD VROXFLyQ GHO SUREOHPD GH
valor inicial dado en términos de una función dada por la inWHJUDOGH¿QLGD
(QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHV
iniciales dado e indique el intervalo I más largo sobre el que la
VROXFLyQHVWiGH¿QLGD
33. senx
34.
dy
dt
dy
dx
2(t
(cos x)y
1)y 2
0,
0,
y
7
6
2
1
8
y(0)
35. a) Sin resolver, explique por qué el problema con valores
iniciales
dy
1y, y(x0) y0
dx
no tiene solución para y0
0.
b) Resuelva el problema con valores iniciales del inciso
a) para y0 0 y determine el intervalo I más largo
VREUHHOTXHODVROXFLyQHVWiGH¿QLGD
36. a) Encuentre una solución implícita del problema con
valores iniciales
dy y 2 x 2
, y(1) 12.
dx
xy
b) Encuentre una solución explícita del problema del
inciso a) e indique el intervalo de solución más largo
de IVREUHHOTXHODVROXFLyQHVWiGH¿QLGD$TXtSXHGH
VHU~WLOXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQ
37. (Q OD ¿JXUD 5 VH SUHVHQWDQ ODV JUi¿FDV GH DOJXQRV
miembros de una familia de soluciones para una ecuación
diferencial de primer orden dydx f (x, y /DV JUi¿FDV
de dos soluciones implícitas, una que pasa por el punto (1,
1) y la otra que pasa por (1, 3) se muestran en azul.
REPASO DEL CAPÍTULO 2
5HSURGX]FDOD¿JXUDHQXQDKRMD&RQOiSLFHVGHFRORUHV
trace las curvas solución para las soluciones y y1(x) y y y2(x GH¿QLGDVSRUODVVROXFLRQHVLPSOtFLWDVFRPRy1(1) 1 y y2(1) 3, respectivamente. Estime los intervalos en
los que las soluciones y y1(x) y y y2(x HVWiQGH¿QLGDV
O
83
y "6LHVDVtFODVL¿TXHORVSXQWRVFUtWLFRVFRPRDVLQtóticamente estables, inestables o semiestables.
y
39.
3
y
2
1
x
_1
x
_2
_3
_3 _2 _1
FIGURA 2.R.5 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
38. Utilice el método de Euler con tamaño de paso h 0.1
para aproximar y(1.2), donde y(x) es una solución del
problema con valores iniciales y
1 x1y , y(1) 9.
(QORVSUREOHPDV\FDGD¿JXUDUHSUHVHQWDXQDSDUWH
de un campo direccional de una ecuación diferencial de primer orden dydx f (y 5HSURGX]FDHVWD¿JXUDHQXQDKRMD
y después termine el campo direccional sobre la malla. Los
puntos de la malla son (mh, nh) donde h 21, m y n son enteros, m n (QFDGDFDPSRGLUHFFLRQDO
dibuje a mano una curva solución aproximada que pase por
cada uno de los puntos sólidos mostrados en rojo. Analice:
¿parece que la ED tiene puntos críticos en el intervalo 3.5
1
2
3
FIGURA 2.R.6 3DUWHGHXQFDPSRGLUHFFLRQDOGHOSUREOHPD
y
40.
3
2
1
x
_1
_2
_3
_3 _2 _1
1
2
3
FIGURA 2.R.7 3DUWHGHXQFDPSRGLUHFFLRQDOGHOSUREOHPD
3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES
DE PRIMER ORDEN
© Fotos593/Shutterstock.com
3.1
3.2
3.3
Modelos lineales
Modelos no lineales
Modelado con sistemas de ED de primer orden
REPASO DEL CAPÍTULO 3
E
n la sección 1.3 vimos cómo se podría utilizar una ecuación diferencial
de primer orden como modelo matemático en el estudio del crecimiento
poblacional, el decaimiento radiactivo, el interés compuesto continuo, el
HQIULDPLHQWRGHFXHUSRVPH]FODVUHDFFLRQHVTXtPLFDVHOGUHQDGRGHOÀXLGRGH
un tanque, la velocidad de un cuerpo que cae y la corriente en un circuito en serie.
Utilizando los métodos del capítulo 2, ahora podemos resolver algunas de las
ED lineales (en la sección 3.1) y ED no lineales (en la sección 3.2) que aparecen
comúnmente en las aplicaciones.
84
3.1
3.1
MODELOS LINEALES
O
85
MODELOS LINEALES
INTRODUCCIÓN En esta sección resolvemos algunos de los modelos lineales de primer orden
que se presentaron en la sección 1.3.
CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO
El problema con valores iniciales
dx
kx,
dt
x(t0) x0,
(1)
donde k es una constante de proporcionalidad, sirve como modelo para diferentes fenómenos que tienen que ver con el crecimiento o el decaimiento. En la sección 1.3
vimos que en las aplicaciones biológicas la razón de crecimiento de ciertas poblaciones (bacterias, pequeños animales) en cortos periodos es proporcional a la población
presente al tiempo t. Si se conoce la población en algún tiempo inicial arbitrario t0, la
solución de la ecuación (1) se puede utilizar para predecir la población en el futuro,
es decir, a tiempos t t0. La constante de proporcionalidad k en la ecuación (1) se determina a partir de la solución del problema con valores iniciales, usando una medida
posterior de x al tiempo t1 t0. En física y química la ecuación (1) se ve en la forma de
una reacción de primer orden, es decir, una reacción cuya rapidez, o velocidad, dxdt
es directamente proporcional a la cantidad x de sustancia que no se ha convertido o
remanente al tiempo t. La descomposición, o decaimiento, de U-238 (uranio) por radiactividad en Th-234 (torio) es una reacción de primer orden.
EJEMPLO 1
Crecimiento de bacterias
Inicialmente un cultivo tiene un número P0 de bacterias. En t 1 h se determina que
el número de bacterias es 32P0. Si la rapidez de crecimiento es proporcional al número
de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se
triplique el número de bacterias.
SOLUCIÓN Primero se resuelve la ecuación diferencial (1), sustituyendo el símbolo
x por P. Con t0 0 la condición inicial es P(0) P0. Entonces se usa la observación
empírica de que P(1) 32P0 para determinar la constante de proporcionalidad k.
Observe que la ecuación diferencial dPdt kP es separable y lineal. Cuando se
pone en la forma estándar de una ED lineal de primer orden,
P
P(t) 5 P0 e 0.4055t
dP
kP 0,
dt
se ve por inspección que el factor integrante es ekt. Al multiplicar ambos lados de la
ecuación e integrar, se obtiene, respectivamente,
d kt
[e P] 0
dt
3P0
y
e ktP c.
De este modo, P(t) cekt. En t 0 se tiene que P0 ce0 c, por tanto P(t) P0ekt. En
t 1 se tiene que 32P0 P0ek, o ek 32. De la última ecuación se obtiene k 1n 32 0.4055, por tanto P(t) P0e0.4055t. Para determinar el tiempo en que se ha triplicado el
número de bacterias, resolvemos 3P0 P0e0.4055t para t. Entonces 0.4055t 1n 3, o
P0
t 5 2.71
t
FIGURA 3.1.1 Tiempo en que se
triplica la población en el ejemplo 1.
t
9HDOD¿JXUD
ln 3
2.71 h.
0.4055
86
O
CAPÍTULO 3
y
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Observe en el ejemplo 1 que el número real P0 de bacterias presentes en el tiempo
t 0 no tiene que ver con el cálculo del tiempo que se requirió para que el número de
bacterias en el cultivo se triplique. El tiempo necesario para que se triplique una población inicial de, digamos, 100 o 1 000 000 de bacterias es de aproximadamente 2.71 horas.
e kt, k > 0
crecimiento
e kt, k < 0
crecimiento
t
FIGURA 3.1.2 Crecimiento (k 0) y
decaimiento (k
0).
&RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD OD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO ekt aumenta conforme
crece t para k 0 y disminuye conforme crece t para k 0. Así los problemas que describen el crecimiento (ya sea de poblaciones, bacterias o aún de capital) se caracterizan por
un valor positivo de k, en tanto que los problemas relacionados con el decaimiento (como
en la desintegración radiactiva) tienen un valor k negativo. De acuerdo con esto, decimos
que k es una constante de crecimiento (k 0) o una constante de decaimiento (k 0).
VIDA MEDIA En física la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es simplemente, el tiempo que tarda en desintegrarse
o transmutarse en otro elemento la mitad de los átomos en una muestra inicial A0.
Mientras mayor sea la vida media de una sustancia, más estable es la sustancia. Por
ejemplo, la vida media del radio altamente radiactivo Ra-226 es de aproximadamente
1 700 años. En 1 700 años la mitad de una cantidad dada de Ra-226 se transmuta en
radón, Rn-222. El isótopo más común del uranio, U-238, tiene una vida media de
4 500 000 000 años. En aproximadamente 4.5 miles de millones de años, la mitad de
una cantidad de U-238 se transmuta en plomo 206.
EJEMPLO 2
Vida media del plutonio
Un reactor de cría convierte uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio
239. Después de 15 años, se ha determinado que el 0.043% de la cantidad inicial A0
de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de ese isótopo, si la razón de
desintegración es proporcional a la cantidad que queda.
SOLUCIÓN Sea A(t) la cantidad de plutonio que queda al tiempo t. Como en el ejem-
plo 1, la solución del problema con valores iniciales
dA
kA,
dt
A(0) A0
© Jack Fields/Science Source
es A(t) A0ekt. Si se ha desintegrado 0.043% de los átomos de A0, queda
99.957%. Para encontrar la constante k, usamos 0.99957A0 A(15), es decir,
0.99957A0 A0e15k. Despejando k se obtiene k 151 ln 0.99957 0.00002867. Por
tanto A(t) A0eít. Ahora la vida media es el valor del tiempo que le corresponde
a A(t) 12 A0. Despejando t se obtiene 12 A0 A0eít o 12 eít. De la última
ecuación se obtiene
ln 2
t
24 180 años .
0.00002867
FIGURA 3.1.3 Willard Libby
(1908–1980)
DATADO CON CARBONO Willard Libby ¿JXUD \XQHTXLSRGHFLHQWt¿FRVHQ
1950, idearon un método que utilizaba un isotopo radiactivo de carbono como medio para
determinar las edades aproximadas de la materia fosilizada carbonosa. La teoría del datado
con carbono se basa en que el isótopo carbono 14 se produce en la atmósfera por acción
de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La razón de la cantidad de C-l4 con el carbono
ordinario en la atmósfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional
del isótopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmósfera. Cuando
muere un organismo cesa la absorción del C-l4 ya sea por respiración o por alimentación.
Así, al comparar la cantidad proporcional de C-14 presente, por ejemplo, en un fósil con la
razón constante que hay en la atmósfera, es posible obtener una estimación razonable de
la edad del fósil. El método se basa en que se sabe la vida media del C-l4. Libby calculó el
valor de la vida media de aproximadamente 5 600 años, y se llamó la vida media de Libby.
© Kenneth Garrett/National Geographic Creative
3.1
FIGURA 3.1.4 Una página del
evangelio gnóstico de Judas.
La vida media del uranio-238
es aproximadamente 4.47 mil
millones años
O
87
Actualmente el valor aceptado comúnmente para la vida media es la vida media de
Cambridge que es aproximadamente 5 730 años. Por este trabajo, Libby obtuvo el
Premio Nobel de química en 1960. El método de Libby se ha utilizado para fechar los
muebles de madera en las tumbas egipcias, las envolturas de lino de los rollos del Mar
0XHUWR\ODWHODGHOHQLJPiWLFRVXGDULRGH7RULQR9pDVHOD¿JXUD\HOSUREOHPD
en los Ejercicios 3.1.
EJEMPLO 3
Edad de un fósil
Se encuentra que un hueso fosilizado contiene 0.1% de su cantidad original de C-14.
Determine la edad del fósil.
SOLUCIÓN Como en el ejemplo 2 el punto de partida es A(t) A0e kt. Para de-
terminar el valor de la constante de decaimiento k, partimos del hecho de que
1
A(5730) o 12 A 0 A 0e 5730k . Esta ecuación implica que 5730k ln 12 ln
2 A0
2 y obtenemos k (1n 2) 5730 0.00012097, por tanto A(t) A0e0.00012097t. Con
A(t) 0.001A0 tenemos que 0.001A0 A0e0.00012097t y 0.00012097t ln(0.001) ln
1000. Así
t
El tamaño y la ubicación de la
muestra causaron importantes
GL¿FXOWDGHVFXDQGRXQHTXLSRGH
FLHQWt¿FRVIXHURQLQYLWDGRVDGDWDU
con carbono - 14 la Sábana Santa
de Turín en 1988.
MODELOS LINEALES
ln 1000
0.00012097
57 100 años
La fecha determinada en el ejemplo 3 está en el límite de exactitud del método.
Normalmente esta técnica se limita a aproximadamente 10 vidas medias del isótopo, que
son aproximadamente 60000 años. Una razón para esta limitante es que el análisis químico necesario para una determinación exacta del C-l4 que queda presenta obstáculos
formidables cuando se alcanza el punto de 0.001A0. También, en este método se necesita
destruir una gran parte de la muestra. Si la medición se realiza indirectamente, basándose
en la radiactividad existente en la muestra, es muy difícil distinguir la radiación que procede del fósil de la radiación de fondo normal.* Pero recientemente, con los aceleradoUHVGHSDUWtFXODVORVFLHQWt¿FRVKDQSRGLGRVHSDUDUDO&OGHOHVWDEOH&&XDQGRVH
calcula la relación exacta de C-l4 a C-12, la exactitud de este método se puede ampliar
de 70 000 a 100 000 años. Por estas razones y por el hecho de que el datado con C-14
está restringido a materiales orgánicos, este método es utilizado principalmente por los
arqueólogos. Por su parte, los geólogos interesados en preguntas sobre la edad de las rocas
o la edad de la tierra utilizan técnicas de datación radiométrica. La datación radiométrica inventada por el físico químico Ernest Rutherford (1871-1937) alrededor de 1905,
se basa en el decaimiento radiactivo de un isotopo radiactivo que ocurre naturalmente
con una vida media muy larga y una comparación entre una cantidad medida de esta
descomposición isotópica y uno de sus productos de decaimiento utilizando las tasas de
decaimiento conocidas. Hay otras técnicas isotópicas, como la que usa potasio - argón,
rubidio-estroncio, o uranio plomo, adecuadas para establecer edades de ciertas clases de
rocas varios millones de años. Ver los problemas 5 y 6 en los ejercicios 3.3 para una breve
discusión del método de datación por potasio-argón.
LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO En la ecuación
(3) de la sección 1.3 vimos que la formulación matemática de la ley empírica de
Newton del enfriamiento/calentamiento de un objeto, se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer orden
dT
k(T Tm),
dt
(2)
donde k es una constante de proporcionalidad, T(t) es la temperatura del objeto para
t 0, y Tm es la temperatura ambiente, es decir, la temperatura del medio que rodea al
objeto. En el ejemplo 4 suponemos que Tm es constante.
88
CAPÍTULO 3
O
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
T
EJEMPLO 4
200
100
T = 20
15
t
30
Enfriamiento de un pastel
Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 150 °C. Tres minutos después su temperatura es de 90 °C. ¿Cuánto tiempo le tomará al pastel enfriarse hasta la temperatura
ambiente de 20 °C?
SOLUCIÓN (QODHFXDFLyQ LGHQWL¿FDPRVTm 20. Debemos resolver el problema
con valores iniciales
a)
t (min)
T(t)
0
5
10
15
20
25
30
150
66.41
36.57
25.92
22.11
20.75
20.27
b)
FIGURA 3.1.5 La temperatura de
enfriamiento del pastel del ejemplo 4.
dT
k(T 20),
dt
T(0) 150
(3)
y determinar el valor de k tal que T(3) 90.
La ecuación (3) es tanto lineal como separable. Si separamos las variables
dT
k dt,
T 70
se obtiene ln|T – 20| kt c1, y así T 20 c2ekt. Cuando t 0, T 150, así
150 20 c2 da c2 130. Por tanto T 20 130 ekt. Por último, la medición de
T(3) 90 conduce a e3k 0.538, o k 0.206 . Así
T (t)
20
130e
0.206t
.
(4)
2EVHUYDPRV TXH OD HFXDFLyQ QR WLHQH XQD VROXFLyQ ¿QLWD D T(t) 20 porque
lím tA T(t) 20. No obstante, en forma intuitiva esperamos que el pastel se enfríe al
transcurrir un intervalo razonablemente largo. ¿Qué tan largo es “largo”? Por supuesto,
no nos debe inquietar el hecho de que el modelo (3) no se apegue mucho a nuestra
LQWXLFLyQItVLFD/RVLQFLVRVD \E GHOD¿JXUDPXHVWUDQFODUDPHQWHTXHHOSDVWHO
estará a temperatura ambiente en aproximadamente media hora.
La temperatura ambiente en la ecuación (2) no necesariamente es una constante pero
podría ser una función Tm(t) del tiempo t. Vea el problema 18 de los ejercicios 3.1.
MEZCLAS $OPH]FODUGRVÀXLGRVDYHFHVVXUJHQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHV
de primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras en la sección 1.3,
supusimos que la rapidez con que cambia la cantidad de sal A(t) en el tanque de mezcla es una rapidez neta
dA
(rapidez de entrada de sal) (rapidez de salida de sal) Rentra Rsale . (5)
dt
En el ejemplo 5 resolveremos la ecuación (8) en la página 25 de la sección 1.3.
EJEMPLO 5
Mezcla de dos soluciones de sal
Recordemos que el tanque grande de la sección 1.3 contenía inicialmente 1000 L de
una solución de salmuera. En el tanque entraba y salía sal porque se bombeaba una soOXFLyQDXQÀXMRGH/PLQVHPH]FODEDFRQODVROXFLyQRULJLQDO\VDOtDGHOWDQTXH
FRQXQÀXMRGH/PLQ/DFRQFHQWUDFLyQGHODVROXFLyQHQWUDQWHHUDGHNJ/
por consiguiente, la entrada de sal era Rentra NJ/ (10 L/min) NJPLQ\
salía del tanque con una rapidez Rsale (ANJ/ (10 L/min) ANJPLQ
A partir de esos datos y de la ecuación (5), obtuvimos la ecuación (8) de la sección 1.3.
3HUPtWDQRVSUHJXQWDUVLKDEtDNJGHVDOGLVXHOWDVHQORV/LQLFLDOHV¢FXiQWD
sal habrá en el tanque después de un periodo largo?
3.1
A
A = 250
t
89
Para encontrar la cantidad de sal A(t) en el tanque al tiempo t, resolvemos el problema con valores iniciales
A(0) 25.
Aquí observamos que la condición adjunta es la cantidad inicial de sal A(0) 25 en
el tanque y no la cantidad inicial de líquido. Ahora, como el factor integrante de esta
ecuación diferencial lineal es et/100, podemos escribir la ecuación como
d t/100
[e A] 2.5e t/100 .
dt
a)
t (min)
A (kg)
50
100
150
200
300
400
113.53
167.23
199.80
219.55
238.80
245.88
b)
FIGURA 3.1.6 Kg de sal en el
tanque del ejemplo 5.
O
SOLUCIÓN
dA
1
A 2.5,
dt
100
500
MODELOS LINEALES
Integrando la última ecuación y despejando A se obtiene la solución general
A(t) 250 ce t/100. Cuando t 0, A 25, por lo que c 225. Así, la cantidad de
sal en el tanque en el tiempo t, está dada por.
A(t) 250 225et/100.
(6)
/DVROXFLyQ VHXVySDUDFRQVWUXLUODWDEODGHOD¿JXUD E (QODHFXDFLyQ \HQ
OD¿JXUD D WDPELpQVHSXHGHYHUTXHA(t) A 250 conforme t A . Por supuesto,
esto es lo que se esperaría intuitivamente en este caso; cuando ha pasado un gran tiempo
ODFDQWLGDGGHNJGHVDOHQODVROXFLyQGHEHVHU / NJ/ NJ.
En el ejemplo 5 supusimos que la rapidez con que entra la solución al tanque es la misma
que la rapidez con la que sale. Sin embargo, el caso no necesita ser siempre el mismo; la
salmuera mezclada se puede sacar con una rapidez rsale que es mayor o menor que la rapidez
rentra con la que entra la otra salmuera. El siguiente ejemplo presenta un caso cuando la mezcla se bombea a una rapidez menor que la rapidez con la que se bombea dentro del tanque.
EJEMPLO 6
Vuelta al ejemplo 5
Si la solución bien mezclada del ejemplo 5 se bombea hacia afuera con una rapidez, digamos rsale 9 L/min, entonces se acumulará en el tanque con la rapidez
rentra rsale /PLQ /PLQ
Después de t minutos
(1 L/min) (t min) t L
se acumularán, por lo que en el tanque habrá 1000 t litros de salmuera. La concentraFLyQGHOÀXMRGHVDOLGDHVHQWRQFHVc(t) A(1000 t NJ/\ODUDSLGH]FRQTXHVDOH
la sal es Rsale c(t) rsale, o
Rout 5
11000A 1 t kg/L2 ? (9 L/min) 5 1000 1 t kg/min.
9A
Por tanto, la ecuación (5) se convierte en
9A
dA
5 2.5 2
dt
1000 1 t
o
9
dA
1
A 5 2.5.
dt
1000 1 t
El factor integrante para la última ecuación es
e e 9 dty(10001t) 5 e9 ln(10001t) 5 e ln(10001t) 5 (1000 1 t)9
9
Y así después de multiplicar por el factor, la ecuación se reescribe en la forma
d
f(1000 1 t)9 Ag 5 2.5(1000 1 t)9.
dt
90
CAPÍTULO 3
O
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Al integrar la última ecuación se obtiene (1000 + t)9A 0.25(1000 t)10 c. Si aplicamos
la condición inicial A(0) 25, y despejamos A se obtiene la solución A(t) 250 0.25t
(2.251014)(1000 t)9&RPRHUDGHHVSHUDUHQOD¿JXUDVHPXHVWUDTXHFRQHO
tiempo se acumula la sal en el tanque, es decir, A A cuando t A .
A
500
400
CIRCUITOS EN SERIE Para un circuito en serie que sólo contiene un resistor y un
inductor, la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de la caída de voltaje a
través del inductor (L(didt)) más la caída de voltaje a través del resistor (iR) es igual
al voltaje aplicado (E(t DOFLUFXLWR9HDOD¿JXUD
Por tanto, obtenemos la ecuación diferencial lineal que para la corriente i(t),
300
200
100
500
1000
FIGURA 3.1.7 *Ui¿FDGHA(t) del
ejemplo 6.
E
L
t
Ri 1
q E(t).
C
(8)
Pero la corriente i y la carga q están relacionadas por i dqdt, así, la ecuación (8) se
convierte en la ecuación diferencial lineal
FIGURA 3.1.8 Circuito en serie LR.
R
(7)
donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectivamente. La corriente i(t) se llama, también respuesta del sistema.
La caída de voltaje a través de un capacitor de capacitancia C es q(t)C, donde q
HVODFDUJDGHOFDSDFLWRU3RUWDQWRSDUDHOFLUFXLWRHQVHULHTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
3.1.9, la segunda ley de Kirchhoff da
L
R
di
Ri E(t),
dt
R
EJEMPLO 7
dq
1
q E(t).
dt
C
(9)
Circuito en serie LR
E
C
FIGURA 3.1.9 Circuito en serie RC.
Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que el inductor es de 12 henry
y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente i, si la corriente inicial es cero.
SOLUCIÓN De la ecuación (7) debemos resolver
1 di
2 dt
10i
12,
sujeta a i(0) 0. Primero multiplicamos la ecuación diferencial por 2, y vemos que el
factor integrante es e20t. Entonces sustituyendo
d 20t
[e i]
dt
24e20t.
Integrando cada lado de la última ecuación y despejando i se obtiene i(t) 65 ce 20t.
6
6
Ahora i(0) 0 implica que 0 5 c o c 5. . Por tanto la respuesta es
6
6 20t
i(t) 5 5 e
.
De la ecuación (4) de la sección 2.3, podemos escribir una solución general de (7):
i(t) e(R/L)t
L
e(R/L)tE(t) dt ce(R/L)t.
(10)
En particular, cuando E(t) E0 es una constante, la ecuación (l0) se convierte en
i(t) E0
ce(R/L)t.
R
(11)
3.1
MODELOS LINEALES
O
91
Observamos que conforme t A , el segundo término de la ecuación (11) tiende a
cero. A ese término usualmente se le llama término transitorio; los demás términos
se llaman parte de estado estable de la solución. En este caso, E0R también se llama
corriente de estado estable; para valores grandes de tiempo resulta que la corriente
está determinada tan sólo por la ley de Ohm (E iR).
COMENTARIOS
La solución P(t) P0 e 0.4055t del problema con valores iniciales del ejemplo 1
describe la población de una colonia de bacterias a cualquier tiempo t
0.
Por supuesto, P(t) es una función continua que toma todos los números reales
del intervalo P0 P . Pero como estamos hablando de una población, el
sentido común indica que P puede tomar sólo valores positivos. Además, no
esperaríamos que la población crezca continuamente, es decir, cada segundo,
cada microsegundo, etc., como lo predice nuestra solución; puede haber intervalos de tiempo [t1, t2], en los que no haya crecimiento alguno. Quizá, entonces,
ODJUi¿FDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD D VHDXQDGHVFULSFLyQPiVUHDOGH
PTXHODJUi¿FDGHXQDIXQFLyQH[SRQHQFLDO&RQIUHFXHQFLDXVDUXQDIXQFLyQ
continua para describir un fenómeno discreto es más conveniente que exacto.
6LQ HPEDUJR SDUD FLHUWRV ¿QHV QRV SRGHPRV VHQWLU VDWLVIHFKRV VL HO PRGHOR
describe con gran exactitud el sistema, considerado macroscópicamente en el
WLHPSRFRPRVHPXHVWUDHQODV¿JXUDV E \ F PiVTXHPLFURVFySLFDPHQWHFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD D P
P
P
P0
P0
P0
t1
t2
a)
1 t
1
t
b)
1
t
c)
FIGURA 3.1.10 El crecimiento poblacional es un proceso discreto.
EJERCICIOS 3.1
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-3.
Crecimiento y decrecimiento
1. Se sabe que la población de una comunidad crece con una rapidez proporcional al número de personas presentes en el tiempo
t. Si la población inicial P0 se duplicó en 5 años, ¿En cuánto
tiempo se triplicará y cuadruplicará?
2. Suponga que se sabe que la población de la comunidad del problema 1 es de 10 000 después de tres años. ¿Cuál era la población inicial P0? ¿Cuál será la población en 10 años? ¿Qué tan
rápido está creciendo la población en t 10?
Después de tres horas se observa que hay 400 bacterias presentes. Después de 10 horas hay 2 000 bacterias presentes. ¿Cuál
era la cantidad inicial de bacterias?
5. El isótopo radiactivo del plomo Pb-209, decae con una rapidez proporcional a la cantidad presente al tiempo t y tiene un
vida media de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de este
isótopo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que decaiga 90%?
6. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva.
Después de 6 horas la masa disminuyó 3%. Si la rapidez de decaimiento, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad
de la sustancia presente al tiempo t, determine la cantidad que
queda después de 24 horas.
3. La población de un pueblo crece con una rapidez proporcional a
la población en el tiempo t. La población inicial de 500 aumenta
15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? ¿Qué
tan rápido está creciendo la población en t 30?
7. Calcule la vida media de la sustancia radiactiva del problema 6.
4. La población de bacterias en un cultivo crece con una rapidez
proporcional a la cantidad de bacterias presentes al tiempo t.
8. a) El problema con valores iniciales dAdt kA, A(0) A0
es el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva.
92
O
CAPÍTULO 3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Demuestre que, en general, la vida media T de la sustancia
es T (ln 2)k.
b) Demuestre que la solución del problema con valores iniciales del inciso a) se puede escribir como A(t) A02t/T.
c)
Si una sustancia radiactiva tiene la vida media T dada en el
inciso a), ¿cuánto tiempo le tomará a una cantidad inicial A0
de sustancia decaer a 18 A0?
10. Cuando el interés es compuesto continuamente, la cantidad de
dinero aumenta con una tasa proporcional a la cantidad presente
S al tiempo t, es decir, dSdt rS, donde r es la tasa de interés
anual.
a) &DOFXOHODFDQWLGDGUHXQLGDDO¿QDOGHDxRVFXDQGRVHGHpositan $5 000 en una cuenta de ahorro que rinde el 5.75%
de interés anual compuesto continuamente.
b) ¿En cuántos años se habrá duplicado el capital inicial?
c) Utilice una calculadora para comparar la cantidad obtenida
en el inciso a) con la cantidad S 5 000(1 14(0.0575))5(4)
que se reúne cuando el interés se compone trimestralmente.
Datado con carbono
Pintura rupestre que muestra un
caballo y una vaca, c. 17000 ac (pintura
rupestre), Prehistoric / Caves of
Lascaux, Dordogne, Francia / Bridgeman
Imágenes
11. Los arqueólogos utilizan piezas de madera quemada o carbón vegetal, encontradas en el lugar para datar pinturas prehistóricas de
SDUHGHV\WHFKRVGHXQDFDYHUQDHQ/DVFDX[)UDQFLD9HDOD¿JXUD
3.1.11. Utilice la información de la página 87 para precisar la edad
aproximada de una pieza de madera quemada, si se determinó que
85.5% de su C-l4 encontrado en los árboles vivos del mismo tipo se
había desintegrado.
FIGURA 3.1.11 Pintura en una caverna del problema 11.
12. El sudario de Turín muestra el negativo de la imagen del cuerpo
GHXQKRPEUHTXHSDUHFHTXHIXHFUXFL¿FDGRPXFKDVSHUVRQDV
creen que es el sudario del entierro de Jesús de Nazaret. Vea la
¿JXUD(QHO9DWLFDQRFRQFHGLySHUPLVRSDUDGDWDU
FRQFDUERQRHOVXGDULR7UHVODERUDWRULRVFLHQWt¿FRVLQGHSHQdientes analizaron el paño y concluyeron que el sudario tenía
una antigüedad de 660 años, una antigüedad consistente con
su aparición histórica. Usando esta antigüedad determine qué
porcentaje de la cantidad original de C-14 quedaba en el paño
en 1988.
© Source: Wikipedia.org
9. Cuando pasa un rayo vertical de luz por un medio transparente, la rapidez con que decrece su intensidad I es proporcional a I(t), donde t representa el espesor, en metros, del
medio. En agua limpia de mar, la intensidad a 1 metro deEDMR GH OD VXSHU¿FLH HV GH OD LQWHQVLGDG LQLFLDO I0
del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 5 metros
GHEDMRGHODVXSHU¿FLH"
FIGURA 3.1.12 Imagen del sudario del problema 12.
Ley de Newton enfriamiento/calentamiento
13. Un termómetro se cambia de una habitación cuya temperatura es de 21 °C al exterior, donde la temperatura del aire es
de 12 °C. Después de medio minuto el termómetro indica
10 °C. ¿Cuál es la lectura del termómetro en t 1 min? ¿Cuánto
tiempo le tomará al termómetro alcanzar los 9 °C?
14. Un termómetro se lleva de una habitación hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es 15° C. Después de 1 minuto, el termómetro indica 13 °C y después de 5 minutos indica
1 °C. ¿Cuál era la temperatura inicial de la habitación?
15. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial era de 20
°C, se deja caer en un gran tanque de agua hirviendo. ¿Cuánto
tiempo tardará la barra en alcanzar los 90 °C si se sabe que su
temperatura aumentó 2° en 1 segundo? ¿Cuánto tiempo tardará
en alcanzar los 98 °C?
16. Dos grandes tanques A y BGHOPLVPRWDPDxRVHOOHQDQFRQÀXLGRVGLIHUHQWHV/RVÀXLGRVHQORVWDQTXHVA y B se mantienen a
0 °C y a 100 °C, respectivamente. Una pequeña barra de metal,
cuya temperatura inicial es 100 °C, se sumerge dentro del tanque
A. Después de 1 minuto la temperatura de la barra es de 90 °C.
Después de 2 minutos se saca la barra e inmediatamente se trans¿HUHDORWURWDQTXH'HVSXpVGHPLQXWRHQHOWDQTXHB la temperatura se eleva 10 °C. ¿Cuánto tiempo, medido desde el comienzo
de todo el proceso, le tomará a la barra alcanzar los 99.9 °C?
17. Un termómetro que indica 21 °C se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. A través de una ventana de
vidrio en la puerta del horno, un observador registra que el termómetro lee 43 °C después de 21 minuto y 63 °C después de 1 minuto.
¿Cuál es la temperatura del horno?
18. Al tiempo t 0 un tubo de ensayo sellado que contiene una sustancia química está inmerso en un baño líquido. La temperatura
3.1
inicial de la sustancia química en el tubo de ensayo es de 27 °C.
El baño líquido tiene una temperatura controlada (medida en grados Celsius) dada por Tm(t) 38 – 22 e0.1t, t 0, donde t se mide
en minutos.
a) Suponga que k 0.1 en la ecuación (2). Antes de resolver el PVI, describa con palabras cómo espera que sea la
temperatura T(t) de la sustancia química a corto plazo, y
también a largo plazo.
b) Resuelva el problema con valores iniciales. Use un proJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHT(t) en difeUHQWHVLQWHUYDORVGHWLHPSR¢/DVJUi¿FDVFRQFXHUGDQFRQ
sus predicciones del inciso a)?
19. Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una
casa donde la temperatura era constante a 21 °C. Al tiempo
del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver
se determinó de 29 °C. Una hora después una segunda medición mostró que la temperatura del corazón era de 27 °C.
Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t 0
y que la temperatura del corazón en ese momento era
de 37 °C. Determine cuántas horas pasaron antes de que se encontrará el cadáver. [Sugerencia: Sea que t1 0 denote el tiempo en
que se encontró el cadáver.]
20. La rapidez con la que un cuerpo se enfría también depende de su
iUHDVXSHU¿FLDOH[SXHVWDS. Si S es una constante, entonces una
PRGL¿FDFLyQGHODHFXDFLyQ HV
dT
kS(T Tm),
dt
donde k 0 y Tm es una constante. Suponga que dos tazas A y B
están llenas de café al mismo tiempo. Inicialmente la temperatura
GHOFDIpHVGHƒ&(OiUHDVXSHU¿FLDOGHOFDIpHQODWD]DB es del
GREOHGHOiUHDVXSHU¿FLDOGHOFDIpHQODWD]DA. Después de 30 min
la temperatura del café en la taza A es de 38 °C. Si Tm 21 °C,
entonces ¿cuál es la temperatura del café de la taza B después de
30 min?
Mezclas
21. Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el que se han disuelto 30 g de sal. Salmuera que tiene 1 g de sal por litro entra al
tanque con una rapidez de 4 L/min; la solución bien mezclada sale
del tanque con la misma rapidez. Encuentre la cantidad A(t) de
gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t.
22. Resuelva el problema 21 suponiendo que al tanque entra agua
pura.
23. Un gran tanque de 2000 L está lleno de agua pura. Le entra salPXHUDTXHWLHQHNJGHVDOSRUJDOyQFRQXQDUDSLGH]GH
L/min. La solución bien mezclada sale del tanque con la misma
rapidez. Determine la cantidad A(t GH NLORJUDPRV GH VDO TXH
hay en el tanque al tiempo t.
24. En el problema 23, ¿cuál es la concentración c(t) de sal en el tanque
al tiempo t? ¿Y al tiempo t 5 min? ¿Cuál es la concentración en el
tanque después de un largo tiempo, es decir, conforme t A ? ¿Para
qué tiempo la concentración de sal en el tanque es igual a la mitad
de este valor límite?
25. Resuelva el problema 23 suponiendo que la solución sale con una
razón de 40 L/min. ¿Cuándo se vacía el tanque?
MODELOS LINEALES
O
93
26. Determine la cantidad de sal en el tanque al tiempo t en el ejemplo
5 si la concentración de sal que entra es variable y está dada por
centra(t) 0.25 sen(t NJ/6LQWUD]DUODJUi¿FDLQ¿HUDDTXp
curva solución del PVI se parecería. Después utilice un programa
GHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQHQHOLQWHUYDOR
>@5HSLWDSDUDHOLQWHUYDOR>@\FRPSDUHVXJUi¿FDFRQ
ODTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD D 27. 8QJUDQWDQTXHHVWiSDUFLDOPHQWHOOHQRFRQ/GHÀXLGRHQ
ORVTXHVHGLVROYLHURQNJGHVDO/DVDOPXHUDWLHQHNJ de
sal por litro que entra al tanque a razón de 20 L/min. La solución
bien mezclada sale del tanque a razón de 15 L/min. Determine la
FDQWLGDGGHNJGHVDOTXHKD\HQHOWDQTXHGHVSXpVGHPLQXWRV
28. En el ejemplo 5, no se dio el tamaño del tanque que tiene la solución salina. Suponga, como en el análisis siguiente al ejemplo 5,
que la rapidez con que entra la solución al tanque es de 10 L/min
pero que la solución bien mezclada sale del tanque con una rapidez
de 9 L/min. Esta es la razón por la cual dado que la salmuera se
está acumulando en el tanque a razón de 1 L/min, cualquier tanque
GHWDPDxR¿QLWRWHUPLQDUiGHUUDPiQGRVH$KRUDVXSRQJDTXHHO
tanque está destapado y tiene una capacidad de 1300 L.
a) ¿Cuándo se derramará el tanque?
b) ¢ &XiQWDVNLORJUDPRVGHVDOKDEUiHQHOWDQTXHFXDQGRFRmience a derramarse?
c)
Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera continúa
entrando con una rapidez de 10 L/min, que la solución está
bien mezclada y que la solución sigue saliendo con una rapidez
de 9 L/min. Determine un método para encontrar la cantidad de
NLORJUDPRVGHVDOTXHKD\HQHOWDQTXHDOWLHPSRt 150 min.
d) &DOFXOH OD FDQWLGDG GH NLORJUDPRV GH VDO HQ HO WDQTXH FRQforme t A . ¿Su respuesta coincide con su intuición?
e) 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGH
A(t) en el intervalo [0, 500).
Circuitos en serie
29. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un circuito en
serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia.
Determine la corriente i(t), si i(0) 0. Determine la corriente
conforme t A .
30. Resuelva la ecuación (7) suponiendo que E(t) E0 sen tt y que
i(0) i0.
31. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un circuito en
serie RC, en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de l04 farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si
q(0) 0. Encuentre la corriente i(t).
32. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 volts a un circuito en serie
RC, en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5
106 farads. Determine la carga q(t) en el capacitor, si i(0) 0.4.
Determine la carga y la corriente en t 0.005 s. Encuentre la carga
conforme t A .
33. Se aplica una fuerza electromotriz
E(t)
120,
0,
0 t
t
20 s
20 s
a un circuito en serie LR en el que la inductancia es de 20 henrys y
la resistencia es de 2 ohms. Determine la corriente i(t), si i(0) 0.
94
O
CAPÍTULO 3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
34. Un circuito en serie LR tiene un inductor variable con la inducWDQFLDGH¿QLGDSRU
1 2 0.1t, 0 # t , 10
L(t) 5
t . 10.
0,
5
Encuentre la corriente i(t) si la resistencia es de 0.2 ohm, el
voltaje aplicado es E(t YROWV\i 7UDFHODJUi¿FDGH
i(t).
Modelos lineales adicionales
35. Resistencia del aire En la ecuación (14) de la sección 1.3
vimos que una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa que cae sujeta a una resistencia del aire
proporcional a la velocidad instantánea es
m
que la constante de proporcionalidad es k 0.0025. [Sugerencia:
0RGL¿TXHOLJHUDPHQWHOD('GHOSUREOHPD@
38. Paracaidismo Una paracaidista pesa 550 N y su paracaídas
y equipo juntos pesan otras 160 N. Después de saltar del avión
desde una altura de 4500 m, la paracaidista espera 15 segundos y
abre su paracaídas. Suponga que la constante de proporcionalidad
del modelo del problema 35 tiene el valor k 7 durante la caída
libre y k 145 después de que se abrió el paracaídas. Suponga
que su velocidad inicial al saltar del avión es igual a cero. ¿Cuál
es la velocidad de la paracaidista y qué distancia ha recorrido desSXpVGHVHJXQGRVGHTXHVDOWyGHODYLyQ"9HDOD¿JXUD
¿Cómo se compara la velocidad de la paracaidista a los 20 segundos con su velocidad terminal? ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?
[Sugerencia: Piense en función de dos diferentes PVI.]
dv
mg kv,
dt
donde k 0 es una constante de proporcionalidad. La dirección
positiva se toma hacia abajo.
a)
Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial v(0) v0.
b)
Utilice la solución del inciso a) para determinar la velocidad límite o terminal de la masa. Vimos cómo determinar
la velocidad terminal sin resolver la ED del problema 40 en
los ejercicios 2.1.
c)
Si la distancia s, medida desde el punto en el que se suelta
la masa se relaciona con la velocidad v por dsdt v(t),
determine una expresión explícita para s(t), si s(0) 0.
36. ¿Qué tan alto? (Sin resistencia del aire) Suponga que una pequeña bala de cañón que pesa 75 N se dispara verticalmente hacia
DUULEDFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDFRQXQDYHORFLGDGLQLcial de v0 90 m/s. La respuesta a la pregunta “¿Qué tanto sube la
bala de cañón?”, depende de si se considera la resistencia del aire.
a)
b)
Suponga que se desprecia la resistencia del aire. Si la dirección es positiva hacia arriba, entonces un modelo para la
bala del cañón está dado por d 2sdt 2 g (ecuación (12)
de la sección 1.3). Puesto que dsdt v(t) la última ecuación diferencial es la misma que la ecuación dvdt g,
donde se toma g 9.8 m/s2. Encuentre la velocidad v(t) de
la bala de cañón al tiempo t.
Utilice el resultado que se obtuvo en el inciso a) para determinar la altura s(t) de la bala de cañón medida desde el nivel
del suelo. Determine la altura máxima que alcanza la bala.
−mg
nivel del
suelo
caída libre
la resistencia del
aire es 7 v
la resistencia del
aire es 145 v
FIGURA 3.1.14
el paracaídas
se abre
t = 20 s
Cálculo del tiempo
que tarda en llegar al
suelo del problema 38.
39. Movimiento de cohete Supongamos un pequeño cohete de
una etapa de total masa m(t) es lanzado verticalmente, la dirección positiva es hacia arriba, la resistencia del aire es lineal y
el cohete consume su combustible a un ritmo constante. En el
problema 22 de los ejercicios 1.3 se le pidió utilizar la segunda
ley de Newton del movimiento en la forma dada en (17) de ese
conjunto de ejercicios para demostrar que un modelo matemático para la velocidad v(t) del cohete está dada por
dv
R ,
k2␭
v 5 2g 1
1
dt
m0 2 ␭t
m0 2 ␭t
donde k es la constante de proporcionalidad de la resistencia del
aire, Ȝ es la rapidez constante a la que se consume combustible,
R es el empuje del cohete, m (t m0 - Ȝt, m0 es la masa total del
cohete en t \g es la aceleración debido a la gravedad.
a)
Encuentre la velocidad v(t) del cohete si m0 NJR 2000 N, Ȝ NJVg PV2, k NJV\v b)
Utilice ds/dt v y el resultado del inciso a) para encontrar
la altura s(t) del cohete al tiempo t.
40. Movimiento del cohete, continuación En el problema 39 se
supuso que la masa inicial del cohete m0\TXHNJHVODPDVD
del combustible.
FIGURA 3.1.13 Determinación
a)
de la altura máxima de la bala de
cañón del problema 36.
¿Cuál es el tiempo de quemado tb, o el tiempo en que se
consume el combustible?
b)
¿Cuál es la velocidad del cohete durante el quemado?
37. ¿Qué tan alto? (Resistencia lineal del aire) Repita el problema 36, pero esta vez suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea. Esta es la razón por la que
la altura máxima que alcanza la bala del cañón debe ser menor
que la del inciso b) del problema 36. Demuestre esto suponiendo
c)
¿Cuál es la altura del cohete en el tiempo de quemado?
d)
¿Esperaría que el cohete alcance una altura mayor que la
cantidad del inciso b)?
e)
Después del tiempo de quemado ¿Cuál es el modelo
matemático para la velocidad del cohete?
3.1
41. Evaporación de una gota de lluvia Cuando cae una gota de
lluvia, ésta se evapora mientras conserva su forma esférica. Si se
hacen suposiciones adicionales de que la rapidez a la que se evaSRUDODJRWDGHOOXYLDHVSURSRUFLRQDODVXiUHDVXSHU¿FLDO\TXHVH
desprecia la resistencia del aire, entonces un modelo para la velocidad v(t) de la gota de lluvia es
b)
O
95
Resuelva la ED sujeta a x(0) 'LEXMHODJUi¿FDGHx(t) y
compruebe su predicción del inciso a). ¿En cuánto tiempo
la concentración es la mitad del valor límite?
46. Memorización Cuando se considera la falta de memoria, la
rapidez de memorización de un tema está dada por
dA
k1(M A) k2 A,
dt
dv
3(k/)
v g.
dt
(k/)t r0
Aquí l es la densidad del agua, r0 es el radio de la gota de
lluvia en t 0, k 0 es la constante de proporcionalidad y
la dirección hacia abajo se considera positiva.
a) Determine v(t) si la gota de lluvia cae a partir del reposo.
b) Vuelva a leer el problema 36 de los ejercicios 1.3 y demuestre que el radio de la gota de lluvia en el tiempo t es
r(t) (kl)t r0.
c) Si r0 3 mm y r 2 mm, 10 segundos después de que la gota
cae desde una nube, determine el tiempo en el que la gota de
lluvia se ha evaporado por completo.
42. Fluctuación de la población La ecuación diferencial dPdt
(k cos t)P, donde k es una constante positiva, es un modelo
matemático para una población P(t TXHH[SHULPHQWDÀXFWXDFLRnes anuales. Resuelva la ecuación sujeta a P(0) P0. Utilice un
SURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQSDUD
diferentes elecciones de P0.
43. Modelo poblacional En un modelo del cambio de población
de P(t) de una comunidad, se supone que
dP dB dD
,
dt
dt
dt
donde dBdt y dDdt son las tasas de natalidad y mortandad,
respectivamente.
a)
Determine P(t) si dBdt k1P y dDdt k2P.
b)
Analice los casos k1 k2, k1 k2 y k1
k2.
44. Modelo de cosecha constante Un modelo que describe la
población de una pesquería en la que se cosecha con una tasa
constante está dada por
dP
kP h,
dt
donde k y h son constantes positivas.
a) Resuelva la ED sujeta a P(0) P0.
b) Describa el comportamiento de la población P(t) conforme
pasa el tiempo en los tres casos P0 hk, P0 hk y 0
P0 hk.
c) Utilice los resultados del inciso b) para determinar si la poEODFLyQGHSHFHVGHVDSDUHFHUiHQXQWLHPSR¿QLWRHVGHFLU
si existe un tiempo T 0 tal que P(T) 0. Si la población
desaparecerá, entonces determine en qué tiempo T.
45. Diseminación de un medicamento Un modelo matemático
para la rapidez con la que se disemina un medicamento en el
torrente sanguíneo está dado por
dx
r kx,
dt
donde k1 0, k2 0, A(t) es la cantidad memorizada al tiempo
t, M es la cantidad total a memorizarse y M A es la cantidad
que falta por memorizar.
a) Puesto que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema
de fase de la sección 2.1 para determinar el valor límite de A(t)
conforme t A’,QWHUSUHWHHOUHVXOWDGR
b) Resuelva la ED sujeta a A(0) 'LEXMHODJUi¿FDGHA(t)
y compruebe su predicción del inciso a).
47. Marcapasos de corazón (Q OD ¿JXUD VH PXHVWUD XQ
marcapasos de corazón, que consiste en un interruptor, una batería, un capacitor y el corazón como un resistor. Cuando el interruptor S está en P, el capacitor se carga; cuando S está en Q el
capacitor se descarga, enviando estímulos eléctricos al corazón.
En el problema 58 de los ejercicios 2.3 vimos que durante este
tiempo en que se están aplicado estímulos eléctricos al corazón,
el voltaje E a través del corazón satisface la ED lineal
dE
1
E.
dt
RC
a)
Suponga que en el intervalo de tiempo de duración t1, 0 t
t1, el interruptor S está en la posición P como se muestra
HQOD¿JXUD\HOFDSDFLWRUVHHVWiFDUJDQGR&XDQGR
el interruptor se mueve a la posición Q al tiempo t1 el capacitor se descarga, enviando un impulso al corazón durante
el intervalo de tiempo de duración t2: t1 t t1 t2. Por lo
que el intervalo inicial de carga descarga 0 t t1 t2 el
voltaje en el corazón se modela realmente por la ecuación
GLIHUHQFLDOGH¿QLGDHQWUDPRV
0,
0t
dE
1
dt
E, t1 t
RC
Ya que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema
de fase de la sección 2.1 para determinar el valor de x(t)
conforme t A .
t1
t1 t2.
Al moverse S entre P y Q, los intervalos de carga y
descarga de duraciones t1 y t2 VH UHSLWHQ LQGH¿QLGDmente. Suponga que t1 4 s, t2 2 s, E0 12 V, E(0)
0, E(4) 12, E(6) 0, E(10) 12, E(12) 0,
etc. Determine E(t) para 0 t 24.
corazón
R
Q
interruptor
P
S
donde r y k son constantes positivas. Sea x(t) la función que describe
la concentración de la medicina en el torrente sanguíneo al tiempo t.
a)
MODELOS LINEALES
C
E0
FIGURA 3.1.15 Modelo de un marcapasos
del problema 47.
96
O
b)
CAPÍTULO 3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Suponga para ilustrar que R C 1. Utilice un programa
GHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQGHO39,
del inciso a) para 0 t 24.
49.
48. Deslizamiento de una caja a) Una caja de masa m se desliza
hacia abajo por un plano inclinado que forma un ángulo e con la
KRUL]RQWDOFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD'HWHUPLQHXQD
ecuación diferencial para la velocidad v(t) de la caja al tiempo t
para cada uno de los casos siguientes:
i)
b)
Deslizamiento de una caja, continuación. a) En el
problema 48 sea s(t) la distancia medida hacia abajo del
plano inclinado desde el punto más alto. Utilice dsdt v(t) y la solución de cada uno de los tres casos del inciso b) del
problema 48 para determinar el tiempo que le toma a la caja
deslizarse completamente hacia abajo del plano inclinado.
Aquí puede ser útil un programa para determinar raíces con un
SAC.
En el caso en que hay fricción (+ 0) pero no hay resistencia del aire, explique por qué la caja no se desliza hacia
abajo comenzando desde el reposo desde el punto más alto
arriba del suelo cuando el ángulo de inclinación ș satisface
a tan e +.
No hay fricción cinética y no hay resistencia del
aire.
Hay fricción cinética y no hay resistencia del
aire.
Hay fricción cinética y hay resistencia del aire.
c)
En los casos ii) y iii) utilice el hecho de que la fuerza de
fricción que se opone al movimiento es +N, donde + es el
FRH¿FLHQWHGHIULFFLyQFLQpWLFD\N es la componente normal del peso de la caja. En el caso iii) suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea.
La caja se deslizará hacia abajo del plano conforme tan
e + si a ésta se le proporciona una velocidad inicial
v(0) v0 0. Suponga que
13 4 y ș 23°.
Compruebe que tan ș +. ¿Qué distancia se deslizará
hacia abajo del plano si v0 0.3 m/s?
d)
13 4 y e 23° para aproximar
Utilice los valores
la menor velocidad inicial v0 que puede tener la caja, para
que a partir del reposo a 15 m arriba del suelo, se deslice
por todo el plano inclinado. Después encuentre el tiempo
que tarda en deslizarse el plano.
ii)
iii)
b) En el inciso a), suponga que la caja pesa 440 N, que el ángulo de inclinación del plano es e ƒTXHHOFRH¿FLHQWH
de fricción cinética es
13 4, y que la fuerza de retardo debida a la resistencia del aire es numéricamente igual
a 3.75v. Resuelva la ecuación diferencial para cada uno de
los tres casos, suponiendo que la caja inicia desde el reposo
desde el punto más alto a 15 m por encima del suelo.
50.
Todo lo que sube . . . a) Es bien conocido que el modelo
que desprecia la resistencia del aire, inciso a) del problema
36, predice que el tiempo ta que tarda la bala de cañón en
alcanzar su altura máxima es el mismo tiempo td que tarda
la bala de cañón en llegar al suelo. Además la magnitud de
la velocidad de impacto vi es igual a la velocidad inicial v0
de la bala de cañón. Compruebe ambos resultados.
fricción
movimiento
W = mg
15 m
θ
FIGURA 3.1.16 Caja deslizándose hacia abajo por plano
b)
Después, utilizando el modelo del problema 37 que considera la resistencia del aire, compare el valor de ta con td y
el valor de la magnitud de vi con v0. Aquí puede ser útil un
programa para determinar raíces con un SAC (o una calcuODGRUDJUD¿FDGRUD inclinado del problema 48.
3.2
MODELOS NO LINEALES
INTRODUCCIÓN Terminamos nuestro estudio de ecuaciones diferenciales de primer orden simples con el análisis de algunos modelos no lineales.
DINÁMICA POBLACIONAL Si P(t) es el tamaño de una población al tiempo t, el
modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que dPdt kP para cierta
k 0. En este modelo, la WDVDHVSHFt¿FDo relativa de crecimiento,GH¿QLGDSRU
dP>dt
P
(1)
es una constante k. Es difícil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante
largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerán
restricciones sobre el crecimiento de la población. Por lo que para otros modelos, se puede
esperar que la tasa (1) decrezca conforme la población P aumenta de tamaño.
3.2
MODELOS NO LINEALES
O
97
La hipótesis de que la tasa con que crece (o decrece) una población sólo depende del
número presente P y no de mecanismos dependientes del tiempo, como los fenómenos
estacionales (vea el problema 33, en los ejercicios 1.3), se puede enunciar como:
dP>dt
f (P)
P
o
dP
Pf (P).
dt
(2)
Esta ecuación diferencial, que se adopta en muchos modelos de población de animales,
se denomina hipótesis de dependencia de densidad.
f(P)
ECUACIÓN LOGÍSTICA Supóngase que un medio es capaz de sostener, como
máximo, una cantidad K determinada de individuos en una población. La cantidad K
se llama capacidad de sustento del ambiente. Así para la función f en la ecuación (2) se
tiene que f (K) 0 y simplemente hacemos f (0) r(QOD¿JXUDYHPRVWUHVIXQFLRnes que satisfacen estas dos condiciones. La hipótesis más sencilla es que f (P) es lineal,
es decir, f (P) c1P c2. Si aplicamos las condiciones f (0) r y f (K) 0, tenemos
que c2 r y c1 rK, respectivamente, y así f adopta la forma f (P) r (rK)P.
Entonces la ecuación (2) se convierte en
r
K
P
FIGURA 3.2.1 La suposición más
simple para f (P) es una recta (color azul).
dP
r
P r P .
dt
K
(3)
5HGH¿QLHQGRODVFRQVWDQWHVODHFXDFLyQQROLQHDO HVLJXDOD
dP
P(a bP).
dt
(4)
Alrededor de 1840, P. F. Verhulst (1804-1849), matemático y biólogo belga,
investigó modelos matemáticos para predecir la población humana en varios países.
Una de las ecuaciones que estudió fue la (4), con a 0 y b 0. Esa ecuación se llegó
a conocer como ecuación logística y su solución se denomina función logística. La
JUi¿FDGHXQDIXQFLyQORJtVWLFDHVODcurva logística.
La ecuación diferencial dPdt kP QR HV XQ PRGHOR PX\ ¿HO GH OD SREODFLyQ
cuando ésta es muy grande. Cuando las condiciones son de sobrepoblación, se presentan efectos negativos sobre el ambiente como contaminación y exceso de demanda de
alimentos y combustible, esto puede tener un efecto inhibidor en el crecimiento para la
población. Como veremos a continuación, la solución de la ecuación (4) está acotada
conforme t A . Si se rescribe (4) como dPdt aP bP2, el término no lineal bP2,
b 0 se puede interpretar como un término de “inhibición” o “competencia”. También,
en la mayoría de las aplicaciones la constante positiva a es mucho mayor que b.
Se ha comprobado que las curvas logísticas predicen con bastante exactitud el crecimiento de ciertos tipos de bacterias, protozoarios, pulgas de agua (Dafnia) y moscas
de la fruta ('URVy¿OD) en un espacio limitado.
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LOGÍSTICA Uno de los métodos para resolver
la ecuación (4) es por separación de variables. Al descomponer el lado izquierdo de
dPP(a bP) dt en fracciones parciales e integrar, se obtiene
1>aP a b>abP dP dt
1
1
ln P ln a bP t c
a
a
ln
P
at ac
a bP
P
c1eat.
a bP
98
O
CAPÍTULO 3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
ac1eat
ac1
P(t)
.
De la última ecuación se tiene que
at
1 bc1e
bc1 eat
Si P(0) P0, P0 ab, encontramos que c1 P0(a bP0) y así, sustituyendo y
VLPSOL¿FDQGRODVROXFLyQVHFRQYLHUWHHQ
P(t) aP0
.
bP0 (a bP0)eat
(5)
GRÁFICAS DE P(t ) La forma básica de la función logística P(t) se puede obtener
sin mucho esfuerzo. Aunque la variable t usualmente representa el tiempo y raras veces
se consideran aplicaciones en las que t 0, tiene cierto interés incluir este intervalo al
PRVWUDUODVGLIHUHQWHVJUi¿FDVGHP. De la ecuación (5) vemos que
P(t) →
aP0
bP0
a
b
cuando
t→
y
P(t) → 0
cuando
t→
.
La línea punteada P a2bGHOD¿JXUDFRUUHVSRQGHDODRUGHQDGDGHXQSXQWRGH
LQÀH[LyQGHODFXUYDORJtVWLFD3DUDGHPRVWUDUHVWRGHULYDPRVODHFXDFLyQ XVDQGR
la regla del producto:
dP
dP dP
d 2P
P b
(a bP)
(a 2bP)
2
dt
dt
dt
dt
P(a bP)(a 2bP)
2b2P P P 2ba .
a
b
Recuerde, de cálculo, que los puntos donde d 2Pdt 2 0 son posibles puntos de inÀH[LyQSHURREYLDPHQWHVHSXHGHQH[FOXLUP 0 y P ab. Por tanto P a2b es
el único valor posible para la ordenada en la cual puede cambiar la concavidad de la
JUi¿FD3DUD P a2b se tiene que P 0, y a2b P ab implica que P
$VtFXDQGRVHOHHGHL]TXLHUGDDGHUHFKDODJUi¿FDFDPELDGHFyQFDYDKDFLDDUULEDD
cóncava hacia abajo, en el punto que corresponde a P a2b. Cuando el valor inicial
satisface a 0 P0 a2bODJUi¿FDGHP(t) adopta la forma de una S, como se ve en la
¿JXUD E 3DUDa2b P0 abODJUi¿FDD~QWLHQHODIRUPDGH6SHURHOSXQWR
GHLQÀH[LyQRFXUUHHQXQYDORUQHJDWLYRGHtFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD F P
P0
P
P
a/b
a/b
a/2b
a/2b
a/b
P0
a/2b
P0
t
(a)
t
(b)
t
(c)
FIGURA 3.2.2 Curvas logísticas para diferentes condiciones iniciales.
En la ecuación (5) de la sección 1.3 ya hemos visto a la ecuación (4) en la forma
dxdt kx(n 1 – x), k 0. Esta ecuación diferencial presenta un modelo razonable
para describir la propagación de una epidemia que comienza cuando se introduce una
persona infectada en una población estática. La solución x(t) representa la cantidad
de personas que contraen la enfermedad al tiempo t.
3.2
EJEMPLO 1
MODELOS NO LINEALES
O
99
Crecimiento logístico
Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe y regresa a un campus
aislado de 1000 estudiantes. Si se supone que la rapidez con que se propaga el virus no
sólo a la cantidad x de estudiantes infectados sino también a la cantidad de estudiantes
no infectados, determine la cantidad de estudiantes infectados después de 6 días si
además se observa que después de cuatro días x(4) 50.
x = 1000
x
SOLUCIÓN Suponiendo que nadie deja el campus mientras dura la enfermedad, debemos resolver el problema con valores iniciales
dx
kx(1000 x), x(0) 1.
dt
500
,GHQWL¿FDQGRa 1000k y b k, vemos de inmediato en la ecuación (5) que
5
10
a)
(a)
t (días)
4
5
6
7
8
9
10
x(t) t
1000k
1000
.
1000kt
k 999ke
1 999e1000kt
Ahora, usamos la información x(4) 50 y calculamos k con
x (número de infectados)
50 (observados)
124
276
507
735
882
953
50 1000
.
1 999e4000k
19
0.9906. Por tanto
Encontramos 1000k 14 1n 999
x(t)
Finalmente,
x(6) 1
1000
.
999e 0.9906t
1000
276 estudiantes.
1 999e5.9436
b)
FIGURA 3.2.3 El número de
estudiantes infectados en en elejmplo 1.
(QODWDEODGHOD¿JXUD E VHGDQRWURVYDORUHVFDOFXODGRVGHx(t). Note que el
número de estudiantes infectados x(t) se acerca a 1000 conforme crece t.
MODIFICACIONES DE LA ECUACIÓN LOGÍSTICA Hay muchas variaciones de
la ecuación logística. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales
dP
P(a bP) h
dt
y
dP
P(a bP) h
dt
(6)
podrían servir, a su vez, como modelos para la población de una pesquería donde el
pez se pesca o se reabastece con una rapidez h. Cuando h 0 es una constante, las
ED en las ecuaciones (6) se analizan cualitativamente de manera fácil o se resuelven
analíticamente por separación de variables. Las ecuaciones en (6) también podrían
servir como modelos de poblaciones humanas que decrecen por emigración o que
crecen por inmigración, respectivamente. La rapidez h en las ecuaciones (6) podría
ser función del tiempo t o depender de la población; por ejemplo, se podría pescar
periódicamente o con una rapidez proporcional a la población P al tiempo t. En el
último caso, el modelo sería P P(a – bP) – cP, c 0. La población humana de una
comunidad podría cambiar debido a la inmigración de manera que la contribución debida a la inmigración sea grande cuando la población P de la comunidad era pequeña
pero pequeña cuando P es grande; entonces un modelo razonable para la población de
la comunidad sería Pv P(a bP) cekP, c 0, k 0. Vea el problema 24 de los
ejercicios 3.2. Otra ecuación de la forma dada en (2),
dP
P(a b ln P),
dt
(7)
100
O
CAPÍTULO 3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
HVXQDPRGL¿FDFLyQGHODHFXDFLyQORJtVWLFDFRQRFLGDFRPRODecuación diferencial de
Gompertz, llamada así por el matemático inglés Benjamin Gompertz (1779-1865).
Esta ED algunas veces se usa como un modelo en el estudio del crecimiento o decrecimiento de poblaciones, el crecimiento de tumores sólidos y cierta clase de predicciones
actuariales. Vea el problema 8 de los ejercicios 3.2.
REACCIONES QUÍMICAS Suponga que a gramos de una sustancia química A se
combinan con b gramos de una sustancia química B. Si hay M partes de A y N partes
de B formadas en el compuesto y X(t) es el número de gramos de la sustancia química
C formada, entonces el número de gramos de la sustancia química A y el número de
gramos de la sustancia química B que quedan al tiempo t son, respectivamente,
a
M
X
MN
b
y
N
X.
MN
La ley de acción de masas establece que cuando no hay ningún cambio de temperatura,
la rapidez con la que reaccionan las dos sustancias es proporcional al producto de las
cantidades de A y B que aún no se han transformado al tiempo t :
b M N N X.
dX
M
a
X
dt
MN
(8)
Si se saca el factor M(M N) del primer factor y N(M N) del segundo y se introduce una constante de proporcionalidad k 0, la expresión (8) toma la forma
dX
(9)
k( X)( X),
dt
donde _ a(M N )M y ` b(M N )N. Recuerde de (6) en la sección 1.3
que una reacción química gobernada por la ecuación diferencial no lineal (9) se
conoce como una reacción de segundo orden.
EJEMPLO 2
Reacción química de segundo orden
Cuando se combinan dos sustancias químicas A y B se forma un compuesto C. La
reacción resultante entre las dos sustancias químicas es tal que por cada gramo de A se
usan 4 gramos de B. Se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos del
producto C. Determine la cantidad de C en el tiempo t si la rapidez de la reacción es
proporcional a las cantidades de A y B que quedan y si inicialmente hay 50 gramos de
A y 32 gramos de B. ¿Qué cantidad de compuesto C hay a los 15 minutos? Interprete
la solución conforme t A .
SOLUCIÓN Sea X(t) la cantidad de gramos del compuesto C presentes en el tiempo
t. Es obvio que X(0) 0 g y X(10) 30 g.
Si, por ejemplo, hay 2 gramos del producto C, hemos debido usar, digamos, a
gramos de A y b gramos de B, así a b 2 y b 4a. Por tanto, debemos usar
a 25 2 15 de la sustancia química A y b 85 2 45 g de B. En general, para obtener
X gramos de C debemos usar
1
4
X gramos de A
X gramos de .B.
y
5
5
Entonces las cantidades de A y B que quedan al tiempo t son respectivamente
()
()
50 1
X
5
y
32 4
X,
5
Sabemos que la rapidez con la que se forma el compuesto C satisface que
32 54 X.
dX
1
50 X
dt
5
3.2
X
X = 40
MODELOS NO LINEALES
O
101
3DUDVLPSOL¿FDUODVRSHUDFLRQHVDOJHEUDLFDVVXEVHFXHQWHVIDFWRUL]DPRV 15 del primer
término y 45 del segundo y después introducimos la constante de proporcionalidad:
dX
k(250 X)(40 X).
dt
Separamos variables y por fracciones parciales podemos escribir que
1
210
250 X
dX 1
210
40 X
dX k dt.
Al integrar se obtiene
10 20 30 40
t
a)
t (min)
10
15
20
25
30
35
X (g)
30 (medido)
34.78
37.25
38.54
39.22
39.59
b)
FIGURA 3.2.4 Número de gramos del
compuesto C en el ejemplo 2.
In
X
X
250
40
210kt
c1
X
X
250
40
o
c2e210kt.
(10)
Cuando t 0, X 0, se tiene que en este punto c2 254. Usando X 30 g en t 10
encontramos que 210 k 101 ln 88
25 0.1258. Con esta información se despeja X de la
última ecuación (10):
X(t) 1000
1 e0.1258t .
25 4e0.1258t
(11)
De (11) encontramos X(15) 34.78 gramos(QOD¿JXUDVHSUHVHQWDHOFRPportamiento de X como una función del tiempo. Es claro de la tabla adjunta y de la
ecuación (11) que X A 40 conforme t A (VWRVLJQL¿FDTXHVHIRUPDQJUDPRV
del compuesto C, quedando
1
50 (40) 42 g de A
5
4
32 (40) 0 g de B.
5
y
COMENTARIOS
/DLQWHJUDOLQGH¿QLGD du(a 2 u 2) se puede evaluar en términos de logaritmos, tangente hiperbólica inversa, o de la cotangente hiperbólica inversa. Por
ejemplo, de los dos resultados
du
a2
u2
du
a
2
u
2
1
tanh
a
1
2a
1
In
u
a
a
a
c,
u
u
u
(12)
a
c,
u
a,
(13)
la ecuación (12) puede ser conveniente en los problemas 15 y 26 de los ejercicios 3.2, mientras que la ecuación (13) puede ser preferible en el problema 27.
EJERCICIOS 3.2
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-3.
Ecuación logística
1. La cantidad N(t) de supermercados del país que están
usando sistemas de revisión computarizados se describe
por el problema con valores iniciales
dN
N(1 0.0005N), N(0) 1.
dt
a) Use el concepto de esquema de fase de la sección 2.1
para predecir cuántos supermercados se espera que
adopten el nuevo procedimiento en un periodo prolongado. A mano, dibuje una curva solución del problema con valores iniciales dados.
b) Resuelva el problema con valores iniciales y después
XWLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDFRPSUREDU\
trazar la curva solución del inciso a). ¿Cuántas compañías se espera que adopten la nueva tecnología
cuando t 10?
2. La cantidad N(t) de personas en una comunidad bajo la
LQÀXHQFLD GH GHWHUPLQDGR DQXQFLR HVWi JREHUQDGD SRU
la ecuación logística. Inicialmente N(0) 500 y se observa que N(1) 1 000. Determine N(t) si se predice que
habrá un límite de 50 000 personas en la comunidad
que verán el anuncio.
102
O
CAPÍTULO 3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
3. Un modelo para la población P(t) en un suburbio de una gran
ciudad está descrito por el problema con valores iniciales
dP
P(10 1 10 7 P), P(0) 5000,
dt
donde t se expresa en meses. ¿Cuál es el valor límite de
la población? ¿Cuánto tardará la población en alcanzar la
mitad de ese valor límite?
4. a) En la tabla 3.2.1 se presentan los datos del censo de
Estados Unidos entre 1790 y 1950. Construya un modelo de población logístico usando los datos de 1790,
1850 y 1910.
b) Construya una tabla en la que se compare la población real del censo con la población predicha por el
modelo del inciso a). Calcule el error y el error porcentual para cada par de datos.
TABLA 3.2.1
Año
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
1930
1940
1950
Población (en millones)
3.929
5.308
7.240
9.638
12.866
17.069
23.192
31.433
38.558
50.156
62.948
75.996
91.972
105.711
122.775
131.669
150.697
Modificaciones del modelo logístico
5.
a) Si se pesca un número constante h de peces de
una pesquería por unidad de tiempo, entonces un
modelo para la población P(t) de una pesquería al
tiempo t está dado por
dP
P(a bP) h, P(0) P0,
dt
donde a, b, h y P0 son constantes positivas. Suponga
que a 5, b 1 y h 4. Puesto que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la
sección 2.1 para dibujar curvas solución representativas que corresponden a los casos P0 4, 1 P0
4 y 0 P0 1. Determine el comportamiento de la
población a largo plazo en cada caso.
b) Resuelva el PVI del inciso a). Compruebe los resultados de su esquema de fase del inciso a) utilizando
XQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGH
P(t) con una condición inicial tomada de cada uno
de los tres intervalos dados.
c) Utilice la información de los incisos a) y b) para determinar si la población de la pesquería desaparecerá en
XQWLHPSR¿QLWR'HVHUDVtGHWHUPLQHHVHWLHPSR
6. Investigue el modelo de pesca del problema 5 tanto cualitativa como analíticamente en el caso en que a 5, b 1, h 254 . Determine si la población desaparecerá en un
WLHPSR¿QLWR'HVHUDVtGHWHUPLQHHVHWLHPSR
7. Repita el problema 6 en el caso a 5, b 1, h 7.
8. a) Suponga a b 1 en la ecuación diferencial de
Gompertz, ecuación (7). Puesto que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la
sección 2.1 para dibujar curvas solución representativas correspondientes a los casos P0 e y 0 P0 e.
b) Suponga que a 1, b 1 en la ecuación (7).
Utilice un nuevo esquema de fase para dibujar las
curvas solución representativas correspondientes a
los casos P0 e1 y 0 P0 e1.
c) Encuentre una solución explícita de la ecuación (7)
sujeta a P(0) P0.
Reacciones químicas
9. Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar la
sustancia química C. La rapidez de reacción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B que
no se han convertido en C. Al principio hay 40 gramos de
A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B se consumen 2
gramos de A. Se observa que a los cinco minutos se han formado 10 gramos de C. ¿Cuánto se forma en 20 minutos de
C? ¿Cuál es la cantidad límite de C a largo plazo? ¿Cuánto
de las sustancias A y B queda después de mucho tiempo?
10. Resuelva el problema 9 si hay al principio 100 gramos
de la sustancia química A. ¿Cuándo se formará la mitad de
la cantidad límite de C?
Modelos no lineales adicionales
11. Tanque cilíndrico con gotera Un tanque en forma de
un cilindro recto circular en posición vertical está sacando
agua por un agujero circular en su fondo. Como se vio en
(10) de la sección 1.3, cuando se desprecia la fricción y la
contracción del agujero, la altura h del agua en el tanque
está descrita por
dh
A
h 12gh,
dt
Aw
donde Aw y Ah son las áreas de sección transversal del
agua y del agujero, respectivamente.
a) Resuelva la ED si la altura inicial del agua es H. A
PDQR GLEXMH OD JUi¿FD GH h(t) y de su intervalo de
GH¿QLFLyQI en términos de los símbolos Aw, Ah y H.
Utilice g 9.8 m/s2.
b) Suponga que el tanque tiene 3 m de altura y un radio
de 0.6 m y el agujero circular tiene un radio de 1.2
cm. Si el tanque está inicialmente lleno, ¿cuánto tarda
en vaciarse?
3.2
12. Tanque cilíndrico con gotera, continuación Cuando
se considera la fricción y contracción del agua en el agujero, el modelo del problema 11 se convierte en
dh
A
c h 12gh,
dt
Aw
donde 0 c 1. ¿Cuánto tarda el tanque del problema
11 b) en vaciarse si c 0.6? Vea el problema 13 de los
ejercicios 1.3.
13. Tanque cónico con gotera Un tanque con forma de
cono recto con el vértice hacia abajo, está sacando agua
por un agujero circular en su fondo.
a) Suponga que el tanque tiene 6m de altura y tiene un
radio de 3m y el agujero circular mide 5cm de radio.
En el problema 14 de los ejercicios 1.3 se le pidió
mostrar que la ecuación diferencial que gobierna la
altura h del agua que sale del tanque es este modelo,
se consideró la fricción y la contracción del agua en el
agujero con c 0.6 y el valor de g se tomó de 9.8 m/s2.
9HDOD¿JXUD6LDOSULQFLSLRHOWDQTXHHVWiOOHQR
¿cuánto tarda en vaciarse?
b) Suponga que el tanque tiene un ángulo de vértice
de 60° y el agujero circular tiene un radio de 5 cm.
Determine la ecuación diferencial que gobierna la altura h del agua. Utilice c 0.6 y g 9.8 m/s2. Si al
principio la altura del agua es de 3 m, ¿cuánto tarda
en vaciarse el tanque?
14. Tanque cónico invertido Suponga que se invierte el
tanque cónico del problema 13(a), como se muestra en la
¿JXUD\TXHVDOHDJXDSRUXQDJXMHURFLUFXODUFRQXQ
radio de 5 cm en el centro de su base circular. ¿El tiempo en
que se vacía el tanque lleno es el mismo que para el tanque
FRQHOYpUWLFHKDFLDDEDMRGHOSUREOHPD"7RPHHOFRH¿ciente de fricción/contracción de c 0.6 y g 9.8 m/s2.
Aw
6m
h
3m
FIGURA 3.2.5 Tanque cónico invertido del problema 14.
15. Resistencia del aire Una ecuación diferencial para la velocidad v de una masa m que cae sujeta a la resistencia del
aire proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea es
dv
m mg kv 2,
dt
donde k 0 es una constante de proporcionalidad. La
dirección positiva es hacia abajo.
a) Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial
v(0) v0.
MODELOS NO LINEALES
O
103
b) Utilice la solución del inciso a) para determinar la velocidad límite, o terminal de la masa. En el problema
41 de los ejercicios 2.1 vimos cómo determinar la velocidad terminal sin resolver la ED.
c) Si la distancia s, medida desde el punto donde se
suelta la masa sobre el suelo, está relacionada con la
velocidad v por dsdt v(t), encuentre una expresión
explícita para s(t) si s(0) 0.
16. ¿Qué tan alto? Resistencia del aire no lineal Considere la bala de cañón de 75 N que se dispara verticalmente hacia arriba en los problemas 36 y 37 en los ejercicios 3.1 con una velocidad inicial v0 90 m. Determine
la altura máxima que alcanza la bala si se supone que la
resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea. Suponga que la dirección positiva es
hacia arriba y tome k 0.0003. [Sugerencia0RGL¿TXH
un poco la ED del problema 15.]
17. Esa sensación de hundimiento a) Determine una ecuación diferencial para la velocidad v(t) de una masa m que
se hunde en agua que le da una resistencia proporcional al
cuadrado de la velocidad instantánea y también ejerce una
fuerza boyante hacia arriba cuya magnitud está dada por el
principio de Arquímedes. Vea el problema 18 de los ejercicios 1.3. Suponga que la dirección positiva es hacia abajo.
b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a).
c) Determine la velocidad límite, o terminal, de la masa
hundida.
18. Colector solar La ecuación diferencial
dy x 1x2 y2
dx
y
describe la forma de una curva plana C TXH UHÀHMD ORV
haces de luz entrantes al mismo punto y podría ser un moGHORSDUDHOHVSHMRGHXQWHOHVFRSLRUHÀHFWRUXQDDQWHQD
de satélite o un colector solar. Vea el problema 29 de los
ejercicios 1.3. Hay varias formas de resolver esta ED.
a) Compruebe que la ecuación diferencial es homogénea (vea la sección 2.5). Demuestre que la sustitución
y ux produce
u du
dx
.
2
2
11 u 1 11 u
x
(
)
Utilice un SAC (u otra sustitución adecuada) para
integrar el lado izquierdo de la ecuación. Demuestre
que la curva C debe ser una parábola con foco en el
origen y simétrica respecto al eje x.
b) Demuestre que la ecuación diferencial puede también
resolverse por medio de la sustitución u x2 y2.
19. Tsunami a) Un modelo simple para la forma de un
tsunami o maremoto, está dado por
dW
W 14 2W,
dx
donde W(x) 0 es la altura de la ola expresada como
una función de su posición respecto a un punto en
104
O
CAPÍTULO 3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
altamar. Examinando, encuentre todas las soluciones
constantes de la ED.
b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Un
SAC puede ser útil para la integración.
c) 8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDREWHQHUODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVTXHVDWLVIDFHQODFRQGLFLyQLQLcial W(0) 2.
20. Evaporación Un estanque decorativo exterior con forma de tanque semiesférico se llenará con agua bombeada
hacia el tanque por una entrada en su fondo. Suponga que
el radio del tanque es R 3 m, que el agua se bombea a
una rapidez de / m3/minuto y que al inicio el tanque está
YDFtR 9HD OD ¿JXUD &RQIRUPH VH OOHQD HO WDQTXH
éste pierde agua por evaporación. Suponga que la rapidez
de evaporación es proporcional al área AGHODVXSHU¿FLHVREUH
el agua y que la constante de proporcionalidad es k 0.01.
a) La rapidez de cambio dVdt del volumen del agua
al tiempo t es una rapidez neta. Utilice esta rapidez
neta para determinar una ecuación diferencial para la
altura h del agua al tiempo t. El volumen de agua que
VHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVV pRh 2 13ph 3, donde R
([SUHVHHOiUHDGHODVXSHU¿FLHGHODJXDA /r2
en términos de h.
b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Trace
ODJUi¿FDGHODVROXFLyQ
c) Si no hubiera evaporación, ¿cuánto tardaría en llenarse el tanque?
d) Con evaporación, ¿cuál es la profundidad del agua en
el tiempo que se determinó en el inciso c)? ¿Alguna
YH]VHOOHQDUiHOWDQTXH"'HPXHVWUHVXD¿UPDFLyQ
Salida: el agua se evapora con una rapidez
proporcional al área A de la superficie
R
h
A
V
r
Entrada: el agua se bombea con
una rapidez de π m 3/min
a) tanque semiesférico
FIGURA 3.2.6
b) sección transversal del tanque
Estanque decorativo del problema 20.
21. (TXDFLyQGHO¿QGHOPXQGR Considere la ecuación diferencial
dP
kP1 c
dt
donde k 0 y c 0. En la sección 3.1 vimos que cuando
c 0 la ecuación diferencial lineal dPdt kP es un modelo matemático de una población P(t) que presenta un
crecimiento no acotado sobre un intervalo de tiempo in¿QLWR>), es decir P(t) A conforme t A . Vea el
ejemplo 1 de la página 85.
a) Suponga para c 0.01 que la ecuación diferencial no
lineal
dP
dt
kP1.01, k
0
es un modelo matemático para una población de pequeños animales, donde el tiempo t se mide en meses.
Resuelva la ecuación diferencial sujeta a la condición
inicial P(0) 10 y al hecho de que la población de
animales se ha duplicado en 5 meses.
b) La ecuación diferencial del inciso a) se denomina
HFXDFLyQGHO¿QGHOPXQGR porque la población P(t)
presenta un crecimiento no acotado sobre un intervalo
GHWLHPSR¿QLWR T), es decir, hay algún tiempo T tal
que P(t) A conforme t A T. Encuentre T.
c) A partir del inciso a), ¿qué es P(50)? ¿P(100)?
22. Fin del mundo o extinción Suponga que el modelo poEODFLRQDO VHPRGL¿FDDVt
dP
dt
P(bP
a)
a) Si a 0, b 0, demuestre mediante un diagrama
fase (vea la página 40.) que, dependiendo de las condiciones iniciales P(0) P0, el modelo matemático
SRGUtDLQFOXLUXQHVFHQDULRGH¿QGHOPXQGR P(t) A
) o un escenario de extinción (P(t) A 0).
b) Resuelva el problema con valores iniciales
dPdt P(0.0005P 0.1), P(0) 300
'HPXHVWUHTXHHVWHPRGHORSUHGLFHXQ¿QGHOPXQGR
SDUDODSREODFLyQHQXQWLHPSR¿QLWRT.
c) Resuelva la ecuación diferencial del inciso b) sujeta a la
condición inicial P(0) 100. Demuestre que este modelo
predice la extinción de la población conforme t A .
Problemas de proyecto
23. Recta de regresión Lea en el manual de su SAC acerca de
JUi¿FDVGHGLVSHUVLyQ (o diagramas de dispersión) y ajuste de
rectas por mínimos cuadrados. La recta que mejor se ajusta a
un conjunto de datos se llama recta de regresión o recta de
mínimos cuadrados. Su tarea es construir un modelo logísWLFRSDUDODSREODFLyQGH(VWDGRV8QLGRVGH¿QLHQGRf (P) en
(2) como una ecuación de una recta de regresión que se basa en
los datos de población que aparecen en la tabla del problema
4. Una manera de hacer esto es aproximar el lado izquierdo
1 dP
de la primera ecuación en (2), utilizando el coP dt
ciente de diferencias hacia adelante en lugar de dPdt:
Q(t) 1 P(t h) P(t)
.
P(t)
h
a) Haga una tabla de los valores t, P(t) y Q(t) usando t 0, 10, 20, . . . , 160 y h 10. Por ejemplo, el primer
renglón de la tabla debería contener t 0, P(0) y Q(0).
Con P(0) 3.929 y P(10) 5.308,
Q(0) 1 P(10) P(0)
0.035.
P(0)
10
3.2
b)
c)
d)
e)
f)
Observe que Q(160) depende de la población del censo
de 1960 P(l70). Busque este valor.
Use un SAC para obtener el diagrama de dispersión
de los datos (P(t), Q(t)) que se calculó en el inciso a).
También utilice un SAC para encontrar una ecuación de
ODUHFWDGHUHJUHVLyQ\VXSHUSRQHUVXJUi¿FDHQHOGLDgrama de dispersión.
Construya un modelo logístico dPdt Pf (P), donde
f (P) es la ecuación de la recta de regresión que se encontró en el inciso b).
Resuelva el modelo del inciso c) usando la condición
inicial P(0) 3.929.
Utilice un SAC para obtener un diagrama de dispersión,
esta vez de los pares ordenados (t, P(t)) de su tabla del
LQFLVRD 8WLOLFHXQ6$&SDUDVXSHUSRQHUODJUi¿FDGHOD
solución del inciso d) en el diagrama de dispersión.
Busque los datos del censo de Estados Unidos para 1970,
1980 y 1990. ¿Qué población predice el modelo logístico
del inciso c) para estos años? ¿Qué predice el modelo para
la población P(t) de Estados Unidos conforme t A ?
24. Modelo de inmigración a) En los ejemplos 3 y 4 de
la sección 2.1 vimos que cualquier solución P(t) de (4)
tiene el comportamiento asintótico P(t) A ab conforme
t A para P0 ab y para 0 P0 ab; como consecuencia, la solución de equilibrio P ab se llama un
atractor. Utilice un programa para determinar raíces de un
6$& RXQDFDOFXODGRUDJUD¿FDGRUD SDUDDSUR[LPDUODVRlución de equilibrio del modelo de inmigración
dP
P(1 P) 0.3eP.
dt
b) 8
WLOLFH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD IXQFLyQ F(P) P(1 P) 0.3e P. Explique
FyPR VH SXHGH XWLOL]DU HVWD JUi¿FD SDUD GHWHUPLQDU
si el número que se encontró en el inciso a) es un
atractor.
c) Use un programa de solución numérica para comparar
las curvas solución de los PVI
dP
P(1 P), P(0) P0
dt
Para P0 0.2 y P0 1.2 con las curvas solución para los
PVI. dP
dt
P(1 P) 0.3eP,
P(0) P0
para P0 0.2 y P0 1.2. Superponga todas las curvas en
los mismos ejes de coordenadas pero, si es posible, utilice
un color diferente para las curvas del segundo problema
con valores iniciales. En un periodo largo, ¿qué incremento porcentual predice el modelo de inmigración en la
población comparado con el modelo logístico?
25. Todo lo que sube . . . En el problema 16 sea ta el tiempo
que tarda la bala de cañón en alcanzar su altura máxima y
sea td el tiempo que tarda en caer desde la altura máxima
hasta el suelo. Compare el valor ta con el valor de td y
compare la magnitud de la velocidad de impacto vi con
la velocidad inicial v0. Vea el problema 50 de los ejercicios
3.1. Aquí puede ser útil un programa para determinar raíces
de un SAC. [Sugerencia: Utilice el modelo del problema 15
cuando la bala de cañón va cayendo.]
MODELOS NO LINEALES
O
105
26. Paracaidismo Un paracaidista está equipado con un cronóPHWUR\XQDOWtPHWUR&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHOSDracaidista abre su paracaídas 25 segundos después de saltar del
avión que vuela a una altitud de 6000 m, y observa que su altitud
es de 4500 m. Suponga que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea, la velocidad inicial
del paracaidista al saltar del avión es cero y g 9.8 m/s2.
a) Encuentre la distancia s(t), medida desde el avión, que
ha recorrido el paracaidista durante la caída libre en el
tiempo t. [Sugerencia: 1R VH HVSHFL¿FD OD FRQVWDQWH GH
proporcionalidad k en el modelo del problema 15. Use la
expresión para la velocidad terminal vt que se obtuvo en el
inciso b) del problema 15 para eliminar k del PVI. Luego,
¿QDOPHQWHHQFXHQWUHvt.]
b) ¿Qué distancia descendió el paracaidista y cuál es su velocidad cuando t 15 s?
4 500 m
s(t)
25 s
FIGURA 3.2.7 Paracaidista del problema 26.
27. Tocando fondo Un helicóptero sobrevuela 150 m por arriba
de un gran tanque abierto lleno de líquido (no agua). Se deja
caer un objeto compacto y denso que pesa 700 N (liberado desde
el reposo) desde el helicóptero en el líquido. Suponga que la
resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea v
en tanto el objeto está en el aire y que el amortiguamiento viscoso es proporcional a v2 después de que el objeto ha entrado al
líquido. Para el aire, tome k 2.5, y para el líquido tome k 0.15. Suponga que la dirección positiva es hacia abajo. Si el tanque mide 25 m de alto, determine el tiempo y la velocidad de impacto cuando el objeto golpea el fondo del tanque. [Sugerencia:
Piense en términos de dos PVI distintos. Si se utiliza la ecuación
(13), tenga cuidado de eliminar el signo de valor absoluto. Se
podría comparar la velocidad cuando el objeto golpea el líquido,
la velocidad inicial para el segundo problema, con la velocidad
terminal vt del objeto cuando cae a través del líquido.]
28. Hombre en el río . . . (QOD¿JXUD D VXSRQJDTXHHO
eje y y la recta vertical x 1 representan, respectivamente, las
SOD\DVRHVWH\HVWHGHXQUtRTXHWLHQHNPGHDQFKR(OUtR
ÀX\HKDFLDHOQRUWHFRQXQDYHORFLGDGvr, donde |vr| vrNPK
es una constante. Un hombre entra a la corriente en el punto (1,
0) en la costa este y nada en una dirección y rapidez respecto
al río dada por el vector vs, donde la velocidad |vs| vsNPK
es una constante. El hombre quiere alcanzar la costa oeste
exactamente en (0, 0) y así nadar de forma que conserve su
vector velocidad vs siempre con dirección hacia (0, 0). Utilice
OD¿JXUDE FRPRXQDD\XGDSDUDPRVWUDUTXHXQPRGHOR
matemático para la trayectoria del nadador en el río es
dy vsy vr 1x2 y2
.
dx
vs x
106
O
CAPÍTULO 3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
[Sugerencia: La velocidad v del nadador a lo largo de la trayecWRULDRFXUYDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVODUHVXOWDQWH
v vs vr. Determine vs y vr en componentes en las direcciones x y y. Si x x(t), y y(t) son ecuaciones paramétricas de
la trayectoria del nadador, entonces v (dxdt, dydt)].
y
nadador
playa
oeste
playa
este
corriente
vr
(1, 0) x
(0, 0)
a)
y
vr
(x(t), y(t))
vs
y(t)
θ
(0, 0)
Utilice estos datos, y si se necesita investigue más, y haga
otras suposiciones razonables para determinar si “la velocidad promedio de . . . 11 kilómetros por hora” es consistente
con los modelos de los problemas 35 y 36 de los ejercicios
3.1 y con el problema 15 de este conjunto de ejercicios.
También vea el problema 36 de los ejercicios 1.3.
33. El tiempo gotea La clepsidra, o reloj de agua, fue un dispositivo que los antiguos egipcios, griegos, romanos y chinos
usaban para medir el paso del tiempo al observar el cambio en
la altura del agua a la que se le permitía salir por un agujero
pequeño en el fondo de un tanque.
a) Suponga que se ha hecho un tanque de vidrio y que tiene la
forma de un cilindro circular recto de radio 0.3 m. Suponga
que h(0) 0.6 m corresponde a agua llena hasta la tapa del
tanque, un agujero en el fondo es circular con radio 0.8 mm,
g PV2 y c 0.6. Utilice la ecuación diferencial del
problema 12 para encontrar la altura h(t) del agua.
b) Para el tanque del inciso a), ¿a qué altura desde su fondo
VHGHEHUtDPDUFDUHVHODGRFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
3.2.9, que corresponde al paso de una hora? Después determine dónde colocaría las marcas correspondientes al
paso de 2 h, 3 h, . . . , 12 h. Explique por qué estas marcas
no están espaciadas uniformemente.
(1, 0) x
x(t)
b)
0.3
FIGURA 3.2.8 Trayectoria del nadador del problema 28.
29. a) Resuelva la ED del problema 28 sujeto a y(1) 0. Por
conveniencia haga k vrvs.
b) Determine los valores de vs, para los que el nadador
alcanzará el punto (0, 0) examinando lím y(x) en los
x:0
casos k 1, k 1 y 0 k 1.
30. Hombre en el río se sigue moviendo . . . Suponga
que el hombre del problema 28 de nuevo entra a la corriente en (1, 0) pero esta vez decide nadar de forma
que su vector velocidad vs está siempre dirigido hacia
la playa oeste. Suponga que la rapidez |vs| vs NPK
es una constante. Muestre que un modelo matemático para la
trayectoria del nadador en el río es ahora
v
dy
r.
dx
vs
31. La rapidez de la corriente vr de un río recto como el del problema 28 usualmente no es una constante. Más bien, una apro[LPDFLyQDODUDSLGH]GHODFRUULHQWH PHGLGDHQNPVSRUKRUD podría ser una función tal como vr(x) 30x(1 x), 0 x 1,
cuyos valores son pequeños en las costas (en este caso, vr(0) 0
y vr(1) 0) y más grande en la mitad de río. Resuelva la ED del
problema 30 sujeto a y(1) 0, donde vs NPK\vr(x) está
dado. Cuando el nadador hace esto a través del río, ¿qué tanto
tendrá que caminar en la playa para llegar al punto (0, 0)?
32. Las gotas de lluvia siguen cayendo . . . Cuando hace poco
se abrió una botella de refresco se encontró que dentro de la
tapa decía:
La velocidad promedio de una gota de lluvia cayendo es de
11 kilómetros/hora.
En una búsqueda rápida por la internet se encontró que el
meteorólogo Jeff Haby ofrecía información adicional de que
una gota de lluvia esférica en “promedio” tenía un radio de
0.1 cm. y un volumen aproximado de 0.0000000044 m3.
0.6
1 hora
2 horas
FIGURA 3.2.9 Clepsidra del problema 33.
34. a) Suponga que un tanque de vidrio tiene la forma de un
cono con sección transversal circular como se muesWUD HQ OD ¿JXUD &RPR HQ HO LQFLVR D GHO SURblema 33, suponga que h(0) 0.6 m corresponde a
agua llena hasta la parte superior del tanque, un agujero
FLUFXODU HQ HO IRQGR GH UDGLR PP J PV2 y
c 0.6. Utilice la ecuación diferencial del problema 12
para encontrar la altura h(t) del agua.
b) ¿Puede este reloj de agua medir 12 intervalos de tiempo de
duración de 1 hora? Explique matemáticamente.
0.3
0.6
FIGURA 3.2.10 Clepsidra del problema 34.
35. Suponga que r f (h GH¿QHODIRUPDGHXQUHORMGHDJXDHQ
el que las marcas del tiempo están igualmente espaciadas.
Utilice la ecuación diferencial del problema 12 para encontrar f (h \GLEXMHXQDJUi¿FDWtSLFDGHh como una función de
r. Suponga que el área de sección transversal Ah del agujero
es constante. [Sugerencia: En este caso dhdt a donde a
0 es una constante.]
3.3
3.3
MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN
O
107
MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN
INTRODUCCIÓN Esta sección es similar a la sección 1.3 ya que se van a analizar ciertos modelos
matemáticos, pero en lugar de una sola ecuación diferencial los modelos serán sistemas de ecuaciones
diferenciales de primer orden. Aunque algunos de los modelos se basan en temas que se analizaron
en las dos secciones anteriores, no se desarrollan métodos generales para resolver estos sistemas. Hay
razones para esto: Primero, hasta el momento no se tienen las herramientas matemáticas necesarias
para resolver sistemas. Segundo, algunos de los sistemas que se analizan, sobre todo los sistemas de
ED no lineales de primer orden, simplemente no se pueden resolver de forma analítica. Los capítulos
4, 7 y 8 tratan métodos de solución para sistemas de ED lineales.
SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES Hemos visto que una sola ecuación diferencial puede servir como modelo matemático para una sola población en un medio
ambiente. Pero si hay, por ejemplo, dos especies que interactúan, y quizá compiten,
viviendo en el mismo medio ambiente (por ejemplo, conejos y zorros), entonces un
modelo para sus poblaciones x(t) y y(t) podría ser un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden como
dx
g1(t, x, y)
dt
dy
g2(t, x, y).
dt
(1)
Cuando g1 y g2 son lineales en las variables x y y, es decir, g1 y g2 tienen las formas
g1(t, x, y)
c1 x
c2 y
f1(t)
y
g2 (t, x, y)
c3 x
c4 y
f2(t),
GRQGHORVFRH¿FLHQWHVci podrían depender de t, entonces (1) se dice que es un sistema
lineal. Un sistema de ecuaciones diferenciales que no es lineal se llama no lineal.
SERIES RADIACTIVAS En el análisis del decaimiento radiactivo en las secciones
1.3 y 3.1 se supuso que la rapidez de decaimiento era proporcional a la cantidad A(t)
de núcleos de la sustancia presentes en el tiempo t. Cuando una sustancia se desintegra
por radiactividad, usualmente no transmuta en un solo paso a una sustancia estable,
sino que la primera sustancia se transforma en otra sustancia radiactiva, que a su vez
forma una tercera sustancia, etc. Este proceso, que se conoce como serie de decaimiento radiactivo continúa hasta que llega a un elemento estable. Por ejemplo, la
serie de decaimiento del uranio es U-238 A Th-234 A
APb-206, donde Pb-206
es un isótopo estable del plomo. La vida media de los distintos elementos de una serie
radiactiva pueden variar de miles de millones de años (4.5 109 años para U-238)
a una fracción de segundo. Suponga que una serie radiactiva se describe en forma
1
2
esquemática por X :
Y : Z, donde k1 h1 0 y k2 h2 0 son las constantes de desintegración para las sustancias X y Y, respectivamente, y Z es un elemento
estable. Suponga, también, que x(t), y(t) y z(t) denotan las cantidades de sustancias X,
Y y Z, respectivamente, que quedan al tiempo t. La desintegración del elemento X se
describe por
dx
1x,
dt
mientras que la rapidez a la que se desintegra el segundo elemento Y es la rapidez neta
dy
1 x 2 y,
dt
108
O
CAPÍTULO 3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
porque Y está ganando átomos de la desintegración de X y al mismo tiempo perdiendo
átomos como resultado de su propia desintegración. Como Z es un elemento estable,
simplemente está ganando átomos de la desintegración del elemento Y:
dz
2 y.
dt
En otras palabras, un modelo de la serie de decaimiento radiactivo para los tres elementos es el sistema lineal de tres ecuaciones diferenciales de primer orden
dx
1 x
dt
dy
1 x 2 y
dt
(2)
dz
2 y.
dt
MEZCLAS &RQVLGHUHORVGRVWDQTXHVTXHVHLOXVWUDQHQOD¿JXUD(OWHPDGH
discusión, parte del supuesto de que un tanque A contiene 50L de agua en el que se ha
GLVXHOWRNJGHVDO6HVXSRQHWDPELpQTXHXQWDQTXH%FRQWLHQH/GHDJXDSXUD$
ORVWDQTXHVHQWUD\VDOHOtTXLGRFRPRVHLQGLFDHQOD¿JXUDVHVXSRQHTXHWDQWRODPH]FOD
intercambiada entre los dos tanques como el líquido bombeado hacia fuera del tanque B
están bien mezclados. Se desea construir un modelo matemático que describa la cantidad
GHNLORJUDPRVx1(t) y x2(t) de sal en los tanques A y B, respectivamente, en el tiempo t.
agua pura
3 L/min
mezcla
1 L/min
A
B
mezcla
4 L/min
mezcla
3 L/min
FIGURA 3.3.1 Tanques mezclados conectados.
Con un análisis similar al de la página 25 en la sección 1.3 y del ejemplo 5 de la
sección 3.1 vemos que la rapidez de cambio neta de x1(t) para el tanque A es
rapidez de entrada
de la sal
rapidez de salida
de la sal
(
)
(
)
dx1
x
x
––– (3 L/min) (0 kg/L) (1 L/min) –––2 kg/L (4 L/min) –––1 kg/L
dt
50
50
2
1
––– x1 ––– x2.
25
50
De manera similar, para el tanque B la rapidez de cambio neta de x2(t) es
dx2
x
x
x
4 1 3 2 1 2
dt
50
50
50
2
2
x1 x2.
25
25
Así obtenemos el sistema lineal
2
1
dx1
x1 x
dt
25
50 2
dx2
dt
2
2
x1 x.
25
25 2
(3)
3.3
MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN
O
109
Observe que el sistema anterior va acompañado de las condiciones iniciales x1(0) 25,
x2(0) 0.
MODELO PRESA-DEPREDADOR Suponga que dos especies de animales interactúan dentro del mismo medio ambiente o ecosistema, y suponga además que
la primera especie se alimenta sólo de vegetación y la segunda se alimenta sólo de la
primera especie. En otras palabras, una especie es un depredador y la otra es una presa.
Por ejemplo, los lobos cazan caribúes que se alimentan de pasto, los tiburones devoran
peces pequeños y el búho nival persigue a un roedor del Ártico llamado lemming. Por
razones de análisis, imagínese que los depredadores son zorros y las presas, conejos.
Sea x(t) y y(t) las poblaciones de zorros y conejos, respectivamente, en el tiempo t.
Si no hubiera conejos, entonces se podría esperar que los zorros, sin un suministro
adecuado de alimento, disminuyeran en número de acuerdo con
dx
(4)
ax,
a 0.
dt
Sin embargo, cuando hay conejos en el medio, parece razonable que el número de
encuentros o interacciones entre estas dos especies por unidad de tiempo sea conjuntamente proporcional a sus poblaciones x y y, es decir, proporcional al producto xy. Así,
cuando están presentes los conejos hay un suministro de alimento y, en consecuencia,
los zorros se agregan al sistema en una proporción bxy, b 0. Sumando esta última
proporción a (4) se obtiene un modelo para la población de zorros:
dx
(5)
ax bxy.
dt
Por otro lado, si no hay zorros, entonces la población de conejos, con una suposición
adicional de suministro ilimitado de alimento, crecería con una rapidez proporcional
al número de conejos presentes al tiempo t :
dy
dy,
d 0.
(6)
dt
Pero cuando están presentes los zorros, un modelo para la población de conejos es la
ecuación (6) disminuida por cxy, c 0; es decir, la rapidez a la que los conejos son
comidos durante sus encuentros con los zorros:
dy
(7)
dy cxy.
dt
Las ecuaciones (5) y (7) constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales
dx
ax bxy x(a by)
dt
(8)
dy
dy cxy y(d cx),
dt
donde a, b, c y d son constantes positivas. Este famoso sistema de ecuaciones se conoce como modelo presa-depredador de Lotka-Volterra.
Excepto por dos soluciones constantes, x(t) 0, y(t) 0 y x(t) dc, y(t) ab,
el sistema no lineal (8) no se puede resolver en términos de funciones elementales. Sin
embargo, es posible analizar estos sistemas en forma cuantitativa y cualitativa. Vea el
capítulo 9, “Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias”, y el capítulo 10 “Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales”. *
EJEMPLO 1
Suponga que
Modelo presa-depredador
dx
0.16x 0.08xy
dt
dy
4.5y 0.9xy
dt
Los capítulos 10 a 15 están en la versión ampliada de este libro, Ecuaciones diferenciales con problemas
con valores en la frontera, 9e.
*
110
O
CAPÍTULO 3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
población
x, y
depredadores
presa
tiempo
t
FIGURA 3.3.2 Las poblaciones de
depredadores (rojo) y presa (azul) del
ejemplo 1.
representa un modelo presa-depredador. Debido a que se está tratando con poblaciones,
se tiene x(t) 0, y(t) (QOD¿JXUDTXHVHREWXYRFRQODD\XGDGHXQSURJUDPD
de solución numérica, se ilustran las curvas de población características de los depredadores y la presa, superpuestas en los mismos ejes de coordenadas para este modelo. Las
condiciones iniciales que se utilizaron fueron x(0) 4, y(0) 4. La curva en color rojo
representa la población x(t) de los depredadores (zorros) y la curva en color azul es la
población y(t) de la presa (conejos). Observe que el modelo al parecer predice que ambas
poblaciones x(t) y y(t) son periódicas en el tiempo. Esto tiene sentido desde el punto de
vista intuitivo porque conforme decrece el número de presas, la población de depredadores decrece en algún momento como resultado de un menor suministro de alimento; pero
junto con un decrecimiento en el número de depredadores hay un incremento en el número de presas; esto, a su vez, da lugar a un mayor número de depredadores, que en última instancia origina otro decrecimiento en el número de presas.
MODELOS DE COMPETENCIA Ahora suponga que dos especies de animales ocupan el mismo ecosistema, no como depredador y presa sino como competidores por los
mismos recursos (como alimento y espacio vital) en el sistema. En ausencia de la otra,
suponga que la rapidez a la que crece cada población está dada respectivamente por
dx
ax
dt
dy
cy,
dt
y
(9)
Como las dos especies compiten, otra suposición podría ser que cada una de estas
UDSLGHFHVVHUHGX]FDVLPSOHPHQWHSRUODLQÀXHQFLDRH[LVWHQFLDGHODRWUDSREODFLyQ
Así un modelo para las dos poblaciones está dado por el sistema lineal
dx
ax by
dt
(10)
dy
cy dx ,
dt
donde a, b, c y d son constantes positivas.
Por otra parte, se podría suponer, como se hizo en (5), que cada rapidez de crecimiento en (9) debe ser reducida por una rapidez proporcional al número de interacciones entre las dos especies:
dx
ax bxy
dt
dy
cy dxy.
dt
(11)
Por inspección se encuentra que este sistema no lineal es similar al modelo presaGHSUHGDGRUGH/RWND9ROWHUUD3RU~OWLPRSRGUtDVHUPiVUHDOUHPSOD]DUODVUDSLGHFHV
en (9), lo que indica que la población de cada especie en aislamiento crece de forma
exponencial, con tasas que indican que cada población crece en forma logística (es
decir, en un tiempo largo la población se acota):
dx
a1 x b1 x 2
dt
y
dy
a 2 y b 2 y 2.
dt
(12)
Cuando estas nuevas tasas decrecen a tasas proporcionales al número de interacciones,
se obtiene otro modelo no lineal:
dx
a1x b1x 2 c1xy x(a1 b1x c1y)
dt
dy
a2 y b2 y 2 c2 xy y(a2 b2 y c 2 x),
dt
(13)
3.3
A1
i1
B1
R1
C1
L1
REDES Una red eléctrica que tiene más de una malla también da lugar a ecuaciones
GLIHUHQFLDOHVVLPXOWiQHDV&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDODFRUULHQWHi1(t) se divide en las direcciones que se muestran en el punto B1 llamado SXQWRGHUDPL¿FDFLyQ
de la red. Por la primera ley de Kirchhoff se puede escribir
L2
i1(t) i2(t) i3(t).
B2
C2
FIGURA 3.3.3 Red cuyo modelo está
dado en (17).
i1 L
E
111
GRQGHORVFRH¿FLHQWHVVRQSRVLWLYRV3RUVXSXHVWRHOVLVWHPDOLQHDO \ORVVLVWHPDV
no lineales (11) y (13) se llaman modelos de competencia.
R2
A2
O
i3
i2
E
MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN
Además, también se puede aplicar la segunda ley de Kirchhoff a cada malla. Para la
malla A1B1B 2 A 2 A1, suponiendo una caída de voltaje en cada parte del circuito, se obtiene
di
(15)
E(t) i1R1 L1 2 i2R2.
dt
De modo similar, para la malla A1B1C1C 2 B 2 A 2 A1 tenemos que
di
E(t) i1R1 L2 3.
(16)
dt
Usando (14) para eliminar i1 en (15) y (16) se obtienen dos ecuaciones lineales de
primer orden para las corrientes i2(t) e i3(t):
i3
i2
R
(14)
C
FIGURA 3.3.4 Red cuyo modelo son
las ecuaciones (18).
di 2
(R 1 R 2)i 2 R 1i 3 E(t)
dt
L1
(17)
di 3
L2 R 1i 2 R 1i 3 E(t) .
dt
Dejaremos esto como un ejercicio (vea el problema 16, ejercicios 3.3) y mostrar
que el sistema de ecuaciones diferenciales que describe las corrientes i1(t) e i2(t) en la red
IRUPDGDSRUXQUHVLVWRUXQLQGXFWRU\XQFDSDFLWRUTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHV
L
di1
Ri2
dt
E(t)
di2
i2 i1 0.
RC
dt
EJERCICIOS 3.3
(18)
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-4.
Series radiactivas
1. Hasta el momento no se han analizado métodos mediante los
que se puedan resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. Sin
embargo, sistemas como (2) se pueden resolver sin otro conocimiento que el necesario para resolver una ecuación diferencial lineal. Encuentre una solución a (2) sujeto a las condiciones iniciales
x(0) x0, y(0) 0, z(0) 0.
2. En el problema 1, suponga que el tiempo se mide en días, que
las constantes de desintegración son k1 0.138629 y k2 0.004951, y que x0 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQ
SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV GH ODV VROXFLRQHV x(t), y(t) y z(t) en el
PLVPRFRQMXQWRGHHMHVGHFRRUGHQDGDV8WLOLFHODVJUi¿FDVSDUD
aproximar las vidas medias de sustancias X y Y.
3. 8WLOLFH ODV JUi¿FDV GHO SUREOHPD SDUD DSUR[LPDU ORV WLHPSRV
cuando las cantidades x(t) y y(t) son las mismas, los tiempos cuando
las cantidades x(t) y z(t) son las mismas y los tiempos cuando las
cantidades y(t) y z(t) son las mismas. ¿Por qué tiene sentido, desde
el punto de vista intuitivo, el tiempo determinado cuando las cantidades y(t) y z(t) son las mismas?
4. Construya un modelo matemático para una serie radiactiva de
cuatro elementos W, X, Y y Z, donde Z es un elemento estable.
5. Decaimiento del Potasio-40 El elemento químico potasio es un
metal blando que se puede encontrar ampliamente a lo largo de
los océanos y en la corteza terrestre. Aunque el potasio se encuentra naturalmente en forma de tres isótopos, sólo el isótopo potasio-40 (K40) es radiactivo. Este isótopo es un poco inusual ya
que decae por dos diferentes reacciones nucleares. Con el tiempo,
un gran porcentaje de una cantidad inicial K0 de K-40 decae emitiendo partículas beta en el isótopo estable de calcio-40 (Ca-40),
mientras que por captura de electrones un porcentaje menor de K0
decae en el isótopo estable de argón-40 (Ar40). Ya que las tasas
a las que aumentan las cantidades C(t) de Ca40 y A(t) de Ar40
son proporcionales a la cantidad K(t) de potasio presente y la rapidez a la que K(t) decae también es proporcional a K(t), obtenemos
el siguiente sistema de ecuaciones lineales de primer orden
dC
5 ␭1K
dt
dA
5 ␭2K
dt
dK
5 2(␭1 1 ␭2)K,
dt
GRQGH Ȝ1 \ Ȝ2 son constantes de proporcionalidad positivas.
Procediendo como en el problema 1 podemos resolver el modelo
matemático anterior.
112
CAPÍTULO 3
O
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
a) De la última ecuación del sistema de ecuaciones diferenciales
dado encuentre K(t) si K(0) K0. Luego utilice K(t) para
encontrar C(t) y A(t) a partir de las primera y segunda ecuaciones. Suponga que C(0) 0 y A(0) 0.
b) Se conoce que Ȝ1 4.7526 1010 y Ȝ2 0.5874 1010.
Encuentre la vida media de K40.
c)
Utilice C(t) y A(t) que se determinaron en el inciso (a) para
calcular el porcentaje de una cantidad inicial K0 de K40 que
decae en Ca40 y en Ar40 durante un periodo muy largo.
6. Datación con Potasio-Argón El conocimiento de cómo decae
K40 se puede utilizar para determinar la edad de las rocas
tJQHDVPX\DQWLJXDV9pDVHOD¿JXUD
a) Utilice las soluciones obtenidas en el inciso a) del problema
5 para encontrar la razón A(t)/Kt).
9. Dos tanques muy grandes A y B están parcialmente llenos con
/GHVDOPXHUDFDGDXQR$OLQLFLRVHGLVXHOYHQNJGH
sal en la solución del tanque A\NJGHVDOHQODVROXFLyQGHO
tanque B. El sistema es cerrado ya que el líquido bien mezclado se
ERPEHDVyORHQWUHORVWDQTXHVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
a) 8WLOLFHODLQIRUPDFLyQTXHDSDUHFHHQOD¿JXUDSDUDFRQVWUXLUXQPRGHORPDWHPiWLFRSDUDHOQ~PHURGHNLORJUDPRV
de sal x1(t) y x2(t) al tiempo t en los tanques A y B, respectivamente.
b) Encuentre una relación entre las variables x1(t) y x2(t) que se
cumpla en el tiempo t. Explique por qué esta relación tiene
sentido desde el punto de vista intuitivo. Use esta relación
para ayudar a encontrar la cantidad de sal en el tanque B en
t 30 min.
mezcla
3 L/min
b) Utilice A(t)/Kt) que determinó en el inciso a) para demostrar que
t5
c)
␭1 1 ␭2 A(t)
1
ln 1 1
.
␭1 1 ␭2
␭2
K(t)
3
4
A
100 L
Supongamos que se determina que cada gramo de una muestra de roca ígnea contiene 8.5 107 g de Ar40 y 5.4 106 g de K40. Use el resultado del inciso b) para encontrar la edad aproximada de la roca.
B
100 L
mezcla
2 L/min
© Martin Rietze/Westend61 GmbH/
Alamy Stock Photo
FIGURA 3.3.7 Tanques de mezclado del problema 9.
10. Tres tanques grandes contienen salmuera, como se muestra en
OD ¿JXUD &RQ OD LQIRUPDFLyQ GH OD ¿JXUD FRQVWUX\D XQ
PRGHORPDWHPiWLFRSDUDHOQ~PHURGHNLORJUDPRVGHVDOx1(t),
x2(t) y x3(t) al tiempo t en los tanques A, B y C, respectivamente.
Sin resolver el sistema, pronostique los valores límite de x1(t),
x2(t) y x3(t) conforme t A .
agua pura
4 L/min
FIGURA 3.3.5 Las rocas ígneas se forman por
VROLGL¿FDFLyQGHODODYDYROFiQLFD.
Mezclas
7. Considere dos tanques A y B, en los que se bombea y se saca
líquido con la misma rapidez, como se describe mediante el sistema de ecuaciones (3). ¿Cuál es el sistema de ecuaciones diferenciales si, en lugar de agua pura, se bombea al tanque A una
VROXFLyQGHVDOPXHUDTXHFRQWLHQHNJGHVDOSRUOLWUR"
8. 8WLOLFHODLQIRUPDFLyQTXHVHSURSRUFLRQDHQOD¿JXUDSDUDFRQVWUXLUXQPRGHORPDWHPiWLFRSDUDODFDQWLGDGGHNLORJUDPRVGHVDO
x1(t), x2(t) y x3(t) al tiempo t en los tanques A, B y C, respectivamente.
mezcla
2 L/min
agua pura
4 L/min
A
100 L
mezcla
1 L/min
B
100 L
mezcla
6 L/min
B
150 L
mezcla
4 L/min
C
100 L
mezcla
4 L/min
mezcla
4 L/min
FIGURA 3.3.8 Tanques de mezclado del problema 10.
Modelos presa-depredador
11.&RQVLGHUHHOPRGHORGHSUHGDGRUSUHVDGH/RWND9ROWHUUDGH¿nido por
dx
0.1x 0.02xy
dt
C
100 L
mezcla
5 L/min
A
200 L
dy
0.2y 0.025xy,
dt
mezcla
4 L/min
FIGURA 3.3.6 Tanques de mezclado del problema 8.
donde las poblaciones x(t) (depredadores) y y(t) (presa) se miden
en miles. Suponga que x(0) 6 y y(0) 6. Utilice un programa
GH VROXFLyQ QXPpULFD SDUD JUD¿FDU x(t) y y(t 8VH ODV JUi¿FDV
3.3
MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN
para aproximar el tiempo t 0 cuando las dos poblaciones son
DOSULQFLSLRLJXDOHV8VHODVJUi¿FDVSDUDDSUR[LPDUHOSHULRGRGH
cada población.
R1
i1
12. &RQVLGHUHHOPRGHORGHFRPSHWHQFLDGH¿QLGRSRU
donde las poblaciones x(t) y y(t) se miden en miles y t en años.
Use un programa de solución numérica para analizar las poblaciones en un periodo largo para cada uno de los casos siguientes:
a) x(0) 1.5, y(0) 3.5
b) x(0) 1, y(0) 1
c) x(0) 2, y(0) 7
13. &RQVLGHUHHOPRGHORGHFRPSHWHQFLDGH¿QLGRSRU
dx
x(1 0.1x 0.05y)
dt
dy
y(1.7 0.1y 0.15x),
dt
donde las poblaciones x(t) y y(t) se miden en miles y t en años.
Utilice un programa de solución numérica para analizar las poblaciones en un periodo largo para cada uno de los casos siguientes:
y(0) 1
b) x(0) 4, y(0) 10
c) x(0) 9,
y(0) 4
d) x(0) 5.5,
y(0) 3.5
Redes
14. Demuestre que un sistema de ecuaciones diferenciales que describa las corrientes i2(t) e i3(t) en la red eléctrica que se muestra
HQOD¿JXUDHV
L
R1
di2
di
L 3 R1i2 E(t)
dt
dt
di2
di
1
R2 3 i3 0.
dt
dt
C
i1
E
E
i3
i2
L1
R2
L2
R3
FIGURA 3.3.10 Red del problema 15.
16. Demuestre que el sistema lineal que se proporciona en (18) describe las corrientes i1(t) e i2(t) en la red que se muestra en la
¿JXUD>Sugerencia: dqdt i3.]
Modelos no lineales adicionales
d) x(0) 4.5, y(0) 0.5
a) x(0) 1,
113
15. Determine un sistema de ecuaciones diferenciales de primer
orden que describa las corrientes i2(t) e i3(t) en la red eléctrica
TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
Modelos de competencia
dx
x(2 0.4x 0.3y)
dt
dy
y(1 0.1y 0.3x),
dt
O
L
i3 R2
i2
R1
FIGURA 3.3.9 Red del problema 14.
C
17. Modelo SIR Una enfermedad contagiosa se propaga en una peTXHxDFRPXQLGDGFRQXQDSREODFLyQ¿MDGHn personas, por contacto entre individuos infectados y personas que son susceptibles a
la enfermedad. Suponga al principio que todos son susceptibles a la
enfermedad y que nadie sale de la comunidad mientras se propaga
la epidemia. En el tiempo t, sean s(t), i(t) y r(t), a su vez, el número
de personas en la comunidad (medido en cientos) que son susceptibles a la enfermedad pero que aún no están infectadas, el número
de personas que están infectadas con la enfermedad y el número de
personas que se han recuperado de la enfermedad. Explique por qué
el sistema de ecuaciones diferenciales
ds
k1si
dt
di
k2i k1si
dt
dr
k2i,
dt
donde k1 (llamada la rapidez de infección) y k2 (llamada la rapidez de eliminación) son constantes positivas, es un modelo matemático razonable, conocido comúnmente como modelo SIR,
para la propagación de la epidemia en la comunidad. Asigne
condiciones iniciales posibles relacionadas con este sistema de
ecuaciones.
18. a) (Q HO SUREOHPD H[SOLTXH SRU TXp HV VX¿FLHQWH DQDOL]DU
sólo
ds
k1si
dt
di
k2i k1si .
dt
b) Suponga que k1 0.2, k2 0.7 y n 10. Elija varios valores de i(0) i0, 0 i0 10. Use un programa de solución
numérica para determinar lo que predice el modelo acerca
de la epidemia en los dos casos s0 k2k1 y s0 k2k1. En
el caso de una epidemia, estime el número de personas que
¿QDOPHQWHVHLQIHFWDQ
114
O
CAPÍTULO 3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
19. Concentración de un nutriente Suponga que los compartimientos A y BTXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUDVHOOHQDQFRQ
líquidos y se separan mediante una membrana permeable. La
¿JXUDHVXQDUHSUHVHQWDFLyQVHFFLRQDOGHOH[WHULRU\HOLQWHULRU
de una célula. Suponga también que un nutriente necesario para
el crecimiento de la célula pasa por la membrana. Un modelo
para las concentraciones x(t) y y(t) del nutriente en los compartimientos A y B, respectivamente, en el tiempo t se expresa
mediante el siguiente sistema lineal de ecuaciones diferenciales
dx
(y x)
dt
VA
dy
(x y),
dt
VB
donde VA y VB son los volúmenes de los compartimientos, y g 0 es un factor de permeabilidad. Sean x(0) x0 y y(0) y0 las
concentraciones iniciales del nutriente. Con base únicamente en
las ecuaciones del sistema y la suposición x0 y0 0, dibuje,
en el mismo conjunto de coordenadas, posibles curvas solución
del sistema. Explique su razonamiento. Analice el comportamiento de las soluciones en un tiempo largo.
líquido a
concentración
x(t)
líquido a
concentración
y(t)
19. Determine los valores límite de x(t) y y(t) conforme t A .
Explique por qué la respuesta de la última pregunta tiene sentido intuitivamente.
21. Mezclas con base sólo en la descripción física del problema
GHPH]FODGHODSiJLQD\OD¿JXUDDQDOLFHODQDWXUDleza de las funciones x1(t) y x2(t). ¿Cuál es el comportamiento
de cada función durante un tiempo largo? Dibuje ODV JUi¿FDV
posibles de x1(t) y x2(t). Compruebe sus conjeturas mediante un
programa de solución numérica para obtener las curvas solución
de (3) sujetas a las condiciones iniciales x1(0) 25, x2(0) 0.
22. Ley de Newton del enfriamiento/calentamiento Como se
PXHVWUDHQOD¿JXUDXQDSHTXHxDEDUUDPHWiOLFDVHFRORFD
dentro del recipiente A y éste se coloca dentro de un recipiente
B mucho más grande. A medida que se enfría la barra metálica,
la temperatura ambiente TA(t) del medio dentro del recipiente
A cambia de acuerdo con la ley de Newton del enfriamiento.
Conforme se enfría el recipiente A, la temperatura en la parte
media dentro del recipiente B no cambia de manera importante y
se puede considerar una constante TB. Construya un modelo matemático para las temperaturas T(t) y TA(t), donde T(t) es la temperatura de la barra metálica dentro del recipiente A. Como en
los problemas 1, 5, y 20, este modelo se puede resolver usando
los conocimientos adquiridos. Encuentre una solución del sistema sujeto a las condiciones iniciales T(0) T0, TA(0) T1.
recipiente B
A
B
recipiente A
barra
metálica
membrana
FIGURA 3.3.11 Flujo de nutrientes a través de una
TA (t)
membrana del problema 19.
20. El sistema del problema 19, al igual que el sistema en (2), se
puede resolver sin un conocimiento avanzado. Resuelva para
x(t) y y(t \FRPSDUHVXVJUi¿FDVFRQVXVGLEXMRVGHOSUREOHPD FIGURA 3.3.12
REPASO DEL CAPÍTULO 3
Responda los problemas 1 y 2 sin consultar las respuestas del
libro. Llene los espacios en blanco y responda verdadero o falso.
1. Si P(t) P0e0.15t da la población en un medio ambiente al
tiempo t, entonces una ecuación diferencial que satisface
P(t) es
.
2. Si la rapidez de desintegración de una sustancia radiactiva es proporcional a la cantidad A(t) que queda en el
tiempo t, entonces la vida media de la sustancia es necesariamente T (ln 2)k. La rapidez de decaimiento de
la sustancia en el tiempo t T es un medio de la rapidez
de decaimiento en t 0.
TB = constante
Recipiente dentro de un recipiente del problema 22.
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-4.
3. En marzo de 1976 la población mundial llegó a cuatro mil
millones. Una popular revista de noticias pronosticó que con
una rapidez de crecimiento anual promedio de 1.8%, la población mundial sería de 8 mil millones en 45 años. ¿Cómo
se compara este valor con el que se predice por el modelo en
el que se supone que la rapidez de crecimiento en la población es proporcional a la población presente en el tiempo t?
4. A una habitación cuyo volumen es 200 m3 se bombea aire
que contiene 0.06% de dióxido de carbono. Se introduce
DODKDELWDFLyQXQÀXMRGHDLUHGHP3/min y se extrae el
PLVPRÀXMRGHDLUHFLUFXODGR6LKD\XQDFRQFHQWUDFLyQ
inicial de 0.2% de dióxido de carbono en la habitación,
REPASO DEL CAPÍTULO 3
determine la cantidad posterior en la habitación al tiempo
t. ¿Cuál es la concentración de dióxido de carbono a los
10 minutos? ¿Cuál es la concentración de dióxido de carbono de estado estable o de equilibrio?
Ötzi el hombre de hielo En septiembre de 1991 dos
turistas alemanes encontraron el cuerpo bien conservado
de un hombre parcialmente congelado en un glaciar de
los Alpes de Ötztal, en la frontera entre Austria e Italia.
9pDVHOD¿JXUD50HGLDQWHODWpFQLFDGHGDWDFLyQFRQ
carbono se encontró que el cuerpo de Ötzi el hombre de
hielo, como se le llamó, contenía 53% del C-14 que se
encuentra en una persona viva. Suponiendo que el hombre de hielo fue datado con carbono en 1991. Utilice el
método ilustrado en el ejemplo 3 de la sección 3.1 para
determinar la fecha aproximada de su muerte.
© Werner Nosko/Reuters/Corbis
5.
FIGURA 3.R.1 Ötzi el hombre de hielo del problema 5.
6.
En el tratamiento del cáncer de tiroides, a menudo se utiliza el líquido radiactivo yodo131. Supongamos que después de un día de almacenamiento, el análisis demuestra
que una cantidad inicial que A0 de yodo-131 en una muestra se ha reducido en 8.3%.
a) Encuentre la cantidad de yodo131 restante en la muestra después de 8 días.
b)([SOLTXHHOVLJQL¿FDGRGHOUHVXOWDGRGHOLQFLVRD 7. Resuelva la ecuación diferencial
dy
dx
y
1a2
y2
de la tractriz. Vea el problema 28 de los ejercicios 1.3.
Suponga que el punto inicial en el eje y es (0, 10) y que la
longitud de la cuerda es x 3 m.
8. Suponga que una célula está suspendida en una solución
que contiene un soluto de concentración constante Cs.
Suponga además que la célula tiene volumen constante V
y que el área de su membrana permeable es la constante
A. Por la ley de Fick, la rapidez de cambio de su masa
m es directamente proporcional al área A y la diferencia
Cs – C(t), donde C(t) es la concentración del soluto dentro
de la célula al tiempo t. Encuentre C(t) si m V C(t) y
C(0) C09HDOD¿JXUD5
concentración
C(t)
O
115
concentración
Cs
moléculas de soluto
difundiéndose a través
de la membrana de
la célula
FIGURA 3.R.2 Célula del problema 8
9.
Suponga que conforme se enfría un cuerpo, la temperatura
del medio circundante aumenta debido a que absorbe por
completo el calor que pierde el cuerpo. Sean T(t) y Tm(t)
las temperaturas del cuerpo y el medio al tiempo t, respectivamente. Si la temperatura inicial del cuerpo es T1 y
la temperatura inicial del medio de T2, entonces se puede
mostrar en este caso que la ley de Newton del enfriamiento
es dTdt k(T – Tm), k 0, donde Tm T2 B(T1 T),
B 0 es una constante.
a) La ED anterior es autónoma. Utilice el concepto de
esquema de fase de la sección 2.1 para determinar el
valor límite de la temperatura T(t) conforme t A .
¿Cuál es el valor límite de Tm(t) conforme t A ?
b) Compruebe sus respuestas del inciso a) resolviendo
la ecuación diferencial.
c) Analice una interpretación física de sus respuestas en
el inciso a).
10. De acuerdo con la ley de Stefan de la radiación, la
temperatura absoluta T de un cuerpo que se enfría en
un medio a temperatura absoluta constante Tm está dada
como
dT
k(T 4 T 4m ),
dt
donde k es una constante. La ley de Stefan se puede utilizar en un intervalo de temperatura mayor que la ley de
Newton del enfriamiento.
a) Resuelva la ecuación diferencial.
b) Demuestre que cuando T Tm es pequeña comparada
con Tm entonces la ley de Newton del enfriamiento se
aproxima a la ley de Stefan. [Sugerencia: Considere la
serie binomial del lado derecho de la ED.]
11. Supongamos que un circuito serie RC tiene una resistencia
variable. Si la resistencia al tiempo tHVWiGH¿QLGDSRUR(t)
k1 k2t, donde k1 y k2 son constantes positivas conocidas,
entonces la ecuación diferencial (9) de la sección 3.1 se convierte
(k1 1 k2t)
dq
1
1 q 5 E(t),
dt
C
donde C es una constante. Si E(t E0 y q q0, donde E0
y q0 son constantes, entonces demuestre que
q(t) 5 E0C 1 (q0 2 E0C )
S
k1
k1 1 k2t
D
1yCk2
.
116
O
CAPÍTULO 3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
12. Un problema clásico en el cálculo de variaciones es encontrar la forma de una curva tal que una cuenta, bajo
ODLQÀXHQFLDGHODJUDYHGDGVHGHVOLFHGHOSXQWRA(0, 0) al
punto B(x1, y1 HQHOPHQRUWLHPSR9HDOD¿JXUD56H
puede demostrar que una ecuación no lineal para la forma
y(x) de la trayectoria es y[1 (y)2] k, donde k es una
constante. Primero resuelva para dx en términos de y y dy;
y después utilice la sustitución y k sen2ș para obtener
una forma paramétrica de la solución. La curva resulta
ser una cicloide.
A(0, 0)
Cuando todas las curvas de una familia G(x, y, c1) 0 intersecan ortogonalmente todas las curvas de otra familia
H(x, y, c2) 0, se dice que las familias son trayectorias
ortogonalesHQWUHVt9HDOD¿JXUD56Ldydx f (x, y)
es la ecuación diferencial de una familia, entonces la ecuación diferencial para las trayectorias ortogonales de esta
familia es dydx 1f (x, y). En los problemas 15 a 18,
encuentre la ecuación diferencial de la familia suministrada
de la forma dydx y elimine c1 de esta ecuación. Determine
las trayectorias ortogonales de esta familia. Utilice un proJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGHDPEDVIDmilias en el mismo conjunto de ejes coordenados.
x
G(x, y, c1) = 0
cuenta
mg
B(x1, y1)
y
tangentes
FIGURA 3.R.3 Cuenta deslizando del problema 12.
H(x, y, c 2 ) = 0
13. Un modelo para las poblaciones de dos especies de animales que interactúan es
dx
k1x( x)
dt
dy
k 2 xy.
dt
Resuelva para x y y en términos de t.
14. En un principio, dos tanques grandes A y B contienen
cada uno 100 L de salmuera. El líquido bien mezclado se
ERPEHDHQWUHORVUHFLSLHQWHVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
5 8WLOLFH OD LQIRUPDFLyQ GH OD ¿JXUD SDUD FRQVWUXLU
XQPRGHORPDWHPiWLFRSDUDHOQ~PHURGHNJGHVDOx1(t) y
x2(t) al tiempo t en los recipientes A y B, respectivamente.
mezcla
5 L/min
2 kg/L
7 L/min
A
100 L
mezcla
3 L/min
B
100 L
mezcla
1 L/min
mezcla
4 L/min
FIGURA 3.R.4 Recipientes de mezclado del problema 14.
FIGURA 3.R.5 Trayectorias ortogonales.
19. ,GHQWL¿FDQGRa r, b rK y a/b KODV¿JXUDV
y 3.2.2 muestran que el modelo de población logística, (3)
de la sección 3.2, predice que, para una población inicial,
P0, 0 P0 K, independientemente de qué tan pequeña
sea P0, la población aumenta con el tiempo, pero no supera
la capacidad de carga K. También, para P0 K el mismo
modelo predice que una población no puede sostenerse
a sí misma en el tiempo, por lo que disminuye, pero aun
así nunca cae por debajo de la capacidad de carga K del
ecosistema. El ecologista estadounidense Warder Clyde
Allee (1885-1955) demostró que por agotamiento de ciertas pesquerías más allá de un cierto nivel, la población de
SHFHVQXQFDVHUHFXSHUD&yPRVHPRGL¿FDUtDODHFXDFLyQ
diferencial (3) para describir una población P que tenga
estas mismas dos características de (3), pero además que
tenga un nivel límite A, 0 A K, por debajo del cual la
población no se puede sostener y se extingue en el tiempo.
[Sugerencia: construya un retrato de fase de lo que quiere
y luego construya una ecuación diferencial.]
20. Aserrar madera Un pedazo largo uniforme de madera
(secciones transversales iguales) se corta en forma perpendicular a su longitud con una sierra vertical. Véase la
¿JXUD56LVHGHVSUHFLDODIULFFLyQHQWUHODKRMDGHOD
sierra y la madera a través del cual pasa la hoja, entonces se puede suponer que la rapidez con la que la hoja de
sierra se mueve a través de la pieza de madera es
REPASO DEL CAPÍTULO 3
O
117
El filo de la hoja
de sierra se mueve de
izquierda a derecha
y
w(x)
Ancho
El filo es
vertical
a) sección transversal
El corte se hace perpendicular a la longitud
a
b) perfil del tronco
b
x
x
c) sección transversal
FIGURA 3.R.6 Aserrar un tronco en el problema 20.
inversamente proporcional al ancho de la madera en conWDFWR FRQ VX ¿OR /D KRMD DYDQ]D D WUDYpV GH OD PDGHUD
(digamos que se mueve, de izquierda a derecha) el ancho
de una sección transversal cambia como una función continua no negativa w. Si una sección transversal de madera
se describe como una región en el plano xyGH¿QLGDVREUH
un intervalo [a, b@HQWRQFHVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
3.R.6(c), la posición x de la hoja de la sierra es una función
del tiempo t y el corte vertical de la hoja se puede representar por un segmento de recta vertical. La longitud de esta
recta vertical es el ancho w(x) de la madera en ese punto.
Así la posición x(t) de la hoja de la sierra y la rapidez dx/
dt de con la que se mueve hacia la derecha esta relacionada
con w(x) por
w(x)
dx
5 k, x(0) 5 a.
dt
Aquí, k representa el número de unidades cuadradas de material retirado por la hoja de sierra por unidad de tiempo.
a) Suponga que la sierra está computarizada y se puede
programar para k 1. Determine una solución implícita
del problema de valor inicial anterior cuando la pieza de
madera es un tronco circular. Suponga que una sección
transversal es un círculo de radio 2 centrado en (0, 0).
[Sugerencia: para ahorrar tiempo véase la fórmula 41 en
la tabla de integrales dada en el apéndice.]
b) Resuelva la solución implícita obtenida en el inciso b)
para el tiempo t como una función de x. Trace la grá
¿FDGHODIXQFLyQt(x &RQD\XGDGHODJUi¿FDDSUR
xime el tiempo que tarda la sierra en cortar a lo largo
esta pieza de madera. Luego determine el valor exacto
de este tiempo.
21. Resuelva el problema de valor inicial del problema 20
cuando una sección de un tronco uniforme de madera es
ODUHJLyQWULDQJXODUHQOD¿JXUD56XSRQJDRWUDYH]
que k 1. ¿Cuánto tiempo tarda en cortar este tronco de
madera?
y
Ï2
2
Ï2
x
FIGURA 3.R.7 Sección transversal triangular del
problema 21.
22. Cinética química Suponga que un gas se compone de
moléculas de tipo A. Cuando el gas se calienta se forma
una segunda sustancia B por colisiones moleculares. Sea
que A(t) y B(t) denoten, a su vez, el número de moléculas de tipo A y B presentes al tiempo t 0. Un modelo
matemático para la tasa a la que disminuye el número de
moléculas de tipo A es
dA
5 2kA2, k . 0.
dt
a) Determine A(t) si A A0.
b) Determine el número de moléculas de sustancia B presente al tiempo t si se supone que A(t) + B(t) A0.
c) $PDQRERVTXHMHJUi¿FDVGHA(t) y B(t) para t
0.
4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
© Bill Ingalls/NASA
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
Teoría preliminar: Ecuaciones lineales
Reducción de orden
(FXDFLRQHVOLQHDOHVKRPRJpQHDVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV
&RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV0pWRGRGHVXSHUSRVLFLyQ
&RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV0pWRGRGHODQXODGRU
9DULDFLyQGHSDUiPHWURV
Ecuación de Cauchy-Euler
Funciones de Green
6ROXFLyQGHVLVWHPDVGH('OLQHDOHVSRUHOLPLQDFLyQ
Ecuaciones diferenciales no lineales
REPASO DEL CAPÍTULO 4
A
hora abordaremos la solución de ecuaciones diferenciales de segundo
RUGHQRVXSHULRU(QODVSULPHUDVVLHWHVHFFLRQHVGHHVWHFDStWXORVH
DQDOL]DQODWHRUtDIXQGDPHQWDO\FLHUWDVFODVHVGHHFXDFLRQHVOLQHDOHV(O
FDStWXORFRQFOX\HFRQXQEUHYHDQiOLVLVGHHFXDFLRQHVQROLQHDOHVGHRUGHQVXSHULRU
118
4.1
4.1
TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES
O
119
TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES
INTRODUCCIÓN (QHOFDStWXORYLPRVTXHVHSXHGHQUHVROYHUDOJXQDVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV
GH SULPHU RUGHQ VL VH UHFRQRFHQ FRPR VHSDUDEOHV H[DFWDV R TXH WLHQHQ FRH¿FLHQWHV KRPRJpQHRV
$XQTXHODVVROXFLRQHVGHHVWDVHFXDFLRQHVHVWXYLHUDQHQODIRUPDGHXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDHVWD
IDPLOLDFRQXQDH[FHSFLyQQRUHSUHVHQWDODsolución general de la ecuación diferencial. Recuerde
TXHXQDsolución generalHVXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHVGH¿QLGDVREUHDOJ~QLQWHUYDORITXHFRQWLHQH
todasODVVROXFLRQHVGHOD('TXHHVWiQGH¿QLGDVVREUHI.6yORHQHOFDVRGHODV('lineales de priPHURUGHQVHSXHGHQREWHQHUVROXFLRQHVJHQHUDOHVFRQVLGHUDQGRFLHUWDVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV&RPR
HO REMHWLYR SULQFLSDO GH HVWH FDStWXOR HV HQFRQWUDU VROXFLRQHV JHQHUDOHV GH (' OLQHDOHV GH RUGHQ
VXSHULRUSULPHURQHFHVLWDPRVH[DPLQDUXQSRFRGHWHRUtDGHHFXDFLRQHVOLQHDOHV
9XHOYDDOHHUYL GH
ORV&RPHQWDULRVGHOD
sección 1.1 y la página
GHODVHFFLyQ
4.1.1
PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
Y CON VALORES EN LA FRONTERA
PROBLEMA CON VALORES INICIALES (QODVHFFLyQVHGH¿QLyXQSUREOHPD
FRQYDORUHVLQLFLDOHVSDUDXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHn-ésimo orden. Para una ecuación diferencial lineal, un problema con valores iniciales de n-ésimo orden es
Resuelva: an(x)
Sujeta a:
d ny
dx n
y(x0)
y0,
an 1(x)
y (x0)
d n 1y
dx n 1
a1(x)
y1 , . . . ,
dy
dx
(n 1)
y
(x0)
a0(x)y
g(x)
(1)
yn 1.
5HFXHUGHTXHSDUDXQSUREOHPDFRPRpVWHVHEXVFDXQDIXQFLyQGH¿QLGDVREUHDOJ~Q
LQWHUYDORITXHFRQWLHQHDx0TXHVDWLVIDFHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\ODVn condiciones
LQLFLDOHVTXHVHHVSHFL¿FDQHQx0: y(x0) y0, y(x0) y1, . . . , y(n1)(x0) yn1. Ya hemos
YLVWRTXHHQHOFDVRGHXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQXQDFXUYD
VROXFLyQGHEHSDVDUSRUHOSXQWR x0, y0 \WHQHUSHQGLHQWHy1HQHVWHSXQWR
EXISTENCIA Y UNICIDAD (QODVHFFLyQVHH[SUHVyXQWHRUHPDTXHGDEDODV
FRQGLFLRQHVFRQODVTXHVHJDUDQWL]DEDODH[LVWHQFLD\XQLFLGDGGHXQDVROXFLyQGHXQ
SUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHSULPHURUGHQ(OWHRUHPDTXHVLJXHWLHQHFRQGLFLRQHV
VX¿FLHQWHVSDUDODH[LVWHQFLD\XQLFLGDGGHXQDVROXFLyQ~QLFDGHOSUREOHPDHQ TEOREMA 4.1.1 Existencia de una solución única
Sean an(x), an 1(x), . . . , a1(x), a0(x) y g(x FRQWLQXDVVREUHXQLQWHUYDORI, y
sea an(x) SDUDWRGDxHQHVWHLQWHUYDOR6Lx x0HVFXDOTXLHUSXQWRHQHVWH
LQWHUYDOR HQWRQFHV XQD VROXFLyQ y(x GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV H[LVWHVREUHHOLQWHUYDOR\HV~QLFD
EJEMPLO 1
Solución única de un PVI
(OSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV
3y
5y
y
7y
0, y(1)
0,
y (1)
0, y (1)
0
WLHQHODVROXFLyQWULYLDOy 0'HELGRDTXHODHFXDFLyQGHWHUFHURUGHQHVOLQHDOFRQ
FRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVHFXPSOHQODVFRQGLFLRQHVGHOWHRUHPD3RUWDQWRy 0
es la únicaVROXFLyQVREUHFXDOTXLHULQWHUYDORTXHFRQWLHQHDx 1.
120
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJEMPLO 2
Solución única de un PVI
6HGHEHFRPSUREDUTXHODIXQFLyQy e x ex x es una solución del problema
FRQYDORUHVLQLFLDOHV
y
4y 12x, y(0) 4, y (0) 1.
$KRUD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HV OLQHDO ORV FRH¿FLHQWHV DVt FRPR g(x) x, son
FRQWLQXRV\a(x) 1 VREUHDOJ~QLQWHUYDORITXHFRQWHQJDDx 0. Concluimos
GHOWHRUHPDTXHODIXQFLyQGDGDHVOD~QLFDVROXFLyQVREUHI.
/RVUHTXLVLWRVHQHOWHRUHPDGHTXHai(x), i nVHDQFRQWLQXDV\
an(x) SDUDWRGDx en IVRQLPSRUWDQWHV(QSDUWLFXODUVLan(x) SDUDDOJ~Qx en
HOLQWHUYDORHQWRQFHVODVROXFLyQGHXQSUREOHPDOLQHDOFRQYDORUHVLQLFLDOHVSRGUtD
QR VHU ~QLFD R QL VLTXLHUD H[LVWLU 3RU HMHPSOR VH GHEH FRPSUREDU TXH OD IXQFLyQ
y cx x HVXQDVROXFLyQGHSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV
x2 y
2xy
2y
6, y(0)
3,
y (0)
1
VREUHHOLQWHUYDOR , SDUDDOJXQDHOHFFLyQGHOSDUiPHWURc(QRWUDVSDODEUDVQR
KD\VROXFLyQ~QLFDGHOSUREOHPD$XQTXHVHVDWLVIDFHODPD\RUtDGHODVFRQGLFLRQHV
GHOWHRUHPDODVGL¿FXOWDGHVREYLDVVRQTXHa(x) x es cero en x \TXHODV
FRQGLFLRQHVLQLFLDOHVWDPELpQVHLPSRQHQHQx 0.
y
soluciones de la ED
PROBLEMA CON VALORES EN LA FRONTERA 2WURWLSRGHSUREOHPDFRQVLVWH
HQUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHRUGHQGRVRPD\RUHQHOTXHODYDULDEOH
GHSHQGLHQWHyRVXVGHULYDGDVVHHVSHFL¿FDQHQdiferentes puntos8QSUREOHPDWDOFRPR
(b, y1)
(a, y0)
I
x
FIGURA 4.1.1 &XUYDVVROXFLyQGHXQ
39)TXHSDVDQSRUGRVSXQWRV
Resuelva:
a2(x)
Sujeto a:
y(a)
d 2y
dx2
a1(x)
y0 ,
dy
dx
y(b)
a0(x)y
g(x)
y1
se conoce como un problema con valores en la frontera (PVF)/RVYDORUHVSUHVFULWRV
y(a) y0 y y(b) y1 se denominan condiciones en la frontera. Una solución del proEOHPDDQWHULRUHVXQDIXQFLyQTXHVDWLVIDFHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHDOJ~QLQWHUYDORI,
TXHFRQWLHQHDa y bFX\DJUi¿FDSDVDSRUORVSXQWRV a, y0) y (b, y1 9HDOD¿JXUD
3DUDXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQRWURVSDUHVGHFRQGLFLRQHVHQOD
IURQWHUDSRGUtDQVHU
y (a) y0 ,
y(b) y1
y(a)
y0 ,
y (b)
y1
y (a)
y0 ,
y (b)
y1,
donde y0 y y1GHQRWDQFRQVWDQWHVDUELWUDULDV(VWRVWUHVSDUHVGHFRQGLFLRQHVVRQVyOR
FDVRVHVSHFLDOHVGHODVFRQGLFLRQHVJHQHUDOHVHQODIURQWHUD
1 y(a)
1y
(a)
1
2 y(b)
2y
(b)
2.
(QHOVLJXLHQWHHMHPSORVHPXHVWUDTXHDXQFXDQGRVHFXPSOHQODVFRQGLFLRQHVGHO
WHRUHPDXQSUREOHPDGHYDORUHVHQODIURQWHUDSXHGHWHQHUYDULDVVROXFLRQHV FRPR
VHVXJLHUHHQOD¿JXUD XQDVROXFLyQ~QLFDRQRWHQHUVROXFLyQ
EJEMPLO 3
Un PVF puede tener muchas, una o ninguna solución
(QHOHMHPSORGHODVHFFLyQYLPRVTXHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURV
de la ecuación diferencial x 16x 0 es
x
c1 cos 4t
c2 sen 4t.
4.1
x
c2 = 1
1
c2 = 2
c2 =
1
c2 = 0
1
4
t
1
(0, 0)
c2 = −
1
2
TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES
O
121
a) 6
XSRQJDTXHDKRUDGHVHDPRVGHWHUPLQDUODVROXFLyQGHODHFXDFLyQTXHVDWLVIDFH
PiV FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD x(0) 0, x(ʌ 2EVHUYH TXH OD SULPHUD
condición 0 c1 cos 0 cVHQLPSOLFDTXHc1 SRUWDQWRx cVHQt. Pero
cuando t ʌ cVHQʌVHVDWLVIDFHSDUDFXDOTXLHUHOHFFLyQGHc\DTXH
VHQʌ 3RUWDQWRHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD
(π /2, 0)
x
16x
0,
x(0)
0,
x
0 2
FIGURA 4.1.2
&XUYDVVROXFLyQSDUD
HO39)GHOLQFLVR D GHOHMHPSOR
WLHQH XQ LQ¿QLWR GH VROXFLRQHV (Q OD ¿JXUD VH PXHVWUDQ ODV JUi¿FDV GH
DOJXQRVGHORVPLHPEURVGHODIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDx cVHQtTXHSDVDSRU
ORVGRVSXQWRV \ ʌ b) 6LHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUDHQ VHFDPELDD
x
16x
0,
x(0)
0,
x
0, 8
HQWRQFHV x(0) D~Q UHTXLHUH TXH c1 HQ OD VROXFLyQ 3HUR DSOLFDQGR
x(ʌ8) 0 a x cVHQtUHTXLHUHTXH c sen (ʌ c 3RUWDQWRx 0
HVXQDVROXFLyQGHHVWHQXHYRSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD'HKHFKRVH
SXHGHGHPRVWUDUTXHx 0 es la únicaVROXFLyQGH c) 3RU~OWLPRVLVHFDPELDHOSUREOHPDD
x
16x
0,
x(0)
0,
x
1,
2
(5)
VHHQFXHQWUDGHQXHYRGHx(0) TXHc1 0, pero al aplicar x(ʌ 1 a x c VHQ t FRQGXFH D OD FRQWUDGLFFLyQ c VHQ ʌ c 0 3RU WDQWR HO
SUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD QRWLHQHVROXFLyQ.
4.1.2
ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden de la forma
an(x)
dny
dx n
an 1(x)
d n 1y
dx n 1
a1(x)
dy
dx
a0(x)y
0
(6)
g(x),
(7)
VHGLFHTXHHVhomogéneaPLHQWUDVTXHXQDHFXDFLyQ
an(x)
3RUIDYRUUHFXHUGH
HVWDVGRVVXSRVLFLRQHV
dny
dx n
an 1(x)
d n 1y
dx n 1
a1(x)
dy
dx
a0(x)y
con g(x QR LGpQWLFDPHQWH LJXDO D FHUR HV no homogénea. Por ejemplo,
y y 5y 0 es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden,
PLHQWUDVTXHxy 6y 10y exHVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHWHUFHURUGHQ
no homogénea. La palabra homogéneaHQHVWHFRQWH[WRQRVHUH¿HUHDORVFRH¿FLHQWHV
TXHVRQIXQFLRQHVKRPRJpQHDVFRPRHQODVHFFLyQ
'HVSXpVYHUHPRVTXHSDUDUHVROYHUXQDHFXDFLyQOLQHDOQRKRPRJpQHD SULPHURVHGHEHSRGHUUHVROYHUODecuación homogénea asociada (6).
3DUD HYLWDU OD UHSHWLFLyQ LQQHFHVDULD HQ OR TXH UHVWD GH HVWH OLEUR VH KDUiQ
FRPRDOJRQDWXUDOODVVLJXLHQWHVVXSRVLFLRQHVLPSRUWDQWHVFXDQGRVHHVWDEOH]FDQ
GH¿QLFLRQHV\WHRUHPDVDFHUFDGHODVHFXDFLRQHVOLQHDOHV VREUHDOJ~QLQWHUYDOR
FRP~QI,
• ODVIXQFLRQHVFRH¿FLHQWHVai(x), i n y g(x VRQFRQWLQXDV
• a n(x) SDUDWRGDxHQHOLQWHUYDOR
OPERADORES DIFERENCIALES (QFiOFXORODGHULYDFLyQVHGHQRWDFRQIUHFXHQFLDFRQODOHWUDDPD\~VFXODHVGHFLUdydx Dy. El símbolo D se conoce como
operador diferencial SRUTXH FRQYLHUWH XQD IXQFLyQ GHULYDEOH HQ RWUD IXQFLyQ 3RU
122
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
ejemplo, D FRVx) VHQx y D(5x 6x) 15x x/DVGHULYDGDVGHRUGHQ
VXSHULRUVHH[SUHVDQHQWpUPLQRVGHDGHPDQHUDQDWXUDO
d 2y
dx2
d dy
dx dx
D(Dy)
D 2y
y, en general
dny
dxn
Dn y,
donde yUHSUHVHQWDXQDIXQFLyQVX¿FLHQWHPHQWHGHULYDEOH/DVH[SUHVLRQHVSROLQRPLDOHVHQODVTXHLQWHUYLHQHD, como D D D \xD 6xD xD 9,
VRQWDPELpQRSHUDGRUHVGLIHUHQFLDOHV(QJHQHUDOVHGH¿QHXQoperador diferencial
de n-ésimo orden u operador polinomial como
L an(x)D n an1(x)D n1 a1(x)D a 0(x).
(8)
&RPRXQDFRQVHFXHQFLDGHGRVSURSLHGDGHVEiVLFDVGHODGHULYDGDD(cf(x)) cDf(x),
cHVXQDFRQVWDQWH\D{f(x) g(x)} Df(x) Dg(x), el operador diferencial LWLHQH
una propiedad de linealidad; es decir, L operando sobre una combinación lineal de dos
IXQFLRQHVGHULYDEOHVHVORPLVPRTXHODFRPELQDFLyQOLQHDOGHL operando en cada una
GHODVIXQFLRQHV6LPEyOLFDPHQWHHVWRVHH[SUHVDFRPR
L{ĮI (x) ȕJ(x)} Į/( f (x)) ȕ/(g(x)),
(9)
donde Į y ȕVRQFRQVWDQWHV&RPRUHVXOWDGRGH VHGLFHTXHHORSHUDGRUGLIHUHQFLDO
de n-ésimo orden es un operador lineal.
ECUACIONES DIFERENCIALES &XDOTXLHUHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOSXHGHH[SUHVDUVHHQWpUPLQRVGHODQRWDFLyQD. Por ejemplo, la ecuación diferencial y 5y 6y 5x VHSXHGHHVFULELUFRPRDy 5Dy 6y 5x±R D 5D 6) y 5x Usando la ecuación (8), se pueden escribir las ecuaciones diferenciales lineales de npQHVLPRRUGHQ \ HQIRUPDFRPSDFWDUHVSHFWLYDPHQWHFRPR
L(y)
0
y
L(y)
g(x),
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN (QHOVLJXLHQWHWHRUHPDVHYHTXHODVXPDR
superposición de dos o más soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea
HVWDPELpQXQDVROXFLyQ
TEOREMA 4.1.2 Principio de superposición, ecuaciones homogéneas
Sean y1, y, . . . , yk soluciones de la ecuación homogénea de n-ésimo orden (6)
VREUHXQLQWHUYDORI(QWRQFHVODFRPELQDFLyQOLQHDO
y c1 y1(x) c2 y2(x)
ck yk(x),
donde las ci , i kVRQFRQVWDQWHVDUELWUDULDVWDPELpQHVXQDVROXFLyQVREUHHOLQWHUYDOR
DEMOSTRACIÓN 6HGHPXHVWUDHOFDVRk 6HDLHORSHUDGRUGLIHUHQFLDOTXH
VHGH¿QLyHQ \VHDQy1(x) y y(x) soluciones de la ecuación homogénea L(y) 0.
6LVHGH¿QHy c௘y1(x) c௘௘y(x HQWRQFHVSRUODOLQHDOLGDGGHLVHWLHQHTXH
L( y)
L{c1 y1(x)
c2 y2(x)}
c1 L(y1)
c2 L(y2)
c1 0
c2 0
0.
COROLARIOS DEL TEOREMA 4.1.2
A) 8QP~OWLSORFRQVWDQWHy c௘y1(x) de una solución y1(x) de una ecuación
GLIHUHQFLDOOLQHDOKRPRJpQHDHVWDPELpQXQDVROXFLyQ
B) 8QDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOKRPRJpQHDWLHQHVLHPSUHODVROXFLyQWULYLDOy 0.
4.1
EJEMPLO 4
TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES
O
123
Superposición – ED homogénea
Las funciones y1 x y y x ln x son soluciones de la ecuación lineal homogénea
xy xy y VREUHHOLQWHUYDOR ). Por el principio de superposición, la
combinación lineal
y c1x2 c2 x2 ln x
HVWDPELpQXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQVREUHHOLQWHUYDOR
La función y e7x es una solución de y 9y y 'HELGRDTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
HVOLQHDO\KRPRJpQHDHOP~OWLSORFRQVWDQWHy ce7xHVWDPELpQXQDVROXFLyQ3DUDYDULRV
YDORUHVGHcVHYHTXHy 9e7x, y 0, y
15e7x VRQWRGDVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQ
DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL /RVVLJXLHQWHVGRVFRQFHSWRVVRQEiVLFRVSDUDHOHVWXGLRGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHV
DEFINICIÓN 4.1.1
Dependencia e independencia lineal
6HGLFHTXHXQFRQMXQWRGHIXQFLRQHVf1(x), f(x), . . . , fn(x) es linealmente dependiente sobreXQLQWHUYDORIVLH[LVWHQFRQVWDQWHVc1, c, . . . , cnQRWRGDVFHURWDOHVTXH
c1 f1(x)
c2 f2(x)
cn fn(x)
0
SDUDWRGDxHQHOLQWHUYDOR6LHOFRQMXQWRGHIXQFLRQHVQRHVOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHVREUHHOLQWHUYDORVHGLFHTXHHVlinealmente independiente.
(Q RWUDV SDODEUDV XQ FRQMXQWR GH IXQFLRQHV HV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWH VREUH XQ
LQWHUYDORIVLODV~QLFDVFRQVWDQWHVSDUDODVTXH
y
f1 = x
x
a)
y
f2 = |x|
x
b)
FIGURA 4.1.3 (OFRQMXQWRTXHFRQVLVWH
en f1 y fHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHHQ
(, ).
c1 f1(x)
c2 f2(x)
cn fn(x)
0
SDUDWRGDxHQHOLQWHUYDORVRQc1 c . . . cn 0.
(VIiFLOHQWHQGHUHVWDVGH¿QLFLRQHVSDUDXQFRQMXQWRTXHFRQVLVWHHQGRVIXQFLRQHV
f1(x) y f(x 6LHOFRQMXQWRGHIXQFLRQHVHVOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHVREUHXQLQWHUYDOR
HQWRQFHVH[LVWHQFRQVWDQWHVc1 y cTXHQRVRQDPEDVFHURGHPDQHUDWDOTXHSDUDWRGD
xHQHOLQWHUYDORc1 f1(x) c f(x) 3RUWDQWRVLVXSRQHPRVTXHc1 0, se deduce
TXHf1(x) (cc1) f(x); es decir, si un conjunto de dos funciones es linealmente dependiente, entonces una función es simplemente un múltiplo constante del otro.$ODLQYHUVD
si f1(x) c௘௘f(x SDUDDOJXQDFRQVWDQWHcHQWRQFHV 1) f1(x) c f(x) SDUDWRGDx
HQHOLQWHUYDOR$VtHOFRQMXQWRGHIXQFLRQHVHVOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHSRUTXHDOPHQRV
XQDGHODVFRQVWDQWHV HQSDUWLFXODUc1 QRHVFHUR6HFRQFOX\HTXHun conjunto
de dos funciones f1(x) y f(x) es linealmente independiente cuando ninguna función es un
múltiplo constante de la otraVREUHHOLQWHUYDOR3RUHMHPSORHOFRQMXQWRGHIXQFLRQHV
f1(x) VHQx, f(x) sen x cos xHVOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHVREUH , SRUTXHf1(x)
HVXQP~OWLSORFRQVWDQWHGHf(x). Recuerde de la fórmula del seno del doble de un ángulo
TXHVHQx VHQx cos x3RURWURODGRHOFRQMXQWRGHIXQFLRQHVf1(x) x, f(x) x es
OLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVREUH , $OH[DPLQDUOD¿JXUDGHEHFRQYHQFHUVH
GHTXHQLQJXQDIXQFLyQHVXQP~OWLSORFRQVWDQWHGHODRWUDVREUHHOLQWHUYDOR
'HODQiOLVLVDQWHULRUVHWLHQHTXHHOFRFLHQWHf(x)f1(x QRHVXQDFRQVWDQWHHQXQ
LQWHUYDORHQHOTXHHOFRQMXQWRf1(x), f(x HVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWH(VWRVHXVDUi
HQODVLJXLHQWHVHFFLyQ
EJEMPLO 5
Conjunto de funciones linealmente dependiente
(OFRQMXQWRGHIXQFLRQHVf1(x) cosx, f(x) senx, f(x) secx, f(x) WDQx es
OLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHVREUHHOLQWHUYDOR ʌʌ SRUTXH
c1 cos2x
c2 sen2x
c3 sec2x
c4 tan2x
0
124
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
donde c1 c 1, c 1, c $TXtVHXVDFRVx senx 1 y 1 WDQx secx.
8QFRQMXQWRGHQIXQFLRQHVf1(x), f(x), . . . , fn(x HVOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHVREUHXQ
LQWHUYDORVLDOPHQRVXQDIXQFLyQVHSXHGHH[SUHVDUFRPRXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGH
ODVRWUDVIXQFLRQHV
f3(x) 5 c1 f1(x) 1 c2 f2(x)
3DUDWRGDx en I8QFRQMXQWRGHnIXQFLRQHVHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVREUH I si
QLQJXQDIXQFLyQHVXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHRWUDVIXQFLRQHV
EJEMPLO 6
Conjunto de funciones linealmente dependientes
(OFRQMXQWRGHIXQFLRQHV f1(x)
1x 5, f2(x)
1x 5x, f(x) x 1, f(x) x HVOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHVREUHHOLQWHUYDOR SRUTXHf puede escribirse como
una combinación lineal de fl, f y f2EVHUYHTXH
f2(x)
1 f1(x)
5 f3(x)
0 f4(x)
SDUDWRGDxHQHOLQWHUYDOR ).
SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES (VWDPRVLQWHUHVDGRVSULQFLSDOPHQWH HQ IXQFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV R FRQ PiV SUHFLVLyQ VROXFLRQHV
OLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDO$XQTXHVHSRGUtDDSHODUVLHPSUHHQIRUPDGLUHFWDDODGH¿QLFLyQUHVXOWDTXHODFXHVWLyQGHVLHOFRQMXQWRGHn soluciones yl, y, . . . , yn de una ecuación diferencial lineal homogénea de
npVLPRRUGHQ HVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVHSXHGHHVWDEOHFHUHQXQDIRUPDXQ
SRFRPHFiQLFDXVDQGRXQGHWHUPLQDQWH
DEFINICIÓN 4.1.2 Wronskiano
6XSRQJDTXHFDGDXQDGHODVIXQFLRQHVf1(x), f(x), . . . , fn(x WLHQHDOPHQRV
n GHULYDGDV(OGHWHUPLQDQWH
W( f1, f2, . . . , fn )
f1
f1
f1(n
fn
fn
f2
f2
1)
f2(n
1)
fn(n
,
1)
GRQGHODVSULPDVGHQRWDQGHULYDGDVVHGHQRPLQDHOWronskiano de las funciones.
(OGHWHUPLQDQWH:URQVNLDQRVHQRPEUDDVtHQKRQRUGHOPDWHPiWLFR\¿ORVRIR
polaco -yVHI0DULD+RsQp:URQVNL ± TEOREMA 4.1.3
Criterio para soluciones linealmente independientes
Sean yl, y, . . . , yn n soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea
de npVLPRRUGHQ VREUHXQLQWHUYDORI(OFRQMXQWRGHVROXFLRQHVHVlinealmente independiente en I si y sólo si W(yl, y, . . . , yn) SDUDWRGDx en el
LQWHUYDOR
4.1
TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES
O
125
6H WLHQH GHO WHRUHPD TXH FXDQGR yl, y, . . . , yn son n soluciones de
VREUHXQLQWHUYDORIHO:URQVNLDQRW(yl, y, . . . , yn) es igual a cero o nunca es
FHURVREUHHOLQWHUYDOR
3RUWDQWRVLSRGHPRVGHPRVWUDUTXHW(y1, y, …, yn) ! 0 para algún x0 en IHQWRQces las soluciones y1, y, …, ynVRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVVREUHI. Por ejemplo,
las funciones
y1(x) 5
cos(2 ln x)
sen(2 ln x)
, y2(x) 5
x3
x3
y las soluciones de la ecuación diferencial
x2 y0 1 7xy9 1 13y 5 0
VREUHHOLQWHUYDOR 2EVHUYHTXHODVIXQFLRQHVFRH¿FLHQWHVa(x) = x, a1(x) = 7x,
y a0(x VRQFRQWLQXDVVREUH \TXHa(x) !SDUDFDGDYDORUGHx en el inWHUYDOR(O:URQVNLDQRHV
cos(2 ln x)
sen(2 ln x)
x3
x3
.
W(y1(x), y2(x))5
2
2
2
22x sen(2 ln x)23x cos(2 ln x) 2x cos(2 ln x)23x2 sen(2 ln x)
x6
x6
*
*
(QOXJDUGHGHVDUUROODUHVWHGHWHUPLQDQWHLQPDQHMDEOHHOHJLPRVx HQHOLQWHUYDOR
(0, \VHHQFXHQWUD
W(y1(1), y2(1)) 5
* 231 02 * 5 2.
(OKHFKRTXHW(y1(1), y(1)) !HVVX¿FLHQWHSDUDFRQFOXLUTXHy1(x) y y(x) son
OLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVVREUH ).
$OFRQMXQWRGHnVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
homogénea de orden n se le da un nombre especial.
DEFINICIÓN 4.1.3
Conjunto fundamental de soluciones
&XDOTXLHUFRQMXQWRyl, y, . . . , yn de nVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHV
de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden (6) sobre un
LQWHUYDORI es un conjunto fundamental de solucionesVREUHHOLQWHUYDOR
/DFXHVWLyQEiVLFDGHVLH[LVWHXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGHVROXFLRQHVSDUDXQD
HFXDFLyQOLQHDOVHFRQWHVWDHQHOVLJXLHQWHWHRUHPD
TEOREMA 4.1.4 Existencia de un conjunto fundamental
([LVWHXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGHVROXFLRQHVSDUDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLneal homogénea de npVLPRRUGHQ VREUHXQLQWHUYDORI.
6LPLODUDOKHFKRGHTXHFXDOTXLHUYHFWRUHQWUHVGLPHQVLRQHVVHSXHGHH[SUHVDUFRPR
XQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHORVYHFWRUHVlinealmente independientes i, j, kFXDOTXLHUVRlución de una ecuación diferencial lineal homogénea de npVLPRRUGHQVREUHXQLQWHUYDORI se expresa como una combinación lineal de nVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVVREUHI(QRWUDVSDODEUDVnVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVyl, y, . . . ,
ynVRQORVEORTXHVEiVLFRVSDUDODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQ
126
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
TEOREMA 4.1.5
Solución general: ecuaciones homogéneas
Sea yl, y, . . . , ynXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHrencial lineal homogénea de npVLPRRUGHQ VREUHXQLQWHUYDORI(QWRQFHV
la solución generalGHODHFXDFLyQVREUHHOLQWHUYDORHV
y
c1 y1(x)
c2 y2(x)
cn yn(x),
donde ci , i nVRQFRQVWDQWHVDUELWUDULDV
(OWHRUHPDHVWDEOHFHTXHVLY(x HVDOJXQDVROXFLyQGH VREUHHOLQWHUYDOR
HQWRQFHVVLHPSUHVHSXHGHQHQFRQWUDUFRQVWDQWHVCl, C, . . . , CnWDOHVTXH
Y(x)
C1 y1(x)
C2 y2(x)
Cn yn(x).
'HPRVWUDUHPRVHOFDVRFXDQGRn DEMOSTRACIÓN Sea Y una solución y yl y yVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHV
de ay al y a0 y VREUHXQLQWHUYDORI6XSRQJDTXHx tHVXQSXQWRHQI para
el cual W(yl(t), y(t)) 6XSRQJDWDPELpQTXHY(t) kl y Y(t) k. Si examinamos
las ecuaciones
C1 y1(t)
C2 y2(t)
k1
C1 y 1(t)
C2 y 2(t)
k2,
VHWLHQHTXHSRGHPRVGHWHUPLQDUCl y CGHPDQHUD~QLFDDFRQGLFLyQGHTXHHOGHWHUPLQDQWHGHORVFRH¿FLHQWHVVDWLVIDJD
y1(t) y2(t)
y1 (t) y2 (t)
0.
3HURHVWHGHWHUPLQDQWHHVVLPSOHPHQWHHO:URQVNLDQRHYDOXDGRHQx t y por suposición, W 6LVHGH¿QHG(x) Cl yl(x) C y(x VHREVHUYDTXHG(x VDWLVIDFH
ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHVWRTXHHVXQDVXSHUSRVLFLyQGHGRVVROXFLRQHVFRQRFLGDV
G(x VDWLVIDFHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV
G(t)
C1 y1(t)
C2 y2(t)
k1
y
G (t)
C1 y 1 (t)
C2 y 2(t)
k2;
y Y(x VDWLVIDFHODmisma ecuación lineal y las mismasFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV'HELGRD
TXHODVROXFLyQGHHVWHSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVOLQHDOHV~QLFD WHRUHPD VHWLHQHY(x) G(x) o Y(x) CO௘yl(x) C௘y(x).
EJEMPLO 7
Solución general de una ED homogénea
Las funciones yl ex y y ex son las dos soluciones de la ecuación lineal homogénea
y – 9y VREUHHOLQWHUYDOR , 3RULQVSHFFLyQODVVROXFLRQHVVRQOLQHDOPHQWH
LQGHSHQGLHQWHVVREUHHOHMHx(VWHKHFKRVHFRUURERUDDOREVHUYDUTXHHO:URQVNLDQR
W(e3x, e
3x
)
e3x
3e3x
e
3e
3x
3x
6
0
SDUDWRGDx6HFRQFOX\HTXHyl y yIRUPDQXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGHVROXFLRQHV\
SRUWDQWRy c1e x cexHVODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQVREUHHOLQWHUYDOR
4.1
EJEMPLO 8
TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES
O
127
Una solución obtenida de una solución general
La función y VHQKx 5ex es una solución de la ecuación diferencial del ejemSOR &RPSUXHEHHVWR $SOLFDQGRHOWHRUHPDGHEHVHUSRVLEOHREWHQHUHVWDVROXFLyQDSDUWLUGHODVROXFLyQJHQHUDOy c1ex cex2EVHUYHTXHVLVHHOLJHc1 y c HQWRQFHVy ex 7ex puede rescribirse como
2e 3x
y
2e
3x
5e
3x
4
e 3x
e
3x
5e
2
3x
.
(VWD~OWLPDH[SUHVLyQVHUHFRQRFHFRPRy VHQKx 5ex.
EJEMPLO 9
Solución general de una ED homogénea
Las funciones y1 ex, y ex y y ex VDWLVIDFHQ OD HFXDFLyQ GH WHUFHU RUGHQ
y 6y 11y 6y 3XHVWRTXH
2x
3x
W(e , e , e )
x
ex e2x e3x
p ex 2e2x 3e3x p
ex 4e2x 9e3x
2e6x
0
SDUDWRGRYDORUUHDOGHx, las funciones y1, yy yIRUPDQXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGH
soluciones sobre (, 6HFRQFOX\HTXHy c1e x cex cex es la solución geQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHHOLQWHUYDOR
4.1.3 ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS
&XDOTXLHUIXQFLyQypOLEUHGHSDUiPHWURVDUELWUDULRVTXHVDWLVIDFH VHGLFHTXHHVXQD
solución particularGHODHFXDFLyQ3RUHMHPSORHVXQDWDUHDGLUHFWDGHPRVWUDUTXH
ODIXQFLyQFRQVWDQWHyp HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQQRKRPRJpQHD
y 9y Ahora si yl, y, . . . , ykVRQVROXFLRQHVGH VREUHXQLQWHUYDORI y ypHVFXDOTXLHU
VROXFLyQSDUWLFXODUGH VREUHIHQWRQFHVODFRPELQDFLyQOLQHDO
c1 y1 (x)
y
c2 y2(x)
ck yk(x)
yp (x)
(10)
HVWDPELpQXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQQRKRPRJpQHD 6LSLHQVDDOUHVSHFWRHVWRWLHQH
VHQWLGRSRUTXHODFRPELQDFLyQOLQHDOcl yl(x) c y(x) . . . ck yk(x VHWUDQVIRUPDHQ
0 por el operador L anDn an 1D n 1 . . . a1D a0PLHQWUDVTXHypVHFRQYLHUWH
en g(x). Si se usa k nVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHODHFXDFLyQGHn-ésimo
RUGHQ HQWRQFHVODH[SUHVLyQHQ VHFRQYLHUWHHQODVROXFLyQJHQHUDOGH TEOREMA 4.1.6 Solución general: ecuaciones no homogéneas
Sea ypFXDOTXLHUVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOQRKRPRgénea de npVLPRRUGHQ VREUHXQLQWHUYDORI, y sea yl, y, . . . , ynXQFRQMXQWR
IXQGDPHQWDOGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOKRPRJpQHDDVRFLDGD sobre I(QWRQFHVODsolución generalGHODHFXDFLyQVREUHHOLQWHUYDORHV
y
c1 y1(x)
c2 y2(x)
cn yn(x)
yp (x),
donde las ci , i nVRQFRQVWDQWHVDUELWUDULDV
Sea L HO RSHUDGRU GLIHUHQFLDO GH¿QLGR HQ \ VHDQ Y(x) y
yp(x VROXFLRQHVSDUWLFXODUHVGHODHFXDFLyQQRKRPRJpQHDL(y) g(x 6LVHGH¿QH
u(x) Y(x) – yp(x HQWRQFHVSRUODOLQHDOLGDGGHLVHWLHQH
DEMOSTRACIÓN
L(u) L{Y(x) yp(x)} L(Y(x)) L(yp(x)) g(x) g(x) 0.
128
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
(VWRGHPXHVWUDTXHu(x) es una solución de la ecuación homogénea L(y) 0. Así
SRUHOWHRUHPDu(x) cl yl(x) cy(x) . . . cnyn(x), y así
Y(x)
yp(x)
c1 y1(x)
c2 y2(x)
cn yn(x)
Y(x)
c1 y1(x)
c2 y2(x)
cn yn(x)
o
yp(x).
FUNCIÓN COMPLEMENTARIA 9HPRVHQHOWHRUHPDTXHODVROXFLyQJHQHUDO
GHXQDHFXDFLyQOLQHDOQRKRPRJpQHDHVWiFRPSXHVWDSRUODVXPDGHGRVIXQFLRQHV
y
c1 y1(x)
c2 y2(x)
cn yn(x)
yp(x)
yc(x)
yp(x).
La combinación lineal yc(x) cl yl(x) c y(x) . . . cn yn(x TXHHVODVROXFLyQ
general de (6), se llama función complementariaSDUDODHFXDFLyQ (QRWUDVSDODEUDVSDUDUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOQRKRPRJpQHDSULPHURVHUHVXHOYH
ODHFXDFLyQKRPRJpQHDDVRFLDGD\OXHJRVHHQFXHQWUDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHOD
HFXDFLyQQRKRPRJpQHD(QWRQFHVODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQQRKRPRJpQHDHV
y función complementaria cualquier solución particular
yc yp.
EJEMPLO 10
Solución general de una ED no homogénea
11
12
3RUVXVWLWXFLyQVHGHPXHVWUDFRQIDFLOLGDGTXHODIXQFLyQ yp
VROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQQRKRPRJpQHD
6y
y
11y
6y
3x.
1
2x
es una
(11)
3DUDHVFULELUODVROXFLyQJHQHUDOGH WDPELpQVHGHEHSRGHUUHVROYHUODHFXDFLyQ
homogénea asociada
y
6y
11y
6y 0.
3HURHQHOHMHPSORYLPRVTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHHVWD~OWLPDHFXDFLyQsobreHOLQWHUYDOR
(, ) fue yc clex cex cex3RUWDQWRODVROXFLyQJHQHUDOGH sobreHOLQWHUYDORHV
y
yc
c1ex
yp
c2e2x
c3e3x
11
12
1
x.
2
OTRO PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN (O~OWLPRWHRUHPDGHHVWHDQiOLVLVVH
XVDUi HQ OD VHFFLyQ FXDQGR VH FRQVLGHUH XQ PpWRGR SDUD HQFRQWUDU VROXFLRQHV
SDUWLFXODUHVGHHFXDFLRQHVQRKRPRJpQHDV
TEOREMA 4.1.7
Principio de superposición: ecuaciones
no homogéneas
Sean yp1, yp, . . . , ypk kVROXFLRQHVSDUWLFXODUHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDO
no homogénea de npVLPRRUGHQ VREUHXQLQWHUYDORITXHFRUUHVSRQGHDVX
YH]DkIXQFLRQHVGLIHUHQWHVg1, g, . . . , gk(VGHFLUVHVXSRQHTXHypiGHQRWD
XQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFRUUHVSRQGLHQWH
an(x)y(n)
an 1(x)y(n
1)
a1(x)y
a0(x)y
gi (x), donde i k(QWRQFHV
yp
yp1(x)
yp2(x)
ypk(x)
HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH
an(x)y(n) an 1(x)y(n
g1(x) g2(x)
1)
a1(x)y
gk(x).
a0(x)y
4.1
TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES
O
129
DEMOSTRACIÓN 6HGHPXHVWUDHOFDVRk 6HDL el operador diferencial de-
¿QLGRHQ \VHDQyp1(x) y yp(x VROXFLRQHVSDUWLFXODUHVGHODVHFXDFLRQHVQRKRmogéneas L(y) g1(x) y L(y) g(x UHVSHFWLYDPHQWH6LGH¿QLPRVyp yp1(x) yp(x TXHUHPRVGHPRVWUDUTXHypHVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHL(y) g1(x) g(x).
1XHYDPHQWHVHGHGXFHHOUHVXOWDGRSRUODOLQHDOLGDGGHORSHUDGRUL:
L(yp)
L{yp1(x)
EJEMPLO 11
yp2(x)}
L( yp1(x))
L( yp2(x))
g1(x)
g2(x).
Superposición: ED no homogénea
8VWHGGHEHFRPSUREDUTXH
4x2
yp1
yp2
yp3
HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH y
3y
16x2
4y
2x
HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH y
3y
4y
2e ,
xex
HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH y
3y
4y
2xex
e
24x
8,
2x
ex.
6HWLHQHGH GHOWHRUHPDTXHODVXSHUSRVLFLyQGHyp1, yp, y yp,
y
yp1
yp2
yp3
4x2
e2x
xex,
es una solución de
y 3y 4y 16x2 24x 8 2e2x 2xex ex.
g1(x)
g2(x)
g3(x)
NOTA Si las ypiVRQVROXFLRQHVSDUWLFXODUHVGH SDUDi kHQWRQFHV
la combinación lineal
yp c1 yp1 c2 yp2
ck ypk,
donde las ci VRQ FRQVWDQWHV HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH FXDQGR HO
miembro del lado derecho de la ecuación es la combinación lineal
c1g1(x)
c2 g2(x)
ck gk (x).
$QWHVGHTXHHPSHFHPRVDUHVROYHUUHDOPHQWHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHV
KRPRJpQHDV\QRKRPRJpQHDVVHQHFHVLWDXQSRFRPiVGHODWHRUtDTXHVHSUHVHQWD
HQODVLJXLHQWHVHFFLyQ
COMENTARIOS
(VWHFRPHQWDULRHVXQDFRQWLQXDFLyQGHOEUHYHDQiOLVLVGHVLVWHPDVGLQiPLFRV
TXHVHSUHVHQWyDO¿QDOGHODVHFFLyQ
8QVLVWHPDGLQiPLFRFX\DUHJODRPRGHORPDWHPiWLFRHVXQDHFXDFLyQGLferencial lineal de n-ésimo orden
an(t)y(n)
an 1(t)y(n
1)
a1(t)y
a0(t)y
g(t)
VHGLFHTXHHVXQsistema lineal de n-ésimo orden. Las n funciones dependienWHVGHOWLHPSRy(t), y(t), . . . , y(n1)(t) son las variables de estadoGHOVLVWHPD
5HFXHUGHTXHVXVYDORUHVHQHOWLHPSRt dan el estado del sistema. La función g
WLHQHYDULRVQRPEUHVfunción de entrada, o forzamiento. Una solución y(t) de la
ecuación diferencial se llama salida o respuesta del sistema. Bajo las condiciones
HVWDEOHFLGDVHQHOWHRUHPDODVDOLGDRUHVSXHVWDy(t VHGHWHUPLQDGHPDQHUD
~QLFDSRUODHQWUDGD\HOHVWDGRGHOVLVWHPDSUHVFULWRVHQHOWLHPSRt0; es decir, por
las condiciones iniciales y(t0), y(t0), . . . , y(n1)( t0).
Continúa
130
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
3DUDTXHXQVLVWHPDGLQiPLFRVHDXQVLVWHPDOLQHDOHVQHFHVDULRTXHVHFXPSOD
HQHOVLVWHPDHOSULQFLSLRGHVXSHUSRVLFLyQ WHRUHPD HVGHFLUODUHVSXHVWD
GHOVLVWHPDDXQDVXSHUSRVLFLyQGHHQWUDGDVHVXQDVXSHUSRVLFLyQGHVDOLGDV<DVH
DQDOL]DURQDOJXQRVGHORVVLVWHPDVOLQHDOHVVLPSOHVHQODVHFFLyQ HFXDFLRQHV
OLQHDOHVGHSULPHURUGHQ HQODVHFFLyQOVHH[DPLQDQVLVWHPDVOLQHDOHVHQORV
TXHORVPRGHORVPDWHPiWLFRVVRQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQ
EJERCICIOS 4.1
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-4.
4.1.1 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
Y CON VALORES EN LA FRONTERA
(QORVSUREOHPDVODIDPLOLDGHIXQFLRQHVTXHVHSURSRUciona es la solución general de la ecuación diferencial en el
LQWHUYDORTXHVHLQGLFD(QFXHQWUHXQPLHPEURGHODIDPLOLD
TXHVHDXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV
1. y c1e x cex, (, );
y y 0, y(0) 0, y(0) 1
2. y c1e x cex, (, );
y y y 0, y(0) 1,
y(0) 3. y c1x cx ln x, (0, );
x y xy y 0, y(1) y(1) 1
4. y c1 c cos x c sen x, (, );
y y 0, y(ʌ) 0, y(ʌ) y(ʌ) 1
5. 'DGRTXHy c1 cxHVXQDIDPLOLDGHGRVSDUiPHWURV
de soluciones de xy y VREUHHOLQWHUYDOR , ),
GHPXHVWUHTXHQRVHSXHGHQHQFRQWUDUODVFRQVWDQWHVc1 y c
WDOHVTXHXQPLHPEURGHODIDPLOLDVDWLVIDFHODVFRQGLFLRQHV
iniciales y(0) 0, y(0) ([SOLTXHSRUTXpHVWRQRYLROD
HOWHRUHPD
6. (QFXHQWUHGRVPLHPEURVGHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHO
SUREOHPDTXHVDWLVIDJDQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVy(0)
0, y(0) 0.
7. Como x(t) c1 cos ȦW c sen ȦW es la solución general
de x Ȧx VREUHHOLQWHUYDOR , GHPXHVWUH
TXHXQDVROXFLyQTXHVDWLVIDFHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV
x(0) x0, x(0) x1HVWiGDGDSRU
x(t)
x0 cos vt
x1
sen vt.
v
8. Use la solución general de x Ȧx TXHVHGDHQHO
SUREOHPDSDUDGHPRVWUDUTXHXQDVROXFLyQTXHVDWLVIDFH
las condiciones iniciales x(t0) x0, x(t0) x1 es la soluFLyQGDGDHQHOSUREOHPDFDPELDGDSRUXQDFDQWLGDGt0:
x(t)
x0 cos v (t
t0 )
x1
sen v(t
v
t0 ).
(QORVSUREOHPDV\HQFXHQWUHXQLQWHUYDORFHQWUDGRHQ
x SDUDHOFXDOHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGDGRWLHQH
XQDVROXFLyQ~QLFD
9. (x y y x,
10. y WDQx)y e x,
y(0) 0,
y(0) 1,
y(0) 1
y(0) 0
11. a) 8WLOLFHODIDPLOLDGHOSUREOHPDSDUDHQFRQWUDUXQD
solución de y y TXHVDWLVIDJDODVFRQGLFLRQHV
HQODIURQWHUDy(0) 0, y(l) 1.
b) /D('GHOLQFLVRD WLHQHODVROXFLyQJHQHUDODOWHUQDWLYDy c cosh x c senh x sobre (, 8VHHVWD
IDPLOLDSDUDHQFRQWUDUXQDVROXFLyQTXHVDWLVIDJDODV
FRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDGHOLQFLVRD c) '
HPXHVWUHTXHODVVROXFLRQHVGHORVLQFLVRVD \E VRQHTXLYDOHQWHV
12. 8VHODIDPLOLDGHOSUREOHPDSDUDHQFRQWUDUXQDVROXFLyQ
de xy – y TXHVDWLVIDJDODVFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDy(0) 1, y(1) 6.
(QORVSUREOHPDV\ODIDPLOLDGHGRVSDUiPHWURVGDGDHV
XQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHVHLQGLFDVREUHHO
LQWHUYDOR , 'HWHUPLQHVLVHSXHGHHQFRQWUDUXQPLHPEURGHODIDPLOLDTXHVDWLVIDJDODVFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUD
13. y c1e x cos x ce x sen x; y y y 0
a) y(0) 1, y(ʌ) 0 b) y(0) 1, y(ʌ) 1
c) y(0) 1,
y
2
1
d) y(0) 0,
y(ʌ) 0.
14. y c1x cx x y 5xy 8y a) y(1) 0, y(1) b) y(0) 1, y(1) c) y(0) y(1) 0
4.1.2
d) y(1) y 15
ECUACIONES HOMOGÉNEAS
(QORVSUREOHPDVGHWHUPLQHVLHOFRQMXQWRGHIXQFLRQHV
HVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVREUHHOLQWHUYDOR , ).
15. f1(x) x,
f(x) x ,
f(x) x x 16. f1(x) 0,
f(x) x,
f(x) e x
4.1
17. f1(x) 5,
f(x) cosx,
18. f1(x) FRVx,
19. f1(x) x,
f(x) senx
f(x) 1,
f(x) cos x
f(x) x 20. f1(x) x,
f(x) x
21. f1(x) 1 x,
f(x) x,
22. f1(x) e x,
f(x) ex,
f(x) senh x
23. y y y 0; ex, ex, (, )
25. y y 5y 0; e xFRVx, e xVHQx, (, )
26. y y y 0; e x, xe x, (, )
27. x y 6xy y 0; x , x , (0, )
cos(ln x), sen(ln x), (0, )
29. x y 6x y xy y 0; x, x, x ln x, (0, )
1, x, cos x, sen x, (, )
4.1.3 ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS
(QORVSUREOHPDVFRPSUXHEHTXHGDGDODIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVVHWUDWDGHODVROXFLyQJHQHUDOGHOD
HFXDFLyQGLIHUHQFLDOQRKRPRJpQHDVREUHHOLQWHUYDORLQGLFDGR
31. y 7y 10y e x;
y c1e x ce 5x 6e x, (, )
32. y y sec x;
y c1 cos x c sen x x sen x (cos x) ln(cos x),
(ʌʌ
33. y y y e x x y c1e x cxe x x e x x , )
34. x y 5xy y x x;
y
1/2
c1x
c2 x
1 2
15 x
1
1
6 x,
(0, )
35. a) &RPSUXHEHTXHyp1 ex y yp x x son, respecWLYDPHQWHVROXFLRQHVSDUWLFXODUHVGH
y
y
6y
5y
y
6y
5y
9e2x
5x2
3x
16.
b)8VHHOLQFLVRD SDUDHQFRQWUDUVROXFLRQHVSDUWLFXODUHV
de
y
y
6y
5y
y
6y
5y
5x2
10x 2
3x
16
6x
Problemas para analizar
37. Sea n $QDOLFHFyPRSXHGHQXWLOL]DUVHODV
REVHUYDFLRQHVDnxnl 0 y Dnxn nSDUDHQFRQWUDUVRluciones generales de las ecuaciones diferenciales dadas.
a) y 0
d) y 24. y y FRVKxVHQKx, (, )
30. y y 0;
131
d) 'HWHUPLQH XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH y y 8x 5.
f(x) x (QORVSUREOHPDVFRPSUXHEHTXHODVIXQFLRQHVGDGDV
IRUPDQXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHHOLQWHUYDORTXHVHLQGLFD)RUPHODVR
lución general.
28. x y xy y 0;
O
b) 3RULQVSHFFLyQHQFXHQWUHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH
y y x.
c) (
QFXHQWUH XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH y y x 10.
f(x) x 1,
TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES
9e2x
32
e2x.
36. a)3RULQVSHFFLyQHQFXHQWUHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH
y y 10.
b) y 0
e) y 6
c) y 0
f) y 38. 6XSRQJDTXHy1 ex y y ex son dos soluciones de una
HFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOKRPRJpQHD([SOLTXHSRUTXp
y cosh x y y senh xVRQWDPELpQVROXFLRQHVGHOD
ecuación.
39. a) &RPSUXHEHTXHy1 x y y x son soluciones liQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
xy xy 6y VREUHHOLQWHUYDOR , ).
b) Para las funciones y1 y yGHOLQFLVR D GHPXHVWUH
TXHW(y1, y) SDUDWRGRQ~PHURUHDOx¢(VWHUH
VXOWDGRYLRODHOWHRUHPD"([SOLTXH
c) &RPSUXHEH TXH Y1 x y Y x VRQ WDPELpQ VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV GH OD HFXDFLyQ
GLIHUHQFLDOGHOLQFLVRD HQHOLQWHUYDOR , ).
d) -XQWRDODVIXQFLRQHVy1, y, Y1, Y, de los incisos
D \ F HQFXHQWUHXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIH
UHQFLDOTXHVDWLVIDJDy(0) 0, y(0) 0.
e) 3
RU HO SULQFLSLR GH VXSHUSRVLFLyQ WHRUHPD ambas combinaciones lineales y c1y1 cy y
Y c1Y1 cY son soluciones de la ecuación diferencial. Analice si una, ambas o ninguna de las
combinaciones lineales es una solución general de la
HFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHHOLQWHUYDOR , ).
40. ¢(OFRQMXQWRGHIXQFLRQHVf1(x) ex , f(x) ex es liQHDOPHQWH GHSHQGLHQWH R LQGHSHQGLHQWH VREUH , "
([SOLTXH
41. 6XSRQJDTXHyl, y, . . . , yk son kVROXFLRQHVOLQHDOPHQWH
LQGHSHQGLHQWHVVREUH , ) de una ecuación diferencial lineal homogénea de npVLPRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHV
FRQVWDQWHV3RUHOWHRUHPDVHWLHQHTXHyk1 0 es
WDPELpQ XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO ¢(V HO
FRQMXQWRGHVROXFLRQHVyl, y, . . . , yk, yk1OLQHDOPHQWH
GHSHQGLHQWHRLQGHSHQGLHQWHVREUH , "([SOLTXH
42. 6XSRQJDTXHyl, y, . . . , yk son kVROXFLRQHVQRWULYLDOHVGH
una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden
FRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV\TXHk n ¢(VHOFRQMXQWR
de soluciones yl, y, . . . , ykOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHROLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVREUH , "([SOLTXH
132
O
CAPÍTULO 4
4.2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
REDUCCIÓN DE ORDEN
INTRODUCCIÓN (QODVHFFLyQDQWHULRUYLPRVTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQcial lineal homogénea de segundo orden
a1(x)y
a0 (x)y 0
a2(x)y
(1)
es una combinación lineal y c1 y1 c௘y, donde y1 y yVRQVROXFLRQHVTXHFRQVWLWX\HQXQFRQMXQWR
OLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVREUHFLHUWRLQWHUYDORI$OLQLFLRGHODVLJXLHQWHVHFFLyQVHDQDOL]DXQ
PpWRGRSDUDGHWHUPLQDUHVWDVVROXFLRQHVFXDQGRORVFRH¿FLHQWHVGHOD('HQ VRQFRQVWDQWHV
(VWHPpWRGRTXHHVXQHMHUFLFLRGLUHFWRHQDOJHEUDIDOODHQDOJXQRVFDVRV\VyORSURGXFHXQDVROXción simple y1GHOD('(QHVWRVFDVRVVHSXHGHFRQVWUXLUXQDVHJXQGDVROXFLyQy de una ecuación
KRPRJpQHD DXQFXDQGRORVFRH¿FLHQWHVHQ VRQYDULDEOHV VLHPSUHTXHVHFRQR]FDXQDVROXFLyQQRWULYLDOy1GHOD('/DLGHDEiVLFDTXHVHGHVFULEHHQHVWDVHFFLyQHVTXHODecuación (1) se
puede reducir a una ED lineal de primer orden por medio de una sustituciónHQODTXHLQWHUYLHQH
la solución conocida y1. Una segunda solución yGH HVHYLGHQWHGHVSXpVGHUHVROYHUOD('GH
primer orden.
REDUCCIÓN DE ORDEN 6XSRQJDTXHy1GHQRWDXQDVROXFLyQQRWULYLDOGH \
TXHy1VHGH¿QHVREUHXQLQWHUYDORI. Se busca una segunda solución yWDOTXHy1 y y
VHDQXQFRQMXQWROLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVREUHI5HFXHUGHGHODVHFFLyQTXH
si y1 y yVRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVHQWRQFHVVXFRFLHQWHyy1QRHVFRQVWDQWH
sobre I, es decir, y(x) y1(x) u(x) o y2 (x) u(x)y1(x). La función u(x VHGHWHUPLQD
DOVXVWLWXLUy(x) u(x) y1(x)HQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD(VWHPpWRGRVHOODPDreducción de ordenSRUTXHGHEHPRVUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHSULPHU
RUGHQSDUDHQFRQWUDUDu.
EJEMPLO 1
Una segunda solución por reducción de orden
'DGRTXHy1 ex es una solución de y y HQHOLQWHUYDOR , ), use reducción
GHRUGHQSDUDGHWHUPLQDUXQDVHJXQGDVROXFLyQy.
SOLUCIÓN Si y u(x)y1(x) u(x)exHQWRQFHVDSOLFDQGRODUHJODGHOSURGXFWRVH
REWLHQH
y
SRUORWDQWR
uex
y
exu , y
y
ex (u
uex
2ex u
2u )
ex u ,
0.
3XHVWRTXHex OD~OWLPDHFXDFLyQUHTXLHUHTXHu u 6LVHKDFHODVXVWLWXFLyQ
w uHVWDHFXDFLyQOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQHQuVHFRQYLHUWHHQw w TXH
es una ecuación lineal de primer orden en w6LVHXVDHOIDFWRULQWHJUDQWHex, se puede
d 2x
escribir
[e w] 0 'HVSXpVGHLQWHJUDUVHREWLHQHw c1ex o u clex. Al
dx
1
2x
LQWHJUDUGHQXHYRVHREWLHQH u
c2. Así
2 c1 e
y
u(x)ex
c1
e
2
x
c2 e x +DFLHQGRc 0 y c1 VHREWLHQHODVHJXQGDVROXFLyQGHVHDGDy ex3XHVWRTXH
W(ex, ex) SDUDWRGDxODVVROXFLRQHVVRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVHQ , ).
3XHVWRTXHVHKDGHPRVWUDGRTXHy1 ex y y exVRQVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHXQDHFXDFLyQOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQODH[SUHVLyQHQ HVHQUHDOLGDG
la solución general de y y 0 sobre (, ).
4.2
REDUCCIÓN DE ORDEN
O
133
CASO GENERAL 6XSRQJDTXHVHGLYLGHSRUa(x) para escribir la ecuación (1) en
la forma estándar
y
P(x)y
0, Q(x)y
donde P(x) y Q(x VRQ FRQWLQXDV VREUH DOJ~Q LQWHUYDOR I 6XSRQJDPRV DGHPiV TXH
y1(x HVXQDVROXFLyQFRQRFLGDGH VREUHI\TXH y1(x) SDUDWRGDxHQHOLQWHUYDOR
6LVHGH¿QHy u(x)y1(x VHWLHQHTXH
y
uy 1
y1u , y
uy 1
2y 1u
y1u
y Py Qy u[y1 Py1 Qy1] y1u (2y1 Py1)u 0.
cero
(VWRLPSOLFDTXHVHGHEHWHQHU
y1u
(2y 1
Py1)u
y1w
o
0
(2y 1
0, Py1)w
GRQGHKDFHPRVTXHw u2EVHUYHTXHOD~OWLPDHFXDFLyQHQ HVWDQWROLQHDOFRPR
VHSDUDEOH6HSDUDQGRODVYDULDEOHVHLQWHJUDQGRVHREWLHQH
dw
w
ln wy21
2
y1
dx
y1
P dx
P dx
0
wy21
c
c1e
P dx
.
'HVSHMDPRVDwGHOD~OWLPDHFXDFLyQXVDPRVw uHLQWHJUDQGRQXHYDPHQWH
u
c1
P dx
e
dx
y21
c2.
Eligiendo c1 1 y c VHHQFXHQWUDGHy u(x)y1(x TXHXQDVHJXQGDVROXFLyQGH
ODHFXDFLyQ HV
y2
P(x) d x
e
y1(x)
dx.
y21(x)
(5)
8QEXHQHMHUFLFLRGHGHULYDFLyQHVFRPSUREDUTXHODIXQFLyQy(x TXHVHGH¿QHHQ
VDWLVIDFHODHFXDFLyQ \TXHy1 y yVRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVVREUHDOJ~Q
LQWHUYDORHQHOTXHy1(x) no es cero.
EJEMPLO 2
Una segunda solución por la fórmula (5)
La función y1 x es una solución de xy xy y (QFXHQWUHODVROXFLyQ
JHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHHOLQWHUYDOR ).
SOLUCIÓN 'HODIRUPDHVWiQGDUGHODHFXDFLyQ
HQFRQWUDPRVGH (5)
y
3
y
x
y2
x2
x2
4
y
x2
0,
d x /x
e3
x4
dx
x
dx
; e3
d x /x
eln x
3
x3
x 2 ln x.
/DVROXFLyQJHQHUDOVREUHHOLQWHUYDOR HVWiGDGDSRUy c1 y1 c y; es decir,
y c1x c x ln x.
134
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
COMENTARIOS
i /D GHGXFFLyQ \ XVR GH OD IyUPXOD VH KD PRVWUDGR DTXt SRUTXH HVWD
IyUPXOD DSDUHFH GH QXHYR HQ OD VLJXLHQWH VHFFLyQ \ HQ ODV VHFFLRQHV \
/DHFXDFLyQ VHXVDVLPSOHPHQWHSDUDDKRUUDUWLHPSRHQREWHQHUXQ
UHVXOWDGRGHVHDGR6XSURIHVRUOHLQGLFDUiVLGHEHPHPRUL]DUODHFXDFLyQ o si debe conocer los primeros principios de la reducción de orden.
ii /DUHGXFFLyQGHRUGHQVHSXHGHXVDUSDUDHQFRQWUDUODVROXFLyQJHQHUDOGH
una ecuación no homogénea a(x)y a1(x)y a0(x)y g(x VLHPSUHTXHVH
conozca una solución y1 de la ecuación homogénea asociada. Vea los problemas
DHQORVHMHUFLFLRV
iii /DLQWHJUDOHQ SXHGHVHUQRHOHPHQWDO(QHVWHFDVRVLPSOHPHQWHHVFULELPRVODVHJXQGDVROXFLyQHQWpUPLQRVGHXQDIXQFLyQGH¿QLGDSRUODLQWHJUDO
y2(x) 5 y1(x)
x
2eP(t) dt
# e y (t)
x0
2
1
dt,
GRQGHVHVXSRQHTXHHOLQWHJUDQGRHVFRQWLQXRVREUHHOLQWHUYDOR>x0, x]. Véanse
ORVSUREOHPDV\HQORVHMHUFLFLRV
EJERCICIOS 4.2
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-4.
En los problemas 1 a 16 la función indicada y1(x) es una solución de la ecuación diferencial dada. Use la reducción de
RUGHQ R OD IyUPXOD FRPR VH LQGLFD SDUD HQFRQWUDU XQD
segunda solución y(x).
1. y y y 0; y1 e
x
GHUHGXFFLyQGHRUGHQSDUDGHWHUPLQDUXQDVHJXQGDVROXFLyQ
y(x GHODHFXDFLyQKRPRJpQHD\XQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHOD
ecuación no homogénea dada.
17. y y y1 e x
18. y y 1; y1 1
2. y y y 0; y1 xex
19. y y y 5e x;
3. y 16y 0; y1 FRVx
20. y y y x;
4. y 9y 0; y1 VHQx
(QORVSUREOHPDV\ODy1(x) de la función indicada es
una solución de la ecuación diferencial dada. Use la fórmula
SDUDHQFRQWUDUXQDVHJXQGDy(x) de la solución expresada
HQWpUPLQRVGHXQDIXQFLyQGH¿QLGDSRUODLQWHJUDO9pDVH LLL en los Comentarios.
5. y y 0; y1 cosh x
6. y y 0; y1 e 5x
7. 9y y y 0; y1 e x
8. 6y y y 0; y1 e x
9. x y 7xy 16y 0; y1 x 10. x y xy 6y 0; y1 x 11. xy y 0; y1 ln x
12. x y y 0; y1 x ln x
13. x y xy y 0; y1 x sen(ln x)
14. x y xy 5y 0; y1 x cos(ln x)
15. (1 x x )y x)y y 0; y1 x 1
16. (1 x )y xy 0; y1 1
(QORVSUREOHPDVDOODIXQFLyQTXHVHLQGLFDy1(x) es una
VROXFLyQGHODHFXDFLyQKRPRJpQHDDVRFLDGD8VHHOPpWRGR
y1 e x
y1 e x
21. x2y0 1 (x2 2 x)y9 1 (1 2 x)y 5 0; y1 5 x
22. 2xy0 2 (2x 1 1)y9 1 y 5 0; y1 5 ex
Problemas para analizar
23. a) 3URSRUFLRQHXQDGHPRVWUDFLyQFRQYLQFHQWHGHTXHOD
ecuación de segundo orden ay by cy 0, a, b,
y cFRQVWDQWHVWLHQHVLHPSUHFXDQGRPHQRVXQDVROXción de la forma y1 em1 x , m1HVXQDFRQVWDQWH
b) ([SOLTXHSRUTXpODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHVHSURSRUFLRQDHQHOLQFLVRD GHEHWHQHUXQDVHJXQGDVROXción de la forma y2 em2 x o de la forma y2 xem1 x ,
m1 y mVRQFRQVWDQWHV
c) $QDOLFHGHQXHYRORVSUREOHPDVDO¢3XHGHH[SOLFDU
SRUTXpORVHQXQFLDGRVGHORVLQFLVRVD \E DQWHULRUHVQR
VHFRQWUDGLFHQFRQODVUHVSXHVWDVGHORVSUREOHPDVDO"
4.3
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTE
24. &RPSUXHEH TXH y1(x) x es una solución de xy – xy
y 8WLOLFHODUHGXFFLyQGHRUGHQSDUDHQFRQWUDUXQD
segunda solución y(x HQODIRUPDGHXQDVHULHLQ¿QLWD
(VWLPHXQLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQSDUDy(x).
O
135
b) 8VHODHFXDFLyQ SDUDGHWHUPLQDUXQDVHJXQGDVRlución y(x 8VDQGR XQ 6$& UHDOLFH OD LQWHJUDFLyQ
TXHVHUHTXLHUH
c) (
[SOLTXHXVDQGRHOFRURODULR $ GHOWHRUHPD
SRU TXp OD VHJXQGD VROXFLyQ SXHGH HVFULELUVH HQ
IRUPDFRPSDFWDFRPR
10
1 n
y2(x)
x.
n 0 n!
Tarea para el laboratorio de computación
25. a) &RPSUXHEHTXHy1(x) ex es una solución de
xy (x 10)y 10y 0.
4.3 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS
CON COEFICIENTES CONSTANTES
INTRODUCCIÓN &RPRXQPHGLRSDUDPRWLYDUHODQiOLVLVHQHVWDVHFFLyQVHWUDWDQQXHYDPHQWH
ODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHSULPHURUGHQPiVHVSHFt¿FDPHQWHODVHFXDFLRQHVOLQHDOHVhomogéneas ay by GRQGHORVFRH¿FLHQWHVa 0 y bVRQFRQVWDQWHV(VWHWLSRGHHFXDFLyQVHUHVXHOYH
\DVHDSRUYDULDEOHVVHSDUDEOHVRFRQD\XGDGHXQIDFWRULQWHJUDQWHSHURKD\RWURPpWRGRGHVROXFLyQ
XQRTXHVyORXWLOL]DiOJHEUD$QWHVGHPRVWUDUHVWHPpWRGRDOWHUQDWLYRKDFHPRVXQDREVHUYDFLyQ$O
despejar y de la ecuación ay by VHREWLHQHy ky, donde kHVXQDFRQVWDQWH(VWDREVHUYDFLyQ
UHYHODODQDWXUDOH]DGHODVROXFLyQGHVFRQRFLGDyOD~QLFDIXQFLyQHOHPHQWDOQRWULYLDOFX\DGHULYDGD
HVXQDFRQVWDQWHP~OWLSOHGHVtPLVPDHVXQDIXQFLyQH[SRQHQFLDOemx$KRUDHOQXHYRPpWRGRGH
VROXFLyQ6LVXVWLWXLPRVy emx y y memx en ay by VHREWLHQH
amemx
bemx
0
o emx (am
b)
0.
Como e QXQFDHVFHURSDUDYDORUHVUHDOHVGHxOD~OWLPDHFXDFLyQVHVDWLVIDFHVyORFXDQGRm es una
solución o raíz de la ecuación polinomial de primer grado am b 03DUDHVWH~QLFRYDORUGHm,
y emxHVXQDVROXFLyQGHOD('3DUDPRVWUDUHVWRFRQVLGHUHODHFXDFLyQGHFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV
y 5y 1RHVQHFHVDULRUHDOL]DUODGHULYDFLyQ\ODVXVWLWXFLyQGHy emxHQOD('VyORVHWLHQH
5
5x
TXHIRUPDUODHFXDFLyQm 5 0 y despejar m'H m
es una so2 VHFRQFOX\HTXHy e
5x
OXFLyQGHy 5y \VXVROXFLyQJHQHUDOVREUHHOLQWHUYDOR , ) es y c1e .
(QHVWDVHFFLyQYHUHPRVTXHHOSURFHGLPLHQWRDQWHULRUJHQHUDVROXFLRQHVH[SRQHQFLDOHVSDUDODV
('OLQHDOHVKRPRJpQHDVGHRUGHQVXSHULRU
mx
an y(n)
an 1 y(n
1)
a2 y
a1 y
a0 y
(1)
0,
GRQGHORVFRH¿FLHQWHVai, i 0, 1, . . . , nVRQFRQVWDQWHVUHDOHV\an 0.
ECUACIÓN AUXILIAR Se empieza por considerar el caso especial de la ecuación
de segundo orden
ay
by
cy 0,
donde a, b y cVRQFRQVWDQWHV6LVHLQWHQWDHQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHODIRUPDy e mx,
HQWRQFHVGHVSXpVGHVXVWLWXLUy me mx y y m e mxODHFXDFLyQ VHFRQYLHUWHHQ
am2emx
bmemx
cemx
0 o emx(am2
bm
c)
0.
&RPRHQODLQWURGXFFLyQVHDUJXPHQWDTXHGHELGRDTXHemx SDUDWRGDxHVREYLR
TXHOD~QLFDIRUPDHQTXHy emxSXHGHVDWLVIDFHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO HVFXDQGR
se elige mFRPRXQDUDt]GHODHFXDFLyQFXDGUiWLFD
am2
bm
c
0. 136
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
(VWD~OWLPDHFXDFLyQVHOODPDecuación auxiliarGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO &RPRODV
GRVUDtFHVGH VRQ m1 ( b
1b2 4ac) 2a,
1b2 4ac) 2a y m2 ( b
KDEUi WUHV IRUPDV GH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH TXH FRUUHVSRQGHQ D ORV WUHV FDVRV
• ml y mUHDOHV\GLVWLQWDV b ac 0),
• ml y m reales e iguales (b ac 0), y
• ml y mQ~PHURVFRQMXJDGRVFRPSOHMRV b ac
0).
$QDOLFHPRVFDGDXQRGHHVWRVFDVRV
CASO I: RAÍCES REALES Y DISTINTAS %DMRODVXSRVLFLyQGHTXHODHFXDFLyQ
DX[LOLDU WLHQH GRV UDtFHV UHDOHV GHVLJXDOHV ml y m HQFRQWUDPRV GRV VROXFLRQHV
y1 em1x y y2 em 2 x. 9HPRV TXH HVWDV IXQFLRQHV VRQ OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV
sobre (, \SRUWDQWRIRUPDQXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDO6HGHGXFHTXHODVROXFLyQJHQHUDOGH VREUHHVWHLQWHUYDORHV
c2em 2 x. c1em1x
y
CASO II: RAÍCES REALES REPETIDAS Cuando ml mQHFHVDULDPHQWHVHREWLHQH
mx
sólo una solución exponencial, y1 e 1 'H OD IyUPXOD FXDGUiWLFD VH HQFXHQWUD TXH
ml baSXHVWRTXHOD~QLFDIRUPDHQTXHVHWLHQHTXHml mHVWHQHUb ac 0.
7HQHPRVGH HQODVHFFLyQTXHXQDVHJXQGDVROXFLyQGHODHFXDFLyQHV
e2m1x
dx
e2m1x
em1x
y2
em1x
xem1x.
dx
(5)
(Q KHPRVXVDGRHOKHFKRGHTXH±ba m1/DVROXFLyQJHQHUDOHVHQWRQFHV
c2 xem1x.
c1em1x
y
(6)
CASO III: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS Si ml y mVRQFRPSOHMDVHQWRQces se puede escribir ml Į Lȕ y m Į Lȕ, donde Į y ȕ 0 son reales i 1.
'HPDQHUDIRUPDOQRKD\GLIHUHQFLDHQWUHHVWHFDVR\HOFDVR,\SRUWDQWR
C1e(a
y
i )x
C2e(a
i )x
.
6LQHPEDUJRHQODSUiFWLFDVHSUH¿HUHWUDEDMDUFRQIXQFLRQHVUHDOHVHQOXJDUGHH[SRQHQFLDOHVFRPSOHMDV3DUDHVWRXVDPRVODfórmula de Euler:
cos
ei
i sen ,
donde șHVFXDOTXLHUQ~PHURUHDO*6HWLHQHGHHVWDIyUPXODTXH
i x
(7)
cos x i sen x,
y e
donde se usaron cos(ȕx) cos ȕx y sen(ȕx) sen ȕx2EVHUYHTXHVLSULPHUR
VHVXPD\OXHJRVHUHVWDQODVGRVHFXDFLRQHVHQ VHREWLHQHUHVSHFWLYDPHQWH
ei
cos x
x
ei
x
e
i x
i sen x
2 cos x y ei
x
e
i x
2i sen x.
3XHVWRTXHy C1e(ĮLȕ)x Ce(ĮLȕ)xHVXQDVROXFLyQGH SDUDDOJXQDHOHFFLyQGHODV
FRQVWDQWHVC1 y C, las elecciones C1 C 1 y C1 1, C GDQDVXYH]GRV
soluciones:
y
y1 e(a i )x e(a i )x
y2 e(a i )x e(a i )x.
Pero
y1
eax(ei
x
e
i x
)
2eax cos x
y
y2
eax(ei
x
e
i x
)
2ieax sen x.
xn
n!
n 0
VXVWLWX\HQGRx Lș, con i 1, i i\GHVSXpVVHSDUDQGRODVHULHHQODVSDUWHVUHDOHLPDJLQDULD
$VtVHHVWDEOHFHODSODXVLELOLGDGSRUORTXHSRGHPRVDGRSWDUDFRVș i sen ș como la GH¿QLFLyQ de eLș.
௘8QDGHGXFFLyQIRUPDOGHODIyUPXODGH(XOHUVHREWLHQHGHODVHULHGH0DFODXULQ e x
*
4.3
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTE
O
137
3RUWDQWRGHOFRURODULR$ GHOWHRUHPDORVGRV~OWLPRVUHVXOWDGRVPXHVWUDQTXH
eĮ[ cos ȕ[ y eĮ[ sen ȕ[ son soluciones realesGH $GHPiVHVWDVVROXFLRQHVIRUPDQ
XQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOVREUH , 3RUWDQWRODVROXFLyQJHQHUDOHV
(8)
y c1eax cos x c2eax sen x eax (c1 cos x c2 sen x).
EJEMPLO 1
ED de segundo orden
5HVXHOYDODVVLJXLHQWHVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV
a) y 5y y 0
b) y 10y y 0
c) y y 7y 0
SOLUCIÓN Se dan las ecuaciones auxiliares, las raíces y las soluciones generales
FRUUHVSRQGLHQWHV
a) m 5m m 1)(m 0,
'H y c1ex ce x.
b) m 10m (m 5) 0,
'H y c1e 5x cxe 5x.
4
c) m2
y
4m
'H FRQ
3
2
7
0, m1
2,
EJEMPLO 2
1
x
_1
2
23, y
m2
3
m1 m 5
23i,
e
1
2,
m1
2x
2
m2
(c1 cos 23x
23i
)
c2 sen 23x .
Un problema con valores iniciales
5HVXHOYDy y 17y 0, y(0) 1, y(0) _2
SOLUCIÓN 8VDQGRODIyUPXODFXDGUiWLFDWHQHPRVTXHODVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDU
_3
1
1
m m 17 0 son m1
2i y m2
2i. 3RUWDQWRGHODHFXDFLyQ
2
2
x
VHWLHQHTXHy e (c1FRVx cVHQx). Aplicando la condición y(0) 1,
VH REVHUYD GH e0(c1 cos 0 c sen 0) TXH c1 'HULYDQGR y ex(
FRVx cVHQx) y después usando y(0) VHREWLHQH2c2 12 2 o c2 34.3RUWDQWR
3
)
ODVROXFLyQGHO39,HV y e x/2( cos 2x 4 sen 2x)2(QOD¿JXUDYHPRVTXHOD
VROXFLyQHVRVFLODWRULDSHURy A 0 conforme x A .
_4
_3 _2 _1
1
2
3
4
5
FIGURA 4.3.1 &XUYDVROXFLyQGHO
39,GHOHMHPSOR
DOS ECUACIONES QUE VALE LA PENA CONOCER Las dos ecuaciones diferenciales
k2 y
y
k2 y
0 y y
0,
donde kHVUHDOVRQLPSRUWDQWHVHQPDWHPiWLFDVDSOLFDGDV3DUDy ky 0, la ecuación auxiliar m k WLHQHUDtFHVLPDJLQDULDVm1 ki y m ki. Con Į 0 y
ȕ kHQ VHYHTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHOD('HV
c1 cos kx
y
c2 senkx.
(9)
3RURWUDSDUWHODHFXDFLyQDX[LOLDUm k 0 para y ky WLHQHUDtFHVUHDOHV
GLVWLQWDVm1 k y m k\DVtSRUODHFXDFLyQ ODVROXFLyQJHQHUDOGHOD('HV
y
c1ekx
c2e
kx
.
(10)
1
2EVHUYH TXH VL VH HOLJH c1 c2 12 y c1 y 12, c2
2 HQ O VH REWLHQHQ ODV
1
2
1
2
2
12 2
1
kx
kx
VROXFLRQHVSDUWLFXODUHV y 2 (e
e ) cosh kx y y 12 (e kx e kx ) senhkx.
3XHVWRTXHFRVKkx y senh kxVRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVVREUHDOJ~QLQWHUYDORGHO
eje xXQDIRUPDDOWHUQDWLYDSDUDODVROXFLyQJHQHUDOGHy ky 0 es
y
c1 cosh kx
c2 senhkx.
9HDORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV
(11)
138
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR (QJHQHUDOSDUDUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLferencial de n-ésimo orden (1) donde ai, i 0, 1, . . . , nVRQFRQVWDQWHVUHDOHVVHGHEH
UHVROYHUXQDHFXDFLyQSROLQRPLDOGHn-ésimo grado
an mn
an 1mn
1
a2m2
a1m
a0
0. 6LWRGDVODVUDtFHVGH VRQUHDOHV\GLVWLQWDVHQWRQFHVODVROXFLyQJHQHUDOGH HV
c1em1x
y
cnemn x.
c2em2 x
(VXQSRFRGLItFLOUHVXPLUORVDQiORJRVGHORVFDVRV,,\,,,SRUTXHODVUDtFHVGHXQDHFXDFLyQDX[LOLDUGHJUDGRPD\RUTXHGRVRFXUUHQHQPXFKDVFRPELQDFLRQHV3RUHMHPSOR
XQDHFXDFLyQGHTXLQWRJUDGRSRGUtDWHQHUFLQFRUDtFHVUHDOHVGLVWLQWDVRWUHVUDtFHVUHDOHV
GLVWLQWDV\GRVFRPSOHMDVRXQDUHDO\FXDWURFRPSOHMDVRFLQFRUDtFHVUHDOHVSHURLJXDOHV
RFLQFRUDtFHVUHDOHVSHURGRVGHHOODVLJXDOHVHWF&XDQGRm1HVXQDUDt]GHPXOWLSOLFLGDG
k de una ecuación auxiliar de n-ésimo grado (es decir, k raíces son iguales a m1), es posible
GHPRVWUDUTXHODVVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVVRQ
em1x,
xem1x,
x 2em1 x, . . . ,
xk 1em1x
\ODVROXFLyQJHQHUDOGHEHFRQWHQHUODFRPELQDFLyQOLQHDO
c1em1x
c2 xem1x
c3 x 2em1x
ck x k 1em1 x.
3RU~OWLPRVHGHEHUHFRUGDUTXHFXDQGRORVFRH¿FLHQWHVVRQUHDOHVODVUDtFHVFRPSOHMDV GH XQD HFXDFLyQ DX[LOLDU VLHPSUH VH SUHVHQWDQ HQ SDUHV FRQMXJDGRV $Vt SRU
HMHPSORXQDHFXDFLyQSROLQRPLDOF~ELFDSXHGHWHQHUDORPiVGRVUDtFHVFRPSOHMDV
EJEMPLO 3
ED de tercer orden
5HVXHOYDy y y 0.
SOLUCIÓN 'HEHVHUHYLGHQWHGHODLQVSHFFLyQGHm m TXHXQDUDt]HV
m1 SRUWDQWRm HVXQIDFWRUGHm m 'LYLGLHQGRVHHQFXHQWUDTXH
m3
3m2
4
(m
1)(m2
4m
4)
(m
1)(m
2)2,
así las raíces son m m $Vt OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD (' HV
y c1e x c ex c xex.
EJEMPLO 4
5HVXHOYD
d 4y
dx4
2
ED de cuarto orden
d 2y
dx2
y
0.
SOLUCIÓN La ecuación auxiliar m m 1 (m 1) WLHQHUDtFHVm1 m i y m m i$VtGHOFDVR,,ODVROXFLyQHV
y
C1 eix
C2 e
ix
C3 xeix
C4 xe
ix
.
Por la fórmula de Euler el grupo C1e ix Ceix se puede rescribir como
c1 cos x
c2 senx
GHVSXpVGHUHGH¿QLUGHQXHYRODVFRQVWDQWHV'HPDQHUDVLPLODUx(Ce ix Ceix) se
puede expresar como x(c cos x c sen x 3RUWDQWRODVROXFLyQJHQHUDOHV
y
c1 cos x
c2 senx
c3 x cos x
c4 x sen x.
(OHMHPSORLOXVWUDXQFDVRHVSHFLDOFXDQGRODHFXDFLyQDX[LOLDUWLHQHUDtFHVUHSHWLGDV
complejas. En general, si m1 Į Lȕ, ȕ HVXQDUDt]FRPSOHMDGHPXOWLSOLFLGDGk
4.3
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTE
O
139
GHXQDHFXDFLyQDX[LOLDUFRQFRH¿FLHQWHVUHDOHVHQWRQFHVVXFRQMXJDGDm Į Lȕ
HVWDPELpQXQDUDt]GHPXOWLSOLFLGDGk'HODVkVROXFLRQHVFRQYDORUHVFRPSOHMRV
e(a
i )x
, xe(a
e(a
i )x
, xe(a
i )x
,
i )x
,
x2e(a
i )x
x2e(a
i )x
,
,
...,
xk 1e(a
i )x
...,
xk 1e(a
i )x
,
,
FRQFOXLPRVFRQODD\XGDGHODIyUPXODGH(XOHUTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFRUUHVSRQGLHQWHGHEHWHQHUXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHODVk solucioQHVUHDOHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHV
eax cos b x, xeax cos bx, x2eax cos bx,
. . . , xk 1eax cos bx,
eax sen b x,
. . . , xk 1eax sen bx.
xeax sen bx,
x2eax sen bx,
(QHOHMHPSORLGHQWL¿FDPRVk Į 0 y ȕ 1.
RAÍCES RACIONALES 3RUVXSXHVWRHODVSHFWRPiVGLItFLOGHUHVROYHUHFXDFLRQHV
GLIHUHQFLDOHVGHFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVHVGHWHUPLQDUODVUDtFHVGHHFXDFLRQHVDX[LOLDUHV
GHJUDGRPD\RUTXHGRV$OJRTXHSRGHPRVLQWHQWDUHVSUREDUODHFXDFLyQDX[LOLDUSDUD
UDtFHVUDFLRQDOHV5HFXHUGHGHODVPDWHPiWLFDVGHSUHFiOFXORTXHVLP1 = p/q es una raíz
UDFLRQDO H[SUHVDGDHQORVWpUPLQRVPiVUHGXFLGRV GHXQDHFXDFLyQSROLQyPLFDanmn … a1m a0 FRQFRH¿FLHQWHVHQWHURVHQWRQFHVHOQ~PHURHQWHURpHVXQIDFWRU
GHOWpUPLQRFRQVWDQWHa0\HOHQWHURqHVXQIDFWRUGHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDOan.
EJEMPLO 5
5HVXHOYD y
Determinar las raíces racionales
5y
10y
4y
0
SOLUCIÓN3DUDUHVROYHUODHFXDFLyQGHEHPRVUHVROYHUODHFXDFLyQDX[LOLDUSROLQRPLDOF~ELFDm 5m 10m &RQODVLGHQWL¿FDFLRQHVa0 \a ORV
IDFWRUHVHQWHURVGHD0 y aVRQUHVSHFWLYDPHQWH
p:
1,
2,
4 y q:
1,
3
SRUORTXHODVSRVLEOHVUDtFHVUDFLRQDOHVVRQ
p: 1, 2, 4
p
:
1,
2,
4, 13, 23, 43 .
q
6HSXHGHSUREDUFDGDXQRGHHVWRVQ~PHURVGLJDPRVSRUGLYLVLyQVLQWpWLFD'HHVWD
forma se descubre la raíz m1 13 \ODIDFWRUL]DFLyQ
3m3
5m2
10m
4
(m
1
3
)(3m2
6m
12).
$SOLFDQGRODIyUPXODFXDGUiWLFDDm + 6m VHREWLHQHQODVGRVUDtFHVUHVWDQWHV3 m 2
12 23i y m3 1 23i 3RU WDQWR OD VROXFLyQ JHQHUDO
x/3
es y c1e
e x(c2 cos 23x c3 sen 23x).
(QHO650VHHQFXHQWUD
PiVDFHUFDGHHVWR
USO DE COMPUTADORAS 'HWHUPLQDUODVUDtFHVRDSUR[LPDUODVUDtFHVGHHFXDFLRQHVDX[LOLDUHVHVXQSUREOHPDGHUXWLQDFRQXQDFDOFXODGRUDDSURSLDGDRFRQXQSDTXHWHGHFyPSXWR/DVHFXDFLRQHVSROLQRPLDOHV HQXQDYDULDEOH GHJUDGRPHQRUTXH
FLQFRVHUHVXHOYHQSRUPHGLRGHIyUPXODVDOJHEUDLFDVXVDQGRODVLQVWUXFFLRQHVsolve en
Mathematica y Maple. Para ecuaciones polinomiales de grado cinco o mayor podría ser
necesario recurrir a comandos numéricos como NSolve y FindRoot en Mathematica.
'HELGRDVXFDSDFLGDGSDUDUHVROYHUHFXDFLRQHVSROLQRPLDOHVQRHVVRUSUHQGHQWHTXH
HVWRV VLVWHPDV DOJHEUDLFRV SDUD FRPSXWDGRUD WDPELpQ SXHGDQ XVDQGR VXV FRPDQGRV
dsolveGDUVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVKRPRJpQHDVFRQ
FRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV
140
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
En el libro clásico Differential EquationsGH5DOSK3DOPHU$JQHZ* TXHHODXWRU
XVyFXDQGRHUDHVWXGLDQWH VHH[SUHVDHOVLJXLHQWHHQXQFLDGR
No es razonable esperar que los alumnos de este curso tengan la capacidad y el
HTXLSRGHFyPSXWRQHFHVDULRSDUDUHVROYHUGHPDQHUDH¿FD]HFXDFLRQHVFRPR
4.317
d 4y
dx4
2.179
d 3y
dx3
1.416
d 2y
dx2
1.295
dy
dx
3.169y
0.
$XQTXH HV GHEDWLEOH VL HQ WRGRV HVWRV DxRV KD PHMRUDGR OD FDSDFLGDG SDUD UHDOL]DU
FiOFXORVHVLQGLVFXWLEOHTXHODWHFQRORJtDVtORKDKHFKR6LVHWLHQHDFFHVRDXQVLVWHPD
DOJHEUDLFRSDUDFRPSXWDGRUDVHSRGUtDDKRUDFRQVLGHUDUUD]RQDEOHODHFXDFLyQ 'HVSXpVGHVLPSOL¿FDU\HIHFWXDUDOJXQDVVXVWLWXFLRQHVHQHOUHVXOWDGRMathematica
genera la solución general (aproximada)
y
c1e
0.728852x
c2e
cos(0.618605x)
c3e0.476478x cos(0.759081x)
0.728852x
sen(0.618605x)
c4e0.476478x sen(0.759081x).
3RU~OWLPRVLVHOHSUHVHQWDXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVTXHFRQVLVWHHQGLJDPRVXQDHFXDFLyQGHFXDUWRRUGHQHQWRQFHVSDUDDMXVWDUODVROXFLyQJHQHUDOGHOD
('DODVFXDWURFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVVHGHEHQUHVROYHUFXDWURHFXDFLRQHVOLQHDOHVFRQ
ODVFXDWURLQFyJQLWDV c1, c, c y c en la solución general). Si se emplea un SAC para
UHVROYHUHOVLVWHPDVHSXHGHDKRUUDUPXFKRWLHPSR9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORV
HMHUFLFLRV\HOSUREOHPDGHO5HSDVRGHOFDStWXOR
*
0F*UDZ+LOO1XHYD<RUN
EJERCICIOS 4.3
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-4.
(Q ORV SUREOHPDV REWHQJD OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD
ecuación diferencial de segundo orden dada.
1. y y 0
2. y y 0
3. y y 6y 0
4. y y y 0
5. y 8y 16y 0
6. y 10y y 0
7. y 5y y 0
8. y y y 0
9. y 9y 0
10. y y 0
11. y y 5y 0
14. y y y 0
(Q ORV SUREOHPDV HQFXHQWUH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD
ecuación diferencial de orden superior dada.
y 5y 0
y0
5y y 9y 0
y y y 0
y
y
y
y
d 3u
19.
dt3
3
d x
20.
dt3
d 2u
dt2
2u
4x
23. y y y 0
24. y y y 0
d 4y
d 2y
24
9y 0
dx4
dx2
d 4y
d 2y
7 2 18y 0
26.
4
dx
dx
25. 16
27.
0
d 5u
dr5
28. 2
5
d 5x
ds5
d 4u
dr4
7
2
d 4x
ds4
d 3u
dr3
12
10
d 3x
ds3
d 2u
dr2
8
d 2x
ds2
du
dr
5u
0
0
(Q ORV SUREOHPDV UHVXHOYD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV
iniciales
29. y 16y 0, y(0) y(0) 30.
d 2y
d 2
y
31.
d 2y
dt2
4
0
2
d x
dt2
22. y 6y y 8y 0
12. y y y 0
13. y y y 0
15.
16.
17.
18.
21. y y y y 0
0,
dy
dt
y
3
5y
32. y y y 0,
0, y
0, y(1)
3
2
0, y (1)
y(0) 1, y(0) 5
2
4.3
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTE
33. y y y 0,
y(0) y(0) 0
34. y y y 0,
y(0) 5, y(0) 10
y
46.
35. y y y 0, y(0) 0, y(0) 1, y(0) 7
x
36. y y 5y 6y 0, y(0) y(0) 0, y(0) 1
(QORVSUREOHPDVUHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQ
ODIURQWHUDGDGR
37. y 10y y 0,
y(0) 1, y(1) 0
38. y y 0,
y(0) 0, y(ʌ) 0
39. y
y (0)
y
0,
40. y y y 0,
0, y
2
141
O
FIGURA 4.3.5 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
y
47.
0
x
π
y(0) 1, y(ʌ) 1
(QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDGDGRXVDQGR
SULPHURODIRUPDGHODVROXFLyQJHQHUDOGDGDHQ 5HVXHOYD
GHQXHYRHVWDYH]XVDQGRODIyUPXODGDGDHQ 41. y y 0, y(0) 1, y(0) 5
42. y y 0, y(0) 1, y(1) 0
FIGURA 4.3.6 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
y
48.
(QORVSUREOHPDVFDGD¿JXUDUHSUHVHQWDODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHXQDGHODVVLJXLHQWHVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV
a) y y y 0
b) y y 0
c) y y y 0
d) y y 0
e) y y y 0
f ) y y y 0
5HODFLRQHXQDFXUYDVROXFLyQFRQXQDGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV([SOLTXHVXUD]RQDPLHQWR
44.
y
FIGURA 4.3.7 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
x
FIGURA 4.3.2 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
y
43.
x
FIGURA 4.3.3 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
45.
x
π
y
(QORVSUREOHPDVDHQFXHQWUHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
KRPRJpQHDFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVFX\DVROXFLyQJHQHUDO
es la dada.
49. y
c1ex
c2e5x
51. y
c1
53. y
c1 cos3x
c2e2x
x
c2 sen3x
4x
50. y
c1e
52. y
c1e10x
54. y
c2e
3x
c2xe10x
c1 cosh7x
c2 senh7x
x
55. y
c1e cosx
c2e senx
56. y
c1
c2e2x cos5x
57. y
c1
c2x
58. y
c1 cos x
c3e2x sen5x
c3e8x
c2 senx
c3 cos 2 x
c4 sen 2x
Problemas para analizar
x
59. 'RVUDtFHVGHXQDHFXDFLyQDX[LOLDUF~ELFDFRQFRH¿FLHQ1
WHVUHDOHVVRQ m1
y m i. ¿Cuál es la ecua2
FLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOKRPRJpQHDFRUUHVSRQGLHQWH"
60. 'HWHUPLQH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH y 7y y y 0 si m1 1HVXQDUDt]GHVXHFXDFLyQDX[LOLDU
FIGURA 4.3.4 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
61. 'HWHUPLQH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH y 6y y y VLVHVDEHTXHy1 ex cos x es una solución.
142
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
62. 3DUDUHVROYHUy y HVQHFHVDULRHQFRQWUDUODVUDtces de m 1 (VWHHVXQSUREOHPDWULYLDOVLVHXWLOL]D
XQ6$&SHURWDPELpQVHUHVXHOYHDPDQRWUDEDMDQGRFRQ
Q~PHURVFRPSOHMRV2EVHUYHTXHm 1 (m 1) m¢&yPRD\XGDHVWR"5HVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
IHUHQFLDOGDGD6LXWLOL]DXQ6$&SDUDREWHQHUODVROXFLyQJHQHUDOVLPSOL¿TXHHOUHVXOWDGR\VLHVQHFHVDULRHVFULEDODVROXFLyQ
HQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVUHDOHV
65. y 6y y y 0
66. 6.11y 8.59y y 0.778y 0
63. &RPSUXHEHTXHy senh x FRV x ʌ6) es una soOXFLyQSDUWLFXODUGHy y 5HFRQFLOLHHVWDVROXFLyQ
SDUWLFXODUFRQODVROXFLyQJHQHUDOGHOD('
67. y y y y 0
68. y y y y 0
(QORVSUREOHPDV\XWLOLFHXQ6$&FRPRD\XGDSDUD
UHVROYHU OD HFXDFLyQ DX[LOLDU )RUPH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH
ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO'HVSXpVXWLOLFHXQ6$&FRPRD\XGD
SDUD UHVROYHU HO VLVWHPD GH HFXDFLRQHV SDUD ORV FRH¿FLHQWHV
ci i TXHUHVXOWDFXDQGRVHDSOLFDQODVFRQGLFLRQHV
iniciales a la solución general.
64. &RQVLGHUH HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD y Ȝ\ 0, y(0) 0, y(ʌ $QDOLFH¢HVSRVLEOHGHWHUPLQDUYDORUHVGHȜWDOTXHHOSUREOHPDWHQJDa) solucioQHVWULYLDOHV"b)¢VROXFLRQHVQRWULYLDOHV"
Tarea para el laboratorio de computación
69. y y 16y 15y y 0,
y(0) y(0) 6, y(0) y (0) (QORVSUREOHPDVDXVHXQDFRPSXWDGRUD\DVHDFRPR
D\XGDSDUDUHVROYHUODHFXDFLyQDX[LOLDURFRPRXQPHGLRSDUD
REWHQHUGHIRUPDGLUHFWDODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGL-
4.4
1
2
70. y y y y 0,
y(0) y(0) 0, y(0) y (0) 1
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO
DE SUPERPOSICIÓN *
INTRODUCCIÓN
3DUDUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOQRKRPRJpQHD
a n y (n)
an
1y
(n
1)
a1 y
a0 y
g(x),
(1)
se deben hacer dos cosas:
‡ HQFRQWUDUODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc y
‡ HQFRQWUDUalgunaVROXFLyQSDUWLFXODUyp de la ecuación no homogénea (1).
(QWRQFHVFRPRVHH[SOLFyHQODVHFFLyQODVROXFLyQJHQHUDOGH HVy yc yp. La función
FRPSOHPHQWDULDycHVODVROXFLyQJHQHUDOGHOD('KRPRJpQHDDVRFLDGDGH HVGHFLU
an y (n)
an
1y
(n 1)
a1 y
a0 y
0.
(QODVHFFLyQYLPRVFyPRUHVROYHUHVWDFODVHGHHFXDFLRQHVFXDQGRORVFRH¿FLHQWHVHUDQFRQVWDQWHV$VtHOREMHWLYRHQHVWDVHFFLyQHVGHVDUUROODUXQPpWRGRSDUDREWHQHUVROXFLRQHVSDUWLFXODUHV
MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS La primera de las dos forPDV TXH VH FRQVLGHUDQ SDUD REWHQHU XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU yp GH XQD (' OLQHDO QR
homogénea se llama PpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV/DLGHDIXQGDPHQWDO
GHWUiVGHHVWHPpWRGRHVXQDFRQMHWXUDDFHUFDGHODIRUPDGHypHQUHDOLGDGXQDLQWXLFLyQHGXFDGDPRWLYDGDSRUODVFODVHVGHIXQFLRQHVTXHIRUPDQODIXQFLyQGHHQWUDGD
g(x (OPpWRGRJHQHUDOVHOLPLWDD('OLQHDOHVFRPR GRQGH
• ORVFRH¿FLHQWHVai, i 0, 1, . . . , nVRQFRQVWDQWHV\
• g(x HVXQDFRQVWDQWHk, una función polinomial, una función exponencial eĮ[,
una función seno o coseno sen ȕ[ o cos ȕ[RVXPDV¿QLWDV\SURGXFWRVGH
HVWDVIXQFLRQHV
*
Nota para el profesor:(QHVWDVHFFLyQHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVHGHVDUUROODGHVGH
HOSXQWRGHYLVWDGHOSULQFLSLRGHVXSHUSRVLFLyQSDUDHFXDFLRQHVQRKRPRJpQHDV WHRUHPD (Q
ODVHFFLyQVHSUHVHQWDUiXQPpWRGRWRWDOPHQWHGLIHUHQWHTXHXWLOL]DHOFRQFHSWRGHRSHUDGRUHV
GLIHUHQFLDOHVDQXODGRUHV(OLMDHOTXHFRQYHQJD
4.4
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
143
O
NOTA (VWULFWDPHQWH KDEODQGR g(x) k FRQVWDQWH HV XQD IXQFLyQ SROLQRPLDO
3XHVWRTXHSUREDEOHPHQWHXQDIXQFLyQFRQVWDQWHQRHVORSULPHURHQTXHVHSLHQVD
FXDQGRVHFRQVLGHUDQIXQFLRQHVSROLQRPLDOHVSDUDHQIDWL]DUFRQWLQXDUHPRVFRQODUHGXQGDQFLD³IXQFLRQHVFRQVWDQWHVSROLQRPLDOHV´
/DVVLJXLHQWHVIXQFLRQHVVRQDOJXQRVHMHPSORVGHORVWLSRVGHHQWUDGDVg(x TXH
VRQDSURSLDGDVSDUDHVWDGHVFULSFLyQ
g(x)
g(x)
10,
sen 3x
x2
g(x)
5x,
5x cos 2x,
15x
g(x)
6
(3x2
xex senx
g(x)
8e x,
1)e
4x
.
Es decir, g(x) es una combinación lineal de funciones de la clase
P(x)
an xn
an
1
xn
1
a1x
P(x) eax,
a0,
P(x) eax sen x
P(x) eax cos x,
y
donde nHVXQHQWHURQRQHJDWLYR\Į y ȕVRQQ~PHURVUHDOHV(OPpWRGRGHFRH¿FLHQWHV
LQGHWHUPLQDGRVQRHVDSOLFDEOHDHFXDFLRQHVGHODIRUPD FXDQGR
g(x)
ln x, g(x)
1
,
x
tan x, g(x)
g(x)
sen 1x,
HWFpWHUD/DVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHQODVTXHODHQWUDGDg(x HVXQDIXQFLyQGHHVWD
~OWLPDFODVHVHFRQVLGHUDQHQODVHFFLyQ
(O FRQMXQWR GH IXQFLRQHV TXH FRQVLVWH HQ FRQVWDQWHV SROLQRPLDOHV H[SRQHQciales eĮ[ VHQRV \ FRVHQRV WLHQH OD QRWDEOH SURSLHGDG GH TXH ODV GHULYDGDV GH VXV
VXPDV\SURGXFWRVVRQGHQXHYRVXPDV\SURGXFWRVGHFRQVWDQWHVSROLQRPLDOHVH[ponenciales eĮ[ VHQRV \ FRVHQRV 'HELGR D TXH OD FRPELQDFLyQ OLQHDO GH GHULYDGDV
1)
an y (n)
an 1 y (n
a1 yp
a 0 y pGHEHVHULGpQWLFDDg(x), parece razonable
p
p
VXSRQHUTXHyp tiene la misma forma que g(x).
(QORVGRVHMHPSORVVLJXLHQWHVVHLOXVWUDHOPpWRGREiVLFR
EJEMPLO 1
5HVXHOYDy
4y
6ROXFLyQJHQHUDOXVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV
2x2
2y
3x
6.
SOLUCIÓN Paso 1. 6H UHVXHOYH SULPHUR OD HFXDFLyQ KRPRJpQHD DVRFLDGD y y y 'H OD IyUPXOD FXDGUiWLFDVH HQFXHQWUD TXH ODV UDtFHV GH OD HFXDFLyQ
2
16 y m2
2
16 3RUWDQWROD
auxiliar m m 0 son m1
IXQFLyQFRPSOHPHQWDULDHV
yc
c1e (2
)
c2 e(
16 x
).
2 16 x
Paso 2. $KRUDGHELGRDTXHODIXQFLyQg(x HVSROLQRPLDOFXDGUiWLFDVXSRQJDPRV
XQDVROXFLyQSDUWLFXODUTXHWDPELpQHVGHODIRUPDGHSROLQRPLDOFXDGUiWLFD
yp
Ax2
Bx
C.
6HEXVFDGHWHUPLQDUFRH¿FLHQWHVHVSHFt¿FRV$, B y C para los cuales yp es una solución
GH 6XVWLWX\HQGRyp\ODVGHULYDGDV
yp
2Ax
B
y
yp
2A
HQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO VHREWLHQH
yp
4yp
2yp
2A
8Ax
4B
2Ax 2
2Bx
2C
2x 2
3x
6.
144
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
&RPRVHVXSRQHTXHOD~OWLPDHFXDFLyQHVXQDLGHQWLGDGORVFRH¿FLHQWHVGHORVH[SRQHQWHVVHPHMDQWHVDx deben ser iguales:
igual
2A x2 8A 2B x 2A
Es decir,
2,
8A
2A 4B 2C
2B
3,
2A
2x2 3x 6
4B
2C
6.
5HVROYLHQGRHVWHVLVWHPDGHHFXDFLRQHVVHREWLHQHQORVYDORUHV$ 1, B
C $VtXQDVROXFLyQSDUWLFXODUHV
Paso 3.
5
x
2
x2
yp
5
2
y
9.
La solución general de la ecuación dada es
y
yc
yp
EJEMPLO 2
c1e (2
)
16 x
c e(
)
2 16 x
x2
5
x
2
9.
6ROXFLyQSDUWLFXODUXVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV
(QFXHQWUHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y y VHQx.
SOLUCIÓN 8QD SULPHUD VXSRVLFLyQ QDWXUDO SDUD XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU VHUtD $
VHQx.3HURGHELGRDTXHODVGHULYDGDVVXFHVLYDVGHVHQxSURGXFHQVHQx \FRVx,
VHSXHGHVXSRQHUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUTXHLQFOX\HDPERVWpUPLQRV
yp
A cos 3x
B sen 3x.
'HULYDQGR y p \ VXVWLWX\HQGR ORV UHVXOWDGRV HQ OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO VH REWLHQH
después de reagrupar,
yp
yp
yp
( 8A
3B) cos 3x
(3A
8B) sen 3x
2 sen 3x
o
igual
8A 3B
cos 3x 3A 8B
sen 3x 0 cos 3x 2 sen 3x.
'HOVLVWHPDGHHFXDFLRQHVUHVXOWDQWH
8A
VHREWLHQHA
6
73
yB
3B
0,
3A
8B
2,
16
73 8QDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQHV
yp
6
cos 3x
73
16
sen 3x.
73
&RPRVHPHQFLRQyODIRUPDTXHVHVXSRQHSDUDODVROXFLyQSDUWLFXODUy p es una inWXLFLyQHGXFDGDQRHVXQDLQWXLFLyQDFLHJDV(VWDLQWXLFLyQHGXFDGDGHEHFRQVLGHUDU
QRVyORORVWLSRVGHIXQFLRQHVTXHIRUPDQDg(x VLQRWDPELpQFRPRVHYHUiHQHO
HMHPSORODVIXQFLRQHVTXHFRQIRUPDQODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDy c .
4.4
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
EJEMPLO 3
145
Formando yp por superposición
2y
5HVXHOYD y
O
3y
4x
6xe2x. 5
SOLUCIÓN Paso 1. 3ULPHURVHHQFXHQWUDTXHODVROXFLyQGHODHFXDFLyQKRPRJpnea asociada y y y 0 es yc c1ex cex.
Paso 2. $FRQWLQXDFLyQODSUHVHQFLDGHx 5 en g(x LQGLFDTXHODVROXFLyQSDUWLFXODULQFOX\HXQSROLQRPLROLQHDO$GHPiVGHELGRDTXHODGHULYDGDGHOSURGXFWRxex
SURGXFH xex y ex VH VXSRQH WDPELpQ TXH OD VROXFLyQ SDUWLFXODU LQFOX\H WDQWR D
xex como a ex(QRWUDVSDODEUDVg es la suma de dos clases básicas de funciones:
g(x) g1(x) g(x) polinomiales exponenciales.
3RU OR TXH HO SULQFLSLR GH VXSHUSRVLFLyQ SDUD HFXDFLRQHV QR KRPRJpQHDV WHRUHPD
LQGLFDTXHVHEXVFDXQDVROXFLyQSDUWLFXODU
yp
donde yp1
Ax
Cxe2x
B y yp2
yp
yp2,
yp1
Ee2x. 6XVWLWX\HQGR
Ax
Cxe2x
B
Ee2x
HQODHFXDFLyQ \DJUXSDQGRWpUPLQRVVHPHMDQWHVVHREWLHQH
yp
2yp
3yp
3Ax
2A
3Cxe2x
3B
3E )e2x
(2C
4x
5
6xe2x.
'HHVWDLGHQWLGDGREWHQHPRVODVFXDWURH[SUHVLRQHV
3A
4,
2A
3B
5,
3C
6,
2C
3E
0.
/D ~OWLPD HFXDFLyQ HQ HVWH VLVWHPD HV UHVXOWDGR GH OD LQWHUSUHWDFLyQ GH TXH HO
FRH¿FLHQWH GH ex HQ HO PLHPEUR GHUHFKR GH HV FHUR 5HVROYLHQGR VH HQFXHQWUD
4
23
4
TXH A
3RUWDQWR
3, B
9 C, \E
3
4
x
3
yp
Paso 3.
23
9
4 2x
e .
3
2xe2x
La solución general de la ecuación es
y
c1e
x
4
x
3
c2e3x
23
9
2x
4 2x
e .
3
(QYLVWDGHOSULQFLSLRGHVXSHUSRVLFLyQ WHRUHPD VHSXHGHDSUR[LPDUWDPELpQ
HOHMHPSORGHVGHHOSXQWRGHYLVWDGHUHVROYHUGRVSUREOHPDVPiVVLPSOHV6HGHEH
FRPSUREDUTXHVXVWLWX\HQGR
y
yp1
Ax
yp2
Cxe2x
B
Ee2x
VHREWLHQHDVXYH] yp1
SDUWLFXODUGH HV yp yp1
4
3x
yp2.
en
y
2y
3y
4x
en
y
2y
3y
6xe2x
23
9
y yp2
2x
4
3
5
e2x. (QWRQFHVXQDVROXFLyQ
(QHOVLJXLHQWHHMHPSORVHLOXVWUDTXHDOJXQDVYHFHVODVXSRVLFLyQ³REYLD´SDUDOD
forma de ypQRHVXQDVXSRVLFLyQFRUUHFWD
146
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJEMPLO 4
Una falla imprevista del método
(QFXHQWUHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy 5y y 8e x.
SOLUCIÓN 'HULYDQGRexQRVHREWLHQHQQXHYDVIXQFLRQHV$VtVLVHSURFHGHFRPR
VHKL]RHQORVHMHPSORVDQWHULRUHVVHSXHGHVXSRQHUUD]RQDEOHPHQWHTXHXQDVROXFLyQ
SDUWLFXODUGHODIRUPDyp $Hx3HURVXVWLWXLUHVWDH[SUHVLyQHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
GDFRPRUHVXOWDGRODH[SUHVLyQFRQWUDGLFWRULD0 8exSRUORTXHFODUDPHQWHVHKL]R
ODFRQMHWXUDHTXLYRFDGDSDUDyp.
/DGL¿FXOWDGDTXtHVHYLGHQWHDOH[DPLQDUODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc c1ex
cex2EVHUYHTXHODVXSRVLFLyQ$Hx\DHVWiSUHVHQWHHQyc(VWRVLJQL¿FDTXHex es
XQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOKRPRJpQHDDVRFLDGD\XQP~OWLSORFRQVWDQWH
$HxFXDQGRVHVXVWLWX\HHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQHFHVDULDPHQWHGDFHUR
¢(QWRQFHVFXiOGHEHVHUODIRUPDGHyp",QVSLUDGRVHQHOFDVR,,GHODVHFFLyQ
YHPRVTXHVtVHSXHGHHQFRQWUDUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODIRUPD
6XVWLWX\HQGR y p Axe x
VLPSOL¿FDQGRVHREWLHQH
yp
yp
Axex.
Ae x y y p
Axe x
5yp
4yp
2Ae x en la ecuación diferencial y
3Ae x
8e x.
'HOD~OWLPDLJXDOGDGVHYHTXHHOYDORUGH$DKRUDVHGHWHUPLQDFRPR A
8
x
WDQWRXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQGDGDHVyp
3 xe .
8
3.
Por
/DGLIHUHQFLDHQORVSURFHGLPLHQWRVXVDGRVHQORVHMHPSORVD\HQHOHMHPSORLQGLFD
TXHVHFRQVLGHUDQGRVFDVRV(OSULPHUFDVRUHÀHMDODVLWXDFLyQHQORVHMHPSORVD
CASO I 1LQJXQDIXQFLyQGHODVROXFLyQSDUWLFXODUVXSXHVWDHVXQDVROXFLyQGHOD
ecuación diferencial homogénea asociada.
(QODWDEODVHPXHVWUDQDOJXQRVHMHPSORVHVSHFt¿FRVGHg(x HQ MXQWRFRQ
ODIRUPDFRUUHVSRQGLHQWHGHODVROXFLyQSDUWLFXODU3RUVXSXHVWRVHGDSRUVHQWDGRTXH
QLQJXQDIXQFLyQGHODVROXFLyQSDUWLFXODUVXSXHVWDyp se duplica por una función en la
IXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc.
TABLA 4.4.1 6ROXFLRQHVSDUWLFXODUHVGHSUXHED
g(x)
Forma de y p
1. FXDOTXLHUFRQVWDQWH $
2. 5x 7
$[ B
3. x $[ Bx C
4. x x 1
$[ Bx Cx E
5. VHQx
$FRVx BVHQx
6. FRVx
$FRVx BVHQx
7. e 5x
$H 5x
8. (9x e 5x
($[ B) e 5x
5x
9. x e
($[ Bx C) e 5x
10. e xVHQx
$H xFRVx BexVHQx
11. 5x VHQx
($[ Bx C FRVx (Ex Fx G VHQx
($[ B)e xFRVx (Cx E)e xVHQx
12. x e xFRVx
4.4
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
EJEMPLO 5
O
147
Formas de soluciones particulares. Caso I
'HWHUPLQHODIRUPDGHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH
a) y 8y y 5x ex 7ex
b) y y x cos x
SOLUCIÓN a) Se puede escribir g(x) (5x 7)ex8VDQGRHOHOHPHQWRGHOD
WDEODFRPRPRGHORVXSRQHPRVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODIRUPD
(Ax3
yp
Bx2
E)e x.
Cx
2EVHUYHTXHQRKD\GXSOLFDFLyQHQWUHORVWpUPLQRVHQyp\ORVWpUPLQRVHQODIXQFLyQ
FRPSOHPHQWDULDy c e x(c1FRVx cVHQx).
b) La función g(x) x cos xHVVLPLODUDOHOHPHQWRGHODWDEODH[FHSWRSRU
VXSXHVWRTXHVHXVDXQSROLQRPLROLQHDOHQYH]GHXQRFXDGUiWLFR\FRVx y sen x en
OXJDUGHFRVx\VHQx en la forma de yp:
yp
(Ax
B) cos x
(Cx
E) sen x.
2EVHUYHTXHQRKD\GXSOLFDFLyQGHWpUPLQRVHQWUHy p y y c c1FRVx cVHQx.
Si g(x FRQVLVWHHQXQDVXPDGHGLJDPRVmWpUPLQRVGHODFODVHOLVWDGDHQODWDEOD
HQWRQFHV FRPRHQHOHMHPSOR ODVXSRVLFLyQSDUDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUypFRQVLVWH
en la suma de las formas de prueba yp1, yp2 , . . . , ypm FRUUHVSRQGLHQWHVDHVWRVWpUPLQRV
yp
yp1
ypm.
yp2
(OHQXQFLDGRDQWHULRUVHSXHGHHVFULELUGHRWUDIRUPD
Regla de forma para el caso I La forma de y p es una combinación lineal de
todas las funciones linealmente independientes que se generan mediante derivadas sucesivas de g(x).
EJEMPLO 6
Formación de yp por superposición. Caso I
'HWHUPLQHODIRUPDGHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH
9y
y
14y
3x2
8xe6x.
5 sen 2x
SOLUCIÓN
6HVXSRQHTXHDx le corresponde
yp1
Ax2
6HFRQVLGHUDTXHDVHQx le corresponde
yp2
E cos 2x
6HVXSRQHTXHDxe le corresponde
6x
yp3
(Gx
Bx
C.
F sen 2x.
6x
H)e .
(QWRQFHVODSUHVXQFLyQSDUDODVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQRKRPRgénea dada, es:
yp
yp1
yp2
yp3
Ax2
Bx
C
E cos 2x
F sen 2x
(Gx
H)e6x.
2EVHUYHTXHQLQJXQRGHORVVLHWHWpUPLQRVHQHVWDVXSRVLFLyQSDUDypGXSOLFDXQWpUPLQR
GHODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc c1ex c e7x.
CASO II 8QDIXQFLyQHQODVROXFLyQSDUWLFXODUVXSXHVWDWDPELpQHVXQDVROXFLyQGH
la ecuación diferencial homogénea asociada.
(OVLJXLHQWHHMHPSORHVVLPLODUDOHMHPSOR
148
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJEMPLO 7
Solución particular. Caso II
(QFXHQWUHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y y e x.
SOLUCIÓN /D IXQFLyQ FRPSOHPHQWDULDHV y c c1 e x c xe x. Como en el ejemplo
ODVXSRVLFLyQyp $HxIDOODSXHVWRTXHHVHYLGHQWHGHycTXHex es una solución de
la ecuación homogénea asociada y y y $GHPiVQRHVSRVLEOHHQFRQWUDU
XQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODIRUPDyp $[Hx\DTXHHOWpUPLQRxexWDPELpQVHGXSOLFD
en yc$FRQWLQXDFLyQVHSUXHED
yp Ax2 ex.
6XVWLWX\HQGRHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDVHREWLHQH$Hx ex, así A
VROXFLyQSDUWLFXODUHV yp 12 x2ex.
1
2.
Así, una
1XHYDPHQWHVXSRQJDTXHg(x FRQVLVWHHQmWpUPLQRVGHODFODVHTXHVHSURSRUFLRQDHQ
ODWDEOD\VXSRQJDDGHPiVTXHODSUHVXQFLyQXVXDOSDUDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUHV
yp
yp1
yp2
ypm ,
donde las ypi , i 1, 2, . . . , mVRQODVIRUPDVGHVROXFLyQSDUWLFXODUGHSUXHEDFRUUHVSRQGLHQWHVDHVWRVWpUPLQRV%DMRODVFLUFXQVWDQFLDVGHVFULWDVHQHOFDVR,,VHSXHGH
IRUPDUODVLJXLHQWHUHJODJHQHUDO
Regla de multiplicación para el caso II Si alguna ypi contiene términos que
duplican los términos de yc , entonces esa ypi se debe multiplicar por x n, donde n
es el entero positivo más pequeño que elimina esa duplicación.
EJEMPLO 8
Un problema con valores iniciales
5HVXHOYDy y x 10 sen x, y(ʌ) 0, y(ʌ) SOLUCIÓN La solución de la ecuación homogénea asociada y y 0 es y c c1 cos x c sen x.'HELGRDTXHg(x) x 10 sen x es la suma de un polinomio
lineal y una función seno, la suposición normal para ypGHODVHQWUDGDV\GHODWDEOD
sería la suma de yp1 Ax B y yp2 C cos x E sen x :
yp
Ax
B
C cos x
E sen x.
(5)
3HURKD\XQDGXSOLFDFLyQREYLDGHORVWpUPLQRVFRVx y sen xHQHVWDIRUPDVXSXHVWD\
GRVWpUPLQRVGHODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULD(VWDGXSOLFDFLyQVHHOLPLQDVLPSOHPHQWH
PXOWLSOLFDQGR yp2 por x. En lugar de (5) ahora se usa
yp
Ax
B
Cx cos x
Ex sen x.
(6)
'HULYDQGRHVWDH[SUHVLyQ\VXVWLWX\HQGRORVUHVXOWDGRVHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
VHREWLHQH
yp
yp
Ax
B
2C sen x
2E cos x
4x
10 sen x,
\SRUWDQWR$ B 0, C \E /DVVROXFLRQHVGHOVLVWHPDVRQLQPHGLDWDV$ B 0, C 5, y E 3RUWDQWRGHODHFXDFLyQ VHREWLHQHyp
x 5x cos x. La solución general de la ecuación es
y yc yp c1 cos x c2 senx 4x 5x cos x.
$KRUDVHDSOLFDQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVSUHVFULWDVDODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDción. Primero, y(ʌ) c1 cos ʌ c sen ʌ ʌ 5ʌ cos ʌ 0 produce c1 9ʌSXHVWR
TXHFRVʌ 1 y sen ʌ $KRUDGHODGHULYDGD
4.4
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
y
y( )
y
9 senx
c 2 cos x
9 sen
c 2 cos
4
4
5x sen x
5 cos x
5 sen
5 cos
149
O
2
HQFRQWUDPRVc /DVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVHVHQWRQFHV
y 9 cos x 7 sen x 4x 5x cos x.
EJEMPLO 9
Uso de la regla de multiplicación
5HVXHOYDy 6y 9y 6x e x.
SOLUCIÓN /DIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDHVy c c1e x cxe x. Y así, con base en los
HOHPHQWRV\GHODWDEODODVXSRVLFLyQXVXDOSDUDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUVHUtD
yp Ax2 Bx C Ee3x.
yp1
yp2
/DLQVSHFFLyQGHHVWDVIXQFLRQHVPXHVWUDTXHXQWpUPLQRHQ yp2 se duplica en yc. Si
PXOWLSOLFDPRV yp2 por xVHQRWDTXHHOWpUPLQRxexD~QHVSDUWHGHyc3HURPXOWLSOLcando yp2 por xVHHOLPLQDQODVGXSOLFDFLRQHV$VtODIRUPDRSHUDWLYDGHXQDVROXFLyQ
SDUWLFXODUHV
yp
Ax 2
Bx
Ex 2e 3x.
C
'HULYDQGR HVWD ~OWLPD IRUPD \ VXVWLWX\HQGR HQ OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO DJUXSDQGR
WpUPLQRVVHPHMDQWHVVHREWLHQH
yp
6yp
9yp
9Ax2
( 12A
9B)x
2A
6B
2Ee3x
9C
'H HVWD LGHQWLGDG VH WLHQH TXH A 23 , B 89 , C 32 y E
general y yc yp es y c1 e 3x c2 xe 3x 23 x 2 89 x
EJEMPLO 10
2
3
6x2
2
12e3x.
6 3RU WDQWR OD VROXFLyQ
6x 2 e 3x.
ED de tercer orden. Caso I
5HVXHOYDy y e x cos x.
SOLUCIÓN 'HODHFXDFLyQFDUDFWHUtVWLFDm m HQFRQWUDPRVTXHm1 m
0 y m $VtODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDGHODHFXDFLyQHVyc c1 cx cex. Con g(x) ex cos xVHYHGHODHQWUDGDGHODWDEODTXHVHGHEHVXSRQHU
yp Aex cos x Bex senx.
'HELGRDTXHQRKD\IXQFLRQHVHQypTXHGXSOLTXHQODVIXQFLRQHVGHODVROXFLyQFRPSOHPHQWDULDSURFHGHPRVGHODPDQHUDXVXDO'H
yp
( 2A
yp
4B)ex cos x
( 4A
2B)ex senx
ex cos x
1
VHREWLHQH$ B 1 y $ B 'HHVWHVLVWHPDVHREWLHQH A
10 y
1
1 x
1 x
B 5 DVtTXHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUHV yp
10 e cos x
5 e senx. La solución
general de la ecuación es
y
yc
EJEMPLO 11
yp
c1
c2 x
c3e
x
1 x
e cos x
10
1 x
e senx.
5
ED de cuarto orden. Caso II
'HWHUPLQHODIRUPDGHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y 1 x ex.
150
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
SOLUCIÓN Comparando y c c1 c x c x c ex con la suposición normal
SDUDXQDVROXFLyQSDUWLFXODU
yp A Bx2ex Cxex Eex,
yp1
yp2
YHPRVTXHODVGXSOLFDFLRQHVHQWUHyc y yp se eliminan cuando yp VHPXOWLSOLFDSRUx y
1
yp VHPXOWLSOLFDSRUx$VtODVXSRVLFLyQFRUUHFWDSDUDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUHVy p
$[ Bx ex Cx ex Ex ex.
COMENTARIOS
i (Q ORV SUREOHPDV D GH ORV HMHUFLFLRV VH SLGH UHVROYHU SUREOHPDV
FRQYDORUHVLQLFLDOHV\HQORVSUREOHPDVDVHSLGHUHVROYHUSUREOHPDVFRQ
YDORUHVHQODIURQWHUD&RPRVHPXHVWUDHQHOHMHPSORDVHJ~UHVHGHDSOLFDUODV
FRQGLFLRQHVLQLFLDOHVRFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDDODVROXFLyQJHQHUDOy yc
yp/RVHVWXGLDQWHVFRQIUHFXHQFLDFRPHWHQHOHUURUGHDSOLFDUHVWDVFRQGLFLRQHVVyORDODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDycSRUTXHpVWDHVODSDUWHGHODVROXFLyQTXH
FRQWLHQHODVFRQVWDQWHVc1, c, . . . , cn.
ii 'HOD³5HJODGHODIRUPDSDUDHOFDVR,´HQODSiJLQDHVWDVHFFLyQVHYH
SRUTXpHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVQRHVPX\DGHFXDGRSDUD('
OLQHDOHVQRKRPRJpQHDVFXDQGRODIXQFLyQGHHQWUDGDg(x HVDOJRGLVWLQWDGHXQR
GHORVFXDWURWLSRVEiVLFRVUHVDOWDGRVHQFRORUHQODSiJLQD3RUHMHPSOR
si P(x HVXQSROLQRPLRHQWRQFHVODGHULYDFLyQFRQWLQXDGHP(x)eĮ[ sen ȕ[ geQHUDXQFRQMXQWRLQGHSHQGLHQWHTXHFRQWLHQHVyORXQQ~PHUR¿QLWR de funciones,
WRGDVGHOPLVPRWLSRHQSDUWLFXODUXQSROLQRPLRPXOWLSOLFDGRSRUeĮ[ sen ȕ[ o
XQSROLQRPLRPXOWLSOLFDGRSRUeĮ[ cos ȕ[3RURWURODGRODGHULYDFLyQVXFHVLYD
GHIXQFLRQHVGHHQWUDGDFRPRg(x) ln x o g(x) WDQ1xJHQHUDXQFRQMXQWR
LQGHSHQGLHQWHTXHFRQWLHQHXQLQ¿QLWR de funciones:
1 1 2
derivadas de ln x: , 2 , 3 , . . . ,
x x x
1
derivadas deWDQ1 x:
1
EJERCICIOS 4.4
5. 1 y y y x x
4
6. y 8y y 100x xe x
7. y y x e x
8. y y y FRVx
9. y y 10. y y x 5 ex
1
11. y
y
y 3 e x/2
4
6x2 , . . . .
x2 ) 3
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-5.
(QORVSUREOHPDVUHVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD
XVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV
1. y y y 6
2. y 9y 15
3. y 10y y x 4. y y 6y x
2x , 2
2
x (1 x2 ) 2 (1
,
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
y 16y e x
y y VHQx
y y (x VHQx
y y x sen x
y 5y x x x 6
y y 5y e xFRVx
y y y e x(cos x VHQx)
y y y sen x FRVx
y y y 16 (x e x
y 6y cos x
y y y 8y 6xe x
y y y y x e x
y y y y 5 e x e x
y y y (x 1) y y x xex
4.4
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
28. y y y x x 11, y(0) 0, y(0) 0
y(0) 0, y(0) 10
30. y y y x)ex,
31. y y 5y e
x
32. y y cosh x,
,
y(0) y(0) 5
y(0) y(0) 1
44. ([SOLTXH FyPR VH SXHGH XVDU HO PpWRGR GH HVWD VHFFLyQSDUDHQFRQWUDUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y sen xFRVx'HVDUUROOHVXLGHD
y(0) y(0) 33.
d 2x
dt 2
v 2x
F0 sen t,
x(0) 0, x(0) 0
34.
d 2x
dt 2
v 2x
F0 cos t,
x(0) 0, x(0) 0
35. yy y
y y
y e x e5x,
5
9
y (0) 2, y (0)
2
36. y 8y x 5 8ex,
y(0) y(0)
(QORVSUREOHPDVVLQUHVROYHUUHODFLRQHXQDFXUYDVROXción de y y f(x TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDFRQXQD
GHODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHV
i) f (x) 1,
iii) f (x) e x,
v) f (x) e x sen x,
1
2,
ii) f (x) ex,
iv) f (x) VHQx,
vi) f (x) sen x.
$QDOLFHEUHYHPHQWHVXUD]RQDPLHQWR
y(0) 5, y(0) y
45
(QORVSUREOHPDVUHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQ
ODIURQWHUDGDGR
37. y y x 1,
y(0) 5, y(1) 0
x
38. y y y x y(0) 0, y(ʌ) ʌ
39. y y 6x,
y(0) 0, y(1) y(1) 0
40. y y 6x,
y(0) y(0) 0, y(1) 0
FIGURA 4.4.1 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
(QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGDGRHQHOTXHODIXQFLyQGHHQWUDGDg(x HVGLVFRQWLQXD
>Sugerencia:5HVXHOYDFDGDSUREOHPDHQGRVLQWHUYDORV\GHVSXpVHQFXHQWUHXQDVROXFLyQWDOTXHy y yVHDQFRQWLQXDVHQ
x ʌ SUREOHPD \HQx ʌ SUREOHPD @
46
y
41. y y g(x), y(0) 1, y(0) GRQGH
g(x)
sen x, 0
0,
x
42. y y 10y g(x),
g(x)
20, 0
0,
x
x
FIGURA 4.4.2
>2
x
>2
y(0) 0, y(0) 0,
151
b) Si kHVXQDUDt]GHODHFXDFLyQDX[LOLDUGHPXOWLSOLFLGDGXQRGHPXHVWUHTXHVHSXHGHHQFRQWUDUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODIRUPDyp $[Hkx, donde $ 1 ak b ([SOLTXHFyPRVHVDEHTXHk ba.
c) Si kHVXQDUDt]GHODHFXDFLyQDX[LOLDUGHPXOWLSOLFLGDG GRV GHPXHVWUH TXH SRGHPRV HQFRQWUDU XQD
VROXFLyQSDUWLFXODUGHODIRUPDy $[ekx, donde $
1 a).
(Q ORV SUREOHPDV UHVXHOYD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV
iniciales dado.
1
,y
2
27. y y y
8
2
8
29. 5y y 6x,
O
47
*Ui¿FDGHOSUREOHPD
y
donde
x
x
FIGURA 4.4.3
Problemas para analizar
43. Considere la ecuación diferencial ay by cy ekx,
donde a, b, c y kVRQFRQVWDQWHV/DHFXDFLyQDX[LOLDUGH
la ecuación homogénea asociada es am bm c 0.
a) Si kQRHVXQDUDt]GHODHFXDFLyQDX[LOLDUGHPXHVWUH
TXHVHSXHGHHQFRQWUDUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHOD
forma yp $Hkx, donde $ 1(ak bk c).
48
*Ui¿FDGHOSUREOHPD
y
x
FIGURA 4.4.4
*Ui¿FDGHOSUREOHPD
152
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
49. y y 8y x x)e xFRVx
(10x x 1)e xVHQx
Tarea para el laboratorio de computación
(QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHXQDVROXFLyQSDUWLFXODU
de la ecuación diferencial dada. Use un SAC como ayuda para
UHDOL]DUODVGHULYDGDVVLPSOL¿FDFLRQHV\iOJHEUD
4.5
50. y y y FRVx x sen x
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR
(Q OD VHFFLyQ YLPRV TXH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH n-ésimo orden se
INTRODUCCIÓN
puede escribir como
an Dn y
an 1Dn 1 y
a1Dy
a0 y
g(x),
(1)
donde D y d ydx , k 0, 1, . . . , n.&XDQGRHVDGHFXDGRODHFXDFLyQ WDPELpQVHHVFULEHFRPR
L(y) g(x), donde LGHQRWDHORSHUDGRUGLIHUHQFLDORSROLQRPLDOOLQHDOGHn-ésimo orden
k
k
k
an Dn
an 1Dn
1
a1D
a0. /DQRWDFLyQGHRSHUDGRUQRVyORHVXQDDEUHYLDWXUD~WLOVLQRTXHHQXQQLYHOPX\SUiFWLFRODDSOLFDFLyQ
GHRSHUDGRUHVGLIHUHQFLDOHVSHUPLWHMXVWL¿FDUODVUHJODVXQSRFRDEUXPDGRUDVSDUDGHWHUPLQDUODIRUPDGH
VROXFLyQSDUWLFXODUypSUHVHQWDGDHQODVHFFLyQDQWHULRU(QHVWDVHFFLyQQRKD\UHJODVHVSHFLDOHVODIRUPD
de ypVHGHGXFHFDVLGHPDQHUDDXWRPiWLFDXQDYH]TXHVHHQFXHQWUDXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOOLQHDODGHFXDGR
TXHanula a g(x HQ $QWHVGHLQYHVWLJDUFyPRVHUHDOL]DHVWRHVQHFHVDULRDQDOL]DUGRVFRQFHSWRV
FACTORIZACIÓN DE OPERADORES &XDQGRORVFRH¿FLHQWHVai, i 0, 1, . . . ,
nVRQFRQVWDQWHVUHDOHVXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOOLQHDO VHSXHGHIDFWRUL]DUVLHPSUH
TXHHOSROLQRPLRFDUDFWHUtVWLFRa nm n a n1m n1 a1m a 0VHDIDFWRUL]DEOH
(QRWUDVSDODEUDVVLr1 es una raíz de la ecuación auxiliar
an mn
1
a n 1 mn
a1m
0,
a0
HQWRQFHVL (D rl) P(D), donde la expresión polinomial P(D) es un operador diferencial lineal de orden n 3RUHMHPSORVLVHWUDWDDDFRPRXQDFDQWLGDGDOJHEUDLFD
HQWRQFHVHORSHUDGRUD 5D VHSXHGHIDFWRUL]DUFRPR D D RFRPR
(D D $VtVLXQDIXQFLyQy f (x WLHQHXQDVHJXQGDGHULYDGDHQWRQFHV
(D2 5D 6)y (D 2)(D 3)y (D 3)(D 2)y.
(VWRPXHVWUDXQDSURSLHGDGJHQHUDO
/RVIDFWRUHVGHXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVFRQPXWDQ
Una ecuación diferencial como y y y 0 puede escrbirse como
(D D y 0
o
(D D y 0
o
(D y 0.
OPERADOR ANULADOR Si LHVXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOOLQHDOFRQFRH¿FLHQWHV
FRQVWDQWHV\fHVXQDIXQFLyQVX¿FLHQWHPHQWHGHULYDEOHWDOTXH
L( f (x))
0,
HQWRQFHVVHGLFHTXHL es un anulador de la función. Por ejemplo, D anula una funFLyQFRQVWDQWHy kSXHVWRTXHDk 0. El operador diferencial D anula la función
4.5
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR
153
O
y xSXHVWRTXHODSULPHUD\ODVHJXQGDGHULYDGDGHxVRQ\UHVSHFWLYDPHQWH'H
manera similar, Dx HWFpWHUD
El operador diferencial Dn anula cada una de las funciones
1,
x,
x ,
...,
x n1.
&RPRXQDFRQVHFXHQFLDLQPHGLDWDGH \HOKHFKRGHTXHODGHULYDFLyQVHSXHGH
KDFHUWpUPLQRDWpUPLQRXQSROLQRPLR
c0
c2 x 2
c1x
cn 1x n
1
VHDQXODDOHQFRQWUDUXQRSHUDGRUTXHDQLTXLOHODSRWHQFLDPiVDOWDGHx.
/DVIXQFLRQHVTXHVHDQXODQSRUXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOOLQHDOGHn-ésimo orden
L VRQ VLPSOHPHQWH DTXHOODV IXQFLRQHV TXH VH REWLHQHQ GH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD
ecuación diferencial homogénea L(y) 0.
El operador diferencial (D Į)n anula cada una de las funciones
e Į[,
xe Į[,
x e Į[,
x n1e Į[.
...,
(5)
3DUD YHU HVWR REVHUYH TXH OD HFXDFLyQ DX[LOLDU GH OD HFXDFLyQ KRPRJpQHD D
Į)n y 0 es (m Į)n 3XHVWRTXHĮHVXQDUDt]GHPXOWLSOLFLGDGn, la solución
general es
y
EJEMPLO 1
c1eax
c2 xeax
cn xn 1eax.
(6)
Operadores anuladores
(QFXHQWUHXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOTXHDQXOHODIXQFLyQGDGD
a) 1 5x 8x c) e x 10xe x
b) ex
SOLUCIÓN a) 'H VHVDEHTXHDx DVtGH VHWLHQHTXH
D4(1
5x2
8x3)
0.
b) 'H FRQĮ \n OYHPRVTXH
(D
3)e
3x
0.
c) 'H \ FRQĮ \n VHWLHQHTXH
(D
2) 2 (4e2x
10xe2x )
0.
Cuando Į y ȕ, ȕ VRQ Q~PHURV UHDOHV OD IyUPXOD FXDGUiWLFD UHYHOD TXH >m ĮP (Į ȕ)]n WLHQHUDtFHVFRPSOHMDVĮ Lȕ, Į LȕDPEDVGHPXOWLSOLFLGDG
n'HODQiOLVLVDO¿QDOGHODVHFFLyQVHWLHQHHOVLJXLHQWHUHVXOWDGR
(O RSHUDGRU GLIHUHQFLDO >D Į' (Į ȕ)]n anula cada una de las funciones
e x cos x, xe x cos x, x2e x cos x, . . . , xn 1e x cos x,
e x sen x, xe x sen x, x2e x sen x, . . . , xn 1e x sen x.
(7)
154
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJEMPLO 2
Operador anulador
(QFXHQWUHXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOTXHDQXOHexFRVx 9exVHQx.
La inspección de las funciones exFRVx y exVHQxPXHVWUDTXHĮ
1 y ȕ 3RUWDQWRGHODHFXDFLyQ VHFRQFOX\HTXHD D 5 anulará
cualquierIXQFLyQTXHVHDFRPELQDFLyQOLQHDOGHHVWDVIXQFLRQHVWDOHVFRPRex cos
x 9exVHQx.
SOLUCIÓN
Cuando Į 0 y n 1, un caso especial de (7) es
(D2
2
)
cos x
sen x
0.
(8)
Por ejemplo D DQXODUiFXDOTXLHUFRPELQDFLyQOLQHDOGHVHQx\FRVx.
&RQIUHFXHQFLDHVWDPRVLQWHUHVDGRVHQDQXODUODVXPDGHGRVRPiVIXQFLRQHV
&RPRDFDEDPRVGHYHUHQORVHMHPSORV\VLLHVXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOOLQHDOWDO
TXHL(y1) 0 y L(y) HQWRQFHVL anulará la combinación lineal c1 y1(x) cy(x).
(VWDHVXQDFRQVHFXHQFLDGLUHFWDGHOWHRUHPD6XSRQJDPRVDKRUDTXHL1 y L son
RSHUDGRUHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVWDOHVTXHL1 anula a y1(x)
y L anula a y(x), pero L1(y) 0 y L(y1) (QWRQFHVHOproducto de los operadores
diferenciales L1L anula la suma c1 y1(x) cy(x (VWRVHSXHGHGHPRVWUDUIiFLOPHQWH
XVDQGRODOLQHDOLGDG\HOKHFKRGHTXHL1L LL1:
L1L2(y1 y2) L1L2(y1) L1L2(y2)
L2L1(y1) L1L2(y2)
L2[L1(y1)] L1[L2(y2)] 0.
cero
cero
3RU HMHPSOR VDEHPRV GH TXH D anula a 7 x \ GH TXH D 16 anula a
VHQx3RUWDQWRHOSURGXFWRGHRSHUDGRUHVD(D 16) anulará la combinación lineal
7 x VHQx.
NOTA (ORSHUDGRUGLIHUHQFLDOTXHDQXODXQDIXQFLyQQRHV~QLFR9LPRVHQHOLQFLVRE GHOHMHPSORTXHD DQXODDexSHURWDPELpQDORVRSHUDGRUHVGLIHUHQciales de orden superior siempre y cuando D VHDXQRGHORVIDFWRUHVGHORSHUDGRU
Por ejemplo (D D 1), (D y D(D WRGRVDQXODQDex. (Compruebe
HVWR &RPRDOJRQDWXUDOFXDQGRVHEXVFDXQDQXODGRUGLIHUHQFLDOSDUDXQDIXQFLyQ
y f(x VHTXLHUHTXHHORSHUDGRUGH mínimo orden posibleKDJDHOWUDEDMR
COEFICIENTES INDETERMINADOS /RDQWHULRUOOHYDDOSXQWRGHODQiOLVLVSUHYLR 6XSRQJD TXH L(y) g(x HV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO FRQ FRH¿FLHQWHV
FRQVWDQWHV\TXHODHQWUDGDg(x FRQVLVWHHQVXPDV\SURGXFWRV¿QLWRVGHODVIXQFLRQHV
OLVWDGDVHQ \ HVGHFLUg(x) es una combinación lineal de funciones de la
forma
k (constante), x m,
x me x,
x me x cos x,
y
x me x sen x,
donde mHVXQHQWHURQRQHJDWLYR\Į y ȕVRQQ~PHURVUHDOHV$KRUDVHVDEHTXHXQD
función como g(x) puede ser anulada por un operador diferencial L1 de menor orden,
TXHHVSURGXFWRGHORVRSHUDGRUHVDn, (D Į)n y (D Į' Į ȕ)n. Al aplicar
L1 a ambos lados de la ecuación L(y) g(x VHREWLHQHL1L(y) L1(g(x)) 0. Al
UHVROYHUODHFXDFLyQhomogénea de orden superior L1L(y) 0, se descubre la forma
GHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUyp para la ecuación original no homogénea L(y) g(x).
(QWRQFHVVXVWLWXLPRVHVWDIRUPDVXSXHVWDHQL(y) g(x SDUDHQFRQWUDUXQDVROX-
4.5
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR
O
155
FLyQSDUWLFXODUH[SOtFLWD(VWHSURFHGLPLHQWRSDUDGHWHUPLQDUyp, llamado método
GHORVFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVHLOXVWUDDFRQWLQXDFLyQHQYDULRVHMHPSORV
$QWHVGHSURFHGHUUHFXHUGHTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
lineal no homogénea L(y) g(x) es y yc yp donde ycHVODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULD
es decir, la solución general de la ecuación homogénea asociada L(y) 0. La solución
general de cada ecuación L(y) g(x VHGH¿QHHQHOLQWHUYDOR , ).
EJEMPLO 3
5HVXHOYDy
3y
6ROXFLyQJHQHUDOXVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV
2y
4x 2.
(9)
SOLUCIÓN Paso 1. 3ULPHUR UHVROYHPRV OD HFXDFLyQ KRPRJpQHD y y y
(QWRQFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUm m (m l)(m 0 se encuenWUDml 1 y m \DVtODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDHV
yc c1ex cex.
Paso 2. $KRUD SXHVWR TXH x se anula con el operador diferencial D VH YH TXH
D(D D y DxHVORPLVPRTXH
D (D D y 0.
(10)
/DHFXDFLyQDX[LOLDUGHODHFXDFLyQGHTXLQWRRUGHQHQ m(m m 0
m(m 1)(m 0,
o
WLHQHUDtFHVml m m 0, m 1, y m5 $VtTXHVXVROXFLyQJHQHUDOGHEHVHU
y c1 cx cx ce x c5e x
(11)
/RVWpUPLQRVGHOFXDGURVRPEUHDGRHQ FRQVWLWX\HQODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULD
GHODHFXDFLyQRULJLQDO 6HSXHGHDUJXPHQWDUTXHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUyp, de (9)
WDPELpQGHEHVDWLVIDFHUODHFXDFLyQ (VWRVLJQL¿FDTXHORVWpUPLQRVUHVWDQWHVHQ
GHEHQWHQHUODIRUPDEiVLFDGHyp:
yp
A
Cx2,
Bx
GRQGHSRUFRQYHQLHQFLDKHPRVUHPSOD]DGRc1, c y c por $, B y CUHVSHFWLYDPHQWH
3DUDTXH VHDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH HVQHFHVDULRHQFRQWUDUFRH¿FLHQWHV
HVSHFt¿FRV $, B y C'HULYDQGRODHFXDFLyQ VHWLHQHTXH
yp
B
2Cx,
yp
2C,
\VXVWLWX\HQGRHVWRHQODHFXDFLyQ VHREWLHQH
yp
3yp
2yp
2C
3B
6Cx
2A
2Bx
2Cx2
4x2.
&RPRVHVXSRQHTXHOD~OWLPDHFXDFLyQHVXQDLGHQWLGDGORVFRH¿FLHQWHVGHSRWHQFLDV
VHPHMDQWHVGHx deben ser iguales:
iguales
2C x2 2B 6C x Es decir
2C
4,
2B
6C
2A 3B 2C
0,
2A
3B
4x2 0x 0.
2C
0. 156
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
5HVROYLHQGRODVHFXDFLRQHVGH VHREWLHQH$ 7, B 6 y C 3RUWDQWR
yp 7 6x x.
Paso 3.
La solución general de la ecuación en (9) es y yc yp o
y
EJEMPLO 4
x
c1e
c2e
2x
7
2x2.
6x
6ROXFLyQJHQHUDOXVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV
5HVXHOYDy y 8e x VHQx
SOLUCIÓN Paso 1. La ecuación auxiliar para la ecuación homogénea asociada
y y 0 es m m m(m \SRUWDQWRyc c1 cex.
Paso 2. $KRUDSXHVWRTXH D ex 0 y (D 1) sen x 0, se aplica el operador
diferencial (D D DDPERVODGRVGHODHFXDFLyQ 3)(D2
(D
1)(D2
3D)y
0.
(15)
La ecuación auxiliar de (15) es:
(m
3)(m2
1)(m2
3m)
y c1 cex
Así
3) 2 (m2
0 o m(m
c3 xe3x
c4 cos x
1)
0.
c5 senx.
8QD YH] TXH VH H[FOX\H OD FRPELQDFLyQ OLQHDO GH WpUPLQRV GHQWUR GHO FXDGUR TXH
corresponde a ycVHREWLHQHODIRUPDGHyp:
yp
Axe3x
B cos x
C sen x.
6XVWLWX\HQGRypHQ \VLPSOL¿FDQGRVHREWLHQH
yp
3yp
3Ae3x
( B
3C) cos x
(3B
8e3x
C) sen x
4 sen x.
,JXDODQGRORVFRH¿FLHQWHVVHREWLHQHTXH$ 8, B C \B C 6H
2
HQFXHQWUDTXH A 83, B 65 , y C
\SRUWDQWR
5
yp
8 3x
xe
3
6
cos x
5
2
sen x.
5
Paso 3. (QWRQFHVODVROXFLyQJHQHUDOGH HV
y
EJEMPLO 5
5HVXHOYD y
y
c1
8 3x
xe
3
c2e3x
6
cos x
5
2
sen x.
5
6ROXFLyQJHQHUDOXVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV
x cos x
cos x.
(16)
/DIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDHVyc c1 cos x c sen x. Ahora al comparar cos x y x cos xFRQODVIXQFLRQHVGHOSULPHUUHQJOyQGH YHPRVTXHĮ 0 y
n 1 y así (D 1) es un anulador para el miembro derecho de la ecuación en (16).
$SOLFDQGRHVWHRSHUDGRUDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHREWLHQH
SOLUCIÓN
(D2
1)2 (D2
1)y
0 o (D2
1)3 y
0.
3XHVWRTXHi y iVRQUDtFHVFRPSOHMDVGHPXOWLSOLFLGDGGHOD~OWLPDHFXDFLyQDX[LOLDUVHFRQFOX\HTXH
y c1 cos x c sen x
c3 x cos x
c4 x sen x
c5 x2 cos x
c6 x2 sen x.
4.5
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR
157
O
6XVWLWX\HQGR
Ax cos x
yp
Cx2 cos x
Bx sen x
Ex2 sen x
HQ \VLPSOL¿FDQGR
yp
4 Ex cos x 4 Cx sen x
x cos x cos x.
yp
(2B
2C) cos x
( 2A
2E) sen x
,JXDODQGRORVFRH¿FLHQWHVVHREWLHQHQODVHFXDFLRQHVE 1, C B C
1
1
0 y E 14 . Por
1, y $ E GHODVTXHHQFRQWUDPRV A 4 B
2, C
WDQWRODVROXFLyQJHQHUDOGH HV
y
c1 cos x
EJEMPLO 6
1
x cos x
4
c2 sen x
1
x sen x
2
1 2
x sen x.
4
Forma de una solución particular
'HWHUPLQHODIRUPDGHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUSDUD
2y
y
10e
y
2x
cos x.
(17)
/DIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDGHODHFXDFLyQGDGDHVyc c1ex cxex.
Ahora de (7), con Į ȕ 1 y n VHVDEHTXH
SOLUCIÓN
(D2
4D
5)e
2x
cos x
0.
Aplicando el operador D D D VHREWLHQH
(D2
4D
5)(D2
2D
1)y
0.
(18)
3XHVWRTXHODVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUGH VRQ±i, i\YHPRVGH
y c1ex cxex
c3e
2x
cos x
c4e
2x
sen x
TXHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH VHSXHGHHQFRQWUDUFRQODIRUPD
yp
EJEMPLO 7
Ae
2x
cos x
2x
Be
sen x.
Forma de una solución particular
'HWHUPLQHODIRUPDGHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUSDUD
4y
y
4y
5x 2
(D
2)3x2e2x
4x 2e 2x
6x
3e 5x.
(19)
SOLUCIÓN 2EVHUYHTXH
D3(5x2
6x)
0,
0
5)e5x
(D
y
0.
3RUWDQWRD(D (D DSOLFDGRD VHREWLHQH
D 3(D
o
2)3(D
5)(D 3
4
D (D
4D 2
5
2) (D
4D)y
0
5)y
0.
/DVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUSDUDOD~OWLPDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVRQ
\3RUWDQWR
y c1 cx cx cx c5ex c6xex c௘x e x c8x ex c9x ex c10e 5x.
158
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
'HELGRDTXHODFRPELQDFLyQOLQHDOc1 c5ex c6xex corresponde a la función comSOHPHQWDULDGH ORVWpUPLQRVUHVWDQWHVHQ GDQODIRUPDGHXQDVROXFLyQSDUWLcular de la ecuación diferencial:
yp
Ax
Bx 2
Cx 3
Ex 2e 2x
Fx 3e 2x
Gx 4e 2x
He 5x.
RESUMEN DEL MÉTODO 3RUFRQYHQLHQFLDVHUHVXPHHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHV
LQGHWHUPLQDGRVFRPRVLJXH
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR
La ecuación diferencial L(y) g(x WLHQHFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV\ODIXQFLyQ
g(x FRQVLVWHHQVXPDV\SURGXFWRV¿QLWRVGHFRQVWDQWHVSROLQRPLRVIXQFLRQHV
exponenciales eĮ[, senos y cosenos.
i (QFXHQWUHODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc para la ecuación homogénea
L(y) 0.
ii) Opere ambos lados de la ecuación no homogénea L(y) g(x) con un
operador diferencial L1TXHDQXODODIXQFLyQg(x).
iii 'HWHUPLQHODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOKRPRJpQHDGH
orden superior L1L(y) 0.
࣠LY) Elimine de la solución del paso iii ORVWpUPLQRVTXHVHGXSOLFDQHQ
ODVROXFLyQFRPSOHPHQWDULDycHQFRQWUDGDHQHOSDVRi). Forme una
combinación lineal ypGHORVWpUPLQRVUHVWDQWHV(VWDHVODIRUPDGHXQD
VROXFLyQSDUWLFXODUGHL(y) g(x).
v 6XVWLWX\DypHQFRQWUDGDHQHOSDVRiv) en L(y) g(x ,JXDOHORV
FRH¿FLHQWHVGHODVGLVWLQWDVIXQFLRQHVHQFDGDODGRGHODLJXDOGDG
\UHVXHOYDHOVLVWHPDUHVXOWDQWHGHHFXDFLRQHVSDUDGHWHUPLQDUORV
FRH¿FLHQWHVGHVFRQRFLGRVGHyp.
vi &RQODVROXFLyQSDUWLFXODUHQFRQWUDGDHQHOSDVRv), forme la solución
general y yc yp de la ecuación diferencial dada.
COMENTARIOS
(OPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVQRHVDSOLFDEOHDHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVQLWDPSRFRHVDSOLFDEOHDHFXDFLRQHV
OLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVFXDQGRg(x HVXQDIXQFLyQWDOTXH
g(x)
ln x,
g(x)
1
,
x
g(x)
tan x,
g(x)
sen 1 x,
HWFpWHUD/DVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHQODVTXHODHQWUDGDg(x) es una función
GHHVWD~OWLPDFODVHVHFRQVLGHUDQHQODVLJXLHQWHVHFFLyQ
EJERCICIOS 4.5
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-5.
En los problemas 1-10 escriba la ecuación diferencial en la
forma L(y) g(x), donde L es un operador diferencial lineal
FRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV6LHVSRVLEOHIDFWRULFHL.
1. 9y y sen x
3. y y y x 6
5. y 10y y e x
2. y 5y x x
4. y y y 1
6. y y e xFRVx
7.
8.
9.
10.
y y y 10y xex
y y y x cos x x
y 8y y 8y 16y (x x)e x
(QORVSUREOHPDVFRPSUXHEHTXHHORSHUDGRUGLIHUHQFLDO
anula las funciones indicadas.
4.6
11. D ;
y 10x x
12. D 1; y e x
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
51. y y x e x 5
14. D y FRVx 5 sen 8x
52. y y y x ex
5x
159
50. y y 10y x(e x 1)
13. (D D 5); y e e
x
O
15. 1 6x x 16. x (1 5x)
53. y y 5y e x sen x
1
y
y ex(sen 3x cos 3x)
54. y
4
55. y y VHQx
56. y y FRVx sen x
17. 1 7e x
18. x xe 6x
57. y y y x sen x
19. FRVx
20. 1 sen x
59. y 8y 6x 9x 21. x 9x VHQx
22. 8x sen x 10 cos 5x
60. y y y y xe x ex 7
23. ex xe x x e x
24. e x) 61. y y y y e x x 16
25. e xFRVx
26. ex sen x e x cos x
62. y y y y (e x ex) (Q ORV SUREOHPDV GHWHUPLQH HO RSHUDGRU GLIHUHQFLDO
OLQHDOTXHDQXODODIXQFLyQGDGD
(QORVSUREOHPDVGHWHUPLQHODVIXQFLRQHVOLQHDOPHQWH
LQGHSHQGLHQWHVTXHDQXODQHORSHUDGRUGLIHUHQFLDOGDGR
58. y y cosx
63. y y y e x 1
64. y y 5x e x
27. D 5
28. D D
29. (D D 30. D 9D (QORVSUREOHPDVUHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLciales.
31. D 5
32. D 6D 10
33. D 10D D
34. D (D 5)(D 7)
65. y y 16,
(QORVSUREOHPDVUHVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD
XVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV
35. y 9y 36. y 7y 5y 37. y y 38. y y y 10
39. y y y x 6
40. y y x 5
41. y y 8x
42. y y y x x
43. y y y e x
44. y y y 5e 6x
45. y y y e x 9
46. y 6y 8y ex x
47. y y 6 sen x
48. y y FRVx VHQx 8
49. y 6y 9y xe x
4.6
66. y y x,
y(0) 1, y(0) 0
y(0) 1, y(0) 0
67. y 5y x y(0) 0, y(0) 68. y 5y 6y 10e x,
y(0) 1, y(0) 1
69. y y FRVx VHQx,
70. y y y xe x 5,
y(0) 1
71. y y 8y x ,
72. y y x e x,
y (0) 0
1, y
2
2
y(0) y(0) y
0
y(0) y(0) y(0) 0, y(0) 0, y(0) 0,
Problemas para analizar
73. 6XSRQJDTXHLHVXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOOLQHDOTXHVH
IDFWRUL]DSHURTXHWLHQHFRH¿FLHQWHVYDULDEOHV¢&RQPXWDQ
ORVIDFWRUHVGHL"'H¿HQGDVXUHVSXHVWD
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
INTRODUCCIÓN (QHODQiOLVLVGHODVVHFFLRQHV\VHLQGLFDTXHHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVWLHQHGRVGHELOLGDGHVLQKHUHQWHVTXHOLPLWDQXQDDSOLFDFLyQPiVDPSOLDDHFXDFLRQHVOLQHDOHV
/D('GHEHWHQHUFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV\ODIXQFLyQGHHQWUDGDg(x GHEHVHUGHOWLSRTXHVHSUHVHQWDHQ
ODWDEOD(QHVWDVHFFLyQH[DPLQDPRVXQPpWRGRSDUDGHWHUPLQDUXQDVROXFLyQypGHXQD('OLQHDO
QRKRPRJpQHDTXHWHyULFDPHQWHQRWLHQHUHVWULFFLRQHVVREUHpVWD(VWH PpWRGR GHELGR DO HPLQHQWH
DVWUyQRPRJoseph Louis Lagrange VHFRQRFHFRPRvariación de parámetros.
$QWHVGHH[DPLQDUHVWHSRGHURVRPpWRGRSDUDHFXDFLRQHVGHRUGHQVXSHULRUUHYLVDUHPRVODVROXFLyQGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVGHSULPHURUGHQTXHVHKDQH[SUHVDGRHQVXIRUPDHVWiQGDU
160
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
(ODQiOLVLVTXHVLJXHDOSULPHUHQFDEH]DGRGHHVWDVHFFLyQHVRSFLRQDOHLQWHQWDPRWLYDUHODQiOLVLVSULQFLSDOGHHVWDVHFFLyQTXHFRPLHQ]DGHEDMRGHOVHJXQGRHQFDEH]DGR6LHVWiSUHVLRQDGRSRUHOWLHPSR
HVWHPDWHULDOPRWLYDFLRQDOVHSRGUtDDVLJQDUFRPROHFWXUD
REVISIÓN DE LAS ED LINEALES DE PRIMER ORDEN En la sección
YLPRV TXH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ
a1(x) y a0(x) y g(x VHSXHGHHQFRQWUDUHVFULELpQGRODHQODIRUPDHVWiQGDU
dy
dx
P(x)y
(1)
f(x)
\VXSRQLHQGRTXHP(x) y f(x VRQFRQWLQXDVVREUHXQLQWHUYDORFRP~QI8VDQGRHOPpWRGRGHOIDFWRUGHLQWHJUDFLyQODVROXFLyQJHQHUDOGH VREUHHOLQWHUYDORIVHHQFRQWUy
9HDODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQ
y
c1e
P(x)dx
e
P(x)dx
e
P(x)dx
f(x) dx.
/DVROXFLyQDQWHULRUWLHQHODPLVPDIRUPDTXHHOWHRUHPDHVGHFLUy yc yp.
(QHVWHFDVR yc c1e P(x)dx es una solución de la ecuación homogénea asociada
dy
dx
yp
y
(OSURFHGLPLHQWREiVLFRHVHOTXHVH
XVyHQODVHFFLyQ
P(x)y
P(x)dx
e
e
0
P(x)dx
(2)
f (x) dx
(3)
HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQQRKRPRJpQHD &RPRXQPHGLRGHPRWLYDFLyQGHXQPpWRGRSDUDUHVROYHUHFXDFLRQHVOLQHDOHVQRKRPRJpQHDVGHRUGHQVXSHULRUSDUDGHGXFLUODVROXFLyQSDUWLFXODU GHXQPpWRGRFRQRFLGRFRPRvariación
de parámetros.
6XSRQLHQGRTXH y1HVXQDVROXFLyQFRQRFLGDGHODHFXDFLyQKRPRJpQHD dy1
dx
P(x)y1
0
(4)
(VIiFLOGHPRVWUDUTXH y1 e P(x)dx HVXQDVROXFLyQGH \GHELGRDODHFXDFLyQ
lineal, c1 y1(x HVVXVROXFLyQJHQHUDO/DYDULDFLyQGHSDUiPHWURVFRQVLVWHHQHQFRQWUDU
XQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH GHODIRUPDyp u1(x)y1(x)(QRWUDVSDODEUDVKHPRV
reemplazado el parámetro c1 por una función u1.
$OVXVWLWXLUyp u1 y1HQ \XVDUODUHJODGHOSURGXFWRVHREWLHQH
d
uy
dx 1 1
dy
du
u1 1 y1 1
dx
dx
[ ]
P(x)u1 y1
f(x)
P(x)u1y1
f(x)
0, por la ecuación (4)
u1
así
dy1
dx
du1
dx
P(x)y1
y1
du1
dx
f (x).
y1
f (x)
4.6
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
O
161
$OVHSDUDUODVYDULDEOHVHLQWHJUDUHQFRQWUDPRVu1:
f(x)
dx se obtiene u1
y1(x)
du1
f (x)
dx.
y1 (x)
3RUWDQWRODVROXFLyQSDUWLFXODUTXHVHEXVFDHV
yp
'HO KHFKR GH TXH y1
HFXDFLyQ u1y1
P(x)dx
e
y1
f(x)
dx
y1(x)
YHPRV TXH HO ~OWLPR UHVXOWDGR HV LGpQWLFR D OD
ED LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Ahora consideremos el caso de una ecuación lineal de segundo orden
a2(x)y
a1(x)y
a0(x)y
g(x),
(5)
DXQTXHFRPRYHUHPRVODYDULDFLyQGHSDUiPHWURVVHH[WLHQGHDHFXDFLRQHVGHRUGHQ
VXSHULRU(OPpWRGRGHQXHYRHPSLH]DSRUSRQHUDODHFXDFLyQ HQVXIRUPDHVWiQGDU
y
P(x)y
Q(x)y
f (x)
(6)
GLYLGLHQGRSRUHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDOa(x (Q VHVXSRQHTXHP(x), Q(x) y f(x) son
FRQWLQXDVVREUHDOJ~QLQWHUYDORFRP~QI&RPR\DKHPRVYLVWRHQODVHFFLyQQR
KD\GL¿FXOWDGSDUDREWHQHUODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc c1 y1(x) cy(x), la soluFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQKRPRJpQHDDVRFLDGDGH FXDQGRORVFRH¿FLHQWHVVRQ
FRQVWDQWHV'HODPLVPDPDQHUDTXHHQHODQiOLVLVDQWHULRUDKRUDQRVSUHJXQWDPRVVL
SXHGHQUHPSOD]DUVHORVSDUiPHWURVc1 y c en yc, con funciones u1 y uR³SDUiPHWURV
YDULDEOHV´DVt
y
u1(x)y1(x)
(7)
u2(x)y2(x)
¢HVODVROXFLyQSDUWLFXODUGH "3DUDUHVSRQGHUHVWDSUHJXQWDVXVWLWXLPRVODHFXDFLyQ HQ 8VDQGRODUHJODGHOSURGXFWRSDUDGHULYDUGRVYHFHVDypVHREWLHQH
yp
u 1 y1
y1u 1
u 2 y2
y2u 2
yp
u1y 1
y1u1
y1u 1
u1 y1
u2 y 2
y2 u2
y2 u 2
u 2 y 2.
$OVXVWLWXLUODHFXDFLyQ \ODVGHULYDGDVDQWHULRUHVHQ \DJUXSDQGRWpUPLQRVVHREWLHQH
cero
cero
4
4
y0p 1 P(x)y9p 1 Q(x)yp 5 u1[y01 1 Py91 1 Qy1] 1 u2[y02 1 Py92 1 Qy2 ] 1 y1u01 1 u91 y91
1 y2 u02 1 u92y92 1 P[y1u91 1 y2u92 ] 1 y91u91 1 y92 u92
5
d
d
[y1u91] 1
[y2u92 ] 1 P[y1u91 1 y2u92 ] 1 y91u91 1 y92u92
dx
dx
5
d
[y1u91 1 y2u92 ] 1 P[y1u91 1 y2u92 ] 1 y91u91 1 y92u92 5 f (x).
dx
(8)
&RPRVHEXVFDGHWHUPLQDUGRVIXQFLRQHVGHVFRQRFLGDVu1 y uODUD]yQLPSRQHTXHVRQ
QHFHVDULDVGRVHFXDFLRQHV(VWDVHFXDFLRQHVVHREWLHQHQFRQODVXSRVLFLyQDGLFLRQDO
GHTXHODVIXQFLRQHVu1 y uVDWLVIDFHQ y1u 1 y2u 2 0. (VWDVXSRVLFLyQHQD]XOQRVH
SUHVHQWDSRUVRUSUHVDVLQRTXHHVUHVXOWDGRGHORVGRVSULPHURVWpUPLQRVGH SXHVWR
TXHVLVHUHTXLHUHTXH y1u 1 y2u 2 0 HQWRQFHV VHUHGXFHD y 1u 1 y 2u 2 f (x) .
$KRUDWHQHPRVQXHVWUDVGRVHFXDFLRQHVGHVHDGDVDSHVDUGHTXHVHDQGRVHFXDFLRQHV
SDUDGHWHUPLQDUODVGHULYDGDVu1 y u3RUODUHJODGH&UDPHUODVROXFLyQGHOVLVWHPD
y1u 1
y2u 2
0
y 1u 1
y 2u 2
f (x)
162
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
SXHGHH[SUHVDUVHHQWpUPLQRVGHGHWHUPLQDQWHV
y1
y1
W
donde
y2 f (x)
y u2
W
W1
W
u1
y2
,
y2
0
y2
,
f (x) y 2
W1
y1 f (x)
,
W
W2
W
(9)
y1
0
.
y 1 f (x)
W2
(10)
Las funciones u1 y uVHHQFXHQWUDQLQWHJUDQGRORVUHVXOWDGRVGH (OGHWHUPLQDQWH
WVHUHFRQRFHFRPRHO:URQVNLDQRGHy1 y y Por la independencia lineal de y1 y y
sobre IVHVDEHTXHW(y1(x), y(x)) SDUDWRGDxHQHOLQWHUYDOR
RESUMEN DEL MÉTODO 1RUPDOPHQWHQRHVEXHQDLGHDPHPRUL]DUIyUPXODV
HQOXJDUGHHQWHQGHUXQSURFHGLPLHQWR6LQHPEDUJRHOSURFHGLPLHQWRDQWHULRUHVGHPDVLDGRODUJR\FRPSOLFDGRSDUDXVDUVHFDGDYH]TXHVHGHVHHUHVROYHUXQDHFXDFLyQ
GLIHUHQFLDO(QHVWHFDVRUHVXOWDPiVH¿FD]XVDUVLPSOHPHQWHODVIyUPXODVGH $Vt
TXHSDUDUHVROYHUa y a1 y a 0 y g(x SULPHURVHHQFXHQWUDODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc c1 y1 cy\OXHJRVHFDOFXODHO:URQVNLDQRW(y1(x), y(x 'LYLGLHQGR
por aVHHVFULEHODHFXDFLyQHQODIRUPDHVWiQGDUy Py Qy f(x SDUDGHWHUminar f(x 6HHQFXHQWUDu1 y uLQWHJUDQGRu1 W1W y u WW, donde W1 y W
VH GH¿QHQ FRPR HQ 8QD VROXFLyQ SDUWLFXODU HV yp u1 y1 uy (QWRQFHV OD
solución general de la ecuación es y yc yp.
EJEMPLO 1
Solución general usando variación de parámetros
5HVXHOYDy y y (x 1)e x.
SOLUCIÓN 'HODHFXDFLyQDX[LOLDUm m (m VHWLHQHyc c1
e cxe &RQODVLGHQWL¿FDFLRQHVy1 e y y xe DFRQWLQXDFLyQVHFDOFXODHO
:URQVNLDQR
x
x
x
e2x
xe2x
2e2x 2xe2x
W(e2x, xe2x )
x
e4x.
e2x
3XHVWRTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD\DHVWiHQODIRUPD HVGHFLUHOFRH¿FLHQWH
de yHV LGHQWL¿FDPRVf(x) (x l)ex'H REWHQHPRV
W1
0
xe2x
1)e2x 2xe2x
(x
(x
2x
e
1)xe4x,
e2x
2e2x (x
W2
0
1)e2x
(x
1)e4x,
y así de (9)
u1
(x
1)xe4x
e4x
x2
x,
1)e4x
(x
u2
e
1 3
3x
,QWHJUDQGRODVGHULYDGDVDQWHULRUHVVHWLHQHTXH u1
3RUWDQWRGH VHWLHQHTXH
1 3
x
3
yp
y
y
yc
1 2 2x
x e
2
yp
c1e2x
1 2
x
2
x xe2x
c2 xe2x
x
4x
1 3 2x
xe
6
1 3 2x
xe
6
1 2
2x
1.
y u2
1 2 2x
xe
2
1 2 2x
xe .
2
1 2
2x
x.
4.6
EJEMPLO 2
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
O
163
Solución general usando variación de parámetros
5HVXHOYDy y FVFx.
SOLUCIÓN 3ULPHURVHHVFULEHODHFXDFLyQHQODIRUPDHVWiQGDU GLYLGLHQGRSRU
1
csc 3x.
4
9y
y
'HELGRDTXHODVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUm 9 0 son m1 i y m i, la
IXQFLyQFRPSOHPHQWDULDHVyc c1FRVx cVHQx. Usando y1 FRVx, y VHQx,
y f (x) 14 csc 3x REWHQHPRV
cos 3x
sen 3x
3 sen 3x 3 cos 3x
W(cos 3x, sen 3x)
W1
1
4
sen 3x
0
csc 3x 3 cos 3x
1
,
4
W1
W
1
12
,QWHJUDQGR
u1
cos 3x
3 sen 3x
W2
y
1
4
0
csc 3x
1 cos 3x
.
4 sen 3x
1 cos 3x
12 sen 3x
W2
W
u2
3,
6HREWLHQH
1
12 x
u1
1
36
y u2
ln VHQx .
$VtGH XQDVROXFLyQSDUWLFXODUHV
1
x cos 3x
12
yp
1
(sen 3x) ln sen 3x .
36
La solución general de la ecuación es
1
1
x cos 3x
(sen 3x) ln sen 3x . (11)
12
36
/DHFXDFLyQ UHSUHVHQWDODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHGLJDPRV
HOLQWHUYDOR ʌ6).
y
yc
c1 cos 3x
yp
c2 sen 3x
CONSTANTES DE INTEGRACIÓN &XDQGRVHFDOFXODQODVLQWHJUDOHVLQGH¿QLGDV
de u1 y uQRHVQHFHVDULRLQWURGXFLUDOJXQDVFRQVWDQWHV(VWRHVSRUTXH
y
yc
yp
c1 y1
(c1
C1 y1
c2 y2
(u1
a1)y1
(u2
b1)y2
a1)y1
(c2
b1)y2
u1 y1
u2 y2
C2 y2
u1 y1
u2 y2.
FUNCIONES DEFINIDAS POR INTEGRALES +HPRV YLVWR YDULDV YHFHV HQ ODV
VHFFLRQHV\FDStWXORVDQWHULRUHVTXHFXDQGRXQPpWRGRGHVROXFLyQLPSOLFDODLQWHJUDFLyQSRGHPRVHQFRQWUDULQWHJUDOHVQRHOHPHQWDOHV&RPRHQHOHMHPSORVLJXLHQWH
GRQGHVHPXHVWUDTXHDYHFHVORPHMRUTXHSRGHPRVKDFHUHQODFRQVWUXFFLyQGHXQD
VROXFLyQSDUWLFXODU GHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQOLQHDUHVXWLOL]DU
ODVIXQFLRQHVGH¿QLGDVSRULQWHJUDOHV
x
y2(t) f (t)
dt
x0 W(t)
#
u1(x) 5 2
y
u2sxd 5
x
y1(t) f (t)
dt.
x0 W(t)
#
$TXtVHKDVXSXHVWRTXHHOLQWHJUDQGRHVFRQWLQXRVREUHHOLQWHUYDOR>x0, x]. Véanse los
SUREOHPDVDHQORVHMHUFLFLRV
164
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJEMPLO 3
Solución general usando variación de parámetros
1
.
x
SOLUCIÓN La ecuación auxiliar m 1 0 produce m1 1 y m 3RUWDQWR
yc c1ex cex. Ahora W(ex, ex) \
e x(1>x)
1 xe t
u1
,
u1
dt,
2
2 x0 t
5HVXHOYD y
y
ex (1>x)
1 x et
dt.
,
u2
2
2 x0 t
3XHVWRTXHODVLQWHJUDOHVDQWHULRUHVVRQQRHOHPHQWDOHVQRVYHPRVREOLJDGRVDHVFULELU
u2
1 x
e
2
yp
\SRUWDQWR
y
yc
c1ex
yp
x
x0
c2e
e t
dt
t
1 x
e
2
x
1
e
2
x
x0
x
x
x0
et
dt,
t
1
e
2
t
e
t
dt
x
x
et
dt. x0 t
(QHOHMHPSORVHSXHGHLQWHJUDUVREUHDOJ~QLQWHUYDOR>x0, x@TXHQRFRQWHQJDDORULJHQ
5HVROYHUHPRVODHFXDFLyQHQHOHMHPSORSRUXQPpWRGRDOWHUQDWLYRHQODVHFFLyQ
ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR (OPpWRGRTXHVHGHVFULELySDUDHFXDFLRnes diferenciales no homogéneas de segundo orden se puede generalizar a ecuaciones
lineales de npVLPRRUGHQTXHVHKDQHVFULWRHQIRUPDHVWiQGDU
y (n) Pn 1(x)y (n 1)
P1(x)y
P0 (x)y f (x).
Si yc c1y1 c y cnynHVODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDSDUD HQWRQFHVXQD
VROXFLyQSDUWLFXODUHV
yp(x) 5 u1(x)y1(x) 1 u 2(x)y2 (x) 1 Á 1 un (x)yn (x),
donde los uk, k nVHGHWHUPLQDQSRUODVn ecuaciones
y1u 1
y2u 2
yn u n
0
y 1u 1
y 2u 2
yn un
0
y1(n
1)
u1
y2(n
1)
y(n
n
u2
1)
f (x).
un
Las primeras n HFXDFLRQHVGHHVWHVLVWHPDDOLJXDOTXH y1u 1 y2u 2 0 en (8), son
VXSRVLFLRQHVTXHVHKDFHQSDUDVLPSOL¿FDUODHFXDFLyQUHVXOWDQWHGHVSXpVGHTXHyp u1(x)
y1(x) un(x)yn(x VHVXVWLWX\HHQ (QHVWHFDVRXVDQGRODUHJODGH&UDPHUVHREWLHQH
Wk
uk
, k 1, 2, . . . , n,
W
donde WHVHO:URQVNLDQRGHy1, y, . . . , yn y WkHVHOGHWHUPLQDQWHTXHVHREWLHQH
al remplazar la kpVLPDFROXPQDGHO:URQVNLDQRSRUODFROXPQDIRUPDGDSRUHOODGR
GHUHFKRGH HVGHFLUODFROXPQDTXHFRQVWDGH f(x)). Cuando n VH
REWLHQHODHFXDFLyQ &XDQGRn ODVROXFLyQSDUWLFXODUyp u1y1 u y uy,
donde y1, y y yFRQVWLWX\HQXQFRQMXQWROLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHGHVROXFLRQHVGH
OD('KRPRJpQHDDVRFLDGD\u1, u y uVHGHWHUPLQDQDSDUWLUGH
u91 5
y1
W 5 y91
y01
*
y2
y92
y02
y3
0
y93 , W1 5 0
y03
f (x)
*
*
y2
y92
y02
W1
,
W
u92 5
W2
,
W
y3
y1
y93 , W2 5 y91
y03
y01
*
*
u93 5
W3
,
W
0
y3
0
y93 ,
f (x) y03
9pDQVHORVSUREOHPDVDOGHORVHMHUFLFLRV
*
(15)
y1
W3 5 y91
y01
*
y2
y92
y02
0
0 .
f(x)
*
4.6
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
O
165
COMENTARIOS
i) /DYDULDFLyQGHSDUiPHWURVWLHQHXQDYHQWDMDSDUWLFXODUVREUHHOPpWRGRGH
FRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVHQFXDQWRDTXHsiempre produce una solución parWLFXODUypVLHPSUH\FXDQGRVHSXHGDUHVROYHUODHFXDFLyQKRPRJpQHDDVRFLDGD
(VWHPpWRGRQRVHOLPLWDDXQDIXQFLyQf (x TXHHVXQDFRPELQDFLyQGHODVFXDWURFODVHVTXHVHOLVWDQHQODSiJLQD&RPRVHYHUiHQODVLJXLHQWHVHFFLyQ
ODYDULDFLyQGHSDUiPHWURVDGLIHUHQFLDGHORVFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVHV
DSOLFDEOHD('OLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHV
ii (QORVSUREOHPDVVLJXLHQWHVQRGXGHHQVLPSOL¿FDUODIRUPDGHyp'HSHQGLHQGR
GHFyPRVHHQFXHQWUHQODVDQWLGHULYDGDVGHu1 y uHVSRVLEOHTXHQRVHREWHQJD
la misma ypTXHVHGDHQODVHFFLyQGHUHVSXHVWDV3RUHMHPSORHQHOSUREOHPDGH
1
1
1
y
ORVHMHUFLFLRVWDQWR yp 12 sen x
2 x cos x
4 sen x
2 x cos x como p
VRQUHVSXHVWDVYiOLGDV(QFXDOTXLHUFDVRODVROXFLyQJHQHUDOy yc yp se simSOL¿FDD y c1 cos x c2 senx 12 x cos x ¢3RUTXp"
EJERCICIOS 4.6
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-5.
(QORVSUREOHPDVUHVXHOYDFDGDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSRU
PHGLRGHYDULDFLyQGHSDUiPHWURV
1. y y sec x
2. y y WDQx
3. y y sen x
4. y y sec șWDQș
5. y y cos x
6. y y sec x
7. y y cosh x
8. y y VHQKx
9. y0 2 9y 5
11. y
12. y
3y
9x
e3x
10. 4y0 2 y 5 exy2 1 3
2y
2y
y
1
1
(Q ORV SUREOHPDV UHVXHOYD FDGD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO
PHGLDQWH YDULDFLyQ GH SDUiPHWURV VXMHWD D ODV FRQGLFLRQHV
iniciales y(0) 1, y(0) 0.
(x2
1
4
)y
x3/2;
y 1 x cos x, y x sen x
28. x y xy y sec(ln x);
y 1 cos(ln x), y sen(ln x)
24. y0 2 4y 5
29. y y WDQx
31. y
2y
y
32. y
3y
2y
30. y y VHFx
4x
2y
e
e2x
1
ex
Problemas para analizar
(QORVSUREOHPDV\DQDOLFHFyPRSXHGHQFRPELQDUVH
ORVPpWRGRVGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV\YDULDFLyQGHSDUiPHWURVSDUDUHVROYHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO'HVDUUROOHVXV
ideas.
34. y y y x x 1e x
(QORVSUREOHPDVSURFHGDFRPRHQHOHMHPSOR\UHVXHOYDFDGDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSRUYDULDFLyQGHSDUiPHWURV
25. y0 1 y9 2 2y 5 ln x
xy
33. y 6y y 15 sen x e xWDQx
19. y y xe x
20. y y y x 1
21. y y 8y ex ex
22. y y y x 6x)e x
2
27. x2 y
(Q ORV SUREOHPDV UHVXHOYD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH
WHUFHURUGHQXVDQGRYDULDFLyQGHSDUiPHWURV
ex
ex
1 x2
13. y y y sen e x
14. y y y e tDUFWDQt
15. y y y et ln t 16. 2y0 1 y9 5 6x
17. y 6y 6y e x sec x
18. 4y
4y
y ex/2 11 x2
23. y0 1 y 5 ex
(Q ORV SUREOHPDV \ ODV IXQFLRQHV TXH VH LQGLFDQ VRQ
VROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQcial homogénea asociada sobre (0, 'HWHUPLQHODVROXFLyQ
general de la ecuación homogénea.
e2x
x
26. 2y0 1 2y9 1 y 5 4Ïx
35. ¢&XiOHVVRQORVLQWHUYDORVGHGH¿QLFLyQGHODVVROXFLRQHV
JHQHUDOHVHQORVSUREOHPDV\"$QDOLFHSRUTXp
HOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQGHODVROXFLyQGHOSUREOHPD
no es (0, ).
36. (QFXHQWUHODVROXFLyQJHQHUDOGHx y x y x y 1
GDGRTXHy1 x es una solución de la ecuación homogénea asociada.
166
O
CAPÍTULO 4
4.7
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER
INTRODUCCIÓN /D IDFLOLGDG UHODWLYD FRQ TXH SXGLPRV HQFRQWUDU VROXFLRQHV H[SOtFLWDV GH
HFXDFLRQHV OLQHDOHV GH RUGHQ VXSHULRU FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV HQ ODV VHFFLRQHV DQWHULRUHV HQ
JHQHUDOQRVHUHDOL]DHQHFXDFLRQHVOLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHV(QHOFDStWXORYHUHPRVTXH
FXDQGRXQD('OLQHDOWLHQHFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVORPHMRUTXHSRGHPRVHVSHUDUusualmente, es
HQFRQWUDUXQDVROXFLyQHQIRUPDGHVHULHLQ¿QLWD6LQHPEDUJRHOWLSRGHHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXH
FRQVLGHUDPRVHQHVWDVHFFLyQHVXQDH[FHSFLyQDHVWDUHJODpVWDHVXQDHFXDFLyQOLQHDOFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVFX\DVROXFLyQJHQHUDOVLHPSUHVHSXHGHH[SUHVDUHQWpUPLQRVGHSRWHQFLDVGHx,
VHQRVFRVHQRV\IXQFLRQHVORJDUtWPLFDV$GHPiVHVWHPpWRGRGHVROXFLyQHVEDVWDQWHVLPLODUDOGH
ODVHFXDFLRQHVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVHQORVTXHVHGHEHUHVROYHUXQDHFXDFLyQDX[LOLDU
ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER Una ecuación diferencial lineal de la forma
an x n
dn y
dx n
an 1xn
1
d n 1y
dx n 1
a1 x
dy
dx
a0 y
g(x),
(1)
GRQGH ORV FRH¿FLHQWHV an, an1, . . . , a0 VRQ FRQVWDQWHV VH FRQRFH FRPR ecuación
de Cauchy-Euler/DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOIXHQRPEUDGDHQKRQRUGHORVGRVPDWHPiWLFRVPiVSUROt¿FRVGHWRGRVORVWLHPSRV$XJXVWLQ/RXLV&DXFK\ (francés, 17891857) y Leonhard Euler VXL]R /DFDUDFWHUtVWLFDREVHUYDEOHGHHVWHWLSR
GHHFXDFLyQHVTXHHOJUDGRk n, n GHORVFRH¿FLHQWHVPRQRPLDOHVxk
coincide con el orden kGHODGHULYDFLyQdkydxk:
mismo
mismo
dny
dn1y
anxn ––––n an1xn1 ––––––
.. ..
dx
dxn1
$OLJXDOTXHHQODVHFFLyQLQLFLDPRVHODQiOLVLVFRQXQH[DPHQGHWDOODGRGH
las formas de las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden
ax2
d 2y
dx2
bx
dy
dx
cy
0.
La solución de ecuaciones de orden superior se deduce de manera análoga. También,
SRGHPRVUHVROYHUODHFXDFLyQQRKRPRJpQHDax y bxy cy g(x SRUYDULDFLyQ
GHSDUiPHWURVXQDYH]TXHVHKDGHWHUPLQDGRODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc.
NOTA (OFRH¿FLHQWHSULQFLSDOanxnGHFXDOTXLHUHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHUHVFHUR
en x 3RUORTXHSDUDJDUDQWL]DUTXHORVUHVXOWDGRVIXQGDPHQWDOHVGHOWHRUHPD
VHDQDSOLFDEOHVDODHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHUFHQWUDPRVQXHVWUDDWHQFLyQHQ
HQFRQWUDUVROXFLRQHVJHQHUDOHVGH¿QLGDVVREUHHOLQWHUYDOR ). Las soluciones en el
LQWHUYDOR WDPELpQVHSXHGHXVDU
MÉTODO DE SOLUCIÓN Se prueba una solución de la forma y xm, donde m es
XQYDORUTXHVHGHEHGHWHUPLQDU$QiORJRDORTXHVXFHGHFXDQGRVHVXVWLWX\Hemx en una
HFXDFLyQOLQHDOFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVFXDQGRVHVXVWLWX\HxmFDGDWpUPLQRGH
XQDHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHUVHFRQYLHUWHHQXQSROLQRPLRHQmYHFHVxmSXHVWRTXH
ak xk
dky
dxk
ak xkm(m
1)(m
2)
(m
k
1)xm
k
ak m(m
1)(m
2)
(m
k
1)xm.
3RUHMHPSORFXDQGRVXVWLWXLPRVy xmODHFXDFLyQGHVHJXQGRRUGHQVHWUDQVIRUPDHQ
ax2
d 2y
dx2
bx
dy
dx
cy
am(m
1)xm
bmxm
cxm
(am(m
1)
bm
c)xm = 0.
4.7
ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER
167
O
Así y xmHVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVLHPSUHTXHm sea una solución
de la ecuación auxiliar
am(m
1)
bm
0
c
o am2
(b
a)m
0.
c
+D\WUHVFDVRVGLVWLQWRVDFRQVLGHUDUTXHGHSHQGHQGHVLODVUDtFHVGHHVWDHFXDFLyQ
FXDGUiWLFDVRQUHDOHV\GLVWLQWDVUHDOHVHLJXDOHVRFRPSOHMDV(QHO~OWLPRFDVRODV
raíces aparecen como un par conjugado.
CASO I: RAÍCES REALES Y DISTINTAS Sean m1 y m ODVUDtFHVUHDOHVGH WDOHVTXHm1 m(QWRQFHV y1 xm1 y y2 xm2 IRUPDQXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGH
VROXFLRQHV3RUWDQWRODVROXFLyQJHQHUDOGH HV
EJEMPLO 1
5HVXHOYD x2
d 2y
dx2
c2 xm2.
c1 xm1
y
Raíces distintas
2x
dy
dx
4y
0.
SOLUCIÓN (QOXJDUGHPHPRUL]DUODHFXDFLyQ DOJXQDVYHFHVHVSUHIHULEOHVXponer y xmFRPRODVROXFLyQSDUDHQWHQGHUHORULJHQ\ODGLIHUHQFLDHQWUHHVWDQXHYD
IRUPDGHHFXDFLyQDX[LOLDU\ODREWHQLGDHQODVHFFLyQ'HULYHGRVYHFHV
dy
dx
d2y
dx2
mxm 1,
1)xm 2,
m(m
\VXVWLWX\HQGRHVWRHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
x2
d 2y
dx2
2x
dy
dx
4y
1)xm
x2 m(m
xm(m(m
1)
2x mxm
2
2m
4)
4xm
1
xm(m2
3m
4)
0
si m m 0. Ahora (m 1)(m LPSOLFDTXHm 1 1, m DVt
TXHy c1x 1 cx .
CASO II: RAÍCES REALES REPETIDAS 6LODVUDtFHVGH VRQUHSHWLGDV HVGHFLU
m1 m HQWRQFHVVHREWLHQHVyORXQDVROXFLyQSDUWLFXODUy xm1. Cuando las raíces
GHODHFXDFLyQFXDGUiWLFDam (b a)m c VRQLJXDOHVHOGLVFULPLQDQWHGHORV
FRH¿FLHQWHVQHFHVDULDPHQWHHVFHUR'HODIyUPXODFXDGUiWLFDVHGHGXFHTXHODVUDtFHV
deben ser m1 (b a)a.
$KRUDVHSXHGHFRQVWUXLUXQDVHJXQGDVROXFLyQy, con la ecuación (5) de la secFLyQ3ULPHURVHHVFULEHODHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHUHQODIRUPDHVWiQGDU
d 2y
dx2
b dy
ax dx
c
y
ax2
0
\VHKDFHQODVLGHQWL¿FDFLRQHVP(x) bax y (b ax) dx
y2
xm1
e
(b a) ln x . Así
(b / a)ln x
dx
x2m1
xm1
x
b/a
x
xm1
x
b/a
x(b
xm1
dx
x
2m1
dx
a)/ a
xm1 ln x.
dx
;e
(b / a)ln x
;
2m1
eln x
(b
b/a
a)/ a
x
b/a
168
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
/DVROXFLyQJHQHUDOGH HVHQWRQFHV
c1 xm1
y
EJEMPLO 2
5HVXHOYD 4x2
c2 xm1 ln x.
(5)
Raíces repetidas
d 2y
dx2
8x
dy
dx
y
0.
SOLUCIÓN 6XVWLWX\HQGRy xmVHREWLHQH
4x2
d2y
dx2
8x
dy
dx
y
xm(4m(m
1)
8m
1)
xm(4m2
GRQGHm m 1 R m 1) 3XHVWRTXH m1
VHVLJXHTXHODVROXFLyQJHQHUDOHVy c1x cx ln x.
4m
1
2
1)
0
, de la ecuación (5)
Para ecuaciones de orden superior, si m1HVXQDUDt]GHPXOWLSOLFLGDGkHQWRQFHVVH
SXHGHGHPRVWUDUTXH
xm1,
xm1 ln x, xm1(ln x)2, . . . ,
xm1(ln x) k
1
son kVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHV(QFRUUHVSRQGHQFLDODVROXFLyQJHQHUDO
GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHEHFRQWHQHUXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHHVWDVk soluciones.
CASO III: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS 6LODVUDtFHVGH VRQHOSDUFRQjugado m1 Į Lȕ, m Į Lȕ, donde Į y ȕ VRQUHDOHVHQWRQFHVXQDVROXFLyQHV
y
C1x
i
C2 x
i
.
Pero cuando las raíces de la ecuación auxiliar son complejas, como en el caso de las
HFXDFLRQHVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVHGHVHDHVFULELUODVROXFLyQVyORHQWpUPLQRV
GHIXQFLRQHVUHDOHV2EVHUYHPRVODLGHQWLGDG
xi
(eln x )i
ei
ln x
,
TXHSRUODIyUPXODGH(XOHUHVORPLVPRTXH
x Lȕ cos(ȕ ln x) i sen(ȕ ln x).
x Lȕ cos(ȕ ln x) i sen(ȕ ln x).
'HIRUPDVLPLODU
6LVHVXPDQ\UHVWDQORVGRV~OWLPRVUHVXOWDGRVVHREWLHQH
x Lȕ x Lȕ FRV ȕ ln x)
x Lȕ x Lȕ i sen(ȕ ln x),
y
UHVSHFWLYDPHQWH'HOKHFKRGHTXHy C1x ĮLȕ Cx ĮLȕ es una solución para cualTXLHUYDORUGHODVFRQVWDQWHVQRWHDVXYH]SDUDC1 C 1 y C1 1, C TXH
o
x (xi
x (xi
y1
2x cos( ln x) y y2
x
i
y y
2
y1
)
x
i
)
2ix sen( ln x)
WDPELpQVRQVROXFLRQHV&RPRW(x Į cos(ȕ ln x), x Į sen(ȕ ln x)) ȕ[ Į1 0, ȕ 0
VREUHHOLQWHUYDOR VHFRQFOX\HTXH
y1
x cos( ln x)
y
y2
x sen( ln x)
FRQVWLWX\HQXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGHVROXFLRQHVUHDOHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
$VtODVROXFLyQJHQHUDOGH HV
y
x [c1 cos( ln x)
c2 sen( ln x)].
(6)
4.7
1
y
EJEMPLO 3
5HVXHOYD 4x2 y
ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER
O
169
Problema con valores iniciales
0, y(1)
17y
1
2.
1, y (1)
SOLUCIÓN (OWpUPLQRyIDOWDHQODHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHUVLQHPEDUJRODVXV-
WLWXFLyQy xm produce
x
0
4x2 y
xm (4m(m
17y
1)
xm (4m2
17)
4m
17)
0
GRQGHm m 17 'HODIyUPXODFXDGUiWLFDVHHQFXHQWUDTXHODVUDtFHVVRQ
m1 12 i y m 12 i&RQODVLGHQWL¿FDFLRQHVĮ 12 y ȕ VHYHGH TXHOD
solución general de la ecuación diferencial es
_1
1
a) solución para 0
x1/2 [c1 cos(2 ln x)
y
x 1.
c2 sen(2 ln x)].
1 ODVROXFLyQDQWHULRU\XVDQGR
Aplicando las condiciones iniciales y(l) 1, y (1)
2
ln 1 VHREWLHQHDVXYH]TXHc1 1 y c 0. Así la solución del problema
FRQYDORUHVLQLFLDOHVHVy x FRV OQx)(QOD¿JXUDVHSUHVHQWDODJUi¿FD
GHHVWDIXQFLyQTXHVHREWXYRFRQD\XGDGHXQSDTXHWHGHFyPSXWR6HREVHUYDTXHOD
VROXFLyQSDUWLFXODUHVRVFLODWRULD\QRDFRWDGDFRQIRUPHx A .
y
10
5
(Q HO HMHPSOR VLJXLHQWH VH LOXVWUD OD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GH &DXFK\(XOHU GH
WHUFHURUGHQ
x
25
50
b) solución para 0
75
EJEMPLO 4
5HVXHOYD x3
100
x 100.
d3y
dx 3
Ecuación de tercer orden
5x2
d2y
dx 2
7x
dy
dx
8y
0.
SOLUCIÓN /DVWUHVSULPHUDVGHULYDGDVGHy xm son
FIGURA 4.7.1 &XUYDVROXFLyQGHO
dy
dx
39,GHOHMHPSOR
d 2y
dx2
mxm 1,
m(m
d3y
dx3
1)xm 2,
m(m
2)xm 3,
1)(m
DVtODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDVHFRQYLHUWHHQ
x3
d3y
dx3
5x2
d2y
dx2
7x
dy
dx
8y
x3 m(m
xm (m(m
xm (m3
1)(m
2)xm
1)(m
2m2
2)
4m
3
5x2 m(m
5m(m
8)
xm (m
1)
1)xm
2
7m
8)
2)(m2
4)
7xmxm
1
8xm
0.
(QHVWHFDVRYHUHPRVTXHy xm es una solución de la ecuación diferencial para m1
m i y m i3RUWDQWRODVROXFLyQJHQHUDOHVy c1x c FRV OQ
x) c VHQ OQx).
ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS (OPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVTXH
VHGHVFULELyHQODVVHFFLRQHV\QRVHDSOLFDen general, a las ecuaciones diferenFLDOHVOLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHV3RUWDQWRHQHOVLJXLHQWHHMHPSORVHHPSOHDHO
PpWRGRGHYDULDFLyQGHSDUiPHWURV
EJEMPLO 5
Variación de parámetros
5HVXHOYDx y xy y x e x.
SOLUCIÓN 3XHVWRTXHODHFXDFLyQHVQRKRPRJpQHDSULPHURVHUHVXHOYHODHFXDFLyQKRPRJpQHDDVRFLDGD'HODHFXDFLyQDX[LOLDU m l)(m VHHQFXHQWUDyc
c1x cx$KRUDDQWHVGHXVDUODYDULDFLyQGHSDUiPHWURVSDUDHQFRQWUDUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUyp u1 y1 uyUHFXHUGHTXHODVIyUPXODV u 1 W1> W y u 2 W 2> W ,
170
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
donde W1, Wy WVRQORVGHWHUPLQDQWHVGH¿QLGRVHQODSiJLQDTXHVHGHGXMHURQ
EDMRODVXSRVLFLyQGHTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHHVFULELyHQODIRUPDHVWiQGDUy
P(x)y Q(x)y f(x 3RUWDQWRGLYLGLHQGRSRUx la ecuación dada,
3
y
x
y
3
y
x2
2x2 ex
KDFHPRVODLGHQWL¿FDFLyQf(x) xex. Ahora con y1 x, y x, y
W
x
x3
1 3x2
2x3,
2x5 ex
2x3
u1
HQFRQWUDPRV
x3
3x2
0
2x2ex
W1
x2 ex
2x5ex,
u2
y
x
0
1 2x2 ex
W2
2x3 ex
2x3
2x3ex,
ex.
/D LQWHJUDO GH OD ~OWLPD IXQFLyQ HV LQPHGLDWD SHUR HQ HO FDVR GH u1 VH LQWHJUD SRU
SDUWHV GRV YHFHV /RV UHVXOWDGRV VRQ u1 x e x xe x e x y u e x 3RU WDQWR
yp u1 y1 uy es
yp
)LQDOPHQWH
( x2 ex
2xex
y
yp
yc
2ex )x
c1 x
ex x3
2x2ex
2x2 ex
c2 x3
2xex.
2xex.
REDUCCIÓN A COEFICIENTES CONSTANTES /DVVLPLOLWXGHVHQWUHODVIRUPDV
de soluciones de ecuaciones de Cauchy-Euler y soluciones de ecuaciones lineales con
FRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVQRVyORVRQXQDFRLQFLGHQFLD3RUHMHPSORFXDQGRODVUDtFHV
de las ecuaciones auxiliares para ay by cy 0 y ax y bxy cy 0 son
GLVWLQWDV\UHDOHVODVVROXFLRQHVJHQHUDOHVUHVSHFWLYDVVRQ
y
c1 em1 x
c2 em2 x
y
y
c1 xm1
c2 xm2,
x
0.
(7)
8VDQGRODLGHQWLGDGe ln x x, x 0, la segunda solución dada en (7) puede expresarse
HQODPLVPDIRUPDTXHODSULPHUDVROXFLyQ
y
c1 em1 ln x
c2 em2 ln x
c1em1 t
c2 em2 t,
donde t ln x (VWH ~OWLPR UHVXOWDGR LOXVWUD HO KHFKR GH TXH FXDOTXLHU HFXDFLyQ GH
&DXFK\(XOHUVLHPSUHVHSXHGHHVFULELUGHQXHYRFRPRXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDO
FRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVXVWLWX\HQGRx e t/DLGHDHVUHVROYHUODQXHYDHFXDFLyQ
GLIHUHQFLDOHQWpUPLQRVGHODYDULDEOHtXVDQGRORVPpWRGRVGHODVVHFFLRQHVDQWHULRUHV
\XQDYH]REWHQLGDODVROXFLyQJHQHUDOVXVWLWXLUQXHYDPHQWHt ln x(VWHPpWRGRTXH
VHLOXVWUyHQHO~OWLPRHMHPSORUHTXLHUHHOXVRGHODUHJODGHODFDGHQDGHODGHULYDFLyQ
EJEMPLO 6
&DPELRDFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV
5HVXHOYDx y xy y ln x.
SOLUCIÓN 6XVWLWX\HQGRx et o t ln xVHWLHQHTXH
dy
dx
d 2y
dx2
dy dt
dt dx
1 dy
x dt
; Regla de la cadena
1 d dy
x dx dt
dy
dt
1
x2
1 d 2y 1
x dt2 x
dy
dt
1
x2
; Regla del producto y regla de la cadena
1 d 2y
x2 dt2
dy
.
dt
4.7
ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER
171
O
6XVWLWX\HQGRHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD\VLPSOL¿FDQGRVHREWLHQH
d2y
dt2
2
dy
dt
y
t.
&RPRHVWD~OWLPDHFXDFLyQWLHQHFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVXHFXDFLyQDX[LOLDUHVm
m 1 0, o (m 1) $VtVHREWLHQHyc c1et ctet.
8VDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVHSUXHEDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODIRUPD
yp $ Bt(VWDVXSRVLFLyQFRQGXFHDB $ Bt tSRUWDQWR$ \B 1.
Usando y yc ypVHREWLHQH
y c1 et c 2 tet 2 t,
6XVWLWX\HQGRGHQXHYRet = x y t = ln xYHPRVTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQ
GLIHUHQFLDORULJLQDOVREUHHOLQWHUYDOR ) es y c1x cx ln x ln x.
SOLUCIONES PARA x < 0 (QHODQiOLVLVDQWHULRUKHPRVUHVXHOWRODVHFXDFLRQHVGH
Cauchy-Euler para x 8QDIRUPDGHUHVROYHUXQDHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHUSDUD
x HVFDPELDUODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHSRUPHGLRGHODVXVWLWXFLyQt x ORTXH
implica t 0) y usando la regla de la cadena:
dy
dx
dy dt
dt dx
dy
dt
y
d 2y
dx2
d
dt
dy dt
dt dx
d 2y
.
dt 2
9HDORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV
UNA FORMA DISTINTA Una ecuación de segundo orden de la forma
d2y
dy
a(x x0)2 2 b(x x0)
cy 0
dx
dx
(88)
WDPELpQHVXQDHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHU2EVHUYHTXH VHUHGXFHD FXDQGR
x0 0.
3RGHPRVUHVROYHU FRPRORKLFLPRVFRQ HVGHFLUEXVFDQGRVROXFLRQHVGH
y (x x0)m y usando
dy
dx
m(x
x0)m
1
y
d2y
dx2
m(m
1)(x
x0)m 2.
'HIRUPDDOWHUQDSRGHPRVUHGXFLUD DODIRUPDIDPLOLDU SRUPHGLRGHOFDPELR
GHYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHt x x0UHVROYHUODHFXDFLyQUHGXFLGD\VXVWLWXLUGH
QXHYR9HDORVSUREOHPDVDGHORVHMHUFLFLRV
EJERCICIOS 4.7
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-5.
(QORVSUREOHPDVUHVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD
(QORVSUREOHPDVUHVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD
SRUYDULDFLyQGHSDUiPHWURV
1. x y y 0
2. x y y 0
3. xy y 0
4. xy y 0
19. xy y x 5. x y xy y 0
6. x y 5xy y 0
20. x y 5xy y x x
7. x y xy y 0
8. x y xy y 0
21. x y xy y x
22. x y xy y x e x
10. x y xy y 0
23. x y xy y ln x
24. x2 y
9. x y xy y 0
11. x y 5xy y 0
12. x y 8xy 6y 0
13. x y 6xy y 0
14. x y 7xy y 0
15. x y 6y 0
16. x y xy y 0
xy
y
1
x
1
(Q ORV SUREOHPDV UHVXHOYD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV
LQLFLDOHV8VHXQDDSOLFDFLyQSDUDJUD¿FDU\REWHQJDODJUi¿FDGHODFXUYDVROXFLyQ
17. xy 6y 0
25. x y xy 0,
18. x y 6x y 9x y xy y 0
26. x y 5xy 8y 0,
y(1) 0, y(1) y y 0
172
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
27. x y xy y 0,
y(1) 1, y(1) 28. x y xy y 0,
y(1) 5, y(1) 29. xy
1, y (1)
30. x2 y
y
5xy
x,
y(1)
8y
8x6,
y
1
2
46. ¢&XiOHVVRQODVLQWHUVHFFLRQHVFRQHOHMHxGHODFXUYDVROXFLyQ
TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD " ¢&XiQWDV LQWHUVHFFLRQHV
1
con el eje x hay en 0 x 2?
1
2
0, y
1
2
0
(QORVSUREOHPDVXVHODVXVWLWXFLyQx et para
FRQYHUWLU OD HFXDFLyQ GH &DXFK\(XOHU D XQD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV5HVXHOYD
OD HFXDFLyQ RULJLQDO DO UHVROYHU OD QXHYD HFXDFLyQ
XVDQGRORVSURFHGLPLHQWRVGHODVVHFFLRQHVD
31. x y 9xy y 0
32. x y 9xy y 0
33. x y 10xy 8y x 34. x y xy 6y ln x 35. x y xy y x
36. x y x y 6xy 6y ln x (QORVSUREOHPDV\XVHODVXVWLWXFLyQt x,
SDUDUHVROYHUHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGDGR
VREUHHOLQWHUYDOR , 0).
37. x y y 0, y(1) y(1) 38. x y xy 6y 0, y( 8,
y( 0
(QORVSUREOHPDV\XWLOLFHy (x x0)m para
UHVROYHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD
39. (x y 8(x y y 0
40. (x 1)y (x 1)y 5y 0
(QORVSUREOHPDV\XWLOLFHODVXVWLWXFLyQt x
x0SDUDUHVROYHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD
41. (x y (x y y 0
42. (x y 5(x y 9y 0
Problemas para analizar
43. 'pHOLQWHUYDORPiVODUJRSRVLEOHVREUHHOFXDOOD
VROXFLyQJHQHUDOGHOSUREOHPDHVWiGH¿QLGD
44. ¢(V SRVLEOH HQFRQWUDU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO
GH &DXFK\(XOHU GH RUGHQ PtQLPR FRQ FRH¿FLHQWHVUHDOHVVLVHVDEHTXH\ i son raíces
GHVXHFXDFLyQDX[LOLDU"'HVDUUROOHVXVLGHDV
45. Las condiciones iniciales y(0) y0, y(0) y1 se
DSOLFDQDFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVHFXDFLRQHV
diferenciales:
x y 0,
x y xy y 0,
x y xy 6y 0.
¢3DUDTXpYDORUHVGHy0 y y1 cada problema con
YDORUHVLQLFLDOHVWLHQHXQDVROXFLyQ"
Modelo matemático
47. Flexión de una placa circular(QHODQiOLVLVGHODÀH[LyQ
GHXQDSODFDFLUFXODUXQLIRUPHPHQWHFDUJDGDODHFXDFLyQ
w(r GHODFXUYDGHÀH[LyQGHODSODFDVHSXHGHGHPRVWUDU
TXHVDWLVIDFHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
q
d 3w 1 d 2 w
1 dw
1
2 2
5
r,
r dr 2
2D
r dr
dr 3
(9)
donde q y DVRQFRQVWDQWHV$TXtrHVODGLVWDQFLDUDGLDO
GHVGHXQSXQWRGHODSODFDFLUFXODUHQVXFHQWUR
D 8WLOLFHHOPpWRGRGHHVWDVHFFLyQMXQWRFRQYDULDFLyQ
GHSDUiPHWURVFRPRVHLQGLFDHQ GHODVHFFLyQ
SDUDHQFRQWUDUODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQ E 'HWHUPLQHXQDVROXFLyQGH TXHVDWLVIDJDODVFRQ
GLFLRQHVIURQWHUD
w’(0) = 0, w(a) = 0 y w’(a) = 0
donde a!HVHOUDGLRGHODSODFD>Sugerencia: La condición w’ HVFRUUHFWD8WLOLFHHVWDFRQGLFLyQSDUD
GHWHUPLQDU XQD GH ODV FRQVWDQWHV HQ OD VROXFLyQ JHQHUDO
HQFRQWUDGRHQHOLQFLVRD @
48. (QHOOLEURGHWH[WRLQJHQLHUtDGRQGHVHHQFRQWUyODHFXDFLyQ HODXWRUD¿UPDTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHUHVXHOYHIiFLOPHQWHLQWHJUDQGR(VFLHUWRSHURVHQHFHVLWD
una gran sugerencia.
D 9HUL¿TXHTXHODHFXDFLyQ VHSXHGHHVFULELUHQOD
IRUPDDOWHUQDWLYD
S D4
d 1 d
dw
r
dr r dr
dr
3
5
q
r.
2D
(10)
E 5HVXHOYDODHFXDFLyQ XVDQGRVyORLQWHJUDFLyQ
FRQUHVSHFWRDr'HPXHVWUHTXHHOUHVXOWDGRHVHTXLYD
OHQWHDODVROXFLyQREWHQLGDHQHOLQFLVRD GHOSUREOHPD
Tarea para el laboratorio de computación
(QORVSUREOHPDVUHVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD
XVDQGRXQ6$&SDUDHQFRQWUDUODVUDtFHV DSUR[LPDGDV GHOD
ecuación auxiliar.
49. x y 10.98x y 8.5xy y 0
50. x y x y 5xy 9y 0
51. x y 6x y x y xy y 0
52. x y 6x y x y 105xy 169y 0
53. 5HVXHOYD x y x y xy 6y x SRU YDULDFLyQ
GHSDUiPHWURV8VHXQ6$&FRPRD\XGDSDUDFDOFXODUODV
UDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDU\ORVGHWHUPLQDQWHVGDGRVHQ
GHODVHFFLyQ
4.8
4.8
FUNCIONES DE GREEN
O
173
FUNCIONES DE GREEN
INTRODUCCIÓN 9HUHPRVHQHOFDStWXORTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ
d2y
a2(x) 2
dx
a1(x)
dy
dx
a0(x)y
g(x)
(1)
GHVHPSHxDXQSDSHOLPSRUWDQWHHQPXFKDVDSOLFDFLRQHV(QHODQiOLVLVPDWHPiWLFRGHVLVWHPDVItsicos es, a menudo, deseable expresar la respuesta o salida y(x GH VXMHWD\DVHDDFRQGLFLRQHV
LQLFLDOHVRDFRQGLFLRQHVIURQWHUDHQWpUPLQRVGHXQDfunción de forzamiento o de entrada g(x).
'HHVWDPDQHUDODUHVSXHVWDGHOVLVWHPDVHSXHGHDQDOL]DUUiSLGDPHQWHSDUDGLIHUHQWHVIXQFLRQHV
GHIRU]DPLHQWR
3DUD YHU FyPR VH KDFH HVWR FRPHQ]DPRV H[DPLQDQGR ODV VROXFLRQHV GH ORV SUREOHPDV FRQ
YDORUHVLQLFLDOHVHQORVFXDOHVOD(' TXHVHKDSXHVWRHQODIRUPDHVWiQGDU
y
P(x)y
Q(x)y
f(x)
(2)
GLYLGLHQGRODHFXDFLyQSRUHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDOa(x 7DPELpQVXSRQHPRVHQWRGDHVWDVHFFLyQ
TXHODVIXQFLRQHVFRH¿FLHQWHVP(x), Q(x) y f (x VRQFRQWLQXDVVREUHDOJ~QLQWHUYDORFRP~QI.
4.8.1
PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
TRES PROBLEMAS CON VALORES INICIALES Veremos conforme se desarrolla
HODQiOLVLVTXHODVROXFLyQy(x)GHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQ
y
P(x)y
Q(x)y
f(x), y(x0)
y0, y (x0)
y1
(3)
se puede expresar como la superposición de las dos soluciones
y(x)
yh(x)
yp(x),
(4)
donde yh(x HVODVROXFLyQGHOD('KRPRJpQHDDVRFLDGDFRQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV
no homogéneas
$TXtVHVXSRQHTXHDOPHQRVXQRGHORV
Q~PHURVy0 o y1HVGLVWLQWRGHFHUR6LWDQWRy0 como y1VRQHQWRQFHVODVROXFLyQ
GHO39,HVy = 0.
y
P(x)y
Q(x)y
0, y(x0)
y0, y (x0)
y1
(5)
y yp(x HVODVROXFLyQGHOD('QRKRPRJpQHDFRQFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVKRPRJpQHDV HV
decir, cero)
y
P(x)y
Q(x)y
f(x), y(x0)
0, y (x0)
0.
(6)
(QHOFDVRGHTXHORVFRH¿FLHQWHVP y QVHDQFRQVWDQWHVODVROXFLyQGHO39, QR
SUHVHQWDGL¿FXOWDGHV8WLOLFHHOPpWRGRGHODVHFFLyQSDUDHQFRQWUDUODVROXFLyQGHOD
('KRPRJpQHD\GHVSXpVXWLOLFHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGDGDVSDUDGHWHUPLQDUODVGRV
FRQVWDQWHVGHODVROXFLyQ1RVFRQFHQWUDUHPRVHQODVROXFLyQGHO39, 'HELGRDODV
FRQGLFLRQHVLQLFLDOHVFHURODVROXFLyQGH SRGUtDGHVFULELUXQVLVWHPDItVLFRTXHHVWi
LQLFLDOPHQWHHQUHSRVR\DYHFHVVHOODPDXQDsolución de reposo.
FUNCIÓN DE GREEN Si y1(x) y y(x IRUPDQXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGHVROXFLRQHV
VREUHODLQWHUYDORIGHODHFXDFLyQKRPRJpQHDDVRFLDGDGH HQWRQFHVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQQRKRPRJpQHD VREUHLQWHUYDORIVHSXHGHHQFRQWUDUSRUYDULDFLyQGH
SDUiPHWURV5HFXHUGHGHODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQTXHODIRUPDGHHVWDVROXFLyQHV
yp(x)
u1(x)y1(x)
u2(x)y2(x).
(7)
174
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
/RVFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVu1(x) y u(x)HQ HVWiQGH¿QLGRVSRUODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQ
y2(x)f(x)
,
W
u 1(x)
y1(x)f(x)
.
W
u 2(x)
(8)
La independencia lineal de y1(x) y y(x)VREUHHOLQWHUYDORIJDUDQWL]DTXHHO:URQVNLDQR
W = W(y1(x), y(x)) SDUDWRGDx en I. Si x y x0VRQQ~PHURVHQIHQWRQFHVDOLQWHJUDU
ODVGHULYDGDVu1(x) y u(x HQODVHFXDFLRQHV VREUHHOLQWHUYDOR>x0, x@\DOVXVWLWXLU
ORVUHVXOWDGRVHQODHFXDFLyQ VHREWLHQH
x
'HELGRDTXHy1(x) y y(x VRQFRQVWDQWHVFRQUHVSHFWRDODLQWHJUDFLyQHQ t,
SRGHPRVPRYHUHVWDVIXQFLRQHVGHQWUR
GHODVLQWHJUDOHVGH¿QLGDV
yp(x)
x0
x
W(t)
y2(x)
x0
x
y1(x)y2(t)
f(t) dt
W(t)
x0
donde
x
y2(t)f(t)
dt
W(t)
y1(x)
x0
y1(t)
y 1(t)
W(y1(t), y2(t))
y1(t)f(t)
dt
W(t)
(9)
y1(t)y2(x)
f(t) dt,
W(t)
y2(t)
y2(t)
'HODVSURSLHGDGHVGHODLQWHJUDOGH¿QLGDODVGRVLQWHJUDOHVHQHOVHJXQGRUHQJOyQGH
VHSXHGHQUHHVFULELUFRPRXQDVRODLQWHJUDO
x
yp(x)
G(x, t) f(t) dt.
(10)
y1(t)y2(x) y1(x)y2(t)
W(t)
(11)
x0
La función G(x, t) en (10),
G(x, t)
(VWRHVLPSRUWDQWH/HDHVWHSiUUDIR
RWUDYH]
se denomina función de GreenSDUDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO 2EVHUYH TXH OD IXQFLyQ GH *UHHQ GHSHQGH VyOR GH ODV VROXFLRQHV IXQGDPHQWDOHV y1(x) y y(x) GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO KRPRJpQHD DVRFLDGD SDUD \ QR
GHODIXHU]DGHIRU]DPLHQWR f(x 3RUWDQWRWRGDVODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQ FRQHOPLVPRODGRL]TXLHUGRSHURFRQGLIHUHQWHVIXQFLRQHVGHIRU]DPLHQWR WLHQHQ OD PLVPD IXQFLyQ GH *UHHQ 3RU OR TXH XQ WtWXOR DOWHUQDWLYR SDUD
(11) es la función de Green para el operador diferencial lineal de segundo orden
L D P(x) D Q(x)
EJEMPLO 1
Solución particular
8WLOLFHODVHFXDFLRQHV \ SDUDHQFRQWUDUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y f(x).
Las soluciones de la ecuación homogénea asociada y y 0 son y1 ex,
y e y W(y1(t), y(t)) 6HWLHQHGHODHFXDFLyQ TXHODIXQFLyQGH*UHHQHV
SOLUCIÓN
x
G(x, t)
ete
x
exe
t
ex
2
t
e
2
(x
t)
senh (x
t).
(12)
$VtSDUDODHFXDFLyQ XQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHOD('HV
x
yp(x)
EJEMPLO 2
senh (x
t) f(t) dt.
(13)
x0
Soluciones generales
'HWHUPLQHODVROXFLyQGHODVVLJXLHQWHVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVQRKRPRJpQHDV
a) y y 1x
b) y y ex
4.8
FUNCIONES DE GREEN
175
O
SOLUCIÓN (Q HO HMHPSOR DPEDV (' WLHQHQ OD PLVPD IXQFLyQ FRPSOHPHQWDULD
yc c1ex cex$GHPiVFRPRVHVHxDOyHQHOSiUUDIRDQWHULRUDOHMHPSORODIXQFLyQGH
*UHHQSDUDDPEDVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHVODHFXDFLyQ a) &RQODVLGHQWL¿FDFLRQHVf(x) 1x y f(t) 1tYHPRVHQODHFXDFLyQ TXHXQD
x senh(x
VROXFLyQSDUWLFXODUGHy y 1x es yp(x)
t)
t
x0
dt . Así la solución general
y yc ypGHOD('GDGDVREUHFXDOTXLHULQWHUYDOR>x0, x@TXHQRFRQWLHQHDORULJHQHV
x
c1e x
y
c2e
x
x0
senh(x
t
t)
dt.
(14)
'HEHFRPSDUDUHVWDVROXFLyQFRQODHQFRQWUDGDHQHOHMHPSORGHODVHFFLyQ
b) Con f(x) exHQODHFXDFLyQ XQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y ex es yp(x)
x
x0 senh(x
t) e2t dt. (QWRQFHVODVROXFLyQJHQHUDOy yc yp es
x
y
c1ex
c2e
x
senh(x
t) e2t dt.
(15)
x0
$KRUDFRQVLGHUHHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHVHVSHFLDO FRQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVKRPRJpQHDV8QDPDQHUDGHUHVROYHUHOSUREOHPDFXDQGRf(x) 0 ya se ha mosWUDGRHQODVVHFFLRQHV\HVGHFLUDSOLFDQGRODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVy(x0) 0,
y(x0) DODVROXFLyQJHQHUDOGHOD('QRKRPRJpQHD3HURQRKD\XQDQHFHVLGDG
UHDOGHKDFHUHVWR\DTXHWHQHPRVXQDVROXFLyQGHO39,DODPDQRpVWDHVODIXQFLyQ
GH¿QLGDHQODHFXDFLyQ TEOREMA 4.8.1 Solución del PVI (6)
La función yp(x GH¿QLGDHQ HVODVROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLciales (6).
DEMOSTRACIÓN 3RUFRQVWUXFFLyQVDEHPRVTXHyp(x HQ VDWLVIDFHOD('QRKRPRJpQHD'HVSXpVSXHVWRTXHXQDLQWHJUDOGH¿QLGDWLHQHODSURSLHGDG aa 0 WHQHPRV
x0
yp(x0)
G(x0, t) f(t) dt
0.
x0
3RU~OWLPRSDUDGHPRVWUDUTXHyp(x0) XWLOL]DPRVODIyUPXODGH/HLEQL] SDUDODGHULYDGDGHXQDLQWHJUDO
0 de (11)
x
yp (x)
G(x, x) f (x)
x0
x0
SRUWDQWR
yp(x 0)
EJEMPLO 3
x0
y1(t)y 2(x) y 1(x)y2(t)
f(t) dt.
W(t)
y1(t)y 2 (x0) y 1(x0)y2(t)
f(t) dt
W(t)
0.
Vuelta al ejemplo 2
5HVXHOYDORVSUREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV
a) y y 1x, y(1) 0, y(1) 0
*
Vea Apéndice A
b) y y ex, y(0) 0, y(0) 0
176
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
SOLUCIÓN a) Con x0 1 y f(t) 1tVHWLHQHGHODHFXDFLyQ GHOHMHPSOR\GHO
WHRUHPDTXHODVROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHVGRQGH>x], x 0, es
x
senh(x
t
yp(x)
1
t)
dt
b),GHQWL¿FDQGRx0 0 y f(t) etYHPRVHQODHFXDFLyQ TXHODVROXFLyQGHO39,HV
x
yp(x)
t) e2t dt.
senh(x
(16)
0
(QHOLQFLVRE GHOHMHPSORUHDOL]DPRVODLQWHJUDFLyQGHODHFXDFLyQ SHURFRQVLGHUHTXHxVHFRQVHUYDFRQVWDQWHFXDQGRVHLQWHJUDFRQUHVSHFWRDt:
x
yp(x)
x
t) e2t dt
senh(x
0
t
0
x
1 x
2e
(x
e
2
t)
e2t dt
x
1
x
2e
et dt
0
1 2x
3e
EJEMPLO 4
ex
1 x
2e
e3t dt
0
1
x
6e .
Uso de (10) y (11)
5HVXHOYDHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHV
y y x, y(0) 0, y(0) 0
SOLUCIÓN &RPHQFHPRVSRUFRQVWUXLUODIXQFLyQGH*UHHQGHODHFXDFLyQGLIHUHQcial dada.
/DVGRVVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHy y 0 son y1(x) FRVx y
y(x) VHQx. En la ecuación (11), con W FRVtVHQt) HQFRQWUDPRV
$TXtKHPRVXVDGRODLGHQWLGDGWULJRQRPpWULFD
VHQ x±t VHQxFRVt±FRVxVHQt
cos2t sHn 2x
G(x, t)
cos2x sHn 2t
1
2 sHn2(x
2
t).
+DFLHQGRPiVLGHQWL¿FDFLRQHVx0 0 y f(t) tHQODHFXDFLyQ YHPRVTXHXQD
VROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHVHV
x
1
2
yp(x)
tsen2(x
t) dt.
0
6LGHVHDPRVHYDOXDUODLQWHJUDOSULPHURHVFULELPRV
x
1
2 sen2x
yp(x)
x
t cos2t dt
0
1
2
cos2x
1
2
cos2x
t sen2t dt
0
\GHVSXpVLQWHJUDPRVSRUSDUWHV
yp(x)
o
[
1
1
2 sen2x 2 t sen2t
1
4
yp(x)
]x0
cos2t
1
4x
1
8
[
1
2t
cos2t
x
1
4 sen2t 0
]
sen 2x
CONTINUACIÓN DE LOS PROBLEMAS DE VALORES INICIALES )LQDOPHQWH
DKRUDHVWDPRVHQSRVLFLyQGHKDFHUXVRGHOWHRUHPDSDUDHQFRQWUDUODVROXFLyQGHO
SUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHVH[SUHVDGRHQ eVWDHVVLPSOHPHQWHODIXQFLyQ\DGDGD
HQODHFXDFLyQ 4.8
FUNCIONES DE GREEN
O
177
TEOREMA 4.8.2 Solución del PVI (3)
Si yh(x HVODVROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHV \yp(x) es la soluFLyQ GHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHV VREUHHOLQWHUYDOR IHQWRQFHV
y(x) yh(x) yp(x)
(17)
HVODVROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHV <DTXHyh(x HVXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHODVVROXFLRQHVIXQGDPHQWDOHVVHWLHQHGH GHODVHFFLyQTXHy yh yp HVXQDVROXFLyQGHOD('QRKRPRJpQHD
$GHPiVSXHVWRTXHyhVDWLVIDFHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVHQ \ypVDWLVIDFHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVHQ WHQHPRV
DEMOSTRACIÓN
y(x0)
yh(x0)
yp(x0)
y0
0
y0
y (x0)
y h (x0)
y p (x0)
y1
0
y1.
&RQVLGHUDQGRODDXVHQFLDGHXQDIXQFLyQGHIRU]DPLHQWRHQ \ODSUHVHQFLDGHHVHWpUPLQRHQ YHPRVHQODHFXDFLyQ TXHODUHVSXHVWDy(x)GHXQVLVWHPDItVLFRGHVFULWR
SRUHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHV VHSXHGHVHSDUDUHQGRVUHVSXHVWDVGLIHUHQWHV
y(x)
yh(x)
yp(x)
respuesta del sistema
debida a las condiciones
iniciales
y(x0) y0, y(x0) y1
(18)
respuesta del sistema
debida a la función de
forzamiento f
6LGHVHDDGHODQWDUVHHOVLJXLHQWHSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHVUHSUHVHQWDXQDVLWXDFLyQ
GHUHVRQDQFLDSXUDSDUDXQVLVWHPDPDVDUHVRUWHIRU]DGR9HDODSiJLQD
EJEMPLO 5
Uso del teorema 4.8.2
5HVXHOYDHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHV
y y VHQx, y(0) 1, y(0) 5HVROYHPRVORVGRVSUREOHPDVGHYDORUHVLQLFLDOHV
3ULPHURUHVROYHPRVy y 0, y(0) 1, y(0) . Al aplicar las condiciones
iniciales a la solución general y(x) c1FRVx cVHQxGHOD('KRPRJpQHDHQFRQWUDPRV
TXHc1 1 y c 13RUWDQWRyh(x FRVx VHQx.
'HVSXpVUHVROYHPRVy y VHQx, y(0) 0, y(0) 0&RPRHOODGRL]TXLHUGR
GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHVHOPLVPRTXHHOGHOD('GHOHMHPSORODIXQFLyQGH*UHHQHV
1
la misma, es decir, G(x, t) 2 VHQ x t). Con f(t) VHQtYHPRVGH TXHODVROXFLyQ
del segundo problema es yp(x) 12 x0 sen 2(x t)sen2t dt .
3RU~OWLPRHQYLVWDGH HQHOWHRUHPDODVROXFLyQGHO39,RULJLQDOHV
SOLUCIÓN
x
y(x)
yh(x)
yp(x)
cos2x
sen2x
1
2
sen2(x
t)sen2t dt
(19)
0
6LVHGHVHDSRGHPRVLQWHJUDUODLQWHJUDOGH¿QLGDHQ XVDQGRODLGHQWLGDGWULJRQRPpWULFD
1
2 [cos(A
sen Asen B
con A
2(x
t) y B
B)
cos (A
B)]
2t:
x
yp(x)
1
2
sen2(x
t)sen2tdt
0
x
1
4
1
4
[cos(2x
4t)
cos2x] dt
1
4 sen(2x
4t)
tcos2x
0
[
1
8 sen2x
1
4 xcos2x.
]x0
(20)
178
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
3RUWDQWRODVROXFLyQ VHSXHGHUHHVFULELUFRPR
y(x)
yh(x)
yp(x)
y(x)
o
cos2x
cos2x
1
8 sen2x
sen2x
7
8 sen2 x
1
4
1
4 x cos2x
x cos2x.
,
(21)
2EVHUYHTXHHOVLJQL¿FDGRItVLFRLQGLFDGRHQ VHSLHUGHHQ GHVSXpVGHFRPELQDUWpUPLQRVVHPHMDQWHVHQODVGRVSDUWHVGHODVROXFLyQy(x) yh(x) yp(x).
/DEHOOH]DGHODVROXFLyQGDGDHQ HVTXHSRGHPRVHVFULELULQPHGLDWDPHQWH
ODUHVSXHVWDGHXQVLVWHPDVLODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVVLJXHQVLHQGRODVPLVPDVSHUR
ODIXQFLyQGHIRU]DPLHQWRFDPELD3RUHMHPSORVLHOSUREOHPDHQHOHMHPSORVH
cambia a:
y y x, y(0) 1, y(0) VLPSOHPHQWHUHPSOD]DPRVVHQtHQODLQWHJUDOHQ SRUt\HQWRQFHVODVROXFLyQHV
y(x)
yh(x)
yp(x)
x
cos 2x
1
4x
1
2
sen2x
cos2x
tsen2(x
t) dt
ĸvea el ejemplo 4
0
9
8 sen2x
x
&RPRODIXQFLyQGHIRU]DPLHQWRfHVWiVRODHQODVROXFLyQSDUWLFXODU yp(x)
x G(x, t) f(t) dt
ODVROXFLyQGH O HV~WLOFXDQGRfHVWiGH¿QLGDHQWUDPRV(OVLJXLHQWHHMHPSORLOXVWUD
HVWDLGHD
0
EJEMPLO 6
Un problema con valores iniciales
5HVXHOYDHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHV
y y f(x), y(0) 1, y(0) GRQGHODIXQFLyQGHIRU]DPLHQWRfSRUWUDPRVVHGH¿QH
0,
x
sen 2x, 0
0,
x
f(x)
SOLUCIÓN
0
x 2
2 .
'H UHPSOD]DQGRDf(t FRQVHQt, podemos escribir
x
y(x)
cos 2 x
sen 2x
1
2
sen 2(x
t) f(t) dt.
0
'HELGRDTXHfVHGH¿QHHQWUHVWUDPRVFRQVLGHUDPRVWUHVFDVRVHQODHYDOXDFLyQGH
ODLQWHJUDOGH¿QLGD3DUDx 0,
x
1
2
yp(x)
sen2(x
t) 0 dt
0,
0
para 0 x ,
x
yp(x)
1
2
sen 2(x
t) sen2t dt ĸusando la integración de (20)
0
1
8 sen2x
1
4 x cos2x
4.8
FUNCIONES DE GREEN
179
O
\¿QDOPHQWHSDUDx ʌSRGHPRVXVDUODLQWHJUDFLyQTXHVLJXHDOHMHPSOR
2S
1
2
yp x)
x
VHQ x
1
2
t VHQ 2t dt
VHQ x
t dt
2S
2S
1
2S
1
4
[
VHQ x
t VHQt dt
1
4 VHQ
1
16 VHQ
1
2S
x
x
2S
t cos 2x]
4t)
8S )
1
2
ĸXVDQGRODLQWHJUDFLyQHQ S cos 2 x
1
16 VHQx
ĸVHQ x
8S )
VHQ 2x
cos 2x.
3RUWDQWRyp(x) es
0,
1
1
8 s Hn 2x 4 x cos 2x,
1
2 cos2x,
yp(x)
x
0
x
0
x 2
2 .
y así
y(x)
y
1
_p
yp(x)
cos 2x
sen 2x
yp(x).
-XQWDQGRWRGDVODVSLH]DVREWHQHPRV
p
2p
3p
x
y(x)
_1
FIGURA 4.8.1 *Ui¿FDGHy(x) del
ejemplo 6.
yh(x)
cos 2x sen 2x,
x
1
7
(1 4 x) cos 2x 8 sen 2 x, 0
(1 12 )cos2x sen2x,
x
0
x 2
2 .
/DVWUHVSLH]DVGHy(x VHPXHVWUDQHQGLIHUHQWHVFRORUHVHQOD¿JXUD
$FRQWLQXDFLyQH[DPLQDUHPRVFyPRVHSXHGHUHVROYHUXQSUREOHPDGHYDORUHVHQOD
IURQWHUD 39) XVDQGRXQDFODVHGLIHUHQWHGHIXQFLyQGH*UHHQ
4.8.2
PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
(QFRQWUDVWHFRQXQ39,GHVHJXQGRRUGHQHQHOTXHy(x) y y(x VHHVSHFL¿FDQHQHO
PLVPRSXQWRXQ39)SDUDXQD('GHVHJXQGRRUGHQLPSOLFDFRQGLFLRQHVy(x) y y(x)
TXHVHHVSHFL¿FDQHQGRVSXQWRVGLIHUHQWHVx a y x b. Condiciones como
y(a) 0,
y(b) 0
y(a) 0,
y(b) 0
y(a) 0,
y(b) 0
VRQVyORFDVRVHVSHFLDOHVGHODVFRQGLFLRQHVIURQWHUDKRPRJpQHDVPiVJHQHUDOHV
A1 y(a)
B1 y (a)
0
(22)
A2 y(b)
B2 y (b)
0,
(23)
donde $1, $, B1 y BVRQFRQVWDQWHV&RQFUHWDPHQWHQXHVWURREMHWLYRHVHQFRQWUDUXQD
VROXFLyQLQWHJUDOyp(x)TXHVHDDQiORJDD SDUDSUREOHPDVGHYDORUHVHQODIURQWHUD
no homogéneos de la forma
y
P(x)y
A1y(a)
A2 y(b)
Q(x)y
B1y (a)
B2 y (b)
f(x),
0
0.
(24)
$GHPiVGHODVVXSRVLFLRQHVKDELWXDOHVGHTXHP(x), Q(x) y f (x)VRQFRQWLQXDVVREUH
>a, b@VXSRQHPRVTXHHOSUREOHPDKRPRJpQHR
y
P(x)y
A1 y(a)
A2 y(b)
Q(x)y
B1 y (a)
B2 y (b)
0
0
0
180
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
4.8
FUNCIONES DE GREEN
O
180
WLHQH VRODPHQWH OD VROXFLyQ WULYLDO y 0 (VWD ~OWLPD KLSyWHVLV HV VX¿FLHQWH
SDUD JDUDQWL]DU XQD VROXFLyQ ~QLFD GH TXH H[LVWH \ HVWi GDGD SRU XQD LQWHJUDO
b
yp(x)
aG(x, t) f(t)dt, donde G(x, t) es función de Green.
(OSXQWRGHSDUWLGDHQODFRQVWUXFFLyQGHG(x, t RWUDYH]VRQODVIyUPXODVGHYDULDFLyQGHSDUiPHWURV \ OTRA FUNCIÓN DE GREEN 6XSRQJDTXHy1(x) y y(x VRQVROXFLRQHVOLQHDOPHQWH
LQGHSHQGLHQWHVVREUH>a, b] GHODIRUPDKRPRJpQHDDVRFLDGDGHOD('HQ \TXHx
HVXQQ~PHURHQHOLQWHUYDOR>a, b]$GLIHUHQFLDGHODFRQVWUXFFLyQGH GRQGHHPSH]DPRVLQWHJUDQGRODVGHULYDGDVHQ VREUHHOPLVPRLQWHUYDORLQWHJUDPRVDKRUDOD
primera ecuación sobre (8) en >b, x] y la segunda ecuación en (8) sobre >a, x]:
x
u1(x)
b
y2(t) f(t)
dt
W(t)
x
y u (x)
2
a
y1(t) f(t)
dt.
W(t)
(25)
/DUD]yQSDUDODLQWHJUDFLyQGHu1(x) y u(x) HQGLIHUHQWHVLQWHUYDORVSURQWRVHUiFODUD
'HODVHFXDFLRQHV XQDVROXFLyQSDUWLFXODUyp(x) u1(x)y1(x) u(x)y(x) de la
('HV
aquí usamos el signo menos
de (25) para invertir
los límites de integración
b
yp(x)
y1(x)
x
x
yp(x)
o
a
y2(t) f(t)
dt
W(t)
y2(x)y1(t)
f(t) dt
W(t)
x
y2(x)
a
b
x
y1(t) f(t)
dt
W(t)
y1(x)y2(t)
f(t)dt.
W(t)
(26)
(OODGRGHUHFKRGHODHFXDFLyQ VHSXHGHHVFULELUFRPRXQDVRODLQWHJUDO
b
yp(x)
G(x, t) f(t)dt,
(27)
a
donde la función G(x, t) es
G(x, t)
y1(t)y2(x)
,
W(t)
y1(x)y2(t)
,
W(t)
a
t
x
x
t
b.
(28)
/DIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV VHGHQRPLQDfunción de Green para el problema
GHYDORUHVHQODIURQWHUD 6HSXHGHSUREDUTXHG(x, t)HVXQDIXQFLyQFRQWLQXDGH
xVREUHHOLQWHUYDOR>a, b].
Ahora, si se eligen las soluciones y1(x) y y(x) XWLOL]DGDV HQ OD FRQVWUXFFLyQ GH
G(x, t)HQ GHWDOPDQHUDTXHHQx a, y1(x)VDWLVIDFH$1 y1(a) B1 y1(a) 0 y
x b, y(x)VDWLVIDFH$y(b) By(b) HQWRQFHVPDUDYLOORVDPHQWHyp(x)GH¿
QLGDHQ VDWLVIDFHDPEDVFRQGLFLRQHVKRPRJpQHDVHQODIURQWHUDHQ 3DUDYHUHVWRQHFHVLWDUHPRV
(OVHJXQGRUHQJOyQHQ HVUHVXOWDGRGHO
KHFKRGHTXH
y1(x)u´1(x) + y(x)u´(x) = 0
9HDHODQiOLVLVHQODVHFFLyQIyUPXOD y
yp(x)
u1(x)y1(x)
u2(x)y2(x)
y p(x)
u1(x)y 1(x)
y1(x)u 1(x)
u1(x)y 1(x)
u2(x)y 2(x).
(29)
u2(x)y 2(x)
y2(x)u 2(x)
(30)
4.8
FUNCIONES DE GREEN
O
181
$QWHVGHSURFHGHUREVHUYHPRVHQ TXHu1(b) 0 y u(a) 0'HODVHJXQGDGH
HVWDVGRVSURSLHGDGHVSRGHPRVGHPRVWUDUTXHyp(x)VDWLVIDFHODHFXDFLyQ FDGDYH]
TXHy1(x)VDWLVIDFHODPLVPDFRQGLFLyQIURQWHUD'HODVHFXDFLRQHV \ WHQHPRV
0
A1yp(a)
B1yp(a)
0
A1[u1(a)y1(a)
u2(a)y2(a)]
u1(a)[A1y1(a)
B1y 1 (a)]
B1[u1(a)y1(a)
u2(a)y 2(a)]
0.
0 de (22)
Asimismo, u1(b) LPSOLFDTXHFDGDYH]TXHy(x)VDWLVIDFH WDPELpQORKDFHyp(x):
0
A2yp(b)
B2y p(b)
0
A2[u1(b)y1(b)
u2(b)y2(b)]
u2(b)[A2 y2(b)
B2 y 2(b)]
B2[u1(b)y 1(b)
u2(b)y 2(b)]
0.
0 de (22)
(OVLJXLHQWHWHRUHPDUHVXPHHVWRVUHVXOWDGRV
TEOREMA 4.8.3 Solución del PVF (24)
Sea y1(x) y y(x)VROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGH
y P(x)y Q(x)y 0
VREUH>a, b@\VXSRQJDTXHy1(x) y y(x)VDWLVIDFHQODVHFXDFLRQHV \ UHVSHFWLYDPHQWH(QWRQFHVODIXQFLyQyp(x)GH¿QLGDHQ HVXQDVROXFLyQGHO
SUREOHPDGHYDORUHVHQODIURQWHUD EJEMPLO 7
/DFRQGLFLyQIURQWHUDy’(0) = 0 es un caso
HVSHFLDOGH FRQa = 0, $1 = 0 y B1 = 1.
/DFRQGLFLyQIURQWHUDy(ʌ HVXQFDVR
HVSHFLDOGH FRQb = ʌ$ = 1, B = 0.
Uso del teorema 4.8.3
5HVXHOYDHOSUREOHPDGHYDORUHVHQODIURQWHUD
y y y(0) 0,
y(ʌ 0
SOLUCIÓN Las soluciones de la ecuación homogénea asociada y y 0 son
y1(x) FRVx y y(x) VHQx y y1(x VDWLVIDFHy(0) PLHQWUDVTXHy(x VDWLVIDFH
y(ʌ (O:URQVNLDQRHVW(y1, y) \DVtGH YHPRVTXHODIXQFLyQGH*UHHQ
SDUDHOSUREOHPDGHYDORUHVHQODIURQWHUDHV
1
2 cos
2t sen 2x, 0
t
x
1
2 cos
2x sen 2t, x
t
S 2.
G(x, t)
6H GHGXFH GHO WHRUHPD TXH XQD VROXFLyQ GHO 39) HV FRQ ODV LGHQWL¿FDFLRQHV
a 0, b ʌ\f (t) S 2
yp(x)
3
G(x, t) dt
0
S 2
x
3
1
2 sen
2x cos 2t dt
3
0
RGHVSXpVGHHYDOXDUODVLQWHJUDOHVGH¿QLGDV yp(x)
1
2 cos
3
4
2x
sen 2t dt,
x
3
4 cos
2x.
1RLQ¿HUDGHOHMHPSORDQWHULRUTXHODH[LJHQFLDGHTXHy1(x) VDWLVIDJD \y(x)VDWLVIDJD
GHWHUPLQDHQIRUPD~QLFDHVWDVIXQFLRQHV&RPRYLPRVHQHOHMHPSORDQWHULRUKD\XQD
FLHUWDDUELWUDULHGDGHQODVHOHFFLyQGHHVWDVIXQFLRQHV
182
CAPÍTULO 4
O
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJEMPLO 8
Uso del teorema 4.8.3
5HVXHOYDHOSUREOHPDGHYDORUHVHQODIURQWHUD
xy xy y x5,
y(1) 0,
y 0
/D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO VH UHFRQRFH FRPR XQD (' GH &DXFK\(XOHU 'H
la ecuación auxiliar m(m 1) m (m 1)(m 0 la solución general
de la ecuación homogénea asociada es y c1x cx. Aplicar y(1) DHVWDVROXFLyQLPplica c1 c 0 o c1 c. Al elegir c REWHQHPRVc1 1 y y1 x x3RURWURODGR
y DSOLFDGDDODVROXFLyQJHQHUDOPXHVWUDTXHc1 8c 0 o c1 c. La elección
c 1 ahora da c1 \DVty(x) x x(O:URQVNLDQRGHHVWDVGRVIXQFLRQHVHV
SOLUCIÓN
W(y1(x), y2(x))
x3 4x
3x2 4
x
1
x3
3x2
6x3.
3RUWDQWRODIXQFLyQGH*UHHQSDUDORVSUREOHPDVGHYDORUHVHQODIURQWHUDHV
(t
G(x, t)
(x
t3)(4x
6t 3
3
x )(4t
6t 3
x3)
, 1
t
x
t 3)
, x
t
2
&RQHO¿QGHLGHQWL¿FDUODIXQFLyQGHIRU]DPLHQWRFRUUHFWDfGHEHPRVHVFULELUOD('HQOD
IRUPDHVWiQGDU
3
3
y 24x3
y
y
x
x2
(QHVWDHFXDFLyQYHPRVTXHf(t) t y así yp(x) HQ VHFRQYLHUWHHQ
2
yp(x)
24 G(x, t) t 3dt
1
x
4(4x
9HUL¿TXHTXHyp(x VDWLVIDFHODHFXDFLyQ
diferencial y las dos condiciones de
IURQWHUD
x 3) (t
2
t 3) dt
4(x
x 3) (4t
1
t 3)dt.
x
$OLQWHJUDUHQIRUPDVLPSOHODLQWHJUDOGH¿QLGD\VLPSOL¿FDUDOJHEUDLFDPHQWHVHREWLHQHOD
solución yp(x) x5 15x x.
COMENTARIOS
$SHQDV KHPRV WRFDGR OD VXSHU¿FLH GH OD HOHJDQWH DXQTXH FRPSOLFDGD WHRUtD
GHODVIXQFLRQHVGH*UHHQ/DVIXQFLRQHVGH*UHHQWDPELpQVHSXHGHQFRQVWUXLU
para ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden, pero dejamos
ODFREHUWXUDGHO~OWLPRWHPDSDUDXQFXUVRDYDQ]DGR
EJERCICIOS 4.8
4.8.1
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-6.
PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
En los problemas 1-6 proceda como en el ejemplo 1 para enFRQWUDUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUyp(x) de la ecuación diferencial
GDGDHQIRUPDLQWHJUDO (Q ORV SUREOHPDV SURFHGD FRPR HQ HO HMHPSOR SDUD
HQFRQWUDUODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD
8WLOLFHORVUHVXOWDGRVREWHQLGRVHQORVSUREOHPDVGHODO
1RHYDO~HODLQWHJUDOTXHGH¿QHyp(x).
1. y
16y
f(x)
7. y
16y
xe
3. y
2y
y
f(x)
9. y
2y
y
f(x)
11. y
9y
5. y
9y
f(x)
2. y
f(x)
4. 4y
6. y
3y
4y
2y
10y
y
2y
f(x)
x
2x
e
8. y
x
sen x
10. 4y
12. y
3y
4y
2y
10y
y
2y
x2
arctan x
cos2x
4.9
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN
(QORVSUREOHPDVSURFHGDFRPRHQHOHMHPSORSDUD
HQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDGDGRFRQYDORUHVLQLFLDOHV(YDO~HODLQWHJUDOTXHGH¿QHyp(x).
13. y
4y
e2x, y(0)
14. y
y
1, y(0)
0, y (0)
0
15. y
10y
25y
e5x, y(0)
0, y (0)
16. y
6y
17. y
y
18. y
0, y (0)
x, y(0)
9y
0, y (0)
sec2x, y( ʌ )
0, y ( ʌ )
4y
e2x, y(0)
34. y
0
0
20. y
y
1, y(0)
21. y
10y
22. y
6y
23. y
y
24. y
9y
10, y (0)
e , y(0)
1, y (0)
1, y (0)
1
2,
2
sec x, y( ʌ )
3y
1
3
ʌ2, y ( ʌ 2)
y (ʌ )
1
1
x
sen e , y(0)
1, y (0) 0
1
26. y
3y
2y
, y(0) 0, y (0) 1
1 ex
27. x 2y
2xy
2y x, y(1) 2, y (1)
1
28. x 2y
2y
2xy
2
29. x y
6y
2
30. x y
xy
2y
x ln x, y(1)
ln x, y(1)
y
1, y (1)
1, y (1)
2
x , y(1)
0
3
4, y (1)
3
(QORVSUREOHPDVSURFHGDFRPRHQHOHMHPSORSDUD
HQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHVFRQ
ODIXQFLyQGHIRU]DPLHQWRGH¿QLGDHQWUDPRV
31. y
y
f(x), y(0) 8, y (0)
1, x 0
donde f(x)
1, x 0
4.9
4.8.2
0, x
10, 0
0, x
f(x), y(0)
183
2,
1,
0
x 3ʌ
3ʌ
0, y (0)
1,
0, x 0
cos x, 0 x
0, x 4ʌ
4ʌ
PROBLEMAS CON VALORES
EN LA FRONTERA
1
5x
x, y(0)
y
donde f(x)
4
csc x cot x, y( ʌ 2)
y
25. y
25y
1, y (0)
f(x), y(0) 3, y (0)
0, x 0
donde f(x)
x, x 0
y f(x), y(0) 1, y (0)
33. y
0
(Q ORV SUREOHPDV SURFHGD FRPR HQ HO HMHPSOR SDUD
HQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDGDGRFRQYDORUHVLQLFLDOHV
19. y
y
donde f(x)
0
0, y ( ʌ2)
csc x cot x, y(ʌ2)
y
0
32. y
O
2,
(QORVSUREOHPDVGH\a)8VH \ SDUDHQFRQWUDU XQD VROXFLyQ GHO SUREOHPD GH YDORUHV HQ OD IURQWHUD b)
&RPSUXHEHTXHODIXQFLyQyp(x VDWLVIDFHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV\DPEDVFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUD
35. y
f(x), y(0)
0, y(1)
0
36. y
f(x), y(0)
0, y(1)
y (1)
0
37. (Q HO SUREOHPD HQFXHQWUH XQD VROXFLyQ GHO 39)
cuando f(x) 1.
38. (Q HO SUREOHPD HQFXHQWUH XQD VROXFLyQ GHO 39)
cuando f(x) x.
(QORVSUREOHPDV-SURFHGDFRPRHQORVHMHPSORV\
SDUDHQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDGDGRFRQYDORUHVHQ
ODIURQWHUD
39. y
y
1, y(0)
0, y(1)
0
9y 1, y(0) 0, y ( ʌ ) 0
40. y
41. y
2y
2y ex, y(0) 0, y( ʌ 2) 0
2x
y
e , y(0) 0, y(1) 0
42. y
2
43. x y
xy
1, y(e 1) 0, y(1) 0
2
4xy
6y x4, y(1) y (1) 0, y(3)
44. x y
0
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN
INTRODUCCIÓN /DVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVVLPXOWiQHDVWLHQHQTXHYHUFRQGRVR
PiV HFXDFLRQHV TXH FRQWLHQHQ GHULYDGDV GH GRV R PiV YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV ODV IXQFLRQHV GHVFRQRFLGDV UHVSHFWRDXQDVRODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH(OPpWRGRGHeliminación sistemática para
UHVROYHUVLVWHPDVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVHEDVDHQHOSULQFLSLRDOJHEUDLFRGHHOLPLQDFLyQGHYDULDEOHV9HUHPRVTXHODRSHUDFLyQDQiORJDGHmultiplicar una ecuación
DOJHEUDLFDSRUXQDFRQVWDQWHHVoperarHQXQD('2FRQFLHUWDFRPELQDFLyQGHGHULYDGDV
ELIMINACIÓN SISTEMÁTICA /DHOLPLQDFLyQGHXQDLQFyJQLWDHQXQVLVWHPDGH
HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVVHIDFLOLWDDOUHHVFULELUFDGDHFXDFLyQGHOVLVWHPDHQ
184
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
QRWDFLyQGHRSHUDGRUGLIHUHQFLDO5HFXHUGHGHODVHFFLyQTXHXQDVRODHFXDFLyQ
lineal
an y(n)
an 1y(n
1)
a1 y
a0 y
g(t),
donde las ai, i 0, 1, . . . , nVRQFRQVWDQWHVSXHGHHVFULELUVHFRPR
an 1D(n
(an Dn
1)
a0 )y
a1D
g(t).
Si el operador diferencial de n-ésimo orden an Dn an 1D(n 1)
a1D a0
VHIDFWRUL]DHQRSHUDGRUHVGLIHUHQFLDOHVGHPHQRURUGHQHQWRQFHVORVIDFWRUHVFRQPXWDQ$KRUDSRUHMHPSORSDUDUHVFULELUHOVLVWHPD
x
2x
y
x
y
3y
x
4x
sent
2y
e
t
HQWpUPLQRVGHORSHUDGRUDSULPHURVHHVFULEHQORVWpUPLQRVFRQYDULDEOHVGHSHQGLHQWHVHQXQPLHPEUR\VHDJUXSDQODVPLVPDVYDULDEOHV
x
2x
x
x
4x
y
y
3y
2y
sent
e t
(D2
HVORPLVPRTXH
2D
(D
(D2
(D
1)x
4)x
3)y
2)y
sent
e t.
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA Una soluciónGHXQVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHVXQFRQMXQWRGHIXQFLRQHVVX¿FLHQWHPHQWHGHULYDEOHVx ‫׋‬1(t), y ‫(׋‬t), z ‫(׋‬t),
HWFpWHUDTXHVDWLVIDFHFDGDHFXDFLyQGHOVLVWHPDVREUHDOJ~QLQWHUYDORFRP~QI.
MÉTODO DE SOLUCIÓN
primer orden
dx
dt
dy
dt
&RQVLGHUHHOVLVWHPDVLPSOHGHHFXDFLRQHVOLQHDOHVGH
3y
Dx
2x
RHTXLYDOHQWHPHQWH
2x
3y
Dy
0
0.
(1)
Operando con DODSULPHUDHFXDFLyQGH HQWDQWRTXHODVHJXQGDVHPXOWLSOLFDSRU
y después se suma para eliminar yGHOVLVWHPDVHREWLHQHDx 6x 3XHVWRTXHODV
16 y m2
16 VHREWLHQH
UDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUGHOD~OWLPD('VRQm1
x(t)
c1 e
16t
c 2 e16t. 0XOWLSOLFDQGR OD SULPHUD HFXDFLyQ HQ SRU PLHQWUDV TXH VH RSHUD OD VHJXQGD
con D\GHVSXpVUHVWDQGRVHREWLHQHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDy, Dy 6y 0.
,QPHGLDWDPHQWHVHWLHQHTXH
y(t)
c3 e
16t
c4 e16t. $KRUD \ QRVDWLVIDFHQHOVLVWHPD SDUDWRGDHOHFFLyQGHc1, c, c y c
SRUTXHHOVLVWHPDHQVtSRQHXQDUHVWULFFLyQDOQ~PHURGHSDUiPHWURVHQXQDVROXFLyQ
TXHVHSXHGHHOHJLUHQIRUPDDUELWUDULD3DUDYHUHVWRREVHUYHTXHVXVWLWX\HQGRx(t) y
y(t HQODSULPHUDHFXDFLyQGHOVLVWHPDRULJLQDO GHVSXpVGHVLPSOL¿FDUVHREWLHQH
16c1
3c 3 e
16 t
16c 2
3c 4 e16 t
0.
3XHVWR TXH OD ~OWLPD H[SUHVLyQ HV FHUR SDUD WRGRV ORV YDORUHV GH t GHEHPRV WHQHU
16c1 3c3 0 y 16c 2 3c 4 0. (VWDVGRVHFXDFLRQHVQRVSHUPLWHQHVFULELU
cFRPRXQP~OWLSORGHc1 y cFRPRXQP~OWLSORGHc:
c3
16
c y
3 1
c4
16
c 3 2
4.9
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN
O
185
3RUWDQWRVHFRQFOX\HTXHXQDVROXFLyQGHOVLVWHPDGHEHVHU
x(t)
c1e
16t
c2 e16 t,
16
ce
3 1
y(t)
16
c e16 t.
3 2
16 t
6HUHFRPLHQGDVXVWLWXLU \ HQODVHJXQGDHFXDFLyQGH \FRPSUREDUTXH
VHFXPSOHODPLVPDUHODFLyQ HQWUHODVFRQVWDQWHV
EJEMPLO 1
Solución por eliminación
5HVXHOYD
(D
Dx
3)x
(D
2) y
2y
0
0.
(5)
SOLUCIÓN Operando con D±ODSULPHUDHFXDFLyQ\ODVHJXQGDFRQD y luego
UHVWiQGRODVVHHOLPLQDxGHOVLVWHPD6HGHGXFHTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDy es
[(D
3)(D
2)
2D]y
0
(D 2
o
6)y
D
0.
3XHVWRTXHODHFXDFLyQFDUDFWHUtVWLFDGHHVWD~OWLPDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHVm m
6 (m m VHREWLHQHODVROXFLyQ
c1 e 2t
y(t)
3t
.
c2 e
(6)
Eliminando yGHPRGRVLPLODUVHREWLHQH D D 6)x DSDUWLUGHORFXDOVH
HQFXHQWUDTXH
c 3 e 2t
x(t)
c4 e
3t
.
(7)
&RPRVHREVHUYyHQODGHVFULSFLyQDQWHULRUXQDVROXFLyQGH QRFRQWLHQHFXDWURFRQVWDQWHVLQGHSHQGLHQWHV6XVWLWX\HQGR \ HQODSULPHUDHFXDFLyQGH VHREWLHQH
2c 3 )e 2t
(4c1
( c2
3c 4 )e
3t
0.
1
3 c23RUWDQWRXQD
'Hc1 c 0 y c c VHREWLHQHc c1 y c4
VROXFLyQGHOVLVWHPDHV
1
c e
3 2
2c1 e2t
x(t)
3t
,
c1e2t
y(t)
c2 e
3t
.
<DTXHVyORVHSRGUtDGHVSHMDUIiFLOPHQWHDc y cHQWpUPLQRVGHc1 y c, la solución
GHOHMHPSORVHHVFULEHHQODIRUPDDOWHUQDWLYD
1
c e2t 3c4 e 3t.
2 3
(QRFDVLRQHVGDUHVXOWDGRPDQWHQHUORVRMRVDELHUWRVFXDQGRVHUHVXHOYHQVLVWHPDV6LHQHOSULPHUHMHPSORVHKXELHUDUHVXHOWRSDUDxHQWRQFHVVHSRGUtDHQFRQWUDU
y MXQWR FRQ OD UHODFLyQ HQWUH ODV FRQVWDQWHV XVDQGR OD ~OWLPD HFXDFLyQ GHO VLVWHPD
8VWHG GHEH FRPSUREDU TXH OD VXVWLWXFLyQ GH x(t) en y 12 (Dx 3x) produce
1
2t
y
3c4 e 3t. 2EVHUYHWDPELpQHQODGHVFULSFLyQLQLFLDOTXHODUHODFLyQTXH
2 c3 e
VHSURSRUFLRQDHQ \ODVROXFLyQy(t GH VHSRGUtDKDEHUREWHQLGRDOXVDUx(t) en
\ODSULPHUDHFXDFLyQGH HQODIRUPD
c3 e2t
x(t)
(VWRSRGUtDDKRUUDUOHDOJR
GHWLHPSR
y
EJEMPLO 2
5HVXHOYD
1
3
c4 e
3t
,
1
3
Dx
y(t)
26c1e
16t
1
3
26c2 e16t.
Solución por eliminación
x
x
4x y
x y
t2
0.
(8)
SOLUCIÓN 3ULPHURVHHVFULEHHOVLVWHPDHQQRWDFLyQGHRSHUDGRUGLIHUHQFLDO
(D
(D
4)x
1)x
D2 y
Dy
t2
0.
(9)
186
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
(QWRQFHVHOLPLQDQGRDxREWHQHPRV
1)D2
[(D
(D
4)D]y
1)t2
(D
(D
4)0
o
(D3 4D)y t2 2t.
3XHVWRTXHODVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUm(m 0 son m1 0, m i y m
iODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDHVyc c1 cFRVt cVHQt.3DUDGHWHUPLQDU
OD VROXFLyQ SDUWLFXODU yp VH XVDQ FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV VXSRQLHQGR TXH yp $W Bt Ct3RUWDQWR y
3At2 2Bt C, y
6At 2B, y
6A,
p
12At2
4y p
yp
p
8Bt
6A
p
t2
4C
2t.
/D~OWLPDLJXDOGDGLQGLFDTXH$ 1, 8B \$ C SRUWDQWRA
1
yC
. Así
8
y
yc
yp
c2 cos 2t
c1
c3 sen 2 t
1 3
t
12
1 2
t
4
1
t.
8
1
12 ,
B
1
,
4
(10)
Eliminando yGHOVLVWHPD VHREWLHQH
[(D
4)
D(D
t2
1)]x
o
(D2
4)x
t2.
'HEHVHUREYLRTXHxc cFRVt c5VHQt\TXHVHSXHGHQDSOLFDUFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVSDUDREWHQHUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODIRUPDxp $W Bt C. En
1
1 2
HVWHFDVRXVDQGRGHULYDGDV\iOJHEUDXVXDOHVVHREWLHQH xp
y así
4t
8,
1 2 1
(11)
t
.
4
8
Ahora se expresan c y c5 HQ WpUPLQRV GH c y c VXVWLWX\HQGR \ HQ
FXDOTXLHUHFXDFLyQGH 8WLOL]DQGRODVHJXQGDHFXDFLyQVHHQFXHQWUDGHVSXpVGH
FRPELQDUWpUPLQRV
x
(c5
xc
2c4
xp
c4 cos 2t
2c2 ) sen 2t
c5 sen 2t
(2c5
c4
2c3) cos 2t
0,
así c5 c c \c5 c c 'HVSHMDQGRcy c5HQWpUPLQRVGHc y
cVHREWLHQHc 15 c c) y c5 15 c c 3RU~OWLPRVHHQFXHQWUDTXH
una solución de (8) es
1
1
1 2 1
x(t)
(4c2 2c3 ) cos 2t
(2c2 4c3 ) sen 2t
t
,
5
5
4
8
1 3 1 2 1
y(t) c1 c2 cos 2t c3 sen 2t
t
t
t.
12
4
8
EJEMPLO 3
Volver a tratar un problema de mezclas
(QODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQYLPRVTXHHOVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV
lineales de primer orden
dx1
2
1
x
x
dt
25 1 50 2
dx2
2
2
x
x
dt
25 1 25 2
HVXQPRGHORSDUDODFDQWLGDGGHNLORJUDPRVx1(t) y x(t) en mezclas de salmuera en los
WDQTXHV$ y BUHVSHFWLYDPHQWHTXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUD(QHVHPRPHQWR
QRSRGtDPRVUHVROYHUHOVLVWHPD3HURDKRUDHQWpUPLQRVGHRSHUDGRUHVGLIHUHQFLDOHV
HOVLVWHPDDQWHULRUVHSXHGHHVFULELUFRPR
D
2
x1
25
2
x
25 1
D
1
x2
50
0
2
x
25 2
0.
4.9
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN
O
187
Operando con D 252 ODSULPHUDHFXDFLyQ\PXOWLSOLFDQGRODVHJXQGDHFXDFLyQSRU 501 ,
VHVXPDQ\VLPSOL¿FDQ\VHREWLHQH D 100D x1 'HODHFXDFLyQDX[LOLDU
625m 2
x1(t)
NJGHVDO
libras
de sal
20
x1(t)
10
0
REWLHQH c1
40
60
Tiempo
20
80
x1(t)
100
ORVWDQTXHV$ y B GHOHMHPSOR
EJERCICIOS 4.9
c1e
c2
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
2x
y
2.
x
y
x
t
4.
t
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
4x
d 2x
dt2
d 2y
dt2
t / 25
25
e
2
c2 e
x
2y
4y
1
x
4y
et
4x
et
8.
t / 25
13. 2
7y
14.
3t / 25
,
x2(t)
2c1 e
t / 25
2c2 e
3t / 25
.
25
e
2
3t / 25
,
x2 (t)
25e
t / 25
25e
3t / 25
.
2
d 2 x dy
dt2
dt
dx dy
dt
dt
Dx D y et
(D 1)x (D 1)y et
D x Dy t
(D x (D y 11. (D 1)x y 0
(D 1)x Dy 0
12. D D 1)x D 1)y 1
(D 1)x Dy 1
dx
5x
dt
dx
x
dt
dx dy
dt
dt
d2 x dx
dt2
dt
dy
dt
dy
dt
et
5et
et
x
y
0
15. (D 1)x (D 1)y 1
(D 1)x (D 1)y 16. D x D D)y sen t
x
Dy 0
6. (D 1)x (D 1)y x (D y 1
10.
0
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-6.
5. (D 5)x y 0
x (D y 0
9.
3)
25
2 . 3RU~OWLPRXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVHV
(Q ORV SUREOHPDV UHVXHOYD HO VLVWHPD GH HFXDFLRQHV
GLIHUHQFLDOHVGDGRSRUHOLPLQDFLyQVLVWHPiWLFD
7.
1)(25m
(QOD¿JXUDVHPXHVWUDQODVJUi¿FDVGHDPEDVHFXDFLRQHV&RQVLVWHQWHVFRQHOKHFKR
TXHVHERPEHDDJXDSXUDDOWDQTXH$HQOD¿JXUDYHPRVTXHx1(t) A 0 y x(t) A 0 conforme t A .
FIGURA 4.9.1 Kilogramos de sal en
(25m
(QHODQiOLVLVRULJLQDOGHODVSiJLQDVVHVXSXVRTXHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV
eran x1(0) \ x(0) $SOLFDQGR HVWDV FRQGLFLRQHV D OD VROXFLyQ VH REWLHQH
c1 c \ c1 c 5HVROYLHQGR VLPXOWiQHDPHQWH HVWDV HFXDFLRQHV VH
15
5 x (t)
2
3.
3
VHREVHUYDLQPHGLDWDPHQWHTXHx1 W c1et cet$KRUDVHSXHGHREWHQHUx(t)
XVDQGRODSULPHUD('GHOVLVWHPDHQODIRUPD x2 50(D 252 )x1. 'HHVWDPDQHUDVH
HQFXHQWUDTXHODVROXFLyQGHOVLVWHPDHV
25
1.
100m
5x
x
4y
17. Dx y
18.
Dx z et
Dy z
(D 1)x Dy Dz 0
Dz x
x y Dz e t
dx
dx
x z
19.
20.
6y
dt
dt
dy
dy
y z
x z
dt
dt
dz
dz
x y
x y
dt
dt
(Q ORV SUREOHPDV \ UHVXHOYD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV
iniciales.
dx
dx
y 1
21.
22.
5x y
dt
dt
dy
dy
3x 2y
4x y
dt
dt
x(1) 0, y(1) 1
x(0) 0, y(0) 0
188
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Modelos matemáticos
Problemas para analizar
23. Movimiento de un proyectil 8Q SUR\HFWLO GLVSDUDGR GH XQD
SLVWROD WLHQH XQ SHVR w mg \ XQD YHORFLGDG v WDQJHQWH D VX
WUD\HFWRULDGHPRYLPLHQWR,JQRUDQGRODUHVLVWHQFLDGHODLUH\ODV
IXHU]DVTXHDFW~DQVREUHHOSUR\HFWLOH[FHSWRVXSHVRGHWHUPLQH
XQ VLVWHPD GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV TXH GHVFULED VX WUD\HFWRULD GH PRYLPLHQWR 9HD OD ¿JXUD 5HVXHOYD HO VLVWHPD
>Sugerencia:8VHODVHJXQGDOH\GH1HZWRQGHOPRYLPLHQWRHQ
las direcciones x y y.]
25. ([DPLQH\DQDOLFHHOVLJXLHQWHVLVWHPD
y
(D
t2
1.
Tarea para el laboratorio de computación
26. ([DPLQHGHQXHYROD¿JXUDGHOHMHPSOR/XHJRXWLOLFH
XQDDSOLFDFLyQSDUDGHWHUPLQDUUDtFHVSDUDVDEHUFXDQGRHOWDQTXHBFRQWLHQHPiVVDOTXHHOWDQTXH$.
mg
dx1
dt
dx2
dt
dx3
dt
x
FIGURA 4.9.2 7UD\HFWRULDGHOSUR\HFWLOGHOSUREOHPD
24. Movimiento del proyectil con resistencia del aire'HWHUPLQH
XQVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVTXHGHVFULEDODWUD\HFWRULDGHPRYLPLHQWRHQHOSUREOHPDVLODUHVLVWHQFLDGHODLUHHV
XQDIXHU]DUHWDUGDGRUDk GHPDJQLWXGk TXHDFW~DWDQJHQWHDOD
WUD\HFWRULDGHOSUR\HFWLOSHURRSXHVWDDVXPRYLPLHQWR9HDOD
¿JXUD5HVXHOYDHOVLVWHPD>Sugerencia: kHVXQP~OWLSOR
GHYHORFLGDGGLJDPRVȕv.]
v
θ
1
x
50 1
1
x
50 1
2
x
75 2
2
x2
75
1
x
25 3
HVXQPRGHORSDUDODVFDQWLGDGHVGHVDOHQORVWDQTXHVGHPH]FODGRFRQHFWDGRV$, B y CTXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUD
5HVXHOYDHOVLVWHPDVXMHWRDx1(0) 15, x(t) 10, x(t) 5.
b) 8VHXQ6$&SDUDJUD¿FDUx1(t), x(t) y x(t) en el mismo plano
FRRUGHQDGR FRPRHQOD¿JXUD HQHOLQWHUYDOR>@
c)
FIGURA 4.9.3 )XHU]DVHQHOSUREOHPD
4.10
2Dy
2(D 1)y
27. a)/HDQXHYDPHQWHHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV(QHVH
SUREOHPDVHSLGLyGHPRVWUDUTXHHOVLVWHPDGHHFXDFLRQHV
diferenciales
v
k
Dx
1)x
'
HELGR D TXH VH ERPEHD DJXD SXUD KDFLD HO WDQTXH $, es
yJLFRTXHHQDOJ~QPRPHQWRODVDOVDOJDGHORVWUHVWDQTXHV
8WLOLFHXQDDSOLFDFLyQGHXQ6$&SDUDHQFRQWUDUUDtFHVSDUD
GHWHUPLQDUHOWLHPSRFXDQGRODFDQWLGDGGHVDOHQFDGDUHFLSLHQWHVHDPHQRURLJXDOTXHNJ¢&XiQGRVRQODVFDQWLGDGHVGHVDOx1(t), x(t) y x(t VLPXOWiQHDPHQWHPHQRUHVR
LJXDOHVTXHNJ"
ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES
INTRODUCCIÓN $ FRQWLQXDFLyQ VH H[DPLQDQ ODV GL¿FXOWDGHV HQ WRUQR D ODV (' no lineales de
RUGHQVXSHULRU\ORVSRFRVPpWRGRVTXHSURGXFHQVROXFLRQHVDQDOtWLFDV'RVGHORVPpWRGRVGHVROXFLyQ
TXHVHFRQVLGHUDQHQHVWDVHFFLyQHPSOHDQXQFDPELRGHYDULDEOHSDUDUHGXFLUXQD('GHVHJXQGRRUGHQ
DXQDGHSULPHURUGHQ(QHVHVHQWLGRORVPpWRGRVVRQDQiORJRVDOPDWHULDOGHODVHFFLyQ
ALGUNAS DIFERENCIAS (QWUH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV \ QR OLQHDOHV KD\ YDULDV GLIHUHQFLDV LPSRUWDQWHV (Q OD VHFFLyQ YLPRV TXH ODV HFXDFLRQHV
OLQHDOHVKRPRJpQHDVGHRUGHQGRVRVXSHULRUWLHQHQODSURSLHGDGGHTXHXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHVROXFLRQHVWDPELpQHVXQDVROXFLyQ WHRUHPD /DVHFXDFLRQHVQR
OLQHDOHVQRWLHQHQHVWDSURSLHGDGGHVXSHUSRVLFLyQ9HDORVSUREOHPDV\GHORV
HMHUFLFLRV3RGHPRVHQFRQWUDUVROXFLRQHVJHQHUDOHVGH('OLQHDOHVGHSULPHURUGHQ
\HFXDFLRQHVGHRUGHQVXSHULRUFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV$XQFXDQGRVHSXHGDUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQROLQHDOGHSULPHURUGHQHQODIRUPDGHXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDHVWDIDPLOLDQRUHSUHVHQWDFRPRUHJODXQDVROXFLyQJHQHUDO(VGHFLUODV('
QROLQHDOHVGHSULPHURUGHQSXHGHQWHQHUVROXFLRQHVVLQJXODUHVHQWDQWRTXHODVHFXDFLRQHVOLQHDOHVQR3HURODSULQFLSDOGLIHUHQFLDHQWUHODVHFXDFLRQHVOLQHDOHV\QROLQHDOHV
GHRUGHQGRVRVXSHULRUUDGLFDHQHOiUHDGHODVROXELOLGDG'DGDXQDHFXDFLyQOLQHDO
KD\XQDSUREDELOLGDGGHHQFRQWUDUDOJXQDIRUPDGHVROXFLyQTXHVHSXHGDDQDOL]DUXQD
VROXFLyQH[SOtFLWDRTXL]iXQDVROXFLyQHQODIRUPDGHXQDVHULHLQ¿QLWD YHDHOFDStWXOR
4.10
ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES
O
189
3RURWURODGRODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVQROLQHDOHVGHRUGHQVXSHULRUGHVDItDQYLUWXDOPHQWHODVROXFLyQFRQPpWRGRVDQDOtWLFRV$XQTXHHVWRSRGUtDVRQDUGHVDOHQWDGRU
D~QKD\FRVDVTXHVHSXHGHQKDFHU&RPRVHVHxDOyDO¿QDOGHODVHFFLyQVLHPSUH
HVSRVLEOHDQDOL]DUGHPRGRFXDOLWDWLYR\QXPpULFRXQD('QROLQHDO
'HVGHHOSULQFLSLRVHDFODUyTXHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVQROLQHDOHVGHRUGHQ
VXSHULRUVRQLPSRUWDQWHVGLJDPRV¢TXL]iPiVTXHODVOLQHDOHV"SRUTXHDPHGLGDTXH
VH DMXVWD XQ PRGHOR PDWHPiWLFR SRU HMHPSOR XQ VLVWHPD ItVLFR VH LQFUHPHQWD SRU
LJXDOODSUREDELOLGDGGHTXHHVWHPRGHORGHPD\RUGH¿QLFLyQVHDQROLQHDO
(PSH]DPRVSRUPRVWUDUXQPpWRGRDQDOtWLFRTXHen ocasionesSHUPLWHGHWHUPLQDUVROXFLRQHVH[SOtFLWDVRLPSOtFLWDVGHFODVHVHVSHFLDOHVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV
de segundo orden no lineales.
REDUCCIÓN DE ORDEN Las ecuaciones diferenciales no lineales de segundo
orden F(x, y, y) GRQGHIDOWDODYDULDEOHGHSHQGLHQWHy, y F(y, y, y) 0, donde
IDOWDODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHxDYHFHVVHUHVXHOYHQXVDQGRPpWRGRVGHSULPHURUGHQ
&DGDHFXDFLyQVHUHGXFHDXQDGHSULPHURUGHQSRUPHGLRGHODVXVWLWXFLyQu y.
FALTA LA VARIABLE DEPENDIENTE (QHOHMHPSORVLJXLHQWHVHLOXVWUDODWpFQLFD
GHVXVWLWXFLyQSDUDXQDHFXDFLyQGHODIRUPDF(x, y, y) 0. Si u yHQWRQFHVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHFRQYLHUWHHQF(x, u, u) 06LSRGHPRVUHVROYHUHVWD~OWLPDHFXDFLyQ
para uSRGHPRVHQFRQWUDUDySRULQWHJUDFLyQ2EVHUYHTXHFRPRVHHVWiUHVROYLHQGR
XQDHFXDFLyQGHVHJXQGRRUGHQVXVROXFLyQFRQWHQGUiGRVFRQVWDQWHVDUELWUDULDV
EJEMPLO 1
Falta la variable dependiente y
5HVXHOYDy x(y).
SOLUCIÓN Si hacemos u yHQWRQFHVdudx y'HVSXpVGHVXVWLWXLUODVH-
JXQGDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHUHGXFHDXQDHFXDFLyQGHSULPHURUGHQFRQYDULDEOHV
VHSDUDEOHVODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHVx\ODYDULDEOHGHSHQGLHQWHHVu :
du
dx
du
u2
2xu2
u
2
du
u
2x dx
2x dx
1
c21.
x2
/DFRQVWDQWHGHLQWHJUDFLyQVHHVFULEHFRPR c21 SRUFRQYHQLHQFLD/DUD]yQGHEHVHU
REYLDHQORVSRFRVSDVRVVLJXLHQWHV'HELGRDTXHu1 lyVHWLHQHTXH
dy
dx
y así
y
dx
x2
c21
1
x2
o
y
c21
,
1
tan
c1
1
x
c1
c2.
FALTA LA VARIABLE INDEPENDIENTE $FRQWLQXDFLyQVHPXHVWUDFyPRUHVROYHU
XQDHFXDFLyQTXHWLHQHODIRUPDF(y, y, y) 08QDYH]PiVVHKDFHu y, pero debido
DTXHIDOWDODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHxHVWDVXVWLWXFLyQVHXVDSDUDFRQYHUWLUODHFXDFLyQ
GLIHUHQFLDOHQXQDHQODTXHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHVy\ODYDULDEOHGHSHQGLHQWHHVu.
(QWRQFHVXWLOL]DPRVODUHJODGHODFDGHQDSDUDFDOFXODUODVHJXQGDGHULYDGDGHy:
du du dy
du
u .
dx dy dx
dy
(QHVWHFDVRODHFXDFLyQGHSULPHURUGHQTXHGHEHPRVUHVROYHUHV
y
F y, u, u
du
dy
0.
190
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJEMPLO 2
Falta la variable independiente x
5HVXHOYDyy ( y).
SOLUCIÓN Con ayuda de u yODUHJODGHODFDGHQDTXHVHDFDEDGHPRVWUDU\GH
ODVHSDUDFLyQGHYDULDEOHVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHFRQYLHUWHHQ
y u
du
dy
u2
du
u
o
dy
.
y
(QWRQFHVLQWHJUDQGROD~OWLPDHFXDFLyQVHREWLHQHOQ u ln y c1TXHDVXYH]
da u cyGRQGHODFRQVWDQWH ec1 VHLGHQWL¿FDFRPRc$KRUDVHYXHOYHDVXVWLWXLU
u dydxVHVHSDUDQGHQXHYRODVYDULDEOHVVHLQWHJUD\VHHWLTXHWDQODVFRQVWDQWHV
SRUVHJXQGDYH]
dy
y
c2
dx
ln y
o
c2 x
c3
c4ec2 x.
y
o
USO DE SERIES DE TAYLOR En algunos casos una solución de un problema con
YDORUHVLQLFLDOHVQROLQHDOHVHQHOTXHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVVHHVSHFt¿FDQHQx0, se
SXHGHDSUR[LPDUPHGLDQWHXQDVHULHGH7D\ORUFHQWUDGDHQx0.
EJEMPLO 3
Series de Taylor de un PVI
6XSRQJDPRVTXHH[LVWHXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV
y
x
y
y2,
y(0)
1, y (0)
(1)
1
6LDGHPiVVHVXSRQHTXHODVROXFLyQy(x GHOSUREOHPDHVDQDOtWLFDHQHQWRQFHVy(x)
WLHQHXQGHVDUUROORHQVHULHGH7D\ORUFHQWUDGRHQ
y (0)
y (0) 2 y (0) 3 y(4)(0) 4 y(5)(0) 5
x
x
x
x
x
. 1!
2!
3!
4!
5!
2EVHUYHTXHVHFRQRFHQORVYDORUHVGHOSULPHUR\VHJXQGRWpUPLQRVHQODVHULH SXHVWR
TXHHVRVYDORUHVVRQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVHVSHFL¿FDGDVy(0) 1, y(0) 1.
$GHPiVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSRUVtPLVPDGH¿QHHOYDORUGHODVHJXQGDGHULYDGDHQ
0: y(0) 0 y(0) y(0) 0 (1) (1) (QWRQFHVVHSXHGHQHQFRQWUDU
H[SUHVLRQHVSDUDODVGHULYDGDVVXSHULRUHVy , y FDOFXODQGRODVGHULYDGDVVXFHVLYDVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
d
y (x)
(x y y2 ) 1
y
2yy
dx
y(x)
y(0)
y (4)(x)
d
(1
dx
y(5)(x)
d
(y
dx
y
2yy ) 2yy
y
2(y )2 )
2yy
y
2( y )2
2yy
6y y ,
(5)
HWFpWHUD$KRUDXVDQGRy(0) 1 y y(0) VHHQFXHQWUDGH TXHy (0) 'H
ORVYDORUHVy(0) 1, y(0) 1 y y(0) VHHQFXHQWUDy (0) GH &RQ
OD LQIRUPDFLyQ DGLFLRQDO GH TXH y (0) HQWRQFHV VH YH GH TXH y(5)(0) 3RUWDQWRGH ORVSULPHURVVHLVWpUPLQRVGHXQDVROXFLyQHQVHULHGHOSUREOHPDFRQ
YDORUHVLQLFLDOHV VRQ
2 3 1 4 1 5
y(x)
1 x x2
.
x
x
x
3
3
5
USO DE UN PROGRAMA DE SOLUCIÓN NUMÉRICA /RVPpWRGRVQXPpULFRV
FRPRHOGH(XOHURHOGH5XQJH.XWWDVHGHVDUUROODURQVyORSDUDHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHSULPHURUGHQ\OXHJRVHDPSOLDURQDVLVWHPDVGHHFXDFLRQHVGHSULPHURUGHQ
3DUDDQDOL]DUHQIRUPDQXPpULFDXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHn-ésimo orden, se
H[SUHVDOD('2GHnpVLPRRUGHQFRPRXQVLVWHPDGHn ecuaciones de primer orden. En
4.10
ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES
O
191
UHVXPHQDTXtVHPXHVWUDFyPRVHKDFHHVWRSDUDXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGH
VHJXQGRRUGHQSULPHURVHUHVXHOYHSDUDyHVGHFLUVHHVFULEHOD('HQODIRUPDQRUmal y f(x, y, y)\GHVSXpVVHKDFHTXHy u3RUHMHPSORVLVXVWLWXLPRVy u en
d 2y
dx2
f (x, y, y ),
y(x0 )
y0 ,
y (x0 )
u0 ,
(6)
HQWRQFHVy u y y(x0) u(x0 SRUORTXHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV VH
FRQYLHUWHHQ
y
u
Resuelva:
u
f(x, y, u)
Sujeto a:
y(x0)
y0 , u(x0)
u0.
Sin embargo, VHGHEHREVHUYDUTXHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDpodría no reTXHULU*TXHVHSURSRUFLRQHHOVLVWHPD
EJEMPLO 4
6LJXLHQGRHOSURFHGLPLHQWRDQWHULRUVHHQFXHQWUDTXHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDles de segundo ordHQGHOHMHPSORHVHTXLYDOHQWHD
dy
u
dx
du
x y y2
dx
y
polinomio
de Taylor
x
curva solución generada
mediante un programa
de solución numérica
FIGURA 4.10.1 Comparación de dos
VROXFLRQHVDSUR[LPDGDVGHOHMHPSOR
y
x
10
FIGURA 4.10.2
$QiOLVLVJUi¿FRGHOHMHPSOR
20
&XUYDVROXFLyQ
QXPpULFDSDUDHO39,HQ con condiciones iniciales y(0) 1, u(0) 1. Con ayuda de un programa de solución
QXPpULFDVHREWLHQHODFXUYDVROXFLyQHQD]XOHQOD¿JXUD3RUFRPSDUDFLyQODJUi
¿FDGHOSROLQRPLRGH7D\ORUGHTXLQWRJUDGRT5(x)
1 x x2 23 x3 13 x4 15 x5
VHPXHVWUDHQURMR$XQTXHQRVHFRQRFHHOLQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLDGHODVHULHGH7D\ORU
REWHQLGDHQHOHMHPSORODSUR[LPLGDGGHODVGRVFXUYDVHQXQDYHFLQGDGGHORULJHQLQGLFD
TXHODVHULHGHSRWHQFLDVSRGUtDFRQYHUJHUVREUHHOLQWHUYDOR 1, 1).
CUESTIONES CUALITATIVAS /DJUi¿FDHQD]XOGHOD¿JXUDRULJLQDDOJXQDV
SUHJXQWDVGHQDWXUDOH]DFXDOLWDWLYD¢ODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVRULJLQDO
HVRVFLODWRULDFRQIRUPHx A "/DJUi¿FDJHQHUDGDFRQXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFD
HQHOLQWHUYDORPiVJUDQGHTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDSDUHFHUtDsugerirTXHODUHVSXHVWDHVVt3HURHVWHVLPSOHHMHPSORRLQFOXVRXQJUXSRGHHMHPSORVQRUHVSRQGHODSUHJXQWDEiVLFDHQFXDQWRDVLtodas las soluciones de la ecuación diferencial y x y y
VRQGHQDWXUDOH]DRVFLODWRULD7DPELpQ¢TXpHVWiVXFHGLHQGRFRQODFXUYDVROXFLyQGHOD
¿JXUDFRQIRUPHxHVWiFHUFDGH"¢&XiOHVHOFRPSRUWDPLHQWRGHODVVROXFLRQHV
de la ecuación diferencial conforme x A " ¢(VWiQ DFRWDGDV ODV VROXFLRQHV FRQIRUPH
x A "3UHJXQWDVFRPRpVWDVQRVRQIiFLOHVGHUHVSRQGHUHQJHQHUDOSDUDHFXDFLRQHV
GLIHUHQFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQQROLQHDOHV3HURFLHUWDVFODVHVGHHFXDFLRQHVGHVHJXQGR
RUGHQVHSUHVWDQDXQDQiOLVLVFXDOLWDWLYRVLVWHPiWLFR\pVWDVDOLJXDOTXHODVHFXDFLRQHVGH
SULPHURUGHQTXHVHREWXYLHURQHQODVHFFLyQVRQGHODFODVHTXHQRWLHQHGHSHQGHQFLD
H[SOtFLWDHQODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH/DV('2GHVHJXQGRRUGHQGHODIRUPD
d 2y
f ( y, y ),
F(y, y , y ) 0 o
dx2
HFXDFLRQHVOLEUHVGHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHx, se llaman autónomas. La ecuación
GLIHUHQFLDO GHO HMHPSOR HV DXWyQRPD \ GHELGR D OD SUHVHQFLD GHO WpUPLQR x en su
PLHPEURGHUHFKRODHFXDFLyQGHOHMHPSORHVDXWyQRPD3DUDXQWUDWDPLHQWRSURIXQGR GHO WHPD GH HVWDELOLGDG GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV DXWyQRPDV GH VHJXQGR
RUGHQ\VLVWHPDVDXWyQRPRVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRQVXOWHHOFDStWXORHQ
Ecuaciones diferencial con problemas de valores en la frontera.
$OJXQRVSURJUDPDVGHVROXFLyQQXPpULFDVyORUHTXLHUHQTXHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQ
sea expresada en la forma normal y f (x, y, y /DWUDGXFFLyQGHOD~QLFDHFXDFLyQHQXQVLVWHPDGHGRV
HFXDFLRQHVVHFRQVWUX\HHQHOSURJUDPDGHFRPSXWDGRUD\DTXHODSULPHUDHFXDFLyQGHOVLVWHPDVLHPSUH
es y u y la segunda ecuación es u f (x, y, u).
*
192
CAPÍTULO 4
O
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJERCICIOS 4.10
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-7.
(QORVSUREOHPDV\FRPSUXHEHTXHy1 y y son soluciones de la
HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDSHURTXHy c1 y1 cy en general, no
es una solución.
1. (y) y ;
k
y 1 e , y cos x
x
1
( y )2; y1
2
2. yy
21. (QFiOFXORODFXUYDWXUDGHXQDOtQHDTXHVHGH¿QHSRUPHGLRGH
una función y f(x) es
1, y 2
x2
(Q ORV SUREOHPDV D UHVXHOYD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO XVDQGR OD
VXVWLWXFLyQu y.
3. y ( y) 1 0
4. y 1 ( y) 6. (y 1)y ( y) 5. x y ( y) 0
(QORVSUREOHPDVIDOWDODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHx en la ecuaFLyQGLIHUHQFLDOGDGD3URFHGDFRPRHQHOHMHPSOR\UHVXHOYDOD
HFXDFLyQXWLOL]DQGRODVXVWLWXFLyQu = y’.
7. yy0 1 sy9d2 1 1 5 0
8. sy 1 1dy0 5 sy9d2
9. y0 1 2ysy9d3 5 0
10. y2y0 5 y9
(QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDGHYDORULQLFLDOGDGR
11. 2y9y0 5 1, y(0) 5 2, y9(0) 5 1
12. y0 1 x(y9)2 5 0, y(1) 5 4, y9(1) 5 2
13. &RQVLGHUHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV
y yy 0,
y(0) 1, y(0) 1.
a) 8
VHOD('\XQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDWUD]DU
ODFXUYDVROXFLyQ
b) (QFXHQWUHXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHO39,8VHXQSURJUDPD
GHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVROXFLyQ
c) '
HWHUPLQHXQLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQSDUDODVROXFLyQGHO
inciso b).
(QFXHQWUHy f(x) para la cual ț >Sugerencia: Para simpli¿FDUGHVSUHFLHODVFRQVWDQWHVGHLQWHJUDFLyQ@
Problemas para analizar
22. (Q HO SUREOHPD YLPRV TXH FRV x y ex eran soluciones de la
ecuación no lineal (y) y &RPSUXHEH TXH VHQ x y ex
WDPELpQ VRQ VROXFLRQHV 6LQ LQWHQWDU UHVROYHU OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO DQDOLFH FyPR VH SXHGHQ HQFRQWUDU HVWDV VROXFLRQHV
XVDQGR VX FRQRFLPLHQWR DFHUFD GH ODV HFXDFLRQHV OLQHDOHV 6LQ
LQWHQWDU FRPSUREDU DQDOLFH SRU TXp ODV FRPELQDFLRQHV OLQHDOHV
y c1e x cex c cos x c sen x y y cex c sen x no
son, en general, soluciones, pero las dos combinaciones lineales
especiales y c1e x cex y y c cos x c sen x debenVDWLVfacer la ecuación diferencial.
23. $QDOLFHFyPRVHSXHGHDSOLFDUHOPpWRGRGHUHGXFFLyQGHRUGHQ
FRQVLGHUDGRHQHVWDVHFFLyQDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHWHUFHU
orden y
11 (y )2 /OHYHDFDERVXVLGHDV\UHVXHOYDOD
ecuación.
24. ([SOLTXH FyPR HQFRQWUDU XQD IDPLOLD DOWHUQDWLYD GH VROXFLRQHV GH GRV SDUiPHWURV SDUD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO QR OLQHDO
y x( y) HQHOHMHPSOR>Sugerencia:6XSRQJDTXH c21
VHXVDFRPRFRQVWDQWHGHLQWHJUDFLyQHQOXJDUGH c21.]
Modelos matemáticos
25. Movimiento de un campo de fuerza8QPRGHORPDWHPiWLFR
para la posición x(t GHXQFXHUSRFRQPRYLPLHQWRUHFWLOtQHRHQ
el eje xHQXQFDPSRGHIXHU]DLQYHUVRGHOFXDGUDGRGHx es
14. (QFXHQWUHGRVVROXFLRQHVGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV
( y )2
( y )2
1,
y
2
1
, y
2
2
13
.
2
d 2x
dt2
8VHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDWUD]DUODJUi¿FDGH
ODVFXUYDVVROXFLyQ
(QORVSUREOHPDV\GHPXHVWUHTXHODVXVWLWXFLyQu y conGXFH D XQD HFXDFLyQ GH %HUQRXOOL 5HVXHOYD HVWD HFXDFLyQ YHD OD
VHFFLyQ 15. xy y ( y)
16. xy y x( y)
(QORVSUREOHPDVSURFHGDFRPRHQHOHMHPSOR\REWHQJDORV
SULPHURVVHLVWpUPLQRVQRFHURGHXQDVROXFLyQHQVHULHGH7D\ORU
FHQWUDGDHQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV8VHXQSURJUDPD
GHVROXFLyQQXPpULFDSDUDFRPSDUDUODFXUYDVROXFLyQFRQODJUi¿FD
del polinomio de Taylor.
17. y x y ,
y(0) 1, y(0) 1
18. y y 1,
y(0) y(0) 19. y x y y,
y(0) 1, y(0) 1
20. y e y,
y(0) 1
y(0) 0,
[1
y
.
( y ) 2]3 / 2
k2
.
x2
6XSRQJD TXH HQ t HO FXHUSR FRPLHQ]D D SDUWLU GHO UHposo en la posición x x0, x0 'HPXHVWUH TXH OD YHORFLGDG
GHO FXHUSR HQ HO WLHPSR t HVWi GDGD SRU v k(1x 1x0).
8VHOD~OWLPDH[SUHVLyQ\XQ6$&SDUDUHDOL]DUODLQWHJUDFLyQSDUD
H[SUHVDUDOWLHPSRtHQWpUPLQRVGHx.
26. 8Q PRGHOR PDWHPiWLFR SDUD OD SRVLFLyQ x(t GH XQ REMHWR HQ
PRYLPLHQWRHV
d 2x
dt2
0.
8VHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDLQYHVWLJDUHQIRUPD
JUi¿FDODVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQVXMHWDDx(0) 0, x(0) x1,
x1 $QDOLFHHOPRYLPLHQWRGHOREMHWRSDUDt 0 y para diferenWHVHOHFFLRQHVGHx1,QYHVWLJXHODHFXDFLyQ
d 2x
dt2
senx
dx
dt
senx
0
HQODPLVPDIRUPD3URSRQJDXQDLQWHUSUHWDFLyQItVLFDSRVLEOH
GHOWpUPLQRdxdt.
REPASO DEL CAPÍTULO 4
REPASO DEL CAPÍTULO 4
&RQWHVWHORVSUREOHPDVDOVLQFRQVXOWDUHO¿QDOGHOOLEUR
&RPSOHWHHOHVSDFLRHQEODQFRRFRQWHVWHIDOVRRYHUGDGHUR
1. /D ~QLFD VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV
y x y 0, y(0) 0, y(0) 0 es __________.
2. 3DUDHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVODIRUPD
VXSXHVWDGHODVROXFLyQSDUWLFXODUyp para y y 1 ex
es __________.
3. 8QP~OWLSORFRQVWDQWHGHXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQ
GLIHUHQFLDOOLQHDOHVWDPELpQXQDVROXFLyQBBBBBBBBBB
4. 6LHOFRQMXQWRTXHFRQVLVWHHQGRVIXQFLRQHVfl y f es liQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVREUHXQLQWHUYDORIHQWRQFHVHO
:URQVNLDQRW(fl, f) SDUDWRGDx en I. __________
5. Si y sen5x es una solución de una ecuación diferencial
OLQHDOGHVHJXQGRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVHQWRQFHVODVROXFLyQJHQHUDOGHOD('HVBBBBBBBBBB
6. Si y 1 x 6x ex es una solución de una ecuaFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO KRPRJpQHD GH FXDUWR RUGHQ FRQ
FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV HQWRQFHV ODV UDtFHV GH OD HFXDción auxiliar son __________
7. Si y c1x cxln x, x 0 es la solución general de
una ecuación Cauchy-Euler de segundo orden homogéQHDHQWRQFHVOD('HVBBBBBBBBBB
8. yp $[HVODVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y 1 para
$ __________
9. Si yp1 xHVODVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y x y yp
x HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y xHQWRQFHV
XQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y x x es _________
10. Si y1 ex y y ex son soluciones de la ecuación diIHUHQFLDO KRPRJpQHD HQWRQFHV QHFHVDULDPHQWH y 5ex 10exWDPELpQHVXQDVROXFLyQGHOD('BBBBBBBBBBB
11. 'pXQLQWHUYDORHQHOTXHHOFRQMXQWRGHGRVIXQFLRQHV
fl(x) x y f(x) x x HV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWH
'HVSXpV LQGLTXH XQ LQWHUYDOR VREUH HO TXH HO FRQMXQWR
formado por fl y fHVOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWH
12. 6LQ OD D\XGD GHO :URQVNLDQR GHWHUPLQH VL HO FRQMXQWR
GHIXQFLRQHVHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHRGHSHQGLHQWH
VREUHHOLQWHUYDORLQGLFDGR
a) f1(x) ln x, f (x) ln x , (0, )
f) f1(x) f (x) x, (, )
g) f1(x) x , f (x) 1 x , f(x) x , (, )
h) f1(x) xe x1, f (x) x 5)e x,
f (x) xe x, (, )
13. 6XSRQJDTXHm1 m 5 y m 1 son raíces de
PXOWLSOLFLGDG XQR GRV \ WUHV UHVSHFWLYDPHQWH GH XQD
HFXDFLyQ DX[LOLDU (VFULED OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD ('
OLQHDOKRPRJpQHDFRUUHVSRQGLHQWHVLHV
a) XQDHFXDFLyQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV
b) una ecuación de Cauchy-Euler.
14. Considere la ecuación diferencial ay by cy g(x),
donde a, b y cVRQFRQVWDQWHV(OLMDODVIXQFLRQHVGHHQWUDGD g(x SDUD ODV TXH HV DSOLFDEOH HO PpWRGR GH FRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV\ODVIXQFLRQHVGHHQWUDGDSDUDODV
TXHHVDSOLFDEOHHOPpWRGRGHYDULDFLyQGHSDUiPHWURV
b) g(x) x cos x
a) g(x) e x ln x
senx
c) g(x)
ex
d) g(x) xe x
e) g(x) senx
f) g(x)
15. m1 m 1
16. m1 i
(QORVSUREOHPDVGHODXVHORVSURFHGLPLHQWRVGHVDUUROODGRVHQHVWHFDStWXORSDUDHQFRQWUDUODVROXFLyQJHQHUDOGH
cada ecuación diferencial.
17. y y y 0
18. y y y 0
19. y 10y y 0
20. y 9y y 5y 0
21. y 10y 15y y 0
22. y y y 6y y 0
23. y y 5y x x
24. y y y x e x
c) f1(x) x, f (x) x 1, (, )
26. y y 6
2
, f2 (x)
e) f1(x) 0, f (x) x, (5, 5)
senx, (
, )
ex
senx
(QORVSUREOHPDV\HQFXHQWUHXQDHFXDFLyQKRPRJpQHDGHVHJXQGRRUGHQGH&DXFK\(XOHUFRQFRH¿FLHQWHVUHDOHVVLORVQ~PHURV
dados son las raíces de su ecuación auxiliar.
25. y 5y 6y 8 VHQx
cos x
193
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-7.
b) f1(x) x n, f (x) x n1, n , )
d) f1(x)
O
27. y y y e xWDQx
28. y
y
2ex
e
e
x
x
194
O
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
29. 6x y 5xy y 0
40. y y y 0,
30. x y 19x y xy 9y 0
41. y y x sen x,
31. x y xy 6y x x 42. y
32. x y xy y x 43. yy x,
y(1) 5, y(1) (QORVSUREOHPDV\HVFULEDODIRUPDGHODVROXFLyQJHQHral y yc yp de la ecuación diferencial en los dos casos Ȧ
Į y Ȧ Į1RGHWHUPLQHORVFRH¿FLHQWHVHQyp.
33. y ty sen Į[
34. y ty e Į[
44. y y ,
y(0) 1, y(0) 1
35. a) 'DGRTXHy sen x es una solución de
y y 11y y 10y 0,
H QFXHQWUH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD (' sin la ayuda de
una calculadora o computadora.
36. (QFXHQWUHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHVHJXQGR
RUGHQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVSDUDODFXDOy1 1 y
y ex son soluciones de la ecuación homogénea asociada y yp 12 x 2 x HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHOD
ecuación homogénea.
37. a) (VFULEDFRPSOHWDPHQWHODVROXFLyQJHQHUDOGHOD('
GH FXDUWR RUGHQ y y y HQ WpUPLQRV GH
funciones hiperbólicas.
b) (VFULED OD IRUPD GH XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH
y y y senh x.
39. y
2y
2y
0, y
2
0, y( )
1
sec3x, y(0)
y
1, y (0)
1
2
46. (QFXHQWUH XQ PLHPEUR GH OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV GH
xy
y
1x 0 FX\DJUi¿FDHVWDQJHQWHDOHMHx en
x 8VHXQDDSOLFDFLyQSDUDJUD¿FDU\REWHQJDODFXUYD
solución.
(QORVSUREOHPDVDXVHODHOLPLQDFLyQVLVWHPiWLFDSDUD
UHVROYHUFDGDVLVWHPD
47.
x y (x x)y (x y x .
(QORVSUREOHPDVDUHVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVXMHWDDODVFRQGLFLRQHVLQGLFDGDV
y(0) y(0) 45. a) 8
VHXQ6$&FRPRD\XGDSDUDHQFRQWUDUODVUDtFHVGHOD
ecuación auxiliar para
y y 59y y y 0.
'pODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQ
b) 5HVXHOYDOD('GHOLQFLVRD VXMHWDDODVFRQGLFLRQHV
iniciales y(0) 1, y(0) y(0) 5, y (0) 0.
8VHXQ6$&FRPRD\XGDSDUDUHVROYHUHOVLVWHPDUHVXOWDQWHGHFXDWURHFXDFLRQHVFRQFXDWURLQFyJQLWDV
38. Considere la ecuación diferencial
&RPSUXHEHTXHy1 x es una solución de la ecuación hoPRJpQHDDVRFLDGD'HVSXpVGHPXHVWUHTXHHOPpWRGRGH
UHGXFFLyQGHRUGHQDQDOL]DGRHQODVHFFLyQFRQGXFH
a una segunda solución y de la ecuación homogénea así
FRPRDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUyp de la ecuación no hoPRJpQHD )RUPH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD (' VREUH HO
LQWHUYDOR ).
y(1) 0, y(0) 0
48.
49.
dx
dt
dx
dt
dy
dt
dy
2
dt
2x
dx
dt
dy
dt
2x
y
t
3x
4y
4t
(D
50. (D
2y
1
y
3
2
2) x
3x
(D
y
4) y
2) x
5x
(D
(D
1)y
3)y
et
7et
sen 2t
cos 2t
5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES
DE ORDEN SUPERIOR
© Brian A Jackson/Shutterstock.com
5.1
5.2
5.3
Modelos lineales: Problemas con valores iniciales
Modelos lineales: Problemas con valores en la frontera
Modelos no lineales
REPASO DEL CAPÍTULO 5
Y
a hemos visto que una sola ecuación puede servir como modelo matemático
para varios sistemas físicos. Formas de la ecuación lineal de segundo orden
a
d 2y
dt 2
b
dy
dt
cy
g(t),
aparecen en el análisis de problemas en muchas diferentes áreas de ciencia e ingeniería. En la sección 5.1 vimos que, exceptuando la terminología y las interpretaciones físicas de esta ecuación diferencial, la matemática, digamos, de un circuito
en serie, es idéntica a la de un sistema masa-resorte en vibración, por ejemplo, de
un circuito en serie son idénticas a las de un sistema vibratorio masa/resorte.
196
5.1
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
O
197
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
5.1
INTRODUCCIÓN En esta sección, se van a considerar varios sistemas dinámicos lineales en los
TXHFDGDPRGHORPDWHPiWLFRHVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVMXQWRFRQFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVHVSHFL¿FDGDVHQXQWLHPSRTXHWRPDUHPRVFRPRt = 0:
a
d 2y
dt 2
b
dy
dt
cy
g(t), y(0)
y0 ,
y (0)
y1.
La función g es la entrada, función de conducción o función forzada del sistema. Una solución
y(t) de la ecuación diferencial sobre un intervalo I que contiene a t = 0 que satisface las condiciones
iniciales se llama salida o respuesta del sistema.
5.1.1
l
l
no estirado
s
m
posición de
equilibrio
mg − ks = 0
a)
l+s
x
m
movimiento
b)
c)
FIGURA 5.1.1 Sistema masaresorte.
x<0
x=0
x>0
m
FIGURA 5.1.2 La dirección hacia
abajo de la posición de equilibrio es
positiva.
SISTEMAS RESORTEMASA:
MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO
LEY DE HOOKE Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte
UtJLGR\OXHJRVHOH¿MDXQDPDVDm a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes
alargan el resorte en cantidades diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una
fuerza restauradora F opuesta a la dirección de elongación y proporcional a la cantidad de
elongación s y es expresada en forma simple como F ks, donde k 0 es una constante de proporcionalidad llamada constante de resorte. El resorte se caracteriza en esencia por el número k. Usando |F|k |s|, vemos que, si una masa de 50 N de peso estira
un resorte 0.2 m, entonces 50 k (0.2), implica que k 250 N/m. Entonces, necesariamente, una masa de, digamos, 40 N, estira el mismo resorte sólo 0.16 m.
SEGUNDA LEY DE NEWTON Después de que se une una masa m a un resorte, ésta
alarga el resorte una cantidad s y logra una posición de equilibrio en la cual su peso W se
equilibra mediante la fuerza restauradora ks5HFXHUGHTXHHOSHVRVHGH¿QHPHGLDQWH
W mg, donde la masa se mide en kilogramos o gramos y g es la aceleración debida
a la gravedad (9.8 m/s2, o 980 cm/s2 &RPRVHLQGLFDHQOD¿JXUDODFRQGLFLyQ
de equilibrio es mg ks o mg ks 0. Ahora suponemos que la masa en el resorte
se pone en movimiento dándole un desplazamiento inicial (una elongación o una compresión) y una velocidad inicial. Suponemos que el movimiento tiene lugar a lo largo
de una recta vertical, que los desplazamientos x(t) de la masa se miden a lo largo de
esta recta tal que x = 0 corresponde a la posición de equilibrio, y que los desplazamientos medidos debajo de la posición de equilibrio son positivos9pDVHOD¿JXUD
Para construir un modelo matemático que describa el caso dinámico, empleamos la
segunda ley del movimiento de Newton: la fuerza neta o resultante de un cuerpo en
movimiento de masa mHVWiGDGDSRUȈFk = ma, donde a = d2x/dt2 es su aceleración. Si
además suponemos que vibra la masa libre de todas las otras fuerzas externas, movimiento libre, la segunda ley de Newton da.
d2x
m –––2 k(x s) mg kx mg ks kx.
dt
fuerza neta
(1)
cero
El primer término F1 k(x + s) en el lado derecho de la ecuación (1) es la fuerza
restauradora del resorte; el signo negativo indica que esta fuerza actúa opuesta a la dirección del movimiento. El segundo término F2 mg es el peso de la masa que actúa
siempre en dirección hacia abajo o positiva.
198
O
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO Dividiendo (1) por la
masa m, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden d2xdt2 (km)x 0, o
d 2x
dt 2
2
x
0,
(2)
donde Ȧ2 km. Se dice que la ecuación (2) describe el movimiento armónico simple
o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias relacionadas
con (2) son x(0) x0 y x(0) x1, el desplazamiento inicial y la velocidad inicial de la
masa, respectivamente. Por ejemplo, si x0 0, x1 0, la masa parte de un punto abajo
de la posición de equilibrio con una velocidad impartida hacia arriba. Cuando x(0) 0,
se dice que la masa se libera a partir del reposo. Por ejemplo, si x0 0, x1 0, la masa
se libera desde el reposo de un punto x0 unidades arriba de la posición de equilibrio.
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Para resolver la ecuación (2), se observa que la
solución de su ecuación auxiliar m2 Ȧ2 0 son los números complejos ml Ȧi,
m2 Ȧi. Así de (8) de la sección 4.3 se encuentra la solución general de (2) es
x (t)
c1 cos t
c2 sen t .
(3)
El periodo del movimiento descrito por la ecuación (3) es T 2ʌȦ. El número T
representa el tiempo (medido en segundos) que tarda la masa en ejecutar un ciclo
de movimiento. Un ciclo es una oscilación completa de la masa, es decir, la masa m
que se mueve, por ejemplo, al punto mínimo abajo de la posición de equilibrio hasta
el punto más alto arriba de la misma y luego de regreso al punto mínimo. Desde un
SXQWRGHYLVWDJUi¿FRT 2ʌȦ segundos es la longitud del intervalo de tiempo entre
dos máximos sucesivos (o mínimos) de x(t). Recuerde que un máximo de x(t) es el desplazamiento positivo correspondiente a la masa que alcanza su distancia máxima debajo de la posición de equilibrio, mientras que un mínimo de x(t) es el desplazamiento
negativo correspondiente a la masa que logra su altura máxima arriba de la posición de
equilibrio. Se hace referencia a cualquier caso como un desplazamiento extremo de la
masa. La frecuencia de movimiento es f 1T Ȧ2ʌ y es el número de ciclos completado cada segundo. Por ejemplo, si x(t) 2 cos 3ʌW 4 sen 3ʌW, entonces el periodo
es T 2ʌ3ʌ 23 s y la frecuencia es f 32 cicloss. Desde un punto de vista
x (t) ,
HVTXHPiWLFRODJUi¿FDGHx(t) se repite cada 23 de segundo, es decir, x t 23
y 32 FLFORVGHODJUi¿FDVHFRPSOHWDQFDGDVHJXQGR RHTXLYDOHQWHPHQWHWUHVFLFORV
1k>m (medido en
GHODJUi¿FDVHFRPSOHWDQFDGDGRVVHJXQGRV (OQ~PHUR
radianes por segundo) se llama frecuencia circular del sistema. Dependiendo de qué
libro lea, tanto f Ȧ2ʌ como Ȧ se conocen como frecuencia natural del sistema.
Por último, cuando se emplean las condiciones iniciales para determinar las constantes
c1 y c2 en (3), se dice que la solución particular resultante o respuesta es la ecuación
de movimiento.
(
EJEMPLO 1
)
Movimiento libre no amortiguado
Una masa que pesa 9.8 N alarga 0.2 m un resorte. En t 0 se libera la masa desde un
punto que está 0.25 m abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente
de 0.4 m/s. Determine la ecuación de movimiento.
SOLUCIÓN Se deben convertir las unidades de peso dadas en newtons a unidades
de masa. De m Wg tenemos que m = 1.0 kg.. También, de la ley de Hooke, 9.8
k (0.2) implica que la constante de resorte es k 49 N/m. Por lo que, de la ecuación
(1) se obtiene
1.0
d 2x
5 249x
dt 2
o
d 2x
1 49x 5 0.
dt 2
5.1
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
199
O
El desplazamiento inicial y la velocidad inicial son x(0) 0.25 m, x(0) 0.4 m/s,
donde el signo negativo en la última condición es una consecuencia del hecho de que
a la masa se le da una velocidad inicial en la dirección negativa o hacia arriba.
Ahora Ȧ2 49 o Ȧ 7 rad/s, por lo que la solución general de la ecuación diferencial es
x(t) 5 c1 cos 7t 1 c2 sen 7t.
(4)
Aplicando las condiciones iniciales a x(t) y x(t) se obtiene c1 0.25 y c2 0.057.
Por tanto, la ecuación de movimiento es
x(t) 0.25 cos 8t 0.057 sen 8t.
(5)
FORMA ALTERNATIVA DE X(t) Cuando c1 0 y c2 0, la amplitud A de las vibraciones libres no es evidente a partir de la inspección de la ecuación (3). Por ejemplo,
aunque la masa del ejemplo 1 se desplaza inicialmente 0.25 m más allá de la posición
de equilibrio, la amplitud de las vibraciones es un número mayor que 0.25 m. Por
tanto, suele ser conveniente convertir una solución de la forma (3) en una forma más
simple
(6)
x (t) A sen( t
),
donde A
2c21
c22 y ‫ ׋‬es un ángulo de faseGH¿QLGRSRU
c1
A
tan
c2
A
sen
c12 + c22
c1
cos
φ
c2
FIGURA 5.1.3 Una relación entre
c1 0, c 2 0 y el ángulo de fase ‫׋‬.
c1
.
c2
(7)
Para comprobar esto se desarrolla la ecuación (6) usando la fórmula de suma para la
función seno:
A sen t cos
cos t sen
( sen )cos t
( cos )sen t .
(8)
6HGHGXFHGHOD¿JXUDTXHVL‫׋‬HVWiGH¿QLGDSRU
sen
c1
1c12
c22
c1
,
A
cos
c2
1c12
c22
c2
,
A
entonces la ecuación (8) se convierte en
A
c1
cos t
A
EJEMPLO 2
A
c2
sen t
A
c1 cos t
c2 sen t
x (t).
Forma alternativa de solución (5)
En vista de la descripción anterior, se puede escribir la solución (5) en la
forma alternativa x(t) A sen(7t ‫)׋‬. El cálculo de la amplitud es directo,
A 5 Ï(0.25)2 1 (20.057)2 5 0.256 m,
pero se debe tener cuidado al calcular el ángulo de fase ‫ ׋‬GH¿QLGR SRU &RQ
c1 0.25 y c2 0.057 se encuentra tan ‫ ׋‬4.386 y, con una calculadora se obtiene tan1(4.386) 1.346 rad. Este no es el ángulo de fase, puesto que tan1(4.386)
se localiza en el cuarto cuadrante y por tanto contradice el hecho de que sen ‫ ׋‬0 y
cos ‫׋‬
0 porque c1 0 y c2
0. Por tanto, se debe considerar que ‫ ׋‬es un ángulo
del segundo cuadrante ‫ ׋‬ʌ (1.346) 1.794 rad. Así la ecuación (5) es igual a
x(t) 0.256 sen(7t 1.794).
El periodo de esta función es T 2ʌ7 s.
(9)
200
O
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
'HEHWHQHUHQFXHQWDTXHDOJXQRVSURIHVRUHVGHFLHQFLDHLQJHQLHUtDSUH¿HUHQH[SUHVDU
a (3) como una función coseno corrido
x(t) A cos(Ȧt ‫)׋‬
(6)
2c21 c22 En este caso el ángulo ‫׋‬PHGLGRHQUDGLDQHVVHGH¿QHHQXQD
donde A
forma ligeramente diferente que en (7):
c2
sen
A
c2
tan
(7)
c1
c1
cos
A
Por ejemplo, en el ejemplo 2 con c1 0.25 y c2 0.057, (7) indica que
tan ‫ ׋‬0.228. Ya que sen ‫׋‬
0 y cos ‫ ׋‬0 el ángulo ‫ ׋‬se encuentra en el
cuarto cuadrante y así redondeando con tres lugares decimal ‫ ׋‬tan1(0.228)
0.224 rad. De (6) se obtiene una segunda forma alternativa de solución (5):
x(t) 0.256 cos (7t ( 0.224))
o
x(t) 0.256 cos(7t 0.224).
INTERPRETACIÓN GRÁFICA (QOD¿JXUD D VHLOXVWUDODPDVDGHOHMHPSOR
que recorre aproximadamente dos ciclos completos de movimiento. Leyendo de izquierda a derecha, las primeras cinco posiciones (marcadas con puntos negros) corresponden
a la posición inicial de la masa debajo de la posición de equilibrio (x 0.25), la masa que
pasa por la posición de equilibrio por primera vez en dirección ascendente (x 0), la
masa en su desplazamiento extremo arriba de la posición de equilibrio (x 0.256), la
x negativa
x = −0.256
x=0
x positiva
x=0
x=0
x = 0.25
x = 0.256
a)
x
(0.25)
amplitud
x positiva
A = 0.256
x=0
t
x negativa
π
4
periodo
b)
FIGURA 5.1.4 Movimiento armónico simple.
5.1
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
O
201
masa en la posición de equilibrio para la segunda vez que se dirige hacia arriba (x 0) y
la masa en su desplazamiento extremo abajo de la posición de equilibrio (x 0.256) .
/RVSXQWRVQHJURVVREUHODJUi¿FDGH TXHVHSUHVHQWDHQOD¿JXUD E WDPELpQ
concuerdan con las cinco posiciones antes mencionadas. Sin embargo, observe que en
OD¿JXUD E ODGLUHFFLyQSRVLWLYDHQHOSODQRtx es la dirección ascendente usual y
SRUWDQWRHVRSXHVWDDODGLUHFFLyQSRVLWLYDTXHVHLQGLFDHQOD¿JXUD D 3RUORTXH
ODJUi¿FDVyOLGDD]XOTXHUHSUHVHQWDHOPRYLPLHQWRGHODPDVDHQOD¿JXUD E HV
ODUHÀH[LyQSRUHOHMHtGHODFXUYDSXQWHDGDD]XOGHOD¿JXUD D La forma (6) es muy útil porque es fácil encontrar valores de tiempo para los cuales
ODJUi¿FDGHx(t) cruza el eje t positivo (la recta x 0). Se observa que sen(ȦW ‫ )׋‬0
cuando ȦW ‫ ׋‬Qʌ, donde n es un entero no negativo.
SISTEMAS DE DOBLE RESORTE Supongamos que dos resortes paralelos, constantes
k1 y k2, están unidos a un soporte rígido común y luego a una sola masa m como se
PXHVWUDHQODÀJXUD6LODPDVDVHGHVSOD]DGHVXSRVLFLyQGHHTXLOLEULRHOGHV
SOD]DPLHQWRxHVHOPLVPRSDUDDPERVUHVRUWHV\DVtHVODIXHU]DQHWDUHVWDXUDGRUDGHO
UHVRUWHHQ HVVLPSOHPHQWHkx k2x (k k2 x(VGHFLU
Soporte
rígido
k1
k2
kHII k k2
es la constante del resorte efectiva del sistema.
m
FIGURA 5.1.5 Resortes paralelos.
Soporte
rígido
3RURWUDSDUWHVXSRQJDTXHGRVUHVRUWHVTXHVRSRUWDQXQDVRODPDVDm están en
serie, es decir, los resortes están conectados de extremo a extremo como se muestra en
ODÀJXUD(QHVWHFDVRXQGHVSOD]DPLHQWRxGHODPDVDGHVXHTXLOLEULRHVLJXDOD
la suma x x x2, donde x y x2VRQORVGHVSOD]DPLHQWRVGHORVUHVRUWHVUHVSHFWLYRV
3HURODIXHU]DUHVWDXUDGRUDHVODPLVPDSDUDDPERVUHVRUWHVDVtVLkHII es la constante
de resorte efectivaGHOVLVWHPDWHQHPRVTXH
2keffsx1 1 x2d 5 2k1x1 5 2k2x2.
De kx k2x2 tenemos x (k2/k x2 y así kHII(x x2 k2x2HVORPLVPRTXH
S
D
k2
x2 1 x2 5 k2x2.
k1
k1
keff
k2
Despejando keff de la última ecuación obtenemos
k1k2
keff 5
.
k1 1 k2
m
FIGURA 5.1.6 Resortes en serie.
Por lo que en cualquiera de los casos anteriores, la ecuación diferencial de movimiento
es (1) sustituyendo k con keff. Véanse los problemas 13 al 18 en los ejercicios 5.1.
SISTEMAS CON CONSTANTES DE RESORTE VARIABLES En el modelo apenas analizado se supuso una situación ideal, una en la que las características físicas del
resorte no cambian con el tiempo. No obstante, en la situación no ideal, parece razonable esperar que cuando un sistema resorte/masa está en movimiento durante un largo
tiempo, el resorte se debilita; en otras palabras, varía la “constante de resorte”, de maQHUDPiVHVSHFt¿FDGHFDHFRQHOWLHPSR(QXQPRGHORSDUDHO desgaste del resorte la
constante de resorte k en (1) se remplaza con la función decreciente K(t) keĮW, k 0, Į 0. La ecuación diferencial lineal mx keĮW x 0 no se puede resolver con los
métodos considerados en el capítulo 4. Sin embargo, es posible obtener dos soluciones
linealmente independientes con los métodos del capítulo 6. Vea el problema 19 en los
ejercicios 5.1, el ejemplo 5 de la sección 6.4.
Cuando un sistema resorte/masa se somete a un ambiente en el cual la temperatura
disminuye con rapidez, podría tener sentido remplazar la constante k con K(t) kt,
k 0, una función que se incrementa con el tiempo. El modelo resultante, mx ktx
0, es una forma de la ecuación diferencial de Airy. Al igual que la ecuación para
un resorte viejo, la ecuación de Airy se resuelve con los métodos del capítulo 6. Vea el
problema 20 de los ejercicios 5.1.
202
CAPÍTULO 5
O
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
5.1.2
SISTEMAS RESORTE/MASA:
MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO
El concepto de movimiento armónico libre es un poco irreal, puesto que el movimiento
que describe la ecuación (1) supone que no hay fuerzas retardadoras actuando sobre
la masa en movimiento. A menos que la masa se suspenda en un vacío perfecto, habrá
por lo menos una fuerza de resistencia debida al medio circundante. Como se muestra
HQOD¿JXUDODPDVDSRGUtDHVWDUVXVSHQGLGDHQXQPHGLRYLVFRVRRXQLGDDXQ
dispositivo amortiguador.
m
a)
ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO En el estudio de la mecánica, las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo se consideran proporcionales a una potencia de la velocidad instantánea. En particular, en el análisis posterior se supone que esta fuerza está dada por un múltiplo constante de dxdt. Cuando
ninguna otra fuerza actúa en el sistema, se tiene de la segunda ley de Newton que
m
d 2x
dx
,
(10)
kx
dt 2
dt
donde ȕ es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es una
consecuencia del hecho de que la fuerza de amortiguamiento actúa en una dirección
opuesta al movimiento.
Dividiendo la ecuación (10) por la masa m, se encuentra que la ecuación diferencial del movimiento libre amortiguado es
m
d 2x ␤ dx
k
1
1 x50
m dt
m
dt 2
b)
FIGURA 5.1.7 Dispositivos de
amortiguamiento.
o
d 2x
dt 2
2
donde
dx
dt
2
m
2
0,
x
2
,
(11)
k
.
m
(12)
El símbolo 2Ȝ se usa sólo por conveniencia algebraica, porque la ecuación auxiliar es
m2 2ȜP Ȧ2 0 y las raíces correspondientes son entonces
2
m1
2,
2
2
m2
2
2.
Ahora se pueden distinguir tres casos posibles dependiendo del signo algebraico de
Ȝ2 Ȧ2. Puesto que cada solución contiene el factor de amortiguamiento eȜW, Ȝ 0, los
desplazamientos de la masa se vuelven despreciables conforme el tiempo t aumenta.
x
t
FIGURA 5.1.8 Movimiento de un
sistema sobreamortiguado.
CASO I: Ȝ2 Ȧ2 0 En esta situación el sistema está sobreamortiguado porque
HOFRH¿FLHQWHGHDPRUWLJXDPLHQWRȕ es grande comparado con la constante del resorte
k. La solución correspondiente de (11) es x(t) c1 e m1t c2 em 2 t o
x(t)
e
t
(c1 e1
2
2t
c2 e
1
2
).
2t
(13)
(VWDHFXDFLyQUHSUHVHQWDXQPRYLPLHQWRXQLIRUPH\QRRVFLODWRULR(QOD¿JXUD
VHPXHVWUDQGRVJUi¿FDVSRVLEOHVGHx(t).
x
t
CASO II: Ȝ2 Ȧ2 0 Este sistema está críticamente amortiguado porque cualquier ligera disminución en la fuerza de amortiguamiento daría como resultado un
movimiento oscilatorio. La solución general de (11) es x (t) c1e m1t c2 tem1t o
x (t)
FIGURA 5.1.9 Movimiento de un
sistema críticamente amortiguado.
e
t
(c1
c2 t) .
(14)
(QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQDOJXQDVJUi¿FDVWtSLFDVGHPRYLPLHQWR2EVHUYHTXHHO
movimiento es bastante similar al de un sistema sobreamortiguado. También es evidente de (14) que la masa puede pasar por la posición de equilibrio a lo más una vez.
5.1
no amortiguado
subamortiguado
x
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
O
203
CASO III: Ȝ2 Ȧ2 0 En este caso el sistema está subamortiguado puesto que
HOFRH¿FLHQWHGHDPRUWLJXDPLHQWRHVSHTXHxRFRPSDUDGRFRQODFRQVWDQWHGHOUHVRUWH
Las raíces m1 y m2 ahora son complejas:
1
m1
t
2 i,
2
1
m2
2 i.
2
Así que la ecuación general de la ecuación (11) es
x (t)
FIGURA 5.1.10 Movimiento de un
sistema subamortiguado.
e
t
(c1 cos 1
2
c2 sen 1
2t
2
).
2t
(15)
&RPRVHLQGLFDHQOD¿JXUDHOPRYLPLHQWRGHVFULWRSRUODHFXDFLyQ HVRVFLODWRULRSHURGHELGRDOFRH¿FLHQWHeȜW, las amplitudes de vibración A 0 cuando t A .
EJEMPLO 3
Movimiento sobreamortiguado
Se comprueba fácilmente que la solución del problema con valores iniciales
d 2x
dt 2
x
x=
1
5 −t
e
3
2 −4t
e
3
−
2
3
t
a)
t
x(t)
1
1.5
2
2.5
3
0.601
0.370
0.225
0.137
0.083
b)
FIGURA 5.1.11 Sistema
sobreamortiguado del ejemplo 3.
5
dx
dt
4x
0, x (0)
1,
x (0)
1
5 t 2 4t
e
e .
(16)
3
3
El problema se puede interpretar como representativo del movimiento sobreamortiguado de una masa sobre un resorte. La masa se libera al inicio de una posición una
unidad abajo de la posición de equilibrio con velocidad descendente de 1 m/s.
3DUDJUD¿FDUx(t), se encuentra el valor de t para el cual la función tiene un extremo, es decir, el valor de tiempo para el cual la primera derivada (velocidad) es cero.
5
8
t
4t
Derivando la ecuación (16) se obtiene x (t)
, así x(t) 0 implica
3e
3e
8
1
8
3
t
que e
o
.
Se
tiene
de
la
prueba
de
la
primera derivada, así
t
ln
0.157
3
5
5
como de la intuición física, que x(0.157) 1.069 m es en realidad un máximo. En
otras palabras, la masa logra un desplazamiento extremo de 1.069 m abajo de la posición de equilibrio.
6HGHEHFRPSUREDUWDPELpQVLODJUi¿FDFUX]DHOHMHt, es decir, si la masa pasa
por la posición de equilibrio. En este caso tal cosa no puede suceder, porque la ecuación x(t) 0, o e3t 25 , tiene una solución irrelevante desde el punto de vista físico
t 13 ln 25
0.305 .
(QOD¿JXUDVHSUHVHQWDODJUi¿FDGHx(t), junto con algunos otros datos
pertinentes.
x (t)
es
EJEMPLO 4
Movimiento críticamente amortiguado
Una masa que pesa 2.45 N alarga 0.6125 m un resorte. Suponiendo que una fuerza
amortiguada que es igual a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema,
determine la ecuación de movimiento si la masa inicial se libera desde la posición de
equilibrio con una velocidad ascendente de 3 m/s.
SOLUCIÓN De la ley de Hooke se ve que 2.45 = k(0.6125) da k 4 N/m y que
1
W mg da m 5 2.45
9.8 5 4 kg.. La ecuación diferencial de movimiento es entonces
1 d 2x
4 dt2
4x
2
dx
dt
d 2x
dt 2
o
8
dx
dt
16 x
0.
(17)
La ecuación auxiliar para (17) es m2 8m 16 (m 4)2 0, así que m1 m2 4.
Por tanto el sistema está críticamente amortiguado y
x (t)
c1e
4t
c2 te
4t
.
(18)
Aplicando las condiciones iniciales x(0) 0 y x(0) 3, se encuentra, a su vez, que
c1 0 y c2 3. Por tanto la ecuación de movimiento es
x (t)
3te
4t
.
(19)
204
O
CAPÍTULO 5
x
t=
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
1
4
t
− 0.276
altura
máxima arriba de la
posición de equilibrio
FIGURA 5.1.12 Sistema críticamente
amortiguado del ejmplo 4.
3DUDJUD¿FDUx(t), se procede como en el ejemplo 3. De x(t) 3e4t(1 4t) vemos
que x(t) 0 cuando t 14 . El desplazamiento extremo correspondiente es
x 14
3 14 e 1
0.276 P &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD HVWH YDORU
se interpreta para indicar que la masa alcanza una altura máxima de 0.276 m arriba de
la posición de equilibrio.
()
()
EJEMPLO 5
Movimiento subamortiguado
Una masa que pesa 4.9 N se une a un resorte de 5 m de largo. En equilibrio el resorte
mide 5.98 m. Si al inicio la masa se libera desde el reposo en un punto 2 m arriba de la
posición de equilibrio, encuentre los desplazamientos x(t) si se sabe además que el medio
circundante ofrece una resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea.
SOLUCIÓN La elongación del resorte después que se une la masa es 5.98 5 0.98 m, así que se deduce de la ley de Hooke que 4.9 k(0.98) o k 5 N/m. Además,
1 kg, por lo que la ecuación diferencial está dada por
m 4.9
9.8
2
1 d 2x
2 dt 2
dx
dt
5x
d 2x
dt 2
o
2
dx
dt
10 x
0.
(20)
Procediendo, encontramos que las raíces de m2 2m 10 0 son m1 1 3i y
m2 1 3iORTXHVLJQL¿FDTXHHOVLVWHPDHVWiVXEDPRUWLJXDGR\
x (t)
e t(c1 cos 3t
c2 sen 3t).
(21)
Por último, las condiciones iniciales x(0) 2 y x(0) 0 producen c1 2 y
2
, por lo que la ecuación de movimiento es
c2
3
x (t)
e
2 cos 3t
t
2
sen 3t .
3
(22)
FORMA ALTERNATIVA DE x(t) De una manera idéntica al procedimiento usado
en la página 199, se puede escribir cualquier solución
x (t)
e
t
(c1 cos 1
2
2t
c2 sen 1
)
2
2t
en la forma alternativa
x (t)
donde A
1c12
Ae
t
(
sen 1
2
2
t
),
(23)
c22 y el ángulo de fase ‫ ׋‬se determina de las ecuaciones
sen
c1
,
A
cos
c2
,
A
tan
c1
.
c2
(O FRH¿FLHQWH AeȜW en ocasiones se llama amplitud amortiguada de vibraciones.
2
Debido a que (23) no es una función periódica, el número 2 1 2
se llama
2
2
2 es la cuasi frecuencia. El cuasi periodo es el incuasi periodo y 1
tervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). Se debe comprobar, para la
ecuación de movimiento del ejemplo 5, que A 2 110 3 y ‫ ׋‬4.391 rad. Por tanto,
una forma equivalente de (22) es
x (t)
2 110 t
e sen(3t
3
4.391).
5.1.3 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO
FORZADO
ED DE MOVIMIENTO FORZADO CON AMORTIGUAMIENTO Suponga
que ahora se toma en consideración una fuerza externa f(t) que actúa sobre una masa
5.1
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
205
O
vibrante en un resorte. Por ejemplo, f(t) podría representar una fuerza motriz que causa
XQ PRYLPLHQWR YHUWLFDO RVFLODWRULR GHO VRSRUWH GHO UHVRUWH 9HD OD ¿JXUD /D
inclusión de f(t) en la formulación de la segunda ley de Newton da la ecuación diferencial de movimiento forzado o dirigido:
m
d 2x
dt2
dx
dt
kx
f (t) .
(24)
F (t) ,
(25)
Dividiendo la ecuación (24) por m, se obtiene
d 2x
dt2
m
FIGURA 5.1.13 Movimiento vertical
oscilatorio del apoyo.
2
dx
dt
2
x
donde F(t) f(t)m y, como en la sección anterior, 2Ȝ ȕm, Ȧ2 km. Para resolver
OD~OWLPDHFXDFLyQKRPRJpQHDVHSXHGHXVDU\DVHDHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUminados o variación de parámetros.
EJEMPLO 6
Interpretación de un problema con valores iniciales
Interprete y resuelva el problema con valores iniciales
1 d 2x
5 dt2
1.2
dx
dt
2x
1
,
2
5 cos 4t, x (0)
x (0)
0.
(26)
SOLUCIÓN Se puede interpretar el problema para representar un sistema vibratorio
que consiste en una masa (m 15 slug o kilogramo) unida a un resorte (k 2 lbpie o
Nm). La masa se libera inicialmente desde el reposo 12 unidad (m o metro) abajo de
la posición de equilibrio. El movimiento es amortiguado (ȕ 1.2) y está siendo impulsado por una fuerza periódica externa (T ʌ2 s) comenzando en t 0. De manera
intuitiva, se podría esperar que incluso con amortiguamiento el sistema permaneciera en
movimiento hasta que se “desactive” la función forzada, en cuyo caso disminuirían las
amplitudes. Sin embargo, como se plantea en el problema, f (t) 5 cos 4t permanecerá
“activada” por siempre.
Primero se multiplica la ecuación diferencial en (26) por 5 y se resuelve
dx2
dt2
6
dx
dt
10 x
0
por los métodos usuales. Debido a que m1 3 i, m2 3 i, se deduce que
xc(t) e3t(c1 cos t c2 sen t &RQ HO PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV VH
supone una solución particular de la forma xp(t) A cos 4t B sen 4t. Derivando xp(t)
y sustituyendo en la ED, se obtiene
xp
6x p
10 xp
( 6A
24B) cos 4 t
( 24A
6B) sen 4t
25 cos 4 t.
El sistema de ecuaciones resultante
6A
25
102
se cumple en A
x (t)
e
3t
yB
24B
50
51
(c1 cos t
25,
24A
6B
0
. Se tiene que
c2 sen t)
25
cos 4 t
102
50
sen 4t.
51
(27)
c1 38
Cuando se hace t 0 en la ecuación anterior, se obtiene
51 . Derivando la expre51
86
sión y haciendo t 0, se encuentra también que c2
51 . Por tanto, la ecuación de
movimiento es
x (t)
e
3t
38
cos t
51
86
sen t
51
25
cos 4 t
102
50
sen 4t .
51
(28)
206
O
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
x
estado estable
xp (t)
1
t
transitorio
_1
(
π/2
a)
x
)
EJEMPLO 7
x(t)=transitorio
+ estado estable
1
TÉRMINOS TRANSITORIO Y DE ESTADO ESTABLE Cuando F es una función
periódica, como F(t) F0 sen ȖW o F(t) F0 cos ȖW, la solución general de (25) para Ȝ
0 es la suma de una función no periódica xc(t) y una función periódica xp(t). Además
xc(t) se desvanece conforme se incrementa el tiempo, es decir, lím t : xc (t) 0 . Así,
para valores grandes de tiempo, los desplazamientos de la masa se aproximan mediante
la solución particular xp(t). Se dice que la función complementaria xc(t) es un término
transitorio o solución transitoria y la función xp(t), la parte de la solución que permanece después de un intervalo de tiempo, se llama término de estado estable o solución
de estado estable. Por tanto, observe que el efecto de las condiciones iniciales en un
sistema resorte/masa impulsado por f (t) es transitorio. En la solución particular (28),
25
50
86
e 3t 38
102 cos 4 t
51 sen 4t es
51 cos t
51 sen t es un término transitorio y xp(t)
XQWpUPLQRGHHVWDGRHVWDEOH/DVJUi¿FDVGHHVWRVGRVWpUPLQRV\ODVROXFLyQ VH
SUHVHQWDQHQODV¿JXUDV D \ E UHVSHFWLYDPHQWH
Soluciones de estado transitorio y de estado estable
La solución del problema con valores iniciales
t
d 2x
dx
2
2 x 4 cos t
dt2
dt
donde x1 es constante, está dada por
x(t)
(x1
2 sen t, x (0)
2) e t sen t
0,
x (0)
x1,
2 sen t.
transitorio estado estable
_1
Las curvas solución para valores seleccionados de la velocidad inicial x1 aparecen en
OD¿JXUD/DVJUi¿FDVPXHVWUDQTXHODLQÀXHQFLDGHOWpUPLQRWUDQVLWRULRHVGHVpreciable para un valor aproximado de t 3ʌ2.
π /2
b)
FIGURA 5.1.12 *Ui¿FDGHODVROXFLyQ
dada en (28) del ejemplo 6.
x
x 1 =7
x 1 =3
x 1 =0
EJEMPLO 8
t
x1=_3
π
ED DE MOVIMIENTO FORZADO SIN AMORTIGUAMIENTO Cuando se
ejerce una fuerza periódica sin fuerza de amortiguamiento, no hay término transitorio
en la solución de un problema. También se ve que una fuerza periódica con una frecuencia cercana o igual que la frecuencia de las vibraciones libres amortiguadas causa
un problema grave en un sistema mecánico oscilatorio.
2π
FIGURA 5.1.15 *Ui¿FDGHODVROXFLyQ
del ejemplo 7 para diferentes x 1.
Movimiento no amortiguado forzado
Resuelva el problema con valor inicial
d 2x
2
x F0 sen t, x (0)
dt2
donde F0 es una constante y Ȗ Ȧ.
0,
x (0)
0,
(29)
SOLUCIÓN La función complementaria es xc(t) c1 cos ȦW c2 sen ȦW. Para obtener
una solución particular se supone xp(t) A cos ȖW B sen ȖW, por lo que
xp
2
xp
A(
2
2
) cos t
B(
2
2
) sen t
F0 sen t.
,JXDODQGRORVFRH¿FLHQWHVVHREWLHQHGHLQPHGLDWRA 0 y B F0(Ȧ2 Ȗ2). Por tanto,
F0
xp(t)
sen t.
2
2
Aplicando las condiciones iniciales a la solución general
F0
x (t) c1 cos t c2 sen t
2
2
sen t
se obtiene c1 0 y c2 Ȗ)0 Ȧ(Ȧ2 Ȗ2). Por tanto, la solución es
x (t)
F0
(
2
2
)
(
sen t
sen t),
(30)
5.1
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
O
207
RESONANCIA PURA $XQTXHODHFXDFLyQ QRVHGH¿QHSDUDȖ Ȧ, es interesante observar que su valor límite conforme Ȗ A Ȧ se obtiene al aplicar la regla de
L'Hôpital. Este proceso límite es análogo a “sintonizar” la frecuencia de la fuerza
impulsora (Ȗ2ʌ) con la frecuencia de vibraciones libres (Ȧ2ʌ). De una manera intuitiva, se espera que en un espacio de tiempo se deban poder incrementar en forma
sustancial las amplitudes de vibración. Para Ȗ ȦVHGH¿QHODVROXFLyQFRPR
d
(
sen t
sen t)
sen t
sen t
d
x (t)
lím F0
F0 lím
2
:
:
( 2
)
d
2
( 3
)
d
F0 lím
sen t
t cos t
2
:
F0
sen t
(31)
t cos t
2
2
F0
F0
sen t
t cos t.
2 2
2
Como se sospechaba, conforme t A los desplazamientos se vuelven largos; de
hecho, x(tn) A cuando tn QʌȦ, n 1, 2, . . . El fenómeno recién descrito se
conoce como resonancia pura/DJUi¿FDGHOD¿JXUDPXHVWUDHOPRYLPLHQWR
característico en este caso.
En conclusión, se debe observar que no hay necesidad real de usar un proceso
límite en (30) para obtener la solución para Ȗ Ȧ. Alternativamente, la ecuación (31)
se deduce resolviendo el problema con valores iniciales
x
t
FIGURA 5.1.16 Resonancia pura.
d 2x
2
x F0 sen t, x (0) 0, x (0) 0
dt 2
en forma directa por métodos convencionales.
Si realmente una función como la ecuación (31) describiera los desplazamientos de
un sistema resorte/masa, el sistema necesariamente fallaría. Las oscilaciones grandes
de la masa forzarán en algún momento el resorte más allá de su límite elástico. Se podría
DUJXPHQWDUWDPELpQTXHHOPRGHORUHVRQDQWHSUHVHQWDGRHQOD¿JXUDHVSRUFRPpleto irreal, porque no se toman en cuenta los efectos retardadores de las fuerzas de amortiguamiento que siempre están presentes. Aunque es verdad que la resonancia pura no
SXHGHRFXUULUFXDQGRVHWRPDHQFRQVLGHUDFLyQODFDQWLGDGSHTXHxDGHDPRUWLJXDPLHQ
to, las amplitudes de vibración grandes e igualmente destructivas pueden ocurrir (aunque acotadas conforme t A ). Vea el problema 47 de los ejercicios 5.1.
5.1.4
CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO
CIRCUITOS LRC EN SERIE Como se mencionó en la introducción de este capítulo, muchos sistemas físicos diferentes se describen mediante una ecuación diferencial de segundo
orden similar a la ecuación diferencial de movimiento forzado con amortiguamiento:
d 2x
dx
(32)
kx f (t) .
dt 2
dt
Si i(t) denota la corriente en el circuito eléctrico en serie LRC que se muestra en la
¿JXUD HQWRQFHV ODV FDtGDV GH YROWDMH HQ HO LQGXFWRU UHVLVWRU \ FDSDFLWRU VRQ
FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD3RUODVHJXQGDOH\GH.LUFKKRIIODVXPDGHHVWRV
voltajes es igual al voltaje E(t) aplicado al circuito; es decir,
m
E
L
R
C
FIGURA 5.1.17 Circuito LRC en
serie.
L
di
dt
Ri
1
q
C
E (t) .
(33)
208
O
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Pero la carga q(t) en el capacitor se relaciona con la corriente i(t) con i dqdt, así la
ecuación (33) se convierte en la ecuación diferencial lineal de segundo orden
L
d 2q
dt2
R
1
q
C
dq
dt
E(t) .
(34)
La nomenclatura usada en el análisis de circuitos es similar a la que se emplea
para describir sistemas resorte/masa.
Si E(t) 0, se dice que las vibraciones eléctricas del circuito están libres. Debido a
que la ecuación auxiliar para (34) es Lm2 Rm 1C 0, habrá tres formas de solución
con R 0, dependiendo del valor del discriminante R2 4LC. Se dice que el circuito es
y
sobreamortiguado si
R2 4LC 0.
críticamente amortiguado si
R2 4LC 0,
subamortiguado si
R2 4LC
0.
En cada uno de estos tres casos, la solución general de (34) contiene el factor eRt2L,
así q(t) A 0 conforme t A . En el caso subamortiguado cuando q(0) q0, la carga
en el capacitor oscila a medida que ésta disminuye; en otras palabras, el capacitor se
carga y se descarga conforme t A . Cuando E(t) 0 y R 0, se dice que el circuito
no está amortiguado y las vibraciones eléctricas no tienden a cero conforme t crece sin
límite; la respuesta del circuito es armónica simple.
EJEMPLO 9
Circuito en serie subamortiguado
Encuentre la carga q(t) en el capacitor en un circuito LRC cuando L 0.25 henry (H),
R 10 ohms ("), C 0.001 farad (F), E(t) 0, q(0) q0 coulombs (C) e i(0) 0.
SOLUCIÓN Puesto que 1C 1000, la ecuación (34) se convierte en
1
q
4
10 q
1000 q
0
o
40 q
q
4000 q
0.
Resolviendo esta ecuación homogénea de la manera usual, se encuentra que el circuito
es subamortiguado y q(t) e20t(c1 cos 60t c2 sen 60t). Aplicando las condiciones
1
iniciales, se encuentra c1 q0 y c2
. Por tanto
3 q0
q (t)
q0e
20t
cos 60t
1
sen 60t .
3
Usando (23), podemos escribir la solución anterior como
q(t)
q0 1 10
e
3
20t
sen(60t
1.249).
Cuando se aplica un voltaje E(t) al circuito, se dice que las vibraciones eléctricas
son forzadas. En el caso cuando R 0, la función complementaria qc(t) de (34) se
llama solución transitoria. Si E(t) es periódica o una constante, entonces la solución
particular qp(t) de (34) es una solución de estado estable.
EJEMPLO 10
Corriente de estado estable
Encuentre la solución de estado estable qp(t) y la corriente de estado estable en un
circuito LRC en serie cuando el voltaje aplicado es E(t) E0 sen ȖW.
SOLUCIÓN La solución de estado estable qp(t) es una solución particular de la ecua-
ción diferencial
L
d 2q
dt 2
R
dq
dt
1
q
C
E0 sen t.
5.1
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
209
O
&RQHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVHVXSRQHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHOD
forma qp(t) A sen ȖW B cos ȖW. Sustituyendo esta expresión en la ecuación diferenFLDOHLJXDODQGRFRH¿FLHQWHVVHREWLHQH
E0 L
A
2L
C
2 2
L
1
C
,
1
C2
2
R
E0 R
2L
1
C
C2
B
2
2 2
L
.
2
R
2
Es conveniente expresar A y B en términos de algunos nuevos símbolos.
Si
X
L
Si
Z
1X2
1 ,
C
R2,
entonces
X2
L2
2
entonces
Z2
L2
2
2L
C
2L
C
1
C
2 2
C
2 2
1
.
R 2.
Por tanto A E0 X(Ȗ= 2) y B E0 R(Ȗ= 2), así que la carga de estado estable es
qp(t)
E0 X
sen t
Z2
E0 R
cos t.
Z2
Ahora la corriente de estado estable está dada por ip(t)
ip(t)
E0 R
sen t
Z Z
q p(t) :
X
cos t .
Z
(35)
Las cantidades X /Ȗ 1&Ȗ y Z
1X2 R2 GH¿QLGDVHQHOHMHPSORVH
llaman reactancia e impedancia del circuito, respectivamente. Tanto la reactancia
como la impedancia se miden en ohms.
EJERCICIOS 5.1
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-7.
5.1.1 SISTEMAS RESORTE/MASA:
MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO
c)
¿En qué tiempos la masa pasa por la posición de equilibrio?
1. Una masa que pesa 4 N se une a un resorte cuya constante es 16
N/m. ¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple?
6. Una fuerza de 400 newtons alarga 2 metros un resorte. Una
masa de 50 kilogramos se une al extremo del resorte y se libera
inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad
ascendente de 10 m/s. Encuentre la ecuación de movimiento.
2. Una masa de 20 kilogramos se une a un resorte. Si la frecuencia
del movimiento armónico simple es 2ʌ ciclos/s, ¿cuál es la
constante de resorte k? ¿Cuál es la frecuencia del movimiento
armónico simple si la masa original se remplaza con una masa
de 80 kilogramos?
7. 2WUR UHVRUWH FX\D FRQVWDQWH HV 1P VH VXVSHQGH GHO PLVPR
soporte, pero paralelo al sistema resorte/masa del problema 6. Al
segundo resorte se le coloca una masa de 20 kilogramos y ambas
masas se liberan al inicio desde la posición de equilibrio con una
velocidad ascendente de 10 m/s.
3. Una masa que pesa 24 N, unida al extremo de un resorte, lo alarga
4 m. Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto 3
m arriba de la posición de equilibrio. Encuentre la ecuación de
movimiento.
a) ¿Cuál masa presenta la mayor amplitud de movimiento?
b) ¿Cuál masa se mueve más rápido en t ʌ4 s? ¿En ʌ2 s?
c) ¿En qué instantes las dos masas están en la misma posición?
¿Dónde están las masas en estos instantes? ¿En qué direcciones se están moviendo las masas?
4. Determine la ecuación de movimiento si la masa del problema
3 se libera al inicio desde la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 2 m/s.
5. Una masa que pesa 20 N alarga 6 m un resorte. La
masa se libera al inicio desde el reposo en un punto
6 m abajo de la posición de equilibrio.
a) Encuentre la posición de la masa en los tiempos t ʌ12,
ʌ8, ʌ6, ʌ4 y 9ʌ32 s.
b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando t 3ʌ16 s? ¿En
qué dirección se dirige la masa en este instante?
8. Una masa que pesa 32 N alarga 2 m un resorte. Determine la
amplitud y el periodo de movimiento si la masa se libera inicialmente desde un punto situado 1 m arriba de la posición de
equilibrio con una velocidad ascendente de 2 m/s. ¿Cuántos
FLFORVHQWHURVKDEUiFRPSOHWDGRODPDVDDO¿QDOGHʌ segundos?
9. Una masa que pesa 8 N se une a un resorte. Cuando se pone en
movimiento, el sistema resorte/masa exhibe movimiento armónico
simple.
210
O
a)
b)
c)
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Determine la ecuación de movimiento si la constante de
resorte es 1 N/m y la masa se libera inicialmente desde un
punto 6 m abajo de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 32 m/s.
Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6).
Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6´).
10. Una masa que pesa 10 N alarga un resorte 14 m. Esta masa se retira y se coloca una de 1.6 kg, que se libera desde un punto situado a 13 m arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad
descendente de 54 m/s.
a)
Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6).
b)
Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6´).
c)
Utilice los resultados de a) y b) para ver en qué tiempos la
masa logra un desplazamiento debajo de la posición de equi
librio numéricamente igual a 12 de la amplitud de movimiento.
11. Una masa que pesa 64 N alarga 0.32 m un resorte. Al inicio la
masa se libera desde un punto que está 8 m arriba de la posición
de equilibrio con una velocidad descendente de 5 m/s.
a) Encuentre la ecuación de movimiento.
b) ¿Cuáles son la amplitud y el periodo del movimiento?
c) ¢&XiQWRVFLFORVFRPSOHWRVKDEUiUHDOL]DGRODPDVDDO¿QDOGH
3ʌ segundos?
d) ¿En qué momento la masa pasa por la posición de equilibrio
con dirección hacia abajo por segunda vez?
e) ¿En qué instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos en cualquier lado de la posición de equilibrio?
f) ¿Cuál es la posición de la masa en t 3 s?
g) ¿Cuál es la velocidad instantánea en t 3 s?
h) ¿Cuál es la aceleración en t 3 s?
i) ¿Cuál es la velocidad instantánea en los momentos en que la
masa pasa por la posición de equilibrio?
j) ¿En qué instantes la masa está 5 m abajo de la posición de
equilibrio?
k) ¿En qué instantes la masa está 5 m abajo de la posición de
equilibrio apuntando en dirección hacia arriba?
12. Una masa de 1 kg se suspende de un resorte cuya constante es de
9 N/m. Inicialmente la masa se libera desde un punto que está 1 m
arriba de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente
de 13 ms/s. Determine los instantes en los que la masa se dirige
hacia abajo a una velocidad de 3 m/s.
17. Encuentre la constante de resorte efectiva del sistema resortes
HQSDUDOHORTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDFXDQGRDPERVUHsortes tienen la constante de resorte k. De una interpretación
física de este resultado.
18. Encuentre la constante de resorte efectiva del sistema de resortes
HQVHULHTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDFXDQGRDPERVUHVRUWHV
tienen la constante de resorte k de una interpretación física de este
resultado.
19. Un modelo de un sistema de resorte/masa es 4x e0.1tx 0. Por
inspección de la ecuación diferencial solamente, describa el comportamiento del sistema durante un periodo largo.
20. El modelo de un sistema de resorte/masa es 4x tx 0. Por inspección de la ecuación diferencial solamente, describa el comportamiento del sistema durante un periodo largo.
5.1.2
(QORVSUREOHPDVOD¿JXUDUHSUHVHQWDODJUi¿FDGHXQDHFXDción de movimiento para un sistema resorte/masa amortiguado. Use
ODJUi¿FDSDUDGHWHUPLQDU
a) si el desplazamiento inicial está arriba o abajo de la posición de
equilibrio y
b) si la masa se libera inicialmente desde el reposo, con dirección
descendente o ascendente.
21.
15. Resuelva el problema 13 otra vez, pero esta vez suponga que los
UHVRUWHVHVWiQHQVHULHFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
16. Resuelva el problema 14 otra vez, pero esta vez suponga que los
UHVRUWHVHQVHULHFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
x
t
FIGURA 5.1.18 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
22.
13. Una masa que pesa 20 N estira 6 m un resorte y 2 m otro resorte.
Los resortes están unidos en paralelo a un soporte rígido común
HQODIRUPDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD'HWHUPLQHODFRQVtante de resorte efectiva del sistema de doble resorte.. Encuentre la
ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde la
posición de equilibrio con una velocidad descendente de 2 m/s.
14. Una cierta masa alarga un resorte 13 m y otro resorte 12 m. Los dos
resortes se unen a un soporte rígido común en la manera que se
PXHVWUDHQOD¿JXUD6HTXLWDODSULPHUDPDVD\VHFRORFD
XQDTXHSHVD1HQODFRQ¿JXUDFLyQGHUHVRUWHGREOH\VHSRQH
en movimiento el sistema. Si el periodo de movimiento es ʌ15
segundos, determine cuánto pesa la primera masa.
SISTEMAS RESORTE/MASA:
MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO
x
t
FIGURA 5.1.19 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
23.
x
t
FIGURA 5.1.20 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
5.1
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
x
24.
t
25. Una masa que pesa 4 N se une a un resorte cuya constante es 2
N/m. El medio ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numéricamente igual a la velocidad instantánea. La masa se libera desde
un punto situado 1 m arriba de la posición de equilibrio con una
velocidad descendente de 8 m/s. Determine el tiempo en el que la
masa pasa por la posición de equilibrio. Encuentre el tiempo en el
que la masa alcanza su desplazamiento extremo desde la posición
de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en este instante?
26. Un resorte de 4 m mide 8 m de largo después de colgarle una masa
que pesa 8 N. El medio por el que se mueve la masa ofrece una
fuerza de amortiguamiento igual a 1 2 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera
inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 m/s. Calcule el tiempo en que la masa alcanza su
desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es
la posición de la masa en ese instante?
27. 8QDPDVDGHNLORJUDPRVH¿MDDXQUHVRUWHFX\DFRQVWDQWHHV
16 N/m y luego el sistema completo se sumerge en un líquido
que imparte una fuerza amortiguadora igual a 10 veces la velocidad instantánea. Determine las ecuaciones de movimiento si:
a) al inicio la masa se libera desde un punto situado
1 metro abajo de la posición de equilibrio, y luego
b) la masa se libera inicialmente desde un punto 1 metro abajo
de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente
de 12 m/s.
28. En los incisos a) y b) del problema 27, determine si la masa pasa
por la posición de equilibrio. En cada caso, calcule el tiempo en
que la masa alcanza su desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en este
instante?
29. Una fuerza de 2 N alarga 1 m un resorte. Una masa que pesa 3.2
N se une al resorte y luego se sumerge el sistema en un medio
que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 0.4 veces la
velocidad instantánea.
a) Encuentre la ecuación de movimiento si inicialmente se libera la masa desde el reposo en un punto situado a 1 m por
encima de la posición de equilibrio.
b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en
(23).
c)
Encuentre la primera vez en que la masa pasa a través de la
posición de equilibrio en dirección hacia arriba.
30. Después de que una masa de 10 N se sujeta a un resorte de 5 m,
éste llega a medir 7 m. Se retira la masa y se sustituye con una
de 8 N. Luego se coloca al sistema en un medio que ofrece una
fuerza de amortiguamiento igual a la velocidad instantánea.
211
a) Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera
inicialmente desde el reposo de un punto situado 12 m
arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 1 ms.
b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en
(23).
c)
FIGURA 5.1.21 *Ui¿FDGHOSUREOHPD
O
Calcule los tiempos en los que la masa pasa por la posición
de equilibrio con dirección hacia abajo.
d) 7UDFHODJUi¿FDGHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWR
31. Una masa que pesa 10 N produce un alargamiento de 2
m en un resorte. La masa se une a un dispositivo amortiguador que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual
a ȕ (ȕ 0) veces la velocidad instantánea. Determine
los valores de la constante de amortiguamiento ȕ por lo
que el movimiento posterior sea a) sobreamortiguado,
b) críticamente amortiguado y c) subamortiguado.
32. Una masa que pesa 24 N alarga 4 m un resorte. El movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece una
fuerza de amortiguamiento igual a ȕ (ȕ 0) veces la velocidad instantánea. Si al inicio la masa se libera desde
la posición de equilibrio con una velocidad ascendente
3 1 2 la ecuación de
de 2 m/s, muestre que cuando
movimiento es
x (t)
3
1
2
18
e
2 t /3
2
senh 1
3
2
18 t.
5.1.3 SISTEMAS RESORTE/MASA:
MOVIMIENTO FORZADO
8
33. Una masa que pesa 16 N alarga 3 m un resorte. La masa se
libera inicialmente desde el reposo desde un punto 2 m abajo de
la posición de equilibrio y el movimiento posterior ocurre en un
medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 12 de la
velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si
se aplica a la masa una fuerza externa igual a f(t) 10 cos 3t.
34. Una masa de 1 kg está unida a un resorte cuya constante es 5
N/m. Al inicio la masa se libera 1 m abajo de la posición de
equilibrio con una velocidad descendente de 5 m/s y el movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza
de amortiguamiento igual a dos veces la velocidad instantánea.
a) Encuentre la ecuación de movimiento si una fuerza externa
igual a f(t) 12 cos 2t 3 sen 2t actúa sobre la masa.
b) 7UDFHODJUi¿FDGHODVVROXFLRQHVWUDQVLWRULDV\GHHVWDGR
estable en los mismos ejes de coordenadas.
c)
Trace la grá¿FDGHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWR
35 . Una masa de 1 kg, cuando se une a un resorte, causa en éste un
alargamiento de 2 m y luego llega al punto de reposo en la posición de equilibrio. Empezando en t 0, una fuerza externa igual
a f(t) 8 sen 4t se aplica al sistema. Encuentre la ecuación de
movimiento si el medio circundante ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 8 veces la velocidad instantánea.
36. En el problema 35 determine la ecuación de movimiento si la fuerza
externa es f(t) et sen 4t. Analice el desplazamiento para t A .
37. Cuando una masa de 2 kilogramos se une a un resorte cuya constante es 32 Nm, éste llega al reposo en la posición de equilibrio.
212
O
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Comenzando en t 0, una fuerza igual a f(t) 68e2t cos 4t
se aplica al sistema. Determine la ecuación de movimiento en
ausencia de amortiguamiento.
38 . En el problema 37, escriba la ecuación de movimiento en la forma
x(t) Asen(ȦW ‫ )׋‬Be2tsen(4t ș). ¿Cuál es la amplitud de
las vibraciones después de un tiempo muy largo?
39 . Una masa m está unida al extremo de un resorte cuya constante
es k. Después de que la masa alcanza el equilibrio, su soporte empieza a oscilar verticalmente respecto a una recta horizontal L de
acuerdo con una fórmula h(t). El valor de h representa la distancia
en m medida desde L9HDOD¿JXUD
a) Determine la ecuación diferencial de movimiento si el sistema entero se mueve en un medio que ofrece una fuerza de
amortiguamiento igual a ȕ(dxdt).
b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a) si el resorte
se alarga 4 m con una masa que pesa 16 N y ȕ 2, h(t) 5 cos t, x(0) x(0) 0.
soporte
L
h(t)
44. Compare el resultado obtenido en el inciso b) del problema
43 con la solución obtenida usando la variación de parámetros cuando la fuerza externa es F0 cos ȦW.
Demuestre que x(t) dada en el inciso a) del problema 43
se puede escribir en la forma
45. a)
2F0
x(t)
2
2
1
sen (
2
1
)t sen (
2
)t.
1
b) 6LVHGH¿QH
) , demuestre que cuando İ es
2 (
SHTXHxDXQDVROXFLyQDSUR[LPDGDHV
x(t)
F0
sen t sen t.
2
Cuando İ HV SHTXHxD OD IUHFXHQFLD Ȗ2ʌ de la fuerza aplicada es cercana a la frecuencia Ȧ2ʌ de vibraciones libres.
Cuando esto ocurre, el movimiento es como se indica en la
¿JXUD/DVRVFLODFLRQHVGHHVWDFODVHVHOODPDQpulsaciones y se deben al hecho de que la frecuencia de sen İW es
EDVWDQWHSHTXHxDHQFRPSDUDFLyQFRQODIUHFXHQFLDGHVHQ#t.
/DVFXUYDVSXQWHDGDVRHQYROWXUDGHODJUi¿FDGHx(t), se obWLHQHQGHODVJUi¿FDVGH (F0 2İ#) sen İW Use un programa
GHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUJUi¿FDVFRQYDULRVYDORUHVGHF0, İ,
y #SDUDFRPSUREDUODJUi¿FDGHOD¿JXUD23.
x
t
FIGURA 5.1.22 Soporte oscilante del problema 39.
40. Una masa de 10 JUDPRV VH ¿MD D XQ UHVRUWH FX\D FRQVtante es 1600 dinas/cm. Después de que la masa alcanza el
equilibrio, su apoyo oscila de acuerdo con la fórmula h(t) sen 8t,
donde h representa el desplazamiento desde su posición original.
9pDQVHHOSUREOHPD\OD¿JXUD
a) En ausencia de amortiguamiento, determine la ecuación de
movimiento si la masa parte del reposo desde la posición de
equilibrio.
b) ¿En qué instantes la masa pasa por la posición de equilibrio?
c) ¿En qué tiempos la masa alcanza sus desplazamientos extremos?
d) ¿Cuáles son los desplazamientos máximo y mínimo?
e) 7UDFHODJUi¿FDGHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWR
FIGURA 5.1.23 Fenómeno de pulsaciones del problema 45.
Tarea para el laboratorio de computación
46. ¿Puede haber pulsaciones cuando se agrega una fuerza de
amortiguamiento al modelo del inciso a) del problema 43?
'H¿HQGDVXSRVLFLyQFRQODVJUi¿FDVREWHQLGDV\DVHDGHOD
solución explícita del problema
d 2x
dt 2
2
dx
dt
2
47. a)
2
42. d x
4x
5 sen 3t,
x(0)
x(t)
2, x (0)
0
d 2x
dt 2
2
F0 cos t, x(0) 0, x (0)
F0
(cos t cos t) .
2
2
x
x(t)
b) Evalúe lím
:
F0
2
(cos t
2
cos t) .
Ae
lt
0
2
dx
dt
2
x
sen 2v2
F0
1(
43. a) Demuestre que la solución del problema con valores iniciales
es
d2x
dt 2
3 cos 2t,
1
0
Demuestre que la solución general de
es
1, x (0)
9x
dt 2
5 sen 2t
0, x (0)
o de curvas solución obtenidas usando un programa de solución numérica.
En los problemas 41 y 42, resuelva el problema con valores iniciales.
d2x
41 .
dt 2
x(0)
F0 cos t, x(0)
x
2
l2t
2 )2
4
F0 sen t
f
2 2
sen( t
),
donde A 5 Ïc12 1 c 22 y los ángulos de fase ‫ ׋‬y ș están,
UHVSHFWLYDPHQWHGH¿QLGRVSRUVHQ‫ ׋‬c1A, cos ‫ ׋‬
c2A y
sen
cos
2
1(
2
1(
2
2) 2
2
2
2
4
2
2
2
2) 2
,
4
.
5.2
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
b) La solución del inciso a) tiene la forma x(t) xc(t) xp(t).
La inspección muestra que xc(t) es transitoria y por tanto para
valores grandes de tiempo, la solución se aproxima mediante
xp(t) g(#) sen(#t ș), donde
g( )
F0
1(
2
2)2
4
2 2
.
Aunque la amplitud g(#) de xp(t) está acotada conforme t A
, demuestre que las oscilaciones máximas ocurrirán en el
valor 1
1 2 2 2 . ¿Cuál es el valor máximo de g?
El número 1 2
2 2 /2 se dice que es la frecuencia
de resonancia del sistema.
c)
Cuando F0 2, m 1 y k 4, g se convierte en
g( )
2
1(4
2 )2
2 2
48. Considere un sistema resorte/masa no amortiguado descrito por
el problema con valores iniciales
2
x
F0 sen n t, x(0)
0,
x (0)
213
q(0) 5 C e i(0) 0 A. Determine la primera vez en que la
carga del capacitor es igual a cero.
50. Calcule la carga del capacitor en un circuito LRC en serie cuando
1
F, E(t) 0 V, q(0) 4 C e i(0)
L 14 H, R 20 ", C 300
0 A. ¿Alguna vez la carga en el capacitor es igual a cero?
En los problemas 51 y 52 encuentre la carga en el capacitor y la corriente
en el circuito LRC. Determine la carga máxima en el capacitor.
5
51. L
3 H, R 10 ", C
i(0) 0 A
52 . L 1 H,
R 100 ",
q(0) 0 C, i(0) 2 A
1
30
F, E(t) 300 V, q(0) 0 C,
C 0.0004 F,
E(t) 30 V,
53 . Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito
LRC en serie cuando L 1 H, R 2 ", C 0.25 F y E(t) 50
cos tV.
.
Construya una tabla de valores de #1 y g(#1) que
FRUUHVSRQGHQ D ORV FRH¿FLHQWHV GH DPRUWLJXDPLHQ
to ȕ 2, ȕ 1, β 34, β 12 , y β 14. Usando
XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU REWHQJD ODV
JUi¿FDVGHgTXHFRUUHVSRQGHQDHVWRVFRH¿FLHQWHVGHDPRUtiguamiento. Use los mismos ejes de coordenadas. Esta
IDPLOLDGHJUi¿FDVVHOODPDcurva de resonancia o curva
de respuesta de frecuencia del sistema. ¿A qué valor se
aproxima Ȗ1 conforme ȕ A 0? ¿Qué sucede con la curva de
resonancia conforme ȕ A 0?
d 2x
dt2
O
0.
a) Para n 2, explique por qué hay una sola frecuencia #12ʌ
en la que el sistema está en resonancia pura.
b) Para n 3, analice por qué hay dos frecuencias #12ʌ y
#22ʌ en las que el sistema está en resonancia pura.
c) Suponga que Ȧ 1 y F0 1. Use un programa de solución nuPpULFDSDUDREWHQHUODJUi¿FDGHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQ
valores iniciales para n 2 y # #1HQHOLQFLVRD 2EWHQJDOD
JUi¿FDGHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVSDUDn
3 que corresponde, a su vez, a # #1 y # #2 en el inciso b).
54. Demuestre que la amplitud de la corriente de estado estable
en el circuito LRC en serie del ejemplo 10 está dada por E0=,
donde = es la impedancia del circuito.
55. Use el problema 54 para demostrar que la corriente de estado
1
estable en un circuito LRC en serie cuando L
2 H, R 20 ",
C 0.001 F, y E(t) 100 sen 60t V, está dada por ip(t) 4.160
sen(60t 0.588).
56. Encuentre la corriente de estado estable en un circuito LRC
1
cuando L
2 H, R 20 ", C 0.001 F y E(t) 100 sen 60t
200 cos 40t V.
57. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito LRC en
1
serie cuando L
2 H, R 10 ", C 0.01 F, E(t) 150 V,
q(0) 1 C e i(0) 0 A. ¿Cuál es la carga en el capacitor después de un largo tiempo?
58. Demuestre que si L, R, C y E0 son constantes, entonces la amplitud de la corriente de estado estable del ejemplo 10 es un
1> 1LC . ¿Cuál es la amplitud máxima?
máximo cuando
59. Demuestre que si L, R, E0 y # son constantes, entonces la amplitud
de la corriente de estado estable en el ejemplo 10 es un máximo
cuando la capacitancia es C 1L# 2.
60. Calcule la carga en el capacitor y la corriente en un circuito LC
cuando L 0.1 H, C 0.1 F, E(t) 100 sen #t V, q(0) 0 C
e i(0) 0 A.
5.1.4 CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO
61. Calcule la carga del capacitor y la corriente en un circuito LC
cuando E(t) E0 cos #t V, q(0) q0 C e i(0) i0 A.
49. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito en serie LRC en
t 0.01 s cuando L 0.05 H, R 2 ", C 0.01 F, E(t) 0 V,
62. En el problema 61, determine la corriente cuando el circuito está
en resonancia.
5.2
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
INTRODUCCIÓN La sección anterior se dedicó a sistemas en los que un modelo matemático de
VHJXQGRRUGHQYDDFRPSDxDGRGHFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV(VGHFLUFRQGLFLRQHVVXSOHPHQWDULDVTXHVH
HVSHFL¿FDQHQODIXQFLyQGHVFRQRFLGD\VXSULPHUDGHULYDGDHVXQVRORSXQWR3HURFRQIUHFXHQFLDOD
descripción matemática de un sistema físico requiere resolver una ecuación diferencial lineal homo-
214
O
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
JpQHDVXMHWDDFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDHVGHFLUFRQGLFLRQHVHVSHFt¿FDVGHODIXQFLyQGHVFRQRFLGD
o en una de sus derivadas o incluso una combinación lineal de la función desconocida y una de sus
derivadas en dos (o más) puntos diferentes.
eje de simetría
a)
curva de deflexión
b)
FIGURA 5.2.1 'HÀH[LyQGHXQDYLJD
homogénea.
DEFLEXIÓN DE UNA VIGA Muchas estructuras se construyen usando trabes o
YLJDV\HVWDVYLJDVVHÀH[LRQDQRGHIRUPDQEDMRVXSURSLRSHVRRSRUODLQÀXHQFLDGH
DOJXQDIXHU]DH[WHUQD&RPRYHUHPRVDFRQWLQXDFLyQHVWDGHÀH[LyQy(x) está gobernada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden relativamente simple.
Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene
secciones transversales uniformes a lo largo de su longitud. En ausencia de carga en
la viga (incluyendo su peso), una curva que une los centroides de todas sus secciones
transversales es una recta conocida como eje de simetría9HDOD¿JXUD D 6LVH
aplica una carga a la viga en un plano vertical que contiene al eje de simetría, la viga,
FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E H[SHULPHQWDXQDGLVWRUVLyQ\ODFXUYDTXHFRnecta los centroides de las secciones transversales se llama FXUYDGHGHÀH[LyQ o curva
elástica/DFXUYDGHGHÀH[LyQVHDSUR[LPDDODIRUPDGHXQDYLJD$KRUDVXSRQJDTXH
el eje xFRLQFLGHFRQHOHMHGHVLPHWUtD\TXHODGHÀH[LyQy(x), medida desde este eje,
es positiva si es hacia abajo. En la teoría de elasticidad se muestra que el momento de
ÀH[LyQM(x) en un punto x a lo largo de la viga se relaciona con la carga por unidad
de longitud w(x) mediante la ecuación
d 2M
w(x) .
(1)
dx 2
$GHPiVHOPRPHQWRGHÀH[LyQM(x) es proporcional a la curvatura ț de la curva elástica
M(x)
EI ,
(2)
donde E e I son constantes; E es el módulo de Young de elasticidad del material de la
viga e I es el momento de inercia de una sección transversal de la viga (respecto a un
eje conocido como el eje neutro). El producto EI se llama rigidez f1exional de la viga.
Ahora, del cálculo, la curvatura está dada por ț y[1 (y)2]32. Cuando la
GHÀH[LyQy(x HVSHTXHxDODSHQGLHQWHy 0, y por tanto [1 ( y)2]32 1. Si se
permite que ț y, la ecuación (2) se convierte en M EI y. La segunda derivada
de esta última expresión es
d 2M
d2
d 4y
(3)
EI 2 y
EI 4 .
2
dx
dx
dx
Si se utiliza el resultado en (1) para remplazar d2Mdx2HQ VHYHTXHODGHÀH[LyQ
y(x) satisface la ecuación diferencial de cuarto orden
d 4y
(4)
w(x) .
dx4
Las condiciones de frontera asociadas con la ecuación (4) dependen de cómo estén
apoyados los extremos de la viga. Una viga en voladizo está empotrada o ¿MD en un
extremo y libre en el otro. Un trampolín, un brazo extendido, un ala de avión y un balcón
son ejemplos comunes de tales vigas, pero incluso árboles, astas de banderas, rascacielos
y monumentos, actúan como vigas en voladizo, debido a que están empotrados en un
H[WUHPR\VXMHWRVDODIXHU]DGHÀH[LyQGHOYLHQWR3DUDXQDYLJDHQYRODGL]RODGHÀH[LyQ
y(x GHEHVDWLVIDFHUODVVLJXLHQWHVGRVFRQGLFLRQHVHQHOH[WUHPR¿MRx 0:
EI
• y(0) SRUTXHQRKD\ÀH[LyQ\
• y(0) SRUTXHODFXUYDGHGHÀH[LyQHVWDQJHQWHDOHMHx (en otras palabras,
ODSHQGLHQWHGHODFXUYDGHGHÀH[LyQHVFHURHQHVWHSXQWR En x L las condiciones de extremo libre son
• y(L) SRUTXHHOPRPHQWRGHÀH[LyQHVFHUR\
• y(L) 0 porque la fuerza de corte es cero.
5.2
x=0
x=L
a) empotrada en ambos extremos
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
O
215
La función F(x) dMdx EI d3ydx3 se llama fuerza de corte. Si un extremo de la viga
está apoyado simplemente o abisagrado (a lo que también se conoce como apoyo con
perno o fulcro) entonces se debe tener y 0 y y 0 en ese extremo. En la tabla 5.2.1
VHUHVXPHQODVFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDTXHVHUHODFLRQDQFRQ 9HDOD¿JXUD
EJEMPLO 1
Una viga empotrada
Una viga de longitud L HVWi HPSRWUDGD HQ DPERV H[WUHPRV (QFXHQWUH OD GHÀH[LyQ
de la viga si una carga constante w0 está uniformemente distribuida a lo largo de su
longitud, es decir, w(x) w0, 0 x L.
x=0
x=L
b) viga en voladizo: empotrada en
el extremo izquierdo, libre en el
extremo derecho
x=0
x=L
c) apoyada simplemente en ambos
extremos
FIGURA 5.2.2 Vigas con varias
condiciones de extremo.
SOLUCIÓN
'H YHPRVTXHODGHÀH[LyQy(x) satisface
EI
Extremos de la viga
Condiciones frontera
empotrados
libres
apoyados
simplemente
o abisagrados
y 0,
y 0,
y 0,
y 0
y 0
y(0)
0,
1 x
y
FIGURA 5.2.3 &XUYDGHGHÀH[LyQ
para PVF en el ejemplo 1.
y (0)
0,
0,
y(L)
y (L)
0.
Se puede resolver la ecuación diferencial no homogénea de la manera usual (determinar yc observando que m 0 es raíz de multiplicidad cuatro de la ecuación auxiliar
m4 0 y luego encontrar una solución particular ypSRUFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV o simplemente se integra la ecuación d 4ydx 4 w0 EI sucesivamente cuatro veces.
De cualquier modo, se encuentra la solución general de la ecuación y yc yp que es
c1
c2 x
c3 x2
w0 4
x.
24EI
c4 x3
Ahora las condiciones y(0) 0 y y(0) 0 dan, a su vez, c1 0 y c2 0, mientras que
w0 4
x
las condiciones restantes y(L) 0 y y(L) 0 aplicadas a y(x) c3 x2 c4 x3
24EI
producen las ecuaciones simultáneas
y 0
0.5
w0 .
Debido a que la viga está empotrada tanto en su extremo izquierdo (x 0) como en su
extremo derecho (x L QRKD\GHÀH[LyQYHUWLFDO\ODUHFWDGHGHÀH[LyQHVKRUL]RQWDO
en estos puntos. Así, las condiciones en la frontera son
y(x)
TABLA 5.2.1
d4y
dx4
c3 L2
c4 L3
2c3 L
3c4 L2
w0 4
L
24EI
w0 3
L
6EI
0
0.
Resolviendo este sistema se obtiene c3 w0 L 224EI y c4 w0 L12EI. Así que la
GHÀH[LyQHV
w0 L2 2
w0 L 3
w0 4
y(x)
x
x
x
24EI
12EI
24EI
w0 2
o y(x)
x (x L)2 . Eligiendo w0 24EI, y L 1, obtenemos la curva de
24EI
GHÀH[LyQGHOD¿JXUD
EIGENVALORES Y EIGENFUNCIONES Muchos problemas de aplicación requieren que se resuelva un problema con valores en la frontera en dos puntos (PVF) en los
que interviene una ecuación diferencial lineal que contiene un parámetro Ȝ. Se buscan
los valores de Ȝ para los que el problema con valores en la frontera tiene soluciones no
triviales, es decir, no nulas.
EJEMPLO 2
Soluciones no triviales de un PVF
Resuelva el problema con valores en la frontera
y
y
0, y(0)
0,
y(L)
0.
216
O
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
SOLUCIÓN Consideraremos tres casos: Ȝ 0, Ȝ
0 y Ȝ 0.
CASO I: Para Ȝ 0 la solución de y 0 es y c1x c2. Las condiciones y(0) 0
y y(L) 0 aplicadas a esta solución implican, a su vez, c2 0 y c1 0. Por tanto, para
Ȝ 0 la única solución del problema con valores en la frontera es la solución trivial y 0.
2EVHUYHTXHDTXtVHHPSOHDQIXQciones hiperbólicas. Vuelva a leer
“Dos ecuaciones que vale la pena
conocer” , de la página 137.
CASO II: Para Ȝ 0 es conveniente escribir Ȝ Į2, donde Į denota un número
positivo. Con esta notación las raíces de la ecuación auxiliar m2 Į2 0 son ml Į y
m2 Į3XHVWRTXHHOLQWHUYDORHQHOTXHVHHVWiWUDEDMDQGRHV¿QLWRVHHOLJHHVFULELU
la solución general de y Į2y 0 como y c1 cosh Į[ c2 senh Į[ Ahora y(0) es
c1 cosh 0
y(0)
c2 senh 0
c1 1
c2 0
c1,
y por tanto, y(0) VLJQL¿FDTXHc1 0. Así y c2 senh Į[. La segunda condición
y(L) 0 requiere que c2 senh Į/ 0. Para Į 0, senh Į/ 0; en consecuencia, se
está forzado a elegir c2 0. De nuevo la solución del PVF es la solución trivial y 0.
CASO III: Para Ȝ 0 se escribe Ȝ Į2, donde Į es un número positivo. Debido a
que la ecuación auxiliar m2 Į2 0 tiene raíces complejas ml LĮ y m2 LĮ, la
solución general de y Į2y 0 es y c1 cos Į[ c2 sen Į[. Como antes, y(0) 0
produce c1 0 y por tanto y c2 sen Į[. Ahora la última condición y(L) 0, o
0,
c2 sen L
se satisface al elegir c2 3HURHVWRVLJQL¿FDTXHy 0. Si se requiere c2 0, entonces sen Į/ 0 se satisface siempre que Į/ sea un múltiplo entero de ʌ.
L
n
L
o
n
o
n
n
L
2
n
2
,
1, 2, 3, . . . .
n
Por tanto, para cualquier número real c2 distinto de cero, yn (x) c2 sen(Qʌ[L) es una
solución del problema para cada n. Debido a que la ecuación diferencial es homogénea,
cualquier múltiplo constante de una solución también es una solución, así que si se desea
se podría simplemente tomar c2 1. En otras palabras, para cada número de la sucesión
2
1
2
L
,
2
4 2
,
L2
9 2
,
L2
3
,
la función correspondiente en la sucesión
y1
–1
L
x,
y2
sen
2
x,
L
es una solución no trivial del problema y
n 1, 2, 3, . . . , respectivamente.
y
1
sen
n=2 n=1
n=4
n=3
n=5
FIGURA 5.2.4 *Ui¿FDVGHODV
eigenfunciones yn = sen(Qʌ[L), para
n = 1, 2, 3, 4, 5
y3
y
n
sen
3
x,
L
,
0,
y(0)
0,
y(L)
0 para
Los números Ȝn n 2ʌ2 L 2, n 1, 2, 3, . . . para los cuales el problema con valores
en la frontera del ejemplo 2 tiene soluciones no triviales que se conocen como eigenvalores (valores propios). Las soluciones no triviales que dependen de estos
x
valores
de Ȝ n, y n (x ) c 2 sen (Qʌ[ L) o simplemente y n (x ) sen(Qʌ[ L), se
L
llaman eigenfunciones IXQFLRQHV SURSLDV /DV JUi¿FDV GH ODV HLJHQIXQFLRQHV
para n VHPXHVWUDQHQOD¿JXUD2EVHUYHTXHFDGDOtQHDJUD¿FDGD
pasa por los dos puntos (0, 0) y (0, L)
EJEMPLO 3
Vuelta al ejemplo 2
Se entiende del ejemplo 2 y la discusión anterior que el problema con valores en la
frontera:
y 5y 0, y(0) 0, y(L) 0
posee solamente la solución trivial y 0 porque 5 no es un eigenvalor.
5.2
y
x
L
EI
217
d 2y
dx 2
Py
EI
o
d 2y
dx 2
0,
Py
(5)
donde E es el módulo de Young para la elasticidad e I es el momento de inercia de una
sección transversal respecto a una recta vertical que pasa por su centroide.
x=L
a)
O
PANDEO DE UNA COLUMNA VERTICAL DELGADA En el siglo XVIII,
Leonhard Euler fue uno de los primeros matemáticos en estudiar un problema con
eigenvalores y analizar cómo se pandea una columna elástica delgada bajo una fuerza
axial compresiva.
Considere una columna vertical larga y delgada de sección transversal uniforme y
longitud L. Sea y(x ODGHÀH[LyQGHODFROXPQDFXDQGRVHDSOLFDHQODSDUWHVXSHULRUXQD
fuerza compresiva vertical constante, una carga P,FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD$O
FRPSDUDUORVPRPHQWRVGHÀH[LyQHQDOJ~QSXQWRDORODUJRGHODFROXPQDVHREWLHQH
P
x=0
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
EJEMPLO 4
b)
FIGURA 5.2.5 Pandeo de una
columna elástica bajo una fuerza
compresiva.
La carga de Euler
(QFXHQWUHODGHÀH[LyQGHXQDFROXPQDKRPRJpQHDYHUWLFDO\GHOJDGDGHORQJLWXGL sujeta a una carga axial constante PVLODFROXPQDVH¿MDFRQELVDJUDVHQDPERVH[WUHPRV
SOLUCIÓN El problema con valores en la frontera por resolver es
EI
d 2y
dx 2
0, y(0)
Py
0,
0.
y(L)
Primero observe que y 0 es una solución muy buena de este problema. Esta solución
tiene una simple interpretación intuitiva: Si la carga PQRHVVX¿FLHQWHPHQWHJUDQGH
QRKD\GHÀH[LyQ(QWRQFHVODSUHJXQWDHVHVWD¢SDUDTXpYDORUHVGHP se dobla la columna? En términos matemáticos: ¿para qué valores de P el problema con valores en
la frontera tiene soluciones no triviales?
Al escribir Ȝ PEI, vemos que
y
y
0,
y(0)
0,
y(L)
0
es idéntico al problema del ejemplo 2. Del caso III de esa descripción se ve que las deÀH[LRQHV VRQ yn(x) c2 sen(Qʌ[L) que corresponden a los eigenvalores
Ȝn Pn EI n2ʌ2 L 2, n 'HVGHHOSXQWRGHYLVWDItVLFRHVWRVLJQL¿FDTXH
ODFROXPQDH[SHULPHQWDÀH[LyQVyORFXDQGRODIXHU]DFRPSUHVLYDHVXQRGHORVYDORUHV
Pn n 2ʌ2EIL 2, n 1, 2, 3, . . . Estas fuerzas diferentes se llaman cargas críticas. La
GHÀH[LyQFRUUHVSRQGLHQWHDODFDUJDFUtWLFDPiVSHTXHxDP1 ʌ2EIL 2, llamada carga
de Euler, es y1(x) c2 sen(ʌ[L) y se conoce como primer modo de pandeo.
y
y
y
/DV FXUYDV GH GHÀH[LyQ GHO HMHPSOR TXH FRUUHVSRQGHQ D n 1, n 2 y n 3
VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD 2EVHUYH TXH VL OD FROXPQD RULJLQDO WLHQH DOJXQD
clase de restricción física en x L HQWRQFHV OD FDUJD FUtWLFD PiV SHTXHxD VHUi
P2 4ʌ2EIL 2\ODFXUYDGHGHÀH[LyQVHUiFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E 6L
se ponen restricciones a la columna en x L3 y en x 2L3, entonces la columna
no se pandea hasta que se aplica la carga crítica P3 9ʌ2EIL 2\ODFXUYDGHGHÀH[LyQ
VHUiFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD F 9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV
CUERDA GIRANDO
La ecuación diferencial lineal de segundo orden
y
L
x
L
x
a)
L
x
b)
c)
FIGURA 5.2.6 &XUYDVGHGHÀH[LyQ
que corresponden a las fuerzas
compresivas P1, P2, P3.
y
0
(6)
se presenta una y otra vez como un modelo matemático. En la sección 5.1 vimos que
la ecuación (6) en las formas d 2xdt2 (km)x 0 y d 2qdt2 (1LC)q 0 son
modelos para el movimiento armónico simple de un sistema resorte/masa y la respuesta armónica simple de un circuito en serie, respectivamente. Es evidente cuando
HOPRGHORSDUDODGHÀH[LyQGHXQDFROXPQDGHOJDGDHQ VHHVFULEHFRPRd 2ydx2 (PEI) y 0 que es lo mismo que (6). Se encuentra la ecuación básica (6) una vez más en
HVWDVHFFLyQFRPRXQPRGHORTXHGH¿QHODFXUYDGHGHÀH[LyQRODIRUPDy(x) que adopta
218
CAPÍTULO 5
O
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
una cuerda girando. La situación física es similar a cuando dos personas sostienen una cuerda
SDUDVDOWDU\ODKDFHQJLUDUGHXQDPDQHUDVLQFURQL]DGD9HDOD¿JXUD D \ E Suponga que una cuerda de longitud L con densidad lineal constante ȡ (masa por
unidad de longitud) se estira a lo largo del eje x\VH¿MDHQx 0 y x L. Suponga que
la cuerda se hace girar respecto al eje a una velocidad angular constante Ȧ. Considere
una porción de la cuerda en el intervalo [x, x $x], donde $xHVSHTXHxD6LODPDJnitud T de la tensión T que actúa tangencial a la cuerda, es constante a lo largo de
ésta, entonces la ecuación diferencial deseada se obtiene al igualar dos formulaciones
distintas de la fuerza neta que actúa en la cuerda en el intervalo [x, x $x]. Primero,
YHPRVHQOD¿JXUD F VHYHTXHODIXHU]DYHUWLFDOQHWDHV
a)
ω
y(x)
x=0
T sen
F
x=L
b)
T2
θ2
θ1
T sen 1 .
2
(7)
Cuando los ángulos ș1 y ș2 PHGLGRVHQUDGLDQHV VRQSHTXHxRVVHWLHQHVHQș2 tan ș2
y sen ș1 tan ș1. Además, puesto que tan ș2 y tan ș1, son, a su vez, pendientes de las
rectas que contienen los vectores T2 y T1 también se puede escribir
tan
y (x
2
x)
y
tan
1
y (x).
Por tanto, la ecuación (7) se convierte en
T [ y (x
F
T1
x + Δx
x
x
c)
FIGURA 5.2.7 Cuerda girando y
fuerzas que actúan sobre ella.
x)
y (x)] .
(8)
Segundo, se puede obtener una forma diferente de esta misma fuerza neta usando
la segunda ley de Newton, F ma. Aquí la masa del resorte en el intervalo es
m ȡ $x; la aceleración centrípeta de un cuerpo que gira con velocidad angular Ȧ en
un círculo de radio r es a UȦ2. Con $xSHTXHxDVHWRPDr y. Así la fuerza vertical
neta es también aproximadamente igual a
F
(
x)y
2,
(9)
donde el signo menos viene del hecho de que la aceleración apunta en la dirección
opuesta a la dirección y positiva. Ahora, al igualar (8) y (9), se tiene
cociente de diferencias
T[y(x $x) y(x)] (r$x)yv2
y(x $x) y(x)
T ––––––––––––––––– rv2y 0.
$x
o
(10)
Para $x cercana a cero el cociente de diferencias en (10) es aproximadamente la segunda derivada d2ydx2. Por último, se llega al modelo
d2y
2
y 0.
(11)
dx2
Puesto que la cuerda está anclada en sus extremos en x 0 y x L, esperamos que la
solución y(x) de la ecuación (11) satisfaga también las condiciones frontera y(0) 0
y y(L) 0.
T
COMENTARIOS
i) Los eigenvalores no siempre son fáciles de encontrar, como sucedió en el
ejemplo 2; es posible que se tengan que aproximar las raíces de ecuaciones como
tan x x, o cos x cosh x 1. Véanse los problemas 32 a 38 en los ejercicios 5.2.
ii) Las condiciones de frontera aplicadas a una solución general de una ecuación diferencial dan lugar a un sistema algebraico homogéneo de ecuaciones
OLQHDOHVHQODVTXHODVLQFyJQLWDVVRQORVFRH¿FLHQWHVci de la solución general.
Un sistema algebraico homogéneo de ecuaciones lineales es siempre consistente
porque por lo menos tiene una solución trivial. Pero un sistema homogéneo de
n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene una solución no trivial si y sólo si
HOGHWHUPLQDQWHGHORVFRH¿FLHQWHVHVLJXDODFHUR3RGUtDVHUQHFHVDULRXVDUHVWH
último hecho en los problemas 21, 22 y 32 de los ejercicios 5.2.
5.2
EJERCICIOS 5.2
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
219
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-8.
Deflexión de una viga
En los problemas 1-5 resuelva la ecuación (4) sujeta a las condiciones de frontera adecuadas. La viga es de longitud L y w0 es una
constante.
1. a)
O
(QFXHQWUHODGHÀH[LyQGHODYLJDHQYRODGL]RVLw(x) w0 x, 0
x L y y(0) 0, y(L) 0.
y
L
La viga está empotrada en su extremo izquierdo y libre en su
extremo derecho y w(x) w0, 0 x L.
b) 8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODFXUYDGHGHÀH[LyQFXDQGRw0 24EI y L 1.
2. a)
La viga está apoyada simplemente en ambos extremos, y
w(x) w0, 0 x L.
b) 8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODFXUYDGHGHÀH[LyQFXDQGRw0 24EI y L 1.
3 . a)
La viga está empotrada en su extremo izquierdo y apoyada
simplemente en su extremo derecho, y w(x) w0, 0 x
L.
b) 8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODFXUYDGHGHÀH[LyQFXDQGRw0 48EI y L 1.
4. a)
La viga está empotrada en su extremo izquierdo y apoyada simplemente en su extremo derecho, y w(x) w0 sen(ʌ[L), 0 x L.
w0 x
P
O
x
x
FIGURA 5.2.8 'HÀH[LyQGHODYLJDHQYRODGL]RGHOSUREOHPD
8. Cuando se aplica una fuerza compresiva en lugar de una fuerza
de tensión en el extremo libre de la viga del problema 7, la ecuaFLyQGLIHUHQFLDOGHODGHÀH[LyQHV
EIy
x
w(x) .
2
Py
Resuelva esta ecuación si w(x) w0x, 0
y(L) 0.
x
L, y y(0) 0,
b) 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODFXUYDGH
GHÀH[LyQFXDQGRw0 2 ʌ3EI y L 1.
Eigenvalores y funciones propias
c) 8VDQGRXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDHQFRQWUDUUDtFHV R
GHXQDFDOFXODGRUDJUi¿FD DSUR[LPHHOSXQWRHQODJUi¿FD
GHOLQFLVRE HQHOTXHRFXUUHODPi[LPDGHÀH[LyQ¢&XiOHV
ODPi[LPDGHÀH[LyQ"
En los problemas 9-20 determine los eigenvalores y las eigenfunciones
del problema con valores en la frontera dado.
9. y Ȝ\ 0,
y(0) 0,
y(ʌ) 0
10. y Ȝ\ 0,
y(0) 0,
y(ʌ4) 0
11. y Ȝ\ 0,
y(0) 0,
y(L) 0
b) 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODFXUYDGH
GHÀH[LyQFXDQGRw0 36EI y L 1.
12. y Ȝ\ 0,
y(0) 0,
y(ʌ2) 0
13. y Ȝ\ 0,
y(0) 0,
y(ʌ) 0
c) 8VDQGR XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD HQFRQWUDU UDtFHV
GHXQ6$& RGHXQDFDOFXODGRUDJUi¿FD DSUR[LPHHOSXQWR
HQODJUi¿FDGHOLQFLVRE HQHOTXHRFXUUHODPi[LPDGHÀH[LyQ¢&XiOHVODPi[LPDGHÀH[LyQ"
14. y Ȝ\ 0,
y(ʌ) 0,
5. a)
La viga está simplemente soportada en ambos extremos y
w(x) w0 x, 0 x L.
6. a) &DOFXOHODGHÀH[LyQPi[LPDGHODYLJDHQYRODGL]RGHOSURblema 1.
b) ¿Cómo se compara con el valor del inciso a) con la deÀH[LyQPi[LPDGHXQDYLJDTXHWLHQHODPLWDGGHODUJR"
c) (QFXHQWUHODGHÀH[LyQPi[LPDGHODYLJDDSR\DGDGHOSURblema 2.
d) ¢&yPRVHFRPSDUDODGHÀH[LyQPi[LPDGHODYLJDFRQDSR\RVVLPSOHVGHOLQFLVRF FRQHOYDORUGHODGHÀH[LyQPi[LPD
de la viga empotrada del ejemplo 1?
7. Una viga en voladizo de longitud L está empotrada en su
extremo derecho y se aplica una fuerza de P N en su extremo izquierdo libre. Cuando el origen se toma como su extremo
OLEUHFRPRVHLOXVWUDHQOD¿JXUDVHSXHGHGHPRVWUDUTXHOD
GHÀH[LyQy(x) de la viga satisface la ecuación diferencial
EIy
Py
x
w(x) .
2
15. y 2y (Ȝ 1)y 0,
16. y (Ȝ 1)y 0,
y(ʌ) 0
y(0) 0,
y(0) 0,
y(1) 0
17. x y xy Ȝ\ 0,
y(1) 0,
18. x 2y xy Ȝ\ 0,
y(e1) 0,
19. x y xy Ȝ\ 0,
y(1) 0,
20. x 2y xy Ȝ\ 0,
y(1) 0,
2
2
y(5) 0
y(eʌ) 0
y(1) 0
y(e2) 0
y(e) 0
En los problemas 21 y 22 determine los eigenvalores y las eigenfunciones del problema con valores en la frontera dado. Considere sólo
el caso Ȝ Į4, Į 0. [Sugerencia/HD LL HQODV2EVHUYDFLRQHV@
21. y (4) Ȝ\ 0,
y(0) 0,
y(0) 0,
22. y (4) Ȝ\ 0,
y(0) 0,
y (0) 0,
y(1) 0, y(1) 0
y(ʌ) 0, y(ʌ) 0
Pandeo de una columna delgada
23. &RQVLGHUHOD¿JXUD¢'yQGHVHGHEHQFRORFDUHQODFROXPQD
las restricciones físicas si se quiere que la carga crítica sea P4?
'LEXMHODFXUYDGHGHÀH[LyQFRUUHVSRQGLHQWHDHVWDFDUJD
220
CAPÍTULO 5
O
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
24. Las cargas críticas de columnas delgadas dependen de las
condiciones de extremo de la columna. El valor de la carga
de Euler P1 en el ejemplo 4 se obtuvo bajo la suposición de
que la columna estaba abisagrada por ambos extremos. Suponga que una columna vertical homogénea delgada está empotrada en su base (x 0) y libre en su parte superior (x L)
y que se aplica una carga axial constante P en su extremo libre.
(VWDFDUJDFDXVDXQDGHÀH[LyQSHTXHxDį como se muestra en la
¿JXUDRQRFDXVDWDOGHÀH[LyQ(QFXDOTXLHUFDVRODHFXDFLyQ
GLIHUHQFLDOSDUDODGHÀH[LyQy(x) es
2
d y
EI 2
dx
P .
Py
x
rotación angular Ȧn como los valores de Ȧ para los cuales el
problema con valores en la frontera tiene soluciones no triviales. Determine las rapideces críticas Ȧn\ODVGHÀH[LRQHVFRUUHVpondientes yn(x).
28. Cuando la magnitud de la tensión T no es constante, entonces
XQPRGHORSDUDODFXUYDGHGHÀH[LyQRIRUPDy(x) que toma una
cuerda rotatoria está dado por
d
dy
T(x)
dx
dx
x
Suponga que 1
2
y
0.
e y que T(x) x2.
a) Si y(l) 0, y(e) 0 y ȡȦ2 0.25, demuestre que
las velocidades críticas de rotación angular son
1
2 2
1)> \ODVGHÀH[LRQHVFRUUHVSRQn
2 2(4n
dientes son
P
x=L
Para T y ȡ FRQVWDQWHV GH¿QD ODV rapideces críticas de la
δ
yn(x) c2 x12 sen(Qʌ ln x),
n 1, 2, 3, . . . .
b) 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVFXUYDVGH
GHÀH[LyQVREUHHOLQWHUYDOR>e] para n 1, 2, 3. Elija c2 1.
Diferentes problemas con valores en la frontera
x=0
y
FIGURA 5.2.9 'HÀH[LyQGHODFROXPQDYHUWLFDOGHOSUREOHPD
a) ¢&XiOHVODGHÀH[LyQSUHGLFKDFXDQGRį 0?
b) Cuando į 0, demuestre que la carga de Euler para esta
columna es un cuarto de la carga de Euler para la columna
que está abisagrada del ejemplo 4.
25. Como se mencionó en el problema 24, la ecuación diferencial
TXHJRELHUQDODGHÀH[LyQy(x) de una columna elástica delgada sujeta a una fuerza axial compresiva constante P es válida
sólo cuando los extremos de la columna están abisagrados. En
JHQHUDOODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHJRELHUQDODGHÀH[LyQGHOD
columna está dada por
d 2y
d2
EI
dx 2
dx 2
P
d 2y
dx 2
26. Suponga que una columna elástica delgada y uniforme está abisagrada en el extremo x 0 y empotrada en el extremo x L.
a) Use la ecuación diferencial de cuarto orden del problema
25 para encontrar los valores propios Ȝn, las cargas críticas
Pn, la carga de Euler P1\ODVGHÀH[LRQHVyn(x).
b 8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHO
primer modo de pandeo.
Cuerda girando
27. Considere el problema con valores en la frontera presentado en la
construcción del modelo matemático para la forma de una cuerda
girando:
T
d y
dx 2
2
y
0,
y(0)
0,
r
d 2u
dr 2
2
du
dr
0,
u0 ,
u(a)
u 1,
u(b)
donde u0 y u1 son constantes. Resuelva para u(r).
u = u1
u = u0
0.
Suponga que la columna es uniforme (EI es una constante) y que
los extremos de la columna están abisagrados. Demuestre que la
solución de esta ecuación diferencial de cuarto orden sujeta a las
condiciones límite y(0) 0, y(0) 0, y(L) 0, y(L) 0 es
equivalente al análisis del ejemplo 4.
2
29. Temperatura en una esfera Considere dos esferas concéntricas de radio r a y r b, a b9HDOD¿JXUD/D
temperatura u(r) en la región entre las esferas se determina del
problema con valores en la frontera
y(L)
0.
FIGURA 5.2.10 Esferas concéntricas del problema 29.
30. Temperatura en un anillo La temperatura u(r) en el anillo
FLUFXODUPRVWUDGRHQOD¿JXUDVHGHWHUPLQDDSDUWLUGHO
problema con valores en la frontera
r
d 2u
dr 2
du
dr
0,
u0 ,
u(a)
a
u(b)
u1,
b
u = u0
u = u1
FIGURA 5.2.11 Anillo circular del problema 30.
5.2
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
donde u0 y u1 son constantes. Demuestre que
u(r)
u0 ln(r>b) u1 ln(r>a)
.
ln(a>b)
31. Rotación de un eje Supongamos que el eje x sobre el intervalo
[0, L] es el centro geométrico de un eje largo y recto, como el
HMHGHODKpOLFHGHXQEDUFR9pDVHOD¿JXUD&XDQGRHOHMH
está girando con una rapidez angular constante Ȧ sobre este eje la
desviación y(x) del eje satisface la ecuación diferencial
d 4y
2 ␳ ␻ 2 y 5 0,
dx 4
donde ȡ es su densidad por unidad de longitud. Si el eje está simplemente apoyado o con bisagras, en ambos extremos entonces las
condiciones de límite son
EI
y(0) 5 0, y0(0) 5 0, y(L) 5 0, y0(L) 5 0.
a) 6L Ȝ = Į4 = ȡȦ2/EI OXHJR HQFXHQWUH ORV HLJHQYDORUHV \
HLJHQIXQFLRQHV SDUD HVWH SUREOHPD GH YDORU D OD IURQWHUD
b) 8WLOLFHORVHLJHQYDORUHVȜnHQHOLQFLVRD SDUDHQFRQ
WUDUODVUDSLGHFHVDQJXODUHVƷnFRUUHVSRQGLHQWHV/RVYD
lores Ȧn se llaman rapideces críticas(OYDORUȦ se llama
rapidez crítica fundamental y, análogo al ejemplo 4, con
HVWDUDSLGH]HOHMHFDPELDGHy DXQDGHÁH[LyQGHy(x 221
O
cuando se libere cada masa en la posición de equilibrio en t 0
con una velocidad v0 diferente de cero, pase por la posición de
equilibrio en t 1 segundo. ¿Cuántas veces pasa cada masa mn
por la posición de equilibrio en el intervalo de tiempo 0 t 1?
34. Movimiento amortiguado Suponga que el modelo para el sistema resorte/masa del problema 33 se reemplaza por mx 2x kx
0. En otras palabras el sistema es libre pero está sujeto a amortiguamiento numéricamente igual a dos veces la velocidad instantánea. Con las mismas condiciones iniciales y la constante de
resorte del problema 33, investigue si es posible encontrar una
masa m que pase por la posición de equilibrio en t 1 segundo.
En los problemas 35 y 36, determine si es posible encontrar valores y0 y y1
(problema 35) y valores de L 0 (problema 36) tal que el problema con
valores iniciales tenga a) exactamente una solución no trivial, b) más de
una solución, c) ninguna solución, d) la solución trivial.
35. y 16y 0, y(0) y0, y(ʌ2) y1
36. y 16y 0, y(0) 1, y(L) 1
37. Considere el problema con valores en la frontera
y
0, y(
y
)
y( ), y (
)
y ( ).
a) $OWLSRGHFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDHVSHFL¿FDGDVVHOHOODman condiciones frontera periódicas. Dé una interpretación geométrica de estas condiciones.
© National Archives and Records
Administration
b) Determine los eigenvalores y las eigenfunciones del problema.
FIGURA 5.2.12 Eje de la hélice del acorazado USS Missouri.
32. En el pUREOHPDVXSRQJDTXH/ 6LHOHMHHV¿MRHQDPERV
extremos las condiciones frontera son
y(0) = 0, y’(0) = 0, y(1) = 0, y’(1) = 0.
a) 'HPXHVWUHTXHORVHLJHQYDORUHVƪQ Ơn4VHGHÀQHQSRU
ODVUDtFHVSRVLWLYDVGHFRVƠFRVKƠ >6XJHUHQFLDYHDODV
LQVWUXFFLRQHVSDUDSUREOHPDV\@
b) 'HPXHVWUHTXHODVHLJHQIXQFLRQHV
yn(x) (sen Įn senh Įn)(cos Įnx cosh Įnx)
+ (cos Įn cosh Įn)(sen Įnx senh Įnx).
Problemas para analizar
33. Movimiento armónico simple El modelo mx kx 0
para el movimiento armónico simple, que se analizó en la sección
5.1, se puede relacionar con el ejemplo 2 de esta sección.
Considere un sistema resorte/masa libre no amortiguado
para el cual la constante de resorte es, digamos, k 10 N/m.
Determine las masas mn que se pueden unir al resorte para que
c) 8
VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUDOJXQDVGHODV
eigenfunciones. Compruebe su interpretación geométrica de
las condiciones frontera dadas en el inciso a).
38. Muestre que los eigenvalores y las eigenfunciones del problema
con valores en la frontera
y
y
0,
y(0)
0,
y(1)
y (1)
0
2
n
son n
y yn (x sen Įn x, respectivamente, donde Įn, n 1, 2, 3, ... son las raíces positivas consecutivas de la ecuación
tan Į Į.
Tarea para el laboratorio de computación
39. 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODVJUi¿FDVTXHORFRQYHQ]DQGHTXHOD
ecuación tan Į ĮGHOSUREOHPDWLHQHXQLQ¿QLWRGHUDtFHV
Explique por qué se pueden despreciar las raíces negativas de
la ecuación. Explique por qué Ȝ 0 no es un eigenvalor aun
cuando Į 0 es una solución obvia de la ecuación tan Į Į.
40. Usando un programa para determinar raíces de un SAC, aproxime los primeros cuatro eigenvalores Ȝ1, Ȝ2, Ȝ3 y Ȝ4 para el PVF
del problema 38.
41. Utilice un SAC para aproximar los primeros cuatro eigenvalores
Ȝ1Ȝ2Ȝ3\Ȝ4 del problema de valores a la frontera
y0 1 ␭y 5 0, y(0) 5 0, y(1) 2 12 y9(1) 5 0.
Dé las eigenfunciones aproximadas correspondientes y1(x),
y2(x), y3(x), y y4(x).
42. Utilice un SAC para aproximar los eigenvalores Ȝ1, Ȝ2, Ȝ3, y Ȝ4
GH¿QLGRVSRUODHFXDFLyQHQHOLQFLVRD GHOSUREOHPD
222
O
CAPÍTULO 5
5.3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
MODELOS NO LINEALES
INTRODUCCIÓN En esta sección se examinan algunos modelos matemáticos no lineales de
orden superior. Algunos de estos modelos se pueden resolver usando el método de sustitución (lo
que conduce a la reducción de orden de la ED) presentado en la sección 4.10. En algunos casos donde
no se puede resolver el modelo, se muestra cómo se reemplaza la ED no lineal por una ED lineal
mediante un proceso conocido como linealización.
RESORTES NO LINEALES El modelo matemático en (1) de la sección 5.1 tiene la
forma
d 2x
(1)
F(x) 0 ,
m 2
dt
donde F(x) kx. Debido a que x denota el desplazamiento de la masa desde su posición
de equilibrio, F(x) kx es la ley de Hooke, es decir, la fuerza ejercida por el resorte
que tiende a restaurar la masa a la posición de equilibrio. Un resorte que actúa bajo una
fuerza restauradora lineal F(x) kx se llama resorte lineal. Pero los resortes pocas
veces son lineales. Dependiendo de cómo esté construido y del material utilizado, un
UHVRUWHSXHGHYDULDUGHVGH³ÀH[LEOH´RVXDYHKDVWD³UtJLGR´RGXURSRUORTXHVXIXHU]D
restauradora puede variar respecto a la ley lineal. En el caso de movimiento libre, si se
supone que un resorte en buen estado tiene algunas características no lineales, entonces
podría ser razonable suponer que la fuerza restauradora de un resorte, es decir, F(x) en
la ecuación (1), sea proporcional al cubo del desplazamiento x de la masa más allá de
su posición de equilibrio o que F(x) sea una combinación lineal de potencias del desplazamiento como el que se determina mediante la función no lineal F(x) kx k1x3.
Un resorte cuyo modelo matemático incorpora una fuerza restauradora no lineal, como
d 2x
d 2x
3
kx
0
m
kx k1 x3 0,
o
(2)
dt 2
dt 2
se llama resorte no lineal. Además, se examinan modelos matemáticos en los que el
amortiguamiento impartido al movimiento era proporcional a la velocidad instantánea
dxdt y la fuerza restauradora de un resorte está dada por la función lineal F(x) kx.
Pero estas fueron suposiciones muy simples; en situaciones más reales, el amortiguamiento podría ser proporcional a alguna potencia de la velocidad instantánea dxdt. La
ecuación diferencial no lineal
m
m
d2x
dt 2
dx dx
dt dt
kx
(3)
0
es un modelo de un sistema libre resorte/masa en el que la fuerza de amortiguamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad. Así que es posible imaginar otras clases
de modelos: amortiguamiento lineal y fuerza restauradora no lineal, amortiguamiento
no lineal y fuerza restauradora no lineal, etcétera. El punto es que las características no
lineales de un sistema físico dan lugar a un modelo matemático que es no lineal.
2EVHUYHHQ TXHWDQWRF(x) kx3 como F(x) kx k1x3 son funciones impares
de x. Para ver por qué una función polinomial que contiene sólo potencias impares de
x proporciona un modelo razonable para la fuerza restauradora, se expresa a F como
una serie de potencias centrada en la posición de equilibrio x 0:
F(x)
c0
c1 x
c2 x2
c3 x3
.
Cuando los desplazamientos xVRQSHTXHxRVORVYDORUHVGHx nVRQLQVLJQL¿FDQWHVSDUD
nVX¿FLHQWHPHQWHJUDQGH6LVHWUXQFDODVHULHGHSRWHQFLDVSRUHMHPSORHQHOFXDUWR
término, entonces F(x) c 0 c1 x c 2 x 2 c 3 x 3. Para la fuerza en x 0,
F(x)
c0
c1 x
c2 x2
c3 x3,
5.3
F
resorte
duro
resorte lineal
y para que la fuerza en x
O
223
0,
F( x)
resorte suave
MODELOS NO LINEALES
c0
c2 x2
c1 x
c3 x3
tenga la misma magnitud pero actúe en dirección contraria, se debe tener
F(x) F(x 'HELGRDTXHHVWRVLJQL¿FDTXHF es una función impar, se debe tener
c0 0 y c2 0 y por tanto, F(x) c1x c3x3. Si se hubieran usado sólo los primeros dos
términos de la serie, el mismo argumento produce la función lineal F(x) c1x. Se dice
que una fuerza restauradora con potencias mixtas, como F(x) c1x c2x2 y las vibraciones correspondientes, son asimétricas. En el análisis siguiente se escribe c1 k y c3 k1.
x
FIGURA 5.3.1 Resortes duros y suaves.
x
x(0)=2,
x'(0)=_3
RESORTES DUROS Y SUAVES Analicemos con más detalle la ecuación (1) para
el caso en que la fuerza restauradora está dada por F(x) kx klx3, k 0. Se dice
que el resorte es duro si kl 0 y suave si kl /DVJUi¿FDVGHWUHVWLSRVGHIXHU]DVUHVWDXUDGRUDVVHPXHVWUDQHQOD¿JXUD(QHOHMHPSORVLJXLHQWHVHLOXVWUDQ
estos dos casos especiales de la ecuación diferencial md 2xdt 2 kx k 1x 3 0,
m 0, k 0.
t
EJEMPLO 1
Comparación de resortes duros y suaves
Las ecuaciones diferenciales
x(0)=2,
x'(0)=0
a) resorte duro
y
x
x(0)=2,
x'(0)=0
t
x(0)=2,
x'(0)=_3
b) resorte suave
FIGURA 5.3.2 Curvas de solución
numérica.
O
θ
l
mg sen θ
P
mg cos θ
θ W = mg
FIGURA 5.3.3 Péndulo simple.
d 2x
dt 2
x
x3
0
(4)
d 2x
dt 2
x
x3
0
(5)
son casos especiales de la segunda ecuación en (2) y son modelos de un resorte duro y uno
VXDYHUHVSHFWLYDPHQWH(QOD¿JXUD D VHPXHVWUDQGRVVROXFLRQHVGH \HQOD
¿JXUD E GRVVROXFLRQHVGH REWHQLGDVGHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFD/DV
curvas mostradas en rojo son soluciones que satisfacen las condiciones iniciales x(0) 2,
x(0) 3; las dos curvas en rojo son soluciones que satisfacen x(0) 2, x(0) 0.
Desde luego estas curvas solución indican que el movimiento de una masa en el resorte
GXURHVRVFLODWRULRPLHQWUDVTXHHOPRYLPLHQWRGHXQDPDVDHQHOUHVRUWHÀH[LEOHDO
parecer es no oscilatorio. Pero se debe tener cuidado respecto a sacar conclusiones con
base en un par de curvas de solución numérica. Un cuadro más complejo de la naturaleza de las soluciones de ambas ecuaciones se obtiene del análisis cualitativo descrito en
el capítulo 10, en la versión ampliada con problemas con valores en la frontera.
PÉNDULO NO LINEAL Cualquier objeto que oscila de un lado a otro se llama
péndulo físico. El péndulo simple es un caso especial del péndulo físico y consiste
en una varilla de longitud lDODTXHVH¿MDXQDPDVDm en un extremo. Al describir
el movimiento de un péndulo simple en un plano vertical, se hacen las suposiciones
GHVLPSOL¿FDFLyQGHTXHODPDVDGHODYDULOODHVGHVSUHFLDEOH\TXHQLQJXQDIXHU]D
externa de amortiguamiento o motriz actúa sobre el sistema. El ángulo de desplazamiento șGHOSpQGXORPHGLGRGHVGHODYHUWLFDOFRPRVHLOXVWUDHQOD¿JXUDVH
considera positivo cuando se mide a la derecha de OP y negativo a la izquierda de OP.
Ahora recuerde que el arco s de un círculo de radio l se relaciona con el ángulo central
ș por la fórmula s Oș. Por tanto, la aceleración angular es
d2
d 2s
.
a
l
dt 2
dt 2
De la segunda ley de Newton tenemos que
d2
F ma ml 2 .
dt
'H OD ¿JXUD VH YH TXH OD PDJQLWXG GH OD FRPSRQHQWH WDQJHQFLDO GH OD IXHU]D
debida al peso W es mg sen ș. En cuanto a dirección esta fuerza es mg sen ș porque
224
O
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
apunta a la izquierda para ș 0 y a la derecha para ș 0. Se igualan las dos versiones
distintas de la fuerza tangencial para obtener ml d 2șdt 2 mg sen ș, o
d2
dt2
g
sen
l
0.
(6)
LINEALIZACIÓN Como resultado de la presencia de sen ș, el modelo en (6) es no
lineal. En un intento por entender el comportamiento de las soluciones de ecuaciones
GLIHUHQFLDOHVQROLQHDOHVGHRUGHQVXSHULRUHQRFDVLRQHVVHWUDWDGHVLPSOL¿FDUHOSURblema sustituyendo términos no lineales por ciertas aproximaciones. Por ejemplo, la
serie de Maclaurin para sen ș, está dada por
3
5
...
3!
5!
así que si se usa la aproximación sen ș ș ș3 6, la ecuación (6) se convierte en
d 2 șdt 2 (gl)ș (g6l)ș3 2EVHUYHTXHHVWD~OWLPDHFXDFLyQHVODPLVPDTXH
la segunda ecuación lineal en (2) con m 1, k gl y k1 g6l. Sin embargo, si
se supone que los desplazamientos șVRQVX¿FLHQWHPHQWHSHTXHxRVSDUDMXVWL¿FDUHO
uso de la sustitución sen ș ș, entonces la ecuación (6) se convierte en
sen
d2
dt2
g
l
0.
(7)
Vea el problema 25 en los ejercicios 5.3. Si se hace Ȧ2 gl, se reconoce a (7) como la
ecuación diferencial (2) de la sección 5.1 que es un modelo para las vibraciones libres
no amortiguadas de un sistema lineal resorte/masa. En otras palabras (7) es de nuevo la
ecuación lineal básica y Ȝ\ 0 analizada en las páginas 215-216 de la sección 5.2.
Como consecuencia se dice que la ecuación (7) es una linealización de la ecuación (6).
Debido a que la solución general de (7) es ș(t) c1 cos ȦW c 2 sen ȦW, esta linealizaFLyQLQGLFDTXHSDUDFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVFRUUHVSRQGLHQWHVDRVFLODFLRQHVSHTXHxDVHO
movimiento del péndulo descrito por (6) es periódico.
EJEMPLO 2
Dos problemas con valores iniciales
/DVJUi¿FDVGHOD¿JXUD D VHREWXYLHURQFRQD\XGDGHXQSURJUDPDGHVROXFLyQ
numérica y representan curvas solución de la ecuación (6) cuando Ȧ2 1. La curva azul
1
1
ilustra la solución de (6) que satisface las condiciones iniciales (0) 2, (0) 2 ,
mientras que la curva roja es la solución de (6) que satisface (0)
1
2,
u (0)
u
u (0) 5 12 , u 9(0) 5 2
u (0) 5 12 , u 9(0) 5 12
t
p
1
u (0) 5 2 ,
1
u 9(0) 5 2
u (0) 5 12 ,
u 9(0) 5 2
(b)
(c)
2p
(a)
FIGURA 5.3.4 En el ejemplo 2, péndulo oscilante en b); péndulo giratorio en c).
2 . La
5.3
MODELOS NO LINEALES
O
225
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curva azul representa una solución periódica, el péndulo que oscila en vaivén como se
PXHVWUDHQOD¿JXUD E FRQXQDDPSOLWXGDSDUHQWHA 1. La curva roja muestra
que ș crece sin límite cuando aumenta el tiempo el péndulo, comenzando desde el
PLVPR GHVSOD]DPLHQWR LQLFLDO UHFLEH XQD YHORFLGDG LQLFLDO GH PDJQLWXG VX¿FLHQWHmente grande para enviarlo hasta arriba —en otras palabras, el péndulo está girando
FRQUHVSHFWRDVXSLYRWHFRPRVHLOXVWUDHQOD¿JXUD F (QDXVHQFLDGHDPRUWLJXDPLHQWRHOPRYLPLHQWRHQFDGDFDVRFRQWLQ~DGHIRUPDLQGH¿QLGD
FIGURA 5.3.5 La forma en que
cuelgan los cables del teléfono es una
catenaria.
CABLES TELEFÓNICOS La ecuación diferencial de primer orden dydx WT1
es la ecuación (16) de la sección 1.3. Esta ecuación diferencial, establecida con la
D\XGDGHOD¿JXUDGHODSiJVLUYHFRPRPRGHORPDWHPiWLFRSDUDODIRUPD
GH XQ FDEOH ÀH[LEOH VXVSHQGLGR HQWUH GRV VRSRUWHV YHUWLFDOHV FXDQGR HO FDEOH OOHYD
una carga vertical. En la sección 2.2 se resuelve esta ED simple bajo la suposición
de que la carga vertical que soportan los cables de un puente suspendido era el peso de la
carpeta asfáltica distribuida de modo uniforme a lo largo del eje x. Con W ȡ[, ȡel peso
por unidad de longitud de la carpeta asfáltica, la forma de cada cable entre los apoyos
verticales resultó ser parabólica. Ahora se está en condiciones de determinar la forma de
XQFDEOHÀH[LEOHXQLIRUPHTXHFXHOJDVyOREDMRVXSURSLRSHVRFRPRXQFDEOHVXVSHQGLGRHQWUHGRVSRVWHVWHOHIyQLFRV9HDOD¿JXUD$KRUDODFDUJDYHUWLFDOHVHOFDEOH
y por tanto, si ȡ es la densidad lineal del alambre (medido, por ejemplo, en newtons por
metro) y s es la longitud del segmento P1P2HQOD¿JXUDHQWRQFHVW ȡV. Por tanto,
dy
s
.
dx
1
Puesto que la longitud de arco entre los puntos P1 y P2 está dada por
(8)
dy 2
dx ,
dx
0 B
del teorema fundamental del cálculo se tiene que la derivada de (9) es
x
1
s
ds
dx
1
B
(9)
dy 2
.
dx
(10)
Derivando la ecuación (8) respecto a x y usando la ecuación (10) se obtiene la ecuación
de segundo orden
d 2y
dx 2
ds
T1 dx
o
d 2y
dx2
T1 B
1
dy 2
.
dx
(11)
En el ejemplo siguiente se resuelve la ecuación (11) y se muestra que la curva del
cable suspendido es una catenaria. Antes de proceder, observe que la ecuación diferencial no lineal de segundo orden (11) es una de las ecuaciones que tienen la forma F(x,
y, y) 0 analizadas en la sección 4.10. Recuerde que hay posibilidades de resolver
una ecuación de este tipo al reducir el orden de la ecuación usando la sustitución u y.
EJEMPLO 3
Una solución de (11)
De la posición del eje y HQ OD¿JXUD HV HYLGHQWHTXHODV FRQGLFLRQHVLQLFLDOHV
relacionadas con la segunda ecuación diferencial en (11) son y(0) a y y(0) 0.
du
Si se sustituye u y, entonces la ecuación en (11) se convierte en
11 u2 .
dx
1
Separando las variables se encuentra que
du
11 u2
T1
dx
se obtiene
senh 1u
T1
x
c1.
226
O
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Ahora, y(0) 0 es equivalente a u(0) 0. Puesto que senh1 0 0, c1 0 y por
tanto, u senh (ȡ[T1). Por último, integrando ambos lados de
dy
dx
senh
T1
x,
y
obtenemos
T1
cosh
T1
x
c2.
Con y(0) a, cosh 0 1, se deduce de la última ecuación que c2 a T1ȡ. Por
tanto vemos que la forma del cable que cuelga está dada por
y
(T1> ) cosh( x> T1)
a
T1> .
Si en el ejemplo 3 hemos sabido escoger desde el principio a T1ȡ, entonces la solución
del problema habría sido simplemente el coseno hiperbólico y (T1ȡ) cosh (ȡ[T1).
MOVIMIENTO DE UN COHETE En ecuación (12) de la sección 1.3 se vio que la
ecuación diferencial de un cuerpo de masa mHQFDtGDOLEUHFHUFDGHODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUD
está dada por
y
d 2s
d 2s
o
simplemente
mg,
g,
dt2
dt2
donde s UHSUHVHQWD OD GLVWDQFLD GHVGH OD VXSHU¿FLH GH OD 7LHUUD KDVWD HO REMHWR \ VH
considera que la dirección positiva es hacia arriba. Dicho de otra forma, la suposición
básica en este caso es que la distancia sDOREMHWRHVSHTXHxDFXDQGRVHFRPSDUDFRQ
el radio R de la Tierra; en otras palabras, la distancia y desde el centro de la Tierra al
objeto es aproximadamente la misma que R. Si, por otro lado, la distancia y al objeto,
por ejemplo un cohete o una sonda espacial, es grande comparada con R, entonces se
combina la segunda ley de Newton del movimiento y su ley de gravitación universal
para obtener una ecuación diferencial en la variable y.
Suponga que se lanza verticalmente hacia arriba un cohete desde el suelo como se
LOXVWUDHQOD¿JXUD6LODGLUHFFLyQSRVLWLYDHVKDFLDDUULED\VHGHVSUHFLDODUHVLVtencia del aire, entonces la ecuación diferencial de movimiento después de consumir
el combustible es
m
v0
R
centro de
la Tierra
FIGURA 5.3.6 La distancia al cohete
es grande comparada con R.
m
d 2y
dt2
k
Mm
y2
d 2y
dt2
o
k
M
,
y2
(12)
donde k es una constante de proporcionalidad, y es la distancia desde el centro de la
Tierra al cohete, M es la masa de la Tierra y m es la masa del cohete. Para determinar
la constante k, se usa el hecho de que cuando y R, kMmR 2 mg o k gR2M. Así
que la última ecuación en (12) se convierte en
d 2y
dt 2
g
R2
.
y2
(13)
Vea el problema 14 en los ejercicios 5.3.
MASA VARIABLE 2EVHUYHHQODH[SOLFDFLyQDQWHULRUTXHVHGHVFULEHHOPRYLPLHQWR
del cohete después de que ha quemado todo su combustible, cuando supuestamente su
masa m es constante. Por supuesto, durante su ascenso la masa total del cohete propulsado varía a medida que se consume el combustible. La segunda ley del movimiento,
como la adelantó Newton en un principio, establece que cuando un cuerpo de masa m
se mueve por un campo de fuerza con velocidad v, la rapidez de cambio respecto al
tiempo de la cantidad de movimiento mv del cuerpo es igual a la fuerza aplicada o neta
F que actúa sobre el cuerpo:
d
F
(mv) .
(14)
dt
Si m es constante, entonces la ecuación (14) produce la forma más familiar
F m dvdt ma, donde a es la aceleración. En el siguiente ejemplo se usa la forma de la
segunda ley de Newton dada en la ecuación (14), en la que la masa m del cuerpo es variable.
5.3
20 N
fuerza
hacia
arriba
x(t)
FIGURA 5.3.7 Cadena jalada hacia
arriba por una fuerza constante, en el
ejemplo 4.
EJEMPLO 4
MODELOS NO LINEALES
O
227
Cadena jalada hacia arriba por una fuerza constante
Una cadena uniforme de 3 m de largo se enrolla sin tensión sobre el piso. Un extremo
de la cadena se jala verticalmente hacia arriba usando una fuerza constante de 20 N. La
cadena pesa 1 N/m. Determine la altura del extremo sobre el nivel de suelo al tiempo t.
9HDOD¿JXUD
SOLUCIÓN Supongamos que x x(t) denota la altura del extremo de la cadena en el
aire al tiempo t, v dxdt y que la dirección positiva es hacia arriba. Para la porción de
la cadena que está en el aire en el tiempo t se tienen las siguientes cantidades variables:
peso:
(x m) (1 N/m)
W
masa:
m
W>g
fuerza neta:
F
20
x,
x>9.8,
20
W
x.
Así de la ecuación (14) se tiene
regla del producto
( )
d x
––– ––– v
dt 9.8
20
dv
x –––
dt
x
dx
v –––
dt
196
9.8 x
(15)
Debido a que v dxdt, la última ecuación se convierte en
d2x
dx 2
9.8 x 196.
(16)
2
dt
dt
La ecuación diferencial no lineal de segundo orden (16) tiene la forma F(x, x, x) 0,
que es la segunda de las dos formas consideradas en la sección 4.10 que posiblemente se pueden resolver por reducción de orden. Para resolver la ecuación (16), se
dv dv dx
dv
vuelve a (15) y se usa v x junto con la regla de la cadena. De
v
dt
dx dt
dx
la segunda ecuación en (15) se puede escribir como
x
xv
dv
dx
v2
196
9.8 x.
(17)
Al inspeccionar la ecuación (17) podría parecer de difícil solución, puesto que no
se puede caracterizar como alguna de las ecuaciones de primer orden resueltas en
el capítulo 2. Sin embargo, si se reescribe la ecuación (17) en la forma diferencial
M(x, v)dx N(x, v)dv 0, se observa que, aunque la ecuación
(v2
9.8 x
196) dx
xv dv
0
(18)
no es exacta, se puede transformar en una ecuación exacta al multiplicarla por un factor
integrante. De (Mv Nx)N lx se ve de (13) de la sección 2.4 que, para x > 0. un factor
integrante es e dx/x eln x x. Cuando la ecuación (18) se multiplica por ȝ(x) x, la
HFXDFLyQ UHVXOWDQWH HV H[DFWD FRPSUXHEH ,GHQWL¿FDQGR f x xv2 9.8x2 196x,
f v x 2v y procediendo después como en la sección 2.4, se obtiene
1 2 2
xv
2
9.8 3
x
3
98x2
c1 .
(19)
Puesto que se supuso que al principio toda la cadena está sobre el piso, se tiene x(0)
0. Esta última condición aplicada a la ecuación (19) produce c1 0. Resolviendo
3
la ecuación algebraica 12 x2v2 9.8
98x2 0 para v dxdt 0, se obtiene otra
3 x
ecuación diferencial de primer orden,
dx
dt
196
B
19.6
x.
3
228
8
7
6
5
4
3
2
1
CAPÍTULO 5
O
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
x
La última ecuación se puede resolver por separación de variables. Se debe comprobar que
2
3
(196 2 6.533 x)1/2 5 t 1 c2. .
9.8
(20)
Esta vez la condición inicial x(0) 0 indica que c2 4.286. Por último, elevando al
cuadrado ambos lados de (20) y despejando x, llegamos al resultado deseado,
0
0.5
1.5
1
2
2.5
x(t) 5 30 2 1.633 (t 2 4.286)2.
t
(21)
/DJUi¿FDGHODHFXDFLyQ TXHVHSUHVHQWDHQOD¿JXUDQRVHGHEHFRQEDVHV
físicas, aceptar tal cual. Vea el problema 15 de los ejercicios 5.3.
FIGURA 5.3.8 *Ui¿FDGH GHO
ejemplo 4.
EJERCICIOS 5.3
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-8.
Al profesor Además de los problemas 24 y 25, todos o parte
de los problemas 1-6, 8-13, 15, 20 y 21 podrían servir como
tareas del laboratorio de computación.
programa de solución numérica para analizar la naturaleza
de las oscilaciones del sistema que corresponden a las condiciones iniciales:
Resortes no lineales
x(0)
1, x (0)
En los problemas 1-4, la ecuación diferencial dada es modelo
de un sistema resorte/masa no amortiguado en el que la fuerza
restauradora F(x) en (1) es no lineal. Para cada ecuación utilice
un programa de solución numérica para trazar las curvas solución que satisfacen las condiciones iniciales del problema. Si al
parecer las soluciones son periódicas, use la curva solución para
estimar el periodo T de las oscilaciones.
x(0)
12, x (0)
x(0)
2, x (0)
1.
d2x
dt 2
x(0)
2.
d2x
dt2
x(0)
d2x
3.
dt2
x(0)
4.
d2x
dt2
x(0)
x3
0,
1, x (0)
4x
16x3
1, x (0)
2x
1;
1;
1, x (0)
1
2, x (0)
x(0)
2
9.
1; x(0)
3
2,
x (0)
1
3, x (0)
1
0,
1; x(0)
10.
d2x
dt 2
x(0)
dx
dt
d2x
dt2
dx
dt
x(0)
0,
x
xe0.01x
x (0)
5. En el problema 3, suponga que la masa se libera desde la posición inicial x(0) 1 con una velocidad inicial x(0) x1. Use
un programa de solución numérica para estimar el valor más peTXHxRGH x1 en el que el movimiento de la masa es no periódico.
6. En el problema 3, suponga que la masa se libera desde una posición inicial x(0) x0 con velocidad inicial x(0) 1. Usando un
programa de solución numérica estime un intervalo a x0 b
para el cual el movimiento sea oscilatorio.
7. Determine una linealización de la ecuación diferencial del problema 4.
8. Considere el modelo de un sistema resorte/masa no lineal sin
amortiguamiento dado por x 8x 6x3 x5 0. Use un
1;
0;
1
2;
2, x (0)
x(0)
1
2;
2, x (0)
x(0)
12, x (0)
x(0)
1.
En los problemas 9 y 10 la ecuación diferencial dada es un modelo
de un sistema resorte/masa no lineal amortiguado. Prediga el comportamiento de cada sistema cuando t A . Para cada ecuación
use un programa de solución numérica para obtener las curvas solución que satisfacen las condiciones iniciales del problema dadas.
0,
2
1, x (0)
x(0)
1
2,
1;
x
x3
3, x (0)
x
0, x (0)
0,
4; x(0)
x3
0, x (0)
8
0,
3
2;
1, x (0)
x(0)
1
11. El modelo mx kx k1x3 F0 cos ȦW de un sistema no amortiguado resorte/masa forzado en forma periódica se llama ecuaFLyQGLIHUHQFLDOGH'XI¿QJ. Considere el problema con valores
iniciales x x k1x3 5 cos t, x(0) 1, x(0) 0. Use
un programa de solución numérica para investigar el comportamiento del sistema para valores de k1 0 que van de k1 0.01 a
k1 100. Exprese sus conclusiones.
Encuentre los valores de k1 0 para los cuales el sistema del problema 11 es oscilatorio.
b) Considere el problema con valores iniciales
x x k 1x 3 cos 32 t, x(0) 0, x(0) 0.
Encuentre valores para k1 0 para los cuales el sistema
es oscilatorio.
12. a)
Péndulo no lineal
13. Considere el modelo del péndulo no lineal amortiguado libre
dado por
d2
dt2
2
d
dt
2
sen
0.
5.3
Use un programa de solución numérica para investigar si el movimiento en los dos casos Ȝ2 Ȧ2 0 y Ȝ2 Ȧ2 0 corresponde, respectivamente, a los casos sobreamortiguado y subamortiguado analizados en la sección 5.1 para sistemas resorte/
masa. Para Ȝ2 Ȧ2 0 use Ȝ 2, Ȧ 1, ș(0) 1 y ș(0) 2.
Para Ȝ2 Ȧ2 0 use Ȝ 1/3, Ȧ 1, ș(0) 2 y ș(0) 4.
Movimiento de un cohete
14. a) Use la sustitución v dydt para despejar de la ecuación
(13) a v en términos de y. Suponiendo que la velocidad del
cohete cuando se agota el combustible es v v0 y y R
en ese instante, demuestre que el valor aproximado de la
gR 12 v02 .
constante c de integración es c
b) Use la solución para vGHOLQFLVRD FRQHO¿QGHGHPRVtrar que la velocidad de escape de un cohete está dada
por v0
12gR . [Sugerencia: Tome y A y suponga
que v 0 para todo tiempo t.]
c) El resultado del inciso b) se cumple para cualquier cuerpo
del sistema solar. Use los valores g 9.8 m/s2 y R 6500
km para demostrar que la velocidad de escape de la Tierra es
(aproximadamente) v0 40 000 km/h.
d) Determine la velocidad de escape de la Luna si la aceleración debida a la gravedad es 0.165g y R 1738 km..
MODELOS NO LINEALES
O
229
a lo largo de un curso en línea recta (el eje y) a una rapidez
constante v1. El submarino S2 mantiene al barco S1 en contacto
visual, indicado por la línea punteada LHQOD¿JXUDPLHQWUDV
que viaja con una rapidez constante v2 a lo largo de la curva C.
Suponga que el barco S2 comienza en el punto (a, 0), a 0, en
t 0 y que L es tangente a C.
a) Determine un modelo matemático que describa la curva C.
b) Encuentre una solución explícita de la ecuación diferenFLDO3RUFRQYHQLHQFLDGH¿QDr v1v2.
c) Determine si las trayectorias de S1 y S2 alguna vez se interceptarían al considerar los casos r 1, r 1 y r 1.
dt ds
, donde s es la longitud de
ds dx
dt
dx
[Sugerencia:
arco medida a lo largo de C.]
y
C
S1
L
S2
x
Masa variable
15. a)
En el ejemplo 4, ¿qué longitud de la cadena se esperaría, por intuición, que pudiera levantar la fuerza constante de 20 N?
b) ¿Cuál es la velocidad inicial de la cadena?
c) ¿Por qué el intervalo de tiempo que corresponde a
x(t) LOXVWUDGRHQOD¿JXUDQRHVHOLQWHUYDORI
GHGH¿QLFLyQGHODVROXFLyQ "'HWHUPLQHHOLQWHUYDOR
I. ¿Qué longitud de la cadena se levanta en realidad?
Explique cualquier diferencia entre esta respuesta y la
predicción del inciso a).
d) ¿Por qué esperaría que x(t) fuese una solución periódica?
16. Una cadena uniforme de longitud L, medida en m, se mantiene
verticalmente por lo que el extremo inferior apenas toca el piso.
La cadena pesa 20 Nm. El extremo superior que está sujeto se
libera desde el reposo en t 0 y la cadena cae recta. Si x(t) denota la longitud de la cadena en el piso al tiempo t, se desprecia
la resistencia del aire y se determina que la dirección positiva es
hacia abajo, entonces
(L
x)
d2x
dt2
dx
dt
2
FIGURA 5.3.9 Curva de persecución del problema 17.
18. Curva de persecución En otro ejercicio naval, un destructor S1 persigue a un submarino S2. Suponga que S1 en
(9, 0) en el eje x detecta a S2 en (0, 0) y que al mismo tiempo
S2 detecta a S1. El capitán del destructor S1 supone que el submarino emprenderá una acción evasiva inmediata y especula
TXHVXQXHYRFXUVRSUREDEOHHVODUHFWDLQGLFDGDHQOD¿JXUD
5.3.10. Cuando S1 está en (3, 0), cambia de su curso en línea
recta hacia el origen a una curva de persecución C. Suponga
que la velocidad del destructor es, en todo momento, una constante de 30 kmh y que la rapidez del submarino es constante
de 15 kmh.
a) Explique por qué el capitán espera hasta que S1 llegue a
(3, 0) antes de ordenar un cambio de curso a C.
b) Usando coordenadas polares, encuentre una ecuación
r f (ș) para la curva C.
c) Sea que T denote el tiempo, medido desde la detección
inicial, en que el destructor intercepta al submarino.
Determine un límite superior para T.
y
Lg .
Resuelva v en términos de x. Determine x en términos
de t. Exprese v en términos de t.
b) Determine cuánto tarda en caer toda la cadena al suelo.
c) ¿Qué velocidad predice el modelo del inciso a) para el
extremo superior de la cadena cuando toca el suelo?
a)
Diferentes modelos matemáticos
17. Curva de persecución En un ejercicio naval, un barco S1 es
perseguido por un submarino S2FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
5.3.9. El barco S1 parte del punto (0, 0) en t 0 y se mueve
C
S2
S1
L
θ
(3, 0)
(9, 0) x
FIGURA 5.3.10 Curva de persecución del problema 18.
230
O
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
19. El péndulo balístico Históricamente para mantener el control de
calidad sobre las municiones (balas) producidas por una línea de
montaje, el fabricante usaría un péndulo balístico para determinar
la velocidad de la boca de un arma, es decir, la velocidad de una
bala cuando deja el barril. El péndulo balístico (inventado en 1742
por el ingeniero inglés Benjamin Robins), es simplemente un péndulo plano que consiste en una varilla de masa despreciable que está
unida a un bloque de madera de masa mw. El sistema se pone en movimiento por el impacto de una bala que se está moviendo horizontalmente con una velocidad desconocida vb; al momento del impacto,
que se toma como t 0, la masa combinada es mw mb, donde mb
es la masa de la bala incrustada en la madera. En (7) vimos que en
HOFDVRGHSHTXHxDVRVFLODFLRQHVHOGHVSOD]DPLHQWRDQJXODUș(t) del
SpQGXORSODQRTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVWiGDGRSRUOD('
lineal ș (gl)ș 0, donde ș 0 corresponde al movimiento a
la derecha de la vertical. La velocidad vb se puede encontrar midiendo la altura h de la masa mw mb en el ángulo de desplazamiento máximo șmáxTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
Intuitivamente, la velocidad horizontal V de la masa combinada (madera más bala) después del impacto es sólo una fracción de la velocidad vb de la bala, es decir,
mb
V
mw
mb
vb.
Ahora, recuerde que una distancia s que viaja por una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria circular está
relacionada con el radio l y el ángulo central ș por la fórmula
s Oș. Derivando la última fórmula respecto al tiempo t, se
tiene que la velocidad angular Ȧ de la masa y su velocidad
lineal v está relacionada por v OȦ. Por tanto, la velocidad angular Ȧ0 en el tiempo t para el que la bala impacta el bloque
de madera está relacionada con V por V OȦ0 o
mb
v0
mw
vb
.
l
mb
20. Suministros de ayuda &RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
un avión que vuela horizontalmente con una velocidad constante v0 suelta un paquete de suministros de ayuda a una persona en tierra. Suponga que el origen es el punto donde se libera
el paquete y que el eje x positivo apunta hacia adelante y que
el eje y positivo apunta hacia abajo. Bajo la suposición de que
las componentes horizontal y vertical de la resistencia del aire
son proporcionales a (dxdt)2 y (dydt)2, respectivamente, y si
la posición del paquete de suministro está dada por r(t) (t)
i y(t)j, entonces su velocidad es v(t) (dxdt)i (dydt)j.
Igualando componentes en la forma vectorial de la segunda
ley de Newton.
m
dv
dt
mg
k
dx
dt
2
i
dy 2
j
dt
da
m
d 2x
dt 2
mg
k
dx 2
,
dt
x(0)
0, x (0)
v0
m
d 2y
dt 2
mg
k
dy 2
,
dt
y(0)
0, y (0)
0
a) Resuelva los dos problemas con valores iniciales mediante las sustituciones u dxdt, w dydt, y separación de variables [Sugerencia: Vea los Comentarios al
¿QDOGHODVHFFLyQ@
c) Suponga que el avión vuela a una altitud de 300 m y
que su rapidez constante es 500 km/h. Suponga que la
constante de proporcionalidad de la resistencia del aire es
k = 0.0053 y que el paquete de suministro pesa 1000 N.
Use un programa para encontrar raíces de un SAC o una
FDOFXODGRUDJUD¿FDGRUDSDUDGHWHUPLQDUODGLVWDQFLDKRrizontal que viaja el paquete, medido desde su punto de
liberación al punto donde pega en el suelo.
a) Resuelva el problema con valores iniciales
d 2u
dt2
g
u
l
0,
u(0)
0, u (0)
v0.
b) Use el resultado del inciso a) para demostrar que
mw
vb
mb
mb
2lg umáx.
c) 8
VH OD ¿JXUD SDUD H[SUHVDU FRV șmáx en términos de l y de h. Después utilice los primeros dos
términos de la serie de Maclaurin para cos ș para expresar șmáx en términos de l y de h. Por último, demuestre
que vb está dado (aproximadamente) por
mw
vb
mb
mb
22gh.
d) Use el resultado del inciso c) para encontrar vb cuando
mb 5 g, mw 1 kg y h 6 cm.
paquete
blanco
FIGURA 5.3.12 Avión y suministros del problema 20.
Problemas para analizar
21. Analice por qué el término de amortiguamiento de la ecuación (3) se escribe como
dx dx
en lugar de
dt dt
máx
m
b
m
h
w
l
mb
vb
mw
h
V
FIGURA 5.3.11 Péndulo balístico del problema 19.
dx 2
.
dt
22. a) Experimente con una calculadora para encontrar un intervalo 0 ș ș1, donde ș se mide en radianes, para
el cual se considera que sen ș ș es una estimación
EDVWDQWH EXHQD /XHJR XVH XQ SURJUDPD GH JUD¿FD
FLyQSDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGHy x y y sen x en el
mismo eje de coordenadas para 0 x ʌ¢/DVJUi¿FDVFRQ¿UPDQVXVREVHUYDFLRQHVFRQODFDOFXODGRUD"
5.3
b) Utilice un programa de solución numérica para trazar las
curvas solución de los problemas de valor inicial.
d2
dt 2
d2
dt 2
y
sen
0,
0,
(0)
0,
(0)
0
(0)
0,
(0)
0
para varios valores de ș0 en el intervalo 0 ș ș1 deWHUPLQDGRHQHOLQFLVRD /XHJRWUDFHODJUi¿FDFXUYDV
de solución de los problemas con valores iniciales para
varios valores de ș0 para los cuales ș0 ș1.
23. Movimiento del péndulo en la Luna ¿Un péndulo de longitud l oscila más rápido en la Tierra o en la Luna?
a) Tome l = 3 y g = 9.8 para la aceleración de la gravedad
en la Tierra. Use un programa de solución numérica para
generar una curva de solución numérica para el modelo
no lineal (6) sujeto a las condiciones iniciales ș(0) 1,
ș´(0) 2. Repita usando los mismos valores pero utilice
0.165g para la aceleración de la gravedad en la Luna.
b) 'HODVJUi¿FDVGHOLQFLVRD GHWHUPLQHTXpSpQGXORRVcila más rápido. ¿Qué péndulo tiene la mayor amplitud
de movimiento?
24. Continuación del movimiento del péndulo en la Luna
Repita los dos incisos del problema 23 esta vez utilizando el
modelo lineal (7).
Tarea para el laboratorio de computación
25. Considere el problema con valores iniciales
d2
dt 2
sen
0,
(0)
,
12
(0)
1
3
para un péndulo no lineal. Puesto que no se puede resolver
la ecuación diferencial, no es posible encontrar una solución
explícita de este problema. Pero suponga que se desea determinar la primer tl SDUDODFXDOHOSpQGXORGHOD¿JXUD
comenzando desde su posición inicial a la derecha, alcanza la
posición OP, es decir, la primera raíz positiva de ș(t) 0. En
este problema y el siguiente, se examinan varias formas de
cómo proceder.
a) Aproxime t1 resolviendo el problema lineal
␲
1
d 2␪
1␪ 5 0, ␪(0) 5 , ␪9(0) 5 2 .
12
3
dt 2
b) Use el método ilustrado en el ejemplo 3 de la sección
4.10 para encontrar los primeros cuatro términos no
nulos de una solución en serie de Taylor ș(t) centrada en
0 para el problema con valores iniciales no lineal. Dé los
YDORUHVH[DFWRVGHORVFRH¿FLHQWHV
c) Use los dos primeros términos de la serie de Taylor del
inciso b) para aproximar t1.
d) Emplee los tres primeros términos de la serie de Taylor
del inciso b) para aproximar t1.
e) Utilice una aplicación de un SAC (o una calculadora grá¿FD SDUDHQFRQWUDUUDtFHV\ORVSULPHURVFXDWURWpUPLQRVGH
la serie de Taylor del inciso b) para aproximar t1.
MODELOS NO LINEALES
O
231
f) En esta parte del problema se proporcionan las instrucciones de Mathematica que permiten aproximar la raíz t1.
(OSURFHGLPLHQWRVHPRGL¿FDFRQIDFLOLGDGSRUORTXHVH
puede aproximar cualquier raíz de ș(t) 0. (Si no tiene
Mathematica, adapte el procedimiento mediante la sintaxis correspondiente para el SAC que tenga.) Reproduzca
con precisión y luego, a su vez, ejecute cada línea de la
secuencia dada de instrucciones.
sol NDSolve [{y[t] Sin[y[t]] 0,
y[0] Pi12, y[0] 13},
y, {t, 0, 5}]Flatten
solution y[t] .sol
Clear[y]
y[t_]: Evaluate[solution]
y[t]
gr1 Plot[y[t], {t, 0, 5}]
root FindRoot[ y[t] 0, {t, 1}]
g) 0RGL¿TXHGHPDQHUDDSURSLDGDODVLQWD[LVGHOLQFLVRI \
determine las siguientes dos raíces positivas de ș(t) 0.
26. Considere un péndulo que se libera desde el reposo con un
desplazamiento inicial de ș0 radianes. Resolviendo el modelo
lineal (7) sujeto a las condiciones iniciales ș(0) ș0, ș(0) 0 se obtiene (t)
0 cos 1g/lt . El periodo de oscilaciones
que se predice con este modelo, se determina mediante la co2 1g/l 2 1l/g Lo interesante
nocida fórmula T
de esta fórmula para T es que no depende de la magnitud del
desplazamiento inicial ș0. En otras palabras, el modelo lineal
predice que el tiempo que tardaría el péndulo en oscilar desde
un desplazamiento inicial de, digamos, ș0 ʌ2 ( 90°) a
ʌ2 y de regreso otra vez, sería exactamente el mismo
que tardaría en completar el ciclo de, digamos, ș0 ʌ360
( 0.5°) a ʌ360. Esto es ilógico desde el punto de vista
intuitivo ya que el periodo real debe depender de ș0.
Si se supone que g 9.8 m/s2 y l 9.8 m, entonces el
periodo de oscilación del modelo lineal es T 2ʌs. Compare
este último número con el periodo predicho mediante el modelo no lineal cuando ș0 ʌ4. Usando un programa de solución numérica que sea capaz de generar datos concretos y
reales, aproxime la solución de
d2
dt 2
sen
0,
(0)
4
,
(0)
0
sobre el intervalo a 0 t 2. Como en el problema 25, si
t1 denota la primera vez que el péndulo alcanza la posición
OP HQ OD ¿JXUD HQWRQFHV HO SHULRGR GHO SpQGXOR QR
lineal es 4t1. Aquí está otra forma de resolver la ecuación ș(t)
([SHULPHQWH FRQ WDPDxRV GH SDVR \ KDJD DYDQ]DU HO
tiempo, comenzando en t 0 y terminando en t 2. De sus
datos concretos, observe el tiempo t1 cuando ș(t) cambia por
primera vez de positiva a negativa. Use el valor t1 para determinar el valor verdadero del periodo del péndulo no lineal.
Calcule el error relativo porcentual en el periodo estimado
por T 2ʌ.
232
O
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
REPASO DEL CAPÍTULO 5
Conteste los problemas 1-8 sin consultar el texto. Complete el
espacio en blanco o conteste verdadero o falso.
1. Si una masa que pesa 10 N alarga 2.5 m un resorte, una masa
m.
que pesa 32 N lo alarga
2. El periodo del movimiento armónico simple de una masa
que pesa 8 N, unida a un resorte cuya constante es 6.25 N es
segundos.
de
3. La ecuación diferencial de un sistema resorte/masa es
x 16x 0. Si la masa se libera inicialmente desde un
punto que está 1 metro arriba de la posición de equilibrio con
una velocidad hacia abajo de 3 m/s, la amplitud de las vibrametros.
ciones es de
4. La resonancia pura no tiene lugar en presencia de una fuerza
de amortiguamiento.
5. En presencia de una fuerza de amortiguamiento, los desplazamientos de una masa en un resorte siempre tienden a cero
cuando t A .
6. Una masa en un resorte cuyo movimiento está críticamente
amortiguado tiene posibilidades de pasar por la posición de
equilibrio dos veces.
7. En amortiguamiento crítico cualquier aumento de amorti.
guamiento dará como resultado un sistema
8. Si el movimiento armónico simple se describe mediante
x (22 2)sen(2t f) , el ángulo fase ‫ ׋‬es __________
cuando las condiciones iniciales son x(0) 12 y x(0) 1.
En los problemas 9 y 10 los eigenvalores y las eigenfunciones del
problema con valores en la frontera y Ȝ\ 0, y(0) 0, y(ʌ)
0 son Ȝn n2, n 0, 1, 2, ... , y y cos nx, respectivamente.
Llene los espacios en blanco.
9. Una solución del PVF cuando Ȝ 8 es y .
porque
10. Una solución del PVF cuando Ȝ 36 es y porque
.
11. Un sistema resorte/masa libre no amortiguado oscila con un
periodo de 3 segundos. Cuando se eliminan 8 N del resorte,
el sistema tiene un periodo de 2 segundos. ¿Cuál era el peso
de la masa original en el resorte?
12. Una masa que pesa 50 N alarga 0.6 m un resorte. Al inicio la
masa se libera desde un punto 0.3 m abajo de la posición de
equilibrio con una velocidad ascendente de 1.2 m/s.
a) Determine la ecuación de movimiento.
b) ¿Cuáles son la amplitud, periodo y frecuencia del movimiento armónico simple?
c) ¿En qué instantes la masa vuelve al punto situado a 0.3
m abajo de la posición de equilibrio?
d) ¿En qué instantes la masa pasa por la posición de equilibrio en dirección hacia arriba? ¿En dirección hacia abajo?
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-8.
e) ¿Cuál es la velocidad de la masa en t 3ʌ16 s?
f) ¿En qué instantes la velocidad es cero?
13. Una fuerza de 10 N estira 0.3 m un resorte. Con un extremo
¿MRVHXQHDORWURH[WUHPRXQDPDVDTXHSHVD1(OVLVWHPD
yace sobre una mesa que imparte una fuerza de fricción numéricamente igual a 32 veces la velocidad instantánea. Al inicio, la
masa se desplaza 10 cm arriba de la posición de equilibrio y se
libera desde el reposo. Encuentre la ecuación de movimiento si
el movimiento tiene lugar a lo largo de la recta horizontal que se
toma como el eje x.
14. Una masa que pesa 150 N alarga 15 cm un resorte. La masa
se mueve en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numéricamente igual a ȕ veces la velocidad instantánea. Determine los valores de ȕ 0 para los
que el sistema resorte/masa exhibe movimiento oscilatorio.
15. Un resorte con constante k 2 se suspende en un líquido que
ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a
4 veces la velocidad instantánea. Si una masa m se suspende
del resorte, determine los valores de m para que el movimiento
libre posterior sea no oscilatorio.
16. El movimiento vertical de una masa sujeta a un resorte se
describe mediante el PVI
1
4x
x
x
0, x(0) 4, x(0) 2.
Determine el desplazamiento vertical máximo de la masa.
17. Una masa que pesa 20 N estira 0.5 m un resorte. Se aplica
al sistema una fuerza periódica igual a f(t) cos #t sen #t
comenzando en t 0. En ausencia de una fuerza de amortiguamiento, ¿para qué valor de # el sistema está en un estado
de resonancia pura?
18. Encuentre una solución particular para x 2Ȝ[ Ȧ2x A,
donde A es una fuerza constante.
19. Una masa que pesa 20 N se suspende de un resorte cuya constante es 40 N/m. Todo el sistema se sumerge en un líquido
que ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente
igual a la velocidad instantánea. Comenzando en t 0,
se aplica al sistema una fuerza externa igual f(t) et.
Determine la ecuación de movimiento si la masa se libera al
inicio desde el reposo en un punto que está 0.6 m abajo de la
posición de equilibrio.
Una masa que pesa W newtons produce un alargamiento
de 0.16 m en un resorte y uno de 0.08 m en otro resorte.
6HXQHQORVGRVUHVRUWHV\GHVSXpVVH¿MDODPDVDDOUHVRU
WHGREOHFRPRVHLOXVWUDHQOD¿JXUD6XSRQJDTXH
el movimiento es libre y que no hay fuerza de amortiguamiento presente. Determine la ecuación de movimiento si la masa se libera al inicio en un punto situado
0.3 m abajo de la posición de equilibrio con una velocidad de descenso de 0.2 m/s.
b) Demuestre que la velocidad máxima de la masa es
20. a)
2
3
23g
1.
REPASO DEL CAPÍTULO 5
21. Un circuito en serie contiene una inductancia de L 1 H,
una capacitancia de C 104 F y una fuerza electromotriz
de E(t) 100 sen 50t V. Al inicio, la carga q y la corriente i
son cero.
O
233
r(
t)
cuenta
ωt
a) Determine la carga q(t).
b) Determine la corriente i(t).
P
c) Calcule los tiempos para los que la carga en el capacitor
es cero.
22. a) Demuestre que la corriente i(t) en un circuito en serie
LRC satisface la ecuación L
d 2i
dt2
R
di
dt
1
i
C
E (t),
donde E(t) denota la derivada de E(t).
b) 6
H SXHGHQ HVSHFL¿FDU GRV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV i(0) e
i(0) para la ED del inciso a). Si i(0) i0 y q(0) q0,
¿cuál es i(0)?
23. Considere el problema con valores en la frontera
y
0, y(0)
y
y(2 ), y (0)
y (2 ).
Demuestre que excepto para el caso Ȝ 0, hay dos funciones propias independientes que corresponden a cada eigenvalor.
24. Una cuenta está restringida a deslizarse a lo largo de una varilla sin fricción de longitud L. La varilla gira en un plano vertical con velocidad angular constante Ȧ respecto a un pivote P
¿MRHQHOSXQWRPHGLRGHODYDULOODSHURHOGLVHxRGHOSLYRWH
permite que la cuenta se mueva a lo largo de toda la varilla.
Sea r(t) la posición de la cuenta respecto a este sistema de
FRRUGHQDGDVJLUDWRULRVHJ~QVHLOXVWUDHQOD¿JXUD5&RQ
HO¿QGHDSOLFDUODVHJXQGDOH\GH1HZWRQGHOPRYLPLHQWRD
este marco de referencia rotatorio, es necesario usar el hecho
de que la fuerza neta que actúa en la cuenta es la suma de las
fuerzas reales (en este caso, la fuerza debida a la gravedad) y
las fuerzas inerciales (coriolis, transversal y centrípeda). Las
matemáticas del caso son un poco complicadas, así que sólo
se da la ecuación diferencial resultante para r:
m
d 2r
dt 2
m
2
r
mg sen t.
a) Resuelva la ED anterior sujeta a las condiciones iniciales r(0) r0, r(0) v0.
b) Determine las condiciones iniciales para las cuales la
cuenta exhibe movimiento armónico simple. ¿Cuál es
la longitud mínima L de la varilla para la cual puede ésta
acomodar el movimiento armónico simple de la cuenta?
c) Para las condiciones iniciales distintas de las obtenidas en el
inciso b), la cuenta en algún momento debe salir de la varilla.
Explique usando la solución r(t) del inciso a).
d) Suponga que Ȧ 1 radV8VHXQDDSOLFDFLyQJUD¿FDdora para trazar la solución r(t) para las condiciones iniciales r(0) 0, r(0) v0, donde v0 es 0, 10, 15, 16, 16.1
y 17.
e) Suponga que la longitud de la varilla es L 10 m. Para
cada par de condiciones iniciales del inciso d), use una
aplicación para encontrar raíces para calcular el tiempo
total que la cuenta permanece en la varilla.
FIGURA 5.R.1 Varilla rotando del problema 24.
25. Suponga que una masa mTXHSHUPDQHFHVREUHXQDVXSHU¿FLH
plana, seca y sin fricción está unida al extremo libre de un
resorte cuya constante es k(QOD¿JXUD5 D ODPDVDVH
muestra en la posición de equilibrio x 0, es decir, el resorte
QRHVWiQLHVWLUDGRQLFRPSULPLGR&RPRVHLOXVWUDHQOD¿JXUD
5.R.2(b), el desplazamiento x(t) de la masa a la derecha de la
posición de equilibrio es positivo y negativo a la izquierda.
2EWHQJD XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SDUD HO PRYLPLHQWR x(t)
(deslizante) horizontal libre de la masa. Describa la diferencia
entre la obtención de esta ED y el análisis que da lugar a la
ecuación (1) de la sección 5.1.
apoyo
rígido
m
superficie sin fricción:
x=0
a) equilibrio
m
x(t) < 0
x(t) > 0
b) movimiento
FIGURA 5.R.2 Sistema deslizante resorte/masa del problema 25.
26. Suponga que la masa mVREUHODVXSHU¿FLHSODQDVHFD\VLQ
fricción del problema 25, está unida a dos resortes como se
PXHVWUDHQOD¿JXUD56LODVFRQVWDQWHVGHUHVRUWHVRQk1 y
k2, determine una ecuación diferencial para el desplazamiento
x(t) de las masas que se deslizan libremente.
apoyo
rígido
apoyo
rígido
k2
k1
m
FIGURA 5.R.3 Sistema de resortes dobles del problema 26.
27. Suponga que la masa m en el sistema masa resorte en el proEOHPDVHGHVOL]DVREUHXQDVXSHU¿FLHVHFDFX\RFRH¿FLHQWH
de fricción cinético es ȝ 0. Si la fuerza retardadora que
O
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
la fricción cinética tiene una magnitud constante fk ȝPJ,
donde mg es el peso de la masa, y actúa en dirección
opuesta del movimiento, entonces se conoce como fricción
de Coulomb. Mediante la función signo
sgn(x )
1,
1,
x
x
0 (movimiento a la izquierda)
0 (movimiento a la derecha)
a)
Cuando m y l son constantes demostrar que (1) se reduce a (6) de la sección 5.3.
b
$KRUDVXSRQJDPRVTXHODEDUUDHQOD¿JXUDVH
sustituye por un resorte de masa despreciable. Cuando
una masa m se une a su extremo libre el resorte está en
la posición de equilibrio vertical que se muestra en la
¿JXUD5\WLHQHORQJLWXGI0. Cuando
soporte
rígido
GHWHUPLQH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH¿QLGD HQ WUDPRV SDUD HO
desplazamiento o x(t) de la masa deslizante amortiguada.
28. 3RUVLPSOL¿FDUVXSRQJDTXHHQHOSUREOHPDm 1, k 1, y fk 1.
a) Encuentre el desplazamiento x(t) de la masa si ésta se libera
a partir del reposo desde un punto 5.5 unidades a la derecha
de la posición de equilibrio, es decir, cuando las condiciones
iniciales son x(0) 5.5, x´(0) 0. Cuando se libera, intuitivamente el movimiento de la masa será hacia la izquierda.
Dé un intervalo de tiempo [0, t1] sobre el cual esta solución
HVWiGH¿QLGD¢'yQGHHVWiODPDVDDOWLHPSRt1?
b) Para t t1 suponga que el movimiento es ahora hacia la
derecha. Usando las condiciones iniciales en t1, encuentre
x(t) y dé un intervalo de tiempo [t1, t2] sobre el cual esta
VROXFLyQHVWiGH¿QLGD¢'yQGHHVWiODPDVDDOWLHPSRt2?
c) Para t t2 suponga que el movimiento es ahora hacia la
izquierda. Usando las condiciones iniciales en t2, encuentre x(t) y dé un intervalo de tiempo [t2, t3] sobre el cual esta
VROXFLyQHVWiGH¿QLGD¢'yQGHHVWiODPDVDDOWLHPSRt3?
d) Usando las condiciones iniciales en t3, demuestre que el
modelo predice que no hay más movimiento para t t3.
e) 7
UDFHODJUi¿FDGHOGHVSOD]DPLHQWRx(t) en el intervalo
[0, t3].
29. Utilice una serie de Maclaurin para demostrar que una solución en series de potencias del problema de valor inicial
g
d 2␪
␲
1 sen ␪ 5 0, ␪(0) 5 , ␪9(0) 5 0
l
6
dt 2
está dada por
␪(t) 5
g
Ï3g2 4
␲
2 t2 1
t 1 Á.
6
4l
96l 2
[Sugerencia: Vea el ejemplo 3 en la sección 4.10.]
␪
posición de
equilibrio
x
FIGURA 5.R.4 Péndulo de resorte del problema 30
el péndulo de resorte se encuentra en movimiento, suponemos
que el movimiento ocurre en un plano vertical y el resorte es
bastante duro y no se dobla. Para t > 0 la longitud del resorte
es entonces l(t) l0 + x(t), donde x es el desplazamiento desde
la posición de equilibrio. Encuentre la ecuación diferencial
para el desplazamiento angular (t GH¿QLGDSRU 31. Supongamos que un péndulo está formado uniendo una masa m
al extremo de una cuerda de masa despreciable y longitud l. En
t HOSpQGXORVHVXHOWDGHOUHSRVRHQXQSHTXHxRGHVSOD]Dmiento angular 0 > 0 a la derecha de la posición de equilibrio
vertical OP9HDOD¿JXUD5(QHOWLHPSRt1 > 0 la cuerda pega
en un clavo en un punto N de OP una distancia de 3/4 l desde O,
SHURODPDVDFRQWLQ~DDODL]TXLHUGDFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
a) Construya y resuelva un problema lineal de valor inicial
para el desplazamiento angular 1(t TXHVHPXHVWUDHQOD¿gura. Encuentre el intervalo [0, t1@VREUHTXHVHGH¿QH1(t).
b) Construya y resuelva un problema lineal de valor inicial
para el desplazamiento angular 2 W TXHVHPXHVWUDHQOD¿gura. Encuentre el intervalo [t1, t2@VREUHHOTXHVHGH¿QH2(t),
donde t2 es el tiempo que m regresa a la línea vertical NP.
soporte
rígido
30. Péndulo de resorte La forma rotacional de la segunda ley de
Newton del movimiento es:
La rapidez de cambio de la cantidad de movimiento angular
de un punto es igual al momento de la fuerza resultante (momento de torsión).
Entonces en ausencia de amortiguamiento u otras fuerzas externas, un análogo de (14) en la sección 5.3 para el péndulo
TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHV
S D
d
d␪
ml 2
5 2mgl sen ␪
dt
dt
m
O
3
4l
␪1
N
l
clavo
m
234
␪2
P
FIGURA 5.R.5 Péndulo del problema 31
REPASO DEL CAPÍTULO 5
d 2x
4x,
1 Fsxd 5 sen 4t, Fsxd 5
2
x,
dt
5
x$0
x,0
es un modelo para el desplazamiento x(t) de una unidad de
masa en un sistema masa resorte forzado. Como en la sección
5.1, supusimos que el movimiento ocurre a lo largo de una
recta vertical, la posición de equilibrio es x = 0 y la dirección positiva es hacia abajo. La fuerza restauradora que actúa
en dirección opuesta al movimiento: una fuerza restauradora
4x cuando la masa está SRUGHEDMR x! GHODSRVLFLyQGH
HTXLOLEULR\XQDIXHU]DUHVWDXUDGRUDx cuando la masa está por
DUULED x GHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR
b) Para un intervalo de tiempo en que t > t1 la masa está arriba
de la posición de equilibrio y por lo tanto ahora debemos resolver la nueva ecuación diferencial
d 2x
1 x 5 sen 4t.
dt 2
x (0) 5 0, x9(0) 5 v 0 . 0.
(2)
(3)
Una condición inicial es x(t1) = 0. Encuentre x’(t1) usando
la solución de (2) en el inciso a). Encuentre una solución de
la ecuación (3) sujeto a estas nuevas condiciones iniciales.
Utilice la solución para determinar el segundo tiempo t2 > t1
cuando x(t /DVROXFLyQGH VHGH¿QHHQHOLQWHUYDOR
[t1, t2]. [Sugerencia: Utilice dos veces la fórmula del doble de
un ángulo para la función seno.]
c) Construya y resuelva otro problema de valor inicial para
encontrar x(t GH¿QLGDVREUHHOLQWHUYDOR>t2, t3], donde t3 > t2
es la tercera vez que x(t) = 0.
d) Construya y resuelva otro problema de valor inicial para
encontrar x(t GH¿QLGDVREUHHOLQWHUYDOR>t3, t4], donde t4 > t3
es la cuarta vez que x(t) = 0.
e) Debido a la suposición de que v0 > 0 se completa un ciclo de
abajo-arriba de la masa en los intervalos [0, t2], [t2, t4], [t4, t6] y
así sucesivamente. Explique por qué las amplitudes de oscilación de la masa deben aumentar con el tiempo. [Sugerencia:
Examine la velocidad de la masa al principio de cada ciclo.]
f) Suponga en (2) que v0 = 0.01. Utilice las cuatro soluciones
en los intervalos en los incisos a), b), c) y d) para construir una
IXQFLyQFRQWLQ~DGH¿QLGDHQWUDPRVx(t) sobre el intervalo [0, t4].
a) Resuelva el problema de valor inicial
d 2x
1 4x 5 sen 4t,
dt 2
235
Las condiciones iniciales indican que la masa se suelta
desde la posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo.
Utilice la solución para determinar el primer tiempo t1 > 0
cuando x(t) = 0, es decir, la primera vez que la masa regresa
desde la posición de equilibrio después del lanzamiento. La
VROXFLyQGH VHGH¿QHVREUHHOLQWHUYDOR>t1]. [Sugerencia:
será de utilidad la fórmula del seno del doble de un ángulo
sen 4t = 2 sen 2t cos 2t.]
© Library of Congress Prints and Photographs
Division Washington [LC-USZ62-46682]
32. Gertrudis galopando Los puentes son buenos ejemplos de
vibración en sistemas mecánicos que están constantemente sometidos a fuerzas externas, de los autos que pasan por ellos, del
agua que empuja contra sus cimientos, y del viento que sopla a
través de su superestructura. El 7 de noviembre de 1940, cuatro meses después de su inauguración, el puente suspendido
Tacoma Narrows en Puget Sound en el estado de Washington
VHGHUUXPEyGXUDQWHXQDWRUPHQWDGHYLHQWR9pDVHOD¿JXUD
5.R.6. El accidente no fue sorpresa ya que “Gertudris galopando”, como se apodó al puente por los residentes locales, ya
era famoso por un movimiento vertical ondulante de su carretera que dio a muchos automovilistas una apasionante traveVtD'XUDQWHPXFKRVDxRVVHSUHVXPLyTXHODVXSHUHVWUXFWXUD
PDOGLVHxDGDGHOSXHQWHDFDXVDGHOYLHQWRTXHVRSOyDWUDYpV
de éste lo hizo agitarse de una manera periódica y que cuando
la frecuencia de esta fuerza se acercó a la frecuencia natural
del puente, dio lugar a las grandes sacudidas del ligero puente.
En otras palabras, se pensaba que el puente fue víctima de
la resonancia mecánica. Pero como hemos visto en la página
207, la resonancia es un fenómeno lineal que puede ocurrir
solamente en ausencia completa de amortiguamiento. En los
~OWLPRV DxRV VH KD VXVWLWXLGR OD WHRUtD GH OD UHVRQDQFLD FRQ
modelos matemáticos que pueden describir grandes oscilaciones aún en presencia de amortiguamiento. Gilbert N. Lewis,
en su proyecto, El colapso del puente colgante de Tacoma
Narrows, que se presentó en la última edición de este libro,
H[DPLQDPRGHORVVLPSOHVGH¿QLGRVSRUSDUWHVTXHGHVFULEHQ
las oscilaciones forzadas de una masa (una parte de la carretera) unidas a un resorte (un cable de soporte vertical) para el
que las amplitudes de la oscilación aumentan con el tiempo.
En este problema se le guía a usted a través de la solución de
uno de los modelos analizados en este proyecto.
La ecuación diferencial con una fuerza restauradora por traPRVGH¿QLGDSRU
O
FIGURA 5.R.6 Colapso del puente
suspendido de Tacoma Narrows
6
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
© Todd Dalton/Shutterstock.com
6.1
6.2
6.3
6.4
Repaso de series de potencias
Soluciones alrededor de puntos ordinarios
Soluciones alrededor de puntos singulares
Funciones especiales
REPASO DEL CAPÍTULO 6
H
asta ahora se han resuelto principalmente ecuaciones diferenciales de orden
GRVRVXSHULRUFXDQGRODHFXDFLyQWLHQHFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV/D~QLFD
excepción fue la ecuación de Cauchy-Euler que se estudió en la sección
(QDSOLFDFLRQHVODVHFXDFLRQHVOLQHDOHVGHRUGHQVXSHULRUFRQFRH¿FLHQWHV
YDULDEOHVVRQWDQLPSRUWDQWHVRTXL]iPiVTXHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRQ
FRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV&RPRVHLQGLFyHQODVHFFLyQDXQXQDHFXDFLyQVLPSOH
OLQHDOGHVHJXQGRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVFRPRy xy 0 no tiene
VROXFLRQHVTXHVHDQIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV3HURSRGHPRVHQFRQWUDUGRVVROXFLRQHV
linealmente independientes de y xy YHUHPRVHQODVVHFFLRQHV\TXH
ODVVROXFLRQHVGHHVWDHFXDFLyQHVWiQGH¿QLGDVSRUVHULHVLQ¿QLWDV
236
6.1
REPASO DE SERIES DE POTENCIAS
O
237
REPASO DE SERIES DE POTENCIAS
6.1
INTRODUCCIÓN (QODVHFFLyQYLPRVTXHUHVROYHUXQD('OLQHDOKRPRJpQHDFRQFRH¿FLHQWHV
FRQVWDQWHVHUDHQHVHQFLDXQSUREOHPDGHiOJHEUD(QFRQWUDQGRODVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUHV
SRVLEOHHVFULELUXQDVROXFLyQJHQHUDOGHOD('FRPRXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHIXQFLRQHVHOHPHQWDles exxkexxkex cos ȕ[ y xkex sen ȕ[3HURFRPRVHLQGLFyHQODLQWURGXFFLyQGHODVHFFLyQOD
PD\RUtDGHODV('OLQHDOHVGHRUGHQVXSHULRUFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVQRVHUHVXHOYHQHQWpUPLQRV
GHIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV8QDHVWUDWHJLDXVXDOSDUDHFXDFLRQHVGHHVWDFODVHHVVXSRQHUXQDVROXFLyQ
HQODIRUPDGHVHULHVLQ¿QLWDV\SURFHGHUGHPDQHUDVLPLODUDOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV
VHFFLyQ (QODVHFFLyQVHFRQVLGHUDQ('OLQHDOHVGHVHJXQGRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHV
TXHWLHQHQVROXFLRQHVGHODIRUPDGHVHULHVGHSRWHQFLDV\SRUHVRHVDGHFXDGRFRPHQ]DUHVWHFDStWXOR
FRQXQUHSDVRGHHVHWHPD
SERIE DE POTENCIAS 5HFXHUGHGHVXFXUVRGHFiOFXORTXHXQDserie de potencias en x aHVXQDVHULHLQ¿QLWDGHODIRUPD
(OtQGLFHGHODVXPDQRQHFHVLWD
FRPHQ]DUHQn = 0
n 0
cn(x
a) n
c0
c1(x
a)
c 2(x
a)2
.
Se dice que esta serie es una serie de potencias centrada en a3RUHMHPSORODVHULH
de potencias n 0 (x 1)n HVWiFHQWUDGDHQa (QHVWDVHFFLyQWUDWDPRVSULQcipalmente con las series de potencias en xHQRWUDVSDODEUDVVHULHVGHSRWHQFLDV3RU
HMHPSOR
`
2nxn 5 1 1 2x 1 4x2 1 . . .
o
n50
es una serie de potencias en x
HECHOS IMPORTANTES /DVLJXLHQWHOLVWDUHVXPHDOJXQRVKHFKRVLPSRUWDQWHV
acerca de las series de potencias n 0 cn (x a)n
• Convergencia 8QD VHULH GH SRWHQFLDV HV convergente en un valor
HVSHFL¿FDGR GH x si su sucesión de sumas parciales {SN(x ` FRQYHUJH HV
GHFLUVLHO lím SN (x)
lím Nn 0 cn (x a) n H[LVWH6LHOOtPLWHQRH[LVWH
N:
N:
en xHQWRQFHVVHGLFHTXHODVHULHHVdivergente
• Intervalo de convergencia Toda serie de potencias tiene un intervalo
de convergencia (O LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD HV HO FRQMXQWR GH todos los
Q~PHURV UHDOHV x SDUD ORV TXH FRQYHUJH OD VHULH (O FHQWUR GH LQWHUYDOR GH
convergencia es el centro aGHODVHULH
convergencia
divergencia
absoluta divergencia
a−R
a
a+R
x
la serie podría
converger o divergir
en los puntos extremos
FIGURA 6.1.1 Convergencia absoluta
dentro del intervalo de convergencia y
GLYHUJHQFLDIXHUDGHHVWHLQWHUYDOR
• Radio de convergencia El radio R del intervalo de convergencia de una serie
GHSRWHQFLDVVHOODPDVXUDGLRGHFRQYHUJHQFLD6LR HQWRQFHVODVHULHGH
potencias converge para x – a R y diverge para x – a R6LODVHULHFRQYHUJH
sólo en su centro aHQWRQFHVR 6LODVHULHFRQYHUJHSDUDWRGDxHQWRQFHV
se escribe R 5HFXHUGHTXHODGHVLJXDOGDGGHYDORUDEVROXWR x – a
R es
HTXLYDOHQWHDODGHVLJXDOGDGVLPXOWiQHDa R x a R8QDVHULHGHSRWHQFLDV
SRGUtDFRQYHUJHURQRHQORVSXQWRVH[WUHPRVa R y a RGHHVWHLQWHUYDOR
• Convergencia absoluta 'HQWUR GH VX LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD XQD VHULH GH
potencias converge absolutamente (Q RWUDV SDODEUDV VL x HV XQ Q~PHUR HQ HO
LQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLD\QRHVXQH[WUHPRGHOLQWHUYDORHQWRQFHVODVHULHGH
valores absolutos n 0 cn (x a)n FRQYHUJH9pDVHOD¿JXUD
238
O
CAPÍTULO 6
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
• Prueba de la razón /DFRQYHUJHQFLDGHXQDVHULHGHSRWHQFLDVVXHOHGHWHUPL
narse mediante la prueba de la razón 6XSRQJD TXH cn 0 para toda n en
a)n y que
n 0 cn (x
lím
n:
cn 1(x
cn(x
a)n
a)n
1
cn 1
cn
a n:
lím
x
L.
Si L OD VHULH FRQYHUJH DEVROXWDPHQWH VL L OD VHULH GLYHUJH \ VL
L HOFULWHULRQRHVFRQFOX\HQWH/DSUXHEDGHODUD]yQQXQFDHVFRQFOX\HQWH
en un punto extremo a R
EJEMPLO 1 Intervalo de convergencia
(x 2 3)n
.
2nn
n51
`
'HWHUPLQHHOLQWHUYDOR\UDGLRGHFRQYHUJHQFLDSDUD
o
SOLUCIÓN /DSUXHEDGHODUD]yQDUURMD
(x 3) n 1
lím 2n 1 (n 1)
no
(x 3)n
2n n
x
3 lím
no
n
1
2n
1
x
2
3.
1
1o x 3
2 o 1 x 5 (VWD
la serie converge absolutamente para 2 x 3
~OWLPD GHVLJXDOGDG GH¿QH HO LQWHUYDOR abierto GH FRQYHUJHQFLD /D VHULH GLYHUJH SDUD
x 3
2 HVGHFLUSDUDx 5 o x (QHOH[WUHPRL]TXLHUGRx 1 del intervalo
DELHUWR GH FRQYHUJHQFLD OD VHULH GH FRQVWDQWHV n 1 (( 1)nn) es convergente por la
SUXHEDGHVHULHVDOWHUQDQWHV(QHOH[WUHPRGHUHFKRx ODVHULH n 1 (1> n) es la serie
DUPyQLFD GLYHUJHQWH (O LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD GH OD VHULH HV > y el radio de
convergencia es R • UnaVHULHGHSRWHQFLDVGH¿QHXQDIXQFLyn 8QDVHULHGHSRWHQFLDVGH¿QHXQD
a)n cuyo dominio es el intervalo de convergencia
función f (x)
n 0 cn (x
GHODVHULH6LHOUDGLRGHFRQYHUJHQFLDHVR 0 o R ’HQWRQFHVfHVFRQWLQXD
derivable e integrable sobre los intervalos (a Ra R R ’’ $GHPiV
f (x \ f (x)dx VH HQFXHQWUDQ GHULYDQGR H LQWHJUDQGR WpUPLQR D WpUPLQR
/D FRQYHUJHQFLD HQ XQ H[WUHPR VH SRGUtD SHUGHU SRU GHULYDFLyQ R JDQDU SRU
`
LQWHJUDFLyQ6L y9 5
cnnx n21 5 c0 c1x cx cx ÂÂÂHVXQDVHULH
n51
n 1
de potencias en x HQWRQFHV ODV SULPHUDV GRV GHULYDGDV VRQ y
n 0 nx
n 2
y y
1)x . 2EVHUYH TXH HO SULPHU WpUPLQR HQ OD SULPHUD
n 0 n(n
GHULYDGD\ORVGRVSULPHURVWpUPLQRVGHODVHJXQGDGHULYDGDVRQFHUR6HRPLWHQ
HVWRVWpUPLQRVFHUR\VHHVFULEH
o
y
cn nxn
n
1
n
2
y
cn n(n
1
c1 cx cx 4c4x ÂÂÂ
1)xn
2
c 6cx c4x ÂÂÂ
$VHJ~UHVHGHHQWHQGHUORVGRVUHVXOWDGRVGDGRVHQ HVSHFLDOPHQWHREVHUYH
GyQGH FRPLHQ]D HO tQGLFH GH OD VXPD HQ FDGD VHULH (VWRV UHVXOWDGRV VRQ
LPSRUWDQWHV\VHXVDUiQHQWRGRVORVHMHPSORVGHODVLJXLHQWHVHFFLyQ
• Propiedad de identidad Si n 0 cn (x a)n 0, R 0 SDUD WRGRV ORV
Q~PHURVxHQHOLQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLDHQWRQFHVcn 0 para toda n
• Analítica en un punto 8QDIXQFLyQf es analítica en un punto a si se puede
representar mediante una serie de potencias en x a con un radio positivo o
LQ¿QLWRGHFRQYHUJHQFLD(QFiOFXORVHYHTXHODVIXQFLRQHVFRPRexVHQx
cos xex ln(1 x HWFpWHUDVHSXHGHQUHSUHVHQWDUPHGLDQWHVHULHVGH7D\ORU
6.1
n
f (n)(a)
(x
0 n!
f (a)
(x
1!
a)
239
...
a)2
f (n)(0) n
x
0 n!
f (0)
x
1!
f(0)
f (0) 2
x
1!
. . ..
3RGUtD UHFRUGDU DOJXQDV GH ODV UHSUHVHQWDFLRQHV HQ VHULH GH 0DFODXULQ FX\RV
UHVXOWDGRVVHSXHGHQXWLOL]DUSDUDREWHQHUUHSUHVHQWDFLRQHVGHVHULHVGHSRWHQFLDV
de otras funciones:
Intervalo
Series de Maclaurin
de Convergencia
ex
cos x
se n x
tan
1
x
cosh x
se nh x
ln(1
x)
1
1
x
1
1
x
x
1
x
x
1
x
1!
x2
2!
x3
3!
...
x2
2!
x4
4!
x6
6!
...
x3
3!
x5
5!
x7
7!
...
x3
3
x5
5
x7
7
...
x2
2!
x4
4!
x6
6!
...
x3
3!
x5
5!
x7
7!
...
x2
2
x3
3
x4
4
...
x
x2
x3
...
(x
, )
(
, )
n
( 1)n 2n
x
0 (2n)!
(
, )
n
( 1)n 2n
x
1)!
0 (2n
n
( 1)n 2n
x
1
0 2n
n
1 2n
x
0 (2n)!
n
0 (2n
1)!
1
n
( 1)n
n
1
1
1
1
x2n
[ 1, 1]
1
xn
(
, )
(
, )
(2)
( 1, 1]
xn
( 1, 1)
0
3RUHMHPSORVLGHVHDPRVHQFRQWUDUODUHSUHVHQWDFLyQHQVHULHGH0DFODXULQ
2
GHGLJDPRVex QHFHVLWDPRVVXVWLWXLUx en la serie de Maclaurin de ex:
2
(
n
1 n
x
n!
0
n
ex
ln(1
f (a)
(x
1!
f (a)
O
RXQDVHULHGH0DFODXULQ
n
ln x
a)n
REPASO DE SERIES DE POTENCIAS
x2
1!
1
x4
2!
x6
3!
...
n
1 2n
x .
n!
0
'HPDQHUDVLPLODUSDUDREWHQHUXQDUHSUHVHQWDFLyQHQVHULHGH7D\ORUGHOQx
centrada en a VXVWLWX\Dx por x 1 en la serie de Maclaurin para ln(1 x
1))
(x
1)
1)2
(x
2
1)3
(x
3
1)4
(x
4
...
n
( 1)n
n
1
1
(x
1)n.
2
3XHGHWDPELpQFRPSUREDUTXHHO
LQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLDHV @
usando la prueba de convergencia
El intervalo de convergencia para la representación en serie de potencias de ex
es el mismo que para exHVGHFLU ’’ 3HURHOLQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLD
de la serie de Taylor de ln xHVDKRUD @HVWHLQWHUYDORHV @GHVSOD]DGR
XQDXQLGDGDODGHUHFKD
• Aritmética de series de potencias /DVVHULHVGHSRWHQFLDVVHFRPELQDQPHGLDQWH
RSHUDFLRQHVGHVXPDPXOWLSOLFDFLyQ\GLYLVLyQ/RVSURFHGLPLHQWRVSDUDODVVHULHV
GHSRWHQFLDVVRQVLPLODUHVDORVTXHVHXVDQSDUDVXPDUPXOWLSOLFDU\GLYLGLUGRV
SROLQRPLRVHVGHFLUVHVXPDQORVFRH¿FLHQWHVGHSRWHQFLDVLJXDOHVGHxVHXVDOD
OH\GLVWULEXWLYD\VHUH~QHQWpUPLQRVVHPHMDQWHV\VHUHDOL]DODGLYLVLyQODUJD
240
O
CAPÍTULO 6
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
EJEMPLO 2 Multiplicación de series de potencias
'HWHUPLQHXQDUHSUHVHQWDFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDVGHex sen x
SOLUCIÓN 8WLOL]DPRVXQDVHULHGHSRWHQFLDVSDUDex y sen x
ex senx
1
x
x3
6
x4
24
1
6
(1)x2
(1)x
x
x2
2
x2
x3
x5
3
30
x3
6
x
1 3
x
2
1
6
x5
120
1 4
x
6
x7
5040
1
120
1
12
1 5
x
24
.
3XHVWRTXHODVVHULHVGHSRWHQFLDVSDUDex y sen x convergen sobre (’’ ODVHULHGH
SURGXFWRVFRQYHUJHVREUHHOPLVPRLQWHUYDOR/RVSUREOHPDVUHODFLRQDGRVFRQPXOWLSOLFDFLyQRGLYLVLyQGHVHULHVGHSRWHQFLDVVHUHVXHOYHQPHMRUXVDQGRXQVLVWHPDDOJHEUDLFRFRPSXWDFLRQDO
CORRIMIENTO DEL ÍNDICE DE LA SUMA 3DUD HO UHVWR GH HVWD VHFFLyQ DVt
FRPRHVWHFDStWXORHVLPSRUWDQWHTXHVHDFRVWXPEUHDVLPSOL¿FDUODVXPDGHGRVR
PiVVHULHVGHSRWHQFLDVFDGDXQDH[SUHVDGDHQQRWDFLyQGHVXPDHQXQDH[SUHVLyQ
con una sola . &RPRVHPXHVWUDHQHOVLJXLHQWHHMHPSORODFRPELQDFLyQGHGRVR
PiVQRWDFLRQHVGHVXPDHQXQDVRODVXHOHUHTXHULUTXHVHYXHOYDDLQGL]DUODVHULHHV
GHFLUTXHVHUHDOLFHXQFDPELRHQHOtQGLFHVtPERORGHVXPD
EJEMPLO 3 Suma de dos series de potencias
`
Escriba
o
n(n 2 1)cn x n22 2
n52
`
o cn xn11
n50
FRPRXQDVRODVHULHGHSRWHQFLDV
SOLUCIÓN 3DUDVXPDUODVGRVVHULHVHVQHFHVDULRTXHDPERVtQGLFHVGHODVVXPDV
FRPLHQFHQFRQHOPLVPRQ~PHUR\ODVSRWHQFLDVGHxHQFDGDFDVRHVWpQ³HQIDVH´HV
GHFLUVLXQDVHULHFRPLHQ]DFRQXQP~OWLSORGHSRUHMHPSORxDODSULPHUDSRWHQFLD
HQWRQFHVVHTXLHUHTXHODRWUDVHULHFRPLHQFHFRQODPLVPDSRWHQFLD2EVHUYHTXHHQ
HOSUREOHPDODSULPHUDVHULHHPSLH]DFRQx0PLHQWUDVTXHODVHJXQGDFRPLHQ]DFRQx1
6LVHHVFULEHHOSULPHUWpUPLQRGHODSULPHUDVHULHIXHUDGHODQRWDFLyQGHVXPD
serie comienza serie comienza
con x
con x
para n 3
para n 0
n(n 1)cn x n2 n0
cn x n1 2
n2
n3
n0
1c2 x 0 n(n 1)cn x n2 cn x n1,
YHPRVTXHDPEDVVHULHVGHOODGRGHUHFKRHPSLH]DQFRQODPLVPDSRWHQFLDGHxHQ
particular x1$KRUDSDUDREWHQHUHOPLVPRtQGLFHGHODVXPDVHWRPDQFRPRJXtD
los exponentes de x; se establece k n HQODSULPHUDVHULH\DOPLVPRWLHPSR
k n HQODVHJXQGDVHULH3DUDn HQk n REWHQHPRVk \SDUDn 0
en k n 1 obtenemos k \DVtHOODGRGHUHFKRGHODHFXDFLyQ VHFRQYLHUWHHQ
igual
2c2 (k 2)(k 1)ck2 x k ck1 x k .
k1
igual
k1
6.1
REPASO DE SERIES DE POTENCIAS
O
241
5HFXHUGHTXHHOtQGLFHGHODQRWDFLyQVXPDHVXQDYDULDEOH³PXGD´HOKHFKRGHTXH
k n HQXQFDVR\k n 1 en el otro no debe causar confusión si se considera que lo
importante es el valorGHOtQGLFHGHVXPD(QDPERVFDVRVk toma los mismos valores
sucesivos k FXDQGRn toma los valores n SDUDk n 1 y
n SDUDk n $KRUDHVSRVLEOHVXPDUODVVHULHVGH WpUPLQRDWpUPLQR
n(n 1)cn xn
n
2
2
1
cn xn
n
2c2
0
[(k
2)(k
1
k
1)ck
2
ck 1 ]xk. 6L QR HVWi FRQYHQFLGR GHO UHVXOWDGR HQ HQWRQFHV HVFULED DOJXQRV WpUPLQRV GH
DPERVODGRVGHODLJXDOGDG
UN REPASO(OREMHWLYRGHHVWDVHFFLyQHVUHFRUGDUORVKHFKRVLPSRUWDQWHVDFHUFD
de las series de potencias para que se sienta cómodo con el uso de las series de poWHQFLDVHQODVLJXLHQWHVHFFLyQHQFRQWUDQGRVROXFLRQHVGHODV('GHVHJXQGRRUGHQ
OLQHDOHV(O~OWLPRHMHPSORHQHVWDVHFFLyQYLQFXODPXFKRVGHORVFRQFHSWRVDSHQDV
GLVFXWLGRV\WDPELpQGDXQDYLVWDSUHYLDGHOPpWRGRTXHVHXWLOL]DUiHQODVHFFLyQ
'HOLEHUDGDPHQWHPDQWHQHPRVHOHMHPSORVLPSOHUHVROYLHQGRXQDHFXDFLyQOLQHDOGH
SULPHU RUGHQ 7DPELpQ GH IRUPD HVTXHPiWLFD GDPRV SRU KHFKR TXH \D VDEH FyPR
UHVROYHUODHFXDFLyQGDGDXVDQGRHOPpWRGRGHIDFWRULQWHJUDQWHGHODVHFFLyQ
EJEMPLO 4 Una solución en serie de potencias
cnxn de la ecuación diferen-
'HWHUPLQHXQDVROXFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDVGH y
cial y´ y n
0
0RVWUDPRVODVROXFLyQHQXQDVHFXHQFLDGHSDVRV
i 3ULPHURFDOFXODPRVODGHULYDGDGHODVROXFLyQVXSXHVWD
SOLUCIÓN
cn nx n
y
n
1
vea el primer renglón de (1)
1
ii 'HVSXpVVXVWLWX\Dy y y´HQOD('GDGD
y
cn nxn
y
n
1
cn x n.
1
n
0
iii $KRUDFRUUDORVtQGLFHVGHODVXPD&XDQGRORVtQGLFHVGHODVXPDWLHQHQHOPLVPR
punto de inicio y las potencias de xFRQFXHUGDQVHFRPELQDQODVVXPDV
y
cnnxn
y
n
1
cnxn
1
n
k
0
n 1
k
ck 1(k
1)xk
k
0
k
0
n
ckxk
k
[ck 1(k
0
ck]xk.
1)
iv 3XHVWRTXHTXHUHPRVTXHVHVDWLVIDJDy´ y 0 para toda xHQDOJ~QLQWHUYDOR
[ck 1(k
k
ck]xk
1)
0
0
es una identidad por lo que se debe tener que ck1(k ck R
ck
1
1
k
1
ck,
k
0, 1, 2, . . . .
242
CAPÍTULO 6
O
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
v KDFLHQGRTXHkWRPHYDORUHVVXFHVLYRVHQWHURVFRPHQ]DQGRFRQk HQFRQWUDPRV
1
c1
c
c0
1 0
1
1
1
c2
c1
( c0)
c
2
2
2 0
1
1 1
1
c3
c
c
c
3 2
3 2 0
3 2 0
1
c
4 2
c4
1
4
1
1
c
4 3 2 0
c0
3 2
\DVtVXFHVLYDPHQWHGRQGHc0HVDUELWUDULR
vi 8VDQGRODVROXFLyQRULJLQDOVXSXHVWD\ORVUHVXOWDGRVGHOLQFLVRv REWHQHPRVXQD
solución formal en serie de potencias
c2 x2 c3 x3 c4 x4 . . .
1 2
1 3
1
c0 c0 x
c x
c0
x
c0
x4 . . .
2 0
3 2
4 3 2
1 2
1 3
1
c0 1 x
x
x
x4 . . .
2
3 2
4 3 2
'HEHUtD VHU EDVWDQWH REYLR TXH HO SDWUyQ GH ORV FRH¿FLHQWHV HQ HO LQFLVR v HV ck
c0 ( kkk «SRUORTXHHQQRWDFLyQGHVXPDSRGHPRVHVFULELU
( 1)k k
y c0
x k 0 k!
y
6LVHGHVHDSRGUtDPRVUHJUHVDUDn
FRPRHOtQGLFHGHODVXPD
c0
c1x
'HODSULPHUDUHSUHVHQWDFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDV ODVROXFLyQHQ VHUHFRQRFH
como y c0ex.6LKXELHUDXVDGRHOPpWRGRGHODVHFFLyQKDEUtDHQFRQWUDGRTXHy
cex es una solución de y´ y 0 sobre el intervalo (’’ (VWHLQWHUYDORWDPELpQ
HVHOLQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLDGHODVHULHGHSRWHQFLDVHQ EJERCICIOS 6.1
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-9.
En los problemas 1-10 encuentre el intervalo y radio de
FRQYHUJHQFLDSDUDODVHULHGHSRWHQFLDVGDGD
n
2.
n
( 1) n
x
1 n
4.
n
2n n
x
1n
k
( 1)k
(x
k
1 10
1.
3.
5.
1
7.
k
2
1k
k
25k x
2k
3
15
9.
k
(3x
5)k
n
1 n
x
2
n
1
n
5n n
x
0 n!
6.
k!(x
k
k
1)
0
3 (4x
n
( 1)n 2n
x
n
0 9
k
5)
13.
x2
1
2
x
12. xe3x
x
14.
1 x2
(QORVSUREOHPDV\ODIXQFLyQGDGDHVDQDOtWLFDHQa 8WLOLFHODVHULHDGHFXDGDHQ \ODPXOWLSOLFDFLyQSDUDHQFRQWUDUORVSULPHURVFXDWURWpUPLQRVGLVWLQWRVGHFHURGHODVHULHGH
0DFODXULQGHODIXQFLyQGDGD
1
En los problemas del 11-16 use una serie adeFXDGDHQ SDUDHQFRQWUDUODVHULHGH0DFODXULQGHODIXQFLyQGDGD(VFULEDVXUHVSXHVWDHQQRWDFLyQGHVXPD
11. e
[Sugerencia:8VHSHULRGLFLGDG@
18. ln x; a >Sugerencia: x > (x @@
0
10.
16. sen x
1)k
k
k
(QORVSUREOHPDV\XWLOLFHXQDVHULHDGHFXDGDHQ SDUD
encontrar la serie de Taylor de la función dada centrada en el valor
indicado de a(VFULEDVXUHVSXHVWDHQQRWDFLyQGHVXPD
17. sen xa ʌ
k
8.
15. ln(1 x 19. sen x cos x
20. excos x
(QORVSUREOHPDV\ODIXQFLyQGDGDHVDQDOtWLFDHQa 8WLOLFHODVHULHDGHFXDGDHQ \ODGLYLVLyQODUJDSDUDHQFRQWUDUORVSULPHURVFXDWURWpUPLQRVGLVWLQWRVGHFHURGHODVHULHGH
0DFODXULQGHODIXQFLyQGDGD
21. sec x
22. tan x
6.2
SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS
O
243
(QORVSUREOHPDV\XWLOLFHXQDVXVWLWXFLyQSDUDFRUUHU ecuación diferencial indicada [Sugerencia: 3DUD XQD SRWHQFLD
HOtQGLFHGHODVXPDSDUDTXHHOWpUPLQRJHQHUDOGHODVHULHGH xn+1 haga k n @
potencias dada involucre a xk
( 1)n 2n
31. y
x , y
2xy 0
n 0 n!
(2n 1)cn x n 3
24.
ncn xn 2
23.
n
n
1
3
( 1)nx 2n,
32. y
(Q ORV SUREOHPDV GHO SURFHGD FRPR HQ HO HMHPSOR para reescribir la expresión dada usando una sola serie de po33. y
WHQFLDVFX\RWpUPLQRJHQHUDOLQYROXFUDDxk
ncn xn
25.
n
1
n
1
ncn xn
26.
1
cn x n
n
1
cn xn
3
n
0
(x
n
( 1)n 1 n
x,
n
1
xy
n
( 1)n 2n
x ,
2n
2
0 2 (n!)
34. y
0
2
x2)y
(1
n
2xy
0
1)y
y
0
y
xy
0
(QORVSUREOHPDVGHODSURFHGDFRPRHQHOHMHPSOR\
0
cnxn de la
encuentre una solución en serie de potencias y
2ncn x n
27.
n
1
n
2
n
2
28.
n(n
29.
n(n
30.
n(n
n
2
1
6cn x n
n
0
1)cn x n
2
1
cn x n
n
1)cn x n
2
ncn x n
2
1
2
n(n
n
2
0
n
1)cn x n
HFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHSULPHURUGHQGDGD
2
cn x n
n
2
5y
37. y
xy
0
36. 4y
y
38. (1
x)y
0
0
y
0
Problemas para analizar
0
1)cn x n
35. y
n
ncn x n
3
n
1
39. (QHOSUREOHPDHQFXHQWUHXQDIRUPDPiVIiFLOTXHPXOtiplicar dos series de potencias para obtener la representación en series de Maclaurin de sen x cos x
(Q ORV SUREOHPDV GHO DO FRPSUXHEH SRU VXVWLWXFLyQ 40. (QHOSUREOHPD¢FXiOFUHHXVWHGTXHHVHOLQWHUYDORGHdirecta que la serie de potencias dada es una solución de la
convergencia para la serie de Maclaurin de sec x?
6.2
SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS
INTRODUCCIÓN $O¿QDOGHOD~OWLPDVHFFLyQPRVWUDUHPRVFyPRREWHQHUXQDVROXFLyQHQVHULHGH
SRWHQFLDVGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHSULPHURUGHQ(QHVWDVHFFLyQUHJUHVDUHPRVDOSUREOHPD
PiVLPSRUWDQWHGHHQFRQWUDUVROXFLRQHVGHODVHFXDFLRQHVOLQHDOHVGHVHJXQGRRUGHQHQODIRUPDGH
VHULHVGHSRWHQFLDVFX\RFHQWURHVXQQ~PHURx0 que es un punto ordinarioGHOD('&RPHQ]DPRV
FRQODGH¿QLFLyQGHXQSXQWRRUGLQDULR
UNA DEFINICIÓN 6LGLYLGLPRVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOKRPRJpQHDGHVHJXQGR
RUGHQ
a2 (x)y
a1 (x)y
a0 (x)y
0
SRUHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDOa(x REWHQHPRVODIRUPDHVWiQGDU
y
P(x)y
Q(x)y
0
REWHQHPRVODVLJXLHQWHGH¿QLFLyQ
DEFINICIÓN 6.2.1
Puntos ordinarios y singulares
Se dice que un punto x x0 es un punto ordinario GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO VL
DPERVFRH¿FLHQWHVP(x \Q(x HQODIRUPDHVWiQGDU VRQDQDOtWLFDVHQx06HGLFH
TXHXQSXQWRTXHQRHVSXQWRRUGLQDULRGH HVXQpunto singular GHODHFXDFLyQ
244
O
CAPÍTULO 6
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
EJEMPLO 1
Puntos ordinarios
a)8QDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVFRPR
y y 0
y y y 0
y
QRSXHGHWHQHUSXQWRVVLQJXODUHV(QRWUDVSDODEUDVFDGDYDORU¿QLWR GHx es un punto
RUGLQDULRGHHVWDVHFXDFLRQHV
b)&DGDYDORU¿QLWRGHx es un punto ordinario de la ecuación diferencial
y (ex y (sen x y (QSDUWLFXODUx HVXQSXQWRRUGLQDULRSRUTXHFRPR\DVHYLRHQ GHODVHFFLyQ
WDQWRex como sen xVRQDQDOtWLFDVHQHVWHSXQWR
/DQHJDFLyQHQHOVHJXQGRHQXQFLDGRGHODGH¿QLFLyQHVWDEOHFHTXHDOPHQRVXQD
GHORVFRH¿FLHQWHVIXQFLRQDOHVP(x \Q(x HQ QRHVDQDOtWLFDHQx0HQWRQFHVx0 es
XQSXQWRVLQJXODU
EJEMPLO 2
Puntos singulares
a)/DHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
y xy (ln x y 0
\DHVWiHQODIRUPDHVWiQGDU/DVIXQFLRQHVFRH¿FLHQWHVVRQ
P(x x
y
Q(x ln x
$KRUDP(x xHVDQDOtWLFDHQWRGRQ~PHURUHDO\Q(x ln xHVDQDOtWLFDSDUDWRGR
Q~PHURUHDOpositivo6LQHPEDUJR\DTXHQ(x ln x es discontinua en x 0 no se
puede representar por una serie de potencias en xHVGHFLUXQDVHULHGHSRWHQFLDVFHQWUDGDHQ&RQFOXLPRVTXHx HVXQSXQWRVLQJXODUGHOD('
b)$OWHQHUxy y xy HQODIRUPDHVWiQGDU
y0 1
1
y9 1 y 5 0,
x
vemos que P(x 1xQRHVDQDOtWLFDHQx 03RUORTXHx 0 es un punto singular de
ODHFXDFLyQ
COEFICIENTES POLINOMIALES Se pone atención sobre todo al caso en el cual
ORVFRH¿FLHQWHVa(x a1(x \a0(x HQODHFXDFLyQ VRQIXQFLRQHVSROLQRPLDOHVVLQ
IDFWRUHVFRPXQHV8QDIXQFLyQSROLQRPLDOHVDQDOtWLFDHQFXDOTXLHUYDORUx y una funFLyQUDFLRQDOHVDQDOtWLFDH[FHSWRHQORVSXQWRVGRQGHVXGHQRPLQDGRUHVFHUR$VtHQ
DPERVFRH¿FLHQWHV
P(x) 5
a1(x)
a2(x)
and Q(x) 5
a0(x)
a2(x)
3DUDQXHVWURVSURSyVLWRVORVSXQWRVRUGLQDULRV\SXQWRVVLQJXODUHVVLHPSUHVHUiQSXQWRV¿QLWRV(V
SRVLEOHTXHXQD('2WHQJDXQSXQWRVLQJXODUHQHOLQ¿QLWR
6.2
SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS
O
245
VRQDQDOtWLFDVH[FHSWRGRQGHa(x (QWRQFHVVHWLHQHTXH
Un número x x0HVXQSXQWRRUGLQDULRGH VLa(x0 0 mientras que x x0
HVXQSXQWRVLQJXODUGH VLa(x0 EJEMPLO 3
Puntos ordinarios y singulares
a)/RV~QLFRVSXQWRVVLQJXODUHVGHODHFXDFLyQ
(x O y xy 6y 0
son soluciones de x 1 0 o x GLQDULRV
O7RGRVORVRWURVYDORUHVGHx son puntos or-
b)/DLQVSHFFLyQGHODHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHU
? a(x x 0 en x 0
xy y 0
muestra que tiene un punto singular en x 7RGRVORVRWURVYDORUHVGHx son puntos
RUGLQDULRV
c)/RVSXQWRVVLQJXODUHVQRQHFHVLWDQVHUQ~PHURVUHDOHV/DHFXDFLyQ
(x O y xy y 0
tiene puntos singulares en las soluciones x 1 HQSDUWLFXODUx valores de xUHDOHVRFRPSOHMRVVRQSXQWRVRUGLQDULRV
i/RVRWURV
Establecemos el siguiente teorema acerca de la existencia de soluciones en series de
SRWHQFLDVVLQGHPRVWUDFLyQ
TEOREMA 6.2.1
Existencia de soluciones en series de potencias
Si x x0HVXQSXQWRRUGLQDULRGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO VLHPSUHHVSRsible encontrar dos soluciones linealmente independientes en la forma de una
serie de potencias centrada en x0HVGHFLU
y5
`
o cn(x 2 x0)n
n50
8QD VROXFLyQ HQ VHULH FRQYHUJH SRU OR PHQRV HQ XQ LQWHUYDOR GH¿QLGR SRU
x x0
RGRQGHR es la distancia desde x0DOSXQWRVLQJXODUPiVFHUFDQR
Se dice que una solución de la forma y
x0 )n es una solución resn 0 cn (x
pecto a un punto ordinario x0/DGLVWDQFLDRHQHOWHRUHPDHVHOvalor mínimo o límite inferiorGHOUDGLRGHFRQYHUJHQFLD
EJEMPLO 4
Mínimo radio de convergencia
(QFXHQWUHHOUDGLRPtQLPRGHFRQYHUJHQFLDGHXQDVHULHGHSRWHQFLDVGHODHFXDFLyQ
diferencial de segundo orden
(x x y xy y 0
a) en torno al punto ordinario en x b) en torno al punto ordinario x 1
246
O
CAPÍTULO 6
y
i
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
1 + 2i
5
1 x
5
1 − 2i
FIGURA 6.2.1 'LVWDQFLDVGHVGHORV
puntos singulares al punto ordinario 0 en
HOHMHPSOR
SOLUCIÓN 0HGLDQWHODIyUPXODFXDGUiWLFDYHPRVHQx x 5 0 que los puntos
VLQJXODUHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDVRQORVQ~PHURVFRPSOHMRV i
a) Ya que x HV XQ SXQWR RUGLQDULR GH OD HFXDFLyQ HO WHRUHPD JDUDQWL]D
TXH HV SRVLEOH HQFRQWUDU GRV VROXFLRQHV HQ VHULH GH SRWHQFLDV FHQWUDGDV HQ HV
n
GHFLU VROXFLRQHV TXH VH SDUHFHQ D y
n 0 cn x . \ DGHPiV VDEHPRV VLQ UHDOmente encontrar estas soluciones que cada serie debe converger al menos para
15 HV OD GLVWDQFLD HQ HO SODQR FRPSOHMR D FXDOTXLHUD
x
15 donde R
GHORVQ~PHURVi HOSXQWR Ri HOSXQWR DOSXQWRRUGLQDULR
HOSXQWR 9HDOD¿JXUD
b) Ya que x HVXQSXQWRRUGLQDULRGHOD('HOWHRUHPDJDUDQWL]DTXHSRdemos encontrar dos soluciones en series de potencias parecidas a y
1) n
n 0 cn (x
Cada serie debe converger al menos para | x 1| 212 ya que la distancia de cada
18 212.
punto singular a 1 (el punto ( HVR
(QHOLQFLVRD GHOHMHPSORuna de las soluciones en series de potencias centradas en
GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHVYiOLGDVREUHXQLQWHUYDORPXFKRPD\RUTXH 15 15 HQUHDOLGDGHVWDVROXFLyQHVYiOLGDVREUHHOLQWHUYDOR \DTXHVHSXHGHGHPRVWUDU
TXHXQDGHODVGRVVROXFLRQHVHQWRUQRDVHUHGXFHDXQDSROLQRPLDO
NOTA (QORVHMHPSORVTXHVLJXHQDVtFRPRHQORVHMHUFLFLRVSRUVLPSOL¿FDU
encontraremos soluciones en serie de potencias sólo respecto al punto ordinario x 6LHVQHFHVDULRHQFRQWUDUXQDVROXFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDVGHXQD('2OLQHDODOrededor de un punto ordinario x0 VLPSOHPHQWH VH KDFH HO FDPELR GH YDULDEOH
t x x0 en la ecuación (esto traslada x x0 para t SDUDHQFRQWUDUODVVROXFLRQHV
n
de la nueva ecuación de la forma y
n 0 cn t \GHVSXpVYROYHUDVXVWLWXLUt x x0
DETERMINACIÓN DE UNA SOLUCIÓN EN SERIES DE POTENCIAS
'HWHUPLQDU XQD VROXFLyQ GH VHULHV GH SRWHQFLDV GH XQD ('2 OLQHDO KRPRJpQHD GH
VHJXQGRRUGHQKDVLGRH[DFWDPHQWHGHVFULWRFRPR³HOPpWRGRGHseriesGHORVFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV´\DTXHHOSURFHGLPLHQWRHVEDVWDQWHVLPLODUDORTXHKLFLPRV
HQ OD VHFFLyQ (Q FDVR GH TXH QR IXQFLRQH FRPR HQ HO HMHPSOR GH OD VHFFLyQ
n
(Q UHVXPHQ OD LGHD HV OD VLJXLHQWH VXVWLWXLPRV y
n 0 cn x en la ecuación
GLIHUHQFLDO VH FRPELQD OD VHULH FRPR VH KL]R HQ HO HMHPSOR GH OD VHFFLyQ \
OXHJRVHLJXDODQORVFRH¿FLHQWHVGHOPLHPEURGHUHFKRGHODHFXDFLyQSDUDGHWHUPLQDU
ORVFRH¿FLHQWHVcn3HURFRPRHOPLHPEURGHUHFKRHVFHURHO~OWLPRSDVRUHTXLHUH
por la propiedad de identidadHQODOLVWDGHSURSLHGDGHVDQWHULRUTXHWRGRVORVFRH¿FLHQWHVGHxVHGHEDQLJXDODUDFHUR(VWRnoVLJQL¿FDTXHORVFRH¿FLHQWHVson cero
SXHVHOORQRWHQGUtDVHQWLGRGHVSXpVGHWRGRHOWHRUHPDJDUDQWL]DTXHVHSXHGHQHQFRQWUDUGRVVROXFLRQHV(QHOHMHPSORVHLOXVWUDFyPRODVRODVXSRVLFLyQGH
n
y
c0 c1 x c2 x2
FRQGXFH D GRV FRQMXQWRV GH FRH¿FLHQWHV
n 0 cn x
por lo que se tienen dos series de potencias distintas y1(x \y(x DPEDVGHVDUUROODGDV
alrededor del punto ordinario x /DVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHV
y C1y1(x Cy(x GHKHFKRVHSXHGHGHPRVWUDUTXHC1 c0 y C c1
EJEMPLO 5
$QWHVGHTXHWUDEDMHFRQHVWH
HMHPSOROHUHFRPHQGDPRVTXH
OHDGHQXHYRHOHMHPSORGHOD
VHFFLyQ
Soluciones en series de potencias
Resuelva y xy SOLUCIÓN 3XHVWRTXHQRKD\SXQWRVVLQJXODUHV¿QLWRVHOWHRUHPDJDUDQWL]D
GRV VROXFLRQHV HQ VHULH GH SRWHQFLDV FHQWUDGDV HQ FRQYHUJHQWHV SDUD x
n
n 2
c
x
y
n(n
1)c
x
Sustituyendo y
y
la
segunda
derivada
(vea
n
n 0 n
n 2
GHODVHFFLyQ HQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHREWLHQH
y0 2 xy 5
`
o
n52
cnn(n 2 1) x n22 2 x
`
o
n50
cn x n 5
`
o
n52
cnn(n 2 1) xn22 2
`
o cn xn11.
n50
6.2
SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS
O
247
<DVHKDQVXPDGRODVGRV~OWLPDVVHULHVHQHOPLHPEURGHUHFKRGHODLJXDOGDGHQ FRUULHQGRHOtQGLFHGHODVXPD'HOUHVXOWDGRGDGRHQ GHODVHFFLyQ
y0 2 xy 5 2c2 1
`
o [(k 1 1)(k 1 2) ck12 2 ck21] xk 5 0.
k51
(QHVWHSXQWRVHLQYRFDODSURSLHGDGGHLGHQWLGDG3XHVWRTXH HVLGpQWLFDPHQWHcero
HVQHFHVDULRTXHHOFRH¿FLHQWHGHFDGDSRWHQFLDGHxVHLJXDOHDFHURHVGHFLUc 0
HVHOFRH¿FLHQWHGHx0 \
(k 1 1)(k 1 2)ck12 2 ck21 5 0,
k 5 1, 2, 3, . . . .
$KRUDc 0 obviamente dice que c 3HURODH[SUHVLyQHQ OODPDGDrelación
de recurrenciaGHWHUPLQDODckGHWDOPDQHUDTXHVHSXHGHHOHJLUTXHFLHUWRVXEFRQMXQWR
GHOFRQMXQWRGHFRH¿FLHQWHVVHDdiferente de cero3XHVWRTXH k k 0 para
los valores de kVHSXHGHUHVROYHU SDUDck HQWpUPLQRVGHck 1:
ck
2
ck 1
1)(k
(k
2)
,
1, 2, 3, . . . . k
(VWDUHODFLyQJHQHUDFRH¿FLHQWHVFRQVHFXWLYRVGHODVROXFLyQVXSXHVWDXQDYH]TXHk
WRPDORVHQWHURVVXFHVLYRVLQGLFDGRVHQ c0
k
1,
c3
k
2,
c4
k
3,
c5
k
4,
c6
k
5,
c7
k
6,
c8
k
7,
c9
k
8,
c10
k
9,
c11
2 3
c1
3 4
c2
4 5
c3
5 6
c4
6 7
c5
7 8
c6
8 9
0
m c2 es cero
1
c
2 3 5 6 0
1
c
3 4 6 7 1
0
m c5 es cero
1
c
2 3 5 6 8 9 0
c7
9 10
1
c
3 4 6 7 9 10 1
c8
10 11
0
m c8 es cero
HWFpWHUD$KRUDVXVWLWX\HQGRORVFRH¿FLHQWHVREWHQLGRVHQODVXSRVLFLyQRULJLQDO
y
c0
c1 x
c2 x2
c3 x3
c4 x4
c5 x5
c6 x6
x3 1
c1
c7 x7
c8 x8
c9 x9
c10 x10
c11 x11
,
obtenemos
y 5 c0 1 c1x 1 0 1
1
c0
2?3
3?4
x4 1 0 1
c0
2?3?5?6
x6
c0
c1
c1
x7 1 0 1
x9 1
x10 1 0 1 Á .
3?4?6?7
2?3?5?6?8?9
3 ? 4 ? 6 ? 7 ? 9 ? 10
248
O
CAPÍTULO 6
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
'HVSXpVGHDJUXSDUORVWpUPLQRVTXHFRQWLHQHQc0 y los que contienen c1VHREWLHQH
y c0 yl(x c1y(x GRQGH
y1(x) 5 11
y2(x) 5 x 1
1
2?3
1
3?4
x3 1
x4 1
1
x6 1
2?3?5?6
1
3?4?6?7
x7 1
1
2?3?5?6?8?9
x9 1 Á 5 1 1
`
1
x3k
Á
2 ? 3 (3k 2 1)(3k)
o
k51
`
1
x10 1 Á 5 x 1
3 ? 4 ? 6 ? 7 ? 9 ? 10
1
x3k11.
Á
3 ? 4 (3k)(3k 1 1)
o
k51
'HELGRDTXHHOXVRUHFXUVLYRGH GHMDDc0 y a c1FRPSOHWDPHQWHLQGHWHUPLQDGDVVH
SXHGHQ HOHJLU HQ IRUPD DUELWUDULD &RPR \D VH PHQFLRQy DQWHV GH HVWH HMHPSOR OD
combinación lineal y c0 yl(x c1 y(x UHSUHVHQWDHQUHDOLGDGODVROXFLyQJHQHUDOGH
ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO$XQTXHVHVDEHGHOWHRUHPDTXHFDGDVROXFLyQHQVHULH
converge para x
HVGHFLUVREUHHOLQWHUYDOR (VWHKHFKRWDPELpQVH
SXHGHFRPSUREDUFRQODSUXHEDGHODUD]yQ
/D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GHO HMHPSOR VH OODPD ecuación de Airy OODPDGD DVt SRU
HO PDWHPiWLFR \ DVWUyQRPR LQJOpV *HRUJH %LGGHO $LU\ \ VH HQFXHQWUD
HQHOHVWXGLRGHODGLIUDFFLyQGHODOX]ODGLIUDFFLyQGHRQGDVGHUDGLRDOUHGHGRUGH
ODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUDODDHURGLQiPLFD\ODGHÀH[LyQGHXQDFROXPQDYHUWLFDOGHOJDGDXQLIRUPHTXHVHFXUYDEDMRVXSURSLRSHVR2WUDVIRUPDVFRPXQHVGHODHFXDFLyQ
GH$LU\VRQy xy 0 y y xy 9pDVHHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV
SDUDXQDDSOLFDFLyQGHOD~OWLPDHFXDFLyQ
EJEMPLO 6
Solución con series de potencias
Resuelva (x y xy y SOLUCIÓN &RPRVHYLRHQODSiJLQDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDWLHQHSXQWRV
singulares en x i\SRUWDQWRXQDVROXFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDVFHQWUDGDHQTXH
converge al menos para x GRQGHHVODGLVWDQFLDHQHOSODQRFRPSOHMRGHVGHDi
n
o i/DVXSRVLFLyQ y
n 0 cn x y sus primeras dos derivadas conducen a
(x2 1) n(n 1)cnxn2 x ncnxn1 cnxn
n2
n1
n0
n2
n2
n1
n0
n(n 1)cnxn n(n 1)cnxn2 ncnxn cnxn
2c2x0 c0x0 6c3x c1x c1x n(n 1)cnxn
n2
kn
n4
n2
n2
n(n 1)cnxn2 ncnxn cnxn
kn2
kn
kn
2c2 c0 6c3x [k(k 1)ck (k 2)(k 1)ck2 kck ck]xk
k2
2c2 c0 6c3x [(k 1)(k 1)ck (k 2)(k 1)ck2]xk 0.
k2
'HHVWDLGHQWLGDGVHFRQFOX\HTXHc – c0 c \
(k
1)(k
1)ck
(k
2)(k
1)ck
2
0.
6.2
SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS
3RUWDQWR
c2
1
c
2 0
c3
0
2
1
k
ck
k
c,
2 k
O
249
2, 3, 4, . . .
k
Sustituyendo k HQOD~OWLPDIyUPXODVHREWLHQH
c4
1
c
4 2
1
c
2 4 0
c5
2
c
5 3
0
c6
3
c
6 4
3
c
2 4 6 0
c7
4
c
7 5
0
c8
5
c
8 6
c9
6
c
9 7
c10
7
c
10 8
1
c
22 2! 0
; c3 es cero
1 3
c
23 3! 0
; c5 es cero
3 5
c
2 4 6 8 0
0,
1 3 5
c0
24 4!
; c7 es cero
3 5 7
c
2 4 6 8 10 0
1 3 5 7
c 0,
25 5!
HWFpWHUD3RUWDQWR
y
c0
c2 x2
c1 x
c0 1
1 2
x
2
c0 y1(x)
c3 x3
c4 x4
1 4
x
22 2!
c5 x5
1 3 6
x
23 3!
c6 x6
c 7 x7
1 3 5 8
x
24 4!
c8 x8
c9 x9
c10 x10
1 3 5 7 10
x
25 5!
c1 x
c1 y 2(x).
/DVVROXFLRQHVVRQHOSROLQRPLRy(x x y la serie de potencias
y1 (x)
1 2
x
2
1
EJEMPLO 7
( 1)n
n
1 3 5
1
2n
2 n!
n
2
y
se obtiene c2
x2n ,
x
1.
Relación de recurrencia de tres términos
Si se busca una solución en serie de potencias y
1
2 c0
3
(1
n
0
cn xn para la ecuación diferencial
0,
x)y
\ODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDGHWUHVWpUPLQRV
ck
2
ck
(k
ck
1)(k
1
,
2)
k
1, 2, 3, . . .
6HGHGXFHDSDUWLUGHHVWRVGRVUHVXOWDGRVTXHORVFRH¿FLHQWHVcnSDUDn VHH[SUHVDQHQWpUPLQRVGHc0 y c13DUDVLPSOL¿FDUVHSXHGHHOHJLUSULPHURc0 c1 0;
HVWRFRQGXFHDFRH¿FLHQWHVSDUDXQDVROXFLyQH[SUHVDGDSRUFRPSOHWRHQWpUPLQRVGH
c0$FRQWLQXDFLyQVLHOHJLPRVc0 c1 HQWRQFHVORVFRH¿FLHQWHVSDUDODRWUD
250
CAPÍTULO 6
O
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
1
2 c0
VROXFLyQVHH[SUHVDQHQWpUPLQRVGHc18VDQGR c2
de recurrencia para k VHREWLHQH
c0
0, c1
0
c2
1
c
2 0
c3
c1 c0
2 3
c0
2 3
c4
c2 c1
3 4
c0
2 3 4
c0
24
c5
c3 c2
4 5
c0 1
4 5 6
1
2
c0
6
c0
30
HQDPERVFDVRVODUHODFLyQ
c0
0, c1
0
c2
1
c
2 0
0
c3
c1 c0
2 3
c1
2 3
c1
6
c4
c2 c1
3 4
c1
3 4
c1
12
c5
c3 c2
4 5
c1
4 5 6
c1
120
HWFpWHUD3RU~OWLPRYHPRVTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQHVy c0 yl(x c1
y(x GRQGH
1 2 1 3
1 4
1 5
y1 (x) 1
x
x
x
x
2
6
24
30
y2 (x)
y
1 3
x
6
x
1 4
x
12
1 5
x
120
.
&DGDVHULHFRQYHUJHSDUDWRGRVORVYDORUHV¿QLWRVGHx
COEFICIENTES NO POLINOMIALES (QHOVLJXLHQWHHMHPSORVHPXHVWUDFyPR
encontrar una solución en serie de potencias en torno a un punto ordinario x0 0 de
XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFXDQGRVXVFRH¿FLHQWHVQRVRQSROLQRPLDOHV(QHVWHHMHPSOR
YHPRVXQDDSOLFDFLyQGHODPXOWLSOLFDFLyQGHGRVVHULHVGHSRWHQFLDV
EJEMPLO 8
('FRQFRH¿FLHQWHVQRSROLQRPLDOHV
Resuelva y (cos x y SOLUCIÓN 9HPRVTXHx HVXQSXQWRRUGLQDULRGHODHFXDFLyQSRUTXHFRPR\D
KHPRVYLVWRFRVxHVDQDOtWLFDHQHVHSXQWR8VDQGRODVHULHGH0DFODXULQSDUDFRVx dada
n
HQ GHVHFFLyQMXQWRFRQODVXSRVLFLyQXVXDO y
n 0 cn x \ORVUHVXOWDGRVGH GHODVHFFLyQVHHQFXHQWUD
y
(cos x)y
n
2
1)cn xn
n(n
2c2
6c3 x
2c2
c0
2
x2
2!
1
12c4 x2
(6c3
x4
4!
x6
6!
n
20c5 x3
c1)x
12c4
1
c2
0
x2
2!
1
c x2
2 0
cn xn
x4
4!
20c5
(c0
c3
c2 x2
c1 x
c3 x3
1
c x3
2 1
)
0.
Se tiene que
2c2
c0
0,
6c3
c1
0,
12c4
c2
1
c
2 0
0,
20c5
c3
1
1
1
1
HWFpWHUD (VWR GD c2
2 c0 , c3
6 c1 , c4
12 c0 , c5
30 c1, . . .
WpUPLQRVVHOOHJDDODVROXFLyQJHQHUDOy c0 yl(x c1y(x GRQGH
y1 (x)
1
1 2
x
2
1 4
x
12
y
y2 (x)
x
1 3
x
6
1 5
x
30
1
c
2 1
0,
y agrupando
.
6.2
SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS
O
251
'HELGRDTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQRWLHQHSXQWRVVLQJXODUHV¿QLWRVDPEDVVHULHVGH
potencias convergen para x
y1
3
2
1
x
21
210 28 26 24 22
2
a) Gráfica de y1(x)
y2
3
2
1
x
21
210 28 26 24 22
CURVAS SOLUCIÓN /DJUi¿FDDSUR[LPDGDGHXQDVROXFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDV
n
y(x)
n 0 cn x VH SXHGH REWHQHU GH YDULDV PDQHUDV 6LHPSUH VH SXHGH UHFXUULU D
WUD]DUODJUi¿FDGHORVWpUPLQRVHQODVXFHVLyQGHVXPDVSDUFLDOHVGHODVHULHHQRWUDV
N
n
SDODEUDVODVJUi¿FDVGHODVSROLQRPLDOHV SN (x)
n 0 cn x . 3DUDYDORUHVJUDQGHVGH
NSN(x GHEHGDUQRVXQDLQGLFDFLyQGHOFRPSRUWDPLHQWRGHy(x FHUFDGHOSXQWRRUdinario x 7DPELpQVHSXHGHREWHQHUXQDFXUYDVROXFLyQDSUR[LPDGDRQXPpULFD
XVDQGR XQ SURJUDPD FRPR VH KL]R HQ OD VHFFLyQ 3RU HMHPSOR VL VH H[DPLQDQ
FXLGDGRVDPHQWHODVVROXFLRQHVHQVHULHGHODHFXDFLyQGH$LU\GHOHMHPSORVHGHEH
ver que y1(x \y(x VRQDVXYH]ODVVROXFLRQHVGHORVSUREOHPDVGHYDORUHVLQLFLDOHV
y0 2 xy 5 0, y(0) 5 1, y9(0) 5 0,
y0 2 xy 5 0, y(0) 5 0, y9(0) 5 1.
/DV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV HVSHFL¿FDGDV ³VHOHFFLRQDQ´ ODV VROXFLRQHV yl(x \ y(x GH
y c0 yl(x c1y(x SXHVWRTXHGHEHVHUHYLGHQWHGHODVXSRVLFLyQEiVLFDGHVHULHV
n que y c y y c $KRUDVLHOSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFD
y
n 0 cn x
0
1
UHTXLHUHXQVLVWHPDGHHFXDFLRQHVODVXVWLWXFLyQy u en y xy 0 produce y
u xy\SRUFRQVLJXLHQWHXQVLVWHPDGHGRVHFXDFLRQHVGHSULPHURUGHQHTXLYDOHQWHDODHFXDFLyQGH$LU\HV
y
u
u
xy.
2
b) Gráfica de y2(x)
FIGURA 6.2.2 Curvas de solución
QXPpULFDSDUDOD('GH$LU\
/DVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVSDUDHOVLVWHPDHQ VRQORVGRVFRQMXQWRVGHFRQGLFLRQHV
LQLFLDOHVHQ UHHVFULWDVFRPRy u 0 y y u /DVJUi¿FDV
de yl(x \y(x TXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUDVHREWXYLHURQFRQODD\XGDGHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFD
COMENTARIOS
i (Q ORV SUREOHPDV TXH VLJXHQ QR HVSHUH SRGHU HVFULELU XQD VROXFLyQ HQ WpUPLQRV
GHODQRWDFLyQGHVXPDHQFDGDFDVR$XQFXDQGRVHSXHGDQJHQHUDUWDQWRVWpUPLn
nos como se desee en una solución en serie y
n 0 cn x ya sea usando una relaFLyQGHUHFXUUHQFLDRFRPRHQHOHMHPSORSRUPXOWLSOLFDFLyQSRGUtDQRVHUSRVLEOH
GHGXFLUQLQJ~QWpUPLQRJHQHUDOSDUDORVFRH¿FLHQWHVcn3RGUtDPRVWHQHUTXHFRQIRU
PDUQRVFRPRVHKL]RHQORVHMHPSORV\FRQORVSULPHURVWpUPLQRVGHODVHULH
ii 8Q SXQWR x0 HV XQ SXQWR RUGLQDULR GH XQD (' OLQHDO no homogénea de segundo orden y P(x y Q(x y f(x VLP(x Q(x \f [ VRQDQDOtWLFDVHQ
x0 $GHPiV HO WHRUHPD VH DPSOtD D HVWD FODVH GH (' HQ RWUDV SDODEUDV
podemos encontrar soluciones en serie de potencias y
x0 ) n de
n 0 cn (x
('OLQHDOHVQRKRPRJpQHDVGHODPLVPDPDQHUDTXHHQORVHMHPSORVDO9HD
HOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV
EJERCICIOS 6.2
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-9.
(QORVSUREOHPDV\VLQUHDOPHQWHUHVROYHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDHQFXHQWUHXQYDORUPtQLPRSDUDHOUDGLRGHFRQvergencia de las soluciones en serie de potencias alrededor del
punto ordinario x (QWRUQRDOSXQWRRUGLQDULRx 1. (x y xy y 0
2. (x x y xy 4y 0
(QORVSUREOHPDVGHWHUPLQHGRVVROXFLRQHVHQVHULHVGHSRWHQcias de la ecuación diferencial dada en torno al punto ordinario x Compare las soluciones en series con las soluciones de la ecuación
GLIHUHQFLDOREWHQLGDXVDQGRHOPpWRGRGHODVHFFLyQ7UDWHGH
H[SOLFDUFXDOTXLHUGLIHUHQFLDHQWUHODVGRVIRUPDVGHVROXFLRQHV
3. y y 0
4. y y 0
5. y y 0
6. y y 0
252
O
CAPÍTULO 6
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
(QORVSUREOHPDVHQFXHQWUHGRVVHULHVGHSRWHQFLDVGHOD
ecuación diferencial dada alrededor del punto ordinario x 7. y xy 0
8. y x y 0
9. y xy y 0
10. y xy y 0
11. y x y xy 0
12. y xy y 0
13. (x y y 0
14. (x y xy y 0
28. ¢(V x = 0 un punto ordinario de la ecuación diferencial
y0 1 5xy9 1 Ïxy 5 0?
Tarea para el laboratorio de computación
15. y (x y y 0
29. a) 'HWHUPLQHGRVVROXFLRQHVHQVHULHGHSRWHQFLDVSDUD
y xy y 0 y exprese las soluciones y1(x \
y(x HQWpUPLQRVGHODQRWDFLyQGHVXPD
16. (x y 6y 0
17. (x y xy y 0
18. (x y xy y 0
(QORVSUREOHPDVXVHHOPpWRGRGHVHULHVGHSRWHQFLDV
SDUDUHVROYHUHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV
20. (x y x y y y y 1
21. y xy 8y y y 0
22. (x y xy y y 1
(QORVSUREOHPDV\XVHHOSURFHGLPLHQWRGHOHMHPSOR
para encontrar dos soluciones en serie de potencias de la ecuación diferencial alrededor del punto ordinario x 24. y e x y y 0
Problemas para analizar
25. Sin resolver en su totalidad la ecuación diferencial
(cos x y y 5y HQFXHQWUHXQYDORUPtQLPRSDUD
el radio de convergencia de las soluciones en serie de potencias alrededor de a x (QWRUQRDx 26. ¢&yPRVHSXHGHXVDUHOPpWRGRGHVFULWRHQHVWDVHFFLyQ
para encontrar una solución en serie de potencias de la
ecuación no homogénea y xy 1 alrededor del punto
ordinario x "¢'Hy 4xy 4y ex"/OHYHDFDER
VXVLGHDVDOUHVROYHUDPEDV('
6.3
b) 8VHXQ6$&SDUDJUD¿FDUODVVXPDVSDUFLDOHVSN(x para y1(x 8VHN 5HSLWDFRQODV
sumas parciales SN(x SDUDy(x c) &
RPSDUHODVJUi¿FDVREWHQLGDVHQHOLQFLVRE FRQOD
curva obtenida por medio de un programa de solución
QXPpULFD 8VH ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV y 1 y1 0 y y y 19. (x y xy y y y 6
23. y (sen x y 0
27. ¢(Vx 0 un punto ordinario o singular de la ecuación diferencial xy (sen x y "'H¿HQGDVXUHVSXHVWDFRQ
PDWHPiWLFDV FRQYLQFHQWHV >Sugerencia: 8WLOLFH OD VHULH
de Maclaurin de sen x\GHVSXpVH[DPLQH VHQx x@
d) Reexamine la solución y1(x GHOLQFLVRD ([SUHVH
HVWDVHULHFRPRXQDIXQFLyQHOHPHQWDO'HVSXpVXVH
ODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQSDUDHQFRQWUDUXQD
VHJXQGD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ &RPSUXHEH TXH
esta segunda solución es la misma que la solución
en serie de potencias y(x 30. a) (QFXHQWUHXQWpUPLQRGLIHUHQWHGHFHURSDUDFDGDXQD
de las soluciones y1(x \y(x GHOHMHPSOR
b) 'HWHUPLQHXQDVROXFLyQHQVHULHy(x GHOSUREOHPDGH
valor inicial y (cos x y y y c) 8
VHXQ6$&SDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGHODVVXPDVSDUciales SN(x SDUDODVROXFLyQy(x GHOLQFLVRE 8VH
N d) &RPSDUH ODV JUi¿FDV REWHQLGDV HQ HO LQFLVR F FRQ
la curva obtenida usando un programa de solución
QXPpULFDSDUDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHO
LQFLVRE SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES
INTRODUCCIÓN /DVGRVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV
y xy 0
y
xy y 0
VRQ VLPLODUHV VyOR HQ TXH VRQ HMHPSORV GH (' OLQHDOHV VLPSOHV GH VHJXQGR RUGHQ FRQ FRH¿FLHQWHV YDULDEOHV (VR HV WRGR OR TXH WLHQHQ HQ FRP~Q 'HELGR D TXH x 0 es un punto ordinario de
y xy YLPRVHQODVHFFLyQDQWHULRUTXHQRKXERSUREOHPDHQHQFRQWUDUGRVVROXFLRQHVHQVHULH
GHSRWHQFLDVGLVWLQWDVFHQWUDGDVHQHVHSXQWR(QFRQWUDVWHGHELGRDTXHx 0 es un punto singular
de xy y HQFRQWUDUGRVVROXFLRQHVHQVHULHVLQ¿QLWDV²REVHUYHTXHQRVHGLMRHQseries de potencias—GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDODOUHGHGRUGHHVHSXQWRVHYXHOYHXQDWDUHDPiVGLItFLO
(OPpWRGRGHVROXFLyQDQDOL]DGRHQHVWDVHFFLyQQRVLHPSUHSURGXFHGRVVROXFLRQHVHQVHULHVLQ¿QLWDV&XDQGRVyORVHHQFXHQWUDXQDVROXFLyQVHSXHGHXVDUODIyUPXODGDGDHQ GHODVHFFLyQSDUD
HQFRQWUDUXQDVHJXQGDVROXFLyQ
6.3
SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES
UNA DEFINICIÓN
O
253
8QSXQWRVLQJXODUx0 de una ecuación diferencial lineal
a2 (x)y
a1 (x)y
a0 (x)y
0
VHFODVL¿FDPiVELHQFRPRUHJXODURLUUHJXODU/DFODVL¿FDFLyQGHQXHYRGHSHQGHGH
las funciones P y QHQODIRUPDHVWiQGDU
y
DEFINICIÓN 6.3.1
P(x)y
Q(x)y
0. Puntos singulares regulares e irregulares
Se dice que un punto singular x x0 es un punto singular regular de la ecuaFLyQGLIHUHQFLDO O VLODVIXQFLRQHVp(x (x – x0 P(x \q(x (x x0 Q(x VRQDQDOtWLFDVHQx08QSXQWRVLQJXODUTXHQRHVUHJXODUHVXQpunto singular
irregularGHODHFXDFLyQ
(OVHJXQGRHQXQFLDGRHQODGH¿QLFLyQLQGLFDTXHVLXQDRDPEDVIXQFLRQHVp(x (x x0 P (x \q(x (x x0 Q(x QRVRQDQDOtWLFDVHQx0HQWRQFHVx0 es un punto
VLQJXODULUUHJXODU
COEFICIENTES POLINOMIALES &RPRHQODVHFFLyQHVWDPRVSULQFLSDOPHQWH
LQWHUHVDGRVHQHFXDFLRQHVOLQHDOHV GRQGHORVFRH¿FLHQWHVa(x al(x \a0(x VRQ
SROLQRPLDOHVVLQIDFWRUHVFRPXQHV<DVHKDYLVWRTXHVLa(x0 HQWRQFHVx x0 es
XQSXQWRVLQJXODUGH \DTXHDOPHQRVXQDGHODVIXQFLRQHVUDFLRQDOHVP(x al(x a
(x \Q(x a0(x a(x HQODIRUPDHVWiQGDU QRHVDQDOtWLFDHQHVHSXQWR3HURFRPR
a(x HVXQSROLQRPLR\x0HVXQDGHVXVUDtFHVVHGHGXFHGHOWHRUHPDGHOIDFWRUGHO
iOJHEUDTXHx x0 es un factor de a(x (VWRVLJQL¿FDTXHGHVSXpVGHTXHal(x a(x \
a0(x a(x VHUHGXFHQDWpUPLQRVPtQLPRVHOIDFWRUx x0GHEHSHUPDQHFHUSDUDDOJXQDSRWHQFLDHQWHUDSRVLWLYDHQXQRRHQDPERVGHQRPLQDGRUHV$KRUDVXSRQJDTXH
x x0HVXQSXQWRVLQJXODUGH SHURDPEDVIXQFLRQHVGH¿QLGDVSRUORVSURGXFWRV
p(x (x x0 P(x \q(x (x x0 Q(x VRQDQDOtWLFDVHQx0/OHJDPRVDODFRQFOXsión de que multiplicar P(x SRUx x0 y Q(x SRU x x0 tiene el efecto (por eliminaFLyQ GHTXHx x0\DQRDSDUH]FDHQQLQJXQRGHORVGHQRPLQDGRUHV$KRUDVHSXHGH
determinar si x0HVUHJXODUFRQXQDFRPSUREDFLyQYLVXDOUiSLGDGHORVGHQRPLQDGRUHV
Si x x0 aparece DORPiV a la primera potencia en el denominador de P(x) y a
ORPiV a la segunda potencia en el denominador de Q(x), entonces x x0 es un
punto singular regular.
$GHPiVREVHUYHTXHVLx x0 es un punto singular regular y se multiplica la ecuación
SRU x x0 HQWRQFHVOD('RULJLQDOVHSXHGHHVFULELUHQODIRUPD
x0)2 y
(x
(x
x0)p(x)y
0, q(x)y
donde p y qVRQDQDOtWLFDVHQx x0
EJEMPLO 1
&ODVL¿FDFLyQGHSXQWRVVLQJXODUHV
Se debe aclarar que x \x VRQSXQWRVVLQJXODUHVGH
(x2
4) 2 y
3(x
2)y
5y
0.
'HVSXpV GH GLYLGLU OD HFXDFLyQ SRU x (x (x FRH¿FLHQWHVDORVWpUPLQRVPtQLPRVVHHQFXHQWUDTXH
P(x)
(x
3
2)(x
2)
2
y
Q(x)
$KRUDVHSUXHEDP(x \Q(x HQFDGDSXQWRVLQJXODU
(x
5
2) (x
2
y de reducir los
.
2)2
254
O
CAPÍTULO 6
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
3DUDTXHx VHDXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUHOIDFWRUx SXHGHDSDUHFHUHOHYDGR
a la primera potencia en el denominador de P(x \DORPiVDODVHJXQGDSRWHQFLDHQHOGHnominador de Q(x 8QDFRPSUREDFLyQGHORVGHQRPLQDGRUHVGHP(x \Q(x PXHVWUDTXH
DPEDVFRQGLFLRQHVVHVDWLVIDFHQSRUORTXHx HVXQSXQWRVLQJXODUUHJXODU(QIRUPD
DOWHUQDWLYDOOHJDPRVDODPLVPDFRQFOXVLyQDOQRWDUTXHDPEDVIXQFLRQHVUDFLRQDOHV
3
5
y q(x) (x 2)2 Q(x)
p(x) (x 2)P(x)
(x 2)2
(x 2)2
VRQDQDOtWLFDVHQx $KRUDSXHVWRTXHHOIDFWRUx ( x DSDUHFHDODVHJXQGDSRWHQFLDHQ
el denominador de P(x VHFRQFOX\HGHLQPHGLDWRTXHx HVXQSXQWRVLQJXODU
LUUHJXODUGHODHFXDFLyQ(VWRWDPELpQVHGHGXFHGHOKHFKRGHTXH
p(x)
(x
2)P(x)
3
2)(x
(x
2)
HVQRDQDOtWLFDHQx (QHOHMHPSORREVHUYHTXHFRPRx HVXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUODHFXDFLyQ
original se puede escribir como
p(x) analítica
en x 2
q(x) analítica
en x 2
3
5
(x 2)2y (x 2) ––––––––2 y ––––––––2 y 0.
(x 2)
(x 2)
&RPRRWURHMHPSORVHSXHGHYHUTXHx 0 es punto singular irregular de xy xy 8y 0 por inspección de los denominadores de P(x x y Q(x 8x
3RURWURODGRx 0 es un punto singular regular de xy xy 8y SXHVWR
que x 0 y (x incluso no aparecen en los denominadores respectivos de
P(x \Q(x 8x3DUDXQSXQWRVLQJXODUx x0FXDOTXLHUSRWHQFLDQRQHJDWLYDGH
x x0PHQRUTXHXQR HQSDUWLFXODUFHUR \FXDOTXLHUSRWHQFLDQRQHJDWLYDPHQRUTXH
GRV HQSDUWLFXODUFHUR\XQR HQORVGHQRPLQDGRUHVGHP(x \Q(x UHVSHFWLYDPHQWH
indican que x0HVXQSXQWRVLQJXODULUUHJXODU8QSXQWRVLQJXODUSXHGHVHUXQQ~PHUR
FRPSOHMR6HGHEHFRPSUREDUTXHx i y que x i son dos puntos singulares
regulares de (x y±xy (l x y NOTA Cualquier ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden axy bxy cy GRQGHab y cVRQFRQVWDQWHVUHDOHVWLHQHXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUHQx Se debe comprobar que dos soluciones de la ecuación de Cauchy-Euler xy xy 4y VREUHHOLQWHUYDOR VRQy1 x y y x ln x6LVHLQWHQWDHQFRQWUDUXQD
solución en serie de potencias respecto al punto singular regular x HQSDUWLFXODU
n
y
n 0 cn x VHWHQGUtDp[LWRHQREWHQHUVyORODVROXFLyQSROLQRPLDOy1 x (O
hecho de que no se obtuviera la segunda solución no es sorprendente porque ln x (y en
consecuencia y x ln x QRHVDQDOtWLFDHQx HVGHFLUy no tiene un desarrollo
en serie de Taylor centrado en x MÉTODO DE FROBENIUS 3DUDUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO UHVSHFWRD
XQSXQWRVLQJXODUUHJXODUVHHPSOHDHOVLJXLHQWHWHRUHPDGHELGRDOHPLQHQWHPDWHPiWLFRDOHPiQFerdinand Georg Frobenius TEOREMA 6.3.1
Teorema de Frobenius
Si x x0HVXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO HQWRQFHV
existe al menos una solución de la forma
y
(x
x0 ) r
n
0
cn (x
x0 ) n
cn (x
n
0
x0 ) n r,
GRQGHHOQ~PHURrHVXQDFRQVWDQWHSRUGHWHUPLQDU/DVHULHFRQYHUJHSRUOR
PHQRVVREUHDOJ~QLQWHUYDOR x – x0 R
6.3
SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES
255
O
Observe las palabras al menosHQHOSULPHUHQXQFLDGRGHOWHRUHPD(VWRVLJQL¿FD
TXHHQFRQWUDVWHFRQHOWHRUHPDHOWHRUHPDQRJDUDQWL]DTXHVHDSRVLEOHHQcontrar dosVROXFLRQHVHQVHULHGHOWLSRLQGLFDGRHQ (Ométodo de FrobeniusSDUD
encontrar soluciones en serie respecto a un punto singular regular x0HVVLPLODUDOPpWRGR
GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV GH VHULHV GH OD VHFFLyQ DQWHULRU HQ OD TXH VH VXVWLWX\H
y
x0 ) n r HQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD\VHGHWHUPLQDQORVFRH¿FLHQWHV
n 0 cn (x
desconocidos cnFRQXQDUHODFLyQGHUHFXUUHQFLD6LQHPEDUJRVHWLHQHXQDWDUHDPiVHQ
HVWHSURFHGLPLHQWRDQWHVGHGHWHUPLQDUORVFRH¿FLHQWHVVHGHEHHQFRQWUDUHOH[SRQHQWH
desconocido r6LVHHQFXHQWUDTXHrHVXQQ~PHURTXHQRHVXQHQWHURQHJDWLYRHQWRQFHV
x0 ) n r QRHVXQDVHULHGHSRWHQFLDV
la solución correspondiente y
n 0 cn (x
&RPRVHKL]RHQHODQiOLVLVGHVROXFLRQHVUHVSHFWRDSXQWRVRUGLQDULRVVLHPSUH
VXSRQGUHPRVSRUUD]RQHVGHVLPSOLFLGDGDOUHVROYHUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVTXHHO
punto singular regular es x EJEMPLO 2
Dos soluciones en series
'HELGRDTXHx 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial
3xy
y
0, y
n 0
cn x
. $KRUD
r)(n
r
1)cn x n
tratamos de encontrar una solución de la forma y
y
n 0
(n
r 1
r)cn x n
y
y
n 0
(n
n r
r 2
,
por lo que
3xy
y
y
3
n 0
n 0
(n
(n
x r r(3r
r)(n
r
1)cn x n
r)(3n
3r
2)cn x n
2)c0 x
1
r 1
n 0
r 1
n 0
2)c0 x
(k
1
n 0
1
k 0
[(k
r
r
cn x n
123
n 0
n 1
k
1)(3k
r
cn x n
3r
1)c k
1
n
ck ]x k
0,
r r c 0 0
1)(3k
r
cn x n
r
(n r)(3n 3r 2)cn x n 1
1444442444443
lo que implica que
y
r)cn x n
n 1
k
x r r(3r
(n
3r
1)ck
1
0,
ck
k
0, 1, 2, . . .
Ya que no se ha ganado nada al hacer c0 HQWRQFHVGHEHPRVWHQHU
y
ck
1
(k
r
r(3r 2) 0 ck
,
1)(3k 3r 1)
k
0, 1, 2, . . . &XDQGRVHVXVWLWX\HHQ ORVGRVYDORUHVGHrTXHVDWLVIDFHQODHFXDFLyQFXDGUiWLFD
r1 23 y r VHREWLHQHQGRVUHODFLRQHVGHUHFXUUHQFLDGLIHUHQWHV
r1
2
3,
ck
1
r2
0,
ck
1
(3k
ck
5)(k
1)
(k
ck
1)(3k
1)
,
k
0, 1, 2, . . .
,
k
0, 1, 2, . . . . 256
O
CAPÍTULO 6
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
'H HQFRQWUDPRV
c1
c2
c3
'H HQFRQWUDPRV
c0
c1
5 1
c0
c1
8 2 2!5 8
c0
c2
11 3 3!5 8 11
c4
c3
14 4
cn
c0
n!5 8 11
c2
c3
c0
4!5 8 11 14
c4
.
(3n
cn
2)
c0
1 1
c1
2 4
c2
3 7
c3
4 10
c0
2!1 4
c0
3!1 4 7
c0
4!1 4 7 10
c0
n!1 4 7
(3n
2)
.
$TXtVHHQFXHQWUDDOJRTXHQRRFXUULyFXDQGRVHREWXYLHURQVROXFLRQHVUHVSHFWRDXQ
SXQWRRUGLQDULRVHWLHQHORTXHSDUHFHQVHUGRVFRQMXQWRVGHFRH¿FLHQWHVGLIHUHQWHV
SHURFDGDFRQMXQWRFRQWLHQHHOmismoP~OWLSORc06LVHRPLWHHVWHWpUPLQRODVVROXciones en serie son
y1 (x)
x2/ 3 1
y2 (x)
x0 1
n
1 n!5 8 11
1
(3n
1
n
1 n!1 4 7
(3n
xn
xn . 2)
2)
&RQHOFULWHULRGHODUD]yQVHSXHGHGHPRVWUDUTXH \ FRQYHUJHQSDUDWRGRVORV
valores de xHVGHFLU x
7DPELpQGHEHVHUHYLGHQWHGHODIRUPDGHHVWDVVROXFLRQHVTXHQLQJXQDVHULHHVXQP~OWLSORFRQVWDQWHGHODRWUD\SRUWDQWRy1(x \y(x VRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVHQWRGRHOHMHx$VtSRUHOSULQFLSLRGHVXSHUSRVLFLyQ
y C1 y1(x Cy(x HVRWUDVROXFLyQGH 6REUHFXDOTXLHULQWHUYDORTXHQRFRQWHQJDDORULJHQWDOFRPR HVWDFRPELQDFLyQOLQHDOUHSUHVHQWDODVROXFLyQJHQHUDO
GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
ECUACIÓN INDICIAL /DHFXDFLyQ VHOODPDecuación indicial del problema y
los valores r1 23 y r 0 se llaman raíces indicialesRexponentesGHODVLQJXODULGDG
n r
x (QJHQHUDOGHVSXpVGHVXVWLWXLU y
en la ecuación diferencial dada
n 0 cn x
\VLPSOL¿FDQGRODHFXDFLyQLQGLFLDOHVXQDHFXDFLyQFXDGUiWLFDHQr que resulta de iguaODUDFHURHOFRH¿FLHQWHWRWDOGHODSRWHQFLDPtQLPDGH[6HHQFXHQWUDQORVGRVYDORUHV
de r\VHVXVWLWX\HQHQXQDUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDFRPR (OWHRUHPDJDUDQWL]D
TXHDOPHQRVVHSXHGHHQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHODVXSXHVWDIRUPDHQVHULH
n r en la
Es posible obtener la ecuación indicial antes de sustituir y
n 0 cn x
HFXDFLyQGLIHUHQFLDO6Lx HVXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUGH HQWRQFHVSRUODGH¿QLFLyQDPEDVIXQFLRQHVp(x xP(x \q(x xQ(x GRQGHP y QVHGH¿QHQSRUOD
IRUPDHVWiQGDU VRQDQDOtWLFDVHQx HVGHFLUORVGHVDUUROORVHQVHULHGHSRWHQFLDV
p(x)
q(x)
xP(x) a0 a1 x a2 x2
x2 Q(x) b0 b1 x b2 x2
y
VRQYiOLGDVVREUHLQWHUYDORVTXHWLHQHQXQUDGLRGHFRQYHUJHQFLDSRVLWLYR0XOWLSOLFDQGR
SRUxVHREWLHQHODIRUPDGDGDHQ x2 y
x[xP(x)]y
[x2 Q(x)]y
0. 6.3
SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES
O
257
n r
'HVSXpVGHVXVWLWXLU y
\ODVGRVVHULHVHQODVHFXDFLRQHV \ \
n 0 cn x
UHDOL]DQGRODPXOWLSOLFDFLyQHQODVHULHVHHQFXHQWUDTXHODHFXDFLyQLQGLFLDOJHQHUDOHV
r(r
1)
a0 r
0,
b0
donde a0 y b0VRQFRPRVHGH¿QHHQ 9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV
EJEMPLO 3
Dos soluciones en series
5HVXHOYDxy (1 x y y SOLUCIÓN Sustituyendo y
n 0
cn xn
r
se obtiene
2xy (1 x)y y 2 (n r)(n r 1)cn x nr1 (n r)cn x nr1
n0
n0
n0
n0
(n r)cn x nr cn x nr
(n r)(2n 2r 1)cn x nr1 (n r 1)cn x nr
n0
n0
[
n1
n0
]
xr r(2r 1)c0 x1 (n r)(2n 2r 1)cn x n1 (n r 1)cn x n
kn1
[
k0
1)
r(2r
lo que implica que
(k
1)(2k
r
2r
0
1)ck
(k
1
r
1)ck
k 'H YHPRVTXHODVUDtFHVLQGLFLDOHVVRQ r1
3DUD r1
1
2
se puede dividir entre k
ck
1
]
[(k r 1)(2k 2r 1)ck1 (k r 1)ck]xk ,
xr r(2r 1)c0 x1 y
kn
ck
2(k
,
1)
3
2 HQ
k
0, 1
2
y r SDUDREWHQHU
0, 1, 2, . . . , mientras que para r VHFRQYLHUWHHQ
ck
1
ck
2k
,
1
'H HQFRQWUDPRV
c1
c2
c3
c4
cn
c0
2 1
c1
c0
2 2 22 2!
c2
c0
2 3 23 3!
c3
c0
2 4 24 4!
( 1) n c0
.
2n n!
0, 1, 2, . . . . k
'H HQFRQWUDPRV
c1
c2
c3
c4
cn
c0
1
c1
3
c2
5
c3
7
c0
1 3
c0
1 3 5
c0
1 3 5 7
( 1) n c0
1 3 5 7
(2n
1)
.
258
O
CAPÍTULO 6
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
1
2
3RUORTXHSDUDODUDt]LQGLFLDO r1
x1/2 1
y1 (x)
n
se obtiene la solución
( 1) n n
x
n
1 2 n!
( 1) n n
x
n
0 2 n!
n
1/2
,
donde de nuevo se omitió c0(VWDVHULHFRQYHUJHSDUDx FRPRVHKDGDGRODVHULH
QRHVWiGH¿QLGDSDUDYDORUHVQHJDWLYRVGHx debido a la presencia de x13DUDr una segunda solución es
y2 (x)
1
n
( 1) n
(2n
11 3 5 7
1)
xn,
.
x
6REUHHOLQWHUYDOR ODVROXFLyQJHQHUDOHVy C1 y1(x Cy(x EJEMPLO 4
Sólo una solución en serie
Resuelva xy y SOLUCIÓN 'HxP(x xQ(x x y el hecho de que 0 y x son sus propias series
GHSRWHQFLDVFHQWUDGDVHQVHFRQFOX\HTXHa0 0 y b0 SRUWDQWRGHODHFXDFLyQ
ODHFXDFLyQLQGLFLDOHVr (r 6HGHEHFRPSUREDUTXHODVGRVUHODFLRQHVGH
UHFXUUHQFLDFRUUHVSRQGLHQWHVDODVUDtFHVLQGLFLDOHVr1 1 y r 0 producen exactaPHQWHHOPLVPRFRQMXQWRGHFRH¿FLHQWHV(QRWUDVSDODEUDVHQHVWHFDVRHOPpWRGRGH
Frobenius produce sólo una solución en serie
y1(x)
( 1) n
xn
n!(n 1)!
n 0
1
x
1 2
x
2
1 3
x
12
1 4
x
144
.
TRES CASOS 3RUUD]RQHVGHDQiOLVLVGHQXHYRVHVXSRQHTXHx 0 es un punto sinJXODUUHJXODUGHODHFXDFLyQ \TXHODVUDtFHVLQGLFLDOHVr1 y r de la singularidad son
UHDOHV&XDQGRXVDPRVHOPpWRGRGH)UREHQLXVVHGLVWLQJXHQWUHVFDVRVTXHFRUUHVSRQGHQDODQDWXUDOH]DGHODVUDtFHVLQGLFLDOHVr1 y r(QORVGRVSULPHURVFDVRVHOVtPERORr1
GHQRWDODPiVJUDQGHGHGRVUDtFHVGLVWLQWDVHVGHFLUr1 r(QHO~OWLPRFDVRr1 r
CASO I: Si r1 y r son distintas y la diferencia r1 – rQRHVXQHQWHURSRVLWLYRHQWRQFHVH[LVWHQGRVVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHODHFXDFLyQ GHODIRUPD
y1(x)
n
0
cn xn
r1
,
c0
0,
y2(x)
n
0
bn xn
r2
,
b0
0.
(VWHHVHOFDVRTXHVHLOXVWUDHQORVHMHPSORV\
$FRQWLQXDFLyQVXSRQHPRVTXHODGLIHUHQFLDGHODVUDtFHVHVNGRQGHN es un
HQWHURSRVLWLYR(QHVWHFDVRODVHJXQGDVROXFLyQpodríaFRQWHQHUXQORJDULWPR
CASO II: Si r1 y r son distintas y la diferencia r1 – rHVXQHQWHURSRVLWLYRHQWRQFHV
H[LVWHQGRVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQ OLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHODIRUPD
y1 (x)
y2 (x)
n 0
cn xn r1,
Cy1(x) ln x
c0
n 0
0,
bn xn
,
r2
b0
0, donde CHVXQDFRQVWDQWHTXHSRGUtDVHUFHUR
)LQDOPHQWH HQ HO ~OWLPR FDVR HO FDVR FXDQGR r1 r XQD VHJXQGD VROXFLyQ
siempre WLHQH XQ ORJDULWPR /D VLWXDFLyQ HV VLPLODU D OD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GH
&DXFK\(XOHUFXDQGRODVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUVRQLJXDOHV
6.3
SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES
O
259
CASO III: Si r1 y rVRQLJXDOHVHQWRQFHVH[LVWHQGRVVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHODHFXDFLyQ GHODIRUPD
y1(x)
cn x n r1,
y2 (x)
y1(x) ln x
0,
c0
n 0
n 1
bn x n
r1
.
DETERMINACIÓN DE UNA SEGUNDA SOLUCIÓN Cuando la diferencia r1 – r
HV XQ HQWHUR SRVLWLYR FDVR ,, VH podría o no encontrar dos soluciones de la forma
n r (VWRHVDOJRTXHQRVHVDEHFRQDQWLFLSDFLyQSHURVHGHWHUPLQDGHVy
n 0 cn x
SXpVGHKDEHUHQFRQWUDGRODVUDtFHVLQGLFLDOHV\KDEHUH[DPLQDGRFRQFXLGDGRODUHODFLyQ
GHUHFXUUHQFLDTXHGH¿QHQORVFRH¿FLHQWHVcn6HSRGUtDWHQHUODIRUWXQDGHHQFRQWUDUGRV
n r1
(ecuación
soluciones que impliquen sólo potencias de xHVGHFLU y1(x)
n 0 cn x
n r2
O \ y2(x)
HFXDFLyQ
FRQC
9pDVHHOSUREOHPDGHORV
b
x
n 0 n
HMHUFLFLRV3RURWURODGRHQHOHMHPSORVHYHTXHODGLIHUHQFLDGHODVUDtFHVLQGLFLDOHV
es un entero positivo (r1 – r \HOPpWRGRGH)UREHQLXVIDOODHQREWHQHUXQDVHJXQGD
VROXFLyQHQVHULH(QHVWDVLWXDFLyQODHFXDFLyQ FRQC LQGLFDTXHODVHJXQ
GDVROXFLyQVHSDUHFH3RU~OWLPRFXDQGRODGLIHUHQFLDr1 – rHVXQFHUR FDVR,,, HOPpWRGRGH)UREHQLXVQRGDXQDVROXFLyQHQVHULHODVHJXQGDVROXFLyQ VLHPSUHFRQWLHQH
XQORJDULWPR\VHSXHGHGHPRVWUDUTXHHVHTXLYDOHQWHD FRQC 8QDIRUPDGH
REWHQHUODVHJXQGDVROXFLyQFRQHOWpUPLQRORJDUtWPLFRHVXVDUHOKHFKRGHTXH
y2(x)
e
y1(x)
P( x) d x
y12(x)
dx WDPELpQHVXQDVROXFLyQGHy P(x y Q(x y VLHPSUH\FXDQGRy1(x VHDXQD
VROXFLyQFRQRFLGD(QHOHMHPSORVLJXLHQWHVHLOXVWUDFyPRXVDUODHFXDFLyQ EJEMPLO 5
Vuelta al ejemplo 4 usando un SAC
Encuentre la solución general de xy y SOLUCIÓN 'HODFRQRFLGDVROXFLyQGDGDGHOHMHPSOR
1 2
1 3
1 4
x
x
x
,
2
12
144
se puede construir una segunda solución y(x XVDQGRODIyUPXOD 4XLHQHVWHQJDQ
WLHPSRHQHUJtD\SDFLHQFLDSXHGHQUHDOL]DUHODEXUULGRWUDEDMRGHHOHYDUDOFXDGUDGRXQD
VHULHODGLYLVLyQODUJD\ODLQWHJUDFLyQGHOFRFLHQWHDPDQR3HURWRGDVHVWDVRSHUDFLR
QHVVHUHDOL]DQFRQUHODWLYDIDFLOLGDGFRQODD\XGDXQ6$&6HREWLHQHQORVUHVXOWDGRV
y1(x)
y2(x)
y1(x)
e ∫0d x
dx
[y1(x)]2
dx
y1(x)
x
1 2
x
2
1 3
x
12
1 4
x
144
2
dx
y1(x)
x2
x3
y1(x)
1
x2
1
x
y1(x)
1
x
ln x
y1(x) ln x
x
y1(x)
5 4
x
12
7
12
7
x
12
1
x
7 5
x
72
19
x
72
GHVSXpVGHHOHYDUDOFXDGUDGR
dx
GHVSXpVGHODGLYLVLyQODUJD
19 2
x
144
7
x
12
19 2
x
144
GHVSXpVGHLQWHJUDU
,
260
O
CAPÍTULO 6
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
y2(x)
o
y1 (x) ln x
1
x
2
1
1 2
x
2
.
GHVSXpVGHPXOWLSOLFDU
6REUHHOLQWHUYDOR ODVROXFLyQJHQHUDOHVy C1 y1(x Cy(x 2EVHUYHTXHODIRUPD¿QDOGHyHQHOHMHPSORFRUUHVSRQGHD FRQC 1; la serie
HQWUHSDUpQWHVLVFRUUHVSRQGHDODVXPDHQ FRQr COMENTARIOS
i /DVWUHVIRUPDVGLVWLQWDVGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ
HQ \ VHXVDURQSDUDDQDOL]DUYDULRVFRQFHSWRVWHyULFRV3HURDQLYHO
SUiFWLFRFXDQGRVHWLHQHTXHUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFRQHOPpWRGR
GH)UREHQLXVVHUHFRPLHQGDWUDEDMDUFRQODIRUPDGHOD('GDGDHQ ii &XDQGRODGLIHUHQFLDGHODVUDtFHVLQGLFLDOHVr1 – r es un entero positivo
(r1 r DYHFHVGDUHVXOWDGRLWHUDUODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDXVDQGRSULPHUR
ODUDt]rPiVSHTXHxD9pDQVHORVSUREOHPDV\HQORVHMHUFLFLRV
iii 'HELGRDTXHXQDUDt]LQGLFLDOrHVXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQFXDGUiWLFD
pVWDSRGUtDVHUFRPSOHMD6LQHPEDUJRHVWHFDVRQRVHDQDOL]D
iv 6Lx HVSXQWRVLQJXODULUUHJXODUHQWRQFHVHVSRVLEOHTXHQRVHHQFXHQWUH
n r
ningunaVROXFLyQGHOD('GHODIRUPD y
.
n 0 cn x
EJERCICIOS 6.3
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-9.
(QORVSUREOHPDVGHWHUPLQHORVSXQWRVVLQJXODUHVGHOD
HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD&ODVL¿TXHFDGDSXQWRVLQJXODUFRPR
UHJXODURLUUHJXODU
1. x y 4x y y 0
(QORVSUREOHPDV\x 0 es un punto singular regular de
ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD8VHODIRUPDJHQHUDOGHODHFXDFLyQLQGLFLDOHQ SDUDHQFRQWUDUODVUDtFHVLQGLFLDOHVGHOD
VLQJXODULGDG6LQUHVROYHULQGLTXHHOQ~PHURGHVROXFLRQHVHQ
VHULHTXHVHHVSHUDUtDHQFRQWUDUXVDQGRHOPpWRGRGH)UREHQLXV
( 53 x
)
2. x(x y y 0
13. x 2 y
3. (x y (x y y 0
14. xy y 10y 0
1
1
y
y 0
x
(x 1) 3
5. (x 4x y xy 6y 0
6. x (x y 4xy (x y 0
(QORVSUREOHPDVx 0 es un punto singular regular de
ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO0XHVWUHTXHODVUDtFHVLQGLFLDOHVGHOD
VLQJXODULGDGQRGL¿HUHQSRUXQHQWHUR8VHHOPpWRGRGH)UREH
nius para obtener dos soluciones en serie linealmente independientes respecto a x )RUPHODVROXFLyQJHQHUDOVREUH 7. (x x y (x y (x y 0
15. xy y y 0
8. x(x y y 0
16. xy 5y xy 0
9. x (x x y x(x y x y 0
17. 4xy
4. y
1
3
x2 y
1
2y
y
y
0
0
10. (x x x y x(x y (x y 0
18. x y xy (x y 0
(QORVSUREOHPDV\HVFULEDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD
HQODIRUPD SDUDFDGDSXQWRVLQJXODUUHJXODUGHODHFXDFLyQ
,GHQWL¿TXHODVIXQFLRQHVp(x \q(x 19. xy x y y 0
11. (x y 5(x y (x x y 0
21. xy x y y 0
12. xy (x y x y 0
22. x2 y
20. x2 y
(x
xy
2
9
)y
(x2
0
4
9
)y
0
6.3
23. 9x y 9x y y 0
24. x y xy x y 0
(QORVSUREOHPDVx 0 es un punto singular regular de
OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD 'HPXHVWUH TXH ODV UDtFHV LQGLFLDOHVGHODVLQJXODULGDGGL¿HUHQSRUXQHQWHUR8VHHOPpWRGR
de Frobenius para obtener al menos una solución en serie respecto a x 8VHODHFXDFLyQ GRQGHVHDQHFHVDULR\XQ
6$& FRPR VH LQGLFD SDUD HQFRQWUDU XQD VHJXQGD VROXFLyQ
)RUPHODVROXFLyQJHQHUDOVREUH 25. xy y xy 0
26. x2y
xy
(x2
1
4
)y
3
28. y
y
2y 0
x
30. xy y y 0
29. xy (1 x y y 0
(QORVSUREOHPDV\x 0 es un punto singular regular de
ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD'HPXHVWUHTXHODVUDtFHVLQGLFLDOHVGHODVLQJXODULGDGGL¿HUHQSRUXQHQWHUR8VHODUHODFLyQGH
UHFXUUHQFLDHQFRQWUDGDSRUHOPpWRGRGH)UREHQLXVSULPHURFRQ
ODUDt]PiVJUDQGHr1¢&XiQWDVVROXFLRQHVHQFRQWUy"$FRQWLQXDFLyQXVHODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDFRQODUDt]PiVSHTXHxD
r¢&XiQWDVVROXFLRQHVHQFRQWUy"
d 2y
dt 2
2 dy
t dt
y
Py
0,
0,
y
y(0)
0, y(L)
0,
y(a)
0,
y(b)
donde Pb 4EI 0 8VH ORV UHVXOWDGRV GHO SUREOHPD
SDUDHQFRQWUDUODVFDUJDVFUtWLFDVPn para la columna
FyQLFD8VHXQDLGHQWLGDGDSURSLDGDSDUDH[SUHVDUORV
modos de pandeo yn(x FRPRXQDVRODIXQFLyQ
b) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHOSULPHUPRGRGH
pandeo y1(x FRUUHVSRQGLHQWH D OD FDUJD GH (XOHU P1
cuando b 11 y a y
P
x=a
b−a=L
y = cx
L
x=b
x
Modelo matemático
34. Pandeo de una columna cónica (QHOHMHPSORGHOD
VHFFLyQYLPRVTXHFXDQGRXQDIXHU]DFRPSUHVLYDYHUtical constante o carga P se aplica a una columna delgada
GHVHFFLyQWUDQVYHUVDOXQLIRUPHODGHÀH[LyQy(x IXHXQD
solución del problema con valores en la frontera
d 2y
dx 2
d 2y
dx 2
0,
que ahora tiene un punto singular regular en t b) 8VHHOPpWRGRGHHVWDVHFFLyQSDUDHQFRQWUDUGRVVROXFLRQHVHQVHULHGHODVHJXQGDHFXDFLyQGHOLQFLVRD alrededor de un punto singular regular t c) Exprese cada solución en serie de la ecuación original
HQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV
EI
x4
32. x(x y y y 0
33. a) /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOx 4y y 0 tiene un punto
singular irregular en x 'HPXHVWUHTXHODVXVWLWXción t lxSURGXFHOD('
261
O
a) En este problema se supone que la columna es de
longitud LHVWiDELVDJUDGDHQDPERVH[WUHPRVWLHQH
secciones transversales circulares y es cónica como se
PXHVWUDHQOD¿JXUD D 6LODFROXPQDXQFRQR
WUXQFDGRWLHQHXQD¿ODPLHQWROLQHDOy cxFRPRVH
PXHVWUDHQODVHFFLyQWUDQVYHUVDOGHOD¿JXUD E el momento de inercia de una sección transversal resSHFWRDXQHMHSHUSHQGLFXODUDOSODQRxy es I 14 r4 donde r y y y cx3RUWDQWRHVFULELPRVI(x I0
(xb 4GRQGH I0 I(b) 14 (cb)4 Sustituyendo I(x HQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQ YHPRVTXHODGHÀH[LyQHQHVWHFDVRVHGHWHUPLQDGHO39)
0
27. xy xy y 0
31. xy (x y y 0
SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES
0. /DVXSRVLFLyQDTXtHVTXHODFROXPQDHVWiDELVDJUDGDHQ
DPERV H[WUHPRV /D FROXPQD VH SDQGHD VyOR FXDQGR OD
IXHU]DFRPSUHVLYDHVXQDFDUJDFUtWLFDPn
a)
b)
FIGURA 6.3.1 &ROXPQDFyQLFDGHOSUREOHPD
Problemas para analizar
35. $QDOLFHFyPRGH¿QLUtDXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUSDUDOD
ecuación diferencial lineal de primer orden
a3 (x)y
a2 (x)y
a1 (x)y
a0 (x)y
0.
36. Cada una de las ecuaciones diferenciales
x3 y
y
0
y
x2 y
(3x
1)y
y
0
tiene un punto singular irregular en x 'HWHUPLQHVL
HOPpWRGRGH)UREHQLXVSURGXFHXQDVROXFLyQHQVHULHGH
cada ecuación diferencial alrededor de x $QDOLFH\
H[SOLTXHVXVKDOOD]JRV
37. Se ha visto que x 0 es un punto singular regular de cualquier ecuación de Cauchy-Euler axy bxy cy ¢(VWiQUHODFLRQDGDVODHFXDFLyQLQGLFLDO SDUDXQDHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHU\VXHFXDFLyQDX[LOLDU"$QDOLFH
262
CAPÍTULO 6
O
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
FUNCIONES ESPECIALES
6.4
INTRODUCCIÓN En los ComentariosDO¿QDOGHODVHFFLyQPHQFLRQDPRVODUDPDGHODVPDWHPiWLFDVFRQRFLGDFRPRfunciones especiales4XL]iVXQPHMRUWtWXORSDUDHVWHFDPSRGHODVPDWHPiWLFDV
DSOLFDGDVSRGUtDVHUIXQFLRQHVFRQQRPEUHSRUTXHPXFKDVGHODVIXQFLRQHVHVWXGLDGDVWLHQHQQRPEUHV
SURSLRVIXQFLRQHVGH%HVVHOIXQFLRQHVGH/HJHQGUHIXQFLRQHVGH$LU\SROLQRPLRVGH&KHE\VKHYSROLQRPLRVGH+HUPLWHSROLQRPLRVGH/DJXHUUHIXQFLyQKLSHUJHRPpWULFDGH*DXVVIXQFLRQHVGH0DWKLHX
HWFpWHUD+LVWyULFDPHQWHODVIXQFLRQHVHVSHFLDOHVIXHURQFRQIUHFXHQFLDVXESURGXFWRVGHODQHFHVLGDG
DOJXLHQQHFHVLWDEDXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOPX\HVSHFLDOL]DGD\SRGtDGLVFHUQLUPXFKDV
SURSLHGDGHVGHODIXQFLyQDSDUWLUGHODIRUPDGHODVHULHGHODVROXFLyQ
(QHVWDVHFFLyQXWLOL]DUHPRVORVPpWRGRVGHODVVHFFLRQHV\SDUDHQFRQWUDUVROXFLRQHVGH
las dos ecuaciones diferenciales
(1
x2 y
xy
x2 )y
2xy
(x
2
2
)y
0
1)y
n(n
0
VHSUHVHQWDQHQHVWXGLRVDYDQ]DGRVGHPDWHPiWLFDVDSOLFDGDVItVLFDHLQJHQLHUtD6HOODPDQecuación
de Bessel de orden vOODPDGDDVtHQKRQRUGHOPDWHPiWLFR\DVWUyQRPRDOHPiQFriedrich Wilhelm
Bessel TXLpQ IXH OD SULPHUD SHUVRQD HQ GHWHUPLQDU OD GLVWDQFLD H[DFWD GHO VRO D RWUD
HVWUHOOD %HVVHO HQFRQWUy SRU SULPHUD YH] XQD IRUPD HVSHFLDO GH OD HFXDFLyQ HQ VX HVWXGLR GHO
PRYLPLHQWRSODQHWDULRHOtSWLFR\SRU~OWLPRUHDOL]yXQHVWXGLRVLVWHPiWLFRGHODVSURSLHGDGHVGHODV
VROXFLRQHVGHODHFXDFLyQJHQHUDO/DHFXDFLyQGLIHUHQFLDO VHFRQRFHFRPRecuación de Legendre
de orden nOODPDGDDVtSRUHOPDWHPiWLFRIUDQFpVAdrien-Marie Legendre &XDQGR
UHVROYHPRVODHFXDFLyQ VHVXSRQHTXH% PLHQWUDVTXHHQ VyORFRQVLGHUDUHPRVHOFDVR
cuando nHVXQHQWHURQRQHJDWLYR
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE BESSEL 'HELGRDTXHx 0 es un punto sinJXODUUHJXODUGHODHFXDFLyQGH%HVVHOVHVDEHTXHH[LVWHDOPHQRVXQDVROXFLyQGHOD
n r 6XVWLWX\HQGROD~OWLPDH[SUHVLyQHQ VHREWLHQH
forma y
.
n 0 cn x
x2y
xy
(x 2
2
)y
n 0
cn (n
c0 (r2
c0 (r2
r)(n
r
r
2
r
2
)x r
xr
1)x n
)x r
n 1
xr
r
n 0
n 1
cn [(n
cn (n
cn [(n
r) 2
r)x n
r)(n
2
]x n
r
n 0
1)
r
xr
n 0
cn x n
r 2
2
cn x n
r
n 0
(n
2
r)
]xn
xr
n 0
2
cn x n
cn x n 2.
'H VHYHTXHODHFXDFLyQLQGLFLDOHVr % GHPRGRTXHODVUDtFHVLQGLFLDOHV
son r1 % y r %&XDQGRr1 %ODHFXDFLyQ VHFRQYLHUWHHQ
xn
n 1
cnn(n
2n)xn
xn
[
n 0
xn (1
[
xn (1
cn x n
2
2n)c1x
n 2
cn n(n
k
2n)c1x
k 0
[(k
n
2n)x n
2
2)(k
n 0
k
2
]
2
cn x n
n
2n)ck
2
ck]x k
2
]
0.
6.4
FUNCIONES ESPECIALES
263
O
3RUWDQWRSRUHODUJXPHQWRXVXDOSRGHPRVHVFULELU % c1 0 y
(k
o
ck
2)(k
2
2 )ck
2
2 )
ck
2
(k
2)(k
0
ck
2
,
0, 1, 2, . . . k
/D HOHFFLyQ c1 HQ LPSOLFD TXH c3 c5 c7
0, por lo que para
k VHHQFXHQWUDGHVSXpVGHHVWDEOHFHUk nn TXH
c2n
22n(n
c2n
3RUORTXH c2
2
c2
22 2(2
c4
c6
c2n
c0
1 (1
2
c4
3(3
2
2
2 n!(1
.
) )
c0
24 1 2(1
)
)(2
)
c0
6
)
2
1
( 1) n c0
)(2
)
2n
2
2 3(1
,
(n
)(2
)
1, 2, 3, . . . .
n
)
)(3
(QODSUiFWLFDVHDFRVWXPEUDHOHJLUDc0 como
c0
2
1
(1
,
)
donde &(1 % HVODIXQFLyQJDPPD9pDVHHODSpQGLFH$3XHVWRTXHHVWD~OWLPDIXQción posee la propiedad conveniente &(1 &( VHSXHGHUHGXFLUHOSURGXFWR
LQGLFDGRHQHOGHQRPLQDGRUGH DXQWpUPLQR3RUHMHPSOR
(1
1)
(1
) (1
)
(1
2)
(2
) (2
)
(2
)(1
) (1
).
3RUWDQWRVHSXHGHHVFULELU FRPR
c2n
2
2n
n!(1
( 1) n
)(2
)
(n
) (1
2n
)
2
( 1) n
n! (1
n)
para n FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE 6LVHXVDQORVFRH¿FLHQWHVcn ape2n
nas obtenidos y r %XQDVROXFLyQHQVHULHGHODHFXDFLyQ HV y
.
n 0 c2n x
Esta solución usualmente se denota por J%(x J (x)
n 0
( 1) n
n! (1
x
n) 2
2n
Si % ODVHULHFRQYHUJHDOPHQRVVREUHHOLQWHUYDOR> 7DPELpQSDUDHOVHgundo exponente r %VHREWLHQHH[DFWDPHQWHGHODPLVPDPDQHUD
J (x)
n 0
( 1) n
n! (1
x
n) 2
2n
264
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
CAPÍTULO 6
O
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
y
J0
J1
x
_ 0. 2
_ 0. 4
2
4
6
8
/DVIXQFLRQHVJ%(x \J%(x VHOODPDQIXQFLRQHVGH%HVVHOGHSULPHUDFODVH de orden
% y %UHVSHFWLYDPHQWH'HSHQGLHQGRGHOYDORUGH% SXHGHFRQWHQHUSRWHQFLDV
negativas de x\SRUWDQWRFRQYHUJHUVREUH $KRUDVHGHEHWHQHUFXLGDGRDOHVFULELUODVROXFLyQJHQHUDOGH &XDQGR% HV
HYLGHQWHTXH \ VRQODVPLVPDV6L% 0 y r1 r % (% % no es un enWHURSRVLWLYRVHWLHQHGHOFDVR,GHODVHFFLyQTXHJ%(x \J%(x VRQVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGH VREUH \SRUWDQWRODVROXFLyQJHQHUDOVREUHHOLQWHUvalo es y c1J%(x cJ%(x 3HURVHVDEHTXHGHOFDVR,,GHODVHFFLyQTXHFXDQGR
r1 r %HVXQHQWHURSRVLWLYRpodría H[LVWLUXQDVHJXQGDVROXFLyQHQVHULHGH (QHVWHVHJXQGRFDVRVHGLVWLQJXHQGRVSRVLELOLGDGHV&XDQGR% m entero posiWLYRJm(x GH¿QLGDSRU \Jm(x QRVRQVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHV6H
puede demostrar que Jm HV XQ P~OWLSOR FRQVWDQWH GH Jm YpDVH OD SURSLHGDG i HQ OD
SiJLQD $GHPiVr1 r % puede ser un entero positivo cuando % es la mitad de
XQHQWHURSRVLWLYRLPSDU(QHVWH~OWLPRFDVRVHSXHGHGHPRVWUDUTXHJ%(x \J%(x VRQ
OLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHV(QRWUDVSDODEUDVODVROXFLyQJHQHUDOGH VREUH HV
y
FIGURA 6.4.1 Funciones de Bessel
c1 J (x)
c2 J (x),
entero. (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQODVJUi¿FDVGHy J0(x \y J1(x de primera clase para n EJEMPLO 1
$OLGHQWL¿FDU 2
la ecuación x2 y
Ecuaciones de Bessel de orden
1
4
y
xy
1
2
1
TXHODVROXFLyQJHQHUDOGH
2 ,VHSXHGHYHUGHODHFXDFLyQ
x2 14 y 0 VREUH HVy c1J1(x cJ1(x (
)
FUNCIONES DE BESSEL DE SEGUNDA CLASE Si % HQWHURODIXQFLyQGH¿nida por la combinación lineal
Y (x)
1
0. 5
_ 0. 5
_1
_ 1. 5
_2
_2. 5
_3
J (x)
y la función J%(x VRQVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGH SRUORTXHRWUDIRUPD
GHODVROXFLyQJHQHUDOGH HVy c1J%(x cY%(x VLHPSUHTXH% HQWHUR&RQIRUPH
% A m con mHQWHUR WLHQHODIRUPDLQGHWHUPLQDGD6LQHPEDUJRVHSXHGHGHPRVWUDUSRUODUHJODGH/ +{SLWDOTXHHOlím : m Y (x)H[LVWH$GHPiVODIXQFLyQ
y
Y1
Y0
J (x)
sen
cos
x
Ym (x)
lím Y (x)
:m
y Jm(x VRQVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHxy xy (x m y 3RUWDQWR
para cualquier valor de %ODVROXFLyQJHQHUDOGH VREUH VHSXHGHHVFULELUFRPR
y
2
4
6
8
FIGURA 6.4.2 Funciones de Bessel
de segunda clase para n c1 J (x)
c2Y (x).
Y%(x VHOODPDIXQFLyQGH%HVVHOGHVHJXQGDFODVHde orden %/D¿JXUDPXHVWUD
ODVJUi¿FDVGHY0(x \Y1(x EJEMPLO 2
Ecuación de Bessel de orden 3
,GHQWL¿FDQGR% 9 y % YHPRVGHODHFXDFLyQ TXHODVROXFLyQJHQHUDOGHOD
ecuación xy xy (x y VREUH HVy c 1J(x c Y (x ED RESOLUBLES EN TÉRMINOS DE FUNCIONES DE BESSEL $OJXQDVYHFHV
HVSRVLEOHFRQYHUWLUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQODHFXDFLyQ SRUPHGLRGHXQFDPELR GH YDULDEOH 3RGHPRV HQWRQFHV H[SUHVDU OD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ RULJLQDO HQ
WpUPLQRVGHIXQFLRQHVGH%HVVHO3RUHMHPSORVLVHHVWDEOHFHTXHt x HQ
x2 y
xy
(a2 x2
2
)y
0, &XDQGRUHPSOD]DPRVx por x ODVVHULHVGDGDVHQ \HQ FRQYHUJHQSDUD
x
6.4
FUNCIONES ESPECIALES
O
265
HQWRQFHVSRUODUHJODGHODFDGHQD
dy
dx
dy dt
dt dx
dy
dt
d 2y
dx 2
y
d dy dt
dt dx dx
2
d 2y
.
dt 2
3RUORTXH VHFRQYLHUWHHQ
t
2
2
d 2y
dt 2
t
dy
dt
(t2
2
)y
o
0
t2
d 2y
dt 2
t
dy
dt
(t2
2
)y
0.
/D~OWLPDHFXDFLyQHVODHFXDFLyQGH%HVVHOGHRUGHQ% cuya solución es y c1J%(t cY%(t 9ROYLHQGRDVXVWLWXLUt xHQOD~OWLPDH[SUHVLyQVHHQFXHQWUDTXHODVROXFLyQJHQHUDOGH HV
y c1 J ( x) c2Y ( x). /DHFXDFLyQ TXHVHOODPDecuación paramétrica de Bessel de orden \VXVROXFLyQJHQHUDO VRQPX\LPSRUWDQWHVHQHOHVWXGLRGHFLHUWRVSUREOHPDVFRQYDORUHV
en la frontera relacionados con ecuaciones diferenciales parciales que se expresan en
FRRUGHQDGDVFLOtQGULFDV
FUNCIONES DE BESSEL MODIFICADAS 2WUD HFXDFLyQ VHPHMDQWH D HV OD
HFXDFLyQPRGL¿FDGDGH%HVVHO de orden ,
x2 y
(x2
xy
2
)y
0. (VWD('VHSXHGHUHVROYHUHQODIRUPDTXHVHDFDEDGHLOXVWUDUSDUD (VWDYH]VL
hacemos que t ixGRQGHi HQWRQFHV VHFRQYLHUWHHQ
t2
d 2y
dt 2
t
dy
dt
(t 2
2
)y
0.
'HELGRDTXHODVVROXFLRQHVGHODXOWLPD('VRQJ%(t \Y%(t ODVVROXFLRQHVGHvalores complejosGHODHFXDFLyQ VRQJ%(ix \Y%(ix 8QDVROXFLyQGHYDORUHVUHDOHVTXHVHOODPDIXQFLyQPRGL¿FDGDGH%HVVHOGHSULPHUDFODVH de orden %HVWiGH¿QLGDHQWpUPLQRVGHJ%(ix I (x) i J (ix).
9HDHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV
/DVROXFLyQJHQHUDOGH HV
y
3
2. 5
2
1. 5
1
0. 5
I0
y 5 c1I␯ (x) 1 c2 I2␯(x), ␯ Þ no entero.
I1
I2
x
1
2
&XDQGRYHVHQWHURODVQIXQFLRQHVIn(x \In(x QRVRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHV
VREUHHOLQWHUYDOR LQ¿QLWR $QiORJDPHQWHD ODIXQFLyQPRGL¿FDGDGH%HVVHO
de segunda clase de orden % HQWHURVHGH¿QHFRPR
3
FIGURA 6.4.3 )XQFLRQHVPRGL¿FDGDV
de Bessel de primera clase para n I (x) I (x)
,
2
sen
K (x)
y para % nHQWHUR
Kn (x)
y
3
2. 5
2
1. 5
1
0. 5
K1
K2
(15)
lím K (x).
:n
'HELGRDTXHI% y K%VRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVVREUHHOLQWHUYDOR SDUD
cualquier valor de %ODVROXFLyQJHQHUDOGH VREUHHVWHLQWHUYDORHV
y
c1 I (x)
c2 K (x). (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQODVJUi¿FDVGHy I0(x y I1(x \y I(x \HQ
OD¿JXUDODVJUi¿FDVGHy K0(x y K1(x \y K(x $GLIHUHQFLDGHODVIXQx
FLRQHVGH%HVVHOGHSULPHUD\VHJXQGDFODVHODVIXQFLRQHVPRGL¿FDGDVGH%HVVHOGH
1
2
3
SULPHUD\VHJXQGDFODVHQRVRQRVFLODWRULDV/DV¿JXUDV\WDPELpQPXHVWUDQ
FIGURA 6.4.4 )XQFLRQHVPRGL¿FDGDV HOKHFKRGHTXHODVIXQFLRQHVPRGL¿FDGDVGH%HVVHOIn(x \Kn(x n «QR
de Bessel de segunda clase para n WLHQHQUDtFHVUHDOHVHQHOLQWHUYDOR 2EVHUYHWDPELpQTXHODVIXQFLRQHVPRGL¿FDK0
266
O
CAPÍTULO 6
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
das de Bessel de segunda clase Kn(x FRPRODVIXQFLRQHVGH%HVVHOGHVHJXQGDFODVH
Yn(x VRQQRDFRWDGDVFXDQGRx A 0
8QFDPELRGHYDULDEOHHQ GDODIRUPDSDUDPpWULFDGHODHFXDFLyQPRGL¿FDGD
de Bessel de orden %:
xy xy (Įx % y 0
/DVROXFLyQJHQHUDOGHOD~OWLPDHFXDFLyQVREUHHOLQWHUYDOR HV
y c1I%(Į[ cK%(Į[ EJEMPLO 3 (FXDFLyQSDUDPpWULFDPRGL¿FDGDGH%HVVHO
,GHQWL¿FDQGR Į Ȟ Į = 5 y Ȟ VH VLJXH GH TXH OD VROXFLyQ
general de la ecuación xy’’+ xy’ ± x y VREUH HV
y = c1 I(5x cK(5x 3HURRWUDHFXDFLyQLPSRUWDQWHGHELGRDTXHPXFKDV('VHDMXVWDQDVXIRUPD
PHGLDQWHHOHFFLRQHVDSURSLDGDVGHORVSDUiPHWURVHV
1
y
2a
b 2c 2 x 2c
y
a2
2
p2 c 2
y 0,
x
x2
$XQTXHQRVHGDQORVGHWDOOHVODVROXFLyQJHQHUDOGH y
x a c1 Jp (bx c )
p
0. c2Yp (bx c ) ,
se puede encontrar haciendo un cambio de las variables independiente y dependiente: z
bx c, y(x)
GHUHPSOD]DUSRUJp
EJEMPLO 4
z
b
a/c
w(z). Si pQRHVXQHQWHURHQWRQFHVYpHQ VHSXH
Usando (20)
Encuentre la solución general xy y 9y VREUH SOLUCIÓN (VFULELHQGROD('GDGDFRPR
3
9
y
y 0,
x
x
SRGHPRVKDFHUODVVLJXLHQWHVLGHQWL¿FDFLRQHVFRQ y
1
2a
b2 c 2
3,
9,
2c
2
1 y
a2
p2 c 2
0.
/DVHFXDFLRQHVSULPHUD\WHUFHUDLPSOLFDQTXHa 1 y c
ecuaciones segunda y cuarta se satisfacen haciendo b 6 y p 'H VHHQFXHQWUD
TXHODVROXFLyQJHQHUDOGHOD('VREUHHOLQWHUYDOR HV
1
2 &RQHVWRVYDORUHVODV
y
EJEMPLO 5
x 1 [c1 J2 (6x1/2)
c2Y2 (6x1/2)].
Vuelta al problema del resorte envejecido
5HFXHUGH TXH HQ OD VHFFLyQ YLPRV TXH mx ketx 0 es un moGHOR PDWHPiWLFR SDUD HO PRYLPLHQWR DPRUWLJXDGR OLEUH GH XQD PDVD HQ XQ UHVRUWH HQYHMHFLGR $KRUD VH HVWi HQ SRVLFLyQ GH HQFRQWUDU OD VROXFLyQ JHQHUDO
GH OD HFXDFLyQ 6H GHMD FRPR SUREOHPD GHPRVWUDU TXH HO FDPELR GH YDULDEOHV
6.4
s
2
k
e
Bm
FUNCIONES ESPECIALES
O
267
t / 2 WUDQVIRUPDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOUHVRUWHHQYHMHFLGRHQ
s2
d 2x
ds 2
s
dx
ds
s2 x
0.
/D~OWLPDHFXDFLyQVHUHFRQRFHFRPR FRQ% \GRQGHORVVtPERORVx y sMXHJDQ
los papeles de y y x UHVSHFWLYDPHQWH /D VROXFLyQ JHQHUDO GH OD QXHYD HFXDFLyQHV
x c1J0(s cY0(s 6LVHVXVWLWX\HQXHYDPHQWHsHQWRQFHVVHYHTXHODVROXFLyQ
general de mx ketx 0 es
x(t)
c1J0
k
e
m
B
2
t/2
c2Y0
2
k
e
m
B
t/2
.
9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV
(ORWURPRGHORDQDOL]DGRHQODVHFFLyQGHXQUHVRUWHFX\DVFDUDFWHUtVWLFDVFDPbian con el tiempo fue mx ktx 6L VH GLYLGH SRU m YHPRV TXH OD HFXDFLyQ
k
x
tx 0 HVXQDIRUPDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH$LU\9HDODSiJLQD
m
/DVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH$LU\WDPELpQVHSXHGHHVFULELUHQ
WpUPLQRVGHIXQFLRQHVGH%HVVHO9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV
PROPIEDADES 6HOLVWDQDFRQWLQXDFLyQDOJXQDVGHODVSURSLHGDGHVPiV~WLOHVGH
las funciones de Bessel de orden mm i J m (x)
m
m
0,
1,
iii Jm (0)
ii Jm (
( 1) m Jm (x),
0
0,
( 1) m Jm (x),
x)
iv lím Ym (x)
.
x: 0
Observe que la propiedad ii LQGLFDTXHJm(x HVXQDIXQFLyQSDUVLm es un entero par
y una función impar si mHVXQHQWHURLPSDU/DVJUi¿FDVGHY0(x \Y1(x HQOD¿JXUD
PXHVWUDQODSURSLHGDGiv HQSDUWLFXODUYm(x QRHVWiDFRWDGDHQHORULJHQ(VWH
~OWLPRKHFKRQRHVREYLRDSDUWLUGHODHFXDFLyQ /DVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQ
de Bessel de orden 0 se obtienen por medio de las soluciones y1(x HQ \y(x HQ
GHODVHFFLyQ6HSXHGHGHPRVWUDUTXHODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQHV
y1(x J0(x PLHQWUDVTXHODHFXDFLyQ GHHVDVHFFLyQHV
y2(x)
J0 (x)ln x
k
( 1) k
1
2
1 (k!)
1
2
1
k
x
2
2k
.
(QWRQFHVODIXQFLyQGH%HVVHOGHVHJXQGDFODVHGHRUGHQY0(x VHGH¿QHFRPROD
2
2
combinación lineal Y0 (x)
(
ln 2)y1 (x)
y 2 (x) para x (VGHFLU
Y0 (x)
2
J0 (x)
ln
x
2
2
k
( 1) k
1
2
1 (k!)
1
2
1
k
x
2
2k
donde Ȗ HVODconstante de Euler'HELGRDODSUHVHQFLDGHOWpUPLQR
ORJDUtWPLFRHVHYLGHQWHTXHY0(x HVGLVFRQWLQXDHQx VALORES NUMÉRICOS (QODWDEODVHSUHVHQWDQODVSULPHUDVFLQFRUDtFHV
no negativas de J0(x J1(x Y0(x \Y1(x (QODWDEODVHSUHVHQWDQDOJXQRVRWURV
YDORUHVGHODIXQFLyQGHHVWDVFXDWURIXQFLRQHV
268
O
CAPÍTULO 6
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
TABLA 6.4.1 5DtFHVGHJ0J1Y0\Y1
TABLA 6.4.2 9DORUHVQXPpULFRVGHJ0J1Y0\Y1
J0(x J1(x Y0(x Y1(x
x
J0(x J1(x Y0(x Y1(x
4
5
9
10
11
15
²
²
RELACIÓN DE RECURRENCIA DIFERENCIAL /DVIyUPXODVGHUHFXUUHQFLDTXHUHODFLRQDQODVIXQFLRQHVGH%HVVHOGHGLIHUHQWHVyUGHQHVVRQLPSRUWDQWHVHQODWHRUtD\HQODV
DSOLFDFLRQHV(QHOHMHPSORVLJXLHQWHVHGHGXFHXQDUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDGLIHUHQFLDO
EJEMPLO 6
'HGXFFLyQXVDQGRODGH¿QLFLyQGHVHULH
'HGX]FDODIyUPXOD xJ (x)
J (x)
1 (x).
xJ
SOLUCIÓN 'HODHFXDFLyQ VHWLHQHTXH
(1)n(2n ␯)
x
–
L
xJv(x) –––––––––––––––
n!
(1
v
n)
2
n0
()
()
2nv
(1)n
x
–
L
␯ –––––––––––––––
n0 n! (1 ␯ n) 2
2nv
(1)nn
x
–
L
2 –––––––––––––––
n0 n! (1 ␯ n) 2
2nv
()
(1)n
x
–
L
␯J␯(x) x –––––––––––––––––––––
(n
1)!
(1
␯
n)
2
n1
()
2n␯1
kn1
␯J␯(x) x
(1)k
L
–––––––––––––––
k0 k! (2 ␯ k)
x
–
2
()
2k␯1
␯J␯(x) xJ␯1(x).
(OUHVXOWDGRGHOHMHPSORVHSXHGHHVFULELUHQXQDIRUPDDOWHUQDWLYD'LYLGLHQGR
xJ (x)
J (x)
xJ 1 (x) por xVHREWLHQH
J (x)
x
J (x)
J
1 (x).
(VWD ~OWLPD H[SUHVLyQ VH UHFRQRFH FRPR XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH SULPHU
orden en J%(x 0XOWLSOLFDQGRDPERVODGRVGHODLJXDOGDGSRUHOIDFWRULQWHJUDQWHx%
se obtiene
d
[x J (x)]
dx
x J
1 (x). 6.4
FUNCIONES ESPECIALES
O
269
Se puede demostrar de manera similar que
d
[x J (x)] x J 1 (x). dx
9pDVHHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV/DVUHODFLRQHVGHUHFXUUHQFLDGLIHUHQFLDOHV \ WDPELpQVRQYiOLGDVSDUDODIXQFLyQGH%HVVHOGHVHJXQGDFODVHY%(x Observe que cuando % VHGHGXFHGH TXH
d
d
J0(x) 5 2J1(x)
Y0(x) 5 2Y1(x) .
y
dx
dx
(QHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRVVHGDXQDDSOLFDFLyQGHHVWDVGHULYDGDV5HVXOWDGRV
VLPLODUHVD WDPELpQVHWLHQHQSDUDODVIXQFLRQHVGH%HVVHOPRGL¿FDGDVGHSULPHUD\
VHJXQGDFODVHGHRUGHQȞ d
I0(x) 5 I1(x)
dx
d
K0(x) 5 2K1(x) . dx
y
(QHOSUREOHPDGHOUHSDVRGHOFDStWXORVHSUHVHQWDXQDDSOLFDFLyQGHHVWRVUHVXOWDGRV
FUNCIONES DE BESSEL DE MEDIO ORDEN INTEGRAL Cuando el orden es
ODPLWDGGHXQHQWHURLPSDUHVGHFLU 12, 32, 52, . . . , las funciones de Bessel de
SULPHUD\VHJXQGDFODVHVHSXHGHQH[SUHVDUHQWpUPLQRVGHODVIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV
1
sen xFRVx y potencias de x&RQVLGHUDUHPRVHOFDVRFXDQGR
2 . 'H J1/2(x)
n 0
( 1)n
n! 1 12
(
)
n
x
2
2n 1/2
()
1
1 los
En vista de la propiedad &(1 &( y del hecho de que
2
valores de 1 12 n para n n n \n VRQUHVSHFWLYDPHQWH
(
)
( 32)
(1
1
2
)
1
2
( 12)
1
2
( 52)
(1
3
2
)
3
2
( 32)
3
1
22
( 72)
(1
5
2
)
5
2
( 52)
5 3
1
23
( 92)
(1
7
2
)
7
2
( 72)
7 5
1
26 2!
3RUORTXH
y
1
J-1/ 2
0. 5
x
0
−0. 5
4
J1/2 (x)
n 0
5 4 3 2 1
1
23 4 2
7 6 5!
1
26 6 2!
5!
1
252!
7!
1 .
27 3!
(2n 1)!
1 .
22n 1 n!
n
( 1) n
(2n 1)!
n! 2n 1
1
2
n!
x
2
2n 1/2
2
B x
n 0
( 1) n 2n 1
x
.
(2n 1)!
'HODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQGHEHUHFRQRFHUTXHODVHULHLQ¿QLWDHQHO~OWLPR
renglón es la serie de Maclaurin para sen x\DVtVHKDGHPRVWUDGRTXH
J 1/ 2
2
1
2
1
(QJHQHUDO
1
6
8
10
12
14
FIGURA 6.4.5 Funciones de
Bessel de orden 1 D]XO \RUGHQ
1 URMR
J1/ 2 (x)
2
senx. B x
2
cos x. B x
6HGHMDFRPRHMHUFLFLRGHPRVWUDUTXH
J
1/ 2 (x)
9HDOD¿JXUD\ORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV
270
O
CAPÍTULO 6
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
Si nHVXQHQWHURHQWRQFHV% n 1HVXQPHGLRGHXQHQWHURLPSDU3XHVWR
que cos(n 1 ʌ 0 y sen(n + 1 ʌ cos Qʌ ( nYHPRVGHODHFXDFLyQ TXH
Yn 1(x ( n 1J(n 1 (x 3DUDn 0 y n WHQHPRVDVXYH]TXHY1(x J1(x \Y1(x J1(x (QYLVWDGH \ HVWRVUHVXOWDGRVVRQORVPLVPRVTXH
S2x cosx
Y12(x)
Y
y
(2)
S2x sen x
12(x)
(2)
FUNCIONES ESFÉRICAS DE BESSEL /DVIXQFLRQHVGHRUGHQVHPLHQWHURVHXWLOL]DQ
SDUDGH¿QLUGRVIXQFLRQHVLPSRUWDQWHVPiV
jn(x)
2x J
S
y
12(x)
n
2xS Y
yn(x)
n
12(x).
()
/DIXQFLyQjn(x VHFRQRFHFRPRODIXQFLyQHVIpULFDGH%HVVHOGHSULPHUDFODVH y
yn(x HVODIXQFLyQHVIpULFDGH%HVVHOGHVHJXQGDFODVH3RUHMHPSORSDUDn 0 las
H[SUHVLRQHVHQ VHUiQ
y
j0(x)
2xS J
y0(x)
2xS Y
2xS S2x sHnx
12(x)
sen x
x
2xS S2x cosx
12(x)
cosx
x
(VHYLGHQWHHQ \HQOD¿JXUDSDUDn TXHODIXQFLyQHVIpULFDGH%HVVHOGH
segunda clase yn(x VHUiQRDFRWDGDFXDQGRx A 0
/DVIXQFLRQHVHVIpULFDVGH%HVVHOVXUJHQHQODVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUFLDOH[SUHVDGDHQFRRUGHQDGDVHVIpULFDV9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV\HOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE 3XHVWRTXHx 0 es un punto ork
GLQDULRGHODHFXDFLyQGH/HJHQGUH VXVWLWX\HQGRODVHULH y
k 0 ck x FRUULHQGR
ORVtQGLFHVGHODVXPD\FRPELQDQGRODVHULHVHREWLHQH
(1
x2)y
2xy
1)y
n(n
[n(n
1)c0
j 2
[( j
2c2 ]
2)( j
[(n
1)cj
(n
c2
o
c3
cj
2
1)
n(n
2!
(n
2)( j
1)cj
2
(n
2
lo que implica que
(j
1)(n
2)c1
j)(n
6c3]x
j
1)cj ]x j
n(n
1)c0
2c2
0
1)(n
2)c1
6c3
0
j
1)cj
0
(n
j)(n
0
c0
1)(n
3!
2)
c1
(n j)(n j 1)
c,
( j 2)( j 1) j
j
2, 3, 4, . . . 6.4
FUNCIONES ESPECIALES
271
O
6LVHGHMDTXHjWRPHORVYDORUHVODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLD SURGXFH
(n
2)(n
4 3
3)
(n
3)(n
5 4
4)
(n
4)(n
6 5
5)
(n
5)(n
7 6
6)
c4
c5
c6
c7
c2
c3
(n
2)n(n 1)(n
4!
(n
3)(n
c4
c5
y2 (x)
c0 1
c1 x
1)
n(n
2!
1)(n
5!
c0
2)(n
4)
(n
4)(n
2)n(n 1)(n
6!
(n
5)(n
3)(n
HWFpWHUD(QWRQFHVSDUDDOPHQRV x
cias linealmente independientes:
y1 (x)
3)
c1
3)(n
1)(n
7!
5)
2)(n
c0
4)(n
6)
c1
VHREWLHQHQGRVVROXFLRQHVHQVHULHGHSRWHQ(n
x2
2)n(n
1)(n
3)
3)(n
5)
4!
(n
4)(n
2)n(n 1)(n
6!
(n
1)(n
3!
2)
(n
5)(n
3)(n
x3
(n
3)(n
1)(n
7!
x4
1)(n
5!
2)(n
4)(n
x6
2)(n
6)
4)
x5
x7
.
Observe que si nHVXQHQWHURSDUODSULPHUDVHULHWHUPLQDPLHQWUDVTXHy(x HV
XQDVHULHLQ¿QLWD3RUHMHPSORVLn HQWRQFHV
4 5 2 2 4 5 7 4
35 4
x
x
c0 1 10x2
x .
2!
4!
3
'HPDQHUDVLPLODUFXDQGRnHVXQHQWHURLPSDUODVHULHSDUDy(x WHUPLQDFRQxn; es
GHFLUcuando n es un entero no negativo, obtenemos una solución polinomial de grado
n GHODHFXDFLyQGH/HJHQGUH
'HELGRDTXHVHVDEHTXHXQP~OWLSORFRQVWDQWHGHXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGH
/HJHQGUHWDPELpQHVXQDVROXFLyQVHDFRVWXPEUDHOHJLUYDORUHVHVSHFt¿FRVSDUDc0 y
c1GHSHQGLHQGRGHVLnHVXQHQWHURSRVLWLYRSDURLPSDUUHVSHFWLYDPHQWH3DUDn 0
elegimos c0 \SDUDn 1 3
(n 1)
,
c0 ( 1)n /2
2 4
n
mientras que para n 1 se elige c1 1 y para n y1 (x)
c0 1
c1
( 1)(n
1) /2
3RUHMHPSORFXDQGRn VHWLHQH
y1 (x)
( 1) 4 /2
1 3
1
2 4
10x 2
1 3
n
.
2 4
(n 1)
35 4
x
3
1
(35x 4
8
30x 2
3).
POLINOMIOS DE LEGENDRE (VWDV VROXFLRQHV SROLQRPLDOHV HVSHFt¿FDV GH
npVLPRJUDGRVHOODPDQpolinomios de Legendre y se denotan mediante Pn(x 'H
las series para y1(x \y(x \GHODVRSFLRQHVDQWHULRUHVGHc0 y c1 se encuentra que los
SULPHURVVHLVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHVRQ
P0 (x)
P2 (x)
P4 (x)
1,
1
(3x2 1),
2
1
(35x4 30x2
8
P1 (x)
P3 (x)
3),
P5 (x)
x,
1
(5x3 3x),
2
1
(63x5 70x3
8
15x).
272
O
CAPÍTULO 6
1
0.5
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
Recuerde que P0(x P1(x P(x P(x VRQDVXYH]VROXFLRQHVSDUWLFXODUHVGHODV
ecuaciones diferenciales
y
P0
P1
n
n
n
n
P2
x
0:
1:
2:
3:
(1
(1
(1
(1
x2)y
x2)y
x2)y
x2)y
2xy
2xy
2xy
2xy
0,
2y 0,
6y 0,
12y 0,
-0.5
-1
-1 -0.5
0.5
FIGURA 6.4.6 3ROLQRPLRVGH
/HJHQGUHSDUDn 1
(QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQODVJUi¿FDVVREUHHOLQWHUYDOR>@GHORVVHLV
SROLQRPLRVGH/HJHQGUHHQ PROPIEDADES Se recomienda que compruebe las siguientes propiedades usando
ORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHHQ i Pn ( x)
( 1) n Pn (x)
ii Pn (1)
1
iii Pn ( 1)
iv Pn (0)
0, n LPSDU v P n (0)
( 1) n
0,
n par
/DSURSLHGDGi LQGLFDFRPRHVHYLGHQWHHQOD¿JXUDTXHPn(x HVXQDIXQFLyQ
par o impar concordantemente con la condición de si nHVSDURLPSDU
RELACIÓN DE RECURRENCIA /DVUHODFLRQHVGHUHFXUUHQFLDTXHYLQFXODQSROLQRPLRVGH/HJHQGUHGHGLIHUHQWHVJUDGRVWDPELpQVRQLPSRUWDQWHVHQDOJXQRVDVSHFWRV
GHVXVDSOLFDFLRQHV6HHVWDEOHFHVLQGHPRVWUDFLyQODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDGHWUHV
WpUPLQRV
(k
1)Pk 1 (x)
(2k
1)xPk (x)
kPk 1 (x)
0, TXHHVYiOLGDSDUDk (Q VHOLVWDQORVSULPHURVVHLVSROLQRPLRVGH
/HJHQGUH6LGHFLPRVTXHVHGHVHDHQFRQWUDUP6(x VHSXHGHXVDUODHFXDFLyQ FRQ
k (VWDUHODFLyQH[SUHVDP6(x HQWpUPLQRVGHORVFRQRFLGRVP4(x \P5(x 9pDVHHO
SUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV
2WUD IyUPXOD TXH DXQTXH QR HV XQD UHODFLyQ GH UHFXUUHQFLD SXHGH JHQHUDU
ORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHSRUGHULYDFLyQHVODIyUPXODGH5RGULJXHVTXHSDUD
estos polinomios es
Pn (x)
1 dn
(x2
2 n! dx n
n
1) n,
n
0, 1, 2, . . . . 9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV
COMENTARIOS
$XQTXHVHKDVXSXHVWRTXHHOSDUiPHWURnHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH/HJHQGUH
(1 x y xy n(n y UHSUHVHQWDXQHQWHURQRQHJDWLYRHQXQD
IRUPDPiVJHQHUDOnSXHGHUHSUHVHQWDUFXDOTXLHUQ~PHURUHDO&XDOTXLHUVROXFLyQGHODHFXDFLyQGH/HJHQGUHVHOODPDIXQFLyQGH/HJHQGUH6Ln no es un
HQWHURQRQHJDWLYRHQWRQFHVDPEDVIXQFLRQHVGH/HJHQGUHy1(x \y(x GDGDV
HQODHFXDFLyQ VRQVHULHVLQ¿QLWDVFRQYHUJHQWHVVREUHHOLQWHUYDORDELHUWR
( \GLYHUJHQWHV VLQOtPLWH HQx O6LnHVXQHQWHURQRQHJDWLYR
HQWRQFHVFRPRVHKDYLVWRXQDGHODVIXQFLRQHVGH/HJHQGUHHQ HVXQSROLQRPLR\ODRWUDHVXQDVHULHLQ¿QLWDFRQYHUJHQWHSDUD1 x 6HGHEHWHQHU
SUHVHQWHTXHODHFXDFLyQGH/HJHQGUHWLHQHVROXFLRQHVTXHHVWiQDFRWDGDVVREUH
6.4
FUNCIONES ESPECIALES
O
273
el intervalo cerrado [@VyORHQHOFDVRFXDQGRn 0iVFRQFUHWDPHQWHODV~QLFDVIXQFLRQHVGH/HJHQGUHTXHHVWiQDFRWDGDVHQHOLQWHUYDOR
cerrado [@VRQORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHPn(x RP~OWLSORVFRQVWDQWHVGH
HVWRVSROLQRPLRV9pDVHHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV\HOSUREOHPD
HQHO5HSDVRGHOFDStWXOR
EJERCICIOS 6.4
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-10.
Ecuación de Bessel
20. 9x y 9xy (x 6 y 0
(QORVSUREOHPDVXVHODHFXDFLyQ SDUDHQFRQWUDUODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHHOLQWHUYDOR 21. 8VHODVHULHHQ SDUDFRPSUREDUTXHI%(x i%J%(ix HV
XQDIXQFLyQUHDO
1. x2 y
1
9
x2
xy
22. Suponga que bHQODHFXDFLyQ SXHGHVHUXQQ~PHUR
LPDJLQDULRSXURHVGHFLUb ȕLȕ i 8VH
esta suposición para expresar la solución general de la
HFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQWpUPLQRVGHODVIXQFLRQHVPRGL¿cadas de Bessel In y Kn
0
y
2. x y xy (x y 0
3. 4x y 4xy (4x y 0
4. 16x y 16xy (16x y 0
a) y x y 0
5. xy y xy 0
6.
d
[xy ]
dx
x
4
y
x
(QORVSUREOHPDVDXVHSULPHURODHFXDFLyQ SDUDH[SUHVDUODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQWpUPLQRV
GHIXQFLRQHVGH%HVVHO/XHJRXVH \ SDUDH[SUHVDUOD
VROXFLyQJHQHUDOHQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV
0
(QORVSUREOHPDV\XVHODHFXDFLyQ SDUDHQFRQWUDUOD
VROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDVREUH 1
4
36x 2
xy
y
23. y y 0
24. x y 4x y (x y 0
7. x y x y (9x y 0
8. x 2 y
25. 16x y x y (x 4 y 0
0
26. 4x y 4x y (16x y 0
(QORVSUREOHPDV\XWLOLFH SDUDHQFRQWUDUODVROXFLyQ
JHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDVREUH 27. a) 3URFHGDFRPRHQHOHMHPSORSDUDGHPRVWUDUTXH
xJ%(x %J %(x xJ%1(x 9. x2y0 1 xy9 2 _16x2 1 49+y 5 0
[Sugerencia:(VFULEDn % n % %@
10. x2y0 1 xy9 2 s2x2 1 64dy 5 0
(QORVSUREOHPDV\XVHHOFDPELRGHYDULDEOHLQGLFDGR
para determinar la solución general de la ecuación diferencial
VREUH 11. x y xy x y 0;
2
12. x y
(
2 2
x
2
1
4
)y
0; y
1x v(x)
13. xy y 4y 0 14. xy y xy 0
16. xy 5y xy 0
17. x y (x y 0
18. 4x y (16x y 0
19. xy y x y 0
b) 8WLOLFHHOUHVXOWDGRGHOLQFLVRD SDUDGHGXFLU 28. 8WLOLFHODIyUPXODGHOHMHPSORMXQWRFRQHOLQFLVRD GHO
SUREOHPDSDUDGHGXFLUODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLD
y x 1 v(x
(QORVSUREOHPDVXVHODHFXDFLyQ SDUDHQFRQWUDUOD
VROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQ 15. xy y xy 0
b) x y y x y 0
%J% (x xJ%1(x x J%1(x (Q ORV SUREOHPDV \ XVH OD HFXDFLyQ R SDUD
REWHQHUHOUHVXOWDGRGDGR
x
29.
0
rJ0 (r) dr
xJ1 (x)
30. J0 (x J1(x J1(x
31. 3URFHGDFRPRHQODHFXDFLyQSiJLQDSDUDGHGXFLUOD
forma elemental de J1(x GDGDHQ 32. 8VHODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDGHOSUREOHPDMXQWRFRQ
\ SDUDH[SUHVDUJ(x J(x J5(x \J5(x HQWpUPLQRVGHVHQxFRVx y potencias de x
274
O
CAPÍTULO 6
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
33. a)8WLOLFHODSULPHUDIyUPXODGH \HOSUREOHPDSDUD
HQFRQWUDU ODV IXQFLRQHV HVIpULFDV GH %HVVHO j1(x \ j(x b)8VHXQDDSOLFDFLyQJUi¿FDSDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGH
j1 [ \j [ HQHOPLVPRSODQRFRRUGHQDGR
34. a)8WLOLFHODVHJXQGDIyUPXODGH \HOSUREOHPDSDUD
HQFRQWUDUODVIXQFLRQHVHVIpULFDVGH%HVVHOy1(x \y(x b)8VHXQDDSOLFDFLyQJUi¿FDSDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGH
y1(x \y(x HQHOPLVPRSODQRFRRUGHQDGR
2
k
e t / 2 para deBm
PRVWUDUTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOUHVRUWHHQYHMHFLGR
mx ketx VHFRQYLHUWHHQ
35. 8VH HO FDPELR GH YDULDEOHV s
s2
d 2x
ds 2
s
dx
ds
s2 x
(
0.
)
x1 / 2 w 23 x 3 / 2 es una solución de la
HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH$LU\VLHPSUHTXHw sea una solución
GHODHFXDFLyQGH%HVVHOLQGLFDGD>Sugerencia'HVSXpVGH
GHULYDUVXVWLWXLU\VLPSOL¿FDUHQWRQFHVVHKDFH t 23 x3 / 2.]
36. 'HPXHVWUHTXH y
(a) y0 1 ␣2x y 5 0, x . 0; t 2 w0 1 tw9 1 (t 2 2 19) w 5 0, t . 0
(b) y0 2 ␣2 x y 5 0, x . 0; t 2 w0 1 tw9 2 (t2 1 19)w 5 0, t . 0
37. 8
VHORVUHVXOWDGRVGHORVLQFLVRVD \E GHOSUREOHPD
SDUDH[SUHVDUODVROXFLyQJHQHUDOVREUH LQ¿QLWR GHFDGD
XQDGHODVGRVIRUPDVGHODHFXDFLyQGH$LU\HQWpUPLQRV
GHIXQFLRQHVGH%HVVHO
38. 8VHODWDEODSDUDHQFRQWUDUORVSULPHURVWUHVHLJHQvalores positivos y las eigenfunciones correspondientes
GHOSUREOHPDGHYDORUHVHQODIURQWHUD
xy
y
xy 0,
y(x y(x OLPLWDGDFRQIRUPHx A 0y [Sugerencia:,GHQWL¿FDQGR OD('HVODHFXDFLyQ
GH%HVVHOSDUDPpWULFDGHRUGHQFHUR@
39. a) 8
VHODHFXDFLyQ SDUDGHPRVWUDUTXHODVROXFLyQ
general de la ecuación diferencial xy y 0 sobre
HOLQWHUYDOR HV
y
(
c1 1xJ1 2 1 x
)
(
b) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQREWHQLGDHQHOLQFLVRD HQHOLQWHUYDOR t 42. a) 8VHODVROXFLyQJHQHUDOREWHQLGDHQHOSUREOHPD
SDUDUHVROYHUHO39,
4x
tx
0,
1,
x(0.1)
x (0.1)
1
2.
8VHXQ6$&SDUDHYDOXDUORVFRH¿FLHQWHV
b) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQREWHQLGDHQHOLQFLVRD HQHOLQWHUYDOR t 43. Columna doblada bajo su propio peso 8QDFROXPQD
delgada uniforme de longitud LFRORFDGDYHUWLFDOPHQWH
FRQXQH[WUHPRLQVHUWDGRHQHOVXHORVHFXUYDGHVGHOD
YHUWLFDO EDMR OD LQÀXHQFLD GH VX SURSLR SHVR FXDQGR VX
ORQJLWXGRDOWXUDH[FHGHXQFLHUWRYDORUFUtWLFR6HSXHGH
GHPRVWUDU TXH OD GHÀH[LyQ DQJXODU (x GH OD FROXPQD
desde la vertical en un punto P(x HV XQD VROXFLyQ GHO
problema con valores en la frontera:
d2
g(L x)
0,
(0) 0,
(L) 0,
dx 2
donde EHVHOPyGXORGH<RXQJI es el momento de inerFLDGHVHFFLyQWUDQVYHUVDO es la densidad lineal constante y x es la distancia a lo largo de la columna medida
GHVGHVXEDVH9pDVHOD¿JXUD/DFROXPQDVHGREOD
sólo para aquellos valores de L para los que el problema
FRQYDORUHVHQODIURQWHUDWLHQHXQDVROXFLyQQRWULYLDO
a) (VWDEOH]FD GH QXHYR HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD
frontera haciendo el cambio de variables t L x
/XHJRXWLOLFHORVUHVXOWDGRVGHOSUREOHPDDQWHULRUHQHVWH
FRQMXQWRGHHMHUFLFLRVSDUDH[SUHVDUODVROXFLyQJHQHUDOGH
ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVGH%HVVHO
b) 8VHODVROXFLyQJHQHUDOHQFRQWUDGDHQHOLQFLVRD SDUD
HQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHO39)\XQDHFXDFLyQTXHGH¿QDODORQJLWXGFUtWLFDLHVGHFLUHOYDORUPiVSHTXHxR
de LSDUDODTXHVHFRPLHQFHDGREODUODFROXPQD
c) &
RQD\XGDGHXQ6$&HQFXHQWUHODORQJLWXGFUtWLFDL
de una varilla de acero sólida de radio r PP
NJPE = 180 ×1091PA r e I 14 r 4.
EI
θ
)
c2 1xY1 2 1 x .
b) Compruebe por sustitución directa que y 1xJ1
(2 1x)HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHOD('HQHOFDVR
P(x)
x
Tarea para el laboratorio de computación
40. 8VH XQ 6$& SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV GH J(x J(x J5(x \J5(x 41. a) 8
VH OD VROXFLyQ JHQHUDO GDGD HQ HO HMHPSOR SDUD
UHVROYHUHO39,
1
4x
e 0.1t x 0, x(0) 1, x (0)
2.
DPELpQ XVH J 0 (x)
7
J1 (x) y Y 0 (x)
Y1 (x)
MXQWR FRQ OD WDEOD R XQ 6$& SDUD HYDOXDU ORV
FRH¿FLHQWHV
x=0
suelo
FIGURA 6.4.7 9LJDGHOSUREOHPD
44. Pandeo de una columna vertical delgada (QHOHMHPSORGHODVHFFLyQYLPRVTXHFXDQGRVHDSOLFDXQD
IXHU]DFRPSUHVLYDYHUWLFDOFRQVWDQWHRFDUJDP a una columna delgada de sección transversal uniforme y abisa-
6.4
JUDGDHQDPERVH[WUHPRVODGHÀH[LyQy(x HVXQDVROXFLyQGHO39)
d 2y
EI 2 Py 0, y(0) 0, y(L) 0.
dx
a) 6LHOIDFWRUGHULJLGH]DODÀH[LyQEI es proporcional a x
entonces EI(x kxGRQGHk es una constante de proSRUFLRQDOLGDG6LEI(L kL MHVHOIDFWRUGHULJLGH]
Pi[LPDHQWRQFHVk ML\SRUWDQWREI(x MxL
8VHODLQIRUPDFLyQGHOSUREOHPDSDUDHQFRQWUDUXQD
solución de
x d 2y
M
Py 0, y(0) 0, y(L) 0
L dx 2
si se sabe que 1xY1(21 x) no es cero en x b) 8VHODWDEODSDUDHQFRQWUDUODFDUJDGH(XOHUP1
SDUDODFROXPQD
c) 8
VHXQ6$&SDUDJUD¿FDUHOSULPHUPRGRGHSDQGHR
y1(x FRUUHVSRQGLHQWHDODFDUJDGH(XOHUP13RUVLPplicidad suponga que c1 1 y L 45. Péndulo de longitud variable 3DUD HO SpQGXOR VLPSOH
GHVFULWRHQODSiJLQDGHODVHFFLyQVXSRQJDTXHOD
varilla que sostiene la masa m en un extremo se sustituye
SRUXQDODPEUHÀH[LEOHRFXHUGD\TXHHODODPEUHSDVDSRU
una polea en el punto de apoyo OHQOD¿JXUD'HHVWD
PDQHUDPLHQWUDVHVWiHQPRYLPLHQWRHQHOSODQRYHUWLFDOOD
masa mSXHGHVXELUREDMDU(QRWUDVSDODEUDVODORQJLWXG
l(t GHOSpQGXORYDUtDFRQHOWLHPSR%DMRODVPLVPDVVXSRVLFLRQHVTXHFRQGXFHQDODHFXDFLyQ HQODVHFFLyQ
VHGHGXFHGH HQHO5HSDVRGHOFDStWXORTXHODHFXDFLyQ
GLIHUHQFLDOSDUDHOiQJXORGHGHVSOD]DPLHQWR (t DKRUDHV
l
d2␪
dl d␪
12
1 g sen ␪ 5 0
dt dt
dt2
a) Si lDXPHQWDDXQDUDSLGH]FRQVWDQWHv y si l l0
GHPXHVWUHTXHXQDOLQHDOL]DFLyQGHOD('DQWHULRUHV
d 2␪
d␪
(l0 1 vt) 2 1 2v 1 g ␪ 5 0.
dt
dt
b) Realice el cambio de variables x (l0 vt v y dePXHVWUHTXHODHFXDFLyQ VHFRQYLHUWHHQ
d2
2d
g
0.
2
dx
x dx vx
c) 8
VHHOLQFLVRE \ODHFXDFLyQ SDUDH[SUHVDUOD
VROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQ HQWpUPLQRVGH
IXQFLRQHVGH%HVVHO
d) 8VHODVROXFLyQJHQHUDOGHOLQFLVRF SDUDUHVROYHU
el problema con valores iniciales que consiste en
ODHFXDFLyQ \ODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV 0 >Sugerencias: SDUD VLPSOL¿FDU ORV
FiOFXORV XVH XQ FDPELR GH YDULDEOH DGLFLRQDO
2
g 1/ 2
1g(l0 vt) 2
x .
v
Bv
$GHPiV UHFXHUGH TXH OD HFXDFLyQ YDOH SDUD
J1(u \Y1(u 3RU~OWLPRODLGHQWLGDG
u
J1 (u)Y2 (u)
J2 (u)Y1 (u)
2
VHUi PX\ ~WLO@
u
FUNCIONES ESPECIALES
O
275
pulley
wire
O
l(t)
m
FIGURA 6.4.8 3pQGXORGHORQJLWXGYDULDEOHGHOSUREOHPD
e) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQ (t GHO
39, GHO LQFLVR G FXDQGR l0 P 0 UDGLiQ \
v PV([SHULPHQWHFRQODJUi¿FDXVDQGRGLIHUHQWHVLQWHUYDORVGHWLHPSRFRPR>@>@HWFpWHUD
I ¢4XpLQGLFDQODVJUi¿FDVDFHUFDGHOiQJXORGHGHVSOD]DPLHQWR(t FXDQGRODORQJLWXGl del alambre se
incrementa con el tiempo?
Ecuación de Legendre
46. a) 8
VHODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVy1(x \y(x GHODHFXDFLyQ GH /HJHQGUH GDGD HQ \ OD HOHFFLyQ DSURpiada de c0 y c1 para encontrar los polinomios de
/HJHQGUHP6(x \P(x b) Escriba las ecuaciones diferenciales para las cuales
P6(x \P(x VRQVROXFLRQHVSDUWLFXODUHV
47. 8VHODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLD \P0(x P1(x x
SDUDJHQHUDUORVVLJXLHQWHVVHLVSROLQRPLRVGH/HJHQGUH
48. 'HPXHVWUHTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
sen
d 2y
d 2
cos
dy
d
n(n
1)(sen )y
0
SXHGHFRQYHUWLUVHHQODHFXDFLyQGH/HJHQGUHSRUPHGLR
de la sustitución x cos 49. Encuentre los primeros tres valores positivos de para
los cuales el problema
(1
y x2)y
2xy
y
0,
y(x y(x HVWiDFRWDGDHQ>@
WLHQHVROXFLRQHVQRWULYLDOHV
Tarea para el laboratorio de computación
50. (QODUHDOL]DFLyQGHHVWHSUREOHPDLJQRUHODOLVWDGHSROLQRPLRVGH/HJHQGUHTXHVHSUHVHQWDQHQODSiJLQD\
ODVJUi¿FDVGHOD¿JXUD8VHODIyUPXODGH5RGULJXHV
SDUDJHQHUDUORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHP1(x P(x P(x 8VHXQ6$&SDUDUHDOL]DUODVGHULYDGDV\ODV
VLPSOL¿FDFLRQHV
51. 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGHP1(x P(x P(x VREUHHOLQWHUYDOR>@
276
O
CAPÍTULO 6
SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
52. 8VH XQ SURJUDPD GH FiOFXOR GH UDtFHV SDUD GHWHUPLQDU
ODVUDtFHVGHP1(x P(x P(x 6LORVSROLQRPLRVGH
/HJHQGUHVRQIXQFLRQHVLQFRUSRUDGDVHQVX6$&HQFXHQWUH
ORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHGHJUDGRVXSHULRU+DJDXQDVXSRVLFLyQDFHUFDGHODORFDOL]DFLyQGHODVUDtFHVGHDOJ~QSROLQRPLRGH/HJHQGUHPn(x \OXHJRLQYHVWLJXHVLHVYHUGDG
Miscelánea de ecuaciones diferenciales
53. /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
y xy Į\ 0
se conoce como la ecuación de Hermite de orden Į en
KRQRU GHO PDWHPiWLFR IUDQFpV Charles Hermite 'HPXHVWUHTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQ
es y(x c0y1(x c1y(x GRQGH
k
y1(x)
( 1)k
1
k
2 D(D
1
2) . . . (D
(2k)!
2k
2)
x 2k
2k(D 1)(D 3) . . . (D 2k 1) 2k 1
x
(2k 1)!
k 1
VRQVROXFLRQHVHQVHULHVGHSRWHQFLDVHQHOSXQWRRUGLQDULR
y2(x)
( 1)k
x
54. a) Cuando Į n HV XQ HQWHUR QR QHJDWLYROD HFXDFLyQ
GLIHUHQFLDOGH+HUPLWHWDPELpQWLHQHXQDVROXFLyQSROLnomial de grado n8WLOLFHODy1(x GDGDHQHOSUREOHPD
SDUDHQFRQWUDUODVVROXFLRQHVSROLQRPLDOHVSDUDn n \n 'HVSXpVXVHy(x SDUDHQFRQWUDUODV
soluciones polinomiales para n n \n b) 8Qpolinomio de Hermite Hn(x VHGH¿QHFRPRXQSRlinomio de grado npVLPRTXHHVVROXFLyQGHODHFXDFLyQ
REPASO DEL CAPÍTULO 6
(QORVSUREOHPDV\FRQWHVWHIDOVRRYHUGDGHURVLQFRQVXOWDUGH
QXHYRHOWH[WR
1. /D VROXFLyQ JHQHUDO GH x y x y (x y 0 es
y c 1J 1(x c J1(x 2. 'HELGR D TXH x 0 es un punto singular irregular de
x y xy y OD('QRWLHQHVROXFLyQTXHVHDDQDOtWLFD
en x 3. ¢(Q cuál GH ORV VLJXLHQWHV LQWHUYDORV VH JDUDQWL]D TXH FRQvergen para toda x ambas soluciones en serie de potencias de
y ln(x y y 0 centradas en el punto ordinario x 0?
a) ( c)
[
b) (
1 1
2, 2]
de Hermite multiplicada por una constante adecuada de
IRUPDTXHHOFRH¿FLHQWHGHxn en Hn(x HVn8WLOLFHODV
VROXFLRQHV SROLQRPLDOHV GHO LQFLVR D SDUD GHPRVWUDU
que los primeros seis polinomios de Hermite son
H0(x)
1
H1(x)
2x
H2(x)
4x2
H3(x)
3
2
8x
H 4 (x)
H5 (x)
12x
16x
4
32x
5
48x2
12
3
160x
120x
55. /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
(1 x y xy Įy 0
donde Į HV XQ SDUiPHWUR VH FRQRFH FRPR OD ecuación
de Chebyshev HQ KRQRU DO PDWHPiWLFR UXVR 3DIQXW\
Chebyshev &XDQGRĮ n es un entero no neJDWLYR/DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH&KHE\VKHYVLHPSUHWLHQH
una solución polinomial de grado n(QFXHQWUHXQDVROXFLyQ
SROLQRPLDOGHTXLQWRJUDGRGHHVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
56. Si nHVXQHQWHURXVHODVXVWLWXFLyQR(x (Į[ 1Z(x para demostrar que la solución general de la ecuación diferencial
xR xR [Įx n(n @R 0
HQ HO LQWHUYDOR ’ HV R(x c1 jn(Į[ cyn(Į[ donde jn(Į[ \ yn(Į[ VRQ ODV IXQFLRQHV HVIpULFDV GH
%HVVHOGHSULPHUD\VHJXQGDFODVHGH¿QLGDVHQ Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-10.
Teniendo en mente que c0 y c1VRQFRQVWDQWHVDUELWUDULDVHVFULED
ORVSULPHURVFLQFRWpUPLQRVGHGRVVHULHVGHSRWHQFLDVTXHVRQ
VROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
5. Suponga que se sabe que la serie de potencias k 0 ck(x
4)k
converge en \GLYHUJHHQ$QDOLFHVLODVHULHFRQYHUJHHQ
\/DVUHVSXHVWDVSRVLEOHVVRQsinopodría
6. 8VH OD VHULH GH 0DFODXULQ SDUD VHQ x y cos x MXQWR FRQ
OD GLYLVLyQ ODUJD SDUD HQFRQWUDU ORV SULPHURV WUHV WpUPLnos diferentes de cero de una serie de potencias en x para la
función f (x)
sen x
.
cos x
(QORVSUREOHPDV\FRQVWUX\DXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGH
VHJXQGRRUGHQTXHWHQJDODVSURSLHGDGHVGDGDV
d) [@
4. x HVXQSXQWRRUGLQDULRGHFLHUWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDO
n
'HVSXpVTXHVHVXVWLWX\HODVROXFLyQVXSXHVWD y
n 0 cn x
HQOD('VHREWLHQHHOVLJXLHQWHVLVWHPDDOJHEUDLFRFXDQGRORV
FRH¿FLHQWHVGHx0x1x y x se igualan a cero:
7. 8QSXQWRVLQJXODUUHJXODUHQx 1 y un punto singular irregular
en x 8. 3XQWRVVLQJXODUHVUHJXODUHVHQx 1 y en x (QORVSUREOHPDVDXVHXQPpWRGRGHVHULHVLQ¿QLWDVDSURSLDGR
respecto a x 0 para encontrar dos soluciones de la ecuación difeUHQFLDOGDGD
2c2
2c1
c0
0
6c3
4c2
c1
0
12c4
6c3
c2
1
3 c1
0
11. (x y y 0
12. y x y xy 0
20c5
8c4
c3
2
3 c2
0.
13. x y (x y y 0
14. (cos x y y 0
9. x y y y 0
10. y x y y 0
REPASO DEL CAPÍTULO 6
(QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGDGR
xy
0,
y
6, y (1)
y(1)
b)
3
22. /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ dydx x y no se
SXHGHUHVROYHUHQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV6LQHPEDUJR
XQDVROXFLyQVHSXHGHH[SUHVDUHQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVGH%HVVHO
1 du
conduce
u dx
a) 'HPXHVWUH TXH OD VXVWLWXFLyQ y
a la ecuación u xu b) 8VH OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ SDUD HQFRQWUDU OD
solución general de u xu c) 8
VHODVHFXDFLRQHV \ GHODVHFFLyQHQODVIRUmas
J (x)
y
J (x)
x
J (x)
x
J
J (x)
1(x)
y
cJ
J
8
VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVIXQFLRQHVGH
/HJHQGUHORJDUtWPLFDVGDGDVHQORVLQFLVRVD \E (1
2xt
y
I
1/ 2 (x)
a) 4x2y0 1 4xy9 1 (64x2 2 25)y 5 0
b) x2y0 1 xy9 2 (18x2 1 9)y 5 0
27. Aleta de eQIULDPLHQWR8QDDOHWDGHHQIULDPLHQWRHVXQDSUR\HFFLyQ
KDFLDHOH[WHULRUGHXQGLVSRVLWLYRPHFiQLFRRHOHFWUyQLFRGHOFXDO
se puede irradiar calor del dispositivo al medio ambiente (como el
DLUH 9pDVHOD¿JXUD58QDDOHWDGHHQIULDPLHQWRDQXODURHQ
IRUPD GH DQLOOR VH XWLOL]D QRUPDOPHQWH HQ ODV VXSHU¿FLHV FLOtQGULFDV FRPR XQ WXER FDOLHQWH FLUFXODU 9pDVH OD ¿JXUD 5 (Q HVWH
~OWLPRFDVRr GHQRWDTXHODGLVWDQFLDUDGLDOPHGLGDGHVGHODOtQHD
FHQWUDO GH OD WXEHUtD \ T(r HV OD WHPSHUDWXUD GH OD DOHWD SDUD U0
r r16HSXHGHGHPRVWrar que T(r VDWLVIDFHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
1 2
donde a es una constante y TmHVODWHPSHUDWXUDFRQVWDQWHGHODLUH
Supongamos que r0 r1 \Tm 8WLOLFHODVXVWLWXFLyQw(r T(r) SDUDGHPRVWUDUTXHODVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQ
FLDOGDGDVXMHWDDODVFRndiciones frontera
T(1) 5 160, T9(3) 5 0
( ).
( )
es
sen x
T(r) 570 1 90
B2x
K1(3a)I0(ar) 1 I1(3a)K0(ar)
,
K1(3a)I0(a) 1 I1(3a)K0(a)
donde I0(x \K0(x VRQODVIXQFLRQHVGH%HVVHOPRGL¿FDGDVGH
SULPHUD\VHJXQGDFODVH7DPELpQWHQGUiTXHXVDUODVGHULYDGDV
GDGDVHQODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQ
r
r0
2
cosh x.
B x
c) 8VHODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQ\HOLQFLVRE SDUD
demostrar que
K1/ 2 (x)
Pn (x)t n.
n 0
© GDragan/iStock/Thinkstock
2
senhx
B x
1/ 2
26. Exprese la solución general de la ecuación diferencial dada
sobre el intervalo (’ HQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVGH%HVVHO
b) 8VHODGH¿QLFLyQ,Y [ LY-Y L[ SDUDGHPRVWUDUTXH
I1/ 2 (x)
t2 )
b) 8VH HO UHVXOWDGR REWHQLGR HQ HO LQFLVR D SDUD GHPRVWUDU
que Pn 1 y Pn( ( n9pDQVHODVSURSLHGDGHV
ii \iii GHORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUH
23. a) 8
VHODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQ\HOSUREOHPDGH
ODVHFFLyQSDUDGHPRVWUDUTXH
Y3/ 2 (x)
1.
1 2
3 /4 2 x
1 2
1/4 2 x
2 cos x
x
x
x
x
d
dT
r
5 a2r (T 2 Tm),
dr dr
como ayuda para demostrar que una familia uniparaPpWULFDGHVROXFLRQHVGHdydx x yHVWiGDGDSRU
( )
x
cJ1/4( 12 x2)
x
1
ln
2
1
25. a) 8VHVHULHVbinomiales para demostrar formalmente que
1 (x)
J
J3 /4 12 x2
c)
x
.
x
TambipQ VDEHPRV GH ODV HFXDFLRQHV \ GH OD
VHFFLyQTXHFXDQGRn 1 la ecuación diferencial de
/HJHQGUH x y xy y 0 tiene la solución
polinomial y P1(x x8VHODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQ
SDUDGHPRVWUDUTXHXQDVHJXQGDIXQFLyQGH/HJHQGUH
que satisface la('HQHOLQWHUYDOR1 x 1 es
y
de la forma y
n 0 cn x . 3RUPHGLRGHVHULHVGHSRWHQFLDV
GHWHUPLQHXQDPHMRUIRUPDGHUHVROYHUHOSUREOHPD
21. Observe que x 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial y x y x y 5 x 10x 8VHODVXSRVLFLyQ
n
y
n 0 cn x para encontrar la solución general y yc yp
que consiste en tres series de potencias centradas en x 1
1
ln
2
1
y
n
(QORVSUREOHPDV\LQYHVWLJXHVLx HVXQSXQWRRUGLQDULRVLQJXODURVLQJXODULUUHJXODUGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD>Sugerencia:
Recuerde la serie de Maclaurin para cos x y ex@
19. x y (1 cos x y x y 0
20. (e x 1 x y x y 0
277
PRVWUDUTXHXQDVHJXQGDIXQFLyQGH/HJHQGUHTXHVDWLVIDFH
OD('HQHOLQWHUYDOR 1 x 1 es
15. y xy y y y 16. (x y y y y 1
17. Sin realmente resolver la ecuación diferencial (1 VHQx y xy HQFXHQWUHXQOtPLWHLQIHULRUSDUDHOUDGLRGHFRQYHUJHQFLDGHODVVRluciones en serie de potencias alrededor del al punto ordinario x 18. $XQTXHx HVXQSXQWRRUGLQDULRGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
H[SOLTXHSRUTXpQRHVXQDEXHQDLGHDWUDWDUGHHQFRQWUDUXQD
VROXFLyQGHO39,
y
O
e x.
24. a) '
H ODV HFXDFLRQHV \ GH OD VHFFLyQ VH VDEH
que cuando n OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH /HJHQGUH
(1 x y xy 0 tiene la solución polinomial
y P0(x 8VHODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQSDUDGH-
FIGURA 6.R.1 $OHWDVGHHQIULDPLHQWR
HQXQPRWRUGHPRWRFLFOHWD
1
aleta de
enfriamiento
tubería
circular
FIGURA 6.R.2 $OHWDGH
HQIULDPLHQWRDQXODU
28. Resuelva la ecuación diferencial en el problema 27 si las condi-
ciones frontera son
T T 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
© Raimundas/Shutterstock.com
7.1 'H¿QLFLyQGHODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFH
7.2
Transformadas inversas y transformadas de derivadas
7.3
Propiedades operacionales I
7.4
Propiedades operacionales II
7.5
La función delta de Dirac
7.6
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
REPASO DEL CAPÍTULO 7
E
n los modelos matemáticos lineales para sistemas físicos como un sistema
resorte/masa o un circuito eléctrico en serie, el miembro del lado derecho
o entrada, de las ecuaciones diferenciales
mx x kx f (t) o Lq Rq qC E(t)
278
representa una fuerza externa f (t) o un voltaje aplicado E(t). En la sección 5.1
consideramos problemas en los que las funciones f y E son continuas. Sin embargo,
las funciones de conducción discontinuas son comunes. Aunque ya hemos resuelto
HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVGH¿QLGDVSRUWUDPRVXVDQGRODVWpFQLFDVGLVFXWLGDVHQ
los capítulos 2 y 4, la Transformada de Laplace que se estudia en este capitulo, es una
KHUUDPLHQWDPX\HVSHFLDOTXHVLPSOL¿FDODVROXFLyQGHHVWHWLSRGHHFXDFLRQHV
7.1
7.1
DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
O
279
DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
INTRODUCCIÓN En cálculo elemental aprendió que la derivación y la integración son transformadas;HVWRVLJQL¿FDDJUDQGHVUDVJRVTXHHVWDVRSHUDFLRQHVWUDQVIRUPDQXQDIXQFLyQHQRWUD
Por ejemplo, la función f(x) x2 se transforma, a su vez, en una función lineal y en una familia de
funciones polinomiales cúbicas con las operaciones de derivación e integración:
d 2
x
dx
2x
x2 dx
y
1 3
x
3
c.
Además, estas dos transformadas tienen la propiedad de linealidad tal que la transformada de una
combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para Į y ȕ constantes
d
[ f (x)
dx
y
[ f (x)
g(x)]
g(x)] dx
f (x)
g (x)
f (x) dx
g(x) dx
siempre que cada derivada e integral exista. En esta sección se examina un tipo especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Además de tener la propiedad de linealidad,
la transformada de Laplace tiene muchas otras propiedades interesantes que la hacen muy útil para
resolver problemas lineales con valores iniciales.
TRANSFORMADA INTEGRAL Si f(x, y) es una función de dos variables, entonces
XQDLQWHJUDOGH¿QLGDGHf respecto a una de las variables conduce a una función de la
otra variable. Por ejemplo, si se conserva y constante, se ve que 21 2xy2 dx 3y2 . De
LJXDOPRGRXQDLQWHJUDOGH¿QLGDFRPR ba K(s, t) f (t) dt transforma una función f de
la variable t en una función F de la variable s. Tenemos en particular interés en una
transformada integral, donde el intervalo de integración es el intervalo no acotado
[0, ). Si f (t VHGH¿QHSDUDt 0, entonces la integral impropia 0 K(s, t) f (t) dt se
GH¿QHFRPRXQOtPLWH
`
b
# K(s, t) f (t) dt 5 lim # K(s, t) f (t) dt.
bS`
0
Supondremos que s es una
variable real
(1)
0
Si existe el límite en (1), entonces se dice que la integral existe o es convergente; si no
existe el límite, la integral no existe y es divergente. En general, el límite en (1) existirá
sólo para ciertos valores de la variable s.
UNA DEFINICIÓN La función K(s, t) en (1) se llama kernel o núcleo de la transformada. La elección de K(s, t) est como el núcleo nos proporciona una transformada integral especialmente importante.
DEFINICIÓN 7.1.1
Transformada de Laplace
Sea fXQDIXQFLyQGH¿QLGDSDUDt
{ f (t)}
0. Entonces se dice que la integral
0
e
st
f (t) dt
es la transformada de Laplace de f, siempre que la integral converja.
(2)
280
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada de Laplace se llama así en honor del matemático y astrónomo francés
Pierre-Simon Marquis de Laplace (1749-1827).
&XDQGRODLQWHJUDOGHODGH¿QLFLyQ FRQYHUJHHOUHVXOWDGRHVXQDIXQFLyQGHs. En
el análisis general se usa una letra minúscula para denotar la función que se transforma y
la letra mayúscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace, por ejemplo,
{f (t)}
{g(t)}
F(s),
{y(t)}
G(s),
Y(s).
Como muestran los siguientes cuatro ejemplos, el dominio de la función F(s) depende
de la función f (t).
EJEMPLO 1
Evalúe
$SOLFDQGRODGH¿QLFLyQ
{1}.
SOLUCIÓN De (2),
+ {1} 5
`
#
e2st(1) dt 5 lim
bS`
0
2e2st
bS`
s
5 lim
u
b
0
b
#e
2st
dt
0
2e2sb 1 1
1
5
bS`
s
s
5 lim
siempre que s 0. En otras palabras, cuando s 0, el exponente sb es negativo y
esb A 0 conforme b A . La integral diverge para s 0.
El uso del signo de límite se vuelve un poco tedioso, por lo que se adopta la notación
b
0 como abreviatura para escribir lim b : ( ) 0 . Por ejemplo,
{1}
e
0
st
e
s
(1) dt
1
,
s
st
0
s
0.
(QHOOtPLWHVXSHULRUVHVREUHHQWLHQGHORTXHVLJQL¿FDest A 0 conforme t A para s 0.
EJEMPLO 2
Evalúe
$SOLFDQGRODGH¿QLFLyQ
{t}.
st
{t}
t dt . Al integrar por partes
0 e
0, junto con el resultado del ejemplo 1, se obtiene
SOLUCIÓN 'HODGH¿QLFLyQVHWLHQH
y usando lim te
st
t→
te
s
{t}
EJEMPLO 3
Evalúe a)
{e
0, s
3t
}.
st
0
1
s
e
st
1
s
dt
0
{1}
1 1
s s
2(s 1 3)t
dt
$SOLFDQGRODGH¿QLFLyQ
b)
{e5t}
SOLUCIÓN 'HODGH¿QLFLyQVHWLHQH
a)
+ {e23t} 5
`
#e
0
23t 2st
e
dt 5
`
#e
0
2e2(s 1 3)t
s13
1
.
5
s13
5
u
`
0
1
.
s2
7.1
DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
El último resultado es válido para s > –3, ya que para que exista el lim
0 para s 3 0 o s 3.
{e5t}
b)
e 5t e
st
dt
(s
e
0
5)t
O
t A
281
e(s3)t
dt
0
e
s
1
(s
5)t
5
s
0
5
A diferencia del inciso a), este resultado es válido para s 5 ya que limt A e(s5)t 0
requiere que s – 5 > 0 o s > 5.
EJEMPLO 4 $SOLFDQGRODGH¿QLFLyQ
Evalúe
{sen 2t}.
SOLUCIÓN 'HODGH¿QLFLyQHLQWHJUDQGRSRUSDUWHVGRVYHFHVVHWLHQHTXH
{sen 2t}
0
2
–s
lim e
st
t→
st
e
0
cos 2t
e st sen 2t
––––––––––––
s
sen 2t dt
st
e
0, s
cos 2t dt,
0
e
st
cos 2t dt
0
s
0
Transformada de Laplace de sen 2t
[
2 e st cos 2t
–s ––––––––––––
s
2
––2
s
2
–s
0
2
–s
0
0
e
]
sen 2t dt
st
4
––2 {sen 2t}.
s
{sen 2t} en ambos lados de la igualdad. Si
En este punto se tiene una ecuación con
se despeja esa cantidad el resultado es
{sen 2t}
2
2
s
,
s
4
0.
ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Para una combinación lineal de funciones podemos escribir
0
e
st
[ f (t)
g(t)] dt
0
e
st
f (t) dt
0
e
st
g(t) dt
siempre que ambas integrales converjan para s c. Por lo que se tiene que
{ f (t)
g(t)}
{ f (t)}
{g(t)}
F(s)
G(s) .
(3)
Como resultado de la propiedad dada en (3), se dice que es una WUDQVIRUPDFLyQOLQHDO.
EJEMPLO 5 Linealidad de la transformada de Laplace
En este ejemplo usamos los resultados de los ejemplos anteriores para ilustrar la linealidad de la transformada de Laplace.
a) De los ejemplos 1 y 2 tenemos para s 0
{1
5t}
{1}
5 {t}
1
s
5
,
s2
b) De los ejemplos 3 y 4 tenemos para s 5.
{4e5t
10 sen 2t}
4
{e5t}
10
{sen2t}
4
s
20
5
s2
.
4
282
CAPÍTULO 7
O
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
c) De los ejemplos 1, 2 y 3 tenemos para s 0,
3t
{20e
7t
9}
20 {e 3t}
20
7
s 3 s2
7 {t}
9
s
9
{1}
Se establece la generalización de algunos ejemplos anteriores por medio del siguiente
teorema. A partir de este momento se deja de expresar cualquier restricción sobre s; se
sobreentiende que sHVWiORVX¿FLHQWHPHQWHUHVWULQJLGDSDUDJDUDQWL]DUODFRQYHUJHQFLD
de la adecuada transformada de Laplace.
TEOREMA 7.1.1 Transformada de algunas funciones básicas
1
{1}
a)
s
n!
,
sn 1
b)
{t n}
d)
{sen kt}
f)
{senh kt}
n
1, 2, 3, . . .
k
2
k2
s
k
2
2
s
k
1
c)
{eat}
e)
{cos kt}
g)
{cosh kt}
s
a
s
s2
k2
s
2
s
k2
(VWHUHVXOWDGRHQE GHOWHRUHPDVHSXHGHMXVWL¿FDUIRUPDOPHQWHSDUDn un entero
positivo usando integración por partes para demostrar primero que
{t n}
n
s
{t n 1}
Entonces para n = 1, 2 y 3, tenemos, respectivamente,
{t}
1
s
{1}
1 1
s s
1
s2
{t2}
2
s
{t}
2 1
s s2
2 1
s3
{t3}
3
s
{t2}
3 2 1
s
s3
3 2 1
s4
6LVLJXHFRQODVHFXHQFLDDO¿QDOGHEHUiHVWDUFRQYHQFLGRGHTXH
{t n}
f(t)
a
t1
t2
t3 b
t
FIGURA 7.1.1 Función continua por
tramos.
n...3 2 1
sn 1
n!
s
n
1
CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE {f (t)} La integral
TXHGH¿QHODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFHQRWLHQHTXHFRQYHUJHU3RUHMHPSORQRH[LVWH
2
{1>t} ni {et }/DVFRQGLFLRQHVVX¿FLHQWHVTXHJDUDQWL]DQODH[LVWHQFLDGH {f (t)}
son que f sea continua por tramos sobre [0, ) y que f sea de orden exponencial para t T.
Recuerde que la función f es continua por tramos sobre [0, ) si, en cualquier intervalo
0 a t bKD\XQQ~PHUR¿QLWRGHSXQWRVtk, k 1, 2, . . . , n (tkl tk) en los que f
WLHQHGLVFRQWLQXLGDGHV¿QLWDV\HVFRQWLQXDVREUHFDGDLQWHUYDORDELHUWR tkl, tk). Vea la
¿JXUD(OFRQFHSWRGHorden exponencialVHGH¿QHGHODVLJXLHQWHPDQHUD
DEFINICIÓN 7.1.2
Orden exponencial
Se dice que f es de orden exponencial c si existen constantes c, M 0 y T 0
tales que f (t) Mect para toda t T.
7.1
f(t)
Me ct (c > 0)
f (t)
FIGURA 7.1.2 f es de orden
exponencial c.
283
O
Si f es una función creciente, entonces la condición f (t) Mect, t T, simplePHQWHHVWDEOHFHTXHODJUi¿FDGHf sobre el intervalo (T, ) no crece más rápido que
ODJUi¿FDGHODIXQFLyQH[SRQHQFLDOMect, donde c es una constante positiva. Vea la
¿JXUD/DVIXQFLRQHVf (t) t, f (t) et y f (t) 2 cos t son de orden exponencial
porque para c 1, M 1, T 0 se tiene, respectivamente, para t 0
t
T
DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
et,
t
e
et,
t
y
2 cos t
2et.
8QDFRPSDUDFLyQGHODVJUi¿FDVVREUHHOLQWHUYDOR> VHPXHVWUDHQOD¿JXUD
f (t)
f (t)
f (t)
et
2et
et
2 cos t
t
e −t
t
t
a)
t
b)
c)
FIGURA 7.1.3 Tres funciones de orden exponencial
f(t) e t 2
c
FIGURA 7.1.4
Un exponente entero positivo de t siempre es de orden exponencial puesto que,
para c 0,
tn
tn
Mect
o
M para t T
ect
e ct
t
es equivalente a demostrar que el limt S ` tnyect HV ¿QLWR SDUD n 1, 2, 3, . . . El
resultado se deduce con n aplicaciones de la regla de L'Hôpital. Una función como
2
f (t) et QRHVGHRUGHQH[SRQHQFLDOSXHVWRTXHFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
2
et crece más rápido que cualquier potencia lineal positiva de e para t c 0. Esto
también se puede ver, de
et2 no es de orden
2
et
2
5 et 2ct 5 et(t2c) S ` es t S `
ect
u u
exponencial.
para cualquier valor de c. Por el mismo razonamiento, e2stet S ` , cuando t S ` para
2
2
`
cualquier s, por lo que la integral impropia e 0 e2stet dt diverge. Es decir, +het j no existe
2
TEOREMA 7.1.2
&RQGLFLRQHVVX¿FLHQWHVSDUDODH[LVWHQFLD
Si f es una función continua por tramos en [0, ) y de orden exponencial, entonces { f (t)} existe para s c.
DEMOSTRACIÓN
3RUODSURSLHGDGDGLWLYDGHOLQWHUYDORGHLQWHJUDOHVGH¿QLGDVSR-
demos escribir
{ f(t)}
T
0
e
st
f(t) dt
T
e
st
f(t) dt
I1
I2.
La integral I1 existe ya que se puede escribir como la suma de integrales sobre los intervalos en los que es t f (t) es continua. Ahora puesto que f es de orden exponencial, existen
constantes c, M 0, T 0 tales que f (t) Mect para t T. Entonces podemos escribir
I2
T
e
st
f (t) dt
M
T
e
st ct
e dt
M
T
e
(s c)t
dt
M
e (s c)T
s c
para s c. Puesto que T Me (s c)t dt converge, la integral T e st f (t) dt converge
SRUODSUXHEDGHFRPSDUDFLyQSDUDLQWHJUDOHVLPSURSLDV(VWRDVXYH]VLJQL¿FDTXHI2
st
existe para s c. La existencia de I1 e I2 implica que existe {f (t)}
f (t) dt
0 e
para s c. Vea i) en los Comentarios
284
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
EJEMPLO 6
7UDQVIRUPDGDGHXQDIXQFLyQFRQWLQXDSRUWUDPRV
0,
2,
Evalúe {f (t)} donde f (t)
0
3
3.
t
t
SOLUCIÓN La función fTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVFRQWLQXDSRUWUDPRV
y de orden exponencial para t 0. Puesto que fVHGH¿QHHQGRVWUDPRV{f (t)} se
expresa como la suma de dos integrales:
y
2
3
{f (t)}
t
0
e
st
3
f (t) dt
0
0
FIGURA 7.1.5 Función continua por
tramos en el ejemplo 6.
st
e
(0) dt
2e
3
e
st
(2) dt
st
s
3
3s
2e
,
s
0.
s
Concluimos esta sección con un poco más de teoría relacionada con los tipos de funciones de s con las que en general se estará trabajando. El siguiente teorema indica que
no toda función arbitraria de s es una transformada de Laplace de una función continua
por tramos de orden exponencial.
Comportamiento de F(s) conforme s A TEOREMA 7.1.3
Si f es continua por tramos sobre [0, ) y de orden exponencial y F(s) { f (t)},
entonces el lim F(s) 0.
s:`
Puesto que f es de orden exponencial, existen constantes #, M1 0
y T 0 tales que f (t) M1e# t para t T. También, puesto que f es continua por
tramos para el intervalo 0 t T, está necesariamente acotada sobre el intervalo; es
decir, f (t) M2 M2e0t. Si M denota el máximo del conjunto {M1, M2} y c denota el
máximo de {0,#}, entonces
DEMOSTRACIÓN
F(s)
0
e
st
f (t) dt
M
0
e stect dt
M
0
e
(s c)t
dt
M
s
c
para s c. Conforme s A , se tiene F(s) A 0 y por tanto F(s) { f (t)} A 0.
COMENTARIOS
i) En este capítulo nos dedicaremos principalmente a funciones que son continuas
por tramos y de orden exponencial. Sin embargo, se observa que estas dos condiFLRQHVVRQVX¿FLHQWHVSHURQRQHFHVDULDVSDUDODH[LVWHQFLDGHODWUDQVIRUPDGDGH
Laplace. La función f (t) t1/2 no es continua por tramos sobre el intervalo [0, ),
pero existe su transformada de Laplace. La función f (t) 2te t 2 cos e t 2 no es de orden
exponencial pero se puede demostrar que su transformada de Laplace existe. Vea los
problemas 43 y 53 en los ejercicios 7.1.
ii) Como consecuencia del teorema 7.1.3 se puede decir que las funciones de
s como F1(s) 1 y F2(s) s (s 1) no son las transformadas de Laplace
de funciones continuas por tramos de orden exponencial, puesto que F2 (s) :
/ 0
/ 0 conforme s A . Pero no se debe concluir de esto que F1(s) y F2(s)
y F2 (s) :
no son transformadas de Laplace. Hay otras clases de funciones.
7.1
EJERCICIOS 7.1
4,
0,
0
f (t)
t,
1,
0
f (t)
f (t)
f (t)
t
t
2
2
t
t
1
1
2t 1, 0 t
0,
t
sen t, 0 t
0,
t
1
1
0,
cos t,
>2
/2
f(t)
0
t
t
(2, 2)
f(t)
f (t) e t senh t
f (t) et cosh t
En los problemas 37 a 40 encuentre {f (t)} usando primero
una identidad trigonométrica.
f (t) sen 2t cos 2t
f (t) cos 2t
f (t) sen(4t 5)
f (t)
10 cos t
␣21 2t
e
0
dt, ␣ . 0.
8VHHVWDGH¿QLFLyQSDUDGHPRVWUDUTXH&(Į 1) Į&(Į).
Utilice el problema 41 y un cambio de variable ust para
obtener la generalización
t
1
FIGURA 7.1.7
para el problema 7.
para el problema 8.
`
#t
Cuando Į n es un entero positivo se puede utilizar
la última propiedad para demostrar que &(n 1) n!.
Vea el Apéndice A.
(2, 2)
t
1
f (t) cosh kt
1
f(t)
f (t) senh kt
G(␣) 5
FIGURA 7.1.6 *Ui¿FD
285
6
Hemos encontrado a la IXQFLyQJDPPD &(Į) en nuestro estudio de las funciones de Bessel en la sección 6.4. (pág. 263). Una
GH¿QLFLyQGHHVWDIXQFLyQHVWiGDGDSRUODLQWHJUDOLPSURSLD
1
1
O
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-11.
(Q ORV SUREOHPDV O XVH OD GH¿QLFLyQ SDUD HQFRQWUDU
{f (t)}.
1, 0 t 1
f (t)
1,
t 1
f (t)
DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
*Ui¿FD
(
{t }
1
1)
,
s
del resultado en el teorema 7.1.1(b)
1
En los problemas 43 a 46 utilice los problemas 41 y 42 y el
f(t)
hecho que
c
( 12 )
1
para encontrar la transformada de
Laplace de la función dada
1
t
FIGURA 7.1.8 *Ui¿FD
para el problema 9.
f (t) e
t7
f (t) te
4t
f (t) e sen t
t
f (t) t cos t
a
b
t
FIGURA 7.1.9 *Ui¿FD
para el problema 10.
f (t) t 1/2
f (t) t 3/2.
f (t) 2t1/2 8 t 5/2
Problemas para analizar
f (t) e
2t5
f (t) t e
2 2t
f (t) e t cos t
f (t) t sen t
En los problemas 19-36 use el teorema 7.1.1 para encontrar
{ f (t)}.
f (t) 2t 4
f (t) t 5
f (t) 4t 10
f (t) 7t 3
f (t) t 6t 3
f (t) 4t 2 16t 9
f (t) (t 1)3
f (t) (2t 1)3
f (t) 1 e 4t
f (t) t 2 e9t 5
f (t) (1 e 2t)2
f (t) (e t et)2
f (t) 4t 2 5 sen 3t
f (t) cos 5t sen 2t
2
4 f (t) t1/2
{f1(t)}
F1(s) para s c1 y que
Suponga que
{f2(t)} F2(s) para s c2. ¿Cuándo es cierto que
{f1(t)
f2(t)}
F1(s)
F2(s)?
/D ¿JXUD LQGLFD SHUR QR GHPXHVWUD TXH OD IXQFLyQ
2
f (t)
et no es de orden exponencial. ¿Cómo demuestra
la observación de que t2 ln M ct, para M 0 y tVX¿2
cientemente grande, que et
Mect para cualquier c?
Utilice el inciso c) del teorema 7.1.1 para demostrar que
s a ib
{e (aib)t} , donde a y b son reales
(s a)2 b2
2
e i 1. Demuestre cómo se puede usar la fórmula de
Euler (pág. 136) para deducir los resultados
s a
{eat cos bt}
(s a)2 b2
{eat sen bt}
(s
b
a)2
.
b2
286
CAPÍTULO 7
O
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
¿Bajo qué condiciones una función lineal f(x) mx b,
m 0, es una transformada lineal?
Explique por qué la función
f(t)
t,
4,
1(t
0
2
5), t
t
t
5
2
5
No es una función continua por tramos, sobre [0, ).
Demuestre que la función f(t) 1t2 no tiene una transformada de Laplace [Sugerencia: escriba {1t 2)}
como dos integrales impropias;
1
2
{1t }
0
e st
dt
t2
1
e st
dt
t2
I1
I2
demuestre que I1 diverge.]
Si {f(t)} F(s) y a 0 es una constante, demuestre que
{f(at)}
Este resultado se conoce como el teorema de cambio de
escala.
En los problemas 55-58 utilice la transformada de Laplace
dada y el resultado del problema 54 para encontrar la transformada de Laplace indicada. Suponga que a y k son constantes
positivas.
1
{et}
{sen t}
{1
{sen t senh t}
s
7.2
{eat}
;
1
1
s2
2
La función f (t) 5 2tet cos t2 no es de orden exponencial.
A pesar de esto, demuestre que la transformada de Laplace
2
2
+{2te t cose t } existe. [Sugerencia: comience con la integración por partes.]
1
s
F
a a
cos t}
;
1
{sen kt}
1
;
s(s2 1)
2s
;
s4 4
{1
cos kt}
{sen kt senh kt}
TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS
DE DERIVADAS
INTRODUCCIÓN En esta sección se dan algunos pasos hacia un estudio de cómo se puede usar
la transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones para una función desconocida.
Se empieza el análisis con el concepto de transformada de Laplace inversa o, más exactamente, la
inversa de una transformada de Laplace F(s). Después de algunos antecedentes preliminares importantes sobre la transformada de Laplace de derivadas f (t), f (t), . . . , se ilustra cómo entran en juego
la transformada de Laplace y la transformada de Laplace inversa para resolver ciertas ecuaciones
diferenciales ordinarias sencillas.
7.2.1
Transformada
Transformada inversa
{1}
1
s
1
{t}
1
s2
t
{e
1
3t
}
s
3
e
1
1
3t
1
s
1
s2
1
1
s
3
TRANSFORMADAS INVERSAS
EL PROBLEMA INVERSO Si F(s) representa la transformada de Laplace de una
función f (t), es decir, + {f(t)} 5 F(s) se dice entonces que f (t) es la transformada de
Laplace inversa de F(s) y se escribe f(t) 5 + 21{F(s)}. En el caso de los ejemplos
1, 2 y 3 de la sección 7.1 tenemos las tablas a la izquierda, respectivamente.
Pronto veremos que en la aplicación de la transformada de Laplace a ecuaciones
no se puede determinar de manera directa una función desconocida f (t); más bien,
se puede despejar la transformada de Laplace F(s) o f (t); pero a partir de ese co1
{F(s)} . La idea es simplemente
nocimiento, se determina f calculando f (t)
2s 6
esta: suponga que F(s)
es una transformada de Laplace; encuentre una
s2 4
función f (t) tal que {f (t)} F(s). En el ejemplo 2 se muestra cómo resolver este
último problema.
Para futuras referencias el análogo del teorema 7.1.1 para la transformada inversa
se presenta como nuestro siguiente teorema.
7.2
TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
O
287
TEOREMA 7.2.1 Algunas transformadas inversas
1
a) 1
b) tn
n!
,
sn 1
1
s2
1
f) senh kt
c) eat
1, 2, 3, . . .
k
1
d) sen kt
n
1
s
k
1
s
a
1
e) cos kt
k2
s2
1
1
g) cosh kt
k2
s
s2
k2
s
s2
k2
Al evaluar las transformadas inversas, suele suceder que una función de s que
estamos considerando no concuerda exactamente con la forma de una transformada
de Laplace F(s) que se presenta en la tabla. Es posible que sea necesario “arreglar” la
función de s multiplicando y dividiendo entre una constante apropiada.
EJEMPLO 1
Evalúe
$SOLFDQGRHOWHRUHPD
1
a)
1
s5
1
b)
1
s2
.
7
SOLUCIÓN a) Para hacer coincidir la forma dada en el inciso b) del teorema 7.2.1,
VHLGHQWL¿FDn 1 5 o n 4 y luego se multiplica y divide por 4!:
1
1
s5
1
4!
s5
1
4!
1 4
t.
24
b) 3DUDTXHFRLQFLGDFRQODIRUPDGDGDHQHOLQFLVRG GHOWHRUHPDLGHQWL¿FDPRV
17 . Se arregla la expresión multiplicando y dividiendo por 17 :
k2 7 y, por tanto, k
1
1
s2
1
7
17
1
17
s2 7
1
sen17t.
17
1 ES UNA TRANSFORMADA LINEAL La transformada de Laplace inversa es
también una transformada lineal para las constantes Į y ȕ
1
{ F(s)
G(s)}
1
{F(s)}
1
{G(s)},
(1)
donde F y G son las transformadas de algunas funciones f y g. Como en la ecuación
GHODVHFFLyQODHFXDFLyQ VHH[WLHQGHDFXDOTXLHUFRPELQDFLyQOLQHDO¿QLWD
de transformadas de Laplace.
EJEMPLO 2 'LYLVLyQWpUPLQRDWpUPLQR\OLQHDOLGDG
Evalúe .
1
2s 6
s2 4
SOLUCIÓN Primero se reescribe la función dada de s como dos expresiones dividiendo cada uno de los términos del numerador entre el denominador y después se usa
la ecuación (1):
288
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
UHSDUWLFión de cada uno de los términos
SRU eO denominador
{
}
{
}
{
linealidad y arreglo de
las constantes
}
{
2s 6
2
6
s
6
2s
–––––––
ᏸ1 –––––––––
ᏸ1 –––––––
2 ᏸ1 –––––––
– ᏸ1 –––––––
s2 4
s2 4
s2 4
s2 4
2
s2 4
2 cos 2t 3 sen 2t.
}
(2)
incisos e) y d) del
teorema 7.2.1 con k 2
FRACCIONES PARCIALES Las fracciones parciales juegan un papel importante en la
determinación de transformadas de Laplace inversas. La descomposición de una expresión
racional en las fracciones componentes se puede hacer rápidamente usando una sola instrucción en la mayoría de los sistemas algebraicos de computadora. De hecho, algunos SAC
tienen paquetes implementados de transformada de Laplace y transformada de Laplace
inversa. Pero para quienes no cuentan con este tipo de software, en esta sección y en las subsecuentes revisaremos un poco de álgebra básica en los casos importantes donde el denominador de una transformada de Laplace F(s) contiene factores lineales distintos, factores
lineales repetidos y polinomios cuadráticos sin factores reales. Aunque examinaremos cada
uno de estos casos conforme se desarrolla este capítulo, podría ser buena idea que consultara un libro de cálculo o uno de precálculo para una revisión más completa de esta teoría.
En el siguiente ejemplo se muestra la descomposición en fracciones parciales en el
caso en que el denominador de F(s) se puede descomponer en diferentes factores lineales.
EJEMPLO 3 Fracciones parciales: diferentes factores lineales
Evalúe
1
(s
.
4)
Existen constantes reales A, B y C, por lo que
SOLUCIÓN
(s
s2 6s 9
1)(s 2)(s
s 2 6s 9
1)(s 2)(s
A
4)
B
1
s
C
2
s
2)(s
4
s
B(s 1)(s 4) C(s 1)(s
(s 1)(s 2)(s 4)
Puesto que los denominadores son idénticos, los numeradores son idénticos:
A(s
s2
6s
9
2)(s
A(s
4)
4)
1)(s
B(s
4)
C(s
1)(s
2)
2).
.
(3)
&RPSDUDQGRORVFRH¿FLHQWHVGHODVSRWHQFLDVGHs en ambos lados de la igualdad, sabemos que (3) es equivalente a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas A, B y C.
Sin embargo, hay un atajo para determinar estas incógnitas. Si se hace s 1, s 2 y
s 4 en (3) se obtiene, respectivamente,
16
y así, A
ciales es
A( 1)(5),
16
,
5
B
(s
25
,
6
25
1
30
yC
s2 6s 9
1)(s 2)(s
B(1)(6)
y
1
C( 5)( 6),
. Por lo que la descomposición en fracciones par-
4)
1 > 30
,
s 4
25> 6
s 2
16 > 5
s 1
(4)
y, por tanto, de la linealidad de 1 y del inciso c) del teorema 7.2.1,
1
(s
s2 6s 9
1)(s 2)(s
16
5
4)
16 t
e
5
25 2t
e
6
1
1
s
25
6
1
1
e
30
4t
.
1
1
s
2
1
30
1
1
s
(5)
4
7.2
TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
O
289
7.2.2 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA Como se indicó en la introducción de este
capítulo, el objetivo inmediato es usar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones
GLIHUHQFLDOHV3DUDWDO¿QHVQHFHVDULRHYDOXDUFDQWLGDGHVFRPR {dy>dt} y {d 2 y>dt 2}.
Por ejemplo, si f es continua para t 0, entonces integrando por partes se obtiene
{ f (t)}
f (t) dt
st
e
0
f (0)
{ f (t)}
o
st
e
f (t)
s
0
0
e
st
f (t) dt
s { f (t)}
f (0).
sF(s)
(6)
Aquí hemos supuesto que e f (t) A 0 conforme t A . De manera similar, con la
ayuda de la ecuación (6),
st
{ f (t)}
f (t) dt
st
e
0
f (0)
2
{ f (t)}
st
f (t)
0
s
0
e
st
f (t) dt
s { f (t)}
f (0)]
s[sF(s)
o
e
sf (0)
s F(s)
f (0)
; de (6)
f (0).
(7)
De igual manera se puede demostrar que
s3F(s)
{ f (t)}
s2 f (0)
sf (0)
f (0).
(8)
La naturaleza recursiva de la transformada de Laplace de las derivadas de una función
f es evidente de los resultados en (6), (7) y (8). El siguiente teorema da la transformada
de Laplace de la n-ésima derivada de f. Se omite la demostración.
TEOREMA 7.2.2 Transformada de una derivada
Si f, f , . . . , f (n1) son continuas sobre [0, ) y son de orden exponencial y si
f (n)(t) es continua por tramos sobre [0, ), entonces
{ f (n) (t)} sn F(s) sn 1 f(0) sn 2 f (0)
f (n 1) (0),
donde F(s)
{ f(t)} .
SOLUCIÓN DE EDO LINEALES Es evidente del resultado general dado en el teo{y(t)} y las n 1 derivadas de y(t)
rema 7.2.2 que {d n y>dt n} depende de Y(s)
evaluadas en t 0. Esta propiedad hace que la transformada de Laplace sea adecuada
para resolver problemas lineales con valores iniciales en los que la ecuación diferencial tiene FRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV. Este tipo de ecuación diferencial es simplemente una
combinación lineal de términos y, y, y, . . . , y (n):
an
d ny
dt n
y(0)
an
d n 1y
1
dt n 1
y0 , y (0)
y1 , . . . , y(n
a0 y
1)
(0)
g(t),
yn 1,
donde las ai, i 0, 1, . . . , n y y0, y1, . . . , yn1 son constantes. Por la propiedad de linealidad la transformada de Laplace de esta combinación lineal es una combinación
lineal de transformadas de Laplace:
an
d ny
dt n
an
1
d n 1y
dt n 1
a0
{y}
{g(t)}.
(9)
290
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Del teorema 7.2.2, la ecuación (9) se convierte en
an [snY(s)
sn
1
y(n
y(0)
an 1[s n 1Y(s)
1)
(0)]
sn 2 y(0)
y(n
2)
a0 Y(s)
(0)]
G(s),
(10)
donde {y(t)} Y(s) y {g(t)} G(s). En otras palabras, la transformada de
/DSODFHGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVHFRQYLHUWHHQ
una ecuación algebraica en Y(s). Si se resuelve la ecuación transformada general (10)
para el símbolo Y(s), primero se obtiene P(s)Y(s) Q(s) G(s) y después se escribe
Q(s)
P(s)
Y(s)
G(s)
,
P(s)
(11)
donde P(s) ansn an1sn1 . . . a0, Q(s) es un polinomio en s de grado menor o
igual a n TXHFRQVLVWHHQYDULRVSURGXFWRVGHORVFRH¿FLHQWHVai, i 1, . . . , n y las
condiciones iniciales prescritas y0, y1, . . . , yn1 y G(s) es la transformada de Laplace de
g(t).* Normalmente se escriben los dos términos de la ecuación (11) sobre el mínimo
común denominador y después se descompone la expresión en dos o más fracciones
parciales. Por último, la solución y(t) del problema con valores iniciales original es
y(t) 1{Y(s)}, donde la transformada inversa se hace término a término.
El procedimiento se resume en el siguiente diagrama.
Encuentre la y(t)
desconocida que
satisface la ED y las
condiciones iniciales
La ED transformada
se convierte en una
ecuación algebraica
en Y(s)
Aplique la transformada
de Laplace
Solución y(t)
del PVI original
Resuelva la ecuación
transformada para
Y(s)
Aplique la transformada
inversa de Laplace −1
FIGURA 7.2.1 Pasos para resolver un PVI con la tranformada de Laplace.
En el ejemplo siguiente se ilustra el método anterior para resolver ED, así como
la descomposición en fracciones parciales para el caso en que el denominador de Y(s)
contenga un polinomio cuadrático sin factores reales.
EJEMPLO 4 6ROXFLyQGHXQ39,GHSULPHURUGHQ
Use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales
dy
dt
SOLUCIÓN
3y
y(0)
13 sen 2t,
6.
Primero se toma la transformada de cada miembro de la ecuación dife-
rencial.
dy
dt
y>
De (6), {dy>dt}
{sen 2t} 2>(s 2
sY(s)
6
3 {y}
13 {sen 2t}.
(12)
sY(s) y(0) sY(s) 6 , y del inciso d) del teorema 7.1.1,
4) , por lo que la ecuación (12) es lo mismo que
3Y(s)
26
s
2
4
o
(s
3)Y(s)
6
26
2
s
.
4
*
El polinomio P(s) es el mismo que el polinomio auxiliar de n-ésimo grado en la ecuación (12) de la
sección 4.3 donde el símbolo m usual se sustituye por s.
7.2
TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
O
291
Resolviendo la última ecuación para Y(s), obtenemos
26
6s2 50
.
(13)
s 3 (s 3)(s2 4) (s 3)(s2 4)
Puesto que el polinomio cuadrático s2 4 no se factoriza usando números reales, se supone
que el numerador en la descomposición de fracciones parciales es un polinomio lineal en s:
6
Y(s)
6s2 50
(s 3)(s2 4)
A
s
Bs
s2
3
C
.
4
Poniendo el lado derecho de la igualdad sobre un común denominador e igualando los
numeradores, se obtiene 6s2 50 A(s2 4) (Bs C)(s 3). Haciendo s 3
se obtiene inmediatamente que A 8. Puesto que el denominador no tiene más raíces
UHDOHVVHLJXDODQORVFRH¿FLHQWHVGHs2 y s : 6 A B y 0 3B C. Si en la primera
ecuación se usa el valor de A se encuentra que B 2, y con este valor aplicado a la
segunda ecuación, se obtiene C 6. Por lo que,
6s2 50
(s 3)(s2 4)
Y(s)
8
s
2s 6
.
s2 4
3
Aún no se termina porque la última expresión racional se tiene que escribir como dos
fracciones. Esto se hizo con la repartición término a término entre el denominador del
ejemplo 2. De (2) de ese ejemplo,
y(t)
1
1
8
s
3
s
1
2
s
2
4
2
1
3
2
s
4
.
Se deduce de los incisos c), d) y e) del teorema 7.2.1, que la solución del problema con
valores iniciales es y(t) 8e3t 2 cos 2t 3 sen 2t.
EJEMPLO 5 6ROXFLyQGHXQ39,GHVHJXQGRRUGHQ
Resuelva y 3y 2y e4t,
y(0) 1,
y(0) 5.
SOLUCIÓN Procediendo como en el ejemplo 4, se transforma la ED. Se toma la
suma de las transformadas de cada término, se usan las ecuaciones (6) y (7), las condiciones iniciales dadas, el inciso c) del teorema 7.1.1 y después se resuelve para Y(s):
d 2y
dt 2
s 2Y(s)
sy (0)
y (0)
3
3[sY(s)
dy
dt
y (0)]
2Y(s)
3s
2)Y(s)
(s 2
Y(s)
s
s2
2
3s
2 {y}
(s 2
3s
2)(s
4)
}
1
s
4
s
2
(s
s 2 6s 9
1)(s 2)(s
1
2
4t
{e
1
s
4
. (14)
4)
Los detalles de la descomposición en fracciones parciales de Y(s) en (14) ya se presentaron en el ejemplo 3. En vista de los resultados en (4) y (5), se tiene la solución del
problema con valores iniciales
y(t)
1
{Y(s)}
16 t
e
5
25 2t
e
6
1
e
30
4t
.
En los ejemplos 4 y 5, se ilustra el procedimiento básico de cómo usar la transformada
de Laplace para resolver un problema lineal con valores iniciales, pero podría parecer
que estos ejemplos demuestran un método que no es mucho mejor que el aplicado a
292
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
los problemas descritos en las secciones 2.3 y 4.3 a 4.6. No saque conclusiones negativas de sólo dos ejemplos. Sí, hay una gran cantidad de álgebra inherente al uso
de la transformada de Laplace, pero observe que no se tiene que usar la variación de
SDUiPHWURVRSUHRFXSDUVHDFHUFDGHORVFDVRV\HOiOJHEUDHQHOPpWRGRGHFRH¿FLHQ
tes indeterminados. Además, puesto que el método incorpora las condiciones iniciales
preescritas directamente en la solución, no se requiere la operación separada de aplicar
cn yn yp de la
las condiciones iniciales a la solución general y c1y1 c2y2 ('SDUDGHWHUPLQDUFRQVWDQWHVHVSHFt¿FDVHQXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHO39,
La transformada de Laplace tiene muchas propiedades operacionales. En las
secciones que siguen se examinan algunas de estas propiedades y se ve cómo permiten resolver problemas de mayor complejidad.
COMENTARIOS
i) La transformada de Laplace inversa de una función F(s) podría no ser única;
{ f2(t)} y sin embargo f1 f2.
en otras palabras, es posible que { f1(t)}
Para nuestros propósitos, esto no es algo que nos deba preocupar. Si f1 y f2 son
continuas por tramos sobre [0, ) y de orden exponencial, entonces f1 y f2 son
esencialmente iguales. Véase el problema 50 de los ejercicios 7.2. Sin embargo,
si f1 y f2 son continuas sobre [0, ) y {f1(t)} = {f2(t)}, entonces f1 = f2 sobre
el intervalo.
ii) Este comentario es para quienes tengan la necesidad de hacer a mano desFRPSRVLFLRQHVHQIUDFFLRQHVSDUFLDOHV+D\RWUDIRUPDGHGHWHUPLQDUORVFRH¿cientes en una descomposición de fracciones parciales en el caso especial cuando
{ f(t)} F(s) es una función racional de s y el denominador de F es un producto de distintos factores lineales. Esto se ilustra al analizar de nuevo el ejemplo
3. Suponga que se multiplican ambos lados de la supuesta descomposición
(s
s2 6s 9
1)(s 2)(s
A
4)
s
B
1
s
C
2
s
4
(15)
digamos, por s VHVLPSOL¿FD\HQWRQFHVVHKDFHs 3XHVWRTXHORVFRH¿cientes de B y C en el lado derecho de la igualdad son cero, se obtiene
s2 6s
(s 2)(s
9
4)
A
s 1
o
16
.
5
A
Escrita de otra forma,
(s
s2 6s 9
1) (s 2)(s
4)
s 1
16
5
A,
donde se ha sombreado o cubierto, el factor que se elimina cuando el lado izquierdo se multiplica por s 1. Ahora, para obtener B y C, simplemente se
evalúa el lado izquierdo de (15) mientras se cubre, a su vez, s 2 y s 4:
s2 6s 9
––––––––––––––––––––––
(s 1)(s 2)(s 4)
y
s2 6s 9
––––––––––––––––––––––
(s 1)(s 2)(s 4)
25
––– B
s2
6
s4
1
––– C.
30
La descomposición deseada (15) se da en (4). Esta técnica especial para determiQDUFRH¿FLHQWHVVHFRQRFHGHVGHOXHJRFRPRPpWRGRGHFXEULPLHQWR.
7.2
TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
293
O
iii) En este comentario continuamos con la introducción a la terminología de sistemas dinámicos. Como resultado de las ecuaciones (9) y (10) la transformada de
Laplace se adapta bien a sistemas dinámicos lineales. El polinomio P(s) ansn
an1sn1 a0HQ HVHOFRH¿FLHQWHWRWDOGHY(s) en (10) y es simplemente
el lado izquierdo de la ED en donde las derivadas d kydt k se sustituyen por potencias
sk, k 0, 1, . . . , n. Es común llamar al recíproco de P(s), en particular W(s) 1P(s),
IXQFLyQGHWUDQVIHUHQFLD del sistema y escribir la ecuación (11) como
Y(s)
W(s)Q(s)
W(s)G(s) .
(16)
De esta manera se han separado, en un sentido aditivo, los efectos de la respuesta
debidos a las condiciones iniciales (es decir, W(s)Q(s)) de los causados por la
función de entrada g (es decir, W(s)G(s)). Vea (13) y (14). Por tanto la respuesta
y(t) del sistema es una superposición de dos respuestas:
1
y(t)
1
{W(s)Q(s)}
{W(s)G(s)}
y1 (t).
y0 (t)
1
{W(s)
Si la entrada es g(t) 0, entonces la solución del problema es y0 (t)
Q(s)}. Esta solución se llama respuesta de entrada cero del sistema. Por otro
1
lado, la función y1(t)
{W(s)G(s)} es la salida debida a la entrada g(t).
Entonces, si la condición inicial del sistema es el estado cero (todas las condiciones
iniciales son cero), entonces Q(s) 0 y, por tanto, la única solución del problema con
valores iniciales es y1(t). La última solución se llama respuesta de estado cero del
sistema. Tanto y0(t) como y1(t) son soluciones particulares: y0(t) es una solución
del PVI que consiste en la ecuación homogénea relacionada con las condiciones
iniciales dadas y y1(t) es una solución del PVI que consiste en la ecuación no homogénea con condiciones iniciales cero. En el ejemplo 5 se ve de (14) que la función
de transferencia es W(s) 1(s2 3s 2), la respuesta de entrada cero es
1
y0(t)
s 2
1)(s 2)
(s
3et
4e2t,
y la respuesta de estado cero es
y1(t)
1
1
(s
1)(s
2)(s
1 t
e
5
4)
1 2t
e
6
1
e
30
4t
.
Compruebe que la suma de y0(t) y y1(t) es la solución de y(t) en el ejemplo 5 y
que y 0 (0) 1, y0 (0) 5 , mientras que y1(0) 0, y1(0) 0.
EJERCICIOS 7.2
7.2.1
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-11.
TRANSFORMADAS INVERSAS
En los problemas 1-30 use el álgebra apropiada y el teorema
7.2.1 para encontrar la transformada inversa de Laplace dada.
1
1
1
1
s3
1
s2
48
s5
(s
3
1)
4
s
1
1
1
1
s4
2
s
1
s3
1
1
1
1
2)
3
1
s
1
s
1
1
1
1
49
1
1
1
1
s
1
4s
5
s
2
2
2
(s
1
s2
4s
4s
2s
s2
2
6
9
2
4
s
6
s5
1
s
1
5s
2
10s
s
16
2
1
4s
s
s2
2
1
1
2
8
294
CAPÍTULO 7
O
1
1
1
1
1
1
s2
3s
s2
s
2s
(s
0.9s
0.1)(s
2)(s
1
1
1
20.
1
1
4s
s
s2
s
1
s
2
20
13
3)(s
1
1)(s
6)
2s 4
s)(s2 1)
1
1)(s2
(s2
5
26.
1
28.
1
30.
30.
4)
s
2)(s2
(s
1
4
9
s
1
4)
s4
6s 3
5s2 4
1
; f (t) 5 eat senh bt
(s 2 a)2 2 b2
6
5s (s 11 a )6; f (t) 5 at 2 sen at
+21
5
+21
2
2
1
; f (t) 5 a sen bt 2 b sen at
(s2 1 a2)(s2 1 b2)
6
2
2
2
2
7.2.2 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
En los problemas 35-44, use la transformada de Laplace para
resolver el problema con valores iniciales.
dy
y 1, y(0) 0
dt
dy
2
y 0, y(0)
dt
y 6y e4t,
7.3
3
y(0) 2
y y 2 cos 5t,
y(0) 0,
10,
y (0)
0
y(0) 0
y(0) 0
s
a
2
(s
a)
(s
b
a)2
eat cos bt
b2
eat sen bt.
b2
En los problemas 45 y 46 use la transformada de Laplace y estas
inversas para resolver el problema con valores iniciales dado.
y y e3t cos 2t, y(0) 0
y 2y 5y 0, y(0) 1, y(0) 3
En los problemas 47 y 48 utilice una de las transformadas inversas
de Laplace encontradas en los problemas 31 a 34 para resolver el
problema de valor inicial dado.
y0 1 4y 5 10 cos 5t, y(0) 5 0, y9(0) 5 0
y0 1 2y 5 4t, y(0) 5 0, y9(0) 5 0
Problemas para analizar
a) Con un ligero cambio de notación la transformada en (6)
es lo mismo que
{ f (t)}
2
5(s 1 a )(ss 1 b )6; f (t) 5 cos bt 2 cos at
+21
22 sen 22t, y(0)
1
En los problemas 31-34 encuentre la función inversa de la transformada de Laplace encontrando la transformada de Laplace de
la función indicada
+21
y
1
2)
5s
(s2
y
y 9y et,
Las formas inversas de los resultados del problema 49 en los ejercicios 7.1 son
1
s3
y 5y 4y 0, y(0) 1, y(0) 0
y 4y 6e3t 3et, y(0) 1, y(0) 1
2y 3y 3y 2y et, y(0) 0, y(0) 0,
y(0) 1
y 2y y 2y sen 3t, y(0) 0, y(0) 0,
y(0) 1
0.2)
s2
1)(s
s(s
18.
s
(s
1
1
3
s 3
13 s
s
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
s { f (t)}
f (0).
Con f (t) teat, analice cómo se puede usar este resultado
junto con c) del teorema 7.1.1 para evaluar {teat} .
b) Proceda como en el inciso a), pero esta vez examine cómo
usar (7) con f (t) t sen kt junto con d) y e) del teorema
7.1.1 para evaluar {t sen kt}.
Construya dos funciones f1 y f2 que tengan la misma transformada de Laplace. No considere ideas profundas.
Lea de nuevo el inciso iii) de los ComentariosGHO¿QDOGHHVWD
sección. Encuentre la respuesta de entrada cero y la respuesta
de estado cero para el PVI del problema 40.
Suponga que f (t) es una función para la que f (t) es continua
por tramos y de orden exponencial c. Use los resultados de
HVWDVHFFLyQ\ODVHFFLyQSDUDMXVWL¿FDU
f (0)
lim sF(s),
s→
donde F(s) { f (t)}. Compruebe este resultado con f (t)
cos kt.
PROPIEDADES OPERACIONALES I
INTRODUCCIÓN 1RHVFRQYHQLHQWHXVDUODGH¿QLFLyQFDGDYH]TXHVHGHVHDHQFRQWUDUOD
transformada de Laplace de una función f (t). Por ejemplo, la integración por partes requerida para
evaluar {ett2 sen 3t} es, por decirlo de algún modo, formidable. En esta sección y la que sigue
7.3
PROPIEDADES OPERACIONALES I
O
295
se presentan varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace que ahorran trabajo y
permiten construir una lista más extensa de transformadas (vea la tabla del apéndice C) sin tener que
UHFXUULUDODGH¿QLFLyQEiVLFD\DODLQWHJUDFLyQ
7.3.1 TRASLACIÓN EN EL EJE s
UNA TRASLACIÓN Evaluar transformadas como {e 5t t 3} y {e 2t cos 4t} es
directo siempre que se conozca (y así es) {t 3} y {cos 4t} . En general, si se conoce
la transformada de Laplace de una función f, { f (t)} F(s), es posible calcular
la transformada de Laplace de un múltiplo exponencial de f, es decir, {eat f (t)}, sin
ningún esfuerzo adicional que no sea trasladar o desplazar, la transformada F(s) a
F(s a). Este resultado se conoce como SULPHUWHRUHPDGHWUDVODFLyQ o primer
teorema de desplazamiento.
TEOREMA 7.3.1 3ULPHUWHRUHPDGHWUDVODFLyQ
{f(t)}
Si
F(s) y a es cualquier número real, entonces
{eat f(t)}
a).
F(s
DEMOSTRACIÓN /DGHPRVWUDFLyQHVLQPHGLDWD\DTXHSRUODGH¿QLFLyQ
F
F(s)
{eat f (t)}
F(s − a)
s = a, a > 0
s
FIGURA 7.3.1 Desplazamiento en el
eje s.
e
0
e f (t) dt
st at
0
(s a)t
e
f (t) dt
a).
F(s
Si se considera sXQDYDULDEOHUHDOHQWRQFHVODJUi¿FDGHF(s a HVODJUi¿FDGH
F(s) desplazada sobre el eje s por la cantidad a . Si a ODJUi¿FDGHF(s) se desplaza a unidades a la derecha, mientras que si a ODJUi¿FDVHGHVSOD]D a unidades
DODL]TXLHUGD9HDOD¿JXUD
Para enfatizar, a veces es útil usar el simbolismo
{e at f (t)}
{ f (t)}
s:s a ,
donde s A s aVLJQL¿FDTXHHQODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFHF(s) de f (t) siempre que
aparezca el símbolo s se remplaza por s a.
EJEMPLO 1 8VDQGRHOSULPHUWHRUHPDGHWUDVODFLyQ
{e 5t t 3}
Evalúe a)
{e
b)
2t
cos 4t}.
SOLUCIÓN Los siguientes resultados se deducen de los teoremas 7.1.1 y 7.3.1.
a)
{e5t t3}
b)
{e
2t
{t3}
s: s 5
cos 4t}
3!
s4
{cos 4t}
6
5)4
(s
s:s 5
s
s : s ( 2)
s
2
2
s
16
s:s
2
(s
2
2)
16
FORMA INVERSA DEL TEOREMA 7.3.1 Para calcular la inversa de F(s a), se
debe reconocer F(s), para encontrar f (t) obteniendo la transformada de Laplace inversa
de F(s) y después multiplicar f (t) por la función exponencial eat. Este procedimiento se
resume con símbolos de la siguiente manera:
1
{F(s
donde f(t)
1
{F(s)}.
a)}
1
{F(s)
s:s a}
e at f (t) ,
(1)
296
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
En la primera parte del ejemplo siguiente se ilustra la descomposición en fracciones
parciales en el caso cuando el denominador de Y(s) contiene factores lineales repetidos.
EJEMPLO 2 Fracciones parciales: factores lineales repetidos
Evalúe a)
1
2s
(s
5
3)2
1
b)
s>2 5>3
.
s2 4s 6
SOLUCIÓN a) Un factor lineal repetido es un término (s a)n, donde a es un nú-
mero real y n es un entero positivo 2. Recuerde que si (s a)n aparece en el denominador de una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene n
fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes s a, (s a)2, . . . ,
(s a)n. Por tanto, con a 3 y n 2 se escribe
2s 5
A
B
.
2
(s 3)
s 3 (s 3)2
Colocando los dos términos del lado derecho con un denominador común, se obtiene
el numerador 2s 5 A(s 3) B y esta identidad produce A 2 y B 11. Por
tanto,
2s 5
2
11
(2)
(s 3)2 s 3 (s 3)2
1
y
2s 5
(s 3)2
1
1
2
1
1
11
3
s
.
3)2
(s
(3)
Ahora 1(s 3)2 es F(s) 1s2 desplazada tres unidades a la derecha. Ya que
1
{1>s2} t , se tiene de (1) que
1
1
(s
3)
2s
(s
1
Por último, (3) es
1
2
5
3)2
1
s2
e3t t.
s: s 3
2e3t
11e3t t .
(4)
b) Para empezar, observe que el polinomio cuadrático s2 4s 6 no tiene raíces reales
y por tanto no tiene factores lineales reales. En esta situación completamos el cuadrado:
s>2 5>3
s2 4s 6
s>2 5>3
.
(s 2)2 2
(5)
El objetivo aquí es reconocer la expresión del lado derecho como alguna transformada
de Laplace F(s) en la cual se ha remplazado s por s 2. Lo que se trata de hacer es similar a trabajar hacia atrás del inciso b) del ejemplo 1. El denominador en (5) ya está en la
forma correcta, es decir, s2 2 con s 2 en lugar de s. Sin embargo, se debe arreglar el
numerador manipulando las constantes: 12s 53 12 (s 2) 53 22 12 (s 2) 23.
Ahora mediante la repartición entre el denominador de cada término, la linealidad
de 1, los incisos e) y d) del teorema 7.2.1 y por último (1),
s> 2 5> 3
(s 2)2 2
1
s> 2 5> 3
s2 4s 6
1
2 (s
(s
1
2
1
1
2
1
1
e
2
2
3
2)
2)2
2t
2
s
(s
1
s 2
2 (s 2)2 2
2
2)2 2
2
3
2
2
312
s
s2
cos 12t
s:s 2
12
e
3
2t
1
2
3 (s
(s
1
sen 12t.
1
2)2
1
2)2
12
s2 2
2
2
(6)
s:s 2
(7)
7.3
PROPIEDADES OPERACIONALES I
297
O
EJEMPLO 3 Un problema con valores iniciales
y(0) 2,
Resuelva y 6y 9y t 2e3t,
y(0) 17.
SOLUCIÓN Antes de transformar la ED, observe que su lado derecho es similar a la
función del inciso a) del ejemplo 1. Después de usar la linealidad, el teorema 7.3.1 y
ODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVVHVLPSOL¿FD\OXHJRVHUHVXHOYHSDUDY(s)
{ f (t)} :
{y }
s2 Y(s)
y (0)
sy(0)
6 {y }
6[sY(s)
(s2
{t2 e3t }
9 {y}
y(0)]
9Y(s)
6s
(s
2
(s
3)3
9)Y(s)
2s
5
3)2 Y(s)
2s
5
Y(s)
2
3)3
(s
2
3)3
(s
2s 5
(s 3)2
2
(s
3)5
.
El primer término del lado derecho ya se ha descompuesto en fracciones parciales en
la ecuación (2), en el inciso a) del ejemplo 2.
2
Y(s)
1
1
2
Por lo que y(t)
s
3
s
3
(s
11
1
11
3)2
2
(s
1
2
4!
3)2
(s
.
3)5
1
4!
(s
3)5
.
(8)
De la forma inversa (1) del teorema 7.3.1, los dos últimos términos de (8) son
1
1
s2
Por lo que (8) es y(t)
te3t
s:s 3
2e 3t
1
y
1 4 3t
12 t e
11te 3t
4!
s5
t 4 e3t.
s:s 3
.
EJEMPLO 4 Un problema con valores iniciales
y(0) 0,
Resuelva y 4y 6y 1 et,
{y }
SOLUCIÓN
s2Y(s)
sy(0)
y (0)
4 {y }
4[sY(s)
(s2
y(0) 0.
6 {y}
y (0)]
6Y(s)
4s
6)Y(s)
Y(s)
{1}
1
s
{e t}
1
1
s
2s
s(s
1
1)
s(s
2s
1)(s2
1
4s
6)
Puesto que el término cuadrático en el denominador no se factoriza en factores lineales
reales, se encuentra que la descomposición en fracciones parciales para Y(s) es
Y(s)
1>6
s
s
1> 3
1
s> 2 5> 3
.
s2 4s 6
Además, en la preparación para tomar la transformada inversa, ya se manejó el último
término en la forma necesaria del inciso b) del ejemplo 2. Por lo que en vista de los
resultados en (6) y (7), se tiene la solución
298
CAPÍTULO 7
O
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
y(t)
1
s
1
6
1
1
6
1
e
3
1
3
t
1
1
1
s
1
e
2
2t
1
2
12
e
3
cos 12t
2
s
1
2
(s
2t
2)
2
312
2
1
(s
12
2)2
2
sen 12t.
7.3.2 TRASLACIÓN SOBRE EL EJE t
FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO En ingeniería es común encontrar funciones que
están ya sea “desactivadas” o “activadas”. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre
un sistema mecánico, o un voltaje aplicado a un circuito, se puede desactivar después
GHFLHUWRWLHPSR(VFRQYHQLHQWHHQWRQFHVGH¿QLUXQDIXQFLyQHVSHFLDOTXHHVHOQ~PHUR
0 (desactivada) hasta un cierto tiempo t a y entonces el número 1 (activada) después
de ese tiempo. La función se llama IXQFLyQHVFDOyQXQLWDULR o IXQFLyQGH+HDYLVLGH,
así llamada en honor del erudito inglés 2OLYHU+HDYLVLGH (1850-1925).
DEFINICIÓN 7.3.1 )XQFLyQHVFDOyQXQLWDULR
La IXQFLyQHVFDOyQXQLWDULR
(t
1
t
a
FIGURA 7.3.2 *Ui¿FDGHODIXQFLyQ
escalón unitario.
y
1
t
FIGURA 7.3.3 La función es
f(t)
(2t
3)
(t
1).
f(t)
2
a)
0,
1,
0
t
t
a
a.
Análogamente, una función del tipo
t
−1
puede ser escrita como
f (t)
FIGURA 7.3.4 La función es
2
a)VHGH¿QHFRPR
2EVHUYH TXH VH GH¿QH (t a) sólo sobre el eje t no negativo, puesto que
esto es todo lo que interesa en el estudio de la transformada de Laplace. En un sentido más amplio, (t a) 0 para t
a (Q OD ¿JXUD VH PXHVWUD OD JUi¿FD GH (t a) . Si a 0, se toma 8(t) 5 1 para t $ 0. Cuando una función f GH¿QLGD SDUD t
0 se multiplica por (t a) , la función escalón unitario
³GHVDFWLYD´ XQD SDUWH GH OD JUi¿FD GH HVD IXQFLyQ 3RU HMHPSOR FRQVLGHUH OD IXQción f (t) 2t 3DUD ³GHVDFWLYDU´ OD SDUWH GH OD JUi¿FD GH f para 0 t
1,
simplemente formamos el producto (2 t 3) (t 1)9HDOD¿JXUD(QJHQHUDOODJUi¿FDGH f (t) (t a) es 0 (desactivada) para 0 t a y es la parte de la
JUi¿FDGHf (activada) para t a.
/DIXQFLyQHVFDOyQXQLWDULRWDPELpQVHSXHGHXVDUSDUDHVFULELUIXQFLRQHVGH¿QLdas por tramos en una forma compacta. Por ejemplo, si consideramos 0 t 2 , 2 t 3, y t 3 y los valores correspondientes de (t 2) y (t 3) , debe ser eviGHQWHTXHODIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRVTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVODPLVPD
que f(t) 2 3 (t 2)
(t 3)7DPELpQXQDIXQFLyQJHQHUDOGH¿QLGDSRU
tramos del tipo
g(t), 0 t a
f (t)
h(t),
t a
(9)
es la misma que
(10)
f(t) g(t) g(t) (t a) h(t) (t a) .
f(t)
f (t)
(t
3 (t
2)
(t
3).
EJEMPLO 5
Exprese f (t)
20t,
0,
0,
0
g(t), a
0,
g(t)[ (t
a)
t
t
t
a
b
b
(t
(11)
b)].
(12)
8QDIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV
0
t
t
5
en términos de funciones escalón unitario. Trace
5 ODJUi¿FD
7.3
f (t)
PROPIEDADES OPERACIONALES I
O
299
SOLUCIÓN (QOD¿JXUDVHPXHVWUDODJUi¿FDGHf. Ahora, de (9) y (10) con
a 5, g(t) 20t y h(t) 0, se obtiene f (t) 20t 20t (t 5) .
100
Considere una función general y f (t GH¿QLGDSDUDt /DIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV
0,
0 t a
(13)
f(t a),
t a
MXHJDXQSDSHOLPSRUWDQWHHQODH[SOLFDFLyQTXHVLJXH&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
7.3.6, para a ODJUi¿FDGHODIXQFLyQy
f (t a) (t a) coincide con la grá¿FDGHy f (t a) para t a TXHHVODJUi¿FDcompleta de y f (t), t 0 desplazada
a unidades a la derecha sobre el eje t), pero es idénticamente cero para 0 t a.
Vimos en el teorema 7.3.1 que un múltiplo exponencial de f (t) da como resultado una traslación de la transformada F(s) sobre el eje s. Como una consecuencia
del siguiente teorema, se ve que siempre que F(s) se multiplica por una función exponencial eas, a 0, la transformada inversa del producto eas F(s) es la función f
desplazada a lo largo del eje tHQODPDQHUDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E (VWH
resultado, presentado a continuación en su versión de transformada directa, se llama
VHJXQGRWHRUHPDGHWUDVODFLyQ o segundo teorema de desplazamiento.
f(t
t
5
FIGURA 7.3.5 Función f en el
ejemplo 5.
(t
a)
a)
TEOREMA 7.3.2 6HJXQGRWHRUHPDGHWUDVODFLyQ
{ f(t)} y a 0, entonces
Si F(s)
{ f(t
DEMOSTRACIÓN
(t
a)
a)}
e
as
F(s).
Por la propiedad aditiva para intervalos en integrales,
e
0
f (t
st
(t
a)
a) dt
se puede escribir como dos integrales:
a
ᏸ{f (t a) ᐁ(t a)} 0
estf (t a) ᐁ (t a) dt a
a
estf (t a) ᐁ (t a) dt cero para
0t a
f(t)
estf (t a) dt.
uno para
t a
Ahora, si hacemos Y t a, GY dt en la última integral, entonces
{ f (t
t
a) f (t), t
0
a)
(t
a)}
0
s(v
e
a)
f (v) dv
e
as
sv
e
0
f (v) dv
e
as
{ f (t)}.
Con frecuencia se desea encontrar la transformada de Laplace de sólo una función
HVFDOyQXQLWDULR(VWRSXHGHVHUGHODGH¿QLFLyQRWHRUHPD6LVHLGHQWL¿FD
f (t) 1 en el teorema 7.3.2, entonces f (t a) 1, F(s)
{1} 1>s y por tanto,
f(t)
{ (t
e
a)}
as
s
.
(14)
EJEMPLO 6 5HYLVLyQGHOD¿JXUD
a
t
b) f (t a) (t a)
FIGURA 7.3.6 Desplazamiento en el
eje t.
Encuentre la transformada de Laplace de la función fGHOD¿JXUD
SOLUCIÓN Usamos f expresada en términos de la función escalón unitario
f(t)
2
3
(t
2)
(t
3)
y el resultado dado en (14):
+{f(t)} 5 2+{1} 2 3+{8(t 2 2)} 1 +{8(t 2 3)}
5
e22s e23s
2
.
23
1
s
s
s
300
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
FORMA INVERSA DEL TEOREMA 7.3.2 Si f (t) 1{F(s)}, la forma inversa
del teorema 7.3.2, a 0, es
1
{e
as
f (t
F(s)}
(t
a)
a).
(15)
EJEMPLO 7 8VRGHODIyUPXOD Evalúe
1
1
a)
e
4
s
2s
s
1
b)
s2
9
s/2
e
.
SOLUCIÓN a) De acuerdo con las tres identidades a 2, F(s) 1(s 4) y
1{F(s)} e 4t, se tiene de (15)
1
1
4
s
e
2s
b) Con a ʌ2, F(s) s(s2 9) y
1
s
2
s
9
2)
1
{F(s)}
(t
2).
cos 3t, de la ecuación (15) se obtiene
cos 3 t
s/2
e
e 4(t
t
2
.
2
/D~OWLPDH[SUHVLyQVHSXHGHVLPSOL¿FDUXQSRFRFRQODIyUPXODGHODDGLFLyQSDUDHO
coseno. Compruebe que el resultado es igual a sen 3t
t
2
.
FORMA ALTERNATIVA DEL TEOREMA 7.3.2 Con frecuencia nos enfrentamos
con el problema de encontrar la transformada de Laplace de un producto de una función g
y una función escalón unitario (t a) donde la función g no tiene la forma precisa de
desplazamiento f (t a) del teorema 7.3.2. Para encontrar la transformada de Laplace
de g(t) (t a), es posible arreglar g(t) en la forma requerida f (t a) usando álgebra.
Por ejemplo, si se quiere usar el teorema 7.3.2 para determinar la transformada de Laplace
de t2 (t 2), se tendría que forzar g(t) t2 a la forma f (t 2). Se debe trabajar algebraicamente y comprobar que t 2 (t 2)2 4(t 2) 4 es una identidad. Por tanto,
{t 2 (t
2)}
{(t
2)2
(t
2)
4(t
2)
(t
2)
4 (t
2)},
donde ahora cada término del lado derecho se puede evaluar con el teorema 7.3.2. Pero
como estas operaciones son tardadas y con frecuencia no obvias, es más simple disexDUXQDIRUPDDOWHUQDWLYDGHOWHRUHPD8VDQGRODGH¿QLFLyQODGH¿QLFLyQ
de (t a), y la sustitución u t a, se obtiene
{g(t)
(t
e
EJEMPLO 8
{cos t
(t
st
g(t) dt
0
a
{g(t) (t
Es decir,
Evalúe
a)}
a)}
e
as
e
{g(t
s(u
a)
g(u
a) du.
a)}.
(16)
6HJXQGRWHRUHPDGHWUDVODFLyQIRUPDDOWHUQDWLYD
)}.
SOLUCIÓN Con g(t) cos t y a ʌ, entonces g(t ʌ) cos (t ʌ) cos t por
la fórmula de adicción para la función coseno. Por tanto, por la ecuación (16),
{cos t
(t
)}
s
{cos t}
s
e s.
s
1
En los dos siguientes ejemplos solucionamos, a su vez, un problema de valor inicial y un
problema de valor de frontera que involucra una ecuación diferencial lineal por tramos.
e
2
7.3
EJEMPLO 9
PROPIEDADES OPERACIONALES I
301
O
Un problema con valores iniciales
0,
0
3 cos t,
Resuelva y y f (t), y(0) 5, donde f(t)
t
t
.
SOLUCIÓN La función f se puede escribir como f (t) 3 cos t (t ʌ), y entonces por
linealidad, por los resultados del ejemplo 7 y por las fracciones parciales usuales, se tiene
{y }
sY(s)
{y}
y(0)
Y(s)
(s
Y(s)
5
1)Y(s)
3
2
1
s
3 {cos t (t
s
3 2
e
1
s
3s
5
e
s2 1
1
1
s
e
1
s
2
1
s
)}
s
s
s
s
e
s
2
1
e
s
.
(17)
Ahora procediendo como se hizo en el ejemplo 7, se tiene de (15) con a ʌ que los
inversos de los términos dentro del paréntesis son
1
1
1
s
e
s
e
)
(t
s
1
y
5
4
3
2
1
(t
2
1
s
e
1
1
),
cos(t
s
s2
1
)
(t
sen(t
s
e
) (t
),
)
)
).
Por la inverrsa de (17) es
y
y(t)
t
_1
_2
π
2π
5e
t
5e
t
3 (t
e
2
3 (t
[e
2
)
(t
)
)
sen t
3
sen(t
2
cos t]
(t
5e t,
5e
3π
FIGURA 7.3.7 *Ui¿FDGHODIXQFLyQ
en (18) del ejemplo 9.
t
)
)
0
3
e
2
(t
)
3
sen t
2
(t
)
3
cos(t
2
; identidades trigonométricas
t
3
cos t,
2
(t
(18)
.
t
8VDQGRXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQKHPRVREWHQLGRODJUi¿FDGH TXHVHPXHVWUD
HQOD¿JXUD
VIGAS (QODVHFFLyQYLPRVTXHODGHÀH[LyQHVWiWLFDy(x) de una viga uniforme
de longitud L con carga w(x) por unidad de longitud se determina a partir de la ecuación diferencial lineal de cuarto orden
d4y
EI 4 w(x),
(19)
dx
donde E es el módulo de Young de elasticidad e I es un momento de inercia de una sección
transversal de la viga. La transformada de Laplace es particularmente útil para resolver la
ecuación (19) cuando w(x VHGH¿QHSRUWUDPRV6LQHPEDUJRSDUDXVDUODWUDQVIRUPDGDGH
Laplace se debe suponer de manera tácita que y(x) y w(x HVWiQGH¿QLGDVVREUH ) y no
sobre (0, L). Observe, también, que el siguiente ejemplo es un problema con valores en la
frontera más que un problema con valores iniciales.
w(x)
EJEMPLO 10
pared
x
L
Un problema con valores en la frontera
Una viga de longitud LVHHPSRWUDHQDPERVH[WUHPRVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
'HWHUPLQHODGHÀH[LyQGHODYLJDFXDQGRODFDUJDHVWiGDGDSRU
y
FIGURA 7.3.8 Viga empotrada con
carga variable del ejemplo 10.
w(x)
w0 1
0,
2
x ,
L
0
x
L> 2
L> 2
x
L.
302
CAPÍTULO 7
O
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
SOLUCIÓN Recuerde que debido a que la viga está empotrada en ambos extremos,
las condiciones de frontera son y(0) 0, y(0) 0, y(L) 0, y(L) 0. Ahora usando
(10) se puede expresar w(x) en términos de la función escalón unitario:
w(x)
2
x
L
w0 1
2w0 L
L 2
2
x
L
w0 1
x
L
2
x
L
2
x
L
2
x
.
Transformando la ecuación (19) respecto a la variable x, se obtiene
EI s4 Y(s)
s3 y(0)
s2 y (0)
sy (0)
s4Y(s)
o
y (0)
sy (0)
y (0)
2w0 L> 2
L
s
1
s2
1
e
s2
Ls/2
2w0 L> 2
EIL s
1
s2
1
e
s2
Ls/2
.
Si hacemos c1 y(0) y c2 y (0), entonces
Y(s)
c2
s4
2w0 L> 2
EIL s5
2w0 L>2
EIL 4!
1
c1
s3
1
s6
1
e
s6
1
5!
1
Ls/2
,
y en consecuencia
y(x)
c1
2!
1
c1 2
x
2
2!
s3
c2
3!
c2 3
x
6
w0
5L 4
x
60 EIL 2
1
3!
s4
x5
x
4!
s5
L
2
5
x
L
2
5!
s6
1
5!
1
5!
e
s6
Ls/ 2
.
Aplicando las condiciones y(L) 0 y y(L) 0 al último resultado, se obtiene un
sistema de ecuaciones para c1 y c2:
L2
2
c2
L3
6
49w0 L4
1920EI
0
c1 L
c2
L2
2
85w0 L3
960EI
0.
c1
Resolviendo se encuentra que c1 23w0L2(960El) y c2 9w0L(40EI). Por lo que
ODGHÀH[LyQHVWiGDGDSRU
y(x)
23w0 L2 2
x
1920EI
3w0 L 3
x
80EI
w0 5L 4
x
60EIL 2
x5
x
L
2
5
x
L
2
.
COMENTARIOS
Fuera de la discusión de la transformada de Laplace, la función escalón unitario
GH¿QLGDVREUHHOLQWHUYDOR , ), es decir,
8(t 2 a) 5
P(t)
1
a
b
t
FIGURA 7.3.9 Función caja.
50,1,
t,a
t $ a.
8VDQGRHVWDOLJHUDPRGL¿FDFLyQGHODGH¿QLFLyQXQFDVRHVSHFLDOGH cuando g(t) = 1 a veces se llama la IXQFLyQFDMD y se denota por
Pstd 5 8st 2 ad 2 8st 2 bd.
9pDVHOD¿JXUD
7.3
PROPIEDADES OPERACIONALES I
303
O
EJERCICIOS 7.3 ࣠Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-11.
7.3.1 TRASLACIÓN SOBRE EL EJE s
la velocidad instantánea. Use la transformada de Laplace
para encontrar la ecuación de movimiento x(t).
En los problemas 1-20 encuentre F(s) o f (t), como se indica.
10t
{te }
3
2t
{t e
{t(et
{et sen 3t}
{(1
e2t )2}
e
1
1
9
1
1
1
4t
2)3
1
6s
2
s
4s
s2
10
5
s
(s
2s
2
s (s
7t
{t e
}
{e2t(t
1)2}
{e
2t
cos 4t}
1)2
1
1)3
1
Considere una batería de voltaje constante E0 que carga el
FDSDFLWRUTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD'LYLGDODHFXDción (20) por L\GH¿QDȜ RL y Ȧ2 1LC. Use la
transformada de Laplace para demostrar que la solución q(t)
de q 2ȜT Ȧ2q E0L sujeta a q(0) 0, i(0) 0 es
1
1)4
1
2s
2
s
1
1
1
(s
1
s2
Recuerde que la ecuación diferencial para la carga instantánea
q(t) en el capacitor en un circuito RCL en serie está dada por
1
d 2q
dq
L 2
R
q E(t).
dt
dt
C
(20)
Vea la sección 5.1. Use la transformada de Laplace para encontrar q(t) cuando L 1 H, R 20 ", C 0.005 F, E(t)
150 V, t 0, q(0) 0 e i(0) 0. ¿Cuál es la corriente i(t)?
) cos 5t}
1
(s
}
10
t
10 sen
2
4t
s
3e
et
3t
}
{te
6t
q(t)
5s
2)2
(s
(s
1)2
2)4
e
E0C[1
1
e
E0C 1
e
1
En los problemas 21-30, use la transformada de Laplace para
resolver el problema con valores iniciales.
y 4y e4t, y(0) 2
y y 1 te t, y(0) 0
y 2y y 0, y(0) 1, y(0) 1
y 4y 4y t 3e 2t, y(0) 0, y(0) 0
y 6y 9y t, y(0) 0, y(0) 1
y 4y 4y t 3, y(0) 1, y(0) 0
y 6y 13y 0, y(0) 0, y(0) 3
2y 20y 51y 0, y(0) 2, y(0) 0
y y e t cos t, y(0) 0, y(0) 0
y 2y 5y 1 t, y(0) 0, y(0) 4
t
2
(1
t
t
2
senh 1
2
)
t ,
,
,
t)],
(cos 1
2
2
2
sen 1
2
L
2
t
2
2
)
t
.
,
R
FIGURA 7.3.10 Circuito en serie del problema 35.
Use la transformada de Laplace para encontrar la carga q(t)
en un circuito RC en serie cuando q(0) 0 y E(t) E0ekt,
k 0. Considere dos casos: k 1RC y k 1RC.
TRASLACIÓN EN EL EJE t
7.3.2
En los problemas 37-48 encuentre F(s) o f (t), como se indica.
{t
En los problemas 31 y 32, use la transformada de Laplace y
el procedimiento descrito en el ejemplo 10 para resolver el
problema con valores en la frontera dado.
{cos 2t
y 2y y 0,
1
1
1
y(0) 0, y(ʌ) 0
Un peso de 20 N estira un resorte 0.6 m. El peso se libera a
partir del reposo 1.5 m arriba de la posición de equilibrio y
el movimiento resultante tiene lugar en un medio que ofrece
una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual veces
2
2
C
{(t
y(0) 2, y(1) 2
(cosh 1
E0
y 8y 20y 0,
t
5
2s 5
6s 34
(s
E0C 1
1) (t
(t
2)}
(t
)}
{e2
{(3t
s
3
e
2
e
s(s
1) (t
t
1
(1
e
1
1
s
1)
2)}
sen t
s
1
(t
t
2s
e
s
1)}
se
s2
s/2
e
s (s
2s
2
2
2s 2
)
2
s
1)}
4
1)
304
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
(Q ORV SUREOHPDV UHODFLRQH OD JUi¿FD GDGD FRQ XQD
GH ODV IXQFLRQHV GH ORV LQFLVRV D D I /D JUi¿FD GH f (t) se
SUHVHQWDHQOD¿JXUD
a) f (t)
b) f (t
c) f (t)
d) f (t)
e) f (t)
f) f (t
f (t)
(t
f (t)
a)
b) (t b)
(t a)
f (t) (t b)
(t a) f(t) (t
a) (t a) f (t
a
FIGURA 7.3.17 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
b)
a)
(t
En los problemas 55-62, escriba cada función en términos
de funciones escalón unitario. Encuentre la transformada de
Laplace de la función dada.
b)
f (t)
f(t)
a
b
b
t
FIGURA 7.3.12 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
f(t)
0
3
3
t
t
2,
1, 0
0, 4
1,
t
t
t
4
5
5
f (t)
0,
t2,
t
t
1
1
f (t)
0,
0
sen t,
f (t)
t,
0,
f (t)
sen t, 0
0,
f (t)
a
2,
f (t)
t
FIGURA 7.3.11 *Ui¿FDSDUDORVSUREOHPDVD
t
b
0
0
3 >2
3 >2
t
t
2
2
t
t
2
2
t
t
f(t)
1
a
b
t
a
FIGURA 7.3.13 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
b
t
pulso rectangular
f(t)
FIGURA 7.3.18 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
f(t)
a
b
t
2
FIGURA 7.3.14 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
3
1
f (t)
1
2
3
4
t
función escalera
a
t
b
FIGURA 7.3.15 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
f (t)
FIGURA 7.3.19 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
En los problemas 63-70, use la transformada de Laplace para
resolver el problema con valores iniciales.
y y f (t), y(0) 0, donde f (t) a
b
t
FIGURA 7.3.16 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
0,
5,
y y f (t), y(0) 0, donde
f (t)
1,
1,
0
t
t
1
1
0
t
t
1
1
7.3
y 2y f (t), y(0) 0, donde
t, 0 t
f(t)
0,
t
y
4y
f (t),
1,
0,
f(t)
y
4y
sen t
y
5y
6y
y
y
(t
1, donde
E(t)
1
1
1
t
t
2 ),
y(0)
1, y (0)
0
1),
y(0)
0, y (0)
1
(t
0, y (0)
f(t), y(0)
0,
1,
0,
f (t)
0
0
1, donde
t
t
t
O
305
a) Use la transformada de Laplace para encontrar la
corriente i(t) en un circuito LR en serie de una sola
malla cuando i(0) 0, L 1 H, R 10 " y E(t) es
FRPRVHLOXVWUDHQD¿JXUD
1
1
0, y (0)
y(0)
PROPIEDADES OPERACIONALES I
sen t, 0 ≤ t < 3π /2
π /2
−1
FIGURA 7.3.22
π
t
3π /2
E(t) en el problema 75.
b) 8VHXQSURJUDPDGHFRPSXWDGRUDSDUDJUD¿FDU\GLEXMH
i(t) en el intervalo 0 t 8VHODJUi¿FDSDUDHVWLPDU
imáx e imín, los valores máximo y mínimo de la corriente.
2
2
y 4y 3y 1 (t 2) (t 4) (t 6),
y(0) 0, y(0) 0
Suponga que un peso de 150 N estira un resorte 0.6 m. Si
el peso se libera a partir del reposo en la posición de equilibrio, determine la ecuación de movimiento x(t) si una
fuerza f (t) 20t actúa sobre el sistema para 0 t 5
y luego se retira (vea el ejemplo 5). Desprecie cualquier
IXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWR8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDción para trazar x(t) sobre el intervalo [0, 10].
Resuelva el problema 71 si la fuerza aplicada f (t) sen t
actúa sobre el sistema para 0 t 2ʌ y después se retira.
En los problemas 73 y 74 use la transformada de Laplace para
encontrar la carga q(t) sobre el capacitor en un circuito RC en
serie sujeto a las condiciones indicadas.
q(0) 0, R 2.5 ", C 0.08 F, E(t GDGDHQOD¿JXUD
7.3.20.
E(t)
5
a) Use 1a transformada de Laplace para determinar 1a
carga q(t) en el capacitor en un circuito RC en serie
cuando q(0) 0, R 50 ", C 0.01 F y E(t) es
FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
b) Suponga que E0 100 V. Use un programa de compuWDGRUDSDUDJUD¿FDU\GLEXMHq(t) para 0 t 6. Use la
JUi¿FDSDUDHVWLPDUqmáx el valor máximo de 1a carga.
E(t)
E0
1
t
3
FIGURA 7.3.23 E(t) en el problema 76.
Una viga en voladizo está empotrada en su extremo izquierdo y libre en su extremo derecho. Use la transforPDGDGH/DSODFHSDUDGHWHUPLQDUODGHÀH[LyQy(x) cuando
la carga está dada por
w(x)
w0,
0,
0 x L> 2
L> 2 x L.
Resuelva el problema 77 cuando la carga está dada por
3
t
w(x)
FIGURA 7.3.20 E(t) en el problema 73.
q(0) q0, R 10 ", C 0.1 F, E(t GDGDHQOD¿JXUD
7.3.21.
E(t)
0,
w0 ,
0,
0
x
L>3
L> 3 x 2L> 3
2L > 3 x L.
(QFXHQWUHODGHÀH[LyQy (x) de una viga en voladizo empotrada en su extremo izquierdo y libre en su extremo derecho cuando la carga total es como se da en el ejemplo 10.
Una viga está empotrada en su extremo izquierdo y apoyada
VLPSOHPHQWHHQHOH[WUHPRGHUHFKR(QFXHQWUHODGHÀH[LyQ
y (x) cuando la carga es como la que se da en el problema 77.
30et
Modelo matemático
30
1.5
t
FIGURA 7.3.21 E(t) en el problema 74.
Pastel dentro de un horno Lea de nuevo el ejemplo 4 en
la sección 3.1 acerca del enfriamiento de un pastel que se
saca de un horno.
306
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Laplace dada. Compruebe sus respuestas con la
ecuación (16) de esta sección.
a) Diseñe un modelo matemático para la temperatura de
un pastel mientras está dentro del horno con base en las
siguientes suposiciones: en t 0 la mezcla de pastel
está a temperatura ambiente de 20 °C; el horno no se
precalienta por lo que en t 0, cuando la mezcla de
pastel se coloca dentro del horno, la temperatura dentro
del horno también es 20 °C; la temperatura del horno
aumenta linealmente hasta t 4 minutos, cuando se alcanza la temperatura deseada de 150 °C; la temperatura
del horno se mantiene constante en 150 °C para t 4.
b) Use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales del inciso a).
a)
{(2t
c)
{cos t
(t
1)} b)
)}
{et
(t
{(t 2
d)
5)}
3t) (t
2)}
a) Suponga que el teorema 7.3.1 se cumple cuando el
símbolo a se remplaza por ki, donde k es un número
real e i2 1. Demuestre que {tekti} se puede usar
para deducir
s2 k2
{t cos kt}
(s2 k2)2
2ks
{t sen kt}
.
(s2 k2)2
Problemas para analizar
Analice cómo se podría arreglar cada una de las siguientes funciones, de tal forma que el teorema 7.3.2 se pudiera
usar directamente para encontrar la transformada de
7.4
1) (t
b) Ahora use la transformada de Laplace para resolver
el problema con valores iniciales x Ȧ2x cos ȦW,
x(0) 0, x (0) 0.
PROPIEDADES OPERACIONALES II
INTRODUCCIÓN En esta sección se desarrollan varias propiedades operacionales más de la transformada de Laplace. En especial, veremos cómo encontrar la transformada de una función f (t) que se multiplica por un monomio t n, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función
periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este punto: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integrodiferenciales y ecuaciones
GLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVHQODVTXHODIXQFLyQGHHQWUDGDHVXQDIXQFLyQSHULyGLFDGH¿QLGDSRUWUDPRV
7.4.1
DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA
MULTIPLICACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR t n La transformada de Laplace del
producto de una función f (t) con t se puede encontrar derivando la transformada de
Laplace de f (t). Para motivar este resultado, se supone que F(s)
{ f (t)} existe y
que es posible intercambiar el orden de la derivada y de la integral. Entonces
d
F(s)
ds
d
ds
0
e
st
f (t) dt
0
[e
s
st
f (t)] dt
0
e
st
tf (t) dt
{tf (t)};
d
{ f (t)} .
ds
Se puede usar el último resultado para encontrar la transformada de Laplace de t2f (t):
{t f (t)}
es decir,
{t2 f (t)}
{t t f (t)}
d
ds
{tf (t)}
d
ds
d
ds
{ f (t)}
Los dos casos anteriores sugieren el resultado general para
TEOREMA 7.4.1 Derivadas de transformadas
Si F(s)
{ f (t)} y n 1, 2, 3, . . . , entonces
{t n f(t)}
( 1)n
dn
F(s).
dsn
d2
ds 2
{t n f(t)} .
{ f (t)}.
7.4
EJEMPLO 1
PROPIEDADES OPERACIONALES II
O
307
8VRGHOWHRUHPD
{t sen kt}.
Evalúe
SOLUCIÓN Con f (t) sen kt, F(s) k(s2 k2) y n 1, el teorema 7.4.1 da
d
ds
{t sen kt}
d
k
ds s2 k2
{sen kt}
(s2
2ks
.
k2)2
Si se quiere evaluar {t 2 sen kt} y {t 3 sen kt}, todo lo que se necesita hacer, a
su vez, es tomar el negativo de la derivada respecto a s del resultado del ejemplo 1 y
después tomar el negativo de la derivada respecto a s de {t 2 sen kt}.
NOTA Para encontrar transformadas de funciones t ne at, se puede usar el teorema
7.3.1 o el teorema 7.4.1. Por ejemplo,
Teorema 7.3.1:
{te 3t}
{t}s : s
Teorema 7.4.1:
{te 3t }
d
ds
EJEMPLO 2
1
s2
3
1
3)2
(s
s :s 3
d 1
ds s 3
{e 3t }
.
(s
3)
2
1
(s
3)2
.
Un problema con valores iniciales
Resuelva x 16x cos 4t,
x(0) 0,
x(0) 1.
SOLUCIÓN El problema con valores iniciales podría describir el movimiento forzado,
no amortiguado y en resonancia de una masa en un resorte. La masa comienza con una
velocidad inicial de 1 m/s en dirección hacia abajo desde la posición de equilibrio.
Transformando la ecuación diferencial, se obtiene
(s2
16) X(s)
1
s
s2
o
16
1
X(s)
s2
s
16
(s2
16)2
.
Ahora bien, en el ejemplo 1 se vio que
1
2ks
(s
k2)2
t sen kt
2
(1)
\SRUWDQWRLGHQWL¿FDQGRk 4 en (1) y en el inciso d) del teorema 7.2.1, se obtiene
x(t)
1
4
1
1
sen 4t
4
7.4.2
4
s2
16
1
8
1
(s2
8s
16)2
1
t sen 4t
8
TRANSFORMADAS DE INTEGRALES
CONVOLUCIÓN Si las funciones f y g son continuas por tramos sobre el intervalo
[0, ), entonces la FRQYROXFLyQ de f y g, denotada por el símbolo f › g, es una función
GH¿QLGDSRUODLQWHJUDO
t
f g
0
f ( ) g(t
)d
(2)
y ya que estamos integrando en (2) con respecto a la variable IJ (la letra griega minúscula
tau), la convolución f › g es una función de t. Para enfatizar este hecho, (2) también se
308
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
escribe (f › g)(t). Como la notación f › g sugiere, la convolución (2) a menudo se interpreta
como un producto generalizado de dos funciones f y g.
EJEMPLO 3 &RQYROXFLyQGHGRVIXQFLRQHV
Evalúa (a) et * sen t
(b) +het* sen tj..
SOLUCIÓN a)&RQODVLGHQWLÀFDFLRQHV
f (t) 5 et, g(t) 5 sen t
f (␶) 5 e␶, g(t 2 ␶) 5 sen(t 2 ␶) ,
y
se sigue de (2) e integrando por partes se tiene que
t
#
et * sen t 5 e␶ sen(t 2 ␶) d␶
0
1
5 fe␶ senst 2 ␶d 1 e␶cos(t 2 ␶)g 0t
2
1
5 (2sen t 2 cos t 1 et)
2
(3)
b) Entonces de (3) y de los incisos c), d) y e) del teorema 7.1.1 encontramos
1
1
1
+het * sen tj 5 2 +hsen tj 2 +hcos tj 1 +het j
2
2
2
52
5
1 1
1 s
1 1
2
1
2 s2 1 1 2 s2 1 1 2 s 2 1
1
.
(s 2 1)(s2 1 1)
■
Se deja como ejercicio demostrar que
t
0
f( ) g(t
)d
t
0
) g( ) d ;
f(t
es decir, f › g g › f(VWRVLJQL¿FDTXHODFRQYROXFLyQGHGRVIXQFLRQHVHVFRQPXWDWLYD
TEOREMA DE CONVOLUCIÓN Hemos visto si f y g son ambas por tramos para
t HQWRQFHVODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFHGHXQDVXPDf gHVODVXPDGHFDGDXQD
GH ODV WUDQVIRUPDGDV GH /DSODFH 0LHQWUDV TXH no HV FLHUWR TXH OD WUDQVIRUPDGD GH
/DSODFHGHOSURGXFWRfgHVHOSURGXFWRGHODVWUDQVIRUPDGDVYHPRVHQHOVLJXLHQWH
teorema, llamado el teorema de convolución TXH OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH GHO
SURGXFWRJHQHUDOL]DGRf › g HVHOSURGXFWRGHODVWUDQVIRUPDGDVGH/DSODFHGH f y g
TEOREMA 7.4.2 7HRUHPDGHFRQYROXFLyQ
Si f (t) y g (t) son funciones continuas por tramos sobre [0, ) y de orden exponencial, entonces
{ f g}
{ f (t)} {g(t)} F(s)G(s).
DEMOSTRACIÓN Sea F(s)
{ f(t)}
y
{g(t)}
G(s)
0
0
e
e
s
s
f( ) d
g( ) d .
7.4
τ
τ=t
O
309
Procediendo formalmente, tenemos
t: τ a ∞
F(s)G(s)
0
0
τ:0a t
PROPIEDADES OPERACIONALES II
f( ) d
0
FIGURA 7.4.1 Cambio del orden de
integración de primero t a primero IJ.
)
s(
e
0
t
f( ) d
s
e
0
s
g( ) d
f ( )g( ) d d
s(
e
0
e
)
g( ) d .
Conservando IJ¿MDKDFHPRVt IJ ȕ, dt Gȕ, por lo que
F(s)G(s)
0
f( ) d
e stg(t
) dt.
En el plano WIJVHUHDOL]DODLQWHJUDFLyQHQODUHJLyQVRPEUHDGDGHOD¿JXUD3XHVWR
que f y g son continuas por tramos sobre [0, ) y de orden exponencial, es posible
intercambiar el orden de integración:
t
F(s) G(s)
0
e
st
dt
0
f ( )g(t
t
)d
0
e
st
0
f ( ) g(t
)d
dt
{ f g}.
El teorema 7.4.2 demuestra que podemos encontrar la transformada de Laplace de la
convolución f * g GH GRV IXQFLRQHV VLQ UHDOPHQWH HYDOXDU OD LQWHJUDO GH¿QLGD
t
e0 f (␶)g(t 2 ␶) d␶ como hicimos en (3). El siguiente ejemplo ilustra la idea.
EJEMPLO 4 8VRGHOWHRUHPD
t
Evalúe
0
e sen(t
)d
.
SOLUCIÓN Esta es la misma que la transformada +het * sen tj que encontramos en el
inciso b) del ejemplo 3. Esta vez utilizamos el teorema 7.4.2 que dice que la transformada
de Laplace de la convolución de f y g es el producto de sus transformadas de Laplace:
+
t
5# e sen(t 2 ␶) d␶6 5 + he * sen tj
␶
t
0
5 + hetj ? + hsen tj
1
1
? 2
s21 s 11
1
.
5
(s 2 1)(s2 1 1)
INVERSA DEL TEOREMA 7.4.2 El teorema de convolución en ocasiones es útil
para encontrar la transformada de Laplace inversa del producto de dos transformadas
de Laplace. Del teorema 7.4.2, se tiene
1
(4)
{F(s)G(s)} f g.
Muchos de los resultados de la tabla de transformadas de Laplace en el apéndice C, se
pueden obtener usando la ecuación (4). En el ejemplo siguiente se obtiene el elemento
25 de la tabla:
2k3
(5)
{sen kt kt cos kt}
2
(s
k2 )2 .
5
EJEMPLO 5 7UDQVIRUPDGDLQYHUVDFRPRXQDFRQYROXFLyQ
Evalúe
1
1
2
(s
k2 )2
SOLUCIÓN Sea F(s)
f(t)
.
G(s)
g(t)
1
2
k2
1
k
1
s
por lo que
k
s2
k2
1
sen kt.
k
310
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
En este caso la ecuación (4) da
1
1
(s2
1
k2
k2 )2
t
0
sen k sen k(t
)d .
(6)
Con la ayuda de la identidad trigonométrica
1
[cos(A B) cos(A B)]
2
y las sustituciones A NIJ y B k(t IJ) se puede realizar la integración en (6):
sen A sen B
1
1
(s2
1
2k2
k2 )2
t
[cos k(2
t)
cos kt] d
1 1
sen k(2
2k2 2k
t)
cos kt
0
t
0
sen kt
kt cos kt
.
2k3
Multiplicando ambos lados por 2k3, se obtiene la forma inversa de (5).
TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL Cuando g(t) 1 y {g(t)} G(s) 1s,
el teorema de convolución implica que la transformada de Laplace de la integral de f es
t
0
f( ) d
F(s)
.
s
(7)
F(s)
,
s
(8)
La forma inversa de (7),
t
1
f( ) d
0
se puede usar en lugar de las fracciones parciales cuando sn es un factor del denomina1
dor y f(t)
{F(s)} es fácil de integrar. Por ejemplo, se sabe para f (t) sen t que
2
F(s) 1(s 1) y por tanto usando la ecuación (8)
1
1
s(s2
1
1)
1
1
s2(s2
1
1)
1
1
s3(s2
1
1)
1(s2
s
1s(s2
s
1s2(s2
s
t
1)
sen d
1
cos t
0
t
1)
(1
cos ) d
t
sen t
0
t
1)
(
sen ) d
0
1 2
2t
1
cos t
etcétera.
ECUACIÓN INTEGRAL DE VOLTERRA El teorema de convolución y el resultado
en (7) son útiles para resolver otros tipos de ecuaciones en las que una función desconocida aparece bajo un signo de integral. En el ejemplo siguiente se resuelve una
HFXDFLyQLQWHJUDOGH9ROWHUUD para f (t),
t
f(t)
g(t)
0
f( ) h(t
)d .
(9)
Las funciones g(t) y h(t) son conocidas. Observe que la integral en (9) tiene la forma
de convolución (2) con el símbolo h jugando el papel de g.
EJEMPLO 6 8QDHFXDFLyQLQWHJUDO
Resuelva f(t)
3t 2
t
e
t
0
f( ) e t d para
. f (t).
7.4
PROPIEDADES OPERACIONALES II
O
311
SOLUCIÓN (QODLQWHJUDOVHLGHQWL¿FDh(t IJ) et IJ por lo que h(t) et. Se toma la
transformada de Laplace de cada término; en particular, por el teorema 7.4.2 la transformada de Laplace es el producto de { f(t)} F(s) y {et} 1>(s 1) .
2
s3
3
F(s)
1
1
s
1
F(s)
s
.
1
Después de resolver la última ecuación para F(s) y realizar la descomposición en fracciones parciales, se encuentra
6
1
2
6
F(s)
.
s3 s4 s s 1
La transformada inversa entonces da
2!
s3
1
3
f(t)
2
3
3t
3!
s4
1
1
t
1
s
1
1
1
2
1
s
2e .
t
CIRCUITOS EN SERIE En una sola malla o circuito en serie, la segunda ley de
Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje en un inductor, resistor y capacitor es igual al voltaje aplicado E(t). Ahora se sabe que las caídas de voltaje en un
inductor, resistor y capacitor son, respectivamente,
E
L
R
C
FIGURA 7.4.2 Circuito RCL en serie.
di
1 t
,
Ri(t), y
i( ) d ,
dt
C 0
donde i(t) es la corriente y L, R y C son constantes. Se deduce que la corriente en un
FLUFXLWRFRPRHOTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVWiJREHUQDGDSRUODHFXDFLyQ
integrodiferencial
di
1 t
Ri(t)
i( ) d
E(t) .
L
(10)
dt
C 0
L
EJEMPLO 7
8QDHFXDFLyQLQWHJURGLIHUHQFLDO
Determine la corriente i(t) en un circuito RCL de un sola malla cuando L 0.1 H, R
2 ", C 0.1 F, i(0) 0 y el voltaje aplicado es
E(t)
120t
120t
1).
(t
SOLUCIÓN Con los datos dados, la ecuación (10) se convierte en
0.1
di
dt
t
2i
10 i( ) d
120t
0
120t
(t
t
Ahora usando (7), { 0 i( ) d } I(s) s , donde I(s)
formada de Laplace de la ecuación integrodiferencial es
0.1sI(s)
2I(s)
10
I(s)
s
1
s2
120
1
e
s2
1
e
s
s
1).
{i(t)}. Por lo que la trans-
s
. @por (16) de la sección 7.3
Multiplicando esta ecuación por l0s, usando s2 20s 100 (s 10)2 y después al
despejar I(s), se obtiene
I(s)
1
1200
s(s
Usando fracciones parciales,
I(s)
1200
1
10)2
s(s
1>100
s
1>100
e
s 10
10)2
1>100
s 10
s
e
(s
1>10
e
(s 10)2
s
(s
1>10
10)2
s
1
e
10)2
s
.
1>100
e
s
1
e
(s 10)2
s
s
.
312
20
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
i
'HODIRUPDLQYHUVDGHOVHJXQGRWHRUHPDGHWUDVODFLyQ GHODVHFFLyQ¿QDOmente se obtiene
10
t
i(t)
12[1
_ 10
(t
120te
_20
1)]
10t
12[e
1080(t
10t
10(t
e
1)e
10(t
1)
1)
(t
(t
1)]
1).
(VFULWDFRPRXQDIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRVODFRUULHQWHHV
_30
0.5
1
1.5
2
2 .5
FIGURA 7.4.3 *Ui¿FDGHFRUULHQWH
i(t)
i(t) del ejemplo 7.
12 12e
12e 10t
10t
12e
10t
120te
10(t
,
1)
0
120te
10t
1080(t
1)e
10(t
1)
,
t
t
1
1.
&RQHVWD~OWLPDH[SUHVLyQ\XQ6$&VHWUD]DODJUi¿FDi(t) en cada uno de los dos
LQWHUYDORV \ GHVSXpV VH FRPELQDQ ODV JUi¿FDV 2EVHUYH HQ OD ¿JXUD TXH DXQ
cuando la función de entrada E(t) es discontinua, la salida o respuesta i(t) es una función continua.
Material opcional si se cubrió
la sección 4.8
POSDATA: VUELTA A LAS FUNCIONES DE GREEN Mediante la aplicación de la
transformada de Laplace al problema con valores iniciales
y ay by f(t),
y(0) 0, y(0) 0
donde a y b son constantes, encontramos que la transformada de y(t) es
Y(s)
F(s)
as
2
s
b
donde F(s) {f(t)}. Rescribiendo la última transformada como el producto
Y(s)
1
as
s2
F(s)
b
podemos usar la forma inversa del teorema de convolución (4) para escribir la solución
del PVI como
t
g(t
y(t)
) f ( )d
(11)
0
1
1
g(t) y
{F(s)} f(t). De otra manera, sabemos de
s2 as b
(10) de la sección 4.8 que la solución del PVI está también dada por
donde
1
t
G(t, ) f ( ) d ,
y(t)
(12)
0
donde G(t, IJ) es la función de Green para la ecuación diferencial.
Comparando (11) y (12) vemos que la función de Green para la ecuación diferencial
1
1
está relacionada con
g(t) por
s2 as b
G(t, ) g(t
)
(13)
Por ejemplo, para el problema con valores iniciales y 4y f(t),
encontramos
1
1
s2
En el ejemplo 4 de la sección 4.8, los
papeles que están jugando los símbolos
x y t son los de t y ' en este análisis
4
1
2
sen 2t
y(0) 0, y(0) 0
g(t).
Así de (13) vemos que la función de Green para la ED es y 4y f(t), es G(t, IJ) g
(t IJ) 1
sen 2(t IJ). Vea el ejemplo 4 de la sección 4.8.
2
7.4
PROPIEDADES OPERACIONALES II
O
313
COMENTARIOS
Aunque la transformada de Laplace fue conocida durante mucho tiempo antes
del siglo XX, no fue utilizada para resolver ecuaciones diferenciales. El hecho
de que actualmente se utiliza la transformada de Laplace para resolver una variedad de ecuaciones se debe a Oliver Heaviside (vea la página 298). En 1893
Heaviside inventó un cálculo operacional para solucionar ecuaciones diferenciales encontradas en ingeniería eléctrica. Heaviside no era matemático, y sus
procedimientos para resolver ecuaciones diferenciales fueron manipulaciones
IRUPDOHV R SURFHGLPLHQWRV TXH FDUHFHQ GH MXVWL¿FDFLyQ PDWHPiWLFD 6LQ HPbargo, estos procedimientos funcionaban. En un intento por poner su cálculo
operacional sobre una base sólida, los matemáticos descubrieron que las reglas
de su cálculo se adaptaban a muchas propiedades de la transformada de Laplace.
Con el tiempo, el cálculo de operaciones de Heaviside desapareció siendo sustituido por la teoría y aplicaciones de la transformada de Laplace.
6HGHEHYHUL¿FDUSRUVXVWLWXFLyQHQODHFXDFLyQRSRUORVPpWRGRVGHODVHFFLyQ
2
2.3 que y(t) 5 e2te0t e u 1du es una solución perfectamente buena del problema de
valor inicial lineal . Ahora resolvemos la misma ecuación con una aplicación
2
formal de la transformada de Laplace. Si denotamos y9 1 y 5 et , y(0) 5 0,
entonces la transformada de la ecuación es
F(s)
sY(s) 2 y(0) 1 Y(s) 5 F(s) o Y(s) 5
.
s11
1
2
5 e2t y se sigue de la forma inversa
Usando +21hF(s)j 5 et y +21
s11
(4) del teorema de convolución que la solución del problema de valor inicial es
5
5
y(t) 5 +21 F(s) ?
6
t
1
5
s11
6 #
0
t
#
e ␶ ? e2(t2␶) d␶ 5 e2t e␶
2
1␶
2
d␶.
0
Con IJ en lugar de u, esta es la solución dada al principio. ¿Cuál es el error aquí?
7.4.3 TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN
PERIÓDICA
FUNCIÓN PERIÓDICA Si una función periódica tiene periodo T, T 0, entonces
f (t T) f (t). El siguiente teorema muestra que la transformada de Laplace de una
función periódica se obtiene integrando sobre un periodo.
TEOREMA 7.4.3 7UDQVIRUPDGDGHXQDIXQFLyQSHULyGLFD
Si f (t) es continua por tramos sobre [0, ), de orden exponencial y periódica
con periodo T, entonces
{ f (t)}
DEMOSTRACIÓN
1
e
1
T
sT
0
st
e
f (t) dt.
Escriba la transformada de Laplace de f como dos integrales:
{ f(t)}
T
0
e
st
f(t) dt
e
st
T
f(t) dt.
Cuando se hace t u T, la última integral se convierte en
e
T
st
f (t) dt
0
e
s(u T )
f (u
T ) du
e
sT
0
e
su
f (u) du
e
sT
{ f (t)}.
314
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
T
{ f(t)}
Por tanto,
0
st
e
f(t) dt
{ f(t)} se demuestra el teorema.
Resolviendo la ecuación de la última línea para
EJEMPLO 8
E(t)
{ f(t)}.
sT
e
7UDQVIRUPDGDGHXQDIXQFLyQSHULyGLFD
Encuentre la transformada de Laplace de la función periódica que se muestra en la
¿JXUD
1
1
2
3
SOLUCIÓN La función E(t) se llama de onda cuadrada y tiene periodo T 2. En el
t
4
intervalo 0 t
2, E(t VHSXHGHGH¿QLUSRU
FIGURA 7.4.4 Onda cuadrada en el
1, 0
0, 1
E(t)
ejemplo 8.
1
2
t
t
y fuera del intervalo por E(t 2) E(t). Ahora del teorema 7.4.3
{E(t)}
1
1
e
1
1
e
2
2s
0
1
e
2s
e s)
EJEMPLO 9
E(t) dt
1
1
e
1
2s
0
e
2
1dt
st
1
e
0 dt
st
s
;1
s
1
s(1
st
e
e
2s
(1
e s )(1
e s)
.
(14)
$SOLFDFLyQGHXQYROWDMHSHULyGLFR
La ecuación diferencial para la corriente i(t) en un circuito RL en serie de una sola
malla es
di
L
Ri E(t) .
(15)
dt
Determine la corriente i(t) cuando i(0) 0 y E(t) es la función de onda cuadrada que
VHPXHVWUDHQOD¿JXUD
SOLUCIÓN Si se usa el resultado de (14) del ejemplo anterior, la transformada de
Laplace de la ED es
LsI(s)
1
RI(s)
e )
s(1
1 >L
1
.
s(s R > L) 1 e s
I(s)
o
s
(16)
Para encontrar la transformada de Laplace inversa de la última función, primero se hace
XVRGHODVHULHJHRPpWULFD&RQODLGHQWL¿FDFLyQx es, s 0, la serie geométrica
1
1
x
1
x2
x
x3
1
se convierte en
1
De
s(s
1
L>R
s
R>L)
e
s
1
s
L>R
R>L
e
s
e
2s
e
3s
.
se puede reescribir la ecuación (16) como
I(s)
1 1
R s
s
1 1
R s
e s
s
1
(1
R>L
2s
e
s
e
3s
e
s
s
e
2s
e
3s
1
R s
)
1
R>L
s
1
e
R>L
e
s
s
2s
R>L
e
s
3s
R>L
.
7.4
PROPIEDADES OPERACIONALES II
O
315
Aplicando la forma del segundo teorema de traslación a cada término de ambas series,
se obtiene
1
(1
(t 1)
(t 2)
(t 3)
)
R
1
(e Rt/L e R(t 1)/L (t 1) e R(t 2)/L (t 2) e R(t 3)/L (t 3)
)
R
i(t)
o, de forma equivalente
1
(1
R
i(t)
e
1
( 1) n (1 e
Rn 1
)
Rt/L
)
(t
R(t n)/L
n).
3DUD LQWHUSUHWDU OD VROXFLyQ VH VXSRQH SRU UD]RQHV GH HMHPSOL¿FDFLyQ TXH R 1,
L 1 y 0 t 4. En este caso
1
i(t)
2
1.5
1
0.5
e
t
(1
et
1
)
(t
1)
(1
(t
e
2)
)
(t
2)
(1
e
(t
3)
)
(t
3);
i
en otras palabras,
1
i(t)
t
2
1
3
e t,
e
1
e
e
4
t
t
e
t
(t 1)
,
e
e
(t 1)
(t 1)
e
/DJUi¿FDGHi(t) en el intervalo 0 t
con la ayuda de un SAC.
FIGURA 7.4.5 *Ui¿FDGHODFRUULHQWH
i(t) en ejemplo 9.
e
(t 2)
,
(t 2)
e
(t 3)
,
0
1
2
3
t
t
t
t
1
2
3
4.
TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDVHREWXYR
EJERCICIOS 7.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-12.
7.4.1 DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA
y y f (t),
En los problemas 1-8 use el teorema 7.4.1 para evaluar cada
una de las transformadas de Laplace.
10t
{te
}
{t cos 2t}
2
{t3et}
{t senh 3t}
{t senh t}
{t2 cos t}
{te2t sen 6 t}
{te
3t
cos 3t}
En los problemas 9-14, use la transformada de Laplace para
resolver el problema con valores iniciales dado. Use la tabla
de transformadas de Laplace del apéndice C cuando sea necesario.
y y t sen t,
y(0) 0
y y te t sen t,
y(0) 0
y 9y cos 3t,
y(0) 2,
y y sen t,
y(0) 1,
y 16y f (t),
f (t)
y(0) 0,
cos 4t,
0,
y(0) 1,
y(0) 0, donde
1,
0
sen t,
f(t)
t
t
>2
>2
(Q ORV SUREOHPDV \ XVH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ
SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQLQGLFDGD
y(t) del problema 13 en el intervalo 0 t
y(t) del problema 14 en el intervalo 0 t
2ʌ
3ʌ
En algunos casos, la transformada de Laplace se puede usar
SDUD UHVROYHU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV FRQ FRH¿cientes monomiales variables. En los problemas 17 y 18, use
el teorema 7.4.1 para reducir la ecuación diferencial dada a
una ED lineal de primer orden en la función transformada.
Resuelva la ED de primer
y orden para Y(s)
{y(t)} y des1
pués encuentre y(t)
{Y(s)} .
t y y 2t 2, y(0) 0
2y t y 2y 10, y(0) y(0) 0
y(0) 5
y(0) 1
y(0) 1, donde
0
t
t
7.4.2
TRANSFORMADAS DE INTEGRALES
En los problemas 19-22 proceda como en el ejemplo 3 y encuentre la convolución f › g de las funciones dadas. Después
de integrar, encuentre la transformada de Laplace de f › g.
f (t) 5 4t, g(t) 5 3t 2 2t
f (t) 5 e , g(t) 5 e
t
f (t) 5 t, g(t) 5 e2t
f (t) 5 cos 2t, g(t) 5 et
316
CAPÍTULO 7
O
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
En los problemas 23-34 proceda como en el ejemplo 4 y encuentre la transformada de Laplace de f › g usando teorema 7.4.2.
Antes de transformar, no evalúe la integral de convolución.
{1
{e
3
{t
et cos t}
{e2t sen t}
t}
t
2
t
0
t
0
t
et
d
sen d
0
0
t
t
0
1
sen cos (t
)d
t
1
1
1)
s(s
1
s3(s
1)
t
e
0
d
1
1
1
s2(s
f (t)
1
(e
1
sen t
6y(t)
9
e ) f (t
t
0
t
0
0
f (t)
2t
f (t)
tet
f (t)
(t
t
0
t
2
0
t
0
f ( ) cos (t
1, y(0)
0
0,
y (0)
0.
2a
a
3a
4a
t
1
función serpenteante
FIGURA 7.4.6 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
f(t)
1
a
2a
3a
4a
t
FIGURA 7.4.7 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
t
sen f (t
f (t
y( ) d
0
función de onda cuadrada
) f( ) d
4
y( ) d , y(0)
f(t)
En los problemas 41-50, use la transformada de Laplace para
resolver la ecuación integral o la ecuación integrodiferencial.
t
)d
1
8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVROXFLyQ
f (t)
t)3 f ( ) d
(
En los problemas 53-58 use el teorema 7.4.3 para determinar la
transformada de Laplace de cada una de las funciones periódicas.
8k3s
.
(s
k2)3
2
t sen t, y(0)
0
0
7.4.3 TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN
PERIÓDICA
Emplee la transformada de Laplace y los resultados del problema 39 para resolver el problema con valores iniciales
sen t
t
t
)d
En los problemas 51 y 52, resuelva la ecuación (10) sujeta a
i(0) 0 con L, R, C y E(t) como se dan para cada problema.
8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD VROXFLyQ HQ HO
intervalo 0 t 3.
L 0.1 H, R 3 ", C 0.05 F,
E(t) 100[ (t 1)
(t 2)]
b) Vuelva a analizar su respuesta del inciso a). ¿Podría
haber obtenido el resultado en una forma diferente?
y
dy
dt
8
3
t
f (t
e
0
a)2
a) Use (4) junto con los resultados de (5) para evaluar
esta transformada inversa. Utilice un SAC como
ayuda para evaluar la integral de convolución.
y
t
L 0.005 H, R 1 ", C 0.02 F,
E(t) 100[t (t 1) (t 1)]
1
s(s
2 f (t)
1
1)
La tabla del apéndice C no contiene una entrada para
1
cos t
y (t)
En los problemas 35-38, use (8) para evaluar cada transformada inversa.
f( ) d
f (t)
t
sen d
0
t
cos d
0
0
te }
t
e cos d
t
t
t
e d
f (t)
)d
f(t)
a
)d
b
2b
3b
4b
t
función diente de sierra
)d
4e
t
sen t
FIGURA 7.4.8 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
7.4
1
2
3
t
4
onda triangular
FIGURA 7.4.9 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
f(t)
1
π
2π
3π
4π
t
rectificación de onda completa de sen t
FIGURA 7.4.10 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
f(t)
O
317
sección y de la tabla 6.4.1, una solución del problema con
valores iniciales ty y ty 0, y(0) 1, y(0) 0,
es y J0(t). Use este resultado y el procedimiento descrito en las instrucciones de los problemas 17 y 18 para
demostrar que
1
.
{J0 (t)}
1s2 1
[Sugerencia: Podría ser necesario usar el problema 52 de
los ejercicios 7.2].
f(t)
1
PROPIEDADES OPERACIONALES II
a) (FXDFLyQGLIHUHQFLDOGH/DJXHUUH
ty (1 t)y ny 0
tiene soluciones polinomiales cuando n es un entero
no negativo. Estas soluciones naturalmente se llaman polinomios de Laguerre y se denotan por Ln(t).
Determine y Ln(t), para n 0, 1, 2, 3, 4 si se sabe
que Ln(0) 1.
b) Demuestre que
1
π
2π
3π
4π
et d n n
te
n! dt n
t
rectificación de media onda de sen t
FIGURA 7.4.11 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
En los problemas 59 y 60 resuelva la ecuación (15) sujeta a
i(0) 0 con E(t) como se indica. Use un programa de gra¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVROXFLyQHQHOLQWHUYDOR t 4 en el
caso cuando L I y R 1.
E(t) es la función serpenteante del problema 53 con amplitud 1 y a 1.
Y(s),
t
donde Y(s)
{y} y y Ln(t) es una solución polinomial de la ED del inciso a). Concluya que
et d n n t
te ,
n 0, 1, 2, . . . .
n! dt n
Esta última relación para generar los polinomios de
Laguerre es el análogo de la fórmula de Rodrigues
para los polinomios de Legendre. Vea (36) en la sección 6.4.
Ln (t)
E(t) es la función diente de sierra del problema 55 con
amplitud 1 y b l.
La transformada de Laplace {et } existe, pero sin encontrarla resuelva el problema con valores iniciales y y 2
et , y(0) 0, y(0) 0.
En los problemas 61 y 62 resuelva el modelo para un sistema
forzado resorte/masa con amortiguamiento
Resuelva la ecuación integral
d 2x
dx
kx f (t), x(0) 0, x (0) 0,
dt 2
dt
donde la función forzada fHVFRPRVHHVSHFL¿FD8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUx(t) en los valores indicados de t.
m
m 12, b 1, k 5, f es la función serpenteante del
problema 53 con amplitud 10, y a ʌ, 0 t 2ʌ.
m 1, ȕ 2, k 1, f es la función de onda cuadrada del
problema 54 con amplitud 5, y a ʌ, 0 t 4ʌ.
Problemas para analizar
Examine cómo se puede usar el teorema 7.4.1 para encontrar
s 3
1
ln
.
s 1
En la sección 6.4 vimos que ty y ty 0 es la ecuación de Bessel de orden Y 0. En vista de (24) de esta
2
t
f (t)
et
et
e
t
f( ) d
0
a) Demuestre que la función onda cuadrada E(t) dada
HQOD¿JXUDVHSXHGHHVFULELUFRPR
( 1)k
E(t)
k
(t
k).
0
b) Obtenga la ecuación (14) de esta sección tomando la
transformada de Laplace de cada término de la serie
del inciso a).
Use la transformada de Laplace como una ayuda en la
evaluación de la integral impropia 0 te 2t sen 4t dt .
Si suponemos que {f(t)t} existe y {f(t)} F(s),
entonces
f(t)
t
F(u)du.
s
318
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Utilice este resultado para encontrar la transformada de
Laplace de la función dada. Los símbolos a y k son constantes positivas.
sen at
a) f(t)
t
2(1 cos kt)
b) f(t)
t
Transformada de un logaritmo Ya que f(t) ln t tiene
XQDGLVFRQWLQXLGDGLQ¿QLWDHQt 0 se podría suponer que
{ln t} no existe; sin embargo, esto es incorrecto. En este
problema se le guía a través de los pasos formales que conducen a la transformada de Laplace de f(t) ln t, t 0.
a) Utilice integración por partes para demostrar que
1
{ln t} s {t ln t}
s
b) Si {ln t} Y(s), utilice el teorema 7.4.1 con n 1
para demostrar que el inciso a) se convierte en
dY
1
s
Y
ds
s
Encuentre una solución explicita Y(s) de la última ecuación diferencial.
c) 3RU~OWLPRODGH¿QLFLyQLQWHJUDOGHODconstante
de Euler (algunas veces llamada la constante de
e t ln t dt , donde
Euler-Mascheroni) es
0
Ȗ 0.5772156649… Use Y(1) Ȗ en la solución del inciso b) para demostrar que
lica de una ecuación diferencial y la solución del problema
de valores iniciales al encontrar la transformada inversa. En
Mathematica la transformada de Laplace de una función
y(t) se obtiene usando /DSODFH7UDQVIRUP>\>W@WV@. En el
renglón dos de la sintaxis se remplaza LaplaceTransform
>\>W@WV@por el símbolo Y. (Si no tiene Mathematica, entonces adapte el procedimiento dado encontrando la sintaxis correspondiente para el SAC que tenga a la mano.)
Considere el problema con valores iniciales
1.
y
6y
9y t sen t, y(0) 2, y (0)
Cargue el paquete de transformada de Laplace. Reproduzca con precisión y después, a su vez, ejecute cada renglón de la siguiente secuencia de instrucciones. Copie los
resultados a mano o imprímalo.
diffequat \>W@\>W@\>W@W6LQ>W@
transformdeq /DSODFH7UDQVIRUP>GLIIHTXDWWV@
^\>@ \>@ /DSODFH7UDQVIRUP>\>W@WV@ Y}
soln 6ROYH>WUDQVIRUPGHT<@)ODWWHQ
Y <VROQ
,QYHUVH/DSODFH7UDQVIRUP><VW@
0RGL¿TXHGHIRUPDDSURSLDGDHOSURFHGLPLHQWRGHOSURblema 72 para encontrar una solución de
y
3y
4y 0,
y(0)
0,
y (0)
0, y (0)
1.
Tarea para el laboratorio de computación
La carga q(t) en un capacitor en un circuito CL en serie
está dada por
d 2q
q 1 4 (t
) 6 (t 3 ),
dt2
q(0) 0, q (0) 0.
En este problema se indican las instrucciones de Mathematica que permiten obtener la transformada de Laplace simbó-
0RGL¿TXHGHIRUPDDSURSLDGDHOSURFHGLPLHQWRGHOSUREOHPD
72 para determinar q(t 7UDFHODJUi¿FDGHVXVROXFLyQ
{ln t}
7.5
s
ln s
,
s
s
0.
LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC
INTRODUCCIÓN En el último párrafo de la página 284, se indicó que como una consecuencia inmediata del teorema 7.1.3, F(s) 1 no puede ser la transformada de Laplace de una función f que es continua por tramos sobre [0, ) y de orden exponencial. En el análisis siguiente se introduce una función que
es muy diferente de las que ha estudiado en cursos anteriores. Más tarde veremos que de hecho existe
una función o más precisamente, una función generalizada, cuya transformada de Laplace es F(s) 1.
IMPULSO UNITARIO Los sistemas mecánicos suelen ser afectados por una fuerza externa (o fuerza electromotriz en un circuito eléctrico) de gran magnitud que actúa sólo por
un periodo muy corto. Por ejemplo, podría caer un rayo en el ala vibrante de un avión, un
martillo de bola podría golpear con precisión una masa en un resorte, una bola (de beisbol,
golf, tenis) podría ser enviada por el aire al ser golpeada de modo violento con un bate,
SDORGHJROIRUDTXHWD9HDOD¿JXUD/DJUi¿FDGHODIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV
FIGURA 7.5.1
Un palo de golf aplica
una fuerza de gran magnitud en la bola
durante un periodo muy corto.
a (t
t0 )
0,
1
, t0
2a
0,
0
t
t0
a
a
t
t0
a
t
t0
a,
(1)
7.5
y
12a
t0
319
O
a 0, t0 TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD D SRGUtD VHUYLU FRPR PRdelo para tal fuerza. Para un valor pequeño de a, įa(t t0) es en esencia
una función constante de gran magnitud que está “activada” sólo durante
un periodo muy corto, alrededor de t0. El comportamiento de įa(t t0) conforme a A VH LOXVWUD HQ OD ¿JXUD E /D IXQFLyQ įa(t t0) se llama
impulso unitario porque tiene la propiedad de integración 0 a (t t0 ) dt 1 .
2a
t0 − a
LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC
t0 + a t
a) gráfica de a(t t0)
LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC En la práctica es conveniente trabajar con otro tipo
de impulso unitario, una “función” que aproxima a įa(t t0 \VHGH¿QHSRUHOOtPLWH
y
(t
t0 )
lím
a: 0
a (t
t0 ).
(2)
La última expresión, que no es una función en absoluto, se puede caracterizar por las
dos propiedades
, t t0
i) (t t0 )
y
ii)
(t t0 ) dt 1.
0, t t0
0
El impulso unitario į(t t0) se llama IXQFLyQGHOWDGH'LUDF.
Es posible obtener la transformada de Laplace de la función delta de Dirac por la
suposición formal de que +{␦(t 2 t0)} 5 lim a S 0 +{␦a(t 2 t0)}.
TEOREMA 7.5.1 7UDQVIRUPDGDGHODIXQFLyQGHOWDGH'LUDF
t0
b) comportamiento de a
conforme a → 0
FIGURA 7.5.2 Impulso unitario.
t
Para t 0 0,
{ (t
t0 )}
e
st0
.
(3)
DEMOSTRACIÓN Para empezar se puede escribir įa(t t0) en términos de la función
escalón unitario en virtud de (11) y (12) de la sección 7.3:
1
t0 )
[ (t (t0 a))
(t (t0 a))].
a (t
2a
Por linealidad y (14) de la sección 7.3 la transformada de Laplace de esta última expresión es
1 e s(t0 a) e s(t0 a)
esa e sa
{ a (t t0 )}
e st0
.
(4)
2a
s
s
2sa
Puesto que (4) tiene la forma indeterminada 00 conforme a A 0 se aplica la regla de
L'Hôpital:
esa 2 e2sa
+{␦(t 2 t0)} 5 lim +{␦a(t 2 t0)} 5 e2st0 lim
5 e2st0.
aS0
aS0
2sa
Ahora cuando t0 0, se puede concluir de (3) que
1
{ (t)}
2
1.
El último resultado enfatiza el hecho de que į(t) no es el tipo usual de función que
se ha estado considerando, puesto que se espera del teorema 7.1.3 que { f (t)} A 0
conforme s A .
EJEMPLO 1
Dos problemas con valores iniciales
Resuelva y y 4į(t 2ʌ) sujeta a
a) y(0) 1, y(0) 0 b) y(0) 0, y(0) 0.
Dos problemas con valores iniciales podrían servir como modelos para describir el
movimiento de una masa en un resorte que se mueve en un medio en el cual el amortiguamiento es despreciable. En t 2ʌ la masa recibe un golpe preciso. En a) la masa
se libera a partir del reposo una unidad abajo de la posición de equilibrio. En b) la
masa está en reposo en la posición de equilibrio.
SOLUCIÓN a) De (3) la transformada de Laplace de la ecuación diferencial es
s2Y(s)
s
Y(s)
4e
2 s
o
Y(s)
s
s2
1
4e
s2
2 s
.
1
320
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
y
Con la forma inversa del segundo teorema de traslación, ecuación (15) de la sección
7.3, se encuentra
cos t
y(t)
1
−1
2π
4π
t
2 )
2 ).
(t
Puesto que sen(t 2ʌ) sen t, la solución anterior se puede escribir como
cos t,
cos t
y(t)
FIGURA 7.5.3 La masa es golpeada en
t 2ʌ en el inciso a) del ejemplo 1.
4 sen(t
0
2
2 .
t
t
4 sen t,
(5)
(QOD¿JXUDVHYHGHODJUi¿FDGH TXHODPDVDSUHVHQWDPRYLPLHQWRDUPyQLFR
simple hasta que es golpeada en t 2ʌ/DLQÀXHQFLDGHOLPSXOVRXQLWDULRHVLQFUHp
mentar la amplitud de vibración a 117 para t 2ʌ.
b) En este caso la transformada de la ecuación es simplemente
y
Y(s)
y así
1
−1
2π
4 sen( (t
y(t)
4e
s2
,
1
2 ) ) ( (t
0,
0
4 sen t,
4π t
2 s
t
t
2 )
2
2
(6)
/DJUi¿FDGH GHOD¿JXUDPXHVWUDFRPRVHHVSHUDUtDGHODVFRQGLFLRQHVLQLciales, que la masa no exhibe movimiento hasta que es golpeada en t 2ʌ.
FIGURA 7.5.4 Ningún movimiento
hasta que la masa es golpeada en t 2ʌ
en el inciso b) del ejemplo 1.
COMENTARIOS
i) Si į(t – t0) fuera una función en el sentido usual, entonces la propiedad i) de la función delta de Dirac implicaría 0 (t t0 ) dt 0 en vez de 0 (t t0 ) dt 1
Debido a que la función delta de Dirac no se “comporta” como una función ordinaria, aun cuando sus usuarios produjeron resultados correctos, al inicio los matemáticos la recibieron con gran desprecio. Sin embargo, en 1940 la controversial
función de Dirac fue puesta en un fundamento riguroso por el matemático francés
Laurent Schwartz en su libro La Théorie de distribution y esto, a su vez, condujo a
una rama completamente nueva de la matemática conocida como la teoría de las
distribuciones o funciones generalizadas(QHVWDWHRUtD QRHVXQDGH¿QLFLyQ
aceptada de į(t – t0), ni se habla de una función cuyos valores son o 0. Aunque se
deja en paz este tema, basta decir que la función delta de Dirac se caracteriza mejor
por su efecto en otras funciones. Si f es una función continua, entonces
0
f(t) (t
t0 ) dt
f(t0 )
(7)
se puede tomar como la GH¿QLFLyQ de į(t – t0). Este resultado se conoce como
propiedad de cribado, puesto que į(t – t0) tiene el efecto de separar el valor f (t0)
del conjunto de valores de f sobre [0, ). Note que la propiedad ii) (con f(t) 1)
y (3) (con f (t) est ) son consistentes con (7).
ii) En el inciso (iii) de los Comentarios en la sección 7.2 indicaron que la función
de transferencia de una ecuación diferencial lineal general de n-ésimo orden con
FRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVHVW(s) 1(P(s), donde P(s) ansn an1sn1 . . . a0. La función de transferencia es la transformada de Laplace de la función w(t),
conocida como IXQFLyQSHVR de un sistema lineal. Pero w(t) también se puede caracterizar en términos del análisis en cuestión. Por simplicidad se considera un sistema lineal de segundo orden en el que la entrada es un impulso unitario en t 0:
a2 y
a1 y
a0 y
(t), y(0)
0,
y (0)
0.
7.5
LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC
O
321
Aplicando la transformada de Laplace y usando { (t)} 1 se muestra que la
transformada de la respuesta y en este caso es la función de transferencia
Y(s)
a2 s2
1
a1s
a0
1
P(s)
W(s)
y
y así
1
1
P(s)
w(t).
De esto se puede ver, en general, que la función peso y w(t) de un sistema lineal
de n-ésimo orden es la respuesta de estado cero del sistema a un impulso unitario.
Por esta razón w(t) también se llama respuesta de impulso del sistema.
EJERCICIOS 7.5
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-12.
En los problemas 1-12, use la transformada de Laplace para
resolver el problema con valores iniciales.
y(0) 5 0, y9(0) 5 0, y0(L) 5 0, y-(L) 5 0
w0
y 3y į(t 2), y(0) 0
y y į(t 1), y(0) 2
x
y y į(t 2ʌ), y(0) 0, y(0) 1
L
y
y 16y į(t 2ʌ), y(0) 0, y(0) 0
(
y
t
y
y(0) 0, y (0)
1
2
0
)
(t
3
2
),
y y į(t 2ʌ) į(t 4ʌ), y(0) 1, y(0) 0
y 2y į(t 1),
FIGURA 7.5.5 Viga empotrada en ambos extremos.
y(0) 5 0, y9(0) 5 0, y(L) 5 0, y9(L) 5 0
y(0) 0, y(0) 1
y 2y 1 į(t 2),
y(0) 0, y(0) 1
y 4y 5y į(t 2ʌ),
w0
y(0) 0, y(0) 0
x
y 2y y į(t 1), y(0) 0, y(0) 0
y 4y 13y į(t ʌ) į(t 3ʌ),
y(0) 1, y(0) 0
y 7y 6y et į(t 2) į(t 4),
y(0) 0, y(0) 0
En los problemas 13 y 14 utilice la transformada de Laplace
para resolver el problema de valor inicial dado. Trace la grá¿FDGHODVROXFLyQVREUHHOLQWHUYDOR>ʌ].
y0 1 y 5
`
o ␦(t 2 k␲),
y(0) 5 0, y9(0) 5 1
k51
y0 1 y 5
`
o ␦(t 2 2k␲),
y(0) 5 0, y9(0) 5 1
k51
En los problemas 15 y 16 una viga uniforme de longitud L
tiene una carga concentrada w0 en x 12L9pDQVHOD¿JXUD
SUREOHPD \OD¿JXUD SUREOHPD 8VHOD
transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
EI
d 4y
dx4
5 w0 ␦_x 2
+, 0 , x , L,
1
2L
sujeto a las condiciones frontera dadas.
L
y
FIGURA 7.5.6 Viga empotrada en su extremo
izquierdo y libre en su extremo derecho.
Problemas para analizar
$OJXLHQD¿UPDTXHODVVROXFLRQHVGHGRV39,
y
y
2y
2y
10y
10y
0,
(t),
y(0)
y(0)
0, y (0)
0, y (0)
1
0
son exactamente lo mismo. ¿Está de acuerdo o no?
-XVWL¿TXHVXUHVSXHVWD
Lea i) en los ComentariosDO¿QDOGHHVWDVHFFLyQ/XHJR
use la transformada de Laplace para resolver el problema
de valor inicial:
y0 1 4y9 1 3y 5 et␦(t 2 1), y(0) 5 0, y9(0) 5 2.
8WLOLFHXQDXWLOHUtDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHy(t)
para 0 t 5.
322
CAPÍTULO 7
O
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
7.6
INTRODUCCIÓN &XDQGRVHHVSHFL¿FDQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFH
GH FDGD HFXDFLyQ HQ XQ VLVWHPD GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV
reduce el sistema de ED a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas en las funciones transformadas. Se resuelve el sistema de ecuaciones algebraicas para cada una de las funciones transformadas y luego se determinan las transformadas de Laplace inversas en la manera usual.
A
x1 = 0
k1
k1 x1
m1
x1
k2
B
m1
m1
k2 (x2 − x1)
x2 = 0
m2
x2
m2
k2 (x2 − x1)
m2
a) equilibrio b) movimiento c) fuerzas
RESORTES ACOPLADOS Dos masas m1 y m2 están conectadas a dos resortes A y
B de masa despreciable con constantes de resorte k1 y k2 respectivamente. A su vez,
ORVGRVUHVRUWHVHVWiQXQLGRVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD6HDQx1(t) y x2(t) los
desplazamientos verticales de las masas desde sus posiciones de equilibrio. Cuando el
sistema está en movimiento, el resorte B está sujeto a elongación y compresión; por
lo que su elongación neta es x2 – x1. Por tanto, se deduce de la ley de Hooke que los
resortes A y B ejercen fuerzas k1x1 y k2(x2 x1), respectivamente, sobre m1. Si ninguna fuerza externa se aplica al sistema y si ninguna fuerza de amortiguamiento está
presente, entonces la fuerza neta sobre m1 es k1x1 k2(x2 x1). Por la segunda ley
de Newton se puede escribir
d 2 x1
k1 x1 k2 (x2 x1).
m1 2
dt
De igual manera, la fuerza neta ejercida sobre la masa m2 se debe sólo a la elongación neta de B ; es decir, k2(x2 x1). Por tanto, se tiene
FIGURA 7.6.1 Sistema resorte/masa
m2
acoplado.
d 2 x2
dt2
k2 (x2
x1).
En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado se representa por el sistema
de ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden
m1 x 1
k1 x1
k2 (x2
m2 x 2
k2 (x2
x1).
x1)
(1)
En el ejemplo siguiente se resuelve (1) bajo las suposiciones de que k1 6, k2 4,
m1 1, m2 1 y que las masas comienzan desde sus posiciones de equilibrio con
velocidades unitarias opuestas.
EJEMPLO 1
Resortes acoplados
10x1
x1
Resuelva
4x1
sujeta a x1(0)
0, x 1(0)
1, x2 (0)
x2
4x2
0
4x2
0
0, x 2 (0)
(2)
1.
SOLUCIÓN La transformada de Laplace de cada ecuación es
s2 X1(s)
4X1(s)
donde X1(s)
sx1(0)
x1(0)
s2 X2 (s)
{x1(t)} y X2 (s)
(s2
sx2 (0)
4X2 (s)
0
x2 (0)
4X2 (s)
0,
{x2 (t)}. El sistema anterior es igual a
10) X1(s)
4 X1(s)
10X1(s)
4X2 (s)
2
(s
4) X2 (s)
1
(3)
1.
7.6
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
O
323
Resolviendo (3) para X1(s) y usando fracciones parciales en el resultado, se obtiene
X1(s)
s2
2)(s2
2
(s
1> 5
2
12)
6>5
,
s
12
2
2
s
y por tanto
x1(t)
x1
0.4
_ 0.2
5
7.5
X2(s)
1 0 1 2 .5 1 5
a) gráfica de x1(t) vs. t
12
s2 2
y
x2(t)
x2
0.2
(s
s2 6
2)(s2 12)
2
2
512
_ 0.4
5
12
1
2
b) gráfica de x2(t) vs. t
i1
E
L
i2
2
s
1
3> 5
12
112
s
12
2
13
sen 213t.
10
12
sen 12t
10
13
sen 213t
5
x2(t)
12
sen 12t
5
13
sen 213t.
10
(4)
/DVJUi¿FDVGHx1 y x2GHOD¿JXUDUHYHODQHOFRPSOLFDGRPRYLPLHQWRRVFLODWRULR
de cada masa.
REDES En (18) de la sección 3.3 vimos que las corrientes il(t) e i2(t) de la red que se
PXHVWUDHQOD¿JXUDFRQXQLQGXFWRUXQUHVLVWRU\XQFDSDFLWRUHVWDEDQJREHUQDdas por el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
i3
R
3
5112
s2
x1(t)
7 .5 1 0 1 2 .5 1 5
FIGURA 7.6.2 Desplazamientos de las
dos masas del ejemplo 1.
2> 5
s2 2
Por último, la solución del sistema (2) es
_ 0.2
2.5
112
s2 12
1
13
sen 213t.
5
12
sen 12t
5
0.4
t
6
5112
Sustituyendo la expresión para X1(s) en la primera ecuación de (3), se obtiene
_ 0.4
2.5
1
12
sen 12t
10
0.2
t
1
512
L
C
di1
dt
di
RC 2
dt
FIGURA 7.6.3 Red eléctrica.
Ri2
E(t)
(5)
i2
0.
i1
Resolvemos este sistema con la transformada de Laplace en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 2
8QDUHGHOpFWULFD
Resuelva el sistema en (5) bajo las condiciones E(t) 60 V, L 1 H, R 50 ",
C 104 F y las corrientes i1 e i2 son inicialmente cero.
SOLUCIÓN Debemos resolver
di1
dt
50(10 4 )
sujeta a i1(0) 0, i2(0) 0.
di2
dt
50i2
i2
i1
60
0
324
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
$SOLFDQGR OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH D FDGD HFXDFLyQ GHO VLVWHPD \ VLPSOL¿cando, se obtiene
60
50I2(s)
sI1(s)
s
200I1(s)
(s
200)I2(s)
0,
{i1(t)} e I2(s)
{i2(t)}. Resolviendo el sistema para I1 e I2 y desdonde I1(s)
componiendo los resultados en fracciones parciales, se obtiene
I1(s)
60s
s(s
12 000
100)2
6>5
s
6>5
s 100
60
(s 100)2
12 000
6>5
6>5
120
.
s(s 100)2
s
s 100 (s 100)2
Tomando la transformada inversa de Laplace, encontramos que las corrientes son
I2(s)
i1(t)
6
5
6
e
5
100t
60te
i2(t)
6
5
6
e
5
100t
120te
100t
100t
.
6
Observe que tanto i1(t) como i2(t) del ejemplo 2 tienden hacia el valor E>R
5
conforme t A . Además, puesto que la corriente a través del capacitor es i3(t) i1
(t) i2(t) 60te100t, se observa que i3(t) A 0 conforme t A .
PÉNDULO DOBLE Considere el sistema de péndulo doble que consiste en un pénGXORXQLGRDRWURFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD6HVXSRQHTXHHOVLVWHPDRVFLOD
HQXQSODQRYHUWLFDOEDMRODLQÀXHQFLDGHODJUDYHGDGTXHODPDVDGHFDGDYDULOODHV
despreciable y que ninguna fuerza de amortiguamiento actúa sobre el sistema. En la
¿JXUDWDPELpQVHPXHVWUDTXHHOiQJXORGHGHVSOD]DPLHQWRș1 se mide (en radianes) desde una línea vertical que se extiende hacia abajo desde el pivote del sistema
y que ș2 se mide desde una línea vertical que se extiende desde el centro de masa m1.
La dirección positiva es a la derecha; la dirección negativa es a la izquierda. Como
se esperaría del análisis que condujo a la ecuación (6) de la sección 5.3, el sistema de
ecuaciones diferenciales que describe el movimiento es no lineal:
θ 1 l1
m1
l2
θ2
m2
FIGURA 7.6.4 Péndulo doble.
(m1
m2 )l12
1
m2 l1l2
m2l22
2
cos (
1
m2l1l2
1
2
m2l1l2( 2 )2 sen (
2)
cos (
2)
1
2)
1
m2l1l2( 1 )2 sen (
(m1
m2)l1g sen
1
0
m2l2 g sen
2
0.
2)
1
(6)
Pero si se supone que los desplazamientos ș1(t) y ș2(t) son pequeños, entonces las
aproximaciones cos(ș1 ș2) 1, sen(ș1 ș2) 0, sen ș1 ș1, sen ș2 ș2 nos permiten remplazar el sistema (6) por la linealización
(m1
m2 )l12
1
m2l1l2
m2l22
EJEMPLO 3
2
(m1
2
m2l1l2
1
m2)l1g
1
0
m2l2g
2
0.
(7)
'REOHSpQGXOR
Se deja como ejercicio completar los detalles de usar la transformada de Laplace para
resolver el sistema (7) cuando m1 3, m2 1, l1 l2 16, u1(0) 1, u 2 (0)
1, 1(0) 0 y 2(0) 0 . Debe encontrar que
1
2
3
cos
t
cos 2t
1(t)
4
4
13
2(t)
1
2
cos
t
2
13
3
cos 2t.
2
(8)
(QOD¿JXUDVHPXHVWUDQFRQODD\XGDGHXQ6$&ODVSRVLFLRQHVGHODVGRVPDVDV
en t 0 y en tiempos posteriores. Vea el problema 21 en los ejercicios 7.6.
7.6
a) t 0
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
b) t 1.4
O
325
d ) t 8.5
c) t 2.5
FIGURA 7.6.5 Posiciones de masas del péndulo doble en diferentes tiempos del ejemplo 3.
EJERCICIOS 7.6
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-12.
En los problemas 1-12, use la transformada de Laplace para
resolver el sistema dado de ecuaciones diferenciales.
dx
x y
dt
dy
2x
dt
x(0) 0, y(0) 1
dx
dt
dy
dt
x
2y
5x
y
x(0) 1,
y(0) 2
dx dy
2x
dt
dt
dx dy
3x 3y
dt
dt
x(0) 0, y(0) 0
2
dx
x
dt
dx
dt
x(0) 0,
dx
2y
dt
dy
8x
dt
x(0) 1,
et
t
y(0) 1
dx
dy
3x
dt
dt
dx
dy
x
y
dt
dt
x(0) 0, y(0) 0
1
d 2x
dy
3y 0
3
dt
dt2
d 2x
3y te t
dt2
x(0) 0, x(0) 2, y(0) 0
dx
dt
dy
dt
x(0)
et
1
2
dy
y 0
dt
dy
2y 0
dt
y(0) 1
d 2x
d 2x dx
dy
x y 0
0
2
2
dt
dt
dt
dt
d 2 y dy
d 2y
dx
y x 0
4
0
2
2
dt
dt
dt
dt
x(0) 0, x(0) 2,
x(0) 1, x(0) 0,
y(0) 0, y(0) 1
y(0) 1, y(0) 5
2
2
dx
d 3y
d x d y t2
4x
6 sen t
dt
dt3
dt2
dt2
dx
d 3y
d 2x d 2y
0
2x
2
4t
dt
dt3
dt2
dt2
x(0) 8, x(0) 0,
x(0) 0, y(0) 0,
y(0) 0, y(0) 0
y(0) 0, y(0) 0
4x
2y
2 (t
1)
3x
y
(t
1)
0,
y(0)
1
2
Resuelva el sistema (1) cuando k1 3, k2 2, m1 1,
m2 1 y x1(0) 0, x1(0) 1, x 2 (0) 1, x 2(0) 0.
Construya el sistema de ecuaciones diferenciales que
describe el movimiento vertical en línea recta de los
UHVRUWHV DFRSODGRV TXH VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD Use la transformada de Laplace para resolver el sistema
cuando k1 1, k2 1, k3 1, m1 1, m2 1 y x1(0) 0,
x1(0)
1, x 2 (0) 0, x 2(0) 1.
k1
x1 = 0
m1
k2
x2 = 0
m2
k3
FIGURA 7.6.6 Resortes acoplados del problema 14.
a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales
para las corrientes i2(t) e i3(t) en la red eléctrica que se
PXHVWUDHQOD¿JXUDHV
326
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
di
L1 2 Ri2 Ri3 E(t)
dt
di3
L2
Ri2 Ri3 E(t).
dt
b) Resuelva el sistema del inciso a) si R 5 ", L1 0.01
H, L2 0.0125 H, E 100 V, i2(0) 0 e i3(0) 0.
c) Determine la corriente i1(t).
i1 R
i3
i2
E
a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales
para la carga en el capacitor q(t) y la corriente i 3(t) en
ODUHGHOpFWULFDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHV
R1
dq
dt
1
q
C
R1i3
E(t)
L
di3
dt
R2i3
1
q
C
0.
b) Determine la carga en el capacitor cuando L 1 H,
R1 1 ", R2 1 ", C 1 F.
L1
L2
i1
a) En el problema 12 de los ejercicios 3.3 se pide demostrar que las corrientes i2(t) e i3(t) de la red eléctrica que
VHPXHVWUDHQOD¿JXUDVDWLVIDFH
di2
dt
di2
R1
dt
R1i2
E(t)
1
i
C 3
0.
Resuelva el sistema si R1 10 ", R2 5 ", L 1 H,
C 0.2 F.
120,
0,
0
2
2,
t
t
i 2(0) 0, e i 3(0) 0.
b) Determine la corriente i1(t).
i1
E
L
t
t
1
1,
E
R1
i3
i2
C
L
R2
FIGURA 7.6.9 Red del problema 20.
di3
dt
di3
R2
dt
L
E(t)
0
i 3(0) 0 y q(0) 0.
FIGURA 7.6.7 Red del problema 15.
L
0,
50e t,
E(t)
i3 R2
i2
R1
C
FIGURA 7.6.8 Red del problema 16.
Resuelva el sistema dado en (17) de la sección 3.3 cuando
R1 6 ", R2 5 ", L1 1 H, L2 1 H, E(t) 50 sen t
V, i2(0) 0 e i3(0) 0.
Resuelva (5) cuando E 60 V, L
C 104 F, i1(0) 0 e i2(0) 0.
1
2
H, R 50 ",
Resuelva (5) cuando E 60 V, L 2 H, R 50 ",
C 104 F, i1(0) 0 e i2(0) 0.
Tarea para el laboratorio de computación
a) Use la transformada de Laplace y la información
dada en el ejemplo 3 para obtener la solución (8) del
sistema que se presenta en (7).
b) 8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU ș1(t) y
ș2(t) en el plano Wș. ¿Cuál masa tiene desplazamienWRV H[WUHPRV GH PD\RU PDJQLWXG" 8VH ODV JUi¿FDV
para estimar la primera vez que cada masa pasa por
su posición de equilibrio. Analice si el movimiento
del péndulo es periódico.
c) 7
UDFH OD JUi¿FD GHș1(t) y ș2(t) en el plano ș1ș2 como
HFXDFLRQHV SDUDPpWULFDV /D FXUYD TXH GH¿QHQ HVWDV
ecuaciones paramétricas se llama FXUYDGH/LVVDMRXV.
d) (Q OD ¿JXUD D VH SUHVHQWDQ ODV SRVLFLRQHV GH ODV
masas en t 0. Observe que se ha usado 1 radián
57.3°. Use una calculadora o una tabla de aplicación
de un SAC para construir una tabla de valores de los
ángulos ș1 y ș2 para t 1, 2, . . . , 10 s. Después dibuje
las posiciones de las dos masas en esos tiempos.
e) Use un SAC para encontrar la primera vez que ș1(t)
ș2(t) y calcule el correspondiente valor angular.
Dibuje las posiciones de las dos masas en esos tiempos.
f) Utilice un SAC para dibujar las rectas apropiadas para
simular las varillas de los péndulos, como se muestra
HQ OD ¿JXUD 8VH OD XWLOLGDG GH DQLPDFLyQ GH
su SAC para hacer un “video” del movimiento del
péndulo doble desde t 0 hasta t 10 usando un
incremento de 0.1. [Sugerencia: Exprese las coordenadas (x1(t), y1(t)) y (x2(t), y2(t)) de las masas m1 y m2
respectivamente, en términos de ș1(t) y ș2(t).]
REPASO DEL CAPÍTULO 7
(QORVSUREOHPDV\XWLOLFHODGH¿QLFLyQGHODWUDQVIRUPDGD
de Laplace para encontrar { f (t)} .
f (t)
f (t)
0, 0
1, 2
0,
0
t
t
t
t
t
2
4
4
t,
Si
1
1
{ f(t)}
F(s) y k 0, entonces
{e f (t k) (t k)} _______.
at
t
{ 0 ea f ( ) d }
_______ mientras que
t
{eat 0
_______.
f( ) d }
En los problemas 25-28, use la función escalón unitario para
GHWHUPLQDUXQDHFXDFLyQSDUDFDGDJUi¿FDHQWpUPLQRVGHOD
función y f (t FX\DJUi¿FDVHSUHVHQWDHQOD¿JXUD5
y
En los problemas 3-24 complete los espacios en blanco o
conteste verdadero o falso.
Si f no es continua por tramos en [0, ), entonces
no existirá. _______
y = f(t)
{ f (t)}
F(s) s2(s2 4) no es la transformada de Laplace de
una función que es continua por tramos y de orden exponencial. _______
t
t0
(e t )10 no es de orden exponencial. ____
La función f (t)
FIGURA 7.R.1 *Ui¿FDSDUDORVSUREOHPDV
y
{ f (t)} F(s) y {g(t)} G(s), entonces
{F(s)G(s)}
f (t)g(t). _______
Si
1
7t
{e
_______ {sen 2t}
{t sen 2t}
{sen 2t
1
1
1
1
1
1
{e
Si
{e
3t
}
_______
sen 2t}
t
t0
_______
FIGURA 7.R.2 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
_______
)}
y
_______
1
3s
_______
1
(s
(t
1
1
7t
{te
_______
20
s6
1
_______
}
5)
1
FIGURA 7.R.3 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
_______
s2
5
s2
s
10s
t
t0
_______
3
y
_______
29
t
t0
e 5s
s2
_______
s
s2
2
e
s
1
2 2
Ls
n2
2
FIGURA 7.R.4 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
_______
y
_______
} existe para s _______.
5t
{ f (t)}
327
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-13
REPASO DEL CAPÍTULO 7
t,
2
O
F(s), entonces
t0
8t
{te f (t)}
_______.
t1
t
FIGURA 7.R.5 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
328
CAPÍTULO 7
O
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
En los problemas 29-32 exprese f en términos de funciones
escalón unitario. Encuentre { f (t)} y {et f (t)}.
y 2y f (t), y(0) 1, donde f (t HVWiGDGRSRUOD¿gura 7.R.10
f (t)
f (t)
1
1
1
2
3
t
4
1
FIGURA 7.R.6 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
y 5y 4y f (t), y(0) 0, y(0) 3, donde
y = sen t, π ≤ t ≤ 3 π
f(t)
1
( 1)k
12
k
π
−1
2π
3π
t
y (t)
FIGURA 7.R.7 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
t
0
f (t)
2
1
t
FIGURA 7.R.8 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
y( ) cos(t
)d
) d , y(0)
1
6t 3
x y t
4x y 0
x(0) 1, y(0) 2
Ri
1
1
t
2
Un circuito en serie contiene un inductor, un resistor y un
1
capacitor para el cual L
H, R 10 " y C 0.01 F,
2
respectivamente. El voltaje
FIGURA 7.R.9 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
(QORVSUREOHPDV\WUDFHODJUi¿FDGHODIXQFLyQGDGD
Encuentre L{f(t)}.
`
f (t) 5 21 1 2 o (21)k11 8(t 2 k)
k51
`
f (t) 5 o (2k 1 1 2 t)f8(t 2 2k) 2 8(t 2 2k 2 1)g
k50
En los problemas 35-42, use la transformada de Laplace para
resolver la ecuación dada.
y(0) 0, y(0) 0
y 6y 5y t t (t 2), y(0) 1, y(0) 0
y 5y f (t), donde
t2,
0,
0
t
t
1
, y(0)
1
10, 0 t 5
0,
t 5
se aplica al circuito. Determine la carga instantánea q(t)
en el capacitor para t 0 si q(0) 0 y q(0) 0.
E(t)
Una viga en voladizo uniforme de longitud L está empotrada en su extremo izquierdo (x 0) y libre en su
H[WUHPRGHUHFKR(QFXHQWUHODGHÀH[LyQy(x) si la carga
por unidad de longitud se determina por
w(x)
y(0) 0, y(0) 5
y 8y 20y te t,
f (t)
0
1 t
i( ) d
E(t),
C 0
donde E(t) es el voltaje aplicado. Determine i(t) cuando R
10 ", C 0.5 F y E(t) 2(t2 t).
f (t)
y 2y y e t,
f ( ) f (t
t
k)
x y e2t
2x y e2t
x(0) 0, y(0) 0,
x(0) 0, y(0) 0
La corriente i(t) en un circuito RC en serie se puede determinar de la ecuación integral
1 2 3
cos t
(t
0
En los problemas 43 y 44, use la transformada de Laplace para
resolver cada sistema.
(3, 3)
t
3
FIGURA 7.R.10 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD
f (t)
2
1
2w0 L
L 2
x
x
L
2
x
L
2
.
Cuando una viga uniforme se apoya mediante una base
HOiVWLFDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDVXGHÀH[LyQy(x) es
d 4y
EI 4 ky w(x),
dx
donde k es el módulo de la base y ky es la fuerza restauradora de la base que actúa en dirección opuesta a la de
REPASO DEL CAPÍTULO 7
la carga w(x 9HDOD¿JXUD53RUFRQYHQLHQFLDDOJHbraica suponga que la ecuación diferencial se escribe como
d 4y
w(x)
4a4 y
,
4
EI
dx
donde a (k4EI)1/4. Suponga que L ʌ y a 1.
(QFXHQWUHODGHÀH[LyQy(x) de una viga que está apoyada
en una base elástica cuando
a) la viga está apoyada simplemente en ambos extremos
y una carga constante w0 se distribuye uniformemente
a lo largo de su longitud,
b) la viga está empotrada en ambos extremos y w(x) es
una carga concentrada w0 aplicada en x ʌ2.
s4 1 4 5 ss2 2 2s 1 2dss2 1 2s 1 2d.]
L
x
base elástica
y
FIGURA 7.R.11 Viga sobre la base elástica del problema 48.
[Sugerencia: En ambas partes de este problema, use la
tabla de transformadas de Laplace del apéndice C].
a) Suponga que dos péndulos idénticos están acoplados
por medio de un resorte con kFRQVWDQWH9HDOD¿JXUD
7.R.12. Bajo las mismas suposiciones hechas en el análisis anterior al ejemplo 3 de la sección 7.6, se puede
demostrar que cuando los ángulos de desplazamiento
1(t) y 2(t) son pequeños, el sistema de ecuaciones diferenciales lineales que describen el movimiento es
g
k
(
1
2)
l 1
m 1
g
k
(
2
2 ).
l 2
m 1
Utilice la transformada de Laplace para resolver el
sistema cuando ș1(0) ș0, ș1(0) 0, ș2(0) ȥ0,
ș2(0) 0, donde ș0 y ȥ0 son constantes. Por conveniencia, sea Ȧ2 gl, K km.
b) Use la solución del inciso a) para analizar el movimiento
de los péndulos acoplados en el caso especial cuando
las condiciones iniciales son ș1(0) ș0, ș1(0) 0,
ș2(0) ș0, ș2(0) 0. Cuando las condiciones iniciales
son ș1(0) ș0, ș1(0) 0, ș2(0) ș0, ș2(0) 0.
l
θ1
θ2
l
5HYLVLyQGHODIULFFLyQGH&RXORPE En el problema
27 del repaso del capítulo 5 examinamos un sistema masa
UHVRUWHHQHOFXDOXQDPDVDVHGHVOL]DVREUHXQDVXSHU¿FLHKRUL]RQWDOVHFDFX\RFRH¿FLHQWHGHIULFFLyQFLQpWLFRHV
una constante ȝ. La fuerza constante retardante fk μmg
GH OD VXSHU¿FLH VHFDDFW~DRSRQLpQGRVHDODGLUHFFLyQGHO
movimiento o se llama fricción de Coulomb en honor al físico francés Charles Augustin de Coulomb (1736-1806).
6HOHSLGLyHQWRQFHVGHPRVWUDUTXHODHFXDFLyQGH¿QLGDSRU
tramos para el desplazamiento x(t) de la masa está dado por
d2x
dt2
m
kx
fk,
fk,
x
Ȧ2x
x
x
0 (movimiento a la izquierda)
0 (movimiento a la derecha)
x
Ȧ2x
x
2
F, 0
Péndulos acoplados del problema 49.
t
F, T2
Ȧx
F, T
t
T2
t
T
3T2,
y así sucesivamente, donde Ȧ2 km, F fk m μg,
g 32, y T 2ʌȦ. Demuestre que los tiempos 0,
T2, T, 3T2, . . . corresponden a x(t) 0.
b) Explique por qué, en general, el desplazamiento inicial debe satisfacer Ȧ2 x0 F.
c) Explique por qué el intervalo FȦ2 x FȦ2
apropiadamente se llama la “zona muerta” del sistema.
d) Utilice la transformada de Laplace y el concepto de
la función de serpenteante para resolver el desplazamiento x(t) para t 0.
e) Demuestre que en el caso m 1. k 1, fk 1 y
x0 5.5 que en el intervalo [0, 2ʌ) su solución de
acuerdo con los incisos a) y b) del problema 28 en el
repaso del capítulo 5.
f) Demuestre que cada oscilación sucesiva es 2FȦ2
más corta que la anterior.
g) Prediga el comportamiento a largo plazo del sistema.
$OFDQFHGHXQSUR\HFWLO6LQUHVLVWHQFLDGHODLUH
a) Un proyectil, como la bala de cañón se muestra en
OD¿JXUD5WLHQHXQSHVRw mg y velocidad
inicial Y0 que es tangente a su trayectoria de movimiento. Si se ignoran la resistencia del aire y todas
las demás fuerzas, excepto su peso, vimos en el problema 23 de los ejercicios 4.9 que el movimiento de
proyectiles describe el sistema de ecuaciones diferenciales lineales
m
d 2x
dt 2
m
d 2y
dt 2
m
m
FIGURA 7.R.12
329
a) Suponga que la masa se libera a partir del reposo del
punto x(0) x0 0 y que no hay otras fuerzas externas. Entonces las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la masa m son
w(x)
0
O
0
mg
330
O
CAPÍTULO 7
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
y
v0
θ
x
Rango horizontal
R
FIGURA 7.R.13 Proyectil del problema 51.
Use la transformada de Laplace para resolver el sistema sujeto a las condiciones iniciales
x(0) 0, x(0) Y0 cos ș, y(0) 0, y(0) Y0 sen ș,
donde Y0 v0 es constante y ș es el ángulo cons
WDQWHGHHOHYDFLyQTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
7.R.13. Las soluciones de x(t) y y(t) son ecuacio
nes paramétricas de la trayectoria del proyectil.
b) Utilice x(t) en el inciso a) para eliminar el parámetro t
en y(t). Use la ecuación resultante para y para demostrar
que el rango horizontal R del proyectil está dado por
R
v20
sen 2ș
g
c) De la fórmula en el inciso b), vemos que R está
al máximo cuando sen 2ș 1 o cuando ș ʌ4.
Demuestre que el mismo rango, que sea menor que el
máximo se puede lograr al disparar el arma en alguno
de los dos ángulos complementarios ș y ʌ2 ș. La
única diferencia es que el ángulo más pequeño tiene
una trayectoria baja mientras que el ángulo más
grande tiene una trayectoria alta.
d) Suponga g 9.8 m/s2, ș 38º, y Y0 90 m/s. Utilice
el inciso b) para encontrar el rango horizontal del proyectil. Encuentre el tiempo cuando el proyectil golpea
el suelo.
e) Utilice las ecuaciones paramétricas x(t) y y(t) en el inciso a) junto con los datos numéricos en el inciso d)
para trazar la curva balística del proyectil. Repita con
ș 52 º y Y0 90 m/s. Sobreponga ambas curvas en
el mismo sistema de coordenadas.
5DQJRGHXQSUR\HFWLO&RQUHVLVWHQFLDGHODLUH
a) Ahora supongamos que la resistencia del aire es una
fuerza retardadora tangente a la trayectoria que actúa
en dirección opuesta al movimiento. Si tomamos la
resistencia del aire proporcional a la velocidad del
proyectil, entonces vimos en problema 24 de los ejercicios 4.9 que el movimiento del proyectil está descrito por el sistema de ecuaciones diferenciales
d 2x
dt 2
d 2y
m 2
dt
m
ȕ
dx
dt
mg
ȕ
dy
dt
donde ȕ 0. Utilice transformada de Laplace para
resolver este sistema sujeto a la condiciones iniciales x(0) 0, x(0) Y0 cos ș, y(0) 0, y(0) Y0
sen ș, donde Y0 v0 y ș son constantes.
b) Supongamos que m 4 kg, g 9.8 m/s2, ȕ 0.25,
ș 38 º y Y0 = 90 m/s. Use un SAC para encontrar
el tiempo en que el proyectil golpea el suelo y luego
calcule su correspondiente rango horizontal.
c) Repita el inciso b) utilizando el ángulo complementario ș 52º y compare el rango con el que encuentra en
los inciso b). ¿La propiedad del inciso c) del problema
51 se conserva?
d) Utilice las ecuaciones paramétricas x(t) y y(t) del inciso
a) junto con los datos numéricos del inciso b) para trazar la curva balística del proyectil. Repita este procedimiento con los mismos datos numéricos del inciso
b) pero tome ș 52°. Superponga ambas curvas en el
mismo sistema de coordenadas. Compare estas curvas
con las que se obtuvieron en el inciso e) del problema 51.
8
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
DE PRIMER ORDEN
8.1
8.2
8.3
8.4
© Pavel L Photo and Video/Shutterstock.com
Teoría preliminar: Sistemas lineales
Sistemas lineales homogéneos
Sistemas lineales no homogéneos
Matriz exponencial
REPASO DEL CAPÍTULO 8
E
332
n las secciones 3.3, 4.9 y 7.6 tratamos con sistemas de ecuaciones
diferenciales y pudimos resolver algunos de estos sistemas mediante
eliminación sistemática o con la transformada de Laplace. En este capítulo
nos vamos a dedicar sólo a sistemas de ecuaciones lineales diferenciales de primer
orden. Veremos que la teoría general de los sistemas de ecuaciones diferenciales
y el procedimiento de solución, es similar al de las ecuaciones lineales de orden
superior, consideradas en el capítulo 4. Este material es fundamental para el
análisis de sistemas de ecuaciones no lineales de primer orden en el capítulo 10
de la versión ampliada, Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la
frontera. La notación matricial y sus propiedades se utilizarán extensivamente a lo
largo de este capítulo. Si usted no está familiarizado con estos conceptos, revise el
apéndice B o un texto de Álgebra Lineal. .
8.1
8.1
TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES
O
333
TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES
INTRODUCCIÓN Recuerde que en la sección 4.9 se ilustró cómo resolver sistemas de n ecuaciones diferenciales lineales con n incógnitas de la forma
P11(D)x1 P12(D)x2 . . . P1n(D)xn b1(t)
P21(D)x1 P22(D)x2 . . . P2n(D)xn b2(t)
.
.
.
.
.
.
Pn1(D)x1 Pn2(D)x2 . . . Pnn(D)xn bn(t),
(1)
donde las Pij eran polinomios de diferentes grados en el operador diferencial D. Este capítulo se dedica al
estudio de sistemas de ED de primer orden que son casos especiales de sistemas que tienen la forma normal
dx1
––– g1(t,x1,x2, . . . ,xn)
dt
dx2
––– g2(t,x1,x2, . . . ,xn)
dt
.
.
.
.
.
.
dxn
––– gn(t,x1,x2, . . . ,xn).
dt
(2)
Un sistema como (2) de n ecuaciones diferenciales de primer orden se llama sistema de primer orden.
SISTEMAS LINEALES Cuando cada una de las funciones g1, g2, . . . , gn en (2) es
lineal en las variables dependientes x1, x2, . . . , xn, se obtiene la forma normal de un
sistema de ecuaciones lineales de primer orden.
dx1
––– a11(t)x1 a12(t)x2 . . . a1n(t)xn f1(t)
dt
dx2
––– a21(t)x1 a22(t)x2 . . . a2n(t)xn f2(t)
dt.
.
.
.
.
.
dxn
––– an1(t)x1 an2(t)x2 . . . ann(t)xn fn(t).
dt
(3)
Nos referimos a un sistema de la forma dada en (3) simplemente como un sistema
lineal6HVXSRQHTXHORVFRH¿FLHQWHVaij así como las funciones fi son continuas sobre
un intervalo común I. Cuando fi(t) 0, i 1, 2, . . . , n, se dice que el sistema lineal
(3) es homogéneo; de otro modo es no homogéneo.
FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL Si X, A(t), y F(t) denotan las
respectivas matrices
() (
x1(t)
x2(t)
X .. ,
.
xn(t)
) ()
a11(t) a12(t) . . . a1n(t)
a21(t) a22(t) . . . a2n(t)
.
. ,
A(t) .
.
.
.
an1(t) an2(t) . . . ann(t)
f1(t)
f2(t)
F(t) .. ,
.
fn(t)
334
O
CAPÍTULO 8
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
entonces el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) se puede
escribir como
a11(t) a12(t) . . . a1n(t) x1
f1(t)
x1
.
.
.
a21(t) a22(t)
a2n(t) x2
f2(t)
x2
d
.
.
. .
–– . .
.
.
.
dt ..
.
.
.
.
.
.
.
xn
an1(t) an2(t)
ann(t) xn
fn(t)
() (
o simplemente
AX
X
)( ) ( )
F.
(4)
Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es entonces
X
AX.
EJEMPLO 1
(5)
Sistema escrito en notación matricial
x
, entonces la forma matricial del sistema homogéneo
y
a) Si X
dx
dt
dy
dt
3x
4y
es X
5x
7y
3
5
4
X.
7
x
y , entonces la forma matricial del sistema lineal no homogéneo
z
b) Si X
dx
dt
dy
dt
dz
dt
6x
y
z
t
8x
7y
z
10t es X
2x
9y
z
6t
DEFINICIÓN 8.1.1
6
8
2
1
7
9
1
1 X
1
t
10t .
6t
Vector solución
Un vector solución sobre un intervalo I es cualquier matriz columna
()
x1(t)
x2(t)
X ..
.
xn(t)
cuyas entradas son funciones derivables que satisfacen el sistema (4) sobre el
intervalo.
Un vector solución de (4) es, por supuesto, equivalente a n ecuaciones escalares
x1 ‫׋‬1(t), x2 ‫׋‬2(t), . . . , xn ‫׋‬n(t) y se puede interpretar desde el punto de vista geométrico como un conjunto de ecuaciones paramétricas de una curva en el espacio. En el importante caso para n 2, las ecuaciones x1 ‫׋‬1(t), x2 ‫׋‬2(t) representan una curva en el plano
x1x2. Es práctica común llamar trayectoria a una curva en el plano y llamar plano fase al
plano x1x2. Regresaremos a estos conceptos y se ilustrarán en la siguiente sección.
8.1
EJEMPLO 2
TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES
335
Comprobación de soluciones
Compruebe que sobre el intervalo (, )
1
e 2t
X1
e 2t
y
1
e 2t
SOLUCIÓN De X 1
2e
2e
2t
2t
AX1
1
5
3
3
e
e
AX2
1
5
3
3
3e6t
5e6t
3e6t
5e6t
3 6t
e
5
X2
1 3
X.
5 3
X
son soluciones de
y
O
y X2
2t
e
5e
2t
2t
2t
3e6t
15e6t
(6)
18e6t
vemos que
30e6t
3e
3e
2t
2e
2e
2t
15e6t
15e6t
18e6t
30e6t
2t
X1,
2t
X2 .
Gran parte de la teoría de sistemas de n ecuaciones diferenciales de primer orden
es similar a la de las ecuaciones diferenciales de nésimo orden.
PROBLEMA CON VALORES INICIALES
valo I y
()
x1(t0)
x2(t0)
.
X(t0) .
.
Sea t0 que denota un punto en un inter-
y
()
#1
#2
X0 . ,
.
.
xn(t0)
#n
donde las Ȗi, i 1, 2, . . . , n son las constantes dadas. Entonces el problema
Resolver: X
A(t)X
Sujeto a: X(t0) X0
F(t)
(7)
es un problema con valores iniciales sobre el intervalo.
TEOREMA 8.1.1 Existencia de una solución única
Sean las entradas de las matrices A(t) y F(t) funciones continuas sobre un intervalo común I que contiene al punto t0. Entonces existe una solución única del
problema con valores iniciales (7) sobre el intervalo.
SISTEMAS HOMOGÉNEOS (QODVVLJXLHQWHVGH¿QLFLRQHV\WHRUHPDVVHFRQVLGHUDQVyORVLVWHPDVKRPRJpQHRV6LQD¿UPDUORVLHPSUHVHVXSRQGUiTXHODVaij y las fi
son funciones continuas de t sobre algún intervalo común I.
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El siguiente resultado es un principio de superposición para soluciones de sistemas lineales.
TEOREMA 8.1.2 Principio de superposición
Sea X1, X2, . . . , Xk un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo
(5) sobre un intervalo I. Entonces la combinación lineal
X
c1 X1
c2 X2
ck Xk ,
donde las ci, i 1, 2, . . . , k son constantes arbitrarias, es también una solución
sobre el intervalo.
336
O
CAPÍTULO 8
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
Se deduce del teorema 8.1.2 que un múltiplo constante de cualquier vector solución de un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden es
también una solución.
EJEMPLO 3
Usando el principio de superposición
Debería practicar comprobando que los dos vectores
cos t
1
1
X1
y X2
2 cos t
2 sen t
cos t sen t
son soluciones del sistema
1
1
2
X
0
1
0
0
et
0
1
0 X.
1
(8)
Por el principio de superposición la combinación lineal
X
c1X1
c2X2
c1
1
2
cos t
cos t 12 sen t
cos t sen t
0
c2 et
0
es otra solución del sistema.
DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL Estamos interesados
principalmente en soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo (5).
DEFINICIÓN 8.1.2
Dependencia/independencia lineal
Sea X1, X2, . . . , Xk un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo
(5) sobre un intervalo I. Se dice que el conjunto es linealmente dependiente
sobre el intervalo si existen constantes c1, c2, . . . , ck, no todas cero, tales que
c1 X 1
c2 X 2
ck X k
0
para toda t en el intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente sobre el intervalo, se dice que es linealmente independiente.
El caso cuando k 2 debe ser claro; dos vectores solución X1 y X2 son linealmente
dependientes si uno es un múltiplo constante del otro y a la inversa. Para k 2 un
conjunto de vectores solución es linealmente dependiente si se puede expresar por lo
menos un vector solución como una combinación lineal de los otros vectores.
WRONSKIANO Como en la consideración anterior de la teoría de una sola ecuación
diferencial ordinaria se puede introducir el concepto del determinante Wronskiano como
prueba para la independencia lineal. Se expresa el siguiente teorema sin demostración.
() ()
TEOREMA 8.1.3
Sean
X1 ()
Criterio para las soluciones linealmente independientes
x11
x21
. ,
.
.
xn1
x12
x22
X2 . ,
.
.
xn2
. . . ,
x1n
x2n
Xn .
.
.
xnn
8.1
TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES
O
337
n vectores solución del sistema homogéneo (5) sobre un intervalo I. Entonces el
conjunto de vectores solución es linealmente independiente sobre I si y sólo si
el Wronskiano
x11 x12 . . .
x21 x22 . . .
W(X1,X2, . . . ,Xn) .
.
.
xn1 xn2 . . .
x1n
x2n
. 0
.
.
xnn
(9)
para toda t en el intervalo.
Se puede demostrar que si X1, X2, . . . , Xn son vectores solución de (5), entonces
para toda t en I ya sea W(X1, X2, . . . , Xn) 0 o W(X1, X2, . . . , Xn) 0. Por tanto, si
se puede demostrar que W 0 para alguna t0 en I, entonces W 0 para toda t y, por
tanto, las soluciones son linealmente independientes sobre el intervalo.
2EVHUYHTXHDGLIHUHQFLDGHODGH¿QLFLyQGH:URQVNLDQRHQODVHFFLyQDTXt
ODGH¿QLFLyQGHOGHWHUPLQDQWH QRLPSOLFDGHULYDFLyQ
EJEMPLO 4
Soluciones linealmente independientes
1
3 6t
e 2t y X2
e son soluciones del
1
5
sistema (6). Es evidente que X1 y X2 son linealmente independientes sobre el intervalo
(, ) puesto que ningún vector es un múltiplo constante del otro. Además, se tiene
En el ejemplo 2 vimos que X1
W(X 1, X 2 )
e
e
2t
2t
3e 6t
5e 6t
8e 4t
0
para todos los valores reales de t.
DEFINICIÓN 8.1.3
Conjunto fundamental de soluciones
Cualquier conjunto X1, X2, . . . , Xn de n vectores solución linealmente independientes del sistema homogéneo (5) sobre un intervalo I se dice que es un
conjunto fundamental de soluciones sobre el intervalo.
TEOREMA 8.1.4 Existencia de un conjunto fundamental
Existe un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo (5)
sobre un intervalo I.
Los dos teoremas siguientes son equivalentes a los teoremas 4.1.5 y 4.1.6 para
sistemas lineales.
TEOREMA 8.1.5 Solución general, sistemas homogéneos
Sea X1, X2, . . . , Xn un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogéneo (5) sobre un intervalo I. Entonces la solución general del sistema sobre
el intervalo es
X c1 X 1 c2 X 2
cn X n ,
donde las ci, i 1, 2, . . . , n son constantes arbitrarias.
338
O
CAPÍTULO 8
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
EJEMPLO 5
Solución general del sistema (6)
1
3 6t
e 2t y X2
e son soluciones linealmente
1
5
independientes de (6) sobre (, ). Por tanto X1 y X2 son un conjunto fundamental de soluciones sobre el intervalo. La solución general del sistema sobre el intervalo entonces es
Del ejemplo 2 sabemos que X1
X
c1 X1
EJEMPLO 6
c2 X2
1
e
1
c1
2t
3 6t
e .
5
c2
(10)
Solución general del sistema (8)
Los vectores
cos t
t 12 sent ,
cos t sent
1
2 cos
X1
0
1 et,
0
X2
sen t
1
2 sent
X3
sent
1
2 cos
t
cos t
son soluciones del sistema (8) en el ejemplo 3 (vea el problema 16 en los ejercicios
8.1). Ahora,
W(X1, X2, X3)
p
cos t
0
1
t 2 sent et
cos t sent 0
1
2 cos
sent
1
2 sent
sent
1
2 cos
cos t
tp
et
0
para todos los valores reales de t. Se concluye que X1, X2 y X3 forman un conjunto
fundamental de soluciones sobre (, ). Por lo que la solución general del sistema
sobre el intervalo es la combinación lineal X c1X1 c2X2 c3X3; es decir,
X
c1
cos t
t 12 sent
cos t sent
1
2 cos
0
c2 1 et
0
sent
c3
1
2 sent
sent
1
2 cos
t .
cos t
SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS Para sistemas no homogéneos una solución particular Xp sobre el intervalo I es cualquier vector libre de parámetros arbitrarios, cuyos
elementos son funciones que satisfacen el sistema (4).
TEOREMA 8.1.6 Solución general: sistemas no homogéneos
Sea Xp una solución dada del sistema no homogéneo (4) sobre un intervalo I y sea
Xc
c1 X 1
c2 X 2
cn X n
que denota la solución general sobre el mismo intervalo del sistema homogéneo asociado (5). Entonces la solución general del sistema no homogéneo
sobre el intervalo es
X
Xc
X p.
La solución general Xc del sistema homogéneo relacionado (5) se llama
función complementaria del sistema no homogéneo (4).
8.1
EJEMPLO 7
O
339
Solución general: sistema no homogéneo
3t
5t
El vector Xp
TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES
4
es una solución particular del sistema no homogéneo
6
1 3
12t 11
X
X
(11)
5 3
3
sobre el intervalo (, ). (Compruebe esto.) La función complementaria de (11) en el
1
5
mismo intervalo o la solución general de X
ejemplo 5 que X c
X
c1
Xc
1
e
1
Xp
2t
c1
3
X, como vimos en (10) del
3
3 6t
e . Por tanto, por el teorema 8.1.6
5
1
3 6t
3t 4
e 2t c2
e
1
5
5t 6
c2
es la solución general del sistema no homogéneo de (11) en (, ).
EJERCICIOS 8.1
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-13.
En los problemas l-6 escriba el sistema lineal en forma matricial.
1.
3.
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
dz
dt
dx
5.
dt
dy
dt
dz
dt
6.
dx
dt
dy
dt
dz
dt
3x
5y
4x
8y
3x
dx
dx
dt
dt
dy
dy
dt
dt
2.2.
4y
9z
dx
dx
dt
dt
dy
dy
dt
dt
dz
dz
dt
dt
4.4.
y
6x
10x
x
4y
y
z
y
2x
x
t
y
d x
dt y
x
2z
11. dx
dt
z
dy
dt
7. X
8. X
7
4
0
2
4e cos 2t
t
2
X
3
5
1
2
3
1
1 t
e
1
9
1 X
3
0
2 e5t
1
8
0 e
3
x
y
z
2
1
6
x
y
7
1
3x
4y
4x
7y; X
1
2 e
2
3
1 t
1
t
t
2t
4
sent
8
2t
1
e
2
12. dx
dt
2x
5y
dy
dt
2x
4y; X
13. X
1
1
14. X
2
1
15. X
1
6
1
16. X
1
1
2
En los problemas 7-10, reescriba el sistema dado sin el uso de matrices.
4
1
1
4
5
4 4t
e
1
En los problemas 11-16, compruebe que el vector X es una solución
del sistema dado.
t
e
6z
t
10.
1
3
2
e t sen 2t
4y
9z
y
x
1
t2
z
3x
5x
x
x
d
y
dt
z
7y
3t2
z
y
5x
3z
4x
9.
1
4
1
5 cos t
et
3 cos t sent
0
1
0
1
e
2
X; X
1
X; X
0
2
1
2
5t
1 t
e
3
1
0 X;
1
1
0 X;
1
X
3t/2
4 t
te
4
1
6
13
sent
X
1
2 sent
sent
1
2
cos t
cos t
340
CAPÍTULO 8
O
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
En los problemas 17-20, los vectores dados son soluciones de un
sistema X AX. Determine si los vectores forman un conjunto
fundamental sobre el intervalo (, ).
1
e
1
17. X1
,
X2
18. X1
1 t
e,
1
X2
19. X1
1
2
4
X3
3
6
12
2t
8 t
te
8
dx
dt
x
1
2 ,
4
X2
dy
dt
3x
22. X
2
1
8.2
2y
4t
1
X
1
1 t
e
1
Xp
1 t
te
1
sen 3t
0
cos 3t
1
4 sen 3t; Xp
3
0
1
1
6
0
1
0
1 X
0
sobre el intervalo (, ) es
X
1
2 e
1
X2
2t
3
0 X
0
X
2
t 4
4
4y
2
2
1
1 t
e;
7
25 . Demuestre que la solución general de un sistema lineal homogéneo de
4t
,
2
3 e3t
2
X3
6
1 e
5
c1
t
3
1 e
1
c2
2t
2
c3 1 e3t.
1
26 . Demuestre que la solución general de un sistema lineal no homogéneo de
En los problemas 21-24 compruebe que el vector Xp es una solución
particular del sistema dado.
21.
1
X
4
1
4
6
24 . X
6t
2 t
e
6
1
t 2 ,
2
1
6 ,
13
20 . X1
1
e
1
2
3
23. X
1
1
X
1
X
1
1 2
t
1
4
t
6
1
5
sobre el intervalo (, ) es
7
18;
5
;
2
2
t
1
Xp
5
1
X
1
1
12
1 2
t
0
1
3
Xp
c1
e12t
c2
2
t
4
1
.
0
1
1
12
e
12t
SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS
INTRODUCCIÓN
homogéneo X
1
5
Vimos en el ejemplo 5 de la sección 8.1 que la solución general del sistema
3
X es
3
1
3 6t
e 2t c2
e .
X c1X1 c2X2 c1
1
5
Ya que los vectores solución X1 y X2 tienen la forma
Xi
k1 i t
e ,
k2
i 1, 2,
donde k1, k2, Ȝ1 y Ȝ2 son constantes, nos inquieta preguntar si siempre es posible hallar una solución
de la forma
k1
k2
X .. e lt Ke lt
(1)
.
()
kn
para la solución del sistema lineal homogéneo general de primer orden
donde A es una matriz n n de constantes.
X
AX,
(2)
8.2
SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS
O
341
EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Si (1) es un vector solución del sistema
homogéneo lineal (2), entonces X KȜH ȜW, por lo que el sistema se convierte en
KȜH ȜW AKe ȜW. Después de dividir por eȜW y reacomodando, obtenemos AK ȜK o
AK ȜK 0. Ya que K IK, la última ecuación es igual a
l I)K
(A
0.
(3)
La ecuación matricial (3) es equivalente a las ecuaciones algebraicas simultáneas
a12k2 . . . a1nkn 0
a21k1 (a22 l)k2 . . . a2nkn 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1k1 an2k2 (ann l)kn 0.
(a11 l)k1 Por lo que para encontrar soluciones X de (2), necesitamos primero encontrar una
solución no trivial del sistema anterior; en otras palabras, debemos encontrar un vector
no trivial K que satisfaga a (3). Pero para que (3) tenga soluciones que no sean la so kn 0, se debe tener
lución obvia k1 k2 det(A
I)
0.
Esta ecuación polinomial en Ȝ se llama ecuación característica de la matriz A. Sus
soluciones son los eigenvalores de A. Una solución K 0 de (3) correspondiente a
un eigenvalor Ȝ se llama eigenvector de A. Entonces una solución del sistema homogéneo (2) es X KeȜW.
En el siguiente análisis se examinan tres casos: eigenvalores reales y distintos (es
decir, los eigenvalores no son iguales), eigenvalores repetidos y, por último, eigenvalores complejos.
8.2.1
EIGENVALORES REALES DISTINTOS
Cuando la matriz A n n tiene n eigenvalores reales y distintos Ȝ1, Ȝ2, . . . , Ȝn entonces siempre se puede encontrar un conjunto de n eigenvectores linealmente independientes K1, K2, . . . , Kn y
X1
K1e 1t,
K2e 2 t,
X2
...,
Xn
Kne
nt
es un conjunto fundamental de soluciones de (2) sobre el intervalo (, ).
TEOREMA 8.2.1 Solución general: Sistemas homogéneos
Sean Ȝ1, Ȝ2, . . . , Ȝn nHLJHQYDORUHVUHDOHV\GLVWLQWRVGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA
del sistema homogéneo (2) y sean K1, K2, . . . , Kn los eigenvectores correspondientes. Entonces la solución general de (2) en el intervalo (, ) está dada por
X
EJEMPLO 1
Resuelva
SOLUCIÓN
FRH¿FLHQWHV
c1K1e
1t
c2K2 e
cn K n e n t.
2t
Eigenvalores distintos
dx
dt
2x
3y
dy
dt
2x
y.
(4)
Primero determine los eigenvalores y eigenvectores de la matriz de
342
O
CAPÍTULO 8
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
De la ecuación característica
2
I)
det (A
3
2
2
3
1
4
(
1)(
4)
0
vemos que los eigenvalores son Ȝ1 1 y Ȝ2 4.
Ahora para Ȝ1 1, (3) es equivalente a
3k1
3k2
0
2k1
2k2
0.
Por lo que k1 k2. Cuando k2 1, el eigenvector correspondiente es
1
.
1
K1
Para Ȝ2 4 tenemos
3
2 k2;
por lo que k1
2k1
3k2
0
2k1
3k2
0
por tanto con k2 2 el eigenvector correspondiente es
3
.
2
K2
3XHVWRTXHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA es una matriz 2 2 y como hemos encontrado
dos soluciones linealmente independientes de (4),
1
e
1
X1
t
3 4t
e ,
2
X2
y
Se concluye que la solución general del sistema es
X
c1 X1
c2 X2
1
e
1
c1
t
c2
3 4t
e .
2
(5)
DIAGRAMA DE FASE Debe considerar que escribir una solución de un sistema de
ecuaciones en términos de matrices es simplemente una alternativa al método que se
empleó en la sección 4.9, es decir, enumerar cada una de las funciones y la relación
entre las constantes. Si sumamos los vectores en el lado derecho de (5) y después igualamos las entradas con las entradas correspondientes en el vector en el lado izquierdo,
se obtiene la expresión familiar
x
c1e
t
3c2e4t,
y
c1e
t
2c2e4t.
Como se indicó en la sección 8.1, se pueden interpretar estas ecuaciones como ecuaciones paramétricas de curvas en el plano xy o plano fase. Cada curva, que corresponde a
HOHFFLRQHVHVSHFt¿FDVGHc1 y c2, se llama trayectoria. Para la elección de constantes
c1 c2 HQODVROXFLyQ YHPRVHQOD¿JXUDODJUi¿FDGHx(t) en el plano
x
y
6
6
y
4
2
4
5
2
4
t
3
_2
2
_4
1
_3 _ 2
_1
1
2
3
a) gráfica de x e t 3e 4t
t
_6
_3 _2
_1
1
2
3
b) gráfica de y e t 2e 4t
_2
_4
_6
_8
_ 10
x
2.5
5
7 . 5 1 0 1 2. 5 15
c) trayectoria definida por
x e t 3e 4t, y e t 2e 4t
en el plano fase
FIGURA 8.2.1 Una solución particular de (5) produce tres curvas diferentes en tres planos diferentes.
8.2
y
x
X2
X1
FIGURA 8.2.2 Un diagrama de fase
del sistema (4).
SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS
O
343
txODJUi¿FDGHy(t) en el plano ty y la trayectoria que consiste en los puntos (x(t), y(t))
en el plano fase. Al conjunto de trayectorias representativas en el plano fase, como se
PXHVWUDHQOD¿JXUDVHOHOODPDdiagrama fase para un sistema lineal dado. Lo
que parecen dosUHFWDVURMDVHQOD¿JXUDVRQHQUHDOLGDGcuatro semirrectas de¿QLGDVSDUDPpWULFDPHQWHHQHOSULPHURVHJXQGRWHUFHUR\FXDUWRFXDGUDQWHVFRQODV
soluciones X2, X1, X2 y X1, respectivamente. Por ejemplo, las ecuaciones cartesianas
y 23 x, x 0 y y x, x 0, de las semirrectas en el primer y cuarto cuadrantes se
obtuvieron eliminando el parámetro t en las soluciones x 3e4t, y 2e4t y x et, y
et, respectivamente. Además, cada eigenvector se puede visualizar como un vector
bidimensional que se encuentra a lo largo de una de estas semirrectas. El eigenvector
3
1
K2
se encuentra junto con y 23 x en el primer cuadrante y K1
2
1
se encuentra junto con y x en el cuarto cuadrante. Cada vector comienza en el
origen; K2 termina en el punto (2, 3) y K1 termina en (1, 1).
El origen no es sólo una solución constante x 0, y 0 de todo sistema lineal homogéneo 2 2, X AX, sino también es un punto importante en el estuGLRFXDOLWDWLYRGHGLFKRVVLVWHPDV6LSHQVDPRVHQWpUPLQRVItVLFRVODVSXQWDVGHÀHFKD GH FDGD WUD\HFWRULD HQ OD ¿JXUD LQGLFDQ OD GLUHFFLyQ FRQ TXH XQD SDUWtFXOD
en el tiempo tVHPXHYHFRQIRUPHDXPHQWDHOWLHPSR2EVHUYHTXHODVSXQWDVGHÀHcha, con excepción de sólo las semirrectas en el segundo y cuarto cuadrantes, indican que una partícula se aleja del origen cuando aumenta el tiempo t Si imaginamos
que el tiempo va de a , entonces examinando la solución x c1et 3c2e4t,
y c1et 2c2e4t, c1 0, c2 0 muestra que una trayectoria o partícula en moviPLHQWR³FRPLHQ]D´DVLQWyWLFDDXQDGHODVVHPLUUHFWDVGH¿QLGDVSRUX1 o X1 (ya que e4t
es despreciable para t A \³GHVYDQHFH´DVLQWyWLFDDXQDGHODVVHPLUUHFWDVGH¿QLdas por X2 y X2 (ya que et es despreciable para t A ).
2EVHUYHTXHOD¿JXUDUHSUHVHQWDXQGLDJUDPDGHIDVHTXHHVFDUDFWHUtVWLFRGH
todos los sistemas lineales homogéneos 2 2, X AX con eigenvalores reales de signos
opuestos. Vea el problema 19 de los ejercicios 8.2. Además, los diagramas de fase en los
dos casos cuando los eigenvalores reales y distintos tienen el mismo signo son característicos de esos sistemas 2 OD~QLFDGLIHUHQFLDHVTXHODVSXQWDVGHÀHFKDLQGLFDQTXHXQD
partícula se aleja del origen en cualquier trayectoria cuando Ȝ1 y Ȝ2 son positivas y se mueve
hacia el origen en cualquier trayectoria mientras t A cuando Ȝ1 y Ȝ2 son negativas. Por lo
que al origen se le llama repulsor en el caso Ȝ1 0, Ȝ2 0 y atractor en el caso Ȝ1 0, Ȝ2
9HDHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV(ORULJHQHQOD¿JXUDQRHVUHSXOVRUQL
atractor. La investigación del caso restante cuando Ȝ 0 es un eigenvalor de un sistema lineal homogéneo de 2 2 se deja como ejercicio. Vea el problema 53 de los ejercicios 8.2.
EJEMPLO 2
Eigenvalores distintos
Resuelva
dx
dt
dy
dt
dz
dt
4x
y
z
x
5y
z
y
3 z.
(6)
SOLUCIÓN Usando los cofactores del tercer renglón, se encuentra
4
det (A
I)
p
1
1
0
1
1
5
1
3
p
(
y así los eigenvalores son Ȝ1 3, Ȝ2 4 y Ȝ3 5.
3)(
4)(
5)
0,
344
O
CAPÍTULO 8
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
Para Ȝ1 3, con la eliminación de Gauss-Jordan, se obtiene
(A 3I0) (
)
1 1
1 0
1 8 1 0
0 1
0 0
(
operaciones
entre renglones
)
1 0 1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
Por tanto k1 k3 y k2 0. La elección k3 1 da un eigenvector y el vector solución
correspondiente
1
0 ,
1
K1
De igual manera, para Ȝ2 4
(
1
0 e
1
X1
)
0 1
1 0
(A 4I0) 1 9 1 0
0 1
1 0
operaciones
entre renglones
3t
(7)
.
(
)
1 0 10 0
0 1
1 0
0 0
0 0
implica que k1 10k3 y k2 k3. Al elegir k3 1, se obtiene un segundo eigenvector
y el vector solución
10
1 ,
1
K2
10
1 e
1
X2
Por último, cuando Ȝ3 5, las matrices aumentadas
(
)
4t
.
(8)
( )
1 0 operaciones 1 0 1 0
9 1
(A 5I0) 1 0 1 0 entre renglones 0 1 8 0
0 0
0 1 8 0
0 0
1
8 ,
1
K3
producen
X3
1
8 e5t.
1
(9)
La solución general de (6) es una combinación lineal de los vectores solución en
(7), (8) y (9):
X
1
c1 0 e
1
3t
c2
10
1 e
1
4t
1
c3 8 e5t.
1
USO DE COMPUTADORAS Los paquetes de software como MATLAB,
Mathematica y Maple, ahorran tiempo en la determinación de eigenvalores y eigenvectores de una matriz A.
8.2.2
EIGENVALORES REPETIDOS
Por supuesto, no todos los n eigenvalores Ȝ1, Ȝ2, . . . , Ȝn de una matriz A de n n deben
ser distintos, es decir, algunos de los eigenvalores podrían ser repetidos. Por ejemplo,
ODHFXDFLyQFDUDFWHUtVWLFDGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVHQHOVLVWHPD
X
3
2
18
X
9
(10)
8.2
SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS
O
345
se demuestra fácilmente que es (Ȝ 3)2 0, y por tanto, Ȝ1 Ȝ2 3 es una raíz de
multiplicidad dos. Para este valor se encuentra el único eigenvector
3
3
K1
, por lo que X1
(11)
e 3t
1
1
es una solución de (10). Pero como es obvio que tenemos interés en formar la solución general del sistema, se necesita continuar con la pregunta de encontrar una segunda solución.
En general, si m es un entero positivo y (Ȝ Ȝ1)m es un factor de la ecuación
característica, mientras que (Ȝ Ȝ1)m1 no es un factor, entonces se dice que Ȝ1 es un
eigenvalor de multiplicidad m. En los tres ejemplos que se dan a continuación se
ilustran los casos siguientes:
i)
Para algunas matrices A de n n sería posible encontrar m eigenvectores
linealmente independientes K1, K2, . . . , Km, correspondientes a un
eigenvalor Ȝ1, de multiplicidad m n. En este caso la solución general del
sistema contiene la combinación lineal
1t
c1K 1e
ii)
c2K 2e
1t
cmK me 1t.
Si sólo hay un eigenvector que corresponde al eingenvalor Ȝ1 de multiplicidad
m, entonces siempre se pueden encontrar m soluciones linealmente
independientes de la forma
X1 K11e l t
lt
lt
X2 . K21te K22e
.
.
t m2
t m1
Xm Km1 –––––––– e l t Km2 –––––––– e l t . . . Kmme l t,
(m 1)!
(m 2)!
1
1
1
1
1
1
donde las Kij son vectores columna, que siempre se pueden determinar.
EIGENVALORES DE MULTIPLICIDAD DOS Se comienza por considerar eigenvalores de multiplicidad dos. En el primer ejemplo se ilustra una matriz para la que podemos
encontrar dos eigenvectores distintos que corresponden a un doble eigenvalor.
EJEMPLO 3
Resuelva X
Eigenvalores repetidos
1
2
2
2
1
2
2
2 X.
1
SOLUCIÓN Desarrollando el determinante en la ecuación característica
1
det (A
I)
p
2
2
2
2
2
1
2
p
0
1
se obtiene (Ȝ l)2(Ȝ 5) 0. Se ve que Ȝ1 Ȝ2 1 y Ȝ3 5.
Para Ȝ1 1, con la eliminación de Gauss-Jordan se obtiene de inmediato
(
)
( )
2 0 operaciones 1 1 1 0
2 2
(A I 0) 2
2 2 0 entre renglones 0
0 0 0 .
2 0
0 0 0
2 2
0
El primer renglón de la última matriz indica que k1 – k2 k3 0 o k1 k2 – k3. Las
elecciones k2 1, k3 0 y k2 1, k3 1 producen, a su vez, k1 1 y k1 0. Por lo
que dos eigenvectores correspondientes a Ȝ1 1 son
K1
1
1
0
y
K2
0
1 .
1
346
O
CAPÍTULO 8
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
Puesto que ningún eigenvector es un múltiplo constante del otro, se han encontrado
dos soluciones linealmente independientes,
X1
1
1 e
0
t
0
1 e t,
1
X2
y
que corresponden al mismo eigenvalor. Por último, para Ȝ3 5 la reducción
(
)
( )
2 0 operaciones
4 2
1 0 1 0
entre
renglones
(A 5I 0) 2 4 2 0
0 1
1 0
2 2 4 0
0 0
0 0
implica que k1 k3 y k2 k3. Al seleccionar k3 1, se obtiene k1 1, k2 1; por
lo que un tercer eigenvector es
1
1 .
1
K3
Concluimos que la solución general del sistema es
X
1
c1 1 e
0
t
0
c2 1 e
1
t
1
1 e5t.
1
c3
/DPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA del ejemplo 3 es un tipo especial de matriz conocida
como matriz simétrica. Se dice que una matriz A de n n es simétrica si su transpuesta AT (donde se intercambian renglones y columnas) es igual que A, es decir, si
AT A. Se puede demostrar que si la matriz A del sistema X AX es simétrica y
tiene elementos reales, entonces siempre es posible encontrar n eigenvectores linealmente independientes K1, K2, . . . , Kn, y la solución general de ese sistema es como
se muestra en el teorema 8.2.1. Como se muestra en el ejemplo 3, este resultado se
cumple aun cuando estén repetidos algunos de los eigenvalores.
SEGUNDA SOLUCIÓN Ahora suponga que Ȝ1 es un eigenvalor de multiplicidad
dos y que sólo hay un eigenvector asociado con este valor. Se puede encontrar una
segunda solución de la forma
(12)
X2 K te 1t Pe 1,t
() ()
k1
k2
K ..
.
donde
y
p1
p2
P .. .
.
kn
pn
Para ver esto sustituya (12) en el sistema X AX\VLPSOL¿TXH
(AK
1K ) te
1t
(AP
1P
K)e
1t
0.
Puesto que la última ecuación es válida para todos los valores de t, debemos tener
y
(A
1I )K
0
(13)
(A
1I )P
K.
(14)
La ecuación (13) simplemente establece que K debe ser un eigenvector de A asociado
con Ȝ1. Al resolver (13), se encuentra una solución X1 Ke 1t . Para encontrar la segunda solución X2, sólo se necesita resolver el sistema adicional (14) para obtener el
vector P.
8.2
EJEMPLO 4
SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS
O
347
Eigenvalores repetidos
Encuentre la solución general del sistema dado en (10).
3
e 3t.
1
p1
, encontramos de (14) que ahora debemos rep2
SOLUCIÓN De (11) se sabe que Ȝ1 3 y que una solución es X1
3
1
,GHQWL¿FDQGR K
solver
(A
y P
3I )P
6p1
2p1
o
K
18p2
6p2
3
1.
Puesto que resulta obvio que este sistema es equivalente a una ecuación, se tiene un
Q~PHURLQ¿QLWRGHHOHFFLRQHVGHp1 y p2. Por ejemplo, al elegir p1 1 se encuentra que
p2 16 . Sin embargo, por simplicidad elegimos p1 12 por lo que p2 0. Entonces
P
1
2
0
3
te
1
. Así de (12) se encuentra que X2
1
2
3t
3t
e
0
. La solución gene-
ral de (10) es X c1X1 c2X2, o
X
y
x
X1
FIGURA 8.2.3 Diagrama de fase del
sistema (l0).
c1
3
e
1
3t
3
te
1
c2
3t
1
2
0
e
3t
.
Al asignar diversos valores a c1 y c2 en la solución del ejemplo 4, se pueden trazar las
WUD\HFWRULDVGHOVLVWHPDHQ (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDXQGLDJUDPDIDVHGH Las soluciones X1 y X1 determinan dos semirrectas y 13 x, x 0 y y 13 x, x 0
UHVSHFWLYDPHQWHPRVWUDGDVHQURMRHQOD¿JXUD'HELGRDTXHHO~QLFRHLJHQYDORUHVQHJDtivo y e3t A 0 conforme t A en cada trayectoria, se tiene (x(t), y(t)) A (0, 0) conforme
t A (VWDHVODUD]yQSRUODTXHODVSXQWDVGHODVÀHFKDVGHOD¿JXUDLQGLFDQTXHXQD
partícula en cualquier trayectoria se mueve hacia el origen conforme aumenta el tiempo
y la razón de que en este caso el origen sea un atractor. Además, una partícula en movimiento o trayectoria x 3c1e 3t c2(3te 3t 12e 3t), y c1e 3t c2te 3t, c2 0
tiende a (0, 0) tangencialmente a una de las semirrectas conforme t A . En contraste,
cuando el eigenvalor repetido es positivo, la situación se invierte y el origen es un repulVRU9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV6LPLODUDOD¿JXUDOD¿JXUDHV
característica de todos los sistemas lineales homogéneos X AX, 2 2 que tienen dos
eigenvalores negativos repetidos. Vea el problema 34 en los ejercicios 8.2.
EIGENVALOR DE MULTIPLICIDAD TRES &XDQGR OD PDWUL] GH FRH¿FLHQWHV A
tiene sólo un eigenvector asociado con un eigenvalor Ȝ1 de multiplicidad tres, podemos
encontrar una segunda solución de la forma (12) y una tercera solución de la forma
donde
t2
e
2
() ()
X3
k1
k2
K .. ,
.
K
1t
Pte
p1
p2
P .. ,
.
1t
Qe 1 t,
y
pn
kn
()
(15)
q1
q2
Q .. .
.
qn
Al sustituir (15) en el sistema X AX, se encuentra que los vectores columna K, P
y Q deben satisfacer
y
(A
1I)K
0
(16)
(A
1I)P
K
(17)
(A
1I)Q
P.
(18)
Por supuesto, las soluciones (16) y (17) se pueden usar para formar las soluciones X1 y X2.
348
O
CAPÍTULO 8
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
EJEMPLO 5
2
0
0
Resuelva X
Eigenvalores repetidos
1
2
0
6
5 X.
2
SOLUCIÓN La ecuación característica (Ȝ 2)3 0 demuestra que Ȝ1 2 es un eigen-
valor de multiplicidad tres. Al resolver (A 2I)K 0, se encuentra el único eigenvector
1
0 .
0
K
A continuación se resuelven primero el sistema (A 2I)P K y después el sistema
(A 2I)Q P y se encuentra que
0
1
0
P
0
Q
y
6
5
1
5
.
Usando (12) y (15), vemos que la solución general del sistema es
X
1
c1 0 e2t
0
c2
1
0 te2t
0
0
1 e2t
0
c3
1 2
t 2t
0
e
2
0
0
1 te2t
0
0
6
5
1
5
e2t .
COMENTARIOS
Cuando un eigenvalor Ȝ1 tiene multiplicidad m, se pueden determinar m eigenvectores linealmente independientes o el número de eigenvectores correspondientes es menor que m. Por tanto, los dos casos listados en la página 345 no
son todas las posibilidades bajo las que puede ocurrir un eigenvalor repetido.
Puede suceder, por ejemplo, que una matriz de 5 5 tenga un eigenvalor de
multiplicidad cinco y existan tres eigenvectores correspondientes linealmente
independientes. Véanse los problemas 33 y 54 de los ejercicios 8.2.
8.2.3
EIGENVALORES COMPLEJOS
Si Ȝ1 Į ȕL y Ȝ2 Į ȕL, ȕ 0, i2 1 son eigenvalores complejos de la matriz
GHFRH¿FLHQWHVA, entonces se puede esperar de hecho que sus eigenvectores correspondientes también tengan entradas complejas.*
Por ejemplo, la ecuación característica del sistema
dx
dt
dy
dt
es
det (A
I)
6x
y
5x
4y
(19)
6
1
5
4
2
10
29
0.
De la fórmula cuadrática se encuentra Ȝ1 5 2i, Ȝ2 5 2i.
&XDQGRODHFXDFLyQFDUDFWHUtVWLFDWLHQHFRH¿FLHQWHVUHDOHVORVHLJHQYDORUHVFRPSOHMRVVLHPSUHDSDUHFHQ
en pares conjugados.
*
8.2
SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS
O
349
Ahora para Ȝ1 5 2i se debe resolver
(1
k2
0
2i)k2
0.
2i)k1
5k1
(1
Puesto que k2 (1 2i)k1,›la elección k1 1 da el siguiente eigenvector y el vector
solución correspondiente:
1
K1
1
2i
1
X1
,
1
2i
e(5
2i)t
e(5
2i)t
.
De manera similar, para Ȝ2 5 2i encontramos
1
K2
1
2i
1
X2
,
1
2i
.
3RGHPRVFRPSUREDUSRUPHGLRGHO:URQVNLDQRTXHHVWRVYHFWRUHVVROXFLyQVRQOLnealmente independientes y por tanto la solución general de (19) es
X
c1
1
1
2i
e(5
c2
2i )t
1
1
2i
e(5
2i )t
.
(20)
Observe que las entradas en K2 correspondientes a Ȝ2 son los conjugados de las
entradas en K1 correspondientes a Ȝ1. El conjugado de Ȝ1 es, por supuesto, Ȝ2. Esto se
K1 . Hemos ilustrado el siguiente resultado general.
escribe como 2
1 y K2
TEOREMA 8.2.2 Soluciones correspondientes a un eigenvalor complejo
Sea AXQDPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVTXHWLHQHHQWUDGDVUHDOHVGHOVLVWHPDKRPRJpneo (2) y sea K1 un eigenvector correspondiente al eigenvalor complejo Ȝ1 Į Lȕ, Į y ȕreales. Entonces
K1e
1t
y
K1e
1t
son soluciones de (2).
Es deseable y relativamente fácil reescribir una solución como (20) en términos
GHIXQFLRQHVUHDOHV&RQHVWH¿QSULPHURXVDPRVODIyUPXODGH(XOHUSDUDHVFULELU
e(5
2i )t
e5te2ti
e5t(cos 2t
i sen 2t)
e(5 2i )t e5te 2ti e5t(cos 2t i sen 2t).
Entonces, multiplicando los números complejos, agrupando términos y remplazando
c1 c2 por C1 y (c1 c2)i por C2, (20) se convierte en
X
donde
X1
y
X2
C1X1
1
cos 2t
1
0
cos 2t
2
C2X2 ,
(21)
0
sen 2t e5t
2
1
sen 2t e5t.
1
Ahora es importante entender que los vectores X1 y X2 en (21) constituyen un conjunto linealmente independiente de soluciones reales del sistema original. Consecuentemente,
HVWDPRVMXVWL¿FDGRVSDUDGHVSUHFLDUODUHODFLyQHQWUHC1, C2 y c1, c2, y podemos considerar C1 y C2 como totalmente arbitrarias y reales. En otras palabras, la combinación
*
Note que la segunda ecuación es simplemente (1 2i) veces la primera.
350
O
CAPÍTULO 8
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
y
lineal (21) es una solución general alternativa de (19). Además, con la forma real dada
en (21) podemos obtener un diagrama de fase del sistema dado en (19). A partir de (21)
podemos encontrar que x(t) y y(t) son
x
FIGURA 8.2.4
del sistema (19).
Un diagrama de fase
x
C1e 5t cos 2t
y
(C1
C2e 5t sen 2t
2C2 )e 5t cos 2t
C2 )e 5t sen 2t.
(2C1
$OJUD¿FDUODVWUD\HFWRULDV x(t), y(t)) para diferentes valores de C1 y C2, se obtiene el
GLDJUDPDGHIDVHGH TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD<DTXHODSDUWHUHDOGHȜ1
es 5 0, e5t A conforme t A (VSRUHVWRTXHODVSXQWDVGHÀHFKDGHOD¿JXUD
8.2.4 apuntan alejándose del origen; una partícula en cualquier trayectoria se mueve en
espiral alejándose del origen conforme t A . El origen es un repulsor.
El proceso con el que se obtuvieron las soluciones reales en (21) se puede generalizar. Sea K1XQHLJHQYHFWRUGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA (con entradas reales) que
corresponden al eigenvalor complejo Ȝ1 Į Lȕ. Entonces los vectores solución del
teorema 8.2.2 se pueden escribir como
K1e
1t
K1e tei
t
K1e
1t
K1e te
i t
K1e t(cos t
i sen t)
K1e t(cos t
i sen t).
Por el principio de superposición, teorema 8.1.2, los siguientes vectores también son
soluciones:
X1
1
(K e
2 1
X2
i
( K1e
2
K1e 1t )
1t
1t
K1e 1t )
1
(K1
2
i
( K1
2
K1)e t cos t
i
( K1
2
K1)e t cos t
K1)e t sen t
1
(K1
2
K1)e t sen t.
Tanto 12 (z z) a como 12 i( z z ) b son números reales para cualquier número complejo z a ib. Por tanto, las entradas de los vectores columna 12(K1 K1)
y 12 i( K1 K1)VRQQ~PHURVUHDOHV'H¿QLU
B1
1
(K
2 1
K1)
y
B2
i
( K1
2
K1),
(22)
conduce al siguiente teorema.
TEOREMA 8.2.3 Soluciones reales que corresponden a un eigenvalor
complejo
Sea Ȝ1 Į LȕXQHLJHQYDORUFRPSOHMRGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA en el
sistema homogéneo (2) y sean B1 y B2ORVYHFWRUHVFROXPQDGH¿QLGRVHQ Entonces
X1 [B1 cos t B2 sen t]e t
(23)
X2 [B2 cos t B1 sen t]e t
son soluciones linealmente independientes de (2) sobre (, ).
Las matrices B1 y B2 en (22) con frecuencia se denotan por
B1 Re(K1) y
B2 Im(K1)
(24)
ya que estos vectores son, respectivamente, las partes real e imaginaria del eigenvector K1. Por ejemplo, (21) se deduce de (23) con
K1
B1
Re(K1)
1
1
2i
1
1
y
1
1
i
0
,
2
B2
Im(K1)
0
.
2
8.2
EJEMPLO 6
SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS
O
351
Eigenvalores complejos
Resuelva el problema con valores iniciales
2
1
X
8
X,
2
2
.
1
X(0)
(25)
SOLUCIÓN Primero se obtienen los eigenvalores a partir de
det(A
2
I)
los eigenvalores son Ȝl 2i y
(2
8
1
2
2
2
0.
2i. Para Ȝl el sistema
1
2i ) k1
k1
4
( 2
8k2
0
2i)k2
0
da k1 (2 2i)k 2. Eligiendo k 2 1, se obtiene
K1
2
2i
1
2
1
i
2
.
0
B2
Im(K1)
Ahora de (24) formamos
B1
2
1
Re(K1 )
y
2
.
0
Puesto que Į 0, se tiene a partir de (23) que la solución general del sistema es
X
c1
c1
y
x
(2, _1)
FIGURA 8.2.5 Un diagrama de fase
del sistema (25) del ejemplo 6.
2
cos 2t
1
2
sen 2t
0
2 cos 2t 2 sen 2t
cos 2t
c2
c2
2
cos 2t
0
2 cos 2t 2 sen 2t
.
sen 2t
2
sen 2t
1
(26)
$OJXQDV JUi¿FDV GH ODV FXUYDV R WUD\HFWRULDV GH¿QLGDV SRU OD VROXFLyQ GHO VLVWHPDVHLOXVWUDQHQHOGLDJUDPDGHIDVHGHOD¿JXUD$KRUDODFRQGLFLyQLQLFLDO
2
X(0)
, de forma equivalente x(0) 2 y y(0) 1 produce el sistema
1
algebraico 2c1 2c2 2, c1 1, cuya solución es c1 1, c2 0. Así la solución
2 cos 2t 2 sen 2t
/D WUD\HFWRULD HVSHFt¿FD GH¿QLGD
para el problema es X
cos 2t
paramétricamente por la solución particular x 2 cos 2t 2 sen 2t, y cos 2t es la
FXUYDHQURMRGHOD¿JXUD2EVHUYHTXHHVWDFXUYDSDVDSRU 1).
COMENTARIOS
En esta sección hemos examinado solamente sistemas homogéneos de ecuaciones lineales de primer orden en forma normal X AX. Pero con frecuencia el
modelo matemático de un sistema dinámico físico es un sistema homogéneo de
segundo orden cuya forma normal es X AX. Por ejemplo, el modelo para los
resortes acoplados en (1) de la sección 7.6.
m1 x 1
k1 x1 k2(x2 x1)
(27)
m2 x 2
k2(x2 x1),
se puede escribir como
MX
KX,
352
CAPÍTULO 8
O
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
donde
m1
0
M
0
,
m2
k1 k2
k2
K
k2
,
k2
X
y
x1(t)
.
x2(t)
Puesto que M es no singular, se puede resolver X como X AX, donde
A M1K. Por lo que (27) es equivalente a
k1
m1
k2
m1
X
X.
k2
k2
m2
m2
Los métodos de esta sección se pueden usar para resolver (28):
x2
x3
x4
$OHQFRQWUDUORVHLJHQYDORUHV\ORVHLJHQYHFWRUHVGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHV
A en (29), vemos que la solución de este sistema de primer orden proporciona
el estado completo del sistema físico, las posiciones de las masas respecto a
las posiciones de equilibrio (x1 y x2) así como las velocidades de las masas (x3
y x4) en el tiempo t. Vea el problema 52 en los ejercicios 8.2.
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-13.
8.2.1 EIGENVALORES REALES DISTINTOS
En los problemas l-12 determine la solución general del sistema
dado.
1. dx
dt
dy
dt
4x
3. dx
dt
dy
dt
7. dx
dt
dy
dt
dz
dt
4x
2y
5
x
2
2y
x
5
X
12
y
2y
y
dt
dy
dt
3y
10
8
5. X
2. dx
2y
x
z
z
(28)
transformandolo en un sistema de primer orden por medio de sustituciones.
Si se hace x 1 x3 y x 2 x4 , entonces x 3 x 1 y x 4 x 2 por tanto (27)
es equivalente a un sistema de cuatro ED lineales de primer orden.
x3
0
0 1 0
x4
0
0 0 1
k1
k2
k2
k1
k2
k2
x
x o X
0 0 X. (29)
m1 m1 1 m1 2
m1 m1
m1
k2
k2
k2
k2
0 0
x1
x2
m
m
m2
m2
2
2
x1
EJERCICIOS 8.2
k2
m1
2x
3
x
4
8. dx
dt
dy
dt
dz
dt
0
1
0
2y
2
X
1
2x
7y
5x
10y
5y
2z
1
3
2
1
4
1
4
0
12. X
0
1 X
1
1
0 X
1
3
4
1
8
11. X
2y
6
3
1
0
1
1
2
3
1
5
x
2
6. X
10. X
3y
x
4. dx
dt
dy
dt
2y
1
1
0
9. X
4
1
0
0
3 X
1
2
2
2 X
6
En los problemas 13 y 14, resuelva el problema con valores iniciales.
13. X
4z
14. X
1
2
0
1
2
1
1
0
1
1
2
1
X,
X(0)
4
0 X, X(0)
1
3
5
1
3
0
8.2
15. &RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDGRVJUDQGHVWDQTXHVGHPH]cla conectados A y B inicialmente contienen 100 litros de salmuera. El líquido se bombea dentro y sale de los tanques como
VHLQGLFDHQOD¿JXUDODPH]FODERPEHDGDTXHHQWUD\VDOHGHXQ
tanque se supone que está bien agitada.
a) Construya un modelo matemático en forma de sistema lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden para el
Q~PHURGHNLORJUDPRVx1(t), y x2(t) de sal en los tanques A
y B, respectivamente, en el tiempo t. Escriba el sistema en
forma matricial. [Sugerencia: Repase la sección 3.3.]
b) Utilice el método de eigenvalores de esta sección para
resolver el sistema lineal del inciso a) sujeto a x1 (0) 20,
x2 (0) 5.
c) 8VHXQDXWLOHUtDGHJUD¿FDFLyQR6$&SDUDWUD]DUODVJUi¿
cas de x1(t), y x2(t) en el mismo plano de coordenadas.
d) Suponga que se debe apagar el sistema de mezclado de
ORVWDQTXHVFXDQGRHOQ~PHURGHNLORJUDPRVGHVDOHQHO
tanque B es igual al del tanque A. Utilice una aplicación de
búsqueda de raíces de un SAC o de una calculadora para
aproximar ese tiempo.
agua pura
2 L/min
mezcla
1 L/min
SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS
0
5.1
2
1
0
1
0
1
0
2.8
18. X
2
0
3
3.1
0
1.8
1
0
4
1.5
353
O
0
3
0 X
0
1
19. a) Utilice software para obtener el diagrama de fase del sistema
HQHOSUREOHPD6LHVSRVLEOHLQFOX\DSXQWDVGHÀHFKDFRPR
HQOD¿JXUD7DPELpQLQFOX\DFXDWURVHPLUUHFWDVHQHO
diagrama de fase.
b) Obtenga las ecuaciones cartesianas de cada una de las cuatro semirrectas del inciso a).
c)
Dibuje los eigenvectores en el diagrama de fase del sistema.
20. Encuentre los diagramas de fase para los sistemas de los problemas
2 y 4. Para cada sistema determine las trayectorias de semirrecta e
incluya estas rectas en el diagrama de fase.
8.2.2
EIGENVALORES REPETIDOS
En los problemas 21-30 encuentre la solución general del sistema.
A
mezcla
1 L/min
B
mezcla
2 L/min
21.
mezcla
1 L/min
FIGURA 8.2.6 Tanques de mezclado del problema 15.
16. En el problema 27 de los ejercicios 4.9 se le pidió resolver el
siguiente sistema lineal
dx1
1
5 2 x1
dt
50
dx2
1
2
5 x1 2 x2
dt
50
75
dx3
2
1
5 x2 2 x3
dt
75
25
usando técnicas de eliminación. Este sistema es un modelo maWHPiWLFRSDUDHOQ~PHURGHNLORJUDPRVGHVDOx1(t), x2(t) y x3(t)
en los tanques de mezclado conectados A, B, y C como se muesWUDHQOD¿JXUDHQODSiJLQD
a) Utilice el método de eigenvalores de esta sección para resolver el sistema sujeto a x1(0) 15, x2(0) 10, x3(0) 5.
b) ¿Cuál es el valor de lim x1(t), lim x2(t), y lim x3(t)??
tS`
tS`
tS`
Interprete este resultado.
dx
dt
dy
dt
3x
y
9x
3y
1
3
23. X
25.
dx
dt
dy
dt
dz
dt
22.
3
X
5
y
3x
z
x
y
z
x
y
z
27. X
5
1
0
29. X
1
2
0
4
0
2
0
2
1
dx
dt
dy
dt
24. X
26.
dx
dt
dy
dt
dz
dt
6x
5y
5x
4y
12
4
9
X
0
3x
2y
2x
2z
4x
2y
0
3
1
0
2 X
5
28. X
1
0
0
0
1 X
0
30. X
4
0
0
1
4
0
4z
3z
0
1 X
1
0
1 X
4
En los problemas 31 y 32, resuelva el problema de valores iniciales
Tarea para el laboratorio de computación
En los problemas 17 y 18, use un SAC o software de álgebra lineal
como ayuda para determinar la solución general del sistema dado.
17. X
0.9 2.1
0.7 6.5
1.1 1.7
3.2
4.2 X
3.4
2
1
31. X
32. X
0
0
1
4
X, X(0)
6
0
1
0
1
0 X, X(0)
0
1
6
1
2
5
354
CAPÍTULO 8
O
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
33. Demuestre que la matriz de 5 5
A
2
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
2
tiene un eigenvalor Ȝ1 de multiplicidad 5. Demuestre que se pueden determinar tres eigenvectores linealmente independientes
correspondientes a Ȝ1.
49. (OVLVWHPDGHORVWDQTXHVGHPH]FODGRTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
8.2.7 es un sistema cerrado. Los tanques A, B, y C inicialmente
FRQWLHQHQHOQ~PHURGHOLWURVGHVDOPXHUDLQGLFDGRVHQOD¿JXUD
a) Construya un modelo matemático en forma de sistema
lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden para
HOQ~PHURGHNLORJUDPRVGHVDOx1(t), x2(t) y x3(t) en los tanques A, B, y C al tiempo t respectivamente. Escriba el sistema en forma matricial.
b) Utilice el método de eigenvalores de esta sección para resolver el sistema lineal en el inciso a) sujeto a x1(0) 30,
x2(0) 20, x3(0) 5.
mezcla
5 L/min
Tarea para el laboratorio de computación
34. Determine los diagramas de fase para los sistemas de los problemas 22 y 23. Para cada sistema determine cualquier trayectoria de semirrecta e incluya estas líneas en el diagrama de fase.
8.2.3
A
100 L
B
100 L
EIGENVALORES COMPLEJOS
mezcla
5 L/min
En los problemas 35 a 46, determine la solución general del sistema
dado.
35.
37.
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
6x
y
5x
2y
5x
y
2x
4
5
39. X
41.
dx
dt
dy
dt
dz
dt
C
50 L
36.
38.
3y
5
X
4
40.
z
42.
z
y
43. X
45. X
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
X
dx
dt
dy
dt
dz
dt
1
1
1
1 2
1 0 X
0 1
2
5
0
5 1
6 4 X 46. X
0 2
44.
X
x
FIGURA 8.2.7 Tanques de mezclado del problema 49.
y
50. Para el sistema lineal en el problema 49:
a) Demuestre que x1(t) x2(t) x3(t) 55. Interprete este resultado.
b) ¿Cuál es el valor de lim x1(t), lim x2(t), y lim x3(t) . Interprete
tS`
tS`
tS`
este resultado.
y
2x
4x
Tarea para el laboratorio de computación
5y
2x
51. Determine los diagramas de fase para los sistemas de los problemas 38, 39 y 40.
6y
1
1
52. Resuelva (2) de la sección 7.6 usando el primer método descrito
en los Comentarios (página 351), es decir, exprese (2) de la sección 7.6 como un sistema de cuatro ecuaciones lineales de primer
orden. Use un SAC o software de álgebra lineal como ayuda para
determinar los eigenvalores y los eigenvectores de una matriz de
4 4. Luego aplique las condiciones iniciales a su solución general para obtener (4) de la sección 7.6.
8
X
3
2x
y
3x
6z
4x
2z
Problemas para analizar
53. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas.
3z
a) X
4
0
4
2
1
1
0
6
0
4
2
0
1
0 X
4
4
0 X
2
En los problemas 47 y 48, resuelva el problema con valores iniciales.
47.X
1
1
1
12
2
1
14
3 X,
2
48. X
6
5
1
X,
4
X(0)
X(0)
2
8
4
6
7
mezcla
5 L/min
1
1
1
X
1
b) X
1
1
1
X
1
Encuentre un diagrama de fase de cada sistema. ¿Cuál es la importancia geométrica de la recta y x en cada diagrama?
54. Considere la matriz de 5 5 dada en el problema 33. Resuelva el
sistema X AX sin la ayuda de métodos matriciales, pero escriba
la solución general usando notación matricial. Use la solución general como base para un análisis de cómo se puede resolver el sistema
usando métodos matriciales de esta sección. Lleve a cabo sus ideas.
55. 2EWHQJDXQDHFXDFLyQFDUWHVLDQDGHODFXUYDGH¿QLGDSDUDPptricamente por la solución del sistema lineal en el ejemplo 6.
,GHQWL¿TXH OD FXUYD TXH SDVD SRU HQ OD ¿JXUD [Sugerencia: Calcule x2, y2 y xy.]
56. Examine sus diagramas de fase del problema 51. ¿En qué condiciones el diagrama de fase de un sistema lineal homogéneo
de 2 2 con eigenvalores complejos está compuesto de una
familia de curvas cerradas? ¿De una familia de espirales? ¿En
qué condiciones el origen (0, 0) es un repulsor? ¿Un atractor?
8.3
8.3
SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS
O
355
SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS
INTRODUCCIÓN En la sección 8.1 vimos que la solución general de un sistema lineal no homogéneo X AX F(t) sobre un intervalo I es X Xc Xp, donde Xc c1X1 c2X2 cnXn
es la función complementaria o solución general del sistema lineal homogéneo asociado X AX
y Xp es cualquier solución particular del sistema no homogéneo. En la sección 8.2 vimos cómo
obtener XcFXDQGRODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA era una matriz de constantes n n. En esta sección
consideraremos dos métodos para obtener Xp.
Los métodos de FRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV y variación de parámetros empleados en el capítulo 4 para determinar soluciones particulares de EDO lineales no homogéneas, se pueden adaptar
a la solución de sistemas lineales no homogéneos X AX F(t). De los dos métodos, variación
GHSDUiPHWURVHVODWpFQLFDPiVSRGHURVD6LQHPEDUJRKD\FDVRVHQTXHHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHV
indeterminados provee un medio rápido para encontrar una solución particular.
8.3.1
COEFICIENTES INDETERMINADOS
LAS SUPOSICIONES &RPRHQODVHFFLyQHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLnados consiste en hacer una suposición bien informada acerca de la forma de un vector
solución particular Xp; la suposición es originada por los tipos de funciones que constituyen los elementos de la matriz columna F(t). No es de sorprender que la versión matriFLDOGHORVFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVHDDSOLFDEOHDX AX F(t) sólo cuando los
elementos de A son constantes y los elementos de F(t) son constantes, polinomios, funFLRQHVH[SRQHQFLDOHVVHQRV\FRVHQRVRVXPDV\SURGXFWRV¿QLWRVGHHVWDVIXQFLRQHV
EJEMPLO 1
&RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV
1
1
Resuelva el sistema X
SOLUCIÓN
2
X
1
8
sobre (, ).
3
Primero resolvemos el sistema homogéneo asociado
1
1
X
2
X.
1
/DHFXDFLyQFDUDFWHUtVWLFDGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA.
det (A
1
I)
2
1
produce los eigenvalores complejos Ȝ1 i y
de la sección 8.2, se encuentra que
Xc
c1
cos t sent
cos t
2
1
2
c2
1
cos t
1
0,
i . Con los procedimientos
sent
.
sent
Ahora, puesto que F(t) es un vector constante, se supone un vector solución particular
a1
constante Xp
. Sustituyendo esta última suposición en el sistema original e
b1
igualando las entradas se tiene que
0
a1
2b1
8
0
a1
b1
3.
356
O
CAPÍTULO 8
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
Al resolver este sistema algebraico se obtiene a1 14 y b1 11 y así, una solución
14
particular Xp
. La solución general del sistema original de ED sobre el intervalo
11
(, ) es entonces X Xc Xp o
cos t sent
cos t
c1
X
EJEMPLO 2
c2
cos t
sent
sent
14
.
11
&RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV
1
X
3
6
4
Resuelva el sistema X
6t
10t
sobre (, ).
4
SOLUCIÓN Se determina que los eigenvalores y los eigenvectores del sistema
6 1
X son Ȝ1 2, Ȝ2 7, K1
4 3
Por tanto la función complementaria es
1 2t
1 7t
Xc c1
e
c2
e .
4
1
1
, y K2
4
homogéneo asociado X
1
.
1
6
0
t
, se
10
4
tratará de encontrar una solución particular del sistema que tenga la misma forma:
Ahora bien, debido a que F(t) se puede escribir como F(t)
a1
.
b1
a2
t
b2
Xp
Sustituyendo esta última suposición en el sistema dado se obtiene
a2
b2
o
0
0
6
4
a2
t
b2
1
3
a1
b1
6
t
10
(6a2 b2 6)t 6a1 b1
(4a2 3b2 10)t 4a1 3b1
0
4
a2
b2
4
.
De la última identidad se obtienen cuatro ecuaciones algebraicas con cuatro incógnitas
6a2
4a2
b2
3b2
6
10
0
0
y
6a1
4a1
b1
3b1
a2
b2
0
0.
4
Resolviendo de forma simultánea las primeras dos ecuaciones se obtiene a2 2 y
b2 6. Después, se sustituyen estos valores en las dos últimas ecuaciones y se despeja
4
10
para a1 y b1. Los resultados son a1
7 , b1
7 . Por tanto, se tiene que un vector
solución particular es
Xp
2
t
6
4
7
10
7
.
la solución general del sistema sobre (, ) es X Xc Xp o
X
c1
1 2t
e
4
1 7t
c2
e
1
2
t
6
4
7
10
7
.
8.3
EJEMPLO 3
SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS
O
357
Forma de X p
Determine la forma de un vector solución particular Xp para el sistema
dx
dt
dy
dt
5x
3y
x
y
2e
e
t
1
t
5t
7.
SOLUCIÓN Ya que F(t) se puede escribir en términos matriciales como
F(t)
2
e
1
0
t
5
t
1
7
una suposición natural para una solución particular sería
Xp
a3
e
b3
t
a2
t
b2