S.MT101 МАТЕМАТИК 1
Лекц 2. Матриц, шугаман үйлдлүүд, элементар
хувиргалтууд. Тодорхойлогч, түүний чанарууд. Урвуу
матриц, түүний оршин байх теорем. Матрицын минор,
алгебрийн гүйцээлт. Ранг, түүний инвариант чанар.
Багш С. Уранчимэг
2021 он
Багш С. Уранчимэг
1
Матриц, шугаман үйлдлүүд, элементар хувиргалтууд.
2
Тодорхойлогч, түүний чанарууд
3
Матрицын минор, алгебрийн гүйцээлт.
4
Урвуу матриц, түүний оршин байх теорем.
5
Ранг, түүний инвариант чанар.
Багш С. Уранчимэг
Матриц, түүний төрлүүд.
Тодорхойлолт
n мөр m баганатай тэгш өнцөгт хэлбэрээр байрлуулагдсан
m · n тоог m × n хэмжээст матриц гэнэ.
à
A=
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
am1 am2 · · ·
amn
a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
í
Матрицын мөр, баганы тоог матрицын хэмжээс гээд Am×n
гэж тэмдэглэнэ. i-р мөр, j-р баганад бичигдсэн тоог
матрицын элемент гээд
Ω aij гэж тэмдэглэнэ.
m 6= n тэгш өнцөгт
m=n
квадрат
m×1
баганан
1×n
мөрөн
матриц гэнэ.
Багш С. Уранчимэг
Матриц, түүний төрлүүд.
Хэрэв ижил хэмжээст A, B матрицын бүх элемент тэнцүү
бол ө.х aij = bij бол тэнцүү матрицууд гэнэ.
Бүх элемент нь тэг матрицыг тэг матриц гээд 0-ээр
тэмдэглэнэ.
í
à
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
A=
..
..
..
..
.
.
.
.
an1 an2 · · ·
ann
гэсэн An×n квадрат матрицын хувьд
∏
a11 , a22 , · · · ann
гол
диагоналийн элементүүд.
a1n , a2n−1 , · · · an1 хажуугийн
Багш С. Уранчимэг
Матриц, түүний төрлүүд.
à
D=
d1 0 · · ·
0 d2 · · ·
..
.. . .
.
.
.
0 0 ···
í
0
0
..
.
⇐⇒ D = diag(d1 , d2 , ..., dn )
dn
хэлбэртэй матрицыг диагональ матриц гэнэ.
d1 = d2 = ... = dn = d диагональ матрицыг скаляр матриц
гэнэ. d = 1 скаляр матрицыг нэгж (identity) матриц гэнэ.
à
í
1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
I=
.. .. . .
.
. ..
. .
0 0 ···
Багш С. Уранчимэг
1
Матриц, түүний төрлүүд.
Квадрат матрицын гол диагоналиас дээш (доош) байрлах
бүх элемент тэг бол доод (дээд) гурвалжин матриц гэнэ. Гол
диагоналийн хувьд тэгшхэмтэй байрлах бүх элементүүд
хоорондоо тэнцүү ө.х aij = aji байх квадрат матрицыг
тэгшхэмтэй матриц гэнэ. Дараах матрицыг трапец хэлбэртэй
матриц гэнэ.


a11 a12 · · · a1r · · · a1n

 0 a

22 · · · a2r · · · a2n 
 .
..
..
.. 
..
..
 ..
.
.
.
.
. 




0 · · · arr · · · arn 
T=  0


 0
0 ··· 0 ···
0 
 .
..
..
.. 
..
..
 .

.
.
 .
. 
.
.
0
0 ··· 0 ···
0
Багш С. Уранчимэг
Матриц дээрх шугаман үйлдлүүд.
Матрицыг тоогоор үржүүлэх, хөрвүүлэх, матрицуудыг
нэмэх, үржүүлэх нь матриц дээрх шугаман үйлдлүүд болно.
1 Нэмэх. Ижил хэмжээст A = [a ], B = [b ] матрицуудыг
ij
ij
нэмэхэд cij = aij + bij элементтэй C матриц гарна.
Чанар.
1. A + B = B + A
2. (A+B)+C=A+(B+C)
3. A+0=A
2
Тоогоор үржүүлэх. Хэрэв λ бодит тоо бол A матрицыг
λ-аар үржүүлсэн үржвэр λ · A нь A матрицын элемент
бүрийг λ тоогоор үржүүлнэ.
1.
2.
3.
4.
Чанар.
I·A=A·I =A
(λ · µ) · A = λ · (µ · A) = (λ · A) · µ
(λ + µ) · A = λ · A + µ · A
λ · (A + B) = λ · A + λ · B
Багш С. Уранчимэг
Матриц дээрх шугаман үйлдлүүд.
Жишээ (1)
Ö
è
Ö
è
1 −1
1 2
3 4
+3 · 3 4 =
0 1
5 6
Багш С. Уранчимэг
Матриц дээрх шугаман үйлдлүүд.
Жишээ (1)
è
è Ö
è Ö
Ö
4 5
1 −1
3 6
= 3 4
+ 9 12 = 12 16
15 19
0 1
15 18
Багш С. Уранчимэг
Матриц дээрх шугаман үйлдлүүд.
3. Үржүүлэх. Хэрэв A матрицын баганы тоо B матрицын
мөрийн тоотой тэнцүү бол A матрицыг B матрицаар
зөвхөн баруун талаас нь үржүүлнэ.
{b } {b2 } · · · {bn }

  1

..
..
[a1 ] a11 a12
.
a1k
b11
b12
.
b1n

 

..
..

[a2 ] 
.
a2k 
b22
.
b2n 
 a21 a22
 ·  b21
=
 .
.. 
..
.. 
..
.. 
..
..
 ..



.
.
.
.  .
.
.   .
.
. 
..
..
b
b
.
b
[a ] a
a
.
a
m

m1
m2
mk
..
.
..
.
k1
k2

[a1 ]{bn } 
 [a1 ]{b1 } [a1 ]{b2 }


 [a2 ]{b1 } [a2 ]{b2 }
[a2 ]{bn } 


=

..
..
..
.
.


.
.
.
.


..
[am ]{b1 } [am ]{b2 } . [am ]{bn }
Багш С. Уранчимэг
kn
Матриц дээрх шугаман үйлдлүүд.
Чанар.
1. (A · B) · C = A · (B · C)
2. A · (B + C) = A · B + A · C
3. α · (A · B) = (α · A) · B
Багш С. Уранчимэг
Матриц дээрх шугаман үйлдлүүд.
Жишээ (2)
á ë
3
Ä
ä
4
1 −1 1 2 ·
=
5
6
Багш С. Уранчимэг
Матриц дээрх шугаман үйлдлүүд.
Жишээ (2)
=3-4+5+12=16
Багш С. Уранчимэг
Матриц дээрх шугаман үйлдлүүд.
Жишээ (2)
Ç
å
2 3 0
·
1 2 5
Ö
è
−1 1
4 6 =
0 7
Багш С. Уранчимэг
Матриц дээрх шугаман үйлдлүүд.
Жишээ (2)
Ç
å
2 · (−1) + 3 · 4 + 0
2·1+3·6+0
=
=
1 · (−1) + 2 · 4 + 0 1 · 1 + 2 · 6 + 5 · 7
Багш С. Уранчимэг
Матриц дээрх шугаман үйлдлүүд.
Жишээ (2)
Ç
å
10 20
=
7 48
Багш С. Уранчимэг
Матриц дээрх шугаман үйлдлүүд.
A·B =
6 B·A
байна
A · B = B · A бол сэлгэх матриц гэнэ.
Багш С. Уранчимэг
Матриц дээрх шугаман үйлдлүүд.
4. Хөрвүүлэх. Am×n матрицыг хөрвүүлэхэд (transpose)
Aтn×m матриц гарна.
à
í
a11 a21 · · · am1
a12 a22 · · · am2
Aт =
..
..
..
..
.
.
.
.
a1n a2n · · ·
amn
Чанар
1. (Aт )т = A
2. (A + B)т = Aт + B т
3. (A · B)т = B т · Aт
4. (λ · A)т = λ · Aт
Хэрэв A = Aт бол тэгшхэмтэй матриц гэнэ.
Багш С. Уранчимэг
Матриц дээрх шугаман үйлдлүүд.
Жишээ (3)
Ç
å
1 2 3
A23 =
бол Aт -г ол.
4 5 6
Багш С. Уранчимэг
Матриц дээрх шугаман үйлдлүүд.
Жишээ (3)
Ö
è
1 4
Aт32 = 2 5
3 6
Багш С. Уранчимэг
Матрицын элементар хувиргалтууд.
Дараах хувиргалтуудыг матриц дээрх элементар (энгийн)
мөрөн хувиргалтууд гэнэ.
дурын хоёр мөрийн байрыг солих
дурын мөрийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлэх
дурын мөрийн элемент бүр дээр өөр мөрийн харгалзах
элементийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлж нэмэх
Элементар хувиргалтууд матрицын баганы хувьд мөн
хүчинтэй.
Тодорхойлолт
Элементар хувиргалтаар гарах матрицуудыг эквивалент
матрицууд гэнэ.
Багш С. Уранчимэг
Тодорхойлогч, түүний чанарууд
Тодорхойлолт
Матрицын мөр болон багана бүрээс нэг элемент орсон бүх
боломжит үржвэрүүдийн нийлбэрийг тодорхойлогч гэнэ.
det(A) эсвэл |A| гэж тэмдэглэнэ.
An×n квадрат матрицын тодорхойлогчийг n эрэмбийн
тодорхойлогч гэнэ.
Багш С. Уранчимэг
Тодорхойлогч, түүний чанарууд
Тодорхойлогчийн чанарууд.
1
2
3
4
5
6
7
Матрицыг хөрвүүлэхэд тодорхойлогч нь өөрчлөгдөхгүй.
Матриц тэг мөртэй бол тодорхойлогч нь тэг байна.
Матрицын хоёр мөр пропорционал бол тодорхойлогч нь
тэг байна.
Матрицын хоёр мөрийн байрыг солиход тодорхойлогч
эсрэг тэмдэгтэй болно.
Матрицын нэг мөрийн элемент бүр дээр өөр мөрийн
харгалзах элементийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлж
нэмэхэд тодорхойлогч нь өөрчлөгдөхгүй.
Матрицын мөрийн ерөнхий үржигдэхүүнийг
тодорхойлогчийн тэмдгийн өмнө гаргаж болно.
Матрицын нэг мөрийн элемент бүрийг өөр мөрийн
харгалзах элементийн алгебрийн гүйцээлтээр үржүүлж
нэмэхэд тэг байна.
Дээрх чанарууд баганы хувьд хүчинтэй.
Багш С. Уранчимэг
Тодорхойлогч, түүний чанарууд
Жишээ (4)
2+a
2+b
2+c
2+d
1
2
3
4
a
b
c
d
a 2 1
a 2 2
=
a 2 3
a 2 4
Багш С. Уранчимэг
a
b
c
d
a a
a b
+
a c
a d
1
2
3
4
a
b
c
d
a
a
=0
a
a
Тодорхойлогч бодох
Хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогч бодох.
a11 a12
=a11 · a22 − a12 · a21
a21 a22
Гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогч бодох.
a11 a12 a13
a21 a22 a23 =a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 +
a31 a32 a33
+a13 · a21 · a32 −a13 · a22 · a31 −a12 · a21 · a33 −a11 · a23 · a32
Үүнийг тодорхойлогч бодох гурвалжны эсвэл Саррюссын
дүрэм гэнэ.
=
Багш С. Уранчимэг
−
Тодорхойлогч бодох
Мөн дараах схемээр бодно.
a11
a12
a13
a11
a21
a21
a22
a23
a12
a22
a13 a31 a33 a13 a23
+ +
+
Багш С. Уранчимэг
Тодорхойлогч бодох
Жишээ (5)
1 −1 2
0 1 3=
1 4 5
Багш С. Уранчимэг
Тодорхойлогч бодох
Жишээ (5)
=5-3-2-12=-12
Багш С. Уранчимэг
Тодорхойлогч бодох
det(AB) = det(A) · det(B)
det(Aт ) = det(A)
Гурвалжин матрицын тодорхойлогч гол диагоналийн
элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү.
Хажуугийн диагоналийн доод (дээд) талын элемент бүр тэг
n(n−1)
бол тодорхойлогч нь (−1) 2 ба хажуугийн диагоналийн
элементүүдийн үржвэртэй тэнцэнэ.
Багш С. Уранчимэг
Минор ба алгебрийн гүйцээлт
Тодорхойлолт
n -р эрэмбийн тодорхойлогчийн i -р мөр j-р баганыг хасахад
гарах (n − 1)-р эрэмбийн тодорхойлогчийг aij элементийн
минор гээд Mij гэж тэмдэглэнэ.
k · C k тооны k -р эрэмбийн минортой байна.
Am×n матриц Cm
n
Жишээ (6)


a b c d


 1 2 3 4  матрицын 2-р эрэмбийн минорыг ол.
−1 0 5 6
a b
1 2
2 3
0 5
1 4
−1 6
a d
. . . C32 · C42 = 18
−1 6
Багш С. Уранчимэг
Минор ба алгебрийн гүйцээлт
Тодорхойлолт
Aij = (−1)i+j Mij
aij элементийн алгебрийн гүйцээлт гэнэ.
Теорем
Тодорхойлогч нь түүний аль нэг мөрийн (баганы) элемент
бүрийг харгалзах алгебрийн гүйцээлтээр үржүүлж нэмсэн
нийлбэртэй тэнцүү.
Энэ аргыг эрэмбэ бууруулах арга гэнэ.
Багш С. Уранчимэг
Минор ба алгебрийн гүйцээлт
Жишээ (7)


1 0 −1


2 1 3  матрицын минор, алгебрийн гүйцээлтийг ол.
1 4 0
è Ö
è
Ö
−12 −3 7
M11 M12 M13
M21 M22 M23 =
4
1 4
M31 M32 M33
1
5 1
Багш С. Уранчимэг
Минор ба алгебрийн гүйцээлт
Жишээ (7)


1 0 −1


2 1 3  матрицын минор, алгебрийн гүйцээлтийг ол.
1 4 0
Ö
è Ö
è
A11 A12 A13
M11 −M12 M13
A21 A22 A23
= −M21 M22 −M23
A31 A32 A33
M31 −M32 M33
Ö
è
−12 3
7
1 −4
= −4
1
−5 1
Багш С. Уранчимэг
Урвуу матриц, түүний оршин байх теорем.
Тодорхойлолт
An×n хувьд A · B = B · A = I байх Bn×n матриц оршин байвал
A матрицыг бөхөөгүй буюу урвуутай матриц гэнэ. B
матрицыг A матрицын урвуу гээд A−1 -ээр тэмдэглэнэ.
Чанар
Ä
ä−1
1. A−1
=A
2. (A · B)−1 = B −1 · A−1
−1 Ä −1 äт
3. Aт
= A
Багш С. Уранчимэг
Урвуу матриц, түүний оршин байх теорем.
Тодорхойлолт
An×n матрицын элементүүдэд харгалзах алгебрийн
гүйцээлтүүдээр зохиосон матрицыг хөрвүүлэхэд гарах
матрицыг A матрицын уялдсан матриц гээд adj(A) гэж
тэмдэглэнэ.
à
adj(A)=
A11 A12 · · ·
A21 A22 · · ·
..
..
..
.
.
.
An1 An2 · · ·
Багш С. Уранчимэг
A1n
A2n
..
.
Ann
íт
Урвуу матриц, түүний оршин байх теорем.
Теорем
An×n матрицын хувьд det(A) 6= 0 бол
A−1 =
1
· adj(A)
det(A)
гэж урвуу матриц олдоно.
Теорем
An×n матриц урвуутай байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй
нөхцөл нь
det(A) 6= 0
байх юм.
det(A) 6= 0 бол A матрицыг бөхөөгүй матриц гэнэ.
Багш С. Уранчимэг
Урвуу матриц, түүний оршин байх теорем.
Жишээ (8)
Ö
è
1 3 3
A= 3 8 7
матрицын урвууг ол.
2 7 10
Ö
è
A11 /∆ A21 /∆ A31 /∆
A−1 = A12 /∆ A22 /∆ A32 /∆
A13 /∆ A23 /∆ A33 /∆
Багш С. Уранчимэг
Урвуу матриц, түүний оршин байх теорем.
Жишээ (8)
1 3
3
1 3 3
∆= 3 8 7 = 0 −1 −2
0 1
4
2 7 10
1 3
3
0 −1 −2 =-2
=
0 0
2
Багш С. Уранчимэг
Урвуу матриц, түүний оршин байх теорем.
Жишээ (8)
A11 =
8 7
= 80 − 49 = 31
7 10
A12 = −
A13 =
3 8
= 21 − 16 = 5
2 7
A21 = −
A22 =
3 7
= −(30 − 14) = −16
2 10
3 3
= −(30 − 21) = −9
7 10
1 3
= 10 − 6 = 4
2 10
A23 = −
1 3
= −(7 − 6) = −1
2 7
Багш С. Уранчимэг
Урвуу матриц, түүний оршин байх теорем.
Жишээ (8)
A31 =
3 3
= 21 − 24 = −3
8 7
A32 = −
A33 =
1 3
= −(7 − 9) = 2
3 7
1 3
= 8 − 9 = −1
3 8
т
31 −16 5


1
4
−1 =
A−1 = det(A)
· adj(A) = − 21 · −9
−3
2
−1


−31/2 9/2 3/2


−2 −1 
= 8
A · A−1 = A−1 · A = I шалга.
−5/2 1/2 1/2

Багш С. Уранчимэг
Урвуу матриц, түүний оршин байх теорем.
Матрицын урвууг элементар хувиргалтаар олох.
Теорем
Хэрэв An×n матриц элементар мөрөн хувиргалтаар I
матрицруу шилжвэл бөхөөгүй байна. A-г I матрицад
шилжүүлсэн элементар мөрөн хувиргалтаар нэгж матриц
A−1 -д шилжинэ.
Багш С. Уранчимэг
Урвуу матриц, түүний оршин байх теорем.
Жишээ (9)
Ö
1 3 3
3 8 7
A=
2 7 9
Ö
1 3
3 8
(A|I)=
2 7
Ö
1 3
3
0 −1 −2
0 1
3
Ö
1 3
3
0 −1 −2
0 0
1
è
матрицын урвууг ол.
è
3 1 0 0
M2 + (−3)M1
→
7 0 1 0
M3 + (−2)M1
9 0 0 1
è
1 0 0
−3 1 0
→
− M3 + M2
−2 0 1
è
M1 + 3 · M2
1 0 0
→
−3 1 0
M2 + 2 · M3
−5 1 1
Багш С. Уранчимэг
Урвуу матриц, түүний оршин байх теорем.
Жишээ (9)
Ö
è
1 0 −3 −8 3 0
M1 + 3 · M3
→
0 −1 0 −13 3 2
−M2
0 0
1
−5 1 1
Ö
è
Ö
è
1 0 0 −23 6
3
−23 6
3
0 1 0 13 −3 −2
13 −3 −2
=⇒ A−1 =
0 0 1 −5
1
1
−5
1
1
Багш С. Уранчимэг
Урвуу матриц, түүний оршин байх теорем.
Жишээ (9)
Ö
èÖ
−23 6
−1
13 −3
A·A =
−5
1
Ö
èÖ
−23 6
3
1 3
13 −3 −2
3 8
A−1 ·A=
−5
1
1
2 7
1 3 3
3 8 7
2 7 9
Багш С. Уранчимэг
è
3
−2
=I
1
è Ö
è
3
1 0 0
7
0 1 0
=
9
0 0 1
Матрицын зэрэг.
An×n , In×n матрицуудын хувьд
A0 = I
A1 = A A2 = A · A A3 = A · A · A ...
Am = A
| · A {z... A}
m удаа
∀m ∈ Z+
Бөхөөгүй матрицын хувьд бүхэл, сөрөг матрицыг
тодорхойлж болно.
A−2 = A−1 · A−1
Чанар
1. Ak · Al = Ak +l
2. (Ak )l = Ak ·l
∀k , l ∈ Z+
∀k , l ∈ Z+
Багш С. Уранчимэг
Матрицын ранг, түүний инвариант (хадгалагдах) чанар.
Тодорхойлолт
A (квадрат байх албагүй) матрицын k дурын мөр, k дурын
баганы огтлолцолд байрлах элементүүдтэй k эрэмбийн
тодорхойлогчийг матрицын k -р эрэмбийн минор гэнэ.
Тодорхойлолт
Am×n матрицын тэгээс ялгаатай миноруудын хамгийн их
эрэмбийг матрицын ранг гээд rang(A)-аар тэмдэглэнэ.
rang(A) ≤ min(m, n)
Матрицын ранг элемент хувиргалтаар өөрчлөгдөхгүй.
Тэг матрицын ранг тэг.
Багш С. Уранчимэг
Матрицын мөр, баганы шугаман хамаарал.
à
A=
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
am1 am2 · · ·
amn
a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
í
матрицын мөрүүдийг
A1 = [a11 a12
... a1n ]
A2 = [a21 a22
... a2n ]
..
.
Am = [am1 am2
гэж тэмдэглэе.
Багш С. Уранчимэг
... amn ]
Матрицын мөр, баганы шугаман хамаарал.
Тодорхойлолт
Хэрэв
c1 · A1 + c2 · A2 + ... + cm · Am = 0
(1)
2 = 0 байх c , c , ..., c тоонууд олдож
биелэх c12 + c22 + ... + cm
m
1 2
байвал A1 , A2 , ..., Am мөрүүдийг шугаман хамааралтай гэнэ.
Зөвхөн c1 = c2 = ... = cm = 0 үед (1) биелвэл A1 , A2 , ..., Am
мөрүүдийг шугаман хамааралгүй гэнэ.
Тодорхойлолт
Хэрэв B = [b1 b2 ...bm ] хувьд
B = c1 · A1 + c2 · A2 +
...
+ cm · Am
байвал B мөрөн матрицыг A1 , A2 , ..., Am мөрүүдийн шугаман
эвлүүлэг гэнэ.
Багш С. Уранчимэг
Матрицын мөр, баганы шугаман хамаарал.
Төсөөтэйгээр матрицын багануудын шугаман хамаарал,
шугаман эвлүүлэгийг тодорхойлно.
Теорем
Матрицын A1 , A2 , ..., Am мөрүүд шугаман хамааралтай байх
зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь ядаж нэг мөр нь
бусад мөрүүдийнхээ шугаман эвлүүлэг байх юм.
Матрицын ранг нь шугаман хамааралтай мөрийн (баганы)
тоотой тэнцүү.
Багш С. Уранчимэг
Матрицын мөр, баганы шугаман хамаарал.
Жишээ (10)
á
ë
1 2 −1
2 3 0
A=
0 1 −2
3 5 1
матрицын мөрүүд шугаман хамааралтай юу?
Бодолт.
A1 = [1 2 − 1]
A2 = [2 3 0]
A3 = [0 1 − 2]
A4 = [3 5 1]
мөрүүдийн хувьд
c1 · A1 + c2 · A2 + c3 · A3 + c4 · A4 = 0
байх тогтмолуудыг олъё.
Багш С. Уранчимэг
Матрицын мөр, баганы шугаман хамаарал.
Жишээ (10)




c
+
2c
+
3c
=
0
 1
 c1 + 2c2 = 0
2
4
c4 =0
2c1 + 3c2 + c3 + 5c4 = 0 −−−→
2c1 + 3c2 + c3 = 0


 −c1 − 2c3 + c4 = 0
 −c1 − 2c3 = 0



c1 = 2




 c1 = −2c2
c2 = −1
2c1 + 3c2 + c3 = 0 =⇒ c2 = −c3 = −1 гэе.
c3 = 1



 c1 = 2c3

 c4 = 0
2A1 − A2 + A3 + 0 · A4 = 0 c12 + c22 + c32 + c42 = 6 6= 0 тул
A1 , A2 , A3 , A4 мөрүүд шугаман хамааралтай. Иймд аль нэг нь
бусад мөрийнхөө шугаман эвлүүлэг болно. Тухайлбал:
A2 = 2A1 + A3
Багш С. Уранчимэг
Матрицын ранг олох Гауссын алгоритмууд.
Матрицын ранг элементар хувиргалтаар өөрчлөгдөхгүй.
Дурын матрицыг элементар хувиргалтаар трапец
хэлбэрт шилжүүлнэ.
Трапец хэлбэртэй матрицын ранг тэг биш мөрийн
тоотой тэнцүү.
Бүх элемент нь тэг байх мөрийг тэг мөр гэнэ.
Багш С. Уранчимэг
Матрицын ранг олох Гауссын алгоритмууд.
Жишээ (11)

1
0
2
1

B=
11 0
2 −1
Бодолт.

1
0
4
2
1 11


11 0 44
2 −1 5

1 0
4
0 1
3


0
0 0
0 −1 −3

4 −1
11
2 

 матрицын рангийг ол.
44 −11
5 −6

−1
2 
 M2 −2M1 ,M3 −11M1
−−−−−−−−−−−→
−11
M4 −2M1
−6



−1
1 0 4 −1


4
 M4 +M2 0 1 3 4 
 −−−−→ 
 =⇒ rang(B) = 2
0
0 0 0 0 
−4
0 0 0 0
Багш С. Уранчимэг
Матрицын ранг олох хүрээлэх арга.
A (квадрат байх албагүй) матрицын дурын k мөр,
дурын k баганы огтлолцолд байрлах элементүүдтэй k
эрэмбийн тодорхойлогчийг матрицын k -р эрэмбийн
минор гээд Mk -аар тэмдэглэе.
Mk 6= 0 ол.
Ядаж нэг Mk +1 тэгээс ялгаатай эсэхийг шалга.
Хэрэв бүх Mk +1 = 0 бол rang(A) = k .
Багш С. Уранчимэг
Матрицын ранг олох хүрээлэх арга.
Жишээ (12)

2 −3
 4 −6

B=
−2 5
4 −6
Бодолт.
4 5
1 2
3 1
8 10

2
3

 матрицын рангийг ол.
0
4
Тэгээс ялгаатай 1-р эрэмбийн минор 19.
Тэгээс ялгаатай 2-р эрэмбийн минорыг тэгээс ялгаатай
1-р эрэмбийн минорыг хүрээлж ол.
2 −3
=0
4 −6
−3
−6
4
=21
1
Багш С. Уранчимэг
Матрицын ранг олох хүрээлэх арга.
Жишээ (12)
Тэгээс ялгаатай 3-р эрэмбийн минорыг тэгээс ялгаатай
2-р эрэмбийн минорыг хүрээлж ол.
−3 4
−6 1
5 3
5
2
1
= −36
Тэгээс ялгаатай 4-р эрэмбийн минорыг тэгээс ялгаатай
3-р эрэмбийн минорыг хүрээлж ол.
−3 4 5
−3 4 5
2
2
−6 1 2
−6 1 2
3
4
=0
=0
5 3 1
5 3 1
0
−2
−6 8 10
−6 8 10
4
4
Бүх M4 = 0 тул rang(B)=3
Багш С. Уранчимэг
Матрицын ранг олох хүрээлэх арга.
Матрицын суурь минор гэдэг нь хамгийн их хэмжээтэй,
тэгээс ялгаатай дэдматрицын тодорхойлогчийг хэлнэ. Өмнөх
жишээний суурь минор нь
−3 4 5
M3 = −6 1 2
5 3 1
Санамж. Mk -г заавал хажуугийн багана, мөрөөр хүрээлж
Mk +1 гарахгүй .
Багш С. Уранчимэг