S.MT101 МАТЕМАТИК 1
ЛЕКЦ 1. КОМПЛЕКС ТОО ТҮҮНИЙ ХЭЛБЭРҮҮД.
КОМПЛЕКС ТООН ДЭЭРХ ҮЙЛДЛҮҮД. МУАВРЫН
ТОМЪЁО.
Багш С. Уранчимэг
2020 он
Багш С. Уранчимэг
1
Комплекс тоо, түүний хэлбэрүүд
2
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
3
Муаврын томьёо
4
Комплекс тооноос язгуур гаргах
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоо, түүний хэлбэрүүд
Тодорхойлолт
x, y бодит тоонууд бол (x, y ) эрэмбэлэгдсэн хосыг комплекс
тоо гэнэ.
Комплекс тоон хавтгайг C, комплекс тоог z-ээр тэмдэглэнэ.
ө.х z = (x, y )
x = Re(z) бодит хэсэг
y = Im(z) хуурмаг хэсэг
Бодит тоо нь комплекс тоо юм. Бодит хэсэг нь тэг байх (0, 1)
комплекс тоог хуурмаг нэгж гээд i-ээр тэмдэглэнэ.
√
i = −1 i = (0, 1) i 2 = −1
z = (x, y ) ⇐⇒ z = x + iy комплекс тооны сдандарт хэлбэр
гэнэ.
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Тодорхойлолт
z = x − iy тоог z = x + iy тооны хосмог комплекс тоо гэнэ.
Харилцан хосмог комплекс тоонууд Ox тэнхлэгийн хувьд
тэгшхэмтэйгээр R2 хавтгайд байрлана.
z1 = x1 + iy1
z2 = x2 + iy2
1
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
2
z1 − z2 = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 )
3
z1 · z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )
z1
x1 + iy1
x1 + iy1 x2 − iy2
=
=
=
z2
x2 + iy2
x2 + iy2 x2 − iy2
x1 x2 + y1 y2
x2 y1 − x1 y2
+i
2
2
x2 + y2
x22 + y22
4
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Байр солих чанар
z1 + z2 = z2 + z1
z1 · z2 = z2 · z1
Хэсэглэн нэгтгэх чанар
z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3
z1 (z2 · z3 ) = (z1 · z2 )z3
Хаалт нээх чанар
z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3
z1 , z2 комплекс тооны хувьд
Re(z1 ) = Re(z2 ) Im(z1 ) = Im(z2 )
үед л тэнцэнэ: z1 = z2
Im(z1 ) 6= 0 Im(z2 ) 6= 0 бол жишигдэхгүй.
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
z1 , z2 комплекс тооны хувьд гурвалжны тэнцэтгэлбиш
|z1 | + |z2 | ≥ |z1 + z2 |
биелэх ба эндээс
|z1 | = |z1 + z2 − z2 | ≤ |z1 + z2 | + |z2 | =⇒ |z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 |
Төгсгөлөг z1 , z2 , ..., zn комплекс тоонуудын хувьд
төсөөтэйгээр
|z1 | + |z2 | + ... + |zn | ≥ |z1 + z2 + ... + zn |
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = 8 + 2i z2 = 5 − 4i комплекс тоонууд хувьд дараах
үйлдлийг гүйцэтгэ.
a.
z1 + z2 =
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = 8 + 2i z2 = 5 − 4i комплекс тоонууд хувьд дараах
үйлдлийг гүйцэтгэ.
b.
z1 + z2 =(8+5)+(2-4)i=13-2i
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = 8 + 2i z2 = 5 − 4i комплекс тоонууд хувьд дараах
үйлдлийг гүйцэтгэ.
c.
z1 − z2 =
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = 8 + 2i z2 = 5 − 4i комплекс тоонууд хувьд дараах
үйлдлийг гүйцэтгэ.
d.
z1 − z2 = (8 − 5) + (2 + 4)i = 3 + 6i
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = 8 + 2i z2 = 5 − 4i комплекс тоонууд хувьд дараах
үйлдлийг гүйцэтгэ.
e.
z1 · z2 =
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = 8 + 2i z2 = 5 − 4i комплекс тоонууд хувьд дараах
үйлдлийг гүйцэтгэ.
f.
z1 · z2 = (40 + 8) + (10 − 32)i = 48 − 22i
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = 8 + 2i z2 = 5 − 4i комплекс тоонууд хувьд дараах
үйлдлийг гүйцэтгэ.
g.
z1
z2
=
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = 8 + 2i z2 = 5 − 4i комплекс тоонууд хувьд дараах
үйлдлийг гүйцэтгэ.
h.
z1
z2
=
8+2i
5−4i
=
8+2i 5+4i
5−4i 5+4i
=
32
41
Багш С. Уранчимэг
+
42
41 i
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Хосмог комплекс тооны үржвэр ямагт бодит тоо байна.
z · z = (x + yi)(x − yi) = x 2 + y 2
Зарим хосмог биш комплекс тооны үржвэр бодит тоо байна.
Жишээ
(2+3i)(4-6i)=26
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоо, түүний хэлбэрүүд
Y
M(x,y)
tgφ =
φ
y
x
|OM| =
0
X
Багш С. Уранчимэг
p
x2 + y2
Комплекс тоо, түүний хэлбэрүүд
−−→
OM векторын уртыг z = x + yi комплекс тооны модул гээд
−−→
|z|-ээр, OM векторын Ox тэнлэгтэй үүсгэх өнцөг φ-г
аргумент гээд Arg(z)-ээр тэмдэглэнэ.
q
φ = Arg(z)
|z| = x 2 + y 2
Тодорхойлолт
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
z1
|z1 |
=
z2
|z2 |
Arg(z1 · z2 ) = Arg(z1 ) + Arg(z2 )
z1
Arg
= Arg(z1 ) − Arg(z2 )
z2
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоо, түүний хэлбэрүүд
z = x + yi комплекс тоог модул, аргументаар нь илэрхийлье.
cos φ =
x
=⇒ x = |z| cos φ
|z|
sin φ =
y
=⇒ y = |z| sin φ
|z|
z = x + yi = |z| · (cos φ + i sin φ)
комплекс тооны тригонометр хэлбэр.
Arg(z) = φ ± 2πk
k = 0, ±1, ±2, ..., ±n
−π < φ ≤ π
өнцгийг z комплекс тооны аргументийн гол утга гээд
φ = arg(z)
гэж тэмдэглэнэ.Багш С. Уранчимэг
Комплекс тооны гол аргументийн утга
Y
φ = arctg
y
x
M(x, y )
φ
0
Багш С. Уранчимэг
X
Комплекс тооны гол аргументийн утга
Y
φ = arctg
M(x, y )
y
x
+π
φ
0
Багш С. Уранчимэг
X
Комплекс тооны гол аргументийн утга
Y
φ = arctg
y
x
−π
0
φ
M(x, y )
Багш С. Уранчимэг
X
Комплекс тооны гол аргументийн утга
Y
φ = arctg
y
x
0
X
φ
M(x, y )
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = −i
z2 = −1 +
√
3i бол
arg(z1 · z2 ) =
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = −i
z2 = −1 +
z1 · z2 =
√
√
3i бол
3 + i =⇒ arg(z1 · z2 ) = arctg √13 =
Багш С. Уранчимэг
π
6
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = −i
z2 = −1 +
√
3i бол
arg(z1 ) + arg(z2 ) =
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = −i
z2 = −1 +
arg(z1 ) = − π2
√
3i бол
√
arg(z2 ) = arctg −13 + π = − π3 + π =
Багш С. Уранчимэг
2π
3
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = −i
z2 = −1 +
√
3i бол
arg(z1 ) + arg(z2 ) = − π2 +
Багш С. Уранчимэг
2π
3
=
π
6
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = −i
z2 = −1 +
√
3i бол
Arg(z1 · z2 ) = Arg(z1 ) + Arg(z2 ) =
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = −i
z2 = −1 +
Arg(z1 ) =
3π
2
√
3i бол
Arg(z2 ) =
Багш С. Уранчимэг
2π
3
=⇒ Arg(z1 ) + Arg(z2 ) =
13π
6
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = −i
z2 = −1 +
√
3i бол
arg( zz21 ) =
Багш С. Уранчимэг
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = −i
z1
z2
=
z2 = −1 +
−i√
−1+ 3i
·
√
3i бол
√
−1−√3i
−1− 3i
=
√
− 3
4
Багш С. Уранчимэг
+ 14 i
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = −i
z2 = −1 +
arg( zz21 )
=
√
3i бол
1/4
arctg −√
3/4
+ π = − π6 + π =
Багш С. Уранчимэг
5π
6
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = −i
z2 = −1 +
√
3i бол
arg(z1 ) − arg(z2 ) = − π2 −
Багш С. Уранчимэг
2π
3
= − 7π
6
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
z1 = −i
Arg
z2 = −1 +
z1
z2
√
3i бол
= Arg(z1 ) − Arg(z2 ) =
Багш С. Уранчимэг
3π
2
−
2π
3
=
5π
6
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
arg(z1 · z2 ) 6= arg(z1 ) + arg(z2 )
z1
arg
6= arg(z1 ) − arg(z2 )
z2
Багш С. Уранчимэг
Тригонометр хэлбэртэй комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
z1 = |z1 |(cos φ1 + i sin φ1 ) z2 = |z2 |(cos φ2 + i sin φ2 )
1 Тригонометр хэлбэртэй комплекс тооны үржих үйлдэл
z1 · z2 = |z1 | · |z2 |(cos(φ1 + φ2 ) + i sin(φ1 + φ2 ))
2
Тригонометр хэлбэртэй комплекс тооны хуваах үйлдэл
|z1 |
z1
=
(cos(φ1 − φ2 ) + i sin(φ1 − φ2 ))
z2
|z2 |
z = |z|(cos φ + i sin φ) тоог n зэрэгт дэвшүүлье.
z n = |z|n (cos(nφ) + i sin(nφ))
|z| = 1 үед Муаврын томъёо гэнэ.
(cos φ + i sin φ)n = cos(nφ) + i sin(nφ)
Багш С. Уранчимэг
Тригонометр хэлбэртэй комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Зэрэг дэвшүүлэх үйлдлийн урвуу нь язгуур гаргах үйлдэл
тул
p
p
φ
φ
n
|z|(cos φ + i sin φ) = n |z|(cos + i sin )
n
n
z 6= 0 комплекс тооноос n зэргийн язгуур гаргахад n
ялгаатай язгуур гарна.
p
φ + 2πk
φ + 2πk
n
ωk = |z| cos
+ i sin
n
n
φ = arg(z) k = 0, (n − 1)
n зэргийн язгуурын гол язгуур k = 0 үед дээрх томьёоноос
гарна.
Багш С. Уранчимэг
Тригонометр хэлбэртэй комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
√
4
z = 16(cos120◦ + i sin 120◦ ) бол
z ол.
√
√
◦
◦
4
120
120
= 2(cos 30◦ + i sin 30◦ ) = 3 + i
ω0 = 16 cos 4 + i sin 4
√
ω1 = 2(cos(30◦ + 90◦ ) + i sin(30◦ + 90◦ )) = −1 + 3i
√
ω2 = 2(cos(120◦ + 90◦ ) + i sin(120◦ + 90◦ )) = − 3 − i
√
ω3 = 2(cos(210◦ + 90◦ ) + i sin(210◦ + 90◦ )) = 1 − 3i
√
n
p
z харгалзах цэгүүд нь n |z| радиустай (0, 0) төвтэй
тойрогт багтсан зөв n өнцөгтийн оройн цэгүүд байна
Багш С. Уранчимэг
Тригонометр хэлбэртэй комплекс тоон дээрх үйлдлүүд
Жишээ
3
(−1,
√
3)
Y
2
√
( 3, 1)
1
0
-3
-2
√
(− 3, −1)
-1
1
2
-1
-2
-3
Багш С. Уранчимэг
√
(1, − 3)
3
X