Chapitre 2
Intérêt Composé
Application
Un capital de 100000 est placé à intérêt composé au taux semestriel de 5% et a acquis
une valeur de 180000.
Déterminer la période du placement ?
Solution :
Méthode de logarithme :
𝐶𝑛 = 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛 ⇒ 180000 = 100000(1 + 0.05)𝑛 ⇒ (1.05)𝑛 =
180000
= 1.8
100000
ln(1.8)
⇒ 𝑛 = ln(1.05) = 12.047 Semestres
= 12 semestres + 0.047 semestre
= 12 semestres et 0.047 × 180 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠
= 12 semestres et 8 jours
= 6 ans et 8 jours
Solution par l’utilisation de la table financière
n\t
12
n?
13
5
1.795856
1.8
1.885649
𝑛 − 12
13 − 12
𝑛 − 12
1
=
⇒
=
1.8 − 1.795856 1.885649 − 1.795856 0.004144 0.089793
⇒𝑛=
0.004144
0.089793
+ 12 = 12.049 Semestres
2.4 Taux équivalents
Deux taux sont équivalents s’ils permettent à un même capital d’acquérir la même
valeur acquise, après une même durée totale du placement.
Cn = C0 (1 + is )4 = C0 (1 + ia )2 ⇒ (1 + is )4 = (1 + ia )2
2
⇒ (1 + ia )1 = √(1 + is )4 = (1 + is )2
(𝟏 + 𝐢𝐚 )𝟏 = (𝟏 + 𝐢𝐬 )𝟐 = (𝟏 + 𝐢𝐭 )𝟒 = (𝟏 + 𝐢𝐦 )𝟏𝟐
(𝟏 + 𝐢𝐬 )𝟏 = (𝟏 + 𝐢𝐭 )𝟐
(𝟏 + 𝐢𝐬 )𝟏 = (𝟏 + 𝐢𝐦 )𝟔 ou (𝟏 + 𝐢𝐭 )𝟏 = (𝟏 + 𝐢𝐦 )𝟑
𝟏
(𝟏 + 𝐢𝐦 )𝟏 = (𝟏 + 𝐢𝐚 )𝟏𝟐
2.5 Taux proportionnels
Deux taux sont proportionnels si ces deux taux sont directement proportionnels à
une période donnée. C’est-à-dire, si les périodes doublent, triplent, …, alors les
taux vont se doubler, se tripler, …
Exemple :
1
1
Si 𝑡𝑠 = 6%, alors, 𝑡𝑚 = 6 𝑡𝑠 = 6 × 6 = 1%
1
1
𝑡𝑡 = 2 𝑡𝑠 = 2 × 6 = 3%
𝑡𝑎 = 2𝑡𝑠 = 2 × 6 = 12%
TD2
Exercice 1 :
Quelle est la valeur acquise par un capital de 54000 $ placée à intérêts composés au
taux de 3% l’an.
a) Pendant 18 ans
b) Pendant 20 ans et 5 mois
Correction :
𝐶𝑛 =?, 𝐶0 = 54000 $, 𝑡𝑎 = 3%
a) Pendant 18 ans (n = 18 ans)
𝐶18 = 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛 = 54000(1 + 0.03)18 = 91931.38 $
b) Pendant 20 ans et 5 mois
5
245
n = 20 ans et 5 mois = 20 + 12 = 12 ans
245
𝐶𝑛 = 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛 = 54000(1 + 0.03) 12 = 98738.63 $
Exercice 2 :
Une personne veut constituer un capital de 300000 $ pour le 1/1/1990. Quelle
somme doit-elle placer au 1/7/1983 à intérêts composés au taux de 6% l’an ?
Correction :
𝐶𝑛 = 300000 (1/1/1990),
𝐶0 =? (1/7/1983), 𝑡𝑎 = 6%
𝐶0 = ?
𝐶𝑛 = 300000
1/7/1983
1/1/1984
1/1/1990
6 mois
n = 6 ans et 6 mois = 6 +
𝐶𝑛 = 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛 ⇒ 𝐶0 =
6 ans
6
12
1
= 6 + = 6.5 𝑎𝑛𝑠
2
𝐶𝑛
(1+𝑖)𝑛
=
300000
(1+0.06)6.5
= 205415.46 $
Exercice 3 :
A quel taux, une somme X quadriple-elle en 20 ans par capitalisation annuelle ?
Au bout de combien de temps une somme placée à intérêts composés, au taux de
3.75% par semestre, double-t-elle ?
Correction :
t a =?, C0 = X, n = 20 ans,
C20 = 4C0 = 4X
Cn = C0 (1 + i)n ⇒ 4X = X(1 + i)20 ⇒ (1 + i)20 =
1
4X
⇒ (1 + i)20 = 4
X
⇒ 1 + i = (4)20
1
⇒ 𝑖 = (4)20 − 1 ≅ 0.0718 ⇒ t a = 7.18%
Méthode 2 (Par l’interpolation):
n = 20
7
3.869684
t
4
7.25
4.054581
𝒕−𝟕
𝟒 − 𝟑. 𝟖𝟔𝟗𝟔𝟖𝟒
=
⇒ 𝒕 = 𝟕. 𝟏𝟕%
𝟕. 𝟐𝟓 − 𝟕 𝟒. 𝟎𝟓𝟒𝟓𝟖𝟏 − 𝟑. 𝟖𝟔𝟗𝟔𝟖𝟒
Au bout de combien de temps une somme placée à intérêts composés, au taux
de 3.75% par semestre, double-t-elle ?
𝑛 = ? , 𝑡𝑠 = 3.75%,
Cn = 2C0
𝐶𝑛 = 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛 ⇒ 2C0 = C0 (1 + 𝑖)𝑛 ⇒ (1 + 𝑖)𝑛 =
𝑛=
2C0
=2⇒
C0
ln(2)
= 18.828372 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠
ln(1 + 0.0375)
= 18 semestres et 0.828372 semestre
= 18 semestres et 0.828372 × 180 = 149.10696 jours
= 18 semestres, 4 mois et 29 jours
C
Méthode 2 (Par l’interpolation): Cn = 2 et 𝑡𝑠 = 3.75%,
0
18
n=?
19
t = 3.75
1.939929
2
2.012677
𝒏 − 𝟏𝟖
𝟐 − 𝟏. 𝟗𝟑𝟗𝟗𝟐𝟗
=
⇒ 𝒏 = 𝟏𝟖, … ..
𝟏𝟗 − 𝟏𝟖 𝟐. 𝟎𝟏𝟐𝟔𝟕𝟕 − 𝟏. 𝟗𝟑𝟗𝟗𝟐𝟗