Konsep Probabilitas
Kuliah 2 Probabilitas
Armein Z. R. Langi
II-2111 Probabilitas dan Statistik
Prodi Sistem dan Teknologi Informasi, STEI-ITB
1
Daftar Isi
Konsep Probabilitas
Menyusun Ruang Sample
Kasus Data Center
Mempartisi Ruang Sample ke Dalam Peristiwa
Mendistribusikan Probabilitas
Penggunaan Konsep Himpunan
2
Konsep Probabilitas
Model Probabilitas: Mendistribusikan bobot peluang peristiwa terjadi
1. Menyusun Ruang Titik
Sample
2. Mempartisi ke dalam
Event-Event
3. Mendistribusikan Probabilitas
Untuk mengetahui peluang sebuah
peristiwa (event), atau
peristiwa-peristiwa lainnya, terjadi.
D
P (D)
B
P (B)
E
P
(E
A
P (A)
)
F
P
C
P (C )
G
P (G)
)
(F
H, P (H
)
Memodelkan State of Nature
3
Proses Pemodelan Probabilitas
Langkah/Step
Misalnya
1
Peristiwa-peristiwa apa yang kita ingin tahu peluangnya?
A, B, C
2
Titik-Titik Sampel apa yang terkandung dalam event-event
ini?
s0 , s1 , s2 ,· · ·
3
Faktor apa saja yang menghasilkan Titik-Titik Sampel ini?
si = (x , y , · · · )
4
Rumuskan Semesta dari tiap faktor ini
5
Bentuk Ruang Sample yang berisikan Titik-Titik Sampel
si dengan Sx , Sy ,· · · sebagai dimensi-dimensinya
S = Sx × Sy × · · ·
6
Partisi Ruang Sampel ke dalam Himpunan Bagian peristiwa
A, B, C, D (lainnya)
A, B, C , D
7
Distribusikan (bagi habis) Probabilitas ke setiap Titik-Titik
Sampel lalu hitung Probabilitas Himpunan Bagian
Sx = {x }, Sy = {y }, · · ·
P (A), P (B), P (C ),
P (D)
4
Model Probabilitas: Tabel Ruang Sampel, Peristiwa, dan Distirbusi Probabilitas
Titik Sampel
Dimensi
Peristiwa dan Distribusi Probabilitasnya
x
y
S
s0
0
0
P (s0 )
s1
0
1
P (s1 )
s2
1
0
P (s2 )
P (s2 )
s3
1
1
P (s3 )
P (s3 )
P (s3 )
P (s3 )
1
P (A)
P (B)
P (C )
Jumlah:
A
B
C
D
P (s0 )
P (s1 )
P (D)
5
Pengambilan Keputusan m-Alternatif, n Kemungkinan State of Nature: Pilih
Alternatif i, EVi terbesar
State of Nature
Alt
A
B
···
n
P (A)
P (B)
···
P (n)
1
P (A) V1,1
P (B) V1,2
···
P (n) V1,n
EV1 = P (A) V1,1 + . . . + P (n) V1,n
2
P (A) V2,1
P (B) V2,2
···
P (n) V2,n
EV2 = P (A) V2,1 + . . . + P (n) V2,n
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
m
P (A) Vm,1
P (B) Vm,2
···
P (n) Vm,n
EVm = P (A) Vm,1 + . . . + P (n) Vm,n
Expected Value
6
Menyusun Ruang Sample
Redundancy Data Center: Peluang Ketiga DC Terhenti Bersamaan
Data Center
1. Peristiwa A: Tiga Data Center (DC-x, DC-y, DC-z)
berhenti melayani pada waktu yang sama.
TS
2. Titik Sampel untuk A: s0 = (DC-x stop, DC-y stop, DC-z
stop)
1
2
3
s0 0
0
0
3. Faktor apa menghasilkan s0 ?
s1 0
0
1
s2 0
1
0
s3 0
1
1
s4 1
0
0
s5 1
0
1
s6 1
1
0
s7 1
1
1
3.1 Ada banyak, mulai dari listrik mati, jaringan komunikasi
putus, kerusakan peralatan, pemogokan karyawan,
huru-hara, terbakar, banjir, gempa bumi.
3.2 Misalkan kita hanya mempertimbangkan kegagalan listrik,
maka s0 = {x = 0, y = 0, z = 0} di mana kita pilih x , y ,
dan z adalah kondisi aliran listrik DC-x, DC-y, DC-z: on
(x = 1,y = 1, z = 1) atau off (x = 0, y = 0, z = 0)
4. Semesta masing-masing faktor adalah Sx = {0, 1};
Sy = {0, 1}; Sz = {0, 1}
7
Mempartisi Ruang Sample ke Dalam
Peristiwa
Mempartisi Ruang Sampel Untuk Memperoleh State of Nature untuk Kepentingan Tertentu
Kasus Data Center
• Apakah perlu membeli pembangkit
listrik cadangan, atau menyewa
pemasuk Listrik tambahan
• A: ketiganya mati, B: Minimal satu
hidup
• A = {s0 };
B = {s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , s6 , s7 }
• Apakah perlu membangun data center
ke -4, atau apakah 3 Data center
terlalu banyak?
• A: satu hidup; B: dua hidup; C: tiga
hidup
• A = {s1 , s2 , s4 }; B = {s3 , s5 , s6 };
C = {s7 }; Sisanya D = {s0 }
8
Mendistribusikan Probabilitas
Mendistribusikan Probabilitas pada masing-masing peristiwa dengan mematuhi
Aksioma Probabilitas
Setidaknya ada TIGA cara
1. Obyektif, statistik (frekuensi relatif): Frekuensi
kemunculan suatu peristiwa relatif terhadap jumlah
kemunculan semua peristiwa
2. Subyektif (Bayesian): Penilaian pribadi untuk
eksperimen yang tidak bisa diulang dan ada usaha
3. Inter Subyektif: Konsensus pakar, termasuk pemberian
distribusi merata (uniform) bila sama sekali tidak ada
informasi
Tiga Aksioma
Probabilitas:
1. Nonnegativitas:
P (A) ≥ 0
2. Normalisasi:
P (S) = 1
3. Aditivitas: jika
A ∩ B = , maka
P (A ∪ B) =
P (A) + P (B)
• P (s1 , · · · , sk ) =
P (s1 ) + · · · + P (sk )
9
Statistik “Quick Count”
Kandidat A
Kandidat B
Kandidat C
Jumlah Suara
250
200
150
100
Utara
Selatan
Timur
Barat
Hasil Quick-Count di Wilayah DAPIL
10
Bantuan Diagram Venn terutama untuk Peristiwa yang tidak mutually exclusive
Diketahui Ruang Sample
S = {a, b, c, d, e}, dengan probabilitas
masing-masing 0.1; 0.1; 0.2; 0.4; 0.2 . Jika
event A = {a, b, c} dan event
B = {c, d, e}, maka hitunglah
• P (A)
• P (Ac )
S
A∪B
b
A
c
a
e
B
d
• P (B)
• P (A ∩ B)
• P (A ∪ B)
11
Latihan (Soal): Gunakan Aksioma Probabilitas untuk Membuktikan Formula
berikut ini
S
P ((A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B)) =
A∪B
A
B
P (A) + P (B) − 2P (A ∩ B)
12
Latihan (Jawab):
1. Peristiwa A ∩ B c dan Ac ∩ B disjoin, sehingga
P ((A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B)) = P (A ∩ B c ) + (Ac ∩ B)
2. Peristiwa A = (A ∩ B c ) ∪ (A ∩ B), yang berbentuk union dari peristiwa disjoin,
sehingga
P (A) = P (A ∩ B c ) + P (A ∩ B) ⇒ P (A ∩ B c ) = P (A) − P (A ∩ B)
3. Peristiwa B = (B ∩ Ac ) ∪ (B ∩ A), yang berbentuk union dari peristiwa disjoin,
sehingga
P (B) = P (B ∩ Ac ) + P (B ∩ A) ⇒ P (B ∩ Ac ) = P (B) − P (B ∩ A)
Maka Hasil 1 dijumlah dengan Hasil 2 diperoleh
13
Latihan (Soal): “Jenius penggemar eskrim coklat”
JAWAB
SOAL:
• Dari data TPB dilaporkan mahasiswa
kelas ini
• 60% ternyata genius
• 70% penggemar eskrim coklat
• 40% keduanya, genius penggemar
eskrim coklat
• Bila kita memilih seorang mahasiswa
kelas ini secara acak, berapa peluang
mendapatkan mahasiswa yang tidak
jenius dan tidak menggemari eskrim
coklat?
1. Ingin tahu peluang peristiwa A:
bertemu mahasiswa tidak jenius dan
tidak suka eskrim coklat
2. Titik sampel peristiwa ini adalah s0
3. Faktor yang menghasilkan titik ini
s0 = (x , y )0 = (0, 0), x = 0 tidak
jenius, y = 0 tidak suka eskrim coklat
4. Ruang Sample dibangun oleh
perkalian Dua Ruang Sx = {0, 1} dan
Sy = {0, 1}
14
Latihan (Jawab): “Sudah tidak pintar, benci eskrim coklat pula...”
TS
x
y
P (x , y )
s0
0
0
P (s0 )
s1
0
1
P (s1 )
s2
1
0
P (s2 )
P (s2 )
s3
1
1
P (s3 )
P (s3 )
P (s3 )
P (s3 )
1
0.6
0.7
0.4
P
P (1, y )
P (x , 1)
P (1, 1)
P (A)
P (s0 )
P (s1 )
15
Latihan (Jawab): Cara alternatif
Tetapkan B= {Jenius}. C={Suka Coklat}. Maka
1 = P (B ∪ C ) + P ((B ∪ C )c )
= P (B) + P (C ) − P (B ∩ C ) + P (B c ∩ C c )
= 0.6 + 0.7 − 0.4 + P (B c ∩ C c )
16