เอกสารประกอบการเรียน
Module 2 : MTH10102
Integrals
ปริพันธ์
ปีการศึกษา 1/2566
เรียบเรียงโดย คณาจารย์ผสู้ อน
ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์
มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้าธนบุรี
MTH10102
MODULE 2
การหาปริพนั ธ์ (Integration)
1. ปฎิยานุพนั ธ์ (Antiderivative)
เมื$อเราทราบอนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั y ¢ = f ¢( x) แล้ว ถ้าต้องการหา
ฟังก์ชนั y = f ( x) ที$สอดคล้องกับอนุพนั ธ์น@ นั
เช่นถ้า f ¢( x) = 2 x แล้วจะมีฟังก์ชนั อะไรบ้าง ที$สามารถหาอนุพนั ธ์แล้ว
ได้ค่านี@ ?
นัน$ คือ ถ้า f ( x) = x 2 + C เมื$อ C เป็ นค่าคงที$ใดๆ จะได้ f ¢( x) = 2 x
เรี ยก x 2 + C ว่าเป็ นปฎิยานุพนั ธ์ (Antiderivative) ของ 2x
นิยาม 1 ปฏิยานุพนั ธ์
ถ้า F ( x) และ f ( x) เป็ นฟังก์ชนั ซึ$ ง F ¢( x) = f ( x) แล้ว
จะเรี ยก F ( x) ว่าเป็ นปฏิยานุพนั ธ์ (Antiderivative) f ( x)
ตัวอย่ าง 1 จงหาปฏิยานุพนั ธ์ของ f ( x) = x 2
วิธีทาํ ปฏิยานุพนั ธ์ของ f ( x) = x 2 คือ F ( x) ซึ$ง…………………….
x3
นัน$ คือ F ( x) = + C
3
2
f ( x) = x Ans.
เมื$อ C เป็ นค่าคงที$ จะเป็ นปฏิยานุพนั ธ์ของ
2
MTH10102 MODULE2
โดยทัว$ ไป ถ้า F ¢( x) = f ( x) แล้วจะเขียนปฏิยานุพนั ธ์ของ f ( x) เป็ น
F ( x) + C เมื$อ C เป็ นค่าคงที$
เช่น
ปฎิยานุพนั ธ์ของ f ( x) = cos x คือ F ( x) = sin x + C
นิยาม 2 อินทิกรัลไม่ จาํ กัดเขต (Indefinite Integral)
ถ้า F ¢( x) = f ( x) สําหรับทุกๆ x ที$อยูใ่ นโดเมนของ f ( x) แล้ว
ò f ( x)dx = F ( x) + C
สําหรับทุกๆจํานวนจริ ง C
หมายเหตุ
ò f ( x)dx อ่านว่าอินทิกรัลไม่จาํ กัดเขตของฟังก์ชนั f ( x) เทียบกับตัวแปร x
เรี ยก f ( x) ว่า ตัวถูกอินทิเกรต (Integrand)
ว่า ค่ าคงตัวของการอินทิเกรต ( Constant of integration)
และ F ( x) + C คือปฏิยานุพนั ธ์ของ f ( x) นัน$ เอง
C
ตัวอย่ าง 2
จากตัวอย่าง1 จะได้วา่
3
x
2
ò x dx = + C
3
และ
ò cos xdx = sin x + C
3
MTH10102 MODULE2
ใน Module 3 เรื$ องการหาปริ พนั ธ์ แบ่งออกเป็ น 2 ส่ วน คือ
1. อินทิกรัลไม่จาํ กัดเขต, อินทิกรัลจํากัดเขตเบื@องต้น และ
เทคนิคการอินทิเกรต ซึ$งเป็ นเนื@อหาหลักของเอกสารชุดนี@
2. การหาพื@นที$ อินทิกรัลเชิงตัวเลข และอินทิกรัลไม่ตรงแบบ
จะอยูใ่ น Part II เรื$ องการประยุกต์
หมายเหตุ คําว่า Integration ตามศัพท์คณิ ตศาสตร์ ฉบับราชบัณฑิตยสถาน
ใช้คาํ ในภาษาไทยว่า “การหาปริพนั ธ์ ” ส่ วน Integral ใช้คาํ ว่า “ปริพนั ธ์ ”
แต่เพื$อให้สื$อสารได้ง่าย เอกสารชุดนี@จะขอเรี ยกทับศัพท์วา่ “การอินทิเกรต”
และ “อินทิกรัล”
4
MTH101-1-66 MODULE 2
จากนิยามของการอินทิเกรตตามความหมายของปฏิยานุพนั ธ์ สามารถ
หาคําตอบได้ทนั ที เมื$อเราทราบสู ตรอนุพนั ธ์ ดังต่อไปนี@
สู ตรอนุพนั ธ์
สู ตรอินทิเกรต
d
( x) = 1
dx
d
(ax) = a
dx
d n +1
( x ) = (n + 1) x n
dx
d
1
(ln x) =
dx
x
d x
(e ) = e x
dx
d
(sin x) = cos x
dx
d
(cos x) = - sin x
dx
d
(tan x) = sec 2 x
dx
d
(cot x) = - csc 2 x
dx
d
(sec x) = sec x tan x
dx
d
(csc x) = - csc x cot x
dx
ò 1dx = ò dx = x + C
ò adx = ax + C
n +1
x
n
+ C, n ¹ 1
ò x dx =
n +1
1
ò dx = ln x + C
x
x
x
ò e dx = e + C
ò cos xdx = sin x + C
ò sin xdx = - cos x + C
2
ò sec xdx = tan x + C
2
ò csc xdx = - cot x + C
ò sec x tan xdx = sec x + C
ò csc x cot xdx = - csc x + C
5
MTH101-1-66 MODULE 2
กฎเบืJองต้ นของการอินทิเกรต (Rule of Algebra for Antiderivative)
1. กฎการคูณค่าคงที$
ò af ( x)dx = a ò f ( x)dx, a คือค่าคงที$
2. กฎผลรวมและผลต่าง
ò [ f ( x) ± g ( x) ] dx = ò f ( x)dx ± ò g ( x)dx
Example 3 Evaluate ò (5 x - x 2 + 2)dx
Solution
2
2
ò (5 x - x + 2)dx = ò 5 xdx - ò x dx + ò 2dx
= 5ò xdx - ò x 2 dx + 2 ò dx
æ x2
ö æ x3
ö
= 5 ç + c1 ÷ - ç + c2 ÷ + 2 ( x + c3 )
è 2
ø è 3
ø
5x2
x3
=
+ 5c1 - - c2 + 2 x + 2c3
2
3
5 x 2 x3
=
- + 2x + C
2
3
where C = 5c1 - c2 + 2c3
6
MTH101-1-66 MODULE 2
2
x
Example 4 Evaluate ò ( x - 3 +
5
)dx
2
x
1
1
2
5
Solution ò ( x - 3 + 2 )dx = ò (x 2 - 2 x 3 + 5 x -2 )dx
x x
2. อินทิกรัลจํากัดเขต (Definite Integral)
อินทิกรัลจํากัดเขตของ f ( x) จาก a ถึง b แทนด้วยสัญลักษณ์
b
ò f ( x)dx
a
เรี ยก a และ b ว่าเป็ นลิมิต หรื อขีดจํากัดของการอินทิเกรต โดยที$ a เป็ น
ลิมิตล่าง หรื อขีดจํากัดล่าง และ b เป็ นลิมิตบน หรื อ ขีดจํากัดบน
ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลสั บททีหO นึOง
(The First Fundamental Theorem of Calculus)
ถ้า f ( x) เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื$องในช่วง a £ x £ b และ F เป็ น
ปฏิยานุพนั ธ์ของ f ( x) บน [ a, b ] แล้ว
b
b
ò f ( x)dx = F ( x) a = F (b) - F (a )
a
7
MTH101-1-66 MODULE 2
การหาค่ าอินทิกรัลจํากัดเขต
ขั@นตอนที$ 1 หาปฏิยานุพนั ธ์ของ F ( x)
ขั@นตอนที$ 2 หา F (b) - F (a) ซึ$ งเป็ นค่าของอินทิกรัลจํากัดเขต โดย
การแทนค่า x = b และ x = a ใน F ( x) ที$ได้จากขั@นตอนที$ 1
หมายเหตุ ความหมายของอินทิกรัลจํากัดเขต จะขอกล่าวใน Part II
2
ตัวอย่ าง 5 จงหาค่า ò xdx
1
วิธีทาํ ฟังก์ชนั F ( x) = 1 x 2 เป็ นปฏิยานุพนั ธ์ของ f ( x) = x
2
ดังนั@น
1 22
x
2 1
1
1 2
2
= ( 2 ) - (1)
2
2
2
ò xdx =
1
ทฤษฎีบท ถ้า f ( x) สามารถหาอินทิกรัลได้ในช่วง a £ x £ b
a
1. ò f ( x)dx = 0
a
b
a
2. ò f ( x)dx = - ò f ( x)dx
a
b
b
b
3. ò f ( x)dx > 0 ถ้า f ( x) > 0 และ ò f ( x)dx < 0 ถ้า f ( x) < 0
a
a
8
MTH101-1-66 MODULE 2
คุณสมบัตขิ องการหาค่ าของอินทิเกรตจํากัดเขต
ให้ f ( x) และ g ( x) หาอินทิกรัลได้ในช่วง a £ x £ b และ C เป็ น
ค่าคงที$ใดๆ จะได้
b
b
1. ò Cdx = C ( x) a = C (b - a)
a
b
b
2. ò Cf ( x)dx = C ò f ( x)dx
a
b
a
a
3. ò f ( x)dx = - ò f ( x)dx
a
b
b
b
b
a
a
4. ò [ f ( x) ± g ( x)]dx = ò f ( x)dx ± ò g ( x)dx
a
b
c
b
a
a
c
5. ò [ f ( x)]dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx เมื$อ a < c < b
Example 6 Evaluate
ì2 - x 2 ; x ³ 0
ò f ( x)dx where f ( x) = í
; x<0
-2
îx
1
Solution
9
MTH101-1-66 MODULE 2
4
ตัวอย่ าง 7 จงหาค่า ò x dx
-1
ì x; x ³ 0
Solution เนื$องจาก x = í
î- x; x < 0
4
0
4
-1
-1
0
ดังนั@น. ò x dx = ò ( - x ) dx + ò ( x ) dx
==
2 0
x
2
1
+8
2
-1
+
2 4
x
2
0
10
MTH101-1-66 MODULE 2
เทคนิคการอินทิเกรต (Techniques of Integral)
3. การอินทิเกรตโดยการเปลีย* นตัวแปร
(Integration by Substitution)
ปั ญ หาส่ ว นใหญ่ ต ัว ถู ก อิ น ทิ เ กรต (Integrand) ไม่ ไ ด้อ ยู่ ใ นรู ปแบบ
ฟังก์ชนั พื@นฐานที$เราสามารถใช้สูตรอินทิเกรตในหน้าที$ 5 ได้โดยตรง จึงต้อง
มีการเปลี$ยนตัวแปรเพื$อให้สามารถอินทิเกรตออกมาได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี@
ตัวอย่ าง 8 จงหา ò (1 - 3x ) dx
คําถาม จากโจทย์ นักศึกษาคิดว่ามีสูตรอะไรบ้างที$ใกล้เคียงกับตัวถูก
อินทิเกรตตามโจทย์กาํ หนดให้ ?
6
11
MTH101-1-66 MODULE 2
ขัJนตอนวิธีการอินทิเกรตโดยการเปลียO นตัวแปร พิจารณาโจทย์ ò f ( x)dx
1. เลือก u = g ( x) จากพจน์ของ f ( x)
2. เปลี$ยนส่ วนประกอบต่างๆของโจทย์ให้อยูใ่ นรู ปตัวแปร u
3. แทนตัวแปรใหม่ u = g ( x) และ du = g ¢( x)dx ใน ò f ( x)dx จะได้
อินทิกรัลใหม่ ò h(u )du ทิ$ ไม่ มี x เหลืออยู่ และ เป็ นรู ปทีงO ่ ายกว่ าเดิม
4. คํานวณอินทิกรัลของตัวแปร u
5. แทนค่า u = g ( x) ในคําตอบที$ได้ในขั@นตอนที$4
ซึ$งเป็ นคําตอบที$สมบูรณ์ของโจทย์
Example 9
Solution
Evaluate ò cos ( 2x + p ) dx
ขั@นที$1 เลือก
u = 2x + p
ขั@นที$2 (ดิฟ) du = 2dx หรื อ dx = du และได้
2
ขั@นที$3 จากโจทย์ได้วา่
ò cos ( 2x + p ) dx = ò cos u
ขั@นที$4
ขั@นที$5
du
2
1
ò cos udu
2
1
= sin u + C
2
1
= sin ( 2 x + p ) + C
2
=
Ans.
จากสู ตรอินทิเกรตในหน้าที$5 สามารถปรับให้อยูใ่ นรู ปตัวแปร u ได้ ดังนี@
12
MTH101-1-66 MODULE 2
สู ตรการหาอินทิเกรต
ò du = u + C
u n+1
+ C, n ¹ 1
ò u du =
n +1
1
ò du = ln u + C
u
au
u
+C
ò a du =
ln a
u
u
ò e du = e + C
n
ò sin udu = - cos u + C
ò cos udu = sin u + C
ò sec udu = tan u + C
2
ò cosec udu = - cot u + C
2
ò sec u tan udu = sec u + C
ò cosec u cot udu = - cosec u + C
ò tan udu = ln sec u + C
สู ตรชุดนี*ไม่ได้มาจากการดิฟโดยตรง
ò cot udu = ln sin u + C
มาจากการพิสูจน์ แต่จะขอรวมในหน้านี*
เพืBอให้นกั ศึกษาสามารถอินทิเกรต
ò sec udu = ln sec u + tan u + C
ò cosec udu = ln cosec u - cot u + C ฟังก์ชนั ตรี โกณมิติได้ครบทุกฟังก์ชนั
æuö
= arcsin ç ÷ + C
ò 2
2
èaø
a -u
du
1
æuö
= arctan ç ÷ + C
ò 2
2
a
a +u
èaø
du
เมื$อ a > 0
13
MTH101-1-66 MODULE 2
Example 10
Evaluate
Solution
e x dx
ò x
e +4
ให้ u = e x + 4 ได้วา่ du = e x dx
ดังนั@น
e x dx
1
= ò du
ò x
e +4
u
= ln u + C
= ln e x + 4 + C
ตัวอย่ าง 11
Solution
จงหา
21/ x
ò 2 dx
x
14
MTH101-1-66 MODULE 2
ตัวอย่ าง 12
Solution
จงหา ò xe x -2 dx
ตัวอย่ าง 13
x
dx
จงหา ò 3
x+2
2
Solution
15
MTH101-1-66 MODULE 2
ตัวอย่ าง 14
Solution
ตัวอย่ าง 15
Solution
จงหา ò
1
dx
x ln x
จงหา ò arctan2 x dx
1+ x
16
MTH101-1-66 MODULE 2
ตัวอย่ าง 16
Solution
จงหา ò e x+e dx
x
17
MTH101-1-66 MODULE 2
ตัวอย่ าง 17
จงหา ò
dx
x- x
Solution
18
MTH101-1-66 MODULE 2
ตัวอย่ าง 18
tan x
dx
จงหา ò
x
Solution
19
MTH101-1-66 MODULE 2
ตัวอย่ าง 19
Solution
จงหา ò
1
q
2 2
sec
( q ) dq
2
20
MTH101-1-66 MODULE 2
ตัวอย่ าง 20
จงหา ò cosec(3 - y )cot(3 - y )dy
Solution
แนะ: ò cosec u cot udu = - cosec u + C
21
MTH101-1-66 MODULE 2
ตัวอย่ าง 21
Solution
จงหา ò
cos x
dx
2 + sin 2 x
22
MTH101-1-66 MODULE 2
ตัวอย่ าง 22
จงหา ò
Solution
แนะ: ò
1
16 - 9 x
2
dx
æuö
= arcsin ç ÷ + C
èaø
a2 - u2
du
23
MTH101-1-66 MODULE 2
ตัวอย่ าง 23
Solution
จงหา ò
dx
x 2 + 6 x + 10
24
MTH101-1-66 MODULE 2
ตัวอย่ าง 24
Solution
จงหา
x2
dx
ò 2
x +9
25
MTH101-1-66 MODULE 2
ตัวอย่ าง 25
Solution
จงหา ò
x+3
dx
x2 + 2 x + 2
26
MTH101-1-66 MODULE 2
(ตั@งแต่ตวั อย่าง 26-30 ให้นกั ศึกษาอ่านเป็ นการบ้านนะครับ)
Example 26 Evaluate
(ln x) 2
dx
ò
x ln 9
1
วิธีทาํ ให้ u = ln x
ดังนั@น du = dx
x
2
2
(ln x)
(ln x) dx
dx = ò
×
จะได้ ò
x ln 9
ln 9
x
1
2 dx
=
(ln
x
)
×
ò
ln 9
x
1
2
=
ò u du
ln 9
1 u3
=
× +C
ln 9 3
1 (ln x)3
=
×
+C
ln 9
3
(ln x) 2
(ln x)3
dx =
+C
ดังนั@น ò
x ln 9
3ln 9
Example 27 Evaluate ò ( x + 3)
x + 1dx
วิธีทาํ ให้ u = x + 1 และ u 2 = x + 1
ดังนั@น du =
1
2 x +1
x + 3 = u2 + 4
dx
หรื อ x = u 2 + 1
หรื อ dx = 2udu
และ
ดังนั@นแทนค่าจะได้
27
MTH101-1-66 MODULE 2
ò ( x 3) x + 1dx
ò (u
2
4)u (2udu )
= ò (2u 4 + 8u 2 )du
ดังนั@น
= 2 ò u 4 du + 8ò u 2 du
u5
u3
= 2 +8 +C
5
3
6u 5 + 40u 3
=
+C
15
2
3 é 3u + 20 ù
= 2u ê
ú+C
ë 15 û
3
é 3( x - 1) - 20 ù
= 2( x - 1) 2 ê
+C
ú
15
ë
û
3
é 3 x + 17 ù
= 2( x - 1) 2 ê
+C
ú
ë 15 û
3
2
2
ò ( x + 3) x + 1dx = ( x - 1) (3 x + 17) + C
15
Example 28 Evaluate ò x 2 (1 - x)100 dx
Solution
Let u = 1 - x or x = 1 - u
Then x 2 = (1 - u )2 and du = -dx
Thus ò x 2 (1 - x)100 dx = ò (1 - u )2 u100 (-du )
= ò (1 - 2u + u 2 )(-u100 )du
28
MTH101-1-66 MODULE 2
2
100
100
101
102
ò x (1 - x) dx = ò -u du + ò 2u du - ò u du
u101
u102 u103
=+2
+C
101
102 103
102
2(1 - x)
(1 - x)101 (1 - x)103
=
+C
102
101
103
2(1 - x)102 (1 - x)101
2
100
Hence ò x (1 - x) dx =
102
101
(1 - x)103
+C
103
Example 29 Evaluate
วิธีทาํ
sec 2 2 xdx
ò
1 + tan 2 x
ให้ u = 1 + tan 2 x และ du = 2sec2 2 xdx
du
หรื อ = sec2 2 xdx
2
sec 2 2 xdx 1 du
= ò
ดังนั@นแทนค่าจะได้ ò
1 + tan 2 x 2 u
1
= ln u + C
2
1
= ln 1 + tan 2 x + C
2
2
sec 2 xdx 1
= ln 1 + tan 2 x + C
ดังนั@น ò
1 + tan 2 x 2
29
MTH101-1-66 MODULE 2
Example 30 Evaluate
Solution
and
then
( x 2 + 1)dx
ò
2x - 3
Let u = 2 x - 3.
Then du = 2dx or
2
du
= dx
2
u +3
1 2
æu +3ö
2
2
x=
, x =ç
÷ , x = u + 6u + 9
2
4
è 2 ø
1
x 2 + 1 = u 2 + 6u + 9 + 4
4
(
(
)
)
Substitution:
( x 2 + 1)dx
1 (u 2 + 6u + 9 + 4) du
=ò ×
×
ò
2x - 3
4
u
2
2
1 (u + 6u + 13)
= ò
du
8
u
1
13
= ò (u + 6 + )du
8
u
ù
1 é u2
= ê + 6u + 13ln u ú + C
8ë 2
û
1 ì (2 x - 3) 2
= í
+ (2 x - 3)
8î
2
+ 13ln 2 x - 3 } + C
Thus
ù
( x 2 + 1)dx 1 é (2 x - 3) 2
=
+
(2
x
3)
+
13ln
2
x
3
ò
ê
ú +C
2x - 3
8ë
2
û
30
MTH101-1-66 MODULE 2
หมายเหตุ ในกรณี อินทิกรัลแบบจํากัดเขต ลิมิตบนและลิมิตล่างจะเป็ นค่า
ของตัวแปรเดิม แต่ถา้ ใช้เทคนิคการเปลี$ยนตัวแปรในการแก้ปัญหา อาจมี
แนวทางการพิจารณาลิมิตของการอินทิเกรตได้2 แบบ นัน$ คือ
- วิธีท1ีO เมื$ออินทิเกรตด้วยตัวแปรใหม่แล้ว จะเปลี$ยนลิมิตของการ
อินทิเกรตให้เป็ นตัวแปรใหม่ดว้ ย
- วิธีท2ีO เลือกใช้ลิมิตของตัวแปรเดิม ซึ$งเมื$อเราได้ผลลัพธ์ของการ
อินทิเกรตแล้ว จะต้องแทนค่าย้อนกลับให้เป็ นตัวแปรเดิมก่อนเสมอ จึง
สามารถใช้ลิมิตการอินทิเกรตของตัวแปรเดิมนี@ได้
31
MTH101-1-66 MODULE 2
1
Example 31 Evaluate ò xe
4 x 2 +1
dx
0
Solution Let u = 4 x 2 + 1.
Then
du = 8 xdx or xdx =
Substitution:
1
du
8
2
4 x +1
dx
ò xe
0
วิธีท1ีO เปลียO นลิมติ ในรู ปตัวแปรใหม่ : u = 4 x 2 + 1
When x = 0 , then
. And when x = 1, then
u
e
du
4 x +1
=
xe
dx
ò
ò
8
1
0
15 u
= ò e du
81
1 u5 1 5 1
= e = éëe - e ùû
8 1 8
1
5
2
วิธีท2ีO ใช้ ลมิ ติ เดิม: หลังจากแทนค่าตัวแปรเดิมเรี ยบร้อยแล้ว
ò xe
4 x 2 +1
Thus
eu du
dx = ò
,(u = 4 x 2 + 1)
8
1
1
1
= ò eu du = eu + C = e 4 x
8
8
8
1
ò xe
0
4 x 2 +1
dx
2
1 4 x2 +1 1
= e
0
8
+1
+C
=
1 5
e -e
8
(
)
32
MTH101-1-66 MODULE 2
4. การอินทิเกรตฟังก์ ชันตรีโกณมิติ
การอินทิเกรตฟังก์ชนั ตรี โกณมิติจะใช้เทคนิคการเปลี$ยนตัวแปรให้ตรง
ตามสู ตรอินทิเกรตของฟังก์ชนั ตรี โกณมิติที$อยู่ แต่ถา้ หากไม่สามารถ
เปลี$ยนตัวแปรได้ อาจต้องใช้เทคนิคแบบแบ่งส่ วน (Bypart) หรื ออินทิกรัล
เชิงตัวเลขในหัวข้อถัดไป
แต่เนื$องด้วยฟังก์ชนั ตรี โกณมิติมีหลายฟังก์ชนั และเมื$อผสมรวมกันจะ
เกิดกรณี แยกย่อยอีกหลายกรณี ในที$น@ ีจะนําเสนอกรณี ที$ใช้บ่อยและมีความ
น่าสนใจ ส่ วนกรณี อื$นๆ นักศึกษาสามารถศึกษาเสริ มเพิม$ เติมเองได้
4.1 อินทิกรัลในรู ปแบบ ò sin m x .cos n x dx
กรณีท1ีO ถ้ากําลังเป็ นเลขคี$
เปลี$ยน sin m x = sin m-1 x sin x หรื อ
เปลี$ยน cos n x = cos n-1 x cos x
แล้วใช้คุณสมบัติ sin 2 x + cos 2 = 1 ร่ วมกับ ò u n du และสู ตร
อินทิเกรตพื@นฐานอื$นๆ
กรณีท2ีO ถ้ากําลังเป็ นเลขคู่ หรื อ ศูนย์
1
(1 - cos 2 x ) หรื อ
2
1
cos 2 x = (1 + cos 2 x )
2
n
ò u du และสู ตรอินทิเกรตพื@นฐานอื$นๆ
ใช้คุณสมบัติ
ร่ วมกับ
sin 2 x =
33
MTH101-1-66 MODULE 2
ตัวอย่ าง 1 จงหา ò sin 3 xdx
Solution
ตัวอย่ าง 2 จงหา ò cos 2 3xdx
Solution
34
MTH101-1-65
MODULE 3
4.2 อินทิกรัลในรู ปแบบ ò sin mx .cos nx dx , ò sin mx .sin nx dx
และ ò cos mx .cos nx dx
ให้ใช้สูตรตรี โกณมิติ เพื$อแปลงเป็ นผลบวกและผลต่างของมุม ดังนี@
1
[sin(m + n) x + sin(m - n) x ]
2
1
sin mx sin nx = [ cos( m - n) x - cos( m + n) x ]
2
1
cos mx cos nx = [ cos( m + n) x + cos( m - n) x ]
2
sin mx cos nx =
ตัวอย่ าง 3 จงหา ò sin 3x cos5 xdx
Solution
35
MTH101-1-65
MODULE 3
ตัวอย่ าง4 จงหา ò sin 3x sin 2 xdx
Solution
sin mx sin nx =
1
[cos(m - n) x - cos(m + n) x ]
2
36
MTH101-1-65
MODULE 3
หัวข้ อ 4.3-4.4 ให้ นักศึกษาลองทําเป็ นแบบฝึ กหัดเสริม
4.3 อินทิกรัลในรู ปแบบ
m
n
ò tan x sec x dx
กรณีท1ีO ò tan n x dx เมื$อ n เป็ นจํานวนเต็มบวก
เปลี$ยน tan n x = tan n-2 x tan 2 x = tan n-2 x(sec2 x - 1)
ตัวอย่ าง 7 จงหา ò tan 4 x dx
37
MTH101-1-65
MODULE 3
กรณีท2ีO ò secn xdx เมื$อ n เป็ นจํานวนเต็มคู่บวก
เปลี$ยน secn x = secn-2 x sec2 x
และใช้เอกลักษณ์ secn x = tan 2 x + 1
ตัวอย่ าง 8 จงหา ò sec6 xdx
Solution
38
MTH101-1-65
MODULE 3
กรณีท3ีO ò tan m x secn x dx เมื$อ n เป็ นจํานวนเต็มคู่บวก
วิธีการเหมือนกรณี ที$2
ตัวอย่ าง 9 จงหา ò tan 5 x sec4 x dx
Solution
39
MTH101-1-65
MODULE 3
กรณีท4ีO ò tan m x secn x dx เมื$อ m เป็ นจํานวนเต็มคี$บวก
เปลี$ยน tan m x secn x = (tan m-1 x secn-1 x)(tan x sec x)
นอกเหนือจากนี@ใช้อินทิเกรตแบบแบ่งส่ วน
tan 3 x
ตัวอย่ าง 10 จงหา ò 3
dx
sec x
Solution
4.4 อินทิกรัลในรู ปแบบ
m
n
ò cot x cos ec x dx
จะพิจารณาเช่นเดียวกับหัวข้อ 4.3 โดยแบ่งเป็ น 4 กรณี ตามลักษณะ
กําลัง m, n ร่ วมกับเอกลักษณ์ cosecn x = cot 2 x + 1
นอกเหนือจากนี@ใช้อินทิเกรตแบบแบ่งส่ วน
40
MTH101-1-65
MODULE 3
5. การอินทิเกรตแบบแบ่ งส่ วน (Integration by Parts)
เทคนิคนี@ใช้เมื$อวิธีการปลี$ยนตัวแปรไม่สามารถหาค่าได้ และตัวถูก
อินทิเกรตอยูใ่ นรู ปผลคูณของฟังก์ชนั ที$แตกต่างกัน เช่น
ผลคูณของฟังก์ชนั พหุนามกับตรี โกณมิติ
ตัวอย่าง
ผลคูณของฟังก์ชนั ตรี โกณมิติกบั เอ็กซ์โปเนนเชียล
ตัวอย่าง
ทีมO า: เนื$องจาก d (uv) = udv + vdu
uv = ò udv + ò vdu
ดังนั@น
ò udv = uv - ò vdu
เรี ยกสู ตรนี@วา่ “By-Part” Integration
จากสู ตรอินทิเกรตแบบ By-Part จะแสดงถึงการหาอินทิกรัล ò udv
ในเทอมของอินทิกรัล ò vdu ซึ$งสามารถหาผลลัพธ์ได้ง่ายขึ@น เมื$อกําหนด
u และ v ที$เหมาะสม
b
b
b
กรณี ที$เป็ นอินทิกรัลจํากัดเขตจะได้ ò udv = uv a - ò vdu
a
a
41
MTH101-1-65
MODULE 3
Example 1 Evaluate ò x sin xdx
Solution จากสู ตร ByPart ò udv = uv - ò vdu
นศ. มีวธิ ีการเลือก u และ dv อย่างไร
Example 1 Evaluate ò x sin xdx
Solution
Let u = x and dv = sin xdx
du = dx
and v = ò sin dx = - cos x
Thus ò x sin xdx = - x cos x + ò cos xdx
= - x cos x + sin x + c
42
MTH101-1-65
MODULE 3
ในบางครั@งต้องทําการอินทิเกรตโดยแยกส่ วนมากกว่าหนึ$งครั@ง เพื$อให้
ได้คาํ ตอบ
Example 2
Evaluate ò e x cos x dx
Solution
43
MTH101-1-65
MODULE 3
Example 3 Evaluate ò x 2e x dx
Solution
Let u = x 2 and dv = e x dx
du = 2 xdx and v = ò e x dx = e x
Thus ò x 2e x dx = x 2e x - 2ò xe x dx
(1)
Consider ò xe x dx ,
Let u1 = x , dv1 = e x dx then du1 = dx and v1 = ò e x dx = e x
Hence ò xe x dx = xe x - ò e x dx = xe x - e x (2)
Substituting (2) into (1),
(
)
2 x
2 x
x
x
ò x e dx = x e - 2 xe - e + C
= x 2 e x - 2 xe x + 2e x + C
44
MTH101-1-65
MODULE 3
Example 4 Evaluate ò sec3q dq
Solution
45
MTH101-1-65
Example 5
MODULE 3
xe x
Evaluate ò
dx
2
(1 + x)
Solution
46
MTH101-1-65
Example 6 Evaluate ò x ln xdx
Solution
Let u = ln x and
From
Then
Thus
MODULE 3
dv = xdx
dx
du =
and ò dv = ò xdx
x
ò udv = uv - ò vdu
or
x2
v=
2
ò x ln xdx = ò ln x( xdx)
æ x 2 ö æ x 2 ö æ dx ö
= ln( x) ç ÷ - ò ç ÷ ç ÷
è 2 ø è 2 øè x ø
æ x2 ö 1
= ln( x) ç ÷ - ò xdx
è 2 ø 2
æ x2 ö 1 x2
= ln( x) ç ÷ - × + C
è 2 ø 2 2
x 2 ln x x 2
=
- +C
2
4
2
x ln x x 2
- +C
ò x ln xdx =
2
4
47
MTH101-1-65
MODULE 3
Example 7 Evaluate ò tan -1 x dx
วิธีทาํ ให้
u = tan -1 x
dx
du =
1 + x2
จาก ò udv = uv - ò vdu
และ dv = dx
และ ò dv = ò dx
หรื อ v = x
æ 1 ö
dx
แทนค่าจะได้ ò tan x dx = x tan x - ò x ç
2 ÷
è1+ x ø
xdx
= x tan -1 x - ò
1 + x2
1 2 xdx
-1
= x tan x - ò
2 1 + x2
1
= x tan -1 x - ln(1 + x 2 ) + C
2
1
-1
-1
tan
x
dx
= x tan x - ln(1 + x 2 ) + C
ดังนั%น ò
2
-1
-1
48
MTH101-1-65
MODULE 3
6. การอินทิเกรตของฟังก์ ชันตรรกยะ
(Integration of Rational Function)
ตัวอย่างโจทย์อินทิเกรตของฟังก์ชนั ตรรกยะ เช่น ò
5x - 3
dx
2
x - 2x - 3
จากฟังก์ ชันตรรกยะ
f ( x) a0 + a1 x + a2 x 2 + ........ + an -1 x n -1 + an x n
=
;n < m
2
m -1
m
g ( x) b0 + b1 x + b2 x + ........ + bm -1 x + bm x
ถ้า
f ( x)
อยูใ่ นรู ปของ เศษส่ วนย่ อย เช่น
g ( x)
5x - 3
2
3
5x - 3
=
+
=
( x + 1)( x - 3) x + 1 x - 3
x2 - 2 x - 3
(1)
เรี ยกพจน์ดา้ นขวาของ (1) ว่า เศษส่ วนย่ อย (partial fraction)
เมื$อต้องการคํานวณอินทิเกรตของ ò
5x - 3
dx
2
x - 2x - 3
(2)
พบว่าเราสามารถอินทิเกรตเศษส่ วนย่อยด้านขวามือของสมการ (1) ได้
ทันที และเมื$อนํามารวมกัน ก็ได้ผลเฉลยของอินทิกรัล (2) นัน$ เอง
49
MTH101-1-65
MODULE 3
ขัJนตอนการแปลงฟังก์ ชันตรรกยะ เป็ นเศษส่ วนย่ อย
1. แยกตัวประกอบของตัวส่ วน จนไม่สามารถแยกต่อไปได้อีก
2. กระจายเป็ นเศษส่ วนย่อย โดยแทนตัวเศษเป็ นค่าคงที$ ที$ยงั ไม่ ทราบค่า
3. หาค่าคงที$ ที$ไม่ทราบนั@นด้วยวิธี “การแทนค่า(ให้เป็ นศูนย์)” หรื อ
วิธี “เทียบสัมประสิ ทธิc” ดังตัวอย่างต่อไปนี@
ตัวอย่ าง จงกระจายเศษส่ วนย่อยของ
5x - 3
=
x2 - 2 x - 3
วิธีทาํ
แยกตัวประกอบของตัวส่ วน และกระจายเป็ นเศษส่ วนย่อย
5x - 3
A
B
=
+
( x + 1)( x - 3) x + 1 x - 3
(3)
โดย A, B เป็ นค่าคงที$ ที$ไม่ทราบค่า และสามารถหา A, B ได้จาก
วิธีท1ีO การเทียบสั มประสิ ทธิ\ (undeterminated coefficient)
จาก (3) คูณตลอดทั@งสมการด้วย ( x + 1)(x - 3)
5 x - 3 = A( x - 3) + B( x + 1)
ได้วา่
(4)
กระจายผลคูณทางด้านขวา จัดพหุนามที$มีอนั ดับเดียวกันไว้ดว้ ยกัน
5 x - 3 = ( A + B) x + (-3 A + B)
(5)
หาค่า A และ B โดยวิธีเทียบสัมประสิ ทธิcของ x จะได้
A + B = 5 และ -3 A + B = -3
แก้สมการจะได้ A = 2 และ B = 3
50
MTH101-1-65
MODULE 3
วิธีท2ีO การแทนค่ า
เริ$ มด้วยเอาตัวส่ วนคูณตลอดทั@งสมการ เพื$อให้เกิดสมการที$ไม่เป็ น
เศษส่ วนเช่นเดียวกับวิธีการเทียบสัมประสิ ทธิc
5 x - 3 = A( x - 3) + B( x + 1)
ได้วา่
(4)
ถ้าเราสามารถเลือก x บางจํานวนที$ทาํ ให้พจน์ขวามือของสมการ (4)
มีค่าเป็ นศูนย์ ก็จะทําให้เกิดผลเฉลยของตัวไม่ทราบค่าได้โดยง่าย ดังนี@
จาก (4) แทน x = 3 ได้วา่ 12 = A(3 - 3) + B(3 + 1)
4 B = 12 นัน
$ คือ B = 3
จาก (4) แทน x = -1 ได้วา่ -8 = A(-1 - 3) + B(-1 + 1)
-4 A = -8 นัน
$ คือ A = 2
ดังนั@น.
5x - 3
=
2
x - 2x - 3
ขัJนตอนการอินทิเกรตด้ วยวิธีเศษส่ วนย่ อย
1. พิจารณาฟังก์ชนั ตรรกยะ
f ( x)
g ( x)
ถ้ากําลังสู งสุ ดของตัวเศษยังมากกว่า
หรื อเท่ากับกําลังสู งสุ ดของตัวส่ วน ควรหารยาวก่อนเพื$อทําให้โจทย์ง่ายขึ@น
2. ใช้วธิ ีการแยกเศษส่ วนย่อย โดยแบ่งเป็ น4 กรณี ตามลักษณะของตัวส่ วน
51
MTH101-1-65
MODULE 3
กรณีท1ี> ถ้า g ( x) มีตวั ประกอบเชิงเส้นไม่ซ@ าํ
g ( x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 )........(an x + bn )
แล้วจะได้วา่
An
A1
A2
f ( x)
=
+
+ ..... +
g ( x) a1 x + b1 a2 x + b2
an x + bn
เมื$อ A1 , A2 ,......, An เป็ นค่าคงที$
52
MTH101-1-65
Example 1 Evaluate ò
MODULE 3
1
dx
x ( x - 1)
Solution
53
MTH101-1-65
MODULE 3
Example 2
54
MTH101-1-65
Example
Solution
Thus
MODULE 3
2 x2 + 5x - 1
dx
3 Evaluate ò 3 2
x + x - 2x
Consider x3 + x 2 - 2 x
x3 + x 2 - 2 x = x( x - 1)( x + 2)
A3
A2
2 x 2 + 5 x - 1 A1
= +
+
3
2
x + x - 2x x x -1 x + 2
2 x 2 + 5 x - 1 = A1 ( x - 1)( x + 2) + A2 ( x)( x + 2) + A3 x( x - 1)
= A1 ( x 2 + x - 2) + A2 ( x 2 + 2 x) + A3 ( x 2 - x)
Compare coefficients:
A1 + A2 + A3 = 2
A1 + 2 A2 - A3 = 5
1
A1 = ,
2
2 x2 + 5x - 1
x3 + x 2 - 2 x
Solve to get
Thus
-2 A1 = -1
1
A2 = 2, A3 = 2
1
2
1
=
+
2 x x - 1 2( x + 2)
Plug it back into the integral:
1
2 x2 + 5x - 1
1
2
dx
dx
=
dx
+
dx
ò 3
ò
ò
ò
2
2x
x -1
2( x + 2)
x + x - 2x
1
1
= ln x + 2 ln x - 1 - ln x + 2 + C
2
2
Hence
2 x2 + 5x - 1
1
1
dx
=
ln
x
+
2
ln
x
1
ln x + 2 + C
ò 3
2
2
2
x + x - 2x
55
MTH101-1-65
MODULE 3
กรณีท2ี> ถ้า g ( x) มีตวั ประกอบเชิงเส้นซํ@า g ( x) = (ax + b)n
แล้วจะได้วา่
An
A1
A2
f ( x)
=
+
+
.....
+
g ( x) ax + b (ax + b) 2
(ax + b) n
เมื$อ A1 , A2 ,......, An เป็ นค่าคงที$
56
MTH101-1-65
MODULE 3
2 x 2 - 3x + 4
Example 4 Evaluate ò
dx
2
( x + 1)( x - 2)
Solution
57
MTH101-1-65
2 x2 + 5x -1
Example 5 Evaluate ò ( x + 1)2
MODULE 3
dx .
Solution
คําตอบ
2x2 + 5x -1
ò ( x + 1)
2
dx = ò 2 +
1
4
x + 1 ( x + 1)2
= 2 x + ln x + 1 +
4
+ C.
x +1
58
MTH101-1-65
MODULE 3
กรณีท3ี> ถ้า g ( x) มีรูปพหุนามกําลังสอง ax 2 + bx + c ที$ไม่ซ@ าํ และ
ลดทอนไม่ได้อีกแล้ว จะได้เศษส่ วนย่อยในรู ป
f ( x)
Ax + B
= 2
g ( x) ax + bx + c
เมื$อ A, B เป็ นค่าคงที$
59
MTH101-1-65
Example 6
Evaluate ò
MODULE 3
x+4
dx
2
2
x ( x + 4)
Solution
60
MTH101-1-65
Example 7
MODULE 3
3x 2 + x - 2
Evaluate ò
dx
2
( x - 1)( x + 1)
Solution Consider
3x 2 + x - 2
A
Bx + C
=
+
( x - 1)( x 2 + 1) x - 1 ( x 2 + 1)
Then 3x 2 + x - 2 = A( x 2 + 1) + ( Bx + C )( x - 1)
Equivalently
3 x 2 + x - 2 = ( A + B ) x 2 + (C - B ) x + ( A - C )
Compare the coefficients:
A + B = 3,
C - B = 1,
Thus A = 1, B = 2,C = 3
Plug it back into the integral:
and
(1)
A - C = -2
3x 2 + x - 2
1
2x + 3
dx
=
dx
+
dx
ò
ò
ò 2
2
( x - 1)( x + 1)
x -1
x +1
1
2x
3
=ò
dx + ò 2
dx + ò 2
dx
x -1
x +1
x +1
= ln x - 1 + ln x 2 + 1 + 3arctan x + C
61
MTH101-1-65
MODULE 3
กรณีท4ี> ถ้ า g ( x) มีพหุนามกําลังสองที$ซ@ าํ (ax 2 + bx + c)n , n ³ 2
และลดทอนไม่ได้อีกแล้ว แล้วจะได้เศษส่ วนย่อยในรู ป
A x + B1
A2 x + B2
f ( x)
= 21
+
+ .......
2
2
g ( x) ax + bx + c (ax + bx + c )
An x + Bn
+
(ax 2 + bx + c) n
เมื$อ A1 ,..... An , B1 ,......, Bn เป็ นค่าคงที$
62
MTH101-1-65
Example 8
MODULE 3
x3 - 4 x
Evaluate ò 2 2 dx
( x + 1)
Solution
63
MTH101-1-65
MODULE 3
ตัวอย่างนี?จาํ เป็ นต้องใช้เทคนิคเสริ ม เป็ นการอินทิเกรตโดยการแทนค่าด้วย
ฟังก์ชนั ตรี โกณมิติ ทีFมีความซับซ้อนซึFงไม่ได้อยูใ่ นเนื?อหาของบทนี?
Example 9
Evaluate
( x3 + 1)dx
ò 2
( x + 4) 2
Solution Consider
x3 + 1
Ax + B Cx + D
=
+ 2
2
2
2
( x + 4)
x + 4 ( x + 4) 2
x3 + 1 = ( Ax + B )( x 2 + 4) + (Cx + D )
= Ax3 + 4 Ax + Bx 2 + 4 B + Cx + D
Compare coefficients:
A =1
B=0
4A + C = 0
4B + D = 1
Solve to get
Thus
A = 1, B = 0, C = -4, D = 1
x3 + 1
1x + 0
-4 x + 1
=
+
( x 2 + 4) 2 x 2 + 4 ( x 2 + 4) 2
Plug it back into the integral:
xdx
dx
xdx
( x3 + 1)dx
- 4ò 2
+ò 2
=ò 2
ò 2
2
2
( x + 4)
( x + 4) 2
x +4
( x + 4)
xdx
dx
1
2
4
+
= ln( x + 4) ò 2
ò 2
2
2
( x + 4)
( x + 4) 2
64
MTH101-1-65
Next consider
Let
-4 ò
u = x2 + 4
So we have
And for ò
xdx
( x 2 + 4) 2
and
-4 ò
dx
( x 2 + 4) 2
MODULE 3
du = 2 xdx
xdx
du
-1
=
2
=
2u
+C
ò
2
2
2
( x + 4)
u
2
= 2
+C
x +4
We let x = 2 tan q and
dx = 2sec 2 q dq
dx
2sec 2 q dq
We then have ò 2 2 = ò
( x + 4)
(4 tan 2 q + 4) 2
1 sec 2 q dq
= ò
8 (tan 2 q + 1) 2
1 dq
1
2
= ò
=
cos
q dq
ò
2
8 sec q
8
1
= ò (1 + cos 2q )dq
16
1 é
sin 2q ù
= êq +
+C
ú
16 ë
2 û
1 é -1 x
2x ù
= ê tan
+ 2
+C
ú
16 ë
2 ( x + 4) û
2
1
( x3 + 1)dx 1
2
-1 x
=
ln(
x
+
4)
+
+
tan
ò 2
2
x 2 + 4 16
( x + 4) 2 2
x
+
+C
2
8( x + 4)
65
MTH101-1-65
MODULE 3
( x5 - x 4 - 3 x + 5)
dx
Example 10 Evaluate ò 4
3
2
x - 2x + 2x - 2x + 1
วิธีทาํ เนื$องจากกําลังของ f ( x) มากกว่ากําลังของ g ( x) ( n ³ m ) ต้องเอา
g ( x) หาร f ( x) เสี ยก่อน จะได้
( x5 - x 4 - 3 x + 5)
-2 x + 4
= x +1+ 4
4
3
2
x - 2x + 2x - 2x + 1
x - 2 x3 + 2 x 2 - 2 x + 1
และ x 4 - 2 x3 + 2 x 2 - 2 x + 1 = ( x 2 + 1)( x - 1) 2
ดังนั@นเขียนอยูใ่ นรู ปเศษส่ วนย่อยจะได้
-2 x + 4
Ax + B
C
D
=
+
+
( x 2 + 1)( x - 1) 2
x 2 + 1 ( x - 1) ( x - 1) 2
-2 x + 4
2x +1
2
1
=
+
และ
( x 2 + 1)( x - 1) 2 x 2 + 1 ( x - 1) ( x - 1) 2
ดังนั@นแทนค่ากลับลงในอินทิกรัลจะได้
( x5 - x 4 - 3 x + 5)
(2 x + 1)dx
dx
=
(
x
+
1)
dx
+
ò 4
ò
ò
x - 2 x3 + 2 x 2 - 2 x + 1
x2 + 1
2dx
dx
-ò
+ò
x - 1 ( x - 1) 2
2 xdx
= ò xdx + ò dx + ò 2
x +1
dx
dx
2dx
+ò
+ò 2
-ò
x + 1 x - 1 ( x - 1) 2
( x5 - x 4 - 3 x + 5)
x2
-1
2
dx
+
tan
x
=
+
x
+
ln
x
+
1
ò 4
3
2
2
x - 2x + 2x - 2x + 1
1
-2 ln x - 1 +C
x -1
66
MTH101-1-65
MODULE 3
Exercise 1
Evaluate the following integrals
1. ò 3x 2 ( x3 + 2)2 dx
8x2
dx
3. ò 3
( x + 2)
2. ò x 2 x3 + 2dx
4. ò
5. ò 3x 1 - 2 x dx
6. ò 3
7. ò (3x 2 - 2)( x3 - 2 x)dx
8. ò
2
9.
òx
2
1 + xdx
11. ò (e x + 1)3 dx
13. ò e
15. ò
cos x
e
sin xdx
1+ x
1+ x
x +2
3
dx
x+3
x + 6x
2
dx
x +1
dx
2
x + 2x + 5
x2
dx
10. ò
3
1 - 2x
12. ò cos3 2 x sin 2 xdx
14. ò
16.
dx
x2
cos xdx
4 - sin 2 x
ò cos 2 x 1 - sin 2 xdx
-1
17. ò 32 x +1 dx
19.
3
é ln x ù
dx
òê
ú
ë x û
e tan 2 x
dx
18. ò
2
1 + 4x
1
20. ò
dx
x ln x
Evaluate the following definite integrals
5
x+3
1
2x -1
21. ò
dx
x
dx
2
0 x +4
1
22. ò
67
MTH101-1-65
8
23. ò 1 + 3xdx
1
2p
8
24. ò
4
MODULE 3
xdx
x 2 - 15
x
2
25. ò sin dx
0
Answers to exercise 1
3
1.
3.
5.
7.
9.
10.
12.
14.
16.
3
é x3 + 2 ù
2 3
2. ( x + 2) 2 + C
ê
ú +C
9
ë 3 û
-4
2 3
+
C
x +2 +C
4.
3
2
3
3( x + 2)
2
3
1
3
- (1 - 2 x 2 ) 2 + C
6. ( x 2 + 6 x) 3 + C
2
4
1
1 3
6
( x - 2 x) + C
8. ln x 2 + 2 x + 5 + C
2
6
7
5
3
2
4
2
(1 + x) 2 - (1 + x) 2 + (1 + x) 2 + C
7
5
3
1
1
- ln 1 - 2 x3 + C
11. (e x + 1) + C
4
6
cos 4 2 x
+C
13. -ecos x + C
8
-1 æ sin x ö
sin ç
15. 2e 1+ x + C
÷+C
è 2 ø
3
2 x +1
3
1
+C
- (1 - sin 2 x) 2 + C
17.
2 ln 3
3
68
MTH101-1-65
18.
20.
22.
1 tan -1 2 x
e
+C
2
ln ln x + C
1 5
ln
2 4
24. 6
MODULE 3
1
4
19. [ln x ]4 + C
21. 20
23. 26
25. 4
69
MTH101-1-65
MODULE 3
Exercise 2
Evaluate the following integrals
1. ò x sin xdx
2. ò xe x dx
3. ò x 2 ln xdx
4. ò x 1 + xdx
5. ò sec3 xdx
6. ò x 2 sin xdx
7. ò x 2 e2 x dx
8. ò x cos xdx
9. ò x sec2 3xdx
10. ò cos -1 2xdx
11. ò tan -1 xdx
12.
xe x
dx
ò
2
(1 + x)
13. ò x tan -1 xdx
14. ò x 2 e-3x dx
15. ò x3 sin xdx
16. ò x sin -1 x 2 dx
17. ò sin x sin 3xdx
18. ò sin(ln x)dx
19. ò eax cos bxdx
20. ò eax sin bxdx
Show how to use reduction formula to the following integrals.
21. ò u n eau du
22. ò u n cos budu
Evaluate the following definite integrals
e
23. ò ln xdx
1
25.
2
24.
p
3
2
ò x sin 3 xdx
0
2
3 x
ò x e dx
0
70
MTH101-1-65
MODULE 3
Answers to exercise 2
1. - x sin x + sin x + C
2. xe x - e x + C
3.
4.
5.
6.
7.
x3 ln x 1 3
- x +C
3
9
3
5
2
4
x(1 + x) 2 - (1 + x) 2 + C
3
15
1
(sec x tan x + ln sec x tan x ) + C
2
- x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C
1 3 2x 3 2 2x 3 2x 3 2x
x e - x e + xe - e + C
2
4
4
8
8. x sin x + cos x + C
9.
10.
11.
12.
13.
14.
1
1
x tan 3 x - ln sec 3 x + C
3
9
1
-1
x cos 2 x - 1 - 4 x 2 + C
2
x tan -1 x - ln 1 + x 2 + C
ex
+C
1+ x
1 2
1
( x + 1) tan -1 x - x + C
2
2
1
2
2
- e -3 x ( x 2 + x + ) + C
3
9
9
71
MTH101-1-65
MODULE 3
15. - x3 cos x + 3x 2 sin x + 6 x cos x - 6sin x + C
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
1 2 -1 2 1
x sin x + 1 - x 4 + C
2
2
1
3
sin 3 x cos x - cos 3 x sin x + C
8
8
1
[ x sin(ln x) - x cos(ln x)] + C
2
e ax (b sin bx + a cos bx)
+C
2
2
a +b
ax
e (a sin bx - b cos bx)
+C
2
2
a +b
1 n au n n -1 au
u e - ò u e du
a
a
1 n
n
u sin bu - ò u n -1 sin budu
b
b
23. 1
1 2
24. (p - 4)
27
1
25. (e2 + 1)
2
72
MTH101-1-65
MODULE 3
Exercise 3
Evaluate the following integrals
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
1
dx
ò 2
x -4
1
dx
ò 2
x + 7x + 6
x 2 - 3x - 1
dx
ò 3
2
x + x - 2x
x
dx
ò
2
( x - 2)
x 4 - x3 - x - 1
dx
ò
3
2
x -x
x2
dx
ò 4
4
a -x
2.
4.
6.
8.
10.
x +1
dx
ò 3
2
x + x - 6x
x
dx
ò 2
x - 3x - 4
x 2 + 3x - 4
dx
ò 2
x - 2x - 8
3x + 5
dx
ò 3
2
x - x - x +1
x3 + x 2 + x + 2
dx
ò 4
2
x + 3x + 2
2 x2 + 3
12. ò 2 2 dx
( x + 1)
x3 + x 2 + x + 3
1
dx
14. ò 2
dx
ò 3
2
( x + 1)( x + 3)
x +x
2 x3
2 x3 + x 2 + 4
dx
16. ò 2 2 dx
ò 2
2
( x + 1)
( x + 4)
x3 + x - 1
x4
dx
dx
18. ò
ò 2
2
3
( x + 1)
(1 - x)
x5 - x 4 + 4 x3 - 4 x 2 + 8 x - 4
dx
ò
2
3
( x + 2)
73
MTH101-1-65
1
dx
2x
x
e - 3e
(2 + tan 2 q ) sec 2 q
dq
ò
3
1 + tan q
20. ò
22.
21. ò
MODULE 3
sin x
dx
2
cos x(1 + cos x)
Evaluate the following definite integrals
23.
25.
1
dx
ò 2
-1 x - 9
2
24.
x+2
dx
ò
2
-8 x ( x - 2)
-3
3p
4
sin xdx
ò
2
p cos x - 5cos x + 4
4
Answers to exercise 3
x-2
+C
x+2
x +1
+C
x+6
x( x + 2)3
+C
2
( x - 1)
5.
1
ln
4
1
ln
5
1
ln
2
6.
x + ln ( x - 4) 4 ( x + 2) + C
7.
ln x - 2 -
1.
3.
8.
2.
4.
1
( x - 2)9
ln
+C
5
4
30 ( x) ( x + 3)
1
ln ( x - 4)( x + 1) 4 + C
5
2
+C
x-2
4
1 x +1
+ ln
+C
x -1 2 x -1
74
MTH101-1-65
9.
10.
11.
12.
x2 1
x -1
- - 2 ln
+C
2 x
x
1
tan -1 x + ln x 2 + 2 + C
2
1
a+x 1
x
ln
tan -1 + C
4a a - x 2a
a
5
x
-1
tan x +
+C
2
2
2( x + 1)
13. ln
x
x +1
2
+C
14.
ln
15.
1
+C
2
x +1
1
x
4
ln x 2 + 4 + tan -1 + 2
+C
2
2 x +4
1
1
x
ln x 2 + 1 - tan -1 x +C
2
2
2
2( x + 1)
16.
17.
MODULE 3
x 2 + 3 + tan -1 x + C
ln x 2 + 1 +
18.
x2
4
1
- - 3 x - 6 ln 1 - x +
+C
2
2
1 - x 2(1 - x)
19.
1
2
x
x
ln x 2 + 2 tan -1
- 2
+C
2
2
2
2 ( x + 2)
20.
1 1 ex - 3
+ ln
+C
x
x
3e 9
e
75
MTH101-1-65
21.
MODULE 3
1 + cos 2 x
ln
+C
cos x
22. ln 1 + tan q
+
2
3
tan
-1
2 tan q - 1
3
+C
23. - 1 ln10
6
24.
25.
1 3 1
ln +
2 4 5
2
2
-1
-1
1
1
2
2
ln
- ln
3
3
2
2
-4
-4
2
2
76
MTH101-1-65
MODULE 3
Exercise 4
Evaluate the following integrals
1.
3.
5.
7.
9.
11.
1
dx
ò 2
x -4
1
dx
ò 2
x + 7x + 6
x 2 - 3x - 1
dx
ò 3
2
x + x - 2x
x
dx
ò
2
( x - 2)
x 4 - x3 - x - 1
dx
ò
3
2
x -x
x2
dx
ò 4
4
a -x
13. ò
15.
17.
1
dx
3
x +x
2 x3
dx
ò 2
2
( x + 1)
x3 + x - 1
dx
ò 2
2
( x + 1)
2.
4.
6.
8.
10.
x +1
dx
ò 3
2
x + x - 6x
x
dx
ò 2
x - 3x - 4
x 2 + 3x - 4
dx
ò 2
x - 2x - 8
3x + 5
dx
ò 3
2
x - x - x +1
x3 + x 2 + x + 2
dx
ò 4
2
x + 3x + 2
2 x2 + 3
12. ò 2 2 dx
( x + 1)
x3 + x 2 + x + 3
dx
14. ò 2
2
( x + 1)( x + 3)
2 x3 + x 2 + 4
16. ò 2 2 dx
( x + 4)
x4
dx
18. ò
3
(1 - x)
77
MTH101-1-65
19. ò
1
dx
2x
x
e - 3e
20.
MODULE 3
x5 - x 4 + 4 x3 - 4 x 2 + 8 x - 4
dx
ò
2
3
( x + 2)
Evaluate the following definite integrals
21.
1
dx
ò 2
-1 x - 9
2
22.
x+2
dx
ò
2
-8 x ( x - 2)
-3
Answers to exercise 4
x-2
+C
x+2
x +1
+C
x+6
x( x + 2)3
+C
2
( x - 1)
5.
1
ln
4
1
ln
5
1
ln
2
6.
x + ln ( x - 4) 4 ( x + 2) + C
7.
ln x - 2 -
1.
3.
8.
9.
10.
2.
4.
1
( x - 2)9
ln
+C
5
4
30 ( x) ( x + 3)
1
ln ( x - 4)( x + 1) 4 + C
5
2
+C
x-2
4
1 x +1
+ ln
+C
x -1 2 x -1
x2 1
x -1
- - 2 ln
+C
2 x
x
1
tan -1 x + ln x 2 + 2 + C
2
78
MTH101-1-65
11.
12.
1
a+x 1
-1 x
ln
tan
+C
4a a - x 2a
a
5
x
tan -1 x +
+C
2
2
2( x + 1)
13. ln
14. ln
x
x +1
2
+C
x 2 + 3 + tan -1 x + C
17.
1
+C
2
x +1
1
x
4
ln x 2 + 4 + tan -1 + 2
+C
2
2 x +4
1
1
x
ln x 2 + 1 - tan -1 x +C
2
2
2
2( x + 1)
18.
x2
4
1
- - 3 x - 6 ln 1 - x +
+C
2
2
1 - x 2(1 - x)
19.
1 1 ex - 3
+ ln
+C
x
x
3e 9
e
20.
1
2
x
x
ln x 2 + 2 tan -1
- 2
+C
2
2
2
2 ( x + 2)
1
- ln10
6
1 3 1
ln +
2 4 5
15. ln
16.
21.
22.
MODULE 3
x2 + 1 +
79
เอกสารประกอบการเรี ยน วชิา MTH10102
การประยุกต์ ปริพนั ธ์
Applied Integration
MTH10102 MODULE 2
1. การประยุกต์ ของปริพนั ธ์ จาํ กัดเขต
(Applications of the Definite Integral)
1.1 พืน7 ทีใ: นรู ปของลิมติ ( Areas as limits )
ให้ R เป็ นบริ เวณที/ปิดล้อม ด้วยเส้นโค้ง y = f (x) , ด้านข้างด้วย
เส้นตรง X = a และ X = b และปิ ดด้านล่างโดยแกน X
โดยที/ f เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื/องบนช่วง [a, b] และ f (x) > 0 สําหรับทุก x
ใน [a, b]
ขั7นตอนในการหาพืน7 ทีใ: ต้ เส้ นโค้ ง y = f (x)
1. แบ่งช่วง [a, b] ออกเป็ น n ช่วงย่อยที/เท่ากัน โดยมีจุด
แบ่งอยูท่ ี/จุด x1 , x2 ,..., xn -1
b-a
แต่ละช่วงย่อยกว้าง Dx =
n
2. แบ่งบริ เวณ R ออกเป็ นสี/ เหลี/ยมผืนผ้า โดยลากเส้นตัJงฉากกับแกน X
ผ่านจุด a, x1 , x2 ,..., xn -1 , b
เราอาจประมาณพืJนที/ของ R ด้วยผลรวมของสี/ เหลี/ยมผืนผ้าได้ 2 แบบ ดังนีJ
- ผลรวมของสี/ แหลี/ยมผืนผ้าแนบใน (inscribed) หรื อ Lower Sum
- ผลรวมของสี/ แหลี/ยมผืนผ้าแนบนอก (circumscribed) หรื อ Upper Sum
2
MTH101-1-65 MODULE 3
3. ถ้าใช้สี/เหลี/ยมแนบใน ความสู งของสี/ เหลี/ยมผืนผ้าจะเป็ นค่าตํ/าสุ ดของ
f ในแต่ละช่วงย่อย สมมติเกิดขึJนที/จุด c1 , c2 ,..., cn
ดังนัJนสี/ เหลี/ยมผืนผ้าแต่ละ
รู ปจะมีความสู ง (ความยาว)
f (c1 ), f (c2 ),..., f (cn )
และมีความกว้างคือ Dx
เมื/อ Dx =
b-a
n
4. ให้ Rn แทนผลรวมของพืJนที/สี/เหลี/ยมผืนผ้า n รู ป ซึ/งสามารถใช้
ผลรวมนีJประมาณ หาพืJนที/ R ได้
พืJนที/ ( Rn ) = f (c1 )Dx + f (c2 )Dx + ... + f (cn )Dx
n
= å f (ck )Dx
k =1
3
MTH101-1-65 MODULE 3
ถ้าให้ n มีค่าเพิ/มขึJนความกว้างของสี/ เหลี/ยมจะเล็กลง ทําให้ บริ เวณ
Rn ใกล้เคียงกับบริ เวณ R มากขึJน
ดังนัJนจะเขียนพืJนที/ A ของบริ เวณ R ในรู ปลิมิตเป็ น
A=
lim พืJนที/ Rn
n ®¥
n
= lim å f (ck )Dx
n ®¥ k =1
(1)
ในทํานองเดียวกันถ้าใช้สี/เหลี/ยมผืนผ้าแนบนอก ความสู งของสี/ เหลี/ยมผืนผ้า
จะเป็ นค่าสู งสุ ดของ f ในแต่ละช่วงย่อย สมมติ เกิดขึJนที/จุด d1 , d 2 ,..., d n
จะได้สูตรพืJนที/เป็ น
A=
d1,d2,d3,
,dn
4
MTH101-1-65 MODULE 3
ตัวอย่ างที: 1 จงหาพืJนที/ที/ปิดล้อมด้วยกราฟ y = x2 บนช่วง [0,2]
วิธีทาํ
1.1 วิธีหาพืJนที/โดยใช้สี/แหลี/ยมผืนผ้าแนบใน (Lower Sum)
1.2 วิธีหาพืJนที/โดยใช้สี/แหลี/ยมผืนผ้าแนบนอก (Upper Sum)
ตอบ
5
MTH101-1-65 MODULE 3
นอกเหนือจากนี3 เราอาจสร้างรู ปสี7 เหลี7ยมผืนผ้าที7มีความสู งอยูร่ ะหว่างรู ป
สี7 เหลี7ยมผืนผ้าแนบใน และสี7 เหลี7ยมผืนผ้าแนบนอก โดยมีความกว้างของสี7 เหลี7ยม
ไม่เท่ากันก็ได้
สมมติในแต่ละช่วงย่อยเลือกความสู งที/จุด x1* , x2* ,..., xk*
จะได้ผลรวมของพืJนที/ เป็ น
ถ้าความกว้างของสี/ เหลี/ยมใดที/มีค่ามากที/สุด จะแทนด้วย max Dxk
แล้วเมื/อ n มีค่าเพิ/มขึJน จะทําให้ max Dxk ® 0
ซึ/งเมื/อความกว้างที/มากสุ ดเข้าใกล้ศูนย์ ทําให้ความกว้างของ
สี/ เหลี/ยมผืนผ้าอื/นๆจะมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ดว้ ย
ดังนัJน สู ตรลิมิตสําหรับพืJนที/ A จะอยูใ่ นรู ป
A=
นัน/ คือ
lim
n
*
å f ( xk )Dx
max Dxk ®0 k =1
(3)
n
*
lim
f
(
x
) Dx
å
k
A=
n ®¥
k =1
(4)
เรี ยกผลบวกในสมการ(4) นีJวา่ ผลบวกรีมนั น์ (Riemann sum)
6
MTH101-1-65 MODULE 3
1.2 ทฤษฎีทเี: กีย: วข้ องกับอินทิกรัลจํากัดเขต
ลิมิตในสมการ (4) มีความสําคัญมาก จึงมีสญ
ั ลักษณ์
พิเศษสําหรับลิมิตนีJ โดยจะเขียนเป็ น
b
n
f ( xk ) Dx
å
ò f ( x)dx = lim
n ®¥
k =1
a
*
(5)
สัญลักษณ์ทางซ้ายมือ อ่านว่า อินทิกรัลจํากัดเขตของ f จาก a ถึง b
เรี ยก จํานวน a และ จํานวน b ว่า ลิมิตล่ างและ ลิมิตบนของการอินทิเกรต
ตามลําดับ
จากนิ ยาม ถ้าต้องการอิ นทิ กรั ลแบบจํากัดเขต ต้องหาวิธีการคํานวณ
พืJนที/เสมอ ซึ/ งเป็ นไปไม่ได้ในทางปฏิบตั ิ จึงได้มีการใช้ “ทฤษฎีบทหลักมูล
ของแคลคูลัส” ในการแก้ปัญหา ซึ/ งเราได้ศึกษากันเบืJองต้นในหัวข้อก่อน
หน้านีJมาแล้ว
ทัJงนีJ ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลสั สามารถนําเสนอได้ 2 รู ปแบบ แต่
ไม่ มี ข ้อ ตกลงสากล (Universal agreement) ว่า ทฤษฎี ใ นรู ป แบบใดจะเป็ น
รู ปแบบที/ 1 หรื อ 2 ดังนัJนในตําราแคลคูลสั จึงอาจมีการนําเสนอด้วยลําดับที/
แตกต่างกันออกไป แต่ในเอกสารของโมดูลนีJ จะขอเรี ยบเรี ยงและนําเสนอ
ทฤษฎีดงั ต่อไปนีJ
7
MTH101-1-65 MODULE 3
The First Fundamental Theorem of Calculus
ถ้า f ( x) เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื/องในช่วง a £ x £ b และ F เป็ น
ปฏิยานุพนั ธ์ของ f ( x) บน [ a, b ] แล้ว
b
b
ò f ( x)dx = F ( x) a = F (b) - F (a )
a
ทฤษฎีนJ ีได้กล่าวไว้วา่ ในการคํานวณค่าอินทิกรัลจํากัดเขตของฟังก์ชนั
f บนช่วง a £ x £ b เราสามารถทําได้โดยการหาปฏิยานุพนั ธ์ F ของ f
ซึ/งมีสมบัติวา่ F ¢ ( x ) = f ( x )
b
แล้วเราจะสามารถคํานวณค่าของ ò f ( x)dx ได้จาก F (b) - F (a)
a
ทัJงนีJ เราสามารถเขียนนิพจน์นJ ีเป็ นสัญลักษณ์เชิงคณิ ตศาสตร์ได้อีกรู ปแบบ
b
หนึ/ง คือ F ( x) a
x
หากเราทําการเขียนว่า ò f (t )dt = F ( x) - F (a)
a
กล่าวอีกนัยหนึ/งคือ เราจะแทน x ในทฤษฎีบทด้วยตัวแปร t และ แทน b
x
ในทฤษฎีบทด้วยตัวแปร x จะทําให้เราสามารถมองว่า ò f (t )dt เป็ น
a
x
ฟังก์ชนั ที/ขJ ึนกับตัวแปร x เมื/อเราพิจารณาอนุพนั ธ์ของ ò f (t )dt เราจะได้
ว่า
a
d æx
ö d
f
(
t
)
dt
çò
÷ = ( F ( x) - F (a) ) = F ¢ ( x )
dx è a
ø dx
8
MTH101-1-65 MODULE 3
นั:นคือ
F ¢ ( x ) = lim
x+h
x
a
a
ò f (t )dt - ò f (t )dt
h
h ®0
x+h
= lim
ò f (t )dt
x
h
f ( z )h
= lim
h ®0
h
h ®0
สําหรับบาง z Î [ x, x + h] (โดยทฤษฎีบทค่ากลางของอินทิกรัล) และเมื/อ
h ® 0 จะทําให้ได้วา่ z ® x และทําให้ได้วา่ F ¢ ( x ) = f ( x ) ดังจะ
เขียนเป็ นทฤษฎีได้ดงั ต่อไปนีJ
The Second Fundamental Theorem of Calculus
ถ้า f ( x) เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื/องในช่วง a £ x £ b แล้ว
d æx
ö
ç ò f (t )dt ÷ = f ( x )
dx è a
ø
หมายเหตุ
1. จากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลสั ข้อที/ 1 จะทําให้เราสามารถคํานวณ
4
x
อินทิกรัลจํากัดเขต เช่น ò x3dt =
4
1
2
2
1
24 14 15
= - =
4 4 4
9
MTH101-1-65 MODULE 3
b
2. ข้อควรระวัง คือ ò f ( x)dx ¹ F (a) - F (b) ดังนัJน
a
นักศึกษาควรระมัดระวังในขัJนตอนการแทนค่า
3. จากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลสั ข้อที/ 2 จะทําให้เรา
สามารถคํานวณได้วา่
d æx
ö
2
2
sin
t
dt
çò
÷ = sin x
dx è a
ø
( )
( )
และเราสามารถใช้กฎลูกโซ่ในการหาอนุพนั ธ์ที/มีความซับซ้อนมากขึJน ดังนีJ
ยกตัวอย่างเช่น
ö
d æ g( x)
f
(
t
)
dt
ç ò
÷ = f ( g ( x )) × g¢( x )
dx è a
ø
ö
d æx 1
1
d 3
dt ÷ =
×
x
ò
ç
3
3
3
dx è 3 1 + t ø 1 + x dx
3
( )
3x 2
=
1+ x
10
MTH101-1-65 MODULE 3
1.3 พืน7 ทีใ: ต้ เส้ นโค้ ง (Area Under a Curve)
ถ้าฟังก์ชนั y = f ( x ) เป็ นฟังก์ชนั ที/มีค่าไม่เป็ นลบและต่อเนื/อง
ตลอดช่วง a £ x £ b ดังรู ป
พืJนที/ใต้เส้นโค้ง y = f ( x ) ในช่วง x = a และ x = b คือ
b
A = ò f ( x)dx
a
Example 1 Compute the area covered by y = x 2 , x -axis, x = 2 and
x = 4.
วิธีทาํ
11
MTH101-1-65 MODULE 3
1.3 พืน7 ทีใ: ต้ เส้ นโค้ ง (Area Under a Curve)
ถ้าฟังก์ชนั y = f ( x ) เป็ นฟังก์ชนั ที/มีค่าไม่เป็ นลบและต่อเนื/อง
ตลอดช่วง a £ x £ b ดังรู ป
พืJนที/ใต้เส้นโค้ง y = f ( x ) ในช่วง x = a และ x = b คือ
b
A = ò f ( x)dx
a
Example 1 Compute the area covered by y = x 2 , x -axis, x = 2 and
x = 4.
วิธีทาํ
12
MTH101-1-65 MODULE 3
คําถาม สู ตรการหาพืJนที/นJ ี สามารถใช้ได้กบั พืJนที/ทุกๆแบบหรื อไม่
ให้นกั ศึกษาย้อนดูภาพอีกครัJง
- รู ปสี/ เหลี/ยมผืนผ้า จะมีความสู งคือ
f(xi) และมีความกว้างคือ Dx
- เมื/อแบ่งจํานวนชิJนมากๆ ขนาดของ
สี/ เหลี/ยมผืนผ้าก็จะแคบลง จนมี
ลักษณะคล้ายแถบ (Strip)
- สังเกตพบว่า แถบนีJมีความยาว f(xi) และผ่านแกน X
- เมื/อ หาพืJนที/ของแต่ละแถบ จะได้
b
- โดยนิยาม ผลบวกรี มนั น์ ได้วา่ A = ò f ( x)dx
a
ข้ อสั งเกต เมื/อต้องการหาพืJนที/ ให้ลองสร้างแถบในแนวดิ/ง
- ถ้าด้านบนและ ด้านล่างของแถบปิ ดล้อมด้วยเส้นหรื อเป็ นฟังก์ชนั
เดียวกันตลอดทัJงบริ เวณ แสดงว่าการอินทิเกรตจะจบได้ในชิJนเดียว
- ถ้าแถบมาตัดแกน X สู ตรพืJนที/จะเป็ นการอินทิเกรตเทียบ x
แสดงว่า รู ปมีหลายแนว และ อินทิเกรตมีเทียบ y ด้วย
13
MTH101-1-65 MODULE 3
ถ้าต้องการหาพืJนที/ของอาณาบริ เวณซึ/งถูกปิ ดล้อมด้วยเส้นโค้ง x = g ( y )
โดยที/ g ( y ) ³ 0, แกน y , y = c และ y = d ดังรู ปที/ 2
เมื/อนศ.สร้างแถบแนวดิ/ง
ผ่านแกน X จะเกิดอะไรขึJน
รู ปที/ 2
ต่อไป ลองเปลี/ยนสร้างพืJนที/ n รู ป โดยแต่ละรู ปกว้าง Dy1 , Dy2 ,. . ., Dyn
และมีความยาวตามแนวนอน ซึ/งเป็ นไปตามระยะเส้นโค้ง x = g ( y )
พิจารณารู ปที: i
พืJนที/ = ยาว คูณ กว้าง
DAi » xDyi =
n
n
i =1
i =1
A » å DAi = å xDyi
ถ้า n ® ¥ ,
n
d
i =0
c
Dyi ® 0
A = lim å xDyi = ò x dy
Dy ®0
14
MTH101-1-65 MODULE 3
ข้อสังเกต
- ถ้าสร้างแถบในแนวนอน แล้วด้านซ้ายและด้านขวาของแถบเป็ นเส้น
หรื อฟังก์ชนั เดียวกันตลอดทัJงบริ เวณ แสดงว่าการอินทิเกรตจะจบได้ใน
ชิJนเดียว
- ถ้าแถบจะมาตัดแกน Y สู ตรพืJนที/นJ ีจะเป็ น การอินทิเกรตเทียบ y
สรุป
พืJนที/ใต้เส้นโค้ง
1. บริ เวณซึ/ งถูกปิ ดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = f ( x ) โดยที/ f ( x ) ³ 0,
แกน x, x = a และ x = b
สามารถหาพืJนที/ได้จาก
b
ò f ( x)dx
a
2. บริ เวณซึ/ งถูกปิ ดล้อมด้วยเส้นโค้ง
x = g ( y)
(6)
โดยที/ g ( y ) ³ 0,
แกน y, y = c และ y = d
d
สามารถพืJนที/ได้จาก.
ò g(y)dy
c
(7)
หมายเหตุ สู ตรข้างต้น ใช้สาํ หรับบริ เวณที/มีดา้ นหนึ/งเป็ น แกน x หรื อแกน y
ร่ วมด้วยเท่านัJน
15
MTH101-1-65 MODULE 3
Example 1 Compute the area covered by y = x 2 ,
x -axis, x = 2 and x = 4 .
Solution
Partition along x -axias
DAi = y Dxi
4
A = ò ydx
2
4
4
éx ù
= ò x 2 dx = ê ú
ë 3 û2
2
3
3
4 2
64 8 56
2
= - =
- =
= 18 .
3 3
3 3 3
3
3
16
MTH101-1-65 MODULE 3
Example 2 Find the area covered by y = x3 ,
x -axis.
x =-1 , x = 2
and
วิธีทาํ
จาก
และ
หา A1
แบ่งการหาพืJนที/ออกเป็ น 2 ส่ วน ดังนีJ
x = -1 ถึง x = 0 เป็ น A1
x = 0 ถึง x = 2 เป็ น A2
DA = ( 0 - y ) Dxi = - yDxi
0
0
A1 = - ò ydx = - ò x 3dx
-1
-1
é ( -1)4 ù 1
éx ù
= - ê ú = - ê0 ú=
4
4
êë
úû 4
ë û -1
4 0
หา A2
( y - 0 ) Dxi
DA =
= yDxi
2
é x ù
A2 = ò ydx = ò x 3dx = ê
ú
4
0
0
ë
û0
4
2
=
-0 = 4
4
1
1
A = A1 + A2 =
+4 = 4
4
4
2
2
4
17
MTH101-1-65 MODULE 3
หมายเหตุ
1. การหาพืJนที/ค่าพืJนที/จะติดลบไม่ได้
เขียนเป็ นค่าสัมบูรณ์ ดังนีJ
ดังนัJนสู ตรการหาพืJนที/อาจ
b
A = ò f ( x ) dx
a
2. การหาพืJนที/
ถ้าอินทิเกรตตามแกน x จะไม่อินทิเกรตข้ามจุดตัด
ใดๆ บนแกน x มิฉะนัJนพืJนที/บางส่ วนจะหายไปเพราะเกิดพืJนที/ติด
ลบขณะอินทิเกรต เช่น จากตัวอย่างที/ 2
2
é 2 4 ( -1)4 ù
é x4ù
1
3
ydx
=
=
=
4
=
3
ê
ú
ò
ê4 ú
4 ú
4
4
-1
ë û -1 êë 4
û
2
ซึ/งพืJนที/ที/หายไปเกิดขึJนเพราะขณะที/อินทิเกรตจาก -1 ถึง 0 ผลการอินทิเกรต
0
1
คือ ò ydx = 4
-1
ดังนัJนได้พJืนที/ติดลบในช่วง -1 ถึง 0 ซึ/งไม่ถูกต้อง เพราะพืJนที/ติดลบไม่ได้
เนื/องจาก พืJนที/ = สู ง ´ กว้าง
a £ x £ b ดังรู ปที/ 5
ถ้าต้องการหาพืJนที/ภายใต้เส้นโค้ง y = f ( x ) ,
รู ปที: 5
18
MTH101-1-65 MODULE 3
จะได้
A =
A1 + A2 + A3 + A4
c
d
a
c
ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx +
=
e
b
d
e
ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx
ในทํานองเดียวกัน การหาพืJนที/ ถ้าอินทิเกรตตามแกน y จะไม่
อินทิเกรตข้ามจุดตัดใดๆ บนแกน y
3. ในกรณี ที/ตอ
้ งการหาพืJนที/ของอาณาบริ เวณที/มีลกั ษณะสมมาตรกับ
แกน x หรื อแกน y เพื/อป้องกันความผิดพลาดที/อาจจะเกิดขึJน ให้หา
พืJนที/เฉพาะส่ วนเดียวแล้วคูณด้วยจํานวนส่ วนที/สมมาตร
ดังตัวอย่างที/ 3
Example 3 Compute the area covered by
Solution
ì x
x = í
î- x
x+ y
x + y = a
x³0
x<0
ì xx +- yy ==aa xx³³00 yy<³00
= a ® í- x + y =a x<0 y ³0
î- x - y =a x<0 y <0
19
MTH101-1-65 MODULE 3
As we can see, this graph is symmetric about the origin. So we can
just find the area in the first Quadrant, called it A1 . The total area is
then four times A1 .
Consider A1 :
DA1 = x
If partition along y -axis
Dy where x = a - y
a
A1 =
ò
0
a
2
é
y ù
( a - y ) dy = ê ay - ú
2 û0
ë
2
2
a
a
=a =
2
2
2
4a
A = 4 A1 =
= 2a 2 .
2
2
20
MTH101-1-65 MODULE 3
1.4 พืน7 ทีร: ะหว่ างเส้ นโค้ ง(Area Between Curves)
พิจารณาบริ เวณซึ/งถูกปิ ดล้อมโดยเส้นโค้ง y = f (x) และ y = g (x) และ
เส้นตรง x = a, x = b ซึ/ง f ( x) > g ( x) สําหรับทุกค่าของ x Î [a, b]
ดังรู ป
?
นัน/ คือ ถ้า f และ g ไม่เป็ นค่าลบใน [a, b] แล้วได้วา่
7 ทีใ: ต้ กราฟของ f - พืน7 ทีใ: ต้ กราฟของ g
A = พืน
b
b
a
a
ซึ/งเขียนในรู ปอินทิกรัลจํากัดเขตได้เป็ น. A = ò f ( x)dx - ò g ( x)dx
หรื อ
21
MTH101-1-65 MODULE 3
b
A = ò [ f ( x) - g ( x)]dx
a
(1)
ในทํานองเดียวกัน ถ้าจะหาพืJนที/ของบริ เวณซึ/งถูกปิ ดล้อมโดยเส้นตรง
x = v( y ) , x = w( y ) และเส้นตรง y = c , y = d
d
d
c
c
A = ò w( y )dy - ò v( y )dy
หรื อ
d
A = ò [ w( y ) - v( y )]dy
c
(2)
V(y)
W(y)
22
MTH101-1-65 MODULE 3
การพิสูจน์ การหาพืน7 ทีร: ะหว่ างโค้ งตามสมการที(: 1) และ (2)
ถ้า y1 = f ( x ) และ y2 = g ( x ) เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื/องโดยที/ y2 ³ y1
ตลอดช่วง a £ x £ b จะหาอาณาบริ เวณซึ/งถูกปิ ดล้อมด้วยเส้นโค้ง
y1 , y2 เส้นตรง x = a และ x = b ดังรู ปที/ 7 ได้ดงั นีJ
รู ปที: 7
แบ่งอาณาบริ เวณออกเป็ น n ช่วงเล็กๆ กว้าง Dx1 , Dx2 ,..., Dxn พืJนที/ของ
อาณาบริ เวณทัJงหมดเท่ากับผลบวกของพืJนที/รูปเล็กๆ ทัJง n รู ป ให้
DAi = พืJนที/รูปที/ i
DAi » ( y2 - y1 ) Dxi = สู ง ´ กว้าง
n
n
i =1
i =1
A » å DAi » å ( y2 - y1 )Dx
i
ถ้า Dxi ® 0 ความสู ง ( y2 - y1 ) ที/ก/ ึงกลางความกว้าง ( xi -1 , xi ) จะ
เข้าใกล้ ( y2 - y1 ) ที/จุด xi -1 และที/จุด xi นัน/ คือพืJนที/รูปเล็กๆ แต่ละ
รู ปจะใกล้เคียงกับพืJนที/จริ งๆ
23
MTH101-1-65 MODULE 3
n
n
ดังนัJน A = lim å DAi = lim å ( y2 - y1 ) Dxi
Dx ®0
Dx
i
n ®¥
b
=ò
a
i =1
i ®0
n ®¥
i =1
( y2 - y1 ) dx
สู ตรนีJเป็ นจริ งเสมอไม่วา่ เส้นโค้งจะอยูเ่ หนือแกนหรื อใต้แกน เมื/อ y2 > y1
ความสู งจะเป็ น y2 - y1 ดังรู ปที/ 8 และรู ปที/ 9
DAi = ( y2 - y1 ) Dxi
DAi = ( y2 - y1 ) Dxi
รู ปที: 8
รู ปที: 9
y2 จะต้องอยู่
ข้ อสั งเกต ถ้า y2 > y1
เสมอ เพราะค่า y นับจากล่างขึJนบน
เหนือ y1
สรุป ถ้า y2 = f ( x ) และ y2 = g ( x ) เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื/อง
โดยที/ y2 ³ y1 ตลอดช่วง a £ x £ b แล้ว พืJนที/ซ/ ึงถูกปิ ดล้อมด้วยเส้น
โค้ง y1 , y2 เส้นตรง x = a และ x = b คือ
A
b
= ò
a
( y2 - y 1 ) dx
24
MTH101-1-65 MODULE 3
ในทํานองเดียวกันถ้า g1 ( y ) และ g 2 ( y ) เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื/องโดยที/
g 2 ( y ) ³ g1 ( y )
ตลอดช่วง c £ y £ d จะหาอาณาบริ เวณซึ/งถูกปิ ดล้อม
ด้วยเส้นโค้ง x1 = g1 ( y ) , x2 = g 2 ( y ) เส้นตรง y = c และ y = d
x >x
เมื/อ 2 1 ดังรู ปที/ 10 รู ปที/ 11 และรู ปที/ 12 โดยแบ่งพืJนที/ตามแกน y
Dy , Dy ,..., Dyn
n
ออกเป็ น ช่วงแต่ละช่วงกว้าง 1 2
พืJนที/ช่วง i คือ
DAi » ( x2 - x1 ) Dyi = สู ง ´ กว้าง
n
n
A = lim å DAi = lim å
Dyi ®0
d
= ò
c
รู ปที& 10
Dyi ®0
i =1
i =1
(x
2
)
- x1 Dyi
( x2 - x1 ) dy
รู ปที& 11
รู ปที& 12
สรุป ถ้า x1 = g1 ( y ) และ x2 = g 2 ( y ) เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื/อง
โดยที/ x2 ³ x1 ตลอดช่วง c £ y £ d แล้ว พืJนที/ซ/ ึงถูกปิ ดล้อมด้วย
เส้นโค้ง x1 , x2 , y = c และ y = d คือ
d
A = ò
c
( x2 - x1 ) dy
25
MTH101-1-65 MODULE 3
Example 1 Compute the area covered by x 2 = y, x 2 = 4 y and the line
x = 2.
Solution
Approach 1
Partition along x -axis
DA = ( y2 - y1 ) Dx
where y2 = x ,
2
2
A=ò
x
y1 =
4
2
( y2 - y1 ) dx
0
2
=ò
รู ปที: 13
0
3 2
3
3éx ù
2
x
dx
=
ê ú = 2.
ò
40
4 ë 3 û0
2
=
æ 2 x2 ö
ç x - ÷ dx
4 ø
è
Approach 2 Partition along y -axis : there are 2 parts,
A : y from 0 ® 1 we have
1
DA1 = ( x2 - x1 ) Dy
where x2 = 4 y , x1 = y .
รู ปที& 14
26
MTH101-1-65 MODULE 3
1
A1 = ò
0
1
=ò
0
( x2 - x1 ) dy
(
1
)
4 y - y dy = ò
é
= ê y 3/2
ë
y dy
0
1
2ù
2
=
3 úû 0 3
A2 : y from 1 ® 4 , we have
DA2 = ( x2 - x1 ) Dy
4
A2 = ò
1
where x2 = 2, x1 = y
4
( x2 - x1 ) dy = ò
1
( 2 - y ) dy
4
2ù
4
é
A2 = ê 2 y - y 3 2 ú =
3 û1 3
ë
2 4
A = A1 + A2 = + = 2
3 3
No matter which approach you may pick, the correct answer is always the
same.
27
MTH101-1-65 MODULE 3
Example 2 Compute the area covered by y 2 = 2 x and
x - y = 4.
วิธีทาํ
หาจุดตัด ระหว่าง y 2 = 2 x
และ x - y = 4
2
y
จาก x = = 4 + y
2
y 2 = 2 y + 8, y 2 - 2 y - 8 = 0
รู ปที& 15
( y - 4 )( y + 2 ) = 0,
y = 4, - 2
ที/ y = 4 x = 8, y = -2 x = 2
ได้จุดตัด (2,-2) และ (8, 4)
แบ่งตามแนวแกน y
2
y
DA = ( x2 - x1 ) Dy เมื/อ x2 = 4 + y
x1 =
2
2
4
4 é
y ù
A = ò ( x 2 - x1 ) dy = ò ê( 4 + y ) - ú dy = 18
2 û
-2
-2 ë
28
MTH101-1-65 MODULE 3
Example 3 Compute the area covered by y = - x 2 - 2 x + 3, its
tangent line at (2,-5) and the y -axis.
Solution
y = - x 2 - 2 x + 3 = - ( x 2 + 2 x + 1) + 4
y - 4 = - ( x + 1)
is a parabolic
having a vertex at (-1, 4). ). This
intercepts y-axis at (0, 3) and
intercepts x-axis at x = -3 and
curve
curve
x = 1.
รู ปที& 16
2
dy
= -2 x - 2
dx
The slop of the tangent line at (2, -5) is -6 .
The equation of a tangent line is y - y1 = m ( x - x1 ) .
Here we have y1 = -5, x1 = 2, m = -6 .
So, y - ( -5) = -6 ( x - 2 ) , y = 7 - 6 x .
If partition on x -axis, DA = ( y2 - y1 ) Dx
where y2 = 7 - 6 x, y1 = - x 2 - 2 x + 3
2
A = ò éë( 7 - 6 x ) - ( - x 2 - 2 x + 3) ùû dx
0
29
MTH101-1-65 MODULE 3
Exercise 1
Compute each area covered by the following graphs
1.
x -axis, y = 2 x - x 2
2.
y -axis , x = y 2 - y 3
3. y 2 = x, x = 4
4. y = 2 x - x 2 , y = -3
5.
y = x2 , y = x
6.
x = 3y - y2 , x + y = 3
y = x4 - 2x2 , y = 2x2
7.
8. First part of y = sin x
2
9. y -axis, y - 4 x - 4 = 0
x2 y 2
10. Ellipse
+ 2 =1
2
a
b
11. x = y 2 , x = y
12. y 2 = 8 x, x 2 = 4 y
13.
x 2 - 5 x + y = 0, y = x
14.
y 2 = 9 x, y 2 = x 3
y = x 2 , y = x, y = 2 x
15.
16. y 2 = 4 x, 2 x - y - 4 = 0
17. y = x3 - 4 x, x -axis
30
MTH101-1-65 MODULE 3
18. x + 2 y = 2, y - x = 1, 2 x + y = 7
19. x 2 y = x 2 - 4 , x -axis , x = 2 and x = 4
20. y = 6 x + x 2 - x3 , x -axis
22.
ì x2 , x £ 2
f ( x) = í
, x = 0 and x = 3
î- x + 6, x > 2
y = x ( x - 3)( x + 3) , y = -5 x
23.
y = x2 , y = 8 - x2
24.
x = 0, x = 2,
21.
and y = 4 x + 12
y = 2 x and y = 2 x - x 2
25. x = -2 y 2 , x = 1 - 3 y 2
26. y = x + 1, y = cos x and x -axis (biggest area)
27.
One loop of
y = ( x - 1)( x - 2 )
2
2
its tangent line at M(3, 5) and y -axis
29. x + y = 1 and x + y = 1
2
30. y = x , y = 4 . This area is divided into 2 equal parts by the line
y = c . Evaluate c .
28.
y = x2 - 2x + 2 ,
31.
x 2 = 4 y,
y = 8 ( x2 + 4)
32.
One loop of
y 2 = ( x - 1)
33.
y 2 = 4 x, x 2 = 4 y
34.
35.
and
2
x2 + y 2 = 5
where
x ³ 0, y ³ 0
Hypocycloid: x 2 3 + y 2 3 = a 2 3
y 3 = x 2 , the cord connecting (-1, 1) and (8, 4)
31
MTH101-1-65 MODULE 3
36.
y 2 = x 2 (1 - x 2 )
37.
xy = 4, y = x, x = 5
and
x = -y
Answer to Exercise 1
1.
4.
7.
4
3
32
3
128
15
1
12
1
6
3.
8. 2
9.
2.
5.
10. p ab
11.
32
3
9
14.
13.
16.
19. 1 (รู ปที& 17)
17.
20.
รู ปที& 17
1
6
24 3
5
8
253
(รู ปที& 18)
12
6.
12.
15.
18.
32
3
4
3
8
3
16
3
7
6
6
รู ปที& 18
32
MTH101-1-65 MODULE 3
37
21.
6
3 4
24.
ln 2 3
8
27.
15
32
30. , c = 3 16
3
8
32.
(รู ปที/ 20)
15
22. 8
23. 64
4
3
26.
28. 9
29.
25.
31.
4
2p 3
รู ปที& 19
2
3
5
2
33. + sin -1
3
2
1
3
(รู ปที/19)
รู ปที& 20
3
5
3
8
34. p a 2
35. 2.7
36.
4
3
33
MTH101-1-65 MODULE 3
2.
อินทิกรัลไม่ ตรงแบบ (Improper Integrals)
2.1 ความหมายของอินทิกรัลไม่ ตรงแบบ
ที/ ผ่านมาเราศึ กษาอิ นทิ กรั ลจํากัดเขต òab f ( x) dx โดยที/ a และ b
เป็ นจํานวนจริ ง ซึ/ งฟังก์ชนั f ( x) และช่วง [ a, b] ที/พิจารณา จะมีคุณสมบัติ
ว่า f เป็ นฟังก์ชนั ที/มีขอบเขต (bounded function) บนช่วง [ a, b]
ในหัวนีJนJ ีเราจะศึกษา òab f ( x) dx ที/ลิมิตอินทิเกรตลู่เข้าสู่ อนันต์หรื อ
ตัว ถู ก อิ น ทิ เ กรต (integrand) เป็ นฟั ง ก์ ชัน ที/ ห าค่ า ไม่ ไ ด้บ นช่ ว งของการ
อินทิเกรต ซึ/ งเรี ยกอินทิกรัลประเภทนีJ ว่า อินทิกรั ลไม่ ตรงแบบ ซึ/ งมีลกั ษณะ
แบบใดแบบหนึ/ง ดังต่อไปนีJ
ชนิดที: 1 ช่วงของการอินทิเกรตเป็ นช่วงอนันต์ (infinite interval)
[ a , +¥ )
( -¥ ,b]
( -¥ , + ¥ )
ตัวอย่าง ของอินทิกรัลไม่ตรงแบบ แบบที/ 1
+¥
dx
ò 2
1 x
0
x
ò e dx
-¥
+¥
dx
ò
2
-¥ 1 + x
ชนิดที: 2 ตัวถูกอินทิเกรต f ( x) เป็ นฟังก์ชนั ที/หาค่าไม่ได้ที/ x = c ซึ/งอยู่
บนช่วงของการอินทิเกรต [ a, b] นัน/ คือ
lim f ( x) = ±¥
x ®c
34
MTH101-1-65 MODULE 3
ตัวอย่าง ของอินทิกรัลไม่ตรงแบบ แบบที/ 2
dx
ò 2
-3 x
p
dx
ò
1 x -1
3
2
ò tan x dx
0
ชนิดที3: ประเภทผสมของชนิดที/ 1 และชนิดที/ 2
ตัวอย่าง ของอินทิกรัลไม่ตรงแบบ ชนิดที/ 3
+¥
+¥
dx
ò 2
-¥ x - 9
+¥
dx
ò
0
x
ò sec x dx
1
2.2 การหาค่ าของอินทิกรัลไม่ ตรงแบบชนิดทีห: นึ:ง
นิยาม ให้ a เป็ นจํานวนจริ ง และ f เป็ นฟังก์ชนั ที/มีขอบเขตและอินทิเกรต
ได้บนช่วง [a, t ] สําหรับทุก t ซึ/ง t > a ดังนัJนอินทิกรัลไม่ตรงแบบของ
f ( x)
+¥
บนช่วง [ a , +¥ ) นัน/ คือ ò f ( x) dx นิยามโดย
+¥
a
t
ò f ( x) dx = tlim
ò f ( x) dx
®+¥
a
a
35
MTH101-1-65 MODULE 3
หมายเหตุ
t
•
ถ้า tlim
f ( x) dx หาค่าได้ (exists) จะได้วา่
®+¥ ò
a
ลู่เข้า (converges)
+¥
ò
f ( x) dx
a
t
•
ถ้า tlim
f ( x) dx หาค่าไม่ได้ (does not exist) จะได้วา่
®+¥ ò
a
+¥
ò
f ( x) dx
ลู่ออก (diverges)
a
นิยาม ให้ b เป็ นจํานวนจริ ง และ f เป็ นฟังก์ชนั ที/มีขอบเขตและ
อินทิเกรตได้บนช่วง [t , b] สําหรับทุก t ซึ/ง t < b ดังนัJนอินทิกรัลไม่ตรง
แบบของ
f ( x) บนช่วง ( -¥ ,b ]
นัน/ คือ
b
ò
f ( x) dx นิ ยามโดย
-¥
b
ò
b
f ( x) dx = lim
-¥
t ®-¥
ò
f ( x) dx
t
หมายเหตุ ในทํานองเดียวกัน
b
• ถ้า tlim
f ( x) dx หาค่าได้ จะได้วา่
®-¥ ò
t
b
• ถ้า tlim
f ( x) dx หาค่าไม่ได้ จะได้วา่
®-¥ ò
t
b
ò
f ( x) dx
ลู่เข้า
ò
f ( x) dx
ลู่ออก
-¥
b
-¥
36
MTH101-1-65 MODULE 3
นิยาม ให้ f เป็ นฟังก์ชนั ที/มีขอบเขตและอินทิเกรตได้บนช่วง [a, b] สําหรับ
ทุกจํานวนจริ ง a และ b ซึ/ง a < b ดังนัJนอินทิกรัลไม่ตรงแบบของ
f ( x)
บนช่วง ( -¥ , + ¥ ) นัน/ คือ
+¥
ò
+¥
ò
-¥
c
f ( x) dx =
-¥
ò
f ( x) dx +
-¥
f ( x) dx นิ ยามโดย
+¥
ò
f ( x) dx
โดยที/ c Œ!
c
หมายเหตุ ในทํานองเดียวกัน
•
•
+¥
ò
f ( x) dx
ลู่เข้า ถ้าอินทิกรัลทัJงสองเทอมทางขวาลู่เข้า
ò
f ( x) dx
ลู่ออก
-¥
+¥
-¥
ถ้าอินทิกรัลเทอมใดเทอมหนึ/งหรื อทัJงสอง เทอมทางขวาลู่ออก
Ex1 Evaluate
+¥
ò
1
Sol
+¥
ò
1
1
dx .
x3
1
dx = lim
3
t ®¥
x
ò
1
t
1
dx
3
x
t
1
é 1 ù
æ1 1 ö
= lim ê - 2 ú = lim ç - 2 ÷ =
t ®¥ 2
t ®¥
2
2t ø
è
ë 2x û 1
Thus, the improper integral converges to 1 / 2 .
37
MTH101-1-65 MODULE 3
+¥
Ex2 Evaluate
ò
1
+¥
Sol
ò
1
1
dx
x
1
dx = lim
t ®¥
x
ò
t
1
1
dx
x
= lim [ ln| x | ]1
t
t ®¥
= lim ( ln | t | - ln1) = + ¥
t ®¥
Thus, the improper integral diverges.
1
ò-¥ 1 + x 2 dx
choose c = 0 ดังนัJน
Ex 3 Find
Sol
+¥
+¥
ò
-¥
0
1
1
dx
=
dx +
2
2
ò
1+ x
1+ x
-¥
+¥
ò
0
0
1
dx
2
1+ x
1
= lim ò
dx + lim
2
t ®-¥
t ®+¥
1+ x
t
0
t
1
ò0 1 + x 2 dx
t
= lim éë tan x ùû + lim éë tan x ùû
t
0
t ®-¥
t ®+¥
-1
-1
= lim éë0 - tan -1 t ùû + lim éë tan -1 t - 0 ùû
t ®-¥
t ®+¥
38
MTH101-1-65 MODULE 3
+¥
ò
-¥
1
dx
2
1+ x
Thus, the improper integral
p
=
+¥
2
+
p
converges to p .
1
dx
2
1+ x
ò
-¥
= p
2
2.3 การหาค่ าของอินทิกรัลไม่ ตรงแบบ ชนิดที: 2
นิยาม ให้ a และ b เป็ นจํานวนจริ งซึ/ง a < b โดยที/ f เป็ นฟังก์ชนั มี
ขอบเขตและอินทิเกรตได้บนช่วง [t , b] ทุก t ซึ/ง a < t < b และ f มี
ความไม่ต่อเนื/องแบบอนันต์ที/ x = a นัน/ คือ
lim f ( x) = ± ¥
x ®a +
ดังนัJนอินทิกรัลไม่ตรงแบบของ
f ( x)
บนช่วง [ a, b] นิยามโดย
b
ò
หมายเหตุ
b
f ( x) dx = lim+
t ®a
a
• ถ้าลิมิตหาค่าได้ จะได้วา่
ò f ( x) dx
b
ò
f ( x) dx
t
ลู่เข้า
a
• ถ้าลิมิตหาค่าไม่ได้ จะได้วา่
b
ò
f ( x) dx
ลู่ออก
a
39
MTH101-1-65 MODULE 3
นิยาม ให้ a และ b เป็ นจํานวนจริ งซึ/ง a < b โดยที/ f เป็ นฟังก์ชนั มี
ขอบเขตและอินทิเกรตได้บนช่วง [ a, t ] ทุก t ซึ/ง a < t < b และ
f
มี
ความไม่ต่อเนื/องแบบอนันต์ที/ x = b นัน/ คือ
lim f ( x) = ± ¥
x ®b -
ดังนัJนอินทิกรัลไม่ตรงแบบของ
f ( x)
บนช่วง [ a, b] นิยามโดย
b
ò
t
f ( x) dx = limt ®b
a
หมายเหตุ
• ถ้าลิมิตหาค่าได้ จะได้วา่
b
ò
f ( x) dx
ò f ( x) dx
a
ลู่เข้า
a
• ถ้าลิมิตหาค่าไม่ได้ จะได้วา่
b
ò
ลู่ออก
f ( x) dx
a
นิยาม ให้ a และ b เป็ นจํานวนจริ งซึ/ง a < b โดยที/ f เป็ นฟังก์ชนั
ที/มีขอบเขตและอินทิเกรตได้บนช่วง [ a, b] และมีความไม่ต่อเนื/อง แบบ
อนันต์ที/ x = c ในช่วง (a, b) ดังนัJนอินทิกรัลไม่ตรงแบบของ f บนช่วง
[ a, b] นิยามโดย
b
c
b
a
a
c
ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx
40
MTH101-1-65 MODULE 3
หมายเหตุ
•
•
b
ò
f ( x) dx
ลู่เข้า ถ้าอินทิกรัลทัJงสองเทอมขวาลู่เข้า
ò
f ( x) dx
ลู่ออก ถ้าเทอมใดเทอมหนึ/งหรื อทัJงสองเทอมทางขวาลู่ออก
a
b
a
Ex 1 Evaluate
2
dx
ò1 1 - x
Sol
.
2
dx
ò1 1 - x = lim
t ®1+
2
ò
t
dx
1- x
= lim+ [ - ln |1 - x |] t
2
t ®1
= lim ( - ln | -1| + ln |1 - t | )
t ®1+
= 0 + lim+ ln |1 - t | = - ¥
t ®1
Thus, the integral
2
dx
ò1 1 - x
diverges .
41
MTH101-1-65 MODULE 3
2.4 การหาค่ าของอินทิกรัลไม่ ตรงแบบ ชนิดที: 3
0
Ex 1 Evaluate
1
ò-¥ x3 dx
-1
0
0
1
1
1
dx
=
dx
+
ò-¥ x3 -¥ò x3 -ò1 x3 dx
Sol
Consider
-1
-1
-1
1
1
é -1 ù
é -1 ù -1
=
lim
dx
=
lim
dx
=
lim
+ 0ú =
ò-¥ x3 a®-¥ òa x3
- ê
a ®-¥ ê 2 x 2 ú
b
®
0
ë
ûa
ë2
û 2
b
b
1
1
é -1 ù
é -1 1 ù
=
lim
dx
=
lim
dx
=
lim
+ ú = +¥
2ú
2
ò-1 x3 b®0- -ò1 x3
- ê
b ® 0- ê
b
®
0
2û
ë 2 x û -1
ë 2b
0
0
1
ò-¥ x3 dx
Hence
diverge.
Ex 2 Set up the following improper integrals in terms of the limit of the
integral.
1)
¥
ò
-3
Sol
dx
x+2
¥
ò
-3
dx
=
x+2
-2
=
ò
-3
-2
ò
-3
dx
+
x+2
dx
+
x+2
0
ò
-2
¥
ò
-2
dx
x+2
dx
+
x+2
¥
ò
0
dx
x+2
42
MTH101-1-65 MODULE 3
3.
อินทิกรัลเชิงตัวเลข (Numerical Integration)
b
พิจารณาการหาค่าอินทิกรัลจํากัดเขต ò f ( x) dx
a
โดยทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลสั (Fundamental Theorem of Calculus) จะ
ได้วา่
b
ò f ( x) dx = F (b) - F (a)
a
โดยที/ F ( x) คือ ปฏิยานุพนั ธ์ (antiderivative) ของ f ( x)
ในบางกรณี การหาปฏิยานุพนั ธ์ของฟังก์ชนั f ( x) นัJนทําได้ยากหรื อไม่
สามารถหาได้ในรู ปของฟังก์ชนั มูลฐาน (elementary function)
1
เช่น ò e
0
x2
2
dx
, ò sin( x 2 ) dx เป็ นต้น
1
หมายเหตุ ฟังก์ชนั มูลฐานคือฟังก์ชนั พหุนาม(polynomial functions)
ฟังก์ชนั ตรรกยะ(rational functions) ฟังก์ชนั กําลัง(power functions) ฟังก์ชนั
เลขชีJกาํ ลัง(exponential functions) ฟังก์ชนั ลอการิ ทึม(logarithmic functions)
ฟังก์ชนั ตรี โกณมิติและตรี โกณมิติผกผัน(trigonometric and inverse
trigonometric functions) ฟังก์ชนั ไฮเพอร์โบลิกและไฮเพอร์โบลิกผกผัน
(hyperbolic and inverse hyperbolic functions) และทุกฟังก์ชนั ที/เกิดจากการ
บวก ลบ คูณ หาร และคอมโพสิ ทของฟังก์ชนั เหล่านีJ
43
MTH101-1-65 MODULE 3
b
ในหัวข้อนีJจะศึกษาวิธีการประมาณค่าของอินทิกรัลจํากัดเขต ò f ( x) dx วิธี
a
หนึ/งก็คือการประมาณโดยใช้ผลบวกรี มนั น์ (Riemann sum) เริ/ มต้นโดยการ
แบ่ง [a, b] ออกเป็ น n ช่วงเท่าๆกัน แต่ละช่วงกว้าง h =
b-a
n
และให้
xi = a + ih, i = 0,1, 2,!, n
จะได้วา่
b
n
a
i =1
*
ò f ( x) dx » å f ( xi )h
โดยที/ xi* เป็ นจุดใดๆในช่วง [ xi -1 , xi ]
ถ้าเลือก xi* เป็ นจุดปลายทางซ้ายของช่วง [ xi -1 , xi ] นัน/ คือ xi* = xi -1
และกําหนด yi = f ( xi ), i = 0,1, 2,!, n จะได้
b
n
n
a
i =1
i =1
ò f ( x) dx » Ln = å f ( xi -1)h = å yi -1h
รู ปที: 1 การประมาณด้วยจุดปลายทางซ้าย
44
MTH101-1-65 MODULE 3
ในทํานองเดียวกัน ถ้าเลือก xi* เป็ นจุดปลายทางขวาของช่วง [ xi -1 , xi ] นัน/
คือ xi* = xi จะได้
b
n
n
a
i =1
i =1
ò f ( x) dx » Rn = å f ( xi )h = å yi h
รู ปที: 2 การประมาณด้วยจุดปลายทางขวา
เรี ยก Ln ว่าการประมาณด้วยจุดปลายทางซ้าย และ Rn ว่า การประมาณด้วย
จุดปลายทางขวา จะเห็นว่า Ln และ Rn เป็ นการประมาณพืJนที/ใต้กราฟของ
ฟังก์ชนั f โดยการแบ่งพืJนที/ออกเป็ น n ส่ วนบนช่วง [ xi -1 , xi ] และ
ประมาณพืJนที/แต่ละส่ วนโดยใช้พJืนที/ของสี/ เหลี/ยมผืนผ้าที/มีความกว้าง h
และสู ง f ( xi* ) ( xi* = xi -1 สําหรับ Ln และ xi* = xi สําหรับ Rn )
นอกจากนีJยงั มีวธิ ีอื/นอีกหลายวิธีที/ให้ค่าประมาณดีกว่าวิธีจุดปลายทางซ้าย
และวิธีจุดปลายทางขวา ดังเช่น 2 วิธีต่อไปนีJ
45
MTH101-1-65 MODULE 3
3.1 กฎสี8 เหลีย8 มคางหมู (Trapezoidal Rule)
แนวคิดของวิธีนJ ี คือจะประมาณฟั งก์ชนั ที/ตอ้ งการอินทิเกรต(ซึ/ งหาปฎิ
ยานุ พนั ธ์ได้ยากหรื อหาไม่ได้) ด้วยฟั งก์ชนั ที/ไม่ซบั ซ้อน(ซึ/ งหาปฎิยานุ พนั ธ์
ได้ง่ายกว่า) ในที/นJ ีกค็ ือฟังก์ชนั เชิงเส้น
เช่นเดียวกันกับวิธีจุดปลายทางซ้ายและจุดปลายทางขวา จะแบ่ง [a, b]
ออกเป็ น n ช่ วงเท่าๆกัน จะประมาณพืJนที/ใต้เส้นโค้ง y = f ( x) บนช่ วง
[ xi -1 , xi ] ด้วยพืJนที/ใต้เส้นตรงที/ผา่ นจุด ( xi -1 , yi -1 ) และ ( xi , yi ) พืJนที/ใต้
เส้นตรงดังกล่าวคือพืJนที/ของสี/ เหลี/ยมคางหมูที/มีดา้ นคู่ขนานยาว yi -1 และ
yi และมีความกว้าง h ดังรู ปที/ 3
รู ปที: 3 กฎสี/ เหลี/ยมคางหมู
ดังนัJนพืJนที/ของสี/ เหลี/ยมคางหมูบนช่วง [ xi -1 , xi ] คือ
1
´ h ´ ( yi -1 + yi )
2
ถ้ารวมพืJนที/สี/เหลี/ยมคางหมูทJ งั หมด จะได้ค่าประมาณของพืJนที/ใต้กราฟ
y = f ( x) บนช่วง [a, b] นัน
/ คือ
46
MTH101-1-65 MODULE 3
b
ò
f ( x) dx » Tn =
a
โดยที/
h=
h
( y0 + 2 y1 + 2 y2 + ! + 2 yn -1 + yn )
2
b-a
, xi = a + ih, yi = f ( xi )
n
ตัวอย่ าง 1 จงใช้กฎสี/ เหลี/ยมคางหมูประมาณค่าของอินทิกรัล
2
1
ò x dx
1
โดยใช้ n = 4
วิธีทาํ
a = 1, b = 2, n = 4
ดังนั=น h = b - a = 0.25
n
xi = a + ih = 1 + 0.25i, i = 0,1, 2,3, 4
ดังนั=น
i
xi
0
1
2
3
4
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
yi = f ( xi ) =
1.000000
0.800000
0.666667
0.571429
0.500000
1
xi
47
MTH101-1-65 MODULE 3
2
1
0.25
dx
»
T
=
(1 + 2(0.8) + 2(0.666667) + 2(0.571429) + 0.5 )
òx
4
2
1
= 0.697024
หมายเหตุ
2
ค่าที&แท้จริ งของ ò 1 dx คือ [ln x ]12 = ln 2 = 0.693147...
1
x
ตัวอย่ าง 2 จงใช้กฎสี/ เหลี/ยมคางหมูประมาณค่าของอินทิกรัล
1
x2
ò e dx โดยใช้ n = 4
0
วิธีทาํ
a = 0, b = 1, n = 4
ดังนั=น h = b - a = 0.25
n
xi = a + ih = 1 + 0.25i, i = 0,1, 2,3, 4
ดังนั=น
i
xi
0
1
2
3
4
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
yi = f ( xi ) = e
xi2
1.00000
1.06449
1.28403
1.75505
2.71828
48
MTH101-1-65 MODULE 3
1
òe
0
x2
dx » T4 =
0.25
(1 + 2(1.06449) + 2(1.28403) + 2(1.75505)
2
+ 2.71828)
= 1.49068
3.2 กฎของซิมป์ สั น (Simpson’s Rule)
แนวคิ ด ของวิ ธี นJ ี คล้า ยกับ กฎสี/ เ หลี/ ย มคางหมู ต่ า งกัน ตรงที/ วิ ธี นJ ี จะ
ประมาณฟั งก์ชันที/ ตอ้ งการอิ นทิ เกรตด้วยพาราโบลาบนช่ วงย่อย 2 ช่ วงที/
ติดกันดังรู ปที/ 4
รู ปที: 4 กฎของซิ มป์ สัน
เริ& มจากการแบ่งช่วง [a, b] ออกเป็ น n ช่วงเท่าๆกัน โดยที8 n ต้ องเป็ น
เลขคู่เท่ านัJน พิจารณาการหาพื=นที&ใต้เส้นโค้งพาราโบลาที&ผา่ นจุด
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )
49
MTH101-1-65 MODULE 3
เพื&อให้การคํานวณง่ายขึ=น จะพิจารณาการหาพื=นที&ใต้เส้นโค้ง
พาราโบลาที&ผา่ นจุด (-h, y0 ), (0, y1 ), (h, y2 ) บนช่วง [-h, h]
ดังรู ปที& 5
รู ปที: 5
เนื&องจากสมการของพาราโบลาคือ
y = Ax 2 + Bx + C
h
é x3
ù
x2
2
Ax
+
Bx
+
C
dx
=
A
+
B
+
Cx
)
ò(
ê 3
ú
2
-h
ë
û-h
h
= éë 2 Ah 2 + 6C ùû
3
เนื&องจากพาราโบลาผ่านจุด (-h, y0 ), (0, y1 ), (h, y2 )
h
ดังนั=น
(*)
ดังนั=น
y0 = A(-h) 2 + B (-h) + C = Ah 2 - Bh + C
y1 = C
y2 = Ah 2 + Bh + C
50
MTH101-1-65 MODULE 3
ทําให้ได้วา่
y0 + 4 y1 + y2 = 2 Ah 2 + 6C
ดังนั=นอินทิกรัลในสมการ (*) สามารถเขียนในเทอมของ
เป็ น
y0 , y1 , y2
ได้
h
2
2
ò ( Ax + Bx + C ) dx = éë 2 Ah + 6C ùû
3
-h
h
=
h
[ y0 + 4 y1 + y2 ]
3
โดยการเลื&อนจุดทั=งสามในแนวราบด้วยระยะ x0 + h จะได้วา่ พื=นที&ใต้
เส้นโค้งพาราโบลาที&ผา่ นจุดทั=งสาม(หลังการเลื&อน)ยังคงเท่าเดิม นัน& คือ
พื=นที&ใต้เส้นโค้งพาราโบลาที&ผา่ นจุด ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) บน
ช่วง [ x0 , x2 ] มีค่าเท่ากับ
h
[ y0 + 4 y1 + y2 ]
3
ในทํานองเดียวกัน จะได้วา่ พื=นที&ใต้เส้นโค้งพาราโบลาที&ผา่ นจุด
( x2 , y2 ), ( x3 , y3 ), ( x4 , y4 ) บนช่วง [ x2 , x4 ] คือ
ดังนั=น พื=นที&ใต้เส้นโค้ง
h
[ y2 + 4 y3 + y4 ]
3
y = f ( x) บน [a, b]สามารถประมาณได้ดว้ ย
ผลรวมของพืJนที/ใต้เส้นโค้งพาราโบลาบนช่วงย่อย [ x0 , x2 ], [ x2 , x4 ],
!,[ xn-2 , xn ]
51
MTH101-1-65 MODULE 3
b
x2
x4
xn
a
x0
x2
xn - 2
ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx + ! + ò f ( x) dx
h
h
y
+
4
y
+
y
+
[ 0 1 2 ] [ y2 + 4 y3 + y4 ] +!
3
3
h
+ [ yn - 2 + 4 yn -1 + yn ]
3
»
=
h
[ y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + 2 y4 + ! + 2 yn -2 + 4 yn -1 + yn ]
3
กฎของซิมป์ สั น
b
h
f
(
x
)
dx
»
S
=
[ y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + 2 y4 + !
ò
n
3
a
+2 yn - 2 + 4 yn -1 + yn ]
ตัวอย่ าง 3 จงใช้กฎของซิมป์ สันประมาณค่าของอินทิกรัล
2
1
ò x dx
1
โดยใช้ n = 4
วิธีทาํ โดยใช้ตารางในตัวอย่างที& 1 จะได้
2
1
0.25
dx
»
S
=
(1 + 4(0.8) + 2(0.666667) + 4(0.571429) + 0.5 )
òx
4
3
1
= 0.693254
52
MTH101-1-65 MODULE 3
ข้ อสั งเกต เมื/อเปรี ยบเทียบค่าที/ได้จากกฎสี/ เหลี/ยมคางหมูและกฎของซิ มป์
สันจะเห็นว่าค่าที/ได้จากกฎของซิ มป์ สันใกล้เคียงกับค่าที/แท้จริ งมากกว่า
ตัวอย่ าง 4 จงใช้กฎของซิมป์ สันประมาณค่าของอินทิกรัล
1
x2
ò e dx โดยใช้ n = 4
0
วิธีทาํ โดยใช้ตารางในตัวอย่างที& 2 จะได้
1
òe
0
x2
dx » S4 =
0.25
(1 + 4(1.06449) + 2(1.28403) + 4(1.75505)
3
+ 2.71828)
= 1.46371
53
MTH101-1-65 MODULE 3
Exercise 2
1 Determine whether the following integrals converges or diverges.
When the integral does converge, what is its value ?
¥
¥
ò
1
dx
2
( x + 1)
ò
ln x
dx
x
ò
1
dx
x
1+ 2
1.7
ò
1
dx
2
x +4
1.8
1.9
ò
xe - x dx
1.10 ò e- x cos x dx
1. 1.1
1.3
1.5
2
¥
1
¥
0
¥
2
¥
0
¥
1.11 ò
1.13
0
1
1
ò-¥ 3 - 2 x dx
-1
1.15 ò
1.17
1.19
1
dx
2x
x
e +e
x
dx
1+ x
ex
ò-¥ 3 - 2e x dx
-¥
0
0
2
1
ò-¥ 2 x 2 + 2 x + 1 dx
1.2
ò cos x dx
0
¥
1
dx
3
x ln x
1.4
ò
1.6
x
ò-1 1 + x 2 dx
e
¥
¥
ò
0
¥
1
e
x
dx
0
¥
1.12 ò
1
0
1
x (1 + e )
x 2
dx
1.14 ò e3x dx
1.16
1.18
1.20
-¥
0
1
ò-¥ (1 - x)5/2 dx
0
1
ò-¥ ( x - 8)2/3 dx
¥
| x + 1|
ò-¥ x 2 + 1 dx
54
MTH101-1-65 MODULE 3
¥
1.21 ò
1.23
-¥
¥
¥
x2
dx
2
x +1
x
dx
2
2
( x + 3)
-¥
1.22 ò
¥
1
ò-¥ e x + e- x dx
1.24 ò
¥
2 Find a such that ò e- ax dx
¥
3 Show that ò
1
xe
- x2
dx
-¥
= 5.
0
1
dx
p
x
converges for
p >1
and diverges for
p £ 1.
4 Find the area of the region that lies between the curve
y=
8
x2 - 4
and the x -axis for x ³ 3 .
5 Find the area of the region that lies between the curves y = 1 and
y=
1
x2
x
when
x Î [1, ¥ )
0 £ y £ x -3/ 2 }
6 Let
และ
find
6.1 the area of the region R
6.2 the volume of the solid generated by revolving the region R
R = {( x, y ) | x ³ 4
about the x -axis .
55
MTH101-1-65 MODULE 3
7 Let R be the region that lies between the curve y =
x -axis, for x ³ 0 .
4
and
x2 + 1
Find 7.1 the area of the region R
7.2 the volume of the solid generated by revolving the region
R about the x -axis .
Answers to Exercise 2
1. 1.1 1/ 3
1.3 ลู่ออก
1.5 1
1.7 p / 8
1.9 1
1.11 1 - ln 2
1.2 ลู่ออก
1.4 1/ 2
1.6 ลู่ออก
1.8 2
1.10 1/ 2
1.12 2 æç ln(1 + e) - 1 è
1.13 ลู่ออก
1.15 ลู่ออก
1.17 1 ln 3
1.14 1/ 3
1.16 2 / 3
1.18 ลู่ออก
1.19 3p / 4
1.21 ลู่ออก
1.20 ลู่ออก
1.22 0
2
1 ö
÷
1+ e ø
56
MTH101-1-65 MODULE 3
1.23
2 1/ 5
5 ไม่มีค่า
1. 6.1 1 square unit
1.7.1
1.24
p /2
2p
0
4 2 ln 5 ตารางหน่วย
square units
6.2
p / 32
7.2
4p 2
cubic units
cubic units
Exercise 3
1 Determine whether the following integrals converges or diverges.
When the integral does converge, what is its value ?
1.1
1.3
1.5
1.7
1.9
9
1
ò0 x dx
4
1
ò3 ( x - 3)2 dx
2
x
ò1 x - 1 dx
p /6
cos x
ò0 1 - 2sin x dx
2
2x +1
ò0 x 2 + x - 6 dx
1
1
1.2
ò
1.4
ò
1.6
ò x ln x dx
1.8
1.10
0
4
0
1
dx
1- x
1
dx
3/2
(4 - x)
2
0
p /2
ò
sec 2 x dx
0
1
ò ln x dx
0
57
MTH101-1-65 MODULE 3
4
1.11
ò
ln x
dx
x
1.12
1.13
x
ò2 3 x - 2 dx
8
1
ò-1 3 x dx
1
1
ò-1 | x | dx
1.14
1.15
1.17
1.19
1.21
1.23
0
4
3
1.16
1.18
1
ò
1- x
2
x
ò0 ( x 2 - 1)2 dx
7
1
ò-2 ( x + 1)2/3 dx
4
ò
1
dx
( x - 3)7
ò
x
dx
( x 2 - 4)3
2
3
ò
ò
1
1
cos dx
x2
x
1.22
ò
1
ò-1 x 2 - x - 2 dx
1.24
ò
0
2
-1
2
1
2 Show that the integral ò
0
diverges for
1
dx
xp
dx
0
1
dx
x2 + 2x - 3
1.20
1
1
2
0
1
0
1
dx
2x - x
1
dx
x(ln x)1/5
2
converges for
p < 1 , and
p ³1
3 Find the area that lies between the curve y =
1
(1 - x) 2
and x -
axis for x Î [0, 4] .
4 Find (a) the area between the region R
(b) the volume of the solid generated by revolving the
region R about the x -axis .
58
MTH101-1-65 MODULE 3
R = {( x, y ) | -4 £ x £ 4
For 4.1
4.2
R = {( x, y ) | 0 £ x £ 1
and 0 £ y £ 1/ ( x + 4) }
and 0 £ y £ 1/ x } .
5 Find the area that lies between the curves
y=
1
x( x + 1)
2
for
1
y=
x
and
x Î [0,1] .
Answers to Exercise 3
1
1. 1.1 6
1.3 diverges
1.5 8 / 3
1.7 1
1.9 diverges
1.11 4(ln 2 - 1)
1.13 213 4 / 5
1.15 9 / 2
1.17 4
1.19 diverges
1.21 diverges
1.23 diverges
1.2
1.4
1.6
1.8
1.10
1.12
1.14
1.16
1.18
1.20
1.22
1.24
p /2
diverges
-1/ 4
diverges
-1
8/3
diverges
3
diverges
diverges
p
diverges
59
MTH101-1-65 MODULE 3
3 does not exist
4.1
4.2
5
(a) does not exist
(a) 2 square units
1
ln 2
2
(b) does not exist
(b) does not exist
square units
Exercise 4
1 Determine whether the following integrals converges or diverges.
When the integral does converge, what is its value ?
¥
¥
ò
1
dx
2/3
( x - 1)
1.2
ò
ò
1
dx
2
x -1
1.4
ò
ò
x -0.1dx
1.6
1.7
ò
1
dx
2
x - 6x + 8
1.8
1.9
1
ò2 ( x + 7) x - 2 dx
¥
1
ò-¥ x 2 - 3x + 2 dx
1.10
1
ò0 x ( x + 4) dx
¥
x
ò0 1 - x dx
¥
1
ò-¥ x 2 + 2 x + 1 dx
1. 1.1
1.3
1.5
1.11
0
¥
-1
¥
0
¥
1
¥
1.12
1
¥
1
¥
1
x x -1
1
dx
x ln x
2
dx
¥
ex
ò-¥ e x - 1 dx
60
MTH101-1-65 MODULE 3
Answers to Exercise 4
1. 1.1
1.3
1.5
1.7
1.9
1.11
diverges
diverges
diverges
diverges
p /3
diverges
1.2
1.4
1.6
1.8
1.10
1.12
p /2
diverges
p /2
diverges
diverges
diverges
61
MTH101-1-65 MODULE 3
ภาคผนวก
หัวข้ ออ่ านเสริมเพิม8 เติมท้ ายบท
62
MTH101-1-65 MODULE 3
การประยุกต์ ของอินทิกรัลไม่ จาํ กัดเขต
เมื/อพิจารณาความหมายของตัวคงที/ใด ๆ c ซึ/งบวกเข้าไปทุก ๆ ครัJงที/หา
อินทิกรัลไม่จาํ กัดเขต จาก y = F ( x) + c เป็ นสมการที/ไม่เจาะจงค่า c ถ้า
ต้องการหาค่า c ที/เฉพาะเจาะจงลงไปว่าเป็ นค่าอะไรนัJนจะต้องกําหนด
เงื/อนไขเริ/ มต้น ( x0 , y0 ) ให้ แล้วหาค่า c จากสมการ
c = y0 - F ( x0 )
(1)
อินทิกรัลไม่จาํ กัดเขตสามารถนําไปประยุกต์กบั ปั ญหาต่างๆ ดังเช่น
ตัวอย่ าง 1 จงหาสมการเส้นโค้งที/มีความชันที/จุด ( x, y ) ใดๆ เป็ น 3x 2 และ
จงหาสมการเส้นโค้งที/ผา่ นจุด (1, -1) ด้วย
วิธีทาํ ความชันที/จุด ( x, y ) ใดๆกําหนดโดยสมการเชิงอนุพนั ธ์
y = x3 - 2
y
dy
= 3 x 2 , dy = 3 x 2 dx
dx
y = ò dy = ò 3 x 2 dx = x 3 + c
(2)
สมการ y = x3 + c เป็ นชุดเส้นโค้ง
1
-2
ดังรู ป พิจารณาหาสมการเส้นโค้งที/ผา่ น
จุด (1, -1) เงื/อนไขเริ/ มต้นคือ x = 1และ
y = -1 หาค่า c โดยแทนค่า x, y ในสมการ (2)
x
-1 = 13 + c
,
c = -2
นัน/ คือ y = x3 - 2 เป็ นเส้นโค้งเฉพาะที/ผา่ นจุด (1, -1)
ตัวอย่ าง 2 ถ้ากําหนดความเร็ วการเคลื/อนที/ของวัตถุที/เวลา t เป็ น v = at เมื/อ
ั ของ t
a เป็ นค่าคงที/ และถ้า t = 0 , ระยะทาง s = s0 จงหา s ที/เป็ นฟังก์ชน
63
MTH101-1-65 MODULE 3
วิธีทาํ
ds
v=
= at
dt
ความเร็ ว
ds = atdt
at 2
s = ò atdt =
+c
2
เงื/อนไขเริ/ มต้นคือ t = 0 , s = s0 หาค่า c
นัน/ คือ
a (0) 2
s0 =
+ c , c = s0
2
at 2
ระยะทาง s =
+ s0
2
ตัวอย่ าง 3 วัตถุหนึ/งพุง่ ขึJนไปในอากาศด้วยความเร็ วต้น 256 ฟุตต่อวินาที
กําหนดให้ความเร่ งขึJนอยูก่ บั แรงดึงดูดของโลก คือ g = -32 ฟุตต่อ(วินาที)
2
จงหาว่า
ก. วัตถุขJ ึนสู งสุ ดเท่าไร
ข. วัตถุถึงพืJนเมื/อไร
วิธีทาํ ให้ y แทนระยะที/วตั ถุขJ ึนจากพืJน t วินาที หลังจากเริ/ มต้น
เมื/อเวลา t = 0 , y = 0 , v = 256
p
ความเร่ ง
y
dv
a=g=
= -32 , dv = -32dt
dt
v = ò (-32)dt = -32t + c1
เงื/อนไข t = 0 , v = 256 จะได้ c1 = 256
ความเร็ ว v = -32t + 256 =
dy = ( -32t + 256 ) dt
dy
dt
(3)
64
MTH101-1-65 MODULE 3
y = ò dy = ò ( -32t + 256 )dt = -16t 2 + 256t + c2
เมื/อ
t =0 , y=0
จะได้
c2 = 0
y = -16t 2 + 256t
(4)
สมการ (4) นีJคือ กฎการเคลี/อนที/ของวัตถุที/พงุ่ ขึJนไป
ก.) ถ้าวัตถุขJ ึนสู งสุ ด แสดงว่า v = 0 หาค่า t จากสมการ (3)
256
0 = -32t + 256 , t =
=8
32
หาระยะทาง y จากสมการ (4)
y = -16(82 ) + 256(8) = 1024
ฟุต
ข.) วัตถุตกถึงพืJน แสดงว่า y = 0 หาค่า t จากสมการ (4)
0 = -16t 2 + 256t = -16t (t - 16)
t = 0 , 16
แสดงว่าวัตถุตกถึงพืJนเมื/อเวลาผ่านไป 16 วินาที
ตัวอย่ าง 4 สมมุติวา่ เบรครถยนต์คนั หนึ/งผลิตมาโดยมีอตั ราการลดของ
ความเร็ วคงที/เป็ น k ฟุต / (วินาที) 2 จงหาว่า
65
MTH101-1-65 MODULE 3
ก.) k ที/ทาํ ให้รถซึ/งวิง/ มาด้วยความเร็ ว 60 ไมล์ / ชัว/ โมง หรื อ 88 ฟุต /
วินาที หยุดลงในระยะทาง 100 ฟุต จากจุดที/เริ/ มเบรค
ข.) จากค่า k ในข้อ ก.) จงหาระยะทางที/รถจะหยุดหลังจากใช้เบรค เมื/อ
รถวิง/ ด้วยความเร็ ว 30 ไมล์ / ชัว/ โมง
dy
= -k
dt
ò dv = ò ( -k )dt
วิธีทาํ ก.)
v = -kt + c1
,
t = 0 , v = 88
v = -kt + 88
dv = - kdt
,
จะได้ c1 = 88
(5)
หา t ที/ทาํ ให้รถซึ/งวิง/ มาด้วยความเร็ ว v = 88 ฟุต / วินาที หยุดลง คือหา t
เมื/อความเร็ ว v = 0 จากสมการ (5) จะได้
0 = - kt + 88
v=
เมื/อ
,
dx
= - kt + 88
dt
t=
88
k
(6)
kt 2
x = ò ( - kt + 88 )dt = + 88t + c2
2
c2 = 0
จะได้
t =0 , x=0
แทนค่า
kt 2
x=+ 88t
2
88
t=
ในสมการ (7) จะได้
k
2
k æ 88 ö
æ 88 ö
x = - ç ÷ + 88 ç ÷
2è k ø
è k ø
(7)
(8)
66
MTH101-1-65 MODULE 3
ถ้า x = 100 หา k จากสมการ (8) จะได้
1 ( 88 ) ( 88 )
1 ( 88 )
100 = +
=
2 k
k
2 k
2
88 )
(
968
ฟุต / (วินาที) 2
k=
=
200
25
2
ข.)
2
2
v = 30 ไมล์ / ชัว/ โมง หรื อ 44 ฟุต / วินาที
968
v = -kt + c1
k=
โดยที/
25
c1 = 44
แทนค่า t = 0 , v = 44 จะได้
44 - v
t=
v = -kt + 44
หรื อ
k
44
t=
หา t ที/ v = 0
ได้
k
dx
v=
= - kt + 44
dt
x = ò vdt = ò ( -kt + 44 ) dt
kt 2
x=+ 44t + c2
2
แทนค่า t = 0 , x = 0 จะได้ c2 = 0
kt 2
x=+ 44t
2
67
MTH101-1-65 MODULE 3
2
k æ 44 ö
æ 44 ö
= - ç ÷ + 44 ç ÷
2è k ø
è k ø
2
44
442
=+
2k
k
442
442 æ 25 ö
=
=
ç
÷ = 25 ฟุต
2k
2 è 968 ø
แสดงว่ารถหยุดในระยะทาง 25 ฟุต หลังจากใช้เบรค
ตัวอย่ าง 5 ในการหารายได้ทJ งั หมด R ( x ) จากการขายสิ นค้า x หน่วย
สามารถกําหนดได้ดว้ ยการอินทิเกรตรายได้เพิ/ม
dR
,
dx
และใช้เงื/อนไข
เริ/ มต้นเพื/อคํานวณค่าคงที/ของการอินทิเกรต
ให้ x แทนปริ มาณสิ นค้าซึ/งมีค่าสู งสุ ดเท่ากับ L ทางบริ ษทั พบว่า
รายได้เพิ/ม คือ
dR
4
= 5+
2
dx
( 2 x + 1)
จงหา R ( x ) เมื/อ 0 £ x £ L ถ้า R ( x ) = 0
æ
ö
dR
4
4
= 5+
, dR = ç 5 +
÷ dx
วิธีทาํ
2
2
ç
dx
( 2 x + 1)
( 2 x + 1) ÷ø
è
4
dR
=
5
dx
+
dx
ò
ò
ò
2
( 2 x + 1)
2
R( x) = 5 x +c
2x +1
2
+c , c = 2
เมื/อ R(0) = 0 จะได้ 0 = 0 0 +1
68
MTH101-1-65 MODULE 3
ดังนัJน ฟังก์ชนั ของรายได้สาํ หรับ 0 £ x £ L คือ
R( x) = 5 x -
2
+2
2x +1
แบบฝึ กหัด
1. จงหาชุดของเส้นโค้งที/มีความชันที/จุด ( x, y ) ใด ๆ เท่ากับ 3x 2
2. กําหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที/จุด ( x, y ) เป็ น 2 x + 1 เส้นโค้ง
นีJผา่ นจุด ( -4, 2 ) จงหาสมการเส้นโค้ง
3.
d2y
จงหาสมการของเส้นโค้งซึ/ง 2 = 1และมีความชัน -2 ที/จุด ( 3,1)
dx
4.
จงหาสมการของเส้นโค้งซึ/ง
2 x + y - 6 = 0 ที/จุด (1, 4 )
และสัมผัสเส้นตรง
y¢¢ = 6 x
5. จงหาสมการของเส้นโค้งซึ/ง y¢¢ = 6 x - 4 และผ่านจุด (1, 2 ) , ( -2,5 )
6. จงหา s ที/เป็ นฟังก์ชนั ของ t เมื/อกําหนดให้ v =
t = 0 , s = s0
ds
dt
และที/เวลา
6.1 v = 2t + 1
6.2 v = ( t + 1)
6.3 v = ( t + 1)-2
6.4 v = 2 gs , g คงที/
2
2
69
MTH101-1-65 MODULE 3
7. จงหาความเร็ ว v และระยะทาง s เมื/อกําหนดให้
t = 0 , s = s0
และ
v = v0
7.1 a = g
dv
a=
dt
และที/
7.2 a = ( 2t + 1)3
8. วัตถุถูกขว้างขึJนไปจากพืJนดินด้วยความเร็ วต้น 128 ฟุต / วินาที ถ้า
ความเร่ ง = g = -32 ฟุต / (วินาที) 2 และไม่มีแรงอื/นกระทํานอกจากแรง
ดึงดูดจากโลก จงหา
8.1 กฎการเคลื/อนที/ของวัตถุ
8.2 ความสู งที/วตั ถุนJ นั จะขึJนไปได้สูงสุ ด
8.3 ความเร็ วขณะที/วตั ถุตกถึงพืJน
9. วัตถุตกจากหน้าต่างซึ/งสู ง 144 ฟุตจากพืJนดิน จงหาว่า
9.1 วัตถุตกถึงพืJนเมื/อไร
9.2 วัตถุตกถึงพืJนด้วยความเร็ วเท่าไร
10. โยนลูกหิ นขึJนไปจากหน้าต่างซึ/งสู ง 144 ฟุตเหนือพืJนดิน ด้วยความเร็ ว
ต้น 128 ฟุต / วินาที จงหา
10.1 ลูกหิ นขึJนสู งสุ ดเท่าไร
10.2 ลูกหิ นตกถึงพืJนด้วยความเร็ วเท่าไร
70
MTH101-1-65 MODULE 3
11. วัตถุเคลื/อนที/ดว้ ยความเร็ ว 16 ฟุต / วินาที ทันใดนัJนก็ลดความเร็ วลง ถ้า
อัตราการลดของความเร็ วเป็ นสัดส่ วนกับรากที/สองของความเร็ ว และวัตถุ
4
หยุดนิ/งภายใน วินาที จงหา
11.1 วัตถุเคลื/อนที/ดว้ ยความเร็ วเท่าไร หลังจากที/ลดความเร็ วได้ 2 นาที
11.2 ระยะทางที/วตั ถุเคลื/อนที/ไปจนกระทัง/ หยุดนิ/ง
12. 12.1 จงหารายได้ทJ งั หมด R ( x ) จากการขายของ x หน่วย ถ้ารายได้
เพิ/มเป็ นดอลลาร์ต่อหน่วยจาก 0 £ x £ 40 คือ dR = 125 - 100
และ
2
dx
x
x
รายได้จากการขาย 100 หน่วยแรกเป็ น $ 2400
12.2 จงหารายได้ที/เพิ/มขึJนจากการขาย 100 หน่วยถัดไป
13. จงแก้สมการเชิงอนุพนั ธ์ เมื/อกําหนดเงื/อนไขเริ/ มต้นให้ดงั ต่อไปนีJ
13.1
1
1
dy
= x 2 + x 4 , x = 0, y = -2
dx
13.2
dy x 2 + 1
= 2 , x = 1, y = 1
dx
x
คําตอบแบบฝึ กหัด
1.
y = x3 + c
2.
y = x 2 + x - 10
71
MTH101-1-65 MODULE 3
3.
x2
19
y=
- 5x +
2
2
4.
5.
y = x3 - 2 x 2 - 6 x + 9
6.1 s = t 2 + t + s0
6.2
t 5 2t 3
s= +
+ t + s0
5
3
6.3 s = -(t + 1)-1 + 1 + s0
y = x3 - 5 x + 8
1
2
6.4 s = s0 + t 2 gs0 + gt 2
1
2
7.1 v = gt + v0 , s = gt 2 + v0t = s0
7.2
1
1
t2 t4 t2
-2
v = - (2t + 1) + v0 + , s =
+ + + v0t + s0
4
4
30 6 2
8.1
y = -16t 2 + 128t
8.2 256 ฟุต
8.3 128 ฟุต / วินาที
9.1 3 วินาที
9.2 96 ฟุต / วินาที
10.1 400 ฟุตจากพืJนดิน
10.2 160 ฟุต / วินาที
11.1 4 ฟุต / วินาที
11.2
12.1 R( x) = 250 x +
12.3
64
3
ฟุต
100
- 101 12.2 $ 1,035.03
x
2 32 4 54
y = x + x -2
3
5
1
x
12.4 y = x - + 1
72