Handelshögskolan, Statistik Umeå universitet, 901 87 Umeå. www.umu.se Hemtentamen 2021-08-02 Kursens namn/moment Statistik A2 / Sannolikhetsteori Skrivtid* 9.00 – 13.30 Hjälpmedel** Miniräknare och formelsamling * Inkluderar tid för uppladdning av tentan till Canvas. ** Av naturliga skäl kan vi inte kontrollera tillgång till kurslitteratur eller andra informationskällor. Det är dock inte tillåtet att samarbeta eller ta hjälp av andra under tentamen. I och med att du lämnar in din tentamen försäkrar du att du inte givit eller fått otillåten hjälp av någon annan person. All misstanke om fusk kommer att anmälas till disciplinnämnden. Viktig information: • • • Lämna in dina lösningar under Uppgifter genom att ladda upp ETT pdf-dokument. Dokumentet ska vara läsbart (kontrollera kvaliteten) och uppgifterna ska vara i rätt ordning. Sätt ett larm så att du inte missar inlämningstiden! Det är inte möjligt att lämna in tentan efter sluttid, utan du hänvisas då till nästa provtillfälle. För uppgift 1 krävs endast korta lösningar. För övriga uppgifter krävs fullständiga lösningar. Statistik A2, Moment 1 Förväntade studieresultat (FSR): De FSR som examineras vid denna tentamen är: o o o o att kunna beskriva stokastiska variabler och deras egenskaper, att kunna beräkna sannolikheter för de situationer som behandlas i kursen, att kunna tillämpa grundläggande satser inom sannolikhetsteorin, beskriva statistikor och deras egenskaper. Vissa av dessa FSR har också delvis examinerats på annat sätt via inlämningsuppgifterna under moment 2. Examinationsregler: De poäng som studenten erhåller på respektive uppgift ska spegla måluppfyllelsen av de FSR som uppgiften avser att mäta. Observera att en uppgift kan mäta flera olika FSR. Examinationen består av 30 poäng. • För godkänt (G) krävs minst 18 poäng. • För väl godkänt (VG) krävs minst 24 poäng. OBS! För uppgift 1 krävs enbart korta lösningar. Uppgift 1a (1 p) Antag att vi har två händelser, A och B, där P(A) ≥ 0.3 samt P(B) ≥ 0.2. Vad är det minsta värdet 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) kan anta? Uppgift 1b (1 p) Hur många ”ord” med tio bokstäver kan bildas av ordet NUMMERPLÅT? Uppgift 1c (1 p) Sju oberoende försök, där sannolikheten för ett lyckat försök är 0.7, genomförs. Beräkna den betingade sannolikheten att både försök nr 6 och nr 7 misslyckas, givet att de första fem lyckades. Uppgift 1d (1 p) Antag en diskret slumpvariabel X som kan anta värdena 0, 2, 4. Sannolikhetsfunktionen 𝑝(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) är okänd, men vi vet att 𝑝(4) = 2 ∙ 𝑝(2) och 𝑝(4) = 6 ∙ 𝑝(0). Bestäm sannolikheterna så att 𝑝(𝑥) blir en sannolikhetsfunktion för X. Uppgift 1e (2 p) En kontinuerlig slumpvariabel X har täthetsfunktion 𝑓(𝑥) enligt den heldragna linjen i figuren till höger. Bestäm 𝑓(𝑥) och 𝑃(𝑋 ≤ 4). Uppgift 1f (1 p) Låt 𝑋~𝑁(𝜇 = 14, 𝜎 2 = 4) och 𝑌~𝑃𝑜(𝜆 = 9) vara två oberoende slumpvariabler. Bestäm väntevärde och varians för uttrycket 𝑊 = 𝑋 − 𝑌. För uppgift 2 - 6 gäller följande: • • • • Lösningarna ska vara lätta att tyda och vara väl motiverade för full poäng. Alla beteckningar (t.ex. slumpvariabler, händelser, parametrar) ska tydligt redovisas. Ofullständiga eller otydliga lösningar medför poängavdrag. Irrelevant information i en lösning ger också poängavdrag. Uppgift 2 (5 p) I staden Långtbortistan finns Krystosafaris exotiska djurpark. Under årets mest populära dag antar ägaren att antalet ankommande vuxna besökare kan beskrivas av en Poissonfördelning med väntevärde 30 besökare per timme och att antalet ankommande barn också följer en Poissonfördelning, dock med väntevärde 20 besökare per timme. Antal ankommande vuxna respektive barn är oberoende av varandra. a) Vad är sannolikheten att djurparken tar emot exakt 50 besökare under en timme? b) Vad är sannolikheten att tiden mellan två vuxna besökare överstiger 6 minuter? c) Biljettmaskinen på djurparken är för tillfället defekt och kan som högst skanna 75 biljetter (varje besökare har en biljett) per timme utan att gå sönder. Bestäm sannolikheten att maskinen går sönder, d.v.s. sannolikheten att det ankommer fler än 75 besökare under en timme. Uppgift 3 (4 p) Tre maskiner, A, B och C, tillverkar reservdelar. Av produktionen står maskin A för 50%, maskin B för 30% och maskin C för 20%. Av de tillverkade enheterna är 1% från A defekta, 2% från defekta B och 3% från C defekta. a) Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt vald enhet är defekt. b) Antag att en av enheterna är defekt. Vad är sannolikheten att den kommer från B? Uppgift 4 (3 p) En jämställdhetsföreträdare vid ett företag är bekymrad över att det helt saknas kvinnor i företagsstyrelsen. Styrelsen består av 7 män. Jämställdhetsföreträdaren har frågat valberedningen om hur urvalet skett och fått följande svar: ”Det fanns 24 kompetenta kandidater (12 kvinnor och 12 män) och av dessa valdes helt slumpmässigt 7 styrelseledamöter.” Jämställdhetsföreträdaren anlitar dig som statistisk konsult för att analysera rimligheten i valberedningens påstående. Beräkna sannolikheten att välja en styrelse med endast män om urvalet skett enligt informationen ovan. Verkar valberedningens påstående rimligt? Motivera ditt svar. Uppgift 5 (8 p) I en mycket stor population som består av 50% män och 50% kvinnor kan variationen i kroppslängd för män beskrivas med en normalfördelning med μm=180 cm och σm=6 cm. För kvinnor kan motsvarande variation beskrivas med en normalfördelning med μk=166 cm och σk=6 cm. a) En man och en kvinna väljs slumpmässigt ur populationen. Beräkna sannolikheten att mannen är längre än kvinnan. b) 16 män väljs slumpmässigt. Beräkna sannolikheten att genomsnittslängden i urvalet är högst 183 cm. c) 10 kvinnor väljs slumpmässigt. Beräkna sannolikheten att högst en av dem är längre än 175 cm. d) Låt händelsen A vara att en slumpmässigt vald person ur populationen är kvinna och händelsen B att en slumpmässigt vald person ur populationen är mellan 170 och 176 cm. Är händelserna oberoende eller beroende? Motivera ditt svar. Ledning: bestäm sannolikheterna att mäns respektive kvinnors längder ligger i intervallet 170 till 176 cm. e) En person väljs slumpmässigt ur populationen. Beräkna sannolikheten att personen är kortare än 172 cm. Uppgift 6 (3 p) För en population kvinnor gäller att variationen i kroppslängd kan beskrivas med en normalfördelning med μk=166 cm och σk=6 cm. Om vi drar ett obundet slumpmässigt urval om n=16 kvinnor ur populationen, vad är sannolikheten att stickprovsvariansen S2 kommer att överstiga 60? Ledning: vilken fördelning har (𝑛−1)𝑆 2 𝜎2 ?