Formler och tabeller, Statistik A2, Moment 1.
(okt. 29, 2019)
Sannolikhetsteori
Permutationer
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
Kombinationer
𝑛
𝑛!
' (=
𝑟
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
Additionsregeln
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Betingad sannolikhet
𝑃(𝐴 | 𝐵) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
Oberoende händelser
Händelserna A och B är oberoende om (och endast om)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)
eller
𝑃(𝐴 |𝐵) = 𝑃(𝐴)
Lagen om total sannolikhet
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵 | 𝐴)𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵 |𝐴! )𝑃(𝐴! )
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵 | 𝐴" )𝑃(𝐴" ) + ⋯ + 𝑃(𝐵 | 𝐴# )𝑃3𝐴# 4
Bayes sats
𝑃(𝐴 |𝐵) =
𝑃(𝐵 | 𝐴)𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵 | 𝐴)𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵 |𝐴! )𝑃(𝐴! )
𝑃(𝐴$ | 𝐵) =
𝑃(𝐵 | 𝐴$ )𝑃(𝐴$ )
𝑃(𝐵 | 𝐴" )𝑃(𝐴" ) + ⋯ + 𝑃(𝐵 | 𝐴# )𝑃3𝐴# 4
Diskreta fördelningar
Fördelning
Bernoulli(𝑝)
Sannolikhetsfunktion
Väntevärde
Varians
𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑝 % (1 − 𝑝)"&%
𝑥 = 0,1
𝑝
𝑝(1 − 𝑝)
Binomial(𝑛, 𝑝)
𝑛
𝑃(𝑋 = 𝑥) = ' ( 𝑝 % (1 − 𝑝)'&%
𝑥
𝑥 = 0,1 … , 𝑛
𝑛𝑝
𝑛𝑝(1 − 𝑝)
Poisson(𝜆)
𝑒 &( 𝜆%
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝑥!
𝑥 = 0,1, …
𝜆
𝜆
Geometrisk(𝑝)
𝑃(𝑋 = 𝑥) = (1 − 𝑝)%&" 𝑝
𝑥 = 1,2, …
1
𝑝
1−𝑝
𝑝)
𝑥 = 0,1, … 𝑛
𝑛𝑝
𝑛𝑝(1 − 𝑝)
Bin(1, 𝑝)
Hypergeometrisk
Hyp(𝑁, 𝑛, 𝑝)
3*+
43*("&+)
4
%
'&%
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
3*'4
𝑛 = 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑑𝑎
𝑁 = 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑡 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙
0≤𝑛≤𝑁
Kontinuerliga fördelningar
Fördelning
Likformig(𝑎, 𝑏)
Exponential(𝛽)
Fördelningsfunktion
𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =
𝑥−𝑎
𝑏−𝑎
𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 1 − 𝑒 &%//
(därav 𝑃(𝑋 > 𝑥) = 𝑒
Normal(𝜇, 𝜎 ) )
Väntevärde Varians
#
𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 1
1
!) √2𝜋𝜎
&%//
)
𝑒 !(#!$)
! ⁄&' !
𝑑𝑥
𝑎≤𝑥≤𝑏
𝑎+𝑏
2
(𝑏 − 𝑎))
12
𝑥 ≥ 0, 𝛽 > 0
𝛽
𝛽)
−∞ < 𝑥 < ∞
𝜇
𝜎)
(𝑁 − 𝑛)
𝑁−1
Tumregler
Tumregeln för att tillämpa centrala gränsvärdessatsen (CGS) är att 𝑛 ≥ 20.
Tumregeln för Normal approximation av Binomial fördelningen är att 𝑛𝑝(1 − 𝑝) ≥ 10.
Tumregeln för Normal approximation av Poisson fördelningen är att 𝜆 ≥ 15.
'
Tumregeln för Binomial approximation av en Hypergeometrisk fördelning är att * ≤ 0.1.
Tumregeln för Poisson approximation av en Binomial fördelning är att 𝑛 ≥ 10 och 𝑝 ≤ 0.1.
Väntevärde och varians
Diskreta slumpvariabler:
𝜇 = 𝐸 [𝑋] = T 𝑥𝑃(𝑋 = 𝑥)
0110 %
𝜎 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = T (𝑥 − 𝜇)) 𝑃(𝑋 = 𝑥) = T 𝑥 ) 𝑃(𝑋 = 𝑥) − 𝜇) = 𝐸 [𝑋 ) ] − (𝐸[𝑋]))
0110 %
0110 %
Kontinuerliga slumpvariabler:
3
𝜇 = 𝐸 [𝑋] = V 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
&3
3
𝜎 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = V (𝑥 − 𝜇)) 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐸 [𝑋 ) ] − (𝐸[𝑋]))
&3
Regler för väntevärde och varians
𝐸[𝑐] = 𝑐
𝑉𝑎𝑟(𝑐) = 0
𝐸[𝑋 + 𝑐] = 𝐸[𝑋] + 𝑐
𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑐) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋)
𝐸[𝑐𝑋] = 𝑐𝐸[𝑋]
𝑉𝑎𝑟(𝑐𝑋) = 𝑐 ) 𝑉𝑎𝑟(𝑋)
𝐸 [𝑋 + 𝑌] = 𝐸 [𝑋] + 𝐸[𝑌]
Om X och Y är oberoende ⇨ 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌)