UNIVERZITET U BANJOJ LUCI ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET BANJA LUKA NJEGOŠ VASIĆ SKRIPTA IZ PREDMETA OSNOVI ELEKTROTEHNIKE 2 ZA PRVI KOLOKVIJUM PITANJA I ODGOVORI ZA PRVI BLOK PREDAVANJA BANJA LUKA, 2022. PRVI BLOK 1. Naelektrisanja u pokretu: proizvoljno nacrtati dva naelektrisanja (označiti ih indeksima 1 i 2) u pokretu i napisati izraz za ukupnu silu kojom naelektrisano tijelo 1 djeluje na naelektrisano tijelo 2. Objasniti značenje svih veličina u izrazu. Napisati izraz za magnetsku indukciju koju stvara naelektrisano tijelo 1 na mjestu naelektrisanog tijela 2. Obavezno nacrtati sve potrebne vektore i naznačiti veličine na crtežu. Grupa naučnika koju su vršili eksperimente došli su do zaključka da magnetne pojave u stvari potiču, kao i električne pojave, od elementarnih naelektrisanih čestica, s tim da je neophodno da su one u pokretu. Električne pojave će se javljati čak i kada čestice miruju. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑒12 = 𝑘 𝑄1 𝑄2 𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟 2 012 Ovaj izraz se odnosi na električnu silu i postoji bez obzira da li se tijelo kreće ili ne. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑚12 = 1 𝑄2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 × (𝑄1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟012 ) ⋅ 𝑟2 4𝜋𝜀0 𝑐02 Ovaj izraz se odnosi na magnetsku/magnetnu silu i postoji samo kada ima kretanja. Izraz za ukupnu silu je suma ove dvije sile i glasi: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝐹2 = 𝐹 𝑒12 + 𝐹𝑚 12 = 𝑘 1 𝜀0 𝑐02 𝑄1 𝑄2 1 𝑄2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 × (𝑄1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟012 ) 𝑟012 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 2 2 2 𝑟 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑐0 𝐻 = 𝜇0 = 4𝜋 ⋅ 10−7 [ ] – Henri po metru 𝑛 𝜇0 – naziva se permabilnost vakuuma 𝑄1 , 𝑄2 – naelektrisanja 1 𝑘 = 4𝜋𝜀 – konstanta 0 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 – vektori brzine 𝑟012 – jedinični vektor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑐0 – konstanta brzine svjetlosti u vakuumu Ako sada kažemo da je 𝜇0 𝑄1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 𝑥𝑟⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 012 ⋅ = ⃗⃗⃗⃗ 𝐵1 2 4𝜋 𝑟 ⃗ 1 vektor magnetne indukcije naelektrisanog tijela 𝑸𝟏 na mjesto tijela 𝑸𝟐 . Gdje je 𝐵 Jedinica je [T] – Tesla. Vektor se usmjerava pravilom desne ruke. 2. Biosavarov zakon za tačkasto naelektrisanje u pokretu. ⃗ = 𝐵 𝜇0 𝑄 ⋅ 𝑣 × ⃗⃗⃗ 𝑟0 2 4𝜋 𝑟 ⃗ – magnetna indukcija 𝐵 𝜇0 – magnetna permabilnost vakuuma 𝑄 – količina naelektrisanja 𝑣 – brzina tijela 𝑟0 – jedinični vektor ⃗⃗⃗ 𝑟 – udaljenost do naelektrisanja 3. Naelektrisana čestica u stranom elektromagnetskom polju. Na naelektrisanu česticu u polju djeluje električna sila ⃗⃗⃗ 𝐹𝑒 = 𝑄 ⋅ 𝐸⃗ Gdje nam je 𝐸⃗ jačina stranog električnog polja, koje može da nastane od druge naelektrisane čestice, nekog sistema (naelektrisana nit...) ili na neki drugi način. ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝐹𝑚 = 𝑄 ⋅ 𝑣 × 𝐵 ⃗ vektor jačine Takođe imamo i ovaj izraz, koji predstavlja izraz za magnetnu silu, gdje nam je 𝐵 stranog magnetnog polja. Gdje imamo magnetno polje, tu imamo i električno polje. Kada sve ovo sklopimo, u stranom el. magnetskom polju, primjenjujući superpoziciju imamo da je 𝐹 = ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑚 + ⃗⃗⃗ 𝐹𝑒 ⃗ 𝐹 = 𝑄 ⋅ 𝐸⃗ + 𝑄 ⋅ 𝑣 × 𝐵 Dakle na česticu koja je u pokretu, i ako imamo postojanje nekog el. polja i magnetne indukcije, tada će izraz izgledati kao što smo gore naveli, odnosno suma električne i magnetne sile. 4. Strujni element i klasifikacija električnih struja Strujni element je skup svih naelektrisanja u pokretu u fizički malom geometrijskom elementu strujnog polja. Znamo da imamo zapreminske, površinske i linijske struje. Strujni element zapreminske struje su sva naelektrisanja u pokretu u elementarnoj zapremini ⅆ𝑉. Za zapreminske struje važi 𝐽 ⅆ𝑉 ⃗⃗⃗ . Za površinske važi 𝐽ⅆ𝑠, a za linijske 𝐼dl Dakle koz zapreminske imamo provodnik kod kojeg se struja prostire po cijeloj zapremini tj. cijeloj površini poprečnog presjeka. Kod površinskih koristimo samo obod za proticanje struje i tu imamo podužnu gustinu, a kod linijskih imamo samo jačinu struje. 5. Magnetska sila između dva strujna elementa. Neophodno je da odredimo silu kojom jedan strujni element djeluje na drugi. Strujni elementi uvijek moraju biti dio neke strujne konture. Oni ne mogu biti izolovani, jer bi njihovim izolovanjem došlo do prekidanja strujnog kruga. Eksperimentalno je određeno, da sila kojom strujni el. prve konture djeluje na strujni element druge konture je ⃗⃗⃗⃗⃗ ⅆ𝐹 12 = ⅆ𝑙2 × (𝐼1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⅆ𝑙1 × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟012 ) 𝜇0 𝐼2 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 4𝜋 𝑟 odnosno ⃗⃗⃗⃗⃗ ⅆ𝐹 12 = ⃗⃗⃗⃗⃗1 × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⅆ𝑙2 × (ⅆ𝑙 𝑟012 ) 𝜇0 𝐼1 𝐼2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 4𝜋 𝑟2 6. Biosavarov zakon za strujne elemente. Kada posmatramo izraz za silu strujnih elemenata, ako ga malo drugačije zapišemo dobijamo 𝜇0 𝐼1 ⅆ𝑙⃗⃗1 × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟012 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⅆ𝐹 ) 12 = 𝐼2 ⅆ𝑙2 × ( 4𝜋 𝑟2 gdje izraz u zagradi predstavlja djelovanje strujnog elementa prve konture u odnosu na neku ⃗⃗⃗⃗1. On će uvijek postojati, jer je posmatrani tačku koja je na udaljenosti r. To ćemo označiti sa ⅆ𝐵 strujni element dio neke zatvorene struje konture sa velikim brojem strujnih elemenata. Naravno, da bi sada našli ukupno B, moramo integraliti ⃗ = ∫ ⅆ𝐵 ⃗ 𝐵 Integralimo duž posmatranog strujnog segmenta kome pripada dati strujni element. Ako sada uvrstimo, dobijamo izraz za magnetnu indukciju, koja je reda veličine obično u mili i mikro teslama, a najviše ide do par tesli (3-5T). Najčešće vrijednosti su od nekih 1𝜇𝑇 − 0.1𝑚𝑇. ⃗ = 𝐵 𝜇0 𝐼ⅆ𝑙⃗⃗1 × ⃗⃗⃗ 𝑟0 ∫ 2 4𝜋 𝑟 7. Magnetska indukcija na osi kružnog zavojka. Nacrtati sliku i napisati krajnji rezultat za proizvoljnu tačku. Obavezno nacrtati sve potrebne vektore i naznačiti veličine na crtežu. Konačni izraz za indukciju na osi zavojka, gdje se ono nalazi na nekoj osi z glasi ⃗ = 𝐵 𝜇0 𝐼𝑎2 3 ⋅ ⃗𝑖⃗2 2(𝑎2 + 𝑧 2 )2 Ako imamo N ovakvih provodnika gusto pribijenih jedan uz drugi i želimo odrediti induktivnost, tada trebamo voditi računa da ta debljina provodnika N ne smije biti takva da se z mijenja mnogo, i da se poluprečnik ne mijenja. Tada izraz izgleda ⃗ = 𝐵 𝑁𝜇0 𝐼𝑎2 2(𝑎2 + 3 𝑧 2 )2 ⋅ ⃗𝑖⃗2 8. Magnetska indukcija na osi spiralnog namotaja (solenoida). Nacrtati sliku i napisati krajnji rezultat za proizvoljnu tačku. Obavezno nacrtati sve potrebne vektore i naznačiti veličine na crtežu. Na odvojenoj slici skicirati linije magnetske indukcije na poprečnom presjeku solenoida (unutar i izvan solenoida). Solenoid je spiralni namotaj kod koga postoji veći broj gusto namotanih zavojaka na neko neprovodno jezgro. Intenzitet vektora magnetne indukcije u tačkama na osi solenoida zavisi od položaja tačke u kojoj se on određuje 𝐵= 𝜇0 𝐼𝑁 ′ 𝑁 (cos 𝛼1 − cos 𝛼2 ); 𝑁 ′ = 2 𝑏 𝑁 ′ - je podužna gustina zavojaka Ako je u pitanju jako dugačak solenoid (𝑏 >> 𝑎) i ako uzmemo da se tačka nalazi daleko od otvora tada je 𝛼1 = 0 ∧ 𝛼2 ≈ 𝜋, što znači da dobijamo 𝐵 = 𝜇0 𝑁 ′ 𝐼 Ako je u pitanju tačka na centru otvora onda je 1 𝐵 = 𝜇0 𝑁 ′ 𝐼 2 Crvenom bojom nacrtane su linije magnetnog polja. DRUGI BLOK 1. Magnetska indukcija koplanarnog sistema. Objasniti šta predstavlja koplanarni sistem. Nacrtati sliku proizvoljnog koplanarnog sistema i napisati izraz za magnetsku indukciju koju stvara izabrani strujni element u proizvoljnoj tački. Kontura kod koje sve tačke, ili samo jedan njen dio, koji nam je od posebnog interesa, prodaju jednoj ravni naziva se planarnom konturom. Slučaj kada tačka u kojoj računamo magnetnu indukciju i posmatrana kontura ili jedan njen dio pripada toj istoj ravni naziva se koplanarni slučaj. Smjer vektora magnetne indukcije određujemo pravilom desne ruke, kod ovih sistema možemo olakšati određivanje smjera, tako što ćemo prste postaviti u smjeru struje, a palac će pokazivati smjer magnetne indukcije. ⅆ𝐵 = ⃗⃗⃗ 𝜇0 𝐼 ⅆ𝑙 ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗ ⋅ sin 𝛼 ; 𝛼 = ∡(dl 𝑟0 ) 4𝜋𝑟 2 2. Nacrtati sliku i napisati izraz za intenzitet vektora magnetske indukcije u okolini pravolinijskog provodnika sa jačinom struje I, konačne dužine i vektor B prikazati na slici. Napisati izraz za jako dugačak (beskonačan) provodnik. Obavezno nacrtati sve potrebne vektore i naznačiti veličine na crtežu. Smjer vektora indukcije određujemo preko vektorskog proizvoda dl i jediničnog vektora, odnosno pravila desne ruke. Izraz koji se dobije za indukciju je Za slučaj beskonačno dugog provodnika, ili jako dugačkog provodnika (𝑙 >> ⅆ), aproksimiramo uglove na 90 stepeni i dobijamo 3. Nacrtati sliku i izvesti izraz za intenzitet vektora magnetske indukcije u centru kružne konture i vektor B prikazati na slici. Obavezno nacrtati sve potrebne vektore i naznačiti veličine na crtežu. ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⅆ𝐵 ⅆ𝐵 = 𝜇0 𝐼ⅆ𝑙 × ⃗⃗⃗ 𝑟0 4𝜋 𝑟 2 𝜇0 𝐼ⅆl sin ∡(ⅆ𝑙 , ⃗⃗⃗ 𝑟0 ) 4𝜋 𝑟 2 Ugao je 90 stepeni, što znači da sinus jednak jedinici. Smjer vektora je određen vektorskim proizvodom, što znači da imamo da je intenzitet ⅆ𝐵 = 𝐵 = ∫ ⅆ𝐵 = ∮ 𝑐 𝐵= 𝜇0 𝐼 ⅆ𝑙 4𝜋𝑟 2 𝜇0 𝐼 ⅆ𝑙 4𝜋𝑟 2 𝜇0 𝐼 2𝑎 4. Polazeći od izraza za jedan strujni element, napisati izraz za magnetsku silu na strujnu konturu u magnetskom polju. Koliki je intenzitet magnetske sile na strujnu konturu u homogenom magnetskom polju? Znamo da je izraz za jedan strujni element 𝜇0 𝐼1 ⅆ𝑙⃗⃗1 × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟012 ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⅆ𝐹 = 𝐼 ⅆ𝑙 × ( ) 12 2 2 2 4𝜋 𝑟 što kada uvrstimo ono što smo rekli da je izraz u zagradi vektor B, ⃗⃗⃗⃗𝑚 = 𝐼 ⃗⃗⃗ ⃗ ⅆ𝐹 ⅆ𝑙 × 𝐵 što znači da je ukupno ⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝐹𝑚 = ∫ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⅆ𝐹𝑚 = ∫ 𝐼ⅆ𝑙 ⃗ predstavlja strano magnetno polje. Ukoliko je struja konstanta, Integrali se duž konture, a 𝐵 ⃗ može odnosno ne mijenja se, ona može izaći ispred integrala. Treba paziti na to da se smjer 𝐵 mijenjati duž konture. Takođe u opštem slučaju kada gledamo intenzitet vektora Fm, možemo izvući sve osim samog dl, ali moramo paziti kada to možemo, odnosno ne možemo uraditi. U slučaju homogenog magnetnog polja imamo da je suma vektora u zatvorenoj konturi jednaka nula, odnosno da je magnetna sila na strujnu konturu u homogenom magnetnom polju jednaka nuli. Dakle sve veličine osim dl izlaze ispred integrala. 5. Magnetski momenat strujne konture. Obavezno nacrtati sve potrebne vektore i naznačiti veličine na crtežu. Ukoliko posmatramo svaki od segmenata označenih sa 1,2,3 i 4, možemo uočiti da je ugao između dl i B jednak nuli u slučaju 1 i 3, odnosno dobijamo da je sama sila jednaka nuli. Tako nam ostaju samo sile koje djeluju na segmentu 2 i 4. Takođe pravilom desne ruke uočavamo da su sile različitog ⃗⃗⃗4 su smjera. Odnosno vektori ⃗⃗⃗ 𝐹2 ⅈ 𝐹 paralelni ali su suprotno usmjereni i zbog toga se formira spreg sila koji teži da konturu okrene tako da vektor B i magnetski moment konture M budu kolinearni i istog smjera. ⃗⃗ = 𝑚 ⃗ 𝑀 ⃗⃗ × 𝐵 Gdje je 𝑚 ⃗⃗ – magnetni moment konture i iznosi 𝑚 ⃗⃗ = 𝐼 ⋅ 𝑠. Naslanjamo površ na ovu konturu. Prsti prate smjer struje a palac pokazuje smjer normale n, koja označava normalu na površ oslonjenu na konturu, i ona predstavlja orijentaciju površine s. Magnetni moment konture je veličina koju uvodimo i računamo preko proizvoda I i 𝑠. 6. Skicirati linije vektora magnetske indukcije na primjeru pravolinijskog provodnika sa strujom, dva pravolinijska provodnika sa strujom i solenoida. 7. Nacrtati odgovarajuću sliku i napisati izraz za fluks vektora magnetske indukcije. Navesti mjernu jedinicu. Napisati izraz i riječima formulisati zakon održanja magnetskog fluksa. ⃗ ⅆ𝑠 [𝑇𝑚2 ][Wb] 𝜙 = ∫𝐵 𝑠 Jedinica je Tesla metar na kvadrat ili veber. Flukse vektora magnetne indukcije kroz zatvorenu površ jednak je nuli! ⃗ ⅆ𝑠 = 0 ∫𝐵 𝑠 8. Nacrtati odgovarajuću sliku i riječima formulisati magnetski fluks kroz konturu. Kao primjer, analizirati strujnu konturu i dugačak provodnik. Obavezno nacrtati sve potrebne vektore i naznačiti veličine na crtežu. Kada kažemo da pričamo o fluksu kroz konturu, tada u stvari govorimo o fluksu kroz površ oslonjenu na konturu. Za sliku možemo posmatrati sliku iz prethodnog pitanja, jer smo i tamo pri određivanju oslonili neku površinu s na konturu i preko nje dobili izraz za fluks. Ako posmatramo sada primjer koji je zadat u zadatku, kada napišemo izraz za fluks vidimo da nam treba Indukcija, kao i sama površina. B možemo odrediti preko struje, ali zbog udaljenosti od različitih tačaka vidimo da se indukcija mijenja, što znači da treba da posmatramo diferencijalno male površine u kojima možemo reći da se B ne mijenja. Sa slike vidimo da je ta diferencijalno mala površina jednaka ⅆ𝑠 = 𝑏 ⋅ ⅆ𝑥 Ako sada sve ovo što smo rekli sjedinimo, dobijamo 𝐵= 𝜇0 𝐼 2𝜋ⅆ 𝑎+𝑐 ⃗ , 𝑛⃗) = ∫ 𝜙 = ∫ 𝐵 ⋅ ⅆ ⋅ ⅆ𝑥 ⋅ cos ∡(𝐵 𝑐 𝜇0 𝐼 𝜇0 𝐼𝑏 𝑎+𝑐 𝑏 ⅆ𝑥 = ⋅ ln 2𝜋𝑥 2𝜋 𝑐 TREĆI BLOK 1. Izvesti izraz za Holov napon. Ako se naelektrisane čestice kreću u magnetnom polju, na njih će djelovati magnetna sila. ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝐹𝑚 = 𝑄𝑣 × 𝐵 Proces razvrstavanja odnosno raspodjele naelektrisanja završava se kada se izjednače intenziteti magnetne i električne sile odnosno kada imamo 𝑄𝑣𝐵 = 𝑄𝐸𝐻 Odnosno iz ovog izraza dobijamo da je 𝐸𝐻 = 𝑣 ⋅ 𝐵 Kada električno polje usled razdvajanja naelektrisanja dostigne ovu vrijednost, zaustavlja se proces daljeg nagomilavanja. Ako sada pogledamo razliku potencijala 𝑉1 − 𝑉2 = 𝐸𝐻 ⋅ ⅆ = 𝑣𝐵ⅆ Ovaj napon možemo izmjeriti, i na osnovu znaka rezultata možemo zaključiti kojeg su znaka sami nosioci naelektrisanja, odnosno ako je 𝑉1 − 𝑉2 < 0 ⇒ 𝑄 > 0 ∨ 𝑉1 − 𝑉2 > 0 ⇒ 𝑄 < 0 Dakle, Holovim efektom se može odrediti znak slobodnih nosilaca naelektrisanja u provodniku, ali i intenzitet vektora B. 𝑉1 − 𝑉2 = 𝑣𝐵ⅆ 𝐽 = 𝑁𝑄𝑣 𝐵= 𝑁𝑄(𝑉1 − 𝑉2 ) 𝐽ⅆ 2. Amperov zakon. Definicija, primjer, ograničenja i primjena. Kada se na osnovu Amperovog zakona može izračunati intenzitet vektora magnetske indukcije? Amperov zakon važi za vremenski konstantne struje u vakuumu (ovo se odnosi na ograničenja) ⃗ ⅆ𝑙 = ∑ 𝐼 ∮𝐵 𝐶 kroz 𝑐 ⃗ ⅆ𝑙 = 𝜇0 ∫ 𝐽 ⃗⃗⃗⃗ ∮𝐵 ds 𝐶 𝑠 𝑛𝑎 𝑐 Amperov zakon se koristi za dokaze nekih opštih osobina vremenski konstantnog magnetnog polja, kao i za računanje vektora magnetne indukcije. Ako je raspodjela struje simetrična, tako da se unaprijed može zaključiti kakav pravac i smjer ima vektor magnetne indukcije, i od koje koordinate mu zavisi intenzitet, tada se intenzitet vektora magnetne indukcije može odrediti preko Amperovog zakona. Kao primjer možemo da posmatramo tanak provodnik sa strujom I Na osnovu pravila desne ruke, određujemo smjer vektora magnetne indukcije. U svakoj tački koja se nalazi na odstojanju r od provodnika, intenzitet indukcije će biti isti. Ako sada ovo uvrstimo u Amperov zakon dobijamo ⃗ ⅆ𝑙 = 𝜇0 ∑ 𝐼 = 𝜇0 𝐼 ∮𝐵 𝐶 𝑐 ⃗ , ⅆ𝑙 ) = 𝐵 ∮ ⅆ𝑙 = 𝐵2𝜋𝑎 ∮ 𝐵 ⅆ𝑙 ⋅ cos ∡(𝐵 𝑐 𝑐 𝐵2𝜋𝑎 = 𝜇0 𝐼 ⇒ 𝐵 = 𝜇0 𝐼 2𝜋𝑟 3. Osnovne integralne jednačine stalnog magnetskog polja u vakuumu. 1. Amperov zakon ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⅆ𝑙 = ∑ 𝐼 = 𝜇0 ∫ 𝐽 ds ∮𝐵 𝐶 kroz 𝑐 𝑠 𝑛𝑎 𝑐 2. Zakon održanja magnetnog fluksa ⃗ ⅆ𝑆 = 0 ∮𝐵 𝑆 Unutar ovoga je spomenuo i vrtložno polje: rotor vektora tog polja je različit od nule, i radijalno polje: divergencija vektora tog polja je različita od nule. 𝐸⃗ ⃗ ⅆⅈ𝑣 rot 𝐵 ⃗ 𝐷 4. Podjela materijala prema karakteru ukupnog magnetskog momenta elementarnih čestica koje sadrže. 1. ∑𝑚 ⃗⃗ = 0, odnosno u odsustvu stranog magnetnog polja ne stvaraju magnetno polje i ne ispoljavaju magnetna svojstva, i ovi materijali se nazivaju dijamagnetskim materijalima. 2. ∑𝑚 ⃗⃗ ≠ 0, odnosno postoji rezult. magnetni moment. Ovi materijali se dalje dijele u grupe i to su: paramagnetski, feromagnetski, antiferomagnetski, ferimagnetski materijali. 5. Paramagnetski i antiferomagnetski materijali. Paramagnetski materijali su materijali kod kojih je orijentacija 𝑚 ⃗⃗ takva da je uzajamno dejstvo susjednih atoma zanemarljivo malo, odnosno haotično su orijentisani. Unošenjem u strano magnetno polje dolazi do određene orijentacije, ali je mnogo slabo. Neki od materijala koji spadaju u ovu grupu su aluminijum, kiseonik, natrijum... Antiferomagnetski materijali su materijali kod kojih se magnetni momenti susjednih atoma poništavaju. Ovi materijali nemaju značaja u praksi. 6. Feromagnetski i ferimagnetski materijali. Feromagnetski materijali su materijali kod kojih su magnetni momenti susjednih atoma paralelni i u istom smjeru. Kod njih se pojavljuje pojam Vojsovog domena koji predstavlja određeni domen materijala u kojem imamo orijentaciju magnetnih momenata tako da su paralelni i u istom smjeru. U normalnim uslovima moguće je da se orijentacija postavi tako da se ne stvara makroskopsko magnetno polje. Može i da se javi, ali u opštem slučaju ga nema, to zavisi od materijala do materijala. Ako se unese u strano magnetno polje dolazi do zaokretanja i javljaju se procesi u kojima može doći do zakretanja cijelih domena. Povećavanjem temperature dolazi do povećanog termičkog kretanja naelektrisanja i do vibracije kristala rešetke, a ona je odlika feromagnetnih materijala. Povećavanjem temperature iznad određene granice te termičke vibracije će onemogućiti paralelnu orijentaciju i onda će postati obični paramagnetni materijal. To se naziva Kirijeva temperatura. Neki od materijala koji spadaju u ovu grupu su gvožđe, kobalt, nikl… Ferimagnetski materijali su oni materijali kod kojih su magnetni momenti susjednih atoma su anti paralelni ali različitog intenziteta, pa se stavlja rezult. magnetni moment. Stvaraju polje kao i feromagnetni materijali. Ovi materijali se često nazivaju i feriti. Glavna primjena je u oblasti viših frekvencija u odnosu na feromagnetne materijale. Feromagnetni i Ferimagnetni materijali nazivaju se istim imenom u praksi a to je - feromagnetici. Koriste se kod različitih električnih mašina, elektromagneta… 7. Vektor magnetizacije. ⃗⃗ = 𝑀 ∑𝑑𝑣 𝑚 ⃗⃗ 𝐴 [ ] ⅆ𝑣 𝑚 Ovaj izraz predstavlja izraz za vektor magnetizacije gdje je izraz iznad razlomačke crte zapreminska gustina magnetnog momenta, a ispod se nalazi dio zapremine. Ako u posmatranoj zapremini svi 𝑚 ⃗⃗ elementarnih strujnih kontura su isti, i ako imamo N – koncentracija elementarnih kontura, onda je ⃗⃗ = 𝑁 ⋅ 𝑚 𝑀 ⃗⃗ Ovo važi samo ako je 𝑚 ⃗⃗ isto za svaku konturu. ⃗⃗ istog intenziteta, pravca i smjera u svim tačkama namagnetisanog tijela, kažemo da Ako je 𝑀 je tijelo homogeno namagnetisano. 8. Napisati izraz za uopšteni Amperov zakon koristeći vektor B i objasniti značenje svih veličina. ∮( ⃗ 𝐵 ⃗⃗ ) ⅆ𝑙 = ∑ 𝐼 −𝑀 𝜇0 𝑐 𝐶 ⃗ – vektor magnetne idukcije 𝐵 ⃗⃗ – vektor magnetizacije 𝑀 𝜇0 – magnetna permeabilnost vakuma ⅆ𝑙 – diferencijalno mala dužina ∑𝑐 𝐼 – suma svih struja u konturi c 9. Napisati izraz za uopšteni Amperov zakon koristeći vektor H i objasniti značenje svih veličina. Napisati izraz za vektor jačine magnetskog polja i navesti mjernu jedinicu. ⃗ ⅆ𝑙 = ∑ 𝐼 ∮𝐻 𝑐 𝑐 ⅆ𝑙 – diferencijalno mala dužina ∑𝑐 𝐼 – suma svih struja u konturi c ⃗ ⃗ = 𝐵 −𝑀 ⃗⃗ – vektor jačine magnetnog polja [ 𝐴 ] 𝐻 𝜇 𝑚 0 10. Polazeći od izraza koji povezuje vektore M i H, izvesti izraz za relativnu magnetsku permeabilnost. Za linearne magnetne sredine vrijedi ⃗⃗ = 𝑘 ⋅ 𝐵 ⃗ 𝑀 ⃗⃗ = 𝜒𝑚 ⋅ 𝐻 ⃗ 𝑀 Gdje je 𝜒𝑚 – magnetna suscesibilnost ⃗ = 𝐻 ⃗ 𝐵 ⃗⃗ ⇒ 𝐵 ⃗ = 𝜇0 (𝐻 ⃗ +𝑀 ⃗⃗ ) −𝑀 𝜇𝑜 ⃗ = 𝜇0 (1 + 𝜒𝑚 ) ⋅ 𝐻 ⃗ 𝐵 1 + 𝜒𝑚 = 𝜇𝑟 Relativna magnetna permeabilnost 11. Izvesti izraz za Amperove struje po zapremini linearnog homogeno namagnetisanog materijala. Napisati izraz za gustinu površinske Amperove struje. ⃗⃗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝜒𝑚 ⋅ 𝐻 ⃗ 𝑀 ⃗⃗ ⅆ𝑙 = 𝑀 ⃗⃗ ∮ ⅆ𝑙 = 0 ∑ 𝐼𝐴 = ∮ 𝑀 𝑐 ⃗ ⅆ𝑙 = 𝜒𝑚 ∮ 𝐻 ⃗ ⅆ𝑙 ∮ 𝜒𝑚 𝐻 𝑐 𝑐 Kako nema kondukcionih struja ostaje nam samo da je ∑𝑐 𝐼𝐴 = 0 odnosno da nema Amperovih struja po zapremini linearnog homogeno namagnetisanog materijala Izraz za gustinu površinske Amperove struje je ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ × 𝑛⃗ 𝐽𝑠𝐴 = 𝑀 ČETVRTI BLOK 1. Izvesti granični uslov za normalne komponente vektora B. Pošto znamo da su ove baze veoma male, možemo reći da je vektor B jednak u svim tačkama, odnosno da ima isti pravac i smjer. Ako uzmemo u obzir zakon o konzervaciji magnetnog fluksa imamo ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∮ ⃗⃗⃗⃗ 𝐵1 ⅆ𝑠 + ∮ ⃗⃗⃗⃗ 𝐵2 ⅆ𝑠 + ∮ 𝐵 ds 𝑠𝑏1 𝑠𝑏2 𝛥ℎ Kako znamo da je visina mnogo mala, praktično nula, možemo reći da je treći integral nula. Takođe na početku smo rekli da je vektor B konstantan odnosno isti unutar materijala, jer je to mnogo mala veličina, tako da imamo ⃗ 1 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 2 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ds + 𝐵 ds = 0 ⃗ 1 ⅆ𝑠𝑛 ⃗ 2 ⅆ𝑠𝑛 𝐵 ⃗⃗⃗⃗1 + 𝐵 ⃗⃗⃗⃗2 = 0 Sada uvodimo jedinstvenu normalu koja ide iz 2 u 1, i kada uvrstimo u izraz dobijamo ⃗ 1 ⅆ𝑠𝑛⃗ − 𝐵 ⃗ 2 ⅆ𝑠𝑛⃗ = 0 𝐵 Ako izjednačimo ds, dobijamo da je ⃗ 1 𝑛⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 𝐵2 𝑛⃗ ⃗ 𝑛𝑎 𝑛⃗, granični uslovi za 𝐵 ⃗ mogu se svesti na to da su normalne komponente 𝐵 ⃗ Projekcija 𝐵 uvijek iste u obe sredine bliske razdvojnoj površi. 2. Izvesti granični uslov za tangencijalne komponente vektora H. Pošto su u pitanju veoma male veličine, možemo reći da su vektori H isti u svim tačkama tog segmenta. Na osnovu uopštenog Amperovog zakona znamo da je ⃗ ⅆ𝑙 = ∑ 𝐼 ∮𝐻 𝑐 Takođe znamo da je 𝑐 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 ⃗⃗⃗ + ∫ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ + ∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ + ∫ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⅆ𝑙 = ∫ ⃗⃗⃗⃗ ∮ 𝐻 𝐻1 ⅆ𝑙 𝐻ℎ ⅆ𝑙 𝐻2 ⅆ𝑙 𝐻ℎ ⅆ𝑙 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ⃗⃗⃗⃗ 𝐻1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⅆ𝑙1 + ⃗⃗⃗⃗ 𝐻2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⅆ𝑙2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 = ⃗⃗⃗ ⅆ𝑙1 = −ⅆ𝑙 ⅆ𝑙 ⇒ ⃗⃗⃗⃗ 𝐻1 ⃗⃗⃗ ⅆ𝑙 − ⃗⃗⃗⃗ 𝐻2 ⃗⃗⃗ ⅆ𝑙 ⃗⃗⃗⃗ 𝐻1 ⃗⃗⃗ ⅆ𝑙 − ⃗⃗⃗⃗ 𝐻2 ⃗⃗⃗ ⅆ𝑙 = ∑ 𝐼 𝑐 U slučaju kada nemamo kondukcionih struja na površi imamo da je ⃗⃗⃗⃗ 𝐻1 ⃗⃗⃗ ⅆ𝑙 = ⃗⃗⃗⃗ 𝐻2 ⃗⃗⃗ ⅆ𝑙 Tj. 𝐻1𝑡 = 𝐻2𝑡 Ovo važi samo za tačke blizu razdvojne površi i u slučaju kada nemamo kondukcionih struja, a kada ih ima onda važi ⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = ⃗⃗𝐽𝑠 ⋅ ⅆ𝑙 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝐻1 ⅆ𝑙 𝐻2 ⅆ𝑙 3. Napisati izraz koji opisuje prelamanje linija vektora jačine magnetskog polja na razdvojnoj površi dva linearna i homogena dielektrika (bez kondukcionih struja). Nacrtati odgovarajuću sliku i naznačiti sve potrebne veličine. tg 𝛼1 𝜇1 = 𝑡𝑔𝛼2 𝜇2 4. BH karakteristika feromagnetskih materijala. Načini definisanja magnetske karakteristike. Histerezis. Remanentni magnetizam. Koercitivno polje. Magnetski meki i magnetski tvrdi materijali. BH karakteristika nam govori o međuodnosu B i H u slučaju kada je magnet izložen djelovanju stranog magnetnog polja. Može se zadati analitički, tabelarno i grafički. Histerezis je pojava da se proces magnetnetizacije i demagnetizacije materijala ne odvija po prvobitnoj putanji. Remanentni magnetizam, ostaje zakretanje domena i nakon ukidanja spoljašnjeg polja H, ako je tijelo bilo namagnetisano. Koercitivno polje je polje koje treba primijeniti da bi se dati materijal razmagnetisao. Magnetski meki i magnetski tvrdi materijali razlikuju se po jačini koericitivnog polja, i imaju različite primjene. Kod magnetno tvrdih potrebno je jače polje. 5. Magnetska kola. Osnovne jednačine za rješavanje magnetskih kola. Četiri osnovne pretpostavke na kojima se zasniva pojednostavljena metoda analize magnetskih kola. Prosta magnetska kola (linearan materijal jezgra). Su sistemi u kojima je kanalisan fluks, odnosno to su cjevasti putevi duž kojih se zatvaraju linije vektora B. Osnovne jednačine su: ⃗ ⅆ𝑠 = 0 ∮𝐵 𝑠 ⃗ ⅆ𝑙 = ∑ 𝐼 ∮𝐻 𝑐 𝑐 BH karakteristika Četiri pretpostavke na kojima se zasniva analiza su: 1. Zanemarujemo magnetno rasipanje (ako nema grananja) tj. fluks je isti kroz svaki poprečni presjek. 2. Smatramo da je magnetno kolo tanko i da je magnetno polje homogeno po poprečnom presjeku odnosno da su B i H isti (ne mijenjaju se). 3. Vektori B i H su normalni na površ poprečnog presjeka. 4. Smatramo da je površina poprečnog presjeka konstantna duž odgovarajućeg dijela magnetnog kola i da je materijal homogen. Takav dio kola nazivamo grana. B i H su isti duž grane. Prosta magnetska kola su ona kola u kojima nema grananja, a mi ćemo ih razlikovati po tome što imaju jezgro koje može imati linearne i nelinearne karakteristike. Ako je u pitanju linearan materijal tada važi 𝐵 = 𝜇0 𝜇𝑟 𝐻 = 𝜇 0 𝜇𝑟 𝑁𝐼 𝑙 6. Prosta magnetska kola (nelinearan materijal jezgra: BH karakteristika zadata grafički). Kada je u pitanju nelinearan materijal onda ne možemo koristiti gore zadati izraz, nego 𝑁𝐼 analiziramo BH karakteristiku pa 𝑙 odnosno H uvrstimo u karakteristiku. Ukoliko nam je karakteristika zadata grafički, pretpostavimo da se materijal nalazi u zasićenju, na taj način dobijamo vrijednost indukcije, i nakon računanja H provjerimo da li smo dobili adekvatnu vrijednost, odnosno vrijednost H za koju je materijal u zasićenju po BH karakteristici. Ukoliko nismo dobro pretpostavili, onda moramo odrediti funkciju, da li to bila prava ili bilo šta drugo, odnosno dio BH karakteristike prije zasićenja. 7. Reluktansa. Magnetski napon. Električno kolo ekvivalentno magnetskom kolu. Reluktansa nelinearnih materijala. Reluktansa predstavlja magnetnu otpornost. 𝑅𝑚 = 𝑙 𝜇𝑠 Magnetski napon određen je izrazom ⃗ ⃗⃗⃗ 𝑈𝑚 = ∫ 𝐻 dl 𝑙 Kod nelinearnih materijala, magnetna reluktansa dobija se preko same BH karakteristike materijala, gdje se ide tačka po tačka, i tako se dobija odgovarajući grafik za samu magnetnu reluktansu nelinearnog materijala. 8. Prosto magnetsko kolo za vazdušnim procjepom. Ukoliko se vodimo pravilom da nema rasipanja fluksa, sada ćemo dokazati da je indukcija unutar jezgra i vazdušnog otvora ista. ⃗ ⅆ𝑙 = ∑ 𝐼 ∮𝐻 𝑐 𝑐 𝐻𝑗 𝑙𝑗 + 𝐻0 𝑙0 = 𝑁𝐼 ⃗ ⅆ𝑠 = 0 ∮𝐵 𝑠 𝑠0 = 𝑠𝑗 −𝐵𝑗 𝑠𝑗 + 𝐵0 𝑠0 = 0 ⇒ 𝐵0 = 𝐵𝑗 Ako kažemo da je jezgro linearni materijal, tada važi izraz 𝐵𝑗 = 𝜇𝑗 𝐻𝑗 Ako ovaj izraz sada uvrstimo i sredimo dobijamo da je 𝐻𝑗 = 𝐵 𝜇𝑗 Fluks je takođe jednak 𝜙 = 𝐵𝑠 Ako jezgro nije linearno, tada pišemo jednačinu koja predstavlja radnu pravu, na osnovu koje dobijamo radnu tačku koja nam pomaže da se odredi fluks. 9. Da li će doći do pomeranja radne tačke grane magnetskog kola, ako se u grani načini vazdušni procjep? Kako širina procjepa utiče na položaj radne tačke? Obrazložiti odgovor. Ukoliko se vodimo pravilom da nema rasipanja, tada je indukcija kroz vazdušni procjep ista indukciji unutar jezgra, što znači da neće doći do pomjeranja radne tačke. Što se tiče širine procjepa, kao što sam već naglasio, ukoliko se vodimo pravilom da nema rasipanja, ona ni na bilo koji način neće uticati na položaj radne tačke. PETI BLOK 1. Jednačine stalnih magnetskih polja. 1. zakon konzervacije magnetnog fluksa ⃗ ⅆ𝑠 = 0 ∮𝐵 𝑠 2. uopšteni Amperov zakon ⃗ ⅆ𝑙 = ∑ 𝐼 ∮𝐻 𝑐 𝑐 3. Konstitativna relacija ⃗ = 𝐵(𝐻 ⃗) 𝐵 2. Vektor jačine indukovanog električnog polja. Električno polje ima dva uzročnika - nepokretna električna opterećenja - električne struje koje se mijenjaju u vremenu. ⃗ 𝐸⃗𝑖𝑛𝑑 = 𝑣 × 𝐵 Jačina indukovanog električnog polja u slučaju da se posmatrač kreće brzinom 𝑣 u odnosu na ⃗. izvor magnetnog polja indukcije 𝐵 Eksperimentalno je pokazano da kod nepokretnog dl tankog provodnika 𝐸⃗𝑖𝑛𝑑 = − 𝜇0 ⅆⅈ(𝑡) ⃗⃗⃗ dl ∮ ⋅ 4𝜋 ⅆ𝑡 𝑟 𝑐 Kod njega je ∮ 𝐸⃗ ⃗⃗⃗ dl ≠ 0 𝑐 Integral duž neke žičane konture za 𝐸⃗𝑖𝑛𝑑 naziva se indukovana ems. 3. Faradejev zakon elektromagnetske indukcije. Lencovo pravilo. Statička indukcija sa primjerom. Faradejev zakon kaže: 𝑒𝑖𝑛𝑑 (𝑡) = − ⅆ𝜙 ⅆ𝑡 Struja u konturi stvara svoje magnetno polje čijim fluksom teži da poništi promjenu fluksa, iako je ta promjena izazvala postojanje struje. Ova pojava naziva se LENCOVO PRAVILO. Ako je u pitanju strujna kontura koja miruje, a magnetsko polje se mijenja tada imamo statičku indukciju. U ovom slučaju imamo da je indukcija 𝐵(𝑡) = 𝜇𝑜 ⅈ(𝑡) 2𝜋𝑟 Kada to uvrstimo u jednačinu za fluks, i riješimo integral dobijamo 𝜙(𝑡) = 𝜇0 ⅈ(𝑡)𝑏 𝑎 + ⅆ ln 2𝜋 ⅆ Sada kada uvrstimo u jednačinu za indukovano ems, dobićemo 𝑒𝑖𝑛𝑑𝑠 = −∫ ⃗ ⅆ𝐵 ⃗⃗⃗⃗ ds ⅆ𝑡 4. Dinamička indukcija sa primjerom Ako je u pitanju strujna kontura koja se kreće u odnosu na posmatrača, u stalnom magnetskom polju tada imamo dinamičku indukciju. Dakle u ovom slučaju nam je B konstantno, a ugao između indukcije i površine se mijenja Taj ugao promjene će biti 𝛼 = 𝜔𝑡, tako da ćemo imati 𝜙 = 𝐵𝑎𝑏 cos 𝜔𝑡 Sama indukovana ems će biti ⃗⃗⃗ ⃗ )dl 𝑒𝑖𝑛𝑑𝑑 = ∮(𝑣 × 𝐵 𝐶 5. Mješovita indukcija sa primjerom. Ako se kontura kreće u odnosu na posmatrača, u promjenjivom magnetnom polju, tada je složena ili mješovita indukcija. // Ubacio sam dio sa njegovog predavanja, ostatak je rekao da ćemo raditi na auditornima, a mi to još nismo radili, tako da za sada samo ovo, a tekst je ako se ne može pročitati, rastojanje konture od provodnika se mijenja.// 6. Generator vremenski konstantne elektromotorne sile koji koristi pojavu elektromagnetske indukcije. Generator vremenski konstantne ems koji koristi pojavu elektro magnetne indukcije. Prvo da se upoznamo sa pojmom generatora. Generatori su uređaji koji jedan vid energije koriste tj. pretvaraju u električnu energiju. 2 𝑒𝑖𝑛𝑑 = ∫ 𝐸⃗𝑖𝑛𝑑 ⋅ ⃗⃗⃗ ⅆ𝑙 = 𝑣𝐵𝑎 1 Jer je ugao između E i dl nula. ⃗ ⇒ 𝐸𝑖𝑛𝑑 = 𝑣𝐵 𝐸⃗𝑖𝑛𝑑 = 𝑣 × 𝐵 Kako imamo 𝐹𝑚𝑒ℎ ems će se mijenjati u vremenu. Takođe javljaće se i magnetna sila koja je ⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗𝑚 = 𝐼ⅆ𝑙 ⃗ . Dolazi do izjednačavanja mehaničke i magnetne sile. Ako zanemarimo trenje, ⅆ𝐹 brzina će biti konstantna, odnosno kretanje će se nastaviti zbog inercije. Kada uvrstimo da je brzina konstanta dobijemo da je magnetna sila konstantna i da se dalje ne mijenja u vremenu. Izraz za brzinu možemo da odredimo preko snage 𝑝= 2 (𝑣𝐵𝑎)2 𝐹𝑚𝑒ℎ ⋅ 𝑅 𝑒𝑖𝑛 𝑑 = ⇒ (𝐵𝑎)2 𝑅 𝑅 𝑒𝑖𝑛𝑑 = 𝜈𝐵𝑎 = 𝐹𝑚𝑒ℎ ⋅ 𝑅 𝑎𝐵 7. Linearni motor koji koristi pojavu elektromagnetske indukcije. Motori su uređaji koji vrše konverziju električne energije u neki drugi oblik. Kao prvo treba da znamo da postoje mehaničke kočnice koje sprečavaju kretanje po šinama. 𝐼= 𝐸 𝑅 ⃗ = 𝐼𝑎𝑏 𝐹𝑚 = 𝐼 ⋅ 𝑙 × 𝐵 Jer je sinus 1. Kada sada sklonimo mehaničku kočnicu imamo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝐸𝑖𝑛𝑑 = 𝑣 × 𝐵 𝑒𝑖𝑛𝑑 = ∫ 𝐸⃗𝑖𝑛𝑑 ⃗⃗⃗ ⅆ𝑙 = −𝑣𝐵𝑎 Znamo da je sada ⅈ= 𝐸 − 𝑣𝐵𝑎 𝑅 𝑅𝐺 𝐸− 𝐺 𝑎𝐵 𝐹𝑚 = 𝐺 ⇒ 𝐼𝑎𝐵 ∧ 𝐼 = ⇒𝑣= 𝑎𝐵 𝑎𝐵 8. Obrtni generator (alternator). ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝜙(𝑡) = ∫ 𝐵 ⅆ𝑠 = 𝐵𝑎𝑏 cos 𝜔𝑡 𝑆 Gdje možemo reći da je sada 𝑒𝑖𝑛𝑑 (𝑡) = − ⅆ𝜙 = 𝜔𝐵𝑎 sin 𝜔𝑡 ⅆ𝑡 𝜔𝐵𝑎 = 𝐸𝑚𝑎𝑥 9. Maksvelove jednačine. - Faradejev zakon elektro magnetne indukcije ∮ 𝐸⃗ ⃗⃗⃗ ⅆ𝑙 = − ∫ 𝐶 𝑠 𝑛𝑎 𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗ dB ⃗⃗⃗⃗ ⅆ𝑠 ⅆ𝑡 - Uopšteni Amperov zakon ⃗ ⃗⃗⃗ ∮𝐻 ⅆ𝑙 = 𝑐 - ∫ 𝐽 ⃗⃗⃗⃗ ⅆ𝑠 𝑠 𝑛𝑎 𝑐 Uopšteni Gausov zakon ⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝜌 ⅆ𝑉 ⃗ ⅆ𝑠 ∮𝐷 𝑆 - 𝑣 Zakon konzervacije magnetnog fluksa ⃗⃗⃗⃗ = 0 ⃗ ⅆ𝑠 ∮𝐵 𝑆 Za rješavanje sporo promjenjivog polja dodatno se koriste još i - Jednačina kontinuiteta ∫ 𝐽 ⃗⃗⃗⃗ ⅆ𝑠 = − ∫ 𝑠 - ⅆ𝜌 ⅆ𝑉 ⅆ𝑡 Konstitutivne relacije 𝐷 = 𝐷(𝐸); 𝐽 = 𝐽(𝐸); 𝐵 = 𝐵(𝐻) ∫ 𝑠 𝑛𝑎 𝑐 ⃗⃗⃗⃗ ≠ 0 za vremejnski promjenjive struje, pa onda za uopšteni Amperov zakon 𝐽 ⅆ𝑠 dobijamo ⃗ ⃗⃗⃗ ∮𝐻 ⅆ𝑙 = ∫ (𝐽 + 𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⅆ𝐷 ) ⃗⃗⃗⃗ ⅆ𝑠 ⅆ𝑡 Ovo predstavlja Maksvelovu dopunu uopštenog Amperovog zakona. ŠESTI BLOK 1. Međusobne induktivnosti dvije provodne konture. 𝜙21 = ∫ 𝐵1 ⃗⃗⃗⃗ ⅆ𝑠 𝑠 Prvi indeks predstavlja konturu kroz koju računamo fluks, a drugi indeks konturu koja stvara fluks. Ovo zavisi od literature do literature, u nekima može biti obrnuto. Ovaj izraz može biti manji veći ili jednak nuli, sve zavisi od oblika konture, njihovog međusobnog položaja ili orijentacije. ⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝜙21 = ∫ 𝐵1 ⅆ𝑠 cos ∡(𝐵 𝑛2 ) 𝑠 Apsolutna vrijednost zavisi i od magnetne permeabilnosti okoline. Iz gore navedenog izraza i 𝐵 = 𝑘 ⋅ ⅈ dobijamo da je 𝜙 = 𝑘 ′ ⋅ ⅈ, gdje kada to uvrstimo za naše konture dobijamo 𝜙21 = 𝑘21 ⋅ ⅈ1 Gdje ovo k predstavlja induktivnost odnosno 𝑘21 = 𝐿21 koje predstavlja međuidnduktivnost kontura 1 i 2. 𝐿21 = 𝜙21 [𝐻] ⅈ1 Jedinica je Henri, i međuinduktivnost nije funkcija jačine struje, i ovaj izraz vrijedi za linearne sredine. Induktivnost je faktor proporcionalnosti između struje i fluksa, tj. između fluksa koji stvara neka struja, i te struje. Može biti pozitivna, negativna i jednaka nuli Takođe za linearne sredine važi i 𝐿21 = 𝐿12 Induktivnosti poste i kada postoje vremenski konstantne struje. Referentni smjer struja mora biti naznačen, a samo vrijednost ne mora biti definisana. Međuinduktivnosti ne zavise od jačine struje, jer se one moraju skratiti, ali zavise od referentnog smjera. 2. Sopstvena induktivnost usamljene provodne konture. Samoindukcija je pojava indukovanja ems u provodnoj konturi kroz koju protiče promjenjiva struja i koja stvara vremenski promjenjivo magnetno polje u kom se nalazi i sama kontura, pa će zbog toga doći do pojave indukcije. Fluks magnetne indukcije koji kroz konturu c stvara struja koja protiče kroj nju naziva se sopstveni fluks. Faktor proporcionalnosti između fluksa i struje naziva se sopstvena induktivnost. 𝐿= 𝜙(ⅈ) [𝐻] ⅈ Takođe nije funkcija jačine struje. Za razliku od međuinduktivnosti, sopstvena induktivnost je uvijek pozitivna. Razlikujemo unutrašnju i vanjsku sopstvenu induktivnost. 3. Koeficijent induktivne sprege. Šematski prikaz induktiviteta. Koeficijent induktivne sprege je 𝑘= |𝐿12 | √𝐿1 ⋅ 𝐿2 Gdje brojilac predstavlja apsolutnu vrijednost međuinduktivnosti kontura, a u imeniocu se nalazi korijen iz proizvoda sopstvene induktivnosti prve i druge konture. 0≤𝑘≤1 0 je kada nema sprege, a 1 kada je magnetni fluks isti kroz obe konture, odnosno kada nema rasipanja. Ova ems znamo da je jednaka 𝑒𝑖𝑛𝑑 = − ⅆ𝜙 ⅆⅈ = −𝐿 ⅆ𝑡 ⅆ𝑡 Na osnovu toga dobijamo ekvivalentnu šemu gdje nam je u jednako −𝑒𝑖𝑛𝑑 . Električna induktivnost L ima vezu između napona i struje pri čemu imamo usklađene referentne smerove 𝑢=𝐿 ⅆⅈ ⅆ𝑡 Zanemarujemo otpornost žice. Najčešće realizovani kao kalemovi ili zavojnice. Induktivitet je element kod koga pri usklađenim referentnim smjerovima za napon i struju, struja ulazi u plus napona. 4. Ekvivalentna šema spregnutih kalemova sa primjerom. Postupak prelaska sa fizičke strukture na šematski prikaz. 𝜙1 = 𝐿1 𝑖̇1 + 𝐿12 ⋅ ⅈ2 𝐿1 > 0 ∧ 𝐿12 > 0 𝐵1 ⅈ 𝑛2 su istog smjera zbog toga je međuinduktivnost pozitivna. 𝜙2 = 𝐿2 ⅈ2 + 𝐿21 ⋅ ⅈ1 Otpornost namotaja se zanemaruje. ⃗⃗⃗⃗ 𝐵1 ∧ ⃗⃗⃗⃗ 𝐵2 Kada posmatramo preko superpozicije. Pošto su struje promjenjive u vremenu onda imamo indukovanu ems. Ovdje imamo da su nam naponi jednaki 𝑢1 = −𝑒𝑖𝑛𝑑1 i 𝑢2 = −𝑒𝑖𝑛𝑑2 Markerima pokazujemo na postojanje sprege k Kada obe struje ili ulaze ili izlaze iz markera, tada je sprega pozitivna, u suprotnom sprega je negativna. Prvi marker postavljamo proizvoljno, a drugi uvodimo znak međuinduktivnosti. 𝐿21 < 0 jer je ugao između B i n jednak nuli, jer za ⅈ1 od 1 do 1′ i za ⅈ2 od 2 do 2′ 𝐿21 > 0 5. Objasniti ukratko, kada se međusobna induktivnost dva induktivno spregnuta kalema tretira kao pozitivna, a kada kao negativna? Prikazati obe vrste sprege na primjerima predstavljenim na fizičkoj i električnoj šemi. 6. Jednačina protoka. 𝑞=− 𝛥𝜙 −𝜙(𝑡2 ) − 𝜙(𝑡1 ) = 𝑅 𝑅 𝜙(𝑡2 ) – fluks u drugom stacionarnom stanju 𝜙(𝑡1 ) – fluks u prvom stacionarnom stanju R – otpornost namotaja konture. Jednačina protoka, eksperimentalno se može pokazati pomoću balističkog galvanometra. 7. Šta je transformator? Koja je razlika između linearnog, savršenog i idealnog transformatora? Navesti veze između napona i struja primara i sekundara idealnog transformatora (prema proizvoljno izabranim referentnim smjerovima). Transformator je električni element koji se sastoji od feromagnetnog jezgra na kojem imamo obično dva, a možemo imati i više namotaja, tako da imamo induktivnu spregu. On nam omogućava da se energija sa jednog namotaja prenese na drugi bez direktne veze. Sastoji se od jezgra primara i sekundara. Savršeni transformator odlikuje k=1, 𝑅 ≈ 0 i mali Džulovi gubici. Kod idealnog se zadržavaju sve osobine kao kod savršenog samo što je permeabilnost jezgra 𝜇𝑗 ≈ ∞. Kod linearnog transformatora vrijedi svojstvo da može biti beskonačno strujno i naponski opterećen i da se može prenijeti beskonačna snaga. Linearni transformator uzima u obzir rasipni magnetski tok te je stoga faktor magnetske veze 𝑘 < 1. Veza napona i struje kod idealnog transformatora je 𝑢1 𝑁1 =± 𝑢2 𝑁2 Znak zavisi od toga da li oba napona imaju + postavljen na isti smjer u odnosu na marker ⅈ1 𝑁2 =± ⅈ2 𝑁1 Plus, ako jedna struja ulazi a druga izlazi iz markera, a minus ako obe ulaze ili izlaze. 8. Gdje je lokalizovana magnetska energija? Napisati izraz po kom se računa magnetska energija kalema induktivnosti L ukoliko su poznate vrijednosti jačine struje/fluksa kroz kalem. Šta je zapreminska gustina magnetske energije (napisati odgovarajući izraz)? Energija je lokalizovana u sistemu strujnih kontura u linearnoj sredini. 𝑊𝑚 = 1 2 𝜙2 1 𝐿𝐼 = = 𝜙𝐼 2 2𝐿 2 1 2 𝐵2 1 𝐽 𝑤𝑚 = 𝜇𝐻 = = 𝐵𝐻 [ 3 ] 2 2𝜇 2 𝑚 Za linearne materijale 1 𝑤𝑚 = 𝐵𝐻 2 Odnosno preko BH karakteristike 𝐵2 𝑤𝑚 = ∫ 𝐻 ⅆ𝐵 𝐵1