Anton Wolw Thelma Åsvärd EXTF80, Geografisk informationsteknik Lantmäteri, Lunds Tekniska Högskola Kursansvarig: Karin Larsson Interpolation av Geoidhöjd Introduktion I denna övning görs studier på hur man kan bestämma geoidhöjder med avståndsviktad medelvärdesinterpolation respektive bilinjär interpolation. Därutöver studeras också några egenskaper hos respektive interpolationsmetod. Interpolation används för att skatta värden på de platser som ligger mellan kända punkter. Fyra kända punkter runt respektive sökt punkt A och B kommer att användas under övningen för att interpolera fram de sökta punkternas respektive värden för de två metoderna. Syfte Syftet med denna övning är att få praktiska färdigheter i att beräkna interpolation, där man genom att analysera metoderna ska få kunskap om de egenskaper interpolerade ytor får. Metod I denna uppgift har man använt sig av två metoder för att interpolera fram geoidhöjden. I uppgift ett användes interpoleringsmetoden avståndsviktad medelvärdesinterpolation som utgår ifrån att nyttja omkringliggande kända punkters värden, där de närmaste punkterna kommer att få störst inflytande för att få fram den sökta punktens interpolerade värde. Därefter nyttjar man i uppgift två interpoleringsmetoden bilinjär interpolation som kräver att punkterna ligger i ett regelbundet rutnät, där avstånden i x- och y-led mellan de kända punkterna och de kända punkterna värden används för att få fram den sökta punktens interpolerade värde. Resultat Uppgift 1 1a) Interpolera fram värdet på punkterna A och B med hjälp av de fyra närmaste mätpunkterna. Använd k=1. Punkt A = 38,56302531 m Punkt B = 39,67929958 m Figur 1: Uträckning för punkt A med avståndsviktad medelvärdesinterpolation där k är satt till ett. Figur 2: Uträckning för punkt B med avståndsviktad medelvärdesinterpolation där k är satt till ett. 1b) Interpolera fram värdet på punkterna A och B med hjälp av de fyra närmaste mätpunkterna. Använd k=2. Punkt A = 38,51907424 m Punkt B = 39,64439044 m Figur 3: Uträckning för punkt A och punkt B med avståndsviktad medelvärdesinterpolation där k är satt till två. 1c) Interpolera fram värdet på punkterna A och B med hjälp av de fyra närmaste mätpunkterna. Använd k=3. Punkt A = 38, 46129367 m Punkt B = 39,60921991 m Figur 4: Uträckning för punkt A och punkt B med avståndsviktad medelvärdesinterpolation där k är satt till tre. Värden som använts för att räkna ut svaren ovan: Punkt A x (m) y (m) Avstånd till A (m) Vikt k=1 Vikt k=2 Vikt k=3 g (m) 1343000 6179000 1000,872619 0,000999128 0,000000998 9,97386705 *10-10 38,801 1344000 6179000 723,7029777 0,001381782 0,000001909 2,63826807*10-9 38,769 1343000 6178000 807,3078719 0,001238685 0,000001534 1,90056374*10-9 38,445 1344000 6178000 416,8285019 0,002399068 0,000005756 1,38079046*10-8 38,407 Tabell 1: Värden som använts vid beräkningar för punkt A och svar som fåtts fram därefter. Punkt B x (m) y (m) Avstånd till A (m) Vikt k=1 Vikt k=2 Vikt k=3 g (m) 1342000 6183000 1060,181588 0,000943235 0,00000089 8,39187927*10-10 39,865 1343000 6183000 1104,529312 0,000905363 0,00000082 7,42109964*10-10 39,84 1342000 6182000 453,8557039 0,002203343 0,000004855 1,0696621*10-8 39,61 1343000 6182000 549,5316187 0,001819732 0,000003311 6,02590031*10-9 39,587 Tabell 2: Värden som använts vid beräkningar för punkt A och svar som fåtts fram därefter. 1d) Vilka egenskaper får avståndsviktade medelvärdesinterpolationen då k=0? Känner du igen dessa egenskaper från någon annan metod? Motivera varför det blir så. När k är 0 så kommer inte vikterna att spela någon roll då alla oavsett avstånd kommer att få värdet 1. Nämnaren kommer därmed endast bli antal uppmätta punkter n. Täljaren kommer att bli summan av punkternas uppmätta geoidhöjder g. Svaret man får ut kommer att vara medelvärdet av geoidhöjderna mellan de uppmätta punkterna. Man får alltså ett vanligt oviktat medelvärde. 1e) Vilka egenskaper får avståndsviktade medelvärdesinterpolationen då k går mot oändligheten? Känner du igen dessa egenskaper från någon annan interpolationsmetod? Motivera varför det blir så. Om man låter k gå mot oändligheten så kommer inflytandet från närliggande punkter att öka och interpolationen blir lika med närmaste granne interpolation. Eftersom när k går mot oändligheten så kommer avståndet upphöjt till k gå snabbare mot oändligheten desto större avstånd den har. Eftersom vikten är 1 delat på avståndet upphöjt till k kommer de längsta avståndens vikter närma sig noll snabbare än de med kortare avstånd. Detta gör att det blir den närmaste grannen som kommer finnas kvar att interpolera med. Uppgift 2 2) Interpolera fram värdet på punkterna A och B med hjälp av bilinjär interpolation. Punkt A = 38,53405905 m Punkt B = 39,61002194 m Figur 5: Uträckning för punkt A och punkt B med bilinjär interpolation. Uppgift 3 3a) Visa huruvida en yta som interpolerats med bilinjär interpolation är kontinuerlig mellan rutorna (matematisk förklaring krävs). Figur 6: Uträkning del 1 för bevis huruvida om en yta som interpolerats med bilinjär interpolation är kontinuerlig mellan rutorna. Figur 7: Uträkning del 2 för bevis huruvida om en yta som interpolerats med bilinjär interpolation är kontinuerlig mellan rutorna. Utifrån resultatet av figur 6 inklusive figur 7 kan man anta att R1 är densamma som R2, därmed innebär detta att rutorna är kontinuerliga när en yta interpoleras med bilinjär interpolation. 3b) Visa huruvida en yta som interpolerats med bilinjär interpolation har kontinuerliga förstaderivator mellan rutorna (matematisk förklaring krävs). Detta bevis utgår från samma rutnät som i uppgift 3a). Ekvation 1: Formel för att kolla om de partiella förstaderivatorna verkligen är kontinuerliga vilket nyttjas i beviset nedanför. Undersökning av kontinuitet i y-led: R1: θz/θu (u,w) = z2 - z1 + (z1 - z2 - z3 + z4) *w R3: θz/θu (u,w) = z8 - z7 + (z7 - z8 - z1 +z2) * w R1 och R3 är skilt från varandra, alltså ingen kontinuitet i y-led. Undersökning av kontinuitet i x-led: R1: θz/θw (u,w) = z3 - z1 + (z1 - z2 -z3 + z4) * u R2: θz/θw (u,w) = z4 - z2 + (z2 - z5 - z4 + z6) * u R1 och R2 är skilt från varandra, alltså ingen kontinuitet i x-led heller. I och med att derivatorna ej stämmer överens, fås inga kontinuerliga bilinjära ytor. Detta innebär att den interpolerade ytan ej heller har kontinuerliga förstaderivator. 3c) Diskutera om avståndsviktad medelvärdesinterpolation ger kontinuerliga ytor. Här krävs inga matematiska förklaringar, men dock ett tydligt resonemang. Avståndsviktad medelvärdesinterpolation är en metod för att skapa en yta utifrån punktdata genom att använda en viktad medelvärde av närliggande punkter. Genom att vikta närliggande punkter baserat på avståndet till den punkt som ska interpoleras, får man en mer realistisk yta som bättre återspeglar terrängen eller egenskaperna hos den data som ska interpoleras. Därmed får man när man använder avståndsviktad medelvärdesinterpolation en kontinuerlig yta eftersom metoden skapar en interpolerad yta som täcker hela området, och vikten av varje punkt används för att skapa en jämn och sammanhängande yta. Dessutom kan man använda olika typer av viktfunktioner för att anpassa interpolationen efter den data som ska interpoleras och därmed skapa en yta som bättre representerar den faktiska terrängen eller egenskaperna. Emellertid så tar inte avståndsviktad medelvärdesinterpolation hänsyn till icke-linjära effekter eller andra faktorer som kan påverka interpolationsresultatet i och med att det är en linjär metod. Man måste också använda tillräckligt med punkter och välja en lämplig viktfunktion för att få en tillräckligt noggrann och realistisk yta. Slutligen kan avståndsviktad medelvärdesinterpolation filtrera bort tillfälliga fel om parametrarna bestäms så. Dock har den varken kontinuerliga ytor eller kontinuerliga derivator.