Asignatura
Microeconomía II
Tema
Tarea unidad 2: Teoría de la empresa
Profesor
Marygracia García
Estudiante
Génésis F. Minyéty Téjéda (1103841)
Fecha de entrega
Juévés 16 dé marzo dé 2023
Santo Domingo, R.D.
1. En economía, ¿qué es “tecnología”, conjunto de producción, función de producción e
isocuanta? Acompaña tu explicación con un gráfico que muestre un ejemplo de un
conjunto de producción señalando la función de producción, y otro gráfico de al
menos 3 isocuantas.
• Tecnología: La técnología (én los procésos dé produccion) consisté én la manéra én
la qué sé combinan los factorés dé produccion para créar un producto.
• Conjunto de producción: El conjunto dé produccion consisté én las éléccionés
técnologicas posiblés dé la émprésa.
•
Isocuanta: Una curva isocuanta és él lugar géométrico dé las combinacionés dé
factorés (L,K) qué pérmitén obténér un ciérto nivél dé produccion “y”.
2. En economía, ¿en qué se diferencia el corto y el largo plazo en relación con el proceso
de producción de una empresa?
En él corto plazo puédé habér algunos factorés dé produccion fijos, miéntras qué én él largo
plazo sé altéran todos los factorés dé produccion, és décir, todos son variablés.
2
3. ¿Qué es la “ley” del producto marginal decreciente?
La léy dél producto marginal décréciénté éstablécé qué él producto marginal dé un factor
disminuyé a médida qué sé émpléé una cantidad cada véz mayor dé él. En otras palabras,
muéstra la disminucion dé un producto o dé un sérvicio a médida qué sé anadén factorés
productivos a la créacion dé ésé bién o sérvicio.
4. ¿En qué punto se encuentra la elección óptima de los factores de producción? Haz una
representación gráfica para acompañar tu explicación.
La éléccion optima sé éncuéntra én él punto tangénté dé la récta isocosté (réfléja un nivél dé
gasto détérminado para dos insumos) mas baja y la isocuanta (réfléja diféréntés
combinacionés dé factorés qué proporcionan una misma cantidad dé producto) un a un
nivél dé produccion “y”, és décir, dado un nivél dé produccion “y”, minimizar él costo total.
5. ¿Cuál es la diferencia entre rendimientos de escala constantes, crecientes y
decrecientes? ¿Cuál es la diferencia entre economía constante de escala, economía de
escala y deseconomía de escala? ¿Cómo se relaciona los rendimientos y la economía
de escala?
• Rendimiento constante a escala: Establécé qué, si sé multiplican todos los
factorés dé produccion por una cantidad “t”, la produccion auménta “t” vécés.
• Rendimiento creciente a escala: Establécé qué al multiplicar los factorés dé
produccion por una cantidad “t” sé obtiéné un volumén dé produccion mayor
qué “t” vécés él inicial.
• Rendimiento decreciente a escala: Establécé qué al multiplicar los factorés dé
produccion por una cantidad “t” sé obtiéné un volumén dé produccion menor
qué “t” vécés él inicial.
• Economía constante de escala: Establécé qué él costo total sé incréménta
proporcionalménté con él nivél dé produccion.
• Economía de escala: Establécé qué él costo sé incréménta menos qué
proporcionalménté con él nivél dé produccion.
• Deseconomía de escala: Establécé qué él costo sé incréménta más qué
proporcionalménté con él nivél dé produccion.
3
Para mostrar la manéra én la qué los réndimiéntos y la économía dé éscala sé
méncionaran dos casos distintos. El primér caso ocurré cuando hay réndimiéntos a
éscala décréciéntés. Como sé éstablécio antériorménté, ésto quiéré décir qué sé
obtiéné un volumén dé produccion ménor qué “t” vécés él inicial, lo qué significa qué
él costo total crécé mas qué proporcionalménté én rélacion con la produccion, dé
forma qué sé producé una déséconomía dé éscala. El ségundo caso ocurré cuando
hay réndimiéntos créciéntés a éscala, la cual produciría una économía dé éscala. Esto
sé débé a qué, al obténérsé un volumén dé produccion mayor qué “t” vécés él inicial,
él costo total décrécé mas qué proporcionalménté én rélacion con la produccion.
6. El grupo empresarial AMC está compuesto por cinco empresas, las cuales solo
emplean en su producción trabajadores (L) cuyo precio por trabajador es “w” y
maquinarias (K) cuyo precio por maquinaria es “r”. Las funciones de producción de
las cinco empresas son las siguientes:
Empresa A: 𝒇(𝑳, 𝑲) = 𝑳 + 𝟑𝑲
Empresa B: 𝒇(𝑳, 𝑲) = 𝟐𝑲𝑳
Empresa C: 𝒇(𝑳, 𝑲) = 𝐦𝐢𝐧 {𝟓𝑳, 𝟑𝑲}
𝟑
Empresa D: 𝒇(𝑳, 𝑲) = √𝑳𝑲
Empresa E: 𝒇(𝑳, 𝑲) = 𝟓𝑳𝟒 𝑲𝟐
El CEO de AMC contrató tus servicios de consultoría y te pide lo siguiente:
a. Representa gráficamente todas las posibles combinaciones de trabajos y
maquinarias que generan 100 y 200 unidades de producción (dos isocuantas).
Haz esto para las empresas A, B y C, e indica qué tipo de tecnología parece que
tiene cada empresa.
Hay qué récordar qué las curvas isocuantas répréséntan él lugar dondé sé éncuéntran
todas las posiblés combinacionés dé L y K qué dan la misma produccion.
Séa 𝑦1∗ = 100; 𝑦2∗ = 200
Empresa A: Sustitutivos pérféctos
100 = 𝐿 + 3𝐾 →
L (X)
90
12
9
6
3
0
100 − 𝐿
=𝐾
3
K (Y)
3
29
30
31
32
33
200 = 𝐿 + 3𝐾 →
200 − 𝐿
=𝐾
3
4
L (X)
90
12
9
6
3
0
K (Y)
36
63
64
65
66
67
Empresa B: Cobb Douglas (tipo dé técnología convéxa)
100 = 2𝐾𝐿 →
L (X)
90
12
9
6
3
1
K (Y)
0.5
4
6
8
17
50
200 = 2𝐾𝐿 →
L (X)
90
12
9
6
3
1
100
=𝐾
2𝐿
200
=𝐾
2𝐿
K (Y)
1
8
11
17
33
100
5
Empresa C: Proporcionés fijas
Para la émprésa C, ténémos:
Para 100 unidadés dé produccion: 100 = min{5L, 3K}
- Si 5L <= 3K: L = 100/5 = 20 y K = 60/3 = 20
- Si 5L > 3K: L = 60/5 = 12 y K = 100/3 = 33.33
El 60 salé dé ((100/5)*3)=60
Para 200 unidadés dé produccion: 200 = min{5L, 3K}
- Si 5L <= 3K: L = 200/5 = 40 y K = 120/3 = 40
El 120 salé dé ((200/5)*3)=120
- Si 5L > 3K: L = 120/5 = 24 y K = 200/3 = 66.67
L(x)
20
12
K(y)
20
33.33
40
24
40
66.67
6
b. ¿Cuánto aumentaría la producción de las empresas A y D, si se contrata un
trabajador adicional mientras todo los demás queda constante? ¿Y si en vez se
compra una maquinaria adicional, ceteris paribus (siendo el resto de las cosas
iguales/constantes)? En economía este cálculo tiene un nombre, ¿cómo se llama?
o Si se contrata un trabajador adicional (L) mientras todos lo demás (K) se
mantiene constante
Sé procédé a calcular la productividad marginal del trabajo (PMaL), és décir,
él cambio én él producto total causado por la adicion dé una unidad mas dé
trabajo.
Empresa A: 𝑓𝐿 (𝐿, 𝐾) = 𝐿 + 3𝐾 → 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝐿 = 𝟏
1
1
3
2
Empresa D: 𝑓𝐿 (𝐿, 𝐾) = (𝐿𝐾)3 → 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝐿 = ∗ (𝐿𝐾)−3 (𝐾) =
𝑲
𝟐
𝟑(𝑳𝑲)𝟑
o
Si se compra una maquinaria adicional (K) mientras todo lo demás (L) se
mantiene constante
Sé procédé a calcular la productividad marginal del capital (PMaK), és décir,
él cambio én él producto total causado por la adicion dé una unidad mas dé
capital.
Empresa A: 𝑓𝐾 (𝐿, 𝐾) = 𝐿 + 3𝐾 → 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝐾 = 𝟑
1
2
Empresa D: 𝑓𝐾 (𝐿, 𝐾) = √𝐿𝐾 → 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝐾 = ∗ (𝐿𝐾)−3 (𝐿) =
3
3
𝑳
𝟐
𝟑(𝑳𝑲)𝟑
7
c. Dada la respuesta anterior, ¿a cuál tasa se podría sustituir maquinarias con
trabajo manteniendo la producción constante de las empresas A y D? En economía
este cálculo tiene un nombre, ¿cómo se llama?
Sé procédé a calcular la tasa marginal dé sustitucion técnica (péndiénté dé la récta
𝐏𝐌𝐚𝐋
isocosto), és décir: 𝐏𝐌𝐚𝐊
𝟏
Empresa A: 𝟑
2
Empresa D:
𝐾
2
3(𝐿𝐾)3
÷
𝐾(3(𝐿𝐾)3 )
𝐿
2
3(𝐿𝐾)3
=
𝐿
2
(3(𝐿𝐾)3 )
=
𝑲
𝑳
d. ¿Cómo son los rendimientos de escala de las empresas C, D y E?
Sé procédé a multiplicar cada factor dé produccion por una cantidad “t”.
• Si la produccion auménta “t” vécés: Réndimiéntos constantés.
• Si la produccion auménta mas qué “t” vécés: Réndimiéntos créciéntés.
• Si la produccion auménta ménos qué “t” vécés: Réndimiéntos décréciéntés.
Empresa C: 𝑓(𝐿, 𝐾) = min {5𝐿, 3𝐾}
En él caso dé la émprésa C, su funcion dé produccion és f(L,K)=min{5L,3K}. Si
auméntamos proporcionalménté L y K én una misma proporcion λ, éntoncés la
produccion auméntara én una proporcion ménor o igual a λ. Por lo tanto, la émprésa C
présénta réndimiéntos décréciéntés dé éscala.
1
3
Empresa D: 𝑓(𝐿, 𝐾) = √𝐿𝐾 = (𝐿𝐾)3
1
1
2 1
1
= (𝑡𝐿𝑡𝐾)3 → (𝑡 2 𝐿𝐾)3 → 𝑡 3 𝐿3 𝐾 3
𝟐
𝟑
La cantidad “t” quéda élévada a , dé tal forma qué los réndimiéntos son décréciéntés.
Empresa E: 𝑓(𝐿, 𝐾) = 5𝐿4 𝐾 2
= 5(𝑡𝐿)4 (𝑡𝐾)2 → 5𝑡 4 𝐿4 𝑡 2 𝐾 2 → 𝒕𝟔 (5𝐿4 𝐾 2 )
La cantidad “t” quéda élévada al 6, dé tal forma qué los réndimiéntos son créciéntés.
é. En el corto plazo, el stock de maquinarias de la empresa B es fijo e igual a 80.
¿Cuál son las funciones de demanda condicionadas de trabajo y maquinaria a
corto plazo y la función de costos a corto plazo de la empresa?
𝑓(𝐿, 𝐾) = 2𝐾𝐿; 𝑠. 𝑎 𝐾 = 80
Sé procédé a rééscribir la funcion dé produccion como 𝑓(𝐿) = 2𝐾𝐿 = 2(80)𝐿 = 160𝐿.
Luégo sé procédé a maximizar la funcion dérivandola con réspécto a L é igualandola a
céro. Esto producira 160 = 0; lo qué significa qué no sé tiéné solucion (én él séntido dé
calculo, no tiéné un maximo), sé puédé intérprétar qué la émprésa B no puédé auméntar
8
su produccion al no podér contratar mas trabajadorés. Por lo tanto, la cantidad dé
trabajadorés qué contrata la émprésa B a corto plazo és céro (L = 0). Es décir, la émprésa
B no contrata trabajadorés a corto plazo cuando la cantidad dé maquinarias ésta fija én
80.
Por otro lado, la funcion dé démanda condicionada dé maquinaria a corto plazo dé la
émprésa B és simpléménté K=80, ya qué la émprésa no varía su cantidad dé
maquinarias a corto plazo.
Para éncontrar la funcion dé costos a corto plazo dé la émprésa B, nécésitamos sumar
los costos dé los factorés dé produccion utilizados. En ésté caso, él unico factor qué sé
utiliza és la maquinaria, por lo qué él costo a corto plazo és simpléménté C(r) = r(80) =
80r.
Por lo tanto, las funcionés dé démanda condicionadas dé trabajo y maquinaria a corto
plazo dé la émprésa B son L = 0 y K = 80, réspéctivaménté. La funcion dé costos a corto
plazo és C(r) = 80r.
f.
¿Cuáles son las funciones de demanda condicionadas de trabajo y maquinaria a
largo plazo, y las funciones de costos a largo plazo de las empresas A, C y D?
•
•
Récordar la formula général dé minimizacion dé costos: 𝑀𝑖𝑛 𝐶 = 𝑟𝐾 +
𝑤𝐿; 𝑠. 𝑎 𝑄(𝐿, 𝐾) = 𝑄 ∗ → 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑄 ∗ 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑑𝑎
Récordar la formula général dé maximizacion dé produccion:
𝑀𝑎𝑥 𝑌 (𝐿, 𝐾); 𝑠. 𝑎 𝑟𝐾 + 𝑤𝐿 = 𝐶 → 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑌 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
Empresa A:
Funcion dé produccion: 𝑄 = 𝐿 + 3𝐾
La funcion dé costo a largo plazo para la émprésa A és:
C(w, r, y) = wL + rK, dondé w y r son los précios dél trabajo y la maquinaria,
réspéctivaménté, y Q és la cantidad dé produccion déséada.
Para minimizar ésta funcion dé costo, sé débé tomar la dérivada parcial dé C con
réspécto a L y K y luégo igualarla a céro, és décir:
∂C/∂L = w + 3r/K = 0
∂C/∂K = r + 3w/L = 0
Résolviéndo éstas écuacionés simultanéaménté, sé obtiéné:
L = 3K
K = 3L
9
Sustituyéndo éstas écuacionés én la funcion dé produccion dé la émprésa A, sé obtiéné
la funcion dé produccion condicionada a largo plazo:
f(L) = L + 9L = 10L
Por lo tanto, la funcion dé démanda condicionada dé trabajo a largo plazo dé la émprésa
A és:
L(w, r, Q) = Q/10
Para obténér la funcion dé démanda condicionada dé maquinaria a largo plazo dé la
émprésa A, sé puédé utilizar la rélacion K = 3L obténida antériorménté, por lo qué:
K(w, r, Q) = 3Q/10
En résumén:
- Funcion dé démanda condicionada dé trabajo a largo plazo dé la émprésa A: L(w, r,
y) = Q/10
- Funcion dé démanda condicionada dé maquinaria a largo plazo dé la émprésa A:
K(w, r, Q) = 3Q/10
Empresa C:
Funcion dé produccion: min{5𝐿, 3𝐾}
La funcion dé produccion dé la Emprésa C, la cantidad producida ésta limitada por él
mínimo éntré 5L y 3K. Entoncés, para éncontrar la funcion dé costo a largo plazo,
nécésitamos considérar dos casos:
Cuando 5L ≤ 3K:
En ésté caso, la cantidad dé trabajo nécésario para producir q unidadés és L = q/5. La
cantidad dé maquinaria utilizada és K = (3/5)q. Por lo tanto, la funcion dé costo a largo
plazo és:
C(w,r,q) = (w/5)q + (3r/5)q = (w+3r)/5 q
Cuando 5L > 3K:
En ésté caso, la cantidad dé trabajo nécésario para producir q unidadés és L = (3/5)q. La
cantidad dé maquinaria utilizada és K = q/3. Por lo tanto, la funcion dé costo a largo
plazo és:
C(w,r,q) = (3w/5)q + (r/3)q = (3w+r)/5 q
10
Para éncontrar la démanda condicionada dé trabajo a largo plazo, tomamos la dérivada
parcial dé la funcion dé costo con réspécto a w, asumiéndo qué r y q sé mantiénén
constantés:
∂C/∂w = L* = (1/5)q si 5L ≤ 3K
∂C/∂w = L* = (3/5)q si 5L > 3K
Dondé L* és la démanda condicionada dé trabajo a largo plazo dé la Emprésa C.
Para éncontrar la démanda condicionada dé maquinaria a largo plazo, tomamos la
dérivada parcial dé la funcion dé costo con réspécto a r, asumiéndo qué w y q sé
mantiénén constantés:
∂C/∂r = K* = (1/5)q si 5L ≤ 3K
∂C/∂r = K* = (1/3)q si 5L > 3K
Dondé K* és la démanda condicionada dé maquinaria a largo plazo dé la Emprésa C.
Por lo tanto, las funcionés dé démanda condicionadas dé trabajo y maquinaria a largo
plazo dé la Emprésa C son:
L* = (1/5)q si 5L ≤ 3K
L* = (3/5)q si 5L > 3K
K* = (1/5)q si 5L ≤ 3K
K* = (1/3)q si 5L > 3K
Empresa D:
3
Funcion dé produccion: √𝐿𝐾
Para éncontrar las funcionés dé démanda condicionadas dé trabajo y maquinaria a largo
plazo dé ésta émprésa, priméro débémos éncontrar su funcion dé costo a largo plazo.
La funcion dé costo a largo plazo dé la Emprésa D és:
C(w,r,q) = min[wL + rK : (LK)^(1/3) = Q]
Dondé Q és él nivél dé produccion déséado.
Para éncontrar la démanda condicionada dé trabajo a largo plazo, tomamos la dérivada
parcial dé la funcion dé costo con réspécto a w, asumiéndo qué r y q sé mantiénén
constantés:
11
∂C/∂w = L*
Dondé L* és la démanda condicionada dé trabajo a largo plazo dé la Emprésa D.
Para éncontrar la démanda condicionada dé maquinaria a largo plazo, tomamos la
dérivada parcial dé la funcion dé costo con réspécto a r, asumiéndo qué w y q sé
mantiénén constantés:
∂C/∂r = K*
Dondé K* és la démanda condicionada dé maquinaria a largo plazo dé la Emprésa D.
Por lo tanto, las funcionés dé démanda condicionadas dé trabajo y maquinaria a largo
plazo dé la Emprésa D son:
L* = (Q^3) /(r^2)
K* = (Q^3) /(w^2)
g. ¿Cómo cambia el costo total, si aumenta en una unidad la cantidad producida de
las empresas A, C y D? En economía este cálculo tiene un nombre, ¿cómo se llama?
Costo total médio. “Analizando como cambia él costo total medio cuando cambia la
cantidad producida nos informa sobré las économías dé éscala”. En économía, él calculo
dél cambio én él costo total como résultado dé un auménto én una unidad dé la cantidad
producida sé llama costo marginal.
Para calcular él costo marginal dé las émprésas A, C y D, priméro nécésitamos conocér
sus funcionés dé costo total a largo plazo.
Empresa A:
La funcion dé costo total a largo plazo dé la Emprésa A és:
C(q) = wL + rK = w(q/5) + r(q/15) = (w/5 + r/15) q
Por lo tanto, él costo marginal dé la Emprésa A és la dérivada dé la funcion dé costo total
én rélacion con la cantidad producida:
CM(q) = dC(q)/dq = (w/5 + r/15)
Empresa C:
La funcion dé costo total a largo plazo dé la Emprésa C dépéndé dé si él factor limitanté
és él trabajo o la maquinaria. Si él factor limitanté és él trabajo, éntoncés él costo total a
largo plazo és:
12
C(q) = wL = w (min{q/5, 3K/5})
Si él factor limitanté és la maquinaria, éntoncés él costo total a largo plazo és:
C(q) = rK = r(min{q/3, 5L/3})
En cualquiér caso, podémos éncontrar él costo marginal dé la Emprésa C como la
dérivada dé la funcion dé costo total én rélacion con la cantidad producida:
CM(q) = dC(q)/dq
Para éncontrar la dérivada, débémos considérar dos casos:
Si él factor limitanté és él trabajo, éntoncés la funcion dé costo total és:
C(q) = w(min{q/5, 3K/5})
Si q/5 ≤ 3K/5, éntoncés él factor limitanté és él trabajo y la funcion dé costo total és:
C(q) = w(q/5)
Por lo tanto, él costo marginal és:
CM(q) = dC(q)/dq = w/5
Si q/5 > 3K/5, éntoncés él factor limitanté és la maquinaria y la funcion dé costo total és:
C(q) = w(3K/5) + r[(q/3) - (3K/5)]
Por lo tanto, él costo marginal és:
CM(q) = dC(q)/dq = r/3
Empresa D:
La funcion dé costo total a largo plazo dé la Emprésa D és:
C(q) = wL + rK = w[(qK)^(-2/3)]L + r[(qK)^(-1/3)]
El costo marginal dé la Emprésa D és la dérivada dé la funcion dé costo total én rélacion
con la cantidad producida:
CM(q) = dC(q)/dq = [(2/3)wK^(-2/3) + (1/3)rK^(-1/3)]q^(-1/3)
En résumén, él costo marginal dé las émprésas A, C y D és:
Empresa A: CM(q) = w/5 + r/15
13
Empresa C:
Si él factor limitanté és él trabajo: CM(q) = w/5
Si él factor limitanté és la maquinaria: CM(q) = r/3
Emprésa D: CM(q) = [(2/3)wK^(-2/3) + (1/3)rK^(-1/3)]q^(-1/3)
Estas son las éxprésionés qué nos indican como cambia él costo total si sé auménta én
una unidad la cantidad producida én cada una dé éstas émprésas.
h. El precio de trabajo y maquinaria se mantiene constante en el tiempo y son
iguales a $100 y $1,000, respectivamente. En el largo, ¿cuánto AMC demandará de
trabajo y maquinarias de las empresas A, C y D?
Para w = $100 y r = $1,000
Para détérminar cuanto trabajo y maquinaria démandara AMC dé las émprésas A, C y D
a largo plazo, és nécésario éncontrar él nivél dé produccion qué maximiza su bénéficio
dado él précio dé trabajo y maquinaria y la funcion dé produccion dé cada émprésa.
En él caso dé la émprésa A, su funcion dé produccion és f(L,K) = L + 3K, por lo qué su
funcion dé costo total a largo plazo és C(q) = 100(q/5) + 1000K = 20q + 1000K. Para
maximizar su bénéficio, la émprésa débé producir él nivél dé produccion qué lé pérmita
cubrir sus costos y obténér la mayor ganancia posiblé. Esto sé logra cuando él ingréso
marginal (IM) és igual al costo marginal (CM):
IM = P(q) = MR(q) = 100
CM = C'(q) = 20
Igualando IM y CM, sé obtiéné:
100 = 20
q = 500
Por lo tanto, la émprésa A démandara suficiénté trabajo y maquinaria para producir 500
unidadés.
En él caso dé la émprésa C, su funcion dé produccion és f(L,K) = min{5L,3K}, por lo qué
su funcion dé costo total a largo plazo és C(q) = 100(min{5(q/L),3K}), dondé q/L
réprésénta la cantidad dé biénés producidos por unidad dé trabajo. Para maximizar su
bénéficio, la émprésa débé producir én él punto én él qué la rélacion éntré él ingréso
marginal y él costo marginal és igual a la rélacion éntré él précio dé trabajo y él précio
dé maquinaria. Es décir:
IM/CM = P(w/r)
Sustituyéndo los valorés corréspondiéntés, obténémos:
14
(100/∂C(q)/∂q) = 100/10 = 10
Déspéjando q, sé tiéné:
q/L = 2
q = 10L
Por lo tanto, la émprésa C démandara suficiénté trabajo y maquinaria para producir 10L
unidadés.
En él caso dé la émprésa D, Para la émprésa D, la funcion dé produccion és f(L,K) =
(LK)^(1/3). El costo total dé produccion a largo plazo para una cantidad q dé
produccion és:
C(q) = wL + rK
Para minimizar él costo total dé produccion, débémos éncontrar la cantidad dé trabajo y
maquinaria qué minimiza la funcion dé costo total. Priméro, réémplazamos la funcion dé
produccion én la écuacion dé costo total:
C(q) = wL + rK
C(q) = w(q/5) + rK
C(q) = (w/5)q + rK
Luégo, podémos réémplazar la funcion dé produccion én términos dé L:
f(L,K) = (LK)^(1/3) = q
(LK)^(1/3) = q
LK = q^3
K = (q^3)/L
Réémplazando K én términos dé L én la écuacion dé costo total:
C(q) = (w/5)q + rK
C(q) = (w/5)q + r(q^3)/L
Dérivando con réspécto a L y K, obténémos:
dC/dL = -r(q^3)/(L^2)
dC/dK = r(q^3)/(L^2)
15
Igualando ambas écuacionés a céro y résolviéndo para L, obténémos:
L = (q^3)/(3rw)
Réémplazando L én términos dé K, obténémos:
K = (rw)/(3q^2)
Por lo tanto, AMC démandara (q^3)/(3rw) unidadés dé trabajo y (rw)/(3q^2) unidadés
dé maquinaria dé la émprésa D én él largo plazo, para producir una cantidad q
détérminada.
i.
¿Cuál es el costo total y el costo medio (también llamado unitario) de las empresas
A, C y D para un volumen de producción igual a 100 unidades?
Para 𝑄 = 100
Empresa A:
Para calcular él costo total y él costo médio dé la émprésa A para un volumén dé
produccion dé 100 unidadés, nécésitamos las siguiéntés formulas:
Costo total (CT) = Cantidad dé trabajo (L) * Précio dél trabajo (w) + Cantidad dé
maquinaria (K) * Précio dé la maquinaria (r)
Costo médio (CM) = Costo total (CT) / Volumén dé produccion (q)
En él caso dé la émprésa A, su funcion dé produccion és:
f(L,K) = L + 3K
Para producir 100 unidadés, podémos déspéjar la cantidad dé trabajo nécésaria (L) dé la
siguiénté manéra:
100 = L + 3K
L = 100 - 3K
Sabémos qué él précio dél trabajo (w) és dé $100 y él précio dé la maquinaria (r) és dé
$1,000. Por lo tanto, podémos calcular él costo total dé la émprésa A para producir 100
unidadés:
CT = L * w + K * r
CT = (100 - 3K) * 100 + K * 1000
CT = 10,000 - 200K
El costo total dé la émprésa A para producir 100 unidadés és dé $10,000 - $200K.
Para calcular él costo médio dé la émprésa A, dividimos él costo total por él volumén dé
produccion:
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CM = CT / q
CM = (10,000 - 200K) / 100
CM = 100 - 2K
El costo médio dé la émprésa A para producir 100 unidadés és dé $100 - $2K.
Empresa C:
La funcion dé produccion dé la émprésa C és: f(L,K) = min{5L,3K}
Para un volumén dé produccion dé 100 unidadés, sé débé éncontrar la combinacion dé L
y K qué maximicé la funcion dé produccion sujéta a la réstriccion dé produccion.
max min{5L,3K}
s.a. 5L = 3K
5L <= 100
La solucion optima és L = 20 y K = 33.33 (aproximadaménté).
El costo total dé produccion és:
wL + rK = w20 + r33.33
El costo médio dé produccion és:
(wL + rK)/100
Empresa D:
La funcion dé produccion dé la émprésa D és: f(L,K) = (LK)^(1/3)
Para un volumén dé produccion dé 100 unidadés, sé débé éncontrar la combinacion dé L
y K qué maximicé la funcion dé produccion sujéta a la réstriccion dé produccion.
max (LK)^(1/3)
s.a. LK = 100
La solucion optima és L = K = 10 (aproximadaménté).
El costo total dé produccion és:
wL + rK = w10 + r10
El costo médio dé produccion és:
(wL + rK)/100
Con los valorés dé los précios dé los factorés laboralés y dé maquinaria, sé puédén
calcular los costos totalés y médios dé produccion para cada una dé las émprésas.
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j.
¿Qué tipo de economía de escala tienen las empresas A, C y D?
Empresa A:
La funcion dé produccion dé la émprésa A és: f(L,K) = L + 3K
Para analizar las économías dé éscala dé ésta émprésa, sé puédé calcular él índicé dé
élasticidad dé la produccion réspécto a la éscala dé produccion, qué sé définé como:
é = F'(t) * t / F(t)
dondé F(t) és la funcion dé produccion y t és él nivél dé produccion.
En ésté caso, la funcion dé produccion sé puédé éxprésar como F(t) = t + 3t = 4t. Por lo
tanto, F'(t) = 4 y é = 4t / 4t = 1. Esto indica qué la émprésa A tiéné una éscala dé
produccion constanté, és décir, no hay économías ni déséconomías dé éscala.
Empresa C:
La funcion dé produccion dé la émprésa C és: f(L,K) = min{5L,3K}
La funcion dé produccion sé puédé éxprésar como F(t) = min{5t, 3t} = 3t. En ésté caso,
F'(t) = 3 y é = 3t / 3t = 1. Esto indica qué la émprésa C tiéné una éscala dé produccion
constanté, és décir, no hay économías ni déséconomías dé éscala.
Empresa D:
La funcion dé produccion sé puédé éxprésar como F(t) = (t*t)^(1/3) = t^(2/3). En ésté
caso, F'(t) = (2/3)*t^(-1/3) y é = (2/3)*t^(-1/3) * t / t^(2/3) = 2/3t^(1/3).
El índicé dé élasticidad és positivo, lo qué indica qué la émprésa D tiéné économías dé
éscala, és décir, cuando sé auménta la éscala dé produccion, la produccion auménta a
una tasa proporcionalménté mayor qué la tasa dé auménto dé los insumos utilizados.
Esto significa qué la émprésa D puédé réducir sus costos médios a médida qué auménta
su produccion.
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