Nhóm 7 - Lớp 10T1, Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
11-2009
ĐỊNH LÝ PAPPUS, ĐỊNH LÝ DESARGUES
VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG

Nhóm 7, Lớp 10T1, Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
Họ và tên
E-mail
Hứa Thị Hồng Ngân
starice242010@yahoo.com
Lê Minh Trường
lovenhut@gmail.com
Nguyễn Văn Khôi
I. Giới thiệu
Như chúng ta đã biết, định lý Pappus và định lý Desargues là một trong những phương pháp khá
mạnh để giải các bài toán hình học như hình học vector, hình học phẳng, hình học tọa độ, hình học
tuyến tính,…và đặc biệt là hình học xạ ảnh. Hai định lý này có vai trò và ứng dụng khá quan trọng
trong các bài toán THPT và các đề thi HSG trong nước cũng như quốc tế. Đây là mô ̣t số tư liê ̣u nhỏ bé
mà nhóm chúng tôi thu thâ ̣p đươ ̣c, chắ c hẳ n còn nhiề u thiếu sót, mong nhận được ý kiến của các bạn.
Qua tư liê ̣u này, hy vọng các ba ̣n sẽ ho ̣c tâ ̣p đươ ̣c thâ ̣t nhiề u điề u bổ ić h. Xin chân thành cám ơn!
II. Sơ lược tiểu sử Pappus và Desargues
1. Pappus (290 – 350)_Người thắp lại ngọn lửa cho Euclid
Là mô ̣t nhà toán ho ̣c cổ người Hy La ̣p đươ ̣c biế t đế n với Synagoge hay Collection (năm 340), và
với đinh
̣ lý Pappus trong hiǹ h ho ̣c xa ̣ ảnh. Không có bấ t cứ thông tin nào nói về đời số ng của ông ta,
ngoa ̣i trừ (từ các văn bản ông ta để la ̣i) ông có mô ̣t câ ̣u con trai tên Hermodorus, và là mô ̣t giáo viên ở
Alexandria.
Collection, công trình đươ ̣c biế t đế n nhiề u nhấ t của ông, là mô ̣t bản tóm tắ t của Toán ho ̣c trong
tám tuyể n tâ ̣p, số đông công triǹ h còn la ̣i. Nó bao trùm nhiề u chủ đề như hiǹ h ho ̣c, toán ho ̣c vui, hiǹ h
ho ̣c không gian, đa giác và khố i đa diê ̣n.
Pappus được nhiều người biết đến vào thế kỉ thứ IV. Trong mô ̣t khoảng thời gian trì trê ̣ nói chung
trong các nghiên cứu toán ho ̣c, ông đã đứng ra như là mô ̣t ngoa ̣i lê ̣ đáng kể . Số phâ ̣n của ông trong thời
gian này khá nổ i bâ ̣t, rấ t giố ng với Diophantus.
Pappus đã viết những bài bình giải về tập “Cơ bản” và về cả “Dữ kiện” của Euclid, về “Almagest”
và “Planispherium” của Ptolemy. Công trình thật sự lớn lao của Pappus là “Tuyển tập toán học” của
ông, một cuốn sách vừa bình giải vừa hướng dẫn về các công trình về hình học hiện hữu của thời ông.
Tuyển tập toán học của Pappus thực sự là một mỏ vàng giàu có về hình học. Những hiểu biết ta có
được về hình học Hy Lạp là nhờ luận văn này, trong đó chứa những lời bình đầy giá trị, có những trích
dẫn và nhắc đến những công trình của trên 30 nhà toán học khác nhau của thời cổ đại.
Sau Pappus, nền toán học Hy Lạp không còn là một đối tượng nghiên cứu tìm ra những phát minh
mới nữa mà người ta chỉ thấy những tác gia ít quan trọng và những nhà bình giải toán học như Theon
của Alexandria, Proclus, Hypatia,… Họ đưa ra những quyển sách bình giải về các tác phẩm của Euclid,
Apollonius, Archimedes.
2. Girard Desargues (1591 - 1661)_Ông tổ Hình học xạ ảnh
Là một nhà toán học Pháp, kĩ sư quân giới - đặt nền móng cơ sở cho môn hình họa. Hai định lý
nói về trường hợp riêng của định lý Desargues là một trong những định ý cơ bản của hình học xạ
ảnh. Tư tưởng Desargues được phát triển vào đầu thế kỉ XIX trong các công trình của nhà toán học
Pháp Mongia và Ponxen, nhà toán học Đức Steiner…
Định lý Pappus, Desargues và ứng dụng
1
Nhóm 7 - Lớp 10T1, Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
11-2009
Ông sinh ngày 21/2/1591 và mất vào tháng 9/1661 tại Lyon
(Pháp). Gia đình ông mấy đời giàu có và có những người làm Luật
sư, Thẩm phán ở Pháp, viện tối cao ở Paris cũng như ở Lyon – một
thành phố trọng điểm thứ 2 của Pháp. Ông là một người thực sự có
nhiều thuận lợi trong việc ăn học. Ông có thể mua bất cứ loại sách
nào mà mình muốn và có thời gian, điều kiện theo đuổi những gì ông
thích. Với Desargues, niềm đam mê lớn nhất là Hình học. Ông là
người đặt nền móng cho một môn Hình học mới mà ngày nay gọi là
“Hình Học Xạ Ảnh” hay “Hình Học Hiện Đại”. Ông thực sự là một
nhà toán học tài ba. Tuy nhiên, lối toán học của ông không dễ hiểu
chút nào!
Nói về Desargues, chúng ta không thể không nhắc đến định lý
nổi tiếng: “Khi đường thẳng nối ba đỉnh tương ứng của hai tam giác
đồng quy thì giao điểm của các cặp cạnh tương ứng thẳng hàng”.
III. Định lý
1. Định lý Pappus
Trong mặt phẳng cho 3 điểm A , B , C nằm trên đường thẳng d và 3 điểm A ', B ', C ' nằm trên đường
thẳng d ' . Chứng minh rằng: 3 điểm AB ' A ' B, AC ' A ' C , BC ' B ' C cùng nằm trên một đường
thẳng.
Chứng minh. Ta có thể chứng minh định lý này một cách dễ dàng như sau:
Gọi các giao điểm lần lượt là M , N , K .
Áp dụng định lý Pascal cho lục giác suy biến AB ' CA ' BC ' nội tiếp đường tròn bậc 2 ( S ) là cặp
đường thẳng cắt nhau d và d ' .
Ta có:
AB ' A ' B  M
BC ' B ' C  K
AC ' A ' C  N
 M , N , K thẳng hàng (đpcm).
Ngoài cách chứng minh như trên, các bạn còn có thể
chứng minh bằng những phương pháp khác như:
 Tọa độ
 Phép chiếu xuyên tâm
 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng aphin
2. Định lý Desargues
a) Phần thuận
Trong mặt phẳng cho hai tam giác ABC và A ' B ' C ' . Nếu các đường thẳng AA ' , BB ' , CC ' đồng
quy tại một điểm và các cặp đường thẳng BC và B ' C ' , CA và C ' A ' , AB và A ' B '
cắt nhau thì các giao điểm của chúng thẳng hàng.
Chứng minh. Giả sử AA ' , BB ' , CC ' đồng quy tại O . Gọi M , N , P lần lượt là giao điểm của AB
và A ' B ' , BC và B ' C ' , CA và C ' A ' .
Áp dụng định lý Menelaus cho các tam giác OBC , OCA , OAB với các cát tuyến NB ' C ' , PA ' C ' ,
MB ' A ' . Ta được:
NB C ' C B ' O


1
(1)
NC C ' O B ' B
PC A ' A C ' O


1
(2)
PA A ' O C ' C
2
Định lý Pappus, Desargues và ứng dụng
Nhóm 7 - Lớp 10T1, Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
MA B ' B A ' O


1
MB B ' O A ' A
(3)
11-2009
O
NB PC MA
C


1
NC PA MB
A
 N , P, M thẳng hàng (theo định lý Menelaus trong tam giác ABC ).
B
 Điều cần phải chứng minh.
N
M
b) Phần đảo
P
B'
Giả sử các điểm X , Y , Z thẳng hàng. Ta chứng minh các đường thẳng
A'
AA ', BB ', CC ' đồng quy.
Chứng minh. Gọi S là giao điểm của AA ', BB ' . SC cắt đường thẳng
AC ' tại C " . Xét 2 tam giác ABC và A ' B ' C " có các đường nối các đỉnh
C'
tương ứng đồng quy, do đó theo phần thuận giao điểm của các cạnh tương ứng cũng đồng quy.
Ta thấy AB cắt A ' B ' tại Z , AC cắt A ' C " tại Y (do A ', C ', C " thẳng hàng), suy ra giao điểm X '
của BC và B ' C " phải thuộc YZ . Tức là X ' là giao điểm của YZ và BC nên X  X ' .
Suy ra C "  C ' , hay AA ', BB ', CC ' đồng quy.
IV. Một số bổ đề quan trọng
1. Định nghĩa
Nếu P   ( x, y, z ) là một điểm xạ ảnh thì ta nói rằng x, y, z đồng nhất tọa độ cho P . Đây là vấn đề
đáng chú ý. Ví dụ (1, 2,3)  (2, 4,5) . Trên thực tế thì việc khai thác nhờ những bổ đề sau vận dụng
nhiều một cách khá đơn giản tập hợp những tọa độ đồng nhất cho 3 hoặc 4 điểm cùng đường thẳng.
2. Định lý
Nếu P   p , Q, R, S là những điểm xạ ảnh cùng đường thẳng thì Q, R, S riêng biệt và P  S , khi
Nhân (1), (2) và (3) theo vế, ta được:
đó sẽ tìm được vector q và tích vô hướng  sao cho biểu diễn phù hợp 4 điểm sau: P   p , Q   q ,
R   p  q  , S    p  q .
Chúng ta sẽ chứng minh dựa vào 12 bước sau:
(1) Từ P   p là một thứ nguyên của 1.
(2) Từ P nằm trên QR  Q  R nên ta có thể viết p  q1  r với q1  Q, r  R .
(3) Nếu r  0 thì ta có q1  p , vì vậy P  Q (mâu thuẫn). Do đó, r  0 .
(4) Như vậy R   r  .
(5) Vì r  p  q1  p  q nên q  q1 .
(6) Nếu q  0 thì r  p , vì vậy P  R (mâu thuẫn). Do đó, q  0 .
(7) Từ mọi vector 0 trong một khoảng cách không gian con thứ nguyên của 1, ta luôn có Q   q .
R   r    p  q .
(8) Từ Q nằm trên PS nên q  P  S   p  S  .
(9) Như vậy q  1  s sao cho 1  R, s  S .
(10) Lúc đó, s  (1 ) p  q   p  q    (1 ) .
(11) Nếu s  0 , khi đó q  1 p và vì vậy Q  P (mâu thuẫn). Do đó, s  0 .
(12) Vì vậy S   s    p  q .
V. Một số bài tập áp dụng
Bài toán 1. Cho A1 A2 A3 là mô ̣t tam giác không cân với tâm đường tròn nô ̣i tiế p I . Cho Ci ,
i  1, 2,3 , là đường tròn qua I tiếp tuyến tới Ai Ai 1 và Ai Ai  2 (phép cộng của các chỉ số bản chất mod 3).
Định lý Pappus, Desargues và ứng dụng
3
Nhóm 7 - Lớp 10T1, Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
11-2009
Cho Bi , i  1, 2,3 , là điểm thứ hai của giao tuyến của Ci 1 và Ci  2 . Chứng minh rằng tâm đường tròn
ngoại tiếp của những tam giác A1B1I , A2 B2 I , A3 B3 I thẳng hàng.
[USA – IMO 1997 Shortlisted Problem]
Lời giải.
Với i  1, 2,3 (tất cả chỉ số ở vấn đề này sẽ được mod 3), ta kí hiệu bởi Oi chính giữa Ci và bởi M i
điểm chính giữa cung Ai 1 Ai  2 rằng không bao gồm Ai .
Đầu tiên ta có Oi 1Oi  2 là tia phân giác
R
thẳng góc của IB1 , và như vậy nó bao gồm
tâm đường tròn ngoại tiếp Ri của Ai Bi I .
A
Thêm nữa, dễ thấy rằng Ti 1 Ai  Ti 1I và
Ti 2 Ai  Ti 2 I , bao hàm rằng Ri nằm trên
1
3
đường Ti 1Ti  2 . Vì thế , Ri  Oi 1Oi  2  Ti 1Ti  2 .
Bây giờ, những đường thẳng T1O1 , T2O2 , T3O3
đồng quy tại I .
Theo định lí Desargues, những điểm của
giao tuyến của Oi 1Oi  2 và Ti 1Ti  2 , i.i., của Ri ,
nằm trên một đường thẳng với i  1, 2,3 .
B2
R3
I
B1
B3
A1
A2
Bài toán 2.
Cho tam giác nho ̣n ABC . D, E , F lầ n lươ ̣t là 3 điể m trên BC , CA, AB sao cho ba đường thẳ ng AD ,
BE , CF đồ ng quy ta ̣i O . Lấ y O1 , O2 , O3 lầ n lươ ̣t là các điể m đố i xứng của O qua EF , DF , DE . Chứng
A
minh rằ ng AO1 , BO2 , CO3 đồ ng quy.
Lời giải.
Go ̣i Oa là điể m đố i xứng qua BC ,từ O kẻ đường thẳ ng d a vuông góc
O1
với AD . Thế thì O, O2 , O3 , Oa cùng thuô ̣c mô ̣t đường tròn tâm D
F
và d a là tiế p tuyế n ta ̣i O của đường tròn đó. Ta có
E
O
O(OO2O3Oa )  (d , OO2 , OO3 , OOa )  ( DA, DF , DE, DB)  1
(hiǹ h tứ giác toàn phầ n),suy ra tứ giác OO2O3Oa điề u hòa.
Hiể n nhiên là tiế p tuyế n ta ̣i O và Oa của A0
( D ) cắ t nhau trên BC , nên ta có BC , d a , O2O3
đồ ng quy ta ̣i mô ̣t điể m A0 . Xác đinh
̣ tương tự B0 , C0 .
da
O2
B
O3
D
C
Khi đó ta có A0O2  A0O3  A0O2 , hay A0 thuô ̣c tru ̣c đẳ ng phương
Oa
của điể m O và đường tròn (O1O2O3 ) .
Tương tự thì ta có A0 , B0 , C0 thẳ ng hàng. Theo đinh
̣ lý Desargues thì AO1 , BO2 , CO3 đồ ng quy.
 Điề u phải chứng minh.
 Nhận xét.
Từ chứng minh này, để ý rằ ng tâm của (O1O2O3 ) là điể m đẳng giác của M wrt tam giác DEF , ta
cũng có mô ̣t kế t quả khá đe ̣p là tru ̣c riêng lẻ của mô ̣t điể m M wrt tam giác tam giác ABC vuông góc
với đường nố i M và điể m đẳ ng giác với M wrt tam giác thường của M wrt tam giác ABC .
4
Định lý Pappus, Desargues và ứng dụng
Nhóm 7 - Lớp 10T1, Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
11-2009
Bài toán 3. [Một trường hợp đặc biê ̣t của đi ̣nh lí Pappus] Trên mă ̣t phẳ ng cho ba điể m X , Y , Z
thẳ ng hàng và ba điể m M , N , P thỏa mañ XN song song YP , YM song song ZN , XM song song ZP .
Khi đó ta cũng có M , N , P thẳ ng hàng.
M
Lời giải.
Trường hơ ̣p MP song song XYZ thì đơn giản, ba ̣n đo ̣c tự chứng minh.
Ta sẽ xét khi MP không song song với XYZ .
N'
Go ̣i S là giao điể m của MP với XYZ . Đường thẳ ng qua X song song
P
với YP cắ t MP ở N ' .
Bài toán sẽ đươ ̣c giải quyế t nế u ta chứng minh đươ ̣c rằ ng ZN '
X
S
song song YM (vì khi ấ y N ' trùng N ).
Y
Z
Thâ ̣t vâ ̣y, vì YP song song XN ' , ZP song song XM nên theo đinh
̣ lí Thales, ta có:
SY SY SX
SP SM SM
SZ SN '







 ZN ' song song YM (theo đinh
̣ lí Thales đảo).
SZ SX SZ SN ' SP SN '
SY SM
Bài toán 4.
a) Tim
̀ 13 điể m của mă ̣t phẳ ng xa ̣ ảnh ( Z 3 ) . Đă ̣t chúng lầ n lươ ̣t là A, 2,3,...,10, J , Q, K (như
trong mô ̣t bô ̣ số ).
b) Dựng mô ̣t bảng đường thẳ ng cho ( Z 3 ) trong điề u kiê ̣n như trên. Nó sẽ có 13 cô ̣t và 4 dòng.
Các cô ̣t tương đương 13 đường thẳ ng, cho 4 điể m trên mỗi đường thẳ ng. (Bâ ̣c của hàng và cô ̣t
thích hơ ̣p, nhưng cố gắ ng có hê ̣ thố ng.)
c) Sử du ̣ng bảng trên minh ho ̣a đinh
̣ lí Desargues và Pappus.
Lời giải.
a) A   (0, 0,1) ; 2  (0,1, 0) ; 3  (0,1,1) ; 4  (0,1, 2) ; 5   (1, 0, 0) ; 6  (1, 0,1) ;
7  (1, 0, 2)  ; 8  (1,1, 0) ; 9  (1,1,1) ; 10   (1,1, 2) ; J  (1, 2, 0) ; Q  (1, 2,1) ; K  (1, 2, 2) .
b)

6
7
9
3
5
8
10 
J
Q
A
2
4
K
2
A
4
3
A
2
2
A
4
3
A
3
4
5
5
5
5
2
7
6
5
7
6
8
7
6
8
6
9
9
3
10
9
9
10
9
8
8
Q
5
7
4
10
10
Q
Q
J
J
K
K
K
K
c) Định lí Desargues:
Tam giác 528 và 739 cùng nhìn A. 52  73  8 ; 58  79  J ; 28  39  5 và 5, 8, J thẳng hàng
(nằm trên A ).
Định lí Pappus:
{A,3, 4} và {6,8, 4} là những điểm thẳng hàng. A8  36  10 ; 34  48  4 ; A4  46  4 và X , 4, 4
thẳng hàng.
Bài toán 5.
Cho A   (1, 2, 4) ; B  (5, 3, 2) ; C  ( 3, 7, 6) ; D  (13, 13, 2) .
a) Tìm AB và chứng minh rằng C , D nằm trên AB .
b) Sử dụng bổ đề Collinearty để tìm các vectors a , b và một tích vô hướng  sao cho A   a ;
B  b ; C   a  b ; D   a  b .
Lời giải.
AB  (1, 2, 4)  (5, 3, 2)  (16,18, 13)  .
Từ (3, 7, 6)  (16,18, 13)  0 và (13, 13, 2)  (16,18, 13)  0 nên C , D nằm trên AB .
Định lý Pappus, Desargues và ứng dụng
5
Nhóm 7 - Lớp 10T1, Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
11-2009
Giả sử (3, 7, 6)  x(1, 2, 4)  y(5, 3, 2) . Khi đó, ta có
x  5 y  3
2x  3y  7
4x  2 y  6
Giải hệ trên ta được x  2, y  1 .
Vì thế, (3, 7, 6)  2(1, 2, 4)  (5, 3, 2) .
Đặt a  2(1, 2, 4)  (2, 4,8) và b  (5, 3, 2)  (5,3, 2) . Khi đó A   a , B  b và C   a  b .
Giả sử (13, 13, 2)  x(1, 2, 4)  y (5, 3, 2) , ta có
x  5 y  13
2 x  3 y  13
4x  2 y  2
Giải hệ trên ta được x  2, y  3 .
Do đó, (3, 7, 6)  2(1, 2, 4)  3(5, 3, 2)  a  3b
1
1
Kẻ c  ( )(3, 7, 6) khi đó c  a  b .
3
3
1
Vì thế, a  (2,1,1) , b  (5,3, 2) và   .
3
Bài toán 6. Cho A   (1, 0, 0) , B   (0,1, 0) , C   (0, 0,1) và A '   (2,1,1) , B '  (2,3, 2) ,
C '  (3,3, 4) . Gọi L  AB  A ' B ' , M  AC  A ' C ' , N  BC  B ' C ' . Tìm L, M và N , chứng minh
rằng chúng thẳng hàng.
Lời giải.
AB  (0, 0,1)  , A ' B '  (1, 2, 4)  , vì vậy L  (2, 1, 0) .
AC  (0, 1, 0)  , A ' C '  (1, 5,3)  , vì vậy M  (3, 0,1) .
BC  (1, 0, 0)  , B ' C '  (6, 2, 3)  , vì vậy N  (0,3, 2) .
 LM  (1, 2, 3)   (1, 2,3)  , MN  (3, 6, 9)   LM
Do đó, ta có 3(2, 1, 0)  2(3, 0,1)  (0,3, 2)  (0, 0, 0)
Vậy L , M , N thẳng hàng.
Bài toán 7. Trong mặt phẳng xạ ảnh ( Z5 ) , lấy A   a , B   a  c , C   c , D   p  c .
Xác định hình dạng cho  p  3a , như là một dãy giao điểm của các đường thẳng.
Lời giải.
Lấy E  AD  BC   p  a  c , F  AC  BD   a  4c , G  EF  PA   p  2a ,
H  GC  BD   p  2a  4c , K  HE  PA   2 p  3a   p  4a , L  KC  BD   p  4a  2c ,
M  LE  PA   p  3a .
VI. Bài tập làm thêm
 Bài 1. Cho P  (1, 2,8) , Q   (4,1,5) , R  (5, 4,14) , S  (14, 7,31) . Tìm 2 vector p, q và
tích vô hướng  sao cho P   p , Q   q , R   p  q , S   p  q .
 Bài 2. Cho tam giác ABC và 3 điểm X , Y , Z lần lượt thuộc các cạnh BC , CA, AB sao cho AX ,
BY , CZ đồng quy tại N . AX cắt YZ tại T , TB cắt XZ tại M , TC cắt XY tại P , YZ cắt BC tại
Q . Chứng minh rằng: M , N , P, Q thẳng hàng.
6
Định lý Pappus, Desargues và ứng dụng
Nhóm 7 - Lớp 10T1, Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
11-2009
 Bài 3. Cho tứ giác ABCD , trên tia đối của tia AC lấy một điểm K , cát tuyến KMN và KPQ
( M , N , P, Q lần lượt thuộc AB, BC , CD, DA ).
a) Chứng minh rằng BD, MQ, NP đồng quy tại L .
b) Gọi I , J lần lượt là điểm thuộc AB, BD sao cho ( ACIK )  ( BDJK )  1 , NQ cắt MP tại O .
Chứng minh rằng O, I , J thẳng hàng..
 Bài 4.
a) Cho 2 điểm P và Q . Qua P, Q lần lượt kẻ 3 đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất qua Q lần
lượt cắt 3 đường thẳng qua P lần lượt tại B, L, C . Tương tự ta có 2 cặp 3 điểm K , O, M và A, N , D .
Chứng minh rằng: KL, AC , MN đồng quy.
b) Chứng minh rằng nếu O nằm trên BD thì giao điểm của KL, AC và MN nằm trên PQ .
 Bài 5. Cho tứ giác lồi ABCD , E  AD , F  BC . AC cắt BD tại H , AF cắt BE tại O , DF
cắt EC tại M . Chứng minh rằng O, H , M thẳng hàng.
 Bài 6. Tam giác ABC có đường cao AD, BE và CF , trực tâm H . Vẽ DP  AB , DQ  AC .
R là giao điểm của DP và BE , S là giao điểm của DQ và CF , M là giao điểm của BQ và CP . N
là giao điểm của PS và RQ . Chứng minh rằng M , N , H thẳng hàng.
A
 Bài 7.
B
a) Cho hình sau, AF song song với BD và AG song song với BE .
C
Tìm 2 tam giác sao cho có phần tử từ các điểm trong hình.
b) Hãy giải thích hình học Euclid của định lý Desargues cho cấu hình này.
F
D
E
G
 Bài 8. Cho tứ giác lồi ABCD sao cho DAB  ABC  BCD . Gọi H và O là trực tâm và
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng H , O, D thẳng hàng.
 Bài 9. Trong mỗi trường hợp sao đây, tìm một điểm O và một đường thẳng h sao cho các tam
giác ABC và A ' B ' C ' có phần tử từ điểm O và đường thẳng h . (Để đơn giản những điểm có cùng
nhãn).
a) A  (0, 2) , B  (1,1) , C  (1, 0) , A '  (1, 2) , B '  (2,1) , C '  (0, 0) . Các điểm này nằm trong mặt
phẳng hình học Euclid nhúng trong các phần tử thực trong mặt phẳng.
R
b) A   (1, 4, 7) , B  (2, 1,3) , C  (3,5,3) , A '  (2,3,5) ,
B '  (1,1, 1) , C '  (1, 4, 2) .
P
Q
 Bài 10. Trong sơ đồ sau đây A, B, P không thẳng hàng
trong khi ACXYZB , AQP , RQX , RSZ , RPB , QSB là các đường
thẳng. Cho A   a , B  b , C   a  b , X   a  xb ,
Y   a  yb , Z   a  zb , P   p , Q   a  p .
A
a) Chứng minh rằng R   p  xb .
b) Tìm S trong điều kiện của a, b, p, x, y, z .
c) Sử dụng thực tế RSZ thẳng hàng để
chứng minh rằng x  y  z .
S
C
X Y
Z
B
 Bài 11. Cho A, B, C và D là 4 điểm trên mặt phẳng xạ ảnh, trong đó 3 điểm bất kì phân biệt.
Cho U ,V và W là các giao điểm của các dây như trong hình. Giả sử A, B, C ,V và W có vector biểu
diễn A   a , B  b , C   c , V   a  b , W   a  c .
Định lý Pappus, Desargues và ứng dụng
7
Nhóm 7 - Lớp 10T1, Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
11-2009
a) Chứng tỏ rằng D   a  b  c và tìm một vector biểu diễn cho U .
b) Chứng tỏ rằng U ,V và W không bao giờ thẳng hàng trên ( R ) , khi đó ta luôn có chúng thẳng
hàng trên ( Z 2 ) . Chuyện gì xảy ra nếu chúng trên ( Z 3 ) ?
 Bài 12. Cho hai tam giác ABC và DEF có các giao điểm của AB và DE , BC và EF , CA và
FD thẳng hàng. Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BE , CF đồng quy.
 Bài 13. Vẽ 10 điểm: 6 đỉnh của các tam giác, 3 giao điểm của các cạnh tương ứng, một giao
điểm của đường thẳng nối hai đỉnh tương ứng. Nếu ta gán nhãn cho 10 điểm này hợp lý thì hình vẽ sẽ
trở thành một trường hợp thuận của định lý Desargues!
 Bài 14. Giả sử rằng trong giả thuyết của định lý Pappus, ta giả sử C0 là tiếp tuyến đến I , I1 và
đường thẳng AB (thay vì nửa đường tròn I 2 ). Chứng minh rằng trong trường hợp dn  (2n  1)rn .
 Đặc trưng cơ bản của định lý Pappus. Bạn có thể chứng minh ngay lập tức hay không?
(Phép chiếu hình có thể giúp ít cho bạn.)
 Bài 15. Kéo dài hai cạnh AB và CD , BC và AD của tứ giác ABCD cắt nhau tại P và Q .
Qua P vẽ một đường thẳng cắt BC và AD tại E và F . Chứng minh rằng giao điểm các đường chéo
của các tứ giác ABCD, ABEF và CDFE nằm trên đường thẳng đi qua P .
 Bài 16. Giả sử 2 tam giác ABC và A ' B ' C ' “trực giao”, tức là các đường thẳng qua A, B, C
vuông góc với B ' C ', C ' A ', A ' B ' đồng quy tại P và các đường thẳng qua A ', B ', C ' vuông góc với
BC , CA, AB đồng quy tại P ' . Giả sử ABC và A ' B ' C ' thấu xạ tâm Q tức AA ', BB ', CC ' đồng quy
tại P " , khi đó theo định lý Desargues thì các giao điểm của BC và B ' C ' , CA và C ' A ' , AB và A ' B '
thẳng hàng trên đường thẳng d khi đó chứng minh rằng P, P ', P " cũng thẳng hàng và đường thẳng
chứa 3 điểm này vuông góc với d .
 Bài 17. Tam giác ABC và điểm P nằm trong tam giác sao cho tâm nội tiếp PBC nằm trên
phân giác góc A , và tâm nội tiếp PCA nằm trên phân giác góc B . Chứng minh rằng tâm nội tiếp
PAB nằm trên phân giác góc C .
 Bài 18. Tam giác ABC có P và P ' đẳng giác, A ', B ', C ' là hình chiếu của P ' trên cạnh BC ,
AC , AB và A ", B ", C " là giao điểm của AP ", BP ", CP " với các cạnh của tam giác A ' B ' C ' . Lấy các
MA ' NB ' PC '


điểm M , N , P trên cạnh BC , CA, AB thỏa mãn
. Chứng minh rằng các đường
MA " NB " PC "
thẳng qua M , N , P và song song P " A, P " B, P " C đồng quy.
 Bài 19. Cho hai tam giác ABC và A ' B ' C ' có các cạnh tương ứng BC và B ' C ' , CA và C ' A ' ,
AB và A ' B ' cắt nhau tại X , Y , Z . Đường thẳng qua A song song với BC và qua A ' song song B ' C '
cắt nhau tại X ' , tương tự ta có Y ' và Z ' . Chứng minh rằng XX ', YY ', ZZ ' đồng quy.
 Bài 20. Cho tứ giác lồi ABCD . Trên AC lấy E , BD lấy F . Giả sử AF  BE  K ,
DE  CF  P , AD  BC  S . Chứng minh rằng S , P, K thẳng hàng.
 Bài 21. Cho tứ giác ABCD , K thuộc tia đối tia AC . Kẻ cát tuyến KMN và KPQ ( M , N , P, Q
thuộc các cạnh AB, BC , CD, DA tương ứng).
8
Định lý Pappus, Desargues và ứng dụng
Nhóm 7 - Lớp 10T1, Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
11-2009
a) Chứng minh: BD, MQ, NP đồng quy tại L .
b) Gọi I , J là điểm thuộc AC , BD sao cho ( ACIK )  ( BDJL)  1 , O  NQ  MP . Chứng minh
rằng O, I , J thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD nội tiếp thì O, I , J trùng nhau.
 Bài 22 Cho tứ giác ACC ' A ' , trên cạnh AC , C ' A ' lấy B, B ' . Gọi M , N , P theo thứ tự là các
giao điểm của AB ' và A ' B , AC ' và A ' C , BC ' và B ' C . Chứng minh rằng: M , N , P thẳng hàng.
 Tài liệu tham khảo.
Viktor Prasolov, Problems in Plane and Solid Geometry, tr.105,124,447,479,486.
http: www.diendantoanhoc.net
http: www.thuvien.violet.vn
http: www.mathscope.org
Chap03-Pappus’ theorem
Chap02-Desargues’ theorem
http: www.toantuoitho.com.vn
http: www.toanhoctuoitre.com.vn
Walter Mientka, Mathematical_Olympiad_Problems_From_Around_The_World_1996-1997, tr.16
A collection of problems suggested for the international mathematics olympiads.. 1959-2004 (Pl.,
tr.13,15,622.
A new proof of Pappus’ thoerem, Jeremy J. Carroll unaffiliated.
Pappus’ theorem for a Conic and Mystic Hexagons, Ross Moore Macquarie University Sydney,
Australia.
Định lý Pappus, Desargues và ứng dụng
9