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Cálculo 2
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REVISORES TÉCNICOS
MÉXICO
José de Jesús Ángel Ángel
Universidad Anáhuac Norte
Miguel Ángel Arredondo Morales
Universidad Iberoamericana León
Víctor Armando Bustos Peter
Instituto Tecnológico y de Estudio Superiores de Monterrey, Campus Toluca
Aureliano Castro Castro
Universidad Autónoma de Sinaloa
Javier Franco Chacón
Tecnológico de Monterrey, Campus Chihuahua
Sergio Fuentes Martínez
Universidad Anáhuac México Norte
Enrique González Acosta
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Sonora Norte
Miguel Ángel López Mariño
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Central de Veracruz
Eleazar Luna Barraza
Universidad Autónoma de Sinaloa
Tomás Narciso Ocampo Paz
Instituto Tecnológico de Toluca
Velia Pérez González
Universidad Autónoma de Chihuahua
Ignacio Ramírez Vargas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Hidalgo
Héctor Selley
Universidad Anáhuac Norte
Jorge Alberto Torres Guillén
Universidad de Guadalajara
Enrique Zamora Gallardo
Universidad Anáhuac Norte
COLOMBIA
Petr Zhevandrov
Universidad de La Sabana
Jorge Augusto Pérez Alcázar
Universidad EAN
Liliana Barreto Arciniegas
Pontificia Universidad Javeriana
Gustavo de J. Castañeda Ramírez
Universidad EAFIT
Jairo Villegas G.
Universidad EAFIT
PERÚ
Carlos Enrique Peralta Santa Cruz
Universidad Continental de Ciencias e Ingeniería
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Cálculo 2
de varias variables
Novena edición
Ron Larson
The Pennsylvania State University
The Behrend College
Bruce H. Edwards
University of Florida
Revisión técnica
Marlene Aguilar Abalo
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Ciudad de México
José Job Flores Godoy
Universidad Iberoamericana
Joel Ibarra Escutia
Instituto Tecnológico de Toluca
Linda M. Medina Herrera
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Ciudad de México
MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK
SAN JUAN • SANTIAGO • SÃO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL
NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO
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Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos
Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez
Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martínez
Editora de desarrollo: Ana L. Delgado Rodríguez
Supervisor de producción: Zeferino García García
Traducción: Joel Ibarra Escutia, Ángel Hernández Fernández, Gabriel Nagore Cázares, Sergio Antonio Durán Reyes
CÁLCULO 2 DE VARIAS VARIABLES
Novena edición
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 2010, respecto a la novena edición en español por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.
A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.
Edificio Punta Santa Fe
Prolongación Paseo de la Reforma Núm. 1015, Torre A
Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe
Delegación Álvaro Obregón
C.P. 01376, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736
ISBN 978-970-10-7134-2
Traducido de la novena edición de: Calculus. Copyright © 2010 by Brooks/Cole, a Cengage Learning Company.
All rights reserved. ISBN-13: 978-1-4390-3033-2
TI es una marca registrada de Texas Instruments, Inc.
Mathematica es una marca registrada de Wolfram Research, Inc.
Maple es una marca registrada de Waterloo Maple, Inc.
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Impreso en China
Printed in China
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C ontenido
Unas palabras de los autores
Agradecimientos
Características
CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas
polares
10.1 Cónicas y cálculo
10.2 Curvas planas y ecuaciones paramétricas
PROYECTO DE TRABAJO: Cicloides
10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo
10.4 Coordenadas polares y gráficas polares
PROYECTO DE TRABAJO: Arte anamórfico
10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares
10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler
Ejercicios de repaso
SP Solución de problemas
CAPÍTULO 11
Vectores y la geometría del espacio
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
Vectores en el plano
Coordenadas y vectores en el espacio
El producto escalar de dos vectores
El producto vectorial de dos vectores en el espacio
Rectas y planos en el espacio
PROYECTO DE TRABAJO: Distancias en el espacio
11.6 Superficies en el espacio
11.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
Ejercicios de repaso
SP Solución de problemas
CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
12.1 Funciones vectoriales
PROYECTO DE TRABAJO: Bruja de Agnesi
12.2 Derivación e integración de funciones vectoriales
12.3 Velocidad y aceleración
12.4 Vectores tangentes y vectores normales
12.5 Longitud de arco y curvatura
Ejercicios de repaso
SP Solución de problemas
ix
x
xii
695
696
711
720
721
731
740
741
750
758
761
763
764
775
783
792
800
811
812
822
829
831
833
834
841
842
850
859
869
881
883
v
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vi
Contenido
CAPÍTULO 13
Funciones de varias variables
13.1
13.2
13.3
Introducción a las funciones de varias variables
Límites y continuidad
Derivadas parciales
PROYECTO DE TRABAJO: Franjas de Moiré
13.4 Diferenciales
13.5 Regla de la cadena para funciones de varias variables
13.6 Derivadas direccionales y gradientes
13.7 Planos tangentes y rectas normales
PROYECTO DE TRABAJO: Flora silvestre
13.8 Extremos de funciones de dos variables
13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de
dos variables
PROYECTO DE TRABAJO: Construcción de un oleoducto
13.10 Multiplicadores de Lagrange
Ejercicios de repaso
SP Solución de problemas
CAPÍTULO 14
962
969
970
978
981
983
14.1
14.2
14.3
14.4
984
992
1004
1012
1019
1020
1026
1027
1038
1044
1045
1052
1055
Análisis vectorial
15.1
15.2
15.3
Campos vectoriales
Integrales de línea
Campos vectoriales conservativos e independencia
de la trayectoria
15.4 Teorema de Green
PROYECTO DE TRABAJO: Funciones hiperbólicas y trigonométricas
15.5 Superficies paramétricas
15.6 Integrales de superficie
PROYECTO DE TRABAJO: Hiperboloide de una hoja
15.7 Teorema de la divergencia
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886
898
908
917
918
925
933
945
953
954
Integración múltiple
Integrales iteradas y área en el plano
Integrales dobles y volumen
Cambio de variables: coordenadas polares
Centro de masa y momentos de inercia
PROYECTO DE TRABAJO: Centro de presión sobre una vela
14.5 Área de una superficie
PROYECTO DE TRABAJO: Capilaridad
14.6 Integrales triples y aplicaciones
14.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
PROYECTO DE TRABAJO: Esferas deformadas
14.8 Cambio de variables: jacobianos
Ejercicios de repaso
SP Solución de problemas
CAPÍTULO 15
885
1057
1058
1069
1083
1093
1101
1102
1112
1123
1124
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Contenido
15.8 Teorema de Stokes
Ejercicios de repaso
PROYECTO DE TRABAJO: El planímetro
SP Solución de problemas
0-Prelim L2.indd vii
vii
1132
1138
1140
1141
Apéndice A
Demostración de teoremas seleccionados
A-2
Apéndice B
Tablas de integración
A-4
Soluciones de los ejercicios impares
Índice analítico
A-9
I-57
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U nas palabras de los autores
¡Bienvenido a la novena edición de Cálculo! Nos enorgullece ofrecerle una nueva versión
revisada de nuestro libro de texto. Mucho ha cambiado desde que escribimos la primera
edición hace más de 35 años. En cada edición los hemos escuchado a ustedes, esto es,
nuestros usuarios, y hemos incorporado muchas de sus sugerencias para mejorar el libro.
A lo largo de los años, nuestro objetivo ha sido siempre escribir con precisión y de
manera legible conceptos fundamentales del cálculo, claramente definidos y demostrados.
Al escribir para estudiantes, nos hemos esforzado en ofrecer características y materiales que
desarrollen las habilidades de todos los tipos de estudiantes. En cuanto a los profesores, nos
enfocamos en proporcionar un instrumento de enseñanza amplio que emplea técnicas pedagógicas probadas, y les damos libertad para que usen en forma más eficiente el tiempo
en el salón de clase.
También hemos agregado en esta edición una nueva característica denominada ejercicios
Para discusión. Estos problemas conceptuales sintetizan los aspectos clave y proporcionan
a los estudiantes mejor comprensión de cada uno de los conceptos de sección. Los ejercicios
Para discusión son excelentes para esa actividad en el salón de clase o en la preparación de
exámenes, y a los profesores puede resultarles valioso integrar estos problemas dentro de su
repaso de la sección. Éstas y otras nuevas características se unen a nuestra pedagogía probada en el tiempo, con la meta de permitir a los estudiantes y profesores hacer el mejor uso
del libro.
Esperamos que disfrute la novena edición de Cálculo. Como siempre, serán bienvenidos los comentarios y sugerencias para continuar mejorando la obra.
Ron Larson
Bruce H. Edwards
ix
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A gradecimientos
Nos gustaría dar las gracias a muchas personas que nos ayudaron en varias etapas de este
proyecto a lo largo de los últimos 35 años. Su estímulo, críticas y sugerencias han sido invaluables.
Revisores de la novena edición
Ray Cannon, Baylor University
Sadeq Elbaneh, Buffalo State College
J. Fasteen, Portland State University
Audrey Gillant, Binghamton University
Sudhir Goel, Valdosta State University
Marcia Kemen, Wentworth Institute of Technology
Ibrahima Khalil Kaba, Embry Riddle Aeronautical University
Jean-Baptiste Meilhan, University of California Riverside
Catherine Moushon, Elgin Community College
Charles Odion, Houston Community College
Greg Oman, The Ohio State University
Dennis Pence, Western Michigan University
Jonathan Prewett, University of Wyoming
Lori Dunlop Pyle, University of Central Florida
Aaron Robertson, Colgate University
Matthew D. Sosa, The Pennsylvania State University
William T. Trotter, Georgia Institute of Technology
Dr. Draga Vidakovic, Georgia State University
Jay Wiestling, Palomar College
Jianping Zhu, University of Texas at Arlington
Miembros del Comité de Asesores de la novena edición
Jim Braselton, Georgia Southern University; Sien Deng, Northern Illinois University;
Dimitar Grantcharov, University of Texas, Arlington; Dale Hughes, Johnson County
Community College; Dr. Philippe B. Laval, Kennesaw State University; Kouok Law,
Georgia Perimeter College, Clarkson Campus; Mara D. Neusel, Texas Tech University;
Charlotte Newsom, Tidewater Community College, Virginia Beach Campus; Donald W.
Orr, Miami Dade College, Kendall Campus; Jude Socrates, Pasadena City College; Betty
Travis, University of Texas at San Antonio; Kuppalapalle Vajravelu, University of Central
Florida
Revisores de ediciones anteriores
Stan Adamski, Owens Community College; Alexander Arhangelskii, Ohio University; Seth
G. Armstrong, Southern Utah University; Jim Ball, Indiana State University; Marcelle
Bessman, Jacksonville University; Linda A. Bolte, Eastern Washington University; James
Braselton, Georgia Southern University; Harvey Braverman, Middlesex County College;
Tim Chappell, Penn Valley Community College; Oiyin Pauline Chow, Harrisburg Area
Community College; Julie M. Clark, Hollins University; P.S. Crooke, Vanderbilt University;
x
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Agradecimientos
xi
Jim Dotzler, Nassau Community College; Murray Eisenberg, University of Massachusetts
at Amherst; Donna Flint, South Dakota State University; Michael Frantz, University of La
Verne; Sudhir Goel, Valdosta State University; Arek Goetz, San Francisco State University;
Donna J. Gorton, Butler County Community College; John Gosselin, University of Georgia;
Shahryar Heydari, Piedmont College; Guy Hogan, Norfolk State University; Ashok Kumar,
Valdosta State University; Kevin J. Leith, Albuquerque Community College; Douglas B.
Meade, University of South Carolina; Teri Murphy, University of Oklahoma; Darren Narayan, Rochester Institute of Technology; Susan A. Natale, The Ursuline School, NY; Terence
H. Perciante, Wheaton College; James Pommersheim, Reed College; Leland E. Rogers,
Pepperdine University; Paul Seeburger, Monroe Community College; Edith A. Silver, Mercer County Community College; Howard Speier, Chandler-Gilbert Community College;
Desmond Stephens, Florida A&M University; Jianzhong Su, University of Texas at Arlington; Patrick Ward, Illinois Central College; Diane Zych, Erie Community College
Muchas gracias a Robert Hostetler, de The Behrend College, en The Pennsylvania State
University, y a David Heyd, de la misma institución, por sus importantes contribuciones a
las ediciones previas de este texto.
Una nota especial de agradecimiento a los profesores que respondieron nuestra encuesta y a los más de dos millones de estudiantes que han usado las ediciones anteriores de la
obra.
También quisiéramos agradecer al personal de Larson Texts, Inc., que apoyó en la
preparación del manuscrito, realizó el diseño editorial, levantó la tipografía y leyó las pruebas de las páginas y suplementos en la edición en inglés.
En el ámbito personal, estamos agradecidos con nuestras esposas, Deanna Gilbert
Larson y Consuelo Edwards, por su amor, paciencia y apoyo. Además, una nota especial de
gratitud para R. Scott O’Neil.
Si usted tiene sugerencias para mejorar este texto, por favor siéntanse con la libertad
de escribirnos. A lo largo de los años hemos recibido muchos comentarios útiles tanto de
los profesores como de los estudiantes, y los valoramos sobremanera.
Ron Larson
Bruce H. Edwards
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C aracterísticas
Herramientas pedagógicas
PARA DISCUSIÓN
Para discusión
72.
¡NUEVO! Los ejercicios para discusión que aparecen
ahora en cada sección sintetizan los conceptos
principales de cada una y muestran a los estudiantes
cómo se relacionan los temas. A menudo constituyen
problemas de varias partes que contienen aspectos
conceptuales y no computacionales, y que pueden
utilizarse en discusiones de clase o en la preparación
de exámenes.
y
f
B C
A
D
E
x
a) ¿Entre qué par de puntos consecutivos es mayor la razón
de cambio promedio de la función?
b) ¿La razón de cambio promedio de ƒ entre A y B es mayor
o menor que el la razón de cambio instantáneo en B?
c) Trazar una recta tangente a la gráfica entre los puntos
C y D cuya pendiente sea igual a la razón de cambio
promedio de la función entre C y D.
Desarrollo de conceptos
11.
Utilizar la gráfica para responder a las siguientes preguntas.
Considerar la longitud de la gráfica de f(x) 5/x, desde
(1, 5) hasta (5, 1):
y
y
(1, 5)
(1, 5)
5
5
4
4
DESARROLLO DE CONCEPTOS
3
3
2
(5, 1)
2
(5, 1)
1
1
x
x
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
a)
Estimar la longitud de la curva mediante el cálculo de
la distancia entre sus extremos, como se muestra en la
primera figura.
b) Estimar la longitud de la curva mediante el cálculo de
las longitudes de los cuatro segmentos de recta, como
se muestra en la segunda figura.
c) Describir cómo se podría continuar con este proceso
a fin de obtener una aproximación más exacta de la
longitud de la curva.
Los ejercicios de desarrollo de conceptos son preguntas
diseñadas para evaluar la comprensión de los estudiantes en torno a los conceptos básicos de cada sección.
Estos ejercicios animan a los estudiantes a verbalizar y
escribir respuestas, lo que promueve habilidades de
comunicación técnica que serán invaluables en sus
futuras carreras.
AYUDAS DE ESTUDIO
Las ayudas de estudio distinguen errores comunes, indican casos especiales
que pueden provocar confusión, y amplían a conceptos importantes. Estas
ayudas proporcionan a los estudiantes información puntual, similar a los
comentarios del profesor en clase.
EJEMPLO 1
Levantamiento de un objeto
Determinar el trabajo realizado al levantar un objeto de 50 libras a 4 pies.
Solución La magnitud de la fuerza requerida F es el peso del objeto, como se muestra en
la figura 7.48. Así, el trabajo realizado al levantar el objeto 4 pies es
W FD
Trabajo (fuerza)(distancia).
50S4D
Fuerza 50 libras, distancia 4 pies.
200 libras-pies.
AYUDA DE ESTUDIO Cuando se use la
definición para encontrar la derivada de
una función, la clave consiste en volver
a expresar el cociente incremental
(o cociente de diferencias), de manera
que $x no aparezca como factor del
denominador.
AYUDA DE ESTUDIO El ejemplo 3 también se puede resolver sin hacer uso de
la regla de la cadena, si se observa que
y x6 3x4 3x2 1
AYUDA DE ESTUDIO Tener en cuenta
que se puede comprobar la respuesta de
un problema de integración al derivar la
C
l j
l 7
EJEMPLOS
A lo largo del texto, se trabajan ejemplos paso a
paso, que muestran los procedimientos y técnicas
para resolver problemas, y dan a los estudiantes
una comprensión amplia de los conceptos del
cálculo.
xii
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Características
xiii
EJERCICIOS
La práctica hace al maestro. Los ejercicios
son con frecuencia el primer lugar que
consultan los estudiantes en un libro de
texto. Los autores han dedicado mucho
tiempo analizándolos y revisándolos; el
resultado es un completo y sólido conjunto
de ejercicios de diferentes tipos y niveles de
dificultad al final de cada sección para
considerar todos los estilos de aprendizaje
de los estudiantes.
4.3
Ejercicios
En los ejercicios 1 y 2, utilizar el ejemplo 1 como modelo para
evaluar el límite
n
lím
O
nm@ i1
En los ejercicios 13 a 22, formular una integral definida que produce el área de la región. (No evaluar la integral.)
13.
f Xci C $xi
f x 5
14.
f x 6 3x
y
y
5
sobre la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones.
6
5
4
3
2
1
4
1.
f SxD x,
y 0,
x 0,
x3
3
63.2
(Sugerencia: Sea ci 3i 2Yn 2.)
2.
3
f SxD x,
y 0,
x 0,
3
3
(Sugerencia: Sea ci i n .)
En los ejercicios 3 a 8, evaluar la integral definida mediante la
definición de límite.
15.
6
3
8 dx
3.
2
1
4
x3 dx
5.
1
2
1
7.
4x2 dx
6.
1
x2
1 dx
2x2 3 dx
8.
1
\\
64. Promedio
de ventas Unay compañía ajusta un modelo a los datos
y
de ventas mensuales de un producto de temporada. El modelo es
8
4
Pt
t
3
0 b t b 24
,
SSt6D 1.8 0.5 sen
4
6
4
2
donde
S son las ventas (en
miles) y t es el tiempo en meses.
2
1
x dx
4.
2
Ciclo respiratorio El volumen V en litros de aire en los pulmones durante un ciclo respiratorio de cinco segundos se aproxima
x
x
2
3
2 1
1 2 3 4 5
mediante
1 2 3 4 el5 modelo V 0.1729t 0.1522t 0.0374t donde
t es el tiempo en segundos. Aproximar el volumen medio de aire
en los pulmones16.
durante
un ciclo.
f SxD 4 x
f SxD x 2
1
x1
2
a)
Utilizar una herramienta de graficación para representar
ƒ(t) 0.5 sen(PtY6) para 0 b t b 24. Emplear la gráfica
para explicar por qué el valor medio de ƒ(t) es cero sobre
el intervalo.
b) Recurrir a una herramienta de graficación para representar
S(t) y la recta g(t) tY4 1.8 en la misma ventana de
observación. Utilizar la gráfica y el resultado del apartado
a) para explicar por qué g recibe el nombre recta de tendencia.
APLICACIONES
“¿Cuándo usaré esto?”, los autores tratan de responder esta
pregunta de los estudiantes con ejercicios y ejemplos que se
seleccionaron con todo cuidado. Las aplicaciones se toman de
diversas fuentes: eventos actuales, datos de trabajo, tendencias
industriales, y se relacionan con una amplia gama de intereses.
Entender dónde se usa (o puede usarse) el cálculo fomenta una
comprensión más completa del material.
318
CAPÍTULO 4
4
Ejercicios de repaso
2.
y
15. Velocidad y aceleración Se lanza una pelota hacia arriba
verticalmente desde el nivel del suelo con una velocidad inicial
de 96 pies por segundo.
fa
a)
¿Cuánto tardará la pelota en alcanzar su altura máxima?
¿Cuál es la altura máxima?
¿Cuándo la velocidad de la pelota es la mitad de la velocidad
inicial?
c) ¿A qué altura está la pelota cuando su velocidad es la mitad
de la velocidad inicial?
x
x
b)
En los ejercicios 3 a 8, encontrar la integral indefinida.
5.
7.
4x2 x 3 dx
x4
4.
8
dx
x3
6.
2x 9 sen x dx
8.
16.
2
3
3x
x4
dx
4x2
x2
1
dx
5 cos x 2 sec2 x dx
Encontrar la solución particular de la ecuación diferencial
ƒa(x) 6x cuya gráfica pasa por el punto (1, 2).
10.
Encontrar la solución particular de la ecuación diferencial
ƒaa(x) 6(x 1) cuya gráfica pasa por el punto (2, 1) y es
tangente a la recta 3x y 5 0 en ese punto.
Campos de pendientes En los ejercicios 11 y 12 se da una ecuación
diferencial, un punto y un campo de pendientes. a) Dibujar dos
soluciones aproximadas de la ecuación diferencial en el campo
de pendiente, una de las cuales pase a través del punto indicado.
b) Utilizar la integración para encontrar la solución particular de
la ecuación diferencial y utilizar una herramienta de graficación
para representar la solución.
dy
2x 4,
dx
S4, 2D
1
dy
x2 2x, S6, 2D
dx
2
12.
y
−1
t
0
5
10
15
20
25
30
v1
0
2.5
7
16
29
45
65
0
21
38
51
60
65
18.
d)
30
40
50
60
21
40
62
78
83
a)
Emplear una herramienta de graficación para determinar un
modelo de la forma v at3 bt2 ct d para los datos.
3n1 n 1 3n2 n 1
2
SeaFSxD 19.
5
n n 1
2i
20.
i 12
22.
x
1
f SxD dx f 1
f 13.
%
1
a)
Utilizar esta fórmula para aproximar
el error de la aproximación.
cos x dx. Encontrar
1
%
1
b) Utilizar esta fórmula para aproximar
1
sen t 2 dt.
Utilizar una herramienta de graficación para completar la
tabla.
0
1.0
1.5
1.9
2.0
2.1
2.5
3.0
4.0
5.0
1
dx.
1 x2
c) Probar que la aproximación gaussiana de dos puntos es
exacta para todos los polinomios de grado 3 o menor.
2
a)
1
3
7.
Arquímedes demostró que el área de un arco parabólico es igual
a 2< del producto de la base y la altura (ver la figura).
2
FXxC
x
h
FXxC
4i 1
i1
20
ii 2 1
i1
23.
Escribir en notación sigma a) la suma de los primeros diez enteros impares positivos, b) la suma de los cubos de los primeros
n enteros positivos y c) 6 10 14 18 · · · 42.
24.
Calcular cada suma para x1 2, x2 1, x3 5, x4 3 y
7
%
x
b)
12
i1
7
La aproximación gaussiana de dos puntos para f es
%
20
i1
−2
%
x
3
. . .
n
6.
1
dt, x > 0.
t
Encontrar L(1).
Encontrar La(x) y La(1).
Utilizar una herramienta de graficación para aproximar el valor de x (hasta tres lugares decimales) para el cual L(x) 1.
Demostrar que L(x1 x2) L(x1) L(x2) para todos los
valores positivos de x1 y x2.
x
2.
1
1
1
1
. . .
31 32 33
310
2
%
1
En los ejercicios 17 y 18, utilizar la notación sigma para escribir
la suma.
17.
Sea SxD a)
b)
c)
Reescribir las velocidades en pies por segundo.
Usar las capacidades de regresión de una herramienta de
graficación para encontrar los modelos cuadráticos para los
datos en el apartado a).
c) Aproximar la distancia recorrida por cada carro durante los
30 segundos. Explicar la diferencia en las distancias.
20
6
−1
20
5
Solución de problemas
x
1.
a)
b)
21.
−6
64
SP
En los ejercicios 19 a 22, utilizar las propiedades de las sumas y
el teorema 4.2 para calcular las sumas.
y
x
10
0
Modelado matemático La tabla muestra las velocidades (en
millas por hora) de dos carros sobre una rampa de acceso a una
carretera interestatal. El tiempo t está en segundos.
v2
9.
11.
0
v
Los ejercicios de repaso ubicados al final de cada capítulo
proporcionan a los estudiantes más oportunidades para
practicar. Estos conjuntos de ejercicios constituyen una
revisión completa de los conceptos del capítulo y son un
medio excelente para que los estudiantes preparen un examen.
una distancia de 264 pies. Encontrar la distancia en la cual
el automóvil puede llegar al reposo a partir de una velocidad
de 30 millas por hora, suponiendo la misma desaceleración
constante.
y
fa
3.
t
EJERCICIOS DE REPASO
Integración
En los ejercicios 1 y 2, utilizar la gráfica de f para dibujar una
gráfica de ƒ.
1.
65. Modelado matemático Se prueba un vehículo experimental en
una pista recta. Parte del reposo y su velocidad v (metros por segundo) se registra en la tabla cada 10 segundos durante un minuto.
1
1
sen t 2 dt. Utilizar una
FSxD x2
x2 2
herramienta de graficacón para completar la tabla y estimar
lím GSxD.
Sea GSxD xm2
x
1.9
1.95
1.99
2.01
b)
2.1
GXxC
c)
c)
Utilizar la definición de la derivada para encontrar el valor
exacto del límite lím GSxD.
xm2
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
b
a)
En los ejercicios 3 y 4, a) escribir el área bajo la gráfica de la
función dada definida sobre el intervalo indicado como un límite.
Después b) calcular la suma del apartado a) y c) calcular el límite
tili
d l
lt d d l
t d b)
8.
Graficar el arco parabólico delimitado por y 9 x2 y
el eje x. Utilizar una integral apropiada para encontrar el
área A.
Encontrar la base y la altura del arco y verificar la fórmula
de Arquímedes.
Demostrar la fórmula de Arquímedes para una parábola
general.
Galileo Galilei (1564-1642) enunció la siguiente proposición
relativa a los objetos en caída libre:
El tiempo en cualquier espacio que se recorre por un cuerpo
acelerado uniformemente es igual al tiempo en el cual ese
mismo espacio se recorrería por el mismo cuerpo movién-
Estos conjuntos de ejercicios al final de cada capítulo prueban las habilidades
de los estudiantes con preguntas desafiantes que retan su pensamiento.
0-Prelim L2.indd xiii
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xiv
Características
Cálculos clásicos con relevancia contemporánea
TEOREMAS
Los teoremas proporcionan el
marco conceptual del cálculo;
se enuncian claramente y se
distinguen del resto del texto
por medio de recuadros para
tener una rápida referencia
visual. Las demostraciones
más importantes muchas
veces siguen al teorema, y se
proporcionan otras más en un
apéndice.
TEOREMA 4.9 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Si una función ƒ es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una antiderivada de
ƒ en el intervalo [a, b], entonces
%
b
f SxD dx FSbD FSaD.
a
DEFINICIONES
Al igual que con los
teoremas, las definiciones se
enuncian claramente
utilizando palabras sencillas
y precisas; también se
separan del texto mediante
recuadros para tener una
rápida referencia visual.
DEFINICIÓN DE LONGITUD DE ARCO
Sea la función dada por y f(x) que represente una curva suave en el intervalo [a, b].
La longitud del arco de f entre a y b es
%
b
s
1 F fSxDG 2 dx.
a
Similarmente, para una curva suave dada por x g(y), la longitud de arco de g entre
c y d es
%
d
s
1 F gS yDG 2 dy.
c
La regla de L’Hôpital también puede aplicarse a los límites unilaterales, como se demuestra en los ejemplos 6 y 7.
Forma indeterminada 00
EJEMPLO 6
Encontrar lím sen xx.
x0
PROCEDIMIENTOS
Solución Porque la sustitución directa produce la forma indeterminada 00, proceder como
se muestra abajo. Para empezar, asumir que el límite existe y es igual a y.
y lím sen xx
Los procedimientos aparecen
separados del texto para brindar una
referencia fácil. Estas líneas proporcionan a los estudiantes instrucciones paso a paso que les ayudarán a
resolver problemas de manera rápida
y eficiente.
NOTAS
Forma indeterminada 00.
x0
ln y ln lím sen x
x
x0
Tomar un logaritmo natural de cada lado.
lím lnsen xx
Continuidad.
lím x lnsen x
Forma indeterminada 0 · (@).
lnsen x
lím
x0
1x
Forma indeterminada @Y@.
cot x
lím
x0 1x 2
Regla de L’Hôpital.
x 2
lím
x0 tan x
Forma indeterminada 0Y0.
2x
lím
0
x0 sec2x
Regla de L’Hôpital.
x0
x0
Las notas proporcionan detalles adicionales acerca de los
Ahora, porque ln y 0, concluir que y e 1, y se sigue que
teoremas, definiciones y ejemplos. Ofrecen una profundización adicional o generalizaciones importantes que los estulím sen x 1.
diantes podrían omitir
involuntariamente. Al igual
que las ayudas de estudio,
NOTA
Al aplicar la fórmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que la
curva se recorra una sola vez en el intervalo de integración. Por ejemplo, el círculo dado por
las notas resultan invaluax ⫽ cos t y y ⫽ sen t, recorre una sola vez el intervalo 0 ⱕ t ⱕ 2␲, pero recorre dos veces el interbles para los estudiantes.
valo 0 ⱕ t ⱕ 4␲.
I
0
x
x0 0-Prelim L2.indd xiv
1/12/09 18:04:33
xv
Características
Ampliar la experiencia del cálculo
ENTRADAS DE CAPÍTULO
Ecuaciones
diferenciales
6
Las entradas de capítulo proporcionan motivación inicial para
el material que se abordará en el capítulo. Además de los
objetivos, en la entrada de cada capítulo un concepto importante se relaciona con una aplicación del mundo real. Esto
motiva a los estudiantes a que descubran la relevancia del
cálculo en la vida.
En este capítulo se estudiará una de las
más importantes aplicaciones del cálculo:
las ecuaciones diferenciales. El lector
aprenderá nuevos métodos para resolver
diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, como las homogéneas, lineales de
primer orden y de Bernoulli. Posteriormente aplicará esas reglas para resolver
ecuaciones diferenciales en problemas
de aplicación.
En este capítulo, se aprenderá:
n Cómo generar un campo de
pendientes de una ecuación
diferencial y encontrar una solución
particular. (6.1)
n Cómo usar una función exponencial
para modelos de crecimiento y
decrecimiento. (6.2)
n Como usar el método de separación
de variables para resolver ecuaciones
diferenciales. (6.3)
n Cómo resolver ecuaciones
diferenciales lineales de primer
orden y la ecuación diferencial de
Bernoulli. (6.4)
EXPLORACIÓN
Converso del teorema 4.4 ¿Es verdadero el converso del teorema 4.4 ? Esto es, si
una función es integrable, ¿tiene que ser continua? Explicar el razonamiento y proporcionar ejemplos.
Describir las relaciones entre continuidad, derivabilidad e integrabilidad. ¿Cuál
es la condición más fuerte? ¿Cuál es la más débil? ¿Qué condiciones implican otras
condiciones?
■
Dr. Dennis Kunkel/Getty Images
■
Según el tipo de bacteria, el tiempo que le toma duplicar su peso al cultivo puede variar mucho, desde varios minutos hasta varios días. ¿Cómo
usaría una ecuación diferencial para modelar la tasa de crecimiento del
peso del cultivo de una bacteria? (Vea la sección 6.3, ejercicio 84.)
EXPLORACIÓN
Suponer que se pide encontrar una
de las siguientes integrales. ¿Cuál
elegiría? Explicar la respuesta.
EXPLORACIONES
Las exploraciones proporcionan a los
estudiantes retos únicos para estudiar
conceptos que no se han cubierto
formalmente. Les permiten aprender
mediante el descubrimiento e introducen temas relacionados con los que
están estudiando en el momento. Al
explorar temas de esta manera, se
estimula a que los estudiantes piensen
de manera más amplia.
a)
%
%
%
%
x3 1 dx
o
x 2x3 1 dx
b)
tanS3xD sec 2 S3xD dx
Una función y f(x) es una solución de una ecuación diferencial, si la ecuación se satisface cuando y y sus derivadas
se remplazan por f(x) y sus derivadas. Una manera de resolver una ecuación diferencial es mediante los campos de
pendientes, los cuales muestran la forma de todas las soluciones de una ecuación diferencial. (Ver sección 6.1)
o
405
tan S3xD dx
NOTAS HISTÓRICAS Y BIOGRAFÍAS
Las notas históricas proporcionan a los estudiantes
información sobre los fundamentos del cálculo; las
biografías les ayudan a
sensibilizar y a enseñarles
acerca de las personas que
contribuyeron a la creación
formal del cálculo.
DESAFÍOS DEL EXAMEN PUTNAM
n
n1
o
n 1
n
donde n 8?
134. Demostrar que si x es positivo, entonces
loge 1 1
1
.
>
x
1x
Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.
Las preguntas del examen
Putnam aparecen en algunas
secciones y se toman de los
exámenes Putnam reales.
Estos ejercicios extenderán
los límites del entendimiento
de los estudiantes en relación
con el cálculo y brindarán
desafíos adicionales para
aquellos más interesados.
The Granger Collection
Preparación del examen Putnam
133. ¿Cuál es mayor
LA SUMA DE LOS PRIMEROS CIEN ENTEROS
BLAISE PASCAL (1623-1662)
El maestro de Carl Friedrich Gauss (17771855) pidió a sus alumnos que sumaran
todos los enteros desde 1 hasta 100. Cuando
Gauss regresó con la respuesta correcta muy
poco tiempo después, el maestro no pudo
evitar mirarle atónito. Lo siguiente fue lo
que hizo Gauss:
Pascal es bien conocido por sus
1 2 3 . . . 100
contribuciones a diversas áreas de las
... 1
matemáticas y de la física, así como por 100 99 98 . . . 101
su influencia con Leibniz. Aunque buena 101 101 101 100
101
parte de su obra en cálculo fue intuitiva y
5 050
carente del rigor exigible en las matemáticas 2
modernas, Pascal anticipó muchos
Esto se generaliza por medio del teorema
resultados relevantes.
4.2, donde
100
Oi t 1
100S101D
5 050.
2
PROYECTOS DE SECCIÓN
Los proyectos aparecen en algunas secciones y exploran a
mayor profundidad las aplicaciones relacionadas con los
temas que se están estudiando. Proporcionan una forma
interesante y entretenida para que los estudiantes trabajen
e investiguen ideas de manera conjunta.
PROYECTO DE TRABAJO
Demostración del teorema fundamental
Utilizar una herramienta de graficación para representar la función
y1 sen2t en el intervalo 0 b t b P. Sea F(x) la siguiente función
de x.
%
b)
Utilizar las funciones de integración de una herramienta de graficación para representar F.
c)
Emplear las funciones de derivación de una herramienta de graficación para hacer la gráfica de F (x). ¿Cómo se relaciona esta
gráfica con la gráfica de la parte b)?
d)
Verificar que la derivada de y (1Y2)t (sen 2t)Y4 es sen2t.
Graficar y y escribir un pequeño párrafo acerca de cómo esta
gráfica se relaciona con las de los apartados b) y c).
x
FSxD sen 2 t dt
0
a)
Completar la tabla. Explicar por qué los valores de ƒ están creciendo.
x
0
PY6
PY3
PY2
2PY3 5PY6 P
FXxC
0-Prelim L2.indd xv
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xvi
Características
Tecnología integrada para el mundo actual
Encontrar
INVESTIGACIONES CON SISTEMAS
ALGEBRAICOS POR COMPUTADORA
Cambio de variables
EJEMPLO 5
%
x2x 1 dx.
Los ejemplos a lo largo del libro se
acompañan de investigaciones que
emplean un sistema algebraico por
computadora (por ejemplo, Maple®)
para explorar de manera adicional un
ejemplo relacionado en el libro.
Permiten a los estudiantes explorar el
cálculo manipulando funciones,
gráficas, etc., y observar los resultados.
Solución Como en el ejemplo previo, considerar que u 2x 1 para obtener dx duY2. Como el integrando contiene un factor de x, se tiene que despejar x en términos de
u, como se muestra.
x Su 1DY2
u 2x 1
Resolver para x en términos de u.
Después de esto, utilizando la sustitución, se obtiene
%
x2x 1 dx %
%
u 1 1Y2 du
u
2
2
1
Su3Y2 u1Y2D du
4
1 u5Y2 u3Y2
C
3Y2
4 5Y2
1
1
S2x 1D5Y2 S2x 1D3Y2 C.
10
6
Razonamiento gráfico En los ejercicios 55 a 58, a) usar una
herramienta de graficación para representar gráficamente la
función, b) representar su función inversa utilizando la herramienta de graficación y c) determinar si la gráfica de la relación inversa es una función inversa. Explicar la respuesta.
EJERCICIOS CON HERRAMIENTAS DE GRAFICACIÓN
La comprensión con frecuencia mejora utilizando
una gráfica o visualización. Los ejercicios de
tecnología de graficación piden a los estudiantes
recurrir a una herramienta de graficación para
ayudar a encontrar una solución.
CAS
Campos de pendientes En los ejercicios 67 a 72, usar un sistema
algebraico por computadora para a) trazar la gráfica del campo
de pendientes para la ecuación diferencial y b) trazar la gráfica de
la solución que satisface la condición inicial especificada.
67.
dy
0.25y,
dx
y0 4
68.
dy
4 y,
dx
y0 6
69.
dy
0.02y10 y,
dx
70.
dy
0.2x2 y,
dx
y0 9
71.
dy
0.4y3 x,
dx
y0 1
72.
y
dy 1 x8
sen
e
,
dx 2
4
a
CAS
79.
%
%
1
dx
x 2 4x 13
80.
1
dU
1 sen U
82.
En los ejercicios 33 a 40, usar un sistema algebraico por computadora para determinar la primitiva que atraviesa el punto dado. Usar
el sistema para hacer la gráfica de la antiderivada resultante.
33.
35.
f SxD x 3 x 4
5x
dx, 6, 0 34.
x 2 10x 25
x2 x 2
dx, 0, 1
x 2 22
36.
6x 2 1
dx, 2, 1
x 2x 13
x3
dx, 3, 4
x 2 42
¡NUEVO! De igual manera que los ejercicios con
herramientas de graficación, algunos ejercicios
pueden resolverse mejor utilizando un sistema
algebraico por computadora. Estos ejercicios son
nuevos en esta edición.
0-Prelim L2.indd xvi
hSxD x4 x 2
A lo largo del libro, los recuadros
de tecnología dan a los estudiantes
una visión de cómo la tecnología
puede usarse para ayudar a resolver
problemas y explorar los conceptos
del cálculo. No sólo proporcionan
discusiones acerca de dónde la
tecnología tiene éxito, sino también
sobre dónde puede fracasar.
%
%
x2
dx
x 2 4x 13
ex ex
2
3
dx
TECNOLOGÍA La regla de Simpson puede usarse para dar una buena aproximación
del valor de la integral en el ejemplo 2 (para n 10, la aproximación es 1.839). Al usar
la integración numérica, sin embargo, se debe estar consciente de que la regla de Simpson no siempre da buenas aproximaciones cuando algunos de los límites de integración
están cercanos a una asíntota vertical. Por ejemplo, usando el teorema fundamental del
cálculo, se obtiene
%
1.99
EJERCICIOS CON SISTEMAS
ALGEBRAICOS POR COMPUTADORA
56.
TECNOLOGÍA
En los ejercicios 79 a 82, usar un sistema algebraico por computadora para encontrar la integral. Usar el sistema algebraico por
computadora para hacer la gráfica de dos antiderivadas. Describir
la relación entre las gráficas de las dos antiderivadas.
81.
y0 2
y0 2
CAS
55.
0
x3
4 x 2
dx 6.213.
Aplicando la regla de Simpson (con n 10) para esta integral se produce una aproximación de 6.889.
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1100
Cónicas,
ecuaciones
Conics, Parametric
paramétricas
Equations, and y
Polar Coordinates
coordenadas
polares
En
este chapter,
capítulo you
se analizarán
y seand write
In this
will analyze
escribirán
ecuaciones
de
cónicas
usando
equations of conics using their properties.
sus
propiedades.
También
se
aprenderá
You will also learn how to write and graph
cómo
escribir
y graficar
ecuaciones
parametric
equations
and
polar equations,
paramétricas
y
polares,
y
cómo
se
and see how calculus cansebeverá
used
to study
puede
usar
el
cálculo
para
estudiar
tales
these graphs. In addition to the rectangular
gráficas.
de las
equationsAdemás
of conics,
youecuaciones
will also study
rectangulares
de
cónicas,
polar equations of conics.también se
estudiarán ecuaciones polares de cónicas.
In this chapter, you should learn the
En este capítulo, se aprenderá:
following.
n Cómo analizar y escribir ecuaciones
I How to analyze and write equations of
de una parábola, una elipse y una
a parabola, an ellipse, and a hyperbola.
hipérbola. (10.1)
(10.1)
n Cómo trazar una curva representada
I How to sketch a curve represented by
por ecuaciones paramétricas. (10.2) I
parametric equations. (10.2)
n Cómo usar un conjunto de ecuacioI How to use a set of parametric equations
nes paramétricas para encontrar la
to find the slope of a tangent line to a
pendiente de una línea tangente a
curve and the arc length of a curve.
una curva y la longitud de arco
(10.3)
de una curva. (10.3)
I How to sketch the graph of an equation
n Cómo dibujar la gráfica de una ecuain polar form, find the slope of a tangent
ción en forma polar, encontrar la
line to a polar graph, and identify special
pendiente de una línea tangente a
polar graphs. (10.4)
una gráfica polar e identificar gráfiI How to find the area of a region
cas polares especiales. (10.4)
bounded by a polar graph and find the
n Cómo encontrar el área de una
arc length of a polar graph. (10.5)
región acotada por una gráfica polar
I How to analyze and write a polar
y encontrar la longitud de arco de
equation
of apolar.
conic.(10.5
(10.6
una gráfica
))
n Cómo analizar y escribir una ecuación polar de una cónica. (10.6)
© Chuck Savage/Corbis
Thepuede
path ofmodelar
a baseball
hit at a particular
height de
at an
anglebateada
with theahorizontal
Se
la trayectoria
de una pelota
béisbol
una alturacan
be
modeled
using
parametric
equations.
How
can
a
set
of
parametric
equations¿Cómo
be
específica a un ángulo con el horizontal utilizando ecuaciones paramétricas.
I
used
to
find
the
minimum
angle
at
which
the
ball
must
leave
the
bat
in
order
for
se puede usar un conjunto de ecuaciones paramétricas para encontrar el ángulothe
hit to beala cual
homelarun?
(See
Section
Exercise
75.)el golpe sea un jonrón? (Ver
mínimo
pelota
debe
salir 10.2,
del bate
para que
la sección 10.2, ejercicio 75.)
En
de coordenadas
polares,
graficar
una ecuación
unaabout
curvaa alrededor
decalled
un punto
fijo
In el
thesistema
polar coordinate
system,
graphing
an equation
involvesimplica
tracingtrazar
a curve
fixed point
the pole.
llamado
el
polo.
Considerar
una
región
acotada
por
una
curva
y
por
los
rayos
que
contienen
los
puntos
extremos
Consider a region bounded by a curve and by the rays that contain the endpoints of an interval on the curve. Youde
un
sobreoflacircles
curva.toPueden
usarsethe
sectores
para aproximar
área de
región.
En la
canintervalo
use sectors
approximate
area ofcirculares
such a region.
In Sectionel10.5,
youtalwill
see how
thesección
limit
10.5
se
verá
cómo
es
posible
usar
el
proceso
de
límite
para
encontrar
esta
área.
process can be used to find this area.
695
695
10-1.qxd
3/12/09
696
16:44
Page 696
CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
10.1 Cónicas y cálculo
n
n
n
n
Entender la definición de una sección cónica.
Analizar y dar las ecuaciones de la parábola utilizando las propiedades de la parábola.
Analizar y dar las ecuaciones de la elipse utilizando las propiedades de la elipse.
Analizar y dar las ecuaciones de la hipérbola utilizando las propiedades de la hipérbola.
Secciones cónicas
Bettmann/Corbis
Toda sección cónica (o simplemente cónica) puede describirse como la intersección de un
plano y un cono de dos hojas. En la figura 10.1 se observa que en las cuatro cónicas básicas el plano de intersección no pasa por el vértice del cono. Cuando el plano pasa por el
vértice, la figura que resulta es una cónica degenerada, como se muestra en la figura 10.2.
HYPATIA (370-415 D.C.)
Los griegos descubrieron las secciones cónicas entre los años 600 y 300 a.C. A principios del periodo alejandrino ya se sabía lo
suficiente acerca de las cónicas como para
que Apolonio (269-190 a.C.) escribiera una
obra de ocho volúmenes sobre el tema. Más
tarde, hacia finales del periodo Alejandrino,
Hypatia escribió un texto titulado Sobre las
cónicas de Apolonio. Su muerte marcó el
final de los grandes descubrimientos matemáticos en Europa por varios siglos.
Los primeros griegos se interesaron
mucho por las propiedades geométricas de
las cónicas. No fue sino 1900 años después,
a principios del siglo XVII, cuando se hicieron evidentes las amplias posibilidades de
aplicación de las cónicas, las cuales llegaron
a jugar un papel prominente en el desarrollo
del cálculo.
Circunferencia
Secciones cónicas
Parábola
Figura 10.1
Punto
Cónicas degeneradas
Recta
Dos rectas que se cortan
Figura 10.2
Existen varias formas de estudiar las cónicas. Se puede empezar, como lo hicieron los
griegos, definiendo las cónicas en términos de la intersección de planos y conos, o se pueden
definir algebraicamente en términos de la ecuación general de segundo grado
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.
PARA MAYOR INFORMACIÓN
Para conocer más sobre las actividades
de esta matemática, consultar al artículo “Hypatia and her Mathematics” de
Michael A. B. Deakin en The
American Mathematical Monthly.
Hipérbola
Elipse
Ecuación general de segundo grado.
Sin embargo, un tercer método en el que cada una de las cónicas está definida como el lugar
geométrico (o colección) de todos los puntos que satisfacen cierta propiedad geométrica,
funciona mejor. Por ejemplo, la circunferencia se define como el conjunto de todos los puntos (x, y) que son equidistantes de un punto fijo (h, k). Esta definición en términos del lugar
geométrico conduce fácilmente a la ecuación estándar o canónica de la circunferencia
(x - h)2 +(y - k)2 = r2.
Ecuación estándar o canónica de la circunferencia.
Para información acerca de la rotación de ecuaciones de segundo grado en dos variables,
ver el apéndice D.
1059997_1001.qxp 9/2/08
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1059997_1001.qxp
3:49 PM Page 697
16:44 Page 697
9/2/08
3:49 PM
Page 697
10.1 Conics
Calculus
SECCIÓN
10.1 and
Cónicas
y cálculo 697 697
10.1
Conics and Calculus
697
Parabolas
Parábolas
A x
x, ylosthat
AUna
parabola
is the
setconjunto
of all points
are equidistant
from a fixed
linerecta
called
parábola
es el
de todos
puntos
(x, y) equidistantes
de una
fija llaParabolas
the
directrix
and
a
fixed
point
called
the
focus
not
on
the
line.
The
midpoint
between
mada directriz y de un punto fijo, fuera de dicha recta, llamado foco. El punto medio entre
the
focus
the directrix
the
line
passing
the
A parabola
is theesset
allvertex,
points
x, ythe
that
are
equidistant
afocus
fixedand
lineel
called
el foco
yand
la directriz
elisof
vértice,
y la and
recta
que
pasa
por elthrough
focofrom
ythe
el vértice
es
eje de
vertex
is
the
axis
of
the
parabola.
Note
in
Figure
10.3
that
a
parabola
is
symmetric
the
directrix
and
a
fixed
point
called
the
focus
not
on
the
line.
The
midpoint
between
la parábola. Obsérvese en la figura 10.3 que la parábola es simétrica respecto de su eje.
with the
respect
its the
axis.directrix is the vertex, and the line passing through the focus and the
focustoand
vertex is the axis of the parabola. Note in Figure 10.3 that a parabola is symmetric
TEOREMA
10.1 toECUACIÓN
with respect
its axis. ESTÁNDAR O CANÓNICA DE UNA PARÁBOLA
THEOREM 10.1 STANDARD EQUATION OF A PARABOLA
La forma estándar o canónica de la ecuación de una parábola con vértice
The
form
the
of a parabola with vertex h, k and
(h, k)standard
y directriz
es EQUATION
y 5ofkSTANDARD
2 pequation
THEOREM
10.1
OF A PARABOLA
directrix y 2 k p is
vertical.
sThe
x 2standard
hd 5 4psform
y 2 kof
d. the equation of a Eje
parabola
with vertex h, k and
x h 2 4p y k .
Vertical axis
directrix
y
k
p
is
Para la directriz x 5 h 2 p, la ecuación es
For directrix2x 2 h p, the equation is
h 4psx4p
Vertical axis
Eje horizontal.
s y 2 xkd 5
2 yhd. k .
y k 2 4p x h .
Horizontal axis
Forse
directrix
x enh el eje
p, the
El foco
encuentra
a p equation
unidadesis(distancia dirigida) del vértice. Las
The
focus
lies
on
the
axis
p
units
(directed
distance) from the vertex. The
coordenadas
sonx las hsiguientes.
2
y delk foco
4p
.
Horizontal axis
coordinates of the focus are as follows.
Eje vertical.
sThe
h, k focus
1 pd lies on the axis p units (directed
distance) from the vertex. The
h,
k p, pkd
Vertical axis
scoordinates
h1
of the focus are as follows. Eje horizontal.
h p, k
Horizontal axis
h, k p
Vertical axis
h p, k
Horizontal axis
Eje
Pa r a b Parábola
o la
A x
Pa r a b o F l a o c u s
Foco d2
d2
(x, y)(x, y)
pd1 d
1 d d
F o c u s
2
d2
V e r t e Vértice
x
(x, y)
d1 d 2
1
p
d1
d2
Di r e c Directriz
trix
V e rte x
d1
p
Figure
10.3 10.3
Figura
Di r e c t r i x
Figure 10.3
EXAMPLE
Finding
Focus
of a parábola
Parabola
EJEMPLO 1 1 Hallar
el the
foco
de una
y
y=
1
2
− x − 12 x 2
y
V ér t i c e
y = 12 − x − 12 x 2 1
)V −ér1,t i 12c )e
p = − 12
1
Foco
p = − 12
−2
−1
)− 1, 12 )
x
Foco
x
−2
−1
−1
−1
Parabola with a vertical axis, p < 0
Figure 10.4
Parábola
p < p0 < 0
Parabolacon
withejea vertical,
vertical axis,
Figura
Figure10.4
10.4
1
1 2
EXAMPLE
Findingdada
thepor
Focus
Find
theelfocus
parabola
given
by y of a Parabola
x
x.
Hallar
foco of
de the
la1 parábola
2
2
1
1 2
Solución
el parabola
foco,
se convierte
canónica
completando el
Find the
focus
of the
given
by ay la forma
x . o estándar
Solution
ToPara
findhallar
the
focus,
convert
to standard
form xby
completing
the square.
2
2
cuadrado.
1
1 2
y 2 x 2x
Write original equation.
Solution To find
the focus, convert to standard form
by completing the square.
1 2x 2
yy 5121 12 1x 2x
Factor
out 12.la ecuación original.
Reescribir
2
x
1
y2
x2
x2
Write original equation.
2y 11 212x x 2 22
Multiply each side by 2.
1
SacarFactor
wQ como
y 5y2 s1 212x 22xx d x 2
outfactor.
.
2y 1 2 x 2 2x
Group terms. 2
2
2
Multiplicar
cada
lado
por
2y 5
2y1 212x2 2
2xx x
Multiply
each
side
by2.2.
2y 2
x
2x 1
Add and subtract 1 on right side.
2
2y 21sx 2 1x 2xd 2x
Group
terms.
Agrupar
términos.
x 2 2x 2y
1 5 1 2y
2
2
2y 2 2 x
2x 1
Add and subtract 1 on right side.
2 5
Sumarinystandard
restar 1 form.
en el lado derecho.
2 22ysx 11 2x 1 1d
x 1 2y
Write
x 2 2x 1
2y 2
x 2 1 2x
1equation
1 5 22ywith
1 2 x h 2 4 p y k , you can conclude that
Comparing
this
x 12
2 y 1
Write in standard form.
sx1,1 1d 2 k5 22
1d
h
1, s y 2and
p 2 12. Expresar en la forma estándar o canónica.
Comparing this equation with x h
4 p y k , you can conclude that
Because p is negative, the parabola opens 2downward,
as shown in Figure 10.4. So, the
Si se compara
esta
x 2 hd p5 4ps y1. 2 kd, se concluye que
h
1, ecuación
k 1, con sand
focus of the parabola is p units from the vertex, or2
k 5 11 theyparabola
h 5 21,p is negative,
p 5opens
2 12. downward, as shown in Figure 10.4. So, the
Because
h, k p
1, 2 .
Focus
focus of the parabola is p units from the vertex, or
Como p es negativo, la parábola se abre hacia abajo, como se muestra en la figura 10.4.
Por tanto,h,elk focop de la parábola
del vértice, o sea
1, 12 . se encuentra a p unidades
Focus
A line segment that passes
through the focus of a parabola and has endpoints on
1
sh, k 1 is
pdcalled
5 s21,
the parabola
a focal
focal chord perpendicular to the axis
2 d. chord. The specificFoco.
of the parabola
is the latus
The next
how to
the on
A line segment
thatrectum.
passes through
theexample
focus ofshows
a parabola
anddetermine
has endpoints
length
the latusisrectum
thechord.
length The
of the
corresponding
intercepted
arc. to the axis
theofparabola
called aand
focal
specific
focal chord
perpendicular
of the parabola is the latus rectum. The next example shows how to determine the
A un segmento de la recta que pasa por el foco de una parábola y que tiene sus extrelength of the latus rectum and the length of the corresponding intercepted arc.
mos en la parábola se le llama cuerda focal. La cuerda focal perpendicular al eje de la
parábola es el lado recto (latus rectum). El ejemplo siguiente muestra cómo determinar
la longitud del lado recto y la longitud del correspondiente arco cortado.
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Longitud de la cuerda focal y longitud de arco
EJEMPLO 2
Encontrar la longitud del lado recto de la parábola dada por x 2 5 4py. Después,
hallar la longitud del arco parabólico cortado por el lado recto.
y
Solución Debido a que el lado recto pasa por el foco (0, p) y es perpendicular al eje y,
las coordenadas de sus extremos son s2x, pd y sx, pd. Al sustituir, en la ecuación de la
parábola, y por p se obtiene
x2 = 4py
x 5 ± 2p.
x 2 5 4ps pd
Lado recto
o latus rectum
(−2p, p)
Entonces, los extremos del lado recto son s22p, pd y s2p, pd, y se concluye que su longitud es 4p, como se muestra en la figura 10.5. En cambio, la longitud del arco cortado es
(2p, p)
x
(0, p)
E
E!
E
2p
Longitud del lado recto o latus rectum: 4p
s5
Figura 10.5
22p
Emplear la fórmula
de longitud del arco.
!1 1 s y9 d2 dx
2p
52
11
0
12px 2
2
y5
dx
x2
4p
y9 5
x
2p
2p
5
5
5
5
<
Fuente de luz
en el foco
1
!4p 2 1 x 2 dx
p 0
2p
1
x!4p 2 1 x 2 1 4p 2 ln x 1 !4p 2 1 x 2
2p
0
1
f2p!8p 2 1 4p 2 lns2p 1 !8p 2 d 2 4p 2 lns2pdg
2p
2p f!2 1 ln s1 1 !2 dg
4.59p.
3
|
|4
Simplificar.
Teorema 8.2.
Una propiedad muy utilizada de la parábola es su propiedad de reflexión. En física, se
dice que una superficie es reflejante o reflectante si la tangente a cualquier punto de la
superficie produce ángulos iguales con un rayo incidente y con el rayo reflejado resultante. El ángulo correspondiente al rayo incidente es el ángulo de incidencia, y el ángulo
correspondiente al rayo que se refleja es el ángulo de reflexión. Un espejo plano es un
ejemplo de una superficie reflejante o reflectante.
Otro tipo de superficie reflejante es la que se forma por revolución de una parábola
alrededor de su eje. Una propiedad especial de los reflectores parabólicos es que permiten
dirigir hacia el foco de la parábola todos los rayos incidentes paralelos al eje. Éste es el
principio detrás del diseño de todos los espejos parabólicos que se utilizan en los telescopios de reflexión. Inversamente, todos los rayos de luz que emanan del foco de una linterna con reflector parabólico son paralelos, como se ilustra en la figura 10.6.
Eje
TEOREMA 10.2 PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE UNA PARÁBOLA
Sea P un punto de una parábola. La tangente a la parábola en el punto P produce
ángulos iguales con las dos rectas siguientes.
Reflector parabólico: la luz se refleja en
rayos paralelos
Figura 10.6
1. La recta que pasa por P y por el foco
2. La recta paralela al eje de la parábola que pasa por P
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SECCIÓN 10.1
699
Cónicas y cálculo
Bettmann/Corbis
Elipses
NICOLÁS COPÉRNICO (1473-1543)
Copérnico comenzó el estudio del
movimiento planetario cuando se le pidió
que corrigiera el calendario. En aquella
época, el uso de la teoría de que la Tierra
era el centro del Universo, no permitía predecir con exactitud la longitud de un año.
Más de mil años después de terminar el periodo alejandrino de la matemática griega,
comienza un renacimiento de la matemática y del descubrimiento científico en la civilización occidental. Nicolás Copérnico, astrónomo polaco, fue figura principal en este renacimiento. En su trabajo Sobre las revoluciones de las esferas celestes, Copérnico sostenía que todos los planetas, incluyendo la Tierra, giraban, en órbitas circulares, alrededor del Sol. Aun cuando algunas de las afirmaciones de Copérnico no eran válidas, la controversia desatada por su teoría heliocéntrica motivó a que los astrónomos buscaran un
modelo matemático para explicar los movimientos del Sol y de los planetas que podían
observar. El primero en encontrar un modelo correcto fue el astrónomo alemán Johannes
Kepler (1571-1630). Kepler descubrió que los planetas se mueven alrededor del Sol, en
órbitas elípticas, teniendo al Sol, no como centro, sino como uno de los puntos focales de
la órbita.
El uso de las elipses para explicar los movimientos de los planetas es sólo una de sus
aplicaciones prácticas y estéticas. Como con la parábola, el estudio de este segundo tipo
de cónica empieza definiéndola como lugar geométrico de puntos. Sin embargo, ahora se
tienen dos puntos focales en lugar de uno.
Una elipse es el conjunto de todos los puntos (x, y), cuya suma de distancias a dos
puntos fijos llamados focos es constante. (Ver la figura 10.7.) La recta que une a los focos
interseca o corta a la elipse en dos puntos, llamados vértices. La cuerda que une a los vértices es el eje mayor, y su punto medio es el centro de la elipse. La cuerda a través del
centro, perpendicular al eje mayor, es el eje menor de la elipse. (Ver la figura 10.8.)
(x, y)
d1
d2
Vértice
Foco
Eje mayor
(h, k)
Foco
Centro
Vértice
Foco
Foco
Eje menor
Figura 10.7
Figura 10.8
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para saber más acerca de cómo “hacer explotar” una elipse
para convertirla en una parábola, consultar al artículo “Exploding the Ellipse” de Arnold Good en
Mathematics Teacher.
TEOREMA 10.3 ECUACIÓN ESTÁNDAR O CANÓNICA DE UNA ELIPSE
La forma estándar o canónica de la ecuación de una elipse con centro (h, k) y longitudes de los ejes mayor y menor 2a y 2b, respectivamente, donde a > b, es
sx 2 hd 2 s y 2 kd2
1
51
a2
b2
El eje mayor es horizontal.
sx 2 hd 2 s y 2 kd2
1
5 1.
b2
a2
El eje mayor es vertical.
o
Si los extremos de una cuerda se atan a los
alfileres y se tensa la cuerda con un lápiz, la
trayectoria trazada con el lápiz será una
elipse
Figura 10.9
Los focos se encuentran en el eje mayor, a c unidades del centro, con c 2 5 a 2 2 b 2.
La definición de una elipse se puede visualizar si se imaginan dos alfileres colocados en
los focos, como se muestra en la figura 10.9.
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
EJEMPLO 3
Completar cuadrados
Encontrar el centro, los vértices y los focos de la elipse dada por
4x 2 1 y 2 2 8x 1 4y 2 8 5 0.
Solución Al completar el cuadrado se puede expresar la ecuación original en la forma
estándar o canónica.
(x − 1)2 (y + 2)2
+
=1
16
4
4x 2 1 y 2 2 8x 1 4y 2 8 5 0
y
2
4x 2
Vértice
2
1 4y 5 8
4sx 2 1d2 1 s y 1 2d 2 5 16
x
−2
Escribir la ecuación original.
4sx 2 2 2x 1 1d 1 s y 2 1 4y 1 4d 5 8 1 4 1 4
Foco
−4
2 8x 1
y2
sx 2 1d2 s y 1 2d2
1
51
4
16
4
Centro
Escribir la forma estándar o canónica.
Así, el eje mayor es paralelo al eje y, donde h 5 1, k 5 22, a 5 4, b 5 2 y
c 5 !16 2 4 5 2!3. Por tanto, se obtiene:
Foco
Centro:
−6
s1, 22d
sh, kd.
sh, k ± ad.
Vértices: s1, 26d y s1, 2d
Vértice
Elipse con eje mayor vertical
Focos:
Figura 10.10
s1, 22 2 2!3 d y s1, 22 1 2!3 d
sh, k ± cd.
La gráfica de la elipse se muestra en la figura 10.10.
NOTA
Si en la ecuación del ejemplo 3, el término constante F 5 28 hubiese sido mayor o igual
a 8, se hubiera obtenido alguno de los siguientes casos degenerados.
1. F 5 8, un solo punto, s1, 22d:
sx 2 1d 2 s y 1 2d 2
1
50
4
16
2. F > 8, no existen puntos solución:
EJEMPLO 4
sx 2 1d 2 s y 1 2d 2
1
< 0
4
16
n
La órbita de la Luna
La Luna gira alrededor de la Tierra siguiendo una trayectoria elíptica en la que el centro
de la Tierra está en uno de los focos, como se ilustra en la figura 10.11. Las longitudes de
los ejes mayor y menor de la órbita son 768 800 kilómetros y 767 640 kilómetros, respectivamente. Encontrar las distancias mayor y menor (apogeo y perigeo) entre el centro de
la Tierra y el centro de la Luna.
Luna
Solución Para comenzar se encuentran a y b.
800
2a 5 768
768,800
Tierra
a 5 384,400
384 400
640
2b 5 767
767,640
383 820
b 5 383,820
Perigeo
Apogeo
Longitud del eje mayor.
Despejar a.
Longitud del eje menor.
Despejar b.
Ahora, al emplear estos valores, se despeja c como sigue.
108
c 5 !a 2 2 b 2 < 21
21,108
Figura 10.11
La distancia mayor entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna es
a 1 c < 405,508
363,292
292 kilómetros.
405 508 kilómetros y la distancia menor es a 2 c < 363
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SECCIÓN 10.1
PARA MAYOR INFORMACIÓN
Para más información acerca de
algunos usos de las propiedades de
reflexión de las cónicas, consultar el
artículo “Parabolic Mirrors, Elliptic
and Hyperbolic Lenses” de Mohsen
Maesumi en The American
Mathematical Monthly. Consultar también el artículo “The Geometry of
Microwave Antennas” de William R.
Paezynski en Mathematics Teacher.
Cónicas y cálculo
701
En el teorema 10.2 se presentó la propiedad de reflexión de la parábola. La elipse tiene
una propiedad semejante. En el ejercicio 112 se pide demostrar el siguiente teorema.
TEOREMA 10.4 PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE LA ELIPSE
Sea P un punto de una elipse. La recta tangente a la elipse en el punto P forma
ángulos iguales con las rectas que pasan por P y por los focos.
Uno de los motivos por el cual los astrónomos tuvieron dificultad para descubrir
que las órbitas de los planetas son elípticas es el hecho de que los focos de las órbitas
planetarias están relativamente cerca del centro del Sol, lo que hace a las órbitas ser
casi circulares. Para medir el achatamiento de una elipse, se puede usar el concepto
de excentricidad.
DEFINICIÓN DE LA EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE
La excentricidad e de una elipse está dada por el cociente
c
e5 .
a
Para ver cómo se usa este cociente en la descripción de la forma de una elipse,
obsérvese que como los focos de una elipse se localizan a lo largo del eje mayor entre los
vértices y el centro, se tiene que
0 < c < a.
En una elipse casi circular, los focos se encuentran cerca del centro y el cociente c/a es
pequeño, mientras que en una elipse alargada, los focos se encuentran cerca de los vértices
y el cociente c/a está cerca de 1, como se ilustra en la figura 10.12. Obsérvese que para
toda elipse 0 < e < 1.
La excentricidad de la órbita de la Luna es e 5 0.0549, y las excentricidades de las
nueve órbitas planetarias son las siguientes.
Focos
Mercurio: e 5 0.2056
a
c
a)
Júpiter:
e 5 0.0484
Venus:
e 5 0.0068
Saturno:
e 5 0.0542
Tierra:
e 5 0.0167
Urano:
e 5 0.0472
Marte:
e 5 0.0934
Neptuno: e 5 0.0086
Por integración se puede mostrar que el área de una elipse es A 5 pab. Por ejemplo,
el área de la elipse
c
es pequeño
a
x2
y2
1 251
2
a
b
Focos
está dada por
a
E
E
a
A54
0
c
5
b)
c
es casi 1
a
c
Excentricidad es el cociente .
a
Figura 10.12
4b
a
b
!a 2 2 x 2 dx
a
py2
a 2 cos 2 u du.
Sustitución trigonométrica x 5 a sen q .
0
Sin embargo, encontrar el perímetro de una elipse no es fácil. El siguiente ejemplo muestra cómo usar la excentricidad para establecer una “integral elíptica” para el perímetro de
una elipse.
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Encontrar el perímetro de una elipse
EJEMPLO 5
Mostrar que el perímetro de una elipse sx 2ya 2d 1 s y 2yb 2d 5 1 es
E
py2
!1 2 e 2 sen
sin 2 u du.
4a
e5
0
c
a
Solución Como la elipse dada es simétrica respecto al eje x y al eje y, se sabe que su
perímetro C es el cuádruplo de la longitud de arco de y 5 sbyad!a 2 2 x 2 en el primer
cuadrante. La función y es diferenciable (o derivable) para toda x en el intervalo f0, ag
excepto en x 5 a. Entonces, el perímetro está dado por la integral impropia
E
E
d
d→a
a
!1 1 s y9 d 2 dx 5 4
C 5 lim
lím 4
0
E!
a
!1 1 s y9 d 2 dx 5 4
0
11
0
b 2x 2
dx.
sa 2 2 x 2d
a2
Al usar la sustitución trigonométrica x 5 a sen
sin u, se obtiene
C54
E
E
E
E
py2
sin
sen u
sa cos ud du
!1 1 ab cos
u
0
py2
54
2
22
2
2
!a 2 cos 2 u 1 b 2 sen
sin 22 u du
0
py2
54
!a 2s1 2 sen
sin 22 ud 1 b 2 sen
sin 22 u du
0
py2
54
ÁREA Y PERÍMETRO DE UNA ELIPSE
!a 2 2 sa2 2 b 2dsen
sin 22 u du.
0
En su trabajo con órbitas elípticas, a
principios del siglo XVII, Johannes Kepler
desarrolló una fórmula para encontrar el
área de una elipse, A 5 pab. Sin embargo,
tuvo menos éxito en hallar una fórmula para
el perímetro de una elipse, para el cual sólo
dio la siguiente fórmula de aproximación
C 5 p sa 1 bd.
Debido a que e 2 5 c 2ya 2 5 sa 2 2 b 2dya 2, se puede escribir esta integral como
E
py2
C 5 4a
!1 2 e 2 sen
sin 22 u du.
0
Se ha dedicado mucho tiempo al estudio de las integrales elípticas. En general dichas
integrales no tienen antiderivadas o primitivas elementales. Para encontrar el perímetro de
una elipse, por lo general hay que recurrir a una técnica de aproximación.
EJEMPLO 6
Aproximar el valor de una integral elíptica
Emplear la integral elíptica del ejemplo 5 para aproximar el perímetro de la elipse
x2
y2
1
5 1.
25 16
y
6
x2 y2
+
=1
25 16
Solución Como e 2 5 c 2ya 2 5 sa 2 2 b 2dya 2 5 9y25, se tiene
E
C 5 s4ds5d
2
0
x
−6
−4
2
−2
py2
4
6
−2
22
Aplicando la regla de Simpson con n 5 4 se obtiene
C < 20
C ≈ 28.36 unidades
sin u
du.
!1 2 9 sen
25
1p6 21142f1 1 4s0.9733d 1 2s0.9055d 1 4s0.8323d 1 0.8g
< 28.36.
−6
Figura 10.13
Por tanto, el perímetro de la elipse es aproximadamente 28.36 unidades, como se muestra
en la figura 10.13.
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SECCIÓN 10.1
Cónicas y cálculo
703
Hipérbolas
(x, y)
d2
d1
Foco
Foco
d2 − d1 es constante
d2 − d1 = 2a
c
La definición de hipérbola es similar a la de la elipse. En la elipse, la suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos es fija, mientras que en la hipérbola, el valor absoluto de la diferencia entre estas distancias es fijo.
Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos (x, y) para los que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. (Ver
la figura 10.14.) La recta que pasa por los dos focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento de recta que une a los vértices es el eje transversal, y el
punto medio del eje transversal es el centro de la hipérbola. Un rasgo distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos ramas separadas.
a
Vértice
Centro
Vértice
TEOREMA 10.5 ECUACIÓN ESTÁNDAR O CANÓNICA DE UNA HIPÉRBOLA
La forma estándar o canónica de la ecuación de una hipérbola con centro sh, kd es
Eje transversal
Figura 10.14
sx 2 hd2 s y 2 kd2
2
51
a2
b2
El eje transversal es horizontal.
s y 2 kd2 sx 2 hd2
2
5 1.
a2
b2
El eje transversal es vertical.
o
Los vértices se encuentran a a unidades del centro y los focos se encuentran a c
unidades del centro, con c2 5 a 2 1 b2.
NOTA
En la hipérbola no existe la misma relación entre las constantes a, b y c, que en la elipse.
En la hipérbola, c2 5 a 2 1 b2, mientras que en la elipse, c2 5 a 2 2 b2.
n
Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola es determinar sus asíntotas, como se ilustra en la figura 10.15. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se cortan
en el centro de la hipérbola. Las asíntotas pasan por los vértices de un rectángulo de
dimensiones 2a por 2b, con centro en (h, k). Al segmento de la recta de longitud 2b que
une sh, k 1 bd y sh, k 2 bd se le conoce como eje conjugado de la hipérbola.
TEOREMA 10.6 ASÍNTOTAS DE UNA HIPÉRBOLA
Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son
b
y 5 k 1 sx 2 hd
a
Asíntota
Eje conjugado
(h, k + b)
(h − a, k)
(h, k)
a
b
y 5 k 2 sx 2 hd.
a
Si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son
a
y 5 k 1 sx 2 hd
b
b
y
y
a
y 5 k 2 sx 2 hd.
b
(h + a, k)
(h, k − b)
Asíntota
Figura 10.15
En la figura 10.15 se puede ver que las asíntotas coinciden con las diagonales del rectángulo de dimensiones 2a y 2b, centrado en (h, k). Esto proporciona una manera rápida
de trazar las asíntotas, las que a su vez ayudan a trazar la hipérbola.
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Uso de las asíntotas para trazar una hipérbola
EJEMPLO 7
Trazar la gráfica de la hipérbola cuya ecuación es 4x 2 2 y 2 5 16.
TECNOLOGÍA Para verificar la
gráfica obtenida en el ejemplo 7 se
puede emplear una herramienta de
graficación y despejar y de la ecuación original para representar gráficamente las ecuaciones siguientes.
y1 5 !4x 2 2 16
y2 5 2 !4x 2 2 16
Solución Para empezar se escribe la ecuación en la forma estándar o canónica.
x2
y2
2
51
4
16
El eje transversal es horizontal y los vértices se encuentran en s22, 0d y s2, 0d. Los
extremos del eje conjugado se encuentran en s0, 24d y s0, 4d. Con estos cuatro puntos, se
puede trazar el rectángulo que se muestra en la figura 10.16a. Al dibujar las asíntotas a
través de las esquinas de este rectángulo, el trazo se termina como se muestra en la figura
10.16b.
y
y
6
6
(0, 4)
4
(−2, 0)
x2
y2
−
=1
4
16
(2, 0)
x
x
−6
4
−4
−6
6
4
−4
6
−4
(0, −4)
−6
−6
a)
b)
Figura 10.16
DEFINICIÓN DE LA EXCENTRICIDAD DE UNA HIPÉRBOLA
La excentricidad e de una hipérbola es dada por el cociente
c
e5 .
a
Como en la elipse, la excentricidad de una hipérbola es e 5 cya. Dado que en la
hipérbola c > a resulta que e > 1. Si la excentricidad es grande, las ramas de la hipérbola son casi planas. Si la excentricidad es cercana a 1, las ramas de la hipérbola son más
puntiagudas, como se muestra en la figura 10.17.
y
y
La excentricidad
es grande
La excentricidad
se acerca a 1
Vértice
Foco
Vértice
Foco
e = ac
c
Foco
Foco
Vértice
Vértice
x
x
e = ac
a
c
a
Figura 10.17
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SECCIÓN 10.1
Cónicas y cálculo
705
La aplicación siguiente fue desarrollada durante la Segunda Guerra Mundial.
Muestra cómo los radares y otros sistemas de detección pueden usar las propiedades de
la hipérbola.
EJEMPLO 8
Dos micrófonos, a una milla de distancia entre sí, registran una explosión. El micrófono A
recibe el sonido 2 segundos antes que el micrófono B. ¿Dónde fue la explosión?
y
Solución Suponiendo que el sonido viaja a 1 100 pies por segundo, se sabe que la
explosión tuvo lugar 2 200 pies más lejos de B que de A, como se observa en la figura
10.18. El lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran 2 200 pies más cercanos
a A que a B es una rama de la hipérbola sx 2ya 2d 2 s y 2yb 2d 5 1, donde
4 000
3 000
2 000
d2
B
d1
A
−2 000
Un sistema hiperbólico de detección
2 000 3 000
−1 000
−2 000
280
2c 5 55280
200
d2 2 d1 5 2a 5 22200
Figura 10.18
c=
1 milla 5 280 pies
=
= 2 640 pies.
2
2
a=
2 200 pies
= 1100 pies
2
x
y
Como c2 5 a 2 1 b2, se tiene que
b2 5 c2 2 a2
5 5 759 600
y se puede concluir que la explosión ocurrió en algún lugar sobre la rama derecha de la
hipérbola dada por
Mary Evans Picture Library
x2
y2
2
5 1.
11,210,000
210 000 55,759,600
759 600
CAROLINE HERSCHEL (1750-1848)
La primera mujer a la que se atribuyó
haber detectado un nuevo cometa fue la
astrónoma inglesa Caroline Herschel.
Durante su vida, Caroline Herschel descubrió ocho cometas.
En el ejemplo 8, sólo se pudo determinar la hipérbola en la que ocurrió la explosión,
pero no la localización exacta de la explosión. Sin embargo, si se hubiera recibido el
sonido también en una tercera posición C, entonces se habrían determinado otras dos
hipérbolas. La localización exacta de la explosión sería el punto en el que se cortan estas
tres hipérbolas.
Otra aplicación interesante de las cónicas está relacionada con las órbitas de los
cometas en nuestro sistema solar. De los 610 cometas identificados antes de 1970, 245
tienen órbitas elípticas, 295 tienen órbitas parabólicas y 70 tienen órbitas hiperbólicas. El
centro del Sol es un foco de cada órbita, y cada órbita tiene un vértice en el punto en el
que el cometa se encuentra más cerca del Sol. Sin lugar a dudas, aún no se identifican
muchos cometas con órbitas parabólicas e hiperbólicas, ya que dichos cometas pasan una
sola vez por nuestro sistema solar. Sólo los cometas con órbitas elípticas como la del
cometa Halley permanecen en nuestro sistema solar.
El tipo de órbita de un cometa puede determinarse de la forma siguiente.
1. Elipse:
2. Parábola:
3. Hipérbola:
v < !2GMyp
v 5 !2GMyp
v > !2GMyp
En estas tres fórmulas, p es la distancia entre un vértice y un foco de la órbita del cometa
(en metros), v es la velocidad del cometa en el vértice (en metros por segundo),
M < 1.989 3 1030 kilogramos es la masa del Sol y G < 6.67 3 1028 metros cúbicos por
kilogramo por segundo cuadrado es la constante de gravedad.
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706
706
706
706
706
706
706
CAPÍTULO
10Conics,
Cónicas,
ecuaciones
paramétricas
y coordenadas
polares
Chapter
10
Parametric
Equations,
and
Polar
Coordinates
Chapter
10
Conics,
Parametric
Equations,
and
Polar
Coordinates
Chapter
10
Parametric
Equations,
and
Polar
Coordinates
Chapter
10 Conics,
Conics,
Parametric
Equations,
and
Polar
Coordinates
Chapter
10
Conics,
Parametric
Equations,
and
Polar
Coordinates
Chapter
10
Conics,
Parametric
Equations,
and
Polar
Coordinates
Chapter
10
Conics,
Parametric
Equations,
and
Polar
Coordinates
Chapter
Conics,
Parametric
Equations,
and
Polar
Coordinates
Chapter
10
Conics,
Parametric
Equations,
and
Polar
Coordinates
Chapter
1010 Conics,
Conics,
Parametric
Equations,
and
Polar
Coordinates
Chapter
10
Parametric
Equations,
and
Polar
Coordinates
Chapter 10
10 Conics,
Conics, Parametric
Parametric Equations,
Equations, and
and Polar
Polar Coordinates
Coordinates
Chapter
Exercises
www.CalcChat.com
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solutions
to odd-numbered
exercises.
10.1
Ejercicios SeeSee
10.1
Exercises
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worked-out
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exercises.
10.1 Exercises
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En10.1
los ejercicios
1 amatch
8, relacionar
laSee
ecuación
con
sugraph.
gráfica.
[Lassolutions
En
los ejercicios
17 find
a 20, the
hallar
el vértice,
eland
focodirectrix
y la directriz
de
See
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Exercises
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exercises.
In
Exercises
1–
8,
the
equation
with
its
[The
Exercises
17–20,
vertex,
focus,
of the
In
Exercises
1–
match
the
equation
with
its
graph.
[The
In
Exercises
17–20,
find
the
vertex,
focus,
and
directrix
the
In
8,8,8,
In
Exercises
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find
the
vertex,
focus,
and
directrix
ofofof
the
InExercises
Exercises1–
1–
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theequation
equationwith
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graph.[The
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In
Exercises
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find
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vertex,
focus,
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the
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with
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graph.
[The
In
Exercises
17–20,
find
the
vertex,
focus,
and
directrix
the
gráficas
están
marcadas
a),(c),
b), (d),
c),
d),
e),(f),
f),with
g) yand
h).]
In
Exercises
1–1–
8,(a),
match
the
equation
its
graph.
[The
graphs
are
labeled
(b),
(e),
(g),
(h).]
graphs
are
labeled
(a),
(b),
(c),
(d),
(e),
(f),
(g),
and
(h).]
In
Exercises
8,
match
the
equation
with
its
graph.
[The
graphs
are
labeled
(a),
(b),
(c),
(d),
(e),
(f),
(g),
and
(h).]
In
Exercises
1–
8,
match
the
equation
with
its
graph.
[The
graphs
are
labeled
(a),
(b),
(c),
(d),
(e),
(f),
(g),
and
(h).]
graphs
are
labeled
(a),
(b),
(c),
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(e),
(f),
(g),
and
(h).]
graphs
are
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(a),
(b),
(c),
(d),
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(f),
(g),
and
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In
Exercises
1–
8,
match
the
equation
with
its
graph.
[The
In
Exercises
1–
8,
match
the
equation
with
its
graph.
[The
graphs
are
labeled
(a),
(b),
(c),
(d),
(e),
(f),
(g),
and
(h).]
y
graphs
are
labeled
(a),
(b),
(c),
(d),
(e),
(f),
(g),
and
(h).] [The
a)
b)
y
y
graphs
are
labeled
(a),
(b),
(c),
(d),
(e),
(f),
(g),
and
(h).]
In
Exercises
1–
8,
match
the
equation
with
its
graph.
[The
graphs
are
labeled
(a),
(b),
(c),
(d),
(e),
(f),
(g),
and
(h).]
In
Exercises
1–
8,
match
the
equation
with
its
graph.
(a)
(b)
graphs
are labeled
(e), (f),yy(g),
yyy and (h).]
yy yyy (a), (b), (c), (d),
(a)
(b)
(a)
(b)
(a)
(b)
(a)
(b)
(a)
(b)
y(g),
y (a),
graphs
are labeled
labeled
(b), (c),
(c), (d),
(d),
(e),
(f),
(g),
and (h).]
(h).]
(a)(a) are
(b)(e),
graphs
(f),
y and
y(a), (b),
8
4
y
y
(b)
y
y
4
(a)
(b)
(a)
(b) 4 444y
88 888y
(a)
(b)
4
686yy
(a)
(b) 224 yy4
668866 8
(a)
(b)
4
486
44686444 6
864
4
64464
x
−8− 8−6−6
4
4
− 2− 2 222 222444 444
−−8−8
8−6
−6 −2
−6
8−−6
−−2−22 2 4
− 8 −6
−−4−24
−8
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−6
−6 −6 −4
−−−−−422−244− 2 222 444
−8
−4
− 4 22 44
− 8 −6
−8
−6
−8
−
4
−
4
−
2
yy−y24
(c)
c)(c)
yy yy
(c)
(c)
(c)
(c)
−−y44
(c)(c)
y
(c)
yyy
(c)
(c)
4 4yy
4
(c)
(c)
44 44
2242
224422 4
42
xx x
x xx
2
− 6−−4
−
4
−
2
−6
−2
422242 22 2444 4666 6 xx
666−4
−
4
−
−−6−6−−4
−
2
2
6
6
4
4
−−44−−2−22
2 22 4 6
x
− 6 −4−4
−2
2 4 6 xxx
−6 −
−−4422−2
2 4 6
−4−444 222 444 666 xx
−−−666−−−444−
−−−4222−
−4
−−66 −−44 −−−−22−444 − 4 22 44 66
−−44
(e)
(e)
e)
y
(e)
(e)
(e)
(e)
(e)(e)
(e)
(e)
(e)
(e)
(e)
4
2
2244222
2
x
4242 2
2
22 44
4
2
22 22 44 44
22
2
4
2
4
−4
222 444
−4−4
−4
−4
−4
−4
2
4
4
2
−4
−4
−4y−4
−4
y y
(d)
d)
(d)
(d)
−4yyyyy
(d) −4
(d)
(d)
(d)(d)
y
(d)
4
(d) 44 444yyy
(d)
4
(d) 2244 yy4
(d)
2244222
2
x
4242 2
2
22 2 44 4 66 6
2
4
6
2 22 4 44 6 66
− 2222
−2
2
4
6
−−2−
−2−22
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−−−−4−2224− 2 22 44 66
−4
−−4−42−44
22 44 66
−4
−22 − 4
−−
−−444
(f(f) )
(ff)
(f)(f(f
) )) −−44 y
(f )
(f(f)))(f )
(f
(f))
(f
x
−8
−4 −2
2 4
−4
−6
−8
y
yy yyy
y
6 y y
66 666yy
6
6 yy6
266
2266222
2
− 6 6 − 2− 2222 2 2 2
6
−−6−
−6−66 −−2−2−22 22 22 66 666 x
−6
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2
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6
−
2
2
6
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222
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− 6− 6
−−−622−6−66 22
−−66
66
−6
−−666 − 6
−
4x4x
1. y22y2 225
25
−4x
4x
1.1.1.
−4x
66
5
1.yyyy5
1.
55
4x
(g)
(g)
(g)
(g)
(g)
(g)
g)
(g)(g)
(g)
(g)
(g)
(g)
(g)
2
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−1
1
3
−2
yy
yyy yy
y
y
4 yyy
444 444
y
y
4
242 4
2224422
2
4242 2
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2
4
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−2
−2
−2
−2
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−2
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2
4
6
−−2
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−2−2
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−2
−2
−2
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−−4−42−44
−4
−2
−2
22 44 66
−4
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−−
−−444
2
2s y y112d2d
2. sx x1
2
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25
25
−−1
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2d
2.2.sxs1
(h)
(h)
(h)
(h)
(h)
(h)
h)
(h)(h)
(h)
(h)
(h)
(h)
(h)
144d4d2d 55
522s2yssyy11
122d2dd
2.sxssxx11
2.
2.
sx2
y22 y52 5
4x 4x
4dd22242 5
2ys 1
y s1
22 d2 2d
1. 1.
2. s2.
s1
x2241
d52ss225
y1dd1221
5
1.
2.
sxsxxssxs2
5
4x
1
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1.
2.
25
2
2 5 22s y 2 2d
xxx2
2
222dd2d2dd2d21
yyyyy211
544x
4x
1
4
2
1
1. syyyxy2221
2.
s
x
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y
1
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1
4
1.
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2
1
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1
3.
4.
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2
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2
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2
2
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1
4
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22
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y
2
2
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4.
s
x
2
2
d
s
y
1
2
2
s
x
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3.3.
4.
144x
522
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3.syyxs2sxx1
4.ssxx 16
1
4d4d2d 55
22
ssyy22
1
5
3.
4.
212s y41 22d25
25
22221
s
y
5
4.
5
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1
4
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1.
2.
16
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2
2
1
1
sx s1x 1
4d2245
22
s
y
2
2
d
1 1
3. 3.
4.
16
16
4
16
4
s
x
2
2
1
1
2
16
4
s
x
2
2
d
s
y
1
1
d
sx2 2
d2 1
d5 22
5
s2
y 22
2d
1
5
22
5
3.
4.
162y16
1 444d2dd2 5
2222
2
1 s1y 14 14d225
51115
1
3. xss2sx2xx21
4. x4.
3.
4.4.
sssyyy 2
22ddd
1
5
221
2
2
2xx
2
16
4
s
2
2
d
s
y
1
1
d
2 yy2y222
2
2
2
2
2
2
2
s
2
2
d
s
y
1
1
d
2
2
2
x
y
16
4
16
4
x
x
y
16
4
5
122
11
5.
6.
xxxx2 11yyy2 5
xxx1
11
5
22
2 22dd
15
5 11
3.
4.
1
4y49ydydy2225
5
1
5
3.
4.
5
111 ssyy 2
5.
6.
y
1
1
5
1
5.5.
6.
1
5
1
5
1
5.s4sxxx42221
6.
1
5
1
5
1
5.
6.
2
2
2
2
16
16
1
5
1
1
5
1
6.
4
x16
216
222 16
222 y5 1 4
x4x244x19y1
y9y29992 y5 5
1
116
5. 45.
6.16
16
16
16
x16
y216
16
x16
xx16
yy16
1
5
1
5
5.
6.
225
1 x2922225
5 111 1
12y1
51y115
12 21
5. yx2422221
6. s6.
1
5.
6.
1
5
xx16
dy16
222
22
4
9
16
16
2
2
4
9
16
x
y
y
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
y
2
2
2
2
y
x
s
x
2
2
d
y
4
9
16
9xss2
yy4yy2 2
xx9xx25
sxs16
22d916
yy11yy2551 1
2
xx1
2
2d2d2d2
1
7.
8.
12
55
5
5.
6.
1
5
5
5.
6.
2
7.
8.
sx 2
216
d222
y 5y5
2
1111111
1 11
7.7.
8.8.
7.16
8.16
2
5
2
7.
8.
221
25
224
25
91
2
2
16
16
x5
s2
x999222
4yy416
9x1x9x221212155
2
222d
222 y21
y
s
x
2
d
y4y22424245
1
2
5 15
1 1
7.16
8.
9
4y2
16
16
s
x
2
2
d
16
9
y
x
s
x
2
d
2
5
1
7.
8.
2
5
1
2
5
7.
8.
16
1
9
4
2
5
1
2
5
7.
8.
2 xx1122 5
7. y16
8. ssxx 2
22 16
11
9dd22 2 y4y4422 5
4 111
9
y
2
2
2
16
9
16
1
9
InIn
Exercises
9–16,
find
the
vertex,
focus,
and
directrix
ofofthe
2 9–16,
59–16,
2
5 11 of
7.Exercises
8.focus,
2
5
11 find
2
5
7.
8.
Exercises
find
the
vertex,
focus,
and
directrix
the
In
the
vertex,
directrix
the
In
Exercises
9–16,
find
the
vertex,
focus,
and
of
the
In
Exercises
9–16,
find
the
vertex,
focus,
and
directrix
of
the
In
Exercises
find
the
vertex,
focus,
and
directrix
of
16 and
4
16
11 9–16,
99 and
4directrix
In
Exercises
9–16,
find
the
vertex,
focus,
and
directrix
of the
thethe
parabola,
sketch
itsfind
graph.
parabola,
and
sketch
its
graph.
In
Exercises
9–16,
the
vertex,
focus,
and
directrix
of
parabola,
and
sketch
its
graph.
In
Exercises
9–16,
find
the
vertex,
focus,
and
directrix
of
the
parabola,
and
sketch
its
graph.
parabola,
and
sketch
its
graph.
parabola,
and
sketch
its
graph.
In
Exercises
9–16,
find
the
vertex,
focus,
and
directrix
of
the
In
Exercises
9–16,
find
the
vertex,
focus,
and
directrix
of
the
parabola,
and
sketch
itshallar
graph.
En
los2 ejercicios
9sketch
a 16,
el vértice,
el foco y la directriz de
and
graph.
2 1 6y
parabola,
and
sketch
its
graph.
In
Exercises
9–16,
find
the
vertex,
and
directrix of
of the
the
parabola,
and
sketch
itsits
graph.
In
Exercises
9–16,
find
the
vertex,
focus,
and
xfocus,
y 225
28x
5 0directrix
9. parabola,
10.
2
parabola,
and
sketch
its
graph.
25
22 1
28x
6y
10.
la
parábola,
y trazar
su
gráfica.
xx2xx2x21
yy2yy2y25
28x
6y
555
00000
9.9.9.
10.
5
28x
1
6y
5
9.
10.
5
28x
1
6y
5
9.
10.
5
28x
1
6y
10.
parabola,
and
sketch
its
graph.
x
y
5
28x
1
6y
5
0
9.
10.
parabola,
and
sketch
its
graph.
25d 1 s y 2 3d2 25 0
26d2 21 8s y 1 7d 5 0
x2x21
sx2x22
11.
12.
x1
y5
5
28x
1
0y 17d75
10.
28x
5
9.
10.
25
22 5
26y
1
55d51
ddd1
1
yyy22
2
662d62dd2d1
1
11.
12.
5
28x
1
6y
9.ssxs9.
10.
55d28x
ssysyss2
33d332d32dd2d5
00000 12.
666y
d6y
8005
0 000
11.
yyyxss2s1
5
1
5
9.
10.
1
1
2
5
2
1
177d7ddd55
5
11.
12.sxsxxxss2s2
xx1
1
1
2
5
xx2
2
1
yy11
5
11.
12.
5
1
80s888sy8ssyssy1
11.
12.
s
x
1
5
d
1
s
y
2
3
d
5
0
s
x
2
6
d
1
1
75
d 750d 05
0
11.
12.
2
2
2
2
2
2
2
2
2235
221
y
y
2
4y
2
4x
5
0
1
6y
8x
1
25
13.
14.
x
y
5
28x
1
6y
5
0
2
2
s
x
1
5
d
1
s
y
2
d
5
0
s
x
2
6
d
1
8
s
y
1
11.
12.
9.
10.
x
y
5
28x
1
6y
5
0
9.
10.
2
2
2
2
s
x
1
5
d
1
s
y
2
3
d
0
s
x
2
6
d
1
8
s
y
1
7
d
5
11.
12.
2
2
2
2
2
5
1
25
13.
14.
1
5d4y
d2
12
sy4x
y4x
2
5 00
2
6d6y
d11
1
sy1
y1
1
75
d5
5
11.
12.
4y
4x
5
0330d00d0 5
6y
8x
25
000000 0
13.
14.
1
54y
1
s4x
2
2
66y
1
888x
s1
1
725
d5
11.
12.
2
4y
2
5
1
6y
1
8x
5
13.yyssxyy2yx22
14.yyssxyy2yx21
2
4y
2
4x
5
1
6y
1
8x
1
25
13.
14.
2
2
5
1
8x
25
13.
14.
y
y
2
4y
2
4x
5
0
1
6y
1
8x
1
25
5
0
13.
14.
2
2
24x
2 4y
yssx2x22221
xss2xx22221
1
4y
43d04d255
00
8x
12
15.
16.
1
y2
2
2
d21
1
y8x
1
d25
5005
0
y1
2
4y
2
4x
05
1
6y
1
1
13.
14.
11.
12.
1
554y
dd1
ss4x
y4x
5
2
666y
d4y
1
888x
ss2
y2
1
775
d5
5
11.
12.
2
4y
2
4x
5
1
6y
8x
1
25
5
13.
14.
2
2y
1
4x
1
4y
2
1
1
8x
2
12
5
15.
16.
2
4y
2
5
1
6y
1
1
25
5
13.
14.
4x
4y
22
434005
000000
4y
11
8x
12
0000000 0
15.
16.
2
2
5
1
25
13.
14.
1
4x1
1
4y
2
455
5
1
4y
1
8x
2
125
5
15.xxyy2yxx22x21
16.yyy2yyy2y21
1
4x
1
4y
2
45
1
4y
1
8x
2
12
5
15.
16.
1
4x
4y
1
4y
8x
2
12
15.
16.
y
x
1
4x
1
4y
2
4
5
0
1
4y
1
8x
2
12
5
0
15.
16.
2
2
2
2
2
2
1
1
8x
5
00 0
y1
x1
1
1
4 05
0 14.
1
4y
1
8x
2
2
4y
2
4x
5
04 5
6y
1
25
13.
14.
yxxyx222 2
2
5
yyyyy2221
5
13.
4x
1
4y
2
5
4y
1
8x
2
12
5
15.
16.
1 4y
4x4x
1 4x
4y4y
2 0442
5
16y
4y1
18x
8x1
225
1212
50005
15.15.
16.16.
1
4x
1
4y
2
00
1
4y
1
8x
2
12
5
15.
16.
22 1
22 1
2
2
y
x
1
4x
1
4y
2
4
5
0
1
4y
1
8x
2
12
5
15.
16.
y
x
4x
1
4y
2
4
5
0
4y
1
8x
2
12
5
0
15.
16.
15. x 1 4x 1 4y 2 4 5 0
16. y 1 4y 1 8x 2 12 5 00
la parábola.
Luego
usar
unavertex,
herramienta
dethe
graficación
In
Exercises
17–20,
the
focus,
and
directrix
of para
thethe
parabola.
Then
use
a afind
graphing
utility
toto
graph
parabola.
parabola.
Then
use
graphing
utility
graph
the
parabola.
In
Exercises
17–20,
find
the
vertex,
focus,
and
directrix
of
parabola.
Then
use
aafind
graphing
utility
to
graph
the
parabola.
In
Exercises
17–20,
find
the
vertex,
focus,
and
directrix
of
the
parabola.
Then
use
agraphing
graphing
utility
to
graph
the
parabola.
parabola.
Then
use
afind
graphing
utility
to
graph
the
parabola.
parabola.
Then
use
utility
to
graph
the
parabola.
In
Exercises
17–20,
the
vertex,
focus,
and
directrix
of the
the
In
Exercises
17–20,
the
vertex,
focus,
and
directrix
of
representar
la
parábola.
parabola.
Then
use
a
graphing
utility
to
graph
the
parabola.
1
parabola.
Then
a graphing
utility
to
graph
the
parabola.
Then
use
aafind
graphing
utility
to
graph
the
parabola.
In
Exercises
17–20,
find
the vertex,
vertex,
focus,
and
directrix
of
the
parabola.
Then
use
graphing
utility
to5graph
graph
the
parabola.
In
Exercises
17–20,
the
directrix
the
yfocus,
5
2
y22y2 221
xThen
11
y y5
0use
s111x1s22x2 222
8x
1parabola.
6d6of
17.
18.
161and
parabola.
use
a
graphing
utility
to
the
parabola.
2
2
y
2
1
x
5
0
2
8x
1
d
17.
18.
22
xxx1
yyy5
00000
sx x22
8x
11
66d66d6ddd
17.
18.
5
1
1
5
2
8x
1
17.yyyyy21
18.yyy5
yyto
5
2
1
xx1
1
yyuse
5
2
8x
1
17.
18.
21
22
5
8x
17.
18.
62
616s66s6sxsxsxx
1
1
5
5
2
2
8x
1
17.
18.
1 the
parabola.
Then
graphing utility
utility
graph
the
parabola.
5
2
1
xThen
1
y45
5
00aa0graphing
2
8x
1
6d0 6d
17.
18.
parabola.
use
graph
parabola.
2 4x
21
22s8y
yyy2y2y222222
2
5
xy2yy2x2to
2x
1
98x
561
19.
20.
2
5
1
x2
1
y5
5
x2
2
17.
18.
11612
5
2
1
x
1
y
5
0
s
x
8x
1
17.
18.
2y
2y2
621
22
2
4x
4
0
2x
1
8y
1
9
19.
20.
5
2
1
x
1
y
s
x
2
8x
1
65
17.
18.
6
y
2
4x
2
4
5
0
x
2
2x
1
8y
1
9
5
0ddd00000
19.
20.
y
5
2
y
1
x
1
y
5
0
s
x
2
8x
1
65
17.
18.
y
2
4x
2
4
5
0
x
2
2x
8y
1
9
19.
20.
6
y
2
4x
2
4
5
0
x
2
2x
1
8y
1
9
5
19.
20.
2
2
4x
2
4
5
0
x
2x
1
8y
1
9
5
19.
20.
6
22
22
y
2
4x
2
4
5
0
x
2
2x
1
8y
1
9
5
19.
20.
1
1 1
yy2222 y1
2
4x
2yy2
45
5
0 0
xy225
222
2x
8y8x
11
95
0 0
19.
20.
2 2
22 2
2
1
x4x1
1
55
s2x
x1
2
8x
1
17.
18.
4x
40005
x2
2
1
8y
96dd05
19.
20.
y
y
x
s
x
6
17.
18.
2 2
25
4x
2
4
x
2x
1
8y
1
9
5
19.
20.
6
6
y
2
2
4
5
0
x
2
2x
8y
1
9
5
19.
20.
y 2 4x 21–28,
221–28,
4 5 find
0 findananequation
x ofthe
2the
2x
1 8y 1 9 5 00
19.
20. of
In
Exercises
parabola.
In
Exercises
equation
parabola.
In
Exercises
21–28,
find
an
equation
of
the
parabola.
In
Exercises
21–28,
find
an
equation
of
the
parabola.
In
Exercises
21–28,
find
an
equation
of
the
parabola.
2
2
2
2
In
21–28,
equation
the
parabola.
EnExercises
los
ejercicios
210find
a 28,an
hallar
una
de8y
parábola.
2
4x 2
2
5
0find
xof 2
2
2x
1
8yla1
1
5 00
19.
20. ecuación
yy 2
4x
44 5
xof
1
99 5
19.
20.
In
Exercises
21–28,
an
equation
the2x
parabola.
In
Exercises
find
equation
of
parabola.
In
Exercises
21–28,
find
an
equation
of
the
parabola.
In
Exercises
21–28,
find
anan
equation
of
thethe
parabola.
s5,
421–28,
d4d find
1d1d
s22,
21.
Vertex:
22.
Vertex:
In
Exercises
21–28,
an
equation
of
the
parabola.
s
5,
22,
s
21.
Vertex:
22.
Vertex:
44d4d44)
11d1d1)
s22,
21.
Vertex:
22.
s(5,
5,
22,
1dd
21.Exercises
Vertex:s5,
22.Vertex:
Vertex:
s21–28,
5,
dd find an equation
22,
ss(22,
21.
Vertex:
22.
Vertex:
ss5,
ss22,
21.
Vertex:
22.
Vertex:
Vértice:
22.
Vértice:
21.
In
of
the parabola.
parabola.
5,
22,
1d d1d
21.
Vertex:
22.
Vertex:
In
Exercises
21–28,
an equation
of
the
s3,
4s4d445,ddd 4d find
21
s22,
Focus:
Focus:
s22,
Vertex:
22.
Vertex:
s
5,
22,
1
d
s
21.
Vertex:
22.
Vertex:
s
3,
22,
21
s
Focus:
Focus:
5,
1
d d ddd
21.21.
Vertex:
22.
Vertex:
s
3,
4
d
22,
21
s
Focus:
Focus:
s
5,
4
d
22,
1
d
s
21.
Vertex:
22.
Vertex:
s
3,
4
d
22,
21
s
Focus:
Focus:
s
3,
4
d
22,
21
s
Focus:
Focus:
Foco:
(3,
4)
Foco:
(22,
21)
ss3,
44dd
21
ss22,
Focus:
Focus:
3,
22,
21
d d
Focus:
Focus:
5,
4dd5dddd4d
22,
1dd21
ss22,
21.
Vertex:
22.
Vertex:
sssss0,
5443,
ss2,
2s22,
d2d21
23.
Vertex:
24.
Focus:
s
Focus:
Focus:
5,
22,
1
s
21.
Vertex:
22.
Vertex:
3,
Focus:
Focus:
s
0,
2,
23.
Vertex:
24.
Focus:
3,
4
22,
21
s
Focus:
Focus:
23.
Vértice:
24.
Foco:
545dd5d55)
22dd22d21
23.
24.
22,
s2,
Focus:
0,
2,
d ddd
23.Vertex:
Vertex:ss0,
24.Focus:
Focus:ss2,
ss(0,
0,
dd
ss2,
23.
Vertex:
24.
Focus:
ss3,
0,
23.
Vertex:
24.
Focus:
0,
5
d
s
2,
2
d
23.23.
Vertex:
24.
Focus:
y45y0,
5
22
Directrix:
Directrix:
22,
21
s22,
Focus:
Focus:
523
d23
222
d22
Vertex:
Focus:
ssss3,
dddd5
21
dd
Focus:
Focus:
0,
2,
23.
Vertex:
24.
23
xx5
5
22
Directrix:
Directrix:
s3,
0,
d5
2,xxsx22x2,
25
d5
23.Directrix:
Vertex:
24.24.
Focus:
Directriz:
Directriz:
yy4sy55
23
Directrix:
0,
sss2,
23.
Vertex:
24.
Focus:
5
23
xdd5
522
22
Directrix:
Directrix:
y5y5
5
23
5
22
Directrix:
Directrix:
23
Directrix:
Directrix:
y
5
23
x
5
22
Directrix:
Directrix:
y
y
s
0,
5
d
s
2,
2
d
23.
Vertex:
24.
Focus:
25.
26.
y
5
23
x
5
22
Directrix:
Directrix:
s
0,
5
d
s
2,
2
d
23.
Vertex:
24.
Focus:
yyy
yyyyy
y
y
5
23
x
5
22
Directrix:
Directrix:
y
y
25.
26.
5
23
x
5
22
Directrix:
Directrix:
25.
26.
y
y
25.
26.
x 5 22
25.Directrix:y y 5 23
26.Directrix:
25.
26.
25.
26.
y
(2,(2,
4)4)
(0,
4) 23
25.25.
26.26.
y (2,
y4)
(2,
4)
y
5
x
5
22
Directrix:
Directrix:
y
y
4)
(0,
4)
y
5
23
x
5
22
Directrix:
Directrix:
(2,
4)
(2,
4)
(0,
y
y
4
(2,
4)
(0,
4)
25.
26.
y (0, 4)
25.
26.444444y
25.
26.
(2, (2,
4) 4)
(0, (0,
4) 4)
(2,
4)
(0,
4)
(2,4)
4)
(0,4)
4)
25.
26. 344 yy4 (2,
25.
26.
3 yy (0,
3
33443333
333333
(2, 4)
4)
(2,
(0, 4)
4)
(0,
2332 3
2443 3
3
2
22322
223332222
2
1332 2
33 2
112221111 (0, 0)
222
(−2,
0)
(2,
0)0)
(4,
0)0)
(0,
0)
(−2,
0)
(4,
(2,
(2,
0)
(0,
0)
(4,
1 (0,
(−2,
0)0)
(2,
0)0)
0)0)
(4,
0)0)
(−2,
0)
(2,
0)
(−2,
(2,
(−2,
(2,
(0,
0)
0)
(4,
0)
(4,
0)
x0)
x0)
(4,
1 (0,
20)
20)
2121 (0,
(−2,(−2,
(2, x(2,
0)
0) 20) 3
(4, x(4,
0)
1 (0,1 (0,
xxxxx0)
xxxxx0)
0)
−1
1
(−2,
0)
(2,
0)
(0,
0)
(4,
0)
x
x
(−2,
0)
(2,
0)
(0,
0)
1
2
3
(4,
0)
−1
1
1
2
3
−1
1
(−2,
0)
(2,
0)
(0,
0)
1
2
3
(4,
0)
−1
1
−1
−1
1 11 2 22 3 33
−1
1 11
x
x
11
10) 2 3
−1 0)
1
xxx
xxx
(−2,
0)
(2,
0)
(0,through
(4,
0)
(−2,
(2,
0)
(0,
1 22 2 33s0,3 3(4,
110)
−1
11 1toto
yd3,d0)
s(3,
3,
44)d4,dy,
27.
Axis
isis−1
parallel
axis;
graph
passes
−1
1
2
3
−1
1
ys
0,
,
s
3,
27.
Axis
parallel
axis;
graph
passes
through
El
eje
es
paralelo
al
eje
y;
la
gráfica
pasa
por
(0,
3),
27.
x
x
x
x
ys
0,
3
d
,
s
3,
4
27.
Axis
is
parallel
to
axis;
graph
passes
through
y-axis;
0,33d3,dd,,s3,
3,4d4,d4,dd,,
27.Axis
Axisisis
isparallel
paralleltoto
toy-yaxis;graph
graphpasses
passesthrough
throughs0,
ss0,
ss3,
27.
Axis
parallel
graph
passes
through
27.
y-axis;
27.27.
Axis
is11
parallel
axis;
graph
passes
s−1
4,
and
11through
22 33 s0,s3
−1
s4,
11
. 11 to to
and
y-axis;
0,d,3sd3,
, s43,d,4d,
Axis
isd.dparallel
graph
passes
through
(4,
s11).
4,
11parallel
d.d.dd.. to
y0,
3,
27.
Axis
is
parallel
to
axis;
graph
passes
through
4,
11
and
ssis
4,
11
and
ss4,
and
y-axis;
0,333ddd,,, sss3,
3,444ddd,,,
27.and
Axis
parallel
to yaxis; graph
graph passes
passes through
through sss0,
27.
Axis
4,iss11
11
. 5d. 22;
and
yd11
s0,
2sd2s3,
28.
Directrix:
endpoints
ofofpasses
latus
rectum
are
and
4,
and
s
4,
11
d
.
and
ys
0,
3
d
,
3,
4and
27.
Axis
is
parallel
to
axis;
graph
passes
through
y
5
22;
s
0,
d
28.
Directrix:
endpoints
latus
rectum
are
s
4,
11
d
.
and
ys
0,
3
d
,
4and
dd,,
27.
Axis
is
parallel
to
axis;
graph
through
y
5
22;
28.
Directriz:
extremos
del
lado
recto
(latus
rectum)
son
22;
s0,
22d2d2dand
28.
ofofof
latus
rectum
are
s4, 11ydy. 5
and
5
22;endpoints
0,
dand
28.Directrix:
Directrix:
endpoints
of
latus
rectum
are
yy55
22;
ss0,
28.
Directrix:
endpoints
latus
rectum
are
and
22;
ss0,
28.
Directrix:
endpoints
latus
rectum
are
y
5
22;
0,
2
d
28.28.
Directrix:
endpoints
of
latus
rectum
are
and
sand
8,
2
d
.
s
4,
11
d
.
and
s
8,
2
d
.
y
5
22;
s
0,
2
d
Directrix:
endpoints
of
latus
rectum
are
s
4,
11
d
.
y
s
0,
2
d
s
8,
2
d
.
s
8,
2
d
.
22;
0,
28.
Directrix:
endpoints
of
latus
rectum
are
and
8, 22dd.. y 5
ss8,
8,
5 22;
22; endpoints
0,222ddd and
28. sDirectrix:
endpoints of
of latus
latus rectum
rectum are
are sss0,
andand
28.
sDirectrix:
8,s228,dd..2d. yy 5
s
8,
2
d
.
y
5
22;
s
0,
2
d
28.
Directrix:
endpoints
of
latus
rectum
are
and
s8,8,22dd.. 29–34,
y 5 22;
s0, 2d and
28.Exercises
endpoints
of
latus
rectum
areeccentricity
sDirectrix:
In
find
the
center,
foci,
vertices,
and
In
Exercises
29–34,
find
the
center,
foci,
vertices,
and
eccentricity
En
los
ejercicios
29
afind
34,
hallar
elfoci,
centro,
el foco,
el
vértice
y la
In
Exercises
find
the
center,
vertices,
and
eccentricity
In
29–34,
the
center,
foci,
vertices,
and
eccentricity
In
Exercises
29–34,
find
the
center,
foci,
vertices,
and
eccentricity
In
Exercises
29–34,
find
the
center,
foci,
vertices,
and
eccentricity
s8,
8,ellipse,
sExercises
22dd.. 29–34,
In
Exercises
29–34,
find
the
center,
foci,
vertices,
and
eccentricity
of
the
and
sketch
its
graph.
of
the
ellipse,
and
sketch
its
graph.
In
Exercises
29–34,
find
the
center,
foci,
vertices,
and
eccentricity
excentricidad
de
la
elipse
y
trazar
su
gráfica.
ofof
the
ellipse,
and
sketch
its
graph.
In
Exercises
29–34,
find
the
center,
foci,
vertices,
and
eccentricity
of
the
ellipse,
and
sketch
its
graph.
of
the
ellipse,
and
sketch
its
graph.
ellipse,
and
sketch
its
graph.
Inthe
Exercises
29–34,
findthe
the
center,
foci,vertices,
vertices,and
andeccentricity
eccentricity
In
Exercises
29–34,
find
foci,
of
the
ellipse,
and
sketch
itscenter,
graph.
of
the
ellipse,
and
sketch
its
graph.
2 1
229–34,
2vertices,
2 5
of
the
ellipse,
and
sketch
its
graph.
In
Exercises
find
the
center,
foci,
vertices,
and
eccentricity
of
the
ellipse,
and
sketch
itscenter,
graph.
In
Exercises
find
the
foci,
and
3x3x
16x
y229–34,
5
1616
1
7y7y
6363eccentricity
29.
30.
2
2
2
2
of
the
ellipse,
and
sketch
its
graph.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
16x
1
y
5
1
5
29.
30.
29.
30.
16x
yyyy2555
16
7y7y
63
29.
30.
3x111
16x
1
5
16
1
7y555
5
63
29.
30.3x
3x
16x
1
16
63
29.
30.
3x
16x
1
16
63
29.
30.
21
of
the
ellipse,
and
sketch
its graph.
graph.
3x223x
16x
1
y2 22and
5
16
12 7y
7y 227y
5
63
29.the
30.30.
of
ellipse,
sketch
s16x
x16x
2
d32222dy1
s2ys16
2
1d1222d222 its
s52ys y63
1
6d6222d222
16x
5
16
1
5
22233
22 1
22 s5
3x
1
5
1
7y
5
29.
30.
222 y
27y
s
x
2
y
2
1
3x
1
y
5
16
1
63
29.29.
30.
s
x
2
d
s
y
2
1
d
y
1
663
3x
16x
1
y
5
16
7y
63
29.
30.
s
x
2
3
d
s
y
2
1
d
s
y
1
s
x
2
3
d
s
y
2
1
d
s
y
1
1
5
1
s
x
1
4
d
1
31.
32.
s
x
2
3
d
s
y
2
1
d
s
y
1
6d66d6dd2d551 1
2
2
2
2
2
2
2
1
5
1
s
x
1
4
d
1
31.
32.
sx 16
2
3d2y21
2
1d225
s y63
1
1111 32.
44d4d47y
1111
31.
1
1
31.16x
32.sxs3x
xx21
d2d11
1
5
31.
32.
21
25
25
25
1y4
2 1
21
31.
32.
2x
22
221
xsxs1
31.
32.
225
3x
16x
y31
5sssyy16
16
1
7y
5
63
29.
30.
s
2
d
s
y25
2
15
d
s
y 61
65
d5
1
5
1
5
29.
30.
16
25
1y4
2
2
s
x
2
3
d
2
1
d
s
y
1
1
5
1
5
1 1
s
1
4
d
1
31.
32.
16
25
1y4
16
25
1y4
16
1y4
s
x
2
3
d
y
2
1
d
s
y
1
2
16
25
1y4
sx22
3d 21
s1y 2
1d 5
1 66ddd2 5
5
1 32.
5
s1
x 41
d1 s1y 1y4
32.
22241
1
s
x
1
d
31.
16
25
1
5
1
s
x
4
d
5
31.31.
32.
1
5
1
5
111
s
x
1
4
d
1
31.
32.
9x
1
4y
1
36x
2
24y
1
36
5
0
33.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
16
25
1y4
2
2
16
25
1y4
s
x
2
3
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s
y
2
1
d
s
y
1
6
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2
2
2
2
s
x
2
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y
2
1
d
s
y
1
6
d
33.
9x
1
4y
1
36x
2
24y
1
36
5
0
2
2
9x
1
4y
1
36x
2
24y
1
36
5
0
33.
16
25
1y4
4y
111
36x
24y
1
3636
5
0 ss00xx 1
33.
16
25222
1y4 5
9x1
1
4y1
1
36x
2
24y
1
36
5
33.9x
9x
4y
36x
24y
1
5
33.
22 1
9x
11
4y
36x
24y
5
33.
2
1
5
5 11
31.
32.
5
111
31.
32.
9x229x
4y
1
1 36
36
5 05
0 5010 44dd 1
33.33.
21
22 36x 2 24y
2 1
25y
64x
1
150y
1
279
16x
34.
16
25
1y4
22
22
2 21
1
36x
2
24y
1
36
16
25
1y4
222
224y
9x
1
4y
36x
2
24y
1
36
5
005
33.
21
236x
21
22
34.
16x
25y
2
64x
1
150y
1
279
5
0000
21
22
1
25y
2
64x
1
150y
1
279
5
16x
34.
9x
1
4y
1
36x
2
24y
1
36
5
33.
25y
64x
1
150y
1
279
0
34.
9x
4y
1
2
24y
1
36
5
0
33.
1
25y
2
64x
1
150y
1
279
5
16x
34.16x
1
25y
2
64x
1
150y
1
279
5
16x
34.
1
25y
2
64x
1
150y
1
279
5
0
16x
34.
2
2 2 64x 1 150y 1 279 5 0
25y
16x
34.34.
24y
2 22
22 2211
22 25y
9x
1
36x
24y
1150y
36
5
33.
1
1
1
0
9x
1
36x
264x
24y
1
36
00279
33.
21
222 2
1
25y
2
1
150y
1
279
5
16x
34.
14y
25y
2 64x
64x
1the
150y
15
279
5 005
0 and
16x16x
34.Exercises
1
25y
1
150y
1
279
5
16x
34.
In
35–38,
find
center,
foci,
vertices
of the
En
los
ejercicios
35 64x
afind
38,
hallar
el
centro,
eland
foco
yvertices
el vértice
de
la
In
Exercises
35–38,
find
the
center,
foci,
and
the
In
Exercises
35–38,
the
center,
foci,
vertices
ofofof
the
In
Exercises
35–38,
find
the
center,
foci,
and
vertices
of
the
In
Exercises
35–38,
find
the
center,
foci,
and
vertices
of
the
2
2
2
2
In
Exercises
35–38,
find
the
center,
foci,
and
vertices
the
1
25y
2
64x
1
150y
1
279
5
0
16x
34.
1
25y
2
64x
1
150y
1
279
5
0
16x
34.
In
Exercises
35–38,
find
the
center,
foci,
and
vertices
of of
thethe
ellipse.
Use
a
graphing
utility
to
graph
the
ellipse.
elipse.
Con
ayuda
de
una
herramienta
de
graficación
represenellipse.
Use
a
graphing
utility
to
graph
the
ellipse.
In
Exercises
35–38,
find
the
center,
foci,
and
vertices
ellipse.
Use
a
graphing
utility
to
graph
the
ellipse.
In
Exercises
35–38,
find
the
center,
foci,
and
vertices
of
the
ellipse.
Use
a
graphing
utility
to
graph
the
ellipse.
ellipse.
Use
a
graphing
utility
to
graph
the
ellipse.
ellipse.
Use
a
graphing
utility
to
graph
the
ellipse.
In
Exercises
35–38,
find
the
center,
foci,
and
vertices
of
the
In
Exercises
find
the to
center,
foci,
and vertices of the
ellipse.
Use
a 35–38,
graphing
utility
graph
thethe
ellipse.
tar
la elipse.
ellipse.
Use
a2 2graphing
utility
to
graph
ellipse.
2Use
ellipse.
aa graphing
graphing
utility
to
graph
the
ellipse.
In
Exercises
35–38,
find
the
center,
foci,
and
vertices of
of the
the
ellipse.
Use
graphing
utility
to
graph
the ellipse.
ellipse.
In
Exercises
35–38,
find
the
center,
and
vertices
12x
1
20y
2
12x
1
40y
2
37
550foci,
35.
2
ellipse.
a
utility
to
graph
the
22Use
222
2
2
2
2
12x
1
20y
2
12x
1
40y
2
37
0
35.
12x
1
20y
12x
1
40y
2
37
5
0
35.
12x
1
20y
2
12x
1
40y
2
37
5
0
35.
12x
1
20y
2
12x
1
40y
2
37
5
0
35.
12x
1
20y
2
12x
1
40y
2
37
5
0
35.
2
2
ellipse.
Use
a
graphing
utility
to
graph
the
ellipse.
12x
1
20y
2
12x
1
40y
2
37
5
0
35.
ellipse.
Use
a
graphing
utility
to
graph
the
ellipse.
2
2
2
2
2
2
221
36x
9y
48x
2
36y
1
4343
537
0 00 0
36.
35.
12x
1
20y
2
12x
1
40y
2
37
5
2
1
2
12x
1
40y
2
35.
212x
2220y
2221
12x
20y
2
12x
1
40y
2
37
5
35.
221
21
22
36x
1
9y
48x
2
36y
1
36.
12x
1
20y
2
12x
1
40y
2
37
35.
36x
9y
48x
22
36y
11
43
555
05000005
36.
12x
20y
2
12x
1
40y
2
37
5
35.
36x
1
9y
1
48x
2
36y
1
43
36.
36x
1
9y
1
48x
2
36y
1
43
5
36.
36x
1
9y
1
48x
36y
43
36.
21
21
36x
9y
48x
2
36y
1
43
5
0000 0
36.
2 2222 1
21
223x
2 21
221
2
x
1
2y
2
4y
0.25
5
0
37.
12x
1
20y
12x
1
40y
2
37
5
35.
36.
36x
1
9y
1
48x
2
36y
1
43
5
2
2
2
2
36x
9y
48x
2
36y
1
43
36.
12x
1
20y
2
12x
1
40y
2
37
5
35.
236x
229y
36x
1
48x
2
36y
1
43
5
36.
22 2
22 22
xx2x21
1
2y
3x
1
4y
1
0.25
5
000 005
37.
1
9y
1
48x
2
36y
155
43
5
0
36.
xx36x
2y
2
3x
1
4y
11
0.25
005
37.
1
9y
1
48x
2
36y
1
43
36.
1
2y
2
3x
1
4y
1
0.25
5
37.
1
2y
2
3x
1
4y
1
0.25
5
37.
1
2y
2
3x
1
4y
0.25
37.
2
xx222 x1
2y
3x
1
4y
1
0.25
5
05
37.
222 2
222 1
222 4.8x
2x
y
1
2
6.4y
1
3.12
0
38.
36x
9y
1
48x
2
36y
1
43
36.
1
2y
2
3x
1
4y
1
0.25
5
0
37.
2
2
2
2y
2
3x
1
4y
1
0.25
5
0
37.
36x
1
9y
1
48x
2
36y
1
43
36.
2
2
2
x
1
2y
2
3x
1
4y
1
0.25
5
0
37.
2
2
2
2
2
2
2x
1
y
1
4.8x
2
6.4y
1
3.12
5
38.
1
2
3x
1
4y
11
0.25
55
37.
2x
y2y
4.8x
224y
6.4y
3.12
00000
38.
xx2x
2y
2
3x
1
1
0.25
5
0055
37.
2x21
1
1
4.8x
2
6.4y
1
3.12
5
38.
1
4.8x
2
6.4y
1
3.12
38.
2x
11
yyyy211
4.8x
6.4y
1
3.12
38.
2x
1
4.8x
2
6.4y
1
3.12
5
00 0
38.
211
22
22y
2 1
22 21
2222
x
3x
1
4y
1
0.25
5
0
2x
1
y
1
4.8x
2
6.4y
1
3.12
5
37.
38.
2
2x
1
y
4.8x
2
6.4y
1
3.12
38.
x
2y
2
3x
1
4y
1
0.25
5
0
37.
2x
1
1
4.8x
2
6.4y
1
3.12
5
38.
2x2 1
1 yyy239–44,
1 4.8x
4.8xfind
2 6.4y
6.4y
1 3.12
3.12 5
5of005
0the ellipse.
38.Exercises
2x
1
2
1
38.
In
ananequation
In
Exercises
39–44,
find
equation
of
the
ellipse.
In
Exercises
an
equation
ofof0of
the
ellipse.
In
Exercises
39–44,
find
an
equation
the
ellipse.
In
Exercises
39–44,
find
an
equation
the
ellipse.
239–44,
In
Exercises
find
an
equation
the
ellipse.
2x22 1
1 yy239–44,
1
4.8xfind
2
6.4y
1
3.12 5
5
0of
38.
2x
1
4.8x
2
6.4y
1
3.12
38.
In
Exercises
39–44,
find
an
equation
of
thethe
ellipse.
En
los
ejercicios
39
a
44,
hallar
una
ecuación
de
In
Exercises
39–44,
find
an
equation
of
ellipse.
In
Exercises
39–44,
find
an
equation
of
the
ellipse.
In
Exercises
39–44,
find
an
equation
of
the
ellipse.
s0,
s
0,
0
d
3la
d, selipse.
8,
3d
39.
Center:
40.
Vertices:
In
Exercises
39–44,
find
an
equation
of
the
ellipse.
sss0,
sss0,
sss8,
39.
Center:
40.
Vertices:
s0,
s0,
00d00d0ddd
33d333,d3,ddsd,,8,
33d33d3ddd
39.
Center:
40.
Vertices:
0,
0,
8,
39.
Center:
40.
Vertices:
0,
0,
8,
39.
Center:
40.
Vertices:
s
s
0,
0,
s,s8,
39.
Center:
40.
Vertices:
In
Exercises
39–44,
find
an
equation
of
the
ellipse.
s
s
0,
0
d
0,
3
d
,
8,
d 3d
39.
Center:
40.
Vertices:
In
Exercises
39–44,
find
an
equation
of
the
ellipse.
3
s
5,
0
d
Focus:
Eccentricity:
0,
0ddd 0d
Centro:
40.
Vértices:
(0,
(8,
3)
39.
333d8,
, s338,
Center:
Vertices:
5,
Focus:
Eccentricity:
sssss0,
0,
0,
39.
Center:
40.
Vertices:
0,
0,s343340,
3343),
8,
39.39.
Center:
40.40.
Vertices:
s5,
00ds0000d0,
Focus:
Eccentricity:
5,
0ddd
Focus:
Eccentricity:
5,
Focus:
Eccentricity:
3dd44d,4,,sss8,
sss5,
sss0,
33ddd
Focus:
Eccentricity:
39.
Center:
40.
Vertices:
3
5,
0
d
Focus:
Eccentricity:
3
sss5,
6,
05,d 0d
Vertex:
Foco:
Excentricidad:
s00)
Focus:
Eccentricity:
0, 33344d3d,, ss48,
8, 33dd
39.Vertex:
Center:
40. Vertices:
Vertices:
ss0,
0,
39.
Center:
40.
ss0,
Vertex:
Focus:
Eccentricity:
5,
Focus:
Eccentricity:
s(5,
s6,
6,
Vertex:
6,
Vertex:
s5,
6,
Vertex:
ss6,
0000d00dd00dd0ddddd
Focus:
Eccentricity:
4
s5,
6,
Vertex:
343
s
3,
1
d
,
s
3,
9
d
0,
±
9
d
s
41.
Vertices:
42.
Foci:
Vértice:
(6,
0)
s
6,
0
d
Vertex:
s
0
d
Focus:
Eccentricity:
ss5,
Focus:
Eccentricity:
ss0s3,
sss3,
sss0,
41.
Vertices:
42.
Foci:
ss6,
6,
Vertex:
Vertex:
3,
1d01ddd11,d1,ddsd,,3,
99d99d9ddd
± 9±
s0,
41.
42.
3,
0,
41.Vertices:
Vertices:
42.Foci:
Foci:
3,
3,
0,
±±
41.
Vertices:
42.
Foci:
s6,
s,3,
9d999d9ddd4d4
ss0,
41.
Vertices:
42.
Foci:
003,
Vertex:
s3,
3,
13,
3,
0,s±±
41.
Vertices:
42.
Foci:
Minor
axis
length:
6993,
Major
axis
length:
2222
s
3,
1dddd,,,,1ssssd3,
3,
96dddd9d
41.
Vértices:
42.
Foco:
(0,
69)
s
,
s
0,
±
9d 22
41.
Vertices:
42.
Foci:
s
6,
0
d
Vertex:
s
6,
0
d
Vertex:
Minor
axis
length:
Major
axis
s
3,
1
0,
±
s
41.
Vertices:
42.
Foci:
s
3,
1
3,
9
0,
±
dlength:
s
41.
Vertices:
42.
Foci:
Minor
axis
length:
6
Major
axis
length:
Minoraxis
axis
length:
Major
axis
22
Minor
axis
Major
axis
length:
22
axis
length:
22
s3,length:
1length:
d, s3, 9666d6
± 999
ddlength:
s0,
41. Minor
Vertices:
42. Major
Foci:
Minor
axis
length:
Major
axis
length:
22 22 22
s
s
0,
0
d
1,
2
d
43.
Center:
44.
Center:
Longitud
del
Longitud
mayor:
Minor
axis
Major
axis
length:
, ss3,
3,menor:
0,
41.
Vertices:
42.
Foci:
3,
101dddddeje
,length:
96966dd 6 6 44.
992dlength:
dlength:
ss0,
41.
Vertices:
42.
Foci:
ss±±
sssss0,
00dlength:
22dd2dddeje
43.
Center:
44.
Center:
Minor
axis
length:
Major
length:
22
Minor
axis
Major
axis
22
saxis
saxis
0,
03,
dlength:
1,
2del
43.
s1,
0,
1,
43.Center:
Center:
44.Center:
Center:
0,
1,
43.
Center:
44.
Center:
s
s
0,
0
1,
43.
Center:
44.
Center:
Minor
Major
axis
22
ss1,
ss0,
00,
dd 0d 6
21,
43.
Center:
44.
Center:
Major
axis:
horizontal
Major
axis:
vertical
0,s0horizontal
0length:
1,svertical
2dddvertical
dvertical
43.
Centro:
44.
Centro:
2d 22
Center:
Center:
Minor
axis
Major
axis
22
Minor
axis
6
Major
axis
Major
Major
axis:
saxis:
0,
1,
43.
Center:
44.
Center:
s1,
s0,
0,
dhorizontal
1,
2length:
43.43.
Center:
44.44.
Center:
Major
axis:
Major
axis:
Major
horizontal
Major
vertical
Major
axis:
horizontal
Major
axis:
Major
axis:
horizontal
Major
axis:
vertical
ssaxis:
saxis:
00length:
ddhorizontal
22length:
dvertical
43.
Center:
44.
Center:
Major
axis:
Major
axis:
Points
on
the
ellipse:
Points
on
the
ellipse:
Eje
mayor:
horizontal
Eje
mayor:
vertical
Major
axis:
horizontal
Major
axis:
vertical
s
s
0,
0
d
1,
2
d
43.
Center:
44.
Center:
son
son
0,
0the
dhorizontal
1,
2the
dvertical
43. Points
Center:
44. Points
Center:
Points
ellipse:
Points
the
ellipse:
Major
axis:
Major
axis:
vertical
Major
axis:
horizontal
Major
axis:
on
the
ellipse:
on
the
ellipse:
Points
on
the
ellipse:
Points
on
ellipse:
Points
on
the
ellipse:
Points
on
the
ellipse:
Points
on
the
ellipse:
Points
on
the
ellipse:
Major
axis:
horizontal
Major
axis:
vertical
Points
on
the
ellipse:
Points
on
the
ellipse:
sMajor
3,
1Points
d1,ds,axis:
4,
0on
dthe
sMajor
1,
6Points
d6,ds,axis:
3,
2on
dthe
Puntos
en
ladhorizontal
elipse:
Puntos
en
ladvertical
elipse:
the
ellipse:
the
ellipse:
Major
axis:
horizontal
Major
axis:
vertical
s
3,
s
4,
0
s
1,
s
3,
2
Points
on
the
ellipse:
Points
on
the
ellipse:
Points
on
ellipse:
Points
on
ellipse:
s3,
1
d
,
s
4,
0
d
s
1,
6
d
,
s
3,
2
d
3,11d1,dd,s,on
4,0the
1,66d6,dd,s,on
3,2the
ss3,
ss4,
0d0dd ellipse:
ss1,
ss3,
2d2dd ellipse:
sPoints
sPoints
1,
ss3,
3,
13,
dd,,1ss4,
4,
04,
dd 0dellipse:
sPoints
1,
61,
dd,,6ss3,
3,
23,
dd 2dellipse:
3,
1
4,
0
s
1,
6
3,
2
s
d
,
s
s
d
,
s
on
the
on
the
Points
on
the
ellipse:
Points
on
the
ellipse:
ssPoints
3,
1
d
,
s
4,
0
d
s
1,
6
d
,
s
3,
2
d
s3,3,11dd,,ss4,4,00dd
ss1,1,66dd,,ss3,3,22dd
3, 11dd,, ss4,
4, 00dd
1, 66dd,, ss3,
3, 22dd
ss3,
ss1,
1059997_1001.qxp 9/2/08
9/2/08 3:49
3:49 PM
PM Page
Page 707
707
1059997_1001.qxp
10-1.qxd 3/12/09
16:44
1059997_1001.qxp
9/2/08
3:49Page
PM 707
Page 707
SECCIÓN
Cónicas
y cálculo
10.110.1Conics
Conics
and Calculus
Calculus
10.1
and
10.1 Conics and Calculus
In los
Exercises
45–52,
find
the center,
center,
foci,
andyvertices
vertices
ofdethe
the
In
Exercises
45–52,
find
the
foci,
and
En
ejercicios
45 a 52,
hallar
el
centro,
el foco
el vérticeof
la
In
Exercises
45–52,
find
theusando
center,
foci,
and vertices
of the
hyperbola,
and
sketch
its graph
graph
using
asymptotes
as an
anayuda.
aid.
hyperbola,
sketch
its
using
as
aid.
hipérbola,
y and
trazar
su gráfica
lasasymptotes
asíntotas
como
hyperbola, and sketch its graph using asymptotes as an aid.
xx22 yy22
xx22
45. yy22 2
46. x 2 2
5 11
2 y2 5
5 11
2 x2 5
45.
46.
45.
46.
9
16 5 1
2
9
25
45. y 2 5 1
46. 25 2 16
9
25 1622
2111dd2d22 sssyyy1
1 22d2d22
1 33dd
2 55dd22
ssxx 2
1
ssyy 1
ssxx 2
2 s y 122dd2 5
5111
2 sx 2 5d2 5
5 11
47. ssxx2
48. s y 1 3d2 2
22
2
5
47.
48.
47.
48.
2
1
d
225 2 64
64 5 1
444
111
2
51
47.
48. 225
4 222
1
225
64
9x2222
2yyy 2
236x
36x2
26y
6y1
118
185
5000
49. 9x
9x
2
2
36x
2
6y
1
18
5
49.
49.
49. 9x222 2 y 2 222 36x 2 6y 1 18 5 0
2 16x
16x 1
1 64x
64x 2
2 208
208 5
5 00
50. yy 2
50.
50.
2 1 64x 2 208 5 0
50. y2222 2 16x
22 1
2
x
2
9y
1
2x
2
54y
2
805
5000
51.
x
2
9y
2x
2
54y
2
80
5
51.
51. x 2 2 9y 2 1 2x 2 54y 2 80
51. x 2222 9y 2221 2x 2 54y 2 80 5 0
9x 2
24y
4y 1
154x
54x1
18y
8y1
178
785
5000
52. 9x
9x
2
4y
1
54x
1
8y
1
78
5
52.
52.
52. 9x 2 2 4y 2 1 54x 1 8y 1 78 5 0
In los
Exercises
5353
56,
find
the el
center,
foci,
andyvertices
vertices
ofdethe
the
In
Exercises
53
––56,
find
the
center,
foci,
and
En
ejercicios
a 56,
hallar
centro,
el foco
el vérticeof
la
In
Exercises
53aa–graphing
56, find utility
the
center,
foci,the
and
vertices and
of the
hyperbola.
Use
graphing
utility
to graph
graph
the
hyperbola
and
its
hyperbola.
Use
to
hyperbola
its
hipérbola.
Trazar
la hipérbola
y sus
asíntotas
con
ayuda de
una
hyperbola.
a graphing utility to graph the hyperbola and its
asymptotes.Use
asymptotes.
herramienta
de graficación.
asymptotes.
9y2222
2xxx2221
12x
2x1
154y
54y1
162
625
5000
53. 9y
9y
2
1
2x
1
54y
1
62
5
53.
53.
53. 9y222 2 x222 1 2x 1 54y 1 62 5 0
9x
2
y
1
54x
1
10y
1
55
5000
54.
9x
2
y
1
54x
1
10y
1
55
5
54.
2
2
54. 9x 22 y 21 54x 1 10y 1 55 5
54. 9x22 2 y 221 54x 1 10y 1 55 5 0
3x2 2
22y
2y2 2
26x
6x2
212y
12y2
227
275
5000
55. 3x
3x
2
2y
2
6x
2
12y
2
27
5
55.
55.
55. 3x 222 2 2y222 2 6x 2 12y 2 27 5 0
3y
2
x
1
6x
2
12y
5
0
56.
3y
2
x
1
6x
2
12y
5
0
56.
2
2
56. 3y 22 x 21 6x 2 12y 5 0
56. 3y 2 x 1 6x 2 12y 5 0
In Exercises
Exercises 57–
57–64,
64, find
find an
an equation
equation of
of the
the hyperbola.
hyperbola.
In
En
ejercicios
64, hallar
una ecuación
de la hipérbola.
In los
Exercises
57–57
64,afind
an equation
of the hyperbola.
1, 00dd
0, ±±44dd
57. Vertices:
Vertices:ss±±1,
58. Vertices:
Vertices: ss0,
57.
58.
58.
57.
s0,64)
± 4d
57. Vértice:
Vertices:s±s±1,1,0d0d
58. Vértice:
Vertices:(0,
5 ±±5x
5x
5 ±±2x
2x
Asymptotes:yy 5
Asymptotes: yy 5
Asymptotes:
Asymptotes:
y 5 y65x
Asíntota:
y 5 y62x
Asíntota:
5 ± 5x
5 ± 2x
Asymptotes:
Asymptotes:
2, ±±33dd
2, ±±33dd
59. Vertices:
Vertices:ss2,
60. Vertices:
Vertices: ss2,
59.
60.
59.
60.
s2,±±3d3d
s2,±±3d3d
59. Vértice:
Vertices:s2,
60. Vértice:
Vertices:s2,
0, 55dd
2, ±±55dd
Point on
on graph:
graph:ss0,
Foci: ss2,
Point
Foci:
Punto
gráfica:
Foco:
s0, 5ds0, 5d
2, ±
± 55dd
Point de
on una
graph:
Foci: ss2,
0, 00dd
0, 00dd
61. Center:
Center:ss0,
62. Center:
Center: ss0,
61.
62.
61.
Centro:
62.
Centro:
s
0,
0
d
s
0,
61. Center: s0, 0d
62. Center: s0,00dd
0, 22dd
6, 00dd
Vertex:ss0,
Vertex: ss6,
Vertex:
Vertex:
0, 22dd
Vértice:
Vértice:
6, 00)d
Vertex: ss0,
Vertex: s(6,
0, 44dd
10, 00dd
Focus:ss0,
Focus: ss10,
Focus:
Focus:
s
0,
4
d
Foco:
Foco:
(10,
Focus: s0, 4d
Focus: s10,0)0d
0, 22dd,, ss6,
6, 22dd
20, 00dd
63. Vertices:
Vertices:ss0,
64. Focus:
Focus: ss20,
63.
64.
63.
64.
0, 22dd,, ss6,
6,2222dd
s20,0)0d
63. Vértices:
Vertices:ss0,
64. Foco:
Focus:(20,
3
5
5 xx
±344xx
Asymptotes:yy2 5
Asymptotes: yy 5
Asymptotes:
Asymptotes:
3 ±
3
y22 5 y3x5 323x
y 5 y±5
Asíntota:
Asíntota:
4x ± x
Asymptotes:
Asymptotes:
3
4
5 44 2
2233xx
yy 5
yy 5
5 44 2
2 32xx
3
In Exercises
Exercises 65
65 and
and 66,
66, find
find equations
equations for
for (a)
(a) the
the tangent
tangent lines
lines
In
En
ejercicios
65 y66,
66,find
hallar
de
las
rectasvalue
tanIn
Exercises
65 and
equations
for (a)
the
tangent
lines
andlos
(b)
the normal
normal
lines
to the
theecuaciones
hyperbola
fora)
the
given
and
(b)
the
lines
to
hyperbola
for
the
given
value
gentes
y
b)
las
rectas
normales
a
la
hipérbola
para
el
valor
dado
and
(b)
the
normal
lines
to
the
hyperbola
for
the
given
value
x.
of x.
of
de
x.
of x.
xx22
yy22 xx222
2 yy222 5
5 1,
1, xx 5
5 66
2xx 2 5
5 1,
1, xx 5
5 44
65. xx22 2
66. yy22 2
65.
66.
9
2
9
65.
66.
2
y
5
1,
x
5
6
2 222 5
5 1,1, xx 5
5 44
65. 9 2 y 5 1, x 5 6
66. 444 2
9
4
2
In Exercises
Exercises 67–76,
67–76, classify
classify the
the graph
graph of
of the
the equation
equation as
as aa
In
En
los
ejercicios
67 an
aan76,
clasificar
gráfica
la ecuación
In
Exercises
67–76,
classify
theaala
graph
ofde
the
equation como
as a
circle,
parabola,
ellipse,
or
hyperbola.
circle,
aa parabola,
ellipse,
or
hyperbola.
circunferencia,
parábola,
elipse
circle, a parabola,
an ellipse,
oroahipérbola.
hyperbola.
1 4y
4y22 2
2 6x
6x 1
1 16y
16y 1
1 21
21 5
5 00
67. xx22 1
67.
67.
1 4y
4y22 2
2 6x
6x 1
1 16y
16y 1
1 21
21 5
5 00
67. xx22 1
4x22 2
2 yy22 2
2 4x
4x 2
2 33 5
5 00
68. 4x
68.
2
2
2
2
68.
4x 2
2yy 2
24x
4x2
2335
500
68. 4x
2 8y
8y 2
2 8x
8x 5
5 00
69. yy22 2
69.
2
8y 2 8x 5 0
69. y 2
69.
25x22 2
2 10x
10x 2
2 200y
200y 2
2 119
119 5
5 00
70. 25x
70.
22 2 10x 2 200y 2 119 5 0
25x
70.
25x
2
10x
2
200y
2
119
5
70.
2 1
2 2
2
2
4x
4y
16y
1
15
5
0
71.
71. 4x 1 4y 2 16y 1 15 5 0 0
4x221
14y
4y222
2 16y1
1 15 5 0
71. 4x
71.
2 4y
4y 5
5 xx 16y
1 55 15 5 0
72. yy22 2
1
72.
2
y
x
1
5
72.
2 222 4y 5
4y9y
522 2
x2136x
5 1
72.
9x21
1
9y
36x
1 6y
6y 1
1 34
34 5
5 00
73. y9x
73.
73. 9x22 1 9y22 2 36x 1 6y 1 34 5 0
2
1 yy6y2
73.
2xssx1
x2
29yyydd 5
5 y36x
yss33 2
2
212x
2x34
74. 9x
2x
dd 5 0
74.
74. 2xsx 2 y2d2 5 ys3 2 y 2 2x2d2
3
s
x
2
1
d
5
6
1
2
s
y
1
1
d
75.
3sx 2 1yd 5
5 y6s3122syy212x
1d
75. 2x
74.
75. 3sx 2 1d2222 5 6 1 2s y 1 1d22 22
1133ddd 5
5636
36
2
y2
2
76. 399ssxsxx2
1
5
2
44yssy1
76.
1
2
s
1
d22dd
75.
76. 9sx 1 3d2 5 36 2 4s y 2 2d2
2
76. 9sx 1 3d 5 36 2 4s y 2 2d2
707
707
707
707
WRRIITTIINNGG AABBOOUUTT CCOONNCCEEPPTTSS
W
Desarrollo
W
R I T I N G A B Ode
U Tconceptos
CONCEPTS
(a) Give
Give the
the definition
definition of
of aa parabola.
parabola.
(a)
a)
definición
de of
parábola.
(a) Dar
Givelathe
definition
a parabola.
h, kkdd..
(b) Give
Givethe
thestandard
standardforms
formsof
ofaaparabola
parabolawith
withvertex
vertexat
atssh,
(b)
b) Dar
estándar
o canónicas
de una
parábola
kd.
(b)
Givelas
theformas
standard
forms of
a parabola with
vertex
at sh, con
(c)
In
your
own
words,
state
the
reflective
property
of aa
(c) vértice
In yourenown
state the reflective property of
sh, kwords,
d.
(c) parabola.
In
your own words, state the reflective property of a
parabola.
c) Expresar,
con sus propias palabras, la propiedad de reparabola.
78. (a)
(a)flexión
Give the
the
definition
of an
an ellipse.
ellipse.
78.
Give
of
dedefinition
una parábola.
78. (a) Give the definition of an ellipse.
h, kkdd..
(b)Dar
Give
the
standardde
forms
of an
an ellipse
ellipse with
with center
center at
atssh,
Give
standard
forms
of
78. (b)
a)
lathe
definición
elipse.
kd.
(b) Dar
Givelas
theformas
standard
forms ofo an
ellipse with
center
at sh, con
b)
estándar
canónicas
de
una
elipse
79. (a)
(a) Give
Give the
the definition
definition of
of aa hyperbola.
hyperbola.
79.
79. (a) centro
Give the
of a hyperbola.
en definition
sstandard
h, kd. forms
(b) Give
Give the
the
standard
forms of
of aa hyperbola
hyperbola with
with center
center at
at
(b)
(b)
Give
the
standard
forms
of a hyperbola with center at
79. a) Dar
h, kla
kdd..definición de hipérbola.
ssh,
sh, klas
d. formas estándar o canónicas de una hipérbola con
b)
(c) Dar
Write equations
equations for
for the
the asymptotes
asymptotes of
of aa hyperbola.
hyperbola.
(c)
Write
centro
sh, kd. for the asymptotes of a hyperbola.
(c) Write en
equations
80. Define
Define the
the eccentricity
eccentricity of
of an
an ellipse.
ellipse. In
In your
your own
own words,
words,
80.
c)
Dar las ecuaciones
deoflasanasíntotas
una
80. describe
Define
eccentricity
ellipse. de
In affect
yourhipérbola.
own
words,
describethe
how
changes in
in the
the eccentricity
eccentricity
affect
the ellipse.
ellipse.
how
changes
the
describelahow
changes in the
eccentricity
affect the ellipse.
80. Definir
excentricidad
de una
elipse. Describir,
con sus
propias palabras, cómo afectan a la elipse las variaciones en
81. Solar
Solar
Collector A
A solar
solar collector
collector for
for heating
heating water
water is
is
la excentricidad.
81.
Collector
81. constructed
Solar
Collector
solar
collectorsteel
for that
heating
waterinto
is
constructed
with aa A
sheet
of stainless
stainless
steel
that
is formed
formed
into
with
sheet
of
is
constructed
with
a sheet of(see
stainless
steel
thatwater
is formed
into
the shape
shape of
parabola
(see
figure).
The
water
flow
aa parabola
figure).
will
flow
Recolector
oofpanel
de energía
solar
UnThe
recolector
owill
panel
de
81. the
the
shape
of
a
parabola
(see
figure).
The
water
will
flow
through solar
pipepara
thatcalentar
is located
located
at the
theconstruye
focus of
of the
the
parabola.
At
through
aa pipe
that
is
at
focus
energía
agua
se
conparabola.
una hojaAt
de
through
a pipefrom
that the
is located
atthe
thepipe?
focus of the parabola. At
what distance
distance
from
vertex
is
the
pipe?
what
vertex
acero
inoxidable
en the
forma
de is
parábola
(ver la figura). El agua
what distance from the vertex is the pipe?
fluye a través de un
mtubo situado en el foco de la parábola. ¿A
66 m
6m
qué distancia del vértice
se encuentra el tubo?
77.
77.
77.
cm
33 cm
3 cm
6m
16 m
m 3 cm
16
16 m
m
11 m
1m
1m
16 m
Notdrawn
drawnto
toscale
scale
Not
Not drawn to scale
Figure for
for 81
81
Figure for
for 82
82
Figure
Figure
Figure for 81
Figure for No
82está dibujado a escala
82. Beam
Beam Deflection
Deflection A
A simply
simply supported
supported beam
beam that
that is
is 16
16 meters
meters
82.
FiguraDeflection
para 81 A simply supported
Figura para
82. long
Beam
beam82
that figure).
is
16 meters
long has
has aa load
load concentrated
concentrated at
at the
the center
center
(see
figure).
The
(see
The
long
has aof
concentrated
at viga
theis
(see figure).
The
deflection
ofload
the
beam
at its
itsUna
center
iscenter
centimeters.
Assume
Deformación
de una
viga
de
metros
deAssume
longitud
82. deflection
the
beam
at
center
33 16
centimeters.
deflection
ofcarga
the
beam
its center
is parabolic.
3 centimeters.
that the
the shape
shape
of the
the
deflected
beamen
is
parabolic.
soporta
una
que
seatconcentra
el
centro (ver laAssume
figura).
that
of
deflected
beam
is
thatviga
the shape
of the en
deflected
beam
is parabolic.
La
se
deforma
la
parte
central
3
centímetros.
Suponer
(a) Find
Find an
an equation
equation of
of the
the parabola.
parabola. (Assume
(Assume that
that the
the origin
origin is
is
(a)
que,at
deformarse,
la
forma de
una
(a)
Find
an
equation
ofviga
the adquiere
parabola.la(Assume
that
theparábola.
origin is
atalthe
the
center
of the
the
beam.)
center
of
beam.)
at the center
of the beam.)
a)
de laof
(Suponer
que
el ori(b) Encontrar
How far
far una
fromecuación
the center
center
ofparábola.
the beam
beam
is the
the deflection
deflection
(b)
How
from
the
the
is
está
en
el
centro
de
la
parábola.)
(b) gen
How
far
from
the
center
of
the
beam
is
the
deflection
centimeter?
11 centimeter?
1 centimeter?
b)
¿A
distancia
del tangent
centro de
lato
viga
de 1 centímetro
la
5 ax
ax22 at
83. Find
Find
anqué
equation
of the
the
tangent
line
to
thees
parabola
at
yy 5
83.
an
equation
of
line
the
parabola
2
deformación
producida?
y
5
ax
83. xFind
an
equation
of
the
tangent
line
to
the
parabola
at
x5
5 xx00.. Prove
x-intercept
Prove that
that the
the xintercept of
of this
this tangent
tangent line
line is
is
x00.0una
that de
thelax-recta
intercept
of athis
tangent yline
is2
sxx05
y2,
5 ax
83. sxHallar
ecuación
tangente
la parábola
dd..Prove
0y2,
sen
x0y2,
Demostrar
quedistinct
la intersección
estato
recta
tangente
xProve
50dx.0. that
84. (a)
(a)
Prove
that any
any two
two
distinct
tangent de
lines
to
parabola
84.
tangent
lines
aa parabola
el
eje
s
x
y2,
0
d
.
x
es
84. con
(a) intersect.
Prove
that
any
two
distinct
tangent
lines
to
a
parabola
intersect. 0
intersect. que dos rectas tangentes distintas cualesquiera a
84. (b)
a)
(b) Demostrar
Demonstrate the
the result
result of
of part
part (a)
(a) by
by finding
finding the
the point
point
Demonstrate
sethe
cortan
o intersecan.
(b) una
Demonstrate
result
of
part (a)lines
by finding
point
of parábola
intersection
of
the
tangent
lines
to the
the the
parabola
of
intersection
of
the
tangent
to
parabola
b) Ilustrar
del
inciso
a)sshallando
el
de intertangent
the
x22 2
2intersection
4xel2
2resultado
4y 5
5 0of
0 at
0,lines
6,punto
atthe
the
points
andto
xof
4x
4y
0,
00dd and
ss6,
33dd.. parabola
the
points
sección
las 5rectas
tangentes
a 0lad and
parábola
x2 2 4x de
2 4y
0 at the
s6, 3d. x 2 2 4x 2
points s0,
85. (a)
(a) Prove
Prove that
that ifif any
any two
two tangent
tangent lines
lines to
to aa parabola
parabola intersect
intersect at
at
85.
en los
puntos
5 0that
stangent
0, 0d y slines
6, 3d.to a parabola intersect at
85. (a) 4y
Prove
if any
twopoint
right angles,
angles,
their
point
of intersection
intersection must
must lie
lie on
on the
the
right
their
of
85. a) Demostrar
que their
si dospoint
rectasoftangentes
a unamust
parábola
se corright
angles,
intersection
lie on
the
directrix.
directrix.
tan
o intersecan en ángulos rectos, su punto de intersección
directrix.
(b) debe
Demonstrate
the
result of
of part
part (a)
(a) by
by proving
proving that
that the
the
(b)
Demonstrate
result
estar en lathe
directriz.
22 2
(b) tangent
Demonstrate
thethe
result
of part
(a)
by4y
proving
that
the
x
2
4x
2
4y
1
8
5
0
tangent
lines
to
the
parabola
at
the
x
4x
2
1
8
5
0
lines
to
parabola
at
the
b) Ilustrar el resultado 55del inciso
a) probando que las
x 22 2 4x
2
4y angles,
1 8 5 and
0 atthat
tangent
lines55dto
the parabola
the
22,
d and
3, 454dd intersect
pointstangentes
and
intersect
at right
right
ss22,
3,
points
rectas
a lassparábola
los
x 2 at
4x
2 4yangles,
1 8 5and
0 enthat
s
22,
5
d
3,
points
and
intersect
at
right
angles,
and
that
s
d
the point
point
of intersection
lies
on the
the
directrix.
the
of
lies
on
puntos
y s3, 54 d 4se
cortan
endirectrix.
ángulo recto y que el
s
22,
5intersection
d
the point of intersection lies on the directrix.
punto de intersección se encuentra en la directriz.
10-1.qxd
3/12/09
708
16:44
Page 708
Chapter 10 10Conics,
Parametric
Equations,
and Polar
Coordinates
CAPÍTULO
Cónicas,
ecuaciones
paramétricas
y coordenadas
polares
86.
point on
graph
of x 2el punto
8y that
is cercano
closest to
the
86. Find
Sobrethe
la gráfica
dethe
más
al foco
x2 5
8y hallar
focus
of the parabola.
de la parábola.
94. Área
Area Hallar
Find a una
formula
for the
area
of thedeshaded
region
in the
94.
fórmula
para
el área
la región
sombreada
figure.
de
la figura.
Año
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
A
280
286
291
298
305
307
317
a) Emplear
funciones
de regresión
una herramienta
gra(a)
Use the las
regression
capabilities
of de
a graphing
utility todefind
2 1 bt 1 c
ficación
hallar
unAmodelo
A5
a modelpara
of the
form
theatdata.
Let t
bt forma
c for
at 2 de la
para
los datos,
donde
t represente
el año y t 5to9 1999.
corresponda
represent
the year,
with
t 9 corresponding
1999.
(b) aUse
a graphing utility to plot the data and graph the model.
b) Emplear una herramienta de graficación para representar los
(c) Find dA dt and sketch its graph for 9 t 15. What
datos y la gráfica del modelo.
information about the average amount of time women
c) Hallar
su gráfica
# graph
t # 15.of ¿Qué
dAydt y dibujar
spent watching
television
is givenpara
by 9the
the
información
derivative? acerca de la cantidad promedio de tiempo que
las mujeres dedicaron a ver televisión proporciona la gráfica
89. Architecture A church window is bounded above by a
de la derivada?
parabola and below by the arc of a circle (see figure). Find the
89. surface
Arquitectura
El ventanal
area of the
window. de una iglesia está limitado en la
parte superior por una parábola, y en la parte inferior por el arco
ft
de una8circunferencia
(ver la figura). Hallar el área de la superParabolic
ficie del ventanal.
supporting cable
4 ft
8 pies
Circle 4 pies
8 ft radius
Radio
8 pies de la
Figure forcircunferencia
89
(60, 20)
Cable parabólico y
de sujeción
x
(60, 20)
x
Figure for 91
90. Arc Length Find the arc length of the parabola 4x
Figura
89
para 91
overpara
the interval
0 y Figura
4.
y2
0
91.
Design
is la
suspended
Longitud
de arcoA cable
Hallaroflaa suspension
longitud debridge
arco de
parábola
90. Bridge
(in
they 2shape
of el
a parabola)
two towers that are 120
intervalo 0between
# y # 4.
4x 2
5 0 en
20 meters
abovede
theunroadway
(see figure).
91. meters
Diseñoapart
de unand
puente
El cable
puente colgante
estáThe
suscables
touch
the
roadway
midway
between
the
towers.
pendido (formando una parábola) de dos torres a 120 metros una
(a)
for de
thealtura
parabolic
of each cable.
de laFind
otraany equation
a 20 metros
sobreshape
la autopista.
Los cables
tocan
la
autopista
en
el
punto
medio
entre
ambas
torres.
(b) Find the length of the parabolic supporting cable.
a) HallarArea
la ecuación
para la
formareceiving
parabólica
deiscada
cable.
92. Surface
A satellite
signal
dish
formed
by
b) Hallar the
la longitud
cable
de suspensión.
revolving
paraboladel
given
byparabólico
the y-axis. The
x 2 20y about
of una
the dish
is r feet.Un
Verify
that the
area satelital
of the
92. radius
Área de
superficie
receptor
de surface
una antena
dish
is given
se forma
porbyrevolución alrededor del eje y de la parábola
x2 5r 20y. El radio del2 plato es r pies. Verificar que el área de la
x
x del
1 plato estádxdada por 100 r 2 3 2 1000 .
2superficie
10
15
0
r
x 2
p
2d3y2 2 11000
2p x
1 1Sketch the
dx 5
fs100
93. Investigation
graphs
of x 21 r 4py
for p 00014g,. 12, 1, 32,
10
15
0
and 2 on the same coordinate axes. Discuss the change in the
93. graphs
Investigación
En el mismo eje de coordenadas trazar las gráas p increases.
ficas de x 2 5 4py con p 5 14, 12, 1, 32, y 2. Analizar la variación
que se presenta en las gráficas a medida que p aumenta.
E
! 1 2
y
y
y
87. Radio
anddeTelevision
ReceptionEn In
areas,la
Recepción
radio y televisión
las mountainous
áreas montañosas,
reception
television suele
is sometimes
poor. Consider
recepción of
deradio
radioand
y televisión
ser deficiente.
Considean
where a en
hillelis represented
by the
of the
raridealized
un casocase
idealizado
que la gráfica
de graph
la parábola
parabola
a transmitter
is punto
located
at 1)the
point
x x 2, una
colina, en el
(21,
se localiy 5 x 2 xy2, representa
is located
otheren
side
the hill
, and a receiver
za 1,
un1transmisor,
y al otro
lado deonlathe
colina,
el of
punto
(x0, at
0),
the
point x0, un
What is ¿Qué
the closest
the receiver
can puede
be to the
0 .receptor.
se encuentra
tan cerca
de la colina
ubihill
while
still maintaining
carse
el receptor
para que launobstructed
señal no se reception?
obstruya?
88. Modeling
Data TheLa
table
shows
the average
amounts
of time
Modelo matemático
tabla
siguiente
muestra las
cantidades
proA
(in minutes)
women
spent watching
each day
for thea
medio
A de tiempo
(en minutos)
por díatelevision
que las mujeres
dedicaron
years
through
2005.
(Source:
Nielsen
Media
Research)
ver la 1999
televisión
de 1999
a 2005.
(Fuente:
Nielsen
Media
Research)
x 22 = 4py
x = 4py
4
1
h
h
−2 − 1
−2 −1
x
x
95.
95.
96.
96.
97.
97.
y
4
1
x
1
1
2
2
3
x
3
Figure for 94
Figure for 96
Figura para 94
Figura para 96
Writing On page 699, it was noted that an ellipse can be
Redacción
página 699 asestring
señalóofque
se puede
una
drawn using En
twolathumbtacks,
fixed
length trazar
(greater
elipse
usando
dosbetween
alfileres,the
una
cuerda
than the
distance
tacks),
anddea longitud
pencil. If fija
the (mayor
ends of a
la
los dos
alfileres)
y un
extremos
thedistancia
string areentre
fastened
at the
tacks and
thelápiz.
stringSiislos
drawn
taut
de
la
cuerda
se
sujetan
a
los
alfileres
y
se
tensa
la
cuerda
con el
with a pencil, the path traced by the pencil will be an ellipse.
lápiz, la trayectoria que recorre el lápiz es una elipse.
(a) What is the length of the string in terms of a?
a) ¿Cuál es la longitud de la cuerda en términos de a?
(b) Explain why the path is an ellipse.
b) Explicar por qué la trayectoria trazada por el lápiz es una
Construction of a Semielliptical Arch A fireplace arch is to be
elipse.
constructed in the shape of a semiellipse. The opening is to have
Construcción
de un
semielíptico
Se va
arco
a height of 2 feet
at arco
the center
and a width
of a5 construir
feet alongelthe
de
una
chimenea
en
forma
de
una
semielipse.
El
claro
debe
tener
base (see figure). The contractor draws the outline of the ellipse
2bypies
alturashown
en el centro
y 5 pies
de ancho
en lathe
base
(ver
the de
method
in Exercise
95. Where
should
tacks
bela
figura).
El constructor
el perfil
de la
elipse
siguiendo el
placed and
what shouldbosqueja
be the length
of the
piece
of string?
método mostrado en el ejercicio 95. ¿Dónde deben colocarse los
Sketch the ellipse that consists of all points x, y such that the
alfileres y cuál debe ser la longitud del trozo de cuerda?
sum of the distances between x, y and two fixed points is
Trazar
la elipse
consta
de todos
16 units,
and theque
foci
are located
at los
the puntos
centers(x,
of y)
thetales
two que
setsla
suma
de
las
distancias
entre
(x,
y)
y
dos
puntos
fijos
es
16
unidaof concentric circles in the figure. To print an enlarged copy of
des,
y los focos
localizan
los centros de los dos conjuntos de
the graph,
go tosethe
websiteenwww.mathgraphs.com.
circunferencias concéntricas que se muestran en la figura.
16 17
14 15
17
12 13
16
11
15
9 10
13 14
8
12
7
10 11
5 6
8 9
3 4
6 7
1 2
5
2 1
3 4
4 3
1 2
1
6 5
2
7
3
9 8
5 4
10
6
11
7
13 12
9 8
15 14
11 10
12
17 16
13
15 14
17 16
98. Orbit of Earth Earth moves in an elliptical orbit with the
at one
the foci. La
TheTierra
length
half of
is
98. sun
Órbita
de of
la Tierra
seof
mueve
enthe
unamajor
órbitaaxis
elíptica
149,598,000
theLa
eccentricity
Findeje
con el Sol enkilometers,
uno de los and
focos.
longitud deis la0.0167.
mitad del
the
minimum
maximum es
distance
mayor
es 149distance
598 000(perihelion)
kilómetros yand
la the
excentricidad
0.0167.
(aphelion)
of Earth from
the sun.
Hallar la distancia
mínima
(perihelio) y la distancia máxima
(afelio) entre
Tierra
y el Sol.
99. Satellite
Orbit la The
apogee
(the point in orbit farthest from
the satélite
perigee (the
point in(elorbit
closest
to Earth)
99. Earth)
Órbitaand
de un
El apogeo
punto
de la órbita
másoflean
elliptical
orbityofel an
Earth(el
satellite
A and
P.
jano
a la Tierra)
perigeo
punto are
de lagiven
órbitabymás
cercano
Show
that thedeeccentricity
of thede
orbit
a la Tierra)
la órbita elíptica
un is
satélite de la Tierra están
dados por A y P. Mostrar que la excentricidad de la órbita es
A P
e
A 2 P.
e 5A P .
A1P
100. Explorer 18 On November 27, 1963, the United States
satellite
Explorer
18. Its Estados
low andUnidos
high
100. launched
Explorerthe
18 research
El 27 de
noviembre
de 1963,
points
the surface
ofpuntos
Earth were
miles
and
lanzó above
el Explorer
18. Sus
bajo 119
y alto
sobre
la 123,000
superficie
miles.
eccentricity
of its yelliptical
de la Find
Tierrathefueron
119 millas
123 000orbit.
millas, respectivamente. Hallar la excentricidad de su órbita elíptica.
1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 709
10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page 709
SECCIÓN
Cónicas
y cálculo
10.110.1Conics
and Calculus
101.
de noviembre
1975,
101. Explorer
Explorer 55
55 ElOn20November
20, de
1975,
theEstados
United Unidos
States
lanzó
el satélite
de investigación
Explorer55.
55.Its
Suslow
puntos
bajo
launched
the research
satellite Explorer
and high
ypoints
alto sobre
superficie
Tierra
fueron
de 96and
millas
y
abovelathe
surface de
of la
Earth
were
96 miles
1865
1miles.
865 millas.
Encontrar
la excentricidad
de su
órbita elíptica.
Find the
eccentricity
of its elliptical
orbit.
Para
C A P S Tdiscusión
ONE
102. Considerar
Consider the
equation
102.
la ecuación
9x2 1 4y2 2 36x 2 24y 2 36 5 0.
a)
la graph
gráfica
ecuación
círculo,
(a)Clasificar
Classify the
of de
the la
equation
as acomo
circle,un
a parabola,
una
parábola,
elipse o una hipérbola.
an ellipse,
or una
a hyperbola.
2-term in
2 Classify
b)
el 4y
término
4y2theenequation
la ecuación
(b)Cambiar
Change the
to 24ypor
. 24y2.
Clasificar
la
gráfica
de
la
nueva
ecuación.
the graph of the new equation.
c)
9x2in
enthe
la ecuación
9x2-term
(c)Cambiar
Change elthetérmino
original original
equationpor
to 4x22.
Clasificar
la gráfica
de the
la nueva
ecuación.
Classify the
graph of
new equation.
d)
se podría
cambiar
ecua(d)Describir
Describeuna
onemanera
way en
youquecould
change
the la
original
ción
original
quegraph
su gráfica
fuera una parábola.
equation
so para
that its
is a parabola.
103. El cometa Halley Quizás el más conocido de todos los come103. tas,
Halley’s
Comet
Probably
mostelíptica
famous
el cometa
Halley,
tiene unathe
órbita
conofelall
Solcomets,
en uno
Halley’s
comet,
has
an
elliptical
orbit
with
the
sun
de sus focos. Se estima que su distancia máxima al Solatesone
de
focus.UA
Its (unidad
maximum
distance from
the sun
is 6approximately
35.29
astronómica
millas) y que
< 92.956
3 10
35.29
AU (1
astronomical
unitUA.
3 excentricidad
106 miles), and
< 92.956
su
distancia
mínima
es de 0.59
Hallar la
de
its
minimum
distance
is
approximately
0.59
AU. Find the
la órbita.
eccentricity of the orbit.
104. La ecuación de una elipse con centro en el origen puede ex104. presarse
The equation of an ellipse with its center at the origin can be
written as 2
y
x2
1
5 1.
y 2 e 2d
ax22 a 2s1 2
1 2
5 1.
2
2
a
a que
s1 2cuando
e d e → 0, y a permanece constante, la elipMostrar
seShow
se aproxima
that as ae una
→ circunferencia.
0, with a remaining fixed, the ellipse
709
709
2
Área
y volumen
108. 9x
1 4y 2 1En
36xlos
2ejercicios
24y 1 36 109
5 0y 110, hallar a) el área de
la región limitada por la elipse, b) el volumen y el área de la
superficie
del sólidoIngenerado
de (a)
la región
alreArea and Volume
Exercisespor
109revolución
and 110, find
the area
of
dedor
de subounded
eje mayor
y c) el volumen
y el
the region
by (esferoide
the ellipse,prolato),
(b) the volume
and surface
área
la superficie
del sólido
generado the
por region
revolución
la
area de
of the
solid generated
by revolving
aboutdeits
región
de su
eje menor
(esferoide
oblato).and surface
major alrededor
axis (prolate
spheroid),
and
(c) the volume
area of2 the 2solid generated by revolving the region about its
y
minorx axis
109.
1 (oblate
5 1 spheroid).
4
1
x2
x 22 yy22
y2
109.
110.
1
1
51
110.
11 5
5 11
4
16
9
16
9
111. Longitud de arco Usar las funciones de integración de una
111. Arc Length Use the integration capabilities of a graphing
herramienta de graficación para aproximar, con una precisión
utility to approximate to two-decimal-place accuracy the
de dos cifras decimales, la integral elíptica que representa el
elliptical integral representing the circumference of the ellipse
perímetro de la elipse
y 22
x 22
1
5 1.
25 49
112.
el teorema10.4
10.4bymostrando
que la
tangente
a una
112. Probar
Prove Theorem
showing that
therecta
tangent
line to
an
elipse
puntoPP makes
forma ángulos
iguales
conlines
las rectas
a traellipseenatun
a point
equal angles
with
through
P
vés
y de(see
los figure).
focos (ver
la figura).
[Sugerencia:
enconand de
thePfoci
[Hint:
(1) Find
the slope of1)the
tantrar
pendiente
de find
la recta
P,lines
2) encontrar
tangentlaline
at P, (2)
the tangente
slopes ofenthe
through las
P and
gentes
de
las
rectas
a
través
de
P
y
cada
uno
de
los
focos
y
3)
each focus, and (3) use the formula for the tangent of the angle
usar
la fórmula
de la tangente del ángulo entre dos rectas.]
between
two lines.]
yy
yy
xx22 yy22
+
=1
aa22 + bb22 = 1
Recta
Tangent
tangente
line
ββ
(x0,,yy0))
PP==(x
0 0
(−a,
(−a, 0)
0)
(0,
(0, 10)
10)
(a,
(a, 0)
0)
αα
xx
x
(−(−c,
c, 0)0)
(c,(c,0)0)
(0,
(0, −10)
−10)
approachesuna
a circle.
105. Considerar
partícula que se mueve en el sentido de las
reloj siguiendo
la trayectoria
elíptica
105. manecillas
Consider adel
particle
traveling clockwise
on the
elliptical path
x22
y2
x 1 y2 5 1.
100 125 5 1.
100 25
La partícula abandona la órbita en el punto s28, 3d y viaja a lo
The particle
leavestangente
the orbitaatlathe
point¿En
and travels
in
s28,
3d punto
largo
de una recta
elipse.
qué
cruzará
straight line
to the ellipse. At what point will the
laa partícula
el ejetangent
y?
particle cross the y- axis?
106. Volumen El tanque de agua de un carro de bomberos mide 16
106. pies
Volume
They water
tank on atransversales
fire truck is 16
feet
long, and
its
de largo,
sus secciones
son
elipses.
Hallar
sections
are ellipses.
volume
of water
in the
elcross
volumen
de agua
que hay Find
en el the
tanque
cuando
está parcialpartially
filled
tank
shownen
in la
thefigura.
figure.
mente
lleno
como
seas
muestra
Figura
112
Figure para
for 112
El área
elipse
presentada
en laisfigura
113.
113. Geometría
Geometry The
areadeoflathe
ellipse
in the figure
twiceestheel
doble
del What
círculo.
longitud
tiene
el eje
mayor?
area ofdel
theárea
circle.
is ¿Qué
the length
of the
major
axis?
114.
114. Conjetura
Conjecture
a)
quethe
la ecuación
elipse puede
(a) Mostrar
Show that
equationde
ofuna
an ellipse
can beexpresarse
written ascomo
2
2
ssxx 2
2 hhdd2 1 ss yy 2
2 kkdd2 5 1.
1
2
2
2 5 1.
aa 2
aa 2ss11 2
2 ee 2dd
5 pies
3 pies
9 pies
In Exercises 107 and 108, determine the points at which dy/dx is
En
losorejercicios
determinar
los puntos
los and
que
zero
does not 107
existyto108,
locate
the endpoints
of the en
major
dy/dx
es
cero,
o
no
existe,
para
localizar
los
extremos
de
los
ejes
minor axes of the ellipse.
mayor y menor de la elipse.
107. 16x 2 1 9y 2 1 96x 1 36y 1 36 5 0
107. 16x 2 1 9y 2 1 96x 1 36y 1 36 5 0
108. 9x 2 1 4y 2 1 36x 2 24y 1 36 5 0
Figura
113
Figure para
for 113
115.
115.
116.
116.
b)
una herramienta
de graficación,
(b) Mediante
Use a graphing
utility to graph
the ellipse representar la
elipse
sx 2 2d2
s y 2 3d2
2 5 1
sx 24 2d2 1 4ssy1 2
2 3ed2d 5 1
1
2
4
4s1 2 e d
for e 5 0.95, e 5 0.75, e 5 0.5, e 5 0.25, and e 5 0.
para e 5 0.95, e 5 0.75, e 5 0.5, e 5 0.25,y e 5 0.
(c) Use the results of part (b) to make a conjecture about the
c) Usar
los in
resultados
inciso
b) para
una conjetura
change
the shapedel
of the
ellipse
as e hacer
approaches
0.
acerca de la variación en la forma de la elipse a medida que
Find an equation of the hyperbola such that for any point on
e se aproxima a 0.
the hyperbola, the difference between its distances from the
Hallar
tal que, para todo punto,
points suna
and s10, de
is hipérbola
6.
2, 2decuación
2d la
la diferencia entre sus distancias a los puntos (2, 2) y (10, 2)
Find an equation of the hyperbola such that for any point on
sea 6.
the hyperbola, the difference between its distances from the
Hallar
de la3hipérbola
points suna
23,ecuación
0d and s23,
d is 2. tal que, para todo punto, la
diferencia entre sus distancias a los puntos (23, 0) y
(23, 3) sea 2.
10-1.qxd
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710
16:44
Page 710
CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
117. Dibujar la hipérbola que consta de todos los puntos (x, y) tales
que la diferencia de las distancias entre (x, y) y dos puntos fijos
sea 10 unidades, y los focos se localicen en los centros de los
dos conjuntos de circunferencias concéntricas de la figura.
9
7 8
5 6
4
3
1 2
17 16
15 14
13
12
10 11
13 14
15 16
17
x2
y2
2 251
2
a
b
en el punto sx0, y0d es sx0ya 2dx 2 s y0yb2dy 5 1.
122. Mostrar que la ecuación de la recta tangente a
2 1
4 3
6 5
7
8
10 9
12 11
123. Mostrar que las gráficas de las ecuaciones se cortan en ángulos
rectos:
2y 2
x2
51
2 1
a
b2
118. Considerar una hipérbola centrada en el origen y con eje transversal horizontal. Emplear la definición de hipérbola para obtener su forma canónica o estándar:
x2
a2
2
2
y
5 1.
b2
x2
2
s
c2
vm2
y2
51
2 vs2 dyvm2
donde vm es la velocidad inicial de la bala y vs es la velocidad del sonido, la cual es aproximadamente 1 100 pies por
segundo.
120. Navegación El sistema LORAN (long distance radio navigation) para aviones y barcos usa pulsos sincronizados emitidos por estaciones de transmisión muy alejadas una de la otra.
Estos pulsos viajan a la velocidad de la luz (186 000 millas por
segundo). La diferencia en los tiempos de llegada de estos pulsos a un avión o a un barco es constante en una hipérbola que
tiene como focos las estaciones transmisoras. Suponer que las
dos estaciones, separadas a 300 millas una de la otra, están
situadas en el sistema de coordenadas rectangulares en
s2150, 0d y s150, 0d y que un barco sigue la trayectoria que
describen las coordenadas sx, 75d. (Ver la figura.) Hallar la
coordenada x de la posición del barco si la diferencia de tiempo entre los pulsos de las estaciones transmisoras es 1 000
microsegundos (0.001 segundo).
y
10
8
6
4
75
Espejo
x
75
−75
−150
Figura para 120
150
x
−10
−4
2y 2
x2
5 1.
2 2
a 2b
b2
2
124. Demostrar que la gráfica de la ecuación
Ax 2 1 Cy 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0
es una de las siguientes cónicas (excepto en los casos degenerados).
Condición
a) Círculo
A5C
b) Parábola
A 5 0 o C 5 0 (pero no ambas)
c) Elipse
AC > 0
d) Hipérbola
AC < 0
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 125 a 130, determinar si la
afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o
dar un ejemplo que demuestre que es falsa.
125. Es posible que una parábola corte a su directriz.
126. En una parábola, el punto más cercano al foco es el vértice.
127. Si C es el perímetro de la elipse
y2
x2
1 2 5 1, b < a
2
a
b
entonces 2pb ≤ C ≤ 2pa.
128. Si D Þ 0 o E Þ 0, entonces la gráfica de y2 2 x2 1 Dx 1 Ey
5 0 es una hipérbola.
129. Si las asíntotas de la hipérbola sx 2ya 2d 2 s y 2yb2d 5 1 se cortan o intersecan en ángulos rectos, entonces a 5 b.
130. Toda recta tangente a una hipérbola sólo corta o interseca a la
hipérbola en el punto de tangencia.
Preparación del examen Putnam
y
150
−150
y
Cónica
119. Localización del sonido Con un rifle posicionado en el punto s2c, 0d se dispara al blanco que se encuentra en el punto
sc, 0d. Una persona escucha al mismo tiempo el disparo del rifle
y el impacto de la bala en el blanco. Demostrar que la persona
se encuentra en una de las ramas de la hipérbola dada por
c 2 vs2yvm2
121. Espejo hiperbólico Un espejo hiperbólico (como los que
usan algunos telescopios) tiene la propiedad de que un rayo de
luz dirigido a uno de los focos se refleja al otro foco. El espejo que muestra la figura se describe mediante la ecuación
sx 2y36d 2 s y 2y64d 5 1. ¿En qué punto del espejo se reflejará
la luz procedente del punto (0, 10) al otro foco?
2 4
−4
−6
−8
−10
Figura para 121
8 10
131. Dado un punto P de una elipse, sea d la distancia del centro de la elipse a la recta tangente a la elipse en P.
Demostrar que sPF1dsPF2dd 2 es constante mientras P varía
en la elipse, donde PF1 y PF2 son las distancias de P a los
focos F1 y F2 de la elipse.
9 2
132. Hallar el valor mínimo de su 2 vd2 1 !2 2 u2 2
v
con 0 < u < !2 y v > 0.
1
2
Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.
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SECCIÓN 10.2
SECCIÓN 10.2
Curvas planas y ecuaciones paramétricas
Curvas planas y ecuaciones paramétricas
711
711
10.2 Curvas planas y ecuaciones paramétricas
n
n
n
n
Trazar la gráfica de una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas.
Eliminar el parámetro en un conjunto de ecuaciones paramétricas.
Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una curva.
Entender dos problemas clásicos del cálculo: el problema de la tautocrona
y el problema de la braquistocrona.
Curvas planas y ecuaciones paramétricas
Hasta ahora, se ha representado una gráfica mediante una sola ecuación con dos variables.
En esta sección se estudiarán situaciones en las que se emplean tres variables para representar una curva en el plano.
Considérese la trayectoria que recorre un objeto lanzado al aire con un ángulo de 45°.
Si la velocidad inicial del objeto es 48 pies por segundo, el objeto recorre la trayectoria
parabólica dada por
Ecuación rectangular:
x2 + x
y = − 72
y
24
2, 24
2 − 16
18
t=1
9
(0, 0)
t=0
x
9
y52
18 27 36 45 54 63 72
Ecuaciones paramétricas:
x = 24 2t
y = −16t2 + 24 2t
Movimiento curvilíneo: dos variables de
posición y una de tiempo
x2
1x
72
Ecuación rectangular.
como se muestra en la figura 10.19. Sin embargo, esta ecuación no proporciona toda la
información. Si bien dice dónde se encuentra el objeto, no dice cuándo se encuentra en un
punto dado (x, y). Para determinar este instante, se introduce una tercera variable t, conocida como parámetro. Expresando x y y como funciones de t, se obtienen las ecuaciones
paramétricas
Figura 10.19
x 5 24!2 t
Ecuación paramétrica para x.
y 5 216t 2 1 24!2 t.
Ecuación paramétrica para y.
y
A partir de este conjunto de ecuaciones, se puede determinar que en el instante t 5 0, el
objeto se encuentra en el punto (0, 0). De manera semejante, en el instante t 5 1, el objeto está en el punto s24!2, 24!2 2 16d, y así sucesivamente. (Más adelante, en la sección 12.3, se estudiará un método para determinar este conjunto particular de ecuaciones
paramétricas, las ecuaciones de movimiento.)
En este problema particular de movimiento, x y y son funciones continuas de t, y a la
trayectoria resultante se le conoce como curva plana.
DEFINICIÓN DE UNA CURVA PLANA
Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces a las ecuaciones
x 5 f std y
y 5 gstd
se les llama ecuaciones paramétricas y a t se le llama el parámetro. Al conjunto de
puntos (x, y) que se obtiene cuando t varía sobre el intervalo I se le llama la gráfica
de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la gráfica, juntas,
es a lo que se llama una curva plana, que se denota por C.
NOTA
Algunas veces es importante distinguir entre una gráfica (conjunto de puntos) y una curva
(los puntos junto con las ecuaciones paramétricas que los definen). Cuando sea importante hacer
esta distinción, se hará de manera explícita. Cuando no sea importante se empleará C para representar la gráfica o la curva, indistintamente.
n
10-2.qxd
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712
16:45
Page 712
CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Cuando se dibuja (a mano) una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas, se trazan puntos en el plano xy. Cada conjunto de coordenadas (x, y) está determinado por un valor elegido para el parámetro t. Al trazar los puntos resultantes de valores crecientes de t, la curva se va trazando en una dirección específica. A esto se le llama la orientación de la curva.
EJEMPLO 1
Trazado de una curva
Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas
t
y5 ,
2
x 5 t2 2 4 y
22 ≤ t ≤ 3.
Solución Para valores de t en el intervalo dado, se obtienen, a partir de las ecuaciones
paramétricas, los puntos (x, y) que se muestran en la tabla.
y
4
2
t=1
t=3
t=2
x
t=0
t = −1
4
t = −2
t
22
21
0
1
2
3
x
0
23
24
23
0
5
y
21
22
0
1
2
1
3
2
6
−2
1
−4
Ecuaciones paramétricas:
x = t2 − 4 y y = t , −2 ≤ t ≤ 3
2
Al trazar estos puntos en orden de valores crecientes de t y usando la continuidad de f y de
g se obtiene la curva C que se muestra en la figura 10.20. Hay que observar las flechas sobre
la curva que indican su orientación conforme t aumenta de 22 a 3.
Figura 10.20
y
NOTA
De acuerdo con el criterio de la recta vertical, puede verse que la gráfica mostrada en la
figura 10.20 no define y en función de x. Esto pone de manifiesto una ventaja de las ecuaciones paramétricas: pueden emplearse para representar gráficas más generales que las gráficas de funciones. n
4
t=
1
2
2
t=1
t=
3
2
x
t=0
1
t=−
2
t = −1
4
A menudo ocurre que dos conjuntos distintos de ecuaciones paramétricas tienen la
misma gráfica. Por ejemplo, el conjunto de ecuaciones paramétricas
6
−2
−4
x 5 4t 2 2 4 y
Ecuaciones paramétricas:
y 5 t, 21 ≤ t ≤
3
3
2
x = 4t2 − 4 y y = t, −1 ≤ t ≤ 2
Figura 10.21
tiene la misma gráfica que el conjunto dado en el ejemplo 1 (ver la figura 10.21). Sin
embargo, al comparar los valores de t en las figuras 10.20 y 10.21, se ve que la segunda
gráfica se traza con mayor rapidez (considerando t como tiempo) que la primera gráfica. Por tanto, en las aplicaciones, pueden emplearse distintas ecuaciones paramétricas
para representar las diversas velocidades a las que los objetos recorren una trayectoria
determinada.
La mayoría de las herramientas de graficación cuenta con un modo
paramétrico de graficación. Se puede emplear uno de estos dispositivos para confirmar
las gráficas mostradas en las figuras 10.20 y 10.21. ¿Representa la curva dada por
TECNOLOGÍA
x 5 4t 2 2 8t
y
y 5 1 2 t, 2 12 ≤ t ≤ 2
la misma gráfica que la mostrada en las figuras 10.20 y 10.21? ¿Qué se observa respecto a la orientación de esta curva?
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SECCIÓN 10.2
Curvas planas y ecuaciones paramétricas
713
Eliminación del parámetro
A encontrar la ecuación rectangular que representa la gráfica de un conjunto de ecuaciones
paramétricas se le llama eliminación del parámetro. Por ejemplo, el parámetro del conjunto de ecuaciones paramétricas del ejemplo 1 se puede eliminar como sigue.
Despejar t de
una de las
ecuaciones
Ecuaciones
paramétricas
x 5 t2 2 4
y 5 ty2
Sustituir en la
otra ecuación
x 5 s2yd 2 2 4
t 5 2y
Ecuación
rectangular
x 5 4y 2 2 4
Una vez eliminado el parámetro, se ve que la ecuación x 5 4y 2 2 4 representa una
parábola con un eje horizontal y vértice en s24, 0d, como se ilustra en la figura 10.20.
El rango de x y y implicado por las ecuaciones paramétricas puede alterarse al pasar
a la forma rectangular. En esos casos, el dominio de la ecuación rectangular debe ajustarse
de manera que su gráfica coincida con la gráfica de las ecuaciones paramétricas. En el
ejemplo siguiente se muestra esta situación.
EJEMPLO 2
Ajustar el dominio después de la eliminación
del parámetro
Dibujar la curva representada por las ecuaciones
y
x5
1
t=3
t=0
−2
1
−1
x
1
!t 1 1
y
y5
t
, t > 21
t11
eliminando el parámetro y ajustando el dominio de la ecuación rectangular resultante.
2
Solución Para empezar se despeja t de una de las ecuaciones paramétricas. Por ejemplo,
se puede despejar t de la primera ecuación.
−1
−2
1
!t 1 1
1
2
x 5
t11
1
t115 2
x
1
1 2 x2
t5 2215
x
x2
x5
t = −0.75
−3
Ecuaciones paramétricas:
x = 1 , y = t , t > −1
t+1
t+1
y
x
1
−1
2
−2
−3
Ecuación rectangular:
Figura 10.22
Despejar t.
y5
t
t11
Ecuación paramétrica para y.
y5
(1 2 x2)yx2
[(1 2 x2)yx2] 1 1
Sustitución de t por s1 2 x 2dyx 2.
−1
y = 1 − x2, x > 0
Elevar al cuadrado cada lado.
Sustituyendo ahora, en la ecuación paramétrica para y, se obtiene
1
−2
Ecuación paramétrica para x.
y 5 1 2 x 2.
Simplificar.
La ecuación rectangular, y 5 1 2 x 2, está definida para todos los valores de x. Sin embargo, en la ecuación paramétrica para x se ve que la curva sólo está definida para t > 21.
Esto implica que el dominio de x debe restringirse a valores positivos, como se ilustra en
la figura 10.22.
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
En un conjunto de ecuaciones paramétricas, el parámetro no necesariamente representa el tiempo. El siguiente ejemplo emplea un ángulo como parámetro.
Emplear trigonometría para eliminar un parámetro
EJEMPLO 3
Dibujar la curva representada por
x 5 3 cos u
y
y 5 4 sen
sin u,
0 # u # 2p
al eliminar el parámetro y hallar la ecuación rectangular correspondiente.
y
π
θ =2
Solución Para empezar se despejan cos u y sen u de las ecuaciones dadas.
3
cos u 5
2
1
θ =π
−4
θ=0
−2
1
−1
2
4
x
x
3
y sen u 5
y
4
Despejar cos u y sen u.
sin 2 u 1 cos 2 u 5 1 para formar una ecuación
A continuación, se hace uso de la identidad sen
en la que sólo aparezcan x y y.
−1
cos2 u 1 sen
sin2 u 5 1
−2
3π
θ= 2
Ecuaciones paramétricas:
x = 3 cos θ , y = 4 sen θ
Ecuación rectangular:
x2 y2
+
=1
9 16
Figura 10.23
13x2 1 14y2
2
−3
2
Identidad trigonométrica.
51
Sustituir.
x2
y2
1
51
9
16
Ecuación rectangular.
En esta ecuación rectangular, puede verse que la gráfica es una elipse centrada en s0, 0d,
con vértices en s0, 4d y s0, 24d y eje menor de longitud 2b 5 6, como se muestra en la
figura 10.23. Obsérvese que la elipse está trazada en sentido contrario al de las manecillas del reloj ya que u va de 0 a 2p .
El empleo de la técnica presentada en el ejemplo 3 permite concluir que la gráfica de
las ecuaciones paramétricas
x 5 h 1 a cos u
y
y 5 k 1 b sen
sin u,
0 # u # 2p
es una elipse (trazada en sentido contrario al de las manecillas del reloj) dada por
sx 2 hd 2 s y 2 kd 2
1
5 1.
a2
b2
La gráfica de las ecuaciones paramétricas
x 5 h 1 a sen
sin u
y
y 5 k 1 b cos u,
0 # u # 2p
también es una elipse (trazada en sentido de las manecillas del reloj) dada por
sx 2 hd 2 s y 2 kd 2
1
5 1.
a2
b2
Emplear una herramienta de graficación en modo paramétrico para elaborar las gráficas
de varias elipses.
En los ejemplos 2 y 3 es importante notar que la eliminación del parámetro es principalmente una ayuda para trazar la curva. Si las ecuaciones paramétricas representan la
trayectoria de un objeto en movimiento, la gráfica sola no es suficiente para describir el
movimiento del objeto. Se necesitan las ecuaciones paramétricas que informan sobre la
posición, dirección y velocidad, en un instante determinado.
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SECCIÓN 10.2
Curvas planas y ecuaciones paramétricas
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Hallar ecuaciones paramétricas
Los primeros tres ejemplos de esta sección ilustran técnicas para dibujar la gráfica que
representa un conjunto de ecuaciones paramétricas. Ahora se investigará el problema
inverso. ¿Cómo determinar un conjunto de ecuaciones paramétricas para una gráfica o una
descripción física dada? Por el ejemplo 1 ya se sabe que tal representación no es única.
Esto se demuestra más ampliamente en el ejemplo siguiente, en el que se encuentran dos
representaciones paramétricas diferentes para una gráfica dada.
Hallar las ecuaciones paramétricas
para una gráfica dada
EJEMPLO 4
Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de y 5 1 2 x 2,
usando cada uno de los parámetros siguientes.
a) t 5 x
b) La pendiente m 5
dy
en el punto sx, yd
dx
Solución
a) Haciendo x 5 t se obtienen las ecuaciones paramétricas
x5t
y 5 1 2 x 2 5 1 2 t 2.
y
b) Para expresar x y y en términos del parámetro m, se puede proceder como sigue.
dy
5 22x
dx
m
x52
2
m5
y
1
m=0
m=2
m = −2
x
−2
−1
m=4
1
Despejar x.
Con esto se obtiene una ecuación paramétrica para x. Para obtener una ecuación
paramétrica para y, en la ecuación original se sustituye x por 2my2.
2
−1
y 5 1 2 x2
−2
m
y512 2
2
2
−3
Derivada de y 5 1 2 x 2.
Escribir la ecuación rectangular original.
1 2
m = −4
y512
2
m2
4
Sustitución de x por 2my2.
Simplificación.
Por tanto, las ecuaciones paramétricas son
Ecuación rectangular: y = 1 − x2
Ecuaciones paramétricas:
m2
m
x=− ,y=1−
4
2
Figura 10.24
x52
m
2
y
y512
m2
.
4
En la figura 10.24 obsérvese que la orientación de la curva resultante es de derecha a
izquierda, determinada por la dirección de los valores crecientes de la pendiente m. En el
inciso a), la curva tenía la orientación opuesta.
Para usar de manera eficiente una herramienta de graficación es
importante desarrollar la destreza de representar una gráfica mediante un conjunto de
ecuaciones paramétricas. La razón es que muchas herramientas de graficación sólo
tienen tres modos de graficación: 1) funciones, 2) ecuaciones paramétricas y 3) ecuaciones polares. La mayor parte de las herramientas de graficación no están programadas
para elaborar la gráfica de una ecuación general. Supóngase, por ejemplo, que se quiere
elaborar la gráfica de la hipérbola x 2 2 y 2 5 1. Para hacer la gráfica de la hipérbola en
el modo función, se necesitan dos ecuaciones: y 5 !x 2 2 1 y y 5 2 !x 2 2 1. En el
modo paramétrico, la gráfica puede representarse mediante x 5 sec t y y 5 tan t.
TECNOLOGÍA
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
CICLOIDES
Galileo fue el primero en llamar la atención
hacia la cicloide, recomendando que se
empleara en los arcos de los puentes. En
cierta ocasión, Pascal pasó ocho días tratando de resolver muchos de los problemas de
las cicloides, problemas como encontrar el
área bajo un arco y el volumen del sólido de
revolución generado al hacer girar la curva
sobre una recta. La cicloide tiene tantas
propiedades interesantes y ha generado tantas disputas entre los matemáticos que se le
ha llamado “la Helena de la geometría” y
“la manzana de la discordia”.
EJEMPLO 5
Ecuaciones paramétricas de una cicloide
Determinar la curva descrita por un punto P en la circunferencia de un círculo de radio a
que rueda a lo largo de una recta en el plano. A estas curvas se les llama cicloides.
Solución Sea u el parámetro que mide la rotación del círculo y supóngase que al inicio el
punto P 5 sx, yd se encuentra en el origen. Cuando u 5 0, P se encuentra en el origen.
Cuando u 5 p, P está en un punto máximo sp a, 2ad. Cuando u 5 2p, P vuelve al eje x en
s2p a, 0d. En la figura 10.25 se ve que /APC 5 1808 2 u. Por tanto,
AC BD
5
a
a
AP
cos u 5 2coss1808 2 u d 5 2coss/APCd 5
2a
sin u 5 sen
sins1808 2 u d 5 sen
sins/APCd 5
sen
lo cual implica que AP 5 2a cos u y BD 5 a sen
sin u.
PARA MAYOR INFORMACIÓN
Para más información acerca de las
cicloides, consultar el artículo “The
Geometry of Rolling Curves” de John
Bloom y Lee Whitt en The American
Mathematical Monthly.
X 5 au. Además, como
Como el círculo rueda a lo largo del eje x, se sabe que OD 5 PD
BA 5 DC 5 a, se tiene
sen u
x 5 OD 2 BD 5 au 2 a sin
y 5 BA 1 AP 5 a 2 a cos u.
Por tanto, las ecuaciones paramétricas son x 5 asu 2 sen
sin u d
y
y 5 as1 2 cos u d.
Cicloide:
x = a(θ − sen θ )
y = a(1 − cos θ)
y
P = (x, y)
(3π a, 2a)
(π a, 2a)
2a
A
a
θ
O
C
B D πa
x
(2πa, 0)
3π a
(4π a, 0)
Figura 10.25
TECNOLOGÍA Algunas herramientas de graficación permiten simular el movimiento de un objeto que se mueve en el plano o en el espacio. Se recomienda usar una de estas
herramientas para trazar la trayectoria de la cicloide que se muestra en la figura 10.25.
La cicloide de la figura 10.25 tiene esquinas agudas en los valores x 5 2np a.
Obsérvese que las derivadas x9su d y y9su d son ambas cero en los puntos en los que u 5 2np.
xsu d 5 asu 2 sen
sin u d
x9su d 5 a 2 a cos u
x9s2npd 5 0
ysu d 5 as1 2 cos u d
y9su d 5 a sen
sin u
y9s2npd 5 0
Entre estos puntos, se dice que la cicloide es suave.
DEFINICIÓN DE UNA CURVA SUAVE
Una curva C representada por x 5 f std y y 5 gstd en un intervalo I se dice que es
suave si f9 y g9 son continuas en I y no son simultáneamente 0, excepto posiblemente
en los puntos terminales de I. La curva C se dice que es suave a trozos si es suave en
todo subintervalo de alguna partición de I.
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SECCIÓN 10.2
Curvas planas y ecuaciones paramétricas
717
Los problemas de la tautocrona y de la braquistocrona
B
A
C
El tiempo que requiere un péndulo para
realizar una oscilación completa si parte
del punto C es aproximadamente el mismo
que si parte del punto A
Figura 10.26
El tipo de curva descrito en el ejemplo 5 está relacionado con uno de los más famosos
pares de problemas de la historia del cálculo. El primer problema (llamado el problema
de la tautocrona) empezó con el descubrimiento de Galileo de que el tiempo requerido
para una oscilación completa de un péndulo dado es aproximadamente el mismo ya sea
que efectúe un movimiento largo a alta velocidad o un movimiento corto a menor velocidad (ver la figura 10.26). Más tarde, Galileo (1564-1642) comprendió que podía emplear este principio para construir un reloj. Sin embargo, no logró llegar a la mecánica necesaria para construirlo. Christian Huygens (1629-1695) fue el primero en diseñar y construir un modelo que funcionara. En su trabajo con los péndulos, Huygens observó que un
péndulo no realiza oscilaciones de longitudes diferentes en exactamente el mismo tiempo. (Esto no afecta al reloj de péndulo porque la longitud del arco circular se mantiene
constante dándole al péndulo un ligero impulso cada vez que pasa por su punto más bajo.)
Pero al estudiar el problema, Huygens descubrió que una pelotita que rueda hacia atrás y
hacia adelante en una cicloide invertida completa cada ciclo en exactamente el mismo
tiempo.
A
The Granger Collection
B
Una cicloide invertida es la trayectoria descendente que una pelotita rodará en el tiempo más corto
Figura 10.27
JAMES BERNOULLI (1654-1705)
James Bernoulli, también llamado Jacques,
era el hermano mayor de John. Fue uno de
los matemáticos consumados de la familia
suiza Bernoulli. Los logros matemáticos de
James le han dado un lugar prominente en el
desarrollo inicial del cálculo.
El segundo problema, que fue planteado por John Bernoulli en 1696, es el llamado
problema de la braquistocrona (en griego brachys significa corto y cronos significa
tiempo). El problema consistía en determinar la trayectoria descendente por la que una
partícula se desliza del punto A al punto B en el menor tiempo. Varios matemáticos se abocaron al problema y un año después el problema fue resuelto por Newton, Leibniz, L’Hôpital, John Bernoulli y James Bernoulli. Como se encontró, la solución no es una recta de A
a B, sino una cicloide invertida que pasa por los puntos A y B, como se muestra en la figura 10.27. Lo sorprendente de la solución es que una partícula, que parte del reposo en cualquier otro punto C, entre A y B, de la cicloide tarda exactamente el mismo tiempo en llegar a B, como se muestra en la figura 10.28.
A
C
B
Una pelotita que parte del punto C tarda el mismo tiempo en llegar al punto B que una que
parte del punto A
Figura 10.28
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para ver una demostración del famoso problema de la braquistocrona, consultar el artículo “A New Minimization Proof for the Brachistochrone” de Gary Lawlor
en The American Mathematical Monthly.
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3:49 PM
PM Page
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CAPÍTULO
Cónicas,
ecuaciones
paramétricas
coordenadas
polares
Chapter 1010 Conics,
Parametric
Equations,
and yPolar
Coordinates
718
718
718
Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates
Chapter
Chapter10
10 Conics,
Conics,Parametric
ParametricEquations,
Equations,and
andPolar
PolarCoordinates
Coordinates
Ejercicios See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
10.2
10.2 Exercises
Exercises See
See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
10.2 Exercises
See
www.CalcChat.com
for worked-out
worked-out solutions
solutions to
totoodd-numbered
odd-numbered exercises.
exercises.
www.CalcChat.com
for
10.2
Exercises
See
www.CalcChat.com
10.2
x
3 exercises.
4 cos
25.odd-numbered
x 5 !t y yfor5worked-out
13 2 t. solutions 25.
1. Considerar las ecuaciones paramétricas
t and y 3 t.
1. Consider the parametric equations x
a)
Construir
una
tabla
de
valores
para
t
5
0,
1,and
2, and
Construct
table of values
for t x 0, 1, t2,
3,
y3 y 4.3 t.
1.(a)Consider
theaparametric
equations
x
t
y
33 t.t. una
1.1. b)
Consider
the
parametric
equations
and
x in
Consider
the points
parametric
equations
Trazar
los
puntos
(x,
y)
generados
la
tabla
yand
dibujar
x, yof
(b)(a)
Plot
the
generated
table,
a
t enthe
0,t and
Construct
a table
values
for
1, 2,y 3,
andsketch
4.
t
0,
(a)
Construct
a
table
of
values
for
1,
2,
3,
and
4.4.
gráfica
de
lastable
ecuaciones
paramétricas.
Indicar
la oriengraph
of
the
parametric
equations.
Indicate
the
orientation
t
0,
(a)(b)
Construct
a
of
values
for
1,
2,
3,
and
Plot the points x, y generated in the table, and sketch a
tación
de points
la gráfica.
ofgraph
the
x,x,yy generated
(b)
the
inin the
table,
of
the parametric
equations.
the sketch
orientation
(b) Plot
Plot
thegraph.
points
generated
theIndicate
table, and
and
sketchaa
graph
of
the
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equations.
Indicate
the
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c)(c)Verificar
la
gráfica
elaborada
en
el
inciso
b)
empleando
Use
a
graphing
utility
to
confirm
your
graph
in
part
(b).una
of
the
graph.
graph of the parametric equations. Indicate the orientation
ofofthe
graph.
herramienta
de graficación.
the
graph.
(d)(c)Find
rectangular
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by eliminating
theinparameter,
Usethe
a graphing
utility
to confirm
your graph
part (b).
(c)
Use
aasketch
graphing
utility
totoconfirm
your
graph
ininpart
(b).
d)
Hallar
la
ecuación
rectangular
mediante
eliminación
del
and
its graph.
Compare
the
graph
in part
(b)
with
the
(c)(d)
Use
graphing
utility
confirm
graph
partparameter,
(b).paFind
the rectangular
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byyour
eliminating
the
rámetro
yrectangular
dibujar
su gráfica.
Comparar
la gráfica
generada
en
graph
of
the
rectangular
equation.
(d)
Find
the
equation
by
eliminating
the
parameter,
andthe
sketch
its graph.
Compare
graph in the
partparameter,
(b) with the
(d) Find
rectangular
equation
by the
eliminating
eland
inciso
b) its
congraph.
la gráfica
de la the
ecuación
rectangular.
2
sketch
Compare
graph
in
part
(b)
with
the
x graph
4 cosin part
y with
2 sinthe.
2. Consider
theofparametric
equations
and (b)
graph
thegraph.
rectangular
equation.
and
sketch
its
Compare
the
graph
the
rectangular
equation.
x 5 4 cos 2 u y y 5
2. Considerar
ecuaciones
paramétricas
graphofoflas
theparametric
rectangular
equation.
x 4 cos 2 and y 2 sin .
2. Consider
the
equations
(a)
a table of values forx 4 cos 22,2 and, y0, 2ysin . .
senConstruct
u.
2.2. 2Consider
2 and
4 y 4 2 sin
2 .
Considerthe
theparametric
parametricequations
equations x 4 cos
, and
, 0, sketch
Construct
a table
valuespara
for in the table,
y .a
a)(b)(a)
Construir
una
tabla
deyof
valores
x,
Plot the points
generated
4
, ,2 , ,0,
(a)
aatable
ofofvalues
for
y4y . .2
(a) Construct
Construct
table
values
for
0, 4orientation
2the
44the
22una a
graph
of
the
parametric
equations.
2 tabla
4 sketch
b) (b)
Trazar
(x,x,y)y generados
en
la
y dibujar
Plotlos
thepuntos
points
generated
inIndicate
table,
and
of
the
graph.
x,
y
(b)
Plot
the
points
generated
in
the
table,
and
sketch
gráfica
de
las
ecuaciones
paramétricas.
Indicar
la
orientax,
y
graph
the parametric
equations.
the orientation
(b) Plot
the of
points
generated
in theIndicate
table, and
sketch aa
graph
of
the
Indicate
la
gráfica.
(c)ción
Use
graphing
utility toequations.
confirm your
graphthe
inorientation
part (b).
ofdeathe
graph.
graph
of
the parametric
parametric
equations.
Indicate
the
orientation
ofofthe
graph.
thethe
graph.
c)(d)(c)
Verificar
gráfica elaborada
enbyeleliminating
inciso
empleando
una
Find
rectangular
equation
theinparameter,
Use
alagraphing
utility
to confirm
your b)
graph
part (b).
(c)
Use
a
graphing
utility
totoconfirm
your
graph
ininpart
(b).
herramienta
and
sketch
its graficación.
graph.
the
graph
in part
(b)
with
(c)(d)Use
a graphing
utilityCompare
confirm
graph
partparameter,
(b). the
Find
the de
rectangular
equation
byyour
eliminating
the
graph
ofrectangular
the rectangular
equation.
(d)
Find
the
equation
by
eliminating
the
parameter,
d)
lasketch
ecuación
rectangular
mediante
la in
eliminación
delthe
and
its graph.
Compare
the
graph
part
(b) with
(d)Hallar
Find
the
rectangular
equation
by
eliminating
the
parameter,
and
sketch
its
graph.
Compare
the
graph
in
part
(b)
yofdibujar
suselected
gráfica.
Comparar
la
generada
2,
3 the
2
(e)parámetro
If graph
values
were
from
the interval
of
thegraph.
rectangular
equation.
and
sketch
its
Compare
the graph
in gráfica
part (b)with
with
the
graph
ofofthe
rectangular
equation.
en
elIf inciso
b)of
con
la gráfica
de lafrom
ecuación
rectangular.
for
the
table
in were
part
(a),
would
thethe
graph
in part 2,
(b)3 be2
graph
the
rectangular
equation.
(e)
values
selected
interval
different?
Explain.
2,
22gbe
(e)
IfIf
values
were
selected
interval
u enthe
py2,
y2
e)(e)Si
se
seleccionaran
defrom
elthe
intervalo
for
theofof
table
in valores
part
(a),
would
graph fin
part
2,33p(b)
values
were
selected
from
the
interval
for
the
table
in
part
(a),
would
the
graph
in
part
(b)
be
para
la
del
a),would
¿seríathe
diferente
la part
gráfica
fordifferent?
thetabla
tableExplain.
in inciso
part (a),
graph in
(b) del
be
In Exercises
3–20,
sketch the curve represented by the
different?
Explain.
inciso
b)? Explicar
different?
Explain.el razonamiento.
parametric
equations
the curve
orientation
of the curve),
In Exercises
3–20, (indicate
sketch the
represented
by the
and
write
the
corresponding
rectangular
equation
by
In
Exercises
3–20,
sketch
the
curve
represented
by
the
equations
(indicate
the
orientation
of the
curve),
Inparametric
Exercises
3–20,
thecurva
curve
byecuathe
En
los
ejercicios
3 a 20,sketch
trazar
la
querepresented
representa
las
eliminating
the
parameter.
parametric
equations
(indicate
the
the
and paramétricas
write
the
corresponding
rectangular
equation
parametric
equations
(indicate
the orientation
orientation
ofcurva)
the curve),
curve),
ciones
(indicar
la orientación
de laof
y, eli-by
and
write
the
rectangular
equation
by
eliminating
the corresponding
parameter.
and
the
minando
el parámetro,
x write
2t
3,
ycorresponding
3tdar 1la ecuación
x rectangular
5 4t, equation
y correspon2 5tby
3.
4.rectangular
eliminating
the
parameter.
eliminating the parameter.
diente.
5.3.x x t 2t 1, 3,y y t 2 3t 1
6.4.x x 2t52, y4t, t y4 12 5t
xx 2t
3,
yy2 3t
11
x 5 4t, yy 422 5t
3.
4.
2
2t
3,
3t
3. 5.
4.
3.
4.
x 3 t 1, t y t
, y t
15t
6.x x 52 2t 24t,
2
2
x 2tt 2222, yt, yt 4444 t 21 t
x
t
,
y
7.
8.
x
x
t
1,
y
t
5.
6.
2
2
2 t 2tt
5.5. xx5 tt1 1,1, yy5
6.6. xx5 2t2t , , yy5 tt 1 11
7. x t 3, y t2222
8. x 4 t 2 t, y t 2 t
3 t,
3
x 22 t, y 8 22 t
x
y
t
5
9.
10.
t
t
2
x
t
,
y
7.
8.
3
3
7.7. xx5 tt , , yy5 2
8.8. xxx5 ttt221 t,t,t, yyy5 ttt222 ttt
4 t,1 y
2
2
t, y t t 5
8 t
9. x
10. x
x t t, 3,y yt 5
11.
12. xx 4414t, y, y8 tt 1
x
9.
10.
t, y t t 5 t3
t, t y1 8 t
10. x
9.9. x
10.
11. x t 3, y
12. x 1 1 , y t 1
t 111 t, y t 2
13. x 2t, y y t t2tt 3
14. x
11.
12.
3, y t 3
11. xx tt 3,
12. xxx5 1111 t ,, , yyy5 ttt2 111
11.
12.
t
3t
t
3
, y y e t 12
15.
16.
13.x x e 2t,
14.x x e tt, tt y1 , ey2t t1 2
x
2t,
y
t
2
x
t 11t1,, , yyy5 tt2tt1 222
13.
14.
2t,
13.
14.16.
xxx5x 2t,
22 1, 0 14.
13.
sec
<xx5x 2,tt2
17.
e t,yy, 5y y tt2
e3tcos
e , 2 y< e
1
15.
3t3t
2t2t
tt,t y
3t
tt
x
e
e
1
x
e
eee2t2t
111
15.
16.
t , 2y
3t
2t,t, yy
2
x
e
e
1
x
e
15.
16.
x
5
e
,
y
5
e
1
1
x
5
e
,
y
5
2
15.
16.
18.
cos , 0
<
2,
2 <
17.x x tansec , , y y sec
<< py2,
<< u ≤ p
xxx5 sec
,, , 2 000 ≤ u <
<
2,2, py222 <
<
17.
sec
cos8sec
17.
u,, ,2 y,y,y5yycos
cos
usen
17.
x x sec
8 tan
cos
19.
18.
222
222
xxx5 tan
sec
18.
2 , , yy
2
tan
sec
18.
ucos
, ,y , 5
u sen
18.
x x tan
3 8cos
y ysec
7 8sen
20.
19.
x
8
cos
,
y
8
sen
19.
cos
sen
19.20.
19.
xx x 88 cos
3 cos,, ,yy y 88 sen
7 sen
In Exercises 21–32,
a graphing utility to graph the curve
, , yy use
77sen
20.
cos
sen
20. xxx 333cos
20.
cosby ,theyparametric
7 sen equations (indicate the orientation
represented
In Exercises
21–32, use a graphing
utility to graph the curve
ofrepresented
theejercicios
curve).
Eliminate
the
parameter
and
write
the
In
Exercises
21–32,
graphing
utility
toto graph
the
curve
En
los
ause
32,aausar
una
herramienta
dethe
graficación
by 21
the
parametric
equations
(indicate
orientation
In
Exercises
21–32,
use
graphing
utility
graph
the
curve
corresponding
rectangular
equation.
represented
by
the
parametric
equations
(indicate
the
orientation
para
la
que representa
ecuaciones
paramétricas
of trazar
the curve).
Eliminate
the las
parameter
and
write the
represented
bycurva
the parametric
equations
(indicate the
orientation
of
the
curve).
Eliminate
the
parameter
write
(indicar
la
orientación
de la curva).
Eliminar el and
parámetro
ythe
dar
corresponding
rectangular
equation.
of
the
curve).
Eliminate
the
parameter
and
write
, y 4 cosequation.
2
21. x 6 sen 2rectangular
22. x cos , y 2 sen 2 the
corresponding
lacorresponding
ecuación rectangular
correspondiente.
rectangular
equation.
2 cos
2 ,3ycos 2 sen 2
23.
2 , y 4 cos 2 24.
21.x x 4 6 sen
22.x x cos
xx 66sen
22 , ,yy 44cos
22
xx cos
, y 22sen
21.
22.
sen
cos
cos
sen22
21.23.
22.
y x 41 2sen
5 2, y3 3sen
cos
cos
24.y x
23.
24.
cossen
cos
23. xx y 44 212cos
24. xx y 22 5 33cos
3 sen
yy
y
5
3
sen
11 sen
sen
y
5 3 sen
|
|
|
|
26. x 5 sec u
26.
u
x tansec
25.y x 2 35 sen4 cos
26.y 5
xx
33 44cos
xx sec
25.
26.
3
3
cos
sec
25.
26.
27. x 5
28. x 5
y 5 3 tan u
u, y 5 sen
sin 33 u
27.
28.
y 4 sec
2 u,5 sen
y cos
tan
yy 2233 55sen
y
tan
sen,3 lny t 3 tan
29.
30.
y5
ln cos
2t, 3 y, 5y t 22 sin 3
29.
30.
x t ,4 sec
x tan
27.x 5
28.yx 5
333 ,
xx 442t
sec
,, yy 3t3t 33tan
y sin2333
xx cos
27.
28.
t
2t
2t
3
sec
tan
cos
27.
28.
, 2t,
y, 5yyett sin
31.
32.
31.
32.
x e t ,, yy 5 e3 ln t
x e ln
t
29.x 5
30.x 5
33
xx t t3, , yyt 33lnlnt t3t
xx lnln2t,
t 222
29.
30.
2t, yy
29.31.
30.32.
x e2t,
x e , y e
y tet
3t
2t –36, determine
3t
2t
Comparingtt Plane
Curves
In Exercises
33
any
Comparación
de curvas
planas
En los
ejercicios
33tt a 36, deter31.
32.
31. xx ee ,t, yy ee3t
32. xx ee2t,, yy eet
differences
theentre
curves
the parametric
equations.
Are
minar
toda between
diferencia
las
curvas
de 33
las–36,
ecuaciones
paraComparing
Plane Curves
InofExercises
determine
any
the
graphs¿Son
the
same?
Are
the
orientations
the determine
same?
the
Comparing
Plane
Curves
In
Exercises
33
any
métricas.
iguales
lascurves
gráficas?
iguales
las Are
orientadifferences
between
the
of the¿Son
parametric
equations.
Are
Comparing
Plane
Curves
In
Exercises
33–36,
–36,
determine
any
curves
smooth?
differences
between
the
ofofExplicar.
the
equations.
Are
ciones?
¿Son
suaves
lascurves
curvas?
the graphs
theExplain.
same?
Are the
orientations
the
same? Are
differences
between
the
curves
theparametric
parametric
equations.
Arethe
the
graphs
the
same?
Are
the
orientations
the
same?
Are
the
curves
smooth?
Explain.
the
graphs
the
same?
Are
the
orientations
the
same?
Are
the
cosu
33. a)
(a) xx5 t t Explain.
(b) xx5 cos
33.
b)
curves
curvessmooth?
smooth? Explain.
t 11
cosu 1 11
33. (a)
(b)
yy5x 2t2t1
yy5x 22cos
xx t t2t t
xx cos
33.
(b)
t
cos
33. (a)
(a)
(b)
t
(c) xx5y ee 2t 1
(d) xx5y ee 2 cos
1
c)
d)
y 2t2t2t tt11
yy 22cos
1
t
y5x 2e2etcos
2ee 1 11
1 1
et1
(c)
(d)
yyy5x 2e
y
1
x eett t 2t2
(c) xx ee tt t t
(d)
(d)
4t 2 1y
cos
34. (c)
(a) xx5y 22cos
(b) xxx5y !
2e
2e u
1
11 t t
34.
a)
b)
4t
tt
tt
yy 2e
yy 2e
1
1
t
t
2e
2sen
1 t 4t12 1 t
2sincos
34. (a)
(b)
yy5x 22e
sin
u 1
yy5x 1yt
x
4t4t222 112t2tt t
x 22cos
34.
(b)
34. (a)
(a)
(b)
(c) xxx5y !
(d) xxx5y 2 !
2t sin
1 4t42 ee
c)
d)
tcos
y 22sin
yy 11t tt t
42t t t
x ee
4 e2t
(c)
(d)
yyy5x !
4sin
yy5
xx
44 ee2t2t2t
xx
tt
(c)
(d)
t
(c)
(d)
cosu 4 t
cos
35. a)
(a) xx5y cos
(b) xx5y cos
es2 ud
35.
b)
yy eett t 2 2
yy
44 2 2 t t
sin u
sins2 ud
cos
cos
35. (a)
(b)
yy5x 22sen
sin
yy5x 22sen
sin
xx cos
35.
(b)
2
cos
cos
35. (a)
(a) x0x0<y<cos
(b)
u <2<2sin
p
00<y<u <2<sin
p 2
2
22
yy 22sin
y
2
sin
2
2
3
2 sin
t1<1,1,yy5 s2tdt3 3
36. a)
(a) xx50 t<t1sin
(b) xyx50 2t
<yy5 t3t
<
36.
b)
1,1,
<< <
<<
<
<
<
<
0
00 <
t3
36. (a) x t 1, y t3
(b)0 x< < t 1, y
37.
Conjetura
33
33
37. (a)
Conjecture
y
t
x
t
1,
y
t
x
t
1,
36.
(b)
3
3
t
t 1, y
36. (a) x t 1, y t
(b) x
Usar
herramienta
de graficación
paracurves
trazar las
curvas repre(a)Conjecture
Use una
a graphing
utility
to graph the
represented
by
37.a)
37.
sentadas
los
conjuntos de ecuaciones paramétricas.
twoapor
sets
of dos
parametric
37. Conjecture
Conjecture
(a)theUse
graphing
utility toequations.
graph the curves represented by
(a)
graphing
graph
xx the
5aa44two
cos
tt ofutility
xxparametric
5 44to
cos
s2t
cossets
cos
td the
equations.
(a) Use
Use
graphing
utility
to
graph
the curves
curves represented
represented by
by
the
two
sets
of
parametric
equations.
the
two
sets
of
parametric
equations.
yy 5
3
sin
t
y
5
3
sin
s
2t
d
sen
sen
t t y x 3 4sincos t t
x 3 4sincos
xx 44cos
xx en
4 cos
t t si se cambia el signo del
t cambio
cos
b)
eltthe
la
gráfica
(b) Describir
Describe
the
graph
when the sign of the
y cos
3 sin
t change
y 4in
3 sin
t
yparameter
3
sin
t
y
3
sin
t
parámetro.
is
changed.
y
3
sin
t
y
3
sin
t
(b) Describe the change in the graph when the sign of the
c)
conjetura
al
cambio
enthe
la
gráfica
de
(b)
Describe
the
in
the
graph
when
the
sign
ofof the
(c)Formular
Make
a una
conjecture
about
change
graph
of
parameter
changed.
(b)
Describe
theischange
change
inrespecto
the the
graph
whenin
the
sign
the
las
ecuaciones
paramétricas
cuando
se of
cambia
el signo del
parameter
isisequations
changed.
parametric
when
the
sign
the
parameter
parameter
changed.
(c) Make a conjecture about the change in the graph isof
parámetro.
changed.
(c)
aa conjecture
about
the
change
inin the
the
graph
parametric
equations
when
sign of
(c) Make
Make
conjecture
about
thethe
change
the parameter
graph ofof is
d)
Probar
la conjetura
con
otro
conjunto
de
ecuaciones
paraequations
when
the
sign
of
the
parameter
(d)parametric
Test
your
conjecture
with
another
set
of
parametric
changed.
parametric equations when the sign of the parameter isis
métricas.
changed.
equations.
(d)changed.
Test your conjecture with another set of parametric
(d)
Test
your
conjecture
with
another
38.
Redacción
Revisar
los ejercicios
33
36 set
yset
escribir
un párrafo
38. (d)
Writing
Review
Exercises
33–36
anda write
a of
short
paragraph
equations.
Test
your
conjecture
with
another
of parametric
parametric
equations.
breve
que
describa
cómo
las
gráficas
de
curvas
representadas
describing
how
the
graphs
of
curves
represented
by
equations.
38. Writing
Review Exercises 33–36 and write a short different
paragraph
por
diferentes
conjuntos
de33–36
ecuaciones
paramétricas
sets
of
parametric
equations
can
differ
even
though
38.
Writing
Review
Exercises
and
aashort
paragraph
describing
how
the graphs
of
curves
represented
by pueden
different
38. Writing
Review
Exercises
33–36
andwrite
write
shorteliminating
paragraph
diferir
aun
cuando
la
eliminación
del
parámetro
dé equation.
la misma
thesets
parameter
each
yields
thediffer
same
rectangular
describing
how
the
ofof curves
represented
by
of
parametric
equations
can
even
though
eliminating
describing
howfrom
the graphs
graphs
curves
represented
by different
different
ecuación
rectangular.
sets
ofofparameter
parametric
equations
can
even
the
each yields
the same
rectangular
equation.
sets
parametricfrom
equations
candiffer
differ
eventhough
thougheliminating
eliminating
In the
Exercises
39–42, eliminate
the parameter
and obtain the
parameter
the parameter from
from each
each yields
yields the
the same
same rectangular
rectangular equation.
equation.
standard
form of
the arectangular
equation.
En
ejercicios
39
42,
eliminar
elparameter
parámetroand
y obtener
Inlos
Exercises
39–42,
eliminate
the
obtain la
the
In
Exercises
39–42,
eliminate
the
parameter
and
obtain
the
forma
estándar
o
canónica
de
la
ecuación
rectangular.
standard
form
of
the
rectangular
equation.
In
Exercises
39–42,
eliminate
the
parameter
and
obtain
the
x1, y1 and x2, yequation.
39. Line through
2 :
standard
standardform
formofofthe
therectangular
rectangular equation.
x Line
x1que
tpasa
x2 por
39.39.Recta
y1d yxys21x, 2y, 2yt2: d:y2 y1
x1x,1syx,11, and
through
xx11, ,yy11 and
xx22, ,yy22 : :
39.
Line through
39.
through
and
1
1
40. Line
Circle:
x
h
r
cos
sin
x
x
t
x
x
,
y 2yy1y21
x 5 x1 1
1 t sx2 2
2 x1d,1 y, 5
1 k t s ty2ry2
2 y1dy1
xx xx11 t t xx22 xx11 , , yy yy11 t t yy22 yy11
1
1
41.
Ellipse:
xx 2hh x 5
arcos
y1y u,kk y2 5
br sin
40.Circunferencia:
Circle:
cos
sin
40.
h 1 ,r, cos
k 11 r sen
sin u
40.
Circle:
xx hh rrcos
, , yy kk rrsin
40.
Circle:
42.
Hyperbola:
x h h cos
acos
sec , , y y k k sin
bsin
tan
41.
Ellipse:
x
a
b
41. Ellipse:
Elipse: xx 5 hh 1 aa cos
cos u, yy 5 kk 1 bb sin
sin u
sen
41.
41.42.Ellipse:
x hx ahcos a, ,sec
y , ky bksin b tan
Hyperbola:
42. Hyperbola:
Hipérbola: x 5 h 1 a sec u,, yy 5 kk 1 bb tan
tan u
42.
42. Hyperbola: xx hh aasec
sec , y k b tan
||
10-2.qxd
3/12/09
16:45
Page 719
SECCIÓN 10.2
En los ejercicios 43 a 50, emplear los resultados de los ejercicios
39 a 42 para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para
la recta o para la cónica.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
Desarrollo de conceptos (continuación)
y
c)
Recta: pasa por (0, 0) y (4, 27)
Recta: pasa por (1, 4) y (5, 22)
Círculo: centro: (3, 1); radio: 2
Círculo: centro: (26, 2); radio: 4
Elipse: vértices (610, 0); foco: (68, 0)
Elipse: vértices: (4, 7), s4, 23d; foco: (4, 5), s4, 21d
Hipérbola: vértice: s± 4, 0d; foco: s± 5, 0d
Hipérbola: vértice: s0, ± 1d; foco: s0, ± 2d
52. y 5 4y(x 2 1)
53. y 5 x3
54. y 5 x2
x
1
2
3
−2
−3
−4
4
y
e)
y
f)
3
2
1
4
x
−3 −2 −1
1
1 2 3
x
i) x 5 t 2 2 1,
1
−1
−1
−3
2
3
y5t12
ii) x 5 sen u 2 1, y 5 sin
sen u 1 2
iii) Curva de Lissajous: x 5 4 cos u,
y 5 2 sen
sin 2u
cos3 u,
y 5 2 sen
sin33 u
v) Evolvente o involuta de un círculo:
x 5 cos u 1 u sen
sin u, y 5 sen
sin u 2 u cos u
sen ud, y 5 2s1 2 cos ud
59. Cicloide: x 5 2su 2 sin
60. Cicloide: x 5 u 1 sen
sin u, y 5 1 2 cos u
61. Cicloide alargada: x 5 u 2 32 sen
sin u, y 5 1 2 32 cos u
62. Cicloide alargada: x 5 2u 2 4 sen
sin u, y 5 2 2 4 cos u
63. Hipocicloide: x 5 3 cos3 u, y 5 3 sen
sin3 u
64. Cicloide corta: x 5 2u 2 sen
sin u, y 5 2 2 cos u
65. Hechicera o bruja de Agnesi: x 5 2 cot u, y 5 2 sen
sin2 u
y5
3t 2
1 1 t3
sin u cos u
vi) Curva serpentina: x 5 cot u,ÊÊ y 5 4 sen
69. Cicloide corta Un disco de radio a rueda a lo largo de una
recta sin deslizar. La curva trazada por un punto P que se encuentra a b unidades del centro (b < a) se denomina cicloide
corta o acortada (ver la figura). Usar el ángulo u para hallar un
conjunto de ecuaciones paramétricas para esta curva.
y
y
4
2a
(π a, a + b)
P
3
b
θ
a
x
(0, a − b)
Desarrollo de conceptos
1
(x, y)
θ
x
1
67. Explicar el proceso del trazado de una curva plana dada por
ecuaciones paramétricas. ¿Qué se entiende por orientación
de la curva?
68. Asociar cada conjunto de ecuaciones paramétricas con su
gráfica correspondiente. [Las gráficas están etiquetadas a),
b), c), d), e) y f).] Explicar el razonamiento.
y
a)
−2
1
2
2
1
x
−3 −2 −1
−2
−4
Figura para 69
3
4
Figura para 70
70. Epicicloide Un círculo de radio 1 rueda sobre otro círculo de
radio 2. La curva trazada por un punto sobre la circunferencia
del círculo más pequeño se llama epicicloide (ver la figura).
Usar el ángulo u para hallar un conjunto de ecuaciones
paramétricas de esta curva.
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 71 a 73, determinar si la
afirmación es verdadera o falsa. En caso de que sea falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre que es falsa.
4
x
−2 −1
y
b)
2
4
sin2
iv) Evoluta de una elipse: x 5
En los ejercicios 59 a 66, emplear una herramienta de graficación para representar la curva descrita por las ecuaciones
paramétricas. Indicar la dirección de la curva e identificar todos
los puntos en los que la curva no sea suave.
3t
,
1 1 t3
2 3
−2
x
−1
−1
y 5 2x 2 5, t 5 0 en el punto (3, 1)
y 5 4x 1 1, t 5 21 en el punto (22, 27)
y 5 x2, t 5 4 en el punto (4, 16)
y 5 4 2 x2, t 5 1 en el punto (1, 3)
66. Hoja o folio de Descartes: x 5
4
3
2
1
En los ejercicios 55 a 58, encontrar un conjunto de ecuaciones
paramétricas para la ecuación rectangular que satisface la
condición dada.
51.
56.
57.
58.
y
d)
4
En los ejercicios 51 a 54, hallar dos conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas para la ecuación rectangular.
51. y 5 6x 2 5
719
Curvas planas y ecuaciones paramétricas
1 2 3
71. La gráfica de las ecuaciones paramétricas x 5 t 2 y y 5 t 2 es la
recta y 5 x.
72. Si y es función de t y x es función de t, entonces y es función
de x.
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
73. La curva representada por las ecuaciones paramétricas x 5 t y y 5
cos t se pueden escribir como una ecuación de la forma y 5 f(x).
PROYECTO DE TRABAJO
Para discusión
Cicloides
74. Considerar las ecuaciones paramétricas x 5 8 cos t y y 5 8
sen t.
En griego, la palabra cycloid significa rueda, la palabra hipocicloide
significa bajo la rueda, y la palabra epicicloide significa sobre la
rueda. Asociar la hipocicloide o epicicloide con su gráfica. [Las gráficas están marcadas a), b), c), d), e) y f).]
a) Describir la curva representada por las ecuaciones paramétricas.
b) ¿Cómo se representa la curva por las ecuaciones paramétricas x 5 8 cos t 1 3 y y 5 8 sen t 1 6 comparada a
la curva descrita en el inciso a)?
Hipocicloide, H(A, B)
c) ¿Cómo cambia la curva original cuando el coseno y el
seno se intercambian?
1A 2B B2t
A2B
y 5 sA 2 Bd sen
sin t 2 B sen
sin1
t
B 2
Movimiento de un proyectil En los ejercicios 75 y 76, considerar
un proyectil que se lanza a una altura de h pies sobre el suelo y a
un ángulo u con la horizontal. Si la velocidad inicial es v0 pies por
segundo, la trayectoria del proyectil queda descrita por las ecuaciones paramétricas x 5 xv0 cos uc t y y 5 h 1 xv0 sen
sin uc t 2 16t 2.
75. La cerca que delimita el jardín central en un parque de béisbol tiene
una altura de 10 pies y se encuentra a 400 pies del plato de home.
La pelota es golpeada por el bate a una altura de 3 pies sobre el
suelo. La pelota se aleja del bate con un ángulo de u grados con la
horizontal a una velocidad de 100 millas por hora (ver la figura).
Trayectoria descrita por un punto fijo en un círculo de radio B que
rueda a lo largo de la cara interior de un círculo de radio A
x 5 sA 2 Bd cos t 1 B cos
Epicicloide, E(A, B)
Trayectoria descrita por un punto fijo en un círculo de radio B que
rueda a lo largo de la cara exterior de un círculo de radio A
1A 1B B2t
A1B
y 5 sA 1 Bd sen
sin t 2 B sen
sin1
t
B 2
x 5 sA 1 Bd cos t 2 B cos
I. H(8, 3)
II. E(8, 3)
III. H(8, 7)
IV. E(24, 3)
V. H(24, 7)
10 pies
a)
VI. E(24, 7)
y
b)
y
θ
400 pies
x
3 pies
a) Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la trayectoria de la pelota.
b) Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria de la pelota si u 5 158. ¿Es el golpe un home run?
c) Usar una herramienta de graficación para representar la
trayectoria de la pelota si u 5 238. ¿Es el golpe un home run?
d) Hallar el ángulo mínimo al cual la pelota debe alejarse del
bate si se quiere que el golpe sea un home run.
76. Una ecuación rectangular para la trayectoria de un proyectil es
y 5 5 1 x 2 0.005 x 2.
c)
y
x
d)
y
x
e)
y
x
f)
y
a) Eliminar el parámetro t de la función de posición del movimiento
de un proyectil para mostrar que la ecuación rectangular es
16 sec22 u 2
x 1 stan ud x 1 h.
v02
b) Usar el resultado del inciso a) para hallar h, v0 y u. Hallar las
ecuaciones paramétricas de la trayectoria.
c) Usar una herramienta de graficación para trazar la gráfica de
la ecuación rectangular de la trayectoria del proyectil.
Confirmar la respuesta dada en el inciso b) y dibujar la curva
representada por las ecuaciones paramétricas.
d) Usar una herramienta de graficación para aproximar la altura
máxima del proyectil y su rango.
y52
x
x
Ejercicios basados en “Mathematical Discovery via Computer
Graphics: Hypocycloids and Epicycloids” de Florence S. Gordon y
Sheldon P. Gordon, College Mathematics Journal, noviembre de
1984, p. 441. Uso autorizado por los autores.
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SECCIÓN 10.3
SECCIÓN 10.3
Ecuaciones paramétricas y cálculo
Ecuaciones paramétricas y cálculo
721
721
10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo
n
n
y
n
Pendiente y rectas tangentes
30
20
Hallar la pendiente de una recta tangente a una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas.
Hallar la longitud de arco de una curva dada por un conjunto de ecuaciones
paramétricas.
Hallar el área de una superficie de revolución (forma paramétrica).
Ahora que ya se sabe representar una gráfica en el plano mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas, lo natural es preguntarse cómo emplear el cálculo para estudiar estas
curvas planas. Para empezar, hay que dar otra mirada al proyectil representado por las
ecuaciones paramétricas
x = 24 2t
y = −16t 2 + 24 2t
θ
10
x 5 24!2t
45°
x
10
20
30
En el momento t, el ángulo de elevación del
proyectil es u, la pendiente de la recta tangente en ese punto
Figura 10.29
y
y 5 216t 2 1 24!2t
como se ilustra en la figura 10.29. De lo visto en la sección 10.2, se sabe que estas ecuaciones permiten localizar la posición del proyectil en un instante dado. También se sabe
que el objeto es proyectado inicialmente con un ángulo de 45°. Pero, ¿cómo puede encontrarse el ángulo u que representa la dirección del objeto en algún otro instante t? El teorema siguiente responde a esta pregunta proporcionando una fórmula para la pendiente de la
recta tangente en función de t.
TEOREMA 10.7 FORMA PARAMÉTRICA DE LA DERIVADA
Si una curva suave C está dada por las ecuaciones x 5 f std y y 5 g std, entonces la
pendiente de C en sx, yd es
dy dyydt
5
,
dx dxydt
y
( f(t + ∆t), g(t + ∆t))
DEMOSTRACIÓN
∆y
En la figura 10.30, considérese Dt > 0 y sea
Dy 5 gst 1 Dtd 2 gstd
y
Dx 5 f st 1 Dtd 2 f std.
Como Dx → 0 cuando Dt → 0, se puede escribir
( f(t), g(t))
∆x
x
La pendiente de la recta secante que pasa
por los puntos s f std, g stdd y s f st 1 Dtd,
gst 1 Dtdd es Dy yD x.
Figura 10.30
dx
Þ 0.
dt
dy
Dy
5 lím
lim
dx Dx →0 Dx
gst 1 Dtd 2 gstd
5 lím
lim
.
Dt→0 f st 1 Dtd 2 f std
Dividiendo tanto el numerador como el denominador entre Dt, se puede emplear la derivabilidad o diferenciabilidad de f y g para concluir que
dy
fgst 1 Dtd 2 gstdgyDt
5 lím
lim
dx Dt→0 f f st 1 Dtd 2 f stdgyDt
gxt 1 Dtc 2 gxtc
lim
lím
Dt→0
Dt
5
f xt 1 Dtc 2 f xtc
lím
lim
Dt→0
Dt
g9std
f9std
dyydt .
5
dxydt
5
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Derivación o diferenciación y forma paramétrica
EJEMPLO 1
Hallar dyydx para la curva dada por x 5 sin
sen tt y y 5 cos t.
AYUDA DE ESTUDIO La curva del ejemplo 1 es una circunferencia. Emplear la
fórmula
dy
5 2tan t
dx
para hallar su pendiente en los puntos
(1, 0) y (0, 1).
Solución
dy dyydt 2sin
sen t
5
5
5 2tan t
dx dxydt
cos t
Como dyydx es función de t, puede emplearse el teorema 10.7 repetidamente para
hallar las derivadas de orden superior. Por ejemplo,
3 4
2
d y
d dy
5
dx 2
dx dx
3 4
d 3y
d d 2y
3 5
dx
dx dx 2
3 4
d dy
dt dx
5
dxydt
d d 2y
dt dx 2
5
.
dxydt
3 4
Segunda derivada.
Tercera derivada.
Hallar pendiente y concavidad
EJEMPLO 2
Para la curva dada por
1
y 5 st 2 2 4d, t ≥ 0
4
hallar la pendiente y la concavidad en el punto s2, 3d.
x 5 !t
y
Solución Como
y
(2, 3)
3
t=4
m=8
2
x
−1
1
Forma paramétrica de la
segunda derivada.
En sx, yd 5 s2, 3d, se tiene que t 5 4, y la pendiente es
2
dy
5 s4d 3y2 5 8.
dx
−1
x=
t
1
4
(t 2 − 4)
En (2, 3), donde t 5 4, la gráfica es cóncava hacia arriba
Figura 10.31
Forma paramétrica de la
se puede hallar que la segunda derivada es
d
d 3y2
fdyydxg
ft g
d 2y
dt
dt
s3y2d t 1y2
5
5
5
5 3t.
dx 2
dxydt
dxydt
s1y2d t21y2
1
y=
dy dyydt
s1y2d t
5
5
5 t 3y2
dx dxydt s1y2d t21y2
Y, cuando t 5 4, la segunda derivada es
d 2y
5 3s4d 5 12 > 0
dx 2
por lo que puede concluirse que en (2, 3) la gráfica es cóncava hacia arriba, como se muestra en la figura 10.31.
Como en las ecuaciones paramétricas x 5 f std y y 5 gstd no se necesita que y esté
definida en función de x, puede ocurrir que una curva plana forme un lazo y se corte a sí
misma. En esos puntos la curva puede tener más de una recta tangente, como se muestra
en el ejemplo siguiente.
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SECCIÓN 10.3
EJEMPLO 3
x = 2t − π sen t
y = 2 − π cos t
y Recta tangente (t = π /2)
Una curva con dos rectas tangentes en un punto
x 5 2t 2 p sen
sin t
Solución Como x 5 0 y y 5 2 cuando t 5 ± py2, y
(0, 2)
π
dy dyydt
p sen
sin t
5
5
dx dxydt 2 2 p cos t
x
se tiene dyydx 5 2 py2 cuando t 5 2 py2 y dyydx 5 py2 cuando t 5 py2. Por tanto,
las dos rectas tangentes en (0, 2) son
−2
Recta tangente (t = −π /2)
y2252
Esta cicloide alargada tiene dos rectas tangentes en el punto (0, 2)
Figura 10.32
y 5 2 2 p cos t
y
se corta a sí misma en el punto (0, 2), como se ilustra en la figura 10.32. Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes en este punto.
4
−π
723
La cicloide alargada dada por
6
2
Ecuaciones paramétricas y cálculo
1p2 2 x
p
Recta tangente cuando t 5 2 .
2
y
y225
1p2 2 x.
Recta tangente cuando t 5
p
.
2
Si dyydt 5 0 y dxydt Þ 0 cuando t 5 t0, la curva representada por x 5 f std y
y 5 gstd tiene una tangente horizontal en s f st 0d, gst 0dd. Así, en el ejemplo 3, la curva dada
tiene una tangente horizontal en el punto s0, 2 2 pd (cuando t 5 0). De manera semejante,
si dxydt 5 0 y dyydt Þ 0 cuando t 5 t0, la curva representada por x = f(t) y y = g(t)
tiene una tangente vertical en s f st 0d, gst 0dd.
Longitud de arco
Se ha visto cómo pueden emplearse las ecuaciones paramétricas para describir la trayectoria
de una partícula que se mueve en el plano. Ahora se desarrollará una fórmula para determinar la distancia recorrida por una partícula a lo largo de su trayectoria.
Recuérdese de la sección 7.4 que la fórmula para hallar la longitud de arco de una
curva C dada por y 5 hsxd en el intervalo fx0, x1g es
s5
5
E
E!
x1
x0
x1
!1 1 fh9sxdg 2 dx
11
x0
1dy
dx 2
2
dx.
Si C está representada por las ecuaciones paramétricas x 5 f std y y 5 gstd, a ≤ t ≤ b, y
si dxydt 5 f9std > 0, se puede escribir
s5
E!
x1
x0
11
1dy
dx 2
2
dx 5
E!
E!
E !1
E
x1
x0
b
5
a
b
5
a
11
1dyydt
dxydt 2
2
dx
sdxydtd 2 1 sdyydtd 2 dx
dt
sdxydtd2
dt
dx
dt
2 1 1dydt2
2
2
dt
b
5
!f f 9stdg 2 1 fg9stdg 2 dt.
a
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
TEOREMA 10.8 LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMÉTRICA
Si una curva suave C está dada por x 5 f std y y 5 gstd y C no se corta a sí misma
en el intervalo a # t # b (excepto quizás en los puntos terminales), entonces la
longitud de arco de C en ese intervalo está dada por
E !1
b
s5
a
dx
dt
1
dy
dt
E
b
2 1 2
2
2
dt 5
!f f 9stdg 2 1 fg9stdg 2 dt.
a
NOTA
Al aplicar la fórmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que la
curva se recorra una sola vez en el intervalo de integración. Por ejemplo, el círculo dado por
x 5 cos t y y 5 sen t, recorre una sola vez el intervalo 0 # t # 2p, pero recorre dos veces el intervalo 0 # t # 4p.
n
En la sección anterior se vio que si un círculo rueda a lo largo de una recta, cada
punto de su circunferencia trazará una trayectoria llamada cicloide. Si el círculo
rueda sobre otro círculo, la trayectoria del punto es una epicicloide. El ejemplo
siguiente muestra cómo hallar la longitud de arco de una epicicloide.
Calcular la longitud de arco
EJEMPLO 4
Un círculo de radio 1 rueda sobre otro círculo mayor de radio 4, como se muestra en la
figura 10.33. La epicicloide trazada por un punto en el círculo más pequeño está dada por
ARCO DE UNA CICLOIDE
La longitud de un arco de una cicloide fue
calculada por vez primera en 1658 por el
arquitecto y matemático inglés Christopher
Wren, famoso por reconstruir muchos edificios e iglesias en Londres, entre los que se
encuentra la Catedral de St. Paul.
y
t se
enta
em
cr
x
−2
2
−2
−6
x = 5 cos t − cos 5t
y = 5 sen t − sen 5t
E !1
E
E
E
E
E
py2
54
py2
0
5 20
5 20
5 20
5 40
dx
dt
py2
0
py2
Figura 10.33
2
2
dt
Forma paramétrica de la longitud de arco.
!2 2 2 sen
sin t sen
sin 5t 2 2 cos t cos 5t dt
!2 2 2 cos 4t dt
0
py2
!4 sen
sin22 2t dt
Identidad trigonométrica.
0
py2
sin 2t dt
sen
3
4
5 220 cos 2t
5 40
2 1 1dydt2
!s25 sen
sin t 1 5 sen
sin 5td2 1 s5 cos t 2 5 cos 5td2 dt
0
Un punto en la circunferencia pequeña es el
que traza una epicicloide en la medida que
el círculo pequeño rueda alrededor de la
circunferencia grande
y 5 5 sen
sin t 2 sen
sin 5t.
Solución Antes de aplicar el teorema 10.8, hay que observar en la figura 10.33 que la
curva tiene puntos angulosos en t 5 0 y t 5 py2. Entre estos dos puntos, dxydt y dyydt
no son simultáneamente 0. Por tanto, la porción de la curva que se genera de t 5 0 a
t 5 py2 es suave. Para hallar la distancia total recorrida por el punto, calcular la longitud
de arco que se encuentra en el primer cuadrante y multiplicar por 4.
0
in
y
Hallar la distancia recorrida por el punto al dar una vuelta completa alrededor del
círculo mayor.
s54
2
−6
x 5 5 cos t 2 cos 5t
py2
0
Para la epicicloide de la figura 10.33, una longitud de arco de 40 parece correcta, puesto
que la circunferencia de un círculo de radio 6 es 2p r 5 12p < 37.7.
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SECCIÓN 10.3
EJEMPLO 5
0.5 pulg
Ecuaciones paramétricas y cálculo
725
Longitud de una cinta magnetofónica
Una cinta magnetofónica de 0.001 pulgadas de espesor se enrolla en una bobina cuyo radio
interior mide 0.5 pulgadas y cuyo radio exterior mide 2 pulgadas, como se muestra en la
figura 10.34. ¿Cuánta cinta se necesita para llenar la bobina?
0.001 pulg
Solución Para crear un modelo para este problema, supóngase que a medida que la cinta
se enrolla en la bobina, su distancia r al centro se incrementa en forma lineal a razón de
0.001 pulgadas por revolución, o
2 pulg
r 共0.001兲
4 000
x r cos (x, y)
y
r
θ
1 000
donde está medido en radianes. Se pueden determinar las coordenadas del punto
(x, y) correspondientes a un radio dado
x = r cos θ
y = r sen θ
y
,
000
2 22000
x
y r sen
sin .
Al sustituir r, se obtienen las ecuaciones paramétricas
x
Figura 10.34
cos 冢22000
000
冣
y
y
sin .
sen
冢22000
000 冣
La fórmula de la longitud de arco se puede emplear para determinar que la longitud total
de la cinta es
s
冕
44000
000
11000
000
冪冢ddx冣 冢ddy冣 d
2
冕
冕
4000
4 000
2
1
22000
000
1
22000
000
1
1
冪 2 1 ln 冪 2 1
22000
000 2
1 000
1000
4000
4 000
1 000
1000
冪共 sen
sin cos 兲2 共 cos sen
sin 兲 2 d
冪 2 1 d
冢 冣冤
ⱍ
ⱍ冥
44000
000
11000
000
Tablas de integración
(apéndice B), fórmula 26.
781 pulgadas
⬇ 11
11,781
inches
⬇ 982
982 pies
feet
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre las matemáticas de una cinta magnetofónica, consultar “Tape Counters” de Richard L. Roth en The American Mathematical Monthly.
La gráfica de r a se
llama espiral de Arquímedes. La gráfica de r 兾2 000 (ejemplo 5) es
de este tipo.
I
NOTA
La longitud de la cinta del ejemplo 5 puede ser aproximada si se suman las porciones
circulares de la cinta. El radio de la más pequeña es de 0.501 y el radio de la más grande
es de 2.
s ⬇ 2 共0.501兲 2 共0.502兲 2 共0.503兲 . . . 2 共2.000兲
1500
1 500
兺 2 共0.5 0.001i兲
i1
500(0.5
500)(1
501)/2兴
1500
共0.5兲 0.001(1
0.001共1500
兲共1501
兲兾2兴
2 关关1
786 inches
pulgadas
⬇ 11
11,786
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Page 726
CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Área de una superficie de revolución
La fórmula para el área de una superficie de revolución en forma rectangular puede usarse
para desarrollar una fórmula para el área de la superficie en forma paramétrica.
TEOREMA 10.9 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Si una curva suave C dada por x 5 f std y y 5 gstd no se corta a sí misma en un intervalo a # t # b, entonces el área S de la superficie de revolución generada por
rotación de C, en torno a uno de los ejes de coordenadas, está dada por
E
E
b
1. S 5 2p
a
b
2. S 5 2p
!1dxdt2 1 1dydt2
dx
dy
f std!1 2 1 1 2
dt
dt
2
gstd
a
2
2
dt
Revolución en torno al eje x: g(t) ≥ 0.
dt
Revolución en torno al eje y: f(t) ≥ 0.
2
Estas fórmulas son fáciles de recordar si se considera al diferencial de la longitud de arco
como
ds 5
!1dxdt2 1 1dydt2 dt.
2
2
Entonces las fórmulas se expresan como sigue.
E
b
1. S 5 2p
2. S 5 2p
a
Hallar el área de una superficie de revolución
EJEMPLO 6
( 32 , 3 2 3 )
) , 23)
f std ds
a
y
y
E
b
gstd ds
3
2
Sea C el arco de la circunferencia
C
1
x2 1 y 2 5 9
(3, 0)
x
−1
1
4
−1
−2
−3
Esta superficie de revolución tiene un área
de superficie
de 9phas a surface area
The surface
of revolution
Figura
10.35
of 9p.
Figure 10.35
que va desde s3, 0d hasta s3y2, 3!3y2d, como se ve en la figura 10.35. Encontrar el área
de la superficie generada por revolución de C alrededor del eje x.
Solución C se puede representar en forma paramétrica mediante las ecuaciones
x 5 3 cos t
y 5 3 sen
sin t,
y
0 # t # py3.
(El intervalo para t se obtiene observando que t 5 0 cuando x 5 3 y t 5 py3 cuando
x 5 3y2.d En este intervalo, C es suave y y es no negativa, y se puede aplicar el teorema
10.9 para obtener el área de la superficie
E
E
E
S 5 2p
5 6p
5 6p
py3
0
py3
s3 sen
sin td!s23 sen
sin td2 1 s3 cos td2 dt
sin t!9ssen
sin22 t 1 cos 2 td dt
sen
0
py3
3 sen
sin t dt
0
3 4
5 218p cos t
5 218p
5 9p.
Fórmula para el área de una
superficie de revolución.
py3
0
1 12 2 12
Identidad trigonométrica.
1059997_1003.qxp 9/8/08 3:54 PM
1059997_1003.qxp
9/8/08
3:54Page
PM
10-3.qxd 3/12/09
16:47
8/08 1059997_1003.qxp
3:54
PM Page 727 9/8/08
1059997_1003.qxp
9/8/08
3:54
PM
1059997_1003.qxp
9/8/08 3:54
3:54 PM
PM
1059997_1003.qxp
9/8/08
3:54
PM
Page 727
Page 727
727
Page
Page
727
Page 727
727
Page
727
10.3
10.310.3Parametric
Parametric
Equations
andCalculus
Calculus
SECCIÓN
Ecuaciones
paramétricas
y cálculo
10.3
Equations
and
10.3 Parametric Equations and Calculus
Parametric Equations and
Calculus
727
10.3
Parametric
Equations
and
Calculus
10.3
Parametric
Equations
and
Calculus
10.3 Parametric
ParametricEquations
Equationsand
andCalculus
Calculus
10.3
727
727
727
727
727
727
727
727
Exercises
www.CalcChat.comforforworked-out
worked-outsolutions
solutionstotoodd-numbered
odd-numberedexercises.
exercises.
10.3 Exercises
Ejercicios SeeSeeSeewww.CalcChat.com
10.3
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10.3
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Exercises
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exercises.
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ParametricEquations
Equations
Parameter
dydx.
Exercises
1–4,4,
Parametric
Parameter
Ecuaciones
paramétricas
Parámetro
/dx.dy dx.
InInExercises
1–
En
los
ejercicios
1 find
afind
4, dy
hallar
Parametric
Equations
Parameter
In Exercises 1– 4, find dy//dx. /
2
3
2
3
Parametric
Equations
Parameter
x
t
t
Parametric
Equations
Parameter
t
2,
y
t
3t
21.
Parametric
Equations
Parameter
2
3
Parametric
Parameter
es 1– 4, find dy/dx.
In
t
tParameter
11
t 1Equations
2,2, yy 5tt3 23t3t
21.
dy
In
Exercises
1–
find
2 1–
21. xParametric
dydx.
In1.Exercises
Exercises
1–4,4,
4,find
find6tdy
dx.
3 3t,t,y y5 4 42 t t
/dx.
In
xx 5 tt2222 2 tt Equations
tt 5 21
1
2, y t333 3t
21.
xx t 2t2, ,yy1– 4,
77find
6t dy///dx.
1. Exercises
2.2.x x5 !
3
2
3
7 6t 2
1. x t2232, y2
2. x21. x333 t, ty 4t t2,
y t
3t 21.
xxx tttt22 t1tt 2,2,
ttt 3331p11
ttt33 3t
3t
21.
2, yyyy3 sin
3t
21.
2
2
3
x
t
t
1
t
2,
t
3t
21.
2
2
2
u
2
u
y2
x
x
t
,
y
7
6t
t,
y
4
t
1.
2.
x
4
cos
,
y
22.
x
2e
,
y
e
x
sin
,
y
cos
y 7 6t
t,
y
4
t
2.
3.
4.
2
x
x
t
,
y
7
6t
t,
y
4
t
1.
2.
t , ,2yuy, y75
7 cos
t
1. x x5 sen
2. x x5 2e
2
3 ,t, yy5 e4
22.
sin
3.
4.
cos u,,, yyy 5333sin
sin u
u 5 334
22. xxx 5444cos
sen
6t6t2u
1.
2.
cos
sin
22.
cos
3. xx tsin
4. xx 2et,, yy 4e 22t22
3
3434
222 , y
222
22
2
34
x2e
4yyycoseee , y22 3 sin
2e
, ,y,, yyy e cos
n2 , y cos2
4.
xxx 444cos
,,, yyy 333sin
22.
x2x22.
2e
,
xxx sin
3.3.
4.4.
cos
sin
22.
,
sin
cos
cos
sin
22.
x
2e
,
sin
cos
3.
4.
2
2
2
2
2
d
In
Exercises
5
–14,
find
and
and
find
the
slope
dy
dx
y/dx
,
x
4
cos
,
y
3
sin
22.
x
2e
y
e
x
sin
,
y
cos
3.
4.
4
444 de las rectas tan2
2
/dxdy
In Exercises
5 –14,
and
thelaslope
dy/ dx
, and
dxddy2y/dx
d y / 2dx
, asífind
En
los
ejercicios
5 a find
14, hallar
como
penEn
los ejercicios
23find
afind
26,the
hallar
las ecuaciones
4tangentlines
/
In
Exercises
23–26,
the
equations
of
the
linesatatthe
the
In
Exercises
5
–14,
find
and
and
find
the
slope
dy
y/dx
,
In
Exercises
23–26,
equations
of
the
tangent
/
22y/dx
22,2 and
and
concavity
(if
possible)
at
the
given
value
of
the
parameter.
2
2
2
2
2
d
In
Exercises
5
–14,
find
and
find
the
slope
dy
dx
and
concavity
(if
possible)
at
the
given
value
of
the
parameter.
dExercises
es 5 –14, find dy/ dx and
and
find
the
slope
y/dx
In
Exercises
23–26,
find
the equations
the tangent
lines at the
d y/dx
In
5(if
–14,
find
and
and
find
the
slope
dy
,, of
diente
y la ,concavidad
(de
ser
posible)
en2,el
punto
corresponInExercises
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–14,
find
and
and
find
theslope
slope
dy
dx
y/dx
gentes
en el the
punto
en
el
que
laitself.
curva seofcorta
a sí misma.
//at/dx
point
where
thecurve
curve
crosses
itself.
/dx
and
concavity
possible)
the
given
value
the
parameter.
dd2In
In
55–14,
find
and
and
find
the
dy
y/dx
point
where
crosses
Exercises
23–26,
find
the
equations
of
the
tangent
lines
at
the
In
Exercises
23–26,
find
the
equations
of
the
tangent
lines
at
the
In
Exercises
23–26,
find
the
equations
of
the
tangent
lines
at
the
InExercises
Exercises
23–26,
find
theequations
equations
thetangent
tangentlines
linesatatthe
the
and
concavity
(if
possible)
atthe
the
given
value
ofthe
the
parameter.
vity (if possible) at thediente
given
value
the
parameter.
point
where 23–26,
the
curve
crosses
itself. ofofthe
and
concavity
possible)
at
of
In
find
the
al
valorof(if
dado
del parámetro.
and
concavity
(if
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thegiven
givenvalue
value
theparameter.
parameter.
Parametric
Equations
Point
and
concavity
(if
possible)
atatthe
given
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ofofthe
parameter.
Parametric
Equations
Point
point
where
the
curve crosses itself.
point
where
the
curve
crosses
itself.
point
where
the
curve
crosses
itself.
point
where
the
curve
crosses
itself.
sen
23.
x
5
2
sin
2t,
y
5
3
sin
t
sen
x
2
sin
2t,
y
3
sin
t
23.
Parametric Equations
Point
point
where
the
curve
crosses
itself.
23. x 2 sin 2t, y 3 sin t
etric Equations
Point
x 4t,
4t,
t 33
23. x 2 sin 2t, y 3 sin t
Equations
Point
Parametric
Equations
Point
Punto
Parametric
Equations
Point
xParametric
yy paramétricas
3t3t 22
5.5.Ecuaciones
sen
2
cos
5
sin
24.
2t,
t2ttt 2 psin
23.
sin
2t,
sin
23.
cosyt,yyt,t, y3yy33sin
sinttt
23. xtPoint
24.xxxxx 522222sin
x 4t, y Equations
3t 2
t 23sin 2t, y 3 sin t 24.
5. Parametric
sinp
2t,
sin
23.
cos
2t2t
23.
x
4t,
y
3t
2
t
3
5.
x
t
,
y
3t
1
t
1
y 3t 2
t
3
6.
sin t
24. xx 2222sin 2t,cosyt, 33y3 sin2tt
x
t
3
5.
4t,
y
3t
2
t
5
3
5.
4t,
y
3t
2
3
5.
x
t
x
t
,
y
3t
1
1
6.
3t
25.
5.
cos t, y 2t 25.
sinxxxxxt 5t2t222t 2t,t,t,cos
3t
24. xtt 231
25.
2t
24.
cos
t,t, tt3tyyy23t
2t 2 11 sin
sin
24.
6. xx 4t, t ,y y 3t3t 22 1
cos
sintttt
24.
yyyt,5
2t2t 11 sin
24.
2t 1
t , y 3t 1
7.xxxx5 !
25. xx 2t222323 t, cosy t, t33y33 22 3t
3t
1113t3t
6.6.
yy15
3t
ttttt5 11121111
6.
, yyy1,
3tt2
6.
t t tttt,t,,,1,
yy 3t
7.
3
2
x
5
t
2
6t,
y
5
t
26.
2
3
x
3t
1
6.
t,
y
t
3t
1
x
t
25.
3
2
t,
y
t
3t
1
25.
3t 126.
25. xt t 1 t, y t
26.xxx t t2t 6t,
7. x t 2 1, y t222 3t
t,6t, y y 3t t 3t 1
25.
25.
0111
1, y t 2 3t
y 3t
8.xxxxx5 ttt2tt1t 1,
26. xx tt3333 t,6t, y y t t2222 3t 1
1,1,
t2tt2y21
3t3t
7.7.
yyyy154,t4,
ttttt5 21
7.
1,
3t
7.
5t5t
4t4t
8.
7.
26. xtt t003 1 6t, y t 2
xxx tt3t 3 6t,
yyy tt2t 2
26.
6t,
26.
8. xx tt2222 1,5ty 4,t y 3t4t
6t,27
26.
x ejercicios
t 27
6t,
y y28,
t find
26.
En
los
28,
hallar
los
puntos
dehorizontal
tangencia and
horiInExercises
Exercises
27
and
findall
alltodos
points
any)ofof
horizontal
and
0 4,4,
5t 4, y 4t
xxx ttt22t 5t
8.8.
5t
4t
In
and
points
(if(if
any)
ttttt5 00000
8.
5t
4, yy4yy sen4t
4t
8.
x
t
5t
4,
4t
8.
x
4
cos
,
y
9.
In
Exercises
27
and
28,
find
allporción
points
(if
any)
of horizontal
and
9. x 4 cos , y 4 sen
zontal
y
vertical
(si
los
hay)
a
la
de
la
curva
que
se
muestra.
vertical
tangency
to
the
portion
of
the
curve
shown.
vertical
to 28,
the
portion
of
the (if
curve
shown.
p44 27 and 28, find all points
In Exercises
(iftangency
any)27
ofand
horizontal
and
In
Exercises
find
all
points
any)
of
horizontal
and
9. x 4 cos , y 4 sen
In
Exercises
27
and
28,
find
all
points
(if
any)
of
horizontal
and
In
Exercises
27
and
28,
find
all
points
(if
any)
of
horizontal
and
vertical
tangency
to 28,
thefind
portion
of the(if
curve
In
Exercises
27 and
all points
any)shown.
of horizontal and
u5 4
9.
cos , y 4 sen
xx 444cos
sen
9.9.
cos
sen
cos , ,,4,,yyyyy 34444sin
sen
tangency
to
the
portion
of
the
curve
shown.
vertical tangency
to the portion vertical
of
curve
shown.
vertical
tangency
to
the
portion
of
the
curve
shown.
4cos
cos
9.9. xxxx cos
vertical
tangency
tothe
theportion
portion
of
thexcurve
curve
shown.
10.
5 2u
Evolvente
de
un círculo:
28.
27.
2 xshown.
27.the
Involute
ofoaainvoluta
circle:
28.
, y 3 sinsen
0444404
10.
vertical
tangency
to
of
the
x
2
27.
Involute
of
circle:
28.
0
10. x cos , y 3 sin
27. Involute of a circle:
28. x 2
xxxx5 cos
u,,,,y0yyy5 3333sen
sin
u
u 5 0000 of a circle:
10.
s , y 3 sin
cos
sin
10.
cos
sin
10.
y
2s1 2 cos ud
x
5
cos
u
1
u
sen
u
cos
sin
10.
cos
y
2
1
cos
sin
x
2
27.
Involute
28.
x
2
27.
Involute
of
a
circle:
28.
x
2
27.
Involute
of
a
circle:
28.
27. xInvolute
Involute
28. yxx 2221 5cos
cos of a circle:
sin
,sec
y , ,y3ysin11 22tan
0
10.
2 sec
tan
11.xxx 2cos
27.
28.
11.
x cos of a circle:
y 2 1 cos
sin
6
p
11. x 2 sec , y 1 2 tan
6
x
cos
y
2
1
cos
sin
sen
ucos
xu 5 cos
2cos
sin1 u 2cos
cos
sin
cos
y 2 1 cos
sin
cos
sin u
xxx5 2221 sec
11.
yxyxyx 5 sin
sec
tan
11.
6
sec , y 1 2 tan
sec
tan
11.
yy 2211 cos
sin
secu,,,, yyyy5 11111 2222tan
tanu
11.
y cos
sin yy cos
11.
12.xxxx 22 t,t,sec
yy
yy6 , yt t 111 2 tan
t t sin
2666266
12.
y
cos
y
sin
cos
y
y
y
sin
cos
sin y cos
cos
12. xx 5 !t,t, yy 5 !tt 2 11
yy sin
y
tttt5 2222
12.
xxx
ttt 1311
12.
t, y
t 1
tt,t,t,3yyy2
12.
t 22 y
12.
y
88yyyy
10
10yyyyy
x
t,
y
t
1
t
12.
3
3
,
y
sin
x
cos
13.
8
10
y
13. x cos 3 , y sin 3
p
8
10
sin3333u
cos3333u,, yy 5 sen
13. xx 5 cos
88
u 5 444 8
13.
6886886
10
10
10
,,, yyy sin
sin
xxx cos
10
13.
810
s 3 , y sin 3
sin
cos
13.
sin331 cos
cos33 sin
13.
444
8644
10
8
,
y
sin
x
cos
13.
4
x
,
y
14.
46
46666
686
sin , y 1 cos
14. x
8
8
θ
8
6
4
8
sinu,, yy 5 11 2 cos
cosu
14. xx 5 u 2 sen
θθ
64
86
sin
u5p 4
242442
xxx
sin
,,, yyy 111 cos
14.
θ
sin , y 1 cos 14.
464
sin
cos
14.
sin
cos
14.
6
6
6
2
4
6
4
x
x
x
sin
,
y
1
cos
14.
θ
θ
In
Exercises
15–18,
find
an
equation
of
the
tangent
line
at
each
θ
θ
x
64
In Exercises 15–18, find an equation of the tangent
2 line at each
22
−6
−2
In
Exercises
15–18,
equation
of the tangent
at each
−6
−2222 22θ2 444 666 888 x
En
los ejercicios
15 curve.
yfind
18, an
hallar
una ecuación
para laline
recta
tan4
2442442
−6
−2
given
point
on
the
x
In
Exercises
15–18,
find
an
equation
of
the
tangent
line
at
each
x
x
given
point
on15–18,
the curve.
es 15–18, find an equation
of
the tangent
line
atan
each
42
x
In
Exercises
find
equation
of the
tangent
line
at
−6
−2
2 4 6 8
InExercises
Exercises
15–18,
find
an
equation
the
tangentline
lineat
at each
each
given
point
on
the de
curve.
In
15–18,
find
equation
the
gente
en
cada
uno
los an
puntos
dadosofof
de
la
curva.
xxx
−4
−6
−2
2
−4 2222 4444 6666 8888 x
2222
−6
−2
6 8
−6tangent
−2
2 4 each
−6
−2
−6
−2
−4
given
point
on
the
curve.
on the curve.
given
point
on
the
curve.
10
12
22 444 666 888 10
2
1012
12 x
given
point
on
the
curve.
6
8
−6
−2
2
4
−4
2
x
2
cot
x
2
3
cos
15.
16.
given
on the curve.
x point
2 cot
15.
16. x 2 3 cos
x
2 4 6 8 10 12 xxxxx
−4
−4 u
−4
−4
cotu2
cos
15. xx 5 22cot
16. xx 5 22 2 33cos
−4
15.
16.
10
12
2−4 4 6 8 10 12
2222 4444 6666 8888 10
10
12
10 12
12
sin23 cos
y
3
2
sin
cot
16.
xyxxxy 2222sin
cot
x
2
3
cos
15.
16.
cot
x
2
3
cos
15.
16.
cot
x
2
3
cos
15.
16.
sin
2 4 6 8 10 12
cot
cos
15. yxy 5 222sen
16. yyxy 5 3323 1 2232sin
22
sin
sin
sin
u
u
sen
2
222
In
Exercises
29–38,
find
all
points
(if
any)
of
horizontal
and
y3 22sin
y
En
los
ejercicios
29
a
38,
hallar
todos
los
puntos
de
tangencia
2
sin
y
sin
sin 2
sin
In
Exercises
29–38,
find
all
points
(if
any)
of
horizontal
and
yyy 2232sin
y
3
y
y
sin2y y
sin
In
Exercises
29–38,
find
all
points
(if
any)
ofutility
horizontal
and
y 2 sin
yy yy33 22sin
vertical
tangency
to
the
curve.
Use
a
graphing
to
confirm
horizontal
y
vertical
(si
los
hay)
a
la
curva.
Usar
una
herramien3
4
+
3
y
y
vertical
tangency
to
the
curve.
Use
a
graphing
utility
to
confirm
In
Exercises
29–38,
find
all
points
(if
any)
of
horizontal
and
y
y
y
In
Exercises
29–38,
find
all
points
(if
any)
of
horizontal
and
y
y
y
3
4
+
3
In
Exercises
29–38,
find
all
points
(if
any)
of
horizontal
and
In Exercises
Exercises
29–38,
find
all points
points
(if any)
any) ofof
horizontal
and
6 y
66 y
vertical
tangency
to the
curve.
Uselos
a (if
graphing
utility
to confirm
In
29–38,
find
all
horizontal
and
(2,5)5) 44 ++ 332 33,, 22, 2
6 6y
666 y (2,
your
results.
ta
graficación
para
confirmar
resultados.
your
results.
vertical
tangency
adegraphing
utility
to
confirm
vertical
tangency
to
the
curve.
Use
aaagraphing
utility
to
confirm
5)5)
vertical
tangency
to
the
curve.
Use
graphing
utility
to
confirm
33,, 22 curve. Use
4+3 3
5 (2,
3the
444++
vertical
tangency
to
the
curve.
Use
graphing
utility
to
confirm
22323to
(2,
+
3
6
5
6
your
results.
6666
6
6
vertical
tangency
to
the
curve.
Use
a
graphing
utility
to
confirm
,
2
6
,2
4 + 23 3 , 2
5656 (2,
(2, 5)
(2,
5)
64
your
results.
(2,5)
5)
your
results.
2 ,2
your
results.
2
your
results.
(0,2)2)2
22 33 4
29.xxresults.
30.xx t t 1,1, yy t 2t 2 3t3t
29.
5555 (2, 5)
22
your
44 t,t, yy t 2t2
29.
30.
−2−5 23, , 342 44 (0,(0,
2)
(0,
2)
5
1
x
4
t,
y
t
x t 1, y t2222 3t
29.
30.
,223 3, 233 444 (0, 2) 2 3 ,1
−
−
2
2
3 4
(0, 2)
(0,
2)
(0,22)
2)
−−−3 2223, ,,323 4
23 , 31, 12
4,
29. x(−(−1,1,43)3) t, y t 2
30.
31.xxxxx t44t4 4,t,1,
yyyy ttt322tt323 3t3t
xxx ttt 1,1,
yy tt 2 3t
29.
30.
30.
t,
3t
29.
30.
t,
29.
30.
y
31.
(0,
2
2
,
t, yy tt
29.
30. x t 1,1, yy t t2 3t3t
− 333, 222
2
1
(−1,
3t3
23 1211
31. xx 4t 2 4,
(− 1,3)3)
333
3
3
2 3,
2
,
3
2
1
2
,
3
x
t
4,
y
t
3t
31.
3
33t
31.
t
t 3t3t
3t
31.
32.xxx t t2t 4,
31.
1 x(−
(− 1, 3)
4,
31.
(−
1,t3)
3) 4, y
2
t t yy2,2, ytt3y t 3t
32.
22 33, ,222x x
(−1,
31.
111 (−
1,1,3)3)
t33333 3t
32. xx tt22222 4,t y 2, t y 3t
x 3
−
4 −−
2
2
4x 2 x
2
x
2
−
4
2
2
4
1
32.
x
3
cos
,
y
3
sin
x
t
t
2,
y
t
3t
32.
33.
1
x
t
t
2,
y
t
32.
x
5
t
2
t
1
2,
y
5
t
3t
32.
1
1
32. x x 3t2cos t, y2, 3y sin t33 2 3t
1
33.
x
−4 − 4 −2 − 2
2 2 4 4 xxxx
1 2 3 4 5 6 xx
3t3t
32.
−1−11
33. xx t3 cost , 2,y y3 sint
−2
−−−4444 −
−−−2222−2
222
444 xx
−1
111 222 333 444 555 666 xxxx
2
2
4
−
2
4
−1
x
3
cos
,
y
3
sin
33.
sin
33.
, y 3 sin
33. x 1 32 cos
34.xxx 5cos
33cos
cos
333sin
sin
33.
sen
cos, ,u,,,,yyyyyy 5
sin
−22 3 42 5 46
33.
−−1
4
− 2−2
22sin
22u
34.
−1
1−2
−1
111 222 3333 4444 5555 6666 x
−1
cos
sin
33.
−1
, y 2 3sin
2
34. xx 3cos
−2
−2
−1
−2
2 −2
41 2 2 3 4 5 6
2
4
x
t
4
x
t
17.
18.
−2
,
y
2
sin
34.
x
cos
,
y
2
sin
2
x
5
3
cos
,
y
sen
34.
35.
x
cos
,
y
2
sin
34.
x
5
cos
u
,
y
5
2
sin
sen
34.
sin2222u 22 sen
34. x x 5cos 3, ,cos
17. x t 2 4
18. x t 4 2
35.
yy ,, 22ysin
34.
17. x t22224 4
18. x t4443 2
5 32cos
y 2 2 sen
35. xx cos
2
4
x
t
4
2
x
t
17.
18.
x
5
3
cos
,
y
2
sen
35.
4
2
18.
35.
cos233 cos
sin 22 sen
2 36.
senxxx 4554cos
36.
442t
17.
18.
35.
xy txt3t4 5t 22t 3 cos , y
17. yxxxxy tt2t2tt2 2t
18. yxx35.
cos
sen
35.
, , y,y,, y2yy2sin
17.
18.
35.
y tt3333 2t
y t2223 42t
, y 2 sin 2 sen
36. xx 54 cos322222cos
2, y 18,
2
3
2
0,
0
,
3,
1
,
3,
3
2,
0
,
3,
2
10
2t
t
y
,
y
t
36.
yy0,
t
2t
t
x
4
cos
y
2
sin
x
sec
,
y
tan
,
36.
37.
y
t
t
2t
t
x
4
cos
y
2
sin
,
36.
x
5
4
cos
u
,
y
5
2
sin
u
36.
sen
y 0 t,t3 3, t t 2 , y 18, 10
2t 1 , y 3, 3
4cos
cos,2 ,y, yytan22sin
sin
36. x x sec
37.
y2,
yy0, 00t,2t, 3,
2t
36.
3, 1 , y 3, 3
2, 0 , 3, 2 , y 18, 10
, y tan
37. xx 4sec
0,0,
000,,, 3,3,3,
333
2,2,
000x,,, 3,3,
10
sec
3, 1 , y 3, 3
2,
211,1,y,,yyy18, 3,
10
tan
37.
cosu
cos2 u2,,,,, , yyyyyy5 tan
sec222,,,,yyy y18,
tan
37.
38.xxxx 5cos
3,
18,
10
37.
sec
tan
37.
0,
3,
3,
2,
3,
18,
10
sec
tan
37.
cos
38.
0, 0 , 19–22,
3,
1 ,(a)
3,aa3graphing
0 , 3,totograph
2graph
, y the
18,
10
y use
37.
Exercises
19–22,
(a)
use
graphing2,
utility
thecurve
curve
cos
cos22222 , , yy tan
38. xx sec
InInExercises
utility
2de graficación
In
Exercises
19–22,
use
a graphing
utility
tocos
graph
the
curve
cos
38.
a) usar
una
herramienta
En
los ejercicios
19
a(a)
22,
, athe
ygraphing
cos
x (b)
38.
xxx 5 cos
38.
cos
5 cos
cos
u
38.
, yyy–yy 44,
cos
cos22 u,,,,39
38.
represented
by
the
parametric
equations,
use
In
Exercises
19–22,
(a)
use
a
graphing
utility
to
graph
curve
represented
the parametric
equations,
(b)to
use
a graphing
cos
xExercises
cos
38.
es 19–22, (a) use a graphing
utility by
to
graph
the
curve
In
determinethe
thet tintervals
intervalson
onwhich
whichthe
the
In
Exercises
19–22,
(a)
use
a
graphing
utility
graph
the
curve
In
Exercises
19–22,
(a)
use
a
graphing
utility
to
graph
the
curve
In
Exercises
39
–
44,
determine
represented
by
the
parametric
equations,
(b)
use
a
graphing
para
trazar
la
curva
representada
por
las
ecuaciones
paramétriIn
Exercises
19–22,
(a)
use
a
graphing
utility
to
graph
the
curve
dx/dt,
dy/dt,
dy/dx
utilitytotofind
find
anddy/dx
the
given
value
the
In
Exercises
39 –downward
44, determine
the t intervals
on which the
dx/dt,
dy/dt,
and
atatExercises
the
given
value
ofofdetermine
the
represented
by
the
parametric
equations,
(b)
use
aa–graphing
graphing
d by the parametric utility
equations,
(b)
use
a
graphing
represented
by
the
parametric
equations,
(b)
use
a
curve
is
concave
or
concave
upward.
represented
by
the
parametric
equations,
(b)
use
graphing
curve
is
concave
downward
or
concave
upward.
In
39
44,
the
t
intervals
on
which
the
In
Exercises
39
–
44,
determine
the
t
intervals
on
which
the
In
Exercises
39
–
44,
determine
the
t
intervals
on
which
the
dy/dt,
utility
to find
and
at
the(b)
given
value
of
the
twhich
en losthe
que
En
los
a 44,
determinar
intervalos
dewhich
In Exercises
Exercises
39–39
–44,
44,
determine
thelos
intervals on
on
the
cas,
represented
bydx/dt,
the
parametric
equations,
use
atographing
b) usar
una
herramienta
dedy/dx
graficación
para
dxydt,
parameter,
(c)
find
an
equation
of
thetangent
tangent
linehallar
theof
curve
curve
isejercicios
concave
downward
or concave
upward.
In
39
determine
the
t t intervals
(c)
find
an
equation
of
the
line
to
the
curve
dy/dx
nd dx/dt, dy/dt, and parameter,
given
value
of and
the
dy/dt,
dy/dx
utility
to
find
at
given
value
the
dx/dt,
dy/dt,
dy/dx
utility
tothe
find
and
at
the
given
value
of
the
dx/dt,
dy/dt,
dy/dx
utilityyat
find
and
atthe
the
given
value
ofuna
the or concave
is(d)
concave
downward
curve
isis
concave
downward
or
concave
upward.
curve
concave
downward
or
concave
upward.
parameter,
(c)dx/dt,
find an
equation
of
thecurve
tangent
line
to
the
curve
2cóncava
3hacia
la
curva
es
abajo
o cóncava
hacia arriba.
curve
isupward.
concave
downward
orconcave
concave
upward.
dx/dt,
dy/dt,
dy/dx
utility
toto
find
and
at
the
given
of
the
dyydt
dyydx
para
elof
valor
dado
del
parámetro,
c)value
hallar
2
3
y
t
x
3t
,
t
39.
at
the
given
value
the
parameter,
and
use
a
graphing
curve
is
concave
downward
or
upward.
39. x 3t 2, y t 3 t
the tangent
given(c)
value
of
the
parameter,
and
(d) line
use
ato the
graphing
(c) find an equation at
of
line
the
curve
parameter,
find
an
equation
of
tangent
to
curve
parameter,
(c)
find
an
equation
of the
the
tangent
line
the
curve
parameter,
(c)
findto
an
equation
the
tangent
line
the
curve
39. x 3t222, y2 t333 2t
at
the given
of
the
parameter,
and
(d)elline
use
a the
graphing
parameter,
(c)
find
an
equation
ofof
tangent
toto
ecuación
de
lavalue
recta
tangente
athe
lathe
curva
en
dado
2valor
3curve
utility
to
graph
thecurve
curve
and
tangent
line
from
(c).del
39.
at
the
given
of
the
parameter,
and
(d)
use
aaapart
graphing
39.
t(c).
utility
to
graph
the
and
the
tangent
from
xline
3t
, ypart
t
22,2,, t 2ty,yy, yytt3t 3 t 2tttt t 3t 3
39.
40.xxxx 23t3t
n value of the parameter,
and
(d)value
use
aof
graphing
at
the
given
value
the
parameter,
and
(d)
use
graphing
39.
3t
39.
at
the
given
value
of
the
parameter,
and
(d)
use
graphing
40.
utility
graph
the of
curve
and
the tangent
line
part
(c).
39.
at
the to
given
value
the
parameter,
and
(d) from
use apara
graphing
parámetro,
y d)
usar
una
herramienta
de
graficación
trazar
2 , t222y2, yt t2222t t3333
40. xx 3t
2
2
3
utility
to
graph
the
curve
and
the
tangent
line
from
part
(c).
raph the curve and the
tangent
line
from
part
(c).
utility
to
graph
the
curve
and
the
tangent
line
from
part
(c).
2,, t,yyy 5
utility
graph
the
curveand
and
the
tangent
line2from
from
(c).
40.
2ttt3t 3lnlnt t
xline
t part
, part
y (c).
t
t
40.
41.xxxx 52t
2222t1 ttln
40.
40.
Parametric
Equations
Parameter
t ,ln
40.
2
t, yy tt2t 22t1
41.
utility
totoygraph
the
curve
tangent
la
curva
la recta
tangente
delthe
inciso
c).Parameter
Parametric
Equations
40.
41. xx 22t2 t ln, t,y y t 2t t ln t
Parametric Equations
Parameter
2
x
2t
ln
t,
y
2t
41.
2
x
2t
ln
t,
y
2t
41.
t, ,1yyln t,lnlnt yt 5 2t 2 lnln
41.tParameter
42.xx 5t 2t
41.
x Parameter
6t,yy Equations
t x 112t ln t, y 2t ln t42.
etric Equations
19.xParametric
lnttt
41.
Parametric
Equations
Parameter
Parametric
Equations
Parameter
6t,
t 2t2 44
19.
41.
Parametric
Equations
Parameter
Ecuaciones
paramétricas
Parámetro
t2222, yln t, ln yt 2t ln t
42. xx 2t
x
6t,
y
t
t
1
4
19.
2
2
42.
yln
42.ttt x 111 t , y ln t
43.xxxx 5sen
tt2tsen
,2,, t,yt,yy 5
42.
6t,
19.
ln
ttcost,t, 00<<t t<<
42.
y t2 4
1yyy ttt2222 11444
lnttcos
42.
xx t6t,
19.
43.
6t,
19.
, t,y yy ln
42.
t t 111
19.
19.
t y2,
2,yyt 1 4 33
20.xxxx t6t,
cos t, 0 < t <
43. xx tsen
t
20.
x
sen
t,
y
cos
t,
43.
t
x
sen
t,
y
cos
t,t, t,0000t,<
<
43.
4cos
cos
t<<22
t43.
< xx 54sen
43.t x 1 sen t, y cos t, 0 < 44.
44.
20. x t 2, y 1t11 3
sin
t,
cos
t,sen
<<
<<
1
sen
t,t,t,yyyy5y cos
cos
<00ttttt<<
<tp
43.
22sen
0t, <
x
sen
t,
t,
<
43.
t
1
x
t
2,
y
3
t
1
20.
2, y
3
t
1
x
4
cos
t,
y
2 sen
t < 2
44.
0 <
x
t
2,
y
3
t
1
20.
x
t
2,
y
3
t
1
20.
t x 1 4 cos t, y 2 sen t, 044.
20. x t 2, y
20.
t
ttt 3
44.
< txxx< 2444cos
44.
t,
y
2
sen
t,
<
t
<< 22
0
cos
t,
y
2
sen
t,
<
t
0
44.
cos
t,
y
2
sen
t,
<
t
44.
0
t
44. x 4 cos t, y 2 sen t, 0 < t << 22
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PM
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728
728
CAPÍTULO
Cónicas,
ecuaciones
paramétricas
y coordenadas
polares
Chapter 10 10 Conics,
Parametric
Equations,
and Polar
Coordinates
728
Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates
Conics,728
ParametricChapter
Equations,
and
Polar
Coordinates
10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates
728
Chapter
728
Chapter
10
Conics,
Parametric
Equations,
and
Polar
Coordinates
728
Chapter10
10 Conics,
Conics,Parametric
ParametricEquations,
Equations,and
andPolar
PolarCoordinates
Coordinates
728
Chapter
10
Conics,
Parametric
Equations,
and
Polar
Coordinates
728
Chapter
10
Conics,
Parametric
Equations,
and
Polar
Coordinates
Arc
Length
In
Exercises
45–
48,
write
an
integral
that
repre63.
Descartes
ConsiderConsiderar
the parametric
equations paraLongitud de arco En los ejercicios 45 a 48, dar una integral que
63. Folium
Hoja (ooffolio)
de Descartes
las ecuaciones
Arcthe
Length
In Exercises
45– 48,
write
an integral
that
repre63. Folium of Descartes Consider the parametric equations
sents
arc
of de
the
curve
the
given
Dodado.
notConsider the
represente
la length
longitud
arco
de on
la 63.
curva
en elinterval.
intervalo
métricas
In Exercises 45– 48,Arc
write
an
integral
that
repreFolium
of
Descartes
parametric
equations
Length
In Exercises
48,
write
integral
that repreFolium 4t
of Descartes Consider
parametric equations
4t2 2 2the
sents
the
length
of 45–
the
curve
on an
the
given
interval.
Do not 63.
Arc
Length
In
45–
48,
write
an
that
repre63.
of
Descartes
evaluate
thelaarc
integral.
Arc
Length
In
Exercises
45–
48,
write
an
integral
that
repre63.
Folium
of
Descartes
Consider
the
parametric
equations
No
evaluar
integral.
and y Consider
c length of the curvesents
on
the
given
interval.
Do curve
not
Arc
Length
InExercises
Exercises
45–
48,
write
anintegral
integral
that
repre63.xFolium
Folium4t
of
Descartes
Consider
theparametric
parametricequations
equations
4t
4t3 . the
4t
Arc
Length
In
Exercises
45–
48,
write
an
integral
that
repre63.
Folium
of
Descartes
Consider
the
parametric
equations
3 Descartes
2
Arc
Length
In
Exercises
45–
48,
write
an
integral
that
repre63.
Folium
of
Consider
the
the
arc
length
of
the
on
the
given
interval.
Do
not
evaluate
thelength
integral.
4t
4t
x5
y 5 y 14t 2 3t. 3 . parametric equations
x 1 4t t 3 3 y and
sents
the
arc
of
the
curve
on
the
given
interval.
Do
not
sents
the
arc
length
of
the
curve
on
the
given
interval.
Do
not
integral.
sents
the
arc
length
of
the
curve
on
the
given
interval.
Do
not
2
x
y
.
and
1
1
t
1
1
t
sents
the
arc
length
of
the
curve
on
the
given
interval.
Do
not
1
t
1
t
2
sents
the
length
of the curve on theIntervalo
given
Do not1 t 3 x
4t
4t
evaluate
thearc
integral.
4t 2232.
4t4t3 and y
Parametric
Equations
Interval
1 interval.
t3
Ecuaciones
paramétricas
evaluate
the
yyyy 1 to4t4t
xxxx 1Use4t
... . the curve represented by the
evaluate
the
integral.
tgraph
and
evaluate
theintegral.
integral.
and utility
evaluate
the
integral.
(a)
at tuna
graphing
33 3 and
Parametric
Equations
Interval
and
evaluate
the
integral.
3.
a)
Usar
herramienta
de
pararepresented
trazar la curva
1
1
tt3333tgraficación
y
x
and
3
1
t
1
2
3
2
1
t
1
ric Equations
Interval
3a graphing utility
(a)
Use
to
graph
the curve
by the
1 t 3
45. Parametric
x 3t t Equations
, 2 y 2t 3 2
1
t
1
t
45.
Interval
parametric
equations.
(a)
Useta graphing
utility to graph(a)
the Use
curve
represented
by the
descrita
por
las
ecuaciones
paramétricas.
Parametric
Equations
Interval
y
2t
1
3
45.
x
3t
t
,
Parametric
Equations
Interval
a
graphing
utility
to
graph
the
curve
represented
by the
2
3
2
Parametric
Equations
Interval
Parametric
Equations
Interval
parametric
equations.
1
t
3
t , y 2t
Parametric
Equations
Interval
2
3
2
(a)
Use
a
graphing
utility
to
graph
the
curve
represented
by
1
x
ln
t,
y
4t
3
t
5
46.
(a)
Use
utility
to
graph
curve
represented
by
the
equations.
Useaaauna
agraphing
utility
graph
the
curve
represented
bythe
the
1 tparametric
3
45.
x 3t t ,22 2 y 2t 33 322 2
46.
(a)
Use
graphing
utility
to
graph
the
curve
represented
by
the
(b)
Use
graphing
utility
to
findthe
the
points
oflos
horizontal
(a)
Use
graphing
utility
totograficación
graph
the
curve
represented
by
the
b)(a)
Usar
herramienta
de
para
hallar
puntos
de
parametric
equations.
1111 1 ttt t t 3333 5
45.
xxxx x 3t
ln t,ttt 22t,,, ,yyyyy 4t2t
3
46.
3
2
2t
45.
3t
2t
45.
3t
3
2
2t
45.
3t
parametric
equations.
(b)
Use
a
graphing
utility
to
find
the
points
of
horizontal
t
parametric
equations.
y 4t 3
1
t
5
12 tUse
t t 5a32graphing utility to find thetangencia
45.xxx lne3tt, 2,
t , y4ty 2t32t 1
parametric
equations.
47.
parametric
equations.
tangency
to
the
curve.
(b)
points
of
horizontal
y
1
46.
parametric
equations.
horizontal
a
la
curva.
47.
t
(b)
Use
a
graphing
utility
to
find
the
points
of
horizontal
xxxx x ln
y 2, 4t
1111 2ttt t 5t555 2
46.
y4t 32t
47.
tangency
to theutility
curve.to
ln
33 1
46.
46.
lnlnt,et,
t,
4t
46.
(b)
Use
aaaagraphing
find
of
horizontal
(b)
Use
graphing
utility
to
find
the
points
of
horizontal
t yyyyyt,2 4t
2, y 2t 1
t,t,
4t
46.
Usethe
graphing
utility
findthe
the
points
horizontal
012 tangency
sen
y2t t33 1 cos t
ttt 52 to the curve.
48.
(b)
Use
utility
to
the
points
of
(c)
Use
integration
capabilities
of
apoints
graphing
utility
tode
c)(b)
Usar
las
funciones
de
integración
de
una herramienta
xxx e2tln
47.
(b)
Use
a graphing
graphing
utility
toto find
find
the
points
ofof horizontal
horizontal
tangency
to
the curve.
t t t 2,
48.
x
e
y
2t
1
2
t
2
2,
47.
x
t
sen
t,
y
t
cos
t
0
t
48.
t
tangency
to
the
curve.
(c)
Use
the
integration
capabilities
of a loop.
graphing
utility
to
x
e
y
2t
1
2
t
2
2,
47.
tangency
to
the
curve.
x
e
y
2t
1
2
t
2
2,
47.
t
tangency
to
the
curve.
x
e
y
2t
1
2
t
2
2,
47.
tangency
to
the
curve.
approximate
arc
length
of
the
closed
Hint:
Use
sen t, y t cos t48.
0
t
graficación
para
aproximar
la
longitud
de
arco
del
lazo
cer1 t
t the2 integration capabilities
47.x x t e sen2,t, y y 2tt cos
(c)2 Use
of
a
graphing
utility
to
tangency
to
the
curve.
0
t
(c)
Use
the
integration
capabilities
of
a
graphing
utility
to
approximate
the
arc
length
of
the
closed
loop.
Hint:
Use
Arc
Length
In
Exercises
49–56,
find
the
arc
length
of
the
curve
xxxx ttt t sen
t,t,
yyyy ttt t cos
0000 approximate
ttt t
48.
(c)
Use
capabilities
of
utility
to
sen
cos
48.
0graphing
tsobre
1.utility
symmetry
and
integrate
over
the interval
(c)
Use
the
integration
capabilities
of
aaagraphing
graphing
utility
to
senIn
costttt t find the
48.
rado.
(Sugerencia:
Usar
la of
simetría
e aintegrar
elUse
interlength of the
closed
loop.
Hint:
Use
(c)
Usethe
theintegration
integration
capabilities
sen
t,t,Exercises
cos
48.
(c)
Use
the
integration
capabilities
ofof
graphing
utility
toto
x Length
tde arco
sen
t,
y los tejercicios
cos
0 hallar
t length
48.
Arc
49–56,
arc
ofthe
thearc
curve
(c)
Use
the
integration
capabilities
of
a graphing
utility
to
approximate
the
arcintegrate
length
thethe
closed
loop.
Longitud
Enthe
49 a 56,
la longitud
de
0 Hint:
tHint:
1.Use
symmetry
and
over
interval
on
the
interval.
In Exercises 49–56,Arc
find
thegiven
arc
length
of
curve
approximate
the
arc
length
of
the
closed
loop.
Hint:
approximate
the
arc
length
of
the
closed
loop.
Use
valo
0
t
1.
symmetry
and
integrate
over
the
interval
approximate
the
arc
length
of
the
closed
loop.
Hint:
Use
Length
In
Exercises
49–56,
find
the
arc
length
of
the
curve
approximate
the
arc
length
of
the
closed
loop.
Hint:
Use
64. Witch
of Agnesi
Consider
the the
parametric
equations
onLength
thelagiven
interval.
approximate
arc length
of the
closed
Hint: Use
0 loop.
t 1.
symmetry
and the
integrate
over
interval
arco
de
curva
en
el intervalo
dado.
Arc
In
49–56,
find
the
Arc
Length
In
Exercises
49–56,
find
the
arc
length
of
the
curve
interval.
Arc
Length
InExercises
Exercises
49–56,
findthe
thearc
arclength
lengthof
thecurve
curve
000equations
ttt t 1.
symmetry
and
over
interval
64. Witch
of Agnesi
Consider
thethe
parametric
Length
In
Exercises
49–56,
find
the
arc
length
of
curve
1.
symmetry
and
integrate
over
the
interval
0ecuaciones
symmetry
andintegrate
integrate
over
the
interval
Arc
Length
In
Exercises
49–56,
find
the
arc
length
ofofthe
the
curve
1.1.
onArc
theParametric
given interval.
symmetry
and
integrate
over
the
interval
Equations
Interval
64.
Witch
of
Agnesi
Consider
the
parametric
equations
64.
Hechicera
o
bruja
de
Agnesi
Considerar
las
0
t
symmetry
and
integrate
over
the
interval
on
the
given
interval.
64. Witch of Agnesi Consider the
parametric equations 1. paraon
the
given
interval.
onthe
theParametric
giveninterval.
interval.
on
given
Equations
Interval
2 parametric
64.
Witch
of
Agnesi
Consider
the
equations
on
the
given
interval.
64.
Witch
of
Agnesi
Consider
the
parametric
equations
x
4
cot
,
y
4
sin
.
and
métricas
64.
Witch
of
Agnesi
Consider
the
parametric
equations
ric Equations
Interval
64. Witch
Witch of
of Agnesi
Agnesi Consider
Consider the 2parametric
parametric equations
equations
xEcuaciones
3t 5,Equations
y 7 2t
1 t 3
49. Parametric
64.
paramétricas
Intervalo
Interval
2 .
x 4 cot
sin , 2
and y 4 the
Parametric
Interval
x 2 3t Equations
5,
y 7 2t
14 cott 3and y 4 sin2 ,
49.
Parametric
Equations
Interval
xInterval
.
Parametric
Equations
2
2 u,
Parametric
Equations
Interval
2
5, y 7 2t
1
t
3
x
4
cot
y
4
sin
. 2
and
Parametric
Equations
Interval
sen
y
x
5
4
cot
u
y
5
4
sin
u
y y2t 7 2t
01 t t 23
50. xx 3tt , 25,
22, 2
2
2
49.
xxxx Use
4444cot
,,, , the
yyyy 444to
sin
..
and
2
2
2
cot
sin
and
cot
4
sin
and
(a)
a
graphing
utility
graph
curve
represented
by the
2
x
3t
5,
y
7
2t
1
t
3
49.
x
t
,
y
2t
0
t
2
50.
cot
sin
and
5,
111 t t 333
49.
2the
2222.. .
y 3 7777 2t
49. xxxx0 23t
x (a)4 Use
cot a graphing
,
4 sinto graph
and y utility
3t3t
5,
2t
49.
222 curve
2
y 2t
25,2tyyy2t
2t2t
3
49.
represented
by the
51.
a) curve
Emplear
una
herramienta
de graficación
para
2
2 trazar la curva
xx t 6t3t
,22t2, y 2 y5,
01(a)1t tUset24a graphing
50.
parametric
equations.
3
utility
to
graph
the
represented
by
the
xxxx x ttt222t,,,6t
0000 1 ttt t t 2222 4
50.
2t 3
51.
2t
50.
(a) Use
a graphing
utility
to graph
the curve represented by the
, yyyy,4y y2t
2t
50.
parametric
equations.
2t
50.
descrita
por
las
ecuaciones
paramétricas.
1
t
y 2t3
x
t
,
2t
0
t
2
50.
2
3
(a)
Use
a
graphing
utility
to
graph
the
curve
represented
by
t 4 0 equations.
52. xx 6tt ,2 2 y1, y2t 34t 3 3
(a)
Use
utility
graph
curve
represented
by
the
(a)
Useaaaagraphing
utility
graph
the
curve
represented
bythe
the
1 1 t parametric
51.
(a)
Use
graphing
utility
to
graph
the
curve
represented
by
the
(b)
Use
graphing
utilityto
findthe
the
points
of horizontal
2
(a)
Use
graphing
utility
tototo
graph
the
curve
represented
by
the
parametric
equations.
1111 t1tt t 444t 4 0
xxxx x 6t
51.
1, 2t
y2t333 3 4t
3
52.
2t,,,2, yy
6t
y
2t
51.
3
6t
y
51.
2
parametric
equations.
(b)
Use
a
graphing
utility
to
find
the
points
of
horizontal
6t
2t
51.
b)
Utilizar
una
herramienta
de
graficación
para
hallar
los
punparametric
equations.
1
1, y 4t
3
parametric
equations.
x
1
t
4
51.
26t ,t y 0 2t 3
parametric
equations.
tangency
to
the
curve.
points
ofequations.
horizontal
xx t e22t2 cos
1 tUse
t a0 graphing utility to find
1, t,y y 4t 3e3 3 t 3sen t
52.
parametric
(b) the
Use
a tangencia
graphing
utility
find
the points of horizontal
0(b)
53.
1111 ttt t 0000
52.
tangency
to the
curve.toto
tos
de
horizontal
a find
la curva.
x tt 2 1,
1,1, yyyy 4t
4t4t33 333t3
52.
52.
(b)
Use
utility
of
52.
(b)
Use
aaagraphing
graphing
utility
to
the
points
of
horizontal
(b)
Useathe
graphing
utility
findthe
the
horizontal
cosyt, 4t
y e 3 sen t
53.xxx x tt 2t e t1,
10 tangency
t 2 0 to the curve.
1,
4t
52.
(b)
Use
graphing
utility
totofind
find
the
points
ofofhorizontal
horizontal
(c)
Use
integration
capabilities
of points
apoints
graphing
utility
t
(b)
Use
a
graphing
utility
to
find
the
points
of
horizontal
tangency
to
the
curve.
cos t, y e sen t 53. x 0 e t tcos t, y e t sen t
2
1
c)
Usar
las
funciones
de
integración
de
una
herramienta
de
tangency
to
the
curve.
(c)
Use
the
integration
capabilities
of
a
graphing
utility
0
t
tangency
to
the
curve.
2
tangency
to
the
curve.
t
t
2
tangency
to
the
curve.
t
t
to
approximate
the
arc
length
over
the
interval
tUse
xxxx5 arcsen
1tsen
54.
tcost,t,
integration capabilities
of
a
graphing
utility
ee2t
cos
t,t,t, yyyyy5 ln
ee2t
sen
ttt t 2 00(c)
53.
tangency
to
the
curve.
ttcos
ttsen
2 the
2
t
53.
1
e
e
sin
t
53.
e
cos
e
sen
0
t
53.
(c)
Use
the
integration
capabilities
of
a
graphing
utility
x
e
cos
t,
y
e
sen
t
0
t
53.
graficación
para
aproximar
la
longitud
de
arco
en
el
intervato
approximate
the
arc
length
over
the
interval
2
0
t
x
arcsen
t,
y
ln
1
t
54.
1
2
2
(c)
Use
the
integration
capabilities
of
aaaagraphing
utility
4over
2.
(c)
Use
the
integration
capabilities
of
graphing
utility
1 12
the arc length
interval
(c)
Use
thethe
integration
capabilities
graphing
utility
tt, t,y2 y3t ln1 1 t 2
en t, y ln 1 t54.
222
(c)
Use
the
integration
capabilities
ofof
graphing
utility
55. xx 0 arcsen
(c)
integration
capabilities
a graphing
utility
toloUse
approximate
the
arc
length of
over
the interval
00 t tto 2approximate
11 1
4the
2.the
22 2
11 1
to
approximate
arc
length
over
the
interval
0
t
x
arcsen
t,
y
ln
1
t
54.
x
t,
y
3t
1
0
t
55.
2
2
to
approximate
the
arc
length
over
the
interval
0
t
x
arcsen
t,
y
ln
1
t
54.
4
2.
to
approximate
the
arc
length
over
the
interval
2
0
t
x
arcsen
t,
y
ln
1
t
54.
!
arcsin
t,t,
1
2
t
54.
2
arcsen
to
approximate
the
arc
length
over
the
interval
22 2
arcsen
t,t 5y yy5 ln
ln
1
t
54. xxx 5
65.
Writing
0
t
y 3t 1
0
t
1
to
approximate
the
arc
length
over
the
interval
arcsen
ln
1
t
54.
4
2.
xx t, t, y y 3t 5 11
0 t t 122
55.
65.65.Redacción
444
2.
Writing
2.2.
56.
3t
55.
t3t2 1131111
t,t, yyyyy5
3t
55.
65. 1000Writing
0 1 tt t t 1111 2
55.
2.utility to graph each set of parametric
(a) Use44 a graphing2.
xxxx5x !t,t,t,
55.
3t
55.
10
6t 3
1
t5
56.
65.
Writing
5 3t
t 55 510 1 6t
65.
Writing
(a)
Use
a
graphing
utility
to graph each
set of parametric
a)
Usar
una
herramienta
de graficación
para representar
cada
y
1
t
2
65.
Writing
65.
Writing
1
t
3
65.
Writing
5
equations.
x
t,
y
1
t
2
56.
1
t
5
(a)
Use
a
graphing
utility
to
graph
each
set
of
parametric
1
t
65.
Writing
10 6t
xxxx5 t,t,t,
yyyy510ttt 5 16t131133
1111 ttt t 2222
56.
(a) Use
a graphing
utility to
graph each set of parametric
56.
equations.
conjunto
de
ecuaciones
paramétricas.
t,
56.
t,
56.
x
y
56.
(a)
Use
a
graphing
utility
to
graph
each
set
of
parametric
Arc
Length
In
Exercises
57–
60,
find
the
arc
length
of
the
curve
3
10
6t
1 equations.
t 2
56. x t, y 10
(a)
Use
parametric
10
6t
(a)
Use aaaa graphing
graphing utility
utility to
to graph
graph each
each set
set of
parametric
33
10
(a)
utility
each
set
of
3
6t
6t6t
(a)
Use
graphing
utility
to
graph
each
set
ofof parametric
parametric
equations.
xUse
t graphing
sin t
x to
2t graph
sin 2t
Length
In10
equations.
[0,
]. curve57– 60, find the arc length of the curve
2Exercises
on Arc
the
interval
equations.
In Exercises 57– 60,Arc
find
the
arc
length
of
the
equations.
sen
x
t
sin
t
x
2t
sin
2t
x
5
t
2
sin
t
x
5
2t
2
sin
s
2t
d
equations.
sen
Length
In Exercises
60, find the arc length
thetcurve x 2t sin 2tequations.
[0, 2 ].57–
on
the interval
xlength
t ofof
sin
cos
cos 2t
2t
Arc
Length
In
Exercises
57–
60,
the
Arc
Length
In
Exercises
57–
60,
find
the
arc
length
of
the
curve
al [0, 2 ].
xy t 1 sin
t t
xy 2t1 sin
Arc
Length
57–
60,find
find
thearc
arc
length
ofthe
thecurve
curve
Arc
Length
In
57–
60,
find
arc
length
of
the
curve
3 the
3
Arc
Length
In
Exercises
57–
60,
find
the
arc
length
of
the
curve
[In
].].los ejercicios
0,Exercises
2Exercises
on
the
interval
ttt tt t
xxxyx5
y ttt1t 2
1 sin
y 2t
1 sin
cos
cos
12t2
cos
s2t
2t
d2t
x
a
cos
,
y
a
sin
57.
Hypocycloid
perimeter:
sin
2t
sin
Longitud
de
arco
En
57
a
60,
hallar
la
longitud
de y 1 cos 2txxxxyx5
sincos
sin
sin
2t
sin
2t
[
0,
2
on
the
interval
3 , y y a1
3 cos t
[
]
0,
2perimeter:
.].
on
the
interval
t
sin
t
x
2t
sin
2t2t
[
0,
2
on
the
interval
[
]
0,
2
.
on
the
interval
x
a
cos
sin
57.
Hypocycloid
0
t
2
0
t
y
1
cos
t
y
1
cos
2t
[
]
0,
2
.
on
the
interval
3
3
arco
de
curva
en el intervalo
[cos
0, 23p
cos
, y la circumference:
a sin perimeter:
loid perimeter: x a57.
yyy0y 0≤ 111t1 ≤
cos
yyy0y 0≤ 111t1 ≤
cos
xx aacos
,3y],. y a sin
58. Hypocycloid
Circle
cos
cos
2t
2cos
p2tttt t
pcos2t
a sin 3 t33 3 2
cos
cos
2t2t
y 1 t cos
y 1 t cos
2t
0 t
57.
Hypocycloid
perimeter:
cos
58.
Circle circumference:
cos
sin
57.
Hypocycloid
perimeter:
cos333 3 ,,,,y,yyyy 0aaaaasin
sin33
57.
Hypocycloid
perimeter:xxxxxx aaaaaacos
0
t
2
0
t
cos
sin
57.
Hypocycloid
perimeter:
(b)
Compare
the
graphs
of
the
two
sets
of
parametric
,
y
a
sin
rcumference: x a cos
cos
sin
57.
Hypocycloid
perimeter:
x hipocicloide:
a x sin
59. Circle
Cycloid
arch:
3 u,cos
3u
0000Compare
ttt t 222las
0
t
b) (b)
Comparar
gráficas
de
los
dos
conjuntos
de equations
ecuaciones
0
t
a cos ,xy,5y aacos
a1 sin
58.
circumference:
sen
57.
y
5
a
sin
Perímetro
de
una
000of
tt t two sets
graphs
the
of
parametric
equations
0 parametric
t (a).22Ifthe
cos
,,, y,yyy (b)aaaasin
58.
Circle
circumference:
1Compare
cos the graphs of the two sets of
59.
Cycloid
arch: x axxxx aaaasin
cos
sin
58.
Circle
circumference:
in
part
the
curve
represents
the
motion
of a particle
cos
sin
58.
Circle
circumference:
equations
cos
sin
58.
Circle
circumference:
sin 59.
,58.
y Cycloid
a 1 circumference:
cos
arch: x a
paramétricas
del
inciso
a).
Si
la
curva
representa
mox
a
cos
,
y
a
sin
Circle
x
cos
sin
,
y
sin
cos
60.
Involute
of
a
circle:
(b)
Compare
the
graphs
of
the
two
sets
of
parametric
equations
in
part
(a).
If
the
curve
represents
the
motion
of
aelparticle
sin x, y5 a acos
1 u, ycos
arch: x de aun círculo:
sen
58.
Circunferencia
5
a
sin
u
(b)
Compare
the
graphs
of
the
two
sets
of
parametric
equations
and
what
can
you
about
the
average
speeds
t is time,
(b)
Compare
the
of
the
two
sets
ofofparametric
equations
aaa x sin
59.
Cycloid
arch:
cos ,,, y,yyy aaasin
ycos
60.
Involute
of xaxxxcircle:
part
(a). If the cos
curve represents
the
motion
agraphs
particle
(b)
Compare
the
graphs
the
two
sets
parametric
equations
59.
Cycloid
arch:
(b)
Compare
the
graphs
of
the
two
sets
parametric
sin
a1111 in, cos
cos sin
59.
Cycloid
arch:
vimiento
de
una
partícula
yyou
tinfer
esinfer
tiempo,
¿qué
puede
inferirse
(b)
Compare
the
graphs
ofof
the
two
sets
of
parametric
equations
in
part
(a).
Ifof
the
curve
represents
theof
motion
ofaverage
a equations
particle
a cos sin
sin
cos
59.
Cycloid
arch:
sin
,
y
sin
of a circle: x cos 60.
and
is
time,
what
can
about
the
speeds
t
in
part
(a).
IfIf
curve
represents
the
motion
of
aaaparticle
x x cos
sinud,, yy and
Involute
a circle:
of
the
particle
on
the
paths
represented
by
the
two
sets
oflas
in
part
(a).
the
curve
represents
the
motion
of
particle
is2time,
the
average
speeds
part
(a).
Ifthe
the
curve
represents
the
motion
particle
5cos
asu 2 sin
5 sin
astsin
1modeled
cos cos
uwhat
dcosthecan you infer about
59.
Arco
deof
sen
in
(a).
If
the
curve
represents
the
motion
of
particle
acerca
de
las
velocidades
promedio
de
laaverage
partícula
en
sin
cos
60.
Involute
of
aaacicloide:
61.
of
auna
Projectile
path
by
ininof
part
(a).
Ifwhat
the
curve
represents
the
motion
ofofaatwo
particle
sin
60.
Involute
of
circle:
and
isthe
time,
can
you
infer
about
the
speeds
tpart
cos of a projectile
sin ,,,, y,yyyy issin
sin
cos
60.Path
Involute
acircle:
circle:xxxxxThecos
particle
on
the
paths
represented
by
the
sets
of
cos
sin
sin
cos
60.
Involute
of
circle:
cos
sin
sin
cos
60.
Involute
ofof
aProjectile
circle:
and
is
time,
what
can
you
infer
about
the
average
speeds
t
parametric
equations?
61.
Path
of
a
The
path
of
a
projectile
is
modeled
by
the
and
is
time,
what
can
you
infer
about
the
average
speeds
t
of the particle on the paths represented
two
sets
of you
and
isthe
time,
what
can
you
infer
about
the
average
speeds
tis
and
time,
what
can
infer
the
average
ttby
trayectorias
representadas
por
losabout
dos by
conjuntos
despeeds
ecuaparametric
equations
and
is
time,
what
can
you
infer
about
the
average
speeds
60.
Evolvente
o
involuta
de
un
círculo:
Projectile The path61.
of aPath
projectile
is
modeled
by
the
of
the
particle
on
the
paths
represented
the
two
sets
of
parametric
equations?
of a Projectile
The path of a projectile
is modeled
by the
of
the
on
the
paths
represented
two
of
parametric
equations
of
the
particle
on
the
paths
represented
by
the
two
sets
of
equations?
theparticle
particle
on
the
pathsdetermine
represented
bythe
the
twosets
sets
of
particle
on
the
paths
represented
by
the
two
sets
of
(c) parametric
Without
graphing
the
curve,
theby
time
required
for
61.
of
path
isis
by
ciones
paramétricas?
61.
Path
of
aauaProjectile
Projectile
The
path
of
projectile
modeled
by
the
ofofthe
the
particle
on
the
paths
represented
by
the
two
sets
ofof
xPath
5 cos
1
u sin u, yThe
5
sin
u of
2
uaprojectile
cos
u parametric
ic equations
equations?
61.
Path
Projectile
The
path
projectile
ismodeled
modeled
bythe
the
61.
Path
ofofacos
Projectile
The
path
ofofaaaasin
projectile
is16t
modeled
by
the
2
61.
Path
of
a equations
Projectile
path
of
projectile
modeled
by
the
parametric
parametric
equations?
ysen
90
30 t is
xparametric
90
30 sen
t andThe
(c)
Without
graphing
the
curve,
determine
the
time
required
for
parametric
equations?
parametric
equations?
parametric
equations?
a
particle
to
traverse
the
same
path
as
in
parts
(a)
and
(b)
if
equations
2
(c)30
Without
graphing
the curve, determine
the
time
required
for
parametric
equations
parametric
equations?
parametric
equations
c) Without
Sin
trazar
la
curva,
determinar
el tiempo
que
requiere
laif
x
90 cos
30 t and y
90 sin
t 16t
parametric
equations
(c)
graphing
the
curve,
determine
the
time
required
for
2
parametric
equations
a
particle
to
traverse
the
same
path
as
in
parts
(a)
and
(b)
cos 30 t and y
90 sin 3090tcos 16t
2 to traverse the same path
(c)
Without
graphing
the
determine
the
required
the
is
modeled
bycurve,
(c)
Without
graphing
the
curve,
determine
the
time
required
for
as
inpath
parts
(a)
and
(b)
30
t measured
y in90
sin
30 t a particle
16tun
and
(c)
Without
graphing
the
curve,
determine
thetime
time
required
for
61. xTrayectoria
de
un
proyectil
trayectoria
(c)
Without
graphing
the
determine
time
para
recorrer
las mismas
que(b)
enfor
los
x and
y30are
where
feet.
2 proyectil se
(c)
Without
graphing
the
curve,
determine
the
time
required
for
apartícula
particle
to
traverse
theifcurve,
same
path
as trayectorias
in the
parts
(a)required
and
iffor
xxx where
90
30
yyy La
90
sin
30
tt t de16t
and
the path
istraverse
modeled
by
90
cos
90
sin
30
16t
and
90cos
30ytttare
t de
90
sin
30the
16t222is2 modeled by
and
a
particle
to
the
same
path
as
in
parts
(a)
and
(b)
ifif
xcos
and
measured
in
feet.
x
90
cos
30
y
90
sin
30
t path
16t
and
a
particle
to
traverse
the
same
path
as
in
parts
(a)
and
(b)
a
particle
to
traverse
the
same
path
as
in
parts
(a)
and
(b)
1
1
1
describe
por
medio
las
ecuaciones
paramétricas
aa particle
to
the
same
path
as
in
parts
and
(b)
if
incisos
a)
ysin
b)traverse
si
la and
trayectoria
está
descrita
por(a)
and y are measured in feet.where
particle
to
traverse
the
same
path
as
in
parts
(a)
and
(b)
ifif
the
path
is
modeled
by
y
1
cos
x
t
t
t
.
(a) Use
a
graphing
utility
to
graph
the
path
of
the
projectile.
2 1is
2 1 by
2 1
x and y are measured in feet.
the
path
modeled
the
path
is
modeled
by
1
1
1
the
path
is
modeled
by
x
y
where
and
are
measured
in
feet.
and
y
1
cos
x
t
sin
t
t
.
(a)
Use
a
graphing
utility
to
graph
the
path
of
the
projectile.
the
path
is
modeled
by
2
1
1
1
yyyprojectile.
and
are
feet.
where
and
measured
feet.
the
modeled
where
and
measured
in
feet.
xwhere
5path
s90xxxxcos
308
dare
t measured
yin
5approximate
s90 sen
sin 308d t 22t 16t
y
x 51path
t 22issen
sin
1 s2 td2 yby y 5 1 2 coss 21t d. 2
and y 1 xcos
sin of
a graphing utility to graph(a)
the
the
y are
where
and
are
measured
inin
feet.
(b)
Use
agraphing
graphing
utility
to
range
2 t the
2 t2 .
y 1 cos 2t111 .1
Use
aof
utility
to graph
the path xof the
the projectile.
66. Writing
2 t111t1 sin
2 t111 1 and
x
sin
(a)
Use
a
graphing
utility
to
graph
the
path
of
the
projectile.
(b)
Use
a
graphing
utility
to
approximate
the
range
of
the
and
cos
x
t
sin
(a)
Use
a
graphing
utility
to
graph
the
path
of
the
projectile.
1
2
cos2122tttt2t.... .
and yyyyy 11111 cos
x
t
sin
(a)
Use
a
graphing
utility
to
graph
the
path
of
the
projectile.
and
cos
sin 2122tttt2t and
(a) projectile.
Use
graphing
utility
to graph
graph the
the path
path of
of the
the projectile.
projectile.
66.66.Redacción
Writing
a graphing utility to approximate
ofenthe
x ayaathe
ygraphing
serange
midenutility
pies.
donde
and
cos
xx 222tt2 sin
(a)
Use
to
2
2 the motion of a
66.
Writing
(b)
Use
graphing
utility
to
approximate
the
range
of
the
(a)
Each
set
of
parametric
equations
represents
projectile.
66.
Writing
(b)
Use
a
graphing
utility
to
approximate
the
range
of
the
(b)
Use
graphing
utility
to approximate
approximate
the
range
ofof the
the
ctile.
(b)
Usethe
graphing
utility
approximate
the
range
the
a)
Cada
conjunto
de ecuaciones
paramétricas
representa
el mo66.
Writing
(a)
Each
set
ofa parametric
equations
represents
the motion
of a
(c)
Use
integration
capabilities
of a para
graphing
utility
to
(b)
Use
aaauna
graphing
utility
the
range
of
66.
Writing
a)
Utilizar
herramienta
detotograficación
trazar
la
trayecprojectile.
66.
Writing
particle.
Use
graphing
utility
to
graph
each
set.
66.
Writing
(a)ofEach
set of parametric
represents
theparametric
motion of equations
a
projectile.
(c)
Use the integration
capabilities
a graphing
utility
toequations
projectile.
(a)
Each
set
of
represents
the
motion
of
a
projectile.
projectile.
vimiento
de
una
partícula.
Usar
una
herramienta
de
grafiparticle.
Use
a
graphing
utility
to
graph
each
set.
approximate
the
arc
length
of
the
path.
Compare
this
result
the integration capabilities
of
a
graphing
utility
to
projectile.
toria the
del proyectil.
(a)
Each
set
of
equations
represents
the
a
(a)
Each
set
of
parametric
equations
represents
the
motion
of
particle.
Use
athis
graphing
utility to
graph
each
set.
(c) Use
integration
capabilities
apath.
graphing
utility
to
(a)
Each
set
ofparametric
parametric
equations
represents
themotion
motionof
Second
First
Particle
approximate
arc
length of of
the
Compare
result
(a)
Each
set
of
represents
the
motion
ofofaaa
particle.
Use
aparametric
graphing equations
utility
toParticle
graph
each set.
(c)
Use
the
integration
capabilities
of
utility
to
cación
para
representar
cada
conjunto.
with
range
ofthe
the
projectile.
(c)
Use
the
integration
capabilities
of
graphing
utility
to
oximate the arc length of the
path.
Compare
this
result
(c)
Use
the
integration
capabilities
ofaaaaCompare
agraphing
graphing
utility
to
(c)
Use
the
integration
capabilities
of
graphing
utility
to
particle.
Use
a
graphing
utility
to
graph
each
set.
Second
Particle
First
Particle
particle.
Use
a
graphing
utility
to
graph
each
set.
(c)
Use
the
integration
capabilities
of
graphing
utility
to
approximate
the
arc
length
of
the
path.
this
result
particle.
Use
a
graphing
utility
to
graph
each
set.
b)
Utilizar
una
herramienta
de
graficación
para
estimar
el
particle.
Use
a
graphing
utility
to
graph
each
set.
with the range
of length
the
projectile.
Second Particle
First
Particle
tot graph each set.
xparticle.
3 cosUse
t a graphing
x utility
4 sin
approximate
the
arc
Compare
this
result
approximate
the
arc
length
of
the
path.
Compare
this
result
Second
Particle
the range of the projectile.
First
Particle
approximate
thethe
arcprojectile.
length
ofthe
thepath.
path.
Compare
this61
result
approximate
the
arc
length
of
the
path.
Compare
this
result
62. Path
ofthea del
Projectile
If
the of
projectile
in
Exercise
is
approximate
the
arc
length
of
the
path.
Compare
this
result
with
range
of
alcance
proyectil.
Second
First
x Particle
3 cos
t
x 4Particle
sin
t
Second
Particle
First
Particle
Primera
partícula
Segunda
partícula
First
Particle
Second
Particle
Second
Particle
First
Particle
with
the
range
of
the
projectile.
62.
Path
of
a
Projectile
If
the
projectile
in
Exercise
61
is
x
3
cos
t
x
4
sin
t
with
the
range
of
the
projectile.
Second
Particle
First
Particle
with
the
range
theis
projectile.
sintt
cos
with
range
of
the
projectile.
launched
at
an
angle
with
the horizontal, its parametric
xy 34cos
xy 43sin
tt
a Projectile If the62.projectile
inathe
Exercise
with
the
range
ofof61
the
projectile.
Path
of
Projectile
If
the
projectile
in
Exercise
61
is
x
3
cos
t
x
4
sin
t
y
4
sin
t
y
3
cos
c)
Utilizaraare
las
funciones
de the
integración
de in
unaExercise
herramienta
de
launched
at
an angleIfIf
withprojectile
the horizontal,
x 33cos
xx5 44sen
sin
costtt t
sinttt t t
cos
sin
Path
Projectile
61
equations
y in
4Exercise
sinitst parametric
62.
Path
of
Projectile
projectile
61
cos
sin
at an angle
with 62.
the
horizontal,
its
parametric
62.
Pathof
ofataaaaan
Projectile
If the
the
projectile
in its
Exercise
61isis
is y 3 cos t y0xxx54t33sin
2
0xx 3t44cos
2t
62.
Path
of
Projectile
If
the
projectile
in
Exercise
61
is
t
y
62.
Path
of
Projectile
If
the
projectile
in
Exercise
61
is
launched
angle
with
the
horizontal,
parametric
graficación
para
aproximar
la
longitud
de
arco
de
la
trayecequations
yyyy5
yyyy5
0 4444sin
tsinttt t 2
0 3333cos
tcosttt t2
launched
at
an
angle
with
the
horizontal,
its
parametric
sin
cos
launched
atatare
an
angle
with
the
horizontal,
its
parametric
sen
s are
launched
an
angle
with
the
horizontal,
its
parametric
sin
cos
launched
at
an
angle
with
the
horizontal,
its
parametric
2
0
t
2
0
t
2
y
4
sin
t
y
3
cos
launched
at an
with
the
its proyectil.
parametric
(b) 0Determine
equations
are
xequations
90 cos
t angle
90 sin
tel alcance
16t . 2del
and
toria.
Comparar
este yresultado
conhorizontal,
t 2 the number0of points
t 2oftintersection.
equations
are
0000Determine
ttt t 2222 the number
0000of tpoints
equations
are t and y
x
902are
cos
90 sin(b)t Determine
16t . the number of points of(b)
t t 2222of intersection.
equations
are
equations
are
intersection.
0 the
t particles
2 number
0points
cos t and y
9062.
sinxTrayectoria
t 9016t
(c) Determine
Will
everofbe
attt the
place at the same
2del ejercicio 61 se
(b)
the
of2same
intersection.
proyectil
el proyectil
cos . det un
y to find
90Sisin
t 16t
.22 2maximizes the
and
Use
a
graphing
utility
the
angle
that
(b)
Determine
the
number
of
points
intersection.
(c)
WillIf the
particles
ever
be
at of
the
same place at the same
xxx Use
90
cos
tt t and
yyy to 90
sin
t(c)
16t
..the
(b)
Determine
the
number
of
points
of
intersection.
2
90
cos
90
sin
t
16t
and
(b)
Determine
the
number
of
points
of
intersection.
90
cos
90
sin
t
16t
.
and
(b)
Determine
the
number
of
points
of
intersection.
time?
so,
identify
the
point(s).
2
a
graphing
utility
find
the
angle
that
maximizes
the
Will
particles
ever
be
at
the
same
place
at
the
same
b)
Determinar
el
número
de
puntos
de
intersección.
x
90
cos
t
y
90
sin
t
16t
.
and
(b)
Determine
the
number
of
points
of
intersection.
lanza
formando
un ángulo
con lamaximizes
horizontal,thesus
range
ofthat
the maximizes
projectile.
Whatu angle
arcecuaciones
length of
(c) Willtime?
the particles
ever be
atpoint(s).
the same place at the same
raphing utility to find theUse
angle
If
so, identify
the
(c)
Will
the
particles
ever
be
atat
the
same
place
atatatthe
same
a graphing
utility totheWhat
find the
angle
that
maximizes
the the
(c)
Will
the
particles
ever
be
atat
the
same
place
the
same
range
of the
projectile.
angle
maximizes
length
of point(s).(d)
time?
Ifthe
so,arc
identify
(c)
WillIf
the
particles
ever
be
the
same
place
the
same
paramétricas
son
(c)
Will
the
particles
ever
be
the
same
place
the
same
Explain
what
happens
if
the
motion
of the
particle
c)
¿Estarán
las
partículas
en
algún
momento
ensecond
el at
mismo
lugar
Use
a
graphing
utility
to
find
the
angle
that
maximizes
the
(c)
Will
the
particles
ever
be
at
the
same
place
at
the
same
the
trajectory?
time?
so,
identify
the
point(s).
Use
a
graphing
utility
to
find
the
angle
that
maximizes
the
the projectile. What anglerange
maximizes
the
arc
length
of
Use
a
graphing
utility
to
find
the
angle
that
maximizes
the
Use
a
graphing
utility
to
find
the
angle
that
maximizes
the
time?
If
so,
identify
the
point(s).
Use
a
graphing
utility
to
find
the
angle
that
maximizes
the
(d)
Explain
what
happens
if
the
motion
of
the
second
particle
of
the
projectile.
What
angle
maximizes
the
arc
length
of
time?
If
so,
identify
the
point(s).
the
trajectory?
time?
If
so,
identify
the
point(s).
is
represented
by
2
time?
If
so,
identify
the
point(s).
al
mismo
tiempo?
Si
es
así,
identificar
esos
puntos.
range
of
the
projectile.
What
angle
maximizes
the
arc
length
of
what
happens
of the what
second
particle
range
ofof
the
projectile.
What
angle
maximizes
the
arc
length
ofof if the motion
sen
xrange
5trajectory?
s90of
dprojectile.
t y y5
s90 angle
sin
udmaximizes
t maximizes
2(d)16tExplain
. the
ctory?
range
theuprojectile.
What
angle
thearc
arclength
length
the
What
of
(d) Explain
happens
motion of the second particle
range
ofcos
the
projectile.
What
angle
maximizes
the
arc
length
of
is represented
by ifififthe
the
(d)
Explain
happens
the
second
(d)
what
happens
the
motion
of
the
second
particle
the
trajectory?
is represented by
(d)
Explain
the
motion
the
second
particle
the
trajectory?
(d)
Explain
what
happens
if
the
motion
of
the
second
particle
d)
Explicar
qué
ocurre
de
la
partícuxExplain
2 what
3what
sin
t,happens
y si elif
2ifmovimiento
4motion
cos
t, of
tsegunda
2 . particle
0ofthe
the
trajectory?
(d)
Explain
what
happens
the
motion
of
the
second
particle
is
represented
by
the
trajectory?
Usar una herramienta de graficación para hallar el ángulo que
is
represented
by
x
2
3
sin
t,
y
2
4 cos t, 0 t 2 .
is
represented
by
is
represented
by
is
represented
by
la
se
representa
por
2 maximiza
3 sin t, yla 2 4 cos t,x is 0represented
2 t,.by y 2 4 cos t, 0 t 2 .
maximiza el alcance del proyectil. ¿Qué xángulo
2 t 3 sin
xxxx 2222 3333sin
sin
cos
sint,t,
cost,t,
2 ..... .
sin
t,t,t, yyyyy5 222222 44444cos
cos
t,t, 00000# tttt t# 22222p
longitud de arco de la trayectoria?
x 5 2 1 3 sin
t,
cos
t,
sen
hapter 10
1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 729
10-3.qxd 3/12/09 16:47 Page 729
1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 729
1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50
1059997_1003.qxp
PM Page 729
9/2/08
3:50 PM
Page 729
SECCIÓN
10.3 Parametric
Ecuaciones
paramétricas
y cálculo
729
10.3
Equations
and Calculus
729
10.3 Parametric Equations and Calculus
729
10.3 Parametric Equations and 10.3
CalculusParametric
729Equations and Calcul
Área
de una
superficie
En los ejercicios
67 a 70,
una inte84.
de una
deradius
una esfera
de radiobyr
Surface
Area
In Exercises
67–70, write
an dar
integral
that
84. Área
Surface
Areasuperficie
A portionUna
of a porción
sphere of
r is removed
gral
que represente
el
área
la67–70,
superficie
generada
por revolusecutting
elimina
un cone
cono
circular
vértice
el centro
de
represents
area
of
thedesurface
generated
revolving
the
outcortando
a circular
its con
vertex
at rthe
center
ofby
the
Surface
Areathe In
Exercises
write
anbyintegral
that
84. Surface
Area
A portion
of awith
sphere
of
radius
isenremoved
Surface
Area
In
Exercises
67–70,
Surface
writeuna
Area
anherramienta
integral
In Exercises
that
67–70,
84. Surface
write
an
Area
integral
A portion
that
of aforma
sphere
84. un
Surface
ofángulo
radiusArea
removed
A portion
by of a sphere of radius r
ruis. Hallar
ción
de
la
curva
alrededor
del
eje
la
esfera.
El
vértice
del
cono
2
x.
Usar
de
el
área
curve about
x-axis.
a graphing
utility
approximate
sphere.out
The
vertex ofcone
the cone
forms
an angle
the
2 . Find
represents
the the
area
of theUse
surface
generated
by to
revolving
the
cutting
a circular
with its
vertex
at the of
center
of the
represents the
area of the surface
represents
generated the
by revolving
area of the
thesurface generated
cutting
out
by arevolving
circular
cone
the
with
its vertex
cuttingatout
the acenter
circular
of cone
the with its vertex at the
graficación
de
superficie
eliminada
decone
la
esfera.
the integral.
surface
areavertex
removed
from
the
sphere.
curve
aboutpara
the aproximar
x-axis. Use laa integral.
graphing utility to approximate
sphere.
The
of the
forms
an angle of 2 . Find the
curve about the x-axis. Use a graphing
curve utility
about to
theapproximate
x-axis. Use a graphing
sphere.
utilityThe
to vertex
approximate
of the cone formssphere.
an angle
The
of vertex
of the cone forms an angle o
2 . Find
the integral.
1059997_1003.qxp 9/2/08
3:50 PM Page 729surface area removed from the sphere.
Ecuaciones
Intervalo
the integral.
the integral.
surface
area
removed
from
the
sphere.
surface
area
removed
from
Parametricparamétricas
Equations
Interval
Area
In
Exercises
85
and
86,
find
the
area
of
the
region.
(Use the sphere.
Área En los ejercicios 85 y
hallar el área de la región. (Usar
67.
t1
22
0Interval
#t#
4 4
Parametric
Equations
the
result
of
Exercise
83.)
67.xParametric
x5 4t,3t, y y5
t
0
t
Area
In Exercises
85 and
86, find the area of the region. (Use
el resultado
del ejercicio
83.)
Equations
Parametric
IntervalEquations
Area In Interval
Exercises 85 and 86, findArea
the area
In of
Exercises
the region.
85 and
(Use86, find the area of the
the result of Exercise
83.)
67. x 13t,12 2 y t 2
0 t 4
2
2
2
the
result
of
Exercise
83.)
thexxresult
ofuExercise 83.)
85. xx5 202sin
86.
sintu 4
cot
67.
67. x 03t,0# tyt #
68.
85.
86.
5 22cot
sen
t 23 3
t 34t 3 2
68.x x5 43t,t ,t ,yy y5t t 1
14
2 2
85. x 2 sin
86. xyy5 222cot
222u2
sin
tanu
sin
10 2 t 3
222u tan
sen
68. x 1 t 2, y t 3
sin
sen
85. xyy52202sin
86.85.
86. x 2 cot
x x 2 cot
2sin
sin
0t , t y 3pt 3
t
3
68. x 4 t 22, y t 3
68. x
4 cosu2 , , y y5 cos
69.
04 0≤ u ≤
y 2 sin22 tan
y 2 sin22 2
cosu
69.x x5 cos
y
2
sin
y 2 sin2
y
2
sin
tan
y
2
sin
tan
22
0
<
00 << u << p
2
0 2
69. x cos22 , y cos
Parametric Equations and Calcul
0
0<
, yp2 cos
69. x cos , y cos
69. x cos
0
0 < 10.3
<
0
< 2 yy 2
0 <0 < < y y
0 < <
sinsinu, , y y5 u 1 cos
0 0≤ u ≤ 2
70.
cosu
70.x x5 u 1 sen
2
2
22
y
y
sin , y
cos
0
70. x
y y
y
sin , y
cos 70. x
0 sin , 2 y
cos
0 22y
70. x
2
2
Surface
Area
In
Exercises
67–70,
write
an
integral
that
84.
Surface
Area
A portion of a sphere of radius r
Surface
Area
In Exercises
71–76,
find the
the surface
Área
de una
superficie
En los
ejercicios
71 aarea
76, of
encontrar
el
2
211 revolving the
112 a circular cone with its vertex at the
represents
the
of
the surface generated by
cutting out
generated
by revolving
the 71–76,
curve
about
each
given
axis.
Surface
Area
In Exercises
find the
area
the
surface
área
de la
superficie
generada
por revolución
de
laofarea
curva
alredeSurface Area In Exercises 71–76, curve
Surface
find the
Area
area
of
In
the
Exercises
surface
71–76,
find
the
area
of
the
surface
1
about
theaxis.
x-axis. Use a graphing utility 1to approximatex x
sphere. 11The
vertex of the
cone forms an angle
o
generated
revolving
the curve
given
dor
de cadabyuno
de los ejes
dados.about each
1
x
1
generated
by revolving
generated
eacha)given
by
each
given axis.
y 3t, the
0 curve
t 3,about
eje ycurve about −2
71. x 2t,
ejerevolving
x axis. b) the
−2 −1
− 1 area removed
−2 −1
−1
the integral.
surface
11 2 2 x
−2
11 22 from the sphere.
x
x
−1
−1
71.
a) eje
b)b)eje
2t,t, yy 3t,
3,t 2,
−1
4 002t, tt0 3,
72.xx x 2t,
ejexxyx 3t,b)
ejeyy ty 3,
−2 − 1 −1
1
2
−2 −1
1
2
y 3t,
2t,
0eje
71.
71. xParametric
a)a)
eje
eje x
−2−2 In
− 1−1
1 1852 and
− 1 of the
−2 a)−1
1b) eje
2 y
2
Equations
Interval
Area
Exercises
86,
find the−2area
−1
−
1
72. x t, y 4 2t, 0 t 2,
a) eje x
b) eje y
−2
2
−1
1−−1
−1
−2
−2
y 4, y 2t,5 sen
0 , t 0 2,72.
t,, ejeeje
yxy y 4t b)2t,
t 2,
72.
a)0eje
xt 4 b) eje y
the result −of
Exercise 83.)
73.x x t, 5 cos
67. xx a)3t,
2eje 0y
2
−2
−2
−2
− 2−2
−2
, y 5 sen , 0
, eje y
73. x 5 1cos
2 y , y
sen 1, 0t 73.
cos
5 sen , CAS
0
73.
yt 3 Closed Curves 85.
2 sin2 87–92, use a 86. x 2 cot
2 , 51eje
2, xxeje
t 3, y, y t 5 1,
74.x x 5 3cos
68.
Areas2 ,of0eje
Simple
In xExercises
2 y4 t , y t 3
CAS Áreas de curvas cerradas simples En los ejercicios
87 a 92, usar
1
y of 2Exercise
sin2 87–92,
tan83 touse
y 2 sin2
computer
algebraClosed
systemCurves
and the In
result
match
y 3 t 1, 1 3 t , 02, eje y 1 ,3 eje x
74.
CAS Areas
of Simple
Exercises
a
75.xx x 13 tta33,,cos
1 t 2,
x y 3 t , y t 1, 1 CAS
t Areas
2,
y ,t y 1, a sen
74.
74.eje
yof
un eje
sistema
algebraico
porCurves
computadora
y of
el resultado
deluse
ejerciCAS Areas
Simple
Closed
In Exercises
Simple
87–92,
Closed
Curves
a
In Exercises 8
3
the
closed
curve
with
its
area.
(These
exercises
were
based
on
2
3
3
computer
algebra
system
and
the
result
of
Exercise
83
to
match
x cos
0 relacionar
cos
yy absen
, eje 3x, y cos 3
75.
cos
sen3 ,,, 000 69.
76.xx x aa acos
3 ,,, y
cio 83 para
la and
curva
con
su
área.83(Estos
ejersystem
thecerrada
result
computer
Exercise
algebra
system
to match
and the result
a sen
eje x , y a sen , 0 computer
, algebra
eje x with
75.
75. x 2 a, , cos
0of
0 <of Exercis
<
2Area
“The
Surveyor’s
Formula,”
by
Bart< Braden,
College
the
closed
curve
its area.
(These
exercises
were
based
on
2 with
cicios
fueron
adaptados
del
artículo
“The
Surveyor’s
Area
the
closed
curve
with
its
area.
(These
the
exercises
closed
curve
were
based
its
on
area. (These exercises w
cos
,
y
b
sen
,
2
,
0
76. x a) aeje
x
eje
y
b)
Mathematics
Journal,
Septemberby 1986,
335–337,
2Surveyor’s
,
76. x a cos , y b sen , 0 76. x 2 ,a cos , y b sen , 0 “The
Area
Formula,”
Bart pp.
Braden,
Collegeby
y
Formula”
Braden
en la publicación
de yseptiembre
de
Surveyor’s
Area
Formula,”
“The
by Bart
Surveyor’s
Braden,
Area
College
Formula,”
by Bart Bra
sin , y
cos “The
0 deofBart
70. x
a) eje x
b) eje y
permission
the 2author.)
Mathematics
Journal,
September
1986,
pp.
335–337,
by
eje
x
eje
y
eje
x
eje
y
a)
b)
a)
b)
1986 del College
Mathematics
Journal,
pp. 335-337,
con autorMathematics
Journal,
September
Mathematics
1986,
pp. Journal,
335–337,
September
by
1986, pp.
WRITING ABOUT CONCEPTS
2
permission
of
the author.)
3
ización
autor.)
permission
of
the
author.)
of the author.)
(a) 83the
(b)the
(c) 2permission
a2
abdel
a2
W
R
I
T
I
N
G
A
B
O
U
T
C
O
N
C
E
P
T
S
8 surface
77.
Give
the
parametric
form
of
the
derivative.
Surface
Area
In
Exercises
71–76,
find
area
of
W
R I T I N G A B Ode
U Tconceptos
C O N C E P T SW R I T I N G A B O U T C O N C E P T S 8
Desarrollo
3
22
1
1
883 ab
338 2 a222ab
(a)
(b)
(c)
ab given
each
axis.
77. Give the parametric form of thegenerated
derivative.by revolving the curve about
a)(d)
b)(e)
c)(f)22p6(a)
aa22a 83 ab
(a)
(b)
(c)
(b) 38 a 2
(c) 2 a 2
a
33 ab
88p a
77.
Give
the
parametric
form
of
the
derivative.
77.
Give
the
parametric
form
of
the
derivative.
In Dar
Exercises
78paramétrica
and 79, mentally
determine dy/dx.
2
77.
la forma
de la derivada.
x
(d)
(e)
(f)
6
a
ab
2
ab
d)87.p ab
e) 2tpb)ab2eje y (f)
f) 66p88.
aa22 Astroid:
(d)
(e)t 21 ab
(f) 6 a 2 −2 − 1
aba) eje x0(e)
ab
y 3t, 0 t 3, (d)
71. x 2t,dy/dx.
Ellipse:
2 2
−2 −1 0
In Exercises
78 and
79,
mentally
determine
En
losx ejercicios
783 y79,
79,mentally
determinar
In78.
Exercises
In
Exercises
78 dy/dx.
and
determine dy/dx.
t, 78
y and
79.determine
x mentalmente
t, ydy/dx.
6t
5 79, mentally 87.
3 t
−1
Ellipse:
88.
Astroid:
0 t 2
0−1
2
2,
72. x t, y 4 2t, 0 t 87.
xEllipse:
a cos
x a) beje
cos
87. Ellipse:
Elipse:
88.87.
Astroide:
88.
Astroid:
88. Astroid: 0
0 0t t t 2 2
0x t t b)2 eje y
79. xx 5t,t, yy 5 6t
6t 2 55
78. x 5 t, y 5 33
79.
3
3
78.
x Give
t, y integral
3
79.
x 78.
t,x y t, parametric
6ty 53 form.
79. x x t,
x a cos
by cos
tt 5
3ttt
sin6t
sin
3−2
80.Dar
formula
forlaarc
length
cos
xxyx5aaacos
x a cos− 23 t
xxy5,bbacos
bcos
cos
tt
x 5in
cosarco
, yen forma
5 sen , 0
73.
eje
ytt
80.
la the
fórmula integral
para
longitud
de
3 ty
2
y
y
a
sin
t
y
a
sin
3
80.
Give
the
integral
formula
for arc the
length
in parametric
form.of
33tt t
81.paramétrica.
Givethe
theintegral
integral
formulas
of the
surfaces
asin
sin
sen
sen
yy 5 ain
tt
yy y5 aasin
asinsin
y a sin 3 t
80.
Give
formula
for for
arc length
80. areas
Give
in
the
integral
form.
formula for arc length
parametric
form.
1 3parametric
ya
y
xcurve3 tof
1 t 2, eje y
, is
yrevolved
t 1,about
74.
CAS Areas of Simple
Closed Curves In Exercises
revolution
formed
when
a
smooth
C
81.
Give
the
integral
formulas
for
the
areas
the
surfaces
of
y
y
y
y
y
y 8
a
81.
parathe
lasareas
áreas
superficies
de
81. Dar
Givelas
thefórmulas
integral integrales
formulas for
81.
Giveofde
the
the
integral
surfacesformulas
of
for the areas of the surfaces of
3 , y about
3 ,
computer algebra system and the result of Exercis
(a)
the
xaxis
and
(b)
the
yaxis.
a
revolution
formed
when
a
smooth
curve
C
is
revolved
a
sen
x
a
cos
0
,
eje
x
75.
revolución
generadas
pora smooth
revolución
deCuna
curva
suave
C a smooth curve C isaarevolved about
a a
revolution formed
when
curve
revolution
is revolved
formed
about
when
a
the closedaa curve with its area. (These exercises
w
(a) the x-axis
and (b) the
y-del
axis.
alrededor
a) del
y b)yeje
cosx-axis
, y andb(b)
senthe, y-0axis.
2 ,
76.y.x (a)athe
(a) the x-axis
andeje(b)x the
axis.
“The Surveyor’s Area xFormula,” by Bart Bra
b
a
a) eje x
b) eje y
Mathematics Journal,x September 1986, pp.
CAPSTONE
C
AP
PS
S(a)
OSketch
N EE a graph of a curveC
82.
Wdefined
T ITNOby
GN Ethe
A B Oparametric
UT CONCEPTS
CPara
A
TTdiscusión
O
N
ARPI S
b
bb
x
equations
thatparametric
x of
g t a and
f t such
dx dt > 0
82. (a) Sketch
a graph
curvey defined
bythe
the
77. (a)
Giveby
of the defined
derivative.
82. (a) Sketch a graph of a curve defined
82.
Sketch
theparametric
parametric
a graph form
of a curve
by the parametric
and dyla dt
all real
numbers
82. a) Dibujar
gráfica
una
por las
equations
x < 0g for
tde and
ycurva
f definida
t sucht. that
dx ecuaciodt > 0
equations x g t and y f t suchequations
that dx xdt >g0t and y 89.
such that0 dx tdt >2 0
f t Cardioid:
nes
paramétricas
5 real
g(t)
yIn
y Exercises
5 f(t)
manera
que
and
numbers
dy dt < 0 forxofall
t. bydethe
(b)
Sketch
curve
defined
parametric
78
and
mentally
determine
dy/dx.
and
numbers
all real 89.
numbers
dy dta <graph
t.and
dy
dt
0 for allareal
< 79,
0 for
Cardioid:
0 t ≤2 2p
x t.2a cos
dxydt
>
0
y
dyydt
<
0
para
todos
los
números
reales
t.
89. Cardioid:
Cardioide:
89.
0s0t ≤t ta cos
2 2td
equations
and
such
that
x
g
t
y
f
t
dx
dt
< 0
(b) Sketch a graph of a curve defined by the parametric
(b) Sketch a graph of a curve defined
(b)
by
Sketch
the
parametric
a 3graph of a curve
defined
by
the
parametric
78.
x
t,
y
79.
x
t,
y
6t
5
x
2a
cos
t
a
cos
2t
2acos
sin tt 2 aacos
sin2t
2t
and dyladt
all
numbers
b) Dibujar
gráfica
unareal
por las
equations
x < 0g for
tdeand
ycurva
f definida
t sucht. that
dx ecuaciodt < 0
xy5 2a
2a
cos
cos
2t
equations x g t and y f t suchequations
that dx xdt <g0t and y f xt such
thatt dxa dt
< 0
y
nes
5 real
g(t)numbers
y y 5 f(t)
yy 5 2a
sin
t
a
sin
2t
and paramétricas
dy dt < 0 forx all
t. de manera que
2a
sintt 2 aasin
sin
2t
sen
sen
y 2a
sin
2t
and dy dt < 0 for all real numbers
t.and
dt < formula
realarc
numbers
t. parametric
0 for allfor
80. los
Give
thedy
integral
length
in
form.
dxydt < 0 y dyydt < 0 para todos
números
reales t.
y
yy
Give
formulas for the areas of the surfaces of
83. Use integration by substitution to 81.
show
thatthe
if yintegral
is a continuous
revolution
formed
when
x
a
x
b,
x
f
t anda smooth curve C is revolved about
function
of
on
the
interval
where
83. Use integration by substitution to show that if y is a continuous
83. Mediante
Use integration
by substitution
to83.
show
Use
that
integration
if yx-que
isaxis
a si
continuous
byy substitution
to show that if y is a continuous
(a)
the y-axis.
por sustitución
una
83.
y g t of
,integración
then
x
x on the interval
a x mostrar
b, the
x and
f es
t(b)and
function
where
a x afunction
b,
xx onx fthe
t f sand
a x b, where xa f t and
functioncontinua
of x on de
thex en
interval
where
of
interval
función
el
intervalo
≤
x
≤
b,
donde
y
5
t
d
y b g t , then t 2
x
td,, entonces
y g t , then
then
xx
yy 5 ggystdx
a
g t f t dt
b
t
a
a
bba
tt222t
C A PbS T O N E t 2
1
dx 5
dt
yy dx
ggsttd ff9stttd dt
dt
y dx
g t f t dt
t1
a
82. ag(a)
a graph ofon
a curve defined by the parametric
andSketch
a, f t 2
b, and both
f aret1continuous
aawhere f t1 tt11
x g on
tenand y f t such that dx dt > 0
t1, t 2ff. st1t1d 5a,a,f f ts2t 2d 5b,b,and
where
bothggcomo
and fequations
are
continuous
donde
y
tanto
son
continuas
f
9
where f t
and fand
onall
a, f t 2
b, and both gwhere
f are
t1dycontinuous
b, and
g andt.f are continuous on
realboth
numbers
dta, <f t02 for
fttt11,,, ttt22g... 1
t1, t 2 .
1 2
(b) Sketch a graph of a curve defined by the parametric
equations x g t and y f t such that dx dt < 0
and dy dt < 0 for all real numbers t.
E
xx
permission of the author.)
baaa
(a) 83 ab
(b)
a2
(c) 2 a 2
(d) Deltoid:
ab
90.
0 (e)t 2 ab
2
90.
Deltoid:
0
t
2
x
2a
cos
t
a
cos
90.87.
Deltoide:
90.
89.
Deltoid:
Cardioid:
Ellipse:
0 0 0 t t t 2 2 22t
xxy5 2a
cos
t aaacos
2t
2a
sin
sin
2t2t
2a
cos
2t
x x 2a
cos
cos
tttt 1
t a cos
acos
cos
2t
b2a
cos
yt
yy 5 2a
sin
a
sin
2t
2aa2a
sin
2t2t
sen
sen
y y 2a
sin
sin
sin
ttt 2
t aasin
asinsin
2t
y
yy
(f) 6 a 2
90.
88. Deltoid:
Astroid: 0
x
a2acos
cos3 t
y
a sin
2a
sin3 t
y
yy
a
a
a
E
a
aa
89. Cardioid: 0
x x
a b
a
t
2
90. Deltoid: 0
x
2a cos t
a cos 2t
x
2a cos t
y
2a sin t
a sin 2t
y
2a sin t
y
83. Use integration by substitution to show that if y is a continuous
3
8
y
10-3.qxd 3/12/09 9/2/08
16:47 3:50
Page PM
730 Page 730
1059997_1003.qxp
1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 730
730
730
730
CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates
Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates
91. Reloj de arena: s0 ≤ t ≤ 2pd 92. Lágrima: s0 ≤ t ≤ 2pd
91. Hourglass: 0 t 2
92. Teardrop: 0 ≤ t ≤ 2
5 a sen
sin 2t 0 t 2
x 5 2a cos
t 2t a≤sen
sin
0 ≤
2 2t
91. xHourglass:
92. Teardrop:
x a sin 2t
x 2a cos t a sin 2t
yx 5 basen
sin
sin
t
sin t2t
x y 52abcos
t
a
sin
2t
sen
y b sin t
y b sin t
y
y
y b sin yt
y b sin yt
b y
b
b
b
b
b
y
x
a
a
a
a
a
a
x
x
x
Centroide
EnExercises
los ejercicios
94, the
hallar
el centroide
de la
Centroid In
93 and9394,y find
centroid
of the region
Centroid
In the
Exercises
93ofand
94,
findecuaciones
the centroid
of theand
region
región
limitada
por
la gráfica
las
paramétricas
bounded
by
graph
thede
parametric
equations
they
bounded
the (Use
graph
ofresult
theelof
parametric
equations
los
ejes de by
coordenadas.
resultado
ejercicio and
83.) the
coordinate
axes.
the(Usar
Exercisedel
83.)
coordinate axes. (Use the result of Exercise 83.)
93. x
94. x
t, y 4 t
4 t, y
t
t, y 4 t
4 t, y
t
93. x
94. x
Volumen
EnExercises
los ejercicios
95 y96,
96,find
hallar
volumen
Volume In
95 and
theelvolume
of del
thesólido
solid
generado
revolución
torno
al
ejethe
x by
de
la
limitada
Volume
Inrevolving
Exercises
95en
and
96,bounded
find
volume
of the
formed bypor
the
region
theregión
graphs
ofsolid
the
por
la equations
gráfica
deabout
las the
ecuaciones
dadas.
elofgraphs
resultado
del
formed
by revolving
by the
of 83.)
the
given
theregion
(Use
the(Usar
result
Exercise
x-axis. bounded
ejercicio
83.)
given equations
about the x-axis. (Use the result of Exercise 83.)
95. x 6 cos , y 6 sen
95.
95. x 6 cos , y 6 sen
96. x cos , y 3 sin , a > 0
sin
96.
96. xx 5 cos
cos u,, yy 5 33sen
sin u,, aa >> 00
97. Cycloid Use the parametric equations
97.
Emplear
las ecuaciones
paramétricas
97. Cicloide
Cycloid Use
the parametric
equations
y a 1 cos , a > 0
and
x a
sin
xx 5 aasu 2 sen
sin
ud, a ,>a 0> 0
yand y 5y as1a21 coscos
sin ud
to
answer
the
following.
para responder lo siguiente.
to answer the following.
2
2. 2.
dx and
y dx
(a)Hallar
Find dy
dyydx
a)
y d 2dyydx
(a) Find dy dx and d 2y dx 2.
(b)Hallar
Find the
equation ofdethe
line at en
theelpoint
b)
las ecuaciones
la tangent
recta tangente
puntowhere
en el
(b)que
Find
thep
equation of the tangent line at the point where
6.y6.
u5
6.
(c)Localizar
Find all points
of horizontal
tangency.
c)
todos (if
losany)
puntos
(si los hay)
de tangencia hori(c)zontal.
Find all points (if any) of horizontal tangency.
(d) Determine where the curve is concave upward or concave
(d)Calcular
Determine
where
thecurva
curvecóncava
is concave
concave
downward.
d)
dónde
es la
haciaupward
arriba or
y dónde
es
downward.
abajo.
(e)cóncava
Find thehacia
length
of one arc of the curve.
(e)Hallar
Find the
length ofdeone
la longitud
un arc
arcoofdethela curve.
curva.
98. e)
Use the parametric
equations
98.
Use
the
parametric
equations
98. Emplear las ecuaciones paramétricas
1
y 3t 1 t3
x t2 3
and
2
1
3t t33 t3
xx 5 tt2!33
yand y 5y 3t 2
3 3
to answer the following.
to answer
the following.
para
los incisos
siguientes.
(a) Use
a graphing
utility to graph the curve on the interval
(a)Emplear
Use
a
graphing
utility todegraph
the curve
the la
interval
a)
una
graficación
paraon
trazar
curva
3 t 3.herramienta
3 intervalo
t 3. 232 ≤ t ≤2 3.
en
el
(b) Find dy dx and d y dx .
2 y dx
2. 2.
dx and
(b)Hallar
Find dy
8
dyydx
b)
y d 2dyydx
3, 83 .
(c) Find the
equation
of the
tangent line at the point
8
.
(c)Hallar
Find the
equationde
of la
therecta
tangent
line atenthe
point s!3,
3,
c)
la
ecuación
tangente
el
punto
3
3 d.
(d) Find the length of the curve.
(d)
Find
the
length
of
the
curve.
d)
la curva.
(e)Hallar
Find la
thelongitud
surfacedearea
generated by revolving the curve
(e)Hallar
Find
the
surface
generated
by revolving
the curve
e)
de la area
superficie
generada
por revolución
de la
aboutel
theárea
x-axis.
aboutenthe
x-axis.
curva
torno
al
eje
x.
99. Involute of a Circle The involute of a circle is described by
99. Evolvente
Involute
ofo involuta
aPCircle
involute
a circle
described
by
99.
deThe
círculo
La of
evolvente
involuta
de
un
the endpoint
of a string
that
is held
taut
as it isoisunwound
from
the
endpoint
P of anot
string
isfigure).
held taut
as una
it that
is unwound
from
círculo
está
por
el(see
extremo
P Show
de
cuerda
que
se
a spool
that descrita
does
turnthat
a parametric
arepresentation
spool that
does
not involute
turn
that a que
parametric
mantiene
tensa
mientras
se (see
desenrolla
un carrete
no gira
of
the
isfigure).deShow
representation
the involute
(ver
la figura). of
Mostrar
que laissiguiente es una representación
x r cos de la sin
y r sin
cos .
paramétrica
evolvente oand
involuta
x r cos
sin
y r sin
cos .
and
y
x 5 rscos u 1 u sen
sin ud
y 5 rssen
sin u 2 u cos ud.
y
y
y
1
1
1
r
rθ
rr θ P
rθ P
r
P
x
x
x
Figura para 99
Figura para 100
Figure for 99
Figure for 100
Evolvente
involuta de un círculo La figura
muestra
un seg100. Figure
foro99
Figure
for 100
mento deofcuerda
sujetoThe
a un
círculo
de aradio
cuerda
100. Involute
a Circle
figure
shows
piece1.ofLastring
tiedes
100. Involute
of with
a Circle
Thelarga
shows
a piece
ofisopuesto
string
tied
justo
lo suficientemente
llegar
al
lado
del
to
a circle
a radius
offigure
onepara
unit.
The
string
just long
to
a circle
with athe
radius
one
Thecircle.
stringFind
is
círculo.
Encontrar
elopposite
áreaofque
seunit.
cubre
cuando
la just
cuerda
enough
to
reach
side
of
the
the long
arease
enough
to reach
the opposite
of las
the manecillas
circle.
Finddel
thereloj.
area
desenrolla
en sentido
contrario
al unwound
de
that
is covered
when
the
stringside
is
counterclockwise.
that is covered when the string is unwound counterclockwise.
a) Usar
herramienta
degraph
graficación
paragiven
trazar
101. (a)
Use auna
graphing
utility to
the curve
by la curva
101. (a)
utility to graph the curve given by
dadaUse
pora graphing
2
1 t
2t
x 11 2 tt222, y
20 t 20.
2t t 2 ,
2t
1
1
t
x
5
,
y
5
220
x
20 ≤ t ≤ 20.
2, y
2,,
2
2
11 1 tt
11 1 tt
(b)
Describe la
thegráfica
graph yand
confirm la
your
result analytically.
b) Describir
confirmar
respuesta
en forma ana(b) lítica.
Describe the graph and confirm your result analytically.
(c) Discuss the speed at which the curve is traced as t
(c)
Discuss
the
speed
which
curvela iscurva
traced
as t t
20 at
increasesla
from
toa20.
c) Analizar
velocidad
la cual the
se traza
cuando
20
increases
from
to
20.
aumentaAde
220 amoves
20. from the origin along the positive
102. Tractrix
person
102.
Tractrix
A person
moves
from
along
positive
axis pulling
a persona
weight
at
end the
of
aorigin
12-meter
rope.
102. yTractriz
Una
sethe
mueve
desde
el origen
athe
lo Initially,
largo del
yaxis
pulling
a
weight
at
the
end
of
a
12-meter
rope.
Initially,
12,
0
.
the
weight
is
located
at
the
point
eje y positivo tirando un peso atado al extremo de una cuerda
0.
the
weight
is located
at Inicialmente,
the point 12, el
de 12
de96
largo.
estáthat
situado
en el
(a)
In metros
Exercise
of Section
8.7, it waspeso
shown
the path
punto
s
12,
0
d
.
(a)
In
Exercise
96
of
Section
8.7,
it
was
shown
that
the
path
of the weight is modeled by the rectangular equation
of the
weight is96modeled
by the8.7
rectangular
a) En
el ejercicio
de la sección
se mostróequation
que la trayec12
144 x 2
toria
del12peso
mediante
la 144
siguiente
y
ln 12se describe
x 2 ecuación
2
144
x
x
y
12 ln
144 x 2
rectangular
x
where 0 < x 12 12.
utility to graph the
2 !Use
144a2graphing
x2
y 5 212
2 !144 2 x 2
12. Use
where
0 <lnxequation.
rectangular
x a graphing utility to graph the
rectangular equation.
(b) donde
Use a graphing
to graph
the parametric
una herramienta
de equations
graficación
0 < x ≤ utility
12. Usar
(b) para
Use representar
a graphing utility
to graph
the parametric equations
la ecuación
rectangular.
t
t
x 12
y t para
12 tanh
and
b) Usar
unasech
herramienta
de graficación
trazar
t
t la gráfica
12
12
x las12ecuaciones
sech
y t 12 tanh
and
de
12
12 paramétricas
where t 0. How
does
this
graph
compare with
t
t the graph
ygraph
x 5part
12t sech
5 either)
t 2compare
12 do
tanhyou
where
How does
thisy(if
graph
withthink
the graph
in
(a)?0. 12
Which
is a
12
in
part
(a)?
Which
graph
(if
either)
do
you think is a
better
representation
of
the
path?
donde t ≥ 0. Comparar esta gráfica con la del inciso a).
better representation of the path?
(c) ¿Qué
Use the
parametric
for the tractrix
verify that
gráfica
(si hay equations
alguna) representa
mejor latotrayectoria?
(c) Use
the parametric
equations
for of
thethe
tractrix
to verify
ythe
distance
from
the
intercept
tangent
linepara
tothat
the
c) Emplear las ecuaciones paramétricas de la tractriz
veythe
distance
from the
intercept of of
thethe
tangent
line of
to the
point
of
tangency
is
independent
location
thela
rificar que la distancia de la intersección con el eje y de
point
of tangency.
tangency is independent of the location of the
pointtangente
of
recta
al punto de tangencia es independiente de
point of tangency.
la ubicación del punto de tangencia.
True or False? In Exercises 103 and 104, determine whether
True
or False?
In Exercises
103
104,y explain
determine
the
statement
is true
or false.
If it and
is false,
whywhether
or give
¿Verdadero
o falso?
En
los ejercicios
103
104,
determinar
si la
the
statement
is
true
If itSiisesfalse,
why
orqué
giveo
an
example
that
showsoritfalse.
is
false.
afirmación
es
verdadera
o falsa.
falsa,explain
explicar
por
an
thatque
shows
it is false.
darexample
un ejemplo
demuestre
que es falsa.
103. If x f t and y g t , then d 2 y dx 2 g t f t .
2
2 yydx
2g5 tg0 s
103. If
and
d 2 y dx
, then
f tdyf
t .0 std.
Sixx curve
y y y5bygsgxtdt, entonces
5f f sttdgiven
104. The
a horizontal
tangent at
t 3, y td2 has
3 y
22
3
t
104. The
curve
given
by
has
a
horizontal
tangent
at
x
t
,
La curva
por dy 5dt 05
horizont una
0. tangente
the
origindada
because
whentiene
dy dt
0 when
0.
the
origin
because
tal en
el origen
puesto
que dyydt
5 t0 cuando
t 5 0.
105.
Tape Another
use usar
to solve
105. Recording
Cinta de grabación
Otro method
método you
que could
se puede
para
105. Recording
Tape
Another
method
you with
couldanuse
to radius
solve
Example
5
is
to
find
the
area
of
the
reel
inner
solucionar el ejemplo 5 es encontrar el área del carrete con un
Example
5 is
to findouter
the area
ofof
the2 reel
withand
an then
inneruse
radius
of
0.5interior
inch
and
radius
inches,
the
radio
de an
0.5 pulgadas
y un
radio
exterior
de 2 pulgadas,
of
0.5 inch
and
an outer
radius
of 2 where
inches,the
andwidth
then isuse
the
formula
for
the
area
of
the
rectangle
y después usar la fórmula para el área del rectángulo0.001
cuyo
formula
for
themethod
area oftothe
rectanglehow
where thetape
width
is 0.001
inch.
this
determine
is required
anchoUse
es de
0.001 pulgadas.
Utilizar estemuch
método para
determiinch.
Use
this method to determine how much tape is required
to
fill
the
reel.
nar cuánta cinta se necesita para llenar el carrete.
to fill the reel.
1
2
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SECCIÓN 10.4
SECCIÓN 10.4
731
731
Coordenadas polares y gráficas polares
Coordenadas polares y gráficas polares
10.4 Coordenadas polares y gráficas polares
n
n
n
n
n
Comprender el sistema de coordenadas polares.
Expresar coordenadas y ecuaciones rectangulares en forma polar y viceversa.
Trazar la gráfica de una ecuación dada en forma polar.
Hallar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar.
Identificar diversos tipos de gráficas polares especiales.
Coordenadas polares
a
gid
cia
i
dir
P = (r, θ)
tan
r
is
=d
Hasta ahora las gráficas se han venido representando como colecciones de puntos (x, y) en
el sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas
han estado en forma rectangular o en forma paramétrica. En esta sección se estudiará un
sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas polares.
Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen), y a partir de O se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se
muestra en la figura 10.36. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, u), como sigue.
θ = ángulo dirigido
r 5 distancia dirigida de O a P
u 5 ángulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje
—
polar hasta el segmento OP
Eje
polar
O
Coordenadas polares
Figura 10.36
La figura 10.37 muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Obsérvese que
en este sistema es conveniente localizar los puntos con respecto a una retícula de circunferencias concéntricas cortadas por rectas radiales que pasan por el polo.
π
2
π
2
π
2
θ =π
3
(2, π3 )
π
1
2
3
0
π
2
3π
2
3π
2
a)
b)
3
0
π
2
θ = −π
6
π
3, − 6
(
)
3π
2
0
3
θ = 11π
6
11π
3, 2 6
(
)
c)
Figura 10.37
COORDENADAS POLARES
El matemático al que se le atribuye haber
usado por primera vez las coordenadas
polares es James Bernoulli, quien las introdujo en 1691. Sin embargo, ciertas evidencias señalan la posibilidad de que fuera Isaac
Newton el primero en usarlas.
En coordenadas rectangulares, cada punto sx, yd tiene una representación única. Esto
no sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas sr, ud y sr, 2p 1 ud
representan el mismo punto [ver los incisos b) y c) de la figura 10.37]. También, como r
es una distancia dirigida, las coordenadas sr, ud y s2r, u 1 pd representan el mismo
punto. En general, el punto sr, ud puede expresarse como
sr, ud 5 sr, u 1 2npd
o
sr, ud 5 s2r, u 1 s2n 1 1dpd
donde n es cualquier entero. Además, el polo está representado por s0, ud, donde u es
cualquier ángulo.
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Transformación (o cambio) de coordenadas
y
Para establecer una relación entre coordenadas polares y rectangulares, se hace coincidir
el eje polar con el eje x positivo y el polo con el origen, como se ilustra en la figura 10.38.
Puesto que sx, yd se encuentra en un círculo de radio r, se sigue que r 2 5 x 2 1 y 2. Para
r > 0, la definición de las funciones trigonométricas implica que
(r, θ )
(x, y)
r
y
θ
Polo
x
cos u 5 ,
r
y
tan u 5 ,
x
y
y
sin
sen u 5 .
r
x
Eje polar
(eje x)
x
(Origen)
Si r < 0, estas relaciones también son válidas, como se puede verificar.
TEOREMA 10.10 TRANSFORMACIÓN (O CAMBIO) DE COORDENADAS
Relación entre coordenadas polares y rectangulares
Las coordenadas polares sr, ud de un punto están relacionadas con las coordenadas
rectangulares sx, yd de ese punto como sigue.
y
1. x 5 r cos u
2. tan u 5
x
y 5 r sen
sin u
r 2 5 x2 1 y 2
Figura 10.38
y
2
π
3, 6
)
(x, y) = 3 , 3
2 2
)
(r, θ) =
1
(
(r, θ) = (2, π )
−2
(
1
−1
EJEMPLO 1
x
2
(x, y) = (−2, 0)
Transformación (o cambio) de coordenadas polares
a rectangulares
a) Dado el punto sr, ud 5 s2, pd,
x 5 r cos u 5 2 cos p 5 22
−1
y
y 5 r sen
sin u 5 2 sen
sin p 5 0.
Por tanto, las coordenadas rectangulares son sx, yd 5 s22, 0d.
−2
b) Dado el punto sr, ud 5 s!3, py6d,
Para pasar de coordenadas polares a
rectangulares, se hace x 5 r cos u y
y 5 r sen u.
x 5 !3 cos
p 3
5
6
2
y 5 !3 sen
sin
y
p !3
5
.
6
2
Por tanto, las coordenadas rectangulares son sx, yd 5 s3y2, !3y2d.
Ver la figura 10.39.
Figura 10.39
EJEMPLO 2
Transformación (o cambio) de coordenadas
rectangulares a polares
a) Dado el punto del segundo cuadrante sx, yd 5 s21, 1d,
tan u 5
y
2
(r, θ) =
(
3π
2, 4
)
π
(r, θ) = 2 , 2
(x, y) = (0, 2)
(
3p
.
4
r 5 !x 2 1 y 2
5 !s21d 2 1 s1d 2
(x, y) = (−1, 1)
x
−1
u5
Como u se eligió en el mismo cuadrante que sx, yd, se debe usar un valor positivo
para r.
)
1
−2
y
5 21
x
1
2
5 !2
Esto implica que un conjunto de coordenadas polares es sr, ud 5 s!2, 3py4d.
Para pasar de coordenadas rectangulares a
polares, se toma tan u 5 yyx y
r 5 !x 2 1 y 2 .
b) Dado que el punto sx, yd 5 s0, 2d se encuentra en el eje y positivo, se elige u 5 py2 y
r 5 2, y un conjunto de coordenadas polares es sr, ud 5 s2, py2d.
Figura 10.40
Ver la figura 10.40.
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SECCIÓN 10.4
π
2
Coordenadas polares y gráficas polares
733
Gráficas polares
Una manera de trazar la gráfica de una ecuación polar consiste en transformarla a coordenadas rectangulares para luego trazar la gráfica de la ecuación rectangular.
π
1
2
3
0
EJEMPLO 3
Trazado de ecuaciones polares
Describir la gráfica de cada ecuación polar. Confirmar cada descripción transformando la
ecuación a ecuación rectangular.
3π
2
a) r 5 2
a) Círculo: r 5 2
b) u 5
p
3
c) r 5 sec u
Solución
π
2
π
1
2
3
a) La gráfica de la ecuación polar r 5 2 consta de todos los puntos que se encuentran a
dos unidades del polo. En otras palabras, esta gráfica es la circunferencia que tiene su
centro en el origen y radio 2. (Ver la figura 10.41a.) Esto se puede confirmar utilizando la relación r 2 5 x 2 1 y 2 para obtener la ecuación rectangular
0
x 2 1 y 2 5 22.
b) La gráfica de la ecuación polar u 5 py3 consta de todos los puntos sobre la semirrecta que forma un ángulo de py3 con el semieje x positivo. (Ver la figura 10.41b.) Para
confirmar esto, se puede utilizar la relación tan u 5 yyx para obtener la ecuación rectangular
3π
2
b) Recta radial: u 5
Ecuación rectangular.
p
3
y 5 !3 x.
π
2
Ecuación rectangular.
c) La gráfica de la ecuación polar r 5 sec u no resulta evidente por inspección simple, por
lo que hay que empezar por pasarla a la forma rectangular mediante la relación
r cos u 5 x.
π
1
2
3
0
r 5 sec u
r cos u 5 1
x51
3π
2
Ecuación polar.
Ecuación rectangular.
Por la ecuación rectangular se puede ver que la gráfica es una recta vertical. (Ver la
figura 10.41c.)
c) Recta vertical: r 5 sec u
Figura 10.41
TECNOLOGÍA
Dibujar a mano las gráficas de ecuaciones polares complicadas
puede ser tedioso. Sin embargo, con el empleo de la tecnología, la tarea no es difícil. Si
la herramienta de graficación que se emplea cuenta con modo polar, usarlo para trazar
la gráfica de las ecuaciones de la serie de ejercicios. Si la herramienta de graficación no
cuenta con modo polar, pero sí con modo paramétrico, se puede trazar la gráfica de
r 5 f sud expresando la ecuación como
x 5 f sud cos u
y 5 f sud sen
sin u.
6
−9
9
−6
Espiral de Arquímedes
Figura 10.42
Por ejemplo, la gráfica de r 5 12u que se muestra en la figura 10.42 se generó con una
herramienta de graficación en modo paramétrico. La gráfica de la ecuación se obtuvo
usando las ecuaciones paramétricas
1
x 5 u cos u
2
1
y 5 u sen
sin u
2
con valores de u que van desde 24p hasta 4p. Esta curva es de la forma r 5 au y se
denomina espiral de Arquímedes.
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
EJEMPLO 4
NOTA
Una forma de bosquejar la
gráfica de r 5 2 cos 3u a mano, es elaborar una tabla de valores.
u
0
p
6
p
3
p
2
2p
3
r
2
0
22
0
2
Si se amplía la tabla y se representan
los puntos gráficamente se obtiene la
curva mostrada en el ejemplo 4.
n
Trazado de una gráfica polar
Dibujar la gráfica de r 5 2 cos 3u.
Solución Para empezar, se expresa la ecuación polar en forma paramétrica.
x 5 2 cos 3u cos u
y 5 2 cos 3u sen
sin u
y
Tras experimentar un poco, se encuentra que la curva completa, la cual se llama curva
rosa, puede dibujarse haciendo variar a u desde 0 hasta p, como se muestra en la figura
10.43. Si se traza la gráfica con una herramienta de graficación, se verá que haciendo variar
a u desde 0 hasta 2p, se traza la curva entera dos veces.
π
2
π
2
π
0
π
0
1 2
p
6
0 ≤ u ≤
3π
2
p
3
0 ≤ u ≤
π
2
π
0
1 2
3π
2
π
2
0
p
2
π
2
π
0
1 2
π
0
1 2
3π
2
0 ≤ u ≤
π
1 2
3π
2
0 ≤ u ≤
π
2
3π
2
2p
3
0 ≤ u ≤
5p
6
1 2
3π
2
0 ≤ u ≤ p
Figura 10.43
Usar una herramienta de graficación para experimentar con otras curvas rosa (estas
curvas son de la forma r 5 a cos nu o r 5 a sen
sin nud. Por ejemplo, las curvas que se muestran en la figura 10.44 son otros dos tipos de curvas rosa.
r = 2 sen 5θ
r = 0.5 cos 2θ
2
π
2
3
−3
0
0.2 0.3 0.4
−2
Curvas rosa
Figura 10.44
Generada con Mathematica
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SECCIÓN 10.4
Coordenadas polares y gráficas polares
735
Pendiente y rectas tangentes
Para encontrar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar, considerar una función diferenciable (o derivable) r 5 f sud. Para encontrar la pendiente en forma polar, se
usan las ecuaciones paramétricas
x 5 r cos u 5 f sud cos u
y
y 5 r sen
sin u 5 f sud sen
sin u.
Mediante el uso de la forma paramétrica de dyydx dada en el teorema 10.7, se obtiene
π
2
dy dyydu
5
dx dxydu
Recta tangente
r = f( θ)
5
(r, θ )
f sud cos u 1 f 9sud sin
sen u
2f sud sen
sin u 1 f9sud cos u
con lo cual se establece el teorema siguiente.
π
0
TEOREMA 10.11 PENDIENTE EN FORMA POLAR
Si f es una función diferenciable (o derivable) de u, entonces la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de r 5 f sud en el punto sr, ud es
3π
2
dy dyydu
f sud cos u 1 f9sud sen
sin u
5
5
dx dxydu 2f sud sen
sin u 1 f9sud cos u
Recta tangente a una curva polar
Figura 10.45
siempre que dxydu Þ 0 en sr, ud. (Ver la figura 10.45.)
En el teorema 10.11 se pueden hacer las observaciones siguientes.
1. Las soluciones
dy
dx
5 0 dan una tangente horizontal, siempre que
Þ 0.
du
du
2. Las soluciones
dx
dy
5 0 dan una tangente vertical, siempre que
Þ 0.
du
du
Si dyydu y dxydu simultáneamente son 0, no se puede extraer ninguna conclusión respecto a las rectas tangentes.
EJEMPLO 5
Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales
Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales a r 5 sen
sin u, 0 ≤ u ≤ p.
Solución Para empezar se expresa la ecuación en forma paramétrica.
π
2
x 5 r cos u 5 sen
sin u cos u
( 1, π2 )
y
y 5 r sen
sin u 5 sen
sin u sen
sin u 5 sen
sin 2 u
( 22 , 34π )
( 22 , π4 )
π
(0, 0)
1
2
0
3π
2
Rectas tangentes horizontales y verticales a
r 5 sen u
Figura 10.46
Después, se derivan x y y con respecto de u y se iguala a 0 cada una de las derivadas.
dx
5 cos 2 u 2 sen
sin 2 u 5 cos 2u 5 0
du
dy
5 2 sen
sin u cos u 5 sen
sin 2u 5 0
du
u5
u 5 0,
p 3p
,
4 4
p
2
Por tanto, la gráfica tiene rectas tangentes verticales en s!2y2, py4d y s!2y2, 3py4d, y
tiene rectas tangentes horizontales en s0, 0d y s1, py2d, como se muestra en la figura 10.46.
10-4.qxd
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736
13:11
Page 736
CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
EJEMPLO 6
Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales
Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales a la gráfica de r 5 2s1 2 cos ud.
π
2
Solución Se usa y 5 r sin
sen u, se deriva y dyydu se iguala a 0.
( )
3, 2π
3
y 5 r sen
sin u 5 2s1 2 cos ud sen
sin u
( 1, π3 )
(4, π )
π
0
( 1, 53π )
dy
sen udg
sen ussin
5 2 fs1 2 cos udscos ud 1 sin
du
5 22s2 cos u 1 1dscos u 2 1d 5 0
( 3, 43π )
Por tanto, cos u 5 2 12 y cos u 5 1, y se concluye que dyydu 5 0 cuando u 5 2py3,
4py3,y 0. De manera semejante, al emplear x 5 r cos u, se tiene
3π
2
x 5 r cos u 5 2 cos u 2 2 cos 2 u
dx
senu 5 2 sin
sen u 1 4 cos u sin
sen us2 cos u 2 1d 5 0.
5 22 sin
du
Rectas tangentes horizontales y verticales
de r 5 2s1 2 cos ud
Por tanto, sen q = 0 o cos u 5 2 2 , y se concluye que dyydu 5 0 cuando q = 0, p, p/3 y
5p/3. A partir de estos resultados y de la gráfica que se presenta en la figura 10.47, se concluye que la gráfica tiene tangentes horizontales en (3, 2p/3) y (3, 4p/3), y tangentes verticales en (1, p/3), (1, 5p/3) y (4, p). A esta gráfica se le llama cardioide. Obsérvese que
cuando q = 0 ambas derivadas (dyydu y dxydu) son cero (es decir, se anulan). Sin embargo, esta única información no permite saber si la gráfica tiene una recta tangente horizontal o vertical en el polo. Pero a partir de la figura 10.47 se puede observar que la gráfica
tiene una cúspide (o punto anguloso o cuspidal) en el polo.
Figura 10.47
1
El teorema 10.11 tiene una consecuencia importante. Supóngase que la gráfica de
r 5 f sud pasa por el polo cuando u 5 a y f9sad Þ 0. Entonces la fórmula para dyydx se
simplifica como sigue.
dy
f9sad sen
sin a 1 f sad cos a
f9sad sen
sin a 1 0
sin a
sen
5
5
5
5 tan a
dx f9sad cos a 2 f sad sen
sin a f9sad cos a 2 0 cos a
Por tanto, la recta u 5 a es tangente a la gráfica en el polo, s0, ad.
f(θ ) = 2 cos 3θ
π
2
TEOREMA 10.12 RECTAS TANGENTES EN EL POLO
Si f sad 5 0 y f9sad Þ 0, entonces la recta u 5 a es tangente a la gráfica de
r 5 f sud. en el polo.
π
0
2
3π
2
Esta curva rosa tiene, en el polo, tres rectas
tangentes su 5 p y6, u 5 p y 2, y
u 5 5p y6d
Figura 10.48
El teorema 10.12 es útil porque establece que los ceros de r 5 f sud pueden usarse para
encontrar las rectas tangentes en el polo. Obsérvese que, puesto que una curva polar puede
cruzar el polo más de una vez, en el polo puede haber más de una recta tangente. Por ejemplo, la curva rosa
f sud 5 2 cos 3u
tiene tres rectas tangentes en el polo, como se ilustra en la figura 10.48. En esta curva,
f sud 5 2 cos 3u es 0 cuando u es py6, py2, y 5py6. La derivada ƒ9(u) 5 26 sen u
no es 0 en estos valores de u.
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SECCIÓN 10.4
737
Coordenadas polares y gráficas polares
Gráficas polares especiales
Varios tipos importantes de gráficas tienen ecuaciones que son más simples en forma polar
que en forma rectangular. Por ejemplo, la ecuación polar de un círculo de radio a y centro
en el origen es simplemente r 5 a. Más adelante se verán las ventajas que esto tiene. Por
ahora, se muestran abajo algunos tipos de gráficas cuyas ecuaciones son más simples en
forma polar. (Las cónicas se abordan en la sección 10.6.)
Caracoles
π
2
r 5 a ± b cos u
r 5 a ± b sen
sin u
sa > 0, b > 0d
π
2
π
0
π
3π
2
2n pétalos si n es par
sn ≥ 2d
π
2
π
0
π
3π
2
1 <
π
2
0
3π
2
a
< 2
b
Caracol con hoyuelo
a
51
b
Cardioide (forma
de corazón)
π
2
n pétalos si n es impar
0
3π
2
a
< 1
b
Caracol con lazo
interior
Curvas
rosa
Rose Curves
π
2
a
≥ 2
b
Caracol convexo
π
2
π
2
n=4
n=3
π
a
0
π
0
π
0
a
r 5 a cos nu
Curva rosa
Círculos y lemniscatas
π
r 5 a sen
sin nu
Curva rosa
π
2
a
0
3π
2
r 5 a sen
sin nu
Curva rosa
π
2
π
n=2
3π
2
r 5 a cos nu
Curva rosa
π
2
0
n=5
3π a
2
3π
2
a
π
0
π
2
a
π
0
π
0
a
a
3π
2
r 5 a cos u
Círculo
3π
2
sin u
r 5 a sen
Círculo
3π
2
sin 2u
r 2 5 a 2 sen
Lemniscata
3π
2
r 2 5 a2 cos 2u
Lemniscata
TECNOLOGÍA
Las curvas rosa descritas arriba son de la forma r 5 a cos nu
o r 5 a sen
sin nu, donde n es un entero positivo mayor o igual a 2. Usar una herramienta
de graficación para trazar las gráficas de r 5 a cos nu o r 5 a sen
sin nu con valores no
enteros de n. ¿Son estas gráficas también curvas rosa? Por ejemplo, trazar la gráfica de
r 5 cos 23u, 0 ≤ u ≤ 6p.
Gráfica generada con Maple
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre curvas rosa y otras curvas relacionadas con ellas, ver el artículo “A Rose is a Rose...” de Peter M. Maurer en The American
Mathematical Monthly. La gráfica generada por computadora que se observa al lado izquierdo, es
resultado de un algoritmo que Maurer llama “La rosa”.
1059997_1004.qxp 9/2/08
9/2/08 3:51
3:51 PM
PM Page
Page 738
738
1059997_1004.qxp
1059997_1004.qxp
9/2/08
3:51
PM
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738
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16:56 3:51
Page PM
738 Page
1059997_1004.qxp
9/2/08
3:51
PM
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1059997_1004.qxp
1059997_1004.qxp
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738
738
738
738
738
738
CAPÍTULO
Cónicas,
ecuaciones
paramétricas
coordenadas
polares
Chapter 10 10 Conics,
Parametric
Equations,
and yPolar
Coordinates
Chapter
10
Conics,
Parametric
Equations,
and
Polar
Coordinates
Chapter 10
10 Conics,
Conics, Parametric
Parametric Equations,
Equations, and
and Polar
Polar Coordinates
Coordinates
Chapter
Chapter
10
Conics,
Parametric
Equations,
and
Polar
Coordinates
Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates
Exercises
Seewww.CalcChat.com
www.CalcChat.comfor
forworked-out
worked-outsolutions
solutionstotoodd-numbered
odd-numberedexercises.
exercises.
10.4 Exercises
Ejercicios See
10.4
See
10.4
www.CalcChat.com
for
worked-out
solutions
to
odd-numbered
exercises.
See www.CalcChat.com
www.CalcChat.com for
for worked-out
worked-out solutions
solutions to
to odd-numbered
odd-numbered exercises.
exercises.
10.4
Exercises See
See
www.CalcChat.com
for
worked-out
solutions
to
odd-numbered
exercises.
10.4 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutionsc)to odd-numberedπ exercises.
En los ejercicios 1 a 6, representar gráficamente el punto dado
In Exercises 1– 6, plot the point in polar coordinates and find
In
Exercises
1–
6,
plot
the
point
in
polar
coordinates
and
find
In
Exercises
1–6,
6,
plot
the
pointcoordinates
in polar
polar
coordinates
and find
find
en
coordenadas
polares
y hallar
las
coordenadas
In
1–
plot
the
point
in
coordinates
and
In
Exercises
1–
6,
plot
the
point
in
polar
coordinates
and
find
theExercises
corresponding
rectangular
for therectangulares
point.
the
corresponding
rectangular
coordinates
for
the
point.
the
corresponding
rectangular
coordinates
for the
the point.
point.
correspondientes.
In corresponding
Exercises
1– 6, rectangular
plot the point
in polar coordinates
and find
the
coordinates
for
the
corresponding
rectangular
coordinates
for
the
point.
1. corresponding
2. s22,
s8,8,ppy2
y2d
22, 5pp
y3the
d point.
the
rectangular coordinates
for
1.
2.
y3
1.
2.
8,
p
y2
22,
p
y3
1. sssss8,
2. sssss22,
8, p
py2
y2ddddd
22, 55555p
py3
y3ddddd
1.
2.
1.
2.
8,
p
y2
22,
p
y3
3. s24, 23py4d
4. s0, 27py6d
27
p
y6
3.
4.
p
y4
1. ssss24,
2. ss0,
s24,
8, p23
y2
22,
y3ddddd
s0,
24,
23dp
py4
y4dddd
0,
275p
ppy6
y6
3.
4.
27
3.
4.
24,
23
p
y4
27
p
y6
3.
4.
!2,23
5.
6. sss0,
2.36
23,
21.57
d
s23,
s
d
!
5.
6.
2,
2.36
21.57
s
d
s24,
23ddp
s23,
0, 27
py6dddddd
3. ss!
4. ssss23,
5.
6.
2,
2.36
21.57
!
5.
6.
2, 2.36
2.36
23,
21.57
!
5.
6.
2,
21.57
5.
6.
2,
2.36
23,
21.57
s!
d y4d
(c)
(c)
(c)
(c)
(c)
(c)
d)
(d)
(d)
(d)
(d)
(d)
(d)
2
ππ
2π
ππ2ππ2
2222π
2
0
1
3
0
In5.Exercises
Exercises
7–10,
use
the
anglela
feature
of21.57
a graphing
graphing
utility
to
6.
2, 2.367–10,
d de una
s23,
s!ejercicios
d 7 ause
ángulo
herraEn
los
10,the
emplear
función
In
use
the
angle
feature
of
utility
to
In
Exercises
7–10,
angle
feature
of
graphing
utility
to
In
Exercises
7–10, use
use coordinates
the angle
angle feature
feature
of aaapoint
a graphing
graphing
utility
to
In
Exercises
7–10,
the
of
utility
to
In
Exercises
7–10,
use
the
angle
feature
of
a
graphing
utility
to
find
the
rectangular
for
the
given
in
polar
mienta
derectangular
graficación para
encontrar
lasthe
coordenadas
rectangulafind
the
coordinates
for
point
given
in
polar
find
the rectangular
rectangular
coordinates
for the
theofpoint
point
given in
in
polar
In del
Exercises
7–10,
use
the angle feature
a graphing
utility
to
find
the
coordinates
for
given
polar
find
the
rectangular
coordinates
for
the
point
given
in
polar
coordinates.
Plot
the
point.
res
punto
dadothe
en
coordenadas
polares.
Representar
gráficacoordinates.
Plot
point.
coordinates.
Plot the
the point.
point.
find
the
rectangular
coordinates
for
the
point
given
in
polar
coordinates.
Plot
coordinates.
Plot
the
point.
5 22 sin
sin
5 44 cos
cos 22uu
23.
24.
sen uu
mente el punto.
23. rrr5
24. rrr5
5
5
23.
24.
sin
cos
7. ss7,7,55ppy4
8. ss22,
y4ddPlot the point.
22,11
11ppy6
y6dd
coordinates.
23.
24.
rrr 5
5
2222 sin
sin
uuuu cos ud
rrr 5
5
4444 cos
cos
22uu
7.
8.
23.
24.
5
sin
5
cos
23.
24.
r
2
u
r
4
23.
24.
5
sin
5
cos
7.
8.
s
7,
5
p
y4
d
22,
11
p
y6
d
s
r
5
3
s
1
1
r
5
2
sec222uuuuu
25.
26.
7.
8.
s
7,
5
p
y4
d
22,
11
p
y6
d
s
7.
8.
s
7,
5
p
y4
d
22,
11
p
y6
d
s
25.
26.
r
5
3
s
1
1
cos
u
d
r
5
2
sec
7.
8.
s
7,
5
p
y4
d
22,
11
p
y6
d
s
9. s24.5, 3.5d
10. s9.25, 1.2d
25.
26.
5
1
cos
5
sec
23. rrrrr5
24. rrrrr5
533332ssss1111sin
522224sec
cosuuuu2u
25.
26.
5
1ucos
cos uuuudddd
5
sec
9.
10.
3.5
1.2
25.
26.
1
25.
26.
7. ssss24.5,
8. ssss9.25,
5
1
cos
5
sec
s24.5,
7, 5py4
ddddd
22, 1.2
11
s9.25,
9.
10.
24.5,
3.5
9.25,
1.2pddddy6d
9.
10.
3.5
9.
10.
24.5,
3.5
9.25,
1.2
In
the 26.
rectangular
to polara
25.Exercises
r 5ejercicios
3s1 127–36,
cos27udaconvert
u rectangular
r5
2 secequation
En
los
36, transformar
la ecuación
In9.Exercises
the rectangular
10. coordinates
s24.5, 3.511–16,
d
s9.25, 1.2d of a point are
In
Exercises
27–36,
convert
the
rectangular
equation
to
polar
In
Exercises
27–36,
convert
the rectangular
rectangular equation
equation to
to polar
polar
In
Exercises
11–16,
the
rectangular
coordinates
of
aa point
point
are
In
Exercises
27–36,
convert
the
In
Exercises
27–36,
convert
the
rectangular
equation
to
polar
form
and
sketch
its
graph.
En
los
ejercicios
11
a
16,
se
dan
las
coordenadas
rectangulares
de
1059997_1004.qxp
9/2/08
3:51
PM
Page
738
In
Exercises
11–16,
the
rectangular
coordinates
of
point
are
la
forma
polar
y
trazar
su
gráfica.
In
Exercises
11–16,
the
rectangular
coordinates
of
a
are
In
Exercises
11–16,
the
rectangular
coordinates
of
a
point
are
given. Plot the point and find two sets of polar coordinates for
form
and
sketch
its
graph.
form
and
sketch
its
graph.
In
Exercises
27–36,
convert
the
rectangular
equation
to
polar
given.
Plot
the
point
and
find
two
sets
of
polar
coordinates
for
form
and
sketch
its
graph.
form
and
sketch
its
graph.
un
punto.
Localizar
gráficamente
el
punto
y
hallar
dos
conjungiven.
Plotfor
the011–16,
point
and
find two
two sets
setscoordinates
of polar
polar coordinates
coordinates
for
In Exercises
the
of a point for
are
given.
Plot
the
point
find
of
given.
Plot
the
point
and
find
two
sets
of
polar
coordinates
for
the
point
prectangular
2 5 9
# uu <<and
27.
28. x2222 2 y2222 5 9
x2222and
1 y222sketch
the
point
for
00 #
222p
p
... del punto con 0 ≤ u < 2p.
#
form
its
graph.
the
point
for
0
u
<
2
.
tos
de
coordenadas
polares
the
point
for
u
<
p
2
2
2
2
27.
28.
x
1
y
5
9
x
2
y
5
9
#point
given.
Plot
the
point
for
00 ##
uu << and
22p
the
point
forthe
p.. find two sets of polar coordinates for
27. xxx22221
28. xxx22222
1 yyy22225
5 999 22
2 yyy22225
5 999
27.
28.
27.
28.
1
5
2
1 yy2225
5 aa22
1 yy222 5
2 2ax
2ax 5
50
11.
12. s0, 26d
s2, 2d for 0 # u < 2p.
29. xx22221
30. xx2222 1
the spoint
2
2
2
2
29.
30.
27.
28.
x
1
y
5
9
x
2
y
5 2ax
9 5
11.
12.
2,
2
d
0,
26
d
s
x
x
1
y
5
a
1
y
2
2ax
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
29. xxx 1
30. xxx 1
1 yyy 5
5 aaa
1 yyy 2
2
2ax
5 00000
26)
11. s(2,
12. s(0,
2, 22)
0, 26
26ddd
29.
30.
29.
30.
1
5
1
2
2ax
5
11.
12.
11.
12.
ss2,
2,
22ddd 4d
0,
26
ss0,
y 25
x
5
12
13.
14.
s
23,
s
4,
22
d
8
32.
10
31.
2
2
2 1
2
13.
14.
22
5
5
12
31.
32.
29. yyyyx5
30. xxxxx5
11. sss23,
12. sssss4,
s23,
2, 2d444ddddd
0,22
26dddddd
s4,
518888 y 5 a
5 12
12y 2 2ax 5 0
31.
32.
13.
14.
4,
22
13.
14.
23,
4,
22
31.
32.
5
5
12
31.
32.
13.
14.
13.
14.
23,
4,
22
3x
2
y
1
2
5
0
xy
5
4
34.
!3 d
!3d
15. ss23,
16.
21,442
3,
2
s
s
33.
3x
2
1
5
xy
5
4
!3 d
!d3d
33.
34.
y5
x5
31. 3x
32. xy
15.
16.
2
2
2
1
5
xy
5
!
!
13. sss21,
14. sss3,
s21,
23,2
4d!
s3,
4,2
22
3x
28yyyyy 1
1 22222 5
5 00000
xy
5 12
33.
34.
!33
!33
15.
16.
21,
2
3dd
3,
2
3dd
5
4444
33.
34.
3x
2
1
5
xy
5
33.
34.
!
!
!
15.
16.
22
15.
16.
21,
2
3,
2
yxy
35. 3x
2 5 9x
4
34.
2
2
2
y
5
9x
35.
29x
y1250
33. y3x
34. xy 5 4
In
Exercises
17–20,
use
angle 16.
feature
of!a3graphing
utility
22 5
15.
3d
738
Chapter
10 theConics,
Parametric
andtoPolar Coordinates
s21, 2 !
s3, 2
dEquations,
9x
35.
35.
5
35.
In
Exercises
17–20,
the
angle
feature
of
graphing
utility
to
ánguloutility
de una
En
los ejercicios
17use
a the
20, angle
emplear
la función
19x
y222dd222 2
2 99ssxx222 2
2 yy222dd 5
5 00
36. ysysyxx22225
In
Exercises
17–20,
use
the
angle
feature
of aaaagiven
graphing
utility
to
5
9x
35.
In
Exercises
17–20,
feature
of
graphing
to
In
Exercises
17–20,
use
the
angle
feature
of
graphing
utility
to
1
y
find
one set of
polaruse
coordinates
for
the point
in rectangular
2
2
2
2
2
36.
y
5
9x
35.
s
x
1
y
d
2
9
s
x
2
y
d
5
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 yyy ddd 2
2 999sssxxx 2
2 yyy ddd 5
5 000
36. sssxxx 21
find
one
set
of
polar
coordinates
for
the
point
given
in
rectangular
36.
1
2
2
5
36.
herramienta
graficación
para
un
deutility
coordefind
one set
set of
ofde
polar
coordinates
forhallar
the point
point
in rectangular
rectangular
In Exercises
17–20,
use the angle
feature
of conjunto
agiven
graphing
to
find
one
polar
coordinates
for
the
given
in
find
one
set
of
polar
coordinates
for
the
point
given
in
rectangular
coordinates.
36. sx 2 1 y 22d 22 2 9sx 22 2 y 22d 5 0
coordinates.
In
Exercises
37–
46,
convert
s
x
1
y
d
2
9
s
x
2
y
d
5the
0 polar equation to rectangular
36.
nadas
polares
del
punto
dado
en
coordenadas
rectangulares.
coordinates.
coordinates.
find one set of polar coordinates for the point given in rectangular
coordinates.
coordinates.
In
Exercises
37–
46,
convert
the
polar
equation
to
rectangular
In
Exercises
37–46,
46,
convert the
the polar
polar equation
equation to
to rectangular
rectangular
In
Exercises
37–
convert
In
Exercises
37–
46,
convert
the
polar
equation
to
rectangular
form
andsketch
sketch
itsgraph.
graph.
!
!
17.
18.
s
3,
22
d
3
2,
3
2
See
www.CalcChat.com
for
worked-out
solutions
to
odd-numbered
exercises.
d
s
form
and
its
coordinates.
!
!
17.
18.
ss3,
22
dd
3
2,
3
2
s
d
!
!
form
and
sketch
its
graph.
17.
18.
3,
22
3
2,
3
2
form
and
sketch
its
graph.
!
!
En
los
ejercicios
37
a
46,
pasar
la
ecuación
polar
a
forma recIn Exercises
37–its
46,graph.
convert the polar equation to larectangular
!2,
!22
form
and
17. sss3,
18. sss333!
3,
22
2, 333!
2ddd
form
and sketch
sketch
its
graph.
7 22
5 ddd
!
!
17.
18.
17.
18.
3,
22
2,
19. ss7774,,5552dd
20. ss0,0,25
25dd
r
5
4
r
5
25
37.
38.
19.
20.
tangular
y
trazar
su
gráfica.
form
and
sketch
its
graph.
19.
20.
17. sss7s44743,
18. ssss0,
3!
2,dddd3!2 d
s0,0,
,, 5225d22d
25
5
5
25
37.
38.
19.
20.
0,
25
19.
20.
25
5 4444
5 25
25π
37. rrrr 5
38. rrrr 5
19.
20.
25
37.
38.
37.
38.
4,, 222dd
(c) r 5
(d)r 5
In 4Exercises
1– 6, plot the point in polar coordinates and find
7 5
5 33sin
sinuu
5 525
5cos
cosuu
39.
40.
r
5
r
5
39.
40.
19.
20.
,
0,
25
d
s
s
d
21. Represente
Plot
if
the
point
is
given
in
(a)
rectangular
s
4,
3.5
d
gráficamente
el
punto
(4,
3.5)
si
el
punto
está
dado
r
5
4
38.
r
5
21.
37.
2 uu
25
4 2 the point
r
5
3
sin
u
r
5
5
cos
39.
40.
r
5
3
sin
u
r
5
525
cos
39.
40.
s
4,
3.5
d
r
5
3
sin
u
r
5
5
cos
39.
40.
the
corresponding
rectangular
coordinates
for
the
point.
r
5
3
sin
u
r
5
5
cos
39.
40.
21.
Plot
the
point
if
the
point
is
given
in
(a)
rectangular
s
4,
3.5
d
21. Plot
Plot
the
point
if the
the
point
isen
given
in (a)
(a) rectangular
rectangular
4,(b)
3.5
5p uu
21.
point
point
given
in
sss4,
3.5
ddd ifif
21.
Plot
the
point
the
point
is
given
in
(a)
rectangular
4,
3.5
coordinates
and
polar
coordinates.
a)
enthe
coordenadas
rectangulares
y b)is
coordenadas
polares.
sen
39.
40.
sin
u
r
5
5
cos
u
5
p
r
5
u
u
41.
42.
coordinates
and
(b)
polar
coordinates.
3
sin
u
5p
p
and
(b)
polar
coordinates.
5
5
41.
42.
coordinates
ands(b)
(b)3.5
polar
coordinates.
21. coordinates
Plot
the point
given
ind (a) rectangular
4,
d ifcoordinates.
6
and
polar
coordinates
and
(b)
polar
coordinates.
5
5
41.
42.
5 5566p
5 uuuuu
41. rrrrr 5
42. uuuuu 5
2. sis22,
s8, pthe
y2dpoint
5py3
41.
42.
22.1.coordinates
Graphical
Reasoning
5
5
41.
42.
22.
Razonamiento
gráfico
56p
22.
Graphical
Reasoning
coordinates
and (b) polar coordinates.
22.3.Graphical
Graphical
Reasoning
52266csc
41.
42.
5 33usec
secuu
5
csc u
43. rr 5
44. rru5
22.
Reasoning
22.
Graphical
Reasoning
s24,
23
y4d
py6d to rectangular
4. s0, 27
43.
44.
(a)
Setuna
thep
window
format
of aa graphing
graphing
utility
a)
En
herramienta
de graficación,
seleccionar
formato de
6csc uuu
r
5
3
sec
u
r
5
2
csc
43.
44.
(a)
Set
the
window
format
of
utility
to
rectangular
r
5
3
sec
u
r
5
2
43.
44.
r
5
3
sec
u
r
5
2
csc
43.
44.
r
5
3
sec
u
r
5
2
csc
ucsc u
43.
44.
22. (a)
Graphical
Reasoning
(a)
Set
the
window
format
of
a
graphing
utility
to
rectangular
(a)
Set
the
window
format
of
a
graphing
utility
to
rectangular
5 sec
secuutan
tanuu
5 cot
cotuuucsc
45. r 5
46. r 5
Set
the
format
aapolares
graphing
Set
the dwindow
window
format
of
graphing
utility
toelrectangular
rectangular
coordinates
locateof
the
cursor
any position
off the
ventana
para and
coordenadas
yat utility
colocar
cursor
en
5.(a)s!
6. s23,
2,
2.36
21.57
dto
5sec
3 sec
u uu
5cot
2 csc
u uuu
43. rrrr5
44. rrrr5
45.
46.
u
tan
u
csc
coordinates
and
locate
the
cursor
at
any
position
off
the
5
sec
u
tan
5
cot
u
csc
45.
46.
coordinates
and
locate
the
cursor
at
any
position
off
the
r
5
sec
u
tan
u
r
5
cot
u
csc
uu
45.
46.
r
5
sec
u
tan
u
r
5
cot
u
csc
45.
46.
(a)cualquier
Set
the
window
format
of
a
graphing
utility
to
rectangular
coordinates
and
locate
the
cursor
any
position
off
the
coordinates
and
locate
thelos
cursor
at
any
position
off
the
axes. Move
the cursor
and
vertically.
posición
fuerahorizontally
de
ejes. at
Mover
el
cursorDescribe
en senaxes.
Move
the
cursor
horizontally
and
vertically.
Describe
In
Exercises
47–56,
use
a
graphing
utility
to
graph
r
5
sec
u
tan
u
r
5
cot
u
csc
u the polar
45.
46.
axes.
Move
the
cursor
horizontally
and
vertically.
Describe
coordinates
and
locate
the
cursor
at
any
position
off
the
axes.
Move
the
cursor
horizontally
and
vertically.
Describe
In Exercises
7–10,
use
the
angle
feature
of
a
graphing
utility
to
axes.
Move
the
cursor
horizontally
and
vertically.
Describe
anyhorizontal
changes iny the
coordinates
of thetodo
points.
tido
en displayed
sentido vertical.
Describir
cambio
In
Exercises
47–56,
use
graphing
utility
to
graph
the
polar
In
Exercises
47–56,
use aaaa graphing
graphing
utility
to
graph
the
polar
any
changes
in
the
displayed
coordinates
of
the
points.
In
Exercises
47–56,
use
polar
In
Exercises
47–56,
use
graphing
utility
to
graph
the
polar
equation.
Find
an interval
foruu overutility
whichto
thegraph
graphthe
is traced
any
changes
in the
the
displayed
coordinates
of the
the
points.
axes.
Move in
the
cursor
horizontally
andpoint
vertically.
Describe
any
changes
displayed
coordinates
of
points.
find(b)the
rectangular
coordinates
for
the
given
in
polar
any
changes
in
the
displayed
coordinates
of
the
points.
en
las
coordenadas
de
los
puntos.
equation.
Find
an
interval
for
over
which
the
graph
is
traced
Set the window format of a graphing utility to polar
u
u
equation.
Find
an
interval
for
over
which
the
graph
is
traced
In
Exercises
47–56,
use
a
graphing
utility
to
graph
the
u
equation.
Find
an
interval
for
over
which
the
is
traced
u
equation.
Find
an
interval
for
over
which
the
graph
is
traced
only
once.
(b)
Set
the
window
format
of
a
graphing
utility
to
polar
En los
ejercicios 47 a 56, emplear una herramienta de polar
grafiany the
changes
in theformat
displayed
of
the points.
coordinates.
Plot
the
(b)En
Set
the
window
format
ofcursor
graphing
utility
tooff
polar
only
once.
(b)
Set
window
of
acoordinates
to
polar
(b)
Set
window
format
of
aa graphing
graphing
utility
to
polar
coordinates
andpoint.
locate
the
at any utility
position
the
b)
unathe
herramienta
de graficación,
seleccionar
el formato
de
only
once.
only
once.
u over polar.
equation.
Find
an intervallafor
which Hallar
the graph
traced
only
once.
only
once.
coordinates
and
locate
the
cursor
at
any
position
off
the
cación
para
representar
ecuación
un is
intervalo
coordinates
and
locate
the
cursor
at
any
position
off
the
(b)ventana
Set
the
window
format
of
a
graphing
utility
to
polar
coordinates
and
locate
the
cursor
at
any
position
off
the
23.
24.
r
5
2
sin
u
r
5
4
cos
2
u
coordinates
and
locate
the
cursor
at
any
position
off
the
axes.
Move
the
cursor horizontally
vertically.
Describe
coordenadas
polares
yand
colocar
en
5 22 2
2 55cos
cosuu
5 33ss11 2
2 4cos
cos ud
47.
48. rr 5
onlyrrr5
once.
7. s7,axes.
8. s22,
5py4Move
d parathe
11vertically.
py6d el cursor
5
cursor
horizontally
and
Describe
u en
el 55que
lauu gráfica se trace
sólo
una
vez.
para
47.
48.
2
cos
5
2
cos
axes.
Move
the
cursor
horizontally
and
vertically.
Describe
5
2
cos
55
2 44444ucos
cos uuuuuddddd
47.
48.
coordinates
and
locate
theloscursor
at any
offsenthe
axes.
Move
the
horizontally
vertically.
Describe
axes.
Move
the
cursor
horizontally
and
vertically.
Describe
rrrr5
222222
55sin
cos
uu ud
rrrrr5
33334ssss211111sec
2
47.
48.
5
2
cos
5
2
cos
47.
48.
any
changes
incursor
the
displayed
coordinates
of
the
points.
cualquier
posición
fuera
de
ejes. and
Mover
elposition
cursor
en
25.
26.
r
5
3
s
1
1
cos
r
5
1
u
5
3
cos
u
49.
50.
any
changes
in
the
displayed
coordinates
of
the
points.
9. s24.5,
10.
3.5
d the
s9.25,
1.2
d the
any
changes
in
the
displayed
coordinates
of
the
points.
5
1
sin
5
33 cos
cos
49.
50.
any
changes
inythe
the
displayed
coordinates
of
thetodo
points.
axes.
Move
cursor
horizontally
and
vertically.
Describe
any
changes
coordinates
of
points.
522222221
2sin
cos
5444443(1
31
s1
12
cos
47. rrrrrrr5
48. rrrrrrr5
any
changes
in
the
displayed
coordinates
of
the
points.
5
1
sin
uuuu uu
5
1
32
uuuu uu)d
49.
50.
horizontal
endisplayed
sentido
Describir
cambio
5
1
sin
5
1
cos
49.
50.
47.
5
2
55 cos
48.
5
44 sen
u
3
cos
u
49.
50.
5
1
sin
5
1
3
cos
49.
50.
(c)tido
Why
are thein
results
in partsvertical.
(a)
and (b)
different?
2 27–36, convert the rectangular22equation to polar
(c)
Why
are
the
results
in
parts
(a)
and
(b)
different?
any
in thedein
displayed
of the points.
In rExercises
(c)
Why
are
the results
results
inlos
parts
(a)coordinates
and
(b) different?
different?
en
las changes
coordenadas
puntos.
5
5
51.
52.
Why
are
the
parts
(a)
and
(b)
122222sen
sin u
1 23 cos
cos u
49.
50. rr5
(c)
Why
are
the
results
in
parts
(a)
and
(b)
different?
In(c)
Exercises
11–16,
the rectangular
coordinates
of a point are
49.
50.
5 212 1
sin
5 44 1
rrr5
5
51.
52.
1
cosuuu its graph.
2 322233sin
sinuuu
r
5
51.
52.
5
5 4442
51.
52. rrrrr 5
form
and
sketch
1
1
cos
2
r
5
51.
52.
r
5
5
51.
52.
Ingiven.
Exercises
23–26,
match
the
graph
with
its
polar
equation.
(c)¿Por
Why
are
the
results
in
parts
(a)
and
(b)
different?
1
1
cos
u
3
sin
c)
qué
difieren
los
resultados
obtenidos
en
los
incisos
a)
y
Plot the
point
and find
two setswith
of polar
coordinates
for
1 cos
cos
2 33322sin
sin uuuu
111 1
444 2
In
Exercises
23–26,
match
the
graph
its
polar
equation.
1
cos
2
22 3uuuu
In
Exercises
23–26,
match
the
graph
with
its polar
polar equation.
equation.
5sin
5
5
51. rr 5
52. rr 5
In
Exercises
23–26,
match
the
graph
with
its
In
Exercises
23–26,
match
the
graph
with
its
polar
equation.
[The
graphs
are
labeled
(a),
(b),
(c),
and
(d).]
51.
52.
b)?
3
u
5
uuu9 u
the
point
for
0
u
<
2
p
.
2
2
2
2
#
211cos
cos
344sin
sin
53.
54.
1
cos
2
sin
333uuuu9uu
usin
[The
graphs
are
labeled
(a),
(b),
(c),
and
(d).]
27.rr 5
28.rr 5
x5 21
y cos
5
x5 2
y 5
1
2
335555usen
u
3
[The
graphs are
are
labeled
(a), (b),
(b),
(c),
andwith
(d).]its polar equation.
3
In Exercises
23–26,
match
the (c),
graph
53.
54.
[The
graphs
labeled
(a),
and
(d).]
2
[The
graphs
are
labeled
(a),
(b),
(c),
and
(d).]
r
5
2
cos
r
5
3
sin
5 222 cos
cos 2
5 333 sin
sin 22u
53. rrr 5
54. rrr 5
53.
54.
5
cos
5
sin
53.
54.
π
π
2
2 2
2
2 2
(a)
(b)
322uua 2
522uu2ax 5 0
π gráfica con su
x
29.
30.
x
1
y
5
1
y
2
[The
labeled
(a), (b),
(c),
and
11.
12.
sgraphs
2, 2πππ2d are23
26d πla
s0, (d).]
3
5
En
los
ejercicios
a
26,
hacer
que
corresponda
(a)
(b)
5 22 cos
cos
5 3311sen
sin
53. rr 25
54. rr 25
π2ππ2
π2π
(a)
(b)
sin
53.
54.
(a)
(b)
(a)
(b)
5
sin 222u
5
55.
56.
22
ecuación
etiquetadas
54448sin
51111u12 22
31.rrr222222y5
32.rrr222222x5
2polar.
2222π b), c) y d).]
2π 4d [Las gráficas están(b)
13. s23,
14.
s4, 22d a),
2
u
55.
56.
5
sin
2
u
5
55.
56.
(a)
55.
56.
5 44 sin
sin 22uu
5 uuu1
55. rr 5
56. rr 5
2
2
uu14
2
2 5
3x
1 22uequation
50
33.rConvert
34.r xy
π 2 !3 d
57.
the
55.
56.
2 524 ysin
2 5
a)15. s21,
b)16. s3, 2 !3πd
r
5
4
sin
2
u
r
5u
sen
55.
56.
57.
Convert
the
equation
2
2
57.
Convert
the
equation
u
2
57.
the
57.
Convert
the equation
equation
y 5 9x
35.Convert
cos
uequation
1 kksin
sinuudd
rConvert
5 22sshhcos
0 to
0 angle feature of a graphing utility
In Exercises 17–20, use the
57.
the
u
1
r
5
0
ecuación
57.
2 2u
2 u
ssshhhla
1
sin
5
h cos
cos
19kkskkxsin
sin
5
4 00000
4
2
s5
x 22222s1
ycos
d uuu21
2uuuddydd 2d 5 0
36.rrrrPasar
5
cos
1
sin
0000
4 coordinates
2 polar
find one set of
for the point given in rectangular
444
to
rectangular
form
and
verify that it is the equation of a circle.
4
4444
2222
4
s
h
cos
u
1
k
sin
r
5
2
0
0
sen
r5
2sh cos u form
1 k sin
uuverify
ddverify that
to
rectangular
and
that
is
the
equation
of
circle.
coordinates.
to
rectangular
form
and
that
itcoordinates
is equation
the equation
equation
of center
circle.
rectangular
and
ititit
is
the
of
aaaa circle.
to
rectangular
form
and
verify
is
the
equation
of
circle.
Find
the radius
andconvert
the verify
rectangular
oftothe
of
4
4
2
Into
Exercises
37–form
46,
thethat
polar
rectangular
0
0
Find
the
radius
and
the
rectangular
coordinates
of
the
center
of
Find
the
radius
and
the
rectangular
coordinates
of
the
center
of
to
rectangular
form
and
verify
that
it
is
the
equation
of
a
Find
the
radius
and
the
rectangular
coordinates
of
the
center
Find
the
radius
and
the
rectangular
coordinates
of
the
center
of
the
circle.
form
and
sketch
its
graph.
a lacircle.
forma rectangular y verificar que sea la ecuación circle.
deof
un
4
4
17. s3, 22d2
18. s3!2, 3!2 d
the
the
circle.
the
circle.
Find
theHallar
radius el
andradio
the rectangular
coordinates
of the center
the
circle.
the
circle.
círculo.
y las coordenadas
rectangulares
de of
su
19. s74, 52 d
20. s0, 25d
r 5circle.
4
37. the
38. r 5 25
centro.
39. r 5 3 sin u
40. r 5 5 cos u
21. Plot the point s4, 3.5d if the point is given in (a) rectangular
5p
coordinates and (b) polar coordinates.
41. r 5 u
42. u 5
6
22. Graphical Reasoning
1
2
10.4 Exercises
111
1
(a) Set the window format of a graphing utility to rectangular
coordinates and locate the cursor at any position off the
axes. Move the cursor horizontally and vertically. Describe
222
2
111
1
222
2
43. r 5 3 sec u
44. r 5 2 csc u
45. r 5 sec u tan u
46. r 5 cot u csc u
In Exercises 47–56, use a graphing utility to graph the polar
1059997_1004.qxp
9/2/08
3:51
PM 739
Page 739
10-4.qxd 3/12/09
16:57
Page
1059997_1004.qxp 9/2/08 3:51 PM Page 739
SECCIÓN 10.4
Coordenadas polares y gráficas polares
10.4 Polar Coordinates and Polar Graphs
10.4 Polar Coordinates and Polar Graphs
58. Fórmula para la distancia
58. Distance Formula
Verificar
que la fórmula para la distancia entre dos puntos
58. a)
Distance
Formula
(a)sr Verify
Distance
Formula for polares
the distance
en coordenadas
es between
, u1d y that
sr2, uthe
d dados
1
(a) Verify
that
the2 Distance
Formula
distance
between
r2, 2 for
r1, 1 and
the two
points
in the
polar
coordinates
is
2
2r ,
r
,
the
and
in
polar
coordinates
is
!rpoints
d 5two
1
r
2
2r
r
cos
s
u
2
u
d
.
1
1
2
2
1 2
2 2
1 2
1
2
r2
2r1 r2 cos 1
d
r1
2 .
b) Describir
en relación uno con
r22 2r1 r2de
coslos 1puntos,
d
r12las posiciones
2 .
(b)otro,
Describe
of the
points relative
to each other
si u1 5theu2positions
la fórmula
de la distancia
para
. Simplificar
(b) este
Describe
the
positions
of
the
points
relative
to
each
otherIs
.
forcaso.
Simplify
the
Distance
Formula
for
thisExplicar
case.
¿Es
la
simplificación
lo
que
se
esperaba?
1
2
for
theyou
Distance
Formula
for this case. Is
the
what
expected?
Explain.
1simplification
2. Simplify
por
qué.
the simplification what you expected? Explain.
90908.
. Is¿Es
Simplify the
Distance
for si1u1 22u2 5
the
c)(c)Simplificar
la fórmula
de Formula
la distancia
90qué.
. Is the
(c) laSimplify
the Distance
Formula
for Explain.
simplification
what
you
expected?
1
2 por
simplificación
lo que
se
esperaba?
Explicar
simplification what you expected? Explain.
Choose
points
polar coordinate
systempolares
and find
d)(d)Elegir
dostwo
puntos
enonelthe
sistema
de coordenadas
y
(d) encontrar
Choose
two
points
on
the
polar
coordinate
system
and
find
the distance
between
them.
Then
choose
different
polar
la distancia entre ellos. Luego elegir representathe
distance
them.
polar
representations
of the
same
twochoose
points different
and
the
ciones
polaresbetween
diferentes
paraThen
los
mismos
dos apply
puntos
y
representations
of
the
same
two
points
and
apply
Distance
Formula
again.
Discuss the
result.el resultado.the
aplicar
la fórmula
para
la distancia.
Analizar
Distance Formula again. Discuss the result.
En
ejercicios
62,the
usar
el resultado
del58
ejercicio
58 para
In los
Exercises
59–59
62,ause
result
of Exercise
to approximate
Inthe
Exercises
62, usethe
thetwo
result
of Exercise
58
to approximate
aproximar
la59–
distancia
entre
los
dos
puntos
descritos
en coordedistance
between
points
in polar
coordinates.
the distance
between the two points in polar coordinates.
nadas
polares.
5
7
59. 1,5
60. 8,7
,
4,
, 5,
6
3
60. 8, 4 , 5,
,
4,
59. 1,
6
3
4
61. 2, 0.5 , 7, 1.2
62. 4, 2.5 , 12, 1
61. s2, 0.5d, s7, 1.2d
62. s4, 2.5d, s12, 1d
In Exercises 63 and 64, find dy/dx and the slopes of the tangent
En
los shown
ejercicios
63 y64,
64,find
hallar
las pendientes
las rec/dx
Inlines
Exercises
63
andy the
slopes of thedetangent
onand
the
graph
ofdy/dx
thedypolar
equation.
tas tangentes
muestran
las gráficas
lines
shown onque
these
graph
of theen
polar
equation.de las ecuaciones
63. r 2 3 sin
64. r 2 1 sin
polares.
63. r 2 3 sin
64. r 2 1 sin
π u π
sin
sin ud
63. r 5 2 1 3 sen
64. r 5 2s1 2 πsen
)() 2)))
π 2 5,π
π2 5, 2
2 5,2π
π2
π2
2
)( ) )) )
3π
−1,
3π2
−1,
−1, 3π
2
2
(2, π )
(2, π )
(2, π )
2
2
2
3 0
0
3
3
)( ) )) )
7π
3,
7π
3, 7π6
3, 6
6
0
(2, 0)
(2, 0) 0
(2,
1 2 0)3 0
1
1
2
2
3
3
0
)) 4,33ππ32π) )
4,
( 4, 22 )
In Exercises 65– 68, use a graphing utility to (a) graph the polar
Inequation,
Exercises
65–
68,
graphing
utility
(a) graph
the
(b)
draw
the
line
at thetogiven
of polar
, and
En
los ejercicios
65 ause
68,atangent
usar
una
herramienta
devalue
graficación
y
equation,
(b)gráfica
draw
the
tangent
lineof
at .the
value
, and
(c)
find dy/dx
at the
value
Hint:
Let
the
increment
a)
trazar
la
degiven
la
ecuación
polar,
b)given
dibujar
la of
recta
tan(c)
find
at the
given
of
Hint:
Letelthe
increment
between
values
of
gente
endy/dx
elthe
valor
dado
de equal
valor
dado de
uvalue
, y c) hallar
/ 24. . dy
/ dx en
between
the
values
of
equal
24.
/ de u iguales a p / 24.c
u. xSugerencia: Tomar incrementos
65. r 3 1 cos ,
66. r 3 2 cos ,
0
p
65. r 5 3s1 2 cos ud, u 5 2
66. r 5 3 2 2 cos u, u 5 0
2
67. r 3 sin ,
68. r 4,
p3
p
sin u, u 5
67. r 5 3 sen
68. r 5 4, u 5 4
3
4
In
Exercises
69
and
70,
find
the
points
of
horizontal
andhorizonvertical
En los ejercicios 69 y 70, hallar los puntos de tangencia
Intangency
Exercises(if69
andto70,
find
thecurve.
points of horizontal and vertical
any)
the
polar
tal y vertical (si los hay) a la curva polar.
tangency (if any) to the polar curve.
69.r r5 112 sin
70.r r5 aasin
sinu
sinu
sen
sen
69.
70.
69. r 1 sin
70. r a sin
Inlos
Exercises
7171
and
72,hallar
find the
En
ejercicios
y 72,
los points
puntosof
dehorizontal
tangencia tangency
horizonIn(ifExercises
71apolar
and
72,
find
the points of horizontal tangency
any)
the
curve.
tal
(si
los to
hay)
la curva
polar.
(if any) to the polar curve.
71.r r5 22csc
72.r r5 aasin
cscu 1 33
sinu cos
cos2 u2
71.
72.
sen
71. r 2 csc
72. r a sin cos 2
3
Inlos
Exercises
a graphing
utility to
graph the polar
En
ejercicios7373–76,
a 76,use
usar
una herramienta
de graficación
para
Inequation
Exercises
–76,alluse
a graphing
utility
to puntos
graph de
thetangenpolar
and
find
points
horizontal
representar
la73
ecuación
polar
yofhallar
todos tangency.
los
equation
and find all points of horizontal tangency.
cia
horizontal.
73. r 4 sin cos 2
74. r 3 cos 2 sec
2
73. rr 5 44 sin
74. rr 5 33 cos
sen u cos
73.
74.
sin
cos 2 u
cos 22u sec
sec u
739
739
739
75.
76.
75. rr 5 22 csc
76. rr 5 22 cos
csc u 1 55
coss33u 2 22d
75. los
r ejercicios
2 csc 775 a 84, dibujar76.
2 cos
2
En
la rgráfica
de3la ecuación
polar
Exercises
77–84, sketch
a graph of the polar equation and
yInhallar
las tangentes
en el polo.
Infind
Exercises
77–84,
a graph of the polar equation and
the tangents
at sketch
the pole.
find
tangents
77.the
78. r 5 5 cos u
r5
3 sen
sin u at the pole.
77. r 5 sin
78. r 5 cos
r
5
2
s
1
2
sin
u
d
s1 2 cos ud
79.
80.
sen
77. r 5 sin
78. rr 553cos
79. r 2 1 sin
80. r 3 1 cos
u
u
81. rr 5221cos 3sin
82. rr 532sin
79.
80.
1sen 5cos
81. r 4 cos 3
82. r
sin 5
r
5
3
sin
2
u
r
5
3
cos
2
83.
84.
sen3
81. r 4 cos
82. r
sin 5 u
83. r 3 sin 2
84. r 3 cos 2
83. los
r ejercicios
3 sin 2 85 a 96, trazar 84.
r 3 cos
En
la gráfica
de la2 ecuación polar.
In Exercises 85–96, sketch a graph of the polar equation.
r 5 8 85–96, sketch a graph
86.of rthe
5 1polar equation.
In85.
Exercises
85.
86.
r
8
r
sin u
87. r 5 4s1 1 cos ud
88. r 5 11 1 sen
85. r 8
86. r 1
87.
88. rr 5 51 2 4sin
r
4
1
cos
sin
89. r 5 3 2 2 cos u
90.
sen u
87. r 4 1 cos
88. r 1 sin
89. r 3 2 cos
90. r 5 4 sin
6
89.
90.
91. rr 533 csc2 ucos
92. rr 55 4 sin6
2
sin
u
2
3 cos u
sen
91. r 3 csc
92. r
6 3 cos
91. r 3 csc
92. r
12 sin
3 cos
93. r 5 2u
94. r 521sin
93. r 2
94. r 1u
93.
94.
95. rr 2 52 4 cos 2u
96. rr 2 5 4 sin
sen u
95. r 2 4 cos 2
96. r 2 4 sin
2
En
unarherramienta
de graficación
95. los
r 2 ejercicios
4 cos 2 97 a 100, usar 96.
4 sin
para
representar
la ecuación
y mostrarutility
que latorecta
dada
una
In Exercises
97–100,
use a graphing
graph
the es
equaIn
Exercises
usegiven
a graphing
utility
to graph
the graph.
equaasíntota
la97–100,
gráfica.
tion
andde
show
that the
line is an
asymptote
of the
tion and show that the given line is an asymptote of the graph.
Nombre
la gráfica Polar
Ecuación
polar
Asíntota
Name ofde
Graph
Equation
Asymptote
Name
of Graph
Polar
Equation
Asymptote
r
5
2
2
sec
u
97.
Concoide
97. Conchoid
r 2 sec
x x 5 21
1
97.
Conchoid
r
2
sec
x
1
1 csc u
98.
98. Concoide
Conchoid
r r 25 2 csc
y y 51 1
98.
Conchoidhiperbólica r r2 5 2y
cscu
y y 15 2
99.
99. Espiral
Hyperbolic spiral
r 2
y 2
99.
Hyperbolic
spiral
r
2
2 cos
u sec u y x x 25 22
100.
100. Estrofoide
Strophoid
r r 25cos
2 2sec
2
100. Strophoid
r 2 cos 2 sec
x
2
Desarrollo
de
WRITING ABO
U Tconceptos
CONCEPTS
W101.
R I T Describe
I N G A Bthe
O Udifferences
T C O N C between
E P T S the rectangular coordinate
101. Describir las diferencias entre el sistema de coordenadas
101. Describe
the differences
between the
rectangular coordinate
system and
the
polar
coordinate
system.
rectangulares
y el
sistema
de coordenadas
polares.
system and the polar coordinate system.
102. Dar
Givelastheecuaciones
equations para
for the
coordinate
conversion
from
102.
pasar
de coordenadas
rectangu102. Give
the equations
for
the coordinate
conversion
from
rectangular
to
polar
coordinates
and
vice
versa.
lares a coordenadas polares y viceversa.
rectangular to polar coordinates and vice versa.
103. ¿Cómo
How are
slopes oflastangent
linesdedetermined
in polar
103.
se the
determinan
pendientes
rectas tangentes
en
103. How
are the slopes
tangent
lines determined
polar
coordinates?
What of
are¿Qué
tangent
at thetangentes
pole in
and
how
coordenadas
polares?
son lines
las rectas
en
el
coordinates?
What are tangent lines at the pole and how
are they
determined?
polo
y cómo
se determinan?
are they determined?
Para
C A P S Tdiscusión
ONE
C104.
A P S Describe
T O N E las
lasfollowing
siguientespolar
ecuaciones
polares.
104. Describir
the gráficas
graphs ofdethe
equations.
104. Describe the graphs of the following
polar equations.
a) r 7
b) r2 7
a) r 7
b) r2 7
7
7
c) r
d) r
7
7
cos
sen
c) r
d) r
7 cos
7 sen
e) r cos
f ) r sen
e) r 7 cos
f ) r 7 sen
sin u en el intervalo dado.
105. Trazar la gráfica de r 5 4 sen
105. Sketch the graph of r 4 sin over each interval.
105. Sketch the graph
p of r p4 sin over each interval.
p
p
≤ u ≤ p
a) 0 ≤ u ≤
b)
c) 2 ≤ u ≤
(a) 0
(b)2
(c) 2
2
2
2
2
2
(a) 0
(b) 2
(c)
2 herramienta graficadora
2 para repre2
106. Para pensar 2 Utilizar una
106. Think About It Use a graphing utility to graph the polar
sentar About
la ecuación polar
r 5 6 futility
1 1 cossu 2 fdgthepara
a)
106. Think
a graphing
polar4,
equation r It6 1Usecos
for (a) to graph
0, (b)
f
5
0,
f
5
p
y4,
f
5
p
y2.
b)
y
c)
Usar
las
gráficas
para
equation
cos the graphsforto(a)
(b)effect of 4,
and (c) r 6 12. Use
describe0,the
the
describir
efecto del ángulo
la ecuación
como
funf. Escribir
and
(c) . el
the graphs
describe
of the
angle
Write2.theUse
equation
as a to
function
of the
sin effect
for part
(c).
ción de. sen
el inciso as
u para
c).a function of sin for part (c).
angle
Write
the equation
740
16:57 Page 740
9/2/08 3:51 PM
CAPÍTULO 10
740
Chapter 10
Page 740
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates
107. Verificar que si la curva correspondiente a la ecuación polar
r 5 f sud gira un ángulo f, alrededor del polo, entonces la
107.
Verify de
thatla ifcurva
the curve
is r 5 f sud is
ecuación
girada whose
es r 5 polar
f su 2equation
fd.
rotated about the pole through an angle f, then an equation for
108. Lathe
forma
polar
de una
sen ud.
rotated
curve
is r ecuación
5 f su 2 de
fd.una curva es r 5 f ssin
Comprobar que la forma se convierte en
108. The polar form of an equation of a curve is r 5 f ssin ud. Show
a) r 5 f s2cos ud si la curva gira py2 radianes alrededor del
that the form becomes
polo en sentido contrario a las manecillas del reloj.
s2cos
(a)
f sen
the gira
curve
is rotatedalrededor
counterclockwise
b) r 5r f5
del polo
s2sin
ud siudla ifcurva
p radianes
p
y2
radians
about
the
pole.
en sentido contrario a las manecillas del reloj.
f s2sin
the curve
rotated
counterclockwise
c) (b)
gira 3is
radianes
alrededor delp
r 5rf5
scos
ud si ulad ifcurva
py2
radians
about
the
pole.
polo en sentido contrario a las manecillas del reloj.
(c) r 5 f scos ud if the curve is rotated counterclockwise 3py2
En los ejercicios
a 112,
usar los resultados de los ejercicios
radians109
about
the pole.
107 y 108.
In Dar
Exercises
109–112,
use the rresults
Exercises
107
u después
la ecuación
del caracol
deand
girar108.
la
5 2 2ofsen
sin
109.
cantidad indicada. Utilizar una herramienta de graficación para
109. Write an equation for the limaçon r 5 2 2 sin u after it has
representar el giro del caracol.
been rotated by the given amount. Use a graphing utility to
p
p
3p
limaçon.
a) graph the
b) rotated c)
p d)
4
2
2
p
3p
p
p rosa
(b) para la
(c)curva
(d) r 5 2 sen
110. Dar(a)una ecuación
sin 2u después de
4
2
2
girar la cantidad dada. Verificar los resultados usando una herrau after
5 2desin
110.
Writedeangraficación
equation for
rose curve
it has
mienta
parathe
representar
el rgiro
la 2curva
rosa.
been rotated by the given amount. Verify the results by using
p
p
2p
to graph the
rose curve.
a) a graphing
b) utility c)
d)rotated
p
6
2
3
p
p
2
p
111. Dibujar
(a) la gráfica
(b) de cada
(c)ecuación. (d) p
6
2
3
p
a)
b)
r
5
1
2
sin
u
r
5
1 2 sen
sin u 2
sen
111. Sketch the graph of each equation.
4
p
2 la
sintangente
u
5 1 2csin
(a) r 5 1que
(b)
112. Demostrar
delr ángulo
5 u0 2
# c4 # py2) entre
la recta radial y la recta tangente en el punto sr, ud en la gráfica
112. Prove that the tangent of the angle c s0 # c # py2d between
de r 5 fsud (ver la figura) está dada por tan c 5 urysdrydudu.
the radial line and the tangent line at the point sr, ud on the
πgraph of r 5 f sud (see figure) is given by tan c 5 rysdrydud .
1
1
2
2
|
2
π
Curva
polar:
r 2= f (θ )
Polar curve
r = f (θ )
Recta tangente
ψ Tangent line
Recta radial
ψ
P = (r, θ ) Radial line
P = (r, θ )
θ
O
O
|
θ
0
A
Eje polar
A
0
Polar axis
En los ejercicios 113 a 118, usar los resultados del ejercicio 112
para
hallar el ángulo
entre
rectas
y tangente
a la
c use
In Exercises
113–118,
thelasresult
of radial
Exercise
112 to find
the
gráfica
en
el
valor
indicado
de
Usar
una
herramienta
de
grafiu
.
angle c between the radial and tangent lines to the graph for
cación
para representar
polar, de la
rectatoradial
y la
the indicated
value oflauecuación
utility
graph
the
. Use a graphing
recta
tangente
en elthe
valor
indicado
ángulo
u. Identificar
.
polar
equation,
radial
line, de
and
the tangentel line
for cthe
indicated value of u. Identify the angle c.
Ecuación polar
Valor de u
Polar Equation
Value of u
113. r 5 2s1 2 cos ud
u5p
113. r 5 2s1 2 cos ud
u5p
u 5 3py4
114. r 5 3s1 2 cos ud
114. r 5 3s1 2 cos ud
u 5 3py4
u 5 py4
115. r 5 2 cos 3u
u 5 py4
115. r 5 2 cos 3u
sin 2u
u 5 py6
116. r 5 4 sen
u 5 py6
116. r 5 4 sin 2u
6
u
5
2py3
117. r 5
1 2 cos6 u
u 5 2py3
117. r 5
1 2 cos u
u 5 py6
118. r 5 5
u 5 py6
118. r 5 5
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 119 a 122, determinar si la
afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o
True or False? In Exercises 119–122, determine whether the
dar un ejemplo que muestre que es falsa.
statement is true or false. If it is false, explain why or give an
119.
Si sr1,that
representan
el mismo punto en el sistema
u1d yshows
sr2, u2itd is
example
false.
de coordenadas polares, entonces r1 5 r2 .
119.SiIfsr,sru1, duy1d sr,
and
the same
the polar
2, u2d represent
120.
el mismo
puntopoint
en elon
sistema
de
u2dsrrepresentan
1
r
5
r
.
coordinate
system,
then
1
2
coordenadas polares, entonces u1 5 u2 1 2p n para algún en120.tero
If sn.r, u1d and sr, u2d represent the same point on the polar
u1 5sx,u2yd1en
2peln sistema
n.
system,elthen
for somede
integer
121. Sicoordinate
punto
coordex > 0, entonces
| | | |
| | | |
rectangulares
cartesianas)
puede
representarse
me0, then the (o
sx, yd on the
121.nadas
If x >
point
rectangular
coordinate
diante
el sistema de
polares,
donde
ud en
r, ud on the polar
systemsr,can
be represented
by scoordenadas
coordinate
2 d. u 5 arctans yyxd.
!x 2 1
r5
y 2 yru55!
arctan
x 2 1s yyyx
system,
where
and
122.
ecuaciones
r 5 sen
u y2ur, 5 r2sen
2u tienen
la
r 5 2sin
5 2sin
2u, and
122.Las
The
polar polares
equations
misma
gráfica.
s22ud all have the same graph.
r 5 sin
PROYECTO
S E C T I ODE
N TRABAJO
PROJECT
Anamorphic
Art
Arte
anamórfico
the art se
is viewed
art appears
distorted, but when
ElAnamorphic
arte anamórfico
parece distorsionado,
pero cuando
ve desdefrom
un
a
particular
point
or
is
viewed
with
a
device
such
as
a mirror,
particular punto de vista o con un dispositivo como un espejo
pareceit
appears
to be normal.
Use
the anamorphic
transformations
que
está normal.
Usar las
siguientes
transformaciones
anamórficas
3
p
p
3p
p
3
p
3
p
r 5y y111616 y and u 5u25 2
r5
x, 8 x,2 2 ≤4 u #≤ u # 4
8
4
4
to sketch
transformed
polar image of
rectangular
graph.
para
dibujar the
la imagen
polar transformada
de the
la gráfica
rectangular.
When
the
reflection
(in
a
cylindrical
mirror
centered
at
the
pole)
Cuando se observa la reflexión (en un espejo cilíndrico centrado enof
image
is viewed
axis,elthe
viewer will
eleach
polo)polar
de una
imagen
polar from
desdethe
el polar
eje polar,
espectador
ve see
la
the original
rectangular
image.
imagen
rectangular
original.
2 1xs2y1
2 5
y5
5 x(d)
5d52 25 52
3 3 b) (b)
x 5x 25 2c) (c)
y 5yx5
1x51 d)
2s 5y d2
a)(a)y 5
Tomado
Millington-Barnard
Collection
Scientific
Apparatus,
ca
From thedeMillington-Barnard
Collection
of of
Scientific
Apparatus,
ca 1855
1855
The University
of Mississippi
Museum,
Oxford,
Mississippi.
The University
of Mississippi
Museum,
Oxford,
Mississippi
10-4.qxd 3/12/09
1059997_1004.qxp
Este
ejemplo
deof
arteanamorphic
anamórficoart
es isdefrom
la Colección
MillingtonThis
example
the Millington-Barnard
Barnard
en laatUniversidad
de Mississippi.
Cuando
observa
el reflejo
Collection
the University
of Mississippi.
Whensethe
reflection
of
dethe
la “pintura
polar”transformada
espejo,
veviewer
el arte
transformed
“polar painting”en
is el
viewed
in eltheespectador
mirror, the
distorsionado
en susart
proporciones
sees the distorted
in its properadecuadas.
proportions.
■ FOR FURTHER INFORMATION For more information on
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre
anamorphic art, see the article “Anamorphisms” by Philip Hickin in
arte anamórfico, consultar al artículo “Anamorphisms” de Philip
the Mathematical Gazette.
Hickin en Mathematical Gazette.
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Page 741
SECCIÓN 10.5
SECCIÓN 10.5
Área y longitud de arco en coordenadas polares
Área y longitud de arco en coordenadas polares
741
741
10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares
n
n
n
n
Hallar el área de una región limitada por una gráfica polar.
Hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares.
Hallar la longitud de arco de una gráfica polar.
Hallar el área de una superficie de revolución (forma polar).
Área de una región polar
θ
r
El área de un sector circular es A 5 12u r 2.
Figura 10.49
El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar se asemeja al del área de una
región en el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas), pero en lugar de rectángulos se usan sectores circulares como elementos básicos del área. En la figura 10.49,
1
obsérvese que el área de un sector circular de radio r es 2u r 2, siempre que u esté dado en
radianes.
Considérese la función dada por r 5 f sud, donde f es continua y no negativa en el
intervalo a ≤ u ≤ b. La región limitada por la gráfica de f y las rectas radiales u 5 a y
u 5 b se muestra en la figura 10.50a. Para encontrar el área de esta región, se hace una
partición del intervalo fa, bg en n subintervalos iguales
a 5 u0 < u1 < u2 < . . . < un21 < un 5 b.
A continuación, se aproxima el área de la región por medio de la suma de las áreas de los
n sectores, como se muestra en la figura 10.50b.
π
2
β
RadioRadius
del i-ésimo
of ith sector 5 f suid
b2a
ÁnguloCentral
central angle
del i-ésimo
of ith sector 5
5 Du
n
n
1
A<
Du f f sui dg 2
2
i51
r = f(θ )
o1 2
Tomando el límite cuando n → ` se obtiene
1 n
f f sui dg 2 Du
n→ ` 2 i51
o
A 5 lím
lim
α
0
5
1
2
E
b
a
f f sudg 2 du
lo cual conduce al teorema siguiente.
a)
π
2
β
θn − 1
TEOREMA 10.13 ÁREA EN COORDENADAS POLARES
r = f(θ )
Si f es continua y no negativa en el intervalo fa, bg, 0 < b 2 a ≤ 2p, entonces el
área de la región limitada (o acotada) por la gráfica de r 5 f sud entre las rectas radiales u 5 a y u 5 b está dada por
θ2
θ1
A5
1
2
5
1
2
α
0
E
E
b
a
b
a
f f sudg 2 du
r 2 du.
0 < b 2 a ≤ 2p.
b)
Figura 10.50
NOTA
La misma fórmula se puede usar para hallar el área de una región limitada por la gráfica
de una función continua no positiva. Sin embargo, la fórmula no es necesariamente válida si f toma
valores tanto positivos como negativos en el intervalo fa, bg.
n
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Encontrar el área de una región polar
EJEMPLO 1
r = 3 cos 3θ
π
2
Encontrar el área de un pétalo de la curva rosa dada por r 5 3 cos 3u.
Solución En la figura 10.51 se puede ver que el pétalo al lado derecho se recorre a medida que u aumenta de 2 py6 a py6. Por tanto, el área es
A5
0
3
1
2
E
b
a
r 2 du 5
1
2
5
9
2
E
E
py6
2py6
py6
1 1 cos 6u
du
2
2py6
9
sin 6u
sen
u1
4
6
9 p p
5
1
4 6
6
3p
5
.
4
3
1
5
El área de un pétalo de la curva rosa que se
encuentra entre las rectas radiales
u 5 2 p y6 y u 5 p y6 es 3p y4.
Figura 10.51
Fórmula para el área en
coordenadas polares.
s3 cos 3ud2 du
Identidad
trigonométrica.
py6
4
2py6
2
NOTA
Para hallar el área de la región comprendida dentro de los tres pétalos de la curva rosa del
ejemplo 1, no se puede simplemente integrar entre 0 y 2p. Si se hace así, se obtiene 9py2, que es
el doble del área de los tres pétalos. Esta duplicación ocurre debido a que la curva rosa es trazada
dos veces cuando u aumenta de 0 a 2p.
n
Hallar el área limitada por una sola curva
EJEMPLO 2
Hallar el área de la región comprendida entre los lazos interior y exterior del caracol
r 5 1 2 2 sen
sin u.
Solución En la figura 10.52, obsérvese que el lazo interior es trazado a medida que u
aumenta de py6 a 5py6. Por tanto, el área comprendida por el lazo interior es
p
2
A1 5
u =p
6
u = 5p
6
2
3
1
2
E
b
a
r 2 du 5
1
2
5
1
2
5
1
2
5
1
2
0
r = 1 − 2 sen u
El área entre los lazos interior y exterior es
aproximadamente 8.34
Figura 10.52
E
E
E
E
5py6
py6
5py6
py6
5py6
py6
5py6
py6
sen u 1 4 sen
s1 2 4 sin
sin22 ud du
1 2 cos 2u
sin u 1 4 1
31 2 4 sen
24 du
2
s3 2 4 sen
sin u 2 2 cos 2ud du
3
1
3u 1 4 cos u 2 sen
sin 2u
2
1
5 s2p 2 3!3 d
2
3!3
5p2
.
2
5
Fórmula para el área en
coordenadas polares.
s1 2 2 sen
sin ud2 du
Identidad
trigonométrica.
Simplificación.
5py6
4
py6
De manera similar, se puede integrar de 5py6 a 13py6 para hallar que el área de la región
comprendida por el lazo exterior es A2 5 2p 1 s3!3y2d. El área de la región comprendida entre los dos lazos es la diferencia entre A2 y A1.
1
A 5 A2 2 A1 5 2p 1
2 1
2
3!3
3!3
2 p2
5 p 1 3!3 < 8.34
2
2
10-5.qxd
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Page 743
SECCIÓN 10.5
Área y longitud de arco en coordenadas polares
743
Puntos de intersección de gráficas polares
Debido a que un punto en coordenadas polares se puede representar de diferentes maneras,
hay que tener cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas. Por ejemplo, considérense los puntos de intersección de las gráficas de
r 5 1 2 2 cos u
y
r51
mostradas en la figura 10.53. Si, como se hace con ecuaciones rectangulares, se trata de
hallar los puntos de intersección resolviendo las dos ecuaciones en forma simultánea, se
obtiene
r 5 1 2 2 cos u
1 5 1 2 2 cos u
cos u 5 0
p 3p
.
u5 ,
2
2
PARA MAYOR INFORMACIÓN
Para más información sobre el uso de
la tecnología para encontrar puntos de
intersección, consultar el artículo
“Finding Points of Intersection of
Polar-Coordinate Graphs” de Warren
W. Esty en Mathematics Teacher.
Primera ecuación.
Sustitución de r 5 1 de la segunda ecuación en la primera ecuación.
Simplificación.
Despejar u.
Los puntos de intersección correspondientes son s1, py2d y s1, 3py2d. Sin embargo, en la
figura 10.53 se ve que hay un tercer punto de intersección que no apareció al resolver
simultáneamente las dos ecuaciones polares. (Ésta es una de las razones por las que es
necesario trazar una gráfica cuando se busca el área de una región polar.) La razón por la
que el tercer punto no se encontró es que no aparece con las mismas coordenadas en ambas
gráficas. En la gráfica de r 5 1, el punto se encuentra en las coordenadas s1, pd, mientras
que en la gráfica de r 5 1 2 2 cos u, el punto se encuentra en las coordenadas s21, 0d.
El problema de hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares se puede comparar con el problema de encontrar puntos de colisión de dos satélites cuyas órbitas alrededor de la Tierra se cortan, como se ilustra en la figura 10.54. Los satélites no colisionan
mientras lleguen a los puntos de intersección en momentos diferentes (valores de u). Las
colisiones sólo ocurren en los puntos de intersección que sean “puntos simultáneos”, puntos a los que llegan al mismo tiempo (valor de u).
Puesto que el polo puede representarse mediante s0, ud, donde u es cualquier ángulo, el
polo debe verificarse por separado cuando se buscan puntos de intersección.
n
NOTA
p
2
Caracol: r 5 1 2 2 cos u
Círculo:
r51
0
1
Tres puntos de intersección: s1, p y 2d,
s2 1, 0d, s1, 3p y 2d
Las trayectorias de los satélites pueden cruzarse sin
causar colisiones
Figura 10.53
Figura 10.54
10-5.qxd
3/12/09
744
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Page 744
CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Hallar el área de la región entre dos curvas
EJEMPLO 3
Hallar el área de la región común a las dos regiones limitadas por las curvas siguientes.
Circunferencia.
r 5 2 2 2 cos u
Cardioide.
Solución Debido a que ambas curvas son simétricas respecto al eje x, se puede trabajar
con la mitad superior del plano (o semiplano superior), como se ilustra en la figura 10.55.
La región sombreada en gris se encuentra entre la circunferencia y la recta radial
u 5 2py3. Puesto que la circunferencia tiene coordenadas s0, py2d en el polo, se puede
integrar entre py2 y 2py3 para obtener el área de esta región. La región sombreada en rojo
está limitada por las rectas radiales u 5 2py3 y u 5 p y la cardioide. Por tanto, el área de
esta segunda región se puede encontrar por integración entre 2py3 y p. La suma de estas
dos integrales da el área de la región común que se encuentra sobre la recta radial u 5 p.
lo
Círcu
p
2
Car
dio
i
de
2p
3
r 5 26 cos u
0
Región entre la cardioide
y las rectas radiales
u 5 2py3 y u 5 p
Región entre la circunferencia
y la recta radial u 5 2py3
A 1
5
2
2
4p
3
Círculo:
r = −6 cos u
Cardioide:
r = 2 − 2 cos u
E
E
E
2py3
py2
2py3
5 18
Figura 10.55
59
s26 cos ud2 du 1
py2
2py3
py2
cos2 u du 1
1
2
E
1
2
p
2py3
p
2py3
s1 1 cos 2ud du 1
2py3
E
s2 2 2 cos ud2 du
s4 2 8 cos u 1 4 cos2 ud du
E
p
2py3
s3 2 4 cos u 1 cos 2ud du
p
sin 2u
sin 2u
sen
sen
1 3u 2 4 sen
sin u 1
2 py2
2 2py3
!3
2p !3 p
59
2
2
1 3p 2 2p 1 2!3 1
3
4
2
4
5p
5
2
< 7.85
3
59 u1
1
4
3
4
2 1
2
Por último, multiplicando por 2 se concluye que el área total es 5p.
NOTA
Para verificar que el resultado obtenido en el ejemplo 3 es razonable, adviértase que el área
de la región circular es p r 2 5 9p. Por tanto, parece razonable que el área de la región que se encuentra dentro de la circunferencia y dentro de la cardioide sea 5p.
n
Para apreciar la ventaja de las coordenadas polares al encontrar el área del ejemplo 3,
considérese la integral siguiente, que da el área en coordenadas rectangulares (o cartesianas).
A
5
2
E
23y2
24
!2!1 2 2x 2 x2 2 2x 1 2 dx 1
E
0
23y2
!2x 2 2 6x dx
Emplear las funciones de integración de una herramienta de graficación para comprobar
que se obtiene la misma área encontrada en el ejemplo 3.
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SECCIÓN 10.5
Área y longitud de arco en coordenadas polares
745
Longitud de arco en forma polar
NOTA
Cuando se aplica la fórmula
de la longitud de arco a una curva
polar, es necesario asegurarse de que la
curva esté trazada (se recorra) sólo una
vez en el intervalo de integración. Por
ejemplo, la rosa dada por r 5 cos 3u
está trazada (se recorre) una sola vez
en el intervalo 0 ≤ u ≤ p, pero está
trazada (se recorre) dos veces en el
intervalo 0 ≤ u ≤ 2p.
n
La fórmula para la longitud de un arco en coordenadas polares se obtiene a partir de la fórmula para la longitud de arco de una curva descrita mediante ecuaciones paramétricas.
(Ver el ejercicio 89.)
TEOREMA 10.14 LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA POLAR
Sea f una función cuya derivada es continua en un intervalo a ≤ u ≤ b. La longitud de la gráfica de r 5 f sud, desde u 5 a hasta u 5 b es
s5
E
b
a
E!
b
a
r2 1
1ddru2
2
du.
Encontrar la longitud de una curva polar
EJEMPLO 4
r = 2 − 2 cos θ
!f f sudg2 1 f f9sudg 2 du 5
Encontrar la longitud del arco que va de u 5 0 a u 5 2p en la cardioide
π
2
r 5 f sud 5 2 2 2 cos u
que se muestra en la figura 10.56.
0
1
Solución Como f9sud 5 2 sen
sin u, se puede encontrar la longitud de arco de la siguiente
manera.
s5
Figura 10.56
5
E
E
b
a
!f f sudg 2 1 f f9 sudg 2 du
2p
Fórmula para la longitud de arco
de una curva polar.
!s2 2 2 cos ud2 1 s2 sin
sen ud2 du
0
5 2!2
E
E!
2p
!1 2 cos u du
Simplificación.
0
5 2!2
E
2p
u
2 sen
sin22 du
2
0
Identidad trigonométrica.
2p
u
sin du
sen
2
2p
u
5 8 2cos
2 0
5 8s1 1 1d
5 16
54
sin
sen
0
3
u
≥ 0 para 0 ≤ u ≤ 2p.
2
4
En el quinto paso de la solución, es legítimo escribir
!2 sen
sin22suy2d 5 !2 usen
sinsu(y2
uYd2)u
en lugar de
|
|
!2 sen
sin2suy2d 5 !2 sen
sins(u(uuy2
d
YY2)
usen
2)u
porque sen
sinsuy2d ≥ 0 para 0 ≤ u ≤ 2p.
NOTA
Empleando la figura 10.56 se puede ver que esta respuesta es razonable mediante comparación con la circunferencia de un círculo. Por ejemplo, un círculo con radio 52 tiene una circunferencia de 5p < 15.7.
n
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Área de una superficie de revolución
La versión, en coordenadas polares, de las fórmulas para el área de una superficie de revolución se puede obtener a partir de las versiones paramétricas dadas en el teorema 10.9,
usando las ecuaciones x 5 r cos u y y 5 r sen
sin u.
TEOREMA 10.15 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Sea f una función cuya derivada es continua en un intervalo a ≤ u ≤ b . El área de la
superficie generada por revolución de la gráfica de r = f(u), desde u 5 a hasta u = b ,
alrededor de la recta indicada es la siguiente.
NOTA
Al aplicar el teorema 10.15,
hay que verificar que la gráfica de
r 5 f sud se recorra una sola vez en el
intervalo a ≤ u ≤ b. Por ejemplo, la
circunferencia dada por r 5 cos u se
recorre sólo una vez en el intervalo
0 ≤ u ≤ p.
n
E
E
b
1. S 5 2p
a
b
2. S 5 2p
a
f sud sen
sin u!f f sudg2 1 f f9sudg2 du
Alrededor del eje polar.
f sud cos u!f f sudg 2 1 f f9sudg 2 du
Alrededor de la recta u 5
p
.
2
Hallar el área de una superficie de revolución
EJEMPLO 5
Hallar el área de la superficie obtenida por revolución de la circunferencia r 5 ƒ(u) 5
cos u alrededor de la recta u 5 py2, como se ilustra en la figura 10.57.
p
2
π
2
r = cos θ
0
1
0
Toro
a)
b)
Figura 10.57
Solución Se puede usar la segunda fórmula dada en el teorema 10.15 con f9(u ) 5
2sen u. Puesto que la circunferencia se recorre sólo una vez cuando u aumenta de 0 a p,
se tiene
E
E
E
E
b
S 5 2p
a
p
5 2p
f sud cos u!f f sudg 2 1 f f9sudg 2 du
Fórmula para el área de una
superficie de revolución.
cos u scos ud!cos2 u 1 sen
sin2 u du
0
p
5 2p
cos2 u du
Identidad trigonométrica.
0
5p
p
s1 1 cos 2ud du
0
3
5p u1
sin
sen 2u
2
p
4
0
5 p 2.
Identidad trigonométrica.
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SECCIÓN 10.5
747
Área y longitud de arco en coordenadas polares
10.5 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 4, dar una integral que represente el área de
la región sombreada que se muestra en la figura. No evaluar la
integral.
1. r
2. r 5 cos 2u
4 sen
π
2
π
2
En los ejercicios 25 a 34, hallar los puntos de intersección de las
gráficas de las ecuaciones.
25. r 5 1 1 cos u
26. r 5 3s1 1 sen
sin ud
r 5 1 2 cos u
r 5 3s1 2 sen
sin ud
π
2
π
2
0
0
0
1
1
3 5
0
1
3. r
3
2
3
4. r 5 1 2 cos 2u
2 sen
π
2
27. r 5 1 1 cos u
π
2
28. r 5 2 2 3 cos u
r 5 1 2 sen
sin u
r 5 cos u
π
2
π
2
0
1 2 3 4
0
1
2
0
0
1
1
En los ejercicios 5 a 16, hallar el área de la región.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Interior de r 5 6 sen u
Interior de r 5 3 cos u
Un pétalo de r 5 2 cos 3u
Un pétalo de r 5 4 sen 3u
Un pétalo de r 5 sen 2u
Un pétalo de r 5 cos 5u
Interior de r 5 1 2 sen u
Interior de r 5 1 2 sen u (arriba del eje polar)
Interior de r 5 5 1 2 sen u
Interior de r 5 4 2 4 cos u
Interior de r2 5 4 cos 2u
Interior de r2 5 6 sen 2u
En los ejercicios 17 a 24, emplear una herramienta de graficación
para representar la ecuación polar y encontrar el área de la
región indicada.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Lazo interior de r 5 1 1 2 cos u
Lazo interior de r 5 2 2 4 cos u
Lazo interior de r 5 1 1 2 sen u
Lazo interior de r 5 4 2 6 sen u
Entre los lazos de r 5 1 1 2 cos u
Entre los lazos de r 5 2 (1 1 2 sen u)
Entre los lazos de r 5 3 2 6 sen u
1
Entre los lazos de r 2 cos
29. r 5 4 2 5 sen
sin u
30. r 5 1 1 cos u
r 5 3 sen
sin u
r 5 3 cos u
31. r 5
u
2
r52
33. r 5 4 sen
sin 2u
r51
32. u 5
p
4
r52
34. r 5 3 1 sin
sen u
r 5 2 csc u
En los ejercicios 35 y 36, emplear una herramienta de graficación para aproximar los puntos de intersección de las gráficas
de las ecuaciones polares. Confirmar los resultados en forma
analítica.
35. r 5 2 1 3 cos u
r5
sec u
2
36. r 5 3s1 2 cos ud
r5
6
1 2 cos u
Redacción En los ejercicios 37 y 38, usar una herramienta de
graficación para hallar los puntos de intersección de las gráficas
de las ecuaciones polares. En la ventana, observar cómo se van
trazando las gráficas. Explicar por qué el polo no es un punto de
intersección que se obtenga al resolver las ecuaciones en forma
simultánea.
37. r 5 cos u
r 5 2 2 3 sen
sin u
38. r 5 4 sen
sin u
r 5 2s1 1 sen
sin ud
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
En los ejercicios 39 a 46, emplear una herramienta de graficación para representar las ecuaciones polares y hallar el área de
la región dada.
39. Interior común a r 5 4 sen
sin 2u y r 5 2
40. Interior común a r 5 3s1 1 cos
sin ud y r 5 23s1 2 cos
sin ud
sen u
41. Interior común a r 5 3 2 2 sen
sin u y r 5 23 1 2 sin
sen u y r 5 5 2 3 cos u
42. Interior común a r 5 5 2 3 sin
43. Interior común a r 5 4 sin
sen u y r 5 2
44. Interior común de r 5 2 cos u y r 5 2 sen u
45. Interior r 5 2 cos u y exterior r 5 1
46. Interior r 5 3 sen u y exterior r 5 1 1 sen u
En los ejercicios 47 a 50, hallar el área de la región.
47. En el interior de r 5 as1 1 cos ud y en el exterior de r 5 a cos u
48. En el interior de r 5 2a cos u y en el exterior de r 5 a
49. Interior común a r 5 as1 1 cos ud y r 5 a sen
sin u
50. Interior común a r 5 a cos u y a r 5 a sen u donde a > 0
51. Radiación de una antena La radiación proveniente de una
antena de transmisión no es uniforme en todas direcciones. La
intensidad de la transmisión proveniente de una determinada
antena se describe por medio del modelo r 5 a cos2 u.
a) Transformar la ecuación polar a la forma rectangular.
b) Utilizar una herramienta de graficación para trazar el modelo con a 5 4 y a 5 6.
c) Hallar el área de la región geográfica que se encuentra entre
las dos curvas del inciso b).
52. Área El área en el interior de una o más de las tres circunferencias entrelazadas r 5 2a cos u, r 5 2a sen
sin u, y r 5 a está
dividida en siete regiones. Hallar el área de cada región.
En los ejercicios 61 a 66, utilizar una herramienta de graficación
para representar la ecuación polar sobre el intervalo dado.
Emplear las funciones de integración de una herramienta de
graficación para estimar la longitud de la curva con una precisión de dos decimales.
61. r 5 2u,
0 ≤ u ≤
1
63. r 5 ,
u
p
2
62. r 5 sec u,
p ≤ u ≤ 2p
sins3 cos ud,
65. r 5 sen
sins2 cos ud,
66. r 5 2 sen
64. r 5 eu,
0 ≤ u ≤
p
3
0 ≤ u ≤ p
0 ≤ u ≤ p
0 ≤ u ≤ p
En los ejercicios 67 a 70, encontrar el área de la superficie generada por revolución de la curva en torno a la recta dada.
Ecuación polar
Intervalo
Eje de revolución
67. r 5 6 cos u
p
0 ≤ u ≤
2
Eje polar
68. r 5 a cos u
0 ≤ u ≤
p
2
u5
p
2
69. r 5 eau
0 ≤ u ≤
p
2
u5
p
2
70. r 5 as1 1 cos ud
0 ≤ u ≤ p
Eje polar
En los ejercicios 71 y 72, usar las funciones de integración de una
herramienta de graficación para estimar, con una precisión de
dos cifras decimales, el área de la superficie generada por revolución de la curva alrededor del eje polar.
71. r 5 4 cos 2u,
0 ≤ u ≤
p
4
72. r 5 u, 0 ≤ u ≤ p
53. Conjetura Hallar el área de la región limitada por
r 5 a cossnud
Desarrollo de conceptos
para n 5 1, 2, 3, . . . Con base en los resultados formular una
conjetura acerca del área limitada por la función cuando n es par
y cuando n es impar.
73. Explicar por qué para encontrar puntos de intersección de
gráficas polares es necesario efectuar un análisis además
de resolver dos ecuaciones en forma simultánea.
54. Área Dibujar la estrofoide
p
p
r 5 sec u 2 2 cos u, 2 < u < .
2
2
Transformar estas ecuaciones a coordenadas rectangulares (o
cartesianas). Encontrar el área comprendida en el lazo.
En los ejercicios 55 a 60, hallar la longitud de la curva sobre el
intervalo indicado.
Ecuación polar
74. ¿Cuál de las integrales da la longitud de arco de r 5 3(1 –
cos 2u )? Decir por qué las otras integrales son incorrectas.
E
E
E
E
2p
a) 3
py4
b) 12
0#u#2p
56. r 5 a
0#u#2p
57. r 5 4 sen u
0#u#2p
p
p
≤ u ≤
2
2
58. r 5 2a cos u
2
sin u
59. r 5 1 1 sen
0 ≤ u ≤ 2p
60. r 5 8s1 1 cos ud
0 ≤ u ≤ 2p
!s1 2 cos 2ud2 1 4 sen
sin 2 2u du
0
Intervalo
55. r 5 8
!s1 2 cos 2ud2 1 4 sen
sin 2 2u du
0
p
c) 3
!s1 2 cos 2ud2 1 4 sin
sen2 2u du
0
py2
d) 6
!s1 2 cos 2ud2 1 4 sen
sin 2 2u du
0
75. Dar las fórmulas de las integrales para el área de una superficie de revolución generada por la gráfica de r 5 f sud
alrededor a) del eje x y b) del eje y.
1059997_1005.qxp
9/2/0816:58
3:51 Page
PM Page
10-5.qxd 3/12/09
749 749
1059997_1005.qxp
9/2/08
3:51 PM
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SECCIÓN 10.5
10.5
CPara
A P S T discusión
ONE
equation,
theel
76.
Para
cada
ecuación
polar,sketch
dibujaritssugraph,
gráfica,determine
determinar
C76.
A PFor
S T Oeach
N E polar
interval
that traces
the
graph only
and
find the area
of
intervalo
la gráfica
sólo once,
unagraph,
vez
y encontrar
área
76. For
each que
polartraza
equation,
sketch
its
determineel the
the
region
bounded
by por
the la
graph
usingutilizando
a geometric
formula
de
la
región
acotada
gráfica
una
fórmula
interval that traces the graph only once, and find the area of
and
integration.
geométrica
e integración.
the
region bounded
by the graph using a geometric formula
(a)
(b) r b)
5 5r 5
sin5usen u
5 10
10 cos
cos uu
a) rrintegration.
5
and
(a) r 5 10 cos u
(b) r 5 5 sin u
77. Área de la superficie de un toro Hallar el área de la superfi77. Surface
Areagenerado
of a Torus
Find the surface
area of the torus
cie del toro
por revolución
de la circunferencia
r52
generated
by
revolving
the
circle
given
by
r
5
2 about the line
alrededor
de
la
recta
r
5
5
sec
u
.
77. Surface Area of a Torus Find the surface area of the torus
r 5 5 sec u.
bysuperficie
revolving de
theun
circle
by rel5área
line
2 about
78. generated
Área de la
torogiven
Hallar
de lathe
superfi78. rSurface
Area
of a Torus
Find the surface
area of the torus
5 del
5 sec
u. generado
cie
toro
por revolución
de la circunferencia
r5a
generated
circle
given 0by<r a5 <a about
the line
en tornoArea
aby
la revolving
recta
5 the
b sec
u, donde
78. Surface
of a rTorus
Find
the surface areab.of the torus
r 5 b sec u, where 0 < a < b.
by revolving
the circle
given bylar circunferencia
5 a about the rline
79. generated
Aproximación
de un área
Considerar
58
79. rApproximating
Area
0 < Consider
5 bu.sec u, where
a < b. the circle r 5 8 cos u.
cos
(a)
Find the
of
circle. the circle r 5 8 cos u.
79. Approximating
Area
Consider
a) Hallar
el area
área
delthe
círculo.
(b)
(a)
b)
(b)
Área y longitud de arco en coordenadas polares
Area and Arc Length in Polar Coordinates
749
10.5 Area and Arc Length in Polar Coordinates
a) Use
Emplear
una herramienta
graficación
trazarula gráfir 5 upara
, where
(a)
a graphing
utility tode graph
$ 0.
ca dehappens
con la gráfica
r 5 u, donde
u ≥ 0.of¿Qué
u as a increases?
r 5 aocurre
What
to the graph
Whatde
(a) Use
utility to graph r 5 u, where u $ 0.
aifmedida
r 5 au graphing
u # 0?que a aumenta? ¿Qué pasa si u ≤ 0?
happens
5 au ras5a aincreases?
What
happens
to
the
graph
of respiral
What
b) Determine
Determinarthe
lospoints
puntos
r 5 au sua sa> >0, 0,
u u$ ≥0d,0d,
(b)
ondethelaspiral
0? cruza
happens
if ula#curva
en
los
que
el
eje
polar.
where the curve crosses the polar axis.
r5
au sa > 00,≤u u$≤0d2,p.
(b)
Determine
the points
on theu sobre
spiral el
c)
Hallar
la longitud
intervalo
rde5 ru5
(c) where
Find
the
overpolar
the interval
thelength
curveof
crosses
the
axis. 0 # u # 2p.
d) Find
Hallar
áreaunder
bajo lathecurva
r r55u upara
..
(d)
theellength
area
for 00 0≤##uu u≤##22pp
2p
.
(c)
Find the
of r 5 ucurve
over the
interval
84.Logarithmic
Espiral logarítmica
La curve
curva represented
descrita porby
la the
ecuación
r 5
84.
Spiral
The
equation
udenomina
(d)
Find
the area
under
the
curve r 5
for 0 # uespiral
# 2p.logarítbu, donde
ae
a
y
b
son
constantes,
se
bu
r 5 ae , where a and b are constants, is called a logarithmic
84. Logarithmic
Spiral siguiente
The curve represented
by thedeequation
mica. La
figura
gráfica
r5
eu,y6,
euy6
spiral.
figure showsmuestra
the la
graph
of r 5
bu The
r 22
5 ae
b are
constants,
is called
a logarithmic
Hallar
el
área
de
la
zona
sombreada.
p
≤, where
u
≤ 2pa. and
22p # u # 2p. Find the area of the shaded region.
spiral. Theπ figure shows the graph of r 5 euy6,
22p # u #π 22p. Find the area of the shaded region.
2
π
2
0
1
Complete
the
table
giving
the áreas
areas AA de
of the
the
Find
the area
the dando
circle. las
Completar
la of
tabla
los sectors
sectoresofcircu5
0
u
u
circle
between
and
the
values
of
in
the
table.
lares
entre the
valores
de u dados
en sectors
la tabla.of the
u 5table
0 y los
A of the
Complete
giving
the areas
circle between u 5 0 and the values of u in the table.
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
u
uA
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
A
c) Emplear
la tabla
del inciso
b) para aproximar
los valores
(c)
Use the table
in part
(b) to approximate
the values
of u forde
1 11 1
para los
circular
contiene
área
uwhich
, y 3434 del
the cuales
sector el
of sector
the circle
composes
of the
4 , 24 , 2and
(c) Use the table in part (b) to approximate the values of u for
total
la of
circunferencia.
total de
area
the circle.
1 1
3
which the sector of the circle composes 4, 2, and 4 of the
d) total
Usar
una
herramienta
de
graficación
para
aproximar,
con una
(d)
Use area
a graphing
utility
to
approximate,
to
two
decimal
of the circle.
precisión
dos cifras
ángulos
los
u para
u fordecimales,
places, thede angles
which thelossector
of the
circle
(d) Use a graphing
utility
to approximate,
1 1
3 to two decimal
1 1
3
cuales
el sector
circular
contiene
y
del
área
total
de
la
,
,
,
,
composes
and
of
the
total
area
of
the
circle.
4
2
4
u for which 4the2 sector
places, the4 angles
of the circle
circunferencia.
1
1
3
(e) composes
Do the results
of part (d) depend on the radius of the circle?
4 , 2 , and 4 of the total area of the circle.
e) ¿Dependen
Explain. los resultados del inciso d) del radio del círcu-lo?
(e) Do the results of part (d) depend on the radius of the circle?
Explicar laArea
respuesta.
80. Approximate
Consider the circle r 5 3 sin u.
Explain.
80. (a)
Área
aproximada
Dado
el círculo r 5 3 sen
sin u.
Find the area
circle.
80. Approximate
Areaof the
Consider
the circle r 5 3 sin u.
a)
Hallar
el
área
de
la
circunferencia
correspondiente.
(b) Find
Complete
theof
table
(a)
the area
the giving
circle. the areas A of the sectors of the
b) Completar
la tabla
las values
áreas Aofdeu in
losthe
sectores
u 5 dando
0 and the
circle between
table. circu(b) Complete the table giving the areas A of the sectors of the
lares comprendidos entre u 5 0 y los valores de u dados en
circle between u 5 0 and the values of u in the table.
la utabla.0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
uA
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
A
(c) Use the table in part (b) to approximate the values of u for
1 1
1
which the sector of the circle composes 8, 4, and 2 of the
(c)
Use the la
table
in del
partinciso
(b) tob)approximate
the values
of u for
c) Utilizar
tabla
para aproximar
los valores
de u
total area of the circle.
1 11 1
para
losthe
cuales
el of
sector
representa
, y 12 12del
which
sector
the circular
circle composes
ofárea
the
8 , 84,, 4and
(d) total
Use de
a graphing
utility to approximate, to two decimal
la of
circunferencia.
area
the circle.
places,
the
angles u de
forgraficación
which thepara
sector
of the con
circle
d
)
Usar
una
herramienta
aproximar,
una
(d) Use a graphing
utility
to approximate,
to two decimal
1 1
1
composesde
the total area
of
the circle.
8 , dos
4 , and
2 ofdecimales,
precisión
cifras
los
ángulos
para
los
que
u
places, the angles u for which
the sector of the circle
1 1
1
1 1 does
1 the following
81. What
conic
equation
el
sectorsection
circular
representa
delofárea
total represent?
del círculo.
8 , 4 , yarea
2polar
composes
the circle.
8 , 4 , and 2 of the total
81.
¿Qué
sección
cónica
representa
la
siguiente
ecuación
polar?
81. What
r 5 a conic
sin u section
1 b cosdoes
u the following polar equation represent?
r5
5aasin
sinuu1
1bbcos
cos u
sen
82. rArea
Find the
areau of the circle given by r 5 sin u 1 cos u.
your result
theporpolar
equation
82. Check
Área Hallar
el áreabydelconverting
círculo dado
r 5 sen
sin
u 1 costou.
82. Area Find the area of the circle given by r 5 sin u 1 cos u.
rectangular
then using
the formula for
area ofpolar
a circle.
Comprobarform,
el resultado
transformando
la the
ecuación
a la
Check your result by converting the polar equation to
forma
rectangular
y
usando
después
la
fórmula
para
el
área
del
83. rectangular
Spiral of Archimedes
The the
curve
represented
form, then using
formula
for the by
areathe
ofequation
a circle.
rcírculo.
5 au, where a is a constant, is called the spiral of
83. Spiral of Archimedes The curve represented by the equation
83. Archimedes.
Espiral de Arquímedes La curva representada por la ecuación
r 5 au, where a is a constant, is called the spiral of
r 5 au, donde a es una constante, se llama espiral de Arquímedes.
Archimedes.
749
749
2
3 0
1
2
3
1
2
3
0
85. La mayor de las circunferencias mostradas en la figura si85. The
largerescircle
in thedefigure
the graph
of r 5 1.
Findpara
the la
guiente
la gráfica
la ecuación
polar
r 5 1.isHallar
polar
equation ofmenor
the smaller
circleque
suchlasthat
the sombreadas
shaded regions
circunferencia
de
manera
áreas
sean
85. The larger circle in the figure is the graph of r 5 1. Find the
are
equal.
iguales.
polar equation of the smaller circle such that the shaded regions
are equal. π π
22
π
2
00
0
86. Folium
Hoja (ooffolio)
de Descartes
curva
llamadaofhoja
(o folio)
86.
Descartes
A curve Una
called
the folium
Descartes
de be
Descartes
puede
medio de las ecuaciones
can
represented
by representarse
the parametricpor
equations
86. Folium
of Descartes A curve called the folium of Descartes
paramétricas
can be 3t
represented by the parametric
3t 2 equations
x5
and
y 5 3t 2 3.
3t
3
t
12 t .
y
x 51 1
y 5 1 3t
3t 3
3
y 5 1 1 t 3.
x 5 1 13t
and
1 1 t the parametric equations
1 1 t to polar form.
(a) Convert
a) Convertir las ecuaciones paramétricas a la forma polar.
(b) Convert
Sketch the graph
of theequations
polar equation
from
part (a).
(a)
parametric
polar
b) Dibujar the
la gráfica
de la ecuación to
polar
delform.
inciso a).
(c)
Use
a
graphing
utility
to
approximate
the
area
enclosed
by
(b)
theuna
graph
of the polar
from
part
(a).
c) Sketch
Emplear
herramienta
de equation
graficación
para
aproximar
el
the loop of the curve.
áreaacomprendida
en eltolazo
de la curva.
(c) Use
graphing utility
approximate
the area enclosed by
loop of
curve. 87 and 88, determine whether the
True or the
False?
Inthe
Exercises
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 87 y 88, determinar si la
statement is true or false. If it is false, explain why or give an
True
or False?
In Exercises
87 and
determine
whether
the o
afirmación
es verdadera
o falsa.
Si 88,
es falsa,
explicar
por qué
example that shows it is false.
statement
is true que
or false.
If it isque
false,
explain why or give an
dar un ejemplo
demuestre
es falsa.
example
false.
87. If f suthat
for allituisand
d > 0shows
gsud < 0 for all u, then the graphs of
87. Si f sud > 0 para todo u y gsud < 0 para todo u, entonces las
r 5 f sud and r 5 gsud do not intersect.
f sud > 0defor
sudgs<ud 0nofor
u, then the graphs of
87. Ifgráficas
y r g5
se all
cortan.
r 5allf suudand
gsurd 5
0, not
py2,
88. rIf5f sfusdu5
forgsuud5do
and 3py2, then the graphs of
and
intersect.
d
88. Si f sud 5 gsud para u 5 0, py2,y 3py2, entonces las gráficas de
r 5 f sud and r 5 gsud have at least four points of intersection.
sudf s5
0, py2,
3py2, cuatro
88. Ifr f5
andmenos
then the
graphs
of
tienen
cuando
puntos
de interud gysur d5for
gsud 5
r
5
f
s
u
d
s
u
d
and
r
5
g
have
at
least
four
points
of
intersection.
sección.
89. Use the formula for the arc length of a curve in parametric form
89. toUsar
la fórmula
parafor
la longitud
de arco
una curva
derive
the formula
the arc length
of de
a polar
curve.en forma
89. Use
the formula
forobtener
the arc length
of a curve
parametric
formde
paramétrica
para
la fórmula
de la in
longitud
de arco
touna
derive
the
formula
for
the
arc
length
of
a
polar
curve.
curva polar.
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler
n
n
Analizar y dar las ecuaciones polares de las cónicas.
Entender y emplear las leyes del movimiento planetario de Kepler.
Ecuaciones polares de las cónicas
EXPLORACIÓN
Representación gráfica de cónicas
En una herramienta de graficación
elegir el modo polar e introducir
ecuaciones polares de la forma
r5
a
1 ± b cos u
r5
a
.
1 ± b sen
sin u
o
En este capítulo se ha visto que las ecuaciones rectangulares de elipses e hipérbolas
adquieren formas simples cuando sus centros se encuentran en el origen. Sin embargo,
existen muchas aplicaciones importantes de las cónicas en las cuales resulta más conveniente usar uno de los focos como punto de referencia (el origen) del sistema de coordenadas. Por ejemplo, el Sol se encuentra en uno de los focos de la órbita de la Tierra; la
fuente de luz en un reflector parabólico se encuentra en su foco. En esta sección se verá
que las ecuaciones polares de las cónicas adoptan formas simples si uno de los focos se
encuentra en el polo.
El teorema siguiente usa el concepto de excentricidad, definido en la sección 10.1,
para clasificar los tres tipos básicos de cónicas. En el apéndice A se da una demostración
de este teorema.
Si a Þ 0, la gráfica será una cónica. Describir los valores de a y b
que generan parábolas. ¿Qué valores generan elipses? ¿Qué valores
generan hipérbolas?
TEOREMA 10.16 CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS DE ACUERDO
CON LA EXCENTRICIDAD
Sean F un punto fijo (foco) y D una recta fija (directriz) en el plano. Sean P otro
punto en el plano y e (excentricidad) el cociente obtenido al dividir la distancia de P
a F entre la distancia de P a D. El conjunto de todos los puntos P con una determinada excentricidad es una cónica.
1. La cónica es una elipse si 0 < e < 1.
2. La cónica es una parábola si e 5 1.
3. La cónica es una hipérbola si e > 1.
Directriz
Q
π
π
2
Directriz
Directriz 2
P
Q
F = (0, 0)
0
P
π
2
Q P
F = (0, 0)
0
0
F = (0, 0)
P′
Q′
Elipse: 0 < e < 1
PF
< 1
PQ
Parábola: e 5 1
PF 5 PQ
Hipérbola: e > 1
PF
P9 F
5
> 1
PQ
P9 Q9
Figura 10.58
En la figura 10.58, obsérvese que en todos los tipos de cónicas el polo coincide con el
punto fijo (foco) que se da en la definición. La ventaja de esta ubicación se aprecia en la
demostración del teorema siguiente.
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SECCIÓN 10.6
Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler
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TEOREMA 10.17 ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS
La gráfica de una ecuación polar de la forma
r5
ed
1 ± e cos u
o
r5
ed
1 ± e sen
sin u
||
es una cónica, donde e > 0 es la excentricidad y d es la distancia entre el foco, en
el polo, y la directriz correspondiente.
DEMOSTRACIÓN
La siguiente es una demostración de r 5 edys1 1 e cos ud con d > 0.
En la figura 10.59, considérese una directriz vertical que se encuentra d unidades a la
derecha del foco F 5 (0, 0). Si P 5 (r, u) es un punto en la gráfica de r 5
edy(1 1 e cos u), se puede demostrar que la distancia entre P y la directriz es
d
P = (r, θ )
|
Q
θ
|
r
F = (0, 0)
| |
|
PQ 5 d 2 x 5 d 2 r cos u 5
0
| ||
r s1 1 e cos u d
r
2 r cos u 5 .
e
e
||
Como la distancia entre P y el polo es simplemente PF 5 r , el radio PF entre PQ es
PFyPQ 5 r y rye 5 e 5 e y, de acuerdo con el teorema 10.16, la gráfica de la ecuación debe ser una cónica. Las demostraciones de los otros casos son similares.
||| | ||
Directriz
Figura 10.59
Los cuatro tipos de ecuaciones que se indican en el teorema 10.17 se pueden clasificar
como sigue, siendo d > 0.
ed
1 1 e sin u
ed
b) Directriz horizontal abajo del polo:
r5
1 2 e sin u
ed
c) Directriz vertical a la derecha del polo: r 5
1 1 e cos u
ed
d) Directriz vertical a la izquierda del polo: r 5
1 2 e cos u
a) Directriz horizontal arriba del polo:
r5
La figura 10.60 ilustra estas cuatro posibilidades en el caso de una parábola.
y
Directriz
y
y
y=d
Directriz
x=d
x
x
Directriz
r=
ed
1 + e sen θ
a)
r=
Directriz
x = −d
x
x
y=−d
ed
1 − e sen θ
b)
Los cuatro tipos de ecuaciones polares para una parábola
Figura 10.60
y
r=
c)
ed
1 + e cos θ
r=
d)
ed
1 − e cos θ
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
EJEMPLO 1
π
2
Dibujar la gráfica de la cónica descrita por r 5
15
3 − 2 cos θ
x=−
15
2
r=
Determinar una cónica a partir de su ecuación
15
.
3 2 2 cos u
Solución Para determinar el tipo de cónica, reescribir la ecuación como sigue
(3, π )
(15, 0)
0
10
Directriz
5
15
3 2 2 cos u
5
5
.
1 2 s2y3d cos u
r5
Escribir la ecuación original.
Dividir el numerador y el
denominador entre 3.
Por tanto, la gráfica es una elipse con e 5 23. Se traza la mitad superior de la elipse localizando gráficamente los puntos desde u 5 0 hasta u 5 p, como se muestra en la figura
10.61. Luego, empleando la simetría respecto al eje polar se traza la mitad inferior de la
elipse.
La gráfica de la cónica es una elipse con
e 5 23.
Figura 10.61
En la elipse en la figura 10.61, el eje mayor es horizontal y los vértices se encuentran
en (15, 0) y s3, pd. Por tanto, la longitud del eje mayor es 2a 5 18. Para encontrar la longitud del eje menor, se usan las ecuaciones e 5 cya y b 2 5 a 2 2 c 2 para concluir que
b 2 5 a 2 2 c 2 5 a 2 2 sead 2 5 a 2s1 2 e 2d.
Elipse.
Como e 5 23, se tiene
b 2 5 9 2 f1 2 s23 d g 5 45
2
lo cual implica que b 5 !45 5 3!5. Por tanto, la longitud del eje menor es 2b 5 6!5.
Un análisis similar para la hipérbola da
b 2 5 c 2 2 a 2 5 sead 2 2 a 2 5 a 2 se 2 2 1d.
EJEMPLO 2
(
π
−16, 32
)
π
2
Hipérbola.
Trazar una cónica a partir de su ecuación polar
Trazar la gráfica de la ecuación polar r 5
32
.
sen u
3 1 5 sin
Solución Se divide el numerador y el denominador entre 3 y se obtiene
Directriz
32
y=
5
r5
a=6
b=8
0
(
π
4, 2
4
)
r=
8
32
3 + 5 sen θ
La gráfica de la cónica es una hipérbola
con e 5 53.
Figura 10.62
32y3
.
1 1 s5y3d sen
sin u
Como e 5 53 > 1, la gráfica es una hipérbola. Como d 5 32
5 , la directriz es la recta
El
eje
transversal
de
la
hipérbola
se
encuentra
en
la
recta
y 5 32
.
u 5 py2, y los vértices
5
se encuentran en
1 p2 2
sr, ud 5 4,
1
sr, ud 5 216,
y
3p
.
2
2
Dado que la longitud del eje transversal es 12, puede verse que a 5 6. Para encontrar b, se
escribe
31532
b 2 5 a 2se 2 2 1d 5 6 2
2
4
2 1 5 64.
Por tanto, b 5 8. Por último, se usan a y b para determinar las asíntotas de la hipérbola y obtener la gráfica que se muestra en la figura 10.62.
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SECCIÓN 10.6
Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler
753
Leyes de Kepler
Las leyes de Kepler, las cuales deben su nombre al astrónomo alemán Johannes Kepler, se
emplean para describir las órbitas de los planetas alrededor del Sol.
Mary Evans Picture Library
1. Todo planeta se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol.
2. Un rayo que va del Sol al planeta barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales.
3. El cuadrado del periodo es proporcional al cubo de la distancia media entre el planeta
y el Sol.*
Aun cuando Kepler dedujo estas leyes de manera empírica, más tarde fueron confirmadas
por Newton. De hecho, Newton demostró que todas las leyes pueden deducirse de un conjunto de leyes universales del movimiento y la gravitación que gobiernan los movimientos
de todos los cuerpos celestes, incluyendo cometas y satélites. Esto se muestra en el ejemplo siguiente con el cometa que debe su nombre al matemático inglés Edmund Halley
(1656-1742).
JOHANNES KEPLER (1571-1630)
Kepler formuló sus tres leyes a partir de la
extensa recopilación de datos del astrónomo
danés Tycho Brahe, así como de la observación directa de la órbita de Marte.
EJEMPLO 3
π
2
Sol
π
0
Tierra
Cometa Halley
El cometa Halley tiene una órbita elíptica, con el Sol en uno de sus focos y una excentricidad e < 0.967. La longitud del eje mayor de la órbita es aproximadamente 35.88 unidades
astronómicas (UA). (Una unidad astronómica se define como la distancia media entre la
Tierra y el Sol, 93 millones de millas.) Hallar una ecuación polar de la órbita. ¿Qué tan cerca
llega a pasar el cometa Halley del Sol?
Solución Utilizando un eje vertical, se puede elegir una ecuación de la forma
Cometa
Halley
r5
ed
.
s1 1 e sen
sin u d
Como los vértices de la elipse se encuentran en u 5 py2 y u 5 3py2, la longitud del eje
mayor es la suma de los valores r en los vértices, como se observa en la figura 10.63. Es
decir,
0.967d
0.967d
1
1 1 0.967 1 2 0.967
35.88 < 27.79d.
2a 5
2a < 35.88
Por tanto, d < 1.204 y ed < s0.967ds1.204d < 1.164. Usando este valor en la ecuación se
obtiene
r5
3π
2
Figura 10.63
1.164
1 1 0.967 sen
sin u
donde r se mide en unidades astronómicas. Para hallar el punto más cercano al Sol (el
foco), se escribe c 5 ea < s0.967ds17.94d < 17.35. Puesto que c es la distancia entre
el foco y el centro, el punto más cercano es
a 2 c < 17.94 2 17.35
< 0.59 AU
UA
< 55,000,000 millas.
* Si se usa como referencia la Tierra, cuyo periodo es 1 año y cuya distancia media es 1 unidad
astronómica, la constante de proporcionalidad es 1. Por ejemplo, como la distancia media de Marte
al Sol es D 5 1.524 UA, su periodo P está dado por D3 5 P 2. Por tanto, el periodo de Marte es
P 5 1.88.
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
La segunda ley de Kepler establece que cuando un planeta se mueve alrededor del Sol,
un rayo que va del Sol hacia el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Esta ley también puede aplicarse a cometas y asteroides con órbitas elípticas. Por ejemplo, la figura
10.64 muestra la órbita del asteroide Apolo alrededor del Sol. Aplicando la segunda ley de
Kepler a este asteroide, se sabe que cuanto más cerca está del Sol mayor es su velocidad,
ya que un rayo corto debe moverse más rápido para barrer la misma área que barre un rayo
largo.
Sol
Sol
Sol
Un rayo que va del Sol al asteroide barre áreas iguales en tiempos iguales
Figura 10.64
El asteroide Apolo
EJEMPLO 4
El periodo del asteroide Apolo es de 661 días terrestres, y su órbita queda descrita aproximadamente por la elipse
π
2
r
θ=π
2
9
1
1 共5兾9兲 cos 9 5 cos donde r se mide en unidades astronómicas. ¿Cuánto tiempo necesita Apolo para moverse
de la posición dada por 兾2 a 兾2, como se ilustra en la figura 10.65?
Sol
0
1
Tierra
Apolo
Figura 10.65
θ =−π
2
Solución Para empezar se encuentra el área barrida cuando aumenta de 兾2 a 兾2.
A
1
2
1
2
冕
冕
r 2 d
兾2
兾2
Fórmula para el área de una gráfica polar.
冢9 59cos 冣 d
2
Usando la sustitución u tan共兾2兲, analizada en la sección 8.6, se obtiene
冤
冪56 tan共兾2兲
81 5 sen
sin 18
A
arctan
112 9 5 cos 冪56
14
冥
兾2
⬇ 0.90429.
兾2
Como el eje mayor de la elipse tiene longitud 2a 81兾28 y la excentricidad es e 5兾9,
se encuentra que b a冪1 e2 9兾冪56. Por tanto, el área de la elipse es
Área de la elipse ab 9
⬇ 5.46507.
冢81
56 冣冢 冪56 冣
Como el tiempo requerido para recorrer la órbita es 661 días, se puede aplicar la segunda
ley de Kepler para concluir que el tiempo t requerido para moverse de la posición
兾2 a la posición 兾2 está dado por
t
área del segmento elíptico
0.90429
⬇
661
área de la elipse
5.46507
lo cual implica que t ⬇ 109 días.
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SECCIÓN 10.6
755
Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler
Kepler’s Laws
755
10.6 Polar Equations of Conics and Kepler’s Laws
10.6 Ejercicios
See www.CalcChat.com
worked-out
to odd-numberedπexercises.
10.6 Exercises
π
Razonamiento
gráfico En los ejercicios
1 a 4, usar for
una
herra-solutions e)
f)
2
2
mienta
de
graficación
para
representar
la
ecuación
polar
cuan10.6 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
755
do a) e 5 1, b) e 5 0.5, y c) e 5 1.5. Identificar la cónica.
2e
2e
Reasoning In Exercises
r5
1.Graphical
2. r 5 1– 4, use a graphing
1
1
e
cos
u
1
2
utility to graph the polar equation when (a) ee cos1,u (b) e 0.5,
2e
and (c) e 2e1.5. Identify the conic.
3. r 5
4. r 5
sen u
1 2 e sin
1 1 e sen
sin u
2e
2e
1.
2.
r
r
Considerar la ecuación polar1 e cos
5. Redacción
1 e cos
4
.
2e
2e
r5
3. r
4. r
1 1 e sin
sen u
1 e sin
1 e sin
a) Usar una
herramienta
de graficación
5. Writing
Consider
the polar
equation para representar la ecuación con e 5 0.1, e 5 0.25, e 5 0.5, e 5 0.75, y e 5 0.9.
4
r Identificar la .cónica y analizar la variación en su forma cuan1
e
do e →sin
12 y e → 0 1 .
b) Usar
herramienta
graficación
para representar
la
(a)
Use auna
graphing
utility de
to graph
the equation
for e 0.1,
ecuación
Identificar
cónica.
and e la 0.9.
Identify the conic
e 0.25,cuando
e 0.5,e e5 1.0.75,
c) Usar
una herramienta
dein
graficación
para
representar
and discuss
the change
its shape as
e→
1 and e la→ecua0 .
y e 5the
y
e 5 1.1,
e 5 to
1.5,graph
2. Identificar
(b) ción
Use cuando
a graphing
utility
equation la
forcónica
e 1.
analizar
en su forma a medida que e → 1 1
Identify la
thevariación
conic.
y e → `.
(c) Use a graphing utility to graph the equation for e 1.1,
6. Considerar
la ecuación
and e polar
e 1.5,
2. Identify the conic and discuss the
change4in its shape
as e → 1 and e → .
.
r5
1
2
0.4
cos
u
6. Consider the polar equation
a) Identificar
sin elaborar la gráfica de la ecuación.
4 la cónica
.
r
1 elaborar
0.4 cosla gráfica de las ecuaciones polares siguientes,
b) Sin
describir la diferencia de cada una con la ecuación polar de
(a) arriba.
Identify the conic without graphing the equation.
(b) Without graphing
the following4 polar equations, describe
4
rhow
5 each differs from
, r the
5 polar equation above.
1 1 0.4 cos u
1 2 0.4 sen
sin u
4
4
c) Verificar
en forma gráfica
r
, r los resultados del inciso b).
1 0.4 cos
1 0.4 sin
En los ejercicios 7 a 12 hacer corresponder la ecuación polar con
(c) Verify the results of part (b) graphically.
su gráfica. [Las gráficas están etiquetadas a), b), c), d), e) y f).]
In Exercises 7–12, match the polar equation with the correct
π (e), and (f).]
a)graph. [Theπgraphs are labeled (a),
b) (b), (c), (d),
2
2
π
2
(a)
π
π
2
(b)
0
3
π
0
3
4 6
0
π
4 6
3π
2
3π
π 2
2
π
2
c)
(c)
π
2 4 6
π
2 4 6
3π
2
3π
2
π
2
d)
(d)
3 4
π
1
3π
2
3π
2
3 4
3π
2
1
3
3
6
1 2 cos u
3π
32
9. r 5
1 2 62 sen
sin u
7. r
1 6cos
11. r 5
2 2 sen
sin
3 u
9. r
1 2 sin
(f) π
0
0
π
2
3π
2
π
1
1
8. r 5
2
2 2 cos u
10. r 5
22
1 1 2sen
sin u
2
2
0
0
3π
8. r
2
2 cos
12. r 5
2 1 23 cos u
10. r
1 sin
6
2y la distancia del
En
excentricidad
11. los
r ejercicios 13 a 26, hallar la12.
r
sin
3 cos
polo a la2 directriz
de la cónica. Después 2trazar
e identificar la
gráfica. Usar una herramienta de graficación para confirmar los
In Exercises 13–26, find the eccentricity and the distance from
resultados.
the pole to the directrix of the conic. Then sketch and identify
the graph. Use
1 a graphing utility to confirm your
1 results.
13. r
14. r
1 1cos
1 1sen
13. r
14. r
4
1 4sen
1 cos
15. r
16. r
1 sen
1 4cos
4
15. r
16. r
6
1 cos
1 sen
17. r
2 6cos
17. r
2 10
cos
18. r
5 10
4 sen
18. r
19. r 2 5 sen4 sen 4
20.
19. r 23
2 cos
sen
46
2 cos5
6
1 52 cos
20. r 3
21. r
21. r
22. r
22. r
23. r
24. r
25. r
26. r
π
2
1
0
7. r 5
25. r
26. r
3π
2
π
0
0
π
2 1
π
23. r
24. r
π
3π
2
(e) π
3
62 cos
7 6sen
3
2
73 sen
63 sen
2
1
68 sen
48 cos
1
4300
cos
12 3006 sen
12 180
6 sen
15 3.75
180 cos
1
15
3.75 cos
En
los ejercicios
27 ause
30,ausar
una herramienta
de graficación
In Exercises
27– 30,
graphing
utility to graph
the polar
para
representar
la
ecuación
polar.
Identificar
la
gráfica.
equation. Identify the graph and find its eccentricity.
0
0
27. r
29. r
4
1
3
2 sen
10
cos
28. r
30. r
2
15
8 sen
6
6
7 cos
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756
CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
En los ejercicios 31 a 34, usar una graficadora para representar
Desarrollo de conceptos
la cónica. Describir en qué difiere la gráfica de la del ejercicio
756
Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates
indicado.
756
Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates
51. Clasificar las cónicas de acuerdo con su excentricidad.
52. Identificar cada cónica.
214
31. r 5
(Ver ejercicio 15.)
In
Exercises
sen
12
sinsu 2 31–
py434,
d use a graphing utility to graph the conic.
R I T I N G5 A B O U T Cb)O Nr C5E P T S5
In Exercises
31–how
34, the
use graph
a graphing
utility
to
graph
the
conic.
rN5
a)T W
W
R
I
I
G 1A2B O2 U
T CONCEPTS
Describe
differs
from
the
graph
in
the
indicated
cos
2 sin
sen u
64 graph differs from the graph in the indicated
51. Classify
theuconics by their 10
eccentricities.
Describe
how the
32.
(Ver ejercicio 16.)
r 5exercise.
51.
Classify
the
conics
by
their
eccentricities.
5
5
exercise.1 1 cossu 2 py3d
r 5 Identify each conic. d) r 5
c) 52.
52. Identify3each
2 3conic.
cos u
1 2 3 sen
sinsu 2 py4d
4
6
5
5
(See Exercise
15.)
4
33. r 531. r
(Ver ejercicio
17.)
(a)qué
(b) rla 5directriz y el cenr pasa
4 (See Exercise 15.)
5 con la distancia entre
31. r 2 1 cos1su 1sin
py6d
53. Describir
1
2
cos
10
sin
(a) r
(b) r
1 sin
4
1 elipse
2 cossi los focos permanecen
10 fijos
sin y e se aprotro de una
4
26
5
5
(See Exercise
16.)
4
34. r 532. r
(Ver ejercicio
22.)
xima a (c)
0. r 5
(d) r
1 su 1
cos2py3d 3(See Exercise 16.)
5
32. r 3 1 7 sen
sin
3 3 cos (d) r
1 3 sin
4
(c) r
1 cos
3
3 3 cos
1 3 sin
4
6
53.
Describe
what
happens
to
the
distance
between
the
directrix
33.
(See
Exercise
17.)
r
6 la elipse que se obtiene al girar py6 radianes
35. Dar la ecuación
2 decos
6(See Exercise 17.)
53. Describe
what
theellipse
distance
the directrix
33. r
and
the happens
center oftoan
if between
the foci remain
fixed and e
2 cos
6
en sentido
de las manecillas
del reloj la elipse
and theapproaches
center of an
ellipse
if
the
foci
remain
fixed and e
6
0.
34. r 5
(See Exercise 22.)
approaches
0.
8 3 67 sin
Para
discusión
3 Exercise 22.)
34. rr5
. 2 3 2 (See
3
7
sin
85 1 53 cos u
en qué difiere la gráfica de cada cónica de la grá35. Write the equation for the ellipse rotated 6 radian clockwise 54. Explicar
CAPSTONE
35. Dar
Write
the
equation
the ellipse
36.
la ecuación
lafor
parábola
que rotated
se obtiene 6alradian
girar pclockwise
y4 radia4
CAPSTONE
from
thede
ellipse
r 5 how the. graph of each conic differs from the graph
fica54.
de Explain
from
ellipse
nes
en the
sentido
contrario a las manecillas del reloj la parábola
1
1
sin
sen
54. Explain how the graph
4 u of each conic differs from the graph
8
of r 44
.
r92 8
.
4
of
8 . 5. cos
rr5
a) rr 5 1 sin1 . sin
b) r 5
5 cos
181 sen
sin
u
1 2 cos u
1 2 sen
sin u
4
4
36. Write the equation for the parabola rotated
4 radian
(a) r 44
(b) r 4 4
36. Write counterclockwise
the equation forfrom
the the
parabola
rotated
radian
4
1
cos
1
sin
(a)
r
(b)
r
c)
r
5
d)
r
5
parabola
cosu
1 sen
111 cos
12
sinsin
su 2 py4d
En los
ejercicios 37 a 48,
una ecuación polar de la cónica
counterclockwise
fromhallar
the parabola
4
4
(c) r 4
(d) r
9 conveniencia, la ecuación de la directriz
con foco en el polo. (Por
4
1 cos
1 sin
4
r9
.
(c) r
(d) r
está dada
en forma
1 . rectangular.)
sin
1 cos
1 sin
4
r
1 sin
x2
y2
55. Demostrar que la ecuación polar de 2 1 2 5 1 es
Cónica
Excentricidad
Directriz
a
b
In Exercises 37–
48, find a polar equation
for the conic with its
x2
y2
In Exercises
37–
48,pole.
find (For
a polar
equation for
conic with
its direc2 fory2
focus at
the
convenience,
thethe
equation
for the
1 is
55.
Show
that
the
polar
equation
x
2
2
37.
Parábola
e convenience,
51
x 5 21 for the direcb
a
b
focus
at
the
pole.
(For
the
equation
1 is2
55. rShow
for
2 5 that the polar. equation
2
trix is given in rectangular form.)
Elipse. a2
b
2
2
1 2 e cos u 2
trixParábola
is given in rectangular
38.
e 5 1form.)
y51
b
.
Directrix
Conic
Eccentricity
Ellipse
r 2 b2
1 2 e2.cos2 Ellipse x2
y2
Conic
r2
39. Elipse
eEccentricity
5 12
yDirectrix
51
2
56. Demostrar
1 eque
cosla ecuación polar de 2 2 2 5 1 es
37. Parabola
e 1
x
3
a
b
37. Elipse
Parabola
e 31
40.
yx5 223y 4
x2
y2
38. Parabola e 5 4 e 1
2 fory2
56. Show that
the polar equation
1 is
x
2
2
38. Parabola
e 1
y 4
a 1bis2
56. rShow
that2b
the polar. equation
for 2
2
41. Hipérbola
e52 e 1
x51 y 1
2
5
Hipérbola.
39. Ellipse
a
b
2
1 2 e 2 cos 2 u 2
e 12
y 1
39. Ellipse
b
42. Hipérbola
e 5 323 e 34
x 5 21y
2
2
40. Ellipse
.
2
r
Hyperbola
b
e 4
y
2
40. Ellipse
1 e 2.cos 2 Hyperbola
r2
2 cos 2
e 2
x 1
41. Hyperbola
1
e
En los ejercicios 57 a 60, usar los resultados de los ejercicios 55
e 2
x 1
41. Hyperbola
3
e vértices
x
1
42. Hyperbola Vértice
Cónica
y 56 para
dar la forma
polaruse
de the
la ecuación
deExercises
la cónica.55 and 56 to
2
3 o
In Exercises
57–60,
results of
e 2
x
1
42. Hyperbola
In
Exercises
57–60,
use
the
results
of
Exercises
55 and 56 to
writefoco
the polar
of the en
equation
of
the
p
57.
Elipse:
en (4,ofform
0);
vértices
(5,
0), sconic.
5, p
d conic.
43. ParábolaConic
1, 2 Vertex or Vertices
write
the
polar
form
the
equation
of
the
Conic
Vertex2 or Vertices
57. Ellipse:
0); vertices
(5,s4,
0),pd5,
58. Hipérbola:
foco focus
en (5,at0);(4,vértices
en (4,at0),
1,
43. Parabola
57. Ellipse: focus at (4, 0); vertices at (5, 0), 5,
44.
Parábola
s
5,
p
d
2
2
2
1,
43. Parabola
x 58. yHyperbola: focus at (5, 0); vertices at (4, 0), 4,
2
59.
2
5 focus
1
58. Hyperbola:
at (5, 0); vertices at (4, 0), 4,
44. Parabola s2, 0d, s8,5,pd
9
16
45. Elipse
x2 2
y2
2
5,
44. Parabola
1
x 2 59. y
9 116
2, 0 , 8,
45. Ellipse
59. x
2
p0 , 8, 3p
51
60. 9 1 y16
2,
45.
Ellipse
46. Elipse
2, , 4,
4
x2
3
2
y2 1
2, 23 , 4,
46. Ellipse
x 2 60. 2
2
y4 1
60.
2, , 4,2
46. Ellipse
4 ejercicios 61 a 64, usar las funciones de integración de una
32p
32p
En los
47. Hipérbola
1,
, 9,3
3
In Exercises
61–64, usepara
the integration
of a graphing
23 1, 23 , 9,
47. Hyperbola
herramienta
de graficación
estimar concapabilities
una precisión
de
2
2
In Exercises
61–64,
use the integration
capabilities
of a the
graphing
1,
, 9,
47. Hyperbola
utility
to approximate
decimal
places
area of the
dos cifras
decimales
el área detola two
región
limitada
por la gráfica
2
2
48. Hipérbola
utility region
to approximate
to two decimal places the area of the
2, 00d, 10, 0
48. Hyperbola s2, 0d, s10,
bounded
de la ecuación
polar. by the graph of the polar equation.
2, 0 , 10, 0
48. Hyperbola
region bounded by the graph of the polar equation.
49. Encontrar
la aecuación
para lafor
elipse
con foco
0), excentrici9
3
0, 0 , eccentricity
49. Find
polar equation
the ellipse
with(0,
focus
61. r 3
62. r 9
1
0,
0
, eccentricity
49. dad
Finddea polar
equation
for
the
ellipse
with
focus
4 cos
2 cos
and
a directrix
directriz
en r at
5 r4 sec4 usec
. .
61. r
62. r
2, y
1
2 cos
4 cos
4 sec .
2 , and a directrix at r
3
2
50. Find a polar equation for the hyperbola with focus 0, 0 , eccen63. r 2
64. r 3
50.
la ecuación para
una
hipérbolawith
confocus
foco (0, 0), excen50. Encontrar
Find a polar
the
hyperbola
8 csc . 0, 0 , eccentricityequation
2, and afor
directrix
at r
3 2 sen
6 5 sen
63. r
64. r
tricidad
2 yadirectriz
cscu. .
tricity 2,deand
directrixenat rr 5 288csc
3 2 sen
6 5 sen
1
2
1 2 1
1
2 1
2
2
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SECCIÓN 10.6
Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler
757
65. Explorer 18 El 27 de noviembre de 1963, Estados Unidos CAS 71. Movimiento planetario En el ejercicio 69 se encontró la ecualanzó el Explorer 18. Sus puntos bajo y alto sobre la superficie
ción polar para la órbita elíptica de Neptuno. Usar la ecuación y
de la Tierra fueron aproximadamente 119 millas y 123 000
un sistema algebraico por computadora.
millas, respectivamente (ver la figura). El centro de la Tierra es
a) Aproximar el área que barre un rayo que va del Sol al planeel foco de la órbita. Hallar la ecuación polar de la órbita y hallar
ta cuando u aumenta de 0 a p/9. Emplear este resultado para
la distancia entre la superficie de la Tierra y el satélite cuando
determinar cuántos años necesita Neptuno para recorrer este
u 5 608. (Tomar como radio de la Tierra 4 000 millas.)
arco, si el periodo de una revolución alrededor del Sol es de
165 años.
90°
Explorer 18
r
60°
0
Tierra
a
b) Por ensayo y error, aproximar el ángulo a tal que el área
barrida por un rayo que va del Sol al planeta cuando u
aumenta de p a a sea igual al área encontrada en el inciso
a) (ver la figura). ¿Barre el rayo un ángulo mayor o menor
que el del inciso a), para generar la misma área? ¿A qué se
debe?
π
2
No está dibujado a escala
θ =π
9
66. Movimiento planetario Los planetas giran en órbitas elípticas con el Sol como uno de sus focos, como se muestra en la
figura.
0
α −π
π
2
Planeta
r
θ
0
Sol
a
No está dibujado a escala
a) Mostrar que la ecuación polar de la órbita está dada por
s1 2 e2d a
r5
1 2 e cos u
donde e es la excentricidad.
b) Mostrar que la distancia mínima (perihelio) entre el Sol y el
planeta es r 5 as1 2 ed y que la distancia máxima (afelio) es
r 5 as1 1 ed.
En los ejercicios 67 a 70, usar el ejercicio 66 para hallar la
ecuación polar de la órbita elíptica del planeta, así como las distancias en el perihelio y en el afelio.
67. Tierra
a 5 1.496 3 108 kilómetros
e 5 0.0167
68. Saturno
a 5 1.427 3 10 9 kilómetros
e 5 0.0542
69. Neptuno
a 5 4.498 3 109 kilómetros
70. Mercurio
a 5 5.791 3 107 kilómetros
e 5 0.0086
e 5 0.2056
c) Aproximar las distancias que recorrió el planeta en los
incisos a) y b). Usar estas distancias para aproximar la cantidad promedio de kilómetros al año que recorrió el planeta en
los dos casos.
72. Cometa Hale-Bopp El cometa Hale-Bopp tiene una órbita
elíptica con el Sol en uno de sus focos y una excentricidad
de e < 0.995. La longitud del eje mayor de la órbita es aproximadamente 500 unidades astronómicas.
a) Hallar la longitud del eje menor.
b) Hallar la ecuación polar de la órbita.
c) Hallar distancias en el perihelio y en el afelio.
En los ejercicios 73 y 74, sea r0 la distancia del foco al vértice más
cercano, y r1 la distancia del foco al vértice más lejano.
73. Mostrar que la excentricidad de una elipse puede expresarse
como
e5
r
r1 2 r0
11e
. Después mostrar que 1 5
.
r1 1 r0
r0 1 2 e
74. Mostrar que la excentricidad de una hipérbola puede expresarse
como
e5
r1 1 r0
r
e11
. Después, mostrar que 1 5
.
r1 2 r0
r0 e 2 1
En los ejercicios 75 y 76, mostrar que las gráficas de las ecuaciones dadas se cortan en ángulo recto.
75. r 5
ed
1 1 sen
sin u
y r5
76. r 5
c
1 1 cos u
y
r5
ed
1 2 sen
sin u
d
1 2 cos u
10-7.qxd
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Ejercicios de repaso
10
En los ejercicios 1 a 6, hacer corresponder la ecuación con su
gráfica. [Las gráficas están etiquetadas a), b), c), d), e) y f).]
y
a)
17. Vértice: (67, 0); foco: (69, 0)
18. Foco: s0, ± 8d; asíntotas: y 5 ± 4x
y
b)
En los ejercicios 17 y 18, hallar la ecuación de la hipérbola.
4
4
2
x
x
−2
2
−12
4
−8
En los ejercicios 19 y 20, usar una herramienta graficadora para
aproximar al perímetro de la elipse.
−4
−2
19.
−4
x2 y2
1 51
9
4
20.
x2
y2
1
51
4
25
−4
y
c)
21. Una recta es tangente a la parábola y 5 x 2 2 2x 1 2 y perpendicular a la recta y 5 x 2 2. Hallar la ecuación de la recta.
y
d)
4
22. Una recta es tangente a la parábola 3x 2 1 y 5 x 2 6 y perpendicular a la recta 2x 1 y 5 5. Hallar la ecuación de la recta.
4
2
x
−4
2
−2
x
4
−4
2
−2
−4
4
y5
−4
y
e)
b) Hallar el área de la superficie de la antena.
4
x
−4
2
−2
2
4
x
−2
−4
2
4
−2
1. 4 x 2 1 y 2 5 4
3.
y2
5 24 x
5.
x2
1
4y 2
54
2. 4 x 2 2 y 2 5 4
4. y 2 2 4 x 2 5 4
a) Hallar el volumen del tanque.
6.
x2
5 4y
7. 16x 2 1 16y 2 2 16x 1 24y 2 3 5 0
9. 3x 2 2 2y 2 1 24x 1 12y 1 24 5 0
11. 3x 2
12. 12x
20x
2y 2
2
12y
19
12x
2
12x
0
12y
24y
29
0
45
b) Hallar la fuerza ejercida sobre el fondo del tanque cuando
está lleno de agua. (La densidad del agua es 62.4 libras por
pie cuadrado.)
c) Hallar la profundidad del agua en el tanque si está lleno a Er
de su capacidad (en volumen) y el camión se encuentra sobre
un terreno nivelado.
d) Aproximar el área en la superficie del tanque.
8. y 2 2 12y 2 8x 1 20 5 0
y2
24. Camión de bomberos Considerar un camión de bomberos con
un tanque de agua que mide 16 pies de longitud, cuyas secciones
transversales verticales son elipses que se describen por la
ecuación
x2
y2
1 5 1.
16
9
En los ejercicios 7 a 12, analizar la ecuación y trazar su gráfica.
Emplear una herramienta de graficación para confirmar los
resultados.
10. 5x 2
2100 ≤ x ≤ 100.
a) Hallar las coordenadas del foco.
6
4
x2
,
200
El equipo de recepción y transmisión se coloca en el foco.
y
f)
23. Antena satelital La sección transversal de una gran antena
parabólica se modela por medio de la gráfica de
0
En los ejercicios 25 a 32, trazar la curva representada por las
ecuaciones paramétricas (indicar la orientación de la curva) y
dar las ecuaciones rectangulares correspondientes mediante la
eliminación del parámetro.
25. x
1
En los ejercicios 13 y 14, hallar una ecuación de la parábola.
26. x
t
13. Vértice: s0, 2d; directriz: x 5 23
27. x
et
8t, y
6, y
4t
3
4t
t2
1, y
e3t
28. x
e , y
29. x
6 cos , y
En los ejercicios 15 y 16, hallar la ecuación de la elipse.
30. x
2
15. Vértices: (25, 0) s7, 0d; focos: (23, 0) (5, 0)
31. x 5 2 1 sec u, y 5 3 1 tan u
14. Vértice: (2, 6); foco: (2, 4)
16. Centro: s0, 0d; puntos solución: (1, 2), (2, 0)
t
4
6 sen
5 cos t, y
3
sin 3 u, y 5 5 cos3 u
32. x 5 5 sen
2 sen t
10-7.qxd
3/12/09
1059997_100R.qxp
1059997_100R.qxp
1059997_100R.qxp
1059997_100R.qxp
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3:52 PM
PM Page
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Ejercicios de repaso
759
Review
759
Review Exercises
Exercises
759
Review
Exercises
759
En los ejercicios 33 a 36, hallar una representación paramétrica
herramienta
de graficación
En los ejercicios 53 y 54, a) usar una
Review
Exercises
759 Review Exercises
de la recta o cónica.
para trazar la curva representada por las ecuaciones paramétricas, b) usar una
herramienta
de graficación
para hallar
dx/dqq ,
In
33–36,
find
representation
In
In Exercises
Exercises
33–36,
find6aad parametric
parametric
representation of
of the
the line
line
In Exercises
Exercises 53
53 and
and 54,
54, (a)
(a) use
use aa graphing
graphing utility
utility to
to graph
graph the
the
33.
Recta: pasa
por s22,
y s3, 2d
In conic.
Exercises
33–36,
find a parametric
representation
ofathe
line
In
Exercises
and
54,
(a)
graphing
utility
to
graph
the
q yrepresented
dy/dq
dy/dx53
para
y In
c)ausar
unaequations,
herramienta
deuse
grafiuby
5p
6,use
or
curve
the
parametric
(b)
aaa graphing utility to g
/
In
Exercises
33–36,
find
parametric
representation
of
the
line
Exercises
53
and
54,
(a)
use
or
conic.
curve
represented
by
the
parametric
equations,
(b)
use
In
Exercises
33–36,
find
a
parametric
representation
of
the
line
In
Exercises
53
and
54,
(a)
use
a
graphing
utility
to
graph
the
or conic.
curve
represented
by
the
parametric
equations,
(b)
use
34.
Circunferencia: centro en (24,
25);
radio
3
cación para
trazar
la recta
tangente
arepresented
la dy/dx
curvafor
cuando
u/6,
5 parametric
p /a6.
dx/d
,
dy/d
,
graphing
utility
to
find
and
and
or
conic.
curve
by
the
equations, (b
, dy/d , and dy/dx
graphing
utility to find
for
or conic.
curve
represented
by dx/d
the parametric
equations,
(b) /6,
useand
a
2,
66 and
3,
33.
Line:
through
dx/d
, dy/d
, and
dy/dx
/6,
graphing
utility to find
for
and
2,longitud
3, 22eje mayor horizontal 8 y
33. Elipse:
Line: passes
passes
through
and del
(c)
use
a
graphing
utility
to
graph
the
tangent
line
to
the
curve
dx/d
,
dy/d
,
dy/dx
graphing
utility
to
find
and
for
35.
centro
en
s
23,
4
d
;
(c)
use
a
graphing
utility
to
graph
the
tangent
line
to
the
curve
dx/d
, dy/d
, and
graphing
utility
and
2, 633.and
3, 2
33. Line: passes through
53.
54.the
x 5a cot
u to find
x tangent
5 dy/dx
2u 2 for
sin
sen uto the/6,
2, 6 and 3,when
2 use
Line:
(c)
graphing
utility
to graph
line
curve
4,
34.
Circle:
center
at
333, 2passes through
33.
Line:
through
and
/6.
(c) use
atangent
graphing
utility
tocurve
graph the tangent line to t
del eje
4, 6 52,
5 ;;6radius
34. longitud
Circle:passes
center
atmenor
radius
/6.
when
(c)
use
a
graphing
utility
to
graph
the
line
to
the
4, 5 ; 34.
34. Circle: center at
radius
3
wheny 5 sen
sin 2/6.
u
2 cos u
4, 5 ; radius 3 when
Circle:
when y 5 2 /6.
3,
35.
Ellipse:
center
at
;d;radius
34. Hipérbola:
Circle: center
at
3 major
36.
vértice
foco
en
s0,44±5;;4horizontal
s0,center
± 5axis
d atof
/6.
3,
35.
Ellipse:
center
at en4,
horizontal
major
axis
of length
length 88 and
and
x
cot
xx 22
sin
53.
54.
35. minor
Ellipse:axis
center
at 63, 4 ; horizontal
major
axis
of
length
8
and
x
cot
sin
53.
54.
of
length
3, 4 8; horizontal
35. Ellipse:
center
major
x axis
cotof length 8 and
sin
53.
54.x x cot2
minor axis
of length
6 4 ; horizontal
35. Ellipse:
center
at 3,
major
axis at
of length
and
sin
53.
Longitud
de
arco
En
los
ejercicios
55
y
56,
hallar
minor
axis
of
length
6
y
sin
2
y
2
cos
cot 2
sin la longitud de54. x 2
53. yx sin
54. yx 22 cos
minor
axis
of
length
6
37.
Motor
rotatorio
El
motor
rotatorio
fue
inventado
por
Felix
0,
4
;
5
0,
36.
Hyperbola:
vertices
at
±
foci
at
±
minor
axis
of
length
6
y
sin
2
y
2
cos
36. Hyperbola: vertices at 0, ± 4 ; foci at 0, ± 5
arco
de
la
curva
en
el
intervalo
que
se
indica.
y
sin
2
y
2
cos
36. Wankel
Hyperbola:
verticesdeatlos0,cincuenta.
± 4 ; foci
at 0, ± 5 un rotor que es un
en la década
Contiene
0,yLength
Hyperbola:
± 5 sin 2 In Exercises 55 and 56,yfind2 the cos
Arc
arc
length
4 ; foci
36. Hyperbola: vertices at 0, ±36.
at 0, ± 5vertices at 0, ± 4 ; foci at
Arc
Length
In
Exercises
and56.
56,xfind
arc
length of
of the
the
triángulo
equiláteroThe
modificado.
El rotorwas
se mueve
en una
cámara
37.
Rotary
Engine
rotary
engine
developed
by
Felix
sen ud 55
55.
x
5
rthe
scosgiven
u1
uinterval.
sin
5 6the
cos
uExercises
Arc
Length
In
Exercises
55 and
56,
find
the
arc
length 55
of the
37. Rotary Engine The rotary engine was developed by Felix
curve
on
Arc
Length
In
and 56, find the arc leng
curve
on
the
given
interval.
Arc
Length
In
Exercises
55
and
56,
find
the
arc
length
of
the
37. que,
Rotary
Engine
The
rotary
engine
was
developed
by
Felix
en dos
dimensiones,
esfeatures
un37.
epitrocoide.
Usar
una
herramienta
in
It
aa rotor,
which
is
aa modified
Rotary
Engine
rotary
engine curve
wasy developed
byuinterval.
Felix
onrthe
given
Wankel Engine
in the
the 1950s.
1950s.
It
features
rotor,
which
isThe
modified
sen
5
s
sin
u
2
cos
u
d
y
5
6
sin
u
sen
37. Wankel
Rotary
The
rotary
engine
was
developed
by
Felix
curve
on
the
given
interval.
curve
onr the
interval.
Wankel
in thepara
1950s.
It lafeatures
aque
rotor,
which
is aecuaciones
modified
de
graficación
trazar
cámara
describen
las
cos
sin
equilateral
The
moves
in
two
55.
56.
Wankel
the 1950s.
Itin
isgiven
a modified
cos
sin
equilateral
triangle.
The
rotor
moves
in aainchamber
chamber
that,
infeatures
two a rotor,
55. xx0which
56. xx0 ≤ 66u cos
Wankel
in triangle.
the 1950s.
It rotor
features
a rotor,
which
is that,
a modified
≤ rru cos
≤ p
≤ p
x
cos
6 cos
sin
equilateral
triangle.
The
rotor
moves
in
a
chamber
that,
in
two
55.
56.x x r cos
paramétricas.
dimensions,
is
an
epitrochoid.
Use
a
graphing
utility
to
graph
sin
equilateral
triangle.
The
rotor
moves 55.
in ayxchamber
that, incos
two
55.56.
56. x 6 cos
r
sin
y
6
sin
dimensions,
is an epitrochoid.
Use
a in
graphing
utility
to ingraph
cos
x
sin
equilateral
triangle.
The
rotor
moves
a
chamber
that,
two
y r sin
y 6 cos
sin
cos
dimensions,
is
an
epitrochoid.
Use
a
graphing
utility
to
graph
y r utility
sin to graph
y r sin
6 sin
cos
chamber
modeled
by
equations
dimensions,
is utility
an epitrochoid.
Use a graphing
the
chamber
modeled
by the
the parametric
parametric
equations
y
cos
dimensions,
is
an
epitrochoid.
Use
a
graphing
to
graph
xthe
5
cos
3
u
1
5
cos
u
00y 657
Área00y de una
r sinsuperficie
siny 58, hallar el área y 6 sin
cos En los ejercicios
the chamber modeled by the parametric
equations
the chamber
modeled by the parametric equations
0
0
modeled
by the parametric
equations
xxthe chamber
cos
3
5
cos
0 0
de la0 superficie generada por revolución
de la curva en torno 0
3
5 cos
yx cos
cos 3
5 cos
Surface
In
Exercises
57
x cos 3
5 cos
a) al eje Area
xArea
y b) al
y.
Surface
Ineje
Exercises
57 and
and 58,
58, find
find the
the area
area of
of the
the
xand cos 3
5 cos
Surface generated
Area In by
Exercises
57
andcurve
58,
find
the(a)
area
of
the
surface
revolving
the
about
the
xx-axis
Surface
Area
In
Exercises
57
sen
yand
5
sin
3
u
1
5
sin
u
.
sen
surface
generated
by
revolving
the
curve
about
(a)
the
-axis
Surface
Area
In
Exercises
57
and
58,
find
the
area
of
the and 58, find the are
and
surface
generated
by0revolving
the curve
about by
(a) revolving
the x-axis
and
57.
x
5
t,
y
5
3t,
≤
t
≤
2
and
(b)
the
-axis.
y
surface
generated
and (b) the
y-axis. by revolving the curve about (a) the x-axisthe curve about (a) t
surface
generated
yyand sin
55 sin
sin 33
sin ..
and (b) the
y-axis.
38. Curva
las ecuaciones paramétricas
and (b) thepy-axis.
y sinserpentina
3
5 sin Considerar
.
and
(b)
the
yy-axis.
y sin 3
5 sin .
sen
57.
x
t,
tt u, 22 0 ≤ u ≤
x
5
2
cos
58.
y
sin
3
5
sin
.
sen
y
x
5
2
cot
u
y
5
4
sin
u
cos
u
,
0
<
u
<
p
.
57.
x
t,
y u, 3t,
3t,y 500 2 sin
38.
38. Serpentine
Serpentine Curve
Curve Consider
Consider the
the parametric
parametric equations
equations
57. x t, y 3t, 0 t 257. x t, 2 y 3t, 0 t 2
38. xSerpentine
Curve
Consider
the
parametric
equations
57.parametric
x t, y equations
3t, 0 t 2
22 cot
yy 44 Consider
sin
cos
,, the
<
.Curve
00 <
38.
Consider the58.
una and
herramienta
la equations
curva.
and
x Usar
cot
sinde graficación
cos Serpentine
< para
< trazar
.
38. a)
Serpentine
Curve
parametric
xx En
22 cos
,, yy 22 59
sin
x 2 cot and y 4 sin cos x, 0 2< cot< and
. y 4 sin cos , 0 58.
cos
sin ,, 00hallar el 2área de la región.
Área
los
ejercicios
<
<
.
58. x 2 cos , y 2 siny 60,
, 0 x 2 cos
2 , y 2 sin , 0
(a)
Use
aa graphing
to
graph
andparámetro
x Eliminar
2 cot
y utility
4 sinpara
, 0the
< curve.
b)
el
mostrar
que< la .ecuación rectan(a)
Use
graphing
utility
tocos
graph
the
curve.
2
58.
x
2
cos
,
y
2
sin , 58.
0
(a) Use a graphing utility to graph
the
curve.
2
2ad ygraphing
22 cos u
(a)
Use
utility
to
graph
the
curve.
gular
de
la
curva
serpentina
es
s
4
1
x
5
8x.
59.
60.
x
5
3
sin
u
x
5
sen
(b)
Eliminate
the
parameter
to
show
that
the
rectangular
(a) Use
a graphing
to graph
the curve.
Area
In
Exercises
59
and
60,
find
the
area
(b)
Eliminate
the utility
parameter
to show
that the rectangular
Area In Exercises 59 and 60, find the area of
of the
the region.
region.
(b) equation
Eliminateof the
parameter
to
show
that
2 the rectangular
AreathatIn the
Exercises
59 and 60, find the
area
of
the 59
region.
yy rectangular
8x.
the
is
Eliminate
the
parameter
to show
sen
cos rectangular
u
yIn5
sin of
u the
Exercises
and 60, find the area of the regi
8x.
ofthe
the serpentine
serpentine
curve
is 44 thatxx 22the
(b) equation
Eliminate
parameter curve
to(b)show
Areaxy 5In322Exercises
59 and 60, Area
find
the
region.
y serpentine
8x.tangen- curve 59.
xof
equation 39
of the
serpentine
curve
isy 4los puntos
60.
sin
xx area
22 cos
y
8x.
4
x
equation
is
En los ejercicios
a
48,
a)
hallar
dy
dx
2 the de
59.
60.
x
3
sin
cos
/
equation of the serpentine curve is 4 x y 8x.
p
p
59. x 3 sin
60.x x 3 sin
2 cos
In
(a)
points
59.60.
60. x 2 cos
//dx
u ≤
≤ p
cia
horizontal,39–
b)48,
eliminar
parámetro
sea
posible y
dx and
In Exercises
Exercises
39–
48,
(a) find
findeldy
and all
allcuando
points of
of horizontal
horizontal
dy
yyx0 ≤ sin
59. yxy2 2 232≤cos
sin
2u cos
cos 2
sin
dxExercises
In Exercises
39–
48, (a) find
and allwhere
points
of(a)horizontal
dy
/
tangency,
(b)
eliminate
the
parameter
possible,
and
dx
In
39–48,
find
and
all
points
of
horizontal
dy
y
2
cos
y
sin
/
c)In
trazar
la (b)
curva
representada
por
las
tangency,
eliminate
the dy
parameter
possible,
and
Exercises
48,
(a) find
andecuaciones
allwhere
points paramétricas.
of horizontal
y y 2 cos
y sin
/dx
y 2 cos
sin
tangency,
(b)39–
eliminate
the parameter
where
possible,
and
(c)
sketch
curve
represented
by
equations.
tangency,
(b)
eliminate
the and
parameter where
possible,
and
00
(c)
sketch the
the
curve
represented
by the
the parametric
parametric
equations.
tangency,
(b)
eliminate
the
parameter
where
possible,
y
y
22
22
(c) sketch the curve represented
by
the parametric
equations. by the parametric
0
(c)by
sketch
the curve represented
equations.
0
(c) sketch
the curve
represented
the parametric
equations.
2
2
2
02
39.
40.
32yy
4 yy 2
39. xx 22 5t,
40. xx tt 6,
6, yy tt 22
5t, yy 11 4t
4t
2
39. x 2 5t, y 1 4t 39.40.x x 2 t 5t,6, y y 1t 2 4t
2
y
y
40. x t 6, y 3 ty
y
y2 y
39. x 121 5t, y 1 4t
40. x 1t1 6, y2 t
33
44
41.
42.
41. xx 1t ,, yy 2t
42. xx 1 1t ,, yy tt 22
2t 33
1
3
4
41. x 1t , y 2t 3
42.x x , 1t ,y y 2t t 2 3
3
4 23
41.42.
42. x
, y t 2 343
2
t , y 2t 3
41. x
x t t, y t
t
2
31
x
t 11
t
2
3 2
3
43.
44.
11
−3 −2 − 1
1 2 3
43. xx 2t 1 1
44. xx 2t
2t
x
1
−1
43. x 2t 1 1
44.x x 2t
1
xx
11
43.
44.
x
2t
1
−3 −2 −1 1
1 2 3
43. x 2t 1
44. x 2t 2t 1 1
x
−−33 −−22 −−11− 2
11 22 33
−1
11
2t 11 1
xx
1
x
1
− 3 − 2 − 1−−11
1 2 3
y
yy
1
1
−3 −2 −1
1
x
2
y t122 2t
−−133 −2
−1
1
2
3
−
1
−
3
−2
−
3
−
2
−
1
1
2
3
t
2t
2
x
−2 −1
1 2 3
−1
y t 1 2t
−−21
x
− 3 −2 −1−−11
1 2 3
y
y yy 2 tt 2 1 2t
2t
2
y t 22 2t
− 3 −2 −1 − 22 1 2 3
−1
t
t
2t
2t
2
−
3
−2
−1
1
2
3
−2
− 1−−32
cos
45.
t
2t
2t
−−212
cos
45. xx 55t
3
45. x 5 cos
−3
−2
x
5
cos
45.
−3
−
2
En
los
ejercicios
61
a
64,
representar
gráficamente
el
punto
y
3
4
sen
45. xy 53 cos
−3
−2
4 sen
y 3 4 sen
en
coordenadas
polares
y
hallar
las
coordenadas
rectangulaIn
Exercises
61–64,
plot
the
point
in
polar
coordinates
and
find
y
3
4
sen
46.
In Exercises 61–64, plot the point in polar coordinates and find
3 cos
4 sen
10
cos
46. xxy 10
In
61–64, plot
point
in polar coordinates
and
find
resExercises
correspondientes
althe
punto.
46. x 10 cos
the
corresponding
coordinates
of
In
Exercises
61–64,
plot and
the point
the
corresponding
rectangular
coordinates
of the
the point.
point.
x
10
cos
46.
In
61–64,rectangular
plot the point
in polar coordinates
find in polar coordinates
y
10
sen
46. xy 10 cos
theExercises
corresponding
rectangular
coordinates
of
the
point.
sen
corresponding
coordinates of the poin
y 10 sen
the corresponding
rectangularthe
coordinates
of the rectangular
point.
3
y 10 sen
33
47.
cos
3
47. xxy 10
cossen
61.
5,
3
3
61. 5, 2
47. x
cos3 3
3
47. x
cos3
61. 5, 32
sen
47. yxy 44cos
61. 5,
sen 3
2
5,
61.
2
y 4t sen 33
277
y 4 sen 3
48.
62.
6,
48. xxy ee4tt sen
7
62.
6,
7
48. x e
62.
6, 766
48. x et
6,
62.
48. yxy eet ttt
6, 6
62.
6
63.
3,
1.56
y e t
6
63.
3, 1.56
y e t
y e
63.
3, 1.56
3,
1.56
63.
In
Exercises
49–
52,
find
all
points
(if
any)
of
horizontal
and
64.
2,
2.45
3, 1.56
63.
In los
Exercises
49–49
52,a find
all points
any)
of horizontal
64.
2,
2.45
En
ejercicios
52, hallar
todos(if
puntos
(si los hay)and
de
In Exercises
49– 52,
find
all points
(iflosany)
of
horizontal
and
2, horizontal
2.45
vertical
tangency
to
the
curve.
Use
aa graphing
utility
to
confirm
In
Exercises
49–
52,
find
all and
points (if 64.
any) of
and
2, 2.45
64.
vertical
tangency
to
the
curve.
Use
graphing
utility
to
confirm
In
Exercises
49–
52,
find
all
points
(if
any)
of
horizontal
2,
2.45
64.
tangencia
horizontal
y vertical
a la acurva.
Usarutility
una herramienvertical
tangency
to
the
curve.
Use
graphing
to
confirm
In
Exercises
65–68,
the
your
results.
vertical
tangency
to
the
curve.
Use
a
graphing
utility
to
confirm
In Exercises 65–68, the rectangular
rectangular coordinates
coordinates of
of aa point
point are
are
your
results.
vertical
tangency
to
the
curve.
Use
a
graphing
utility
to
confirm
ta
de
graficación
para
confirmar
los
resultados.
In
Exercises
65–68,
the
rectangular
coordinates
ofthe
a point
are
your results.
given.
Plot
the
point
and
find
two
sets
of
polar
coordinates
of
En
los
ejercicios
65
a
68,
se
dan
las
coordenadas
rectangulares
de coordinates of a
In
Exercises
65–68,
rectangular
your
results.
given.
Plot
the
point
and
find
two
sets
of
polar
coordinates
of the
the
In
Exercises
65–68,
the
rectangular
coordinates
of
a
point
are
yourx results.
2
y
2t
49.
5
t,
2
given.
Plot
the point
and
find two
sets Plot
of
polar
coordinates
ofpares
the sets of polar coordina
49. x 5 t, y 2t 2
point
for
0
<
2
.
un
punto.
Representar
gráficamente
el
punto
y
hallar
dos
given.
the
point
and
find
two
point
for
0
<
2
.
given.
Plot
the
point
and
find
two
sets
of
polar
coordinates
of
the
49. x 5 t, y 2t
3 2
49. x 5 t, y 2t 2
point
for 0
<2 .
50.
49.
t, yy t2t
de coordenadas
polares
para
point
for 0
<2 .
t3 2t
2,
2t
50. xx t5t 2,
point
for 40
< 2 . del punto
65.
66.
4,
0,
77
50. x t 2, y t33 2t 50. x t 2, y t3 2t
65.
66.
4,
4
0,
x
2
2
sen
,
y
1
cos
51.
y , t y 2t1 cos
50. x t2 2,
65. 4, 4
66.4, 0, 4 7
2 sen
51.
65.68.
66. 0, 7
67.
33
cos x 2 2 sen , y 1 cos
51. x 2 2 sen , y 1 51.
65.
66.
7
67. 4, 1,
68. 0, 3,
1, 334
3,
x
2
2
cos
,
y
2
sen
2
52.
sen
1
cos
51.
67.
68. 1, 3 3,
1,
3
3
52. x 2 2 cos , y 2 sen 2
67.
68.
3,
3
52. x 2 2 cos , y 2 sen
67.
68.
1, 3
3,
3
52.22 x 2 2 cos , y 2 sen 2
52. x 2 2 cos , y 2 sen
10-7.qxd
3/12/09
760
17:01
Page 760
CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
En los ejercicios 69 a 76, pasar la ecuación polar a la forma rectangular.
107. Encontrar los puntos de intersección de las gráficas de r 5 1 2
cos u y r 5 1 1 sen u.
69. r 5 3 cos u
70. r 5 10
108. Encontrar los puntos de intersección de las gráficas de r 5 1 1
sen u y r 5 3 sen u.
71. r 5 22s1 1 cos u d
72. r 5
73.
r2
1
2 2 cos u
p
74. r 5 4 sec u 2
3
1
5 cos 2u
75. r 5 4 cos 2u sec u
76. u 5
En los ejercicios 109 a 112, usar una herramienta de graficación
para representar la ecuación polar. Dar una integral para encontrar el área de la región dada y usar las funciones de integración
de una herramienta de graficación para aproximar el valor de la
integral con una precisión de dos cifras decimales.
2
3p
4
En los ejercicios 77 a 80, transformar la ecuación rectangular a
la forma polar.
77. sx 2 1 y 2d 2 5 ax 2 y
79.
x2
1
y2
5
a2
1
y
arctan
x
78. x 2 1 y 2 2 4 x 5 0
2
2
80. s
x2 1
1
25
y
d arctan
x
y2
109. Interior de r 5 sen
sin u cos 2 u
sin 3u
110. Interior de r 5 4 sen
111. Interior común de r 5 3 y r 2 5 18 sen
sin 2u
112. Región limitada por el eje polar r 5 eu para 0 ≤ u ≤ p
2
a2
En los ejercicios 113 y 114, hallar la longitud de la curva sobre el
intervalo dado.
En los ejercicios 81 a 92, trazar la gráfica de la ecuación polar.
p
12
81. r 5 6
82. u 5
83. r 5 2sec u
84. r 5 3 csc u
85. r 5 22s1 1 cos u d
86. r 5 3 2 4 cos u
87. r 5 4 2 3 cos u
88. r 5 4u
89. r 5 23 cos 2u
90. r 5 cos 5u
sin22 2u
91. r 2 5 4 sen
92. r 2 5 cos 2u
En los ejercicios 93 a 96, usar una herramienta de graficación
para representar la ecuación polar.
93. r 5
3
cossu 2 py4d
95. r 5 4 cos 2u sec u
Ecuación polar
113. r 5 as1 2 cos ud
0 ≤ u ≤ p
114. r 5 a cos 2u
2
En los ejercicios 97 y 98, a) hallar las tangentes en el polo,
b) hallar todos los puntos de tangencia horizontal y vertical, y
c) usar una herramienta de graficación para representar la
ecuación polar y dibujar una recta tangente a la gráfica en u 5 p/6.
p
p
≤ u ≤
2
2
En los ejercicios 115 y 116, dar una integral que represente el
área de la superficie generada por revolución de la curva en
torno a una recta dada. Usar una herramienta de graficación
para aproximar la integral.
Ecuación polar
Intervalo
Eje de revolución
115. r 5 1 1 4 cos u
p
0 ≤ u ≤
2
Eje polar
sin u
116. r 5 2 sen
0 ≤ u ≤
94. r 5 2 sin
sen u cos 2 u
96. r 5 4 ssec u 2 cos ud
Intervalo
p
2
u5
p
2
En los ejercicios 117 a 122, trazar e identificar la gráfica. Usar
una herramienta de graficación para confirmar los resultados.
117. r 5
2
1 2 sen
sin u
118. r 5
2
1 1 cos u
119. r 5
6
3 1 2 cos u
120. r 5
4
5 2 3 sin
sen u
En los ejercicios 99 y 100, mostrar que las gráficas de las ecuaciones polares son ortogonales en el punto de intersección. Usar
una herramienta de graficación para confirmar los resultados.
121. r 5
4
2 2 3 sen
sin u
122. r 5
8
2 2 5 cos u
99. r 5 1 1 cos u
En los ejercicios 123 a 128, hallar la ecuación polar de la recta o
cónica con su foco en el polo.
97. r 5 1 2 2 cos u
r 5 1 2 cos u
98. r 2 5 4 sen
sin 2u
100. r 5 a sin
sen u
r 5 a cos u
123. Círculo
124. Recta
En los ejercicios 101 a 106, hallar el área de la región.
Centro: s5, py2d
Punto solución: (0, 0)
101. Un pétalo de r 5 3 cos 5u
Punto solución: (0, 0d
Pendiente: !3
102. Un pétalo de r 5 2 sen 6u
103. Interior de r 5 2 1 cos u
sin u d
104. Interior de r 5 5s1 2 sen
sin 2u
105. Interior de r 2 5 4 sen
106. Interior común a r 5 4 cos u y r 5 2
125. Parábola
Vértice: s2, pd
127. Elipse
Vértices: s5, 0d, s1, pd
126. Parábola
Vértice: s2, py2d
128. Hipérbola
Vértices: s1, 0d, s7, 0d
10-7.qxd 3/12/09
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1059997_100R.qxp
9/2/08
3:52Page
PM 761
Page 761
P.S.
Solución de problemas
Problem Solving
761
761
SP Solución de problemas
P.S.
P R O B L E M S O LV I N G
3
4yand
1.
la parabola
parábola xx22554y
y lathe
cuerda
1. Considerar
Consider the
focalfocal
chordyy554 34xx111.1.
a)
la cuerda
focal.
(a)Dibujar
Sketch la
thegráfica
graph de
of la
theparábola
parabolay and
the focal
chord.
b)
que the
las tangent
rectas tangentes
a laparabola
parábolaatenthe
losendpoints
extremos
(b)Mostrar
Show that
lines to the
deoflathe
cuerda
focal
se
cortan
en
ángulo
recto.
focal chord intersect at right angles.
c)
que the
las tangent
rectas tangentes
a laparabola
parábolaatenthe
losendpoints
extremos
(c)Mostrar
Show that
lines to the
deoflathe
cuerda
focal
se
cortan
en
la
directriz
de
la
parábola.
focal chord intersect on the directrix of the parabola.
5 4py
4py and
2.
la parabola
parábola xx22 5
y una
deofsus
focales.
2. Considerar
Consider the
one
itscuerdas
focal chords.
a)
Mostrar
que
las
rectas
tangentes
a
la
parábola
en
los
extremos
(a) Show that the tangent lines to the parabola at the endpoints
deoflathe
cuerda
focal
se
cortan
en
ángulos
rectos.
focal chord intersect at right angles.
b)
que the
las tangent
rectas tangentes
a laparabola
parábolaatenthe
losendpoints
extremos
(b)Mostrar
Show that
lines to the
deoflathe
cuerda
focal
se
cortan
en
la
directriz
de
la
parábola.
focal chord intersect on the directrix of the parabola.
3.
el teorema
10.2, la Property
propiedad
reflexiónasde
una
3. Demostrar
Prove Theorem
10.2, Reflective
of de
a Parabola,
shown
parábola,
como se ilustra en la figura.
in the figure.
yy
PP
xx
4. Consider the hyperbola
4. Considerar
la hipérbola
x2
y2
2
5
1
xa22 yb22
2
5
1
a2 b2
with foci F1 and F2, as shown in the figure. Let T be the tangent
linefocos
at a point
the se
hyperbola.
thatSea
incoming
raystanof
F1 y FM2, on
T la recta
con
como
ilustra enShow
la figura.
light en
aimed
at one
are reflected
by aque
hyperbolic
gente
un punto
de la hipérbola.
Mostrar
los rayosmirror
de luz
M focus
toward theenother
focus.son reflejados por un espejo hiperbólico
incidente
un foco
hacia el otroy foco.
y
y
B
y
A
M
b
T aM
F2
F1
b
T a
F2
a) Mostrar
quethe
el area
área of
dethe
la región
(a)
Show that
regiones
is pab.
b) Mostrar
quethe
el solid
volumen
delspheroid)
sólido (esferoide
genera(b)
Show that
(oblate
generatedoblato)
by revolving
do
revolución
deminor
la región
torno
al ejehas
menor
de la
thepor
region
about the
axis en
of the
ellipse
a volume
2 by3 y el área de la superficie es
2 by3
elipse
4pand
of V 5es4Vp 5
a surface area of
S 5 2pa2 1 p
1be 2 ln111 12 ee2.
2
(c) Show that the solid (prolate spheroid) generated by
c) Comprobar que el volumen del sólido (esferoide prolato)
revolving the region about the major axis of the ellipse has a
generado por revolución
de la región alrededor del eje mayor
volume of V 5 4pab2y3 and a surface area of
de la elipse es V 5 4pab2y3 y el área de la superficie es
ab
S 5 2pb2 1 2p ab arcsin e.
2
e.
S 5 2pb 1 2p e arcsen
arcsin e.
e
7. The curve given by the parametric equations
7. La curva descrita
por las ecuaciones2 paramétricas
1 2 t2
ts1 2 t d
xstd 5
ystd 5
and
2
2
11 1
2 tt 2
ts1 121t 2td
y
xstd 5
y
s
t
d
5
t2
1 1 t2
is called1 a1strophoid.
11 22
(a)
Find a rectangular
equation of the strophoid.
se denomina
estrofoide.
(b)
Find
a
polar
equation
of the strophoid.
a) Hallar una ecuación rectangular
de la estrofoide.
FF
F1
2ya
2yb
2 21
2 25
1yy2yb
51,1,
6. Consider
Considerar
regiónbounded
limitadabypor
elipsexx2ya
thelaregion
thelaellipse
con excentricidad
e 5cya.
cya.
with
eccentricity e 5
O
x
O
P
(c)
Sketchuna
a graph
of the
strophoid.
b) Hallar
ecuación
polar
de la estrofoide.
(d)
Find
the
equations
of
the
two
tangent lines at the origin.
c) Trazar una gráfica de la estrofoide.
(e)
Find the
points ondethelasgraph
at which
the tangent
lines are
d) Hallar
la ecuación
dos rectas
tangentes
en el origen.
horizontal.
e) Hallar los puntos de la gráfica en los que las rectas tangentes
8. Findson
a rectangular
equation of the portion of the cycloid given by
horizontales.
the parametric equations x 5 asu 2 sin ud and y 5 as1 2 cos ud,
8. Hallar una ecuación rectangular para la porción de la cicloide
0 # u # p, as shown in the figure.
dada por las ecuaciones paramétricas x 5 a(u 2 sen u) y y 5 a
y
(1 2cos
u), 0 ≤ u ≤ p, como se muestra en la figura.
y
2a
B
Aθ P
a c
θ
a c
2a
x
O
aπ
O
aπ
x
x
9. Consider the cornu spiral given by
Figure for 4
Figure for 5
y-axis
5. Figura
Consider
a circle
of radius a tangent
to thepara
para
4
Figura
5 and the line
x 5 2a, as shown in the figure. Let A be the point where the
segment OBunintersects
the circle.
cissoidalofeje
Diocles
y y a consists
círculo con
radio aThe
tangente
la recta
5. Considerar
OPla5
AB. Sea A el punto en el cual el
points
such
thaten
comoPse
ilustra
figura.
xof5all2a,
segmento
corta
el círculo.
Lacissoid.
cisoide de Diocles consiste de
(a) Find aOB
polar
equation
of the
todos los puntos P tales que OP 5 AB.
(b) Find a set of parametric equations for the cissoid that does
a) Hallar
una ecuación
polar de
la cisoide.
not contain
trigonometric
functions.
b)
conjunto de
ecuaciones
paramétricas
(c)Hallar
Find aunrectangular
equation
of the
cissoid. para la cisoide
que no contengan funciones trigonométricas.
c) Hallar la ecuación rectangular de la cisoide.
E
E
t
E
t
p u2
pu 2
xstd 5 cos
du and ystd 5 sin
du.
9. Considerar
la
espiral
de
Cornu
dada
por
2
2
0
0
1 2
E
1 2
t
(a) Use at graphing
p u2 utility to graph the spiral
pu 2 over the interval
sen
y
xstd 2
5p #cos
du
y
s
t
d
5
sin
du.
t # 2p.
2
0
1 2
0
1 2
(b) Show that the cornu spiral is symmetric with respect to the
a) Usar
una herramienta de graficación para representar la espiorigin.
ral
en
el intervalo
p cornu
≤ t ≤ p.
(c) Find the
length of 2
the
spiral from t 5 0 to t 5 a. What
b) Mostrar
que laofespiral
cornu
es tsimétrica
5 2 p torespecto
is the length
the spiral
from
t 5 p ? al origen.
c) Hallar la longitud de la espiral cornu desde t 5 0 hasta t 5 a.
¿Cuál es la longitud de la espiral desde t 5 2 p hasta t 5 p ?
10-7.qxd
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CAPÍTULO 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
10. Una partícula se mueve a lo largo de la trayectoria descrita
por las ecuaciones paramétricas x 5 1yt y y 5 sen
sin tyt, con
1 ≤ t < `, como se muestra en la figura. Hallar la longitud de
esta trayectoria.
y
15. Un controlador de tráfico aéreo ubica a la misma altitud dos
aviones que vuelan uno hacia el otro (ver la figura). Sus trayectorias de vuelo son 20° y 315°. Un avión está a 150 millas del
punto P con una velocidad de 375 millas por hora. El otro se
encuentra a 190 millas del punto P con una velocidad de 450
millas por hora.
1
y
x
1
−1
20°
11. Sean a y b constantes positivas. Hallar el área de la región del
primer cuadrante limitada por la gráfica de la ecuación polar
ab
r5
,
sa sen
sin u 1 b cos ud
p
0 ≤ u ≤ .
2
a) Mostrar que el área del triángulo es Asad 5
E
a
1
2
E
a
sec2 u du.
0
x
a) Hallar ecuaciones paramétricas para la trayectoria de cada
avión donde t es tiempo en horas, y t 5 0 corresponde al
instante en que el controlador de tráfico aéreo localiza a los
aviones.
b) Emplear el resultado del inciso a) para expresar la distancia
entre los aviones como función de t.
sec2 u du.
0
c) Usar el inciso b) para deducir la fórmula para la derivada de
la función tangente.
y
1
(−1, 0)
(1, 0)
x
α
150 millas
45°
P
12. Considerar el triángulo rectángulo de la figura.
b) Mostrar que tan a 5
190 millas
1
−1
1
−1
c) Usar una herramienta de graficación para representar la función del inciso b). ¿Cuándo será mínima la distancia entre los
aviones? Si los aviones deben conservar una distancia entre
ellos de por lo menos tres millas, ¿se satisface este requerimiento?
16. Usar una herramienta de graficación para trazar la curva que se
muestra abajo. La curva está dada por
r 5 e cos u 2 2 cos 4u 1 sen
sin55
u
.
12
¿Sobre qué intervalo debe variar u para generar la curva?
Figura para 12
Figura para 13
13. Determinar la ecuación polar del conjunto de todos los puntos
sr, ud, el producto de cuyas distancias desde los puntos s1, 0d y
s21, 0d es igual a 1, como se observa en la figura.
14. Cuatro perros se encuentran en las esquinas de un cuadrado con
lados de longitud d. Todos los perros se mueven en sentido contrario al de las manecillas del reloj a la misma velocidad y en
dirección al siguiente perro, como se muestra en la figura. Hallar
la ecuación polar de la trayectoria de un perro a medida que se
acerca en espiral hacia el centro del cuadrado.
d
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre esta
curva, consultar el artículo “A Study in Step Size” de Temple H. Fay
en Mathematics Magazine.
d
d
d
17. Usar una herramienta de graficación para representar la ecuación polar r 5 cos 5u 1 n cos u, para 0 ≤ u < p y para los
enteros desde n 5 25 hasta n 5 5. ¿Qué valores de n producen
la porción de la curva en forma de “corazón”? ¿Qué valores de
n producen la porción de la curva en forma de “campana”? (Esta
curva, creada por Michael W. Chamberlin, fue publicada en The
College Mathematics Journal.)
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1053714_cop11.qxd 10/27/08 10:37 AM Page 763
11
11
11
Vectors
and
the
Vectores
y
la
geometría
Vectors
and
the
Geometry
of Space
del
espacio
Geometry of Space
En
capítulo
se introducen
Thiseste
chapter
introduces
vectors los
andvecthe
tores
y
el
sistema
de
coordenadas
tridithree-dimensional coordinate system.
mensional.
vectores
se usan
para
This
chapter
introduces
vectors
and
the
Vectors
are Los
used
to represent
lines
and
representar
rectas
y
planos,
y
también
three-dimensional
coordinate
system.
planes, and are also used to represent
para
representar
cantidades
como
fuerza
Vectors
aresuch
usedasto
represent
lines and
quantities
force
and velocity.
The
ythree-dimensional
velocidad.
Elalso
sistema
de
coordenadas
planes,
and are
used
to
represent
coordinate system is used
tridimensional
se force
utiliza
para
representar
quantities
such
as
and
The
to represent
surfaces
such
asvelocity.
ellipsoids
and
superficies
como
elipsoides
y
conos
three-dimensional
coordinate
system
is
used
elliptical cones. Much of the materialelípticos.
parte
delsuch
material
enonlos
to
surfaces
as
ellipsoids
and
in represent
the Gran
remaining
chapters
relies
ancapítulos
restantes
se
fundamenta
en
el
elliptical
cones.
Much
of
the
material
understanding of this system.
entendimiento
este sistema.
in
the remainingdechapters
relies on an
In
this
chapter,
you
should
learn the
understanding
of
this
system.
En este capítulo, se aprenderá:
following.
In
chapter,
youvectores,
should learn
theopen this
Cómo
escribir
realizar
■ How to write vectors, perform basic
following.
raciones vectoriales básicas y repre■
vector
represent
sentar operations,
vectores de and
manera
gráfica.
■ How to write vectors, perform basic
vectors
graphically.
(
11.1
)
(11.1) operations, and represent
■
vector
■ How to plot points in a three-dimensional
graphically.
(
11.1
)
n vectors
Cómo determinar
en unvectors
sistecoordinate
system puntos
and analyze
ma
de
coordenadas
tridimensional
y
■ How
to
plot
points
in
a
three-dimensional
in space. (11.2)
analizar vectores
espacio.vectors
(11.2)
coordinate
system en
andelanalyze
■ How to find the dot product of two
space.
(11.2) el producto escalar
n in
Cómo
encontrar
vectors
(in the plane
or in space). (11.3)
de dos
vectores
(en product
el planoofy two
en el
■ How
to find the dot
■ How to find the cross product of two
espacio).
(
11.3
)
vectors (in the plane or in space). (11.3)
vectors (in space). (11.4)
n How
Cómo
el producto
vectorial
■
toencontrar
find the cross
product
of two de
■ How to find equations of lines and planes
dos vectores
(en el (espacio).
vectors
(in space).
11.4) (11.4)
in space, and how to sketch their graphs.
n How
las ecuaciones
■
find equations
of lines anddeplanes
(Cómo
11.5to
) encontrar
y planos
espacio,
y cómo
inrectas
space,
and howentoelsketch
their
graphs.
■ How to recognize and write equations
(dibujar
11.5) sus gráficas. (11.5)
of cylindrical and quadric surfaces and
n How
Cómo
y escribir
ecuaciones
■
to reconocer
recognize
and
write
equations
of
surfaces
of revolution.
(11.6
)
decylindrical
superficiesand
cilíndricas
y cuadráticas
of
quadric surfaces
and
■ How to use cylindrical and spherical
y surfaces
las superficies
de revolución.
of
of revolution.
(11.6) (11.6)
coordinates to represent surfaces in
n How
Cómo
cilíndricas
■
to(utilizar
use cylindrical
and spherical
space.
11.7
) coordenadas
y
esféricas
para
representar
superficies
coordinates to represent surfaces
in
en
el
espacio.
(
11.7
)
space. (11.7)
Mark Hunt/Hunt Stock
Dos remolcadores
están empujando
un barco
trasatlántico,
comoboat
se muestra
en la
Two
tugboats are pushing
an ocean liner,
as shown
above. Each
is exerting
Mark Hunt/Hunt Stock
foto.
Cada
barco
ejerceWhat
una fuerza
de 400 libras.
¿Cuál
la fuerza
en el
■a
force
of 400
pounds.
is the resultant
force on
the es
ocean
liner?resultante
(See
Two
tugboats
pushing
an sección
ocean liner,
shown above.
Each boat is exerting
barco
trasatlántico?
(Ver
11.1,asejemplo
7.)
Section
11.1,are
Example
7.)la
■ a force of 400 pounds. What is the resultant force on the ocean liner? (See
Section 11.1, Example 7.)
v
v
u
u
u
u
v
v
u
u
v
u+v
u+v
v
Vectors indicate quantities that involve both magnitude and direction. In Chapter 11, you will study operations of vectors
in the plane and in space. You will also learn how to represent vector operations geometrically. For example, the graphs
Los
vectores
indican
cantidades
que implican
tanto magnitud
como dirección.
capítulo
11 se
estudiarán
operaVectors
indicate
quantities
thataddition
involve
both
and direction.
In Chapter En
11,elyou
will study
operations
of vectors
shown
above
represent
vector
in
themagnitude
plane.
ciones
de vectores
el plano
y enalso
el espacio.
También
se aprenderá
cómo representar
operaciones
de vectores
de
in the plane
and in en
space.
You will
learn how
to represent
vector operations
geometrically.
For example,
the graphs
manera
geométrica.
Porvector
ejemplo,
las gráficas
que se muestran arriba representan adición de vectores en el plano.
shown above
represent
addition
in the plane.
763
763
763
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CAPÍTULO 11
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Vectores y la geometría del espacio
11.1 Vectores en el plano
n
n
n
n
Expresar un vector mediante sus componentes.
Realizar operaciones vectoriales e interpretar los resultados geométricamente.
Expresar un vector como combinación lineal de vectores unitarios estándar o canónicos.
Usar vectores para resolver problemas de fuerza o velocidad.
Las componentes de un vector
Q
Muchas cantidades en geometría y física, como el área, el volumen, la temperatura, la
masa y el tiempo, se pueden caracterizar por medio de un solo número real en unidades de
medición apropiadas. Estas cantidades se llaman escalares, y al número real se le llama
escalar.
Otras cantidades, como la fuerza, la velocidad y la aceleración, tienen magnitud y
dirección y no pueden caracterizarse completamente por medio de un solo número real.
Para representar estas cantidades se usa un segmento de recta dirigido, como se muestra
en la figura 11.1. El segmento de recta dirigido PQ tiene como punto inicial P y como
punto final Q y su longitud (o magnitud) se denota por i PQ i. Segmentos de recta dirigidos que tienen la misma longitud y dirección son equivalentes, como se muestra en la
figura 11.2. El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos que son equivalentes a
un segmento de recta dirigido dado PQ es un vector en el plano y se denota por v 5 PQ .
En los libros, los vectores se denotan normalmente con letras minúsculas, en negrita, como
u, v y w. Cuando se escriben a mano, se suelen denotar por medio de letras con una flecha
sobre ellas, como →
u,→
v y→
w.
Es importante notar que un vector en el plano se puede representar por medio de
muchos segmentos de recta dirigidos diferentes, todos apuntando en la misma dirección y
todos de la misma longitud.
Punto
final
PQ
P
Punto
inicial
Un segmento de recta dirigido
\
Figura 11.1
\
\
Segmentos de recta dirigidos equivalentes
Figura 11.2
EJEMPLO 1
\
Representación de vectores por medio
de segmentos de recta dirigidos
Sea v el vector representado por el segmento dirigido que va de (0, 0) a (3, 2), y sea u el
vector representado por el segmento dirigido que va de (1, 2) a (4, 4). Mostrar que v y u
son equivalentes.
Solución Sean P(0, 0) y Q(3, 2) los puntos inicial y final de v, y sean R(l, 2) y
S(4, 4) los puntos inicial y final de u, como se muestra en la figura 11.3. Para mostrar que
PQ y RS tienen la misma longitud se usa la fórmula de la distancia.
\
y
i PQ i 5 !s3 2 0d 2 1 s2 2 0d 2 5 !13
Longitud de PQ .
i RS i 5 !s4 2 1d 2 1 s4 2 2d 2 5 !13
Longitud de RS .
\
\
(4, 4)
4
S
(3, 2)
(1, 2)
R
1
\
Pendiente de PQ 5
Q
v
x
2
3
4
Pendiente de RS 5
\
Los vectores u y v son iguales
Figura 11.3
\
220 2
5
320 3
y
\
P (0, 0) 1
\
Los dos segmentos tienen la misma dirección, porque ambos están dirigidos hacia la
derecha y hacia arriba sobre rectas que tienen la misma pendiente.
u
3
2
\
422 2
5
421 3
\
Como PQ y RS tienen la misma longitud y la misma dirección, se concluye que los dos
vectores son equivalentes. Es decir, v y u son equivalentes.
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SECCIÓN 11.1
y
765
El segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen a menudo se considera
el representante más adecuado de un conjunto de segmentos de recta dirigidos equivalentes
como los que se muestran en la figura 11.3. Se dice que esta representación de v está en la
posición canónica o estándar. Un segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen puede representarse de manera única por medio de las coordenadas de su punto final
Qsv1, v2 d, como se muestra en la figura 11.4.
4
3
(v1, v2)
2
Vectores en el plano
Q
DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO MEDIANTE SUS COMPONENTES
v
1
v = ⟨v1, v2⟩
(0, 0)
P
x
1
2
3
4
Posición estándar de un vector
Si v es un vector en el plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es
sv1, v2 d, entonces el vector v queda dado mediante sus componentes de la siguiente
manera
v 5 kv1, v2l.
Figura 11.4
Las coordenadas v1 y v2 son las componentes de v. Si el punto inicial y el punto
final están en el origen, entonces v es el vector cero (o vector nulo) y se denota por
0 5 k0, 0l.
Esta definición implica que dos vectores u 5 ku1, u 2 l y v 5 kv1, v2 l son iguales si y sólo
si u1 5 v1 y u 2 5 v2.
Los procedimientos siguientes pueden usarse para convertir un vector dado mediante
un segmento de recta dirigido en un vector dado mediante sus componentes o viceversa.
1. Si P s p1, p2 d y Q sq1, q2 d son los puntos inicial y final de un segmento de recta dirigido,
el vector v representado por PQ , dado mediante sus componentes, es kv1, v2l 5
kq1 2 p1, q2 2 p2 l. Además, de la fórmula de la distancia es posible ver que la longitud (o magnitud) de v es
\
i v i 5 !sq1 2 p1 d 2 1 sq2 2 p2 d 2
5 !v12 1 v22 .
Longitud de un vector.
2. Si v 5 kv1, v2l, v puede representarse por el segmento de recta dirigido, en la posición
canónica o estándar, que va de Ps0, 0d a Q sv1, v2 d.
A la longitud de v también se le llama la norma de v. Si i v i 5 1, v es un vector unitario. Y i v i 5 0 si y sólo si v es el vector cero 0.
y
EJEMPLO 2
Hallar las componentes y la longitud de un vector
Q (−2, 5) 6
Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene el punto inicial (3, 27) y el
punto final (22, 5).
4
x
−6
−4
−2
2
−2
4
6
v
v1 5 q1 2 p1 5 22 2 3 5 25
−4
v2 5 q2 2 p2 5 5 2 s27d 5 12.
−6
P (3, −7)
−8
Vector v dado por medio de sus componentes: v 5 k25, 12l
Figura 11.5
Solución Sean Ps3, 27d 5 s p1, p2 d y Qs22, 5d 5 sq1, q2 d. Entonces las componentes
de v 5 kv1, v2 l son
Así, como se muestra en la figura 11.5, v 5 k25, 12l, y la longitud de v es
i v i 5 !s25d 2 1 122
5 !169
5 13.
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CAPÍTULO 11
Page 766
Vectores y la geometría del espacio
Operaciones con vectores
DEFINICIÓN DE LA SUMA DE VECTORES Y DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Sean u 5 ku1, u2 l y v 5 kv1, v2 l vectores y sea c un escalar.
v
1
v
2
2v
3
− v
−v 2
1. La suma vectorial de u y v es el vector u 1 v 5 ku1 1 v1, u2 1 v2l.
2. El múltiplo escalar de c y u es el vector cu 5 kcu1, cu 2l.
3. El negativo de v es el vector
2v 5 s21dv 5 k2v1, 2v2 l.
4. La diferencia de u y v es
u 2 v 5 u 1 s2vd 5 ku1 2 v1, u2 2 v2l.
La multiplicación escalar por un vector v
Figura 11.6
Geométricamente, el múltiplo escalar de un vector v y un escalar c es el vector que
tiene c veces la longitud de v, como se muestra en la figura 11.6. Si c es positivo, cv tiene
la misma dirección que v. Si c es negativo, cv tiene dirección opuesta.
La suma de dos vectores puede representarse geométricamente colocando los vectores
(sin cambiar sus magnitudes o sus direcciones) de manera que el punto inicial de uno coincida con el punto final del otro, como se muestra en la figura 11.7. El vector u 1 v, llamado el vector resultante, es la diagonal de un paralelogramo que tiene u y v como lados
adyacentes.
||
v
u+v
u
u
u+v
u
The Granger Collection
v
v
Para hallar u 1 v,
1) hacer coincidir el punto
inicial de v con el punto
final de u, o bien
Figura 11.7
2) hacer coincidir el punto
inicial de u con el punto
final de v
WILLIAM ROWAN HAMILTON (1805-1865)
Algunos de los primeros trabajos con vectores fueron realizados por el matemático
irlandés William Rowan Hamilton.
Hamilton dedicó muchos años a desarrollar
un sistema de cantidades semejantes a vectores llamados cuaterniones. Aunque
Hamilton estaba convencido de las ventajas
de los cuaterniones, las operaciones que
definió no resultaron ser buenos modelos
para los fenómenos físicos. No fue sino hasta
la segunda mitad del siglo XIX cuando el
físico escocés James Maxwell (1831-1879)
reestructuró la teoría de los cuaterniones de
Hamilton dándole una forma útil para la
representación de cantidades como fuerza,
velocidad y aceleración.
La figura 11.8 muestra la equivalencia de las definiciones geométricas y algebraicas
de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar y presenta (en el extremo derecho) una interpretación geométrica de u 2 v.
(ku1, ku2)
(u1 + v1, u2 + v2)
(u1, u2)
ku
u+v
ku2
u
u2
v2
v1
Suma vectorial
Figura 11.8
u1
u + (−v)
u1
u−v
u
u2
u
(v1, v2)
v
−v
(u1, u2)
v
ku1
Multiplicación escalar
Sustracción de vectores
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Page 767
SECCIÓN 11.1
EJEMPLO 3
Vectores en el plano
767
Operaciones con vectores
Dados v 5 k22, 5l y w 5 k3, 4l, encontrar cada uno de los vectores.
1
b) w 2 v
a) 2 v
c) v 1 2w
Solución
a) 12v 5
k 12s22d, 12s5dl 5 k 21, 52l
b) w 2 v 5 kw1 2 v1, w2 2 v2 l 5 k3 2 s22d, 4 2 5l 5 k5, 21l
c) Usando 2w 5 k6, 8l, se tiene
v 1 2w 5 k22, 5l 1 k6, 8l
5 k22 1 6, 5 1 8l
5 k4, 13l.
La suma de vectores y la multiplicación por un escalar comparten muchas propiedades con la aritmética ordinaria, como se muestra en el teorema siguiente.
TEOREMA 11.1 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES
Sean u, v y w los vectores en el plano, y sean c y d escalares.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
u1v5v1u
su 1 vd 1 w 5 u 1 sv 1 wd
u105u
u 1 s2ud 5 0
csdud 5 scd du
sc 1 d du 5 cu 1 du
csu 1 vd 5 cu 1 cv
1sud 5 u, 0sud 5 0
Propiedad conmutativa.
Propiedad asociativa.
Propiedad de la identidad aditiva.
Propiedad del inverso aditivo.
Propiedad distributiva.
Propiedad distributiva.
DEMOSTRACIÓN
La demostración de la propiedad asociativa de la suma de vectores utiliza la propiedad asociativa de la suma de números reales.
su 1 vd 1 w 5 fku1, u2l 1 kv1, v2lg 1 kw1, w2l
5 ku1 1 v1, u2 1 v2 l 1 kw1, w2 l
5 ksu1 1 v1d 1 w1, su2 1 v2 d 1 w2l
5 ku1 1 sv1 1 w1d, u2 1 sv2 1 w2 dl
5 ku1, u2 l 1 kv1 1 w1, v2 1 w2 l 5 u 1 sv 1 wd
Asimismo, la demostración de la propiedad distributiva de la multiplicación escalar
depende de la propiedad distributiva para los números reales.
sc 1 ddu 5 sc 1 ddku1, u2l
5 ksc 1 dd u1, sc 1 dd u2 l
5 kcu1 1 du1, cu 2 1 du 2 l
5 kcu1, cu 2l 1 kdu1, du 2 l 5 cu 1 du
Las otras propiedades pueden demostrarse de manera similar.
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CAPÍTULO 11
Page 768
Vectores y la geometría del espacio
The Granger Collection
Cualquier conjunto de vectores (junto con un conjunto de escalares) que satisfaga las
ocho propiedades dadas en el teorema 11.1 es un espacio vectorial.* Las ocho propiedades son los axiomas del espacio vectorial. Por tanto, este teorema establece que el conjunto de vectores en el plano (con el conjunto de los números reales) forma un espacio vectorial.
TEOREMA 11.2 LONGITUD DE UN MÚLTIPLO ESCALAR
Sea v un vector y sea c un escalar. Entonces
||
i c v i 5 c i v i.
EMMY NOETHER (1882-1935)
La matemática alemana Emmy Noether
contribuyó a nuestro conocimiento de los
sistemas axiomáticos. Noether generalmente
se reconoce como la principal matemática de
la historia reciente.
DEMOSTRACIÓN
|c| es el valor absoluto de c.
Como cv 5 kcv1, cv2l, se tiene que
i cv i 5 ikcv1, cv2 li 5 !scv1d 2 1 scv2 d 2
5 !c 2 v12 1 c 2 v22
5 !c 2sv12 1 v22d
||
||
5 c !v12 1 v22
5 c ivi.
PARA MAYOR INFORMACIÓN
Para más información acerca de Emmy
Noether, ver el artículo “Emmy
Noether, Greatest Woman
Mathematician” de Clark Kimberling
en The Mathematics Teacher.
En muchas aplicaciones de los vectores, es útil encontrar un vector unitario que tenga
la misma dirección que un vector dado. El teorema siguiente da un procedimiento para
hacer esto.
TEOREMA 11.3 VECTOR UNITARIO EN LA DIRECCIÓN DE v
Si v es un vector distinto de cero en el plano, entonces el vector
u5
v
1
5
v
ivi ivi
tiene longitud 1 y la misma dirección que v.
Como 1yi v i es positivo y u 5 s1yi v id v, se puede concluir que u tiene la
misma dirección que v. Para ver que i u i 5 1, se observa que
DEMOSTRACIÓN
iui 5
i 1 i 1v i 2 v i
| |
1
ivi
ivi
1
5
ivi
ivi
5 1.
5
Por tanto, u tiene longitud 1 y la misma dirección que v.
Al vector u del teorema 11.3 se le llama un vector unitario en la dirección de v. El proceso de multiplicar v por 1yi v i para obtener un vector unitario se llama normalización de v.
* Para más información sobre espacios vectoriales, ver Elementary Linear Algebra, 6a. ed., por
Larson, Edwards y Falvo (Boston: Houghton Mifflin Company, 2009).
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SECCIÓN 11.1
EJEMPLO 4
Vectores en el plano
769
Hallar un vector unitario
Hallar un vector unitario en la dirección de v 5 k22, 5l y verificar que tiene longitud 1.
Solución
Por el teorema 11.3, el vector unitario en la dirección de v es
7
8
v
k22, 5l
1
22
5
5
5
k22, 5l 5
,
.
i v i !s22d2 1 s5d2 !29
!29 !29
Este vector tiene longitud 1, porque
y
!1 22292 1 1 5292 5 !294 1 2925 5 !2929 5 1.
v
2
!
u
2
!
Generalmente, la longitud de la suma de dos vectores no es igual a la suma de sus longitudes. Para ver esto, basta tomar los vectores u y v de la figura 11.9. Considerando a u
y v como dos de los lados de un triángulo, se puede ver que la longitud del tercer lado es
iu 1 v i, y se tiene
u+v
x
i u 1 v i ≤ i u i 1 i v i.
La igualdad sólo se da si los vectores u y v tienen la misma dirección. A este resultado se
le llama la desigualdad del triángulo para vectores. (En el ejercicio 91, sección 11.3, se
pide demostrar esto.)
Desigualdad del triángulo
Figura 11.9
Vectores unitarios canónicos o estándar
A los vectores unitarios k1, 0l y k0, 1l se les llama vectores unitarios canónicos o estándar en el plano y se denotan por
i 5 k1, 0l
y
j 5 k0, 1l
Vectores unitarios canónicos o estándar.
como se muestra en la figura 11.10. Estos vectores pueden usarse para representar
cualquier vector de manera única, como sigue.
y
v 5 kv1, v2l 5 kv1, 0l 1 k0, v2 l 5 v1 k1, 0l 1 v2k0, 1l 5 v1i 1 v2 j
2
Al vector v 5 v1 i 1 v2 j se le llama una combinación lineal de i y j. A los escalares v1
y v2 se les llama las componentes horizontal y vertical de v.
1
j = ⟨0, 1⟩
EJEMPLO 5
i = ⟨1, 0⟩
x
1
2
Vectores unitarios canónicos o estándar i y j
Figura 11.10
Expresar un vector como combinación lineal
de vectores unitarios
Sea u el vector con punto inicial s2, 25d y punto final s21, 3d, y sea v 5 2i 2 j. Expresar
cada vector como combinación lineal de i y j.
a) u
b) w 5 2u 2 3v
Solución
a) u 5 kq1 2 p1, q2 2 p2 l
5 k21 2 2, 3 2 s25dl
5 k23, 8l 5 23i 1 8j
b) w 5 2u 2 3v 5 2s23i 1 8jd 2 3s2i 2 jd
5 26i 1 16j 2 6i 1 3j
5 212i 1 19j
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CAPÍTULO 11
Page 770
Vectores y la geometría del espacio
y
Si u es un vector unitario y u es el ángulo (medido en sentido contrario a las manecillas del reloj) desde el eje x positivo hasta u, el punto final de u está en el círculo unitario,
y se tiene
(cos θ , senθ )
1
u
sen u l 5 cos u i 1 sen
u 5 kcos u, sin
sin u j
senθ
θ
x
−1
cos θ
1
Vector unitario.
como se muestra en la figura 11.11. Además, cualquier vector distinto de cero v que forma
un ángulo u con el eje x positivo tiene la misma dirección que u y se puede escribir
v 5 i v ikcos u, sen
sin u l 5 i v i cos u i 1 i v i sen
sin u j.
−1
EJEMPLO 6
Ángulo u desde el eje x positivo hasta el
vector u
Escribir un vector de magnitud y dirección dadas
El vector v tiene una magnitud de 3 y forma un ángulo de 308 5 py6 con el eje x positivo. Expresar v como combinación lineal de los vectores unitarios i y j.
Figura 11.11
Solución Como el ángulo entre v y el eje x positivo es u 5 py6, se puede escribir lo
siguiente.
v 5 i v i cos u i 1 i v i sen
sin u j
5 3 cos
5
p
p
i 1 3 sen
sin j
6
6
3!3
3
i1 j
2
2
Aplicaciones de los vectores
Los vectores tienen muchas aplicaciones en física e ingeniería. Un ejemplo es la fuerza.
Un vector puede usarse para representar fuerza porque la fuerza tiene magnitud y dirección. Si dos o más fuerzas están actuando sobre un objeto, entonces la fuerza resultante
sobre el objeto es la suma vectorial de los vectores que representan las fuerzas.
EJEMPLO 7
Hallar la fuerza resultante
Dos botes remolcadores están empujando un barco, como se muestra en la figura 11.12.
Cada bote remolcador está ejerciendo una fuerza de 400 libras. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el barco?
Solución Usando la figura 11.12, se pueden representar las fuerzas ejercidas por el
primer y segundo botes remolcadores como
F1 5 400kcos 208, sen
sin 208l
5 400 coss208d i 1 400 sen
sins208d j
y
F2 5 400kcoss2208d, sen
sins2208dl
400 cos(−20°)
F2
−20°
400
5 400 coss208d i 2 400 sen
sins208d j.
400 sen(−20°)
La fuerza resultante sobre el barco es
x
F1 400
20°
400 sen(20°)
400 cos(20°)
Fuerza resultante sobre el barco ejercida
por los dos remolcadores
Figura 11.12
F 5 F1 1 F 2
5 f400 coss208d i 1 400 sen
sins208d jg 1 f400 coss208d i 2 400 sen
sins208d jg
5 800 coss208d i
< 752i.
Por tanto, la fuerza resultante sobre el barco es aproximadamente 752 libras en la dirección del eje x positivo.
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Página 771
SECCIÓN 11.1
771
Vectores en el plano
En levantamientos topográficos y en la navegación, un rumbo es una dirección que
mide el ángulo agudo que una trayectoria o línea de mira forma con una recta fija nortesur. En la navegación aérea, los rumbos se miden en el sentido de las manecillas del reloj
en grados desde el norte.
y
N
W
E
EJEMPLO 8
Hallar una velocidad
S
Un avión viaja a una altitud fija con un factor de viento despreciable, y mantiene una
velocidad de 500 millas por hora con un rumbo de 330°, como se muestra en la figura
11.13a. Cuando alcanza cierto punto, el avión encuentra un viento con una velocidad de
70 millas por hora en dirección 45° NE (45° este del norte), como se muestra en la figura
11.13b. ¿Cuáles son la velocidad y la dirección resultantes del avión?
v1
120°
x
Solución Usando la figura 11.13a, representar la velocidad del avión (solo) como
a) Dirección sin viento
v1 500 cos120 i 500 sen
sin120 j.
y
La velocidad del viento se representa por el vector
v2
v2 70 cos45 i 70 sen
sin45 j.
N
W
E
La velocidad resultante del avión (en el viento) es
S
v v1 v2 500 cos120 i 500 sen
sin120 j 70 cos45 i 70 sen
sin45 j
200.5i 482.5j.
v
v1
Viento
Para encontrar la velocidad y la dirección resultantes, escribir v v cos i sen
sin j.
Como v 200.52 482.52 522.5, se puede escribir
θ
x
v 522.5
b) Dirección con viento
482.5
i
j 522.5, cos112.6 i sen
sin112.6 j .
200.5
522.5
522.5 La nueva velocidad del avión, alterada por el viento, es aproximadamente 522.5 millas por hora
en una trayectoria que forma un ángulo de 112.6° con el eje x positivo.
Figura 11.13
11.1 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 4, a) dar el vector v mediante sus componentes y b) dibujar el vector con su punto inicial en el origen.
1.
2.
y
(5, 4)
4
3
v
2
(1, 2)
y
5. u: 3, 2 , 5, 6
(3, 4)
4
3
2
1
v
x
−1
−2
−1
1
2
3.
3
4
5
2
(3, −2)
2
4
2
v
(−4, − 3)
−6
(2, −3)
v: 3, 10 , 9, 5
1 , 7, 7
4,
1 , 11,
4
v: 10, 13 , 25, 10
4
x
− 4 −2
v: 2,
8. u:
2
En los ejercicios 9 a 16, se dan los puntos inicial y final de un vector v. a) Dibujar el segmento de recta dirigido dado, b) expresar
el vector mediante sus componentes, c) expresar el vector como
la combinación lineal de los vectores unitarios estándar i y j y d)
dibujar el vector con el punto inicial en el origen.
y
(−1, 3)
4, 0 , 1, 8
4 5 6
1 2
4.
y
6. u:
v: 1, 4 , 3, 8
7. u: 0, 3 , 6,
1
x
En los ejercicios 5 a 8, hallar los vectores u y v cuyos puntos inicial y final se dan. Mostrar que u y v son equivalentes.
Punto
inicial
v
(2, 1)
Punto
final
Punto
inicial
Punto
final
1
x
−2
−1
1
2
9. 2, 0
11. 8, 3
5, 5
6,
1
10. 4,
6
3, 6
12. 0,
4
5,
1
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CAPÍTULO 11
Punto
inicial
13. 6, 2
15.
14:05
3 4
2, 3
Página 772
Vectores y la geometría del espacio
Punto
final
Punto
inicial
6, 6
14. 7, 1
3, 1
16. 0.12, 0.60
0.84, 1.25
1
2,
3
Punto
final
En los ejercicios 17 y 18, dibujar cada uno de los múltiplos
escalares de v.
En los ejercicios 41 a 44, hallar lo siguiente.
a)
b)
u
u
u
d)
3, 5
a) 2v
b)
3v
c)
7
2v
d)
v 1, 2
a) 4v
b)
1
2v
c) 0v
d)
v 3, 3
1
2
44. u 2, 4
v 5, 5
En los ejercicios 45 y 46, representar gráficamente u, v y u + v.
Después demostrar la desigualdad del triángulo usando los vectores u y v.
2, 3
18. v
42. u 0, 1
v 2, 3
2
3v
uv
uv
f)
41. u 1, 1
43. u 1,
17. v
v
v
e)
uv
c)
v
6v
En los ejercicios 19 a 22, usar la figura para representar gráficamente el vector.
45. u 2, 1 , v 5, 4
46. u 3, 2 , v 1, 2
En los ejercicios 47 a 50, hallar el vector v de la magnitud dada
y en la misma dirección que u.
y
Magnitud
v
u
x
19. u
20. 2u
21. u v
22. u 2v
24. u 3, 8
v 2, 5
47. v
6
u
0, 3
48. v
4
u
1, 1
49. v
5
u
1, 2
50. v
2
u
3, 3
En los ejercicios 51 a 54, hallar las componentes de v dadas su
magnitud y el ángulo que forma con el eje x positivo.
En los ejercicios 23 y 24, hallar a) 23 u, b) v ⴚ uu,y c) 2u ⴙ 5v.
23. u 4, 9
Dirección
v 8, 25
En los ejercicios 25 a 28, hallar el vector v donde u ⴝ 2, ⴚ1 y
w ⴝ 1, 2 . Ilustrar geométricamente las operaciones vectoriales.
51. v
3,
0
52. v
5,
120
53. v
2,
150
54. v
4,
3.5
En los ejercicios 55 a 58, hallar las componentes de u + v dadas
las longitudes de u y v y los ángulos que u y v forman con el eje
x positivo.
55. u 1, u 0
56. u 4, u 0
v 3, v 45
25. v 32 u
26. v u w
27. v u 2w
28. v 5u 3w
57. u 2, u 4
v 2, v 60
58. u 5, u 0.5
v 1, v 2
En los ejercicios 29 y 30 se dan el vector v y su punto inicial.
Hallar el punto final.
29. v 1, 3 ; punto inicial: (4, 2)
v 5, v 0.5
Desarrollo de conceptos
30. v 4, 9 ; punto inicial: (5, 3)
59. Explicar, con sus propias palabras, la diferencia entre un
escalar y un vector. Dar ejemplos de cada uno.
En los ejercicios 31 a 36, encontrar la magnitud de v.
60. Describir geométricamente las operaciones de suma de vectores y de multiplicación de un vector por un escalar.
31. v
61. Identificar la cantidad como escalar o como vector. Explicar
el razonamiento.
33. v
35. v
7i
4, 3
6i
5j
32. v
3i
34. v
12,
36. v
5
10i
3j
En los ejercicios 37 a 40, hallar el vector unitario en la dirección
de v y verificar que tiene longitud 1.
37. v
3, 12
38. v
5, 15
39. v
3 5
2, 2
40. v
6.2, 3.4
a) La velocidad en la boca de cañón de un arma de fuego.
b) El precio de las acciones de una empresa.
62. Identificar la cantidad como escalar o como vector. Explicar
el razonamiento.
a) La temperatura del aire en un cuarto.
b) El peso de un automóvil.
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Página 773
SECCIÓN 11.1
En los ejercicios 63 a 68, hallar a y b tales que v ⴝ au ⴙ bw,
donde u ⴝ 1, 2 y w ⴝ 1, ⴚ1 .
63. v 2, 1
64. v 0, 3
65. v 3, 0
66. v 3, 3
67. v 1, 1
68. v 1, 7
En los ejercicios 69 a 74, hallar un vector unitario a) paralelo y
b) normal a la gráfica de f en el punto dado. Después representar gráficamente los vectores y la función.
Función
Punto
69. f x x2
3, 9
1, 4
1, 1
2, 8
3, 4
70. f x x2 5
71. f x x3
72. f x x3
73. f x 25 x 2
76. u 4, 30
2 , 90
u v 6 , 120
77. Programación Se dan las magnitudes de u y v y los ángulos
que u y v forman con el eje x positivo. Escribir un programa
para una herramienta de graficación que calcule lo siguiente.
a) u v
y
F2
110°
2
2.5
3
F1
4
33°
200°
x
−125°
F3
3
b) u v
c) El ángulo que u v forma con el eje x positivo
d) Utilizar el programa para encontrar la magnitud y la dirección
de la resultante de los vectores indicados.
y
140°
x
2
−10°
F1
F2
81. Fuerza resultante Fuerzas con magnitudes de 500 libras y
200 libras actúan sobre una pieza de la máquina a ángulos de
30° y 45°, respectivamente, con el eje x (ver la figura). Hallar
la dirección y la magnitud de la fuerza resultante.
y
500 libras
180 N
30°
x
θ
−45°
En los ejercicios 75 y 76, expresar v mediante sus componentes,
dadas las magnitudes de u y de u + v y los ángulos que u y u + v
forman con el eje x positivo.
75. u 1, 45
80.
y
F3
4 , 1
74. f x tan x
uv 79.
773
Vectores en el plano
275 N
x
200 libras
Figura para 81
Figura para 82
82. Análisis numérico y gráfico Fuerzas con magnitudes de 180
newtons y 275 newtons actúan sobre un gancho (ver la figura).
El ángulo entre las dos fuerzas es de grados.
a) Si 30, hallar la dirección y la magnitud de la fuerza
resultante.
b) Expresar la magnitud M y la dirección de la fuerza resultante en funciones de , donde 0 180.
c) Usar una herramienta de graficación para completar la tabla.
␪
0
30
60
90
120
150
180
M
45
u
20°
−50°
␣
x
32 v
d) Usar una herramienta de graficación para representar las dos
funciones M y .
e) Explicar por qué una de las funciones disminuye cuando aumenta mientras que la otra no.
Para discusión
78. Los puntos inicial y final del vector v son (3, –4) y (9, 1),
respectivamente.
a) Escribir v en forma de componentes.
b) Escribir v como la combinación lineal de los vectores
unitarios estándar i y j.
c) Dibujar v con su punto inicial en el origen.
d) Encontrar la magnitud de v.
En los ejercicios 79 y 80, usar una herramienta de graficación
para encontrar la magnitud y la dirección de la resultante de los
vectores.
83. Fuerza resultante Tres fuerzas de magnitudes de 75 libras,
100 libras y 125 libras actúan sobre un objeto a ángulos de 30°,
45° y 120°, respectivamente, con el eje x positivo. Hallar la
dirección y la magnitud de la fuerza resultante.
84. Fuerza resultante Tres fuerzas de magnitudes de 400 newtons, 280 newtons y 350 newtons, actúan sobre un objeto a
ángulos de 30°, 45° y 135°, respectivamente, con el eje x positivo. Hallar la dirección y la magnitud de la fuerza resultante.
85. Para pensar Considerar dos fuerzas de la misma magnitud
que actúan sobre un punto.
a) Si la magnitud de la resultante es la suma de las magnitudes
de las dos fuerzas, hacer una conjetura acerca del ángulo
entre las fuerzas.
1053714_1101.qxp
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CAPÍTULO
Vectores
la Geometry
geometría del
espacio
Chapter 11 11 Vectors
and ythe
of Space
b)
resultante
conjeturaabout
acer0, hacer
(b)SiIflathe
resultantdeoflas
thefuerzas
forces es
is 0,
make una
a conjecture
cathe
delangle
ángulo
entre las
between
thefuerzas.
forces.
20°
20°
NN
30°
WO
c)
sermagnitude
la magnitud
resultante
la suma
de
(c)¿Puede
Can the
of de
thelaresultant
bemayor
greaterque
than
the sum
las
de las
Explicar
la respuesta.
ofmagnitudes
the magnitudes
ofdos
the fuerzas?
two forces?
Explain.
SS
86.
gráfico Consider
Considerar
dosforces
fuerzas
k20,
0 0l
F1 F1 520,
86. Razonamiento
Graphical Reasoning
two
andy
F2 10 cos , sen .
a)
(a)Hallar
Find iFF11 1 FF22 i..
c)
gráfica
inciso
determinar
rangoofdethe
la
(c)Usar
Uselathe
grapheninel part
(b)b)topara
determine
the elrange
función.
¿Cuál
y con
obtiene?
u seof
function.
Whatesissuitsmáximo
maximum
andqué
forvalor
whatde
value
does
¿Cuál
es suWhat
mínimo
con qué valor
se obtiene?
it occur?
is itsy minimum
and de
foruwhat
value of does
it
occur?
d) Explicar por qué la magnitud de la resultante nunca es 0.
(d) Explain
why the de
magnitude
of the resultant
is never
87. Tres
de los vértices
un paralelogramo
son (1,
2), (3,0. 1) y
4). Hallar
lasoftres
posibilidades para
1, cuarto
2 , 3, vértice
1 , and (ver
8, 4la.
87. (8,
Three
vertices
a parallelogram
are el
figura).
Find the three possible fourth vertices (see figure).
yy
66
55
44
33
22
11
(8,
(8,4)
4)
(1,
(1,2)
2)
(3,
(3,1)
1)
xx
−4
−2 −1
− 4−3
− 3−2
−1
11 22 33 44 55 66 77 88 99 10
10
88.
vectorestopara
puntos deoftrisección
del seg88. Usar
Use vectors
find encontrar
the pointslos
of trisection
the line segment
mento
de recta con
(1, 2) y (7, 5).
1, 2puntos
7, 5 .
with endpoints
and terminales
Tensión
de un cable
En los ejercicios
90, usar
la figura
Cable Tension
In Exercises
89 and 89
90,y use
the figure
to
para
determinar
la tensión
en cable
cada supporting
cable que sostiene
la load.
carga
determine
the tension
in each
the given
dada.
89.
90.
89.
90.
2 in.
1 in.
A
A
50°
50°
C
C
3000 lb
3 000
libras
30°
30°
100
km/hr
100
km/h
100libras
lb
100
b)
de of
la the
resultante
función de
(b)Determinar
Determine la
themagnitud
magnitude
resultantcomo
as a function
of u.
Usar
de graficación
para the
representar
la funUseuna
a herramienta
graphing utility
to graph
function
for
ción
0 para<0 2≤ .u < 2p.
B
B
A
10 pulg
20 pulg
A
B
B
24 in.
24 pulg
C
C
5000 lb
5 000
libras
91. Projectile Motion A gun with a muzzle velocity of 1200 feet
91. Movimiento
un proyectil
con the
unahorizontal.
velocidad en
la
per second isdefired
at an angleUn
of 6arma
above
Find
boca
de cañón
1 200 piescomponents
por segundo
a un ánguthe vertical
anddehorizontal
ofse
thedispara
velocity.
de 6° Load
sobre laTohorizontal.
Encontrarcylindrical
las componentes
92. lo
Shared
carry a 100-pound
weight,horitwo
zontal
y vertical
de la
velocidad.
workers
lift on the
ends
of short ropes tied to an eyelet on the
92. Carga
compartida
Para llevar
una pesa
cilíndrica
de 100
litop center
of the cylinder.
One rope
makes
a 20 angle
away
bras,
los extremos
de unas
corfromdos
the trabajadores
vertical and sostienen
the other makes
a 30 angle
(seesogas
figure).
tas
a un rope’s
aro en tension
el centroif de
parte superior
cilindro.
(a) atadas
Find each
thelaresultant
force isdel
vertical.
Una soga forma un ángulo de 20° con la vertical y la otra forma
(b) Find the vertical component of each worker’s force.
un ángulo de 30° (ver la figura).
a) Hallar la tensión de cada soga si la fuerza resultante es vertical.
b) Hallar la componente vertical de la fuerza de cada trabajador.
EE
900
km/hr
900
km/h
32°
32°
Figura for
para
Figure
9292
45°45°
Figura for
para
Figure
9393
Navegación AUnplane
aviónisvuela
dirección
302°. of
Su 302
velocidad
93. Navigation
flyingen with
a bearing
. Its
con respecto
al airetoesthe
de 900
por hora.
viento
speed
with respect
air iskilómetros
900 kilometers
per El
hour.
Thea
la altitud
del avión
viene
del suroeste
hora
wind
at the
plane’s
altitude
is froma 100
the kilómetros
southwest por
at 100
(ver la figura).
es lafigure).
verdadera
dirección
deldirection
avión y cuál
kilometers
per ¿Cuál
hour (see
What
is the true
of
es su
velocidad
respecto
suelo?
the
plane,
and what
is its al
speed
with respect to the ground?
94. Navigation
Navegación A
Unplane
aviónflies
vuela
velocidad
constanteofde400
400
at aa una
constant
groundspeed
millas per
por hour
hora hacia
el este,
al suelo,
y se encuentra
miles
due east
and respecto
encounters
a 50-mile-per-hour
con unfrom
viento
50 millas por
del compass
noroeste.
wind
thedenorthwest.
Findhora
the proveniente
airspeed and
Encontrarthat
la velocidad
al aire
y el rumbo
permitirán
direction
will allowrelativa
the plane
to maintain
itsque
groundspeed
al avión
mantener
su velocidad respecto al suelo y su dirección
and
eastward
direction.
hacia el este.
True or False? In Exercises 95 –100, determine whether the
¿Verdaderoisotrue
falso?
En los
a 100, why
determinar
statement
or false.
If ejercicios
it is false,95explain
or give sianla
afirmación
esshows
verdadera
o falsa. Si es falsa, explicar por qué o
example
that
it is false.
dar un ejemplo que demuestre que es falsa.
95. If u and v have the same magnitude and direction, then u and
95. Si u y v tienen la misma magnitud y dirección, entonces u y v
v are equivalent.
son equivalentes.
96. If u is a unit vector in the direction of v, then v
v u.
96. Si u es un vector unitario en la dirección de v, entonces v 5 i v i u.
2
2
97.
If
is
a
unit
vector,
then
u
ai
bj
b
1.
a
2
97. Si u 5 ai 1 bj es un vector unitario, entonces a 1 b 2 5 1.
98.
a
b. 2b.
98. If
Si vv 5 ai
entonces
ai 1 bj
bj 5 0,
0, then
a5
a i i abj
2a.!2 a.
99. If
Si aa 5 b,
entonces
b, then
i 1 bj i 5
v have lathemisma
100. If
same magnitud
magnitudepero
but direcciones
opposite directions,
Si uu and
y v tienen
opuestas,
u uv 1 v0.5 0.
then
entonces
101. Demostrar que u 5 (cos q )i 2 (sen q )j y v 5 (sen q )i 1 (cos q )j
cos i
sen j and v
sen i
cos j
101. Prove that u
son vectores unitarios para todo ángulo q .
are unit vectors for any angle .
102. Geometría Usando vectores, demostrar que el segmento de
102. Geometry
Using
vectors,medios
prove that
the lados
line segment
joining
recta que une
los puntos
de dos
de un triángulo
the
midpoints
of
two
sides
of
a
triangle
is
parallel
to,
and
es paralelo y mide la mitad de longitud, del tercer lado. onehalf the length of, the third side.
103. Geometría Usando vectores, demostrar que las diagonales de
103. Geometry
Usingsevectors,
that the diagonals of a
un paralelogramo
cortan aprove
la mitad.
parallelogram
bisect
each
other.
104. Demostrar que el vector w 5 i u i v 1 i v i u corta a la mitad
u v
v u bisects the angle
104. Prove
thatentre
the uvector
el ángulo
y v. w
between
and
u
v.
105. Considerar el vector u 5 kx, yl. Describir el conjunto de todos
105. Consider
the set of all points
. Describe
los puntosthe
sx,vector
yd talesu que ix,uyi 5
5.
5.
x, y such that u
PPreparación
U T N A M E X A Mdel
CHA
LLENGE
examen
Putman
106. A coast artillery gun can fire at any angle of elevation
106. Un
arma 0de and
artillería
disparada
cualquier
between
fixed puede
verticalserplane.
If air aresistance
90 indea costa
ángulo
de
elevación
entre
0°
y
90°
en
un
plano
vertical
is neglected and the muzzle velocity is constant
vfijo.
0 ,
Si
se
desprecia
la
resistencia
del
aire
y
la
velocidad
en
la
boca
determine the set H of points in the plane and above the
de
cañón eswhich
constante
s5hit.
v0d, determinar el conjunto H de
horizontal
can be
puntos en el plano y sobre la horizontal que puede ser golThis problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition.
peado.
© The Mathematical Association of America. All rights reserved.
Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competition.
© The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.
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SECCIÓN 11.2
Coordenadas y vectores en el espacio
11.2 Coordenadas y vectores en el espacio
n
n
n
Entender el sistema de coordenadas rectangulares tridimensional.
Analizar vectores en el espacio.
Utilizar vectores tridimensionales para resolver problemas de la vida real.
Coordenadas en el espacio
z
Hasta este punto del texto ha interesado principalmente el sistema de coordenadas
bidimensional. En buena parte de lo que resta del estudio del cálculo se emplea el sistema de coordenadas tridimensional.
Antes de extender el concepto de vector a tres dimensiones, se debe poder identificar puntos en el sistema de coordenadas tridimensional. Se puede construir este
sistema trazando en el origen un eje z perpendicular al eje x y al eje y. La figura 11.14
muestra la porción positiva de cada eje de coordenadas. Tomados por pares, los ejes
determinan tres planos coordenados: el plano xy, el plano xz y el plano yz. Estos
tres planos coordenados dividen el espacio tridimensional en ocho octantes. El primer
octante es en el que todas las coordenadas son positivas. En este sistema tridimensional, un punto P en el espacio está determinado por una terna ordenada (x, y, z)
donde x, y y z son:
Plano yz
Plano xz
y
Plano xy
x
Sistema de coordenadas tridimensional
Figura 11.14
x 5 distancia dirigida que va del plano yz a P
y 5 distancia dirigida que va del plano xz a P
z 5 distancia dirigida que va del plano xy a P
En la figura 11.15 se muestran varios puntos.
z
6
5
4
(2, −5, 3)
3
(−2, 5, 4)
−6
−5
−4
−3
2
−8
1
−4
−2
3
4
(1, 6, 0)
8
y
5
6
(3, 3, −2)
x
Los puntos en el sistema de coordenadas tridimensional se
representan por medio de ternas ordenadas
z
z
Figura 11.15
y
x
x
y
Sistema
dextrógiro
Sistema
levógiro
Figura 11.16
Un sistema de coordenadas tridimensional puede tener orientación levógira
o dextrógira. Para determinar la orientación de un sistema, se puede imaginar de pie
en el origen, con los brazos apuntando en dirección de los ejes x y y positivo y el eje
z apuntando hacia arriba, como se muestra en la figura 11.16. El sistema es dextrógiro
o levógiro dependiendo de qué mano queda apuntando a lo largo del eje x. En este
texto, se trabaja exclusivamente con el sistema dextrógiro.
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CAPÍTULO 11
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Vectores y la geometría del espacio
z
(x2, y2, z2)
Q
d
z2 − z1 
P
x
y
(x1, y1, z1)
(x2, y2, z1)
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Muchas de las fórmulas establecidas para el sistema de coordenadas bidimensional
pueden extenderse a tres dimensiones. Por ejemplo, para encontrar la distancia entre dos
puntos en el espacio, se usa dos veces el teorema pitagórico, como se muestra en la figura 11.17. Haciendo esto, se obtiene la fórmula de la distancia entre los puntos sx1, y1, z1d y
sx2, y2, z 2 d.
d 5 !sx2 2 x1d2 1 s y2 2 y1d2 1 sz2 2 z1d2
Fórmula de la distancia.
Distancia entre dos puntos en el espacio
EJEMPLO 1
Distancia entre dos puntos en el espacio
La distancia entre los puntos s2, 21, 3d y s1, 0, 22d es
Figura 11.17
d 5 !s1 2 2d2 1 s0 1 1d2 1 s22 2 3d2
Fórmula de la distancia.
5 !1 1 1 1 25
5 !27
5 3!3.
Una esfera con centro en sx0 , y0 , z0d y radio r está definida como el conjunto de todos
los puntos sx, y, zd tales que la distancia entre sx, y, zd y sx0 , y0 , z0d es r. Se puede usar la
fórmula de la distancia para encontrar la ecuación canónica o estándar de una esfera de
radio r, con centro en sx0 , y0 , z0d. Si sx, y, zd es un punto arbitrario en la esfera, la ecuación
de la esfera es
z
(x, y, z)
r
sx 2 x0d2 1 s y 2 y0d2 1 sz 2 z 0 d2 5 r 2
(x0, y0, z0)
y
Ecuación de la esfera.
como se muestra en la figura 11.18. El punto medio del segmento de recta que une a los
puntos sx1, y1, z1d y sx2, y2, z2d tiene coordenadas
x
Figura 11.18
1
x1 1 x2 y1 1 y2 z1 1 z2
,
,
.
2
2
2
2
Regla del punto medio.
Ecuación de una esfera
EJEMPLO 2
Hallar la ecuación canónica o estándar de la esfera que tiene los puntos (5, –2, 3) y
(0, 4, –3) como extremos de un diámetro.
Solución Según la regla del punto medio, el centro de la esfera es
15 12 0, 2221 4, 3 22 32 5 152, 1, 02.
Regla del punto medio.
Según la fórmula de la distancia, el radio es
r5
!10 2 252
2
1 s4 2 1d2 1 s23 2 0d2 5
!974 5
!97
2
.
Por consiguiente, la ecuación canónica o estándar de la esfera es
1
x2
5
2
2
2
1 s y 2 1d2 1 z2 5
97
.
4
Ecuación de la esfera.
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SECCIÓN 11.2
Coordenadas y vectores en el espacio
777
Vectores en el espacio
En el espacio los vectores se denotan mediante ternas ordenadas v 5 kv1, v2, v3l. El vector cero se denota por 0 5 k0, 0, 0l. Usando los vectores unitarios i 5 k1, 0, 0l,
j 5 k0, 1, 0l,y k 5 k0, 0, 1l en la dirección del eje positivo z, la notación empleando los
vectores unitarios canónicos o estándar para v es
z
⟨v1, v2, v3⟩
v
⟨0, 0, 1⟩
v 5 v1i 1 v2 j 1 v3k
k
j ⟨0, 1, 0⟩
i
y
⟨1, 0, 0⟩
x
como se muestra en la figura 11.19. Si v se representa por el segmento de recta dirigido de
Ps p1, p2, p3d a Qsq1, q2, q3d, como se muestra en la figura 11.20, las componentes de v se
obtienen restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final,
como sigue
v 5 kv1, v2, v3 l 5 kq1 2 p1, q2 2 p2, q3 2 p3 l
Los vectores unitarios canónicos o estándar
en el espacio
Figura 11.19
VECTORES EN EL ESPACIO
Sean u 5 ku1, u2, u3 l y v 5 kv1, v2, v3 l vectores en el espacio y sea c un escalar.
z
Q(q1, q2, q3)
P( p1, p2, p3)
1. Igualdad de vectores: u 5 v si y sólo si u1 5 v1, u2 5 v2,y u3 5 v3.
2. Expresión mediante las componentes: Si v se representa por el segmento de recta
dirigido de Ps p1, p2, p3d a Qsq1, q2, q3d, entonces
v
v 5 kv1, v2, v3 l 5 kq1 2 p1, q2 2 p2, q3 2 p3 l.
y
3. Longitud: ivi 5 !v12 1 v22 1 v32
x
v = ⟨q1 − p1, q2 − p2, q3 − p3⟩
1 2
v
1
5
kv1, v2, v3l, v Þ 0
ivi
ivi
5. Suma de vectores: v 1 u 5 kv1 1 u1, v2 1 u2, v3 1 u3 l
6. Multiplicación por un escalar: cv 5 kcv1, cv2, cv3 l
4. Vector unitario en la dirección de v:
Figura 11.20
NOTA
Las propiedades de la suma de vectores y de la multiplicación por un escalar dadas en el
teorema 11.1 son también válidas para vectores en el espacio.
n
EJEMPLO 3
Hallar las componentes de un vector en el espacio
Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene punto inicial s22, 3, 1d y punto
final s0, 24, 4d. Después, hallar un vector unitario en la dirección de v.
Solución El vector v dado mediante sus componentes es
v 5 kq1 2 p1, q2 2 p2, q3 2 p3l 5 k0 2 s22d, 24 2 3, 4 2 1l
5 k2, 27, 3l
lo cual implica que su longitud es
ivi 5 !22 1 s27d2 1 32 5 !62.
El vector unitario en la dirección de v es
u
冬
冭
v
1
2
7
3
具2, 7, 3典 ,
,
.
储v储 冪62
冪62 冪62 冪62
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CAPÍTULO 11
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Vectores y la geometría del espacio
y
Recordar que en la definición de la multiplicación por un escalar se vio que múltiplos
escalares positivos de un vector v distinto de cero tienen la misma dirección que v, mientras que múltiplos negativos tienen dirección opuesta a la de v. En general, dos vectores
distintos de cero u y v son paralelos si existe algún escalar c tal que u 5 cv.
u = 2v
w = −v
u
DEFINICIÓN DE VECTORES PARALELOS
Dos vectores distintos de cero u y v son paralelos si hay algún escalar c tal que
u 5 cv.
v
x
w
Por ejemplo, en la figura 11.21, los vectores u, v y w son paralelos porque u 5 2v y
w 5 2v.
Vectores paralelos
Figura 11.21
EJEMPLO 4
Vectores paralelos
El vector w tiene punto inicial s2, 21, 3d y punto final s24, 7, 5d. ¿Cuál de los vectores
siguientes es paralelo a w?
a) u 5 k3, 24, 21l
b) v 5 k12, 216, 4l
Solución Empezar expresando w mediante sus componentes.
w 5 k24 2 2, 7 2 s21d, 5 2 3l 5 k26, 8, 2l
a) Como u 5 k3, 24, 21l 5 2 12 k26, 8, 2l 5 2 12 w, se puede concluir que u es paralelo a w.
b) En este caso, se quiere encontrar un escalar c tal que
k12, 216, 4l 5 ck26, 8, 2l.
12 5 26c → c 5 22
216 5
8c → c 5 22
45
2
2c → c 5
Como no hay un c para el cual la ecuación tenga solución, los vectores no son paralelos.
z
(1, − 2, 3)
EJEMPLO 5
P 4
2
Determinar si los puntos Ps1, 22, 3d, Qs2, 1, 0d,y Rs4, 7, 26d son colineales.
(2, 1, 0)
Q
2
\
4
8
8
\
Solución Los componentes de PQ y PR son
6
6
x
Uso de vectores para determinar puntos colineales
y
PQ 5 k2 2 1, 1 2 s22d, 0 2 3l 5 k1, 3, 23l
\
y
PR 5 k4 2 1, 7 2 s22d, 26 2 3l 5 k3, 9, 29l.
\
(4, 7, − 6) R
Los puntos P, Q y R están en la misma
recta
Figura 11.22
Estos dos vectores tienen un punto inicial común. Por tanto, P, Q y R están en la misma
recta si y sólo si PQ y PR son paralelos. PQ y PR son paralelos ya que PR 5 3 PQ , como
se muestra en la figura 11.22.
\
\
\
\
\
\
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SECCIÓN 11.2
EJEMPLO 6
Coordenadas y vectores en el espacio
779
Notación empleando los vectores unitarios
canónicos
a) Expresar el vector v 5 4i 2 5k por medio de sus componentes.
b) Hallar el punto final del vector v 5 7i 2 j 1 3k, dado que el punto inicial es
Ps22, 3, 5d.
Solución
a) Como falta j, su componente es 0 y
v 5 4i 2 5k 5 k4, 0, 25l.
b) Se necesita encontrar Qsq1, q2, q3d tal que v 5 PQ 5 7i 2 j 1 3k. Esto implica que
q1 2 s22d 5 7, q2 2 3 5 21,y q3 2 5 5 3. La solución de estas tres ecuaciones es
q1 5 5, q2 5 2, y q3 5 8. Por tanto, Q es (5, 2, 8).
\
Aplicación
EJEMPLO 7
z
Una cámara de televisión de 120 libras está colocada en un trípode, como se muestra en la
figura 11.23. Representar la fuerza ejercida en cada pata del trípode como un vector.
P (0, 0, 4)
(
Q3 − 3 , 1 , 0
2 2
Q1 (0, −1, 0)
)
Solución Sean los vectores F1, F2,y F3 las fuerzas ejercidas en las tres patas. A partir de
la figura 11.23, se puede determinar que las direcciones de F1, F2,y F3 son las siguientes.
\
y
Q2
( 23 , 12 , 0)
PQ 1 5 k0 2 0, 21 2 0, 0 2 4l 5 k0, 21, 24l
\
PQ 2 5
x
Figura 11.23
Magnitud de una fuerza
\
7!23 2 0, 12 2 0, 0 2 48 5 7!23, 12, 248
7
PQ 3 5 2
!3
2
2 0,
8 7
8
!3 1
1
2 0, 0 2 4 5 2
, , 24
2
2 2
Como cada pata tiene la misma longitud, y la fuerza total se distribuye igualmente entre
las tres patas, se sabe que iF1 i 5 iF2 i 5 iF3 i. Por tanto, existe una constante c tal que
7!23, 12, 248,
F1 5 ck0, 21, 24l, F2 5 c
y
7
F3 5 c 2
!3 1
2
8
, , 24 .
2
Sea la fuerza total ejercida por el objeto la dada por F 具0, 0, 120典. Entonces, usando
el hecho que
F 5 F1 1 F2 1 F3
se puede concluir que F1, F2,y F3 tienen todas una componente vertical de 240. Esto
implica que cs24d 5 240 y c 5 10. Por tanto, las fuerzas ejercidas sobre las patas
pueden representarse por
F1 5 k0, 210, 240l
F2 5 k 5!3, 5, 240l
F3 5 k 25!3, 5, 240l.
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AM Page
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780
CAPÍTULO 11
780
780
780
Chapter 11
11
Chapter
Chapter 11
Vectores y la geometría del espacio
Vectors and
and the
the Geometry
Geometry of
of Space
Space
Vectors
Vectors and the Geometry of Space
Ejercicios
11.2
11.2 Exercises
11.2 Exercises
See www.CalcChat.com
www.CalcChat.com for
for worked-out
worked-out solutions
solutions to
to odd-numbered
odd-numbered exercises.
exercises.
See
See www.CalcChat.com
www.CalcChat.com for
for worked-out
worked-out solutions
solutions to
to odd-numbered
odd-numbered exercises.
exercises.
See
En los ejercicios 1 y 2, aproximar las coordenadas de los puntos.
In Exercises
Exercises 11 and
and 2,
2, approximate
approximate the
the coordinates
coordinates of
of the
the points.
points.
In
z of the points.
In1.Exercises 1 zand 2, approximate2.the coordinates
B
zz
1.
2.
1.
2.
B
5
B
5 zz
1.
2.
B
B
3
4
−2
2
3
x
A
4
y
B
4 55
54
5
−4
3 4
−3 − 4
4
2 4 33−2 − 3− 4
344
332 − 2−−−
2 −−2−33
−2
22 −−22
−2
−2
1 2
y
−2
A −2
11 22
yy
x
A
11 22
yy
A
xx
A
A
xx
En
ejercicios
a 6, the
representar
en el mismo sisIn los
Exercises
3– 6,
6,3 plot
plot
points on
on los
the puntos
same three-dimensional
three-dimensional
In
Exercises
3–
the points
the
same
tema
de
coordenadas
tridimensional.
In
Exercises system.
3– 6, plot the points on the same three-dimensional
coordinate
coordinate
system.
coordinate system.
3.3. a)(a)s2,共2,1,1,3d3兲
2,2,
1d
b)(b)s21,
1,
3. (a) 共2, 1, 3兲
(b) 共共1,
2, 11兲兲
3. a)
(a) s共3,2,22,
(b) s共321,
1, 3兲5d
2,
1d 兲
3
,
4,
22
4.
b)
3, 2,
2, 55兲兲
4, 2
2
4. (a)
(a) 共共3,
(b) 共共32,, 4,
4.
(b)
兲兲
332
共
3,
2,
5
兲
,
4,
2
4.
(a)
(b)
2
d
s
5,
22,
22
d 兲
5.5. a)(a)s5,共5,22,
b)
共
兲
2
2
2, 22兲兲
5, 2,
2, 2
2
(b) 共共5,
兲
5. (a) 共5, 2,
(b)
2d兲
5,0,2,
2兲
共
5. a)
(a) s共0,5,4,2,
(b) s4,
25
5
d
6.
b)
共
0,
4,
5
兲
共
4,
0,
5
兲
6.
(a)
(b)
6. (a) 共0, 4, 5兲
(b) 共4, 0, 5兲
6. (a) 共0, 4, 5兲
(b) 共4, 0, 5兲
En
ejercicios
7 afind
10, hallar
las coordenadas
del punto.
In los
Exercises
7–10,
the coordinates
coordinates
of the
the point.
point.
In
Exercises
7–10,
find the
of
In Exercises 7–10, find the coordinates of the point.
punto
detrás
7.7. ElThe
yz-plano
pointseis
islocaliza
located tres
threeunidades
units behind
behind
thedel
plane, yz,
fourcuatro
units
yz7. The point
located
three
units
the
plane,
four
units
aislaof
derecha
del units
plano
xz
y units
cinco
unidades
arriba
del
yz7. unidades
The
point
located
three
behind
the above
plane,
four
units
xzxyto
the
right
the
plane,
and
five
the
plane.
to the right of the xz-plane, and five units above the xy-plane.
plano
to the xy.
right of the xz-plane, and five units above the xy-plane.
yz-plane,
8. The
The point
point is
is located
located seven
seven units
units in
in front
front of
of the
the yzplane, two
two
8.
8.
punto
seisleft
localiza
siete
unidades
delante
del yzplano
yz,plane.
dos
8. El
The
point
located
unitsand
in one
front
of below
the
plane,
two
xz-plane,
xyunits
to the
the
of the
theseven
plane,
unit
the
xzxyunits
to
left of
and one
unit
below the
plane.
unidades
la izquierda
del plano
xz yunit
unabelow
unidad
del
plane.
xy-plane.
units to thea left
of the xz-plane,
and one
thedebajo
x-axis,
9. The
The point
point is
is located
located on
on the
the xaxis, 12
12 units
units in
in front
front of
of the
the
9.
xy. is located
x9. plano
The
point
on
the
axis,
12
units
in
front
of
the
point is located
the
front of the
yzplane.
yz-plane.
9. El
plane.se localiza en el eje x, 12 unidades delante del plano yz.
yz-punto
plane.
yz-plane,
10. The
The point
point is
is located
located in
in the
the yzplane, three
three units
units to
to the
the right
right of
of
10.
10.
El
punto
seis
en
plano
yz, tres
unidades
derecha
10. The
The
point
islocaliza
located
inel
the
plane,
three
unitsato
tolathe
the
right del
of
yzpoint
located
in
the
plane,
three
units
right
of
xzxythe
plane,
and
two
units
above
the
plane.
the xz-plane, and two units above the xy-plane.
plano
y dosand
unidades
arriba
delthe
plano
xy.
xy-plane.
the xz-xz
plane,
and
two units
units
above
the
plane.
the
plane,
two
above
z11.
Think
About
It
What
is
the
coordinate
of any
any point
point in
in the
the
11. Think About It What is the z-coordinate of
11.
pensar
es is
coordenada
z de
puntoin
el
11. Para
Think
About It
It¿Cuál
What
islathe
the
coordinate
oftodo
any point
point
inenthe
the
z-coordinate
Think
About
What
of
any
xyplane?
xy-plane?
plano
xy?
xy-plane?
plane?
x-coordinate
12. Think
Think About
About It
It What
What is
is the
the xcoordinate of
of any
any point
point in
in the
the
12.
12.
pensar
es is
coordenada
x de
puntoin
el
12. Para
Think
About It
It¿Cuál
What
islathe
the
coordinate
oftodo
any point
point
inenthe
the
x-coordinate
Think
About
What
of
any
yz-plane?
plane?
yzplano
yz?
plane?
yz-plane?
x, y,
y, zz冈冈
In Exercises
Exercises 13–24,
13–24, determine
determine the
the location
location of
of aa point
point 冇冇x,
In
In
Exercises
13–24,
determine
the location
location
of aa point
point
冇
x,punto
y, z冈
In
Exercises
13–24,
determine
the
of
En
los
ejercicios
13
a
24,
determinar
la
localización
de
un
that
satisfies
the
condition(s).
that satisfies the condition(s).
thaty,satisfies
satisfies
the condition(s).
condition(s).
that
the
(x,
z) que satisfaga
la(s) condición(es).
66
22
13. zz 14. yy 13.
14.
13. z 6
14. y 2 55
13.
14.
z
2
x
3
15.
16.
15. x 3
16. z 5
15. x 3
16. z 5222
15.
16.
< 0
0
> 0
0
17. yy <
18. xx >
17.
18.
17. y < 0
18. x > 0
17.
18.
> 4
4
19. yy 20. xx >
33
19.
20.
y
3
19.
20. x > 4
19.
20.
xy <
44
xy >
> 0,
0, zz 3
3
< 0,
0, zz 21. xy
22. xy
21.
22.
21. xy > 0, z 3
22. xy < 0, z 4
21.
22.
xyz
<
0
>
0
xyz
23.
24.
23. xyz < 0
24. xyz > 0
23. xyz < 0
24. xyz > 0
23.
24.
In Exercises
Exercises 25–28,
25–28, find
find the
the distance
distance between
between the
the points.
points.
In
In Exercises
Exercises
25–28,
find
the
distance
between
the los
points.
In
25–28,
distance
between
the
points.
En
los ejercicios
25 afind
28, the
hallar
la distancia
entre
puntos.
0, 0,
0, 00兲兲,, 共共4,
4, 2,
2, 77兲兲
25. 共共0,
25.
25. 共0, 0, 0兲, 共4, 2, 7兲
25.
2, 3,
3, 22兲兲,, 共共2,
2, 5,
5, 2
2兲兲
26. 共共2,
26.
26. 共2, 3, 2兲, 共2, 5, 2兲
26.
1, 2,
2, 44兲兲,, 共共6,
6, 2,
2, 2
2兲兲
27. 共共1,
27.
27. 共1, 2, 4兲, 共6, 2, 2兲
27.
共
2,
2,
3
兲
,
4,
5,
6
兲
共
28.
28. 共2, 2, 3兲, 共4, 5, 6兲
28. 共2, 2, 3兲, 共4, 5, 6兲
28.
ⱍⱍ
ⱍ ⱍⱍ ⱍ
ⱍⱍ
ⱍ ⱍⱍ ⱍ
En los ejercicios 29 a 32, hallar las longitudes de los lados del
In Exercises
Exercises
29–32,
find que
the lengths
lengths
of the
the
sides of
of the
thesi triangle
triangle
In
find
the
of
sides
triángulo
con29–32,
los vértices
se indican,
y determinar
el triánIn
Exercises
29–32,vertices,
find the
the and
lengths
of the
the sides
sides
of the
the
triangle
In
Exercises
29–32,
find
lengths
of
of
triangle
with
the
indicated
determine
whether
the
triangle
with es
theunindicated
and determine
whether
the otriangle
gulo
triángulovertices,
rectángulo,
un triángulo
isósceles,
ninguwith
the indicated
indicated
vertices,
and triangle,
determine
whether
the triangle
triangle
with
the
vertices,
and
determine
is aaderight
right
triangle,
an isosceles
isosceles
orwhether
neither. the
is
triangle,
triangle, or
neither.
na
ambas
cosas.an
is aa right
right triangle,
triangle, an
an isosceles
isosceles triangle,
triangle, or
or neither.
neither.
is
0, 0,
0, 44兲兲,, 共共2,
2, 6,
6, 77兲兲,, 共共6,
6, 4,
4, 8
8兲兲
29. 共共0,
29.
29. 共0, 0, 4兲, 共2, 6, 7兲, 共6, 4, 8兲
29.
3, 4,
4, 11兲兲,, 共共0,
0, 6,
6, 22兲兲,, 共共3,
3, 5,
5, 66兲兲
30. 共共3,
30.
30. 共3, 4, 1兲, 共0, 6, 2兲, 共3, 5, 6兲
30.
1,
0,
2
兲
,
共
1,
5,
3, 1,
1, 11兲兲
共
31.
31. 共1, 0, 2兲, 共1, 5, 22兲兲,, 共共3,
31. 共1, 0, 2兲, 共1, 5, 2兲, 共3, 1, 1兲
31.
4, 1,
1, 1
1兲兲,, 共共2,
2, 0,
0, 4
4兲兲,, 共共3,
3, 5,
5, 1
1兲兲
32. 共共4,
32.
32. 共4, 1, 1兲, 共2, 0, 4兲, 共3, 5, 1兲
32.
33.
El triángulo
del ejercicio
29 se
cinco
33. Para
Thinkpensar
About It
It
The triangle
triangle
in Exercise
Exercise
29 traslada
is translated
translated
33.
Think
About
The
in
29
is
33. Think
Think
About
Itarriba
Thea triangle
triangle
inDetermine
Exercise
29 coordinates
is translated
translated
33.
About
It
The
in
Exercise
29
is
unidades
hacia
lo
largo
del
eje
z.
Determinar
las
coorzfive
units
upward
along
the
axis.
the
of
five units upward along the z- axis. Determine the coordinates
of
five
units
upward
alongtrasladado.
the z- axis.
axis. Determine
Determine the
the coordinates
coordinates of
of
five
upward
along
the
denadas
del
triángulo
the units
translated
triangle.
the
translated
triangle.
the translated
translated triangle.
triangle.
the
34.
El triángulo
del in
ejercicio
30 30
se is
tres
34. Para
Thinkpensar
About It
It
The triangle
triangle
in
Exercise
30
istraslada
translated
34.
Think
About
The
Exercise
translated
34.
Think
About
It right
Theaalong
triangle
in
Exercise
30 is
is the
translated
34. Think
About
It
The
triangle
in
Exercise
30
translated
unidades
a
la
derecha
lo
largo
del
eje
y.
Determinar
las
coorythree
units
to
the
the
axis.
Determine
coordithree units to the right along the y- axis. Determine the coordithree
units
totriángulo
the right
righttrasladado.
along
the y- axis.
axis. Determine
Determine the
the coordicoordithree
to
the
along
the
denadas
natesunits
of del
the
translated
triangle.
nates
of
the
translated
triangle.
nates of
of the
the translated
translated triangle.
triangle.
nates
En
los ejercicios
35 y 36,
36, find
hallar
coordenadas
medio
In Exercises
Exercises
35 and
and
thelascoordinates
coordinates
of del
the punto
midpoint
of
In
35
36, find
the
of
the
midpoint
of
del
segmento
deand
recta
une
los
puntos. of
In
Exercises
35
and
36,que
find
the
coordinates
of the
the midpoint
midpoint of
of
In
Exercises
35
36,
find
the
coordinates
the
line
segment
joining
the
points.
the line segment joining the points.
the line
line segment
segment joining
joining the
the points.
points.
the
35.
36.
5, 29,
9, 777d兲兲,,, s共共22,
2, 3,
3, 333d兲兲
4, 0,
0, 26
6d兲兲,,, s共共8,
8, 8,
8, 20
20d兲兲
35. s共共5,
36. s共共4,
5,
9,
2,
3,
4,
0,
6
8,
8,
20
35.
36.
35. 共5, 9, 7兲, 共2, 3, 3兲
36. 共4, 0, 6兲, 共8, 8, 20兲
35.
36.
En
los ejercicios
40, hallar
la ecuación
estándar
desphere.
la esfera.
In Exercises
Exercises
37–37
40,afind
find
the standard
standard
equation
of the
the
In
37–
40,
the
equation
of
sphere.
In Exercises
Exercises 37–
37– 40,
40, find
find the
the standard
standard equation
equation of
of the
the sphere.
sphere.
In
37.
38.
0, 2,
2, 555d兲兲
4, 21,
1, 111d兲兲
37. Centro:
Center: s共共0,
38. Centro:
Center: s共共4,
0,
2,
4,
1,
37.
Center:
38.
Center:
37. Center:
Center:
38. Center:
Center:
共4, 1, 1兲
共0, 2, 5兲
37.
38.
Radio:
Radio:
Radius:2 22
Radius:5 55
Radius:
Radius:
Radius:
Radius:
Radius:
22
Radius:
55
39.
Puntos
terminales
de
un
diámetro:
(2,
0,
0),
2, 0,
0, 00兲兲,, 共共0,
0, 6,
6, 00兲兲 (0, 6, 0)
39. Endpoints
Endpoints of
of aa diameter:
diameter: 共共2,
39.
39.
Endpoints
of aa diameter:
diameter:
共2, to
0,
兲, 共yz0, yz
6, 0兲
39.
Endpoints
of
40.
tangente
al 0the
plano
3,2,2,
2,4),
40. Centro:
Center: (23,
tangent to
plane
共共3,
44兲兲,, tangent
40.
Center:
the yzplane
40. Center:
Center: 共3, 2, 4兲, tangent
tangent to
to the
the yz- plane
plane
40.
En los ejercicios 41 a 44, completar el cuadrado para dar la
In Exercises
Exercises 41–
41– 44,
44, complete
complete the
the square
square to
to write
write the
the equation
equation of
of
In
ecuación
de 41–
la esfera
en forma
canónica
o estándar.
Hallarofel
In
Exercises
44, complete
complete
the
square
to write
write
theradius.
equation
In
Exercises
41–
44,
square
to
the
equation
of
the
sphere in
in
standard
form.the
Find
the center
center
and
the
sphere
standard
form.
Find
the
and
radius.
centro
y el in
radio.
the
sphere
standard form.
form. Find
Find the
the center
center and
and radius.
radius.
the
sphere
in standard
2 y 2 z 2 2x 6y 8z 1 0
x
41.
2
2
41. x22 y22 z222 2x 6y 8z 1 0
41. x 2 y 2 z 2 2x 6y 8z 1 0
41.
yy2 zz2 9x
9x 2y
2y 10z
10z 19
19 00
42. xx2 42.
42. x22 y22 2z22 9x
2y 10z 19 0
42.
2 2 9x
9y
9z
6x
18y
1
43.
2
2
2
43. 9x 9y 9z 6x 18y 1 00
43. 9x222 9y222 9z222 6x 18y 1 0
43.
4y
4y 2 4z
4z 2 24x
24x 4y
4y 8z
8z 23
23 00
4x 2 44. 4x
44.
44. 4x 22 4y 22 4z 22 24x 4y 8z 23 0
44.
In Exercises
Exercises 45–48,
45–48, describe
describe the
the solid
solid satisfying
satisfying the
the condition.
condition.
In
En
los ejercicios
45 adescribe
48, describir
el sólido
que satisface
la conIn
Exercises
45–48,
the solid
solid
satisfying
the condition.
condition.
In
Exercises
45–48,
describe the
satisfying
the
2
2
2
2
2
2
dición.
x
x
y
z
36
y
z
>
4
45.
46.
2
2
2
2
2
2
45. x y z 36
46. x y z > 4
45. x2222 y2222 z2222 36
46. x222 y222 z222 > 4
45.
46.
yy 2 1
zz 2 ≤<
< 36
4x 6y
6y 8z
8z46.
13
13
47. xx 2 1
45.
x 1y 1z > 4
4x
47.
47. x 222 y 222 z 222 < 4x 6y 8z 13
47.
z
>
4x
6y
8z
13
48.
2 1
2
2
x
y
1
<
4x
2
6y
1
8z
2
13
47.
48. x y z > 4x 6y 8z 13
48. x222 y222 z222 > 4x 6y 8z 13
48.
48. x 1 y 1 z > 24x 1 6y 2 8z 2 13
In Exercises
Exercises 49–52,
49–52, (a)
(a) find
find the
the component
component form
form of
of the
the vector
vector v,
v,
In
In
Exercises
49–52,
(a)
find
the component
component
formnotation,
of the
the
vector
v,v,
In
Exercises
49–52,
(a)
find
the
form
of
vector
v,
(b)
write
the
vector
using
standard
unit
vector
and
(c)
a)
encontrar
las
componentes
del
vector
En
los
ejercicios
49
a
52,
(b) write the vector using standard unit vector notation, and (c)
(b)
writethe
thevector
vectorwith
using
standard
unitatvector
vector
notation,
and
(c)
(b)
write
the
vector
using
unit
notation,
and
(c)
sketch
itsstandard
initial
point
thevector
origin.
b)
escribir
vector
utilizando
la notación
unitario
estánsketch
theelvector
with
its
initial
point
atdel
the
origin.
sketch
the
vector
with
its
initial
point
at
the
origin.
sketch
the
vector
with
its
initial
point
at
the
origin.
dar y c) dibujar el vector con su punto inicial en el origen.
49.
50.
49.
50.
49.
50.
49.
50.
z
z
49.
50.
6
6
4
4
2
(4, 2, 1)
6
x
(4, 0, 3) 2
(2, 4, 3)
v
6
y
v (0, 5, 1)
2
4
6
x
4
6
y
Larson-11-02.qxd
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Página 781
SECCIÓN 11.2
z
51.
6
2
4
4
4
y
6
2
4
(3, 3, 0)
a) 具7, 6, 2典
v
4
(2, 3, 0)
6
b) 具14, 16, ⫺6典
y
6
x
b) 4j ⫹ 2k
72. z tiene el punto inicial 共5, 4, 1兲 y el punto final 共⫺2, ⫺4, 4兲.
(2, 3, 4)
2
v
2
6
a) ⫺6i ⫹ 8j ⫹ 4k
6
(0, 3, 3)
4
781
71. z tiene el punto inicial 共1, ⫺1, 3兲 y el punto final 共⫺2, 3, 5兲.
z
52.
Coordenadas y vectores en el espacio
En los ejercicios 73 a 76, usar vectores para determinar si los
puntos son colineales.
x
En los ejercicios 53 a 56, hallar las componentes y la magnitud
del vector v, dados sus puntos inicial y final. Después hallar un
vector unitario en la dirección de v.
Punto inicial
53. 共3, 2, 0兲
54. 共4, ⫺5, 2兲
55. 共⫺4, 3, 1兲
56. 共1, ⫺2, 4兲
共4, 1, 6兲
共⫺1, 7, ⫺3兲
共⫺5, 3, 0兲
共2, 4, ⫺2兲
77. 共2, 9, 1兲, 共3, 11, 4兲, 共0, 10, 2兲, 共1, 12, 5兲
78. 共1, 1, 3兲, 共9, ⫺1, ⫺2兲, 共11, 2, ⫺9兲, 共3, 4, ⫺4兲
57. Punto inicial: 共⫺1, 2, 3兲
58. Punto inicial: 共2, ⫺1, ⫺2兲
Punto final: 共3, 3, 4兲
Punto final: 共⫺4, 3, 7兲
En los ejercicios 59 y 60, se dan el vector v y su punto inicial.
Encontrar el punto final.
60. v ⫽ 具 1,
典
Punto inicial: 共0, 2, 52 兲
⫺ 23, 12
En los ejercicios 61 y 62, hallar cada uno de los múltiplos escalares de v y representar su gráfica.
b) ⫺v
a) ⫺v
b) 2v
3
c) 2v
d) 0v
1
c) 2v
5
d) 2v
En los ejercicios 63 a 68, encontrar el vector z, dado que u ⴝ
冬1, 2, 3冭, v ⴝ 冬2, 2, ⴚ1冭 y w ⴝ 具4, 0, ⴚ4典.
63. z ⫽ u ⫺ v
64. z ⫽ u ⫺ v ⫹ 2w
65. z ⫽ 2u ⫹ 4v ⫺ w
1
66. z ⫽ 5u ⫺ 3v ⫺ 2w
67. 2z ⫺ 3u ⫽ w
68. 2u ⫹ v ⫺ w ⫹ 3z ⫽ 0
En los ejercicios 69 a 72, determinar cuáles de los vectores son
paralelos a z. Usar una herramienta de graficación para confirmar sus resultados.
a) 具⫺6, ⫺4, 10典
4
10
b) 具 2, 3, ⫺ 3 典
En los ejercicios 79 a 84, hallar la longitud de v.
79. v ⫽ 具0, 0, 0典
80. v ⫽ 具1, 0, 3典
81. v ⫽ 3j ⫺ 5k
82. v ⫽ 2i ⫹ 5j ⫺ k
83. v ⫽ i ⫺ 2j ⫺ 3k
84. v ⫽ ⫺4i ⫹ 3j ⫹ 7k
En los ejercicios 85 a 88, hallar un vector unitario a) en la dirección de v y b) en la dirección opuesta a u.
85. v ⫽ 具2, ⫺1, 2典
86. v ⫽ 具6, 0, 8典
87. v ⫽ 具3, 2, ⫺5典
88. v ⫽ 具8, 0, 0典
89. Programación Se dan las componentes de los vectores u y v.
Escribir un programa para una herramienta de graficación donde el resultado es a) las componentes de u ⫹ v, b) 储 u ⫹ v 储,
c) 储 u 储, y d) 储 v 储. e) Ejecutar el programa para los vectores
u ⫽ 具⫺1, 3, 4典 y v ⫽ 具5, 4.5, ⫺6典.
62. v ⫽ 具2, ⫺2, 1典
a) 2v
69. z ⫽ 具3, 2, ⫺5典
75. 共1, 2, 4兲, 共2, 5, 0兲, 共0, 1, 5兲
En los ejercicios 77 y 78, usar vectores para demostrar que los
puntos son vértices de un paralelogramo.
En los ejercicios 57 y 58 se indican los puntos inicial y final de un
vector v. a) Dibujar el segmento de recta dirigido, b) encontrar
las componentes del vector, c) escribir el vector usando la notación del vector unitario estándar y d) dibujar el vector con su
punto inicial en el origen.
61. v ⫽ 具1, 2, 2典
74. 共4, ⫺2, 7兲, 共⫺2, 0, 3兲, 共7, ⫺3, 9兲
76. 共0, 0, 0兲, 共1, 3, ⫺2兲, 共2, ⫺6, 4兲
Punto final
59. v ⫽ 具3, ⫺5, 6典
Punto inicial: 共0, 6, 2兲
73. 共0, ⫺2, ⫺5兲, 共3, 4, 4兲, 共2, 2, 1兲
Para discusión
90. Considerar dos vectores distintos de cero u y v, y sean s y t
números reales. Describir la figura geométrica generada por
los puntos finales de los tres vectores tv, u + tv y su + tv.
En los ejercicios 91 y 92, determinar los valores de c que satisfacen la ecuación. Sea u ⴝ i ⴙ 2 j ⴙ 3k y v ⴝ 2i ⴙ 2 j ⴚ k.
91. 储 cv 储 ⫽ 7
En los ejercicios 93 a 96, encontrar el vector v con la magnitud
dada y en dirección de u.
1
2
3
70. z ⫽ 2i ⫺ 3j ⫹ 4k
a) 6i ⫺ 4j ⫹ 9k
4
3
b) ⫺i ⫹ 3j ⫺ 2k
c) 具6, 4, 10典
c) 12i ⫹ 9k
d) 具1, ⫺4, 2典
3
9
d) 4i ⫺ j ⫹ 8k
92. 储 cu 储 ⫽ 4
Magnitud
Dirección
93. 10
u ⫽ 具0, 3, 3典
94. 3
u ⫽ 具1, 1, 1典
3
2
u ⫽ 具2, ⫺2, 1典
96. 7
u ⫽ 具⫺4, 6, 2典
95.
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CAPÍTULO 11
Página 782
Vectores y la geometría del espacio
En los ejercicios 97 y 98, dibujar el vector v y dar sus componentes.
101. Sean u ⫽ i ⫹ j, v ⫽ j ⫹ k, y w ⫽ au ⫹ bv.
a) Dibujar u y v.
b) Si w ⫽ 0, demostrar que tanto a como b deben ser cero.
c) Hallar a y b tales que w ⫽ i ⫹ 2j ⫹ k.
d) Probar que ninguna elección de a y b da w ⫽ i ⫹ 2j ⫹ 3k.
105. Dar la ecuación canónica o estándar de una esfera de radio
r, centrada en 共x0, y0, z0兲.
106. Dar la definición de vectores paralelos.
107. Sean A, B y C los vértices de un triángulo. Encontrar
AB ⫹ BC ⫹ CA .
\
\
\
108. Sean r ⫽ 具x, y, z典 y r0 ⫽ 具1, 1, 1典. Describir el conjunto de
todos los puntos 共x, y, z兲 tales que 储r ⫺ r0 储 ⫽ 2.
109. Análisis numérico, gráfico y analítico Los focos en un auditorio son discos de 24 libras y 18 pulgadas de radio. Cada disco
está sostenido por tres cables igualmente espaciados de L pulgadas de longitud (ver la figura).
45
50
110. Para pensar Suponer que cada cable en el ejercicio 109 tiene una longitud fija L ⫽ a, y que el radio de cada disco es r0
pulgadas. Hacer una conjetura acerca del límite lím
lim T y jusr0 →a⫺
tificar la respuesta.
111. Diagonal de un cubo Hallar las componentes del vector unitario v en la dirección de la diagonal del cubo que se muestra
en la figura.
z
z
100
v
Desarrollo de conceptos
104. Dar la fórmula para la distancia entre los puntos 共x1, y1, z1兲
y 共x2, y2, z2兲.
40
e) Calcular la longitud mínima que debe tener cada cable, si un
cable está diseñado para llevar una carga máxima de 10 libras.
102. Redacción Los puntos inicial y final del vector v son
共x1, y1, z1兲 y 共x, y, z兲. Describir el conjunto de todos los puntos
共x, y, z兲 tales que 储v储 ⫽ 4.
103. Un punto en el sistema de coordenadas tridimensional
tiene las coordenadas 共x0, y0, z0兲. Describir qué mide cada
una de las coordenadas.
35
d) Comprobar analíticamente las asíntotas obtenidas en el
inciso c).
En los ejercicios 99 y 100, usar vectores para encontrar el punto
que se encuentra a dos tercios del camino de P a Q.
Q共6, 8, 2兲
30
c) Representar en la herramienta de graficación el modelo del
inciso a) y determinar las asíntotas de su gráfica.
98. v está en el plano xz, tiene magnitud 5 y forma un ángulo de
45° con el eje z positivo.
100. P共1, 2, 5兲,
25
T
97. v está en el plano yz, tiene magnitud 2 y forma un ángulo de
30° con el eje y positivo.
99. P共4, 3, 0兲, Q共1, ⫺3, 3兲
20
L
−50
y
x
y
⏐⏐v⏐⏐ = 1
x
Figura para 111
75
Figura para 112
112. Cable de sujeción El cable de sujeción de una torre de 100
pies tiene una tensión de 550 libras. Usar las distancias mostradas en la figura, y dar las componentes del vector F que represente la tensión del cable.
113. Soportes de cargas Hallar la tensión en cada uno de los cables de soporte mostrados en la figura si el peso de la caja es
de 500 newtons.
z
45 cm
D
C
70 cm
B
65 cm
C
60 cm
y
x
18 pies
115 cm
A
D
A
B
6 pies
8 pies
10 pies
L
Figura para 113
18 pulg
a) Expresar la tensión T de cada cable en función de L. Determinar el dominio de la función.
b) Usar una herramienta de graficación y la función del inciso
a) para completar la tabla.
Figura para 114
114. Construcción de edificios Un muro de hormigón es sostenido temporalmente en posición vertical por medio de cuerdas
(ver la figura). Hallar la fuerza total ejercida sobre la clavija en
posición A. Las tensiones en AB y AC son 420 libras y 650
libras.
115. Escribir una ecuación cuya gráfica conste del conjunto de puntos P共x, y, z兲 que distan el doble de A共0, ⫺1, 1兲 que de
B共1, 2, 0兲.
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SECCIÓN 11.3
El producto escalar de dos vectores
783
11.3 El producto escalar de dos vectores
n
n
n
n
n
Usar las propiedades del producto escalar de dos vectores.
Hallar el ángulo entre dos vectores usando el producto escalar.
Hallar los cosenos directores de un vector en el espacio.
Hallar la proyección de un vector sobre otro vector.
Usar los vectores para calcular el trabajo realizado por una fuerza constante.
El producto escalar
EXPLORACIÓN
Interpretación de un producto
escalar En la figura se muestran varios vectores en el círculo unidad.
Hallar los productos escalares de varios pares de vectores. Después
encontrar el ángulo entre cada par
usado. Hacer una conjetura sobre la
relación entre el producto escalar de
dos vectores y el ángulo entre los
vectores.
90°
120°
Hasta ahora se han estudiado dos operaciones con vectores —la suma de vectores y el producto de un vector por un escalar— cada una de las cuales da como resultado otro vector.
En esta sección se presenta una tercera operación con vectores, llamada el producto
escalar. Este producto da como resultado un escalar, y no un vector.
DEFINICIÓN DE PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar de u 5 ku 1, u 2 l y v 5 kv1, v2 l es
u ? v 5 u 1v1 1 u 2v2.
El producto escalar de u 5 ku 1, u 2, u 3 l y v 5 kv1, v2, v3 l es
u ? v 5 u 1v1 1 u 2v2 1 u 3v3.
60°
30°
150°
180°
0°
NOTA
El producto escalar de dos vectores recibe este nombre debido a que da como resultado un
escalar; también se le llama producto interno de los dos vectores.
n
TEOREMA 11.4 PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
210°
330°
240°
Sean u, v y w vectores en el plano o en el espacio y sea c un escalar.
270°
300°
1.
2.
3.
4.
5.
u?v5v?u
u ? sv 1 wd 5 u ? v 1 u ? w
csu ? vd 5 cu ? v 5 u ? cv
0?v50
v ? v 5 i vi 2
DEMOSTRACIÓN
Propiedad conmutativa.
Propiedad distributiva.
Para demostrar la primera propiedad, sea u 5 ku 1, u 2, u 3 l y v 5 7v1, v2, v38.
Entonces
u ? v 5 u 1v1 1 u 2v2 1 u 3v3
5 v1u 1 1 v2u 2 1 v3u 3
5 v ? u.
Para la quinta propiedad, sea v 5 kv1, v2, v3 l. Entonces
v
? v 5 v12 1 v22 1 v32
5 s!v12 1 v22 1 v32 d 2
5 i vi2.
Se dejan las demostraciones de las otras propiedades al lector.
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784
CAPÍTULO 11
784
Chapter 11
Vectores y la geometría del espacio
Vectors and the Geometry of Space
EJEMPLO 1
Cálculo de productos escalares
EXAMPLE 1 Finding Dot Products
Dados u 5 k2, 22l, v 5 k5, 8l, y w 5 k24, 3l, encontrar
Given
a)
b) suv 5vdk5,
u uv 5 k2, 22l,
w 8l, and w 5 k24, 3l, find each of the following.
?
?
a. u v
b. su ? 2vdw
c) u ?? s2vd
d) iwi
c. u ? s2vd
d. iwi 2
Solución
Solution
a)
u ? vv 5
5 k2,
k2, 22l
22l ? k5,
k5, 8l
8l 5
5 22ss55dd 1
1 ss22
22ds
ds88dd 5
5 26
26
a. u
b)
b.
c)
c.
d)
d.
?
?
u ?? vvddw
w5
5 26k24,
26k24, 3l
3l 5
5 k24,
k24, 218l
218l
ssu
u ?? ss2v
2vdd 5
5 22ssu
u ?? vvdd 5
5 22ss26
26dd 5
5 212
212
u
iwi 5 w ? w
5 k24, 3l ? k24, 3l
5 s24ds24d 1 s3ds3d
5 25
iwi22
Teorema
Theorem 11.4.
11.4
Teorema
Theorem 11.4.
11.4
Sustituir
por k24,
.
Substitutewk24,
3l for3lw.
Definition of
productescalar.
Definición
deldot
producto
Simplify.
Simplificar.
Notice that
theelresult
of part
is a b)
vector
quantity,
whereas
the mientras
results ofque
thelos
other
Observar
que
resultado
del(b)
inciso
es una
cantidad
vectorial,
resultathreedeparts
are scalar
quantities.
■
dos
los otros
tres incisos
son cantidades escalares.
Angle Between Two Vectors
Ángulo entre dos vectores
The angle between two nonzero vectors is the angle u, 0 # u # p, between their
El
ángulo standard
entre dosposition
vectores
distintos
de ceroinesFigure
el ángulo
0 ≤ next
u ≤ theorem
p, entre sus
respective
vectors,
as shown
11.24.u, The
respectivos
vectores
en
posición
canónica
o
estándar,
como
se
muestra
en
la
figura
11.24.
shows how to find this angle using the dot product. (Note that the angle between the
El
siguiente
teorema
muestra
cómo
encontrar
este
ángulo
usando
el
producto
escalar.
zero vector and another vector is not defined here.)
(Observar que el ángulo entre el vector cero y otro vector no está definido aquí.)
v−u
v−u
u
u
v
θ
θ
Origin
Origen
The angle between two vectors
El ángulo
Figure
11.24entre dos vectores
Figura 11.24
v
THEOREM 11.5 ANGLE BETWEEN TWO VECTORS
TEOREMA 11.5 ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
If u is the angle between two nonzero vectors u and v, then
Si u es el ángulo
u entre
? v . dos vectores distintos de cero u y v, entonces
cos u 5
iuui? ivi
v
cos u 5
.
iui ivi
PROOF Consider the triangle determined by vectors u, v, and v 2 u, as shown in
Figure 11.24. By the Law of Cosines, you can write
DEMOSTRACIÓN
Considerar el triángulo determinado por los vectores u, v y v 2 u, como
2
iv 2 ui
5 figura
i ui2 111.24.
i vi2 Por
2 2iui
ivi
.
se muestra
en la
la ley
decos
losucosenos,
se puede escribir
Using
properties
product,
thecos
leftu.side can be rewritten as
2 5 i ui2of1the
2 2
ivthe
2 ui
i vidot
2iui ivi
iv 2 ui2 5 sv 2 ud sv 2 ud
Usando las propiedades del? producto escalar, el lado izquierdo puede reescribirse como
5 sv 2 ud ? v 2 sv 2 ud ? u
iv 2 ui2 5 sv 2 ud ? sv 2 ud
5v?v2u?v2v?u1u?u
5
v2
ud2u
sv iui
2 u2 d ? u
? v? 2v 1
2 2
5 sivi
5v?v2u?v2v?u1u?u
and substitution back into the Law of Cosines yields
5 ivi2 2 2u ? v 1 iui 2
ivi2 2 2u ? v 1 i ui2 5 i ui2 1 i vi2 2 2i ui ivi cos u
y sustituyendo en la
ley dev los
cosenosi vi
se cos
obtiene
22u
u
? 5 22iui
ivi2 2 2u ? v 1 i ui2 5 i ui
u ?2 v1 i vi2 2 2i ui ivi cos u
cos u 5
.
■
i ui iv ii vi cos u
22u ? v 5 22iui
cos u 5
u?v
.
iui iv i
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SECCIÓN 11.3
785
El producto escalar de dos vectores
Si el ángulo entre dos vectores es conocido, reescribiendo el teorema 11.5 en la forma
u
? v 5 i u i iv i cos u
Forma alternativa del producto escalar.
se obtiene una manera alternativa de calcular el producto escalar. De esta forma, se puede
ver que como iu i y iv i siempre son positivos, u ? v y cos u siempre tendrán el mismo
signo. La figura 11.25 muestra las orientaciones posibles de los dos vectores.
u v<0
Dirección
opuesta
θ
u
u
u v=0
u
θ
v
v
py 2 < u < p
2 1 < cos u < 0
u5p
cos u 5 2 1
u v>0
u
θ
θ
v
u 5 py 2
cos u 5 0
Misma
dirección
u
v
0 < u < py 2
0 < cos u < 1
v
u50
cos u 5 1
Figura 11.25
De acuerdo con el teorema 11.5, se puede ver que dos vectores distintos de cero forman un ángulo recto si y sólo si su producto escalar es cero; entonces se dice que los dos
vectores son ortogonales.
DEFINICIÓN DE VECTORES ORTOGONALES
Los vectores u y v son ortogonales si u
? v 5 0.
NOTA
Los términos “perpendicular”, “ortogonal” y “normal” significan esencialmente lo mismo:
formar ángulos rectos. Sin embargo, es común decir que dos vectores son ortogonales, dos rectas o
planos son perpendiculares y que un vector es normal a una recta o plano dado.
n
De esta definición se sigue que el vector cero es ortogonal a todo vector u, ya que
0 ? u 5 0. Si 0 ≤ u ≤ p, entonces se sabe que cos u 5 0 si y sólo si u 5 py2. Por tanto,
se puede usar el teorema 11.5 para concluir que dos vectores distintos de cero son ortogonales si y sólo si el ángulo entre ellos es py2.
EJEMPLO 2
Hallar el ángulo entre dos vectores
Si u 5 k3, 21, 2l, v 5 k24, 0, 2l, w 5 k1, 21, 22l,y z 5 k2, 0, 21l, hallar el ángulo
entre cada uno de los siguientes pares de vectores.
a) u y v
b) u y w
c) v y z
Solución
u?v
212 1 0 1 4
28
24
5
5
5
iui ivi
!14!20
!
!
!
2 14 5
70
24
Como u ? v < 0, u 5 arccos
< 2.069 radianes.
!70
a) cos u 5
u?w
31124
0
5
5
50
iui iwi
!14!6
!84
Como u ? w 5 0, u y w son ortogonales. Así, u 5 py2.
b) cos u 5
v?z
28 1 0 2 2
210
5
5
5 21
ivi i zi
!20!5
!100
Por consiguiente, u 5 p. Observar que v y z son paralelos, con v 5 22z.
c) cos u 5
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CAPÍTULO 11
Page 786
Vectores y la geometría del espacio
Cosenos directores
En el caso de un vector en el plano, se ha visto que es conveniente medir su dirección en
términos del ángulo, medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde el eje x
positivo hasta el vector. En el espacio es más conveniente medir la dirección en términos
de los ángulos entre el vector v distinto de cero y los tres vectores unitarios i, j y k, como
se muestra en la figura 11.26. Los ángulos a, b y g son los ángulos de dirección de v, y
cos a , cos b y cos g son los cosenos directores de v. Como
z
k
γ
v
β
j
α
y
v
? i 5 iv i i i i cos a 5 i v i cos a
v
? i 5 kv1, v2, v3l ? k1, 0, 0l 5 v1
y
i
x
se sigue que cos a 5 v1yiv i. Mediante un razonamiento similar con los vectores unitarios
j y k, se tiene
Ángulos de dirección
Figura 11.26
cos a 5
v1
iv i
a es el ángulo entre v e i.
cos b 5
v2
iv i
b es el ángulo entre v y j.
cos g 5
v3
.
iv i
g es el ángulo entre v y k.
Por consiguiente, cualquier vector v distinto de cero en el espacio tiene la forma normalizada
v
v
v
v
5 1 i 1 2 j 1 3 k 5 cos a i 1 cos b j 1 cos g k
ivi iv i
iv i
iv i
y como vyiv i es un vector unitario, se sigue que
cos 2 a 1 cos 2 b 1 cos 2 g 5 1.
EJEMPLO 3
Cálculo de los ángulos de dirección
Hallar los cosenos y los ángulos directores del vector v 5 2i 1 3j 1 4k, y mostrar que
cos 2 a 1 cos 2 b 1 cos 2 g 5 1.
Solución
α = ángulo entre v e i
β = ángulo entre v y j
γ = ángulo entre v y k
4
3
γ v = 2i+ 3j + 4k
1
β
α
3
4
1
cos 2 a 1 cos 2 b 1 cos 2 g 5
2
x
3
4
y
5
Ángulo entre v e i.
b < 56.18
Ángulo entre v y j.
g < 42.08
Ángulo entre v y k.
4
9
16
1
1
29 29 29
29
29
5 1.
Ángulos de dirección de v
Figura 11.27
a < 68.28
Además, la suma de los cuadrados de los cosenos directores es
1
2
v1
2
5
iv i !29
v
3
cos b 5 2 5
iv i !29
v
4
cos g 5 3 5
iv i !29
cos a 5
z
2
Como iv i 5 !22 1 32 1 42 5 !29, se puede escribir lo siguiente.
Ver figura 11.27.
Larson-11-03.qxd 3/12/09 17:08 Page 787
1053714_1103.qxp
10/27/08
10:38
AM
Page 787
787
1053714_1103.qxp
10/27/08
10:38
AM
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1053714_1103.qxp
10/27/08
10:38
AMPage
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787
1053714_1103.qxp
10/27/08
10:38
AM
787
SECCIÓN 11.3
El producto escalar de dos vectores
787
11.3
The
DotProduct
TwoVectors
Vectors
787
11.3
The
Dot
ofof
Two
11.3
DotDot
Product
ofProduct
Two
Vectors
787
11.3 The
The
Product
of Two
Vectors
787 787
Proyecciones y componentes vectoriales
w1
ww
11
w1 w1
w2
F
ww
w
w 2gravedad
22
La fuerza debida a la
empuja
la
FF2
F F
lancha contra la rampa y hacia abajo por
The
force
dueto
togravity
gravity
pulls
theboat
boat
The
force
pulls
the
The
force
due
to due
gravity
pulls
boat
rampa
Thela
force
due
to
gravity
pulls
the the
boat
against
the
ramp
and
down
the
ramp.
against
the
ramp
and
down
the
ramp.
against
the
ramp
and
down
the
ramp.
against
the
ramp
and
down
the
ramp.
Figura 11.28
Figure
11.28
Figure
Figure
11.28 11.28
Figure
11.28
Ya
se
hanProjections
visto aplicaciones
en las
que
se suman
dos vectores para obtener un vector resulProjections
and
Vector
Components
and
Vector
Components
Projections
and
Components
Projections
andVector
Vector
Components
tante. Muchas aplicaciones en la física o en la ingeniería plantean el problema inverso:
You
have
already
seen
applications
intwo
which
twoare
vectors
are
added
You
have
already
seen
incomponentes
which
two
vectors
are
totoproduce
aa
have
already
seen
applications
in
which
two
vectors
are
added
to
produce
a
YouYou
have
already
seen
applications
in de
which
vectors
added
toadded
produce
aproduce
descomponer
un
vector
dado
en laapplications
suma
dos
vectoriales.
El
ejemplo
físiresultant
vector.
Many
applications
in
physics
and
engineering
pose
the
reverse
resultant
vector.
Many
applications
in
physics
and
engineering
pose
the
reverse
resultant
vector.
Many
applications
in
physics
and
engineering
pose
the
reverse
resultant
vector.
Many
applications
in
physics
and
engineering
pose
the
reverse
co siguiente permitirá comprender la utilidad de este procedimiento.
problem—decomposing
given
vector
into
the
sum
two
vector
components.
The
problem—decomposing
aagiven
vector
into
the
sum
two
vector
problem—decomposing
a given
vector
into
sum
of
two
vector
components.
The The
problem—decomposing
a given
vector
into
thethe
sum
of
two
vector
components.
The
Considerar
una lancha
sobre
una
rampa
inclinada,
como
seofof
muestra
en lacomponents.
figura
11.28.
following
physical
example
enables
you
to
see
the
usefulness
of
this
procedure.
following
physical
example
enables
you
to
see
the
usefulness
of
this
procedure.
following
physical
example
enables
you
to
see
the
usefulness
of
this
procedure.
following
physical
example
enables
you
to
see
the
usefulness
of
this
procedure.
La fuerza F debida a la gravedad empuja la lancha hacia abajo de la rampa y contra la
Consider
boat
onan
aninclined
inclined
ramp,
shown
Figure
11.28.
The
due
Consider
boat
on
asas
inin
Figure
11.28.
The
force
Consider
afuerzas,
boat
inclined
ramp,
as
shown
in Figure
11.28.
The
force
Fforce
dueFFdue
Consider
a boat
onaaon
an
inclined
ramp,
asramp,
shown
inshown
Figure
11.28.
The
force
F due
rampa.
Estas
dos
wan
1 y w2, son ortogonales; se les llama las componentes vectoto
gravity
pulls
the
boat
down
the
ramp
and
against
the
ramp.
These
two
forces,
w1 1
to
gravity
pulls
the
boat
down
the
ramp
and
against
the
ramp.
These
two
forces,
w
to
gravity
pulls
the
boat
down
the
ramp
and
against
the
ramp.
These
two
forces,
w
to
gravity
pulls
the
boat
down
the
ramp
and
against
the
ramp.
These
two
forces,
w
riales de F.
1 1
and
w
,
are
orthogonal—they
are
called
the
vector
components
of
F.
and
w
,
are
orthogonal—they
are
called
the
vector
components
of
F.
,
are
orthogonal—they
are
called
the
vector
components
of
F.
2
andand
w2,ware
orthogonal—they
are
called
the
vector
components
of
F.
2
2
Componentes vectoriales de F.
F 5 w1 1 w 2
F1
ww
w ww2Vector
Vectorcomponents
components
F
Vector
F
w1 w
w
components
of Fof F ofofFF
F
components
2 Vector
2 121
Las fuerzas w1 y w2 ayudan a analizar el efecto de la gravedad sobre la lancha. Por ejemThe
forces
ww1and
andyou
w2you
help
you
analyze
the
effect
gravity
on
thehacia
boat.
Forexample,
example,
The
w
you
analyze
the
effect
ofofon
gravity
on
the
boat.
For
forces
w1 and
analyze
the
effect
of
gravity
on
boat.
For
example,
2help
TheThe
forces
wforces
analyze
the
effect
ofque
gravity
the
boat.
For
example,
plo,
lawwfuerza
necesaria
para
impedir
la
lancha
sethe
deslice
abajo
por
w
2 help
1 and
21help
1 representa
w
indicates
the
force
necessary
to
keep
the
boat
from
rolling
down
the
ramp,
whereas
w
indicates
the
force
necessary
to
keep
the
boat
from
rolling
down
the
ramp,
w
indicates
the
force
necessary
to
keep
the
boat
from
rolling
down
the
ramp,
whereas
1
w
indicates
the
force
necessary
to
keep
the
boat
from
rolling
down
the
ramp,
whereas
1
la 1rampa,
mientras que w2 representa la fuerza que deben soportar los neumáticos. whereas
1
w
indicates
the
force
that
the
tires
must
withstand.
w
indicates
the
force
that
the
tires
must
withstand.
indicates
the
force
that
the
tires
must
withstand.
2
w 2w
indicates
the
force
that
the
tires
must
withstand.
2
2
2
DEFINICIÓN
DE PROYECCIÓN
Y
DE LASAND
COMPONENTES
VECTORIALES
DEFINITIONS
OFPROJECTION
PROJECTION
ANDVECTOR
VECTOR
COMPONENTS
DEFINITIONS
OF
AND
COMPONENTS
DEFINITIONS
PROJECTION
VECTOR
COMPONENTS
DEFINITIONS
OFOF
PROJECTION
AND VECTOR
COMPONENTS
uMoreover,
5
1w
w
, udonde
w
visy
Sean
yu vLet
vectores
de cero.
Sea Moreover,
es
a1 1is
Let
andnonzero
benonzero
nonzero
vectors.
let2w
where
vbe
ww
wwhere
w2w
,where
uvuand
vdistintos
u
,2paralelo
vectors.
let
1w
and
be
vectors.
Moreover,
let
u
w is ww
LetLet
uu and
v be
nonzero
vectors.
Moreover,
let w
u1
21, where
1 1 w2, 1
1 is1
wparallel
v,
es
ortogonal
a
como
se
muestra
en
la
figura
11.29.
parallel
and
orthogonal
shown
Figure
11.29.
w2 2isisorthogonal
v,v,asas
parallel
toto
totoshown
inin
Figure
2 parallel
v, and
is w
orthogonal
to as
v, shown
as
in Figure
11.29.11.29.
to
vto, and
wv2v,w
is,and
to v,
inshown
Figure
11.29.
2 orthogonal
2
uofof
vonto
1.1.A1.
laprojection
proyección
o la
vectorial
lo
1.le
iscalled
called
theprojection
projection
orthe
the
vector
component
along
w1llama
uvonto
w
uor
vvcomponente
1.
the
orvector
vector
component
ofuofuaualong
w
is
called
the
u onto
or
the
component
udealong
1is
ww
is1se
called
the
projection
of uofde
onto
ven
the
vector
component
of uofalong
11
largo
de
v,
y
se
denota
por
w
5
proy
u.
and
is
denoted
by
v,
w
proj
u.
w
proj
u.
and
is
denoted
by
v, and
is denoted
1 proj
1 vu. v v v
v, and
is denoted
by by
w1 w
1 proj
1
vu.
5
uw
2
w
2.2.A2.
se
le
llama
la
componente
vectorial
u uortogonal
2.
w
is
called
the
vector
component
uorthogonal
orthogonal
u
w
u
w
2.
is
called
the
vector
component
ofof
2
1
u
w
ww2 w
is
called
the
vector
component
of of
u orthogonal
to to
v. av.v.totov.v.
u
w
is
called
the
vector
component
udeorthogonal
22 1 1
11
2
2
1
θ es agudo
acute.
isisacute.
is acute.
is acute.
w2
w2 w2
ww
22
u
u u
uu
θ v
θ θv v θθ vv
w1
ww
w1 w1
11
θ es obtuso
obtuse
isisobtuse
is obtuse
is obtuse
u
u u
uu
w2
w2 w2
θ
θ θ
w1
w 1 w1
ww
11
ww
22
θθ
v
v v
vv
w1 5 proyvu 5 la proyección de u en v 5 componente vectorial de u en dirección de v
w1 1
proj
proj
projection
projection
vectorcomponent
component
alongv v
vector
of
v vcomponent
ofvofuuvalong
w
w
proj
projection
u onto
component
u along
w12 of
vofuvuonto
vector
of uofalong
vuvu
componente
vectorial
deuof
uonto
ortogonal
aonto
vvector
w
51 proj
vu projection
vu
w
vector
component
of
u
orthogonal
to
v
w
vector
component
of
u
orthogonal
to
v
w
vector
component
of
u
orthogonal
to
v
2
w
vector
component
of
u
orthogonal
to
v
2
Figura
2 2 11.29
Figure
11.29
Figure
Figure
11.29 11.29
Figure
11.29
y
y
10 10
8
8
yy
1010
EJEMPLO
4 4Hallar
vectorial
uofortogonal
vtovv
EXAMPLE
4 componente
Vector
Component
Orthogonal
EXAMPLE
4la
Finding
aaComponent
Vector
Component
of
uuOrthogonal
EXAMPLE
aFinding
Vector
of of
u de
Orthogonal
to to
v va to
EXAMPLE
4Finding
Finding
a Vector
Component
u Orthogonal
EXAMPLE 4 Finding a Vector Component of u Orthogonal to v
(5,10)
10)
(5, 10) (5,
(5, 10)
88
(8, 6)
(8, 6)
Encontrar
lavector
componente
delofvector
de
queisis
esorthogonal
ortogonal
ato4,
dado
Find
the
vector
component
of5,
u
that
5,
that
orthogonal
v
4,
3,
giventhat
that
Find
the
vector
component
of
u10
5,
10
to
v3,
4,
3,
given
Find
thethe
vector
component
u
5,
is10
orthogonal
to vto
4,
given
that
Find
component
of
u
10
that
isthat
orthogonal
v
3,
given
that
que
w
5
proy
u
5
k8,
6l
y
w
proj
u
8,
6
and
w
proj
u
8,
6
and
w
proj
u
8,
6
and
w proj
u v8,
v 6 and
1
(8,6)6)
(8,
1 11
v1 v v
u
5,
10
ww
w .ww2.2.
u
5,
u
10
10
w
u
5, 5,
10
w
1 1 w2. 121
uu
(−3,4)4) u u
(−3,(−3,
4) 4)(−3,
44
4 4
(4,3)3)
(4, 3) (4,
(4, 3)
v2 2 2v2
w2 w22 2 ww
− 4 − 4− 2 −−2−4 4
−22 2 4
−2
− −2
2
−2 −2
ww12 1ww2 2
w
u uu w
51 wu11uw
1
2 w
2
Figure
11.30
Figure
Figure
11.30
Figure
11.30 11.30
Figura
11.30
v
wv1 w1
42 26
Solución
Como
es
que
es w
lathat
compouBecause
5
v,v,
wthat
Solution
w1where
where
w1 1isisato
parallel
follows
that
w isisthe
the
Solution
uu1w
ww2w
,21,where
parallel
v,v,
ititthat
follows
Solution
Because
uww
w
w
w paralelo
is w
parallel
toseitv,sigue
ittotofollows
is w
the
1 11
2,2w
2w
Solution
Because
uBecause
w
,donde
follows
21, where
1 is1 parallel
2 is2 the 2 2
nente
vectorial
de
uofortogonal
v.orthogonal
Por
vector
component
tose
v.tiene
So,
youhave
have
vector
component
ofofuauorthogonal
toyou
v.you
So,
you
vector
component
u orthogonal
totanto,
v. So,
have
vector
component
uoforthogonal
to v.
So,
have
ww
11
64 48
86 6
x
88
w2 w2 uw
w
uw2 2
wuuww1 1
1 1
5,
10
8,
8,66
5,
10
10
8,
6
5, 5,
10
8,
6
3,
3,4.
4.
3,
4.
3,
4.
w2 2isisorthogonal
Check
tosee
that
orthogonal
shown
Figure
11.30.
tothat
totoshown
v,v,asas
inin
Figure
Check
toCheck
see
that
wsee
orthogonal
to v,
shown
inshown
Figure
11.30.
Check
to see
wisthat
is w
orthogonal
to as
v, as
in Figure
11.30.11.30.
2 2
Verificar
que
w
2 es ortogonal a v, como se muestra en la figura 11.30.
■ ■
■■
Larson-11-03.qxd
788
3/12/09
17:08
CAPÍTULO 11
Page 788
Vectores y la geometría del espacio
Del ejemplo 4, se puede ver que es fácil encontrar la componente vectorial w2 una vez
que se ha hallado la proyección w1 de u en v. Para encontrar esta proyección, se usa el producto escalar como establece el teorema siguiente, el cual se demuestra en el ejercicio 92.
NOTA
Ver la diferencia entre los términos “componente” y “componente
vectorial”. Por ejemplo, usando los vectores unitarios canónicos o estándar con
u 5 u1i 1 u 2 j, u1 es la componente de
u en la dirección de i y u1i es la componente vectorial de u en la dirección i. n
TEOREMA 11.6 PROYECCIÓN UTILIZANDO EL PRODUCTO ESCALAR
Si u y v son vectores distintos de cero, entonces la proyección de u en v está dada
por
proy
projv u 5
1uiv?iv2 v.
2
La proyección de u en v puede expresarse como un múltiplo escalar de un vector unitario en dirección de v. Es decir,
1uiv?iv2 v 5 1uiv? iv2 ivv i 5 skd ivv i
k5
2
Al escalar k se le llama la componente de u en la dirección de v.
z
4
w2
u
EJEMPLO 5
2
w1
u = 3i − 5j + 2k
v = 7i + j − 2k
−2
6
−4
8
x
u?v
5 iu i cos u.
iv i
v
2
y
Descomposición de un vector
en componentes vectoriales
Hallar la proyección de u en v y la componente vectorial de u ortogonal a v de los vectores u 5 3i 2 5j 1 2k y v 5 7i 1 j 2 2k mostrados en la figura 11.31.
Solución
w1 5
La proyección de u en v es
14
2
4
s7i 1 j 2 2kd 5 i 1 j 2 k.
1uiv?iv2 v 5 112
54 2
9
9
9
2
La componente vectorial de u ortogonal a v es el vector
u 5 w1 1 w2
Figura 11.31
w2 5 u 2 w1 5 s3i 2 5j 1 2kd 2
EJEMPLO 6
1149 i 1 92 j 2 94 k2 5 139 i 2 479 j 1 229 k.
Cálculo de una fuerza
Una lancha de 600 libras se encuentra sobre una rampa inclinada 30°, como se muestra en
la figura 11.32. ¿Qué fuerza se requiere para impedir que la lancha resbale cuesta abajo
por la rampa?
Solución Como la fuerza debida a la gravedad es vertical y hacia abajo, se puede representar la fuerza de la gravedad mediante el vector F 5 2600j. Para encontrar la fuerza
requerida para impedir que la lancha resbale por la rampa, se proyecta F en un vector unitario v en la dirección de la rampa, como sigue.
v 5 cos 308 i 1 sen
sin 308j 5
v
w1
1
i1 j
2
2
Vector unitario en la dirección de la rampa.
Por tanto, la proyección de F en v está dada por
30°
F
w1 = proyv(F)
Figura 11.32
!3
w1 5 proy
projvvFF 5
1Fiv?i v2 v 5 sF ? vdv 5 s2600d1122 v 5 23001 23 i 1 21 j2.
!
2
La magnitud de esta fuerza es 300, y por consiguiente se requiere una fuerza de 300 libras
para impedir que la lancha resbale por la rampa.
1053714_1103.qxp 10/27/08 10:38 AM Page 789
Larson-11-03.qxd 3/12/09 17:08 Page 789
SECCIÓN 11.3
11.3
El producto
escalar
dosVectors
vectores
The
Dot Product
ofde
Two
789
789
Trabajo
Work
F F
El trabajo
WW
realizado
una fuerza
constante
que actúa
a lo
largo deoflaanrecta
de
The work
done bypor
the constant
force
F actingFalong
the line
of motion
object
movimiento
de un objeto está dado por
is given by
P P
Q Q
Trabajo
= =F F
PQ

Work
PQ
5(magnitud
smagnitude
force
dsdistance
d 5 iF F
i i PQ
i WW5W
deof
fuerza)(distancia)
magnitude
of
force
distance
PQ
\
\
como
muestra
en la figura
11.33a.
Siconstant
la fuerzaforce
constante
F nodirected
está dirigida
lo largo
de
as se
shown
in Figure
11.33(a).
If the
alongathe
line of
F is not
la recta
de movimiento,
se puede
ver 11.33(b)
en la figura
queWeldone
trabajo
W por la
motion,
you can see from
Figure
that11.33b
the work
by realizado
the force is
fuerza es
W projPQ F PQ cos F PQ F PQ .
W5
5 iproy
iprojPQ F i i PQ i 5 scos udiF i i PQ i 5 F ? PQ .
W
This notion of work is summarized in the following definition.
Esta noción de trabajo se resume en la definición siguiente.
(a)La
Force
acts
along
thelargo
line de
of motion.
a)
fuerza
actúa
a lo
la recta de
movimiento
\
\
\
\
\
\
\
\
F F
θ θ
proj
proy PQ
FF
PQ
Q Q
P P
Work
= projF
PQ FPQ
PQ 
Trabajo
= proy
PQ 
DEFINITION OF WORK
DEFINICIÓN DE TRABAJO
The work W done by a constant force F as its point of application moves
El trabajo
porisuna
fuerza
medida que su punto de aplicación
along W
therealizado
vector PQ
given
by constante
either of F
thea following.
se mueve a lo largo del vector PQ está dado por las siguientes expresiones.
1. W projPQ F PQ Projection form
1. WW55iproy
En forma de proyección.
iprojPQ F i iPQ i
2. W F PQ
Dot product form
2. W 5 F ? PQ
En forma de producto escalar.
\
\
(b) Force acts at angle with the line of motion.
b)
La fuerza
actúa formando un ángulo q con
Figure
11.33
la recta de movimiento
Figura 11.33
\
\
\
\
\
\
EJEMPLO
7 Cálculo
de trabajo
EXAMPLE
7 Finding
Work
closeuna
a sliding
a person
on a tira
ropedewith
constant
50 pounds
at
ParaTocerrar
puertadoor,
corrediza,
unapulls
persona
unaacuerda
conforce
una of
fuerza
constante
a constant
of 60constante
, as showndein60°,
Figure
11.34.
Find theenwork
done11.34.
in moving
theel
de 50
libras y angle
un ángulo
como
se muestra
la figura
Hallar
doorrealizado
12 feet toalits
closed
trabajo
mover
la position.
puerta 12 pies hacia la posición en que queda cerrada.
ft
1212
pies
projPQFF
proy
PQ
PP
QQ
60°
60°
SolutionUsando
Usinguna
a projection,
you
calculate
theelwork
as follows.
Solución
proyección,
secan
puede
calcular
trabajo
como sigue.
W
proj
F
PQ
Projection
form
for
work
Forma de proyección para el trabajo.
W5
5iproy
iprojPQ FPQi iPQ i
W
cos
60
F
PQ
5 coss608d iF i i PQ i
1 1 5012
5 s50ds12d
2 2
300
foot-pounds
libras-pie
5 300
foot-pounds
\
\
FF
\
\
\
\
ft
1212
pies
Figure 11.34
11.34
Figura
11.3 Exercises
Ejercicios
11.3
See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
|| ||
2, (d)
En
los ejercicios
a 8,
c) uu 2v, v,
d)
In Exercises
1– 8, 1find
(a)hallar
u v, a)
(b)uu?v,u, b)
(c)u u? u,
(u
· v)v
u
x
2v
c
.
?
and
(e) yu e)
2v
.
1. u 3, 4, v 1, 5
2. u 4, 10, v 2, 3
3. u 6, 4, v 3, 2
4. u 4, 8, v 7, 5
5. u 2, 3, 4, v 0, 6, 5 6. u i, v i
7. u 2i j k
vik
u v.u
In Exercises
9 and
En
los ejercicios
9 y10,
10,find
calcular
9.
9.
10.
10.
■
8. u 2i j 2k
v i 3j 2k
5 3i
3i 1 j,j, vv 5 2i
22i 1 4j
4j
13. uu 13.
p
sen
sin1 2jj
16p6 2ii 1 sin
66
33p
33p
sen
5 cos
cos1 2ii 1 sin
sin1 2jj
vv 44
44
5 cos
cos
14. uu 14.
5 1,
k1, 1,
1, 1
1l
15. uu 15.
5 2,
k2, 1,
1, 1
21l
vv In Exercises 11–18, find the angle ␪ between the vectors.
En los ejercicios 11 a 18, calcular el ángulo u entre los vectores.
11. u 1, 1, v 2, 2
12. u 3, 1, v 2, 1
11. u 5 k1, 1l, v 5 k2, 22l
12. u 5 k3, 1l, v 5 k2, 21l
5 2i
2i 2 3j
3j
vv 5 3i
3i 1 4j
4j
17. uu 17.
5 2i
2i 2 3j
3j 1 kk
18. uu 18.
5 2j
22j 1 3k
3k
vv ? v.
8,
8, ivvi 5
5,
5, yand
the angle
between
iuui 5
py3.v is 3.
el ángulo
entre
uyvu
esand
40,
40, ivvi 5
25,
25, yand
v is 56.
the angle
between
iuui 5
5py6.
el ángulo
entre
uyvu
esand
5 3i
3i 1 2j
2j 1 kk
16. uu 16.
5 ii 2 2j
2j 1 kk
vv In
19–26,
whether siu and
EnExercises
los ejercicios
19determine
a 26, determinar
u y vv are
son orthogonal,
ortogonales,
parallel,
or
neither.
paralelos o ninguna de las dos cosas.
19.
19.
20.
20.
uu 5 4,
k4, 0,
0l,
uu 2,
18,
5 k2, 18l,
vv 5 1,
k1, 1
1l
3
1
3, 61
vv 2
5 k ,2 l
2
6
Larson-11-03.qxd
26/2/10
14:13
790
CAPÍTULO 11
21. u
4, 3
2
3
23. u
j
6k
v
i
2j
25. u
2,
v
Vectores y la geometría del espacio
1
3
22. u
1
2,
v
Página 790
v
24. u
k
v
26. u
3, 1
1,
1,
1
v
i
2i
En los ejercicios 43 a 50, a) encontrar la proyección de u sobre v
y b) encontrar la componente del vector de u ortogonal a v.
2j
4j
2i
2i
3j
j
k
cos , sen ,
sen ,
43. u
k
44. u
v
9, 7 ,
v
1, 4
1, 3
1
45. u
2i
3j,
v
5i
cos , 0
46. u
2i
3j, v
3i
En los ejercicios 27 a 30, se dan los vértices de un triángulo. Determinar si el triángulo es un triángulo agudo, un triángulo
obtuso o un triángulo recto. Explicar el razonamiento.
27. 1, 2, 0 , 0, 0, 0 ,
6, 7 ,
2, 1, 0
0, 3, 3 , v
47. u
48. u
2i
j
50. u
i
4k,
2k,
v
2j
1, 1, 1
8, 2, 0 , v
49. u
j
2, 1,
v
3j
3i
2k
1
4k
3, 0, 0 , 0, 0, 0 , 1, 2, 3
28.
29. 2, 0, 1 , 0, 1, 2),
30. 2,
7, 3 ,
Desarrollo de conceptos
0.5, 1.5, 0
1, 5, 8 , 4, 6,
1
51. Definir el producto escalar de los vectores u y v.
En los ejercicios 31 a 34, encontrar los cosenos directores de u y
demostrar que la suma de los cuadrados de los cosenos directores es 1.
31. u ⫽ i ⫹ 2j ⫹ 2k
32. u ⫽ 5i ⫹ 3j ⫺ k
53. Determinar cuál de las siguientes expresiones están definidas para vectores distintos de cero u, v y w. Explicar el razonamiento.
a) u ⭈ 共v ⫹ w兲
33. u ⫽ 具0, 6, ⫺4典
c) u ⭈ v ⫹ w
34. u ⫽ 具a, b, c典
En los ejercicios 35 a 38, encontrar los ángulos de dirección del
vector.
35. u ⫽ 3i ⫹ 2j ⫺ 2k
36. u ⫽ ⫺4i ⫹ 3j ⫹ 5k
37. u ⫽ 具⫺1, 5, 2典
38. u ⫽ 具⫺2, 6, 1典
En los ejercicios 39 y 40, usar una herramienta de graficación
para encontrar la magnitud y los ángulos de dirección de la
resultante de las fuerzas F1 y F2 con puntos iniciales en el origen.
Se dan la magnitud y el punto final de cada vector.
Vector
52. Dar la definición de vectores ortogonales. Si los vectores no
son paralelos ni ortogonales, ¿cómo se encuentra el ángulo
entre ellos? Explicar.
b) 共u ⭈ v兲w
d) 储u储 ⭈ 共v ⫹ w兲
54. Describir los cosenos directores y los ángulos de dirección de
un vector v.
55. Dar una descripción geométrica de la proyección de u en v.
56. ¿Qué puede decirse sobre los vectores u y v si a) la proyección de u en v es igual a u y b) la proyección de u en v es
igual a 0?
57. ¿Si la proyección de u en v tiene la misma magnitud que la
proyección de v en u, ¿se puede concluir que 储 u储 ⫽ 储 v 储?
Explicar.
Magnitud
Punto final
Para discusión
39. F1
50 lb
F2
80 lb
共10, 5, 3兲
共12, 7, ⫺5兲
共⫺20, ⫺10, 5兲
共5, 15, 0兲
58. ¿Qué se sabe acerca de ␪, el ángulo entre dos vectores distintos de cero u y v, si
40. F1
300 N
F2
100 N
41. Cables que soportan una carga Una carga es soportada por
tres cables, como se muestra en la figura. Calcular los ángulos
de dirección del cable de soporte OA.
z
(−4, −6, 10)
B
(4, −6, 10)
C
(0, 10, 10)
A
O
300 libras
y
x
42. Cables que soportan una carga La tensión en el cable OA del
ejercicio 41 es 200 newtons. Determinar el peso de la carga.
a) u ⭈ v ⫽ 0?
b) u ⭈ v > 0?
c) u ⭈ v < 0?
59. Ingresos El vector u ⫽ 具3 240, 1 450, 2 235典 da el número de
hamburguesas, bocadillos de pollo y hamburguesas con queso,
respectivamente, vendidos en una semana en un restaurante de
comida rápida. El vector v ⫽ 具1.35, 2.65, 1.85典 da los precios (en
dólares) por unidad de los tres artículos alimenticios. Encontrar el
producto escalar u · v y explicar qué información proporciona.
60. Ingresos Repita el ejercicio 59 después de incrementar los
precios 4%. Identificar la operación vectorial usada para incrementar los precios 4%.
61. Programación Dados los vectores u y v mediante sus componentes, escribir un programa para una herramienta de graficación que calcule a) 储 u 储, b) 储 v 储, y c) ángulo entre u y v.
62. Programación Con el programa escrito en el ejercicio 61
encontrar el ángulo entre los vectores u ⫽ 具8, ⫺4, 2典 y
v ⫽ 具2, 5, 2典.
1053714_1103.qxp 10/27/08 10:38 AM Page
791
1053714_1103.qxp
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10:38
AM
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08 10:38 AM Page 791
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10:38 AM
Page 791
791
The Dot Product of Two Vectors
El producto
escalar
dosVectors
vectores
791
791
The
Dot Product
of de
Two
11.3 The Dot Produc
791
11.3
The
Dot
Product
of
Two
Vectors
Product
of Two
Vectors 791 791
11.311.3The The
Dot Dot
Product
of Two
Vectors
791
11.3 The Dot Product of Two Vectors
74. Work A toy wagon is pulled by exerting a force of 25 pounds
63. Programming Given vectors u and v in component form,
74. Work
uinyvwhich
v in
Programación
Dados
los vectores
mediante
sus compoTrabajo
coche
decomponent
juguete
seexerting
jala
ejerciendo
74.
A toy
wagon
pulled
a the
force
25fuerza
pounds
63. Programming
Given
vectors
component
form,
u and
74.ofuna
Work
Ade
toy wagon is pulled by e
63.output
Programming
Given
vectors
inis
form,
uUnand
vmakes
on
a handle
that
a 20 byangle
with
horizontal
(see
write
a program for
a graphing
utility
the
is the
nentes,
escribir
un
programa
para
graficación
25
libras
sobre
una
manivela
que
forma
de
20°
con
on
atoy
handle
that
makes
athe
angle
with
the
(seela that makes a 20 an
20
a program
for
athe
utility
which
thedeform,
output
is
theWork
74.
Work
A
isbypulled
by
exerting
aángulo
force
of
25
pounds
63.write
Programming
vectors
and
component
form,
v inv.form,
on
awagon
handle
write
a74.
program
forA
atoy
graphing
utility
inpulled
which
output
the
74. Work
A
iswagon
exerting
aisdone
force
of
25horizontal
pounds
63. Programming
Given
vectors
inherramienta
component
u and
vucomponent
wagon
istoy
pulled
by
exerting
awork
force
of un
25in
pounds
63. Programming
Given
vectors
and
ugraphing
v in
figure
inwagon
left
column).
Find
the
pulling
the
component
form
ofGiven
projection
of
onto
uin
74.
Work
Aoutput
toydewagon
byon
exerting
a force
ofmakes
25
g Given vectors uwrite
and avcomponent
incalcule
component
form,
que
las
componentes
de
proyección
horizontal
(ver
la
figura).
Calcular
elhorizontal
trabajo
realizado
jalar
el column). Find the wo
uisen
v.is pulled
figure
left
column).
the
done
in the
pulling
thealwagon
form
of
the
projection
of
onto
u in
v.
on
a in
handle
awith
angle
with
horizontal
20work
write
forutility
a graphing
utility
which
the
output
is the
figure
in(see
left
component
ofa the
projection
of
upounds
v. angle
handle
that
amakes
with
the
horizontal
(see
20Find
program
for
a graphing
utility
inla
which
the
the
onform
a handle
that
makes
athat
angle
the
(see
20onto
write a 64.
program
fora aprogram
graphing
in which
the
output
the
50
feet.
Programming
Use
the program
you
wrote
inisthat
Exercise
63a to
on
a
handle
makes
angle
with
the
horizontal
(see
20
am for a graphing utility
in
which
the
output
is
the
coche
50
pies.
50
feet.
figure
in
left
column).
Find
the
work
done
in
pulling
the
wagon
component
form
of
the
projection
of
onto
u
v.
64.
Programación
Usar
el
programa
escrito
en
el
ejercicio
63
50
feet.
figure
in
left
column).
Find
the
work
done
in
pulling
the
wagon
component
ofprojection
the Use
projection
u onto
v.
in
left
column).
Find
the
work
done
in
pulling
wagon
component
formform
of the
ofprogram
onto
uuof
v.you
64. Programming
the
Exercise
63and
tofigure Use
64.
the
you
wrote
inusing
Exercise
63 to
75.
Work
A car
towed
a force
ofthe
1600
newtons. The
find
the
projection
of
onto
for
v wrote
uincolumn).
5,Programming
6, 2 Find
figure
invleft
the
work
done
inprogram
pulling
theis wagon
orm of the projection of u onto
50
feet.
para v.Use
encontrar
la program
proyección
de
en
y50
uyou
5
k5,
2l
5075.
feet.
feet.
75. Work
Trabajo
Un
carro
secar
remolca
una
fuerza
deWork
1 600 The
newA
car
is towed
using
ausando
force
of 1600
newtons.
the1, Use
projection
of
onto
for
andto
uyou
vExercise
usi63
5,63find
6,
26,the
64.find
the
wrote
inu to
Exercise
63
75.
A car is towed using a f
projection
of
onto
for
and
u
v
u
5,
6,
2
64. Programming
the
wrote
in
Exercise
to
64. Programming
the
youprogram
wrote
in
chain
used
to
pull
the
makes
a
angle
with
the
horizontal.
25
vProgramming
3,
4program
. Use
50
feet.
g Use the programfind
you wrote
inthe
5projection
k21,
3,of
tons.
La
que
secar
usa
para
jalar
elnewtons.
forma
un
ángulo
deto pull the car makes a 2
chain
used
tocar
pull
aaof25
angle
with
the
horizontal.
vvfind
1,Exercise
3,
44l..uof63
75.car
Work
Atowed
isthe
towed
using
force
ofnewtons.
1600
newtons.
The
projection
of
and
uv onto
6, 2 75.1,
chain
used
3,
. A
75.4 Work
A
car
iscadena
using
amakes
force
1600
The
for
uto onto
2 5,vand
Work
is
towed
using
ain
force
ofthe
1600
The
find the the
projection
onto
v for
u uv5,for
6, 5,
2 u6, and
Find
the
work
done
towing
car
2 carro
kilometers.
75.
Work
A
car
is
towed
using
a
force
of
1600
newtons.
The
ojection of u onto
for
and
v
u
5,
6,
2
25°
con
la
horizontal.
Encontrar
el
trabajo
que
se
realiza
al done in towing the
Find
the
work
done
in
towing
the
car
2
kilometers.
chain
used
to
pull
the
car
makes
a
angle
with
the
horizontal.
25
v
1,
3,
4
.
Think
About
It
In
Exercises
65
and
66,
use
the
figure
to
Find
the
work
chain
used
to
pull
the
car
makes
a
angle
with
the
horizontal.
25 with the horizontal.
1,
to
pull the
car
makes
a 25byangle
v v Para
1, 3, pensar
4 3,
. 4 . En los ejercicios 65 y 66, usar la figura para deter-chain used
Work
A
sled
is 66,
pulled
exerting
a force
of 100 newtons on
chain
used
todan
pull
the
car makes
angle
with
the
horizontal.
2576.
4.
Think
About
It Inthe
65 of
and
66,
use
thecoordinates
figure
toFind
Think
About
It aFind
In
Exercises
65
and
use
the
figure
to
remolcar
el
carro
2
kilómetros.
Find
the
work
done
in
towing
the
car
2
kilometers.
determine
mentally
projection
(The
uuonto
the
work
done
in
towing
the
car
2
kilometers.
minar mentalmente
laExercises
proyección
de
en
vv.(se
las
coordethe
work
done
in
towing
the
car
2
kilometers.
76. Work
A sled
is pulled
by exerting
force of 100
newtons
onsled is pulled by exertin
76.
Work
A
rope that
makes
a 25v. (The
angle
with thea horizontal.
Find
the work
Find
done
in
towing
the car
2 akilometers.
determine
mentally
the
projection
of
onto
(The
coordinates
u
v.work
Think
Itpoints
In
and
66,
use
the
figure
determine
mentally
the
of
coordinates
u onto
Think
About
ItAbout
Inpuntos
Exercises
65
66,
use
the
to
Think
About
It de
In
Exercises
65Exercises
and
66,
use
thethe
figure
to
of
the
terminal
of
the
vectors
in
standard
position
areto
nadas
los
finales
deand
los65
vectores
en
lafigure
posición
estánadone
rope
that
makes
apulled
angle
with
the
horizontal.
Find
the
25
76.projection
Work
sled
isby
by
exerting
a force
of 100
onmakes a 25 angle with
76.
Trabajo
tirathe
de
un
trineo
unanewtons
fuerza
de
100work
newanewtons
rope
that
76. Work
A
sled
isASe
pulled
exerting
aejerciendo
force
of
100
on
76.
Work
A
sled
is
pulled
by
exerting
a
force
of
100
newtons
on
in
pulling
sled
40
meters.
In Exercisesdetermine
65 and
66,
use
the
figure
to
the
terminal
points
the
vectors
standard
areexerting
determine
theof
of
onto
(The
coordinates
u (The
v.sled
ofisposition
the
terminal
pointsa force
ofdone
in standard
position
mentally
the
projection
of
onto
u 76.
v.in
determine of
mentally
thementally
projection
ofprojection
onto
coordinates
u
v. (The
Work
Acoordinates
pulled
by
of
100
on
given.)
Verify
your
results
analytically.
dar).
Verificar
los
resultados
analíticamente.
invectors
pulling
40
meters.
athe
rope
that
makes
asled
angle
theare
horizontal.
theinwork
25with
tons
en
una
cuerda
que
hace
unwith
ángulo
de Find
25°
con
ladone
horizontal.
pulling the sled 40 meters
a rope
that
makes
anewtons
angle
the
horizontal.
theFind
work
25 the
a
rope
that
makes
a
angle
with
the
horizontal.
Find
the
work
25
ally the projection
of
onto
(The
coordinates
u
v.
Verify
results
of the
terminal
points
ofanalytically.
the
vectors
inposition
standard
are
given.)
your
analytically.
of terminal
the given.)
terminal
points
of
the vectors
in standard
position
of the
points
ofyour
the
vectors
in standard
areposition
a rope
that
makes
aare
angle
with results
the horizontal.
Find
work
25Verify
done
pulling
the
sled 4077meters.
el sled
trabajo
efectuado
al jalar
trineo 40whether
metros. the
or
False?
Inthe
Exercises
and
78, el
determine
inEncontrar
pulling
the
40
meters.
donedone
inTrue
pulling
theinsled
40
meters.
y position are
points of the vectors
in
standard
65.
66. done iny pulling the sled 40 meters.
given.)
Verify
your
results
analytically.
given.)
Verify
results
analytically.
given.)
Verify
youryour
results
analytically.
True
or
False?
In
Exercises
77isand
78, explain
determine
whether
the
True
False?
y
y
statement
is
true
or
false.
If
it
false,
why
ororgive
an In Exercises 77 and
y
y
65.
66.
65.
66.
ur results analytically.
(4, 6)
6
¿Verdadero
o
falso?
En
los
ejercicios
77
y
78,
determinar
si
la or false. If it is fal
6
v
statement
is
true
or
false.
If
it
is
false,
explain
why
or
give
an
True
or
False?
In
Exercises
77
and
78,
determine
whether
the
statement
is
true
True
or
False?
In
Exercises
77
and
78,
determine
whether
the
True
or
False?
In
Exercises
77
and
78,
determine
whether
the
y v (4, 6)
example that shows it
is false. (4, 6)
y
y
65.
66.y or False?
(4, 6) 6 77 and 78,
66. yTrue
6 y
65. 65.
66.
6
6
v
In
Exercises
determine
whether
the
declaración
es
verdadera
o
falsa.
Si
es
falsa,
explicar
por
qué
o
v
y
v (4, 6)
example
isitfalse,
false.
v (4,is
statement
is shows
true
Ifexplain
it isexplain
false,
why
4
thatan
shows
it is false.
statement
is true
or
false.
Ifisfalse.
is false,
why
or example
give
an give
66.
orthat
false.
If itorit
whyexplain
or give
an or
46
6)true
(4, 6) statement
(4, 6)or
6
(4,
6)
6 statement
6
is
true
false.
If
it
is
false,
explain
why
or
give
an
v
dar
un
ejemplo
que
demuestre
que
es
falsa.
6
4
v
6
77.
If
and
then
u
v
u
w
u
0,
v
w.
v
4
v
4
example
that
shows
it
is
false.
example
that
shows
it
is
false.
4
example
that
shows
it
is
false.
(4,
6)
6 v (4,v26)
(4,
6)
v (4, 6)
77. If u v u w and u 0, then v w.
v (4, 6)
77. If u v u w and u 0, then
example
shows it is false.
2that
4
24
4
2
4
4
78.
IfSiuuand
to entonces
is orthogonal to w.
v5are
w, then uv 5vw.
4
x
77.
vvw
uu ?orthogonal
w
u then
Þ
0,
yand
?
2
2
77.
If
then
u
w
u
0,
v
w.
77.
If
and
u
v
u
u
0,
v
w.
42− 4 u 2
77.
If
and
then
u
v
u
w
u
0,
v
w.
78. If u and v are orthogonal to w, then u v is orthogonal
to w.
2 4 6
78. If u and
v are orthogonal to w, the
2
u w and u x 0, then v 78.w.Si u y v son ortogonales a w, entonces u 1 v es
2 77.2 If−2u 2v
w.
−4 u
2 4 6
2u and
6v
4 − 46 u78. If
78.
Ifvorthogonal
and
orthogonal
to u
orthogonal
toaw.
uare
v areto
w,
v isto
78.
If4 u79.
and
orthogonal
to
w,athen
v isuorthogonal
Find
the
angle
between
diagonal
and
one
of w.
its edges.
are
orthogonal
w,tothen
ucube’s
v isthen
w.ortogonal
2(− 2, −3)
4 −2)6
78. If−2u−2
and v are
to w, then79.
orthogonal
to w. a cube’s
u Find
v isthe
6
−2between
4
(3,
angle
diagonal
and
one
of
its
edges.
u orthogonal
79.
Find
the
angle
u4 u (−
−4 −
2 − 44 2 u6 4 6 2 4 6
79. Find
Encontrar
el ángulo
entre
la
diagonal
un cubo
y una
de sus between a cube’s d
2, −3)
80.
the angle
between
diagonal
of de
a cube
and the
diagonal
(− 2, −3)
4 6
−2
(3,
−2) diagonal
uthe
−2−2
46 u 6 (3,4− 2) 6 79. Find
−2 −2
4
79.
Find
the
angle
between
a
cube’s
and
one
of
its
edges.
79.
Find
the
angle
between
a
cube’s
diagonal
and
one
of
its
edges.
the
angle
between
a
cube’s
diagonal
and
one
of
its
edges.
80.
Find
the
angle
between
the
diagonal
of
a
cube
and
the
diagonal
aristas.
80. Find the angle between the diagon
2, −3) 4 67
of
one one
of itsofsides.
6 a 70, encontrar
(−−2
2,
(− 2, −3)
−2
(3,direcciones
−2) athat
79.
Find
the
angle
between
cube’s diagonal
and
its edges.
−2 u
(3,
−u2)
En−3)
los(−ejercicios
dos
en
uvectores
(3,
− 2)
In
Exercises
67–70, find
two −2
vectors
in opposite
directions
of
one
ofbetween
its
sides.
80.
Find
the
angle
between
the
diagonal
ofde
a un
cube
andythe
diagonal
oflaone
of its sides.
80. Find
the
angle
the diagonal
of a cube
and
the
diagonal
−2
(3,
−
2)
80.
Find
the
angle
between
the
diagonal
of
a
cube
and
the
diagonal
u
80.
Encontrar
el
ángulo
entre
la
diagonal
cubo
diagonal
In
Exercises
67–70,
find
two
vectors
in
opposite
directions
that
opuestas
que sean
ortogonales
vector
u.the
(Las
respuestas
no
In
Exercises
67–70,
find
two
vectors
indiagonal
opposite directions that
are
orthogonal
to the
vector u.al(The
answers
are
not
unique.)
80.
Find
angle
between
theson
diagonal
of Exercises
aof
cube
and
the
of
one
of
its
sides.
In
81–
84,
(a)
find
all
points
of
intersection
of
the
of
one
its
sides.
of
one
of
its
sides.
de uno
de sus
lados. are not unique.)
are
orthogonal
to the
vector
(The
answers
not
unique.)thatto theInvector
In67–70,
Exercises
67–70,
find
two
vectors
in
opposite
directions
únicas.)
are
orthogonal
answers
u. (The
In Exercises
67–70,
find
two
vectors
in
opposite
directions
that
In Exercises
find
two
vectors
in u.
opposite
directions
that
of
one
of are
its sides.
Exercises
81–
84,
(a) find(b)
allfind
points
of intersection
of the
In Exercises
1directions
3
graphs
of
the
two
equations,
the
unit
tangent
vectors
to81– 84, (a) find all po
70, find two vectors
in
opposite
that
67.
68.areuanswers
4j not unique.)
i vector
j (The
areuto
orthogonal
(The
u.
are orthogonal
to14vector
the
(The
answers
are9iunique.)
not are
unique.)
u.vector
are orthogonal
the
answers
not
32tou.the
1 Exercises
3 Exercises
graphs
of
the
two
equations,
(b)
find
the
unit
tangent
vectors
to
In
Exercises
81–
84,
(a)
find
all
points
of
intersection
of
the
En
los
ejercicios
81
a
84,
a)
encontrar
todos
los
puntos
de
intergraphs
of
the
two equations, (b) find
In
81–
84,
(a)
find
all
points
of
intersection
of
the
In
81–
84,
(a)
find
all
points
of
intersection
of
the
at68.
their
of
67. u are4 not
68. u 9i 4j 67. u
i unique.)
u points
4j intersection, and (c) find the angles
j eachofcurve
o the vector u. (The answers
2j
4 i all2 points
In
intersection
of9i(b)
the
69.
70.Exercises
23
u
4, 81–
3, 684, (a) find
1
13
33, 1,
each
curve
at
their
points
of
intersection,
and
(c)
find
the
angles
1 67.u
graphs
of
the
two
equations,
(b)
find
the
unit
tangent
vectors
to
sección
de
las
gráficas
de
las
dos
ecuaciones;
b)
encontrar
los
each
curve
at
their
points of intersec
graphs
of
the
two
equations,
find
the
unit
tangent
vectors
to
graphs
of
the
two
equations,
(b)
find
the
unit
tangent
vectors
to
between
the
curves
at
their
points
of
intersection.
0
90
68.
9i 3,4j69.
67. u 69.
68. u9igraphs
9i4j
4jthe
67. u
i u4ui j 23,j 1,
4i
70.
22 j 68. u
4,
uu of
3
u
3, (b)
1, find
2 the
u points
4, to
6intersection,
two6equations,
unit
tangent
vectors
between
the3,of
curves
their
of
intersection.
0each
9070.
68. u4 9i2 4j
at
their
and
(c)
the
vectores
unitarios
tangentes
a and
cadaat
curva
en
puntos
deangles
inter0find
90 between the curves at
curve
atcurve
their
points
of intersection,
and
(c) points
find
the
angles
eacheach
curve
at
their
points
of
intersection,
(c)
find
thelos
angles
2j
69.
70.
u1,
1, 2 A 48,000-pound
u6 3,is 6parked
4, their
3, on
6points
2, find
3
69. u3,71.
70. u4,
4,
Load
truck
a 10
slope
69. u
70. Un
1, 3,Braking
2 23,de
u
3,de
each
curve
at
intersection,
(c)
angles
81.
ythethe
x1los
y90
between
curves
their
oflas
intersection.
0 and
qof
71.
sección
yxbetween
Fuerza
frenado
camión
48
000 libras
estáof
estac) 90
hallar
ángulos
(0°
£at
£intersection.
90°)
entre
curvas en
the
curves
at
their
points
ofpoints
intersection.
0
between
curves
atthe
their
points
0 Load
90
70. u71.
2
4, figure).
3, 6Load
Braking
A 48,000-pound
truck
is 90
parked
on
athat
slope
10
71.
Braking
A
48,000-pound
truck
81.
x11 33is parked on a 10 slope
ypoints
x23, ofyintersection.
(see
Assume
the
only
force
to
overcome
is
due
to
81. y x2, y x1 3
between
the
curves
at
their
0
cionado
sobre
una
pendiente
de
10°
(ver
la
figura).
Si
se
supone
sus
puntos
de
intersección.
82.
y
x
y
x
,
2 1 3y
13overcome
3
(see
figure).
Assume
the
only
force
toon
overcome
that
toy81.Assume
71.
Braking
Load
truck
is
parked
a 10due
slope
(see
figure).
is that due to
1 3x
71. Braking
Load
A
48,000-pound
truck
is parked
on
aslope
slope
10
71. Braking
Load
A 48,000-pound
truck
isrequired
parked
akeep
10
81.
gravity.
Find
(a) A
the48,000-pound
force
to
theison
truck
from
yx2,82.
xy2the
,y y yxonly
81.
y2 xto1x1y3
x 32, x, force
82. y x3, y x1 3
que
la única
a force
vencer
es lay de to
la2, keep
gravedad,
1 3hallar a) la
2
d A 48,000-pound(see
truckfigure).
is
parked
on a fuerza
slope
10
81.
y
x
x
y
5
x
,
y
5
x
81.
83.
y
1
x
,
1
y
x
gravity.
Find
(a)
the
required
the
truck
from
(see
figure).
Assume
the
only
force
to
overcome
is
that
due
to
gravity.
Find
(a)
the
force
required
to
keep
the
truck from
Assume
the
only
force
to
overcome
is
that
due
to
(see figure).
Assume
the
only
force
to
overcome
is
that
due
to
3, 1 3
1 3 2
rolling
down
the
hill
and
(b)
the
force
perpendicular
to
the
hill.
3
3
1
3
2
82.
y
x
y
x
82.
fuerza requerida
paraand
el camión
ruede cuesta
abajo
y yx ,83.xy ,y yx 1 3 x2 x , y 1y3 x 3 1
82.
Assume the only force
to overcome
that
due
toevitar
83. y 1 x2, y x2 1
3truck
1 from
3rolling
rolling
down
the(a)
hill
(b)toque
the
to
the
hill.
gravity.
Find
the
force
required
the
truck
from
down the hill
gravity.
Find
(a)is
the
force
required
toforce
the
gravity.
Find
(a) the
force
required
keep
theperpendicular
from
ytruck
xB
ykeep
xto
, keep
yy 5(b)
x1the
, 2 yforce
52 x perpendicular
82.2and
84.
y x2
1 to the hill.
2x,
2, 1 y
(5, − 5, 20)
b)keep
la fuerza
perpendicular
a la82.
pendiente.
2
3
(a) the force required
to
the
truck
from
83.
y
x
,
1
y
x
83.
y
1
x
1
x
83.
y
1
x
,
1
y
x
84.
y
x
y
1
x,
1
z
rolling
thethe
hill
andforce
(b)
the
force
84. y 1 2 x, y x3 1
rolling
thedown
hill (b)
and
(b)force
the
perpendicular
the
rolling
downdown
the hill
and
perpendicular
(−
−xto
5, the
20)1hill.
2,tohill.
2
2 2 1B
B
−1perpendicular
5,to
20)
83.
y (5, C
xthe
y 5,hill.
y2 5 1 22 x32, (5,y3 −55, x20)
83.
the hill and (b) the force perpendicular to the hill.
3z (−15, − 5, 20)
2
B 5, − 5, 20)
(5, C−5, 20) z (−
84.
y
x
y
1
x,
84.
1 that the diagonals of a rhombus are
84. y y185. 1Use
yx, 2 yx tox1Cprove
x, vectors
B −5, 20)
(5,
− 5, 20)
BCz−15,B2 20)zx,z (−5,
(5, − 5,
20)
84.
y 5, −x5,3 20)1
y (5,
s y 1vectors
1d 5 x,
y 5 x3that
2 1the diagonals of a85.rhombus
84. Use
85.
to prove
are to prove that the d
(−
Use vectors
(− 5,20)
− 5, 20)
B
(5, − 5, 20)
5, −5,
perpendicular.
C C z (− C
A
z (− 5, −5, 20)
C
perpendicular.
85.
Use
vectors
to that
prove
theofdiagonals
of are
a rhombus
are
perpendicular.
A
85. Use
vectors
to prove
thethat
diagonals
ofrhombus
a rhombus
are
85. Use
vectors
to
prove
that
the
diagonals
a
A
Usarof
vectores
para are
demostrar
que las diagonales
de unifrombo
85. Use
86.
vectors
to prove
that a parallelogram
is a rectangle
and
A
85. Use vectors
to prove that the perpendicular.
diagonals
a rhombus
perpendicular.
A
perpendicular.
86. Use
vectors
to
prove
that
a
parallelogram
is
a
rectangle
if
and
A A
86.
Use
vectors
to prove that a paralle
son perpendiculares.
only
if its diagonals are equal in length.
perpendicular.
A
10°
only
if
its
diagonals
are
equal
in
length.
86.
Use
vectors
to
prove
that
a
parallelogram
is
a
rectangle
if
and
only
if
its
diagonals
are equal in le
86.
Use
vectors
to
prove
that
a
parallelogram
is
a
rectangle
if
and
86.
Use
vectors
to
prove
that
a
parallelogram
is
a
rectangle
if
and
(10,
5,
20)
O
86. Bond
Usar
para
demostrar
que un
paralelogramo
un recAngle
Consider
a regular
tetrahedron
with esvertices
10°
10° 87.
86. Use
vectors to
isdiagonals
avectores
rectangle
if
and
(10,
(10,
5,
20)
only
ifAngle
its
diagonals
are
equal
in length.
O prove that a parallelogram
only
ifdiagonals
its
are
equal
inO
length.
only
if
its
are
equal
in
length.
x 5, 20)
10°
87.
Bond
Consider
a
regular
tetrahedron
with
vertices
87.
Bond
Angle
Consider
a regula
is a positive
0, 0, 0 , sik,y k,sólo
0 , sik,sus
0, diagonales
k , and 0, son
k, k iguales
, whereen
k longitud.
(10, 5,
10°
10° 10°
only
if5,20)
its diagonals
are equal in length. tángulo
O
x 1000
(10,
(10,
x Consider
20)5, 20)
Weight = 48,000 (10,
lb 5,
O 20)
kg O
O
and
where
is
a
positive
0,
0,
0
,
k,
k,
0
,
k,
0,
k
,
0,
k,
k
,
k
10°
87.
Bond
Angle
a
regular
tetrahedron
with
vertices
0,
0,
0
,
k,
k,
0
,
k,
0,
k
, and 0
87.
Bond
Angle
Consider
a
regular
tetrahedron
with
vertices
87.
Bond
Angle
Consider
a
regular
tetrahedron
with
vertices
real
number.
x 1000 kg
(10, 5, 20) O
87.
Ángulo
de
enlace
Considerar
un tetraedro regular con los véry
Weight = 48,000 lb x
=0,48,000
lb
1000
kg0, k0,, k,
x Angle Consider
87.
Bond
aWeight
regular
tetrahedron
with
vertices
x
real
number.
and
where
is
a
positive
0,
0,
0
,
k,
k,
0
,
k,
0,
k,
k
,
k
real
number.
and
where
is
a
positive
0,
0
,
k,
k,
0
,
k,
0,
k
,
k
,
k
and
where
is
a
positive
0,
0,
0
,
k,
k,
0
,
k,
0,
k
,
0,
k,
k
,
k
1 000 kg
y
Peso = 48
000 libras
x
s0, k0,isthe
0da, sgraph
k, k, 0of
d, (k,
k)y y s0, k, kd, donde k es un número
Sketch
the0,tetrahedron.
kg72
Weight
=Weight
48,000
where
positive
0,kg
0, 1000
0 ,fork,
k, 0 , y k, 0, k , and real
0, k,number.
k (a)
,tices
Figure
for
71
Weight
= 48,000
lb =lb48,000 lb 10001000
kg Figure
real
number.
real number.
(a)
Sketch
the
graphfor
of the
tetrahedron.
(a) Sketch the graph of the tetrahe
y
ht = 48,000 lb
1000
kg for 71
y 72
y
real
positivo.
Figure
Figure
for
Figure
for
71
Figure
72
real number.
(b) Find the length of each edge.
y
(a)
Sketch
the
graph
of
the
tetrahedron.
72.
Load-Supporting
Cables
Find
the
magnitude
of
the
projection
(a)
Sketch
the
graph
of
the
tetrahedron.
Figura
para
71
Figura
para
72
(a)
Sketch
the
graph
of
tetrahedron.
(b)
Find thelalength
of del
eachtetraedro.
edge.
Figure
Figure
72
(b) Find the length of each edge.
Figure
for
71 for 71
Figure
for
72 for
a) Find
Dibujar
gráfica
Figure
for Load-Supporting
71
Figure
for
72
(a)
Sketch
the
graph
theastetrahedron.
(c)
between
anyprojection
two edges.
72.
Cables
FindOA
the
magnitude
of72.
theLoad-Supporting
projection
Cables
Findthe
theangle
magnitude
of the
1
Figure
of for
the 72
load-supporting
cable
onto
the positive
axis
z-of
(b)
Find
the
length
ofdeeach
edge.
(b) Find
the
length
of
each
edge.
(b)
Find
the
length
of
each
edge.
Cables
que
soportan
una
carga
Calcular
la
magnitud
de
la
72.
(c)
Find
the
angle
between
any
two
edges.
b)
Hallar
la
longitud
cada
arista.
(c) Find the angle between any tw
the Cables
load-supporting
onto
the
positive
axis
asedge.
OAthe
72.of
Load-Supporting
of the
projection
ofzthe
load-supporting
onto between
the positive
as
z-axis
72. Load-Supporting
Cables
Find
the Find
magnitude
of
the
projection
72. Load-Supporting
FindCables
thecable
magnitude
ofmagnitude
the
projection
(b)
Find
the
length
of
each
(d)cable
Find OA
the angle
the line
segments
from the centroid
shown
in
the
figure.
proyección
del
cable
OA
en
el
eje
z
positivo
como
se
muestra
en
rting Cables Find the
magnitude
of
the
projection
(c)
Find
the
angle
between
any
two
edges.
(c)
Find
the
angle
between
any
two
edges.
(c)
Find
the
angle
between
any
two
edges.
c) Hallar
el angle
ángulobetween
entre cada
dos aristas.
Find the
the line
segments from the
the cable
figure.
of theinload-supporting
cable
onto
the
positive
as figure. (d)
(d)centroid
Find the angle between the lin
shown
in the
of load-supporting
the shown
load-supporting
cable
ontoOA
the
positive
axis
asz-axis
OA
zof the
onto
axis
as
(c)
Find
angle
between
73. Work
An object
isOA
pulled
10the
feetpositive
across
az-the
floor,
using
a forceany two edges. k 2, k 2, k 2 to two vertices. This is the bond angle for a
la
figura.
supporting cable OAshown
onto
axis
as
z-figure.
to
two
vertices.
This
isde
the
bond
angle
ak 2, k 2 to two vertices
kFind
2,
kthe
2,
k the
2 as
(d)
angle
between
the
line
segments
from
the centroid
shown
in the
kof
2,
(d) isFind
the
angle
between
the
line
segments
from
the
centroid
inthe
thepositive
figure.
d)
Hallar
el
ángulo
entre
los
segmentos
recta
desde
elfor
cen(d)
Find
the
angle
between
line
segments
from
the
centroid
shown 73.
in the
figure.
molecule
such
or
where
the
structure
the
PbCl
CH
,
Work
An
object
is
pulled
10
feet
across
a
floor,
using
a
force
73.
Work
An
object
pulled
10
feet
across
a
floor,
using
a
force
4
of 85 pounds. The direction of (d)
the Find
forcetheis angle
thethe line segments from the centroid 4
60 above
between
figure.
73.
Trabajo
Un
objeto
es
jalado
10
pies
por
el
suelo,
usando
una
molecule
such
as
or
where
the
structure
of
the
PbCl
CH
,
to
two
vertices.
This
is
the
bond
angle
for
k
2,
k
2,
k
2
molecule
to
two
vertices.
This
is
the
bond
angle
for
a
2,
2,
2stwo
de los
vértices.
Éste
ky2,
ky2,
ky2isThis
d 4a60dos
isabove
the
angle for
a es el ánguloa such as CH 4 or PbC
k 2, kkdirection
2, kktroide
2 ktoof
4bond
molecule
isvertices.
aforce
tetrahedron.
85object
pounds.
The
direction
the
forceusing
above
the
60
73.of
Work
is10
pulled
10aoffeet
a is
floor,
using
a force
of
pounds.
the
the
73. Work
An
isobject
pulled
feet across
a across
floor,
73. Work
An
object
is An
pulled
10 feet
across
floor,
using
force
horizontal
(see
figure).
Find
the
work
done.
to85
two
vertices.The
This
is the
bond
angle
foror
aPbCl
k 2, kaes2,
ka force
2sobre
fuerza
de
85
libras.
La
dirección
de
la
fuerza
60°
la
homolecule
is
a
tetrahedron.
bject is pulled 10 feet
across
a
floor,
using
a
force
molecule
such
as
or
where
the
structure
of the is a tetrahedron.
PbCl
CH
,
molecule
such
as
where
the
structure
of
the molecule
CH
,
de
enlace
en
una
molécula
como
o
estrucCH
PbCl
molecule
such
as
or
where
the
structure
of
the
PbCl
CH
,
44
(seedirection
figure).
Find
the force
work
4 vectors
of 85
The
ofis the
is the
above the figure).
60 the
Find
the
work
4
of pounds.
85 horizontal
pounds.
The
of force
the
is force
above
60
4 done.
of 85
Thepounds.
direction
of direction
the
above
60done.
Consider
the
and
0
u 4 cos
, sen 4,, cuya
molecule
suchhorizontal
as CH 4 or(see
where
the
structure
of
the 4
PbCl 488.
, molecule
rizontal
(ver
la
figura).
Calcular
el
trabajo
realizado.
s. The direction ofhorizontal
the force
is
above
the
60
molecule
is
a
tetrahedron.
is
a
tetrahedron.
tura
es
un
tetraedro.
molecule
is
a
tetrahedron.
88.
Consider
the
vectors
and
0
u
cos
,
sen
,
horizontal
(see
figure).
the
work done.
88.
Consider
vectors
u
(see
figure).
theFind
work
done.
horizontal (see
figure).
FindFind
the work
done.
where
Find
the
dot
product
of
the the
v
cos
,
sen
,
0
,
.
>
molecule is a tetrahedron.
ee figure). Find the work done.
product
the
, use
sen
, 0result
, where
. Find
>cos
88.vvectors
Consider
the
and, sen , 0 , where >
, 0 of
cos
88. Consider
the
,identity
sen
0, sen
ucos
88.
Considerar
losvectors
vectores
y vand
88. Consider
thecos
and
0the, dot
uvectors
,u
sen
, cos
andvectors
the
to
prove
the
88. Consider
the
vectors
u
cos
sen
,0use
thea,and
result
to prove
identity
Find
theof
dot
the use the result to prove
v , ,sen
,0sen
0 b.
, where
. product
dot
product
ofvectors
the
, where
. Find
donde
elthe
producto
escalar
de losofand
vecFind
the>dot
theproduct
v vcos cos
,vectors
sen
, cos
0and
, ,where
.>Calcular
>
85 lb
where
Find
the
dot
product
oftothe
v
cos
,
sen
,
0
,
.
>
cos
cos
cos
sen
sen
.la identidad
vectors
and
use
the
result
to
the identity
vectors
and
use
the el
result
prove
theprove
identity
85 lb
tores
y usar
resultado
para
demostrar
andcos
use
the
result
to
prove
the
identity
85 lb vectors
cos cos
sen sen .
cos
cos cos
sen
85 libras
vectors and use the result to prove the identity
2
85 lb
85 lb85 lb
u cos
v sen
u 2 sen
v. 2 sen2u. v.
20°
coscosthat
cos
cos
sen
cos
sen
cos cos89. Prove
cos
sen
.
that u 20°v 2
u 2
v 2 2u v. 89. Prove that u v 2
20°
u 2
v
60°
cos
cos cos
sen 89.
sen Prove
.
90.
Prove
the
Cauchy-Schwarz
Inequality
v ? v. u v .
2 5 i
2 1 2i v i 2u2 2u
2
iu
2
vi
ui
89.
Demostrar
que
20°
2
2
60°
2
2
2
60°
89.
Prove
that
u
v
u
v
2u
v.
20°
89.
Prove
that
u
v
u
v
2u
v.
20°
89.
Prove
that
u
v
v
2u
v.
20°
90.
Prove
the
Cauchy-Schwarz
Inequality
u
v
u
v
.
90.
Prove
the
Cauchy-Schwarz
Inequ
10 ft
60°
89. Prove that u v 2
u 2
v 291.
2u
v.the triangle
20°
Prove
inequality
u v
u
v .
90.
Demostrar
la
desigualdad
de Cauchy-Schwarz
60° 60°
1060°
ft
ft Prove
90.Cauchy-Schwarz
Prove
thetriangle
Cauchy-Schwarz
Inequality
u vthe
. triangle inequality u
90.
the
Cauchy-Schwarz
Inequality
90.10Prove
the
Inequality
u
vuv v uuu vuv.91.
91.
Prove
the
inequality
vv ..Prove
Not drawn to scale
10
pies
90.
Prove
the
Cauchy-Schwarz
Inequality
u
v
u
v
.
92.
Prove
Theorem
11.6.
10Not
ft drawn to scale
10 ft 10 ft
Not
drawn
to
scale
91.triangle
Prove
the triangle
v .
91. Prove
the
triangle
inequality
uv v uu uv v . vu.
91. Prove
the
inequality
uinequality
92.
Prove
Theorem
11.6.
Figure for 73
Figure for 74
11.6.
No está dibujado a escala
i ≤ Prove
i u i 1Theorem
i v i.
91.
Provefor
the74triangle inequality u v91. Demostrar
u
v la
. desigualdad del triángulo i u 1 v 92.
drawn to scale
Not73
drawn
scale
Not for
drawn
to scaletoNot
Figure
Figure
Figure
for
73
Figure
for
74
92.
Prove
Theorem
11.6.
92.
Prove
Theorem
11.6.
92.
Prove
Theorem
11.6.
ot drawn to scale
92. Demostrar el teorema 11.6.
73
Figura
74 11.6.
Prove
Theorem
Figure
for 73
Figure
for
74
Figure
for
73 para
Figure
for
74 para
Figure
for Figura
73
Figure
for92.
74
Figure for 74
11.3
SECCIÓN 11.3
11.3
Larson-11-04.qxd
792
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17:20
CAPÍTULO 11
Page 792
Vectores y la geometría del espacio
11.4 El producto vectorial de dos vectores en el espacio
n
n
Hallar el producto vectorial de dos vectores en el espacio.
Usar el producto escalar triple de tres vectores en el espacio.
El producto vectorial
EXPLORACIÓN
Propiedad geométrica del producto
vectorial Se muestran abajo tres
pares de vectores. Usar la definición para encontrar el producto vectorial de cada par. Dibujar los tres
vectores en un sistema tridimensional. Describir toda relación entre
los tres vectores. Usar la descripción para escribir una conjetura
acerca de u, v y u 3 v.
a) u 5 k3, 0, 3l, v 5 k3, 0, 23l
z
3
2
−2
u 1
−3
1
1
3
x
2
b) u 5 k0, 3, 3l, v 5 k0, 23, 3l
z
2
−3
−2
Sean u 5 u 1i 1 u 2 j 1 u3 k y v 5 v 1i 1 v 2 j 1 v 3k vectores en el espacio. El producto cruz de u y v es el vector
u 3 v 5 su 2v3 2 u 3v2 di 2 su 1v3 2 u 3v1 dj 1 su 1v2 2 u 2v1 dk.
Una manera adecuada para calcular u 3 v es usar determinantes con expansión de
cofactores. (Esta forma empleando determinantes 3 3 3 se usa sólo para ayudar a recordar
la fórmula del producto vectorial, pero técnicamente no es un determinante porque las
entradas de la matriz correspondiente no son todas números reales.)
y
3
−3
3
DEFINICIÓN DE PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES EN EL ESPACIO
NOTA
Asegurarse de ver que esta definición sólo aplica a vectores tridimensionales. El producto
vectorial no está definido para vectores bidimensionales.
n
−3
v
v
En muchas aplicaciones en física, ingeniería y geometría hay que encontrar un vector en
el espacio ortogonal a dos vectores dados. En esta sección se estudia un producto que da
como resultado ese vector. Se llama producto vectorial y se define y calcula de manera
más adecuada utilizando los vectores unitarios canónicos o estándar. El producto vectorial
debe su nombre a que da como resultado un vector. Al producto vectorial también se le
suele llamar producto cruz.
1
1
k
u3
v3
i
5 u1
v1
j
u2
v2
k
u3 i 2
v3
−3
u
3
2
−2
x
5
−3
−3
v
−2
−2
1
u
x
−3
−3
2
i
u1
v1
j
u2
v2
| |
u3
j1
v3
k
u3 j 1
v3
u1
v1
|
i
u1
v1
u2
k
v2
ⱍ ⱍ
a
c
1
2
| |
u3
u
i2 1
v3
v1
||
Put
“v”“v”
in en
Row
3. 3.
Poner
la fila
j
u2
v2
|
k
u3 k
v3
Notar el signo menos delante de la componente j. Cada uno de los tres determinantes
2 3 2 se pueden evaluar usando el modelo diagonal siguiente.
y
g
z
2
u2
v2
Poner
la fila
Put
“u“u”
” in en
Row
2. 2.
5 su 2v 3 2 u 3v 2d i 2 su 1v 3 2 u 3v 1d j 1 su1v2 2 u 2v 1d k
c) u 5 k3, 3, 0l, v 5 k3, 23, 0l
3
|
y
3
|
||
j
u2
v2
−2
2
|
|
i
u 3 v 5 u1
v1
3
y
b
⫽ ad ⫺ bc
d
Aquí están un par de ejemplos.
| |
| |
2
3
4
26
4
5 s2ds21d 2 s4ds3d 5 22 2 12 5 214
21
0
5 s4ds3d 2 s0ds26d 5 12
3
Larson-11-04.qxd
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17:20
Page 793
SECCIÓN 11.4
NOTACIÓN PARA LOS PRODUCTOS ESCALAR
Y VECTORIAL
La notación para el producto escalar y para
el producto vectorial la introdujo el físico
estadounidense Josiah Willard Gibbs (18391903). A comienzos de la década de 1880,
Gibbs construyó un sistema para representar cantidades físicas llamado “análisis vectorial”. El sistema fue una variante de la
teoría de los cuaterniones de Hamilton.
EJEMPLO 1
El producto vectorial de dos vectores en el espacio
793
Hallar el producto vectorial
Dados u 5 i 2 2j 1 k y v 5 3i 1 j 2 2k, hallar cada uno de los siguientes productos
vectoriales.
a) u 3 v
Solución
b) v
3
c) v
u
| ||
| ||
i
a) u 3 v 5 1
3
j
22
1
k
22
1 5
1
22
3
v
| | | | |
1
1
i2
22
3
1
1
j1
22
3
22
k
1
5 s4 2 1d i 2 s22 2 3d j 1 s1 1 6d k
5 3i 1 5j 1 7k
b) v
3
i
u5 3
1
j
1
22
k
1
22 5
22
1
| | | | |
22
3
i2
1
1
22
3
j1
1
1
1
k
22
5 s1 2 4di 2 s3 1 2dj 1 s26 2 1dk
5 23i 2 5j 2 7k
| |
Notar que este resultado es el negativo del obtenido en el inciso a).
c) v
3
i
v5 3
3
j
1
1
k
22 5 0
22
Los resultados obtenidos en el ejemplo 1 sugieren algunas propiedades algebraicas
interesantes del producto vectorial. Por ejemplo, u 3 v 5 2 sv 3 ud,y v 3 v 5 0. Estas
propiedades, y algunas otras, se presentan en forma resumida en el teorema siguiente.
TEOREMA 11.7 PROPIEDADES ALGEBRAICAS DEL PRODUCTO VECTORIAL
Sean u, v y w vectores en el espacio, y sea c un escalar.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
u 3 v 5 2 sv 3 ud
u 3 sv 1 wd 5 su 3 vd 1 su 3 wd
csu 3 vd 5 scud 3 v 5 u 3 scvd
u30503u50
u3u50
u ? sv 3 wd 5 su 3 vd ? w
DEMOSTRACIÓN
Para demostrar la propiedad 1, sean u 5 u 1i 1 u 2 j 1 u 3k y v = v1i +
v2 j + v3k. Entonces,
u 3 v 5 su 2v 3 2 u 3v 2di 2 su 1v 3 2 u 3v 1dj 1 su 1v 2 2 u 2v 1dk
y
v
3
u 5 sv 2u 3 2 v3u 2di 2 sv 1u 3 2 v3u 1dj 1 sv1u 2 2 v2u 1dk
la cual implica que u 3 v 5 2 sv 3 ud. Las demostraciones de las propiedades 2, 3, 5 y 6
se dejan como ejercicios (ver ejercicios 59 a 62).
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CAPÍTULO 11
Page 794
Vectores y la geometría del espacio
Observar que la propiedad 1 del teorema 11.7 indica que el producto vectorial no es conmutativo. En particular, esta propiedad indica que los vectores u 3 v y v 3 u tienen longitudes iguales pero direcciones opuestas. El teorema siguiente da una lista de algunas otras de
las propiedades geométricas del producto vectorial de dos vectores.
NOTA
De las propiedades 1 y 2
presentadas en el teorema 11.8 se
desprende que si n es un vector unitario ortogonal a u y a v, entonces
u 3 v 5 ± s iui i v i sen
sin u dn. n
TEOREMA 11.8 PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DEL PRODUCTO VECTORIAL
Sean u y v vectores distintos de cero en el espacio, y sea u el ángulo entre u y v.
u 3 v es ortogonal tanto a u como a v.
iu 3 v i 5 iui iv i sen
sin u
u 3 v 5 0 si y sólo si u y v son múltiplos escalares uno de otro.
iu 3 v i 5 área del paralelogramo que tiene u y v como lados adyacentes.
1.
2.
3.
4.
DEMOSTRACIÓN
sigue que
Para la propiedad 2, observar que como cos u 5 su ? vdys iui i vi d, se
iui ivi sen
sin u 5 iui ivi!1 2 cos 2 u
su ? vd 2
5 iui ivi
12
iui 2 ivi 2
5 ! iui 2 ivi 2 2 su ? vd 2
5 !su12 1 u22 1 u32dsv12 1 v22 1 v32d 2 su 1v1 1 u 2v2 1 u 3v3d 2
5 !su 2v3 2 u 3v2) 2 1 su 1v3 2 u 3v1d 2 1 su 1v2 2 u 2v1d2
!
v
v  sen θ
θ
u
Los vectores u y v son los lados adyacentes
de un paralelogramo
Figura 11.35
5 iu 3 v i.
Para demostrar la propiedad 4, ir a la figura 11.35 que es un paralelogramo que tiene v y
u como lados adyacentes. Como la altura del paralelogramo es ivi sen
sin u, el área es
Área = (base)(altura)
= u v sen θ
= u×v .
Las demostraciones de las propiedades 1 y 3 se dejan como ejercicios (ver ejercicios 63
y 64).
Tanto u 3 v como v 3 u son perpendiculares al plano determinado por u y v. Una
manera de recordar las orientaciones de los vectores u, v, y u 3 v es compararlos con los
vectores unitarios i, j y k 5 i 3 j, como se muestra en la figura 11.36. Los tres vectores u,
v y u 3 v forman un sistema dextrógiro, mientras que los tres vectores u, v y v 3 u forman un sistema levógiro.
k=i×j
u×v
j
i
Plano xy
Sistemas dextrógiros
Figura 11.36
v
u
Plano determinado
por u y v
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SECCIÓN 11.4
Hallar un vector unitario que es ortogonal tanto a
(−3, 2, 11)
u 5 i 2 4j 1 k como a v 5 2i 1 3j.
12
Solución El producto vectorial u 3 v, como se muestra en la figura 11.37, es ortogonal
tanto a u como a v.
10
| |
8
i
u3v5 1
2
6
u×v
4
(1, −4, 1)
j
24
3
k
1
0
Producto vectorial.
5 23i 1 2j 1 11k
−4
Como
2
u
iu 3 vi 5 !s23d 2 1 2 2 1 11 2 5 !134
2
2
y
4
v
un vector unitario ortogonal tanto a u como a v es
(2, 3, 0)
4
u3v
3
2
11
52
i1
j1
k.
iu 3 vi
!134
!134
!134
x
El vector u
como a v
795
Utilización del producto vectorial
EJEMPLO 2
z
El producto vectorial de dos vectores en el espacio
3
v es ortogonal tanto a u
NOTA
En el ejemplo 2, notar que se podría haber usado el producto vectorial v 3 u para formar
un vector unitario ortogonal tanto a u como a v. Con esa opción, se habría obtenido el negativo del
vector unitario encontrado en el ejemplo.
n
Figura 11.37
Aplicación geométrica del producto vectorial
EJEMPLO 3
Mostrar que el cuadrilátero con vértices en los puntos siguientes es un paralelogramo y
calcular su área.
A 5 s5, 2, 0d
B 5 s2, 6, 1d
C 5 s2, 4, 7d
D 5 s5, 0, 6d
Solución En la figura 11.38 se puede ver que los lados del cuadrilátero corresponden a
los siguientes cuatro vectores.
z
\
AB 5 23i 1 4j 1 k
8
6
\
AD 5 0i 2 2j 1 6k
\
C = (2, 4, 7)
\
\
CD 5 3i 2 4j 2 k 5 2AB
\
\
CB 5 0i 1 2j 2 6k 5 2AD
\
\
\
D = (5, 0, 6)
\
4
6
B = (2, 6, 1)
6
|
i
AB 3 AD 5 23
0
2
2
\
Por tanto, AB es paralelo a CD y AD es paralelo a CB , y se puede concluir que el
cuadrilátero es un paralelogramo con AB y AD como lados adyacentes. Como
\
y
j
4
22
|
k
1
6
\
Producto vectorial.
5 26i 1 18j 1 6k
el área del paralelogramo es
A = (5, 2, 0)
\
x
El área del paralelogramo es aproximadamente 32.19
Figura 11.38
i AB
\
3
AD i 5 !1036 < 32.19.
¿Es el paralelogramo un rectángulo? Para decidir si lo es o no, se calcula el ángulo entre
los vectores AB y AD .
\
\
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CAPÍTULO 11
Page 796
Vectores y la geometría del espacio
En física, el producto vectorial puede usarse para medir el momento M de una fuerza
F respecto a un punto P, como se muestra en la figura 11.39. Si el punto de aplicación
de la fuerza es Q, el momento de F respecto a P está dado por
M
\
M 5 PQ
3
F.
Momento de F respecto a P.
\
P
La magnitud del momento M mide la tendencia del vector PQ al girar en sentido contrario
al de las manecillas del reloj (usando la regla de la mano derecha) respecto a un eje en dirección del vector M.
PQ
Q
F
Una aplicación del producto vectorial
EJEMPLO 4
El momento de F respecto a P
Figura 11.39
Se aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de un pie de longitud
unida a un eje en el punto P, como se muestra en la figura 11.40. Calcular el momento de
esta fuerza respecto al punto P cuando u 5 608.
z
Q
Solución Si se representa la fuerza de 50 libras como F 5 250k y la palanca como
F
!3
1
PQ 5 coss608d j 1 sen
sins608dk 5 j 1
k
2
2
\
60°
P
| |
el momento de F respecto a P está dado por
y
i
x
\
Una fuerza vertical de 50 libras se aplica en
el punto Q
Figura 11.40
M 5 PQ
3
F5 0
0
j
k
1
2
0
!3
2
250
5 225i.
Momento de F respecto a P.
La magnitud de este momento es 25 libras-pie.
NOTA
En el ejemplo 4, notar que el momento (la tendencia de la palanca a girar sobre su eje) depende
del ángulo u. Cuando u 5 py2, el momento es 0. El momento es máximo cuando u 5 0.
n
El triple producto escalar (o producto mixto)
Dados vectores u, v y w en el espacio, al producto escalar de u y v
u ? sv
3
3
w
wd
se le llama triple producto escalar, como se define en el teorema 11.9. La demostración
de este teorema se deja como ejercicio (ver ejercicio 67).
PARA MAYOR INFORMACIÓN
Para ver cómo el producto vectorial se
usa para modelar el momento de un
brazo de robot de un transbordador
espacial, ver el artículo “The Long
Arm of Calculus” de Ethan Berkove y
Rich Marchand en The College
Mathematics Journal.
TEOREMA 11.9 EL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Para u 5 u1i 1 u2 j 1 u3 k, v 5 v1 i 1 v2 j 1 v3 k, y w 5 w1i 1 w2 j 1 w3k, el triple
producto escalar está dado por
u ? sv
3
|
u1
wd 5 v1
w1
u2
v2
w2
|
u3
v3 .
w3
NOTA
El valor de un determinante se multiplica por 21 si se intercambian dos de sus filas.
Después de estos dos intercambios, el valor del determinante queda inalterado. Por tanto, los triples
productos escalares siguientes son equivalentes.
u ? sv 3 wd 5 v
? sw 3 ud 5 w ? su 3 vd
n
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1053714_1104.qxp
053714_1104.qxp
10/27/08
11:46 AM
SECCIÓN 11.4
v×w
11:46 AM
Page 797
El producto vectorial de dos vectores en el espacio
797
Si los vectores 11.4
u, v yThe
w no
están
en elofmismo
plano,in el
triple producto
Cross
Product
Two Vectors
Space
797 escalar
u ? sv 3 w) puede usarse para determinar el volumen del paralelepípedo (un poliedro, en
el que todas sus caras son paralelogramos) con u,vv×yww como aristas adyacentes, como seIf the vectors u, v,
u v w) can be used
muestra
en la u,
figura
11.41.
Esto
en elplane,
teorema
If
the vectors
notselieestablece
in the same
the siguiente.
triple scalar product
v, and
w do
all of whose faces are pa
u v w) can be used to determine the volume of the parallelepiped (a polyhedron,
Figure 11.41. This is est
all of whose faces are parallelograms) with u, v, and w as adjacent edges, as shown in
TEOREMA
INTERPRETACIÓN
GEOMÉTRICA
DEL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Figure 11.41.
This11.10
is established
in the following
theorem.
u
v×w
u
El volumen V de un paralelepípedo con vectores u, v y w como aristas adyacentes
está dado
por GEOMETRIC PROPERTY OF THE TRIPLE SCALAR PRODUCT
THEOREM
11.10
V 5V uof? asvparallelepiped
3 wd .
The volume
with vectors u, v, and w as adjacent edges
u
w
10/27/08
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|
v
proyv×w u
|
w
is given by
5 iv 3 wi
Áreawde la base
v
Volumen de paralelepípedo
| ? sv 3 w d|
Figura v11.41
Area of base
w
u v
Volume of parallelepiped
THEOREM 11.10 GE
The volume V of a pa
is given by
v
u
V
v
w
V
u v En
w la. figura 11.41 se observa
proj
v × wu 
DEMOSTRACIÓN
que
u  u
projv × w5
w
PROOF
y
v
Figure 11.41
and
Area of base
v w
Volume of parallelepiped
iv 3 wi 5 área de la base
In Figure 11.41, note that
u
v
w
PROOF
Figure 11.41
v
w
area of base
iprojv 3 wui 5 altura de paralelepípedo.
iproy
|
w
area of b
and
projv
Por consiguiente, el volumen es
projv wu
height of parallelepiped.
V5(altura)(área
5 sheightdsarea
of based 5 iproj ui iv 3 wi
V
Therefore, the volume is de la base) 5 iproyv 3 w
u ? sv 3 wd
V
height area of base
projv5wu v w iv 3 wi
iv 3 wi
u v w
v w
v 5 wu ? sv 3 wd .
u v w .
EJEMPLO 5 Cálculo de un volumen por medio
|
In Figure 11.41
wu
heig
Therefore, the volume is
|
V
height area o
|
del triple
producto
escalar
EXAMPLE 5 Volume
by the
Triple Scalar
Product
EXAMPLE 5 Volum
z
Find the volume of
u 3i 5j k, v
Find
the
volume
of
the
parallelepiped
having
Calcular
el
volumen
del
paralelepípedo
que
tiene
z
(3, − 5, 1)
(3, 1, 1) 2
u 3i 5j k, v 2j 2k yand
k as adjacent
edges.
ww
5 3i 3i
1 j 1j k como
aristas adyacentes.
1
Solution By Theorem
u
(3, −5, 1)
(3, 1, 1) 2
1
u
Solution By Theorem 11.10, you have
w
1
V
u v w
Solución Por el teorema 11.10, se tiene
y
v 3
w
V
u
v
w
Triple
scalar
product
3
5
1
6
y
x
v w3
V 5 u ? sv 3 wd
Triple producto escalar.
y
3
(0,
2,
−2)
v
3
5
1
6
0
2
2
x
x
6
(0, 2, −2)
0 32 252 1
3
1
1
The parallelepiped has a volume of 36.
(0, 2, −2)
Figure 11.42
35 01 21 22
The parallelepiped has a volume of 36.
2
2
3
El paralelepípedo tiene un volumen de 36
Figure 11.42
10
2 3 2 1
2
0
2
1
1
Figura 11.42
3
5
1
1 21 22
3 01 22 3 01 2
34
56
53
2 s25d
1 s1d
1
3
1
3 4 15 6 1 1 6 3
36.
36.5 3s4d 1 5s6d 1 1s26d
(3, − 5, 1) in
shown
mostrado
en
u
z
|
1, 1) 11.42
Figure
la(3,figura
2 11.42
|
| |
| | | | | |
5 36.
A natural consequen
is 0 if and only if the thre
A natural consequence of Theorem 11.10 is that the volume of the parallelepiped
v
v1, v2, v3 , and w
is 0 if and only if the three vectors are coplanar. That is, if the vectors u
u1, u2, u3 ,
consecuencia
natural
del
teorema
11.10
es
quethey
el lie
volumen
del paraleleplane
if and only if
v
v1, vUna
,
v
,
and
,
w
,
w
have
the
same
initial
point,
in
the
same
w
w
2 3
es 0 ifsi y sólo 1 si 2los 3tres vectores son coplanares. Es decir, si los vectores
planepípedo
if and only
u1
u 5 ku1, u2, u3 l, v 5 kv1, v2, v3l,y w 5 kw1, w2, w3 l tienen el mismo punto inicial, se
u 2 plano
u 3 si y sólo si
u v w
v1
encuentran en elumismo
1
u v w
v1
v2
v3
0.
w1
u
u
u3
w1 w1 2 w2 3
u ? sv 3 wd 5 v1
v2
v3 5 0.
w1 w2 w3
|
|
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798
CAPÍTULO 11
11:46 AM
Page 798
Vectores y la geometría del espacio
798
Chapter
11
Vectors
and
the
Geometry
Space
798
Chapter 11
11 Vectors
Vectors and
and the
the Geometry
Geometry of
of Space
Space
798
Chapter
798
Chapter
11 Vectors
and the
Geometry ofofSpace
798 798 ChapterChapter
11 Vectors
and the
Geometry
of Space
11 Vectors
and
the Geometry
of Space
798
Chapter 11 Vectors and the Geometry of Space
Ejercicios See
11.4
Exercises
See
www.CalcChat.com
for
worked-out
solutions
to
odd-numbered
exercises.
11.4 Exercises
See www.CalcChat.com
www.CalcChat.com for
for worked-out
worked-out solutions
solutions to
to odd-numbered
odd-numbered exercises.
exercises.
Exercises
11.4
See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
11.4
Exercises
See www.CalcChat.com
for worked-out
solutionssolutions
to odd-numbered
exercises.exercises.
11.4
Exercises
See www.CalcChat.com
for worked-out
to odd-numbered
11.4
En
los ejercicios
1 find
a 6, the
calcular
el
producto
vectorial
de los and
vecÁrea In
EnExercises
los ejercicios
27 find
a 30,the
calcular
elthe
área
del paraleloIn
Exercises
1–
6,
cross
product
of
the
unit
vectors
Area
27–30,
area
of
parallelogram
In Exercises
Exercises 1–
1–6,
6, find
find the
the cross
cross product
product of
of11.4
the unit
unit vectors
vectors
and
Area SeeIn
In
Exercises 27–30,
27–30,
find the
the
areatoof
of
the parallelogram
parallelogram
Exercises
www.CalcChat.com
for worked-out
solutions
odd-numbered
exercises.
In
the
and
Area
Exercises
find
area
the
tores
unitarios
y
dibujar
su
resultado.
gramo
que
tiene
los
vectores
dados
como
lados
adyacentes.
Usar
In Exercises 1– 6, find the cross product of the unit vectors and
Area In Exercises 27–30, find the area of the parallelogram
sketch
your
result.
that
has
the
given
vectors
as
adjacent
sides.
Use
computer
sketch your
your result.
result.
that has
has the
the given
given vectors
vectors as
as adjacent
adjacent sides.
sides. Use
Use aaa computer
computer
sketch
that
In
Exercises
1– 6, find
cross
of the of
unit
and and
Area
Inthe
Exercises
27–30,
the
area
of
the
parallelogram
un has
sistema
algebraico
por27–30,
computadora
oarea
una
herramienta
de
In Exercises
1– 6,the
find
the product
cross product
thevectors
unit vectors
Area
In or
Exercises
find
the
of
the
parallelogram
sketch
your
result.
that
given
vectors
asfind
adjacent
sides.
Use
aresult.
computer
algebra
system
a
graphing
utility
to
verify
your
algebra
system
or
a
graphing
utility
to
verify
your
result.
jj 3your
ii
ii 3 jj
1.
2.
algebra
system
oraverificar
agraphing
graphing
utility
to
verify
your
result.
sketch
result.
that
has
the
given
vectors
adjacent
sides.
Use
a Use
computer
graficación
para
elasutility
resultado.
1.
2.
j
i
i
j
1.
2.
sketch
your
result.
that
has
the
given
vectors
as
adjacent
sides.
a
computer
In
Exercises
1–
6,
find
the
cross
product
of
the
unit
vectors
and
Area
In
Exercises
27–30,
find the area of
algebra
system
or
to
verify
your
result.
1.j j i i
2.i i j j
1.3.
2.4.
jj 3 kk
kk 3 sketch
jj
algebra
system
or a graphing
utility
to
your
uu algebra
jj
uu verify
ii to verify
jhas
kthe
27.
28.
j k
kresult.
27. u
28. utility
system
or a graphing
your
result.
your
result.
that
given
vectors
as
adjacent side
3.
4.
j
k
k
j
3.
4.
j
u
i
j
27.
28.
ik j i
jj i j
1.
2.
27.u u 5j j
28.u u 5i i 1j j 1k k
3.j j k1.
4.kik j2.
27.
28.
3.5.
4.6.
algebra
system
or
a
graphing
utility
to verify
i
3k
k
3i
v
j
k
v
j
k
v
j
k
v
j
k
27. uvv2.27.
28. uvv 28.
5.
6.
kk
5. jiii 3.
6. kkk 4.jiii1.k j j i
j kk j
k
3.
4.
5jijj u1k
5j ijj u1kjkk i k j k
5.
6.
j
k
v
v
5. i k
6. k i
29.
30.
uu j 3,
3,
2,
1
uu j 2,
2,
1,
29. vu
30. vu
3,
2,
2,
1, 0j0
28. u i
k 21l
k 1,
29.
30.
v2,2,
j1 11 k
v u21,
j 3i(c)
ku yvv c) v.
j2,
3.kand
i ejercicios
k i 7–10,
ib)
5. Exercises
6.u vk3
29.u u4.5k3,
30.u u 527.
k3,
k 7 afind
5.
6.
29.
30.
2,k2,
1, j0 00l k
En
los
10, (a)
calcular
v,
v
3 v.
a)
v
In
(b)
u
v,
u,
u
v,
v
u,
v.
In
Exercises
7–10,
find
(a)
(b)
and
(c)
In
Exercises
7–10,
find
(a)
(b)
and
(c)
u
v,
v
u,
v
v.
v
1,
2,
3
v
1,
2,
0
v
1,
2,
3
v
1,
2,
0
v
j
k
v j
29. uvv6.29.
30. uvv 30.
3,
1 2, 1
2,u 1, 1,
00l 1, 0
In Exercises 7–10, find (a) u v, (b) v u, 5.
andi (c)kv v.
1,u2,2,
i2,3 33l3,
2,02,
v 5k1,k1,
v 5 k21,
1, 2,2,
u (a)
v, u(b)
vv,
u,3i
v (c)
v. v v.
In7.
Exercises
7–10,
find
(a)find
andu,
(c)and
u
u
2i
4j
5k
8.
u
2i
4j
u
3i
5k
7.
8.
v
In
Exercises
7–10,
(b)
29.v 1,
30. u
uthe
3,
1 the
2,
v In
1,Exercises
2, 3 1, 2, 331
v that
2, points
0points
3i 5k
5k
vExercises
1, 2,
2, 0are
Area
and
32,
verify
the
Area
In
31 and
and
32,
verify
that
are
the
2i2i 4j4j
7.7.uu
8.8.uu 3i
Área
En
los
ejercicios
31v.y32,
32, verify
verificar
que
lospoints
puntos
sonthe
los
Area
In
Exercises
31
that
the
are
v, (b)
vExercises
u, and
vand
In
Exercises
7–10, find (a) uArea
(c)
3i
2j
5k
2i
3j
2k
3iu2i 2j
2j4j2i 5k
5k 4j
2i
3j
2k
In
31
32,
verify
that
the
points
are
the
3i
5k
7. uvvv 7.3i
8. uvvv 8.
v
1,
2,
3
v
vertices
of
parallelogram,
and
find
its
area.
2k
vertices
of
parallelogram,
and
find its
its area.
area.
5k
vérticesInof
deaaaun
paralelogramo,
y find
calcular
su área.
vertices
parallelogram,
and
v 3i 2j 5k
v 2i2iu 3j3j3i 2k
Area
31 and31
32,
verify
that
the
are theare the
Area
In Exercises
and
32,
verify
thatpoints
the points
vertices
ofu aExercises
parallelogram,
and
find
its area.
uu 3i7,
7,
3,
22 5k
uu 2i
3,
2,
22i
9.
10.
7,
3,2j
3,
2,
22k
9. vu
10. vu
u 3j
4j2k
3i
5k
7.3,
8.
9.
10.
3,
2
2,
2
v
3i
2j
5k
v
2i
3j
vertices
of
a22parallelogram,
and
find
its
area.
31.
A
0,
3,
,
B
1,
5,
5
,
C
6,
9,
5
,
D
5,
7,
2
7, 3, 2
3, 2, 2
9. u
10. u
31.
A
0,
3,
,
B
1,
5,
5
,
C
6,
9,
5
,
D
5,
7,
2
vertices
of
a
parallelogram,
and
find
its
area.
Area
In
Exercises
31 and 32, verify that
31.AA0,0,3,v3,2 2, 2i
, B1,1,5,
,2k
C6,6,9,9,5 5, D
, D5,5,7,7,2 2
1,
1,
55
1,
11 3i2 2j 5k
1,
1,
5,2,
v5,
3j5,5 5, C
31.
B
3, 1,
21,7,
9. uvvv 9. 7,
10. uvvv 10. 3,
1,
5
1,
5,
1
u
3,
2
u
3,
2,
2
vertices
of
a
parallelogram,
and find its area
32.
AA 0,
2,
3,
BB 6,
6,
5,
C
7,
2,
D
3,
6,
v
1, 1, 5
v
1, 5, 1
32. A
2, 3,A3,
6,
C
7,
2,D9,
D
3,
6, 2444
31.
23,0,
,111B3,
5,
55,1,
, C5,
9,
5 6,
,2,
7,
2 5, 7,
32.
2,
,,, 1,
B
111,6,C
,5,, C
7,
222,5,
,5,, D
3,
6,
31.
22,
,5,B5,
,7,C
,3,D
u
7,
3,
2
u
3,
2
9.
10.
32.
A
2,
3,
1
,
B
6,
1
2,
2
D
6,
4
v
1,
1,
5
v
1,
5,
1
v
1,
1,
5
v
1,
5,
1
vv and
In
Exercises
11–16,
find
and
show
that
itit is
orthogonal
to
In Exercises
Exercises
11–16,
and ushow
show
that
is orthogonal
orthogonal
to
En
los ejercicios
11 find
afind
16,uucalcular
3 vthat
y probar
que es orto11–16,
to
31.
A6,triangle
0,
3, triángulo
2 ,4Bwith
1, 5,the
5 , C 6, 9, 5 , D 5, 7, 2
32.
2,In
1ejercicios
, B 6,33
5,
1 a5,
,find
C
2,
, D2,of
3,2área
4del
A3,
,B
6,
, C2area
7,
,D
3,
6,
Area
Exercises
–36,
the
the
ÁreaA 32.
En
los2,
33
36,7,1the
calcular
el
con
InIn
Exercises
find uu v vand
show that
itvitisisorthogonal
Area
In
Exercises
33
–36,
find
the
area
of
the
triangle
with
the
1, 1, 5 to
v Exercises
1, 5,3,1133
uutanto
v.
both
and
v.u como
both
and 11–16,
Area
In
–36,
find
area
of
the
triangle
with
the
1 area
gonal
a
a
v.
u
v.
both
and
11
Area
In
Exercises
33
–36,
find
the
of
the
triangle
with
the
u
v
In
Exercises
11–16,
find
and
show
that
it
is
orthogonal
to
32.
A
2,
3,
1
,
B
6,
5,
1 , C 7, 2, 2 , D 3,
u
los
vértices
dados.
(Sugerencia:
u
3
v
es
el
área
del
triánguv
In
Exercises
11–16,
find
and
show
that
it
is
orthogonal
to
both u and v.
1 u
given
vertices.
Hint:
is
area
of
the
triangle
having
given vertices.
vertices.
Hint:
isthe
thearea
areaofof
ofthe
thetriangle
trianglewith
having
2the
1 222–36,
given
Hint:
is
the
area
the
triangle
having
uu 33
vvv–36,
Area
In Exercises
33
find
the
Area
InHint:
Exercises
find
theofarea
of
the triangle
with the
uboth
v. and
both
and12,
u
3,
0
u
1,
1,
2
11.
12.
given
vertices.
is
the
area
the
triangle
having
u
v
u
12,
3,
0
u
1,
1,
2
11.
12.
u
v.
lo
que
tiene
u
y
v
como
lados
adyacentes.)
u
v
In
Exercises
11–16,
find
and
show
that
it
is
orthogonal
to
2
1
and
as
adjacent
sides.
uu and
12, 3,3,0 0
1,2 2
11.uu 12,
12.uu
andvertices.
as adjacent
adjacent
sides.
given
Hint:sides.
ofarea
the of
triangle
having
u v12 uis the
vvvasas
1,1,1,
11.
12.
Area
In
Exercises
33having
–36, find the area of th
vertices.
is the
the
triangle
v area
2Hint:
u1,
v.
andAAvgiven
adjacent
sides.
uu
2,
5,
000
vv both
0,
1,
00and
2,
5,
0,
1,
33.
0,
0,
0
,
B
1,
0,
3
,
C
3,
2,
3,
u
1,
2
11. uvvv 11. 12,
12.
33.
0,
0,
0
,
B
1,
0,
3
,
C 3,
3, 2,
2, 000
1
2,
5,
0
v
0,
1,
0
u
12,
3,
0
u
1,
1,
2
12.
33.
A
0,
0,
0
,
B
1,
0,
3
,
C
and
as
adjacent
sides.
u
v
given
vertices.
Hint:
v
2, 5, 0
v
0, 1, 0
2 u v is the area of t
33. A 0,u0,and
0 , vBas1,adjacent
0, 3 , C sides.
3, 2, 0
uu
2,
3,
uu 11.
10,
0,
66
13.
14.
2,
3,01112, 5, 0
0,
13. vu
14. vu
34.
AA 0,
2,
3,
44B,,,1,1,
BB1,0,
0,
1,
22C,,, C
C
1,
2,
00
u10,00,
12,
3, 0
u0, 3,
21,
2, 5,
0,v 10,
1,
34. 12.
2,
3,
0,
1,
C
1,
2,
2,
3,
6
13.
14.
33.
A
0
,
3
,
3,
2,
0
v
0,
1,
0
34.
2,
4
B
2
1,
2,
0
and
as
adjacent
sides.
u
v
2, 3, 1
10, 0, 6
13. u
14. u
34. A 2,33. 3,A 40,, 0,B 00,, 1,B 21,, 0,C 3 , 1,C2, 03, 2, 0
1,
2,
5,
3,
1,
2,2,
5,
3,0,000610,
35.
AA 2,
2,
7,
BB00, 1,
5,
C
4,
6,
v 3,
2, 0,
5, 60
3,
111 3, 1
10,
13. uvvv 13. 2,
14. uvvv 14. 5,
35. A
2,v 3,
7, 4330,,,,1,B
C 1,
4, 2,
6, 0 11 33. A 0, 0, 0 , B 1, 0, 3 , C 3, 2, 0
1,
2,
34.
25,0,
,88C,,, C
u
u
35.
,1,5,B5,
v
1, 2, 1
v
5, 3, 0
35.
A 2,34. 7,A7,32,3, B3, 41,1,
8 8, 1,
C 24,,4,6,C6, 11,1 2, 0
15.
16.
u
i
j
k
u
i
6j
15.
16.
u
i
j
k
u
i
6j
36.
A
1,
2,
0
,
B
2,
1,
0
,
C
0,
0,
0
u
2,
3,
1
u
10,
0,
6
13.
14.
1k 2, 1
0 3, 0
36. AA 35.
1, 2,7,0 ,3, B
1,5,0 8, C
0,4,
0,6,0 1 34. A 2, 3, 4 , B 0, 1, 2 , C 1, 2, 0
15.uvu i i1,vj j 2,k1,
16.uvu i i5,v6j6j3, 5,
35.
2,
,B B 32,1,
,CC
36.
0,
15.
16.
36.
A 1,1,2,2,0A0, 2,
B 7,2,2,
1,,1,0B0, ,C1,
0,5,
0,80,0,0C 4, 6, 1
2i
kk
vv i 2i
2i
jj 1, k
kk 2, 1
2iu j jjji kk
2i
v
v
5,
3,
0
15. uvvv 15.i2i
16.
u
6j
j
v
35.bicycle
A
2, by
7, applying
3una
, Bfuerza
1,
36.
1, 2,A0 1,
,AB
1, 0frena
, C
0,
6j
36.
0 2,
,niño
B
2,
1,the
0 brakes
,0,
C0 0,
0,
Momento
Un
en
una
bicicleta
aplicando
37. A
v 2i j k j k
v 16. 2iu ji k
37.
Torque
child
applies
on
aa 5, 8 , C 4, 6, 1
Torque
A2,child
child
applies
the
brakes
on0aaa bicycle
bicycle
by applying
applying
37.
Torque
A
applies
the
brakes
on
by
a
15.
16.
u
i
j
k
u
i
6j
v About
2iv It
jIt2i In
k jExercises
2i vectors
j 2i k juu and
37. Torque
child
applies
a36.
bicycle
by
Ael1,when
2, 0applying
,the
B crank
2,a1,la0 , C 0, 0, 0
k
vthe
k vv
dirigida Ahacia
20brakes
libras
sobre
pedal
cuando
Think
17–20,
use
the
downward
force
of
20
pounds
on
the
pedal
Think
About
In
Exercises
17–20,v use
use the
vectors
and
downward
forceabajo
of 20
20dethe
pounds
onon
the
pedal
when
the
crank
u and
Think
About
Exercises
17–20,
vectors
downward
force
of
pounds
on
the
the
crank
37.downward
Torque
A
childA
applies
the brakes
on pedal
apedal
bicycle
by the
applying
a
Para
pensar
En
losExercises
ejercicios
17
a 20,
los
vectores
uk the
ythe
37.v Torque
child
applies
the
brakes
on
awhen
bicycle
by
a
v vv
Think
About
ItIt
InIn
17–20,
useusar
the
force
of
20
on
the
when
crank
vvectors
2i uj and
2iangle
j with
k pounds
manivela
forma
un
ángulo
de
40°
con
la horizontal
(vercrank
la applying
figushown
in
the
figure
to
sketch
a
vector
in
the
direction
of
makes
a
the
horizontal
(see
figure).
The
is
40
shown
in
the
figure
to
sketch
a
vector
in
the
direction
of
makes
a
angle
with
the
horizontal
(see
figure).
The
crank
is
40
shownin
inthe
the
figure
topara
sketch
avector
vector
insistema
the
direction
ofthe
the
makesadownward
a4040angle
anglewith
with
the
horizontal
(see
figure).
The
crank
is
uofand
v and v makes
Think
About
It
In to
Exercises
17–20,
use
the
vectors
downward
force
of
20the
pounds
on the
pedal
when
the
crank
u
Think
About
It
In
Exercises
17–20,
use
the
vectors
mostrados
en
la
figura
dibujar
en
un
dextrógiro
un
force
of
20
pounds
on
the
pedal
when
the
crank
37.
Torque
A
child
applies
the brakes on a bi
shown
figure
sketch
a
in
the
direction
horizontal
(see
figure).
The
crank
is
ra).
La in
manivela
tienethe
6 torque
pulgadas
de longitud. Calcular el
indicated
cross
product
in
right-handed
system.
inches
length.
Find
at
P.
indicated cross
cross product
product in
in aaa right-handed
right-handed system.
system.
inches
in length.
length. Find
Find
the
torque at
at P.
P.
indicated
666inches
inches
in
the
torque
shown
incross
the
figure
todel
a vector
in
the
direction
ain40
angle
with
the
horizontal
The force
crank
iscrank
shown
in
the figure
to
sketch
a vector
in
the direction
of the 17–20,
vector
en
la
dirección
vectorial
indicado.
makes
a vectors
angle
with
the
horizontal
(see figure).
Theof
is
40Find
u
v at
Think
About
It ofInthe
Exercises
use
the
and
downward
20 pounds
on the ped
indicated
product
insketch
aproducto
right-handed
system.
6makes
length.
torque
P.(see figure).
momento
respecto
a P.the
z
indicated
in a right-handed
system.
inches
in the
length.
Find the
at P. atmakes
indicated
cross product
in a right-handed
system.
6 in
inches
in length.
Find
the torque
P.
shown
in
the figure to sketch a 6vector
direction
oftorque
the
a 40 angle with the horizontal (see
zzcross product
zz
indicated cross product in a right-handed system.
6 inches in length. Find the torque at P.
66 z
z
||
z
y
yy
yy
y
6
y
2
1
v
40°
P
F = 20
libras
60°
60° 2000
lb
2000
lb
60°
2000
lb
000
libras
60° 2 2000
60°
lb
60° 2000
60° lb2000 lb
16
66
4 6 66
u 6
6 pulg
0.
6
5
4
3
2
1
v
00.
0. .1016.060.
16 1.f61p1i6
ft t6fetfftt
0.
16
ft
6
66555
vv
556444
445333 vvv 6
5
2
33422
v4
223111
3
11112
2
22 1 1
u
1
33 2 1
u1u
uu
44 32 2 1
1
43 3
2 u
44 3 2
3
x4
4
||
u
y
6
17.
18.
uu vv
uu4 3
17. u
18. vvv u
17.
18.
17.
18.
17.
18.
uu 3vvv
vv 3uu
Figure
for
37
Figure
for
Figure for
for 37
37
Figure for
for 38
38
19.
20.
vvv uu
uu uu
uu vv
19. u 17.
20. vu
Figure
Figure
17.
18.
19.
20.
Figura
Figura
para
38
Figure
forpara
37 37
Figure
for 3838
19.
20.
s2v
su v3vvvdu
19.
20.
v vd 3uuuu v
uu 318.
u
Figure
for
Figure
for 38 for
38.
Torque
Both
the
magnitude
and
the
direction
of
the
force
on
38. 18.
Torque
Both
the magnitude
magnitude and
and
the direction
direction
of the
the force
force on
on
17.
uv uv to
v 37uBoth
19.
20.algebra
v
u21–24,
u 20.
uusystem
Figure
for
37the
Figure
38
19.
v
u use
38.
Torque
the
of
CAS
In
Exercises
computer
find
uu vvv
In Exercises
Exercises
21–24,
use aaa computer
computer
algebra
system
tovfind
find u
CAS In
38.
Torque
BothLa
themagnitud
magnitude
and
the
direction
of
the the
force
on un
CAS
21–24,
use
algebra
system
to
Momento
y
la
dirección
de
la
fuerza
sobre
38.
a
crankshaft
change
as
the
crankshaft
rotates.
Find
torque
a
crankshaft
change
as
the
crankshaft
rotates.
Find
the
torque
CAS In
Figure
for
37
Figure for
Exercises
21–24,
use
a
computer
algebra
system
to
find
u
v
En
los
ejercicios
21
a
24,
usar
un
sistema
algebraico
por
compua
crankshaft
change
as
the
crankshaft
rotates.
Find
the
torque
19.
20.
v
u
u
u
v
and
a
unit
vector
orthogonal
to
and
u
v.
and aa unit
unit vector
vector orthogonal
orthogonal to
to uu and
and v.
v.
38.a Torque
Both
the
magnitude
and
theCalcular
direction
the
force
on
38.
Torque
Both
and
theshown
direction
of
the
force on
crankshaft
change
asthe
the
crankshaft
rotates.
Find
the
torque
and
cigüeñal
cambian
cuando
éste
gira.
elof
momento
sobre
CAS and
In
Exercises
21–24,
useua3
computer
algebra
systemsystem
to findto
u find
on
the
crankshaft
using
the
position
and
data
in
the
figure.
on
the crankshaft
crankshaft
using
themagnitude
position
and
data
shown
in
the
figure.
CAS
In
Exercises
21–24,
use
a unit
vector
orthogonal
and
v. algebra
tadora
para
encontrar
vtoyaucomputer
un
vector
unitario
ortogonal
a vu u v
on
the
using
the
position
and
data
shown
in
the
figure.
a
crankshaft
change
as
the
crankshaft
rotates.
Find
the
torque
a crankshaft
change
as theyand
crankshaft
rotates.
Find
thefitorque
38. shown
Torque
Both
magnitude
and the direc
onelthe
crankshaft
using
the
position
data
in the
figure.
cigüeñal
usando
posición
datos
mostrados
en the
la
au unit
orthogonal
to u22.
and
v. and
21.
u
4,
3.5,
77
uuu
8,
6,
21.
22.
4,
3.5,vector
8, 6,
6, 444 21–24, use a computer
and4,
avector
unit
orthogonal
to
v.
CAS
In Exercises
algebra
system
tolafind
u56
v los
39.
Optimization
A
force
of
pounds
acts
on
the
pipe
wrench
yand
a v.u
39. on
Optimization
Ausing
force
ofposition
56the
pounds
acts
ondata
the shown
pipe
wrench
21.
22.
3.5,
the crankshaft
the
and acts
data
shown
in
thewrench
figure.
39.
Optimization
A
force
of
56
pounds
on
the
pipe
on
the
crankshaft
using
position
and
in
the
figure.
a
crankshaft
change
as
the
crankshaft
rota
gura.
21.
22.
u
4, 3.5,
77
uu and8,8,
6,
4
A force
pounds
and v.in
ushown
the
figure
on
the
next
page.
2.5,
9,
33 7
10,
12,
22 orthogonal39.to Optimization
shown
in the
the figure
figure
onof
the56
next
page.acts on the pipe wrench
2.5,
9,4,
10,
12,
21. uvvv 21. 4,
22. uvvv 22. 10,
3.5,
8,a unit
6, 8,
4vector
shown
in
on
the
next
page.
2.5,
9,
3
12,
2
on
the
crankshaft
using
the
position
and
data
39.
Optimization
A
force
of
56
pounds
acts
the
pipe
wrench
u
3.5,
7
u
6,
4
39.
Optimization
A
force
of
56
pounds
acts
on
the
pipe
wrench
shown
in
the
figure
on
the
next
page.
39.
Optimización
Una
fuerza
de
56
libras
actúa
sobre
la
llave
inglev
2.5, 9, 3
v
10, 12, 2
(a)
Find
the
magnitude
of
the
moment
about
by
evaluating
O
23.
24.
uu
3i
2j
5k
uu 21.
0.7k
(a) Find
Find
the8,magnitude
magnitude
ofon
thethe
moment
about O
by evaluating
evaluating
O by
23. vu
24. vu
3i 9, 32j
2j 9,5k
5k
0.7k
shown
in the
the
figure
the
next
page.
22.
3.5, 72
u
6,figura
4on
2.5,
10,
(a)
of
the
moment
about
shown
inlathe
figure
next page.
23.
24.
0.7k
39.
A force of 56 pounds acts
sa Find
mostrada
en
que
semoment
encuentra
enOptimization
laOpágina
siguiente.
v u 12,
10,4, 212,
(a)
the F
magnitude
the
about
bythe
evaluating
23.
24.
u
3iv3i 2j2.5,
5k3
u 0.7k
OA
Use
aa of
graphing
utility
to
graph
resulting
.. Use
OA
Use
graphing
utility
to
graph
the
resulting
F
v
0.4i
0.8j
0.2k
v
1.5i
6.2k
OA
a
graphing
utility
to
graph
the
resulting
F
.
0.4i
0.8j
0.2k
v
1.5i
6.2k
shown
in
the
figure
on the next page.
(a)
Find
the
magnitude
of
the
moment
about
by
evaluating
O
v
2.5,
9,
3
v
10,
12,
2
23. uvv 23.0.4i
24.
3i
2j
5k
0.7k
u
(a)
Find
the
magnitude
of
the
moment
about
by
evaluating
O
0.8j
0.2k
v
1.5i
6.2k
a)
Calcular
la
magnitud
del
momento
respecto
a
O
evaluando
OA
a graphing utility to graph the resulting
F .of
2j 5k
0.7k
function
function
ofUse
v 0.4iu 0.8j3i 0.2k
v 24.
1.5iu 6.2k
... F .auna
function
of
OA
Use
graphing
utility
to
graph
the
resulting
F
.
Use
a
graphing
utility
to
graph
the
resulting
OA
Usar
herramienta
de
graficación
para
reprei
OA
3
F
i.
(a)
Find
the
magnitude
of the moment abo
.
function
of
23.
24.
u
3i
2j
5k
u
0.7k
vu and1.5i
vProgramming
0.4i
0.8j Given
0.2kthe0.2k
6.2k 6.2kform,
v 0.4i
0.8j
1.5i
25.
vectors
in
component
(b)
Use
the
result
of
part
(a)
to
determine
the
magnitude
of
the
u and
25. Programming
Programming
Given
the vectors
vectors u
and vvv in
in component
component
form,
(b) function
Use the
the
result
of
part
(a) to
to determine
determine the
the magnitude
magnitude of
of the
the
of . of
25.
Given
the
form,
(b)
Use
result
part
(a)
function
of
.
sentar
la
función
de
q
que
se
obtiene.
Use
a
graphing
utility to
OA
F
.
u and vin
25. Programming
Given
vectors utility
form,is
(b) Use
the1.5i
result
of part 45
(a) ..to determine the magnitude of the
vcomponent
0.4i
0.8j
vmoment
6.2k
write
program
for
graphing
which
the
output
moment
when
write aaa program
program
for aaathe
graphing
utility
ininwhich
which
the output
output
is0.2k
45
when
write
for
graphing
utility
in
the
is
45
.
moment
when
Programación
Dadas
las
componentes
de
los
vectores
u
y
v,
25.
function
of
.
u
v
25.write
Programming
Given
the
vectors
and
in
component
form,
(b)
Use
the
result
of
part
(a)
to
determine
the
magnitude
of
the
b)
Usar
el
resultado
del
inciso
a)
para
determinar
la
magnitud
u
v
25.
Programming
Given
the
vectors
and
in
component
form,
(b)
Use
the
result
of
part
(a)
to
determine
the
magnitude
of
the
program
45 .
moment when
and
uu vvav and
uu for
vv ... a graphing utility in which the output is
and u
(c)
Use
the
result
of
part
(a)
to
determine
the
angle
when
the
(c) del
Usemomento
the
result
of
part
(a)
to45
determine
the angle
angle when
when the
the
u
unuprograma
de
graficación
que
write
awrite
program
apara
graphing
utility25.
in which
the output
is
45(a)
. to
moment
when
(c)
Use
the
result
of
part
determine
the
cuando
a program
forherramienta
a graphing
utility
in which
thecaloutput
is vectors
when
.
u and
vmoment
Programming
Given
the
in
component
(b)
Use the
result
uescribir
v and
v v.for
(c)
Use
the
result
of
part
(a)form,
to determine
the
angle
when
theof part (a) to determine t
26.
Programming
Use
the
program
you
wrote
in
Exercise
25
to
magnitude
of
the
moment
is
maximum.
Is
the
answer
what
26.
Programming
Use
the
program
you
wrote
in
Exercise
25
to
magnitude
of
the
moment
is
maximum.
Is
the
answer
what
cule
y
u
3
v
iu
3
vi.
and
u
v
u
v
.
26.Programming
Programming
Use
youwrote
wrote
inExercise
Exercise
25 for
to a graphing
magnitude
ofthe
the
moment
maximum.
the
answer
what
u v andUse
u the
vprogram
.programyou
c) utility
Usar
el
resultado
del
inciso
a)
para determinar
elangle
ángulo
write
a program
inUse
which
the
output
moment
when
45 .
(c)
Use
result
of
part
(a)
to
determine
the
angle
when
the
(c)the
result
of
part
(a)
the
when the
26.
magnitude
ofthe
moment
isismaximum.
IsIsthe
answer
what
find
and
for
and
uu vvv and
uu the
vv for
uu
2,
6,
10
vv
3,
8,
55 ...
you
expected?
Why
or
why
not?
find u
and u
for u
and
2, 6,
6, 10
10 in
3,25
8, to
you
expected?
Why
or
why
not?to determine
find
and
v
2,
v
3,
8,
5
you
expected?
Why
or
why
not?
26.
Programación
Usar
el
programa
escrito
en
el
ejercicio
25
para
cuando
la
magnitud
del
momento
es
máxima.
¿Es
la
respuesand
u
v
u
v
.
26.find
Programming
Use
the
program
you
wrote
in
Exercise
25
to
magnitude
of
the
moment
is
maximum.
Is
the
answer
what
26.
Programming
Use
the
program
you
wrote
in
Exercise
25
to
magnitude
of
the
moment
is
maximum.
Is
the
answer
what
(c)
Use
the
result
of
part
(a) to determine t
u v and u v for u
2, 6, 10 and v
3, 8, 5 .
you expected? Why or why not?
encontrar
yvv and
vi
u 5u 2,
k22,
6,2,Programming
10l
5 k3,
5l.
lo expected?
que
seexpected?
¿Por
qué
sí onot?
por quémagnitude
no?
find u find
forpara
and
vu and
vu
uv for
6,26.
10
3,v 8,8,5Use
. 8,the
you
Why orWhy
whyto
not?
and3
u3 v yvuiu
6, 10
3,
5 .program ta
you
or
why
you
wrote
inesperaba?
Exercise
25
of the moment is maximum
find u v and u v for u
2, 6, 10 and v
3, 8, 5 .
you expected? Why or why not?
\
\
\
\
\
\
\
\
1053714_1104.qxp
1053714_1104.qxp 10/27/08
10/27/08 11:46
11:46 AM
AM Page
Page 799
799
Larson-11-04.qxd 3/12/09 17:20 Page 799
1053714_1104.qxp 10/27/08 11:46 AM Page 799
1053714_1104.qxp 10/27/08 11:46 AM
Page 799
SECCIÓN 11.411.4
vectorial
deofof
dos
vectores
enin
el
espacio
The
Product
Two
Vectors
11.4El producto
TheCross
Cross
Product
Two
Vectors
inSpace
Space
799
799
The Cross Product of Two Vectors in Space
799
11.4 The Cross Product of Two Vectors in Space
799
Volume
47
ofof the
Volume In
In
Exercises
47 and
andy 48,
48, find
find the
the volume
volume
the
Volumen
EnExercises
los ejercicios
47
encontrar
el volumen
del
180
lb
180
lb
180
libras
F FF
parallelepiped
the
vertices.
parallelepipedwith
withtiene
thegiven
given
vertices.
paralelepípedo
que
vértices
dados (ver las figuras).
Volume In Exercises 47 and 48, find the volume of the
B BB θ θθ 180 lb
F
Volume
In
Exercises
47 and 48, find the volume of the
180 lb
AAA
F
parallelepiped
47.
0,0,00,the
5,5,11, ,vertices.
2,2,0,0,55
47. 0,0,0,0,00, , 3,3,with
, 0,0,given
θ
parallelepiped with the given vertices.
18
in.
18
in.
B
18
pulg
θ
B
A
47. 3,
0,3,5,
0,5,101,, , 5,
3,5,0,
0,0,505,, , 2,
0,2,5,
5,5,616,, , 5,
2,5,5,
0,5,656
12
12in.
in.A
θθθ FFF
12 pulg
47. 0, 0, 0 , 3, 0, 0 , 0, 5, 1 , 2, 0, 5
18 in.
48.
48. 0,
3,0,
18 in.
3,0,0,
5,0,010,,, 0,
5,0,4,
0,4,050,,, 2, 3,
5,
60,0, 0,5,, 5,1,61,1,1,55
θ F
3, 5, 1 , 5, 0, 5 , 2, 5, 6 , 5, 5, 6
12 in.
30°
30°
30°
θ F
3,
4,
0
,
1,
5,
5
,
, , 1,4,
3,
4,
0
,
1,
5,
5
,
12 in.
48. 0, 0, 0 , 0, 4, 0 , 3, 0,4,04,1,
,1,551,
54,5,5,55
48. 0, 0, 0 , 0, 4, 0 , 3, 0, 0 , 1, 1, 5
A
A
A
15
in.
15
in.
15
pulg
OOO
30°
5, 5vv, 0,0,
4, 1,what
5what
, can
4, 5,
5concluir
IfIfu3,
about
49. Si
yuu
you
conclude
about
u 4,vv0 , 00 y1,
49.
puede
30°
3, 4, 0 ,¿qué
1,se5,can
5 ,you
4,conclude
1, 5 , acerca
4,
5,de5uu
O
A
15 in.
v?
and
v?
and
y
v?
Figure
for
39
Figure
for
40
Figure
for
39
Figure
for
40
O
15 in. 49. If uA v
Figura para 39
Figura para 40
0 y u v 0, what can you conclude about u
49.
If u that
whatreasoning.
can you conclude about u
vthatare
0 yequal.
u vExplain
0, your
50.
Identify
the
dot
products
50. Identificar
Identify
the
dot
products
are
equal.
your
reasoning.
50.
los
productos
vectoriales
que Explain
son iguales.
Explicar
el
and
v?
40.
Optimization
AA force
ofof 180
pounds
bracket
40.Optimización
Optimization
force
180Figure
pounds
acts
on the
the
bracket
Figure
for 39
foracts
40 on
and
v? nonzero
Una
fuerza
el soporte
40.
u,
v,
w
(Assume
and
are
vectors.)
u,
v,
w
(Assume
and
are
nonzero
vectors.)
Figure
for 39de 180 libras actúa sobre
Figure
for 40
razonamiento.
(Suponer
que
u,
v
y
w
son
vectores
distintos
de
shown
in
the
figure.
shown
in
the
figure.
50. Identify the dot products that are equal. Explain your reasoning.
en la figura.
Identify the dot
products
40. mostrado
Optimization
A force of 180 pounds acts on the bracket
ww50.
vv ww that
uu are equal. Explain your reasoning.
b)b) vectors.)
a) uu vvu, v,
cero.)
(Assume
and w are nonzero
40.
Optimization
Atheforce
ofFFrepresenting
180
pounds the
acts
on the a)
bracket
AB
(a)
Determine
the
vector
and
the
vector
AB
(a)
Determine
the
vector
and
vector
representing
the
(Assume u, v, and w are nonzero vectors.)
a)shown
Determinar
el vector AB y el vector F que representa la
in the figure.
ww
c)
d)
c) uuu vvv w
d) uvu w ww u vv
shown
in the
figure.
force.
(F
will
terms
ofofde
.).)
force.(F
(Festará
willbe
be
terms
a)
b)
eninin
términos
u.) vector F representing the
a) u v w
b) v w u
AB and
(a)fuerza.
Determine
the vector
the
u
w
v
e)
f
u
w
v
e)
f)) ww
ABAAand
(a) Determine
the vector
the
vector F representing
Find
ofofthe
about
evaluating
(b)
Findthe
the
magnitude
the
moment
about
by
evaluating
c) uthe v w
d)
u vv wuu v
b)(b)
Calcular
magnitud
del
momento
aby
A evaluando
force.
(Flamagnitude
will
be in terms
ofmoment
.) respecto
c) u v w
d) u
w v
force. (F will be in terms of .)
g)
h)
AB
FF . .
AB F i.
e)g) u uuw vvv ww
fh)
) www vuu uvv
(b)i AB
Find3 the
magnitude of the moment about A by evaluating
e)
f
)
u
w
v
w
v
u
(b)part
Find
the
magnitude
of magnitude
the
momentofofabout
Use
result
(b)
totob)
determine
the
the
(c)
Use
the
result
part
(b)
determine
the
magnitude
the A by evaluating
c)(c)
Usar
resultado
inciso
para determinar
la magnitud
g)
h)
ABelthe
F
. ofofdel
u
vABBOOw
w u v
W
R
I
T
I
N
G
A
U
T
C
O
N
C
E
P
T
S
W
R
I
T
I
N
G
U
T
C
O
N
C
E
P
T
S
g)
h) w u v
AB
F .
u v w
30
moment
when
305. . 308.
moment
when
momento
cuando
(c)delUse
the result
of partu (b)
to determine the magnitude of the
51.
Define
the
cross
product
of
vectors
and
u
v.
51.
Define
the
cross
product
of
vectors
and
u
v.
(c)
Use
the
result
of
part
(b)
to
determine
the
magnitude
of
the
WRITING ABOUT CONCEPTS
Use
result
part
(b)
determine
the
(d)
Useelthe
the
resultofofdel
part
(b)
determine
theangle
angleel when
whenthe
the
d)(d)
Usar
resultado
inciso
para determinar
ángulo
u
30
. totob)
moment
when
W Rconceptos
I Tproperties
I N G A B of
OofUthe
T cross
C O Nproduct.
CEPTS
Desarrollo
de
30At
. that
moment
52.
52. State
Statethe
the
geometric
properties
the
magnitude
ofofthe
iswhen
angle,
what
magnitude
themoment
moment
ismaximum.
maximum.
At
that
angle,
what
51.
Define
thegeometric
cross product
of vectors
and v.product.
u cross
cuando
la
magnitud
del
momento
es
máxima.
A
ese
ángulo,
(d) Use the result of part (b) to determine the angle when the
51.
Define
the
cross
product
of vectors u and v.
??Is
isisthe
between
the
and
AB
the
relationship
between
thevectors
vectors
and
itwhat
what
(d) entre
Use
the
result
of part
to
determine
the
when
53.
If
magnitudes
two
are
doubled,
53.Definir
Ifthe
thethe
magnitudes
twovectors
vectors
are
doubled,
how
willthe
the
¿cuál
esrelationship
la relación
losis
vectores
F yFF(b)
¿Es
loIsitque
se angle 51.
AB
?AB
u yhow
v. will
el geometric
productoofof
vectorial
deoflos
vectores
52.
State
properties
the
cross
product.
magnitude
of the moment
maximum.
At
that
angle,
what
you
Why
oror
why
not?
52.cross
State
the geometric
properties
ofExplain.
the
cross product.
youexpected?
expected?
Why
why
not?
magnitude
of
the moment is maximum. At that angle,magnitude
what
of
the
product
of
the
vectors
change?
magnitude
of
the
cross
product
of
the
vectors
change?
Explain.
esperaba?
¿Por
qué
sí
o
por
qué
no?
is the relationship between the vectors F and AB ? Is it what
52. Dar
lasmagnitudes
propiedadesofgeométricas
the
two vectorsdel
areproducto
doubled, vectorial.
how will the
F and AB ?53.
is
the relationship
between
the vectors
Is itIfwhat
Use
aa herramienta
graphing
utility
totonot?
graph
the
function
for
the
53. If the magnitudes of two vectors are doubled, how will the
(e)
Useuna
graphing
utility
graphpara
therepresentar
function
forfunthe
e)(e)
Usar
de
graficación
la
you
expected?
Why
or why
magnitude
of
the
cross
product
of
the
vectors
change?
Explain.
53.
Si
las
magnitudes
de
dos
vectores
se
duplican,
se change? Explain.
you expected?
not?
AAWhy
magnitude
ofofthe
about
for
magnitude of the cross product of¿cómo
the vectors
180£. .Find
magnitude
themoment
moment
aboutrespecto
for00orawhy
Find
magnitud
del
momento
A para180
0°
£
(e)ción
Usede ala graphing
utility
to graph
the function
for qthe
modificará
la
magnitud
del
producto
vectorial
de
los
vecthe
function
iningraphing
the
domain.
the
thezero
zeroofofelthe
the
function
thegiven
given
domain.
Interpret
the functionCCAfor
TTOONNEE
APPSSthe
(e)
Use
toInterpret
graphInterthe
180°.
Hallar
de la afunción
enfor
elutility
0dominio dado.
180 . Find
magnitude
of cero
the moment
about A
tores? Explicar.
meaning
of
the
zero
in
the
context
of
the
problem.
meaning
of
the
zero
in
the
context
of
the
problem.
A
0
180
.
magnitude
of
the
moment
about
for
Find
pretar
el significado
del cero
contexto
del problema.
54.
54.
The
triangleininspace
spaceare
are xx1,1,yy1,1,zz11, , xx2,2,yy2,2,zz22, ,
the zero
of the function
in en
theelgiven
domain.
Interpret the
C
A PThe
Sthe
T vertices
Overtices
N E ofofaatriangle
the zero of the function in the given domain. Interpret
P S T Ohow
Nhow
E totofind
and
xx3,3,yy3,3,zz33C. .A
Explain
and
Explain
findaavector
vectorperpendicular
perpendicular
meaning
of
the
zero
in
the
context
of
the
problem.
In
u vv wof
w. the
. zero in the context of the problem.54. The vertices of a triangle in space are x1, y1, z1 , x2, y2, z2 ,
InExercises
Exercises41–
41–44,
44,find
findumeaning
Para
discusión
to
the
triangle.
to
the
triangle.
54.
The
vertices
of
a
triangle
in
space
are x1, y1, z1 , x2, y2, z2 ,
En los ejercicios 41 a 44, calcular u ? xv 3 wc.
and x3, y3, z3 . Explain how to find a vector perpendicular
w
In
and
x
Explain
how
to
find
vector perpendicular
,
y
,
z
.
uu i i 41– 44, find u v 42.
41.
41.Exercises
42.. uu 1,1,1,1,11
3 3 en
3 el espacio son sx , y a
54. Los
vértices
de un triángulo
to the
triangle.
u 1, 1l
v w.
In Exercises 41–
1 1, z1d,
41. u 5 i
42.44,u find
5 k1,
to
the
triangle.
sx2, y2, z2d,y sx3, y3, z3d. Explicar cómo encontrar un vector
1,2,1,1,
1,1,0l010
41. vvuv5 j jij
42. vvuv5 k2,2,
1, 1, 1
41. u i
42. u
True
or
True perpendicular
or False?
False? In
In
Exercises 55–58,
55–58, determine
determine whether
whether the
the
al Exercises
triángulo.
w
k
w
0,
0,
1
w
k
w
0,
0,
1
2,0,
1,1l
0
wv 5 kj
wv 5 k0,
statement
statementisistrue
trueor
orfalse.
false.IfIfititisisfalse,
false,explain
explainwhy
whyor
orgive
givean
an
v j
v
2, 1, 0
43.
44.
43. uwu k2,2,0,0,11
44. uwu 2,0,
2,0,0,
0,010
True or False? In Exercises 55–58, determine whether the
example
that
shows
it
is
false.
example
that
shows
it
is
false.
True
or
False?
In
Exercises
55–58,
determine
whether the
43. u 5 k2, 0, 1l
44. u 5 k2, 0, 0l
falso?
En losIf ejercicios
a 58, determinar
la
w k
w
0, 0, 1 ¿Verdadero
statement iso true
or false.
it is false,55
explain
why or givesian
statement
is
true
or
false.
If
it
is
false,
explain
why
or give an
43. vvuv5 k0,0,
44. vvuv5 k1,1,
2,0,3,3,
0,3,0l010
2,1,1,1,
0,1,1l101
declaración
esshows
verdadera
othe
falsa.
Siproduct
es falsa,ofof
explicar
por qué
example
is false.
55.
possible
totoitfind
the
cross
two
inin aoa
43. u
44. u
2, 0, 1
2, 0, 0
55. ItIt isis that
possible
find
cross
product
two vectors
vectors
w
0,
0,
1
w
0,
2,
2
example
that
shows
it
is
false.
w
0,
0,
1
w
0,
2,
2
dar
un
ejemplo
que
demuestre
que
es
falsa.
0,0,
3,1l
0
v
1, 1, 1
two-dimensional
two-dimensionalcoordinate
coordinatesystem.
system.
wv 5 k0,
v
0, 3, 0 w 5 k0, 2, 2l
v
1, 1, 1
55. It is possible to find the cross product of two vectors in a
55.
Es
posible
encontrar
el
producto
vectorial
de dos
vectores
en of
un two vectors in a
w
0,
0,
1
w
0,
2,
2
55.
It
is
possible
toare
find
the
cross
product
ininspace
that
nonzero
and
nonparallel,
Volume
56. If
Ifuuand
andvvare
arevectors
vectors
space
that
are
nonzero
and
nonparallel,
Volume In
InExercises
Exercisesw45
45and
and
46,1use
usethe
thetriple
triplescalar
scalarproduct
product
0, 46,
0,
w
0,toto
2, 2 56.
two-dimensional
coordinate
system.
sistema
de
coordenadas
bidimensional.
two-dimensional
coordinate
system.
u
v
v
u.
then
find
the
volume
of
the
parallelepiped
having
adjacent
edges
u,
u
v
v
u.
then
find
the
volume
of
the
parallelepiped
having
adjacent
edges
u,
Volumen En los ejercicios 45 y 46, usar el triple producto
56. If u and v are vectors in space that are nonzero and nonparallel,
Volume In Exercises 45 and 46, use the triple scalar product to
v,v,and
andw.
w. encontrar
escalar
para
el volumen
del paralelepípedo
tiene scalar56.
56. vIfv u en
andelvespacio
arethen
vectors
that are
Volume
In Exercises
45 and 46, use que
the triple
product
vectores
son
distintos
de nonzero
cero y and nonparallel,
vque
w.
57.
If
and
w,
v in
w.space
57. Si
Ifuuu yutov00son
then
vanduu
v u. uu w,
then
find the volume of the parallelepiped having adjacent edges u,
como aristas adyacentes
u, volume
v y w. of the parallelepiped having adjacent edges
then u v v u.
find the
u,
no paralelos,
entonces
uu u
vv vuu w,
58.
u vvv uuw. w,
w,then
w.
58. If
and
thenvv w.
and
v,45.
45.
46.
uu w.i i jj
46. uu 1,1,3,3,11
00,and
uw,and
w,uthen
57.
IfIfuuu 0,
v, and w.
0
u
v
u
w,
v
w.
57.
If
and
then
57.
Si
y
entonces
u
Þ
0
u
3
v
5
u
3
w,
v
5
w.
45. uvv5 i j1
46. uvv5 k1,0,0,3,6,6,1l66
j k
u
v prove
u w,the
u v ofof
uthe
v w.
58.
If u 0,59
and
thenproduct.
45. u ij k
46. u
j
1, 3, 1
In
property
cross
InExercises
Exercises
59–66,
–66,
prove
the
property
thew,
cross
product.
u
0,
u
v
u
w,
u
v
u
w, then v w.
58.
If
and
58.
Si
y
entonces
u
Þ
0,
u
v
5
u
w,
u
3
v
5
u
3
v
5
w.
?
?
45.
46.
u
i
j
u
1,
3,
1
vww
5j1k
vww
5 k0, 6,4,4,
6l
v ji i kkk
v
0, 6, 60,0, 44
In
the property
of the crossdel
product.
uu ejercicios
vv 59
ww–66,
u
uu ww propiedad
59.
v j k
0, 6, 6
u66,vvdemostrar
59.Exercises
En
los
59
aprove
producto
w 5 i 1 zkz
w 5 zk24,
0, 24l v
In Exercises
59 –66, la
prove the property
of the cross product.
w i k
w z 4, 0, 4
vectorial.
c
u
v
cu
v
u
cv
60.
w
i
k
w
4,
0,
4
c
u
v
cu
v
u
cv
60.
v w
u v
u w
59. u
z
z
v w
u v
u w
59. u
z
z
66
61.
0 d cu
61. uucu3
vv
22
z
z
59.
5 su 3v vd 1
3 wd
u suvuv1 0w
u su cv
60.
c
u
v
cu
v
u
cv
60.
644
v
2
vvvd 5
w
62.
u v v5
v uww
62. cuuu
6
su 3u
3 scvd
60.
0w scud u3
61.
v
2
6
2
61. u u 0
4 2
vv
v 63. u v is orthogonal
2
uu
4
63. uuu3 uvv5is w
both
andv.v.
ww
0orthogonal
61.
u to
vtoboth
w uuand
62.
4
v
u v w
62. u v w
y
y
u
2
4
4
v
6
6
u
v
0
u
64.
if
and
only
if
and
are
u
v
0
u
64.
if
and
only
if
and
arescalar
scalarmultiples
multiplesofofeach
each
88 2
w
u
yy
d 5 su 3 to
vd both
w u andvvv.
62.
63. uu ? sv 3
is w
orthogonal
?
v
1w
1 uu
u
y
w
w
22 w
u
v
u
v.
63.
is
orthogonal
to
both
and
4
other.
6
other.
8
y
22
y
6 8
tantoifauu and
como
a v. scalar multiples of each
63.
0 if and only
v are
64. uu y3 vv es ortogonal
1
x4
u
w
2
y
4
6 65.
uorthogonal.
ififuand
only
if orthogonal.
and v are scalar multiples of each
865. Prove
u
vvare
uand
Provethat
that uu 64.vv u uvu v0v if
and
are
wy
2 1
2xx 1
u
w
64. uother.
si u y v son múltiplos escalares uno del otro.
3 v 5 0 si y sóloother.
2
2
x
2
vvv wwu vuuif w
vv uu vorthogonal.
66.
v w.
w.
66. Prove
Provethat
thatuu
u iu
uwand
65.
Prove
that
x
65.
Demostrar
que
siv u vy are
vusonvortogonales.
vi 5that
iui uivi
65. 3
Prove
if u and v are orthogonal.
x
v11.9.
w
v wd v u2 svu w.
66.
Prove
that
u
66.
que66.
u11.9.
3Prove
svw 3 that
wd u5
s
u
67.
Prove
?
?
67. Demostrar
ProveTheorem
Theorem
v w
u vdww.v
u v w.
u
11.4
\\
\
\
\
\\
\
\
\
\\
\
\
\
67.
el teorema
67. Demostrar
Prove Theorem
11.9. 11.9.
67. Prove Theorem 11.9.
Larson-11-05.qxd
800
3/12/09
17:27
CAPÍTULO 11
Page 800
Vectores y la geometría del espacio
11.5 Rectas y planos en el espacio
n
n
n
n
Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para una recta en el espacio.
Dar una ecuación lineal para representar un plano en el espacio.
Dibujar el plano dado por una ecuación lineal.
Hallar las distancias entre puntos, planos y rectas en el espacio.
Rectas en el espacio
En el plano se usa la pendiente para determinar una ecuación de una recta. En el espacio
es más conveniente usar vectores para determinar la ecuación de una recta.
En la figura 11.43 se considera la recta L a través del punto Psx1, y1, z1d y paralela al
vector v 5 ka, b, cl. El vector v es un vector de dirección o director de la recta L, y a, b
y c son los números de dirección (o directores). Una manera de describir la recta L es
decir que consta de todos los puntos Qsx, y, zd para los que el vector PQ es paralelo a v.
Esto significa que PQ es un múltiplo escalar de v, y se puede escribir a PQ 5 t v, donde
t es un escalar (un número real).
z
Q(x, y, z)
L
P(x1, y1, z1)
\
v = ⟨a, b, c⟩
\
y
\
\
PQ 5 kx 2 x1, y 2 y1, z 2 z1 l 5 kat, bt, ctl 5 t v
PQ = tv
Igualando los componentes correspondientes, se obtienen las ecuaciones paramétricas de
una recta en el espacio.
x
La recta L y su vector de dirección v
TEOREMA 11.11 ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA RECTA EN EL ESPACIO
Figura 11.43
Una recta L paralela al vector v 5 ka, b, cl y que pasa por el punto Psx1, y1, z1d se
representa por medio de las ecuaciones paramétricas
x 5 x1 1 at,
z 5 z1 1 ct.
Si todos los números directores a, b y c son distintos de cero, se puede eliminar el
parámetro t para obtener las ecuaciones simétricas (o cartesianas) de la recta.
z
(1, −2, 4)
x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1
5
5
a
b
c
4
−4
2
−4
y 5 y1 1 bt, y
Ecuaciones simétricas.
−2
EJEMPLO 1
2
2
4
x
4
L
y
Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas
Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por el punto
s1, 22, 4d y es paralela a v 5 k2, 4, 24l.
Solución Para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta, se usan las
coordenadas x1 5 1, y1 5 22,y z1 5 4, y los números de dirección a 5 2, b 5 4 y
c 5 24 (ver figura 11.44).
v = ⟨2, 4, −4⟩
x 5 1 1 2t,
y 5 22 1 4t,
z 5 4 2 4t
Ecuaciones paramétricas.
Como a, b y c son todos diferentes de cero, un conjunto de ecuaciones simétricas es
El vector v es paralelo a la recta L
Figura 11.44
x21 y12 z24
5
5
.
2
4
24
Ecuaciones simétricas.
Larson-11-05.qxd
3/12/09
17:27
Page 801
SECCIÓN 11.5
Rectas y planos en el espacio
801
Ni las ecuaciones paramétricas ni las ecuaciones simétricas de una recta dada son únicas. Así, en el ejemplo 1, tomando t = 1 en las ecuaciones paramétricas se obtiene el punto
(3, 2, 0). Usando este punto con los números de dirección a 5 2, b 5 4 y c 5 24 se
obtiene un conjunto diferente de ecuaciones paramétricas
x 5 3 1 2t,
y 5 2 1 4t, y
z 5 24t.
Ecuaciones paramétricas de una recta
que pasa por dos puntos
EJEMPLO 2
Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos
s22, 1, 0d y s1, 3, 5d.
Solución Se empieza por usar los puntos Ps22, 1, 0d y Qs1, 3, 5d para hallar un vector
de dirección de la recta que pasa por P y Q, dado por
v 5 PQ 5 k1 2 s22d, 3 2 1, 5 2 0l 5 k3, 2, 5l 5 ka, b, cl.
\
Usando los números de dirección a 5 3, b 5 2 y c 5 5 junto con el punto Ps22, 1, 0d, se
obtienen las ecuaciones paramétricas
z
x 5 22 1 3t,
n
Q
Planos en el espacio
y
n · PQ = 0
x
El vector normal n es ortogonal a todo vector PQ en el plano
Figura 11.45
z 5 5t.
NOTA
Como t varía sobre todos los números reales, las ecuaciones paramétricas del ejemplo 2
determinan los puntos (x, y, z) sobre la recta. En particular, hay que observar que t 5 0 y t 5 1 dan
los puntos originales s22, 1, 0d ys1, 3, 5d.
n
P
\
y 5 1 1 2t, y
Se ha visto cómo se puede obtener una ecuación de una recta en el espacio a partir de un
punto sobre la recta y un vector paralelo a ella. Ahora se verá que una ecuación de un
plano en el espacio se puede obtener a partir de un punto en el plano y de un vector normal (perpendicular) al plano.
Considerar el plano que contiene el punto Psx1, y1, z1d y que tiene un vector normal
distinto de cero n 5 ka, b, cl, como se muestra en la figura 11.45. Este plano consta de
todos los puntos Qsx, y, zd para los cuales el vector PQ es ortogonal a n. Usando el producto vectorial, se puede escribir
\
n ? PQ 5 0
kx 2 x1, y 2 y1, z 2 z1l 5 0
\
ka, b, cl
?
asx 2 x1d 1 bs y 2 y1d 1 csz 2 z1d 5 0
La tercera ecuación del plano se dice que está en forma canónica o estándar.
TEOREMA 11.12 ECUACIÓN CANÓNICA O ESTÁNDAR DE UN PLANO EN EL ESPACIO
El plano que contiene el punto sx1, y1, z1d y tiene un vector normal n 5 ka, b, cl
puede representarse en forma canónica o estándar, por medio de la ecuación
asx 2 x1d 1 bs y 2 y1d 1 csz 2 z1d 5 0.
Reagrupando términos, se obtiene la forma general de la ecuación de un plano en el espacio.
ax 1 by 1 cz 1 d 5 0
Forma general de la ecuación de un plano en el espacio.
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CAPÍTULO 11
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Vectores y la geometría del espacio
Dada la forma general de la ecuación de un plano, es fácil hallar un vector normal al
plano. Simplemente se usan los coeficientes de x, y y z para escribir n 5 ka, b, cl.
EJEMPLO 3
Hallar una ecuación de un plano
en el espacio tridimensional
Hallar la ecuación general del plano que contiene a los puntos s2, 1, 1d, (0, 4, 1) y
s22, 1, 4d.
z
(−2, 1, 4)
Solución Para aplicar el teorema 11.12 se necesita un punto en el plano y un vector que
sea normal al plano. Hay tres opciones para el punto, pero no se da ningún vector normal.
Para obtener un vector normal, se usa el producto vectorial de los vectores u y v que van
del punto (2, 1, 1) a los puntos (0, 4, 1) y (22, 1, 4), como se muestra en la figura 11.46.
Los vectores u y v dados mediante sus componentes son
5
4
v
3
−3
2
−2
u 5 k0 2 2, 4 2 1, 1 2 1l 5 k22, 3, 0l
1
(2, 1, 1)
3
x
v 5 k22 2 2, 1 2 1, 4 2 1l 5 k24, 0, 3l
(0, 4, 1)
u
2
2
4
así que
5
Un plano determinado por u y v
y
|
n5u3v
i
5 22
24
Figura 11.46
j
3
0
|
k
0
3
5 9i 1 6j 1 12k
5 ka, b, cl
es normal al plano dado. Usando los números de dirección para n y el punto
sx1, y1, z1d 5 s2, 1, 1d, se puede determinar que una ecuación del plano es
asx 2 x1d 1 bs y 2 y1d 1 csz 2 z1d 5 0
9sx 2 2d 1 6s y 2 1d 1 12sz 2 1d 5 0
9x 1 6y 1 12z 2 36 5 0
3x 1 2y 1 4z 2 12 5 0.
Forma canónica o estándar.
Forma general.
Forma general simplificada.
NOTA
En el ejemplo 3, verificar que cada uno de los tres puntos originales satisfacen la ecuación
n
3x 1 2y 1 4z 2 12 5 0.
n1
θ
Dos planos distintos en el espacio tridimensional o son paralelos o se cortan en una
recta. Si se cortan, se puede determinar el ángulo s0 ≤ u ≤ py2d entre ellos a partir del
ángulo entre sus vectores normales, como se muestra en la figura 11.47. Específicamente,
si los vectores n1 y n2 son normales a dos planos que se cortan, el ángulo q entre los vectores normales es igual al ángulo entre los dos planos y está dado por
n2
cos u 5
θ
|
|
n1 ? n2
.
in1 i i n2 i
Ángulo entre dos planos.
Por consiguiente, dos planos con vectores normales n1 y n2 son
? n2 5 0.
Ángulo q entre dos planos
1. perpendiculares si n1
Figura 11.47
2. paralelos si n1 es un múltiplo escalar de n2.
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SECCIÓN 11.5
Hallar el ángulo entre los dos planos dados por
Plano 1
x 2 2y 1 z 5 0
Ecuación de plano 1.
2x 1 3y 2 2z 5 0
Ecuación de plano 2.
Plano 2
θ
803
Hallar la recta de intersección de dos planos
EJEMPLO 4
z
Recta de
intersección
Rectas y planos en el espacio
y
y hallar las ecuaciones paramétricas de su recta de intersección (ver figura 11.48).
x
Solución Los vectores normales a los planos son n1 5 k1, 22, 1l y n2 5 k2, 3, 22l. Por
consiguiente, el ángulo entre los dos planos está determinado como sigue.
cos u 5
5
Figura 11.48
5
|n1 ? n2|
Coseno del ángulo entre n1 y n2.
in1 i i n2 i
|26|
!6 !17
6
!102
< 0.59409
Esto implica que el ángulo entre los dos planos es u < 53.558. La recta de intersección de
los dos planos se puede hallar resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones lineales
que representan a los planos. Una manera de hacer esto es multiplicar la primera ecuación
por 22 y sumar el resultado a la segunda ecuación.
x 2 2y 1 z 5 0
22x 1 4y 2 2z 5 0
2x 1 3y 2 2z 5 0
2x 1 3y 2 2z 5 0
7y 2 4z 5 0
y5
4z
7
Sustituyendo y 5 4zy7 en una de las ecuaciones originales, se determina que x 5 zy7.
Finalmente, haciendo t 5 zy7, se obtienen las ecuaciones paramétricas
x 5 t,
y 5 4t,
y
z 5 7t
Recta de intersección.
lo cual indica que 1, 4 y 7 son los números de dirección de la recta de intersección.
Hay que observar que los números de dirección del ejemplo 4 se pueden obtener a partir del producto vectorial de los dos vectores normales como sigue.
n1
3
| |
i
n2 5 1
2
5
|
22
3
j
22
3
k
1
22
| | | | |
1
1
i2
22
2
1
1
j1
22
2
22
k
3
5 i 1 4j 1 7k
Esto significa que la recta de intersección de los dos planos es paralela al producto vectorial de sus vectores normales.
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CAPÍTULO 11
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Vectores y la geometría del espacio
Trazado de planos en el espacio
Si un plano en el espacio corta uno de los planos coordenados, a la recta de intersección
se le llama la traza del plano dado en el plano coordenado. Para dibujar un plano en el
espacio, es útil hallar sus puntos de intersección con los ejes coordenados y sus trazas en
los planos coordenados. Por ejemplo, considerar el plano dado por
3x 1 2y 1 4z 5 12.
Ecuación del plano.
Se puede hallar la traza xy, haciendo z 5 0 y dibujando la recta
3x 1 2y 5 12
Traza xy-
en el plano xy. Esta recta corta el eje x en (4, 0, 0) y el eje y en (0, 6, 0). En la figura 11.49
se continúa con este proceso encontrando la traza yz y la traza xz, y sombreando la región
triangular que se encuentra en el primer octante.
z
z
z
(0, 0, 3)
(0, 0, 3)
(0, 6, 0)
(0, 6, 0)
(0, 6, 0)
y
y
y
(4, 0, 0)
(4, 0, 0)
(4, 0, 0)
x
x
x
traza xy sz 5 0d:
traza yz sx 5 0d:
3x 1 2y 5 12
2y 1 4z 5 12
Trazas del plano 3x 1 2y 1 4z 5 12
traza xz s y 5 0d:
3x 1 4z 5 12
Figura 11.49
z
Plano: 2x + z = 1
Si en una ecuación de un plano está ausente una variable, como en la ecuación
2x 1 z 5 1, el plano debe ser paralelo al eje correspondiente a la variable ausente, como
se muestra en la figura 11.50. Si en la ecuación de un plano faltan dos variables, éste es
paralelo al plano coordenado correspondiente a las variables ausentes, como se muestra
en la figura 11.51.
(0, 0, 1)
( 12, 0, 0)
y
x
z
z
z
El plano 2x 1 z 5 1 es paralelo al eje y
Figura 11.50
(0, 0, − dc )
(0, − bd , 0)
y
x
(
)
− ad , 0, 0
El plano ax 1 d 5 0 es
paralelo al plano yz
Figura 11.51
y
x
El plano by 1 d 5 0 es
paralelo al plano xz
y
x
El plano cz 1 d 5 0 es
paralelo al plano xy
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SECCIÓN 11.5
Rectas y planos en el espacio
805
Distancias entre puntos, planos y rectas
Esta sección concluye con el análisis de dos tipos básicos de problemas sobre distancias
en el espacio.
Q
n
1. Calcular la distancia de un punto a un plano.
D
proyn PQ
P
D = proyn PQ 
La distancia de un punto a un plano
2. Calcular la distancia de un punto a una recta.
Las soluciones de estos problemas ilustran la versatilidad y utilidad de los vectores en la
geometría analítica: el primer problema usa el producto escalar de dos vectores, y el
segundo problema usa el producto vectorial.
La distancia D de un punto Q a un plano es la longitud del segmento de recta más
corto que une a Q con el plano, como se muestra en la figura 11.52. Si P es un punto
cualquiera del plano, esta distancia se puede hallar proyectando el vector PQ .sobre el vector normal n. La longitud de esta proyección es la distancia buscada.
\
Figura 11.52
TEOREMA 11.13 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
La distancia de un punto a un plano Q (no en el plano) es
|PQ ? n|
\
\
D
D5
5 iproy
iprojnPQ i 5
in i
donde P es un punto en el plano y n es normal al plano.
Para encontrar un punto en el plano dado por ax 1 by 1 cz 1 d 5 0 sa Þ 0d, se hace
y 5 0 y z 5 0. Entonces, de la ecuación ax 1 d 5 0, se puede concluir que el punto
s2dya, 0, 0d está en el plano.
Calcular la distancia de un punto a un plano
EJEMPLO 5
Calcular la distancia del punto Qs1, 5, 24d al plano dado por
3x 2 y 1 2z 5 6.
Solución Se sabe que n 5 k3, 21, 2l es normal al plano dado. Para hallar un punto en
el plano, se hace y 5 0 y z 5 0, y se obtiene el punto Ps2, 0, 0d. El vector que va de P a
Q está dado por
\
PQ 5 k1 2 2, 5 2 0, 24 2 0l
5 k21, 5, 24l.
Usando la fórmula para la distancia dada en el teorema 11.13 se tiene
|PQ ? n| 5 |k21, 5, 24l ? k3, 21, 2l|
\
D5
in i
!9 1 1 1 4
5
5
Distancia de un punto a un plano.
|23 2 5 2 8|
!14
16
!14
.
NOTA
El punto P que se eligió en el ejemplo 5 es arbitrario. Seleccionar un punto diferente en el
plano para verificar que se obtiene la misma distancia.
n
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CAPÍTULO 11
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Vectores y la geometría del espacio
Del teorema 11.13 se puede determinar que la distancia del punto Qsx0, y0, z0d al plano
dado por ax 1 by 1 cz 1 d 5 0 es
D5
|asx0 2 x1d 1 bs y0 2 y1d 1 csz0 2 z1d|
!a2 1 b2 1 c2
o
D5
|ax0 1 by0 1 cz0 1 d|
Distancia de un punto a un plano.
!a2 1 b2 1 c2
donde Psx1, y1, z1d es un punto en el plano y d 5 2 sax1 1 by1 1 cz1d.
Encontrar la distancia entre dos planos paralelos
EJEMPLO 6
z
3x − y + 2z − 6 = 0
Encontrar la distancia entre los dos planos paralelos dados por
3
3x 2 y 1 2z 2 6 5 0 y 6x 2 2y 1 4z 1 4 5 0.
−6
(2, 0, 0)
2
x
D
y
Solución Los dos planos se muestran en la figura 11.53. Para hallar la distancia entre los
planos, elegir un punto en el primer plano, digamos (x0, y0, z0) = (2, 0, 0). Después, del
segundo plano, se puede determinar que a 5 6, b 5 22, c 5 4 y d 5 4, y concluir que la
distancia es
D5
6x − 2y + 4z + 4 = 0
La distancia entre los planos paralelos es
aproximadamente 2.14
Figura 11.53
5
5
|ax0 1 by0 1 cz0 1 d|
Distancia de un punto a un plano.
!a2 1 b2 1 c2
|6s2d 1 s22ds0d 1 s4ds0d 1 4|
!62 1 s22d2 1 42
16
!56
5
8
!14
< 2.14.
La fórmula para la distancia de un punto a una recta en el espacio se parece a la de la
distancia de un punto a un plano, excepto que se reemplaza el producto vectorial por
la magnitud del producto vectorial y el vector normal n por un vector de dirección para la
recta.
TEOREMA 11.14 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EN EL ESPACIO
La distancia de un punto Q a una recta en el espacio está dada por
\
D5
iPQ 3 u i
iu i
donde u es un vector de dirección para la recta y P es un punto sobre la recta.
Punto Q
DEMOSTRACIÓN
En la figura 11.54, sea D la distancia del punto Q a la recta dada.
Entonces D 5 iPQ i sin
sen u, donde u es el ángulo entre u y PQ . Por el teorema 11.8, se tiene
\
D = PQ  sen θ
P
θ
u
Recta
\
\
iu i i PQ i sen
sin u 5 i u
\
3
Por consiguiente,
\
Distancia de un punto a una recta
Figura 11.54
i PQ 3 u i
D 5 i PQ i sen
sin u 5
.
iu i
\
\
PQ i 5 iPQ
3
u i.
1053714_1105.qxp
10/27/08
10:39
AM Page
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SECCIÓN 11.5
11.5
11.5
Rectas y planos en el espacio
Lines and
and Planes
Planes in
in Space
Space
Lines
807
807
807
Hallar la distancia de un punto a una recta
Finding the
the Distance
Distance Between
Between aa Point
Point and
and aa Line
Line
EXAMPLE 7 Finding
Hallar
la the
distancia
delbetween
punto Qsthe
la recta
3, 21,
Find
distance
point4dQa 3,
1, 4dada
and por
the line given by
EJEMPLO 7
Find the distance between the point Q 3, 1, 4 and the line given by
y zand
x 5x22 123t, 3t,
y 5 22t, 2t,
5 1 z1 4t.1 4t.
x
2 3t, yy
2t, and
z 1 4t.
SolutionUsando
Usinglosthe
the
direction
numbers 3,3,222,
2,
and
4, you
you
know
that de
direction
Solución
números
de dirección
y 4,
se 4,
sabe
queknow
un vector
dirección
Solution
Using
direction
numbers
and
that
aa direction
vector
for
the line
line isis
de lavector
recta for
es the
3, 4l.
2, 44 ..
Direction
vectordefor
for
line
Vector
de dirección
laline
recta.
u 5uuk3, 22,
3,
2,
Direction
vector
To
find aa point
point
on
the line,
line,
let
and obtain
obtain
ParaTo
determinar
unon
punto
en
la let
recta,
hace
t 5 0 y se obtiene
find
the
tt se
00 and
2,10,
P 5PPs22, 0,2,
d0,
. 11 ..
So,
Así,So,
z
zz
6
66
5
55
D
D
D
Q = (3, −1, 4)
Q == (3,
(3, −−1,
1, 4)
4)
Q
4
x 44
xx
Point
onlathe
the
line
Punto
sobre
recta.
Point
on
line
\
\
0,
5, 3l1,
1, 33
PQ
PQ PQ
5 k3 233s22d, 21
2441l 5
22 ,, 2110, 40,
11 k5, 21,
5,
and
youformar
can form
form
the cross
crossvectorial
product
y seand
puede
el producto
you
can
the
product
\
3
33
2
22
−2
−2
−−22
−−22
1
2
3 2 11
1
2
−1 1
33
−1 1 2
−1
22 3
33 4
44 5
55
\
\
\
\
\
PQ
3 u i uu
Di PQ PQ
D 5D
iu i uu
174
!174174
5
29
!29 29
2.45.
5 !6 <662.45.
2.45.
y
yy
La
punto the
Q apoint
la recta
es the
Thedistancia
distancedel
between
and
QQand
The
distance
between
the point
the
2.45.
line is 6 2.45.
!
6<
6
line
is 2.45.
Figura
Figure 11.55
11.55
Figure
11.55
Ejercicios
11-5
Exercises
11.5 Exercises
| |
i ii j jj k kk
PQ
u
5
2i11j 11j
11j
7kk2, 211,
2, 11,
11, 77 ..
PQ PQ
3 u 5u 5 5
21
2 7k 5
27l.
11 3 5
33 2i 22i
7k
2,
3
3 322
22 4 44
Finally,
using Theorem
Theorem
11.14,
yousecan
can
find the
theque
distance
to be
be es
Por Finally,
último, using
usando
el teorema
11.14,
encuentra
la distancia
11.14,
you
find
distance
to
\
Seewww.CalcChat.com
www.CalcChat.comfor
forworked-out
worked-outsolutions
solutionstotoodd-numbered
odd-numberedexercises.
exercises.
See
In Exercises
Exercises
and
2,
the
figuremuestra
shows the
the
graph
ofde
line given
given
En
los
ejercicios
1 y2,
2,the
la figura
lagraph
gráficaof
una
recta
In
11 and
figure
shows
aa line
by
the
parametric
equations.
(a)
Draw
an
arrow
on
the
line
to
dada
por
las
ecuaciones
paramétricas.
a)
Dibujar
una
flecha
by the parametric equations. (a) Draw an arrow on the line to
indicate
its
orientation.
To
print
an
enlarged
copy
of
the
graph,
sobre
la
recta
para
indicar
su
dirección.
b)
Hallar
las
coordeindicate its orientation. To print an enlarged copy of the graph,
goto
to the
the
website
www.mathgraphs.com.
(b) Find
Findthe
theelcoordinates
coordinates
nadas
de dos
puntos,
P y Q, en la recta. Determinar
vector PQ .
go
website
www.mathgraphs.com.
(b)
of two
twoespoints,
points,
and
on
the
line. Determine
Determine
the vector
vector
PQ..
Q, on
¿Cuál
la relación
entre
lasthe
componentes
del vector
y los coefiof
line.
the
PQ
PP and
Q,
What
is
the
relationship
between
the
components
of
the
vector
cientes
de
t
en
las
ecuaciones
paramétricas?
¿Cuál
es
la
razón
de
What is the relationship between the components of the vector
and
the
coefficients
of
in
the
parametric
equations?
Why
is
this
t
esta
relación?
c)
Determinar
las
coordenadas
de
todos
los
puntos
and the coefficients of t in the parametric equations? Why is this
true?
(c)Determine
Determine
theplanos
coordinates
ofany
any points
points
ofintersection
intersection
de
intersección
con los
coordenados.
Si la of
recta
no corta
true?
(c)
the
coordinates
of
with
thelos
coordinate
planes. If
If the
the line
line por
doesqué.
not intersect
intersect aa
awith
uno the
de
planos coordenados,
explicar
coordinate
planes.
does
not
coordinate plane,
plane, explain
explain why.
why.
coordinate
x 5 1 1 3t
1.
2. x 5 2 2 3t
1.yxx5 2112 t3t
2. yxx5 222 3t
3t
3t
1.
2.
\
\
\
zyy5 2221 5ttt
5tz
zz 22 5t
zyy5 1222 t
zz 11 tt z
zz
zz
x
y
xx
yy
See Figure
Figure
11.55.
Ver figura
11.55.11.55.
See
x
y
yy
In Exercises
Exercises
and
determine
whether
each
point
liessobre
on the
the
En
los ejercicios
3 4,
y4,4,
determinar
si cada
punto
yace
la
In
33 and
determine
whether
each
point
lies
on
line.
recta.
line.
3. xx
3t, zz 44 tt
3.
22 t,t, yy 3t,
a)
b) 2,
0,
6,
6
2, 3,
3, 55
a) 0, 6, 6
b)
x 3 y 7
4. x 3 y 7 zz 22
4.
22
88
a) 7,
7, 23,
23, 00
a)
b) 1,
1, 1,
1, 3)
3)
b)
In Exercises
Exercises
5–10,
find
sets of
ofconjuntos
(a) parametric
parametric
equationsparaand
En
los ejercicios
5 afind
10, hallar
de a) ecuaciones
In
5–10,
sets
(a)
equations
and
(b)
symmetric
equations
of
the
line
through
the
point
parallel
to
métricas
y
b)
ecuaciones
simétricas
de
la
recta
por
el
punto
(b) symmetric equations of the line through the point parallel pato
the given
given
vectoroor
orrecta
line (if
(if possible).
possible).
(For each
each
line,cada
writerecta,
the
ralela
al vector
dado
(si es posible).
(Para
the
vector
line
(For
line,
write
the
directionlos
numbers
asde
integers.)
escribir
números
dirección como enteros.)
direction
numbers
as
integers.)
5.
5.
6.
6.
7.
7.
8.
8.
9.
9.
Point
Punto
Point
0, 0, 0
s0, 0, 0 d
0, 0, 0
s0, 0, 0 d
2, 0,
0, 33
2,
s22,
d
3,
0,
2
3, 0, 2 d
s23,
1, 0, 1
s1, 0, 1 d
10.
3, 5,
5, 44
10.
3,
s23,
d
Parallel to
to
Paralela
a
Parallel
v
3,
1,
v
3, 1, 55
2, 5552,, 11
vv 5 k 22,
2,
22 l
2i 4j
4j 2k
vv 5 2i
1 2 2k
6j 3k
3k
vv 5 6j
1
x
3
3t,
y 5 2t, zz
xx 5 33 1 3t,
77 1 ttt
3t, yy 5 55 2 2t,
2t, z 5 27
xxx 2 111 yyy 1 111 z 3
z 3
333 5 22
22 5 z 2 3
1053714_1105.qxp 10/27/08 10:39 AM Page 808
Larson-11-05.qxd 3/12/09 17:27 Page 808
1053714_1105.qxp 10/27/08 10:39 AM Page 808
1053714_1105.qxp
1053714_1105.qxp 10/27/08
10/27/08 10:39
10:39 AM
AM Page
Page 808
808
808
808
808
Chapter
and
Geometry
of
Space
CAPÍTULO
Vectores
la geometría
Chapter 11
1111 Vectors
Vectors
andythe
the
Geometrydel
of espacio
Space
808
808
808
Chapter 11 Vectors and the Geometry of Space
Chapter
Chapter11
11 Vectors
Vectorsand
andthe
theGeometry
GeometryofofSpace
Space
xx 33 yy 22 zz 22
In
In Exercises
Exercises 11–14,
11–14, find
find sets
sets of
of (a)
(a) parametric
parametric equations
equations and
and (b)
(b)
30.
En
los
ejercicios
11
a
14,
hallar
conjuntos
de
a)
ecuaciones
30. LL11:: 2
symmetric
11
22
symmetric equations
equations of
of the
the line
line through
through the
the two
two points
points (if
(if pospos2
paramétricas
y b) line,
ecuaciones
simétricas
denumbers
la recta
que
pasa
por
x x 3 1 y y 2 1 z z 23
Insible).
Exercises
11–14,
findwrite
sets of
(a)
parametric
equations
and (b)
(For
each
the
direction
as
integers.)
sible).
(For
each
line,
write
the
direction
numbers
as
integers.)
x
3
y
2
z
In
Exercises
11–14,
find
sets
of
(a)
parametric
equations
and
(b)
30. LL
: xx 31 yy 21 zz 223
In Exercises
11–14,
find
setsline
of (a)
parametric
equations
and
(b)
los
dos puntos
(si es
posible).
(Para
cada
recta,
escribir
los
30.
symmetric
equations
through
the two
points
(if
pos12
24
30. LL11L:122::: 224
22of
22 the
symmetric
equations
of
the
line
through
the
two
points
(if
pos112
224
symmetric
equations
the
line
through
the
points
24
números
de3,
dirección
enteros.)
22 line,
,, 33write
4,
33 ,,two1,
55 (if pos11.
12.
,como
5,
3,each
0,numbers
4,
1,
2,integers.)
11. 5,
12. 0,
,of
1 the
33,, 1
sible).
(For
direction
as2,
x x 12 y y 11 z z 33
sible).
(For
each
line,
write
the
direction
numbers
asasintegers.)
sible).
(For
each
line,
write
the
direction
numbers
integers.)
LL2: : xxx 112 yyy 111 zzz 333
13.
14.
7, 2,
2, 66 ,, 3,
3, 0,
0, 66
0, 0,
0, 25
25 ,, 10,
10, 10,
10, 00
13. 7,
14. 0,
LL2L:233:: 4
20.5
41
11. 5, 3, 2 , 223,2 223,2 1
12. 0, 4, 3 , 1, 2, 5
4411
20.5
441
2
5,
3,
2
,
0,
4,
3
,
1,
2,
5
11.
12.
,
,
1
11. 5, 3, 2 , 3 3,3 3, 1
12. 0, 4, 3 , 1, 2, 5
x
2
y
1
z
3
In
Exercises
15–22,
find
a
set
of
parametric
equations
of
the
13.
7, 2, 6 , 15–22,
3, 0, 6find a set 14.
0, 0, 25 , 10,
10, 0 of the
In
Exercises
of
parametric
equations
x
3
y
1
z
x
2
y
1
z
L
:
23 yy 11 zz 3322
7,7, 2,2,66, , 3,3,0,0,66
13.
14.
3: : xx
25, , 10,
10,10,
10,00
13.
14. 0,0,0,0,25
L
L
1
0.5
1
:
L
4
line.
:
L
3
line.
34
44
1122
0.5
11 11
0.5
In Exercises
15–22,
a set un
of parametric
the
En
los ejercicios
15 a find
22, hallar
conjunto de equations
ecuacionesof
parax 3 y 1 z 2
In
Exercises
15–22,
find
a
set
of
parametric
equations
of
the
In
Exercises
15–22,
find
a
set
of
parametric
equations
of
the
yy 11 zz 22
15.
line
passes through
the point 2, 3, 4 and is parallel to the
L4: xx 3331–34,
15. The
Thede
line
line.
métricas
la passes
recta. through the point 2, 3, 4 and is parallel to the
In
and
L
2 31–34,
1 whether
In Exercises
Exercises
the
lines intersect,
intersect,
and
if
L4:4:ejercicios
line.
En
los
31444determine
adetermine
34, determinar
si the
las lines
rectas
se cortan,
y if
si
line.xz
22
11 whether
xz-plane
yz-plane.
-plane and
and the
the yz
-plane.
so,
find
the
point
of
intersection
and
the
cosine
of
the
angle
of
so,
find
the
point
of
intersection
and
the
cosine
of
the
angle
of
es así, hallar el punto de intersección y el coseno del ángulo de
3, 4paralela
The
line
passes
the
and
to the
15.
La
recta
pasa
porthrough
el punto
(2,point
3,
4) 2,
y es
alparallel
plano
xz
y al
22 is
16.
The
line
passes
through
the
point
and
is
to
445,
15.
the
point
and
is
totothe
4,
5,
16.The
Theline
linepasses
passesthrough
through
the
point2,2,3,3,4,
and
is parallel
parallel
to
Inintersection.
Exercises 31–34, determine whether the lines intersect, and if
15.
line
passes
through
the
point
and
isparallel
parallel
the
intersection.
In
Exercises
31–34,
determine whether
the lines
and
ifif
intersección.
xzThe
yz
-plane
and
the
-plane.
plano
yz.
In
Exercises
31–34,
whether
linesintersect,
intersect,
andof
xy
yz
the
and
the
xzxz
-plane
and
-plane.
xy-plane
yz-plane.
the
-plane
andyzyz
the
-plane.
so,
find
the point
of determine
intersection
and thethe
cosine
of
the angle
-plane
andthe
the
-plane.
so,
find
the
point
ofyofintersection
and
the
cosine
ofofthe
angle
ofof
so,
find
the
point
intersection
and
the
cosine
the
angle
x
4t
2,
3,
z
t
1
31.
4,
5,
2
The
line
passes
through
the
point
and
is
parallel
to
16.
La
recta
pasa
por
el
punto
(24,
5,
2)
y
es
paralela
al
plano
xy
y
x
4t
2,
y
3,
z
t
1
31.
31. x 5 4t 1 2, y 5 3, z 5 2t 1 1
intersection.
3,
45,
17.
The
line
passes
through
the
point
is
perpendicular
16.
the
and
2,4,
3,5,
4 2and
17.The
Theline
linepasses
passesthrough
point 2,
is is
perpendicular
4,
2and
16.
The
line
passes
through
thepoint
and
isparallel
paralleltoto
intersection.
intersection.
xy
yz3x
the
-plane
the
-plane.
al
plano
yz. and
xx 2s
3,
2y
z
6.
to
the
plane
given
by
2s 2,
2, yy 2s
2s 3,
3, zzz5 sss1 111
xy
yz
the
-plane
and
the
-plane.
3x
2y
z
6.
to
the
plane
given
by
the xy-plane and the yz-plane.
z
t 1
31. xx 54t2s 12,2, yy 53,2s 1
2,
3,
4
17.
The
line
passes
through
the
point
and
is
perpendicular
x
4t
2,
y
3,
z
t t 2t
31.
La
recta
pasa
por
el punto (2,
3, 4)2,y4,
al plano
1,
4t
1,
32.
4t 3t
2, 1,
31.
5,
22and
18.
The
line
passes
through
point
and
perpendicular
3t1
1,yyyy5 3,
4t1z 1,
1,zzz5
2t11 44
32. xxx5 23t
3,es
44perpendicular
17.
through
isisisis
perpendicular
4t
32.
4,
5,
18.The
Theline
linepasses
through the
the
point
and
perpendicular
2,
3,
17.
The
line
passes
the
point
and
perpendicular
x 2s 2, y 2s 3, z 2ts 1 41
3x
2y
z
6.
totothe
plane
given
by
dado
por
3x
1
2y
2
z
5
6.
xxx 2s2s
2s2s 4,
3,3,zz zz ssss 1111
2y
the
plane
given
by
toto
3s
1,
2y zzzz 6.6.5.
5.
tothe
theplane
planegiven
givenby
3xxx 2y
2y
the
plane
given
by3x
3s 2,2,
1, yyyy 2s
2s
4,
2t 1 41
32. xx 5 3s3t1 1,1,yy5 2s4t1 4,1,zz5 2s
4,
5,
2
The
line
passes
through
the
point
and
is
perpendicular
18.
La
recta
pasa
por
el
punto
(24,
5,
2)
y
es
perpendicular
al
plano
x
3t
1,
y
4t
1,
zz11 2t2t 44
32.
44 is
19.
The
line
passes
through
the
point
and
is
4,
23,2 and
18.
passes
through
the
point
perpendicular
zz 33
3t 222 1, y 4t xxx1,
32. xxxx yyy2
5,4,5,5,3,
19.The
Theline
line
passes
through
the
point 5,
and
is parallel
parallel to
to
18.
The
line
passes
through
the
point
and
is
perpendicular
33.
1,
tov thepor
plane
by
dado
2xgiven
13 2y
1 z x5 5.2y zz 5.
1, 5
y zzz1
2s1,
z24 1 5s yyy112225 z 133
33.xx3 53s
1, 4,
33.
2,
toto
given
vthe
2, 1,
1,
3 .. by
1
3s
1,
y
2s
4,
z
s
1
2y z 5.5.
theplane
plane
given
by xx 2y
3
1
4
s 1
3x 3s21 1, y 2s 4, 4z
233
3,4,24)
43 and
The
line
passes
point
parallel
toto
19.
La
recta
pasa through
por
el the
punto
(5, 5,
23,
yand
esis
paralela
a
xx y2 2y 2
x 1x 3
z 3z 2
1,
20.
The
line
passes
through
the
point
is
parallel
5,
3,
4
19.
The
line
passes
through
the
point
and
is
parallel
to
1,
4,
3
20.
The
line
passes
through
the
point
and
is
parallel
to
x
1
x
y
2
z
19. The line
passes
33.
xxx2 2y2 y2y2 z22 1,z x3,4 x1x2 yy33 22y 5z 33z3z1 22
2,
1,j.3l.
3 . through the point 5, 3, 4 and is parallel to
vvv5 k2,
21,
34.
33.
34.33 3 511 6 zz 51,z1,
z2 3,3,
33.
5i
34.
5i
j.33. .
vv 2,
2, 1,1,
44 222 y 5 y2y1 555
33 444
3233 1 66
1,
4,
3
The
line
passes
through
the
point
and
is
parallel
to
20.
La
recta
pasa
por
el
punto
(21,
4,
23)
y
es
paralela
a
x
2
y
2
x
3
z 2
2,
1,
2
21.
The
line
passes
through
the
point
and
is
parallel
to
the
1,
4,
3
20.
The
line
passes
through
the
point
and
is
parallel
to
21. The
Theline
linepasses
passesthrough
throughthe
thepoint
point 2,1,1,4,2 and
is parallel
to the
3 and
20.
is parallel
to
xx 22 yy 22 z 3, xx 33 y 5 zz 22
34.
vvline
5 5i
2 j.
CAS
In
Exercises
35
and
36,
use
graph
34.
z36,
3,3,aa computer
yalgebra
55 system
En
los
ejercicios
35
y
usar
un
sistema
algebraico
compu3
6
2
4 porto
CAS
In
Exercises
35
and
36,
use
computer
algebra
system
x
t,
y
1
t,
z
2
t.
34.
z
y
5i
j.
x
t,
y
1
t,
z
2
t.
line
v 5i j.
33
66
22
44 to graph
the
pair
of
intersecting
lines
and
find
the
point
of
intersection.
tadora
para
representar
gráficamente
el
par
de
rectas
que
se
cor2,
1,
2
21.
The
line
passes
through
the
point
and
is
parallel
to
the
the pair of intersecting lines and find the point of intersection.
La
recta
pasa
porthrough
el punto
(2,
1, 2) y2 es
a latorecta
88paralela
22.
The
line
passes
the
point
and
is
to
21.
the
point
and
is
6,20,
0,
22.The
Theline
linepasses
passesthrough
through
the
point2,2,1,1,6,
and
is parallel
parallel
toCAS In Exercises 35 and 36, use a computer algebra system to graph
21.
The
line
passes
through
the
point
and
isparallel
parallel
tothe
the
tan
y
hallar
el
punto
de
intersección.
x
t,
y
1
t,
z
2
t.
xline
5
2t,
y
5
1
1
t,
z
5
22
1
t.
CAS
Exercises
35
and
use
a zcomputer
algebra
system totograph
the
line
CAS In
In
353,
36,
use2,
graph
2t,t.zt.
z 0.
0.
thexline
line
35.
xx of2t
yy 36,
5t
tt the
11algebra
x xx t,t,y5y5 12t,
12t, yyt,t,zz 44 222t,
line
35.Exercises
2tintersecting
3,and
5tlines
2,aand
zcomputer
the
pair
find
point ofsystem
intersection.
the
pair
of
intersecting
lines
and
find
the
point
of
intersection.
8 paralela
Therecta
line passes
through
the (26,
point0, 8)6, y0,es
and is parallel
to
22.
La
pasa
por
el
punto
a
la
recta
the
pair
of
intersecting
lines
and
find
the
point
of
intersection.
z5
35. xxx5 2t 1
6, 0,0,88 and
22.
The
line
through
the
point
toto
2s
ss 2, 8,
zz 2t2s
22.
Theline
linepasses
passes
through
the
point
andisPisparallel
parallel
2s 3, y7,
7,5yy 5t 2
8,
2s1 111
In
23–26,
find
on
the line
2t,
y1the
2t, z 6,of
0. aa point
xthe
5line
5 2xx 2t,
y55 5 24
2t,coordinates
z44 5 0.
In Exercises
Exercises
23–26,
find
coordinates
35. x 2t 3, y 5t 2, z
t 1
2t,
yy the
2t,
zz of
0.0. point P on the line
the
35.
x
2t
3,
y
5t
2,
z
t
x
5
22s
1
7,
y
5
s
1
8,
z
5
2s
x
5
2t,
4
2t,
the
line
36.
1,
35.
z10, zz t tt2111
and
36. xx 2t
2t 3,
1,yy 5t 4t
4t 2, 10,
and aa vector
vector vv parallel
parallel to
to the
the line.
line.
x
2s 7, y s 8, z 2s 1
P
In
Exercises
23–26,
find
the
coordinates
of
a
point
on
the
line
y5y yy24t
ss 3s
zz11,
2s
2
18,8,
10,
z5
36. xxxx5 2t2s2s
5s
12,
zz2st 112s
En
losx ejercicios
23
afind
26,1the
hallar
las coordenadas
dePPun
P
5s 1,7,y7,
12,
3s
11,
2s 44
In
Exercises
coordinates
ofofaapoint
on
the
In
coordinates
point
onpunto
theline
line
33 23–26,
t,t,parallel
yy find
2t,
23.
2t,
23.Exercises
36. x 2t 1, y
4t 10, z t
v23–26,
and
axla
vector
to1the
the
line.zz a la22recta.
sobre
recta
y
un
vector
v
paralelo
36.
x
2t
1,
y
4t
10,
z
t
x
5
25s
2
12,
y
5
3s
1
11,
z
5
22s
24
v
and
a
vector
parallel
to
the
line.
36. x 2t 1, y
4t 10, z t
and
a vector vy parallel
to the line.
24.
Cross
In
37
38,
find
4t, y 55 t,t, zz 44 3t
3t
24. xx 4t,
x Product
5s 12,
yExercises
3s 11,
zand
2s(a)
4 the
Cross
Product
In
Exercises
37
and
38,
(a)
the coordinates
coordinates
xx
5s5s 12,
3s3s 11,
2s2s 4find
t, y 21
1 2t,
z
2
23. xx 5 33 2 t,
12,yQ,
y and
11,zzthe plane,
4 determine the
2t,
23.
of
points
R
2x2x 33 yy zz 33
23.
of three
three vectorial
points P,
in the 37
plane,
and
determine
the
P, En
Q, and
R in
66 111 2t,
Producto
los ejercicios
y 38,and
a) hallar
las coor2t, zzz5 22
23. xxxx 3377 t,t,yy yyy5
zz zz 5
22 44 1 3t
25.
26.
4t, yy 5255 2 t,
24.
25.xxx 544t,
26. 5
Cross
Product
In
Exercises
37RPQ
and
38,
(a).. find
the
coordinates
t,
3t
24.
vectors
and
(b)
Find
What
is
the
relationPQ
PR
.
PR
denadas
de
tres
puntos
P,
Q
y
en
el
plano,
y
determinar
los
vec8
6
vectors
and
(b)
Find
What
is
the
relationPQ
PR
.
PR
PQ
4t,
y
5
t,
z
4
3t
24.
Cross
Product
In
37
and 38,
coordinates
5
8
6
24. x 4 4t, y 2 5 t, z 4 3t
Cross
Product
InExercises
Exercises
37
38,(a)
(a)find
findthe
the
coordinates
of
three
points
andPQ
in and
the
plane,
determine
P,
Q,
R3
ship
between
components
of
the
cross
and
the
x x 31 3 y y z z 32 3
tores
ypoints
b)
esand
laproduct
relación
entre
las
PQ
PR . the
. ¿Cuál
ship
between
the
components
of
the
cross
product
andthe
the
xxxx2 7777 yyyy1 6666 z 2
of
three
points
and
the
plane,
and
determine
the
P,P,Hallar
Q,
RR ininPR
x
3
y
z
3
of
three
and
the
plane,
and
determine
the
Q,
25.
26.
x
3
y
z
3
5
5
z
1
2
25.
26.
5
5
vectors
and
(b)
Find
What
is
the
relationPQ
PR
.
PR
.
PQ
In
Exercises
27–30,
determine
if
any
of
the
lines
are
parallel
or
z
2
25.
26.
coefficients
of
the
equation
of
the
plane?
Why
is
this
true?
componentes
del
producto
vectorial
y. What
los
coeficientes
de la
8 are
6 6
In Exercises
27–30,
determine
if any
parallel
or
coefficients
of
the
equation
of
the
plane?
Why
is
this
true?
z 2
25.
26. of55the5 lines
4444
2222
8
vectors
and
(b)
Find
is
the
relationPQ
PR
.
PR
PQ
88
66
vectors
is the and
relationPQ and
. (b) Find PQ
. What
5
ship
between
thePR
components
thePR
cross
product
the
identical.
ecuación
del plano?
¿Cuál es la of
razón?
identical.
ship
between
the
components
of
the
cross
product
and
ship
between
the
components
of
the
cross
product
and the
the
37.
38.
4x
3y
6z
6
2x
3y
4z
4
37.
38.
4x
3y
6z
6
2x
3y
4z
4
In Exercises 27–30, determine if any of the lines are parallel or
coefficients
of
the
equation
of
the
plane?
Why
is
this
true?
In
Exercises
determine
ofzalgunas
the lines4t
are
or
coefficients
equation
ofofthe
plane?
Why
is this
En
30,
de
lasparallel
rectas son
In
Exercises
any
parallel
or
coefficients
the
equation
the38.
plane?
Why
this
true?
27.
LL1ejercicios
627–30,
yy determinar
22ififany
2t,
:1: xx 27–30,
zz 5
zzis4z
37.
4x 2 3yofof
2the
6z
6
2x 1
3y 1
5true?
4
27.los
6 273t,
3t,a determine
2t, siof
z the55 lines
4t are
identical.
identical.
paralelas
o idénticas.
identical.
37. 4x 3y 6z
38. 2x 3y z 4z 4
6
z
LL2:: xx 6t,
37.
38.
6t, yy 22 4t,
4t, zz 13
13 8t
8t
37. 4x
38. 2x
4x 3y
3y 6z
6z 66
2x 3y
3y 4z4z 44
27. L1: 2 x 6 3t, y
2 2t, z 5 4t
z
z
z
27.
L
:
x
6
3t,
y
2
2t,
5
4t
z
zz
xx 610
27. LL
2t, zzz 775 8t
4t
1L13::: x
z
10 3t,6t,
6t, y yy 332 4t,
4t,
8t
L2:3 x 6t, y 2 4t, z 13 8t
LL2L:24::xxx 6t,
22 yy4t,
13
6t,44yy 6t,
4t,33zz 4t,
13 zz 8t8t55 6t
yy
6t,
4t,
6t
yy
L3:4 x 10 6t, y 3 4t, z 7 8t
xx
L
:
x
10
6t,
y
3
4t,
7
8t
z
y
28.
33 2t,
6t, yyy 36t,
xx
28. L3L311:: xx 10
2t,
6t, 4t,zz z11 72t
2t 8t
y
L4: x
4 6t, y 3 4t, z 5 6t
x
y
y
LL4L:42::xxx 1144 2t,
6t,
53t
yy
t,t, zzzz 3t
6t, yyyy 3311 4t,
4t,
5 6t6t
x
yy
2t,
x
2
28. L1: x 3 2t, y
6t, z 1 2t
xx
x
28.
z
L
:
x
3
2t,
y
6t,
1
2t
x
xx 3 11 2t,2t,
33 z10t,
28. LL
1L13::: x
x
2t,y yy 6t,
10t, 1 zz 2t11 4t
4t
L :3 x 1 2t, y
1 t, z 3t
LL22L:24::xxx 1155 2t,
y
1
t,
3t
z
In
Exercises
39
and
40,
determine
whether
1
t,
z
8
3t
In
Exercises
39
and
40,
determine
whether the
the plane
plane passes
passes
2t,
y
1
t,
z
3t
2t, y 1 t, z 8 3t
L3:4 x
1 2t, y 3 10t, z 1 4t
through
each
point.
through
each
point.
z
LL3:3: xxx 8811 yy2t,
y
3
10t,
1
4t
2t, 5 y z 3 9 10t, z 1 4t
In
Exercises
39 and
the pasa
plane passes
29.
L: : x 5 2t, y 5 1 z t,9 z 8 3t
29.L
En
los ejercicios
39 y40,
40,determine
determinarwhether
si el plano
cada
In
Exercises
39
and
40,
determine
whether
the planepor
passes
LL44L:411::xx 4455 2t,
In
39
39.
xx each
2y
4z
2t, 2y2y 11 33t,t, zz 88 3t3t
39.Exercises
2y point.
4z and11 40,00 determine whether the plane passes
through
punto.
through
each
point.
x x 87 y y 54 z z 96
through
each
point.
a)
7,
b)
29. LL
: xxx 887 yyy 554 zzz 996
a)
7, 2,
2, 1)
1)
b) 5,
5, 2,
2, 22
29.
21
35
29. LL11L:122::: 442
39. x 2y 4z 1 0
2
3
39.
x
2y
4z
1
0
2
1
5
4
2
3
40.
3z
39.
40. x2x
2x 2yyy 4z
3z 166 00
x 7 y 4 z 6
a)
7, 2, 1)
b) 5, 2, 2
LL2: : xxxx 7744 yyyy 4411 zzzz 6618
a)
7,
2,
b)b)
18
3,
6,
a)
7,
2,
2,
25, 11
a) 3, 6, 221)1)
b) 5,5,2,1,
1,25,
LL2L:233:: 2
1
5
40. 2x y 3z 6 0
2288
1144
55 66
40.
2x
y
3z
6
0
40. 2x y 3z 6 0
x 4 y 1 z 18
a) 3, 6, 2
b)
1, 5, 1
44
L : x x 42 y y 13 z z 18
a)a) 3,3,6,6, 22
b)b) 1,1,5,5, 11
LLL33L:344::: xx 8 42 yy4 13 zz 6 18
1.5
8822
4411
66
1.5
x 2 y 3 z 4
L: x 2 y 3 z 4
LL44:4: x 2 2 y 1 3 z1.5 4
22
11
1.5
1.5
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
1053714_1105.qxp
10/27/08
AM
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809
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10/27/08
10:40
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3/12/0910:40
17:27
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SECCIÓN 11.5
11.5
11.5
11.5
11.5
11.5
En los ejercicios 41 a 46, hallar una ecuación del plano que pasa
In
41–
46,
ofof
the
plane
In
Exercises
41–
46,
find
an
equation
the
plane
passing
In Exercises
Exercises
41–
46, find
find an
an equation
equation
ofrecta
the dado.
plane passing
passing
In
Exercises
46,
find
an
equation
the
plane
passing
por
el
punto y 41–
es
perpendicular
al
vector oof
In
Exercises
41–
46,
find
an
equation
of
the
plane
passing
through
the
point
perpendicular
to
the
given
vector
or
line.
through
the
point
perpendicular
to
the
given
vector
or
line.
throughthe
thepoint
pointperpendicular
perpendicularto
tothe
thegiven
givenvector
vectoror
orline.
line.
through
through the point perpendicular to the given vector or line.
Punto
Perpendicular
ato
Point
Perpendicular
Point
Perpendicular
Point
Perpendicularto
to
Point
Perpendicular
to
Point
Perpendicular
to
1,
3,
7
n
j
41.
1,
3,
7
n
j
41.
41. 1,1,3,3, 77
nn jj
41.
j
41. 0,1, 3,1, 47
nnn
42.
n
42.
0, 1,1,
1,444
n kkk
k
42. 0,0,
42.
n 2ik 3j k
42. 3,0,2, 21, 4
n
43.
3,
2,
2
n
2i
3j
43.
3j kk
k
43. 3,3,2,2,22
nn 2i2i 3j
43.
n 2i3i 3j2k k
43. 0,3,0,2,02
n
44.
0,
0,
0
n
3i
2k
44.
2k
44. 0,0,0,0,00
nn
3i3i 2k
44.
2k
44. 0,1,0,4,0 0
xxn
11113i 2t,
45.
xx
2t,
2t
45.
1,4,4,
4,000
2t,yyyy 5555 t,t,t,
t,zzzz 3333 2t
2t
45. 1,1,
2t,
2t
45.
1, 4, 0
x
1
2t,
y z 5 3 t, z 3 2t
45.
xxxx 1111
z
3
z
3
z
3
46.
46.
3,2,
2,2222
46. 3,
x 44 1 yyyy 2222 z 333
3,3,
2,2,
46.
y 2
46. 3, 2, 2
44
33
4
3
In
In
Exercises
47–
58,
find
an
equation
of
the
plane.
InExercises
Exercises47–
47–58,
58,find
findan
anequation
equationof
ofthe
theplane.
plane.
In
Exercises
47–
58,
find
an
equation
of
the
plane.
En
ejercicios
58, hallar
una ecuación
del plano.
In los
Exercises
47–47
58,a find
an equation
of the plane.
0,
0,
0
,
2,
0,
3
,
47.
The
plane
passes
through
0,
0,
0
,
2,
0,
3
47.
The
plane
passes
through
and
0,
0,
0
,
2,
0,
3
3, 1,
1,5555....
47. The
Theplane
planepasses
passesthrough
through 0, 0, 0 , 2, 0, 3 ,,,and
and 3,
3,3,
1,1,
47.
and
47.
plano
quepasses
pasa por
(0, 0, 0,
0),0,(2,
3)0,y 3(23,
–1, 5).
02 ,0,
2,
,, and
3, 2,1, 52 ..
47. El
The
plane
through
3,
1,
,
2,
1,
5
1,
48.
The
plane
passes
through
and
3,
1,
2
,
2,
1,
5
,
1,
2,
48.
The
plane
passes
through
and
48. The
Theplane
planepasses
passesthrough
through 3,3, 1,1,22 ,, 2,2,1,1,55 ,,and
and 1,1, 2,2, 222 ...
48.
48.
ElThe
plano
que
pasa through
por (3, –1,
2),1,(2,2 1,
5)1,y 5(1,22,
–2).
3,
,
2,
,
1, 2,
2.
48.
plane
passes
and
49.
1,
2,
3,
2,
1,
49.
The
plane
passes
through
and
1,2,
2,3333,,,, 3,
3,2,
2,1111,,,,and
1, 2,
2,2222....
49. The
Theplane
planepasses
passesthrough
through 1,
and 1,
1,
2,
3,
2,
2,2,
49.
The
plane
passes
through
and
49.
ElThe
plano
quepasses
pasa por
(1, 2, 1,
3),2,(3,
2,3,
1)2,y 1(21,
22, 1,
2).
3
,
,
1,
2,
2
.
49.
plane
through
and
50.
2,
50.
The
plane
passes
through
the
point
and
parallel
1,2,
2,3333 and
50. The
Theplane
planepasses
passesthrough
throughthe
thepoint
point 1,
andis
isparallel
parallelto
to
1,1,
2,
50.
The
plane
passes
through
the
point
and
isis
parallel
toto
50.
El
plano
que
pasa
por
el
punto
(1,
2,
3)
y
es
paralelo
al
plano
yz.
50. the
The
plane
passes through the point 1, 2, 3 and is parallel to
plane.
yzthe
plane.
yztheyzplane.
yzthe
plane.
CAS
CAS
CAS
CAS
yzthe
plane.
51.
El
plano
que
pasa por
el punto
(1,
2, 3)1,1,
y2,es
paralelo
al
plano xy.
3
51.
The
plane
passes
through
the
point
and
is
parallel
to
CAS
2,
3
51.
The
plane
passes
through
the
point
and
is
parallel
to
1,
2,
3
51.
The
plane
passes
through
the
point
and
is
parallel
to
1,
2,
3
51. The plane passes through the point
and is parallel to
1, 2, 3deand
51. El
The
plane
passeselthrough
the point
parallel
52.
plano
contiene
eje y y forma
un ángulo
el ejeto
x
py6iscon
xythe
plane.
xythe
plane.
xythe
plane.
xythe
plane.
xythe
plane.
positivo.
52.
52.
The
plane
contains
the
axis
and
makes
an
angle
of
with
y-axis
52. The
Theplane
planecontains
containsthe
theyaxisand
andmakes
makesan
anangle
angleof
of 6666with
with
y-y52.
The
plane
contains
the
axis
and
makes
an
angle
of
with
y-axis
52. El
The
plane
contains
the
andpor
makes an angle of 6 with
53.
plano
contiene
las
rectas
dadas
xthe
positive
axis.
xthe
positive
axis.
xthe
positive
axis.
xthe positive axis.
x-axis. lines given by
the plane
positive
53.
53.
The
plane
contains
the
lines
given
by
2 1plane
x 2given
2 by
y21 z22
53. xThe
The
planecontains
containsthe
thelines
lines
given
by
53.
The
contains
the
5y2
4 5 z they lines given
5 by
5
.
53. The plane
contains
23
xxxx221111
xxxx 2222 4yyyy 1111 21
zzzz 2222
and x 2 y 1 z 2....
and
x 221 yyyy 4444 zzzz and
and
4444
1111 .dada por
33 y contiene
y por
4 elzpunto
and(2, 2,331)
54. El plano
la recta
22 pasa
2
3
4
1
54.
54. xThe
Theplane
plane
passesthrough
throughthe
thepoint
point 2,
andcontains
containsthe
the
yplane
2 4 passes
2,2,
2,1111 and
54.
The
plane
passes
through
the
point
and
contains
the
2,2,
2,2,
54.
The
passes
through
the
point
and
contains
the
5 given
5
z. through the point 2, 2, 1 and contains the
54. line
The
planeby
passes
line
given
by
line
given
by
2line
21 by
given
line given by
xxxx yyyy 4444
55. El
plano pasa z.
por
z. los puntos (2, 2, 1) y (21, 1, 21) y es perz.z.
22x22 y 11114al plano
z. 2x 2 3y 1 z 5 3.
pendicular
2
1
56.
plano
pasa
por through
los
puntos
(3,
2, 1) y2,
25)
2,
1,
1,
55.
The
plane
passes
the
points
11 and
55.
The
plane
passes
through
the
points
and
2,(3,
2,111,
1,perpen1, 1111
55. El
The
plane
passes
through
the
points
and y es
2,2,
2,2,
1,1,
1,1,
55.
The
plane
passes
through
the
points
and
2,
2,
1
1,
1,
1
55. dicular
The
plane
passes
through
the
points
and
al
plano
6x
1
7y
1
2z
5
10.
2x
3y
z
3.
and
is
perpendicular
to
the
plane
2x
3y
z
3.
and
is
perpendicular
to
the
plane
2x 3y
3y zz 3.3.
andisisperpendicular
perpendiculartotothe
theplane
plane2x
and
2x
3y
z
3.
and
is
perpendicular
to
the
plane
57.
plano
pasa
por los
puntosthe
(1, points
22,
21)3,
(2,11115,and
6) y 3,
es
parale56.
The
plane
passes
through
3,
1,
56.
The
plane
passes
through
the
points
and
3,y2,
2,
3,1,
1, 5555
56. El
The
plane
passes
through
the
points
and
3,3,
2,2,
3,
1,
56.
The
plane
passes
through
the
points
and
3,
2,
1
3,
1,
5
56. lo
The
plane
passes
through
the
points
and
al
eje
x.
6x
7y
2z
10.
and
is
perpendicular
to
the
plane
6x
7y
2z
10.
and
is
perpendicular
to
the
plane
6x 7y
7y 2z
2z 10.
10.
andisisperpendicular
perpendiculartotothe
theplane
plane6x
and
6x
7y
2z
10.
and
is
perpendicular
to
the
plane
58.
plano
pasa
por through
los
puntos
(4,
2, 1) y1,
yand
es paralelo
2,
2,
57.
The
plane
passes
the
points
11 and
57. El
The
plane
passes
through
the
points
and
1,(23,
2,5, 117)
2,5,
5,6666
57.
The
plane
passes
through
the
points
and
1,1,
2,2,
2,2,
5,5,
57.
The
plane
passes
through
the
points
57. al
The
plane
passes
through
ejeis
z.parallel
xand
to
and
parallel
the
axis.
x-axis.
and
is
parallel
tothe
the
axis.the points 1, 2, 1 and 2, 5, 6
x-xand
isis
parallel
toto
the
axis.
and plane
is parallel
to the x-axis.the points 4, 2, 1 and
58.
58.
The
plane
passes
through
the
points
and
4,2,2,
2,111 and
3,5,
5,7777
58. The
The plane
plane passes
passes through
through the
the points
points 4,4,
and 3,
3,3,
5,5,
58.
The
passes
through
4, 2, 1 and
3,y5,ha7
58.
The
plane
passes
through
the points
zand
is
parallel
to
the
axis.
zand
is
parallel
to
the
axis.
En los
ejercicios
59
y
60,
representar
gráficamente
la
recta
zand
is
parallel
to
the
axis.
and is parallel to the z-axis.
zand
is
parallel
to
the
axis.
llar los puntos de intersección (si los hay) de la recta con los planos
In
InExercises
Exercises
59and
and60,
60,sketch
sketchaaaagraph
graphof
ofthe
theline
lineand
andfind
findthe
the
xy,
xz
y yz. 59
In
Exercises
59
and
60,
sketch
graph
of
the
line
and
find
the
In
Exercises
59
and
60,
sketch
graph
of
the
line
and
find
the
In
Exercises
andthe
60,
sketch
a graph
ofxy
the
line
and
find
the
yz
points
(if
where
intersects
the
-,-,-,
-,-,-,
xy
xz
yz
points
(if
any)
where
the
line
intersects
the
and
-planes.
xy
xz
yz-planes.
points
(ifany)
any)59
where
theline
line
intersects
the
-,xz
-,and
and
-planes.
xy
xz
yz
points
(if
any)
where
the
line
intersects
the
and
-planes.
points
intersects
the1xyt-, xz-, and yz-planes.
59.
x 5(if1 any)
2 2t,where
y 5the
22line
1 3t,
z 5 24
2222 3t,
4444 tttt
59.
2t,
3t,
59.
2t, yyyy z 2
3t, zzzz
59. xxxxx2 21111 2t,
2t,
3t,
59.
3
4 t
59. xx 215 y2t,
1 1y5 zz 2 33 3t, z
60.
x
2
xx 3 22 yy 11 zz 2 33
60.
60.
60. x 2 yy 11 z 22 3
60.
y 1
60. 3333
22
3
2
En
los
ejercicios61–
61 a64,
64,find
hallaranuna
ecuaciónofdel
plano
que conIn
In
Exercises
equation
the
plane
that
In Exercises
Exercises 61–
61–64,
64, find
find an
an equation
equation of
of the
the plane
plane that
that
In
Exercises
61–
64,
find
an
equation
of
the
plane
that
tiene
todos
los
puntos
equidistantes
de los puntos
dados
In
Exercises
61–
64,
find
an
equation
of
the
plane
that
contains
all
the
points
that
are
equidistant
from
the
given
points.
contains
all
the
points
that
are
equidistant
from
the
given
points.
containsall
allthe
thepoints
pointsthat
thatare
areequidistant
equidistantfrom
fromthe
thegiven
givenpoints.
points.
contains
contains all the points that are equidistant from the given points.
61.
62.
1)
61. 2,
62. 1,
2,2,
2,0000,,,, 0,
0,2,
2,2222
1,0,
0,2222,,,, 2,
2,0,
0,1)
1)
61.
62.
2,2,
2,2,
0,0,
2,2,
1,1,
0,0,
2,2,
0,0,
1)
61.
62.
61. 2,3,2,1,0 2, , 0,6,2, 22, 4
62. 1,5,0,1,2 , 3 ,2, 0,2,1) 1, 6
63.
64.
3,
1,
2
,
6,
2,
4
5,
1,
3
,
2,
63.
64.
1,666
63. 3,3,1,1,22 ,, 6,6, 2,2,44
64. 5,5,1,1, 33 ,, 2,2, 1,1,
63.
64.
3, 1, 2 , 6, 2, 4
5, 1, 3 , 2, 1, 6
63.
64.
Rectas y planos en el espacio
Lines
Lines
and
Planes
in
Space
Linesand
andPlanes
Planesin
inSpace
Space
Lines
and
Planes
in
Space
Lines and Planes in Space
809
809
809
809
809
809
En los ejercicios 65 a 70, determinar si los planos son paralelos,
In
–70,
whether
the
planes
are
parallel,
In
Exercises
–70,
determine
whether
the
planes
are
parallel,
InExercises
Exercises65
65ninguna
–70,determine
determine
whether
theno
planes
are
parallel,
In
Exercises
65
–70,
determine
whether
planes
parallel,
ortogonales,
o65
de las dos
cosas. the
Si
son niare
paralelos
ni
In
Exercises
65
–70,
determine
whether
the
planes
are
parallel,
orthogonal,
or
neither.
If
they
are
neither
parallel
orthogonal,
or
neither.
If
they
are
neither
parallel
nor
orthogonal, hallar
or neither.
neither.
they
are neither
neither parallel
parallel nor
nor
orthogonal,
or
IfIf de
they
are
nor
ortogonales,
el ángulo
intersección.
orthogonal,
or the
neither.
Ifintersection.
they are neither parallel nor
orthogonal,
angle
orthogonal,find
find
the
angleof
of
intersection.
orthogonal,
find
the
angle
of
intersection.
orthogonal,
find
the
angle
of
intersection.
orthogonal,
find
the
angle
of
intersection.
65. 5x 2 3y 1 z 5 4
66. 3x 1 y 2 4z 5 3
65.
66.
5x
3y
3x
4z
65.
66.
5x 3y
3y zzzz 4444
3x yyyy 4z
4z 3333
65. 5x
66. 3x
5x
3y
3x
65.
66.
4y
7zz 5 14
29x
2
3y4z
1 12z3 5 4
3y17z
3x
y
4z
65. xx5x14y
66.
9x
xx 4y
4y
7z
9x
3y
12z
4y 7z
7z 1111
9x 3y
3y 12z
12z 4444
x
9x
3y
12z
67. x 2 3y
68. 3x 9x
6z
1 2y 3y
2z5
7
4y 16z
7z 5441
12z
4
x
3y
3x
2y
z
67.
68.
x
3y
6z
4
3x
2y
z
67.
68.
3y 6z
6z 4
3x 2y
2y zz 7777
67. xx 3y
68. 3x
67.
68.
5x
y 2 z6z5 444
x3x2 4y
1 2zz 5 07
x 13y
2y
67. 5x
68.
xxx 4y
5x
4y
2z
5x yyyy zzzz 4444
4y 2z
2z 000
4y
69. 5x
70. x2x
x5x2 5y
z 5 2z
12z 00
y 2zz 5114
x 24y
x
5y
2x
z
1
69.
70.
x
5y
z
1
2x
z
1
69.
70.
5y zz 11
2x zz 11
69. xx 5y
70. 2x
69.
70.
5x
25y 2
5z15 23
4x
10
x 25y
z 5z
2x 1 yyz 1 8z
18z 5 10
69. 5x
70. 4x
25y
3
5x
25y
5z
3
4x
8z
10
5x
25y
5z
3
4x yyy 8z
8z 10
10
5x 25y 5z
3
4x
5x 25y 5z
3
4x y 8z 10
En
los ejercicios
71 sketch
asketch
78, marcar
toda
intersección
y label
dibujar
la
In
71–78,
aaaagraph
of
InExercises
Exercises
71–78,
sketch
graph
ofthe
theplane
planeand
and
labelany
any
In
Exercises
71–78,
graph
of
the
plane
and
label
any
In
Exercises
71–78,
sketch
graph
of
the
plane
and
label
any
In
Exercises
71–78, sketch a graph of the plane and label any
gráfica
del plano.
intercepts.
intercepts.
intercepts.
intercepts.
intercepts.
71.
72.
3x
4x
2y
6z
12
6y
2z
71.
72.
4x 2y
2y 6z
6z 12
12
3x 6y
6y 2z
2z 6666
71. 4x
72. 3x
4x
2y
6z
12
3x
6y
2z
71.
72.
4x y2y 3z6z 4 12
3x y6y z 2z 4 6
71. 2x
72. 2x
73.
74.
2x
2x
y
3z
4
y
z
73.
74.
2x yy 3z
3z 44
2x yy zz 444
73. 2x
74. 2x
73.
74.
2x
y
3z
4
2x
y z 4
73.
74.
75.
76.
2x
75.
76.
2x yyyy 8888
75. xxxx zzzz 6666
76. 2x
2x
75.
76.
x
z
6
2x
y
8
75.
76.
77.
78.
77.
78.
77. xxxx 5555
78. zzzz 8888
77.
78.
77. x 5
78. z 8
In
79
aaaacomputer
algebra
system
graph
the
In
Exercises
79
–82,
computer
algebra
system
to
graph
the
InExercises
Exercises
79–82,
–82,
use
computer
algebra
systemto
topor
graph
the
En
los ejercicios
79 use
ause
82,
usar
un sistema
algebraico
compuIn
Exercises
79
–82,
use
computer
algebra
system
to
graph
the
In
Exercises
79
–82,
use
a
computer
algebra
system
to
graph
the
plane.
plane.
plane. para representar gráficamente el plano.
tadora
plane.
plane.
79.
80.
2x 1 yyyyy 2 zzzzz 5 66666
3z 53333
79. 2x
80. xxxx 23z
2x
3z
79.
80.
79.
80.
2x
2x
3z
79.
80.
x 3z4.7y3 z
79. 2x5x y 4y z 6z6
80. 2.1x
8
3333
81.
82.
5x
4y
6z
8
2.1x
4.7y
81.
82.
5x 1 4y
4y 2 6z
6z 5 28
2.1x 2 4.7y
4.7y 2 zzzz 5 23
81. 25x
82. 2.1x
81.
82.
4y
6z
2.1x
4.7y
5x
88
81.
82.
8
3
81. 5x 4y 6z
82. 2.1x 4.7y z
In
Exercises
83
–
86,
determine
if
any
of
the
planes
are
parallel
In
Exercises
83
–
86,
determine
if
any
of
the
planes
are
parallel
In Exercises
Exercises 83
83 – 86, determine
determine ifif any
any of
of the
the planes
planes are
are parallel
parallel
In
En
los ejercicios– 86,
83 a 86, determinar
si algunos
de los planos
son
In
Exercises
or
or
identical.
oridentical.
identical. 83 – 86, determine if any of the planes are parallel
or
identical.
paralelos
o idénticos.
or identical.
83.
2x
3z
15x
6y
24z
17
83.
84.
P11:11::: 2x
2x yyyy 3z
3z 8888
P1:1::: 15x
15x 6y
6y 24z
24z 17
17 84.
83. PPP
84. PPP
2x
3z
15x
6y
24z
17
83.
84.
2x
6y
24z
17
P
:
y
3z
8
83. PP11:1: 15x
84.
1
PPP
3x
5y
2z
5x
2y
8z
P22:22::: 3x
3x 5y
5y 2z
2z 6666
P2222::: 5x
5x 2y
2y 8z
8z 6666
3x
5y
2z
PP
5x
2y
8z
3x
P
:
5x
2y
8z
6
P
:
5y
2z
6
2 6x
2 8x
PPP
PPP
4y
12z
4y
4z
P33:33::: 8x
8x 4y
4y 12z
12z 5555
P33:33::: 6x
6x 4y
4y 4z
4z 9999
8x
4y
12z
6x
4y
4z
4y 2z
4z 49
12z 511
3: 6x
3: 8x4x 4y
PPP
PPP
P
2y
6z
11
P
3x
2y
2z
P44:44::: 4x
4x 2y
2y 6z
6z 11
11
P44:44::: 3x
3x 2y
2y 2z
2z 444
4x
2y
6z
3x
2y
P
:
3x
2y
2z
4
P
:
4x
2y
6z 11
4: 3x
4
:
P
2y
5z
10
85.
P
3x
2y
5z
10
85.
3x 2y
2y 5z
5z 10
10
85. PP1111:: 3x
85.
85. PP1: : 3x6x 2y4y 5z10z 10 5
6x
4y
10z
P2222::: 6x
6x 4y
4y 10z
10z 555
PP
6x 2y
4y 5z
10z 8 5
2::
PPP
3x
:
P
3x
2y
5z
P3333:: 3x
3x 2y
2y 5z
5z 888
P
:
3x
2y
5z
8
3
PPP
75x
50y
125z
250
P44:44::: 75x
75x 50y
50y 125z
125z 250
250
75x
50y
125z
250
75x
P
:
50y
125z
250
4:
P
60x
90y
30z
27
:
86.
P
60x
90y
30z
27
86.
60x 90y
90y 30z
30z 27
27
86. PP1111:: 60x
86.
30z
27
86. PP1: : 6x 60x9y 90y
3z
2
P
6x
9y
3z
2
:
2
6x 9y
9y 3z
3z 22
PP222:: 6x
3z 2
2: 6x20x9y 30y
PPP
P
30y
10z
P33:33::: 20x
20x 30y
30y 10z
10z 9999
20x
10z
P
:
20x
30y
10z
9
3
PPP
12x
18y
6z
P4:4::: 12x
12x 18y
18y 6z
6z 5555
12x
18y
6z
P444: 12x 18y 6z 5
In
In
Exercises
87–
90,
describe
the
family
of
planes
represented
by
InExercises
Exercises87–
87–90,
90,describe
describethe
thefamily
familyof
ofplanes
planesrepresented
representedby
by
In
Exercises
87–
90,
describe
the
family
of
planes
represented
by
In
Exercises
87–
90,
describe
the
family
of
planesde
represented
by
c
the
equation,
where
is
any
real
number.
c
the
equation,
where
is
any
real
number.
En
los
ejercicios
87
a
90,
describir
a
la
familia
planos
reprec
the
equation,
where
is
any
real
number.
the equation, where c is any real number.
c is any
the equation,
realc number.
sentada
por lawhere
ecuación,
donde
es cualquier número real.
87.
88.
87.
88.
87. xxxx yyyy zzzz cccc
88. xxxx yyyy cccc
87.
88.
x
y
z
c
x yy 5 cc0
87.
88.
87.
88.
xcy1 yzz1 z005 c
89.
90.
cz 000
89. cy
90. xxxxx 1cz
cy zz 00
cz
89.
90.
cy
cz
89.
90.
cy 1 zz 5 00
cz 5 00
89. cy
90. xx 1 cz
89.
90.
In
In Exercises
Exercises 91
91 and
and 92,
92, (a)
(a) find
find the
the angle
angle between
between the
the two
two
In
Exercises
91
and
92,
(a)
find
the
angle
between
the
two
In
Exercises
91
and
92,
(a)
find
the
angle
between
the
two
In
Exercises
91
and
92,ofof
(a)
find the equations
angle
between
the
two
planes,
and
(b)
find
aaaaset
parametric
for
the
line
of
planes,
and
(b)
find
set
parametric
equations
for
the
line
of
planes,
and
(b)
find
set
of
parametric
equations
for
the
line
of
planes,
and
(b)
find
set
of
parametric
equations
for
the
line
of
En los ejercicios 91 y 92, a) encontrar el ángulo entre los dos
planes,
and
(b)
find
a
set
of
parametric
equations
for
the
line
of
intersection
of
the
planes.
intersection
of
the
planes.
intersection
ofthe
theun
planes.
intersection
of
planes.
planos
y b) hallar
conjunto de ecuaciones paramétricas de la
intersection of the planes.
recta
91.
2y
92.
91. 3x
3xde intersección
2y zzzz 7777 de los planos.
92. 6x
6x 3y
3y zzzz 5555
91.
3x
2y
92.
6x
3y
91.
3x
2y
92.
6x
3y
91. x3x 4y2y 2zz 07
92. 6xx 3y
z 5
yyyy 15z
x
4y
2z
0
x
91. x3x
92. 6xxx2 3y
2y 22z
z 5 070
z5z
x 14y
4y
2z
5z5 55555
5z
x 4y 2z 0
x y 5z 5
x 2 4y 1 2z 5 0
2x 1 y 1 5z 5 5
1053714_1105.qxp10/27/08
10/27/08 10:40
AMPage
Page
1053714_1105.qxp
810810
3/12/09 10:40
17:27AM Page
810
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10:40 AM Page 810
810
Chapter 11
Vectors and the Geometry of Space
810
CAPÍTULO
11 Vectors
Vectores
y la geometría
del
Chapter
Geometry
of espacio
Space
810810
Chapter
11 11 Vectors
andand
thethe
Geometry
of Space
Vectors and the Geometry of Space
In Exercises 93 – 96, find the point(s) of intersection (if any) of
WRITING ABOUT CONCEPTS (continued)
the plane and the line. Also determine whether the line lies in
115. Describe a method for determining when two planes
En
los
ejercicios
93
a 96,
hallar
el o los
de intersección
Exercises
– 96,
find
the
point(s)
of intersection
any)
of
In
Exercises
93 –93
96,
find
the
point(s)
of puntos
intersection
(if (if
any)
of(si
theIn
plane.
I NA
G BAOBUde
OTUCTconceptos
W Desarrollo
RWI TRIINT G
OCNOCNECPETPST (Sc(continuación)
o(nctoi nn ut iendu)e d )
es 93 – 96, find the point(s)
of
intersection
(if
any)
of
los
hay)
del
plano
y
la
recta.
Investigar
además
si
la
recta
se
halla
plane
line.
Also
determine
d1 0 and
Wwhether
R I T Ithe
N Gthe
A line
Blies
O Ulies
Tin CinO N C E P 115.
T Sa1(xDescribe
c o n tbi1nyu e dc) 1z
thethe
plane
andand
thethe
line.
Also
determine
whether
line
a
method
for
determining
when
planes
115.
a method
for determining when
twotwo
planes
and the line. Also determine
whether the line lies 1in y
enthe
el plane.
plano.
3 2
z 1
115.Describe
uncplanes
método
the
a2Describir
x when
b2 ytwo
z d2 para0 determinar cuándo dos planos
115. Describe a method for determining
93.plane.
2x 2y z 12, x
2
0 and
21 y 1 1s3y2d z 21 1
a1xa1x b1yb1y c1z c1z d1 d1 0 and
a1x(a)
1 bparallel
1 d1(b)
5 0perpendicular.
c2z 1 d2your
50
y a x 1 b2 y 1Explain
93. 2x 2 2y 1 z 5 12, x 21 15y y 3 23 2 5
az1x z 1b11y c1z d1 0 and are
1y 1 c1zand
a
x
b
y
c
z
d
0 2
2x
2y
z
12,
x
93.
2
21
2
areasoning.
2x
2 x 2 b2 y 2 c2z 2 d2 2 0
193.
y2x 32y
2 z z5,12,1x x 1 2 y2 z 13 1
2
94.
3y
2
a2 x b2 y c2z d2 0
2y z 12, x
a)
paralelos
yand
b)
Explicar
el
razoson
are
(a)
parallel
(b)
perpendicular.
Explain
your
z 62 3
are
(a)
parallel
and
(b)perpendiculares.
perpendicular.
Explain
your
2
1
2 x 42 1 2y
Let
lines that do not
intersect.
Is
L1 and
LExplain
94. 2x 1 3y 5 25, x x 1 15y y5z z 3 3 are (a) parallel and (b) 116.
2 be nonparallel
namiento.
perpendicular.
your
reasoning.
2x
3y
5,
94.
4
2
6
reasoning.
x
1
y
1
94.
2x
3y
5,
x 1 95.
y 2x
z 33y 10,
it
possible
to
find
a
nonzero
vector
such
that
is
v
v
4
2
6
z
3
4
2
6
reasoning.
3y
5,
116.
Sean
yL Lbe
no paralelas
que
no
cortan.
¿Es Is
posi116.
Let
be
nonparallel
lines
do
not
intersect.
Is
LL1 1and
L2rectas
2 1
2
x 32 1 y 1
116.
Let
nonparallel
lines
thatthat
do se
not
intersect.
L1 and
4
2
6
perpendicular
both
and
L
Explain
your
reasoning.
L
?
2 to
1
2
2 3 Let L1 and L2 be nonparallel linesble
95. 2x 1 3y 5 10, x x 1 15y y 1 15 z116.
hallar
un intersect.
vector
vnonzero
distinto
de
cero
talsuch
que
vthat
seathat
perpenthat
do not
Isnonzero
it
possible
to
find
a
vector
such
is
v
v
it
possible
to
find
a
vector
is
v
v
2x
3y
10,
z
3
95.
3
22
x
4
y
1
z
2
10,
z 3
x 1 95.
y96. 2x
15x 3y
117. Find
an vequation
of yvthe
plane withelxrazonamiento.
-intercept a, 0, 0 ,
dicular
a such
ambos
it possible to find a nonzero
vector
that
3 3
2 2
perpendicular
toLboth
and
LExplain
your
reasoning.
L?1 Explicar
1 L Lis
2
3y 10,
z 3y 3 17,
perpendicular
to
both
and
L
your
reasoning.
?
2? Explain
2
3
5
1
2
x24 y11 z12
0, b,
0 , and z-intercept 0, 0, c . (Assume a,
3
2
to both L1 and117.
L2?y-intercept
Explain
your
reasoning.
2
96. 5x 1 3y 5 17, x x 4 45y y 1 15z z 2 perpendicular
Hallar
una
ecuación
delthe
plano
con
intersección
ena,x 0,
(a,
0,, 00),,
117.
Find
equation
plane
with
x-intercept
a,00,
117.
Find
anc an
equation
of of
the
plane
with
x-intercept
5x
3y
17,
96.
b,
and
are
nonzero.)
2
23
5
5x
3y
17,
96.
x 4 In
y Exercises
1 z 97–100,
2
2
3
5
intersección
en
y
(0,
b,
0)
e
intersección
en
z
(0,
0,
117.
Find
an
equation
of
the
plane
with
x
-intercept
a,
0,
0
,
find
the
distance
between
the
point
and
the
2
3
5
y-intercept
0,0b,, 0and
, and
z-intercept
0,c0,. c(Assume
. (Assume
a,
3y 17,
y-intercept
0, b,
z-intercept
0, 0,
a, c).
2
5
(Suponer
que
a,
b
y
c
son
distintos
de
cero.)
y-intercept
b, 0 , and z-intercept
0,
0,
c
.
(Assume
a,
plane.
En3los ejercicios
97 a 100, hallar la distancia del
punto al0,plano.
b,
and
c
are
nonzero.)
b, and c are nonzero.)
In Exercises
97–100,
distance
between
point
and
In Exercises
97–100,
findfind
thethe
distance
between
the
point
andnonzero.)
thethe
b, the
and
c are
CAPSTONE
es 97–100, find the distance
the point and the 98. 0, 0, 0
97.
0,between
0, 0
plane.
plane.
Para
discusión
118.
Match
the equation or set of equations with the description
2x 3y z 12
5x y z 9
0,00, 0
0,00, 0
C ACPASitPTS
OTNOEN E
97.97.0, 0,
98.98.0, 0,
represents.
99.98.2, 8,
100. 1, C3,A P1S T O N E
0
0, 40, 0
118.
Encontrar
laequation
correspondencia
entre la
ecuación
o conjunto
118.
Match
the
or set
of equations
with the description
118.
Match
theof
equation
or set
of equations
2x 2x 3y 3y z z 12 12
5x 5x y y z z 9 9
(a)
Set
parametric
equations
ofdescripción
a with
line the description
de
ecuaciones
que
cumple
con
la
indicada.
with
the
description
3x 118.
2x 5x y y z z 5 9
4y Match
5z the6 equation or set of equations
3y z 12
it
represents.
it represents.
2,48, 4
1, 3,1 1
99.99.2, 8,
100.100.1, 3,
(b)
Set of symmetric
equations
of a line de una recta
it represents.
a) (a)
Conjunto
ecuaciones
paramétricas
4
100. 1, 3, 1
of de
parametric
equations
a line
(a)
SetSet
of parametric
equations
of aofline
z 5 a5 verify
3x
4y planos
5z 6parallel,
6 paraIn
that theque
planes
2x 2x
y y101–104,
z 101
3xtwo
5z are
EnExercises
los
ejercicios
104, verificar
los4y
dos
son
(c)
Standard
equation
of
a
plane
in space
(a)
Set
of
parametric
equations
of
a
line
b)
Conjunto
de
ecuaciones
simétricas
de
una recta
y z 5
3x
4y
5z
6
(b)
Set
of
symmetric
equations
of
a
line
(b) Set of symmetric equations of a line
and
find
the distance
between
theellos.
planes.
lelos,
y hallar
la distancia
entre
General
form
of an
equation
ofena el
plane
in space
(b) are
Setare
of symmetric
of
aEcuación
line
Exercises
101–104,
verify
planes
parallel, equations (d)
In In
Exercises
101–104,
verify
thatthat
thethe
twotwo
planes
parallel,
c)
estándar
de
un
plano
espacio
Standard
equation
a plane
in space
(c) (c)
Standard
equation
of aofplane
in space
es 101–104, verify and
that
the
two
planes
parallel,
101.
102.
xxfind
3y
4z4z 5are
10
4x
and
the
planes.
2
3y
1distance
10between
4x 24y
4y (c)
19z9z
577 equation of a planed)
101.
102.
find
the
distance
between
thethe
planes.
i)inForma
x 6general
2
y
1
3
z
1
Standard
space
dean
la equation
ecuación
deaof
un
espacio
General
form
of
an
equation
aplano
plane
in el
space
(d) (d)
General
form
of
of
plane
in en
space
he distance between the planes.
xx 23y
4x
3y3y14z4z4z56610
4x4x24y
4y4y(d)
19z9z
518
187 form of an equationii)of a2xplane7yin space
5z
10
0
General
x
9z
101.
102.
101. x 3y 4z 10
102. 4x 4y 9z 7
i) i)x x 6 62 2 y y 1 1 3 3 z 1z 1
103.
104.
3x
102.23x
3y 4z 10
4x 16y
4y
9z
6y 17z
7z 5171
2x 24z4z 544 x 6182
103.
104. 2x
y 1
3 iii)z 1x 4 7t, y 3 t, z 3 3t
x x 3y 3y 4z 4z 6 6
4x 4x 4y 4yi)9z 9z
18
ii) ii)2x 2x 7y 7y 5z 5z 10 10 0 0
6x
12y
2x
3y 4z 6
4y 214z
9z 525
18
6x4x2
12y
14z
25
2x2x24z4z4zii)
510
10
iv) 2(x 1) ( y 3) 4(z 5) 0
2x
7y
5z
10
0
3x
6y
7z
1
4
103.
104.
103. 3x 6y 7z 1
104. 2x 4z 4
y y 3 3 t, z t, z 3 3 3t 3t
iii) iii)x x 4 4 7t, 7t,
104. 2x 4z 4
6y 7z 1
iii)
x
4
7t,
y
3
t,
z
3 3t
12y 14z14zfind
10point and
In Exercises
the distance
between
the
6x 6x 12y105–108,
25 25
2x 2x
4z 4z 10
iv)
2(x
1)
iv) 2(x 1) ( y ( y 3) 3) 4(z 4(z 5) 5) 0 0
En los ejercicios
105
a 108, hallar la distancia del punto a la recta
12y 14z 25
10set
the line 2x
given 4z
by the
of parametric equations.
iv) 2(x 1) ( y 3) 4(z 5) 0
por medio
del conjunto
de
ecuaciones
paramétricas.
In
Exercises
105–108,
distance
between
point
119. Describe and find an equation for the surface generated by all
Indada
Exercises
105–108,
findfind
thethe
distance
between
thethe
point
andand
Describir
unafour
ecuación
para la
119.points
es 105–108, find thethe
distance
between
the
point
and
105.
1,
5,
2
;
x
4t
2,
y
3,
z
t 1
the
line
given
by
set
of
parametric
equations.
x, y,yz hallar
that are
units from
thesuperficie
point 3, generada
2, 5 . por
line
given
by
the
set
of
parametric
equations.
105. s1, 5, 22d; x 5 4t 2 2, y 5 3, z 5 2t 1 1
119.
Describe
and
find
any, equation
for
the
surface
generated
all
todos
los
puntos
(x,
z)
que
están
a
cuatro
unidades
del
punto
ven by the set of parametric
equations.
119.
Describe
and
find
an
equation
for
the
surface
generated
by by
all
106. 1, 2, 4 ; x 2t, y t 3, z 2t 2
120.for
Describe
and generated
find an equation
for the surface generated
by
the
surface
by
all
1,22,
5,2 4; d2; ;x x x54t2t,4t 2,y 2,
y 3,3,3,z119.
z Describe
105.1,s1,5,
5y t 2
z5
2tt 1t 12 1and find an equation
106.
x,
y,
z
3,
2,
5
.
points
that
are
four
units
from
the
point
s
3,
22,
5
d
.
105.
pointspoints
x, y, z x,that
four units from the point 3, 2, 5 .
y,3,zarethat
2t x, y, z that are four unitsall
2 ; x 4t 2, 107.
y 3, 2,z1, 3 ; t x 1 1 t, y 2 t, z points
from the point
2, 5 .are four units from the plane
1,2,1,42,3; d4; ;x x x52t,1 2t,
t 3,2 3,
2t 22t
106.1,s22,
2y t, y ty 5
1z t, z 2tz 5
107.
120.
Describe
find
an
equation
for
the
surface
generated
by
120.
hallar
ecuación
superficie
generada
106.
2 2
120.
Describe
find
anuna
equation
forpara
thela
surface
generated
bypor
4xDescribir
3y andyzand
10.
z 1 t
2, 4 ; x 2t, y 108.
t 3,4, z 1, 52t; x2 3, y 1 3t, 120.
for
thepoints
surface
byare
x,generated
y,sx,zthat
all
four
units
from
the
plane
todos
los
puntos
que
están
aunits
cuatro
unidades
del
plano
y,that
zd are
2,31,5; d3; ;x x x51 3,1 t,y t,5
2 t, zt,z5Describe
z1 12tt 2t and find an equation
107.s4,
all
points
four
from
the
plane
x,
y,
z
108.
107.
2, 21,
1,
y 1y1
2 3t,
Modeling
Data Per
all points x, y, z that 121.
are 4x
four
units
the capita
plane consumptions (in gallons) of
4x 2
3y 1
10.
4x
3y
zz 5
10.
1, 3 ; x 1 t, y 2 t, z
2t
3y
z from
10.milk
3,yverify
y 1 that
1 3t, 3t,
z 1 1are
t
In 108.
Exercises
109
110,
the
parallel,
and
different
types
of
in
the United States from 1999 through
108.
4, 4,1, 51,
; 5 ;and
x x 3,
z lines
t
4x 3y z 10.
121.
Modeling
Data
Per
capita
consumptions
(in
gallons)
1, 5 ; x 3, y find
1En los
3t, ejercicios
z 1 between
t y 110,
121.
Modelado
matemático
Los
consumos
perof
cápita
(en
galones)
109
verificar que las rectas son paralelas
121.
Modeling
Data
capita
consumptions
(in
gallons)
of of
the
distance
them.
2005
are shown
inPer
the
table.
Consumptions
flavored
milk,
Modeling
Dataandand
Per capita consumptions
(in
gallons)
of
In
Exercises
110,
verify
the
lines
parallel,
different
types
of
milk
in
the
United
States
from
1999
through
de
diferentes
de
leche
en
Unidos
desde
1999
hallar
la distancia
entre
ellas.
Iny Exercises
109109
andand
110,
verify
thatthat
the121.
lines
areare
parallel,
different
types
oftipos
milk
in
the
United
States
from
1999
through
plain
reduced-fat
milk,
and
plain
lightEstados
and
skim
milks
are
reprees 109 and 110, verify
that
lines
parallel,
and
States
from
1999
109.
:the
L1the
x distance
2 are
t, between
y them.
3 them.
2t, z 4 tdifferent types of milk in the United
find
2005
are
shown
in through
the
Consumptions
of flavored
milk,
hasta
2005
se
muestran
en
la
tabla.
El ofconsumo
de
leche
find
the
distance
between
2005
areby
shown
in
the
table.
Consumptions
flavored
milk,
sented
the
variables
x,table.
y,
and
z, respectively.
(Source:
2 2yt, y1 5 36t,1 2t,
t
stance between them.109. LL:1: xx 53t,
are shown in the table. Consumptions
ofyflavored
plain
reduced-fat
and
plain
light
skim
milks
are
repredescremada
semidescremada,
leche
reducida
enare
grasas
y la
plain
reduced-fat
milk,
andmilk,
plain
light
andand
skim
milks
reprez 4z 5 43t12005
Department
of milk,
Agriculture)
2 t, t,y y 3 3 2t, 2t,z z 4 4 t plain
t reduced-fat milk, and plain U.S.
109.109.
L1L2: L:x1:x x52 3t,
light
and
skim
milks
are reprex,por
y,las
z, respectively.
sented
by
the
variables
and
(Source:
y
5
1
2
6t,
z
5
4
2
3t
leche
entera
se
representa
variables
x,
y
y
z,
respectivasented
by
the
variables
x,
y,
and
z,
respectively.
(Source:
2
2 9t, z 1 12t
2 t, y 3 110.
2t, zL1: x4 3t 6t, y
respectively.
z,Department
L : x 3t, y 1 6t, z 4 4 3t 3tsented by the variables x, y, and
U.S.
Department
of(Source:
Agriculture)
mente.
Department
Agriculture)
Agriculture)
z 5 18t2 12t
110.L2L: :x2 x 53t,3 1y 6t, 1 y 56t,22z1 9t,
1999(Fuente:
2000ofU.S.
2001
2002 of 2003
2004 2005
AñoU.S.
3t, y 1 6t, z110.L42:1 x 3t 1 4t, y 3 6t, z
U.S.
Department
of
Agriculture)
3 6t, 6t,y y 2 2 9t, 9t,z z 1 1 12t12t
110. L1L: L:x1:x x53 21
1 4t, y 5 3 1 6t, z 5 28t
2
3 6t, y
2 9t, z 1 12t
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.7
1.7
x Año 1999
1999 2000
2000 2001
2001 2002
2002 2003
2003 2004
2004 2005
2005
Año
y 3 3 6t, 6t,z z 8t 8t
1B O1U
4t,T 4t,Cy O N
W RLI2T: LIx2N: Gx A8t
C E P T S Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
1 4t, y 3 6t, z
7.31.4 1.4
7.11.4 1.4
7.01.4 1.6
7.01.6 1.6
6.91.6 1.7
6.91.7 1.7
6.91.7
1.4
xy x
111. Give the parametric
equations and the symmetric equations
I NA
G BAOBUde
OTUCTconceptos
PST S x
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.7
1.7
WDesarrollo
RWI TRofIINTaG
OCNOCNECPETwhat
line
in
space.
Describe
is
required
to
find
these
N G A B O U T C O N C E P 111.
T S Give the parametric equations and the symmetric equations
6.27.3 7.1
6.17.1 7.0
5.97.0 7.0
5.87.0 6.9
5.66.9 6.9
5.56.9 6.9
5.66.9
7.3
yz y
111.
and the
symmetric
equations
111.Give
Darthe
lasparametric
ecuacionesequations
paramétricas
y ylas
ecuaciones
simétriequations.
7.3
7.1
7.0
7.0
6.9
6.9
6.9
e the parametric equations and
the
equations
asymmetric
line
inrecta
space.
what
is required
tosefind
these
of
aofline
space.
Describe
what
isDescribir
required
to find
these
cas
de
una
enDescribe
el espacio.
qué
requiere
5.9
5.8
5.6
5.5
5.6
6.26.2
6.16.1
z z A model
Give
thein
standard
equation
of a plane
in space.
Describe
a line in space. Describe112.
what
is
required
to
find
these
data 5.9
is 5.6
given 5.8
by 0.92x5.6 1.03y5.5 z 5.6
0.02.
equations.
equations.
6.2
6.1
5.9
5.8
5.6for the5.5
z
para ishallar
estastoecuaciones.
what
required
find
this
equation.
ations.
(a) Complete
a fourth
rowestá
in dado
the table
using the model to
112.
Give
standard
equation
ofplane
a plane
inelspace.
Describe
para
losdata
datos
por 1.03y
112.
Give
the
standard
equation
of aun
Describe
112.
Dar
la the
ecuación
estándar
de
enspace.
espacio.
Des0.92x
1.03y z z 0.02.
0.02.
A modelo
model
the
is given
by
AUn
model
for for
the
data
is
given
byvalues
0.92x
Describe
aspace.
method
of finding
theplano
lineinof
intersection
of
e the standard equation113.
of awhat
plane
in
Describe
approximate
z
for
the
given
of
x
and y. Compare
the
what
is
required
to
find
this
equation.
is
required
to
find
this
equation.
A
model
for
the
data
is
given
by
0.92x
1.03y
z
0.02.
cribir
qué
se
requiere
para
hallar
esta
ecuación.
two planes.
Complete
a fourth
row
in the
table
using
model
(a) (a)
Complete
a fourth
row
inactual
the
table
using
thethe
model
to to
at is required to find this equation.
approximations
with
the
values
of
z.
113.
Describe
a método
method
of hallar
finding
the
line
ofComplete
intersection
of row in thea)table
Hacer
un cuarto
renglón
de
la
tabla
usando
el Compare
modelo
para
113.
Describe
aeach
method
of de
finding
the
line
of
intersection
ofa,fourth
(a)
aentre
using
the
to
113.
Describir
un
la
recta
de
intersección
zmodel
x and
y.
approximate
for
the
given
values
of
the
approximate
z
for
the
given
values
of
x
and
y.
Compare
the
114.
Describe
surface
given
by
the
equations
x
scribe a method of finding two
the
line
of intersection of
(b) According
tozCompare
this
model,
any increases
in
consumption
oflas
two
planes.
aproximar
con
los
valores
dados
de
x
y
y.
Comparar
planes.
approximate
z
for
the
given
values
of
x
and
y.
the
dos
planos.
z.
approximations
with
the
actual
values
of
approximations
with
the
actual
values
of
z.
y
b,
and
z
c.
planes.
two
types
will los
havevalores
what effect
aproximaciones
realesondethe
z. consumption
approximations
values
of z.of milk con
114.
Describe
each
surface
given
by
the
equations
a,with the actual(b)
114.
Describe
each
surface
given
thelas
equations
x xx 5
a, a,
114.
Describir
toda
superficie
dadabypor
ecuaciones
According
to this
model,
increases
in consumption
(b) According
totype?
this
model,
anyany
increases
in consumption
of of
of
the
third
scribe each surface given ybyy y5the
equations
x
a,
b,
b) Según
este
modelo,
cualquier
incremento
elconsumption
consumo de
b,band
z5 zc.c. c.
(b) According to this model, any increases
in
consumption
ofhave
y zand
two
types
of
milk
will
what
effect
onen
the
two
types
of
milk
will
have
what
effect
on
the
consumption
b, and z c.
dos
deconsumption
leche
two types of milk will have whatofeffect
on third
the
of tipos
the
type?tendrá ¿qué efecto en el consumo del terthe
third
type?
cer tipo?
of the third type?
Chapter 11
Larson-11-05.qxd
1053714_1105.qxp
3/12/09
10/27/08
17:27
Page 811
10:40 AM
Page 811
SECCIÓN 11.5
122. Diseño industrial Un colector en la parte superior de un
montacargas de grano canaliza el grano a un contenedor. Hallar
ángulo entreDesign
dos ladosThe
adyacentes.
122.elMechanical
figure shows a chute at the top of a
grain elevator of a combine that funnels the grain into a bin.
8 pulg
8 pulgthe angle between two adjacent sides.
Find
11.5 Lines and Planes in Space
811
124. Hallar la ecuación estándar de la esfera con el centro en
(23, 2, 4) que es tangente al plano dado por 2x 1 4y 2 3z 5 8.
2 center
y 1 4z共⫺3,
5 7 2,con
125.
el punto
de intersección
4兲
124. Hallar
Find the
standard
equation of del
the plano
sphere3x
with
lathat
recta
que pasa
(5, 4, given
23) yby
que
2xes⫹perpendicular
4y ⫺ 3z ⫽ 8.a este
is tangent
to por
the plane
125. plano.
Find the point of intersection of the plane 3x ⫺ y ⫹ 4z ⫽ 7
126. Mostrar
plano 共2x
es paralelo a latorecta
y 2兲 3z
5, 2
4, ⫺3
and the que
lineelthrough
that5is4 perpendicular
this
xplane.
5 22 1 2t, y 5 21 1 4t, z 5 4, y hallar la distancia entre
126. ambos.
Show that the plane 2x ⫺ y ⫺ 3z ⫽ 4 is parallel to the line
8 in.
8 in.
811
Rectas y planos en el espacio
8 pulg
8 in.
6 pulg
6 pulg
6 in. a lo largo de rectas dife123. Distancia Dos insectos se arrastran
6
in.
rentes en el espacio. En el instante t (en minutos), el primer
está Two
en elinsects
punto are
(x, crawling
y, z) sobre
la recta
x 5lines
6 1 t,in
123.insecto
Distance
along
different
También,
en
el
instante
t,
el
segundo
y three-space.
5 8 2 t, zAt
5 time
3 1 t.t (in
minutes), the first insect is at the
insecto
el punto
sobre
la 8recta
point 共está
the line(x,x y,
x, y, en
z兲 on
⫽ z)
6⫹
t, y ⫽
⫺ t, xz5
⫽131
⫹t,t.
y Also,
521
5the
2t. second insect is at the point 共x, y, z兲 on the
at t,timez t,
Suponer
last,distancias
en pulgadas.
line x ⫽que
1⫹
y ⫽ 2 ⫹ t,sez dan
⫽ 2t.
a)Assume
Hallar that
la distancia
los dos
insectos en el instante
distancesentre
are given
in inches.
0. the distance between the two insects at time t ⫽ 0.
(a)t 5
Find
b)(b)Usar
herramienta
de graficación
para
representar
la disUseuna
a graphing
utility
to graph the
distance
between
the
tancia
entre
los tinsectos
⫽ 0 to tdesde
⫽ 10.t 5 0 hasta t 5 10.
insects
from
c)(c)Usando
gráfica
delfrom
inciso
b), (b),
¿quéwhat
se puede
acerUsinglathe
graph
part
can concluir
you conclude
ca about
de la distancia
entre
los
insectos?
the distance between the insects?
127. Hallar
intersección
por
x ⫽ ⫺2el ⫹punto
2t, y de
⫽ ⫺1
⫹ 4t, z ⫽de4, laandrecta
findque
the pasa
distance
(1,
23, 1)them.
y (3, 24, 2), y el plano dado por x 2 y 1 z 5 2.
between
128.
un conjunto
de ecuaciones
de la共1,
recta
⫺3,que
1兲
127. Hallar
Find the
point of intersection
of paramétricas
the line through
pasa
el punto
2) ygiven
es paralela
plano
3, ⫺4,
2兲, and(1,
z ⫽ dado
2. por
and 共por
the0,plane
by x ⫺aly ⫹
la the
recta
1 y a1setz of
5 parametric
5, y perpendicular
x5
t, y 5through
1 1 t,
128. xFind
equationsa for
line
passing
zthe
5 1point
1 t. 共1, 0, 2兲 that is parallel to the plane given by
x ⫹ y ⫹ z ⫽ 5, and perpendicular to the line x ⫽ t,
¿Verdadero
y ⫽ 1 o⫹falso?
t, z ⫽ 1En
⫹los
t. ejercicios 129 a 134, determinar si la
declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o
dar
unorejemplo
que129–134,
es falsa. determine whether the
True
False? que
In pruebe
Exercises
statement
false. If it is false, explain why or give an
129.
Si v 5isa1true
i 1 bor
1j 1 c1k es cualquier vector en el plano dado por
example
a x 1that
b yshows
1 c z it
1isd false.
5 0, entonces a a 1 b b 1 c c 5 0.
2
2
2
2
1 2
1 2
1 2
i ⫹rectas
b1j ⫹encel
129. Todo
If v ⫽
is any ovector
in the
plane
given by
130.
para1de
se cortan
o son
paralelas.
1k espacio
a
x
⫹
b
y
⫹
c
z
⫹
d
⫽
0,
a
a
⫹
b
b
⫹
c
c
then
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
131. Dos planos en el espacio o se cortan o son paralelos. ⫽ 0.
132.
dos rectas
son paralelas
un plano P, or
entonces
L1 yinL2space
130. Si
Every
two lines
are eithera intersecting
parallel.L1 y
paralelas.
2 sonplanes
131. LTwo
in space are either intersecting or parallel.
133.
planos
a un tercer
en then
el espacio
L1 and L2 are parallel
L1 andson
132.Dos
If two
linesperpendiculares
to a plano
plane P,
L2
paralelos.
are parallel.
134.
plano
y una
recta en el to
espacio
intersecan
sonparallel.
parale133.Un
Two
planes
perpendicular
a thirdse
plane
in spaceo are
los.
134. A plane and a line in space are either intersecting or parallel.
d)(d)¿Qué
setoacercan
los insectos?
Howtanto
close
each other
do the insects get?
PROYECTO
S E C T I ODE
N TRABAJO
PROJECT
Distances en
in Space
Distancias
el espacio
En
estahave
sección
se hantwo
vistodistance
dos fórmulas
para distancia,
la distancia
You
learned
formulas
in this section—the
dedistance
un puntobetween
a un plano,
y la distancia
de un
punto
una recta.
En estea
a point
and a plane,
and
the adistance
between
proyecto
se estudiará
tercer
problema
distancias,
distancia
de
point and
a line. Inunthis
project
you de
will
study a lathird
distance
dos
rectas
que
se
cruzan.
Dos
rectas
en
el
espacio
son
oblicuas
si
no
problem—the distance between two skew lines. Two lines in space
son
ni seare
cortan
(verparallel
la figura).
areparalelas
skew if they
neither
nor intersecting (see figure).
a)(a)Considerar
las
siguientes
dos
enspace.
el espacio.
Consider the following two rectas
lines in
L1L:1x: x5⫽4 41⫹5t,5t,y y5⫽5 51⫹5t,5t,z z5⫽1 12⫺4t4t
L2L:2x: x5⫽4 41⫹s,s,y y5⫽26
⫺61⫹8s,
8s,z z5⫽7 72⫺3s3s
i)(i)Mostrar
que these
estas lines
rectasare
nonot
sonparallel.
paralelas.
Show that
ii) Mostrar que estas rectas no se cortan, y por consi(ii) Show that these lines do not intersect, and therefore are
guiente las rectas se cruzan.
skew lines.
iii) Mostrar que las dos rectas están en planos paralelos.
(iii)
Showlathat
the twoentre
lineslos
lie planos
in parallel
planes.del inciso
iv) Hallar
distancia
paralelos
(iv)iii).
Find
thees
distance
between
thelas
parallel
part
Ésta
la distancia
entre
rectasplanes
que sefrom
cruzan
(iii). This is the distance between the original skew
originales.
b) Usar ellines.
procedimiento del inciso a) para encontrar la distan(b)ciaUse
thelasprocedure
entre
rectas. in part (a) to find the distance between
Lthe
: x lines.
5 2t, y 5 4t, z 5 6t
1
4t,4 z1⫽s,6tz 5 21 1 s
L2L:1x: x5⫽1 2t,
2 s,y ⫽
y5
L2: x ⫽ 1 ⫺ s, y ⫽ 4 ⫹ s, z ⫽ ⫺1 ⫹ s
c)(c)Usar
procedimiento
parathe
encontrar
distanUseelthe
procedure in del
partinciso
(a) toa)find
distancelabetween
cia
las rectas.
theentre
lines.
LL11::xx 5
⫽ 3t,
3t, yy 5
⫽ 22 2
⫺ t,t, zz 5
⫽ 21
⫺11
⫹tt
LL22::xx 5
⫽ 11 1
⫹ 4s,
4s, yy 5
⫽ 22
⫺2 1
⫹ s,s, zz 5
⫽ 23
⫺3 2
⫺ 3s
3s
d)
fórmula
encontrar
la distancia
de the
las
(d)Desarrollar
Develop auna
formula
for para
finding
the distance
between
rectas
skewoblicuas.
lines.
LL11::xx 5
⫽ xx11 1
⫹ aa11t,t, yy 5
⫽ yy11 1
⫹ bb11t,t, zz 5
⫽ zz11 1
⫹ cc11tt
LL22::xx 5
⫽ xx22 1
⫹ aa22s,s, yy 5
⫽ yy22 1
⫹ bb22s,s, zz 5
⫽ zz22 1
⫹ cc22ss
L1
L2
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CAPÍTULO 11
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Vectores y la geometría del espacio
11.6 Superficies en el espacio
n
n
n
Reconocer y dar las ecuaciones de superficies cilíndricas.
Reconocer y dar las ecuaciones de superficies cuádricas.
Reconocer y dar las ecuaciones de superficies de revolución.
Superficies cilíndricas
z
Las primeras cinco secciones de este capítulo contienen la parte vectorial de los conocimientos preliminares necesarios para el estudio del cálculo vectorial y del cálculo en el
espacio. En ésta y en la próxima sección, se estudian superficies en el espacio y sistemas
alternativos de coordenadas para el espacio. Ya se han estudiado dos tipos especiales de
superficies.
y
x
1. Esferas: sx 2 x0d2 1 s y 2 y0d2 1 sz 2 z0d2 5 r 2
2. Planos: ax 1 by 1 cz 1 d 5 0
Sección 11.2.
Sección 11.5.
Un tercer tipo de superficie en el espacio son las llamadas superficies cilíndricas, o
simplemente cilindros. Para definir un cilindro, considerar el familiar cilindro circular
recto mostrado en la figura 11.56. Se puede imaginar que este cilindro es generado por una
recta vertical que se mueve alrededor del círculo x2 1 y 2 5 a2 que se encuentra en el
plano xy. A este círculo se le llama curva directriz (o curva generadora).
Cilindro circular recto:
x2 + y2 = a2
Las rectas generatrices son paralelas al eje z
Figura 11.56
DEFINICIÓN DE UN CILINDRO
Sea C una curva en un plano y sea L una recta no paralela a ese plano. Al conjunto
de todas las rectas paralelas a L que cortan a C se le llama un cilindro. A C se le
llama la curva generadora (o la directriz) del cilindro y a las rectas paralelas se
les llama rectas generatrices.
Recta generatriz
que corta a C
z
Curva
directriz C
NOTA
Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que C se encuentra en uno de los tres planos
coordenados. En este texto se restringe la discusión a cilindros rectos, es decir, a cilindros cuyas (rectas) generatrices son perpendiculares al plano coordenado que contiene a C, como se muestra en la
figura 11.57.
n
La ecuación de la (curva) directriz del cilindro circular recto mostrado en la figura
11.56 es
x
y
Cilindro: las rectas generatrices cortan a C
y son paralelas a la recta dada
Figura 11.57
x2 1 y 2 5 a2.
Ecuación de la curva directriz en el plano xy.
Para encontrar una ecuación del cilindro, hay que observar que se puede generar cualquiera
de las (rectas) generatrices fijando los valores de x y y y dejando que z tome todos los valores reales. En este caso, el valor de z es arbitrario y, por consiguiente, no está incluido en
la ecuación. En otras palabras, la ecuación de este cilindro simplemente es la ecuación de
su curva generadora o directriz.
x2 1 y 2 5 a2
Ecuación de un cilindro en el espacio.
ECUACIÓN DE UN CILINDRO
La ecuación de un cilindro cuyas rectas generatrices son paralelas a uno de los ejes
coordenados contiene sólo las variables correspondientes a los otros dos ejes.
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SECCIÓN 11.6
EJEMPLO 1
813
Superficies en el espacio
Trazado de cilindros
Trazar la superficie representada por cada una de las ecuaciones.
a) z 5 y 2
b) z 5 sen x, 0 ≤ x ≤ 2p
Solución
a) La gráfica es un cilindro cuya directriz, z 5 y 2, es una parábola en el plano yz. Las generatrices del cilindro son paralelas al eje x, como se muestra en la figura 11.58a.
b) La gráfica es un cilindro generado por la curva del seno en el plano xz. Las generatrices son paralelas al eje y, como se muestra en la figura 11.58b.
La directriz C está
en el plano yz
La directriz C está
en el plano xz
z
z
1
y
π
y
x
x
Cilindro: z = y2
a) Las generatrices son paralelas al eje x
Cilindro: z = sen x
b) Las generatrices son paralelas al eje y
Figura 11.58
Superficies cuádricas
AYUDA DE ESTUDIO En la tabla de las
páginas 814 y 815 se muestra sólo una
de las varias orientaciones posibles de
cada superficie cuádrica. Si la superficie está orientada a lo largo de un eje
diferente, su ecuación estándar cambiará consecuentemente, como se ilustra en los ejemplos 2 y 3. El hecho de
que los dos tipos de paraboloides tengan una variable elevada a la primera
potencia puede ser útil al clasificar las
superficies cuádricas. Los otros cuatro
tipos de superficies cuádricas básicas
tienen ecuaciones que son de segundo
grado en las tres variables.
El cuarto tipo básico de superficies en el espacio son las superficies cuádricas. Éstas son
los análogos tridimensionales de las secciones cónicas.
SUPERFICIES CUÁDRICAS
La ecuación de una superficie cuádrica en el espacio es una ecuación de segundo
grado en tres variables. La forma general de la ecuación es
Ax2 1 By2 1 Cz2 1 Dxy 1 Exz 1 Fyz 1 Gx 1 Hy 1 Iz 1 J 5 0.
Hay seis tipos básicos de superficies cuádricas: elipsoide, hiperboloide de una
hoja, hiperboloide de dos hojas, cono elíptico, paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico.
A la intersección de una superficie con un plano se le llama la traza de la superficie
en el plano. Para visualizar una superficie en el espacio, es útil determinar sus trazas en
algunos planos elegidos inteligentemente. Las trazas de las superficies cuádricas son cónicas. Estas trazas, junto con la forma canónica o estándar de la ecuación de cada superficie cuádrica, se muestran en la tabla de las páginas 814 y 815.
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CAPÍTULO 11
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Vectores y la geometría del espacio
Elipsoide
z
z
Traza
y
x
Traza yz
Traza xz
x2
y2
z2
1 21 251
2
a
b
c
Plano
Elipse
Paralelo al plano xy
Elipse
Paralelo al plano xz
Elipse
Paralelo al plano yz
La superficie es una esfera si
a 5 b 5 c Þ 0.
y
x
Traza xy
Hiperboloide de una hoja
z
z
x2
y2
z2
1 22 251
2
a
b
c
Traza
Plano
Elipse
Hipérbola
Hipérbola
Paralelo al plano xy
Paralelo al plano xz
Paralelo al plano yz
El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente
es negativo.
y
x
Traza xy
y
x
Traza yz
Traza xz
Hiperboloide de dos hojas
z
x
Traza yz
z2
x2 y2
2 22 251
2
c
a
b
y
Traza
Plano
Elipse
Hipérbola
Hipérbola
Paralelo al plano xy
Paralelo al plano xz
Paralelo al plano yz
El eje del hiperboloide corresponde
a la variable cuyo coeficiente es
positivo. No hay traza en el plano
coordenado perpendicular a este
eje.
x
Paralela al
plano xy
z
Traza xz
No hay
traza xy
y
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Página 815
SECCIÓN 11.6
Cono elíptico
z
2
2
z
Traza xz
2
x
y
z
⫹
⫺ ⫽0
a2 b2 c2
y
x
Traza
Plano
Elipse
Hipérbola
Hipérbola
Paralelo al plano xy
Paralelo al plano xz
Paralelo al plano yz
El eje del cono corresponde a la
variable cuyo coeficiente es negativo. Las trazas en los planos coordenados paralelos a este eje son rectas
que se cortan.
815
Superficies en el espacio
Traza xy
(un punto)
y
x
Paralelo al
plano xy
Traza yz
Paraboloide elíptico
z
z⫽
x2
y2
2 ⫹ 2
a
b
Traza
Plano
Elipse
Parábola
Parábola
Paralelo al plano xy
Paralelo al plano xz
Paralelo al plano yz
El eje del paraboloide corresponde a
la variable elevada a la primera
potencia.
z
Paralelo al
plano xy
y
x
Traza xz
Traza yz
Traza xy
(un punto)
x
y
Paraboloide hiperbólica
z
z⫽
y
x
y2
x2
⫺ 2
2
b
a
Traza
Plano
Hipérbola
Parábola
Parábola
Paralelo al plano xy
Paralelo al plano xz
Paralelo al plano yz
z
Traza yz
y
x
El eje del paraboloide corresponde
a la variable elevada a la primera
potencia.
Paralelo al
plano xy
Traza xz
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CAPÍTULO 11
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Vectores y la geometría del espacio
Para clasificar una superficie cuádrica, se empieza por escribir la superficie en la
forma canónica o estándar. Después, se determinan varias trazas en los planos coordenados o en planos paralelos a los planos coordenados.
EJEMPLO 2
Trazado de una superficie cuádrica
Clasificar y dibujar la superficie dada por 4x 2 2 3y 2 1 12z2 1 12 5 0.
Solución
Se empieza por escribir la ecuación en forma canónica o estándar.
4x 2 2 3y 2 1 12z 2 1 12 5 0
x2
23
y2
z2
−
=1
4
1
1
y2
4
Escribir la ecuación original.
2 z2 2 1 5 0
Dividir entre 212.
y 2 x 2 z2
2 2 51
4
3
1
z
y2
x2
−
=1
4
3
3
Forma canónica o estándar.
De la tabla en las páginas 814 y 815 se puede concluir que la superficie es un hiperboloide
de dos hojas con el eje y como su eje. Para esbozar la gráfica de esta superficie, conviene
hallar las trazas en los planos coordenados.
2
1
4
x
3
2
1
2
y
Traza xy sz 5 0d:
y2 x2
2 51
4
3
Hipérbola.
Traza xz s y 5 0d:
x2 z2
1 5 21
3
1
No hay traza.
Traza yx sx 5 0d:
y2 z2
2 51
4
1
Hipérbola.
Hiperboloide de dos hojas:
y2
x2
−
− z2 = 1
4
3
Figura 11.59
La gráfica se muestra en la figura 11.59.
EJEMPLO 3
Trazado de una superficie cuádrica
Clasificar y dibujar la superficie dada por x 2 y 2 2 4z 2 5 0.
Paraboloide elíptico:
x = y2 + 4z2
z
Solución Como x está elevada sólo a la primera potencia, la superficie es un paraboloide. El eje del paraboloide es el eje x. En la forma canónica o estándar, la ecuación es
2
−4
x = y2
2
4
y
x 5 y2 1 4z2.
Forma canónica o estándar.
Algunas trazas útiles son las siguientes.
y2 + z2 = 1
4
1
10
x
x = 4z2
Figura 11.60
Traza xy s z 5 0d:
x 5 y2
Parábola.
Traza xz s y 5 0d:
x5
Parábola.
Paralelo al plano yz sx 5 4d:
y2
4
4z2
1
z2
1
51
Elipse.
La superficie es un paraboloide elíptico, como se muestra en la figura 11.60.
Algunas ecuaciones de segundo grado en x, y y z no representan ninguno de los tipos
básicos de superficies cuádricas. He aquí dos ejemplos.
x2 1 y2 1 z2 5 0
x2 1 y2 5 1
Un único punto.
Cilindro recto circular.
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SECCIÓN 11.6
817
Superficies en el espacio
En el caso de una superficie cuádrica no centrada en el origen, se puede formar la
ecuación estándar completando cuadrados, como se muestra en el ejemplo 4.
(x − 2)2 (y + 1)2
(z − 1)2
+
+
=1
4
2
4
EJEMPLO 4
Una superficie cuádrica no centrada en el origen
z
Clasificar y dibujar la superficie dada por
3
x 2 1 2y 2 1 z2 2 4x 1 4y 2 2z 1 3 5 0.
Solución
(2, −1, 1)
1
Al completar el cuadrado de cada variable se obtiene:
sx2 2 4x 1 d 1 2s y 2 1 2y 1 d 1 sz2 2 2z 1 d 5 23
sx2 2 4x 1 4d 1 2s y 2 1 2y 1 1d 1 sz2 2 2z 1 1d 5 23 1 4 1 2 1 1
sx 2 2d2 1 2s y 1 1d2 1 sz 2 1d2 5 4
sx 2 2d2 s y 1 1d2 sz 2 1d2
1
1
51
4
2
4
y
−1
5
x
Un elipsoide centrado en s2, 2 1, 1d
Figura 11.61
En esta ecuación se puede ver que la superficie cuádrica es un elipsoide centrado en el
punto (2, 21, 1). Su gráfica se muestra en la figura 11.61.
Un sistema algebraico por computadora puede ayudar a visualizar
una superficie en el espacio.* La mayoría de estos sistemas algebraicos por computadora crean ilusiones tridimensionales dibujando varias trazas de la superficie y aplicando una rutina de “línea oculta” que borra las porciones de la superficie situadas
detrás de otras. Abajo se muestran dos ejemplos de figuras que se generaron con Mathematica.
TECNOLOGÍA
z
z
y
y
x
x
Creado con Mathematica
Paraboloide elíptico
y2
z2
x5 1
2
2
Creado con Mathematica
Paraboloide hiperbólico
y2
x2
z5
2
16
16
Usar una herramienta de graficación para representar una superficie en el espacio
requiere práctica. En primer lugar, se debe saber lo suficiente sobre la superficie en
cuestión para poder especificar que dé una vista representativa de la superficie. También,
a menudo se puede mejorar la vista de una superficie girando los ejes. Por ejemplo, se
observa que el paraboloide elíptico de la figura se ve desde un punto más “alto” que el
utilizado para ver el paraboloide hiperbólico.
* Algunas graficadoras 3-D requieren que se den las superficies mediante ecuaciones paramétricas.
Para un análisis de esta técnica, ver la sección 15.5.
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CAPÍTULO 11
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Vectores y la geometría del espacio
Superficies de revolución
Sección
circular
z
El quinto tipo especial de superficie que se estudiará se llama superficie de revolución.
En la sección 7.4 se estudió un método para encontrar el área de tales superficies. Ahora
se verá un procedimiento para hallar su ecuación. Considerar la gráfica de la función
radio
Curva generadora
o directriz
y = r(z)
(0, 0, z)
(0, r(z), z)
(x, y, z)
y 5 r szd
Curva generadora o directriz.
r (z)
y
en el plano yz. Si esta gráfica se gira sobre el eje z, forma una superficie de revolución,
como se muestra en la figura 11.62. La traza de la superficie en el plano z 5 z 0 es un
círculo cuyo radio es r sz0d y cuya ecuación es
x 2 1 y 2 5 fr sz 0dg 2.
Traza circular en el plano: z 5 z 0.
x
Sustituyendo z 0 por z se obtiene una ecuación que es válida para todos los valores de z. De
manera similar, se pueden obtener ecuaciones de superficies de revolución para los otros
dos ejes, y los resultados se resumen como sigue.
Figura 11.62
SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Si la gráfica de una función radio r se gira sobre uno de los ejes coordenados,
la ecuación de la superficie de revolución resultante tiene una de las formas siguientes.
1. Girada sobre el eje x: y 2 1 z2 5 frsxdg 2
2. Girada sobre el eje y: x 2 1 z2 5 frs ydg 2
3. Girada sobre el eje z: x 2 1 y 2 5 fr szdg 2
EJEMPLO 5
Hallar una ecuación para una superficie de revolución
a) Una ecuación para la superficie de revolución generada al girar la gráfica de
y5
1
z
Función radio.
en torno al eje z es
x2 1 y2 5 fr szdg 2
z
Superficie:
x2 + z2 = 1 y3
9
x2 1 y2 5
11z 2 .
Girada en torno al eje z.
2
Sustituir r(z) para 1/z.
b) Para encontrar una ecuación para la superficie generada al girar la gráfica de 9x2 5 y3
en torno al eje y, se despeja x en términos de y. Así se obtiene
y
x
x 5 13 y 3y2 5 r s yd.
Función radio.
Por tanto, la ecuación para esta superficie es
Curva generadora
o directriz
9x2 = y3
Figura 11.63
x2 1 z2 5 fr s ydg 2
Girada en torno al eje y.
x2 1 z2 5 s
Sustituir 13 y 3y2 para r syd.
d
1 3y2 2
3y
x2 1 z2 5 19 y 3.
Ecuación de la superficie.
La gráfica se muestra en la figura 11.63.
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SECCIÓN 11.6
819
Superficies en el espacio
La curva generadora o directriz de una superficie de revolución no es única. Por ejemplo, la superficie
x2 1 z2 5 e22y
puede generarse al girar la gráfica de x 5 e2y en torno al eje y o la gráfica de z 5 e2y
sobre el eje y, como se muestra en la figura 11.64.
z
z
Superficie:
x2 + z2 = e−2y
Curva generadora o directriz
en el plano yz
z = e−y
y
x
y
x
Curva generadora o directriz
en el plano xy
x = e−y
Figura 11.64
EJEMPLO 6
Hallar una directriz para una superficie de revolución
Hallar una directriz y el eje de revolución de la superficie dada por
x2 1 3y2 1 z2 5 9.
Directriz en el
plano xy
x=
9 − 3y2
z
Directriz en el
plano yz
z=
Solución
9 − 3y2
Se sabe ahora que la ecuación tiene una de las formas siguientes.
x2 1 y2 5 fr szdg 2
y2 1 z2 5 fr sxdg 2
x2 1 z2 5 fr s ydg 2
Girada en torno al eje z.
Girada en torno al eje x.
Girada en torno al eje y.
Como los coeficientes de x2 y z2 son iguales, se debe elegir la tercera forma y escribir
x2 1 z2 5 9 2 3y 2.
y
El eje y es el eje de revolución. Se puede elegir una directriz de las trazas siguientes.
x
x2 5 9 2 3y2
z2 5 9 2 3y 2
Traza en el plano xy.
Traza en el plano yz.
Por ejemplo, usando la primer traza, la directriz es la semielipse dada por
Superficie:
x2 + 3y2 + z2 = 9
Figura 11.65
x 5 !9 2 3y2.
Directriz.
La gráfica de esta superficie se muestra en la figura 11.65.
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CAPÍTULO 11
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Vectores y la geometría del espacio
11.6 Ejercicios
c)
En los ejercicios 1 a 6, asociar la ecuación con su gráfica. [Las
gráficas están marcadas a), b), c), d), e) y f).]
a)
b)
z
z
y
6
3
2
4
x
2
3
x
56
4
y
y
4
x
−3
x
Figuras para 17
CAS
z
c)
z
d)
−5
4
b) s0, 10, 0d
2
c) s10, 10, 10d
2
4
5
x
y
z
e)
1.
3
2
21. 16x 2
y
4
5
−3
4
4
5. 4x 2 2 4y 1 z 2 5 0
11.
x2
13. 4x 2
15. z
y
0
12.
y2
y2
4
14. y 2
sen y
0
16. z
2
z2
z
25
ey
z
b)
z2
25
18y2
26. z
27. x 2
y2
z
0
28. 3z
32. 9x
CAS
y2
x2
y
2
16z 2
9z
2
32x
54x
36y
4y
54z
35. z 2
0
2z 2
0
4
0
En los ejercicios 33 a 42, usar un sistema algebraico por computadora para representar gráficamente la superficie. (Sugerencia: Puede ser necesario despejar z y considerar dos ecuaciones
al representar gráficamente la superficie.)
33. z
16
1
x2
2y 2
36
2
4y 2
y2
30. x 2
9
9y 2
2
x2
1
18z2
y2
4
x2
6
z2
17. Para pensar Las cuatro figuras son gráficas de la superficie
cuádrica z 5 x 2 1 y 2. Asociar cada una de las cuatro gráficas con
el punto en el espacio desde el cual se ve el paraboloide. Los cuatro puntos son (0, 0, 20), (0, 20, 0), (20, 0, 0) y (10, 10, 20).
a)
24. z 2
1
0
31. 16x 2
10. x 2
9
z2
y2
25
8x2
22.
z2
4. y 2 5 4x 2 1 9z 2
8. z
z2
y2
4
x2
16
y
29. z 2
6. 4x 2 2 y 2 1 4z 5 0
5
16z 2
20.
25. x 2
2. 15x 2 2 4y 2 1 15z 2 5 24
En los ejercicios 7 a 16, describir y dibujar la superficie.
9. y 2
1
y
x
3. 4x 2 2 y 2 1 4z 2 5 4
z2
y2
23. 4x2
x2
y2
z2
1
1 51
9
16
9
7. y
y2
4
19. x 2
z
f)
2
x
En los ejercicios 19 a 32, identificar y dibujar la superficie cuádrica. Usar un sistema algebraico por computadora para confirmar su dibujo.
y
6
x
3
2
1
4
18. Usar un sistema algebraico por computadora para representar
gráficamente el cilindro y 2 1 z 2 5 4 desde cada punto.
a) s10, 0, 0d
4
3
z
d)
37. x 2
39. z
41. 6x2
2 cos x
x2
y2
10
4y2
34. z
7.5y 2
2
z
x2
0.5y 2
x2
36. 3.25y
z2
2
38. x 2
40. z
xy
6z2
36
42. 9x 2
y2
8
e
x
x2
4y 2
z
y2
8z 2
72
z
En los ejercicios 43 a 46, dibujar la región limitada por las gráficas de las ecuaciones.
43. z 5 2!x 2 1 y 2, z 5 2
44. z 5 !4 2 x 2, y 5 !4 2 x 2, x 5 0, y 5 0, z 5 0
y
x
y
45. x 2 1 y 2 5 1, x 1 z 5 2, z 5 0
46. z 5 !4 2 x 2 2 y 2, y 5 2z, z 5 0
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SECCIÓN 11.6
En los ejercicios 47 a 52, hallar una ecuación para la superficie
de revolución generada al girar la curva en el plano coordenado
indicado sobre el eje dado.
Ecuación de la curva Plano coordenado Eje de revolución
47. z 2 5 4y
Plano yz
Eje y
48. z 5 3y
Plano yz
Eje y
49. z 5 2y
Plano yz
Eje z
50. 2z 5 !4 2 x 2
Plano xz
Eje x
51. xy 5 2
Plano xy
Eje x
52. z 5 ln y
Plano yz
Eje z
Superficies en el espacio
821
64. El conjunto de todos los puntos equidistantes del punto (0, 0, 4)
y del plano xy.
65. Geografía Debido a las fuerzas causadas por su rotación, la
Tierra es un elipsoide oblongo y no una esfera. El radio ecuatorial es de 3 963 millas y el radio polar es de 3 950 millas. Hallar
una ecuación del elipsoide. (Suponer que el centro de la Tierra
está en el origen y que la traza formada por el plano z 5 0 corresponde al ecuador.)
66. Diseño de máquinas La parte superior de un buje de caucho,
diseñado para absorber las vibraciones en un automóvil, es la
superficie de revolución generada al girar la curva z 5 12 y2 1 1
s0 ≤ y ≤ 2d en el plano yz en torno al eje z.
a) Hallar una ecuación de la superficie de revolución.
En los ejercicios 53 y 54, hallar una ecuación de una directriz
dada la ecuación de su superficie de revolución.
53. x 2 1 y 2 2 2z 5 0
54. x 2 1 z 2 5 cos2 y
Desarrollo de conceptos
55. Dar la definición de un cilindro.
56. ¿Qué es la traza de una superficie? ¿Cómo encuentra una
traza?
57. Identificar las seis superficies cuádricas y dar la forma estándar de cada una.
Para discusión
58. ¿Qué representa la ecuación z 5 x 2 en el plano xz? ¿Qué
representa en el espacio?
b) Todas las medidas están en centímetros y el buje es fijo en el
plano xy. Usar el método de capas para encontrar su volumen.
c) El buje tiene un orificio de 1 centímetro de diámetro que pasa
por su centro y en paralelo al eje de revolución. Hallar el volumen del buje de caucho.
67. Determinar la intersección del paraboloide hiperbólico z =
y2yb2 – x2ya2 con el plano bx 1 ay 2 z 5 0. (Suponer a, b > 0.)
68. Explicar por qué la curva de intersección de las superficies
x 2 1 3y 2 2 2z 2 1 2y 5 4 y 2x 2 1 6y 2 2 4z 2 2 3x 5 2 se
encuentra en un plano.
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 69 a 72, determinar si la
declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o
dar un ejemplo que pruebe su falsedad.
69. Una esfera es un elipsoide.
En los ejercicios 59 y 60, usar el método de las capas para encontrar el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie de revolución y sobre el plano xy.
59. La curva z 5 4x 2 x 2 en el plano xz se gira en torno al eje z.
60. La curva z 5 sen
sin y s0 ≤ y ≤ pd en el plano yz se gira en torno
al eje z.
En los ejercicios 61 y 62, analizar la traza cuando la superficie
70. La directriz de una superficie de revolución es única.
71. Todas las trazas de un elipsoide son elipses.
72. Todas las trazas de un hiperboloide de una hoja son hiperboloides.
73. Para pensar Abajo se muestran tres tipos de superficies
“topológicas” clásicas. La esfera y el toro tienen “interior” y
“exterior”. ¿Tiene la botella de Klein interior y exterior?
Explicar.
z 5 12 x 2 1 14 y 2
se corta con los planos indicados.
61. Hallar las longitudes de los ejes mayor y menor y las coordenadas del foco de la elipse generada cuando la superficie es cortada por los planos dados por
a) z 5 2
y
b) z 5 8.
Esfera
Toro
62. Hallar las coordenadas del foco de la parábola formada cuando
la superficie se corta con los planos dados por
a) y 5 4
y
b) x 5 2.
En los ejercicios 63 y 64, hallar una ecuación de la superficie que
satisface las condiciones e identificar la superficie.
63. El conjunto de todos los puntos equidistantes del punto (0, 2, 0)
y del plano y 5 22.
Botella de Klein
Botella de Klein
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CAPÍTULO 11
Page 822
Vectores y la geometría del espacio
11.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
n
n
Usar coordenadas cilíndricas para representar superficies en el espacio.
Usar coordenadas esféricas para representar superficies en el espacio.
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas cilíndricas:
r2 = x2 + y2
y
tan θ = x
z=z
z
Coordenadas
rectangulares:
x = r cos θ
y = r sen θ
z=z
x
y
x
EL SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS
En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el espacio se representa
por medio de una terna ordenada sr, u, zd.
(x, y, z)
P (r, θ , z)
r
θ
Ya se ha visto que algunas gráficas bidimensionales son más fáciles de representar en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. Algo semejante ocurre con las superficies en el espacio. En esta sección se estudiarán dos sistemas alternativos de coordenadas
espaciales. El primero, el sistema de coordenadas cilíndricas, es una extensión de las
coordenadas polares del plano al espacio tridimensional.
1. sr, ud es una representación polar de la proyección de P en el plano xy.
2. z es la distancia dirigida de sr, ud a P.
Para convertir coordenadas rectangulares en coordenadas cilíndricas (o viceversa), hay que
usar las siguientes fórmulas, basadas en las coordenadas polares, como se ilustra en la figura 11.66.
y
Figura 11.66
Cilíndricas a rectangulares:
x 5 r cos u,
y 5 r sen
sin u,
z5z
Rectangulares a cilíndricas:
r 2 5 x 2 1 y 2,
y
tan u 5 ,
x
z5z
Al punto (0, 0, 0) se le llama el polo. Como la representación de un punto en el sistema de
coordenadas polares no es única, la representación en el sistema de las coordenadas cilíndricas tampoco es única.
(x, y, z) = (−2
3, 2, 3)
EJEMPLO 1
P
z
z
4
1
Convertir el punto sr, u, zd 5 4,
−4
3
−3
2
r
1
θ
x
(
(r, θ , z) = 4,
1
2
5π
,3
6
Figura 11.67
)
2
3
4
y
1
2
!3
5p
5 22!3
54 2
6
2
5p
1
sen
y 5 4 sin
54
52
6
2
z 5 3.
x 5 4 cos
−1
−1
5p
, 3 a coordenadas rectangulares.
6
Solución Usando las ecuaciones de conversión de cilíndricas a rectangulares se obtiene
−2
1
Conversión de coordenadas cilíndricas
a coordenadas rectangulares
12
Por tanto, en coordenadas rectangulares, el punto es sx, y, zd 5 s22!3, 2, 3d, como se muestra en la figura 11.67.
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SECCIÓN 11.7
z
Conversión de coordenadas rectangulares
a coordenadas cilíndricas
EJEMPLO 2
(x, y, z) = (1,
823
Coordenadas cilíndricas y esféricas
3, 2)
3
Convertir el punto sx, y, zd 5 s1, !3, 2d a coordenadas cilíndricas.
r=2
2
Solución
1
r 5 ± !1 1 3 5 ± 2
z=2
1
2
θ= π
3
2
y
3
u 5 arctan s!3 d 1 np 5
tan u 5 !3
3
x
Usar las ecuaciones de conversión de rectangulares a cilíndricas.
p
1 np
3
z52
(r, θ , z) = 2, π , 2 o −2, 4π , 2
3
3
(
Figura 11.68
) (
)
Hay dos posibilidades para r y una cantidad infinita de posibilidades para u. Como se
muestra en la figura 11.68, dos representaciones adecuadas del punto son
12, p3 , 22
122, 43p , 22.
r > 0 y u en el cuadrante I.
r < 0 y u en el cuadrante III.
Las coordenadas cilíndricas son especialmente adecuadas para representar superficies
cilíndricas y superficies de revolución en las que el eje z sea el eje de simetría, como se
muestra en la figura 11.69.
x2 + y2 = 9
r=3
x 2 + y 2 = 4z
r=2 z
x 2 + y2 = z 2
r=z
x2 + y2 − z2 = 1
r2 = z2 + 1
z
z
z
z
y
y
x
x
Cilindro
y
Paraboloide
y
x
x
Cono
Hiperboloide
Figura 11.69
Los planos verticales que contienen el eje z y los planos horizontales también tienen ecuaciones simples de coordenadas cilíndricas, como se muestra en la figura 11.70.
z
z
Plano
vertical:
θ =c
θ =c
y
y
x
x
Figura 11.70
Plano
horizontal:
z=c
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CAPÍTULO 11
Page 824
Vectores y la geometría del espacio
Conversión de coordenadas rectangulares
a coordenadas cilíndricas
EJEMPLO 3
Rectangular:
x2 + y2 = 4z2
Cilíndrica:
r2 = 4z2
z
Hallar una ecuación en coordenadas cilíndricas para la superficie representada por cada
ecuación rectangular.
3
a) x 2 1 y 2 5 4z 2
x
b) y 2 5 x
4
6
4
6
y
Solución
a) Según la sección anterior, se sabe que la gráfica de x 2 1 y 2 5 4z 2 es un cono “de dos
hojas” con su eje a lo largo del eje z, como se muestra en la figura 11.71. Si se sustituye x 2 1 y 2 por r 2, la ecuación en coordenadas cilíndricas es
Figura 11.71
x 2 1 y 2 5 4z 2
Ecuación rectangular.
r 2 5 4z 2.
Ecuación cilíndrica.
b) La gráfica de la superficie y 2 5 x es un cilindro parabólico con rectas generatrices
paralelas al eje z, como se muestra en la figura 11.72. Sustituyendo y2 por r2 sen2 q y
x por r cos q, se obtiene la ecuación siguiente en coordenadas cilíndricas.
Rectangular:
y2 = x
Cilíndrica:
r = csc θ cot θ
y2 5 x
r2
z
rs
r sen
sin22 u
2
r
sin2
sen
4
u 5 r cos u
2 cos ud 5 0
sin
sen22 u
r 5 csc u cot u
2
y
Figura 11.72
Dividir cada lado entre r.
cos u
sen
sin22 u
r5
Sustituir y por r sen q y x por r cos q.
Agrupar términos y factorizar.
2 cos u 5 0
1
x
Ecuación rectangular.
Despejar r.
Ecuación cilíndrica.
Hay que observar que esta ecuación comprende un punto en el que r 5 0, por lo cual
nada se pierde al dividir cada lado entre el factor r.
La conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas es más sencilla
que la conversión de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares, como se muestra en el ejemplo 4.
Conversión de coordenadas cilíndricas
a coordenadas rectangulares
EJEMPLO 4
Cilíndrica:
r2 cos 2θ + z2 + 1 = 0
Hallar una ecuación en coordenadas rectangulares de la superficie representada por la
ecuación cilíndrica
z
3
r 2 cos 2u 1 z 2 1 1 5 0.
Solución
3
r 2 cos 2u 1 z 2 1 1 5 0
2
x
−1
−2
−3
Rectangular:
y2 − x2 − z2 = 1
Figura 11.73
2
3
y
s
r2
cos 2
u
2 sen
sin2
r 2 cos 2
u2
ud 1
z2
r 2 sen
sin22 u
x2
2
y2
y2
2
x2
1150
Ecuación cilíndrica.
Identidad trigonométrica.
1
z2
5 21
1
z2
5 21
Sustituya r cos q por x y r sen q por y.
2
z2
51
Ecuación rectangular.
Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje se encuentra a lo largo del eje y, como se muestra en la figura 11.73.
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SECCIÓN 11.7
Coordenadas cilíndricas y esféricas
825
Coordenadas esféricas
En el sistema de coordenadas esféricas, cada punto se representa por una terna ordenada: la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera coordenadas son ángulos. Este sistema es similar al sistema de latitud-longitud que se usa para identificar puntos en la superficie de la Tierra. Por ejemplo, en la figura 11.74 se muestra el punto en la
superficie de la Tierra cuya latitud es 40° Norte (respecto al ecuador) y cuya longitud es
80° Oeste (respecto al meridiano cero). Si se supone que la Tierra es esférica y tiene un
radio de 4 000 millas, este punto sería
Meridiano
cero
z
y
80° O
40° N
(4 000, 280°, 50°).
x
Radio
Ecuador
80° en el sentido
de las manecillas
del reloj, desde el
meridiano cero
50° hacia abajo
del Polo Norte
Figura 11.74
EL SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS
En un sistema de coordenadas esféricas, un punto P en el espacio se representa
por medio de una terna ordenada sr, u, fd.
1. r es la distancia entre P y el origen, r ≥ 0.
2. u es el mismo ángulo utilizado en coordenadas cilíndricas para r ≥ 0.
3. f es el ángulo entre el eje z positivo y el segmento de recta OP , 0 ≤ f ≤ p.
\
Hay que observar que la primera y tercera coordenadas, r y f, son no negativas.
r es la letra minúscula ro, y f es la letra griega minúscula fi.
La relación entre coordenadas rectangulares y esféricas se ilustra en la figura 11.75.
Para convertir de un sistema al otro, usar lo siguiente.
z
r = ρ sen φ =
x2 + y2
Esféricas a rectangulares:
x 5 r sen
sin f cos u,
z
P
φ
O
ρ
θ
r
(ρ, θ , φ )
(x, y, z)
y 5 r sen
sin f sen
sin u,
z 5 r cos f
Rectangulares a esféricas:
y
x
x
f 5 arccos
1
!x 2
2
z
1 y2 1 z2
y
Coordenadas esféricas
Figura 11.75
y
tan u 5 ,
x
r 2 5 x 2 1 y 2 1 z 2,
Para cambiar entre los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas, usar lo siguiente.
Esféricas a cilíndricas sr ≥ 0d:
r 2 5 r 2 sen
sin22 f,
u 5 u,
z 5 r cos f
Cilíndricas a esféricas xr ≥ 0c:
r 5 !r 2 1 z 2,
u 5 u,
f 5 arccos
1
z
2
!r 2 1 z 2
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CAPÍTULO 11
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Vectores y la geometría del espacio
El sistema de coordenadas esféricas es útil principalmente para superficies en el espacio que tiene un punto o centro de simetría. Por ejemplo, la figura 11.76 muestra tres
superficies con ecuaciones esféricas sencillas.
z
z
z
φ=c
c
y
x
x
Esfera:
ρ=c
θ=c
y
y
x
Semiplano vertical:
θ=c
Semicono:
φ=c
(0 < c < π2 )
Figura 11.76
EJEMPLO 5
Conversión de coordenadas rectangulares
a coordenadas esféricas
Hallar una ecuación en coordenadas esféricas para la superficie representada por cada una
de las ecuaciones rectangulares.
a) Cono: x 2 1 y 2 5 z 2
b) Esfera: x 2 1 y 2 1 z 2 2 4z 5 0
Solución
a) Haciendo las sustituciones apropiadas de x, y y z en la ecuación dada se obtiene lo siguiente.
Rectangular:
x2 + y2 + z2 − 4z = 0
Esférica:
ρ = 4 cos φ
z
4
x2 1 y2 5 z2
r 2 sen
sin2 f cos 2 u 1 r 2 sen
sin2 f sen
sin2 u 5 r 2 cos 2 f
r 2 sen
sin22 f scos 2 u 1 sen
sin2 ud 5 r 2 cos 2 f
2
r sen
sin2 f 5 r 2 cos 2 f
sen
sin2 f
51
cos 2 f
tan2 f 5 1
≥ 0.
r ≥
o f 5 3py4.
f 5 py4 or
La ecuación f 5 py4 representa el semicono superior, y la ecuación f 5 3py4 representa el semicono inferior.
b) Como r 2 5 x 2 1 y 2 1 z 2 y z 5 r cos f, la ecuación dada tiene la forma esférica siguiente.
rs r 2 4 cos fd 5 0
r 2 2 4r cos f 5 0
Descartando por el momento la posibilidad de que r 5 0, se obtiene la ecuación esférica
−2
1
2
x
Figura 11.77
1
r 2 4 cos f 5 0
2
y
o
r 5 4 cos f.
Hay que observar que el conjunto solución de esta ecuación comprende un punto en el
cual r 5 0, de manera que no se pierde nada al eliminar el factor r. La esfera representada por la ecuación r 5 4 cos f se muestra en la figura 11.77.
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10:41
AM
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SECCIÓN
Coordenadas
cilíndricas
y esféricas
11.7 11.7
Cylindrical
and Spherical
Coordinates
11.7
Cylindrical
and
Spherical
Coordinates
11.7 Cylindrical
Cylindricaland
andSpherical
SphericalCoordinates
Coordinates
11.7
11.7
Cylindrical
and
Spherical
Coordinates
11.7 Cylindrical and Spherical Coordinates
11.7
11.7
Cylindrical
and
Spherical
Coordinates
11.7 Cylindrical
Cylindrical and
and Spherical
Spherical Coordinates
Coordinates
827
827
827
827
827
827
827
827
827
827
Exercises
www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
11.7
Ejercicios SeeSeeSee
11.7
Exercises
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odd-numbered
11.7 Exercises
See
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worked-out solutions
solutions to
to
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Exercises
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11.7
11.7
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exercises. find an equation in rectangular coordinates
In11.7
Exercises
1–6,1 convert
the point
cylindrical
coordinates
Inodd-numbered
Exercises
49–56,
En
los ejercicios
49 a 56, encontrar una ecuación en coordenadas
En
los
ejercicios
a 6, convertir
las from
coordenadas
cilíndricas
del
In
Exercises
1–6,
convert
the
point
from
cylindrical
coordinates
In
Exercises
49–56,
find
an
equation
inrectangular
rectangular
coordinates
In
Exercises
1–6,
convert
the
point
fromcylindrical
cylindrical
coordinates
In
Exercises
49–56,
find
an
equation
rectangular
coordinates
In
Exercises
1–6,
convert
the
point
from
coordinates
In
Exercises
49–56,
find
an
equation
coordinates
to
rectangular
coordinates.
for
the equation
in
spherical
coordinates,
and
sketch itsy
rectangulares
de given
la
ecuación
dada in
en
coordenadas
esféricas
punto
en coordenadas
rectangulares.
In
Exercises
1–6,
convert
the
point
from
cylindrical
coordinates
In
Exercises
49–56,
find
an
equation
in
rectangular
coordinates
In
Exercises
1–6,
convert
the
point
from
cylindrical
coordinates
In
Exercises
49–56,
find
an
equation
inin
rectangular
coordinates
In
Exercises
1–6,
convert
the
point
from
cylindrical
coordinates
In
Exercises
49–56,
find
an
equation
in
rectangular
coordinates
to
rectangular
coordinates.
for
the
equation
given
in
spherical
coordinates,
and
sketch
its
to
rectangular
coordinates.
for
the
equation
given
in
spherical
coordinates,
and
sketchits
its
to
rectangular
coordinates.
for
the
equation
given
in
spherical
coordinates,
and
sketch
In
Exercises
1–6,
convert
the
point
from
cylindrical
coordinates
In
Exercises
49–56,
find
an
equation
in
rectangular
coordinates
graph.
In
Exercises
1–6,
convert
the
point
from
cylindrical
coordinates
In
Exercises
49–56,
find
an
equation
in
rectangular
coordinates
dibujar
su
gráfica.
to
rectangular
coordinates.
for
the
equation
given
in
spherical
coordinates,
and
sketch
its
to
rectangular
coordinates.
for
the
equation
given
in
spherical
coordinates,
and
sketch
its
In
Exercises
1–6,
convert
the
point
from
cylindrical
coordinates
In
Exercises
49–56,
find
an
equation
in
rectangular
coordinates
to
rectangular
coordinates.
for
the
equation
given
in
spherical
coordinates,
and
sketch
its
graph.
7,
0,
5
2,
,
4
1.
2.
1. rectangular
7, 0, 5 coordinates.
2. 2,
, 4
graph.
graph.
to
for
the
equation
given
in
spherical
coordinates,
and
sketch
its
to
rectangular
coordinates.
for
the
equation
given
in
spherical
coordinates,
and
sketch
its
0,5 55 coordinates.
2,
graph.
graph.
to
rectangular
for
the equation given in spherical coordinates,
and sketch its
7,
2, , , ,, 44444
1.
2. 2,
graph.
7,7,7,
0,
1.1.1.
2.2.2.
3
0,
0,0,
2,
4,
6, ,,4,
4,
graph.
3, 3,7,
15551
6,2,
242
3.1.
4.2.
7, 4,
0,
2,
1.3.
2.4.
graph.
33
5
49.
50.
graph.
3,
4,
1
6,
4,
2
3.
4.
3
7,
5515 1
2,
4244 2
1.
2.
6, ,,,4,
3. 3,3,3,
4. 6,
49.
50.
7, 0,
0,
2,
1.
2.
4,
3.
4.
3334
49.
50.
55555
2,
1.
2.
49.
50.
4,
1131 3
2223,
4,4,
6,
4,4,
3.
4.
6,
0.5,
5.4,3,
6. 6,
7 7,7 0,
6,
0.5,
4 44,
3,
88
5.3.
6.4.
49.
50.
3,4,
4,
6,
4,
49.
50.
3.
4.
33344444
5
49.
50.
4,
7
6,
3
0.5,
4
3,
8
5.
6.
3,
4,
1
6,
4,
2
3.
4.
4,
7
6,
3
0.5,
4
3,
8
5.
6.
3,
4,
1
6,
4,
2
3.
4.
6,
5.
6.
555
49.
50.
4
49.
50.
3,
23,
3.
4.
4,
6,
0.5,
5.
6.
4,7777 4,
6,13333
0.5,44444, 3,
3,8888
5. 4,
6. 6,0.5,
51.
52.
49.
50.
4,
6,
0.5,
3,
5.
6.
4442
In
Exercises
7–12,
convert the point
from0.5,
rectangular
coordinates
51.
52.
6
4,
7
6,
3
4
3,
8
5.
6.
4,
7
6,
3
0.5,
4
3,
8
5.
6.
51.
52.
51.
52.
En
los
aconvert
12, convertir
las
coordenadas
In
Exercises
7–12,
the
point
from
rectangular
coordinates
4,ejercicios
7 6,
3 7convert
0.5,
4 3, rectangulares
8coordinates
5.Exercises
6.
51.
52.
51.
52.
In
Exercises
7–12,
convert
the
point
from
rectangular
coordinates
In
7–12,
the
point
from
rectangular
66666
22222
51.
52.
to
cylindrical
coordinates.
In
Exercises
convert
the
point
from
rectangular
coordinates
In
Exercises
7–12,
convert
the
point
from
rectangular
coordinates
53.
54.
In
Exercises
7–12,
convert
the
point
from
rectangular
coordinates
51.
52.
644 cos
22 sec
del
punto
en 7–12,
coordenadas
cilíndricas.
to
cylindrical
coordinates.
51.
52.
to
cylindrical
coordinates.
to
cylindrical
coordinates.
cos
sec
53.
54.
51.
52.
In
7–12,
convert
the
point
from
rectangular
coordinates
In
Exercises
7–12,
convert
the
point
from
rectangular
coordinates
cos
sec
53.
54.
4464664cos
22222222sec
53.
54.
to
cylindrical
coordinates.
toExercises
cylindrical
coordinates.
In
Exercises
7–12,
convert
the
point
from
rectangular
coordinates
to
cylindrical
coordinates.
cos
53.
54.
cos
sec
53.
54.
csc
4sec
csc sec
55.
56.
0,
5,
1
2
2,
2
2,
4
7.
8.
4
cos
2
sec
53.
54.
to
cylindrical
coordinates.
7.
0,
5,
1
8.
2
2,
2
2,
4
to
cylindrical
coordinates.
csc
4
csc
sec
55.
56.
0,
5,
1
2
2,
2
2,
4
7.
8.
4
cos
2
sec
53.
54.
csc
4
csc sec
sec
55.
56.
to
cylindrical
44csc
cos
sec
53.
54.
0,
7.
csc
44224csc
55.
56.
7.
8.
0,
5,5,5,
1111 coordinates.
2 2 2,2,2,
44
cos
sec
53.
54.
csc
csc
sec
55.
56.
csc
sec
55.
56.
0,
2,
7.
8.
0,
2,2,
7.
8.8. 22223,2 2,
2,5,
4
3,77222 2,
9. 2,
10.
csc
4cylindrical
csc
sec
55.
56.
0,
5,2,
12,
2,
2, 444
7.
8.
9.
10.
4
3,
3,
In
Exercises
57–64,
convert
the
point
from
coordinates
2,
2,
4
3,
3,
7
9.
10.
csc
444cylindrical
csc
55.
56.
0,
1112, 4 4
2223,2,
7.
8.
csc
csc
sec
55.
56.
2,5,
10.
0,
5,
2,
2,
7.
8.
9.
10.
3,
7772272 2,
En
los ejercicios
57
a 64, the
convertir
las
coordenadas
cilíndricas
In
Exercises
57–64,
convert
the
point
from
coordinates
csc57–64,
csc sec
seccoordinates
55.
56.from
0,
5,2,
2,
2,444
7.
8. 3,
2,
2,
3,
3,
9.
10.
2,
2,3, 4444
3,
3,3,
9.9. 2,
10.
In
Exercises
57–64,
convert
the
point
from
cylindrical
coordinates
1,
2
2,
6
11.
12.
In
Exercises
convert
point
cylindrical
2,
2,
3,
3,
7
9.
10.
to
spherical
coordinates.
1,
3,3,4 44
23,2 3,3,
2,2,6 6
11.
12.
In
Exercises
57–64,
convert
the
In
Exercises
57–64,
convertesféricas.
thepoint
pointfrom
fromcylindrical
cylindricalcoordinates
coordinates
1,
3,
11.
12.
In
Exercises
57–64,
convert
the
point
from
cylindrical
coordinates
2,
2,
7
9.
10.
del
punto
en
coordenadas
to
spherical
coordinates.
1,
3,
2
3,
2,
6
11.
12.
2,
2,
4
3,
3,
7
9.
10.
11.
12.
1,
3,
4
2
3,
2,
6
to
spherical
coordinates.
to
spherical
coordinates.
2,
2,
9. 1,
10.
11.
12.
1, 3,
3,444 4
2 3,
3,3, 72,
2,666
11.
12. 223,
In
convert
from
In
Exercises
57–64,
convert
the
point
from cylindrical
cylindrical coordinates
coordinates
to
spherical
coordinates.
toExercises
spherical57–64,
coordinates.
1,
3,
3,
2,
11.
12.
In
Exercises
57–64,
convertthe
thepoint
point
to
spherical
coordinates.
InEExercises
–20,
equation
cylindrical
4, 4,coordinates.
0
3, cylindrical
4, 0 coordinates
57.
58.from
1,
4441313
3,
12.
1,
3,
3,
2,
11.
12.
to
spherical
I11.
i 3,
20
fifind
d an
i i222in
li d2,
i666 l coordinates
di
to
spherical
coordinates.
In
Exercises
13
–20,
find
an
equation
in
cylindrical
coordinates
1,
3,
3,
2,
11.
12.
4,
4,
0
3,
4,
0
57.
58.
to57.
spherical
InExercises
Exercises
13
–20,
find
anequation
equation
incylindrical
cylindrical
coordinates
4,0coordinates.
0
58. 3,3,3,
In
13
–20,
find
coordinates
En
los
13
afind
20,
hallar
una in
ecuación
en coordenadas
4,4,4, 4,
4,4,4,0000
57.
58.
for
theejercicios
equation
given
inan
rectangular
coordinates.
In
Exercises
13
–20,
find
an
equation
in
cylindrical
coordinates
In
Exercises
13
–20,
an
equation
in
cylindrical
coordinates
4,
57.
58.
4,
57.
58.
2,0004
2 4,
3, 0 2
59. 4,
60. 3,
In
Exercises
13
–20,
find
an
equation
in
cylindrical
coordinates
4,4,
4,
3,2,
4,
57.
58.
for
the
equation
given
in
rectangular
coordinates.
for
theequation
equation
given
in
rectangular
coordinates.
for
the
given
in
rectangular
coordinates.
4,
2,
44
2,
22 3,4,
3,
59.
60.
cilíndricas
de13
la–20,
ecuación
dada
en coordenadas
rectangulares.
In
Exercises
find
an
equation
in
cylindrical
coordinates
4,
0
3,
57.
58.
In
Exercises
13
–20,
find
an
equation
in
cylindrical
coordinates
4,
2,
2,
3,00022222
59.
60.
4,
4,
0
3,
4,
57.
58.
4,
2,
4
2,
2
59.
60.
for
the
equation
given
in
rectangular
coordinates.
for
the
equation
given
in
rectangular
coordinates.
In
Exercises
13
–20,
find
an
equation
in
cylindrical
coordinates
4,
4,
0
3,
57.
58.
for
the
equation
given
in
rectangular
coordinates.
4,
2,
4
2,
2
3,
59.
60.
2,
4
2,
2
3,
59.
60.
3, 42
61. 4,4, 2, 46, 6
62. 2, 24, 3,4,
z equation
4
x 9
13.the
14. coordinates.
59.
60.
for
given
in
rectangular
for
the
equation
given
in
rectangular
coordinates.
4,
6,
6
4,
3,
61.
62.
z
4
x
9
13.
14.
4,
2,
4
2,
2
3,
59.
60.
4, 2,
6,6666
4, 3,
3,42244
61. 4,
62. 2,
for
given in rectangular
4,
46,
24,
59.
60.
z2 equation
x 99992
13.zthe
14.xxxcoordinates.
6,
4,
3,
61.
62.
13.
14.
4444 2
2
2
4,
2,
4
2,
2
3,
59.
60.
6,
4,
3,
61.
62.
3,
61.
62.
z
13.
14.
z
13.
14.
12,
,
5
4,
2,
34442
63.
64.
x
y
z
17
z
x
y
11
15.
16.
4,
6,
6
4,
3,
61.
62.
z
x
9
13.
14.
22 4
22
22
22
22
12,
55 66
4,4, 2,2,
63.
64.
17
11
15.
16.
4,
3,3,33444
61.
62.
13.
14.
12, ,,,55,,56,
63. 12,
64. 4,
4,
6,
61.
62.
17
11
15.xzz2xx 44y 2yy z 2zz 17
16.zxx zz x992xx y 2yy 11
63.
64.
13.
14.
15.
16.
4,
6
4, 2,
61.
62.
13.
14.
12,
4,
333
63.
64.
12,
4,4,4,
2,2,33,
63.
64.
15.
16.
17
11
15.
16.
17. xxzxy222 4yxyy22222 zzz222 17
18. zzxzx 22 xxx9222y 22 yyy2228x 11
12,
, 5 6,65–72,
4,
2,
63.
64.
17
15.
16.
22
222
22
222y 2 22 8x 11
In
Exercises
convert
the
point
from
spherical
coordinates
2
y
x
x
17.
18.
2
2
12,
,
5
4,
2,
3
63.
64.
x
z
z
x
y
11
15.
16.
12,
,
5
4,
2,
33
63.
64.
y
x
x
y
8x
17.
18.
x
y
z
17
z
x
y
11
15.
16.
22 xy
2
22 17
2
2
y
x
y
8x
17.
18.
2
2
2
2
2
2
In
Exercises
65–72,
the
point
from
coordinates
12,ejercicios
, 565–72,
4,
2,spherical
63.
64.las
15.
16.
17.
18.
8x
17.
18.
InExercises
Exercises
65–72,
convert
thepoint
point
from
spherical
coordinates
z 22 113z 0
19. yyxyy 2 xxx2y10 zz 2 17
20. xxzxx2 22 xyyyy2 22 y8x
In
the
from
spherical
coordinates
En
los
65convert
aconvert
72, convertir
coordenadas
esféricas
del
8x
17.
18.
to
cylindrical
coordinates.
In
Exercises
65–72,
convert
the
point
from
spherical
coordinates
In
Exercises
65–72,
convert
the
point
from
spherical
coordinates
2
2
2
2 10
zz2
3z
19.
20.
2zz 2
Into
Exercises
65–72,
convert the point from spherical coordinates
17.
18.
cylindrical
coordinates.
3z 00000
19.yyyy222yy2 2 xxx10
20.xxxx2222xx2 2 yyyy2222yy2 2 z8x
8x
17.
18.
210 z222
3z
19.
20.
2
2
to
cylindrical
coordinates.
to
cylindrical
coordinates.
punto
en
coordenadas
cilíndricas.
8x
17.
18.
2
2
10
z
z
3z
19.
20.
10
z
z
3z
19.
20.
In
Exercises
65–72,
convert
In
Exercises
65–72,
convert the
the point
point from
from spherical
spherical coordinates
coordinates
to
coordinates.
to cylindrical
cylindrical
coordinates.
y22 10 21–28,
z
y
z
3z 0
19.
20. xin
In
Exercises
to
cylindrical
coordinates.
In Exercises
find an equation
rectangular
coordinates
10, 6,65–72,
2 convert the point
4, spherical
18, 2 coordinates
65.
66. from
xxx22in
yExercises
zzz222
yyy222 zzz222 3z
000
19.
20.
yy2 10
10
3z
19.
20.
2 rectangular
to
cylindrical
coordinates.
to
cylindrical
coordinates.
In
21–28,
find
an
equation
coordinates
10
3z
19.
20.
10,
6,
2
4,
18,
2
65.
66.
to
cylindrical
coordinates.
In
Exercises
21–28,
find
an
equation
in
rectangular
coordinates
10,
6,
2
4,
18,
2
65.
66.
In
Exercises
21–28,
find
an
equation
rectangular
coordinates
10,
6,6, 222
4,4, 18,
2
65.
66.
for
theejercicios
equation
given
in
cylindrical
coordinates,
sketch its
In
Exercises
21–28,
find
an
equation
in
rectangular
coordinates
In
Exercises
21–28,
find
an
equation
in
rectangular
coordinates
18,
65.
66.
10,
18,
65.
66.
En
los
21
a 28,
hallar
unain
ecuación
en and
coordenadas
36, ,6,
3, 2223
2
67. 10,
68. 4,
In
Exercises
21–28,
find
an
equation
in
rectangular
coordinates
10,
6,
4,18,
18,
65.
66.
for
the
equation
given
in
cylindrical
coordinates,
and
sketch
its
for
theequation
equation
given
in
cylindrical
coordinates,
and
sketchits
its
for
the
given
in
cylindrical
coordinates,
and
sketch
36,
,, 2 22222
18,
3,
67.
68.
In
Exercises
21–28,
find
an
equation
in
rectangular
coordinates
10,
6,
4,
18,
23
65.
66.
graph.
In
Exercises
21–28,
find
an
equation
in
rectangular
coordinates
36,
18,
3,
67.
68.
10,
6,
4,
18,
65.
66.
36,
,
18,
3,
67.
68.
for
the
equation
given
in
cylindrical
coordinates,
and
sketch
its
for
the
equation
given
in
cylindrical
coordinates,
and
sketch
its
rectangulares
de
la
ecuación
dada
en
coordenadas
cilíndricas
y
In
Exercises
21–28,
find
equationcoordinates,
in rectangular
10,
4,
65.
66.
for
the equation
given
in an
cylindrical
andcoordinates
sketch its
3,
67.
68.
36,
18,
3, 6,3332233
67.
68.
graph.
6, ,,, 6,6,222 2 3
5, 518,
69. 36,
70. 18,
36,
18,
3,
67.
68.
graph.
graph.
for
the
equation
given
in
cylindrical
coordinates,
and
sketch
its
for
the equation
given
coordinates, and
6,
5,
69.
70.
graph.
graph.
dibujar
su gráfica.
36,
18,
222 3 33
67.
68.
6, ,, 6,6,6,
6,
5, 5 553,
6,33
69. 6,
70. 5,
for
given in
in cylindrical
cylindrical
and sketch
sketch its
its
36,
18,
3,6,6,6,
67.
68.
69.
70.
graph.
r equation
3
z 2
21. the
22. coordinates,
36,
18,
67.
68.
3363
69.
70.
6,
5,
69.
70.
8, 7 , 6,
7, 5554,3,6,
3 34
71. 6,
72. 5,
graph.
6,
6,
5,
6,
69.
70.
graph.
r
3
z
2
21.
22.
graph.
8,
7
6,
6
7,
4,
3
71.
72.
r
3
z
2
21.
22.
r 3
z 21
21.
22.
6,
6,
5,
55 4,36,
69.
70.
6, 6663336
3 44444
71. 8,
72. 7,
6,
6,
5,
69.
70.
71.
72.
21.
22.
21.
22.
23. rrr 333 6
24. zzzr 222211z
6,
6,
5,
6,
69.
70.
8,
6,
7,
4,
71.
72.
8,8,77777 6,
6,
7,7, 54,
4,3336,
71.
72.
21.
22.
8,
6,
6
7,
4,
4
71.
72.
1
r
6
z
23.
24.
21.
22.
CAS 71.
In Exercises
736–88,
use a computer
algebra
graphing
23.rr 33 6 6
24.rzz r 2121z2 z
21.
22.
23.
24.
8,
7,
3system
444 or
72.
8,
6,
6–88,
7,
4,
3system
71.
72.
21.
22.
23.
24.
23.
24.
25. rr 22 3 z 26626 5
26. rrzrz 21212122zzrz222 cos22
CAS
In
Exercises
use
acomputer
computer
algebra
or
graphing
8,777 6,
6,7373
6–88,
7, 4,
4,system
3system
71.
72.algebra
23.
24.
CAS
In
Exercises
73
use
a
computer
algebra
or
graphing
CAS
In
Exercises
–88,
use
a
or
graphing
utility
to
convert
the
point
from
one
system
to
another
among
2
2
2 cos
2
z
r
r
z
5
25.
26.
2
2
2
2
CAS
CAS
In
Exercises
73
–88,
use
a
computer
algebra
system
or
graphing
In
Exercises
73
–88,
use
a
computer
algebra
system
or
graphing
1
r
6
z
23.
24.
En
los
ejercicios
73
a
88,
usar
un
sistema
algebraico
por
compuz
r
r
z
5
cos
25.
26.
r
6
z
23.
24.
zzrz r2r2r22z2cos
rrr222 zzz222 6 555
25.
26.
2
2
CAS In
Exercises
73
–88,
use
a
computer
algebra
system
or
graphing
utility
to
convert
the
point
from
one
system
to
another
among
23.
24.
cos
2
25.
26.
cos
25.
26.
utility
to
convert
the
point
from
one
system
to
another
among
cos
27. rr z2 sen 5
28. zr r22 cos
utility
to
convert
the
point
from
one
system
to
another
among
25.
26.
CAS
In
Exercises
73
–88,
use
a
computer
algebra
system
or
graphing
the
rectangular,
cylindrical,
and
spherical
coordinate
systems.
CAS
In
Exercises
73
–88,
use
a
computer
algebra
system
or
graphing
utility
to
convert
the
point
from
one
system
to
another
among
utility
to
convert
the
point
from
one
system
to
another
among
22r
2
2
2
tadora
o
una
herramienta
de
graficación
para
convertir
las
coor2
2
2
2
sen
r
2
cos
27.
28.
CAS
In
Exercises
73
–88,
use
a
computer
algebra
system
or
graphing
utility
to
convert
the
point
from
one
system
to
another
among
z
r
z
5
cos
25.
26.
the
rectangular,
cylindrical,
and
spherical
coordinate
systems.
r
2
sen
r
2
cos
27.
28.
z
r
r
z
5
cos
25.
26.
2
2
2
2
r
2
sen
r
2
cos
27.
28.
the
rectangular,
cylindrical,
and
spherical
coordinate
systems.
the
rectangular,
cylindrical,
and
spherical
coordinate
systems.
z
r
r
z
5
cos
25.
26.
r
2
sen
2
cos
r
27.
28.
2
sen
r
2
cos
27.
28.
utility
to
convert
the
point
from
one
system
to
another
among
utility
to
convert
the
point
from
one
system
to
another
among
the
cylindrical,
and
coordinate
systems.
the rectangular,
rectangular,
cylindrical,
andspherical
spherical
coordinate
systems.
r
2
sen
r
2
cos
27.
28.
denadas
del
punto
de
un
sistema
a
otro,
entre
los
sistemas
de
utility
to
convert
the
point
from
one
system
to
another
among
the
rectangular,
cylindrical,
and
spherical
coordinate
systems.
In Exercises
29–34, convert the point
from
coordinates
Rectangulares
Cilíndricas
Esféricas
rrr 222sen
rrr 22rectangular
cos
27.
28.
sen
cos
27.
28.
the
rectangular,
cylindrical,
and
spherical
coordinate
systems.
the
rectangular,
cylindrical,
and
spherical
coordinate
systems.
In
Exercises
29–34,
convert
the
point
from
coordinates
sen
2rectangular
cos
27.
28.from
Rectangulares
Cilíndricas
Esféricas
coordenadas
rectangulares,
cilíndricas
y
esféricas.
the
rectangular,
cylindrical,
and
spherical
coordinate
systems.
In
Exercises
29–34,
convert
the
point
from
rectangular
coordinates
Rectangulares
Cilíndricas
Esféricas
In
Exercises
29–34,
convert
the
point
rectangular
coordinates
Rectangulares
Cilíndricas
Esféricas
toExercises
spherical29–34,
coordinates.
In
convert
In
Exercises
29–34,
convertthe
thepoint
pointfrom
fromrectangular
rectangularcoordinates
coordinates
Rectangulares
Cilíndricas
Esféricas
Rectangulares
Cilíndricas
Esféricas
In
29–34,
convert
the
point
from
rectangular
coordinates
Rectangulares
Cilíndricas
Esféricas
toExercises
spherical
coordinates.
4, 6, 3
73. Rectangulares
En
los
ejercicios
29 convert
a 34, convertir
las
coordenadas
rectangulares
spherical
coordinates.
to
coordinates.
In
Exercises
29–34,
the
point
from
rectangular
coordinates
Cilíndricas
Esféricas
In
Exercises
29–34,
convert
the
point
from
rectangular
coordinates
Rectangulares
Cilíndricas
Esféricas
4,
6,
33
73.
to
spherical
coordinates.
totospherical
spherical
coordinates.
4,
6,
73.
In
Exercises
29–34,
convert
the
point
from
rectangular
coordinates
Rectangulares
Cilíndricas
Esféricas
4,
6,
3
73.
to
spherical
coordinates.
del
punto
coordenadas esféricas.
4, 0,en
0 coordinates.
4, 0, 0
29.
30.
73.
4,
6,3332, 3
73.
6,6,
74. 4,
to
spherical
4,
6,
73.
to
spherical
4,
0,
4,
0,
30.
to29.
spherical
coordinates.
6,
3
74.
4,
0,
4,
0,
29.
30. 4,
4,
0,
00000 coordinates.
0,
00000
29.
30.
4,
6,
3332,
73.
6,
74.
4,
6,
73.
6,
74.
4,
0,
4,
0,
29.
30.
4,
0,
4,
0,
29.
30.
31. 4, 0,2,02 3, 4
32. 2,4,2,0,40 2
4,
73.
2,
74.
6, 6,2,
2,2, 33333
74.
29.
30.
5, 9, 8
75. 6,
6,
2,
74.
2,
2
3,
4
2,
2,
4
2
31.
32.
4,
0,
0
4,
0,
0
29.
30.
5,
9,
75.
2,
2,
31. 4, 2,
32. 2,2,2,
0,
4,
29.
30.
20 2 3,3,3,
4444
2,
40,44002222
31.
32.
2,
333
74.
5, 9,
9,
75. 6,
6,
2,
74.
5,
88888
75.
0,
4,
29.
30.
2,
31.
32.
2,
2,
31.
32.
3,22201, 23,
3
1,440,
2, 12
33. 4,2,
34. 2,
6,
2,
74.
5,
9,
75.
5,
9,0.75,
75.
2,
3,
4
2,
2,
31.
32.
76.
5,10,
9,
8 6
75.
3,
1,
22 34433
1,
2,
121
33.
34.
2,
2
3,
2,
2,
4
2
31.
32.
10,
0.75,
76.
3,
1,
1,
2,
33.
34.
2,
2
3,
2,
2,
4
31.
32.
3,
1,
2
1,
2,
1
33.
34.
5,
9,
888 6 66
75.
10, 9,
0.75,
76.
5,
75.
10,
0.75,
76.
2,
21,2223,3343
2,2,
4 111 2
31.
32.
33.
34.
3,1,
1,
2,
33. 3,
34. 2,1,
5,
9,
75.
10,
0.75,
76.
10,
0.75,
76.
3,
1,
1,
2,
33.
34.
20, 2 3, 4
77.
10, 0.75, 666
76.
In Exercises
35–
convert the point
from
spherical
coordinates
3,
333 40,
1,
111
33.
34.
20,
3, 4
77.
3,
1,
1,
2,
33.
34.
10,
0.75,
666
76.
20,
77.
10,
0.75,
76.
20,
2 22 3,
77.
In
Exercises
35–
40,
convert
the
point
from
coordinates
3,1,
1,22235–
1,2,
2,spherical
33.
34. from
10,
0.75,
76.
In
Exercises
35–
40,
convert
the
point
from
spherical
coordinates
In
Exercises
40,
convert
the
point
spherical
coordinates
20,
3,
77.
20,
3,3,1 44444
77.
7.5,2220.25,
78.
toExercises
rectangular
20,
3,
77.
In
35–
40,
In
Exercises
35–coordinates.
40,convert
convertthe
thepoint
pointfrom
fromspherical
sphericalcoordinates
coordinates
In
Exercises
35–
40,
convert
the
point
from
spherical
coordinates
7.5,
0.25,
1
78.
to
rectangular
coordinates.
20,
2
3,
77.
7.5,
0.25,
78.
20,
20.25,
3,
77.
rectangular
coordinates.
7.5,
78.
to
coordinates.
En
los
ejercicios
35 aconvert
40, convertir
lasfrom
coordenadas
esféricas
del
In
Exercises
35–
40,
spherical
coordinates
20,
20.25,
3,11111 444
77.
In
Exercises
35–
40,
the
point
from
spherical
coordinates
7.5,
78.
7.5,
0.25,
78.
to
rectangular
coordinates.
totorectangular
rectangular
coordinates.
79. 3, 2, 2
In
Exercises
35–
40, convert
convertthe
thepoint
point
from
spherical
coordinates
7.5,
0.25,
78.
to
rectangular
coordinates.
4,
6,
4
12,
3
4,
9
35.
36.
79.
7.5,
78.
punto
en coordenadas
rectangulares.
to
rectangular
coordinates.
3, 2,2,2,
2,
79. 3,3,3,
7.5,
0.25,
78.
22222
79.
to
rectangular
44
12,
36.
7.5,0.25,
0.25,111
78.
to35.
rectangular
coordinates.
79.
79.
4, 6,6,6,
6, 4coordinates.
12,
4, 99999
35.
36. 12,
4,4,4,
3 33 4,4,4,
35.
36.
3
80. 3,
3,33 2,
2,
233 2,
79.
35.
36.
12,
35.
36.
12, 6,
4,4440
9, 333 4,4,
37. 4,
38. 12,
2,
3
2,
80.
4,
6,
12,
4,
9
35.
36.
2,
79.
2,
80. 3,
2,
79.
3223 2,2,2, 3333
33,
80.
12,
4,
9,
37.
38.
79.
4,
440 00
12,
35.
36.
80.
353 2,
80.
12, 6,
4,
9,33 4,4,4,
4,4,
37. 12,
38. 9,
4,
6, 4,
12,
4,
35.
36.
37.
38.
2,2,2,433323,2,
81. 333,
2, 33322
80.
4,
12,
4,2 999
35.
36.
37.
38.
12,
9,
37.
38.
5, 6,
4, 4,
34,40004
6, 3,4,
39. 12,
40. 9,
552,2,
2,
81.
12,
4,
9,
4,
37.
38.
334433,3,
2,
3
80.
2,
3,
81.
2, 3 3323 2
3
2,
80.
5
4
81.
5,
4,
3
4
6,
,
2
39.
40.
3
2,
80.
12,
4,
0
9,
4,
37.
38.
5
2,
4
3,
81.
5
2,
4
3,
81.
5,
4,
3
4
6,
,
2
39.
40.
12,
4,
0
9,
4,
37.
38.
39.
40.
82. 50,2, 45,3,4 2,333 2232
81.
12,
9,
37.
38.
5,
4,
6,
39.
40.
5, 4,
4,33334, 40444
6, ,,,, 4, 2222
39. 5,
40. 6,
0,
5,
4
82.
5,
4,
6,
39.
40.
5550,2,
4445,
3,3,4 333 222
81.
82. 0,
81.
82.
In Exercises
41–
find an equation
in,, spherical
coordinates
2,5,
81.
5,
444 48,
222
39.
40.
5,
82.
0, 2,
5,4443,
4
82.
5,
4,
6,
39.
40.
5, 3 4, 5
83. 0,
0,
5,
82.
In
Exercises
41–
48,
find
an
equation
in
coordinates
5, 4,
4,33341–
6,
, spherical
39.
40. 6,
InExercises
Exercises
41–
48,find
find
anequation
equation
inspherical
spherical
coordinates
In
48,
in
coordinates
5,
4, 55
83.
0,
5,
4
82.
for
the
equation
given
inan
rectangular
coordinates.
5,
83.
0,
5,
44
82.
5,
3 33 4,
83.
In
Exercises
41–
48,
find
an
equation
in
spherical
coordinates
In
Exercises
41–
48,
find
an
equation
in
spherical
coordinates
0,
5,
82.
In
Exercises
41–
48,
find
an
equation
in
spherical
coordinates
5,
4,
555 3
83.
5,
4,4, 56,
83.
for
the
equation
given
in
rectangular
coordinates.
11
84.
5, 3332,
4,
83.
for
theequation
equation
given
inrectangular
rectangular
coordinates.
for
the
given
in
coordinates.
In
Exercises
41–
48,
find
an
equation
in
spherical
coordinates
In
Exercises
41–
48,
find
an
equation
in
spherical
coordinates
2,
11
6,3 33
84.
for
the
equation
given
in
rectangular
coordinates.
for
the
equation
given
in
rectangular
coordinates.
5,
3
4,
5
83.
En
los
ejercicios
41
a
48,
hallar
una
ecuación
en
coordenadas
2,
11
84.
In
Exercises
41–
48,
find
an
equation
in
spherical
coordinates
5,
3
4,
83.
2,
11
6,
84.
for
the
equation
given
in
rectangular
coordinates.
y equation
2
z 6
41.the
42. coordinates.
5,2,
33.5,
56333
83.
11
84.
2,
114,
6,56,
84.
2.5,6,
85.
for
given
in
rectangular
2,
11
6,
84.
for
the
equation
given
in
rectangular
coordinates.
y
2
z
6
41.
42.
esféricas
de
la
ecuación
dada
en
coordenadas
rectangulares.
for
given in rectangular
3.5,
2.5,
85.
y equation
z 66
41.ythe
42.z coordinates.
22
41.
42.
2,
11
6,
84.
3.5,
2.5,
85.
2,
11
6,
84.
3.5,
2.5,
66663633
85.
41.
42.
41.
42.
43. yyyx 22 222 y 22 z 22 49
44. zzzx 22 666 y 22 3z 22 0
2,
11
6,
84.
3.5,
2.5,
85.
3.5,
2.5,
85.
41.
42.
8.25,
1.3, 6 4
86.
3.5, 2.5,
85.
49
3z
43.
44.
2 2
41.
42.
8.25,
1.3,
86.
49
43.xyy2xx 2 22y 2yy 2 z 222zz2 2 49
44.xzz2xx 2 66yy222yy2 2 3z
41.
42.
00000
43.
44.
2
3.5,
2.5,
85.
8.25,
1.3,66644444
86.
3.5,
2.5,
85.
8.25,
1.3,
86.
41.
42.
22
49
3z
43.
44.
49
3z3z
43.
44.
45. xxyxx22222 2yyyy22222 zzz16
46. xxzxx222 6y13
3.5,
2.5,
85.
8.25,
1.3,
86.
8.25,
1.3,
86.
49
y
3z
0
43.
44.
3, 3 4, 3
87.
8.25,
1.3,
4
86.
22
22
2216
22
22
22
2
2
x
y
x
13
45.
46.
2
2
x
x
y
z
49
y
3z
0
43.
44.
3,
4, 3 33
87.
16 49
45.x x2 y y2 16
46.x x2 13
zz16
yy13
3z22 00
43.
44.
2
2
45.
46.
8.25,
1.3,
444
86.
3,
87.
8.25,
1.3,
86.
3,
33333 4,
87.
43.
44.
45.
46.
13
45.
46.
2z22 49
y 22 3z
z 2 9z 0
47. xxxx22 22 yyyy22 22 16
48. xxxx 22 13
8.25,
1.3,
86.
3,
87.
3,
4,4,
87.
16
13
45.
46.
6, 333
88.
3,8,
3 4,
4,
87.
22
2 132y 2
xx2 2 yy2222yy2 2 2z
2z
9z
0
47.
48.
2
2 2
2x
2zz 2
16
45.
46.
8,
6, 3
88.
x
2z
y
9z
0
47.
48.
x
16
x
13
45.
46.
x
x
y
z
9z
0
47.
48.
2
2
2
2
2
2
2
2
3,
3
4,
87.
8,
88.
3,
3
4,
87.
8,
6,
88.
x
y
16
x
13
45.
46.
x
2
2
22
2
2
2
x
y
2z
y
z
9z
0
47.
48.
2z
y
z
9z
0
47.
48.
3,
87.
8,
6,
88.
8, 3 4,
6,6, 33
88.
47. x22 y22 2z22
48. x22 y22 z22 9z 0
8,
6,
88.
x
x
y
2z
y
z
9z
0
47.
48.
47.
48.
8,
6,
88.
8,
6,
88.
2z2
9z 00
47. xx 2 yy 2 2z
48. xx 2 yy 2 zz 2 9z
8,
6,
88.
1053714_1107.qxp
Larson-11-07.qxd
828
828
828
10/27/08 10:41 AM Page 828
3/12/09 17:44 Page 828
Chapter 11
1111 Vectors
Vectors
and ythe
the
Geometrydel
of espacio
Space
CAPÍTULO
Vectores
la geometría
Chapter
and
Geometry
of
Space
In los
Exercises
89–94,
match
the la
equation
(written
in términos
terms of
of
In
Exercises
89–94,
match
the
equation
(written
in
terms
En
ejercicios
89 a 94,
asociar
ecuación
(dada en
cylindrical
or
spherical
coordinates)
with
its
graph.
[The
graphs
cylindrical
or spherical
coordinates)
with
[The
graphs
de
coordenadas
cilíndricas
o esféricas)
conitssugraph.
gráfica.
[Los
gráare labeled
labeled
(a),a),
(b),b),(c),
(c),
(d),
(e),y and
and
(f ).]
).]
are
(a),
(b),
(e),
ficos
se marcan
c),(d),
d), e)
f).] (f
zz
(a)
(a)
a)
− 33 − 2
−
−2
yy
11 22 33
−3 −2
3 22
y
23 1 2 3
xx
3
x
zz
(c)
(c)
c)
5
5
zz
(b)
(b)
b)
π
π
π 44
3
3
3 4
z
2
55
y
5
yy
22
44
4
yy
y
zz
5
55
103.
103.
105.
105.
44
4 x
x
x
(d)
(d)
d)
z
55
99.
99.
101.
101.
z
−4
−4
−4
5
z
55
55
yy
55
y
5
x
x
(e)
(e)
e)
2
− 22
−
−2
1
z
22
zz
22
2x
x
x
π
π
π 44
4
2
22
y
z
33
yy
5 55
89. rr 5
89.
89. r 5 5
5 55
91. rr 5
91.
91. r 5 5
5 zz
93. rr 22 5
93.
93. r 2 5 z
−2
−2
−2 22
2xx
x
11
1
22
2
yy
y
p
5pp
90. uu 5
90.
90. u 5 44
4
p
f5
5pp
92. f
92.
92. f 5 44
4
5 44 sec
sec f
f
94. rr 5
94.
94. r 5 4 sec f
WR
R II TT II N
NG
G A
AB
BO
OU
U TT C
CO
ON
NC
C EE P
P TT S
S
W
95. Give
Give the
the equations
equations for
for the
the coordinate
coordinate conversion
conversion from
from
95.
Desarrollo
conceptos
rectangular de
to cylindrical
cylindrical
coordinates and
and vice
vice versa.
versa.
rectangular
to
coordinates
5rec96.Dar
Explain
why in
in spherical
spherical
coordinates
the
graph of
of uu 5
is
95.
las ecuaciones
para lacoordinates
conversión the
de coordenadas
cc is
96.
Explain
why
graph
a
half-plane
and
not
an
entire
plane.
tangulares
a coordenadas
cilíndricas
a half-plane
and not an entire
plane.y viceversa.
97.
Give
the
equations
for
the
coordinate
conversion
from
96.
Explicar
por
qué
en
las
coordenadas
esféricas
la gráfica
de
97. Give the equations for the coordinate
conversion
from
rectangular
to spherical
spherical
coordinates
and vice
vice versa.
versa.
q rectangular
= c es un semiplano
y nocoordinates
un plano entero.
to
and
97. Dar las ecuaciones para la conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas y viceversa.
CA
AP
PS
S TT O
ON
N EE
C
98. (a)
(a) For
For constants
constants a,
and c,
describe the
the graphs
graphs of
of the
the
a, b,
b, and
c, describe
98.
and zz 5
in cylindrical
cylindrical
5 b,
b, and
5 cc in
uu 5
coordinates.
coordinates.
98. a) Dadas las constantes a, b y c, describir las gráficas de las ecua(b) For
For constants a,
and c, describe the
the graphs
graphs of
of the
the
a, b, and
(b)
ciones rconstants
y z 5 cc,endescribe
coordenadas cilíndricas.
5 a, u 5 b,b,
equations rr 5
and f
in spherical
spherical
5 a,
a, uu 5
5 b,
b, and
f5
5 cc in
equations
b) Dadas
las constantes a, b y c, describir las gráficas de las
coordinates.
coordinates.
ecuaciones r 5 a, u 5 b, y f 5 c en coordenadas esféricas.
equations rr 5
5 a,
a,
Para discusión
equations
2 1 y2
2 5 4y
xx2 1
y 5
4y
2
2 yy 22 5
5 99
xx 2 2
107.
107.
108.
108.
# uu
00 #
2p
py2
y2
2
109.
109.
110.
110.
00
00
#
#
#
#
100.
100.
102.
102.
104.
104.
106.
106.
2 1 y2
2 5 z2
2
y dd 5
z
44ssxx2 1
2
2
1 yy 2 5
5 zz
xx 2 1
2 1 y2
2 5 36
xx2 1
y 5
36
yy 5
5 44
uu
uu
py2,
y2, 00 #
2, 00 #
#p
# rr #
# 2,
# zz #
# 44
#
py2,
y2, 00 #
3, 00 #
cos uu
# uu #
#p
# rr #
# 3,
# zz #
# rr cos
#
2
p
,
0
r
a,
r
z
a
#
#
#
#
#
# 2p, 0 # r # a, r # z # a
p,, 22 #
4, zz 22 #
2r 22 1
1 6r
6r 2
2 88
# 22p
# rr #
# 4,
# 2r
#
En
ejercicios
111 a 114,
dibujar
sólidothat
que tiene
In los
Exercises
111–114,
sketch
theel solid
solid
that
has la
thedescripgiven
In
Exercises
111–114,
sketch
the
has
the
given
description
incoordenadas
spherical coordinates.
coordinates.
ción
dada enin
esféricas.
description
spherical
#
#
#
#
#
#
0
114.
#
114. 0 #
3
11
2 1 y2
2 1 z2
2 5 25
xx2 1
y 1
z 5
25
2
2
xx 2 1
1 yy 2 1
1 zz 22 2
2 2z
2z 5
5 00
En
ejercicios
107 a 110,
dibujar
sólido that
que tiene
In los
Exercises
107–110,
sketch
theel solid
solid
that
has la
thedescripgiven
In
Exercises
107–110,
sketch
the
has
the
given
ción
dada
en
coordenadas
cilíndricas.
description
in
cylindrical
coordinates.
description in cylindrical coordinates.
111.
111.
112.
112.
113.
113.
zz
(f ))
(f
f)
In Exercises
Exercises
99–106,
convert
the rectangular
rectangular
equation
to an
ana
In
99–106,
the
equation
to
En
los ejercicios
99 a convert
106, convertir
la ecuación
rectangular
equation
in
(a)
cylindrical
coordinates
and
(b)
spherical
equation
in a)
(a)encylindrical
spherical
coordenadascoordinates
cilíndricas yand
b) en(b)
coordenadas
una
ecuación
coordinates.
coordinates.
esféricas.
00
00
00
uu
uu
uu
#
#
#
#
#
#
u
#
u #
p,, 00 #
f #
py6,
y6, 00 #
sec f
f
#f
#p
# rr #
# aa sec
22p
2
p
,
p
y4
f
p
y2,
0
r
1
#f #
# py2, 0 #
#r #
#1
2p, py4 #
0
p
y2,
0
f
p
y2,
r
#
#
#
#
py2, 0 # f # py2, 0 # r # 22
p,, 00 #
f#
py2,
y2, 11 #
#f
#p
# rr #
# 33
p
Think
About En
It los
Inejercicios
Exercises115
115–120,
find inequalities
inequalities
that
Para
pensar
a 120, hallar
las
desigualdades
Think
About
It
In
Exercises
115–120,
find
that
describe
the
solid,
and
state
the
coordinate
system
used.
que
describen
sólido,
sistema desystem
coordenadas
describe
the al
solid,
andy especificar
state the el
coordinate
used.
Position the
the
solid on
on
the coordinate
coordinate
system
such that
that en
the
utilizado.
Posicionar
al sólido
en el sistema
de coordenadas
el
Position
solid
the
system
such
the
inequalities
are
as
simple
as
possible.
que
las
desigualdades
sean
tan
sencillas
como
sea
posible.
inequalities are as simple as possible.
115. Un
A cube
cube
with
each
edge
10
centimeters
longde largo.
115.
cubowith
con each
cada edge
arista10
decentimeters
10 centímetros
115.
A
long
116. Una
A cylindrical
cylindrical
shell 88demeters
meters
longde
with
an inside
inside
diameter
of
116.
capa cilíndrica
8 metros
longitud,
0.75diameter
metros of
de
116.
A
shell
long
with
an
0.75 meter
meter
and an
any outside
outside
diameter
of 1.25
1.25
meters
diámetro
interior
un diámetro
exterior
de 1.25
metros.
0.75
and
diameter
of
meters
117. Una
A spherical
spherical
shell with
with
inside
and
outside
radii of
ofde
inches
and
117.
capa esférica
con inside
radios and
interior
y exterior
4 pulgadas
117.
A
shell
outside
radii
44 inches
and
inches,
respectively
y66 6inches,
pulgadas,
respectivamente.
respectively
118. El
The
solid que
that queda
remains
after aa de
hole
inch in
in
diameter
is drilled
drilled
118.
sólido
después
perforar
undiameter
orificio de
1 pul118.
The
solid
that
remains
after
hole
11 inch
is
through
the
center
of
a
sphere
6
inches
in
diameter
gada
de
diámetro
a
través
del
centro
de
una
esfera
de
6 pulthrough the center of a sphere 6 inches in diameter
de diámetro.
1 yy22 1
1 zz22 5
5 99 and
119. gadas
The solid
solid
inside both
both xx22 1
and
119.
The
inside
2
2
2
2
119. El sólido
dentro tanto
de x 1 y 1 z 5 9 como de
2 332 dd2 1
1 yy 22 5
5 994
ssxx 2
32 2
94
2
x 2 2 solid
5 4.
d 1 y between
1 yy22 1
1 zz22 5
5 44 and
120. sThe
The
the spheres
spheres xx22 1
and
120.
solid between
the
2
2
2
2
2
2
2 1 y 2 1 z 2 5 9, and inside
2
2
2
z
x
5
x
1
y
the
cone
2 1cone
x sólido
1y 1
z 5
and inside
120. El
entre
las9,
esferas
x2 1 ythe
z2 = z4 y5x2x11
y2y1 z2 = 9, y
dentro del cono z 2 5 x 2 1 y 2.
True or
or False?
False? In
In Exercises
Exercises 121–124,
121–124, determine
determine whether
whether the
the
True
statement
is
true
or
false.
If
it
is
false,
explain
why
or
give
an
¿Verdadero
En losIfejercicios
121explain
a 124, determinar
la
statement iso falso?
true or false.
it is false,
why or givesian
example
that
shows
it
is
false.
declaración
es
verdadera
o
falsa.
Si
es
falsa,
explicar
por
qué
o
example that shows it is false.
dar un ejemplo que pruebe que es falsa.
5 zz is
121. In
In cylindrical
cylindrical coordinates,
coordinates, the
the equation
equation rr 5
is aa cylinder.
cylinder.
121.
2
2
2
121.
cilindro.the
5 22 and
1 yy 2 1
1 zzr 2=5
5z es
122. En
Thecoordenadas
equations rrcilíndricas,
and laxx 2ecuación
represent
the
5
1
44 un
122.
The
equations
represent
sameecuaciones
surface. r 5 2 y x 2 1 y 2 1 z 2 5 4 representan la
122. Las
same
surface.
superficie.
x, y,
y, zzdd are
123. misma
The cylindrical
cylindrical
coordinates of
of aa point
point ssx,
are unique.
unique.
123.
The
coordinates
123.
Las
coordenadas
cilíndricas
de
un
punto
(x,
y,
z)
son
únicas.
s
x,
y,
z
d
124.
The
spherical
coordinates
of
a
point
are
unique.
124. The spherical coordinates of a point sx, y, zd are unique.
124. Las coordenadas esféricas de un punto (x, y, z) son únicas.
125. Identify
Identify the
the curve
curve of intersection of
of the
the surfaces
surfaces (in
(in cylindrical
cylindrical
125.
125.
Identificar
la curvaofdeintersection
intersección de
las superficies
(en coor5 sin
sin uu and
5 1.
1.
coordinates) zz 5
and rr 5
coordinates)
denadas cilíndricas) z 5 sen q y r 5 1.
126. Identify
Identify the curve of
of intersection of
of the surfaces
surfaces (in
(in spherical
spherical
126.
126.
Identificarthela curve
curva deintersection
intersección dethe
las superficies
(en coorr
5
2
sec
f
r
5
4.
coordinates)
and
r 5 2rsec
coordinates)
andfr y5r 4.
denadas
esféricas)
5 2f sec
5 4.
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Ejercicios de repaso
Ejercicios de repaso
11
\
\
En los ejercicios 1 y 2, sean u 5 PQ y v 5 PR , a) escribir u y v
en la forma de componentes, b) escribir u como combinación lineal de vectores i y j unitarios estándar, c) encontrar la magnitud de v y d) encontrar 2u + v.
1. P 5 s1, 2d, Q 5 s4, 1d, R 5 s5, 4d
2. P 5 s22, 21d, Q 5 s5, 21d, R 5 s2, 4d
8,
60
4. v
1
2,
225
5. Hallar las coordenadas del punto en el plano xy cuatro unidades
a la derecha del plano xz y cinco unidades detrás del plano yz.
6. Hallar las coordenadas del punto localizado en el eje y y siete
unidades a la izquierda del plano xz.
En los ejercicios 7 y 8, determinar la localización de un punto
(x, y, z) que satisface la condición.
7. yz > 0
En los ejercicios 21 y 22, determinar si u y v son ortogonales,
paralelos, o ninguna de las dos cosas.
21. u 5 k7, 22, 3l
22. u 5 k24, 3, 26l
v 5 k21, 4, 5l
v 5 k16, 212, 24l
En los ejercicios 23 a 26, hallar el ángulo u entre los vectores.
En los ejercicios 3 y 4, encontrar las componentes del vector v
dada su magnitud y el ángulo que forma con el eje x positivo.
3. v
829
8. xy < 0
En los ejercicios 9 y 10, hallar la ecuación estándar de la esfera.
9. Centro: s3, 22, 6d; diámetro: 15
10. Puntos terminales de un diámetro: (0, 0, 4), (4, 6, 0)
23. u
5 cos 3
4i
v
2 cos 2
3i
sen 2
6i
3k,
v
24. u
25. u
10,
26. u
1, 0,
2j
5, 15 ,
sen 3
4j
3j
5j
i
2, 1,
v
3, v
2,
3
2, 1
27. Hallar dos vectores en direcciones opuestas que sean ortogonales al vector u 5 k5, 6, 23l.
28. Trabajo Un objeto es arrastrado 8 pies por el suelo aplicando
una fuerza de 75 libras. La dirección de la fuerza es de 30° sobre
la horizontal. Encontrar el trabajo realizado.
<
> <
>
En los ejercicios 29 a 38, sea u 5 3, 22, 1 , v 5 2, 24, 23 ,y
w 5 21, 2, 2 .
<
>
29. Probar que u ? u 5 i u i2.
30. Hallar el ángulo entre u y v.
En los ejercicios 11 y 12, completar el cuadrado para dar la
ecuación de la esfera en forma canónica o estándar. Hallar el
centro y el radio.
11.
x2
12.
x2
1
y2
1
y2
1
z2
2 4x 2 6y 1 4 5 0
1
z2
2 10x 1 6y 2 4z 1 34 5 0
31. Determinar la proyección de w sobre u.
32. Calcular el trabajo realizado al mover un objeto a lo largo del
vector u si la fuerza aplicada es w.
33. Determinar un vector unitario perpendicular al plano que contiene a v y a w.
En los ejercicios 13 y 14 se dan los puntos inicial y final de un
vector, a) dibujar el segmento de recta dirigido, b) encontrar la
forma componente del vector, c) escribir el vector usando
notación vectorial unitaria estándar y d) dibujar el vector con su
punto inicial en el origen.
34. Mostrar que u 3 v 5 2 sv 3 ud.
13. Punto inicial: s2, 21, 3d
38. Calcular el área del triángulo con lados adyacentes v y w.
14. Punto inicial: s6, 2, 0d
Punto terminal: s4, 4, 27d
35. Calcular el volumen del sólido cuyas aristas son u, v y w.
36. Mostrar que u 3 sv 1 wd 5 su 3 vd 1 su 3 wd.
37. Calcular el área del paralelogramo con lados adyacentes u y v.
Punto terminal: s3, 23, 8d
En los ejercicios 15 y 16, utilizar vectores para determinar si los
puntos son colineales.
15. s3, 4, 21d, s21, 6, 9d, s5, 3, 26d
39. Momento Las especificaciones para un tractor establecen que
el momento en un perno con tamaño de cabeza de 78 de pulgada
no puede exceder 200 pies-libras. Determinar la fuerza máxima
i F i que puede aplicarse a la llave de la figura.
16. s5, 24, 7d, s8, 25, 5d, s11, 6, 3d
17. Hallar un vector unitario en la dirección de u 5 k2, 3, 5l.
2 pies
18. Hallar el vector v de magnitud 8 en la dirección k6, 23, 2l.
\
\
En los ejercicios 19 y 20, sean u 5 PQ y v 5 PR ., Hallar a) las
componentes de u y de v, b) u · v y c) v ? v.
19. P 5 s5, 0, 0d, Q 5 s4, 4, 0d, R 5 s2, 0, 6d
20. P 5 s2, 21, 3d, Q 5 s0, 5, 1d, R 5 s5, 5, 0d
50°
7
8
pulg
70°
F
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CAPÍTULO 11
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Vectores y la geometría del espacio
40. Volumen Usar el producto escalar triple para encontrar el volumen del paralelepípedo que tiene aristas adyacentes u 5 2i 1 j,
v 5 2j 1 k,y w 5 2j 1 2k.
En los ejercicios 41 y 42, hallar el conjunto de a) ecuaciones
paramétricas y b) ecuaciones simétricas de la recta a través de
los dos puntos. (Para cada recta, dar los números directores
como enteros.)
41. s3, 0, 2d, s9, 11, 6d
42. s21, 4, 3d,
s8, 10, 5d
En los ejercicios 43 a 46, a) hallar un conjunto de ecuaciones
paramétricas para la recta, b) encontrar un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta y c) dibujar una gráfica de la
recta.
43. La recta pasa por el punto (1, 2, 3) y es perpendicular al plano xz.
44. La recta pasa por el punto (1, 2, 3) y es paralela a la recta dada
por x 5 y 5 z.
45. La intersección de los planos 3x 2 3y 2 7z 5 24 y
x 2 y 1 2z 5 3
46. La recta pasa por el punto (0, 1, 4) y es perpendicular a
u 5 k2, 25, 1l y v 5 k23, 1, 4l.
En los ejercicios 47 a 50, encontrar una ecuación del plano.
59.
x2
y2
1 1 z2 5 1
16
9
60. 16x 2 1 16y 2 2 9z 2 5 0
61.
y2
x2
2 1 z 2 5 21
16
9
62.
x2
y2
z2
1 2
51
25
4
100
63. x 2 1 z 2 5 4
64. y 2 1 z 2 5 16
65. Hallar una ecuación de una directriz de la superficie de revolución y 2 1 z 2 2 4x 5 0.
66. Encontrar una ecuación de la curva generadora de la superficie
de revolución x2 1 2y2 1 z2 5 3y.
67. Determinar una ecuación para la superficie de revolución generada al rotar la curva z 2 5 2y en el plano yz alrededor del eje y.
68. Encontrar una ecuación para la superficie de revolución generada
al rotar la curva 2x 1 3z 5 1 en el plano xz alrededor del eje x.
En los ejercicios 69 y 70, convertir las coordenadas rectangulares
del punto a a) coordenadas cilíndricas y b) coordenadas esféricas.
47. El plano pasa por
(23, 24, 2), (23, 4, 1) y (1, 1, 22).
48. El plano pasa por el punto s22, 3, 1d y es perpendicular a
n 5 3i 2 j 1 k.
49. El plano contiene las rectas dadas por
69. s22!2, 2!2, 2d
70.
1 43, 34, 3 2 32
!
!
En los ejercicios 71 y 72, convertir las coordenadas cilíndricas
del punto en coordenadas esféricas.
1100, 2 p6 , 502
181, 2 56p, 27!32
x21
5y5z11
22
71.
y
En los ejercicios 73 y 74, convertir las coordenadas esféricas del
punto en coordenadas cilíndricas.
x11
5 y 2 1 5 z 2 2.
22
50. El plano pasa por los puntos (5, 1, 3) y (2, 22, 1) y es perpendicular al plano 2x 1 y 2 z 5 4.
51. Hallar la distancia del punto (1, 0, 2) al plano 2x 2 3y 1
6z 5 6.
52. Hallar la distancia del punto (3, 22, 4) al plano 2x 2 5y 1 z 5
10.
53. Hallar la distancia de los planos 5x 2 3y 1 z 5 2 y 5x 2 3y 1
z 5 23.
54. Hallar la distancia del punto s25, 1, 3d a la recta dada por
x 5 1 1 t, y 5 3 2 2t, y z 5 5 2 t.
En los ejercicios 55 a 64, describir y dibujar la superficie.
55. x 1 2y 1 3z 5 6
56. y 5 z 2
1
57. y 5 2z
58. y 5 cos z
72.
125, 2 p4 , 34p2
p 2p
74. 112, 2 , 2
2 3
73.
En los ejercicios 75 y 76, convertir la ecuación rectangular a una
ecuación en a) coordenadas cilíndricas y b) coordenadas esféricas.
75. x 2 2 y 2 5 2z
76. x 2 1 y 2 1 z 2 5 16
En los ejercicios 77 y 78, expresar en coordenadas rectangulares
la ecuación dada en coordenadas cilíndricas y dibujar su gráfica.
77. r 5 5 cos u
78. z 5 4
En los ejercicios 79 y 80, expresar en coordenadas rectangulares
la ecuación dada en coordenadas esféricas y dibujar su gráfica.
79. u 5
p
4
80. r 5 3 cos f
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Solución de problemas
831
Solución de problemas
SP
1. Utilizando vectores, demostrar la ley de los senos: Si a, b y c son
los tres lados del triángulo de la figura, entonces
sen A
a
sen B
b
7. a) Hallar el volumen del sólido limitado abajo por el paraboloide z 5 x 2 1 y 2 y arriba por el plano z 5 1.
b) Hallar el volumen del sólido limitado abajo por el parabo-
sen C
.
c
loide elíptico z 5
x2
y2
1
y arriba por el plano z 5 k,
a2 b2
donde k > 0.
B
c) Mostrar que el volumen del sólido del inciso b) es igual a la
mitad del producto del área de la base por la altura (ver la
figura).
a
c
A
z
C
Base
b
E
x
2. Considerar la función f sxd 5
!t 4 1 1 dt.
Altura
0
a) Usar una herramienta de graficación para representar la función en el intervalo 2 x 2.
b) Hallar un vector unitario paralelo a la gráfica de f en el punto
(0, 0).
c) Hallar un vector unitario perpendicular a la gráfica de f en el
punto (0, 0).
d) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la
gráfica de f en el punto (0, 0).
3. Utilizando vectores, demostrar que los segmentos de recta que
unen los puntos medios de los lados de un paralelogramo forman
un paralelogramo (ver la figura).
y
x
8. a) Usar el método de los discos para encontrar el volumen de la
esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 r 2.
b) Hallar el volumen del elipsoide
y2
z2
x2
1 2 1 2 5 1.
2
a
b
c
9. Dibujar la gráfica de cada ecuación dada en coordenadas esféricas.
a) r 5 2 sen f
b) r 5 2 cos f
10. Dibujar la gráfica de cada ecuación dada en coordenadas cilíndricas.
a) r 5 2 cos u
b) z 5 r 2 cos 2u
11. Demostrar la propiedad siguiente del producto vectorial.
4. Utilizando vectores, demostrar que las diagonales de un rombo
son perpendiculares (ver la figura).
su 3 vd 3 sw 3 zd 5 su 3 v ? zdw 2 su 3 v ? wdz
12. Considerar la recta dada por las ecuaciones paramétricas
x 5 2t 1 3,
y 5 12t 1 1,
z 5 2t 2 1
y el punto s4, 3, sd para todo número real s.
a) Dar la distancia entre el punto y la recta como una función
de s.
5. a) Hallar la distancia más corta entre el punto Qs2, 0, 0d y la
recta determinada por los puntos P1s0, 0, 1d y P2s0, 1, 2d.
b) Hallar la distancia más corta entre el punto Qs2, 0, 0d y el segmento de recta que une los puntos P1s0, 0, 1d y P2s0, 1, 2d.
6. Sea P0 un punto en el plano con vector normal n. Describir el conjunto de puntos P en el plano para los que sn 1 PP0d es el ortogonal a sn 2 PP0d.
\
\
b) Usar una herramienta de graficación para representar la
función del inciso a). Usar la gráfica para encontrar un
valor de s tal que la distancia entre el punto y la recta sea
mínima.
c) Usar el zoom de una herramienta de graficación para amplificar varias veces la gráfica del inciso b). ¿Parece que la gráfica tenga asíntotas oblicuas? Explicar. Si parece tener asíntotas oblicuas, encontrarlas.
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1053714_110R.qxp
10/27/08
AM Page
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832
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CAPÍTULO 11
Vectores y la geometría del espacio
Chapter 11 Vectors and the Geometry of Space
Chapter 11 Vectors and the Geometry of Space
832
832
13. Una pelota que pesa 1 libra sujetada por una cuerda a un poste
13. Aestetherball
weighing
1 opuesta
pound isalpulled
from the
pole
lanzada en
dirección
poste outward
por una fuerza
horizonu until
by
horizontal
force
the rope
makes
an
angle con
of el
tal au que
hace que
la cuerda
forme
un
ángulo
de
q
grados
u figure).
degrees
with
pole (see
poste (ver
la the
figura).
(a)
Determine the
resultingresultante
tension inenthe
andy the
magnia) Determinar
la tensión
la rope
cuerda
la magnitud
u when
30 .
tude
de
u
5
308.
u of
cuando
u
30 .
(b)
Write
tension
in cuerda
the rope
and
the magnitude
of ufunas
b) Dar
la the
tensión
T deTTla
y la
magnitud
de u como
u
.
functions
of
Determine
the
domains
of
the
functions.
ciones de q. Determinar
los dominios de las funciones.
.
(c)
Use auna
graphing
utility de
to graficación
complete thepara
table.
c) Usar
herramienta
completar la tabla.
0
0
10
10
20
20
30
30
40
40
50
50
16. Los Ángeles se localiza a 34.05° de latitud Norte y 118.24° de
16. Los
Angeles
is located
at 34.05
North
latitude
and 118.24
longitud
Oeste,
y Río de
Janeiro,
Brasil,
se localiza
a 22.90°
34.05 Brazil
118.24
West
longitude,
Rio de Janeiro,
is located
de latitud
Sur and
y 43.23°
de longitud Oeste
(ver at
la 22.90
figura).
22.90
South
latitude
and
longitude
(seeunfigure).
Assume
43.23 esWest
Suponer
que
la
Tierra
esférica
y
tiene
radio
de
4 000
South
latitude
and 43.23
Westa radius
longitude
(see figure).
that
Earth
is spherical
and has
of 4000
miles. Assume
millas.
that Earth is spherical and has a radius of 4000 miles.
zz
z
rMeridiano
m
rm
meridian
cero
meridian
yy
y
Los
LosAngeles
Ángeles
Los
Angeles
60
60
T
T
u
u
xx
x
(d)
Use una
a graphing
utility
to graph the
functionslasfor
d) Usar
herramienta
de graficación
paratwo
representar
dos
0
60
.
0
60
.
funciones
para
0
60 .
u as increases.
(e)
Compare TTand
e) Comparar
T y i u iua medida que u se aumenta.
lím Tlím
u . u .Are
(f)
Find
(if
possible)
y lím
the los reT y lím
f ) Hallar (si es posible)
¿Son
→lím
2 →
T 2→lím2 → u2 .
→
2
→
2
results
yousexpected?
e esperaba?
Explain.
sultadoswhat
lo que
Explicar.
θθ
θ
θθ
θ
uu
u
lb
11libra
1 lb
θθ
θ
Figure
13 13
Figurafor
para
Figure para
for 1414
Figura
14.
loaded
barge
is being
towed by two
andremolcadoras,
the magniUna
barcaza
cargada
es remolcada
por tugboats,
dos lanchas
14. A
tude
the resultant
6000 pounds
alongdirigidas
the axis aoflo
y la of
magnitud
de la is
resultante
es de directed
6 000 libras
the
(see defigure).
Each (ver
towline
makes Cada
an angle
of de
largobarge
del eje
la barcaza
la figura).
cuerda
degrees
with
the un
axisángulo
of thede
barge.
remolque
forma
q grados con el eje de la barcaza.
20 . si u 5 208.
(a)
Find the
if remolque
a) Hallar
la tension
tensión in
dethe
las towlines
cuerdas del
20 .
T
(b)
Write
the
tension
of
each
line
as
a
function
of . Deterb) Dar la tensión T en cada cuerda como una función
de q.
T
.
mine the domain
of thede
function.
Determinar
el dominio
la función.
(c)
Use auna
graphing
utility de
to graficación
complete thepara
table.
c) Usar
herramienta
completar la tabla.
10
10
20
20
30
30
40
40
50
50
60
60
T
T
(d)
Use auna
graphing
utility de
to graficación
graph the tension
function. la fund) Usar
herramienta
para representar
ción
tensión.
(e) Explain why the tension increases as increases.
e) Explicar the
por qué
la tensión
medida
q aumenta.
, 0 queand
u aumenta
cos a, sen
v
15. Consider
vectors
,0
u . Find
costhe, sen
v
cos , sen los
, 0 vectores
, where u 5
> kcos
v 5 kcosofb,the
15. Considerar
sen
a, sen
sin across
, 0l y product
cos
,
sen
,
0
,
> .
vectors
and use
to el
prove
the identity
a >thebresult
. Hallar
b, 0l, donde
producto
vectorial de los vectores
y usar el resultado para demostrar la identidad
cos sen .
sen
sen cos
sen
sen
sen
sinsa 2 bd 5sen
sin acos
cos b 2cos
cos asen
sin b. .
sen
Equator
Ecuador
Equator
Rio
Ríode
deJaneiro
Janeiro
Rio
de
Janeiro
a) Find
Hallar
coordenadas
esféricas
paralocation
la ubicación
cada
(a)
thelas
spherical
coordinates
for the
of eachdecity.
(a) ciudad.
Find the spherical coordinates for the location of each city.
(b) Find the rectangular coordinates for the location of each
(b)
Find the
coordinates
for the
of eachde
b) city.
Hallar
lasrectangular
coordenadas
rectangulares
paralocation
la ubicación
city.
cada the
ciudad.
(c) Find
angle (in radians) between the vectors from the
(c)
Find
angleto(in
between
vectors
thede
c) center
Hallarthe
el Earth
ángulo
(en
radianes)
entre losthe
vectores
delfrom
centro
of
theradians)
two cities.
center
of
Earth
to
the
two
cities.
la Tierra
cada ciudad. distance s between the cities.
(d) Find
thea great-circle
s between
(d)
Find
the
distancemáximo
theciudades.
cities.
d) Hallar
s del círculo
entre las
Hint: sla distancia
rgreat-circle
s
r
Hint:
(Sugerencia:
5 ru.)for the cities of Boston, located at
(e) Repeat
parts s(a)–(d)
(e)
Repeat North
parts
(a)–(d)
the71.06
cities
of Boston,
located
e) 42.36
Repetir
los
incisos
a) afor
d)
con
las
ciudades
de
Boston,
localilatitude
and
West
longitude,
andat
42.36
71.06
North
latitude
and
West
longitude,
and
zada a 42.36°
latitudatNorte
y HonoHonolulu,
located
North longitud
latitude Oeste,
and 157.86
21.31y 71.06°
21.31
157.86
Honolulu,
located
at
North
latitude
and
lulu, longitude.
localizada a 21.31° latitud Norte y 157.86° longitud
West
West longitude.
Oeste.
17. Consider
the plane that passes through the points P, R, and S.
R, Mostrar
17.
Consider
passes
through
the
and S.
17.Show
Considerar
planothat
que
pasa
por
los
puntos
P, RP,
y S.
that the
theelplane
distance
from
a point
thispoints
plane
is
Q to
Q
Show
that
the
distance
from
a
point
to
this
plane
is
que la distancia de un punto Q a este plano es
u v w
Distance
u u vsv 3
w wd
u?
Distance
Distancia
Distance 5 u v
iu 3 vi
where u PR , v PS , and w PQ .
w
u
PR
,
v
where
u 5 PR
5 PS
PS,,yand
w between
5 PQPQ
. . the parallel planes
donde that
18. Show
the, v distance
18.
Show
the
18.ax
Mostrar
que
entre
los by
planoscz
paralelos
by that
cz lathedistancia
d1 distance
0 and
0 is planes
axbetween
dparallel
2
ax
2 00
y axax1 byby1 czcz1 d2d5
esis
ax 1 by
by 1 cz
cz 1 dd11 5 00and
d 1 d2
Distance
d 2 d2d 2 .
2 1d 2
Distance
Distancia
Distance 5 aa2 2 1bb2 2 2cc 2 .2 .
!a 1 b 1 c
19. Show that the curve of intersection of the plane z 2y and the
19.
Show
that
the
theplano
planezz5 2y
the
2yyand
2
2curva
19.cylinder
Mostrarxque
la
deintersection
intersección
el cilinan
ellipse. ofdel
ycurve
1ofis
2
2
x
cylinder
is
an
ellipse.
y
1
2
2
dro xthe1article
es unaTables:
elipse. Solution of a Dental Problem
y 5 1“Tooth
20. Read
20.
Read
theartículo
article
“Tooth
Tables:
Solution
Dental
Problemby
20.by
Leer
el
“Tooth
Tables:
Solution
ofofa aDental
Problem
Vector
Algebra”
by Gary
Hosler
Meisters
in
Mathematics
by
Vector
Algebra”
by
Gary
Hosler
Meisters
in
Mathematics
Vector Algebra”
de Gary
Magazine.
(To view
this Hosler
article,Meisters
go to entheMathematics
website
Magazine.
this write
article,a paragraph
go to theexplaining
website
Magazine. (To view Then
www.matharticles.com.)
www.matharticles.com.)
Then
write
a
paragraph
explaining
how vectors and vector algebra can be used in the construction
how
vectors
and vector algebra can be used in the construction
of
dental
inlays.
of dental inlays.
|
|
\
\
\
\
\
\
\
\
|
\
|
1053714_cop12.qxd 10/27/08 11:47 AM
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12
12
Page 833
Funciones vectoriales
Vector-Valued
Functions
En
capítulo
se introduce
el concepto
Thiseste
chapter
introduces
the concept
of
de
funciones
vectoriales.
También
vector-valued functions. Vector-valued
pueden
emplearse
para to
estudiar
functions
can be used
study curvas
curves en
in
el
plano
y
en
el
espacio.
Esas
funciones
the plane and in space. These functions
también
parathe
estudiar
can also pueden
be usedusarse
to study
motionelof
movimiento
de
un
objeto
a
lo
largo
de
an object along a curve.
una curva.
In this chapter, you should learn the
En
este capítulo, se aprenderá:
following.
n
Cómotoanalizar
bosquejar
curva
■ How
analyzeyand
sketchuna
a space
en
el
espacio
representada
por
una
curve represented by a vector-valued
función vectorial.
Cómothe
aplicar
los of
function.
How to apply
concepts
conceptos
de
límites
y
continuidad
a
limits and continuity to vector-valued
12.1
)
las
funciones
vectoriales.
(
functions. (12.1)
■
n
■
n
n
■
■
n
Cómotoderivar
e integrar
How
differentiate
andfunciones
integrate
vectoriales. (12.2
)
vector-valued
functions.
(12.2)
How
describelathe
velocity yand
Cómotodescribir
velocidad
acceleration
associated
with
vectoraceleración asociada
con
unaafunción
■
valued
function
use a
vectorial
y cómoand
usarhow
unatofunción
vector-valued
to movimiento
analyze
vectorial para function
analizar el
projectile
motion.
(12.3
de proyectiles.
(12.3
) )
How to find tangent vectors and normal
Cómo encontrar vectores tangentes y
vectors. (12.4)
vectores normales. (12.4)
How to find the arc length and curvature
Cómo
encontrar
of
a curve.
(12.5)la longitud de arco y
la curvatura de una curva. (12.5)
Jerry Driendl/Getty Images
A Ferris
wheel
constructed
using the usando
basic principles
of a básicos
bicycle wheel.
can
Una
rueda
de laisfortuna
está construida
los principios
de una You
bicicleta.
■ use
a
vector-valued
function
to
analyze
the
motion
of
a
Ferris
wheel,
including
its
Se puede usar una función vectorial para analizar el movimiento de una rueda de la
position
and velocity.
(See P.S.
Problem Solving,
Exercise
fortuna, incluidas
su posición
y velocidad.
(Ver solución
de 14.)
problemas, ejercicio 14.)
v(1) v(2)
v(1)
v(2)
v(1)
v(1)
v(0)
v(0)
v(0)
v(0)
v(1) v(2)
v(2)
v(1)
v(0)
v(0)
v(0)
v(0)
v(3)
v(3)
a(2)
a(2)
a(1)
a(1)
a(0)
a(0)
a(0)
a(0)
a(1)
a(1)
a(0)
a(0)
a(2)
a(2)
a(3)
a(3)
a(1)
a(1)
a(0)
a(0)
A vector-valued
function
mapsnúmeros
real numbers
use usar
a vector-valued
to para
represent
the motion
Una
función vectorial
mapea
realestoa vectors.
vectores.You
Secan
puede
una funciónfunction
vectorial
representar
el
of
a
particle
along
a
curve.
In
Section
12.3,
you
will
use
the
first
and
second
derivatives
of
a
position
vector
to
movimiento de una partícula a lo largo de una curva. En la sección 12.3 se usarán la primera y segunda derivadas
find
particle’s
velocity and
de
unavector
de posición
paraacceleration.
encontrar la velocidad y aceleración de una partícula.
833
833
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CAPÍTULO 12
834
Chapter 12
Page 834
Funciones vectoriales
Vector-Valued Functions
12.1 Funciones vectoriales
12.1 Vector-Valued Functions
Analizar y dibujar una curva en el espacio dada por una función vectorial.
n
n
Extender
los conceptos
de límite
y continuidad
a funciones vectoriales.
Analyze and
sketch a space
curve
given by a vector-valued
function.
Extend the concepts of limits and continuity to vector-valued functions.
Curvas en el espacio y funciones vectoriales
Space Curves and Vector-Valued Functions
En la sección 10.2 se definió una curva plana como un conjunto de pares ordenados
10.2,con
a plane
curve was
defined as the set of ordered pairs f t , g t
sIn
f stdSection
, g stdd junto
sus ecuaciones
paramétricas
together with their defining parametric equations
x 5 f std
y
y 5 gstd
x f t
y gt
and
donde f y g son funciones continuas de t en un intervalo I. Esta definición puede extenwheredef manera
and g are
continuous
functions
of t on an
interval
Thiscurva
definition
be C
derse
natural
al espacio
tridimensional
como
sigue.I. Una
en el can
espacio
extended
naturally
to three-dimensional
space as
space
the set
es
un conjunto
de todas
las ternas ordenadas
s f sfollows.
td, gstd, hAstdd
juntocurve
con C
susis ecuaciones
of all ordered triples f t , g t , h t together with their defining parametric equations
paramétricas
xx 5 ffsttd,,
yy 5 ggsttd,,
yand z 5z hstdh t
f, gg,yand
h are
where ƒ,
continuous
functions
on intervalo
an interval
h son
funciones
continuas
de tofent un
I. I.
donde
Beforedelooking
at examples
of en
space
curves, se
a introduce
new type un
of nuevo
function,
a
Antes
ver ejemplos
de curvas
el espacio,
tipocalled
de función,
vector-valued
introduced.
This type
of function
real numbers
llamada
funciónfunction,
vectorial.isEste
tipo de función
asigna
vectoresmaps
a números
reales. to
vectors.
DEFINICIÓN
DEOF
FUNCIÓN
VECTORIAL FUNCTION
DEFINITION
VECTOR-VALUED
Una
función of
de the
la forma
A function
form
rsrtdt 5 f sftdti 1
i gsgtdtj j
o or
y
r(t2)
Espacio.
rsrtdt 5 f sftdti 1
i gsgtdtj j1 hshtdtk k
Space
esisuna
función
vectorial,
donde
las
funciones
componentes
ƒ, f,g g,
y hand
sonhfunciones
a vector-valued function, where the component
functions
are
del
parámetro
t.
Algunas
veces,
las
funciones
vectoriales
se
denotan
como
real-valued functions of the parameter t. Vector-valued functions are sometimes
rsdenoted
td 5 k f sas
td, rgsttdl o rfstdt 5
, grsttd, hstdl.f t , g t , h t .
, g ktf stdor
y
r(t
C 2)
r(t1)
r(t0)
C
r(t1)
r(t0)
Plano.
Plane
x
Curve in a plane
x
Curva en un plano
Técnicamente, una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de punTechnically, a curve in the plane or in space consists of a collection of points and
tos y ecuaciones paramétricas que la definen. Dos curvas diferentes pueden tener la misma
the defining parametric equations. Two different curves can have the same graph. For
gráfica. Por ejemplo, cada una de las curvas dadas por
instance, each of the curves given by
z
Curve in space
r(t2)
rt
z
r(t1)
r(t0)
Curva en el espacio
r(t2)C
r(t1)
r(t0)
Cy
y
x
x C is traced out by the terminal point
Curve
of position vector r t .
La curva
Figure
12.1C es trazada por el punto final
del vector posición r(t)
Figura 12.1
sen t i
cos t j
y
rt
sen t 2 i
cos t 2 j
has the unit circle as its graph, but these equations do not represent the same curve—
tiene como gráfica el círculo unidad o unitario, pero estas ecuaciones no representan la
because the circle is traced out in different ways on the graphs.
misma curva porque el círculo está trazado de diferentes maneras.
Be sure you see the distinction between the vector-valued function r and the
Es importante asegurarse de ver la diferencia entre la función vectorial r y las funreal-valued functions f, g, and h. All are functions of the real variable t, but r t is a
ciones reales ƒ, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r(t) es un vector, mienvector, whereas f t , g t , and h t are real numbers for each specific value of t .
tras que ƒ(t), g(t) y h(t) son números reales (para cada valor específico de t).
Vector-valued functions serve dual roles in the representation of curves. By
Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas.
letting the parameter t represent time, you can use a vector-valued function to
Tomando como parámetro t, que representa el tiempo, se puede usar una función vectorepresent motion along a curve. Or, in the more general case, you can use a vectorrial para representar el movimiento a lo largo de una curva. O, en el caso más general, se
valued function to trace the graph of a curve. In either case, the terminal point of the
puede usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el
position vector r t coincides with the point x, y or x, y, z on the curve given by the
punto final del vector posición r(t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada
parametric equations, as shown in Figure 12.1. The arrowhead on the curve indicates
por las ecuaciones paramétricas, como se muestra en la figura 12.1. La punta de flecha
the curve’s orientation by pointing in the direction of increasing values of t.
en la curva indica la orientación de la curva apuntando en la dirección de valores crecientes de t.
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SECCIÓN 12.1
Funciones vectoriales
835
A menos que se especifique otra cosa, se considera que el dominio de una función
vectorial r es la intersección de los dominios de las funciones componentes ƒ, g y h. Por
ejemplo, el dominio de rstd 5 sln td i 1 !1 2 t j 1 tk es el intervalo s0, 1g.
y
2
EJEMPLO 1
Trazado de una curva plana
1
x
−3
−1
1
Dibujar la curva plana representada por la función vectorial
3
rstd 5 2 cos ti 2 3 sen
sin t j, 0 ≤ t ≤ 2p.
Función vectorial.
Solución A partir del vector de posición r(t), se pueden dar las ecuaciones paramétricas
x 5 2 cos t y y 5 23 sen t. Despejando cos t y sen t y utilizando la identidad cos2 t 1
sen2 t 5 1 se obtiene la ecuación rectangular
r(t) = 2 cos ti − 3 sen tj
La elipse es trazada en el sentido de las
manecillas del reloj a medida que t aumenta de 0 a 2p
Figura 12.2
z
x2 y 2
1 2 5 1.
22
3
Ecuación rectangular.
La gráfica de esta ecuación rectangular es la elipse mostrada en la figura 12.2. La curva
está orientada en el sentido de las manecillas del reloj. Es decir, cuando t aumenta de 0 a
2p, el vector de posición r(t) se mueve en el sentido de las manecillas del reloj, y sus puntos finales describen la elipse.
Cilindro:
x2 + y2 = 16
(4, 0, 4π)
4π
EJEMPLO 2
Trazado de una curva en el espacio
Dibujar la curva en el espacio representada por la función vectorial
rstd 5 4 cos ti 1 4 sen
sin t j 1 tk, 0 ≤ t ≤ 4p.
Función vectorial.
Solución De las dos primeras ecuaciones paramétricas x 5 4 cos t y y 5 4 sen t, se
obtiene
(4, 0, 0)
x
4
y
r(t) = 4 cos ti + 4 sen tj + tk
A medida que t crece de 0 a 4p , se
describen dos espirales sobre la hélice
Figura 12.3
x 2 1 y 2 5 16.
Ecuación rectangular.
Esto significa que la curva se encuentra en un cilindro circular recto de radio 4, centrado
en el eje z. Para localizar en este cilindro la curva, se usa la tercera ecuación paramétrica
z 5 t. En la figura 12.3, nótese que a medida que t crece de 0 a 4p, el punto sx, y, zd sube
en espiral por el cilindro describiendo una hélice. Un ejemplo de una hélice de la vida real
se muestra en el dibujo inferior de la izquierda.
En los ejemplos 1 y 2 se dio una función vectorial y se pidió dibujar la curva correspondiente. Los dos ejemplos siguientes se refieren a la situación inversa: hallar una función vectorial para representar una gráfica dada. Claro está que si la gráfica se da en forma
paramétrica, su representación por medio de una función vectorial es inmediata. Por ejemplo, para representar en el espacio la recta dada por
x 5 2 1 t, y 5 3t
y
z542t
se usa simplemente la función vectorial dada por
rstd 5 s2 1 td i 1 3tj 1 s4 2 td k.
En 1953 Francis Crick y James D.
Watson descubrieron la estructura de
doble hélice del ADN.
Si no se da un conjunto de ecuaciones paramétricas para la gráfica, el problema de representar la gráfica mediante una función vectorial se reduce a hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas.
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AM Page
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836 836
836
CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
836
Chapter 12 Vector-Valued Functions
EJEMPLO
836
1212 Vector-Valued
Functions
Chapter
12
Vector-Valued
Functions3
836 836Chapter
Chapter
Vector-Valued
Functions
Representar la parábola y 5 x 2 1 1 mediante una función vectorial.
y
t = −2
t = −2
t =t−2
= −2 t = −2 5
t = −14
3
y5
y y
4
5
5 3
4
4 2
3
3
Representación de una gráfica mediante
una función vectorial
EXAMPLE 3 3 Representing
Representing
a Graph
by a Vector-Valued
Function
EXAMPLE
a aGraph
Function
EXAMPLE
3 Representing
a by
Graph
by
a Vector-Valued
Function
EXAMPLE
3 Representing
Graph
bya aVector-Valued
Vector-Valued
Function
t=2
y
5
t=2
t =t2= 2 t = 2
4
t=1
3
y = x2 + 1
t=1
2t =t1= 1 t = 1 x
−2
−1
y 1=2 x 2 +2 1 2
t=0
t =t0= 0 t = y0 =y x= x+21y+ =1 x + 1
Hay muchas maneras de parametrizar esta
t = −1 t 2= 0
t =t−1
2
= −1 t 2= −1
Solución
Aunque
hay given
muchas
el parámetro function.
t, una opción natural es
Represent the
parabola
by maneras
y 52 x22 1de12elegir
by a vector-valued
Represent
thethe
given
y 15
xsexy1
1 xby
a vector-valued
function.
2given
Represent
the parabola
by
5
1
by a vector-valued
function.
Represent
parabola
by
y y5
1
1 by
a1 vector-valued
function.
tomar
Entonces
tiene
x5
t. parabola
ygiven
5 tby
1
Solution Although there are many ways to choose the parameter t, a natural choice
Solution
Although
are2there
many
toways
choose
thethe
parameter
t,Función
at, natural
choice
Solution
areways
many
to choose
the parameter
t,vectorial.
a natural
Solution
Although
are
many
ways
to
choose
parameter
a natural
choicechoice
td 5
t i t.1Then
sAlthough
t 2 there
1ythere
15d2j.
is torslet
x5
t2 1 12 and you have
is is
to to
letlet
5
t. Then
5
t t1
1 and
have
isx to
let
5 t.y Then
y5
t1 and
1you
1you
and
you have
x5
t.x Then
y5
1
have
Nótese
de parámetro.
d 5latfigura
i 1 2st2212.4
1 12la
d j.orientación obtenida con esta elección particular
Vector-valued
function
r sten
r strhubiera
dst5
trist1
st stti111
1como
dst1j.d j.1parámetro
Vector-valued
function
tidelegido
5
1d j.
Vector-valued
function
d5
1
Vector-valued
function
Si se
orientada
en direcx 5 2t, la curva hubiera estado
Noteopuesta.
in Figure 12.4 the orientation produced by this particular choice of parameter.
ción
Note
inNote
Figure
thethe
orientation
produced
byby
this
particular
choice
of
parameter.
in 12.4
Figure
12.4
the orientation
produced
by
this particular
choice
of parameter.
Note
in
Figure
12.4
orientation
produced
this
particular
choice
of
parameter.
Had you chosen x 5 2t as the parameter, the curve would have been oriented in the
Had
you
chosen
x5
2t2t
the
parameter,
thethe
curve
have
been
oriented
in in
thethein the
Had
you chosen
xas5as
2t
asparameter,
the parameter,
thewould
curve
would
have
been
oriented
Had
you
chosen
x5
the
curve
would
have
been
oriented
opposite direction.
opposite
direction.
opposite
direction.
opposite
direction.
EJEMPLO 4 Representación de una gráfica mediante
una función vectorial
x
− 2 −Una
1 de ellas1es tomar
2 x x x5 t x
gráfica.
EXAMPLE 4 4 Representing
Representing
a Graph
by a Vector-Valued
Function
−2 − 2 −1 −−2
− 1 1 1 2 21
2
1
EXAMPLE
apor
by
Function
EXAMPLE
4
Representing
Graph
by
adelVector-Valued
Function
EXAMPLE
4 CRepresenting
aGraph
Graph
bya aVector-Valued
Vector-Valued
Function
Figura
12.4
Dibujar
la gráfica
representada
la aintersección
semielipsoide
There are many ways to parametrize this
There
areare
many
ways
to to
parametrize
thisthis this Sketch the space curve C represented by the intersection of the semiellipsoid
There
are
many
ways
to parametrize
There
many
ways
parametrize
graph. One way is to let x 5 t.
2
2 thecurve
2
Sketch
space
Ccurve
represented
byby
thethe
intersection
of of
thethe
semiellipsoid
Sketch
C represented
byintersection
the intersection
ofsemiellipsoid
the semiellipsoid
xthe
yspace
zspace
Sketch
the
curve
C
represented
xis5
t.lett.x 5 t.
graph.
One
wayway
is
to
letlet
graph.
One
xto5
graph.
is way
to
FigureOne
12.4
z ≥ 0
21
21
25 1,
x
y 24z22
x 212
y 2x24
z yz 5 z1,2 z $ 0
x2 1
y22 1
1 1 24
111 451
1, 1, z5$
12
5
z1,$0 0z $ 0
12
24
424
4 y 5 x 2. Después, hallar una función vectorial que represente la
y el cilindro
12 12
24parabólico
4
and the parabolic cylinder y 52 x22. Then,
find a vector-valued function to represent the
gráfica.
y5
x .xyThen,
and
thethe
parabolic
cylinder
a vector-valued
function
to to
represent
thethe the
x 2.find
and
the parabolic
cylinder
Then,
a vector-valued
function
to represent
and
parabolic
cylinder
y5
.5
Then,
find
afind
vector-valued
function
represent
graph.
graph.
graph.graph.
Solución En la figura 12.5 se muestra la intersección de las dos superficies. Como en el
Solution The intersection of the two surfaces is shown in Figure 12.5. As in
Solution
The
of ofthe
two
is es
inCon
12.5.
Solution
The intersection
two surfaces
is t.shown
in Figure
12.5.
ejemplo
3,
unaintersection
opción
natural
para
elthesurfaces
parámetro
esta
opción,
seinusa
x5
Solution
The
intersection
theof
two
surfaces
isshown
shown
inFigure
Figure
12.5.As
As
inAslain
Example 3, a natural
choice of parameter
is x 5 t. For this choice, you can use the
2
2
x
5
t.
Example
3,
a
natural
choice
of
parameter
is
For
this
choice,
you
can
use
thethe
5 t.this
Example
choice
of
Forchoice,
this choice,
youuse
can
use the
ecuación
dada
para
obtener
y3,5a xnatural
y 5parameter
t . Entonces
Example
3, a natural
choice
of parameter
is x 5is t.x For
you can
2
2
given equation y 52 x2 to obtain
it follows that
y 52 t2 . Then,
y5
x xto
5
t .tyThen,
given
equation
obtain
follows
that
y5
x2 toyobtain
t 2.itThen,
given
equation
it follows
given
equation
y5
to
obtain
y5
.5
Then,
it follows
that that
z2
x 2 2 y222
t2
t4
24
2t22 24 t424 s46 12 t22ds4 2
t2d 2
2
42 2
z 2 z 2 5 z12 2
x 2x 2 2
y xy 5y12 2t 2 t 2 2t 4t t24 5
24t24
2t24
2
t2tt 2
s6ts1
t ds
2
22
st64ds1
tt22dsdt42d 2
5
. td
2
2t
61
42
12
525
12
525 5 24
5 5 5 24
. .
5 12
1222 24
5 12
1222 24
.
45 5
12
12
44
2424 24
4 1212 2412
24 24 1212 2412
24 24 2424 24
NOTE Curves in space can be specified
Because the curve lies above the xy-plane, you should choose the positive square root
NOTE
Curves
inCurves
space
can
be espacio
specified
xy-xyBecause
curve
above
plane,
should
choose
the
positive
square
root
NOTE
in
can
bepuespecified
xy-you
Because
the
curve
liesthe
above
plane,
you
should
positive
square
root
NOTE
Curves
in
can
be
specified
Because
the
curve
lies
above
the
plane,
you
should
choose
the
positive
square
rootposiComo
lathecurva
selies
encuentra
sobre
elthe
plano
xy,
hay
que
elegirchoose
para
z the
la raíz
cuadrada
NOTA
Las
curvas
enspace
el
in various
ways.
Forspace
instance,
the
curve
for z and obtain the following parametric equations.
in in
various
ways.
For
instance,
themaneras.
curve
inespecificarse
various
ways.
For
instance,
the curve
z
for
and
obtain
the
following
parametric
equations.
various
ways.
For
instance,
the
curve
z
for
and
obtain
the
following
parametric
equations.
for
z
and
obtain
the
following
parametric
equations.
tiva.
Así
se
obtienen
las
ecuaciones
paramétricas
siguientes.
den
de
varias
in Example 4 is described as the
in in
Example
4 is4 described
as
the
Example
4curva
is described
as the
Example
described
as
the
s6 12 t22ds4 2
t2d
Porinejemplo,
la
del
ejemplo
intersection
ofistwo
surfaces
in
space. 4 se
t ds
2
st64ds1
tt22dsdt42d 2 t2d
x 5 t, y 52 t222, 2 and
z 5 s6 s1
61
42
intersection
of
two
surfaces
in
space.
intersection
of
two
surfaces
in
space.
intersection
of
two
surfaces
in
space.
x x5
t, t,t,xy5
t t,ty,, 5 and
z5
describe como la intersección de dos
t,5
t y,and and
6
x5
5
y5
z5 z5
y5
66
6
superficies en el espacio.
n
The resulting vector-valued function is
The
resulting
vector-valued
function
is is is
The resulting
vector-valued
The
resulting
vector-valued
function
La
función
vectorial
resultante
es function
2ds4 2 t2d
s
6
1
t
t2ds
2
st624ds1
tt22dsdt42d 2
r std 5 t i 12 t22 j 1 2 s6 s1
k,t2d22 # t # 2.
Vector-valued function
61
42
r strdst5
trist1
t jt i1
k, k, 22
function
#t #2.
tid 1
5
k,# #t22
2.
Vector-valued
function
6
d5
j11t j 1
22
Vector-valued
function
# 2.t #Vector-valued
Función
vectorial.
66
6
sNote that the k-component of rstd implies 22 # t # 2.d From the points s22, 4, 0d
spoints
sNote
that
thethe
k-component
of of
rsk
trdsde
22
points
22,
4,
022,
d 0d4,4,0)0d
#t 2.
s4,
sNote
that
thecomponente
k-component
of
rstd implica
implies
2.dthe
From
the
s22,
sNote
that
kel
-component
timplies
d implies
22# t22
d#From
the
points
#d2.tFrom
(Obsérvese
que
r(t)
De
los
puntos
(22,
and s2, 4, 0d shown in Figure 12.5, you can see #that #the curve is traced as t increases
s2,s4,
4,0)
0dsque
t increases
and
shown
in
Figure
12.5,
you
can
seesee
that
the
curve
traced
and
4,se0dmuestran
shown
inen
Figure
12.5,
you
can
see
that
theiscurve
isas
traced
as t increases
2,
4,
02,
d shown
in
Figure
12.5,
you
can
that
the
is
as
yand
(2,
la figura
12.5,
se
ve
que
lacurve
curva
estraced
trazada
at increases
medida
que t
from 22 to 2.
22
from
to22
2.22
from
from
22
to
2.
crece
de
a 2.to 2.
Figure
12.4
Figure
Figure
12.4 12.4
!!
!!
!!
!!
z
z
Parabolic cylinder z zz
Cilindro
parabólico
Parabolic
cylinder
Parabolic
cylinder (0, 0, 2)
Parabolic
cylinder
2)2)(0, 0, 2)
(0,(0,
0,0,2)
(0,
0,
2
2 22
2
Ellipsoid
Elipsoide
Ellipsoid
Ellipsoid
Ellipsoid
4
4 44
Curve in
Curve
in en
Curva
in
Curve
in
space Curve
space
el
espacio
space
space
(− 2, 4, 0)
(−(−2,
2,
(−
(−4,
2,4,0)
4,0)
0)2, 4, 0)
4
x
C: x = t
xx=t=tC:
C:C:
x=
C:
y 2=t2tt22 x = t 2
y =yy=
t= t y = t
(6 2+ t22 )(4 2− 2t22 )
z = (6 (6
+
t+)t(4
−(4+
t−2
t)t )t)2(4) − t 2 )
(6
t )(6
6(4
z =zz== z =1
6 66
6
(2, 4, 0)
(2,(2,
4, 4,
0)
(2,
4,0)
0)(2, 4,50)555
y
y 5yy
y
The
curveC Cesislathe
intersection
ofsemielipsoide
the semiellipsoid
and theparabólico
parabolic cylinder.
La
curva
delthe
y eland
cilindro
The
curve
C isCcurve
the intersección
intersection
of
semiellipsoid
the parabolic
cylinder. cylinder.
The
C is the intersection
of the semiellipsoid
and the parabolic
The
curve
Figure
12.5is the intersection of the semiellipsoid and the parabolic cylinder.
Figura
12.5
Figure
12.5
Figure
Figure
12.5 12.5
■
■■
■
12-1.qxd
3/12/09
18:08
Page 837
SECCIÓN 12.1
Funciones vectoriales
837
Límites y continuidad
Muchas de las técnicas y definiciones utilizadas en el cálculo de funciones reales se
pueden aplicar a funciones vectoriales. Por ejemplo, las funciones vectoriales se pueden
sumar y restar, multiplicar por un escalar, tomar su límite, derivarlas, y así sucesivamente.
La estrategia básica consiste en aprovechar la linealidad de las operaciones vectoriales y
extender las definiciones en una base, componente por componente. Por ejemplo, para
sumar o restar dos funciones vectoriales (en el plano), se tiene
r1std 1 r2std 5 f f1std i 1 g1std jg 1 f f2std i 1 g2std jg
Suma.
5 f f1std 1 f2stdg i 1 f g1std 1 g2stdg j
r1std 2 r2std 5 f f1std i 1 g1std jg 2 f f2std i 1 g2std jg
Resta.
5 f f1std 2 f2stdg i 1 f g1std 2 g2stdg j.
De manera similar, para multiplicar y dividir una función vectorial por un escalar se tiene
crstd 5 cf f1std i 1 g1std jg
Multiplicación escalar.
5 cf1std i 1 cg1std j
rstd f f1std i 1 g1stdj g
5
, cÞ0
c
c
5
División escalar.
f1std
g std
i 1 1 j.
c
c
Esta extensión, componente por componente, de las operaciones con funciones reales a
funciones vectoriales se ilustra más ampliamente en la definición siguiente del límite de
una función vectorial.
DEFINICIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
1. Si r es una función vectorial tal que rstd 5 f std i 1 gstd j, entonces
−L
L
t→a
3
t→a
4 3
4
Plano.
siempre que existan los límites de f y g cuando t → a.
2. Si r es una función vectorial tal que rstd 5 f std i 1 gstd j 1 hstd k, entonces
O
r (t)
3
lim
lim f std i 1 lím
lim g std j
lím rstd 5 lím
t→a
r(t)
4 3
t→a
4 3
4
lim
lím hstd k
lím f std i 1 lim
lím rstd 5 lim
lím g std j 1 lim
siempre que existan los límites de f, g y h cuando t → a.
t→a
L
O
r(t)
A medida que t tiende a a, r(t) tiende al
límite L. Para que el límite L exista, no es
necesario que r(a) esté definida o que r(a)
sea igual a L
Figura 12.6
t→a
t→a
Espacio.
Si rstd tiende al vector L cuando t → a, la longitud del vector rstd 2 L tiende a 0. Es
decir,
i rstd 2 L i → 0
cuando
t → a.
Esto se ilustra de manera gráfica en la figura 12.6. Con esta definición del límite de una
función vectorial, se pueden desarrollar versiones vectoriales de la mayor parte de los teoremas del límite dados en el capítulo 1. Por ejemplo, el límite de la suma de dos funciones
vectoriales es la suma de sus límites individuales. También, se puede usar la orientación
de la curva r(t) para definir límites unilaterales de funciones vectoriales. La definición
siguiente extiende la noción de continuidad a funciones vectoriales.
12-1.qxd
3/12/09
1053714_1201.qxp
18:08
10/27/08
838
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11:48 AM
CAPÍTULO 12
838
Chapter 12
Page 838
Funciones vectoriales
Vector-Valued Functions
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Una función vectorial r es continua en un punto dado por t 5 a si el límite de rstd
cuando t → a existe y
DEFINITION OF CONTINUITY OF A VECTOR-VALUED FUNCTION
lim rstd 5 rsad.
lím
t→a
A vector-valued
function r is continuous at the point given by t ⫽ a if the
limit
of
r
t
exists
as tr→
a and
Una función vectorial
es continua
en un intervalo I si es continua en todos los
puntos
del
intervalo.
lim rt ⫽ ra.
t→a
A vector-valued function r is continuous on an interval I if it is continuous
atDe
every
pointcon
in the
acuerdo
estainterval.
definición, una función vectorial es continua en t 5 a si y sólo si
cada una de sus funciones componentes es continua en t 5 a.
From this definition, it follows that a vector-valued function is continuous at
Continuidad
de funciones
vectoriales
tEJEMPLO
⫽ a if and5only
if each of its component
functions
is continuous at t ⫽ a.
Analizar la continuidad de la función vectorial
EXAMPLE 5 Continuity of Vector-Valued Functions
rstd 5 t i 1 aj 1 sa 2 2 t 2dk
a es una constante.
Discuss the continuity of the vector-valued function given by
cuando
5t0.
r tt⫽
i ⫹ aj ⫹ a 2 ⫺ t 2k
a is a constant.
at t ⫽ 0.
Solución Cuando t tiende a 0, el límite es
Solution As t approaches 0, the limit is
lím a j 1 lím
lim rstd 5 lim
lim sa 2 2 t 2d k
lím
lím t i 1 lim
t→0
t→0
t→0
t→0
lim rt ⫽ lim t i ⫹ lim a j ⫹ lim a 2 ⫺ t 2 k
t→0
t→0
t→0
t→0
5 0i 1 aj 1 a 2 k
⫽ 0i ⫹ aj2 ⫹ a 2 k
5 aj 1 a k.
⫽ aj ⫹ a 2k.
Como
Because
3
z
z
16 16
a = −a 4= −4
14
12
a = 4a = 4
14
10 10
−4 −4
8
6
6
4
4
2
2
2
2
4
4
x
x
4
r0 ⫽ 0 i ⫹ a j ⫹ a 2k
⫽ aj ⫹ a 2 k
For each value of a, the curve represented by the vector-valued function in
Para 5,
cada a, la curva representada por la función vectorial del ejemplo 5,
Example
5 ti ⫹
1 aj ⫹
1 sa 2 ⫺
2 t 2dk
rrstd ⫽
4
y
4
y
a = 0a = 0
a = −2
a = −2 a = 2a = 2
For Para
each value
oflaa,curva
the curve
represented
todo a,
representada
by the
function
porvector-valued
la función vectorial
2 ⫺ 2t 2k 2
rt) r⫽stdti5⫹t iaj1⫹a ja1
sa 2 tis dakparabola.
Figure
12.7
es una parábola
Figura 12.7
4 3
you
can conclude
that
r is continuous
at t ⫽ 0. un
Byrazonamiento
similar reasoning,
can
continua
en t 5 0. Mediante
similar,you
se concluye
se concluye
que r es
conclude
that
the
vector-valued
function
r
is
continuous
at
all
real-number
values
que la función vectorial r es continua en todo valor real de t.
of t.
■
12
8
4 3
esauna
constante.
aa is
constant.
is
parabola.
YouUno
canse
think
of imaginar
each parabola
of the
vertical
plane
esauna
parábola.
puede
cada as
unathe
deintersection
estas parábolas
como
la intersección
ydel
⫽plano
a andvertical
the hyperbolic
paraboloid
y 5 a con
el paraboloide hiperbólico
2
yy22 ⫺
2 xx 2 ⫽
5 zz
as shown in Figure 12.7.
como se muestra en la figura 12.7.
TECHNOLOGY Almost any type of three-dimensional sketch is difficult to do by
TECNOLOGÍA
cualquier
de dibujo
tridimensional
es difícil
hacerlo a
hand,
but sketchingCasi
curves
in spacetipo
is especially
difficult.
The problem
is in trying
mano,
perothe
trazar
curvas
el espacio
es especialmente
problema
consiste
to
create
illusion
ofenthree
dimensions.
Graphing difícil.
utilitiesEluse
a variety
of en
crear la impresión
de tres dimensiones. Las
herramientas
decurves:
graficación
usanisdiversas
techniques
to add “three-dimensionality”
to graphs
of space
one way
to
técnicas
daronlaa“impresión
dimensiones”
en gráficas de curvas en el espacio:
show
thepara
curve
surface, as de
in tres
Figure
12.7.
una manera es mostrar la curva en una superficie, como en la figura 12.7.
1053714_1201.qxp 10/27/08
10/27/08 11:48 AM
AM Page 839
1053714_1201.qxp
12-1.qxd 3/12/09 18:08 11:48
Page 839 Page 839
839
839
839
SECCIÓN
FuncionesFunctions
vectoriales
12.112.1
Vector-Valued
12.1
Vector-Valued
Functions
Ejercicios
12.1
Exercises
12.1 Exercises
12.1
Seewww.CalcChat.com
www.CalcChat.comforforworked-out
worked-outsolutions
solutionstotoodd-numbered
odd-numberedexercises.
exercises.
See
InExercises
Exercises
1–8,
thedomain
domain
thevector-valued
vector-valued
function.
In
1–8,
ofofthe
function.
En
los
ejercicios
1find
afind
8, the
hallar
el dominio
de
la función vectorial.
11
tt
3tk
ii
j j 3tk
1
1
22
2
2
2.2.rsrtdt 5 !442 t 2t i i1 t 2tj j2 6t6tkk
t
3.3.rsrtdt 5 lnlnt it i2 e et j j2 t kt k
1.1. rrt t
InExercises
Exercises
21–24,
match
theequation
equation
withits
its
graph.
[The
In
21–24,
the
with
graph.
[The
En
los ejercicios
21 amatch
24, asociar
cada ecuación
con
su gráfica.
graphs
arelabeled
labeled
(a),(b),
(b),(c),
(c),a),
and
(d).]
graphs
are
and
[Las
gráficas
están(a),
marcadas
b),(d).]
c) y d).]
zz
a)a)
tt
sint it i1 44cos
cost jt j1 t kt k
sin
4.4.rsrtdt 5 sen
r
t
F
t
G
t
where
5.
5. rstd 5 Fstd 1 Gstd where
donde
cost it i2 sen
sint jt j1 !t k,
t k, GGstdt 5 cos
cost it i1 sen
sint jt j
FFstdt 5 cos
sin
sin
r
t
F
t
G
t
where
6.
6. rstd 5 Fstd 2 Gstd where
donde
2
2
FFstdt 5 lnlnt it i1 5t5tj j2 3t3t2 k,k, GGstdt 5 i i1 4t4tj j2 3t3t2kk
−2
−2
zz
b)b)
44
44
22
22
22
yy
−2
−2
x x 22
44
xx
zz
c)c)
where
7.7.rsrtdt 5 FFstdt 3 GGstdt where
donde
sint it i1 cos
cost j,t j, GGstdt 5 sen
sint jt j1 cos
cost kt k
FFstdt 5 sen
sin
sin
r
t
F
t
G
t
where
8.
where
8. rstd 5 Fstd 3 Gstd donde
11 j
3
3 3t ti i1
t k, GGstdt 5 !
FFstdt 5 t 3t i i2 t jt j1 t k,
j 1 st t1 22d kk
t t1 11
zz
d)d)
11
44
22
11
11
xx
En
ejercicios
9 a 12,
evaluar(if
(sipossible)
es
posible)
la función
vectoIn los
Exercises
9–12,
evaluate
(if
possible)
the
vector-valued
In
Exercises
9–12,
evaluate
the
vector-valued
t.
rial
en
cada
valor
dado
de
functionatateach
eachgiven
givenvalue
valueofoft.t.
function
1 12
1
9.
9.9.rrsrttdt 5 22t2t 2t i2i i2 stt t2 111d jj j
rsr0rd00 c)(c)
rssrr1
a)
(a)rrsr11d1 b)(b)
(b)
(c)
s s1d 11
(a)
22
xx
yy
44
yy
2tjjj 1 tt2t22k,
k, 22
21. rrrstttd 5 ttitii 1 2t
22 ≤ ttt ≤ 222
21.
21.
2t
k,
cossptttdiii 1 sin
sinsptttdjjj 1 tt2t22k,
k, 21
22. rrrstttd 5 cos
11 ≤ ttt ≤ 111
22.
cos
sin
k,
22.
sen
2
0.75t
2t2 j
0.75t
e
k,
r
t
t
i
2
t
23.
0.75t
2 ≤ tt ≤ 222
23.
k, 22
23. rrsttd 5 ttii 1 tt jj 1 ee k,
2t2t
lnttjtjj 1 2tk,
k, 0.1
0.1 t t 55
24. rrrstttd 5 ttitii 1 ln
24.
ln
24.
333 k, 0.1 ≤ t ≤ 5
d)
2 Dtdt t2 rrs2r2d2
(d)rrs2r21
(d)
sin
10.
costt iit i1 222sen
sintt jjt j
10.rrsrttdt 5 cos
cos
sin
10.
r
s
0
d
r
s
p
y4
rsurr2 pd
a)
b)
(a) rr00 (b)
(b) rr d44 c)(c)
(c)
(a)
d)
r y661
6 Dtdt t2 rrsp
r y66d6
(d)rrsp
(d)
Para
Las The
cuatro
figuras
siguientes
son graphs
gráficas dethe
la
25.
25. Think
Thinkpensar
About ItIt
four
figures
below are
are
25.
About
The four
figures
below
t graphs ofof the
función
vectorial
Asociar
cada
r
s
t
d
5
4
cos
t
i
1
4
sin
t
j
1
k.
sen
cost it i 444sin
sint jt j t t 44k.k.
vector-valued function
function rrt t 44cos
vector-valued
Match
each
thecon
four
graphsen
with
thepoint
point
space
from
una
de each
las
gráficas
elgraphs
punto
el espacio
desde
el
cualfrom
se ve
Match
ofofthe
four
with
the
ininspace
0,
0,
20,0),
which
the
helix
is
viewed.
The
four
points
are
0,
0,
20
which
the
helix
is
viewed.
The
four
points
are
la hélice. Los cuatro puntos son s0, 0, 20d, s20, 0, 0d, (220, 0,
20,
0,
0
,
20,
0,
0
,
10,
20,
10
.
and
20,
0,
0
,
20,
0,
0
,
10,
20,
10
.
and
y s10, 20, 10d.
zz
zz
(a)
(b)
(a)
(b)
z
z
a)
b)
111
11.
11.rrsrttdt 5 ln
lnlntt iit i1 t jj j1 3t
3t3tkkk
11.
tt
rsr23
rstr2
a)
r d33 c)(c)
rt t4d 44
(a)rrsr22d2 b)(b)
(b)
(c)
(a)
r
s
1
1
Dt
d
2
r
s
1
d
d)
(d) rr11
t t rr11
(d)
3y2
2ty4
12.
12.rrsrttdt 5 !tt tii i1 tt 3t 32 2jj j1 eee t t4 4kkk
12.
rsr4rd44 c)(c)
rscrr1
a)
(a)rrsr00d0 b)(b)
(b)
(c)
cc2d 22
(a)
d)
9 Dtdt t2 rrs9r9d9
(d)rrs9r91
(d)
xx
x
|| ||
InExercises
Exercises
13and
andy14,
14,
find
rrt t r. x.tc .
In
13
En
los
ejercicios
13
14,find
hallar
y
13.rsrtdt 5 !t it i1 3t3tj j2 4t4tkk
13.
14.
sin3t3ti i1 cos
cos3t3tj j1 t kt k
14.rsrtdt 5 sen
14.
13.
sin
PtotoQQdesde
InExercises
Exercises
15–18,
represent
theline
lineel
segment
from
byaa
In
15–18,
the
segment
from
by
En
los
ejercicios
15 arepresent
18, representar
segmento
de Precta
vector-valued
function
and
by
a
set
of
parametric
equations.
vector-valued
function
andfunción
by a setvectorial
of parametric
equations.
P
hasta Q mediante
una
y mediante
un conjunto de ecuaciones paramétricas.
15. PP0,0,0,0,00, ,QQ3,3,1,1,22
16. PP0,0,2,2, 11, ,QQ4,4,7,7,22
15.
16.
15.
P
(0,
0,
0),
Q
(3,
1,
2)
16.
P (0, 2, 21), Q (4, 7, 2)
P
2,
5,
3
,
Q(
1,
4,
9
17.
17. P 2, 5, 3 , Q( 1, 4, 9
17.
5,
23),
(21,
6,8),
8),QQQ 3,
3, 2,4,
2,559)
18.P
PP(22,
1,1, 6,
18.
18. P (1, 26, 8), Q (23, 22, 5)
ThinkAbout
AboutItIt In
InExercises
Exercises19
19and
and20,
20,find
findrrt t uut t. .IsIsthe
the
Think
result
vector-valued
function?
Explain.
result
aavector-valued
function?
Explain.
Para
pensar
En los ejercicios
19
y 20, hallar rxtc ? uxtc. ¿Es el
1
resultado
función vectorial?
4k,Explicar.
19. rrt t una
, uut t t 2t 2i i 8j8j t 3t 3kk
3t3t 11i i 14 4t 3t 3j j 4k
19.
1 3
2sin t,
cos1t,dt,i221
sin
cos
20.rsrtdt 5 s3t
19.
2
i2
t 3t,kt,t 2t 2
33cos
sin
22,,, uututstd 544tsin
t, 8j661
cos
20.
4 tt,t,jt t1 4k
20. rstd 5 k3 cos t, 2 sin
sen t, t 2 2l,
yy
22
ustd 5 k4 sen
sin t, 26 cos t, t l
2
yy
y
GeneratedbybyMathematica
Mathematica
Generated
Generada con Mathematica
GeneratedbybyMathematica
Mathematica
Generated
Generada con Mathematica
(c)
(c)
c)
zz
z
(d)
(d)
d)
yy
y
xx
GeneratedbyxbyMathematica
Mathematica
Generated
Generada con Mathematica
GeneratedbybyMathematica
Mathematica
Generated
Generada con Mathematica
yy
y
26. Sketch
Sketch the
the three
three graphs
graphs ofof the
the vector-valued
vector-valued function
function
26.
r
t
t
i
t
j
2k
as
viewed
from
each
point.
r
t
t
i
t
j
2k
as
viewed
from
each
point.
26. Dibujar tres gráficas de la función vectorial rstd 5 t i 1 t j 1 2k
(a) 0,0,desde
20los (b)
(b) 10,
10,0,0,00
(a)
0,0,20
vistas
puntos.
a) s0, 0, 20d
b) s10, 0, 0d
(c) 5,5,5,5,55
(c)
c) s5, 5, 5d
1053714_1201.qxp 10/27/08 11:48 AM
12-1.qxd 3/12/09 18:09 Page 840
1053714_1201.qxp 10/27/08 11:48 AM
Page 840
Page 840
840
Chapter 12
840
840
Chapter
CAPÍTULO
Funciones Functions
vectoriales
Chapter12
1212 Vector-Valued
Vector-Valued
Functions
Vector-Valued Functions
In
ExercisesChapter
27– 42, 12
sketchVector-Valued
the curve represented
by the vector840
Functions
valued
function
and
give
the
orientation
of
the
curve.
In
27–
the
by
InExercises
Exercises
27–42,
42,sketch
thecurve
curve
represented
bythe
thevectorvectorEn
los
ejercicios
27
asketch
42, dibujar
la represented
curva
representada
por la
valued
and
give
valuedfunction
function
and
give
theorientation
orientation
thecurve.
curve.
función
vectorial
y dar
lathe
orientación
de of
laofthe
curva.
t
27.
28. r t
rt
i
t 1j
5 ti
tj
In Exercises
4t 27– 42, sketch the curve represented by the vectort
valued
function
and
give
the
orientation
of
the
curve.
27.
28.
5 ti
tj
27.rrrtt t t43 ii i t 2t jt 11j j
28.rrrtt t
29.
30.
t 25 t ti i t 2 t j t j
4
3
2
2
2
t
29.
30.
rstd 5 t 3 ii3i 1 itt 2tjj2 3 sin
rstd 5 st 2521 ttttidiii 12ssin
t 2 2 tdj
31.
32.
29.
30.
27.
28.
29.rrt t tcos
30.rrt t 2t cos
t i t j 1j j
t i t t 2t jt jt tj j
t
4 u i 1 3 sin
sen tt jj
sen
31.
32.
r
s
u
d
5
cos
u
j
r
s
t
d
5
2
cos
t
i
1
2
3cos
33.
sec i ii 332sin
tan j jj
31.
32.
t i 22sin
sin
31.r r
32. rrt t 22cos
cos
sin
sin
3i
2j
2cos tt ii
2 tj
29.
30.
r
t
t
t
r
t
t
3
rsud 5233cos
sec3 ut ii 1 22 sin
tan3 utjjj
sin3 tjt j
33.
34. rstd 5 2 cos t i 1 2 tsen
34.
33.
3sec
33.r rt
sec i 2tan
tan j
31. rrstd 5 s2t
32.s2tr 1
cos1
i 3 sin
j 2d j 1
t
2 cos t i 2 sin t j
s4t
4t31
35.
tcos3 3t11it diii 122sin
2t 33dkk
35.
34.
sin3tjtj2 j
34.r rt t 22cos
33. rrstd 5 t i31secs2t i2 52d jtan
1 3t
3tj2k j
36.
36.
1 i i5 j 4t
35.
4t3 k
2 j 2t2t 33kk
35.r rt t t i t t 2t
3 t1
r
t
2
cos
i
2
sin
tj t k
34.
rsttd 5 22t icos
cos tt2t
i 1 225sin
sin
tjj3t1
37.
sen
r
i
t
37.
j
k
36.
ti
2t 5 j 3t kt k
36. r t
t 1i
4t 2 j
2t 3 k
35. r t
r
t
ti
3
cos
38.
tk
37.
cost it i tj22sin
sin3t jtsen
j tk
tk
37. r t 22cos
ti
2t 5 j 3t k t
36. r t
39.
2t k
3t 3icos
38.
cos2tjtjcos 3tt3jjsen
senetktk
38.r rt t 2titisin
39.
sen
cost it i1 223cos
sin t j1 et kt k
37. rrstdt 5 222sin
3
r
t
t
i
2tj
tk
40.
it i 1
222cos
39.
cost jt j ee tkk
39. r t 222sin
i sin
1t32tj
40.
tj23 3tk 3 sen tk
38. rrstdt 5 t ti
2 cos
2
3
2
t2tj
41.
40.
t i2tit 2,, 3232tj
40.r rt t t t,
t 3l 2 2tktk
41.
e tk
39. rrstdt 5 k2t, sin
2t i2 3 2 cos t j
2
r
t
cos
t
t, sin
tt 2 tt cos
42.
2
t,2t,t tt, ,313t ttt3sin
41.
41. rrstdt 5 kcos
3t, sen
sin
sin
cos t,t, ttl
42.
sen
t i 2tj 2 tk
40. r t
rrt t
cos
sin
t,t,t t
42.
cost246,
t 2 t3use
tsin
sinat,t,computer
sint t t tcos
cos
42.
CAS In
Exercises
43–
algebra
system to graph the
r tejercicios
t, t ,43
41.
CAS En
3 t a 46, usar un sistema algebraico por compulos
vector-valued
function
and
identify
the
common
curve.
CAS
In
43–
algebra
totovectorial
graph
de
función
e
r t a fin cos
t46,
t use
sinat,
singráficamente
t t cos
t, t lasystem
42.
CAS tadora
InExercises
Exercises
43–representar
46,use
acomputer
computer
algebra
system
graphthe
the
vector-valued
function
and
identify
the
common
curve.
identificar
la1curva
común.
vector-valued
function
and
identify
the
common
curve.
3 2
rt
t2i tj
t k
CAS 43.
In Exercises
algebra system to graph the
2143– 46, use a computer
23
3
1
22
22
vector-valued
function
and
identify
!
3
1
kk the common curve.
43.
43. rrrsttdt 5 2 2 tt 2t ii i31 tt jjt j2 12 tt 2t k
43.
2t22 k
t i 22
t2j
44. r t
1 22
2 3
t i33 t j 11 t 2 k
43. r t
kk
44.
2 !3 tt 22t 2jj3j1 1 2tt 22t 2k
44. rrrsttdt 5 tt iit i2
44.
1
1
3
2
222t
sin t i 22
cos
t j
cos t
k
45. r t
3 22
1 2 2
2
2
11
333
ti
t j333
t k 111
44. r t
!
!
1
sin
cos
cos
kk
45.
2 t i cos
2 tt t2t j tt t jj j21sin t k
sintt 2iit i1
costt t1 2 k
45.rrrsttdt 5 sin
cos
45.
sen
sin
2cos
cos
46.
222
222
222
22
3
1
1
3
2i2sin
sin
cos
sin
k
46.
t47tt jjtand
j 222sin
k
45.
sin
2cos
cos
j1t !
sinttak
tcos
k t
46. rrrsttAbout
!t2
sen
dt 5 2sin
tt iit i21 22cos
46.
sen
CAS Think
It
In
Exercises
use
2 48,
2 computer
2 algebra
rcomputer
t . For each
ut,
systemAbout
to graph In
theExercises
vector-valued
function
CAS
47
algebra
rpensar
tAboutItIt
sinejercicios
t i 2 cos
t and
jyand
2 use
sin
tak
46.
CAS Think
Think
In
Exercises
47
48,
use
asistema
computer
algebra
CAS
Para
En2los
48,48,
usar
un
algebraico
make
atoconjecture
about
the47transformation
(if
any)
of uthe
r
t
.
system
graph
the
vector-valued
function
For
each
r t . Forlaeach
ut t, ,
system
to graph the
vector-valued
function
por
computadora
fin
de representar
gráficamente
función
r t .ItUseInaaExercises
of
computer
algebra
system
to any)
verifyalgebra
your
CAS graph
Think
About
47
and
48,
use
a
computer
make
a
conjecture
about
the
transformation
(if
of
the
make a conjecture
(if any)
of the
vectorial
cada the
conjeturar sobre
la transrxtc. Para about
uxtc,transformation
conjecture.
r t .toto
ut,
system
torrgraph
the
vector-valued
function
For
eachyour
t t. .Use
graph
aacomputer
algebra
verify
graphofof
computer
algebra
verify
your
formación
(si
laUse
hay)
de la gráfica
de system
un sistema
rsystem
x
tc. Usar
make
a conjecture
about
the1 tk
transformation (if any) of the
conjecture.
conjecture.
r
t
2
cos
t
i
2
sin
tj
47.
algebraico por computadora para
verificar la conjetura.
2
graph of r t . Use a computer1 algebra1 system to verify your
1tk t j
u
t
2
cos
t
1
i
2
sin
(a)
r
t
2
cos
t
i
2
sin
tj
47.
2t k
2 cos t i 2 sin tj 12 2 tk
47. r t
conjecture.
47. rstd 5 2 cos t i 1 2 sin
sen tj 1 2 tk
1
u
t
2
cos
t
i
2
sin
t
j
2t
k
(b)
(a)
2cos
cost t 11i i 221sin
sint jt j 12 12t k
tk
(a) u t
2 cos
t i t 22 sin
tj
47. a)r tustd 5
2
s
cos
1
d
i
1
2
sin
sen
2 tkt j 1 2 t1 k
u
t
2
cos
t
i
2
sin
t
j
(c)
u
t
2
cos
t
i
2
sin
t
j
2t
k
(b)
2
2 cos t i 2 sin t j 2t k 1 t k
(b) u t
cost i t1 21sen
i t j21sin2ttkj 121t k
b)(a)uusuttdt5 21t2cos
sin
2sin
costttk
(d)
t ti it j 22sin
j j 2 2 t tkk
(c)
cos2 sin
(c) u t 222icos
u
t
2
cos
t
i
2
sin
tsj2t1d 2t
k 1s2td k
(b)
1cos
sen
c)
u
s
t
d
5
2
s
2t
d
i
1
2
sin
jtkk1
1
u
t
6
cos
t
i
6
sin
t
j
t
(e)
t
i
2
sin
t
j
2
cos
u
t
(d)
2
(d) u t 2 2t i 2 sin t j 2 cos t k 2 1
(c) u t 1 22 cos 1 3t i 2 sin 1 1t j 2 t k
d)(e)
sin
1
j1
t uusutdttt5
i 26tt16icos
48. r(e)
cos2t it2sen
it kt6j6sin
sin2t jtcos
j 2tt2kk
tk
213sin t j 21 cos
tk
(d) u t
22t i
1
2
31
e)
u
s
t
d
5
6
cos
6
sin
t
j
1
t
k
sen
u
t
t
i
2
j
t
k
(a)
2j t ti 1
3
j
t
k
r
t
t
i
t
48.
2
2
ti t
48. r t
22 t k
1
(e) u t
16 3sin t 1j
2t k
26 cos t i
3k
(a)
48. (b)
r(a)
std u5ut t i 1t iti2i2j 1t j2t1212t 33k22t2jkj 2 12t 3t k
t i 2t j 2 2 t k11133
48. r t
(c)
3 k 1 43 k
i2 i t t2jjt j 22ttt k
(b)
(b)uuusuttdt t5 tttiit1
1
a)(a)
ut
t i st22t 22 21d1223j1 3j1 2 t2 tk3 k
u
t
t
i
t
j
t
k
(d)
2
3
1
t
4
(c)
2
3
8
j
t
4kk
u
t
t
i
t
(c)
2
1
b)(b)usutd t5 t ti21
i t 2jt 1
j 21t21223tk3 k 1
j
t 3k
u
t
t
i
t
(e)
2
3
1
u
t
t
i
t
j
t
k
(d)
2
i 2 t j s 8 t813t 1
k
(d)usutd t5 t i t1
c)(c)
j 2 22t 3 41d41k k 3
ut
t i t tj21
t ti 2i 2 1 t13t 3j2j 2 2 t t k3k
(e)
(e)uusutdt t5 49–
In Exercises
d)(d)
t tj represent
1
u t t it1
i 56,
j 8t8tk k the plane curve by a vectorvalued
function.
(There
are many
1 1 correct
3k answers.)
In
curve
e)
2t
it56,
1
srepresent
2td2tj21
kplane
j 2sthe
i represent
(e)usutd t5 s49–
In Exercises
Exercises
49–d56,
thed3tplane
curve by
by aa vectorvector22t
valued
function.
(There
are
many
correct
valued
(There are many
answers.)
y function.
x 5
2x answers.)
3y
5 0
49.
50.correct
In los
Exercises
49–
represent
the plane
curve
by por
a vectorEn
ejercicios
4956,
a 56,
representar
la curva
plana
medio
2
y y function.
y2x
4 3y
51.
52.
xxx 525 2vectorial.
00
49.
50.
2xrespuestas
3yx 55 correctas.)
49.una
50.
valued
(There are
many
correct
answers.)
de
función
(Hay
muchas
2
xx2 2
51.
52.
51. yy xx 22 2
52. yy 2443y 1
49.
50.
2x 3y 555 00
49. yy5 xx1 55
50. 2x
51.
52.
51. yy5 sxx2 22d22
52. yy5 442 xx22
1
2 1
2
53. x 2
x 222
y2
yy222
25
54. x
x2
2
2
2y 2222
y2
4
y 222
53.
54.
53. x 1 y 525
54. sxx 2 2d 11y 544
125
55.
56.
16
4
22
22
x9x2 2 16
x
y
yy2 2
55.
56.
53. xx2 2 yy2 5125
54. x 2 2 1y12 4
1
55.
56.
16
99 16
16
162 44257 and 58, find vector-valued
In Exercises
functions
forming the
x2
x
y
y2
1 region in the figure.
1
55.
56. State the interval
boundaries
of
the
for the
In
58,
vector-valued
forming
16 ejercicios
4 57
9 functions
16vectoriales
InExercises
Exercises
57and
and
58,
findhallar
vector-valued
functions
forming
the
En
los
57
y find
58,
funciones
que the
desparameter
of
each
function.
boundaries
ofofthe
ininthe
State
for
boundaries
theregion
region
thefigure.
figure.
Statethe
theinterval
interval
forthe
the
criban
los límites
de
la región
en
la figura.
Dar
el intervalo
coIn
Exercises
andfunction.
58, find vector-valued
parameter
ofof57
each
y functions forming the
y
parameter
each
function.
57.
58. función.
rrespondiente
al parámetro
de cada
boundaries of
the interval for the
y =the
x 2 region in the figure. State
57.
58.
57. 5 yyy
58. 12 yyy
parameter
of each function.
57.
58.
2
2
10
x + y = 100
yyy===xxx222
4
1212
55
5
y
y
57. 3
58. 10812
xxx222+++yyy222===100
10
44
100
610
100
y = x2
88
2 45
12
4
8
33
66
2
2
1 34
210
6
45° x + y = 100
22
484
2
x
x
4
131 1 2 3 4 5
262 2 45°
445°
6 8 10 12
1
2
45°
2
xx
xx
4
x
x
2 2 4 4 6 6 8 8 10101212
111 222 333 444 555
1
2 represented
4 6 8 10 12 by the
2
In Exercises
59– 66, sketch the space curve
45°
x
x
intersection
of the
surfaces.
Then represent
the curve by
a
In
the
2 represented
4 6 8 10 12 by
1 259–
3 66,
4 sketch
5
InExercises
Exercises
59–
66,
sketch
thespace
spacecurve
curve
represented
bythe
the
vector-valued
function
the
given curva
parameter.
En
los ejercicios
59surfaces.
a using
66, dibujar
en the
el
repreintersection
ofof
the
Then
curve
intersection
the
surfaces.
Thenlarepresent
represent
theespacio
curve by
by aa
sentada
por
la
intersección
de
las
superficies.
Después
represenIn
Exercises
59–
66,
sketch
the
space
curve
represented
by
the
vector-valued
vector-valued
functionusing
usingthe
thegiven
givenparameter.
parameter.
Surfaces function
Parameter
tar
la curva
por
medio
de
una
función
vectorial
usando
intersection
of
the
surfaces.
Then
represent
the
curve
by
ael
zSurfaces
x 2 dado.
xParameter
t
y 2function
, x yusing
0 the given parameter.
59.
Surfaces
Parameter
parámetro
vector-valued
22
22
x x 2t tcos t
60.
59.
59.z z x x 2 y y,2, zxx 4yy 00
Superficies
Parámetro
Surfaces
Parameter
2
2
2
2
2
x x 22sin
61.
cos
60.
costt t
60.xzz xyx22 yy4,2,2, zz 4x4
59. z2 25 x 2 12 y , 2 x 1 y2 5 0
x5t
2
4x
z
t
4y
z
16,
x
z
62.
2
2
2
xx 22sin
61.
sint t
61. xx yy 4,4, zz xx
60. z2 25 x 22 12 y 22, 2 z 5 4
x 5 2 cos t
22
x
x
1
x
z
2
63.
2 y 4y 2z z 24, 16,
4x
z
t
x
z
62.
z t sin t
4y
z
16, x z
62. 4x
61. x222 1 y222 5 4,
z 5 x2
x 5 2 sin
sen t
22
x
x
y
z
10,
x
y
4
64.
2
2
2
63.
x 211 sin
sint t
63. x 2 y 2 z 2 4,4, xx zz 222
1
4y
1
z
5
16,
x
5
z
z
5
t
62. 4x
2
2
2
2
2
2
2
x x t22firstsin
octant
65.
tt
zz 2 y 10,
64.
sin
10, z xx 4yy 44
64.x x 2 zyy 2 4,
63. x222 1 y222 1 z2 2 524, x2 1 z 5 2
sen t
x 5 1 1 sin
y
z
16,
xy
4
x
x
t
first
octant
66.
2
2
2
2
65.
x t first octant
65. x zz 4,4, yy zz 44
64. x22 1 y22 1 z22 5 10, x 1 y 5 4
x 5 2 1 sen
sin t
2
2
2
y
z
16,
xy
4
x
x
66.
y2 thez vector-valued
16, xy
4
x 2 that
x t t first
firstoctant
octant
66.Show
2
2
67.
function
octante)
sfirst octant
d
65. x 1 z 5 4, y 1 z 5 4
x 5 t (primer
2
2
5
sfirst octant
d
66.
octante)
ytthat
z 2vector-valued
16,
4function
xShow
x 5 t (primer
67.
t 1 that
i 1the
2t
cos
tj xy
2t 5
sinfunction
tk
67.rShow
the
vector-valued
lacos
función
vectorial
67. rMostrar
2 tj y2t
22tsin
2
it ique
2t2t
tk.tkSketch the curve.
rt t on tthe
cos
sin
zfunction
4x tj
cone
67. lies
Show
that
the
vector-valued
r
s
t
d
5
t
i
1
2t
cos
tj
1
2t
sin
sen
2
2
68. Show
that
function
zz2tk
.2.Sketch
4x
lies
the
cone
4xtj2 yy2t2 sin
on
cone
Sketchthe
thecurve.
curve.
rlies
t on
tthe
i the
2tvector-valued
cos
tk
2
2
2
t cos
5
se
el cono
68.
that
the
t encuentra
ethat
tvector-valued
ivector-valued
e t sin4xtj function
ey t1
k z . Dibujar la curva.
68.rShow
Show
theen
function
lies on the cone 4x 2 y 2 z 2. Sketch the curve.
68. rMostrar
que
la ifunción
t
t vectorial
ee t kt k the curve.
rt t on ethe
e tcos
costvector-valued
tzi 2 eex 2tsin
sintjytj2function
. Sketch
cone
68. lies
Show
that
the
2t
2t
rstdon
5 e t cone
cos t iz 21
e x t2 sen
sin tj
e2tt k the curve.
yy2.21
lies
x 2sin
.Sketch
z 2 ethe
cone
Sketch
the curve.
rlies
t onthe
ethe
cos
t ifind
tj
e it kexists).
In Exercises
69–74,
limit
(if
se encuentra en el2 cono2z 2 52x 2 1 y 2. Dibujar la curva.
In
69–74,
zfind
xthelimit
y . (if
lies tion the
cone
Sketch
the curve.
InExercises
Exercises
69–74,
limit
(ifititexists).
exists).
cos
tj find
senthe
tk
lím
69.
t→
En
los
74,
evaluar
titi cos
sen
tk
lím
69.
1tk limit el(iflímite.
cos2tj69
tj afind
senthe
límejercicios
69.Exercises
In
69–74,
it exists).
t→
t→ 3ti
j
k
70. lím
t→2
t2 2 1
t
1
1k
lím
ti3ti cos tj2 j jsen tk
69.
70.
lím 3ti
70. lím
t→
t
t→2
t2 2 1 1 cos
tt k
t→2 2
t i 3tt j 1
k
71. lím
2
1
t→0
tcos
1
j
kt t
70. lím 3ti
1
cos
22
2
71.
t→2
t k
j t1
lím t t i i 3tt3tjln
71. lím
t→0
t 1 k
t→0
ti
j t
k
72. lím
2
t→1
t
11 cos
t 1t 1
j lnt t
71. lím t 2 i 3t ln
1k k
lím
t
i
j
72.
t→0
t
lím
t i sen
72. t→1
t 2t 2t 11 j t t t 11 k
t→1 t
ei
j e k
73. lím
ln t
1
t→0
t
t
j t
k
72. lím t t t i sen
2 tj 1 e t k
eei i sen
73.
t→1
t
t
1
k
lím
j
e
73. lím
t
t→0
t1t
t→0
e ti
j
k
74. lím
2
sen
t
t→
1t 1 j t et tt1k
73. lím e t it t
e
i
j
74.
lím
t→0
t
74. t→lím e i t j t 2 2 1 kk
t→
t
t
1
1
t
j
k
74. lím e t i
t→
t
t2 1
1053714_1201.qxp 10/27/08 11:48 AM Page 841
12-1.qxd 3/12/09 18:09 Page 841
1053714_1201.qxp
10/27/08
11:48 AM
Page 841
SECCIÓN
FuncionesFunctions
vectoriales
12.1 12.1Vector-Valued
In los
Exercises
75–
determine
the elinterval(s)
on which
the
En
ejercicios
7580,
a 80,
determinar
(los) intervalo(s)
en que
function
is continuous.
lavector-valued
función vectorial
es continua.
11 80, determine the interval(s) on which the
In Exercises 75–
75. rrstdt 5 t ti i1 jj
76. rrstdt 5 !t ti i1 !t t2 11jj
75.
76.
vector-valued function
is continuous.
tt
77. rrstdt 5 t ti i1 arcsen
arcsinttjtjj1 st t2 11d kk
77.
1arcsin
75.
r
t
t
i
t
2t
78. rrstdt 5 2e
2e i ti1j ee2t jt j1 lnlnst t2 11d k76.
k rt
78.
79. rrstdt 5 t i
79.
77.
tantlt
kee2t,t,t t2,2,tan
78. r t
arcsin t j
2e t i
e tj
t
ln t
ti
80. rrstdt 5
1 k 80.
k
t
1j
l
33t t
8,8,!t,t,!
1 k
WRITING ABOUT CONCEPTS
79.Desarrollo
80.
rt
e t, t 2, de
tan tconceptos
rt
8, t, 3 t
81. Consider the vector-valued function
81. Considerar
la función vectorial
2 BOUT CONCEPTS
W R I rT It N G t A
i
t 3 j tk.
rstd 5 t 2 ithe
1 svector-valued
t 2 3dj 1 tk.function
81. Consider
Write a vector-valued function s t that is the specified
transformation
r.j tk. sstd que sea la transformación
t of3vectorial
rDar
t una
t 2 i función
especificada
de
r.
(a) A vertical translation three units upward
Write a vector-valued function s t that is the specified
a)
traslacióntranslation
vertical tres
unidades
arriba of the
(b)Una
A horizontal
two
units inhacia
the direction
transformation
of r.
b) Una
traslación
negative
x-axishorizontal dos unidades en dirección del
(a) A vertical translation three units upward
negativo translation five units in the direction of the
(c)eje
A xhorizontal
(b) A horizontal translation two units in the direction of the
c) Una
traslación
positive
y-axishorizontal cinco unidades en dirección del
negative x-axis
eje
y
positivo
82. State the definition of continuity of a vector-valued
(c) A horizontal translation five units in the direction of the
82. Dar
la definición
continuidad
para una función
vectorial.
function.
Give andeexample
of a vector-valued
function
that
positive y-axis
Dar
un ejemplo
decontinuous
una función
is defined
but not
at tvectorial
2. que esté definida
82. State
continuity
of a vector-valued
pero nothe
seadefinition
continua enoft 5
2.
function. Give an example of a vector-valued function that
is defined but not continuous at t 2.
CAS 83. The outer edge of a playground slide is in the shape of a helix of
CAS 83. El
borde1.5
exterior
deThe
unaslide
resbaladilla
tiene of
forma
de unaand
hélice
de
radius
meters.
has a height
2 meters
makes
1.5
de radio.
La resbaladilla
una altura
de a2 vectormetros
onemetros
complete
revolution
from toptiene
to bottom.
Find
CAS 83. The
outer
edgerevolución
offor
a playground
slidea is
in thearriba
shape
of
asystem
helix
ofto
yvalued
hace
una
completa
desde
hacia
abajo.
function
the helix.
Use
computer
algebra
radius
1.5
meters.
The
slide
has
a
height
of
2
meters
and
makes
Encontrar
una
función
vectorial
para
la
hélice.
Usar
un
sistema
graph your function. (There are many correct answers.)
one
complete
frompara
topgraficar
to bottom.
Find a (Existen
vectoralgebraico
por revolution
computadora
la función.
the helix. Use a computer algebra system to
muchas
C valued
A P S T function
Orespuestas
N E for correctas.)
graph your function. (There are many correct answers.)
84. Which of the following vector-valued functions represent
Para
thediscusión
same graph?
CAPSTONE
a) r tde las siguientes
3 cos t 1)i
5 sen
t 2 j representa
4k
84. Which
¿Cuál
vectoriales
84.
of the following funciones
vector-valued
functions representla
misma
gráfica?
b) same
r t graph?
4i
3 cos t 1)j
5 sen t 2)k
the
a)c) rrt t
b)d) rrt t
33cos
i
sent t 2 2j j 4k4k
cost t 11)i
55sen
2t t 2 j2)k 4k
4i 3 cos32t
cos t 1 i 1)j 5 sen
5 sen
c) r t
3 cos t
1i
5 sen t
2j
4k
3 cos 2t 1 i
5 sen 2t 2 j 4k
d) r t
85. Let r t and u t be vector-valued functions whose limits exist
as t → c. Prove that
lim rvectoriales
t
limfunctions
u cuyos
t . límites
limr rrtsttdand
85. Sean
y uuu
cuanstdtt funciones
Let
be vector-valued
whoseexisten
limits exist
t→c
t→c
t→c
do
Demostrar
→ c.
c. Prove
as tt →
that que
86. Let r t and u t be vector-valued functions whose limits exist
lim
std c.
3 Prove
ustdg 5
lim ustd.
lím
lím rstd 3 lím
as tfr→
thatlim
t→c
t→c
t→c
t→c
t→c
t→c
lim r vectoriales
t lim ufunctions
tcuyos
.
limr rrtsttdand
y uuu
límites
cuansttdt funciones
86. Sean
Let
be vector-valued
whoseexisten
limits exist
t→c
t→c
t→c
do
Demostrar
→ c.
c. Prove
as tt →
that que
87. Prove that if r is a vector-valued function that is continuous at
fr st d ?ru sist dgcontinuous
5 lim
lím
lím r st dat? c.
lím
c, then
lim u st d.
lim
t→c
t→c
t→c
t→c
t→c
t→c
88. Demostrar
Verify that the si
converse
Exercisevectorial
87 is not true by en
finding
a
87.
es unaoffunción
c, enProve that ifque
function thatcontinua
is continuous
at
r is arvector-valued
vector-valued
function
such
that
is
continuous
at
but
r
r
c
r
tonces
continua enatc.c.
then i r i es
is continuous
c,
is not continuous at c.
88. Verify
Verificar
que
el
recíprocoofde
lo que se
en elbyejercicio
that the converse
Exercise
87 afirma
is not true
finding 87
a
no
es
verdad
encontrando
una
función
vectorial
r
tal
que
i sea
vector-valued function r such that r is continuous at ci rbut
r
continua
en c peroatrc.no sea continua en c.
is
not continuous
841
841
841las
Vector-Valued
Functions
In Exercises
89 and
two
particles travel
along
the space
En
los ejercicios
8912.1
y 90, dos
partículas
viajan
a lo largo
de
curves de
and ur(t)
collision
will occur
at en
theel point
r tespacio
t . yAu(t).
curvas
Una colisión
ocurrirá
punto of
de
intersection PP ifsiboth
particles
are at
thePsame
time. tiempo.
Do the
P at en
intersección
ambas
partículas
están
al mismo
In
Exercises
89 partículas?
and
particles
travel
the space
particles
collide?
Do 90,
theirtwo
paths
intersect?
¿Colisionan
las
¿Se
intersecan
sus along
trayectorias?
curves r t and u t . A collision will occur at the point of
2k
89. r t) t2Pi if both
9t particles
20)j tare
intersection
at P at the same time. Do the
2 paths intersect?
particles
collide?
Do
their
u t)
3t 4 i t j
5t 4 k
2
3k
90. rr(t
89.
t) t2tii t9tj t20)j
t2k
2
uut)t) 3t 2t 4 i 3 i t j 8tj 5t 12t
4k 2k
90.
r(t About
ti t2j In t3Exercises
k
Think
91 yand
92, partículas
two particles
travel
Para
pensar It
En los ejercicios 91
92, dos
viajan
a lo
u
t)
2t
3
i
12t
2k
along
the
space
curves
r8tj
t andr(t)
u ty. u(t).
largo de las curvas de espacio
y u(t)
intersecan,
¿colisionarán
las
partículas?
91.
91. Si
If About
will
particles
collide?
rr(t)
t) and
Think
Itu tse
Inintersect,
Exercises
91theand
92, two
particles travel
92.
lasspace
partículas
colisionan,
¿se
sus u
trayectorias
r(t) y
along
curves
andtheir
r t do
u t intersecan
.
92. Si
Ifthe
the
particles
collide,
paths
r t) and
t intersect?
u(t)?
91.
If rort) False?
and u t intersect,
will the
particles
collide? whether the
True
In Exercises
93–96,
determine
¿Verdadero
o
falso?
En
los
ejercicios
93
a
96,udeterminar
si la
92.
If the particles
t) and
t intersect?
statement
is true collide,
or false.doIftheir
it ispaths
false,r explain
why
or give an
declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o
example that shows it is false.
dar un
que93–96,
es falsa.
True
or ejemplo
False? que
In pruebe
Exercises
determine whether the
93.
If
and
are
first-degree
polynomial
functions,
then an
the
f,
g,
h
statement is true or false. If it is false,
explain
why or give
93. Si ƒ, g y h son funciones polinomiales de primer grado, entonces
curve
given
by xit isffalse.
t , y g t , and z h t is a line.
example
that
shows
la curva dada por x 5 f std, y 5 g(t) y z 5 hstd es una recta.
94. If the curve given by x f t , y g t , and z h t is a line,
93.
and hdada
are por
first-degree
the
94. IfSif,lag,curva
y 5 g(t) y zfunctions,
una recta,
x 5 f std, polynomial
5 hstd es then
then f, g, and h are first-degree polynomial functions of t.
curve
given
is a line.
t , y g polinomiales
t , and z hde
t primer
entonces
ƒ, gbyy xh sonf funciones
grado de t.
95. Two particles travel along the space curves r t) and u t). The
94.
thepartículas
curve given
by xa través
f t ,dey las gcurvas
t , anddez espacio
h t is
95. IfDos
viajan
r(t)a yline,
u(t).
intersection of their paths depends only on the curves traced out
then
polynomial
functions
f, g, and h are
La intersección
defirst-degree
sus trayectorias
depende
sólo deoflast. curvas
by r t and u t), while collision depends on the parameterizations.
trazadas
por r(t)
y u(t)
en tanto
la colisión
depende
de ulat).
parame95. Two
particles
travel
along
the space
curves
The
r t) and
96. trización.
The vector-valued function r t
t2 i t sin t j t cos t k
intersection of their paths depends
only
on
the
curves
traced
out
lies on the paraboloid x y2 2 z2.
and u t),vectorial
while collision
sen
96. by
Lar tfunción
rstd 5depends
t i 1 t on
sinthe
t j parameterizations.
1 t cos t k se encuentra
en el paraboloide
x 5 ry 2t 1 zt22. i t sin t j t cos t k
96. The
vector-valued
function
Slies
E on
C TtheI O
N P RxO J yE2 C zT2.
paraboloid
PROYECTO DE TRABAJO
Witch
of Agnesi
SECTION PROJECT
In
Sectionde
3.5,
you studied a famous curve called the Witch of
Bruja
Agnesi
Agnesi. In
project you will take a closer look at this function.
Witch
ofthis
Agnesi
En la sección 3.5 se estudió una curva famosa llamada bruja de
Consider a circle of radius a centered on the y-axis at 0, a . Let
En3.5,
esteyou
proyecto
se profundiza
sobre esta función.
InAgnesi.
studied
a famous
Witch and
of
be a point
on the horizontal
line y curve
the origin,
A Section
2a, letcalled
O be the
Considérese
un círculo
de radio
acloser
centrado
enatelthis
punto
(0, a) del
Agnesi.
In
this
project
you
will
take
a
look
function.
let B be the point where the segment OA intersects the circle. A
eje y.
Sea A un
puntoofenradius
la recta
horizontal
origen
yB
5 2a,
circle
on ythe
axisO
atel 0,
a centered
a . Let
pointConsider
Witch of Agnesi
if P lies
ony-the
horizontal
line
P is onathe
el
punto
donde
el
segmento
OA
corta
el
círculo.
Un
punto
P
está
be a point
on on
thethe
horizontal
let. O be the origin, anden
Athrough
2a, A
vertical line
line ythrough
B and
la bruja
si P se the
encuentra
en OA
la recta
horizontal
travésAde
let
theAgnesi
point where
segment
intersects
the acircle.
B be de
(a)y Show
that the
point Através
is traced
out by the vector-valued function
B
en
vertical
de A.
point
is recta
on the
Witchaof
Agnesi
if P lies on the horizontal line
P la
through
oncot
vertical
linedescrito
A. la función vectorial
0 through
rA B and
2a
i A2aj,
< <por
a) Mostrar
que
elthe
punto
está
(a) Show
that
the
point
is
traced
out
by
the
function
A
is the
that OA0 makes
the positive xaxis.
rwhere
sud 5 2a
cot angle
u i 1 2aj,
< u < with
p vector-valued
A
0 < out<by the vector-valued function
2a the
cot point
i B2aj,
(b) rShow
that
is traced
A
u es el ángulo formado por OA con el eje x positivo.
donde
where
isa the
makes
with
positive
rB
<
< vectorial
. x- axis.
sin
2punto
i that
1OAdescrito
cos
2 j,
b) Mostrar
que
el angle
Ba está
por 0lathe
función
B is traced
(b)
that the point
out byand
the vector-valued
function
(c) Show
Combine
parts
find
rBsud 5 a the
sin 2results
u i 1 aof
s1 2
cos(a)
2ud j, 0(b)< to
u <
p. the vectorsen
function
rvalued
<
< Use. a graphing
a sin 2 ir a for
1 the
cosWitch
2 j, of 0Agnesi.
B
c) Combinar
los resultados
losaincisos
1. a) y b) para hallar la funutility to graph
this curvedefor
(c) Combine
the r(
results
of parts (a)
and (b) Usar
to find the vectorvectorial
u) para
de Agnesi.
limla rbrujaand
(d) ción
Describe
the limits
lim r . una herramienta
r
valued
function
for
the
Witch
of
Agnesi.
→0
→
de graficación para representar esta curva para Use
a 5 a1.graphing
(e) utility
Eliminate
the this
parameter
to graph
curve for a and1. determine the rectangular
lím
lim2 rsud.
d) Describir
límites
lim
rsud y Use
lím
equation los
of the
Witch
of1Agnesi.
p a graphing utility to graph
u →0
r andu →lim
r .
(d) Describe the limits lim
→ la ecuación
this function
for a→0u 1y determinar
and compare
your graph
with that
e) Eliminar
el parámetro
rectangular
de
(e) Eliminate
determine the rectangular
inthe
partparameter
(c). Usar unaand
laobtained
bruja de
Agnesi.
herramienta de graficación para
equation of the Witch of Agnesi. Use a graphing utility to graph
representar esta función para a 5 1 y comparar la gráfica con la
this function for a 1 and compare your graph with that
obtenida en el inciso c).
obtained in part (c).
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CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
12.2 Derivación e integración de funciones vectoriales
n
n
Derivar una función vectorial.
Integrar una función vectorial.
Derivación de funciones vectoriales
En las secciones 12.3 a 12.5 se estudian varias aplicaciones importantes que emplean
cálculo de funciones vectoriales. Como preparación para ese estudio, esta sección está
dedicada a las mecánicas de derivación e integración de funciones vectoriales.
La definición de la derivada de una función vectorial es paralela a la dada para funciones reales.
DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
La derivada de una función vectorial r se define como
rst 1 Dtd 2 rstd
Dt→0
Dt
r9 std 5 lím
lim
para todo t para el cual existe el límite. Si r9(t) existe, entonces r es derivable en t.
Si r9(t) existe para toda t en un intervalo abierto I, entonces r es derivable en el intervalo I. La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados considerando límites unilaterales.
NOTA
Además de la notación r9 std, otras notaciones para la derivada de una función vectorial son
Dt frstdg,
d
frstdg, y
dt
dr
.
dt
n
La diferenciación de funciones vectoriales puede hacerse componente por componente. Para ver esto, considérese la función dada por
r std 5 f stdi 1 gstd j.
Aplicando la definición de derivada se obtiene lo siguiente.
r9std 5 lim
lím
Dt→0
5 lím
lim
f st 1 Dtd i 1 gst 1 Dtd j 2 f stdi 2 g std j
Dt
5 lim
lím
53 f st 1 DtDtd 2 f std4i 1 3 gst 1 DtDtd 2 gstd4 j6
Dt→0
z
r(t + ∆t) − r(t)
Dt→0
r′(t)
r(t + ∆t)
5
r(t)
y
x
Figura 12.8
r st 1 Dtd 2 r std
Dt
f st 1 Dtd 2 f std
gst 1 Dtd 2 gstd
lim 3
lím 3
46i 1 5 lim
46 j
5 lím
Dt
Dt
Dt→0
Dt→0
5 f9 std i 1 g9std j
Este importante resultado se enuncia en el teorema de la página siguiente. Nótese que la
derivada de la función vectorial r es también una función vectorial. En la figura 12.8 se ve
que r9 std es un vector tangente a la curva dada por rstd y que apunta en la dirección de los
valores crecientes de t.
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SECCIÓN 12.2
Derivación e integración de funciones vectoriales
843
TEOREMA 12.1 DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES
1. Si rstd 5 f std i 1 gstd j, donde ƒ y g son funciones derivables de t, entonces
r9 std 5 f9std i 1 g9 std j.
Plano.
2. Si rstd 5 f std i 1 gstd j 1 h stdk, donde ƒ, g y h son funciones derivables de t,
entonces
r9 std 5 f9std i 1 g9 std j 1 h9 stdk.
y
Espacio.
r(t) = ti + (t 2 + 2)j
EJEMPLO 1
6
Para la función vectorial dada por r(t) 1 ti 1 (t2 1 2)j, encontrar r9(t). Entonces bosquejar la curva plana representada por r(t) y las gráficas de r(1) y r9(1).
5
r′(1)
4
(1, 3)
3
Derivación de funciones vectoriales
Solución Derivar cada una de las componentes base para obtener
r(1)
r9(t) 5 i 1 2tj
Derivada.
1
x
−3
−2
−1
Figura 12.9
1
2
3
Del vector de posición r(t), se pueden escribir las ecuaciones paramétricas x 5 t y
y 5 t2 1 2. La ecuación rectangular correspondiente es y 5 x2 1 2. Cuando t 5 1,
r(1) 5 i 1 3j y r9(1) 5 i 1 2j. En la figura 12.9, r(1) se dibuja iniciando en el origen, y
r9(1) se dibuja en el punto final de r(1).
Derivadas de orden superior de funciones vectoriales se obtienen por derivación sucesiva de cada una de las funciones componentes.
EJEMPLO 2
Derivadas de orden superior
Para la función vectorial dada por rstd 5 cos ti 1 sen
sin tj 1 2tk, hallar
a) r9 std
c) r9 std ? r0 std
b) r0 std
d) r9 std 3 r0 std
Solución
a) r9 std 5 2sin
sen ti 1 cos tj 1 2k
b) r0 std 5 2cos ti 2 sen
sin tj 1 0k
5 2cos ti 2 sen
sin tj
||
Primera derivada.
Segunda derivada.
||
c) r9std ? r0 std 5 sen
sin t cos t 2 sen
sin t cos t 5 0
i
j
k
d) r9 std 3 r0 std 5 2sin
sen t cos t 2
2cos t 2sin
sen t 0
cos t
2
2sin
sen t
5
i2
2sin
0
2cos t
sen t
5 2 sen
sin ti 2 2 cos tj 1 k
|
Producto escalar.
Producto vectorial.
| |
|
sen t
2
2sin
cos t
j1
k
0
2cos t 2sin
sen t
En el inciso c) nótese que el producto escalar es una función real, no una función vectorial.
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CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
La parametrización de la curva representada por la función vectorial
r共t兲 ⫽ f 共t兲 i ⫹ g共t兲j ⫹ h 共t兲k
es suave en un intervalo abierto I si f⬘, g⬘ ,y h⬘ son continuas en I y r⬘ 共t兲 ⫽ 0 para todo
valor de t en el intervalo I.
EJEMPLO 3
Intervalos en los que una curva es suave
Hallar los intervalos en los que la epicicloide C dada por
r共t兲 ⫽ 共5 cos t ⫺ cos 5t兲i ⫹ 共5 sen
sin t ⫺ sen
sin 5t兲j, 0 ≤ t ≤ 2␲
y
6
4
es suave.
t=π
2
Solución La derivada de r es
2
t=0
t=π
−6
−4
x
−2
2
−2
−4
4
t = 2π
6
t = 3π
2
−6
r(t) = (5 cos t − cos 5t)i + (5 sen t − sen 5t)j
La epicicloide no es suave en los puntos en
los que corta los ejes
Figura 12.10
sin t ⫹ 5 sen
sin 5t兲i ⫹ 共5 cos t ⫺ 5 cos 5t兲j.
r⬘ 共t兲 ⫽ 共⫺5 sen
En el intervalo 关0, 2␲兴, los únicos valores de t para los cuales
r⬘ 共t兲 ⫽ 0i ⫹ 0j
son t ⫽ 0, ␲兾2, ␲, 3␲兾2, y 2␲. Por consiguiente, se concluye que C es suave en los intervalos
冢0, ␲2 冣, 冢␲2 , ␲冣, 冢␲, 32␲冣,
y
冢32␲, 2␲冣
como se muestra en la figura 12.10.
NOTA
En la figura 12.10, nótese que la curva no es suave en los puntos en los que tiene cambios
abruptos de dirección. Tales puntos se llaman cúspides o nodos.
I
La mayoría de las reglas de derivación del capítulo 2 tienen sus análogas para funciones vectoriales, y varias de ellas se dan en el teorema siguiente. Nótese que el teorema
contiene tres versiones de “reglas del producto”. La propiedad 3 da la derivada del producto de una función real w y por una función vectorial r, la propiedad 4 da la derivada
del producto escalar de dos funciones vectoriales y la propiedad 5 da la derivada del producto vectorial de dos funciones vectoriales (en el espacio). Nótese que la propiedad 5 sólo
se aplica a funciones vectoriales tridimensionales, porque el producto vectorial no está
definido para vectores bidimensionales.
TEOREMA 12.2 PROPIEDADES DE LA DERIVADA
Sean r y u funciones vectoriales derivables de t, w una función real derivable de t y c
un escalar.
1. Dt cr t
cr t
2. Dt r t ± u t
r t ±u t
3. Dt w t r t
wtr t
w trt
4.
5.
6.
7.
Dt
Dt
Dt
Si
r
r
r
r
t ut
rt u t
r t ut
t
ut
r t) u t
r t
ut
w t
r w t w t
t rt
c, entonces r t r t
0.
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SECCIÓN 12.2
DEMOSTRACIÓN
Derivación e integración de funciones vectoriales
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Para demostrar la propiedad 4, sea
rstd 5 f1stdi 1 g1stdj y
ustd 5 f2stdi 1 g2stdj
donde f1, f2, g1, y g2 son funciones derivables de t. Entonces,
rstd ? ustd 5 f1std f2std 1 g1stdg2std
EXPLORACIÓN
Sea r(t) 5 cos ti 1 sen tj. Dibujar
la gráfica de r std. Explicar por qué
la gráfica es un círculo de radio 1
centrado en el origen. Calcular
rspy4d y r9 spy4d. Colocar el vector
r9 spy4d de manera que su punto inicial esté en el punto final de
rspy4d. ¿Qué se observa? Mostrar
que r std ? r std es constante y que
rstd ? r9std 5 0 para todo t. ¿Qué
relación tiene este ejemplo con la
propiedad 7 del teorema 12.2?
y se sigue que
Dt frstd ? ustdg 5 f1std f29 std 1 f19 std f2std 1 g1std g29 std 1 g19 std g2std
5 f f1st)f29 std 1 g1std g29 stdg 1 f f19 std f2std 1 g19 std g2stdg
5 rstd ? u9 std 1 r9 std ? ustd.
Las demostraciones de las otras propiedades se dejan como ejercicios (ver ejercicios
77 a 81 y ejercicio 84).
EJEMPLO 4
Aplicación de las propiedades de la derivada
Para las funciones vectoriales
rstd 5
1
i 2 j 1 ln tk y ustd 5 t 2 i 2 2tj 1 k
t
hallar
a) Dt frstd ? ustdg y
b) Dt fustd 3 u9 stdg.
Solución
1
1
a) Como r9 std 5 2 2 i 1 k y u9 std 5 2ti 2 2j, se tiene
t
t
Dt frstd ? ustdg 5 rstd ? u9 std 1 r9 std ? ustd
1
5
i 2 j 1 ln tk ? s2ti 2 2jd
t
1
1
1 2 2 i 1 k ? st 2 i 2 2t j 1 kd
t
t
1
5 2 1 2 1 s21d 1
t
1
531 .
t
1
1
2
2
b) Como u9 std 5 2ti 2 2 j y u0 std 5 2i, se tiene
|| | ||
Dt fustd 3 u9 stdg 5 fustd 3 u0 stdg 1 fu9 std 3 u9 stdg
i
j
k
5 t 2 22t
1 10
2
0
0
22t
1
t2
1
t 2 22t
5
i2
j1
k
0
0
2
0
2
0
5 0i 2 s22dj 1 4tk
| | |
5 2j 1 4tk.
NOTA
Hacer de nuevo los incisos a) y b) del ejemplo 4 pero formando primero los productos
escalar y vectorial y derivando después para comprobar que se obtienen los mismos resultados. n
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CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
Integración de funciones vectoriales
La siguiente definición es una consecuencia lógica de la definición de la derivada de una
función vectorial.
DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
1. Si rstd 5 f stdi 1 gstdj, donde f y g son continuas en fa, bg, entonces la integral
indefinida (o antiderivada) de r es
E
rstd dt 5
3Ef std dt4i 1 3Egstd dt4 j
Plano.
y su integral definida en el intervalo a ≤ t ≤ b es
E
b
3E
4 3E gstd dt4 j.
b
rstd dt 5
a
b
f std dt i 1
a
a
2. Si rstd 5 f stdi 1 gstdj 1 hstdk, donde f, g y h son continuas en fa, bg, entonces la
integral indefinida (o antiderivada) de r es
E
rstd dt 5
3Ef std dt4i 1 3Egstd dt4 j 1 3Eh std dt4k
Espacio.
y su integral definida en el intervalo a ≤ t ≤ b es
E
b
3E
b
rstd dt 5
a
a
3E
b
4
f std dt i 1
a
4
g std dt j 1
3E
b
4
h std dt k.
a
La antiderivada de una función vectorial es una familia de funciones vectoriales que
difieren entre sí en un vector constante C. Por ejemplo, si rstd es una función vectorial
tridimensional, entonces al hallar la integral indefinida erstd dt, se obtienen tres constantes
de integración
E
f std dt 5 Fstd 1 C1,
E
g std dt 5 G std 1 C2,
E
h std dt 5 H std 1 C3
donde F9 std 5 f std, G9 std 5 g std, y H9 std 5 h std. Estas tres constantes escalares forman un
vector como constante de integración,
E
rstd dt 5 fFstd 1 C1gi 1 fG std 1 C2g j 1 fH std 1 C3gk
5 fFstdi 1 G std j 1 H stdkg 1 fC1i 1 C2 j 1 C3kg
5 Rstd 1 C
donde R9 std 5 rstd.
EJEMPLO 5
Integración de una función vectorial
Hallar la integral indefinida
E
st i 1 3jd dt.
Solución Integrando componente por componente se obtiene
E
st i 1 3jd dt 5
t2
i 1 3tj 1 C.
2
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SECCIÓN 12.2
Derivación e integración de funciones vectoriales
847
El ejemplo 6 muestra cómo evaluar la integral definida de una función vectorial.
Integral definida de una función vectorial
EJEMPLO 6
Evaluar la integral
冕
1
冕冢
1
r共t兲 dt ⫽
0
3 ti ⫹
冪
0
冣
1
j ⫹ e⫺t k dt.
t⫹1
Solución
冕
1
冢冕
冣 冢冕
1
r 共t兲 dt ⫽
0
0
⫽
冣 冢冕 e dt冣k
1
1
dt j ⫹
t⫹1
t1兾3 dt i ⫹
0
冤 冢34冣 t 冥
1
4兾3
0
冤 ⱍ
⫺t
0
ⱍ冥 0 j ⫹ 冤 ⫺e⫺t冥 0 k
1
i ⫹ ln t ⫹ 1
冢
1
1
冣
3
1
⫽ i ⫹ 共ln 2兲 j ⫹ 1 ⫺ k
4
e
Como ocurre con las funciones reales, se puede reducir la familia de primitivas de una
función vectorial r⬘ a una sola primitiva imponiendo una condición inicial a la función
vectorial r., como muestra el ejemplo siguiente.
La primitiva de una función vectorial
EJEMPLO 7
Hallar la primitiva de
r⬘ 共t兲 ⫽ cos 2ti ⫺ 2 sen
sin tj ⫹
1
k
1 ⫹ t2
3i ⫺ 2j ⫹ k.
que satisface la condición inicial r共0兲 ⫽ 3i
Solución
r共t兲 ⫽
⫽
⫽
冕
冢冕
r⬘ 共t兲 dt
1
sin t dt冣 j ⫹ 冢冕
dt k
冣 冢冕 ⫺2 sen
1⫹t 冣
cos 2t dt i ⫹
2
sin 2t ⫹ C 冣i ⫹ 共2 cos t ⫹ C 兲j ⫹ 共arctan t ⫹ C 兲k
冢12 sen
1
2
3
Haciendo t ⫽ 0 usando el hecho que r共0兲 ⫽ 3i ⫺ 2j ⫹ k, se tiene
r共0兲 ⫽ 共0 ⫹ C1兲i ⫹ 共2 ⫹ C2兲j ⫹ 共0 ⫹ C3兲k
⫽ 3i ⫹ 共⫺2兲j ⫹ k.
Igualando los componentes correspondientes se obtiene
C1 ⫽ 3,
2 ⫹ C2 ⫽ ⫺2,
y
C3 ⫽ 1.
Por tanto, la primitiva que satisface la condición inicial dada es
r共t兲 ⫽
sin 2t ⫹ 3冣i ⫹ 共2 cos t ⫺ 4兲j ⫹ 共arctan t ⫹ 1兲k.
冢12 sen
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1053714_1202.qxp
10/27/08
11:48
AM
Page
848
848
848
848
848
848848
848
Chapter
CAPÍTULO
FuncionesFunctions
vectoriales
Chapter1212 12Vector-Valued
Vector-Valued
Functions
Chapter
12
Vector-Valued
Functions
Chapter
12
Vector-Valued
Functions
Chapter
12
Vector-Valued
Functions
Chapter 12 Vector-Valued
Functions
Exercises
forfor
worked-out
solutions
to to
odd-numbered
exercises.
12.2
Exercises
www.CalcChat.com
worked-out
solutions
odd-numbered
exercises.
12.2
Ejercicios SeeSeeSeeSeewww.CalcChat.com
12.2
Exercises
www.CalcChat.com
for
worked-out
solutions
to
odd-numbered
exercises.
12.2Exercises
Exercises
www.CalcChat.com
for
worked-out
solutions
to
odd-numbered
12.2
See www.CalcChat.com
for
worked-out
solutions
to
odd-numbered
exercises.
12.2
See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
exercises.
InInExercises
1–8,
sketch the
curve
represented
bybythe
Exercises
1–8,
theplane
plane
curve
represented
the
En los
ejercicios
1 asketch
8, dibujar
la curva
plana
representada
por
vector-valued
function,
and
sketch
the
vectors
and
for
r
t
r
tby
In
Exercises
1–8,
sketch
the
plane
curve
represented
the
In
Exercises
1–8,
sketch
the
plane
curve
represented
the
0by
In la
Exercises
1–8,
sketch
the
plane
represented
the
vector-valued
function,
and
sketch
the
vectors
r
t
In
Exercises
1–8,
sketch
the
plane
curve
by
the
función
vectorial
y dibujar
los curve
vectores
para
el
rrepresented
xt0rc0 ty0 rand
9 xtby
c
0 for
0
the
given
value
of
Position
the
vectors
such
that
the
initial
t
.
vector-valued
function,
and
sketch
the
vectors
and
for
r
t
r
t
vector-valued
function,
and
sketch
the
vectors
and
for
r
t
r
t
0
vector-valued
function,
and
sketch
the
vectors
and
for
r
t
r
t
0
0
0 inithe given
of t0. Position
such
vector-valued
and
thedevectors
and
t00that
r0 tinitial
0r que
valor
dado value
de tfunction,
los sketch
vectores
manera
el the
punto
0. Colocar
0 for
of
isof
the
and
the
initial
point
ofthat
isisatinitial
the
r rt0value
rthat
thegiven
given
value
ofPosition
Position
the
vectors
such
the
initial
t.0.origin
the
of
Position
vectors
such
ttel0origin
thepoint
given
the
vectors
such
that
initial
ten
point
isatat
and
the
initial
point
at
rxtt00ctthe
the
given
of
Position
the
vectors
such
that
the
initial
0.the
cial
deof
y el
punto
inicial
deof
enthe
el
rvalue
xt0value
ct0esté
r9the
0esté
0. origen
terminal
point
What
isisthe
relationship
between
t0 torigin
. origin
rat
tthe
point
of
isof
atrthe
the
and
the
initial
point
oftbetween
isthe
at
ris
t0atis
ris
t0atis
point
of
is
at
the
origin
and
the
initial
point
of
is
at
r
t
r
t
0the
point
of
the
origin
and
the
initial
point
of
r
t
r
0
0
terminal
point
of
What
the
relationship
r
.
r
t0
point
of
at
and
the
initial
point
of
r
t
r
t
0
0
punto final0de r xt0c. ¿Qué
relación hay entre r9 xt0c y la0 curva?the
0
and
the
curve?
terminal
point
What
therelationship
relationship
between
terminal
point
isisthe
between
terminal
point
of rof
is the
relationship
between
t0rrr. ttWhat
r tr0 r tt00t0
0t0.. .What
and
the
curve?
terminal
point
ofof
0 What is the relationship between r
and
the
curve?
the
curve?
andand
the
curve?
2
and
curve?
1.1.r the
rt t t ti2 i tj,tj, t0 t0 2 2
2
1.
r
t
i 2tj,
tj,
1.trrrt tt t ititt 22t 2ii tj,
1. 2.r1.
t t0t02 22
2. r t
ti t tj,
t2 0 1t10j, j, t20 t0 1 1
2
2
2
2. r2.
2.2.t rrrtt tti ti
titit 1tt2t1 j,111j,
j,tj,0 tt0t01 111
3.3.r rt t t 2ti2 i 1j, j, t0 t 2 02
1
t
1 11t j, t0
2 22
3. r3.
3.3.t rrrtt tt i tt 2t ii it j, t tj,
j,t0 tt0 02 222
4.4.r rt t 1 1 t itt i t 3tj,30j, t0 t 1 1
0
3 3 3j, t t
4. r4.
4.4.t rrrtt t 1 111t i tt tii ti j, tt 3tj,
j,t0 t00 01 111
5.5.r rt t cos
costi ti sen
sentj,tj, t0 t0 2
5.
r
t
cos
ti
sentj,
r
t
cos
ti
sen
5. r5.
t0 tt00t0 22
t
cos
ti
sen
tj,
5. r t
cos ti sen
tj,tj,
2 22
6.6.r rt) t) 3 3sen
senti ti 4 4cos
costj,tj, t0 t0 2
costj,
333sen
444cos
6. r6.
t tt0t0 2
tisenti
tj,
6.6.t)rrrt)
t)t)3 sen
sen
titi4 cos
cos
tj,tj,
7.7.r rt t et,ete,2te2t, , t0 t 0 0 0 0 2 222
0
2t
7.t rrt t et, ee2tttet,t,e, 2t
et 2tt, , t t0 00
7. 8.r7.
7.
8.rrrt tt eee,, ete, e,t,0, tt000t00 000
t tt t t t
8. r8.
8.8.t rrrtt t e ,eeee t,,,,eete t,,0, tt00t00 000
InInExercises
9 9and
10, (a)(a)sketch
the
curve represented
byby
and
thespace
En Exercises
los ejercicios
9 y10,
10, a)sketch
dibujar
laspace
curvacurve
en elrepresented
espacio reprevector-valued
function,
and
(b)
sketch
the
vectors
and
r
t
In
Exercises
9
and
10,
(a)
sketch
the
space
curve
represented
In
Exercises
9
and
10,
(a)
sketch
the
space
curve
represented
by
0
Inthe
Exercises
9
and
10,
(a)
sketch
the
space
curve
represented
by
theExercises
vector-valued
function,
and the
(b)
sketch
thelosvectors
r t0r xtand
In
9 and
10, (a)
sketch
curve
represented
sentada
por la
función
vectorial,
y b)space
dibujar
vectores
y
cby
0by
for
the
given
value
ofand
t0 t vector-valued
t0.tand
the
vector-valued
function,
and
(b)sketch
sketch
thevectors
vectors
and
rand
t0 and
the
vector-valued
function,
and
(b)
sketch
the
vectors
and
r
t
therrthe
function,
(b)
sketch
the
vectors
r
t
0
for
the
given
value
of
r9vector-valued
.
function,
(b)
the
r
t
0
xt00c para el valor dado de t00.
0
forthe
thegiven
given
value
oft t..0.
value
tt0t0 for
the
given
value
of tof
r trr0 r for
0. t0
0 for the given value of
0
33
3p
9.9.r rt t 2 2cos
ti
2
sin
tj
costiti1 22sen
sintjtj1tk,
tk, t0t0t035 233
9. r std 5 2 cos
sin
tk,
9.
t
r
t
2
cos
ti
2
sin
tj
tk,
9.
t
r
t
2
cos
ti
2
sin
tj
tk,
9. r9.t r t 2 cos
t t0 0 322
ti 2 ti 2 sin
tj tj tk, tk,
2 cos
32 sin
10.
t0 t 2 2 0 0 2 222
33
10.rrrtstdt 5tititi1t ttj22jj12k,
k,
k,
t
5
2
10.
223
00
2 2 23 3 k, t t
10. 10.
r10.t rrrtt tti ti
2 t0 t0 02 2
10.
titit j tt 2tjj 2j k, 322k,
k,
22
0
InInExercises
11–22,
find
r
t
Exercises 11–22, find r .t .
En
los
ejercicios
11
afind
22,
Exercises
11–22,
find
In
11–22,
In Exercises
11–22,
find
r trrhallar
.r tt t.. . r9 xtc.
3i 11–22,
InInExercises
Exercises
find
11.
12.
t it i 1 1 t3 t3j j
r
t
t
3tj
3
11. r t
12.r rt t
t i 3tj
3
3
3
3
i t,3tj
3tj
11.
12.
3tj
t tii i1t, 1121t3sen
11.13.
12.14.
r12.t rrt t t it cos
r11.t rrt tt i t3ti 3tj
jtt33t tjj j
11.
12.
13.rrrt tt 2t 2icos
14.rrrt tt
cos t,5 5sen
sent t
tt cos
t, 2 sen
t
3k
t,j552 5sen
13.
22cos
cos
t,2sen
sen
t3t 14. 14.
tt tcos
22sen
sen
13.15.
r13.trrrtrtt t 26ti
cos
t,cos
5 t,
tsen
r14.t rrrtt t t cos
t,cost,
2t, sen
tsentt t
7t
t
13.
14.
2
t
cos
t,
2
15. r t
6ti 7t j t k
3k
6ti7t 2j7t
6ti
7t7t22jj2tj3 kttt233tk
15. 15.
r15.
t rrrtt t6ti16ti
2
15.
1i 16tj
tkk
16.
r
t
2
16. r t 1 t 11 i 16tjt 2 2t 2t 2k
i 16tj
16tj kt2 k
16.
kk
16. 16.
r16.t rrrtt t i 1ttii 16tj
t a ttcos 3 t316tj
2 2223 tj
17.
r
t
i
17. r t
a cos t i a asen
sen3 tj k k
3 tj 2
33
3 cos
3 sen
17.
aacos
at ajsen
tj k
kk
17.18.
r17.t rrt ta cos
tj 33 tj
t titi 3i tt iittai2tsen
2a
17.
sen
18.rrrt tt 4a4cos
t j ln
lnt tk2kk
2
2
2
2
2 lnt 2tkk
j tln
18.
tt tjjtln
18.19.
r18.t rrt t4 4t4ti t ti ti2 tt 2tt j 5te
k
18.
19.rrrt tt e4e ittii 4j4j
5tekt kln t k
ti
tk
t
t
t
t
3
19.
r
t
e
4j
5te
19.
4j 5te 3t
5te
k
19.20.
r t r t e ei t ii 4j3t,4j
k tk
19.
20.rrrt tt te ,t3cos
, cos 3t,sen
sen5te
3t
3
3 t3
r
t
t
20.
,
cos
3t,
sen
3t
20.
r
t
,
cos
3t,
sen
3t
3
r
t
t
20.21.
,
cos
3t,
sen
3t
t, t,t3t,
cos
t, t,t3tt
20.
cos
sen
21.rrrt tt t tsen
t ,sen
t cos
tcos
21.
tt tsen
sen
t,t,t,ttarccos
cos
t,t,ttt,t 0
21.22.
r21.trrrtrtt t t sen
t,sen
t cos
t,cos
t t,
arcsen
21.
t,
arcsen t, arccos
t, 0
22. r t
arcsen
arccos
arcsen
t,t,arccos
arccos
t,t,000
r22.t rrrtt t arcsen
t, arccos
t, 0 t,
22. 22.
arcsen
t,
22.
InInExercises
Exercises23–30,
23–30,find
find(a)(a)r rt ,t (b)
, (b)r r t ,t and
, and(c)(c)r rt t r r t .t .
In
Exercises
23–30,
find
(a)
(b)
r
t
,
r
t
r. 0(t).
In
Exercises
23–30,
find
(a)
(b)
and
r
t
,
r
t
,
tt t.. .
In Exercises
23–30,
find
(a)
(b)
and
(c)
r
t
,
r
t
,
rt ?trrr0
1 23
3 23–30,
2 afind
In Exercises
and
(c)
r t a)
, (b)
r b)
t , ,r0
0and
r99(t),
(t) (c)
yr(c)
c)trrrr99tt(t)
En
los ejercicios
30, (a)
hallar
23.
23.r rt t t ti 3i 2t1121tj2 j
3
2
23.
23.24.
r23.t rrt tt 3i t233ti 1i t 2 j1t 22tj j 2
23.
24.rrrt tt tt ti22 t 22itt2 ij t t 2 t jt j
2
2
24.
t 22t 2t j t tj j
r24.t rrt t t 2 tt 2t t ititt tii it42 sen
24.25.
24.
25.rrrt tt 4 4cos
cos ti 4tsentjtjt j
sentjtj
25.
44cos
44sen
25.26.
r25.t rrt t4 cos
ticostiti4 sen
tj
25.
cos
sen
cost itit i 343sen
26.rrrt tt 848cos
sentjtjtj
1 828cos
sentjtj
26.
313sen
r26.t rrt t8 cos
i tttjiit 3i sen
26.27.
1 it2cos
13tj
26.
i tj 36t1sen
tk3ktj
27.rrrt tt 2 81t21tcos
1 2 1 2t 2 i
1 3 1613t 3k
r
t
tj
27.
27.
r t r t t i t 2 i tj tj t k t 3k
27.28.
27.
28.rrrt tt 2 ti22ti2t i 2t2ttj 6 3 3j66t6j k 3t3t 5 5k k
2t3 j 333t,
5k
k
j j3t 3t
28.
r28.t rrt tti ti
2tt 2t
28.29.
28.
titicos
3tt3t5t kt55cos
t2t t sen
t senj t,sen
sen
t kcost, t,t t
29.rrrt tt cos
t
2
r
t
cos
t
t
sen
t,
sen
t
t
cos
29.
tt sen
t,
tt cos
29.
r t r t coscos
t t t sen
t tt t cos
t, t t,
29.30.
tt,tsen
29.
sen
t, sen
sen
cos
t,t,tt t
30.rrrt tt ecos
e , tt,t t, 2tan
, tan
t
2
t
2
,tt 2t,, ,tan
30. 30.
r30.t rrrtt t e t,eete2t,,, tan
ttantt t
30.
tan
InInExercises
3131and
32, a avector-valued
function and
itsitsgraph
and
graph
EnExercises
los ejercicios
3132,
y 32vector-valued
se dan una function
función and
vectorial
y su
are
given.
The
graph
also
shows
the
unit
vectors
rgraph
t0 t
r
t
In
Exercises
31
and
32,
a
vector-valued
function
and
In
Exercises
31
and
32,
a
vector-valued
function
and
its
In Exercises
31The
and
32, 32,
atambién
vector-valued
andand
its
are
given.La
graph
also
shows
thefunction
unit
rgraph
r 0graph
t0/its
In
Exercises
31
and
a vector-valued
function
its
graph
gráfica.
gráfica
muestra
losvectors
vectores
unitarios
/
0
and
Find
these
two
unit
vectors
and
t0 t graph
. graph
t / rThe
arergiven.
given.
also
shows
the
unit
vectors
rthem
are
the
unit
vectors
rr0 unitatt0t0
are
graph
shows
the
unit
vectors
ridentify
trr0 r/ tt00rt0// t/them
and
these
unit
vectors
and
identify
rThe
are
also
shows
the
unit
vectors
estos
dos
vectores
rgiven.
9 xt0given.
cr/ 0 tThe
r09 x/tThe
r.0Find
xalso
t0c/also
r0 xshows
t0ctwo
. Hallar
0ygraph
0
0c
on
and
Find
these
two
unit
vectors
and
identify
them
t0/ /trr .t0tFind
and
these
vectors
identify
them
ttgraph.
and
these
twotwo
unitunit
vectors
andand
identify
them
rthe
trr0ergraph.
0 . .Find
0r
on
the
/identificarlos
and
these
two
unit
vectors
and
identify
them
rios
en la
gráfica.
0 / r0 t0 . Find
onthe
thegraph.
graph.
on
the
graph.
on on
the
graph.
1
2
31.
2
4 1
31.r rt t cos
cos t it i sen
sen t jt j t tk,
k, t0 t0
2
1 1141
3 cos
122t k,
2t ti sen
t t j t tj tj 2 k,
31.
t
r
t
cos
i
sen
k,
31.
t
r
t
sen
t
31.32.
t
r
t
cos
t
i
3
1
0
ti ti t ttj2ij esen
31.
32.rrrt tt 2 cos
e kt ,k ,t tj0 t t4 k,0 t00 4 44 4
3 3323 ti2 z 2t 2j t e t t k , t01 1141
z
32.
r
t
32.
ti t j tt 2zjj e eek ,t k
k t,,0 tt0 04 4 4
32. 32.
r t rr tt 2 ti 2 2ti
z
||
||
||
2
1
1
0
zz z
z
1
||
1
11
1
1
1
1 1
x Figure
1
for 31
1
1
1
1
1
y
y
y
yy y
4
z zz z
2
2
2
2 2
2
1
1
1
1 1
1
1
1
2
1
12 1
1
2
2
2 2
x
2
2
y
2
2y
2
2
y
y
yy
1
Figure
Figure for 31
Figurefor
for3232
Figura
para
Figura
para
Figure
for31
3131
Figure
for32
3232
Figure
for
31
Figure
for
32
Figure
for for
31
Figure
for for
32
Figure
Figure
InInExercises
33–42,
find
the
open
interval(s)
on
which
the
Exercises
33–42,
the
openelinterval(s)
on which
thecurve
curve
En
los
ejercicios
33 find
afind
42,the
hallar
(los)
intervalo(s)
abierto(s)
en
byby
the
vector-valued
function
is
smooth.
InExercises
Exercises
33–42,
find
the
open
interval(s)
onwhich
which
thecurve
curve
In
Exercises
33–42,
open
interval(s)
on
which
the
curve
Ingiven
Exercises
33–42,
findfind
thethe
open
interval(s)
on which
thethe
curve
given
the
vector-valued
function
is
smooth.
In
33–42,
open
interval(s)
on
que
la
curva
dada
por
la
función
vectorial
es
suave.
given
by
the
vector-valued
function
is
smooth.
given
by
the
vector-valued
function
is
smooth.
given
by by
thethe
vector-valued
function
is smooth.
given
vector-valued
function
is smooth.
11
2
3
33.
34.
33.r rt st d 5t ti2 i 1t tj3j
34.r rt st d 51t 11 i i 13tj3tj
2
3
1i 1 i 3tj
t2
i 3tj
3tj
34.
33. 33.
r33.t rrrtt tt 2 i tt 22t ii ti3j3 tt 33tjj j
r34.t rrrtt t
3 j34. 34.
33.
35.
r
2 cos 33 i i 3 3sinsin
3
t tt 1t 111i 3tj
35.
cos3 3u i 1 33sen
sin333ujj
35. rr sud 5 22 3cos
cos
35.
222cos
333sin
jj j
35.36.
r35.rrrr 2 cos
i3 ii 3i i sin
j3 cos
sin
1sin
j
35.
cos
sin
36.
sen
sin udii 1 s11 2 cos
cos udjj
36. rr sud 5 su 1 sin
36.
r
sin
i
1
cos
36.
r
sin
i
1
cos
36.37.
r rr
sin2sin
i i i 1 11coscos
sin
2 jcosjj j j j
36.
37.
sen udii 1 s11 2 22 cos
sin
cos udj
37. rr sud 5 su 2 22 sin
2
sin
cos
222sin
222cos
37. 37.
r37. rrr
2 sin
i 2tii i122 1112 cos
j jj j
1
2t2t
37.
sin
cos
2t
38.
r rt t t t 1 1i i 1j j t 2tk2k
rt
2t3 i i 2 2t232 j j 39.
38.
39.
2t
2t
8
t
t
i
1
j
38. rr sttd 582t8 2t
2t
2
3
3
1 t 11
1 tt 33ii i 2t 882t
1 tt 33jj j39. 39.
38.
39.
k2k
38. 38.
r39.t rrrtt t t tt 1t i 111ii i j 1ttjj tj2k tt 22tk
r38.t rrrtt t t 882t
3 i t3
3 j t3
t
8
t
t
8
tt tk
8
3
3
8
t
t tan
8
t
40.
41.
r
t
e
r
t
ti
3tj
i
e
j
3tk
t
t
8
t
8
t
40. r t
41. r t
e i e j 1 3tk 2
tit 3tj2t tan tk
t
j3tk
2 t 1k
i 23tj
e tan
j1
3tk
39.
40.
3tj
tan
j 3tk
40.
41.
tieti3tj
tan
tktk
jt 3tk
40.42.
41.
r40.
t rrrst ttdet5
r41.t rrrrstttdtti5 ti
tk
i estteti ei2 t 1ej editt21
1 41.
40.
3tj
tan
tk
42.rrrt t t e ti it i e t jt 2 t13tk
1j j 4tk
tk
41
1
2
1
2
2 t 2t1 j 11j j tk 1 tk
42.
tk
r
t
t
i
r
t
t
i
42. 42.
r
t
t
i
t
4
41. rr sttd 5 ti t2i 3tj t1 tan
42.
1 tk
j 4 44tk
InInExercises
4343and
44,
use
the
properties of the derivative to
1 properties of the derivative to
Exercises
and
use
the
2 44,
!
r
s
t
d
5
t
i
1
s
t
2
1
d
j
1
42.
4 tk
the
following.
In
Exercises
43
and
44,
use
the
properties
thederivative
derivative
In
Exercises
43
and
44,
use
the
of
Infind
Exercises
43
and
44,
use
the
properties
of the
derivative
to to
find
the following.
In
Exercises
43 and 44, use the properties
properties
ofofthe
the
derivative
toto
find
the
following.
the
following.
findfind
the
following.
Enr los
usar las propiedades
derivada
find
the ejercicios
following. 43(b)y 44,
(a)
(c)(c)DtD[r[rt tdeula
(a)
(b)r rt t
rtencontrar
t
ut ]t ]
t
para
lo siguiente.
(a)
(b)
(c)
r
t
r
t
D
[
r
t
u
t] ]
(a)
(b)
(c)
r
t
r
t
D
[
r
t
u
t
(a)(d)
(c) (c)
r t t t
r t
D [rt [ttt[rtr ttu],t u] tt >
u ut ]t(b)
(a)
(b)
(d)DrtD[3r
(e)DrtD[rt [trt t u ut ]t ] (f)
(f)tDD
] (e)
Dt [ r t ], t] >0 0
tt[c3r t
a)
b)
c)
r
9
x
r
0
x
t
c
D
[
r(t
c
u
x
t
c]
(d)
(e) DD[r[rt t u]utt t]](f)
[3rtt tu t u
] (f)
D
]] ] (e)
(d) (d)
D
[3r
D(f)[ D
rDt [t [r]r,t t?]t,],> t 0t>>00
t [[tt3r
2Dt [rDttt[tr t u t u
(d)
DtD
u]utt t(e)
tr
t 3r ti
43.
3tj
t(e)
k,2 u t
4ti t 2(f)
j 2t Dttt3[tk3r t ], t > 0
43.
d) Drt [t3rxtc ti2 ux3tj
tc] e)t2 2k,Dt [ruxtct 3 u4ti
x
tc] t2f)2j Dt [t3 3krxt) ] , t > 0
3tjt 2k,t 2tk,k,
t4ti 4ti
4tit 2j t 2tj tj3k t 3tkk
43.
uutttk,
43.44.
r43.t rrt tti titi3tj 3tj
u tu
43.
44.rrrt tt tititi 23tj
2sinsintjtjt 2k,2 2cos
cos tk, 4ti t 2j t 3k
43.
ti 1 23tj
1tjtjt2 k,
ucos
stdtk,
5 4ti 1 t j 1 t k
tk,
222cos
44. 44.
r44.t rrrrsttttdti51ti
tjsin
tk,
44.
ti1ti2 sin
22sin
sin
tj cos
cos
tk,
sin
cos
tk,
44.u urt std15t 1tii1 i1 222sin
sen
sintjtjtj1 222cos
costk
tk
1t
costk
222sin
222cos
u tu
tjsintj
tk
uutt t t i t1tii 2i sin
sin
tjtj2 cos
cos
tktk
uExercises
std 5 t i 14545
2 sen
sin
tj 146,
246,
cosfind
tk
InIn Exercises
and
t t u ut ]t ] and
t [r[r
and
find (a)
(a) DD
and
t
t
in
two
different
ways.
r
t
u
t
D
[
]
[
In
Exercises
45
and
46,
find
(a)
and
D
[
]] ] and
In
Exercises
45
and
46,
find
(a)
D
r
t
[
In(b)
Exercises
45
and
46,
find
(a)
D
r
t
t
t
(b) DExercises
ways.(a) t Dt [rrttut t u
u t 45
] in two
In
anddifferent
46, find
and
u]utt tand
t [r t
a)ways.
D
[rxtc ? uxtc] y b) Dt[rxtc 3 uxtc]
En
los
ejercicios
45
ytwo
46,different
hallar
(b)
in
two
different
ways.
r
t
u
t
D
[
]
(b)
in
two
different
ways.
r
t
u
t
D
[
]
t
(b)(i)
in
two
different
ways.
r
t
u
t
D
[
]
t
t
Find
the
product
first,
then
differentiate.
(b)
in
r
t
u
t
D
[
]
t
t
(i)
Find
the product
first, then differentiate.
en
dos
diferentes
formas.
(i)Apply
Find
theproduct
product
first,
then
differentiate.
Find
first,
then
differentiate.
(i)(ii)(i)
Find
thethe
product
first,
then
differentiate.
the
properties
ofofTheorem
12.2.
(i)
Find
the
product
first,
then
differentiate.
(ii)
Apply the
properties
Theorem
12.2.
i)
Hallar
primero
el
producto
y
luego
derivar.
(ii)
Apply
the
properties
of
Theorem
12.2.
Apply
the
properties
of
Theorem
12.2.
(ii) (ii)
Apply
the
properties
of
Theorem
12.2.
2
3
4 12.2.
(ii)
Apply
the
properties
of
Theorem
45.
r
t
ti
2t
j
t
k,
k
u
t
t
2
3
4
ii)
Aplicar
las
propiedades
del
teorema
45. r t
ti 2t j t k, u t
t k 12.2.
4
2 2 j3 3t 3k,
2 2t
4 t4
45.
r
t
ti
2t
u
t
45.
r
t
ti
j
t
u
t
22sin
33k,u t tk,
4t4kk
45.46.
r
t
ti
2t
j
t
k,
k
t
r
t
cos
t
i
t
j
u
t
45.
r
t
ti
2t
j
t
k,
u
t
t
45. rrsttd 5 cos
ti 1t i2t j sin
1 tt jk, t uk,std 5
46.
u tt kkj j tktk
i 1 sin
sin
tk,
k,
j 1 tk
tk
46. 46.
r46.t rrrrsttttdcos
tcos
i tttiitisin
tsen
j tttjjtjtj k,
u tu
46.
5 cos
cos
sin
1 tttk,
tk
46.
cos
sin
k,
uuusttttdj 5 jjjtk
tk
InInExercises
Exercises4747and
and48,
48,find
findthe
theangle
angle between
betweenr rt tand
andr rt tasas
function
of
Use
a
graphing
utility
to
graph
t.
.trand
In
Exercises
47
and
48,
find
the
angle
between
r
t
rasthe
In
Exercises
47
and
48,
find
the
angle
between
and
as
r
t
tt tfunEn
los
ejercicios
47
y
hallar
el
ángulo
entre
y
u
r
x
t
c
InaExercises
47
and
48,
find
the
angle
between
and
r
t
r9Use
tcrren
a function
Use48,
a find
graphing
utilitybetween
to graph
the
.xtUse
In
Exercisesof
47t.and
the angle
asas
r t and
to
find
any
extrema
of
the
function.
Find
any
values
of
t t
afunction
function
of
Use
a
graphing
utility
to
graph
Use
the
t.
t
.
aagraph
of
Use
a
graphing
utility
to
graph
Use
the
t.
t
.
ción
de
t.
Usar
una
herramienta
de
graficación
para
representar
a graph
function
of
Use
a
graphing
utility
to
graph
Use
the
t.
t
.
to find
extrema
of theutility
function.
Find anyt values
of
function
of t.any
Use
a graphing
to graph
. Use the
atgraph
which
the
are
find
any
extrema
the
function.
Find
any
values
graph
toto
find
any
extrema
ofofthe
the
function.
Find
any
values
ofoftt t
lavectors
gráfica
para
hallar
todos
losFind
extremos
devalues
la función.
ugraph
xtwhich
cto. Usar
graph
find
any
extrema
oforthogonal.
the
function.
anyany
values
of tof
at
the
vectors
areorthogonal.
to
find
any
extrema
of
function.
Find
atwhich
which
thevectors
vectors
arede
orthogonal.
at
the
orthogonal.
Hallar
todos
los
valores
t en que los vectores
son ortogonales.
at which
the
vectors
areare
orthogonal.
2
at
which
the
vectors
are
orthogonal.
47.
costjtj 48.
47.r rt t 3 3sinsinti ti 4 4cos
48.r rt t t it 2i tjtj
2
2
2
2
sinti
ii 1tj
3333sin
4444cos
47.
48.
cos
sen
t rrrrtt sttd i5tt 2tiit tj
r47.t rrrrsttttd35
sin
tisin
cos
tjcostj
47. 47.
r48.
sin
tititi41
cos
tjtjtj 48. 48.
tjtjtj
47.
48.
|| ||
1053714_1202.qxp 10/27/08 11:48 AM Page 849
12-2.qxd 3/12/09 18:10 Page 849
1053714_1202.qxp 10/27/08 11:48 AM Page 849
SECCIÓN
12.2
Derivación
e integración
de funcionesFunctions
vectoriales
12.2
Differentiation
and Integration
of Vector-Valued
849
849
12.2
849
Differentiation and Integration of Vector-Valued Functions
In Exercises
49–49
52,ause
of the
to para
find
En
los ejercicios
52, the
usardefinition
la definición
dederivative
la derivada
r9 xtc. r9 xtc.
hallar
In Exercises 49– 52, use the definition of the derivative to find
5 ss3t
3t 1
1 22ddii 1
1 ss11 2
2 tt22ddjj 50. r std 5 !t i 1 3 j 2 2tk
r49.
9 xtcr.rssttdd 5
49.
t
3
49.
5 kts!
3t
1
2di 1
2 t 2dj 52. rstd 5 k0, sin
2,t0,
i1
j 2s12tk
50. rrssttdd 5
2tl
t,
4tl
51.
sen
t
3
i 12tl j 2 2tk
50.
kt2t, 0,
51. r std 5 !
52. rstd 5 k0, sin t, 4tl
En los ejercicios 53ta 60, hallar la integral indefinida.
E
EEE1
EEE311
EEE 33
EEE1
E1
E1
E
EEE
E
E
E
EE
E
E
EE 1
EE 1
E1
rstd 5 kt253–
, 0, 2tl
5 k0, sin t, 4tl
51.
52. rstdintegral.
In Exercises
60, find the indefinite
s2ti 1 j 1 kd dt
53.
54.
s4t 3 i 1 6tj 2 4!t kd dt
In Exercises 53– 60, find the indefinite integral.
s12ti 1 j 1 kd dt
53.
54.
s4t 3 i 1 6tj
1 2 4!t kd dt
i 1 j 2 t 3y2 k dt
ln ti 1 j 1 k dt
55.
56.
t 1 j 1 kd dt
t
s2ti
53.
54.
s4t 3 i 1 6tj
1 2 4!t kd dt
1
ln ti 1 j 1 k dt
i 1 j 2 t 3y2 k dt
55.
56.
t
t 2 1di 1 4t 3j 1 3!t k dt
s12t
57.
1
ln ti 1 j 1 k dt
i 1 j 2 t 3y2 k3 dt
55.
56.
t
st2t 2 1di 1 4t j 1 3!t k dt
57.
set i 1 sen
sin tj 1 cos tkd dt
58.
s2t 2 1di 1 4t 3j 1 3!t k dt
57.
set i 1 sin tj 11 cos tkd dt
58.
sec2 ti 1
j dt
se2t sen
sin ti 1 e2t cos tjd dt
59.
60.
1tj11t 2cos tkd dt
set i 1
sin
58.
1
sec2 ti 1
j dt
se2t sin ti 1 e2t cos tjd dt
59.
60.
1 1 t2
En los ejercicios 61 1a 66, evaluar la integral definida.
sec2 ti 1
j dt
se2t sin ti 1 e2t cos tjd dt
59.
60.
1
1
t2
In Exercises
61– 166,1evaluate
the definite
integral.
s8ti 1 tj 2 kd dt
61.
62.
sti 1 t 3j 1 !3 t kd dt
1
01
21
In Exercises 61– 66, evaluate the definite integral.
61. py2s8ti 1 tj 2 kd dt
62.
sti 1 t 3j 1 !3 t kd dt
1
sin td j 1 kg dt21
63. 01 fsa cos td i 1 sa sen
s8ti 1 tj 2 kd dt
61. 0 py2
62.
sti 1 t 3j 1 !3 t kd dt
63. 0 fsa cos td i 1 sa sin td j 1 kg dt21
64.
63.
64.
py4
0py2
py4
0
0
02py4
65.
64.
65.
2
00
02
2
2
2
2
2
2
4
4
4
2
2
2
E
E
E
E
E
E
fsfssec
t tan
di 1
tanttddjj 1
1 ks2g dt
sin t cos tdkg dt
sen
a cos
td i t1
sa ssin
fssec t tan tdi 1 stan tdj 1 s2 sin t cos tdkg dt
EE
E
3
sti fs1sec
et jt tan
2 tetdtik1
d dtstan tdj 166.s2 sin
i 1 ttd2kji
dt
3 it
t cos
g dt
sti 1 et j 2 te t kd dt
66. 0 it i 1 t 2 ji dt
03
xtc paraitlas
En
67 te
a t72,
dadas.
sti 1 et j 2
kd dthallar r66.
i 1condiciones
t 2 ji dt
65. los ejercicios
In Exercises
67– 72, find rxtc for the given
conditions.
0
0
2t i 1 3et j,
rr99ssttdd 5
67.
2t i 1 3et j, rrss00dd 5
5 4e
4e67–
5 2i
2i given conditions.
67.Exercises
In
72, find rxtc for
the
22
!
r
9
s
t
d
5
3t
j
1
6
t
k,
r
s
0
d
5
68.
1 2j
2j
68. r9 std 5 3t j 1 6!t k, r s0d 5 ii 1
67. r9 std 5 4e2t i 1 3et j, rs0d 5 2i
!
!
r
9
s
0
d
5
600
3i
1
600j,
rrss00dd 5
69.
5 232j,
232j,
r
9
s
0
d
5
600
3i
1
600j,
5 00
69. rr00ssttdd 5
68. r9 std 5 3t 2 j 1 6!t k, r s0d 5 i 1 2j
24cos
costjtj 2
2 3sen
sintk,
tk, rr99ss00dd 5
5 3k,
3k, rrss00dd 5
5 4j
70. r0 std 5 24
sin
70.
rs0d 5 0 4 j
5 232j,
r9 s0d3 5
600!3i
1 600j,
69. rr00ssttdd 5
1
2t22
2t
1
r
r
9
s
t
d
5
te
i
2
e
j
1
k,
s
0
d
5
i
2
j
1
k
71.
2t
icos
2 tj
e2t2j 31sin
k, tk,r s0rd95
j1k
71.
r s0d 5 4 j
5 te24
s0d22i523k,
70. rr90ssttdd 5
12
1
1
1
2t
2t
e 12j j11k,
i2
71.
1d 25
2i j 1 k
1 k,r s0rds5
72. r9 std 5 te 1 i 22i 1
72. r9 std 5 1 1 t2 i 1 t2 j 1 t k, rs1d 5 2i
1 11 t
t1
t1
i 1 2 j 1 k, rs1d 5 2i
72. r9 std 5
2
W R I T I N G1 1A Bt O U Tt C O NtC E P T S
73. State the definition of the derivative of a vector-valued
WRITING ABO
U Tconceptos
CONCEPTS
Desarrollo
de
function. Describe how to find the derivative of a vector-
73. State
definition
of the
derivative interpretation.
of a vector-valued
valuedthe
function
anddegive
geometric
73. Definir
la
derivada
una its
función
vectorial. Describir cómo
function. Describe how to find the derivative of a vectorla you
derivada
de integral
una función
vectorial y dar
su inter74. hallar
How do
find the
of a vector-valued
function?
valued function and give its geometric interpretation.
pretación geométrica.
75. The three components of the derivative of the vector-valued
74. How do you find the integral of a vector-valued function?
74. ¿Cómo
la integral
una función
vectorial?
. Describe
functionseuencuentra
are positive
at t 5 t0de
the behavior
of u
75. The
three components of the derivative of the vector-valued
at t 5
75. Las
trest0.componentes de la derivada de la función vectofunction u are positive at t 5 t0. Describe the behavior of u
positivas of
en the
t 5 derivative
t0. Describir
76. rial
Theu z-son
component
of elthecomportamiento
vector-valued
at t 5 t0.
de
u en t 5
t0. 0 for t in the domain of the function. What
function
u is
76. The
zcomponent
of the derivative
of
the of
vector-valued
does
this
information
about
graph
u?
76. La
componente
z de laimply
derivada
de the
la función
vectorial
u es
function u is 0 for t in the domain of the function. What
0 para t en el dominio de la función. ¿Qué implica esta infordoes this information imply about the graph of u?
mación acerca de la gráfica de u?
In
77–84,
the property.
In each case,
assume
En Exercises
los ejercicios
77 aprove
84, demostrar
la propiedad.
En todos
los
r,
u, and
v are differentiable
vector-valued
functions derivables
of t in space,
casos,
suponer
que r, u y v son
funciones vectoriales
de
In
77–84,
prove
property.
each
case,
assume
w
isExercises
a differentiable
real-valued
function
andcces
is un
a scalar.
t, que
w es una
función
real the
derivable
de of
t,In
yt,que
escalar.
r, u, and v are differentiable vector-valued functions of t in space,
fcrstdg 5 cr9 stdreal-valued function of t, and c is a scalar.
77.is D
w
a tdifferentiable
78. D frstd ± ustdg 5 r9 std ± u9 std
77. Dttfcrstdg 5 cr9 std
79. D fw stdrstdg 5 w stdr9 std 1 w9stdrstd
78. Dttfrstd ± ustdg 5 r9 std ± u9 std
80. D fr std 3 ustdg 5 r std 3 u9 std 1 r9 std 3 ustd
79. Dttfw stdrstdg 5 w stdr9 std 1 w9stdrstd
81. D frsw stddg 5 r9 sw stddw9std
80. Dttfr std 3 ustdg 5 r std 3 u9 std 1 r9 std 3 ustd
82. D fr std 3 r9 stdg 5 r std 3 r0 std
81. Dttfrsw stddg 5 r9 sw stddw9std
83. D Hr std ? fustd 3 vstdgJ 5 r9 std ? fustd 3 v stdg 1
r9 stdg 5 r std 3 r0 std
82. Dttfr std 3
r std fu9 std 3 v stdg 1 r std fustd 3 v9 stdg
83. Dt Hr?std ? fustd 3 vstdgJ 5 r9?std ? fustd 3 v stdg 1
r std r std is a constant,
0.
84. If
then r std ? r9 strdst5
constante,
rSistdr stdf?u?9 rstsdtd3esv suna
tdg 1
r std fusentonces
td 3 v9 stdg d ? r9 std 5 0.
?
?
85. If
Movimiento
partícula
se mueve
r std ? rMotion
std isdea una
d ? in
r9partícula
sthe
td 5xy0.-plane
r stUna
84.
constant,
thenmoves
85.
Particle
A particle
alongen
theel
plano xy represented
a lo largo de laby
curvathe
representada
por la función
veccurve
vector-valued
function
st 2
sin
t1di 2
1 cos
s1 moves
2
dj.the xy-plane along the
85. Particle
A sparticle
rtorial
std 5rssttdMotion
25sin
tdi sen
1
tdj.cos tin
curve
represented
by
the
vector-valued
functionr.
a) Usar
herramienta
graficación
paratherepresentar
r. Describe
(a)
Use auna
graphing
utility todegraph
curve.
rstdDescribir
5 st 2 sin
t
d
i
1
s
1
2
cos
t
d
j.
la curva.
(b) Find the minimum and maximum values of ir9 i and ir0 i.
r. Describe
(a)
Use a graphing
utility
to graph
curve.
b) Hallar
los valores
mínimo
y máximo
de ir9 ithe
y ir
0 i.
86. Particle Motion A particle moves in the yz-plane along the
ir
9
i
0 i.
(b)
Find
the
minimum
and
maximum
values
of
and iren
86. curve
Movimiento
de una partícula
partícula se mueve
represented
by theUnavector-valued
functionel
plano
yz
a
lo
largo
de
la
curva
representada
por
la
función
vecyz
86. rParticle
Motion
A
particle
moves
in
the
-plane
along
the
std 5 s2 cos tdj 1 s3 sin tdk.
sen
torial rstdrepresented
5 s2 cos tdj 1bys3 sin
tdk. vector-valued function
curve
the
(a) Describe the curve.
5 s2 cos la
tdjcurva.
1 s3 sin tdk.
ra)stdDescribir
(b) Find the minimum and maximum values of ir9 i and ir0 i.
(a)
Describe
the
curve.
b) Hallar los valores
mínimo y máximo de ir9 i y ir0 i.
87. Consider the vector-valued function
(b)
Find
the
minimum
and maximum values of ir9 i and ir0 i.
87. Considerar
la función vectorial
rstd 5 set sin tdi 1 set cos tdj.
87. Consider t the vector-valued
function
rstd 5 se sen
sin tdi 1 set cos tdj.
t
t
rstdtdand
d aretdj.
always perpendicular to each other.
rShow
std 5 that
se sin
i 1 rse0stcos
Mostrar que rstd y r0std son siempre perpendiculares a cada uno.
that
C AShow
PSTO
N Erstd and r0std are always perpendicular to each other.
Para
discusiónConsider the vector-valued function
C88.
A PInvestigation
STONE
2
r std 5 ti 1 s4 2 t dj.
88. Investigation
Investigación Considerar
vectorial r(t)
5 ti 1
88.
Consider la
thefunción
vector-valued
function
2)j. the graph
(a) Sketch
of rstd. Use a graphing utility to verify
r(4std25t ti
1 s4 2 t 2dj.
your graph.
a) Trazar
Usara una
herramienta
grafistd. Use
(a)
Sketch la
thegráfica
graph de
of rr(t).
graphing
utility todeverify
(b) cación
Sketchpara
the vectors
1d,gráfica.
r s1.25d, and r s1.25d 2 r s1d on
verificarr ssu
your graph.
the graph in part (a).
b) Trazar
r(1.25)
2 dr(1)
(b)
Sketchlos
thevectores
vectors r(1),
r s1d, r(1.25)
r s1.25d,yand
r s1.25
2 rsobre
s1d onla
r9 (1d with the vector
(c) gráfica
Compare
vectora).
en the
el inciso
the graph
in
part (a).
1d . r9(1) con el vector
r s1.25d 2elr svector
c) Comparar
(c)
Compare the
vector r9 (1d with the vector
1.25 2 1
r s1.25d 2 r s1d .
1.25 2 1
True or False? In Exercises 89–92, determine whether the
statement
or false.
If ejercicios
it is false, 89
explain
why or givesianla
¿Verdaderoisotrue
falso?
En los
a 92, determinar
True
or False?
In itExercises
89–92,
whether
theo
example
thatesshows
is false.
declaración
verdadera
o falsa.
Si es determine
falsa, explicar
por qué
statement
is trueque
or muestre
false. If que
it is es
false,
explain why or give an
dar un ejemplo
falsa.
89. If a particle
moves
example
that shows
it isalong
false.a sphere centered at the origin, then
89. its
Si una
partícula
se mueve
a lo tangent
largo detouna
centrada en el
derivative
vector
is always
theesfera
sphere.
89. If
a particle
movessualong
a sphere
centered
at thetangente
origin, then
origen,
entonces
vector
derivada
es
siempre
a la
90. The definite integral of a vector-valued function is a real number.
its
derivative vector is always tangent to the sphere.
esfera.
d
90.
definite
integral
vector-valued
functionesisun
a real
number.
stdig 5definida
ir9stdi of
91.
90. The
Lafir
integral
deauna
función vectorial
número
real.
dt
dd
ssttddiiggu5
ir
ssttddii
91.
92.
If ffrir
vector-valued functions of t, then
91. dt
irand
5are
ir99differentiable
dt frstd ustdg 5 r9std u9std.
D
?
?
t
92.
are differentiable
vector-valued
functions
t, then
Si rrand
y uu son
funciones vectoriales
derivables
de t,ofentonces
92. If
D
Dttffrrssttdd ?? uussttdg
dg 5
5 rr99ssttdd ?? uu99ssttdd..
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CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
12.3 Velocidad y aceleración
n
n
Describir la velocidad y la aceleración relacionadas con una función vectorial.
Usar una función vectorial para analizar el movimiento de un proyectil.
Velocidad y aceleración
EXPLORACIÓN
Exploración de velocidad
Considérese el círculo dado por
rstd 5 scos vtdi 1 ssin
sen vtdj.
Usar una herramienta de graficación
en modo paramétrico para representar este círculo para varios valores de w . ¿Cómo afecta w a la
velocidad del punto final cuando se
traza la curva? Para un valor dado
de w , ¿parece ser constante la
velocidad? ¿Parece ser constante la
aceleración? Explicar el razonamiento.
2
Ahora se combina el estudio de ecuaciones paramétricas, curvas, vectores y funciones vectoriales a fin de formular un modelo para el movimiento a lo largo de una curva. Se
empezará por ver el movimiento de un objeto en el plano. (El movimiento de un objeto en
el espacio puede desarrollarse de manera similar.)
Conforme un objeto se mueve a lo largo de una curva en el plano, la coordenada x y
la coordenada y de su centro de masa es cada una función del tiempo t. En lugar de utilizar
ƒ y g para representar estas dos funciones, es conveniente escribir x 5 xstd y y 5 ystd. Por
tanto, el vector de posición rstd toma la forma
rstd 5 xstdi 1 ystdj.
Vector de posición.
Lo mejor de este modelo vectorial para representar movimiento es que se pueden usar la
primera y la segunda derivadas de la función vectorial r para hallar la velocidad y la aceleración del objeto. (Hay que recordar del capítulo anterior que la velocidad y
la aceleración son cantidades vectoriales que tienen magnitud y dirección.) Para
hallar los vectores velocidad y aceleración en un instante dado t, considérese un punto
Qsxst 1 Dtd, yst 1 Dtdd que se aproxima al punto Psxstd, ystdd a lo largo de la curva C dada
por rstd 5 xstdi 1 ystdj, como se muestra en la figura 12.11. A medida que Dt → 0, la
dirección del vector PQ (denotado por Dr) se aproxima a la dirección del movimiento en
el instante t.
\
−3
3
Dr 5 rst 1 Dtd 2 rstd
Dr rst 1 Dtd 2 rstd
5
Dt
Dt
Dr
rst 1 Dtd 2 rstd
lim
5 lim
lím
lím
Dt→0 Dt
Dt→0
Dt
−2
Si este límite existe, se define como el vector velocidad o el vector tangente a la curva
en el punto de P. Nótese que éste es el mismo límite usado en la definición de r9 std. Por
tanto, la dirección de r9 std da la dirección del movimiento en el instante t. La
magnitud del vector r9 std
ir9 stdi 5 ix9stdi 1 y9stdji 5 !fx9stdg 2 1 f y9stdg 2
da la rapidez del objeto en el instante t. De manera similar, se puede usar r0 std para hallar
la aceleración, como se indica en las definiciones siguientes.
y
y
Vector velocidad
en el instante t
P
C
∆r
Vector velocidad
en el instante t
∆t → 0
12-3.qxd
Q
r(t)
r(t + ∆t)
x
Conforme Dt → 0,
Figura 12.11
Dr
se aproxima al vector velocidad
Dt
x
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SECCIÓN 12.3
Velocidad y aceleración
851
DEFINICIONES DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
Si x y y son funciones de t que tienen primera y segunda derivadas y r es una función
vectorial dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj, entonces el vector velocidad, el vector aceleración y la rapidez en el instante t se definen como sigue.
Velocidad
Velocity 5 vstd 5 r9std 5 x9stdi 1 y9stdj
Aceleración 5 astd 5 r0 std 5 x0 stdi 1 y0 stdj
Acceleration
Rapidez
Speed 5 ivstdi 5 ir9stdi 5 !fx9stdg 2 1 f y9stdg 2
Para el movimiento a lo largo de una curva en el espacio, las definiciones son similares. Es decir, si rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk, entonces
Velocity 5 vstd 5 r9 std 5 x9stdi 1 y9stdj 1 z9stdk
Velocidad
Acceleration
Aceleración 5 astd 5 r0 std 5 x0 stdi 1 y0 stdj 1 z0stdk
Speed 5 ivstdi 5 ir9 stdi 5 !fx9stdg 2 1 f y9stdg 2 1 fz9stdg 2.
Rapidez
EJEMPLO 1
NOTA En el ejemplo 1, nótese que
los vectores velocidad y aceleración
son ortogonales en todo punto y en
cualquier instante. Esto es característico del movimiento con rapidez constante. (Ver ejercicio 57.)
n
Hallar la velocidad y la aceleración
a lo largo de una curva plana
Hallar el vector velocidad, la rapidez y el vector aceleración de una partícula que se mueve
a lo largo de la curva plana C descrita por
t
t
rstd 5 2 sen
sin i 1 2 cos j.
2
2
Vector posición.
Solución
El vector velocidad es
t
t
vstd 5 r9std 5 cos i 2 sen
sin j.
2
2
Vector velocidad.
La rapidez (en cualquier instante) es
ir9std i 5
t
sin 5 1.
!cos 2t 1sen
2
2
2
Rapidez.
El vector aceleración es
Círculo: x2 + y2 = 4
y
1
t
1
t
astd 5 r0 std 5 2 sen
sin i 2 cos j.
2
2
2
2
Vector aceleración.
2
Las ecuaciones paramétricas de la curva del ejemplo 1 son
v(t)
a(t)
1
x 5 2 sen
sin
−2
x
−1
1
2
−1
−2
t
t
r(t) = 2 sen i + 2 cos j
2
2
La partícula se mueve alrededor del círculo
con rapidez constante
Figura 12.12
t
2
y
t
y 5 2 cos .
2
Eliminando el parámetro t, se obtiene la ecuación rectangular
x 2 1 y 2 5 4.
Ecuación rectangular.
Por tanto, la curva es un círculo de radio 2 centrado en el origen, como se muestra en la
figura 12.12. Como el vector velocidad
t
t
vstd 5 cos i 2sen
sin j
2
2
tiene una magnitud constante pero cambia de dirección a medida que t aumenta, la partícula se mueve alrededor del círculo con una rapidez constante.
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CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
EJEMPLO 2
r(t) = (t 2 − 4)i + tj
y
Dibujar la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva plana dada por
4
v(2)
3
rstd 5 st 2 2 4di 1 t j
a(2)
v(0)
−3 −2 −1
−1
Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas x 5 t 2 2 4 y y 5 t, se puede determinar que la curva es una parábola dada por x 5 y 2 2 4, como se muestra en la figura 12.13.
El vector velocidad (en cualquier instante) es
x
1
2
3
4
vstd 5 r9std 5 2t i 1 j
−3
−4
Vector posición.
y hallar los vectores velocidad y aceleración cuando t 5 0 y t 5 2.
1
a(0)
Dibujo de los vectores velocidad
y aceleración en el plano
x = y2 − 4
Vector velocidad.
y el vector aceleración (en cualquier instante) es
En todo punto en la curva, el vector
aceleración apunta a la derecha
astd 5 r0 std 5 2i.
Figura 12.13
Vector aceleración.
Cuando t 5 0, los vectores velocidad y aceleración están dados por
v(0) 5 2(0)i 1 j 5 j y
y
a(0) 5 2i.
Cuando t 5 2, los vectores velocidad y aceleración están dados por
v(2) 5 2(2)i 1 j 5 4i 1 j y
Sol
a(2) 5 2i.
Si el objeto se mueve por la trayectoria mostrada en la figura 12.13, nótese que el vector aceleración es constante (tiene una magnitud de 2 y apunta hacia la derecha). Esto
implica que la rapidez del objeto va decreciendo conforme el objeto se mueve hacia el vértice de la parábola, y la rapidez va creciendo conforme el objeto se aleja del vértice de la
parábola.
Este tipo de movimiento no es el característico de cometas que describen trayectorias
parabólicas en nuestro sistema solar. En estos cometas, el vector aceleración apunta siempre hacia el origen (el Sol), lo que implica que la rapidez del cometa aumenta a medida
que se aproxima al vértice de su trayectoria y disminuye cuando se aleja del vértice. (Ver
figura 12.14.)
x
a
En todo punto de la órbita del cometa, el
vector aceleración apunta hacia el Sol
Figura 12.14
EJEMPLO 3
Dibujo de los vectores velocidad
y aceleración en el espacio
Dibujar la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva en el espacio C dada
por
rstd 5 t i 1 t 3j 1 3tk, t ≥ 0
Curva:
r(t) = ti + t3j + 3tk, t ≥ 0
y hallar los vectores velocidad y aceleración cuando t 5 1.
Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas x 5 t y y 5 t 3, se puede determinar
que la trayectoria del objeto se encuentra en el cilindro cúbico dado por y 5 x3. Como
z 5 3t, el objeto parte de s0, 0, 0d y se mueve hacia arriba a medida que t aumenta, como
se muestra en la figura 12.15. Como rstd 5 t i 1 t 3j 1 3tk, se tiene
C
z
v(1)
6
(1, 1, 3)
a(1)
4
y
2
10
2
4
x
Figura 12.15
Vector posición.
vstd 5 r9std 5 i 1 3t 2j 1 3k
Vector velocidad.
astd 5 r0 std 5 6tj.
Vector aceleración.
y
Cuando t 5 1, los vectores velocidad y aceleración están dados por
v(1) 5 r9(1) 5 i 1 3j 1 3k y
a(1) 5 r0(1) 5 6j .
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SECCIÓN 12.3
Velocidad y aceleración
853
Hasta aquí se ha tratado de hallar la velocidad y la aceleración derivando la función
de posición. En muchas aplicaciones prácticas se tiene el problema inverso, hallar la función de posición dadas una velocidad o una aceleración. Esto se demuestra en el ejemplo
siguiente.
Hallar una función posición por integración
EJEMPLO 4
Un objeto parte del reposo del punto P(1, 2, 0) y se mueve con una aceleración
astd 5 j 1 2k
Vector aceleración.
donde iastdi se mide en pies por segundo al cuadrado. Hallar la posición del objeto después
de t 5 2 segundos.
Solución A partir de la descripción del movimiento del objeto, se pueden deducir las
condiciones iniciales siguientes. Como el objeto parte del reposo, se tiene
vs0d 5 0.
Como el objeto parte del punto sx, y, zd 5 s1, 2, 0d, se tiene
rs0d 5 xs0di 1 ys0dj 1 zs0dk
5 1i 1 2j 1 0k
5 i 1 2j.
Para hallar la función de posición, hay que integrar dos veces, usando cada vez una de las
condiciones iniciales para hallar la constante de integración. El vector velocidad es
vstd 5
E
astd dt 5
E
s j 1 2kd dt
5 tj 1 2tk 1 C
donde C 5 C1i 1 C2 j 1 C3k. Haciendo t 5 0 y aplicando la condición inicial vs0d 5 0,
se obtiene
vs0d 5 C1i 1 C2 j 1 C3k 5 0
Por tanto, la velocidad en cualquier instante t es
Curva:
r(t) = i +
( 2 + 2) j + t k
t2
vstd 5 t j 1 2tk.
2
rstd 5
C
6
E
vstd dt 5
4
r(2)
2
2
(1, 2, 0)
t=0
5
(1, 4, 4)
t=2
6
y
6
El objeto tarda 2 segundos en moverse del
punto (1, 2, 0) al punto (1, 4, 4) a lo largo
de C
E
stj 1 2t kd dt
t2
j 1 t2k 1 C
2
donde C 5 C4i 1 C5 j 1 C6k. Haciendo t 5 0 y aplicando la condición inicial r(0) 5 i 1
2j, se tiene
rs0d 5 C4i 1 C5 j 1 C6k 5 i 1 2j
C4 5 1, C5 5 2, C6 5 0.
Por tanto, el vector posición es
x
Figura 12.16
Vector velocidad.
Integrando una vez más se obtiene
z
4
C1 5 C2 5 C3 5 0.
rstd 5 i 1
1t2 1 22 j 1 t k.
2
2
Vector posición.
La posición del objeto después de t 5 2 segundos está dada por rs2d 5 i 1 4j 1 4k,
como se muestra en la figura 12.16.
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CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
Movimiento de proyectiles
Ahora ya se dispone de lo necesario para deducir las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de un proyectil. Supóngase que la gravedad es la única fuerza que actúa sobre un
proyectil después de su lanzamiento. Por tanto, el movimiento ocurre en un plano vertical
que puede representarse por el sistema de coordenadas xy con el origen correspondiente a
un punto sobre la superficie de la Tierra (figura 12.17). Para un proyectil de masa m, la
fuerza gravitatoria es
y v = velocidad inicial
0
v(t1)
v0 = v(0)
a
a
v(t2)
F 5 2mgj
a
Altura inicial
x
Figura 12.17
Fuerza gravitatoria.
donde la constante gravitatoria es g 5 32 pies por segundo al cuadrado, o 9.81 metros por
segundo al cuadrado. Por la segunda ley del movimiento de Newton, esta misma fuerza
produce una aceleración a 5 astd, y satisface la ecuación F 5 ma. Por consiguiente, la
aceleración del proyectil está dada por ma 5 2mgj, lo que implica que
a 5 2gj.
EJEMPLO 5
Aceleración del proyectil.
Obtención de la función de posición de un proyectil
Un proyectil de masa m se lanza desde una posición inicial r0 con una velocidad inicial v0.
Hallar su vector posición en función del tiempo.
Solución Se parte del vector aceleración astd 5 2gj y se integra dos veces.
vstd 5
rstd 5
E
E
astd dt 5
vstd dt 5
E
E
2g j dt 5 2gt j 1 C1
1
s2gtj 1 C1d dt 5 2 gt 2j 1 C1t 1 C2
2
Se puede usar el hecho de que vs0d 5 v0 y rs0d 5 r0 para hallar los vectores constantes C1
y C2. Haciendo esto se obtiene C1 5 v0 y C2 5 r0. Por consiguiente, el vector posición es
1
rstd 5 2 gt 2j 1 t v0 1 r0.
2
Vector posición.
En muchos problemas sobre proyectiles, los vectores constantes r0 y v0 no se dan
explícitamente. A menudo se dan la altura inicial h, la rapidez inicial v0 y el ángulo u con
que el proyectil es lanzado, como se muestra en la figura 12.18. De la altura dada, se puede
deducir que r0 5 hj. Como la rapidez da la magnitud de la velocidad inicial, se sigue que
v0 5 iv0i y se puede escribir
v0  = v0 = rapidez inicial
r0  = h = altura inicial
v0 5 x i 1 y j
y
5 siv0i cos udi 1 siv0i sen
sin udj
5 v0 cos u i 1 v0 sin
sen uj.
v0
Por tanto, el vector posición puede expresarse en la forma
yj
θ
1
rstd 5 2 gt 2j 1 t v0 1 r0
2
xi
h
Vector posición.
r0
x
x = v0 cos θ
y = v0  sen θ
Figura 12.18
1
5 2 gt 2j 1 tv0 cos u i 1 tv0 sen
sin u j 1 hj
2
1
5 sv0 cos udti 1 h 1 sv0 sen
sin udt 2 gt 2 j.
2
3
4
12-3.qxd
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Page 855
SECCIÓN 12.3
Velocidad y aceleración
855
TEOREMA 12.3 FUNCIÓN DE POSICIÓN DE UN PROYECTIL
Despreciando la resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil lanzado de una
altura inicial h con rapidez inicial v0 y ángulo de elevación u se describe por medio
de la función vectorial
3
rstd 5 sv0 cos udti 1 h 1 sv0 sin
sen udt 2
4
1 2
gt j
2
donde g es la constante de la gravedad.
EJEMPLO 6
10 pies
45°
300 pies
3 pies
Figura 12.19
La trayectoria de una pelota de béisbol
Una pelota de béisbol es golpeada 3 pies sobre el nivel del suelo a 100 pies por segundo y
con un ángulo de 45° respecto al suelo, como se muestra en la figura 12.19. Hallar la altura
máxima que alcanza la pelota de béisbol. ¿Pasará por encima de una valla de 10 pies de
altura localizada a 300 pies del plato de lanzamiento?
Solución Se tienen dados h 5 3, v0 5 100, y u 5 458. Así, tomando g 5 32 pies por
segundo al cuadrado se obtiene
1
rstd 5 100 cos
p
p
t i 1 3 1 100 sen
sin t 2 16t 2 j
4
4
2
3
1
2
4
5 s50!2 tdi 1 s3 1 50!2 t 2 16t 2dj
vstd 5 r9std 5 50!2 i 1 s50!2 2 32tdj.
La altura máxima se alcanza cuando
y9std 5 50!2 2 32t 5 0
lo cual implica que
t5
25!2
16
< 2.21 segundos.
Por tanto, la altura máxima que alcanza la pelota es
y 5 3 1 50!2
5
1
2
1
25!2
25!2
2 16
16
16
2
2
649
8
< 81 pies.
feet.
Altura máxima cuando t < 2.21 segundos.
La pelota está a 300 pies de donde fue golpeada cuando
300 5 xstd 5 50!2 t.
Despejando t de esta ecuación se obtiene t 5 3!2 < 4.24 segundos. En este instante, la
altura de la pelota es
y 5 3 1 50!2 s3!2 d 2 16s3!2 d
2
5 303 2 288
5 15 pies.
feet.
Altura cuando t < 4.24 segundos.
Por consiguiente, la pelota pasará sobre la valla de 10 pies.
n to find
n at time
odel for
projectile
an initial
above the
th of the
ctile fired
elocity of
orizontal.
bat at an
above the
tial speed
eet to the
eet above
ur and at
does the
n for the
uation is
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856
856
18:11
Chapter 12 Vector-Valued Functions
CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
12.3 Exercises
12.3 Ejercicios
See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
r r describe la trayectoEn los ejercicios 1 a 10, el vector posición
ria de un objeto que sexymueve en el plano xy. Dibujar una gráfica de la trayectoria y dibujar los vectores velocidad y aceleración
en elFunction
punto dado.
Position
Point
Función
rt
3tposición
i
t 1j
Punto
3, 0
1. rrstdt 5 3t6i 1 tsti 2 1tdjj
s3,3,03d
s3,4,32d
s4,1,23d
1,1,31
1,3,12
3, 22, 2
s!3,2,0 !2 d
s3, ,02d
sp1,, 21d
i tdti j1 t j
2. rrstdt 5 st62 2
3. rrstdt 5 tt2ii 1 t j t2
4. rrt t t ti2 i t 3tj2
5. rrt t t2 14i t3 t 3 1j i
6. rrt t
4 j
4 j
tj
1
24 t3cos t1i i 2 tj
sin t j
costtii1 22sin
sinttjj
7. rrstdt 5 23cos
sen
i 1t, 21 sin
tj t
8. rrstdt 5 3 tcos tsin
sen cos
sin t, 1 2 cos tl
9. rrstdt 5 kte2 sen
t,
et
10. rstd 5 ke2t, et l
En los ejercicios 23 a 28, usar la función aceleración dada para
determinar los vectores velocidad y posición. Después hallar la
tposición
2. en el instante t 5 2.
23. astd 5 i 1 j 1 k
vs0 d 5 0, rs0d 5 0
24. astd 5 2i 1 3k
vs0 d 5 4j, rs0 d 5 0
25. astd 5 t j 1 t k
vs1 d 5 5j, rs1 d 5 0
26. a t
v0
32 k
3i
27. a t
v0
s1, 1d
2j
k,
cos t i
j
k,
28. a(t)
et i
8k
v0
2i
3j
r0
5j
2k
sen t j
r0
i
k, r 0
0
En los ejercicios 11 a 20, el vector posición r describe la trayectoria de un objeto que se mueve en el espacio. Hallar velocidad, rapit
t i 5tj
3t k
rt
4t i 4t j 2t k
dez yraceleración
del objeto.
Movimiento de proyectiles En los ejercicios 29 a 44, usar el modelo para el movimiento de un proyectil, suponiendo que no hay
resistencia del aire.
1 2
t2
12. rr tt 4t
3t kk
3tii 4t
t jj 2t
t kk
4
2
2
t
1
13. rr tt ttii tt2j
3t i t j
t2k
9k t 2 k 14. r t
2
4
2
3
2
rt
t i t j 2t k2
15. r t
ti tj
9 t k
rt
4t, 3 cos t, 3 3sen
t
2
t i t j 2t 2 k
16. r t
r(t
2 cos t, 2 sen t, t2
4t, 3 cos t, 3 sen t
17. r t
rt
et cos t, et sen t, et
2 cos t, 2 sen t, t2
18. r(t
1
t
19. rr tt
eln
cos
t, t,, te4t sen t, et
t
1
ln t, , t 4
20. r t
t
r tlos ejercicios 21 y 22 se dan la gráfica
Aproximación lineal En
t
t
0
de la función vectorial rxtc y un vector tangente a la gráfica en
29. Hallar la función vectorial de la trayectoria de un proyectil lanzado desde una altura de 10 pies sobre el suelo con
30 una velocidad inicial de 88 pies por segundo y con un ángulo de 30° sobre
la horizontal. Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria del proyectil.
30. Determinar la altura máxima y el alcance de un proyectil disparado desde una altura de 3 pies sobre
45 el nivel del suelo con
velocidad inicial de 900 pies por segundo y con un ángulo de
45° sobre la horizontal.
45
31. Una pelota de béisbol es golpeada 3 pies sobre el nivel del suelo,
se aleja del bate con un ángulo de 45° y es cachada por un jardinero a 3 pies sobre el nivel del suelo y a 300 pies del plato de
lanzamiento. ¿Cuál es la rapidez inicial de la pelota y qué altura
alcanza?
32. Un jugador de béisbol en segunda base lanza una pelota al
jugador de primera base a 90 pies. La pelota es lanzada desde 5
pies sobre el nivel del suelo con una velocidad inicial de 50 millas por hora y con un ángulo de 15° con la horizontal. ¿A qué
altura cacha la pelota el jugador de primera base?
33. Eliminar el parámetro t de la función de posición para el movimiento de un proyectil y mostrar que la ecuación rectangular es
11. rr tt
ttii
5tj
t 2j
t 5 t0.
t t0 . de ecuaciones paramétricas para la recta
a) Hallar un conjunto
tangente a la gráfica en t 5 t0.
r t0 1 0.1 .
b) Utilizar
las
t0 la 1recta para aproximar r xt0 1 0.1c.
rt
t, ecuaciones
t 2, 14 t3 , de
2, 1 t3 t, 2, t 25
t2 ,
21. rrstdt 5 k t,t,2t 25
4 l
0 5 1
22. rstd 5 k t, !25 2
t 2,
!25
z 2
t2
l,
z
2
)1, −1, )
1
4
2
1 x2
4
(1, −1, )
x
Figura para 21
t0
3
t0 5 3
z
(3, 4, 4)
5z
(3, 4, 4)
5
2
n
ion. Then
which it
Page 856
y 5 x 2 0.005x 2.
−2
−2
1
1
y
y
y
16 sec2 u 2
x 1 stan udx 1 h.
v02
34. La trayectoria de una pelota la da la ecuación rectangular
y52
2
2
6
2
4 2
6
4
6
y
6
x
x
Figura para 22
Usar el resultado del ejercicio 33 para hallar la función de posición. Después hallar la velocidad y la dirección de la pelota en
el punto en que ha recorrido 60 pies horizontalmente.
12-3.qxd
25/2/10
14:02
Página 857
SECCIÓN 12.3
35. Modelo matemático La trayectoria de una pelota lanzada por
un jugador de béisbol es videograbada y después se analiza la
grabación con una cuadrícula que cubre la pantalla. La cinta se
detiene tres veces y se miden las posiciones de la pelota. Las
coordenadas son aproximadamente (0, 6.0), (15, 10.6) y (30,
13.4). (La coordenada x mide la distancia horizontal al jugador
en pies y la coordenada y mide la altura en pies.)
a) Usar una herramienta de graficación para hallar un modelo
cuadrático para los datos.
b) Usar una herramienta de graficación para representar los
datos y la gráfica del modelo.
c) Determinar la altura máxima de la pelota.
d) Hallar la velocidad inicial de la pelota y el ángulo al que fue
lanzada.
36. Una pelota de béisbol es golpeada desde una altura de 2.5 pies
sobre el nivel del suelo con una velocidad inicial de 140 pies por
segundo y con un ángulo de 22° sobre la horizontal. Usar una
herramienta de graficación para representar la trayectoria de la
pelota y determinar si pasará sobre una valla de 10 pies de altura
localizada a 375 pies del plato de lanzamiento.
37. El Rogers Centre en Toronto, Ontario, tiene una cerca en su campo
central que tiene 10 pies de altura y está a 400 pies del plato de lanzamiento. Una pelota es golpeada a 3 pies sobre el nivel del suelo
y se da el batazo a una velocidad de 100 millas por hora.
a) La pelota se aleja del bate formando un ángulo de ␪ ⫽ ␪0 con
la horizontal. Dar la función vectorial para la trayectoria de
la pelota.
b) Usar una herramienta de graficación para representar la función vectorial para ␪0 ⫽ 10⬚, ␪0 ⫽ 15⬚, ␪0 ⫽ 20⬚, y ␪0 ⫽ 25⬚.
Usar las gráficas para aproximar el ángulo mínimo requerido
para que el golpe sea un home run.
c) Determinar analíticamente el ángulo mínimo requerido para
que el golpe sea un home run.
38. El mariscal de campo de un equipo de fútbol americano lanza un
pase a una altura de 7 pies sobre el campo de juego, y el balón de
fútbol lo captura un receptor a 30 yardas a una altura de 4 pies.
El pase se lanza con un ángulo de 35° con la horizontal.
a) Hallar la rapidez del balón de fútbol al ser lanzado.
b) Hallar la altura máxima del balón de fútbol.
c) Hallar el tiempo que el receptor tiene para alcanzar la posición apropiada después de que el mariscal de campo lanza el
balón de fútbol.
39. Un expulsor de pacas consiste en dos bandas de velocidad variable al final del expulsor. Su función es lanzar las pacas a un
camión. Al cargar la parte trasera del camión, una paca debe lanzarse a una posición 8 pies hacia arriba y 16 pies detrás del
expulsor.
a) Hallar la velocidad inicial mínima de la paca y el ángulo
correspondiente al que debe ser lanzada de la expulsora.
b) La expulsora tiene un ángulo fijo de 45°. Hallar la velocidad
inicial requerida.
40. Un bombardero vuela a una altitud de 30 000 pies a una velocidad de 540 millas por hora (ver la figura). ¿Cuándo debe lanzar
la bomba para que pegue en el blanco? (Dar la respuesta en términos del ángulo de depresión del avión con relación al blanco.)
¿Cuál es la velocidad de la bomba en el momento del impacto?
Velocidad y aceleración
857
540 mph
30 000 pies
Figura para 40
41. Un disparo de un arma con una velocidad de 1 200 pies por
segundo se lanza hacia un blanco a 3 000 pies de distancia.
Determinar el ángulo mínimo de elevación del arma.
42. Un proyectil se lanza desde el suelo con un ángulo de 12° con la
horizontal. El proyectil debe tener un alcance de 200 pies. Hallar
la velocidad inicial mínima requerida.
43. Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria
de un proyectil para los valores dados de ␪ y v0. En cada caso, usar
la gráfica para aproximar la altura máxima y el alcance del proyectil. (Suponer que el proyectil se lanza desde el nivel del suelo.)
a) ␪ ⫽ 10⬚,
v0 ⫽ 66 ft兾sec
pies/s
b) ␪ ⫽ 10⬚, v0 ⫽ 146 pies/s
ft兾sec
c) ␪ ⫽ 45⬚,
pies/s
v0 ⫽ 66 ft兾sec
d) ␪ ⫽ 45⬚, v0 ⫽ 146 ft兾sec
pies/s
e) ␪ ⫽ 60⬚,
v0 ⫽ 66 ft兾sec
pies/s
ƒ) ␪ ⫽ 60⬚,
v0 ⫽ 146 ft兾sec
pies/s
44. Hallar el ángulo con el que un objeto debe lanzarse para tener a)
el alcance máximo y b) la altura máxima.
Movimiento de un proyectil En los ejercicios 45 y 46, usar el
modelo para el movimiento de un proyectil, suponiendo que no
hay resistencia. [a冇t冈 ⴝ ⴚ9.8 metros por segundo al cuadrado.]
45. Determinar la altura y el alcance máximos de un proyectil disparado desde una altura de 1.5 metros sobre el nivel del suelo
con una velocidad inicial de 100 metros por segundo y con un
ángulo de 30° sobre la horizontal.
46. Un proyectil se dispara desde el nivel del suelo con un ángulo
de 8° con la horizontal. El proyectil debe tener un alcance de 50
metros. Hallar la velocidad mínima necesaria.
Movimiento cicloidal En los ejercicios 47 y 48, considerar el
movimiento de un punto (o partícula) en la circunferencia de un
círculo que rueda. A medida que el círculo rueda genera la cicloide
r冇t冈 ⴝ b冇␻ t ⴚ sen
sin ␻ t冈i ⴙ b冇1 ⴚ cos ␻ t冈j, donde ␻ es la velocidad
angular constante del círculo y b es el radio del círculo.
47. Hallar los vectores velocidad y aceleración de la partícula. Usar
los resultados para determinar los instantes en que la rapidez de
la partícula será a) cero y b) máxima.
48. Hallar la velocidad máxima de un punto de un neumático de
automóvil de radio 1 pie cuando el automóvil viaja a 60 millas por
hora. Comparar esta velocidad con la velocidad del automóvil.
Movimiento circular En los ejercicios 49 a 52, considerar una
partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria circular de
radio b descrita por r(t) ⴝ b cos ␻ ti ⴙ b sen ␻ tj donde ␻ ⴝ du兾兾dt
es la velocidad angular constante.
49. Hallar el vector velocidad y mostrar que es ortogonal a r共t兲.
7/08
er 12
1053714_1203.qxp 10/27/08 11:49 AM
12-3.qxd 3/12/09 18:11 Page 858
11:49
AM Page 858 10/27/08 11:49 AM Page 858
1053714_1203.qxp
858
Page 858
CAPÍTULO
858 12
Vector-Valued
Functions
858
Chapter 12
Funciones
Chapter
12vectoriales
Vector-Valued Functions
Vector-Valued Functions
. particle is b .
50. a) Mostrar que50.
la rapidez
de la
partícula
es bofvthe
59. Investigación 59.
UnInvestigation
objeto sigue una
trayectoria
dada
A particle
moveselíptica
on an elliptical
path given by
(a) Show
that
the speed
por lathe
función
vectorial
rsmoves
td 5 6on
cosan
t i elliptical
1 3 sen
sinr tpath
j. 6given
cos tby
i 3 sin t j.
the
function
Investigation
particle moves
elliptical
path given
by vector-valued
t the speed of the particle
. una
b)b Usar
graficación
paramétrico
Investigation
A
particle
50. is
(a)
Show
thatherramienta
the speed
ofde
the
particle
isutility
ben .modo
(b) Use
a59.
graphing
inAparametric
modeon59.
toangraph
r t . Does
6 cos
tgraphing
i vector-valued
3 sin tvj.std, ivfunction
5vector-valued
círculo
Probar
distintos
valores
i a3 sin
a)
Hallar
st(a)
d i, yFind
astrd.vt t , 6vcos
t ,tand
t . t j.
circleinpara
for
different
values
of
the the
bbthe
6.6.Try
aphing utility in parametric
mode
graph elthe
(b) para
Use representar
a tographing
utility
parametric
mode
to function
graph
the
de
¿Dibuja
la
herramienta
de
graficación
más
rápido
los
v
.
draw
circle
greater
of (a)
? b) Find
tfaster
, v the
tfor,graphing
a t values
.
(a)theFind
and
theb graphing
b 6. Try different values of circle
. Doesfor
t , herramienta
v t ,(b)
ade
t a.graficación
andUse
different
values
of v. Does
6. Try utility
Usarvuna
para
completar
la the
tabla.
graphing utility to complete
table.
círculos
para
loscircle
valores
de v?values
w the circle faster for greater values
? 51.
utilityof
draw
the
faster
for(b)
greater
ofand?utility
Find
themayores
acceleration
showtothat
its direction
is
Use avector
graphing
complete
the
table.
(b) Use a graphing utility
to
complete
the
table.
p p 2p
51.
Hallar
el
aceleración
y mostrar
que
su of
dirección
es siemalways
toward
center
thedirection
circle.
eleration vector and 51.
show
thatthe
itsvector
direction
is vector
p
t
0
Find
acceleration
and the
show
that
its
is
2
4t 2
30
pre
hacia
el
centro
del
círculo.
2
d the center of the circle. always toward the
center
of
the
circle.
4
2
2
52. Show that the magnitude of the acceleration vector
is b .
3
2
0
t
t Rapidez 0
2
52. Show
Mostrar
magnitud
delthe
vector
aceleración
es bisv2b4. 2. 2
.
magnitude of the acceleration
vector
islabmagnitude
3
4
2
52.
thatque
the
of
acceleration
vector
3
Speed
Circular Motion In Exercises 53 and 54, use the results of
Speed
c)
Representar
gráficamente
la trayectoria elíptica y los vecMovimiento
circular
En
los
ejercicios
53
y
54,
usar
los
resultaSpeed
Exercises
49–
52.
In Exercises 53 and
54,
use
the
results
of
Circular Motion In Exercises 53 and 54, use the results of
tores
velocidad
y
aceleración
los valores
de t the
dados
en la and acceleration
dos
de
los
ejercicios
49
a
52.
Exercises 49– 52.
(c) Graph thepara
elliptical
path and
velocity
53. A stone weighing 1 pound is attached to a two-foot stringtabla
and del inciso b).
t
vectors
at
the
values
of
given
in
the
table in part (b).
(c)
Graph
the
elliptical
path
and
the
velocity
and
acceleration
(c) under
Graph the elliptical path and the velocity and acceleration
53. to
Una
piedra
que
pesa
1 libra
ata a un
de dos
pies
de will break
ispound
whirled
horizontally
(see
figure).
The
string
hing 1 pound is attached
astone
two-foot
string
53.
A
weighing
1and
is se
attached
to acordel
two-foot
string
and
d)
Usar
los
resultados
de
los
incisos
b)
y
c)
para
describir
la
t
vectors
at
the
values
of
given
in
the
table
in
part
(b).
t
vectors
at
the
values
of
given
in
the
table
in
part
(b).
(d) Use the results of parts (b) and (c) to describe
the geometric
largo
ywill
se hace
girar
(ver
laFind
figura).
El cordel
ahorizontalmente
force
of 10 pounds.
thebreak
maximum
can
izontally (see figure). Theis
string
break
under
whirled
horizontally
(see figure).
The
string
will
undersespeed the stonerelación
geométrica
entre
los
vectores
velocidad
y
acelerelationship
between
the
velocity
and
acceleration
vectors
(d)
Use
the
results
of
parts
(b)
and
(c)
to
describe
the
geometric
romperá
con
una
fuerza
de
10
libras.
Hallar
la
velocidad
máxi(d)
Use
the
results
of
parts
(b)
and
(c)
to
describe
the
geometric
attain
without
breaking
the
string.
Use
where
F
ma,
pounds. Find the maximum
speed
the
stone
can
a force of 10 pounds. Find the maximum speed the stone can
ración cuando la rapidez
de speed
la partícula
aumenta
cuando
1
the
of the
particle isyvectors
increasing,
and when it is
between
the velocity and acceleration
ma
la ma,
piedra
puede
alcanzar
sinrelationship
que
se Frompa
el where
cordel.
relationship vectors
betweenwhen
the velocity
and
acceleration
m 32
.the string.
ut breaking the string. attain
Useque
where
Fwithout
breaking
Use
ma,
disminuye.
1F 5 ma, donde m 5 1 .d
decreasing.
when the speed of the particle is increasing,
(Usar32
whenand
the when
speed itofisthe
particle is increasing, and when it is
m
.
32
decreasing.
decreasing.
1 lb
1 lb
30 mph
2 ft
1 libra
1 lb
22pies
ft
CAPSTONE
2 ft
Para discusión
CAPSTONE
30 mphC60.
A P SConsiderar
T O N E una60.
partícula
queaseparticle
mueve moving
sobre una
Consider
ontrayectoria
an elliptical path described
elíptica
donde
r t onaan
d dt is the
by
coselliptical
t i bpath
sen described
t j, where
60. Consider 30
a particle
moving on an elliptical
path adescrita
described
mph
60. Consider
particlepor
moving
es
la
velocidad
constante.
constant
angular
velocity.
by r t
is
the
a cos t i b sen t j, whereby r t d dt
a cos t i b sen t j, where
d dt is the
constant angular velocity.
constant
angular
a) Encontrar
el velocity.
vector
velocidad.
¿Cuálvector.
es la What
rapidez
de speed
la
(a) Find
the velocity
is the
of the particle?
partícula?
(a) Find the velocity vector. What is the speed
of the
(a) Find
theparticle?
velocity(b)
vector.
is the speed ofvector
the particle?
FindWhat
the acceleration
and show that its direction
300 pies
b)that
Encontrar
el vector is
aceleración
yshow
demostrar
que
suthe
direcalwaysand
toward
the
center
of
ellipse.
(b) Find the acceleration
vector and show
itsthe
direction
(b)
Find
acceleration
vector
that
its
direction
300ispies
está toward
siemprethe
hacia
el centro
la elipse.
always toward the center of the ellipse.
isción
always
center
of the de
ellipse.
Figure for 53
Figure for 54
Figura
para
Figura
para
54
Figure Figure
for
54 for
53 5354. A 3400-pound
Figure
for
54
automobile is negotiating a circular interchange
WRITING ABOUT CONCEPTS
deT conceptos
Un
automóvil
de
3 400
libras
está
una
54. A
of radius
300
feet
miles
hour
Assuming
d automobile is negotiating
a3400-pound
circular
interchange
W tomando
R
I T at
I N30
A Bcurva
O Uper
Tcircular
C O N(see
CdeE Pfigure).
T S WDesarrollo
54.
automobile
is negotiating
aGcircular
interchange
R I T I N G A B O U61.
CInO Nyour
C E Pown
T S words, explain the difference between the
300
pies
de
30
hora
(ver
la
figura).
Supuesto
roadway
is
level,
find
the
force
between
the
tires
and
the
feet at 30 miles per hour of
(see
figure).
Assuming
radius
300radio
feet aatthe
30millas
miles por
per
hour
(see
figure).
Assuming
61.
Con
las
propias
palabras,
explicar
la
diferencia
entre
velocity
of
an object
and itsbetween
speed.la veloexplain
the difference
the explain the
61. In
your own
words,
difference
the
61. In yourbetween
own words,
queroadway
la the
carretera
estároad
nivelada,
la
fuerza
necesaria
entre
los path
that
car stays
ontires
the and
circular
and does
not de un objeto y su rapidez.
is level, find the force between
tires
the
the
is and
level,
findsuch
the hallar
forcethe
between
the
the
cidad
velocity
of
an
object
and
its
speed.
velocity of an object
and its
speed.
62.
What
is
known
about
the
speed
of
an object if the angle
neumáticos
y
el
pavimento
para
que
el
automóvil
mantenga
la
skid.
(Use
ma, where
32.) Find the angle at
t the car stays on the circular
notstays
road path
such and
that does
the car
onFthe circular
pathmand 3400
does not
62.
¿Qué
se
conoce
acerca
de
la
rapidez
de
un
objeto
si
el
ángubetween
the
velocity
and
acceleration
vectors is (a) acute
62.
What
is
known
about
the
speed
of
an
object
if
the
angle
62.
What
is
known
about
the
speed
of
an
object
if
the
angle
trayectoria
circular
sin
derrapar.
(Usar
F
5
ma,
donde
m
5
the
be banked
at
ma, where m 3400 skid.
32.) Find
(Use the
where
) Find the
angle at so that no lateral
F angle
ma,which
m roadway
3400 32.should
lo
entre
los
vectores
velocidad
y
aceleración
es
a)
agudo
y
and
(b)
obtuse?
between
the
velocity
and
acceleration
vectors
is
(a)
acute
between
the
velocity
and
acceleration
vectors
is
(a)
acute
3
400/32.)
Hallar
el
ángulo
de
peralte
necesario
para
que
ningufrictional
is exerted
the no
tireslateral
of the automobile.
oadway should be banked
so that
no lateral
which
the roadway
should force
be banked
so onthat
b)
obtuso?
and
(b)
obtuse?
and (b) obtuse? 63. Consider a particle that is moving on the path
na
de fricción
lateral
seatires
ejercida
los neumáticos
e is exerted on the tires offrictional
thefuerza
automobile.
force
is exerted
on the
of thesobre
automobile.
del automóvil. 55. Shot-Put Throw
63. Consider
Redacción
una
x tpartícula
y t que
j se
zon
tmueve
k.the sobre
The pathaof particle
a shot thrown
angle
ison the
63. Consider
that atisan moving
path r1 t that
63.
a Considerar
particle
isi moving
path la
trayectoria
r
s
t
d
5
x
s
t
d
i
1
y
s
t
d
j
1
z
s
t
d
k.
tde unx objeto
t ian angle
ylanzado
t j iszcon
t k.
ow The path of a shot
at anThrow
angle
is path
r
t
x
t
i
y
t
j
z
t
k.
55.thrown
Lanzamiento
de peso
La trayectoria
1
55.
Shot-Put
The
of a shotr1thrown
at
(a)
Discuss
any
changes
in
the
position,
velocity, or acceler1
1 2
rt
v0 cos (a)
t i Discuss
h
v0 sin
t in gt
j
un ángulo u es
a)
Analizar
todo
cambio
en
la
posición,
velocidad
o
aceleation
of
the
particle
if
its
position
is
given
by the vectorany
changes
the
position,
velocity,
or
acceler(a)
Discuss
any
changes
in
the
position,
velocity,
or
acceler1
2
1 2
ti
h
v0 sin t r t gt2 vj0 cos t i
ración
de
laparticle
partícula
si su
posición
está
dada
por
la funh
v
sin
t
gt
j
valued
function
r
t
r
2t
.
ation
of
the
particle
if
its
position
is
given
by
the
vectoration
of
the
if
its
position
is
given
by
the
vector1
0
2
1
2 gt2 j
rs2td 5 sv0 cos udt i 1
h 1v svis0 the
sin
dt 2valued
sen uinitial
ción vectorial
srt2d t5
r1sr2t
d.
where
h is the initial
r2 t height,
r1 2t .t is the time
valued
functionr2(b)
0
2speed,function
Generalize
1 2t . the results for the position function
in
seconds,
and
is
the
acceleration
due
to
gravity.
Verify
that
g
e initial speed, h is the initial
height,
is
the
time
t
where v0 is the initial speed, h is the(b)
initial
height, t isthe
the results
time
b) Generalize
Generalizar
los
arla
posición
r3 t for
t . position
Generalize
for the (b)
position
function
the resultados
results
the
function
1 función
donde v0 es la rapidez
inicial,
es la altura
inicial,
es
el tiemthe
willh remain
air
fortVerify
a. total
of
nd g is the acceleration due
gravity.and
Verify
in to
seconds,
theshot
acceleration
duerin3totthe
gravity.
that
g isthat
r
s
t
d
5
r
s
v
t
d
.
r
t
r
t
r
t
.
3
1
1
po en segundos y g es la aceleración debida a la gravedad.
3
1
emain in the air for a totalthe
of shot will remain in the air for a total2 of 2
v0 sin
v0 elsin
2gh
Verificar que el objeto permanecerá
en
aire
t 2
seconds
64. When t 0, an object is at the point 0, 1 and has a velocity
2
v02 sin2
2gh
g
v00 sin
sen
sin
sin2 u 1 2gh
2gh
sen u 1 !v002 sin
seconds
t
seconds
vector
0
i.0, 1It and
moves a with
an acceleration of
5
seconds
segundos
t
0,
0,
1 and
64.
When
an
object
is at the point
has
aanvelocity
t
0,
64.
When
object
is está
at vthe
g
g
64. Cuando t 5 0, un
objeto
enpoint
el punto
(0, 1) yhas
tiene velocity
un vector
and will travel vector
a horizontal
aoftIt moves
sin t i with
cos t j.anShow
that the path of
of the object is a circle.
v 0 distance
i. of
It moves with vector
an acceleration
v
0
i.
acceleration
velocidad v(0) 5 2i. Se mueve con aceleración a(t) 5 sen ti 2
l a horizontal distance of and
y recorrerá
unaa distancia
horizontal tde sin t i cos t j. Show that the pathaoft the sin
will travel
horizontal
object
circle.Show that the path of the object is a circle.
t i is acos
v02 cos distancea of
2gh
cos t j. Mostrar
quet j.la
delExercises
objeto es un
círculo.
True
ortrayectoria
False? In
65–68,
determine whether the
feet.
sin
sin2
2
2
2
2gh v00 cos u
v
g 22 True
2gh
0
2
statement
is
true
or
false.
If
it
is
false,
explain
or
False?
In
Exercises
65–68,
determine
whether
the
sen
sen
feet.
sin
True
or
False?
In
Exercises
65–68,
determine
whether
the why or give an
pies.
sin
u
1
sin
u
1
feet.
v02
v0022
g
¿Verdadero
otrue
falso?
En
65
68,why
determinar
si la
example
is afalse.
statement
true
or false.
If it
is false,
why
or or
give
an los
statement
is
false.
Ifthat
itejercicios
isshows
false,itexplain
or give an
56. Shot-Put Throw
A is
shot
is thrown
from
a height
of explain
h 6 feet
declaración
es
verdadera
o
falsa.
Si
es
falsa,
explicar
por
qué
o
example
that
shows
it
is
false.
56.
Lanzamiento
de
peso
Un
peso
es
lanzado
desde
una
altura
de
example
that shows it is false.
v0 45
with
second and
at an angle
ow A shot is thrown56.
fromShot-Put
a height Throw
of h 6 A
feet
shotan
is initial
thrownspeed
fromof
a height
of feet
h per
6 feet
65.pruebe
The acceleration
of an object is the derivative of the speed.
dar un ejemplo que
que es falsa.
pies
con
rapidez
inicial
pies
por
segundo
y
con
h
5
6
v
5
45
ofof v0 42.5
the
horizontal.
Find
the total time
of travel
0 with
speed of v0 45 feet perwith
second
and at speed
an angle
an initial
peracceleration
second
and of
at an
an object
angle
45 feet
The
derivative
of the speed.
The acceleration
of The
an object
is the
derivative
thederivative
speed. of the position.
66.
velocity
of an
object isofthe
un ángulo
de with
contotal
la65.
horizontal.
el tiempo
total is the 65.
uof5travel
42.58
andhorizontal.
the
horizontal
distance
traveled.
with the horizontal. Find of
the
total42.5
time
the
Find theHallar
total time
of travel
65.
La
aceleración
de
un
objeto
es
la
derivada
de
la
rapidez.
66.
The
velocity
of
an
object
is
the
derivative
of
the
position.
de recorrido
y la distancia
horizontal recorrida.
66. The velocity of 67.
an object
is the derivative
of the
The velocity
vector points
inposition.
the direction of motion.
horizontal distance traveled.
and
the total horizontal
distance
57. Prove
that iftraveled.
an object is traveling at a constant speed, its
66. The
Laofvelocidad
de unpoints
objetoinesthe
la derivada
de
la
posición.
67.
The
velocity
vector
points
in
the
direction
motion.
57.
Demostrar
que
si
un
objeto
se
mueve
con
rapidez
constante,
sus
67.
velocity
vector
direction
of
motion.
68. If a particle moves along a straight line, then the velocity and
velocity
and acceleration
vectors speed,
are orthogonal.
an object is traveling
a constant
its is traveling
57.atProve
that ifspeed,
an object
at a constant
its
67.
El
apunta
en lavectors
dirección
de
movimiento.
vectores and
velocidad
y aceleración
son
ortogonales.
acceleration
orthogonal.
Ifobject
aorthogonal.
particle
moves
a straight
line,
then
the velocidad
velocity
acceleration vectors are orthogonal.
68.
a vector
particle
moves and
along
a straight
line,are
then
the
velocity and
velocity
acceleration
58. Provevectors
that68.
anare
moving
in aalong
straight
line at
a Ifconstant
acceleration
vectors
are
orthogonal.
68.
Si
una
partícula
se
mueve
a
lo
largo
de
una
línea
recta, entonces
58.
Demostrar
que
un
objeto
que
se
mueve
en
línea
recta
a
velociacceleration
vectors
are
orthogonal.
speed
has
an
acceleration
of
0.
n object moving in a 58.
straight
line
at
a
constant
Prove that an object moving in a straight line at a constant
los vectores velocidad y aceleración son ortogonales.
dad constante
tiene aceleración
acceleration of 0.
speed
has an acceleration
of 0. nula.
300 pies
3
1
!
4
2
12-4.qxd
3/12/09
18:21
Page 859
SECCIÓN 12.4
Vectores tangentes y vectores normales
859
12.4 Vectores tangentes y vectores normales
n
n
Hallar un vector unitario tangente en un punto a una curva en el espacio.
Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración.
Vectores tangentes y vectores normales
En la sección precedente se vio que el vector velocidad apunta en la dirección del
movimiento. Esta observación lleva a la definición siguiente, que es válida para cualquier
curva suave, no sólo para aquellas en las que el parámetro es el tiempo.
DEFINICIÓN DEL VECTOR UNITARIO TANGENTE
Sea C una curva suave en un intervalo abierto I, representada por r. El vector unitario tangente Tstd en t se define como
Tstd 5
r9std
, r9std Þ 0.
ir9std i
Como se recordará, una curva es suave en un intervalo si r9 es continua y distinta de
cero en el intervalo. Por tanto, la “suavidad” es suficiente para garantizar que una curva
tenga vector unitario tangente.
EJEMPLO 1
Hallar el vector unitario tangente
Hallar el vector unitario tangente a la curva dada por
rstd 5 ti 1 t 2j
cuando t 5 1.
y
Solución La derivada de rstd es
4
r9std 5 i 1 2t j.
3
Derivada de rstd.
Por tanto, el vector unitario tangente es
2
1
−2
−1
x
1
2
r(t) = ti + t 2 j
La dirección del vector unitario tangente
depende de la orientación de la curva
Figura 12.20
r9std
ir9std i
1
5
si 1 2tjd.
!1 1 4t 2
Tstd 5
T(1)
Definición de Tstd.
Sustituir r9std.
Cuando t 5 1, el vector unitario tangente es
Ts1d 5
1
si 1 2jd
!5
como se muestra en la figura 12.20.
NOTA En el ejemplo 1, hay que observar que la dirección del vector unitario tangente depende de
la orientación de la curva. Por ejemplo, si la parábola de la figura 12.20 estuviera dada por
rstd 5 2 st 2 2di 1 st 2 2d 2j,
aunque Ts1d también representaría el vector unitario tangente en el punto s1, 1d, apuntaría en dirección opuesta. Tratar de verificar esto.
n
12-4.qxd
3/12/09
860
18:21
Page 860
CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
La recta tangente a una curva en un punto es la recta que pasa por el punto y es paralela al vector unitario tangente. En el ejemplo 2 se usa el vector unitario tangente para
hallar la recta tangente a una hélice en un punto.
Hallar la recta tangente a una curva en un punto
EJEMPLO 2
Hallar Tstd y hallar después un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente
a la hélice dada por
rstd 5 2 cos t i 1 2 sen
sin t j 1 tk
1
en el punto !2, !2,
Tstd 5
z
5
6
C
T
Recta
tangente
−3
(
2,
2,
π
4
3
)
La recta tangente a una curva en un punto
está determinada por el vector unitario
tangente en el punto
Figura 12.21
r9std
ir9std i
1
!5
s22 sen
sin t i 1 2 cos tj 1 kd.
Vector unitario tangente.
En el punto s!2,!2, py4d, t 5 py4 y el vector unitario tangente es
5
x
2
sin t i 1 2 cos t j 1 k, lo que implica que
Solución La derivada de rstd es r9std 5 22 sen
ir9std i 5 !4 sen
sin22 t 1 4 cos2 t 1 1 5 !5. Por consiguiente, el vector unitario tangente es
Curva:
r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj + tk
3
p
.
4
y
1p4 2 5 !15 122 22 i 1 2 22 j 1 k2
!
5
1
!5
!
s2 !2 i 1 !2 j 1 kd.
Usando los números directores a 5 2 !2, b 5 !2, y c 5 1, y el punto (x1, y1, z1) 5
s!2, !2, py4d, se obtienen las ecuaciones paramétricas siguientes (dadas con el parámetro s).
x 5 x1 1 as 5 !2 2 !2s
y 5 y1 1 bs 5 !2 1 !2s
z 5 z1 1 cs 5
p
1s
4
Esta recta tangente se muestra en la figura 12.21.
En el ejemplo 2 hay una cantidad infinita de vectores que son ortogonales al vector
tangente Tstd. Uno de estos vectores es el vector T9std. Esto se desprende de la propiedad
7 del teorema 12.2. Es decir,
Tstd ? Tstd 5 i Tstd i 2 5 1
Tstd ? T9std 5 0.
Normalizando el vector T9std, se obtiene un vector especial llamado el vector unitario
normal principal, como se indica en la definición siguiente.
DEFINICIÓN DE VECTOR UNITARIO NORMAL PRINCIPAL
Sea C una curva suave en un intervalo abierto I representada por r. Si T9std Þ 0,
entonces el vector unitario normal principal en t se define como
Nstd 5
T9std
.
iT9std i
12-4.qxd
3/12/09
18:21
Page 861
SECCIÓN 12.4
EJEMPLO 3
Vectores tangentes y vectores normales
861
Hallar el vector unitario normal principal
Hallar Nstd y Ns1d para la curva representada por
rstd 5 3t i 1 2t 2j.
Solución Derivando, se obtiene
r9std 5 3i 1 4tj
y
ir9std i 5 !9 1 16t2
lo que implica que el vector unitario tangente es
Tstd 5
5
r9std
ir9std i
1
!9 1 16t2
s3i 1 4tjd.
Vector unitario tangente.
Usando el teorema 12.2, se deriva Tstd con respecto a t para obtener
y
3
Curva:
r(t) = 3ti + 2t2j
T9std 5
C
5
N(1) = 15 (−4i + 3j)
1
!9 1 16t2
16t
s3i 1 4tjd
s9 1 16t 2d3y2
12
s24ti 1 3jd
s9 1 16t 2d3y2
!
iT9std i 5 12
2
s4jd 2
9 1 16t 2
12
5
.
s9 1 16t 2d 3 9 1 16t 2
Por tanto, el vector unitario normal principal es
1
T(1) = 15 (3i + 4j)
Nstd 5
x
1
2
3
El vector unitario normal principal apunta
hacia el lado cóncavo de la curva
Figura 12.22
5
T9std
iT9std i
1
!9 1 16t 2
s24ti 1 3jd.
Vector unitario normal principal.
Cuando t 5 1, el vector unitario normal principal es
1
Ns1d 5 s24i 1 3jd
5
como se muestra en la figura 12.22.
z
El vector unitario normal principal puede ser difícil de evaluar algebraicamente. En curvas
planas, se puede simplificar el álgebra hallando
C
Tstd 5 xstdi 1 ystdj
T
x
N
y observando que Nstd debe ser
y
En todo punto de una curva, un vector unitario normal es ortogonal al vector unitario tangente. El vector unitario normal
principal apunta hacia la dirección en que
gira la curva
Figura 12.23
Vector unitario tangente.
N1std 5 ystdi 2 xstdj
o
N2std 5 2ystdi 1 xstdj.
Como !fxstdg2 1 f ystdg2 5 1, se sigue que tanto N1std como N 2std son vectores unitarios
normales. El vector unitario normal principal N es el que apunta hacia el lado cóncavo de
la curva, como se muestra en la figura 12.22 (véase ejercicio 94). Esto también es válido
para curvas en el espacio. Es decir, si un objeto se mueve a lo largo de la curva C en el
espacio, el vector Tstd apunta hacia la dirección en la que se mueve el objeto, mientras que
el vector Nstd es ortogonal a Tstd y apunta hacia la dirección en que gira el objeto, como
se muestra en la figura 12.23.
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CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
Hallar el vector unitario normal principal
EJEMPLO 4
Hélice:
r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj + tk
Hallar el vector unitario normal principal para la hélice dada por
rstd 5 2 cos t i 1 2 sin
sen t j 1 tk.
z
Solución De acuerdo con el ejemplo 2, se sabe que el vector unitario tangente es
2π
Tstd 5
3π
2
T9std 5
−2
−1
1
1
2
y
N std es horizontal y apunta hacia el eje z
Figura 12.24
1
!5
s22 cos t i 2 2 sen
sin t jd.
T9std
iT9std i
1
5 s22 cos t i 2 2 sen
sin t jd
2
5 2cos t i 2 sen
sin t j.
Nstd 5
−1
x
Vector unitario tangente.
Como iT9std i 5 2y!5, se sigue que el vector unitario normal principal es
π
2
2
s22 sin
sen t i 1 2 cos tj 1 kd.
Así, T9std está dado por
π
−2
1
!5
Vector unitario normal principal.
Nótese que este vector es horizontal y apunta hacia el eje z, como se muestra en la
figura 12.24.
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Ahora se vuelve al problema de describir el movimiento de un objeto a lo largo de una
curva. En la sección anterior, se vio que si un objeto se mueve con rapidez constante, los
vectores velocidad y aceleración son perpendiculares. Esto parece razonable, porque la
rapidez no sería constante si alguna aceleración actuara en dirección del movimiento. Esta
afirmación se puede verificar observando que
r0 std ? r9std 5 0
si ir9std i es una constante. (Ver la propiedad 7 del teorema 12.2.)
Sin embargo, si un objeto viaja con rapidez variable, los vectores velocidad y aceleración no necesariamente son perpendiculares. Por ejemplo, se vio que en un proyectil el
vector aceleración siempre apunta hacia abajo, sin importar la dirección del movimiento.
En general, parte de la aceleración (la componente tangencial) actúa en la línea del
movimiento y otra parte (la componente normal) actúa perpendicular a la línea del movimiento. Para determinar estas dos componentes, se pueden usar los vectores unitarios Tstd
y Nstd, que juegan un papel análogo a i y j cuando se representan los vectores en el plano.
El teorema siguiente establece que el vector aceleración se encuentra en el plano determinado por Tstd y Nstd.
TEOREMA 12.4 VECTOR ACELERACIÓN
Si rstd es el vector posición de una curva suave C y Nstd existe, entonces el vector
aceleración astd se encuentra en el plano determinado por Tstd y Nstd.
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SECCIÓN 12.4
Vectores tangentes y vectores normales
863
Demostración Para simplificar la notación, se escribe T en lugar de Tstd, T9 en lugar de
T9std, y así sucesivamente. Como T 5 r9yir9 i 5 vyivi, se sigue que
v 5 iviT.
Por derivación, se obtiene
a 5 v9 5 Dt fivigT 1 iviT9
5 Dt fivigT 1 iviT9
Regla del producto.
1iTiT99 ii2
5 Dt fivig T 1 ivi i T9 i N.
N 5 T9yi T9 i
Como a se expresa mediante una combinación lineal de T y N, se sigue que a está en
el plano determinado por T y N.
A los coeficientes de T y de N en la demostración del teorema 12.4 se les conoce como
componentes tangencial y normal de la aceleración y se denotan por aT 5 Dt fivig y
aN 5 i vi iT9 i. Por tanto, se puede escribir
astd 5 aTTstd 1 aNNstd.
El teorema siguiente da algunas fórmulas útiles para aN y a T.
TEOREMA 12.5 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
DE LA ACELERACIÓN
Si rstd es el vector posición de una curva suave C [para la cual Nstd existe], entonces
las componentes tangencial y normal de la aceleración son las siguientes.
v?a
ivi
iv 3 ai
aN 5 i vi iT9 i 5 a ? N 5
5 !iai2 2 a T2
ivi
aT 5 Dt fivig 5 a ? T 5
Nótese que aN ≥ 0. A la componente normal de la aceleración también se le llama
componente centrípeta de la aceleración.
a
a•T>0
T
N
a•N
T
a•N
N
a
a•T<0
DEMOSTRACIÓN
Nótese que a se encuentra en el plano de T y N. Por tanto, se puede usar
la figura 12.25 para concluir que, en cualquier instante t, las componentes de la proyección
del vector aceleración sobre T y sobre N están dadas por aT 5 a ? T, y aN 5 a ? N.,
respectivamente. Además, como a 5 v9 y T 5 vyivi, se tiene
aT 5 a ? T
5T?a
v
5
?a
ivi
v?a
5
.
ivi
En los ejercicios 96 y 97 se pide demostrar las otras partes del teorema.
Las componentes tangencial y normal de la
aceleración se obtienen proyectando a
sobre T y N.
Figura 12.25
NOTA Las fórmulas del teorema 12.5, junto con algunas otras fórmulas de este capítulo, se resumen en la página 877.
n
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CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
EJEMPLO 5
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración para el vector posición dado
por rstd 5 3t i 2 tj 1 t 2 k.
Solución Para empezar se halla la velocidad, la rapidez y la aceleración.
vstd 5 r9std 5 3i 2 j 1 2tk
ivstd i 5 !9 1 1 1 4t 2 5 !10 1 4t 2
astd 5 r0 std 5 2k
De acuerdo con el teorema 12.5, la componente tangencial de la aceleración es
aT 5
v?a
4t
5
ivi
!10 1 4t 2
| |
y como
v
3
Componente tangencial de la aceleración.
i
a5 3
0
j
21
0
k
2t 5 22i 2 6j
2
la componente normal de la aceleración es
aN 5
NOTA
!4 1 36
iv 3 ai
2!10
5
5
.
2
ivi
!10 1 4t
!10 1 4t 2
Componente normal de la aceleración.
En el ejemplo 5 se podría haber usado la fórmula alternativa siguiente para a N.
a N 5 !i a i 2 2 a T2 5
EJEMPLO 6
!s2d
2
2
16t 2
2!10
5
10 1 4t 2 !10 1 4t 2
n
Hallar a T y a N para una hélice circular
Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración para la hélice dada por
rstd 5 b cos t i 1 b sen
sin t j 1 ctk, b > 0.
Solución
vstd 5 r9std 5 2b sen
sin t i 1 b cos t j 1 ck
aN = b
z
ivstd i 5 !b 2 sen
sin22 t 1 b 2 cos2 t 1 c2 5 !b 2 1 c 2
astd 5 r0 std 5 2b cos t i 2 b sen
sin t j
b
De acuerdo con el teorema 12.5, la componente tangencial de la aceleración es
aT 5
y
x
La componente normal de la aceleración es
igual al radio del cilindro alrededor del
cual la hélice gira en espiral
Figura 12.26
v ? a b2 sen
sin t cos t 2 b 2 sen
sin t cos t 1 0
5
5 0.
ivi
!b 2 1 c 2
Componente tangencial de la aceleración.
Como iai 5 !b2 cos2 t 1 b2 sen
sin22 t 5 b, se puede usar la fórmula alternativa para la componente normal de la aceleración para obtener
aN 5 !iai 2 2 aT2 5 !b2 2 02 5 b.
Componente normal
de la aceleración.
Nótese que la componente normal de la aceleración es igual a la magnitud de la aceleración. En otras palabras, puesto que la rapidez es constante, la aceleración es perpendicular a la velocidad. Ver la figura 12.26.
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SECCIÓN 12.4
r(t) = (50
2t)i + (50
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Movimiento de un proyectil
EJEMPLO 7
2t − 16t 2)j
Vectores tangentes y vectores normales
y
El vector posición para el proyectil mostrado en la figura 12.27 está dado por
rstd 5 s50!2 tdi 1 s50!2 t 2 16t2dj.
100
75
50
t=
t=1
Hallar la componente tangencial de la aceleración cuando t 5 0, 1 y 25!2y16.
25 2
16
25
t=0
Vector posición.
Solución
vstd 5 50!2 i 1 s50!2 2 32td j
ivstd i 5 2!50 2 2 16s50d!2t 1 16 2t 2
astd 5 232j
x
25
50
75 100 125 150
La trayectoria de un proyectil
Figura 12.27
Vector velocidad.
Velocidad.
Vector aceleración.
La componente tangencial de la aceleración es
vstd ? astd
232s50!2 2 32td
5
.
ivstd i
2!502 2 16s50d!2t 1 162t 2
En los instantes especificados, se tiene
Componente tangencial de la aceleración.
aTstd 5
232s50!2 d
5 216!2 < 222.6
100
232s50!2 2 32d
a T s1d 5
< 215.4
2!50 2 2 16s50d!2 1 16 2
a T s0d 5
aT
12516 22 5 232s50502 22 50
!
!
!2
!
d 5 0.
En la figura 12.27 se puede ver que, a la altura máxima, cuando t 5 25!2y16, la componente tangencial es 0. Esto es razonable porque en ese punto la dirección del movimiento
es horizontal y la componente tangencial de la aceleración es igual a la componente horizontal de la aceleración.
12.4 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 4, dibujar el vector unitario tangente y los
vectores normales a los puntos dados.
y
1.
2.
En los ejercicios 5 a 10, hallar el vector unitario tangente a la
curva en el valor especificado del parámetro.
5. rstd 5 t 2 i 1 2tj, t 5 1
y
6. rstd 5 t3 i 1 2t 2j,
t51
p
7. rstd 5 4 cos ti 1 4 sen
sin tj, t 5
4
8. rstd 5 6 cos ti 1 2 sen
sin tj,
t5
p
3
9. rstd 5 3t i 2 ln t j, t 5 e
x
x
3.
y
4.
10. rstd 5 et cos ti 1 etj, t 5 0
En los ejercicios 11 a 16, hallar el vector unitario tangente Tstd y
hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva en el espacio en el punto P.
y
11. rstd 5 t i 1 t 2j 1 tk, Ps0, 0, 0d
x
x
4
4
12. rstd 5 t 2 i 1 tj 1 3 k, Ps1, 1, 3 d
sin tj 1 t k, Ps3, 0, 0d
13. rstd 5 3 cos t i 1 3 sen
14. rstd 5 k t, t, !4 2 t2 l, Ps1, 1, !3 d
sin t, 4l, Ps!2, !2, 4d
15. rstd 5 k2 cos t, 2 sen
sin t, 2 cos t, 4 sen
sin2 tl, Ps1, !3, 1d
16. rstd 5 k2 sen
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CAPÍTULO 12
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Funciones vectoriales
866
Chapter 12 Vector-Valued Functions
En los ejercicios 17 y 18, usar un sistema algebraico por computadora para representar la gráfica de la curva en el espacio.
conjunto
de ecuaciones
de
CAS Después hallar Txtc y un use
a computer
algebra paramétricas
system to graph
latherecta
a la find
curva
el find
espacio
punto P.
spacetangente
curve. Then
a setenofelparametric
T tenand
Representar
la the
gráfica
la rectatotangente.
equations for
linede
tangent
the space curve at point P.
Graph
thekt,tangent
line. Ps3, 9, 18d
17.
rstd 5
t2, 2t3y3l,
CAS
senPt j3,19,12 18
18.
cos
i1
t k, Ps0, 4, py4d
3 34 ,sin
17. rrstdt 5 3 t,
t2,t2t
1
18. r t
3 cos t i 4 sin t j 2 t k, P 0, 4, 4
Aproximación lineal En los ejercicios
19 y 20, hallar un conjunto
de
ecuaciones
paramétricas
para
la
Linear Approximation In Exercises 19recta
and tangente
20, find aa lasetgráof
fica
en
y
utilizar
las
ecuaciones
de
la
recta
para
t
5
t
0
parametric equations for the tangent line to the graph
at taprot0
ximar
rxtthe
0.1c.
0 1equations
and use
for the line to approximate r t 1 0.1 .
19. rstd 5 k t, ln t, !t l, t0 5 1
19. r t
t, ln t, t , t0 1
sen tl, t0 5 0
20. rstd 5 ke2t, 2 cos t, 2 sin
20. r t
e t, 2 cos t, 2 sin t , t0 0
0
En los ejercicios 21 y 22, verificar que las curvas en el espacio se
In Exercises 21 and 22, verify that the space curves intersect at
cortan en los valores dados de los parámetros. Hallar el ángulo
the given values of the parameters. Find the angle between the
entre los vectores tangentes a las curvas en el punto de intersectangent vectors to the curves at the point of intersection.
ción.
21. rrstdt 5 k t t2 2,2,t2t2, ,1212tlt , , t t5 44
21.
1
33 ss , , ss5 88
2s,!
uusssd 5 k 144s,s,2s,
l
22.
r
t
t,
cos
t,
sin
t , t t5 00
sen
22. rstd 5 kt, cos t, sin tl,
k
1
sin22ss2 sen
sins,s,112 1212sen
sin22ss2
uusssd 5 2 122sen
sin
sin
sin
11
11
sinsscos
cosss1 22ss , , ss5 00
sin
22sen
sins,s,
sen
sin
l
In Exercises
23 –30,
principalelunit
normal
vectornormal
to the
En
los ejercicios
23 find
a 30,the
encontrar
vector
unitario
curve
at
the
specified
value
of
the
parameter.
principal a la curva en el valor especificado del parámetro.
1
23.
23. rrstdt 5 titi1 212t 2t 2j,j, t t5 22
66
24.
24. rrstdt 5 titi1 t j,j, t t5 33
t
r
s
t
d
5
ln
t
i
1
25.
25. r t
ln t i st t1 11d j,j, t t5 22
26.
26. rr tt
cos
costtii
sen
sen tj,
tj, tt
39. rstd 5 et i 1 e22t j, t 5 0
rstd 5
rt
rstd 5
rt
rstd 5
rrsttd 5
et i 1 e2t j 1 t k, t 5 0
et i e t j t k, t 0 p
et cos t i 1 et sen
sin t j, t 5
2
et cos t i et sin t j, t
2 0
a cos vt i 1 b sen
sin vt j, t 5
akcos
cosvt t1
i vtbsin
sinvt,t j,
t t 20 vt cos vtl, t 5 t
sin
sen v
sen
0
r
t
cos
t
t
sin
t,
sin
t , t t0
43.
sin vt, 1 2 cos vtl,t t 5t cos
t0
44. rstd 5 kvt 2 sen
t sin t, 1 cos t , t t 0
44. r t
40.
40.
41.
41.
42.
42.
43.
Movimiento circular En los ejercicios 45 a 48, considerar un
Circular Motion In Exercises 45– 48, consider an object
objeto que se mueve según la función de posición
moving according to the position function
rxtc 5 a cos vt i 1 a sen
sin vt j.
rt
a cos t i 1 a sin t j.
45. Hallar Tstd, Nstd, a T , y a N.
45. Find T t , N t , a T , and a N.
46. Determinar las direcciones de T y N en relación con la función
46. Determine the directions of T and N relative to the position
de posición r.
function r.
47. Determinar la rapidez del objeto en cualquier instante t y
47. Determine the speed of the object at any time t and explain its
explicar su valor en relación con el valor de a T .
value relative to the value of a T .
48. Si la velocidad angular v se reduce a la mitad, ¿en qué factor
48. If the angular velocity
is halved, by what factor is a N
cambia a N?
changed?
En
los ejercicios
49 sketch
a 54, dibujar
la gráfica
de la curve
curva given
plana
In Exercises
49–54,
the graph
of the plane
dada
por
la
función
vectorial,
y,
en
el
punto
sobre
la
curva
deterby the vector-valued function, and, at the point on the curve
minada
por by
los vectores T y N. Observar que N
rxt0rc, tdibujar
determined
0 , sketch the vectors T and N. Note that N
apunta
hacia
el
lado
cóncavo
deoflathe
curva.
points toward the concave side
curve.
Función
Function
Instante
Time
11
49.
49. rrsttd 5 tt ii 1 t jj
t
tt0 5 22
0
3
50.
tj
50. rrsttd 5 tt3 ii 1 tj
66
27.
27. rrstdt 5 t ti i1 t2t2jj1 lnlnt tk,k, t t5 11
t k, t 5 0
28.
28. rrstdt 5 !2t
2ti i1 eet jt j1 ee2t k,
t 0
3p
3
29.
sen
29. rrstdt 5 66cos
cost ti i1 66sin
sentjtj1 k,k, t t5 4
4
30.
cos
30. rr tt
cos 3t
3tii 22 sen
sen 3t
3tjj k,
k, tt
In Exercises 31–34, find v t , a t , T t , and N t (if it exists) for
En los ejercicios 31 a 34, hallar vxtc, axtc, Txtc y Nxtc (si existe)
an object moving along the path given by the vector-valued
para un objeto que se mueve a lo largo de la trayectoria dada por
function r t . Use the results to determine the form of the path.
la función vectorial rxtc. Usar los resultados para determinar la
Is the speed of the object constant or changing?
forma de la trayectoria. ¿Es constante la rapidez del objeto o
cambiante?
31. r t
32. r t
4t i
4t i 2t j
31.
32.
33. rrstdt 5 4t4ti2 i
34. rrstdt 5 4tt 2ij 2 2t
kj
33. rstd 5 4t 2 i
34. rstd 5 t 2 j 1 k
In Exercises 35 – 44, find T t , N t , a T , and a N at the given time
plane curve
t for
En
losthe
ejercicios
35 a r44,t .hallar Txtc, Nxtc, a T , y a N para la curva
plana t en el instante rxtc.
1
35. r t
36. r t
t2 i 2t j, t 1
ti
j, t 1
1t
35. rstd 5 t i 1 j, t 5 1
36. rstd 5 t2 i 1 2tj, t 5 1
t tt3 i 2t2j, t 1
37. r t
2 2 t 5 1
3 t3d4t
r
s
t
d
5
s
t
i1
37.
t2
i 2t j,
t
1 j, t 0
38. r t
3
2
38.
39. rrstdt 5 stet i2 4tedi 2t1j, st t 2 10dj, t 5 0
51. r(t)
r(t)
51.
4ti
4ti
4t22jj
4t
t)
52. rr t)
52.
2t
2t
1)i
1)i
tt0 5 11
0
11
tt00 4
4
2
tt2jj
22
p
t00 5
4
t00 5 p
tt00
sin tj
53. rstd 5 2 cos t i 1 2 sen
sin t j
54. rstd 5 3 cos t i 1 2 sen
t ,NT
t x, tac,TN
, and
In Exercises
55– 62,
time
xtc, aaTNyataNthe
engiven
el instante
En
los ejercicios
55 afind
62, Thallar
t for the
t . [Hint:
a t , T t , aHallar
space
curve respacial
dado
rxtcFind
. [ Sugerencia:
t para
la curva
T(t) y
T, and axNt.c,Solve
aT T 1 aaxNtcN.5] a T 1 a N. ]
N in the equation a t
afor
N. Resolver para N en la ecuación
T
N
Function
Función
55. rstd 5 t i 1 2t j 2 3t k
56. rstd 5 4t i 2 4t j 1 2t k
57. r t)
58. r t)
59. r t
cos ti
3ti
ti
sen tj
Time
Instante
t51
t52
t
2tk
3
tj
t2k
t
t 2j
t2
k
2
t
1
t
2
t
0
t
0
1i
t2j
60. r t)
2t
61. r t
t
e sen t i
e t cos t j
62. r t)
et i
tk
2tj
e
4tk
et k
1
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SECCIÓN 12.4
12.4
12.4
12.4
CAS
ejercicios
66, ausar
un sistema
algebraico
porgraph
compuCAS En
In los
Exercises
63 –63
66,y use
computer
algebra
system to
the
CAS
CAS
CAS
In Exercises 63 – 66, use a computer algebra system to graph the
tadora
y representar
gráficamente
curva
Entonces
space
curve.
Then
find
at the to
given
time t.
T t , N t , a Tla
, and
a espacial.
In
Exercises
63
– 66,
use
graph
space
curve. Then
find
and aNNsystem
at the given
timethe
t.
Tatcomputer
, N t , a T ,algebra
hallar
y
en
el
instante
dado
Dibujar
y Nxtt.c
Tcurve.
xTtc,tNand
xThen
tc, aN
a
t.
T
xtctime
Sketch
on
the
space
curve.
t
space
find
and
at
the
given
T
t
,
N
t
,
a
,
a
N
T
N
Sketch T t and NT t on
the space curve.
In
Exercises
63el– 66,
computer
algebra system to graph the
en
la curva
espacio.
Sketch
and
onathe
space curve.
T t en
N
t use
Function
Timegiven time t.
space
curve. Then find T t , N t , a T , and aN atTime
the
Function
Función
Instante
Function
Time
Sketch
T t and N t on the space curve.
63. r t
4t i 3 cos t j 3 sen t k
t
63. r t
4t i 3 cos t j 3 sen t k
t
2
Time
63. Function
rt
4t i 3 cos t j 3 sen t k
t 2
2
t
64. r t
2 cos t i
1 sen t j t k t
64.
t i t j 1 3 sen
sent kt j
3k t
63. r t
4t2 i cos
3 cos
t
64. r t
2 cos t i
1 sen t j 3 k t 2
2
3
2t
2
t
t i 3t2 j
t 2
65. r t
k
t
2
65. r t
t 2i 3t
64.
cosj t i t2k1 sen t j
k t 2
t i2 3t 2 j 2 k
t 2
65. r t
3
66. r t
t i j 2tk
t 1
t2 i j 2tkt 22
66. r t
t 1
2
2
i
j
2tk
66.
r
t
t
t
t i 3t j
t 21
65. r t
k
2 CONCEPTS
W
R
I
T
I
N
G
A
B
O
U
T
WRITING
ABOUT CONCEPTS
66.
rRtIDefine
t 1unit normal
W
T I Nt2Gi the
A jBde
O U2tk
Tconceptos
C O N Cvector,
E P T Sthe principal
Desarrollo
67.
unit
tangent
67. Define the unit tangent vector, the principal unit normal
vector, the
andunit
thetangent
tangential
andthenormal
components
of
67. Definir
Define
vector,
principal
unit normal
tangential
components
of
67.
el vector
unitario
normal
W
R Ivector,
Tacceleration.
I N G eland
Avector
B Othe
U Tunitario
C O N Ctangente,
E Pand
T S normal
vector,
and
the
tangential
and
normal
components
of
acceleration.
principal,
y las componentes tangencial y normal de la ace67.
the principal
unit normalof
acceleration.
68. Define
How isthe
theunit
unit tangent
tangent vector,
vector related
to the orientation
68. leración.
How
is
the
unit
tangent
vectorand
related
to the
orientation of
of
vector,
and
the
tangential
normal
components
a curve?
Explain.
68. ¿Cuál
isesthe
tangent
vector
relatedunitario
to the orientation
aHow
curve?
Explain.
68.
la unit
relación
entre
el vector
tangente y of
la
acceleration.
a(a)
curve?
Explain.
69.orientación
Describe
the
motion
ofExplicar.
a particle if the normal component
dethe
una
curva?
69.
(a)
Describe
motion
of
a
particle
if
the
normal
component
68. How of
is acceleration
the unit tangent
to the orientation of
is 0.vector related
69. a)
(a)Describir
Describe
themovimiento
motion
the normal
of
acceleration
is 0. of a particle
69.
el
de una ifpartícula
si component
la compoa curve?
Explain.
of
acceleration
is
0.
(b)nente
Describe
the
motion
of
a
particle
if
the
tangential
normal
de
la
aceleración
es
0.
Describe the
themotion
motion
a particle
if the component
tangential
69. (b)
(a) Describe
of aof
particle
componentthe
of motion
acceleration
isparticle
0.if the normal
(b) component
Describe
of
a
if
the
tangential
acceleration
0. partícula si la compob) Describir
el of
movimiento
deisuna
of acceleration
is 0.
component
of acceleration
is 0. es 0.
nente
tangencial
de la aceleración
(b) Describe the motion of a particle if the tangential
of acceleration is 0.
C A P S Tcomponent
ONE
CAPSTONE
C70.
A PAn
S Tobject
O N E moves along the path given by
70. An discusión
object moves along the path given by
Para
70. An object moves along the path given by
r t O N3ti
4tj.
C70.
A PUn
E se 4tj.
rSt Tobjeto
3ti
mueve a lo largo de la trayectoria dada por
r t object
3ti 4tj. along the path given by
70. An
Find v t , moves
a t , T t , and N t (if it exists). What is the form
Find
t , a1t 4tj.
, T t , and N t (if it exists). What is the form
r(t) 5v 3ti
of
the
path?
Is, T
the speed
of tthe
object
constant
or changing?
Find
v
t
,
a
t4tj.
, andof
N
it exists).
What
the form
r tthe path?
3ti Is
of
the tspeed
the(if
object
constant
or is
changing?
of the path?
Is the
the (si
object
constant
Encontrar
v(t),
a(t)speed
T(t) yofN(t)
existe).
¿Cuáloreschanging?
la forma
Find
t , a t , T t ¿Es
, andconstante
N t (if ito exists).
is the form
de la vtrayectoria?
variableWhat
la velocidad
del
of
the path?
Is the speed
the object
or changing?
objeto?
71. Cycloidal
Motion
The of
figure
showsconstant
the path
of a particle
71. Cycloidal Motion The figure shows the path of a particle
modeled by
the vector-valued
function
71. modeled
Cycloidal
The figure
shows the path of a particle
byMotion
the vector-valued
function
modeled by the vector-valued function
t sen The
t, 1 cos shows
t . the path of a particle
rt
tMotion
sen t, 1Lafigure
cos tmuestra
.
rCycloidal
t
71. Movimiento
cicloidal
figura
la trayectoria de una
t
sen
t,
1
cos
t
r
t
modeled
by
the
vector-valued
function
partícula
representada
funciónv. vectorial
The figure
also showspor
thelavectors
t v t and a t a t at
The figure also shows the vectors v t v t and a t a t at
the
indicated
values
t. vectors
The
figuret also
shows
t indicated
sen
t,of1t.the
cos t v. t v t and a t a t at
rthe
values
of
the
indicated
values
of
t.
y
y figura
std iayt astdayit astatd i
La
también
los vectores
The
figuremuestra
also shows
the vectors
and
v t vvsttdyiv
y
en
valoresvalues
indicados
thelos
indicated
of t.de t.
y
y
t=1
t = 12 2 t = 1
t = 12 t = 1
t=1
t=
1t
2
=
1
t2 =
1t = 1
t=3
t = 3232
t=
2
3
t = 32t = 2
x
x
x
x
x
1
1, and t 3.
1 2, t
1, and t 323.2
21, t
t 1,ofand
2.
the2,speed
the tparticle
(a) Find a and a at t
(a) Find aTTand aNNat t
(a)
a T andwhether
a N at t
(b) Find
Determine
is increasing or
(b) Determine whether the speed of the particle is increasing or
decreasing whether
at each of
indicated
values
ofist. increasing
Give reasons
1 the
3particle
(b)
Determine
the
speed
of
the
or
1
3
decreasing
at
each
of
the
indicated
values
of
Give reasons
t.
a)
y aNaNenatt t5 2,2,t t5 11,y and
t 5 t2. 2.
(a) Hallar
Find
aaTTand
for your
answers.
decreasing
at
each
of
the
indicated
values
of
Give
reasons
t.
forcada
your answers.
b)
de los the
valores
de t, determinar
(b) En
Determine
whether
speedindicados
of the particle
is increasingsiorla
for youruno
answers.
rapidez
de la
partícula
o values
disminuye.
Dar reasons
razones
decreasing
at each
of theaumenta
indicated
of t. Give
para
las respuestas.
for your
answers.
867
867
867
867
VectoresVectors
tangentes
y vectores
Tangent
and
Normal normales
Vectors
Tangent Vectors and Normal Vectors
Tangent Vectors and Normal Vectors
12.4 Along
Tangent
Vectors
and
867
72.
a loanlargo
de una
un
La fi72. Movimiento
Motion
Involute
ofinvoluta
aNormal
CircledeVectors
Thecírculo
figure shows
72. Motion Along an Involute of a Circle The figure shows
gura
muestra
una
partícula
que
sigue
la
trayectoria
dada
por
a particle
moving
along
a pathThe modeled
by
72. aMotion
Along
an
Involute
of
a
Circle
figure
shows
particle moving along a path modeled by
cos t
t sen t, sen ta path
t cos t . The figure
rt
by
sen t
t cos t modeled
. The figure
ra t particle
cos t moving
t sen t,along
72. Motion
Along
Involute
of vectores
also
shows
the an
vectors
and
for t tdThe
v t t,los
aa t Circle
1 and
tpara2.shows
sen
rLa
t figura
cos
t sen
asttfigure
51y
muestra
también
also
shows
thet vectors
v t and
a t tfor t vtscos
1 yand
td. The
2. tfigure
aalso
along
afor tpath1 and
modeled
y
shows the moving
vectors
and
v
t
a
t
t
2. by
t 5 particle
2.
y
t cos t . The figure
rt
cos t y t sen t, sen t
y
also shows the vectors
v t and a t for t 1 and t 2.
y
t=1
t=1
tt =
= 11
x
x
x
x
t=1
t=2
t=2
tt =
= 22
x
(a) Find a and a at t 1 and t 2.
(a) Find a TTand aNt N=at2 t 1 and t 2.
(a)
Find
and
a at t the
2. particle is increasing or
aaTTand
(b)Hallar
Determine
of the
a)
y awhether
11yspeed
t 5t 2.
N Nen t 5
(b) Determine
whether
the speed of the particle is increasing or
decreasing
at
each
of
the
indicated
values
ofist.increasing
Giveoreasons
(b)
Determine
whether
the
speed
of
the
particle
or
b) Determinar
la rapidez
de tla partícula
aumenta
dismidecreasing
atsiaeach
of the
indicated
t. Give reasons
(a)
Find
a T and
1 and
2.values of
N at t
for
your
answers.
decreasing
at
each
of
the
indicated
values
of
Give
reasons
t.
nuye
en cada
uno de los valores indicados de t. Dar razones
for your
answers.
(b) para
Determine
whether the speed of the particle is increasing or
for your
answers.
las respuestas.
In Exercises
73–78,
find the
vectors Tvalues
and of
N,t. and
the
unit
decreasing
at each
thevectors
indicated
Givethe
reasons
In Exercises
73–78,
findofthe
T and N,
and
unit
binormal
vector
for
the
vector-valued
function
B
T
N,
rt
for
your
answers.
In
Exercises
73–78,
find
the
vectors
T
and
N,
and
the
unit
En los ejercicios
73 a 78,
T y N, yfunction
el vectorrunibinormal
vector B
thevectores
vector-valued
T hallar
N, forlos
t
at thebinormal
given value
of t.T
binormal
the vector-valued
rt
tario
la función
vectorial rxfunction
BB
5
tc en el valor
at
the givenvector
value
of T
t. 3 N,N,defor
In
Exercises
73–78, find the vectors T and N, and the unit
at the
given
dado
de
t. value of t.
t3
t vector-valued function
binormal
73. r t vector
t i 2t 2 j t33r kt
2 cos B
ti T
2 senN,t jfort the
k 74. r t
73.
74.
j
r
t
t
i
t
r
t
2
cos
t
i
2
sen
t
j
k
t3k
t2
at
73.ther given
t
2value
cos t iof t.2 sen t j 2 k 74. rstd 5 t i 1 t 2j 1 3 k
2
3
t
t
1
t3
t
73. rt 0 t0 p22 cos t i 2 sen t j
k 74. rt0 0t 1 t i t 2 j
k
2
3
t0 5 2
t0 5 1
z
2z
t0
z
z
4
42
43z
3
3
4
t0
−1
−1
−11
−
1
1
1
1z
1
1 1
1
1
2
3
3
x3
x 33
x
z
z
3
3
3
y
y
y
2
2
x
x 1
x
2
2
2
2
2
y
y
y
y
Figure
for 73
Figure for 74
3
y
3
Figure
for 73
Figure
for 74
x
x
− 1 7373
Figure
for
Figure for
Figura
para
Figura
para7474
75. r t
i sen t j cos t k, t0
75. r t for i73 sen t j cos t k, t0 Figure
4
Figure
for 74
75. r t
i sen t j cos t k, t0 4
76. r t
2et t i et t cos t j et t sen t k,4 t0 0
76. r t
2e ti e tcos t j e tsen t k, t0 0
75.
t0 t k, t0 0
i2e isen et jcos cos
76. rr tt
t j t k,e sen
77. r t
4 sen t i 4 cos t j 2t k, 4 t0
77. r t
4 sen
t
i
4
cos
t
j
2t
k, t0
3
76.
2e
i t ei t cos4 tcos
j t jet sen
77. rr tt
4 tsen
2t tk,k, t0t0 30
3
78. r t
3 cos 2t i 3 sen 2t j t k, t0
78. r t
cos 2t
sent j2t j 2t k,
t k, t t0
4
77.
43 sen
t i i 43cos
78. r t
3 cos 2t i 3 sen 2t j t k, 0 t0 34
4
79. Projectile Motion Find the tangential and normal compo79.
Find
normal compo78.
rProjectile
t
3 cosMotion
2tdei un3 proyectil
sen 2tthe
j tangential
tHallar
k, t0 las and
Movimiento
componentes
tangen79.
nents of acceleration
for a the
projectile
fired 4at
an normal
angle with
the
79. nents
Projectile
Motion
Find
tangential
compoof
acceleration
for
a projectile
fired
atand
an angle
with
theun
cial
y
normal
de
la
aceleración
de
un
proyectil
disparado
con
horizontal
at an initial
speed
of v0. fired
Whatatare
the components
nents
of
acceleration
for
a
projectile
an
angle
with
the
horizontal
at an
initial speed
of vrapidez
are thev components
0. Whatinicial
ángulo
u con
la horizontal
ymaximum
con
¿Cuáles
son
79. Projectile
Motion
Find
the
tangential
and
compowhen the
projectile
is
atspeed
its
height?
horizontal
at an
initial
of
v0. What
are normal
the0.components
when
the
projectile
is
at
its
maximum
height?
las
componentes
cuando
el
proyectil
está
en
su
altura
máxima?
nents
of
acceleration
for
a
projectile
fired
at
an
angle
with
the
the projectile
at its
maximum
height?
80. when
Projectile
Motion isUse
your
results from
Exercise 79 to find
80.
Projectile
Motion
Usespeed
your of
results
from
Exercise
79
find
horizontal
at de
an and
initial
v0. What
are
the components
80.
Movimiento
un
proyectil
Utilizar
losof
resultados
delto
ejercithe tangential
normal
components
acceleration
for
a
80. the
Projectile
Motion
Use
your
results
from
Exercise
79
tofor
find
tangential
and
normal
components
of
acceleration
ala
when
thepara
projectile
atcomponentes
its maximum
height?
cio
79
hallar
las
y normal for
de an
projectile
fired
at is
an
angle
of 45 tangencial
with
theacceleration
horizontal
at
the
tangential
and
normal
components
of
a
projectile
fired
at proyectil
an angle disparado
of 45 with
horizontal
at an
aceleración
deofun
conthe
un
ángulo
de to
45°
con
80. Projectile
Motion
Use
results
from
Exercise
79
initial speed
150an
feetyour
per of
second.
What
are
the components
projectile
at
45 What
with
the
horizontal
atfind
an
initial
speedfired
of con
150
feetangle
per second.
arepies
the
components
la
horizontal
rapidez
inicial
de
150
por
segundo.
the
tangential
and
normal
of are
acceleration
for a
when
the
projectile
is
at per
itscomponents
maximum
height?
initial
speed
of
150
feet
second.
What
the
components
when
the
projectile
is
at
its
maximum
height?
¿Cuáles
cuando
elthe
proyectil
está atenansu
projectile
firedlasatcomponentes
anis angle
of 45
with
horizontal
when theson
projectile
at its maximum
height?
altura speed
máxima?
initial
of 150 feet per second. What are the components
when the projectile is at its maximum height?
12-4.qxd
3/12/09
868
18:21
Page 868
CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
81. Movimiento de un proyectil Un proyectil se lanza con velocidad inicial de 120 pies por segundo desde 5 pies de altura y con
un ángulo de 30° con la horizontal.
a) Determinar la función vectorial de la trayectoria del proyectil.
b) Usar una herramienta de graficación para representar la
trayectoria y aproximar la altura máxima y el alcance del
proyectil.
c) Hallar vstd, i vstd i, y astd.
d) Usar una herramienta de graficación para completar la tabla.
t
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Velocidad
e) Usar una herramienta de graficación para representar las funciones escalares a T y aN. ¿Cómo cambia la velocidad del
proyectil cuando a T y aN tienen signos opuestos?
82. Movimiento de un proyectil Un proyectil se lanza con velocidad inicial de 220 pies por segundo desde una altura de 4 pies y
con un ángulo de 45° con la horizontal.
a) Determinar la función vectorial de la trayectoria del proyectil.
b) Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria y aproximar la altura máxima y el alcance del proyectil.
c) Hallar vstd, i vstd i, y astd.
d) Usar una herramienta de graficación para completar la tabla.
t
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Velocidad
83. Control del tráfico aéreo Debido a una tormenta, los controladores aéreos en tierra indican a un piloto que vuela a una altitud de 4 millas que efectúe un giro de 90° y ascienda a una
altitud de 4.2 millas. El modelo de la trayectoria del avión
durante esta maniobra es
rstd 5 k10 cos 10p t, 10 sen
sin 10p t, 4 1 4tl, 0 ≤ t ≤
1
20
donde t es el tiempo en horas y r es la distancia en millas.
a) Determinar la rapidez del avión.
CAS
b) Usar un sistema algebraico por computadora y calcular a T
y a N. ¿Por qué una de éstas es igual a 0?
84. Movimiento de un proyectil Un avión volando a una altitud de
36 000 pies con rapidez de 600 millas por hora deja caer una
bomba. Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración que actúan sobre la bomba.
85. Aceleración centrípeta Un objeto, atado al extremo de una
cuerda, gira con rapidez constante, de acuerdo con la función de
posición dada en los ejercicios 45 a 48.
a) Si la velocidad angular v se duplica, ¿cómo se modifica la
componente centrípeta de la aceleración?
b) Si la velocidad angular no se modifica pero la longitud de la
cuerda se reduce a la mitad, ¿cómo cambia la componente
centrípeta de la aceleración?
86. Fuerza centrípeta Un objeto de masa m se mueve con rapidez
constante v siguiendo una trayectoria circular de radio r. La
fuerza requerida para producir la componente centrípeta de la
aceleración se llama fuerza centrípeta y está dada por
F 5 mv 2yr. La ley de Newton de la gravitación universal
establece que F 5 GMmyd 2, donde d es la distancia entre los
centros de los dos cuerpos de masas M y m, y G es una constante gravitatoria. Usar esta ley para mostrar que la rapidez
requerida para el movimiento circular es v 5 !GMyr.
Velocidad orbital En los ejercicios 87 a 90, usar el resultado del
ejercicio 86 para hallar la rapidez necesaria para la órbita
circular dada alrededor de la Tierra. Tomar GM 5 9.56 3 104
millas cúbicas por segundo al cuadrado, y suponer que el radio
de la Tierra es 4 000 millas.
87. La órbita de un transbordador espacial que viaja a 115 millas
sobre la superficie de la Tierra.
88. La órbita de un transbordador espacial que viaja a 245 millas
sobre la superficie de la Tierra.
89. La órbita de un satélite de detección térmica que viaja a 385
millas sobre la superficie de la Tierra.
90. La órbita de un satélite de comunicación que está en órbita
geosíncrona a r millas sobre la superficie de la Tierra. [El satélite
realiza una órbita por día sideral (aproximadamente 23 horas, 56
minutos) y, por consiguiente, parece permanecer estacionario
sobre un punto en la Tierra.]
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 91 y 92, determinar si la
declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o
dar un ejemplo que muestre que es falsa.
91. Si el indicador de velocidad de un automóvil es constante,
entonces el automóvil no puede estar acelerando.
92. Si aN 5 0 en un objeto en movimiento, entonces el objeto se
mueve en una línea recta.
93. Una partícula sigue una trayectoria dada por r(t) 5 cosh(bt)i 1
senh(bt)j donde b es una constante positiva.
a) Mostrar que la trayectoria de la partícula es una hipérbola.
b) Mostrar que astd 5 b2 rstd.
94. Mostrar que el vector unitario normal principal N apunta hacia
el lado cóncavo de una curva plana.
95. Mostrar que en un objeto que se mueve en línea recta el vector
T9std es 0.
iv 3 ai
96. Mostrar que aN 5
.
ivi
97. Mostrar que aN 5 !iai2 2 aT2.
Preparación del examen Putnam
98. Una partícula de masa unitaria se mueve en línea recta bajo la
acción de una fuerza que es función f svd de la velocidad v de la
partícula, pero no se conoce la forma de esta función. Se observa el movimiento y se encuentra que la distancia x recorrida en
el tiempo t está relacionada con t por medio de la fórmula
x 5 at 1 bt2 1 ct3, donde a, b y c tienen valores numéricos
determinados por la observación del movimiento. Hallar la función f svd para el rango de v cubierto en el experimento.
Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competition.
© The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.
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SECCIÓN 12.5
Longitud de arco y curvatura
869
12.5 Longitud de arco y curvatura
n
n
n
n
Calcular la longitud de arco de una curva en el espacio.
Utilizar el parámetro de longitud de arco para describir una curva plana o curva en el
espacio.
Calcular la curvatura de una curva en un punto en la curva.
Utilizar una función vectorial para calcular la fuerza de rozamiento.
Longitud de arco
En la sección 10.3 se vio que la longitud de arco de una curva plana suave C dada por las
ecuaciones paramétricas x 5 xstd y y 5 ystd, a ≤ t ≤ b, es
EXPLORACIÓN
Fórmula para la longitud de arco
La fórmula para la longitud de arco
de una curva en el espacio está dada
en términos de las ecuaciones
paramétricas que se usan para representar la curva. ¿Significa esto
que la longitud de arco de la curva
depende del parámetro que se use?
¿Sería deseable que fuera así?
Explicar el razonamiento.
Ésta es una representación
paramétrica diferente de la curva
del ejemplo 1.
rstd 5 t 2 i 1
E
b
s5
!fx9stdg 2 1 f y9stdg 2 dt.
a
En forma vectorial, donde C está dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj, se puede expresar esta
ecuación de la longitud de arco como
E
b
s5
ir9std i dt.
a
La fórmula para la longitud de arco de una curva plana tiene una extensión natural a una
curva suave en el espacio, como se establece en el teorema siguiente.
TEOREMA 12.6 LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO
Si C es una curva suave dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk, en un intervalo
fa, bg, entonces la longitud de arco de C en el intervalo es
4 3
1
t j 1 t4 k
3
2
E
b
Hallar la longitud de arco desde
t 5 0 hasta t 5 !2 y comparar el
resultado con el encontrado en el
ejemplo 1.
s5
a
EJEMPLO 1
z
Hallar la longitud de arco de una curva en el espacio
Hallar la longitud de arco de la curva dada por
r(t) = ti + 43t 3/2 j + 12t 2 k
2
C
Solución Utilizando xstd 5 t, ystd 5 43 t 3y2, y zstd 5 12 t 2, se obtiene x9std 5 1, y¢(t) = 2t1/2
y z9std 5 t. Por tanto, la longitud de arco desde t 5 0 hasta t 5 2 está dada por
t=2
1
2
−1
3
4
A medida que t crece de 0 a 2, el vector
rst d traza una curva
Figura 12.28
4 3y2
1
t j 1 t2k
3
2
desde t 5 0 hasta t 5 2, como se muestra en la figura 12.28.
1
x
ir9std i dt.
a
rstd 5 t i 1
t=0
E
b
!fx9stdg 2 1 f y9stdg 2 1 fz9stdg 2 dt 5
y
E
E
E
2
s5
!fx9stdg 2 1 f y9stdg 2 1 fz9stdg 2 dt
Fórmula para longitud de arco.
0
2
5
!1 1 4 t 1 t 2 dt
0
2
5
!st 1 2d2 2 3 dt
Tablas de integración (apéndice B), fórmula 26.
0
3 t 12 2 !st 1 2d
|4 0
3
ln st 1 2d 1 !st 1 2d2 2 3
2
3
3
5 2!13 2 lns4 1 !13 d 2 1 1 ln 3 < 4.816.
2
2
5
2
232
|
2
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CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
EJEMPLO 2
Curva:
r(t) = b cos ti + b sen tj +
Hallar la longitud de arco de una hélice
1 − b2 tk
Hallar la longitud de un giro de la hélice dada por
z
rstd 5 b cos ti 1 b sen
sin t j 1 !1 2 b 2 t k
t = 2π
como se muestra en la figura 12.29.
Solución Se comienza hallando la derivada.
sen ti 1 b cos tj 1 !1 2 b 2 k
r9std 5 2b sin
C
Derivada.
Ahora, usando la fórmula para la longitud de arco, se puede encontrar la longitud de un
giro de la hélice integrando ir9stdi desde 0 hasta 2p.
s5
5
t=0
b
b
y
5
E
E
E
2p
0
2p
ir9std i dt
Fórmula para la longitud de arco.
!b 2ssin
sen22 t 1 cos2 td 1 s1 2 b 2d dt
0
2p
dt
0
x
4
5t
Un giro de la hélice
Figura 12.29
2p
0
5 2p.
Por tanto, la longitud es 2p unidades.
Parámetro longitud de arco
s(t) =
∫
t
[x′(u)]2 + [y′(u)]2 + [z′(u)]2 du
a
z
t=b
C
t
Se ha visto que las curvas pueden representarse por medio de funciones vectoriales de
maneras diferentes, dependiendo del parámetro que se elija. Para el movimiento a lo largo
de una curva, el parámetro adecuado es el tiempo t. Sin embargo, cuando se desean estudiar las propiedades geométricas de una curva, el parámetro adecuado es a menudo la longitud de arco s.
DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LONGITUD DE ARCO
Sea C una curva suave dada por rstd definida en el intervalo cerrado fa, bg. Para
a ≤ t ≤ b, la función longitud de arco está dada por
t=a
y
E
t
sstd 5
a
x
E
t
ir9sud i du 5
!fx9sudg 2 1 f y9sudg 2 1 fz9sudg 2 du.
a
A la longitud de arco s se le llama parámetro longitud de arco. (Ver la figura 12.30.)
Figura 12.30
NOTA La función de longitud de arco s es no negativa. Mide la distancia sobre C desde el punto
inicial sxsad, ysad, zsadd hasta el punto sxstd, ystd, zstdd.
n
Usando la definición de la función longitud de arco y el segundo teorema fundamental de cálculo, se concluye que
ds
5 ir9std i.
dt
En la forma diferencial, se escribe
ds 5 ir9std i dt.
Derivada de la función longitud de arco.
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SECCIÓN 12.5
Longitud de arco y curvatura
871
Hallar la función longitud de arco para una recta
EJEMPLO 3
Hallar la función longitud de arco sstd para el segmento de recta dado por
y
rstd 5 s3 2 3tdi 1 4t j, 0 ≤ t ≤ 1
r(t) = (3 − 3t)i + 4tj
4
y expresar r como función del parámetro s. (Ver la figura 12.31.)
0≤t≤1
3
Solución Como r9std 5 23i 1 4j y
2
ir9stdi 5 !s23d2 1 42 5 5
se tiene
1
E
E
t
x
1
2
3
El segmento de recta desde (3, 0) hasta
(0, 4) puede parametrizarse usando el
parámetro longitud de arco s.
Figura 12.31
sstd 5
ir9sudi du
0
t
5
5 du
0
5 5t.
Usando s 5 5t (o t 5 sy5), se puede reescribir r utilizando el parámetro longitud de arco
como sigue.
rssd 5 s3 2 35sdi 1 45s j, 0 ≤ s ≤ 5.
Una de las ventajas de escribir una función vectorial en términos del parámetro longitud de arco es que ir9ssdi 5 1. De este modo, en el ejemplo 3, se tiene
ir9ssdi 5
!12 532 1 1452
2
2
5 1.
Así, dada una curva suave C representada por r(sd, donde s es el parámetro longitud de
arco, la longitud de arco entre a y b es
E
E
b
Lengthdeofarco
arc 5
Longitud
ir9ssdi ds
a
b
5
ds
a
5b2a
5 longitud
length ofdel
interval.
intervalo.
Además, si t es cualquier parámetro tal que ir9stdi 5 1, entonces t debe ser el parámetro
longitud de arco. Estos resultados se resumen en el teorema siguiente que se presenta sin
demostración.
TEOREMA 12.7 PARÁMETRO LONGITUD DE ARCO
Si C es una curva suave dada por
rssd 5 xssdi 1 yssdj o rssd 5 xssdi 1 yssdj 1 zssdk
donde s es el parámetro longitud de arco, entonces
ir9ssdi 5 1.
Si t es cualquier parámetro para la función vectorial r tal que ir9stdi 5 1, entonces t
debe ser el parámetro longitud de arco.
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CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
Curvatura
y
Q
C
P
x
La curvatura en P es mayor que en Q.
Un uso importante del parámetro longitud de arco es hallar la curvatura, la medida de
cuán agudamente se dobla una curva. Por ejemplo, en la figura 12.32 la curva se dobla más
agudamente en P que en Q, y se dice que la curvatura es mayor en P que en Q. Se puede
hallar la curvatura calculando la magnitud de la tasa o ritmo de cambio del vector unitario
tangente T con respecto a la longitud de arco s, como se muestra en la figura 12.33.
DEFINICIÓN DE CURVATURA
Figura 12.32
Sea C una curva suave (en el plano o en el espacio) dada por rssd, donde s es el
parámetro longitud de arco. La curvatura K en s está dada por
y
T2
Q
T3
C
K5
T1
i ddsT i 5 iT9ssdi.
P
x
La magnitud de la tasa o del ritmo de cambio de T respecto a la longitud de arco es la
curvatura de una curva
Un círculo tiene la misma curvatura en todos sus puntos. La curvatura y el radio del
círculo están relacionados inversamente. Es decir, un círculo con un radio grande tiene una
curvatura pequeña, y un círculo con un radio pequeño tiene una curvatura grande. Esta
relación inversa se explica en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 4
Figura 12.33
y
Mostrar que la curvatura de un círculo de radio r es K 5 1yr.
K = 1r
T
Solución Sin pérdida de generalidad, se puede considerar que el círculo está centrado en
el origen. Sea sx, yd cualquier punto en el círculo y sea s la longitud de arco desde sr, 0d
hasta sx, yd, como se muestra en la figura 12.34. Denotando por u el ángulo central del
círculo, puede representarse el círculo por
(x, y)
r
θ
s
(r, 0)
Hallar la curvatura de un círculo
x
rsud 5 r cos u i 1 r sen
sin u j.
u es el parámetro.
Usando la fórmula para la longitud de un arco circular s 5 ru, se puede reescribir rsud en
términos del parámetro longitud de arco como sigue.
La curvatura de un círculo es constante
Figura 12.34
s
s
rssd 5 r cos i 1 r sen
sin j
r
r
La longitud de arco s es el parámetro.
s
s
sen i 1 cos j, de donde se sigue que ir9ssdi 5 1, lo que implica que el
Así, r9ssd 5 2sin
r
r
vector unitario tangente es
Tssd 5
r9ssd
s
s
5 2sin
sen i 1 cos j
ir9ssd i
r
r
y la curvatura está dada por
K 5 iT9ssd i 5
s
1
sin j i 5
i 2 1r cos sr i 2 1r sen
r
r
en todo punto del círculo.
NOTA Puesto que una recta no se curva, se esperaría que su curvatura fuera 0. Tratar de comprobar esto hallando la curvatura de la recta dada por
1
rssd 5 3 2
2
3
4
s i 1 sj.
5
5
n
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SECCIÓN 12.5
T(t)
Longitud de arco y curvatura
873
En el ejemplo 4, la curvatura se encontró aplicando directamente la definición. Esto
requiere que la curva se exprese en términos del parámetro longitud de arco s. El teorema
siguiente da otras dos fórmulas para encontrar la curvatura de una curva expresada en términos de un parámetro arbitrario t. La demostración de este teorema se deja como ejercicio [ver ejercicio 100, incisos a) y b)].
∆T
T(t + ∆t)
T(t)
∆s
C
TEOREMA 12.8 FÓRMULAS PARA LA CURVATURA
Si C es una curva suave dada por rstd, entonces la curvatura K de C en t está dada
por
K5
iT9stdi ir9std 3 r0 std i
5
.
ir9std i
ir9std i3
T(t)
∆s
C
T(t)
∆T
T(t + ∆t)
Como ir9std i 5 dsydt, la primera fórmula implica que la curvatura es el cociente de
la tasa o ritmo de cambio del vector tangente T entre la tasa o ritmo de cambio de la longitud de arco. Para ver que esto es razonable, sea Dt un número “pequeño”. Entonces,
T9std
fTst 1 Dtd 2 TstdgyDt Tst 1 Dtd 2 Tstd DT
<
5
5
.
dsydt
fsst 1 Dtd 2 sstdgyDt
sst 1 Dtd 2 sstd
Ds
En otras palabras, para un Ds dado, cuanto mayor sea la longitud de DT, la curva se dobla
más en t, como se muestra en la figura 12.35.
Figura 12.35
EJEMPLO 5
Hallar la curvatura de una curva en el espacio
1
Hallar la curvatura de la curva definida por rstd 5 2t i 1 t 2j 2 3 t 3k.
Solución No se sabe a simple vista si este parámetro representa la longitud de arco, así
es que hay que usar la fórmula K 5 iT9std iyir9std i.
r9std 5 2i 1 2t j 2 t 2k
ir9std i 5 !4 1 4t 2 1 t 4 5 t 2 1 2
Tstd 5
T9std 5
5
iT9std i 5
5
5
Longitud de r9std.
r9std
2i 1 2t j 2 t 2k
5
ir9std i
t2 1 2
st 2 1 2ds2j 2 2tkd 2 s2tds2i 1 2t j 2 t 2 kd
st 2 1 2d2
24t i 1 s4 2 2t 2dj 2 4tk
st 2 1 2d2
!16t 2 1 16 2 16t 2 1 4t 4 1 16t 2
st 2 1 2d2
2st 2 1 2d
st 2 1 2d2
t2
2
12
Longitud de T9std.
Por tanto,
K5
iT9std i
2
5 2
.
ir9std i
st 1 2d2
Curvatura.
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CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
El teorema siguiente presenta una fórmula para calcular la curvatura de una curva
plana dada por y 5 f sxd.
TEOREMA 12.9 CURVATURA EN COORDENADAS RECTANGULARES
Si C es la gráfica de una función dos veces derivable y 5 f sxd, entonces la curvatura
K en el punto sx, yd está dada por
K5
|y0 | .
f1 1 s y9 d2g 3y2
Si se representa la curva C por rsxd 5 xi 1 f sxdj 1 0k (donde x es el
parámetro), se obtiene r9sxd 5 i 1 f9sxdj,
DEMOSTRACIÓN
ir9sxd i 5 !1 1 f f9sxdg 2
y r0 sxd 5 f 0 sxdj. Como r9sxd 3 r0 sxd 5 f 0 sxdk, se sigue que la curvatura es
ir9sxd 3 r0 sxd i
ir9sxd i3
f 0 sxd
5
H1 1 f f9sxdg 2J 3y2
y0
5
.
f1 1 s y9 d2g 3y2
K5
|
y
r = radio de
curvatura
| |
K = 1r
P
r
x
Centro de
curvatura
C
El círculo de curvatura
Figura 12.36
Sea C una curva con curvatura K en el punto P. El círculo que pasa por el punto P de
radio r 5 1yK se denomina el círculo de curvatura si su centro se encuentra en el lado
cóncavo de la curva y tiene en común con la curva una recta tangente en el punto P. Al
radio se le llama el radio de curvatura en P, y al centro se le llama el centro de curvatura.
El círculo de curvatura permite estimar gráficamente la curvatura K en un punto P de
una curva. Usando un compás, se puede trazar un círculo contra el lado cóncavo de la
curva en el punto P, como se muestra en la figura 12.36. Si el círculo tiene radio r, se puede
estimar que la curvatura es K 5 1yr.
EJEMPLO 6
y=x
Solución La curvatura en x 5 2 se calcula como sigue:
P(2, 1)
1
Q(4, 0)
x
1
−1
2
(2, −1)
y9 5 1 2
3
y0 5 2
−2
K5
−3
−4
r= 1 =2
K
El círculo de curvatura
Figura 12.37
Hallar la curvatura en coordenadas rectangulares
Hallar la curvatura de la parábola dada por y 5 x 2 14x 2 en x 5 2. Dibujar el círculo de
curvatura en s2, 1d.
− 14 x 2
y
−1
|
1
2
x
2
|y0 |
f1 1 s y9 d2g 3y2
y9 5 0
y0 5 2
K5
1
2
1
2
Como la curvatura en Ps2, 1d es 12, el radio del círculo de curvatura en ese punto es 2. Por
tanto, el centro de curvatura es s2, 21d, como se muestra en la figura 12.37. [En la figura,
obsérvese que la curva tiene la mayor curvatura en P. Trate de mostrar que la curvatura en
Qs4, 0d es 1y25y2 < 0.177.]
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SECCIÓN 12.5
La fuerza del empuje lateral que perciben
los pasajeros en un automóvil que toma
una curva depende de dos factores: la rapidez del automóvil y lo brusco de la curva
Figura 12.38
Longitud de arco y curvatura
875
La longitud de arco y la curvatura están estrechamente relacionadas con las componentes tangencial y normal de la aceleración. La componente tangencial de la aceleración
es la tasa o ritmo de cambio de la rapidez, que a su vez es la tasa o ritmo de cambio de la
longitud de arco. Esta componente es negativa cuando un objeto en movimiento reduce su
velocidad y positiva cuando la aumenta, independientemente de si el objeto gira o viaja en
una recta. En consecuencia, la componente tangencial es solamente función de la longitud
de arco y es independiente de la curvatura.
Por otro lado, la componente normal de la aceleración es función tanto de la rapidez
como de la curvatura. Esta componente mide la aceleración que actúa perpendicular a la
dirección del movimiento. Para ver por qué afectan la rapidez y la curvatura a la componente normal, imaginarse conduciendo un automóvil por una curva, como se muestra en la
figura 12.38. Si la velocidad es alta y la curva muy cerrada, se sentirá empujado contra la
puerta del automóvil. Al bajar la velocidad o tomar una curva más suave, se disminuye este
efecto de empuje lateral.
El teorema siguiente establece explícitamente la relación entre rapidez, curvatura y
componentes de la aceleración.
TEOREMA 12.10 ACELERACIÓN, RAPIDEZ Y CURVATURA
Si rstd es el vector posición de una curva suave C, entonces el vector aceleración está
dado por
NOTA
El teorema 12.10 da fórmulas
adicionales para aT y aN.
n
astd 5
1 2
d 2s
ds
2 T 1 K
dt
dt
2
N
donde K es la curvatura de C y dsydt es la rapidez.
Para el vector posición rstd, se tiene
DEMOSTRACIÓN
astd 5 aTT 1 aNN
5 Dt fivigT 1 ivi iT9 iN
d 2s
ds
5 2 T 1 siviKdN
dt
dt
d 2s
ds 2
5 2T1K
N.
dt
dt
1 2
EJEMPLO 7
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Hallar aT y aN de la curva dada por
rstd 5 2t i 1 t 2j 2 13 t 3k.
Solución Por el ejemplo 5, se sabe que
ds
5 ir9std i 5 t 2 1 2 y
dt
K5
2
.
st 2 1 2d2
Por tanto,
aT 5
d 2s
5 2t
dt 2
Componente tangencial.
y
aN 5 K
1dsdt2
2
5
2
st 2 1 2d2 5 2.
st 2 1 2d2
Componente normal.
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Page 876
CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
Aplicación
Hay muchas aplicaciones prácticas en física e ingeniería dinámica en las que se emplean
las relaciones entre rapidez, longitud de arco, curvatura y aceleración. Una de estas aplicaciones se refiere a la fuerza de fricción o de rozamiento.
Un objeto de masa m en movimiento está en contacto con un objeto estacionario. La
fuerza requerida para producir una aceleración a a lo largo de una trayectoria dada es
F 5 ma 5 m
1ddt s2T 1 mK1dsdt2 N
2
2
2
5 maTT 1 maNN.
La porción de esta fuerza que es proporcionada por el objeto estacionario se llama fuerza
de fricción o de rozamiento. Por ejemplo, si un automóvil se mueve con rapidez constante tomando una curva, la carretera ejerce una fuerza de fricción o rozamiento que impide que el automóvil salga de la carretera. Si el automóvil no se desliza, la fuerza de fricción
es perpendicular a la dirección del movimiento y su magnitud es igual a la componente
normal de la aceleración, como se muestra en la figura 12.39. La fuerza de rozamiento
(o de fricción) potencial de una carretera en una curva puede incrementarse peraltando la
carretera.
Fuerza de
fricción
La fuerza de fricción es perpendicular a la dirección del movimiento
Figura 12.39
EJEMPLO 8
60 km/h
Fuerza de fricción
Un coche de carreras (kart) de 360 kilogramos viaja a una velocidad de 60 kilómetros por
hora por una pista circular de 12 metros de radio, como se muestra en la figura 12.40. ¿Qué
fuerza de fricción (o rozamiento) debe ejercer la superficie en los neumáticos para impedir
que el coche salga de su curso?
Solución La fuerza de fricción o rozamiento debe ser igual a la masa por la componente
normal de aceleración. En el caso de esta pista circular, se sabe que la curvatura es
12 m
K5
1
.
12
Curvatura de la pista circular.
Por consiguiente, la fuerza de fricción es
maN 5 mK
1dsdt2
2
5 s360 kgd
Figura 12.40
m
1121m2160,000
3 600sec
s 2
3600
< 88333
333 s(kg
kgds)(m
md)ysec
ys2. 2.
2
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SECCIÓN 12.5
Longitud de arco y curvatura
877
Resumen sobre velocidad, aceleración y curvatura
Sea C una curva (en el plano o en el espacio) dada por la función de posición
rstd 5 xstdi 1 ystdj
rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk.
Curva en el plano.
Curva en el espacio.
vstd 5 r9std
ds
ivstd i 5
5 ir9std i
dt
astd 5 r0 std 5 a TTstd 1 aNNstd
Vector velocidad, rapidez y
vector aceleración:
r9std
ir9std i
Vector unitario tangente y vector
unitario normal principal:
Tstd 5
Componentes de la aceleración:
aT 5 a ? T 5
y
Nstd 5
Vector velocidad.
Rapidez.
Vector aceleración.
T9std
iT9std i
v ? a d 2s
5 2
ivi
dt
iv 3 ai
ds
aN 5 a ? N 5
5 !iai2 2 aT2 5 K
ivi
dt
1 2
|y0 |
f1 1 s y9 d2g 3y2
x9y0 2 y9x0 |
K5 | 2
fsx9 d 1 s y9 d2g 3y2
Fórmulas para la curvatura en
el plano:
K5
Fórmulas para la curvatura en
el plano o en el espacio:
2
C dada por y 5 f sxd.
C dada por x 5 xstd, y 5 ystd.
K 5 iT9ssd i 5 ir0ssd i
iT9std i ir9std 3 r0 std i
K5
5
ir9std i
ir9std i3
astd ? Nstd
K5
ivstd i 2
s es el parámetro longitud de arco.
t es el parámetro general.
Las fórmulas con productos vectoriales aplican sólo a curvas en el espacio.
12.5 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 6, dibujar la curva plana y hallar su longitud en el intervalo dado.
1. r t
ti
3t j,
0, 4
2. r t
ti
t 2j,
0, 4
3. r t
t3 i
t2 j,
0, 2
4. r t
t
1i
t2 j,
cos3
5. r t
a
6. r t
a cos t i
ti
a
sen 3 t j,
a sen t j,
8. Movimiento de un proyectil Un objeto se lanza desde el nivel
del suelo. Determinar el ángulo del lanzamiento para obtener a) la
altura máxima, b) el alcance máximo y c) la longitud máxima de
la trayectoria. En el inciso c), tomar v0 5 96 pies por segundo.
0, 6
0, 2
0, 2
En los ejercicios 9 a 14, dibujar la curva en el espacio y hallar su
longitud sobre el intervalo dado.
Función
Intervalo
7. Movimiento de un proyectil Una pelota de béisbol es golpeada
desde 3 pies sobre el nivel del suelo a 100 pies por segundo y con
un ángulo de 45° con respecto al nivel del suelo.
10. r t
a) Hallar la función vectorial de la trayectoria de la pelota de
béisbol.
11. r t
4t,
b) Hallar la altura máxima.
12. r t
2 sen t, 5t, 2 cos t
c) Hallar el alcance.
13. r t
a cos t i
a sen t j
14. r t
cos t
t sen t, sen t
d) Hallar la longitud de arco de la trayectoria.
9. r t
ti
4t j
t2j
i
3t k
0, 1
t3 k
0, 2
cos t, sen t
0,
3
2
0,
bt k
t cos t, t 2
0, 2
0,
2
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CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
En los ejercicios 15 y 16, usar las funciones de integración de una
herramienta de graficación para aproximar la longitud de la
curva en el espacio sobre el intervalo dado.
Función
27. r t
ti
1
j,
t
28. r t
ti
1 3
t j,
9
Intervalo
15. rstd 5 t 2 i 1 t j 1 ln t k
1 ≤ t ≤ 3
sin p t i 1 cos p t j 1 t k
16. rstd 5 sen
t
1
t
2
29. r t
t, sen t ,
30. r t
5 cos t, 4 sen t ,
t
2
0 ≤ t ≤ 2
3
17. Investigación Considerar la gráfica de la función vectorial
rstd 5 t i 1 s4 2 t 2dj 1 t3 k en el intervalo f0, 2g.
t
3
En los ejercicios 31 a 40, hallar la curvatura K de la curva.
a) Aproximar la longitud de la curva hallando la longitud del
segmento de recta que une sus extremos.
31. rstd 5 4 cos 2p t i 1 4 sen
sin 2p t j
b) Aproximar la longitud de la curva sumando las longitudes de
los segmentos de recta que unen los extremos de los vectores
rs0d, rs0.5d, rs1d, rs1.5d, y rs2d.
sen v t j
33. rstd 5 a cos v t i 1 a sin
c) Describir cómo obtener una estimación más exacta mediante los procesos de los incisos a) y b).
d) Usar las funciones de integración de una herramienta de
graficación para aproximar la longitud de la curva. Comparar
este resultado con las respuestas de los incisos a) y b).
18. Investigación Repetir el ejercicio 17 con la función vectorial
rstd 5 6 cossp ty4d i 1 2 sen
sinsp ty4d j 1 t k.
19. Investigación Considerar la hélice representada por la función
vectorial rstd 5 k2 cos t, 2 sin
sen t, tl.
a) Expresar la longitud de arco s de la hélice como función de t
evaluando la integral
E
t
s5
0
!fx9sudg2 1 f y9sudg2 1 fz9sudg 2 du.
b) Despejar t en la relación deducida en el inciso a), y sustituir
el resultado en el conjunto de ecuaciones paramétricas original. Esto da una parametrización de la curva en términos del
parámetro longitud de arco s.
c) Hallar las coordenadas del punto en la hélice con longitud de
arco s 5 !5 y s 5 4.
d) Verificar que ir9ssdi 5 1.
sen t 2 t cos td, 4scos t 1 t sen
rstd 5 k 4ssin
sin td, 32 t2l.
En los ejercicios 21 a 24, hallar la curvatura K de la curva donde
s es el parámetro longitud de arco.
1
!2
2
2 1
s i1 12
sen v t j
34. rstd 5 a cos v t i 1 b sin
sen vtd, as1 2 cos vtdl
35. rstd 5 kasvt 2 sin
sen vt 2 vt cos vtl
sin vt, sin
36. rstd 5 kcos vt 1 vt sen
37. rstd 5 t i 1 t 2 j 1
!2
2
2
s j
22. rssd 5 s3 1 sdi 1 j
sin t, tl
23. La hélice del ejercicio 19: rstd 5 k2 cos t, 2 sen
t2
k
2
1
38. rstd 5 2t 2 i 1 tj 1 t 2 k
2
sen t k
39. rstd 5 4t i 1 3 cos t j 1 3 sin
e2t i
40. r t
e2t cos t j
e2t sen tk
En los ejercicios 41 a 44, encontrar la curvatura K de la curva en
el punto P.
41. r t
3ti
2t2j,
42. r t
et i
4tj, P 1, 0
43. r t
ti
44. r t
et cos ti
P
3, 2
t3
k,
4
t2j
P 2, 4, 2
et sen tj
45. y 5 3x 2 2,
x5a
49. y
cos 2x, x
a2
51. y
53. y
x 5 21
2
x 2, x
3
x, x
0
2
En los ejercicios 25 a 30, hallar la curvatura K de la curva plana
en el valor dado del parámetro.
25. rstd 5 4t i 2 2t j, t 5 1
t 2i j, t 2
26. r t
P 1, 0, 1
46. y 5 mx 1 b, x 5 a
4
48. y 5 2x 1 , x 5 1
x
50. y e3x, x 0
3
4
52. y
x 2,
16
n
54. y
x, x
1,
x
n
0
2
Redacción En los ejercicios 55 y 56, se dan dos círculos de curvatura de la gráfica de la función. a) Hallar la ecuación del
círculo menor, y b) escribir un párrafo corto que explique por
qué los círculos tienen radios diferentes.
55. f sxd 5 sen
sin x
56. f sxd 5 4x 2ysx 2 1 3d
y
y
24. La curva del ejercicio 20:
rstd 5 k 4ssen
sin t 2 t cos td, 4scos t 1 t sen
sin td, 32 t 2l
et k,
En los ejercicios 45 a 54, hallar la curvatura y el radio de curvatura de la curva plana en el valor dado de x.
47. y 5 2x 2 1 3,
20. Investigación Repetir el ejercicio 19 con la curva representada por la función vectorial
21. rssd 5 1 1
32. rstd 5 2 cos p t i 1 sin
sen p t j
3
2
6
(π2 , 1)
π
−2
−3
( −π3 , − 23 )
4
(3, 3)
x
x
(0, 0)
−4
−6
2
4
6
8
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SECCIÓN 12.5
En los ejercicios 57 a 60, usar una herramienta de graficación
para representar la función. En la misma pantalla, representar
el círculo de curvatura de la gráfica en el valor dado de x.
1
57. y 5 x 1 ,
x
59. y 5 e x,
x51
x50
58. y 5 ln x,
60. y 5 x3,
77. Dada una función dos veces derivable y 5 f sxd, determinar su
curvatura en un extremo relativo. ¿Puede la curvatura tener
valores mayores que los que alcanza en un extremo relativo?
¿Por qué sí o por qué no?
x51
Evoluta Un evoluta es la curva formada por el conjunto de centros de curvatura de una curva. En los ejercicios 61 y 62 se dan
una curva y su evoluta. Usar un compás para trazar los
círculos de curvatura con centros en los puntos A y B.
x 5 t 2 sen
sin t
61. Cicloide:
Para discusión
78. Una partícula se mueve a lo largo de la curva plana C descrita por r(t) 5 ti 1 t2j.
a) Encontrar la longitud de C en el intervalo 0 # t # 2.
y
y 5 1 2 cos t
b) Encontrar la curvatura K de la curva plana en t 5 0,
t 5 1 y t 5 2.
π
x 5 sen
sin t 1 t
Evoluta:
y 5 cos t 2 1
π
c) Describir la curvatura de C cuando t varía desde t 5 0
hasta t 5 2.
x
B
79. En la elipse dada por x 2 1 4y 2 5 4., mostrar que la curvatura es
mayor en los puntos terminales del eje mayor, y es menor en los
puntos terminales del eje menor.
A
−π
x 5 3 cos t
62. Elipse:
y
y 5 2 sen
sin t
80. Investigación Hallar todos los a y b tales que las dos curvas
dadas por
x
y1 5 axsb 2 xd y y2 5
x12
π
x 5 53 cos3 t
Evoluta:
B
sen33 t
y 5 52 sin
−π
A
π
x
−π
se corten en un solo punto y tengan una recta tangente común y
curvatura igual en ese punto. Trazar una gráfica para cada conjunto de valores de a y b.
CAS
81. Investigación Considerar la función f sxd 5 x 4 2 x 2.
a) Usar un sistema computacional para álgebra y encontrar la
curvatura K de la curva como función de x.
En los ejercicios 63 a 70 a) hallar el punto de la curva en el que
la curvatura K es máxima y b) hallar el límite de K cuando
x → `.
63. y 5 sx 2 1d2 1 3
64. y 5 x3
65. y 5 x 2y3
66. y 5
67. y 5 ln x
68. y 5 e
69. y
70. y
senh x
71. y 5 1 2
73. y 5 cos x
b) Usar el resultado del inciso a) para hallar los círculos de curvatura de la gráfica de f en x 5 0 y x 5 1. Usar un sistema
algebraico por computadora y representar gráficamente la
función y los dos círculos de curvatura.
1
x
c) Representar gráficamente la función Ksxd y compararla con
la gráfica de f sxd. Por ejemplo, ¿se presentan los extremos de
f y K en los mismos números críticos? Explicar el razonamiento.
x
cosh x
En los ejercicios 71 a 74, hallar todos los puntos de la gráfica de
una función en los que la curvatura es cero.
x3
879
Desarrollo de conceptos (continuación)
x51
1
3
Longitud de arco y curvatura
82. Investigación La superficie de una copa se forma por revolución de la gráfica de la función
y 5 14 x 8y5,
72. y 5 sx 2 1d 1 3
sin x
74. y 5 sen
0 ≤ x ≤ 5
en torno al eje y. Las medidas se dan en centímetros.
3
CAS
a) Usar un sistema algebraico por computadora y representar
gráficamente la superficie.
b) Hallar el volumen de la copa.
Desarrollo de conceptos
c) Hallar la curvatura K de la curva generatriz como función de
x. Usar una herramienta de graficación para representar K.
75. a) Dada la fórmula para la longitud de arco de una curva
suave en el espacio.
d) Si un objeto esférico se deja caer en la copa, ¿es posible que
toque el fondo? Explicar la respuesta.
b) Dada las fórmulas para la curvatura en el plano y en el
espacio.
83. Una esfera de radio 4 se deja caer en el paraboloide dado por
z 5 x 2 1 y 2.
76. Describir la gráfica de una función vectorial para la que la
curvatura sea 0 en todos los valores t de su dominio.
a) ¿Qué tanto se acercará la esfera al vértice del paraboloide?
b) ¿Cuál es el radio de la esfera mayor que toca el vértice?
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CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
84. Rapidez Cuanto menor es la curvatura en una curva de una
carretera, mayor es la velocidad a la que pueden ir los automóviles. Suponer que la velocidad máxima en una curva es
inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la curvatura. Un
automóvil que recorre la trayectoria y 5 13 x3 (x y y medidos en
millas) puede ir con seguridad a 30 millas por hora en s1, 13 d.
¿Qué tan rápido puede ir en s32, 98 d?
85. Sea C una curva dada por y 5 f sxd. Sea K la curvatura sK Þ 0d
en el punto Psx0, y0d y sea
z5
1 1 f9sx0d2
.
f 0 sx0d
Mostrar que las coordenadas sa, bd del centro de curvatura en P
son sa, bd 5 sx0 2 f9sx0dz, y0 1 zd.
86. Usar el resultado del ejercicio 85 para hallar el centro de curvatura de la curva en el punto dado.
a) y 5 e x,
s0, 1d b) y 5
x2
,
2
11, 122
c) y 5 x2,
s0, 0d
87. Se da una curva C por medio de la ecuación polar r 5 f sud.
Mostrar que la curvatura K en el punto sr, ud es
K5
f2sr9 d2 2 rr0 1 r2g
.
fsr9 d2 1 r2g3y2
fSugerencia: Representar la curva por r1u2 5 r cos u i 1 r sen u j.]
88. Usar el resultado del ejercicio 87 para hallar la curvatura de cada
una de las curvas polares.
a) r 5 1 1 sen
sin u
b) r 5 u
sen u
c) r 5 a sin
d) r 5 eu
89. Dada la curva polar r 5 eau, a > 0, hallar la curvatura K y determinar el límite de K cuando a) u → ` y b) a → `.
90. Mostrar que la fórmula para la curvatura de una curva polar
r 5 f sud dada en el ejercicio 87 se reduce a K 5 2y r9 para la
curvatura en el polo.
| |
En los ejercicios 91 y 92, usar el resultado del ejercicio 90 para
hallar la curvatura de la curva rosa en el polo.
91. r 5 4 sen
sin 2u
92. r 5 6 cos 3u
93. Para la curva suave dada por las ecuaciones paramétricas
x 5 f std y y 5 gstd, demostrar que la curvatura está dada por
K5
| f9stdg0 std 2 g9stdf 0 std| .
Hf f9stdg 2 1 f g9 stdg 2J3y2
97. Fuerza de rozamiento o de fricción Un vehículo de 5 500
libras va a una velocidad de 30 millas por hora por una glorieta de 100 pies de radio. ¿Cuál es la fuerza de fricción o de rozamiento que debe ejercer la superficie de la carretera en los
neumáticos para impedir que el vehículo salga de curso?
98. Fuerza de rozamiento o de fricción Un vehículo de 6 400
libras viaja a 35 millas por hora en una glorieta de 250 pies de
radio. ¿Cuál es la fuerza de fricción o de rozamiento que debe
ejercer la superficie de la carretera en los neumáticos para
impedir que el vehículo salga de curso?
99. Verificar que la curvatura en cualquier punto sx, yd de la gráfica de y 5 cosh x es 1yy2.
100. Usar la definición de curvatura en el espacio K 5 iT9(s)i 5
ir0(s)i, para verificar cada una de las fórmulas siguientes.
iT9std i
a) K 5
ir9std i
ir9std 3 r0 std i
b) K 5
ir9std i3
c) K 5
astd ? Nstd
ivstd i2
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 101 a 104, determinar si la
declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o
dar un ejemplo que demuestre que es falsa.
101. La longitud de arco de una curva en el espacio depende de la
parametrización.
102. La curvatura de un círculo es igual a su radio.
103. La curvatura de una recta es 0.
104. La componente normal de la aceleración es función tanto de la
velocidad como de la curvatura.
Leyes de Kepler En los ejercicios 105 a 112, se pide verificar las
leyes de Kepler del movimiento planetario. En estos ejercicios,
suponer que todo planeta se mueve en una órbita dada por la
función vectorial r. Sean r 5 r , G la constante gravitatoria
universal, M la masa del Sol y m la masa del planeta.
|| ||
dr
.
dt
106. Usando la segunda ley del movimiento de Newton, F 5 ma, y
la segunda ley de la gravitación de Newton, F 5 21GmMYr32r,
mostrar que a y r son paralelos, y que rstd 3 r9std 5 L es un
vector constante. Por tanto, rstd se mueve en un plano fijo, ortogonal a L.
105. Demostrar que r ? r9 5 r
34
d r
1
5 3 Hfr 3 r9 g 3 rJ.
dt r
r
r9
r
108. Mostrar que
3 L 2 5 e es un vector constante.
GM
r
109. Demostrar la primera ley de Kepler: todo planeta describe una
órbita elíptica con el Sol como uno de sus focos.
94. Usar el resultado del ejercicio 93 para encontrar la curvatura K
de la curva representada por ecuaciones paramétricas xstd 5 t3 y
ystd 5 12t 2. Usar una herramienta de graficación para representar
K y determinar toda asíntota horizontal. Interpretar las asíntotas
en el contexto del problema.
107. Demostrar que
95. Usar el resultado del ejercicio 93 para encontrar la curvatura K
de la cicloide representada por las ecuaciones paramétricas
110. Suponer que la órbita elíptica r 5 edys1 1 e cos ud está en el
plano xy, con L a lo largo del eje z. Demostrar que
i L i 5 r 2 duydt.
xsud 5 asu 2 sen
sin ud y
ysud 5 as1 2 cos ud.
¿Cuáles son los valores mínimo y máximo de K?
96. Usar el teorema 12.10 para encontrar aT y aN de cada una de las
curvas dadas por las funciones vectoriales.
a) rstd 5 3t 2 i 1 s3t 2 t 3dj
b) rstd 5 t i 1 t 2 j 1 12 t 2 k
111. Demostrar la segunda ley de Kepler: todo rayo del Sol a un
planeta barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales.
112. Demostrar la tercera ley de Kepler: el cuadrado del periodo de
la órbita de un planeta es proporcional al cubo de la distancia
media entre el planeta y el Sol.
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881
Ejercicios de repaso
Ejercicios de repaso
12
En los ejercicios 1 a 4, a) hallar el dominio de r y b) determinar
los valores de t (si los hay) en los que la función es continua.
1
1. r(t) 5 tan t i 1 j 1 t k
2. rstd 5 !t i 1
j1k
t24
3. rstd 5 ln t i 1 t j 1 t k
4. rstd 5 s2t 1 1d i 1 t 2 j 1 t k
En los ejercicios 5 y 6, evaluar (si es posible) la función vectorial
en cada uno de los valores dados de t.
5. r t
2t
t2 j
1i
t
1p2 2
c) rss 2 pd d) rsp 1 Dtd 2 rspd
CAS
cos t,
sen t
8. r t
2, t2
t
1
En los ejercicios 9 a 14, usar un sistema algebraico por computadora a fin de representar gráficamente la curva en el espacio
representada por la función vectorial.
9. rstd 5 i 1 t j 1 t 2 k
t2 i
10. r t
11. rstd 5 k1, sen
sin t, 1l
t3 k
3t j
12. rstd 5 k2 cos t, t, 2 sen
sin tl
1
13. rstd 5 k t, ln t, 2t 2l
14. rstd 5
En los ejercicios 15 y 16, hallar las funciones vectoriales que
describen la frontera de la región de la figura.
y
15.
b) r0 xtc
d) Dt [uxtc 2 2rxtc]
e) Dt [ rxtc ] , t > 0
|| ||
5
4
4
3
3
2
2
1
3
4
5
1
k
t
En los ejercicios 27 a 30, hallar la integral indefinida.
27.
30.
E
E
E
scos t i 1 t cos t jd dt
28.
E
sln t i 1 t ln t j 1 kd dt
icos t i 1 sen
sin t j 1 t ki dt
st j 1 t 2 kd 3 si 1 t j 1 t kd dt
E
E
33.
s3t i 1 2t 2 j 2 t 3 kd dt
32.
1
2
3
4
5
17. Una partícula se mueve en una trayectoria recta que pasa por los
puntos s22, 23, 8d y s5, 1, 22d. Hallar una función vectorial
para esta trayectoria. (Hay muchas respuestas correctas.)
18. El borde exterior de una escalera de caracol tiene forma de una
hélice de 2 metros de radio. La altura de la escalera es 2 metros
y gira tres cuartos de una revolución completa de abajo a arriba.
Hallar una función vectorial para la hélice. (Hay muchas respuestas correctas.)
d
!t j 1 t sen
sin tk dt
0
1
se ty2 i 2 3t 2 j 2 kd dt
34.
21
0
x
Es
E
1
22
2
1
2
1
26. Redacción La componente x de la derivada de la función vectorial u es 0 para t en el dominio de la función. ¿Qué implica
esta información acerca de la gráfica de u?
31.
x
1
f) Dt [rxtc 3 uxtc]
2 3
3t k
25. Redacción Las componentes x y y de la derivada de la función
vectorial u son positivas en t 5 t0, y la componente z
es negativa. Describir el comportamiento de u en t 5 t0.
2
5
t2 j
En los ejercicios 31 a 34, evaluar la integral definida.
y
16.
c) Dt [rxtc ? uxtc]
a) r9xtc
29.
k 12t, !t, 14t 3l
2
En los ejercicios 23 y 24, hallar lo siguiente.
sin t i 1 cos t j 1 t k, ustd 5 sen
sin t i 1 cos t j 1
24. rstd 5 sen
En los ejercicios 7 y 8, trazar la curva plana representada por la
función vectorial y dar la orientación de la curva.
7. r t
1
23. rstd 5 3t i 1 st 2 1d j, ustd 5 t i 1
2k
a) rs0d b) rs22d c) rsc 2 1d d) rs1 1 Dtd 2 rs1d
6. rstd 5 3 cos t i 1 s1 2 sen
sin td j 2 t k
a) rs0d b) r
En los ejercicios 21 y 22, evaluar el límite.
sen
sin 2t
lím
21. lím t i
22. lim
i 1 e2t j 1 et k
4 tj k
t→0
t→4
t
st 3 i 1 arcsen
arcsin tj 2 t 2 kd dt
En los ejercicios 35 y 36, hallar rxtc para las condiciones dadas.
35. r9std 5 2t i 1 et j 1 e2t k, rs0d 5 i 1 3j 2 5k
36. r9std 5 sec t i 1 tan t j 1 t 2 k, rs0d 5 3k
En los ejercicios 37 a 40, el vector posición r describe la trayectoria de un objeto que se mueve en el espacio. Hallar la velocidad, la rapidez y la aceleración del objeto.
37. r t
4ti
t3j
tk
sen33 t, 3tl
39. rstd 5 kcos3 t, sin
38. r t
ti
5tj
2t2k
40. rstd 5 kt, 2tan t, et l
En los ejercicios 19 y 20, dibujar la curva en el espacio representada por la intersección de las superficies. Usar el parámetro x 5 t para hallar una función vectorial para la curva en el
espacio.
Aproximación lineal En los ejercicios 41 y 42, hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la gráfica de la función vectorial en t 5 t0. Usar las ecuaciones de la
recta para aproximar rxt0 1 0.1c.
19. z 5 x 2 1 y 2,
x1y50
41. rstd 5 lnst 2 3d i 1 t 2 j 1 12t k,
20. x 2 1 z 2 5 4,
x2y50
t0 5 4
42. rstd 5 3 cosh t i 1 senh
sinh t j 2 2t k, t0 5 0
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18:24
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CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
Movimiento de un proyectil En los ejercicios 43 a 46, usar el
modelo para el movimiento de un proyectil, suponiendo que no
hay resistencia del aire. [axtc 5 232 pies por segundo al cuadrado o astd 5 29.8 metros por segundo al cuadrado.]
En los ejercicios 59 a 62, dibujar la curva plana y hallar su longitud en el intervalo dado.
43. Un proyectil se dispara desde el nivel del suelo a una velocidad
inicial de 84 pies por segundo con un ángulo de 30° con la horizontal. Hallar el alcance del proyectil.
60. rstd 5 t 2 i 1 2tk
44. El centro de la caja de un camión está a 6 pies hacia abajo y a 4
pies horizontalmente del extremo de una cinta transportadora
horizontal que descarga grava (ver la figura). Determinar la
velocidad dsydt a que la cinta transportadora debe moverse para
que la grava caiga en el centro de la caja del camión.
v0
Función
Intervalo
59. rstd 5 2ti 2 3tj
f0, 5g
f0, 3g
f0, 2pg
f0, 2pg
sin3 t j
61. rstd 5 10 cos3 t i 1 10 sen
sin t j
62. rstd 5 10 cos t i 1 10 sen
En los ejercicios 63 a 66, dibujar la curva en el espacio y hallar
su longitud en el intervalo dado.
Función
Intervalo
f0, 3g
f0, 2g
f0, py2g
f0, py2g
63. rstd 5 23t i 1 2tj 1 4tk
4 pies
64. rstd 5 ti 1 t 2 j 1 2tk
sin t, tl
65. rstd 5 k8 cos t, 8 sen
6 pies
sin t 2 t cos td, 2scos t 1 t sen
sin td, tl
66. rstd 5 k2ssen
En los ejercicios 67 a 70, hallar la curvatura K de la curva.
67. rstd 5 3ti 1 2tj
45. Un proyectil se dispara desde el nivel del suelo con un ángulo de
20° con la horizontal. El proyectil tiene un alcance de 95 metros.
Hallar la velocidad inicial mínima.
46. Usar una herramienta de graficación para representar las trayectorias de un proyectil si v0 5 20 metros por segundo, h 5 0 y
a) u 5 308, b) u 5 45° y c) u 5 608. Usar las gráficas para
aproximar en cada caso la altura máxima y el alcance máximo
del proyectil.
En los ejercicios 47 a 54, hallar la velocidad, la rapidez y la aceleración en el instante t. A continuación hallar a ? T y a ? N en el
instante t.
47. rstd 5 s2 2 td i 1 3tj
48. rstd 5 s1 1 4td i 1 s2 2 3td j
49. rstd 5 t i 1 !t j
50. rstd 5 2st 1 1d i 1
2
j
t11
51. rstd 5 et i 1 e2t j
sin t j
52. rstd 5 t cos t i 1 t sen
69. rstd 5 2ti 1
1 2
2t j
68. rstd 5 2!t i 1 3tj
1
t2k
sin tk
70. rstd 5 2ti 1 5 cos tj 1 5 sen
En los ejercicios 71 y 72, encontrar la curvatura K de la curva en
el punto P.
71. rstd 5
1 2
1
t i 1 tj 1 t3k,
2
3
P
112, 1, 132
sin tj 1 tk, Ps24, 0, pd
72. rstd 5 4 cos ti 1 3 sen
En los ejercicios 73 a 76, hallar la curvatura y el radio de curvatura de la curva plana en el valor dado de x.
73. y 5 12 x 2 1 2,
x54
74. y 5 e2xy2,
x50
p
4
77. Redacción Un ingeniero civil diseña una autopista como se
muestra en la figura. BC es un arco del círculo. AB y CD son
rectas tangentes al arco circular. Criticar el diseño.
75. y 5 ln x,
1 2
t k
2
1
54. rstd 5 st 2 1d i 1 t j 1 k
t
53. rstd 5 t i 1 t 2 j 1
x51
B
76. y 5 tan x, x 5
y
C
2
(1, 1)
1
x
En los ejercicios 55 y 56, hallar un conjunto de ecuaciones
paramétricas para la recta tangente a la curva en el espacio en el
punto dado.
p
sin t j 1 t k, t 5
55. rstd 5 2 cos t i 1 2 sen
3
2
56. rstd 5 t i 1 t 2 j 1 3t3 k, t 5 2
57. Órbita de un satélite Hallar la velocidad necesaria para que un
satélite mantenga una órbita circular 550 millas sobre la superficie de la Tierra.
58. Fuerza centrípeta Un automóvil circula por una glorieta al
doble de la velocidad permitida. ¿En un factor de cuánto aumenta la fuerza centrípeta sobre la que se tendría a la velocidad permitida?
A
D
−2
1
2
3
(− 1, −1)
Figura para 77
Figura para 78
78. Un segmento de recta se extiende horizontalmente a la izquierda desde el punto s21, 21d. Otro segmento de recta se extiende horizontalmente a la derecha del punto s1, 1d, como se
muestra en la figura. Hallar una curva de la forma
y 5 ax 5 1 bx 3 1 cx
que una los puntos s21, 21d y s1, 1d de manera que la pendiente y curvatura de la curva sean cero en los puntos terminales.
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Solución de problemas
Solución de problemas
SP
1. La espiral de Cornu está dada por
E
t
xstd 5
883
cos
0
E
t
pu2
1 2 2 du
y
ystd 5
0
pu2
1 2 2 du.
sin
sen
4. Repetir el ejercicio 3 si el bombardero está orientado en dirección
opuesta a la del lanzamiento, como se muestra en la figura.
y
4 000
La espiral mostrada en la figura fue trazada sobre el intervalo
2 p ≤ t ≤ p.
3 200
Bomba
1 600
Proyectil
θ
Cañón
x
5 000
5. Considerar un arco de la cicloide
rsud 5 su 2 sen
sin udi 1 s1 2 cos udj, 0 # u # 2p
Generada con Mathematica
a) Hallar la longitud de arco de esta curva desde t 5 0 hasta
t 5 a.
b) Hallar la curvatura de la gráfica cuando t 5 a.
c) La espiral de Cornu la descubrió James Bernoulli. Bernoulli
encontró que la espiral tiene una relación interesante entre
curvatura y longitud del arco. ¿Cuál es esta relación?
que se muestra en la figura. Sea s(u) la longitud de arco desde el
punto más alto del arco hasta el punto (x(u), y(u)), y sea r(u) 5
1
el radio de curvatura en el punto (x(u), y(u)).
K
Mostrar que s y r están relacionados por la ecuación s2 1 r2 5
16. (Esta ecuación se llama ecuación natural de la curva.)
y
2. Sea T la recta tangente en el punto Psx, yd a la gráfica de la curva
x 2y3 1 y2y3 5 a 2y3, a > 0, como se observa en la figura. Mostrar
que el radio de curvatura en P es el triple de la distancia del origen a la recta tangente T.
(x(θ ), y(θ ))
y
a
x
P(x, y)
π
x
a
−a
T
−a
3. Un bombardero vuela horizontalmente a una altitud de 3 200 pies
con una velocidad de 400 pies por segundo cuando suelta una
bomba. Un proyectil se lanza 5 segundos después desde un cañón
orientado hacia el bombardero y abajo a 5 000 pies del punto
original del bombardero, como se muestra en la figura. El proyectil va a interceptar la bomba a una altitud de 1 600 pies.
Determinar la velocidad inicial y el ángulo de inclinación del
proyectil. (Despreciar la resistencia del aire.)
y
2π
6. Considere la cardioide r 5 1 2 cos u, 0 ≤ u ≤ 2p, que se
muestra en la figura. Sea ssud la longitud de arco desde el punto
1
s2, pd de la cardioide hasta el punto sr, ud, y sea rsud 5 el
K
radio de curvatura en el punto sr, ud. Mostrar que s y r están relacionados por la ecuación s 2 1 9r2 5 16. (Esta ecuación se llama
ecuación natural de la curva.)
π
2
(r, θ )
(2, π )
0
1
4 000
3 200
Bomba
1 600
7. Si rstd es una función no nula y derivable en t, demostrar que
Proyectil
θ
x
Cañón
5 000
d
1
sirstdid 5
r std ? r9std.
dt
irstdi
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884
18:24
Page 884
CAPÍTULO 12
Funciones vectoriales
8. Un satélite de comunicaciones se mueve en una órbita circular
alrededor de la Tierra a una distancia de 42 000 kilómetros del
centro de la Tierra. La velocidad angular
du
p
radianes por hora
5v5
dt
12
a) Utilizar coordenadas polares para mostrar que el vector aceleración está dado por
d 2r
d 2r
du
5
2r
2
dt
dt 2
dt
1 2 4u 1 3r ddtu 1 2 drdt ddtu4u
3
a) Usar una herramienta de graficación para representar la función.
b) Hallar la longitud de arco en el inciso a).
es constante.
a5
13. Considerar la función vectorial rstd 5 kt cos p t, t sen
sin p tl,
0 # t # 2.
2
2
r
2
u
donde ur 5 cos u i 1 sen
sin u j es el vector unitario en la dirección radial y uu 5 2sin
sen u i 1 cos uj.
b) Hallar las componentes radial y angular de la aceleración
para el satélite.
En los ejercicios 9 a 11, usar el vector binormal definido por la
ecuación B 5 T 3 N.
9. Hallar los vectores unitario tangente, unitario normal y binorp
sin tj 1 3tk en t 5 .
mal a la hélice rstd 5 4 cos ti 1 4 sen
2
Dibujar la hélice junto con estos tres vectores unitarios mutuamente ortogonales.
10. Hallar los vectores unitario tangente, unitario normal y binorp
mal a la curva rstd 5 cos ti 1 sen
sin tj 2 k en t 5 . Dibujar la
4
hélice junto con estos tres vectores unitarios mutuamente ortogonales.
c) Hallar la curvatura K como función de t. Hallar las curvaturas cuando t es 0, 1 y 2.
d) Usar una herramienta de graficación para representar la función K.
e) Hallar (si es posible) el lím
lim K.
t→ `
f) Con el resultado del inciso e), hacer conjeturas acerca de la
gráfica de r cuando t → `.
14. Se quiere lanzar un objeto a un amigo que está en una rueda de
la fortuna (ver la figura). Las ecuaciones paramétricas siguientes dan la trayectoria del amigo r1std y la trayectoria del objeto r2std. La distancia está dada en metros y el tiempo en segundos.
1
r1std 5 15 sen
sin
pt
pt
i 1 16 2 15 cos
j
10
10
2 1
2
r2std 5 f22 2 8.03st 2 t0dg i 1
f1 1 11.47st 2 t0d 2 4.9st 2 t0d2g j
11. a) Demostrar que existe un escalar t, llamado torsión, tal que
dByds 5 2 t N.
b) Demostrar que
dN
5 2K T 1 t B.
ds
(Las tres ecuaciones dTyds 5 K N, dNyds 5 2K T 1 t B, y
dByds 5 2 t N son llamadas las fórmulas de Frenet-Serret.)
12. Una autopista tiene una rampa de salida que empieza en el ori1 5y2
gen de un sistema coordenado y sigue la curva y 5 32
x hasta
el punto (4, 1) (ver la figura). Después sigue una trayectoria
circular cuya curvatura es la dada por la curva en s4, 1d. ¿Cuál
es el radio del arco circular? Explicar por qué la curva y el arco
circular deben tener en (4, 1) la misma curvatura.
Arco
circular
y
a) Localizar la posición del amigo en la rueda en el instante
t 5 0.
b) Determinar el número de revoluciones por minuto de la
rueda.
4
y=
1 5/2
x
32
c) ¿Cuál es la rapidez y el ángulo de inclinación (en grados) al
que el objeto es lanzado en el instante t 5 t0?
2
(4, 1)
x
2
4
6
d) Usar una herramienta de graficación para representar las funciones vectoriales usando un valor de t0 que permite al amigo
alcanzar el objeto. (Hacer esto por ensayo y error.) Explicar
la importancia de t0.
e) Hallar el instante aproximado en el que el amigo deberá
poder atrapar el objeto. Aproximar las velocidades del amigo y del objeto en ese instante.
1053714_cop13.qxd
Larson-13-01.qxd
10/27/08
12:04 PM
3/12/09 18:39
PagePage
885 885
Functions
of de
Several
Funciones
varias
Functions
of
Several
Variables
Variables
variables
13
13
13
In
this
chapter,
you
will
study
functions
of
In
Inthis
thischapter,
chapter,you
youwill
willstudy
studyfunctions
functionsof
of
En
este
capítulo
se estudiarán
funciones
more
than
one
independent
variable.
Many
more
more
than
than
one
one
independent
independent
variable.
variable.
Many
Many
In this chapter, you will study functions of
de
másconcepts
de una variable
independiente.
of
the
concepts
presented
are
extensions
of
of
ofthe
the
concepts
presented
presented
are
are
extensions
extensions
of
of
more
than
one independent
variable.
Many
Muchos
de
los
conceptos
presentados
familiar
ideas
from
earlier
chapters.
familiar
familiar
ideas
ideas
from
from
earlier
earlier
chapters.
chapters.
of the concepts presented are extensions of
son extensiones de ideas familiares de
familiar
ideas from
earlier
chapters.
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estechapter,
capítulo,you
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■
How
to
sketch
graph,
level
curves,
■n
■ How
How
to
totrazar
sketch
sketchuna
aaagraph,
graph,
level
level
curves,
curves,
Cómo
gráfica,
curvas
de
and
level
surfaces.
(
13.1
)
and
level
level
surfaces.
surfaces.
(
(
13.1
13.1
)
)
■ and
nivel
y
superficies
de
nivel.
(
13.1
)
How to sketch a graph, level curves,
■
How
to
find
a
limit
and
determine
■
■
and
level
surfaces.
13.1
) y determiHow
totoencontrar
find
find
aalimit
limit
and
determine
determine
n How
Cómo
un(and
límite
continuity.
13.2
continuity.
(((13.2
13.2
))) and
■ continuity.
nar latocontinuidad.
(13.2
)
How
find
a limit
determine
■
How
to
find
and
use
a
partial
derivative.
■
■ How
continuity.
(
13.2
)
n
How
to
to
find
find
and
and
use
use
a
a
partial
partial
derivative.
derivative.
Cómo encontrar y usar una derivada
(
13.3
)
(
(
13.3
13.3
)
)
parcial.
(13.3
) use a partial derivative.
■ How
to find
and
■
n
Cómo
y usar
unadifferential
diferenHow
to
find
and
use
total
differential
■
■ How
(How
13.3to
)toencontrar
find
findand
anduse
use
aaatotal
total
differential
cial
total
y
determinar
diferenciabili13.4
and
determine
differentiability.
and
and
determine
determine
differentiability.
differentiability.
(((13.4
13.4)))
■ How to find and use a total differential
dad.
(
13.4
)
■
How
to
use
the
Chain
Rules
and
find
■■ How
and
13.4
Howdetermine
to
touse
usethe
thedifferentiability.
Chain
ChainRules
Rulesand
and(find
find)aaa
n partial
Cómoderivative
usar la regla
de la cadena
derivative
implicitly.
(
13.5
)
partial
derivative
implicitly.
implicitly.
(
(
13.5
13.5
)
)y a
■ partial
How to use the Chain Rules and find
encontrar
una
derivada
parcial
implí■
How
to
find
and
use
directional
■
■ How
partial
implicitly.
(13.5)
Howto
toderivative
find
findand
anduse
use
aaadirectional
directional
■
■
■
cita. (13.5
) a gradient. (13.6)
derivative
and
derivative
and
and
aagradient.
gradient.
((13.6
13.6))
■ derivative
How
to
find
and
use
a
directional
n Cómo encontrar y usar una derivada ■
■
How
to
find
an
equation
of
aatangent
tangent
■
■ How
derivative
and
aequation
gradient.
)
How
to
tofind
find
an
equation
of
of(a13.6
tangent
direccional
yanun
gradiente.
(13.6)
plane
and
an
equation
of
a
normal
line
plane
plane
and
and
an
an
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equation
of
of
a
a
normal
normal
line
line
■
toencontrar
find an equation
of a tangent
n How
Cómo
unatoecuación
de
un
to
a
surface,
and
how
find
the
angle
to
to
a
a
surface,
surface,
and
and
how
how
to
to
find
find
the
the
angle
angle
plane
and
an equation
of
a normal
line
plano
tangente
y
una
ecuación
de
una
of
inclination
of
plane.
((13.7
13.7
of
ofinclination
of
ofaaahow
plane.
plane.
13.7
))) angle
to
ainclination
surface,
to (find
the
recta
normaland
a una superficie,
y cómo
■
How
to
find
absolute
and
■
■ How
of
inclination
of a plane.
(relative
13.7)
How
to
tofind
findelabsolute
absolute
and
andinclinación
relative
relative
encontrar
ángulo
de
de
extrema.
(
13.8
)
extrema.
extrema.
(
(
13.8
13.8
)
)
■ How
to find(13.7
absolute
un plano.
) and relative
■
How
to
solve
an
optimization
problem,
■
■ How
extrema.
(13.8
) optimization
How
to
tosolve
solve
an
an
optimization
problem,
problem,
n
Cómo
encontrar
los extremos
absoluincluding
constrained
optimization
using
including
constrained
constrained
optimization
optimization
using
using
■ including
tos
y
relativos.
(
13.8
)
How to solve an optimization problem,
a
Lagrange
multiplier,
and
how
to
use
the
a
a
Lagrange
Lagrange
multiplier,
multiplier,
and
and
how
how
to
to
use
use
the
the
constrained
optimization
using
n including
Cómo resolver
un problema
de optimethod
of
least
squares.
(
13.9,
13.10
)
method
method
of
of
least
least
squares.
squares.
(
(
13.9,
13.9,
13.10
13.10
)
)
amización,
Lagrangeincluida
multiplier,
and how to use
optimización
res-the
method
least squares.
(13.9, 13.10
tringidaofusando
un multiplicador
de)
Lagrange, y cómo usar el método de
mínimos cuadrados. (13.9, 13.10)
NOAA
NOAA
NOAA
Meteorologists
use
maps
that
show
curves
of
equal
atmospheric
pressure,
called
NOAA
Meteorologists
Meteorologistsuse
usemaps
mapsthat
thatshow
showcurves
curvesof
ofequal
equalatmospheric
atmosphericpressure,
pressure,called
called
isobars
,
to
predict
weather
patterns.
How
can
you
use
pressure
gradients
to
isobars
isobars
,
,
to
to
predict
predict
weather
weather
patterns.
patterns.
How
How
can
can
you
you
use
use
pressure
pressure
gradients
gradients
to
to
Los meteorólogos usan mapas que muestran curvas de presión atmosférica igual,
■
■
■ Meteorologists use maps that show curves of equal atmospheric pressure, called
determine
the
area
of
the
country
that
has
the
greatest
wind
speed?
(See
Section
determine
determine
the
the
area
areaof
of
the
thepredecir
country
country
that
that
has
hascan
the
thegreatest
greatest
wind
wind
speed?
speed?
(See
Section
Section
llamadas
para
losHow
patrones
del use
clima.
¿Cómo
se(See
pueden
isobars, toisobaras,
predict
weather
patterns.
you
pressure
gradients
to usar los
■ 13.6, Exercise 68.)
13.6,
13.6,
Exercise
Exercise
68.)
68.)
gradientes
de presión
paracountry
determinar
el área
del paíswind
que tiene
las(See
mayores
determine the
area of the
that has
the greatest
speed?
Section
velocidades
de 68.)
viento? (Ver la sección 13.6, ejercicio 68.)
13.6, Exercise
zzz
zzz
zzz
yyy
z
z
z
y
xxx
yyy
yyy
yyy
y
y
y
xxx
x
xxx
xxx
x
x
x
Many
real-life
quantities
are
functions
of
two
or
more
variables.
In
Section
13.1,
you
will
learn
how
to
graph
function
Muchas
cantidades
de laare
vida
real son
devariables.
dos o más
En la
sección
13.1
se to
aprenderá
cómo
Many
Manyreal-life
real-life
quantities
quantities
are
functions
functions
of
offunciones
two
twoor
ormore
more
variables.
In
Invariables.
Section
Section13.1,
13.1,
you
you
will
will learn
learn
how
how
tograph
graphaaafunction
function
of
two
variables,
like
the
one
shown
above.
The
first
three
graphs
show
cut-away
views
of
the
surface
at
various
graficar
una
función
de
dos
variables,
tal
como
la
que
se
muestra
arriba.
Las
primeras
tres
gráficas
muestran
visof
of
two
two
variables,
variables,
like
like
the
the
one
one
shown
shown
above.
above.
The
The
first
first
three
three
graphs
graphs
show
show
cut-away
cut-away
views
views
of
of
the
the
surface
surface
at
at
various
various
Many real-life quantities are functions of two or more variables. In Section 13.1, you will learn how to graph a function
traces.
Another
way
to
visualize
this
surface
is
to
project
the
traces
onto
the
xy
-plane,
as
shown
in
the
fourth
graph.
tas
cortadas
de
la
superficie
en
varios
trazos.
Otra
forma
de
visualizar
estas
superficies
es
proyectar
los
trazos
traces.
traces.
Another
Another
way
way
to
to
visualize
visualize
this
this
surface
surface
is
is
to
to
project
project
the
the
traces
traces
onto
onto
the
the
xy
xy
-plane,
-plane,
as
as
shown
shown
in
in
the
the
fourth
fourth
graph.
graph.
of two variables, like the one shown above. The first three graphs show cut-away views of the surface at various
hacia
plano xy,
taltocomo
se muestra
en laiscuarta
gráfica.
traces.elAnother
way
visualize
this surface
to project
the traces onto the xy-plane, as shown in the fourth graph.
885
885
885885
885
885885
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CAPÍTULO 13
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Funciones de varias variables
13.1 Introducción a las funciones de varias variables
n
n
n
n
n
Entender la notación para una función de varias variables.
Dibujar la gráfica de una función de dos variables.
Dibujar las curvas de nivel de una función de dos variables.
Dibujar las superficies de nivel de una función de tres variables.
Utilizar gráficos por computadora para representar una función de dos
variables.
Funciones de varias variables
EXPLORACIÓN
Comparación de dimensiones
Sin usar una herramienta de graficación, describir la gráfica de cada
función de dos variables.
Hasta ahora en este texto, sólo se han visto funciones de una sola variable (independiente).
Sin embargo, muchos problemas comunes son funciones de dos o más variables. Por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza sW 5 FDd y el volumen de un cilindro circular recto
sV 5 p r 2hd son funciones de dos variables. El volumen de un sólido rectangular sV 5 lwhd
es una función de tres variables. La notación para una función de dos o más variables es similar a la utilizada para una función de una sola variable. Aquí se presentan dos ejemplos.
a) z 5 x 2 1 y 2
z 5 f sx, yd 5 x2 1 xy
b) z 5 x 1 y
c) z 5 x 2 1 y
d) z 5 !x 2 1 y 2
e) z 5 !1 2 x 2 1 y 2
Función de 2 variables.
2 variables
y
w 5 f sx, y, zd 5 x 1 2y 2 3z
Función de 3 variables.
3 variables
DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
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Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado
(x, y) de D le corresponde un único número real f(x, y), entonces se dice que f es
una función de x y y. El conjunto D es el dominio de f, y el correspondiente
conjunto de valores f(x, y) es el rango de f.
MARY FAIRFAX SOMERVILLE (1780-1872)
Somerville se interesó por el problema de
crear modelos geométricos de funciones de
varias variables. Su libro más conocido,
The Mechanics of the Heavens, se publicó
en 1831.
En la función dada por z 5 f sx, yd, x y y son las variables independientes y z es la
variable dependiente.
Pueden darse definiciones similares para las funciones de tres, cuatro o n variables
donde los dominios consisten en tríadas (x1, x2, x3), tétradas (x1, x2, x3, x4) y
n-adas (x1, x2, . . ., xn). En todos los casos, rango es un conjunto de números reales. En este
capítulo, sólo se estudian funciones de dos o tres variables.
Como ocurre con las funciones de una variable, la manera más común para describir
una función de varias variables es por medio de una ecuación, y a menos que se diga
explícitamente lo contrario, se puede suponer que el dominio es el conjunto de todos los
puntos para los que la ecuación está definida. Por ejemplo, el dominio de la función dada
por
f sx, yd 5 x 2 1 y 2
se supone que es todo el plano xy. Similarmente, el dominio de
f sx, yd 5 ln xy
es el conjunto de todos los puntos sx, yd en el plano para los que xy > 0. Esto consiste en
todos los puntos del primer y tercer cuadrantes.
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SECCIÓN 13.1
EJEMPLO 1
Introducción a las funciones de varias variables
887
Dominios de funciones de varias variables
y
Hallar el dominio de cada función.
4
a) f sx, yd 5
2
1
−2
−1
−1
1
2
−2
−4
Dominio de
x2 + y2 − 9
f(x, y) =
x
Figura 13.1
x
b) g sx, y, zd 5
x
!9 2 x 2 2 y 2 2 z 2
Solución
x
−4
!x 2 1 y 2 2 9
4
a) La función f está definida para todos los puntos sx, yd tales que x Þ 0 y
x 2 1 y 2 ≥ 9.
Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los puntos que están en el círculo
x 2 1 y 2 5 9, o en su exterior, con excepción de los puntos en el eje y, como se muestra en la figura 13.1.
b) La función g está definida para todos los puntos sx, y, zd tales que
x 2 1 y 2 1 z 2 < 9.
Por consiguiente, el dominio es el conjunto de todos los puntos sx, y, zd que se encuentran en el interior de la esfera de radio 3 centrada en el origen.
Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma manera que las funciones de una sola variable. Por ejemplo, se puede formar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de funciones de dos variables como sigue.
s f ± gdsx, yd 5 f sx, yd ± gsx, yd
s f gd sx, yd 5 f sx, ydgsx, yd
f
f sx, yd
sx, yd 5
g sx, yd Þ 0
g
g sx, yd
Suma o diferencia.
Producto.
Cociente.
No se puede formar la composición de dos funciones de varias variables. Sin embargo, si
h es una función de varias variables y g es una función de una sola variable, puede formarse la función compuesta s g 8 hdsx, yd como sigue.
s g 8 hdsx, yd 5 g sh sx, ydd
Composición.
El dominio de esta función compuesta consta de todo sx, yd en el dominio de h tal que
h sx, yd está en el dominio de g. Por ejemplo, la función dada por
f sx, yd 5 !16 2 4x 2 2 y 2
puede verse como la composición de la función de dos variables dadas por h sx, yd 5
16 2 4x 2 2 y 2 y la función de una sola variable dada por gsud 5 !u. El dominio de esta
función es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en la elipse dada por 4x2 1
y2 5 16 o en su interior.
Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma cx m y n (donde
c es un número real y m y n son enteros no negativos) se llama una función polinomial de
dos variables. Por ejemplo, las funciones dadas por
f sx, yd 5 x 2 1 y 2 2 2xy 1 x 1 2 y g sx, yd 5 3xy 2 1 x 2 2
son funciones polinomiales de dos variables. Una función racional es el cociente de dos
funciones polinomiales. Terminología similar se utiliza para las funciones de más de dos variables.
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CAPÍTULO 13
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Funciones de varias variables
Gráfica de una función de dos variables
Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede saber mucho acerca del
comportamiento de una función de dos variables dibujando su gráfica. La gráfica de una
función f de dos variables es el conjunto de todos los puntos sx, y, zd para los que
z 5 f sx, yd y sx, yd está en el dominio de f. Esta gráfica puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio, como se explicó en las secciones 11.5 y 11.6.
En la figura 13.2 hay que observar que la gráfica de z 5 f sx, yd es una superficie cuya
proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. A cada punto (x, y) en D corresponde
un punto (x, y, z) de la superficie y, viceversa, a cada punto (x, y, z) de la superficie le corresponde un punto (x, y) en D.
Figura 13.2
EJEMPLO 2
Descripción de la gráfica de una función
de dos variables
¿Cuál es el rango de f sx, yd 5 !16 2 4x 2 2 y 2 ? Describir la gráfica de f.
Solución El dominio D dado por la ecuación de f es el conjunto de todos los puntos
(x, y) tales que 16 2 4x 2 2 y 2 ≥ 0. Por tanto, D es el conjunto de todos los puntos que
pertenecen o son interiores a la elipse dada por
x2
y2
1
5 1.
4
16
Elipse en el plano xy.
El rango de f está formado por todos los valores z 5 f sx, yd tales que 0 ≤ z ≤ !16 o sea
0 ≤ z ≤ 4.
Rango de f.
Un punto (x, y, z) está en la gráfica de f si y sólo si
z 5 !16 2 4x 2 2 y 2
La gráfica de f sx, yd 5 ! 16 2 4x 2 2 y 2
es la mitad superior de un elipsoide
Figura 13.3
z 2 5 16 2 4x 2 2 y 2
4x 2 1 y 2 1 z 2 5 16
x2
y2
z2
1
1
5 1,
4
16 16
z=
16 − 4x 2 − y 2
0 ≤ z ≤ 4.
De acuerdo con la sección 11.6, se sabe que la gráfica de f es la mitad superior de un elipsoide, como se muestra en la figura 13.3.
z
Para dibujar a mano una superficie en el espacio, es útil usar trazas en planos paralelos a los planos coordenados, como se muestra en la figura 13.3. Por ejemplo, para hallar
la traza de la superficie en el plano z 5 2, se sustituye z 5 2 en la ecuación
z 5 !16 2 4x 2 2 y 2 y se obtiene
2 5 !16 2 4x 2 2 y 2
x
Figura 13.4
y
x2
y2
1
5 1.
3
12
Por tanto, la traza es una elipse centrada en el punto (0, 0, 2) con ejes mayor y menor de
longitudes 4!3 y 2!3.
Las trazas también se usan en la mayor parte de las herramientas de graficación tridimensionales. Por ejemplo, la figura 13.4 muestra una versión generada por computadora
de la superficie dada en el ejemplo 2. En esta gráfica la herramienta de graficación tomó
25 trazas paralelas al plano xy y 12 trazas en planos verticales.
Si se dispone de una herramienta de graficación tridimensional, utilícese para representar varias superficies.
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SECCIÓN 13.1
889
Introducción a las funciones de varias variables
Curvas de nivel
20
30
1008
40
30
30
30
20
100
4
100
8
1
10 01
16 2
20
1004
40
101
2
100
8
100
4
100
0
1008
100
4
101
2
Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usar un campo escalar
en el que el escalar z 5 f sx, yd se asigna al punto sx, yd. Un campo escalar puede caracterizarse por sus curvas de nivel (o líneas de contorno) a lo largo de las cuales el valor
de f sx, yd es constante. Por ejemplo, el mapa climático en la figura 13.5 muestra las curvas de nivel de igual presión, llamadas isobaras. Las curvas de nivel que representan puntos de igual temperatura en mapas climáticos, se llaman isotermas, como se muestra en la
figura 13.6. Otro uso común de curvas de nivel es la representación de campos de potencial eléctrico. En este tipo de mapa, las curvas de nivel se llaman líneas equipotenciales.
50
1008
4
0
10
08
10
80
00
10
80
00
10
70
60
1008
90
Las curvas de nivel muestran las líneas de
igual presión (isobaras) medidas en
milibares
Las curvas de nivel muestran líneas de igual
temperatura (isotermas) medidas en grados
Fahrenheit
Figura 13.5
Figura 13.6
Alfred B. Thomas/Earth Scenes
Los mapas de contorno suelen usarse para representar regiones de la superficie de la
Tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Este tipo de
mapas se llama mapa topográfico. Por ejemplo, la montaña mostrada en la figura 13.7 se
representa por el mapa topográfico de la figura 13.8.
Un mapa de contorno representa la variación de z respecto a x y y mediante espacio entre
las curvas de nivel. Una separación grande entre las curvas de nivel indica que z cambia lentamente, mientras que un espacio pequeño indica un cambio rápido en z. Además, en un mapa
de contorno, es importante elegir valores de c uniformemente espaciados, para dar una mejor
ilusión tridimensional.
USGS
Figura 13.7
Figura 13.8
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CAPÍTULO 13
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Funciones de varias variables
Dibujo de un mapa de contorno
EJEMPLO 3
El hemisferio dado por f sx, yd 5 !64 2 x 2 2 y 2 se muestra en la figura 13.9. Dibujar un
mapa de contorno de esta superficie utilizando curvas de nivel que correspondan a
c 5 0, 1, 2, . . . , 8.
Solución Para cada c, la ecuación dada por f sx, yd 5 c es un círculo (o un punto) en el
plano xy. Por ejemplo, para c1 5 0, la curva de nivel es
x 2 1 y 2 5 64
Círculo de radio 8.
la cual es un círculo de radio 8. La figura 13.10 muestra las nueve curvas de nivel del hemisferio.
f(x, y) =
64 −
x2
−
y2
z
z
y
c1 = 0
c2 = 1
c3 = 2
c4 = 3
Superficie:
c5 = 4
c6 = 5
c7 = 6
c8 = 7
8
4
8
c9 = 8
12
x
−8
10
−4
4
8
8
−4
6
4
8
x
2
4
4
x
y
−8
Hemisferio
Mapa de contorno
Figura 13.9
Figura 13.10
EJEMPLO 4
Superficie:
z = y2 − x2
Figura 13.11
c= 0
c = −2
c = −4
c = −6
c = −8
c = −10
c = −12
y
4
x
4
−4
Curvas de nivel hiperbólicas
(con incrementos de 2)
Figura 13.12
El paraboloide hiperbólico dado por
se muestra en la figura 13.11. Dibujar un mapa de contorno de esta superficie.
c = 12
−4
Dibujo de un mapa de contorno
z 5 y2 2 x2
Paraboloide hiperbólico
c=2
y
8
Solución Para cada valor de c, sea f sx, yd 5 c y dibújese la curva de nivel resultante en
el plano xy. Para esta función, cada una de las curvas de nivel sc Þ 0d es una hipérbola
cuyas asíntotas son las rectas y 5 ± x. Si c < 0, el eje transversal es horizontal. Por ejemplo, la curva de nivel para c 5 24 está dada por
x2 y2
2 5 1.
22 22
Hipérbola con eje transversal horizontal.
Si c > 0, el eje transversal es vertical. Por ejemplo, la curva de nivel para c 5 4 está dada
por
y2
x2
2 2 5 1.
2
2
2
Hipérbola con eje transversal vertical.
Si c 5 0, la curva de nivel es la cónica degenerada representada por las asíntotas que se
cortan, como se muestra en la figura 13.12.
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1053714_1301.qxp
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12:05 PM
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SECCIÓN 13.1
13.1
891
Introducción a las funciones de varias variables
Introduction to Functions of Several Variables
891
Un ejemplo de función de dos variables utilizada en economía es la función de producción de Cobb-Douglas. Esta función se utiliza como un modelo para representar el
Onedeexample
a functionalof
two las
variables
useddeintrabajo
economics
is the
número
unidadesofproducidas
variar
cantidades
y capital.
Si Cobbx mide las
Douglas
production
function.
This
function
is
used
as
a
model
to
represent
the
unidades de trabajo y y mide las unidades de capital, el número de unidades producidas
numbers
of
units
produced
by
varying
amounts
of
labor
and
capital.
If
x
measures
the
está dado por
units of labor and
y measures the units of capital, the number of units produced is
f sx, yd 5 Cx a y 12a
given by
donde C y a son constantes,
con 0 < a < 1.
f x, y
Cx a y 1 a
EJEMPLO
5 a La
de producción
where C and
are función
constants with
0 < a < 1. de Cobb-Douglas
z = 100x0.6y0.4
y
y
2 000
0.6 y 0.4
80 000
c = 160 000
zc==100x
c = 80,000 c = 160,000
2000
1 500
(2 000, 1 000)
1500
1 000
1000
(2000, 1000)
500
500
x
500
1 000 1 500 2 000
x
(1 000, 500)
500 1000 1500 2000
(1000, 500)
Curvas
de nivel (con incrementos de 10 000)
Figura
Level
curves13.13
(at increments of 10,000)
Figure 13.13
f(x, y, z) = c3
f (x, y, z) = c3
f(x, y, z) = c2
f(x, y, z) = c2
z
z
f (x, y, z) = c1
f (x, y, z) = c1
Un fabricante de juguetes estima que su función de producción es f sx, yd 5 100x 0.6 y 0.4,
EXAMPLE
5 The de
Cobb-Douglas
Production
donde
x es el número
unidades de trabajo
y y esFunction
el número de unidades de capital.
Comparar el nivel de producción cuando x 5 1 000 y y 5 500 con el nivel
de producción
A toy manufacturer
100x 0.6 y 0.4, where
cuando
x 5 2 000 y yestimates
5 1 000.a production function to be f x, y
x is the number of units of labor and y is the number of units of capital. Compare the
production Cuando
level when
500dewith
the production
level when
Solución
x 5 1x000 1000
y y 5 and
500, yel nivel
producción
es
x 2000 and y 1000.
ƒ(1 000, 500) 5 100(1 0000.6)(5000.4) ø 75 786.
Solution When x 1000 and y 500, the production level is
Cuando x 5 2 000 y y 5 1 000, el nivel de producción es
f 1000, 500
100 1000 0.6 500 0.4
75,786.
ƒ(2 000, 1 000) 5 100(2 0000.6)(1 0000.4) 5 151 572.
When x 2000 and y 1000, the production level is
Las curvas de nivel de z 5 f sx, yd se muestran en la figura 13.13. Nótese que al doblar
0.6 producción
ambas
x y y, se
duplica100
el nivel
ejercicio 79).
f 2000,
1000
2000de
1000 0.4 (ver
151,572.
The level curves of z
f x, y are shown in Figure 13.13. Note that by doubling both
Superficies
de nivel
the production level (see Exercise 79).
x and y, you double
El concepto de curva de nivel puede extenderse una dimensión para definir una superficie
Level
de
nivel. Surfaces
Si f es una función de tres variables y c es una constante, la gráfica de la ecuación
es auna
superficie
de be
nivel
de la función
como se to
muestra
la figura
fThe
sx, y,concept
zd 5 c of
level
curve can
extended
by one f,dimension
defineena level
13.14.
surface. If f is a function of three variables and c is a constant, the graph of the
Ingenieros
han desarrollado
mediante
formas
de ver
equation
f x, y,yz científicos
c is a level
surface of the
functioncomputadoras
f, as shown inotras
Figure
13.14.
funciones
de
tres
variables.
Por
ejemplo,
la
figura
13.15
muestra
una
simulación
compuWith computers, engineers and scientists have developed other ways to view
tacional
paraFor
representar
distribución
de temperaturas
del fluido que
functionsque
of usa
threecolores
variables.
instance, la
Figure
13.15 shows
a computer simulation
entra
en
el
tubo.
that uses color to represent the temperature distribution of fluid inside a pipe fitting.
y
x
y
Superficies de nivel de f
Level surfaces of f
Figura 13.14
Figure 13.14
Imagen cortesía de CADFEM GmbH
x
TM y ANSYS
Una
forma
común de
One-way
coupling
of ANSYS CFX
CFX™
and ANSYS Mechanical™
TM para análisis de esfuerzos térmicos.
Mechanical
for thermal stress analysis
Figura
Figure 13.15
Larson-13-01.qxd
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CAPÍTULO 13
Page 892
Funciones de varias variables
EJEMPLO 6
Superficies de nivel
Describir las superficies de nivel de la función
f sx, y, zd 5 4x 2 1 y 2 1 z 2.
Solución
Cada superficie de nivel tiene una ecuación de la forma
4x 2 1 y 2 1 z 2 5 c.
z
Superficies de nivel:
4x2 + y2 + z2 = c
c=4
c=0
y
x
c = 16
Ecuación de una superficie de nivel.
Por tanto, las superficies de nivel son elipsoides (cuyas secciones transversales paralelas al
plano yz son círculos). A medida que c aumenta, los radios de las secciones transversales
circulares aumentan según la raíz cuadrada de c. Por ejemplo, las superficies de nivel correspondientes a los valores c 5 0, c 5 4 y c 5 16 son como sigue.
4x 2 1 y 2 1 z 2 5 0
x2 y2 z2
1 1 51
1
4
4
2
2
x
y
z2
1
1
51
4
16 16
Superficie de nivel para c 5 0 (un solo punto).
Superficie de nivel para c 5 4 (elipsoide).
Superficie de nivel para c 5 16 (elipsoide).
Estas superficies de nivel se muestran en la figura 13.16.
Figura 13.16
NOTA
Si la función del ejemplo 6 representara la temperatura en el punto (x, y, z), las superficies
de nivel mostradas en la figura 13.16 se llamarían superficies isotermas.
n
Gráficas por computadora
El problema de dibujar la gráfica de una superficie en el espacio puede simplificarse usando una computadora. Aunque hay varios tipos de herramientas de graficación tridimensionales, la mayoría utiliza alguna forma de análisis de trazas para dar la impresión de tres
dimensiones. Para usar tales herramientas de graficación, por lo general se necesita dar la
ecuación de la superficie, la región del plano xy sobre la cual la superficie ha de visualizarse y el número de trazas a considerar. Por ejemplo, para representar gráficamente la
superficie dada por
f sx, yd 5 sx 2 1 y 2de 12x
2
2y 2
se podrían elegir los límites siguientes para x, y y z.
f(x, y) = (x 2 + y 2)e1 − x
2
− y2
23 ≤ x ≤ 3
23 ≤ y ≤ 3
0 ≤ z ≤ 3
z
x
Figura 13.17
y
Límites para x.
Límites para y.
Límites para z.
La figura 13.17 muestra una gráfica de esta superficie generada por computadora utilizando 26 trazas paralelas al plano yz. Para realizar el efecto tridimensional, el programa utiliza una rutina de “línea oculta”. Es decir, comienza dibujando las trazas en primer plano
(las correspondientes a los valores mayores de x), y después, a medida que se dibuja una
nueva traza, el programa determina si mostrará toda o sólo parte de la traza siguiente.
Las gráficas en la página siguiente muestran una variedad de superficies que fueron
dibujadas por una computadora. Si se dispone de un programa de computadora para dibujo, podrán reproducirse estas superficies.
Larson-13-01.qxd
3/12/09
18:39
Page 893
SECCIÓN 13.1
z
893
Introducción a las funciones de varias variables
z
z
x
x
y
x
y
y
Tres vistas diferentes de la gráfica de f sx, yd 5 s2 2 y2 1 x2d e12 x 2 s y y4d
2
z
2
y
z
x
y
x
y
x
Trazas dobles
Trazas simples
Curvas de nivel
Trazas y curvas de nivel de la gráfica de f sx, yd 5
2 4x
x 1 y2 1 1
2
z
z
z
y
x
y
y
x
x
f(x, y) = sen x sen y
f (x, y) = −
1
+ y2
x2
f (x, y) =
1− x 2 − y 2
1− x 2 − y 2 
1053714_1301.qxp 10/27/08 12:05 PM Page 894
Larson-13-01.qxd 10/27/08
3/12/09 18:40
PagePage
894 894
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12:05 PM
1053714_1301.qxp
894
894
10/27/08
12:05 PM
Page 894
Chapter 13
13 Functions
Functions of
of Several
Several Variables
Variables
Chapter
CAPÍTULO
Funciones
de variasVariables
variables
Chapter 13 13 Functions
of Several
Chapter 13 Functions of Several Variables
894
894
894
Seeofwww.CalcChat.com
www.CalcChat.com
for worked-out
worked-out solutions
solutions to
to odd-numbered
odd-numbered exercises.
exercises.
Exercises
See
for
13 Functions
Several Variables
Exercises
See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
13.1
113.1
3.1 Chapter
Ejercicios
13.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
In Exercises
Exercises
and
2, use
use
the
graph to
to
determine
whether
is aa
En
los
ejercicios
1 y2,
usarthe
la gráfica
para
determinar
si z eszz is
una
x, yy
sen yy
13. ff x,
In
11 and
graph
determine
whether
xx sen
13.
In13.1
Exercises
use the graph
to determine whether z is a
f x, y
x sen y
function
ofxxxExercises
and
Explain.
y.2,Explain.
función
de
y1and
y.and
Explicar.
function
of
y.
See www.CalcChat.com for worked-out solutions 13.
to odd-numbered
exercises.
2, 44 b)
a) 2,
b)
a)
In
Exercises
andy.2,Explain.
use the graph to determine whether z is a
function
of x1and
x sen y
13. f x, y
894
zz
1.
1.
function
of x and y. Explain.
z
1.
In Exercises 1 and 2, use
the graph to determine whether z is a
1.
22 z
function of x and y. Explain.
2
2z
1.
2
44
4
x
x
4
x
2.
2.
2.
2.
x
33
3
3
zz
z
3
4
x
44
4
yy
y
4
y
4
y
33
z
3
3
2.
z
55
xx 5
x 5
x
3
55
5
5
5
x
yy
y
y
y.
In Exercises
Exercises 33––6,
6, determine
determine whether
whether zz is
is aa function
function of
of xx and
and y.
In
In Exercises 3 – 6, determine
5 whether z is a function of x and y.
2 de x y y.
y
En
los
determinar
si
esis22una
función
3y223 – 6,3xxydetermine
ya 6, 10
10
2x
3.Exercises
4.zxz
xx22zzejercicios
3y
2x
yy yy2of
4.
zxz
x 44and y.
In3.
whether
a function
2
2
2
xz
x
y
10
2x
y
y
4
3. x222z 3y
4.
22
y
x
y 2 22
x
2xyyy 8yz
y 2 400
3.
4.
z x y 11 10
z 2 xx ln
ln
8yz
5. xx22z y3y
6. zxz
2
z
5.
6.
In5.Exercises
whether
of x and
2 determine
44
99 3 –z6,
1
ln y 8yz
0 y.
6. zz is ax function
x42 y92
2
8yz
zxz 2 x ln
5. x 2z 3y2 z x y 1 10
6.
2xyy values.
y 2 40
4.the
4
9 7–18,
In3.Exercises
Exercises
7–18, find
find and
and simplify
simplify
the
function
values.
In
function
2
2
In Exercises
find and simplify the function values.
y 7–18,
x
1 and simplify6.the
z function
x ln y values.
8yz 0
5.
x, yy 7–18,
xyz 2 find
7.Exercises
f4f x,
xy
In7.
9
f ejercicios
x, y
xy 7 a 18, hallar y simplificar los valores de la funEn7.los
3,
2
1,
4
30,
5
a)
b)
c)
1, 4 c) 30, 5
a) 3, 2 b)
f x, y3, 2 xyb)
7. a)
1, 4 c) 30, the
5 function values.
ción.
In Exercises
5, yy 7–18,
x, 22 and simplify
5, tt
d) 5,
e) find
x,
d)
e)
ff )) 5,
a)
5, 2y b)
2 422 fc)) 30,
5, t 5
d) 3,
e) 22x, 1,
x,x,yyy 44xy xx
4y
8. fff x,
4y
8.
7.
f x, y5, y 4 e) x 2x, 24y 2 f ) 5, t
8. d)
0, 020 b)
0, 1,
2, 30,
a) 0,
b) 0,
c) c) 2,
11 4 c)
33 5
a)
3,
8. fa)x, y0, 0 4 b) x 2 0, 14y 2 c) 2, 3
e)
f
)
1,
y
x,
0
t,
1 t
d)
e)
f
)
1,
y
x,
0
t,
1
d) 5,
2
f ) 5,
0,
a)
e)
f ) 2,
1, 0y b)
x, 01 2 c)
t, 31
d) 0,
y
y
2
x, yy
9. ff x,
xe
9.
4xe x
4y
8.
x, 0 f ) t, 1
y
f x, y1, y xee)
9. d)
5,
0
3,
2
2, 3 11
a)
b)
c) 2,
5,
0
3,
2
a) 0,
b)
0, 1 c)
y
9. fa)x, y5, 0 xeb)
3, 2 c) 2, 1
5, yy e)
x, 202 ff )) t,t, tt1
d) 5,
e) x,
d)
1,
a)
5, 0y b)
x, 22 c)
t, t 1
d) 5,
e) 3,
f ) 2,
y
g
x,
y
ln
x
10.
g
x,
y
ln
x
yy
10.
xe
9. f
f ) t, t
g x, y5, y lne)x x,y 2
10. d)
1, 00 b)
0, 2 11 c) c)
0, ee1
a) 1,
b) 0,
c) 2,0,
a)
5,
3,
y 1 c) 0, e
10. ga)x, y1, 0 lnb)x 0,
1,
1
e,
e
2
d)
e)
f
)
1,
1
e,
e
2
2,
d) 5, y e) x, 2
f )f ) t, t2, e55
a)
1, 01 b)
e, e 12 fc)) 0,
2, 5
d) 1,
e) 0,
xy
ln xy
x y
10. g x, y
1,zz1 e)
e,
e
2
2,
5
h x,
x, y,
y,
11. hd)
f
)
11.
xy
h x, y,
11. a)
1, z0 b)zz 0, 1 c) 0, e
xy
z
ha)x, y,
11. a)
2,
3,
0, 11 f ) c)
2, 3,
3, 44 d)
5, 4,
4, 66
b) e, 1,
c) 2, 5 2,
d) 5,
2,
1, z3,
1 99 e) b)
e1, 20,
d)
2, 3, 4 d) 5, 4, 6
a) 2, 3, 9 z b) 1, 0, 1 c)
x, y,
y, zz
12. ff x,
xx yy zz
12.
2, z3, 9 xyb)
2, 3, 4 d) 5, 4, 6
x y1, 0, z1 c)
12. a)
hf x, y,
11.
0, 5,
5, 44 z b)
6, 8,
8, 33
a) 0,
b) 6,
a)
12. fa)x, y,0,z5, 4 xb) y6, 8,z 3
4, 6,
6, 292 d)
10,0, 14,
4, c)33
c) 4,
d) 10,
c)
2,
3,
1,
2, 3, 4 d) 5, 4, 6
a)
b)
a)
4, 5,
6, 42 b)
10,8, 4,3 3
c) 0,
d) 6,
x y z
12. f x, y, z
c) 4, 6, 2 d) 10, 4, 3
a) 0, 5, 4 b) 6, 8, 3
c)
4, 6, 2
d)
10,
4,
3
3, 11 c)
3, 33 d)
4, 22
c)
d) 4,
3,
3,
3, 3 d) 4, 2
a) 2, 4 22 b) 3, 1 c)
V
r,
h
r
h
V r, h
r h
3, 3 d) 4, 2
a)
V r, h2, 4 r 2hb) 3, 1 c)
3, 10
10x sen
5, 22 c)
4, 88 d)
6, 44
b)
c) 4,
d) 6,
a)
b)
fa)x, y3,
2hy 5,
V
r,
h
r
a) 3, 10 yy b) 5, 2 c) 4, 8 d) 6, 4
2, 4 b) 3, 1 c)
3, 3 d) 4, 2
a) 3,
g x,
x, yy 10 y b)
2t 5,332dt
dt c) 4, 8 d) 6, 4
15. ga)
2t
15.
g x,
15. V
xxyr 22t
r, hy
h 3 dt
14.
3
ga)x, y4,
2t 4,
15. a)
4, 010
0 xb)
4,5,3112dtc)
4,4,3232 8 d)
b)b)
c)c) 4,
d)d) 3223,,6,00 4
3,
a)
3
4,
1
4,
a) 4, 0 xyb)
c)
d)
y
2
2, 0
y 1
1
3
3
y
4,
0
4,
1
4,
,0
a)
b)
c)
d)
g
x,
y
dt
16.
g
x,
y
dt
16.
2
2
1
2tt
3 dt
15. g x, y
16. g x, y
xxxy t dt
1
t
1
ga)x, y4,
16. a)
4, 101 xb)
6, 313 c)
2, 535 d)
b) dt
c) 2,
d) 31221,,, 077
6,
d)
4,
4,
a)
b)
c)
t 4,
2
6,
3
2,
5
a) 4, 1 xb)
c)
d) 22, 7 22
2
x, yy
2xy 1 yy2
x, yy1
3x
2y
17. ff x,
18. ff x,
3x
2x
2y
17.
18.
c) 2, 518. d)
2 3
f x, y2, 7 3x2 2y
17. a)
gf x, y4, 1 2xb) ydt6,
16.
x,tyy
x, yy
x, yy
x, yy
ff xx
x,
ff x,
ff xx
x,
ff x,
fa)x, yf x 3x2x, y 2y f x, y
fa)x, yf x 2xx x, yy2 f x, y
17. a)
18. a)
1
xx
a) f4,x1 b)x, yxx6, 3 f x,c)y 2, 5 a)
d) f2,x7
x, yx f x, y
x
a)
a)
x, yy2x yyy2 ff x,
x, yy
x, yy3x2 yy 2y ff x,
x, yy
fb)x, yff x,
fb)x, yff x,
17. b)
18. b)
f x, y
yyxy
f x, y
f x, y
yxyy f x, y
b) f x
b) f x
x, yyy ff x,
x, yy
x, yyy ff x,
x, yy
a) f x, y
a) f x, y
b)
b)
x
x
y deof
In
Exercises
19–30,
describe
the eldomain
domain
and
range
of
the
In
19–30,
the
range
En Exercises
los ejercicios
19y a describe
30,
describir
dominioand
y rango
la the
funIn
Exercises
19–30,
describe
the domain
and
range
ofx,the
function.
f
x,
y
y
f
x,
y
f
x,
y
y
f
y
function.
ción.b)
b)
In
Exercises 19–30,
describe the domain
and range
of the
function.
y
y
2
2
xy
x, yy
x, yy
19. ff x,
20. ff x,
eexy
xx2 yy2
19.
20.
function.
x2 y2
e xy
19. f x, y
20. f x, y
In Exercises 19–30,
describe the domain andxy
yy range of the
ey
xx2 yy y 2
19.
20.
x, yy
x, yy
21. gfg x,
22. gfg x,
21.
22.
function.
xx
x y
21. g x, y
22. g x, y
yx
g
x,
y
x
y
g
x,
y
21.
22.
x
y
xy
2
2
xy
x
y
xy
y
19.
20.
23. zfz x, yx yx
24. zfz x, y xy e x
23.
24.
xy
xy
23. z
24. z xx yy y
xy xy yx y 22
2
g
x,
x, yyyx xy y 44 xx22 4y
21.
22.
2
23.
24.
x, yy
4y22
x,
25. fzf x,
26. fzgf x,
44 xx
yy
25.
26.
x
xy
2
2
4 x
y
25. f x, y
26. f x, yx y 4 x 2 4y 2
x, yyx yarccos
arccos xx2 yy 2
x, yy xy arcsen
arcsen yy2 xx
27. ff x,
28. ff x,
27.
28.
4 xx yy
4 xy x 4y 2
25.
26.
x, yy
arccos
x, yy
arcsen
27. fzf x,
28. fzf x,
23.
24.
x, yy xy ln
ln 44 xx yy
x, yyx yln
ln xy
xy 66
29. ff x,
30. ff x,
29.
30.
arccos
arcsen
27.
28.
x, yy
ln 4 xx2 yy 2
x, yy
ln xy y26x
29. ff x,
30. ff x,
x, y
4 x
y
4y 2
f x, y
4 x
25. ff x,
26.
y About
ln 4 It
y b),
xy and
29.
30. f x,a),
31. Think
Think
About
It xThe
Theygraphs
graphs labeled
labeled
a),
b),lnc),
c),
and6 (d)
(d) are
are
31.
fThink
x, y About
x They graphs
x,a),
y xx22b),arcsen
27.
28. f 4x
31. graphs
are
22 and
yc),
1y ..x(d)
f x,
x, yy labeled
4x
graphs
ofarccos
theItfunction
function
Match
y
1
f
of
the
Match
31. Think
Para pensar
Las
gráficas
marcadas
a),
b),
y2d) and
son
gráficas
2 c) c),
31.
About
It
The
graphs
labeled
a),
b),
(d)
are
y
1
.
f
x,
y
4x
x
of
the
function
Match
thex,four
four
graphs
with
the
points
in
space
from
which
the
surface
fgraphs
y
ln
4
x
y
f
x,
y
ln
xy
6
29. the
30.
graphsf swith
pointssxin2 1
space
from
which the
surface
21
de la
función
gráfix, yd the
5 24xy
y4x
d. Asociar
2
1cada
.10,
f x, yare
x1225
graphs
of
the
Match
the
four
graphs
with
points
in space
from
the
surface
20,
15,
25which
15,
10,
20 ,,
is viewed.
viewed.
Thefunction
fourthepoints
points
are
20,
15,
,,ysuperficie
15,
20
is
The
four
ca
con
el
punto
en
el
espacio
desde
el
que
la
es
vifour
graphs
the0points
in space
from
the 10,
surface
20,a),
15,
25which
, c), and
15,
is20,
The
four
are
31. the
Think
Itwith
The
graphs
labeled
b),
(d) 20
are,
20,viewed.
20,About
0 ,, and
20,
0,
0points
.
and
20,
0
20,
0,
.
sualizada.
Los
cuatro
puntos
son
(20,
15,
25),
(215,
10,
20),
20 ,
is
Thefunction
four0, points
20,viewed.
20,of
0 ,the
20,
0 f. x, yare 20,
and
1 .10,
4x15,x 225 , yzz2 15,
graphs
Match
zz (20,
a)
b)
a)
b)
(20,
20, 00), yand
0, 0,
0) 0 .
20,
20,
20,
z
z
the
four
graphs
with
the
points
in
space
from
which
the
surface
a)
b)
z
a) viewed.z zThe four points b)
b) 20,xx15, 25 , z 15, 10, 20 ,
is
are
a)
x
x
20, 20, 0 , and 20, 0, 0 .
x
14.
14.
14.
13.
14.
z
a)
y
yy
y
x
y
y
Generated by
by Maple
Mapley
Generated
Generated by Maple
Generada
con Maple
zz
Generated
by Maple
c)
c)
c)
c)
c)
z
z
Generated by Maple
z
c)
xx
x
x
z
x
yy
y
y
y
Generated by
by Maple
Maple
Generated
Generated by Maple
Generada con Maple
y
Generated by Maple
z
b)
yy
y
y
d)
d)
d)
d)
d)
y
d)
xx
x
x
Generated by
by Maple
Maple
Generated
Generated by Maple
Generada
con Maple
zz Generated
by Maple
z
z
z
Generated by Maple
x
x
z
y
yy
y
y
y
Generated by
by Maple
Maple
Generated
Generated by Maple
Generada con Maple
Generated by Maple
x
Generated by Maple
Generated by Maple
CAS
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13.1
to
of
Variables
895
13.1
Introduction
to Functions
Functions
of Several
Several
Variables
895
SECCIÓN
13.1 Introduction
Introducción
a las funciones
de varias
variables
895
13.1 Introduction to Functions of Several Variables
895
13.1 Introduction to Functions of Several Variables
895
13.1 Introduction to Functions of Several Variables
895
2
2
32.
2
xxx2 2 12y
13.131.
Variables
895
32. Think
Think About
About It
It Use
Use the
the function
function given
given in
in Exercise
Exercise
31. Introduction to Functions of Several
2y
2y 2
ff fx,
xx2x2 2
ff fx,
47.
48.
x,
lnlnyyof
x,
cos
47.
48.
32. Think
ParaFind
pensar
Usar
laand
función
dada
enfunction.
elinejercicio
31.
47.to
48.Several
sIntroduction
x,yyyd 5ln
y 2Several
sx,yyyd895
5cos
cosx 2 442y 2 895
13.1
to
Functions
of
Variables
32.
About
It
Use
the
function
given
Exercise
31.
13.1
Introduction
Functions
Variables
(a)
the
domain
range
of
the
FindAbout
the domain
and
of the
function.
32. (a)
Think
It Use
therange
function
given
in Exercise 31.
lnz y x 2 2
f x, 2y
cos x 2 4 2y 2
47. f x, y
48.
32. Think About It Use
function
given
in
Exercise
31.
a) the
Hallar
el domain
dominio
y rango
de
la
función.
f x, y zz zcos
47.2 f x, y
x 248. 2y
zln
4
(a)
Find
the
and
range
of
the
function.
xy(b)
Identify
the
points
in
the
plane
at
which
the
function
z y f x,xy
xy(b)
Identify
the
points
in
the
plane
at
which
the
function
4
f
x,
y
ln
y
x
cos
47.
48.
(a) the
Findfunction
the domain
and
range of the
function.
32.(a)Think
It b)
Use
given
inenExercise
31.
x 24 2y 2 z
z
Identificar
los
puntos
el
plano
xy
donde
el
valor
de
la
funFind About
the domain
and
range
of
the
function.
5
value
is
0.
2
55 z 48. f x, y
value is the
0. points in the xy-plane at which the47.function
(b) Identify
44 z
f
x,
y
ln
y
x
cos
Identify
the
points
the xy-plane
the31.
function z
32.
Think
About
Itthe
Use
the
given
Exercise
32.(a)
Think
It (b)
Use
the
given
in function
Exercise
31. atinwhich
x 2 2y 2
z
x 2 4 2y 2 4
ción
esisfunction
0.
FindAbout
the
and
range
of
function.
xy(b) Identify
thedomain
points
in the
plane
atpass
which
the function
0.surface
(c)
Does
the
through
all
f x, y
ln y47. xf 2 x, y 5 5 ln y48. xf 2x, y
cos 48. f x, y 4 cos
47.rectan(c) value
Does
the
surface
pass
through
all the
the octants
octants of
of the
the
rectanvalue
is
0.
z
z
4
4
4
Find
the
domain
and
range
ofreasons
the
function.
c)(a)¿Pasa
la
superficie
por
todos
los
octantes
del sistema
de coor(a)
Find
thethe
domain
and
range
ofplane
thesystem?
function.
xy(b)
Identify
points
in the
the
at through
which
the
function
value
is 0.
gular
coordinate
Give
for
answer.
−−66
4
gular
coordinate
system?
Give
reasons
for your
your
answer.
(c)
Does
surface
pass
all
the octants
of the
rectan- 5
−6
z
z
z
z
(c)
Does
the
surface
pass
through
all
the
octants
of
the
rectandenadas
rectangular?
Dar
las
razones
de
la
respuesta.
value
0. the points
xy(b)
Identify
points
the
plane
atforwhich
the function 5
xy-plane
Identify
incoordinate
the the
atinwhich
the
function
4
yy
(c) (b)
Does
theissurface
pass
through
all
the
octants
of the
rectangular
system?
Give
reasons
your answer.
−6
gular
coordinate
system?
Give reasons
forthe
your
answer.
y
−6
In
Exercises
33
–
40,
sketch
the
surface
given
by
function.
5− 6
value
is
0.
3 22
value
is
0.
In
Exercises
33
–
40,
sketch
the
surface
given
by
the
function.
4
(c)gular
Does
the En
surface
pass through
octants
the rectancoordinate
Give
for
your
answer.
4
lossystem?
ejercicios
33reasons
aall
40,the
dibujar
la of
superficie
dada por la función. 5
55 444 33 2
y
10
5
y
1010
2
xx
Insurface
Exercises
33through
–Give
40,
sketch
the
surface
given
by
the function.
system?
reasons
for
your
− 6 444 55 6
Does
the
surface
pass
through
all
octants
of the
rectan(c)gular
Doescoordinate
the
pass
all the
octants
rectany
x5 4 3 3 2 −2
33.
34.ofanswer.
ff (c)
x,
4433
ff the
x,
yythe
6by
2x
3y
In Exercises
– 40,
sketch
the
surface
5 66 yy y
xx
x, yythe
x,given
6 the
2xfunction.
3y 2
−2
−2
10
In Exercisesgular
33 – coordinate
40,33.
sketch
surface
given
by for
the 34.
function.
5 4
x6
4
3
gular
coordinate
system?
Give
reasons
for
your
answer.
x
−10
system?
Give
reasons
your
answer.
−
6
1
y
4
5 6
2
1
5
y
4
x
33.
34.
f
x,
y
4
f
x,
y
6
2x
3y
2
−2
fff x,
ggf x,
36.
5 6
x
x,x,yyy theyy4surface given by the
x,
35.
36.
In Exercises 33 –35.
40,
y
33.sketch
34.function.
x,yyy 226yy 2x
3y
−2 10
4 5
3 2
x
x
4
y
y of the function.
5
y
6
In
49–56,
33. f x, y
4
6 2x
3y 11 x 221 by
2 22f x, y
−2
22
In4Exercises
Exercises
49–56,
describe the
the level
level curves
curves
of the function.
x 10 describe
x, y xx22the
y34.
gzfunction.
37.
38.
In
33
– 40, sketch
surface
the
function.
In Exercises 3335.
–37.
40,fzExercises
surface
giventhe
by36.
the
2yy
x
3 2
zfsketch
zgx,x,ygiven
38.
22y x 2 y1 yyy
3 2
5
x,
y
y
35.
36.
4
4
1
EnExercises
ejercicios
a 56,
las
curvas de
nivelfunction.
de la funy level
5los
2
6 the
c-values.
Sketch
curves
for
the
given
34. f x, y y6 2x 3y
f x,
5
−2
1
Sketch
the
level
curves
fordescribir
thethe
given
In
49–56,
level
curves
of the
x 49
y y y 2 4 37.
35.33.f x,
10 c-values.
10 4describe
2
z x, yy x