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Capitolo 5 - Traduzione e riassunti - Investments
ECONOMIA MONETARIA E DEI MERCATI FINANZIARI (Università degli Studi di
Cagliari)
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Capitolo 5
5.1 Risk return and historical records
Il livello dei tassi di interesse è forse il fattore macroeconomico più importante da
considerare nell'analisi degli investimenti. Le previsioni dei tassi di interesse
determinano direttamente i rendimenti attesi nel mercato dei titoli a reddito fisso.
Se le tue aspettative sono che i tassi aumenteranno di più rispetto al giudizio
generale, ti consigliamo di evitare titoli a reddito fisso a più lungo termine. Allo
stesso modo, gli aumenti dei tassi di interesse tendono ad essere una cattiva notizia
per il mercato azionario. Pertanto, una tecnica per prevedere i tassi di interesse
sarebbe di immenso valore per un investitore, al fine di di determinare la migliore
allocazione patrimoniale per il suo portafoglio. Sfortunatamente, la previsione dei
tassi di interesse è una delle parti più difficili della macroeconomia applicata.
Tuttavia, abbiamo una buona conoscenza dei fattori fondamentali che determinano il
livello dei tassi di interesse:
1. Fornitura di fondi da parte di risparmiatori, principalmente famiglie.
2. La domanda di fondi delle imprese da utilizzare per finanziare investimenti in
impianti, attrezzature e inventari (beni reali o formazione di capitale).
3. La domanda netta di fondi del governo modificata dalle azioni della Federal
Reserve Bank.
4. Il tasso di inflazione atteso. Iniziamo distinguendo i tassi di interesse reali
da quelli nominali.
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5.1.1 Tassi di interesse nominali e reali
Un tasso di interesse è un tasso di rendimento promesso denominato in alcune unità
di conto (dollari, yen, euro o persino unità di potere d'acquisto) per un certo periodo
di tempo (un mese, un anno, 20 anni o più). Pertanto, quando diciamo che il tasso di
interesse è del 5%, dobbiamo specificare entrambi: unità di conto e periodo di
tempo. Anche se un tasso di interesse è privo di rischio per una determinata unità di
conto e periodo di tempo, ciò non significa che sarà privo di rischi per altre unità di
conto o altri periodi. Per esempio, i tassi di interesse assolutamente sicuri in termini
di dollari saranno rischiosi se valutati in termini del potere d'acquisto a causa
dell'incertezza dell'inflazione.
Per illustrare, prendiamo in considerazione un tasso di interesse nominale privo di
rischio. Supponiamo che un anno fa hai depositato $ 1,000 in un deposito bancario
di 1 anno a garanzia di un tasso di interesse del 10%. Stai per raccogliere $ 1,100 in
contanti. Qual è il vero ritorno sul tuo investimento? Dipende da ciò che i tuoi soldi
possono comprare oggi rispetto a ciò che potevano comprare un anno fa. L'indice dei
prezzi al consumo (CPI) misura il potere d'acquisto di una media dei prezzi di beni e
servizi nel paniere dei consumi famiglia urbana di quattro persone. Supponiamo che
il tasso di inflazione (la variazione percentuale nell'IPC, indicato con i) sia i = 6%.
Quindi una pagnotta che costa $ 1 l'anno scorso, potrebbe costare $ 1,06
quest'anno. L'anno scorso potresti comprare 1.000 pagnotte con i tuoi fondi. Dopo
aver investito per un anno, puoi acquistare $ 1,100 / $ 1,06 = 1,038 pagnotte. La
velocità con cui il tuo potere d'acquisto è aumentato è quindi 3,8%.
Parte delle entrate da interessi sono state compensate dalla riduzione del potere
d'acquisto dei dollari che riceverai alla fine dell'anno. Con un tasso di interesse del
10%, dopo aver netto fuori la riduzione del 6% del potere d'acquisto del denaro, ti
rimane un aumento netto di potere d'acquisto di quasi il 4%. Pertanto, dobbiamo
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distinguere tra un tasso di interesse nominale, il tasso di crescita del tuo denaro e un
tasso di interesse reale, il tasso di crescita del tuo potere d'acquisto.
Più precisamente, troviamo l'aumento proporzionale del potere d'acquisto
dividendo la crescita dei fondi investiti per la crescita dei prezzi. Se chiamiamo r nom
il tasso di interesse nominale, e r real il tasso reale e “i” il tasso di inflazione,
possiamo concludere che:
1+r real =
1+r nom
1+i
= 1.038
5.1
Un’approssimazione comune di questa relazione è:
r real
≃
r nom
-i
5.2
In parole povere, il tasso di interesse reale è il tasso nominale ridotto dalla perdita di
potere d'acquisto derivante dall'inflazione.
È possibile riorganizzare la relazione esatta nell'equazione 5.1:
r real
=
r nom −i
1+i
5.3
che mostra che la regola di approssimazione (equazione 5.2) sopravvaluta
il tasso reale di un fattore 1 + i.
Gli investimenti a reddito fisso, ad esempio certificati di deposito bancari,
promettono un tasso di interesse nominale. Tuttavia, poiché l'inflazione
futura è incerta, il tasso reale di rendimento che guadagnerai è rischioso
anche se il tasso nominale è privo di rischio. Pertanto, puoi solo dedurre il
tasso reale atteso su questi investimenti regolando il tasso nominale per
le tue aspettative del tasso di inflazione.
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5.1.2 The Equilibrium Real Rate of Interest
Sebbene ci siano diversi tassi di interesse in tutta l'economia (tanti quanti sono i tipi
di titoli di debito), questi tassi tendono a muoversi insieme, quindi gli economisti
spesso parlano come se ci fosse un unico tasso rappresentativo. Tre fattori di base:
offerta, domanda e politiche del governo: determinare il tasso di interesse reale. Il
tasso di interesse nominale è il tasso reale più il tasso di inflazione previsto.
La Figura 5.1 mostra una curva di domanda inclinata verso il basso e una curva di
offerta inclinata verso l'alto. Sull'asse orizzontale, misuriamo la quantità di fondi e
sull'asse verticale, misuriamo il tasso di interesse reale.
La curva di offerta si inclina da sinistra a destra perché maggiore è il tasso di
interesse reale, maggiore è l'offerta di risparmio delle famiglie.
Il presupposto è che a tassi di interesse reali più elevati le famiglie sceglieranno di
posticipare parte dei consumi attuali e accantonare o investire più del loro reddito
disponibile per un uso futuro. La curva della domanda si inclina verso il basso da
sinistra a destra perché più basso è il tasso di interesse reale, più aziende vorranno
investire in capitale fisico.
letizia metti l’immagine 5.1 vellllocce
Supponendo che le aziende classifichino i progetti in base al rendimento reale atteso
sul capitale investito, le imprese intraprenderanno più progetti più basso sarà il tasso
di interesse reale sui fondi necessari per finanziare tali progetti. L'equilibrio è nel
punto di intersezione delle curve di domanda e offerta, punto E nella Figura 5.1.
Il governo e la banca centrale (la Federal Reserve) possono spostare queste curve di
domanda e offerta sia a destra che a sinistra attraverso politiche fiscali e monetarie.
Ad esempio, si consideri un aumento del deficit di bilancio del governo. Ciò aumenta
la domanda di prestiti del governo e sposta la curva di domanda a destra, che
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fa aumentare il tasso di interesse reale di equilibrio fino al punto E '. La
Fed può compensare un tale aumento attraverso una politica monetaria
espansiva, che sposta la curva di offerta verso destra.
Pertanto, sebbene le determinanti fondamentali del tasso di interesse
reale siano la propensione al risparmio delle famiglie e la redditività attesa
degli investimenti in capitale fisico, il tasso reale può essere influenzato
anche dalle politiche fiscali e monetarie del governo.
5.1.3 The Equilibrium Nominal Rate of Interest
L'equazione 5.2 ci dice che il tasso di rendimento nominale di un'attività è
approssimativamente uguale al tasso reale più inflazione. Perché gli investitori
dovrebbero preoccuparsi di rendimenti reali — il loro aumento del potere d'acquisto
— quando ci aspettiamo tassi di interesse nominali più elevati l'inflazione è più alta.
Questo tasso nominale più elevato è necessario per mantenere un livello positivo di
rendimento reale atteso offerto da un investimento. Irving Fisher (1930) ha
sostenuto che il tasso nominale dovrebbe aumentare in proporzione uno a uno con
l’inflazione attesa, E(i).
L’ipotesi di Fisher è:
r nom =¿
r real
+ E(i)
5.4
L'ipotesi di Fisher implica che quando i tassi reali sono stabili, i cambiamenti nei tassi
nominale dovrebbero prevedere le variazioni dei tassi di inflazione. Questa
previsione è stata discussa e empiricamente studiata con risultati contrastanti. È
difficile verificare definitivamente l'ipotesi perché il tasso reale di equilibrio cambia
anche in modo imprevedibile nel tempo. Sebbene i dati non supportano fortemente
l'equazione di Fisher, i tassi di interesse nominali sembrano prevedere l'inflazione e
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metodi alternativi, in parte perché non siamo in grado di prevedere bene
l'inflazione con alcun metodo.
5.1.4 Taxes and the Real Rate of Interest
I debiti fiscali si basano sul reddito nominale e sull'aliquota fiscale
determinata dalla fascia d'imposta dell'investitore. Il Congresso ha
riconosciuto i problemi risultanti da quest’impostazione del sistema
fiscale (quando il reddito nominale cresce a causa dell'inflazione e spinge i
contribuenti in parentesi più alte) e ha imposto le parentesi fiscali
indicizzate al tasso reale nel Tax Reform Act del 1986.
Tuttavia, le fasce fiscali collegate all'indice non offrono sollievo dall'effetto
dell'inflazione sulla tassazione del risparmio. Data un'aliquota fiscale (t) e
un tasso di interesse nominale,
delle imposte è di nuovo
r nom
r nom
, prima, il tasso di interesse al netto
(1 - t). L'aliquota reale al netto delle
imposte è approssimativamente quella nominale al netto delle imposte
tasso meno il tasso di inflazione:
r nom ( 1−t ) −i=( r real +i ) ( 1−t ) −i=r real ( 1−t ) −it
5.5
L'equazione 5.5 ci dice che, poiché si pagano le imposte anche sulla parte degli utili
da interessi che è semplicemente una compensazione per l'inflazione, il rendimento
reale al netto delle imposte diminuisce dell'aliquota fiscale per il tasso di inflazione.
Se, ad esempio, ti trovi in una fascia fiscale del 30% e i tuoi investimenti forniscono
un rendimento nominale del 12% mentre l'inflazione si attesta all'8%, il tasso reale al
lordo delle imposte è di circa il 4% e dovresti, in un sistema protetto dall'inflazione
sistema fiscale, al netto di un rendimento reale al netto delle imposte del 4% (1 - 0.3)
= 2,8%. Ma la legge fiscale non riconosce che il primo 8% del rendimento è solo una
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compensazione per l'inflazione, non il reddito reale. La dichiarazione nominale al
netto delle imposte è del 12% (1 - 0,3) = 8,4%, quindi il tasso di interesse
reale al netto delle imposte è solo dell'8,4% - 8% = .4%. Come previsto
dall'equazione 5.5, il rendimento reale al netto delle imposte è sceso di
esso = 8% × .3 = 2,4%.
5.2 Comparing rates of return for different holding periods
Considera un investitore che cerca un investimento sicuro, diciamo, in titoli del
Tesoro USA. Osserviamo titoli del Tesoro a cedola zero con diverse scadenze. Le
obbligazioni zero coupon, sono vendute con uno sconto dal valore nominale e
forniscono il loro intero rendimento dalla differenza tra il prezzo di acquisto e il
rimborso finale del valore nominale. Dato il prezzo, P(T), di un buono del Tesoro con
valore nominale di $ 100 e scadenza di T anni, calcoliamo il rendimento totale privo
di rischio disponibile per un orizzonte di T anni come incremento percentuale del
valore dell'investimento.
r f ( T )=
100
−1
P(T )
5.6
Per T = 1, l'equazione 5.6 fornisce il tasso privo di rischio per un orizzonte di
investimento di 1 anno. Non sorprende che orizzonti più lunghi nell'esempio 5.2
forniscano rendimenti totali maggiori. Come dovremmo confrontare i rendimenti
degli investimenti con orizzonti diversi? Ciò richiede l’espletamento di ogni
rendimento totale come tasso di rendimento per un periodo comune. Tipicamente
esprimiamo tutti i rendimenti degli investimenti come tasso annuale effettivo (EAR),
definito come aumento percentuale in fondi investiti in un orizzonte di 1 anno.
Per un investimento di 1 anno, l'EAR eguaglia al rendimento totale, r f (1) , il
rendimento lordo, (1 + EAR), è il valore terminale di un investimento di $ 1. Per gli
investimenti che durano meno di 1 anno, aumentiamo il rendimento per periodo per
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un anno intero. Per la fattura di 6 mesi nell'Esempio 5.2, abbiamo composto
rendimenti semestrali del 2,71% su due periodi semestrali per ottenere un valore
terminale di 1 + EAR = (1,0271) ^2 = 1,0549, il che implica che EAR = 5,49%. Per gli
investimenti di durata superiore a un anno, la convenzione prevede di esprimere
l'EAR come tasso annuo che si sommerebbe allo stesso valore dell'investimento
effettivo. Ad esempio, l'investimento nell'obbligazione a 25 anni nell'Esempio 5.2
cresce della sua scadenza di un fattore di 4,2918 (cioè 1 + 3.2918), quindi la sua EAR
si trova risolvendo:
1+ EAR ¿25=4.2918
¿
EAR = 0.6
In generale, possiamo mettere in relazione EAR con il rendimento totale, r f (T ) ,
per un periodo di mantenimento di lunghezza T
usando la seguente equazione:
1+r f ( T ) ¿1/ T
1+EAR=¿
5.2.1 Annual percentage rates
I tassi annuali sugli investimenti a breve termine (per convenzione, T <1
anno) sono spesso riportati utilizzando interessi semplici anziché
composti. Questi sono chiamati tassi percentuali annuali o APR (annual
percentage rates). Ad esempio, l'APR corrispondente a una tariffa mensile
come quella addebitata su una carta di credito viene segnalata come 12
volte la tariffa mensile. Più in generale, se ci sono n periodi di
capitalizzazione in un anno e il tasso per periodo è
r f (T )
.
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r f (T )
, poi il APR = n x
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Viceversa, puoi trovare la tariffa per periodo dall'APR come
n, o equivalentemente, come T × APR.
r f (T )
= APR /
Per generalizzare, si noti che per investimenti a breve termine di lunghezza T, ci sono
periodi di capitalizzazione n = 1 / T in un anno. Pertanto, la relazione tra il periodo di
composizione, l'EAR e l'APR è
1+T x APR ¿ 1/ T
1
T
1+r f ( T ) ¿ =¿
1+ EAR=¿
Equivalentemente:
( 1+EAR ¿ T−1 ]
¿
¿
APR=¿
5.8
5.2.2 Compounding continuo
Mettere tabella 5.1
È evidente dalla Tabella 5.1 (e dall'equazione 5.8) che la differenza tra APR ed EAR
cresce con la frequenza del compounding. Ciò solleva la domanda: fino a che punto
questi due tassi divergeranno man mano che la frequenza di composizione continua
¿ 1/ T quando T diventa
a crescere? In altre parole, qual è il limite di 1+T x APR
¿
sempre più piccolo? Mentre T si avvicina a zero, ci avviciniamo efficacemente al
compounding continuo (CC) e la relazione tra EAR e APR, indicato da r cc per il caso
compound continuo, è dato dalla funzione esponenziale
r
(¿¿ cc )=e r
1+EAR=exp ¿
cc
5.9
dove e (numero di Nepero) è circa 2.71828. Per trovare r cc dal tasso annuale
effettivo, risolviamo l'equazione 5.9 per r cc come segue:
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ln (1 + EAR) =
r cc
(ln e r =r cc , per le proprietà dei logaritmi) dove ln (•) è la funzione logaritmica
cc
naturale, l'inverso di exp (•). Entrambe le funzioni esponenziali e logaritmiche sono
disponibili in Excel e sono chiamate EXP (•) e LN (•), rispettivamente.
5.3 Rischio e premio al rischio
5.3.1 Holding-period return
Stai pensando di investire in un fondo indicizzato. Il fondo attualmente vende $ 100
per azione. Con un orizzonte di investimento di 1 anno, il tasso di rendimento
realizzato sul tuo investimento dipenderà da (a) il prezzo per azione alla fine
dell'anno e (b) i dividendi in contanti che incasserai nel corso dell'anno. Supponiamo
che il prezzo per azione alla fine dell'anno sia di $ 110 e che i dividendi in contanti
nell'anno ammontino a $ 4. Il rendimento realizzato, chiamato holding-period
return, o HPR (in questo caso, il periodo di detenzione è di 1 anno), è definito come
HPR=
Ending price−Beginning price+Cash dividen
Beginning price
Questa definizione di HPR tratta il dividendo pagato alla fine del periodo di
detenzione. Quando i dividendi vengono ricevuti in precedenza, l'HPR dovrebbe
tenere conto dei proventi da reinvestimento tra la ricevuta del pagamento e la fine
del periodo di detenzione. Il rendimento percentuale da dividendi è chiamato
rendimento da dividendo, quindi il rendimento da dividendo più il tasso di
plusvalenze è uguale a HPR.
5.3.2 Rendimento atteso e deviazione standard
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Esiste tuttavia una considerevole incertezza sul prezzo di un'azione più il reddito da
dividendi tra un anno, quindi non puoi essere sicuro del tuo eventuale HPR.
Possiamo quantificare le nostre convinzioni sullo stato del mercato e sul fondo di
indici azionari in termini di quattro possibili scenari, con le probabilità presentate
nelle colonne da A a E del foglio di calcolo 5.1. Come possiamo valutare questa
distribuzione di probabilità? Per iniziare, caratterizzeremo le distribuzioni di
probabilità dei tassi di rendimento in base al rendimento atteso o medio, E (r) e
deviazione standard, σ. Il tasso di rendimento atteso è una media ponderata in base
alla probabilità dei tassi di rendimento in ciascuno scenario. Chiamando p (s) la
probabilità di ogni scenario e r (s) l'HPR in ogni scenario, in cui gli scenari sono
etichettati o "indicizzati" da s, scriviamo il rendimento atteso come:
E(r )=∑
p(s)r (s)
5.11
Il foglio di calcolo 5.1 mostra che questa somma può essere valutata facilmente in
Excel, utilizzando la funzione SUMPRODUCT, che prima calcola i prodotti di una serie
di coppie di numeri e quindi somma i prodotti. Qui, la coppia di numeri è la
probabilità di ogni scenario e il tasso di rendimento. La varianza del tasso di
rendimento (σ2) è una misura della volatilità. Misura la dispersione di possibili esiti
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attorno al valore atteso. La volatilità si riflette nelle deviazioni dei rendimenti effettivi
dal rendimento medio. Al fine di evitare che le deviazioni positive si annullino con
deviazioni negative, calcoliamo il valore atteso delle deviazioni al quadrato dal
rendimento atteso. Maggiore è la dispersione dei risultati, maggiore sarà il valore
medio di queste deviazioni quadrate. Pertanto, la varianza è una misura naturale
dell'incertezza. simbolicamente,
r ( s )−E (r )¿
2
σ =∑ p( s)¿
2
5.12
Chiaramente, ciò che potrebbe turbare i potenziali investitori nel fondo indicizzato è
il rischio al ribasso di un crollo o di un mercato povero, non il potenziale al rialzo di
un mercato buono o eccellente. La deviazione standard del tasso di rendimento non
distingue tra sorprese buone o cattive; tratta entrambi semplicemente come
deviazioni dalla media. Tuttavia, fintanto che la distribuzione di probabilità è più o
meno simmetrica rispetto alla media, σ è una misura ragionevole di rischio. Nel caso
speciale in cui possiamo supporre che la distribuzione di probabilità sia normale —
rappresentata dalla ben nota curva a forma di campana — E (r) e σ caratterizzano
completamente la distribuzione.
5.3.3 Excess Returns and Risk Premiums
Quanto, se non altro, investiresti nel fondo indicizzato? In primo luogo, è necessario
chiedere quanto guadagno per un premio atteso al rischio connesso all'investimento
in azioni. Misuriamo la ricompensa come la differenza tra l'HPR atteso sul fondo
azionario dell'indice e il tasso privo di rischio, ovvero il tasso che guadagneresti in
attività prive di rischio come i T-Bills, fondi del mercato monetario o banca.
Chiamiamo questa differenza il premio al rischio su azioni ordinarie. Il tasso privo di
rischio nel nostro esempio è del 4% all'anno e il rendimento atteso del fondo
indicizzato è del 9,76%, quindi il premio per il rischio sulle azioni è del 5,76%
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all'anno. La differenza in un determinato periodo tra il tasso di rendimento effettivo
su un'attività rischiosa e il tasso effettivo privo di rischio è chiamato rendimento in
eccesso. Pertanto, il premio per il rischio è il valore atteso del rendimento in eccesso,
mentre la deviazione standard del rendimento in eccesso è una misura del suo
rischio.
Si noti che il premio al rischio su attività rischiose è una quantità reale. Il tasso atteso
per un'attività rischiosa è uguale al tasso privo di rischio più un premio di rischio.
Tale premio per il rischio è incrementale rispetto al tasso privo di rischio e pertanto
costituisce la stessa aggiunta se dichiariamo il rischio libero tasso in termini reali o
nominali.
Il grado in cui gli investitori sono disposti a impegnare fondi in azioni dipende dalla
loro avversione al rischio. Gli investitori sono avversi al rischio nel senso che, se il
premio per il rischio fosse pari a zero, non investirebbero denaro in azioni. In teoria,
ci deve essere sempre un premio al rischio positivo sulle azioni al fine di indurre gli
investitori avversi al rischio a detenere l'offerta esistente di azioni anziché collocare
tutto il proprio denaro in attività prive di rischio.
Come regola generale, quando si valuta il premio al rischio, la scadenza del tasso
privo di rischio dovrebbe corrispondere all'orizzonte di investimento. Gli investitori
con scadenze lunghe visualizzeranno il tasso su obbligazioni sicure a lungo termine
fornendo il tasso di riferimento privo di rischio. Per considerare correttamente un
investimento a lungo termine, pertanto, dovremmo iniziare in termini reali, con il
tasso privo di rischi. In pratica, tuttavia, i rendimenti in eccesso sono generalmente
indicati in relazione ai tassi di rendimento dei T-Bills a un mese. Questo perché la
maggior parte dei confronti si riferisce a investimenti a breve termine.
Sebbene l'analisi dello scenario in Spreadsheet 5.1 illustri i concetti alla base della
quantificazione del rischio e del rendimento, ci si potrebbe ancora chiedere come
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ottenere una stima più realistica di E (r) e σ per azioni ordinarie e altri tipi di titoli.
Qui, la storia ha intuizioni da offrire. L'analisi della documentazione storica dei
rendimenti del portafoglio si avvale di una varietà di concetti e strumenti statistici,
quindi passiamo prima a una discussione preparatoria.
5.4 Analisi delle serie temporali e tassi di interesse passati
5.4.1 Serie temporali vs analisi di contesto
In un'analisi di uno scenario a lungo termine, determiniamo un insieme di scenari
pertinenti e tassi di rendimento degli investimenti associati, assegniamo le
probabilità a ciascuno e concludiamo calcolando il premio al rischio (rendimento) e
la deviazione standard (rischio) dell'investimento proposto.
Al contrario, le storie dei rendimenti delle attività si presentano sotto forma di serie
temporali di rendimenti realizzati che non forniscono esplicitamente le valutazioni
originali degli investitori sulle probabilità di tali rendimenti; osserviamo solo date e
HPR associati. Da questi dati limitati dobbiamo dedurre le distribuzioni di probabilità
dalle quali questi rendimenti potrebbero essere stati ricavati o, almeno, il
rendimento atteso e la deviazione standard.
5.4.2 Expected Returns and the Arithmetic Average
Quando usiamo i dati storici, trattiamo ogni osservazione come uno "scenario"
altrettanto probabile. Quindi, se ci sono n osservazioni, sostituiamo pari probabilità
di 1 / n per ogni p (s) nell’ Equazione 5.11. Il rendimento atteso, E (r), viene quindi
stimato dalla media aritmetica di i tassi di rendimento di esempio:
E(r )=∑ p ( s ) r ( s )=(1/n)∑ r ( s)
5.4.3 The Reward-to-Volatility (Sharpe) Ratio
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5.13
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Presumibilmente, gli investitori sono interessati all'eccesso di rendimento atteso che
possono guadagnare sostituendo i T-Biils con un portafoglio rischioso, nonché il
rischio che incorrerebbero in tal modo. Anche se il tasso dei T-Bills non è costante,
sappiamo ancora con certezza quale tasso nominale guadagneremo in qualsiasi
periodo se acquistiamo una fattura e la manteniamo fino alla scadenza. Altri
investimenti in genere comportano l'accettazione di alcuni rischi in cambio della
prospettiva di guadagnare di più rispetto al tasso del T-Bill. Gli investitori valutano le
attività rischiose in modo tale che il premio per il rischio sia commisurato al rischio di
quel rendimento in eccesso atteso, e quindi è meglio misurare il rischio in base alla
deviazione standard del rendimento in eccesso, non totale.
L'importanza del trade-off tra il rendimento (premio al rischio) e rischio (misurato in
base alla deviazione standard o alla DS) suggerisce che misuriamo l'attrazione di un
portafoglio in base al rapporto tra il suo premio per il rischio e la DS dei rendimenti
in eccesso. Questa misura della remunerazione-volatilità è stata inizialmente
utilizzata ampiamente da William Sharpe e quindi è comunemente nota come
rapporto di Sharpe. È ampiamente utilizzato per valutare le prestazioni dei gestori
degli investimenti.
Sharpe ratio=
Risk premium
SD of excess return
5.5 Distribuzione normale
La distribuzione normale a forma di campana appare naturalmente in molte
applicazioni. Ad esempio, le altezze e i pesi dei neonati, la durata di vita di molti
articoli di consumo come lampadine e molti punteggi dei test standardizzati sono
ben descritti dalla distribuzione normale.
Le variabili che sono il risultato finale di molteplici influenze casuali tendono a
mostrare una distribuzione normale, ad esempio l'errore di una macchina che mira a
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riempire i contenitori con esattamente 1 gallone di liquido. Secondo la stessa logica,
poiché i tassi di rendimento sono influenzati da una molteplicità di fattori imprevisti,
ci si potrebbe aspettare che anche loro siano distribuiti almeno
approssimativamente come una normale.
La gestione degli investimenti è molto più tracciabile quando i tassi di rendimento
possono essere ben approssimati dalla distribuzione normale. Innanzitutto, la
distribuzione normale è simmetrica, ovvero la probabilità di qualsiasi deviazione
positiva al di sopra della media è uguale a quella di una deviazione negativa della
stessa grandezza. In assenza di simmetria, la deviazione standard è una misura
incompleta del rischio. In secondo luogo, la distribuzione normale appartiene a una
famiglia speciale di distribuzioni caratterizzata come "stabile" per le
seguenti proprietà: Quando le attività con rendimenti normalmente
distribuiti vengono mescolate per costruire un portafoglio, anche il
rendimento del portafoglio viene normalmente distribuito. In terzo luogo,
l'analisi degli scenari è notevolmente semplificata quando è necessario
stimare solo due parametri (media e DS) per ottenere le probabilità di
scenari futuri. In quarto luogo, nel costruire portafogli di titoli, dobbiamo
tenere conto della dipendenza statistica dei rendimenti tra i titoli. In
generale, tale dipendenza è una relazione complessa, a più livelli.
Ma quando i titoli sono normalmente distribuiti, la relazione statistica tra i
rendimenti può essere sintetizzata con un singolo coefficiente di correlazione.
In che misura le distribuzioni di rendimento effettive devono adattarsi alla curva
normale per giustificarne l'uso nella gestione degli investimenti? Chiaramente, la
curva normale non può essere una descrizione perfetta della realtà.
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Ad esempio, i rendimenti effettivi non possono essere inferiori a −100%, cosa che la
distribuzione normale non escluderebbe. Ma ciò non significa che la curva normale
non possa essere ancora utile.
Un problema simile si presenta in molti altri contesti. Ad esempio, il peso alla nascita
viene in genere valutato rispetto a una normale curva di pesi neonatali, anche se
nessun bambino nasce con un peso negativo. La distribuzione normale è ancora utile
qui perché la DS del peso è piccola rispetto alla sua media e la probabilità prevista di
un peso negativo sarebbe troppo banale per essere rilevante. In uno spirito simile,
dobbiamo identificare i criteri per determinare l'adeguatezza di l'assunzione della
normalità per i tassi di rendimento. (Paragrafo 5.7 vedi slide del professore)
5.5.1 Rendimenti storici
Ora possiamo applicare gli strumenti analitici elaborati nelle sezioni
precedenti per esaminare le performance storiche di diversi portafogli
piuttosto rilevanti.
Iniziamo confrontando la performance dei Treasury Bills con quella di un
portafoglio diversificato di titoli statunitensi. I T-Bills sono considerate le
attività meno rischiose.
Non vi è sostanzialmente alcun rischio che il governo degli Stati Uniti non
riesca a onorare i propri impegni nei confronti di questi investitori e la loro
breve scadenza significa che i loro prezzi sono relativamente stabili.
Anche i titoli del Tesoro statunitensi a lungo termine saranno sicuramente
rimborsati, ma i prezzi di tali obbligazioni fluttuano al variare dei tassi di
interesse, quindi comportano rischi significativi. Infine, i titoli ordinari
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sono i più rischiosi dei tre gruppi di titoli. Come comproprietario della
società, il tuo ritorno dipenderà dal successo o dal fallimento dell'azienda.
Il nostro portafoglio azionario è il portafoglio azionario statunitense più
ampio possibile, compresi tutti i titoli quotati su NYSE, AMEX e NASDAQ.
Lo indicheremo come "l'indice di mercato degli Stati Uniti". Poiché le
grandi imprese svolgono un ruolo maggiore nell'economia, questo indice
è un portafoglio ponderato in base al valore e quindi dominato dal settore
delle grandi imprese. Le serie di dati mensili includono i rendimenti in
eccesso di questi titoli da luglio 1926 a giugno 2016, un periodo di
campionamento di 90 anni. Le serie di resi annuali comprendono
rendimenti per l'intero anno dal 1927 al 2015.
Mettere figura 5.5
La Figura 5.5 è una distribuzione di frequenza dei rendimenti annuali su
questi tre portafogli. La maggiore volatilità dei rendimenti azionari
rispetto ai rendimenti T-Bill o T-bond è immediatamente evidente.
Rispetto ai rendimenti azionari, la distribuzione dei rendimenti dei T-Bond
è molto più concentrata nel mezzo della distribuzione, con molti meno
valori anomali. La distribuzione dei rendimenti dei T-Bills è ancora più
stretta. Più precisamente, lo spread della distribuzione del T-Bill non
riflette il rischio ma piuttosto cambia nel tempo il tasso privo di rischio.
Chi acquista un T-Bill sa esattamente quale sarà il rendimento (nominale)
quando la fattura matura, quindi la variazione del rendimento non è un
riflesso del rischio in quel breve periodo di detenzione. Mentre la
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distribuzione della frequenza è una pratica rappresentazione visiva del
rischio di investimento, abbiamo anche bisogno di un modo per
quantificare tale volatilità; questo è fornito dalla deviazione standard dei
resi. La tabella 5.3 mostra che la deviazione standard del rendimento delle
azioni in questo periodo, il 20,28%, era circa il doppio di quella delle
obbligazioni T, il 10,02% e oltre 6 volte quella delle banconote T. Certo,
quel rischio maggiore portava con sé una ricompensa maggiore. Il
rendimento in eccesso delle azioni (ovvero il rendimento in eccesso
rispetto al tasso del T-bill) è stato in media dell'8,30% all'anno, offrendo
un generoso premio per il rischio agli investitori azionari.
Mettere TABELLA 5.3
La tabella 5.3 utilizza un periodo di campionamento abbastanza lungo per stimare il
livello medio di rischio e rendimento. Sebbene le medie possano essere utili
indicazioni di ciò che potremmo aspettarci in futuro, tuttavia dovremmo aspettarci
che fluttuano nel tempo sia il rischio che il rendimento atteso. La Figura 5.6 mostra la
deviazione standard del rendimento in eccesso del mercato in ogni anno calcolata
dai 12 rendimenti mensili più recenti. Mentre il rischio di mercato chiaramente
diminuisce e scorre, a parte i suoi valori anormalmente elevati durante la Grande
Depressione, non sembra esserci alcuna tendenza evidente nel suo livello. Questo ci
dà più fiducia nel fatto che le stime storiche del rischio forniscono utili indicazioni sul
futuro.
Ovviamente, come abbiamo sottolineato nelle sezioni precedenti, a meno che i
rendimenti non siano normalmente distribuiti, la deviazione standard non è
sufficiente per misurare il rischio. Dobbiamo anche pensare al "rischio di coda",
ovvero alla nostra esposizione a risultati improbabili ma molto grandi nella coda
sinistra delle distribuzioni di probabilità. La Figura 5.7 fornisce alcune prove di questa
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esposizione. Mostra una distribuzione di frequenza dei rendimenti in eccesso mensili
sull'indice di mercato dal 1926. La prima barra in ogni set mostra la frequenza storica
dei rendimenti in eccesso che rientrano in ciascun intervallo, mentre la seconda
barra mostra le frequenze che osserveremmo se questi rendimenti seguissero un
distribuzione normale con la stessa media e varianza della distribuzione empirica
effettiva. Puoi vedere qui alcune prove di una distribuzione dalla coda grassa: le
frequenze effettive di rendimenti estremi, sia alte che basse, sono più alte di quanto
sarebbe previsto dalla distribuzione normale. Ulteriori prove sulla distribuzione dei
rendimenti azionari in eccesso sono riportate nella Tabella 5.4. Qui, utilizziamo i dati
mensili sia sull'indice di mercato sia, per confronto, diversi portafogli di "stile". Si può
ricordare dal Capitolo 4, Figura 4.5, che la performance dei fondi comuni di
investimento è comunemente valutata rispetto ad altri fondi con "stili" di
investimento simili. (Vedi il riquadro dello stile Morningstar nella Figura 4.5.) Lo stile
è definito secondo due dimensioni: dimensione (i fondi investono in
società a grande e piccola capitalizzazione?) e valore vs. crescita. Le
imprese con elevati rapporti tra valore di mercato e valore contabile sono
considerate "imprese in crescita" perché, per giustificare la loro prezzi
elevati rispetto agli attuali valori contabili, il mercato deve anticipare una
rapida crescita.
L'uso di portafogli di stile come punto di riferimento per la valutazione delle
prestazioni risale a documenti influenti di Eugene Fama e Kenneth French, che
hanno ampiamente documentato che le dimensioni dell'impresa e il rapporto tra
valore del mercato e valore di mercato prevedono rendimenti medi; questi da allora i
modelli sono stati confermati nelle borse di tutto il mondo.14 Un massimo il
rapporto book-to-market (B / M) viene interpretato come un'indicazione del valore
dell'impresa è guidato principalmente da attività già esistenti, piuttosto che dalla
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prospettiva di un futuro elevato crescita. Queste sono chiamate imprese di "valore".
Al contrario, un basso rapporto book-to-market è tipico delle imprese il cui valore di
mercato deriva principalmente da ampie opportunità di crescita. Realizzato i
rendimenti medi, a parità di altre condizioni, sono stati storicamente più elevati per
le imprese di valore che per le imprese in crescita e per le piccole imprese che per le
grandi. Il database Fama-francese include i ritorni su portafogli di titoli statunitensi
ordinati per dimensione (Grande; Piccola) e per B / M rapporti (alto; medio; basso).
Seguendo le classificazioni Fama-Francese, lasciamo cadere i portafogli B / M medi e
identificare le imprese classificate nel primo 30% del rapporto B / M come "imprese
di valore" e le società classificate nel 30% inferiore come "imprese in crescita".
Abbiamo diviso le imprese in livelli di mercato superiori e inferiori alla media
capitalizzazione per stabilire sotto campioni di piccole contro grandi imprese. Ne
otteniamo così quattro portafogli di confronto: Grande / Crescita, Grande / Valore,
Piccolo / Crescita e Piccolo / Valore.
La Tabella 5.4, Pannello A, presenta i risultati utilizzando i dati mensili per l'intero
periodo di campionamento, luglio 1926 – giugno 2016. Le prime due righe mostrano
il rendimento e lo standard medi annui in eccesso deviazione di ciascun portafoglio.
L'ampio indice di mercato ha sovraperformato le bollette a T in media dell'8,30%
all'anno, con una deviazione standard del 18,64%, con un conseguente rapporto di
Sharpe (terza riga) di 8.30 / 18.64 = .45. In linea con l'analisi franco-francese, le
piccole / imprese di valore ha avuto il più alto rendimento medio in eccesso e il
miglior rapporto rischio-rendimento con un rapporto di Sharpe di .55. Tuttavia, la
Figura 5.5 ci avverte che i rendimenti effettivi potrebbero avere code più grosse
rispetto al normale distribuzione, quindi dobbiamo considerare le misure di rischio
oltre la semplice deviazione standard.
La tabella presenta quindi anche diverse misure di rischio adatte a non normali
distribuzioni.
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Molte di queste altre misure in realtà non mostrano deviazioni significative della
distribuzione normale simmetrica. L'inclinazione è generalmente vicino allo zero; se
il rischio al ribasso fosse sostanzialmente più grande del potenziale al rialzo, ci
aspetteremmo che l'inclinazione sia generalmente negativa, il che non è. Sulla stessa
linea, la deviazione standard parziale inferiore è generalmente abbastanza vicina alla
deviazione standard convenzionale. Infine, mentre l'attuale VaR all'1% di questi
portafogli sono uniformemente superiori al VaR dell'1% previsto dalle normali
distribuzioni con mezzi corrispondenti e deviazioni standard, le differenze tra
empirico e le statistiche del VaR previste non sono grandi. Anche con questa metrica,
la normale sembra essere a approssimazione decente all'attuale distribuzione del
rendimento.
Tuttavia, ci sono altre prove che suggeriscono code grosse nelle distribuzioni di
ritorno di questi portafogli. Per iniziare, nota che la curtosi (la misura della
"grassezza" di entrambe le code della distribuzione) è uniformemente alta. Gli
investitori sono ovviamente preoccupati per la parte inferiore (a sinistra) coda della
distribuzione; non perdono sonno a causa della loro esposizione a rendimenti
estremamente buoni!
Sfortunatamente, questi portafogli suggeriscono che la coda sinistra della
distribuzione di ritorno è sovrastimata rispetto al normale. Se i rendimenti in eccesso
erano normalmente distribuiti, solo allora .13% di questi sarebbero caduti più di 3
deviazioni standard al di sotto della media. In effetti, il l'incidenza effettiva dei
rendimenti in eccesso al di sotto di tale soglia è almeno di alcuni multipli dello 0,13%
per ogni portafoglio.
Le stime sul deficit atteso (ES) mostrano perché il VaR sia solo una misura incompleta
di rischio al ribasso. ES nella Tabella 5.4 è il rendimento medio in eccesso di quelle
osservazioni che cadono nell'estrema sinistra, in particolare quelle che scendono al
di sotto del VaR dell'1%. Per definizione, questo il valore deve essere peggiore del
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VaR, poiché è media tra tutti i rendimenti che sono inferiori al valore Cutoff dell'1%.
Poiché utilizza i rendimenti effettivi dei "risultati peggiori", ES è di gran lunga un
migliore indicatore di esposizione a eventi estremi.
Mettere figura 5.2
La Figura 5.2 ci ha mostrato che gli anni del dopoguerra (più precisamente, gli anni
dopo il 1951) sono stati molto più prevedibili, almeno per quanto riguarda i tassi di
interesse. Questo suggerisce che può essere istruttivo esaminare i rendimenti
azionari nel periodo post-1951 e vedere se il rischio e le caratteristiche di
rendimento per gli investimenti azionari sono cambiate significativamente in più
periodo recente. Le statistiche pertinenti sono riportate nel pannello B della tabella
5.4. Forse non sorprendentemente alla luce della storia dell'inflazione e dei tassi di
interesse, è in effetti il periodo più recente meno rischioso. La deviazione standard
per tutti e cinque i portafogli è notevolmente inferiore negli ultimi anni e la curtosi,
la nostra misura di code grasse, diminuisce drasticamente. Il VaR anche crolla.
Mentre il numero di rendimenti in eccesso superiori di 3 DS al di sotto della media
cambia in modo incoerente, poiché la DS è inferiore in questo periodo, anche i
rendimenti negativi sono meno drammatici: il deficit atteso generalmente è inferiore
in quest'ultimo periodo.
La distribuzione delle frequenze nella Figura 5.5 e le statistiche nella Tabella 5.4 per
l'indice di mercato, nonché i portafogli di stile raccontano una storia
ragionevolmente coerente. Esistono alcune prove, certamente incoerenti, di code
grosse, quindi gli investitori non dovrebbero dare per scontata la normalità. D'altra
parte, i rendimenti estremi sono in effetti abbastanza rari, specialmente negli anni
più recenti. L'incidenza dei rendimenti sull'indice di mercato nel periodo post-1951
che sono peggiori di 3 DS al di sotto della media è dello .66%, rispetto a una
previsione dello 0,13% per la distribuzione normale.
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Il tasso di “eccesso” di esiti estremi è quindi solo dello 0,53%, ovvero circa una volta
ogni 187 mesi (15 1 ⁄ 2 anni). Quindi non è irragionevole accettare la semplificazione
offerta dalla normalità come approssimazione accettabile mentre pensiamo a
costruire e valutare i nostri portafogli.
5.5.2 Una visione globale dei record storici
Man mano che i mercati finanziari di tutto il mondo crescono e diventano più
trasparenti, gli investitori statunitensi cercano di migliorare la diversificazione
investendo a livello internazionale. Gli investitori stranieri che tradizionalmente
utilizzavano i mercati finanziari statunitensi come un rifugio sicuro per integrare gli
investimenti nel proprio paese cercano anche una diversificazione internazionale per
ridurre il rischio. Si pone la questione di come l'esperienza storica degli Stati Uniti sia
paragonabile a quella dei mercati azionari di tutto il mondo.
Mettere figura 5.8 + tabella 5.4
La Figura 5.8 mostra una storia lunga oltre un secolo (1900–2015) dei rendimenti in
eccesso medi in 20 mercati azionari. Il rendimento medio annuo in eccesso in questi
paesi è stato del 7,40% e la mediana del 6,50%. Gli Stati Uniti sono all'incirca a metà
del pacchetto, con un premio al rischio storico del 7,55%. Allo stesso modo, la
deviazione standard dei rendimenti negli Stati Uniti (non mostrata) era solo
un'ombra al di sotto della volatilità mediana in questi altri paesi. Quindi la
performance degli Stati Uniti è stata praticamente coerente con l'esperienza
internazionale. Potremmo concludere provvisoriamente che le caratteristiche dei
rendimenti storici negli Stati Uniti possono anche servire da indicazione
approssimativa del compromesso rischio-rendimento in una più ampia gamma di
paesi.
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Naturalmente, abbiamo visto che esiste un'enorme variabilità nei rendimenti anno
per anno, e questo rende anche la performance media a lungo termine una stima
molto rumorosa dei rendimenti futuri. È in corso un dibattito sul fatto che lo storico
premio per il rischio medio negli Stati Uniti di grandi titoli rispetto a titoli a T
dell'8,30% (Tabella 5.4) sia una previsione ragionevole a lungo termine. Questo
dibattito ruota attorno a due domande: in primo luogo, i fattori economici prevalenti
in quel periodo storico (1926–2015) rappresentano adeguatamente quelli che
possono prevalere nell'orizzonte di previsione? In secondo luogo, le prestazioni
medie della cronologia disponibile sono un buon metro per le previsioni a lungo
termine? Ritorneremo su queste domande più avanti nel testo.
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