HỆ THỐNG KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI LỚP 9

A - Căn bậc hai
1. Định nghĩa: Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x2 = a.
2. Ký hiệu:
 a > 0:  a : Căn bậc hai của số a
  a : Căn bậc hai âm của số a
 a = 0: 0  0
3. Chú ý: Với a
 0: ( a )2  (  a )2  a
4. Căn bậc hai số học:
 Với a  0: số a được gọi là CBHSH của a
 Phép khi phương là phép toán tìm CBHSH của số a không âm.
5. So sánh các CBHSH: Với a  0, b  0: a  b  a  b
1.1 Điền vào ô trống trong bảng sau:
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x2
1.2 Tìm căn bậc hai số học rồi suy ra căn bậc hai của các số sau:
a) 121
b) 144
c) 169
d) 225
e) 256
f) 324
g) 361
h) 400
i) 0,01
j) 0,04
k) 0,49
l) 0,64
m)
0,25
n) 0,81
o) 0,09
1.3 Tính:
1
p)
0,16
a)
0,09
b) 16
e)
4
25
f)
c)
6 16
d) (4).(25)
0,25. 0,16
g) 0,36  0,49
5 0,04
1.4 Trong các số sau, số nào có căn bậc hai:
a)
5
b) 1,5
c)  0,1
d)  9
1.5 Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có căn bậc hai:
a) (x – 4)(x – 6) + 1
b) (3 – x)(x – 5) – 4
c)  x2 + 6x – 9
d)  5x2 + 8x – 4
e) x(x – 1)(x + 1)(x + 2) + 1 f) x2 + 20x + 101
1.6 So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a) 1 và 2
b) 2 và 3
c) 6 và 41
d) 7 và 47
e) 2 và 2  1
f) 1 và 3  1
g) 2 31 và 10
h) 3 và 12
i) 5 và  29
j) 2 5 và 19
k)
l)
m)
2 + 6 và 5
3 và
p) 37  14 và 6– 15
1.7 Dùng kí hiệu
2
2 3 và
3 2
n) 7 – 2 2 và 4
15 + 8 và 7
q) 17  26  1 và 99
viết nghiệm của các phương trình đưới đây, sau đó dùng máy tính
để tính chính xác nghiệm với 3 chữ số thập phân.
a) x2 = 2
b) x2 = 3
c) x2 = 3,5
d) x2 = 4,12
e) x2 = 5
f) x2 = 6
g) x2 = 2,5
h) x2 = 5
1.8 Giải các phương trình sau:
a) x2 = 25
o)
b) x2 = 30,25
c) x2 = 5
2
d) x2 – 3 = 2
e) x2  5 = 0
g) x2 =
h) 2x2+3 2 =2 3 i) (x – 1)2 = 1
3
j) x2 = (1 – 3 )2
f) x2 + 5 = 2
k) x2 = 27 – 10 2
9
16
l) x2 + 2x =3 –2 3
1.9 Giải phương trình:
a)
x = 3
1.10 Trong các số:
b) x = 5
(7) 2 ,
c)
x = 0
d) x = 2
(7)2 ,  72 ,  (7) 2 thì số nào là căn bậc hai số học của
49 ?
1.11 Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng:
a) Nếu a > b thì a  b
b) Nếu a  b thì a > b
1.12 Cho số dương a. Chứng minh rằng:
a) Nếu a > 1 thì a > 1
b) Nếu a < 1 thì a < 1
1.13 Cho số dương a. Chứng minh rằng:
a) Nếu a > 1 thì a > a
b) Nếu a < 1 thì a < a
3
Một số tính chất bất đẳng
thức
1. a  b  b  a
2.
a  b
ac
b  c
3. a  b  a  c  b  c (cộng 2 vế với c)
 a  c  b  a  b  c (cộng 2 vế với – c)
 a  b  a  b  0 (cộng 2 vế với – b)
 a  b  a  b  0 (cộng 2 vế với – b)
4.
a  b
acbd
c  d
5. a  b  a.c  b.c (nếu c > 0: giữ nguyên chiều)
a  b  a.c  b.c (nếu c < 0: đổi chiều)
6.
a  b  0
  a.c  b.d
c  d  0
n
n
*
7. a  b  0  a  b ( n   )
8. a  b  0 
1 1

a b
B - Căn thức bậc hai. Hằng đẳng thức
A
2
 A
1. Căn thức bậc hai:
 Nếu A là một biểu thức đại số thì
hai
A gọi là căn thức bậc
của
A.
A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu
căn.

A các định (có nghĩa) khi A  0
 Chú ý:
a) Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức:
 A(x) là một đa thức  A(x) luôn có nghĩa.

A( x )
có nghĩa
B( x )

B(x)  0
4

A( x ) có nghĩa

A(x)  0

1
có nghĩa
A( x )

A(x) > 0
b) Với M > 0, ta có:
 X 2  M 2  X  M  M  X  M
 X 2  M 2  X  M  X  M hoặc X  M
2. Hằng đẳng thức
( A )2  A
khi a  0
a
a khi a  0
 Định lí: Với mọi số a, ta có: a 2  a  
 Chú ý: Tổng quát, với A là một biểu thức đại số, ta cũng
có:
 A khi
A2  A  
 A khi
1.14 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
1. a)
 2x  3
b)  5x
c)
 3x  7
d) 3x  7
e)
x
3
f)
g) 4  x
 5x
h) 1  x 2
i)
5
x 6
j)
2
x2
k)
1
1 x
l)
4
x3
2
m)
4x 2 n)
o) x2  2x  1
2. a)
 x 2  4x  5
 3x 2
P)  x 2  2x  1
b) x 2  2x  2
5
A0
A0
1
c)
2
4x  12x  9
1
e)
2
x  8x  15
d)
f)
1
2
x  x 1
1
2
3x  7x  20
x  3  x2  9
c)
2
 5  2x
x 9
e)
4x
 9  x2
x 1
f)
x2  4  2 x  2
(x  1)(x  3)
b)
4
x3
2x
5x
d)
x 1
x2
4. a)
c)
2
b) x  2 
1
x5
3. a)
d) 2x  4  8  x
1.15 Tính
a) 5 (2) 4
b)  4 (3) 6
c) 5
d)  0,4 (0,4) 2
e)
(5) 8
(0,1) 2
g)  (1,3) 2
f)
(0,3) 2
h) 2 (2) 4 + 3 (2) 8
1.16 Chứng minh rằng:
a) 9  4 5  ( 5  2)2
b) 9  4 5  5  2
c) 23  8 7  (4  7 )2
d) 17  12 2  2 2  3
1.17 Rút gọn biểu thức:
1. a)
(4  3 2) 2
b) (2  5) 2
6
c)
(4  2 )2
d) 2 3  (2  3 ) 2
e)
(2  3 ) 2
f)
g) ( 3  1) 2  ( 3  2) 2
2. a)
62 5
(2  5 ) 2
h) (2  5 ) 2  ( 5  1) 2
b) 7  4 3
c) 12  6 3
d) 17  12 2
e)
22  12 2
f)
10  4 6
g)
2  11  6 2
h)
3 5
3. a)
62 5  5
42 3  3
3 5

3 5
3 5
b) 11  6 2  3  2
c) 11  6 2  6  4 2
d) 11  6 3  13  4 3
e) ( 3  4) 19  8 3
f)
82 7
h)
3 5
g)
2  11  6 2
4. a)
62 42 3
c)
5. a)
62 5  5
3  48  10 7  4 3
x2  5
x 5
3 5
4 7
2

3 5
3 5
b) 6  2 3  13  4 3
d) 23  6 10  4 3  2 2
b)
x 2  2 2x  2
x2  2
1.18 Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu căn và dấu trị tuyệt đối):
1. a)
9x 2  2x với x < 0
b) 2 x 2 với x  0
7
c) 3 (x  2) 2 với x < 2
d) 2 x 2  5x với x < 0
e)
f)
25x 2  3x với x  0
9x 4  3x 2 với x bất kỳ
g) x  4  16  8x  x 2 với x > 4
2. a) A = 1  4a  4a2  2a
c) C =
e) E =
b) B = 4x 2  12x  9  2x  1
5x
d) D = (x  1) 2 
2
x  10 x  25
x 2  6x  9
x3
x 1
2
x  2x  1
f) F = x 2  x 4  8x 2  16
1.19 Chứng tỏ: x  2 2x  4  ( 2  x  2 )2 với x  2
Áp dụng rút gọn biểu thức sau:
x  2 2x  4  x  2 2x  4 với x  2
1.20 Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu căn và dấu trị tuyệt đối):
a) x  4 x  4
với x  4
b) x  2  2 x  3
với x  3
c)
với x  1
x  2 x 1  x  2 x 1
d) x  2 x  1  x  2 x  1 với x  0
1.21 Với giá trị nào của a và b thì:
a)
1
2
a  2ab  b
2

1
?
ba
b) a2 ( b 2  2 b  1)  a(1  b) ?
1.22 So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a) 9 và 6 + 2 2
b)
2 + 3 và 3
8
c) 16 và 9 + 4 5
d) 11  3 và 2
1.23 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
1
3
a) A  9x 2  12x  4  1  3x
tại x 
b) B  2x 2  6x 2  9
tại x  3 2
1.24 Giải phương trình:
a)
9x 2 = 2x + 1
b) x 4  7
c)
x 2  6x  9  3x  1
d) x 2  7
e)
x2   8
f)
1  4x  4x 2  5
g) x 4  9
h) (x  2) 2  2x  1
i)
j)
4x 2  12x  9  x  3
l)
4x 2  12x  9  9x 2  24x  16
x 2  6x  9  5
k) 4x 2  4x  1  x 2  2x  1
1.25 Phân tích thành hân tử:
a) x2 – 7
b) x2  3
c) x2 – 2 13 x + 13
d) x2 – 3
e) x2 – 2 2 x + 2
f) x2 + 2 5 x + 5
1.26 Với n là số tự nhiên, chứng minh:
( n  1) 2  n 2  ( n  1) 2  n 2
Viết đẳng thức trên khi n là 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.
1.27 Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
1
1
1
1 1 1
 2 2   
2
a
b
c
a b c
9
1.28 Tính: 1  20132 
20132 2013

.
20142 2014
1.29 Chứng minh bất đẳng thức Côsi (Cauchy):
x + y  2 xy
Dấu “ = ” xảy ra khi nào ?
Áp dụng: Chứng minh rằng với x, y, z là các số dương, ta có:
1 1 1
1
1
1
  


x y z
xy
yz
zx
C - Khai phương một tích. Nhân các căn thức bậc hai.
D - Khai phương một thương. C hia các căn thức bậc hai
1.
Với A  0, B  0:
AB  A B
2.
Với A  0, B > 0:
A

B
A
B
1.30 Tính:
1. a)
b) 2 4.(7) 2
c) 12,1.360
d) 22.34
e)
f)
75.48
g) 90.6,4
h) 2,5.14,4
b) 2,5. 30 . 48
c)
0,4 . 6,4
d) 2,7. 5. 1,5
e) 10. 40
f)
5. 45
g) 52. 13
h)
2. a)
0,09.64
7. 63
3. a) 132  12 2
d) 3132  3122
45.80
2 . 162
b) 17 2  8 2
c) 1172  1082
e)
f)
6,82  3,2 2
21,82  18,2 2
g) 146,52  109,52  27.256
10
4. a)
c) (
5. a)
3 2 
d)
b)
25
144
c) 1
7
81
e)
0,0025
f)
3,6.16,9
c)
12500
500
f)
12,5
2
8. a)
b)
18
65
3
2 .3
7. a) 1
c)
d) (1  2  3 ).(1  2  3 )
3  2 )2
9
169
d) 2
6. a)
b) 3 2  2 3 . 3 2  2 3
2  3. 2  3
e)
5
9 4
.5 .0,01
16 9
149 2  76 2
4572  384 2
2 12  3 27  5 3
3
15
735
2300
23
9
16
0,5
b)
1652  1242
164
d)
1,44.1,21  1,44.0,4
b)
32  50  8
2
1.31 Tính:
Với m, n > 0 thỏa m + n = A và m . n = B
ta có: A  2 B  m  n  2 m.n  ( m  n ) 2
1. a)
8  2 15  6  2 5
b) 17  2 72  19  2 18
c) 12  2 32  9  4 2
d) 29  2 180  9  4 5
e)
f)
4 7  4 7  2
g) 8  2 15  7  2 10
6  11  6  11  3 2
h) 10  2 21  9  2 14
11
i)
j)
83 7  4 7
k) 9  3 5  9  3 5
2. a)
5  21  5  21
l) ( 10  2) 4  6  2 5
b) ( 3  2)( 6  2 )
( 4  2 3 )(13  4 3)
c) (3  5 )( 10  2 ) 3  5
32
d) (4  15 )( 10  6 ) 4  15
e)
4  15  4  15  2 3  5
f)
4  8. 2  2  2 . 2  2  2
g) (5  4 2 ).(3  2 1  2 ).(3  2 1  2 )
h) 2  3. 2  2  3 . 2  2  2  3 . 2  2  2  3
3*.
A
7 52
B  4  3  6 3  15 
C  1  2 5 5  11 
D
ĐS:
7  4 1
3
5
2
C
1  2 27 2  38  5  3 2
B
ĐS:
2 1
D 1
E 2
1.32 Phân tích thành tích số:
a) 1  2  3  6
b) 6  55  10  33
1.33 Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu căn và dấu trị tuyệt đối):
12
6
2
2( 5  1)
2
ĐS:
3 2 4


E   5  2 2 2  2  2  1


2( 7  1 )
2
ĐS:
ĐS:
52
A
1. a)
0,36x 2 với x < 0
b)
c)
27.48(1  x) 2 với x > 1
d)
e)
4.( x  3) 2 với x  3
f)
g)
x 2 .(x  1) 2 với x > 0
h) x 2 (x  1) 2 với x < 0
i)
2 x 3x
với x  0
.
3
8
j)
k)
5x . 45x  3x với x bất kỳ l) (3  x) 2  0,2 . 180 x 2 , x
2. a)
c)
e)
63y 3
với y > 0
7y
45mn 2
20 m
b)
với m > 0, n > 0 d)
x x2
với x > 0, y  0

y y4
25x 2
với x < 0, y > 0
y6
i) xy 2 
3
với x < 0, y  0j)
2 4
x y
l)
1
. x 4 ( x  y) 2 a, b > 0
xy
9.( x  2) 2 với x < 2
13x
48x 3
3x 5
52
với x > 0
x
với x > 0
16x 4 y 6
128x 6 y 6
f) 2y 2 
g) 5xy 
k) (x  y) 
x 4 (3  x) 2 với x  3
với x < 0 và y  0
x4
với y < 0
4y 2
h) 0,2x 3 y 3 
16
với x  0, y  0
x 4y8
27(x  3)2
với x > 3
48
xy
với x < y, y < 0
(x  y) 2
9  12 x  4x 2
với x >1,5 và y<0
y2
1.34 Chứng minh:
a) (2  3) (2  3 )  1
b) 9  17 . 9  17  8
13
c) ( 2014  2013) . ( 2014  2013) =1
d) 2 2 ( 3  2)  (1  2 2 )2  2 6  9
1.35 Rút gọn các biểu thức sau:
1. a)
2. a)
6  14
2 3  28
2  3  6  8  16
2 3 4
b)
x  2 x 1
với x  0
x  2 x 1
2
x  1 (y  2 y  1)
,x1,y1,y>0
(x  1) 4
y 1
b)
1.36 Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
1. a)
4(1  6 x  9 x 2 ) 2
b) 9a2 ( b 2  4  4 b)
2. a) 4x  8 
b)
x 3  2x 2
x2
tại x =  2
tại a = 2, b =  3
tại x =  2
( x  2) 4 x 2  1
(với x < 3) tại x = 0,5

x3
(3  x) 2
1.37 So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a)
2 + 3 và
10
c) 16 và 15. 17
b) 3 + 2và 2  6
d) 8 và 15 + 17
1.38 So sánh 2012  2014 và 2. 2013
1.39 Giải phương trình:
1. a) 16 x  8
c)
4(x 2  2x  1)  6  0
b) 4x  5
d) 9(x  1)x  21
14
e)
f)
x5 3
g) 2x  1  5
2. a)
c)
3. a)
x  10  2
h) 4  5x  12
4x 2  x  5
b) (x  3) 2  2x  1
3x  6
d) 7(x  1)  21
2 .x  50  0
b) 2  x  8  0
1.40 Giải các phương trình:
a)
2x  3
 2 và
x 1
2x  3
 2 b)
x 1
4x  3
 3 và
x 1
4x  3
3
x 1
1.41 Cho hai biểu thức: A  x  2 . x  3 và B  (x  2)(x  3)
a) Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa.
b) Với giá trị nào của x thì B có nghĩa còn A không có nghĩa.
c) Với giá trị nào của x thì A = B.
1.42 Cho hai biểu thức: và A 
2x  3
2x  3
.
B
x3
x3
a) Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa.
b) Với giá trị nào của x thì B có nghĩa còn A không có nghĩa.
c) Với giá trị nào của x thì A = B.
1.43 Cho a 
1 5
1 5
vaø b 
. Tính a2 + b2 và a5 + a5.
2
2
1.44 Cho a  4  10  2 5 vaø b  4  10  2 5 .
Tính a2 + b2 và ab. Suy ra giá trị của a + b.
1.45 Thực hiện phép tính:
15
a) A  12  3 7  12  3 7
b) B 
7 5  7 5
7  11
 3 2 2
c) C  8  2 10  2 5  8  2 10  2 5
1.46 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau:
A  10a 2  12a 10  36 với x = x 
1.47 Cho hai số a và b với a > 0, b > 0. Chứng minh:
Áp dụng: So sánh
25  9 và
2
5

5
2
ab  a  b .
25  9
1.48 Cho hai số a và b với a > b > 0. Chứng minh: a  b  a  b .
Áp dụng: So sánh
25  9 và
25  9
1.49 Với n là số tự nhiên, chứng minh:

n 1  n

2
 (2n  1) 2  (2n  1) 2  1
Viết đẳng thức trên khi n là 1; 2; 3; 4.
1.50 Cho hai số a  0, b  0. Chứng minh:
a)
ab
 ab
2
b)
ab
a b

2
2
1.51 Chứng minh:
a)
3 là số vô tỉ.
b) 5 2 và 3 + 2 đều là số vô tỉ.
1.52 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số:
a)
x 2
b) x  3
16
E - Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
 A B
A2 B  A B  
 A B
khi
A0
khi
A0
(B0)
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:
 Với A  0, ta có: A B  A2 B ( B  0 )
 Với A < 0, ta có: A B   A 2 B ( B  0 )
3. Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn:
A

B
A.B

B2
A.B
B
với A.B  0, B  0
4. Trục căn thức ở mẫu:
 Phân tích tử và mẫu thành nhân tử tồi rút gọn cho nhân tử
chung chứa căn thức (nếu có).
 Trường hợp mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các
số:
A
A C

B.C
B C
( B  0;C  0 )
 Nếu mẫu là một biểu thức dạng tổng có chứa căn, nhân tử
và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu:

C
C( A  B )

A  B2
AB

C
C( A  B )

A B
A B
với A  0 , A  B2
với A  0, B  0, A  B2
1.53 Đưa nhân tử ra ngoài dấu căn:
1. a)
54
c) 0,1 20000
2. a)
7x 2 với x>0
b) 108
d)  0,05 28800
b) 48y 4
17
c)
25x 3 với x > 0
d)
8y 2 với y > 0
Đưa nhân tử vào trong dấu căn:
1. a) 3 5
c) 2 2
2. a) 
2
xy
3
c) x 13 với x < 0
b)  5 2
d) 3 2
b) x 5 với x  0
d) x
2
với x > 0
x
1.54 So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a) 3 3 và 12
b) 20 và 3 5
c)
1
1
54 và
150
3
5
d)
e)
3
5
và
13
3 75 2
f)
1
1
6 và 6
2
2
30  29 vaø 29  28
g) 2012  2014 và 2 2013
h) 2014  2013 và 2013  2012
1.55 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
a) 2 5 , 2 6 , 29 , 3 5
b) 3 6 , 3 3 , 4 7 , 2 14
1.56 Rút gọn các biểu thức sau:
1. a)
c)
75  48  300
b)
9a  16a  49a (a  0) d)
2. a) 3 2  4 18  2 32  50
98  72  0,5 8
160b  2 40b  3 90b (b0)
b) 5 48  4 27  2 75  108
18
c) 125  2 20  3 80  4 45 d) 2 28  2 63  3 175  112
3. a) (2 3  5 ) 3  60
b) (5 2  2 5 ) 5  250
c) ( 28  12  7 ) 7  2 21 d) ( 99  18  11) 11  3 22
4. a) 2 40 12  2
75  3 5 48 b) 2 80 3  2 5 3  3 20 3
5. a) (1  x )(1  x  x)
b) ( x  2)(x  2 x  4)
c) ( x  y )(x  y  xy )
6. a) (4 x  2x )( x  2x )
7. a)
b)
d) (x  y )(x 2  y  x y )
b) (2 x  y )(3 x  2 y )
2
5x 2 (1  2x) 2 với x > 0,5
2x  1
2
x2  y2
3( x  y) 2
với x, y > 0 và x  y
2
1.57 Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5
c)
1 1

20  5
5 2
20  45  3 18  72
e)

6 5

g)

28  2 3  7
2
d) 20  45  3 18  72
1
3
2
3
f) 72  5  4,5 2  2 27
 120

1
 4,5  12,5
2
b)
7  84
h)
1
1
48  2 75  54  5 1
2
3
1.58 Rút gọn các biểu thức sau (biết a > 0, b > 0):
a) 5 a  3 25a 3  2 36ab 2  2 9a
b)
64ab 3  3 12a 3 b 3  2ab 9ab  5b 81a 3 b
19
13,5 2

300a3
2a
5
c) 2 3a  75a  a
1.59 Thực hiện các phép tính sau:
1. a)
d)
13 2  4 6
24  4 3
b)
45  2
5 2
e)
2 3
2
2. a) A 
3. a)
c)
e)
g)
4. a)
b)
c)
32 2
17  12 2
5 2
6  35
2
15  5 5  2 5

3 1
2 54
2 8  12
5  27

18  48
30  2
2
3 1
2

8  15
30  2
c) C 
b)
3 1
3 1

3 1
3 1
d)
3 3
3 3

2 3 1 2 3 1
3
f)
3 1
3 4 3
6 2 5
f)
3 5 3 2
b) B 
9 6  12 3
3 6 3 3
c)
3 1 1

3
3 1 1
2 3  4 2 2 1 1 6
5
5
h)



3 1
2 1
2 3
12(2 5  3 2 ) 12(2 5  3 2 )
1
11  4 7
1
12  140
1
3 2

6

32  10 7
1

8  60
2
7 5

1

10  84
3
7  2 10

4
10  2 21
1.60 Chứng minh các số sau đây là số nguyên:
20
3 32 2
6 6

3 2
6 1
a) A 
 15
4
12 




 6  11
b) B  
6 2 3 6 
 6 1
2 32 3  2  32 2
c) C 
3 1
2 3
1.61 Chứng minh các số sau đây là số dương:
2 3
a) A 
2  2 3
23 2
b) B 
2 3

2  14  5 3
2  2 3

C
3 2
1
2 2
2 2
 1
3
3
1
2 2
2 2
 1
3
3
2  14  5 3
1.62 Chứng tỏ rằng các số sau là số hữu tỉ:
a)
2
7 5
2

b)
7 5
7 5
7 5

7 5
7 5
1.63 Các số sau đây có căn bậc hai không ?

a) A  1 


3 1  3 1
 2 
 : 
2   2

 6 2
5 
1
:

b) B  
5  5  2
 1 3
c) C 
2
2 2 5
1



3 3
3 12
6
1.64 Tìm x biết:
a)
25x  35
b) 3 x  12
c)
4x  162
d) 2 x  10
1.65 Giải các phương trình sau:
21
1. a) 2 3x  4 3x  27  3 3x
b) 3 2x  5 8x  7 18x  28
2. a)
b) x 2  4  2 x  2  0
x2  9  3 x  3  0
1.66 Khử mẫu của các biểu thức dưới dấu căn (giả thiết rằng các biểu thức đã cho có
nghĩa):
a)
1
;
600
a
;
b
b) ab
c)
11
;
540
a
b
b
;
a
x2
;
5
2
;
3
(1  3 ) 2
27
3
;
50
5
;
98
1 1
;

b b2
9a 3
;
36b
3
;
x
x2 
x2
;
7
3xy
2
xy
3xy
2
xy
1.67 Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau (giả thiết rằng các biểu thức đã cho có
nghĩa):
a)
b)
c)
d)
e)
5
10
1
;
3 3
3
;
3 1
3
3 1
;
5
;
2 5
2
;
3 1
3
10  7
2 3
;
2 3
;
26
5 3
;
;
52 3
2
1
3  2 1
;
;
b
;
3 b
p
2 p 1
a b
2 10  5
;
4  10
5 32
yb y
2ab
1
;
x y
1
2 2 2
;
5 2
b y
.
92 3
.
3 6 2 2
.
1.68 Phân tích thành nhân tử:
a) ab  b a  a  1
b) x 3  y 3  x 2 y  xy 2
22
1.69 Giải phương trình:
a)
2x  3  1  2
b) x  1  5  3
c)
3x  2  2  3
1.70 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số:
a)
b) x  2  3
x2  3
1.71 Với n là số tự nhiên, chứng minh: n  1  n 
Áp dụng tính:
1
n 1  n
1
1
1


2 1
3 2
4 3
1.72 Cho các biểu thức :
A
1
1
1
1
1
1
1
1





; B 
1 2
2 3
3 4
24  25
1
2
3
24
a) Tính giá trị của A.
b) Chứng minh rằng B > 8.
1.73 Rút gọn các biểu thức sau:
a) A 
1
1
1
1



1 2
2 3
3 4
n 1  n
b) B 
1
1
1
1



1 2
2 3
3 4
24  25
F - Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai
Cho x  0, y  0. Ta có các công thức biến đổi sau:
1. x  ( x )2 ; x x  ( x )3
2. x  x  x( x  1)
3. x y  y x  xy( x  y )
4. x  y  ( x  y )( x  y )
5. x  2 xy  y  ( x  y )2
23
6. x x  y y  ( x )3  ( y )3  ( x  y )( x 
xy  y )
1.74 Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
b)
x3  1
x 1
 x  x  1 với x > 0, x  1
( x y  y x )( x  y )
xy
 x  y với x, y > 0
1.75 Rút gọn:
a) A 
x  2 3x  3
x x 3 3
b) B 
x x y y
c) C 
a  b  2 ab
ab

a b
a b
với x  0
với x  0, y  0 và x  y
x y
(với a  0, b  0, a  b)
( a  1)(a  ab )( a  b)
d) D 
(với a > 0, b  0, a  b)
(a  b)(a a  a)
a 1
1
: 2
a a a  a a  a
e) E 
(với a > 0)
 x y
xy 
xy  1

 :
x y x y
 xy
f) F  
g) G 
x
y
xy


xy  y
xy  x
xy
h) H 
a b
i) I 
a b

x y
 x 1
(với xy  0, x  y)
a 3  b3
a b
( x  y) 2  4 xy

x 1  
(với x  0, y  0, x  y)
(với a  0, b  0, a  b)
xy
(với x  0, y  0, x  y)
x y
x 1 
j) J  

 : 1 

x  1  
x  1 
 x 1

x
1
 
1
(với x > 0, x  1)
2 
k) K  


 : 

 x  1 x  x  1  x x  1
(với x > 0, x  1)
24
 a 2
a 2

1 
l) L  

 1 

a
 a 1 a  2 a  1 
(với a > 0, a  1)
x 1
2 x
25 x


4x
x 2
x 2
(với x  0, x  4)
M
x x y y
 x  y 
N
 xy 

 x  y 
x y



m)
(với x  0, y  0, x  y)
a b b a
n) O  

a b
 2x  1
o) P  
 x x 1

2
a a b b   ab 
:
 (với a  0, b  0, a  b)
a  b   a  b 

 x x  1


x


x  x  1 
 x  1

x
 x y
x  y  x  xy
p) Q  

:
1  xy  1  xy
 1  xy
x x y y
q) R  

x y

x yy x 
:
x  y 

(với x  0, x  1)
(với x > 0, y > 0, xy  1)

2
x  y (với x  0, y  0, x  y)
 x 1
x  1  x x  2x  4 x  8

 
x
 x  4 x  4 x  4
r) S  
s) T 
x x  2x  28
x 4
x 8


x 3 x 4
x 1 4  x
(với x > 0, x  4)
(với x  0, x  16
1.76 Cho 16  2x  x 2  9  2x  x 2  1 .
Tính A  16  2x  x 2  9  2x  x 2
1.77 Rút gọn các biểu thức sau:
a)
a
a b
 ab  
với a > 0 và b > 0
b
b a
b)
m
4m  8mx  4mx 2
với m > 0 và x > 1

81
1  2x  x 2
1.78 Rút gọn rồi so sánh giá trị của biểu thức sau với 1:
1 
a 1
 1
với a > 0 và a  1
M

:
a 1 a  2 a 1
a a
25
2
1.79 Giải các phương trình sau:
1. a)
4x  20  3 5  x 
b)
25x  25 
c)
4x  20 
4
9x  45  6
3
15 x  1
 6  x 1
2
9
1
9x  45  x  5  4
3
d) 16x  16  9x  9  4x  4  16  x  1 .
2. a)
1  x2  x  1
b)
x 2  4x  4  x  2
c)
2x 2  7  2  x
d)
x 2  4x  3  x  2
e)
x2  4  2  x  0
f)
x 2  4x  4  2x  1
g)
(2x  4)(x  1)  x  1
h)
2x 2  4x  1  x  2 .
2x  9  5  4x
b)
2x  1  x  1
c)
x3  x3
d)
x2  x  3  x
e)
x 2  3x  1  x  1
f)
2x 2  3  4x  3
g)
x2  x  6  x  3
h)
9x 2  4x  2x  3 .
3. a)
4. a)
x4 x4 5
b)
x  2 x 1  x  2 x 1  2
c)
x24 x2  x76 x2 1
d) x  2  3 2x  5  x  2  3 2x  5  2 2 .
5. a)
x 2  3x  5  x 2  3x  7
b) 5 x 2  5x  28  x 2  5x  4
c) 2 2x 2  3x  5  2x 2  3x  6
d)
2x 2  3x  9  2x 2  3x  33
1.80 Chứng minh đẳng thức sau:
26

6

2. a)  x 
x


2x
1
 6x  : 6x  2 với x > 0
3
3

2
1 a a
 1 a 
  1 với a > 0 và a  1
b) 
 a   

1

a
1

a

 

c)
a b
a2 b 4

 a với a + b > 0 và b  0
b2
a 2  2ab  b 2
x 1 2 x
25 x


4x
x 2
x 2
1.81 Cho biểu thức: P 
a)
Rút gọn P nếu x  0 và x  4.
b)
Tìm x để P = 2.
1   a 1
1

a 2


 : 

1.82 Cho biểu thức: Q  
a   a  2
a  1 
 a 1
a)
Chứng tỏ rằng Q xác định với a > 0, a  4 và a  1.
b)
Tìm giá trị của a để Q dương.
1.83 Cho biểu thức: Q 
x 2
x 3

x 1
x 2
3
x 1
x5 x 6
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q <  1.
c) Tìm các giá trị của x  Z sao cho 2Q  Z.
1.84 Với 3 số a, b, c không âm. Chứng minh:
a  b  c  ab  bc  ca
Hãy mở rộng kết quả trên cho trường hợp 4 số, 5 số không âm.
G - Căn bậc ba
1. Định nghĩa:
Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a
2. Tính chất:
a) a  b  3 a  3 b
27
b) 3 ab  3 a .3 b
c) Với b  0, ta có
3
a 3a

b 3b
1.85 Tính:
a)
3
512 ;
3
 729 ;
3
0,064 ;
3
0,216 ;
3
 0,008 .
b)
3
 343 ;
3
0,027 ;
3
1,331 ;
3
 0,512 ;
3
125 .
1.86 So sánh:
a) 5 và 3 123
b) 53 6 và 63 5
c) 23 3 và
d) 33 và 33 1333
3
23
1.87 Giải các phương trình sau:
a)
3
b)
x  1,5
3
x  5  0,9
1.88 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số:
a)
3
b)
x 2
3
x  1,5
1.89 Chứng minh rằng với a, b kất kỳ thì:
a)
3
b)
a3  a
 a
3
3
a
c)
3
a 3 b  a3 b
H - Ôn tập chương 1
1.90 Tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:
a)
25 16 196
 
81 49 9
b) 3
c)
640  34,3
567
d) 21,6. 810. 112  5 2
1.91 Rút gọn các biểu thức sau:
a)


8  3 2  10 . 2  3 0,4
1 14 34
2 2
16 25 81

b) 0, 2 (10)2 .3  2 ( 3  5)2
1 1 3 1 4 4  8
:


c) 

2 2
2 3
1
5 5  15 8
28
d) 2 ( 2  3) 2  2(3) 2  5 (1) 4
e)
(2  3 ) 2  2 4  2 3
f)
15  6 6  33  12 6


g) 5 200  3 450  2 50 : 10
h)
i)
62
2  12  18  128
2 3  3  13  48
6 2

1
j) 
 7  2 10


2
 1 :
10  2 



2 1
2 3 2
k)
5 ( 6  1) :
l)
2 10  30  2 2  6
2
:
2 10  2 2
3 1
2 3 2
(5  2 6 )(49  20 6 )  5  2 6
m)
n)
2
9 3  11 2
8  2 10  2 5  8  2 10  2 5
o) (4  15 )( 10  6 ) 4  15
p) ( 5  3)( 10  2 ) 3  5
1.92 Phân tích thành nhân tử (với x, y, a, b dương và a > b)
a) 3 +
c)
x +9–x
xa  by  bx  ay
b) xy + y x +
d)
a  b  a2  b2
1.93 Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
 9a  9  12a  4a 2 với a =  9
b) 1 
x +1
3m
m 2  4m  4 với m < 0
m2
29
c)
1  10a  25a 2  4a với a =
2
d) 4x  9x 2  6x  1 với x =  3
1.94 Rút gọn các biểu thức sau:

x
2
1  
10  x 


 :  x  2 

x  2 
x 2
 x4 2 x
a) A = 
x x y y

b) B = 
 xy  : x  y  


x y

x   x 3 2  x
x 2 


 : 

1  x   x  2 3  x x  5 x  6 
c) C = 1 

d) D =


2 y
x y
a  x2
a  x2
2 a 
 2 a với a > 0, x > 0.
x
x
1.95 Giải các phương trình sau:
a)
5
1
15x  15x  11 
15x
3
3
c)
b)
d)
(2x  1) 2  3
3 x 1
7 x 5

8
15
2  x  8  4x  3
1.96 Chứng minh các đẳng thức sau:
2 3 6
1. a) 
82

 14  7
b) 
 1 2
c)

216  1
 1,5

3  6

15  5 
1
 2
 :
1 3  7  5
2 3  2 3  6
4
d)
(2  5) 2

4
(2  5) 2
8
3
2
3 3
2
3
  6  2
 2
 4

4

e)   6  2 
2
3
2  2
3
2

2. a)
 

a b b a
1
:
 a  b (với a, b > 0 và a  0)
ab
a b

b) 1 

a a  a a
  1 
  1  a (với a > 0 và a  1)
a  1  
a  1 
30
c)
a b
a b
2b
2 b
(với a, b > 0 và a  b



b

a
2 a 2 b 2 a 2 b
a b

d) 1 

a a  a a
  1 
  1  a (với a, b > 0 và a  b)
a  1  
a  1 
1.97 Tìm x nguyên để
x 1
x 3
nhận giá trị nguyên.
1.98 a) Chứng tỏ: x  4 x  4  ( x  4  2) 2
b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn:
A  x4 x4  x4 x4
1.99 Cho các biểu thức: A  x  x  1 và B  x  4  x  1
a) Tìm điều kiện xác định của A và B.
b) Chứng tỏ A  1 và B 
5
c) Tìm x để A = 1, B = 2.
1.100 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A =
1
x  x 1
c) C = 1   9x 2  6x
b) B =
4x  x 2  21
d) D =
x2  4x
1.101 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = 4x 2  4x  2
c) P =
x3
x 1  2
1.102 Cho biểu thức: A 
1.103 Cho Q 
b) B =
2x 2  4x  5
d) Q = x – 2 x  2 .
4x 2  4x  1
. Chứng tỏ A = 0,5 với x  0,5.
4x  2

a
 1 
a2  b2 
a2  b2
a

b
:
với a > b > 0

2
2
 a a b
a) Rút gọn Q
b) Tìm giá trị của Q khi a = 3b.
31
1.104 Cho biểu thức: A 
( a  b ) 2  4 ab
a b

a bb a
ab
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa.
b) Khi A có nghĩa, chứng tỏ giá trị A không phụ thuộc vào a.
1.105 Cho biểu thức:

 2x  1
 1  x 3
x
 với x  0 và x  1

Q  


x

3


 x  1 x  x  1  1  x

a) Rút gọn Q.
b) Tìm giá trị của x để Q = 3.
1.106 Cho biểu thức:

x
x  9   3 x 1 1 
:
 với x  0 và x  9.
C  


 
x 
3 x 9x x 3 x
a) Rút gọn C
b) Tìm giá trị của x để C <  1.
1.107 Cho biểu thức:
A  6x 2  5x y  y .
a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử.
2
3
b) Tính giá trị của A khi x   , y 
1.108 Cho biểu thức: B 
x3
x 1  2
b
4 7
.
.
a) Tìm điều kiện xác định của B.
b) Rút gọn B.
c) Tính giá trị của B khi x = 10 –
56
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của B.
1.109 Cho biểu thức: C 
6x x
x 3
.
a) Tìm điều kiện xác định của C.
b) Rút gọn B.
32
c) Tìm giá trị lớn nhất của C.
1
1.110 Cho biểu thức: P 
x 1  x
1

x 1  x

x3  x
x 1
.
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn P.
c) Tính giá trị của P khi x 
53
92 7
d) Giải phương trình : P = 16.

x  
1
2 x

:

1.111 Cho biểu thức: Q  1 
  x 1  x x  x  x 1 .
x

1

 

a) Tìm điều kiện xác định của Q.
b) Rút gọn Q.
c) Tính giá trị của Q khi x = 4 + 2 3
d) Giải bất phương trình : Q > 1.
a2  a
1.112 Cho biểu thức: A 
a  a 1

2a  a
a
 1.
a) Rút gọn A.
b) Biết a > 0, hãy so sánh A vớiA
c) Tìm a để A = 2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

 
3
3

 1  a  : 
 1 .
1.113 Cho biểu thức: B  
2
1

a

  1 a

a) Tìm điều kiện xác định của B.
b) Rút gọn B.
c) Tính giá trị của B khi a 
d) Tìm giá trị của a để :
1.114 Cho biểu thức: M 
3
2 3
B  B.


a
b
 
 1 :
.
2
2
a2  b2  a2  b2
 a a b
a
33
a) Rút gọn M.
b) Tìm giá trị của M nếu
a 3

b 2
c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
2
 x 2
x  2  1  x 


P



1.115 Cho biểu thức:
.
 x 1 x  2 x  1
2


a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn P.
c) Tính giá trị lớn nhất của P.
d) Chứng minh: nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
1.116 Cho biểu thức: Q 
2 x 9
x 3

x5 x 6
x 2

2 x 1
3 x
.
a) Tìm điều kiện xác định của Q.
b) Rút gọn Q.
c) Tìm các giá trị của x để Q < 1
d) Tìm x  Z sao cho Q  Z.
1.117 Cho biểu thức:
 xy
x3  y3

Q

 x y
yx

a) Tìm điều kiện xác định của Q. b)
c) So sánh Q với Q
1.118 Cho biểu thức: M 

2
x  y  xy
x y
Rút gọn Q.
d) Chứng minh Q  0.
3x  9x  3
x x 2
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn M
1.119 Cho biểu thức: P 


:


15 x  11
x2 x 3

x 1
x 2
x 2

1 x
.
b) Tìm x  Z sao cho M  Z.

3 x 2
1 x

2 x 3
3 x
.
a) Tìm điều kiện xác định của P b) Rút gọn P.
c) Giải phương trình P =
1
2
d) So sánh P với
34
2
.
3
.
1.120 Cho biểu thức:
x3 x
  9x
x 3 2 x  3
.
Q  
 1 : 



x

9
x

x

6
x

2
x

3

 

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q
1
1.121 Cho biểu thức: M 
x 1
b) Tìm x để Q < 1.

3
x x 1
a) Rút gọn M.

2
x  x 1
.
b) Chứng minh: M  1.
1.122 Cho biểu thức: N 
x2  x
x  x 1
Hãy rút gọn A = 1 –

x2  x
x  x 1
.
N  x 1.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
A.
CĂN BẬC HAI
1.1 Điền vào ô trống trong bảng sau:
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x2
Hướng dẫn giải:
x
x2
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
12
14
16
25
22
25
28
32
36
40
1
4
9
6
5
6
9
4
1
0
1.2 Tìm căn bậc hai số học rồi suy ra căn bậc hai của các số sau:
a) 121
b) 144
c) 169
d) 225
e) 256
f) 324
g) 361
h) 400
i) 0,01
j) 0,04
k) 0,49
l) 0,64
35
m)
0,25
n) 0,81
o) 0,09
p)
0,16
Hướng dẫn giải:
Số
121
225
256
324
361
400
0,01
CBH
11;
- 12
;- 13
;- 15;
- 14;
- 18;
- 19;
- 20;
- 0,1;-
11
12
13
15
14
18
19
20
0,1
11
12
13
15
14
18
19
20
0,1
Số
0,04
0,49
0,64
0,25
0,81
0,09
0,16
CBH
0,2;-
0,7;-
0,8;-
0,5;-
0,9;-
0,3;-
0,4;-
0,2
0,7
0,8
0,5
0,9
0,3
0,4
0,2
0,7
0,8
0,5
0,9
0,3
0,4
CBHS
144
169
H
CBHS
H
1.3 Tính:
a)
0,09
b) 16
e)
4
25
f)
6 16
5 0,04
c)
0,25. 0,16
d) (4).(25)
g) 0,36  0,49
Hướng dẫn giải:
a)
0,09  0,3 b)
16 không có
c) 0,25. 0,16  0,5.0,4  0,2
d)
( 4).( 25)  10
e)
4
2

25 5
f)
6 16
6.4

 24
5 0, 04 5.0, 2
g)
0,36  0, 49  0, 6  0, 7  0,1
1.4 Trong các số sau, số nào có căn bậc hai:
a)
5
b) 1,5
c)  0,1
d)  9
Hướng dẫn giải:
a)
5
b) 1,5: Vì các số đó là các số không âm.
36
1.5 Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có căn bậc hai:
a) (x – 4)(x – 6) + 1
b) (3 – x)(x – 5) – 4
c)  x2 + 6x – 9
d)  5x2 + 8x – 4
e) x(x – 1)(x + 1)(x + 2) + 1 f) x2 + 20x + 101
Hướng dẫn giải:
Biểu thức a; e,f có căn bậc hai vì
a) (x – 4)(x – 6) + 1= (x+5)2  0
b)(3 – x)(x – 5) – 4 = -(x2-
8x+19)<0
c)  x2 + 6x – 9= - (x-3)2  0
4
5
[ ( x  )2 
d)
 5x2 + 8x – 4=
-5.
84
}<0
25
e) x(x – 1)(x + 1)(x + 2) + 1 = (x2+x-1)2  0
f)
x2 + 20x + 101= (x+10)2+
1 0
1.6 So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a) 1 và 2
b) 2 và
c) 6 và 41
d) 7 và 47
e) 2 và 2  1
f) 1 và
g) 2 31 và 10
h)
i) 5 và  29
j) 2 5 và 19
k)
m)
2 + 6 và 5
3
3 và 12
3 và
2
l)
3 1
2 3 và
n) 7 – 2 2 và 4
7
p) 37  14 và 6– 15
q) 17  26  1 và 99
Hướng dẫn giải:
a) 1 và 2
Vì 1 < 2 nên 1< 2
b) 2 và
3 2
3
37
o)
15 +
8 và
4 và
Vì 2 =
4> 3
nên 2 >
3
c) 6 và 41
Vì 6 =
36 và
d) 7 và 47
41 nên 6 <
36 <
Vì 7 =
49 và
41
49 < 47
nên 7 <
47
e) 2 và 2  1 .
Vì 2= 1+1 và 1< 2 nên 1+1 < 2 +1 . Vậy 2 < 2  1
f) 1 và 3  1
3 1
4 1 nên 4  1  3  1 . Vậy 1 >
Vì 1= 2 – 1 =
g) 2 31 và 10
Vì 10 = 2. 5 = 2 25
nên 2 25  2 31 . Vậy 2 31 > 10
h)
3 và 12
Vì
3 >0 và -12 <0 nên
3 > 12
h) 5 và  29
Vì – 5 =  25 nên  25   29 . Vậy 5 >  29
i) 2 5 và 19
2 5  20 nên 19 <
Vì
k)
3 và
l)
2 3 và
Vậy
2.
Vì 2 =
3 2 . Vì
4 nên
2 3
12 và
20 . Vậy 2 5 > 19
4>
3 . Vậy
3 2 
18 nên
3 <
2
12 <
18 .
2 3 < 3 2.
m)
2 + 6 và 5.
Vì 5 = 2 +3 = 2  9 > 2 + 6 nên
6 < 5
38
2
+
n) 7 – 2 2 và 4. Vì 4 = 7 – 3 = 7  9 và 7 – 2 2  7  8 nên 7  9 < 7  8 .
Vậy 7 – 2 2 > 4
o) 15 + 8 và 7
Ta có: 7 = 4+3 = 16  9 nên 15 + 8 <
16  9 . Vậy 15 + 8 < 7
p) 37  14 và 6– 15
Ta có: 6– 15 = 36  15 <
37  14 . Vậy
37  14 > 6– 15
q) 17  26  1 và 99
1.7 Dùng kí hiệu
viết nghiệm của các phương trình đưới đây, sau đó dùng máy tính
để tính chính xác nghiệm với 3 chữ số thập phân.
a) x2 = 2
b) x2 = 3
c) x2 = 3,5
d) x2 = 4,12
e) x2 = 5
f) x2 = 6
g) x2 = 2,5
h) x2 =
5
Hướng dẫn giải:
a) x2 = 2 nên x =

2
b) x2 = 3 nên x =  3
c) x2 = 3,5 nên x =

3,5
d) x2 = 4,12 nên x =  4,12
e) x2 = 5 nên x =  5
f) x2 = 6 nên x =  6
g) x2 = 2,5 nên x =  2,5
h) x2 =
5 nên x = 
5
1.8 Giải các phương trình sau:
a) x2 = 25
b) x2 = 30,25
c) x2 = 5
d) x2 – 3 = 2
e) x2  5 = 0
f) x2 + 5 = 2
g) x2 =
h) 2x2+3 2 =2 3 i) (x – 1)2 = 1
3
j) x2 = (1 –
3 )2
k) x2 = 27 – 10 2
9
16
l) x2 + 2x =3 –2 3
Hướng dẫn giải:
39
a) x2 = 25
=> x = 5 hoặc -5
b) x2 = 30,25
=> x = 5,5 hoặc – 5,5
c) x2 = 5
=> x =
5 hoặc -
5
d) x2 – 3 = 2
=> x2 =
3 +
=> x =
2
3  2 hoặc -
3 2
e) x2  5 = 0
=> x2 = 5
=> x =
5 hoặc -
5
f) x2 + 5 = 2
=> x2 = 2 -
5 <0
=> x thuộc rỗng.
g) x2 =
3
=> x =
3 hoặc -
3
h) 2x2+3 2 =2 3
=> 2x2 = 2 3 - 3 2 < 0
=> x thuộc rỗng.
i) (x – 1)2 = 1
=> (x – 1)2 =
9
16
25
16
=> x = 2,25 hoặc x= -0,25
j) x2 = (1 –
3 )2
=> x = 1 – 3 hoặc
3 -1
k) x2 = 27 – 10 2
40
=> x = 5 –
2 hoặc
2-5
l) x2 + 2x =3 –2 3
=> ( x +1)2= (1 – 3 )2
=> x +1= 1 –
3 hoặc x +1=
=> x = - 3 hoặc x =
3 -1
3- 2
1.9 Giải phương trình:
a)
x = 3
b) x =
5
c)
x = 0
d) x = 2
Hướng dẫn giải:
a)
x = 3 ( ĐK: x  0 )
=> x = 9 (™)
b)
x =
5 ( ĐK: x  0 )
=> x = 5 (™)
x = 0
c)
( ĐK: x  0 )
=> x = 0 (™)
d)
x = 2( ĐK: x  0 )
=> x thuộc rỗng.
1.10 Trong các số:
(7) 2 ,
(7)2 ,  72 ,  (7) 2 thì số nào là căn bậc hai số học của
49 ?
Hướng dẫn giải:
Căn bậc hai số học của 49 = (7) 2
1.11 Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng:
a) Nếu a > b thì a  b
b) Nếu a  b thì a > b
Hướng dẫn giải:
a) Nếu a > b thì a  b .
Do a, b không âm và a >b nên a >0

a b 0
41
Ta có: a – b = ( a )2  ( b )2  ( a  b ).( a  b )
Vì a > b nên a – b >0. Do đó:
a b 0
hay a  b
b) Nếu a  b thì a > b
Do a, b không âm và a >b nên a >0
a b 0

Ta có: a – b = ( a )2  ( b )2  ( a  b ).( a  b )
Vì a  b nên
a  b  0 . Do đó: a – b > 0 nên a > b.
1.12 Cho số dương a. Chứng minh rằng:
a) Nếu a > 1 thì a  b
b) Nếu a < 1 thì a  b
Hướng dẫn giải:
a) Nếu a > 1 thì
a 1
Ta có: 1= 1 . Theo KQ bài 1.11 ta có: a > b thì a  b .

a > 1 thì
a 1
b) Nếu a < 1 thì
a 1.
Do a, b không âm và a < b nên b >0
a b 0

Ta có: a – b = ( a )2  ( b )2  ( a  b ).( a  b )
Vì a < b nên a – b <0. Do đó:
Vậy nếu a < b thì
a b 0
hay
a b
Thay b = 1 ta có : a < 1 thì
a 1.
1.13 Cho số dương a. Chứng minh rằng:
a) Nếu a > 1 thì a >
a
b) Nếu a < 1 thì a <
a
Hướng dẫn giải:
a) Nếu a > 1 thì a >
a.
-
Theo kq bài 12a có: a > 1 thì
-
Nhân
a  1 (1).
a và hai vế (1) ta có a >
a
42
a b
Vậy a > 1 thì a >
a.
b) Nếu a < 1 thì a <
-
a.
Theo kq bài 12b có: a < 1 thì
a và hai vế (1) ta có a <
Nhân
a  1 (1).
a
Vậy a < 1 thì a < a .
B - Căn thức bậc hai. Hằng đẳng thức
1.14 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
1. a)
 2x  3
b)
 5x
c)
 3x  7
d)
3x  7
e)
x
3
f)
5x
g) 4  x
h) 1  x 2
i)
5
x 6
j)
2
x2
k)
1
1 x
l)
4
x3
2
m)
4x 2 n)
o) x2  2x  1
 3x 2
P) x 2  2x  1
Hướng dẫn giải
a) Biểu thức
 2 x  3 có
2x  3  0  x 
nghĩa khi
3
2
b) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 5x  0  x  0
c) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 3x  7  0  x 
d) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 3x  7  0  x 
x
3
e) Biểu thức đã cho có nghĩa khi  0  x  0
f) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 5x  0  x  0
43
7
3
7
3
A
2
 A
g) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 4  x  0  x  4
h) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 1  x 2  0  x  R
i) Biểu thức đã cho có nghĩa khi
5
0
x 6
2
Mà x 2  0, x  x 2  6  6  0, x 
5
 0, x nên x 
x 6
2
2
 0
j) Biểu thức đã cho có nghĩa khi  x 2
 x0
2
x  0

 1
0

k) Biểu thức đã cho có nghĩa khi  1  x
 x 1
 1  x  0
 4
0

l) Biểu thức đã cho có nghĩa khi  x  3
 x  3
 x  3  0
m)
Biểu thức đã cho có nghĩa khi 4  x 2  0  x  R
n) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 3 x 2  0  x  0
o) Biểu thức đã cho có nghĩa khi x 2  2 x  1  0   x  1  0  x  R
2
p) Biểu
thức
đã
cho
có
khi  x 2  2 x  1  0    x  1  0   x  1  0  x  1
2
2. a)
c)
e)
2
b) x 2  2x  2
 x 2  4x  5
1
d)
2
4x  12x  9
1
f)
2
x  8x  15
1
2
x  x 1
1
2
3x  7x  20
Hướng dẫn giải
a) Biểu thức đã cho có nghĩa khi
2
 x 2  4 x  5  0  ( x 2  4 x  5)  0   x  2   1  0  x  


vì ta luôn có  x  2   1  0, x
2
b) Biểu thức đã cho có nghĩa khi x 2  2x  2  0   x  1   1  0  x  R
2
44
nghĩa
c) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 4x 2  12x  9  0   2x  3  0  x 
2

1
2
3
2
3
d) Biểu thức đã cho có nghĩa khi x 2  x  1  0   x     0  x  R
2 4

x  3
x  5
e) Biểu thức đã cho có nghĩa khi x 2  8 x  15  0   x  5  .( x  3)  0  
f) Biểu thức đã cho có nghĩa khi
2
7
20 
7  191


3 x  7 x  20  0  3.  x 2  x    0  3.  x   
 0  xR
3
3 
6
12


2
x  3  x2  9
c)
2
 5  2x
x 9
d)
2x  4  8  x
e)
4x
 9  x2
x 1
f)
x2  4  2 x  2
2
b) x  2 
1
x5
3. a)
Hướng dẫn giải:
a) Biểu thức đã cho có nghĩa khi
 x  3  0
 x  3  0
x  3  0
 x  3



 x3
 2
 x  3 x  3  0
 x  3  0
x  3
x  9  0
b) Biểu thức đã cho có nghĩa khi
x  2  0
x  2


x  5  0
x  5
c) Biểu thức đã cho có nghĩa khi
 x  3  x  3
 x2  9  0




5 
5
5  2x  0
 x  2
 x  2
4. a)
c)
(x  1)(x  3)
b)
4
x3
2x
5x
d)
x 1
x2
Hướng dẫn giải
a)
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
45
 x 1  0
( x  1)( x  3)  0  

x  3  0
b)
x  1
x  3

Biểu thức đã cho có nghĩa khi
 4
0

 x  3
x3
 x  3  0
c)
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
2  x
0
 2  x  5


 2  x  5
5  x
x

5

5  x  0
d)
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
 x  1
 x 1
0
x  1


   x  2  
x  2
 x  2
 x  2  0
 x  2

1.15 Tính
a) 5 (2) 4
b)  4 (3) 6
c) 5
d)  0,4 (0,4) 2
e)
(5) 8
f)
( 0,1) 2
g)  (1,3) 2
(0,3) 2
h) 2 (2) 4 + 3 (2) 8
Hướng dẫn giải:
a) 5 ( 2) 4  5.2 2  20
b) 4 (3) 6  4.  3   4.27  108
3
c) 5
( 5) 8  5.
 5 
4
 5. 5   125
2
d) 0, 4 (0, 4) 2  0, 4. 0, 4  0,16
e)
(0,1) 2  0,1
f)
(0,3) 2  0,3  0,3
46
g)  (1,3) 2   1,3  1,3
h) 2 (2) 4  3 (2)8  2.4  3.16  56
1.16 Chứng minh rằng:
a) 9  4 5  ( 5  2)2
b) 9  4 5  5  2
c) 23  8 7  (4  7 )2
d) 17  12 2  2 2  3
Giải
a) Ta có:
94 5 
 5
2
 2. 5.2  22  ( 5  2) 2
b) Thật vậy:
94 5  5 

5 2

2
5
5  2  5  5  2  5  2
c) Ta có:
23  8 7  16  2.4. 7  7  (4  7)2
d) Ta có:
17  12 2  2 2 
3  2 2 
2
 2 2  32 2  2 2  32 2  2 2  3
1.17 Rút gọn biểu thức:
1. a)
(4  3 2)2
b) (2  5) 2
c)
(4  2 )2
d) 2 3  (2  3 ) 2
e)
(2  3 ) 2
f)
g) ( 3  1) 2  ( 3  2) 2
(2  5 ) 2
h) (2  5 ) 2  ( 5  1) 2
giải:
a) Ta có:
(4  3 2) 2  4  3 2  3 2  4
b) Ta có:
(2  5) 2  2  5  2  5
c) Ta có:
47
(4  2) 2  4  2
d) Ta có:
2 3  (2  3) 2  2 3  2  3  2  3
e) Ta có:
(2  3) 2  2  3
f) Ta có:
(2  5) 2  5  2
g) Ta có:
( 3  1) 2  ( 3  2) 2  3  1  2  3  1
h) Ta có:
(2  5) 2  ( 5  1) 2  5  2 
2. a)


5  1  1
b) 7  4 3
62 5
c) 12  6 3
d) 17  12 2
e)
f)
10  4 6
h)
3 5
g)
22  12 2
2  11  6 2
62 5  5
3 5

giải:
a) 6  2 5 

5 1
74 3 

32
b)

2

2
3  3 
c) 12  6 3 
 5 1
2
 32
 3 3
d) 17  12 2 
2
2 3
e) 22  12 2 
3
22
f) 10  4 6 

6 2

2

2

2
2 2 3
3 22
 6 2
48
3 5
3 5
2  11  6 2
g)
62 5  5
2  22  12 2
2

2  1 5 




5

2 3 5



2

3
22


2
2. 1  5  5

2 3 2 2

2
  3
h)
3 5
3 5
2

3 5

3 5
4 2
5 1


62 5
4 2
  2
5 1

2 3 5
62 5

2 2  10  2 2  10

3. a)
3 5
3 5

3 5
3 5

2
 2 2  2 10
 2 2  2 10
b) 11  6 2  3  2
42 3  3
c) 11  6 2  6  4 2
d) 11  6 3  13  4 3
e) ( 3  4) 19  8 3
f)
82 7
h)
3 5
g)
2  11  6 2
62 5  5
3 5
4 7
2

3 5
3 5
giải
a) Ta có:
42 3  3 



 2 2  10  2 2  10
Ta có:

2
2
3  1  3  3  1  3  1
49
5 1 4
5 1


2  5 1 4
5 1

b) Ta có:
11  6 2  3  2 
3  2 
2
3 2  3 2 3 2  2 2
c) Ta có:
11  6 2  6  4 2 
3  2 
2

 2  2   3  2    2  2   1
2
d) Ta có:
11  6 3  13  4 3  11  6 3 


2
12  1  11  6 3  2 3  1
e) Ta có:
( 3  4) 19  8 3 

34
 
4 3
 

2

3  4 4  3  16  3  13
f)Ta có:
8 2 7
4 7

2
1  7 
82 7
 1 7 .
4

2


  1  7 
7 1
2
2
  6 3
7 1
2
2
g) Ta có:
2  11  6 2
62 5  5

3  2   2  3  2   3  3
1  5   5 1  5   5 1
2
2
2
h)
3 5
3 5

2

4 2
5 1
3 5
3 5

  2

2 3 5
62 5
4 2
5 1


2 3 5
62 5

2

 2 2  10  2 2  10
Ta có:
50
5 1 4
5 1


2  5 1 4
5 1


2 2  10  2 2  10
3 5

4. a)
3 5
3 5

3 5

2
 2 2  2 10
b) 6  2 3  13  4 3
62 42 3
c)
 2 2  2 10
d) 23  6 10  4 3  2 2
3  48  10 7  4 3
giải:
a) ta có:
62 42 3  62
1  3 
2
 62


3 1  4  2 3 


3 1
2
 3 1
b) ta có:

6  2 3  13  4 3  6  2 3 

 6  2 1 3

2

1 2 3

2


 6  2 3  1 2 3  6  2 4  2 3

 6  2. 1  3  4  2 3 


2
3 1  3 1
c) ta có:
3  48  10 7  4 3 
3  28  10 3 

2  3
3  48  10
3
5  3 
2
2


3  48  10 2  3
3 5 3  5

d) ta có:
23  6 10  4 3  2 2  23  6 10  4
 23  6 6  4 2  23  6
 2  2
2


2 1

2

 23  6 10  4


2 1
 23  6 2  2  11  6 2  3  2
51

x2  5
x 5
5. a)
b)
x 2  2 2x  2
x2  2
Giải:
a) ta có
x2  5
x 5
 x 5
b) ta có
x
2
x  2  x 
 2 2x  2

x 2
 x  2  x  2  x 
2
2
2
2
1.18 Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu căn và dấu trị tuyệt đối):
1. a)
9x 2  2x với x < 0
b) 2 x 2 với x  0
c) 3 ( x  2) 2 với x < 2
d) 2 x 2  5x với x < 0
e)
f)
25x 2  3x với x  0
9x 4  3x 2 với x bất kỳ
g) x  4  16  8x  x 2 với x > 4
giải:
a) Ta có:
9 x 2  2 x  3 x  2x  3x  2x  5x
b) Ta có:
2 x 2  2 x  2x
c) Ta có:
3 ( x  2) 2  3. x  2  3.  2  x   6  2x
d) Ta có:
2 x 2  5x  2 x  5x  2x  5x  7x
e) Ta có:
25 x 2  3x  5 x  3x  5x  3x  8x
f) Ta có:
52
9 x 4  3x 2  3x 2  3x 2  6 x 2
g) Ta có:
x  4  16  8 x  x 2  x  4 
2. a) A = 1  4a  4a2  2a
c) C =
e) E =
 x  4
2
 x  4  x  4  x  4  x  4  2x  8
b) B = 4x2  12x  9  2x  1
5x
d) D = (x  1) 2 
2
x  10 x  25
x 2  6x  9
x3
a) Ta có:
A  1  4a  4a 2  2a  2a  1  2a
1
 A  2a  1  2a  1
2
1
a   A  1  2a  2a  1  4a
2
a
b) Ta có:
4 x 2  12 x  9  2 x  1  2x  3  2x  1
3
 A  2x  3  2x  1  4x  4
2
3
x   A  2x+3  2x  1  2
2
x
c) Ta có: đkxđ: x  5
5 x
2
x  2x  1
f) F = x2  x 4  8x2  16
giải:
C
x 1
2

5 x
5 x
x  10 x  25
5 x
x5C 
 1
x 5
5 x
x5C 
1
5 x
d) Ta có:đkxđ: x  1
53
D  ( x  1) 2 
x 1
 x 1 
x 1
x 1
x 2  2x  1
x 1
x  1  D  x 1
 x 11  x
x 1
x 1
x  1  D  x 1
 x 11  x
x 1
e) Ta có:đkxđ: x  3
x2  6 x  9 x  3
E

x 3
x 3
x 3
x  3 E 
1
x 3
x 3
x  3 E 
 1
x  3
f) Ta có:
F  x 2  x 4  8x 2  16  x 2  x 2  4  x 2   x 2  4   4
1.19 Chứng tỏ: x  2 2x  4  ( 2  x  2 )2 với x  2
Áp dụng rút gọn biểu thức sau:
x  2 2x  4  x  2 2x  4
với x  2
Thật vậy
VP  ( 2  x  2) 2  2  2. 2. x  2 

x2

2
 x  2 2 x  4  VT
Ta có:
x  2 2x  4  x  2 2x  4 
2  x2 
2  x2  2
1.20 Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu căn và dấu trị tuyệt đối):
a) x  4 x  4
với x  4
b) x  2  2 x  3
với x  3
c)
x  2 x 1  x  2 x 1
với x  1
d) x  2 x  1  x  2 x  1
với x  0
giải:
54

2  x2

a) Ta có:
x4 x4 

x44 x4 4 
x4 2

2

x4 2
b) Ta có:
x 2 2 x 3 


2
x  3 1 
x  3 1  x  3 1
c) Ta có
C
x  2 x 1  x  2 x 1 
x2C 


x 1 1
2



x 1 1
x  1  1  x  1  1  2. x  1
1 x  2  C 
x 1 1 x 1 1  2
d) Ta có
D  x  2 x 1  x  2 x 1 


x 1
2



x 1
2
x  1 D  x 1 x 1  2 x
0  x 1 D   x 1 x 1 2
55

x 1 
x 1
2

x 1 1 
x 1 1