目录
6.1
基本定义
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
6.2
预备知识: 直到边界的适当正则性结论 (c 不定号) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
6.3
本次的中心结论: 全局正则性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
6.4
具体证明 (By Induction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
6.4.1
The inductive hypothesis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
6.4.2
The initial cases：k = 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
6.4.3
The induction step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
6.4.4
推广至部分边界 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
6.5.1
附录 1:Schauder 内部正则性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
6.5.2
附录 2: 一些有用的结论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
6.5.3
附录 3: 边界范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
6.5.4
附录 4:Schauder 内估计对于收敛性的应用: 等度连续 . . . . . . . . . . . . . .
11
6.5
Abstract
In this talk, we will establish the global regularity theorem based on
the previous definitions and the interior regularity theorem, which are both
the main results of Schauder estimates.
1
目录
Notation
2
The Hölder spaces C k,α (Ω̄) C k,α (Ω) are defined as the subspaces of C k (Ω̄) C k (Ω)
consisting of functions whose k-th order partial derivatives are uniformly Hölder continuous (locally Hölder continuous) with exponent α in Ω. For simplicity we write
C 0,α (Ω) = C α (Ω),
C 0,α (Ω̄) = C α (Ω̄).
where 0 < α < 1. Also, by setting
C k,0 (Ω) = C k (Ω),
C k,0 (Ω̄) = C k (Ω̄)
We also designate by C0k,α (Ω) the space of functions on C k,α (Ω) having compact support
in Ω. Let us set
[u]k,0;Ω = Dk u
0;Ω
= sup sup Dβ u ,
k = 0, 1, 2, . . .
|β|=k Ω
[u]k,α;Ω = Dk u α;Ω = sup Dβ u α;Ω .
|β|=k
With these seminorms, we can define the related norms
∥u∥C k (Ω̄) = |u|k;Ω = |u|k,0;Ω =
k
X
j=0
[u]j,0;Ω =
k
X
Dj u
0;Ω
,
j=0
∥u∥C k,α (Ω̄) = |u|k,α;Ω = |u|k;Ω + [u]k,α;Ω = |u|k;Ω + Dk u α;Ω ,
on the spaces C k (Ω̄), C k,α (Ω̄), respectively.
In order to state the Schauder estimates in a sharp form, and also for subsequent
applications, we introduce the following additional interior seminorms and norms on the
目录
3
spaces C k (Ω), C k,α (Ω). We define
(σ)
(σ)
[f ]k,0;Ω = [f ]k;Ω = sup dk+σ
Dβ f (x)
x
x∈Ω
|β|=k
(σ)
k+α+σ
[f ]k,α;Ω = sup dx,y
x,y∈Ω
|β|=k
(σ)
|f |k;Ω
=
k
X
Dβ f (x) − Dβ f (y)
,0 < α ⩽ 1
|x − y|α
(σ)
[f ]j;Ω ;
j=0
(σ)
(σ)
(σ)
|f |k,α;Ω = |f |k;Ω + [f ]k,α;Ω .
In this notation, when σ = 0 these quantities are identical with [·](0) = [·]∗ and |·|(0) = |·|∗ .
6.1
基本定义
定义 6.1.1. 有界区域 Ω 称为含有 C k,α 类的边界部分 T ⊂ ∂Ω 是指, 如果对于任意的
x0 ∈ T , 都存在一个以 x0 为心的球 B = B (x0 ) 及一个双射 (把 B 映上 D)
ψ : B → D ⊂ Rn ,
使得 B ∩ ∂Ω ⊂ T , 并满足以下三个条件:
(i) ψ(B ∩ Ω) ⊂ Rn+ ;
(ii) ψ(B ∩ ∂Ω) ⊂ ∂Rn+ (拉直边界);
(iii) ψ ∈ C k,α (B), ψ −1 ∈ C k,α (D);
定义 6.1.2. 设 v 是开集 Ω 上的一个函数,el (l = 1, 2, · · · , n) 表示 xl 方向的单位坐标向
量. 定义 v 在 x 点处沿 el 方向的差商为
∆h v(x) = ∆hl v(x) =
v(x + hel ) − v(x)
.
h
Remark: 若 u, v 是开集 Ω 上的函数,el (l = 1, 2, · · · , n) 表示 xl 方向的单位坐标向
量, 则 uv 在 x 点处沿 el 方向的差商满足
∆h (uv) = ∆h uv(x + hel ) + u(x)∆h v(x).
目录
4
证明.
u(x + hel )vu(x + hel ) − u(x)v(x)
h
u(x + hel )v(x + hel ) − u(x)v(x + hel ) + u(x)v(x + hel ) − u(x)v(x)
=
h
u(x + hel )v(x + hel ) − u(x)v(x + hel ) u(x)v(x + hel ) − u(x)v(x)
=
+
h
h
u(x + hel ) − u(x)
v(x + hel ) − v(x)
=
v(x + hel ) + u(x)
h
h
∆h (uv) =
= ∆h u(x)v(x + hel ) + u(x)∆h v(x)
6.2
预备知识: 直到边界的适当正则性结论 (c 不定号)
引理 6.2.1. 设 Ω 是具有 C 2,α 边界部分 T 的有界区域, φ ∈ C 2,α (Ω̄). 如果 u ∈ C 0 (Ω̄) ∩
C 2 (Ω) 在 Ω 中满足 Lu = f , 在 T 上 u = φ, 其中 f 及严格椭圆算子 L 的系数属于
C α (Ω̄). 那么 u ∈ C 2,α (Ω ∪ T ).
Remark: (上次补充的内容)u ∈ C 2,α (Ω ∪ T ) 等价于对于 ∀x ∈ Ω ∪ T , 都 ∃B :=
B(x, r), 使得 u ∈ C 2,α (B ∩ (Ω ∪ T )).
6.3
本次的中心结论: 全局正则性定理
定理 6.3.1. 设 Ω 是 C k+2,α 区域 (k ⩾ 0), 又设 φ ∈ C k+2,α (Ω̄). 假设 u 是在 Ω 中满足
Lu = f , 在 ∂Ω 上 u = φ 的 C 0 (Ω̄) ∩ C 2 (Ω) 函数, 其中 f 和严格椭圆型算子 L 的系数
属于 C k,α (Ω̄). 那么, u ∈ C k+2,α (Ω̄).
Remark: 本章节的主要部分就是专门用来建立各种问题的先验的界. 第 6 章的一些
应用中可以看到这些先验估计的重要性, 其中就包括在适当的光滑性假定下证明 C 2 解
的更高阶的正则性 (定理6.3.1), 后者这种估计对于某类解提供了必需的紧致性.
目录
5
6.4
具体证明 (By Induction)
6.4.1
The inductive hypothesis:
对于任意给定的 k, 在上述定理假设的前提下, 我们有 u ∈ C k+2,α (Ω̄).
6.4.2
The initial cases：k = 0, 1
k = 0 时, 这就是上次课所证明的定理的一个推论, 因此只需说明 k = 1 的情形.
设 x0 是 Ω 的一个任意的边界点, 考虑一个在 x0 附近把边界拉直的适当的 C 3,α 微分同
胚 ψ. 作为这个映射的结果, 我们可以把方程 Lu = f 看成定义在一个区域 G 中的方程,
G 在 xn = 0 上具有超平面部分 T , 而定理的其余假设条件不变 (详见定理 6.2的证明).
用函数 u − φ 代替 u, 并注意到 Lφ ∈ C 1,α (Ḡ), 我们可以在定理的叙述中假设 φ = 0.
定理 6.2(基本 Schauder 内估计定理) 设 Ω 是 Rn 的开子集, 又设 u ∈ C 2,α (Ω) 是
方程
Lu = aij Dij u + bi Di u + cu = f
在 Ω 中的有界解, 其中 f 和系数满足下述条件. 存在正常数 λ, Λ, 使得
aij ξi ξj ⩾ λ|ξ|2 ,
∀x ∈ Ω,
ξ ∈ Rn
和
aij
(0)
0,α;Ω
, bi
(1)
0,α;Ω
(2)
, |c|0,α;Ω ⩽ Λ
那么
|u|∗2,α;Ω
⩽ C |u|0;Ω +
(2)
|f |0,α;Ω
其中 C = C(n, α, λ, Λ).
现对方程
Lu = aij Dij u + bi Di u + cu = f,
目录
6
两端做差商, 计算可得:
∆h (Lu) = ∆h (aij Dij u + bi Di u + cu)
= (∆h aij (x))Dij u(x + hel ) + (∆h bi (x))Di u(x + hel ) + (∆h c(x))u(x + hel )
+ aij Dij (∆h u) + bi Di (∆h u) + c∆h u = ∆h f.
从而
L(∆h u) = aij Dij (∆h u) + bi Di (∆h u) + c(∆h u)
(6.1)
= ∆h f − (∆h aij )Dij ū − (∆h bi )Di ū − (∆h c)ū ≜ Fh (x), ū = u(x + hel ).
方程中的全部差商假设都是在 x ∈ Ω 处对某个 l = 1, · · · , n 沿方向 el 取的, 因而得到方
程 (6.1) . 从而有下述断言：
断言一：差商 ∆h u = ∆hl u 满足方程 (6.1).
如果 0 < |h| < h0 , 那么此方程在具有超平面边界部分 T ′ ⊂ T 的集合 G′ = {x ∈
G | dist(x, ∂G − T ) > h0 } 中成立. 在关于 L 及 f 的假设之下, 由于在 T 上 u = 0 及
u ∈ C 2,α (Ḡ), 从而方程 (6.1) 和它的解 ∆h u 在 G′ 中满足引理 6.4 的条件. 2
引理 6.4(局部边界估计) 设 Ω 是 Rn+ 的一个开子集, 在 xn = 0 上有边界部分 T . 假
设 u ∈ C 2,α (Ω ∪ T ) 是在 T 上满足边界条件 u = 0 的 Lu = f 在 Ω 中的有界解. 又假设
aij
(0)
0,α;Ω∪T
, bi
(1)
0,α;Ω∪T
(2)
, |c|0,α;Ω∪T ⩽ Λ;
(2)
|f |0,α;Ω∪T < ∞.
其中 C = C(n, α, λ, Λ).
从引理 6.4 就推出函数族 ∆h u, Di ∆h u, Dij ∆h u(i, j = 1, . . . .n) 在 G′ ∪ T ′ 的紧子集上有
界并且等度连续.
注意到当 h → 0 时我们有 ∆hl u → Dl u, 从而有下述断言:
断言二：对于 i, j = 1, . . . , n 及 l = 1, . . . , n − 1, 有 Dij ∆hl u → Dijl u, 此外, 对于
l = 1, . . . , n − 1, 还有 Dl u ∈ C 2,α (G′ ∪ T ′ ).
目录
7
事实上, 由于当 h → 0 时, 有 ∆hl u → Dl u, 且 Di ∆h u, Dij ∆h u 一致收敛, 则
lim Dj ∆hl u = Dj lim ∆hl u = Djl u.
h→0
h→0
lim Di Djl ∆hl u = Di Dj lim ∆hl u = Di Djl u = Dijl u.
h→0
h→0
2
断言三：Dn u ∈ C 2,α (G′ ∪ T ′ ).
记
Dnn u = (1/ann ) (f − (L − ann Dnn ) u)
从上面结果可看出右端属于 C 1,α (G′ ∪ T ′ ) 就可立刻推出这一点. 2
最后, 由 x0 在 ∂Ω 上选取的任意性, 我们就得到了 u ∈ C 3,α (Ω̄) 的结论.
6.4.3
The induction step
假设对 k − 1 时 IH 成立, 即我们已有: 若 f 及椭圆型算子 L 的系数属于 C k−1,α (Ω̄),
则 u ∈ C k+1,α (Ω̄)(提升两次正则性).
下证 k 时的 IH 同样成立: 此时,f 及椭圆型算子 L 的系数属于 C k,α (Ω̄).
我们往证: u ∈ C k+2,α (Ω̄)(our target).
现对方程
Lu ≡ aij Dij u + bi Di u + cu = f
(6.2)
两侧同时做一次微分:
D(aij Dij u+bi Di u+cu) = (Daij )Dij u+aij DDij u+(Dbi )Di u+bi DDi u+(Dc)u+cDu = Df,
⇒ L(Du) ≡ aij DDij u + bi DDi u + cDu = Df − (D(aij )Dij u + (Dbi )Di u + (Dc)u) ≜ F (x).
方法一: 应当指出, 我们已经有如下命题: 若 f 及椭圆型算子 L 的系数属于 C k−1,α (Ω̄),
则 u ∈ C k+1,α (Ω̄)(提升两次正则性).
由 f, aij , bi , c ∈ C k,α (Ω̄),（注：归纳假设的前提), 以及 u ∈ C k+1,α (Ω̄)(注：中间产物)
目录
8
可知
Df, Daij , Dbi , Dc, Dij u ∈ C k−1,α (Ω̄) ⇒ F (x) ∈ C k−1,α (Ω̄).
应用 k − 1 的 IH, 可得 Du ∈ C k+1,α (Ω̄),则 u ∈ C k+2,α (Ω̄)(target achieved).
方法二: 对方程 (6.2) 两边同时微分 k − 1 次可得
Lû = fˆ,
其中 û = Dβ u, |β| = k − 1, fˆ 等于 Dβ f 加上” 系数的阶数 ≤ k − 1 的导数” 与”u 的阶
数 ≤ k 的导数” 的各个乘积和, 则 fˆ ∈ C 1,α (Ω̄). 按照上面对 k = 1 类似的论证, 可知
û ∈ C 3,α (Ω̄),则 u ∈ C k+2,α (Ω̄)(target achieved once more).
Remark: k + 2 = 3 + (k − 1)
6.4.4
推广至部分边界 T
前面实质上是局部的论证法, 只要解 u 一直连续到任一 C k+2,α 部分边界 T , 并在 T
上取 C k+2,α 边值, 则正则性结果就一直到 T 都仍然正确.
6.5
Appendix
6.5.1
附录 1:Schauder 内部正则性定理
定理 6.5.1. 设 u 是方程 Lu = f 在开集 Ω 中的 C 2 (Ω) 解, 其中 f 及椭圆型算子 L 的系
数属于 C k,α (Ω). 则 u ∈ C k+2,α (Ω). 进一步, 若 f 及 L 的系数属于 C ∞ (Ω), 则 u ∈ C ∞ (Ω)
根据基本的 Schauder 估计,k = 0 时定理已证明.
引理 6.1 设 u 是方程 Lu = f 在一开集 Ω 中的 C 2 (Ω) 解, 其中 f 和椭圆型算子 L
的系数是 C α (Ω) 的, 那么 u ∈ C 2,α (Ω).
现在我们证明 k = 1 时定理成立, 对方程
Lu = aij Dij u + bi Di u + cu = f,
目录
9
两端取差商, 由差商运算性质可得:
∆h (Lu) = ∆h (aij Dij u + bi Di u + cu)
= (∆h aij (x))Dij u(x + hel ) + (∆h bi (x))Di u(x + hel ) + (∆h c(x))u(x + hel )
+ aij Dij (∆h u) + bi Di (∆h u) + c∆h u = ∆h f.
从而
L(∆h u) = aij Dij (∆h u) + bi Di (∆h u) + c(∆h u)
(6.3)
= ∆h f − (∆h aij )Dij ū − (∆h bi )Di ū − (∆h c)ū ≜ Fh (x), ū = u(x + hel ).
方程中的全部差商假设都是在 x ∈ Ω 处对某个 l = 1, · · · , n 沿方向 el 取的. 因为
f ∈ C 1,α (Ω) 及
f (x + hel ) − f (x)
1
∆ f (x) =
=
h
h
Z
1
h
0
d
f (x + thel )dt =
dt
Z
1
Dl f (x + thel )dt,
0
Claim 6.5.1. 对任何子集 Ω′ ⊂⊂ Ω, ∆h f ∈ C α (Ω′ ), 其中 |h| < dist(Ω′ , ∂Ω).
Claim 6.5.2. 如果 B 和 B ′ 是 Ω 中的球, 使得 B ′ ⊂ B ⊂⊂ Ω 并且 dist(B ′ , ∂B) = h0 > 0,
那么对 0 < |h| < h0 , 有 ∆h f ∈ C α (B̄ ′ ), 并且存在一个一致的界:|∆h f |0,α;B ′ ≤ 与 h 无关
的常数.
6.5.2
附录 2: 一些有用的结论
(a)若 L 在开集 Ω 中是椭圆型算子, 则 L 在 B ⊂⊂ Ω 是严格椭圆型的.
L 在 Ω 中是椭圆型算子, 则系数矩阵 [aij (x)] 对应的特征值 λ(x) > 0, x ∈ Ω 且连续, 从
而 λ(x) 在 Ω 中有上下界, 即 Λ > λ(x) > λ0 > 0, 因此 L 是严格椭圆的.
(b) What is Schauder estimate? To put it simply, If u ∈ C 2 (Ω), f ∈ C 0,γ (Ω) then
−∆u = f in Ω ⇒ u ∈ C 2,γ (Ω).
In mathematics, the Schauder estimates are a collection of results due to Juliusz
Schauder (1934, 1937) concerning the regularity of solutions to linear, uniformly elliptic
目录
10
partial differential equations. The estimates say that when the equation has appropriately
smooth terms and appropriately smooth solutions, then the Hölder norm of the solution
can be controlled in terms of the Hölder norms for the coefficient and source terms. Since
these estimates assume by hypothesis the existence of a solution, they are called a priori
estimates.(from Wikipedia)
(c) The space of functions C k,γ (Ω̄) is a Banach space.
(d) u ∈ C k+1 (Ω) ⇒ u ∈ C k,γ (Ω) for any γ ∈ (0, 1]
6.5.3
附录 3: 边界范数
首先, 先再次陈述引理 6.4(局部边界估计):
引理 6.4(局部边界估计) 设 Ω 是 Rn+ 的一个开子集, 在 xn = 0 上有边界部分 T . 假
设 u ∈ C 2,α (Ω ∪ T ) 是在 T 上满足边界条件 u = 0 的 Lu = f 在 Ω 中的有界解. 除 (6.2)
外又假设
aij
(0)
0,α;Ω∪T
, bi
(1)
0,α;Ω∪T
(2)
, |c|0,α;Ω∪T ⩽ Λ;
(2)
|f |0,α;Ω∪T < ∞.
其中 C = C(n, α, λ, Λ).
这个引理在任何一个满足 dist (Ω′ , ∂Ω − T ) > 0 的子集 Ω′ ⊂ Ω 中对 u 的一、二阶
导数和它的二阶导数的 Hölder 系数提供了一个界. 特别, ∂Ω′ 可以包含 T 的与 ∂Ω − T
有非零距离的任何一个部分.
为了把上述引理推广到具有弯曲边界部分的区域, 我们引进推广至边界的相应的拟
范数和范数. 设 Ω 是 Rn 中具有 C k,α 边界部分 T 的开集. 对于 x, y ∈ Ω, 我们令
d¯x = dist(x, ∂Ω − T ),
d¯x,y = min d¯x , d¯y ,
目录
11
并对函数 u ∈ C k,α (Ω ∪ T ), 定义下列各量:
[u]∗k,0;Ω∪T = [u]∗k,Ω∪T = sup d¯kx Dβ u(x) ,
k = 0, 1, 2, . . . ;
x∈Ω
α∈Ω
Dβ u(x) − Dβ u(y)
[u]∗k,α;Ω∪T = sup d¯k+α
,
x,y
|x − y|α
x,y∈Ω
0 < α ⩽ 1;
|β|=k
|u|∗k,0;Ω∪T = |u|∗k;Ω∪T =
k
X
[u]∗j;Ω∪T ;
j=0
|u|∗k,α;Ω∪T = |u|∗k;Ω∪T + [u]∗k,α;Ω∪T ;
|u(x) − u(y)|
(k)
[u]0,α;Ω∪T = sup d¯kx |u(x)| + sup d¯k+α
.
x,y
|x − y|α
x∈Ω
x,y∈Ω
当 T = ∅ 及 Ω ∪ T = Ω 时, 这些量归结为内部拟范数和范数.
6.5.4
附录 4:Schauder 内估计对于收敛性的应用: 等度连续
内估计对收敛性结果的典型应用中, 知道解和它的一、二阶导数在紧子集上的等度
连续性就够了. 对于这一目的, 下述的推论通常是够用的.
推论 6.3 设 u ∈ C 2,α (Ω), f ∈ C α (Ω̄) 满足 Lu = f , 其中 L 在有界区域 Ω 中满足严
格椭圆条件, 并且 L 的系数在 C α (Ω̄) 中. 那么如果 Ω′ ⊂⊂ Ω, dist (Ω′ , ∂Ω) ⩾ d, 就存在
常数 C, 使得
d|Du|0;Ω′ + d2 D2 u
0;Ω′
+ d2+α D2 u α;Ω′
(2)
⩽C |u|0;Ω + |f |0,α;Ω ,
其中 C 仅依赖于椭圆性常数 λ 和 L 的系数的 C α (Ω̄) 范数 (以及 n, α 和 Ω 的直径).
这个结果的一个直接推论是: 具有局部 Hölder 连续系数和局部 Hölder 连续的 f 的
椭圆型方程 Lu = f 的一致有界解及其一、二阶导数在紧子集上是等度连续的. 对于具
有在紧子集 Ω′ ⊂⊂ Ω 中有一致正下界的椭圆性常数 λ 和有一致有界的 C α Ω̄′ 范数的
系数和非齐次项 f 的任一族这类方程的解, 这个结论也同样是正确的.