ESCURRIMIENTO DE FLUIDOS
Aplicaciones
ALEJANDRO REYES SALINAS
ESCURRIMIENTO DE FLUIDOS
Aplicaciones
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Santiago de Chile
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© Alejandro Reyes Salinas
Inscripción Nº: 194.968
I.S.B.N.: 978-956-303-100-3
Portada y diseño: Andrea Meza Vergara
Diagramación: Andrea Meza Vergara
Primera edición, septiembre de 2010
Impreso en Gráfica LOM
Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, almacenada o transmitida en
manera alguna ni por ningún medio, ya sea eléctrico, químico o mecánico, óptico, de
grabación o de fotocopia, sin permiso previo de la editorial.
Impreso en Chile.
ÍNDICE
Prefacio
11
CAPÍTULO 1
CONCEPTOS GENERALES DE FLUIDOS
1.1. Concepto de fluido
1.2. Propiedades de los fluidos
1.3. Hidrostática
Ejercicios
15
15
17
28
33
CAPÍTULO 2
BALANCES MACROSCÓPICOS
2.1. Ecuación de balance
2.2. Balance de masa
2.3. Balance de energía
Ejercicios
37
37
38
42
48
CAPÍTULO 3
FLUJO DE FLUIDOS
3.1. Naturaleza del flujo de fluidos
3.2. Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, en situaciones que
la fricción es despreciable
3.3. Definición de factor de fricción
3.4. Descripción de cañerías, válvulas y accesorios
3.5. Evaluación de pérdidas en válvulas y accesorios
3.6. Aplicaciones que involucran la evaluación de factores
de fricción
3.7. Evaluación de pérdidas en ductos no circulares
3.8. Diámetro óptimo económico (DOE)
3.9. Situaciones complejas
3.10. Fluidos no newtonianos
Ejercicios
51
51
54
63
68
71
74
82
84
88
99
104
CAPÍTULO 4
MEDIDORES DE FLUJO
4.1. Medidores que funcionan en base a principios
fluido-dinámicos
Tubo de Pitot
Placa orificio, tobera y Venturi
Ejercicios
116
116
120
148
CAPÍTULO 5
TRANSPORTE DE LÍQUIDOS
A.1 Bombas alternativas o recíprocas
A.2 Bombas rotatorias
B.1 Bombas centrífugas
Teoría de bombas centrífugas
Funcionamiento real de una bomba centrífuga
Determinación del caudal de operación
Selección de bombas centrífugas
B.2 Bombas con efectos especiales
Ejercicios
151
151
156
162
170
177
186
194
195
205
CAPÍTULO 6
FLUJO DE GASES
6.1. Flujo isotérmico
6.2. Flujo adiabático
6.3. Equipos impulsores de gases
Ejercicios
209
210
215
219
227
CAPÍTULO 7
CARACTERIZACIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS
7.1. Tamaño de partículas
7.2. Forma de las partículas
Ejercicio
229
229
235
241
CAPÍTULO 8
FACTORES DE FRICCIÓN EN MEDIOS POROSOS
8.1. Teoría del conjunto de tubos
8.2. Teoría del medio continuo
Ejercicios
243
243
248
255
111
CAPÍTULO 9
FILTRACIÓN
9.1. Filtros de lecho profundo
9.2. Filtros sobre superficies
9.3. Teoría de filtración de lechos profundos
9.4. Teoría de filtración sobre superficies
9.5. Filtración de tortas compresibles
9.6. Auxiliares filtrantes
Ejercicios
257
257
263
275
279
307
309
313
CAPÍTULO 10
FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS SUMERGIDOS
10.1. Velocidad Terminal
10.2. Coeficientes de arrastre
Ejercicios
317
319
320
323
CAPÍTULO 11
FLUIDIZACIÓN
11.1. Introducción a la fluidización
11.2. Aplicaciones industriales de la fluidización
11.3. Calidad de la fluidización
11.4. Equipos de fluidización
11.5. Parámetros de diseño y de operación de lechos fluidizados
Ejercicios
325
325
330
333
335
336
343
CAPÍTULO 12
SEDIMENTACIÓN
Sedimentación libre
Sedimentación retardada
Sedimentación floculada
12.1. Análisis de sedimentadores con sedimentación retardada
12.2. Dimensionamiento de espesadores continuos
Ejercicios
345
347
348
349
350
360
376
CAPÍTULO 13
SEPARACIONES GAS-PARTÍCULA
13.1. Separadores gravitatorios
13.2. Separadores centrífugos (ciclones)
Ejercicios
377
381
385
392
CAPÍTULO 14
TRANSPORTE HIDRÁULICO DE SÓLIDOS EN TUBERÍAS
14.1. Introducción
14.2. Modelos para predecir pérdidas de carga
Modelo de Durand
Modelo de Newitt
Ejercicios
395
395
398
398
401
411
Apéndice
413
Capítulo 1: Conceptos generales de fluidos
PREFACIO
Con el propósito de reunir los aspectos más importantes, originalmente con diversas nomenclaturas propias de cada autor, se presenta este
texto que pretende entregar en forma coherente y sencilla los temas más
relevantes del Escurrimiento de Fluidos y sus aplicaciones. Este material ha
sido utilizado en cursos de Mecánica de Fluidos y de Separaciones Fluidopartícula, de la carrera de Ingeniería Civil Química y de Fluidodinámica de
la carrera de Ingeniería en Biotecnología de la Universidad de Santiago de
Chile, USACH, y en programas de Postítulo y cursos cerrados de formación
profesional ofrecidos por el DIQ/USACH.
El autor agradece a los colegas del área de Operaciones Unitarias del
Departamento de Ingeniería Química de la USACH por haberme facilitado
diversos apuntes de clases, en especial al Profesor Rolando Vega. También
se agradece a los alumnos ayudantes de diversas promociones, que han colaborado revisando los ejercicios propuestos.
11
A mi esposa Elizabeth que me incentivó y apoyó incondicionalmente en la preparación de este texto, y a nuestros hijos Esteban,
Alejandro y Daniela.
Capítulo 1: Conceptos generales de fluidos
CAPÍTULO 1
CONCEPTOS GENERALES DE FLUIDOS
1.1.
Concepto de fluido
Previo a la definición del término “fluido”, se aclarará el concepto de
esfuerzo de corte, el cual es fácil de comprender analizando las 3 situaciones
físicas siguientes:
Figura 1.1. Tipos de fuerza ejercida por el peso P.
En la Figura 1.1.a, la cuerda está manteniendo al peso P, el que ejerce una fuerza que tiende a estirar la cuerda. Por otro lado, una tensión es el
cuociente entre una fuerza y el área sobre la cual se ejerce esta fuerza. La
fuerza que trata de estirar la cuerda se llama fuerza de tracción y la tensión
producida se llama tensión de tracción.
En Figura 1.1.b, una columna mantiene un peso P, el que ejerce una
fuerza que tiende a comprimir la columna. Esta clase de fuerza se llama
fuerza compresiva y la fuerza en la columna se llama tensión compresiva.
En Figura 1.1.c, un pegamento mantiene adherido a las paredes el
peso P, el que ejerce una fuerza que tiende a deslizarlo, bajando por las
paredes y así tensiona el pegamento. Esta fuerza, que tiende a deslizar una
15
Escurrimiento de fluidos
USACH
superficie paralela a una superficie adyacente se denomina fuerza de corte y
la tensión en el pegamento, vale decir la fuerza dividida por el área de pegamento se llama tensión de cortadura o esfuerzo de corte (τ). Luego,
(1.1)
Con el propósito de diferenciar fluidos y sólidos, es posible establecer que los sólidos son sustancias que pueden resistir permanentemente
grandes esfuerzos de corte. Al ser sometidos a una fuerza de corte pueden
moverse solamente una pequeña distancia (por deformación elástica) y entonces dejarán de moverse. Si la fuerza de corte es aún más grande se cortarán, es decir se rompen (Figura 1.2).
Figura 1.2. Aplicación de una fuerza de corte sobre un sólido.
Los materiales que son fluidos no pueden resistir permanentemente
una fuerza de corte, no importando cuan pequeña sea ésta. Cuando son sometidos a dichas fuerzas ellos comienzan a moverse y continúan en movimiento mientras se aplica la fuerza (es decir fluyen). Dentro de este contexto
el término fluido es general, incluyendo tanto a líquidos como a gases.
16
Capítulo 1: Conceptos generales de fluidos
1.2.
Propiedades de los fluidos
Entre las propiedades que caracterizan a los fluidos se tiene la densidad, gravedad específica, viscosidad, tensión superficial, presión de vapor,
conductividad térmica, etc. Definiremos a continuación algunas de éstas
propiedades físicas y conceptos fundamentales en mecánica de fluidos:
A) Densidad (ρ): Se define como el cuociente entre masa y volumen.
ρ=
masa
volumen
(1.2)
Existen numerosas técnicas experimentales e instrumentos que permiten evaluar la densidad de gases, líquidos y sólidos, existiendo los densímetros, picnómetros de líquidos y gases. Frecuentemente los textos de mecánica de fluidos y manuales en general, incluyen tablas con valores de densidad para diferentes líquidos y sólidos, referidos a 1 atmósfera y temperatura
de 4 ºC o 20 ºC.
Para el caso de gases, dado que su densidad depende fuertemente
de la presión y temperatura, es práctica común emplear relaciones P-V-T
(ecuaciones de estado) para tal efecto. Si las condiciones de presión no son
severas puede usarse la ecuación de gas ideal:
ρ=
p⋅M
R ⋅T
en que:
p =
M=
T =
R =
presión absoluta
peso molecular
temperatura absoluta
constante de los gases
17
(1.3)
Escurrimiento de fluidos
USACH
Ejemplo 1.1
En un ducto de ventilación circula aire a 20 ºC y P = 1.1 at. ¿Cuál es la densidad del aire?
Solución:
Considerando que el aire se comporta como gas ideal, usaremos la ecuación
de gases ideales, ecuación 1.3. Introduciendo los valores respectivos, se obtiene ρ = 1,33 (kg/m3).
Note que en esta situación, si la presión aumenta al doble, la densidad del
aire también se duplica.
Ejemplo 1.2
Determine la densidad de metano a 50 ºC y 2.5 atmósferas.
Solución:
B) Gravedad específica (G.E.): Gravedad específica se define como el cuociente entre la densidad del fluido y la densidad de un fluido de referencia,
en condiciones establecidas. Vale decir:
(1.4)
Esta definición tiene el mérito de ser una razón, por lo tanto, es un número
puro, sin dimensión. Debe tenerse en cuenta el fluido de referencia y las
condiciones de presión y temperatura de éste. Normalmente el fluido de referencia es agua y la presión de referencia es 1 atmósfera. Como temperatura
de referencia para sólidos y líquidos se utiliza 4 ºC (39 ºF) o 21.1 ºC (70 ºF).
18
Capítulo 1: Conceptos generales de fluidos
Para gases suele utilizarse como fluido de referencia aire a 1 atmósfera, a las
temperaturas ya señaladas.
Algunos procesos industriales utilizan escalas especiales de densidades de fluidos, las que usualmente se refieren como “gravedades”. Algunas
de ellas son: “gravedad API” para aceites y petróleo, “gravedad Brix” para
industria del azúcar y “gravedad Baumé” para ácido sulfúrico. Cada una de
estas escalas es convertible en densidad, existiendo tablas y fórmulas para
este efecto.
C) Viscosidad: La viscosidad es una medida de la resistencia a fluir. Por
ejemplo el agua es menos viscosa que la miel. Una definición más precisa
para viscosidad es posible en términos del siguiente experimento:
Consideremos dos placas largas, separadas por un pequeño film de
líquido. Si se mueve la placa superior en la dirección X con velocidad Vo,
se requerirá una fuerza para vencer la fricción en el fluido entre las placas.
Esta fuerza será diferente para diferentes velocidades, diferentes fluidos y
diferentes separaciones entre placas. Midiendo la fuerza por unidad de área
de la placa se obtiene el esfuerzo de corte (μ).
Figura 1.3. Experimento de la placa deslizante.
19
Escurrimiento de fluidos
USACH
Experimentalmente se ha demostrado que a bajos valores de Vo el
perfil de velocidades en el fluido entre placas es lineal, es decir:
También se ha demostrado experimentalmente que para la mayoría
de los fluidos los resultados de este experimento pueden mostrarse en forma
más conveniente graficando τ vs dV/dy. En la Figura 1.4 se describen los
comportamientos más frecuentes:
Figura 1.4. Comportamiento reológico de diferentes fluidos, en función del esfuerzo de
corte (τ) vs dV/dy.
El comportamiento más común es el representado por la línea recta
que parte del origen, llamada newtoniana porque describe la ley de Newton
de la viscosidad:
τ = −µ
dV
dy
Aquí μ corresponde a la viscosidad o coeficiente de viscosidad.
20
(1.5)
Capítulo 1: Conceptos generales de fluidos
Los gases como el aire, presentan bajos valores de la viscosidad,
quedando la recta μ vs dV/dy muy cerca del eje horizontal. Para fluidos tales como jarabe de maíz el valor de μ es muy grande, pasando la línea recta
cercana al eje τ.
Los fluidos que siguen el comportamiento ya descrito son llamados
fluidos newtonianos. Todos los otros son llamados fluidos no-newtonianos.
¿Qué fluidos son no-newtonianos? Aquellos formados de moléculas o partículas mucho mayores que las moléculas de agua, tales como suspensiones
concentradas y pastas en general.
Dimensiones y unidades de la viscosidad (μ).
Las dimensiones de la viscosidad se pueden deducir de la ley de Newton de
la viscosidad:
Utilizando dimensiones de masa, longitud, tiempo (es decir, un sistema absoluto), tenemos:
En el sistema centímetro-gramo-segundo (CGS), la unidad de viscosidad es
el poise:
21
Escurrimiento de fluidos
USACH
Por comodidad se emplea frecuentemente el centipoise.
1
centipoise = 0.01 poise = 0.001 [kg /(m s)]
Variación de la viscosidad con la temperatura y presión
La variación de la viscosidad con la temperatura es significativa, por lo que
se debe considerar este efecto en el diseño de equipos. La viscosidad de
líquidos disminuye al aumentar la temperatura, mientras que para gases el
efecto es inverso.
El efecto de la presión en la viscosidad de líquidos normalmente es
despreciable. Para gases a presiones elevadas, la viscosidad aumenta con la
presión.
En tablas y nomogramas se dispone de valores de la viscosidad de
líquidos y gases, normalmente referidos a 1 atmósfera. En literatura especializada se dispone de ecuaciones para determinar la viscosidad en función
de la presión.
Fluidos no newtonianos
Existen numerosos fluidos que no siguen el comportamiento newtoniano, tales como suspensiones concentradas y pastas en general. Para estos
fluidos se han propuesto ecuaciones que representan su comportamiento específico en términos de la relación entre esfuerzo de corte (τ) y el gradiente
de velocidad. A continuación se muestran las ecuaciones de dos modelos:
Modelo de Bingham
Toda sustancia que sigue este modelo de dos parámetros se denomina plástico de Bingham; permanece rígida mientras el esfuerzo cortante es menor de
un determinado τo, comportándose como fluido newtoniano para τ > τo.
22
Capítulo 1: Conceptos generales de fluidos
(1.6)
y
(1.7)
Tabla 1.1. Parámetros para fluidos de Bingham (Levenspiel, 1993).
Fluido
Tensión de fluencia, τo
(Pascales)
Ketchup (30 ºC)
Mostaza (30 ºC)
Oleomargarina (30 ºC)
Mayonesa
14
38
51
85
Viscosidad plástica,
(kg/m s)
0.08
0.25
0.72
0.63
Modelo de Ostwald de Waele (o ley de la potencia)
En este modelo, K es el índice de consistencia de flujo y n es el índice
de comportamiento de flujo. Si n<1, entonces el fluido es pseudo plástico,
mientras que si n>1, el fluido es dilatante. En Tabla 1.2. se presentan parámetros para algunos fluidos que siguen la ley de la potencia
(1.8)
23
Escurrimiento de fluidos
USACH
Tabla 1.2. Parámetros de fluidos que siguen la ley de la potencia (Levenspiel,
1993).
Fluido
Compota de manzana (24 ºC)
Papilla de plátanos (24 ºC)
Sangre humana
Sopas y salsas
Jugo de tomate (5.8% de sólidos, 32 ºC)
Jugo de tomate (30% de sólidos, 32 ºC)
Pasta de papel en agua (4%)
Cal en agua (33%)
Carboximetilcelulosa en agua (15%)
n
(-)
0.41
0.46
0.89
0.51
0.59
0.40
0.575
0.171
0.554
K
(kg/ms2-n)
0.66
6.5
0.00384
3.6 - 5.6
0.22
18.7
20.7
7.16
3.13
D) Presión: La fuerza normal que actúa sobre un área plana dividida por el
área es la presión media. Si el área tiende a cero, se habla de presión puntual, la cual es la misma en todas las direcciones (x, y, z). En situaciones de
mecánica de fluidos es frecuente trabajar con escalas de presión absolutas y
escalas relativas como por ejemplo presiones manométricas y presiones de
vacío. Las relaciones entre ellas son directas:
Pmanométrica =
P de vacío
=
P absoluta
-
Patmosférica local
(1.9)
Pabsoluta
(1.10)
Patmosférica local -
En la Figura 1.5 se muestran gráficamente estas relaciones. Debe
observarse que las presiones absolutas siempre serán positivas, no así las
manométricas que podrían ser negativas.
24
Capítulo 1: Conceptos generales de fluidos
Figura 1.5. Escalas de presión (Absoluta y relativas).
Instrumentos para medir presión.
El manómetro Bourdon (Figura 1.6) es uno de los aparatos típicos
que se usan para medir presiones manométricas. El elemento que soporta la
presión es un tubo metálico curvado, cerrado por un extremo, y que por el
otro se conecta al recipiente que contiene el fluido cuya presión va a medirse. Cuando la presión interna aumenta, el tubo tiende a enderezarse, tirando
de un eslabón que actúa sobre la aguja obligándola a moverse. En la esfera
se lee cero cuando en el interior y en el exterior del tubo reina la misma
presión, cualesquiera que sean sus valores particulares. La esfera puede ser
graduada con las unidades que se prefieran, tales como mm de mercurio o
metros de agua. Por su construcción, este manómetro sirve para medir presiones relativas a la presión del medio que rodea al tubo, que suele ser la
presión atmosférica local.
25
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 1.6. Instrumentos de medición. a) manómetro de Bourdon, b) Vista interna del manómetro de Bourdon, c) Calibrador de peso muerto.
El manómetro de Bourdon, por ser un dispositivo de tipo mecánico
debería ser calibrado periódicamente utilizando, por ejemplo, un calibrador
de peso muerto (Figura 1.6.c).
Otros instrumentos para medir presión funcionan en base a diafragmas (Figura 1.7), transductores piezoresistivos, transductores piezoeléctricos, columnas de líquidos manométricos. Estos últimos serán descritos más
adelante.
Figura 1.7. Instrumentos para medir presión en base a diafragmas.
E) Presión de vapor: Los líquidos se evaporan porque las moléculas se escapan de su superficie. Cuando el espacio por encima del líquido está limitado,
las moléculas de vapor ejercen una presión parcial en dicho espacio, llamada
26
Capítulo 1: Conceptos generales de fluidos
presión de vapor. Después de un tiempo suficiente, el número de moléculas
de vapor que chocan contra la superficie del líquido y de nuevo se condensan
es justamente igual al número de las que escapan en un intervalo de tiempo,
existiendo un equilibrio. Como este fenómeno depende únicamente de la actividad molecular, la cual es función de la temperatura, la presión de vapor
de un fluido dado depende de la temperatura y aumenta con ella. Cuando la
presión encima del líquido se iguala a la presión del vapor del líquido, éste
hierve. La ebullición del agua, por ejemplo, puede ocurrir a la temperatura
ambiente si la presión se reduce suficientemente. Así a 20 ºC el agua tiene una
presión de vapor de 2337 (Pa), equivalente a 0.00000176 kgf/cm2.
En algunas situaciones que implican el movimiento de líquidos es
posible que se produzcan presiones muy bajas en determinados sectores del
sistema. Bajo tales circunstancias la presión puede llegar a ser igual o menor
que la presión del vapor. Cuando ocurre esto, el líquido se transforma en
vapor. Este es el fenómeno de cavitación, en el cual se forman bolsas o cavidades de vapor, que normalmente son sacadas de su punto hacia zonas donde
la presión es mayor que la presión del vapor, produciéndose el colapso de
estas cavidades o burbujas. Este crecimiento y decaimiento de las burbujas
de vapor afecta al rendimiento de funcionamiento de las bombas y turbinas
hidráulicas y puede dar como resultado erosiones en las partes metálicas de
la región de cavitación (Ver capítulo 5).
F) Tensión superficial: En la superficie de contacto entre líquido y gas,
parece formarse en el líquido una película o capa especial, debida en apariencia a la atracción de las moléculas del líquido situadas por debajo de
la superficie. Esto se comprueba fácilmente al colocar una pequeña aguja
en la superficie del agua en reposo y observando como es soportada por la
película. Esta propiedad de la película superficial de ejercer una tensión se
llama tensión superficial y es la fuerza necesaria para mantener la unidad de
longitud de la película en equilibrio. La tensión superficial agua/aire dismi-
27
Escurrimiento de fluidos
USACH
nuye desde 72.8 mili Newton/m (0,00745 kgf/cm) a 20 ºC hasta 58.9 mili
Newton/m (0,00596 kgf/m) a 100 ºC.
1.3.
Hidrostática
Un fluido se considera estático si todos los elementos constituyentes
del fluido se encuentran en reposo o se mueven con velocidad uniforme, con
respecto a un sistema de referencia. Esto se cumple cuando existe un equilibrio de las fuerzas que actúan sobre el fluido.
En un fluido en reposo sólo actúan esfuerzos normales (presión) y
necesariamente los esfuerzos de corte (τ) deben ser cero.
Para un fluido en reposo la presión es la misma en todas las direcciones, pero varía con la altura, según la ecuación fundamental de la hidrostática (conocida también como ecuación de Torricelli), es decir:
(1.11)
p = presión
ρ = densidad del fluido
h = altura
g = aceleración de gravedad
De acuerdo con la Figura 1.8, pa = pb = pc, siempre que entre a, b, y c exista
un medio continuo y homogéneo.
Conociendo la presión en la aparte inferior del estanque, se puede evaluar la
presión en h = h1, integrando la ecuación fundamental de la hidrostática:
28
Capítulo 1: Conceptos generales de fluidos
d p = - ρ⋅g⋅dh
Considerando que el fluido es incompresible (ρ = constante) se obtiene:
pa = pd – ρ g h1
(1.12)
Esta última expresión se utiliza para evaluar cambios de presión en
estanques, columnas de líquido, etc.
Figura 1.8. Presiones en un estanque de líquido, de densidad ρ.
29
Escurrimiento de fluidos
USACH
Ejemplo 1.3
Deduzca una expresión que permita evaluar la presión en el fondo de un
tambor (px) que contiene en su parte inferior agua y en la parte superior
aceite:
Solución:
p2 = patmosférica
p1 = p2+ ρaceite· g·h2
px = p1 + ρagua· g·h1
Luego: px = p2 + g [ρaceite· h2 + ρagua · h1]
Ejemplo 1.4
Un manómetro en U consiste en una columna de vidrio curvada, que contiene en su interior un líquido, inmiscible con el fluido del estanque al cual
se conecta. Al respecto, un manómetro en U se encuentra conectado a un
gasómetro que contiene 02. Si la presión atmosférica es de 760 mm de Hg,
determine la presión absoluta y la presión manométrica en el interior del estanque, considerando que el líquido manométrico es mercurio y que la rama
de la derecha está abierta a la atmósfera.
Solución:
p1 = p2; (puntos a igual nivel)
p3 ≠ p4; (están a un mismo nivel, pero entre ellos no existe un medio continuo
y homogéneo)
30
Capítulo 1: Conceptos generales de fluidos
Aplicando la ecuación de la hidrostática a la rama
izquierda y luego a la rama derecha del manómetro:
p1 = pO2 + ρO2 · g · 0.5(m) + ρO2 · g · 0.2(m)
p2 = patmosférica + ρHg · g · 0.5(m) + ρaire · g · 0.2(m)
Igualando estas expresiones:
pO2 = patmosférica + ρHg · g · 0.5(m) + ρaire · g · 0.2(m) – ρO2
· g · 0.5(m) - ρO2 · g · 0.2(m)
pO2 = Patmosférica + g [ρHg · 0.5 + ρaire · 0.2 – ρO2 · 0.7]
pO2 = 760 mmHg + 9.8 m/s2 [13.600 kg/m3 · 0.5 m +
1.1 kg/m3 · 0.2 m – 1.3 kg/m3 · 0.7]
pO2 = 760 mmHg + 66633.2 kg/s2m; pero: 1 kg/s2m =
0.0075 mmHg, luego:
pO2 = 1259.75 [mmHg] (presión absoluta)
Para obtener la presión manométrica se debe restar a
este valor la presión atmosférica local:
pmanométrica de O2 = 499.75 mm Hg
Ejemplo 1.5
Un manómetro Bourdon se encuentra conectado a una tubería por la cual circula agua, según se muestra en la figura. Si el manómetro indica una presión
de 60 psig, ¿Cuál es la presión absoluta en la cañería si en el lugar la presión
atmosférica es de 14 psia (724 mm Hg)?
31
Escurrimiento de fluidos
USACH
Solución:
p1 (manométrica) = 60 psig = 3102.9 mm Hg
p1 (abs) = 60 psi + 14 psia = 74 psia
= 3826.9 mm Hg
p1 = p2 + ρagua· g · 0.61 m
p2 = p1 – ρagua· g · 0.61 = 3826,9 mm Hg –1000 kg/m3 · 9.8 m/s2 · 0.6 m
p2 = 3826,9 mm Hg – 5978 kg/ms2 · 0.0075 mm Hg/(kg/ms2) = 3782 mmHg
p2 = 73.13 psia (absoluta) = 58.4 psi (manométrica)
32
Capítulo 1: Conceptos generales de fluidos
EJERCICIOS
1.1. A nivel del mar se tiene una presión de 14,7 lbf/pulg2 y una temperatura de 20 ºC. Determine la presión atmosférica a alturas de 300;
3.000 y 30.000 m. sobre el nivel del mar, considerando una atmósfera
isotérmica.
1.2. Grafique la viscosidad de aire, agua y ácido sulfúrico al 60%, a una
temperatura de 0; 50 y 75 ºC, a la presión atmosférica. ¿Qué conclusiones deduce de estos resultados?
1.3. Utilizando las propiedades críticas del N2, determine su viscosidad
a 1; 10; 50 y 100 at. y a una temperatura de 293 K.1.4. Determine la
densidad de flujo de cantidad de movimiento (esfuerzo de corte) en estado estacionario, expresado en kgf/m2 y kg/m.s2, cuando la velocidad
V de la lámina superior es de 0,3 m/s. La distancia entre las láminas es
de 0,3 mm. y la viscosidad del fluido es 0,7 c.p.
1.4. Exprese una presión manométrica de 0,6 kgf/cm2, cuando la presión
atmosférica es de 750 mm de Hg, en:
a) metros de columna de agua.
b) psia.
c) kgf/cm2 (abs).
d) Newton/m2 (abs).
e) Kilo-Pascales (abs).
f) torr (abs).
33
Escurrimiento de fluidos
USACH
1.5. El agua que se encuentra en un depósito cerrado está sometida a una
presión manométrica de 0,3 kgf/cm2, ejercida por aire comprimido
introducido en la parte superior del depósito. En la pared lateral del
mismo hay un pequeño orificio, situado 5 m. por debajo del nivel del
agua. Calcular la velocidad con la cual sale el agua por este orificio.
1.6. El tubo de la figura está lleno de aceite. Determine la presión en A y B
en metros de columna de agua.
1.7. Una manera de determinar la densidad de un líquido, ρx, (con densidad
cercana pero menor que la del agua) es el sistema que se muestra en la
figura siguiente:
34
Capítulo 1: Conceptos generales de fluidos
1.8. La pérdida de presión a través del accesorio X se mide utilizando un
manómetro de la forma indicada, con un aceite cuya densidad relativa
es 0,75. El líquido que fluye tiene una densidad relativa de 1,5.
a) Utilizando las medidas que se indican, calcular la diferencia de presión entre las dos conexiones piezométricas en unidades MKS y en
columna de fluido circulante.
b) Determine qué densidad debe tener el líquido manométrico para
que una diferencia de presión de 0,1 atmósferas produzca una diferencia de 100 cm.
35
Capítulo 2: Balances macroscópicos
CAPÍTULO 2
BALANCES MACROSCÓPICOS
2.1.
Ecuación de balance
La expresión general para un balance tiene la forma siguiente:
(2.1)
Esta ecuación de balance puede ser aplicada a cualquier propiedad
extensiva X, entendiéndose por propiedad extensiva aquella que se duplica
al duplicarse la masa del sistema, por ejemplo, energía, entalpía, masa, cantidad de movimiento, etc. También es aplicable a unidades contables: dinero,
personas, árboles, etc.
Al aplicar la ecuación de balance deben especificarse claramente los límites
del sistema sobre el cual se aplica el balance. Los tipos de sistema son:
•
•
•
Un sistema abierto, aquel cuyos límites permiten la entrada y salida de
energía y masa.
Un sistema cerrado, aquel cuyos límites sólo permiten la entrada y salida
de energía.
Un sistema aislado, aquel que no permite el intercambio de energía ni de
masa.
Si se elige como sistema alguna región arbitraria del espacio en la
cual puedan existir flujos de entrada y/o salida, entonces este sistema será el
volumen de control.
37
Escurrimiento de fluidos
USACH
La ecuación de balance no es aplicable a unidades incontables ni a propiedades
intensivas (temperaturas, presión, viscosidad, dureza, color, densidad, etc.).
2.2.
Balance de masa
Como ya se señaló, a la masa, propiedad extensiva, se le puede apli-
car la ecuación de balance. Los términos de creación y destrucción de masa
son cero, por lo que el balance de masa será:
(2.2)
La ecuación de balance de masa se conoce también con los nombres
de: ecuación de conservación de masa, ecuación de continuidad o principio
de continuidad.
Si el término de acumulación de masa se hace despreciable, se habla
de balance de masa en estado estacionario. En este caso se obtiene:
{Flujo másico de entrada} = {Flujo másico de salida}
(2.3)
Esta expresión se conoce como ecuación de continuidad en estado estacionario.
38
Capítulo 2: Balances macroscópicos
Ejemplo 2.1
Por una tubería circula agua en estado estacionario. En un sector de la tubería de diámetro 0,1 m la velocidad es de 3 m/seg. Si luego el diámetro de la
tubería aumenta a 0,2 m, determine la nueva velocidad del agua.
ρagua = 1000 (kg/m3)
V1 = 3 (m/s)
D1 = 0.1 (m)
D2 = 0.2 (m)
V2 = ¿?
Solución:
El sistema será el fluido comprendido entre 1 y 2.
Flujo másico = w1 = ρ1 (kg/m3) · A1 (m2) · V1 (m/s)
Pero, de acuerdo con el balance de masa:
w1 = w2 = ρ2 A2 V2, de aquí:
Note que:
w1 = w2 = ρ1 A1 V1 = ρ2 A2 V2
Si el fluido es un líquido como en este caso (fluido incompresible):
D 
V2 = V1  1 
 D2 
2
Ejemplo 2.2
Un estanque cilíndrico de diámetro 3 m posee una tubería de entrada de diámetro 10 cm y una tubería de salida de diámetro 15 cm. En la primera entra
39
Escurrimiento de fluidos
USACH
agua a una velocidad de 3 (m/seg) y en la segunda sale agua a una velocidad
de 1 (m/seg) ¿El nivel de agua en el estanque sube o baja?
Esta situación corresponde a un balance de masa en estado no estacionario.
D1 = 0.1 m
V1 = 3 m/s
D2 = 0.2 m
V2 = 1 m/s
Dado que el fluido es incompresible ⇒ ρ ρ= =ρ1ρ=
ρ2ρ 2
1 =
El valor positivo de dv/dt nos indica que el nivel del estanque sube.
Ejemplo 2.3
Se desea saber en cuánto tiempo se llenará el estanque del problema anterior,
considerando que cuando se abren las válvulas de entrada y salida contiene
5 m3 de agua. La altura del estanque es de 2 metros.
Solución:
El planteamiento del problema es similar al anterior, vale decir:
40
; luego
Capítulo 2: Balances macroscópicos
vinicial = 5 m3, para t = 0
vfinal = (π/4) D2 L = (π/4) · 32 · 2 = 14.137 m3
vfinal - vinicial = 0.00589 · t ⇒ t t==1551.3(s)
1551.3 ( s )==25.9
25 .9(min)
(min)
Ejemplo 2.4
El estanque de la figura contiene aire que puede ser considerado como un
gas ideal. La bomba de vacío está extrayendo aire del estanque. Durante el
proceso los serpentines mantienen la temperatura constante en el interior del
estanque en 70 ºF. El flujo volumétrico de salida de aire es de 1 pie3/min,
independiente de la presión. ¿Cuánto tiempo emplea la bomba en disminuir
la presión desde 1 atm a 0.001 atm?
Solución:
El estanque es el sistema en estudio:
Pi = 1 at
Pf = 0.001 at
Qsalida = 1 (pie3/min)
La ecuación general es:
= wentrada – wsalida
;
pero: wentrada = 0
41
Escurrimiento de fluidos
= – wsalida
USACH
;
wsalida = Q · ρ
d ( ρ v)
= −–QQ⋅ ρ
· ρ ; ;v = cons
v = constante
tan te
dt
2.3.
Balance de energía
Un sistema puede poseer diversas clases de energía: interna, cinética,
potencial, electrostática, magnética, etc. Definiremos las tres primeras por
ser las más importantes en el flujo de fluidos:
•
•
•
Energía interna (U). Es una propiedad intrínseca del fluido. El sistema
a estudiar estará integrado por moléculas orientadas según una geometría particular, en el caso de sólidos, o bien siguiendo un movimiento
errático en el de los fluidos.
Energía potencial (Φ). Se debe a la posición del fluido con respecto a
un plano de referencia arbitrario.
Energía cinética (K). Está asociada al movimiento del fluido.
Para estas dos últimas existen expresiones que permiten su evaluación. El sistema a considerar será abierto, siendo el sistema el fluido que
pasa por el circuito general mostrado a continuación:
42
Capítulo 2: Balances macroscópicos
Figura 2.1. Circuito sobre el cual se realizará el balance de energía.
Consideremos que el sistema puede almacenar energía interna, potencial y cinética y que pueden existir además energía “en tránsito” como
calor (Q) y trabajo (W).
Usaremos la siguiente nomenclatura:
Energía
(Energía/tiempo)
(Energía/masa)
û
Energía interna
U
u
ˆ
Energía potencial
Φ φ φ
k̂
Energía cinética
K
k
Aceptaremos además la siguiente convención de signos:
Figura 2.2. Convención de signos.
43
Escurrimiento de fluidos
USACH
En el sistema elegido puede entrar o salir cualquiera de los tipos acumulables de energía (interna, potencial, cinética), al igual que las energías en
tránsito (calor y trabajo). Usando la ecuación general de balance, aplicada al
sistema señalado en Figura 2.1, se obtiene:
(2.4)
En este balance no se han considerado términos de “generación” o de
“destrucción” de energía, ya que normalmente no se producen en situaciones
corrientes de escurrimiento de fluidos.
A continuación, plantearemos expresiones para cada uno de los términos
que aparecen en la ecuación de balance, y luego los introduciremos en ella:
φˆ = g⋅Z
g = aceleración de gravedad
Z = altura respecto a un nivel de referencia
û = (energía interna/masa)
k̂ = ½ ⋅V2/α (energía cinética/masa)
V = velocidad media en la tubería
α = parámetro de corrección de la energía cinética. Se evalúa con Figura 2.3
para fluidos newtonianos.
Con respecto al término de trabajo, en un sistema como el mostrado
en Figura 2.1 existen dos formas de trabajo:
a) Un trabajo que debe realizarse para que la masa de fluido entre y
salga del sistema. Se le llama trabajo de flujo. En unidades de energía/masa, el trabajo de flujo = p/ρ.
b) Un trabajo relacionado con partes móviles (bomba, compresor, turbina, etc.). Se denomina W en unidades de energía/tiempo y se llama
W cuando está en unidades de energía/masa.
44
Capítulo 2: Balances macroscópicos
Figura 2.3. Factor de corrección de energía cinética (α) vs Reynolds (Adaptado de Hicks T.
Pump, selection and application, 1957).
Para fluidos no-newtonianos que siguen la ecuación 2.5, α puede ser
evaluado con expresión 2.6, válida en régimen laminar.
(2.5)
(2.6)
Introduciendo cada uno de los términos en la expresión general de
balance de energía, para un fluido incompresible, se obtiene:
(2.7)
Si el en sistema no hay acumulación de masa, podemos considerar
w1 = w2 = w. Además si consideramos que el balance se realiza en estado
estacionario, el término de acumulación de energía será cero. Luego, dividiendo por w, se obtiene:
(2.8)
45
Escurrimiento de fluidos
USACH
Reordenando esta expresión y multiplicando por -1 se llega a:
(2.9)
(2.10)
Introduciendo las expresiones para la energía cinética y potencial:
(2.11)
Reescribiendo esta ecuación se obtiene:
(2.12)
En la mayoría de las aplicaciones de interés práctico es posible considerar α = 1 [Régimen turbulento].
De acuerdo con lo especificado anteriormente, el significado de cada
uno de estos términos es:
p/ρ = energía de flujo por unidad de masa del fluido
gZ = representa la energía potencial sobre un nivel de referencia por unidad
de masa del fluido.
1V2
= energía cinética por unidad de masa del fluido.
2 α
= es el trabajo realizado por el fluido o el trabajo realizado sobre el fluido.
Es distinto al trabajo entregado por los equipos mecánicos, aunque se relacionan a través de la eficiencia de las unidades mecánicas.
46
Capítulo 2: Balances macroscópicos
(∆ uˆ − Qˆ ) = corresponde a las pérdidas por fricción al ir el fluido desde 1 a 2.
Llamaremos a (∆ uˆ − Qˆ ) = Eˆ v
Siempre se cumplirá que Ê v > 0 (de lo contrario significaría que es
posible enfriar un fluido mediante fricción).
De acuerdo con esto, la ecuación de balance de energía será:
(2.13)
(2.14)
Pero p/ρ = v̂ p ; siendo v̂ = volumen específico
(2.15)
Por definición: entalpía: Hˆ = uˆ + pvˆ
Luego: ∆Hˆ = ∆ uˆ + ∆( pvˆ)
(2.16)
Introduciendo el término de entalpía en la ecuación de balance:
(2.17)
Esta ecuación es de gran utilidad para evaluar cambios energéticos
en sistemas en que la temperatura varía considerablemente. Se conoce como
balance de energía total.
47
Escurrimiento de fluidos
USACH
EJERCICIOS
2.1. Un estanque de agua tiene una tubería de entrada de 30 cm. de diámetro y dos tuberías de salida de 15 cm. y 10 cm., respectivamente. La
velocidad en la tubería de entrada es 1,5 m/s y en la salida de 15 cm. de
diámetro es 2 m/s. La masa del estanque aumenta a razón de 23,6 kg/s.
¿Cuál es la velocidad, el flujo volumétrico y el flujo másico en la tubería
de 10 cm.? ¿Si esta tubería se cierra cuál será la variación de la masa del
estanque en el tiempo?
2.2. Gas Metano (M=16 kg/kgmol) circula por una cañería en estado estacionario a 25 ºC. En la sección (1) de la cañería, la velocidad es 2,2
(m/s) y la presión es 1,2 (at). ¿En qué proporción se debe disminuir
el diámetro de la cañería para que en el punto (2) la velocidad del gas
aumente a 8,8 (m/s), considerando que la presión en esa sección es de
1,1 (atm)? [Solución: D1/D2 = 1.9]
48
Capítulo 2: Balances macroscópicos
2.3. Dos estanques de grandes dimensiones conteniendo agua se encuentran conectados con una tubería. El estanque A tiene una presión sobre
el agua de 1,2 (at), mientras que el estanque B se encuentra abierto a
la atmósfera. ¿Es posible que físicamente se dé esta situación? Justifíquelo.
49
Capítulo 3: Flujo de fluidos
CAPÍTULO 3
FLUJO DE FLUIDOS
3.1.
Naturaleza del flujo de fluidos
Antes de iniciar las aplicaciones de los balances de masa y energía
al flujo de fluidos, es fundamental considerar algunos aspectos del comportamiento de los fluidos.
En 1883, Osborne Reynolds (1842-1912), un físico británico, concluyó que a bajas velocidades de agua, esta fluía en láminas o capas paralelas. En efecto, Reynolds en 1883 realizó el siguiente experimento: conectó
un depósito de agua a un tubo de vidrio horizontal. En el extremo por donde
ingresa la corriente de agua instaló una boquilla por la que se inyecta agua
coloreada, tal como se esquematiza en la Figura 3.1.
A bajas velocidades, a lo largo del tubo permanece el filamento de
tinta, ya que las partículas de tinta difunden lentamente y no tienen tiempo
de diseminarse. A este flujo se le llama “laminar”. Reynolds probó disminuir
y aumentar la viscosidad del fluido, calentando y enfriando el agua respectivamente. El experimento mostró que en todos los casos existe una velocidad crítica que varía en proporción directa con la viscosidad del flujo. Al
aumentar la velocidad del agua encontró que a una velocidad determinada,
velocidad crítica, desaparecía el chorro coloreado y la masa global de fluido
se coloreaba uniformemente, concluyendo que sobre la velocidad crítica las
partículas dejan de moverse en forma ordenada y paralela, moviéndose en
forma caótica, mezclándose completamente.
51
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 3.1. Experimento de Reynolds.
Reynolds determinó que la velocidad crítica dependía del diámetro del tubo
y de las propiedades físicas del fluido: densidad (ρ) y viscosidad (µ). Posteriormente, se concluyó que estos parámetros se pueden agrupar en un número adimensional, número de Reynolds, Re, definido de la forma siguiente:
(3.1)
ρ = densidad del fluido.
μ = viscosidad del fluido.
V = velocidad media del fluido.
L = longitud que caracteriza al ducto. Para tuberías circulares L = D (diámetro).
Experimentalmente se determinó que para el flujo en el interior de
tuberías, cuando Re ≤ 2100 el flujo es laminar y que cuando Re > 4000, el
régimen de flujo es turbulento. En la zona comprendida entre 2100 y 4000
el flujo puede ser laminar o turbulento, dependiendo de las características
superficiales de la tubería, llamándose esta zona de régimen de transición.
En régimen laminar es posible describir totalmente el comportamiento del
fluido en el interior de ductos, a partir de ecuaciones teóricas. Por ejemplo,
para un fluido newtoniano, se ha demostrado que el perfil de velocidades en
52
Capítulo 3: Flujo de fluidos
el interior de un ducto circular es parabólico, con la velocidad máxima en
el centro del ducto, cuando el flujo esta establecido (sin perturbaciones). La
expresión para el perfil de velocidades en esta situación es:
(3.2)
en que:
= velocidad puntual o local para cualquier r
v
v máx = velocidad en el centro del ducto
r
R
= posición dentro del ducto (radial)
= radio del ducto
En problemas de escurrimiento de fluidos, normalmente interesa conocer la velocidad media del fluido, V. Esta puede evaluarse utilizando la
definición de velocidad media:
(3.3)
Al introducir en esta definición general de velocidad media, el perfil
para régimen laminar de un fluido newtoniano e integrar, se obtiene:
(3.4)
Por otro lado, existen instrumentos que permiten medir la velocidad
puntual o local v máx
en función del radio. Si este instrumento, por ejemplo un
tubo de Pitot, se coloca en el centro del ducto y el régimen es laminar, es
posible conocer la velocidad media usando la expresión V = v máx /2.
Dado que en general, en régimen turbulento no es posible describir teóricamente el comportamiento del fluido, se han establecido relacio-
53
Escurrimiento de fluidos
USACH
nes empíricas, observándose que en régimen altamente turbulento V/ v máx
~ 0.81. En la Figura 4.6 se presenta un gráfico que relaciona el cuociente
V/ v máx con el número de Reynolds.
3.2.
Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, en situaciones
que la fricción es despreciable
En la sección 2.3. se obtuvo la ecuación de Bernoulli, expresión que
corresponde a un balance de energía mecánica en estado estacionario:
(2.13)
Considerando que en algunas aplicaciones el término de pérdidas por
fricción (Êv) es pequeño frente a los otros términos, se obtiene una expresión
simplificada de la ecuación 2.13:
(3.5)
Esta última expresión es aplicable sólo en algunas situaciones particulares:
Ejemplo 3.1
Un estanque se encuentra lleno de agua y abierto en el tope. Posee un pequeño orificio cerca del fondo, cuyo diámetro es pequeño comparado con el diámetro del estanque, ¿Cuál es la velocidad del agua a la salida del orificio?
Solución:
Aplicaremos el balance de energía mecánica (Bernoulli) entre la superficie
del estanque (Punto 1) y el fluido que sale por el orificio (Punto 2).
54
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Debe observarse que las presiones Consideraciones:
absolutas siempre serán positivas, no
así las manométricas que podrían ser a. v1 = 0 (Velocidad de descenso del
negativas.
agua en el estanque).
b. P1 = P2 Presión atmosférica.
c. Fricción despreciable
∧
⇒
Ev
≈0
∧
d. No hay trabajo externo ⇒ W = 0
e. El flujo es estacionario, es decir el
nivel del agua no baja.
f. Z2 = 0 (nivel de referencia).
g. α2 =1
Luego:
Simplificando:
Introduciendo valores numéricos:
Nota: Si se consideran las pérdidas por fricción debido a la expansión, dada
por ÊV = K · ν2/2, con K=1, se obtiene:
Este último valor es más cercano a la realidad.
55
Escurrimiento de fluidos
USACH
Ejemplo 3.2
El mismo estanque del ejemplo anterior se encuentra ahora sumergido en
otro estanque de mayor diámetro, que contiene gasolina. (G.E. = 0,72) ¿Cuál
será el valor de la velocidad de salida del agua?
Solución:
Datos: ρH20 = 1000(kg/m3); ρgasolina = 720(kg/m3)
•
•
De acuerdo con lo visto en
hidrostática ⇒ p1 = p1* .
Punto 2 se encuentra ubicado a
la salida del estanque de agua.
p1 = p0 + ρgasolina · g · x
p2 = p1 + ρgasolina · g · h
•
•
Nótese que p 2 ≠ p 2* , ya que
*
si p 2 = p 2 , no se produciría
la descarga de agua. Además
p 2* > p 2 .
Z2 = 0 (nivel de referencia)
Aplicando un balance de energía mecánica (Bernoulli) entre 1* y 2
(el sistema es el agua) se obtiene:
56
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Introduciendo los valores numéricos:
v2 = 2,34(m/s)
Nota: Si se evalúan las pérdidas por fricción debido a la expansión, con la
expresión ÊV = K · ν2/2, con K=1, se obtiene:
Este último valor es razonable, ya que la pérdida por expansión reduce la
energía disponible para la salida del agua.
Ejemplo 3.3
En la figura que se entrega a continuación, se muestran dos estanques conectados a través de una tubería. ¿El agua circula de A a B o a la inversa?
Solución:
En esta situación debe escribirse la ecuación de Bernoulli con todos sus
términos:
Debe suponerse una dirección de flujo y aplicar Bernoulli en esa dirección. Si el valor que se obtiene para ÊV es positivo, la dirección del flujo
supuesto es correcta, en caso contrario, la dirección será opuesta.
57
Escurrimiento de fluidos
USACH
Supondremos flujo de 1 a 2:
Luego:
∧
–101,318 (m2/s2) + 9,8 (m/s2) · 8(m) = – EV = 22,9 ( m 2 s 2 )
∧
2 2 2
EV == 22,9(m
22,9 ( m2/s
s) )
Dado que ÊV > 0, la dirección de flujo supuesta es correcta y el fluido
va desde el estanque A al B.
Ejemplo 3.4
Un flujo volumétrico de 0,25(m3/s) de agua circula a través de una turbina.
¿Cuál es la potencia entregada por el fluido a la turbina, si a la entrada el
diámetro es de 30(cm) y la presión de 2,5(atm), mientras que en la salida el
diámetro es de 60(cm)y la presión de 0,8(atm)?
58
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Solución:
Cálculos de las velocidades:
Aplicando un balance de energía mecánica (Bernoulli) entre los puntos 1 y 2:
(m )
Nivel de referencia: z 22 == 0 ⇒ z11 = 11(m)
Introduciendo estos valores en Bernoulli:
Pero: Potencia = Ŵ · w = Ŵ · Q · ρ
Potencia = 187,9(m2/s2) · 0,25(m3/s) · 1000(kg/m3)
Potencia =
59
Escurrimiento de fluidos
USACH
Ejemplo 3.5
Una bomba centrífuga se utiliza para elevar petróleo Nº 6, desde un depósito subterráneo hasta un estanque ubicado sobre la bomba. Manómetros
ubicados a la entrada y salida de la bomba señalan presiones de –10(psig) y
20(psig), respectivamente. Si los diámetros de succión y descarga son iguales y el flujo volumétrico transportado es de 300(l/min), ¿Cuál es la potencia
que entrega la bomba al fluido?
Solución:
ρpetróleo = 910(kg/m3)
patmosférica = 14,696(psi)
pabs 1 = (14,696 – 10)(psi) = 4,696(psi)
pabs 1 = 4,696(psi) = 0,32(atm)
pabs 2 = (14,696 + 20)(psi) = 34,696(psi)
pabs 2 = 34,696(psi) = 2,36(atm)
Aplicando Bernoulli entre la entrada y salida de la bomba se obtiene:
Se ha considerado despreciable la diferencia de altura entre succión
y descarga de la bomba. Luego:
60
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Luego: 227,13(m2/s2) = −Ŵ
Ŵ = – 227,13(m2/s2)
Potencia =
Potencia =
Nota 1:
El signo negativo indica que la energía es entregada por la bomba al fluido.
En el ejemplo 3.4 la potencia era positiva ya que la energía la suministraba
el fluido a la turbina.
Nota 2:
La potencia así calculada corresponde a la energía requerida por el fluido.
La potencia “consumida” por el grupo moto-bomba debe ser mayor, a fin de
compensar las diferentes pérdidas que se producen: fricción del fluido en el
interior de la bomba, roce de las partes mecánicas de la bomba, flujo circulatorio, etc. Estas pérdidas se consideran en la eficiencia o rendimiento del
grupo moto-bomba, definido como:
La eficiencia es un parámetro característico de cada bomba, es función del caudal y debería ser entregado por el fabricante del grupo motobomba. Valores corrientes de eficiencia oscilan entre 0,55 y 0,75.
Ejemplo 3.6
Freón 12 circula en estado estacionario a través de una válvula reductora de
presión. A la entrada de la válvula de presión es de 100(psia) y la tempera-
61
Escurrimiento de fluidos
USACH
tura de 100 ºF. Si la presión a la salida de la válvula es de 20(psia). ¿Cuál es
la temperatura a la salida de la válvula?
Solución:
El balance de energía mecánica (Bernoulli) entre los puntos 1 y 2 es:
∧

Considerando sistema adiabático  Q = 0  , flujo horizontal y despre

ciando la variación de energía cinética, se obtiene:
∧
∧
H1 = H 2
Desde un diagrama presión v/s entalpía para Freón 12, se obtiene:
∧
(100ººF,
( psia )) ==888,5(Btu/lb)
H 1 (100
F ,100
100(psia))
,5(Btu lb )
Pero, por lo anterior:
∧
(T2, 2020(psia))
( psia )) = 888,5(Btu/lb)
H 2 (T
,5(Btu lb )
Del mismo diagrama citado se obtiene que la temperatura es aproximadamente 75 ºF.
62
Capítulo 3: Flujo de fluidos
3.3.
Definición de factor de fricción
Para evaluar el término de pérdidas por fricción (Êv) que aparece en
la ecuación de Bernoulli, es necesario definir y luego evaluar factores de fricción. Se considerará el flujo estacionario de un fluido incompresible (ρ = cte.)
que circula por un ducto recto de sección uniforme. El fluido ejerce sobre la
superficie interna del ducto una fuerza F, que puede descomponerse en dos:
Fs y Fk, definidas de la siguiente forma:
Fs = fuerza estática. Es la fuerza que ejerce el fluido, aunque esté en reposo.
Fk = fuerza dinámica. Es la fuerza relacionada con el comportamiento cinético del fluido. Tiene la misma dirección que la velocidad media V en el
ducto.
El valor de la fuerza Fk puede expresarse como el producto entre un área
característica A, una energía cinética característica por unidad de volumen
K y un número adimensional f, denominado factor de fricción:
FK = A · K · f (3.6)
Esta expresión no es una ley de mecánica de fluidos, sino una definición de
f. Es evidente, que para un determinado sistema de flujo, f no está definido
mientras no se especifiquen A y K. Esta definición es general, válida incluso
para la situación en que un fluido circula alrededor de un objeto sumergido.
Para el flujo en ductos A corresponde a la superficie mojada y K representa la energía cinética por unidad de volumen, dada por ½ ·ρ · V2. Para
tubos circulares de radio R y longitud L, f está definido por:
FK = (2πRL) · (½ · ρ · V2) · f 63
(3.7)
Escurrimiento de fluidos
USACH
Dado que generalmente lo que se mide no es FK sino que la caída de
presión y la diferencia de altura, se buscará una expresión para FK aplicando
un balance de fuerzas al fluido que circula por la tubería mostrada en la Figura 3.2, entre 1 y 2:
Figura 3.2. Esquema para la aplicación de fuerzas.
En estado estacionario se tiene que:
π R2 · p1 – π R2 · p2 – FK – π R2 · L · ρ · g · senα = 0
Pero: sen α =
(3.8)
(3.9)
(3.10)
Z 2 − Z1
L
π R2 · p1 – π R2 · p2 – FK – π R2 · ρ · g · (Z2– Z1) = 0
(3.11)
FK = π R2 · [(p1 – p2) – ρ · g · (Z2– Z1)]
(3.12)
64
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Utilizando el concepto de potencial fluido-dinámico: P = p + ρ · g · Z,
se obtiene:
FK = π R2 (–ΔP) (3.13)
Reemplazando esta última expresión en la definición de factor de
fricción, se obtiene:
(3.14)
Despejando f:
(3.15)
Este factor así definido, se denomina factor de fricción de Fanning. En
algunos textos de mecánica de fluidos en vez de utilizar el factor de Fanning,
definen un factor f* que equivale a 4f, denominado factor de Darcy.
Un análisis del factor de fricción muestra que éste depende de características, tanto del fluido como del sistema de escurrimiento.
Planteando un balance de energía mecánica al sistema mostrado en
Figura 3.2, se obtiene:
(3.16)
Introduciendo la definición de potencial fluido-dinámico:
(3.17)
Reemplazando (–ΔP/ρ) por Êv, en la definición de factor de fricción,
se obtiene:
(3.18)
65
Escurrimiento de fluidos
USACH
Esta última expresión es de gran utilidad ya que permite evaluar las
pérdidas por fricción, Êv, si se conoce el valor de f. Si se utiliza el factor de
Darcy (f*), entonces:
(3.19)
La técnica de análisis dimensional, en unión con lo observado experimentalmente, permite establecer de cuántos y cuáles grupos adimensionales
depende cualquier parámetro de naturaleza física. Para el factor de fricción
se encontró que f = f(Re, L/D, ε/D), donde ε es la rugosidad del material,
definida como el promedio de altura de las irregularidades de la superficie
del material del ducto.
En los sistemas de flujo, habitualmente se considera que ε es un parámetro constante. Sin embargo, en ductos de grandes longitudes (L >> 1000),
pequeñas variaciones en ε debido a corrosión y/o depósito de incrustaciones
a lo largo del tiempo, pueden afectar significativamente los requerimientos
de potencia para una determinada exigencia de flujo, por su efecto en el
factor de fricción.
ε/D se conoce con el nombre de rugosidad relativa. En el apéndice
se muestra un gráfico de ε/D vs D para diferentes materiales de ductos.
Para ductos en que L/D >> 1 (como generalmente ocurre en las situaciones
prácticas), entonces el factor de fricción se hace independiente de L/D,
luego: f = f (Re, ε/D). Valores experimentales de f vs Re para diversos tipos de materiales y por ende diferentes ε/D, fueron graficados por Moody
en un gráfico que lleva su nombre, obteniéndose resultados satisfactorios
(Figura 3.3).
66
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Figura 3.3. Gráfico de Moody. Factor de fricción de Fanning, f, versus rugosidad relativa, ε/D.
Con respecto a este gráfico hay que señalar que aparece una recta
para f (independiente de la rugosidad relativa) para la zona de flujo laminar.
La ecuación de f en esta zona es:
f = 16/Re
(3.20)
Pasada una cierta zona de número de Reynolds, las curvas se hacen
paralelas al eje de Reynolds, independizándose de éste, dependiendo sólo de
ε/D. Se habla entonces de régimen altamente turbulento.
Para las zonas de transición y de régimen turbulento, en la literatura
se encuentran varias ecuaciones, que ajustan en diferentes rangos de Reynolds y condiciones de ε/D, los factores de fricción del gráfico de Moody. En
general, a medida que se complican estas ecuaciones, aumenta la exactitud
de sus predicciones.
67
Escurrimiento de fluidos
USACH
Una de las ecuaciones más sencillas indica que:
(3.21)
la cual tiene un error máximo de 0,75% para Re > 30000 y ε/D > 0,004.
Una ecuación más general es la ecuación de Shacham (Ecuación
3.22), la que presenta un error máximo de 1%, respecto a las curvas del gráfico de Moody. Esta ecuación es válida para Re > 4000 y 0.005 < 4f < 0.08
3.4.
(3.22)
Descripción de cañerías, válvulas y accesorios
Las tuberías pueden fabricarse con cualquier material de construcción disponible, dependiendo de las propiedades corrosivas del fluido que se
maneja, su temperatura y presión. Entre los materiales se incluyen aceros,
cobre, polímeros, vidrio, concreto, etc. Sin embargo, los materiales de tubería más comunes en la industria son el acero (varias calidades), el cobre y el
bronce, seleccionándose el más adecuado de acuerdo con la aplicación específica y los costos involucrados. Dado que los tubos se fabrican de diversos
diámetros y espesores de pared, existe una normalización establecida por la
American Standards Associations (ASA), la que establece las características
de las dimensiones de los tubos.
En el caso específico de los tubos de acero (común o comercial), se
ha establecido que el tamaño de los tubos y de las conexiones asociadas se
realice en función del diámetro nominal y del espesor de pared. Por lo tanto,
el diámetro nominal no corresponde para los tubos de acero, ni al diámetro
68
Capítulo 3: Flujo de fluidos
exterior ni interior de los tubos. El espesor de pared se expresa por el número
de cédula, el cual es un cociente entre la presión interna y la tensión permisible (# cédula ∼ 1000 ∙ presión interna/tensión permisible). Se utilizan diez
números de cédula, a saber: 10, 20, 30, 40, 60, 80, 100, 140 y 160. El espesor
de pared aumenta con el número de cédula. Para tubos de acero comercial,
la cédula 40 corresponde al tubo “normal”, para emplear en aplicaciones sin
mayores exigencias.
En las instalaciones es imprescindible el uso de diversas conexiones para
trasladar el fluido de un sector a otro. Una conexión cumple el papel de:
a) Juntar dos tuberías [coplas, unión americana]
b) Cambiar la dirección de la tubería [codos]
c) Cambiar la sección de flujo [reducciones]
d) Terminar la tubería [tapones]
e) Unir o diversificar una corriente [tees, cruces e yes]
f) Control de flujo [válvulas]
Figura 3.4. Conexiones.
69
Escurrimiento de fluidos
USACH
Las válvulas son conexiones que cumplen diversas funciones en un
circuito de escurrimiento de fluidos. Las válvulas se utilizan para regular el
flujo o bien cerrar el paso completamente. Entre las válvulas de mayor uso
se tienen las de compuerta, de globo y en los últimos años, la de bola.
La válvula de compuerta consiste en un disco que se desliza perpendicularmente al flujo. Su uso principal es para sellar o detener el flujo en
forma rápida, ya que pequeñas variaciones en la altura del disco se traducen
en grandes cambios en el área disponible al flujo. La válvula de bola, ampliamente utilizada tanto a nivel doméstico como industrial, sirve para los
mismos fines que la válvula de compuerta. Su principal característica es que
cuando está 100% abierta, prácticamente no produce ninguna obstrucción al
paso del fluido.
La válvula de globo por su diseño es más adecuada para regular el
paso de fluido. En esta válvula, el fluido pasa a través de una abertura cuya
área se controla mediante un disco colocado en forma casi paralela a la dirección del flujo.
Figura 3.5. Válvulas. a) Compuerta, b y c) Bola.
70
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Figura 3.6. Válvula de globo: 1- Disco que interrumpe el paso del fluido. 2- Eje o husillo
(conduce y fija el obturador). 3- Asiento: Sector de la válvula donde se realiza el cierre con
el disco. 4- Empaquetadura del eje. 5- Juntas de cierre. 6- Cuerpo de la válvula. 7- Extremos de la válvula que permiten la conexión a la tubería. 8- Pernos de unión. 9- Manilla de
accionamiento.
3.5.
Evaluación de pérdidas en válvulas y accesorios
Las pérdidas por fricción, provocadas por conexiones (válvulas y
accesorios) pueden ser determinadas inicialmente en forma experimental,
para obtener un valor característico para cada conexión en particular. A continuación se describe el procedimiento para determinar la pérdida provocada
por una válvula.
Figura 3.7. Esquema de un sistema para determinar experimentalmente pérdidas en una
válvula.
71
Escurrimiento de fluidos
USACH
De acuerdo con lo presentado en la sección anterior, las pérdidas en
los tramos de cañería recta están dados por:
(3.23)
(3.24)
Si D1 = D2, entonces V1= V2 y f1 = f2, luego:
(3.25)
(3.26)
ÊV total se obtiene al aplicar Bernouilli entre 1 y 4:
(3.27)
Las presiones p4 y p1 se leen en los manómetros ubicados en 1 y 4.
Luego, las pérdidas por fricción en la válvula quedan expresadas por:
(3.28)
De esta forma es posible evaluar, experimentalmente, las pérdidas
provocadas por cada uno de los accesorios utilizados en las diferentes instalaciones de redes de flujo de fluidos.
Los valores de ÊV de conexiones, obtenidos experimentalmente, pueden ser presentados en dos formas:
72
Capítulo 3: Flujo de fluidos
a) Método del coeficiente de resistencia, K
En este método las pérdidas son presentadas en función de un parámetro K,
característico de cada accesorio, el cual se considera constante, independiente del régimen de flujo. Entonces:
(3.29)
El método del coeficiente de resistencia K, se utiliza también para
evaluar las pérdidas por expansiones o contracciones producidas al cambiar
de diámetro una tubería o en entradas y salidas de estanques. En este caso, la
velocidad V corresponde a la velocidad en la sección de menor área.
b) Método de longitud equivalente
En este método se caracteriza la fricción de un accesorio por una longitud
de tubería ficticia, la que produciría la misma fricción que el accesorio. La
fricción provocada por esta longitud de tubería ficticia se evalúa como ya se
presento anteriormente, es decir:
(3.30)
Aunque el término (L/D) es adimensional, es costumbre denominarlo longitud equivalente.
73
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 3.8. Equipo para determinar pérdidas en accesorios (LOPU/DIQ/USACH).
3.6.
Aplicaciones que involucran la evaluación de factores de
fricción
Una vez que se han planteado las ecuaciones válidas para un determinado sistema de flujo, los problemas pueden ser resueltos en forma
directa (tipo 1), o se requerirá iterar (tipo 2), aunque esta iteración puede ser
obviada si se utilizan los llamados gráficos de Von Kárman. Finalmente, si
no se puede evitar la iteración, se tiene un problema tipo 3. La tabla siguiente
muestra esta clasificación:
Tipo de problema
Datos
Incógnita
1
D, ε, μ, ρ, Q
Êv, ó Ŵ, ó potencia
2
D, ε, μ, ρ, Êv
Q, ó w, ó V
3
ε, μ, ρ, Q, Êv
D
Problemas tipo 1: La solución de este tipo de problema es directa, no se
requiere iterar, como se muestra en el siguiente ejemplo.
74
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Ejemplo 3.7
Dos estanques de agua son conectados mediante 200(m)de cañería de 3" de
acero comercial tipo 40. Deben transportarse 12,5(l/s) desde uno a otro estanque. Los niveles en los estanques son los mismos y ambos están abiertos
a la atmósfera. En las pérdidas deben incluirse un codo de 90º, una válvula
de globo totalmente abierta, una expansión y una contracción. ¿Cuál es la
potencia de la bomba requerida?
Solución:
Aplicando un balance de energía mecánica (Bernoulli) entre 1 y 2:
Considerando que:
p2= p1 = presión atmosférica
z2= z1
v2= v1 = 0
75
Escurrimiento de fluidos
USACH
Se obtiene que:
∧
∧
W = − EV
∧
Determinar el trabajo, W y luego la potencia de la bomba, debe evaluarse en primer lugar el término de pérdidas por fricción, ÊV:
De las tablas del apéndice se obtienen los siguientes valores:
(L/D)válvula = 340; (L/D)codo = 30; Kexpansión = 1,0; Kcontracción = 0,5
ρagua = 1000(kg/m3)
μagua = 1(cp) = 0,001(kg/m · s)
di = 3,068(pulg) = 0,078(m); ε/D = 0,0006
Para evaluar el factor de fricción f ó f * = 4 f, debe evaluarse previamente el número de Reynolds:
76
; Pero:
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Luego: Re = 2,04 ·105 del gráfico de Moody se lee f = 0,0049
Introduciendo estos valores en (*) se obtiene:
Entonces:
Potencia =
Potencia = –202(m2/s2) · 0,0125(m3/s) · 1000(kg/3)
Potencia =
Potencia = 3,4(hp)
Problemas tipo 2: En este tipo de problema, en que se conocen las pérdidas
por fricción, pero se desconoce la velocidad del fluido, la solución al problema se obtiene mediante una iteración. Esta última puede evitarse si se utiliza
el gráfico de Von Kárman, en el cual se representa (4 f)-0,5 v/s Re · (4 f)0,5,
donde:
(A)
(B)
El parámetro Re · (4 f)0,5 se conoce como el número de Kárman y
puede evaluarse sin conocer v. Con este gráfico se evita la iteración que
sería necesaria si se emplea el gráfico de Moody. El procedimiento es el
siguiente:
77
Escurrimiento de fluidos
USACH
De la ecuación (B) se calcula Re · (4 f)-0,5, con ε/D se lee 1
de Von Kárman y de la ecuación (A) se despeja v.
4 f en el gráfico
Ejemplo 3.8
Petróleo a 70 ºF es transportado desde un lugar A al otro B, a través de
4000(ft) de tubería de diámetro interno de 6" y ε = 0,0002(ft). El punto B
está ubicado a 50,5(ft)sobre el punto A y la presión en A y B son de 123(psi)
y 48,6(psi) respectivamente. ¿Cuál es el flujo volumétrico, Q, del petróleo?
Solución:
Datos:
(μ/ρ) = υ = 4,12 · 10-5 (ft2/s)
ρ = 854(kg/m3) = 53,3(lb/ft3)
di = 6(in) = 0,5(ft)
ε/D = 0,0004
Aplicando Bernoulli entre (1) y (2):
78
(*)
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Considerando que:
v1 = v2
z1 = 0; z2 = 50,5(ft)
Reemplazando estos valores en (*):
4f · v2 = 1,211
Una forma de resolver esta ecuación sería suponerse un valor de f,
calcular v y con esta velocidad comprobar el valor de f supuesto, previo cálculo de Re. Otra forma de resolver es utilizar el método de Von Kárman:
Leyendo en el gráfico de Von Kárman, con ε/D = 0,0004 se obtiene
que 1 4 f = 7 , pero:
Problemas tipo 3: Como se muestra en el ejemplo 3.9, en este tipo de problemas, es inevitable la iteración.
79
Escurrimiento de fluidos
USACH
Ejemplo 3.9
Debe transportarse agua desde un estanque abierto a la atmósfera a través
de 200(ft) de longitud equivalente (cañería recta más codos, expansión y
contracción), para ser descargada a la atmósfera en un punto 12(ft) sobre el
estanque. ¿Cuál es el diámetro mínimo de cañería requerido para asegurar
un flujo de 200(gal/min), si la bomba es de 2(hp), con una eficiencia de
60,7%?
Solución:
Aplicando un balance de energía mecánica entre 1 y 2:
Reemplazando valores:
80
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Pero:
Luego:
(*)
Como puede observarse, la ecuación (*) debe resolverse en forma
iterativa: supondremos un diámetro, calcularemos Re, se leerá f y se comprobará la igualdad en la ecuación (*). A continuación se muestran algunos
valores de las iteraciones:
Dno min al
di (ft)
Re
ε/D
4f
Igualdad en (*)
2"
0,1723
3 · 105
0,0009
0,021
4284
3"
0,256
2 · 105
0,0006
0,019
520,9
3½"
0,296
1,8 · 105
0,0005
0,0185
242
El valor del diámetro que “hace cumplir” la igualdad en (*) está entre
valores de diámetro interno de 0,256(ft) y 0,296(ft), vale decir entre diámetros nominales de 3" y 3½". Dado que no existen cañerías entre 3" y 3½" se
seleccionará la tubería de 3½" para la instalación propuesta.
81
Escurrimiento de fluidos
3.7.
USACH
Evaluación de pérdidas en ductos no circulares
Cuando la sección del ducto no es circular, o cuando el fluido no
llena totalmente la tubería, se debe utilizar un parámetro empírico, que se ha
verificado entrega buenas predicciones cuando el régimen es turbulento. Es
llamado radio hidráulico, RH. Este RH debe relacionarse con el diámetro de
un ducto circular, a fin de emplear las fórmulas habituales de ductos efectivamente circulares. Para este fin se calculará el RH de un ducto circular,
obteniéndose:
Esto último es lo que se emplea como diámetro equivalente, Deq, es decir:
Deq = 4 ∙ RH.
Luego, una vez calculado Deq, el problema se resuelve igual que
como si fuera un ducto circular, reemplazando en las ecuaciones que se requiera el diámetro del ducto D por Deq.
Ejemplo 3.10
Determine el diámetro equivalente de un canal de regadío, abierto a la atmósfera, con una geometría y dimensiones señaladas en la figura:
82
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Solución:
Ejemplo 3.11
Vapor saturado circula por el ducto anular de un intercambiador de calor
concéntrico. Determine el Deq, que se empleará para evaluar la caída de presión del fluido que circula por la sección anular.
83
Escurrimiento de fluidos
3.8.
USACH
Diámetro óptimo económico (DOE)
Con las ecuaciones anteriormente planteadas (balances de masa y
energía), es posible resolver numerosas situaciones de flujo de fluidos, aunque en aplicaciones de diseño se requiere una ecuación o información adicional. Por ejemplo, consideremos la necesidad de especificar el diámetro de
la tubería (D), junto con la potencia de la bomba necesaria para transportar
un flujo Q de agua desde un estanque a otro, según muestra la Figura 3.9:
Figura 3.9. Transporte de agua desde un estanque a otro.
Para esta situación, al plantear Bernoulli entre 1 y 2, se observa que
la potencia de la bomba requerida depende del diámetro de la tubería, existiendo infinitas soluciones. A medida que se disminuye D, aumenta el consumo de energía (potencia de “bombeo”), para un mismo flujo Q:
84
Capítulo 3: Flujo de fluidos
En situaciones de este tipo la elección del diámetro se decide por alguna de
las consideraciones siguientes:
a) Stock en bodega de cañerías de un determinado tamaño.
b) Consideraciones de espacio disponible para el paso de la tubería.
c) Consideraciones económicas.
En esta última consideración, los costos a tomar en cuenta son:
i) Costos de energía para el transporte del fluido.
ii) Costos de mantención de bomba, tubería y conexiones.
iii) Costos de inversión e instalación de bomba y tubería.
Al disponer de ecuaciones para cada uno de estos costos, el diámetro
óptimo económico (DOE) corresponde al diámetro que se obtiene al derivar
la expresión de costos totales, con respecto al diámetro de la tubería, despejándose de la ecuación resultante el diámetro:
Si bien es cierto en algunos textos se presentan expresiones analíticas para cada uno de estos costos, el procedimiento aceptado es trabajar
con valores de DOE recomendados, en función del caudal y densidad del
fluido.
85
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 3.10. Diámetro económico en función del flujo volumétrico y de la densidad del
fluido, válido para tuberías de acero comercial, cédula 40 (Adaptado de Perry y Chilton,
Manual del Ingeniero Químico,1973).
86
Capítulo 3: Flujo de fluidos
En vez de trabajar con el concepto de diámetro económico, se puede
emplear el concepto de velocidad económica, Veco, dada la relación entre
ambos términos:
En la tabla siguiente se entregan algunos valores de velocidad económica en función de la densidad del fluido:
Tabla 3.1. Velocidades económicas en función de la densidad del fluido.
Veco (m/s)
1.7
1.9
3.1
6.0
11.9
24.0
ρ (kg/m3)
1600
800
160
16
1.6
0.16
Ejemplo 3.12
Se desea transportar 200(gal/min) de agua a 60 ºF, a través de una tubería de
acero comercial tipo 40 de 5000(ft) de longitud. ¿Qué diámetro de tubería
especifica? ¿Cuál es la potencia que debería entregar la bomba al fluido?
Solución:
Q = 200(gal/min) = 0,446(ft3/s)
ρH2O = 62,4(lb/ft3)
μH2O = 7,4 · 10-4(lb/ft · s)
87
Escurrimiento de fluidos
USACH
Aplicando Bernoulli entre 1 y 2:
De la Figura 3.8 con Q = 200(gpm) y ρ = 62,4(lb/ft3) se lee:
di = 3,5"
ε/D = 0,0006, usando gráfico de Moody ⇒ f ==0,0047
0,0047
Introduciendo valores se obtiene ÊV = 7169(ft2/s2)
∧
(
2 2 2
Luego W == –7169(ft
−7169 ft2/s
)s
3.9.
)
Situaciones complejas
En esta sección se presentarán, a través de ejemplos, diversas situaciones que involucran la utilización del balance de energía mecánica (Bernoulli).
88
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Ejemplo 3.13
En la figura se muestra un sifón por el cual circula agua. La cañería tiene un
diámetro interno de 3(cm) y su longitud es de 16 m. Los codos instalados
son estándar de 90º. La rugosidad relativa puede considerarse en 0,0005.
Suponiendo que el nivel del estanque permanece constante y que la temperatura del agua es de 20 ºC, ¿Cuál es el flujo volumétrico Q, que circula por
la tubería?
Solución:
Q=?
di = 0,03(m)
L = 15(m)
ε/D = 0,0005
f = ≈0,35
0047
Kcontracción = 0,78 ⇒ L/D
f = ≈0,45,6
0047
Kexp ansión = 1,0 ⇒ L/D
Aplicando un balance de energía mecánica entre (1) y (2) se obtiene:
Considerando:
p2 = p1 =1(atm)
,0047
z2 = 0 ⇒ zf1 = 01,25(m)
v1 = 0
89
Escurrimiento de fluidos
USACH
Introduciendo los valores en el balance de energía se obtiene:
Dado que f es función de v2, esta última ecuación debe resolverse en
forma iterativa: Suponerse un f → calcular v2 → calcular Re y verificar el
valor supuesto de f.
Considerando régimen turbulento ⇒ ff==0,00425,
0,00425con este valor se ob4
tiene v2 = 1,46(m/s) y Re = 4,4 · 10 . Del gráfico de Moody se lee f = 0,006.
Con este nuevo valor de f se obtiene v2 = 1,19(m/s) y Re = 3,6 · 104.
Del gráfico de Moody se obtiene f = 0,006, el cual coincide con el valor supuesto. Para este valor:
Ejemplo 3.14
Un depósito cilíndrico de 1(m) de diámetro y 4(m) de altura está lleno de
agua a 20 ºC. El fondo del depósito está conectado a un tubo de 1,5" y 5" de
longitud, a través del cual se vacía. ¿Cuál es el tiempo que tarda en descender 1(m) el nivel del agua en el depósito?
90
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Solución:
p1 = p2 = 1(atm)
v1 = 0
; (Incluye el Kcontracción= 0,6(m))
Dado que el nivel del estanque disminuye, disminuye también la presión a la entrada del tubo de descarga, por lo que la velocidad del agua a
través del tubo varía en función del tiempo.
Considerando un punto del depósito a una altura h, al descender el
nivel dh en el tiempo dt, el caudal estará dado por:
(1)
En este instante, a través del tubo de sección A2, circulará el mismo
caudal:
Q = A2 · v2
(2)
Tomando como nivel de referencia z2 = 0 y aplicando un balance de
energía mecánica (Bernoulli) entre (1) y (2), se obtiene:
91
Escurrimiento de fluidos
USACH
z1 = h = variable
(3)
Igualando (1) y (2), habiendo introducido v2 en (2), se obtiene:
(*)
Para integrar la ecuación * supondremos un valor promedio de f,
entre las condiciones iniciales y finales:
h = Tiempo de descarga del estanque.
El valor de finicial debe evaluarse en forma iterativa, vale decir: Suponerse una vinicial → Calcular Re → Leer f y calcular v2 de la ecuación (3). Si
v2 calculado coincide con el supuesto, se tendrá el ffinal.
Para el valor de ffinal, el procedimiento iterativo es similar, solo que en
la ecuación (3) el valor de h será menor en 1(m) con respecto al considerado
en el cálculo de finicial.
Con la rutina de cálculo señalada se obtiene 4 finicial = 0,0212 y 4 ffinal =
0,021:
∴ 4 fpromedio
0,0211
promedio==0,0211
Con este valor se obtiene que el tiempo de descarga es de 91(s).
92
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Ejemplo 3.15
Por una tubería de 25(cm) de diámetro interno se transporta petróleo a lo
largo de una longitud total de 30(km), con un caudal de 1000(m3/día). Con el
objeto de aumentar el caudal, conservando las mismas presiones de entrada
y salida, se conecta a la tubería primitiva, 5(km) antes del lugar de descarga,
otra tubería del mismo diámetro y paralela a la primitiva. Si en las condiciones de transporte la densidad del petróleo es 920(kg/m3) y su viscosidad es
de 5(poises), ¿Cuál es el aumento de caudal?
Solución:
Calcularemos la fricción en la tubería antes de hacer la conexión adicional:
Una vez realizada la conexión, dado que se conservan las presiones
de entrada y salida, “la carga de fricción total ha de ser la misma” que en la
situación original.
93
Escurrimiento de fluidos
USACH
La fricción antes de hacer la conexión será:
En que v1 es la nueva velocidad en la tubería, en el tramo 1-2.
Si v2 es la velocidad en el tramo final de 5(km), en cualquiera de las 2 tuberías, la fracción en este tramo será:
Por otro lado, el caudal antes de la ramificación ha de ser igual a la
suma de los caudales a lo largo de las tuberías paralelas, es decir:
Luego:
Pero:
Despejando se obtiene v1 =0,276 (m/s) y el caudal será 1171(m3/día).
En consecuencia se logra aumentar en un 17,1% al transporte de petróleo.
Nota: En tuberías en paralelo las pérdidas de energía mecánica (fricción)
son las mismas en cualquiera de las ramas, y no son acumulativas.
94
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Ejemplo 3.16
Como se muestra en la figura, desde un recipiente, fluye agua a través de una
cañería a un punto de bifurcación, desde donde circula a otros recipientes
mediante cañerías separadas. Las cañerías son de acero comercial, catálogo
40. Calcular el flujo en (gal/min) de agua que llega a cada recipiente, suponiendo flujo estacionario.
Solución:
Sección 1 = 2000', cañería de 6"
Sección 2 = 2000', cañería de 3"
Sección 3 = 1000', cañería de 4"
Para grandes líneas, el término cinético en la ecuación de energía
mecánica (Bernoulli) se puede despreciar (comprobando al final su efecto),
y las presiones manométricas en las superficies libres son cero. Por lo tanto,
las expresiones para la ecuación de Bernoulli, para las tres secciones de tubería son:
95
Escurrimiento de fluidos
USACH
(1)
(2)
(3)
Sumando las ecuaciones (1) y (2) y luego las ecuaciones (1) y (3) se
obtienen:
(4)
(5)
Por otro lado, de un balance de masa se obtiene que:
v1 = v2 ·(D2/D1)2 + v3 ·(D3/D1)2
(6)
Despejando v2 de la ecuación (4) y v3 de la ecuación (5) se obtiene:
(7)
(8)
Para evaluar los factores de fricción se puede emplear el gráfico de
Moody, o bien alguna correlación empírica, como la de Shacham:
96
Capítulo 3: Flujo de fluidos
En el siguiente diagrama de bloques se presenta un esquema de resolución para evaluar Q1, Q2 y Q3. Los valores iniciales necesarios (v2; v3),
pueden estimarse empleando el concepto de diámetro óptimo económico
(DOE).
Los valores finales son:
Q1 = 285(gal/min)
Q2 = 60(gal/min)
Q3 = 225(gal/min)
97
Escurrimiento de fluidos
USACH
Diagrama de bloques para resolver ejemplo 3.10
98
Capítulo 3: Flujo de fluidos
3.10. Fluidos no newtonianos
Para fluidos no newtonianos sigue siendo válida la ecuación 2.13
(Ecuación de Bernoulli), con la salvedad de que α debe ser evaluado con
la expresión correspondiente. Para fluidos que siguen la ley de la potencia
(o modelo de Ostwald de Waele), se dispone de la ecuación 2.6, válida en
régimen laminar:
(2.6)
Si el régimen de flujo es turbulento, se considera α = 1.
El factor de fricción, f, necesario para evaluar Êv, debe leerse de figuras de f vs Reynolds. Por ejemplo, para fluidos cuyo comportamiento se
puede representar por la ley de la potencia, debe usarse la Figura 3.11. Para
fluidos que siguen el comportamiento de Bingham (ec. 1.6) se debe utilizar
la Figura 3.12, la cual lleva como parámetro el número adimensional de
Hedstrom (He).
99
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 3.11. Gráfico de f vs Re’, para líquidos que siguen la ley de la potencia
(Adaptado de Levenspiel, Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor, 1993).
Si el fluido sigue el comportamiento de Bingham, entonces debe
usarse la Figura 3.12:
Figura 3.12. Gráfico de f vs Re’, para líquidos de Bingham [
[
],
] (Adaptado de Levenspiel, Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor, 1993).
100
Capítulo 3: Flujo de fluidos
Ejemplo 3.17
En la figura se muestra un sistema de tuberías, a través del cual se transporta, desde un estanque cocedor de diámetro 0,5(m) compota de manzana
hasta el sector de envases, la que sigue la ley de la potencia (n = 0,4; K =
0,6(kg/m · s2-n)). Determine el tiempo que demora disminuir desde un nivel
inicial de 1(m) a un nivel final de 0,1(m). La longitud de la tubería de acero inoxidable es de 2,75(m) y su diámetro interno es de 25 (mm). El codo
indicado es de radio largo. La rugosidad del acero es ε = 0,001(mm).
Considerando la ecuación de Bernoulli:
Igualando los caudales de (1) y (2) tenemos:
101
Escurrimiento de fluidos
USACH
Reemplazando el factor de fricción en la ecuación de Bernoulli se tiene:
Ordenando y despejando en función de v2 se tiene:
Para Regen se tiene que:
FINAL
INICIAL
Iterando:
f =gen0,=00425
Si v2 = 1(m/s) ⇒ Re
1168 ⇒
f =gen0,=00425
Si v2 = 2,4(m/s) ⇒ Re
4740
f =gen0,=00425
Si v2 = 3,2(m/s) ⇒ Re
7510
f =gen0,=00425
Si v2 = 2,5(m/s) ⇒ Re
5060
Si v2 = 0,5(m/s)
Si v2 = 0,9(m/s)
Si v2 = 1,5(m/s)
Si v2 = 1,9(m/s)
⇒
⇒
⇒
⇒
0,00425= 0,0137 ⇒ vf2==1,89(m/s)
0,00425
f ==16/1168
⇒ f = 0,0054
0,00425⇒ vf2 == 3,2(m/s)
0,00425
⇒ f ==0,0046
0,00425⇒ vf2 == 2,6(m/s)
0,00425
⇒ f ==0,0050
0,00425⇒ vf2 == 2,56(m/s)
0,00425
f =gen0,=00425
0,00425⇒ vf2 == 0,94(m/s)
0,00425
Re
385 ⇒ f ==0,0415
f =gen0,=00425
0,00425
⇒ vf2 == 1,38(m/s)
0,00425
Re
986,8 ⇒ f ==0,016
f =gen0,=00425
0,00425
⇒ vf2 == 1,82(m/s)
0,00425
Re
2235 ⇒ f ==0,007
f =gen0,=00425
0,00425⇒ vf2 == 1,9(m/s)
0,00425
Re
3262 ⇒ f ==0,0060
;
Por otro lado, de un balance de masa (continuidad):
102
Capítulo 3: Flujo de fluidos
103
Escurrimiento de fluidos
USACH
EJERCICIOS
3.1. Determinar la potencia entregada por la bomba que descarga 28 lt/s
de agua en el sistema mostrado en la figura. Las pérdidas del sistema
son equivalentes a 10 · v2/2 y el diámetro interior de la cañería es de
15 cm.
3.2. Un líquido circula con flujo estacionario, a través de una tubería de 3"
de diámetro interno. La densidad es 1050 kg/m3 y la viscosidad de 2
cp. Empleando un tubo de Pitot, se obtuvieron los siguientes valores
de velocidades puntuales:
V(m/s )
(Pulg.)
-------------------------2,28
0
2,26
0,15
2,23
0,30
2,18
0,45
2,14
0,60
2,09
0,75
2,01
0,90
1,89
1,05
1,77
1,20
1,53
1,35
1,11
1,425
0,00
1,59
Calcular:
a) V empleando el gráfico V/Vmáx
vs Re máx.
b) α empleando gráfico α vs Re.
c) V empleando la definición e
integrando numéricamente.
d) α empleando la definición e
integrando numéricamente.
104
Capítulo 3: Flujo de fluidos
3.3. Para transportar aceite desde un depósito A a otro B con un caudal de
200 lt/min., es necesario instalar un grupo motobomba, cuya potencia
se desea determinar. La tubería es de 3" de diámetro y las pérdidas
a lo largo del sistema son de 3,5 kgf · m/kg. El nivel del aceite en el
depósito B se mantiene 12 m. por encima del nivel del estanque A. En
las condiciones de transporte, la densidad del aceite es de 840 kg/m3.
Obtenga la potencia de la bomba y compare sus resultados al realizar
balances entre:
a) 1 – 4.
b) 2 – 3.
c) 2 – 4.
3.4. Un motor suministra 20 HP a una bomba por la que circula agua a
razón de 500 gal/min. 25% de la potencia se consume elevando la
energía interna del agua y para vencer el roce en las partes mecánicas
de la bomba. El diámetro de la cañería de entrada a la bomba es de 6"
y el de descarga de la bomba es de 4". Ambas tuberías están a la misma
altura. Calcular el aumento de presión del agua.
105
Escurrimiento de fluidos
USACH
3.5. Circulan 3600 ton/h de agua desde un estanque, elevado a una turbina
ubicada a menor nivel, a través de un conducto circular de diámetro
uniforme. En un punto del conducto ubicado a 300 pies sobre la turbina la presión es 30 psia. A 10 pies bajo la turbina la presión es 18
psia. La potencia de la turbina a la salida del eje es de 1000 Hp. Si la
eficiencia de la turbina es de 90%,
a) Calcule las pérdidas por fricción en el conducto.
b) Si no se produce transferencia de calor al ambiente, ¿En cuánto
podría subir la temperatura del agua?
3.6. En el sistema de la figura circula agua. Calcular la potencia entregada
por la bomba si el caudal es de 80 lt/s. El diámetro de succión es de 6"
y el de descarga es de 4". Considere despreciables las pérdidas.
3.7. A través de una cañería horizontal de acero comercial, tipo 40 de D.N.
10", circulan 2 m3/min. de agua a 20 ºC. La cañería de 20 m. de longitud tiene además un codo standard de 90º, una válvula de retención
(“check”), una válvula de compuerta (“gate”) y una válvula de globo
(“globe”), todas totalmente abiertas ¿Cuál es la caída de presión?
3.8. En la figura se muestra un sifón, el cual es utilizado para extraer agua
desde un estanque. El sifón está construido con cañería de 10" y su
106
Capítulo 3: Flujo de fluidos
longitud total es de 18 metros. Cuando el agua se encuentra en su
mínimo nivel, calcule:
a) El flujo.
b) La presión en el punto A.
La curvatura del tope del sifón es equivalente a dos codos de 90º
standard.
3.9. Dos grandes recipientes de agua están conectados por una cañería de
acero comercial de 8 pulgadas de diámetro nominal y 5000 pies de
largo. El nivel de uno de los recipientes está 200 pies por sobre el nivel
del otro, ambos abiertos a la atmósfera. ¿Cuál es el flujo de agua que
circula?
3.10. Se desea transportar 100 gal/min. de agua, desde un lago a un estanque
ubicado a una altura de 100 metros. La longitud de la cañería debe ser
de 400 m. y contar con 10 codos de 90º y 2 válvulas de compuerta. La
temperatura media es de 15 ºC.
a) Determine el diámetro óptimo económico.
b) ¿Cuál es la potencia de la bomba en HP?
c) ¿Qué sucede con sus respuestas a) y b) si el caudal a transportar
aumenta al doble?
107
Escurrimiento de fluidos
USACH
3.11. Para concentrar una solución de NaCl, ésta se bombea desde un
depósito hacia un evaporador, a través de una tubería lisa de P.V.C. de
diámetro interno 3 cm, a razón de 8 m3/h. A la temperatura de bombeo,
la solución tiene una densidad de 1150 kg/m3 y una viscosidad de 2,3,
cp. Si el trayecto a recorrer es de 350 m, ¿Cuál es la potencia de la
bomba requerida?
3.12. Se retira agua de un depósito y se bombea una longitud equivalente
de 2 millas, a través de un ducto horizontal, circular, de concreto de
10 pulgadas de diámetro interno. Al final de este ducto el flujo se divide en 2 cañerías de acero comercial, cédula 40, una de 4" (D.N.)
y otra de 3" (D.N.). La línea de 4" tiene una longitud equivalente de
200 pies y se eleva hasta un punto a 50 pies sobre la superficie del
agua del depósito, donde el flujo se descarga a la atmósfera. Este flujo
debe mantenerse en 100 gal/min. La línea de 3" (horizontal) descarga
también a la atmósfera en un punto a 700 pies, desde la bifurcación
y al nivel del agua en el depósito. Determinar los HP entregados a la
bomba, la que tiene una eficiencia de 70%.
3.13. Una bomba de 5 C.V. con una eficiencia de 70% toma amoniaco al
20%, desde un depósito y lo transporta a lo largo de una tubería de
100 m. de longitud total, hasta el lugar de descarga situado a 15 m.
por encima del lugar de succión. Determine el diámetro de tubería a
emplear si el caudal que circula es de 10 m3/h.
3.14. Debe bombearse una pasta de dientes (no-newtoniana), a través de
una tubería de acero inoxidable de 50 mm d.i., desde la máquina de
mezclado de los ingredientes hasta la máquina de llenado de los tubos
de pasta. La longitud equivalente de la línea, incluyendo las pérdidas
en codos, uniones, entrada y salida, es 10 m y la velocidad media del
flujo es de 1 m/s.
108
Capítulo 3: Flujo de fluidos
a) ¿Qué diferencia de presión (en at.) dará este caudal?
b) ¿Que tamaño de motor hará el trabajo para una eficacia de la moto
bomba de un 30%?
3.15. Como se muestra en la figura, desde un recipiente fluye agua a través
de una cañería a un punto de bifurcación, desde donde fluye a otros
recipientes mediante cañerías separadas. Las cañerías son de acero
comercial, tipo 40. Calcule el flujo en (gal/min) de agua que llega a
cada recipiente, suponiendo flujo estacionario.
Sección 1 = 2000', cañería de 3"
Sección 2 = 2000', cañería de 3"
Sección 3 = 1000', cañería de 3"
109
Capítulo 4: Medidores de flujo
CAPÍTULO 4
MEDIDORES DE FLUJO
Para cuantificar el flujo de fluidos existen métodos directos e indirectos. En los primeros se determina el peso o volumen de fluido, que pasa a través de una sección en un determinado tiempo, registrado con un cronómetro.
En los métodos indirectos, se determina la altura, la diferencia de presiones
o de velocidades en varios puntos de una sección, calculándose el flujo con
esta información. Adicionalmente, existen métodos basados en conceptos
físicos de electrónica, electromagnetismo, óptica, ultrasonido, entre otros.
La medición puede obedecer a distintos fines: información, control
automatizado de un proceso, registro de variaciones de caudal en el tiempo,
etc. Para estos efectos existen en el mercado una variedad de dispositivos
cuyo funcionamiento obedece a distintos principios. Cada uno de ellos tiene
una serie de ventajas y limitaciones, que lo hacen más o menos recomendable
para una aplicación determinada, en función del fin que se persiga y del medio en el cual se utilizará (gas, líquido, fluido corrosivo o no, sólidos, etc.).
A continuación se dará una breve descripción de medidores que funcionan en base a principios electrónicos, magnéticos, radioactivos, etc. Al
final, se describirán instrumentos que funcionan en base a principios hidrodinámicos, indicándose además sus ecuaciones de diseño.
A) Anemómetro de hilo caliente: Este medidor se utiliza para determinar
velocidades puntuales o locales, en ductos por los que circulan gases. El sensor es un hilo de platino (a veces revestido en cuarzo), que es calentado por
una corriente eléctrica. La resistencia eléctrica del hilo es función de su temperatura. El flujo de gas alrededor del hilo caliente lo enfría y de este modo
varía su resistencia eléctrica. Dejando constante la tensión o la intensidad de
111
Escurrimiento de fluidos
USACH
la corriente en el hilo mediante un circuito conveniente, la variación en la
intensidad o tensión, respectivamente, son función de la velocidad del flujo
gaseoso que rodea al hilo caliente. Este hilo debe ser calibrado previamente,
colocándolo en una corriente gaseosa de velocidad conocida.
B) Medidores electromagnéticos: Estos se basan en la ley de Faraday, según la cual, cuando un conductor eléctrico se mueve dentro de un campo
magnético, se induce en él una fuerza electromotriz que es proporcional a
su velocidad. Un medidor electromagnético consiste esencialmente en un
carrete de tubería de material no magnético, que lleva adosado una serie de
bobinas las cuales, una vez conectadas a un circuito eléctrico, crean un campo magnético transversal al tubo. Al atravesar este campo el fluido, hace el
papel del conductor eléctrico; la fuerza electromotriz inducida en el fluido,
cuyo valor es proporcional a la velocidad media del flujo, es detectada por
dos sensores instalados en paredes opuestas al tubo. Un circuito electrónico
auxiliar recibe las señales de los sensores y, después de procesar esta información determina la velocidad o caudal que está circulando.
Figura 4.1. Medidor electromagnético.
112
Capítulo 4: Medidores de flujo
La gran ventaja de este medidor es que no presenta ninguna obstrucción al
paso del fluido, e incluso su pared interna se puede recubrir con revestimientos adecuados, para evita el ataque de fluidos corrosivos. Puede ser utilizado
para la medición de fluidos pastosos. La principal desventaja es su alto precio, que es en función del diámetro de la tubería.
C) Medición radioactiva: La medición radioactiva se puede emplear en
conducciones abiertas o cerradas. El método consiste en inyectar, en un punto del circuito, un trazador radioactivo y contar el tiempo que transcurre,
hasta ser detectado por un contador Geiger, situado aguas abajo del anterior. Conocida la distancia entre ambos puntos, se determina la velocidad
del fluido. Este método tiene el inconveniente, además del derivado de las
precauciones que hay que observar en el manejo del material radioactivo, de
que no se tiene una medición continua, sino únicamente la correspondiente
al momento de introducir el trazador.
D) Medición por ultrasonidos: Existen distintos dispositivos que se basan
en el efecto Doppler o en la recepción de ecos. En ambos métodos se utiliza
un elemento emisor, que envía impulsos de ultrasonido a través del fluido
en distintas direcciones. Los impulsos que viajan en el mismo sentido que el
fluido, lo hacen a mayor velocidad que aquellos otros que viajan en sentido
contrario. Una serie de sensores recogen estos impulsos y un circuito electrónico auxiliar procesa la información, calculando el tiempo transcurrido
entre la emisión y la recepción del impulso. Como las distancias entre el
emisor y los sensores son fijos y conocidos, se puede obtener la velocidad a
la que viajó el impulso que, a su vez, es función de la velocidad del fluido.
E) Medición por impacto: La medición se efectúa introduciendo en el seno
del fluido a medir una paleta, que se desplaza en la dirección de la corriente.
La fuerza que ejerce el fluido en movimiento sobre esta paleta será proporcional al caudal que circula. Aunque este dispositivo se puede emplear con
113
Escurrimiento de fluidos
USACH
cualquier fluido, su utilización está en general limitada a la medición de líquidos extremadamente viscosos o de alto punto de fusión: pastas, asfaltos,
resinas, azufre fundido, etc.
Figura 4.2. Medidor de impacto.
F) Anemómetro de aire: En este medidor, como se muestra en Figura 4.3,
las aspas actúan sobre contadores que indican el número de revoluciones, las
que se relacionan con la velocidad del gas.
Figura 4.3. Anemómetro de aire.
G) Medidores de desplazamiento positivo (volumétricos): Estos medidores constan de émbolos o tabiques, que son desplazados por la corriente fluida y de un mecanismo contador, que registra el número de desplazamientos
en una unidad conveniente, como litros o metro cúbicos. Un medidor volumétrico es el utilizado en la mayoría de sistemas domésticos de distribución
de agua. El caudal se obtiene determinando con un cronómetro el tiempo
que tarda en pasar un volumen dado de fluido.
114
Capítulo 4: Medidores de flujo
H) Medidor de turbina: El principio de funcionamiento del medidor de
turbina es similar al del anemómetro de aire, con la diferencia de que se
hacen impermeables y se colocan en el interior de una tubería, para medir
caudales de fluidos. El núcleo del rodete puede contener un magneto, que al
girar el rotor, produce un campo magnético variable. El campo se detecta en
una bobina eléctrica que va montada en la armadura externa de la unidad.
La frecuencia de los impulsos magnéticos indican el caudal en un equipo de
lectura. Debido a que la construcción y control de estos medidores es complicado, estos medidores son de elevado precio, aunque su gran exactitud los
hace recomendables en operaciones automatizadas.
I) Medición por producción de torbellinos: Cuando un fluido en movimiento se encuentra en su camino con un obstáculo, las líneas de flujo intentan seguir el contorno de éste. Cuando el cuerpo no tiene un contorno aerodinámico,
el fluido no se puede adaptar a su forma y, entonces, se crean torbellinos aguas
abajo del cuerpo en la zona de menor presión. Estos torbellinos se desprenden
alternativamente de ambos lados; la frecuencia con que se desprenden de un
lado u otro resulta ser proporcional a la velocidad del fluido. La velocidad en
ambos lados del obstáculo nunca es la misma. En efecto, cuando se desprende
un torbellino, la velocidad del fluido aumenta en ese punto, y como consecuencia, disminuye la presión. En el lado opuesto ocurre lo contrario, por lo
que en todo momento existe una diferencia de presiones a ambos lados del
obstáculo, cuyo valor cambia con una frecuencia idéntica a la del momento
del desprendimiento de los torbellinos. Midiendo las variaciones de presión a
ambos lados del obstáculo se puede determinar el caudal.
J) Codos: Un codo de una tubería puede utilizarse en ciertas condiciones,
para estimar el caudal (Figura 4.4). En efecto, la fuerza centrífuga que actúa
sobre el fluido al girar 90º, produce que la presión en la pared externa de la
curva tenga un valor superior al que existe en la pared interna. Esta diferencia se relaciona con el caudal. Este método de medición, en determinadas
115
Escurrimiento de fluidos
USACH
condiciones tiene la suficiente reproducibilidad como para permitir su uso
con fines de control.
Figura 4.4. Medidor de codo.
4.1.
Medidores que funcionan en base a principios fluidodinámicos
K) Medición por diferencia de presiones: La obtención de velocidades
y/o caudales, a partir de la información de la diferencia de presión entre dos
puntos de la conducción es el principio en el cual se basa la mayoría de las
mediciones de fluidos, en conducciones cerradas. Dentro de los instrumentos que funcionan en base a este método se tiene a: tubos de Pitot, placa
orificio, Venturi y tobera (o boquilla).
K.1) Tubo de Pitot. Este dispositivo se caracteriza por medir velocidades
puntuales ( V ) de fluidos. Existen diversas configuraciones, pero en esencia
consisten en dos tubos abiertos: uno está orientado de forma que su abertura
se enfrente al movimiento del fluido (tubo de impacto). El otro, tubo estático,
está orientado de forma que no le influya la presión debida a la velocidad del
fluido. El tubo de impacto detecta tanto la presión estática del fluido como
la equivalente a su energía cinética. La diferencia de ambas mediciones dará
por resultado la presión de impacto, a partir de la cual se puede obtener la
velocidad del fluido. En la Figura 4.5 se muestran algunas configuraciones
de tubos de Pitot.
116
Capítulo 4: Medidores de flujo
A continuación se hará la deducción de la ecuación del tubo de Pitot
simple. Como se muestra en la Figura 4.5(a), la abertura del tubo horizontal
está dirigida agua arriba, de modo que el fluido impacte la abertura.
Figura 4.5. a) Tubo de Pitot simple, b) Tubo de Pitot compuesto, c) Tubo de Pitot comercial,
d) Tubo de Pitot traverso.
El punto 2 se llama punto de estancamiento y en éste, la velocidad
del fluido es cero. La toma piezométrica bajo el punto 1 detecta la presión
estática del fluido. Aplicando la ecuación de Bernoulli a la línea de corriente
entre 1 y 2 se obtiene:
(4.1)
117
Escurrimiento de fluidos
USACH
Considerando que el fluido es incompresible, que Z2 = Z1 y que

V2 = 0 se obtiene:
(4.2)
Además entre 1 y 2, Eˆ v ≈ 0 , luego:
(4.3)
A fin de compensar las aproximaciones, se introduce un factor experimental Cp, el cual se conoce como coeficiente de descarga del tubo de
Pitot. Para tubos bien diseñadosCCpp ≅ 1.
1
luego:
Utilizando ecuación de la hidrostática se obtiene: Δp = g ΔH (ρm – ρ),
(4.4)
Todas las versiones de tubos de Pitot tienen la misma ecuación, que
relaciona la velocidad puntual con la diferencia de presiones que señala algún manómetro. Dado que este medidor determina velocidad local, lo usual
es situarlo en el centro de la tubería, a fin de calcular con la ecuación 4.4
la velocidad máxima. Obtenido este valor, es posible obtener la velocidad
media utilizando Figura 4.6. Para obtener buenas medidas, es necesario que
el Pitot esté ubicado lejos de cualquier perturbación: a lo menos uno 100
diámetros de distancia de cualquier accesorio. El medidor en sí no produce
alteraciones en el flujo, es de bajo costo y ofrece posibilidades de determinar
velocidades puntuales en cualquier ducto y posición.
Si es inevitable la presencia de accesorios cerca del medidor, estos provocarán distorsión en el perfil de velocidades y ya no podría usarse
118
Capítulo 4: Medidores de flujo
la Figura 4.6 para obtener la velocidad media. En este caso deben hacerse
lecturas en diferentes posiciones (radiales) del ducto y obtener la velocidad
media, usando la definición de ésta, vale decir:
(4.5)
La selección de los puntos adecuados de medición, es decir, los radios en el caso de ductos circulares, o la posición x,y en ductos de sección
rectangular, implica dividir el área de flujo en N sub-áreas iguales, colocando el medidor en el centro de cada una de estas sub-áreas. Luego, estos
.
valores ( V , r) se introducen en la integral anterior para así obtener V.
Figura 4.6. Gráfico para obtener velocidad media a partir de la velocidad máxima, obtenida
en el centro de la tubería (Adaptado de Foust y col., 1961).
119
Escurrimiento de fluidos
USACH
K.2) Placas orificio, tobera y Venturi. Estos medidores de ΔP variable con
el flujo, tienen ciertas características similares, siendo posible deducir una
expresión general para todos ellos.
Figura 4.7. Placas orificio.
Una corriente forzada aumenta su velocidad, al pasar a través de una
estrangulación a costa de perder presión. Este fenómeno se representa en
Figura 4.8, para el flujo a través de una placa orificio.
Figura 4.8. Flujo a través de una placa orificio.
Al pasar el fluido por un orificio de menor diámetro que el conducto,
la vena fluida experimenta una contracción considerable. El punto en que
la sección transversal es mínima no se encuentra en el orificio mismo, sino
aguas abajo de él. Esta zona se llama “vena contracta” y es donde tienen lugar las máximas diferencias de presión (caída de presión temporal). Aunque
120
Capítulo 4: Medidores de flujo
la presión vuelve a aumentar una vez pasada esta zona como consecuencias
de la disminución de velocidad, nunca llegará al valor original, produciéndose una “pérdida permanente” de presión, la cual depende de las características de la placa orificio, Venturi o tobera.
Consideremos el esquema siguiente, válido para los medidores recién descritos:
Figura 4.9. Esquema general para medidores de ΔP variable con el flujo.
En esta situación los puntos 1 y 2 se encuentran muy próximos, separados una distancia despreciable comparada con la longitud total del sistema. El punto 3, denominado “aguas abajo” no es afectado por la presencia
del medidor. Aplicando Bernoulli entre 1 y 2, considerando fluido incompresible y que Z1 = Z2, se obtiene:
(4.6)
Luego:
(4.7)
121
Escurrimiento de fluidos
USACH
De un balance de masa entre 1 y 2 (ecuación de continuidad) se obtiene:
(4.8)
Reemplazando en la ecuación de Bernoulli, se obtiene:
(4.9)
Esta es una expresión general para fluidos incompresibles, para medidores de Δp variable. El término (–Δp/ρ –Êv) representa el efecto en el
fluido del cambio de energía cinética. Es decir, a causa del estrechamiento,
el fluido aumenta su velocidad, lo cual se traduce en una disminución de
presión, asociado con una disipación de energía por fricción.
Placa orificio. Este medidor consiste básicamente de una placa plana, con
un orificio concéntrico, aunque existen diseños con algunas variaciones, tal
como muestra la Figura 4.7. Aplicando la ecuación general 4.9 a este medidor (Figura 4.8) y considerando que el término Êv es proporcional a –Δp
(caída de presión temporal, que comenzaremos a llamar –Δpt), se tendrá:
(4.10)
Con lo cual se obtiene:
(4.11)
Definiendo un coeficiente de contracción Cc como el cuociente entre la sección de flujo de la vena contracta A2 y la sección del orificio se obtiene:
(4.12)
122
Capítulo 4: Medidores de flujo
Entonces se tiene que:
(4.13)
Usando la ecuación de continuidad es posible cambiar V2 por Vo (velocidad en el orificio):
V2 A2 = Vo Ao, luego:
(4.14)
Llamando β = D0/D1, entonces: (A0/A1)2 = β4. Luego:
(4.15)
Multiplicando arriba y abajo por 1 − β 4 , con el objeto de definir un coeficiente que caracterice al medidor, de modo que:
(4.16)
Se define Co, coeficiente de descarga del medidor de orificio como:
,
luego:
123
(4.17)
Escurrimiento de fluidos
USACH
(4.18)
El coeficiente de descarga Co depende de la geometría del orificio, de
la relación de diámetros β y también del número de Reynolds. En principio,
Co se debería determinar experimentalmente para cada caso. Sin embargo,
existen gráficos de Co vs Re con β como parámetro que permiten evaluar
Co. En Figura 4.10 se muestra este gráfico para una placa orificio centrada,
con bordes afilados, con toma de presión en la vena contracta. Para estas
condiciones se cumple que con Re > 30.000, Co se aproxima a 0.61 y se hace
independiente de Re y β.
Figura 4.10. Coeficiente de descarga para placa orificio y rotámetro en función del número
de Reynolds (Adaptada de Brown G., Operaciones básicas de la Ingeniería, 1963).
124
Capítulo 4: Medidores de flujo
Para ubicar el punto de la vena contracta (punto de mínima presión)
se puede utilizar la Figura 4.11, donde se presenta la distancia desde el plato
orificio (como fracción del diámetro interno de la tubería) vs β. La primera
toma piezométrica se ubica un diámetro interno de tubería antes de la paca
orificio.
Figura 4.11. Ubicación de la vena contracta (Adaptado de Spink, L. Principles and Practice
of Flow Meter Engineering, 1958).
En la Figura 4.12 se sugieren las mínimas longitudes de tubería recta, que deberían respetarse antes y después del plato orificio, dependiendo de
los accesorios presentes en la tubería.
125
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 4.12. Distancias recomendadas de tubería recta antes y después de la placa orificio.
Para evaluar la caída de presión permanente provocada por la presencia de medidores de placa orificio, con orificio centrado, se dispone de
la expresión:
(4.19)
Para la medición de líquidos o gases limpios y no corrosivos, se utiliza la placa de orificio concéntrico y canto vivo. Si el gas arrastra ligeras
cantidades de condensado o el líquido está próximo a las condiciones de
evaporación, se pueden practicar, si la placa va a ser instalada en un tramo
horizontal, orificios de drenaje o venteo debajo o encima del orificio principal. Si las cantidades de condensado son significativas, se utiliza la placa de
orificio excéntrico.
Si el fluido arrastra sedimentos, se puede utilizar la placa de orificio
segmentado, en la cual el radio de este orificio es el 98 por 100 del radio interno de la tubería y la cuerda del círculo también tiene el canto vivo, en su
cara de entrada.
126
Capítulo 4: Medidores de flujo
Es fundamental que el canto de entrada en los orificios de las placas
sea afilado, a fin de asegurar la exactitud de la medida. Un desgaste incipiente
de este canto puede introducir errores de hasta un 20 por 100 del fondo de escala. Por otro lado, la placa orificio de canto afilado puede introducir grandes
errores para bajos caudales y elevadas viscosidades. Para estas aplicaciones
se puede utiliza la placa de orificio con canto en cuarto de círculo. El radio de
curvatura del borde de entrada es función del diámetro del orificio.
Venturi
Una de las desventajas de la placa de orificio es que produce una gran pérdida irrecuperable de presión. Otra desventaja es su poca precisión cuando
se trata de medir fluidos con sólidos en suspensión y el inconveniente que
supone colocar barreras al paso de estos fluidos. Tales inconvenientes se
soslayan en el tubo de Venturi.
El tubo de Venturi es, en esencia, un tubo con una garganta que presenta una
forma tronco-cónica aguas arriba y después del estrechamiento. El ángulo
de entrada suele ser de 21º ya que ángulos mayores producirían cavitación
en los líquidos al atravesar la garganta, y menores supondrían un tubo demasiado largo. El ángulo de salida está entre los 5 y 15º con el fin de recuperar
el máximo de presión. (Figura 4.13).
Entre las desventajas del tubo Venturi está su construcción delicada,
que se traduce en un elevado precio, y la necesidad de disponer de largos
tramos rectos, aguas arriba y abajo, en su instalación.
127
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 4.13. Dimensiones críticas para el medidor Venturi (Adaptado de Spink, L. Principles
and Practice of Flow Meter Engineering, 1958).
La ecuación general de medidores de ΔP variable con el flujo, ecuación 4.9, es aplicable al Venturi, obteniéndose:
(4.20)
Donde Vv es la velocidad en la garganta del Venturi, Cv es el coeficiente del Venturi. En la Figura 4.14 se presenta un gráfico de Cv vs Re en la
tubería. De allí se observa que para Re > 200.000, Cv = 0.985. En esta figura
la línea continua representa el promedio de la data experimental disponible,
las líneas punteadas indican el rango de dispersión de la información experimental.
128
Capítulo 4: Medidores de flujo
Figura 4.14. Coeficiente de descarga para medidores Venturi. El punto 1 se refiere a la velocidad y diámetro en la tubería (Adaptado de Foust y col., 1961).
La caída de presión permanente en un Venturi es entre 10 y 15% de
la caída de presión temporal, cuando el ángulo en la salida está entre 5 y 7%
y de 10 y 30% para ángulos del orden de 15º, siendo mayores las pérdidas
para bajos valores de β.
Toberas (boquillas)
Las toberas son elementos derivados del Venturi, que se insertan en los conductos para producir la estrangulación del fluido. En ellos se ha eliminado
la zona de salida existente en el tubo Venturi y la zona convergente o de
entrada queda convertida en una forma más redondeada. Se utilizan formas
muy distintas para la boca de entrada de las boquillas, pero las más utilizada
es la de cuadrante de elipse.
El costo de estos elementos, su tamaño y la exigencia de tramos
rectos a la entrada son muy inferiores a los del tubo Venturi. Producen una
pérdida irrecuperable de presión ligeramente superior a las del tubo Ventu-
129
Escurrimiento de fluidos
USACH
ri, pero muy inferior a la producida por la placa de orificio. En Figura 4.15
se muestran algunas toberas.
Figura 4.15. a) Dimensiones para la construcción de una tobera, b) Vista en corte de una
instalación que incluye una tobera, c) Esquema de una tobera.
También para las toberas es aplicable la ecuación 4.9, obteniéndose:
(4.21)
En Figura 4.16, se presenta un gráfico de C vs Re (basado en el diámetro de
la tubería), donde:
(4.22)
130
Capítulo 4: Medidores de flujo
Figura 4.16. a) Vista en corte de una tobera, d1 es el diámetro de la cañería y do es el diámetro interno de la tobera. b) Gráfico de coeficiente de descarga, C, versus Re1 (Adaptado de
Spink, L. Principles and Practice of Flow Meter Engineering, 1958).
(4.23)
La expresión recién escrita permite evaluar la caída de presión permanente, provocada por la presencia de la tobera.
Para el flujo de gases, las ecuaciones para el plato orificio, Venturi y
tobera, son modificadas por el factor Y, el cual considera que el gas se expande adiabáticamente desde P1 a P2. Para el plato orificio, la ecuación es:
(4.24)
Donde p1: presión antes del plato orificio.
p2: presión en la vena contracta.
En la Figura 4.17 se entrega el factor Y para orificio, Venturi y tobera:
131
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 4.17. Factor de expansión Y para orificios, Venturi y tobera.
r = P2/P1 y k = Cp/Cv.
Ejemplo 4.1
Para medir petróleo que circula a 15 ºC a través de una cañería de acero
comercial tipo 40 de 2", se instalará una placa orificio. Se desea que para un
caudal de 3(l/s) el manómetro marque una diferencia de nivel de 40(cm). El
líquido manométrico es mercurio. Calcule:
a) Diámetro del orificio (D0).
b) La pérdida de potencia provocada por el orificio, para un caudal de 3(l/s).
Solución:
ρpetróleo = 965(kg/m3)
μpetróleo = 3,5(kg/m · s)
ρmercurio = 13600(kg/m3)
Dc = 0,0525(m)
Q = 0,003(m3/s)
132
Capítulo 4: Medidores de flujo
La ecuación para el plato orificio es:
(a)
Del enunciado
⇒ –∆p
f ==
0,00425
∆H · g · (ρmercurio – ρpetróleo) = 0,4(m)·9,8(m/s2)·(13600 – 965)(kg/m3)
f = 0,=
00425
51,33(m2/s2)
–∆p = 49529,2(kg/m · s2) ⇒ –∆p/ρ
Inicialmente consideraremos: β4 ≈ 0, luego:
Supondremos C0 ≈ 0,61
∴D
D00 == 0,0249(m)
0,0249(m )
0,00425
⇒ βf4 = 0,05
0,00425
Con este valor de D0 ⇒ βf ==0,473
Introduciendo este valor en la ecuación (a) y considerando C0 ≈ 0,61
0,00425
⇒ βf4 = 0,047
0,00425
Con este valor de D0 ⇒ βf ==0,4667
Introduciendo este valor en la ecuación (a) se obtiene D0 = 0,0246(m),
eRe0 0==4242,8
,8 ⇒
0,600425
4 Con este valor de C0 se obtiene final⇒CCf00 ≅
= 0,64.
para el cualR
mente D0 = 0,024(m).
133
Escurrimiento de fluidos
USACH
De la ecuación correspondiente se obtiene:
Luego
La potencia perdida en el medidor es:
Potencia = 40(m/s)2 · 0,003(m3/s) · 965(kg/m3) = 116(kg · m/s3)
Potencia =
Ejemplo 4.2
Agua asciende a través de un medidor Venturi de coeficiente 0,98 y β = 0,5.
Un manómetro en U indica una diferencia de nivel de 3,88(ft), siendo el
líquido manométrico un fluido de densidad 78(lb/ft3). ¿Cuál es el flujo de
agua en (ft3/s)?
134
Capítulo 4: Medidores de flujo
Solución:
Debe aplicarse ecuaciones de la hidrostática
al manómetro, para poder determinar Δp:
pa = p1 + ρ · g ·(Y +3,88)
pb = p2 + ρ · g ·(1,5+ Y) + ρM · g · 3,88
pa = pb = p1 + ρ · g · Y + ρ · g · 3,88 =
p2 + ρ · g ·1,5 + ρ · g · Y + ρM · g · 3,88
p2 – p1 = ρ · g · 3,88 – ρ · g ·1,5 – ρM · g · 3,88
p2 – p1 = g · (62,4 · 2,38 – 78 · 3,88)
p2 – p1 = – 4962,92(lb/ft · s2)
La ecuación del venturi es:
(b)
Pero, esta caída de presión es la suma de la caída de presión provocada por el estrangulamiento, más el efecto de la columna de líquido entre
(1) y (2). Para “aislar” el efecto de caída de presión por el estrangulamiento,
debe restarse el peso de la columna de líquido:
– (Δp)temporal = 4962,9 – 62,4 · 32,2 · 1,5 = 1949(lb/ft · s2)
Introduciendo los valores en (b):
135
Escurrimiento de fluidos
USACH
Nota: Para este mismo medidor (pero invertido), considerando que el flujo
es de “bajada”, manteniendo los valores señalados por el manómetro, se
obtiene:
Q = 3,18(ft3/s)
Ejemplo 4.3
Un tubo de Pitot se introduce en el centro de una cañería de 3" tipo 40 de
acero comercial que conduce nitrógeno, registrándose una lectura de 35(mm)
en un manómetro inclinado (1/10) en conexión con el Pitot. La temperatura
del nitrógeno en la tubería es de 15 ºC y la presión en el lugar en que se
introduce el tubo de Pitot es 850(mmHg). Determine el caudal, referido a
condiciones normales de presión y temperatura.
Solución:
La ecuación del Pilot es:
R
eConsiderando
2 ,8 ⇒ CC0p ≅ 10,64
0 = 4
p1 = 850(mmHg) = 1,118(atm)
DC = 0,0779(m)
En la rama inclinada se lee 35(mm), pero la variación vertical es de
3,5(mm) (de acuerdo con la inclinación del manómetro). Por lo tanto, usando
las ecuaciones de la hidrostática se obtiene:
(p2 – p1) = ΔH · g · (ρM – ρN2)
136
Capítulo 4: Medidores de flujo
Considerando comportamiento de gas ideal para el nitrógeno:
(p2 – p1) = 0,0035(m) · 9,8(m/s2) · (1000 – 1,33) (kg/m3)
(p2 – p1) = 34,25(kg/m · s2)
Introduciendo valores en las ecuaciones del Pitot se obtiene:
Esta es la velocidad máxima, ya que el Pitot se ubicó en el centro
⋅
de la tubería. Usando la figura se obtiene una razón V V max , entrando con
Remax:
Este es el caudal a 850(mmHg) y 15 ºC. En las condiciones normales
de (0 ºC y 760(mmHg)) será:
137
Escurrimiento de fluidos
USACH
Ejemplo 4.4
A través de una cañería de 2" de acero comercial, tipo 40, se conduce hidrógeno a 30 ºC. Para medir el flujo volumétrico (Q) se instala una placa orificio
de 2(cm) de diámetro. La lectura obtenida en un manómetro diferencial de
mercurio, conectado a ambos lados del plato, es de 5(cm), y la presión de
hidrógeno en las proximidades de la placa es 1,5(atm). ¿Cuál es el caudal?
Solución:
La ecuación para la placa orificio, para un fluido compresible es:
(–Δp) = ΔH · g · (ρM – ρ) = 0,05(m) · 9,8(m/s2) · (13600 – 0,121)(kg/m3)
(–Δp) = 6664(kg/m · s2)
Para el hidrógeno: Cp / Cv = K = 1,405
f =r)/K
0,00425
r = p2 / p1 = 0,956 ⇒ (1–
= 0,031
Con estos valores en la figura se lee Y = 0.988.
Considerando inicialmente C0 = 0,61, se obtiene V0 = 202(m/s). Con
este valor se calculará el Re0, para verificar el calor de C0.
138
Capítulo 4: Medidores de flujo
Con este valor, de la Figura 4.9 se lee C0 = 0,61, luego el valor supuesto es correcto.
, en las condiciones
del problema.
L) Medidores de área variable con el flujo:
La utilización de placas, boquillas,
etc., supone la creación de una caída
de presión variable, a través de una
estrangulación cuya área permanece constante. Para caudales pequeños
hemos visto que dichos dispositivos
resultan inexactos, por la relación cuadrática entre el caudal y la diferencia
de presión.
Se puede realizar la medición de caudales a la inversa: manteniendo constante la diferencia de presión, a través
de la estrangulación y haciendo variaFigura 4.18. Rotámetros.
ble el área de la misma. La cantidad
del fluido que circula en la unidad de
tiempo, es en este caso proporcional a
dicha superficie.
El dispositivo más utilizado que sigue
este principio es el rotámetro.
139
Escurrimiento de fluidos
USACH
El rotámetro consiste, en síntesis,
en un tubo colocado verticalmente
que tiene forma tronco-cónica ensanchado hacia la parte superior.
En su interior lleva un flotador.
Al fluido se le hace circular hacia
arriba y al pasar entre el flotador
y el tubo, se crea una diferencia
constante de presión, cuyo valor
se puede modificar variando la
masa y forma del flotador. La conicidad del tubo determina que el
espacio anular por donde debe pasar el fluido aumenta de sección,
conforme el caudal aumenta.
Al circular fluido, la corriente “trata” de llevar el flotador hacia arriba. Para un caudal dado, existe una posición del flotador en la cual queda en
equilibrio y donde se cumple:
Σ Fi = 0
(4.24)
Las fuerzas que actúan sobre el flotador son:
FE = fuerza de empuje
FG = fuerza de gravedad
FD = fuerza de arrastre
En el equilibrio = FG = FE + FD
140
Capítulo 4: Medidores de flujo
FG = m g = ρ flotador Vflotador g
→
F G = ρF V F g
FE = ρ VF g
FD = (– ΔPF) SF = (– ΔP12) CF2 SF
(– ΔPF): caída de presión a través del flotador.
(– ΔP12): caída de presión entre la entrada del rotámetro y la posición del
flotador.
SF: área de la sección transversal máxima del flotador.
Reemplazando en el balance de fuerzas:
ρF VF g = VF ρ g + (– ΔP12) SF CF2
(4.25)
De aquí se obtiene:
(4.26)
Por otro lado, en forma similar a lo demostrado para medidores de
ΔP variable con el flujo, es posible plantear que:
(4.27)
en que:
141
Escurrimiento de fluidos
USACH
Introduciendo (– ΔP12) del balance de fuerzas, en esta última ecuación se obtiene:
(4.28)
(4.29)
Pero, de la ecuación de continuidad:
W = VR S2 ρ = Q ρ = Flujo másico
S2 es la sección anular, en la posición del flotador
Luego:
w = CR S2
(4.30)
CR puede ser evaluado con Figura 4.9, usando:
ReR =
(4.31)
En que: D2 = diámetro del tubo en la posición del flotador.
DF = diámetro del flotador en su parte más ancha.
M) Medidores en canales abiertos: Existen dos tipos de medidores: rebosaderos y canales de medida.
M.1) Rebosaderos. En un canal se coloca una represa cuyo rebosadero puede
adoptar distintas formas. El líquido alcanzará diferentes alturas en función
del caudal: a mayor caudal, mayor altura. Esta altura se mide en un tubo
tranquilizador por cualquier método establecido para la medición de niveles,
como se muestra en Figura 4.19.
142
Capítulo 4: Medidores de flujo
Figura 4.19. Rebosadero.
La altura está relacionada con el caudal por ecuaciones semi-empíricas que dependen del tipo de rebosadero, como se muestra en la Tabla 4.1.
Tabla 4.1.
Forma rebosadero Ecuación para Q de descarga en pie3/seg.
Q = 1,43 x H2,5
Q = 2,49 x H2,48
Q = 3.33 H3/2 (L - 0.2 H)
Q = (pie3/seg), H = pie, L = pie
Estos son los rebosaderos más sencillos, existiendo otros de forma más complicada.
M.2) Canales. Existen distintos tipos de canales que se diferencian por sus
dimensiones y ángulos de entrada y salida. En la Figura 4.20 se muestra uno
de ellos. Como se ve, consisten en esencia en intercalar una garganta, para
conseguir que las variaciones de caudal se reflejen en una variación de nivel
en el tubo de medida.
143
Escurrimiento de fluidos
USACH
La relación existente en los canales entre el caudal y la altura del nivel adopta la siguiente forma:
Figura 4.20. Canal Parshall.
En la Tabla 4.2 se presenta una comparación de los distintos medidores, con sus ventajas y desventajas.
144
Capítulo 4: Medidores de flujo
Tabla 4.2. Características generales y limitaciones de medidores (Revista
Española de Ingeniería Química, 1978).
Características generales
A favor
En contra
- Fácil instalación.
- Bajo costo.
- Precio independiente del tamaño
tubería.
- Estático.
- Aceptación universal.
- No necesita calibrar.
- Necesidad de tramos rectos de tubería.
- Obstruye el paso.
- La exactitud depende del
grado de desgaste del canto.
- Influyen la viscosidad y la
densidad.
- Alta pérdida irrecuperable.
- Necesita otro elemento
auxiliar para determinar la
medición.
- Baja pérdida permanente.
- Elemento estático.
- No necesita calibrar.
- Auto-limpiable.
- Bajo mantenimiento.
- Necesidad de tramos rectos de tubería.
- Precio alto.
- Tamaño grande.
- Influye la viscosidad.
- Necesita otro elemento
auxiliar para determinar la
medición.
Boquillas y tubos
- Baratos.
- Pérdida permanente aceptable.
- Estáticos.
- Bajo mantenimiento.
- Auto-limpiables.
- Datos experimentales son
escasos.
- Necesita calibración.
- Necesidad de tramos.
- Influenciados por condiciones operación.
Tubo Pitot
- Muy barato.
- Precio independiente tamaño
conducto.
- Fácil instalación.
- Pérdida permanente mínima.
- Medición puntual.
- Sujeto a ensuciamiento.
- Necesidad de tramos.
- Necesita otro elemento
auxiliar para determinar la
medición.
Placa de orificio
Servicio: Líquidos + gases
Rango: 3:1
Exactitud: Buena
Señal: Cuadrática
Error: 3,4%
Pérdida permanente: 50-90%
Tramos rectos: 10-30 diámetros
Tubo Venturi
Servicio: Líquidos + gases + vapor agua
Rango: 3:1
Exactitud: Buena
Señal: Cuadrática
Error: 1%
Pérdida permanente: 10-20%
Tramos rectos: 5-10 diámetros
Servicio: Líquidos + gases + vapor agua
Rango: 3:1
Exactitud: Buena
Señal: Cuadrática
Error: 1,5%
Pérdida permanente: 30-70%
Tramos rectos : 10-30 diámetro
Servicio: Líquidos + gases + vapor agua
Rango: 3:1
Exactitud: Mediana
Señal: Cuadrática
Error: 1%
Pérdida permanente: Despreciable
Tramos rectos: 20-30 diámetros
145
Escurrimiento de fluidos
USACH
Codo
- Muy barato.
- Puede ser bi-direccional.
- Auto limpiable.
- Pérdida permanente casi nula.
- No recomendable para
medir.
- Necesita velocidad min.
- Necesita calibración.
- Necesita de tramos.
Rotámetro
- Barato en general.
- Autosuficiente si es indicación
local.
- Casi auto-limpiable
- Puede leer másico.
- Ideal caudales bajos.
- Independiente de viscosidad.
- Pérdida permanente constante.
- Casi estático.
- Instalación vertical solamente.
- En gas necesita contrapresión.
- Tamaño limitado por peso
y precio.
Volumétricos
- Ideal para líquidos viscosos.
- Ídem para mezclas y oper. de
venta.
- Pueden ser autónomos.
- No necesita tramos.
- Posibilidad de lectura másica.
- Gran variedad de rangos.
- Desgaste mecánico.
- Sólo fluidos limpios.
- Limitación de peso, tamaño y precio.
- Mantenimiento.
- Sobre velocidad.
- Propenso a daño por fluidos abrasivos.
- Exactitud excelente.
- Gran rango de caudales.
- Mantenimiento bajo.
- Ligero.
- Fácil instalación.
- Casi auto-limpiable.
- Necesita conversión de
señal para determinar medición.
- Necesita calibrar.
- Influye viscosidad.
- Sólo fluidos limpios.
- Necesita de tramos.
- Caro.
- Propenso a sobre velocidad.
- Necesita contrapresión.
- Sujeto a desgaste.
- Re. Min. 10.000.
- Ideal para baja velocidad gas.
- Posibilidad lectura másica.
- Nula pérdida permanente.
- Delicado.
- Sujeto a ensuciamiento por
fluido.
- Necesita tramos.
- Precio independiente tamaño conducto.
- Necesita calibrar.
Servicio: Líquidos
Rango: 3:1
Exactitud: Mala
Señal: Cuadrática
Error: Mayor 1%
Pérdida permanente: Despreciable
Tramos: 20-30 diámetros
Servicio: Líquidos + gases
Rango: 10:1
Exactitud: Mediana
Señal: Lineal logarítmica
Error: 2%
Pérdida permanente pequeña
Tramos rectos: No
Servicio: Líquido + gas
Rango: 10:1
Exactitud: Muy buena
Señal: Lineal
Error: 1/2%
Pérdida permanente: Baja
Tramos rectos: Despreciables
Medidor de turbina
Servicio: Líquido + gas + vapor agua
Rango: 14:1
Exactitud: Excelente
Señal: Lineal
Error: 1/2%
Pérdida permanente: Despreciable
Tramos rectos: 5-10 diámetros
Hilo caliente
Servicio: Líquido + gas
Rango: 10:1
Exactitud: Buena
Señal: Exponencial
Error: 1%
Pérdida permanente: Nula
Tramos rectos: 5-10 diámetros
146
Capítulo 4: Medidores de flujo
Electromagnético
- No influenciado por densidad ni
viscosidad.
- Pérdida permanente nula.
- Bi-direccional.
- Estático.
- Sanitizado.
- Auto-limpiable.
- Caro.
- Voluminoso y pesado en
tamaños grandes.
- No funciona con gas ni
fluidos no conductores.
- Limitación por temperatura.
- Necesita calibrar.
- Necesita potencia eléctrica.
Medidor de impacto
- Barato.
- Casi estático.
- Ideal para fluidos muy viscosos.
- Idem caudales bajos.
- Instalación fácil.
- Necesita de tramos.
- Necesita calibrar.
Medidor ultrasonidos
- Independiente tamaño del tubo.
- Paso diáfano.
- Sanitizado.
- Bi-direccional.
- Estático.
- Pérdida permanente nula.
- En fase de desarrollo.
- Necesita calibrar.
- Necesita de tramos.
- Únicamente líquidos.
- Precio razonable.
- Mantenimiento bajo.
- No necesita calibrar.
- No influyen la viscosidad ni densidad.
- Estático.
- Instalación sencilla.
- Independiente del tamaño del
tubo.
- No adecuado para líquidos
sucios ni abrasivos.
- No adecuado para líquidos
viscosos.
- Necesita de tramos.
- Limitación de velocidad en
líquidos por cavitación.
- Necesidad de velocidad
mínima.
Servicio: Líquido
Rango: 30:1
Exactitud: Muy buena
Señal: Lineal
Error: 1%
Pérdida permanente: Nula
Tramos rectos: No necesarios
Servicio: Líquido + gas + vapor agua
Rango: 10:1
Exactitud: Mediana
Señal: Cuadrática lineal
Error: 2%
Pérdida permanente: Pequeña
Tramos rectos: 5-10 diámetros
Servicio: Líquido
Rango: ± 40 pies/seg.
Exactitud: Buena
Señal: Lineal
Error: 1%
Pérdida permanente: Despreciable
Tramos rectos: 5-10 diámetros
Medidores de torbellinos
Servicio: Líquidos + gas + vapor agua
Rango: 20:1
Exactitud: Buena
Señal: Lineal
Error: 1%
Pérdida permanente: Baja
Tramos rectos: 5-10 diámetros
Nota: El error se refiere al fondo de escala. Son valores típicos que pueden variar según el
tipo de instalación y de fluido. Los porcentajes de pérdida permanente se refieren al valor
de la diferencia de presiones que se haya elegido en cada caso.
147
Escurrimiento de fluidos
USACH
EJERCICIOS
4.1. A través de un medidor Venturi de coeficiente 0,98 y β = 0,5 circula
agua. Un manómetro en U indica una diferencia de nivel de 1m, siendo el líquido manométrico un fluido de densidad 1400 kg/m3.
a) ¿Cuál es el flujo si el agua asciende en el Venturi?
b) ¿Cuál es el flujo si el agua desciende en el Venturi, manteniéndose
los valores de la figura?
4.2. Nitrógeno a 20 ºC y 15 cm de agua de sobre presión fluye a través de
una tubería de acero comercial de 4". Para determinar su flujo se dispone de una placa orificio (d0 =30 mm). Si el manómetro conectado a
la placa indica una diferencia de presión equivalente a 1,2 m de agua,
determine el flujo si la presión atmosférica es de 710 mm Hg.
4.3. Para medir un flujo de petróleo a 15 ºC (ρ = 950 kg/m3; μ = 35 cp) se
desea utilizar una placa orificio, que indique una diferencia de nivel de
40 cm de Hg. Determine el diámetro de la placa orificio y la pérdida de
potencia producida por el medidor de orificio.
148
Capítulo 4: Medidores de flujo
4.4. Un tubo de Pitot instalado en el centro de una tubería de 3" por la que
circula oxígeno (15 ºC y 820 mm de Hg), indica una lectura de 50 mm
de agua en el manómetro inclinado (1/10) conectado al Pitot. Determine la velocidad máxima, la velocidad media y el flujo másico.
4.5. En una tubería de 2" se dispone de una placa orificio de diámetro 3
cm, acoplado a un manómetro en U con mercurio como fluido manométrico. Determine el diámetro del orificio si se desea que la lectura
disminuya a la mitad, cuando circula el mismo flujo de agua.
4.6. Para medir petróleo que circula a 15 ºC a través de una cañería de acero comercial tipo 40 de 2", se instalará una placa orificio. Se desea que
para un caudal de 5 (l/s) el manómetro marque una diferencia de nivel
de 50 cm. El líquido manométrico es mercurio. Calcule:
c) Diámetro del orificio (D0).
d) La pérdida de potencia provocada por el orificio, para un caudal de
5 l/s.
Datos:
ρpetróleo = 965(kg/m3); μpetróleo = 3,5(kg/m. s); ρmercurio = 13600(kg/m3)
149
Capítulo 5: Transporte de líquidos
CAPÍTULO 5
TRANSPORTE DE LÍQUIDOS
Los equipos impulsores de líquido reciben la denominación general
de bombas.
Definición de bomba
La bomba es el aparato destinado a extraer, elevar, e impulsar un fluido en una dirección determinada. Convierte la energía suministrada por un
elemento motriz en energía de fluido, ya sea energía cinética, potencial o de
presión. Las bombas se clasifican en dos grandes grupos: de desplazamiento
positivo y dinámicas.
Las bombas de desplazamiento positivo se subdividen en las categorías de alternativas y rotatorias, mientras que las dinámicas comprenden las
centrífugas y las bombas de efectos especiales.
A.1. Bombas alternativas o recíprocas. Pertenecen a este grupo las bombas de pistón o émbolo y las bombas de diafragma. (Figura 5.1).
Figura 5.1. Clasificación de bombas de desplazamiento positivo.
151
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 5.2. Clasificación de bombas dinámicas.
Figura 5.3. Esquema de una bomba de pistón de doble efecto.
152
Capítulo 5: Transporte de líquidos
Figura 5.4. Bomba de pistón de simple efecto.
Bombas de un pistón o émbolo: En éstas, un pistón o émbolo desplaza en
cada carrera un volumen dado de líquido, generando un flujo pulsante. Las
pulsaciones pueden ser disminuidas, usando una bomba de doble acción o
aumentando el número de cilindros, como se muestra en la Figura 5.5.
Figura 5.5. Curvas de descarga para bombas de pistón. a) Acción sencilla de un pistón, b)
Doble acción de un pistón, c) Acción doble de dos pistones.
La mayoría de las bombas de pistón son de doble efecto, es decir, el
líquido puede admitirse a cada lado del pistón, de manera que mientras se
llena una parte del cilindro, la otra se vacía. El movimiento del pistón o émbolo puede realizarse por la acción de un motor eléctrico, o mediante un ci-
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Escurrimiento de fluidos
USACH
lindro de vapor que acciona directamente el vástago del émbolo. La presión
máxima de descarga en las bombas comerciales de pistón es de aproximadamente 50 at. Para presiones superiores se emplean bombas de émbolo, en
las cuales el cilindro es de pequeño diámetro y de pared gruesa. Las bombas
de émbolo son de efecto sencillo, generalmente accionadas por un motor,
y pueden alcanzar presiones de 1400 at, e incluso mayores. Tanto en las
bombas de pistón como de émbolo, debe instalarse una válvula de seguridad
y una línea de recirculación (by-pass) para evitar daños en la bomba, en el
caso de un cierre inadvertido de la válvula en la descarga (Figura 5.6). Se
utilizan para impulsar fluidos viscosos. Los líquidos que contienen sólidos
abrasivos no pueden ser bombeados con bombas de pistón o émbolo, ya que
dañan la superficie de las piezas. Tienen la desventaja de su gran tamaño y
alto costo inicial.
Figura 5.6. Válvula de alivio (LOPU/USACH).
Bomba de diafragma: Éstas utilizan una membrana flexible como elemento
de desplazamiento del líquido. Pueden ser móviles mecánicamente por una
excéntrica o hidráulicamente por un líquido de bombeo secundario. Se usan
cuando no se pueden permitir fugas del fluido o bien éste es corrosivo. Si son
movidas mecánicamente, su presión de bombeo máxima es de 9-11 atm. Si
la bomba es accionada hidráulicamente se pueden obtener presiones de hasta
340 atm. Los diafragmas se construyen de elastómetros, plásticos y metales
(Figura 5.7).
154
Capítulo 5: Transporte de líquidos
Figura 5.7. Bomba de diafragmas.
Parámetros de diseño de una bomba alternativa
Capacidad de la bomba. Es el volumen total de fluido realmente descargado
por unidad de tiempo. Incluye tanto el líquido como los gases en él disueltos
en las condiciones de operación (temperatura y presión de descarga). Está
dada por:
Q = D (1 – S), donde:
Q = capacidad (L3/θ).
D = desplazamiento de la bomba (L).
S = fuga de líquido, en porcentaje.
Desplazamiento de la bomba (D). Es el volumen desplazado por cilindro
en una carrera del pistón, émbolo o diafragma sin pérdidas por fugas o por
compresibilidad del fluido. D depende del desplazamiento de cada cilindro,
del número de pistones, émbolos o diafragmas y del número de ciclos de
bombeo.
155
Escurrimiento de fluidos
USACH
Rendimiento o eficiencia global. Es el cuociente entre la potencia de salida
de la bomba y la potencia de entrada total (potencia requerida para manejar
la bomba: puede tratarse de potencia eléctrica o la entregada por el vapor en
las bombas de accionamiento directo).
Rendimiento o eficiencia volumétrica. Es el cuociente entre la capacidad y
el desplazamiento de la bomba.
Condiciones de succión. El sistema de bombeo debe satisfacer ciertas condiciones en la succión, requeridas por el equipo impulsor, y dadas por el
parámetro NPSH (net positive suction head). Este parámetro, similar para
bombas alternativas, rotatorias y centrífugas, será definido más adelante.
A.2. Bombas rotatorias. La acción de bombeo se produce por el movimiento relativo entre los elementos rotantes y los estacionarios de la bomba. Existe una gran variedad de bombas rotatorias, algunas de las cuales se
muestran en la Figura 5.8. Constan de las siguientes partes:
Cámara de bombeo: Es el espacio interno que se llena de líquido mientras
funciona la bomba.
Cuerpo o carcasa: Es la parte de la bomba que rodea la cámara y cuando
permanece estacionario se llama estator.
Rotor: Es la parte que rota cuando la bomba funciona y recibe un nombre
específico de acuerdo al tipo de bomba (engranaje, lóbulo, tornillo, etc.).
Sellos: Los hay estáticos y móviles. Los primeros dan un cierre hermético de
líquido entre las partes estacionarias desmontables de la bomba.
156
Capítulo 5: Transporte de líquidos
Figura 5.8. Bombas rotatorias. a) Engranajes internos, b) Trilobular, c) Engranajes externos.
En las bombas rotatorias, la presión de descarga puede aumentar peligrosamente si se obstruye la descarga, por lo que se instalan válvulas de
seguridad (alivio), que se abren a una presión determinada.
Funcionamiento. En todos los tipos de bombas rotatorias se distinguen tres
etapas:
1) Se abre la aspiración, aumentando el volumen de líquido a medida
que rota la bomba.
2) El volumen permanece constante, se cierra la aspiración y la descarga.
3) Se abre la descarga, disminuyendo el volumen de líquido.
Características de operación de las bombas rotatorias.
Las bombas rotatorias son capaces de entregar una capacidad aproximadamente constante, contra cualquier presión dentro de los límites del diseño
de la bomba. El flujo de descarga proveniente de una bomba rotatoria,
varía directamente con la velocidad. La descarga está casi libre de pulsaciones, particularmente para las bombas de engranajes. Las características
de capacidad típicas para una bomba de engranajes externos se ilustran en
la Figura 5.9.
157
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 5.9. Características de capacidad de bomba de engranajes rotatorios.
Bombas de engranajes. Las bombas de engranajes son el tipo más simple de
bombas rotatorias. Como se muestra en la Figura 5.10, las hay de engranajes
internos y externos. Un caso especial de bomba se muestra en la Figura
5.10.c, la que puede ser utilizada para bombear suspensiones, ya que sus
engranajes son de polímeros.
Figura 5.10. a) Bomba de engranajes externos, b) Bomba de engranajes internos, c) Bomba
de neopreno (engranajes flexibles).
En la bomba de engranajes externos, el centro de rotación de cada
engranaje es externo al diámetro mayor del engranaje vecino y todos los
158
Capítulo 5: Transporte de líquidos
engranajes tienen dientes externos. Al girar los engranajes, una cantidad de
líquido queda atrapado entre los dientes y es devuelto al lado de aspiración.
El caudal desplazado por revolución (capacidad) depende del diámetro y
ancho de los engranajes.
En la bomba de engranajes internos, el líquido es introducido en el
cuerpo de la bomba y queda atrapado entre los dientes del rotor y la corona
dentada. La forma creciente del cabezal de la bomba, divide el líquido y sirve
como un sello entre las compuertas de entrada y descarga. En la Figura 5.11
se muestra el ciclo de funcionamiento de una bomba de engranajes internos.
En éstos, cualquiera de las dos ruedas de engranajes puede accionarse por el
motor, siendo la otra “loca”.
Figura 5.11. Ciclo de funcionamiento de una bomba de engranajes internos.
Bombas lobulares. Son similares a la bomba de engranajes, excepto en que
los engranajes son reemplazados por rotores que tienen dos o más lóbulos.
Ambos rotores están accionados externamente. En la Figura 5.12 se muestran alguna vistas de bombas lobulares.
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Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 5.12. Esquemas de bombas lobulares. a) Bomba bilobular, b) Bomba trilobular.
Bomba de tornillos. Existen varios tipos de bombas de tornillos, mostrándose en la Figura 5.13 una de ellas. El rotor central va accionado mecánicamente y engrana con los rotores locos, formando cavidades llenas de
fluido. El fluido penetra por cada uno de los extremos de los rotores, queda
aprisionado entre éstos y la caja, y es entonces impulsado suavemente hacia
la cámara central de descarga. Otras bombas pueden contar con dos o más
tornillos, manteniéndose el principio de funcionamiento.
Figura 5.13. Sección de una bomba de dos tornillos.
Las bombas de tornillos son eficientes, silenciosas, el caudal es continuo con poca fluctuación. Entregan presiones en la descarga de hasta 170
at. y caudales de 450 lt/min.
160
Capítulo 5: Transporte de líquidos
Bombas de aletas. Un disco provisto de ranuras, en las cuales se insertan
unas aletas deslizantes, constituye el mecanismo esencial de este tipo de
bomba. Las aletas mantienen contacto y se deslizan por la superficie interna
de una caja elíptica, tal como se representa en la Figura 5.14. La fuerza centrífuga lanza las aletas hacia fuera y, por el giro del rotor, el espacio posterior
a cada una de ellas, primero aumenta y aspira fluido, más luego disminuye
y lo impele hacia afuera. Prácticamente, son las aletas las que soportan todo
el desgaste y pueden reemplazarse fácilmente. Una variante de este tipo lo
constituye la forma especial de aleta (tipo martillo) y la disposición mostrada
por la Figura 5.14.b. Los “martillos”, moviéndose hacia afuera por la fuerza
centrífuga, atrapan al fluido. Como estas aletas se desgastan, la variación de
su tamaño está compensada automáticamente, hasta que llega un momento
en que el cierre deja de ser perfecto, obligando a substituirlas por otras nuevas, lo que se efectúa sin necesidad de herramientas especiales.
Figura 5.14. Bombas de aletas deslizantes.
Bomba rotatoria de pistón. En lugar de engranajes, este tipo de bomba rotatoria consta de un rotor circular, montado excéntricamente en el centro del
cuerpo de la bomba. La Figura 5.15 es un corte de una bomba rotatoria de
pistón. El movimiento en el ciclo de operación origina un espacio para el
fluido en la cámara de bombeo, mientras simultáneamente se descarga fluido
a través de la válvula de salida. Esta bomba da excelentes resultados para
bombear gases.
161
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 5.15. Corte parcial de una bomba rotatoria de pistón.
Bomba peristáltica. Este tipo de bomba es muy utilizada en instalaciones de
laboratorio, ya que permite impulsar líquidos corrosivos y/o conteniendo
partículas, al no estar en contacto con la superficie de la bomba en ningún
momento, debido a que lo hace por el interior de una manguera flexible. Se
utiliza industrialmente para dosificar reactivos, por lo que se conoce también
como bomba dosificadora.
Figura 5.16. Bomba peristáltica.
B.1. Bombas centrífugas. En su forma más simple, la bomba centrífuga
consiste en un impulsor (rodete) que gira dentro de una carcasa. El fluido
entra a la bomba, cerca del centro del impulsor rotatorio y es llevado hacia
arriba por acción centrífuga. La energía cinética del fluido aumenta, desde el
162
Capítulo 5: Transporte de líquidos
centro del impulsor hasta los extremos de las aletas impulsoras. Esta carga de
velocidad se convierte en carga de presión cuando el fluido sale de la bomba.
Las bombas centrífugas se usan ampliamente en los procesos industriales,
debido a la simplicidad de su diseño, bajo costo inicial, bajo mantenimiento y flexibilidad de aplicación. Se han construido bombas centrífugas para
bombear cantidades tan pequeñas como unos cuantos litros/minuto, con una
pequeña altura de carga y también para bombear cantidades como 2000m3/
minuto, contra alturas de carga de 100 metros. Sin embargo, el uso frecuente
se restringe a volúmenes del orden de 35 m3/minuto, con presiones de descarga moderadas (inferiores a 20 at.). Existe una gran variedad de bombas
centrífugas que difieren en la forma de la carcasa, tipo de rodete, succión
sencilla o doble, etc. (Figura 5.17).
Figura 5.17. Bombas centrífugas.
Dependiendo de la forma de la carcasa se tienen las bombas de voluta
y las bombas con difusores, como se muestra en la Figura 5.18. Si el área
disponible para el flujo aumenta gradualmente entre el borde externo del impulsor y la carcasa, la bomba se llama de voluta. Este aumento en el área de
flujo origina que la velocidad del fluido disminuya gradualmente, reduciendo
por tanto la formación de remolinos. La carcasa con difusores tiene guías
estacionarias que ofrecen al líquido una trayectoria estrecha del impulsor a la
carcasa. Los difusores sirven para el mismo propósito que la voluta y ambos
tipos de bomba tienen aproximadamente la misma eficiencia.
163
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 5.18. a) bomba de voluta, b) bomba con difusores.
Impulsores
El impulsor o rodete consiste en una serie de aletas o alabes, curvados o rectos, para que el flujo sea lo más liso posible dentro de la bomba. Al aumentar
el número de alabes, se controla mejor la dirección de movimiento del fluido
y se disminuyen las pérdidas por turbulencia entre aletas. De acuerdo a su
construcción mecánica, los impulsores se subdividen en:
Abiertos: Las aletas están fijadas a un eje; su principal desventaja es la debilidad estructural. Resultan aptos para manipular líquidos con sólidos pulposos y sólidos abrasivos.
Semi-cerrados: Las aletas están apoyadas en un plato y pueden tener o no
aletas suplementarias, colocadas en la cara posterior del plato. Se utilizan
para transportar aguas servidas (alcantarillado).
Cerrados: Son casi universalmente usados para líquidos limpios o suspensiones de pequeñas partículas. En ellos, los platos cierran completamente la
trayectoria del fluido, desde la aspiración a la periferia del impulsor.
164
Capítulo 5: Transporte de líquidos
Por otro lado, de acuerdo a la dirección principal del flujo, con referencia al eje de rotación, los impulsores se clasifican en:
Impulsores con flujo radial: Las superficies de las aletas son generadas por
líneas rectas, perpendiculares al eje de rotación.
Impulsores con flujo axial: Si la aleta forma un ángulo con el eje, el flujo
es estrictamente paralelo al eje de rotación. En otras palabras, se mueve el
fluido solo axialmente.
Impulsores con flujo mixto: Los bordes de las aletas de un impulsor de flujo
axial se curvan para dirigir el flujo perpendicular al eje; así se agrega la fuerza centrífuga a la fuerza de empuje, dada al fluido por las aletas. En la Figura
5.19 se muestran diferentes tipos de impulsores.
165
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 5.19. Diseños de impulsores o rodetes (Adaptado de Foust y col., 1961).
Las bombas centrífugas pueden tener:
Impulsores con aspiración única, donde el fluido ingresa por una sola entrada. Figura 5.20.a.
Impulsores con doble aspiración, con el fluido entrando al impulsor simétricamente a cada lado. Figura 5.20.b.
166
Capítulo 5: Transporte de líquidos
Figura 5.20. a) Bomba centrífuga con aspiración unilateral, b) Bomba centrífuga de doble
aspiración.
Bombas centrífugas de auto-cebado. Una bomba centrífuga común es incapaz de auto-cebarse e iniciar su trabajo, si en su interior contiene sólo
aire o vapor. En las bombas auto-cebantes se ha modificado la ubicación
de la succión, como se muestra en la Figura 5.21, con las conexiones de
succión y de descarga en la parte superior de una carcasa, con dos cámaras
encima del rotor, lo que permite mantener en la bomba una cantidad de líquido, aún cuando la bomba no esté en funcionamiento. Cuando se reinicia
el funcionamiento de la bomba, el rodete lanza al líquido hacia los lados de
la caja y comienza a bombear aire, tomándolo de la tubería de aspiración.
En las cercanías de los extremos de las aletas se mezclan el aire y el líquido, formando una espuma. Esta espuma sigue alrededor del rodete hasta el
borde, desviándose la espuma fuera de la zona del rodete, hacia la cámara
superior. Allí el aire se eleva y escapa, agotándose de esta forma el aire en
la tubería de aspiración, efectuado lo cual, la acción se normaliza y sólo se
aspira líquido.
167
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 5.21. Bomba auto-cebante.
Bombas centrífugas de achique, o bombas sumergidas. La bomba centrífuga
se puede construir en tamaños reducidos, con dimensiones tales que puede
proyectarse una unidad de múltiple efecto en una carcasa de sólo 4 pulgadas
(10 cm) de diámetro. La bomba puede trabajar sumergida en el agua, al igual
que el motor eléctrico (Figura 5.22).
Figura 5.22. Bombas sumergibles.
Bombas de turbina. Antiguamente, la bomba con difusores recibía el nombre de turbina por su similitud con las turbinas generadoras de energía. Actualmente, el nombre de turbina se reserva a la bomba cuyo rotor es como
el mostrado en Figura 5.23. La turbina está construida de una pieza que gira
y actúa como una centrífuga de rodete semiabierto.
168
Capítulo 5: Transporte de líquidos
En esta bomba la recirculación está muy favorecida. El fluido que
abandona una aleta es arrastrado alrededor del canal por la propias aletas,
vuelve a penetrar por la zona de admisión de las aletas y recibe así uno o más
impulsos, antes de que recorra una vuelta completa por la periferia, desde
el lugar de succión hasta el de descarga o impulsión. Aunque estas bombas
poseen una holgura pequeña, no pertenecen al tipo de desplazamiento positivo. No es posible en ellas el “taponamiento” por aire y no necesitan ser
cebadas.
Figura 5.23. a) Vista en corte de bomba de turbina, b) Funcionamiento de una bomba de
turbina.
Bombas de múltiple efecto (multi-etapas). La carga proporcionada por un
rotor simple viene limitada por las propias restricciones prácticas de su diámetro y velocidad de giro del rodete. Para conseguir elevadas presiones o
cargas, se recurre a dos o más rodetes montados sobre un eje común que
actúan en serie (Figura 5.24).
169
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 5.24. Bomba múltiple etapas.
Teoría de bombas centrífugas
Las ecuaciones fundamentales que relacionan la potencia, carga desarrollada y capacidad de una bomba centrífuga, se deducen para una bomba
ideal a partir de los principios fundamentales de la mecánica de fluidos.
Dado que el funcionamiento de una bomba real difiere considerablemente
de una ideal, las bombas reales se diseñan corrigiendo la situación ideal con
parámetros experimentales.
Figura 5.25. Esquemas de bombas centrífugas.
170
Capítulo 5: Transporte de líquidos
En la Figura 5.25, se representa esquemáticamente como fluye el
líquido a través de una bomba centrífuga. El líquido ingresa axialmente por
la toma de succión, punto a. En el orificio giratorio del rodete, el líquido se
proyecta radialmente y penetra en los canales que existen entre los alabes,
en el punto 1. Circula a través del rodete, y abandona la periferia del mismo
en el punto 2, es recogido en la voluta y finalmente sale por el conducto de
descarga de la bomba, en el punto b.
El funcionamiento de la bomba, se analiza considerando separadamente las tres partes del recorrido total: primero, el flujo desde el punto a al
1; segundo, el flujo a través del rodete desde el punto 1 al punto 2; y tercero,
el flujo a través de la voluta desde el punto 2 al b. La parte esencial de una
bomba es el rodete, y por esta razón se realizará en primer lugar el análisis
teórico de esta etapa.
En la Figura 5.26 se representa uno de los alabes de un rodete. Los
vectores representan las distintas velocidades en los puntos 1 y 2, a la entrada y a la salida del alabe, respectivamente. Consideremos en primer lugar
los vectores en el punto 2. Como consecuencia del diseño de la bomba, la
tangente al rodete en este punto, forma un ángulo β2 con la tangente a la circunferencia descrita por el extremo del rodete.
171
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 5.26. a) Velocidades a la entrada y en la descarga de un alabe de una bomba centrífuga, b) Diagrama vectorial en un extremo de un alabe.
El vector v2* es la velocidad del fluido, que vería un observador situado sobre el extremo del alabe, punto 2, y moviéndose con él, siendo por
lo tanto una velocidad relativa. Supongamos ahora: primero, que todo el
líquido situado sobre la circunferencia descrita por el rodete, se mueve con
la misma velocidad, es decir, que el valor numérico (aunque no la dirección
del vector) es v2* en todos los puntos; segundo, que el ángulo formado por
el vector v2* con la tangente, es el ángulo real del alabe β2. Esta suposición,
es equivalente a su vez a admitir que hay un número infinito de alabes, sin
espesor y separados por una distancia infinitesimal. Este estado ideal se conoce como orientación perfecta. El punto 2 está en movimiento de rotación
alrededor del eje de la bomba y se mueve con una velocidad periférica u2
con respecto al eje. El vector V2 es la velocidad resultante de la corriente de
fluido, que abandona el rodete, tal como la vería un observador en reposo
y recibe el nombre de velocidad absoluta del fluido. Esta velocidad, por la
ley del paralelogramo, es igual al vector suma de la velocidad relativa v2*
y la velocidad periférica u2. El ángulo formado por los vectores V2 y u2 se
representa por α2. A la entrada de los alabes, en el punto 1, se tiene un conjunto semejante de vectores, tal como se representa en la Figura 5.26.a. En
172
Capítulo 5: Transporte de líquidos
los diseños corrientes, α1 es aproximadamente igual a 90º y el vector V1 es
prácticamente radial.
La Figura 5.26.b, que es el diagrama vectorial para el punto 2, indica
la relaciones más útiles que existen entre los diversos vectores. Indica igualmente como se descompone el vector velocidad absoluta V2 en dos componentes: una radial que se representa por Vr2 y otra periférica Vu2.
La potencia que se suministra al rodete, y por consiguiente, la potencia que necesita la bomba, se obtiene utilizando principios de la mecánica de
cuerpos en rotación: Uno de ellos establece que la potencia necesaria para
mantener un cuerpo en movimiento circular es igual al producto de la velocidad angular por el par, es decir:
P = ω (ΔT)
(5.1)
T = par
ω = velocidad angular (=) rad/tiempo
El otro principio establece que, en el movimiento de rotación de una
partícula alrededor de un eje, el par es igual a la velocidad de aumento del
momento de la cantidad de movimiento, estando el momento de la cantidad
de movimiento definido como el producto de la cantidad de movimiento
por la distancia normal, medida desde el eje a la línea de acción del vector
cantidad de movimiento. Con el fin de establecer este concepto, consideremos una pequeña masa m, moviéndose en la dirección del vector V2 según
muestra la Figura 5.26.b. La cantidad de movimiento en la dirección V2, es
igual a m ⋅ V2. La descomposición del vector cantidad de movimiento en dos
componentes proporciona el componente radial m ⋅ Vr2 y el componente tangencial m ⋅ Vu2. La línea de acción del componente radial pasa por el centro
de rotación y el momento de este componente de la cantidad de movimiento,
173
Escurrimiento de fluidos
USACH
es igual a cero. La distancia desde el componente tangencial Vu2 es igual al
radio r2, y el momento de la cantidad de movimiento de este componente con
respecto al eje es igual a m ⋅ r2 ⋅ Vu2. Luego:
(5.2)
Al aplicar esta ecuación al flujo estacionario, a través de un volumen
de control, se obtiene el balance de momento de la cantidad de movimiento,
similar a un balance de cantidad de movimiento. Considerando como volumen de control el volumen total, limitado por los alabes del rodete, el par
es igual a la diferencia que existe entre la velocidad de flujo de cantidad de
movimiento que abandona el rodete en el punto 2, y la que entra al rodete
por el punto 1. Si la velocidad de flujo de masa del líquido a través del rodete
•
es igual a m , entonces:
•
•
Δ T = m (r2 Vu2 – r1 Vu1) = m (r2 V2 cos α2 – r1 V1 cos α1) (5.3)
En flujo radial, α1 = 90º y por lo tanto Vu1 = 0, luego:
•
T = m r2 Vu2
(5.4)
De las ecuaciones 5.1 y 5.4 se obtiene la expresión que permite determinar la potencia de una bomba ideal, sin fricción:
•
Pideal = Pi = m ω r2 Vu2
(5.5)
Por otro lado, el trabajo realizado por unidad de masa de fluido es:
∧
•
W = Pi / m = ω r2 Vu2
174
(5.6)
Capítulo 5: Transporte de líquidos
Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2, suponiendo
que no existe fricción, despreciando Za – Zb, y suponiendo que la orientación
es perfecta, se obtiene:
ω r2 Vu2 = p2/ρ – p1/ρ + V22/2 – V12/2
(5.7)
Por otra parte, la ecuación de Bernoulli aplicada entre los puntos a
-1, y b -2, proporcionan:
pa/ρ + Va2/2 = p1/ρ + V12/2
(5.8)
p2/ρ + V22/2 = pb/ρ + Vb2/2
(5.9)
Sumando ecuaciones (5.7), (5.8) y (5.9) se obtiene:
pa/ρ + Va2/2 = pb/ρ + Vb2/2 – ω r2 Vu2
(5.10)
Por otro lado, definiremos altura H (dimensiones de longitud) a la
expresión que incluye los términos de presión, energía potencial y cinética,
divididos por la aceleración de gravedad.
(5.11)
Luego, la ecuación 5.10 puede ser reescrita usando esta definición:
g Ha = g Hb – ω r2 Vu2
(5.12)
∧
g (Hb – Ha) = ω r2 Vu2 = g ΔH = W i
(5.13)
∧
Donde W i es el trabajo ideal, sin fricción, realizado por la bomba.
175
Escurrimiento de fluidos
USACH
Relación entre la carga y la velocidad de flujo de una bomba ideal. El componente radial Vr2, es la velocidad absoluta del líquido que abandona el rodete, medida perpendicularmente a la periferia del mismo. El producto de Vr2 y
el área total de las secciones transversales de los canales que determinan los
alabes en la periferia del rodete, Ap, da la velocidad volumétrica del flujo a
través de la bomba, en metro cúbicos por segundo.
Q = Vr2 ⋅ Ap
(5.14)
De la Figura 5.26 b:
(5.15)
Y utilizando la definición de velocidad angular: ω =
u2
r2
Sustituyendo los valores de ω y Vr2, se obtiene:
(5.16)
De aquí se observa que la carga virtual (ideal) o variación de altura
es una función lineal de la velocidad volumétrica de flujo.
La pendiente de esta recta depende del signo tg β2. Si β2 es menor
de 90º, la pendiente es negativa, si es igual a 90º la recta es horizontal y si
es mayor de 90º, la pendiente es positiva. El primer caso corresponde a que
los alabes del rodete son convexos en el sentido de giro, el segundo a alabes
rectos, y el tercero a alabes cóncavos. El primer tipo de diseño es el que se
elige casi siempre, ya que si la curva de carga frente a velocidad volumétrica
de flujo es horizontal o de pendiente positiva, puede dar lugar a inestabilidad
en el sistema de flujo.
176
Capítulo 5: Transporte de líquidos
Funcionamiento real de una bomba centrífuga.
La carga desarrollada por una bomba real, es considerablemente menor que la calculada por la ecuación 5.16 para una bomba ideal. Por consiguiente, el rendimiento es menor que la unidad y la potencia utilizada por el
fluido será menor que la potencia al freno.
Curvas características
I) Curvas ΔH vs Q: La curva real ΔH vs Q, difiere de la curva teórica, por las
siguientes pérdidas:
a) Flujo circulatorio: Una suposición en la teoría de la bomba ideal ha
sido la de orientación perfecta, de forma que el ángulo real formado por
los vectores V2 y u2, es igual al ángulo del alabe β2. En realidad, la orientación no es perfecta en una bomba real y la corriente de fluido sale con
un ángulo considerablemente menor que β2. Esto produce un flujo circulatorio de líquido dentro del rodete que se superpone al flujo neto.
b) Fricción del fluido: De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, la fricción del fluido disminuye la carga. El flujo a través de los pasos y canales
de la bomba, va acompañado de una fricción, que es aproximadamente
proporcional al cuadrado de la velocidad volumétrica de flujo. La pérdida de carga por fricción es por lo tanto mayor para flujos elevados, tal
como se indica en la Figura 5.27.
c) Pérdida de choque: En una bomba de voluta, el líquido que sale del
rodete en la dirección del vector V2 se introduce repentinamente en la
corriente de líquido que se mueve alrededor de la carcasa. El cambio
brusco de dirección provoca turbulencia y conduce a pérdidas, tanto de
carga como de potencia. Las pérdidas de este tipo se denominan pérdidas
177
Escurrimiento de fluidos
USACH
de choque. Estas pérdidas son menores en una bomba con difusores, ya
que éstos varían gradualmente el cambio de dirección.
Figura 5.27. Curvas de ∆H vs Q.
II) Curva de potencia vs Q. Existen varias causas que producen pérdidas de
potencia.
a) Fugas de líquido: La barrera al flujo de retroceso que opone el anillo
de cierre no es perfecta, originándose una inevitable fuga interior, desde
la descarga del rodete hacia el orificio de succión. El efecto de una fuga
es el de reducir el volumen de descarga de la bomba, por unidad de potencia que se consume.
b) Fricción de disco: Es la fricción que tiene lugar entre la superficie
exterior del rodete y el líquido situado entre el rodete y el interior de la
carcasa. Corresponde a la mayor fricción que se origina por la acción de
bombeo del líquido, que tiene lugar en este mismo espacio. El líquido
que está en contacto con el rodete giratorio es recogido y lanzado hacia
la voluta. El líquido fluye hacia atrás a lo largo de la pared interior de
178
Capítulo 5: Transporte de líquidos
la carcasa, es tomado de nuevo por el rodete y vuelto a bombear. Esta
acción secundaria inútil consume potencia.
c) Pérdidas en los cojinetes: Corresponden a la potencia que se requiere
para vencer la fricción mecánica que tiene lugar en los cojinetes y en las
cajas prensa estopas de la bomba.
d) Pérdidas por choque y fricción del fluido, ya fueron descritas para el
caso de la curva ΔH vs Q.
En la Figura 5.28 se representa cómo disminuye la potencia al freno
consumida por una bomba, debido a las diferentes pérdidas de potencia, para
quedar finalmente la potencia comunicada al fluido. El punto b corresponde
a las condiciones de diseño de la bomba.
Figura 5.28. Curvas de potencia vs Q.
III) Curva de rendimiento vs Q. El rendimiento es la relación que existe
entre la potencia, absorbida por el fluido (potencia hidráulica), y la potencia
entregada por el motor a la bomba (potencia al freno).
El rendimiento es máximo para las condiciones de diseño, y disminuye cuando las velocidades de flujo son diferentes de aquella para la que ha
179
Escurrimiento de fluidos
USACH
sido proyectada, que recibe el nombre de velocidad de flujo característica.
A medida que la velocidad de flujo se aparta de las condiciones de diseño,
aumentan las pérdidas por choque, disminuyendo la eficiencia de la bomba.
IV) Curva de NPSH vs Q. Para asegurar el buen funcionamiento de la bomba, se deben verificar ciertas condiciones mínimas en la succión de la bomba. El parámetro NPSH es una característica de la bomba y depende de una
serie de factores intrínsecos a su diseño y fabricación. El valor de NPSHr
aumenta con el acrecentamiento del caudal.
Cavitación. La potencia hidráulica depende de la diferencia de presiones
existente entre la descarga y la succión, por lo tanto, es independiente de la
presión absoluta y por consideraciones estrictamente energéticas, las presiones de succión y descarga podrían estar por debajo o sobre la atmosférica.
Sin embargo, en la práctica, el límite inferior de la presión de succión está fijado por la presión de vapor del fluido a la temperatura de la succión, ya que
si la presión sobre el líquido alcanza su presión de vapor, parte de él sufre
una vaporización súbita, proceso que recibe el nombre de cavitación.
La cavitación no tendrá lugar, si la suma de las cargas de velocidad
y presión en la succión de la bomba, son sensiblemente mayores que la presión de vapor de líquido. Esta diferencia recibe el nombre de carga neta de
succión positiva (NPSH), que es igual a:
En la práctica, para evitar la cavitación se debe verificar que:
NPSH > NPSHr
180
(5.17)
Capítulo 5: Transporte de líquidos
Si no se cumple esta desigualdad, se produce la gasificación total o
parcial de líquido en el interior de la bomba, siendo arrastradas las burbujas
de gas por el líquido y al llegar a puntos de mayor presión, la fase de vapor
condensa nuevamente de forma brusca, implosionando y produciéndose una
repentina e importante disminución de volumen, que se traduce en una disminución de caudal, acompañada de ruidos, vibraciones y una gran erosión
en las zonas de implosión, principalmente en los bordes de los alabes; todo
esto bajo el punto de vista mecánico. Hidráulicamente se observa una importante disminución del rendimiento, al perder capacidad y presión.
Figura 5.29. Fenómeno de cavitación. a) Burbujas implosionando, b) Daño en rodete.
Consideraciones para tener una correcta aspiración
Para lograr que en un determinado sistema NPSH sea mayor que
NPSHr, debe analizarse la posibilidad de modificar algunos de los siguientes
factores:
Desnivel de aspiración: Si éste es positivo, al aumentarlo elevamos la carga de aspiración y si es negativo, al disminuirlo reducimos la elevación de
aspiración.
Diámetro de la tubería de aspiración: Con diámetros mayores se reducen
las pérdidas por fricción.
181
Escurrimiento de fluidos
USACH
Longitud de la tubería de aspiración: Al reducirla, se disminuyen las pérdidas por fricción, aumentando el NPSH disponible.
Estado superficial de la tubería de aspiración: Las tuberías nuevas o de materiales poco rugosos disminuyen las pérdidas por fricción.
Accesorios en la aspiración: La mayor simplicidad en el recorrido disminuye las pérdidas por fricción.
Viscosidad cinemática del líquido: Su variación modifica la pérdida de presión por fricción, de tal suerte que al aumentar aquél la disminuye el NPSH
disponible.
Temperatura del líquido: La presión de vapor aumenta al elevar la temperatura, disminuyendo el NPSH disponible.
Flujo: Influye principalmente en la pérdida de carga por fricción, en proporción al cuadrado de las variaciones del mismo.
De acuerdo con lo recién descrito, son varios los parámetros que
afectan el valor del NPSH disponible, aunque no todos son susceptibles de
modificar en una instalación dada. De los factores dependientes del sistema
sólo será posible modificarlos en caso de nuevas instalaciones; de los que
afectan al tipo de fluido sólo es factible modificar su temperatura, instalando
enfriadores previos al bombeo, aunque esto aumenta la pérdida de carga
en la instalación y por otro lado, modifica su viscosidad, por lo que deberá
meditarse su viabilidad técnica y económica. El flujo se puede reducir
recurriendo a la instalación de varias bombas que trabajen en paralelo.
También será muy importante tener en cuenta al realizar la instalación que
ésta impida la entrada de aire en el sistema, para lo cual se procurará que
182
Capítulo 5: Transporte de líquidos
todos los accesorios y tramos de tubería ajusten perfectamente a fin de que
en la tubería no se formen bolsas de aire.
La Figura 5.30, muestra algunos detalles de la correcta instalación de
una bomba centrífuga.
Figura 5.30. Instalación de bomba centrífuga.
En Figuras 5.31, 5.32 y 5.33 se muestran las curvas características
para tres modelos de bombas centrífugas. Dependiendo del catálogo de
bombas que se use, puede variar ligeramente la forma de entregar dicha
información.
183
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 5.31. Curvas características para una “familia” de bombas centrífugas (AURORA).
184
Capítulo 5: Transporte de líquidos
Figura 5.32. Curvas características para una “familia” de bombas centrífugas (Wernert
Pumpen).
185
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 5.33. Curvas características para una “familia” de bombas centrífugas (Wernert
Pumpen).
Determinación del caudal de operación
Para determinar el caudal que entregará la bomba para un determinado sistema de flujo (caudal de operación), debe graficarse la curva de trabajo
∧
requerido del sistema (ΔHr = W /g) vs Q. La intersección de esta curva con
la curva ΔH vs Q de la bomba, entregará el caudal de operación como se
muestra en Figura 5.34.
186
Capítulo 5: Transporte de líquidos
Figura 5.34. Determinación del caudal de operación (Q1).
Modificación del punto de trabajo
El punto de trabajo de la instalación es fijo para unas condiciones dadas y
si éste no corresponde al requerido por el proceso debería ser modificado,
existiendo tres opciones:
1. Modificar la curva de la bomba
Esto se puede conseguir con la misma bomba, variando el diámetro de su
impulsor o su velocidad de giro, dentro de ciertos límites. También se puede
cambiar la bomba o instalar dos o más bombas en serie o en paralelo. Debe
tenerse presente que si se colocan dos bombas en paralelo, el nuevo flujo
total descargado no corresponde al doble del entregado por una bomba. En
este caso, el caudal de operación será el que corresponda al punto de trabajo con la nueva curva equivalente de las dos bombas. Para obtener la curva equivalente a 2 bombas en paralelo (ambas idénticas), a iguales alturas
le corresponde la suma de caudales de las bombas. Así, en el ejemplo que
ilustra la Figura 5.35.a, con dos bombas en paralelo (idénticas) el caudal de
operación es Q2 y no el doble de Q1 que correspondería a Q3. Es fundamental
187
Escurrimiento de fluidos
USACH
tener presente que para instalar bombas a trabajar en paralelo, sus curvas
características han de ser idénticas, pues de lo contrario se produciría un
desequilibrio de carga para cada una de ellas.
Si el problema es de alturas y no de caudales, se puede recurrir al
acoplamiento de bombas en serie, en las cuales la descarga de la primera
bomba alimenta la aspiración de la segunda y así sucesivamente. Por tanto,
el caudal será el mismo, pero las alturas se suman sucesivamente. En la Figura 5.35.b podemos ver un sistema resuelto por este procedimiento.
Figura 5.35.a. Dos bombas idénticas en paralelo.
Figura 5.35.b. Bombas en serie.
2. Modificar la curva del sistema
Consiste en modificar las pérdidas por fricción entre la succión y descarga,
lo cual se puede realizar por varios procedimientos:
- Instalando accesorios de pérdida de carga variable, como válvulas de regulación.
- Cambiando el diámetro de una parte del recorrido (líneas en serie).
- Cambiando el diámetro en todo el recorrido.
- Colocando una tubería en paralelo a la original, parcialmente o en todo el
recorrido.
188
Capítulo 5: Transporte de líquidos
Figura 5.36. Modificación de la curva del sistema al aumentar el diámetro desde φ1
hasta φ2.
En la Figura 5.36 se muestra el efecto de un cambio de diámetro en
la tubería. En estos casos hay que pensar en la economía, pues aumentar el
diámetro de la tubería conservando la misma bomba puede ser claramente antieconómico, lo mismo que cambiar la bomba conservando la tubería
existente. Hay que hacer un balance de costos para analizar que es lo más
conveniente. Existe un diámetro económico en cada caso, el que pone en
equilibrio el costo de la instalación y el de la energía.
La curva de un sistema en paralelo se obtiene aplicando el procedimiento descrito en Capítulo 4, disminuyendo las pérdidas por fricción, al
aumentar el área de flujo utilizando tuberías en paralelo, mientras que para
un sistema en serie, que consiste en un tendido único, pero formado por
varios diámetros de tubería, en éstos se cumplirá que para un determinado
caudal la pérdida de carga será la suma de las correspondientes a cada uno
de los ramales.
189
Escurrimiento de fluidos
USACH
3. Modificación en bomba y sistema
El procedimiento más radical es la unión de los dos ítems anteriores. En
efecto, cuando se modifica el punto de trabajo en una bomba hay que tener
presente que la potencia absorbida es variable, aumentando con el caudal.
En algún caso puede que el motor instalado sea de suficiente potencia para
la que se requiere en el punto de funcionamiento, pero que al variar éste
puede ser insuficiente. Por este motivo, será necesario verificar cada vez si
el nuevo requerimiento de potencia es entregado por el motor disponible, especialmente cuando el nuevo punto está hacia la derecha de la curva, como
se indica en la Figura 5.37. Esto mismo ocurre si se cambia el diámetro del
impulsor o si por cambio de servicio se ha de bombear líquido de mayor
densidad.
Figura 5.37. Curvas carga y potencia vs caudal.
Modificación de las curvas características de la bomba
Cuando la bomba es capaz de ser operada a velocidades variables, se
obtienen curvas características como las mostradas en la Figura 5.38.a. Por
otro lado, lo usual es que las curvas características estén referidas al agua.
Las curvas se modifican cuando se bombean fluidos con una viscosidad dis-
190
Capítulo 5: Transporte de líquidos
tinta, aumentando el consumo de potencia y reduciéndose la altura, flujo
bombeado y eficiencia (Figura 5.38.b).
Figura 5.38. Curvas características a) Efecto de la velocidad de giro del rodete, b) Efecto del
aumento de la viscosidad del fluido.
Para bombas con dimensiones similares pero diferentes diámetro de
impulsor, se presentará un cambio en el área de descarga, lo que origina directamente un cambio en la capacidad. El cambio del diámetro también tiene
influencia directamente sobre la presión total de descarga, la que aumenta en
relación al cuadrado de los diámetros de los impulsores y en la potencia, que
aumenta directamente proporcional al cubo de los diámetros. El efecto del
diámetro del impulsor o rodete en las características de una bomba centrífuga, se ilustra en la Figura 5.39.
191
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 5.39. Efecto del diámetro del rodete en las curvas características.
Leyes de semejanza de bombas centrífugas
Si llamamos n1 y n2 a las revoluciones por minuto que giran los rodetes de 2 bombas centrífugas iguales, se tienen las siguientes relaciones:
Dichas relaciones pueden ser utilizadas para cambios moderados en
la velocidad.
Velocidad específica (Ns)
Velocidad específica es un concepto que une los tres parámetros más
importantes de una bomba centrífuga: capacidad (Q), carga (H) y velocidad
de giro del rodete (n), en un solo término. Ns está dado por:
192
Capítulo 5: Transporte de líquidos
H (=) pie
Si bien es cierto que Ns podría evaluarse para cualquier condición de
operación, la definición de Ns asume que la carga (H) y capacidad (Q), usadas en la ecuación deben corresponder a las condiciones de máxima eficiencia de la bomba. Esto es porque Ns se utiliza para comparar diferentes tipos
de bombas centrífugas, especialmente disímiles en los rodetes. Usando leyes
de semejanza se puede demostrar que bombas geométricas y dinámicamente
semejantes tienen el mismo rendimiento. En la Figura 5.40 se muestran los
rangos de velocidades específicas para cada tipo de rodete.
Figura 5.40. Ns para diferentes rodetes (Adaptado de Foust y col., 1961).
En la tabla siguiente se entrega la zona de eficiencia máxima para
diferentes tipos de bombas centrífugas.
193
Escurrimiento de fluidos
USACH
Tabla 5.1. Zonas de máxima eficiencia para cada tipo de bomba.
Tipo
Flujo radial
“
“
“
“
“
Flujo mixto
“
“
“
Flujo axial
“
“
Velocidad específica
500
750
1000
2000
3500
4500
4000
5000
7000
10000
9000
12000
15000
Zona de eficiencia máx. en %
45 – 70
55 – 75
65 – 85
70 – 90
82 – 92
85 – 90
85 – 92
80 – 90
80 – 88
80 – 85
82 – 88
80 – 85
78 – 82
Selección de bombas centrífugas
Para elegir una bomba para una determinada aplicación, se deben
considerar los siguientes aspectos (normalmente solicitados por los proveedores de bombas):
1. Capacidad requerida (Q).
2. Carga que requiere el fluido, normalmente expresada como “altura” de
fluido (ΔH).
3. Potencia requerida por el fluido.
4. Eficiencia del grupo moto-bomba (se debe elegir un grupo moto-bomba
que funcione en la zona de mayor eficiencia).
5. NPSH del sistema. Debe ser mayor que el requerido por la bomba.
194
Capítulo 5: Transporte de líquidos
6. Naturaleza del fluido (corrosivo, temperatura, presión de vapor, viscosidad, suspensión, abrasivo).
7. Presión de descarga requerida.
8. Localización de la bomba (espacio disponible, aire libre o no, etc.).
9. Naturaleza de la energía disponible para accionar la bomba.
En la Figura 5.41 se muestra la altura que alcanza una columna de
tres líquidos de diferente densidad, siendo la presión de descarga de la bomba de 1 bar, en los tres casos.
Figura 5.41. Efecto de la densidad del líquido, para una misma presión de descarga de la
bomba.
B.2. Bombas con efectos especiales
Electromagnéticas. Una bomba electromagnética no tiene partes móviles,
por lo que no se requiere usar sellos de ningún tipo. Dado que la bomba
electromagnética trabaja según el mismo principio que el motor de inducción,
sólo metales líquidos, con una conductividad eléctrica alta, pueden ser
bombeados con este dispositivo. El metal líquido fluye a través del campo
de un electroimán. Una corriente externa pasa a través del metal, en una
dirección perpendicular al campo magnético. La fuerza ejercida como
resultado de estos campos origina el flujo.
195
Escurrimiento de fluidos
USACH
Empuje a gas. Una forma sencilla
y económica para transportes líquidos y que no incluye partes móviles, se realiza mediante el uso de un
gas a presión, tal como se muestra
en la Figura 5.42. En la ilustración,
el líquido se alimenta dentro de un
estanque, por gravedad y es fugado
hacia afuera por medio de aire comprimido. Este sistema es muy útil
para transportar fluidos corrosivos.
Figura 5.42. Empuje a gas.
Eyectores. Un eyector es un dispositivo, que usando un fluido impulsor provoca un vacío que se puede utilizar para transportar otro fluido. En Figura
5.43 se muestra un esquema de un eyector.
Figura 5.43. Eyector.
En la literatura existe poca uniformidad con respecto al empleo del
término eyector e inyector. Usaremos el término eyector cuando se trate de
un dispositivo que utiliza tanto un gas como un líquido como agente motor
(fluido impulsor), y que descarga a una presión intermedia entre la presión
196
Capítulo 5: Transporte de líquidos
motriz y la presión de succión. En cambio un inyector es un aparato que utiliza un gas condensable (vapor) para arrastrar a un líquido, al que descarga a
una presión mayo que la inicial.
Un eductor es un eyector que utiliza un líquido como fluido motor
para arrastrar a otro líquido. Las partes esenciales de un eyector son la boquilla (tobera) y el difusor. La boquilla es un dispositivo que transforma la
presión elevada del fluido motor en una gran velocidad. El difusor es una
cámara de mezcla, y es la zona donde se convierte de nuevo la velocidad
final de la mezcla en presión.
Usando la nomenclatura de la Figura 5.43, consideremos que por
el tubo de diámetro D circula un fluido, por ejemplo, aire comprimido. Su
presión se controla por una válvula de estrangulamiento, no indicada en la
figura. Gracias a la depresión que se crea en d el agua sube por la tubería de
diámetro D’. Este inyector es, pues, una bomba cuya gran ventaja consiste
en carecer de partes móviles.
Despreciando las pérdidas escribamos la ecuación de Bernoulli entre
las secciones 1 y 2: si los puntos 1 y 2 están en el mismo plano horizontal
Z1 = Z2, y por lo tanto
p1/ρ + V12/2 = p2/ρ + V22/2 ; luego
p2/ρ = P1/ρ + V12/2 – V22/2
Usando continuidad (balance de masa):
197
Escurrimiento de fluidos
USACH
Donde Q – caudal de aire que pasa por la tubería D y, por tanto
Introduciendo estos valores en la ecuación de Bernoulli, se obtiene:
Con una válvula (no indicada en la figura) se puede regular P2. Así
por ejemplo, al abrir la válvula aumenta Q, con lo que disminuye P2.
Aplicaciones de los eyectores. Los eyectores son frecuentemente utilizados
para provocar vacío, aunque también son usados como compresores. Dependiendo del vacío requerido pueden ser instalados en serie o en paralelo (si
los flujos son muy altos). La Tabla 5.2 muestra los límites de aplicación, de
acuerdo con el número de eyectores.
Tabla 5.2. Presión absoluta en función del número de eyectores.
Presión absoluta
(mm Hg)
Número de eyectores
en serie
760 – 76
uno
130 – 13
dos
50 – 1
tres
5 – 0.05
Cuatro o cinco
198
Capítulo 5: Transporte de líquidos
Ejemplo 5.1
Una bomba se instala en un sistema para bombear 240 m3/h de agua a 20 ºC,
con p1 = 0.5 bar y p2 = 1.1 bar. El diámetro de succión es 150 mm y el de
descarga es de 125 mm. La diferencia de nivel entre los puntos 1 y 2 es de
355 mm. Determine la altura de descarga de la bomba.
Solución:
La altura es dada por:
Ejemplo 5.2
Una industria química obtiene agua desde un río cercano, debiendo ser tratada y purificada es estanques abiertos, para su posterior distribución a los
servicios de la planta.
La conducción está construida en cañería de acero comercial de 6(in) de diámetro nominal, cédula 40. El tramo de succión tiene una longitud equivalente de 10(m); la descarga tiene 310(m) de cañería y los accesorios incluidos
en este tramo equivalen a 30(m) de cañería de igual diámetro. Si la bomba
instalada tiene una curva característica representada por:
199
Escurrimiento de fluidos
ΔH = 200 – 1585 · Q2
USACH
Con: H[=](m) y Q[=](m3/s)
a) ¿Cuál es el caudal que circula por el sistema?
b) ¿Cuál es la presión de descarga de la bomba?
c) Si el NPSH requerido por la bomba es de 2(m), ¿Cavitará?
Solución:
Aplicando un balance de energía mecánica (Bernoulli) entre (1) y (2) se
tiene:
200
(a)
Capítulo 5: Transporte de líquidos
Para determinar el caudal de operación de la bomba, debe igualarse ΔHsistema =
ΔHbomba.
30 + 4f · 3,34 · 105 · Q2 = 200 – 1585 · Q2
(b)
ε/D = 0,0003 y considerando régimen altamente turbulento a 4f = 0,015
tenemos:
6595 · Q2 = 170
Q = 0,161(m3/s)
4f = 0,0155
Usando la ecuación (b) ⇒ Q = 00,159(m
,159(m 33/s)
s)
Re = 1,31 · 106 ⇒ 4f
Q = 00,0155
,159(m 3 s )
∴Q
Q == 0,159(m
0,159(m33/s)s )
Por otro lado
Pd = Ps + 1000(kg/m3) · 9,8(m/s2) · (200 – 1585 · 0,1592)(m)
Pd = Ps + 1,57 · 106(kg/m·s2)
201
(c)
Escurrimiento de fluidos
USACH
Pero, de un balance entre el punto (1) y la succión de la bomba:
Reemplazando este valor en la ecuación(c) se obtiene:
Pd = 1576030(kg/m · s2) = 15,55(atm)
Para determinar si la bomba cavita o no, debe calcularse el NPSH del sistema:
Dado que NPSHsistema > NPSHrequerido, la bomba no cavitará.
Ejemplo 5.3
Se necesita especificar una bomba para impulsar agua de mar a 20 ºC, la que
se empleará como refrigerante en un intercambiador de calor. El flujo de
agua necesario es de 300(gpm), con una presión de 30(psia) a la entrada del
202
Capítulo 5: Transporte de líquidos
intercambiador de calor. La cañería es de 4" de acero comercial, tipo 40, con
una longitud de 200(m) entre la bomba y el intercambiador. Debe incluirse
en ese trayecto 8 codos de 90º y una válvula de compuerta. En el tramo de
succión de 12(m), se debe considerar un codo de radio largo de 90º.
Aplicando un balance de energía mecánica (Bernoulli) entre (1) y (2):
(a)
(b)
f ==00,0185
,00425
ε/D = 0,00045 ⇒ 4f
203
Escurrimiento de fluidos
USACH
Reemplazando los valores en (b), se obtiene:
Introduciendo estos valores en la ecuación (a):
∧
337,6(m/s)
·⋅ gg ⇒ ΔH
f H=sistema
0,00425
==34,5(m)
W == −–337
,6(m s ) 2 = ΔH
∆Hsistema
∆
34 ,5(m )
üüü
üüü
2
Esta carga o energía, requerida por el sistema.
∧
Potencia
Potencia= W ⋅·QQ⋅ ρ
· ρ==−–8,8,6(hp)
6(hp ) (Potencia requerida por el fluido)
(c)
La presión de succión se obtiene de un balance entre el punto (1) y la succión
de la bomba:
(d)
Introduciendo estos valores en la ecuación (c):
De acuerdo con la información para bombas centrífugas (curvas características), se debe seleccionar la bomba centrífuga más adecuada.
204
Capítulo 5: Transporte de líquidos
EJERCICIOS
5.1. Se necesita especificar una bomba para impulsar agua de mar a 20 ºC,
la que se empleará como refrigerante, en un intercambiador de calor.
El flujo de agua necesario es de 500 gpm, con una presión de 50 psia
a la entrada del intercambiador de calor. La cañería es de 4" de acero
comercial, tipo 40, con una longitud de 150 m entre la bomba y el
intercambiador. Deben incluirse en ese trayecto 6 codos de 90º, una
válvula de compuerta 50% abierta y una placa orificio con β = 0.5.
En el tramo de succión de 12(m), se debe considerar un codo de radio
largo de 90º.
5.2. Hasta el circuito de refrigeración de una serie de compresores, que se
emplea para obtener nitrógeno líquido a partir de aire, se bombeará
agua desde un pozo. Por consideraciones técnicas, especificadas por
los representantes del equipo de compresión, la presión a la entrada
del circuito de refrigeración debe ser de 2(kgf/cm2), con un caudal mínimo de agua de 0,002(m3/s).
Para bombear el agua se dispone de varias bombas, todas ellas iguales
y con las mismas curvas características. Estas son:
205
Escurrimiento de fluidos
USACH
Q(m3/s)
H(m)
NHPSrequerido(m)
ηGMB%
0
45
-
50
0,0002
44
1,2
55
0,0004
43
1,3
60
0,0006
42
1,4
60
0,0008
40
1,6
65
0,001
38,5
1,8
70
0,0012
35
2,1
75
0,0014
31
2,4
75
0,0016
25
2,8
67
0,0018
19
3,3
60
0,002
12
3,8
55
El diámetro de la tubería en el sistema es de acero comercial tipo 40
de 1" y el plato orificio representado en la figura, tiene un diámetro de
1.5 cm.
Considerando que la temperatura del agua es de 15 ºC, responda:
a) ¿Cuántas bombas serán necesarias? ¿En serie o en paralelo? (R: 2
en serie).
b) ¿Cuál será el caudal de operación? (R: Qoperación = 0,0014(m3/s);
ΔHoperación = 58(m)).
c) ¿Cuál será la potencia hidráulica en HP, en las condiciones de operación?
d) ¿Cuál será la potencia eléctrica en (KW) en las condiciones de operación?
e) ¿Cuál es la desventaja de utilizar varias bombas en vez de una
sola?
f) ¿Se producirá cavitación?
g) ¿Qué lectura en (cmHg) se leerá en el manómetro, en las condiciones de operación?
206
Capítulo 5: Transporte de líquidos
h) Explique cómo determinaría la fracción a cerrar en la válvula de
globo, si se desea trabajar con el mínimo de agua requerida.
5.3. La curva característica de una bomba centrífuga está dada por:
H= 35 – 0.1 · Q2 , con: H[≡](m) y Q[≡](l/s)
La bomba está instalada en una red de cañerías de 2" y 30(m) de longitud. Los accesorios de la red significan además una longitud equivalente de 30(m). La bomba impulsa agua a 20 ºC desde un estanque a
otro, ambos abiertos a la atmósfera, estando el estanque receptor a tres
metro sobre el primero.
a) Graficar las curvas características de la bomba y del sistema.
b) ¿Qué caudal circula por el sistema? (R: 9.6 l/s).
c) Si se instalara una placa orificio que produce una pérdida de carga
adicional equivalente a 10(m). ¿Cuál será el nuevo caudal?
p1 = p2
dN = 2(in) ⇒ dfi ==0,0525(m)
0,00425
z2 – z1= 3(m)
Lequibalente(accesorios) = 30(m)
Lcañería = 30(m)
Lequibalente(placa orificio) = 10(m)
ρH2O = 999(kg/m3)
µH2O = 1 · 10–3(kg/m · s)
207
Capítulo 6: Flujo de gases
CAPÍTULO 6
FLUJO DE GASES
En el flujo de gases por tuberías, si la variación de presión es significativa, se produce una variación de la densidad del gas, que inhabilita el
uso de la ecuación de Bernoulli. Una situación especial son los ductos de
acondicionamiento de aire, donde los bajos flujos y caídas de presión permiten seguir considerando al aire como fluido incompresible, y por lo tanto
emplear la ecuación de Bernoulli.
En el flujo de fluidos compresibles debe considerarse que a lo largo
de la tubería la densidad del gas disminuye (proporcional a su presión), con
lo cual su velocidad aumenta a expensas de su energía interna (o sea baja
su temperatura), todo lo cual dificulta la integración del Balance de Energía
Mecánica.
Para el estudio del escurrimiento de fluidos compresibles suelen
plantearse las siguientes consideraciones:
1) Estado estacionario.
2) Flujo unidimensional.
3) Sin perfiles radiales de presión ni velocidad.
4) Fricción solo en las paredes del ducto.
5) Trabajo mecánico nulo (Para su evaluación debe usarse la ecuación correspondiente aplicada a la entrada y salida del equipo impulsor).
6) Energía potencial despreciable.
En el estudio del flujo de gases, además del Balance de Energía Mecánica, se utiliza el Balance de Energía Total (si el flujo es adiabático), la
ecuación de continuidad y una ecuación de estado. No obstante lo anterior,
209
Escurrimiento de fluidos
USACH
es posible aplicar el Balance de Energía Mecánica a un ducto de diámetro D
constante y de longitud dL, tal como muestra la figura siguiente:
Figura 6.1. Sección de tubería de longitud dL.
(6.1)
(6.2)
Introduciendo la densidad de flujo másico, G = w/A = ρV, la cual
permanece constante en la tubería, e integrando, se obtiene:
6.1.
(6.3)
Flujo isotérmico
La integración del término que incorpora la densidad del gas requiere
el empleo de una ecuación de estado. Considerando gas ideal (ρ = p · M/RT),
y que la temperatura permanece constante [Flujo Isotérmico], se obtiene:
210
(6.4)
Capítulo 6: Flujo de gases
Además, usando la definición de G y la ecuación de gas ideal, se
tiene que V2/V1 = p1/p2, con lo cual:
(6.5)
Si Δp/p1 ≤ 0.20 es posible eliminar el término ln (p1/p2), obteniéndose la
ecuación de Waymouth:
(6.6)
Despejando G desde la ecuación 6.5, es posible analizar qué sucede
con la densidad de flujo másico, cuando se conectan dos gasómetros a diferentes presiones. En este ejercicio virtual consideremos que p1 permanece
constante y que gradualmente es posible disminuir p2, desde un valor p1
hasta cero (Figura 6.2).
Figura 6.2. Representación esquemática de la conexión de dos gasómetros.
211
(6.7)
Escurrimiento de fluidos
USACH
En primer lugar es posible observar que la disminución de p2 afecta
tanto el numerador como el denominador de la ecuación 6.7. Por un lado,
tiende a disminuir G, mientras que por otro, su tendencia es incrementarlo. Esto nos indica matemáticamente que dicha expresión presenta un valor
máximo. Este máximo se obtiene derivando G con respecto a p2, manteniendo los demás parámetros constantes, obteniéndose la expresión siguiente,
donde p2C, es la presión que produce el flujo máximo, Gmáx.
(6.8)
Figura 6.3. Representación esquemática de la variación del flujo másico versus la presión
de descarga (p2).
La comparación de la predicción de la ecuación con valores experimentales muestra, que si bien es cierto sus predicciones son razonables para
presiones entre p2C y p1, bajo p2C, el flujo no disminuye, como lo predice
dicha ecuación, sino que éste permanece constante.
La existencia de Gmáx puede explicarse usando conceptos de física. Consideremos una tubería conteniendo un gas y que repentinamente un
212
Capítulo 6: Flujo de gases
pistón se mueve a la izquierda, generando una subida de presión en dicho
sector. Esta región de mayor presión, tal como una onda sonora, viaja a la
velocidad del sonido (VS). Por delante del frente de onda, la velocidad del
fluido es cero y detrás de él hay una velocidad V+dV, provocada por el incremento de presión dp. Un observador en posición estacionaria observaría
que se le aproxima una onda de presión a una velocidad V y que se aleja a
V+dV, siendo dV<0.
Figura 6.4. Representación del avance de una onda de presión provocada por una perturbación.
En esta situación, aplicaremos la ecuación de continuidad en estado
estacionario, d(ρVA) = 0, la que se reescribirá como:
V A dρ + ρ A dV + V ρ dA = 0
(6.9)
Dividiendo por AVρ y considerando que A = constante, se obtiene:
(6.10)
Por otro lado, si en el balance diferencial de Energía Mecánica se
desprecian las pérdidas por fricción, se obtiene:
213
(6.11)
Escurrimiento de fluidos
USACH
Combinando ecuaciones 6.10 y 6.11 y teniendo presente que el proceso es isentrópico (adiabático y reversible), se obtiene:
(6.12)
Ya que V corresponde a la velocidad del frente de onda y este se
mueve a la velocidad del sonido VS.
Considerando que el gas tiene un comportamiento ideal [ρ = pM/
RT] y que el proceso es isentrópico [P/ρk = constante], se obtiene:
(6.13)
Para aire (k = Cp/Cv =1.4) a 20 ºC se obtiene VS = 343.5 m/s.
De la ecuación 6.13 se desprende que VS2 es proporcional a T y por lo
tanto a la energía interna del gas. Por otro lado, se sabe que la energía cinética es proporcional a V2. La razón V2/VS2 corresponde entonces al cuociente
entre ambas formas de energía:
(6.14)
Luego, el número de Mach mide los valores relativos de las energías
cinética e interna, ambas a la misma presión y temperatura.
En la definición del flujo máximo de gas en el interior de un ducto,
Gmáx = V* ∙ ρc, V* es ligeramente inferior a la velocidad del sonido en flujo
isotérmico y exactamente V* = VS, cuando el flujo es adiabático.
La existencia del flujo máximo, Gmáx, para una presión de descarga
de p2C, nos indica que desde un punto de vista práctico, no tiene sentido dis214
Capítulo 6: Flujo de gases
minuir la presión bajo p2C, motivo por el cual resulta de interés determinar
la magnitud de ambos parámetros. La ecuación 6.5 es válida hasta el punto
crítico, condición en la cual se obtiene:
(6.15)
Introduciendo la ecuación 6.8 en 6.15, se obtiene:
(6.16)
Siendo N = 4f L/D
6.2.
Flujo adiabático
Cuando un gas circula por el interior de una tubería, al bajar la pre-
sión, la energía cinética aumenta a expensas de la energía interna y la temperatura del gas disminuye. Por lo tanto, el flujo de gases en la realidad no
es isotérmico y en la modelación matemática, el otro extremo a la aproximación de flujo isotérmico es considerar que la tubería esta bien aislada y por
lo tanto el flujo es adiabático.
Para flujo adiabático, además del balance de Energía Mecánica, utilizado en flujo isotérmico (Ecuación 6.2), se requiere del Balance de Energía
Total en forma diferencial:
(6.17)
Aún cuando se utilice el comportamiento de gas ideal, el manejo
de las ecuaciones 6.2 y 6.17 es complejo, ya que en la tubería varía tanto la
presión como la temperatura. Al respecto, Levenspiel muestra ecuaciones
215
Escurrimiento de fluidos
USACH
implícitas para determinar tanto p como T en función de números de Mach.
Evaluaciones rápidas del flujo de gas desde un depósito de almacenamiento
a través de una tubería (Figura 6.5) pueden realizarse usando las Figuras 6.6
y 6.7, propuestas por Levenspiel, en función de G*nz, siendo este parámetro
la densidad de flujo máximo que se produce en la descarga de un estanque o
por el paso a través de un orificio, la cual es evaluable con la expresión:
(6.18)
Figura 6.5. Flujo de gas desde un gasómetro a través de una tubería (Adaptado de Levenspiel, Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor, 1993).
216
Capítulo 6: Flujo de gases
Figura 6.6. Gráfico que representa la descarga de gas a través de una tubería, desde un
gasómetro, de acuerdo con nomenclatura de Figura 6.5 (Adaptado de Levenspiel, Flujo de
Fluidos e Intercambio de Calor, 1993).
Figura 6.7. Gráfico alternativo para evaluar el flujo de gas a través de una tubería, de acuerdo con nomenclatura de Figura 6.5 (Adaptado de Levenspiel, Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor, 1993).
217
Escurrimiento de fluidos
USACH
El flujo de gas en condiciones adiabáticas no es nunca superior al
20%, obtenido para la misma diferencia de presión al considerar el proceso
isotérmico. En cañerías largas (L/D > 1000), esta diferencia no supera el 5%.
Por esto, es corriente hacer estimaciones utilizando las ecuaciones para flujo
isotérmico, dada su facilidad de manejo
Cálculo de trabajo mecánico y potencia
Entre los equipos impulsores de gases se tienen sopladores, compresores y ventiladores. El trabajo necesario se obtiene aplicando un balance de
energía mecánica a la entrada y salida del equipo impulsor.
Figura 6.8. Balance de energía mecánica a equipo impulsor.
En esta situación son despreciables las variaciones de energía cinética y potencial. Por otro lado las pérdidas por fricción en el paso del gas por
el equipo impulsor, serán consideradas en la eficiencia del equipo y por lo
tanto no evaluadas en forma separada. De acuerdo con esto, el balance de
energía mecánica se reduce a:
(6.19)
Suponiendo un comportamiento ideal del gas y que la compresión es reversible y adiabática, el trabajo ideal efectuado sobre el gas esta dado por:
(6.20)
218
Capítulo 6: Flujo de gases
Luego, la potencia teórica requerida se calcula como:
(6.21)
Donde n corresponde a moles/tiempo, k = Cp/Cv
Durante la pasada del gas por el equipo impulsor, la fricción produce
el calentamiento del gas, debido a lo cual la potencia real consumida es mayor que la potencia ideal, relacionándose ambas a través de la eficiencia del
equipo impulsor.
(6.22)
6.3.
Equipos impulsores de gases
Existe una similitud entre los equipos impulsores de líquidos descritos en el capítulo 5 y los equipos utilizados para impulsar gases. Estos son
clasificados, de acuerdo con el nivel de sobrepresión que entregan, en compresores, sopladores y ventiladores. Los compresores de gases son subdivididos en compresores de desplazamiento positivo y compresores centrífugos.
A su vez, entre los de desplazamiento positivo se distinguen los compresores
recíprocos (con pistones) y los compresores o sopladores rotatorios.
Compresores recíprocos. Estos pueden entregar el gas con sobrepresiones
desde algunas psi hasta presiones mayores a 35000 psi. En estos equipos el
gas que va a ser comprimido, entra y sale del cilindro, a través de válvulas
diseñadas para actuar cuando la diferencia de presión entre el contenido del
cilindro y las condiciones exteriores es la deseada. Si se usa un compresor
con varias etapas, generalmente se debe enfriar el gas entre ellas (hasta 12
etapas). Con una etapa se consiguen presiones de descarga de 150 psi, su-
219
Escurrimiento de fluidos
USACH
biendo a 750 psi con dos etapas y 3000 psi con tres etapas. Estos equipos
presentan eficiencias entre 65 y 80%.
Compresores o sopladores rotatorios. Al igual que los equipos impulsores
de líquidos, existe una gran variedad de elementos rotantes, que entregan
características específicas a cada equipo: de engranajes, de tornillo, de lóbulos, de aletas deslizantes, etc. Se caracterizan por entregar una descarga
prácticamente continua.
La selección de los compresores se efectúa generalmente mediante
catálogos, en los cuales se indican para diversas capacidades y presiones de
descarga, los tipos más adecuados, junto con datos de tamaño y potencia de
los motores.
Compresores centrífugos. Consisten en uno o más rodetes montados en un
mismo eje, dentro de una carcasa. En un compresor centrífugo se aumenta
la presión del gas, cuando éste circula a través del impulsor o rodete, en
forma análoga a lo que sucede en una bomba centrífuga (Figura 6.8). Son
utilizados tanto para impulsar un gas como para ejercer vacío. Normalmente
entregan sobrepresiones inferiores a 9 psi, aunque diseños especiales entregan presiones de salida hasta de 800 psi.
Figura 6.9. Compresores centrífugos.
220
Capítulo 6: Flujo de gases
Ventiladores. Los ventiladores se utilizan para transportar gases a bajas
presiones, generalmente bajo 40 cm col de agua (~0.6 psi). Su principio de
funcionamiento es semejante a un compresor centrífugo, aunque al operar a
bajas presiones, los volúmenes de succión y descarga son similares, siendo
posible despreciar el efecto de compresibilidad sobre el gas. De acuerdo con
la dirección del flujo de aire, los ventiladores se clasifican en ventiladores
de flujo radial y ventiladores de flujo axial. Ambos tipos se utilizan para
trabajos de ventilación, suministro de aire a quemadores y calderas, suministro de aire para secado, transporte neumático de sólidos, eliminación de
humos, etc. En términos generales, la eficiencia de funcionamiento de los
ventiladores se encuentra entre 40 a 70%. La presión operacional es la suma
de la presión estática y la carga de velocidad del aire que sale del ventilador.
Normalmente se expresa en cm de columna de agua.
El volumen de gas desplazado varía directamente con la velocidad
de giro del impulsor (rodete). La presión estática cambia en relación con el
cuadrado de la velocidad del rodete y la potencia varía en relación al cubo
de la velocidad. En la práctica, la eficiencia final de un ventilador (depende
fuertemente del tipo de álabe), debe ser determinada experimentalmente. El
tamaño de los ventiladores va desde pequeñas unidades, para circular aire
en vehículos, hasta enormes ventiladores industriales, diseñados para mover
hasta 60 m3/s a 15 cm col de agua.
Los ventiladores de aleta radial son recomendados para el transporte de
gases que contienen sólidos en suspensión, debido a que la acción centrífuga
tiende a mantener limpias las aletas. Su eficiencia es moderada. El ventilador curvado hacia delante es apropiado para baja velocidad y grandes volúmenes. Su eficiencia es media y es adecuado para gases limpios. Los ventiladores con las aletas curvadas hacia atrás se caracterizan por una mayor
eficiencia mecánica (cercana al 90%) y son adecuados parta gases limpios.
221
Escurrimiento de fluidos
USACH
Los ventiladores axiales son utilizados en aplicaciones de ventilación, donde se requieren bajas presiones. Se instalan en el interior del mismo ducto o
en ventanas y/o paredes.
Determinación del caudal de operación. Para determinar el caudal de operación debe trazarse la curva de resistencia del sistema en función del flujo
de aire. La intersección de ambas curvas define el caudal de operación, tal
como se esquematiza en la Figura 6.10.
Figura 6.10. Determinación del punto de operación y efecto de la velocidad de giro en las
curvas características.
Ejemplo 6.1
Se debe transportar hidrógeno (M=2 kg/kmol) desde un estanque a 20(atm)
hasta otro estanque a igual presión. Para realizar la operación es necesario
elevar la presión hasta 25(atm) a la salida del primer estanque, mediante
una bomba. La tubería de conducción es de acero de 2" y su longitud es de
500(m). Calcular el flujo de gas y la potencia de bombeo.
222
Capítulo 6: Flujo de gases
Solución:
A continuación se entregan una serie de datos:
di = 52,5(mm)
ε/D = 0,0009
T = 20 ºC ⇒ μf H2= =0,900425
· 10–5 (poise)
Como Δp/p1 = (25 – 20)/25 = 20%
Se usará la ecuación de Weymouth donde:
(1)
El método de cálculo consiste en suponer un valor de f *, con ε/D
determinar el Re del gráfico f * v/s Re. Con la ecuación (1) calcular G y el
Re = G · D/μ hasta obtener Re aproximadamente constante.
f*
0,0250
0,0220
0,0200
0,0195
Re
3,5 ·104
9,0 ·104
3,5 ·105
6,0 ·105
G, (kg/cm2 · s)
8,975 ·10–3
9,567 ·10–3
10,030 ·10–3
10,160 ·10–3
Re
5,24 ·105
5,58 ·105
5,85 ·105
5,93 ·105
Se considerará el valor real G = 101,6 (kg/cm2 · s)
w = G · A = 101,6 · 21,6 · 10–4 = 0,219(kg/s)
Para calcular la potencia real se requiere disponer de la eficiencia del equipo
impulsor.
223
Escurrimiento de fluidos
USACH
Ejemplo 6.2
Un gasómetro contiene metano (M =16 kg/kmol)) a 5(atm). El gas debe llevarse hasta su lugar de uso a través de una tubería recta de 250(m)de acero
comercial, tipo 40 de diámetro nominal 2" (Di = 2,067(in)). Determinar la
presión en el lugar de llegada, para que el flujo sea de 4/5 del máximo. Considerar temperatura constante de 20 ºC.
Solución:
μ = 0,017(cp)
(ε/D) = 8,71 · 10–4
Suponiendo flujo muy turbulento, f = 0,0047
De ln(p1/p2C)2 + 1 – (p1/p2C)2 + 4f · (L/D) = 0
L/D = 4761,73
ln(X2) – X2 = – 4 · 0,0047 · 4761 – 1 = – 90,52
X
10
9
9,7
9,75
ln(X2) – X2
– 97,69
– 76,60
– 89,55
– 90,51
X = 9,75 = p1/p2C
p2C = 5/9,75 = 0,513(atm)
Gmax = 133,13(kg/m2 · s)
Re = G · D/μ = 6,5 · 105 (Altamente turbulento)
f = 0,0047 (Suposición correcta)
G = 4/5 · Gmax = 106,5(kg/m2 · s)
Re = 3,28 · 105
Del gráfico f v/s Re, f = 0,0049
224
Capítulo 6: Flujo de gases
Reemplazando en:
p2(atm)
φ(p2)
1
4,57
4
47,71
3
27,22
3,3
32,74
3,29
32,546
p2 = 2,39(atm)
Ejemplo 6.3
En un estanque se mantiene aire a 20 ºC y 5 kgf/cm2. Determine el flujo de
aire que saldrá a la atmósfera, cuando se descarga a través de una tubería de
longitud 7,9 m y de DN 2" con 3 codos de 90º. El extremo del tubo penetra
ligeramente en el depósito.
Solución:
Є/D = 0.0004; M = 29 kg/kg-mol ; γ = k= Cp/Cv = 1.4
Suponiendo f* = 4 f = 0,016
Resistencias
L/Dequivalente
N = f * L/D
Contracción y expansión en el tubo
Tubo recto
3 Codos
Total:
~72
150
90
354
1.15
2.41
+ 1,44
5,00
225
Escurrimiento de fluidos
USACH
Usando la Figura 6.6 se obtiene:
G/Gnz*=0.5  G = 712,9 (kg/m2s)
Luego, el flujo másico de aire será:
Ahora debe verificarse si efectivamente nos encontramos en la zona
alta turbulencia:
En este caso la suposición considerada es correcta. Si el valor de f *
es inadecuado, deberá repetirse el cálculo.
226
Capítulo 6: Flujo de gases
EJERCICIOS
6.1. Una tubería que conduce gas natural tiene un diámetro interior de 36".
Las estaciones compresoras están distanciadas 60 millas, siendo la
presión de salida de la primera 750 psia y la presión de entrada de
la segunda 500 psia. El gas puede ser considerado como gas ideal de
peso molecular 16. Si la temperatura se mantiene constante en 70 ºF.
a) ¿Cuál es flujo másico?
b) ¿Hasta qué valor se puede bajar la presión a la entrada de la segunda
estación?
c) Manteniendo el valor de 750 psia a la salida de la primera estación,
¿Hasta qué valor puede aumentarse como máximo el flujo gaseoso?
6.2. Se bombea hidrógeno a 20 ºC, desde un estanque a 20 atm de presión
(absolutas) a través de 1600 pies de cañería horizontal de 2" de diámetro nominal. En la descarga, la presión también es de 20 atm. La
presión es elevada a 25 atm. por una bomba ubicada a la salida del
estanque. Si en las condiciones del transporte la viscosidad es de 0.009
cp. ¿Cuál es el flujo transportado? ¿Cuál es la potencia de la bomba?
6.3. Nitrógeno fluye desde una tubería de 2" en la cual la temperatura y
presión son de 40 ºF y 40 psig, hacia una cañería de 1" en la cual la
presión es de 21,3 psig. Calcule la velocidad en cada tubería, suponiendo condiciones isotérmicas y que no se producen pérdidas.
6.4. Un gasómetro contiene SO2 a la presión de 5 atm. El gas ha de llevarse
hasta el lugar de aplicación a través de una tubería de 2" y longitud
total de 250 m. Determine la presión en el lugar de aplicación, para
que el flujo sea 2/3 del máximo, considerando flujo isotérmico.
227
Escurrimiento de fluidos
USACH
6.5. El hidrógeno empleado en una planta de síntesis de amoniaco ha de
entrar en los convertidores a 75 atm. Si el gasómetro dispone de hidrógeno a 90 atm. y la línea de conducción tiene una longitud de 220 m.
Determine el diámetro de la tubería, si el flujo másico debe ser de 60
kg/min, en condiciones isotérmicas a 27 ºC.
228
Capítulo 7: Caracterización de partículas sólidas
CAPÍTULO 7
CARACTERIZACIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS
Las propiedades físicas y fuerzas de atracción que existen entre partículas sólidas, caracterizan el escurrimiento de fluidos a través de ellas. Entre
las propiedades físicas, deben mencionarse la densidad, el tamaño y forma
de las partículas. Con respecto a la densidad, debe diferenciarse entre la
densidad de la partícula (llamada también densidad real), ρs y la densidad
aparente (“bulk”), ρb. Esta última corresponde a la densidad global del material disperso, incluyendo los espacios libres entre partículas. Su evaluación
experimental es simple, utilizándose por ejemplo con un picnómetro o una
probeta graduada. La relación entre ambos parámetros es a través de la porosidad, ε, la cual se define como:
(7.1)
De esta forma:
ρb = ρs (1 - ε)
(7.2)
Valores frecuentes de porosidad en lechos fijos constituidos por partículas se encuentran entre 0.35 y 0.5. En aplicaciones en lechos fluidizados,
estos valores suben a porosidades sobre 0.6 y son superiores a 0.85 en transporte neumático.
7.1.
Tamaño de partículas
El tamaño de la partícula es una descripción de su extensión en el
espacio, la cual puede describirse en forma lineal (diámetro, ancho, alto,
espesor), superficial o de volumen. El concepto de diámetro, originalmente definido para describir el tamaño de partículas esféricas, también puede
229
Escurrimiento de fluidos
USACH
ser empleado para caracterizar partículas irregulares. El diámetro de éstas
últimas puede ser definido en términos de la geometría de partículas individuales, existiendo varias alternativas al respecto. Una de ellas considera el
diámetro de la partícula como un promedio aritmético de sus dimensiones
lineales características (di = (l + b + h)/3). Otra definición utiliza el promedio geométrico de las dimensiones lineales (di = (l b h)1/3).
Un diámetro recomendado para emplear con partículas de pequeño
tamaño (< 40µm) es el diámetro de Stokes, Dst, el cual esta basado en la ley
de Stokes:
(7.3)
donde µ es la viscosidad del fluido, V es la velocidad de descenso de la
partícula de densidad ρs, en el fluido de densidad ρf. Aunque teóricamente la
Ley de Stokes es válida solo para partículas esféricas, la diferencia entre el
volumen de una partícula irregular y el volumen de una esfera equivalente,
no representa un error, sino que por el contrario, da información útil sobre la
forma de la partícula.
Para la determinación experimental del tamaño de mezclas de
partículas irregulares, entre 7.6 mm y 0.038 mm, lo usual es emplear una
serie de tamices, cuyas mallas de alambres y aberturas están cuidadosamente
estandarizadas. Los tamices se identifican por el número de mallas por pulgada, debiendo considerarse que las aberturas son menores a causa del espesor
de los alambres. Las series de tamices más usadas son la Sieves y la Tyler.
Esta última se basa en la abertura del tamiz de 200 mallas, la que se establece
en 0.074 mm. El área de las aberturas, en cualquier tamiz de la serie, es exactamente el doble de las aberturas del tamiz inmediato inferior. La relación de
la dimensión real de las mallas de cualquier tamiz a la del inmediato inferior
es √ 2. Para análisis especiales es posible disponer de tamices intermedios.
230
Capítulo 7: Caracterización de partículas sólidas
Tabla 7.1. Abertura de tamices Tyler.
# malla
3
4
6
8
10
14
20
28
Abertura, µm
6680
4699
3327
2362
1651
1168
833
589
# malla
35
48
65
100
150
200
325
400
Abertura, µm
417
295
208
147
104
74
53
38
El análisis de una muestra de sólidos se realiza colocando la muestra
(alrededor de 200 gramos, aunque varía según la densidad de las partículas)
en el tamiz superior, y agitando la serie de tamices seleccionados durante
un tiempo definido (entre 10-25 minutos). Luego se pesan las fracciones
retenidas en cada tamiz y se informan los % o fracciones respecto a la masa
total inicial. Las partículas que pasan por el tamiz más fino se recogen sobre
un colector colocado en el fondo de la serie de tamices. Los resultados de un
análisis por tamizado se tabulan o grafican, para indicar la fracción másica
sobre cada tamiz, en función del intervalo del tamaño de malla entre dos tamices. Puesto que las partículas retenidas en cualquier tamiz provienen del
tamiz inmediatamente superior, se necesitan dos números para especificar
el tamaño de la fracción retenida entre dos tamices consecutivos, uno para
el tamiz a través del cual pasan las partículas y otro para el tamiz donde son
retenidas. Así la notación 14/20 significa que las partículas pasaron el tamiz
de 14 mallas y quedaron retenidas en el de 20 mallas. También se usa la notación – 14 + 20, con igual interpretación.
La dispersión de una mezcla de partículas es frecuentemente representada por una curva de distribución de tamaño de partículas, en la cual se
grafica el diámetro de las partículas vs la fracción (o porcentaje) de partículas de tamaño i. Esta representación corresponde a la curva de distribu-
231
Escurrimiento de fluidos
USACH
ción diferencial (se conoce también como análisis de frecuencia). También
se emplea la distribución de partículas en forma acumulativa (integral), en
cuyo caso se grafica di vs fracción (o porcentaje).
En el análisis acumulativo (Figura 7.1) se suman los incrementos
diferenciales individuales, comenzando por el retenido en el tamiz superior
y tabulando o representando las sumas acumuladas frente a la dimensión de
malla del tamiz que retiene la última fracción acumulada o añadida.
En cálculos basados en el análisis diferencial (Figura 7.2), se considera que todas las partículas de una fracción tienen igual tamaño, y que
éste es la media aritmética de las dimensiones de malla de los tamices que
definen la fracción. En algunas aplicaciones se emplea la media geométrica
para obtener el tamaño representativo.
Figura 7.1. Análisis acumulativo por tamizado.
232
Capítulo 7: Caracterización de partículas sólidas
Figura 7.2. Análisis por tamizado.
Funciones empíricas de distribución. Frecuentemente es necesario representar las distribuciones de tamaño de partículas a través de diversos modelos empíricos, con el fin de facilitar el manejo y/o análisis de la información.
Entre los modelos más usados están los de Gates-Gaudin-Schumann y el de
Rosin-Rammler-Bennett. El primer modelo corresponde a una representación del tipo:
(7.4)
donde K y m son parámetros del modelo. Yi representa la fracción acumulada pasante en el tamiz i, es decir la fracción de partículas con tamaño menor
a dpi.
El modelo (o función) de Rosin-Rammler-Bennett, tiene la forma:
(7.5)
donde la representación adecuada de los valores experimentales permite determinar los parámetros xo y m. Llamando Ri a la fracción acumulada rete233
Escurrimiento de fluidos
USACH
nida, la cual representa la fracción de partículas con tamaño mayor a dpi,
definida como: Ri = 1 – Yi, se tiene:
(7.6)
Aplicando logaritmo dos veces a esta ecuación, y representando el
resultado en un gráfico log-log vs log (papel Rosin-Rammler) se obtiene una
recta de pendiente m. Si se introduce dpi = xo, entonces Ri = 1/e.
El tamaño representativo de mezclas de sólidos irregulares, debe
ser caracterizado a través de un diámetro promedio:
Dprom = d1G1/G + d2G2/G + ···· dn Gn/G = Σ di Gi/G
(7.7)
donde di corresponde a la partícula de diámetro di, mientras que Gi representa el peso de cada fracción i.
Otras formas para expresar el diámetro de mezclas, consisten en el
empleo de promedios geométricos. Un tamaño representativo muy utilizado
lo constituye el diámetro superficie/volumen, conocido como diámetro
de Sauter, dps:
(7.8)
Otra alternativa es el empleo de un diámetro medio volumétrico,
dv, cuya expresión para una mezcla constituida por partículas de igual factor
de forma (volumétrico) está dada por:
(7.9)
234
Capítulo 7: Caracterización de partículas sólidas
7.2.
Forma de las partículas
Generalmente la forma de partículas irregulares se expresa como una
aproximación a una esfera, utilizándose el concepto de esfericidad, φs, definido como:
(7.10)
Si dp representa el diámetro de una esfera de igual volumen que la
partícula, Vp, entonces
(7.11)
Si Sp representa la superficie de la partícula, entonces:
(7.12)
Por otro lado, la superficie específica, av, se define como: av = Sp/Vp.
Si la partícula es de forma esférica, entonces, se obtiene: av = 6/dp, siendo dp
el diámetro de una esfera de igual volumen que la partícula. Esta ecuación
permite definir un diámetro equivalente, Dp, para partículas no esféricas.
Por lo tanto, en general:
(7.13)
235
Escurrimiento de fluidos
USACH
Tabla 7.2. Esfericidad de algunas partículas.
Tipo de partícula
Esfera
Cubo
Cilindro (h = d)
Cilindro ( h = 10 d)
Carbón activado y sílica gel
Carbón calidad antracita
Carbón pulverizado
Láminas de mica
Arena redondeada
Arena de playa
Arena de río
Trigo
Esfericidad (φ)
1.0
0.81
0.87
0.47
0.70 – 0.90
0.63
0.73
0.28
0.86
< 0.86
> 0.53
0.85
El número de partículas de una muestra de masa m, está dado por:
(7.14)
Si llamamos S a la superficie total de las partículas, entonces, empleando la definición de esfericidad, se tiene:
(7.15)
Ahora bien, si se dispone de una mezcla de partículas, constituida
por n fracciones de masa total m y cada una de las fracciones con masas m1,
m2, mn y densidades ρ1, ρ2 ρn, esfericidades φ1, φ2, φn, y tamaño medio
en cada fracción dp1, dp2, dpn, y siendo xi =mi/m, la fracción másica de la
236
Capítulo 7: Caracterización de partículas sólidas
fracción i de la mezcla, la superficie específica de la mezcla por unidad
de masa, Sm, será:
(7.16)
Ejemplo 7.1
La tabla siguiente resume valores de un análisis por tamizado de 117.431
gramos de partículas de aserrín de madera, obtenidos con tamices con aberturas entre 4.00 mm y 0.090 mm.
Abertura tamiz [mm]
4.000
3.360
2.830
2.360
2.000
1.400
1.000
0.710
0.600
0.500
0.356
0.217
0.150
0.090
0.000
TOTAL
mret [g]
1.5598
2.2786
3.4165
5.0329
3.2621
17.2481
46.9982
25.5679
4.2913
3.9841
2.6114
0.8997
0.1569
0.0859
0.0376
117.431
a) Represente gráficamente la distribución en forma diferencial y acumulativa.
b) ¿Qué función representa mejor la distribución de la galena? ¿Cuáles son
sus parámetros?
c) Determine el diámetro medio de Sauter, promedio y volumétrico de la
mezcla.
237
Escurrimiento de fluidos
USACH
Solución:
a) La siguiente tabla muestra los valores necesarios para graficar la distribución, tanto diferencial como acumulativa.
A continuación se muestra un ejemplo de cálculo para la primera corrida.
dp = Abi = 4.000(mm), para el resto de la tabla se utiliza la fórmula
dpi [mm]
4,000
3,680
3,095
2,595
2,180
1,700
1,200
0,855
0,655
0,550
0,428
0,287
0,184
0,120
0,045
xi
0,013
0,019
0,029
0,043
0,028
0,147
0,400
0,218
0,037
0,034
0,022
0,008
0,001
0,001
0,000
238
Yi
0,013
0,033
0,062
0,105
0,132
0,279
0,680
0,897
0,934
0,968
0,990
0,998
0,999
1,000
1,000
Capítulo 7: Caracterización de partículas sólidas
239
Escurrimiento de fluidos
USACH
b) Modelo Gates-Gaudin-Schuman (G-G-S):
Aplicando logaritmos: ln(1 – yi) = – m · ln(k) + m · ln(dpi)
ln(1 – yi) = 2,4138 – 2,4182 · ln(dpi) → R2 = 0,9531
m = 2,4182
– m ∙ ln(k) = 2,4138 → k = 2,713
Modelo Rosin-Rammler-Bennett (R-R-B)
→ R2 = 0,9844
m = 2,8411
m ∙ ln(x0) = 1,9268 → x0 = 1,970
El modelo de R-R-B representa mejor la distribución de galena, ya que presenta un mayor valor del parámetro de ajuste R2.
c)
240
Capítulo 7: Caracterización de partículas sólidas
EJERCICIO
1.
Galena triturada proveniente de un molino de bolas, presenta la siguiente distribución granulométrica:
Mallas Tyler
-28+35
-35+48
-48+65
-65+100
-100+150
-150+200
-200
Esfericidad, φ
0.85
0.85
0.86
0.87
0.88
0.90
0.93
Fracción en peso
0.150
0.200
0.171
0.134
0.104
0.080
0.161
a) Represente gráficamente la distribución en forma diferencial y acumulativa.
b) ¿Qué función representa mejor la distribución de la galena? ¿Cuáles son sus parámetros?
c) Determine la superficie específica y el diámetro medio de Sauter de
la mezcla.
241
Capítulo 8: Factores de fricción en medios porosos
CAPÍTULO 8
FACTORES DE FRICCIÓN EN MEDIOS POROSOS
En diversas aplicaciones industriales se produce el flujo de un fluido
a través de un medio poroso (Figura 8.1): filtración, reacciones químicas con
uso de catalizadores, columnas de relleno, secado de cereales, etc.
Con respecto a la determinación de la caída de presión a través del
lecho de partículas, se distinguen tres métodos: en uno de ellos se considera
la columna de relleno como un manojo de tubos enmarañados de sección
irregular, a los cuales se adapta el desarrollo de la teoría aplicada al flujo en
el interior de un ducto.
En otro método, se representa la columna de relleno como un conjunto de objetos sumergidos, calculándose la pérdida de presión como la suma
de las resistencias de las partículas sumergidas. Finalmente, existe también
un método teórico que aplica la mecánica del medio continuo (ecuación de
continuidad y la ecuación del movimiento) a la matriz porosa.
8.1.
Teoría del conjunto de tubos
En la teoría del conjunto de tubos, el relleno puede estar constituido
por partículas de diferentes formas (Figura 8.2), debiendo aceptarse las siguientes consideraciones:
a) Relleno uniforme y sin canalizaciones.
b) Diámetro de la columna, Dc >> D partículas.
c) Diámetro constante de la columna.
d) No existe efecto de pared.
243
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 8.1. Columna de relleno.
Figura 8.2. Materiales típicos de columnas de relleno.
Para el flujo por el interior de tuberías se definió el factor de fricción (Ecuación de Fanning). En forma análoga para columnas de relleno
se define:
(8.1)
donde el Dp equiv corresponde al diámetro equivalente de las partículas (Dp =
φs dp), siendo dp el diámetro de una esfera de igual volumen que la partícula.
vo es la velocidad superficial, es decir, la velocidad lineal que tendría el flui244
Capítulo 8: Factores de fricción en medios porosos
do en la columna sin relleno. P corresponde al potencial fluido-dinámico y
L es la longitud de la columna de relleno (vo = Q/Acolumna).
La velocidad real del fluido, v, se relaciona con vo a través de la porosidad del lecho, ε:
v = vo/ε
(8.2)
Para describir el flujo a través de medios porosos, es necesario definir
un diámetro equivalente de la columna de relleno, De:
(8.3)
Por otro lado, para el escurrimiento en régimen laminar de un fluido
newtoniano, por el interior de un ducto circular, es utilizable la ecuación
de Hagen-Poiseuille:
(8.4)
Aplicando esta ecuación para la columna de relleno e incorporando
la definición de De =Dc = 4 RH se obtiene:
(8.5)
Re-ordenando, utilizando la definición de radio hidráulico y de Dp, se
obtiene:
(8.6)
En esta ecuación, el empleo del concepto de radio hidráulico y el
hecho de que la longitud real que recorre el fluido en el interior del lecho sea
mayor que L, se traduce en que sus predicciones deban ser corregidas, a fin
de representar adecuadamente la situación real. En efecto, sus predicciones
245
Escurrimiento de fluidos
USACH
mejoran bastante si en vez del factor 72, se introduce el factor empírico 150,
de tal modo que:
(8.7)
Esta ecuación se conoce como ecuación de Blake-Koseny (ó ecuación de Koseny-Carman) y es válida para:
(8.8)
con
Go = ρ vo
Introduciendo en la ecuación de Koseny-Carman la definición del
factor de fricción, se obtiene:
(8.9)
Para flujo altamente turbulento en columnas de relleno (Rep > 1000),
con un desarrollo análogo al recién planteado, pero considerando un factor
de fricción independiente del flujo, se obtiene:
(8.10)
Estas ecuaciones se conocen con el nombre de ecuaciones de BurkePlummer.
246
Capítulo 8: Factores de fricción en medios porosos
Sumando las expresiones de Koseny-Carman (válida en régimen laminar), y la de Burke-Plummer (válida en régimen turbulento), se obtiene la
siguiente ecuación general, deducida por ERGUN:
(8.11)
En esta ecuación Dp = dp ∙ φs, siendo dp el diámetro de la esfera equivalente
de la partícula.
Figura 8.3. Representación gráfica del factor de fricción vs número de Reynolds (Adaptado
de Levenspiel, Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor, 1993).
247
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 8.4. Relaciones gráficas para estimar la porosidad de columnas de relleno (Adaptadas de Levenspiel, 1993).
8.2.
Teoría del medio continuo
Otro enfoque teórico para el análisis del flujo en medios porosos es
la aplicación de la mecánica del continuo a mezclas fluido-partícula. En este
método se aplica la ecuación de continuidad y del movimiento a una matriz
porosa indeformable:
(8.12)
(8.13)
donde m es la fuerza resistiva, para la cual existen varios modelos. τ es el
tensor tensión extra, que depende de la velocidad superficial. Existe muy
poca información para este parámetro, aunque afortunadamente es un término de menor importancia frente a los otros.
248
Capítulo 8: Factores de fricción en medios porosos
Henry Darcy (1856) propuso para la fuerza resistiva, en cualquier
régimen de flujo, la siguiente expresión:
(8.14)
k y c son parámetros que dependen solamente de la estructura de la matriz
porosa, excepto cuando se producen interacciones físico-químicas entre la
matriz porosa y el fluido. k representa la permeabilidad del medio poroso,
con dimensión L2, mientras que c es adimensional.
El flujo lento (escurrimiento Darcyniano), se observa cuando
. En esta situación, m = µ vo/k, con lo cual se obtiene la conocida “Ley de Darcy”:
-grad p = µ vo/k + ρ g, o bien, utilizando el concepto de altura piezométrica
(P = p + ρg h):
-grad P = µ vo/k
(8.15)
Los parámetros k y c son determinados experimentalmente en un
permeametro:
Si el escurrimiento es incompresible, para cualquier régimen de flujo:
(8.16)
249
Escurrimiento de fluidos
USACH
Si se trata de un gas ideal:
(8.17)
Relacionando el modelo capilar de ERGUN con el modelo recién
expuesto se observa que:
(8.18)
Con
el diámetro medio de Sauter y β con valores entre 4 y 5.
Estas expresiones reproducen los valores experimentales de lechos
con porosidades alrededor de 0.4 y valores de 10-5 < k < 10-4 cm2.
Churchill y Usagi (1972) proponen una correlación para estimar c,
cuyo rango de validez es: 0.15< ε <0.75, y 10-9 < k < 10-3:
(8.19)
donde ko =10-6 (cm2).
Las ecuaciones anteriores son válidas para fluidos incompresibles y
fluidos compresibles con variaciones moderadas en la caída de presión, es
decir, con variaciones en la densidad inferiores a 10%. En caso contrario,
debe considerarse la compresibilidad del gas, siendo aplicable la ecuación
siguiente:
(8.20)
250
Capítulo 8: Factores de fricción en medios porosos
Considerando flujo isotérmico y gas ideal, la ecuación 8.20 queda así:
(8.21)
Ejemplo 8.1
Se someterá a craking catalítico benceno (vapor) en un reactor de 1 m de diámetro y largo 3 m, que contiene en su interior pellets cilíndricos de diámetro
10 mm y largo 20 mm, con una porosidad de lecho de 0.45. La presión a la
salida del reactor no debe ser inferior a 2.5 atm y la temperatura media del
reactor es de 700 ºC.
¿Cuál es el flujo de benceno en kg/s, si la presión a la entrada del reactor es
de 3 atm.?
Solución:
A T = 700 ºC → μbenceno= 2,35 ∙ 10-5(kg/m∙s)
Mbenceno=80(kg/kmol)
Utilizando la ecuación de Ergun, considerando gas ideal y flujo isotérmico,
se tiene:
Luego:
251
Escurrimiento de fluidos
USACH
→ G0 = 7,227(kg/m2∙s) → w = G0∙A = 7,227∙(π/4)∙12 = 5,676(kg/s)
Ejemplo 8.2
Con esferas de naftalina (Dp = dp =2,9 mm) se forma un lecho de 7,5 cm. de
diámetro y 25 cm. de longitud. El peso de 100 cm3 de estas “esferas” es 63 gr.
A) Calcule el flujo másico de aire que puede atravesar este lecho, a una temperatura de 38 ºC y con una diferencia de presión de 45 cm. de agua.
B) Analice qué sucede con sus resultados si a las mismas esferas se les perfora radialmente con un diámetro de 1.55 mm.
A) 38 ºC:
ρaire (38 ºC)= 1,1379 kg/m3
µaire (38 ºC)= 2,0032x10-5 kg/m s
Utilizando la siguiente ecuación se despeja la porosidad (ε)
ρb = ρs ·(1 – ε)
Donde
Reemplazando se tiene: 0,63 = 1,14 ·(1 – ε)
ε = 0,4474
Utilizando la ecuación de Ergun:
y:
(P0 – PL) = 45 (cmH2O)  4412,99 (Pa)
Dp = 2,9 (mm)  0,0029 (m)
y
252
L= 25 (cm) 0,25 (m)
Capítulo 8: Factores de fricción en medios porosos
Reemplazando los valores en la ecuación queda:
Como:
B) Como
entonces, despejando m1esfera queda
Ahora, despreciando el volumen de la curvatura de los cascos se tiene que el
volumen y la superficie de la nueva partícula es:
Entonces:
253
Escurrimiento de fluidos
USACH
Ahora bien:
Reemplazando, se obtiene: ε = 0,685
Luego, reemplazando en Ergun queda:
254
Capítulo 8: Factores de fricción en medios porosos
EJERCICIOS
8.1. El depurado de un aceite (ρ = 790 kg/m3; ρ =0,916cp) se realiza haciéndolo pasar por una torre cilíndrica de 60 cm de diámetro y altura de 3
m, cargada con partículas de alúmina activada (diámetro medio de 12
mm), con una porosidad de 0.45. La depuración de 0.50 m3/m2min se
desarrolla a 30 ºC, con una caída de presión de 0.25 kgf/cm2. Se desea
utilizar esta torre para desecar parcialmente un caudal de aire húmedo
de 5.0 m3/h (CN). Admitiendo que el desecador funciona isotérmicamente a 40 ºC, y que el aire debe salir de la torre con una sobrepresión
de 1.8 kgf/cm2, ¿Cuál será la presión con que debe ingresar a la torre?
8.2. Para precalentar aire desde 30 a 120 ºC se utilizará un intercambiador
de calor que realiza la transferencia de calor utilizando partículas sólidas, que constituyen un lecho a través del cual circula el aire. A través
de un lecho formado por esferas de material cerámico de 25 mm de
diámetro se hacen pasar, alternativamente, corrientes de gases de combustión (que ceden parte de su energía) y de aire frío (que retiran la
energía desde las partículas). La porosidad del lecho es 0.4, con 90 cm
de diámetro y 2.4 m de altura. Se ha sugerido la incorporación al lecho
de cierta cantidad de esferas de 2.35 mm de diámetro, con la misión de
llenar los intersticios que quedan entre las esferas mayores, con lo que
se espera aumentar la capacidad calorífica del conjunto. Experimentos
previos han demostrado que las partículas menores pueden llegar a
llenar un tercio de los espacios huecos que dejan entre sí las partículas
mayores. Represente gráficamente la caída de presión vs la velocidad
másica del aire, para los dos lechos.
255
Escurrimiento de fluidos
USACH
8.3. Una torre de 1 (m) de alto y 0.2 (m) de diámetro interno, rellena con
100000 partículas cúbicas provistas de un orificio cuadrado, se utiliza
para purificar un gas de proceso a temperatura ambiente (ρg = 1 kg/m3,
μg = 1 x 10-5 kg/ms, M = 0.0289 kg/mol). Debido a la acumulación
de impurezas en las partículas, la porosidad del relleno disminuye en
un 20%, por lo que la torre debe ser lavada con un solvente especial
una vez por semana (ρSol = 800 kg/m3, μg = 0.7 x 10-3 kg/ms). Para el
proceso descrito anteriormente determine:
a) La presión de entrada al lecho al inicio de la purificación, si el
gas en el lecho posee una velocidad de 2 (m/s) y es descargado a la
atmósfera.
b) La variación de la velocidad del solvente en el lecho durante la limpieza, si la caída de presión se mantiene constante e igual a 1 (atm).
256
Capítulo 9: Filtración
CAPÍTULO 9
FILTRACIÓN
La filtración de suspensiones es una de las aplicaciones más conocidas del flujo de fluidos a través de un medio filtrante. En esta operación, las
partículas suspendidas en el fluido, son retenidas en un medio poroso, dejando pasar éste último, un fluido sin partículas sólidas. Dependiendo de la aplicación, el objetivo principal puede ser el de recuperar el sólido, suspendido
en el líquido o bien obtener un filtrado libre de partículas, a fin de disminuir
el impacto ambiental de aguas industriales con sólidos residuales.
La operación de filtrado de líquidos puede ser realizada en diversos
equipos, dependiendo de las características de la suspensión (viscosidad, pH,
concentración, temperatura), de los volúmenes a manejar y de la naturaleza y
tamaño de las partículas. La clasificación de los equipos de filtración puede ser
realizada bajo diversos esquemas. Por ejemplo, forma de funcionamiento (filtros continuos o discontinuos); tipo de gradiente que produce el movimiento
del fluido (filtros que operan por gravedad o que operan debido a un gradiente
de presión o vacío). Finalmente, también es posible clasificar los filtros de
acuerdo con la naturaleza del medio filtrante y de los mecanismos de retención
de las partículas: filtración en profundidad y filtración sobre superficies.
9.1.
Filtros de lecho profundo
En los filtros de lecho profundo o “filtros clarificadores”, las partículas
sólidas son atrapadas en el interior del medio filtrante, no observándose en general, una capa de sólidos sobre la superficie del medio filtrante (Figura 9.1).
El tamaño de los poros y canales determina el tamaño de las partículas, que
pueden ser removidas por medios mecánicos. Si las partículas de la suspensión
257
Escurrimiento de fluidos
USACH
son granulares, puede conseguirse una filtración de hasta 100% de eficiencia
de retención. Este % disminuye si las partículas se deforman bajo las fuerzas
hidráulicas, ya que en este caso, consiguen atravesar el medio poroso.
Figura 9.1. Esquemas de filtros abiertos (multicapas).
Es posible diferenciar tres clases de filtros de lecho profundo, dependiendo del número de capas de partículas:
a) Lechos con una capa de partículas: Generalmente es arena y se operan con
flujos entre 5 - 15 m3/h ⋅ m2 (Tabla 9.1).
b) Lechos con dos capas: En el tope se ubica una capa de antracita y en el
fondo una capa de arena.
c) Lechos con multicapas: Se ubica grava en el fondo, partículas de 0.2 mm
de tamaño y gravedad específica 4.2, luego una capa de arena (0.5 mm de
tamaño y gravedad específica 2.6), y en el tope una capa de antracita (1.1
mm de diámetro y gravedad específica 1.5). Esta configuración en tamaño y
densidad de las partículas facilita su reordenamiento, después de la etapa de
lavado por fluidización.
Un ejemplo típico de filtro de lecho profundo, lo constituyen los filtros de lecho por gravedad (abiertos) o a presión (cerrados), para el tratamiento de agua. Los depósitos pueden construirse de acero o de cemento.
Los conductos situados bajo el falso fondo perforado evacuan el líquido fil-
258
Capítulo 9: Filtración
trado procedente del lecho arenoso. Estos conductos van provistos de compuertas o válvulas, que permiten efectuar el lavado del lecho de arena por
circulación de agua en sentido opuesto, para arrastrar así a los sólidos acumulados. El fondo perforado está cubierto por una capa de 30 cm o más de
rocas trituradas o de grava gruesa, para sostener la capa superior de arena.
Tabla 9.1. Valores de diseño para filtros con una capa de partículas.
Característica
Rango
Poco profundo
Arena
Profundidad (m)
Tamaño efectivo partícula (mm)
Coeficiente de uniformidad
Velocidad de filtración, m3/h⋅m2
Antracita
Profundidad (m)
Tamaño efectivo partícula (mm)
Coeficiente de uniformidad
Velocidad de filtración, m3/h⋅m2
Profundidad convencional
Arena
Profundidad (m)
Tamaño efectivo partícula (mm)
Coeficiente de uniformidad
Velocidad de filtración, m3/h⋅m2
Antracita
Profundidad (m)
Tamaño efectivo partícula (mm)
Coeficiente de uniformidad
Velocidad de filtración, m3/h⋅m2
Muy profundo
Arena
Profundidad (m)
Tamaño efectivo partícula (mm)
Coeficiente de uniformidad
Velocidad de filtración, m3/h⋅m2
Antracita
Profundidad (m)
Tamaño efectivo partícula (mm)
Coeficiente de uniformidad
Velocidad de filtración, m3/h⋅m2
259
Valor
Típico
0.25 – 0.30
0.35 – 0.6
1.2 – 1.6
5 – 15
0.28
0.45
1.5
10
0.30 – 0.50
0.8 – 1.5
1.3 – 1.8
5 – 15
0.40
1.3
1.6
10
0.50 – 0.75
0.4 – 0.8
1.2 – 1.6
5 – 15
0.60
0.65
1.5
10
0.60 – 0.90
0.8 – 2.0
1.3 – 1.8
5 – 20
0.75
1.3
1.6
13
0.90 – 1.80
2–3
1.2 – 1.6
5 – 25
1.35
2.5
1.5
15
0.90 – 1.20
2–4
1.3 – 1.8
5 – 25
1.0
2.75
1.6
15
Escurrimiento de fluidos
USACH
9.1.1. Filtros abiertos
La mayor parte de las instalaciones de filtración destinadas al abastecimiento de agua potable, así como numerosas instalaciones de clarificación de aguas industriales o residuales de gran caudal, utilizan filtros
abiertos, generalmente de hormigón (Figura 9.2).
Figura 9.2. Esquema de un filtro abierto (AQUAZUR tipo T). 1. Arena; 2. Fondo falso; 3.
Boquillas; 4. Entrada de agua; 5. Canal de distribución de aire y agua de lavado y de salida
de agua filtrada; 7. Canales de evacuación de fangos.
Según la aplicación, el agua a filtrar no recibe previamente ningún
reactivo, se somete simplemente a una coagulación sin fase de decantación,
o bien, lo que es más frecuente, a un proceso de coagulación, floculación y
decantación. El sistema de tratamiento influye en la concepción tecnológica
de los filtros y, especialmente en el diseño de la batería filtrante. Los filtros
abiertos funcionan generalmente a velocidades de filtración comprendidas
entre 4 y 20 m/h. Los factores que determinan la velocidad de filtración son
principalmente la composición y espesor del medio filtrante, en conjunto con
la altura de agua sobre el lecho filtrante. Los fabricantes ofrecen diversas
alternativas que combinan los parámetros anteriores, junto con ciertos esquemas de limpieza del filtro empleándose combinaciones agua/aire. A modo de
260
Capítulo 9: Filtración
ejemplo, en la Tabla 9.2 y Tabla 9.3 se adjuntan dimensiones geométricas y
condiciones típicas de operación de filtros AQUAZUR, tipo T.
Tabla 9.2. Dimensiones de filtros abiertos (AQUAZUR tipo T).
Ancho (m)
3
3.0
3.0
3.5
3.5
3.5
4.0
4.0
Longitud (m)
8.18
10.5
12,82
8,02
12,0
14,98
11,66
17.46
Superficie (m2)
24.5
31.5
38,5
28,0
42,0
52,5
46,5
70.0
Tabla 9.3. Características de operación de filtros AQUAZUR tipo T.
Operación
caudal de agua filtrada
agua de lavado
Aire de lavado
Flujo [m3/(m2 h)]
5 a 10
5a7
50 a 60
9.1.2. Filtros cerrados
Para lograr una capacidad de trabajo elevada, el lecho filtrante puede
instalarse en un recipiente cerrado y actuar bajo presión (Figura 9.3). El proceso de filtración transcurre hasta que la caída de presión sobrepasa un límite
preestablecido (del orden de 3 a 5 psig). En este momento, se procede con la
etapa de limpieza del filtro, lo que se realiza con un flujo de agua en sentido
contrario al de filtración. Para cada lecho particular existe una velocidad definida, a la cual el agua de lavado inicia la fluidización del lecho, liberando
las partículas atrapadas. La capacidad efectiva media puede llegar a ser incluso menor al 50% del valor determinado para el filtro inicialmente limpio.
261
Escurrimiento de fluidos
USACH
En las instalaciones de funcionamiento continuo se utiliza un cierto número
de lechos de filtración, estableciéndose turnos para el lavado de cada uno de
ellos. En Tablas 9.2 y 9.3 se muestran algunas dimensiones y capacidades de
filtrado, para unidades similares a la de Figura 9.3.
Figura 9.3. Filtro de arena cerrado (a presión).
Tabla 9.4. Tamaños y capacidades de filtros (Candy Pressure Filter).
Diámetro del filtro (pie)
1
2
3
4
5
Filtrado (gal/h)
75
315
700
1250
2000
Agua de lavado (gal/min)
4a6
15 a 20
35 a 50
65 a 85
100 a 140
En todos los casos, el material de relleno grueso se dispone sobre el
fondo perforado, para que sirva de soporte a los materiales más finos. Los
262
Capítulo 9: Filtración
diferentes tamaños de materiales deberán disponerse en capas, de modo que
partículas de tamaños distintos no se mezclen.
9.2.
Filtros sobre superficies
La principal característica de estos filtros es que forman una capa de
sólidos, denominada torta, sobre la superficie filtrante. En estos equipos,
el medio filtrante es relativamente delgado, en comparación con el filtro
clarificador. Al comienzo de la filtración algunas partículas sólidas entran
en los poros del medio filtrante y quedan inmovilizadas, pero rápidamente
empiezan a ser recogidas sobre la superficie del medio filtrante. Después de
este breve período inicial, la torta de sólidos es la que realiza la filtración y
no el medio filtrante. La torta que se forma sobre la superficie, debe ser periódicamente retirada.
Con respecto a los filtros de superficie, los fabricantes ofrecen diversos diseños, los que han sido agrupados en siete categorías. Los diversos
sistemas de filtración no son fácilmente comparables entre ellos, dificultándose la selección de un sistema de filtración. A continuación se describen en
forma general los sistemas básicos de filtración:
1. Cedazos y coladores
Son útiles para retener partículas de tamaño superior a 75 micrones. Frecuentemente se emplean para filtrar líquidos viscosos. Funcionan por gravedad.
El principio de funcionamiento consiste en colocar un cedazo o tamiz, con
una determinada abertura en la línea de circulación del fluido. Las partículas
mayores a esa abertura son detenidas en la superficie del cedazo.
Dado que el filtrado es estrictamente un efecto de superficie y el número de aberturas por unidad de superficie es relativamente bajo, el cedazo
263
Escurrimiento de fluidos
USACH
se tapona relativamente rápido. Existen métodos para recuperar la superficie
filtrante, que incluyen lavado por contracorriente y/o elementos vibradores.
2. Filtros prensa
Consiste en una serie de placas que actúan como soporte y drenaje de los
elementos filtrantes. Alternando con esas placas hay una serie de marcos
huecos, que forman las cámaras filtrantes donde se juntan los materiales
sólidos. Esta serie de placas y marcos, unidos alternadamente con una tela
filtrante sobre cada lado de las placas, cuelgan de un bastidor, y se prensan
apretadamente por medio de un mecanismo de tornillo o hidráulicamente,
para formar un sistema estanco (Figura 9.4). La estanquidad del conjunto
queda asegurada por la presión, muy fuerte, de aplicación de unas placas
contra otras. La presión de filtración puede llegar a 25 bar.
Las placas pueden ser grandes (9.8 m x 9.8 m ó mayores), con hasta
950 placas por filtro, lo cual configura una gran área de filtrado. Dependiendo de la aplicación, el medio filtrante (tela) puede ser tejido (fibras sintéticas) o no.
El filtro prensa está diseñado para efectuar cierta variedad de funciones, la secuencia de las cuales puede ser controlada manual o automáticamente. Durante la filtración, el filtro prensa permite la entrada de la
pasta de alimentación hacia la superficie filtrante, a través de un ducto,
forzando su paso contra las superficies filtrantes. El filtrado, que ha pasado
a través de las superficies filtrantes, sale a través de otro ducto, mientras
que en el interior de los marcos se retiene los sólidos. Durante la secuencia
de lavado (no siempre necesaria), el filtro permite alimentar agua limpia a
los sólidos filtrados, forzando a que el agua de lavado pase a través de los
sólidos retenidos en el filtro, saliendo el agua de lavado con las impurezas
a través de un ducto separado (Figura 9.4). Existen diversos diseños para
realizar el lavado. Después de la secuencia de lavado, la prensa se desarma
264
Capítulo 9: Filtración
y los sólidos pueden recolectarse manualmente, o simplemente descargarse
y descartarse.
a)
b)
Figura 9.4. Filtro prensa. a) Esquema de funcionamiento, b) Filtro LOPU/USACH.
Los filtros prensa son versátiles, adaptándose para filtrar elevadas
alimentaciones (con casi cualquier porcentaje de carga de sólidos), tanto
para recuperar las partículas, el filtrado o ambos. También pueden manejar
materiales viscosos y en casos especiales, donde hay gelatinas o partículas
muy finas.
265
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 9.5. Diagrama de un lavado en paralelo (Adaptado de Foust y col., 1993).
3. Filtros de bolsa (manga)
Los filtros se colocan en el flujo líquido, de manera que la corriente fluya
desde el interior de cada bolsa hacia el exterior. Los filtros de bolsa son ideales para aumentar la capacidad filtrante y se usan para recuperar sólidos, sólo
cuando estos son valiosos. El manejo de los filtros de bolsa es de bajo costo,
pues el material queda retenido en su interior y es fácilmente desechable, por
lo tanto no hay necesidad de limpiar los filtros. Los sólidos a filtrar no deben
superar el 1% del flujo total.
4. Filtros de cartucho
Están diseñados para limpiar líquidos y no para recolectar sólidos. El líquido
fluye desde el exterior hacia el interior del cartucho, que puede ser simple o
de grupos múltiples. Dado que el cambio de cartuchos no es frecuente, los
sólidos no deben sobrepasar el 0.1% del flujo total. Estos filtros son similares a los de bolsa en flexibilidad y capacidad.
266
Capítulo 9: Filtración
Figura 9.6. Filtros de cartucho.
Se distinguen tres tipos de cartucho: de membrana, tejidos y de fibra
aglomerada. Los de membrana difieren de los otros en que pueden filtrar
partículas sub-micrónicas y generalmente son inspeccionados y probados en
su totalidad, y el costo es muy alto. Los tejidos se usan dentro del micrón y
generalmente con muy poca carga de sólidos y baja viscosidad. Los de fibra
aglomerada pueden manejar mayores cargas de sólidos y líquidos más viscosos. Son también aptos para eliminar partículas gelatinosas.
5. Filtros de presión de hojas
Consisten en hojas o láminas espaciadas, horizontales o verticales, que actúan como drenaje y soporte del elemento filtrante. Estos filtros tienen una
gran área filtrante respecto a la superficie ocupada y también ofrecen una
gran capacidad de filtrado, respecto al volumen que ocupan. Son aptos para
líquidos con viscosidades medianas (como aceites) con cargas de sólidos regulares (de 1 a 5%). No trabajan bien con cargas muy pesadas. Para mejorar
la calidad de filtrado se emplean a menudo auxiliares filtrantes. Los sólidos
se recogen en el medio filtrante y se sacan en forma manual o mecánica
(Figura 9.7).
267
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 9.7. Filtro de hojas verticales.
La suspensión se alimenta al recipiente llenando el espacio comprendido entre las hojas, y por medio de presión sobre la pasta el líquido
es forzado a fluir, a través de las hojas. La torta se deposita sobre la parte
exterior de las láminas, y el líquido que se encuentra en su interior sale por
el sistema de descarga del filtrado. En estos equipos, la operación de lavado
es más eficiente que en un filtro prensa ya que el agua de lavado sigue la
misma trayectoria que la suspensión. Para remover la torta debe abrirse el
recipiente, inyectándose algunas veces aire a presión, en dirección inversa
para despegar los sólidos de la tela.
6. Tambor rotatorio (filtro de vacío)
En el filtrado a vacío en un tambor rotatorio, entre un 15 a un 40% de su
área se sumerge en el líquido a filtrar, girando el tambor lentamente (8 a 15
rpm). La totalidad de la superficie exterior del tambor es cubierta con la tela
filtrante y una sección del interior del tambor se coloca bajo una presión ne-
268
Capítulo 9: Filtración
gativa (vacío de 30 a 60 cm de mercurio), para succionar el líquido a través
del medio filtrante, que pasa al interior del tambor (filtrado) (Figura 9.8). La
pasta sólida que queda adherida en la superficie exterior del tambor se retira
mediante el raspado de cuchillas, operación que se facilita al impulsar aire
comprimido desde el interior hacia afuera, en la fracción de área no sumergida (Figura 9.9).
La cantidad de sólidos recuperados puede ser elevada debido a que
la remoción es continua. Dado que el gradiente de presión es relativamente
bajo, no se puede usar este filtro con fluidos viscosos. Raramente se consigue filtrar suspensiones con partículas inferiores a 50 micrones.
Para estimar áreas de filtración, requeridas para filtrar lodos provenientes de desechos urbanos, se recomienda considerar una carga de filtración de 17 kg/m2-hora, para % de sólido seco a la entrada entre 3 y 10 %
(depende del tipo y tratamiento previo del lodo). El espesor de la torta es de
5 a 20 mm.
En los últimos años, los fabricantes ofrecen los filtros de discos,
cuyo principio de funcionamiento es similar al tambor rotatorio, pero con
un área de filtración bastante superior, ya que la unidad de filtración consta
de varios discos, produciéndose la filtración a través de ambas caras de los
discos (Figura 9.10).
269
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 9.8. Esquema de un filtro de tambor rotatorio.
Figura 9.9. Filtro de tambor rotatorio.
270
Capítulo 9: Filtración
9.10. Filtro de discos cerámicos.
7. Correas de vacío (filtros de banda)
Una tela filtrante continua pasa por una sección plana horizontal, donde se
aplica vacío. Luego la tela pasa sobre un rodillo, en el que el cambio brusco
de dirección hace caer el material sólido retenido. El lavado de la tela se
produce cuando ésta pasa por debajo del área horizontal, al regresar a la
sección plana para repetir el ciclo de filtración. En algunos diseños de filtros,
se considera adicionalmente un prensado de la torta, con una segunda banda
deslizante en uno de los extremos (Figura 9.11). La velocidad de la cinta
es regulable entre 1,5 y 9 (m/min). Los anchos de banda están entre 0,5 y 4
metros y sus longitudes entre 3,5 y 5,5 metros.
Tiene las desventajas de ocupar un gran espacio y de presentar altos
costos de mantención. Considerando que el vacío tiene poca fuerza de ex-
271
Escurrimiento de fluidos
USACH
tracción, no puede ser empleado para manejar líquidos viscosos y no retiene
partículas inferiores a 50 micrones. En estos filtros pueden tratarse lodos
primarios y biológicos (sólido seco < 10%), digeridos y sin digerir.
En Tabla 9.5 se presentan valores típicos de operación de filtros de
banda, de la marca Voest-Alpine (referido a un ancho de banda de 1 metro):
Tabla 9.5. Rendimiento de un filtro de banda Voest-Alpine (referido a un
ancho de banda de 1 metro)*:
Lodo urbano
Lodos primarios
Lodos digeridos
Lodos biológicos
Contenido de materias
sólidas (% sólido seco)
Carga
Torta
3 - 10
32 - 38
4-7
32 - 38
1,5 - 5
23 - 30
m3 lodo / hora
4 - 10
5 - 10
3,5 - 8
* Aurelio Hernández, “Depuración de aguas residuales”- 1992.
272
Capítulo 9: Filtración
Figura 9.11. Esquema de un filtro de banda (FLOCPRESS).
9.2.1. Selección de filtros sobre superficies
Los diversos sistemas de filtración no son fácilmente comparables
entre ellos, complicándose la selección de un filtro. En el cuadro siguiente
(Tabla 9.6) se esquematiza cómo seleccionar en primera instancia el tipo
de sistema básico de filtración, según el % de partículas en la suspensión
(carga), el flujo de la suspensión (gal/min), su viscosidad y el tamaño de las
partículas (Industrial World, 1988).
273
Escurrimiento de fluidos
USACH
Tabla 9.6. Sistemas básicos de filtración sobre superficies.
Característica
% carga de partículas
1
2
3
4
5
<0.1
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
0.1-1.0
Sí
Sí
Sí
1.0 - 10
Sí
> 10
Sí
6
7
*
*
Sí
Sí
Sí
Sí
Flujo G.P.M.
<500
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
1000
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
3000
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
10.000
Sí
**
Sí
20.000
Sí
**
Viscosidad (cp)
<100
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
1.000
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
**
**
50.000
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
100.000
Partícula (micrones)
1
Sí
Sí
Sí
50
Sí
Sí
Sí
Sí
100
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
200
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
400
Sí
Sí
500
Sí
**
*Sólo en algunos casos
**Recomendados para filtrar lodos residuales (A. Hernández, “Depuración de aguas
residuales”-1992).
274
Capítulo 9: Filtración
9.3.
Teoría de filtración de lechos profundos
En un filtro de lecho profundo, las partículas provenientes de la suspensión son retenidas en el interior del lecho granular, llenándose gradualmente los intersticios libres. La disminución de la porosidad (Volumen de
huecos/Volumen total del lecho), produce un aumento paulatino de la caída
de presión y/o una disminución del filtrado. Generalmente, al inicio de la
filtración la porosidad (ε) es 0.45 disminuyendo hasta 0.34 al finalizar el
período de filtración (en un filtro abierto, idealmente al cabo de 8 hrs.). En
este período se depositan entre 1100 y 6600 gr/(m3 de lecho), dependiendo
de la densidad del depósito, aunque en la filtración de efluentes industriales
pueden sobrepasarse ampliamente las cifras anteriores. El término de la
etapa de filtración se produce cuando se alcanza la caída de presión máxima permisible, y/o cuando comienzan a aumentar los sólidos suspendidos
en la corriente de descarga. Estos eventos pueden ocurrir simultáneamente
(Figura 9.12).
Figura 9.12. Ilustración de un ciclo para un proceso de filtración.
275
Escurrimiento de fluidos
USACH
Una vez que se cumple alguna de las situaciones mencionadas, se
finaliza con la etapa de filtración y se inicia la etapa de lavado, haciendo
pasar agua en contracorriente, de forma tal de producir una expansión del
lecho (> 15%), para lo cual el agua debe ingresar a una velocidad superior
a la mínima de fluidización (Vmf). En algunas aplicaciones, el lavado es realizado simultáneamente con inyecciones de aire, lo que facilita la remoción
de fangos adheridos al medio filtrante (Tabla 9.7).
Tabla 9.7. Flujos de agua y aire normalmente utilizados en la etapa de
lavado.
Medio
Arena
Antracita
Características del medio
Tamaño efectivo Coeficiente de
partículas
uniformidad
1.00
1.40
1.49
1.40
2.19
1.30
1.10
1.73
1.34
1.49
2.00
1.53
Flujo de lavado
Aire
Agua
3
2
3
m /m h m /m2 min
24
13
36
20
50
26
17
7
24
13
36
20
Para evaluar la caída de presión en el medio filtrante, puede emplearse la ecuación de Darcy, válida para el escurrimiento de fluidos a través de
medios porosos, en régimen laminar (Darcyniano):
(–∆p) = μ Rm vo
(9.1)
donde Rm representa la resistencia del medio filtrante, la cual aumenta a
medida que transcurre la filtración. vo [Lθ-1] representa la velocidad de
filtración, dada por:
(9.2)
siendo dV/dt el caudal volumétrico instantáneo de filtración.
276
Capítulo 9: Filtración
La variación de la resistencia del medio filtrante, Rm, depende fuertemente de las características del medio poroso y de la suspensión a filtrar,
por lo tanto, la variación de Rm durante la filtración debe necesariamente
ser determinada en ensayos experimentales. Para un filtro abierto, bastará
registrar la variación del caudal de filtrado en función del tiempo, luego calcular para cada tiempo la correspondiente resistencia del medio filtrante. Un
ajuste adecuado permitirá disponer de una expresión para Rm en función del
tiempo, la que podrá ser utilizada para programar el tiempo de lavado.
Otra forma de describir la filtración de lechos profundos es empleando la ecuación de Blake-Koseny, válida para escurrimiento laminar:
(9.3)
donde:
Go = ρ vo = densidad de flujo másico.
vo = velocidad del fluido, considerando que no hay lecho.
Dp = 6/av = diámetro de las partículas.
av = superficie específica de las partículas, definida por:
(9.4)
En la Tabla 7.1 y en la Tabla 7.3 se presentan valores de abertura de
tamices Tyler y de esfericidad de partículas.
Ejemplo 9.1
Determine la capacidad de filtrado de un filtro abierto, en el cual se obtiene
agua potable para una ciudad. El filtro es de arena de mallas – 28 + 35, altura
30 cm y sobre el lecho se mantienen 50 cm de agua. a) Determine la capacidad inicial, considerando que la porosidad del lecho es de 0.45. b) Estime en
cuánto disminuye la capacidad de filtrado, si la porosidad baja a 0.34.
277
Escurrimiento de fluidos
USACH
Considere que la temperatura media del agua es de 20 ºC y que la
esfericidad de las partículas (φ) es 0,75 (Ver otros valores en tabla 7.3).
Solución:
De tabla 7.1:
Malla 28 -- abertura 0,589 mm
Malla 35 -- abertura 0,417 mm
El tamaño promedio de las partículas, determinado por las aberturas
de las mallas, es 0,503 mm. Puesto que el área de las partículas y el volumen
no son conocidos, el diámetro de las partículas (Dp) no puede ser determinado con precisión. Una alternativa es considerar el diámetro de las partículas
igual a 0,503 mm, sin embargo, una alternativa más cercana a la realidad es
considerar que las partículas tienen un volumen medio igual al de una esfera
de diámetro 0,503 mm. Entonces:
Superficie de una esfera (Sesf) = π 0,5032 = 0,795 (mm2)
Volumen de una esfera (Vesf) = π 0,5033/6 = 0,067 (mm3)
pero, Sp = Sesf /φ = 1,06 (mm2)
y considerando Vesf = Vp = 0,067, se obtiene:
Dp = 6/(Sp/Vp) = 0,38 (mm)
Despejando de ecuación 9.3, Go:
278
Capítulo 9: Filtración
Introduciendo los valores numéricos correspondientes al período inicial de
filtración, se obtiene:
Go = 4,74(kg/m2 s) ; → Go* = 17 (m3/(m2 h)
Para la parte b, se obtiene:
Go = 1,42 (kg/m2 s); → Go* = 5,1 (m3/(m2 h)
Los valores calculados se encuentran en el rango de lo informado para filtros
abiertos AQUAZUR-Tipo T (Tabla 9.3).
9.4.
Teoría de filtración sobre superficies
Las partículas retenidas por el medio filtrante constituyen la torta o
queque, a través de la cual percola el líquido limpio o filtrado (Figura 9.13).
La acción de las fuerzas que actúan en el escurrimiento hace que las
partículas sólidas adquieran diferentes grados de compactación a lo largo de
la torta, la cual aumenta a medida que se aproxima al medio filtrante (tela) y,
en una dada sección transversal de la torta, varía con el tiempo de filtración.
Por lo tanto, estrictamente, la torta es un medio poroso que crece y se deforma continuamente.
279
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 9.13. Esquema de filtración.
Analizando la Figura 9.13, se observan dos resistencias en serie al
escurrimiento del líquido: la que ofrece la torta (p1 – pi) y la del medio filtrante (pi – p2). A continuación se desarrollan expresiones para cada una de
estas diferencias de presión, en función de la velocidad del líquido. La nomenclatura básica será la siguiente:
p1: presión en interfase suspensión-torta.
pi: presión en interfase torta-medio filtrante.
p2: presión en interfase medio poroso-líquido filtrado.
ps: presión de compresión en las partículas.
S: fracción másica de sólidos en la suspensión.
r: razón de torta húmeda a torta seca.
Planteando un balance global de masa para un tiempo t de filtración,
para el volumen de control localizado entre los planos x = 0, x = L y las paredes que lo envuelven (Figura 9.13), se obtiene:
siendo Ms la masa de torta seca.
280
Capítulo 9: Filtración
Al introducir cada uno de estos términos en el balance global de
masa, se obtiene:
Ms = (ρ S V)/(1 - r S)
(9.5)
donde ρ denota la densidad del líquido. Por lo tanto, para un elemento diferencial de torta conteniendo una masa de sólidos, dMs, es posible escribir:
(9.6)
Otra forma de expresar dMs, es en función del elemento diferencial
dx de torta. Introduciendo la porosidad del lecho ε, definida como:
(9.7)
y ρs, la densidad de las partículas sólidas del lecho y A su sección transversal
total, perpendicular a la dirección del flujo, se obtiene:
(9.8)
Combinando las ecuaciones para obtener una relación entre el elemento diferencial dx de torta y el volumen colectado de filtrado, se obtiene:
(9.9)
La torta de sólidos constituye un tipo de medio poroso, y por lo tanto
es posible emplear la ecuación de Koseny-Carman, válida para escurrimiento laminar, para evaluar la caída de presión a través de la torta:
(9.10)
281
Escurrimiento de fluidos
USACH
donde:
Go = ρ vo = densidad de flujo másico.
vo = velocidad del fluido, considerando que no hay torta.
Dp = 6/av = diámetro de las partículas.
av = superficie específica de las partículas.
Introduciendo estos parámetros en la ecuación 9.10, se obtiene:
(9.11)
La expresión anterior es válida para ε y av constantes a través del lecho de partículas. Para un elemento diferencial de torta, la ecuación anterior
podemos escribirla como:
(9.12)
Si la torta presenta tanto una porosidad ε como una superficie específica de las partículas av, independiente de la posición, la torta formada
recibe la denominación de torta incompresible. Por el contrario, si ε y av
varían con la posición, la torta recibe el nombre de torta compresible. En
este último caso, la fuerza de arrastre que ejerce el filtrado tiende a mover
las partículas en la dirección del flujo. Este arrastre es contrarrestado por una
fuerza equivalente, pero opuesta que ejercen las partículas ubicadas delante
de la partícula considerada. Este efecto es acumulativo y por ende, cada capa
de sólidos transmite este arrastre a la capa siguiente.
Los esfuerzos mecánicos que tienden a comprimir la torta en la dirección x, denominados presiones de compresión ps, surgen al dividir las
fuerzas acumulativas por el área de filtración A:
ps = p1 - p
282
Capítulo 9: Filtración
donde p representa la presión del fluido en el plano x = x. Dado que p1 es
constante, al derivar la última expresión, se obtiene que dps/dx = - dp/dx.
Luego, es posible introducir la presión de compresión en la ecuación 9.12:
(9.13)
Para relacionar el comportamiento del filtro con el volumen de filtrado, introduciremos dx desde la ecuación 9.9, obteniéndose:
(9.14)
De lo anterior se desprende que ε y av dependen sólo de la presión de
compresión ps. Por lo tanto, es conveniente agrupar todos estos factores en
un solo término α, denominado “resistencia específica local de la torta”.
Así:
(9.15)
De esta forma, la ecuación 9.14 puede escribirse como:
(9.16)
Integrando la expresión anterior entre los límites V = 0, (ps = 0)
y V = V, (ps= p1- pi), y considerando que la velocidad superficial vo permanece constante al igual que las propiedades físicas de la suspensión y
del líquido filtrado, se obtiene:
(9.17)
Esta ecuación, en rigor es válida para tortas incompresibles (α =
constante), las cuales se forman cuando la suspensión está constituida por
sólidos cristalinos de forma regular. En la práctica la mayoría de las tortas
283
Escurrimiento de fluidos
USACH
presentan algún grado de compresibilidad y por lo tanto debe evaluarse α
en las condiciones de interés, para lo cual se requiere el conocimiento de la
relación de α = f(ps). En esta situación α en ecuación 9.17 es reemplazado
por αav, definido como:
(9.18)
Para tortas incompresibles la ecuación 9.17, puede ser escrita como:
(9.19)
ecuación en la cual:
(9.20)
Si tanto la fracción másica de sólidos en la suspensión como la temperatura no varían durante el proceso de filtración, entonces K1 será constante y no dependerá de las condiciones de operación.
Dado que la ecuación 9.19 se aplica solamente a la torta, debemos
deducir otra expresión para evaluar la caída de presión del medio filtrante, la
que se debe a la resistencia de la tela, con sus poros parcialmente bloqueados
por las partículas sólidas. Esta evaluación puede ser realizada usando nuevamente la ecuación de Koseny-Karman, para lo cual es necesario definir un
volumen hipotético de filtrado (Ve). Otra forma de evaluación es empleando
la ecuación de Darcy, válida para el escurrimiento de fluidos a través de medios porosos, en régimen laminar. En este caso:
p1 – p2 = μ Rm vo
(9.21)
donde Rm representa la resistencia del medio filtrante.
Experimentalmente se ha observado que los factores que influencian
Rm son la caída de presión y en algún grado el flujo volumétrico de filtrado.
284
Capítulo 9: Filtración
Evidentemente que depende fuertemente del tipo de tela y de las características de la suspensión. Incluso puede variar de un experimento a otro en un
mismo filtro.
La caída de presión total a través del filtro, es decir, (p1 – p2), se
obtiene sumando las expresiones correspondientes a las caídas de presión
parciales. Por lo tanto:
(9.22)
donde:
(9.23)
En las últimas expresiones dV/dt representa el caudal volumétrico
instantáneo de filtración. La ecuación 9.22 recibe el nombre de ecuación
fundamental de filtración. A continuación se mostrará como dicha ecuación se aplica para resolver diferentes situaciones de filtración.
9.4.1. Filtración discontinua
9.4.1a. Filtración discontinua a presión constante
Este tipo de operación se presenta principalmente en trabajos a escala de laboratorio y en equipos industriales que operan a vacío, como por
ejemplo en filtros de hojas o láminas filtrantes.
Para asegurar una presión constante en la interfase torta-suspensión,
se puede utilizar el esquema indicado en la Figura 9.14.
285
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 9.14. Esquema de alimentación de suspensión a un filtro a presión constante.
La integración de la ecuación 9.22 para una torta incompresible, considerando (–Δp) = constante, permite llegar a la expresión siguiente:
(9.24)
donde to y tf corresponden al tiempo necesario para colectar un volumen de
filtrado Vo y Vf respectivamente. Generalmente para to = 0, el volumen de
filtrado será 0.
Figura 9.15. Filtro de laboratorio (a vacío).
286
Capítulo 9: Filtración
Pruebas de filtración a presión constante, a escala de laboratorio, permiten obtener un conjunto de pares ordenados (tiempo, volumen de filtrado).
De un gráfico (tf – to)/(Vf – Vo) vs (Vf + Vo), se obtiene una recta cuya pendiente y coeficiente de posición, permiten determinar K1 y la resistencia del
medio filtrante (Rm):
(9.25)
(9.26)
En la Figura 9.15 se muestra un esquema típico de filtración, que
se utiliza a escala de laboratorio y que opera a presión constante. Si en una
corrida de laboratorio se alcanza rápidamente un valor constante para (-Δp),
entonces pueden considerarse to = 0 y Vo = 0.
9.4.1.b. Filtración a presión y caudal constante (Ecuación de lavado)
Al finalizar la operación de filtrado, es necesario lavar la torta con un
solvente apropiado, a fin de disminuir el contenido de soluto soluble retenido por la torta. Durante la operación de lavado las resistencias permanecen
constantes, por lo tanto la operación se efectúa a (-Δp) y flujo constante:
(9.27)
donde dV/dt = qw =constante, representa el caudal de lavado.
El tiempo de lavado está dado por:
tw = Vw /qw
siendo Vw el volumen de líquido empleado en el lavado de la torta.
287
Escurrimiento de fluidos
USACH
Si el líquido de lavado es diferente del líquido de filtrado, será necesario corregir K1 en lo que se refiere a las propiedades físicas del fluido.
Otra observación importante está relacionada con el área de lavado, ya que,
dependiendo del recorrido del solvente de lavado, podría ser distinta del área
de filtrado.
9.5.1.c. Filtración a caudal constante
(9.28)
Dado que dV/dt = Q= caudal =[L3/t] = constante, la ecuación 9.28 se transforma en:
(9.29)
O bien:
(9.30)
Esta situación se presenta cuando se utiliza para impulsar la suspensión una
bomba de diafragma.
9.5.1.d. Filtración a caudal y diferencia de presión variables
(9.31)
Esta situación es usual en procesos industriales de filtración, en los cuales
para impulsar la suspensión se utiliza una bomba centrífuga. Para una bomba centrífuga, la curva característica ΔH vs Q, al despreciar el término cinético (1/2 ΔV2) y el término potencial (gΔZ =0), se puede representar como
288
Capítulo 9: Filtración
(–ΔP) vs Q. Por lo tanto, esta expresión nos proporciona la relación entre el
flujo [Q(t)] y la diferencia de presión [ΔP(t)], que se requieren en la ecuación
9.31. Despejando de esta ecuación V(t), se obtiene:
(9.32)
Una vez conocida la relación V(t) vs Q(t), el tiempo necesario para filtrar un
volumen VF, se obtiene a través de la integración de la siguiente ecuación:
(9.33)
9.4.2. Ciclo de filtración en procesos discontinuos
Una vez finalizado el período de lavado, se requiere de un tiempo
adicional para extraer la torta, limpiar y armar el filtro para dejarlo nuevamente en condiciones de operar. Este tiempo adicional se conoce como
tiempo de descarga, td. Se define tiempo de ciclo, tc, como la suma del total
de tiempo empleado en la filtración. Es decir:
tc = tf + tw + td
(9.34)
La capacidad del filtro discontinuo será:
C = Vf /tc
(9.35)
Generalmente interesa que la capacidad del filtro sea máxima, de modo
que el tiempo de ciclo óptimo se obtiene al derivar la capacidad respecto del
volumen de filtrado e igualar a cero, o sea:
(9.36)
289
Escurrimiento de fluidos
USACH
Ejemplo 9.2
En la tabla siguiente se presentan resultados correspondientes a una experiencia de filtración a (-Δp)= 276,52 (kN/m2) de una suspensión de CaCO3 en agua
a 20 ºC y con una fracción másica (S) de 0.0723. El filtro corresponde a uno
de placas y marcos, acondicionado con un solo marco de área 0.0263 (m2) y
un espesor de 0,03 m. La densidad aparente de la torta seca fue de 1604 (kg/
m3), mientras que la densidad del sólido puede tomarse igual a 2930 (kg/m3).
Volumen de filtrado (L)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
Tiempo (s)
1.8
4.2
7.5
11.2
15.4
20.5
26.7
33.4
41.0
48.8
57.7
67.2
77.3
88.7
Suponiendo que la torta es incompresible, determine:
a) La porosidad y superficie específica de la torta.
b) La resistencia específica de la torta (α).
Solución:
En primer lugar, se deben evaluar los parámetros K1 y Rm, para lo cual se
requiere en primer lugar representar (tf/Vf) vs Vf (ecuación 9.24) y luego
utilizar las ecuaciones 9.25 y 9.26.
El ajuste de la mejor recta: Y = mX + b
290
Capítulo 9: Filtración
con: Y = (tf/Vf) y X = Vf
Permite determinar los valores:
m = 8.73 (s/l2)
b = 7.0 (s/l)
r = 0.998 (factor de correlación)
De lo anterior, se concluye que la ecuación de la recta buscada es:
tf/Vf = 8.73 Vf + 7.0
Empleando ecuaciones 9.25 y 9.26, se obtiene K1 y Rm:
K1 = 2x (2x0.0263)2(m4)x8.73x106(s/m6)x2.7652x105(kg/m-s2)
K1 = 1.34x1010 (kg/s-m3)
Rm = 7000(s/m3)(2x0.0263)(m2)x2.7652x105(kg/m-s2)/0.001(kg/m-s)
Rm = 1.02x1011(1/m)
La porosidad de la torta puede calcularse empleando el concepto
de densidad aparente ρap. Así, se tiene:
ρap = masa de sólido/(volumen del lecho) = Ms/V
Introduciendo en esta expresión la masa de sólidos, Ms, en función
de la densidad de las partículas y utilizando la definición de porosidad, se
obtiene:
ε = (V- Vs)/V = 1 - Vs/V = 1 - (Ms/ρs)/V= 1 - ρap/ρs
ε = 0.453
291
Escurrimiento de fluidos
USACH
Para evaluar la resistencia específica de la torta, α, se requiere conocer el valor de r, dado por:
r = (Ms + Mw)/Ms = (ρs Vs + ρw Vw)/(ρs Vs)
donde M representa la masa, V significa volumen y los subíndices s y w
denotan sólido y agua, respectivamente. De la definición de la porosidad se
obtiene:
ε = Vw/V
y
(1 - ε) = Vs/V
luego,
r = [(1-ε)ρs + ε ρ]/[(1-ε)ρs]
Introduciendo los valores numéricos se obtiene:
r = 1.283
Utilizando la ecuación que define K1 (ecuación 9.20),
se obtiene:
α = 1.66x1011 (m/kg)
Para evaluar la superficie específica de la torta, av, se utiliza la ecuación 9.15, obteniéndose:
Ejemplo 9.3
En un filtro prensa de laboratorio, con un solo marco de área filtrante 0.03
m2 y 30 mm de espesor, se filtró a una presión constante de 2.5 kgf/cm2 una
suspensión al 8% de CaCO3 (ρs = 2700 kg/m3), obteniéndose que la relación
torta húmeda/torta seca, r = 1.5. La representación adecuada de los valores
experimentales (tf/Vf vs Vf) permitió obtener los parámetros de la torta y del
medio filtrante:
K1 = 9.22 x 109 (kg/(s-m3) ; Rm = 5.7x1010 (1/m)
292
Capítulo 9: Filtración
Se desea filtrar también a 2.5 (kgf/cm2),la misma suspensión en un
filtro prensa, constituido por 20 marcos de dimensiones 60 cm x 60 cm x
3cm de espesor. Al respecto, calcule:
a) La cantidad de suspensión que puede manejarse hasta llenar los marcos,
señalando el tiempo empleado.
b) El tiempo de lavado, si se lava con agua a 15 ºC y a (-Δp) = 2,5 (kgf/
cm2), empleando 5 volúmenes de agua de lavado por volumen de huecos de
la torta.
c) El volumen medio por ciclo, suponiendo que el tiempo total necesario
para vaciar, limpiar y rearmar el filtro es de 30 minutos.
Solución:
Para evaluar la porosidad de la torta se tiene:
ε = ρs(1 - r)/(ρs[1 - r]- ρ] = 0.57
Con respecto al área de filtración en el filtro industrial:
A = 2x20x0.6mx0.6m = 14.4 (m2)
Utilizando la ecuación 9.9, se obtiene:
Integrando esta expresión entre x=0, (V=0) y x =0.015m, (V=Vf), se obtiene
Vf = 2.757(m3), siendo Vf el volumen de filtrado obtenido para llenar los
marcos.
Por otro lado:
masa de suspensión = masa de torta húmeda + masa de filtrado
293
Escurrimiento de fluidos
USACH
Utilizando ecuación 9.5, se obtiene:
Ms = ρ S Vf /(1- r S)= 1000(kg/m3)0.08x2.757(m3)/(1- 1.5x0.08)
Ms = 250.6 (kg)
pero: r = ( Ms + masa de agua en torta )/Ms = 1.5, de acá:
(masa de agua en torta) = 125.3 (kg), por lo tanto:
(Volumen de agua “procesada”) = 2.757 + 0.125 = 2,882 (m3) = 2882 kg
Luego, la masa de suspensión es:
Masa de suspensión = 2882 + 250.6 = 3132.6 (kg)
Para estimar el tiempo de filtración, emplearemos la ecuación 9.24:
Introduciendo valores numéricos:
obteniéndose:
tf =733 (s) = 12.2 (min)
294
Capítulo 9: Filtración
b) Para evaluar el tiempo de lavado, en primer lugar se debe determinar el
volumen de agua empleado en esta tarea, usando la información entregada
en el enunciado:
Vw = 5 Vhuecos
Vtorta = 20x0.62 (m2)x0.03 (m) = 0.216 (m3)
Utilizando la definición de porosidad:
Vhuecos = 0. 57x 0.216 (m3) = 0.123 (m3)
luego: Vw = 0.616 (m3)
Por otro lado: Aw = Af/2 = 7.2 (m2)
Introduciendo estos valores en la ecuación de lavado:
(9.27)
con dV/dt = Vw/tw = qw =constante.
se obtiene:
tw = 1252 (s)
c) Recordando que: tc = tf + tw + td; e introduciendo los valores respectivos,
se obtiene:
tc = 733 (s) + 1252 (s) + 1800 (s) = 3785 (s); luego, la capacidad C, es:
C = Vf/tc = 7.284*10-4 (m3/s) = 2.62 (m3/h)
295
Escurrimiento de fluidos
USACH
Filtro prensa LOPU/ DIQ / USACH (Vista parcial).
9.4.3. Filtración continua a presión constante
Este tipo de operación se realiza en filtros tales como los de tambor
rotatorio o los de discos. En ellos se observa que la caída de presión (–Δp)
permanece constante. El espesor de una determinada fracción de área filtrante, aumenta gradualmente a medida que ella gira, sumergida en el interior del estanque con la suspensión. Cuando emerge desde la suspensión, se
296
Capítulo 9: Filtración
realizan consecutivamente las operaciones de lavado, secado (opcional) y
desprendimiento de la torta.
Considerando que la operación de filtración se realiza a (–Δp) = constante, es posible “adecuar” la ecuación deducida para filtración discontinua
a (–Δp) = constante. Sean L y R el largo y radio del tambor rotatorio. Por lo
tanto, la superficie filtrante total del tambor está dada por la expresión:
A=2πRL
y la superficie sumergida por:
Ao = ψ’ R L
De lo anterior se concluye que la fracción de superficie sumergida del filtro
ψ adopta la forma:
ψ = ψ’/(2 π) = Ao/A
donde ψ’ se expresa en radianes y constituye una medida de la superficie
sumergida del tambor.
Por otro lado, la ecuación de filtración, deducida para un filtro discontinuo, considerando que a t = 0 no se ha recolectado filtrado, fue:
(9.37)
donde t* representa el tiempo “real” de filtración, o sea el tiempo que permanece sumergido un área determinada de filtro. V* corresponde al volumen de
filtrado, colectado por la fracción de superficie sumergida Ao en el tiempo t*.
El tiempo de filtración t* puede expresarse en función de la velocidad de giro
del tambor, N (revoluciones/tiempo):
t* = (ψ /N),
297
Escurrimiento de fluidos
USACH
por otro lado, también es posible relacionar V* con el volumen de filtrado
recolectado Vc durante el tiempo de un ciclo de filtración tc. Así:
V* = Vc (Ao/A) = Vc ψ = Qo tc = Qo/N = (Ψ/N)Qo
donde Qo es el flujo volumétrico de filtrado. Introduciendo las expresiones
para t* y V*, se obtiene:
(9.38)
Ensayos a nivel de laboratorio, permiten obtener valores de (–Δp)/Qo
vs Qo/N, los que representados adecuadamente, permiten determinar los parámetros K1 y Rm.
Filtro rotatorio (LOPU/DIQ/USACH).
298
Capítulo 9: Filtración
Ejemplo 9.4
Un filtro de tambor rotatorio con el 30% de su superficie sumergida, se
ha de utilizar para filtrar una suspensión acuosa concentrada, que contiene
partículas en una concentración de 14.7 (lb/pie3 de suspensión), equivalente
a S = 0.2 (masa de sólido/masa total de la suspensión). Si la torta contiene
50% de humedad (basada en la torta húmeda, o sea r = 2) y la caída de
presión se mantiene constante en 20 pulg. de mercurio (equivalente a 1414
(lbf/pie2), estime el área que debería tener el filtro para tratar 10 gal/min
(equivalente a 0.0223 de desechos, considerando que el tiempo del ciclo
es de 5 min. Experiencias anexas de laboratorio señalan que la resistencia
específica de la torta (α) es 1.833 x 1011(pie/lb).
Solución:
Considerando que no se dispone de información para evaluar la resistencia
del medio filtrante, ésta será despreciada, lo cual, en la mayoría de los casos
es una aproximación razonable. Por lo tanto, la ecuación de filtración queda
reducida a:
recordando que K1 esta dado por:
K1 = (α μ ρ S)/(1-r S), se obtiene:
La diferencia entre el flujo de alimentación de suspensión y el flujo de filtrado (esencialmente agua), se obtiene a partir de un balance global de masa:
entrada de suspensión = masa de filtrado + masa de torta
0.0223x14.7x(1/S) = Qox62.4 + 0.0223x14.7xr
299
Escurrimiento de fluidos
obteniéndose
USACH
Qo = 0.0158(pie3/s)
Introduciendo estos valores en la ecuación de filtración, se obtiene:
A = 84 (pie2)
Ejemplo 9.5
Un filtro de hojas de 1 m2 de superficie de filtración, que opera a (–Δp) =
2.8 kgf/cm2 entrega los siguientes resultados, en un ensayo de 1 hora de duración:
V. de filtrado (m3)
Tiempo (min)
13.1
10
20
20
25.1
30
31.6
45
37.2
60
Si la suspensión original contiene 10% en peso de sólidos:
a) Determine el tiempo necesario para lavar la torta formada al cabo de 70
min. de operación, si éste se realiza también a (–Δp) = 2.8 kgf/cm2 y si se
utilizan 2.83 m3 de agua de lavado.
b) Determine el tiempo del ciclo, considerando que el tiempo empleado en
descargar la torta y en volver a dejar el filtro, dispuesto a continuar el trabajo
es de 60 min.
Solución:
Para determinar los parámetros K1 y Rm, se debe graficar o correlacionar tf/Vf
vs Vf. De esta forma se obtiene la expresión:
donde:
tf/Vf = 0.0355 Vf + 0.3
K1 = 0.0355x2xA2 x(–Δp) = 1.987 (kgfxmin/m4)
Rm = 138.927 (min2xkgf/(m2xkg)
300
Capítulo 9: Filtración
Ahora, utilizando dicho ajuste, es posible determinar el volumen de filtrado
recolectado al cabo de 70 min de filtración, el cual es de 40.4 m3.
Suponiendo que durante el lavado no cambian las propiedades físicas de la torta y por lo tanto se mantienen constantes K1 y Rm, se tiene para
la ecuación de lavado:
(–Δp)w = 1987 Vf Qw + 8.335 Qw = 2.8x 104 (kgf/m2)
Introduciendo Qw = Vw/tw = 2.83/tw, y Vf = 40.4, se obtiene que el tiempo de
lavado es: tw= 9 min.
Para el tiempo de ciclo, tc, se tiene:
tc = tw + tw + td = 70 + 9 + 60 = 139 (min)
Ejemplo 9.6
Un filtro continuo, utilizado para desparafinar aceites petrolíferos, consiste
en un tambor rotatorio horizontal, de 1.83 m de diámetro y 3.66 m de longitud. La densidad de la parafina es 800 kg/m3 y el del aceite 850 kg/m3.
Las condiciones de trabajo son las siguientes:
Velocidad de filtración = 841 (lt/min)
Concentración de parafina = 0.05 [m3 parafina/m3 de solución]
Velocidad de giro del tambor = 6 rpm
Inmersión del tambor = 20% de su periferia
Analice cómo varía la velocidad de filtración (lt/min), al modificar
las siguientes condiciones:
a) Si se aumenta el nivel de solución en el estanque, para aumentar la inmersión hasta un 40% de su periferia.
301
Escurrimiento de fluidos
USACH
b) Si se disminuye la velocidad de giro a 3 rpm.
c) Si las condiciones señaladas en a y b se llevaran a efecto simultáneamente.
d) Comente de qué manera influyen tanto en el proceso de filtración como en
los costos operacionales, las modificaciones propuestas.
Solución:
En primer lugar se calcularán algunos parámetros básicos:
A = π D L = 21 (m2) (área de filtrante)
Qo = 841(lt/min)
Dado que no se tiene información respecto de la resistencia del medio filtrante, esta será despreciada (Rm = 0). Además, como no se menciona la
presión de trabajo, se evaluará K1* = K1/(–Δp). Luego,
Introduciendo en esta ecuación valores de A, Qo, ψ y N se obtiene el valor
de K1* = 0.0015(m4/lt).
a) Qo = [2x212x0.4x6/0.0015]0.5 = 1.188 (lt/min)
b) Qo = [2x212x0.2x3/0.0015]0.5 = 594 (lt/min)
c) Qo = [2x212x0.4x3/0.0015]0.5 = 840 (lt/min)
d) Un aumento en la superficie sumergida del filtro, se traduce en una disminución del tiempo “disponible” para las etapas de lavado y secado de la torta.
Una disminución de la velocidad de giro del tambor se traduce en un mayor
tiempo disponible para las etapas de lavado y secado de la torta. El consumo
de energía disminuye al disminuir la velocidad de giro del tambor.
302
Capítulo 9: Filtración
Ejemplo 9.7
Una suspensión que contiene 0,2 lb de sólido (de gravedad específica 3) por
libra de agua, es alimentada a un filtro rotatorio de 2 pies de longitud y 2
pies de diámetro. El tambor rotatorio gira a una revolución cada 6 minutos,
y un 20% de la superficie de filtración está en contacto con la suspensión en
todo momento. Si la velocidad de filtración es de 1000 lb/h y la torta tiene
una porosidad de 0,5, determine el espesor de torta que se produce cuando
se filtra con un vacío de 20 pulg. de mercurio?
Solución:
N = 1/6 [rpm] = 10 [rph]
Por otro lado:
Con el dato de la suspensión
se calcula de la fracción de
sólidos en la suspensión (S):
Cálculo de razón de torta húmeda torta seca (r):
Para el cálculo del área del tambor:
Atambor = π · D · L = π · 2 · 2 = 12,56[pies2]
303
Escurrimiento de fluidos
USACH
Como el área de filtración es el 20% de la superficie del tambor, se tiene:
Afiltr = N · Atambor · Ψ = 10 · 12,56 · 0,2 = 25,12[pies2]
La masa de sólidos, se determina desde un balance de masa:
Reemplazando los datos anteriores, se tiene:
Despejando se obtiene:
ms = 214,68[lb/h]
De la razón torta húmeda torta seca, se tiene:
Para calcular el espesor de la torta, se necesita el volumen de la torta
húmeda, el cual se obtiene de la definición de porosidad:
304
Capítulo 9: Filtración
Calculando el volumen de torta seca:
Luego, el volumen de torta húmeda corresponde a:
VTH = Afiltr · Espesor
VTH = 2,29[pies3/h] = 25,13[pies2] · Espesor
Espesor = 0,09[pies] = 1,09[pulg]
Por lo tanto, para el vacío de 20 pulg Hg se forma una torta de espesor de
1,09 pulg.
Ejemplo 9.8
El filtro rotatorio del problema anterior falla, y la operación de filtrado debe
ser realizada temporalmente en un filtro prensa de placas y marcos, con un
área por marco de 1 pie2. El tiempo para desarmar y armar el filtro es de 4
minutos. Se debe considerar además 2 minutos por cada marco, a fin de remover la torta. Si la filtración se realiza a la misma velocidad que en el problema anterior, con una presión de operación de 25 psig, ¿Cuál es el número
mínimo de marcos que deben ser usados y cuál es el espesor de ellos?
Suponga que la torta es incompresible y desprecie la resistencia de la tela.
Solución:
Se tiene:
→ AF = 2 · 1[pies2]· n = 2 · n[pies2]
td = 4 [min]
tw = 2·n [min]
m0 = 1000 [lb/h]
Q0 = 16,025 [pies3/h]
(–ΔP)op = 25 [psig] = 1,5011·1012 [lb/pies·h2]
305
Escurrimiento de fluidos
USACH
Para un filtro continuo, se tiene:
Despreciando la resistencia de la tela (Rm):
Utilizando los valores del ejemplo anterior:
Para (–ΔP) constante y Q variable, se tiene:
Reemplazando los valores del ejemplo anterior:
Por otro lado, la capacidad de filtración esperada es de 16,025 pie3/hora, es
decir:
Es decir, para el filtro prensa de placas y marcos, en una hora del
ciclo de filtración se debe obtener 16,025[pies3] de filtrado. Por lo tanto,
considerando que el ciclo de filtración es:
tc = tF + tw + td
306
Capítulo 9: Filtración
Y reemplazando los tiempos entregados, se tiene:
De lo anteriormente calculado se reemplaza el tiempo de filtrado:
Esta ecuación tiene tres soluciones matemáticas:
De estas soluciones se descarta la primera, y relacionando con el
espesor del marco, se selecciona el número de marcos a utilizar:
El espesor de 5.5 pulgadas aparece como exagerado para lo habitualmente
observado en operaciones industriales, motivo por el cual se seleccionará el
espesor de 1 pulgada con el empleo de 28 marcos.
9.5.
Filtración de tortas compresibles
La mayoría de los lodos de aguas residuales forman tortas compresibles, para las cuales la resistencia específica es función de la pérdida de
carga o diferencia de presión a través de la torta, es decir: α = f(ps). Por este
motivo, los parámetros K1 y Rm, determinados de datos de laboratorio, no
307
Escurrimiento de fluidos
USACH
pueden extrapolarse a otras condiciones de caída de presión, (–Δp), y caudal,
Q. Para diseñar un filtro discontinuo, con formación de torta compresible, la
relación entre (–Δp) y Q debe ser la misma en el filtro de laboratorio y en el
filtro industrial.
Para trabajar con tortas compresibles, se requiere conocer de antemano la relación entre α y ps de modo de evaluar αAV (resistencia específica
promedio de la torta). Normalmente la relación entre α y ps es dada por una
correlación empírica de la forma:
α = αo (ps)γ
(9.39)
siendo αo y γ constantes empíricas. En la ecuación anterior, γ recibe el nombre de coeficiente de compresibilidad, y generalmente está comprendido
entre 0.4 y 0.9 para los lodos que se producen en el tratamiento de aguas
residuales. Evidentemente, para tortas incompresibles se cumple que γ = 0.
Para determinar αo y γ se debe linealizar la ecuación anterior, aplicando logaritmos:
log α = log αo + γ log ps
(9.40)
Ahora, desde un gráfico de log α vs log ps, con valores experimentales de α obtenidos en el equipo de laboratorio para diversas presiones, se
obtiene del coeficiente de posición de la recta αo y de la pendiente γ.
308
Capítulo 9: Filtración
9.6.
Auxiliares filtrantes
Las filtraciones que presentan dificultades relacionadas con bajos
niveles de filtración, atascamiento del medio o calidad poco satisfactoria
del filtrado, pueden ser substancialmente mejoradas al emplear auxiliares
filtrantes, materiales granulares capaces de formar una torta sumamente
permeable. Los auxiliares filtrantes son particularmente útiles en lechadas,
que contienen sólidos muy finamente divididos, o grumos limosos y deformables.
Los auxiliares filtrantes son de baja densidad volumétrica, porosos y
químicamente inertes. Los tipos comerciales más efectivos y versátiles son
las diatomitas, (conocidas también como tierras de diatomáceas, sílicas diatomáceas, tierras de infusorios o Kieselguhr) y las perlitas. Los tipos menos
usados son de fibra de asbesto, celulosa y caolín.
9.6-1. Diatomitas
Están compuestas por caparazones de algas acuáticas microscópicas
unicelulares. Tienen una densidad volumétrica en seco de 8 a 12 lb/pie3 y
contienen partículas, en su mayoría inferiores a 50 micras. A continuación se
muestra su composición química promedio en % base seca:
SiO2 :
Al2O3 :
Fe2O3 :
TiO2 :
CaO :
MgO :
Na2O-K2O :
70 - 90%
2 - 5%
1 - 2%
0.1%
0.2 - 8%
0.2 - 2%
0.05 - 0.85%
309
Escurrimiento de fluidos
USACH
Los diferentes métodos de procesamiento de la diatomita cruda, dan
como resultado una serie de auxiliares filtrantes que tienen grados variables
de eficiencia de clarificación y velocidad de filtración. Al respecto:
Producto natural: obtenido por secado, molienda, purificación y clasificación del material crudo.
Producto calcinado: el producto natural es calcinado en un horno rotatorio, donde la temperatura aumenta gradualmente. El producto calcinado es
enfriado, sometido a molienda y clasificación. Este producto es de color
rosado, insoluble en ácidos fuertes y estabilizado contra altas temperaturas.
Al realizar la calcinación en presencia de un agregado fundente, como por
ejemplo carbonato de sodio anhidro, se obtiene un producto blanco. Dependiendo de la cantidad, tipo de fundente y temperatura de fusión, es posible
producir un amplio rango de productos con diversos grados de eficiencia de
clarificación y velocidad de filtración.
9.6-2. Perlitas
Es el producto resultante del tratamiento y trituración de una roca
volcánica. La perlita es un vidrio químicamente inerte, libre de impurezas
orgánicas, con pH aproximado de 7, que tiene agua ocluida en combinación,
lo cual le otorga la propiedad de expandirse al ser sometida a temperaturas
elevadas, llegando a aumentar 20 veces su volumen inicial, alcanzando
densidades tan bajas como 32 kg/m3. Con respecto a su tamaño, gran parte
de sus partículas están entre 50 y 150 micras. En la tabla siguiente se presenta su composición media:
310
Capítulo 9: Filtración
SiO2
Al2O3
K2O
Na2O
CaO
Fe2O3
MgO
TiO2
:
:
:
:
:
:
:
:
71 - 75%
12.5 - 18%
4 - 5%
2.9 - 4%
0.5 - 2%
0.5 - 1.5%
0.2 - 2%
0.03 - 0.2%
Aunque las diatomitas soportan niveles ligeramente más extremos
de pH que la perlita y se sostiene que es menos compresible, en general,
las diatomitas pueden ser reemplazadas por las perlitas, con escasa diferencia en la calidad del filtrado y con apreciables conveniencias de costos
y rendimientos. Comparando la misma unidad de masa, las perlitas dan una
capacidad de filtración del orden de 25% mayor que las diatomitas, con el
consecuente ahorro de 20 - 30% en el uso de auxiliares filtrantes.
La mezcla de arcilla decolorante y carbón activado, por lo común
junto con sílice diatomáceo, actúan como adsorbente y ayuda simultánea de
filtración, para los aceites, las grasa y las soluciones de azúcar.
La decisión de usar o no auxiliar filtrante, y en caso de requerirse,
su grado, tipo y cantidad, son determinados empíricamente. Los auxiliares
filtrantes se usan en dos formas:
a) Formando una delgada capa (del orden de 0.1 lb de diatomáceas/pie2 de
área de filtro), para proteger el medio filtrante y evitar el escape de partículas
pequeñas ocasionales al interior del filtrado.
b) Mezclando el auxiliar filtrante con la suspensión, todavía no filtrada, para
atrapar las partículas de filtración difícil en una torta permeable. La canti-
311
Escurrimiento de fluidos
USACH
dad óptima para este fin, aunque relativamente pequeña, varía mucho con la
aplicación y se debe determinar con tanteos en ensayos experimentales. Un
punto razonable de partida es de una a dos veces la concentración de masa
de los sólidos que se van a retirar.
Para decidir tanto la inclusión o no del auxiliar filtrante (AF), como
también para cuantificar la cantidad y tipo de AF, los proveedores de dichos
productos recomiendan algunos procedimientos empíricos.
312
Capítulo 9: Filtración
EJERCICIOS
9.1. Para purificar agua se dispone de un filtro de lecho profundo, constituido de dos capas: la primera de 50 cm de partículas de antracita de
tamaño –14 + 10 (Tyler), y la segunda de 50 cm de partículas de arena
de tamaño –48 + 35 (Tyler). En la tabla siguiente se resumen las características de cada una de las capas:
Capa 1
Capa 2
Porosidad
0.48
0.44
Densidad(kg/m3)
1500
2650
Esfericidad
0.70
0.8
Considerando que sobre el lecho del filtro se mantienen 75 cm de agua,
determine la capacidad inicial del filtro (Go), en m3/m2h.
9.2. Un filtro de tambor rotatorio con el 30% de su superficie sumergida, se
ha de utilizar para filtrar una suspensión acuosa concentrada que contiene partículas en una concentración de 14.7 (lb/pie3 de suspensión),
equivalente a S = 0.2 (masa de sólido/masa total de la suspensión).
Si la torta contiene 50% de humedad (basada en la torta húmeda, o
sea r = 2) y la caída de presión se mantiene constante en 20 pulg. de
mercurio (equivalente a 1414 (lbf/pie2), estime el área que debería tener el filtro para tratar 10 gal/min (equivalente a 0.0223 de desechos,
considerando que el tiempo del ciclo es de 5 min. Experiencias anexas
de laboratorio señalan que la resistencia específica de la torta, α, es
1.833x1011(pie/lb).
9.3. Se trata de filtrar un precipitado de hidróxido férrico a presión constante en un filtro prensa de placas y marcos. Las dimensiones de estos
son 90 cm. x 90 cm. x 2,5 cm. Después de 6,5 horas de funcionamiento normal los marcos se han llenado y el filtrado recogido asciende
313
Escurrimiento de fluidos
USACH
a 1,37 m3/m2 de superficie de filtración. Se ha pensado lavar la torta
con 1/3 de volumen de líquido recogido como filtrado. Si para ello se
aplica la misma presión ¿Cuánto tiempo se empleará en el lavado?
9.4. Para filtrar sedimentos petrolíferos se utiliza un filtro prensa. Una serie
de ensayos efectuados a presión constante de 2.5 kgf/cm2 han dado
estos resultados:
Volumen filtrado (lts)
Tiempo (seg)
---------------------------------------------------------------------------------
0,2
2,0
0,4
4,6
0,6
8,2
0,8
12,4
1,0
16,9
1,2
22,5
1,4
29,3
1,6
33,7
1,8
45,0
2,0
53,0
2,2
63,4
2,4
74,0
2,6
85,0
2,8
97,5
Se hicieron los ensayos en un filtro prensa de diseño especial, con un
solo marco de área filtrante 0,03 m2 y 30 mm de espesor. La suspensión contenía 8% en peso de CaCO3 y la relación torta húmeda/torta
seca = 2,0. La misma suspensión se trata ahora en un filtro prensa,
constituido por 20 marcos de dimensiones 60 cm. x 60 cm. x 3 cm.,
efectuándose la filtración a 20 ºC, y con diferencia de presión de 2,5
314
Capítulo 9: Filtración
Kg f/cm2. Determine la cantidad de suspensión que puede manejarse
hasta llenar los marcos y el tiempo empleado.
9.5. Para filtrar sedimento petrolífero se utiliza un filtro prensa. Una serie
de ensayos efectuados a caudal constante (378.5 cm3/min) han dado
los siguientes resultados:
(–∆P) kgf/cm2 2.24
V cm3
37.85
4.69
75.70
11.33
113.55
Se propone ahora que este filtro trabaje a diferencia de presión constante igual 3.5 kgf/cm2. Suponiendo el lodo a filtrar homogéneo, determine el volumen de aceite filtrado en 30 minutos, en las condiciones
citadas y admitiendo que la resistencia a la filtración no varía apreciablemente al variar el caudal de filtración.
9.6. Los ensayos de laboratorio para una filtración de CaCO3 en agua a
presión constante de 2.5 kgf/cm2 han dado los siguientes resultados,
obtenidos en un filtro prensa de diseño especial, con un solo marco de
área filtrante 0.03 m2 y 3 cm de espesor.
Volumen filtrado (lt)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
315
Tiempo (s)
2.0
4.6
8.2
12.4
16.9
22.5
29.3
33.7
45.0
53.0
63.4
74.0
85.0
Escurrimiento de fluidos
USACH
La suspensión contenía 8% en peso de CaCO3 y la relación torta húmeda/torta seca = 2. La misma suspensión se trata ahora en un filtro
prensa, constituido por 20 marcos de dimensiones 60 cm. x 60 cm. x 3
cm., efectuándose la filtración a 20 ºC y con una diferencia de presión
de 2.5 kgf/cm2. Determine la cantidad de suspensión que puede manejarse hasta llenar los marcos y el tiempo empleado.
316
Capítulo 10: Flujo alrededor de objetos sumergidos
CAPÍTULO 10
FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS SUMERGIDOS
Al igual que en el flujo por el interior de ductos, se define:
FK = A · K · f
(10.1)
donde:
FK: fuerza relacionada con el comportamiento cinético del fluido. Tiene la
misma dirección que la velocidad de aproximación del fluido V∞ (velocidad
de la partícula relativa a la del fluido).
A: es el área máxima que se obtiene al proyectar el sólido en un plano perpendicular a la velocidad de aproximación del fluido.
K: término de energía cinética = (V∞)2 ρ /2.
f = CD: coeficiente de fricción o de resistencia.
Para el flujo alrededor de una esfera de radio R, CD se define como:
(10.2)
Experimentalmente, la magnitud medible es V∞ y no Fk, por lo tanto debe plantearse un balance de fuerzas para el descenso de la partícula,
bajo la acción de una fuerza externa, la que generalmente es la fuerza de
gravedad, aunque en algunas aplicaciones puede ser una fuerza centrífuga.
317
Escurrimiento de fluidos
USACH
La teoría básica del movimiento de partículas sólidas a través de fluidos, se
apoya en el concepto del movimiento libre de los cuerpos:
(10.3)
siendo F la fuerza resultante que actúa sobre cualquier cuerpo, dv/dt la aceleración del cuerpo y m su masa.
Figura 10.1. Balance de fuerzas.
Introduciendo en el balance de fuerzas, las expresiones correspondientes a cada una de las fuerzas presentes, se obtiene:
(10.4)
Simplificando esta ecuación se tiene:
(10.5)
La ecuación 10.5 es una expresión general de la fuerza total que actúa sobre un cuerpo, bajo cualquier campo de fuerzas. Su solución requiere
un conocimiento de la naturaleza de la fuerza externa y del coeficiente de
resistencia CD.
318
Capítulo 10: Flujo alrededor de objetos sumergidos
Si la fuerza externa es la gravedad, aE corresponde a la aceleración
de gravedad g y si la fuerza externa se refiere al campo centrífugo, entonces aE = r ω2, siendo r el radio de la trayectoria y ω la velocidad angular
en rad/seg. En cualquiera de las situaciones, para evaluar CD se dispone de
correlaciones empíricas y/o gráficos del tipo CD vs Re, en los cuales aparece
como parámetro el factor de forma de las partículas, φs (o ψ).
10.1. Velocidad Terminal
Consideremos una partícula aislada o en presencia de otras que no
interfieran su caída, bajo la acción de un campo gravitatorio. A medida que
cae la partícula, su velocidad aumenta hasta que las fuerzas acelerantes y de
resistencia se igualan. En este momento, la velocidad de la partícula permanece constante durante el resto de la caída. Esta velocidad recibe el nombre
de velocidad terminal, Vt. Para el caso de partículas esféricas, donde el área
proyectada, A= (π/4) (dp)2, y m = (π/6) (dp)3 ρs, se tiene:
(10.6)
De aquí se obtiene la expresión para la velocidad terminal de una
partícula. dp corresponde al diámetro equivalente a una esfera de cualquier
partícula:
(10.7)
Para el caso particular de régimen laminar, el cual se presenta cuando el número de Reynolds para partículas es <1, y considerando partículas
esféricas (Dp = dp), Stokes demostró que:
FK = 3π dp µ V
319
Escurrimiento de fluidos
USACH
Introduciendo esta ecuación en el balance de fuerzas, mostrado inicialmente y considerando estado estacionario, se obtiene:
(10.8)
Para CD se obtiene:
(10.9)
10.2. Coeficientes de arrastre
Para evaluar el coeficiente de arrastre CD, en régimen de flujo distinto
de Stokes, puede utilizarse el gráfico que se adjunta o utilizar correlaciones
disponibles en la literatura especializada.
Figura 10.2. Representación del factor de fricción o coeficiente de arrastre (CD) vs Ret
(Adaptado de Levenspiel ,Flujo de Fluidos e Intercambio de calor, 1993).
320
Capítulo 10: Flujo alrededor de objetos sumergidos
Haider y Levenspiel proponen la siguiente expresión para determinar CD:
(10.10)
Para partículas esféricas (φs =1), esta ecuación se reduce a:
(10.11)
La Figura 10.3 es una representación gráfica de las ecuaciones 10.10
y 10.11, las que permiten evaluaciones directas de Vt, conocidos dp (diámetro de la esfera equivalente) y las propiedades físicas del sistema. En la Figura 10.3 se utiliza un tamaño de partícula adimensional (dp*) y una velocidad
del gas adimensional (vt*), definidas así:
(10.12)
(10.13)
321
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 10.3. Gráfica para determinar la velocidad de caída libre de partículas (Adaptado de
Kunii y Levenspiel, Fluidization Engineering, 1991).
Por otro lado, Haider y Levenspiel presentan la correlación siguiente, válida para estimar Vt* de partículas con esfericidad entre 0.5 y 1.0.
(10.14)
322
Capítulo 10: Flujo alrededor de objetos sumergidos
EJERCICIOS
10.1. Determine la velocidad terminal de partículas de densidad 2500 kg/m3,
cuando son arrastradas por aire a 20 ºC. Considere cada uno de los siguientes tamaños:
a) Esferas de 10 µm.
b) Esferas de 1 mm.
c) Partículas irregulares de 10 µm y esfericidad, φ= 0.67.
d) Partículas irregulares de 1 mm y esfericidad, φ = 0.67.
10.2. Una mezcla de galena (ρ = 7500kg/m3), y sílice (ρ = 2650kg/m3), será
sometida a elutriación con agua, a una velocidad de 0.37 m/min, a una
temperatura de 20 ºC. La alimentación de sólidos contiene 30% en
peso de galena, con el siguiente análisis granulométrico:
dp (µm)
20
30
40
50
60
70
80
90
100
% peso
33
53
67
77
83
88
91
93
94.5
Si la sílice posee la misma distribución granulométrica en la alimentación, ¿qué fracción de la alimentación de galena se encuentra en el
producto del fondo y en el producto de tope? ¿Qué sucede con esta separación si se cambia el agua por tetracloruro de carbono como agente
elutriador?
10.3. Una mezcla finamente dividida de galena (ρ = 7500kg/m3), y
caliza(ρ = 2700kg/m3), en la proporción de 1:4 en masa, será sometida a elutriación con agua, a una velocidad de 0.5 cm/s, a una
temperatura de 20 ºC. La alimentación de sólidos contiene 30% en
peso de galena, con el siguiente análisis granulométrico tanto para
la galena (φ=0.8), como la caliza (φ=0.7):
323
Escurrimiento de fluidos
USACH
dp (µm)
20
30
40
50
60
70
80
100
% peso
15
28
43
54
64
72
78
88
a) Determine la función que representa el análisis granulométrico de
la alimentación.
b) Calcule el % de galena en el material arrastrado en el producto de
fondo.
324
Capítulo 11: Fluidización
CAPÍTULO 11
FLUIDIZACIÓN
11.1. Introducción a la fluidización
La fluidización es la operación mediante la cual sólidos granulares
son transformados en un estado pseudo-líquido, al contactarse con un gas
o un líquido. Este método de contacto tiene características tales que hacen
de la fluidización una operación con gran potencialidad. Utilizada a escala
industrial desde 1948, esta técnica ha crecido en popularidad para el secado
de materiales como minerales, polímeros, productos farmacéuticos y materiales cristalinos. Los equipos que utilizan el concepto de lecho fluidizado
son compactos, de construcción simple e involucran una inversión, costo de
operación y manutención relativamente bajos. Además, la eficiencia térmica
de estos equipos es alta debido a que se obtienen elevados coeficientes de
transferencia de calor y masa.
Para utilizar esta técnica se debe cumplir un requisito fundamental,
el cual es que el material en cuestión sea fluidizable; en esto el tamaño, densidad y contenido de humedad juegan un rol de importancia. Por ejemplo, si
la humedad es excesiva, se corre el riesgo que se produzcan aglomeraciones
al interior del lecho, con lo cual la calidad de la fluidización se vería afectada. Actualmente, sólidos no fluidizables en unidades convencionales, son
tratados en lechos tales como vibrofluidizados, o lechos agitados por artefactos mecánicos, o por la corriente de aire (lechos pulsantes), diseños en los
cuales se mejora el contacto fluido-partícula.
Cuando un flujo de gas o líquido se hace circular en la misma dirección, pero en sentido opuesto a la gravedad, a través de un lecho formado
por partículas sólidas, se tiene que a bajas velocidades de flujo el gas fluye
325
Escurrimiento de fluidos
USACH
a través de los intersticios del lecho, permaneciendo éste estático (Figura
11.1). La caída de presión del fluido se incrementa con la velocidad de éste.
Esta situación se mantiene hasta una velocidad característica del sistema sólido-fluido, en donde las partículas comienzan a vibrar, manteniendo
sus posiciones relativas. Hasta este punto es aplicable la ecuación de Ergun.
Esta velocidad es denominada de mínima fluidización. A velocidades superiores, la porosidad del lecho se incrementa y la curva de caída de presión
versus velocidad cambia abruptamente de pendiente, como se puede observar en la Figura 11.2.
Se dice entonces, que el lecho está fluidizado. Este estado se mantiene hasta que la velocidad superficial se iguala a la velocidad terminal de los
sólidos, punto en el cual la porosidad del lecho tiende a 1, transformándose
la operación en un transporte neumático de sólidos.
Si la velocidad del fluido que circula a través del lecho es baja, como
lo muestra la Figura 11.1.a, el lecho permanece fijo. A velocidades más altas,
se alcanza un punto en el cuál todas las partículas se encuentran suspendidas
por el fluido. En este punto el peso del lecho por unidad de área es igual a la
caída de presión a través de éste. En dicho punto el lecho se encuentra en el
estado de fluidización mínima (Figura 11.1.b), y a la velocidad del fluido se
la conoce como la velocidad de mínima fluidización (Vmf).
En sistemas sólido-líquidos, un incremento en la velocidad del fluido
por sobre la de mínima fluidización, generalmente ocasiona una uniforme y
progresiva expansión del lecho. Los efectos de volúmenes muertos de líquidos y grandes inestabilidades de flujo resultan pequeños, y sus efectos no
provocan alteraciones en las condiciones normales de operación [Fluidización homogénea].
326
Capítulo 11: Fluidización
En sistemas sólido-gas, los efectos anteriores son apreciables. Con
un incremento en la razón de flujo más allá de la velocidad mínima de fluidización, la aparición de volúmenes muertos, burbujas y canalizaciones son
claramente apreciables. Estas últimas hacen que el lecho en ocasiones no se
expanda con el aumento en la caída de presión; provocando perturbaciones
en los procesos de transferencia de calor y masa [Fluidización heterogénea].
En general, a altas velocidades, la agitación y el movimiento de los
sólidos se hace importante, por lo que en condiciones ideales el lecho se expande aún más (Figura 11.1.c). Si la velocidad del fluido es muy superior a la
de mínima fluidización, las partículas son arrastradas fuera del lecho (Figura
11.1.d). Esta velocidad es la llamada velocidad de arrastre o de elutriación.
Figura 11.1. Tipos de contacto fluido-partícula.
327
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 11.2. Curva típica de caída de presión vs velocidad del fluido.
La caída de presión del lecho aumenta proporcionalmente en función
de la velocidad del fluido (Figura 11.2), hasta el punto de la velocidad mínima de fluidización (vmf). A partir de este punto, se observa que la caída de
presión se hace constante con un aumento en la velocidad del fluido.
Figura 11.3. Comportamiento de un lecho fluidizado (Adaptado de Kunii y Levenspiel, Fluidization Engineering, 1991).
328
Capítulo 11: Fluidización
La Figura 11.3 esquematiza la similitud entre un lecho fluidizado y
un líquido: objetos livianos flotan; al inclinar la columna de fluidización, su
superficie se mantiene horizontal. Si se perfora una pared lateral, los sólidos
salen del lecho. Columnas inicialmente con diferente nivel de sólidos se
igualan si ambas son conectadas; la caída de presión a través del lecho es
igual al peso del lecho.
Figura 11.4. Anomalías en un lecho fluidizado: a) flujo pistón, b) canalización.
La representación de la caída de presión en función de la velocidad
del aire, mostrada en Figura 11.2, puede en la realidad alejarse de dicha
representación idealizada, debido a las características de las partículas y/o
un diseño inadecuado de la placa distribuidora de aire en la base de la
columna. La línea horizontal en Figura 11.4 corresponde al comportamiento
idealizado: fluctuaciones en la caída de presión son atribuibles al fenómeno
de flujo pistón, en el cual burbujas empujan grandes cantidades de partículas. Por otro lado, la presencia de caminos preferenciales para el paso de
gas produce la anomalía de canalización, con valores de la caída de presión
329
Escurrimiento de fluidos
USACH
inferiores a lo esperado. Estas dos anomalías empobrecen el contacto fluidopartícula, motivo por el que deben evitarse o al menos minimizarse.
11.2. Aplicaciones industriales de la fluidización
Existen innumerables aplicaciones industriales en las áreas de: gasificación y combustión de carbones y biomasa, reacciones en presencia de
catalizadores, secado de sólidos granulares y pastas, en limpieza de filtros
de lecho profundo y en aplicaciones de transferencia de calor gas-partícula.
A continuación se describen algunas de estas aplicaciones.
Combustión de carbones
La combustión en un lecho fluidizado es una innovación técnica versátil, que
permite quemar carbón u otros combustibles sólidos en forma “limpia”. Una
caldera de lecho fluidizado consiste de partículas soportadas por un distribuidor de aire. El lecho contiene partículas de sólidos que pueden ser inertes
(como cenizas) o bien materiales como caliza y/o dolomita, utilizados para
adsorber el SO2 producido durante la combustión del carbón, especialmente
cuando éste tiene un alto contenido de azufre. El material del lecho es agitado y puesto en movimiento turbulento al subir el aire a través del distribuidor a una velocidad superficial adecuada, la que depende principalmente del
tamaño y densidad de las partículas.
Los elevados coeficientes de transferencia de calor y materia, característicos de un lecho fluidizado, se traducen en elevadas tasas de liberación de
energía en equipos de volumen considerablemente inferior a los tradicionales.
Secado de suspensiones y pastas
Actualmente, el secado industrial de pastas se desarrolla principalmente empleando el secador spray, obteniéndose productos de calidad razonable, pero
330
Capítulo 11: Fluidización
con la desventaja de exigir una gran inversión inicial, con costos de mantención elevados, dada la complejidad del equipo, lo que constituye una fuerte
limitación especialmente cuando se piensa aplicar para recuperar productos
de moderado valor. El secado de pulpas de fruta en forma de pastas en secadores spray, requiere necesariamente del uso de aditivos (maltodextrinas
y derivados), para permitir el secado de los azúcares presentes y disminuir
parcialmente la higroscopicidad del producto seco. Resultados preliminares
del secado de pulpas de manzana, en secadores que emplean inertes, muestran que en ellos también es necesaria la presencia de dichos aditivos.
El secado de pastas en lechos de partículas inertes, se produce al “pulverizar” la suspensión en el interior de los respectivos lechos (de chorro y
fluidizado). El secado de la pasta, que cubre las partículas inertes, se produce
por el contacto de éstas con el aire caliente. La colisión entre las partículas
inertes y con las paredes de los equipos, produce la remoción del producto
seco, siendo arrastrado por la corriente de aire hacia el exterior, donde es
retenido por un ciclón. Una malla metálica ubicada en el extremo superior
del equipo, impide la salida de los inertes.
Los equipos que emplean partículas inertes (lecho de chorro, fluidizado, neumático, entre otros), a la fecha presentan pocas aplicaciones industriales en el campo del secado de pastas, aunque en los últimos años,
investigaciones a nivel de laboratorio y de planta piloto han mostrado que
técnicamente es posible obtener productos que satisfacen plenamente las
exigencias del mercado, como por ejemplo, secado de sangre animal (Canadá y Brasil), secado de pastas de tomate, frutas tropicales (Brasil), secado
de lacas y tintas (ex‑Unión Soviética), secado de suspensiones de hidróxido
de aluminio (Brasil), secado de mezclas de carbohidratos (Chile), secado de
huevos y bacterias probióticas (Chile), entre otras aplicaciones.
331
Escurrimiento de fluidos
USACH
Diversos resultados confirman la factibilidad técnica del secado de
suspensiones en unidades que emplean inertes, siempre que la cohesión
del film de sólido adherido a los inertes permita su remoción, lo que no
se observa en pulpas de frutas, ya que su elevada viscosidad incluso forma
grumos de inertes. Dado que el agregar maltodextrina (uso corriente al secar
en spray) o dilución de la pasta mostró solo mejorías parciales, se investigó
el empleo de agitación mecánica para romper el film de producto sobre los
inertes, evitar la formación de grumos y aumentar la capacidad de secado,
con resultados auspiciosos.
Figura 11.5. Etapas del secado de suspensiones utilizando partículas inertes.
Liofilización de partículas a presión atmosférica en un lecho fluidizado
El proceso de liofilización es la técnica de secado que produce un menor
deterioro en el sustrato que se seca, aunque tiene como gran desventaja el
elevado costo involucrado, debido principalmente al elevado vacío requerido y las bajas temperaturas (-50 ºC). Ensayos preliminares han mostrado que
la liofilización también puede desarrollarse a presión atmosférica, aunque
los tiempos de secado son elevados. Una opción para disminuir los tiempos
involucrados es realizar la liofilización en un lecho fluidizado, opción que
actualmente se evalúa en el DIQ/USACH, con diversos sustratos de interés.
332
Capítulo 11: Fluidización
Lavado de filtros de lecho profundo
En un filtro de lecho profundo, las partículas provenientes de la suspensión
son retenidas en el interior del lecho granular, llenándose gradualmente los
intersticios libres. La disminución de la porosidad (volumen de huecos/volumen total del lecho), produce un aumento paulatino de la caída de presión
y/o una disminución del filtrado. Generalmente, al inicio de la filtración la
porosidad (ε) es 0.45 disminuyendo hasta 0.34 al finalizar el período de filtración. El término de la etapa de filtración se produce cuando se alcanza
la caída de presión máxima permisible, y/o cuando comienzan a aumentar
los sólidos suspendidos en la corriente de descarga. Una vez que se cumple
alguna de las situaciones mencionadas, se finaliza la etapa de filtración y se
inicia la etapa de lavado, haciendo pasar agua en contracorriente, de forma
tal de producir una expansión del lecho (> 15%), para lo cual el agua debe
ingresar a una velocidad superior a la mínima de fluidización (Vmf). En algunas aplicaciones el lavado es realizado simultáneamente con inyecciones de
aire, lo que facilita la remoción de fangos adheridos al medio filtrante.
11.3. Calidad de la fluidización
Geldart clasificó las partículas en cuatro grandes grupos, en función
de su tamaño y densidad, presentando cada uno un comportamiento característico. Las partículas de los grupos A y B presentan un adecuado comportamiento para ser fluidizadas. Partículas relativamente gruesas (grupo
D) son adecuadas para ser fluidizadas en un lecho vibro-fluidizado. En el
otro extremo, partículas muy pequeñas se caracterizan por presentar fuertes
atracciones entre ellas, dificultando su adecuada fluidización, teniendo que
emplearse sólidos que disminuyen estas fuerzas de atracción, o bien introduciendo agitadores mecánicos para romper estas fuerzas.
333
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 11.6. Representación de Geldart.
Tabla 11.1. Características de las partículas según clasificación de Geldart.
GRUPO
A
B
D
Ideal para
fluidizar
La formación
de burbujas se
inicia a Vmf
Sólidos gruesos
Harina de trigo,
cemento
Catalizadores
Arena
Semillas y
granos
Expansión
del lecho
Baja, debido a
la canalización
Alta
Moderada
Baja
Característica
de las
burbujas
Sin burbujas.
Solo
Canalización
Las burbujas
crecen hasta
un tamaño
máximo y se
rompen
Las burbujas
crecen sin
un tamaño
máximo
Las burbujas
crecen sin un
tamaño máximo
Muy baja
Alta
Moderada
Baja
Muy bajo
Alto
Moderado
Bajo
Característica
más relevante
Partículas
típicas
C
Fluidización
difícil por la
cohesión de las
partículas
Propiedad
Mezcla de
sólidos
Mezcla del
gas
334
Capítulo 11: Fluidización
11.4. Equipos de fluidización
El equipo clásico de fluidización consiste de una columna de sección
circular (o rectangular), en cuya sección inferior se debe disponer de un
distribuidor de aire (“placa distribuidora”), cuya finalidad es generar pequeñas burbujas del gas para tener un adecuado contacto gas-partícula. Kunii
y Levenspiel en su texto Fluidization Engineering describen diversos tipos
de placas distribuidoras. En general, mientras mayor es la caída de presión
a través de la placa, mejor es la calidad de la fluidización. Para partículas
relativamente grandes (sólidos tipo D, según Geldart), se recomienda utilizar equipos vibro-fluidizados, en los cuales el movimiento de las partículas
se produce por la acción combinada del aire y del impulso provocado por la
placa distribuidora, que es móvil.
Figura 11.7. Secador vibro fluidizado.
335
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 11.8. Equipo de docencia de fluidización (LOPU/DIQ/USACH).
A) Fluidización de partículas B) Fluidización de rosa C) Fluidización de láminas
de CaCO3 (bajo 60 mallas). mosqueta (en mitades).
de zanahoria.
11.5. Parámetros de diseño y de operación de lechos fluidizados
Velocidad mínima de fluidización
Para un lecho de partículas ubicadas sobre la placa distribuidora y considerando un flujo uniforme de gas, se tiene para el punto mínima de fluidización
que:
Fuerza de arrastre = peso neto de las partículas
(11.1)
es decir:
336
(11.2)
Capítulo 11: Fluidización
(11.3)
Ordenando la ecuación anterior se obtiene:
(11.4)
En el punto de mínima fluidización, el volumen del lecho es un poco
mayor que en un lecho empacado, aunque las partículas no pierden sus posiciones relativas, siendo posible considerar este estado como de lecho fijo.
Debido a esto, es posible estimar la porosidad de mínima fluidización en
función de parámetros típicos de lechos empacados. Así, la caída de presión
a través de lechos empacados de longitud Hm, ha sido correlacionada por
Ergun mediante la ecuación:
(11.5)
donde dp es el diámetro de la esfera equivalente. La velocidad de mínima
fluidización se encuentra combinando la ecuación de Ergun con la ecuación
11.4, obteniéndose:
(11.6)
donde los números adimensionales de Arquímedes (Ar) y Reynolds (Re),
son definidos como:
(11.7)
Otros autores denominan al número de Arquímedes, número de Galileo
(Ga).
337
Escurrimiento de fluidos
USACH
Para el caso de partículas muy pequeñas y Remf < 20, la ecuación
11.6 se simplifica a:
(11.8)
Para partículas grandes y Remf > 1000, se obtiene:
(11.9)
Para estimar la velocidad mínima de fluidización, sin conocer valores de la porosidad ni de la esfericidad de mínima fluidización, la ecuación
modificada de Ergun puede ser descrita de manera más conveniente como:
K1 · Remf2 + K2 · Remf = Ar
donde: K1 y K2 están definidos respectivamente como:
(11.11)
(11.12)
(11.10)
Diferentes autores han obtenido diversos valores para tales constantes:
Investigador
K1
K2
Wen y Yu (1966)
Richardson, (1977)
Saxena y Vogel (1977)
Babu et. al. (1978)
Grace (1982)
Chitester et. al. (1984)
24.51
27.40
17.51
15.36
24.51
20.24
1652
1408
886.2
777.3
1333
1162
338
Capítulo 11: Fluidización
Otras expresiones son las de Thonglimp (1981):
Primera Forma:
Remf = 7.54 · 10–4 · Ar0.98
Válida si Remf < 30, y
Remf = 1.95 · 10–2 · Ar0.66
si 30 >Remf <180
Segunda Forma:
Remf = (31.62 + 0.0425Ar)1/2 –31.6
(11.13)
(11.14)
(11.15)
Wen y Yu ajustaron para un gran grupo de sólidos:
(11.16)
Con lo cual es posible reescribir la ecuación 11.6, como:
(11.17)
donde dp es el diámetro de la esfera equivalente.
La velocidad de operación de un lecho fluidizado, por tanto, debe
estar dentro de un rango comprendido entre la velocidad de mínima fluidización (vmf) y la velocidad terminal de los sólidos.
Ejemplo 11.1
Resultados del estudio preliminar del secado de láminas de zanahorias
(9x9x3)(mm3), realizados en el equipo de fluidización del LOPU/DIQ/
USACH, de sección transversal 0,005(m2) mostraron un notorio encogimiento de las partículas durante el proceso de secado, proporcional a su
contenido de humedad:
339
Escurrimiento de fluidos
USACH
V: Volumen de la partícula, de humedad
X (kg H2O/kg SS)
V0:Volumen inicial de la partícula, de
humedad X0 (kgH2O / kgSS)
La determinación de la densidad de las partículas usando un
picnómetro y glicerina como fluido, mostraron que ésta aumenta desde
1020(kg/m3) a X0 = 9, hasta 1150(kg/m3) a X = 0,5.
Se planifica secar láminas de zanahoria de (9x9x3)(mm3), con aire a
80 ºC, a fin de reducir su contenido de humedad inicial desde X0 = 9, hasta
un contenido de humedad final de X = 0,5. Para evitar la permanencia en el
secador de las láminas que alcanzan la humedad deseada (y así minimizar
la pérdida de carotenos), se planifica retirar por arrastre las partículas que
alcanzan la humedad deseada.
Determine la velocidad de aire que permite retirar las partículas con
la humedad deseada, e indique además cuál debería ser el flujo mínimo requerido de aire que asegure la fluidización de todas las partículas.
Solución:
En primer lugar se calculará Vmf de partículas húmedas y la velocidad de
arrastre de las partículas secas:
Volumen inicial de las partículas = V0 = 0,009 · 0,009 · 0,003 = 2,47·10–7(m3)
Densidad inicial = ρ0 = 1020(kg/m3)
Densidad final = ρf = 1150(kg/m3)
340
Capítulo 11: Fluidización
Cálculo de Dp inicial:
Cálculo del Dp final:
Suponiendo:
Cálculo de vmf, para las partículas de tamaño inicial:
Velocidad de arrastre para las partículas de tamaño final:
341
Escurrimiento de fluidos
USACH
Iterando: Sea vtf = 4,41(m/s);
tanto
velocidad
de operación
v op ≥ 4,5(m/s)
⇒ vvtft f= =4,5(m/s)
4,5(m /∴
sPor
)Porlolotanto
la lavelocidad
de operación
será: será
vop ≥ :4,5(m/s)
342
Capítulo 11: Fluidización
EJERCICIOS
11.1. Determine la velocidad mínima de fluidización y la velocidad de
arrastre de partículas de arena, considerando como fluido aire, con
una densidad de 1.2 kg/m3 y una viscosidad de 1.8 · 10-4 gr/cm∙s. La
arena posee una densidad de 2600 kg/m3, una esfericidad de 0.67 y un
tamaño de 160 µm. Analice sus resultados si en vez de aire fluidiza
con agua a 20 ºC.
11.2. Determine el rango de velocidades en el cual puede ser “manejada”
la velocidad de fluidización, en una columna de diámetro 0,8 m, en
la cual se secan partículas de carbón de 1 mm. a 1 at y 80 ºC. ¿Qué
sucede si el tamaño del carbón aumenta al doble?
11.3. El catalizador de un reactor periódicamente debe ser arrastrado por
el gas reactante para ser regenerado. Dado que el soplador disponible
entrega una velocidad máxima en el reactor de 19.6 (m/s), el ingeniero
encargado ha propuesto que las partículas catalíticas tengan una velocidad terminal de 15.7 (m/s), las que se obtienen de barras cilíndricas
de 1 cm de diámetro. Estudios previos encontraron que para cilindros
de altura igual a x veces su diámetro (h = x⋅d), existe una magnitud
x óptima que se adecua perfectamente a los requerimientos del diseño. Lamentablemente el ingeniero jefe de la investigación extravió el
valor de x óptimo y la confección de las partículas aun no se ha concluido. Entonces, para partículas cilíndricas de diámetro d = 1 cm
y altura h = x · d, determine:
343
Escurrimiento de fluidos
USACH
a. La magnitud óptima x extraviada.
b. Esfericidad, desf y dp del cilindro.
c. La razón entre la velocidad mínima de fluidización y la velocidad terminal de las partículas cilíndricas (utilice la ecuación de Wen
y Yu).
Datos:
Propiedades
ρ (grs/cm3)
µ (g/cm seg)
Gas
0.001
0.0001
Catalizador
3
-
(Problema Inventado por alumno ayudante Mario Eckholt R.- 2002).
344
Capítulo 12: Sedimentación
CAPÍTULO 12
SEDIMENTACIÓN
Las dispersiones son sistemas constituidos por dos o tres fases: una
fase continua, denominada medio dispersante y una o dos fases discontinuas,
denominadas fases dispersas. En el caso de las pulpas, el medio dispersante
generalmente es agua o soluciones acuosas, mientras que la fase dispersa
está constituida por el sólido. De acuerdo con el tamaño de las partículas, se
distinguen:
a) Suspensiones: sistemas de dispersión con partículas mayores a 1
micrón, y
b) Coloides: sistemas con partículas de tamaños en el rango de 1
micrón a 10 Ángstrom.
La separación de sólidos suspendidos desde una suspensión, debido
a la acción de la fuerza de gravedad, se denomina sedimentación. Industrialmente, la sedimentación de suspensiones acuosas es un proceso continuo, que se realiza en grandes depósitos a los cuales llega, por el centro o
por un costado, la suspensión o lodo diluido, y que permiten el rebalse del
líquido que sobrenada separándolo del lodo espeso, que sale por el fondo del
equipo. El objetivo principal de la sedimentación puede ser:
a) Obtener una fase líquida clara, sin sólidos en suspensión, como por ejemplo en la recuperación de agua de relave en plantas de concentración, o
b) Obtener una pulpa de densidad adecuada para alguna operación subsiguiente, por ejemplo filtración o flotación.
345
Escurrimiento de fluidos
USACH
Si la suspensión posee un alto contenido de sólidos, la operación de
sedimentación es denominada espesamiento. En caso contrario, se denomina clarificación.
Las características de la sedimentación dependen de una serie de factores que incluyen la densidad, forma, tamaño y naturaleza de las partículas.
La interacción entre las partículas (fuerzas electrostáticas y las fuerzas de
atracción de Van der Waals) depende fuertemente de los dos últimos parámetros mencionados. Junto con lo anterior, deben considerarse fenómenos tales como coagulación y floculación. La combinación de los factores
mencionados establece las características de estabilidad de la dispersión de
partículas, entendiéndose por estabilidad de una dispersión, la capacidad
del sistema para mantener en el tiempo una concentración uniforme, a través
de todo el volumen, sin el concurso de agitación externa. En un sistema no
estable es posible separar ambas fases.
Figura 12.1. Factores que influyen en la estabilidad de una suspensión.
346
Capítulo 12: Sedimentación
Dependiendo de las características del sistema en estudio, es posible diferenciar tres tipos de sedimentación:
a) Sedimentación libre o discreta.
b) Sedimentación retardada o por zonas.
c) Sedimentación floculada (o acelerada).
a) Sedimentación libre
Si la concentración de las partículas es baja y/o su tamaño es relativamente
grande, es posible despreciar las interacciones entre las partículas y por lo
tanto determinar su velocidad de descenso, utilizando expresiones de caída
libre de partículas. En esta situación, durante todo el descenso de la partícula, su velocidad de caída se mantiene constante (Capítulo 10). Físicamente
esta situación se presenta en los llamados “desarenadores”, sedimentadores
en los cuales se retiran partículas de arena o similares. Normalmente estos
equipos son canales de sección rectangular, y su tamaño se determina considerando que el tiempo de residencia de las partículas que se desea remover
debe ser mayor o igual que el tiempo de sedimentación de dichas partículas
(tr ≥ ts). Note que Vt = Vsed = H/tsed y que tr = Volumen/Flujo = W H L / Q.
Figura 12.2. Desarenador en planta de tratamiento de aguas residuales (Tres canales en
paralelo).
347
Escurrimiento de fluidos
USACH
b) Sedimentación retardada
A medida que transcurre el proceso de sedimentación, el aumento de la concentración de partículas produce una disminución notable de la velocidad de
descenso de las partículas. Salvo situaciones muy puntuales, no se dispone
de ecuaciones para predecir la velocidad de las partículas en estas condiciones. Esta situación se presenta en procesos minero-metalúrgicos, donde deben emplearse grandes sedimentadores para concentrar el mineral de interés.
En éstos, se encuentran presentes gran número de partículas, interactuando
entre ellas, lo cual afecta las velocidades de cada partícula. En este flujo
retardado, la velocidad de las partículas es considerablemente menor a
la calculada con ecuaciones disponibles para la caída de partículas aisladas.
La dificultad en conocer y representar adecuadamente el gran número de parámetros involucrados, se traduce en que no existen modelos que
caractericen adecuadamente la sedimentación de partículas, excepto algunos sistemas particulares. Lo anterior se ha traducido en que a la fecha, la
evaluación de velocidades de sedimentación, sea esencialmente un proceso
empírico.
Figura 12.3. Sedimentador.
348
Capítulo 12: Sedimentación
c) Sedimentación floculada
Sistemas conteniendo partículas muy pequeñas y/o de baja densidad (coloides) son muy estables, siendo imprescindible el uso de coagulantes y/o
floculantes, para romper la estabilidad de la suspensión. La velocidad de
descenso de los flóculos formados aumenta durante su sedimentación, ya
que éstos modifican su forma, tamaño y densidad. No se dispone de ecuaciones teóricas para describir esta sedimentación, característica de procesos
de clarificación de aguas. En la literatura especializada se describen metodologías experimentales para determinar la velocidad de sedimentación en
función del tiempo. Existen varios diseños para este tipo de sedimentador,
en todos ellos se dispone de n láminas en paralelo, de allí su nombre de sedimentadores “laminares”.
Figura 12.4. Sedimentador laminar, con flujo en contracorriente.
349
Escurrimiento de fluidos
12.1. Análisis de
retardada
USACH
sedimentadores
con
sedimentación
El procedimiento de diseño de estos equipos de separación fluidopartícula es esencialmente empírico, requiriéndose en una primera etapa información de experiencias batch.
Sedimentación discontinua (batch)
Si bien es cierto, industrialmente los sedimentadores operan en forma continua, la información que se obtiene en experiencias batch es fundamental
para comprender y determinar parámetros aplicables a la operación continua.
La separación batch se puede analizar mediante la observación de
la sedimentación de un volumen de pulpa, en un tubo cilíndrico transparente
(probeta). Se caracteriza porque la concentración de sólidos varía tanto con
la altura como con el tiempo. La Figura 12.5 representa la historia simplificada de una sedimentación batch. Tan pronto como se inicia el proceso,
todas las partículas empiezan a sedimentar, y se supone que se aproximan
rápidamente a sus velocidades terminales bajo condiciones de sedimentación retardada, estableciéndose varias zonas de concentración. La zona D de
partículas sedimentadas, predominantemente incluye las partículas más pesadas y por lo tanto con mayores velocidades de sedimentación. El cilindro
(a) representa la situación inicial con la pulpa uniformemente mezclada. En
el cilindro (b) se aprecia que, luego de un corto tiempo de sedimentación es
posible diferenciar cuatro zonas de concentración:
- Zona inferior de sedimento (partículas gruesas)(D).
- Zona de concentración variable (C).
- Zona de concentración uniforme (B).
- Zona de líquido claro (A).
350
Capítulo 12: Sedimentación
A medida que transcurre la sedimentación, las alturas de cada zona
varían como se indica en la Figura 12.5.
El cilindro (c) muestra que las zonas A y D crecen en el tiempo a
expensas de la zona B de concentración uniforme, hasta que ésta desaparece
(cilindro d), y que la zona C permanece aproximadamente constante en volumen, pero desplazándose hacia arriba.
El cilindro (d) representa el instante en que desaparece la zona B.
Posteriormente también desaparece la zona C, concentrándose todos los sólidos en D, el que recibe el nombre de punto crítico de sedimentación (e),
o sea el punto en el cual se forma una sola interfase precisa, entre el líquido
claro y el sedimento. El proceso de sedimentación a partir de este punto consiste en una compresión lenta de los sólidos, lo que hace que el líquido sea
forzado hacia arriba, a través de los sólidos, hacia la zona clara.
Figura 12.5. Visualización de las zonas en una sedimentación discontinua.
Desde el inicio de la sedimentación, hasta el punto crítico, las partículas sedimentan libremente, chocando eventualmente debido a la concentración. Al alcanzar el punto crítico, las partículas descansan unas sobre
351
Escurrimiento de fluidos
USACH
otras y la posterior reducción de volumen del sedimento se produce por su
reordenamiento, debido al peso de las partículas y de la columna hidrostática. Esta situación se conoce como compresión del sedimento, corresponde
a la mayor parte del tiempo, y alcanza el equilibrio cuando se iguala su peso
con la resistencia mecánica de los flóculos o de las partículas.
De las interfases, sólo se puede apreciar nítidamente la existente
entre el agua clara y la pulpa, las restantes se pueden identificar con ayuda de
rayos X o ultrasonido. La variación de la altura de esta interfase en función
del tiempo (curva de sedimentación), se utiliza para caracterizar la sedimentación batch, determinándose la velocidad de su desplazamiento mediante la
pendiente de la curva. Evidentemente su velocidad será igual a la velocidad
de sedimentación de las partículas que se encuentran inmediatamente debajo
de ella.
Como se muestra en la Figura 12.6, la curva de sedimentación presenta tres tramos típicos:
a) Una recta inicial,
b) Un tramo curvo,
c) Una curva asintótica (para t → oo).
352
Capítulo 12: Sedimentación
Figura 12.6. Curva de sedimentación batch.
El tramo recto, en que la velocidad de la interfase es constante, se
debe a que la interfase limita con una pulpa de concentración constante. Al
desaparecer esta zona en el tiempo, la interfase limitará con la zona de concentración variable, por lo que su velocidad disminuirá gradualmente con el
aumento de la concentración. Hasta el instante en que la interfase alcanza el
punto crítico, la velocidad depende solamente de la concentración del sólido
existente junto a ella. Posteriormente, en la zona de compresión depende
también de la altura de sedimento, de la columna hidrostática y de la formación de canalizaciones. Como el mecanismo cambia más allá del punto
crítico, también lo hace la forma de la curva, transformándose en asintótica
a la altura final de sedimentación.
De acuerdo con lo anterior, cabe hacer notar que el punto crítico es
el límite entre la sedimentación propiamente tal y la compactación del sedimento.
353
Escurrimiento de fluidos
USACH
La masa de sólidos, que sedimenta en cualquier nivel del cilindro, se
puede caracterizar por la variable densidad de flujo de masa, G, que se refiere a la masa que atraviesa una unidad de área perpendicular a la dirección
de flujo, en la unidad de tiempo. O mediante su valor inverso conocido como
área unitaria, AU, que representa el área de sección transversal necesaria
para que atraviese una unidad de flujo másico.
La densidad de flujo de masa de sólidos,Gb, durante la sedimentación
batch de una pulpa, se puede expresar por la ecuación:
Gb = v ⋅ C = W/S
(12.1)
donde:
C: Concentración de sólidos expresada como masa de sólidos por
unidad de volumen de pulpa.
v: Velocidad de sedimentación del sólido a la concentración C.
W: Flujo másico de sólidos.
S: Sección transversal al flujo.
La expresión muestra que Gb es una función del producto de la concentración y la velocidad de sedimentación del sólido, a esa concentración.
La Figura 12.7 muestra la forma típica de curvas de velocidad de
sedimentación y de densidad de flujo de sólidos, en función de su concentración.
El cálculo de la densidad de flujo (Gb) en función de la concentración, requiere del conocimiento de la funcionalidad entre velocidad de
sedimentación y concentración. La falta de modelos y/o ecuaciones impone
la utilización de las curvas de sedimentación, determinadas experimentalmente.
354
Capítulo 12: Sedimentación
Figura 12.7. Curvas típicas de velocidad de sedimentación y densidad de flujo batch en
función de la concentración.
Coe y Clevenger, en 1916, bajo las suposiciones que la velocidad de
sedimentación es sólo función de la concentración, y que características del
sólido tales como grado de floculación no varían con la concentración, propusieron obtener esta información a partir de los instantes iniciales de una
serie de pruebas de sedimentaciones batch, realizadas a diferentes concentraciones iniciales, aprovechando el hecho que para esos tiempos la curva de
sedimentación es una recta.
En 1952 Kynch presentó la primera teoría de sedimentación, la cual
describe la sedimentación batch como un fenómeno de propagación de ondas, basándose en las siguientes suposiciones:
a) La suspensión es originalmente homogénea.
b) La velocidad de sedimentación es una función de la concentración local
solamente.
355
Escurrimiento de fluidos
USACH
c) Las partículas son esféricas y de tamaño uniforme, por lo que el material
sedimentado es incompresible.
La interpretación de una prueba batch de sedimentación, desde el
punto de vista de la propagación de onda, se puede resumir en los siguientes
puntos:
1. Antes que comience la sedimentación, existe una concentración uniforme
de partículas en todo el volumen de la columna.
2. Las partículas en sedimentación llegarán al fondo de la columna, donde
se acumularán. La concentración del material acumulado será mayor que
la concentración inicial de la suspensión. Dentro del material sedimentado,
cualquier nivel de coordenada vertical fija aumentará la concentración con
el tiempo. Esto significa que una zona de concentración determinada, que
al comienzo se encontraba cerca del fondo de la columna, se desplazará a
regiones superiores a ella. Si se sigue un nivel de concentración constante, se
ve que éste se desplaza hacia arriba, constituyendo lo que se denomina una
onda de concentración constante.
Kynch, mediante un balance de masa de sólidos, demostró que la velocidad de ascenso de una onda es constante. Esto es, si se realiza un balance
en una onda de concentración C, Figura 12.8, la masa de sólidos que entra a
la onda debe ser igual a la que sale, por lo tanto:
(12.2)
Es decir:
_
_
(v + dv + v )(C–dC)S = (v + v )·C · S
356
(12.3)
Capítulo 12: Sedimentación
Desarrollando la expresión, se obtiene:
_
_
_
C(v + v ) + C · dv – dC · (v + v ) – dv · dC = C ·(v+ v )
(12.4)
donde:
C: concentración de sólidos en la onda de concentración constante.
v: velocidad de sedimentación de las partículas a la concentración C.
_
v : velocidad de ascenso de la onda de concentración constante.
Reduciendo términos y despreciando el infinitésimo de segundo
orden, se obtiene para la velocidad de ascenso de la onda la expresión siguiente:
_
v = C(dv/dC) – v
(12.5)
En sus postulados Kynch supone que la velocidad es sólo función de
la concentración de los sólidos, por lo tanto la expresión recién planteada se
puede escribir como:
_
v = C · ƒ(C) – ƒ(C)
(12.6)
_
concluyéndose que v es constante debido a que la concentración en la onda
también lo es.
Figura 12.8. Balance de sólidos en una capa de concentración constante.
357
Escurrimiento de fluidos
USACH
Junto con lo anterior, Kynch demostró que la concentración de sólidos justo bajo la interfase con el agua clara, en cualquier instante de una prueba batch, se puede deducir de la curva de sedimentación. Esto permite
determinar tal funcionalidad a partir de una sola prueba batch.
Kynch llegó a esta conclusión analizando el comportamiento de una
onda de concentración cualquiera. Como las ondas nacen en el fondo de
la columna y se desplazan con velocidad constante hacia la interfase agua
clara-pulpa, en el instante en que una de ellas alcance la interfase, todo el
sólido presente en la columna la habrá atravesado. Por lo tanto si todo el
sólido presente en la columna es Co ho S, se puede escribir que:
_
Co ho S = Ci ti (vi + v i ) S
(12.7)
donde:
_
v i = velocidad de ascenso de la onda de concentración ci.
vi = velocidad de sedimentación de las partículas a la concentración Ci.
ti = tiempo en que la onda de concentración Ci alcanza la interfase agua
clara-pulpa.
ho = altura inicial de la pulpa.
Si hi es la altura de la interfase para el tiempo t = ti, y como Kynch
demostró que la velocidad de ascenso de la onda es constante; vi es igual a
la razón hi/ti. Reemplazando esta razón en la última ecuación, se tiene:
CohoS = Citi (vi + hi/ti) S
(12.8)
expresión que se puede simplificar a:
Ci = Coho/[hi + viti]
358
(12.9)
Capítulo 12: Sedimentación
En la Figura 12.6 se puede apreciar que vi es la pendiente de la tangente a la curva de sedimentación para t = ti, luego:
vi = -dh/dt = [Zi - hi]/ti,
o bien:
Zi = hi + ti vi,
introduciendo esta ecuación en la expresión de Ci:
Ci ⋅ Zi = Co ⋅ ho
(12.10)
(12.11)
lo que significa que Zi es la altura de la pulpa de concentración uniforme Ci
que contiene la misma cantidad de sólidos que la pulpa inicial.
La velocidad de sedimentación en función de la concentración, por
lo tanto, se puede obtener a partir de una sola prueba de sedimentación. La
determinación se realiza entonces en forma gráfica y discreta, evaluando la
velocidad a través de tangentes a la curva para los tiempos seleccionados y
su correspondiente concentración mediante la última expresión.
Tanto Coe y Clevenger, como Kynch supusieron que la velocidad de
sedimentación es sólo función de la concentración. Esta suposición es aceptable para concentraciones menores que la del punto crítico, sin embargo, no
es válida en la zona de compresión, ya que la compactación del sedimento
en cualquier nivel se ve afectada por el peso de la columna hidrostática y
del sólido sedimentado en los niveles superiores. Por lo tanto, las curvas de
velocidad y densidad de flujo de sólidos en función de la concentración son
dependientes en la zona de compresión, de la altura de la columna en que se
realiza la prueba, según se esquematiza en la Figura 12.9. Para concentraciones mayores que la concentración crítica, Cc, las curvas se hacen indefinidas
en función de la altura del sedimento.
359
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 12.9. Curvas de velocidad de sedimentación y densidad de flujo, en función de la
concentración.
Así entonces, conocido v = f(C) mediante los métodos propuestos
por Coe y Clevenger o Kynch, se puede construir la curva de densidad de
flujo de sólidos que caracteriza a la pulpa estudiada en sedimentación batch,
y cuya información es necesario extrapolar a un sistema continuo.
12.2. Dimensionamiento de espesadores continuos
El dimensionamiento implica especificar el diámetro (o área) y la altura del
estanque. Pruebas continuas en unidades piloto, permitirían analizar el comportamiento de la pulpa problema y diseñar los espesadores industriales. Sin
embargo, la poca disponibilidad de estas unidades y la magnitud del volumen
de pulpa que debe manejarse hacen poco practicable esta alternativa. En Figura 12.10 se muestran las diferentes zonas de un sedimentador continuo y
en Figura 12.11 se muestran dos espesadores continuos en funcionamiento.
360
Capítulo 12: Sedimentación
Figura 12.10. Sedimentador continuo.
La herramienta más utilizada, es el estudio de la muestra de pulpa
mediante pruebas de sedimentación batch, comúnmente realizadas en
probetas de uno o dos litros, aunque para el análisis de aguas residuales se
recomienda el empleo de columnas de altura similar a la de los decantadores (2 m) y con diámetro de 20 cm, provistas con dispositivos para toma de
nuestras cada 30 o 50 cm. Los resultados son posteriormente analizados con
alguna de las metodologías que permiten utilizar la información de pruebas
batch para el dimensionamiento de unidades continuas.
Figura 12.11. Sedimentadores continuos.
361
Escurrimiento de fluidos
USACH
En un sedimentador continuo, en estado estacionario, la densidad
de flujo másico de sólidos debe ser constante a través de toda la unidad
para que no exista acumulación de sólidos en algún nivel. Esta densidad de
flujo másico, G, tiene dos componentes: una debida a la sedimentación, Gb,
y otra debida al flujo global de la pulpa hacia el underflow, por lo tanto se
puede escribir:
G = Gb + Gu = v C + v*C
(12.12)
donde v* es la componente de la velocidad del sólido debida al flujo del
underflow.
Si a la curva de densidad de flujo para sedimentación batch se le
suma la componente debida al flujo del underflow, se obtiene la respectiva
curva para un sistema continuo, Figura 12.12. Evidentemente existirá una
curva para cada velocidad considerada para el underflow.
Figura 12.12. Densidad de flujo de sólidos para un sistema continuo.
362
Capítulo 12: Sedimentación
Las curvas de densidad de flujo de sólidos para sistemas continuos se
caracterizan por la presencia de un mínimo, que indica que para una pulpa en
particular, existe una concentración CL para la cual el flujo de masa que
atraviesa un área unitaria es mínimo.
Dado que la concentración de sólidos en el flujo de alimentación Ca
es normalmente menor que CL, y que la de descarga, Cu, es siempre mayor,
entonces el máximo flujo de sólidos que puede pasar por unidad de área
hacia el underflow está dado por este valor mínimo, constituyendo el
punto de operación estable de la unidad.
Las condiciones que corresponden a este punto se denominan límites, ya que limitan la capacidad de una operación continua. Un G mayor que
GL provoca que el nivel de sólidos aumente hasta eventualmente rebalsar,
debido al desplazamiento hacia la superficie de la capa de concentración CL
por la acumulación de sólidos. Por el contrario, una densidad de flujo menor
que GL provoca la disminución del nivel de sólidos hasta vaciarse. Todo esto
sin variar el flujo del underflow.
Área de un espesador continuo
Existen diversas metodologías que utilizan la información de pruebas batch
para el dimensionamiento de unidades continuas. Todas ellas se basan en la
determinación de las condiciones límites (VL, CL), variando sólo la forma
de manejar la información experimental, como se mostró en la sección anterior. A continuación se describe el procedimiento general para determinar la
densidad de flujo másico.
Coe y Clevenger, en 1916 plantearon la existencia de la condición
límite para el flujo de sólidos en una operación continua, y en base a ella
delinearon un procedimiento que se utiliza hasta el día de hoy. Supusieron
que la velocidad de sedimentación es sólo función de la concentración, re-
363
Escurrimiento de fluidos
USACH
comendando determinarla a partir de los instantes iniciales de una serie de
pruebas de sedimentación batch, realizadas a diferentes concentraciones iniciales, entre las concentraciones de la pulpa de la alimentación y descarga,
esperadas a nivel industrial.
Con la información así obtenida se calcula la densidad de flujo de
sólidos para cada caso, con el objetivo de estimar el valor correspondiente
a la condición límite.
La densidad de flujo másico para un nivel i cualquiera, dentro del
sedimentador, está representada por:
Gi = vi Ci + v*Ci, donde: v* = Qu/S, siendo:
(12.13)
Qu el flujo volumétrico de pulpa en el underflow y S la sección del espesador.
Despejando vi se obtiene:
(12.14)
Como en estado estacionario la densidad de flujo de sólidos en cualquier
nivel del espesador debe ser igual a la de descarga, se puede escribir:
(12.15)
luego,
(12.16)
364
Capítulo 12: Sedimentación
y despejando la densidad de flujo se obtiene:
(12.17)
Cuando se utiliza la dilución (razón agua/sólido en peso) como medida de la concentración de sólidos, la última ecuación se transforma en:
(12.18)
donde D representa la dilución y ρ la densidad del fluido.
Se acostumbra a utilizar también la variable área unitaria, AU, que
corresponde al valor inverso de Gi e indica el área necesaria para que atraviese la unidad másica de sólidos en la unidad de tiempo. En este caso debe
estimarse el valor máximo.
Ejemplo 12.1
Determinar el área de un espesador para concentrar una suspensión mineral
desde 155 g/l hasta 660 g/l, utilizando información experimental de curvas
de sedimentación (h vs t), obtenidas con diversas concentraciones (Ci).
Solución:
El área unitaria (AU) del espesador corresponde al valor inverso de la densidad de flujo de sólidos en el punto límite (GL). En el procedimiento de Coe
y Clevenger, para obtener GL en primer lugar se deben determinar pares vi,
Ci, leídos desde la zona recta (primera parte) de curvas de altura de interfase vs tiempo. En este ejemplo, dichos valores son incorporados en la tabla
que se adjunta. Luego, se debe calcular el área unitaria para cada situación,
utilizando la expresión correspondiente para Gi. Por ejemplo, para el primer
valor de la tabla se tiene:
365
Escurrimiento de fluidos
USACH
Luego,
De acuerdo con los valores de la tabla adjunta, el área unitaria máxima es
54.7 m2s/kg.
Tabla. Resultados del ejemplo 12.1.
Experiencia
Concentración
(kg/m3)
vi
(cm/s)
AU
(m2s/kg)
1
2
3
4
5
6
180
250
300
350
400
450
0.020
0.015
0.010
0.008
0.0075
0.0071
35.4
36.7
48.5
54.7
53.5
52.6
366
Capítulo 12: Sedimentación
Ejemplo 12.2
Estimar el área unitaria necesaria para llevar una pulpa de concentración
inicial de 236 g/l a una concentración final de 550 g/l. Una prueba de sedimentación batch con dicha pulpa dio los siguientes resultados:
Tabla. Prueba de sedimentación batch.
t (h)
h (cm)
t (h)
h (cm)
t (h)
h (cm)
0
36.2
1.5
16.2
5.0
11.5
0.1
34.6
1.75
14.7
6.0
11.2
0.25
32.3
2.0
13.75
8.0
10.65
0.50
28.5
2.25
13.3
12.0
9.80
0.75
24.8
2.5
12.8
20.0
8.80
1.0
21.2
3.0
12.3
∞
7.70
1.25
18.2
4.0
11.8
Solución:
1) Trazado de la curva de sedimentación con los datos de la tabla.
2) Trazado de las tangentes a la curva de sedimentación para determinar v vs
C, mediante las ecuaciones:
vi = (Zi - hi)/ti
;
Ci = (Co*Ho)/Zi
Por ejemplo, para t = 1 hora se tiene:
v2 = (33.9 - 21.0)/1 = 12.9 (cm/h); C2 = (0.236*36)/33.9 = 0.2506 (g/cm3)
Los resultados para los tiempos seleccionados se encuentran a continuación:
367
Escurrimiento de fluidos
USACH
Tabla. Resultados del ejemplo 12.2.
t
(horas)
0.5
1.0
1.25
1.50
1.75
2.0
2.25
2.50
3.0
4.0
5.0
h
(cm)
28.6
21.0
18.30
16.10
14.7
13.75
13.30
12.80
12.30
11.80
11.50
z
(cm)
36.0
33.9
30.3
27.2
22.6
19.8
18.2
16.0
14.1
13.1
12.80
V
(cm/s)
14.8
12.9
9.6
7.4
4.51
3.03
2.18
1.26
0.60
0.33
0.26
C
(g/cm3)
0.236
0.2506
0.2804
0.3124
0.3759
0.4291
0.4668
0.5327
0.6026
0.6486
0.6638
G
(g/cm2h)
6.118
5.939
5.491
5.349
5.362
5.904
6.721
21.294
-------------
Curva de sedimentación para el ejemplo 12.2.
368
AU
(cm2 h/g)
0.163
0.168
0.182
0.187
0.186
0.169
0.149
0.047
-------------
Capítulo 12: Sedimentación
3) Cálculo de las densidades de flujo, para t = 1 h:
Gi = vi /(1/Ci - 1/Cu)
G2 = 12.9 /(1/0.2506 -1/0.55)= 5.939 (g/cm2 h)
y para el área unitaria:
AU2 = 1/G2 = 1/5.939 =0.168(cm2 h/g)
4) La selección del mínimo valor de densidad de flujo o máximo de área
unitaria, resulta ser AU = 0.187 cm2h/g.
Velocidad de sedimentación vs concentración, obtenida con el método de Kynch.
369
Escurrimiento de fluidos
USACH
Concentración vs tiempo.
Altura de un espesador continuo
La altura de un espesador continuo está determinada por la altura de la zona
de compresión, más alturas que se adicionan, principalmente por concepto
de sumergimiento de la alimentación.
Experimentalmente se ha determinado que, para una pulpa en particular, la concentración de sólidos en la descarga de un espesador es función,
fundamentalmente, de la altura de la zona de compresión y del tiempo que
los sólidos permanecen en ella (tiempo de residencia). Un ensayo batch no
permite obtener directamente una estimación adecuada del tiempo de residencia, ya que, desde los primeros instantes de la prueba, se forma la zona
de sedimento en la que las partículas entran en compresión. Por este motivo,
Roberts, basándose en evidencia experimental, propone estimar el tiempo de
residencia de la unidad continua como la diferencia entre un tiempo θ y el
tiempo necesario para que la pulpa en la prueba batch alcance la concentración de descarga deseada.
370
Capítulo 12: Sedimentación
El tiempo θ corresponde a una altura Z en un gráfico de (h - h∞) en
función del tiempo en coordenadas semi-logarítmicas, gráfico de Roberts.
En el que Z se determina como:
(12.19)
donde Zo es el valor de (h - h∞) para t = 0, y , corresponde a la intersección
de la extrapolación de la recta de la zona de compresión con la ordenada,
Figura 12.13.
Figura 12.13. Gráfico de Roberts (Semi-log).
El volumen de la zona de compresión, y por lo tanto su altura, se determina haciendo uso del concepto de tiempo de residencia promedio. Éste
se expresa, para un reactor cualquiera, como la razón entre su volumen y
el flujo volumétrico que circula a través de él. Para este caso particular, en
que el flujo es una pulpa, se puede expresar también como la razón entre el
contenido de sólidos, m, y el flujo másico, W:
(12.20)
371
Escurrimiento de fluidos
USACH
Si se considera C como la concentración promedio en la zona de
compresión y Vc como su volumen, se puede escribir para el contenido de
sólidos:
m= Vc ⋅C = W⋅tr
(12.21)
de lo cual se desprende que el volumen de la zona de compresión se puede
estimar como:
(12.22)
Si se utiliza la fracción másica como medida de la concentración, el
volumen de la zona de compresión está dado por:
(12.23)
donde ρs y ρ son las densidades del sólido y del líquido respectivamente y X
la fracción de sólidos promedio en la zona de compresión.
La altura final del espesador se estima como la suma de la altura de
la zona de compresión más los siguientes términos adicionales, de carácter
empírico:
- Sumergimiento de la alimentación 0,6 m
- Capacidad de almacenamiento 0,6 m
- Inclinación del fondo 0,6 m
Ejemplo 12.3
Determinar la altura de la zona de compresión para el espesador del ejemplo
12.2, si se requiere una capacidad de 50 ton/h.
Solución:
1) Tiempo de residencia. Para determinar el tiempo de residencia en la zona
de compresión, se debe estimar el tiempo θ y el tiempo necesario para que
372
Capítulo 12: Sedimentación
la pulpa, en la prueba batch, alcance la concentración de descarga. El tiempo
θ se obtiene trazando el gráfico de ROBERTS, Figura 12.13, a partir de los
datos del ejemplo 12.2. Si:
Z = (28.3 + 5.7)/2 = 17 cm
el tiempo θ es de 0.7 h.
Nota: En vez de utilizar el gráfico en coordenadas semi-logarítmicas (Figura
12.13), puede graficarse ln (h - hoo) vs t, como se muestra a continuación:
A partir de un gráfico de concentración en función del tiempo (ver
ejemplo 12.2), se obtiene que una concentración de 0.55 g/cm3 se logra en
un tiempo de 2.6 h. Luego, el tiempo de residencia se estima en 1.9 h.
373
Escurrimiento de fluidos
USACH
2) Volumen de la zona de compresión. El tiempo θ corresponde una concentración de 0.24 g/cm3 [Se lee de Figura de C vs t], luego la concentración
media C es:
C = (0.24 + 0.55)/2 = 0.395 g/cm3
por lo tanto, para el volumen de la zona de compresión se obtiene, de la
ecuación respectiva:
Vc = W*tr/C = 50*1.9/0.395 = 240 m3.
Dado que la altura es de 0.187 cm2 h/g o 18.7 m2h/ton, la altura de
la zona de compresión es:
hc = Vc/S = 240/(50*18.7) = 0.26 m
Factores de corrección
El escalamiento de la información obtenida de pruebas batch, con el objetivo
de estimar el área unitaria, se realiza bajo el supuesto que está definida sólo
por las propiedades de la pulpa en sedimentación. Esta suposición hace que
la estimación del área unitaria de la unidad continua no considere el efecto
de la compresión del sedimento, el que puede llegar a ser significativo dependiendo de la altura de la zona de compresión.
Adicionalmente, diversas fuentes mencionan que los métodos de
Coe y Clevenger y el de Kynch, subestiman el área del sedimentador. Por lo
tanto, se recomienda aplicar los siguientes factores de diseño (denominados
también “factores de seguridad”):
Parámetro de dimensionamiento
Área
Altura
374
Factor de diseño
1.25 a 1.75
1.50 a 2.0
Capítulo 12: Sedimentación
A pesar de la magnitud de los factores de diseño, éstos no cubren variaciones
extremas en el flujo de la suspensión, % de sólidos ni variaciones de temperatura muy diferentes de las observadas en los ensayos batch.
375
Escurrimiento de fluidos
USACH
EJERCICIOS
12.1. En una industria de celulosa se estudia la posibilidad de usar un sedimentador de 23 (m) de diámetro y 3 (m) de altura para el tratamiento del licor negro. Calcule la capacidad del sedimentador para las
siguientes condiciones operacionales: 6,7 (g/L) de concentración de
sólidos en la alimentación y 19 (g/L) de concentración de sólidos en el
lodo. La densidad del sólido, 2,8 (g/cm3). Temperatura: 25 ºC.
Ensayo de la probeta a 25 ºC
z(cm)
30
26,5
23,2
16,6
13,5
12,4
11,2
10,4
10,2
θ(min)
0
2,5
5
10
15
20
30
50
70
12.2. La tabla siguiente corresponde a una prueba batch de sedimentación
de una suspensión, preparada con 200 (g) de cal por litro de suspensión:
θ (h)
0
0,25
0,50
1,00
1,75
3,00
4,75
12,0
20,0
∞
z (cm)
36,0
32,4
28,6
21,0
14,7
12,3
11,55
9,8
8,8
7,7
Un flujo de 40 (ton/h) de una suspensión de la misma concentración
inicial de la prueba batch, se alimentará a un espesador continuo para
producir un lodo de 500 (g) de cal por litro de suspensión.
Determine el área y profundidad del espesador. Considere peso específico de la cal = 2,09.
Solución: Diámetro del espesador 37 m y altura de la zona de compresión 0.3 m.
376
Capítulo 13: Separaciones gas-partícula
CAPÍTULO 13
SEPARACIONES GAS-PARTÍCULA
Existen diversos equipos para retener partículas desde corrientes gaseosas, los que pueden ser clasificados en cinco grandes categorías:
1. Sedimentadores gravitatorios. En éstos, la corriente gaseosa se encuentra
con un abrupto aumento de la sección de flujo, disminuyendo la velocidad
del gas y así se permite la sedimentación de las partículas. Su eficiencia de
captura es baja. Usualmente la velocidad del gas en la cámara debe ser lo suficientemente baja (requieren láminas), para evitar el arrastre de las partículas
sedimentadas.
2. Separadores centrífugos (ciclones). En éstos se utiliza la fuerza centrífuga para permitir la captura de las partículas.
3. Precipitadores electrostáticos. El gas se hace pasar por un campo electrostático, siendo las partículas atraídas por los electrodos, que usualmente
son placas o cilindros concéntricos. La diferencia de potencial aplicado es
del orden de 10.000 V, para unidades de bajo voltaje, y alcanzando sobre
100.000 V para unidades de alto voltaje. La velocidad normal del gas es de
10 pie/s. En la eficiencia de captura de estos equipos es fundamental la resistividad eléctrica de las partículas.
4. Filtros de tela y fibras. En éstos, las partículas son atrapadas en un medio filtrante. El tipo más utilizado es el filtro de mangas o “bag house”. En
éstos, un conjunto de tubos filtrantes se suspende en el interior de una caja.
Las partículas capturadas deben ser periódicamente removidas de éstas, ya
sea moviéndolas mecánicamente, revirtiendo la dirección del flujo o bien
aplicando una fuerte corriente de aire o nitrógeno.
377
Escurrimiento de fluidos
USACH
5. Lavadores húmedos (wet scrubbers). Éstos dependen del atomizado
de un líquido en la corriente gaseosa para remover las partículas. Cabe diferenciar venturi scrubber, jet (fume) scrubbers y torres spray. En el lavador
venturi, el líquido es inyectado en la garganta del venturi y así es dispersado
en el gas a alta velocidad. Su alta eficiencia se contrarresta con el elevado
consumo de agua y altas caídas de presión. Entre los parámetros que gobiernan su eficiencia esta la velocidad en la garganta, caída de presión, razón
líquido/gas y tamaño de las gotas. En el jet o fume scrubbers, a diferencia
del lavador venturi, se utiliza la energía cinética del líquido para favorecer
el contacto gas-líquido, para lo cual éste es atomizado a gran velocidad en el
gas. En las torres spray (rectangulares o cilíndricas), el agua es introducida
a través de toberas en contracorriente, co-corriente o en flujo cruzado a la
corriente de gas. El gas de salida normalmente sale saturado en agua.
La selección de un determinado equipo para remover partículas dependerá del flujo de gas (Q), su temperatura (T), concentración y tipo de partículas (tamaño, densidad) y del grado de remoción deseado. En Tablas 13.1
a 13.4 se presentan antecedentes que facilitan la selección de equipos para
la separación de partículas desde corrientes gaseosas [Chemical Engineering
(Julio 1993)].
Tabla 13.1. Clasificación de las partículas de polvo por tamaño (Chemical
Engineering, Julio 1993).
Clasificación
Extremadamente finos
Finas
Medias
Gruesas
Tamaño
50% son 0.5 a 2.0 µ m
50% son 2.0 a 7.0 µ m
50% son 7.0 a 15 µ m
50% son 15 a 50 µ m
378
Capítulo 13: Separaciones gas-partícula
Tabla 13.2. Concentración de polvos (Chemical Engineering, Julio 1993).
Concentración
Clasificación de la
Granos/pie3
lb/1,000 pie3
concentración
Liviana
½a2
0.07 a 0.3
Media
2a3
0.3 a 0.4
Moderada
3a5
0.4 a 0.7
Alta
Sobre 5
sobre 0.7
Tabla 13.3. Comparación de costos relativos de equipos de separación de
polvos (Chemical Engineering, Julio 1993).
Tipo
Cámara de
sedimentación
Ciclón
Lavador
scrubber (jet)
Torre spray
Precipitador
electrostático
Fabric filter
(shaker)
Venturi
scrubber
Fabric filter
(reverse jet)
Clasificación1
Costos de
Caída de preoperación
sión media
Eficiencia global
de colección de
un polvo tipo
Costos de
capital
60
1
1
1
85
2
2
3
88
4
4
5
95
6
6
1
99
10
1
1
99
8
5
2
99
5
10
10
99
9
9
2
Para manejar 60.000 pie3/min de gas de escape a 20 ºC
1 es el más bajo y 10 es el mayor.
(1)
379
380
> 0.001
> 0.3 - 0.5
Filtros de papel
de alta eficiencia
> 0.5 – 1.0
Filtros de manga
Precipitadores
electrostáticos
> 0.3 – 1.0
Venturi scrubbers
Torres spray
Ciclones
Cámaras de
sedimentación
Colector
0.5 2.0
0.25 -- 0.5
1 - 10
15 –30
500
50
Sobre el 99.9% de
todas las partículas
bajo 5 µm
200-250
95-99 % de partículas
bajo 5 µm
80% a más de 99% de
todas las partículas
200-250
200-250
No sensible Poco efecto
No sensible Poco efecto
Seco
Muy crítico
No afecta la
eficiencia
Seco
o
No afecta la
Muy crítico
eficiencia
húmedo
Poco efecto
Seco
o
Crítico
en la eficienhúmedo
cia
Húmedo
Húmedo
Máxima
Condición Sensibilidad Efecto de la
temperatura
del gas de al punto de densidad de
de trabajo
salida
rocío
las partículas
(°C)
Aumenta la
Seco
o No
muy e f i c i e n c i a
500
húmedo
sensible
con la densidad
Aumenta la
Seco
o
eficiencia
500
Crítico
húmedo
con la densidad
90-99% de partículas
bajo 5 µm
Rango de
Caída de
Grado de limpieza
tamaño de
presión, cm
partículas,
esperado
agua
µm
50% de partículas
bajo 50 µm y µm
> 150
<1
95% de partículas
sobre 300 µm
80% de partículas
bajo 20 µm y más
>10
1 - 3
de 95% de partículas
sobre 50 µm
98 % de partículas
>3
2 - 7
sobre 5 µm y 50% de
partículas bajo 3 µm
Tabla 3.4. Carta de selección de equipos (Chemical Engineering, Julio 1993).
Escurrimiento de fluidos
USACH
Capítulo 13: Separaciones gas-partícula
13.1. Separadores gravitatorios
Los sedimentadores gravitatorios o cámaras de sedimentación, han
sido tradicionalmente utilizados para remover partículas desde corrientes
gaseosas. Entre sus ventajas debe considerarse su sencillez, bajo costo inicial y de inversión, y sus bajas caídas de presión.
El diseño básico de una cámara de sedimentación consiste de una
cámara de expansión, en la cual la velocidad de la partícula se reduce a tal
grado, que ella puede sedimentar bajo la acción de la gravedad. Industrialmente se utiliza para remover partículas relativamente grandes (>40 µm),
con velocidad del gas inferior a 1 m/s. Aún así, la eficiencia de separación es
inferior al 50%. Normalmente este equipo cumple el rol de pre-separador o
separador primario, ya que para conseguir mejores eficiencias de separación,
el tamaño de equipo requerido sería demasiado grande.
Figura 13.1. Separador gravitatorio.
Para determinar las dimensiones básicas de un sedimentador gravitatorio, es imprescindible conocer las características de las partículas, específicamente su velocidad terminal, vt. Para que se produzca la retención de
la partícula, esta debe llegar a la superficie horizontal inferior (piso), en el
tiempo que ésta permanece en la cámara de separación (tiempo de residencia, tr). Considerando flujo pistón:
tr = L/V ; V = Q/BH ⇒ tr = LBH/Q,
(13.1)
381
Escurrimiento de fluidos
USACH
donde V es la velocidad del fluido, Q el flujo volumétrico de gas, H
el alto de la cámara, L su largo y B su ancho.
El tiempo requerido para que la partícula sedimente, ts, en la distancia H, mientras desciende a su velocidad terminal vt, es:
ts = H/vt
(13.2)
Para que la captura de la partícula efectivamente se produzca, se
debe verificar que: ts ≤ tr. En el límite: ts = tr. Por lo tanto: H/vt = LBH/Q, o
bien: vt = Q/LB.
Utilizando expresiones adecuadas para las velocidades de sedimentación (zona de Stokes, zona de transición o zona de Newton), es posible
obtener ecuaciones para el tamaño de partícula (dp), a partir del cual son
retenidas en la cámara de sedimentación. Estas ecuaciones se resumen en la
tabla 13.5.
Tabla 13.5. Expresiones para determinar tamaños de partícula.
Régimen de flujo
Transición
Stokes
{18µQ/(gρpBL)}
0.5
Q
0.88
ρ
0.254
µ
/{0.193(g ρp)
0.377
Newton
(LB)
0.623
}
0.88
0.33 (ρ/g ρp)(Q/LB)2
Los diámetros de partícula calculados con las ecuaciones anteriores
representan valores límites, dp mín = dp*, puesto que partículas con tamaños
iguales o mayores llegarán a la superficie inferior y partículas con diámetros
menores saldrán de la cámara de sedimentación. En las ecuaciones anteriores no aparece la altura de la cámara de sedimentación, H, y por lo tanto
puede concluirse que la eficiencia de la captura es independiente de dicho
valor. Sin embargo, existe un valor mínimo de H, usualmente establecido
para asegurar que la velocidad del gas sea lo suficientemente baja y que no
produzca el arrastre de las partículas ya depositadas.
382
Capítulo 13: Separaciones gas-partícula
Si en el diseño de una determinada cámara de sedimentación se utiliza dp mín, la eficiencia de recolección de partículas, η, para partículas mayores
o iguales a dicho tamaño será 100%. Puede demostrarse que:
η = vt B L/Q 100% = (vt/V)(L/H) = (H*/H)100%
(13.3)
donde H* es la mínima altura que asegura la captura de las partículas.
Si en la corriente gaseosa existen partículas con una distribución de
tamaño, existirá una curva de eficiencia de recolección de partículas para
cada tamaño. Si una partícula de tamaño dp está a H*, entonces (H*/H) representa la fracción de partículas de este tamaño que será recolectado. Si H*
es igual o mayor que H, todas las partículas de ese tamaño o mayores serán
recolectadas en la cámara de sedimentación.
Para evitar el re-arrastre de las partículas depositadas, la velocidad
del gas no debe ser superior a la velocidad de arrastre, vp. Una expresión
semi-empírica para estimar vp es:
(13.4)
donde (W/G) es la velocidad de los sólidos arrastrados (masa de sólidos/
masa de gas); Ps es la presión estática del gas.
Figura 13.2. Cámara de Howard.
383
Escurrimiento de fluidos
USACH
Para aumentar la eficiencia y disminuir el tamaño del equipo, se introducen planchas horizontales dentro del separador, constituyéndose la llamada “cámara de Howard”. De esta forma se consigue separar partículas de
hasta 15 µm. La distancia entre las placas puede ser tan pequeña como una
pulgada. Una de las desventajas de este diseño es la dificultad para retirar los
sólidos que se depositan en la cámara. Por este motivo no se recomienda su
uso para concentraciones de partículas superiores a 1 gr/pie3.
En esta familia de separadores, dadas las bajas velocidades del gas (1
a 10 pie/s), cabe esperar bajas caídas de presión, menores a 0.2 pulgadas de
agua.
El conjunto de dos o más tubos verticales, con diámetros crecientes
por los cuales pasa el gas, constituyen los llamados elutriadores. En estos,
las partículas mayores sedimentan en el fondo del tubo, mientras que las
partículas menores son arrastradas hacia el tope.
Figura 13.3. Elutriadores.
Existe otro tipo de cámara de sedimentación, en la cual, junto con
el efecto de la gravedad se inducen fuertes cambios de dirección del gas, de
forma tal que las partículas impactan en placas internas. Estos equipos se
384
Capítulo 13: Separaciones gas-partícula
conocen con el nombre de separadores de momentum. Su eficiencia puede
superar el 70%, para partículas mayores a 50 µm.
Figura 13.4. Separadores de momentum.
13.2. Separadores centrífugos (ciclones)
Los ciclones son ampliamente utilizados en diversos procesos industriales: minería, metalurgia, procesos farmacéuticos, operaciones de combustión, etc.
En los ciclones, el gas ingresa tangencialmente en la parte superior,
adquiriendo un movimiento centrífugo, siendo las partículas desplazadas hacia la periferia, continuando con su movimiento espiral hacia abajo debido a
la fuerza de gravedad, mientras tanto el gas libre de partículas (o con partículas de menor tamaño), asciende por la parte central.
Cuando el gas ingresa al ciclón, su velocidad se distribuye de tal manera que su componente tangencial (Vct) aumenta al reducirse el radio, mientras
385
Escurrimiento de fluidos
USACH
la velocidad radial (Vcr) se dirige hacia el centro en casi todas las partes del
ciclón. La separación de las partículas es influenciada por el campo centrífugo,
velocidad radial, tiempo de residencia y la turbulencia dentro del ciclón.
El tiempo de residencia depende del número de orbitales que se forman en el interior del ciclón, el que a su vez depende de factores geométricos y del flujo de gas.
La caída de presión en el ciclón es provocada por:
- Expansión a la entrada del ciclón.
- Pérdida de energía cinética en la trayectoria espiral del gas, dentro
del ciclón.
- Fricción en las paredes internas y en el ducto de salida.
Figura 13.5. Dimensiones básicas de un ciclón Lapple (Adaptado de Perry, Manual del
Ingeniero Químico).
386
Capítulo 13: Separaciones gas-partícula
Obedeciendo en general a una misma forma, es posible agrupar los
ciclones en tres categorías:
a) Ciclones convencionales (eficiencia media). Con eficiencias entre
80 a 95%, son capaces de manejar flujos con caídas de presión entre
5 y 13 cm col agua.
b) Ciclones de alta eficiencia (95 a 99%). En general son de menor
diámetro y mayor longitud. Sus rangos de caídas de presión típicos
están entre 5 y 16 cm col de agua.
c) Sistemas multi-ciclones. Están constituidos por un conjunto de ciclones de pequeño diámetro que funcionan en paralelo. Sistemas
bien diseñados pueden presentar eficiencias tan altas como 90% para
partículas en el rango de 5 a 10 µm.
La eficiencia de un ciclón es usualmente especificada en términos de
un tamaño de corte, el cual corresponde al tamaño de partícula recolectada
con una eficiencia del 50%, es decir: dp50. Este tamaño de corte depende del
gas, de las propiedades de las partículas, de las dimensiones del ciclón (normalmente el tamaño de un ciclón se representa en función del diámetro de la
sección cilíndrica, Dc) y de las condiciones de operación. Puede calcularse
con la expresión:
(13.5)
µ es la viscosidad del gas en lb/pie-s, Bc es el ancho de la entrada
del gas, pie, Nt es el número efectivo de espiras que el gas desarrolla en el
ciclón, vi es la velocidad del gas en la entrada, pie/s, ρs es la densidad de las
partículas, lb/pie3 y ρ es la densidad del gas, lb/pie3.
Lapple entrega las dimensiones básicas de un ciclón convencional,
demostrando que para esta configuración Nt = 5.44. Partículas mayores a
dp50 serán recolectadas con eficiencias superiores al 50%, mientras que las de
387
Escurrimiento de fluidos
USACH
menor tamaño serán recolectadas con una eficiencia menor. Para determinar
la eficiencia de colección puede utilizarse la ecuación siguiente:
(13.6)
En general, la eficiencia de recolección aumenta con el aumento de
la velocidad de entrada, encontrándose ésta en el rango de 20 a 70 pie/s.
Velocidades mayores aumentan la eficiencia, aunque valores superiores a
100 pie/s no son recomendables, ya que se produce el arrastre de partículas
separadas, bajando la eficiencia de colección.
Instalaciones en serie se justifican solo si:
• El polvo presenta una amplia distribución de tamaños, incluyendo partículas bajo 15 µm. En esta situación un primer gran ciclón permite separar
las partículas gruesas, luego varios ciclones menores en paralelo permiten
separa las partículas menores.
• El polvo es fino, pero con partículas que forman flóculos.
Los ciclones operan de igual modo a vacío o a presión.
Ejemplo 13.1
Debido a su cargo de Inspector Controlador de la Polución Atmosférica,
usted ha sido comisionado para evaluar el funcionamiento de un ciclón usado a la salida de un secador de áridos de una planta de asfaltos. La norma
vigente prohíbe la emisión de más de 229 [mg/m3] de partículas menores de
10 [μm]. Un análisis de partículas a la entrada del ciclón indica que el 10%
de la emisión másica particulada está entre 5 y 10 [μm], siendo despreciable
la concentración de partículas menores de 5 [μm]. La carga total de entrada
al ciclón es de 11450 [mg/m3]. El ciclón disponible es uno convencional, de
388
Capítulo 13: Separaciones gas-partícula
diámetro 0,61 [m], con una velocidad a la entrada de 15,2 [m/s]. La densidad del polvo es 2,75 [g/cm3]. El número de giros del gas se estima en 4,5
y opera a una temperatura ambiente de 21 [ºC].
¿Daría usted el permiso de operación para el ciclón?
Solución: Considerando que el ciclón es del tipo Lapple, se tiene:
Total de partículas: 11450 [mg/m3]
Partículas ≤10 [μm]: 11450 · 0.1 = 1145
Se pide:
Tamaño promedio de partículas ≤10 [μm]:
Para el cálculo del diámetro de corte se utiliza la ecuación:
donde
;luego:
El cálculo de la eficiencia, Ei, se realiza mediante la ecuación:
El ciclón no cumple con la Emin requerida, por lo tanto no se da el permiso.
389
Escurrimiento de fluidos
USACH
Ejemplo 13.2
Una dada muestra de una corriente de aire tiene la siguiente distribución en
% en peso con cada tamaño medio de partículas:
Tamaño (μm)
1
10
50
100
200
% en peso
10
20
40
20
10
Se usará un separador ciclónico convencional, basado en lo siguiente: ancho
de entrada, 12 pulg; Nº efectivo de giros o vueltas, 5; velocidad del gas de
entrada, 60 (pie/s); densidad de la partícula, 1,6 (g/cm3); densidad del gas,
0,074 (lb/ft3); viscosidad del gas, 0,045 (lb/pie·h).
a) Use el método de Lapple para estimar el % del peso total que sería removido en el ciclón.
b) ¿Qué flujo de aire contaminado podría tratarse en el ciclón?
Solución:
Primero se determinará dp50. Para esto se transformaran los datos a SI
Bc = 0,3048 (m)
vi = 18,288 (m/s)
ρs = 1600 (kg/m3)
ρ = 1,185 (kg/m3)
μ = 1,9x10-5 (kg/ m*s)
390
Capítulo 13: Separaciones gas-partícula
A continuación se muestra un ejemplo para el primer rango de tamaño. Los
cálculos siguientes son análogos.
El cálculo de Ei se puede realizar mediante la ecuación:
y por último:
x · Ei = 0,1 · 1,74 = 0,174
dp
(μm)
1
10
50
100
200
x
dp/dp50
Ei
x · Ei
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
0,133
1,328
6,640
13,280
26,560
1,74
63,82
97,78
99,44
99,86
0,17
12,76
39,11
19,89
9,99
del peso total será removido en el ciclón
b) Q = vi · Bc · Hc
391
Escurrimiento de fluidos
USACH
EJERCICIOS
13.1. En una de las etapas del proceso de fabricación de cemento se utiliza
un ciclón Lapple, de diámetro 8 [ft]. Medidas de la velocidad del aire
a la entrada del ciclón señalan que ésta es de 60 [ft/s] y que el número
efectivo de espiras dentro del ciclón, Nt, es 5,4. En las condiciones del
proceso la viscosidad del gas es 0,02 [cp] y la densidad de las partículas es 181 [lb/ft3]. El análisis granulométrico de las partículas es:
Dp [μm]
2
8
15
20
35
45
55
>55
% peso
5
15
20
28
15
10
5
2
Determine el diámetro de corte y la eficiencia global del ciclón. [Solución: Eglobal = 78,9%].
13.2. La distribución de tamaños de partículas emitidas por un incinerador
es:
Rango de tamaños (μm)
d p (μm)
1
3
7
12,5
17,5
25
> 30
0–2
2–4
4 – 10
10 – 15
15 – 20
20 – 30
30 - +
392
% en peso
17
5
8
3
3
5
59
Capítulo 13: Separaciones gas-partícula
a) ¿Cuál es la eficiencia global de un ciclón convencional si se usa un
dp50 de 10 (μm)?
b) Si la caída de presión máxima permisible es de 5 (pulg de agua),
¿cuáles serían las dimensiones del ciclón para tratar 1500 (m3/h)?
Solución [Et = Σx · Ei = 70,59%, Dc = 47,1(cm)].
393
Capítulo 14: Transporte hidráulico de sólidos en tuberías
CAPÍTULO 14
TRANSPORTE HIDRÁULICO DE SÓLIDOS EN TUBERÍAS
14.1. Introducción
Existen numerosas aplicaciones de transporte hidráulico de sólidos
a través de tuberías, especialmente en el área de la minería. Cabe destacar
el transporte de suspensiones de cobre en el norte de Chile, de mineral de
fierro en Brasil y de carbón mineral en EE.UU., lugares donde los minerales
recorren distancias superiores a cien kilómetros. Prácticamente en todas las
operaciones conocidas el fluido de transporte es el agua. Desafortunadamente, el avance en las aplicaciones no significa que se tenga el completo conocimiento teórico del efecto de las variables involucradas en el transporte
hidráulico. Para que el transporte de mezclas líquido-sólido a través de cañerías sea técnicamente factible, se deben cumplir las siguientes condiciones:
1) El sólido debe poder mezclarse y separarse fácilmente.
2) No debe existir el riesgo de taponamiento de la cañería.
3) El desgaste y ruptura que sufren las partículas durante el transporte, no debe tener efectos adversos para el proceso posterior de ellas.
4) La cantidad del fluido empleado para el transporte debe ser adecuada.
Variables del sistema
El flujo de mezclas sólido-líquido por cañerías depende de diversos parámetros, no conociéndose con exactitud la influencia de ellas. Estos parámetros
se sintetizan en la Figura 14.1:
395
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 14.1. Variables a considerar en el diseño de un sistema hidráulico de material particulado.
Aspectos Básicos:
Al aplicar un balance de energía mecánica a una tubería horizontal,
por la cual circula un fluido, debido a un gradiente de presión, se obtiene:
(14.1)
donde (–∆p) representa la caída de presión a través del sistema, ρ la densidad
del fluido y Ê v , las pérdidas por fricción. Si en el mismo sistema, en vez de
un fluido puro, circula una suspensión se obtiene:
(14.2)
En esta situación, las pérdidas por disipación de la mezcla, pueden expresarse en altura de suspensión al dividir la última expresión por g. Si se divide
además por L y denominando Jm al término 2fv2/gD, entonces, las pérdidas
396
Capítulo 14: Transporte hidráulico de sólidos en tuberías
por disipación viscosa estarán expresadas en altura de suspensión por unidad de longitud de tubería.
(14.3)
En forma equivalente, si el fluido que circula es agua, llamaremos en
este caso a las pérdidas de disipación viscosa, expresadas en altura de agua
por unidad de tubería, como Jw.
La densidad de la mezcla, ρm, si se comporta como un fluido homogéneo está dada por:
(14.4)
donde Vw y Vs corresponden a los volúmenes de agua y sólido, respectivamente y V representa el volumen de la suspensión.
Llamando C a la concentración en volumen de los sólidos en la mezcla, se tiene, que C = Vs/V y por lo tanto, se puede escribir también: 1 – C =
Vw/V. Introduciendo, estas expresiones en la ecuación que representa la densidad de la mezcla, se obtiene:
ρm = ρw + C(ρs – ρw)
(14.5)
Newitt, relacionó las pérdidas por fricción de la mezcla en altura de
agua, J, con las pérdidas por fricción del agua sin partículas, Jw, en términos
de la función φ, característica de cada sistema:
J = Jw + Jw C φ
Entonces la función φ se define como:
(14.6)
(14.7)
397
Escurrimiento de fluidos
USACH
14.2. Modelos para predecir pérdidas de carga
La modelación del transporte hidráulico de sólidos está siendo perfeccionada continuamente por el aporte de diversos investigadores. Los modelos tradicionales corresponden a los formulados por Durand y también el
modelo de Newitt.
Modelo de DURAND (Durand, 1953)
Basándose en numerosos valores experimentales, Durand propone la siguiente clasificación para las mezclas:
A. Mezclas homogéneas. Válido para sólidos con tamaño inferior a 20 ó 30
micrones.
Las mezclas homogéneas presentan dos tipos de regímenes de flujo:
laminar y turbulento.
A.1 Régimen laminar. Las mezclas se comportan como fluidos no newtonianos, con formación de depósito en la sección inferior de la tubería. Este tipo
de comportamiento debe ser evitado en las instalaciones.
A.2 Régimen turbulento. En este régimen, las pérdidas por disipación viscosa son iguales a las del agua pura, por lo tanto, J = Jw, y:
(14.8)
donde J representa las pérdidas por fricción de la suspensión, por unidad de
longitud de cañería, Jw las pérdidas por fricción del agua pura por unidad de
longitud de cañería y (Ev/g)m las pérdidas por disipación viscosa de la mezcla, expresada como altura de mezcla.
398
Capítulo 14: Transporte hidráulico de sólidos en tuberías
B. Mezclas intermedias. Válido para sólidos con tamaño entre 25 y 50 micrones. Durand no presenta expresiones para este tipo de régimen.
C. Mezclas heterogéneas. Están constituidas por sólidos que exceden los 50
micrones de diámetro. Es posible encontrar la siguiente subdivisión, válida
en rigor para sólidos con una estrecha distribución de tamaños. Para mezclas
con una amplia granulometría, la clasificación puede variar, dependiendo de
la concentración de los sólidos.
C.1. Transportadas en suspensión (diámetro de sólidos entre 50 micrones y
0.2 mm).
C.2. Categoría de transición (diámetro de sólidos entre 0.2 y 2 mm).
C.3. Transportadas por saltos (diámetro de sólidos superior a 2 mm).
Los movimientos del agua son insuficientes para mantener a los sólidos y el agua homogeneizados y la gravedad tiende a sedimentar a las partículas. Durand encontró que existe una velocidad límite del agua, vL, bajo la
cual se inicia el depósito de partículas en la tubería. Encontró que vL depende
del diámetro de la cañería D, de la densidad de los sólidos, ρs de la densidad
del líquido, ρw, de la concentración volumétrica de sólidos C y del diámetro
de las partículas Dp. Entrega la siguiente relación para estimar vL:
(14.9)
donde FL es una variable que depende únicamente de la concentración en
volumen (C) y del diámetro de los sólidos, tal como se muestra en la figura
siguiente:
399
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 14.2. FL vs Dp para diversas concentraciones en volumen (Adaptado de Durand,
1953).
Por lo tanto, dependiendo de la velocidad límite de depósito, se desprende que en mezclas heterogéneas existen dos tipos de regímenes: régimen
sin depósito de sólidos (v > vL) y régimen con depósito de sólidos (v < vL).
Régimen sin depósito de sólidos en la tubería. Para el parámetro φ, informan de la siguiente expresión:
(14.10)
donde CD es el coeficiente de fricción representativo de las partículas. S es
el cuociente ρs/ρw.
400
Capítulo 14: Transporte hidráulico de sólidos en tuberías
Régimen con depósito de sólidos en la tubería. Si la velocidad de operación es menor que la velocidad límite de depósito vL, en la parte inferior de
la cañería comenzará a formarse un lecho, que con el tiempo puede obstruir
totalmente la cañería. Sin embargo, experiencias visuales muestran que la
cima de los depósitos es aproximadamente plana, y que por este motivo
existe una altura h y una sección de flujo libre, siendo aplicable también la
ecuación para φ, introduciendo ve en vez de v, siendo ve la velocidad de flujo
sobre el depósito y cambiando D por 4 RH, donde RH es el radio hidráulico.
En el diseño de sistemas de transporte hidráulicos, se recomienda
emplear v > vL.
Modelo de NEWITT (Newitt, 1955)
Newitt clasifica las suspensiones en las siguientes categorías:
a. Mezclas homogéneas.
b. Mezclas heterogéneas en suspensión.
c. Mezclas heterogéneas por saltos o lecho móvil.
d. Mezclas heterogéneas con lecho estacionario.
Esta clasificación puede visualizarse en la figura siguiente, en la que
se grafica el diámetro de la partícula en función de la velocidad media, para
una densidad de sólidos y un diámetro de cañería dados. Newitt propone
además, ecuaciones que permiten calcular la transición entre cada uno de los
patrones de flujo indicados en la Figura 14.3.
401
Escurrimiento de fluidos
USACH
Figura 14.3. Diámetro de partícula vs velocidad media.
Para mezclas homogéneas, se propone la siguiente correlación:
φ = 0.6 (S – 1)
(14.11)
Para suspensiones heterogéneas se propone:
(14.12)
402
Capítulo 14: Transporte hidráulico de sólidos en tuberías
Para suspensiones con lecho móvil:
(14.13)
Velocidades de transición
El cálculo de las velocidades de transición permite decidir que modelo debe aplicarse a una determinada suspensión. Es decir, dichas velocidades permiten clasificar las mezclas. Las velocidades de transición vH y vB, se
obtienen igualando las correlaciones correspondientes a dos zonas sucesivas
y reemplazando v por vH o vB, según corresponda. De esta forma se obtiene
para la transición entre mezcla homogénea y heterogénea:
vH = (1800 g D vt)1/3
(14.14)
Análogamente, para la transición entre mezcla heterogénea y flujo con lecho
móvil, se tiene:
vB = 17 vt
(14.15)
El criterio que permite decidir establece que si la velocidad media es mayor
que la velocidad de transición, debe considerarse la mezcla en la categoría
inferior, entendiéndose como orden creciente: homogéneas, heterogéneas,
lecho móvil.
Procedimiento de diseño
Para diseñar un sistema de transporte hidráulico de sólidos por tuberías bajo presión, se recomienda que la mezcla fluido partícula sea una suspensión heterogénea; además de un completo conocimiento de las características de la mezcla y del sistema (topografía). Los modelos para evaluar las
pérdidas de disipación viscosa están formulados para mezclas con estrechas
granulometrías de tamaño, situación que en las aplicaciones industriales no
403
Escurrimiento de fluidos
USACH
se presenta. Con el propósito de incorporar en las ecuaciones el efecto de la
distribución de tamaño, se recomienda utilizar un tamaño ponderado vía
un coeficiente de arrastre representativo de la mezcla, el que se determina
con la expresión siguiente:
(14.16)
donde Xi corresponde a la fracción en peso de las partículas de tamaño Dpi
y CDi su correspondiente coeficiente de arrastre. Luego, con el valor del coeficiente de arrastre representativo de la mezcla, CD, usando las ecuaciones
que representan este coeficiente, se obtiene el tamaño representativo de la
mezcla, Dp y la velocidad de arrastre (llamada también velocidad terminal)
de la mezcla, vt.
Consideraciones particulares:
i) Amplia granulometría y C ≤ 15%
Para esta situación se recomienda el siguiente procedimiento de diseño:
1. Calcular el diámetro promedio de la mezcla de partículas, utilizando los
coeficientes de arrastre.
2. Clasificar la suspensión según Durand.
3. Seleccionar un diámetro de cañería.
4. Calcular las pérdidas por disipación viscosa de la mezcla, Ev, usando preferentemente el modelo de Durand.
5. Si corresponde, calcular los requerimientos de potencia de bombeo.
La selección del diámetro de la cañería, está directamente relacionada con la velocidad de la suspensión, considerándose que un diámetro
inadecuado puede producir depósitos estacionarios de sólidos en la tubería.
404
Capítulo 14: Transporte hidráulico de sólidos en tuberías
La velocidad de operación óptima, vópt, es aquella que produce las pérdidas por disipación mínimas y puede obtenerse derivando la ecuación que
relaciona velocidad con diámetro de tubería. Al usar la expresión correspondiente a Durand, se obtiene una expresión para la velocidad óptima, a la cual
le corresponde un diámetro óptimo de cañería:
(14.17)
(14.18)
Calculada la velocidad y el diámetro óptimos, se procede a calcular
la velocidad límite de depósito, vL. Si es necesario, debe rediseñarse la velocidad de operación a fin de evitar la formación de depósitos, entrando en un
ciclo iterativo que incluye el diámetro de la cañería.
Una vez conseguidas las dimensiones con un régimen sin formación
de depósitos, se procede a calcular las pérdidas por disipación viscosa.
ii) Amplia granulometría y C > 15%
Cuando se presenta este caso, no es posible calcular vL, ya que la
ecuación planteada se aplica a concentraciones bajo 15%. En esta situación,
las etapas básicas del procedimiento de diseño son las siguientes:
1. Calcular el diámetro promedio de la mezcla, usando los coeficientes de
arrastre.
2. Seleccionar un diámetro mínimo de cañería, D, verificando que se cumpla
la relación:
vB < v <vH
405
Escurrimiento de fluidos
USACH
3. Calcular las pérdidas por disipación viscosa de la mezcla, Ev, empleando
la ecuación:
(14.19)
donde x puede evaluarse de la Figura 14.4.
Figura 14.4. Gráfico para estimar el parámetro x.
Ejemplo 14.1
Se desea transportar hidráulicamente 200 (m3/h) de pulpa al 10% (en volumen), desde la descarga de celdas de flotación, hasta un sedimentador ubicado 10 (m) sobre las celdas de flotación. Tanto el punto de succión como la
descarga se encuentran a presión atmosférica, separados 150 (m).
Un análisis granulométrico de los sólidos contenidos en la pulpa, entregó los
siguientes resultados:
Diámetro (µm)
Fracción en
peso
25
60
100
150
200
0,15 0,30 0,40 0,10 0,05
406
Capítulo 14: Transporte hidráulico de sólidos en tuberías
Determinar el diámetro de la tubería y la potencia de la bomba (con una eficiencia global estimada de 75%). En las condiciones de transporte, la densidad del agua es 1000 (kg/m3) y su viscosidad 1 cp, mientras que la densidad
de los sólidos es 2500 (kg/m3).
Solución:
Primero se debe determinar el diámetro de partícula representativo de la
mezcla ( D p ). Suponiendo régimen de Stokes (Re < 1).
Para el primer diámetro el cálculo es el siguiente:
407
Escurrimiento de fluidos
Dp (µm)
25
60
100
* 150
* 200
USACH
F. en
peso
0,15
0,30
0,40
0,10
0,05
vt (m/s)
5,10 · 10–4
2,94 · 10–3
8,17 · 10–3
1,66 · 10–2
2,40 · 10–2
Ret
CD
0,013 1882
0,176 136,4
0,817 29,4
2,490 10,5
4,800 7,0
CD
43,4
11,7
5,4
3,2
2,7
* Para estos valores no se cumplió la suposición de Stokes, calculándose
entonces iterativamente con el siguiente procedimiento:
vt  Ret  CD (Figura 10.2 )  vt (ecuación 10.6)
Luego,
Ahora asumiendo Stokes:
(1)
(2)
Igualando (1) y (2) se obtiene:
D p == 56,8(µm)
56 ,8( µm)
Para obtener el diámetro de la tubería se puede resolver iterando. Para partir
con la iteración se utilizará el concepto de velocidad óptima.
y como,
408
Capítulo 14: Transporte hidráulico de sólidos en tuberías
se parte la iteración con una tubería de
D = 10”Di=10,020”Di=0,2545(m)
, FL se obtiene de Figura 14.2.
∴vvLL >> v,v se forma depósito.  Se tiene que disminuir el diámetro de la tubería.
D = 8”  Di = 7,981”  Di = 0,203 (m)
v = 1,72 (m/s)
vL = 1,71 (m/s)
∴vvLL <>v,v si bien se cumple la condición para que no haya deposito, está muy
al límite por lo que se opta por un diámetro aun menor.
D = 6”  Di = 6,065”  Di = 0,154 (m)
v = 2,98 (m/s)
vL = 1,49 (m/s)
∴vvLL <<
> vv. Este será el diámetro de tubería a usar.
Resolviendo el problema por el método Durand queda:
409
Escurrimiento de fluidos
USACH
Utilizando la expresión de Shacham para determinar el factor de fricción:
fW = 0,0041
Realizando un Bernoulli entre los puntos (1) y (2)
entonces:
, por lo tanto, la
potencia es:
Potenciateórica=
Potenciareal =
410
Capítulo 14: Transporte hidráulico de sólidos en tuberías
EJERCICIOS
14.1. Determine el flujo de agua y la potencia de bombeamiento requeridas
para el transporte hidráulico de 40 ton/h de arena. La tubería es de
acero comercial de diámetro nominal de 5", tipo 40. El sistema debe
operar con una velocidad de mezcla 20% mayor que la velocidad de
depósito. La pérdida de carga total de los accesorios puede ser estimada en 25% de la proporcionada por las tuberías. Temperatura del
sistema: 20 ºC. Densidad y esfericidad de la arena: 2600 kg/m3 y 0,78
respectivamente. La distribución granulométrica de la arena se muestra en la tabla siguiente:
# Tyler
-35+48
-48+65
-65+100
Fracción retenida
0,3
0,4
0,3
Solución: Flujo = 128 m3/h; Potencia teórica = 6.5 KW.
14.2. En una planta de fabricación de cemento se desea implementar un sistema para transportar hidráulicamente 140 m3/h de una suspensión de
concentración 3.16% en peso y de 1.22% en volumen. En la succión se
dispone de una presión de 2.76 · 105 Pascales (manométrica), estando
la descarga a presión atmosférica, 6 metros bajo la succión. En la tabla
siguiente se muestra la distribución granulométrica de las partículas,
de densidad, ρs = 2600 kg/m3.
411
Escurrimiento de fluidos
USACH
Análisis por tamizado
Diámetro (mm)
0,037
0,053
0,074
0,105
0,149
0,21
0,297
0,420
0,595
% peso (pi)
11,50
10,50
12,60
20,70
20,45
19,95
3,80
0,35
0,15
Utilizando los métodos de Newitt y Durand, determine las pérdidas
por fricción, considerando que se utilizará una tubería de 220 metros
de longitud y diámetro nominal 4".
Solución: Por ambos métodos se obtiene:
412
Eˆ v
g
≈ 3 ,5 (m
mezcla) .
Apéndice
APÉNDICE
413
Apéndice
Factores de conversión
415
Escurrimiento de fluidos
USACH
416
Apéndice
Temperatura
t(ºF) = 1.8 t (ºC) + 32
t(ºC) = [ t (ºF) – 32]/1.8
t(ºK) = t (ºC) + 273,15
T(ºR) = t (ºC) + 459,67
T(ºR) = 1.8 T (ºK)
T(ºR) =1.8 t (ºC) + 459,67
T(ºK) = t (ºF)/1.8 + 255,4
t(ºF) =1.8 T (ºK) – 459,67
t(ºC) = T (ºR)/1.8 – 273.15
Constante Universal de los Gases (R)
R = 1,987 [cal/gramo mol ºK]
R = 10,731 [psi pie3 /lbmol ºR]
R = 0,08206 [lt at/g mol ºK]
R = 0,7302 [at pie3 /lbmol ºR]
R = 82,06 [cm3 at/g mol ºK]
R = 62,36 [lt mm Hg/g mol ºK]
R = 8,309 [Joule /gmol ºK]
R = 8308,7 [m2 kg/kgmol seg2 ºK]
417
Escurrimiento de fluidos
USACH
TABLAS
A.1. Dimensiones de tubos de acero normal (ASA Standards).
Tamaño
nominal
(plg)
Diámetro
exterior
(plg)
1/8
0.405
1/4
0.540
3/8
0.675
1/2
0.840
3/4
1.050
1
1.315
1
4
1
1
2
1
1.660
1.900
2
2.375
1
2
2.875
3
3.500
1
2
4.000
4
4.500
5
5.563
6
6.625
8
8.625
10
10.75
12
12.75
2
3
Cédula
Nº
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
Espesor de
pared
(plg)
0.068
0.095
0.088
0.119
0.091
0.126
0.109
0.147
0.113
0.154
0.133
0.179
0.140
0.191
0.145
0.200
0.154
0.218
0.203
0.276
0.216
0.300
0.226
0.318
0.237
0.337
0.258
0.375
0.280
0.432
0.322
0.50
0.365
0.593
0.406
0.687
418
Diámetro
interno
(plg)
0.269
0.215
0.364
0.302
0.493
0.423
0.622
0.546
0.824
0.742
1.049
0.957
1.380
1.278
1.610
1.500
2.067
1.939
2.469
2.323
3.068
2.900
3.548
3.364
4.026
3.826
5.047
4.813
6.065
5.761
7.981
7.625
10.020
9.564
11.938
11.376
Diámetro
interno
(m)
0.00683
0.00546
0.00925
0.00767
0.01252
0.10744
0.01580
0.01387
0.02030
0.01885
0.02665
0.02431
0.03505
0.03246
0.04089
0.03810
0.05250
0.04925
0.06271
0.05900
0.07793
0.07366
0.09012
0.08545
0.10226
0.09718
0.12819
0.12225
0.15405
0.14633
0.20272
0.19368
0.25451
0.24293
0.30323
0.28895
Apéndice
A.2. Abertura de tamices Tyler.
Nº de malla
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
20
24
28
32
35
42
48
60
65
80
100
115
150
170
200
230
270
325
400
Abertura (mm)
6.680
4.699
3.962
3.327
2.794
2.362
1.981
1.651
1.397
1.168
0.991
0.833
0.701
0.589
0.495
0.417
0.351
0.295
0.248
0.208
0.175
0.147
0.124
0.104
0.088
0.074
0.061
0.053
0.043
0.038
419
Escurrimiento de fluidos
USACH
A.3. Largo equivalente (L/D) en accesorios [Adaptado de Foust y col.,
1961].
Accesorio
L/D
Convencional, 100% abierta
Con disco de chaveta, 100% abierta
Convencional, 100% abierta
Válvula angular
Con disco de chaveta, 100% abierta
100 % abierta
Válvula de
75 % abierta
50% abierta
compuerta
25% abierta
100 % abierta
75 % abierta
Válvulas de lodo
50% abierta
25% abierta
Giro convencional, 100% abierta
Válvulas de retención
Giro de despeje, 100% abierta
Válvulas de aspira- Con disco de alza vertical, 100% abierta
Con disco articulado, 100% abierta
ción con cedazo
340
450
145
200
13
35
160
900
17
50
260
1200
135
50
420
75
Válvula de globo
Válvula de tres
pasadas
Codos
T normal
Flujo directo
Flujo a través de la bifurcación
De 90º, radio normal
De 90º, radio largo
De 45º, radio normal
Con flujo a lo largo
Con flujo a través de la ramificación
420
44
140
30
20
16
20
50
Apéndice
A.4. Aspereza relativa en función del diámetro de la tubería [Adaptado de
Foust y col., 1961].
421
Escurrimiento de fluidos
USACH
A.5. Factor de fricción en función del número de Karman [Adaptado de
Foust y col., 1961].
422
Apéndice
A.6. Coeficiente de resistencia (K) para expansiones y contracciones.
[Adaptado de Foust y col., 1961].
423
Escurrimiento de fluidos
USACH
A.7. Densidad y valores x, y para leer viscosidades de líquidos [Adaptado
de Ocon y Tojo 1979].
424
Apéndice
425
Escurrimiento de fluidos
USACH
A.8. Viscosidad de gases y vapores a 1 atmósfera [Adaptado de Ocon y Tojo
1979].
426
Apéndice
427
Escurrimiento de fluidos
USACH
A.9. Presión de vapor y densidad de agua a diferentes temperaturas.
428
Apéndice
A.10. Curvas características de bombas centrífugas.
429