Newtonsche Gesetze
Mittlere Geschwindigkeit
v
1. Ein Körper behält seine Geschwindigkeit bei, solange
keine Kräfte auf ihn wirken
2.-
s2  s1 s

t 2  t1
t


F  ma
3. Aktio gleich Reaktio
Kraft als Ursache für die Bewegungsänderung
Mittlere Beschleunigung
a 
Momentane Geschwindigkeit
v 2  v1
v

t 2  t1
t
Für Zeiträume während denen sich die Geschwindigkeit
nicht markant ändert wird aus der mittleren
Geschwindigkeit die momentane Geschwindigkeit.
s
t  0  t
v  lim
Steigung an die s(t) Kurve
v   m
s
Momentane Beschleunigung
Konstante Beschleunigung (Skalar)
Für Zeiträume während denen sich die Beschleunigung
nicht markant ändert wird aus der mittleren
Beschleunigung die momentane Beschleunigung.
s (t )  s 0  v 0 t 
v
a  lim
t 0  t
a   m2
s
Steigung an die v(t) Kurve
a  konstant
v ( t )  v 0  at
Geschwindigkeit: Linear
Ort: Quadratisch
Die vier fundamentalen Kräfte (Wechselwirkungen)
Einige abgeleitete Kräfte
Gravitation
(Alle Massen ziehen sich an)
Elektromagnetische Kraft
(Kräfte zwischen Ladungen)
Reibungskraft
Federkraft
Auftriebskraft
Druckkraft
Schwache Kraft
(Beim Radioaktiven Zerfall)
Starke Kraft
F  
kg
(Hält Atomkerne zusammen)
m
 N
s2
Newton
1
at
2
2
Meter
s  m
(Elektromagnetisch)
(Elektromagnetisch)
(Elektromagnetisch)
(Elektromagnetisch)
Diese Kräfte sind für alle praktischen Anwendungen
exakt, solange sehr viele Atome/Moleküle beteiligt
sind.
Konstante Beschleunigung (Vektoriell)


a  konstant



v (t )  v 0  a  t



1 
s (t )  s 0  v 0  t  a t 2
2
Mit den Anfangswerten:
 
s 0 , v0
Vektorielle und skalare Physikalische Grössen
Skalare (Betrag und Einheit)
Temperatur, Druck, Dichte, etc.
Vektoren (Betrag, Richtung und Einheit)
Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft,
Elektrisches Feld, Magnetisches Feld, etc.
Physikalische Gesetze
Dynamik und Kinematik
Tritt ein Phänomen ohne Ausnahme in ein und derselben Form auf, so nennen wir diese Form ein Gesetz.
Die kinematische Grösse Beschleunigung wird durch
das Newtonsche Gesetz mit der Ursache, der Kraft
verknüpft.
Die Bewegungsänderung einer Masse ist proportional
zur Summe aller Kräfte die an ihr angreifen.
Diese Gesetze sind also lediglich Muster die man im
Verhalten der Natur entdeckt hat.



 F1  F2  ...  Fn
a
m
Sie verkörpern objektives Wissen. Die Objektivität
wird durch die Wissenschaftliche Methode erzielt.
Kinematik
Federkraft
Physikalische Grössen wie Position, Geschwindigkeit
und Beschleunigung lassen sich bestimmen (Messen),
ohne etwas von deren Ursachen (Kräfte) zu wissen.
Die Federkraft ist der Auslenkung der Feder entgegengesetzt. Der Betrag der Kraft ist proportional zur Auslenkung. Die Proportionalitätskonstante ist die Federkonstante D (rsp. k)
Die Dynamik bringt die Kräfte als Ursachen ins Spiel.
Sie erklärt woher die Bewegungsänderungen kommen.


FD   D  x
(Zweites Newtonsches Gesetz)
Mit der Auslenkung x.
Kräftezerlegung
Schiefe Ebene (Geometrie)
Zerlegung der Gewichtskraft parallel und senkrecht
zur Rampe.
Zerlegung in die Vektoren
v1 und v2. Die Summe von
v1 und v2 ist gleich v.
Gewichtskraft (Homogenes Schwerefeld))
Schiefe Ebene (Komponenten)
Homogen=Unabhängig von der Position
Fg  mg
F N  mg  cos(  )
m: Masse
g: Erdbeschleunigung
F P  mg  sin(  )
Gilt in einem beschränkten Volumen auf der Erdoberfläche.
g  9.81
m
s2
Gravitationskraft (Universelle Gravitation)

m m 
FG  G  1  3 2   r
r

m m
FG  FG  G 1 2 2
r
Reibungskraft
FR  FN  m
Mit dem Reibungskoeffizienten m und der Normalkraft FN.
Die Normalkraft ist die Kraft mit der
der rutschende Körper senkrecht an die reibende
Oberfläche gedrückt wird.
Wobei r der Abstand zwischen den beiden Massen ist.
G: Gravitationskonstante
Schiefe Ebene mit Reibung
Einheiten
Für die Bewegung entlang der Rampe ist die Kraft
entlang der Rampe relevant (F=ma). Diese setzt sich aus
Reibungskraft und Schwerkraft entlang der Rampe
zusammen.
F=Schwerkraft minus Reibungskraft
Grösse  Einheit
Beispiele
F  mg sin(  )  FN  m
F  mg sin(  )  mg cos( )  m
t   Sekunde
s   Meter
V   m 3
Die Reibungskraft wirkt entgegen der Schwerkraft.
[]=Einheitenoperator
Arbeit
Energie
Will man etwas gegen eine Kraft verschieben, so muss
man Arbeit (W) verrichten. Ist die Kraft während der
Verschiebung konstant, so errechnet sie sich aus:
Energie ist das Potential Arbeit zu verrichten. Energie
ist erhalten. Sie tritt jedoch in den verschiedensten
Erscheinungsformen auf.
 
W  F s
Dabei ist s der Abstand zwischen dem Start- und den
Ziel-Punkt. Sind Kraft und Verschiebung parallel:
m2
W   kg 2  J
s
Joule
W  F s
Ueber die Arbeit leitet man her:
Potentielle Gravitations Energie:
Federenergie:
Kinetische (Bewegungs) Energie:
E g  mgh
1
Dx 2
2
1
 mv 2
2
ED 
EK
E   J
Energieerhaltung
Beispiel Energieerhaltung
Die Energie in einem Abgeschlossenen (Isolierten)
System ist zeitlich konstant. Daraus lässt sich eine
Gleichung herleiten wenn alle Energieformen
im System bekannt sind.
Eine Masse falle aus einer Höhe von 2 m aus der Ruhe.
Welche Geschwindigkeit hat sie beim Auftreffen am
Boden?
E  E  .....  E g  E K  .....
gK
 

Zeitpunkt 1
Zeitpunkt 2
Eg  EK  Eg  EK


 


h2m
h 0 m
E  0  0  EK
g 
h2m
h 0 m
1 2
m
mgh
  2 mv  v  2 gh  6.3 s

h2m
h 0 m
Berechnung der Arbeit
Federenergie
Die Arbeit welche für eine Verschiebung verrichtet
wird ist gleich der Fläche unter dem F(s)-Diagramm.
Die Energie welche man zum spannen einer Feder
benötigt wird in der Feder gespeichert. Lässt man sich
die Feder entspannen (Ruhelage), so wird diese Energie
frei.
ED 
1
Dx 2
2
D: Federkonstante (N/m)
x: Auslenkung der Feder (m)
Dimensionskontrolle
Kinetische Energie
Es ist oft nützlich eine Dimensionskontrolle zu machen.
Damit lassen sich Fehler in Berechnungen erkennen.
Will man eine Masse beschleunigen, so muss man eine
Kraft aufwenden (Trägheit). Für die benötigte Arbeit
ergibt sich:
Beispiel:
 
N
1
2
2
2
2
 2 Dx   D   x  D   x   m  m  Nm  J
EK 
m: Masse
v: Geschwindigkeit
1 2
mv
2
Da wir eine Energie erwarten (Federenergie) ist
mindestens die Einheit in Ordnung.
Diese Energie wird beim Abbremsen wieder frei.
Potentielle Gravitationsenergie
Energieerhaltung inkl. Reibung
Beim heben einer Masse gegen die Schwerkraft muss
Arbeit verrichtet werden. Die entsprechende Energie
wird im Gravitationsfeld gespeichert und wird bei der
Reduzierung der Höhe wieder frei.
Federenergie, Gravitations- und kinetische Energie
können vollständig zurückgewonnen werden. Ist am
Prozess Reibung beteiligt, so gilt das nicht mehr. In der
Energiebilanz tritt der Reibungsanteil auf:
E g  mgh
m: Masse
h: Höhendifferenz
Wm  FN  m  s
Dieser wird in Wärme umgewandelt.
Horizontaler Wurf (Parabel)
Vertikaler Wurf
F v  mg  a  g
Ueberlagerungprinzip: einzige Kraft ist vertikal
Fv  mg  a  g, Fh  0
Anwendung der Formeln zur konstanten Beschleunigung
Anwendung der Formeln zur konstanten Beschleunigung
v
x
v y (t )  v0  gt
 v0
x (t )  x 0  v 0  t
v
y
y (t )  y 0  v0  t 
( t )   gt
y (t )  y 0 
1
gt
2
1 2
gt
2
2
Schiefer Wurf (Parabel)
Impuls
Ueberlagerungprinzip: einzige Kraft ist vertikal
Das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit ist eine
Erhaltungsgrösse. Solange keine Kräfte auf einen Körper
wirken ist der sogenannte Impuls in jede Raumrichtung
erhalten.
Fv  mg  a  g, Fh  0
vx  vX0
v X 0  v0  cos( )
x (t )  x 0  v X 0  t
vY 0  v0  sin(  )
v y ( t )  v Y 0  gt
y (t )  y 0  v Y 0  t 
1
gt
2
mv x  p x
mv y  p y
mv z  p z
2
Drehmoment
Beschleunigung
Wirken über Hebel Kräfte auf eine drehbare Achse, so
reden wir von einem Drehmoment.
Wie aus der Definition hervorgeht ist Beschleunigung
die Aenderungsrate der Geschwindigkeit mit der Zeit.
Da die Geschwindigkeit eine vektorielle Grösse ist,
kann Beschleunigung auch Richtungsänderung bei
gleichbleibendem Betrag der Geschwindigkeit bedeuten
  
M  r F

M  M  r  F  sin(  )
Wobei  der Winkel zwischen Hebel und Kraft ist.
Drehmomente auf dieselbe Achse sind addierbar.
Drehbewegung
Drehfrequenz:
Winkelgeschwindigkeit:
Fliehkraft (Zentrifugalkraft)
f
Umdrehungen pro Sekunde
  2f
Geschwindigkeit eines Punktes im Abstand r von der
Drehachse (Bahngeschwindigkeit)
v  2fr  r
Bei gleichbleibender Bahngeschwindigkeit rsp. Winkelgeschwindigkeit folgt eine vom Betrag her konstante
Beschleunigung vom Zentrum der Drehbewegung weg.
a ZF
v2

  2r
r
Das wegfliegen der Masse wird durch die zum Zentrum
gerichtete Zentripetalkraft verhindert.
Ueberlagerungsprinzip
Druck
Wirken auf eine Masse Kräfte im rechten Winkel zueinander und sind diese homogen, so kann die Bewegung in die verschiedenen Richtungen unabhängig
voneinander betrachtet werden.
Die Moleküle einer Flüssigkeit oder eines Gases üben
auf feste Oberflächen Kräfte aus (Impulsübertragung
bei der Kollision). Die Kraft wirkt senkrecht auf eine
ebene Fläche und berechnet sich aus dem Druck durch
F  p A
Bsp: Vertikal Gravitation, Horizontal keine
Bsp: x-Richtung Elektrisches Feld, y-Richtung Magnetfeld
Wobei p der Druck und A die Fläche ist.
Hydrostatischer Druck
Barometrische Höhenformel
Für homogen dichte Flüssigkeiten und Gase im Schwerefeld gilt für die Druckzunahme:
Für komprimierbare Gase im Schwerefeld gilt unter
gewissen Voraussetzungen:
p  r  g h
Wobei r die Dichte des Gases oder der Flüssigkeit ist
und h die Tiefenzunahme.
Druck
Dichte
p (h )  p
r (h )  r
0
0
e
e
 r 0 gh
p0
 r 0 gh
p0
Wobei r0 und p0 die Dichte und der Druck auf der Höhe
h=0 m sind.
Archimedisches Prinzip (Auftrieb)
Die Auftriebskraft auf einen Körper ist gleich der
Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit (Gases).
Gasgleichung (Ideales Gas)
pV  nRT
pV  NkT
n: Stoffmenge, R: Universelle Gaskonstante
N: Teilchenzahl, k: Boltzmannkonstante
T: Temperatur, V: Volumen, p: Druck
Ideales Gas
Reales Gas (Van der Vaals)
Das Ideale Gas besteht aus Teilchen die nicht
miteinander wechselwirken und die kein Volumen
haben.
Reale Teilchen ziehen sich elektrisch etwas an und ihr
eigenes Volumen steht den anderen Teilchen nicht
mehr zur Verfügung. Die korrigierte Gasgleichung
lautet.
Für ein dünnes Gas elektrisch neutraler Teilchen ist
diese Näherung sehr gut.

an 2 
 p  2   V  nb   nRT
V 

Wobei a und b Gasabhängige Konstanten sind.
Temperatur
Längen/Volumen-Ausdehnung
Die Temperatur ist ein Mass für die mittlere kinetische
Energie der Teilchen eines Systems (im Gleichgewicht).
Aufgrund der Bewegung der Teilchen eines Festkörpers
dehnt sich dieser bei steigender Temperatur in der
Regel aus.
E 
1
kT
2
L    L  T
pro Freiheitsgrad
V  g  V  T
Der Balken über dem E steht für den Mittelwert.
Die gängigsten Temperaturskalen sind die Grad Celsius
und die Kelvinskala.
Der absolute Nullpunkt der Temperatur ist bei 0 Kelvin.
Wobei  und g der Längenausdehnungskoeffizient rsp.
der Volumenausdehnungskoeffizient sind.
L und V sind die Anfangslänge rsp. das Anfangsvolumen.
Wärmekapazität
Kalorimetrie
Die thermische Bewegung der Teilchen eines Systems
entspricht gespeicherter Energie. Energiezunahme bei
Temperaturzunahme.
Mittels der Energieerhaltung lässt sich die Wärmekapazität eines Körpers bestimmen. Dabei taucht man
den Körper bekannter Temperatur in ein Wasserbad
bekannter Temperatur und Wärmekapazität:
E  C  T
E  m  c  T
C H 2O  TH 2O  C?  TKörper  T C H 2O  C? 
Wobei C die Wärmekapazität und c die spezifische
Wärmekapazität ist. Spezifisch bedeutet: Auf die
Masse bezogen.
Wobei T die Temperatur nach dem Temperaturausgleich
ist. (Auflösen nach C?)
Wärmetransport
Wärmeleitung
Wir kennen drei Mechanismen des Wärmetransportes.
Die Wärmebewegung der Teilchen überträgt sich auf
die Teilchen eines benachbarten Materials.
Wärmeleitung
Wärmestrahlung
Konvektion
Leistung:
Pl
T
d
Meistens treten diese Mechanismen in kombinationen
auf.
Wobei l die Wärmeleitfähigkeit, d die Dicke der
leitenden Schicht und T die Temperaturdifferenz
zwischen den beiden Seiten der Schicht ist.
Wärmestrahlung
Konvektion
Energie wird in Form elektromagnetischer Wellen
von der Oberfläche abgestrahlt. Die gesammte Leistung,
über alle Wellenlängen summiert, beträgt:
Bei der Konvektion wird ein Träger mit Energie beladen
(aufgeheizt), an einen anderen Ort transportiert und
dort entladen.
Im Gegensatz zur Wärmeleitung und Wärmestrahlung
wird also ausser der Wärme auch Materie übertragen.

P  s  A  e  T 4  Ta4

Wobei s die Stefan-Boltmann konstante ist.
A: Oberfläche, e: Emissivität, T: Oberflächentemperatur
Ta: Umgebungstemperatur
Licht
Pendel
Licht ist eine Elektromagnetische Welle. Eine Welle
des unsichtbaren elektrischen und magnetischen
Feldes welche sich mit 3*10^8 m/s ausbreitet.
Die Energie die durch die Wellen übertragen wird
kommt in kleinen Packeten, den Photonen, daher.
Die Energie eines Photons ist nur von seiner Wellenlänge (Farbe) abhängig:
Schwingungsdauer
E  h f
T
f 
Frequenz
Kreisfrequenz
1 Schwingungen pro Sekunde
T
  2f 
2
T
h: Planksche Konstante, f: Frequenz
Harmonisches Pendel
Pendel (Beispiele)
Ein Pendel welches mit einer sinusförmigen Auslenkung
schwingt, wird harmonisches Pendel genannt.
Federpendel

D D: Federkonstante
m m: Masse

g
l
At   A0  sin t  f 
Auslenkung (Elongation)
Fadenpendel
Wobei A0 die maximale Auslenkung (Amplitude) und
f die Phasenverschiebung ist.
g: Schwerebeschleunigung
l: Länge
Gedämpftes Pendel
Wellen
Das gedämpfte Pendel kann man sich als Pendel mit
veränderlicher Amplitude vorstellen.
Gekoppelte Pendel erlauben die Uebertragung von
Energie in Form von Wellen. Zur zeitlichen Abhängigkeit
kommt die räumliche hinzu.
A0  A0  e  kt
A(t , x)  A0  sin t  kx  f 
 A(t )  A0  e kt  sin( t  f )
Das Pendel verliert aufgrund der Verluste ständig
Energie.
k ist die Dämpfungskonstante.
Dabei ist k die Wellenzahl:
Wellengeschwindigkeiten
Brechungsgesetz
c 0  3  10 8
Schallgeschwindigkeit in Luft (ca.):
v  300
m
s
m
s
Lichtgeschwindigkeit und Wellenlänge im Medium mit
Brechungsindex n:
c0
n
l
l0
n
2
l
l ist die räumliche Länge der Welle, die Wellenlänge.
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum:
c
k
Licht wird beim Uebergang vom optisch dünneren ins
optisch dichtere Medium zum Lot hin gebrochen.
n1  sin( 1 )  n2  sin(  2 )
Reflexionsgesetz
Energie im Federpendel
Der Reflexionswinkel ist gleich dem Eintrittswinkel.
Die Energie im Federpendel wechselt ständig von
Potentieller Energie (Federenergie) in kinetische
Energie. Die Summe der beiden Anteile ist, in Abwesenheit von Reibung, konstant.
1   2
Kinematik des Federpendels
x(t )  A0  sin t  f 
v(t )  A0    cost  f 
a (t )   A0   2  sin t  f 
E Pendel  E kin  E pot 
1 2 1
mv  Dx 2
2
2
Wenn die Pendelenergie bekannt ist lässt sich also aus
der Auslenkung die Geschwindigkeit berechnen.
(Und umgekehrt)
Dimensionsanalyse (Beispiel)
Auch Einheiten müssen eine physikalische Gleichung
erfüllen. Dies erlaubt es manchmal Abhängigkeiten
zu Bestimmen.

Bsp: Federpendel
m 

kg

f  m  D   s 1  kg  



     0, 2   1

s2 
m 


    1 / 2,   1 / 2  f 
Wärmestrahlung für Fortgeschrittene
Dispersion
Die Wärmestrahlung des schwarzen Körpers setzt sich
aus Anteilen mit verschiedenen Wellenlängen
zusammen.
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen in
Materialien ist abhängig von der Wellenlänge.
Dies führt z.B. beim Prisma zur Aufspaltung weissen
Lichtes in die verschiedenen Farben.
c
D/m
c0
n (l )
Wellenarten
Polarisation
Longitudinale Wellen
Die Schwingung findet in Ausbreitungsrichtung statt.
Bsp: Schallwellen
Bei transversalen Wellen finden die Schwingungen
in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung statt.
Die Richtung der Schwingung innerhalb dieser Ebene
wird Polarisationsrichtung genannt.
Transversale Wellen
Die Schwingung findet im rechten Winkel zur Ausbreitungsrichtung statt.
Bsp: Elektromagnetische Wellen (Licht)