สตรพื
ุ นธ์ แสดงได้ ดังตารางต่ อไปนี้
ู น้ ฐานของการอินทิเกรตทีห่ าจากสตรอนพั
ู
สู ตรของการหาอนุพนั ธ์
สู ตรของการอินทิเกรต
1
d
u =1
du
2
d ⎛ u n +1 ⎞
n
⎜
⎟ = u , n ≠ −1
du ⎝ n + 1 ⎠
u n +1
∫ u du = n + 1 + c, n ≠ −1
3
d
1
(ln u ) =
du
u
∫ u du = ln u + c
4
d u
(e ) = eu
du
∫ e du = e
5
d ⎛ au ⎞
u
⎜
⎟ = a , a > 0, a ≠ 1
du ⎜⎝ ln a ⎟⎠
u
∫ a du =
6
d
(sin u ) = cos u
du
∫ cos u du = sin u + c
7
d
(− cos u ) = sin u
du
∫ sin u du = − cos u + c
8
d
(tan u ) = sec 2 u
du
∫ sec
9
d
(− cot u ) = cosec 2u
du
∫ cosec u du = − cot u + c
10
d
(sec u ) = sec u tan u
du
∫ sec u tan u du = sec u + c
11
d
(−cosec u ) = cosec u cot u
du
∫ cosec u cot u du = −cosec u + c
12
d
1
⎛u⎞
arcsin ⎜ ⎟ =
,a > 0
2
du
⎝a⎠
a − u2
13
d 1
1
⎛u⎞
arctan ⎜ ⎟ = 2
,a > 0
2
du a
⎝ a ⎠ a +u
n
1
u
2
u
+c
au
+c
ln a
u du = tan u + c
2
∫a
2
1
1
⎛u⎞
du = arctan ⎜ ⎟ + c
2
a
+u
⎝a⎠
่ หาจากสู ตรอนุพนั ธ์ มีดงั นี้
สําหรับสู ตรพื้นฐานของการอินทิเกรตที่ไมได้
14
∫ tan u du = ln sec u + c
15
∫ cot u du = ln sin u + c
16
∫ sec u du = ln sec u + tan u + c
∫ cosec u du = ln cosec u − cot u + c
่
่
จงหาคาของอิ
นทิกรัลตอไปนี
้
1.2 ∫ (2 + e
∫ x (x + 1) dx
17
1.
1.1
4
5
9
x
)⋅
1
2 x
1.3
1
∫ x 2 + 2 x + 4 dx
1.4
sec 2 x
∫ 3 + tan x dx
1.5
2.
2.1
∫ y sec( y )dy
่
่
จงหาคาของอิ
นทิกรัลตอไปนี
้
1.6
∫ 3t
2.2
∫ sin
2.3
∫ 3x
2.4
∫ x cot( x )dx
2.5
sec 2 x
∫ tan 2 x dx
2.6
∫
2
∫x
2
3
x +1
dx
+ 2x −1
2
3
2( x ) dx
dx
cos ec(t 3 ) ⋅ cot(t 3 )dt
2
cos x
dx
6
x
2
1
3 + 2x − x 2
dx
่
3. จงหาอินทิกรัลตอไปนี
้
3.1 ∫ (e3 x +
2 π
+ ) dx
x x
3.2
∫ x (ln 5 − 2 x )
3.3
3(2+ ln x )
∫ x dx
4
5
10
dx
3.4 ∫ e x sin(e x + 5) dx
cos ec 2 x
dx
3.5 ∫
(1 + cot x)π
3.6
∫
x1/2
9 − x3
dx