Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Rp
Statik yüklerin gösterilmesi:
Xs
Rs
P+jQ
a)
Xp
b)
c)
Şekil a’daki P+jQ şeklinde olan bir yükün seri durumu Şekil b’de, paralel durumu
ise Şekil c’de gösterilmiştir.
Bu duruma ait güç ve empedans üçgeni aşağıda verilmiştir.
Z
S
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 3
X
Q
θ
θ
P
R
Empedans üçgeninden aşağıdaki eşitlikler bulunur;
𝑅 = 𝑍 ∙ cos 𝜃
𝑋 = 𝑍 ∙ sin 𝜃
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Statik yüklerin gösterilmesi:
Z empedansı seri bağlı bir sistem için
𝑍𝑠𝑒𝑟𝑖 = 𝑅𝑠 + 𝑗𝑋𝑠
Olur. Burada 𝑅𝑠 direnci için
𝑃 𝑉 𝑃 𝑉 𝑃 𝑉2 𝑃
𝑅𝑠 = 𝑍 ∙ cos 𝜃 = 𝑍 ∙ = ∙ = ∙ =
∙
𝑆 𝐼 𝑆 𝑆 𝑆
𝑆 𝑆
𝑉
2
𝑉 ∙𝑃
𝑅𝑠 = 2
Ω
𝑃 + 𝑄2
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 3
Şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde 𝑋𝑠 reaktansı için aşağıdaki eşitlik yazılabilir.
𝑄 𝑉 𝑄 𝑉 𝑄 𝑉2 𝑄
𝑋𝑠 = 𝑍 ∙ sin 𝜃 = 𝑍 ∙ = ∙ = ∙ =
∙
𝑆 𝑆
𝑆
𝐼 𝑆
𝑆 𝑆
𝑉
2
𝑉 ∙𝑄
𝑋𝑠 = 2
Ω
𝑃 + 𝑄2
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Statik yüklerin gösterilmesi:
Burada 𝑅𝑠 : Seri bağlamada yük direnci
𝑋𝑠 : Seri bağlamada yük reaktansı
𝑍𝑠 : Seri bağlamada yük empedansı
𝑉 : Yük gerilimi
𝑃 : Aktif yük gücü
𝑄 : Reaktif yük gücü
Bu ifadeleri pu cinsinden bulmak istersek
𝑅𝑠,𝑝𝑢 =
Olarak yazılır.
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 2
𝑅Ω
𝑅𝐵𝑎𝑧
𝑅𝑠,𝑝𝑢
𝑉 2 ∙ 𝑃 𝑉𝐵2
= 2
൘
𝑃 + 𝑄2 𝑆𝐵
𝑅𝑠,𝑝𝑢
𝑉 2 ∙ 𝑃 𝑆𝐵
= 2
∙
𝑃 + 𝑄2 𝑉𝐵2
𝑅𝑠,𝑝𝑢
2 ∙𝑃∙𝑆
𝑉𝑝𝑢
𝐵
= 2
𝑃 + 𝑄2
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Statik yüklerin gösterilmesi:
Aynı şekilde reaktans için;
𝑋𝑠,𝑝𝑢
Olarak yazılır.
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 2
𝑋Ω
=
𝑋𝐵𝑎𝑧
𝑋𝑠,𝑝𝑢
𝑉 2 ∙ 𝑄 𝑉𝐵2
= 2
൘
𝑃 + 𝑄2 𝑆𝐵
𝑋𝑠,𝑝𝑢
𝑉 2 ∙ 𝑄 𝑆𝐵
= 2
∙
𝑃 + 𝑄2 𝑉𝐵2
𝑋𝑠,𝑝𝑢
2 ∙𝑄∙𝑆
𝑉𝑝𝑢
𝐵
= 2
𝑃 + 𝑄2
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Statik yüklerin gösterilmesi:
Yük empedansının paralel bağlanmasında ise empedans
𝑅𝑝 ∙ 𝑋𝑝
𝑍𝑝 = 𝑗 ∙
𝑅𝑝 +𝑗𝑋𝑝
Olur. Burada;
𝑃=𝑅∙
𝐼2
𝑉
=𝑅∙
𝑅
2
𝑉2 𝑉2
=𝑅∙ 2=
𝑅
𝑅
Buradan
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 2
Olur. Benzer şekilde reaktans;
𝑉2
𝑅𝑝 =
𝑃
𝑉
𝑄 = 𝑋 ∙ 𝐼2 = 𝑋 ∙
𝑋
2
𝑉2 𝑉2
=𝑋∙ 2=
𝑋
𝑋
Olur. Dolayısıyla;
𝑉2
𝑋𝑝 =
𝑄
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Statik yüklerin gösterilmesi:
Bu ifadelerin per-unite biçimleri;
𝑅Ω
=
𝑅𝐵𝑎𝑧
𝑅𝑝,𝑝𝑢
𝑅𝑝,𝑝𝑢
𝑃𝑝𝑢 =
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 2
𝑃
𝑉 2 𝑆𝐵
=
∙
𝑃 𝑉𝐵2
𝑆𝐵𝑎𝑧
, 𝑄𝑝𝑢 =
𝑅𝑝,𝑝𝑢
𝑄
𝑆𝐵𝑎𝑧
2
𝑉𝑝𝑢
=
𝑃𝑝𝑢
Aynı şekilde reaktans da aşağıdaki gibi bulunabilir;
𝑋Ω
𝑉 2 𝑆𝐵
𝑋𝑝,𝑝𝑢 =
=
∙
𝑋𝐵𝑎𝑧
𝑄 𝑉𝐵2
𝑋𝑝,𝑝𝑢
2
𝑉𝑝𝑢
=
𝑄𝑝𝑢
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Soru 1:
T1
T2
Δ
Δ
M
40 MVA
13,2 kV
x=0,1 pu
50 + j 100
G
15 MVA
13,8 kV
x=0,15 pu
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 2
25 MVA
13,2/161 kV
x=0,1 pu
15 MVA
161/13,8 kV
x=0,1 pu
Yük
4 MVA
0,8 geri güç faktörü
161 kV ve 20 MVA değerlerini baz alınarak per-unite cinsinden reaktans
diyagramını oluşturunuz.
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Çözüm 1:
Generatörün pu reaktansı
𝑋𝑔,𝑦𝑒𝑛𝑖
𝑈𝐵,𝑒𝑠𝑘𝑖
= 𝑋𝑔,𝑒𝑠𝑘𝑖 ∙
𝑈𝐵,𝑦𝑒𝑛𝑖
𝑋𝑔,𝑦𝑒𝑛𝑖
13,8
= 0,15 ∙
13,2
2
2
∙
𝑆𝐵,𝑦𝑒𝑛𝑖
𝑆𝐵,𝑒𝑠𝑘𝑖
20
∙
= 𝑗 0,2185 𝑝𝑢
15
T1
T2
Δ
Δ
M
40 MVA
13,2 kV
x=0,1 pu
50 + j 100
Motorun pu reaktansı
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 2
𝑋𝑚,𝑦𝑒𝑛𝑖 = 0,1 ∙
13,2
13,8
2
∙
G
20
= 𝑗 0,045 𝑝𝑢
40
2
𝑋𝑇𝑅1
161
= 0,1 ∙
161
20
∙
= 𝑗 0,08 𝑝𝑢
25
2
𝑋𝑇𝑅2
161
= 0,1 ∙
161
20
∙
= 𝑗 0,1333 𝑝𝑢
15
15 MVA
13,8 kV
x=0,15 pu
25 MVA
13,2/161 kV
x=0,1 pu
15 MVA
161/13,8 kV
x=0,1 pu
Yük
4 MVA
0,8 geri güç faktörü
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Çözüm 1:
İletim hattının baz reaktansı
𝑉𝐵2 1612
𝑍𝐵 =
=
= 1296,05 Ω
𝑆𝐵
20
𝑍𝑝𝑢 =
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 2
𝑍Ω
50 + 𝑗100
=
= 0,0386 + 𝑗 0,0771 𝑝𝑢
𝑍𝐵𝑎𝑧
1296,05
Yük empedansını seri bağlı kabul edersek;
𝑆 = 𝑃 + 𝑗 𝑄 = 𝑆 ∙ (cos 𝜃 + 𝑗 sin 𝜃)
𝑆 = 4 ∙ 0,8 + 𝑗 0,6 = 3,2 + 𝑗 2,4 𝑀𝑉𝐴
𝑃 = 3,2 𝑀𝑊
Q= 2,4 𝑀𝑉𝑎𝑟
𝑍𝑠,𝑝𝑢 = 𝑅𝑠,𝑝𝑢 + 𝑗 𝑋𝑠,𝑝𝑢
2 ∙𝑆
𝑉𝑝𝑢
12 ∙ 20
𝐵
𝑅𝑠,𝑝𝑢 = 𝑃 ∙ 2
= 3,2 ∙
= 4 𝑝𝑢
𝑃 + 𝑄2
3,22 + 2,42
2 ∙𝑆
𝑉𝑝𝑢
12 ∙ 20
𝐵
𝑋𝑠,𝑝𝑢 = 𝑄 ∙ 2
= 2,4 ∙
= 𝑗 3 𝑝𝑢
𝑃 + 𝑄2
3,22 + 2,42
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Çözüm 1:
Not: Yük gerilimi ilgili baranın gerilimidir.
𝑍𝑠,𝑝𝑢 = 4 + 𝑗 3 𝑝𝑢
j 0,08
0,0386
j 0,0771
j 0,2185
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 2
j 0,1333
j3
j 0,045
VG
+
Im
G
-
IT
+
M
-
4
Iy
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Soru 2:
b) Sistemdeki motor senkron olarak 10 MVA gücünde 0,9 ileri güç faktörü ile
çalışırken uçlarındaki gerilim 1,1 pu ise generatör uçlarındaki gerilim ne olur?
Hatırlatma:
İndüktif Güç Faktörü
V ∙ 𝐼∗ = 𝑃 + 𝑗 𝑄
𝑉∗ ∙ I = 𝑃 − 𝑗 𝑄
Kapasitif Güç Faktörü
V ∙ 𝐼∗ = 𝑃 − 𝑗 𝑄
𝑉∗ ∙ I = 𝑃 + 𝑗 𝑄
Motor ileri güç faktörüne sahip olduğu için kapasitif çalışmaktadır.
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 2
𝑉 ∗ ∙ 𝐼𝑚 = 𝑃 + 𝑗 𝑄 => 𝐼𝑚 =
𝜃 = 25,84°
𝑃+𝑗 𝑄
𝑉∗
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Çözüm 2:
𝑃 = 𝑆 ∙ cos 𝜃 = 10 ∙ 0,9 = 9 𝑀𝑊
𝑄 = 𝑆 ∙ sin( cos−1 (𝑃𝐹)) = 10 ∙ 0,436 = 4,36 𝑀𝑉𝑎𝑟
Per-unite cinsinden motor akımı;
𝐼𝑚,𝑝𝑢
𝐼𝑚,𝑝𝑢 =
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 2
𝐼𝑚,𝑝𝑢
𝐼𝑚,𝑝𝑢 =
𝐼𝑔𝑒𝑟ç𝑒𝑘
=
𝐼𝐵𝐴𝑍
𝑃 + 𝑗 𝑄 𝑆𝐵
൘
𝑉∗
𝑉𝐵
𝑃 + 𝑗 𝑄 𝑉𝐵
=
∙
𝑉∗
𝑆𝐵
𝑃 + 𝑗 𝑄 9 + 𝑗 4,36
=
∗
𝑉𝑝𝑢
∙ 𝑆𝐵
1,1 ∙ 20
𝐼𝑚,𝑝𝑢 = 0,454∠25,84° 𝑝𝑢
𝐼𝑚,𝑝𝑢 = 0,409 + 𝑗 0,1985 𝑝𝑢
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Çözüm 2:
Statik yük içinde yük akımı (endüktif yük)
𝑉 ∗ ∙ I = 𝑃 − 𝑗 𝑄 => 𝐼𝑦ü𝑘 =
𝐼𝑦ü𝑘,𝑝𝑢
𝐼𝑦ü𝑘,𝑔𝑒𝑟ç𝑒𝑘
=
𝐼𝐵𝐴𝑍
𝐼𝑦ü𝑘,𝑝𝑢 =
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 2
𝐼𝑦ü𝑘,𝑝𝑢
𝑃−𝑗 𝑄
𝑉∗
𝑃 − 𝑗 𝑄 𝑆𝐵
൘
𝑉∗
𝑉𝐵
𝑃 − 𝑗 𝑄 3,2 − 𝑗 2,4
= ∗
=
𝑉𝑝𝑢 ∙ 𝑆𝐵
1,1 ∙ 20
𝐼𝑦ü𝑘,𝑝𝑢 = 0,1818∠ − 36,86° 𝑝𝑢
𝐼𝑦ü𝑘,𝑝𝑢 = 0,1455 − 𝑗 0,109 𝑝𝑢
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Çözüm 2:
j 0,08
Buradan toplam yük akımı
𝐼𝑇,𝑝𝑢 = 𝐼𝑚,𝑝𝑢 + 𝐼𝑦ü𝑘,𝑝𝑢
0,0386
j 0,0771
j 0,1333
j 0,2185
𝐼𝑇,𝑝𝑢 = 0,5545 + 𝑗 0,0895 𝑝𝑢
VG
+
Im
G
-
Barada generatör gerilimi (𝑉𝑔 )
IT
𝑉𝑔,𝑝𝑢 = 𝑉𝑚 + 𝐼𝑇,𝑝𝑢 ∙ 0,0386 + 𝑗 0,08 + 𝑗 0,0771 + 𝑗 0,1333
𝑉𝑔,𝑝𝑢 = 1,1 + 0,5545 + 𝑗 0,0895 ∙ 0,0386 + 𝑗 0,2904
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 2
j3
j 0,045
𝑉𝑔,𝑝𝑢 = 1,1∠8,51° 𝑝𝑢
Gerçek değerini bulmak istersek;
𝑉𝑔 = 13,2 ∙ 1,1 = 14,32 𝑘𝑉
+
M
-
4
Iy
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Soru 3:
lhat=100 km
xh=j 0,24 /km
G
150 MVA
15 kV
xd= %10
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 2
200 MVA
15/154 kV
Uk= %20
150 MVA
154/35 kV
Uk= %15
Yük
80 MVA
0,8 geri güç faktörü
Şekilde tek hat şeması verilen güç devresinde, baz güç 100 MVA ve baz gerilim
154 kV olarak seçilmiştir.
a) Sistemin pu olarak reaktans diyagramını oluşturunuz.
b) Yük barasında gerilim sabit kabul edilerek Generatör barasındaki faz-faz ve
faz-nötr geriliminin gerçek değerini bulunuz.
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Çözüm 3a:
Generatörün pu reaktansı
𝑋𝑔,𝑦𝑒𝑛𝑖
𝑈𝐵,𝑒𝑠𝑘𝑖
= 𝑋𝑔,𝑒𝑠𝑘𝑖 ∙
𝑈𝐵,𝑦𝑒𝑛𝑖
𝑋𝑔,𝑦𝑒𝑛𝑖
15
= 0,1 ∙
15
2
2
∙
𝑆𝐵,𝑦𝑒𝑛𝑖
𝑆𝐵,𝑒𝑠𝑘𝑖
100
∙
= 𝑗 0,07 𝑝𝑢
150
lhat=100 km
xh=j 0,24 /km
G
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 2
𝑋𝑇𝑅1
15
= 0,2 ∙
15
𝑋𝑇𝑅2
35
= 0,15 ∙
35
2
100
∙
= 𝑗 0,1 𝑝𝑢
200
2
150 MVA
15 kV
xd= %10
100
∙
= 𝑗 0,1 𝑝𝑢
150
𝑋ℎ𝑎𝑡 = 𝑋ℎ ∙ 𝑙 = 𝑗 0,24 ∙ 100 = 𝑗 24 Ω
𝑆𝐵
100. 106
𝑋ℎ𝑎𝑡,𝑝𝑢 = 𝑋ℎ𝑎𝑡 ∙ 2 = 𝑗 24 ∙
= 𝑗 0,1 Ω
154. 103 2
𝑉𝐵
200 MVA
15/154 kV
Uk= %20
150 MVA
154/35 kV
Uk= %15
Yük
80 MVA
0,8 geri güç faktörü
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Çözüm 3a:
𝑆𝑦ü𝑘 = 80∠ cos −1 0,8 = 64 + 𝑗 48
𝑅𝑦ü𝑘,𝑝𝑢
𝑋𝑦ü𝑘,𝑝𝑢
2
𝑉𝑝𝑢
∙ 𝑆𝐵
12 ∙ 100
=𝑃∙ 2
= 64 ∙ 2
= 1 𝑝𝑢
𝑃 + 𝑄2
64 + 482
2 ∙𝑆
𝑉𝑝𝑢
12 ∙ 100
𝐵
=𝑄∙ 2
= 48 ∙ 2
= 𝑗 0,75 𝑝𝑢
𝑃 + 𝑄2
64 + 482
j 0,1 pu
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 2
j 0,07 pu
j 0,1 pu
j 0,1 pu
j 0,75 pu
1 pu
G
Per-Unit (Birim) Dönüşümler
Çözüm 3b:
𝐼𝑦ü𝑘,𝑝𝑢
𝑉𝑦ü𝑘
1∠0°
=
=
= 0,8∠ − 36,86°
𝑍𝑦ü𝑘 (1 + 𝑗 0,75)
Barada generatör gerilimi (𝑉𝑔 )
𝑉𝑔,𝑝𝑢 = 𝑉𝑦ü𝑘,𝑝𝑢 + 𝐼𝑦ü𝑘,𝑝𝑢 ∙ 𝑗 0,1 + 𝑗 0,1 + 𝑗 0,1
𝑉𝑔,𝑝𝑢 = 1∠0 + 0,8∠ − 36,86 ∙ 𝑗 0,3
𝑉𝑔,𝑝𝑢 = 1,16∠9,52° 𝑝𝑢
GÜÇ SİSTEMLERİ
ANALİZİ
Hafta 2
Gerçek değerini bulmak istersek;
𝑉𝑔,𝐿𝐿 = 15 ∙ 1,16 = 17,4 𝑘𝑉
17,4
𝑉𝑔,𝐿𝑁 =
= 10,05 𝑘𝑉
3