N-1848 REV. B 06 / 2008 Projeto de Fundações de Máquinas Procedimento Esta Norma substitui e cancela a sua revisão anterior. Cabe à CONTEC - Subcomissão Autora, a orientação quanto à interpretação do texto desta Norma. O Órgão da PETROBRAS usuário desta Norma é o responsável pela adoção e aplicação das suas seções, subseções e enumerações. CONTEC Comissão de Normalização Técnica Requisito Técnico: Prescrição estabelecida como a mais adequada e que deve ser utilizada estritamente em conformidade com esta Norma. Uma eventual resolução de não segui-la (“não-conformidade” com esta Norma) deve ter fundamentos técnico-gerenciais e deve ser aprovada e registrada pelo Órgão da PETROBRAS usuário desta Norma. É caracterizada por verbos de caráter impositivo. Prática Recomendada: Prescrição que pode ser utilizada nas condições previstas por esta Norma, mas que admite (e adverte sobre) a possibilidade de alternativa (não escrita nesta Norma) mais adequada à aplicação específica. A alternativa adotada deve ser aprovada e registrada pelo Órgão da PETROBRAS usuário desta Norma. É caracterizada por verbos de caráter não-impositivo. É indicada pela expressão: [Prática Recomendada]. SC - 04 Construção Civil Cópias dos registros das “não-conformidades” com esta Norma, que possam contribuir para o seu aprimoramento, devem ser enviadas para a CONTEC - Subcomissão Autora. As propostas para revisão desta Norma devem ser enviadas à CONTEC Subcomissão Autora, indicando a sua identificação alfanumérica e revisão, a seção, subseção e enumeração a ser revisada, a proposta de redação e a justificativa técnico-econômica. As propostas são apreciadas durante os trabalhos para alteração desta Norma. “A presente Norma é titularidade exclusiva da PETRÓLEO BRASILEIRO S.A. - PETROBRAS, de uso interno na Companhia, e qualquer reprodução para utilização ou divulgação externa, sem a prévia e expressa autorização da titular, importa em ato ilícito nos termos da legislação pertinente, através da qual serão imputadas as responsabilidades cabíveis. A circulação externa será regulada mediante cláusula própria de Sigilo e Confidencialidade, nos termos do direito intelectual e propriedade industrial.” Apresentação As Normas Técnicas PETROBRAS são elaboradas por Grupos de Trabalho - GTs (formados por Técnicos Colaboradores especialistas da Companhia e das suas Subsidiárias), são comentadas pelas Unidades da Companhia e das suas Subsidiárias, são aprovadas pelas Subcomissões Autoras - SCs (formadas por técnicos de uma mesma especialidade, representando as Unidades da Companhia e as suas Subsidiárias) e homologadas pelo Núcleo Executivo (formado pelos representantes das Unidades da Companhia e das suas Subsidiárias). Uma Norma Técnica PETROBRAS está sujeita a revisão em qualquer tempo pela sua Subcomissão Autora e deve ser reanalisada a cada 5 anos para ser revalidada, revisada ou cancelada. As Normas Técnicas PETROBRAS são elaboradas em conformidade com a Norma Técnica PETROBRAS N-1. Para informações completas sobre as Normas Técnicas PETROBRAS, ver Catálogo de Normas Técnicas PETROBRAS. PROPRIEDADE DA PETROBRAS 51 páginas, Índice de Revisões e GT N-1848 REV. B 06 / 2008 Sumário 1 Escopo................................................................................................................................................. 6 2 Referências Normativas ...................................................................................................................... 6 3 Termos e Definições............................................................................................................................ 6 4 Dados Básicos para o Projeto de Fundações de Máquinas ............................................................. 10 4.1 Parâmetros do Solo ............................................................................................................. 10 4.2 Parâmetros do Equipamento ............................................................................................... 10 4.3 Parâmetros Geométricos da Fundação ............................................................................... 10 5 Condições Gerais .............................................................................................................................. 11 5.1 Relativas a Qualquer Tipo de Fundação (Direta ou em Estacas) ....................................... 11 5.2 Relativas a Fundações Diretas ............................................................................................ 11 5.3 Relativas a Fundações Profundas / em Estacas ................................................................. 12 5.4 Relativas a Máquinas Elevadas (Pórticos) .......................................................................... 13 5.5 Fundações Típicas para Máquinas ...................................................................................... 14 5.6 Notações .............................................................................................................................. 15 5.7 Unidades .............................................................................................................................. 15 6 Condições Específicas ...................................................................................................................... 15 6.1 Aceitação das Bases quanto ao seu Comportamento Dinâmico......................................... 15 6.2 Teorias de Análise e Projeto ................................................................................................ 17 6.3 Determinação dos Parâmetros Gerais do Solo Necessários ao Projeto ............................. 17 6.3.1 Massa Específica do Solo (ρ) ...................................................................................... 17 6.3.2 Módulo de Cisalhamento Dinâmico do Solo (G).......................................................... 17 6.3.3 Coeficiente de Poisson do Solo (υ).............................................................................. 17 6.3.4 Módulo de Elasticidade do Solo (E)............................................................................. 18 6.4 Parâmetros Preliminares do Sistema Solo-Fundação para Fundações Diretas pela Teoria Constante de Mola sem Peso.............................................................................................. 18 6.4.1 Coeficiente Dinâmico de Compressão Elástica Uniforme (Cu) ................................... 18 6.4.2 Coeficiente Dinâmico de Cisalhamento Elástico Uniforme (Cτ) .................................. 18 6.4.3 Coeficiente Dinâmico de Compressão Elástica Não-Uniforme (Cθ) ........................... 18 6.4.4 Coeficiente Dinâmico de Cisalhamento Elástico Não Uniforme (Cψ) ......................... 19 6.5 Parâmetros Preliminares do Sistema Solo-Fundação para Fundações em Estacas Coeficientes de Rigidez e Amortecimento das Estacas Individuais.................................... 19 6.5.1 Coeficiente de Rigidez Horizontal com a Estaca Engastada no Bloco de Coroamento (fx1) ............................................................................................................................... 19 2 N-1848 REV. B 06 / 2008 6.5.2 Coeficiente de Rigidez Horizontal com a Estaca Rotulada no Bloco de Coroamento (fpx1) .............................................................................................................................. 20 6.5.3 Coeficiente de Rigidez Vertical (fz1) ............................................................................. 20 6.5.4 Coeficiente de Rigidez à Flexão (fφ1) ........................................................................... 23 6.5.5 Coeficiente de Rigidez Cruzada (fxφ1) .......................................................................... 23 6.5.6 Coeficiente de Amortecimento Horizontal com a Estaca Engastada no Bloco de Coroamento (fx2) .......................................................................................................... 23 6.5.7 Coeficiente de Amortecimento Horizontal com a Estaca Rotulada no Bloco de Coroamento (fpx2) ......................................................................................................... 23 6.5.8 Coeficiente de Amortecimento Vertical (fz2)................................................................. 23 6.5.9 Coeficiente de Amortecimento à Flexão (fφ2) ............................................................... 23 6.5.10 Coeficiente de Amortecimento Cruzado (fxφ2) ............................................................ 23 6.6 Parâmetros Preliminares do Sistema Solo-Fundação para Fundações em Estacas Parâmetros Geométricos do Sistema (Fundações + Máquina)........................................... 23 6.6.1 Centróide...................................................................................................................... 23 6.6.1.1 Fundação Direta .................................................................................................. 23 6.6.1.2 Fundação Estaqueada......................................................................................... 24 6.6.2 Centro de Gravidade do Sistema (Fundação + Máquina) ........................................... 24 6.6.3 Momento de Inércia da Área da Base e/ou Estaqueamento ....................................... 24 6.6.4 Momento de Massa...................................................................................................... 25 6.6.5 Raios Equivalentes ...................................................................................................... 27 6.7 Determinação das Constantes de Rigidez (Mola) e de Amortecimento de uma Estaca Individual.............................................................................................................................. 27 6.7.1 Constantes de Mola ..................................................................................................... 27 6.7.2 Constantes de Amortecimento..................................................................................... 28 6.8 Determinação das Constantes de Rigidez (Mola) e de Amortecimento de uma Fundação Direta ................................................................................................................................... 29 6.8.1 Pela Teoria da Constante de Mola sem Peso ............................................................. 29 6.8.2 Pela Teoria Elástica do Semi-Espaço.......................................................................... 29 6.9 Determinação das Constantes de Rigidez (Mola) e de Amortecimento de uma Fundação em Estacas (Grupo de Estacas ou Estaqueamento) .......................................................... 30 6.9.1 Hipóteses Simplificadoras............................................................................................ 30 6.9.2 Formulação .................................................................................................................. 30 6.10 Determinação das Freqüências Naturais da Fundação sem a Consideração de Modos de Vibração Acoplados........................................................................................................... 32 6.10.1 Sem a Consideração do Amortecimento ................................................................... 32 6.10.2 Com Consideração do Amortecimento ...................................................................... 32 3 N-1848 REV. B 06 / 2008 6.11 Acoplamento dos Modos de Vibrações - Análise das Freqüências Naturais Resultantes do Acoplamento ...................................................................................................................... 34 6.12 Cômputo das Freqüências Naturais Acopladas................................................................. 35 6.13 Determinação das Amplitudes de Oscilação ..................................................................... 35 6.13.1 Amplitudes de Oscilação do Centro de Gravidade do Sistema (Fundação + Máquina)................................................................................................................. 35 6.13.1.1 Teoria da Constante de Mola sem Peso ........................................................... 35 6.13.1.2 Teoria Elástica do Semi-Espaço........................................................................ 36 6.13.2 Amplitudes de Oscilação de um Ponto Qualquer do Sistema (Fundação + Máquina)................................................................................................................. 39 6.14 Determinação das Velocidades Eficazes........................................................................... 40 6.15 Critérios de Severidade de Vibração ................................................................................. 40 7 Estimativa das Forças Desbalanceadas ........................................................................................... 40 7.1 Forças Desbalanceadas em Máquinas Alternativas............................................................ 40 7.1.1 Máquinas de um Único Cilindro ................................................................................... 40 7.1.2 Máquinas com mais de um Cilindro............................................................................. 41 7.2 Forças Desbalanceadas em Máquinas Rotativas................................................................ 44 7.2.1 Avaliação do Peso do Rotor ........................................................................................ 45 7.2.2 Avaliação da Excentricidade Efetiva............................................................................ 45 7.2.3 Fórmulas Empíricas - DIN 4024................................................................................... 47 Tabelas Tabela 1 - Freqüências Naturais ........................................................................................................... 14 Tabela 2 - Faixas de Severidade de Vibração ...................................................................................... 16 Tabela 3 - Faixa de Severidade de Vibração e Exemplos de suas aplicações a Máquinas Pequenas (Classe I), Máquinas de Tamanho Médio (Classe II), Máquinas Grandes (Classe III) e Turbomáquinas (Classe IV)................................................................................................. 16 Tabela 4 - Coeficiente de Poisson ........................................................................................................ 17 Tabela 5 - Relação entre Cθ e Cu .......................................................................................................... 18 Tabela 6 - Parâmetros de Rigidez e Amortecimento Horizontal para Estacas com Razão L/Ro > 25 para Perfis de Solo Homogêneo e L/Ro > 30 para Perfis de Solo Parabólico.................... 20 Tabela 7 - Momentos de Massa de Figuras Geométricas Comuns...................................................... 26 Tabela 8 - Rigidez de uma Estaca Individual para Cada Tipo de Deformação .................................... 28 Tabela 9 - Constante de Amortecimento de uma Estaca Individual para cada Tipo de Deformação .. 28 Tabela 10 - Rigidezas de Acordo com os Graus de Liberdade pela Teoria da Constante de Mola sem Peso ................................................................................................................................... 29 Tabela 11 - Rigidezas de Acordo com os Graus de Liberdade pela Teoria Elástica do Semi-Espaço 30 4 N-1848 REV. B 06 / 2008 Tabela 12 - Rigidezas e Constantes de Mola para Grupo de Estacas ................................................. 31 Tabela 13 - Amortecimento Crítico e Fator de Amortecimento para Cada Grau de Liberdade............ 31 Tabela 14 - Freqüências Naturais de Acordo com Cada Grau de Liberdade Desacopladas de uma Fundação .......................................................................................................................... 32 Tabela 15 - Amortecimentos Críticos e Fatores de Amortecimento Segundo os Graus de Liberdade 33 Tabela 16 - Freqüências Naturais Amortecidas de Acordo com Cada Grau de Liberdade.................. 33 Tabela 17 - Velocidades Angulares Acopladas de Acordo com a Direção Pertinente ......................... 35 Tabela 18 - Excentricidades de Desbalanceamento............................................................................. 45 Tabela 19 - Excentricidades de Desbalanceamento - Geradores (API) ............................................... 46 Tabela 20 - Excentricidades de Desbalanceamento - Motores Elétricos (NEMA)................................ 46 Tabela 21 - Excentricidades de Desbalanceamento - Motores de Indução (NEMA)............................ 46 Tabela 22 - Excentricidades de Desbalanceamento - Motores Indução (API) ..................................... 47 Figuras Figura 1 - Coeficientes de Rigidez e Amortecimento para Estacas de Ponta - Perfis Constantes ...... 21 Figura 2 - Coeficientes de Rigidez e Amortecimento para Estacas de Ponta - Perfis Parabólicos...... 21 Figura 3 - Coeficientes de Rigidez e Amortecimento para Estacas Flutuantes - Perfis Constantes .... 22 Figura 4 - Coeficientes de Rigidez e Amortecimento para Estacas Flutuantes - Perfis Parabólicos ... 22 Figura 5 - Planta da Fundação Direta ................................................................................................... 24 Figura 6 - Planta da Fundação Estaqueada.......................................................................................... 25 Figura 7 - Fundação Direta - Raios Equivalentes ................................................................................. 27 Figura 8 - Oscilação Translacional em X e Rotacional em Torno de Y ................................................ 39 Figura 9 - Principais Características de um Mecanismo Alternativo - Pistão Único ............................. 41 Figura 10 - Forças Desbalanceadas em Máquinas Alternativas........................................................... 43 Figura 11 - Excentricidades de Massas Giratórias................................................................................ 45 _____________ /ESCOPO 5 N-1848 REV. B 06 / 2008 1 Escopo 1.1 Esta Norma fixa os procedimentos a serem observados no projeto de fundações de máquinas estacionárias. 1.2 Esta Norma se aplica para projetos de fundações de máquinas rotativas e alternativas, sujeitas a cargas vibratórias. 1.3 Esta Norma se aplica a procedimentos iniciados a partir da data de sua edição. 1.4 Esta Norma contém Requisitos Técnicos e Práticas Recomendadas. 2 Referências Normativas Os documentos relacionados a seguir são indispensáveis à aplicação desta Norma. Para referências datadas, aplicam-se somente as edições citadas. Para referências não datadas, aplicam-se as edições mais recentes dos referidos documentos (incluindo emendas). PETROBRAS N-1644 - Construção de Fundações e de Estruturas de Concreto Armado; PETROBRAS N-1784 - Apresentação de Projetos de Fundações; ABNT NBR 6118 - Projeto de Estrutura de Concreto; ABNT NBR 6122 - Projeto e Execução de Fundações; ABNT NBR 6489 - Prova de Carga Direta sobre Terreno de Fundação; ABNT NBR 7497 - Vibrações Mecânicas e Choques; ABNT NBR 8681 - Ações e Segurança nas Estruturas; ABNT NBR 10082 - Vibração Mecânica de Máquinas com Velocidade de Operação de 600 a 1 200 rpm - Bases para Especificação e Padrões de Avaliação; ABNT NBR 12131 - Prova de Carga Estática; ABNT NBR 13208 - Prova de Carga Dinâmica; ISO 2631 - Guide to the Evaluation of Human Exposure to Whole-body Vibration; API-686 - Recomended Pratices for Machinery Installation; DIN 4024 - Fundações de Máquinas. 3 Termos e Definições Para os propósitos desta Norma são adotados os termos e definições indicadas em 3.1 a 3.29. 3.1 amplitude máximo desvio de posição de um ponto ou parte de um sistema vibrátil em relação à sua posição de repouso. 6 N-1848 REV. B 06 / 2008 3.2 vibração variação no tempo do valor de uma grandeza a qual descreve o movimento ou posição de um sistema mecânico, quando o valor é alternadamente maior ou menor do que certo valor médio ou de referência, geralmente a posição de equilíbrio. 3.3 análise dinâmica (para vibrações) estudo do movimento de um sistema físico num tempo particular. 3.4 análise modal análise dinâmica de um sistema com múltiplos graus de liberdade, onde as respostas obtidas para cada modo de vibração (cada qual tratado independentemente como um sistema com um único grau de liberdade) são determinadas separadamente, e então superpostas (ou “acopladas”) para se obter a resposta final resultante do sistema. 3.5 análise estática investigação de um sistema físico em equilíbrio sob a ação de um sistema de forças estacionário. 3.6 balanceamento ajustamento da distribuição de massa de um corpo rotativo de maneira a controlar ou evitar vibrações. 3.7 força dinâmica (carga dinâmica) força cuja duração e amplitude é função do tempo. 3.8 fator de amplificação dinâmica razão entre a deformação produzida em um dado ponto de uma estrutura pela aplicação dinâmica de um esforço (força ou momento) e a deformação produzida neste mesmo ponto pela aplicação estática do esforço. 3.9 oscilação variação, habitualmente em função do tempo, de uma grandeza, em relação ao seu valor de referência especificado, quando esta grandeza varia em torno de um certo valor médio. 3.10 movimento periódico movimento que se repete identicamente a intervalos regulares de tempo. 3.11 período (T) o menor incremento de variável independente de uma quantidade periódica, antes de se repetir identicamente. 7 N-1848 REV. B 06 / 2008 3.12 ciclo gama completa de estados ou valores, através do qual passa um fenômeno ou função periódica, antes de se repetir identicamente. O ciclo de uma partícula é associado a um deslocamento angular de 360°, onde a partícula inicia o movimento na posição angular θ = 0° e completa o ciclo com θ = 360°. 3.13 freqüência (f) inverso do período. É o número de ciclos realizados por uma partícula em movimento periódico na unidade de tempo. Tem-se a relação: f = 1/T NOTA As unidades mais empregadas são o Hertz (Hz) ou ciclos/segundo e a Rotação Por Minuto (rpm) ou ciclos/minuto. 3.14 freqüência angular (ω) produto da freqüência de uma grandeza senoidal pelo fator 2π. A unidade de freqüência angular é o radiano pela unidade de tempo. NOTA Podem ser tomadas as relações: 1 Hz = 6,28 rad/s = 60 rpm. 3.15 movimento harmônico simples movimento de um corpo ou parte de um sistema, descrito por meio de uma função trigonométrica (senoidal), e que se repete a intervalos de tempo iguais. NOTA Todo movimento harmônico é necessariamente periódico. 3.16 excitação harmônica esforço (força ou momento) descrito através de função trigonométrica (senoidal), e que se repete a intervalos de tempo iguais. 3.17 freqüência natural propriedade dinâmica de um sistema elástico pela qual ele oscila harmonicamente em relação a uma posição fixa, quando a aplicação da ação externa é removida. NOTA Um sistema elástico possui tantas freqüências naturais quantos forem os seus graus de liberdade. No caso de bases maciças de compressores supostamente rígidas, o número de freqüências naturais da fundação é 6. 3.18 vibrações forçadas vibrações desenvolvidas por forças excitantes aplicadas externamente. As vibrações forçadas ocorrem na freqüência da força excitante aplicada. NOTA A freqüência de excitação não depende da freqüência natural do sistema. 8 N-1848 REV. B 06 / 2008 3.19 modos de vibração movimento ordenado de um sistema elástico onde cada ponto do sistema vibra com uma mesma freqüência, a qual é uma das freqüências naturais do sistema. NOTA Um sistema elástico possui tantos modos principais de vibração quantas forem as freqüências naturais que possui. 3.20 ressonância fenômeno que ocorre quando a freqüência de excitação coincide com uma das freqüências naturais de um sistema elástico. As amplitudes de vibração de um sistema em ressonância podem atingir valores muito elevados, razão pela qual esta condição deve ser evitada. 3.21 razão de freqüência razão entre a freqüência da força ou esforço excitante e a freqüência natural do sistema. NOTA Em ressonância, a razão de freqüência torna-se igual à unidade. 3.22 modo fundamental também chamado de 1o modo de vibração, é o modo de vibração associado à freqüência natural mais baixa de um sistema elástico. Esta freqüência é denominada freqüência fundamental. 3.23 acoplamento fenômeno físico em que se observa, em um sistema elástico, a transferência de energia entre modos de vibração distintos. Isto altera os modos de vibração originais (também denominados desacoplados) e suas respectivas freqüências naturais de vibração. 3.24 fundações sub-sintonizadas (“low-tuned”) fundações de máquinas onde a freqüência fundamental da fundação é inferior à freqüência operacional ou freqüência excitante da máquina. Neste tipo de fundação a razão de freqüência é maior que a unidade. 3.25 fundações sobre-sintonizadas (“over-tuned”) fundações de máquinas onde a freqüência fundamental da fundação é superior à freqüência operacional ou freqüência excitante da máquina. Neste tipo de fundação a razão de freqüência é menor que a unidade. 3.26 amortecimento fenômeno associado à dissipação de energia e que se opõe ao movimento vibratório de um sistema elástico. NOTA Para o âmbito desta Norma, entende-se por amortecimento o “amortecimento geométrico” da fundação. 9 N-1848 REV. B 06 / 2008 3.27 resposta dinâmica (“response”) conjunto de deslocamentos e/ou tensões dependentes do tempo que surgem em um sistema elástico quando este é submetido à aplicação de um esforço dinâmico. 3.28 severidade de vibração nesta Norma, o termo severidade de vibração é definido como uma unidade característica compreensível e simples para descrever o estado de vibração de uma máquina. Baseado em considerações teóricas e experiência prática, o valor eficaz da velocidade de vibração foi escolhido como unidade de medida para indicação de severidade de vibração. 3.29 Velocidade Eficaz de Vibração (vef) máximo valor da raiz quadrática média da velocidade de vibração medida em pontos significativos da máquina, tais como um mancal, um ponto da fundação etc. 4 Dados Básicos para o Projeto de Fundações de Máquinas Para o projeto de fundações de máquinas devem ser obtidas as informações contidas em 4.1 a 4.3. 4.1 Parâmetros do Solo a) b) c) d) e) f) g) posição e natureza das camadas/perfil do solo; cota máxima do lençol freático; resistência à penetração, definida pelo ensaio SPT; massa específica do solo (ρ); módulo de cisalhamento do solo (G); coeficiente de Poisson (υ); módulo de elasticidade do solo (E). 4.2 Parâmetros do Equipamento O desenho de fabricação do equipamento deve conter as seguintes informações: a) desenho dimensional do equipamento contendo: — dimensões do chassi; — dimensões principais do equipamento; — posição do centro de gravidade do conjunto ou das partes componentes; — fixação do equipamento à base/fundação (chumbadores, insert’s); b) peso do conjunto ou dos elementos componentes do conjunto; c) freqüências operacionais dos elementos componentes do conjunto; d) cargas dinâmicas (forças centrífugas, forças de inércia das massas móveis e momentos); e) freqüências críticas de operação da máquina (fc); f) amplitudes máximas permissíveis de vibração; g) momento de curto-circuito (para motores elétricos ou geradores). 4.3 Parâmetros Geométricos da Fundação a) b) c) d) centróide da área da base; centro de gravidade do conjunto fundação + máquina; momento de inércia da área da base; momento de massa do conjunto fundação + máquina. 10 N-1848 REV. B 06 / 2008 5 Condições Gerais 5.1 Relativas a Qualquer Tipo de Fundação (Direta ou em Estacas) O projeto deve atender às condições estabelecidas nas PETROBRAS N-1784, N-1644, ABNT NBR 6118, NBR 6122, NBR 6489, NBR 12131, NBR 13208, NBR 8681, NBR 10082, NBR 7497, ISO 2631, API-686 e DIN 4024. 5.1.1 As fundações das máquinas devem ser desvinculadas das estruturas e fundações vizinhas. Caso isto não seja possível, cuidados especiais devem ser tomados para evitar transmissão de vibrações a essas estruturas. 5.1.2 Deve-se evitar dispor a base em terreno com lençol freático elevado, principalmente no caso de fundação direta. Além de amplificar as vibrações em qualquer caso, o efeito de vibrações em solos saturados arenosos é bem conhecido e até mesmo utilizado como técnica de compactação deste tipo de terreno. 5.1.3 Para fundações vizinhas de mesma característica, a cota de assentamento da fundação vibrante deve estar afastada e abaixo da não vibrante obedecendo, no mínimo, à relação de 1:3 (V:H). 5.1.4 A análise de vibrações deve ser feita, considerando o solo como corpo elástico com as características de módulo de elasticidade transversal (G), coeficiente de Poisson (υ) e a massa específica do solo (ρ). 5.1.5 Os recalques sofridos pela fundação devem ser inferiores aos admitidos pelas tubulações que se ligam à máquina. Para as fundações diretas, este aspecto deve ser examinado com cuidado. 5.1.6 Recomenda-se o uso de fundação em estacas, para os seguintes casos onde: [Prática Recomendada] a) b) c) d) e) NOTA a tensão admissível do terreno seja baixa; os recalques esperados sejam muito grandes; o lençol freático seja alto; as fundações próximas estejam abaixo do nível de sua fundação (fundações diretas); haja necessidade de se alterar a freqüência de ressonância. Na e) deve-se ter atenção para a diminuição do amortecimento da fundação e o aumento da freqüência de ressonância. 5.2 Relativas a Fundações Diretas 5.2.1 Se uma análise dinâmica prevê condição de ressonância para uma freqüência de operação da máquina, deve-se alterar a massa da fundação ou suas constantes de mola. A freqüência operacional deve ser mantida a uma distância de, pelo menos, 20 % da freqüência natural da fundação. 5.2.2 A base deve ser ajustada para que o centróide da área de contato com o solo e o centro de gravidade do conjunto fundação + máquina estejam na mesma vertical. A distância em planta entre os 2 pontos, projetada segundo uma das dimensões (em planta) da base, deve ser, no máximo, igual a 5 % desta dimensão. 11 N-1848 REV. B 06 / 2008 5.2.3 A tensão no solo devida às cargas estáticas deve ser, no máximo, igual a 50 % da tensão admissível do terreno. A soma das tensões devidas aos efeitos estático e dinâmico não deve exceder 75 % da tensão admissível do terreno. 5.2.4 Deve-se dispor uma espessura de base de, pelo menos, 0,6 m a fim de se ter uma fundação “rígida” em acordo com a teoria de projeto desenvolvida para este tipo de fundação. 5.2.5 A altura do bloco da fundação não deve ser menor que 1/5 da menor dimensão ou 1/10 da maior dimensão do bloco. 5.2.6 Deve-se adotar uma razão massa da fundação/massa da maquinaria de 2 a 3 para máquinas rotativas, e maior que 3 para equipamentos alternativos. 5.2.7 Deve-se manter um espaço ao redor da máquina de, pelo menos, 30 cm para manutenção e outras atividades. 5.2.8 A base do bloco de fundação deve estar acima do lençol freático sempre que possível. Caso não seja possível, recomenda-se o uso de estacas. [Prática Recomendada] 5.2.9 A fundação não deve ser assentada em solo de aterro. 5.2.10 A dimensão da base na direção de rotação deve ser maior ou igual à distância entre a linha de centro da máquina e o fundo da base. NOTA Recomenda-se o uso de uma base larga para resistir à rotação. [Prática Recomendada] 5.3 Relativas a Fundações Profundas / em Estacas 5.3.1 Recomenda-se a seguinte relação: s/d ≥ 5 Onde: s é o espaçamento entre estacas (eixo a eixo); d é o diâmetro da estaca. NOTA Recomenda-se o maior espaçamento possível entre estacas. [Prática Recomendada] 5.3.2 A carga estática em cada estaca deve estar limitada a 50 % de sua carga admissível. 5.3.3 Para máquina rotativa, o bloco de coroamento deve ter uma massa de cerca de 1,5 vezes a 2,5 vezes a massa da máquina. Para máquinas alternativas, esta relação deve ser de 2,5 vezes a 4 vezes. 5.3.4 O centróide do estaqueamento e o centro de gravidade do conjunto fundação + máquina devem estar na mesma vertical. A distância em planta entre os 2 pontos, projetada segundo uma das dimensões (em planta) do bloco de coroamento, deve ser, no máximo, igual a 5 % desta dimensão. 12 N-1848 REV. B 06 / 2008 5.3.5 Deve-se garantir uma boa ancoragem entre as estacas e o bloco de coroamento. Como requisito mínimo, deve-se adotar 60 cm de penetração para os ferros da estaca no bloco e 30 cm de embutimento para estacas metálicas. 5.4 Relativas a Máquinas Elevadas (Pórticos) 5.4.1 A espessura da laje de fundação não deve ser menor que 0.11 L4/3, onde L (em metros) é a média de 2 vãos adjacentes entre colunas. 5.4.2 A carga estática nas colunas deve ser, no máximo, igual a 1/6 da sua máxima carga admissível. Além disso, a tensão média de compressão deve ser aproximadamente a mesma para todas as colunas. 5.4.3 O espaçamento máximo entre as colunas deve ser da ordem de 3,5 m. 5.4.4 A altura das vigas deve ser maior que 1/5 do vão livre. A flecha devida ao carregamento estático não deve exceder 0,5 mm. 5.4.5 A rigidez à flexão das vigas deve ser, no mínimo, 2 vezes superior à das colunas. 5.4.6 Para máquinas rotativas, a massa total da estrutura deve ser, no mínimo, igual a 3 vezes a massa suportada pela máquina. Esta relação deve ser de 5 para máquinas alternativas. 5.4.7 A massa da laje do topo não deve ser menor que a da máquina. 5.4.8 O centróide das colunas deve coincidir com o centro de gravidade (em planta) do equipamento mais a metade superior da estrutura. A distância em planta entre os 2 pontos, projetada segundo uma das dimensões (em planta) da laje da fundação deve ser, no máximo, igual a 5 % desta dimensão. 5.4.9 A deflexão horizontal das colunas, devida aos carregamentos dinâmicos, não deve ultrapassar 0,5 mm em qualquer caso. 5.4.10 Deve ser feita a verificação das colunas e vigas do pórtico para evitar a possibilidade de ressonância isolada dos membros constitutivos da estrutura. 5.4.10.1 A freqüência natural fn, em rotações por minuto, de ordem mais baixa de uma coluna é dada aproximadamente por: fn = 44 800 . 4 fck σc . H Onde: fck é a resistência do concreto em psi (1 psi = 6 895 KPa); σc é a tensão média de compressão atuante na coluna, em psi; H é a altura da coluna em polegadas (1 pol = 2,54 cm). 13 N-1848 REV. B 06 / 2008 5.4.10.2 A freqüência natural dos vãos de vigas entre colunas pode ser estimada por intermédio da Tabela 1. Tabela 1 - Freqüências Naturais Viga fn EΙ bi-apoiada 9,87 2π engastada-apoiada 15,4 2π ql 4 bi-engastada 22,4 2π ql 4 ql 4 EΙ EΙ 3,52 EΙ 2π ql 4 engastada-livre Onde: q é a carga total por unidade de comprimento da viga (usualmente em t/m); Ι é o comprimento do vão (em m); E é o módulo de elasticidade do material (em t/m2); I é o momento de inércia à flexão da viga (usualmente em m4). 5.5 Fundações Típicas para Máquinas 5.5.1 Considerando seu formato estrutural, as fundações para máquinas são geralmente classificadas de acordo com 5.5.1.1 a 5.5.1.4. 5.5.1.1 Tipo Bloco Rígido Consiste em um pedestal de concreto sobre o qual repousa a máquina. Geralmente são montadas nesse tipo de estrutura máquinas que produzem forças de impacto ou carregamentos periódicos a baixas freqüências. 5.5.1.2 Tipo Caixão Bloco de concreto vazado, suportando o equipamento na parte inferior. 5.5.1.3 Tipo Parede Consiste em um par de paredes que suportam a máquina no topo. 5.5.1.4 Tipo Quadro São colunas verticais que suportam no topo um quadro horizontal que constitui o assento do equipamento. Máquinas que costumam ser montadas em fundações tipo quadro são aquelas que trabalham em freqüências altas (turbinas). 14 N-1848 REV. B 06 / 2008 5.5.2 Baseado na freqüência de operação, as máquinas podem ser divididas em 3 categorias: a) baixa a média freqüência (0 rpm - 500 rpm): grandes máquinas alternativas, compressores e grandes “blowers”; b) média a alta freqüência (300 rpm - 1 000 rpm): equipamentos alternativos de tamanho médio tais como motores a diesel e a vapor; c) freqüência muito alta (> 1 000 rpm): máquinas de alta velocidade tais como motores de combustão interna, motores elétricos e turbogeradores. 5.6 Notações As notações a serem usadas nesta Norma são as seguintes: a) b) c) d) letras romanas maiúsculas: conforme Seção A.1 desta Norma; letras romanas minúsculas: conforme Seção A.2 desta Norma; letras gregas maiúsculas: conforme Seção A.3 desta Norma; letras gregas minúsculas: conforme Seção A.4 desta Norma. 5.7 Unidades As unidades empregadas nesta Norma estão de acordo com o Sistema Internacional de Unidades, baseado no sistema métrico decimal, contendo 7 unidades básicas. 6 Condições Específicas 6.1 Aceitação das Bases quanto ao seu Comportamento Dinâmico 6.1.1 De acordo com a ABNT NBR 10082, as máquinas vibráteis são classificadas de acordo com o exposto a seguir: a) classe I: partes individuais de motores e máquinas, integralmente conectadas com a máquina completa na sua condição de operação normal (motores elétricos de produção até 15 KW são exemplos típicos de máquinas nesta categoria); b) classe II: máquinas de tamanho médio, (tipicamente motores elétricos de 15 KW até 75 KW de potência sem fundações especiais, motores ou máquinas montados rigidamente até 300 KW) sobre fundações especiais; c) classe III: máquinas motrizes grandes e outras máquinas grandes com massas rotativas montadas sobre fundações rígidas e pesadas, que são relativamente rígidas na direção de medição de vibração; d) classe IV: máquinas motrizes grandes e outras máquinas grandes com massas rotativas, montadas sobre fundações que são relativamente flexíveis na direção de medição de vibração (por exemplo, conjunto de turbogeradores, especialmente aqueles montados sobre estruturas leves); e) classe V: máquinas e sistemas acionadores mecânicos com forças de inércia não-balanceáveis (devido às partes alternativas), montados sobre fundações que são relativamente rígidas na direção da medição de vibração; f) classe VI: máquinas e sistemas acionadores mecânicos com forças de inércia não-balanceáveis (devido às partes alternativas), montados sobre fundações que são relativamente flexíveis na direção de medições de vibração; máquinas com massas rotativas frouxamente acopladas, tais como eixos batedores em moinho; máquinas, como centrífugas, com desbalanceamentos variáveis capazes de operação como unidades próprias sem componentes de conexão; peneiras vibratórias, máquinas de ensaios dinâmicos de fadiga e excitadores de vibração usados em processos industriais. 15 N-1848 REV. B 06 / 2008 6.1.2 De acordo com a ABNT NBR-10082, as faixas de severidade de vibração encontram-se discriminadas na Tabela 2, conforme a velocidade eficaz que se apresenta. A Tabela 3 permite a avaliação do comportamento dinâmico da máquina de acordo com a faixa e a classe de classificação, estipuladas anteriormente. Tabela 2 - Faixas de Severidade de Vibração Faixa de classificação 0,11 0,18 0,28 0,45 0,71 1,12 1,8 2,8 4,5 7,1 11,2 18 28 45 71 Faixa de velocidade (valor eficaz da velocidade de vibração) mm/s Acima de Até 0,071 0,112 0,112 0,18 0,18 0,28 0,28 0,45 0,45 0,71 0,71 1,12 1,12 1,8 1,8 2,8 2,8 4,5 4,5 7,1 7,1 11,2 11,2 18 18 28 28 45 45 71 Tabela 3 - Faixa de Severidade de Vibração e Exemplos de suas Aplicações a Máquinas Pequenas (Classe I), Máquinas de Tamanho Médio (Classe II), Máquinas Grandes (Classe III) e Turbomáquinas (Classe IV) Faixa de severidade de vibração Faixa 0,28 0,45 0,71 1,12 1,8 2,8 4,5 7,1 11,2 18 28 45 71 NOTA Velocidade efetiva v (mm/s) nos limites da faixa 0,28 0,45 0,71 1,12 1,8 2,8 4,5 7,1 11,2 18 28 45 Exemplos de avaliação de qualidade para classes diferentes de máquinas Classe I A Classe II A Classe III A Classe IV A B B C B C B C C D D D D O projeto da fundação deve ser orientado de modo que a máquina se enquadre dentro das faixas A ou B de comportamento. Onde: A é bom; B é satisfatório; C é pouco satisfatório; D é ruim ou não satisfatório. 16 N-1848 REV. B 06 / 2008 6.2 Teorias de Análise e Projeto 6.2.1 Para efeito desta Norma, são adotadas 2 teorias de análise distintas para o projeto de uma fundação: a) teoria da constante de mola sem peso; b) teoria elástica do semi-espaço. 6.2.2 Recomenda-se a teoria elástica do semi-espaço caso se queira considerar o amortecimento geométrico da fundação, ou se esteja dimensionando a base em ressonância. [Prática Recomendada] 6.3 Determinação dos Parâmetros Gerais do Solo Necessários ao Projeto As grandezas do solo necessárias à análise de fundações de compressores, independentemente do tipo de base e da teoria empregada, são as que se encontram em 6.3.1 a 6.3.4. 6.3.1 Massa Específica do Solo (ρ) Na falta de ensaios geotécnicos, recomenda-se ρ = 1,8 t/m3. [Prática Recomendada] 6.3.2 Módulo de Cisalhamento Dinâmico do Solo (G) Obtido através do ensaio “cross-hole”. Na falta do referido ensaio, recomenda-se: [Prática Recomendada] G = 12 000 N0,8 Onde: G é obtido em KPa; N é o número de golpes SPT (obtido de sondagem). 6.3.3 Coeficiente de Poisson do Solo (υ) Na falta de ensaios geotécnicos ou de “cross-hole”, devem ser adotados os valores constantes da Tabela 4. Tabela 4 - Coeficiente de Poisson Tipo de solo Argila saturada Argila parcialmente saturada Areia densa ou pedregulho Areia medianamente densa ou pedregulho Silte 17 Coeficiente de Poisson (υ) 0,45 - 0,50 0,35 - 0,45 0,40 - 0,50 0,30 - 0,40 0,30 - 0,40 N-1848 REV. B 06 / 2008 6.3.4 Módulo de Elasticidade do Solo (E) Obtido por intermédio do ensaio “cross-hole”, através da fórmula (1). Na falta do referido ensaio, deve-se adotar a fórmula (2): E = 2ρ . Vs2 (1 + υ) (1) E = 2 . G (1 + υ) (2) Onde: Vs é a velocidade transversal de propagação do som no solo, obtida no ensaio. 6.4 Parâmetros Preliminares do Sistema Solo-Fundação para Fundações Diretas pela Teoria Constante de Mola sem Peso 6.4.1 Coeficiente Dinâmico de Compressão Elástica Uniforme (Cu) Na falta de ensaios deve ser adotado: Cu = Onde: 1,13 . E 1− υ 2 . 1 A A é a área de contato da fundação com o solo, não se tomando valor superior a 10 m2. 6.4.2 Coeficiente Dinâmico de Cisalhamento Elástico Uniforme (Cτ) Na falta de ensaios, deve ser adotado como valor de Cτ a metade do valor de Cu. 6.4.3 Coeficiente Dinâmico de Compressão Elástica Não-Uniforme (Cθ) Na falta de ensaios deve ser adotada a Tabela 5, onde se obtém Cθ a partir de Cu. Tabela 5 - Relação entre Cθ e Cu NOTA α Cθ/Cu 1,0 1,87 1,5 2,11 2,0 2,31 3,0 2,63 5,0 3,04 10,0 3,53 α é a razão entre a maior e a menor dimensão da base em planta (adimensional). 18 N-1848 REV. B 06 / 2008 6.4.4 Coeficiente Dinâmico de Cisalhamento Elástico Não Uniforme (Cψ) Na falta de ensaios, deve ser adotado: Cψ = 0,75 Cu 6.5 Parâmetros Preliminares do Sistema Solo-Fundação para Fundações em Estacas Coeficientes de Rigidez e Amortecimento das Estacas Individuais 6.5.1 Coeficiente de Rigidez Horizontal com a Estaca Engastada no Bloco de Coroamento (fx1) É adimensional e deve ser extraído da Tabela 6, onde: a) b) c) d) e) Ep: módulo de elasticidade da estaca; Gs: módulo de cisalhamento dinâmico do solo (= G); υ: coeficiente de Poisson do solo; l: comprimento da estaca; ro: raio da seção reta da estaca (suposta circular). 19 N-1848 REV. B 06 / 2008 Tabela 6 - Parâmetros de Rigidez e Amortecimento Horizontal para Estacas com Razão L/Ro > 25 para Perfis de Solo Homogêneo e L/Ro > 30 para Perfis de Solo Parabólico Coeficientes de rigidez υ Eest./G solo fφ1 fpx1 fx1 fxφ1 Coeficientes de amortecimento fφ2 fxφ2 fx2 fpx2 Perfil homogêneo do solo 0,25 0,40 10 000 0,2135 -0,0217 0,0042 0,0021 0,1577 -0,0333 0,0107 0,0054 2 500 0,2998 -0,0429 0,0119 0,0061 0,2152 -0,0646 0,0297 0,0154 1 000 0,3741 -0,0668 0,0236 0,0123 0,2598 -0,0985 0,0579 0,0306 500 0,4411 -0,0929 0,0395 0,0210 0,2953 -0,1337 0,0953 0,0514 250 0,5186 -0,1281 0,0659 0,0358 0,3299 -0,1786 0,1556 0,0864 10 000 0,2207 -0,0232 0,0047 0,0024 0,1634 -0,0358 0,0119 0,0060 2 500 0,3097 -0,0459 0,0132 0,0068 0,2224 -0,0692 0,0329 0,0071 1 000 0,3860 -0,0714 0,0261 0,0136 0,2677 -0,1052 0,0641 0,0339 500 0,4547 -0,0991 0,0436 0,0231 0,3034 -0,1425 0,1054 0,0570 250 0,5336 -0,1365 0,0726 0,0394 0,3377 -0,1896 0,1717 0,0957 Perfil parabólico do solo 0,25 0,40 10 000 0,1800 -0,0144 0,0019 0,0008 0,1450 -0,0252 0,0060 0,0028 2 500 0,2452 -0,0267 0,0047 0,0020 0,2025 -0,0484 0,0159 0,0076 1 000 0,3000 -0,0400 0,0086 0,0037 0,2499 -0,0737 0,0303 0,0147 500 0,3498 -0,0543 0,0136 0,0059 0,2910 -0,1008 0,0491 0,0241 250 0,4049 -0,0734 0,0215 0,0094 0,3361 -0,1370 0,0793 0,0398 10 000 0,1857 -0,0153 0,0200 0,0009 0,1508 -0,0271 0,0067 0,0031 2 500 0,2529 -0,0284 0,0051 0,0022 0,2101 -0,0519 0,0177 0,0084 1 000 0,3094 -0,0426 0,0094 0,0041 0,2589 -0,0790 0,0336 0,0163 500 0,3596 -0,0577 0,0149 0,0065 0,3009 -0,1079 0,0544 0,0269 250 0,4170 -0,0780 0,0236 0,0103 0,3468 -0,1461 0,0880 0,0443 6.5.2 Coeficiente de Rigidez Horizontal com a Estaca Rotulada no Bloco de Coroamento (fpx1) É adimensional e é obtido conforme fx1 (ver Tabela 6). 6.5.3 Coeficiente de Rigidez Vertical (fz1) É adimensional e deve ser extraído dos ábacos das Figuras 1, 2, 3 e 4. Os dados de entrada nos ábacos são análogos ao 6.5.1. 20 N-1848 REV. B 06 / 2008 6.5.4 Coeficiente de Rigidez à Flexão (fφ1) É adimensional e deve ser extraído da Tabela 6, conforme fx1 (ver 6.5.1). 6.5.5 Coeficiente de Rigidez Cruzada (fxφ1) É adimensional e deve ser extraído da Tabela 6, conforme fx1 (ver 6.5.1). 6.5.6 Coeficiente de Amortecimento Horizontal com a Estaca Engastada no Bloco de Coroamento (fx2) É adimensional e deve ser extraído da Tabela 6, conforme fx1 (ver 6.5.1). 6.5.7 Coeficiente de Amortecimento Horizontal com a Estaca Rotulada no Bloco de Coroamento (fpx2) É adimensional e deve ser extraído da Tabela 6, conforme fx1 (ver 6.5.1). 6.5.8 Coeficiente de Amortecimento Vertical (fz2) É adimensional e deve ser extraído das Figuras 1, 2, 3 e 4. Os dados de entrada nos ábacos são análogos aos 6.5.1, à exceção do coeficiente de Poisson (υ). 6.5.9 Coeficiente de Amortecimento à Flexão (fφ2) É adimensional e deve ser extraído da Tabela 6, conforme fx1 (ver 6.5.1). 6.5.10 Coeficiente de Amortecimento Cruzado (fxφ2) É adimensional e deve ser extraído da Tabela 6, conforme fx1 (ver 6.5.1). 6.6 Parâmetros Preliminares do Sistema Solo-Fundação para Fundações em Estacas Parâmetros Geométricos do Sistema (Fundações + Máquina) 6.6.1 Centróide 6.6.1.1 Fundação Direta As coordenadas (xc, yc) do centróide da área da base são dadas por: ∑ A ixi ; xc = i ∑ Ai i ∑ Aiyi yc = i ∑ Ai i Onde: xi, yi são as coordenadas do centro de cada área. NOTA Uma vez localizado o centróide da área da base, a origem do sistema de coordenadas retangulares (x, y, z) deve ser localizada neste ponto, de maneira que todos os cálculos posteriores são feitos em relação a este sistema de eixos. 23 N-1848 REV. B 06 / 2008 6.6.1.2 Fundação Estaqueada O centróide do estaqueamento é dado por: n Xc = ∑ Xi i n n ∑ yi i ; Yc = n Onde: xi, yi são as coordenadas de cada estaca; n é o número de estacas. 6.6.2 Centro de Gravidade do Sistema (Fundação + Máquina) As coordenadas (xcg, ycg, zcg) do centro de gravidade da máquina e da fundação são dadas por: ∑ mi x i x cg = i ; ∑ mi i ∑ mi y i y cg = i ; ∑ mi i ∑ mi z i z cg = i ∑ mi i Onde: xi, yi, zi são as coordenadas do centro de gravidade de cada elemento de massa mi. 6.6.3 Momento de Inércia da Área da Base e/ou Estaqueamento 6.6.3.1 Para bases de fundações retangulares tendo como dimensões L e B (ver Figura 5), os momentos de inércia Jx, Jy e Jz são dados por: Jx = LB 3 ; 12 Jy = BL3 ; 12 Jz = Jx + Jy Onde: Jx, Jy, Jz é o momento de inércia da área da base em relação aos eixos ortogonais X, Y e Z, passando pelo seu centróide. Y B X L Figura 5 - Planta da Fundação Direta 6.6.3.2 Se a fundação é sobre estacas, o momento de inércia do estaqueamento em relação ao seu centróide é dado por: Jx = n ∑ A pi y i2 ; i Jy = n ∑ A pi x i2 ; Jz = Jx + Jy i Onde: 24 N-1848 I REV. B 06 / 2008 é representa cada estaca, n é o número total de estacas e Api é a área da seção reta da estaca de ordem i. Y X Figura 6 - Planta da Fundação Estaqueada 6.6.4 Momento de Massa Os momentos de massa Ix, Iy e Iz do conjunto (fundação + máquina) em relação a estes eixos são dados por: Ix = ∑ m i ( y i2 + z i2 ) i Iy = ∑ m i ( x i2 + z i2 ) i Iz = ∑ m i ( y i2 + x i2 ) i Onde: xi, yi, zi são as coordenadas do centro de gravidade de cada elemento de massa mi em relação ao sistema de eixos coordenados X, Y e Z (com origem no centróide da área de contato com o solo). NOTA 1 O momento de massa I’ de uma massa m em relação a um eixo x’ que dista h de seu centro de gravidade vale: I’ = I + m.h2, onde I é o momento de massa de m em relação a um eixo x paralelo a x’ e passando pelo centro de gravidade de m. NOTA 2 A unidade corrente para momentos de massa é o t.m2 (tonelada metro quadrado). NOTA 3 A Tabela 7 indica os momentos de massa de formas geométricas conhecidas. 25 N-1848 REV. B 06 / 2008 Tabela 7 - Momentos de Massa de Figuras Geométricas Comuns Y Iy = Iz = G Barra Esbelta L Z 1 mL2 12 X Ix = Y a Placa Retangular Fina b G ( 1 m a2 + b2 12 Iy = 1 ma 2 12 I z' = 1 mb 2 12 X Z' ) ( ) ( ) ( ) Ix = 1 m a2 + b2 12 Iy = 1 m a 2 + L2 12 Iz = 1 m b 2 + L2 12 Y a L/2 Paralelepípedo z' b z X L I z' = I z + mL2 / 4 Y Ix = r 1 mr 2 2 Disco Fino x z Iy = Iz = Ix = Y L Cilindro a z' Iy = Iz = 1 mr 2 4 1 ma 2 2 ( 1 m 3a 2 + L2 12 ) x z I z' = I z + mL2 / 4 (Continua) 26 N-1848 REV. B 06 / 2008 (Conclusão) Tabela 7 - Momentos de Massa de Figuras Geométricas Comuns Y Iz = h Cone Circular z a x Iy = Iz = 3 ma 2 10 3 ⎛1 2 ⎞ m ⎜ a + h2 ⎟ 5 ⎝4 ⎠ Y Ix = Iy = Iz = Esfera a 2 ma 2 5 x z 6.6.5 Raios Equivalentes A Teoria Elástica do Semi-Espaço é concebida para bases circulares. No caso de fundação retangular, devem ser calculados os raios equivalentes de acordo com o modo de vibração a considerar, conforme fórmula abaixo: r x = r y = rz = ab ; π rθx = 4 ab 3 ; 3π rθy = 4 ba 3 ; 3π rθz = 4 ab(a 2 + b 2 ) 6π y b x a Figura 7 - Fundação Direta - Raios Equivalentes 6.7 Determinação das Constantes de Rigidez (Mola) e de Amortecimento de uma Estaca Individual 6.7.1 Constantes de Mola A Tabela 8 fornece a formulação das rigidezas de uma estaca individual. Para estaca rotulada no bloco de coroamento, deve-se substituir fx1 por fpx1, conforme definido anteriormente. 27 N-1848 REV. B 06 / 2008 Tabela 8 - Rigidez de uma Estaca Individual para Cada Tipo de Deformação Estacas individuais Tipo de deformação Rigidezas E pIp k' x = k' y = Horizontal Ep A p Vertical k' z = Rotação (Flexão) k' φ = Cruzada (Flexão + Horizontal) k' xφ = k' yφ = ( f x1 ) ro3 ro E p Ip ( f z1 ) ( f φ1 ) ro E pIp ( f xφ1 ) ro2 6.7.2 Constantes de Amortecimento A Tabela 9 fornece a formulação das constantes de amortecimento de uma estaca individual. Para estaca rotulada no bloco de coroamento, deve-se substituir fx2 por fpx2, conforme definido anteriormente. Tabela 9 - Constante de Amortecimento de uma Estaca Individual para Cada Tipo de Deformação Estacas individuais Tipo de deformação Constantes de amortecimento c' z = Vertical Vs E p Ip c' φ = Cruzada (Flexão + Horizontal) c' xφ = c ' yφ = Onde: é o modulo de elasticidade da estaca; é o momento de inércia à flexão da estaca; é o módulo de cisalhamento do solo; é a área da seção reta da estaca; é o raio da estaca; é a velocidade de onda transversal do solo. 28 ro2 Vs Ep A p Rotação (Flexão) Ep Ip Gs Ap ro Vs E pIp c' x = c' y = Horizontal Vs (f x2 ) (f z2 ) ( f φ2 ) E pIp ro Vs ( f xφ2 ) N-1848 REV. B 06 / 2008 6.8 Determinação das Constantes de Rigidez (Mola) e de Amortecimento de uma Fundação Direta 6.8.1 Pela Teoria da Constante de Mola sem Peso A Tabela 10 fornece as constantes de mola de uma fundação direta segundo os 6 graus de liberdade possíveis. Tabela 10 - Rigidezas de Acordo com os Graus de Liberdade pela Teoria da Constante de Mola sem Peso Teoria da constante de mola sem peso - fundação direta Modo de vibração Constante de mola translação em X translação em Y translação em Z rotação em X rotação em Y rotação em Z kx = CτA ky = CτA kz = CμA kθx = CθJx - mgL kθy = CθJy - mgL kθz = CψJz Onde: A M g L é a área da base; é a massa do sistema (fundação + máquina); é a aceleração da gravidade; é a distância do centro de gravidade do sistema (fundação + máquina) em relação à base (assentamento) da fundação. 6.8.2 Pela Teoria Elástica do Semi-Espaço A Tabela 11 fornece as constantes de mola e de amortecimento de uma fundação direta segundo os seus 6 graus de liberdade possíveis. NOTA A razão de massa é uma grandeza adimensional criada para auxiliar nos cálculos intermediários da tabela. 29 N-1848 REV. B 06 / 2008 Tabela 11 - Rigidezas de Acordo com os Graus de Liberdade pela Teoria Elástica do Semi-Espaço Teoria elástica do semi-espaço - fundação direta Modo de vibração Fator de amortecimento 0,2875 Dx = Bx Razão de massa Translação em X Bx = ( 7 − 8 υ) m . 32 (1 − υ) ρ . r x3 Translação em Y By = ( 7 − 8 υ) m . 32 (1 − υ) ρ . ry3 Dy = (1 − υ) m . 4 ρ . rz3 Dz = Translação em Z Bz = Rotação em torno de X B θx = I 3 (1 − υ) . x5 8 ρ . rθx D θx = Rotação em torno de Y B θy = Iy 3 (1 − υ) . 8 ρ . rθ5y D θy = Rotação em torno de Z B θx = Iz By 0,425 Bz 0,15 (1 + B θx ) B θx 0,15 (1 + B θy ) B θy D θz = ρ . rθ5z 0,2875 0,5 (1 + 2B θz ) Constante de mola kx = 32 (1 − υ) . G . rx 7 − 8υ ky = 32 (1 − υ) . G . ry 7 − 8υ kz = 4G . rz 1− υ k θx = 8G . rθ3x 3 (1 − υ) k θy = k θz = 8G . rθ3y 3 (1 − υ) 16 G . rθ3z 3 6.9 Determinação das Constantes de Rigidez (Mola) e de Amortecimento de uma Fundação em Estacas (Grupo de Estacas ou Estaqueamento) 6.9.1 Hipóteses Simplificadoras a) as constantes de rigidez e amortecimento à torção das estacas individuais são desprezadas; b) a interação entre estacas (efeito de grupo) é desprezada; c) admite-se que as estacas sejam todas iguais. 6.9.2 Formulação 6.9.2.1 A Tabela 12 fornece as constantes de mola e amortecimento de uma fundação profunda. Os somatórios contidos nesta Tabela, estendem-se a todas as estacas que compõem o grupo. 30 N-1848 REV. B 06 / 2008 Tabela 12 - Rigidezas e Constantes de Mola para Grupo de Estacas Grupo de estacas Tipo de deformação Rigidezas k gx = k gy = Horizontal n ∑ k' x = i=1 k gz = Vertical Constantes de amortecimento n ∑ c gx = c gy = k' y i=1 n ∑ i=1 n ∑ k' z c gz = i=1 Rotação em torno de X Rotação em torno de Y Rotação em torno de Z k gxx = ∑ [k' φ +k' z y i2 + k' y z c2 − 2k' yφ z c ] c gxx = ∑ [k' φ +k' z x i2 + k' x z c2 − 2k' xφ z c ] c gyy = n i=1 k gzz = n ∑ c' y i=1 n ∑ c' z i=1 n i=1 k gyy = c' x = ∑ [k' x ( x i2 + y i2 )] n ∑ [c'φ + c'z yi2 + c' y zc2 − 2c' yφ zc ] n i =1 ∑ [c'φ + c'z xi2 + c' x zc2 − 2c' xφ zc ] n i =1 c gzz = i=1 ∑ [c' x ( x i2 + y i2 )] n i=1 Onde: Zc é a altura do centro de gravidade do bloco de estacas acima de sua cota de fundo. 6.9.2.2 A Tabela 13 fornece os amortecimentos críticos e os fatores de amortecimento segundo os 6 graus de liberdade. Tabela 13 - Amortecimento Crítico e Fator de Amortecimento para Cada Grau de Liberdade Grupo de estacas Tipo de deformação Translação em torno de X Translação em torno de Y Translação em torno de Z Amortecimentos críticos Fatores de amortecimento g c cx = 2 k gx .m Dx = g c cy = 2 k gy .m Dy = g c cz = 2 k gz .m Dz = Rotação em torno de X g c cxx = 2 k gxx .Ix D θx = Rotação em torno de Y g c cyy k gyy .Iy D θy = Rotação em torno de Z g c czz = 2 k gzz .Iz D θz = =2 31 c gx g c cx c gy g c cy c gz g c cz c gxx g c cxx c gyy g c cyy c gzz g c czz N-1848 REV. B 06 / 2008 6.10 Determinação das Freqüências Naturais da Fundação sem a Consideração de Modos de Vibração Acoplados 6.10.1 Sem a Consideração do Amortecimento A Tabela 14 fornece as freqüências naturais desacopladas de uma fundação segundo os seus 6 graus de liberdade possíveis. Tabela 14 - Freqüências Naturais de Acordo Desacopladas de uma Fundação com Cada Grau de Liberdade Freqüências naturais (ωn) Deslocamento Amplitude de força excitante Fo = cte. kx m Amplitude de força excitante Fo = mo.e.ω2 kx m Translação em X ωnx = Translação em Y ωny = Translação em Z ωnz = kz m ωnz = kz m Rotação em torno de X ωnθx = k θx Ix ωnθx = k θx Ix Rotação em torno de Y ωnθy = Rotação em torno de Z ωnθz = ky m k θy Iy k θz Iz ωnx = ωny = ωnθy = ωnθz = ky m k θy Iy k θz Iz Onde: m é a massa (fundação + máquina); Ix, Iy, Iz são os momentos de massa do sistema em relação aos eixos ortogonais X, Y e Z passando pelo centróide da área da base; mo é a massa do rotor; e é a excentricidade da massa do rotor; ω é a velocidade angular excitante. 6.10.2 Com Consideração do Amortecimento 6.10.2.1 Fatores de amortecimento, de acordo com as fórmulas na Tabela 15. 32 N-1848 REV. B 06 / 2008 Tabela 15 - Amortecimentos Críticos e Fatores de Amortecimento Segundo os Graus de Liberdade Amortecimento crítico (cc) e fator de amortecimento (D) Deslocamento Amortecimento crítico Fator de amortecimento Translação em X c cx = 2 k x m Dx = Translação em Y c cy = 2 k y m Dy = Translação em Z c cz = 2 k z m Dz = Cz C cz Rotação em torno de X c cθx = 2 k θx m D θx = C θx C cθx Rotação em torno de Y c cθy = 2 k θy m D θy = Rotação em torno de Z c cθz = 2 k θz m D θz = Cx C cx Cy C cy C θy C cθy C θz C cθz 6.10.2.2 A TABELA 16 fornece os valores das freqüências naturais amortecidas, sem consideração do acoplamento, em função da natureza da força excitante. Tabela 16 - Freqüências Naturais Amortecidas de Acordo com Cada Grau de Liberdade Freqüências naturais amortecidas (ωd) Deslocamento Amplitude de força excitante Fo = cte. Amplitude de força excitante Fo = mo.e.ω2 Translação em X ω dx = ωnx 1− D 2x ω dx = ωnx 1− 2D 2x Translação em Y ω dy = ωny 1− D 2y ω dy = ωny 1− 2D 2y Translação em Z ω dz = ωnz 1− D 2z ω dz = ωnz 1 − 2D 2z Rotação em torno de X ω dθx = ωnθx 1 − D 2θx ω dθx = ωnθx 1 − 2D 2θx Rotação em torno de Y ω dθy = ωnθy 1 − D 2θy ω dθy = ωnθy 1 − 2D 2θy Rotação em torno de Z ω dθz = ωnθz 1 − D 2θz ω dθz = ωnθz 1 − 2D 2θz NOTA 1 As fórmulas descritas nas Tabelas 14 e 16, são velocidades angulares naturais, em rad/s. NOTA 2 As freqüências naturais obtidas através da fórmula descrita abaixo (aplicadas a todas as velocidades angulares) são freqüências em Hz: f = ω 2π 33 N-1848 REV. B 06 / 2008 6.11 Acoplamento dos Modos de Vibrações - Análise das Freqüências Naturais Resultantes do Acoplamento 6.11.1 Para fundações comumente encontradas na prática (nem muito extensas nem muito baixas), os modos de vibração tendem a se acoplar, de modo a resultar em freqüências naturais distintas das calculadas independentemente para cada direção de oscilação. O acoplamento se processa da seguinte forma: a) a translação em X se acopla com a rotação em torno de Y; resultam daí 2 freqüências naturais finais, distintas de ωnx e ωnθy; b) a translação em Y se acopla com a rotação em torno de X; resultam daí 2 freqüências naturais finais, distintas de ωny e ωnθx; c) os demais modos, correspondentes à translação vertical (ωnz) e à torção (rotação em torno de z: ωnθz) permanecem independentes e inalterados. 6.11.1.1 O acoplamento deve ser levado em consideração sempre que: a) na direção X, tivermos: 2 fnx + fn2θy 2 〉 f fnx × fnθy 3 b) na direção Y, tivermos: 2 fny + fn2θx 2 〉 f fny × fnθx 3 Onde: f é a freqüência excitante. 6.11.1.2 Caso contrário, os modos de translação e rotação correspondentes podem ser tratados separadamente, e os resultados independentes combinados adequadamente. 6.11.2 Possíveis Modos de Vibração Modos de vibração a serem considerados para uma fundação: a) translação vertical: este modo é possível desde que haja componente de força agindo nesta direção; b) translação horizontal: este modo é possível desde que haja componente de força agindo nesta direção (X ou Y); c) rotação (em torno de X ou Y): este modo é possível desde que o ponto de aplicação da força horizontal esteja acima do centro de gravidade do sistema (fundação + máquina) ou desde que haja um binário que produza um momento em torno do eixo horizontal (X ou Y); d) torção (em torno de Z): este modo é possível quando as forças horizontais formam um binário no plano horizontal; e) modos acoplados: translação em X + rotação em torno de Y; translação em Y + rotação em torno de X, como visto em 6.11.1. 34 N-1848 REV. B 06 / 2008 6.12 Cômputo das Freqüências Naturais Acopladas A Tabela 17 fornece as equações do 4o grau por meio das quais são obtidas as freqüências angulares naturais acopladas (com ou sem a consideração do amortecimento) a1 a2 a1 a2 a1 a2 a1 a2 ωnx θy , ωnxθy , ωnyθx , ωnyθx , ω dxθy , ω dxθy , ω dyθx , ω dyθx em função das respectivas freqüências angulares naturais calculadas sem levar em conta o acoplamento. Tabela 17 - Velocidades Angulares Acopladas de Acordo com a Direção Pertinente Velocidades angulares acopladas Não-amortecidas Direção 2 2 ω nx 4 X ωanxθy − ωanxθy ( Y 4 ωanyθx − 2 ω anyθx ( Translação em Z Rotação em torno de Z NOTA ϕx = + ω n2θy ϕy ω 2ny + ω 2nθx ϕx )+ )+ 2 ω nx × ω n2θy ϕy ω 2ny × ω n2θx ϕx 4 Amortecidas 2 =0 ωadxθy − ω adxθy ( =0 4 ωadyθx − 2 ωadyθx ( 2 ωdx + ωd2θy ϕy 2 ωdy + ω d2θx ϕx )+ )+ Não acopla Não acopla Não acopla Não acopla 2 ωdx × ω d2θy ϕy 2 ω dy × ωd2θx ϕx =0 =0 (I y − mL2 ) (I x − mL2 ) e ϕy = Iy Ix Onde: ϕx e ϕy é a razão entre os momentos de massa do sistema (fundação + máquina) tomados no centro de gravidade combinado e os respectivos momentos de massa tomados em relação ao centróide da área da base, em relação aos eixos X e Y; L é a distância da base ao centro de gravidade do sistema (fundação + máquina). 6.13 Determinação das Amplitudes de Oscilação 6.13.1 Amplitudes de Oscilação do Centro de Gravidade do Sistema (Fundação + Máquina) 6.13.1.1 Teoria da Constante de Mola sem Peso a) cálculo de Az (translação vertical): Az = m Fz 2 (ωnz − ω2 ) Onde: Fz é a amplitude da força excitante segundo o eixo Z; ω é a freqüência angular operacional da máquina. b) cálculo de Aθz (torção): A θz = Mz 2 Iz (ωnθz − ω2 ) 35 N-1848 REV. B 06 / 2008 Onde: Mz é a amplitude do momento resultante excitante em torno do eixo Z: c) cálculo de Ax (translação segundo X): Ax = [C A.L 2 τ ] + Cθ Jy − mgL − (Iy − mL2 ) ω2 . Fx + (C τ A.L ) My 2 Δ x (ω ) Onde: A L Fx My é a área da base; como é definido anteriormente; é a amplitude da força excitante segundo o eixo X; é a amplitude do momento resultante excitante em torno do eixo Y: 2 2 a1 2 a2 2 Δx(ω2) é dado por: Δ x (ω 2 ) = m(I y − mL2 )(ωnx θy − ω )( ωnxθy − ω ) . d) cálculo de Ay (translação segundo Y): Ay = [C A.L τ 2 ] + Cθ Jx − mgL − (Ix − m.L2 ) ω2 . Fy + (C τ A.L ) Mx 2 Δ y (ω ) Onde: Fy Mx é a amplitude da força excitante segundo o eixo Y; é a amplitude do momento resultante excitante em torno do eixo X; 2 2 a1 2 a2 2 Δy(ω2) é dado por: Δ y (ω 2 ) = m(I x − m.L2 )(ωny θx − ω )(ωnyθx − ω ) . e) cálculo de Aθx (rotação em torno de X): A θx = (C τ A.L ) Fy + (C τ A − mω 2 ) M x Δ y (ω 2 ) f) cálculo de Aθy (rotação em torno de Y): A θy = (C τ A.L ) Fx + (C τ A − m ω 2 ) M y Δ x (ω 2 ) 6.13.1.2 Teoria Elástica do Semi-Espaço a) cálculo de Az (translação vertical): Fz Az = ⎧⎡ ⎛ ω ⎪ k z ⎨⎢1 − ⎜⎜ ⎪⎢⎣ ⎝ ωnz ⎩ ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2⎤ 2 ⎛ ⎥ + ⎜ 2D z . ω ωnz ⎥ ⎜⎝ ⎦ 1 2⎫2 ⎞ ⎪ ⎟⎟ ⎬ ⎠ ⎪ ⎭ Onde: Fz é a amplitude da força excitante segundo o eixo X. b) cálculo de Aθz (torção): 36 (1) N-1848 REV. B 06 / 2008 Mz A θz = ⎧⎡ ⎛ ω ⎪ k θz ⎨⎢1 − ⎜⎜ ⎪⎢⎣ ⎝ ωnθz ⎩ ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2⎤ 2 ⎛ ⎥ + ⎜ 2Dθz . ω ωnθz ⎥ ⎜⎝ ⎦ (2) 1 2 ⎫2 ⎞ ⎪ ⎟⎟ ⎬ ⎠ ⎪ ⎭ Onde: Mz é a amplitude do momento resultante excitante em torno do eixo Z. c) cálculo de Ax (translação segundo X): — devido a um momento (My): Ax = ( ) My 2 Iy − mL ⎡ ω2 ⎢ nx .⎣ 2 1 2⎤2 + (2D x ωnx ) ⎥⎦ (3) 2 Δ x (ω ) Onde: L como é definido anteriormente; My é a amplitude do momento resultante excitante em torno do eixo Y. 1 ( ) Δ x ω2 2⎫2 ⎧⎡ 2 2 ⎛ (ωn2θy + ωnx ) 4D x D θy ωnx ωnθy ⎞⎟ ωnx ωn2θy ⎤ ⎪ ⎪⎢ 4 2⎜ ⎥ − + ⎪ ⎢ω − ω ⎜ ⎟ ϕy ϕy ϕ y ⎥ ⎪⎪ ⎪⎣ ⎝ ⎠ ⎦ =⎨ ⎬ 2 ⎪ ⎪ ⎡D ω ω ⎤ D ω ω 2 ⎪ ⎪+ 4 ⎢ x n (ωn2θy − ω 2 ) + θy nθy (ωnx − ω 2 )⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎣ ϕ y ϕy ⎥ ⎦ ⎭ ⎩ (4) — devido a uma força (Fx): Ax = Fx mI' y ( ⎡ − I' ω2 + k + L2k x θy ⎢ y .⎣ ) 2 2 ( 2 1 2⎤2 ) + 4ω Dθy k θyIy + L D x k xm ⎥ ⎦ Δ x (ω2 ) (5) Onde: Fx é a amplitude de força excitante segundo o eixo X; I' y = Iy − mL2 Δx(ω2) como é definido anteriormente. d) cálculo de Ay (translação segundo Y): — devido a um momento (Mx): [ 2 2 (ωny ) + (2D y ωny )2 Mx Ay = . Ix − mL2 Δ y ( ω2 ) ] 1 2 Onde: Mx é a amplitude do momento resultante excitante em torno do eixo X; 37 (6) N-1848 ( ) Δ y ω2 REV. B ⎧⎡ 2 ⎛ (ωn2θx + ωny ) 4D y D θx ωny ωnθx ⎪⎢ 4 2⎜ ω − ω − ⎪⎢ ⎜ ϕx ϕx ⎪⎣ ⎝ =⎨ ⎪ ⎡D ω ω 2 ⎪+ 4 ⎢ y ny (ωn2θx − ω 2 ) + D θx ωnθx ω (ωny ⎪ ⎢⎣ ϕ x ϕ x ⎩ 06 / 2008 1 2⎫2 2 ⎞ ωny ωn2θx ⎤ ⎪ ⎟+ ⎥ ⎟ ϕ x ⎥ ⎪⎪ ⎠ ⎦ ⎬ 2 ⎪ ⎤ ⎪ − ω 2 )⎥ ⎪ ⎥⎦ ⎭ — devido a uma força (Fy): Ay = ( Fy mI' x ⎡ − I' ω2 + k + L2k θx y ⎢ x .⎣ ) 2 2 ( 2 1 2⎤2 ) + 4ω Dθx k θxIx + L D y k ym ⎥ ⎦ Δ y (ω2 ) Onde: Fy Δy(ω2) é a amplitude de força excitante segundo o eixo y; I' x = Ix − mL2 como é definido anteriormente. e) cálculo de Aθx (rotação em torno de X): — devido a um momento (Mx): A θx = Mx Ix − m.L2 ( ⎡ ω2 − ω2 ⎢ ny .⎣ 1 2⎤2 ) + (2D ω ω) ⎥⎦ 2 y ny 2 Δ y (ω ) Onde: Mx é a amplitude do momento resultante excitante em torno do eixo X; Δy(ω2) como é definido anteriormente. — devido a uma força (Fy): 1 A θx = FyL Ix − mL2 . 2 ωny (ωny + 4D y ω2 ) 2 Δ y ( ω2 ) Onde: Fy é a amplitude da força excitante segundo o eixo Y; Δy(ω2) como é definido anteriormente. f) cálculo de Aθy (rotação em torno de Y): — devido a um momento (My): A θy = My Iy − mL2 ( ⎡ ω2 − ω2 ⎢ nx .⎣ ) 1 2 2 + (2D x ωnx ω) ⎤ ⎥⎦ 2 Δ x (ω ) 2 Onde: My é a amplitude do momento resultante excitante em torno do eixo Y; Δx(ω2) como é definido anteriormente. 38 (7) N-1848 REV. B 06 / 2008 — devido a uma força (Fx): 1 A θy 2 FxL ωnx (ωnx + 4D x ω2 ) 2 = . Iy − mL2 Δ x ( ω2 ) Onde: Fx é a amplitude da força excitante segundo o eixo X; Δx(ω2) como é definido anteriormente. NOTA O cômputo de Mx, My e Mz deve ser feito em relação ao centro de gravidade do sistema (fundação + máquina). 6.13.2 Amplitudes de Oscilação de um Ponto Qualquer do Sistema (Fundação + Máquina) 6.13.2.1 Definido o movimento oscilatório no centro de gravidade do sistema por meio de suas amplitudes (Ax, Ay, Az, Aθx, Aθy, Aθz), a amplitude de oscilação de qualquer ponto P da máquina ou da fundação distando h do centro de gravidade ficam determinadas através das equações: Apx = Ax + Aθyhz + Aθzhy Apy = Ay + Aθxhz + Aθzhx Apz = Az + Aθxhy + Aθyhx 6.13.2.2 A Figura 8 esclarece o exposto através do exemplo de uma base com oscilação translacional em X e rotacional em torno de Y. Z X y Aθy hz A P = AX + hZ x A ? A? L CG X Figura 8 - Oscilação Translacional em X e Rotacional em Torno de Y 39 N-1848 REV. B 06 / 2008 6.14 Determinação das Velocidades Eficazes 6.14.1 Determinadas as amplitudes de oscilação (Apx, Apy, Apz) de um dado ponto P, a obtenção de suas componentes de velocidades máximas (vpx, vpy, vpz) se faz através das equações (velocidades em m/s): vpx = ω . Apx vpy = ω . Apy vpz = ω . Apz Onde: ω é a velocidade angular excitante, em rad/s. 6.14.2 As componentes da velocidade eficaz (vefx, vefy, vefz) do ponto são calculadas através das equações abaixo e devem satisfazer os limites estabelecidos em 6.1. v efx = v efy = v efz = ω.A px 2 ω.A py 2 ω.A pz 2 = = = v px 2 v py 2 , , v pz 2 6.15 Critérios de Severidade de Vibração Devem ser observadas as prescrições e limitações citadas em ABNT NBR 10082 e ISO 2631. 7 Estimativa das Forças Desbalanceadas 7.1 Forças Desbalanceadas em Máquinas Alternativas 7.1.1 Máquinas de um Único Cilindro Ver Figura 9. 40 N-1848 REV. B 06 / 2008 Z W 1 M r B l P 2 X 0 Fz = m1 . r . ω2 . sen(ω . t ) Fx = (m1 + m2 )r . ω2 cos( ω . t ) + m2 Onde: Fx Fz r l r 2 ω2 cos (2ω . t ) l é a força inercial desbalanceada que surge ao longo da direção X, isto é, ao longo da direção do pistão; é a força inercial desbalanceada que surge na direção Z, isto é, na direção perpendicular ao movimento do pistão; é o raio da manivela; é o comprimento da biela; m1 ≅ mM + mB 2 Onde: mM é a massa da manivela e mB a massa da biela. m 2 ≅ mP + mB 2 Onde: mP é a massa do pistão. Figura 9 - Principais Características de um Mecanismo Alternativo - Pistão Único 7.1.2 Máquinas com Mais de um Cilindro A força inercial P desenvolvida ao longo do eixo do pistão de uma máquina com um ou mais cilindros é dada por: r P = 2,84 . 0 −5 W . r . f (cos θ + cos 2θ) l 41 N-1848 REV. B 06 / 2008 Onde: P é a força desbalanceada (ou inercial), em libras-força (lbf) (1 libra-força = 4,4482 N = 0,45359 kgf) W é o peso da parte alternativa de um cilindro, em lbf; r é o raio da manivela, em polegadas; f é a freqüência do cilindro, em rpm; l é o comprimento da biela, em polegadas; θ é a inclinação entre a manivela e o eixo do pistão. 7.1.2.1 A força máxima corresponde a θ = 0, Assim: ⎛ r⎞ Pmáx = 2,84 . 10 − 5 W . r . f ⎜1 + ⎟ l⎠ ⎝ Onde: máxima força primária (P1) = 2,84 x 10-5 W . r . f; máxima força secundária (P2) = P1 . r/l; usando como unidades o metro e o Newton ao invés da polegada e da libra-força: ⎛ r⎞ Para θ = 0, Pmáx = 1,11× 10 − 3 W . r . f ⎜1 + ⎟ l⎠ ⎝ 7.1.2.2 Com relação ao peso da parte alternativa do cilindro (W), pode-se adotar: W = 10 000 d3, com W em newtons e d o diâmetro do pistão, em metros. [Prática Recomendada] 7.1.2.3 A Figura 10 fornece os esforços primários e secundários (forças e momentos) que surgem em máquinas alternativas de um ou mais cilindros de acordo com diferentes arranjos de manivelas. A Figura 10 vale apenas para equipamentos com cilindros idênticos. 42 N-1848 REV. B 06 / 2008 7.2 Forças Desbalanceadas em Máquinas Rotativas a) a força excitante que surge devido ao funcionamento de uma máquina rotativa desbalanceada é dada por: F = m o . e . ω2 Onde: ω é a velocidade angular de operação (rad/s); m é a massa do rotor; e é a excentricidade efetiva: distância do centro de gravidade do rotor ao eixo de rotação. NOTA As componentes horizontal e vertical da força desbalanceada são dadas respectivamente por: Fx = mo . e . ω2 cos(ω . t ) e Fz = mo . e . ω2sen (ω . t ) b) quando 2 máquinas rotativas com as mesmas características e tendo o mesmo desbalanceamento, são acopladas uma à outra, as massas desbalanceadas em cada uma delas podem estar em fase como indicado na Figura 11 b), defasadas em 180º como mostrado na Figura 11 c), ou com qualquer outro ângulo de fase como na Figura 11 d); a força desbalanceada resultante no caso (b) é dada por: F = 2 . m o . e . ω2 NOTA As componentes horizontal e vertical desta resultante são dadas respectivamente por: Fx = 2 . mo . e . ω2 cos(ω . t ) e Fz = 2 . mo . e . ω2 sen(ω . t ) . c) para o caso dos rotores mostrados na Figura 11 c), a resultante de forças desbalanceadas devidas às 2 massas se cancela em qualquer tempo, mas existe um momento resultante M atuando perpendicularmente ao eixo. M é resultado do binário desenvolvido pelas forças centrífugas das 2 massas desbalanceadas e é dado por: M = m o . e . ω2 . l , Onde: l NOTA é a distância entre os centros de gravidade dos rotores, como indicado na Figura 11 c). As componentes do momento M nas direções horizontal, e vertical são dadas por: Mx = mo . e . ω2l . cos (ω . t ) e Mz = mo . e . ω2l . sen (ω . t ) d) quando as massas têm uma orientação semelhante à da Figura 11 d), surgem uma força e um momento desbalanceados. Para o projeto, deve-se assumir a pior combinação de cargas possível atuando sobre a fundação. A força desbalanceada será dada por: F = 2 . mo . e . ω2 e M = mo . e . ω2l e) para mais que 2 rotores em um eixo comum, os momentos e forças desbalanceadas resultantes devem ser obtidos de maneira similar. 44 N-1848 Z a) REV. B W 06 / 2008 mo e Y X W mo mo e e b) l W mo e e c) mo mo W mo e e d) Figura 11 - Excentricidades de Massas Giratórias 7.2.1 Avaliação do Peso do Rotor Esta informação deve ser fornecida pelo fabricante do equipamento. Na ausência desta informação, recomenda-se tomar para peso do rotor cerca de 18 % do peso da máquina. [Prática Recomendada] 7.2.2 Avaliação da Excentricidade Efetiva 7.2.2.1 Freqüentemente a magnitude e a direção de forças desbalanceadas não são fornecidas pelos fabricantes de máquinas rotativas, sob alegação de que seus produtos são perfeitamente balanceados. Esta condição de balanceamento completo, muitas vezes atendida quando a máquina é nova, acaba depois de alguns anos de uso e desgaste dando lugar a excentricidades que originam os esforços inicialmente inexistentes. A Tabela 18 fornece valores de projeto de excentricidades para máquinas rotativas com freqüências de operação de até 3 000 rpm. Tabela 18 - Excentricidades de Desbalanceamento Velocidade de operação (rpm) Excentricidade (mm) 750 1 500 3 000 0.178 - 0.4064 0.1016 0.0254 45 N-1848 REV. B 06 / 2008 7.2.2.2 O API (“American Petroleum Institute”) sugere a seguinte fórmula para compressores rotativos: 12000 e=α 〈 1,0 f Onde: α 0,5 na época da instalação ou 1,0 após alguns anos de operação; f é a freqüência da máquina (rpm); e é a excentricidade, em mil (1 mil = 0,001 polegada). 7.2.2.3 Para geradores, o API sugere o descrito na Tabela 19. Tabela 19 - Excentricidades de Desbalanceamento - Geradores (API) Velocidade máxima (rpm) Excentricidade (mm) até 8 000 8 000 a 12 000 acima de 12 000 0.0254 0.01905 < 0.01905 7.2.2.4 Para motores elétricos convencionais, o “National Electrical Manufacturers Association” (NEMA) indica o descrito na Tabela 20. Tabela 20 - Excentricidades de Desbalanceamento - Motores Elétricos (NEMA) Velocidade (rpm) Excentricidade (mm) 3 000 - 4 000 1 500 - 2 999 1 000 - 1 499 < 1 000 0.0127 0.01905 0.0254 0.03175 7.2.2.5 Para motores de grande indução, o NEMA indica o descrito na Tabela 21. Tabela 21 - Excentricidades de Desbalanceamento - Motores de Indução (NEMA) Velocidade máxima (rpm) ≥ 3 000 1 500 - 2 999 1 000 - 1 499 ≤ 999 Excentricidade (mm) 0.0127 0.0254 0.0318 0.0381 7.2.2.6 Para motores de indução do tipo “enrolamento em gaiola”, podem ser aplicados os valores da Tabela 22. 46 N-1848 REV. B 06 / 2008 Tabela 22 - Excentricidades de Desbalanceamento - Motores Indução (API) Velocidade síncrona (rpm) 720 - 1 499 1 500 - 3 000 > 3 000 Excentricidade (mm) Mancais elásticos Mancais rígidos 0.0254 0.0318 0.0191 0.0254 0.0127 0.0127 7.2.3 Fórmulas Empíricas - DIN 4024 ⎛ f ⎞ ⎟⎟ F = 0,5 . g . m r ⎜⎜ ⎝ 3 000 ⎠ Onde: F g mr f NOTA é a máxima força desbalanceada (usualmente em KN); é a aceleração da gravidade (≅ 10,0 m/s2); é a massa do rotor (usualmente em t); é a freqüência da máquina (em rpm). A DIN 4024 estabelece também um “coeficiente de fadiga” para minimizar as tensões na fundação igual a 3, e toma um fator de amplificação igual a: δ2 δ2 − 1 Onde: δ é a razão entre a freqüência natural da fundação e a freqüência da máquina. Com isso, chega-se a uma força estática equivalente: Fest = 1,5 . δ2 ⎛ f ⎞ ⎟⎟ . g . mr ⎜⎜ δ −1 ⎝ 3 000 ⎠ 2 _____________ /ANEXO A 47 N-1848 REV. B 06 / 2008 Anexo A - Simbologia A.1 Letras Romanas Maiúsculas A Ax Ay Az Aθx Aθy Aθz APx APy APz B: Bx By Bz Bθx Bθy Bθz Cu Cτ Cθ Cψ D Dx, Dy, Dz Dθx, Dθy, Dθz E Ep F Fx, Fy, Fz G, Gs Ip I Ix, Iy, Iz J Jx, Jy, Jz L M Mx, My, Mz N O - área da base de fundação em contato com o solo; - amplitude de deslocamento; - amplitude de translação no centro de gravidade do sistema (fundação + máquina) segundo o eixo X (geralmente em m); - amplitude de translação no centro de gravidade do sistema (fundação + máquina) segundo o eixo Y (geralmente em m); - amplitude de translação no centro de gravidade do sistema (fundação + máquina) segundo o eixo Z (geralmente em m); - amplitude de rotação no centro de gravidade do sistema (fundação + máquina) em torno do eixo X (usualmente em rad); - amplitude de rotação no centro de gravidade do sistema (fundação + máquina) em torno do eixo Y (usualmente em rad); - amplitude de rotação no centro de gravidade do sistema (fundação + máquina) em torno do eixo Z (usualmente em rad); - amplitude de oscilação do ponto P de uma fundação ou máquina segundo o eixo X (usualmente em m); - amplitude de oscilação do ponto P de uma fundação ou máquina segundo o eixo Y (usualmente em m); - amplitude de oscilação do ponto P de uma fundação ou máquina segundo o eixo Z (usualmente em m); - dimensão em planta de uma base ou fundação (usualmente em m); - razão de massa a translação segundo o eixo X (adimensional); - razão de massa a translação segundo o eixo Y (adimensional); - razão de massa a translação segundo o eixo Z (adimensional); - razão de massa a rotação em torno do eixo X (adimensional); - razão de massa a rotação em torno do eixo Y (adimensional); - razão de massa a rotação em torno do eixo Z (adimensional); - coeficiente de compressão elástica uniforme (em KN/m3); - coeficiente de cisalhamento elástico uniforme (em KN/m3); - coeficiente de compressão elástica não uniforme (em KN/m3); - coeficiente de cisalhamento elástico não uniforme (em KN/m3); - fator de amortecimento (adimensional); - fatores de amortecimento segundo translações em X, Y e Z (adimensionais); - fatores de amortecimento segundo rotações em torno de X, Y e Z (adimensionais); - módulo de elasticidade do solo (em KN/m2); - módulo de elasticidade de uma estaca (em KN/m2); - amplitude de força excitante (em KN); - componentes da amplitude de força excitante segundo os eixos X, Y e Z (em KN); - módulo de cisalhamento do solo (em KN/m2); - momento de inércia de uma estaca (em m4); - momento de massa (em t.m2); - momentos de massa do conjunto (fundação + máquina) em relação aos eixos X, Y e Z (usualmente em t.m2); - momento de inércia (em m4); - momentos de inércia da área da base em relação aos eixos X, Y e Z, respectivamente (em m4); - distância do centro de gravidade do sistema (fundação + máquina) em relação à base da fundação (em m); - momento, amplitude de momento excitante (em KN.m); - componentes da amplitude de momento excitante em torno dos eixos X, Y e Z (em KN.m); - fator de amplificação (adimensional); - origem do sistema de coordenadas retangulares XYZ; 48 N-1848 P V Vs Vx, Vy, Vz X, Y, Z W REV. B 06 / 2008 - ponto genérico de uma fundação ou máquina; amplitude de velocidade (em m/s); velocidade de onda transversal ou cisalhante no solo (em m/s); componentes da amplitude de velocidade devido à oscilação de um ponto genérico segundo os eixos X, Y e Z; - eixos coordenados retangulares; - peso (em KN). A.2 Letras Romanas Minúsculas a ax, ay, az b c c’x, c’y, c’z c’φ c’xφ, c’yφ c’ψ cgx, cgy cgz cgxx, cgyy, cgzz cc d e f fx1, fpx1, fz1, fφ1, fxφ1 fx2, fpx2, fz2, fφ2, fxφ2 fck fn fnx, fny, fnz fnθx, fnθy, fnθz fd fdx, fdy, fdz fdθx, fdθy, fdθz g h hx, hy, hz k kx, ky, kz kθx, kθy, kθz k’x, k’y, k’z k’φ k’xφ, k’yφ - dimensão (usualmente em m); - dimensões de uma base ou fundação de máquina segundo os eixos X, Y e Z; - dimensão (em m); - constante de amortecimento (usualmente em N.s/m); - constantes de amortecimento à translação de uma estaca segundo os eixos X, Y e Z; - constante de amortecimento à rotação de uma estaca (em N.m.s/rad); - constantes cruzadas de amortecimento de uma estaca (usualmente em N.s/rad); - constante de amortecimento à torção de uma estaca (em N.m.s/rad); - constantes de amortecimento horizontais de um grupo de estacas (em N.s/m); - constante de amortecimento vertical de um grupo de estacas; - constantes de amortecimento à rotação de um grupo de estacas em torno dos eixos X, Y e Z, respectivamente (usualmente em N.m.s/rad); - amortecimento crítico; - diâmetro de uma estaca; - excentricidade da massa de um rotor (em m); - freqüência operacional; freqüência excitante (usualmente em Hz); - parâmetros de rigidez para estacas (adimensionais); - parâmetros de amortecimento para estacas (adimensionais); - resistência característica do concreto da base (usualmente em MPa); - freqüência natural (em Hz); - freqüências naturais para translações segundo X, Y e Z do sistema (fundação + máquina) (em Hz); - freqüências naturais para rotações em torno dos eixos X, Y e Z do sistema (fundação + máquina) (usualmente em Hz); - freqüência natural amortecida (em Hz); - freqüências naturais amortecidas para translações segundo X, Y e Z do sistema (fundação + máquina) (em Hz); - freqüências naturais amortecidas para rotações em torno dos eixos X, Y e Z do sistema (fundação + máquina) (em Hz); - aceleração da gravidade (≅ 10,0 m/s2); - distância entre um determinado ponto e o centro de gravidade do sistema (fundação + máquina) (em m); - projeções segundo os eixos X, Y e Z da distância entre determinado ponto da máquina ou fundação e o centro de gravidade do sistema (fundação + máquina) (usualmente em m); - constante de mola (em KN/m); - constantes de mola (ou rigidezes) à translação de uma fundação segundo os eixos X, Y e Z. (usualmente em KN/m); - constantes de mola (ou rigidezes) à rotação de uma fundação em torno dos eixos X, Y e Z; - constantes de mola à translação do topo de uma estaca segundo os eixos X, Y e Z (usualmente em KN/m); - constante de mola à rotação do topo de uma estaca (em KN.m/rad); - constantes cruzadas de mola de uma estaca (usualmente em KN/rad ou KN.m/m); 49 N-1848 k’ψ kgx, kgy kgz kgxx, kgyy, kgzz l m mo n rx, ry, rz rθx, rθy, rθz ro s t v vp vpx, vpy, vpz vef vef x, vef y, vef z x, y, z REV. B 06 / 2008 - constante de mola à torção de uma estaca (em KN.m/rad); - constantes de mola horizontais de um grupo de estacas (usualmente em KN/m); - constante de mola vertical de um grupo de estacas (usualmente em KN/m); - constantes de rigidez à rotação de um grupo de estacas em torno dos eixos X, Y e Z. (em KN.m/rad); - vão; distância; comprimento de uma estaca; - massa do sistema (fundação + máquina) (usualmente em t); - massa do rotor; - número de estacas de uma fundação; - raios equivalentes da área de contato da fundação com o solo para efeito de translação do sistema (fundação + máquina) segundo os eixos X, Y e Z (em m); - raios equivalentes da área de contato da fundação com o solo para efeito de rotação do sistema (fundação + máquina) em torno dos eixos X, Y e Z (em m); - raio da seção da estaca (usualmente em m); - espaçamento entre eixos de estacas (em m); - tempo (usualmente em s); - velocidade (em m/s); - amplitude da velocidade de vibração de um determinado ponto do sistema (fundação + máquina) (usualmente em m/s ou mm/s); componentes da velocidade máxima de vibração de um determinado ponto do sistema (fundação + máquina) segundo os eixos X, Y e Z (em m/s ou mm/s); - velocidade eficaz ou velocidade média quadrática (usualmente em m/s ou mm/s); - componentes da velocidade média quadrática de um determinado ponto do sistema (fundação + máquina) segundo os eixos X, Y e Z; - ordenadas de uma partícula constitutiva do sistema (fundação + máquina) em relação aos eixos X, Y e Z. A.3 Letras Gregas Maiúsculas Δx (ω2) Δy (ω2) Σ - expressão que é função da freqüência angular operacional e que é utilizada no cálculo das amplitudes de vibração do sistema (fundação + máquina) segundo o eixo X; - expressão que é função da freqüência angular operacional, que é utilizada no cálculo das amplitudes de vibração do sistema (fundação + máquina) segundo o eixo Y; - somatório. A.4 Letras Gregas Minúsculas α αa δ γ ϕx, ϕy θ θx, θy, θz υ π ρ - razão entre dimensões da base em planta (adimensional); - coeficiente de Poulos (adimensional); - razão entre a freqüência natural da fundação e a freqüência da máquina; - peso específico (usualmente em KN/m3); - razão entre os momentos de massa do sistema (fundação + máquina) tomados no centro de gravidade combinado e os respectivos momentos de massa tomados em relação ao centróide da área da base, em relação aos eixos X e Y; - rotação; deslocamento angular (usualmente em rad); - rotações ou deslocamentos angulares do sistema em torno dos eixos X, Y e Z; - coeficiente de Poisson do solo (adimensional); - pi (≅ 3,1416); - massa específica do solo (usualmente em t/m3); 50 N-1848 σ σadm τ φ - ψ - ω - ωn ωnx, ωny, ωnz - ωnθx, ωnθy, ωnθz ωd ωdx, ωdy, ωdz - ωdθx, ωdθy, ωdθz ωa1nxθy, ωa2nxθy - ωa1nyθx, ωa2nyθx - ωa1dxθy, ωa2dxθy - ωa1dyθx, ωa2dyθx - NOTA REV. B 06 / 2008 tensão no terreno exercida pela fundação (usualmente em MPa); tensão admissível do solo (em MPa); tensão cisalhante exercida no terreno (em MPa); rotação; deslocamento angular devido à flexão do elemento considerado (em rad); rotação; deslocamento angular devido à torção do elemento considerado (em rad); freqüência ou velocidade angular; freqüência angular operacional da máquina (em rad/s); freqüência angular natural (em rad/s ou Hz); freqüências angulares naturais para translações segundo X, Y e Z do sistema (fundação + máquina) (usualmente em rad/s ou Hz); freqüências angulares naturais para rotações em torno dos eixos X, Y e Z do sistema (fundação + máquina) (usualmente em rad/s ou Hz); freqüência angular natural amortecida (em rad/s ou Hz); freqüências angulares naturais amortecidas para translações segundo X, Y e Z do sistema (fundação + máquina) (usualmente em rad/s ou Hz); freqüências angulares naturais amortecidas para rotações em torno dos eixos X, Y e Z do sistema (fundação + máquina) (usualmente em rad/s ou Hz); velocidades ou freqüências angulares naturais não-amortecidas resultantes do acoplamento entre a translação segundo X e a rotação em torno de Y do sistema (fundação + máquina) (usualmente em rad/s ou Hz); velocidades ou freqüências angulares naturais não-amortecidas resultantes do acoplamento entre a translação segundo Y e a rotação em torno de X do sistema (fundação + máquina) (usualmente em rad/s ou Hz); velocidades ou freqüências angulares naturais amortecidas resultantes do acoplamento entre a translação segundo X e a rotação em torno de Y do sistema (fundação + máquina) (usualmente em rad/s ou Hz); velocidades ou freqüências angulares naturais amortecidas resultantes do acoplamento entre a translação segundo Y e a rotação em torno de X do sistema (fundação + máquina) (usualmente em rad/s ou Hz). Usualmente, o termo freqüência (f) é utilizado quando do emprego de unidades como hertz ou o rpm. A freqüência angular se determina correntemente em termos de radianos/segundo. Neste caso, com f em Hz e ω em rad/s, tem-se a relação: f= ω . 2π ______________ 51 N-1848 REV. B ÍNDICE DE REVISÕES REV. A Não existe índice de revisões. REV. B Partes Atingidas Todas Descrição da Alteração Revisadas _____________ IR 1/1 06 / 2008 N-1848 REV. B 06 / 2008 GRUPO DE TRABALHO - GT-04-21 Membros Nome Lotação Telefone Chave UN-ES/APMG-ES/EG 860-4886 CMGP TRANSPETRO/DGN/EA 811-7488 TRNF RPCB/EM 854-4191 RBBN Ricardo Rogério Ferreira ENGENHARIA/IEABAST/EAB/SE 819-3279 RBX1 Roberto Tremper Filho ENGENHARIA/IEABAST/EAB/SE 819-3276 SG6A Rubenei Novais Souza ENGENHARIA/IEABAST/EAB/IESC 819-3345 ER6W 819-3346 EO8B 819-3080 EEZS Gláucio Pereira Soeiro Luis Alfredo de Paula Freitas Figueiredo Luis Otávio Amaral Affonso Convidado Carlos Costa Augusto Rodrigues ENGENHARIA/IEABAST/EAB/IESC Secretário Técnico Claudio Vianna de Castro ENGENHARIA/SL/NORTEC _____________