Diskrete Strukturen
Stephan Kreutzer
Lehrstuhl für Logik und Semantik
Technische Universität Berlin
Wintersemester 2017/2018
Stephan Kreutzer
Diskrete Strukturen
Vorlesung: Woche 1 am 17.10.2017
Thema: Einführung
Stephan Kreutzer
Diskrete Strukturen
"Diskrete Strukturen"
???
Stephan Kreutzer
Diskrete Strukturen
Diskrete Strukturen
Analysis, lineare Algebra.
Fokus auf unendlichen Objekten wie unendlichen Körpern (R, C) und
kontinuierlichen Abbildungen
Diskrete Mathematik/Diskrete Strukturen.
diskret ist hier im Sinne von “trennbar” gemeint.
Der Schwerpunkt liegt hier oft auf endlichen Objekten, z.B. endlichen
Graphen, algebraischen Strukturen (Gruppen, Monoide, Körper) ...
Für die Informatik ist dieser Zweig der Mathematik zum Teil wichtiger,
da viele für die Informatik wichtige mathematische Modelle in die
diskrete Mathematik fallen.
Stephan Kreutzer
Diskrete Strukturen
Ein Beispiel
Wie komme ich ...?
Stephan Kreutzer
Diskrete Strukturen
Ein Beispiel
Wie komme ich ...?
Stephan Kreutzer
Diskrete Strukturen
Ein Beispiel
Wie komme ich ...?
Stephan Kreutzer
Diskrete Strukturen
Ein Beispiel
Wie komme ich ...?
Stephan Kreutzer
Diskrete Strukturen
Ein Beispiel
Wie komme ich ...?
Stephan Kreutzer
Diskrete Strukturen
Ein Beispiel
Wie komme ich ...?
G := (V , E )
V := {v0 , ..., vk }
Stephan Kreutzer
E := {v0 , v17 }, ....
Diskrete Strukturen
Modellierung und Abstraktion
Abstraktion und Modellierung.
G := (V , E )
V := {v0 , ..., vk }
E := {v0 , v17 }, ....
Wir haben also eine Straßenkarte in einen abstrakten Graph überführt.
Der Graph dient uns als Modell der wirklichen Situation auf der Straße.
Diese Abstraktion erlaubt es uns, leichter Algorithmen zum Finden des
schnellsten Weges zu entwickeln:
I
Abstraktion auf das ”wesentliche”
I
Alle für die Aufgabe relevanten Informationen bleiben erhalten, alles
andere entfällt
I
Dies erleichtert es auch, die entwickelten Algorithmen in erhalten,
alles andere entfälltanderen Anwendungsfällen einzusetzen.
Stephan Kreutzer
Diskrete Strukturen
Modellierung und Abstraktion
Rolle der Theorie in der Informatik.
I Stellt geeignete mathematische Modelle zur Verfügung.
I Analysiert die Eigenschaften dieser Modelle und liefert allgemeine
Lösungsverfahren auf Basis dieser Modelle.
I Abstraktion erlaubt es zu verstehen, welche Informationen
”mindestens” für einen Algorithmus zur Verfügung stehen müssen.
I Bei abstrakten Modellen sieht man leichter, was man noch
hinzunehmen muss, um bestimmte Aufgaben lösen zu können.
Beispiel. Erweiterung von endlichen Automaten zu
push-down-Automaten um nicht-reguläre Sprachen erkennen zu
können
Stephan Kreutzer
Diskrete Strukturen
Modellierung und Abstraktion
Rolle der Theorie in der Informatik.
I
Stellt geeignete mathematische Modelle zur Verfügung.
I
Analysiert die Eigenschaften dieser Modelle und liefert allgemeine
Lösungsverfahren auf Basis dieser Modelle.
I
Abstraktion erlaubt es zu verstehen, welche Informationen
”mindestens” für einen Algorithmus zur Verfügung stehen müssen.
I
Bei abstrakten Modellen sieht man leichter, was man noch
hinzunehmen muss, um bestimmte Aufgaben lösen zu können.
Aber: kein Mittagessen ist kostenlos.
Die “theoretisch-mathematische” Modellierung reduziert konkrete
Probleme auf ihren abstrakten Kern und bietet allgemeine Lösungen an.
Dies ist nur sinnvoll, wenn diese Lösungen allgemeine Gültigkeit haben.
Daher: mathematische Beweise statt ausführliches Testen
Stephan Kreutzer
Diskrete Strukturen
Diskrete Strukturen
Diskrete Mathematik
Definiert und untersucht viele der für die Informatik wichtigen
mathematischen Modelle:
I
Graphen: Analyse und Modellierung von Netzwerk-artigen
Strukturen (und eigentlich auch sonst allem)
I
Zahlentheorie: moderne Kryptographie
I
Kombinatorik: Analyse und Entwurf von Algorithmen
I
...
Stephan Kreutzer
Diskrete Strukturen
Inhalt der Vorlesung
Inhaltsübersicht.
I Kombinatorik
1. Zählprobleme: Urnenmodelle, Binomialsatz, ...
2. Weiterführendes Zählen: Catalan Zahlen, Stirling Zahlen ...
3. Rekursionsgleichungen (2 Wochen)
I
Algebraische Strukturen
4. Monoide, Gruppen, Körper
5. Beispiel: Reguläre Sprachen
I
Modulare Arithmetik
6. Grundlagen
7. Anwendung: Public-Key Kryptographie
I
Graphentheorie
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Grundlagen
Zusammenhang in Graphen
Matchings
planare Graphen
Färbungen
Dualität: Packen und Überdecken
Stephan Kreutzer
Diskrete Strukturen
Organisatorisches
Vorlesungs- und Übungszeiten.
Vorlesung.
2 SWS
Dienstag, 10:00 - 12:00 Uhr
Raum MA 001
Übung.
2 SWS
Montag, 12:00 - 14:00 Uhr
Raum EB 301
Stephan Kreutzer
Diskrete Strukturen
Übungen
Organisation der Übungen.
I
Es gibt wöchentliche Hausaufgaben, insgesamt 12 Blätter.
I
Die Hausaufgaben erscheinen jeweils Dienstags um 14:00.
Wir beginnen am 31.10.2017.
I
Zu jedem Hausaufgabenblatt erscheint in der Woche davor ein
vorbereitendes Tutoriumsblatt.
Abgabe der Übungen.
I
Die Abgabe der bearbeiteten Hausaufgaben erfolgt in der Woche
nach ihrer Ausgabe.
I
Abgabe zu Beginn der Vorlesung bis 10:15 Uhr.
Alternativ Abgabe im Briefkasten des 7. Stocks des TEL-Gebäudes
bis 10:15 Uhr.
I
Hausaufgaben müssen in Gruppen von jeweils zwei Studierenden
abgegeben werden.
Stephan Kreutzer
Diskrete Strukturen
Prüfungsform: Portfolio
Prüfung.
Das Modul wird als Portfolio geprüft.
Es werden folgende drei Notens
Insgesamt können 100 Portfoliopunkte erreicht werden.
Noch ungenehmigt!
17. Oct 2017
Prüfungselemente.
I
2 Hausaufgabenblöcke à
jeweils 12 PP
I
1. schriftliche
Leistungskontrolle à 26 PP
I
2. schriftliche
Leistungskontrolle à 50 PP
Stephan Kreutzer
Notenschlüssel 1
Mehr oder gleich 86
Mehr oder gleich 82
Mehr oder gleich 78
Mehr oder gleich 74
Mehr oder gleich 70
Mehr oder gleich 66
Mehr oder gleich 62
Mehr oder gleich 58
Mehr oder gleich 54
Mehr oder gleich 50
Weniger als 50
Diskrete Strukturen
1,0
1,3
1,7
2,0
2,3
2,7
3,0
3,3
3,7
4,0
5,0
N
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
W
Prüfungstermine
Prüfungstermine
1. LK. Freitag, 12.01.2018, 13:00 Uhr - 15:00 Uhr
Raum A 151 und Raum H 0104
2. LK. Mittwoch, 28.02.2018, 09:00 - 11:00 Uhr
HE 101 und H 3010
1. LK.
2. LK.
Wiederholungstermine.
Donnerstag, 22.03.2018, 15:00 -17:00 Uhr
Raum H 0105
Mittwoch, 04.04.2018, 9:00 - 11:00 Uhr
HE 101
Stephan Kreutzer
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