Métodos analíticos y numéricos de resolución de
problemas
En la práctica de Diseño de Reactores aparecerán cocientes de polinomios, ecuaciones
algebraicas en las que la incógnita no puede despejarse y ecuaciones (o sistemas de
ecuaciones) diferenciales que podrían o no tener solución analítica. La presente guía
describe algunos métodos para el tratamiento de dichos problemas.
1. Fracciones simples
Será común en la práctica que aparezca un polinomio en un denominador. Para el caso
de un polinomio de raíces simples (que no se repiten) en el denominador, la
descomposición en fracciones simples es:
α + βx
A
B
=
+
( a + bx )( c + dx ) a + bx c + dx
Llevando las fracciones simples a un denominador común se obtiene
A ( c + dx ) + B ( a + bx ) ( Ac + Ba ) + ( Ad + Bb ) x
A
B
+
=
=
a + bx c + dx
( a + bx )( c + dx )
( a + bx )( c + dx )
Por comparación directa, α = Ac + Ba y β = Ad + Bb , de donde se obtienen las dos
incógnitas, es decir, los coeficientes A y B:
A=
b
−d
;B =
bc − ad
bc − ad
Como método alternativo, para obtener por ejemplo el coeficiente A, una forma sencilla
α + βx
, multiplicarla por ( a + bx ) ,
consiste en tomar la expresión original
( a + bx )( c + dx )
simplificar y reemplazar x por su raíz, –a/b1.
Cuando aparece una raíz doble, la descomposición se hace de la siguiente manera:
( α + βx )( γ + δx )
2
( a + bx )( c + dx )
=
A
B
C
+
+
a + bx c + dx ( c + dx )2
Nótese que cuando hay una raíz doble se debe incluir un término adicional (C). Si la
raíz fuera triple deberían aparecer dos términos adicionales, y así sucesivamente. En
este caso no puede aplicarse el método alternativo para hallar el coeficiente B.
Empleando el primer método expuesto, los coeficientes en este caso son (el coeficiente
B se puso en términos de A):
A=
1
( αb − βa )( γb − δa )
( αd − β c )( γd − δc )
βδ − Ad 2
B
=
;
;C = −
2
bd
d ( bc − ad )
( bc − ad )
La formalidad exigiría tomar el límite cuando x → –a/b.
En los dos casos analizados debe aclararse que el polinomio del numerados debe ser
de menor grado que el del denominador.
2. Cociente de polinomios
En este caso es conveniente transformar el polinomio del numerador en el del
denominador o un múltiplo del mismo sumando, restando, multiplicando y dividiendo
por constantes convenientemente elegidas.
d
d
d

a + bx
a − c + c + dx 

a + bx b b
b
ad − bc 1
b
b
=
= b
+
=
c + dx d c + dx
d
c + dx
d
c + dx d



3. Problemas algebraicos
Los métodos numéricos deben implementarse cuando las incógnitas no pueden
despejarse de las ecuaciones algebraicas. En el caso de esta materia, pueden encontrase
ejemplos de esto cuando la incógnita:
•
•
está dentro del argumento de una exponencial o un logaritmo sumado
algebraicamente a un polinomio (x2 + x – 1 + ex = 0 ; ln(x) – x = 0 ; etc.);
forma parte de un polinomios de grado superior a 3;
Como aclaración preliminar, los métodos numéricos presentados a continuación
precisan un valor de arranque o “semilla” y, cuando convergen, lo hacen a una única
solución, aunque la ecuación tenga múltiples soluciones. Para encontrar las otras
soluciones, deberán emplearse otros valores iniciales2.
Método I: Tabla de valores
Este método es útil cuando las ecuaciones son demasiado complicadas de manipular,
pero está restringido a ecuaciones con una única incógnita (o un sistema de ecuaciones
que pueda reducirse a una única ecuación con una única incógnita). Se trata de armar
una expresión y(x) tal que y(x) = 0 y barrer en x hasta detectar un cambio de signo.
Tomando dos valores iniciales de modo de inferir una tendencia, se varía x “a mano”3
hasta el primer cambio de signos. Luego se refina sucesivamente el valor tomando x
entre dos valores en los que el signo de y varíe, esto último también “a mano”. La
operación se repite hasta que los x estén suficientemente próximos o que y esté en
módulo suficientemente cerca de 0.
Este método puede resultar de implementación algo engorrosa ya que no es automático
(los x deben elegirse “a mano”) y por lo tanto no se puede programar en una
calculadora, pero casi seguramente se logrará convergencia.
2
Existen métodos numéricos (no expuestos aquí) que son capaces de encontrar todas las soluciones
partiendo de un valor inicial adecuado.
3
“a mano” significa que el método no sugiere el valor de x en la próxima iteración sino que el usuario
debe proponerlo.
Ejemplo 1: Resolver y ( x ) = x3 − 7 x + 6 = 0
(raíces: x = -3 ; 1 ; 2)
En este caso, tomando tres valores diferentes se hallan tres raíces diferentes (podría
haberse dado el caso en que a partir de dos semillas distintas se alcanzara la misma
raíz). En amarillo se marca el primer cambio de signos.
k
x
y
0
-5
-84
1
-4.7
-64.923
2
-4.4
-48.384
3
-4.1
-34.221
4
-3.8
-22.272
5
-3.5
-12.375
6
-3.2
-4.368
7
-2.9
1.911
8
-3.05 -1.022625
9
-2.975 0.494391
10
-3.0125 -0.251408
11 -2.99375 0.124649
12 -3.003125 -0.062588
13 -2.998438 0.031228
k
x
y
0
-1
12
1
-0.7
10.557
2
-0.4
8.736
3
-0.1
6.699
4
0.2
4.608
5
0.5
2.625
6
0.8
0.912
7
1.1
-0.369
8
0.95 0.207375
9
1.025 -0.098109
10
0.9875 0.050467
11 1.00625 -0.024883
12 0.996875 0.012529
13 1.001563 -0.006243
k
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
y
4
3.8
3.6
3.4
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
42
34.272
27.456
21.504
16.368
12
8.352
5.376
3.024
1.248
0
50
y
40
30
20
10
-4
-3
-2
-1
0
-10 0
1
2
3
4
-20
-30
-40
-50
x
Es importante tener en cuenta que la elección de la semilla influye en la raíz que se
encontrará, por cuanto SIEMPRE debe tomarse en cuenta si el resultado tiene sentido
físico.
Método II: Punto fijo
Este método es, como en el caso anterior, útil cuando se puede llegar a una única
ecuación con una única incógnita. Respecto del método anterior se pueden identificar
las siguientes diferencias:
•
•
ventaja: el método sugiere los valores de x en las sucesivas iteraciones (esto
resulta muy conveniente para calculadoras programables o planillas de cálculo);
desventaja: se pierde el control de los valores de x, desventaja que se acentúa
cuando el método diverge.
El método consiste en hallar una función g(x) tal que g(x) = x. Tratándose del problema
de búsqueda de raíces y(x) = 0, a partir de la manipulación de y puede hallarse g(x).
Respecto de la desventaja expuesta, este método puede requerir distintos despejes para
lograr la convergencia.
1
− 

Ejemplo 2: Resolver y ( x ) = 0,1 + x 2 1 − e x  − x = 0


(raíz: x = 0,1127)
Se ensayarán las siguientes expresiones, que resultan de despejar alguna de las x en
1
− 
0,1
x − 0,1
2
, g3 ( x ) =
términos del resto: g1 ( x ) = 0,1 + x  1 − e x  , g 2 ( x ) =
1
1
−
− 



1− e x
1 − x 1 − e x 


1
y g4 ( x ) = −
.
 x − 0,1 
ln  1 −

x2 

A partir de la tabla puede verse que para las primeras dos funciones la iteración
converge, siendo más conveniente a la luz de los resultados g2. Se puede hacer una
elección criteriosa de la semilla por simple inspección de las funciones. Por ejemplo, las
cuatro tienen problemas numéricos si x = 0, g3 tiene problemas para x < 0,1 dado que el
discriminante se hace negativo y g4 tiene problema en x = 0,1 ya que se anula el
denominador de la función.
k
g1
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
1,673877
1,36019
1,063145
0,789027
0,54727
0,351328
0,216265
0,146312
0,121384
0,11473
0,113161
0,112804
0,112723
1,673877
1,36019
1,063145
0,789027
0,54727
0,351328
0,216265
0,146312
0,121384
0,11473
0,113161
0,112804
0,112723
0,112705
k
g2
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
0,469348
0,170534
0,120489
0,113696
0,112826
0,112715
0,112701
0,1127
0,112699
0,112699
0,112699
0,112699
0,112699
0,469348
0,170534
0,120489
0,113696
0,112826
0,112715
0,112701
0,1127
0,112699
0,112699
0,112699
0,112699
0,112699
0,112699
Nótese que en las tablas el valor de g en el paso k se emplea como x para el paso k+1.
Para los casos de g3 y g4, la iteración diverge.
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
g3
x
2
2,197462
2,395223
2,593223
2,791418
2,989776
3,18827
3,386881
3,585592
3,78439
3,983265
4,182208
4,381211
4,580268
2,197462
2,395223
2,593223
2,791418
2,989776
3,18827
3,386881
3,585592
3,78439
3,983265
4,182208
4,381211
4,580268
4,779374
k
x
g4
0
2 1,551935
1 1,551935 1,082943
2 1,082943 0,54914
3 0,54914 #NUM!
4 #NUM!
#NUM!
5 #NUM!
#NUM!
6 #NUM!
#NUM!
7 #NUM!
#NUM!
8 #NUM!
#NUM!
9 #NUM!
#NUM!
10 #NUM!
#NUM!
11 #NUM!
#NUM!
12 #NUM!
#NUM!
13 #NUM!
#NUM!
Incluso cuando se parte prácticamente del valor de la raíz, para g3 y g4 la iteración se
inestabiliza.
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
g3
x
0,112699
0,112698
0,112692
0,112667
0,112556
0,112063
0,10984
0,099205
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
k
0,112698
0,112692
0,112667
0,112556
0,112063
0,10984
0,099205
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
g4
x
0 0,112699
1 0,11462
2 #NUM!
3 #NUM!
4 #NUM!
5 #NUM!
6 #NUM!
7 #NUM!
8 #NUM!
9 #NUM!
10 #NUM!
11 #NUM!
12 #NUM!
13 #NUM!
0,11462
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
#NUM!
La iteración de punto fijo se interpreta gráficamente como la intersección de la función f
= g con la recta f = x. Para las cuatro funciones planteadas, los gráficos son
g1 1
g2 1
0,8
0,8
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
0
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
x
1
g3 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
x
1
g4 1
0,8
0,5
0,6
0
0,4
0,2
1
-0,5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
x
1
-1
x
dg
< 1.
dx
Sin embargo, en la práctica de Diseño de Reactores no se pedirá este análisis. Lo que
resulta muy importante señalar es que cuando se programa el método y éste diverge,
debe ensayarse otro despeje.
El criterio para asegurar la convergencia es que, en el punto en que g(x) = x,
Ejemplo 3: Resolver y ( x ) = x3 − 7 x + 6 = 0
x3 + 6
y g 2 = 3 7 x − 6 . Observando el gráfico de g1
7
se puede ver por lo dicho antes que el único punto fijo de convergencia asegurada es el
del medio, dado que aquí la pendiente de g es menor a 1. Los resultados listados en las
Se analizarán las funciones g1 ( x ) =
tablas para distintas semillas muestran que las iteraciones que parten de semillas muy
próximas a x = -3 y x = 2 o bien divergen o bien convergen a x = 1.
g1
5
3
1
-5
-4
-3
-2
-1 -1 0
1
2
3
4
5
x
-3
-5
k
g1
x
k
0
-3,1 -3,39871
1 -3,39871 -4,75135
2 -4,75135 -14,4662
3 -14,4662 -431,618
4 -431,618 -1,1E+07
5 -1,1E+07 -2,2E+20
6 -2,2E+20 -1,5E+60
7 -1,5E+60 -4E+179
8 -4E+179 #NUM!
9 #NUM!
#NUM!
10 #NUM!
#NUM!
11 #NUM!
#NUM!
12 #NUM!
#NUM!
13 #NUM!
#NUM!
g
k x
1
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1,95
1,916411
1,86261
1,780283
1,663206
1,514407
1,353312
1,211218
1,110988
1,053041
1,023959
1,010516
1,004554
1,001961
1,916411
1,86261
1,780283
1,663206
1,514407
1,353312
1,211218
1,110988
1,053041
1,023959
1,010516
1,004554
1,001961
1,000842
g1
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
-2,95
-2,81034
-2,31373
-0,9123
0,74867
0,917091
0,967332
0,986452
0,994272
0,997559
0,998956
0,999553
0,999809
0,999918
-2,81034
-2,31373
-0,9123
0,74867
0,917091
0,967332
0,986452
0,994272
0,997559
0,998956
0,999553
0,999809
0,999918
0,999965
g1
2,05
2,087875
2,157359
2,291539
2,576173
3,299601
5,989139
31,54702
4486,005
1,29E+10
3,06E+29
4,11E+87
9,9E+261
#NUM!
2,087875
2,157359
2,291539
2,576173
3,299601
5,989139
31,54702
4486,005
1,29E+10
3,06E+29
4,11E+87
9,9E+261
#NUM!
#NUM!
x
Para g2 el gráfico muestra la tendencia exactamente contraria a g1.
g2
5
3
1
-5
-4
-3
-2
-1 -1 0
1
2
3
-3
4
5
x
-5
Efectivamente, ahora las iteraciones convergen a x = -3 y x = 2 y se alejan de x = 1 sin
importar cuán cerca esté la semilla de este último valor.
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
k
g2
x
-3,1
-3,02571
-3,00665
-3,00172
-3,00045
-3,00012
-3,00003
-3,00001
-3
-3
-3
-3
-3
-3
x
-3,02571
-3,00665
-3,00172
-3,00045
-3,00012
-3,00003
-3,00001
-3
-3
-3
-3
-3
-3
-3
g2
0
0,95 0,866239
1 0,866239 0,399319
2 0,399319 -1,47434
3 -1,47434 -2,53655
4 -2,53655 -2,87468
5 -2,87468 -2,96715
6 -2,96715 -2,99146
7 -2,99146 -2,99778
8 -2,99778 -2,99943
9 -2,99943 -2,99985
10 -2,99985 -2,99996
11 -2,99996 -2,99999
12 -2,99999
-3
13
-3
-3
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
g2
x
-2,95
-2,98698
-2,99662
-2,99912
-2,99977
-2,99994
-2,99998
-3
-3
-3
-3
-3
-3
-3
-2,98698
-2,99662
-2,99912
-2,99977
-2,99994
-2,99998
-3
-3
-3
-3
-3
-3
-3
-3
g2
x
1,05
1,105209
1,201957
1,341408
1,502198
1,652843
1,772621
1,857442
1,913122
1,94798
1,969182
1,981859
1,989361
1,993775
1,105209
1,201957
1,341408
1,502198
1,652843
1,772621
1,857442
1,913122
1,94798
1,969182
1,981859
1,989361
1,993775
1,996362
En este último ejemplo se señala que el encontrar una raíz determinada dependerá
del despeje y de la semilla empleados. Y, por supuesto, SIEMPRE debe analizarse si
el resultado obtenido tiene significado físico. Debe quedar como conclusión que ante un
despeje que diverja hay que intentar distintos despejes.
Método III: Newton – Raphson
Este método sirve tanto para una única ecuación como para un sistema de ecuaciones.
Para una única ecuación, se requiere expresarla de la forma y ( x ) = 0 y hallar la
dy
. La iteración se expresa de la siguiente forma para los casos de una única
dx
ecuación y para un sistema de ecuaciones
expresión
x
k +1
k
=x −
( )
( )
y xk
dy k
x
dx
k +1
k
−1
k
k
x =x −J x ⋅y x
( ) ( )
−1
donde J es la inversa de la matriz jacobiana de y . La iteración se detiene cuando dos
valores de x están suficientemente cercanos (lo cual ocurre cuando en módulo y es muy
bajo y/o su derivada es muy alta).
1
− 

Ejemplo 5: Resolver y ( x ) = 0,1 + x 2 1 − e x  − x = 0


1
1
− 
−

dy
= 2 x 1 − e x  − e x − 1 . A partir de las tablas se puede ver que el
dx


método es muy efectivo4 cuando la semilla es suficientemente cercana al valor real.
La derivada de y es
k
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
-7.987433
-159.4984
-61182.95
-1.22E+10
-6.09E+09
-3.04E+09
-1.51E+09
-7.55E+08
-3.8E+08
-1.76E+08
-1.02E+08
-2.1E+08
-1.21E+08
y
-0.326123
-0.421536
-0.401047
-0.400003
9636.033
-967.3727
-71.57459
-222.2488
55.02324
-5.72392
2.028258
-0.270906
2.272635
-0.621076
dy/dx
-0.032653
-0.002782
-6.57E-06
-3.28E-11
-1.58E-06
3.18E-07
4.68E-08
2.93E-07
-1.47E-07
2.8E-08
-2.76E-08
-2.52E-09
-2.55E-08
3.66E-09
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
y
dy/dx
0.2 -0.06027 -0.609433
0.101106 0.009116 -0.79785
0.112532 0.00013 -0.775106
0.112699 2.79E-08 -0.774773
0.112699
1.3E-15 -0.774773
0.112699
0 -0.774773
0.112699
0 -0.774773
0.112699
0 -0.774773
0.112699
0 -0.774773
0.112699
0 -0.774773
0.112699
0 -0.774773
0.112699
0 -0.774773
0.112699
0 -0.774773
0.112699
0 -0.774773
Ejemplo 6: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
 ( x2 − x1 ) (1 − x2 )1,5
=

1,5
(1 − x1 )
 x1

0, 21,5
 ( 0,8 − x2 )
=
1,5
 (x − x )
(1 − x2 )
 2 1

 raíz:

 x1   0,4737  
 =

 x2   0,689  
De la misma forma que en el caso del punto fijo, las expresiones se pueden reescribir de
varias maneras. En este caso se expresarán del siguiente modo para evitar que las
incógnitas estén en el denominador (esto es conveniente para obtener expresiones más
“manejables” de las derivadas)
4
“efectivo” significa que requiere pocas iteraciones para alcanzar la tolerancia deseada.
1,5
1,5
  0
 y1   ( x2 − x1 )(1 − x1 ) − x1 (1 − x2 )
= 
y ( x) =   = 
1,5
 y2   ( 0,8 − x2 )(1 − x2 ) − 0, 21,5 ( x2 − x1 )   0 
 − (1 − x )1,5 − 1,5 ( x − x )(1 − x )0,5 − (1 − x )1,5
1
2
1
1
2
J =
1,5

0, 2


(1 − x1 )1,5 + 1,5x1 (1 − x2 )0,5

1,5
0,5
− (1 − x2 ) − 1,5 ( 0,8 − x2 )(1 − x2 ) − 0, 21,5 
Las iteraciones demuestran la rápida convergencia del método.
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x1
0.2
0.413714
0.451706
0.468441
0.473187
0.473725
0.473757
0.473759
0.473759
0.473759
0.473759
0.473759
0.473759
0.473759
x2
0.4
0.583648
0.665273
0.686487
0.688841
0.68899
0.688999
0.688999
0.688999
0.688999
0.688999
0.688999
0.688999
0.688999
y1
y2
0.050157
-0.03486
-0.00077
0.002271
0.000329
2.05E-05
1.13E-06
6.17E-08
3.36E-09
1.83E-10
9.99E-12
5.44E-13
2.97E-14
1.61E-15
0.168015
0.042924
0.006989
0.000424
5.07E-06
2.03E-08
6.27E-11
1.87E-13
5.72E-16
0
0
0
0
0
4. Ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales tienen solución analítica en situaciones especiales, como
en el caso de algunas ecuaciones lineales o no lineales sencillas (por ejemplo, que se
pueda emplear el método de variables separables). Ni la linealidad garantiza la
existencia de solución analítica, ni la no linealidad la impide.
Las ecuaciones diferenciales lineales son aquéllas en las que la función solución y/o sus
derivadas aparecen en los distintos términos de la ecuación en forma lineal. Ejemplos:
d2y
d2y
dy
dy
+ x = 0.
− ky = 0 ; 2 + kx = 0 ;
2
dx
dx
dx
dx
En particular el último de los ejemplos, a pesar de ser lineal, no tiene solución analítica
(de hecho la solución es la función error, erf).
Por otro lado, las ecuaciones diferenciales no lineales son aquellas en las que la función
solución y/o sus derivadas presentan cualquier tipo de no linealidad. Ejemplos:
2
d2y
dy
d 2 y  dy 
+  + y = 0.
y − k = 0 ; 2 + k y + ey = 0 ;
dx
dx
dx 2  dx 
En particular el primer ejemplo tiene solución analítica a pesar de ser una ecuación no
lineal.
Las ecuaciones lineales pueden escribirse según5
+
+ ⋯+
+
+
=0
(1.1)
dny
es la n-ésima derivada de la función solución
dx n
y y los an son sólo funciones de x. Cada ecuación ordinaria de primer orden requiere un
valor conocido de y para algún valor de x. Si un sistema es de n ecuaciones, se
requerirán n condiciones. Si existe una única ecuación de orden m, se puede tomar esta
ecuación como m ecuaciones de primer orden, por cuanto se necesitarán m condiciones.
donde x es la variable independiente,
En este documento se explicará el método del factor integrante para la resolución
analítica de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales en las que no se pueda aplicar
variables separables. Este último método se dará por conocido. Luego se desarrollarán
algunos métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.
Método del factor integrante
En Diseño de Reactores se aplicará este método para ecuaciones de primer orden, es
decir, en las que aparece hasta la primera derivada.
+
+
=0
(1.2)
En caso de que no desaparezca ninguno de los términos de la Ec. (1.2), dicha ecuación
no puede resolverse por variables separables. Sin embargo puede transformarse en un
problema de estos aplicando el método del factor integrante, el cual consiste en
5
Notar que la derivada n-ésima no está acompañada por ningún coeficiente a.
multiplicar toda la ecuación por
sólo obteniendo la primitiva. Así
, sin evaluar la integral en los límites, es decir,
+
+
=0
Por la propiedad de la exponencial, e invocando la regla de derivación de un producto,
se contraen los dos primeros términos de forma tal que la ecuación se transforma en una
de variables separables
=−
Asumiendo que
analítica de y(x).
Ejemplo: Resolver x
y
(1.3)
tienen expresión analítica, puede obtenerse la forma
dy
+ y + x = 0 ; y (1) = 2
dx
Primero se lleva la expresión a la forma (1.2):
dy 1
+ y + 1 = 0 . Siendo en este caso
dx x
1
dx
= , el factor integrante es e ∫ x = eln( x ) = x . Entonces
xy
x
d
1
1
5
[ xy ] = − x ⇒ ∫ d [ xy ] = −∫ x dx ⇒ x y − 2 = − ( x 2 − 1) ⇒ y = −  x − 
dx
x
2
2
1·2
1
Métodos numéricos
Se distinguirán dos casos básicos:
a) se posee un gráfico o tabla con los valores numéricos de la derivada para
distintos valores de la variable independiente6;
b) se posee la ecuación diferencial.
En el caso a), la integración se realiza aproximando el área bajo la curva (es decir, la
integración) a una suma de rectángulos o trapecios, siendo este último caso más preciso
que el primero.
xf
dy
= f ( x) ⇒ y ( x) = ∫ f ( x)dx ≅ Área
x
0
dx
Ejemplo 1: Aproximar el área bajo la curva con los datos de la tabla.
A partir de este ejemplo se introducirán algunos métodos de integración.
6
La variable independiente es la variable de integración.
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.5
0.55
0.65
0.7
0.78
0.9
0.5
0.54
0.56
0.56
0.5
0.4725
0.4025
0.36
0.2816
0.14
Rectángulos
Para el área en rojo la altura del rectángulo está dada por el valor de la izquierda y para
el área en azul, la altura está dada por el valor de la derecha.
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
∆x
f(x)
0.1
0.1
0.1
0.2
0.05
0.1
0.05
0.08
0.12
0.5
0.54
0.56
0.56
0.5
0.4725
0.4025
0.36
0.2816
f(x)* ∆ x
0.05
0.054
0.056
0.112
0.025
0.04725
0.02013
0.0288
0.03379
8
Área = ∑ f ( xk )∆xk ≅ 0, 427
k =0
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
∆x
f(x)* ∆ x
0.54
0.054
0.56
0.056
0.56
0.056
0.5
0.1
0.4725 0.02363
0.4025 0.04025
0.36
0.018
0.2816 0.02253
0.14 0.0168
f(x)
0.1
0.1
0.1
0.2
0.05
0.1
0.05
0.08
0.12
8
Área = ∑ f ( xk )∆xk ≅ 0,387
k =0
Trapecios
En este caso se emplean ambas alturas como “base mayor” y “base menor” para la
expresión del área del trapecio.
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
∆x
[f k+1 +f k ]* ∆ x k /2
f(x)
0.1
0.1
0.1
0.2
0.05
0.1
0.05
0.08
0.12
0.54
0.56
0.56
0.5
0.4725
0.4025
0.36
0.2816
0.14
8
Área = ∑
k =0
0.052
0.055
0.056
0.106
0.0243125
0.04375
0.0190625
0.025664
0.025296
f ( xk +1 ) + f ( xk )
∆xk ≅ 0, 407
2
Considerando que los valores de la tabla fueron obtenidos a partir de la expresión
0,9
f ( x ) = (1 − x )( 0,5 + x ) , el valor correcto del área bajo la curva es
∫ f ( x ) dx = 0, 4095 .
0
En particular, si los puntos estuvieran igualmente espaciados, es decir, ∆x fuera
constante, la expresión del área sería
n −1

 ∆x
Área =  f ( x0 ) + 2∑ f ( xk ) + f ( xn ) 
k =0

 2
(1.4)
Método de Euler
En el caso b) debe disponer de las condiciones iniciales para calcular además de la
ecuación diferencial. A partir de ésta se obtiene la derivada con los datos en el paso k,
en el caso más general, será función de x y de y
k
dy
= f ( xk , y k )
dx
(1.5)
Nótese que para el primer paso, es decir k = 0, yk = y0, es decir, el valor inicial. El
método de Euler consiste en expresar el próximo valor de y según
k
y
k +1
dy
=y +
∆x k
dx
k
(1.6)
Este método es análogo a armar una tabla de y vs. x e integrar por rectángulos como en
el caso del área en rojo. Si en vez de ser una ecuación diferencial es un sistema, deben
obtenerse las derivadas de todas las yn en términos de todos los valores de yn y x en el
paso anterior, es decir,
=
, ,…, ,…, ! .
Ejemplo 2: Resolver el siguiente sistema
 dy
 dx = u
con las condiciones

du
 = −4 y
 dx
 y ( 0 ) = 3

u ( 0 ) = 0
A partir de las condiciones iniciales se genera la tabla con los perfiles de y y u a lo largo
de x aplicando el método de Euler, Ec. (1.6).
k
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
,,,
n
y
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
,,,
π
u
3
3
2,9988
2,9964
2,9928
2,988002
2,982007
2,974817
2,966434
2,95686
,,,
3,194633
dy/dx
0
-0,12
-0,24
-0,35995
-0,47981
-0,59952
-0,71904
-0,83832
-0,95731
-1,07597
,,,
-0,10208
du/dx
0
-0,12
-0,24
-0,35995
-0,47981
-0,59952
-0,71904
-0,83832
-0,95731
-1,07597
,,,
-0,10208
-12
-12
-11,9952
-11,9856
-11,9712
-11,952
-11,928
-11,8993
-11,8657
-11,8274
,,,
-12,7785
Además se ilustran las soluciones para distintos pasos ∆x. En el gráfico se puede
observar el efecto del paso de cálculo: a medida que aumenta, las soluciones se alejan
de sus perfiles reales.
12
∆x+
9
6
y,u
3
0
-3
0
0,5
1
1,5
2
∆x+
-6
-9
-12
y_real
u_real
2,5
3
x
3,5