ECUACIONES
DIFIRINCIALIS
Frank Ayres, Jr.
455 problemas resueltos con soluciones completamente
detalladas '
Incluye 421 problemas propuestos con solución
~~C~ubre los aspectos teóricos y prácticos de las ecuaciones
diferenciales
Entre los problemas resueltos figura la deducción y
demostración de algunas íórrnulas y teoremas
.
31'20
ECUACIONES DIFERENCIALES
FRANK AYRES, JR., Ph. D.
Professor and Head, Department 01 Mathematics
Dickinson College
•
TRADUCCiÓN
y ADAPTACiÓN
ToMÁS GóMEZ
DE
DIOS
Licenciado en Ciencias Exactas
•
MÉXICO. BUENOS AIRES. CARACAS.
GUATEMALA. LISBOA. MADRID. NUEVA YORK
SAN JUAN. SANTAFÉ DE BOGOTÁ. SANTIAGO' SAO PAULO' AUCKLAND·
LONDRES. MILÁN. MONTREAL. NUEVA DELHI. SAN FRANCISCO. SINGAPUR
ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO
ECUACIONES
DIFERENCIALES
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS© 1991, respecto a la primera edición por,
McGR<\ W-HILL INTERA.MERICANA EDITORES, S.A. de C.V.,
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Cedro núm. 512, Col. Atlampa,
Delegación Cuauhtémoc, c.P. 06450,
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Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana,
Reg. núm. 736
ISBN 970·10-0004·8
Traducido
de la primera edición en inglés de
SCHAUM'S
OUTLlNE OF DtFFERENTIAL
EQUATIONS
Copyright
© MCMLXII, by McGrav.¡-Hill, Inc., U. S. A.
-lo
ISBN 0·07-002654·8
Í!!
e
1302456789
Impreso
GA-91
en México
Esta 00Ia se terminó de
Implinir en Julio del 2001 en
Edifaial otrset. SA de C.v.
Durazno No. 1 esq. Ejido
Col. Las Peritas
Tepepan Xochimilco
C.P. 16010 México D.F.
Se tiraron
3500
ejemplares
09876543201
Printed
in Mexico
Prólogo
Esta obra se ha concebido especialmente como $uplemenlo de los texlos usuate. dedoca<losa tu
1C1>aC10nes
diferenciales elemeluales. Se lratan en ella lodos los lipos de ecuaciones dIferenciales or~rUriil$ y derivada$ parciales que se hallan en los textos corrientes. junto con los diversos proeedimienM para su resolución. Como el alumno principiante
debe interesarse en dominar los métodos de resolución
.x los diverso. tipos de ecuaciones. es evidente la necesidad de proporcionar al estudlante un amplio
¡,o-ode problemas como éste. que también es útil • los ingenieros y a los científicos inllCStipdores que
.cesJtc:n repaur la teoría y los problemas de éSta cada \U mis importante materia.
Cada capitulo. excepto el tercero que es 101,lmente informativo. comienza con una breve expoWOÓft de definiciones. principios y teoremas, se,uida de un conjunto de problemas ~hos
y propues·
.as Los problemas resueltos se han seleccionado de forma que cad. uno represente.cn si mismo un
CIlUdIOtan sugerente como sea posible. La misma atención se ha prestado. los capirulos de splicaeio_. que contienen un. gran v~tiedad de problemas geométricos y Rsicos.
Este libro abarca muchas mis materias de las que pueden ser asimiladas en la moyori. de lo""ri •
...rn>S cursos. Se ha hecho asi no solo para que comprenda cualquier Il<IecciÓD de matcrias que puedo
"\.Ioo%'f el prefeso«, sino ta:mbl~n para estimular un mayor mtcres en Ja materia y que resulte UD prjaico
.anual de consulta. Sin embarlo. esta obra no C$ definitivamente un libro de texto, en el d'sico sen ..
do de In palabra. y. como siempre existe la tendencia a .comenzar" con los prob~ls. se advierte
.. -edcs aquellos que por vez primera se enfrentan con estos temas que no caigan en el error de u111itar
C$tl obra como un medio de evitarse el estudio • fondo del texto usual.
El autor tiene la satisfacción de reconocer públicamente su deuda con Me. Louis Sandlcr, editor
...,.,.do. por sus inapreciables sugestiones y su revisión critica dc lodo el manuscrilo.
FRANK AYRES. JR.
~ ,..,_-------
--~====:::::;;:::==~~~IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII!~!II!I!II!!!IIIII!!!IIIIII!
M
Tabla de materias
PA(iINA
CAPITULO
1. Origen de las ecuaciones
diferenciales
Soluciones
3.
Ecuaciones de primer orden y primer grado. . . . .. . . . .. . . ... . . .. . . . . . . .. . ... . . .
12
4.
Ecuaciones de primer orden y primer grado. - Separación de variables y reducción
• separación de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Ecuaciones de primer orden y primer grado. - Ecuaciones diferenciales exactas y
reducción a ecuaciones diferenciales exactas.....
.... ....
.
~
24
Ecuaciones de primer orden y primer grado. - Ecuaciones lineales y ecuaciones
reducibles a lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
7.
Aplicaciones geométricas ......•.....••........•.
41
8.
Aplicaciones ñsicas .......................................•.......
9.
Ecuaciones
de primer orden y grado superior
10.
Soluciones
singulares.
6.
diferenciales
lugares
geométricos
~
~
7
2.
5.
de las ecuaciones
.
o •••
~
.
61
.
67
extraños ....
11. Aplicaciones de las ecuaciones de primer orden y grado superior.. . .. .. . . .. .. .. .
12.
t.:uaciones lineales de orden n
13.
Ecuaciones
lineales homogéneas
14.
Ecuaciones
lineales con coeficientes
15.
,
.
.
87
Ecuaciones lineales COn coeficientes constantes. - Variación de parámetros, COC:6cientes indeterminados. .... . .... . ... . . . .. . . .... . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . ... ..
93
16.
Ecuaciones
99
J7.
Ecuaciones lineales con coeficientes variables. - Las ecuaciones lineales de Cau,chy
y Legendre , . .. . . • . . . .. . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . .. . . ... . . . .. . . . ...
Ecuaciones
lineales
con
coeficientes
,....
.
18
82
lineales con coeficientes
constantes
75
...
18.
con coeficientes
49
constantes
constantes. -
variables. -
Métodos
abreviados .....
; . .....
Ecuaciones de segundo orden. ...
101>
!~.
c,"n"LO
PAGINA
19
Ecuaciones
lineales con coeficientes variables. - Diversos tipos , . ........••......
:!O
AplicaCIones de las ecuaciones li
21
Sistemas de ecuacioncs lineales slmuluineu..........
122
133
Ies.
22. Ecuaciones diferenciales totales. ... .....
. ... . . ... ........
IS1
... ..........
....
....
164
13, Aplicaciones de las ecuaciones totales y simult'neas. . . . . . . . . . . . ..•. . . . . . . . • . . .
24.
Resolución mediante aproximaciones numcncas ..........•........•.........
25.
Integración por series. . . . . . . ... . ....
26.
Integración por series. . • . . . . . . . .
178
,..
186
. .. . . ... . . . . . . . .... ... . .. .. . . .. . . . .... ..
197
. . .. . . .
..
. ..
206
.
220
27. Ecuaciones de Legendrc, Bessel y Gauss
28.
Ecuaciones entre derivadas parciales
29.
EcuaciollC$ entre derivadas parciales de primer orden. . . . . .. ....
30.
Ecuaciones entre derivadas parciales no lineales de primer orden................
244
31.
Ecuaciones homogéneas entre derivadas parciales de orden superior con coeficientes
constantes , .. .. .. . . .. .. . .. . . .. .. . .. .. . . .. . .. ..
2S5
j2.
Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes
, . . ..
26S
33.
Ecuaciones de segundo orden entre derivadas parciales con coeficientes variab1es..
276
Indico
.
231
....•.....
.....
238
295
CAPITULO I
Origen de las ecuaciones diferenciales
-.¡, ECUACION
DIFERENCIAL
dy
•
X
t
d"
2,
d'y
5
+ 3 dy • 2y
ebe'
ebe
3
Jty' • Y
E
i
1" •
2(y·)·
es una ecuacíén que contiene derivadas. Por ejemplo.
E
O
3
5)
(y')'
8)
••
• • •
O"
7)
• y' :: COS
1(
o',
.x'
+ (y' ), + 3y
o'•
.y'
+ -
•
,,'
••
/C-
ay
• ,? ..
Y.
S. hay una sola variable independiente. como en 1)-5), las derivadas son derivadas ordina) la ecuación se denomina ("(lJQci6n df/",ncial
ordinarío:
S. huy dos O más variables independientes. como en 6) y 7). las derivadas son derivadas par..w~ y la ecuación se llama ecuación rntrr dl'flvodas parcia/es.
El arden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que Interviene
ni ella. Los ecuaciones 1).3) y 6) son de primer orden; 2). 5) y 7) SOn de segundo orden y l. 41 es
Je tercer orden.
El ~'adode una ecuación diferencial que puede escribirse como un polinomio respecto a las
~vlldáS es el grado de la derivada de mayor orden que interviene en ella. Todas 13$tcUtl(IOncs
ee lo, ejemplos anteriores son de primer grade excepto la 5). que es de segundo grado.
En el Capitulo 28 se estudian las ecuaciones entre derivadas parciales. Ahora únamenle
lO ·u a considerar las ecuaciones direrencules ordinarias con una sola variable depend.ente.
-e'l
DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES.
Problemas geométricos. Véanse Problemas I y 2 expuestos • continuación.
Problemas físicos. Véanse Problemas 3 y 4 expuestos a continuación.
Pnmruvas. Una relación entre las variables que contenga n constantes arbitrarias. como
\ .. + ex o )0 = Ax1 + Bx. se llama uno prlmltivo. Las n constantes. que siempre se repreSrCntarán aquí mediante letras mayúsculas. se llaman estnciales si no se pueden sustituir por un núme-c menor de constantes. Véase Problema S.
En general. de una primitiva que contenga n constantes arbitrarias esenciales se puede deducir
un3 ecuación diferencial. de orden n. libre de constantes arbitrarias. Esta ecuación se obtiene eli-n.nando las n constantes entre las (n + t) ecuaciones siguientes: la primitiva y las n ecuaciones
hlen,dJs derivando la primitiva n veces con respecto a la variable independiente. Véanse Pro....
~s
6..l4 expuestos a continuación.
..
DIUGEN
2
DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
PROBLEMAS RESUELTOS
l.
Se dellne una curva por
dien1e
~/dx es
l. condición de que en cada uno de All puntos (:r. J1, su penigual a_ldoble de la suma de las c:oordenOldas del punto. Expre# la
condici6n mediante una ccuxión diferencial.
i
•
+ y).
La ecuación diferencial que: representa la condición es d. .!- 2t'r
,<
1. Una curva esü definida por 1.1 condición de que la suma de los sqrnctllOS .Ye y inun:cptados POf SU$ tlnpto
en los ejes COQfdenadoo es sícmpr< íauaI • 2. ~
la coadió6n po< _io de ..... __
cb(<ft1ICdl
• la curva en d punto
la ecuación de. la lanplC
dos en los ejes
condición
es
son...
X +
ex. y'
r -
es
u"
Jx
-
x).. y los sqmc:n:101 iOIC'tCepb.-
tlx
.r
d.,
~(X
X _ x - ., Jd:r e y _ ,. - ir dy. La «U3ción difcrtnOll
respectivamente.
y _ s -1"l'"
1-
+ J'
dy
-:r-
dx
dI'
- 2 o bien :t(-tI. )' - C.'t +
q\IC rtpteSlena
la
Jy
V -
2)- +.1° - O.
tJ.y
.f
3. Cien gramos de: azitcar de Cllill que cslJ.n en agua se convierten en <k_lrosa a una velocidad que es propotclonaJ
• la cantidad que aún no se ha conw:rtido. Hállese b ecuación diferencial qoe eJtPRSC la \'CIocicbd de c::oa.vn'Sión
después
de t Qljnutos..
Desip3ndo por " el nOmero de: pmos ooo~os
serj (100 -
d nUmc.w de gramos IOn 00
ee , minutos.
q/ y la w:loádod de _vcnión '<IIdrá dad. po< ~
- klloo
- q~ _
COft~
k lo coruunlC de ptopor,
cionalidad.
..
Un. panicula de masa m k mueve a 'o largo de una linea recta (el eje x) estando SUjeta :a 1) Un:! Cuma
proporcional a su <lesplazamiento x desde un punlO fijo O en $U trayectoria y dirigida b.acia O y 2) una fuerza te·
s.istcn!c proporcional a su velocid_d. Expresar la Cuerza total como una ecuación dircrcnci.al.
la primera fuc.rza 5C puede tepresr:ntar
por
por- -k,x y la sclunda
-.l~'.sieodO
k I '1 kJ
(actOt'C$ de pt~
porciooafidad.
La (ucna toW
(masa
)l
dJx
acc:krJaoQ) C$Ú dada por m ~ -
S. Demostrar que en cada una de l•• eceeccees
a)}'
-
.tl
+
JI
+
dY
-k,x - tz th'
B. ".,
,.,
Ara.
(")J' -=
A ...
In 8'( sotameruc
únicamente
una COnilSnle
es esencial una de I~s dos eonstllnle1 arbitrarias,
Como A + B no es m:i$ que una $Ola constante
arbitraria esencial.
a)
h) )' = Ar*·
C',
6.
+
ln B
hay tres ~nlCS
.r - A.~ "" 8s
._
'"
l..i!II U urea
ecuao '6 n l/J.·
;t:; -
ecuación
+
In
.1'.
y CA +- In 8l realmente
la CCU30Ón dlCcmxiaJ asoc.ia4a con b. primitiva
Como
pedida.
l. ccua<:ión contiene
= A?<"'. )' A'" no es mas que una $Ola conJtalUc
F = A + ln B.'f - A
Obtener
arbitraria.
ar'bilr.. rias, se con$lderan
+
d\.
C.
d'
x
=
arbitraria.
es una sola constante.
J' .. AYO!+ By.
las aal.ro
+ C.
CC\QOOOC:S
d
Z,'
2A....+ 8.
O está libre
'
de constantes
l
~
arblCfan,u
- 2A.
¿l ..
......;= o.
~
y es del orden
adcc\l~O.
1UC".ob.:s es la
OIUCEN
-:a, U',(:k
DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
3
qlJC no se hubiesen podido eHmlnar 11' cons'anctS entre 11$ tres pnmeru ecuaciOQ(:l.. Obliervese
r.ipMiamenl~ l. primitiva.
plnir de la CCU&Ción dlferc:nci.al mediante antqracl6n
1".aIIIIbIa que K puock obtener
- O
la eaaKi6n
$
~1Indo
• _.
una vez rapccto a s se obc.~
cuando
úcnta,
asociada ton la pnmiliva
dirertftcial
")'+
O. (21'
con nOlación diferencial.
,
1)
(,"y<lx'
2J
(2)''¡'"
(2:1"1'.bt:r"~).
dx
• X1'(31'
a.~)
+ .'t'y)
.~)'~
(lit,'.
V,'" "r) •
O
,¡"
u ec:ua<ión
O oomo
~'~)'
_ C.
pedida.
estas ecuaciones son
a.'y'dy)
3xdy)
••
• (a.'l<lx
1(3y <Ix
•
~'y'CÍ)')
• ~d1) •
•
O
O.
ObKt'\'CIC que I1 primitiva se puede obtener rAp.damc:nlc de 1) mcchanle integración pero nO tan ripioa •
cfCC10. para obtener la primiliva CUBOOOse da 2) hay que <ktermina_, d factor .,\",,1que le
ha"'.
.-.le' de 2). En
_.sen
..
~
..nas
b caaact6n dlrcrcnciaJ asociada
y 11 una conSlarUc fija.
Otnvando
-Aa
sen
COn la primitiva
OS
•
So
y - A COI o.x ... 8 sen
11.X.
sic:odo A y 8 COnsbl.nles
aro
C08 ...
,
La ecuación difel'encial pedida es
..
_-...emer 1" ecuacién
DcnY1lndo
En.onoos.
'2
d.<
ó:
<Ix'
La
ccUAcK\n
diferencial
2At'tx +
asociada
8<",
y•
con la primhlva
d'y
,. ~ctK
A"h
+
dlr
.. Ik",
;; •
dx'
_ ri'r
,¡,,'
pcchd.a es
4At':,2,X" •
ó:
<Ix'
'2
• 2Ae'J('.
d.z
2!!l •
<Ix
sr + C.
y
8A.~b: +
d'1
_ d2y
<Ix'
dz'
V.
t
2(!!.1
d.z'
_ CÍ)').
d.<
O.
La c:limJruación de las constantes por métodos elementales cs ... veces, I~bonos.a.. Si se resuelven tres Ck las
«'UK'lonc:s respecto JI: el' Cl' Cl' mediante dettrrnlnanl~.
y otl\ se sustl1uyen en la cuarta ecuación. el resuludo se puede pontr en la forma (Uam3.da el el¡mln..nl('.~
4
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27('~x
ORIGEN
~
x
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y
DE LAS ECUACIONES
1 1 y
..
y'
3
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9
4
1 y'
27
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1 y.
•
y'
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DIFER.ENCIALES
~&x(_"lY + 12y" - 2~'
•
La ecuación diferencial pedida es
6
• •
!.l'
11
tU.'
2 -
;¡;;.
•
2~-
"".
w'.
y •
.
O.
8y • o.
tU.
11. Obtener la ecuación diferencial asociada con la primuiva y = CXl
Come dy
+ 1:¡Y)
+
C2,
1 dy ,
- - z •
2xtU.
C·
Nota. La primitiva tiene una constante arbitraria de segundo grado y la ecuación diferencial resultante
es de orden uno y grado des.
12. Hallar la ecuación diferencial de ta ramilla de circunferencias de radio fijo r cuyos cemrcs estén en el eje x,
+ y'
L~ ecuación de la familia de circunferencias es (x _
rl• siendo
una constante arbitraria.
_
e
t/¡.
Derivando se titile ~x -
el + .~.-d' ..~ = 0,,\'
d"
Y la ecuación diferencial es y' (-d' ~'
.r
IJ.
+)"
-
e=
y
C)l
J.,
-
l'
•
•
d- •
,t
=- ,.,,
,
Halh..t la eccacién difcrenct31 de la familia de parábolas cuyos reces están en d origen y cuyos ejes están sobre
el eje x.
y
(-A. O)
.1'2.
y' : (2.4 .. ;&)2
y'l:4A.'(A+x)
La ecuación de la Iamilia de parábojas es ):1 = 4A(A + xl.
Derivando py' == lA. A = 1)1)/. luego )'2 = 2Y),'f!ry' + x,.
·
dy •
ay
La ecuación pedida es )1(- r + 2x - - l' :: O.
dx
;rx'
1
ORIGEN
w.
Formar la ecuación dirCfCntdl
DE LAS ECUACIONES
s
DIFERENCIALES
que represente lodas las tanganes a La pa"bola
r
=
2.r.
La t2nplC' a la parábola en un punlo Cualquiera CA.8) ~
por ecuación y - 8 = t\' - ANB. de donde.
como A ., la:. se deduce 81 •. 't + lBl, Eliminando 8 entre esta rdacióo y By' - 1. obtenida deriV.rlndo respecto a s, se tiene como ecuación diferencial pedida Ja exprc:nón 2x(Y't - 2yy' + 1 _ O.
PROBLEMAS PROPUESTOS
15.
Clasifia.f
o)
Jy'"
bl
L
cada una de ¡as $iguicnle5 eececícees
(xy _
dV •
R~
dt'l
(')
eOs
•
O
q •
O
z)tllr
•
dI
+
du.
x(_)
ScI.
2.. orden: 1.
1.'1 • O
Sol,
3:' orden: 1.--' grado
el
Sol.
2,- orden:
~,.' arado
Sol.
).~4orden:
2,· ando
Sol.
3." or<kn. no se: aplica el grado
Sol.
1.•• orden: 1"" grade
Sol.
I." orden: 4,' grado
Sol.
2,- orden: 4.' grado
e
y'" + %1" + Zy(y/)'l
..
.. 11
segun el orden y et ¡rado.
•
tú
i'. ,
- (-1
<1
H
grado
du'
/>
~J- _ xy. t- Y .. O
'1 ¡p' .p • sen 8
.). é!!N
d8
16.. EscnbJt
(1)
"J
la rcuación difercnctal
de: aebl una dt las curvas definidas
Cx. "1 13 pen<hcnlC' de la tangente
En c#da punto
Sol. r' c¡ x:
En cada punto (.~. .I J 13 longitud de lit subtangente
+."
o bien (.v + )'1,'" = .l'
es i,ual
mediantC' las coodiciones
al cuadrado
de la abscea
es igual :l l. lum .. de las coordenadas
dad_s
drJ punto
del punlO.
Sol. .rl)'··= .e
fOJ
El eje de LasJ' di vid... en dos partes iguales
la normal en
d, En oda pUDIO
l¡ tangente
r)
sot.
P.
(p.
,1'"
a]
segmento que une
x ~ _ b o bien
.V}"
+ 2x -
P(.\',.1')
con el punto de: intcl"$CX'Cionde
O
01 1.. lan¡enle
dd ingulo
del an&ulo determinado
por el r~(hovector y La tan~nte
dO I
\«1011411
Sol. p tB O
dp
= -)
El área limitada poe el arec de una curva. el eje
al doble: de: 1.3.longltud
del ~,C'o entre
sugcrencia:i1ydx.
2L"/1+
(y/)2
~ Igual 4 1 ,) de.
.Y y la'i dos ordcn~das. una fija y una \cari.abk. a ',guaJ
l,as ordenadas.
dx.
Sol,
'1:
2
A ..
('1/)'
6
17.
ORIOSN
Expresar
a)
mcchanlC ecuaciones
DE LAS ECUACIONES
dlferenc¡ales
cada
OIF¡¡RENCIA~ES
uno de los sig.uic:nlcs pñneipios
tis.oos..
El radio se desintegro a unl velocidad proporcional a la cantidad Q del radio preseme,
dQ/dl - - kQ
$<>l.
b,
La población P de una ciudad aumenta a un. \'<:kscidad proporaonalll
200.000 y l. población.
S.I. dPidl - kPI1OO.000 -
()
Para cien. $usuancia la velocidad de cambio de presión de vapor (P, respecto a la lc:mpen'ltura (T~ es proporcionaJ la ht presión de vapor e iO"crsarMntc: proporcional .1 cuadrado de la Icmperalura.
$<>l. dP/dT - kP/T'
d)
La difereecia de: potencial E a "aves de un ekrne.nlO de inductanci.
loeidad
t"
de: cambio
10.
b)
y_A,x.8
$ni.
r" _ O
S.I.
$<>l.
J'
""
4t • F
O bien
m
d',
¡;¡ ,. F
= A sen/l
,) )' = sen(.t
, ",
(¡"f' -
/l y""A"'.8
$<>l.
r-- - .,,'
r' -y
R) .\'-AsenV·+8)
$<J/ •
r" -
y'
/¡)
S.I.
.'()"," - ....... - .q_v·r -
-J'Clgx
Hallar la ecuadón
Hallar
(1 -
ces
diferencial de In familia
O)<lp _ p"'"
1/41
la CC'uxtón
(Xy' - )."
-
difereecial
I
+
-?
$<J/.
lnj- = A.~ ... 8
H,I'.r la ecuación dlfuc:nciaJ ck t. familia. de circunfucncaas
de radio varubk
(Compárese: con el Problema
12'
SUlerencia: (x - A~ + y2 _ r2• ,iende> A y r conStantes arbitrJtnlS,
$<>l.
21.
Br
•
'"
L es igual al prcdocrc de L por l. vedi
E - L di
diferencial asociada con la primitiva dada. siendo A y B constantes arbitrarias.
S.I. y' - >:1.'(
$<>l.
11.
$()l.
JI = A:t
~.IA
Sol.
t en la induc(~ncia.
.,
(1 y =
1'.
de la corriente
~ia.sa x aceleración = fuena.
18. Oblener la «vacion
di
la población y a I1 difertnci. entre
p,
de todas
de las eardicdes
p _
las tineas rec1as que ~n
rcuyos
Sol.
centros
1
.\'(v')'
esu..n sob« el CJe v.
),)'•. " (y')!
+
untd.d del origen.
(}"l'
Hallar la ecuación difer,cl~ciaJ de 'odas las circcnterencies
Suge=cia: U.illcc:se ...... v' - 2", - 28)' ...
e-o.
deJ pJólno.
Sol.
I - O
a(1 - CO$ O,.
• l. distanoa
(1 ...
(.')'1.'" -
O
3y'(y")' -
o
CAPITULO 2
Soluciones de las ecuaciones diferenciales
EL PROBLEMA en las ecuaciones diferenciales elementales consiste esencialmente en encontrar
la primitiva que dio origen a la ecuación. En otras palabras, resolver una ecuación diferencial de
orden n es. en realidad. hallar una relación entre las variables conteniendo If constantes arbitrarias independientes. que. junto con las derivadas obtenidas de ella. satisfaga la ecuación di(cren ..
cial. Por ejemplo:
,
Ecuación diferencial
d'y
1)
= O
Primitiva
y
_..t.x2
+ Bx ...
e
(Prob. 6, cap. 1)
<be'
2)
d'y
d'y
6-
<be'
<be'
•
3) y.(dy) • • y' =
<be
lldy-Sr.O
dx
y:- C~C'iC'
1e
+ te
r'
(x _ C) 2
...
y'.
... ,e
r'
(Prob. 10. cap. 1)
(Prob. 12. cap. 1)
LAS CONDICIONES que ha de cumplir una ecuación diferencial par. poder ser resuella se dan
en los teoremas d~ extstenclo.
o)
Por ejemplo una ecuación diferencial de la forma y' - g(x, y) en la que
~(.\".y) es continua y uniforme en una región R de puntos (x. y).
b)
~x existe
,
y es continua en todos los puntos de: R.
".l'
admite infinitas soluciones [Ix, Y. C) - O (síeneo e una constante arbitraria), tales que por cada
punto de R pasa una y solo una tu,,", de la familia [tx, y. C) _ O. Véase Problema S.
UNA SOLUCION PARTICULAR de ~na ecuación dif.",ncial se obtiene de la primitiva dando
valora definidos a las constantes arbitrarias. Así. en el anterior ejemplo 1) son soluciones partieulares y _ O (A = B = e - O). y _ 2x + S (A = O. B - 2. C _ S). y _ x' + 2x + 3 (A - l.
B -
2,
e = 3).
Geométricamente. la primitiva es la ecuación de una familia de curvas y una ~)Iución par ..
ricular es la ecuación de una de las curvas. Estas curvas se llaman curvos integrales de la ecuación
diferencial,
Como se verá en el Problema 6. puede ocurrir que una forma dada de la primitiva no incluy'a
toda:. ,~ soluciones particulares, Aún más: es posible. COmo se vera en el Problema 1. que un.
ecuaCión diferencial tenga soluciones que 00 se puedan obtener de la primitiva n.i operando con l.
conLtante arbitraria como en el Problema 6. Se considenlnln tales soluciones. denominadas S()/oI.
C;()"~S singulares, en el Capitulo lO.
La primitiva de una ecuación diferencial se denomina normalmente la soluciór R,,,,,rol de
la ecuación. Algunos autores. debido a las observaciones del párrafo anterior, la denominan una
soJII(lón general de la ecuación.
7
8
SOLUCIONES
UNA
ECUAClON
cuado
:r.
DIFERENCIAL
teorema
de existencia
punto es la de la tangente
DE LAS ECUACIONES
DIFUENClALES
= g{.<. J') .socia con cada punto ex., J.)
un4t dirección
a lu curva de
m :
~I
~ «..
It.\'.
familia
J3
== ~("o. Yo)'
10)
11. (',
<D ~
La dlrec'ClÓn ea cada
O. es decir. la primiuva
...
R:!e.
._
que pasa
por el punto.
La región R con la dirección en cada uno
de sus puntos se llama un campo d(l direcciones.
F.n la figut3 adjunta se: muestra un cierto nüme-
ro de puntos con su dirección para la ecuación
1.'(. Las curvas lntcgraJes de la eeeaeiée
diruencial son aquellas C'UrY3,S que tienen en cad..
uno de SUS pernos la dirección dada por la ecuación
En este ejemplo las curvas integrates son parábolas.
Estos diagramas son interesantes en tanto que
J_v¡o-x
1;'"
,
facitrten e¡ estudio y la retaeróu entre una ecuación
diferencial y su pnmitiva, pero como las curvas
"
#
inrcgraíe« son. por lo general. muy complejas. talev
diagramas no constituyen en realidad una ayuda
para obtener :.us ecuaciones.
-I
JI
\.
'PtN_w
,
..
PROBLEMAS RESUELTOS
l.
Demostrar por SU...tlh"".Ón d",-'1.'1.:Ien la ecuación dlferenclld. romp,obando
pruniuva da lus.-1r .1 1.. conecpendrcnte ecuación difercnci .. I,
O)
.,
't
C: sen s
C7.l
(1
d'y
-,1:
C:ii
.r)-
,
t
<1s
xl!] ..
=
..tbttntnu.
y •
que cada
O
y
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(1
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••
las constantes
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• el % CO!._ -
•
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3C,)t
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"
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•
C1COS.J.
c,.
- z(Cs CO$,x • C,)
Ct x
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- ~ ....
•
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• • c,. -x
-,
er• • c,.
Coz<
Coz<
x
c,•• "
C'.,c
-.
c, • -,
sen x ;. G,.r:)
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+ C;x
•
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12.. '
f~l:.n de :ll'UC'fdo et oro en de 1a (\'"1JJclón d,fercn.tial
lle',
y e! número
de la~~ft.st.;tOtes
:lltuln'fUl~
2.
l"knlO'II<1r que V '"' 2·
panicular
s:ui<f",<h:1
1- (""
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1:. nrirninva de: ta C\:u.lción d,(er<n('jal
(1, y ... ..; [Kf(~
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la co:uac,6n de la cut\'a
p = 2(1 _ ..) v ha11~r ~ 'K\IuclÓn
Ir'ltegr,ü
.
que
p.:lU
por 10. )\.]
SOLUCIONES
SusliIU)'endO,
2 -:Ix
J.
C.. ndo.'
Demoslnr
y
halla,
t-
2x ... crX y
-
DE LAS ECUACIONES
2
+ el'
- O, )' ~ 3, 3 - 2' 0+
e? ...
x es
que , _ CI~ ...
la ecuacIÓn
de ~ cun .. integral
en II eculdón
el + el
,11-
De donde
el '"-e,
O:
~'-
..
c,t =
Dem<»lrar que (y -
que pase
por'
los punlOS
te
dY •
2(y-C)
dz
c'
Luego ..
4(7-C)'
s•. , - 1.)'_
2: (2-
pedwia es '1 •
X.
•
4 7 _ 3 ~ • 2y • :Ix -)
dz'
d<
,'1 (l. O).
en
b
ccuOlaól'l
Jt ...
" '"
e - e
e' - e •
ü es la pnmmva de la ecuaoót'l dlrttenaal
y
4y
;¡;;
C
2(y-C)
u<t)t
••
oy hollar'"
7
,
c
CI' =Cy
47
:¡.;¡;;
-
(1.2).
y{C<- (y-C)'j
• 2.--- Y
2(y-C)
• o,
(y-C)'
C= 1, 4.
mregrales
que p.,~n Pf!r H.
S. L:a primlliv» de la ecua e;ón diferencial ~ = ~ es l' ""
.<
o) 11,2) Y bJ rO, O).
S.
:Ix + Y
Y - o: C'l,. .... C,.-J _ -1.
)' 1a ecuación
C
=
4- 7 -""le
r " .'Y...,e
.r 2j,
• l.
ce
Las eceacrcncs de I&~curvas
al
ro. O.
-+ Cr - (u + C~,_
dz'
OCUICIOMS de lu turv.u tntc-_grale$ que p::asao por el punto
Aquí
2
te ~
b primihva el< la ccuaoón dlf.,."..al
= O. Si x=-I,
1
=
dirttena.aJ
9
La tOIua6n paruc:ub.r es y
C" y C -)
47r":zc"
;¡; • ""t c·
Si x .. O.
DIFERENCIALES
c.'I:,
e - 2. luego la ecuación pe<hd.a es
O: e ('S iodetennin.ada~ es do.:tt. todas las
1, y - 2:
2. 'IOn (JI -
1)2
=-
X
Y U' -
4)2
= 4x.
Hal!;., h. ceuación de la cur.'a illte:t~1 que pau
y ...
2x
b) S, T
O. J'
NnOil) Il'IleyaJes püan por d origtn ~
,ti....,., - yf\ no es connnua en d oñgen y. puf Unto. d ItOfMl1 de aastcOCQ. asqura una, y ~t~
va de lA rlnlllia y _ ex por cada punto dd plano C'l«pCO d on~n
dy + ,-1 )
C{(x-lIdx
~r
'1
(.-1)(1-1)
'
que
una.
(Uf-
4y + Y - 1J
\ ($ - 1) ..1_
~
ti
Ahora bien. tanto J' .. O comojw
I sen SOIUC'10Rr-S de l ], ya que. para cada una, se sausíace dv¡dx
O y l •.
La pnmcfi se obtiene:de la pnmíuva poniendo
pero
~cund •• JI - l. ~ -.e puede obtcnt'T d;lnd~ :,.Inv••
lot ünho a C. Aná1ottamen!c:. 11 se puede obtener de la pnmlllva cn la forma 8x)'
Ix - J ~J'- j. Ahon \oC ob
tiene l:a 50Iución J' e- I poniendo 8 - O. mientras que la ;.o.h,.c.ón l' • O no se ~C'
obteoer dando a 8 un , .. 101
linllo. Queda. pues, pf'obado que la forma. d3d.a de una Pftmlh\" pUNe no IIdu,~{ocb.$ las $Oluoone\ paf1JC'U.
'ares ee la ecuación dlfctcncul. (O~
que (- I lamb~ lb una sulución pa.rtic:Wat~)
e_o.
':t
SOLUCIONES
lO
DE LAS ECUACIONES
21~'"
Lf
1)
Como
_!Xl
y _
dy = _ ~X satis(ace
,'dJr
al).
•
+
zi
\(~J
DIFUENCIAlES
O
»
r + a,. o es
UI\I SOIuc;,on de
1)..
Ahonl bien. ti primitiva es la ccuac~n de. una rllmilia de lineas recus y es cvdenle que la ea,a.aóa ck una
parAboIa no se puede obtener dando "aJorC$ a Ja conJlante arbitf2.ria en la primitivL Tal solución IC ck:nonllu
unl sol~ión ¡ingular de la ecuación difCf'C.t1c;al
8.
CornprobAr que 1
= el
e,
+
ces x
sen x y y • A COS (x
también que ambas ecuaciones son. ee rtalid.d.
De y •
el
<:OS
x ... C"l sen
X.
y'
x .... el
y" _ -e. ~
De
y _ A _IJ<
+
" = -A
B~
Ahon bien. )' _ A cos (x
,.
Ocmoscrar
Qtlt
In .-:' ... In
10.
l)c:moSlrar
+
y'
Jo.xl + In;;'"
)~
Xi
Z
BJ
_t.x + SJ s
A + X
10(1
q~
ln(l
+ )'1 +
L«to
(1
+
y)
+
+ TXI +
x)
=
y
x
sen x_
X
-J.
sen 8)
....(-A sen
Id: y' ..
escribir
Luego \' - Jn
)1
e+
=
+ YMI
~
!<f" - ~ ") .. H'" ....,,·'l
JI
cos x ..
e, sc:D
s,
sr.
rt . r
3$i; x~
-
V.
- y~
- B.
sen y) = ~
C;$Cnbir como
xy
+ ....
y
- T~
=
C.
.. ,,1 - A
x,' ... x ... T 'i I -
ln x =
= e.
8) SltD.i
-
B "f
q
+x
11. OemMnr que Sh J' - Ch P = ex se puede: acrlbl' como ,. - In x
Aqui Sh v..,- eh
,p,
o sea. Jx2 +,_0.
<>os(.< + 8) = -,.,
-A
sen x) Kn(arc
1n.(I i .,,)_ A se puede
10(1 " ~I = 1n(1
O. dc.moslr.ndo
)i -
sen A-B.
Lueeo sen(3rc sen x) costare seo y) - ~(arc
Dcmosuar
sen
(:OS
t.ueao,' - ~ ... -
que are sen x - are sen )f _ A se puede
=
e,
r: -
= Afc;o! x c:os 8 = (Al COI B) COI x
= In ,,l _
scn(arc sen x - are sen y)
11.
x -
A +:C se puede oc:nbtt
y!
In(x2 ?')
Z+
B) son primitivas de
una sola.
-el sen
-
+
-+ ln x,
- ~ - ex.
.¡._
..
-
f- A.
8 -
1 - C.
- B
SOLUCIONES
DE LAS ECUACIONES
PROBLEMAS
PROPUESTOS
Dcmoscrar que: cada una de: Las sag.u:ic:ntCS a¡:waionc:s es u.na duaóD de la C04 ¡ s,. e
Oasificll ead>o uno como .". soIucióo porticubr o ... _
........
(pnmibva).
1).
1·21".
I~
•
t
15. '1 •
• 7
TI' ..
• C.
a.. ... C",
16.
(1_ ,1»)"
17.
'1 • e~(l+s).
18. 1 • el,l
...
..
'.
" ...e.e
'1 • ele
llO.
)' • e,c • •
21.
Y • C,c- ...c.c'l$.
n.
'1.
C,es •
e.e -x +,1-4..
~cJX
...
,1'c.l,
•
o.
PnmitiYa
Primitiva
h'y' '"''1(Y' ... 3.1:1).
Solución particulat
(,1 -
-..
¡J.
cc:oaá6a
T • zy' ... ~/)".
y" -
c.c....
2.
,.,,·te
SoIuciáo putic..Jar
xy' • ~.
t
11
DIFERENCIALES
21'
l),·
+ '1 •
O.
- .ay' .. '1 • O.
Soluaón particular
SoIución~
y. - '1 • O.
SoIuciáo peral
,.
- 'J • 4 - .a.
SoIuaóa penJ
,.
- 37' ...
y- - 31' ..
21 • o.
SoI1OÓ6aperal
:1J. 20"(1-0).
SoIuaóo peral
di{ttmaaI
CAPrrtJLO 3
Ecuaciones de primer orden y primer grado
1)
+
M(x,y)dx
f4-fIo 1.
M(x,y)
, N(x,,)
:z-
I
~
KA
+x
-,
b)
a)
+ y-x
~
y N(x,,)
-,
se puede escribir en la (orma
de primer orden y primer arado
UNA ECUACION DIFERENCIAL
N(x,y) dy - O.
- O se puede escribir ul:
-
(y
+
x)dx
+
(y - x)tly - O, doDde
x.
+ x', se puede escribir asi: (1 + xly)dx
- dy - O. donde M(x,y)
-
I
+ xl,
-1.
Si M(x, y)dx + N(x, y)dy es la diferencial completa de una función ,.(1', y), es decir, si
+ N(x, y)dy - d¡.c(x,yJ.
1) se llama una ecuación diferencial cxaeu y p(x, y) - C es su primitiva o solución general.
M(x, y)dx
f4-fIo 1.
3x'rdx
+
2x'y dy - O es una eeuaeión diferencial exacta. ya que 3x'rdx
_ C.
+
Su primitiva es rr
2x'y dy - d(rr).
Si 1) no es exaeta, pero
(X, ,J{M(x, y)dx
+
N(x, y)dy) - d¡t(x, y).
(x, y) se nama un factor integrante de 1) y ,.(x, y) - C es su primitiva.
Ejem¡oIo 3. 3y dx + z.. dy - O no es una ecuación diferencial exacta, pero si se multiplica
por ((x, y) - x'y se tiene 3x'y' dx + z..' y dy - O que es ••• cta. Por tanto, la primitiva de
3y dx + z.. dy = O es xly' _ C. Véase el Ejemplo 2.
Si 1) no es exacta y no se encuentra rápidamente un factor integrante es posible que mediante
un cambio de una O de las do< variables se obtenga una ecuación en l. que se pueda hallar un factor integrante.
[¡..,lo 4.
La transformación x =
I -
y. dx - dI - dy. (o sea, x
reduce la ecuación
(x +)' >1)dx +
a
(t q)(dt-~)
o sea,
(t+l)dt
Medianle el factor inlearante
I~
2y + 3)~
+ (t+2)dy.
y -
I~
• O
• (2t +3)~.
O
O,
2 la ecuación roma la forma
dy + !.!..!dt
t
+2
dy + dt -
s
Entonces.
)' .. -ln(
t +
y.
2)' + x -
1n(x
COmO
(z...
+
2) :
+)'
....!_ dt
t+2
• O.
e
•
2) •
c.
NOIO,
La forma de la ecuación también sugiere la transformación .r
2," + 2y + J =- 2s.
12
+ .l' + 1 _
t O
bien
ECUAOONES DE ,al .. EJt ORDEN y I'JUWEIt GItAOO
UNA ECUACION DIFERENCIAL
forma
par. la que se halla ráp;damenu
1)
un faclor inlO,l1Inle tiene la
2)
Mediante el factor iategraare
1
, 2) se reduce •
,,(x), ,,(y)
!!J!l dy
2')
_ O
,,(,,)
cuya primitiva es
f I,<x)
f 1,
,,(y) dy - C.
(y)
dK •
r, (x)
La ecuación 2) es del tipo de las de s.paraciiJn tk _1Db1u y en 2') las variables OSIt. separadas.
Ejemplo
S. Si la ecuación diferencial
(3.'1' -X1').
se pone en la forma
1'(b'-x)
+ (;a,.',,'.
xly')dy
xS(2Y'.,,')dy
••
-
•
O
O
se ve que pertenece al tipo de separación de variables. El faclor integrante ~
en (~ -
?)dx + (2y + y'ld, -
O, donde
]U
la transforma
variables CSlán separadas. Al inte""r
se obtiene
la primitiva
SI LA ECUACION 1) admite una solución Jlx. y. CI - O. donde C es una constante arbitraria,
existe una infinidad de factores integrantes {(x, y) tales que
(x,y)
(.(x,1')<1><+ "(x,y)dy)
e
O
es exacta. Lutgo hay lransformaciones de variables con ]U que 1) pasa al tipo de separación de
variables. Sin embargo, no se puede dar una regla ¡eneraJ para hallar un factor inugtante O una
transformación. Se tienen. pues. limitaciones para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, esto es, aquellos tipos par. los que fallan las reglas para de,
terminar un factor integrante- o una transformación efectiva.
Des
En .1 capítulo 4 se estudian la. ecuaciones del upo de separación de variable. y 1.. ecuaao·
que se pueden reducir a este tipo mediante un. transformación de variables.
En el Capítulo S se consideran las ecuaciones diferenciales exactas y otros tipos que se poeden reducir a ecuaciones exactas mediante factores integrantes.
En el capítulo
3)
6 se tratan la ecuación lineal de primer orden
dy
dx
t
P(x). y
y las ecuaciones reducibles a la forma 3).
•
Q(x)
14
ECUAOONES
DE PRIMER
ORDEN
Y PlUMER
GRADO
Estas agrupaciones son. en cierto modo, convencionales, pues UDa ecuación dada puede pertenecer a más de un grupo.
Ejemplo 6. La ecuación x dy _ Y dx = O se puede clasificar en uno cualquiera de los grupos, ya que
a) mediante el factor integrante I/xy las variables se separan; así, dy/y _ dxlx - O de donde
ID y _ In x = In e, o sea, y/x = c.
b)
por medio del factor integrante l/x' o bien l/y1 la ecuación se convierte en exacta: en efecto,
x dy _ y dx = O y !. = e o sea, x dy _ ydx
O y _~ = e !. = _.!. = c.
x
-'
x'
)'
e) Si se pone en la forma :
-
;y =
)'
1. X
el
O, es una ecuación lineal de primer orden.
Se llama la atención al hecho de que la forma de la primitiva no es única. Así. la primitiva en
el Ejemplo 6 puede ponerse en las siguientes formas
a)
In y _ In x
=
In
e,
b) y/x
= e,
e)
y
=
ex,
d)
x/y
=
K,
etc.
Es corriente aceptar una cualquiera de estas formas a sabiendas, como ya se ha hecho notar. de
que se pueden perder ciertas soluciones particulares. ¡ Una nueva dificultad!
=
=
Ejemplo 7. Está claro que y = O es una solución particular de dykix
y o dy - y dx
O.
Si y
Ose puede escribir dy/y _ dx = O y obtener In y _ x = In e con e f O, lo que se puede
expresar así y
Ce", C f O. Así, para incluir todas las soluciones. se escribirá y = O; y = Ce",
e '" O. Pero nótese que y = ei', libre de las restricciones impuestas a y y a e, incluye todas las
soluciones.
+
=
Esta situación se presentará COD cierta frecuencia, pero, como es costumbre. se evitará la indicación de restricciones; por ejemplo, se escribirá la primitiva COmOy = Ce", COn e completamente arbitraria. A modo de explicación se puede hacer la siguiente observación: Multiplicando
la ecuación dada por e-7i se obtiene e-/( dy - ye-/( dx = O. de donde .. por integración, se deduce
e-x y = C. o sea, y = er. De esta forma no ha habido necesidad de imponer ninguna restricción
niayniaC.
CAPITULO 4
Ecuaciones de primer orden y primer grado
SEPARACION DE VARIABLES Y REDUCCION
A SEPARAcrON DE VARIABLES
SEPARACION DE VARIABLES.
las variables de la eeu.aón
pueden separar si es posible escribir la ecuación en l. forma
1)
I,(x)'
él f:'
actor integrante
r.
transforma
f ,x() .Ie, ()
y
K.(y)dx
+ !,(x)·
M(x.y)dx
+
/V(x.y)lly
.. O
se
g,(y)lly .. O.
hallado simplemente observando la forma de la ecuación.
J) en
.[.(x) dx
I.(x)
+ g,(y)
dy ..
O
g,(y)
de donde se puede obtener por integración la primitiva,
Por ejemplo. (x - 1)' y dx
~ conviene la ecuación en (x
xy
véanse Problemas 1·5.
ECUACIONES
HOMOOENEAS.
+ xl(¡. + l)dy = O es de l. forma l~ El factor inte¡nonte
1)' dx + (y + 1)dy .. O. donde las variables están separada •.
?
y
Una función f(x.
f(1-:<, ~y)
=
y)
se llama homogénea de grado n si
l.':/1x, y)
Por ejemplo:
a) I(x. y) =
x' -
es homoaéaea de grado 4. ya que
x'y
I(M,
b)
f(x, y) - e'"
+ tg!
Ay) .. (uf
x
).'(x' -
x'y) - )..,/(x,y).
es homogénea de grado O, pues
1(1-:<, )..y) .. -',,'"
e) f(x, y) =
- (M)'(l.y) =
xl + sen x cos
+ tg~
= ",.
y no es homogénea.
flU, )..y) .. )... x' + scnlUl
+ tg ~ ..
)..0 f(x,
y).
ya que
cos (l.y)
+ )."/(x, y~
La ecuación difereeeta] M(x, yld-< + /V(x. y)lly .. O se denomma homogénea
$l
Mlx. yl y
N(x.y) son homogéneas y del mismo grado. Por ejemplo. x In ldx + y' are sen ldy - O es
x
x
x
homogénea de grado 1. pero ni (X' + y')dx - (x1' - y')dy .. O ni (x + ¡'Id-< + (x - y)d¡' .. O
son ecuaciones homogéneas.
15
ECUACiONES
16
La transformación
. redeee cualquier
DE PlUMEa
ORDEN
y = .,.r•
dy
ecuaciÓD homogénea
y PRIMER
-.<be
+ "do
a la ronu
+ Q(x,
Plx, .)dx
.)dI> - O
en la que las variables se poccku separar, Oesp<lb de integrar,
las variables originales.
EN LAS QUE
ECUACIONES
c,)dx
• la forma
+
(a,x
+
h,y
+
+
h,y
(a,,,'
:1lx para recobrar
• por
Véanse
PERO
Problemas
c,)dy = O,(o,h, - o,h, - O),ser<duce
Q(x, l)dl - O
Véase Problema
+ c,)dx +
+
(a,,,
+ b,y')dx' +
h,y
(a"'"
+
+
c,)dy - O, (a,b, - a,b,
y - le soo las soluciones
+ O). se redu-
b,y')dy' - O
de las ecuaciones
y
D1X
+ b,y + tI
-
O.
Véa_
DE LA FORMA
y' f(xy)dx
xy ~ z,
red u..
12.
la transfonuciÓD
en la que x-h.
ECUACIONES
6-11.
NO HOMOGENEAS.
son separables.
h) La ecuación (a,)(
ce a la ronu
homogénea
mediante
+
Plx, l)dx
en la que las variables
se WSlÍIUye
M(x. y) Y NIx, y) SON LINEALES,
+ s,» +
a) La ocuación(a,x
por la transformación
GRAOO
una ecuación
+ x : g(xy)dy
%
Y --.
x
dy-
-
O.
1)·14.
Problemas
I S-17.
La transrormación
xdz-zdx
Xl
de este tipo a la rorma
Plx,:)dx
en la que las variables
+ Q(x.
:)dz - O
son separables,
véank
OTRAS SUSTITUCIONES.
Hay ecuaciones que no pertenecen a ninguno de
acaban de ver y que mediante una transformación
odccuadamcnle
escogida se
una forma en la que las variables seao sepanblcs. No es posible dar una regla
caso l. rorma de la ecuación sugiere l. transformación.
Veaose
PROBLEMAS RESUELTOS
SEPARACION DE VARIABLES
LIISvariables están separadas. Integrando. putS, término a termino .
•
Problemas
los tipos que se
pucdcII reducir a
gmeraJ; en cada
Problemas
18-22.
SE.I'AIlAClON
1. ResoI .... .r'(y
+
1)Ibr
+ 1'1x -
r... «.,.."......
El
Inte¡rando .. te
l)dy - O.
ueee
Cot 1
_I_)d>r
..-1
t
RaoI_ 4xdy - ya
+ .. ,'
El
1
2
(lICtor illtq;rante
,+1
1" lec)' +1) •
-
C,.
21.D(s-I)(y+1)·
+ Cy-I)'
ya
.-1
+ 21nCo-llC1+1)
+ Ix' -
u.mI'onn.a
4x)dy - O.
la o::uaci6o
al
ala otra ~
Oc" -4)
_o
lA 611....
ln'.""ndo,
que
x +
o
q.. tu .....
)'
y - J ID y - 4 lA ~
puede oocribir uI
r la ",lución
En .,..."..
ponículo,
lugar
le
+ h>
+ .r')dy
o bien
c...
(;a" - 4lJ1' -
)' - J...
:1
u, - 4x- ,_
o bien
y -
• --
e,
C,.r',' -..
de (1
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1
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'(1-3)<1;,'
1
lo _._~~
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~
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....
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5. H....
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Lo
puede... ribir uI ••
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•
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~
¡;t
2 • o ca •
..
_,..w.
bies está.
ResoI_
c..
e.
•
y(o - ul
4
O.
1+1
lD(.. -1)
o ..
_.r'dy
•
a ..!._. + _'l_<I;,.
O' -1 + _I_)<I;, • O.
t
.. • ".7 • .. 2a- -~.
(0+1)'
17
•
1
ncI_ lo -*lo
(7+1)(:1-1)
... 1 + ...
;J.
DE V"RIABLES
1LIt.
In(e,.r',,~
.r'" - etl.
o bien
- .r'ya
-
hallari la primitiva _pkoondo
o que ..
türap
coodicioaca
el Cactor
1
1<
7(1"
_¿_
do •
1.sS
LIqo ~ 7
s; ~ _
O.
1.7 - ~b(I .. '1 •
..
1, , _ 2: 2' _ C(I + I~
e - 4.
Y ..
_éa
e,.
.'>
'> t lo e. ". e(lt .'1.
11'7' 10(1..
pomculor
iniciales .e - 1, )' _ 2.
l' - 4(1 +.r'~
podida ..
EClJACION"ES HOMOOENEAS
6.
Si M ti>. + N ay
- o es
bomoJÚlca dcmc.uar
que coa lo transformación,
• o.e ..
.,.,.,....,n
la __
las variables..
Si M do + N ay
Id do
+ N dy
• o es bc>mot!_ "'{/J, (!)Ibr
..
Y con la transformación
M, (.)Ibr
+
N, (o){ob
No!!)dy}
e
se puede
O.
_
de _
X
/J, (!)Ibr
..
OX, 4y _
"tlx
+X
"do) - O
O
bien
y _
+
+
de ¡nodo "
+
N, (!)dy -
o.
%
dD se lime
{M, (o) + oN, (o)lb +.eN, (ole'> - O
dx
N, (.)dv
.
0, finalmente, - ...
_ 0, donde las vanabtes ~n
x
Ml (o) + vN. (11)
.. paradas.
de
18
7.
ECUACIONES
Resolver
(x> + y')dx
DE PRIMER
ORDEN
y PRIMER
GRADO
- 3xy' dy - O.
La ecuación es homogénea de grado 3. Mediante la translormación
1) X>{(I + "')d~ - 3v' (pd~
+ xdvl)
= o..
de donde
y
= !IX, dy =
ti
+X
dx
do se cbtieae
=O
(1 - 2.')dx - 3v'xdv
ecuación en la que las variables se pueden separar.
1
Se separarán las variables empleando el factO! integrante
x(l -2"'>
i
la" +
y
Como •
e•.
la(1- :¡,,'l •
= vl», l.
prim;tiva es X>(1 - 2y'/~'1
= eo
bien '" - 2y' =
c~.
Obsérvese que la ecuación es de grado 3 y que después de la transformación.xl
la izquierda de 1). Este factor se puede quitar haciendo la transformación.
a.
"dy - ydr. - ~
Resol ...
es un factor del miembro de
dr. • O.
La ecuación es bomogénea de grado 1. Empleando la transformación y = ox, dy = v dx
do por x, se tiene
"tU.
Empleando
el factor
De donde are sen
do
9.
ti
= ytx. are
sen
rk .. O de donde .a: át1 -
xdv - v4z _/l_t)'l
1
integrante
a.
----
dr.
.¡¡-::;J
"
¡¡-:;t
o.
-
In x
a las variables originales,
Resolver (2r Sh l: + 3y Ch f)dx - 3~ Ch!:: dy
x
x
x
= O.
2 Sh e dx - 3x Ch .dlJ
.
dx
Ch.
Y separan d o las variables,
2- - 3
-sdv
h •
x
Integrando, 2 ln x - 3 In Sh
Resolver (2r
+ 3y)d.r +
La ecuación
1)
Separando las variables
~
+ x dlJI =
•
x
ID x'(v'
+
1.1
tt2 +
¡In("> + 2.
O
= .
x> = e Sh' l:.
x1=CSh'o.
x
+ 2r")d.r + 2f"'l'(1
-
-1
dl.l.
2v + 2
e
:')d). =
y
O. de doode
~
(p'
)'
o.
ln()"
+
+ 20 + 2)dx +
+ t
2v +
2
112 .. 211 ..
%
+ 2) - 2 're .g(. + 1) _
2. + 2) - 4 are ,g(. + 1) _
11. Resolver (1
= O.
de grado l. La transformación normal La reduce a
es homogénea
+
= In C.
po~ x se tiene
(y - x)dy = O.
(2 + 3p)dx + (v - 1)(. dx
I.tegrando ID x
emplean-
x
La ecuación es homogénea de, grado l. Empleando la transformación normal y dividiendo
10.
y dividien-
-O •
= In C o bien are-sen ¡; = ln(Cx), y, volviendo
l. = In(Cx). O sea, Cx = r -1'11(.
1) -
dz
+ x dv
x(v -
l)dv
..;2:.:&:;":-_ • O.
dv __
2
= O.
(u + l)t + 1
eh
x+y
ay + ü') - 4 ate 19 -x
=
C.
19
SEPARAClOl< DE VAlUABUlS
La ecuación es hocnogCTw.t. de grado O. la pl'cscncia dé xly en vatios (&minos de la O<WAciónsugiere el empico de la transformación x .. ¡;-y. dx = o dy + JI dv,
dy
-y
y
lnlegraodo
. --a.
1 t 2c"
".,
et por x/y. In y
y su.stituycndo
o.
2,etl
+
In(&I+ U) _ In
e
y
x
+
2~~
_ C.
UNEA.L PERO NO HOMOGENEA
U. R<soh .. , (x
w
+ y)<lx +
(3x
+ ly -
4)dy = O.
JI - I -
Ento"","
..
2 d.<
Integrando
3' - A
dI _ 2 d.< - 3 di
2-1
2x-3t_21o(2_t)
• Cs..
+ 3)<1x -
, por x
+y
x + J' - ,.
4)(dJ - dx) _
o
2
di = O.
2-1
+ --
se tiene
C1•
h-3(x.y)-21o(2-%-y)·
y
JI:
JI'. h
•
•
z'.,
1- 7'. 1: • .,'.
+3
_ O, 2x
1.
h
l.
ay '"' dJ'
+ 4)1 -
= O, se obtiene
6
- O
que es bomogCt1ea de arado l. (Obotn-cse que se puede escnDir CSUIúltima _.
detalle tcdcs los posos de la tnftSf __
)
Empleando la tnns(ormación
y' = vx'. dy' -
II
~x' • ~.sz:
• 3,,+2
~~ .
34\1-1
si. DeC<fichd de _
con
dx' +- x: drJ.
(2 - Sv)d.>( - (2 + ••)(. d.<' + x' do) _ O.
y, fio.almcntc,
x .. h - l.
: lb'
la ecuacién dade en (2.<' - Sy')<Ix' - (2.<' ... 4)")dy'
se oI>c.iene
=C.
s+3y+21D(2-Jl_Y)
(7x ~ 4y - 6)dy - O.
Resolviendo primero el sistema de ecuaciones 2x - 5y
y_k_1.
""nvierte
+ (31 -
(4 - 21)dx + (31 - 4)d1 _ O
o bien
de variables.
+ --
y $ulltituyendo
RC1OI"", (2x - Sr
31') sugiemo la cnnsformación
x. dy - dI - dx se obtiene 1 dx
que es un caso de separación
11.
+
CXJ)«Sioncs (% ... y) y (3Jr
Emp&eando
(2 - 7. - '''')<Ix'
-
.>((2
+
..,)do - O,
o.
lntegraado
Sustituycodo
• por y,/x'.
(41' - .')(y'
+ 2.<'l'
- e,
y JUJtiluj'eodo x' por x - 1 Y y' por 1 - 1 se obtiene la primhlva (4)' - x - l)(y
14.
Resolve,
(x - )' -
1)<Ix + (4y ... x -
l)dy
- J)l
el.
C.
= O.
Resofvlendo ~I sistema x - y - I = O. 4,
La transformación
+ 2x
x.%'.h"x'.l.
y • '1' + k • y'
+x -
I = O se obticoe
X
= Ir _ 1. JI
= k-O.
dz • <Ú'
dy • dy'
redeee la ecuación "'-da • (x' - y')<Ix' ... (4)" + x')dy' - O, que C$ Itoclog<nu de arado 1. (Ot*n ese que ....
na~ormación
.1 I .: x', y _ y' se podria haber obtenido por simple: inspecc:ióo. C$tO es, e·,minando los
términos (x - y - 1) Y (4y + x - I),J
ECUACONES
DE PIUMEIl
7'· a'.
OIlDEN
ti.' . JI'
tly'.
.. '
'.(V,· .. 1'"
FORMA
y!(.y)dx
ate
.",1 .. t
ate" ~s' .
+
c.
, ,
.
.." .. 1
1. a' Ci. + 1) •
are tl.3L
'1
c.
are 1& 2'••
s-1
•
C.
+ • ,(¡cy)dy - O.
1'·..
La uanJl'OfINICÍÓn
Sept.nlndo !ss YSriables
In
l' •
le
_1_
..
21<'
lÍen<
1
..
•
11
•
.7...
.,
-r 1 -
.).
2~
_!.:...!.
s
•
'1"
•
O•
elt
c.'¡.
2117- 1 •
1ft-fiÓ
• O.
á .. (o _ 1).1\, • r.
• O de
sO
donde ~ lb -
1.1:1 l'
1e 1 + .).
,
..
!...
2 1. a-l ... -" • la C.
rJ¡ •
•
•
vp .
- %( 1 ... )
•
h
•
2o'7'ID1-
La cn.nsformación:
.'
h
..
1.
.th-II0
ti:!
'1. _/a.
y
Enlonen.
el.
la 2••
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..
h
•• --h.--·O
•'
l •• ' .. 'ID(i ..' + 1) + t
Y PRIMEA OllADO
JI
•
elll - " tia
11
w".
7
reduce la ecuación a
.'
t"t -
O.
•
..
C.
y
La ••
.,
-
i"" .
C.
SEPARACJON
SUSTlTUClONES
DIVERSAS
la.
•
Resol
ve,
~
-U)'
Ú'
0_
21
DE VAlllAlLES
• ('J _ U)' <Ú.
dy
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Lo .ruuformaci6n
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Resclver
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....
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La lfl;nsl'onnación
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1 + .- ID--
lott.,.n40
1'.
la CC1IaClÓft dada áy - U - •.dy - 4<á
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tbt - ~
,,'-
.
+ •. _
lo CI"< te úcoc
o.
•
be-v.
'J'-k .2. Ct-U.
7-u-2
y
dy - O.
-
s\l~ridl
x +y
J. - (.. -J.) •
=
o.
dy - du - dx reduce la ecuacióo •
IJ,
J. -
..
• O.do: doodeJ. - _'
tr.
1.
....
o.
y
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• O.
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.:ry(s '1 .. 3) .. C.
= o.
• nd_ lo
(2M + 3. - 7)<At - (3.
11('. ,,).
- la (. + 3)
2b"
1 • C1.&7("- '1~.. 3)
Resolver ('h' + 3.1" - 7)% J. - (3r
Lo tl1UlSl'e>rmXión
• o
.'
"
_la_.
2IiI
.,,'
dy.-"--J.
.'
x 1 • v.
+
CC1IaClÓft •
2. - '¡do
=O
la
que es lineal, pero no homo,enea.
Lo lr'nsf<><"lJlllCióo • _ $ + 2•• _ I + I J. lugar. lo ccuaci6n bomostnea (2s + 3r)ds - (11 + 2t)d1 - O
Y lo tra .....ormación S. rí, ds - rdl +,dr p¡opocciooa
«UacióD 2(" - IIo1r + (2r + ))rdr - O.
Separando las vañabk:s se tieoc
z!!.
C
• (._t)'
•• r
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U.
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X -
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!!:.!.!Jr
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2~ - !~
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(x dx
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dx) _ O.
cos,.r++...y' - P'. y/x - "
,tIp.
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En10nces..
• O.
2r-l
(.'_:1_1)' • e.
(.-0-1)'
Aquí x dx + y tly - !<i(.r' + ~.l)Y x dy - y dx - x' d(y/x) svl;ietu\
P <OS 6. y _ p
6. ds _ -p 5<. ,.
+ ""
dy - p
Lo
..~..!!;_
4 111.t - lD(r .. 1) .. 5 ID (1' - 1) • ID C.
Eruonocs.
t-(r-l,'
..
J.J. loma la f0<m2
dcdondc
p +
see 9 -
p' _. B (p tIp) + P _
tlp+I.6"",'.-0.
~X+I
eh Zv~- ~ r (--)
X
- e,.
,
y
IP' 41)
,tIp.
- O
(r + y')(.r + 1)'
-
er.
,. o _
ECUACIONES
22
os
PRIMER ORDEN
PROBLEMAS
n
y PRIMER
PROPUESTOS
Delctminar SI cada una de las siguientes funciones es hom~
dar su ¡ndo.
x' - xy.
a)
x1'
b)
x + f'J'
x1'
Xl + yl'
e)
y
O no
)o
homogénea de 2.. grado.
<)
no homogénea.
/) x," +)~'.
homogénea de grado cero.
d) X+YCOS;'
GRADO
homogénea de l. ~r grado.
Clasificar cada una de lai ecuaciones enumeradas
es, y. en cuo de que sea hotuotúw:a
are: sen X)'.
g)
Jnx-Iny
h)
JXJ
i)
+
xSény
00 I>otnogtnn.
homogtoca
In :.
O
2x1' +
y
3>",
de l."
homogénea de t," grado,
no bomogeoea.
... y¡¡enx.
a c:on,inuactón en una 00mil de las siguieotts. categorías:
(2) Eeuacion<S homogéllC3$.
~l) Ecuacioncs en la$, que M(X.y) y N~.)') son lineales. pero no homogCneu.
(4) &:woc.o_ de la rorma y J(xy)dx + x ,f(xl)d)' - O,
(S) No perteeeee a ninguna de las ant.erioR:s atcgorbs.
4;r....
zs,
(1 +
s,,¡,
dy·0
2;r)"
o
+ (4-.')dy.
(1);
(2).
de ..... grado
de 2,* grado
(1)
26- '1'rbr.-.'dyaO
(1):
(2).
27,
(I+;r)"
(1) :
(3)
28.
(,.)" .. y)dx
19.
(x
- (1 .. x)dy • O
.. (.'1_ x)dy • O
lx ..y
sen
JO, ;r'. (x • .2)
..
coa Z)dr
•
+ (x 1 • y1)(1'''
á -
JI. y ~
.. z
x(.I"
•
(4 )
C06
l
x
dy
(2) • de LU grado
.: O
- .d1') • O
/z~• ,2)dy
(5)
(2).
.: O
de 2.' ara<Io
n.
(x+y.l)cú"
3).
Resolw1 cada una. de las 3nt~riOI~ ecuaciones (problemas 2"·32) que penenezc:an a las catc:goria$(1 r(4).
s./,
24. ~"7 •
25. (1
26, '1.r
27, (1"
jo
e
2y)2
28,
. e -2_z
2.-
.. C:t'1
1) • C(l,.. X)
- (4 -.)dy
• O
'1 • Ct~S1
2G. s sen
31,
RHOh-c( c~d:, una de las siguientes ecuaciones.
34. (1.11')"
(3)
(2::r.2y+l)dy=-0
Ce -
Z •
x
C
§:7
y
••
32, ~ .. 2)' .. ln es .. y)
ln (¡xl -t y2 _ J:)
·c
vado.
hotDOgtnea de grado cero.
ti' Separación de variables.
u.
..
SEPARACJON DE VARIABLES
23
Sol.
36.
ctg
g7.
(x
e dp
de •
+ P
+ 2y)dK ..
(3]'-
'lO•• ydy
~J.
71+ '7)<Íx
•
.¡.
o
:-
('12 _x2)dx
•
z.)'
/.xl .. 4]2 lb
Sol.
(1)'- 3,X.. 3)dy -:
dy :-
p=ccose
Sol.
o
(y+l)(l-X)d.
o
Sol.
(Y_1+1)2(.y·+x_l)~·
Sol.
]+1:'
Sol.
r_' e -1/"1
y. ~
• o
ss:
l'
sc:ny.C
(x' ...,.')cú' .. 3xy2dy " o
Sol.
1l'4+~y'.C
Sol.
In(l:;' +10Y-1) + ~(.-
+ x (1 - xy)dy
43. d. + H-¿)Ctgydy
e
10 Cz.(.Y+ 1)
SOl.
42. y (1 + Zxy)dt
44.
Sol.
(2x.¡. 3y)dy
38. 2x d'l _ 2ydx •
39.
o
• o
1_%
__
1+.
y) • c
En cada una de las siguientes ecuaciones halla! la solución particular indjcada.
46.
x
dy '" 21 rbf • O;
41. (x2 +
48.
C()S;'
para.x:-
2. y :- 1.
+ .xydy • o:
,/2)dx
pan:r:-
1. y .. -l.
.. (1 + e -x) sen y dy '"' O;
dx
para.x.
O. y :. 1t/4.
SO. Resolver la. ecuación del Problema 30 empleando la sustitución)'
Sol.
51.
Y 1n
Resolver y'
Sol.
Sl.
2'
X
X -
,,2'
Y .. .z - ir
= - 2(2;r + 3)'~
1 +
V3(z,c
+ 3y)
1-
V3(z,c.
3y)
Resolver (X - 2 sen )'
Sol,
=
• <4
Sol.
xl),
Sol.
,/f ... ~212
Sol.
(1...e.x')see y :- 2~
Sol.
JC
:-
e
3
el-xl')
= nr.
• C:r y
mediante. la sustitución
!
= 2x
+ 3)'.
Ce ,,Ij.
+ 3)dx +
(2x - 4 sen y - 3) cos y dy
8 sen y ... 41 .. 9 lD{'\.r - 8 sen}'
.. 3)
:o
e
= O mediante
la susritucién
sen y - z.
CAPITULO 5
EcuacioDes de primer orden y primer grado
EClJACJONES DIFERENCIAl ES EXACTAS y REDUCClON
A EaJACJONES DIFERENCIALES EXACTAS
LA CONDlCION
NECESARIA
y SUFICIENTE
'(x,
1)
para
21'
y)dx
cucta es
• lI(x,
a.
2)
~
;!y
de
y)dY
o
•
-.
;!x
011
A ....,. se ve que una ecuación es exacta despub de una a¡rupoo:ión adec:uada de
nos, La ecuo.ción asl ordenada se puede inlqrlr ttrmioo a témUno.
Por ejemplo, (x' - y)dx
U
-
ay
+ (y' .-(x
"
•
ay
térmi-
x)tly - O es exacta. ya que
- y) :
-1 • -(y
"
Esto tambito se puede ver después de agn¡par uf: :rdx
+ ex' - y)tly
s
all
- x) .:
ax
+ y'dy -
ció. se puede inte¡:rar ttrmino a ttrmino para obtener la
embargo, la ecuación (y' - x)dx
$US
ax
(y dx
O DO es exacta.
+ x dy) - O. Esta ecua+ y' f3 - xy - C. Sin
:r'f3
primitiva
ya que ~
ay
~
2Y ~
2x
~ ~.
ax
Véase también Problema 1.
SI 1) ES LA DIFERENCIAL
dS'
EXACf A de la ecuación
~
~dx
•"
EntOtlC6,
aS' dY
•
C,
S'(x. y) =
'(x.y)dx'
•
lI(x.y)dy
•
ay
y
donde J" indica que en la integración y se h. tratado como una constante y .¡o(y) es la constaDte
(con respecto • x) de integración. Ahora bien.
~
ay
de dOnde:
Si
ay .
'(x.y)dx)
•
d<I>
_;ay:......,::--axc..
• 1(.).
11
~
"(x,y)
dY
- .¡o·(r) Y. por tanto. se puede hanar ';(.1'1.
FACTORES INTEGRANTES.
a)
• ..2.1 I'
Vean$< Problemas 2·3.
Si 1) no es exacta se buscará un factor integrante.
función solo de x, entonces ,m.)h es un Cactor inlesrantt de IJ.
24
ECUACIONES
', ély -
S
•
.x
DIFEIlENClALES
2S
EXACTAS
e"'- es un factor intell'ante
• - ,(y). función solo de y, entonces
Problem&s 4-6.
Véa_
h) Si 1) es homOj!énea y Mx
+ Ny
+ 0, entonces
M
I
x+ Ny
de 1).
es un factor integrante.
Véanse Problemas 7-9.
el
Si 1) se puede escribir en l. forma y J(xy)dx
+ g(xy).
+ x g(xy)dy = 0, donde J(xy)
1
•
.
ces xy (J{)xy - g("y )} - Mx - Ny es un tactor mtegrante.
ODtOD-
Problcmas 10-12.
Véa_
A veces se halla un factor integrante por inspeceíén, después de .¡rupar conwaíenlelnellte
los términos de la ecuación, al reconocer un cierto IJ'Upo de términos como formando parte de
una diferencial exacta. Por ejemplo:
<1)
GRUPO DE TlORMINOS
FACTOR INTEGRANTE
DIFERENCIAL
EXACTA
!
x2
1
y'
1
~ - ~
xdy - ydx
• d(..., "
~t+r
(s,)"
1
(sr)'
%
dy+ydz
xdx+Ydr
(.st. ,.2)"
• dx+ l~
x2.,1
-1
d{
• d{lnCxy)},
• eI(
(%2. ,2)"
•
-1
+
2(" _1)(s2
•
l)
•
} , oí n¡l!
('n. -1) (%7)"-1.
.y
%" + lay
l)
x
sdz-ld.
xl
1
x dr+ ydx
sdy+ yu
• d(lA
y.
X"
d{ilD(xl+y')},
,in-l
•
}, si ,,/1
yl)rt-1
si n-1
Véanse Problemas 13-19.
el la ecuación xy'(my dx + "" dy) + x'y'ÚJy dx + vx dy) = 0, donde r, s, m. n, p, 11. ,.. v son
constantes y mv - n,. 1< O tiene un factor integrante de la forma x"y'. El método de resolución
que se da normalmente consiste en determinar a y fl mediante ciertas fórmulas deducidas. En los
Problemas 20-22 se sigue un procedimiento cuya parte esencial estriba en la deducción de la.
fórmulas.
ECUACIONES DE PRIMER ORDf!l y PRIMER GRADO
26
PROBLEMAS
1.
o.mosuar
RESUELTOS
primcto apljcando 2) y despcés por .... or~ ' ....... od<n",b ele los I&mioos que _
una ele
Ias_·
eones es cucta. y ~
(3x'y' - .r'ldJ' =
o)
(4x'" - üy)lb
b)
(Y'y - ü)lb
e)
(eosy'"
+
a) Por 2):
Por 2):
aM
-
ay
_
e)
Por 2):
=
aN
.
luego 13 CCU3ClÓO a c:x:acu.
_ -.
+ _"dy) - üdx
(3t"ydx
C$
cM
ay
_",
-
-sen y
.r'
+ oos x
aN
ax lueao
= _.
t!7)
.
la ec:uadóa
+ (yeoo x dx
-e
d,>
see x
o.
ten x) -
La primitiva es ~ c:os J
+y
SCIl
x-C.
(2xyr' dx ... r' dy) - ü dx - d(¡>t"') - d(x') - O.
l
cM
.. _
~y
-
I&..:'r
Por inspocá6a: (6x'r
es x6,' ~
La primlCtva
1.
+ d(y
es curta.
~M
,aH
.
~y - '2xt' = ax' luego la ecuaa_ón es cUCLa.
La primitiva es )'r
Por 2):
dI.<') - o.
- d(_"y) -
= C.
(eos y dx - x sen y
Por in,pcoción:
t)
O
c.
= d(x ros y)
Por 2):
<"t!7 -
iJx
Por inspcoc;6a:
d)
(ú'''", 4x'y')Ib ... (3"''' + 5x'y'ldJ' - O
1)Ib ...
oN
.
- 2x - -.
luego la ccuacaOn es ex.ac:la.
ex
X",,3 - x"y
H'6
p", u,spocá6a:
La primitiva
t)
-
(4x'y' dx ... 3x'y' dy) - (2xy dx ... x' dy) - tl{,x"y'l - d(.r'y) - O.
La prirr.itiva es
b)
ü(y<'"
=O
(sea x - x .... yldJ'
~M
- l2xlyl
by
Por in,pcocioo:
di
=o
""dy
y_x)lb
o
xl _ C.
e«
+ 2Ox'y' = -,
GX
dx ...
luego b ccuacl6n es WId'
3x'r t!7) + (4x'y' dx ... 5x'y' t!7) - d(x'r)'" d(x'r) - O.
x"y =
C.
Rcsol ver (2x' ... 3y)lb + O...... y - l)dy = O.
aM
ay
. es exacbL
_ ) _ -.aN Juego )a ecuecién
ex
1'.... /1'<160 J.
En,o""".
Se tiene ~(x.y)
~ - 3x ... 4>'(y)
y la primi'i.a es
I'.t1l)/ uc 16o 1.
=
_
f' (2x' +
3y)dx
N(>. y) = 3...... Y - 1,
ix' ... 3.xy + lY' - y = e,.
Ordenando
-
lo. Iimlioos
o sea,
asl:
2x'
Ix' + 3xy
... 4>(Y).
4>'(y) - y - l.
x' ... jy ...y' - 2, -
dx ... y dy -
t!7 +
Y'llamando la a'ención sobre ydx ... xdy - 4<y~ se obIienc. por int
como en la moI.a6a
l.
4>(Y)-
3(y dx
lY' -
y.
e.
dy) - O,
V ...iT' -
y + 3Jt)f- e,.
ECUACIONES
DIFERENCIALES
EXACTAS
Entonces.
27
4>'(1) • - 3/,
4>(1) • -1',
y la primitiva. es
as! .x'
La couación se puede resoI __
que
...
1'<"'
+ 2xy<"'
3y' dy
t/)t -
+ V<",t/)t
+ Ü).....dy)
- O y observando
O{<"'~
dy -
(z' + y' + x)dx + XYdy - O.
Resol".,
011
-
t/)t
•
2,y.
01
eN
y:
la ClC\l&c:i6nno es execra,
OX
-~
~
Sin embargo.
2.-.
•
~
N
es un factor integrante.
•
'1
lnrrod~
y
-: !(:x)
xy
o
dx
x'
bien
+ ;ry Jy =
-• .
••
dx
=
e-4J4yf,
I{(.)""
•
f!
J""lx
:=
•
•
+ r' t/)t + <.<1' t/)t + x' y dy) = o.
d(!r-rl.
se
l~
para la primitiva
o bien
y
LUCIO e_h(Y)tQ
e
d (actor itLlegtanle se tiene
(x' + xy' + x')dx + x', dy - O
y temende en cuenta que
1
-
x
_
. ! . -sor1
t'-4'''' _ I/~ es un factor integrante; al introducirlo. la eceacién
toma la (onna
I uegc es exacta.
f
x
(2:te
,
•
1
• 2- .. -)d.
1
l'
4>'(1) • O, ,"Ü), _nte
Entonces.
y la primitiva es
1
28
ECUAOONES
(~
Sea
¡.<{O.y)
,2Y
J
•
2"
:r
• U y.
x
S2
(2< Y
22%'
%
'1 ~
2
•
Ú
.. 2)-) •••
y + 20y
'2"
,,2
t
2(1
• oy
..
•
,t.. x.,.
21)'
J" (21 •
do.
20 y)e
.. 2x7e
ORDEN y PRIMER
'"
2Ity .. ~7
J" (20y • •
•
DE PRIMER
"JI
+ 27 e
,,'
z)c
GIlADO
tlr =
~%
O
. lue;so es exacta.
do
.,;.
ú y)<
J"' 01 e ,;.do
do.
• (/1(1).
En,_
q,'fJ) •
J la prinIíIi .... es
7.
D<moouar que ..
.,.,.,...
AI(¡r. y)tlr
"
(2<t 12 • úy • 1)<
: Ny • doode Alr
+ N(x. ¡i)dy
Hay que dc:a:Iostru
+
xl
• C.
N, DO es id&"i •• .,." .. DWo. es UD
= o de ¡n6o n. &Iuálat
JI
que --ds
JI.. Ny
• --
N
/Ix • Ny
a
(/Ix.Ny) ~
y
(/Ix. Ny)
aN
a;
-
N(.
<llI
a;
inlqml"
de la caIOCi6o bo-
en que se teop la ideouidad Alr
Uftl
ocu.ación c:uc:a,. esto
es.
+ N,
_
o.
que
o
N.
ilr
rICIO<
N
• -(--l·
<lo /Ix. Ny
JI
- 11(.~.
ay
.0(_11_)
~ /Ix. Ny
d _
rJy • O es
-(--)
/Ix. Ny
ar
O.
y~)
ilr
.11. :t
aH
a;)
II..~ -lIN-N.~
(/Ix. Ny)'
(/Ix .Ny)'
N(dI) - JI(roIf)
• o
(/Ix. Ny)'
(po, el ._
de filler de las funcioocs
Si Mx + Ny es idmricamentc
DUjO,
bomo¡áxas~
N
para la que I/xy es un factOr integrante.
..
Raol .. ,
V+
")tIr - xy'
_! '111 ecuación
eetoeees ~ •
dy - O.
. .'
1
viene la oeuac:i6o ciada
CD
diferencial se reduce a y dx - x dy _ O
"
la oi¡uicnle
(! •
%
l..)do _
x,
es un (actor ;nteJl'lllte. que. al introducirlo. con ..
,
z::. dy
x'
• O que es
exacta.
ECUAOONU
Sea ~
. .'
I
• f • (-.
a , y)
a¡.
-
Entonces.
ay
'
L)Ja
•
+ <I>'(y)
•
DlntENClALES
..
I
,
z"
<1>(1).
'
L.
_
29
y'
l•• - - ....
,
• -L
EXACTAS
4>'(1) • O.
y la primitl ..... es
."
..
1 '
lD1C.--l...c.
y· ....
osea
'
"lDs+C."
NOIa. Se obIicnc d mismo (iC(or inaqn..n.t.c: medIante: d proc:ed.amieolO
t.. ecuación se: puede ,",,01_ por el mttodo del C.plllllo 4.
9.
•
.) c::&piICRO ca la
pIJU:
co6nca.
R.IOI ver y' d.r + (r - xy - y')tIy _ O.
Al introducir el raetor inle&rante., la ecuación dada toma La forma
e>acIa.
Sea ~ ••
y)
Enlonod.,
. j
d.r
_J_
•
~:2·_)'t
~
•
ay
- _'.xl _,'
+
! f"
2
4>'(1)
(_1
%-1
Z
ti -
1_).& •
.+'1
•
l' tú.
y(x' -
! 1.!..:.Z
2
•
.a -.al - 1 Jy .. O que es
r)
• <1>(1).
•• ,
•
y la primi<M es
,1.
D<mosuu que
1
M-x - Ny
• cuaado Alx - Ny
DO
es ;01&11"""""1<_.
es ...........
ció. M d.r + N dy - yl,(xy)tlx + ¡if,(.,.)tIy - O. Estodiat d caso en que se _
4&.
ll,(.&y)
t.. ecuación
.,.{f.(xY)
- f.(xY»
• f.«,.)
la jd,,,jlod
i:J •
pora la ..,..
iD_"
Nx - H, - O.
O
.y{/,CxY) -f.(.q»
y. que
..!. (
1,
o,. • (f. - l.)
)
•
I
y( ,-
1. (
f. )
o. y(/.-f,)
Al, - ¡¡;-l
01.
- f "-a;l<l, -f.)'
f .) af.
¡;-
1
..! ( b ) _ ..! ( l. )
ay «f.-l.)
a. y(f,-I.>
""O
es;dm_te
DUIo
ya qu< 1 ~~(xy)••
~(xY)
•
1, 01. _ l. al.
a.
1(/, -
a.
1.1'
30
ECUAOONES
06 'RIMU
y PItJMER GRADO
OItDEN
Si Alx - Ny - O. altODCa ~ _ ; '1 la c:cu.a6n se rcd:ucx .. x ~ + ydx = O. cuya soI-.a6n es XI
11.
y(rr
R.."'¡""
+ X 11 (xy)tly
_ O y _1-
iDltOduado. la cataci6e
Ya
Sea
1'{'.1)
t" t-
!la.
La
_óe
+
1:1. Resolve, y(2x,
te
l'. (-.1
,,,.,..
2
--lela
a.'r
2
2_2:11: ,.'
• ~'(l)
s.>¡
1
•
".. b',.'
- _1- _ ~ lay •
3
I
,,
lz'¡
1 .2)eIa
:¡.''''
a.''''
CODvienc ce ~ 7 ...2 O ... 2-2< Y tizo O
,,
2
yla primili>aeo
le
• _1- es un (actOt intrannte.
"'_Hy
,,
Uoa
, 1.s-
3.'"
1
.. e.
o bico
2
y la primitiVl
~
a,
ccaacióo
2
J " (.,1'
o
2
• _1_)eIa
1
• _1_
C,
x'"
"'r'
un factor inle¡ranlc
• 2ylela •
a) Si se ac:ribc
(2<
-
2<'/ltlz
(--
121
2
--.
1
es ... rOClo<
• --
%',.s
10,.•
- -)Jy
¡'"..,..,tt.
• O Y es cxatU...
T
~y).
"'y'
2
1
--.---$o',. s',., ,.
1
<1>' (y).
-- 1•
7
<1>1:7) • - I.y •
pan. cada una de las sí,uientes ec:~cioncs.
Jl',' -
:1:r)c(y
.a
O
0.0
(s + ~2,. _ s"';)d:y
.'y'
.','
...
1
-la,. - __1 - __1 •
.''1-
1
x·,,
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.'¡ -
o
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•
por Ílupe0ei6n.
e) (2.qt .. 1)...
..'r
• ~'1:7)
o
el
•
ea ( __2 •
te CODYStI1C
a) ('by·e' ...21:'1' ... 1)= ... (s',"e' _
bl (.',..
.- -3
• (y)
o.
l)otr ... .>«1 ... 2xy - x'r)t/)! •
.'1'
13. Obtmer.
~11.
puede mohotr por el método del Capl.ulo ••
Al introducirlo. la
En.o .....
•
Cl'.1/,¡zr.
••
",- ..,
1'(%,),)
1
:¡.'r
. --.
sr
~'(;,)
La ocuecí6e es de la ronna 11, "'y)ltr ... xl, (xy)t/)! _ O Y ~
Sea
C.
o.
... 2)otr ... x(2 - 2x'r)t/)! -
y. ccuaciÓD es de l. form.a y 1I (,r)')dx
=
(Problema j)
1-11)
• O
(Pr_I2)
la ecuaci6n ca la rorraa
el .tnnino l' (2%<' dx ... x'<, djo) - y' • (u .. direr<neial ...... ) s.liere que 111' es un p.,.;.bk racto< intqtanlt.
h.ra demostnr que es un factor intc:pa.ntc se comptobari que su huroctuc:c::ióo da lll,p.r a. wa. ~
cucta.
,¡z,..
lrr
Si oc acribe la 0CUII0CÍÓ0 ea lo (orma 2(r dx + x dy) ...
dx djo = o. el támiAo (1dx + ;r dy)
que I/(X,r es u. posible r....,. í.<cpaIl.e. Eumitw>do los ltmü_ que queda. oc lO< que c:aoh ano seri
una ctitermciaJ ea.acta si k = 3, $0 es, que I/(%)')' es un ractor rotqrante.
b)
suP=
ECUACIONES
OlfEU'ICIALES
EXACTAS
31
Escribiendo la ""uación en la fonna (x dy + y di<) + by(x dy + y dx) - "'y' dy - O 101 dOl primeros
t¿nninos su¡Jeren J/(xyt. El tercer ttrTnino ler' una diferencial Clacta si k - 4; por tanto, 1/(,(.)')4 el un raClor
intevantc.
<)
14. Resol..,. y di< + x(1 - 3....,..)oIy
Los t6rminos x dy
+ y dx
-
O.
o~.
sugieren l¡(xyt
(.,),
~
_ 3 ID]' •
2>1'1'
El Oltimo támino SUPte l~
Inlrodu~ndolo.
dy - o.
'Y el 01timo término f'tquiefc k - l.
1
Introduciendo d factor ¡ntevante: _-.
cuya primllivaes
+ ,di< - 3....,..
xdy
xdl+1<Ú
el.
Ita,..
+ r) como
UD
1_ obtm
l.Be __
__3 ....
x,'''
la ecuación loma l. (orma
'V
1
• o
w ..1/6c'r).
, ••
.'1
factor intcpantc.
... 4:/'</;f
la ceuadón se conviene en .. di + ytV
,,2. 'T'
• O 'Y u exacta..
t
t
t·
(s: ... ,. ), y • C•
•,.
xdy - y di< - (1 - x')d<
ResoI_
=
O.
Aqul t/r es el fadO' integrante, pues codu las Olnt$ poJibilidades sugerida. por X J)' - JI dx hlcen ineucto
al último ctrmino.
Inltoduciendod
18
l ...!
•
x
(actor inlCJII.ate se tiene •
...
Ji • e
o
lea
7 .. ,x:2 ... 1
+ '" + 2x'y' + I')dx + ., dy
17. Resol..,. Ix
Un ractOr integrante 'u~rido
=
di<
El
(lCtor
S'Y +
lrnegrante
1'.
+ In
x
=
o
CU)'l primitiYl
- O
x di<
o bien
2(.' • y'>
+,
+
%
•
el.
• O o bien s(s tIy+yú)
dy
+ {....+ ,..¡>di<
•
= O.
• Empleándolo se tiene
(s2. yI)2
Ó
.. ~
~
1-%
es
W.
dx • o.
.
rufuce la. ccuaci60 a 11 forma s dy .. yth • ~
~
1f
are sen (xy)
/l-:c'"
(2. _ 1) ••
por l. forma de la ccuactcSn es
O cuya primitiva es -
.8. Resolver .'!z +
•
.. ..
cIz -ya
• O cuya primitiva es
C.
Resolver
Si se dCribe la «Ulción asr:
(r + y')(X
dx + y dy) + x ay - y dx = 0, los términos x dy - )' dx su-
32
ECUACIONES
DE PRIMER
ORDEN
Y PRIMER
GRADO
¡ien:a l'anos tactorc:s inte-¡nntes posibks. Tanteando se dcte-nnml I/(x' + }J),. que redsce la
«uaC:ton
dada a
ronna
la
• O.
La primitiva es
20.
Resolver
+ ~dy)
1(",'dx
... l' C3ydx+
Sup6Qg.ut que el efecto de multiplicar
/+1dA + 2Jt••
(u··1
A)
t,'dy)
• O.
5%dy)
la ecuación dadl por x-y' es producir una ccuadón
... (3z4/*'Ú
• s.4+1/+'dy)
en la que cada uno de sus dos cénrunos es una difc:rmaal
aooaJ a
e
O
Entonen cJ primc:r lemuno de
C'.ucta.
A'
es propot.
Bl
este es:
el
y
a. - 2{J • O.
AoáJogamenle, el tesundo término de A) es propOrcional a
D)
:.
d{1
.·1 'M
y
)
(Q.. l),a' Y
4+
t)
•
• ,....
•
«-
C/J+
...
p ••
1
'3 .
Resolviendo
d.z
y
-5-
4)1
.+J
, •.,
Y
dy.
5o.-3/J'7.
2ft • O, S« - 3p ,. 7 simultáneamente, .e halla « = 2,
P_
1.
Haciendo estas sU$lituc:¡oncsen A), la ecuación se convierte en
La primitiva es
(Syáz + a.eI,) • ¿yl(4yáz
21. R_
+ Sxclyl • O.
Supónpsc: que ., muhiptic:ar la ecuación .dada por r-y1
• ,4-1
Al
(a. 1
áz,
•• 1
a.
#
+ (~
1eI,)
0.+2 ~+'t
tI.. $x
y
JC
•• ,
ha obtenido una tcuK1'ón
, •.,
1
ely)'
O
en Ja que cada uno de sus dos termines es una diferencial ex~cla. Entooccs: el primer término es proporclcnal
CI,+l '.1
B)
d(~
y
)
4.
•
«1+ 1)"
y
"+1
n
>11.+1'
dx + (~ .• 1)~ '1 dy.
esto es
~.¡J+-l
8
el
8
y
DI
t$to es
~./3"4
El
4
Resolviendo
el s.istcma « -
5
fJ -
0, So: -
y
4p ...
L. se obtiene « - 1,
P=
J.
a
ECUACIONES
DIFERENClALES
33
EXACTAS
SI se haceo CSW $USlÍlucioac::s en A) la ccuacióo toma la forma
t.
(Sicl <b ....
le1yl • (U
~;
••
<b + Ss 7 elyl
• o.
La prinJitiw es
NOID, Tanto en este como en e.1anterior problema no hay ncoestdad de escribir liU relaciones
que, con Ia práctica, se pueden deducir directamente
de A) Las relaeiones C) y E).
n.
x' yl
Resolver
(2y dz
(2<
S. ha de
ay) -
('1 cU: .. 7%d,l
la ......,;m, dad.
MultiplicaDdo
Al
+}I.
c., 1
5"
•••
S
dr.
xY
por
• O.
se tiene
A'"
1
JeIy -
e
."¡I elyl'
~.l
(Ss 1
exacto el primer término de A). entonces
5tT
B) y D)
dr.
o.
7s
Q. ~..
Si ha de ser exacto el segunda lénnjno de A), entonces ~
•
Q_ -
•
2/J ..
4.
7(1 - 5/3 • - 2.
y
S
el sistema ce - 2/1 - 4, 7« - S/J
Resolviendo
cada. uno de los dos t&minos es
3 .JI ti)
;
JI.
+ 3z
'y
-.11 -111
Y
-2, se obtiene «- -8/3~ {J -
-1013.
y b. pritoitiva es
C'UClO.
e,.
•
~_""
~
PROBLEMAS
23.
=
7 111 •
PROPUESTOS
Sdoocion.ar entre Ias siguientes oculCiones las que son exacta.s y resohl(_l"w.
- sely.
$<)/.
%1-6.'/3.C
Sol.
'1 +x'/3.C
4., • O
Sol.
%' +
o
ss.
1>(1 • e
$<)/.
.."' + 3x7 + 2)'2 + 4.r: + Sy •
$<)/.
x"r' .. ln(s/y)
Sol.
zJ
Sol.
(.'./~/2
el
("-lldr
O
.1
l(S-2y)dr
e)
(.t.ilcU,
el)
(%'
el
(x + y coa x)4:r + sen
j)
(1 + ~f')dp + 2pt'28 d8 •
'1
cU
h)
(2z+ 3)'. 4)dx; + (3z+,,'S)dy'
.)
(4)<
-"eIy.
O
xyely • O
+ ,.')ea + 2xy dy • O
_l.'
-¿
,,1
f
eIy
y • -)dx •
..
j)
2(ú
l)
(,1: ~2
..
Jt
2,. sen"
:
e
t'). e
• o
(:Ir
~2
yt _ y)ds +
o
1
Y
1 - -Id, • O
",,)du + C,,2+ vt)dv
+
t
(,h
•
t•
o
yt _
Jt)dy
e
o
e
_.
+ 3,,211 + ,,' •
-3ry'C
e
e
)'1
34
ECUACIONES
1)
(o. y +I)<b< - (x-y-3)a,'
O
a)
(.. +y+l)C&
(y-x+3)dy.
O
ft)
COSO<
,¡, _ (, eesee 6
+ t,'
O)
(7' - __
,_ • 2)ct. +
1(%+")
(~)'Clf
p)
"
1)) a,
•O
4y.
b)
e
2 In ..
Obc.encf para cada una de las siguienk$
• O
J»)
·1
s th + ytly
a
bl
(:ty-Sz)<b<
• xa, • O
e)
(.-i)<b<.
2zydy.
(.2 + yl')tb
O
(%"2 .. yt)d::t
e)
'1 tU - %áy .. lnx dx • O
1)
(Ss t .. )'t).
_ 2:Ky dy
h)
.
j) yb
)
- (x'-3xy)áy.
;. x(~2y_l)cly
W\
b)
(1 .. y')<lr
el
(2)'_z')~
d) y'dy
+ (z'+-4Ay" ... 8y-J)Jy.
para cada
1,11'10&
o
+-
+- z
dy
(31' _ .. y)cá
s.-2y2d1
~))'(.1+ y)dx
_ x2dy
l/r' :
Sol.
lj(x' .. ,.') ;
Sol.
Vx':
y .. lnx .. 1
~I.
1/.' :
3%' _
~I.
1/"7 ;
: O
o
I
O
o
.
UA
+- x In r
are
'/y
=
tg
/¿) :
.¡!:
,.,2/1 _ %5
=
e
~/.
y/x' ;
3.12 _ 2%:2.1'
o:
x' e
+
e
.'1 .. y2 • Ct"t&re
2):
lj(;cy'"
y/. =
= ex
,2 . ~
+ Io(r'
2
.. .1 );
Cz
11 >IX
Ot.2
Ja(Z]' .. 2)'}
-+
z'
+-
de tu St¡Uicates «,,'Icioaes y baIla.r su soIuc:i6D.
= O
-;rflYtx) es
e
+
~/.
Sol.
y.ex+-"
~/.
!te
+7
1/(x
tt
+- (z+2z y)dy"
X
sa:
o:
o:
•
7
•
••1
,
y(y2 _ 2z2)d:t ... x(2y' _ x'l)dy
()crno¡.t:ar que
Sol.
a...
2
(2,)o+-3.*y2)dx
Sol.
Sol.
_ (.1 +- 6xy')dy
: C?"
o;
~/.
.. i(X'Y-3)dy
7
1/ex1. ..
O
2
•
Sol.
z'y • z'
factor ""canolc
de
7
o
lo x/(:t
1& T:
_ ",i
.. ~
o:
15
:e
Cy
S.I.
3)'2 .. :t In(xy)
S.I.
$}Y·
$01.
x/y
ss:
"'1'(1" xy)
Sol.
x'),2(y'_x2)
JI
- 4Y'
, In x
dy - y d." ,. O.
o:
o:
e
: C
o:
adecuado
y ~wrbs.
por ms:pecoóo.
,'> ;
e
!:~
.e
are, le
-
(actor intqrant.e.
o:
ydz - záy
1)
lnh:J.y'_2x+4J'+$
.
y •
_
e
./0 ..
l)
2
•
....
empleando el procedimiento
y •• re sen
~/
"' (1+ z2)cfy
e)
)
o
o:
dy _ ydz : ~?e;tdz
X
.
O
o
o:
factor inttgtante
.)
h)
_ s: dy
3JC)"(Ú
(y;. ..}y+2r2)CÚ;
M. Obccoet
O
- (x_ y)áy : O
(n y)d.
i) ay dx _
o
7
:J .... eX)
e;Jl
Sol.
,)
UD
e
x
_ 2y)dy
a:\I.ac::tooes
..
lDX+-7+~+1)()'1'.2).C
•
Y,. 'y2eQ t 1)4:t + (xt~x, .. byclf:1
a) (01-2!)d.
%7.
o
,coscc8 .. In MeS
t:r
2
d) .. ti)' _ ydJc • 3x2
:;
x «7
GRADO
SlJI.
6 )el8 • O
+ 2y,"
[_1-
y PRIMER
ORDEN
Rcsolw.r las ecuaciones restantes del problema aneerior [b). e). g).
del Capitulo 4.
~I.
2S.
-
B tl6
J
U.
DE PRIMER
e
=e
Cr
+- 1)
•e
3.1" •
e
CAPITULO 6
Ecuaciones de primer orden y primer grado
EC1JAClONrS LINEALES y ECUAClONrS
LA ECUACION
!!l:'
1)
+ yl'(x)
dK
REDUCIBLES A UNEALES
Q(lt).
s
cuyo miembro de la izqu.íerda es lineal tanto en Ja variable dependíenle como en su derivada,
llama una ecuación IiJltal d. p,imer ortkn. Por ejemplo.
~ +
Jxy - sen x es una ecuacíón lineal, mientras que
d
Como -(ye
f,.(.<).
c!>c
e
f,.(.<).
dy
) .: -
c!>c
e
f,.,,).
+
y pex) ~
t+
f,.,,).
se:
3xy> - sen x no lo es
•
e
f,.,,).
dy
(c!>c • y
1'",) ) ,
es un factor in~lP'.nle d. 1) Y $U primitiva es
V~... Problemas 1·7.
ECUAClON DE BERNOUILLI.
dy + y I'(lt)
c!>c
•
Una ecuación de la forma
o bien
y' Q(lt)
se: reduce a la forma l'~ a saber •
dv
c!>c
t
v{{l-n)I'(lr)
• (l-n)Q{,,). medianle la lransfor·
mación
y
-. dy
1
dx~l-ndx'
dv
V~nse Problemas 8-12.
OTRAS ECUACIONES se pueden reducir a '" forma 1) medianle transformacioDeS apropiadas.
Como en Jos capítulos an te riores. no se puede dar ninguna reala ¡cneral; la forma de la ecuación
su¡crirá la transformación adecuada.
Véansc Problemas 13.18.
PROBLEMAS
RESUELTOS
ECUACIONES LINEALES
•• Resolver
e
e;Z es un (actor intepanle.
o¡,¡."
1. Resolver
$
2:
a
y
1 .. s,S .. !.el - 21
<Ú
fP(.s)do = -f'i!
•
• -
10.
y
e--m 1.
!
x
35
es un (aclor ¡nlterante.
36
IlC\)AC!ONIlS
OS PRIMEA OROIlH
f!(o'.3.-2)a.
•
•
3.
Resolver
'!l •
(x ... 2)
f(0.3-~)a.
• ~) + &lit .....
2y
y .. 2(x _ 2)'
!!l
O bien
a.
a.
f
p(lla.
-J':!!'"
•
• -2
•
1
y(--l
._2
...
+ JI
R(SQI~r ~
f
• 2
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f
a. • 2
.-2
..
-
e".......' -
JI
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x
1
R""¡..,
!!l
o b;en
.'
... ...!. ... 3 tn s
__
• (.-2)
.
,...111(._2)
J_
0-2
'•e
1-. JI _
-4.
•
St-J ... C.
t.
-)1'
2
--y
.'
• l.
y un f&Clor ¡nlevanu: c:s
Entonces.
1
x~~lh2•
obkn
- 21' tll 21 - I - 21 c,&21 - 2 eeeee 21.
R""lve,:
Entonces, y
(OS«
2x - f (eosec 2x - 2x etg 2x cosee lr - 2 cosoc'
7. ResoI_
JO
In y a.
+ (1 -
~-"'f),,"_ ,....,. _ In y
Asi x in y _
J
ccsec 2x + ct.¡ 2x +
e
In yjly _ O.
ecuación. consid<rando •• eomo ~
Entonces
2x)dx' = x
+ cos2x + e sen 2x.
y _ x
La
• 2(1_2)'.
;72'
y
seo x:... X-.
~
'-
c..
In ••
(.-2)a.
,senx- S¡,.-'''lI.$tnxdx
So
o booo
•
H.Ua, la soIuci6n plnicular, dad" la) condiciones iniaalcs: x ..
Un factor ¡ntcgraRle e' t}w¡·· ..'· -
, o
ORADO
'i un rlclor ¡nLratanle es
-10(0-2)
(.-2). ,1 --
y 'RIMeR
In y dy • ~ In' JI
y
2
~te.
es uo
+K
(:actOr
.. p.ede
"'*'
al
lo rormo ~
dy
intcpntC'.
Y la soluctÓn es 2., In y _ lol y
+ C.
• _1_ o • 1
ylAy
7
37
ECUACIONES I.INEAlES
ECUACION DE 8ERNOUIlU
8.
Resolver
dy
;¡; -
7 -= xy
,
La transformación
••
Entonces,
y
9.
Resolver
_It
•
y
..
-1)';''1
y -¡;-y
o bien
-.
lE
- ..
v,
reduce la ecuación a
o
~ .. ~y
tú
.¡.
o
JlY"
y'"
2
=
o bien
v,
empicando et factor inlegrante
..
-3y -.
dy
_ • d_u
1
.. 31
tú
.
•
-J6ztú
e
1
•
3(1- 2x)y
O
bien
-).<'
y
....
(!-.
1
osea
1 -,
:;Y
~+
tú
3
-=
!<!a-l)c-':dx
:. -2t ..-~ _ c""X.
e
e sea
d.
&; - "
-1 _ 21: ..
1 •
;>
2x - I
es".
o bien
_
<Iv
tú
reduce la ecuación a
e-"
•
!(1-2x) •
reduce la ccu.ación a
~ .. y
tú
para la que
).<.
-"2+Ct
y'
es un (actor integrante. Enlonoes. integrando por partes.
V~-"
11. Resolver
3<.
se tiene
la transformación
para la que
-]t.
reduce 13 ecuación a
tú
1 _Jx'2:
J3<.-''? tú • - '2c
+ e
.. ~,2:
~
..
'tx
tú
Resolver
•
Un (actor integrante es
U Iransformación
10.
• x,
-.
es un factor integrante. Entonces,
1:_sen1.Ct~.
y
11. Resolver
Jl
dy -
{y .. x,Y' (1 • ln,,)}dx
La ¡rans(ormación
para la Que
t/Z
h/I<
= .xl
'1
-.
*' v,
o
o bien
y
-,
ay
;¡;;
reduce la eeuaeée
1
i'
-.
3
'"'1.lnx.
_<Iv +
tú
~".
<
-2(1+10%)
es un tactor integrante. EntonctS.
o sea
~
yO
-=
-
2,
2
3' (3 +
lo. x) •
c.
38
~CUACIONES
SUSTITUCIONES
DE PRIMER ORDEN
Y PRIMER
(lRADO
DIVERSAS
13. Una caJ3C1On de ,,, forma
!l . /(1)
,. (1)
.na eeuacióa
P(.) • (1(.) <S
<Ú
GV +
;¡;,
"p(z)
en 11 nueva varillble "
• Q(.I)
Jly,.
la
lo""
de pri_
orden
(ObJér'YCiC que l. ecuación de Bemouilli
es un eJemplo.' ..
•)!l~ •
Coa la nuevs Yariablc
tOf integrante.
-
x dx - lr (sen x -
= ,J_.
C$
\lO (aaOf
COI
+
x)
CO$
d)'
Con la nueva variable " -
..
do
h
...P = .. sea x para
C.
o sea.
r _ 2(scn x - ces x)
o &el,
-$Cny;;
d)'
+ COS)'
+ 2&1
y. ta C(Uación se: conviene en :
CO$ X ..
sen 1
!r_.
srnl
X
-I<')-~¡en x
+
+ ir-a
e
o bóen
15.
ay
Resolvet sen JI -d ..
x
d
I
dycosy
Como -(--)
COl)l
(1 -
x
COSy)
Kny
cos)'
-.
:
f -.xc ""'1t _~-
'.
00$
...
se:
son y d)'
ees! y d.'t
o bien
- =r:-;' se: coma v - --
Mediante d (-.clor Intca;raruc ,-.
&lit
la que ~ es un flC'o
Y
I
------
y se
obCJcne ,.
COi Y
__ r
•.
,
dv
ccu.Acl6n L
~
- v ..
-.Y.
obt_
c -]t • ~ -J( +
e 0".."..;n.,
•
"""1
Aqui ex dy - Y áx) su,;cre l. lnfnsforrnación rX
obien
=
e,
y : u-¿
¡.-'
<Ú +
+ Ct ..••
(2 ces x) _ senJ
tnle&r&nlC. EnlOooes.
,,¡z ...... = 1r-" seo' xcos x tbt ..
•
......."-n_
tJ. tI. c:cuacióo se (;OQVtc11C en
Resolver sen " dx - eos s: (2 (OS y - $Cnl x),
"'-¡tIU
•
EnIOl'CU.
."..= 4 f t! sen
...
I! - /()')
,7
c..-"".
Aquí no Se puede: calcular 111integral iodefinida eJCpresándola en funciones elementales,
X
:c COI X.
cos .( pan la qlJt
39
ECUACIONES ~INeALES
17.
Resolver
o bien
el primer 1crmino sugiere In su,slituc,ón rs _
.. 3 !.dr
dr
r
•
Entonces, ,-) es un (lictor inlegrante
Ir'
JI.
x$tn9da.
Resolver
la suslilución
•
r" ••
(,. dI ... dr)
que reduce la ecuación a
I
!!
..~
(
d,
r
.""'
..! dr
r
>
3r' ..
úy.
tly • _.x
cee 9,
2xycJx
Un Iectcr inlegranl,C' es ~'
•
6
;;'
y la solución es
e
(x~_2K2C059.coSe)dx.0
»s
.. 3. dr
sen
e d9
.'
3
C
•
o
_xs.cneá9.
"
r
.'
eoe9dx
.. 2coa8d.·
s cbt •
.. coa 9 dx reduce la cc.uaeión a
2. .. 2.ty
zdx.
.
-
•
" x,
dx
y 1:. solucjón es
¿
1 .' + K
-~
2
y,
e
2 eee
e sea
x +
&
c..:.-x'
,
PROBLEMAS PROPUESTOS
19, Seleccionar entre las siguientes ecuaciones
y ., 2 .. 2x
Q)
dy/dx"
b)
do/dlJ + 30 • 2
e)
dy/dx
d)
x dy _ 2y dx
e}
di/dt
.. y
=
xy2
= (x _ 2)e';
ca
- 6, = 10 sen 2(
/) dy/a..
y •
y(1+/)dx.
l)
yy'
2(1-2<y')dy
_ :r.y2 .. .z: • O
a)
:r. ¿y-yaz
n)
4>.(1)
lO
tU/d'
"/.z:'- y2
••
41,(1)
2 tú/dy -
xy'::
• O
q)
(2 .. y'1)rb.
-
(z)' .. 2y .y')dy
- CQS 2,)dl
r)
(1;. y')tÚ
•
(are
.)
(2<1' - y)dx
t)
(1. sen y)4:&.
e)
r:
6)
.;
F.I .•
y('1:
j)
r;
F.I..
sen'18:
tO
ydx.
(2s .. c2t )ds • 2(.c':
i)
xdy.
j)
el,. .. (2,. C'lg 8 .. sen 28)d8 • O
x~y'tú
z/:t .. x'
ay
• 1
p)
h)
y~:<
•)
o)
y','
.. (xY.K-3y)dy
las que son lineales. establecer la "ariable dependienle y resoh'Crlas .
t&
y(l _:r.
CO$ y •
• x
%)
2
o
ccs s
• o
19 y - x)dy
dy •
.2%
(2ycosy
O
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~
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s«.
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y;
F.I.•
b)
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F." •
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F.I. •
y.2,I.Ce-x
30"2.C~-~8
y=e%.Ct:'
F_I •• <-6t
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ECUACIONES
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• • v; y • •
., v: .,
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L, R, 1: son coniUanld.
C05
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al tipo de Bemouilli .
1 ' C.
sc:ny.C
y·C06y+y
x
s.z-2 • (U5.C),-
del Probkma 19.
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1.
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ez' "
1
r • r~.
&/.
'Z,
• x
.. 1 • CA:
xt
CAPITULO 7
Aplicaciones geométricas
I se ha expuesto
EN EL CAPITULO
la forma de obtener la ecuación diferencial
/1.<. y. ¡i) - O
1)
de una familia de- curvas
2)
g(x.y. C) - O
La ccuacién diferencial expresa analíticamente
de las curvas de la familia.
Recíprocamente.
una determinada
propiedad COmún de cada una
si se da una propiedad cuya representación
anaHtica implica la derivada.
la solución de la ecuación diferencia¡ resultante representa una familia de curvas. poseyendo todas
la propIedad dada. Cada curva de la familia se denomina una <111'1'" integral de 1) Yse puede obtener una curva integral determinada
por el que pase la curva.
dando alguna proptedad adicional:
Para facilitar su manejo se citan ordenadamente las $l,uientes
por ejemplo.
UD
punto
propiedades de las curvas que
implican la derivada.
COORDENADAS
REO ANGULARES.
Sea (x..1') un punlo cualquiera de UDacurva F(x. y) - O.
1
•
o T
al
b)
d)'
;¡;. es
la
de Ja tangente a la
pendltnlC
CW'YI
en
11
ex.,."
_dd't es la pendiente de 13 normal a la CUr.... en (x. )') .
•1'
(") y - y • dy (X
11.<
-
".
es 13 ecuación de la tangente: en ex. y). donde
(X,
Y) son las coordenadas de un punlO
cuatqulera de la tangente.
d)
d.y
d)'
Y - J'. - -- IX - x} es
qutetOl
13
ecuación de la ool'maJ en ~\'.)'),
de 111 eormal,
41
•
$leOOI)«
X
•
Y) las coordenadas de: un punlo
I
CUII •
42
APUCACIONES
t)
x - y -"" y y -
;x -dy
son los sesmenlos
tlx
ti)"
n ..+ y dyh '1 1 + x dx
dy son
,1
1JI
+ (:1'
h) 1 j1 .. (~)'
y
.j 1
y
X-/l"
(~)2
dx
d)'
.
Y JI - son las longitudes
ti)'
ti.
1) Y -
)
k)
d ••
/(dJ/)2
.. Cdy)2
o:
en 105 <:ies x e
)1
por la t¡npte
lntCfClC'PlaOos por la nonnaJ.
$O'
las "",,"udes de l. UnJC1"e entre (x.p) y los ejes
son las lon.auudt$ de la normal entre
de lit sublangelltc
ex,)') y
10$ ejes
Jt
e y.
x e y.
y subnormal.
lb)) ..(*)2 . dy/lt (:)7
JI tlx o x dy es un demento
COORDENADAS
itl.letceptados
los scgmc:ntos
+ (~12
OEOME.TRICAS
es un ejememo de longitud de arco.
de ara.
Sea (P,8) un punto cualquiera de una curva p - f(8~
POLARES.
•
•
•
r
_ p 4J. don<k • es d i,D,guJOentre el racho "celor y la parte <k b Utl\gtOle dirigida ba(ia el
dp
fa curva.
1) 11.
oricen de
dp
dO es la longitud
n)
p ell '" -
o)
11 sen '" - pI lis es la longitud
p)
dO
dI.
eree.
I CdP)2
.
'1
T
de 13 $ubnornlal
D.,2
P (dvl
:
polar
desde el polo a la tangente.
de 1a petpeocheul.llr
di>
j l.
P
idO,
(;¡p)
•
de
¡dPi
(dlJ)
..
P
2
es un elemento
de lonsitud
de
APUCAC10NES
43
GEOMIIT"UCAS
TRA YECTOR lAS. Cualquier curva que corre • cada uno de los miembros de una familia dada de
curvas bajo uo ángulo COnstante (Ji se llama una trayectorio w de lo ramilia. La trayectoria de 90°
de una Iamiíía se denomina comúnmente una trayrctorta ortogono! de la familia. Por ejemplo,
....éa.sc la Figura (a). las cieeunterencias que pasan por el origen y cuyos centros están en el eje)' son
lta)'ectoñas ortogonales de la familia de circunIcrc:ncias que pasan por el origen 'f llenen $USceatres en el eje x.
r
r
T
C
•
lo)
Pal'1l hallar tales trayectorias se empleara:
A)
Las curvas integrales de la ecuación diferencial
y'-t,.,
f(x, y, 1 + y' ti") - O
3)
son las trayectorias
(i)
de la familia de curvas ¡nlcerales de
f(x,y, y') - O.
1)
Para probar esto. considérense la curva integral
e de
1) y
UDa
trayectoria
(J)
que se cortan en
P(x. y). como se muestra en la Figura (b). A cada punte de e para el que l} define un valor de y',
se puede asociar una tema de números (x. y; },'l, siendo 10$dos primeros las coordeoadas del punto
y el tercero el valor correspondieme de y' dado por 1). Análogamente, con cada punto de T, par.
el que hay una tangente. se asocia una terna (x, y; y'). donde Jos dos primeros números son las
coordenadas del punto y el tercero la pendiente de la tangente. J)ara evitar confusiones. ya que
se están considerando las ternas asociadas con P como un punto de e y corno un punto de T. se
escribir' l. ultima (asociada con P de
así: (x. j: j'). Ahora bien. teniendo co cuenta la figura,
x - .•• )' = j co P mientras que y' - tg O y i" - tg f¡ están ligada$ por
n
,
O t
y - tg = g(.p -
1<»
=
tg .p - tg (U
Y' - tg w
1 + 18 f¡ tg (i) = 1 + Y' 18 (1)'
Así, en P (un punto general en el plano) de una trayectoria
f(
x,y.}'
')!e- x,y.- 1Y'+ -Y' 18
18Q})
w
. rayas.
.
permanece. o bien quitando las
B)
Las
CUI'V2S
!(x. y, J
)'~
+ y' tgwQ})_-
la relación
(1,),
=
O
O.
inlcsrales de la ecuación diferencial
4)
son las trayectorias ortogonales
[tx,», -1/)")
O
de la familia de curvas integrales de 1).
44
APLICACIONES
GEOMET1UCAS
En coordenadas polares. las curvas integrales de la ecuación diferencial
e)
d9
¡(p. O. _p2 dp) = O
S)
son las trayectorias ortogonales de las curvas integrales de
dp
6)
[(P. 8, d9) ~
PROBLEMAS
tx. y)
l. En cada punto
o.
RESUELTOS
de una curva el segmento que 13tangente intertepl3 en el eje}' es igual a
2:.cY-.
Hallar la
1
2
curva.
Empleando e). la ecuación diferencial de la curva es
dy
Z;¡;
=
Y -
~y
2
]
YOx-xdy
o
l'
osea
Integrando
x-xl
11-2q
•
------~---Jj
Cy.
2q2
También
se puede
obtener
la ecuación
mente de la figura adjunta. así
~
==
En cada punto (x, y) de una CUM
UlmbtéD por el punto (l. e).
ta
o
y - 2xy2 •
cbc
2.
di(t:teDciaJ directa-
•
subtangeete
es proporcional
al cuadrado
Mediante i), la ecua-ción diferencial es y ~
d]
pcrcionahdad.
Integrando.
k In )'
= --x1 + C.
Para X
La curva pedida eeee por ecuaci6n
=
de la abscisa. Halla,r la
]
k In y _
e: k
=-
_!x +- k +
J +
si
pasa
. donde k es el factor de pro.
It ~
1, Y =
CUI"\'3
e y c.
k + L
l.
3. Hallar la familia de curvas para las que la longitud de la parte de la tangente entre el ponto de contacto (X. y) 't
el eje y es igual al segmento interceptado en y por la tangente.
De g) y el se deduce
La transformación y
Y-Zd;
=
dy
de dende
ln C.
%(1
2
C
o sea
2v dv
2
dy
Z '"' y - 2x1;¡;'
ex reduce A) a
•
Luego
A)
o•
APUCAClONES
4-
4S
OEOMETRICAS
Por un punto cualquiera (x. y) de un .. curva Que plisa por el ofilen se trazan dos Retas parnlcla, a los ejes eoerden.dos. Hallar la curva de modo que divida al I'«I'n8u1o fOlmado por la, dos rectas y I()$ cjes coordenados en
dos $\Ipcr6cies. una de las cuakl se. Inpk de l. olra.
o
o
A
•
A
(al
En las tl_g.uralile representan dos. casos:
D) EnCstC' 3(irea04P)
Para obtener
~ ireaOPB.
la ecuación
diferencial
Luqo
3(Ydx
se derivad respecto
As!. pues.
Mediante
b)
•
It
q-foXydx
ó
x,
de donde
tntcar:u:lón
se
obtiene
Aquí. área OAP - J(órea OPB)
la cc:uación dirCfC'OciaI es
?fiX
J.
familia de
y
curvas y • C~.
41: y dx _ 3xy.
3' • y la. (Imllia
.x
Ik curvas lime por CCUlciÓG " -
ex.
Como en cad. easo se obtiene la ecuación dlferenciaJ medllnte una deri....da pueden habene introducido
soluciones eXltaftas. Deben calcularse hUi áreas, P.11'l1comprobar. En 105 casos que se. acaban de estudiar. las cur ..
vas halladas satisflcen las condiciones. Sin embar¡o. véase ProblemA $.
S.
La superficie: fmutada por d eje x, una ordenada fija x • 11. UftI ordenada vanablc y la parte- de una curva ínter«pi.d.
por las ordenadas gira .Indcdor
del eje: x. Hallar la curva SI el volumen c:agc:nd..rado es propot'Cional •
a) 111suma de 11$ dos ordenadas.
b) la diferencia de las dos Ofdenada.s.
al
Sta A la longitud de: la ordenada
es
~y2 a. le
t!z • I"levando,
Aja. La ecuación diferencial cbtenida derivando 1)
"!tIax y2,u
•
Ic(y
+ A)
se liene 2) 1(C - .x) _ k.
áx
Si
le
utiliza
el valor de y dado
por 2) p.1ra calcular
el miembro
de la izquierda
•
luego
la solución
es e.xtraAa 'Y no existe ninguna
•
curva
que cumpla
de 1) se ueee
l(y - A) •
la p,.opiedad
a),
ny' • le dt/.'J'cuya solución es 2') }'(C - lu) = k.
x
Como se ha
qutricl ..
vialO
en 3). esta ecuación satisface a)').
Lueco
la ramilia de curvas 2') c:umpk la prop.iedad re-
46
6.
APLICACIONES
Hallar una curva tal que en cualquier punto de ella el ángulo entre el odio vector )' 13 tangmte: sea
tercio del ángulo de inclinación de la tangente.
Sea O' d ángulo de inclinación
el radio vector y la tangente.
Olmo
~
=
,/3
del radio vector, t e! ángulo de inclinación
= (~ + 9)/).
,
Mediante 1). tg
.¡, ~
se deduce
'" -
j6 y 1& '" = 1&
de la uRgente
y
.¡, el
lruaJ
fngulo
a un
entre
19,
d9
úp
P -d - 18 !8. luego - = clg ~(}d6.
pp'
Integrando. tn p::a 2 In
1.
GEOMETRICAS
stn
i8
+ In el'
=
de donde"
C.
scnl
10 =
en -
ces 9).
la superficie del sector formado po, un ereo de una curva y los radios vectores de sus puntos extremes es la mitad de la longitud del arco. Hallar la curva.
Sean 10$ radios vectores dados por 8,,",8.
Mediante
.,
H8
q) y pI.
p'
se
=
y 8 - 8.
,
.f. Jdp(dO)
8
~ 6,
+ P
,
d9.
Derivando con tespocto a O. se obtiene la ecuación diferencial
o
dp •
1)
iplP"-
Si p2 _ l. I} Se reduce a dI' = O. Se puede comprobar fácilmente: que p -
1
d8.
J sottjsface la condiCión del pro-
b-Iema.
Si pl
4:
l. se puede escribir la ecuación en la forma
dp
'"' t d8 Y obtener la solución p - sce(C
±
6).
plp'-l
Laego las condiciones están satisfechas por la circunferencia p _ I Y la familia de curvas
sérvese que las familias p = scc(C + O) y p - ,seefC - 9) son la misma.
8.
p -
sec(C
+ 9).. O~
la curva para 1:) que 1:) porción de Ja tangente entre el punto de contacto y el pie de 13 perpendicular
'lada por el polo a la tangente es 1)1) tercio del radio vector dd punto de contacto.
Hallar
/11
P
o
P
.p
P
o
o
(ol
(b)
-3p cos 0/1. tOS ~ = -l/) Y 18 ~ =
En la Figura (al: p = :la _ 3p 00.(. - wlEn 'a Figura (b):.
'/'
Mediante
=
3á = 3p cos '" Y '8 ,¡, = 2./2.
). y combinando
los dos
C3SOS.
tg
ti ... p
d9
-
_
±2"
¡;
dp
Las curvas
pedidas
-2-/2.
son las familias
P -= C¡trl../'2
y p
= Ce-#/2/7
2. de donde
dp
-
p
=
d9
±~.
2,j2
tra
APLICACIONES
9.
=
Haltar las trayectorias ortogonalc$ de las hipérbolas xy
La ecuación
diferencial
41
GEOMETRlCAS
C.
+ .~.= O~obtenida
de: la familia dad .. es ;t ~
ckriVoIndO xy ~ C. La ecuación dife-
rencial de las trayectorias ortogonales. obtenida susmuyendc dy por
j-
-xJ;:dx +.'11'.
es
ti,
O. OC' donde
Q.l' - x d.t "" O.
Integrando.fas
trayececrias crtogonates
$01'1
las curtaS (hipérbolas)corrcspoodjentcs
a la familia
r - :c" -
C.
y
ProbleM
10. Demostrar
?roble.a
9
que la familia de cónicas bomofocales ~
...
c~ i
= l. donde ,'es
10
una cccaame
arbitraria. es
acsocrtogonal.
I
O c:nva
' nd o Ia ecuacton
,. d e I3 f am ilila
la anterior expresión respecte de
e
respecto 3 x
.
ueoe
SI!
l.x
e ... .'C'+)'P
se halla
e ...~l'P - O. d ond< p = ~.
x
d)'
e-
de modo que
o
- ).p}'
1 =
x+yp
sustituciones en la tc:u~ción de la familia se obtiene la ecuación diferencial de la familia
+ ,"P'h>x
(x
Como esta ecuación
11.
no cambia
cuando
trayectorias
ortogonales
Oc-terminar
I..s trayectorias ortogonales
Derivando
ecuación
de la familia
respec:,to a O
dada se obtiene
$C-
Si se haoo'I esus
).p = O.
- )') -
por -l/p. es tilmbiin
p se sustitu~
la ecuación
de las
diferencial
. ' l..
dada.
de la familia
obtiene tKJ
la ecuación
o
RcsoI.ncndo
= e CO$
diferencial
de cardioides
O. eesclviendo
p
para
=
e(l + sen O).
e = ;O
;¡j'
sustituyendo
~
~
y $USlltU)~ado
e en
de 12 familia dada:
dp
pcosO
;m-I+senO
de las trayectorias
la ecuación difereecial
dO
Luego
In p
+
tnísec O
+
dp
tOS O
-;¡P •
p(l
+ sen
ortogonaJes..
O)'
obtenida
- +
(sec O
+ tg
por _ pJ_ dO. es
O)cD _ 04
P
tg O) - In cos () = In C. de donde
p =
CcosO
sec
O
+
'-* O
- C(I - sen O).
dp
la
48
11.
APLICACIONES
Determinar
GEOMETRICAS
concmtricas: :xl
las tra)'CClOt1U de 45" de la Camilia eSe elreu:nrcradas
La ccuaci60 dlfm::naal
6c: la ramlll1 de cin:u.nfttenOal
La ecuación f;hrerenc,.1 dt las ITI)'«:lorias
y'-tg4S·
-é--,,z...=
- 1"-1
__ es x
J + y'
1+,"&45'"
o
y'-I
.. O. o se. (K
1+ y'
"x. esta
(v
J)d.
+
10legando
In x +
K,-J__ .
::r ..
I
,t(.,
I 1.('" +
+
,,,-
1,..:1 -.
+ "' -
r _C_
O.
WIlIIU)-endo 'Y' en la antenor
de 45·, obtenida
+ )'--
Mediante la tnnsron'nJclón y -
es x
+
+ 1)(1)' + (,\,-
CICUKi6n por
,,)d.\' - O.
ecuación se rodvoc a
O
de:
dond
1) + are " e - lo K
II'C
-;:
e
+
tI+l...L._
;;r;-¡.ro
- O.
lo x'(1 ..... ) - l. K - 2 are " " 1 x' •
"
Y -
PROBLEMAS PROPUESTOS
13. Hallar la ecuación de la curva para 'a Que:
La pendiente: de la tlnacnle en un punto cualquiera
ori_ al I"'nl.,
S<tI, y' -
e)
la DOI'1:nlI en UD punlO evalqUICf'll (x•.1) y la recta que: \UlC'd onFft
cdcs que tiene d ""
s..I. y' - .. _
ti}
El sqmento de la oonnaltruad.
en d punto (x. y). cuyos Quemos son e5Ce punto y el de Inttl"Se<lOÓn con
el eje x, es cortado en do. parees iguales por el eje y.
S()/, },' + a-: .. e
ex
e
eee ese pc.mto forma UD tNftIUk> dÓS·
El segmento de perpendM:ular desde d origen a una recta tan&ente de 1. Curva es iguaJ a Ja .blciu. del punto
de COOUlc:tO (X. y),
/)
(x.,) es l. mll.a.d de la pendiente
x............
ti)
r + yJ
Sol,
....ex
La longitud 6e1 eeeo desde el origen si punto variable (x, y) e, igual al doble de la rai7 C'uadrldA de )..
abscisa del punto.
$()l.
± (are sen ji + .¡;-=-;t) +
y.
xl LA ,uboonnal
A) El
'_lo
l) LA ..
•• ,
<k b. recta que VI del
b)
"
•
Sol. x'+y'_e
ori¡en.
a) La normal en un punto cualquiera (x. y) pasa por el
polar es d _
entre d radIO _
t._te
...
e
dd seeo dd ángulo ,_onal,
y la .........
Sol, p=('-zcooe
es la müad del ."",10 _oriol.
S<tI"
polar es ilual • la subnormal polar,
_
s..I, p - eTl -
<OS
8)
e~
Hal'*J las uayectorias ortoaonllu de cada una de las Slgulitnttl lamilias de cereas,
O)
b)
%
+ 2.1 .,
e
S.I,
z." • e
<) •
t
+ 2)-'
,-2% ,• K
f)
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h) p.Qcoe8
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C
d) 1 = c.-IX
e
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y • x - 1 .. Ce-:Ie
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p .6(1-
$en 8)
CAPITULO 8
Aplicaciones físicas
EN MUCHAS DE LAS APLICACIONES de este y de posteriores capitules se ,eodnl en cuenta
el movimiento de un cuerpo a lo largo de una línea recta. Si el cuerpo se mueve de forma que su
velocidad 1) va variando (movimiento acelerado) su aceleración. dada por dv/dt. se debe a una O
varias fuerzas que actúan en el sentido del movimiento o en sentido opuesto. La fuerza neta que
actúa sobre la masa es la suma (elgcbraica} de varias fuerzas,
Ejemplo J. Una embarcación se mueve sometida. una fueru de 20 kilogramos, que actúa
en l. dirección de desplazamiento. y a una fuerza resistente (kg) igual a l/lO de $U velocidad
(c:m¡seg). Si se toma l. dirección del movimiento como positiva. l. ruena neta (kg) es 20 - .¡IO.
Ejtmplo 2. Al extremo libn: de un resorte de masa despreciabk. suSpendido verticalmente,
se fija uoa masa. Al cabo de un tiempo el sistema tStanl en equilibno. Hay dos fuerzas lCIuaodo
sobre l. masa: la gravedad que actúa hacia abajo y una fucru equilibrada, Damada fuerza del resone, opuesta a la gravedad. Las dos fuerzas. de sentidos opuestos. son iguales (:.Q magnitud ya
que el sistema esté en equilibrio. Luego la fuerza neta es nula.
La segunda ley de Newton del movimiento establece en parte que el producto de la masa 'Y
de: la aceleración es proporcional 3 la fuerza neta que actúa sobre la masa. Con el sistema de uhidades que se indicará a ccm inuación el factor de proporcionalidad es le. = I y se tiene
masa x aceleración - fuerza neta.
EL SISTEMA TECNlCO U. S. está basado en las unidades fundamentales: la libra tk fwr..a O.
libra peso). el pi. dr longitud y el ~
d. tiempo. La unidad derivada de maso es l. denominad. ""idtuJ técnica tk maso. definida por
masa en unidndcs
,.
d e masa ,. peso en, libras '
tecmcas
g en ples/seg'
Oc donde,
masa en u.t.m. )( aceleración e-o pies/scg2
-
fuerza neta en libras.
La aceleración g de un cuerpo cayendo Iibremenre varia. pero ligeramente, sobre la supcrlicie
del. tierra. Para facilitar loscákulos en los problemas se ut"ita un valor apromnadog = 32 J»OSIsq'.
PROBLEMAS
J.
RESUELTOS
SI I.:.a población de: un país se duplicl en SOaños. ¿ce cuántos aAos tc1i el triple suponiendo que la velocidad
de: aumento sea proporciona! al número de habitantes?
Sea )' la población a los
dy
1) -
di
= ky
I
a"oll e Yo la población en el tit:mpO I
o bien
dy
-V = k dt,
-
O. Se puede escribir
siendo It el 'actor de proporcionalidad,
«~
NOlo tkJ Uut'luC/(N. -
Si 2 flnpkan u'udllde, del $i.uema mMClO <tec:imal.d SUlmtII Ikrfko
es d que UeM por
fuf.'lda_lntfI,Wes: JontilJ,jd. elIpraad. en Mil_nas:
fut'rZ4. en lt.iJOSr-ltlftOS. 'Y lirttyo.
ea ~
.,. d su'''_
tJbsMItto«~.
lblN60 ,... btCa Ust<ma rintlífo'tl o j'IJh, O su''_
~alMt:rI (005). las .mdI4cs f.·
cb.:nmWcs soo: /OfItI_lDMI. cxpre:ACb en otf/flÍMf1rOl;"..",. en pomos.
ce~.
Ett C:SlC" ~
la fuerza es uu u .. •
dad dcduc:ic1a:sedc:Gomimt!úta'1q,la
(Uc:fl:&qIilCC:Omulua a Uft¡ramll>-tIWóIa. wlc:ikiÓAde I ~
(1, le 1an~
- I dcuL
La UD"*' ,laút:a de nusa junidad ele: tna.M " el SUtt$& ti:cnico U. S 'Y qvc.te
ea lupél) dIá rd.aoonad.I eee
l. untdad conespoodic:Jte del siSftma mcU'KiQ deon'lal. asi: I unidad técnQ de mua CsI.,) - I ~
k,c..
En CU3010.. 12 aoderación, d ".1« USUAlen d sistema metrito d«:i-m21 es: I - ,al an/scc:·
1\. COl'lllnuaci60 se da '2 equ.iwle~:l de UJ\idad~ us.uales; 1 mill3. - 1.6(9).4 km. I pl,ll,pda =' 2.54 cm: I pie - 12 pulp'·
d» _ O,l048.m; J libra - 0.4.5l592 ka. I sal6n - ),78$3 litros: I unjdad ICeno de:: masa hJu,g) = 32.114 librU - '4·,594 q,
uIUdldes
,lIMtJIO.
dc'DOIm_'"
49
APLICACIONES
him('ra
t l se: lJcnc: 2) In 1 - lel + In C. de doodc: 1 =
Intetrando
solud6n.
...... I - O. y-y.
FISICAS
Lue¡o 31 y - ,
y. de 2~ e-y.
P1ra I _ SO. r _ 2}·.. Oc 3). 2y. = y... SOII. de donde ,.,
Si
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3y•• 31 de 3
$(pndo 3DhI<i6n.
= ~.
Eatonoes.
lId•
Integrando J) entre los límites
•
- (""1 - 2' y
- ..-.
I
&
79 años.
,.
ID 2>'0 - In Yo • SOk
e,
O. y - Yo Y I
I -
1)'4, 2
.
Entonces
_ 2.
1) entre los límllC$ I - O. J' .. Yo Y t - SO. y = 2)' ..
Integrando
'.
J"
e?' •
.
• dI.
'".[
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t, Y -
3'0'
In 3 •
y
y
,ltt.
1
SOkt •
50 In 3
t
y
In 2
!50 In 3 .. 79 años
In 2
•
I
1. En eertc c:uh,vo de bacterias fa veIoadad de: aumenlO es propotClomi al nlimero ¡::n:scnte.. a) Si se ha bailado qUll"
el nómcto se duptica ee 4 horas. ¿que número se debe: cspctar.l cabo ck 12 bocas? b) Si bay 10" al cabo ck ;¡
horas y " • 10" al cabo de S bocas.. ¿c:tiáDlOS habria CtI un pnnap.o?
Sea x el núl1'Kro de bacterias a.
1"'$ I horu.
que x = Xo paca
I
-= O.
POIra t - 4. x - 2xo. Entonces,
Si
1_
• .It át.
•
Integrando 1) se tiene 2) In s _ kl + In C. toego x
P,imrra solucio".
Suponiendo
d:l
o bien
1)
a)
Enlonccs.
2.\'0
Integrando
l)
1) mm:
los limites t
k
r.
ha)
ocho veces
el
numero onglna!.
10$ limites I _ O. ,x - ~o '1 t :: 4. x _ 2.'( ..
«(1(((
10
• •( d'.
In1q:rando
Ctl'.
e - .to Y x - xol".
= 0\0<,"10 Y e" - 2.
12. x = XO"I2l = .'toC"""')"_ x.o(2') _ 8xo• es decir,
S~unda sohlciÓtf.
=
= O.
y
ID .....
Ü .. ln2.
'1 t _ 12.. \' - x ..
X_T.
..
In ~
y
de.
2zo -
•
12••
3(4.)
•
3 la 2
In 8.
L..uelO x - b-o• como se obtuvo antes.
11) Prbnerll $o(ucllm.
s,
, ',5,
,1:
Igualando 105
•
Cuando,
10'
: 3, x .. 10",
'/ C=-;¡'
4-10", Por canto, ". 10" • Ce"
\'aJOI't$
de
C.
10'
e i'
tueco el numero original es
e ..
4·10
•
• -;r-
•
10'
e»
•
10'
8
y
e .
LUCIO
e
e
4-l0"
~'
,. •
•
•
y
••
:
2•
APUCAClOt<ES
.sqwtda
1Q/wt6t1.
Int(¡ranclo l' eeue los limites
·!!:!
f..··..
' .
•
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x. y
~ _
y
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'.
10'
lo -
dI.
l. x - JO" '1 , - 5, .....
••
10".
In 2.
I - lo \' _ 10-.
1
•
l.
t -
In ••
1) eetre los Umlla 1-0.
'ntearando
SI
'ISICAS
• 3A: • :1
ln 2 • In.
y
..
.-•
10'
como antes.
~Iún JI. k')' de Newten de enfriamiento,
la \'docidld • qUot se: cnfrfa un.a JUSlancia .1 aire Ubre es proporcional
I la difcrcndl entre l. tmapenlura
dt la sustancia y la cid aire. Si la rnn;pualura del aire es lO'" 'Ita JUSUftCU
se c:nfria de 100 • 10'" en 15 truni.ltos.
lA lA:mpentura df .. JUSla.ncia'?
"mndo ~ ...
Sea T la temperatura
de l. sustancia
dT
Enlonce,.
-
• -'(T -
dI
I los
mutUlos.
J
dT
T - 30
de donde
30)
• _l aro
Nota. No C1 oblipdo poner 6qvl -k. Se MUlt'i que k es posillYo. pero SI le: pusic:5Ie +k se halllI'ioIque
es i,u.almentc neptivo.)
InlC'"ando entre los limites I - O. T - 100 '1
¡
dT
lO
100
Inlt¡r1ndo
f
..
lOO T-
..
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dT
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30
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15. T - 10.
t -
1ft to - In 10 • -15 ••
entre los IimltC$ t _ O. T
In!
y
7
1S"
&;
In
7
i . O.SS.
lOO y , - lo T - 40.
a
lDlO-1D"JO.~.
dr,
*
t.~.
1$lt.151ft?
O.~
O
Ciertc prodUCIO químico se disuelve en el agua luna velocidld proporcional ,1 producto
diwelta '1 la dl(erencia entre Ja concentración en una solución saturada y" concentración
t
$2.10.
de I1 cantidad .aun no
en II IOtUC»Ón real. Se
sabe: que: en 100 & de: una soIuciOa Slturada aún diwell05 SO& de: b susunc:i&. $1 se .pn
lO I dd ptOdua.o
qwrnir:o coa 100 I de a¡ua.. en 2 horas se disue.\ICft 10 &; ¿c:uiIUO$ se dasof-..ain al S bonJ'
Sea :t el numero de gramos del producto quimico aun no dlsucho
centrec
;O
-.
n de la soluctón
Entonces.
"dI
Irucgrando
rea
1
30 «--¡OO-'
J(
.so
entre , = O.• r •
I_~
Jl •
• $t
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horas. En este hc:mpo b
2)
~ JI_
100
y I _ 2. x .. 30 -
I atterando eerre , _ O. x - lO y t
I
. ~--
3D-z
100
JO
de
1 d
1 -6
d
SO
y a e una 30 uel n satura ... es IOC)
.. (----1
100
dcspun
l'
S. x =
dI.
S
10 • 20.
y
X.
JI at .
S o
de doodc
J(.
12.
u,..o
l. cao,icIad
do¡udQ
d<spuCs de S boros
C$
lO -
12 -
la g.
COI')-
52
So
APLICACIONES
FISICAS
qt,J( «W\IICnc 60 ka de sal disuena, Entra agua en d tanque: a Uftil
velocidad de 2 01 por minutO '1 1:1metd4. NIl:)(rvac,b Utll(Of"l't'I(~ianlc:
aCltación. saJe a la muma vdoacbd
¿0a4nt:a sal queda en el Es.nq~ ck5puis dt: una hotIi~
Un u,Dquc de 100 DI t$(S neno con s:aJm~ta
Sea J d nllmao de k.iJo&nunos de $al eft d
Uioqut
ka Dt
ckspubde I mtnutOJ:etltOOCCS la 000C'tn..trXaóa aJ'lOO
Duranle, ti interva.lo dI entran en el tanque: 2 di DI de .,\11 Y sakD 2 di DI de mcttb que eooliene:n J~ di. _ ~ th k,
de sal.
A~. pues. el cambio ds m la canlKlad de sal en d tanque es di - Inlclr.ando.
e _ 60 de
Para r _ O. s'" 60. luqo
1- e,-'iJO,
il
dt.
modo que s = 6(N.-'IJO,
PaNl , - 60 minutos, s - 6Oe-~ - 60(0.301) - 18 k.a.
6. Se ha comprobado que hay una concentraci6n de O.2~ CO, en una ialcda subterránea de 150 x
$O x 12 dm,
por Jo que se trlILa de renovar esa atmósrera con aire del Olerlor. cuya eoecemracién de 00: C$ del O.O~~. me·
diante venlíladores a una velocidad de 900() dm'jmlft. H4IlIcsc el potC:eO.tilje de CO~ después de 20 mmutcs
Sea ~ el nllmero de: dm' de CO: en 1.. pkna en ellNlanle r, la COI:.lCeDtlacióade: CO-: CSt en ese IOQCDtOlo.
xl9O.000. Durante el intctvaJo di. b cantidad dt: COl que enlra ee la pleria es 9000CO,OOOS)d1 dm" '1 la canodad
que ,.te es 9000
•
x
,
90:000"
cIm •
X
De: donde d cambo<> dx en d ;Oluva)o es dx - 9000(0.0005 - 90.000 Id'
Inlccnndo.
JO In(x - 45) .. -1
P...
X
, _ O.
CU.\ndo
7.
I -
D
20,
+ 10
e.
45 + J3Se-
X"
J
s: _
y
Q.OO1(90.000) = 180. Luqo
e-
es
S
l' - ..
=
--'0-
dr.
+ C~-""·.
180 _ 45 _ 135
+ 1Js.-".
:r = 45
y
63.~
90.000
-
- 63. El poro:n'-Je de C02 es entonces
0.0007 _ 0.01 F••
la cantKlad constante Q calorilas/segundo de (':alar que pasa a través de una pared C$t' dada por
Bajo citertas condiciones
Q
=
a
-U-.
dx
1
1
donde le es la coorluaividad dd matenaJ~ A{cm') es l;a Mipcrticic de um can de la pa:m:J pttpenchcular a La dJftCaOn ck-J
flujO y T es la lCmperatUt3 a x(cm) de esa cara, de: (onna que
T dtSmiDU,c cuando x aumcnt:i.. Hallar d nlltntro eX c:alorias
por hora dtI eatee que pasa a uavés de I m)' de b pamf de una
ha!);J0á60 (n.onfica de 12$ an <le espesor Y k - 0.002$, si la
temperalura de la cara Intenor es de - s<'C y la de la can estenor es de 7S·C
Sea x la dl$tand3
interior de:: la pared.
Int~arando
I
I
I
I
I
...,,
" ....
t, _
~.
/41
"
_:r:_-l~
..
I
•
I
I
I
':
a que está de la ca.ra C'JI,lcrior un puneo
áT. Q
• - ¡;¡
.~
!1. dx
r"
J.
desde
dx •
Lucgo .1 ftujo de color por llora
K
.-
80 •
O. T.
75
_g( I'IS),
U
= 3600Q
hA(U. ,f _ 12S.
y
80lA
Q '-_.
I~
~ 5'-'00 col
T
= - S,
8O(o.O(mxIOO)'
125
e...
=16--
se¡
APLICACIONES
8.
53
F1SfCAS
Un conducto de vapor de 20 cm de diámetro eSlá protegido
por un recubrimienrode 6cm de espesor para el ({ueA: = 0.0003.
Hallar la pérdida de calor por hora a través.de una longitud
a,
de UIl metro de la tuberte si su superficie esta a 200<>C 'J la
superficie exterior del recubrimiento
está a JO"C. b) Hallar la
temperatura a una distancia s » 10 cm del centro de la tuheria.
A una distancia x > 10 cm del centro de la tubería. el
calor fluye a tcaves de una capa cilíndrica de superficie 2n:x cm1
por centímetro de longitud de tubería. Del Problema 7.
Q : -kA'!!.
: -21th'!!. de dende 2nk dT • _Q
dx
a)
entre los limites T ... 30. x _ 16 Y
dx
Integrando
é. ,
%
r=
2001
x .. ro,
2It1t
1"'°dT
,.
10
:_Q(é..
3.0"k • Q(ln 16 -In 10) • Q In 1.6
J", •
y
Así, pues. el calor perdido por hora a uavés de una longitud de un metro de tuberí:l es 100(60)lQ = 24S.000cal.
b)
170
~()t dT
Pruebo.
9.
340.k ti" entre tos 1"
mutes T
In 1.6 X
Integrando 21'.k dT
- In 1.6
o
i"
Pata ;.; -= 10.
-
dx
170
In 1,6
ln~
16
• 2)OoC.
Para
T -30
%
~lnl.6
In 1.6
T· 30+
= 30. .x _
I6 y T
y
)(.-=16.
w
T• X =
r:
T-=
(30
x.
+ ~
30" O.
ln~)bC.
In 1.6
x
30°C.
Hallar el tiempo que se necesita para vaciar un tanque cilindricc de radio 8 dm y altura 10 dm a través de un
orificio redondo de radio 1/12 dm situado en el fondo del tanque. sabiendo que por un orificio de ese tipo sale
el agua a una velocidad aproximada 11 = 4.S.jh dmj.seg,.donde h es la altura del agua en el tanque.
Se puede asimilar el volumen de agua que sale por segundo a
Por tanto. el v'olumen que sale al cabo de dt segundos es
Dcsígnandc
por dh la ccrrescondicnte
UJ1
cilindro de radie 1/12 dm y altura
(l.
caída de nivel de agua en el hinque. el volumen de agua que $JJ!etam-
bién se puede dar por 641idh. Luego
Integrando entre t
=
O. h -= lO Y / _ l. h
=- -19~
O
[
'lO
dh
-
•
= O.
y
( e -
3340,r,;-
~
3840
/iO ses
= 3 h 22 min.
v'h
10. Un barco que pesa 48.000 toneladas parte del reposo bajo el impulso de una fue-r7ÁJ
propulsora constante de
200.000 lb. o) Hallar su velocidad como una función de) tiempo l. sabiendo que la resistencia en libras es
IQ.OOOv,
estando &' _ velocidad medida en pie$/segundo. Hallar la velocidad terminal (esto C$. r cuando I _ 0::)
el) millas por nora. (Tómese g ~ 32 pies/seg:!.)
b.
54
AI'LICACIONES
FISICAS
Como ,na~ (unidades técnicos de masa) x tI«leruclón
(pIeS/sea:)
- !\Ierza neta (lb)
rUtl'7.a de propulsIón
-
se
48.000(2000)
tiene
~
.,
'110.
Integrando.
11)
Para
b)
Cuando
I ..
l'
de: doooe
. -f ,1"••
20
300
-20
y
1" _
20 -
dI
20(1 _
t'~'i)O(l).
e); 20 pie$,l:leg _ 21.95 km,1b Esto lambi~n se puede obrener
...
se
20
300
•
20t"-,¡lCHl _
termina!
dv
v
• •
dI
300
1)
aproxIma 11un valor IImue.
(JI'
- di
O.
,.
erncnces, l' -
20,
como
antes.
Se (slá remoícaodo una hatea a una velocidad de: 12 millas por hot u. En el momeuo ti
01 que se suelta b
cuerda de remolque. un hombre. que cst.1 en la barca. comienza a remar siguiendo la direccrén del mOV1I'YUctUO
y ejcrciendQ una ruc:r~:1de lO lb. Si el peso conjunto del hombre 'i de la barca es de 480 lb Y la mlStC'nCla (lb)
es ¡gutll a t.1SI!, donde 1) esut medido en ples,!~gundC), hallar la \'CIOC-ldadde 13 barca después de !minuto.
Como
masa
(unidades
Para
.
480 dv
3idt
)( aceleración
(plI~s/se8:) -
, :- O.
l!':
88
(Go)'
5
fuerza
neta
(lb)
e•
•
rt/lio
80
•
-<
7
216
35
•
dI
v·
80
7
-.
7
4
so
3
C.
21& .,.,..
.-,
35
.
"
t • 30.
4J"¡'0¿
'3 e
t
12(5280)
dv
de donde
20 - 1,751.1
v,)(,/1.10
Inlegr!lndo.
Para
téCIni~s de masa)
- fuerza haCia adelante - (eSISltn e ,:!.
~ tiene
12.
200.000 _ 10.000.
ce, e .. 20; la velocidad
dC 1) y" que, como
11.
e_
O. ,.... O;
I _
•
.dI
32
I'CSI.'UtnCt3.
Una masa es arrastrada
por el hielo sobre un trineo; induido el trineo. el peso total es de 80 lb. Suponiendo
que eS despreciable la resistencia del brcrc a los ccrredoees y que el aire opone un a resis.tencia en libras igual a
S veces la vetocrdad t,' p¡es/$C&) del trineo. ruiUe,.'e
ti)
la fuerza constante ejercida sobre el téneo para obtener una velocidad terminal de 10 minas por hora. y
h)
la velocidad y la distancia recorrida al cabo de 48 segundos.
Como
masa (unidades
técmces
se tiene 80 dv
o
lid;
F
Integrando ••. = - ....C<' lr Si
5
(J)
Cuando
z ....
h)
Sustituyendo
-x,
f'
(JICll
5 -
r =-
de masa. x aceleracién
~ + 211 •
dI
I _
~ f. donde
5
A). t: .. ~t(
.'
F ~Ib. es la
(UCI7.ll
O. r _ O: entonces. C _ _ F \.' At r
5 '
1()(S2301 4.
(6()T
(pielio/scgt) = fuerza neta (lb)
- fuerza hacia adelante
= J' La
220
(UCfZ4I
pedida es F = 3" lb
-
resistenoa.
hacia adelante.
r
= ~(I
_ ~- :t).
5
=
33.26 kg.
_ (,-l'J .
)' J -
.
f
..~
.
44 .,e
v dt - _....J
}
n,_
t>--l-ljdt
-= 691 pies
=
2i2.45 In.
APLICACIONES
13.
ss
FJSICAS
ee
Un resorte
peso OOpreC'Jabk ($t" ~~tdo
vest sealnxnk. En loU eweee
bbtt se ha $Ujt1:ado u.na masa de
m kl'ognn\O):. Si la lWISa.toe m~
con ,doci<bd r., m.k,cu.an60
ti resestecsti s.o abrpr. baI4r b vdonI:bd
f como una (uDOÓn del ~brpm;t1n()
\ nk"lrO!>.
Se,ún la le)' de Hooke, l. ruertlll dd resorte (fuef'UI QPUe$li .1.larpmtcnto)es
Fuerza
neta sobre el cuerpo
dv
dI
A -
luego
..
- peso de! cuerpo -
Itx
.,..
proporoonaJ
al alarpmllenlo
fuerza del resorte.
d.
• .,,;¡
•• , - b.
de donde
ya que
.....
Jt
lntegrando
Para x ., O. " " ~.
14.
e • av!
lucIO
)
Un poiracaidislil esú. cayendo con una ,-doctdad dt 116 pies ~.
Sl.6S ntSC1. c:ua.odo se abre s.v panc:aidH.
S. ta r'CSlstencia dd aire es. w•.:''2S6lb. donde ~fI
es el peso (<>u1del hom~
)' dd pa.raGÚ(b$. hallar SIl ,'tIoacbd
como una función del liempo , dtSpu~s de abierto el par.lCl1idas
W dv
Luego
Inte&01OO0 entre
,
limlCCS 1 _ O. r
io$
117 -
1fe.
ln ~
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-!
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256
-
f.
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dI
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8
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1=1.
I
do
J.
<k donde
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lo ~
dI.
s _'",
" -16
.. -4t.
(j
v
-<
6
tI·16
Obsérvese que el p.c1raC::Jldl~t"IIlc:HlZ::1rápidamente
velOCIdad terminal de 16 pleli'~, _ 4,83 mf)lt"g.
•
una V(:JocKtad aplOJumadamente
constante,
t(IO cs. ,..
lS. Un cuerpo de nus. ... m un~~
tCC'n.c:asde masa partiendo cid ~
ese en un medio para el q~ la rCS&5(c:ftaa lIb) es pt'opofoooal al cu..;drado de la ,,'docidad (ptes.sq .. St la ,,·t:kK:Jdad tenru.oaJ es ISO pcs.q
_
m
.,
11)
4~.n
1st" hallar
l. velocidad ., cabo <k l _ndos. y
el uempc nett$3rio para q~ hl \,Ttocidad
Sea
l'
la \'t.IQCJdad del cueree
Fuerza neta sobee ti
<Iv
1)
MI
pK'S
SCJ - 30.4'
m sq.
al cabo de , segundos.
peso del cuerpo - resiqeocllI.
•
CU(I'po
di • .. -
sea 100
y l. ecuacién
del movrmleetc
Kv •
Tomando g _ 32 p.e.si.:e¡..l se pued~ Slmph6car la ecuaCIón si se di,e X _ 2mk1• gereeees,
<ir
de: donde
dI
kr -
Integf'3ndo~ In --
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-160(:1+
o sea,
In C,
I
Pilra
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O. r = O.
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Enl01"ltOe4¡.
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150. Eutcnces.
kr - 4
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O.· "
A,LlCACIONES
tr)
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2. -It - 1.50 __ t'~o.,. - -0.423
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'1 " .. 61 ptd/1q, - 1&.6 mise"
110
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b) Sl" - 100. ,
0.2 - ~ ',.
'Y
FISICAS
l.' sea.
l.
Un cuerpo de maa&m tiC dctck el ~poso tn un mecho par. el que la resllCC'lX'11I (en libtu) el pr09OfClOftl) • la
~
(¡Jóes/qu060~ Si la
cspdIIca del mcd
lla del cuerpo y SI la ... Iocodod ........... alA
P<o/Ica- 7.31 .a. "'"ar a) lo eeIoadod al cabo de 3 y b) la d....... -.
al 3 ....
.,.vedad
Sea " 11velocidad del c:-..erpo en el instante t. Adem's de I.v.l!dos (uerzu que Ictóan como en el Problema l'
M'1 una Iotrce:ra (uera q\lc resulta de .. difaenc:i. de tu ,,,vcd.dn cspecI8caJ. Esta fueru es _""al en ml.enJlud
al _
del _
q.. desaloja d CII<!'pO. Y .. _
a la
.,.,...tod.
Fuetta
neta sobre el cuerpo _ pcw del cuerpo -
deol mcdto - mistcnc:ía.
(utr.ta
y .. ceuaci6n cte.1mori-
mienlo ti
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J.
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O
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• 49.2 pteI.
I~ m.
11. La fuena de la &n~ád que act~.a sobre una masa '" que ese! a una dtttana:t $ del emtto«
b 1JCn'2 es
ditte1,aMeote proporcional a m e in ...ersamente proporclonalll
(1) Hallar JI wd.ocidad .!camada
por a. masa
si escAndo en repoSO • una distanc:ia SR del cenuc de la tierra se l. deja caer sobre 1. superficie terrestre.
b) ¿Qut ""Iocidad <lOnUponderia a una cajd. desde u.. <liolUtÚl iDliruta. .... es, eoe qué ..Joá<Ild ~y qu<
_bar
hacia un'" la mua
que eoc:ape a la atnlC:l:><5nele la fucaa ele la
(5t ~
'odas
las dend, (urnas. i~uso d rournie11to.) Se torTt.ari R - 4I(l()() millu _ 6007 km como radio de la bm"a.
r.
.,._1
""TI
La (uuza de l. ¡ravedad a una ditlancia s del centro de la tierra es Jcml.,2. Para dec.crm_inar k obstl'YeK que
la ,,_,. es "W para s - R; .....
"" - 1mtJ1I'. ele cIonde le _ trR' La ccuacióo ele mo........ ro es
1)
.- ..-- ... J.
J.
sieodo oeptivo e~ "ano ya que
n)
InlC.¡rando
1) desde v
f.o" Ddv
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11'
= O. "
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IUllIOlta
.. SR basta
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d.
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e _ v. s _ R,
.'.
!(32)(4000)($2$l).
5
APLlCAaONES
b)
Integrando
Lov "dv
O, s _ 00 hasta
1) delide ,,-
-sFt 'J'• d.
- •
$2
•
11'2
ZaR.
:e
7 mill.rlsog ~ JI.265 km/sca.
18. Una de las ecuaciones fundamentales
L ~
1)
Ai
+
d.
,,=
IJ =ro
FISICAS
(J.
57
1- R.
ro:: pies/seg =
6400",33
ro::
1950",33
m/seg o. aproximadamente,
en circuitos eleaeiccs es
~ E(c),
doooe L (benrios) se denomina la inductancia,
R (obtnios) la resistencia. ,. (amperios) la corriente y E (volticn) hl foena electromotríz o
Le.m. (En este texto se consideran constantes
E(q <:
R y L.)
Resolver 1) cuando E(t) = Eo Y la comente
inicial es ¡o.
o)
R
=
Resolver J) cuando L
3 neertos. R _ lS
ohmios, E(/) es onda sinusoidal de aJllptilud J 10
voltios, ciclo 60. e t
O para I _ O.
h)
=
al
te
dt
Para e -: O. i.
io.
Luego
Obsérvese que cuando
b,
di
Integrando
3 -
d.
t:
C"_lO-~
1Si
(b)
l!2./t/~ • e
:&•
o
R
C. -Rtl'.
R
y
R
i = EoIR. una COnstante.
1- 00,
•
-. =,.
/lo J
, HtlL
L ~ • Rt : Eo.
Integrando
(01
•
Eo sen
wt
-:
~
110
sen
21t(60)t
e't !> sen J.3)1tC -
3
e
110
sen
120ltt,
120R coa 120ftt
+
e
Z5 • 14400 7[2
de donde
3
i
y
•
22
sen
la)nt
-
24ft coa
3
l:J)rtt
• 241t ~-"
1 + 576,,;2
Se: obtiene una forma mAs útil si se observa que la suma de 10$cuadrados de los cccñcicntes de los términos
seno y cosecc es el deecmínador de la an1erior ecuación, Por tamo, se puede definir
sen
4> :
24 "
y
(1 .. 57sn2)*
de modo
•
•
22
% (COS cp sen 1201tt - sen </> cea 120ft!)
3( 1 + 57S1t2,.
22
3(1 -+ 576ft2)'h
sen(l20itt
_
<p)
•
+
,t
116tte ...
1 + 516112
Obsérvese que después de poco tiempo el segundo termjno se hace muy pequeáo: así. pues. la corriente sigue
rápidamente: una rey sinusoidal pura.
S8
.,.
APLICACIONES
FISICAS
Si un drcuito clkuico COi1ttene unn resiltencia .k (ohmio.) 'i un condensa·
do, de capacidad
(roradi.. ) en
y una r.e,m. E (volti.. ). la ca"" del
e
q
condcnJador
/1
..n.
(culombio.)
clltA dad.
/l.""d. .
! .
e
por
e.
SI R - 10 oh.m~. e-lO·'
(aradlos y El/) - 100 ten 120 a/ voltios.
a) hallar q. suponk:ndo que •• O pi" 1-0.
bl empica, I - "'d'pa"
hin,,,.... pon.icndOI - 5amperíoscuando, - o
Intc¡rl.ndo
...
1011
se "e ee
IDO ...
•
.,
JO ka 120ftr
•
y
1)
¡en
-
12:1' COI 120ft.r
1200. - l:lDx coa 1200.
10.000 • 14.400.2
" A
A•
100 • 1•• '"
q
-_":'_"""j¡ sen
•
(IDO
donde
e
(1 :ID<.
...
- ... ) •
A.""""
1440')
t/J •
y
(100 • 1441\')"
b)
Derivando
1) respecto a ,
l
•
k
obtiene
5.
00'\
dI
Para
t. O. ~. S.
y
LUCIO 100.4
,.
(25.
20.
~ eOIt(l20ltt _~)
_ looAc ...100t.
25.381'1:')
•
-
60ft
YJ cOle 12Qtt, 361<')
Un mucbacho. que C$I' en la e5quiM A de. un embalse
titoe en la c:tqulna adyacc:nle B una barea atada al altanO de una cuerda de 20 metros de Ion..
El m_o
se dctplau hac:b
minando poi'
el borde del embalse y mantenimdo tensa b euercb...
H'11cse J.
d<l m_o
y el< l. bara cuando
bu se CDQI(l'nrea 12 meuos de ..cC.
rp) -
(
3001t
_ 5)c
S
°'.
10
00
25+ 36:ft'
RCtanJ'I.dat.
,,'ud.
e ..
B~--------------~
"t~.
EIí_
el ,asumo el< __
~'J')
'<,~
el< modo que
con el eje 6e lb abtcisas y A8coa d de las
""'<nadas. Seo Ix.,l la pooocíón el< la balQ cuando <1
muc:hacbo ale en E. ~ndo
por O el ina:ulo de
ACCOUlaeb
ioch~
A
1<#>_¡',~8
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E
de- la C'Ucf'da se: utnc
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APLlCACIOl"eS
/
Intratando.
-,
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..
59
FISICAS
,t
/400 - -
3}.
c.
+
y
Cuando la txarea está en
Emceces.
e•
B. x ..
O )'
y = 20.
- .¡¡---¡¡O'OO
400 - y'..
oy x
1'00 - y' es I:a ecuacl '6n dI'e a trayt'!Clona
20 1 n 20 +
de 1:..barca.
1
Ahera bien. A!'
r---"1
,.
JI
..
\"400 -y'
:
20 ln
20 ' 1100 _ y'
. Por 1.lIlIO. cU3ndo la harca está 3
y
12 metros de AC Iesto cs. t • 12), " .. 16 = 20 In 3 = 22.
El muchacho
21.
~(á a 22 metros de: ,1 y la
1):'11'01 está
de AB.
:1 6 metros
(1 y p, de forma que a gramos de o: y b gramos de P forman flJ + b) gramos de 7. Sí al principio ha)' Xo gramos de 0:')'0 ¡ramos de /1 y ninguno de ,. y
SI la vtlocidad dC' (ormación <k: ., es proporcional )t prodUCIO ce las cantidades de: exy , que aúo no se han
combinado. exprtstst la cantidad (= grnmos) de )' formada como un:. (unción del tiempo t,
Se esui formando una suSlanc.a )' por lo. reacción di: des sustancias
o:
los : gt'3IOOS de 7 formad" en el IlelT\po I con$~O de -a+b
b:
dt o: y -(J+b
¡nmos
"amos
de ,.
Se puede, PUC$, escribrr
Kob
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ItllcgrnndO desde e
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APLICACIONES
60
PROBLEMAS
22.
FISICAS
PROPUESTOS
l)n muc:h;,u:ho se mueve en una linea .'tela de modo que su velccidnd excede en 2 ~ su dj,)wncin respeetc de un
pumo lijo de: la recia. Si P" S cuando , - O, h:llll" 1:'1eeuaeién del movimiento.
S()/, '( Sr - 2
2.1. HtJUllr el tiempo n('(,'Cll~tio p:\I'tl que uoe c.untidlld de dinero aumente ni doble. at S" .. por ~~o.lnlerés compuesto
ccntlnuc. Sugerencia: d:r/ú, - O.OS.\'. donde -\' es 111$IJm!J al cabo de J .. ños.
Sol,
13.9 :I~OS
ni
14.
radio se desccmpone 1) una velceidad proporcional :1 lo canrjdnd plcsenlC. SI 13 mitad de 1~cannded original
desaparece en 1600 eñes. ht\llt,,· el J)OftcnlllJe de- pérdKla en 100 años.
Sol. 4.2"11
25.
En un Cultivo de levadura la canudad de fermento activo crece a una velocidad proporconal
" J:l cantidad presentc-, Si se duplica la cantldad en I hota. ¿.;uánUls veces puede esperarse que se ten~ la cantidad oTlgln:.1 :.1 cabo
de: 2,t hol"ll$?
Sol. 6,13 veces la cnntjdad original.
26.
Si, cuando la temperatura delllire es 20"C. SI: en fria una sustancia desde IOO"C haSHI 6<rC en 10 mmutcs.
ha temperatura
después d" 40 minutos
Si,l.
27.
Un tanque conuene 100 01 de salmuera obtenida disolviendo 60 leg de sal en agua. Se ínrroduee en el tllnque. 11
una velocidad de 2 DI/min. agun salada que contiene I Ic& de 5,,1 por decalitro. y la mezcJ:.. conservada bomogenen mooir¡nte l\gitnción. sale 3 una velocidad de 3 Dljnlio. Hallar la cantid3d de sal en el ulnque al cabo de
I hora. Sugerencia: dx/dr - 2 - 3.y/CI(JO- r).
Sol. 37.4 kg
¡s"e.
hallar
28. Hallar el tiempo que se necesito para vaciar un tanque de sección cuadrada de 6 dm de lado 'j 9 dm de profundidad. a traves de un agujero circular de t1 dm de radio practicado en el fondo (Supóngase. como en el Pcobfe·
n13 9, ., _ 4,8.jii dm/seg.)
29.
Sol.
1)7 min
Una pared de ladrillo (k - 0.0012) tiene un espesor de JO cm. SI el paramento interior está a 20"C 'j el exteoor
<te. hnünr la temperatura en la pared como una función de la distancia del paramente exterior y la pérdida
de calor por df3 11tr:tV"t$ de un metro cuadrado.
Sol. T - 2x/J: 691.000 c31
¡t
JO. Un hombre
'j su embarcación pesan 320 lb. Si la fuerza ejercida renu.. ndo en In deeccién del movimiento o 161b
y si 'a resistencia (en lb) :tI movimiento es igual al doble de la velocidad (pies,lscg), h"Uar Il) velocidad 15 seg
después de que la embarcación hay.¡ empezado a moverse.
Sol, 7 ,6 pies/~g - 2,32 mlses
3J.
Un tanque ccnnene 100 DI de sa tmuera obtenida disolviendo SO kg de sal en 3&\1~.Se mtroduce en el tanque agua
put:t a una velocidad de 4 DVmin y h. mezcla. conservada homogénea mediante. agitación. sale a la misma velocidad. yendo a parar a un segundo tanque que contiene si prmcrpio 100 DI de agua pura. Agitando 5(' mantiene homos,énea la mezcla que sale de éste segundo tanque a 1:. mLsma vetocrded ya citada. Hallar la cantidad dt sal
en el segundQ tanque al cabo de 1 hora.
d,'
4
x
Sugerencia: ~ = 4{- e-o.o ....) - 4 para el segundo tanque.
Sol. 17.4 "8
ti,
S
100
32.
Un embudo t'c 10 cm de diámetro en la parte superior 'j 1 cm de diámetro
24 cm. Si se nena de agua, hallar el tiempo que se tarda en vaciar.
)3.
de
Está entrando agua 3 una velocidad de 6n dm'frnin en un tanque, cillndrico vertical de radio 6 dm y altura 9 dm
que tiene en el fondo un agujero de t: dm de: diámetro por donde sale el agua. Hállese el tiempo necesario para
que se lIC1)e el tanque.
34.
en la inferior tiene una altura
13.7 seg
Sol.
.
Sugerencia:
•
{lO
-
•
r..
(24)l4.R..¡h)tll
= 36)t dh.
Sol. 6S min
Una masa de 4 unidades técnicas de masa se desliza sobre una superficie. El rczamiento es igual a cuatro veces
la velocidad, y la masa esta sometida a una fuerza de: 12 sen 21 lb. Hallar la velocidad en función de I si
11
O cuando I
O.
3
Sol.
tI = Scsen 21 - CO:S 2/ + 21"-·)
=
=
35.
Una tubería de vapor de 1 pie de diámetro tiene un rccubnmlento
de un espesor de ~ pie de material aislante
(k = 0.00022). la tubería se conserva a 475°F y la parte externa del recubrimiento a 7S"F. Hallar la temperatura
en el recubrimiento ti una distancia .\' pies del eje de la tubería y la pérdida de calor por dia y poc pie de la
tubería.
Sol. T - 75 - 4()()(ln :~)/(ln 2}: 69.000 C.T.U ... 910 calorías por metro
36.
La ecuación
diferencia!
R Jí/de + ;fe
Sol.
¡_
+
= d('/dt.
EC("
=
de un circuito que couueoe una resistencia R. capacidad e y f.e.m. ~
t: sen
Suponiendo ConStantes R. C. E. w. hallar la corriente;
en el instante t.
R~C:!(/J:'(cos 00/ ... RCw sen mI)
+
CI~-"ItC
(¡JI
es
CAPITULO 9
Ecuaciones de primer orden y grado superior
UNA
ECUACION
DIFERENCIAL
de primer orden
.f(x, y, p) = O, donde se ha sustituido y'
e ~;
tiene l. forma J(x. y. y')
=O
O bien
por p. Si el grado de p es mayor que uno, como en
p' - 3px + 2y ~ O. l. ecuación es d. primer orden
y grado superior (aquí, segundo).
La ecuación general de: primer orden de grado n se puede escribir en la forma
1)
p ....
P,.CX.y)pll
...l
+ •...•.•
-+ P,.._l(X.Y)P
... Pft(K.Y)
=-
O.
A veces se pueden resolver tales ecuaciones por uno O varios de los procedimientos que se
van a exponer. En cada caso se reduce el problema a resolver una Omis ecuaciones de primer orden
y primer grado.
ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOL VER RESPECTO DE p. En este caso el miembro
de la izquierda de 1). considerado como un polinomio en p. se puede resolver en n factores reales
lineales. es decir. 1) se puede poner en la forma
(p-F.)(p-f.)
......
·(p-F.)
= O.
donde 135 F son funciones de x e y.
íguálese a cero cada factor y resuélvanse las n ecuaciones dIferenciales resultantes de primer
orden y primer grado.
dy = F, (x,y),
dx
obteniendo
2)
fl(X.Y,C)~O.
'.(x,y,C)
=
o,
'. (x,y,C)
=0.
La primitiva de 1) es el producto
3)
f,(x, y,C)'{.(x.
y,C) ........
·.c,(x,y,C)
•
O
de 1.$ n soluciones 2).
Noca. Cada solución indiVIdual de 2) se puede escribir en cualquiera de sus diversas formas
posíblcs antes de combinarla en el producto 3).
véanse Problemas 1·3.
ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOLVER RESPECTO DE y, esto cs. y = ftx. pI·
Derivando respecto de s se obtiene
rt»,
dp
p, -),
<Ix
una ecuación de primer orden y primer grado.
Resuélvase p = F(x. p,
;t) obteniendo
9(X. p. e) ~ O.
Oblenga se la primitiva elimmando p entre y = Jlx, p) y ~(x. p. e) = O. cuando sea posible. o bien exprésense x e y separadamente como funciones dcJ parámetro p.
V éanse Problemas 4-7.
61
62
eCUACIONES
DE PRIMER
y CMOO SUPERIOR
OIlDEN
ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOLVER RESPECTO DE x, esto es, s:
Derivando respecto de y se obtiene
<be
dy
:
! :
p
una ecuación de primer orden
Resuélvase
.!. = F(y,
p
.1
•
ay
al dp
•
opdY
F(y,p,
= f(y,
p~
dyde¡,
y primer arado.
p
p, dd ) obtemendc
y
?(y. p. e¡ - O.
Obténga se l. primitiva eliminando p entre .< -f(y. p) y 4>(Y, P. e) = O, euandc se. posi·
ble, o bien exprésense x e y separadamente como funciones deL parámetro p.
Véanse Problemas 8·10.
ECUACION DE CLAIRAUT.
La ecuación diferencia' de • forma
y - px
+ f(P)
se denomina ecuación de Clairaut. Su primitiva es
y - ex + f(e¡
•
y
PROBLEMAS
1.
e
se oblieoc sencillamente SU$tltuyendo p por
RC'$Olvecr p" -
(x + 2)' + l}p'
en la ecuación dada.
Véanse Problema,
RESUELTOS
.. (;c. 2y .. 2:r-y)P' _ byp
• O o bien
p(p _ 1) (p -.z) (p _ 21)
,. O.
Las soluciones de las ecuaciones componentes de: primer orden y primer grado
~
o
~,.
dx
O.
dx
y
-c o
$OIl
O.
2x
dx
l.
y-x-c.o,
respectivll~ntc
dy
--21 0
• O.
0
dx
y_C~
2,-x'-CaO.
'"
:o
O.
2t',. • x' - e • o
La primitiva de la ecuación dada es
3.
1
R($()I"'ct (.t .,.;c)p"l
jo
(.t2+l:_ay_y)p
t
y2
_
l..as $Ol,""lone:!l de In~ ecuaciones compcnerues
son respectivameme
La prinutiva de La ecuación dada es
sr
» O
(.Ir"
e bien (l:,+l)p-y](:c:p+.t_y]
1) ~ _ y _ O
tU
y - C(A'·
1)
:o
O
y
=zdy
y
y +-
[y _ Ce.&:. 1») (.y _ x lo Cr] '"'O.
_ o.
:>:»:»
l:
In ü • O.
11-16
ECUACIONES
Dcnvando
DE PRIMER
la última forma de 1.,
y GRADO SU.tJlIQR
ORDEN
I'tSpCCIO de:
CCUKtÓD
Quitando denominadores '1 .¡mplirl('~ndo.
p(p)
..
'(o
32r) _ .(P'
32><)!!e •
d.
Kx, SI en ,. OCUlC1ón dad.
de donde p
O
• o.
o bien 1)
Esla ecuación se S3hdaoe CUilndO p) ..
63
Ju = O o
bien eusndo p - x dp _ O. De
esta
i~atd.d.
dx
se hace este cambIO pi" p se tiene
~ • ~.
P
x
dcspué!i de haber sustituido K por 2e.
El factor p' + 32x de l) no se ha conaderadc aquí por no contener I~ derivada dpjdx. Su $Ignlfieldo
tudia en el Capítulo 10.
S.
RtiOl\'ery
2p%,¡
Derl\'ando
!le
es-
p"x'.
respecto de
s.
2>< dp •
d.
p
de: dood< (p'
X dc:sca.rta el fecrcr 1
21' • 21" ••
~Ix'
2><!!e)( 1
d.
!!f
dz
?pI.).
O.
2p'.'t como en d Problema 4. Oc:
'T
En forma paramétrica se tiene x _ CJpl. y _ 2Cjp + e:, oble:nimdosc la segunda relación aJ ¡u:.tlluit
.\ _ Clp.l en la ecuación diferencial.
e
en este caso se puede eliminlt( p ,In diflcuhad entre la relación Xpl _
o bkn pl = Cix y la ecuaeién dada..
Que se puede poner en la ronna)' - p·Xl _ 2px que al elevarla al cuadrado da (y _ ,"y:l)l _ 4plX'. SUl>titu~
2)1
)'tendo aqui p1 por su valor se tiene (.V 4Cx .
e =
r
Derivando
Entonces.
respecto de
p •
.Y.
(p~ _ p)~
+
%
...
•
:»:>
______
I.dpdp
p
p' d.
p2 •
O de donde
dp
La última es una ecuación lineal para la que
dedondcp I -
dx
dp
.-s
pS_p
(dt>/{#>~_,)
e-
•
• --p_.
p' - 1
Ip'
ese (actor
.
:
_ 1 es un (actor integrantc-. Uliliul'ldo
P
•
y
O.
d.
- _p_
p' _1
I
ln(p.lp·-I)
•
Cp
Ip' - 1 •
y
- la(p
-p -
•
Ip' -
1)
Ir"
e
_1-1D(p+lp'-I)'
Ip' _ 1
e
Ip' - 1 •
ECUACIONES
64
7.
RM\<cr 1 • (2.p)%"
DE PRI .. ~R ORDEN
V GRADO supeRIOR
P'1·
Om~ndo ~o
de :1(.
2'
p
>
..
C~
dcdonck~
l' • (.. 7p)~
•
,s •
-p.
EnlonctS.
=
x
y
2(2
-p)
Resol"i~ndo respecto a x, 3x
3
- •
P
-fj>
.:t
•
! _6pyl.
Ocnvundo,
p
l
ydp
,Jp- - - - - 6y - p' dy
dy
P
ahora, respecte de
(1 • Sp'y)(2p
1:1py
IC\lalando a cero el $C:gundo f.aclOr se deduce p)'l _ C. Despejaedo
0.11
ori,;n21 se obtiene la primiü ..-a y3 _ leA' +
)l.
• Y
2) :
dy
P y sustituyendo
O.
en la ccu;aaon diferen-
6('1
Denvando respeceo de y.
Y Jp
1
2
4(- - -
P
p
Jntcgr!1ndo p - 2y :
-)
p'
d, doad,
dy
_ O y etiatinando p corre 1.. ~lución
(1' _ 2Y~)(2Y2 _ pI)
dy
• o.
p' - Ky y la ecuación diferencial origlnrd. se:
tiene 16)' _ K(K - 2.\")2.'Haciendo K _ 2e se puede pollcr I~ anterior expresión en la forma 2)'
10.
ReSOlver 4..
z
C(C _ .\")'.
• py(pl - 3).
Derivando respecto de y.
4
P
P(p' _ 3) • 3y(p'
In y • ~ ln(p"
10
Intqnondo.
- I)~
oy
2)
.A.
3p(P' _ l)dp
2 •
de doad,
y
..! In (p - 2)
•
10
(P' _ 4)(1'"
!l.n(p'
+ 1) .:. lo
o.
1)
C.
S
s
•
Cp(p' - 3)
I
.. (P' _ 4)'i/lO (pt • l)sA
ECUACION
DE CLAIRAUT
¡;;:--;;.
11.
Resolver
y. px
12.
Resolver
(y_ P;()" : 1 ~ p2.
Aquí l'
t
px 1
1.0 p"mih"',,,
La pl'imitiV:1 es
y.Cx.~.
lb p'.
(1 - C:c -
¡¡-;c»
(1 - C:c •
r.:cr)
o
o
se:a
(y _ Cx)'Z •
l.
e'.
6S
ECUACIONbS DE PRIMIoR OROeN y eRAOO SUP~kIOR
13. Resolver y
lp.< -r 6,.','.
IV.. ", Probkm.a
Esla opn:stÓn se puede rcduat
Multlplandó
la «uaCIOn
por
:11
r
14. R.esolver ces'
es
ti
La tra.MfonrutClón
U
15.
tIM
dv
•
111 _
..
Kx .. ~I(~
sen x cos x
(.(K
sen y • u,
clu2
Luqo u.
(-).
do
=
sen
Stn
J(
c..
11,
•
6,,'r
se obueM
~
=
O bien y'
y p
lrpx ..
GU
". 3')' P
3
pl +
l'
•
1" rorma de una ccuac:ióo de O.alrallt
K obcJltne y'
2:
MedJantc la lr>'tnsrOml!lción)' I
La petmlnva
S.)
~
r~. 3Cx
-+ ~K2 o bien
I(x
Jv
-
", ••
3
-+
2d.."t
-(-)
•
3~
2
-+
SC
1.1 ecuaci6a
.a
•
ces" ~ = O.
J'
tOS Y
ÓM
P -• _
reduce
eee .e
Jv
_;¡
L
Re.oher (p.< - \')(py ... <) - 2p
La transformacióe y2 • u.
reduce la ec:u.aci6n a
p •
(v
<fu
>-
tnlonct'S. "
Se: puede escribir
3$i
1 •
du
d;
In ecuación
V' -
e" _
•
y
do
1'.'(
+ 2p)(y
Cada una de las ecuaciones .l' - P \' - 2p, )' _ p.\' - I
LucIo
la primitiva
es tr -
+
- p.\'
t$
du
¡; -
®
U)(¿;
•
1)
2 ~.
le
I>C
1, - O.
una eeuaeién de
Q¡UrnUL
C\ + 2C)t\' - C.t" + l ] = O.
PROBLEMAS PROPUESTOS
I hlll"r
.,
1;, primitiva
de cad<'l una de la~ siguientes
.. xyp - 1;1''2
17.
• P
18.
'P .. (y_l_xt}P
".
.p'
W.
$JI'pl
21.
8yp'
22.
i/
O
:o
•
_
X(y-J)
• O
ecuaciones.
.''''/
(1_0.')(1_0.-')
SDI
(~-.
• • C)(xy-x
SDI.
,
Cy .. z • C'
SDI~
'1 • CUo. -
- 2xp + '1 • O
$<>/
,.' _ w .. 2C2'
• O
.. 3p:c - J • O
Sol.
y' - 30. - C'
• O
- 2yp .. 4.X
_ 1lp _ Y
:o
O
•O
t)
•O
..Cl .. O
d.
,
eCUACIONES
66
2
-:.p
..Y
OROEN
y ORADO SUPERIOR
O
23.
P
lA.
IGY'I -
1S.
$P ' - 'lit " ..
26-
.p -11'-1·0
17.
't • 2plt .. y2p5
28.
pI _ "p _ 'J • O
19.
'1. (l·P)%
JO.
'Y • 2p ..
31.
yp - xp .. 3, •
up
OE PItrMER
a
• y • O
(,C
2:
... l)p
,
- 'Zz7P
t
..
_ 1•
(x ~ yl)p
o
t
t
(Utilizar yJ.
• p'
11" p2
o
= :.)
$D/.
a. •
S./.
%
•
2(1-p)
Sol.
1t
•
2 lnp
Sol.
••
C/,¡p.
2p •
Cp
1/2
.. In(p ..
t
(p.
y '"' (;% _
Sol.
y•
Sol.
(J'-Cx-e'){C'.-ey.,)
Sol.
1t
Sol.
y' : 2Cx- + el
31 • P
.. (A.'.
,-
• e(1 -
'"'
,
-st«
•
• o
'1 .. Cpt~~
e/,¡p
R) ..
C.
3)(p • 2)
e)
C(p •• )e'.
y • 1. - P
2
c'l
$DI.
p
~ C(l. p)e-
l·2p·/,.p'
Y • epl/2 (p'. 2)-'/'
CAPITULO
10
Soluciones singulares. Lugares geométricos extraños
LA ECUACION DIFERENCIAl.
1)
y = p.e
+
21"
tiene como primitiva la familia de rectas cuya ecuación es
y
2)
=
ex + lC'.
A cada punto (x,y) d. la región de puntos para los que se satisrace .c' + 81' > O, la ecuación 1)
h3CC corresponder' un par de direcciones reales distintas y la ecuación 2) UD par de rectas reales
distintas que tienen las direcciones determinadas por 1). Por ejemplo. si se sustituyen las coordenadas (-2,4) en 1), se tiene 4 _ -2p + 2p', o sea, p' - p - 2 _ O, de donde se deduce s= 2, -1.
Análogamente. si se utiliza 2) se obtiene e = 2. -l. Asi, pues, por el punto (-2,4) pasan ras rectas
y _ 2x + 8 c.v = - x + 2 de la familia 2) cuyas pendientes respectivas están dadas por 1). Los
puntos para los que x' + 8)' < O dan lugar a ralees p y
imaginarias distintas.
e
(<<lb"
ti
ramiba
T .: Ca
.2C'
(a)
(b)
Por cada punto de la parábol~1 Xl + 8y _ O pasa una sola recta de la familia, es decir, las COOl'4
donadas de cualquier punto de la parábola están relacionadas de tal forma que para ellas las dos
raíces C de 2) y las dos raíces p de 1) son iguales. Por ejemplo, por el punto (- 8, - 8) pasa una
sola recta, .v = 2x + 8, y por el punto (4. -2) una sola recIa,)' - -x + 2. [Véase Figura (Q~]
Se comprueba fácilmente que la recta de 2) que pasa por un pumc de r + 8y = Oes tangeele • CS3parábola, es decir, l. direeeón de la parábola en cualquiera de sus puntos está dad. por I~
Así. pues. r + 8)' = O es uno soluaón de 1). Esta solución se llama UDa solw:wn singular, pues
no se puede obtener de 2) dando un valor a la constante arbitraria. es decir, que no es una solución
parucular. La curva correspondiente. parábola. se denomina f'nvolvent~de la familia de rectas 2).
[Véase l. Figura (b).'
67
68
SOLUCIONLS
SINCVLARES
lIJCARES
CFOMI!TRI('OS
F.xTRAJ1los
Resumiendo:
Una solución singul3T de una ecuación diferencial satlj(acc la ecuación
es una solución particular de 13 ecuación.
diferencial, pero no
En cada punto de su lugar geométrico (envolvente) el numero de direcciones d,sunlas que da
hl ecuación difet('r~clal y el número de curvas distintas que da la primitiva correspcedieme SOn
menores que en los puntos que no pertenecen al IIlWII' geométrico.
LAS SOLUCIONES
SINGULARES
de una ecuación
diferencial
se encuentran
expresando
condiciones:
I~I)
al
h)
que l. ecuación diferenc,al (ecuación p) tenga ralees mulliplcs. y
que la primitiva (tcuación e) tenga raíces múltiples
En general, una ecnserén de pnmcr orden no tiene M))UC:tO~ singulares: SI es de pnmer ¡rado
no puede tener sotuciones .'"Ilularos. Aún más, una eeuecrén 11,.. r, p) = O 00 puede lener soluciones singulares si ftx, r, p) puede resolverse según factores que sean lineales en p y rK1o~
<::0,'1:e}'.
La expresión más sencilla, llamada el discriminante, que contiene los coeficientes de una ecuaO cuya auulacién es la condición para que la ecuación tenga raíces múltiples, se ob ..
tiene eliminando X entre F(X) - O y F'(X) = O. El discriminante de
CiÓ'l F(x) -
aX' + bX + (de
aX'
o
es
+ bX' + eX + d - O
b' - 4oe.
b'r'
+ ISobC'd- 4oc' - 4b'd - 27o'd'.
Véase Problem:t
Para <::1ejemplo del principio. los discriminan les de las ecuaciones
•• z + Sy.
p
1.
y e so-n ,dtl'lucos. nendo
Si t:(x. y) - o es una solución singular de la ecuación direrencial/(x. y.p) = O cuya primitiva
es g(x •. v, C) = O. entonces E(x. y) es un factor de ambos discriminantes. S10 embargo, cada discriminante puede tener otros factores que originan 01r05 lugares geométricos asociados con la
primitiva. Como las ecuaciones de estos hJgaICS geométricos generalmente no satisfacen la ecua..
ción diferencial se denominan r xtraños.
LUGARES GEOMéTRICOS
glx. y. C) = O.)
a)
EXTRAr<OS.
(Ecuación diferencial
I(x.y.p)
- O: pmrutiva.
LlIgar de rhoqu«.
Sea P UD punto en el que dos o mas de las n curvas distintas de la familia g(x. y. C) _ O que
pasan por él tienen una u.nsente común. Entonces. el número de direcciooes distintas en P es inícrior a n. por lo que se tiene que anular aquí el discriminantep. El lugar geométrico, en caso de que:
exista. de todos los puntos de este tipo se denomina un lugor di' choque. Si T(x. y) = Oes lo ecuccrén
del Jugar de choque, entonces T(x. y) es un factor del discriminante p, En general, T(x. y) no es
un factor del discriminante e y T(.\". y) = o no satisface la ecuación diferencial.
7
o
}' -
O es
un
lusar' de dloql,tC'
SOWCIONES
b)
SINGULARES.
LUGARES
GEO~ETlUCOS
EXTRAflOS
69
Lugar de puntos dobl es ,
Supóngase que una de las curvas de la familia pasa por un punto P tal que es doble con tan.
gentes distintas. Como ya se tienen así en cuenta dos de los n valores de p. no puede haber más de
n - 1 curvas distintas por el punto P; Juego el discriminante e se ha de anular en P. El lugar geométrico, en caso de que haya uno, de lodos los puntos de este tipo se denomina un lugar trunodal
O lugar de puntos dobles, Si N(x, y) = O es la ecuación del lugar de puntos dobles, N{x, y) es un
factor del discriminante C. En general, N(x, y) no es un factor del discriminante p y N(x. y) = O
no satisface la ecuación diferencial.
e)
Lugar de puntas de retroceso.
Supóngase que una de lis curvas de la familia pasa por P y que para ella éste es un punto de
retroceso (punto doble COn tangentes coincidentes). Como una de las p mices es doble, el discriminante p se ha de anular en P. Sin embargo. COmOen el caso de un punto doble. no puede haber
más de n - 1 curvas por P y el discriminante e se ha de anular en P. El lugar gcomctrieo, si lo hay,
de tales puntos es un lugar cuspidal O lugar lle puntos de retroceso. Si C{x, y) :: O es. la ecuación
del lugar de puntos de retroceso. C(x, y) es un factor tanto del discriminanre p como del diseriminante C. En general. C(x, y) = O no satisface la ecuación diferencial.
r
< <z1«<'
I
J' =- O es un lugar de
{MUllOS
doblC$
y =o O es un lugar de pcmcs
de r«-rOCC$O
Si las curvas de la familia g(x, Y. C) = O son lineas rectas. no hay lugares geométricos extraños.
Si las curvas de la familia Son cónicas. no puede haber ni lugares de puntos de retroceso ni
de puntos dobles.
DlSCRIMINANTE p. El discriminante de la ecuación diferencial f( ••, y, p) = O, el discriminante P.
igualado a cero incluye como un factor:
1) La ecuación de la envolvente (solución singular) una vez. Véanse Problemas 2..4.
(La solución singular satisface la ecuación diferenciaL)
2)
La ecuación del lugár geométrico de los puntos de retroceso, una vez. Véase Problema 7.
(La ecuación del lugar geométrico de los puntos de retroceso no satisface la ecuación diferencial a menos que. sea también una solución singular o solución panicular.)
3)
La ecuación del lugar de choque, dos veces. Véase Problema 5.
(La ecuación del lugar de choque no satisface la ecuación diferencial a menos que sea
bién una solución singular o solución particular.]
tamo
DISCRiMINANTE C. El discriminante de la primitiva g(x, Y. C) = 0, el discriminante C, igualado a cero incluye como un factor:
1) La ecuación de la envolvente O solución singular una vez,
2)
La ecuación del lugar geométrico de los puntos de retroceso, tres veces.
SOLUCIONES
70
J)
SINGULARES.
LUGARES
GEOMETRlCOS
EXTRAl'lOS
La eeuaeién del Jugar geométrico de los puntos dobles, dos veces. Véase: Problema 6.
(La ecuaeién del lugar geométrico de los punlOS dobles no satisface la ecuacién dtfetena31
a menos que se. I3mbién una solución smgular o solución patti<:uIar.)
Si un lugar geométrico pertenece a dos catelorias.
l. multiplicidad de su CCUaCJÓD en una relación diserimmante es la suma de las multiplicidades
en cada categoría: asi, un lugar aeoméU'lCO
tic puntos de retroceso que también es una envolvente está iocluido dos veces en la relación dJS-crimmante p y cuatro veces en la relación dísenminanle
C.
Sin embargo.
la identificación
de los lugares geométricos
extraños
DO
es una mera eootabi-
de factores.
lidad de multiplicidades
PROBLEMAS RESUELTOS
l.
Hallar la relaci6n discriminante en cada uno de los CU05 sigUientes:
.1 1 • c(. _ C)'.
Se pue:det'l escribir en seguida las rt':laaones clixrimlna.nes
sepur aquí UD Pfoccdlmtcnto que pUede 5Cf prd'cnbk.
•
Hay que: dlminar p eerre !(X,y.p)
a)
• p' .. F-Y
• O
• Zp<-3y
• O
b fórmula. que se b dado. Se
utilq;1ndo
1'101(1
\'1.
minando p entre
3/ _ P 01 • 3p' .3px_3y_3p'
-1"'
ap
31
de p _ 2
respecto
y sustituyendo
en la segunda
se uene
01
ap •
y
Si ¡(Je.
b)
Se
y
al
q, •
P'
(')
va ahora
r
Aqul
ti
y. p)
• O
es de grado"
3/ -
p entre
C) _ t;l -
2C:x + ~
• 3e' _
_cil¡¡
Sc'x.
nI'"
en p. se ellmlna p entre
a/~'• 3p
p-
op
SUStituyendo P' por ese valer..... (2....
3,
O. Resoh"lcndo la pnmera
o
~-ep
y-48x
- y-
+
27") -
P
al :
q,
o
y ~.
2,.2220
- 3p x + 1p] : -2p]
¡,;".
:!!!! •
Suslltuyendo
3Cx' _ 3y -3C' ••
1) por 3 y 2) por 2x y SUIlHlndO
Rel&Olviendo pata 2x
se:
en 2) )' SlmpljJlc:wdo
1. Resolver y _ 2xp - yp':J. Y examinar
= l.P + yp
las scíucicees
v derivando
•
y de la
pnmcra
O y hay que e.timanat e entre
c'. -
Cx·.
-2C'••
2Cx'-37'
3e' - <ex + ¿ = o.
e _ -'(') 2r- 9y
•
o.
OC
Multiplicando
o.
- 48x
9p'x' - t6¡oly' = O
OC
2)
4x' .. 27y' • O.
..
"",'
a ehmín3r
,(x. y.
2
2
•
-24 _.
.. X
27
t
3p x - wr • O. Oc la ültima se obtiene 9p·x' • 16¡r'y' O
x'
M
•
3p+x._Y_+.I:=0
x
JVOla.
3p
ueee
- 2CK'
+~ -
se obtiene j(4x'
,illsulares.
respecto
de '1 se lde
9)' .. O.
- 27)") = O.
O
y
SOl.l)CIONES
SI NOULARIiS.
P •
Intestando
p
.a,._
llene la pnmiuva
.,:
O se ObhtAc "
-
)'2 ....
2Cx _
LUGARES
7"*'J,
GEOMETRICOS
ok dO<><!<
el - I HP
e )'susblUyeOOo,
_
-
71
EXTItAI'OS
• 7~1
J,
• O.
~ ee b ccuaaóa
dl(t:re.t'IClal ~
q
ee-
el.
Las rclacloues discriminantes p y e
cwl dada. ha)' soluciones singulares.
yZ .,. O. Como." - x
IIOR ,'(1 -
1: y
-.t satisfaQen la ecuación
di(crtn.
Si se elimina p entre la ecuación diferencial y la relación p1 - I _ O. dCKattada eo esta soluci6n. 2 vuelve
I obtener la ecuación de la envolvente x-J: - J': .,. O. La presencia de tll flaor implica 12 existenaa de una $Oh,·
elón sin¡ular. pero no reciproc.amentc. E..tc procedimiento
no se utiliza, por tanto, para ballat ~UCIOneJ Jlnsu ..
II~.
La pnmltlva reprt::SttI.\3 una fsnuha de panibobs cuyo eje pnna~1 COIoade COQ d eje :r-. Cacb parabob n
tangente a la t'CCt3 y = s en d punto (C. C1 J ~ la recta y = -x en el punlo (C. -C). veee F~ra (o~
y
7
e: 1
C--I
Pla. ebl Prob.3
Pic. (o) Prd).2
y2.
Famrlia de pa.ribol~
tl\vol\'cnlt
3.
IiQmllW'
2c.._ C'2.
I:llmd,;a dt rectas 7 ~ ~
Ccnvohvltc 4.x' + 27,.2
1 • ;t ~.
Las solecicees singulares de pJ
+ P$
.. C',
• O.
- )' = o.
Esta es una ecuación de Oair.uH cu)'a primiU\-a es
La rclacioo
,
o
-----,
discriminal'Ue p y C • .a..~ .. 21r
J'
:lO:
~
....
O. es una soIuoón
~
$Inpdu
ya que satisface b cr:aooo d,(c-.
renei:.!.
La prtrruuva representa una famJllól de lineas rectas tangentes ~ 131parlibol.a. scmic:6bic:a 4.~
eevclvente.
4.
Ex3minar
veese
T
27r - O~l:a
figu ra (b).
las soluciones singulares
La primiti\ ..... obleo.ida en el Problema
Tanto la rdación
dtseriminantc
+ 3px
de 6pl)':
- y • O.
J). C3pitulo 9. es ~ - lCx
p romo la
e es
3x2 + 8r
z
o
+ 6C2•
Como gWface
la (Q,)3OÓn dj(cn:tte:d.1 es
UQ
soIuc:i60 ,"".Iat.
s.
"Resolver (.xl - 4)1'2 - 2xfp - •.¡:
Resolviendo
respecto
_
O Yexa.mlnar las soIuciooes sin¡ubtcs y los lugares geomémco$
de 2y _ .'fp - ~ p - ~ y derivando
x
p
respec:co 3
s:
se llene
otrdo:J.
72
SOLUCIONES
~
• p
$INGUI.AR!;S.
LUGARES GEOMBTRICOS
..-
l'
dp
(p 6
-
EXTRA~
4p
t,
".L
J,-
)C,
d;' • o.
_.1.
(Ú
(k
xl{,,'
+
p -
X
r-
2. _ 0,
p _ ex y la pormnva es C=(r - 4) - 2ey - I - O. La rd:sctón
d.'
4) - O y 111 rclactón discnmin3nle
es %' + J': - .. O.
dtscnmlnanlc p es
e
Ahora bien,.r
t J" • 4 1\I)I",«e una \tez en las relacione, diiCnmlnanle.s p y e y satisface ta oculc,ón dife ..
reocial: es una solución sinalllar. En la relación discnmlnanlCl p aparece dos veces x-O. pero no aparece ninguna en la relacióo du;criminanlc C. y no satisface la ccuBción diftrencial; es un tugar de choque.
La pnmlbva re~nla
Véal< Figura «l.
unl ramllia de parábolas
que tiene II cirt'unfcrc:nci~ xl ...JI'
- .. como
en\'oIvtlue.
- e) : pof
lanCo. ",,!l.
"'~()IIJl.
('()milo.
,Vota 2.
mente aquellas
Una aJM
parábolas
,4C':!
e
de tI flimJlIa loca ~ l:. envolvente
dudllS por
el ~ f
I
en 10$ punto!' (1 ---.
tocan 13 ci.rc:unferenei.ll.
."
-¡,
1
Co __
.~
g
I
I
Co-I/8
o
C=I/<
•
•
r:."uha
de curvas ~bc:u
()·.ci'
2C)o_1. O.
PI,. «)
,.
f.a_u
de paribolas
C'(r' - .)-
Pn>b.5
Pig.
=
(d)
x(.
-1>'.
Prob. 6
Resolver 4x~ - (3x - 1)' • O "i examinar las soluciones singulares "i los legares geomérocos c:xltuAoli.
Resolviendo respecto de p. ±(~XI'2
de (y + C)! = x(x - 1)1. La ~lao6n
*-1)'=0.
Aquí x =
corno se
o es comÜft
~'C: fácilmente
discriminante p es x{lx - 1)'
a &:asdos rct.oones
= ±(.r" -
- ~ x-I/1)seobtienc:;ntc:araodoy
l~ (~)~
esto
es. x-O. : _
_ O. Es una solución
),T - 1 - O es un lugar de choque. pues aparece dos veces en la rehlción di~riminanlc:
el! 13 relación discriminanle
y no $lili.sr~
la ecuación diferenc¡ul.
e
+
CI• de don-
O. y la rdacióa discrimnl.ncc
y satisface b cc:ux:tón difcrcncial.
si se elSC'ribeen la forma 4x - (3x -
Xii')
e es
O sattsfxc
singular.
p. no aparece nInguna
SQLUClONES
SINGULARES,
LUGARES
GEO~iETRICOS
EXTRAI'IOS
73
x - 1 = O es un lugar dé pUIHOS dobles ya que aparece dos Ve<XS en la relación discriminante C, ninguna en
la relación discrirnmantc P y no saristacc la ecuación diferencial,
La primitiva representa una familia de cúbicas obtenida desplazando y~ = .\'{x - I)l a lo largo del eje y, Estas curvas son tangentes al eje y y tienen un punto doble en x = L Aún IDAs. por cada punte de X = Ij3 pasan dos
curvas de la farnilin que tienen una tangente común ahí. V~ase Figura {d),
7.
Resolver 9y,?- + 4 • O y examinar
las soluciones
paro 9y = _4Jp'J- Y derivando
Resolviendo
y los lugares geométricos
singulares
de x se tiene
respecto
X
t
e
8
- 27pl .
p entre esta última relación y la ecuación diferencial.
Eliminando
pes)'
La relación discriminante
= O. y la
La primitiva
,J
la primitiva es
e
relación discriminante
_ O. CoIDO J' =: o aparece una \fez
no satisface la ecuación diferencial. es
y' .... r
representa Ia familia de parábolas semicubicas obtenidas desplazando
tiene un punto de retroceso en su intersección CQn el eje x, e)'
de retroceso. Véase la figura adjunta.
= O es el
CUrv:1
de estos puntos
+ Ix + C)-2 _ O.
es)'3
ey
en 13 relación discriminante p. tres veces en la relación discriminante
un lugar de puntos de retroceso.
del eje x. Cad.:.t
extraños.
_
O a lo largo
lugar geométrico
Famifia de panibolas semícübícas
y' ...(X+C)2 "o
8.
Resolver
rpl
+ x2),p +
para y _
Resolviendo
=Oy
examinar
soluciones
las
- -!- xp y derivando
x·p
(l
-x
P )(2p+
dp
,
= 0, px· = C y eliminando
dx
e;
respecte
• ,
0-: 2p + x -
singulares)'
los lugares
geométricos
extraños.
de x se tiene
dp
x;¡;)
o.
p entre ésta y la ecuación
diferencial
se tiene
la prin)jtiva
+ C:o:y+ x= O.
La relación discriminante
.\,),1 _ 4 _
o
satisface
p es
.t)
la ecuación
(.\'.1": -
4') = O y la relación discriminante
diferencial
y
es lula solución
x =- O es una solucrén particular (e - O). Obsérvese
)' una vez en la relación discriminante C.
que aparece
e
es X(xyl - 4) • O.
singular.
(res veces en I~ relación
discriminante
p
74
9.
SOUICIONES
Examinar
SINGULARES.
las $OIuciones singulares
la r.baón
decmmnante P"
WCI\RES
y los Iu.pres
CtOMETRlCOS
seomc..ooo,
EXTRARos
cxtra.ños de
p>x -
-.&xl
2ply
O
:c'(2'" + 27x') _ O y b r<baó. di>cnmiaan,. e es 2'" + 27.<' _ O
Como 2y' .. 21y·
o es común 2l 13.5 reJ~
dlJC'tld1lNftles y sattSf:lCt b «WIC:IÓn dl(~
es U~
solución ",ngulilr. En cada punto de la ruu .'t - O IOn t.npkS dos paribolas de la r~
(p.113 ,. < O. bs p".
rábolas 500 n:aks). luego x _ O es un rugar de ehoquc Por tanto, x ,. O es una soluci6n particular. Corno 5C
obLtcnc haciet1do
ec. se suele llamar una soluc¡ón lIúinita. SIO embargo. ~~
que si 13 prinullV1l se escribe en la forma Xl - Xy - 2K) = 0, rita IOh.IC,ón ~ obliene: pata K = O.
e-
PROBLEMAS
In\'CSligar lu
singu.laru. y los fugares
)' _ px _ lpl.
~noos
atraños.
tw.
Primitiva.
y
11. ,.'p1. + 3xp _ y '"'"o.
tw.
Prim .. ".
+
u,
Xpl _
S"J. Prim •. C':c' .. ey
13.
'rp' _ 2)'P
14.
(3y -
15.
)1 _
lO.
,
soluCIones
PROPUESTOS
16.
2"p +
4x
= O.
+ x + 2y
= O.
Il'p' _ 4y.
-xp
2,.
p'
.. x·p;J..
+ 4xp.
17. ¡{l - 4y,/,p' - 4(1 -}'~
Cx - 2e'; solución smgubr. :c' - 8)'
c'
le< -
+1-
lx' .. 2C(.'t -
+ el
= O; s.
Prín, ..
Sol.
Prim., (x I el' - y(y - 1)';
1 p. doblc.s. y - I
Sol.
Pnm .. xy
$(JI.
Pnm •• (4x' + 3.ty + C)2 _ 2(2x:
l. p. retroceso. 2r + y = O
(,T
y)
e t el s, S.
cY -
$..
1
$.....
+
- O
r - 4.<' = O
O; .....
Sol.
tw. Pnm.
+ 41'
= O; s. ... 9.<'
,
4;c"l),
.r + 2.ry
$.,
=
o;
= O;
+ y)':
y'
O
1. de eh .. y - 1/3;
O
1. de ch., )(
ninguNo;
}.J(1 - y): s, s.• y = 1; L p. rerrecesc,
J .. O;
1. de eh.. y _ 3/4
18. p' - 4x'p .. 8:c',
19.
= O.
(p' .. 1)(Jr - y,/, - ex + yp'J'.
Suaert'neu.~ x _ p ces 8.
y_ psen8.
Sol
Prim.. y -
C,r - e':
Sol
Prim .• (x
el' .. (y
s, s.• 4_tb -
-
CJ'
= e';
l1y! =
s, s.,
o: 1. de eh.• x
-
o
-'y = O. 1. de eh,. , - •
CAPITULO 1J
Aplicaciones de las ecuaciones de primer orden
y grado superior
AL HALLAR LA ECUACION de una curva que tenga una propiedad dada (por ejemplo.
que su pendiente en un punto cualquiera sea el doble de la abscisa del punto) se obtiene en el Capítulo 7 una familia de curvas (y = xl + el que gozan de esa propiedad. En este capitule la familia de curvas será. con frecuencia. una familia de líneas rectas y en esos casos la curva más interesante- es la envolvente de la familia.
PROBLEMAS
1.
Hallar
RESUELTOS
la curva para la que:
o)
La suma de los segmentos interceptados por la recta tangente en los ejes coordenados
es igual a k.
h)
EJ producto de los segmentos interceptados por la recta,
tangente en los ejes coordenados es igual a k.
e)
La porción de recta tangente interceptada
denados es de longitud coustsme k.
Sea
la ecuación
de la recta tangente
ya ps:
+ f(P).
los segmentos interoeptóldos
-f(P)/p y J{P) respectivamente.
en el eje x y en el eje y.
siendo
o)
- -CI arraut
cuya pneuuva
Q
= k.j(P)
Como f(P) -j(P)lp
cién de la tangente cs
sea
XCl
-
= 4x)' o sea
la ecuación
por los ejes cccr-
j-
= px -
=
-kpj(I - pl. y l. ecua-
..!:J:._,
I-p
que es una ecuación de
1 f -1C
es a arru 13 de roelas y x -
l kC
_ C·
=
J' - k)C + J'
O. La curva podida. envolvente de la familia. tiene por ecuación ex + y - tf
ylll _ k 11:, Obsérvese que esta CUlV3 es una envolvente (solución singular) ya que satisface
diferencial y no se puede obtener de la primitiva dando un valor a C.
(x
Xl/l
+
±
±FkP. Y 1- ecuación
Como f(P)[ -f(p)/p] = k.J(P) ecuación de Clairaut cuya primitiva es
b)
y -
= ±Fck
Cx
La curva pedida. envolvente
de la familia,
eJ Como ({f(P))' + {-f(pJlpl']'"
O
bien
de la tangente es}' - px
.'C' ... (k
tiene por ecuación
4x)'
- k. f(P1 = ±kpj.jl+Pi.
- 2xy)C ...
=
y' =
±
F-kP. que
es una
O_
k.
y la eceaeiéa de la tangente
ex
C$
y ~ px ±
de esta ecuación es j: =
± kc/Jt + Cl.
Derivando respecto de
se tiene O
x ± kj{1 + Cly/l.
De donde x = ; k/(l + Cll1/l,y. ex ± kCj(1 + Cl)Ul
±kCl/(i ... el)"l, y la ecuación de la envolvente es
)C'#l + }.lJ'
klllj(l + e:} + filJlClj(1 + "2)
k21l.
kp/..Ji+'Pi.
La primitiva
e
=
=
=
7S
=
76
l.
AI'~ICACIONllS
De LAS ECUACIONes
Hallar In curva I);\r:l la que:
a) La SumAde las distancias
PRIMER
ORDBN Y ORADO
SUPERIOR
La $uma de las dilítancil\$ de los puntes
(a, O) '/ (-ti, O) " la recta tan,gcute es igual a k,
(u. O) '1 (O. a) u la rcCItl. tangente es igual :1 k.
Tómese p. - 'Y .. / (p) • O como la
normal de la ecuación de unn recta tangente.
h)
de los puntes
os
¡¡;p;
rOMnQ
y
-ap + I(p)
"
~
(-a.O)
(a)
a)
las distancias
(h)
(a. O) y (-Il, O) a la recta SOn op ;. f (p)
de 10$ puntes
tanto, 2/(p)
= k.
II+p'
f(p)
'"'
y
-op'"
~
lkM.
y la ecuación de la tecla tangente es j-
I (p)
• respectivamente.
II'p'
= px + !k~.la
Por
primhi-
va de esta ecuación de C'airaul es
y.Cxt,lr~
e bien
o.
(4x2_k')C'_ax,c"4y2_k2•
La curva pedida. envolveute de esta famUi!! de rectas. tiene por ecuación
b)
Las distancias
de 10$ puntos (a. O) )' (O, a) a la recta son ap .. / (p)
-4 "Cp. 2/(p)
¡¡;p;
-Op'l
«l.
y
~
:- k.
~(.ll+p2 - (lp" al.
f(p):;
yle
J::
y~ • Ale'.
2 •
-o ~ f (p) • respectivamente.
¡¡;p;
ccuaciónde ta tangente cs y :- px
t ;
Luego.
[k~
La pnmiriva es y e Cx+;(k~-(lC+01.
Derivando
respecto
Por tanto, x:;
ne por ecuación
-
de
e se
tiene
O :- x ..
~rkC/~ -I1J.
x~ .. y2_a.x_Q)'2O
i [kC/¡f;Cf
f(k/~
y:-
~(k2_20').
3. Hallar una curva tal que la tangeute en cualquiera de sus puntos P sea la bisectriz del ángulo determinado
pOr la ordenada
que pasa por P y la recta que une P con el origen.
Sea IJ el éngulc de iuctinación de una tangente y f/J el ánS1 M es el pie de la oro
gulo de inclinación de OP. Entonces,
denada que pasa por P,
ángulo 01'1>1 = 90° Ahora bien. tg(90' Y'S<l>'S20=-1.
Como tg
ti>
= y/x
4> -
4» -
2(91F -
O)
=
180' -
20.
ag 4> - 'g(1800 - 28) = - tg 20
y tg O = y'
= p se obtiene
la eceacién
_ (::).
..o],
y la envolvente
de la familia de rectas rie-
APUCACIONIlS
diferencial de la curva'
DE LAS ECUAOONES
l . ..1e.... .,
x
1
2p • P - - ..
(.r
-1
o
OE PRIMER
2y
¡¡p _ x¡p.
17
y GRADO SUPERIOR
Denvando respecto de x,
l_p'l
• d.
xclp
y
.. _).;L. •
_ P(Ú • O.
p' dr
P
ex. Sustitu)'endo
Integrando. In p _ In x ~ ln C. O sea, p llene la famjha de parábolu elr - 2ey - 1 _
4.
ORDEN
o
t1 valor de p en la ~W)n
difcrt-nci.&lsc ob-
y
u.
Hallar la fcema d.
_'or
cal que rcflqc .. ,...
uR haz de rayos p¡,¡rlll(:IO!lI~ luz; que venga de un3 ruen·
le luminosa (jja.
T'
Considérese el punto fiJO en el origen de coorde""d<ls y los rayos reñejadcs paraleles al eje x. El re.
ñector es. pues, una superficie de revolución c:n~n.
drad, girando una curva /(x, J" = O atrededer dd
ti< x.
al plano xOy. Jea
o. rrr ti lIn·
gente en el punto P y PQ el rayo reBejado. Cotno el
~nglllo de incidencia es i,uaJ al ángulo <k reflexión se.
l..imitiodose
p(x.
y) un
el razonarrucnto
punto de la cu,,"'a
•
ftx. y) _
T
IJcneLOPT. <P - LQPr.
Ahor.
bien, p _
':!r
dx
1&
LOTP
"nlo. ~ _ .2e_. de donde lx
x
J-p'
Oenvando
=
= ~P
es <p y .. LTOI' - .g(n - 24».
_1& 24>_
I
-218,'"
1I!4>
_':
x
por
}'P.
21ydp
rcspc:eco de: J'. - '"' - - ppp'dy
-
dp
- P - TJy
y
~.
-
p
!z.
........ P • <:y .
1
E:litrtiMn60
,
entre esta relación y la ecuacién diferencial oflginal se tiene la familia de curvas y' - le", + <;l. Así. pues. el
reflector es un miembro de la familia de parJ.boloidc$ de revolución ,2 ... :2 - 2eA' + e',
PROBLEMAS
PROPUESTOS
S. Hanar la CW'\13 parala que cada una de sus tanaencC!I forme
tanto al.
Sol. 2xy _ al,
6,
COn los ejes coordenados
un tñánguJo
ck área coas-
Hallar la curve paro la que. el producto de 13..<;:
dillUlncias de los puntos (a. O) y (-n, O) a las tanganes es igual
Sol. k.\,l _ (k + ol)(k _ y')
a k.
1.
HalLa..r la curva para la que la proyección
1ansn>1eS es ~I
• k.
Sol. x'
$!U
sobre el eje , de la perpendicular
4k(k - y)
desde d origerI a Q,Ul.lquiera <k
-
8. Hallar la
CUJV3 ul que d oriJeo sea d punto modio del se¡mento que m el CJC y dctermina.a: la. tlnpk '1 la
normal en cada uno de 'U$ puntos.
Sol. x' ... 2e}' = el
9.
Hallar las curvas para las que 1a dístaocia
al origen de cada tangente varia como 111dj"aocia
de coutacto.
al origen del punto
2'
Sue,erencia;
P
/p'+
(dpfd8)'
• Itp.
Sol. p
»
8~
Ce ~
CAPITULO 12
Ecuaciones lineales de orden n
UNA ECUACION DIFERENCIAL
drt-1
p. --y
dxlt-1
1)
+
LINEAL de orden
11
tiene la forma
dlt-'2
p. --y
dx,,-z ,.
t
+
•••••••
donde p.
-+
0, P" P" ... , p•. Q SOn funciones de x
Si Q
=
0, 1) tiene la forma
d"-Zy
2)
+ ••••..•
O
dy
t p'fIY
dx
P~-l -
constantes.
+ P'-¡-1
homogénea para indicar
dy
-
dx
dxn.-z
y se llama
.;: Q.
+ Pn Y
Z
O
que todos sus términos son del mismo grado (primero) en
y y
sus derivadas.
,
l:jemplos.
A)
+ 2><
!U:
sdy
dx
dx'
z
d y _ 3 dy
dx'
dx
B}
+ 2y
=
0,
-xy=senx.
de orden 3
de orden 2
La ecuación B) es un ejemplo de una ecuación lineal homogénea.
SOLUCIONES. Si y = y.(x) es una solución de 2), entonces)' = C,y,(x). donde C, es una constante arbitraria, también es una solución. Si y = y,(;e). y = y,(x). y = y,(.<)•... , son soluciones
de 2), entonces y _ C.y.(x) + C,)',(x) + C,y,(x) + .. " también es una solución.
Un conjunto de soluciones y - y.(x), )' ~ y,(x) ••..
,y = )'.(x) dc 2) se dice que es lineal-
mente independiente si la igualdad
donde las e son
constantes solo se verifica cuando e,
= ez = el -
...•
=
e;
=
O
~jempJ() J. Las funciones (!'Y. y e-K Son linealmente independientes. Para demostrarlo establez.case la relación ele" + e2e-JI: = O. donde ti y e2 son constantes; a\ derivarla se obtiene
Ctr - e2e-JI: - O. Resolviendo respecto de C, Y Cl el sistema formado por ambas relaciones se
tiene el = e2 = O.
Ejemplo 2.
é.¿
+
2C2¿
+
Las funciones ti', 2,eX y e-x son linealmente- dependientes
e O para el - 2. e2 = -1, el = O.
ya que se verifica
C,t-$
Una condición necesaria y suficiente para que el conjunto de n sojucíones sea linealmente independiente es que:
78
ECUACIONES
..
y,
Y.
Y.
y:
y'
•
y;
y:
y'1
y;
y.•
y;
=
,,(x) .. ".
(" .. 1)
y
...
(11.-1)
y.
ya C,y,(x)
3)
la primitiva
19
; O.
....................................
,
C$
DE ORDEN •
Y,
y(A....l}
Si y = y,(X), y
entonces
UNEALES
y.
(n-l)
y•
a
y.(x) son n solaeiones
+
Clf,(x)
+ ... +
linealmente
independientes
de 2).
CoY.(x)
de 2).
Si y = R(x) es una solución
ronce..
4)
Uamada
particular,
)' - C,y, (x)
+
Clf,(X)
ta mbién
+ ... +
integral particular,
d. 1). en.
CoY.(x) + R(x)
es la primitiva de 1). Obsérvese que 4) contiene todos los términos de 3); este término distinto de
4) Se denomina lajunci6n complementaría. Luego la primitiva de J) está formada por la suma de
la función complementaria
y una integral particular.
Aunque en general la primitiva de una ecuación diferencial no es necesariamente la solución
completa de la ecuación. sin embargo. cuando la ecuación es lineal. la primjtin es su soInción com·
pie .... Así. pues. 3) y 4) pueden ser llamadas soluciones complew de 2) y 1). respectivamente.
LAS ECUACIOl'<'ES
DIFERENCIALES
los ejemplos del principio] se estudian
ción A) de los ejemplos del principio]
LI NEALES con eoeñeientes constaat es [ecuación Bl de
en los Capítulos 13-16. Las de coeficientes variables [eeuase consideran en los Capítulos 11·19.
PROBLEMAS RESUELTOS
J. OcmO$lru
d'
,¡-
,¡,,'
,¡"
J. - ..;!
que: la ecuación
2y • O tiene- dos soIucioots dlStlnw
-
Si y _ t" es una solución I)3rll a1auoos valores de
titucién
y:
•
dy
<IX
•
d;
d
",,,
=- 0('
•
,
~
•
2
y
•
(l
e
Luqo
l.
=
cbda quedar.i s:a.tisfc:cbasi se ha« la 5US·
ox
o
que
se satisface para a
=
-1.2.
dx
y = ~-a y y _ ~
Demostrar que y
la ~n
~.
,¡,,'
Se obtiene d y -~-2y
,¡,,'
Q.
de: la forma :1 =
son soluacmcs.
C1t'->< + C¡r'"
C$
la primitiva
de la ecuación
del Probk:ma.
L
Sustituyendo)i y $US derivadas en la ecuación difel'encial se eomprueb.a r4pidamc:nte que.~ = C,t'-JI + C1r'"
es una ",luci6n. Para demostrar que es la primitiva. hágase notar primero que el numero (2) de constantes artH'·
•
80
IlCUACJONES LJN8A~ES DI! ORDeN n
uarias
y el orden
.1"-.
• 'x
DenlOSlr3r que l:t ecuacrén
pendientes
diferencial
romul y -
de lú
Después
coinciden,
y dc:::pué$ que Ct\MO
• 3ex I O.
., 2,"
K'
3.
(2) de la ecuación
x'
y • CI-x
- a. ~
y y.
..
dx
t
2J1: :Ion linealmen1e
121 • O tiene tres scrceeees
IndependlCnlei
linealmente
•
inde-
.Y.
de hacer las susthuciones
d'y
-
&
r-Z
r(r-l).,r
•
dx'
en el miembro de 13 izquierda de la ecuación dada se tiene x'(rJ
r - 2. 3, -2. Las soluciones correspondientes
y - xl, y - .r.)'
•
W •
4.
Comprobar
, .'
2x
a.,'
2
Gx
que y -
x
X~l
.,
-2x ..~
.
20
L:I prrmiriva es
~O•
x es una integra! particular
-Sén
•
de d y
dx'
-
~
s
elx' ,_C7xJ
...
~.t-2.
.
l'
In x es una Integra
parucotar de
- 2y
.. ces x + 3 Sen ~ y ~'lCribir I~
dx
Sustituyendo y y sus derivadas en la ecuación diferencial se ve que
se deduce que la (unción complelnentatia
es y _ ele-A" + C-;t'h,
eompro bar que y ..
y
6,<"
primitiva.
5.
+ 12.) _ O que se seusnce para
son linelllmcntc independientes ya que
3,1 - 4r
-
-
, d'y
,nI
se S.'Ulsrace
_ •.. el_y
la ecuación,
12)'
2
4; y
escl'ibit l;a
Sustituyendo y '1 sus derivadas en la ecuación dada se comprueba que la ecuación queda satisfecha,
blema 3 se deduce que la función complementaria es JI =..f=Jx" + CrxJ + Clx-Z.
Ocl Pro-
%
w::
dx
..
12 ln
Del Problema
x -
primitiva.
Por tanto. la primitiva
es y _ e,x% +- C,;:x'
+-
C)x-1.(.+
x,
In
,
6.
Demostrar
pendientes
que d y
o únicamente
<Ix'
de la forma y
Sustituyendo
=
tiene dos soluciones
tioealmel:u(:
Inde-
lf",
y y Sus derivadas
en 13 ecuación
dada se tiene e"k(~
- dl - J.c)l
+ 50 -
2) _ O, que se sa-
usface para a = 1, 1.. l. -2,
• • <•
•• •• •x
x
Como
1:: _2:-"' '1
!
O.
pcro
e
•
pendientes
son .Y
=r
e y = e-::'x.
x
x
x
• •x
e•
<
<
X
<
-2e
.'x
_2"
O. las soluciones linealmente inde-
<k _2.%
-Be-1:t
r.:CUACIONlSS l.INEAl.ES
oe OROEN
81
n
7. Comprobar que)" = e, )' = xi', y = X2¿- e y = e-b son cuatro soluciones linealmente independientes de la
ecuación del Problema 6 y escribir ra primitiva.
Según el Problema 6. )' = et e )' .... ('-1 ...SOn soluciones. Sustituyendo directamente en la ecuación dada se
halla que las otras también son soluciones.
e
Como
Ir
.
x
"
xe " •
xe
e
"
e
"
•
x
xe
X<
x
,e x
<
,"
eX
"
" + 3e:t
+ 2e:t
.. ~t::t
, x
x <
+ 4xel' ... 2e:t
x •
x
1 O O
-2e _1%
x e
,x +
-,.
x
6.:te + 6e
e
-U
x
4'
-
1
._ _S4eK
1 J O -2
1224
.J
r
O.
1 3 6 -8
.
-8 .. 1:t
estas soluciones son linealmente independientes y la primitiva es
8. Comprobar que y _ e" ... C(}S: 3.~)' y
=
,
(>-'1..
primitiva.
sen 3x son soluciones de d y • 4 ~ + 13y
<Ix
<Ix'
o
'y
escribir la
Sustituyendo y y sus derivedas se ve que se satisface I~ ecuación.
Como W = 3("-·· .¡. O. las soluciones son linealmente independientes.
Luego la primitiva es y = e-1"(C, cos 3x + C, sen 3x).
PROBLEMAS
9.
PROPUESTOS
Demostrar que cada uno de- los siguientes conjuctos de funciones sen linealmente independientes:
o)
e}
sen 4%. CO$ cU
e(lX sen te,
b)
coso",
(<Io::IC
d)
1. x , x2
,"-C-X.
eO".
e)
eCx
In x,
e In e,
",2}o,l:
(a 1b le)
Formar 1" ecuación diferencial cuya primitiva es la dada.
5,,1.
y" + y' - 6.1 " O
y'" - Sr" + 12y' - ay -= O
¡¡O
13. Y
-=
Cleos
3x ...
C.,sen
3x + (4.% (:0$% +
sen
:t)/32
3yl + 2y -= e~x'
_
7" ... 9)' -= x
xy" _ s'
ces
%
y -:-o
+ 4,X5
! •
yy" +
rr"
(Y,)2
+ (y/)J
-=
2
-= o
o
CAPITULO 13
Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes
constantes
LA ECUACION LINEAL HOMOOENEA
P,
1)
COn coeficientes constantes tiene la forma
n-'
L...x ........
dxe-z
donde Po
t
o.
P"
p,....•
p. son constantes.
Mediante un convemente cambio de notación ..escrlbtendo dy :: Dy.
_ D'y,
2)
toma
etc., 1)
(PoD
1l
•
p. D
la
forma
"-1
dx
11-2
+ P2D
t····.·
p" ... O +
...•
Pn)Y
= O.
Ahora bien, D _ {; es un operador que actúa sobre Y. y
3)
1
es. sencillamente. UD operador mucho más complejo. Sin embargo. a veces será muy ccnveniente
considerar a 3) como un polinomio en la variable D upRSándolo así: F(D). De este modo. 1) se
puede escribir beeveme nt •• n la forma
4)
I
F(D)y
s
O.
Se puede demostrar, en general, y se verá en un ejemplo. que cuando 3) se trata como un polinomio y se- descompone 3S( en factores
5)
F(D)
= Po(D-m.)(D-m,)(D-m,)
........
· (O_oo,_.)(D_",,).
entonces,
61
I(D)y
a
Po(D-
... )(O-
es válido. es decir. equivale al)
~
Con la notaa6n
... )(O-
.. ,) ........
·(O-
d'
....
tú'
tú'
tú
d
(0-1)(0-2)(;¡;:'
•
d dy
(D-I)(;¡;:(;¡;'
d (/'
• _(.2 -
4,)
2)y
o.
d.'
_ 4 ~
<h
Aho... bien.
(D - I)(D -2) (~
•
tú
dy
a
2.,
_ 1(__
•
4.,)
tú'
_ "',
• 4y
•
tú'
En el Problema 1 se ve que: d orden de factores puede ser cualqutera,
82
+ 2y)
d'
2y) - 2(;¡; +2y)}
tú ,¡,,'
~
O
O• .2 - .2 - 4::;: • ~ • O ,01IIII la forma ID' - D' - 4D ... 4b - O
•
•
%
si D se trata como un operador.
d'
y. descomponiendo en foclores. (D - t)(D - 2)(D + 2)y _
(0-1)(0-2)(0'211
... _.)(O-""')y
(D-I)(tú~ -4yl
ECUACIONES
LINEALES HOMOCENEAS
CON OOEFIClENTES
83
OOl<STANTES
LA ECUACION
se denomina a veces la ecuación caracterísuea de 1) y las raíces mi' n¡2' m3- •••• m. se llaman las
ralees cnructcristicas. Obsérvese que nunca es necesario escribir la ecuación característica. ya que
sus raíces se pueden leer directamente en la expresión 6).
PARA OBTENER LA PRIMITIVA de> I1 se escribe primero la ecuaClón en la forma 6~
al Supóngase m, " m, i ..
,
t- .•......•
'1 .... _, f ...,.
Entonces.
que comprende n soluciones linealmente independientes de f) con n constantes arbitrarias.. es la
príminva.
I
Así
en
el
anterior
(D -
I )(l) - 21(D
C¡t2X
+ C)C"...l....
bl
+ 2)y
,
donde dy
ejemplo.
_
dxl
dy
_
4ciy.
dX'
4y.
O
o
bien
dX
_ O, las raíces características son 1.2. - 2 y la primitiva es y - C,"
+
véanse también Problemas 5-7.
Supánaasc .. , = .., .;.
;.
.¡
es la primitlva.
E.n general. a una ruiz. nI que aparece allí
ele ..1
C,x~.-x
,
_.
r \'eCCS
C_sxl't>"" ,
t
t
·
Enlooccs.
corresponde
••....
t
C..x'r'-l c""
en la primitiva.
dI
Así para resolver ___x.
- 4
dXl
(D' - 2D' - 4D
primitiva
+ S)y
- (D - 2)'(D
ciy
•
dX
+ 21)' - o.
es y _ C,~'-"+ C,x_" + C,,,-:..
8y = O. escribir las ecuaciones de la forma
Las raíces earaetensncas son 2. 2. - 2 Y l.
Véansc: cambitn Probk:mas 8-10.
Si los cceficiemes de 1) SOn reales y si a + bi es una raíz compleja de 6). también lo es a - bi.
Los términos correspondientes en la primitiva soo
e)
::: e4Z- (el ces bx + C:- sen bx)
Peor sen (bx +
donde A. 8,
el_ el' P. Q. R
,
dX'
=:.
Peo~ cos (bx + R).
SOn constantes arbilrarias.
Así las raíces características de d y _ 4
Aquí a - 2. b
-=
Q)
J y la primitiva
es)'
dy
t 5y
=O o
(0'-
40+ 5)ysO
son 2
± i.
dX
- ("2:"(C1 cos x
+
el sen
.x,.
Véansc: también Problemas JI-IS.
F,CUi\CIONES
84
~I"EALES
HOMO<;ENEAS
CON COEFICIENTES
CONSTANTES
PROBLENUS RESUELTOS
l.
Ocmol">rqu< (0-0)(1)-b)(0-')7'
(0_0)(0_6)(0_<)7
•
(D-6)(1)-.)(1)-0)7·
(0-0)(1)-6)(~
- (7)
<b
d'
(o. 6 + <I!!..!
rJ,'
(O _6) (D -<)(D-oI7
2.
COIJlp4"ob..,rque y -
e.(""-+ C:t!"
(D - aMO - b)(O - <)C,'"
los 0«0$ dos léTminos.
3. Comproba, que
y-
C,<""
EslOlOCcumpk ya que
=
+ C)t'- S3ÚS(ace la eeu:te:ión diferenci.11 (D - éI)(_D - b)(D -
(D - b)(D - cMD - a)C,'"
+ C,R"'" + c,"'r
4)
(D_.)'C1f:tU'
.. Ilsf_
•
la
- (D - b)(D - <1l
e) (D_.)'~x2taK
(D_III)'(D_.)C1f:-.Jt
••
•
2CD_.)'C,xt:"X
•
(D-a)
(D-.)O
a
2CD-.)O
•
",)'y -
O.:
O.
po"
O.
O.
y
.: O.
Hrtll:lf la primitiv3: de fD - m):)' = O a) supcraendo una solUCión de 1:\ forma y = Y!e-" y b) resotvsendo el p:ar
equivalente de ccu.a ciooes (D - m)y = ti. (D - m)v - O.
•)
(O - ...'j'y - (O - m)(D Luqo
la ecuación
La primlt.'4 es y
b)
"'~<'-_ lO -
Cl~
t(, - I~-'''-
Independiefttes y
- O para, - O. l.
:5
tt"'" e y
(D - ...)lD - .. !Jo
-
(D - ",]e - O.
• - C,..-. Como (D - ...)y - ~ - my - C,.- ea boeal de pnmo'
su solución po, el método del capitulo
6 '"
REALES DISTINTAS
Rcsol\'Cr
á'y
dy
¡;: + d; -
Se =nb;1i
La, rmices
6)' - O.
l. oc"";"" así (D' + 0tar&Cteristil:as
= .'(~
+ C:;rf!U.
S, se escribe (O - m)y = •. eerceces (O - ... )'y
ereee
RAlees
m'y)(-'r
tiene dos soluc:iooes bnealmente
=
RClClYl<ftdo (D - ...Jo = O se _
5.
•
= O. yanilopmcnl.
c<u><i6. difcrmcul ID -
b) <D-.)~~%t:~% • <D_.)'C,e"X
(}r - O
500 2.
-3. y
6)y -
lO - 2)(D + l!y - O
I~ primruva
es y _
el":'" + el'·'"
.cUACIOIIES
LINEALES 1I0MOOENEAS
1
6.
RnoIv«
4I'T _ d ,
<l.'
<Ix'
Se escribirá
122
_
O o bim D(D - 4)(0
+ )ly =
ss
o.
•
a..q
L:I~ fa ices caracterisueas
d'
Z ~
dx'
+
CONSTANTES
d<
13 CCU:IICtOn
7. Rosolver
CON COEnCIENTES
(DI - IY
IlD)v
=
son O. 4, - 3. y 1""primitiva
- S
d
!!l -
<1.
es .. -
<.. + C,..~
O.
+ C.l~-l:'.
61 • O.
co
Se escnbira 13 ecuación as{ J + ll)l - SI) - 6Jv o bten ID - 2,ICD + IKO + l)y =- O.
Las raíces caractefisUClJ,S $C)n 2. 1.
3.)' la pnmitiva es ._.- CI~ _,.Cre-" + C~-l.a
RAICES
S.
MULTlPLES
+ JO
- 111 - O. O'" (O - Il'~
O
card.Cleríslieas
son 1. 1. l. Y 1~ primItiva
o y
RC:IOI,re r (D' - 3D'
Las ram
9.
Rc;olvcr (D'
10.
RtSOl\'c.r
+ 60'
+
C'Jxr .. C;(lr.
.. SO' - Z4D - J6)y - O. o sen, (/) - 21(1) .. 21(0 .. 3J'J' _ O.
o
110 - 4)y _ O. o sea. tI) .. J)"CD - 4,y _
/)) - 9D2 -
(Ir -
el""
J
RAICES
COMPLEJAS
11. Resoher (D2
?D
-
-e-
o
lO»' -
Las ralees cana ctertsücas
son ,
:t Ji.
y la pnmitiva
es
IZo Resolver (D' .. 401)' = O. o sea, DIO' .. 41» a O.
13.
D' .. 2D' - O ...
Rc:ooh'C, (D' ..
31r • O O Irim (1)' - lO ..
Las ralees características son -1 :t
)' =
('-"(el
CtX
14. Resolver (D- + 5Dl - 361" _
Ji.'I. ~ el
o
±2.
y _ A('lJi + /k.2i1
)'3
15.
el
eh 2x +
que Cb 2.. =
!{,~.T'
RC:IOh'e , (D' - lO
+
51')'
el
-
D.
primItiva
,,'2 x) + t'11~"'('.. CO$tfi
4)(02
+ 9))'
\"..._
C. sen !J3:el
- O.
±Ji. )' la primitiva es
t C.
eos 3:( + C.. sen 3\
"1 Y Sh 2.. -
IV'-" - ,-"~
O
±
el
2,. I
±
2; y la pnm1tiv:a es
=
riel cos
=
r{(C:, .. C),l) (OS ¡\' + (.'1 + C..x) sen 1\".
2.\" I
sen 2.\")
+
,'(~,C..ces 2,\" I C'..
sen
1... ~ O.
es
Sh la: + C, CQS J.~ ..._C,. sen Jx
Las ralees caracteristlcas son I
.t·
$("
o blcn (02
Las raíces careccerisricas IOn
=
,J-i. 1 ± li.j3. )' la
JHD'
2.")
l
86
ECUACIONES
LINEALES HOMOOENEAS
PROBLEMAS
CON COEFICIENTllS
CONSTANTES
PROPUESTOS
Resoh-cr
$41.
y" el e':I' ..
16-
(JI' + 20 - 15)1
17.
(O' + O' - 20)1 • O
y •
e,
18.
eD' ... 6D ..
y •
Cte -,x
19.
(D' - 60' • 120' - 80)1 • O
y •
el
'1 •
el .
y •
(e, .
y •
e,
20. (O' - .0
11.
CD' •
u. <D' -
• O
9) '1 • O
c,.1t'-s.s:
+- c,.C'X
~
+
~e -~
..
c,~t'-,x
!;e2X:
..
C;¡xe2% + C...lC2C2X
+ 13)y • O
25)1 • O
O' • 90 - 9)y • O
23.
(O' • 4(/¡y
• O
ZA.
(O' - 6tY • 130' - 120 • ')1
zs.
(D'
2
• 9D- .. 240
... 16)1
• O
• O
.
..
C,z ... <; ces :b: ~ C... sen :lAc,s)e:
..
(e;
'+
ees x .. ~ sen z: ..
+
+ C.x)S<n 2x
(e.
c..x)1t'
<Ca '" C,.,.a:)COS
la'
CAPITULO 14
Ecuaciones lineales con coeficientes constantes
LA PRIMITIVA
1)
DE
= (PoD"
F(D)y
+ P.D"·'
•..••.....
+ P••• D.
p.)y
= Q(x).
donde Po '" O. P" P, •...•
p. son constantes y Q ss Q(x) .; O. es la suma de la flloáón complementaria (primitiva de F(D)¡ - O ebrenida en el capitulo precedente] y una integral pankular
cualquiera de I~ (véase Capítulo 12.)
A veces se puede encontrar una integral particular por simpJe observación. Por ejemplo. y _ Ix
es una integral particular de (D' - 3D' + 2)y = x, ya que D' ¡ _ D'y = O. Sin embargo ... 'o
no sude ocurrir con frecuencia, por lo que se consideran en este capítulo dos procedimientos generales para obtener una ímtgruí particular. Otros procedimientos se dan en los dos capítulos si.
guientes.
En cada uno de los procedimientos que se estudian aquí se utilizará un operador _1_ de'
F(o)
finido por la relación
_1_.F(D)y
F(o)
= y.Si se aplica el operador
1
-.F(o)y
F(o)
=
=
y
a 1) se obtiene
1
-Q
F{D)
j
o sea
=
y
2)
_1_.
D-IIt,
_1_Q.
_1_ . _1_
D-m, D-m~
O-m.
PR[MER METODO. Consiste en resolver una sucesión de ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden como sigue:
PONGASE
u =
_l_Q
=
D -.",
v =
1
u
D - tnn.-l
y=_l_
D-m1
Como
..
dv
;:;;. - m.t._l
dy - m1y
dx
Q
u •
V
=- w
y
•
se lDd,ca en el Problema 3 se puede estableeer la siguien'e
xf·o"
f: a 1
we
fórmula:
Véanse
87
dx.
Problema. 1-6.
ECUACIONES
88
N
-_1
N
+ -_._
CON COEFICIENTES
CONSTANTES
Consiste en expresar ~D) como la sumo de n fracciones parciales:
SEGUNDO METODO.
--'D
UNEALES
.. •••.••••••
+
D- ••
-_._.
D-."
ti
Entonc:cs.
Véansc Problemas 4·5.
Al c31cular tanto . .f) como B) se suelen descartar las constantes de integración cuando upa..
recen: de otro modo. se obtiene la primitiva más bien que una integral particular de la ecuación
diferencial. La función complementaria se obtiene entonces por observación y se añade a la solució" particular para formar la primitiva.
LAS SIGUIENTES
FORMULAS son muy útiles.
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PROBLEMAS RESUELTOS
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CONSTANTES
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termines
la integral particular absorbidos por la función complememana.
3.
Hallar
una integral
de (D - a)(D - b)y
panicular
Una integral particular está dada por
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I
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termines de La integral
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quedando absorbidos por 13 funcrén complcmen-,
partieul ar,
Resolver (D' • 9»)' • x ces z ,
La runción complcmtnl.ctria
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15
Ecuaciones lineales con coeficientes constantes
VARIi\CION DE PARAMETROS,
COEFICIENTES
INOtlEAAfiNAOOS
OTROS DOS METODOS parA determinar un. íntrgral particular de una ecuación diferencial COn
coeficientes constantes
se expondrán mediante ejcmploo.
VARIACION
DE PARA METROS.
y • e, Y,
se obtiene
una relación
y'
2)
De la fuoclón complementaria de 1)
(x)
t
e,y,
(xl
C.Yo (xl.
fundamental
L. (xl Y. (x)
•
L.(x)
y.(x)
+ •••••.••
+ Lo(x) y.(x)
remplazando las e por funciones desconocidas de x, las L. El método consiste en un procedimiento para determinar las L de forma que 2) satisfa8ll 1).
Véanse Problemas 1-4.
COEFICIENTES
INDETERMINADOS.
Aqul la relación fundamental es
donde las funciones ,,(x), ...• ,,(x) son Jos términos de Q y aquéllos que se deducen de éstos mederivación, y A. 8. C....
(j SOn constantes.
diante
I
x' se toma par. 3)
Ax' + BJe' + ex + D;
Por ejemplo, si la ecuación es F(D)y y =
si la ecuación es f(D»)I
_ "
+ _" se toma pora 3)
)1 = Ar + Bt'X
ya que no se obtiene ningún término nuevo derivando
e y,,'.:
si la eeuacién es 1'(D»)' _ sen ax se toma par. 3)
.v
!:::
JI
sen
(IX
+
B
(Os ax:
si la ecuación es FlD)y - see x ~J método falla, puesto que es infinito el número de términos nuevos que se obtienen derivando Q =' sec x.
Sustituyendo :3) en 1) resulta una identidad
A. 8,
e, '"
de la que se pueden
deducir 105 coeficientes
Véanse Problemas 5-6.
Hay que modificar el procedimiento en el coso:
Un término de Q también es un término de la función complementaria. Si un ténnino de Q.
por ejemplo. &l. también es un término de la función complementaria correspondiendo a una raíz m.
múltiple de ordcns, se introduce en 3) un término .Y'u más los términos que se deducen de él derivando.
a)
93
ECUACIONES UNEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES
94
Por ejemplo, para hallar una integral particular de (O - 2)'(0 + 3))' = e" + x", la retación fuodamental es )' _ ;lx''''' + Bx~" + Ce" + ox' + Ex + F. los tres primeros términos
provienen de que el término rx de Q también es un ttnnino de la función complementaria correspoodicndo. una raíz doble m _ 2; por tanto. se emplea x'e" y lodos 10$términos que se deducen
por derivación.
vtansc Problemas 7-8.
Un Itrmino de Q es xu y u es un térmiac de la función complementaria. Si 11 corresponde a
una rolz m. múltiple de orden s, 3) ha de contener el término x" 'u más los términos que se deduce"
de él por derivación.
b)
Por ejemplo, para
la relación es
y _ Ax'tl;t
hallar
una integral
parncutar
de (D - 2)'(0
+ lJx4elx + CX'~2Jt + Dx1e2Jt + Ext1• + Fel/l; +
los seis primeros términos se deben a que
diendo a la raíz triple m = 2.
~2Jt
+ 3).v = x'." +
Gr + Hx
x'.
+ J.
es una parte de la función complementaria corresponVéase Problema 9.
PROBLEMAS RESUELTOS
VARIACION
l.
DE PAllAMETR05
Oemostrsr que si y - CLYI
+ CzYl +
C],)', es la (1.lJ:)Cióa c:ompJtmentaria
• (D~ .. P1D' • P.D.
'(D)7
entonces.
Y '"' ti)'l"
1)
p.»' •
de
Q
1,.,.,
L.,)', ..
donde /..1. L,. L, Jltisfaotll las eoodiciones
L~)'l + L;,-, +- L.;)'~ •
O
o
Al
L~y;..
L;,.; .. L~y: •
Q.
es una lIoluci6n particular de la ecuación diferencial.
Se obliene.
/)y
D'1
8)
D)1
tenieneo en cuenta A}. derivando
• L"y~.. L.,,.; ..L,y;
•
•
+
sucesivamente
L.;Yo)
L1YI +
• 1..,,:
+
l..l)'l
+
1..,))'J:
L~y;• L3Y~
L~,; .. L,y;
L"y~.. I..,y; ..1.,,; • (L:,: L~,.; ~,;) • L
L,y; .. 4': • L,,.; (L:,: .. ,,_;,; • L;,.;) • L"y;. ~,; L,,; + Q.
+
1,:
..
+
+
1.." {y~ • P1Y: • P"lY: .. P,y,}
~ L,{y;'
L, FelJ)"
+
.. 4{y;"
p,,.: .. P~y!
.. Psy,)
P._y; • P,_y! t P,y.} • Q
L, F([1),.
ya. que y,. ,.,. y) son soluciones de F(D)y
"ra
.
(L:y" + L~y~ •
y -
la
.. L. F<D)ys
Q.
• Q
O.
empLea.' este mecodo:
41)
Escribir l. (unción complementaria.
b)
Formar la (unción L 1), que ha de ser una integral p:;¡rticular, rC'lnplaUl.ndo
las
e de
la función complemen-
uariu con llis L.
e)
Obtener las ecuaciones 8) derivando 1) tantas veces corn ... el afado de la ecuación diferencial. Después de
cada derivación poner la suma de todos los términos que. contienen L' igual a cero. excepto en el case de 1:.
'Última derivación cuando la suma es igual a Q. Las eeuaeicnes oblcnKlas poniendo las sumas igual a cero y
:a Q JOn las ecuaciones A).
d)
Resolvtr eslas ecuaciones respecto de Li. Lí ....
l')
Obtener LI'
l..:...•
mediante: integración
VARIACION
2.
Rnol,.,
DE PARAMer~OS.
)' • L,
se obttenc
+
95
1-,......
2.L,r- + (Lí
Dy -
+ L;,b~
l"i+Lit"h_O
1)
+ 2l,.j"'·
PuestO que ahora Dy - lL!~A. [)l}, _ 4L,,.:a
AIif. Lí -
INDETERMINADOS
r sen x,
(1)' - lD)y -
Se rorma l. mación
Derivando.
COEF1Cl6NTES
tr-· sen x y L! - -!"-""(!iCl1
= -it"'""
Oc I~. L; - -I/:.r~
senx y
J:
Y
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pone 2Li-l"h = Q = r sen x.
+ c:os x).
-!~(rcn
LI •
x -
CO$
x).
Uno Integral p¡trticular de la ecuación dad:. es
J' - ti ...L"rl.
J.
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ce -
el + C:.~
y la primitiva es )' -
ir
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.'( -
('0$
x) -
i'....
{scn :r + I'QS
x) = -
it'" seD A.
se» x.
Resolver (DJ .... Dlt, __cQSt:C s.
De la moción
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1)
Entonces.
Li
T
Ll ces x
D)'
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-1..: sen x
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Enlonec!',
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Ll
sen x) + (-Lj sen x
COSx -
tj cm x),
L) sen x.
L, CO:i X, + (-Lí
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O.
L;sel'lx
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x - L¡ sen xJ.
- Q - CO:ICC.r-.
+ L-: c.os
Lí
-ct¡ JC. , ....
de la ecuacióa dlf~
x
+ L) sen ~
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L, -
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(OS
x lo
Sial
x - x sen x,
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De lo relación
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+ (L; + Li eos
L; sen x • O.
CO$ X -
= - 1Y
)' - C, + Ct ces x
y
COI x)
L. _ ccsec x y L. _ -ln(c05C(: x + etc x,.
Rcsol.l<1ldo 2) Y 3~
se: obtM:ne-
Ll
+ Li
= {L1 sen
AA. una inlegr.aJ pan~b:r
1 - LI
+
COS:t -
x
-Li 00$ x -
3)
Sumando lj y J).
'Y la pnmlliva
x .... L, sen x
(OS
DJo - (-l.: sen x + L)
y se pone:
y
LI + LJ
J' -
obcK'I'Ie
)1 _
LIrA
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+
Cl sen
l.;..... +
tntecsee ~ .. C11x) - ecs tn sen x - x sen x.
L,:xeJA
Dy - (3L, + L,)tlA
1)
X -
..,¡_
3L:x,>A + (L~t'h
1.;.0 - O.
+
l.,j.x"""')
96
ECUACIONES
RaoI... nclo 1) y 2~ L;
LINEALES CON COeFICIENTES
-llx
e
ti _
y
MI, una In'(aral panicular de la
L.
Ih", hqo
5.
-In
T
y L, _
-l/x
dl(crcne.aJ es
c:c.wIOÓo
)' - L.~ ...L,_Xf!'· •
COEFICIENTES
CONSTANTES
In x -
_~6.
r6.,
INDETERMINADOS
Rcsoll/(r (D' - 2D)y .. r
sen x.
t..a (unció u complementaria
C$
y
= el +
)' =
Entonces..
=
Dy
Cl~' Como una JnlC"araJ particular, se tema
A~ sen x
+ Be-
tOS r
(A - SI"
se. ,.
+
tJly _ -2Y
Kn
(A + B)r" ces x,
x + lA,.. cos ".
Q.
(D' - lD)F. -U,. .... s: - 2.&-' <os .. - .... _..
y
Igualando coeficientes de térmioos
scmCJaJlICS.
-
lA - I Y - 28
O. de donde A
= - iy
B _ O.
Por Lanto. una In1egraJ ~rticulatde la ecuación diferencial es
= Ar sen x ~. lk" ees
- i....
sen x.
y
y l. prunhlva
es
JI -
CI
...
C2~
X.
-
J'"
-.en
X.
Est. ccuacIÓ" se ha resuello también en el Problerna 2.
6.
RC$ol ve r (D' - 2D
+ J)y
= :r'
+ seo
La (unción rompl(fl)(Otaria es)'
y - Ar
T
x,
f'"(C, ros
!le
6Ax
ID' - 2D + JJy - JA:r'
el
sen .j2
x), Como una Integral paniculat. se toma
8~ + Cx .... E .... f'xn x ... G COlx
3Ar + 2Bx +
y
.ji x +
e - G sen:t
+ 28 -
+ 3(B-1.4lx'
F ten X
+ Feos x.
G CiOI x.
+ (JC-'S+6A)lr+(JE-2C+
2B)+2(F+G)senx+
2(G-F]cosx
- .,., .... sen x,
laullla,ndo coefiCtellles de términos semejantes. lA _ I Y A - 113; 8 - lA
lC-'B+
6A -O y C-2/9;
J.é-2C+ 28_0 y E. -8/21: 2IF+GI-1.
=
O)' B
G-Fe
=
2/3:
O y F-G-l.
A$I, una integre! particular de la ecuación diferencial es
y lit; primitiva es
)' • ~(CI cos.ji
X
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el
seo
.ji x) +
2~(9x" t l8.r .... w
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8) +
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(.stn.l'
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cos xj,
VARIACION
1.
DE PARAMETIlOS.
COEFICI~NTes
97
INDETIRMINAOOS
R...,a"", ID' + 21)' - 1) - 2.,. _ ,.. + xl.
La (unción awnplft!'lcntaria es, - C,'- -+ Cl~-· + C)~·l., Como ,. aparec:e ee Q y Ulmbl&l m la función romplementaña corr(»pondtC'ndo • una na mtiltípk de orden uno. se loma como una ¡ntear.! pilrtK:ula1"
•
y
1)
Aa' ... Bx • C~E:l~
2A. • 8
/Jy
EntoRteli,
•
';y
.. E%f!
(0"20
y
•
•
X
2A ... Ex~
TYy
•-0-2)y
••
_a4 .. t _ 2(8.A).
Fe'JC
.. (f:.F)flK,
•
•
(2E~.F)e'JC •
. •" ..•
E%~" • 13E.F)I.
GEe'lC
+ (4A -8_2C)
+
19u.lando los cocficorn... de los térmiecs ....,q.n.<S, - lA - l. 8 + A-O. 4A - 8 - lC - O. 6e _ 1:
-l. B -.4.
-J, E - 1,y Fes arbnt'lm. Ahora been, Fscrla arbitraria aquí porque CI" C$
un ttmnno de 1a función complementaria; luego fue innc:calna l. inclusión en 1) de F"..
e-
de donde A •
Por tanto, una inte,ral partK'ular es
y
s
•
•
.. -1 xc "
6
,
•
1 K
.. -:ce
G
la función compkmcnllN d y _ c1rU + C1xr. Ahora bcn. ~ es una parte de Q y lambtm ud en la..
(unclÓn compJcmtntaria correspondiendo a una raíz de: multipJiodad dos. Se loma cocno una intqnJ pu\JC\l1v
Cx',"
1- Ax'r" + 8...... ' +
Obsérvese que nQ están incluidos los ténnjnO$ que coerenen
mentaría 000 coeficientes arbllr.rios.
Entonces.
Dy
._
O'ly
=
y
li
2Ax~e2X ~ (5A .. 28)x ctX
...
(48 ...2C)x~e2r
+ éx'....
Xt2•
y~. pues aparecen en In (unción comple·
C3C.2B).le'2:IC + 2.c1e2",
i
2
2X
4Ax~~ '1x• (20A. 48).'10 Iftx .. (20.4 .. 168 .. tC)r5 ~1X .. (128 .. 12(;. 4E)x e
t1'
(DI_iD •• »)' • 2OA,r)e2.1'. 1281'1,,21' • 6CJet1'. lEc
• ,,)tf1C •
Igualando los coeficientes de lOSlérminossemcj.a.ntes,
8 - O. C = 1/6. E = O.
luego una integral ~nabr
20A - 1.128 - 0,6("' =
21'
...
(6e .. SE)ret:IC .. 2ee
.re'''.
1,2E_ o: de dondc A
-
,
1/20.
es
1 •
y h.. primitiva es
9.
Resolver (D'
+
y
•
4)y =
+
1 ~ 2x
¡
s ~ .
xl sen 2x.
La función complementaria
es
p _
CI COS lA'
+
e: sen
2.x.
Como x: sen lx aparece en Q y sen 2..t es una parte de La (unción complementaria
de: multipticidad uno, se loma como una integral p:micuJ.r
y _ Ax' 000 2x
+ 8:<' sen
2.< + ex'
<OS
2x +
éx' sen
2x
+
Fx
<OS
2x
corttSpOnd;e"tc
+ G".."
a UDI ralz
2x.
Obsérvese que no se incluye H ees 2x + K sen 2t )'3 que estos tmninos esae en la (unCIÓn (Otnpl<::mtnta.ria..
Entonces.
Dy ~ 2Bx) 005 2:< - 2A.~ sen 2x + (lA + 2E).f2 00$ 2,T + (18 - 2C).~ SCn 2x
+
(2e
+
2GIX ces 2x + (lE - 2F)x sen lx + Feo. 2.< + G sen 2x.
98
ECUACIONES LlNEAl.ES CON COEFICIENTES CONSTANTES
2
D,
-4A~~
•
h
C05
- 4&'
sen
(12B_4C)z2 coa 2r .. C_12A_fE)r2
2.: •
• (SA.sE-4F)"cos2;,.
(6B-8C-4C) ... n2;,.
sen 2:c
(2C.4C)eos2>r. (2E-4F)scnh.
y
(/)'.4)1
•
128..,' eos 2r - 12h-' sen ~
.. (6A.8E).co.2I-·
(6B-8C)~sc:nlz
•
Igualando
los c:ocñOentes de los términos sc:rnoqaDCes -12'"
2E-4F·O:dedOCldeA·-VI2.
Una ¡,nlegral particular
y la primi1ivI es y
el cos
..
es
y
•
_ 2. ,,' eos2r
...
12
2% ...
c,. sen
~ _
1. x'
PROBLEMAS
1. ,,' sen 2r
l.. x eee ze,
...
16
COI 2x ..
12
6A + BE .: O. 6B - 8C • o.
e.VI6.F.V32.
C.o.
• l.
128. O.
B.O.
e.o.
2C •• e.O.
2.. xl
16
32
..!. reos
sen 2r ..
2:r •
32
PROPUESTOS
RcsoI-.u. utiltn.odo el método de variación de parámetros..
JO.
CD'. 1»)'
11.
(D
12.
(o' _
13.
(DI _ 1»)' • c·x sen e·x + coa e-x
14.
(D' _ 1»)'.
2
Sol.
.COS«%
... 4)1 • ($eclll:
Sol.
._x)_'
4D. 3)1 • (1+
Cacos
)'.
y =C1cOI2t
Sol.
"1.
JI' ..
e, sen
%
SIen
%
ln sen r - z
C(8
+ sen 2:r 1D(sec2:z:+
.. C,sen2:r-l
elC''': ... C,e~
..
... ~~
... ~(er _ e'x)
z
1.& 21')
lnel ...e-Jl')
(l+e-X)-2
Resolver. utilixando el método de coe6cientes indeterminados.
15.
(DI .. 2),. •
J'"
CD" _
17.
CD' ... 2D ... 2)1 • z t + sen x
11.
cIl -
9)7 •
19.
(D' ..
30' •
c&' ...
2
1»)' • eX sen 2z
JI' ..
eU _ sen
Sol.
2z-
Sol
y. C,coa
Sol.
y.
~
Sol.
2D)1 .: ,El + ~ .. 8
(Emplear
AxJ
54/.
lO.
l.
(D1 .. 1»' • _ 2 sen x .. <Ix cos
(o' _ DJ
_ 4D .. 4)y
C,~J(.. C~ -x
-.(,coa,
e
'7.
r
+
vi .... Casen v2
» Ct.t").1:
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+
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_ e-x($bI
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..
%
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2(%-1)
x /9 -
-
1
I
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('ve!!> +
l~
2COS.&)
sen
C_\",
,. • e, .. C;¡e- JC
-~
.. C~e
1]:
1 2
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6
•
.. -,&
11
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•
%
• 2K2 _ 4x _ 1 +.2,E2('b
Sol,
.. 5,tcU
• tU
'1. C,c" .. C.('2% .. e"c-IX' ..
!x2 .. !x'c%,x
2
6
2r:
CAPITULO 16
Ecuaciones lineales con coeficientes constantes
METODOS
UNA INTEGRAL
ABREVI,,"DOS
de una ecuación diferencial lineal F(D)y ~ Q 000 coeñcien-
PARTICULAR
=
tes constantes está dada por y
Para ciertas formas de Q se puede abreviar notable-
F(~) Q.
mente el cálculo de este símbolo. como se indica a continuación:
al Si Q es de la forma e-,
y
1
=
e
F(D)
••
*
Véanse Problemas 2·3 cuando F(a)
b)
+
Si Q es de la forma sen(ax
y
y
=
_1_
F(D')
sen
(ax
=
ó)
F O.
F(a)
,
O, y Problemas 4-S cuando F(a)
+
=
O.
b).
__ 1_ sen (ex + ó).
F(-a')
# O,
F(-a')
¡,
F(-,,')
= _1_ cos(ax
__1_ cos(ax+b).
+ é)
F(D')
o.
F(-.' )
Véanse Problemas 1·11 cuando F(
e)
F(a)
b) O cos(a.r
+
,,ox
_1_
=
-a» '""O, y
Problema 12 cuando F( _a') = O.
Si Q es de la forma x",
y
=
q
_1_ x
=
«(lo"
'(D)
D
81
t a~D1. + ••••.
t a.D-)x·.
ao'¡'
O.
obtenida desarrollando _1_ según potencias crecientes de D y suprimiendo todos Jos términos
F(D)
después de IY", ya que UX"
=
O cuando n >
Si Q es de la forma ,,"V(x)
Véanse Problemas J 1·20.
y
e) Si Q es de la forma x V(x)
Véanse Problemas 21-23.
y
ti)
=
PROBLEMAS
l.
nl.
Véanse Problemas 13·IS.
_1_ e~"V
F(D)
=
_1_xV
F(D)
= e"
."..,.!-1_
V,
F(D + 8)
F'(D)
x_l_ V
F(D)
v.
{F(D) }'
RESUELTOS
Demostrar la regla del apartado a) del principio del capitulo.
F(o) ~ox.
POf tanto.
_,_
F(D)
99
eax
1
-<
F(o)
""
100
ECUACIONES UNEALES
CON COEfICIENT1!S
CONSTANTES
e
(0-1)(0-3)(0'2)1
Un. Inlt'pal p.u1K'ular es
7
'"'
e"
-,,--,.,...,::-=-1-:-:-7:"""""=
(0-1)(O-3)(D·2)
1
(4 -1)(4
"•
<
••
1
• --e
3·1·6
-3)(4·2)
.-
.
1 ."
18
'"
Lue,o la pnmltlva es y -: ele x • <;e '" + C, ~·t.. .. - 1 ~". .
18
Una lnlcgrul pólr,lculat es
1
__ ,-!._-::--:• ..,(D-I)(O-3)(D·2)
1
--e
e 111)1:
• --e
3(1)6
Una integral particular es
y
abreviado.
(O-l)(D
..
1
(0-3)(D.
se puede
escnbir
21
1 (
e'X:
-3)(D.
2)
1
1
(0- 1) (0- 2)'
1
(0-2)
-:-::--::y
1
(1
-D-I
• ---e
(0- 2)'
•
,2%
bien. 1"(0)
,1")
1
10
l..:& función complementaria es 1 -: Clcx
•
2
2
a=
F(3)
=
O. 00 aplicándose
. _---.).
1
1(11"
..
ee
• 'x
e
•
+
"')
+
+
C,1e1Je".
2
(D-I)(D-2)'
-- 2
D-I
2
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D-1
U
C,e
10 D-3
1"
•
•
JJ (dx)' • 2<"J .. -
__
"l
( -:-::--::y'
1
y una integra! particular es
3
(D -1) (0-2)'
eX'
c -"
..:3~....,..;"
(D-I)(0-2)
(0-2)
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2
C,c>- .. c,~..1".
(D-I)
1
1 •
Cl~lt
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Sin embargo,
..
18
(-1)(-312
1(-1)4
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•
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Lu feneién complernentana
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...,-_-:,.:S:..,..-=--:-
(D -1)(0 - 3)(D· 21
6
."
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.}<
el
..
101
METODOS ABREVIADOS
'-
b} dd principóQ ckl capitule pan cos(ax + b~
12 rqIa <id .patudo
""'_"r
PuCSIO que ,j y
o" y
:: COS(ez
*
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O'Jy'" -o'
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COS(a.c • b).
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RC$()IYer (D1
'1
8.
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y unl
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.. 4
S1 see
CO$
x + el sen x ... C, oos lx .. C.
c,Stn.l
..
C. k"n
C:,cos 3x •
.
cO$(2x:.
6 (OS 2:x: _ 4 sen
stn 2z -
1_ (3D •• ,
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•
Sin embargo.
•
2;()
•
- ~ (4
50
_1- (D1. -30_ 4)
100
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a
!oC:n2c
__
COS 2:r
1_ (,
... 8 sen á')
100
•
•
Cs.< • Ctt'
__ le
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•
30-8
7
3).
IS
abt'tvtado
(o <1)(0 -4)
100
La pnrnitiV'lo
Olé
(O' - I)(D' - 16)
sen
__
..!.
so
• -...!. ("
50
1
- -
(4
SI:
puede utilizar
el dlcuJo.
0"3D-4
•
('0!S(2:c • 3).
(0-1)(0.4)
para afagctlr
<en:z.
b) 1 •
panx.u..
15
l& -
SCn
2x
1
--'-_1_ (-4
lOO
lOttpaJ
_.2.
•
(-3)(3)
no es de ItI forma F(Di) y no se apltta diodo
(0-1)(0'4)
•
3.%. y uro.
Kn
eos(2:l .3)
__ 1_
."(2% • 3)
.. 9)
se"
uno de los si¡u.tr:nte$ peeeedlmentos
•
3z.
')y = sen 2x.
1 •
Aqui ~J operador
SC1'I
es
h.
función complementaria es y _ C.r .. C!~-".o.. y una inlegra)
La
o) y
2x.
3~
--::---=--:--• C.. COI.x ...
sen
el
...
... c,sert 2a ..
({)' .. 1) (O'
y
+
_(3)2
9)y - cos(2.r
1
La primiliV' .. es
COI 2x
5Cn lE
D' • .;
'1 • C1COS 2r
C'lIo
R<$OIve r (D' .. lOo'
R<$OI....
• O).
COt'(ox
La función cOmplementaria es y = C,
lar es
9.
.0)
= sen 3x.
La (Unción complementaria
L.. ptirnlhy;a
c."OS(c.z .. b).
f(..o?)
f(/)'l
7.
,
I.P,.c_o'l)"'COS«(U
-
___
(0:«4%..O)
_1-
D·y -= (~l)t
• b).
CO$(cu
cnIOfK'C:!>.
seo 2r • 3 COS
a).
$(n
2..
1t-) •
30.8
sen
2r
9D'1_ 64
sen a
+ 3 ces 2&),
102
10.
eCUACIONES
(1)).,. /)1 .. D
Resolvcf
~ l)y
,. sen 2x
La fllnción complementaria
-,--':_--
y
.¡.
CON COEFICJENTES
el CM
es y ..
.! _1_
(D -1)
sen
e, sen
x .;.
2.t
_..
2. (D
C3~=. Y una Integra! panicular es:
"
1.(2
15
80
cos
(D2 .. 1)(D
'1)
se"
- 3 1)' _ 1
l)co$ lx
-
.¡.
1 D-1
cos 3.r
8 D+ 1
15
.r
a/ • I)(D
1)
- - _,sen 2x
3/) H
CON~"ANTES
C(lS 3.1'.
t sen 2x." ces 3x)
(O' +,)(D +
..!..
LINeALES
2r
0_1
8 D' _
sen
(:OS 2x -
!
_
2r)
-
3x
.. 1)
<::OS
3.r
sen
3x .. eo~ 3x} •
1
2..(3
80
La primitiva es
y
11.
•
C1COS:C + C?scn x .. ~é-x
(D2
Resolver
+ ~(2
sen 21) .. ~(3
(:OS 2x ..
sen 3x + cos 3,.().
D + 1»)' • sen 2r.
..
,~
La función complementaria es y
e'2
(CaCOS.
x
..
C? sen ,13
y una Integral parncujar
x ),
1
sen 2x
y
2:.;3
sen
2x
D-3
•
- --
(-4)-0<1
D"-O + 1
2.(D-3)sen
13
2%
D'-9
es.
sen 2x
cos ;a .. 3 sen 2r).
~(2
La primitiva es
12. Resolver
ces
)y
(D'1 ...
y
•
1
--
02
No
por
se
(COS
~
+
4
= 0,
02
cos 2r
•
cOS 1x)
D
de este capítulo
2
*
Sin
..
embargo. se
cost 2 ..h)x.
el siguiente
_(Z
ces 2.%ya que, cuando
se sustituye
D:
procedimiento.
.. h)2 .. 4
- __ '_(c«)
.. "
.. 4
cOS{ 2 .. h)x.
-_..:.._-
4
_1_ cOS 4x.
2
para calcular _,-
puede emplear
-t
0
4
D2
_1_
Considérese
t
4:c.
.. 4:
puede utñjzar el método
- 4. Dl
ces
2x ..
•
- --COS(Z .. h)1
4n ¡.}12
2.x _ hx sen2x _ ,
(h,x)2
ces 2x .....
,. , ••••
)
h(i • h)
por el teorema de Taylor. El primer término. ces 2,'(, es parte de la función complementaria y no necesite ser consideradc aquí. POI' tamo, una integral particular es
_1_ cO$(2"
..........
h»)C
2
)
D +4
_1_ (x
sen
4+h
Haciendo
JJ _ O se: obtiene
+COS2x
Como
e
0+4
La prímhiva es
y
=
c1cos;a
.. C,sen ~ .. !"scn
la dada en ti Problema. $, Capitulo 14,)
..
21 -
.!..COS4X.
12
- 2.
_1_
ces 4x
02 t 4
(Compárese
12
esta
ces 4x,
solución
con
METQOOS A8RbVIAOOS
11. R(1,()I\'er
(21)2 .. 2J) .. 3)1
'"' .. ?
..
103
2r - l.
1 •
1
2
3
~
2'.
(- - -D - -O
1 ,
• -f~
2
--(b
9
.~-l)
3
I t
-.a
3
..2)
!'O' .
NtJtu.
o ......
o.,
2>.-1)
)(x·.
:n
2
-,11;
2S
-
_.
9
)
27
por- diVISIón
27
2
+ -,M
25
-
~
La funcIÓn oomp)ementariaes
7
•
y
C.e-''''
zo
. •
1
(-
(.a" .3x'-Sx.2)
O'-20 ...
3 ,
1 l
-x • -x
2
2
1 •
•
• -x
lS.
Resolver
(O' _ 402 .30)y
5
-
-)t
•
,
Re4ioh·cr
+
C.el: .. CII~'"
y una mle¡ral
particuJ;u
es
1,x'
1 )
-x
.,
26
-x
• -.a.
9
9
27
f f(x)dx.
-. -..
4 ,
26
9
27
'"' ;c2.3<'X .... sen a ,
1
•
el
zo
LtI func:lón complememada es y •
J
32
D D'-4D+3
8
-x • 26)
9
27
(o", W'_302)l
.lo'
16
,
!(
0(0' -40. 3)
16.
-
c.~,,),yunain¡earaJpa.tticularcs
!o • lD'
•
27
'"' ...2.
x
1 1 ,
• -e-x.
o 3
?
8
-
•
La funcrén complementaria es y
1
r~(c.:,cOl.&.
dirtC1<J.
el •
C,.r •
c,C'- .. C.~-,:c.
y un:! integral panicular es
( x 2. 3e1.X .. 4 sen J()
n'CD',W-3)
3 f
,
/l (O
..!.{
01.
1
n2+2D_3
x')
1
1
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4(4·4-3)
•
..
•
4
2
/l(/)
2
·2D-3)
_-""':''-,,--,(-1)(-1'
son x
W-3)
104
ECUACIONES
-
1
~D
3 ,.
-<
3
9
20
t
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D'
LINEALES CON COEFICfEN'TES CONSl' Am"ES
3
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20
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-
-
13.
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3
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20
2
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....
2z
2X
.. 2 sen e ) •
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S
la primitiva es
17.
Demostrar lit regla del apartado d) del principie del capítulo comprobando
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t
~tlXD(D'Q)U
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... 2t;t/J'¡'Q2)U
etJX iPr(D.¡a{U
r
f(D .. o)U
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Y.
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Emcoces.
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y
18.
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y
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La funci6n complementaria
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2
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C,e- ...".
una integral particular es
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'
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12
25
62
125)
.
La primitiva es
La función corcplememaria es y : e-x Cel C05
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sen I:! J: ).
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en -+- 1)2 ~ 'len.
2x
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1) + 4
x
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3) sen
73
tu primiltViI es
y una inu:gral pcnicutar es
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73
x
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73
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3 SC1"l 2:r).
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G)U.
METODOS ABREVIADOS
La función complementaria es y "
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D'
y una integral particular es
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105
21.
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D
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~ .;. -....n .....
~ ).
la regla del apartado e) del principio del capitulo, comprobando primero que flD)XU
Demostrar
2.r
D -.D+ 3
ie
L.:a primitiva
.• . es
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3
t
= xR.D)U +
F(I))I).
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D"y
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o.
o ••
o
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•
,
.F(D)U , F (D)U.
Erucnces. susuruyendo en 1).
F(D)
F(O)
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x _1_
, l. P, (-
U,_I-V.
F(D)
F(D)
•
entonces.
r:r P,xD' U
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ya que
"F(D)U
_1_
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l.
, P_D'
.
o'2y • xD2U + 200.
xW .. U.
Dy"
V __
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F(I)
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F(D)
v,
F«(I)~ - 1
xV
_1_ V
F(D)
F(I)
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V -
F' (D)
_ 1
F(D)
V,
_
F(I)
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x
2
D +30+2
• _1_
sen
2:c
x
_1_
_-.
-
3D-2
30+ 2:
~ --
sen
9/)1 _ 4
-%(3 ca-s 2x
20
La primitiva es
__
(-4)
2x
..
2r
.. 13D'2+12D+4
D",,6D'
sen 2z
sen
2D+ 3
_
3D-2
---'2:.:D=-+;:3
sen 2z. sustituyendo D2 por - 4..
'6(-4)D+13(-4).120+.
sen
(20.3)(30-8)
2x
4
.,. sen 2x)
...
24 lien 2%
-i'
200
7 cos 2x
ECUACIONES
106
23.
1
Resolver
•
(D - 1) y
r
%
1
,
--x
O'
•
x
sen
-1
,
_1- sen 3%
D2 _1
, _1-
sen
3.-
_
10
_..!
.
- x
O' _1
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-
y
C$
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sen
x--x
O' - 1
2D
(O' _
x2 Stn3x _
Y una int~gral parncutar Ces
_1: •
3x
-
-
20 {x
2D
sen
-
20 (.
3x
(O. _1)'
.2.xcoa3x
_
1. .teos3.\'
+
I
er/ _ 1)'
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50
13
sen
40'_ 40
3x
DII_2D2:~l
1)'
2;
La primitiva es
c,~
$<n 3x
50
10
+
t'(
1
•
3%
CONSTAI'IT'ES
sen 3%.
La función complementaria
y
LINEALES CON COEflC1EI'IT'ES
sen
9
..
sen
:Ix}
:Ix)
80'
+
(O. _ 1)'
sen
125
sen
(0-_2D'1 +1)2
3:c
3x.
250
J
1
1 •
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O' _3D' -60+ 8
Por «):
y
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(0_3)'_3(1)_3)"_6(0_3)+8
I
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.,..1~
....,.__
•
O' - 120' + 390 - 28
_~)
78~
30'-60-6
Por e):
30' - 60 -6 _l'
,
<
(-28)
La primitiva es
•
I
39
784 ~
~x
- -:c~
28
-,x
.
-,.
<--(28x" 39).
y
184
:2S. Se
suelen designar las partes real e imaginaria de UD número complejc r por ~(z) e ~(:) respecévamente. En un
metcdc abreviado alterno para Jos Problemas 9·11 se utiliza sen bx = ~(¿t.))' eos bx = §t(t""'A-).
Ccnsídérese.
para la que
por ejemplo.
cilix
F(2i)
~
_ e2ix
eiU
F(3;)
3·61.
_
("~i%
8-+2';l
!!.;:J.(c0$3x"
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i
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31)
Z¡ ..
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es cea integral particular. Entonces,
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1
.. iR(z,) = -15(2","
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2.<" cos 2x) - 8Oe3sen 3.~+
<OS 3.<)
107
es una ,ncf.,.1 piln,cutat de
FeD),. - ~
2.f ..
COI
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1
.... 2." + ¡¡jO <o<.l.a - .... Jx)
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un, In'(ara' pantCUtlr
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particular de IlDl.v -
es una íncqrll
COI
+
SC'n l_f.
2" + sen 31', e
<t'C:,) + !Al:"
es una inte¡r.al panicular en el Problema 10.
PROBLEMAS
PROPUESTOS
Han.r una intc,ral particular.
n.
(D' _
1)1 • ~x
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l' x
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~
1
.. ,
CAPITULO 17
Ecuaciones lineales con coeficientes variables
LAS ECUACIONES LINEALES DE CAUCtfY y LEGENDRE
LA ECUACION LINEAL DE CAUCHY
1)
p. x
o
71
d"'y
+ p "
dXlf
l
en la que Po. Pb ....
2)
p. (~.)( .. b)"
1)
d"-'y
"_1
-dx"-
dy
f)"'''l K
+ D
.1.,
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•
Q(X),
ry¡
U'..
P.. son constantes, y la ecuación lineot de ugmdrl'
d"
-.! ..
dXIli
de la que 1) es el caso especial (u - 1, b =t O), se pueden reducir a ecuaciones lineales con coeficienles constantes mediante transformaciones, elegidas adecuadamente. de la variable independiente.
ECUACION LINEAL DE CAUCHY.
f)y
=
Sea x
!!! ~ ! cIy
dy = !!l
dx
dzdx
=
e:e:
y
xdz
dy
+ 2 )
=
"f)y
y
d%
entonces. si D
.,
está
definido por
»•
s. .
d.
2
= «y,
d.
,,'D'y
= .!l(1I-1)y,
,lD'y
= 1I(1l-1) (.!l-2)y,
.
Después de hacer estas sustituciones, 1) se convierte en
+ P 11(.1)-1)(11-2)·· ..
1
(.!I-n
+2) + ........
+ P ~...1 .!I +
una ecuación lineal con coeñciemes constantes.
ECUACJON LINEAL DE LEGENDRE.
Sea
RX
y
108
= O(e'),
véanse Problemas 1·3.
+ b = c'; entonces.
(a" + b)f)y
y
n )y
Y"
=
a dy = 8.!)y,
d.
LAS ECUACIONES
UNEALES
DE CAUCHY
109
y LEGENDRE
Después de hacer estas sustituciones, 2) se convierte en
+ P71}Y
+ pTt_1;tÉ)
véaese Problemas 4-5.
una ecuación lineal con coeficientes constantes.
PROBLEMAS RESUELTOS
l.
Resolver
(s.
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"2 t
D , 3x lJ - 2xD ~ 2)'1 ,. O.
La transformación
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=
X
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la ecuación
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-
ti.
2IiI.
(fl - 3/i1,
2} y
In x, la solución completa de la ecuación
dada es y *
• O
2)y
(~.t ,
)0
~.l
x ~
(',,/.l~.
x'1 In z ~ 3x.
La transformación
el reduce la ecuación a
l('=
21)- 2)y
(/)(1l-1)(1l-2)'
La función complementaria
•
i! (C:tcos
es y '"' G\ (.......
-: t 2:- __
y
(1l-I)(if-W.2JY
~
l
__
...
<; sen
•
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z }, Y una integral partlcuter
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,
•
3
es
I
(ti + 2)1 _ 3(D. 2)' H(IiI. 2) - 2
z
3-_!_- <
(.9-1)(1)
< Z:""
(2 As1. la solución es
C1tZ
y
C1%
3. Resolver ú:2D1._,J) .. 4)y
La transformación
x
-+
.7;
..
3e Z
..
x
J'<. e-. dz
sen a } + leb'
~
(l
2
x{~eos lnx .. "sen
,. cos lnx"
=
-
2) + 3ze.t
ln%) +- !x (lox
-2) ... 3x lnx.
sen In s ,
-= ~ reduce la ecuación a
(1l(IiI-l)
La función complementaria
y
+ eZ <C:tCOS
t:>'};:.
~)y
-/il.
es
'/
:
e 7.
:
<e
1
(/il2- 2.9' 4)y
cos
I:f z
..
c.r sen
e ces a > ~
• sen:..
tI3 : ) . y una solución
particular es
ces z,
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1/-2fj'4
1
'--CMz+
3 _2~
•
..!..(3 COS l
13
-
2 sen z) .. ~ez sen z ,
2
<
,
110
ECUACIONES LIM!ALES CON COSFICI8NTES
VARIABLES
Así. la solución es
y
•
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~ (C..cos
.r(C1cos
v'3,
lo
~sen
v'!I'·ln;r ..
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Póngase x ~ 2 -
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d.t
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(,9<.1)-1) - D.
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reduce 1:1 ecuación a
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U solución completa es y
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4)y'
-
27 fI-4
y
PROBLEMAS
PROPUESTOS
Resolver
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2
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(~'lD2 _ 3xD ...4))'
: ~ .. ;e2 ln.x
Sol.
Y
7.
(x2D2 _ 2xO + 2»)'
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Sol.
y .. <;% .. C2Z2,
Sol.
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ln x'Z
_
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Sol.
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11.
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y :-C1(x ...l) +C,(x"l)-l
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+ x 11'1:r
In x t SCn In X)
C,x lnx
... C:lX ln2;( ... ;r"/9
_ )n(xi-l)~
+ }(Xfl)olo(.r+l)+2
CAPITULO 18
Ecuaciones lineales con coeficientes variables
ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
UNA ECUACION DIFERENCIAL
d'y
1)
LINEAL de segundo
l1(x) dy
•
dx'
+
S(><) y
llene l. fonna
orden
-
O(x).
dx
Si 10$ coeñcentes R y S SOO COO$tanlCS b ecuaci6n se puede RSOIver por 10$ mitodos del ca·
pltulo precedente; por otra parle" DO se conoce nin811n maocSo general. En este capítulo se estudian ciertos procedimientos
que. a veces. conducen a una solución.
CAMBIO
DE VARIABLE
DEPENDIENTE.
y •
di'
dx
1)
~
dv
u-
dx
•
1.1
UV,
Con 13 transformación
-= u(x)
d'y
du
v- .
dx
=
dx'
v • v(.).
y
d'v
u_
•
dx'
2!! 12
dxdx
+
d'u
v-o
dx'
se con vrierte
2)
con
11,(x)
=
! dv •
Udx
al Si u es una integral
convierte en
R(x).
=
S,(x)
! {d'v
dx'
U
particubr
+ 11(><)::
de d'y
• SC><)y = O. eetoeces
dv
+
Una nueva sustitución, <Iv •
dx
P
dp
•
dx
R,(x) dx
Si se elige u de modo
~
S, _
2!!l.
u
O y 2) se
~
,
=
' dx'
~ O, (x).
dP. reduce
3) •
dx
=
11,(x)p
Q,(x).
Véanse
que es una ecuación lineal de primer orden.
b)
Q,(x)
t:Jx2
3)
4)
• R(x) ~ • S(x)'u),
dx
que
R.(x)
= ~
*.
udx
111
R(x)
• Oo
sea
*
u
Problemas
= - ;R(><) dx.
J-6.
luqo
"9'.. ..,.
ap 1tr.l"JI
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1I1
ECUACIONES
DE SEGUNDO
113
ORDEN
La descomposición de (actores en esta sección diñere de la del Capitulo 13. Salvo posibles
excepciones. los (acto<cs conúcoco aqui la variable indcpcndlO11le x. 00 gOZllD de la p<OpI<Cbd
CODmU13lh'ay la descomposición en Iaetcres difiere de: aquella cuando se uata D como una vanable. Por ejemplo.
(.D'
_
ex'
I
+ .<)y
2)0
=
(xD-2lCO-J<»Y.
ya que
{(xD-2)(O_x»y
-
eJ<D- 2> (- " _x)y
dx
~
(xD - 2) (y' - "y)
.tt()""_y
(><.!! - 2)()"- xy)
- xy')
- 2(y'-xy)
d"
xy·
Los factores
~
! (xD'
- (x'2' .. 2)D" x) y.
no gozan de L1 propiedad conmutativa ya que
{(D-><lCxD-2»y
•
(D-x)(xy'-2y)
si se trata D como
{(xD-2)(D-x»y
•
"y'
%
'y'-
2y'-x'y'+
2xy
2
{xD'_(x +1)D+2x}y.
xY"_(x2'-tl)y'+2x'y"
#:
Finalmente.
- (x' .. :!)y' • x)'
una variob/t> más bien que como un operador
(.o' -
(x'
V<ansc Problemas 15017.
+ 2)D + 2x)y.
EN RESUMEN. se sugiere que se proceda del siguiente modo para resolver
R(,,) dy
dx
+ Se,,) y
Q(,,).
%
1) Hállese por simple inspección. o de otra manero. una integral particular u - u(x) de la ecuación que se tiene al hacer Q(x) = O. La sustitución y - UD conducirá a una ecuación lineal
en la que no aparecerá la ....ariable dependiente v. Esta ecuación es de primer orden en dvjdx - p.
2)
Si 00 se puede hallar una integral particular.
es una
CODSWlte
a una ecuación
K o bien
K/r.
<:aleó"" S-/¡~'
la transformación y • v~';1u.
lineal con coefícieolCS constantes
,
~
te. la transformación
sea real»' sustitúyase en
z
. f ¡g
Si esta expRSi60
reduce la ccuacióa dada
o a una ecuación de Cauehy.
3) Si no se aplica el anterior procedimiento. póngase ~.
que la raíz cuadrada
- , ::.
dx
rrs (cligieodo el
V~
sigilO
de (orma
..
=---.Si esta expresión
(!!!) ,
dx'
es una
COns13r'1-
di<
dx conduce
a una. ecuación
HneaJ con coeñcieetes eoes-
tantes.
4)
Si se puede descomponer en factores de tipo operador. entonces se reduce el problema a resolver dos ecuaciones lineales de- primer orden.
No/a. Como comprobación parcial del cálculo es aconsejable conocer el tipo de eeuaeién que
resulta al hacer las transformaciones I}-3).
114
ECUACIONES
L)Nl!ALES CON COEFICIENTES
PROBLEMAS
1. Demostrar
para
.2)
J' -
b)
y- r
RD
+
es una integral
S)y _ O que:
+ xS = O.
1 + R + S =
particular
si
O.
es una integral particula( si I - R + S = O.
~"'1l
y=r
nr + mR + S = O.
es una integral particular si
+
a) Si y - x es \lna integral patlieuJar de (f>l
.RJ)
+
S)y = Oentonces.
como Dy
Si y • f!4l' es una integral particular de (D'J + RD + S)y _ O. entonces,
(ml-+ mR + SlY = O y m2 + mR + S = O. b) 'Y e) son casos particulares
d)
2.
RESUELTOS
es una integral particular si R
X
e) y -
d)
+
la ecuación (J»
VARJABLES
Resolver
:n'l _ ~ D • ~).)'
x
+ Sx
Aquí R
tú
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x una integral
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x
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x
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""
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+
2 -
ln .. +1+ Kx)dx
s.x
+ Sx
O.
I d.
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2
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x
•
1/x
%(2+4x
•
2 .. 4% • x2
+%2)
o
+ •
.l;a(.%
1<
y
•_
2<' .
y '"' x es una integra1 panicular
1)
ecuación que se obtiene al remplazar por cero el miembro de la derecha.
y : xV'.
~.
2~>
dx
2 ::
,d.
- x(2+4%+x
)(x;¡;
+ v)
reduce
'" p,
se tiene
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- - --P'
dx
UI)
(actor
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..
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es
la ecuación dada a
• +2
de donde
Poniendo ~
integrante.
es un
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La transformación
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=-
para la que ~J-dxlx
.!
x
p
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bien
O
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x ___
x
d.
d'.
d; = p. tJx2 •
(m
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by
m)l y D'Jy = m"'y.
1, m
,1) de d"
reduce la ecuaci6n dada a
(8(tor integrante. Entonces"
"
particular
d.
y1lX\I, Dy. x- ..v,
dv
dv 3
3
.. 2--3----\1+-tI
• -
1 Y b'y ,. O, R
2t - l.
= O, siendo y
La transformación
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•
x
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como
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para la que
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ECUAOONES
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DE SEGUNDO
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OR.DEN
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una integral panicullr .
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+ 2v) + (U
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tú
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11
Jx2
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dJr
O. Entonces.
••
2
• 31
tú
o
y
• 2
S« z.
Por simple inspección se ve que y _ seo x es una ink'gnJ particular 6e (01 - 2 tg x D + 3)1 - O.
La transformación y _ u sen
X
reduce la ccua.ción dada
I
116
ECUACIONES
La sustitución ~ - p r(dgo:
UNEAlES
$0
J_,
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CON COEFICIENTES
x, - ..
eesec 2.. para Quien
dp ....2(ct.& .x - .,
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La lransfonnación
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ECUACIONES
DE SECUNOO
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117
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cuya solución es
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• R(dI/do) •
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sen' x
o.
ECUACiONES
118
Asi la introducción de : -
LINEALES
-tos.'C
_ COI' JI.
13.
Resolver
2 dr
tb.
d'1
como nueva variab~ independiente conduce: a
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VARIABLES
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CON COEFiCIENTES
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la introduccióo de :
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La ecu.ción es equivalente I
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como nuc:". v¡a6nblc independiente conduce a ti ']
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K
UD [actO( dnegranle.
y
La inuoduc-
ECUACIONES
Aquí
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= J(2x
y/x
16.
de medo
=
y
Resol~r[xD2 .. (1-x)D
- 2(1 +r»)y
~%t ...
]1),1: _
1'~.x
Cl%~
119
ORDEN
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DE SEGUNDO
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1(1-&'-)4%'
..-t1ft%
ca
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+,a: tC1X
.. C~
• ~-x(l_6x).
la ecuación equivalente es
Poniendo
(D-2)y
•
&.1,
se tiene
Ahora xe" es un factor integrante de Icrma que
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(0-2)1 :
y
Aqul
11' ...
,:;0'
X
(l_3:t)e:-x
•
•
%
_
lJ:2 +- K
.. Ke-x/x.
es un factor integrante. luego
,
y
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I
La ecuacién
Poniendo
se puede escribir 35.
(D - 2)y • v,
Empleando
[(x
'3)D - IJ[/) - 2)y
!(x
.. 3)D - t)v
se tiene
d (actor Integrante
1/ (x
el factor mtegrante
e _'x.
o bien
..
+ 3).
••
(D __ I_).
3
se ,¡ene
de modo que
Empleando
I[ ex + 3) e-,
...
K (%"
se tiene
3)~
_>Xl
dx
y
Ul
Demostrar
que la ecuación
ción lineal de segundo
Como
de Riccati
orden
mediante
~
• y p(X)
la sustitución
~ y'lQ{%)
- Q'u;¡;;¡;'
tú
la suslitución
__ I_~~
Q'u tú tú
19. Utilizar el procedimiento expuesto
La sustitución
y
Q(X);
O. se reduce a una ecua-
y
1 dQ do
!!l
Rex).
conduce ..
(P -
dy
;:t;
en el Problema 18 para resolver
reduce la ecuación
3
1 áQ du
Q ;¡;);¡; -
RQu : O.
I
2r
120
EClIAe'ONf.S
LINEALES CON comelemos
- _.-..,
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PROBLEMAS
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DE SECUNDO ORDEN
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34. Resolver C" Problema 21 mediante ~n
35.
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38.
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+- l)/z
10.&
CAPITULO 19
Ecuaciones lineales con coeficientes variables
DIVERSOS TlPOS
EN ESTE CAPITULO se consideran diversos tipos de ecuaciones diferenciales de orden superior
al primero y con coeficientes variables. Para su resoluc-ión no existe un procedimiento general que
sea análogo al de las ecuaciones lineales. Sin embargo, para los tipos tratados aquí. el procedimiento consiste e-nrebajar el orden, es decir. obtener de Ja ecuación dada otra de menor orden. Por ejemplo, si se da una ecuación de tercer orden y si, por algún medio. se puede deducir de ella una ecuación de segundo orden cuya resolución SC"d facuble mediante uno de los métodos expuestos en los
capirulos precedentes. la ecuación dada se puede resolver.
ECUACIONES EN LAS QUE FALTA LA VARIABLE DEPENDIENTE.
del término en y. esto es, si es de la forma
n"l
>t
f(~.~.
dxft
dx
1)
o
la sustitución
dy
dx
=
x
2
_,d_p'2p.J_P
<Ix
dx'
d;'
d'il:dx\
reducirá el orden en una unidad.
, __d\
de orden tres. se reduce 3
<lxl
'"
dp
dx,x):O,
dx'2 - (Ix'
La ecuación
Ejemplo
dy
~-l
d'y _ dp
p.
- 3%p
,
~"
,
Si la ecuación carece
de orde!" dos. mediante Ja sestitucién
:- O.
2
d p •
tb;"l
Si la ecuación dada es de la forma
d
2)
la sustitución
.-1
y
x)
O,
='
dxl1-1'
dk+1
d
__
y = 3.
me
dxk+!
.... reducirá el orden
en k
unidades.
Véanse Problemas 1·5.
ECUACIONES EN LAS QUE FALTA LA VARIABLE
carece del termino en x, esto es, si es de la forma
dy
,3)
La sustitución
dx'
dy : p
dx
•
y)
INDEPENDIENTE.
=
Si la ecuación
o.
d'y
dp dy
dp
= - = p-.
dx'
dy dx
dy
s.
(p dp) dy
dy
dy dx
=
{p d'p • (dp). } dy =
dy'
dy
dx
122
p'
2
d p + p( dp) 2. ctc.,
dy'¡.
dy
OIVERSOS TlPOS
123
reducirá el orden de la ecuación diferencial en una unidad.
.
Eict!'pIo la
y"(r',
'ó
SUSlltUCI
d]
d;
n
" = 1. eSe: tercer orden.
I
I
dy
•
,fu:r
- : '1'4//1dy'
-.
dx'
/J.
o:
1P • J'p
_
..
ó,'
Jp.
p,(-)
..."
I dp
de segundo orden.
1.
-
óy
reduce I¡ ecuación yy'" -
P (~)
.1)'
dl
Véanse Problemas 6-10.
ECUACIONES LINEALES CON UNA INTEGRAL PARTICULAR
ce una integral particular y =z u(.() de la ecuación
CONOCIDA,
Si
se cono-
4)
entonces la sustitución y = uv transformará
5)
en una ecuación del mismo orden. pero sin lamino COnvariable dependiente. Una vez así transfonnada se puede reducir el orden de esta ecuación por el procedimiento de la primera sección de
este capitulo. La ecuación 4) se llama la ecuación reducid. de 5),
(O" -
Ejcm:pio COft)C),. _ .'( es una solución de
d'
!!..l
tÚ"
=- x
d2
.2
<J.x2
d
+ 2 ~
reduce
(D'_~D+ I}J' ..
O.
xD ..:. l)y •
~'K
a 211
a
2
_.
(Ú_
--
~,
carece dd tennino de la ~NbIe dt'ptnchenle
seccién.
f'.
la sostrtuci60
-x' d~"
JI = u. ~
~z~
- • _.
dx.
x
x
lOO
-z: :
... 11.
Esta dirima «uaclón
por lo que se puede 2pIic:ar el prooedimiClalo de: la pnmera
Véanse Problemas 11·14.
ECUACIONES
EXACTAS.
La
ecuación diferenelal
Tl 1
d'"
d dy
(!!.1.
__ y. " ... ', _,
y,
6)
dJe"
se denomina
URa
dxn-1
x)
•
Q(x)
dx
cxuac:í6n cx.actl si se puede obtener derivando una vez una ecuación
d",-2
__ y •.•••••
dX"-2
7)
dy
, -.
dx
= Q. (x)
Y. x)
•
e
de un orden menor en una unidad. Por ejemplo. la ecuación
3y'y'"
• 14yy'y'
• 4(y')'
•
12y'y"
= 2x
es una ecuación exacta ya que se puede obtener derivando una vez la ecuación
3y'y·
•
4Y(Y·)'.
G(Y')'
,. ,,'
• C.
La ecuación lineal 4) es exacta siempre que
p. -
p;_.
+
P;~2
+ ....
+ (-lrP'ó'
- O. idénlÍCalncnl
e.
F...jtmploCon:\lderer:nosJn ecuaccn c:r~ - 2.'r)y'" + (8.": - 5)y" + 15..1',.' + Sy - üen laque P, - 5. P:
IS,y
y Pi = 15: PI - 8Xl - 5 Y P'; = 16. Y Po =.r - 2.'( y Po' = 6. La a.-u.aci6n es cuela ya que P1 - Pi. +
Pí· - ró' ) - 1) ... 16- 6 = O.La _00
dad> es lo Oetivoda <X3Cta d. Ir' +
3" +
)xy = C.
uu·· (sr -
124
ECUAOOSES
LINEALES CON' COEFlCIE'NTES VARiABLES
S. la ecuación 6) no es lineal no se puede dar un procedimiento sencillo para aYUigua.c si es
exacta. En este C"dSO. Se demuestra que 6) es exacta formando la ecuación de orden mfenor en una
unidad a partir de In cual se puede obtener 6) derivando una sola vez.
Si 6) no es exacta puede que sea posrble hallar un factor integrante, Tampoco se puede dar
una regJa general sobre la forma de determinar un (¡JC1or In1egran~.
Vbnse Problanu 15-21
PROBLEMAS RESUELTOS
SIN VARIABLE
l.
OEPENDIENTE.
(2)' .
Roo...
4
d>r
•
o.
dp.
La sustltuci6n
2 J: • P
-4
2.!f.
t
o sea
-
! In~
+ l. K:
=Ós
,,'2
,o
1 .. 2:r - 2 la(1-C1f'2X:)
y
P -4
+
c,.
• ~ - z.¡ •
dcdondc
In q .. In ...'
t
In K.
y
O.
., • c"..... c,....
c..
LI sustitución
luego
1 •
4.
t
1
10$
fl
-(ZuC,l
•
JI!
Resolver
i(2:Ic • es.)
Ji...
t
1/.
•
K..•
IC.
Obó<n
105"
t(20· C,l
t/2
-
c,••t
c_.'.
• o.
una «UXtÓn Chinul.
y
c..
DIVERSOS
.
1
-<
(l,,2r)cI~
áz
125
TIPOS
.
•-x
• ):"2;'
Como 1 -
R
p"rJ oblcner (1
+
+S
"" O líe ulill1.~ 111suslitución
n + 2x}.!,,"
2\' ..•.. - 2»' _ l. de donde
1+
L<&<fIdr<. U swti,ución
,ed_
z.. _ ..
la __
,.
1(,. K,,,': - *<1
p
•
r!I •
'/ • C,e-X
A~-t +-
y
SIN VARIABLE
(;,(4 .. 2 +- lb
..
B'(x
+
2()rI' - (1
.. lt)c:
+ h').
.liJ•• ¿
una eeuaa6Cl bneal de
o b<D ~(~-
2)......
• K, .. K,el. 21)' _ ~(1. 21").
K,(-·"
e-xv"
2(1
• (.f(~-Il-
v
áz
y
-
+- 13)c-x
-x ..
"21)'(-- -
"'.(2
ir(l.~)c:-.a.
... C, .. t(2A.o. 3le-
x
e ... !..e -x •
INDEPENDIENTE.
p ~ • p'. P O bin> ~
Emonces. _..!!e..... • dy.
p' +- 1
s'»
La sus:itucióo
Aqui p = O ~ }'
dp
P -1
ErHooces.
I
A
y
e es
a
.
p.
2
r
;Ir
4,
Enlonc('s.
p'
I
-,
2p • 2) • O.
•
In A2y'l.
.
,.-
• ,¡..
I.dedonde~
1+,.(2,.t
are
K.
P • A Y
y
'& Ay • A.1' .. B.
Ay
• '8
IAx.B)
•
1n y.
,/' • p.
dp
'"
!!f -
4y
In(p - 1)
are 'S Ay
.1& (y+K,).
p(y
una solución. l...ego
!!l .
2
p ~
dy
, ••
Y
yp -
P •
• " • l.
,
In', .. C.
1-' P dp
dy
'1'
K'dUC'C la CC1Arión ;,:
o bien
)a,/
4y
y/¡.'y.
e
.
1áz.
2y', di>
y'
Y
,,1y
dy
.
2 I.y
)n( In y • /1.o'y.
2.
y
e) • ts ...1n K.
126
ECUACIONES
LINEAW
CON COEFICIENTES
r-r-:
,.
"ln-y ..C.K~
Ea:co se puede escribirIOn c:onsunteS
9.
e,,"- + el'··
-ln1.
y
o t*fI.linatlTlC11le. In y o: C1r- +
C.,,·~ya que C'
I
yel
arbitrarias..
• (1'>% .. 12•
Rc:sol"c:r 1,·
LaJUJlituciól\y'.
de py' ap
Ahora
v'2 p
bien
y" = p ~teducelaecuacl6n.py~
p.
le. Lo ..,Iuclón
.r,
In y =
así
VARIABLES
=
+ p'y
Poniendo y" - p dp
ti}<
50
cuya solución
e - Sh(±Jl
y'
x+
-
dI.
ea
:lrg Sh
Le'!= ±2x + K.fi.
Entonoet.
e,~
••ya soluoón es p' - _" + K.
tiene 2p dp - ~'tI)'
~. se: conviene
ji.
±Sh(j2 x + K,l. y y' = e, Sh(Jl x +
K) -
Uri'il.lt'K'lo tu coodiciOOt$ iniciales.. O _ 1 + K Y K
te la IUStiloción ~,
es
'1
di
±Jlx + K.
Sb ~ -
Ji' + C".
d)' _ y' ay es 2p'y' _
12 2 ~ t /y" + el
.. 1'2. y' para la que j es un faclorüuc¡.nan.
-1.
Por tranlO. P :-
!z .: .f/~t)
<Ix
_J que. mechan·
• 1 tU. LI solución de esta ecuación es are la
J: -
J
2tli'"=1
±x
+eo
bien. COn las variables
e•
quieren
originales,
± ta
= 1&(±X)
O. de modo que ~
i • ±x +
are t¡ ~
x y. finalmente.
C. Aquí, las condiciooes
t':' _
sccl
Iniciales re.
x.
Debería hacerse notar que la forma de 1a solución de la e<:uaci6n deda depende del signo de la primera CQn,~
tanlc de Imegracién, Si en
= e'1 + K, K es positiva e ¡¡ual 11 Al, se resuelve
pi
_-.:;d=,
=
1 In
J_
.
• .t u...
y se o b uene
2.&/:7Ai
2A
Como
l'
•
4,('&""
~'Y
(1-
¡;:-¡r - A
¡;:-¡r. A
A es a,bilrJ"a
• ± x • C. Entonces.
¡;:-¡r - A
y
~>A
se puede: escribir
y
o bien ~, •
Bc"")2.
ECUACIONES LINEALES CON INTEGRAL PARTICULAR CONOCIDA.
11.
Rc~lvt(
xJ(stn x),...• - (3x' sen x -+ xl ros x)y"
Por simple
se ve que 'f
inspección
Modillnte la sustitución>,
-
coa
1
=
= xv. y' =
• o.
+
(6x sen Jt"
x es una integral
XI?'
+ V. y" _
2x1
COl
x)y' -
I):lntcular.
,w" <1
2v', y'" = xo"' +
OO
bien ~
q
_ ctg.r d.l:.
)(1". la ecuación
se reduce a
2
Y esta ecuación. mediante la sust"itución !_! • q. se reduce a sen
.. 2
" tOS X -
(6 Sen x + 2\" cos xbt _ O.
x
¡Jq
dX -
DIVERSOS TIPOS
d1u
=~
L.l
Entonces, In q • In sen x + In C. q
12. Resolver (xl - 3",'
+
fu' - 6)y''' - x)}''''
Por simple inspección se deduce que y -
= XV, y'
La sustitución)'
= xv'
+ P, yU
=
6x)t'
-
.,
Ii -'
+ 6)'
CI sen x + C:x
_
+
e,.
- O.
es una integral particular,
x
X11"
+ 4'"
ción; (.,' - Jx' + 6.<' - 6x)'¡' + (-."
)'
= ~ sen x y
+ 3x2),"
127
-
+
2t,'. y'" _ xe'"
+
30",
=- :nl' + 4.,'"
~
reduce: la ecua.
12x' + 24x - 24)1>'" _ O.
3
'dd v
.,.
Pcmen
o dx' = q, esta ecuacton se convierte en
o
Integrando
In q
o
x-41nx+Jn(..-~-3x2+6x-6)+lnA
>
A.~(x
Entonces.
, ,
- 3.•? -+ 6x - 6
Xl""
--e
()+1
x"
1
1
3
6
de forma que --(---+---)
D+l
x
}(2
x'
A
x
z
•
1
.'
e,
eX
•
•
1
3
6
6
--(--~+--_).
D .. 1 x xl x' x·
,.
•
_._ .
6
.'
6
e
,
•
1
-(0.1)
x'
e _ 2% .. 2
dz'
:
x
.'
%
V
A.
2
Ahora bien. OC!)
d'l",
)
+&-6e,,)
-:b:
O
"e
Luego
q •
o
D+ 1
x
+ B,
,
'"C,}( • c.. + c..
dv
dx
:t
A (x - 1)e
.'
• +- &
-+
1
(-)
s
C.
y
En este ejemplo se ve. facilisimamente que y = x, y = xl. y = r e y = tt son integraJes particaíares,
Que se podía haber escrito inmediatamente la solución completa.
13.
,
por 10
Resolver (2 sen x - x sen x - x CO$ x),''' + (2x cos .'( - sen X - <:os x)y" + x(stn x - ros x),,'
+ (COs. x - sen x)y = 2 seo x - x (0$ x - x sen x.
Se ...'c. por simple inspección, que .v = x, )' = r e y = sen x son integrales particulares de la ecuación reducida. Se obtendrá una integral particular de la ecuación dada empleando el mit()dq de variociqn • pcr6rMcros.
128
ECUACIONES
LINEALES COl" COEFICIENTES
VARIABLES
o.
Ahora ben,
y se ea.. blece
o.
SI
Entonces,
y se cSlllblece
el
L~('X
_
lIc:n t
~
RC$Olvie.ndoeJ sistema formado por las ecuacícnes
-S(nx..-eosx
-t·_(s
-1 •
tOS Jt •
L, •
y
JI ..
8),
A),
"
..
la solución completa
,; x),·
- (x
~ 3.1:.. 1)1,.
Por simp~ inSpOC:ción se: ..oc que
y - XI) reduce la ecuación dada a
.. ;X" 4 ..
)1 _
x
2
-»"
.. (1
es una intt'ifll
(s' + x)" ...... (,1" ..
l:) .. e-X)('I'I
CM
jo
,
t
(.z2 .. ,1')1.1" ..
4
..
't-·C06,1',
de la ecuación
ha II-u:uuución It' -
IJ
2)u' ..
(0$11.
.'
3x(x
{Xi ..
I
2
-)y
.....
It
particular
(.1 ,; 2)u
Como la suma de los cceñcientes de. la ctuOIc.6n tcdUGld. de
&la.! particu13r y se puede emplear la sustitución
I
reducida.
La ~usthución
)2
la
•
3x(It'"
1)'.
A) es idénticamente
nula. u ., r
C$
unn in te-
reducir A) a
d;
de donde 7" • (l.
u;ac
Enlooces.
2
1
- - --1'
x
ae-x (x.
x+l
1C'l~~
1)
p:.r¡¡ la Que
u
."
•
•
• -x
d:
'&
'JI
:
x(x"
-x
1)~
+
K
~
do
• Ce.
xv
x
•
3
_ ~x'
2
_ 3.1-2
..
•
<x
,-
•
u
...
C.,z<r ... c"x.
dx
e
1.1' )ftll
t
1 --,
~
,, -x
y
es un factor integrante.
n'
dw
, --1
%+
y
%
'2
2,1'$m,l'''
..
ex + 2)'11'.
2)./'1' ..
es, a su vez. reducida. mediante
Al
PIra
sen s ,
X
es
It
Y t$la «uación
..
sen x,
;.te"A'(_$Cn
i,l'CQ5X
(,1'
X
se obtiene
e)
3
,4.. ReiO'\Cf
COl)
JC
y
%
Por tanto.
y
ces .... sen ~)
2 sen
"
1 -x
.'
el c',C'.
:h _ 3 + _...
x
•
129
DIVERSOS TIPOS
ECUACIONES
15.
EXACTAS.
~.___
l'
• P, Col),.- .. P'I (:r) 7· .. Ps(X) 7' .. p. (.1) 7
que: Pc,C.%»)'
I"oI'I;IIHAlr.t!
Supóngase
que la ecuación
diferencial
dada se obtiene
'11
Ro(.c) y'" .. R,(.t) y" • R2(.t:)
Como
K'
al derivar
esta ecuación
(it~ que VC1"ificar Po '"' Ro'
p. - p; ,
AhOf;t biee,
.
R ecrprccameme,
~
•
Po1
Pol~
p(;)y'
t
P'JY""
'~J" - (- P;
,_ P1Y''' .. P.,1".+- 1'31""
ePs -
+-
Y p.
O.
It; •
R!" .. O.
11;> - ~" • R;) •
O. Puesco que
Po"'»)')
P; • P; ..
p;' - P~ ... Po'''»,
+
p.Y.
(R~+-Rs),.'oO R;,. ..
P,'- 8; • 8,.
~ (11': ..
Po1" •
- •
P"• - p~
.. (P, .. P: +-
(R~.R,»)'''.
.....
R: • R",
<R:oO R;)
It~-
•
11, se
R~(a) y .. el'
..
','"'
O es c:xacta si. ) soIamcatc
denvando
(1t¿.R1)1
+-
~ .. 81,
p... P,'2"
supóng.ur::
.. P1Y'"
tv
p••
P,."- P; ..
[Po1'''' .. (P1 - P;),."
poyl1'
00t~~ Rol1"
se
•
la ecuación
direrencial
dadll es exacta.
I
I
Para obtener
este resultado
lérmlno
el primer termino hólY que derivar xj-". Ahora bien.
de 11. izquierda
del miembro
de 13 reLac,ón
resultante
hay
(.r +
queda
tr + v +
Que derivar
(z' ..x .. 2)7·" (2:r .. 1)7' qucdJ; (2z" .. 1)7'
+-
+
x + 2)y"
t(X
(4x
1''')
&;
+ 2))" +
2).r'. Cuando
%1-+ 1" Y cuando se qUIla
2y. Pata obtc:ner d pluMr
se quita
d
di(Z
•
•x
.jo
2)7'.
2y
Al
Como
Po: - P: ...
A) ex.nCt3mttUe romo
Po· •
(b.
1) -
se: ha Inuado
el miembro
A) es la deri vada eueca
2
lineal pan; la que ul
Luego la solución
La siguiente
,....
,.
exposición
•
de II eeueeión
%.1»)"
¿
(X'.,.
c. f
csquem:hica
z-
+-
1)7
es UD faaor
comple1a de la ecuación
xye1x{x.2.
(:r
llhora el miembro
.. (2z ...1)y
%~i"(.t"oO
dada
2) lb
'"'
d
,
:- d;(% .. x'"
c;, ... ~.
int,qtanle..
es
...
es muy practica.
e,
f
~,x(%. ,) 1'.......
de la lzqUierdl
original.
de
sr' ..
S)
una ecuación
correspondiente:
qced ..
Quitando
Luego
(21 + 1) • O ,. O. se tratar'
~,
1)1·
dt
130
ECUACIONES UNEAUCS CON COEFICI~
%]-
Z]-
%].
(...' .....
2')7'
.
3),.- •
(Je' ......
VAItL"8lES
(ob t 2»)"
•
(.,..2
t.,&
..
( .. '
.. JI
.2),.- •
2),· •
(u".
(2:r .. l)y'
(2r .. 1),' .2y
C2r .. 1)1
Al
xy" • (s' .... + 2)1' ..
.y'
% ••
(z:2 ..
.. %+1)1
8)
Rcsol\-er
JI: '.
.1'1' .. (xl.x
~-•
d'y
12:
S d'y
",j
.-
dz' '"
(2)< •
1)1'
• e,x ..
..l)y
..
la ecuación
2!.! <!l
obleniéndMe
2
d y
"<Iz'
2
Se· pue<k escribir
(1 ..3%-.12),."
,
~
2y ",,
dada es exacta,
C,.
~-
•
,
.
2(2)'
dx
Luego
1)1
SdY<!l
<b''''
",,
z
~ dy
tú'
C.
:
.. (2)< • 1"
d')
Se pued< C$CObtr
(2)< • 1)]
l'
(X' .. .t +1)y'
17.
O
.~
.~
2)1'
(2a". 1),'
(x 2
.
.. 2y
•
tú' tú
<!2
dy
tú'dx
derivando
-J..!..' <Iz
1 • K,.
•
(1 .. :ky2),- .. 11:"· .. 18qy'y" • 18y(y')'
(1 .. 3x.Z')Z- •
6"T'1'"''
3.,'," ,
12xyy'Y·
.. 181(7/)'
.. 12.7(1,)2
12%)7',"'
..
6,,(.]/)2
.. 6%(1')'
J2zyy'ylt'
l'
61(.)',)2
..
L3. ecuación dada es exacta. obtenjéodcsc derivando
(1 .. ley'),."
.. 6,.:2,' .. 6xl(y/):
(1+ 3z-12)y" ..
• 6<(J"I!
3'1,' .. &1(1,)"1
3/,'
3/,'
.. &":(.1'>'
&rey'>'
DIVERSOS TIPOS
131
Se comprueba: ripidamenlC que esta ecuación lineal no es cueLl.
inte8f3nte de: la fonna x- se multiplica pOr :c'"' y se obtiene:
y se escribe la
Pan. probar si tiene: o DO tiene ce factor
condición
-(2t- .... " ..~) - 2(."1)%~ +- (_.3)i,
..2
5( ... 2)(_"1).1'
..
... (... 3)( ... 2)( .... 1)%·
•
Lues.o m _ - 2 '1 x·]
es un factor
integrante.
K uene
Empldndolc..
2
xy-.
... (.. 1).1
",
y'
4,· ..
4,· +
2
41' .. (; ... x)7
%1" .. 41'
y
La It:lnsrormación
.'
y."!
)' la solución compJctll es
v
=
(;2 ... x )'.)'
(;
2
... z).)"
+ (~ ...
,
n)'
- .'
.. l)y
.'
2
(-
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PROBLEMAS
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2." "'" el
..
C, ...... In x
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Resuélvase también empleando
Sol,
+Óx
.. C:)XcX
)'2 = ".
COIx + e;! sen x
+
~'b(
x -, corno
CAPITULO 20
Aplicaciones de las ecuaciones lineales
APLICACIONES
una curva JI
GEOMETRICAS.
En coordenadas rectangetares el radio de curvatura
fix) en un punto general de ella está dado por
R de
=:
R
=
•
La normal en el punto se traza hacia el eje x. Se ve claramente en las figuras que la normal y
el radio de curvatura en un punto cualquiera tienen la misma dirección si y y d]"yldx2 tienen signos
distintos, y tienen direcciones opuestas si y y cP Yldx2 tienen el mismo signo.
APLICACIONES FISICAS. MO.vIMIENTO OSCILATORIO.
Considérese una esfera. suje•••
un extremo de una cuerda de goma. moviéndose hacia arriba y hacia abajo. a sacudidas.
Sí el otro extremo de la cuerda está fijo y no se aplica 3 la esfera nin.guna fuerza externa para
conservar $U movimiento una vez. iniciado. y si la masa de la cuerda y la resistencia opuesta por
el aire son tales que se pueden dC'Spreciat. la esfera se moverá con InoDimknlO armónico sunplt>
.t _ A COS WI
+
B sen (1)1
donde.'( es el desplazamiento de la esfera. en el instante
133
t,
desde
$U
posición de reposo O equihbno.
134
APLlCACIONfJS
Para el mcvímlemo
a)
arménico
OG LAS ~CUACIONES
LINEALfJS
simple:
La ampluud o desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio es
si dxid: - O. tg on - AJB Y x + 8'.
JA'
JA'
+ 8'
ya que
b) El periodo o numero de unidades (segundo) de tiempo par. una oscilación completa es 2n/w seg.
ya que si I varía en 21t/w seg los valores de x y dxld: no cambian, mientras que si In variación
de {es inferior a esa cantidad. uno (o los dos) de los valores x y dxid: experimenta un c~lmbio.
e)
La frecuenci«
d ) ••
"'"'
·6
(>C""(;I"
o número de oscilaciones (ciclos) por segundo es (1)/2. ciclos/seg.
d"ljer(,nCI(1
• I del
movi .
e movnmento
arm ónico
meo si
simp Ie es
tlJ
d'.y - -¡¡¡r
k x. d on d e
t.
1(
es una
magnitud positiva. Se puede escribir
d'x
m;¡¡r
-
_In(.L)l(A
cos
donde nr es la masa de la esfera y k =
(1)/
+
8 sen roi) = =k«
ffrwl•
Si se modifican las hipótesis amenores de modo que, no
S(:
pueda despreciar la resistencia del
aire. 13 esfera se moverá Con mooimtcnto amortiguado libre
x = e-SI(A cos
w, + B
sen W/).
El movimiento es oscilatorio como ante, pero nunca se repite Jo mismo. Como elfactor de ama-ne-M disminuye cuando I aumenta, la amplitud de cada oscilación es menor que la de
la precedente. La frecuencia es w/2n eielosfseg.
Véase Problema 8a.
Se presentan otros casos cuando In resistencia que se oponga al movimiento sea suficientemente grande.
Véase Problema 8h.
guamiento
Si. además de la resistencia, hay una fuerza externa actuando sobre la esfera; O se aplica. un
movimiento al sistema completo, se dice que se ha forzado el movimiento de la esfera. Si la función de forzamiento es armónica con periodo 2rr/)., el movimiento de la. esfera es el resultado de
dos movimientos -'\ln movimiento amortiguado libre que se va extinguiendo a medida que el tiempo aumenta (llamado el fenómeno IranslloriO) y un movimiento armónico simple con el mismo
periodo que la función de forzamiento (lJamado el fenómeno de régimen permflnente),
Véase Problema 9.
VIGAS HORIZONTALES.
El problema consiste en determinar la üexión de un. viga que soporta una carga dada. Se estudian solamente las vigas que son uniformes, tanto en forma COmo
en material, y es conveniente considerarlas como si estuviesen constituidas por fibras dispuestas
longitudinalmente. En la viga Oexada que se muestra en la figura adjunta. las fibras de la mitad
superior están comprimidas y fas de la mitad inferior alargadas: a ambas mitades las separa una
superficie cuyas fibras ni están comprimidas ni alargadas. La fibra, que en un principio coincidía
con el eje horizontaJ de la viga, está ahora en esta superficie de separación dispuesta según una
curva (la curva elástica o curva de flexión), A continuación se trata de-la obtención de la ecuación
de esta curva.
B_.:.:.
,::....-
----------CUJ\'iI. c1á~IJC;l
P(1.yl
1
APLICACIONES
DE LAS ECUACIONES
UNEAlES
13$
Considérese una sección transversal de la viga a una disla~
)C de uo extremo
Sea A B su
intersección con la superficie de: separación y P $U intersecc:lÓn con la curva elástica. Se demuestra
en Meclnica que el momento !ti con respecto a AB de todas las fucnu exteriores que actú~n sobre:
cualquiera de los dos segmentos en que la sección traosvtnal
del segmento considerado
y b) está dado por
Al
El/TI.
=
dIvido a la viga, a) es índo""ndlC1lto
,W,
Aquí. E = el módulo de elasticidad de la viga e I = el momento de inercia de l. sección trsnsversal con respecte a A B son constantes asociadas con la viga. y R es el radio de curvatura de 13curva
elástica
en P.
Supóngase. para mayor facilidad. que la >iga se h. romplazado por su CUI'\'ll elástic:a y la seco
ción transversaI por el punlO P. Tómese el origen en el extremo izquierdo de la VIga con .1 eje )C
hcrizcntal, siendo (x. y) las coordenadas de P. Como l. ""ndiente d]/dx de la <vTVa e~sta en
todos sus puntos es numéricamente: pequeñas
--.
d'y
1/
aproximadamente
ctx'
y A)
se
reduce
a
El d'y
Bl
=
l.
dx'
El momeoto ñector M en l. sección transversal (punlO P de la CUI'\'ll elástica) es la suma al.
gebraica de los momentos de la, fuerzas ext eríores que actúan sobre el segmento d. la viga (seg.
mento de l. curva elástica) respecto a la recta ABen la sección transversal (respecto al punto P
de In curva ,elástica). Se supondrá aquí que las fuerzas hacia arriba dan momentos positivos y las
fuerzas hacía abajo dan momentos negativos.
,Ejemplo Sea ~na ~ga de JO m de Joegrtud apoyada en dos $Opones \fflicaJc:s. como en la f1cura adjunta..
q\Je la .vtg::t eeee Uftll earp umfcrme de 200 k.g/m de: k)ft8J1ud 'Y UIUI carga de 10fX) t& ('onoentracb.
en su pWUO medio.
Suponpse
2000 ~
~.
..
IlOO
2OQ"
(uerus extencres que 3C1(ian sobR: OP $I)Q a) una (ucru. di~
hx:ia amba
mrtad de lacarp ,.... ,. este es, !(IOOO+ 10 x 200) _ ISOOk"
, que se pucd'e supooer como COn«n1rada en el puntO mo:Iio dt: O, o tea.. a
~8..
.
Yb)~e;:!,·.-;",,:,:
Ix
,.1a
menlO Rector ee Pes'
M
I SOOx
- lOOxHx) _ 1SOOx -
metros de
&
r,
El •
mo-
loo..'
p.J_ra demostrar que el momento nCCtor en P es independiente dI:! se
nto'
.
cuenta las fuerzas que uctúan sobre PR: (1) una ruet2a dirigida hacia
d co'~kado.
[~~
aflota en
10 - x .... tres d" P b) J
d 000 ••
'.
e ~
g y .,........, ee R••
....
3 carga
e I
"Ii actuando hacia abaje en el punto medio <k la YlP- 1. 5 _ x mttros
:::7ba
136
APLICACIONES
DE lAS
ECUACIONES
LINeAlCS
x.
de' P y (") 200410 - x) kg actuando hacia abajo y supuestos como concentrados en el punto medio de PRo a
loo metros de' P. Se puede. pues. escribir
M = 1500110 - xl -
1000(5 - xl - 200(10 - x)·}(IO
-
.<.
Se dice que una viga está empotrada en un extremo si se mantiene horizontal en él gracias a
una adecuada obra de albañileria. En el ejemplo que se ha expuesto la viga 00 permanece horizontal en O y se dice que está ahi simplemente apoyada.
CIRCUITOS ELECTRICOS SENCILLOS. L. suma de las caídas
de tensión a través de los elementos de uo circuito cerrado es
igual a la fuerza electromotriz total E en el circuito. La caída de
tensión a través de una resistencia de R ohmios es Ri. a
través de una bobina de L henrios de inductancia es L di/di Y a
través de un condensador de
e faradios
e
de capacidad es q/C.
Aquí. la corriente ; amperios y la carga q culombios están relacionadas por i = dq/dl. Se considerarán R. L y C como COnstantes.
R
la ecuación diferencial de un circuito electrice que contiene una Inductancía L. una resistencia R. un condensador
de capacidad
y una fuerza·~ele:ctromotril. f;(l) es. por tanto.
e
L
C'l
(Ji
*" R i
t
dI
g =
E(t)
e
o bien. ya que i = dqid«, di/di _ d'qfdI2•
Cl
E( t)
de donde se puede
Derivando
hallar q = q(I).
C') y empleando
~;
=
i se llene
+ R di
Dl
di
de donde se puede hallar
;
=
i
+ -
E' (t)
e
i(r l.
PROBLEMAS RESUELTOS
APLICACIONES OEOMETRICAS.
J.
Determinar la curva cuyo radio de curvatura en un punto cualquiera P(x.
mismo sentidu. b) sentido opuesto.
y. es igual
3
la normal en P y tiene
a) el
tI)
Aqui
[1"
(yl)?})/2
=
t21.í2
-y ( 1~ (y)]
»:»
de dcedc
La ecuación es exacta )' COn una integración se tiene yy'
+
)f
-
el
(y')
2
+ l ... O.
= O. de donde
y dy +
(x _ C1)d{
= O.
APLICACIONES
Integrando otra
VU.. lf2 + !(x
(erene.... con centro en el eje
b)
Aqui
[1 • (1'¡'J
,.
- CI~
DE LAS ECUACIONES
K. de donde ,.)
:lO
+ (x -
137
e,)' _ el'
que es una famíli. de ci«un.
x.
P
=
7(1·
La .... tilucicl. y' - p. y" - p :
(7')')
".
de donck
,
1,· - ()") - 1 • O.
dd Capitvlo 19 toducc la ceuaci6n •
.]
11' ~
- p" - 1
Luego
O
!!l.
de donde
1
ln
hllegrando
WNEALES
e:.
s dx,
•
de donde
rorma
se puede etcribir en l.
Las curvas IOn COltcnariu y La ecuación
1 •
APUCAOONES
flSICAS
MOVIMI¡¡NTO DE UN PENDULO.
2.
p
Un péndulo. de lo.~,ud I y masa m. SUSpendidoen P (\Ú" .. 6.... )
mueve en un plano vertical que pasa por- P. Prescindiendo de tod.lt..
l.as ruerzlU excepto de la gravedad. hállese su movimiento.
te
Se supone que. el centro de: gr3\'Odad del diseo dd pé11dulo $O muey radio J. Sea O. positivo
cuando se mKle en $Clllido contrario al movimiento de las a.sujls del re.
loj, clllngul0 que forma la cuerda con la vertical en el instante l. U. ünica fbcna es la sravcdad. positiva cuando se mide hacia abajo. y su ecmponente !iegllola tangente a la trayectoria dd d.i.scodel p&.dulo es"" seu 8.
Si I es l. longitud del arco C.,C. entonces s _ JO y la aceleración .. lo largo
\'C
del
$leJlCribiondouna circunferencia de centro P
a.n::o es
Entonces. •. 1 d'e
• dI'
Mulllplieando por
2
-s
seo
<!!!
e
d'e •
o sc:! 1dI'
de
• e, de oonde-;::=:::::;==-
• 2& .IMI e
e integrando
dI
-s sen e.
:
dI
t _.
/2& cose. e,
oIT
Esta intesraJ no se puede expresar mediante (unciones elementaJcs.
CUlIndo O es pequeño. sen 8 == O. aproximadamente. Si se t\ace ($ta sustitución en la ecuación diferencial
..
d~
onglnal se tiene dt l
..
'9
lO
O cuya soJuciÓQes 9 •
vimiento armónico iimp&e. La amplitud es
el coa ~a7 e .. c. sen ~,~t , Este es un ejemplo de
Ic! + e! y el periodo
C$
2Il
If·
me-
APLICACIONES
138
MOVIMIENTO
A LO LARGO
DE UNA
DE LAS ECUACIONES
LINEA
LlNEALfoS
RECTA.
J. Una mas;, 1ft se pto)'tIeU. verticalmente: bacía arritr.l dc:5dc O con un ~
dad wciaJ t.: Hallar la altura mixíma akanuda.
supoaiendo que b resistenáa dd aire es proporcional • la ..-.
r.
•
í
Tómese .. ditución desde O haoa arriba como positiva y dcsí~
por x la distancia de la masa medida a partir de: O. c:n el instante' ~
b
masa aculan dos fuetUL fa fuerza gravitatona
de magrutud '"' y ls, ttSJSdx
lencia de magnitud Kv = K , dirigidas, ambas. haCIa 3~jo. Por tanto.
•
dr
lenien<:lo
en cuenta
masa x aceleración
J.¡¡
dI
Para
1'"
Haciendo
O.
J.¡¡
x »
c" .. C:~-., - 1:
2)
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~
dI
Oy e
X· "'•.
donde
dI
1)
X -
o
rue:n;~ neta.
.. - • -'o
o bien
_.eg - K Intelf3ndo
=
t. Y daivando ahora
una
• _!.
:._lc.,.-U
respecto
v.:7
•
=
Enl()OC:C:S.,
e..
el· (1.. O.
en I} SC' tiene
estas sustinJciones
6.
"o.
2.(&
•
t
f·
- Jr:C; -
ltto)(1
_ (,_tI)
1,,3 IIllura mlixima se alcanza
-
••
In altura
máxima. es
. .0
-c, • !!.. ~.
~ t•
e
.
y
- O. De 2).
cuando"
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Luego
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t:.!.lnt
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o•
.....
%
Una masa In, libre para desplazarse a lo Jargo del eJe ~, es au)ic!a furia d origen coe una fuerza propo~1
a su distancia al origen. Heltar d movimiento a) $.1 se pon( (TI marcha C(I x
'Yo p:l.rt.ic:odo del tepOJO y
SI se
pone en marcha en x :D Xo con una vdocKlad InICial 1'.. akj:lndose dd ongen.
b,
=
Sea
X 1.1.distrmcia
del origen
a la mas;a en el iosunk
l.
o.
Inle¡rando.
1)
2'
a)
""1'1 1--0.
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y
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el
-ke:
v
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sen kt
= O.
...
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kl. Y dc-nnndo
co,
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Pata,
- O. .e ... ~o Y v -
r(l' Entonces.
e: -
;t -
En a) el movimiento
es movimiento
En b) d movimiento
es -armónico
respecto
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el _ o de:
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Uft3 \la
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e, - \'..de: J),
el -
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k
ro/k. y
+ '''0 ces ta.
armónICO :lJmp'c: de amplitud
simpk de amph,ud
y
les,
j~ + k'ro
k
x. y pc:nodo
) periodo
2Jt(k.
u/k.
APLICACIONES
MOVIMIENTO
DE UN SISTEMA
DE LAS ECUACIONES
139
LINEALES
COMPLEJO.
S. Se hu colocado una cadena sobre una cI;¡vija pulid3, colgando. de un lado. 8 dm y. del otro. 12 dm.
H;'I)"'11'el tiempo en que 13 cadena tarda, al resbalar. en caerse
b) si el rozamiento es igual al pese de I dm de cadena.
a' si se prescinde
del r02:Jmiealo
"
y
I
m
":
(1) Sc:e ni la masa total de la cadeea vx 1:) longitud (en dccímtiros) de la cadena que se ha de$hllido
por la clavija en el tiempo t. Al cabo de I segundos hay (8 - x) dm de cadena en un lado y (12 + x)drn
en el otro. El exceso de (4 + 2x) dm en un lado produce una rUCf7.3 desequtltbeadora
de valer
(4
+
2
x)
20'
mg
S
.
e llene. pues,
d'.
.d,·
(4 +
Oc donde
y
u-:O.
[J!
I
5
respecto de t,
VCl,
Para r e ü, ;e=-O
.
~
10
Derivando una
g.x .. 2g.
o bseo
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1. x
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1.
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2.
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(Aqui se considera la miz cuadrada positiva ya
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O.
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Luego C, ~ -
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x aumenta con
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•
dx
¡;
de donde-
Para
e -r,ilo, _
"'le'
Multiplk"dndo la ecuación por ~; e integrando se tiene
10
Para
-- e le r,ilo,
x
Cuando se han deslizado x - 8 dm por la
Svlu(';Qn
In 2.
y
o bien
ln(z
l.)
~ .. 4.z
* 2 .. vz·
x",
ln
c,.
) +
2+~
como antes.
2
(2. • 3)g.
d"
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Mu ltinli
hphcan d o por dx.
di e mtegranuc
Para
Entonces,
t
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y
11
S(
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el
:0.
y
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APLICACIONES
140
P!.f¡¡1
(
•
o.
x
P-.,. .c • l.
6.
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o.
I
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Luego
(lo
VI
DE LAS ECUACIONES
e, • - ~-¡
f!)n
,~
In 19·
.v'22
LINEALES
P!
t.
2
ln -(x.
3
oc,
3
Un .bllono le da:hu ssn roamtc:nlo I lo tarJO de um. "l·
nlll recta dt mau dcsprceiable cuando a. Vlrllla ,.,.. con
yclocidld .naullr conSUl,ntc t.(J alrededor de su punlO me-dio O. Determinar d movimienlo ti) si el abalorto 01' ¡ni'
C1il'~lcnle en reposo en O y b) $1cl ab.'dono ellÚ. in~..almcnlc
en O mOv1!ndosc con velocidad tl2w.
El oblllorio está a ,Y unidades de O en e'lnstante t. Sobn: 61 "CH)an dos fucru&!i, 1) gravedad y
In (venA centrtfUli mwJ,v que aCtúa a lo largo de lit wrilla dir1&léndose
tUtCU' .fuen de O. Cuando la "arilla haya girado un An¡ulo
(lit. la componen le de la fuerza de &I'awd~d • lo 'ariO de
11 varilla Icndr¡ por magnitud ~ sen WI. estando dl"&ida h¡clu O. Lue&O
11,
.-
•
Inlf1'1ndo
d',
dI...
dI'
dI'
1)
i
__
.....
_&.5l':nwt
•
6
2)
I,l Paru t .0.
EnlOl'\oCts.
x
-o
y
el" c~• o
v =ü,
de
e," -c? : - ~
1),
• _ JL
Sh
2w'
It,
Para t • O• .c'" O
y
ti:
g/2t.J.
el-c,.o,
Ct-C,·o.
y
,
40Il
..
,.~2
sene r,
~
.
RESORTES.
7.
Un resorte. para el
supcnor. Al extremo
el siitema se tira de
curir el movimiento
que k _ 48 kgtdm. eudp
Yerta:lmen1e 1e,uendo fijo su extremo
inferior se sujeta una mua que pc$I 16 k,. Un. ve%.en equilibrio
la masa h.ac'¡a abajo haciéndola despllur 1/6 dm y se saetta. Disresultante de la masa despreciandO l. resiStencia del aire.
Tómese el origen en el «n1(O de gravedad
librio
en el
nltud
I csla
del sittema. y sea .r , positivo si se mide
de la mllt..a una vez conseguido el equi:.b:ljo. el delílf)1JTJlmicnlode la masa
haCia
tjempo l. Cuando la masa está en equilibrio la ruer'la del resorte es igual en mag• IJI fueru de gravedad. pero de sentídc opuesto, La (uena neta en el iOS(l'tnte
ruena del resorte -k~'(correspondiente al dC$pl:t~3mjenlo x de la masa. Se tiene.
putl.
,..
- 48,1
de donde
I
9Gx •
O. tomando el valor hipo1ético,
-
32 dm,/scgl•
ArLICAClONES
J9ó
Inltlf'lndo • .'r - CI sen
Orrivando
("uando
una
VCl
rCipcclo de
O•• '( - ~ y
I _
I ..
eJ
DE LAS ECUACIONES UNEALES
../96/.
COI
1, r
~; -
esto representa un movlmlcnlo
(OS
e, - ~. C
O entonces.
'1 -
.j96 (C,
.f9i, 1s «
O.
I
tren
el
I
6 <os
...f96,).
J% t.
arménico simple. El perlodu c~ ~" seg, lit frecuencia es ~
c.elo.lscl y
v%
2.
I
li, amphlud es: {; dm.
..
RhOlvCf el Problema 7 SI el mecHo o(rett unlll resistenei3. 'k,) ¡,ual • o) ri64 y h) 64('. donde
It
se C"prc$I cn
dm/.. ,
16 (/'x
"1 Aqul -
-
- -4S. _.
1: dI'
d"x
I ,1.'(
•
64 lit
dI}
I
+ ñ O + 96~<.
(O'
Ot-nnndo una vez rtSp«Io ck
d..
;¡; Cuando
CO$
9.81 +
,1, <1
96." - O. Empleando
la notación
D.
e, 'C'n
9.8'1.
l.
r - , ••.• " .. ((9.8e, - O.OI56C,)cos
t - O. r - O y.'
11.(
+ 9.811](D - (-0.0156 - 9.8i1)x - O.
[O - (-o.olS6
\ _ ,.-G.ClJ~"(C,
I
+ 32
9.8<- (9.le, + 0.01 56C,)5<n 9.8<).
- 1/6. Entonce s, e, - 1/6. O - 9.le, - 0.0156C,. Y e, - 0.OOO26S.
Luego
,T.
(O-n,QUiN(~COS
9.81'" O.00026S sen 9.S,).
9.8
E~lo representa un movimknto osc:,lltono amortiguado. NÓIHe que l. frecuencia = 21t - 1.56 c:idO$/IC"
se ClonSCf'\'a_
constante durante d mo~'m.c:nlo. mic:oltaS qUt" la amplitud M cada ord.ación
«dente
a QUsa del f..aor
de amon'&\I:am.cnlo
,UamJCnlO es l. Será 2/l cuando ,..... OUttr
O sea. después de
h )
I
= 10
,.- .... ,.., En d InJlanlc
2/3,
o sea. dc$poi:s de
I -
, _ O la mapilud
es mrnor que la peedel (actor de: amortl'
26 se&- Será Ifl cuando
t>",O•• I) ..
-
1/).
SC'g.
' 16 d1x
(1.'1(
Aqul - -r. ...-48.\' - 64 _.
32 ar
d,
(D' + 1280
de donde
+ %}<
_ O.
Integrando.
Denvando
Cl•
una vea respecto
Cuando, = O. x - 1[6 Y
-0.001, Y
de "
It -
O. Enlonoes.
e,
+ C-: - 1{6. -0,76<", - 127.24C: = O.
el -
0.166.
El movimiento no es vibratcrie. Después del dcspla:tamicnto inicial, Iu.m~~ se mueve despacio hKti la
,ición de equilibrio a medida que t uumenul.
ee-
142
9.
APUCACIONES
DE L'S ECUACIONES
LINtALES
Resohw d Problema 8D si. Idotmú. al $Opoot del resorte se k da un ¡no..
vsmeeto J' - C0 4, dm.
/
1..1-..,.--
Tómese cl erigen como en el Problema 8 y sea x el desplazamiento
de la masa después de t $es.und()~ Conlo puede verse en 13figura. (1 alargamiemo del resorte es (.1' - r) y 111fuerza del resorte es -481x - ,,) _
-48(~ - cos 4/) kg. Por 11II1Iú.
de donde
Integrando.
t'
X"
=r
Derivando una
,,=
G,fl'''(C1
CQS
".0'.'"((.',
COS9.81
9.81
+ C2
sen 9.81) + D:
+
sen
el
x ..
+ 0.0019 sen
9.8/)
_ o.olS6C,)C;o,
9.81 - (9.BC,
+
-=
+ 96
D~2
4t
+
cos
1.2
41
C()$
4/.
respecto de t,
\'C"Z
,-o··""'[(Q.8C,
Cuando,
+
+ 0.0156(-'1><"
0.0076 ('os
4,8 SC'n 4[.
41 -
O. r - O )' y - 1 + 1J6 = 716. EnlOnct'S CI - -1/)0,
f"-·...,..(-O.O)))
9.81)
el
=
-0.0008. y
eos 9.81 - 0.0008 sen 9.81) ... 0.0019 sen 41 + 1.2 ros 4,.
El movimiento COnst3 de un movimiento arméejcc amortiauado
que gradualmente se: desvanece ((enómeno
transitorio) y un movimiento arménico que permanece (fenómeno ee régimen permanente). Al cabo de cK:rto
tiempo el único movimiento efectivo es el del régimen permanente. Estas oscilaciones del régimen permanente
tendrán un periodo 'i un:. frecuencia iguales a los de I~ (unción de fcrzumiento .v = ces 4/. a saber. un periodo
de 21f/4 .. 1.51 ses 'i I,Jnu frecuenda dé 4/21t • 0.631 eiclos¡'~8,
La amplitud es JrO.OOI9}1
=
+ (1.2)'
1.2 dm.
de 2.5 cm por haber suspen(hdo de él una OUS3de 20 kg. Al extremo
= 4(sen 2t + COS2,,) dm. 'lallar la ecuación del mOVlmM:nlO pres-
JO. Un resorte experirnenta un allrpmienlo
superior del resorte se le da un tnO\·,ml(':llto y
cindioendo de la. rtSislencia del 3irt'
Tómese d origen en el centro de gravedad de la tr\aSól cuando csti en reposo. Sta x eí desplazamlCftto de la
masa en el tiempo l. La v:anooón de longitud del resorte es (.,. - ,v).I:t constante del resorte: es 20/0.25 - 80 k,/dm
y la fuerza nela del resorte C$ -W(~ - J'). Se tiene. pues.
20 J2X
32 di! ... -80(x - 4 sen 21
x""'
Integrando.
~omdo
una
el
\'tt
r =
4
(OS
r..;o
<k
rr$pCao
r..;o
-"¡I~OCI
Luego 4
=
Por tanto.
x -
12S
-31 • CI
-0,13
•
-,f ... 128x
at
12$
31 (loen 2,
+ COS
-- 5J2(scn 21 + eos 2/'.
21).
l.
-
- O. s - 4 ., r' • O.
+
~
C2 sen '-"128 {..
sen JIZ8t
Cuando'
•
C.
+
CO¡¡ ,,1281
¿l.'.:
de donde
2/)
r,;;
-0.129;
<.~O$ j128,
~
+ .,¡ll.8C1
Y ,,128
-
Q.73 sen
el
I
CO$
,,/128/'"
256
• O. el
31
256
I-Sl:n 21 +C'OS lI)31
--
-0,130.
ji2R, + 4.13(54.:n 21 + éOS 211.
APLICACIONES
11.
DE I.AS ECUACIONES
LINEALES
143
Una m3S3 de 64 kg se suspende de un resorte para el que k_50 kgtdm. con lo que se interrumpe d estado de
reposo en que se encontraba. Hallar Jo posicior de la masa al cabo de un tiempo I si se "plica al sistema una
fuerza igual a 4 sen 2,.
Tómese el origen en el centro de gravedad de' la masa cuando está en repese. La ecuación de movimiento
será
d},'
o bren
Integrando.
Derivando
s
= el
ces 51 +
una vez respecto
de
el
l.
= 2 sen
+
25x
SI
+ - ces
d/~
2,.
?
sen Sr
l'
=
+..:....
21
-se!
sen 2/.
sen 51 +
se! ces
4
2/.
21
Empleando
las. condiciones iniciales x =
:0:
E.]
=
o. ,,'•
O Cuando
I
= O. el
= O.
el =
4
-105
)'
-0.038 sen 51 + 0.095 sen 2,.
desplazamiento es aqui Ia suma <llgebraica de dos desplazamientos arménicos de periodos
d~.,('F(7J/C'S.
12. Al suspender una masa de 16 kg de un resorte para el que k = 48 kgldm se interrumpe SUestado de reposo.
Hallar el movimiento de la masa si al soporte del resorte se le imprime un movimiento l' = sen ...(i;. , dm.
Tómese el origen c:n el centro de gravedad de 13 masa cuando está en reposo Ji represéntese por x el despb¡.
zarnicmo de la masa en el tiempo t.
El alargamiento del resorte es (x - y) )' la fuerza del resorte es -48(x - y). Se tiene. pues.
- 48(x
Integrando
-
sen 'I'3g ()
o bien
C,
sen
v3g
t
-
;
tI3C
Emplealldo las condicicncs ioiciales s - O. l' _ O cuando 1-=0.
t
el
ces
13¡
t.
= O. e:t = t
y
El primer término representa un movimiento armómco simple mientras que el segundo representa un mevimicnto vibratorio COn amplitud creciente (debido al factor 1). Cuando 1 aumenta. la amplitud de la oscilación
aumenta. hasta que se produce una avería mecánica.
13.
Una bcya cillndrica de 2 dm de diámetro está en un liquido (densidad 62.4 kg/dm.\)
de modo que su eje permanece vertical. Se ha observado que si se empuja suavemente 't se suelta tiene un periodo de vibración de 2 seg. Hallar el peso del
cilindro.
Tómese el origen en la intersección del eje del cítiodro y la $uper(.c5edel
liquido cuando la boya cstá en equilibrio. y considérese OOIUO
positivo el sentido hacia abajo.
Sea x (dm) el desptazamierno de la boya en el tiempo l. Se sabe. principio
de Arquímedes, que un cuerpo somergído. parcial o totalmente. en un 8uido
experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del Buido que desaloja. Luego
la variación correspondiente en 13 fuerza de Rotación es 62.4;:(1fx y
donde W (kg) es el peso de la boya y se toma como valor de g. 32.2 Oll'l/segl.
APLICACIONES
144
Inte,rondo.
e,
••
IiCn 12009"/~
I.AS ECUACIONES
t
I
(:,
tOO
20(W/a'>09
2:rt
Con el periodo e$
oe
•
LINEAL6S
12009",",' t
2.
Ir.
•
2009
12009n/W
• 640 k(;.
•
CABLE SUSPENDIOO.
14. Determinar la (orma que adopCa un cable uniforme. suspendido de Sus dos
extremos. y sometido
de lonc;itud.
únicamente
a la acción de Su propio ~o.
Ul
kg/m
Elijansc: los ejes coordenados como en la Agurtl, con ti origen en el
punto mil...~jo del cable, Consideres<: la pal'1t entre O y un punto Vltriablc:
P(x, y). Est3 parte está en equílibrio bajo la aeclén de 1) una ruerza hontontal de magnitud H aplicada ti' O. 2) la tenslén Talo 13r80 de la tangente en P y 3) el peso IV de OP.
Como OP está en equilibrio. las fuerzas que actúan horizontalmente
h3cia la de~ha deben ¡guaJar, en magnitud. a las fuerzas que actúan horizontalmente hacia la izquierda. y también rus fuerzas Que actúan verticalmente hacia arriba han de igu.alar a las que actúan verticalmente hacia
"
abajo.
¡
Il.
Por tamo.
T ces
e .. 11.
Ahora bien, Hes constante.
de OP. Luego
;
TscnS.If,
debiéndose
d'y
d.<?
••~
Pina resolver la anterior
Integrando
=<
Sh
/Id.<
escríbase d_" _ p y se obtiene
dx
<!E. •
! ¡¡-;;;
d.<
11
Il'
-¡¡ x dx
y
=
o. p
~
11
y
H
¡¡-:-p'
'! dx.
H
_ O y x .. s, l' = p.
%
-( eh
•
....iL_
d. donde
p
entre los limites .v
•
W = es. donde s es la longitud
• d,
1 dtt'
entre 10$ limites x =
dy
a 111parte OQ del cable, mientras
11 d.<
ecuación,
"'8 Sh p
Integrando
•
Ig 9 = d_l • If
_.
d.<
11
y
•
11
%
-
Sh
~ x,
11
= O, y
= O y s: _ x, )' ..
1),
una. catenaria
j',
Si se hubiese tomado el origen ti una diM<lncia H/~~por debajo del punto mas bajo del cable (con Jo que
H/w seria la ordenada en c:-I origen de 1:3CUM. es decir, el segmento interceptado en el eje)' por la curva) la
ecuación de la CUrva hubiese sido
1
APLiCACIONES
DE LAS ECUACIONES
145
LINEALES
VIGAS HORIZONTALES.
IS.
Una Viga horizontal
de 21 m('tI'OS de longitud está apoyada
en sus extremos,
Hallar la ecuación de: su curva eíés-
rica y su máxima deformación vertical (flecha) cuando tiene una carga uniformemente distribuida
de w kg/m.
z
l>:__J\:p<z,y) \
=1
-
pO
y'-O
".
.1
%
.1
Tómese el origen en el extremo -izqulerdO de la viga
las coordenadas de P. un ponto coalquiera de la curva
Considérese el segmente OP de la viga. Eo él se tiene
0, ax metros de P. y la carga wx kg en el punto medio
se puede. escribir
con el eje x horizontal como en la figura. Sean (x. y)
elástica,
un empuje vertical hacia arriba (reacción) de IDI kg en
de OP. a
metros de P. y como El tf1yldJil - .!tI.
i'x
2
El d y
dx'
1)
Solucwn 1,
Integrando
En el punto
1) una
..ez
.
=
El dy
dx
de la viga x _/
medio
... l~ _ :n(;x)
u,Lx _ 211:1X~.
$
~ Wd;t2 _ ! wx:'
2
6
:
)' dyfclx - O. Entonces.
.. el'
I
I
el _ --;:wJ' y
>
2)
S
Ietegraodc
Ely
2).
••
3)
]
Jntegrondo 1) dos veces.
Sotución 1.
= )' = O. mícmras
En 0.;(
y el =
1
-'3 x/'\, como
Ely
•
! .u~- 2.
6
111%"
..
24
Cl,,z .. C,¡.
que en R .. '( = 2/. Y = O. 'V oon estas condiciones
de los limites se obtiene
antes.
La flecha de la viga a una distancia x de O es-tá dada por
medio de la viga (x = /) Y es, según se puede deducir <k 3),
__
w_(4t,"
_
-y. La
flecha máxima
tiene lugar el) el punto
¿'l _ 8(')
24 El
16.
Resolver el Problema lS si 3C.tU
a. además. una carga de W kg en medio de la viga.
Ii •
0<
e2 = O
%
el
146
APUCACIONES
DE LAS ECUACIONES
LINEALES
Elíj.uc d sistema de coordenadas como en el Ptoblcm. I S. Como las fuerzas que actúa.o sotfto UD SCaaxo.
lO OP de la viga dific:ren según que P esté a la izquierda O I la detu:ba ód PUDIO medio. bay que <:OOACknr
dos_
CUaodo O < x < l. las lUcn>.o qu< octúa • ." OP lOa .... empujo hacia uriba (reacá6a) de (d + !W) q
ee O•• x __
de P. Y la <arIO .,,, qU< ... 60 "abojo en d pcntc modio de OP •• !x _
de P. El
momento de. fIexióo es. por tanto,
1)
(.1 + il)~ - n(¡.z)
11:-
1.&.
••
11& - in1.
q en
Cuando 1 < x < 21 bay una Cucna adicional. l. carIO W
de P. El mOmento de 6exión cs. pues,
2)
M
:
(11ft ..
tl').t -
Ia'.z(;x)
-
"(x -O
•
.1 pun,o modio de la vip. a (K - I)_ros
.Ix
+
Ta.nto ck 1) como de 2) se deduce, para x - J, el va.lor del momento
casos se pueden tratar al mismo tiempo poniendo par2 1)
.lz .. tl%
..lr .. ilf.t.
y par. 2}
-
- i ..
x'
in~
él d y
dx'
•
I
•
~lz _
21i'%' -
.,Lx -
- !f(x- ,)
2
3)
•
p..' ;: lF(I-.)
3) dos veces,
Y tC1ucndo en cuenta
E17 *"
..
!.u' _.!. -s"
S
:u
;r
11'1.
En10notS.
< I Y d inferioT
1. "<l-x)'
¡
..
12
x _y _
O cn O y
x
f
o:
al I < K < 2L
! J'lzf
= O en
1
l
3
-
24
y
y
..
R.
1 1
- - Wl • Entonces.
2
1."'II-xl'
12
... ..!..
12 "'~
12
•
5.... ,.
17. U.. vip borizoout de I meuos de Ioagitud _
cmpo.
&.rada en un extremo y tibee en d ouo. Halbr la ccuac:ióc
de SU curva dá$tic:a y la flecha mix:im:a si la C2rp un ...
re>m>emeftl<
reportid. es .. i(g/rn. [N.t. <1<1tTt>ducu,,,
Las vips de: esle tipo se denominan minsJllas.)
Tómese el oñgc:n en el extremo fijo y sean (x. y) la,
COOrd=ada5 de UD punto P. Con!OOé~ ~I se-¡men,o
PRo La únlca fuerza es el peso u;(t - x) kS en el punto
medio de PRo a 4(1 - x) metros de P. luego
2
Eld y • -w(l-X).'(I_1)
dx'
.(.0.2_0:
dx
Inle¡ra_ndo eX nuevo.
• -i.'(I-x¡'.
Cl:_!.L~
6
y
c.,.
...!. .,)
24él
EnO:
,
e,••
1. I'<I-x)' ,
12
•
•
•
= 21. 7
el.
y
1
Los dos
• ¡lfl
1.
..-
+ !WI.
ilt(I-.l:)" irl
al caso O <
las cood:icio:ocs de: los limlltS
7UZ - r(s - L).
de flexión M _ tw¡l
la- - 211%1: • iW(I-x}
••
con d acuerdo de que d sigoo $Upeñor conupoDde
In1qtaDd.o
t,::.: -
tmegraedo una vez ,
El!!
dx
• .!
S
w(I-1l'
-
El
.!- .,'.
6
dy
d; •
."S
- 6EI'
•
En o:
~
y • O~ Luego
APLICACIONES
oe
e~
foly
..!.
lAS
.
w lit.
24
ECUACIONES
I
.,el-.r)
24
.
LINEALES
11
- -
I
G
-,-.,l
147
I
JI
..
I
24'
-.,
•
)
r •
StCndo en R (x - 1) 1... mJalma deformaCIón vertical. se tiene .. y.:lx
de un mlnlmo relativo como en el Prcblema
valoO;Sx:Ó/.
•
16. sino de un mínimo absoluto que ocurre en un extremo del ínter-
18. Sea unA rMMula de 31 mc11'O!lde longitud. cuyaJ carps
cargas de IV kg aplicada.s cad:ll una en 1M puntos
de la curva elástica y la necha máxima.
son UM c:up
Que distan
uniformemente rcpa.rtit;b ck lO k&lm y dos
/ y 2/ metros del extremo fijo. Hallar la ecuación
:J---.----+---,(3I-.j-1----21-> ---1--1
11'
TómeK el origen en el extreme empotrado y sean (x, y) las coordenadas de un punto P. Hay lres CilSO$ a
coMiderar k&Ul'l que P esté en d loler\'sJo (O < x < 1). (/ < x < 21) o bien (2/ < x < 3/). En cada caso se uo·
l:i:z:ari d sepncnto de la derecha de la Vlp pan. c:alcubr los ttes I'D()(I)et1tos. ee tkxión.
Cl.U1.ndO O < x < l (P _ PI ec la figura). hay U'e$ (uenas actuando en PI R: ti peso (31 - x)NJ ka considera·
do ene! punto medio de P,R, a !(31- .\")metro!! de Pt; 13 carg..'l W kg. a el - x) mt'lrO$dc Pl' y la c::arp Wq. a
(21- x) metros de P,. El momento de flexión rt$-J)OCtOde p. es
•
y
El!.1
dx'
•
_ ,Il>Cll-x)'
- W(l-x)
el • - ~ .1'
-
... W(21-x).
Inlesrando.
En O: x. O
y
dr/dx. O:
El ~
",,8
a
ti,. • - ~
En O:
1.Y·O;
luego
luego
! ..(3!-x)~
.(31-.1)"
.. !W(l_1)2
2
-
TI
e, ~ _»-l
8
¡
.(l_~)'
~
..
3
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-It',
2
% ,,',
.. ~W(2'_x)1_
2
-
¡
~wIJ
22
1'(21-..)' - ~ .1))(
y
... ~It'l'.
-
i.,,'2:%
a
c..
148
APLICACIONES
DE LAS ECUACIONES
LlSEALES
~'1'
2
•
1< " < 21 (1'
C'uando
1', en 13. figura). d momento de: ftcx.tón ~o
_ ,.,(3'-x)' -
jI•
El ~
,~')
"y
Cuando x - l.
qlX
e, -
$)
y A)
w(3l-"t
2"
Cuando 2/ < .v < 31 (p.
-
.(2~-,li).
_ "(21_r).
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»(2'
6
ct.sr d mJ$l'110v:úof
."nI0
-,6)'
'n((&r.andodos~'(Ctswoblt(nt
• ~:a
c..
•
para la ftccha como
p;:lt3 la.
penebnUc
do
b'
por lo
escnw:
Se puede. pues.
-1. ..(31_1.)·
f/y
HI
- ;w(3l_,.)1
'
2.
IKIXn qur:
y C.. - ej.
CI
•
..- ~
y
de P, es
_ !Jt(21_a)~_
6
~.')A._~rf2
:2
2
....
21.,".
8
~"').
2
p) en la figura}. el momeete de flatÓn respecto de P, es
,
El J y
y
tinlOncc:s.
<Lx'
•
el
Uy
I
•
- -.(3
2'
1'- que. cuando
le -
CJ ..
A~ 8).
21.
1
•
_A' • ~ '(,,,.1,
tt(OC'
e."
o:-
qUC' mincidir con B) ~nlo
p<ICd<n .,..iltu
,.,.
ta ftccha como para la peDdaec.rc.
... b forma
o ~ .. ~ t.
y
•
-
Ir,
(x
...
61:1
61...
,
.. 31
'1
lo
,
A.
I ).
¡.
21
La tIccba rnhuna. que IICK hlp, m R (x
= 3/).
C$
-y ..".-
Nótese qut: la cun"J;dUla esd fonnad:it por- a.n:os de: 1m
$U pun¡o de unión es ti misma •
aHYU
< ;r ~
I
•
-(81.1 •
1~,,~21.
31.
,,1"' ).
,
81:1
distintas; b pendientt« c:acb par de at·
ces tn
• ,.
Una ~tlga horizontal de 'InetrO$ de longitud esta empotrada en ambos extremes.
elástica )' la flecha máx.iJlUl. si llene una carga uniformemente
dlJtnbuMla <k
Hallar la: c:roactón de la eurva
tglm.
JI)
•
p
T6Tne$1!d oneen ~n el CXH'emo de I.a izquierda de la v1ga )' .sa P un punto de coordc:nadu
las fuerzas exteriores que KtUan en el segmento O, soo un par de mommto dc:scooocido
porramsento en la pared. cuyo efecto es el de conservar horizontal la
en O: una reaccaón.
hacia arriba.. de 1",/ tg en O. u s metros de P. y la carla wx kS que xtúa hacia abajo en
"'g;!
de OP. a
!x
metros de P. Se puede. pues. escribir:
ú.) ~
K dc:btdo al emcmpu)C vertICal
el punlO medio
-
"'P~ICACIONES
DE
~s
ECUACIONES
149
~INEAlES
d'
-f .
El
IntetJ3ndo una
\'CZ )'
cmpklndo
dor
K •
1.4 - 1.. •.
..
.~ - O. J}'/dx - O en O. tI ~
En R: x = 1, dy/d.y _ O )'1 que la viga C'SI.;í.empotrada
K • Integrando
y empleando
Y
JI
12I IIIl •.
en CM: punlo.
y
O en O.
y
10.
Resolver
c:I Problema
Entonces.
19 s. adCJ11i$ ¡cilla
..'
__
1
(24_1
t
-x 2 l.
2< el
un peso W kg en el punlo
medio de la
Viga •
•
Empleando
el sistema WOf'denado
del Problema
19 hay dos casos
considerar:
It
y desck x = ;' hasta x _ 1,
oesde
s-
O
boa". :t •
11
y.
hra O < y <- ji las fuen:as e...tenorcs que actúan $Ob(e d sqmcnlo de la ItqUterda de: PI (.r.
son: un par
ck mornml0 óescooocido K en O: un ftnpuje lucia arriba, rc:aD:16n. de
T W) k& ea O. a x metros de PI'
r la carga Kl,a: kg.. Ji !:t metJ"OJ de
PO( lanlO.
le...,
'1'
Integrando
una vez '1 ernpleande
x ... O. dyjdx
= Q en
O.
A')
tmegraede y empleando
Al
T •
El,.
Para !I < s < / hay además
)'
•
_
O en O.
1,151".,
+ -.~
2
12
- ~
-
-
2<
WI
..
-
12
el peso W kg en el punto modtO de la vip.
1'...
a (x - !/) metros de P,. l.uceo.
Jntegr ..ndo den veces.
ISO
APLICACIONES
8')
EIT
e
!Xx'
•
2
2..
12
DE LAS ECUACIONES
_Lx' -
LINEALES
1._ ... ...!.. .... ' - ! "(x
24
Parax
- JI los valores de f )'drfd., deducidos
deducidos de 11). POI tanlO. ('¡ -
12
6
... il)'
•
de: 8') deben colI'K~ldjr. resp:crivamentc:.
e, _ o y
c..l .. c,.
tos
con
coflUpOndltnles
Bl
Paca determinar
l/. áyjdx =
/( h.ága~e v -
O en A '), ~nlonco:.
x._..!.. .. ,,_!
y
12
8
..l.
SUShtU)tndo en
A' r BL
El]
---e2""
]
...1. .,,2 ..2
El]
•
•
12
_W_(2'",'
24 El
_
,S'.)
wl.x'
,2,x2
w
,
,
• 48El eu - ,1. ).
1
- 2.
_ z·)
.,, ,
, ..L..el'
48 &1
... fSl'x
__
21.
0<
~
Je"
il.
r ~
1
...!. .It:r' - -lI'ex-tL)
12
6
la tkc:ha mbima. que tiene lupr en d punto maho. es -'1
.,
,
..!..
24
r
•
l',rt _
-
2. El
,
W",'
- !.
16
9"" _ ... ').
~ __
1
384 El
i1
~
.1
y
• l.
(
•
,
(.1 ..21" ).
Una VJga boritootal de I MeltOS de ton&J1ud está empotrada en un extreme y apoyada en d otro. al Hallaf la «U3ci6n de: la Curva c:lasuca ji La v_ .... tjene una carga. uniforme w k&fm '1 soporta un peso de W k8 en el P\II'HOmedio. b} Averiguar
el punto
de necha máxima
cuando
1-
JO Y IV
10tl".
s
Tómese el ongcn en el c:JtII'(1UUempotrado
y sea P un punto de coordenadas
(x,}').
Hay dO$ C:lSO$a con.
stdcr:tr.
Para O < x < !/1::u (ucrt.:l$ exteriores que actúan en el sqmento
PI R son: una reacción. empuje hX1~ Itri.
desconocida S leS en R•• (/metros de PI: Ja carp ,.;{I
XI kg en el punto medw de PIR •• JV _ x)
melros de PI' y JV ka.. a (4/- x) f'ndros de PI> Lur¡o •
.-r,
N.
El :;
Integrando
•
•
5(1-.) -
- wei(-z)
.(I-.)·;(I-x)
una vez y lomando
10$ vstcres
x
= O, d)'/rJx _
• $(I-x) - *,"(1_.)' _
O en O,
'ell-.l.
APliCACIONES
InlC',nndo
o en
de nuevo '1 Ullh/..lndO \
.
Uy.
A)
DE ~AS F.CUACIONCS LlNIlA~I.s
O•
l.
)
t
,,1
,
1.'
1,1.2
-S(I-x'
- _wll_.) - -.1;1-.1) • I-.~I - -.1 -
6
2.
6
2
6
8
,,).
P.lra 11 < x < 1 las (\ICr-t(lS que .iC~O""1en 'lR son el empuJe dcxonocldo
'Y 11, c:UIiltl lAi(/- ,r} k8. a 1{1 - x) nletros de P1• Luego
J'
1.1 ~
•
J.'
ISI
S{l
-x)
1
t
S
..
1,
- -.~I • -.1 • -., .
6
2.
S en R.
-
!l
••
ti -
x) metro. de P,
y
8')
1/,.,. valo res
P... , _
el< El,
vlllOfClJde las connllnto
B)
y
dr
F.I 11, dados por A) Y 8') <kbcn co,"od..
correspondientes
De aqul que
de: Int("¡ración hallada'" .1 dc1crmuuu A).
e, ye,
pOI
ee
8')
,mpn
1""
tanto, 8') com:t 1I rorma
f./y
Para determinar S, ullllcc:~ \'
I~
l."
Haciendo este SUS111UClón
en
U/.
,
1
__
•• tl
,
(~lx
tt
- 31 ..
-
O (\!lllorescorr~lipoodtel"C'1l en el punto R) en 8); entOfloe.fi.S.
!..'/
y 8).
A)
l'
)
,
--(11...- - 9t.,K l.
96 El
"
2..)
O<x<j;I
·
I
•
~
•
&1á 010.\1'0
que la Ilccbu IU;\ll.lma se presenta a 1:.derecha del flUnto mcdiu de la viga. Cuando 1- 10. W • IOtr.
la última ecuación se conviene en
y
•
• 25:t' .. 450x'1 - 6000.. ' 10000).
_"_<_2l"
~81:1
dI'
Como 4.'(
O en el pun10 de: ftecha IH,á):ima. se r~lvcrÁ
8KJ
liS OC'Uac:ión
_ 15_..2 _ 900% .. 0000
• O
TtC'nc la rait.!nl x _ 5.6. Ipro."Clmadamcn1c. As¡. pees, la fkch .. mÚlma se PftslttlUl en d punto <¡IX c:.ai a S.6
metros. aproximad3mcnlc. del e.'remo empotrado.
CI RCUITOS
12.
ELECTRICOS.
Un círcuuo eléctrico consta de una mductancia de 0, I benncs. unu resl)ICIlCi:¡de 20 obrmos y un condensador
cuya capacidad es de 2S mictofntndi()$ (J mscrotaradio = 10-11 (:u-:,di~). lI:allar I~ carga q y la ecmerue I en el
tiempo l. siendo las condicionrs inlcmlcs
q .. 0.05 cuíombioe, ¡ ...
dq/ót _ O para I = O. b) q
0,05 eulorntnos. ¡_ - 0.2 amperios par.ll.
C=2SxIO
f
O.
a'
Como L = 0.1
R"
3).
C.
...
25'10-'.
E(e),.
o.
,
í.
d q
~
d,'
se reduce: a
d'q
dr2
C
d
+ 200 _!{
dr
•
•
400.000q
E(.)
:
O.
R .. 20
Ohmto~
••
152
APLICACIONES
Derivando
una vez con respecto
i = dq
=
dI
a)
a
las condiciones
Por tanto.
q
=-=
Empleando
1).
para
= O. A
I
= O.OS y B
-0.2
COS 624.51
que q t i son funciones
= -0.2
j
para
f
= O. A
= 0.05
Y 8
= 0.0077.
- 32.0 sen 624.5/),
transitonas.
haciéndose
despreciables:
Un circuito consta de una inductancia de 0.05 henrios, una resistencia de
y 1,11)3
q =- O.
20 ohmios. un condensador cuy-a capacidad es de 100 microfaradios
Le.m. de E_lOO
vcltics. Hallar ¡y q siendo las condiciones iniciales
i-O para 1=0.
d~q
Aqui
d'lq
dI'
de donde
dq
+ 400 di
Integrando.
e=
Derivando
una vez. respecto
= 200..-1·~[(_A
+
0,01.
de t,
+ 2B) cos
400, + (- 8 - 2A) sen 400'].
A
iniciales:
=
-0.4)1.
-A + 28 = O. y 8
COSo4001 - 0.005 sen
q'" ('-200'(_0.Of
Bntcnces.
eolOOV
.---11 If---,
. ')
+ 200.000q - .000.
e-2oolCA ces 400, + 8 sen 40(/)
las ccndicioues
en seguida.
q
_ 100
100' 10-<>
dq
",2 + 20 di +
0.05
Empleando
-/39
624.51.
iniciales q = 0,05.
= ('-100'(
l'
',11!:!.
O,OS
= -= = 0,008.
q ... e-'00t(O.05 cos 624.5, + O,001i sen 624.Sn
y
i-
looj:i9 1).
(J39 A + B) sen
("-'"\)llfO.OS cos 624.51 + 0.008 sen 624.51)
las condiciones
Por tanto.
Obsérvese
100.)39
CO' 100J39 1-
A)
iniciales q = 0.05. ¡-O
i =- -O.32e-100tStn
b)
sen
LlNEA,-eS
I
8-
loo..-·.~[(J39
Empleando
y
23.
= e- 1000'(A cOS I ClOv'39 1 + B
q
Integrando,
DE LAS ECUACIONES
4OO/}
=
-0.005:
+ 0.01
y
Aqui i se hace despreciable
lA.
Resolver el Problema
muy pronto
23 suponieodo
mientras que 'J. en todo caso. llega a ser q = 0.01 culombios.
que. hay una Le.m. variable
100 <OS 200,.
E.: 100 000 200(
En este caso la ecuación
diferencial
es
d'q
dq
.
-d' + 400 J + 2OO.000q = 2000 (Os 200/. Entonces.
r:
at
q = ("..:oOfCA
(;OS:
+
i
ECr) =
4001
+ B.sen 400/, +
0.01 cos 2()OI
0.005 sen 2:001
= ,.,OO'[(-200A + 4008)cos
4001
+
- 2 sen 2001 + ces 20(J1.
(-20OR
- 400A) sen 400']
APLICACIONES
Empicando
las coodiccoes
~
,--e
&
OE LAS ECUACIONES
A - -0.01.
irüciaks:
+ 4008
-200.14
+ 0.01
0.01 ces 400, - 0.0075 sen 4QOr)
153
UNEAI.ES
= OY 8
+ I
-
-O.OO7S. Entonct$.
200t + 0.005 sen 200,
<OS
y
, - ('-:OOfr_ro..l: 400r + 5.S sen
2 sen 2001 + ces 2001.
4()()t) -
Aquí las parlo lf3flSJlonas. de q e , se 1'Iacm muy p,onto desp«:ciablt-s. Por CSU razón. si se puodeo ctcsprc..
oar bis panes lnnsilona$
solo es necesane hallar las SOhK'Iones de rqnnen pem'lólJ"ICnte
cos 2001
q .. 0.01
200J2J;:
La frecuencia
aphcada. (V(2sc lamb~
25.
Deducir la fórmula
+ 0.005
sen 200,
t-
y
CM
200' - 2 sen 200,.
c-icJos/sq de las solUCIOnes de rilJlMn pe:rmanerue es ip;Il
C'IProblema 2$.)
par a la corriente
de régimen permanente
:1
b rret\llCnc:ta de b
t.c...m
en el c:a.~o de
un eirceuc que contenga una inductaoc.a 1... una. rcs.&Slencia R.. una capaacbd e y umt Le.m, 8.,)
€o seo UJI.
t.
R
...2(~
Z Z
•
donde
mediante
sen
x: Lw-..!...e..
sen
Wf
X
-
-
Z
E_o
Z
ceswl)
z.~
e· Xz-
y a
scn(lol,l
e).
-
/1
se determina
y
'--_-{."".)-_..J
,
L d q
E .. Eosen.."
• cQ
+
scnwt
dI'
yempk.n<lo
11 d.
dr
1)
La solución
de régimen
(LD'l • RJ) .. Ve)t
permanente
Eo
__ ..="-__
W' • liD
ve
e (iR
ZO
sen
wt -
pedida
es la integral
CO$ w t
•
wEo coa.u.
P3ftK:ul3r de 1):
!alEo
1
COS ""
RO - (Loo - _) ...
o.
X
i
cos
ef
WC)
kn(t.,u
-
e).
x se denon'uf\2 la r",clQJtÑ
del citc:ultO: eual)do X • O. b ampli'lud de: ¡es- múima Cd cimsilO csci rn re·
denominada 1... fm¡x-dwtcio dc:1 circuito. lamb.en es Ja ratón de las amplitudes de la r.e.m. y la ecO se llama el énguto de fase.
sonancia). Z.
rrieere.
En 10$ tiempOS I
por
(lJ1 -
= %(l¡o. 3rt/21D •..•
O _ .. (2. l&{2..
13 r.e.m. alcanza
ma. Asi. pues. 111tensión candllct
I~ corriente
amplitud
0/2+830/2+8
= --_.
--_
.• este es, cuando,
w
.,
m:blma. micotm. que en Jos tiempos dados
_
•... la comet\tt alcanza amplitud mh,a.
por un {iernpo OJru. o sea. la comente. y la tensión cstin deCasadas
un ónguló O.
Obsérvese
que O = O cuando X-O.
esto
es,
IJ • O ii hay monancia.
154
APLICACIONES
DE LAS ECUA.CIONE$ LINEALES
26. Un circuito consta de una Indactancía L. un ccndeesador de capacidad e
y una te.e. 1:; conocida como un oscilador armónico. Hallar '1 e i ccacdc
E = Eo COS wf y 13S condiciones iniciales son q - qo. ¡-l'o para 1 = O.
Como
= O la
R
ecuación- diferencial
Eo
L
es
C
eee er •
Hay dos cases a considerar:
f-
(e) .,
,
(b)'"
rct.
1
A oo. _
q
e)
t
8 sen _1_<
+
rct.
rct.
1
•
A ces --,
rct.
$C,n
-'-(-A
y
rct.
I
Empleando
__
&l
t
foCIAI sen ce ,
l-t.?CL
lCi
A:o
iniciales:
{o)t
1- ~7CI..
+ B cos __1 t) _
(
cos
D' + VCL
• .2sf__ COS
rct.
rct.
las condiciones
t.
B sen -'-(
1
1
f!1
+
y
8 •
./Ci
'o'
Entonces,
~
•
EoC
) ces _1_ t +
1- "?CL
lCi.
q
¡
y
lO
,
rcr
cos --(
se"
_1_ t
+
ICL
-
b) Aquí
~ cos e e ,
L
9
Entonces
y
•
Empleando
Entonces,
y
Obsérvese
cuando
_.
.. A
I
JCi.
destruirá
(11(-
las condiciones
q
•
,
.
COSWl
..
A sen
B senwt
ClH +
iniciales:
A
B coe
=
qo
..
~f)
't
eo t
n.,
senwt
eo
1
+ -(-scn(oJf+(coswl).
2L .,
B.:-
to/w.
90 ces e e ....
que. en b) la Irecuencía
de 13 f.e.m. es la frecuencia
no hay Le.m, El circuito CSl3 en resonancia
natural
puesto que. la reactanca
El
La presencia del término ~
2L
con el tiempo.
CQS (1)1.
del oscilador.
cuya amplitud
aumenta
con
l.
X
=
W -
esto es, la frecuencia
_!.
Cw
=
O cuacdo
(:) ..
india que un circuito de este tipo se
APlICACIONES
DE lAS ECUACIONES W'EAlES
PROBLEMAS
n.
Determinar
PROPUESTOS
In Ik'
k
- (r 'C,)'
x
2:8.
e
! CO$
=
Se
_
1._
X"
24(e
.;¡;¡;
t
+
t
-,¡-;¡;
Si en el Problema 29 k = I1t Y a
do I - 2 seg,
cuándo estará
Ó,
• C,
1:
V
=
:1
t
)
12 p.e¡ :. 36S.76 cm, dceerminar o) la distancia desde O y la velocidad cusn13 pies = 548.64 cm de O y la velocidad que tendrá entonces.
13.15 m. v = 43.S pies/seg = 13.26 mjseg:
= 13.4 p;es/scg = 4.08 miseg
Una cadena colocada sobre una ctavija pulida pende 8 dm de un lado y 10 dm del Otro. Si la fuerza de rozamiento es igu~1 al peso de I dm de cadena. hallar el tiempo que tarda la cadena. al resbalar. en caerse.
Sol.
32.
k)
l sen al
16
5
S"J. o) x _ 45.1 pies
bl I = 0.911 seg,
JI.
-
es
Una partlcul a de masa !tI es repebda de O con una fuerza igual a k. > O veces la distanCia desde O. Si la panícula parte del repose 3 una distancia a de O. hallar su posición I segundos más t~rdt.
•
Sol.
JO.
»
Un péndulo de: !, pie (15.24 cm) de longitud se suelta con una velocidad de 1{2 radiárVses, hacia la ~n.ea.1. desde
una posición determinada
por la distancia de lIS rad respecto de la \·cr1tcal. Hallar la ecuación del movimiento.
.\'·01.
29.
es prepcreicnat a la pendiente de la tangente.
la curva para la que el radio de curvatura
Sill.
155
3
)1l(11 ..
,rg
12.12) seg
Si el interior de dos superñces csfencas concéntricas de radios"
)' ro:. rl < rl, tiene una carga eléctrica. la ecuación diferencial para el poteocial Ven un punto cualquiera entre las dos superficies esféricas y a una distanci a
J'
de
51)
centro común es
. -2 dV
dr't
Resolver
Sol.
l;'
V. siendo
y = vJ cuando
V~r~(r-r~)
- Vlr1(r-,~)
para
=
r
=
•
O•
r dr
r, Y V
Vi cuando
v = r~.
r(r",-I'1)
33.
Se tiene un resorte que se alarga 3 pulgadas (7.62 cm. si se le aplica un peso de 9 libras (4.082 kg). Se suspende
de el un peso de 24 libras 00.886 kg) y Sé interrumpe- el estado de reposo en que se encontraba. Hallar la ccueción del movimiento si una vea suspendido dicho peso
al Se tira hacia abajo 4 pulgadas (JO,16 cm) y se suena despeés.
b) Se tira hacia abajo 2 pulgadas (5.08 cm) y se da una velocidad hacia arriba de 24 pulgadaS/se& (60.96 ctn/$lt8).
e) Se tira hacia abajo 3 pulgadas (7.62 cm) y se da una velocidad hacia 800jO de 48 pulgadas¡'se8 (121.92 cm/ses).
el) Se empuja hacia arriba 3 pulsadas (7.62 cm) )' se soelta después.
t»
Se empuja hacre arriba 4 pulgadas (10.16 cm) y Sé da una velocidad hacia arriba de 60 pulgadasjse-g (JS2,40
em/seg).
Sol.
(1)
x:.
d)
x
~cos
:. -
¡
4v'3
COS
t.
413 r ,
b)
~ :- 1 COS 4v3 ( - >13 sen
"6
I
e ) x » - 3-eos
'6
4v3t
'" t.
4v3
5>13
- __ seo
12
e) x:-
.Y3(
1
-e
4
~
v'3 sen4Yi't.
cce 4v3(+-
3
156
34.
APLICACIONES
OE LAS ECUACIONES
LINEALES
Las earactertsueas de un resorte son tales que se a13'&:I3 pulgadas (7.62 cm. bajo lit acción de un peso de
30 libras (13.608 ki-}. Se: suspende de il un peso de 64 libros C,29.030kg) 'J se interrumpe su estado de reposo. La
resistencia del medio es. n\lInericamenle,
igual a 8 11:'(/JI libras, Hanar la ecuación del mcvunieruc del pese si
a, Comienza a moverse hacia abajo con una velocidad de JO pies/seg (3.048 m/seg).
h. Se lira hacia .baj<> 6 pulgadas 05.24 cm) y se' da una velocidad hacia arriba de 10 ptc$/~g..
5<11.
5.114 e _"
o) x • --
~
sen 2v J4 t.
14
Se tiene un resorte que se alarga 6 pulgadas (15.24 cm) baje la acción de I,In peso de llibr3s (1.361 kg). Se
suspende-de él un peso de 3 ¡ibr"$ y se interrumpe su estado de reposo. Se lira. entonces, bacra abaje del peso
hasta desplazarle 3 pulsadas. y se suelta, Determinar
la ecuación del movimiento SI
J
I
3
a) ACtU3 en el resorte una fuerza fija - sen (u.
S"I, x ces 81 - - sen 8t+:¡scn61
2
4
7
I
I
h) Actúa en el resorte una fuerza tija
sen 8/.
- 41)COS81 + 8 sen 81
Sol. x =
•
¡
36.
Sea una men.<¡ula de
fongitud 1 m (viga empotrada en un extremo y libre en el oaroj. Hallar la ecuación de
la curva eláSliclt y la "echa máxima si hay una carga uniforme de w kg/1U y una ~.ug:o de W leg en el extremo libre .
Sol.
37.
4"
..
")
12"
--(41~ -61:t
y'
_1
)
<t-
24fT
Ir
6El
_(X
5
2
-3L:c ),
Una viga de 21 m de longitud está apoyada en ambos extremos y tiene una car.ga uniforme de u' kgfm. Tómese:
el origen en el punto medio (punto más bajo) de. la viga)' hálJes.e la ecuación de f3 C\.IrV3 elástica y de la
fte<:ru. máxima. Compárese con el Problema 15.
y
38.
y' " O para
x
t
o.
Una viga de 3/ m de Icngitud está apoyada en ambos extremos. Hay una carga uniforme de 10 kg,fm y cargas
concentradas de 1ft kg a una distancia de I ro de cede extremo. Tomando el origen como en el Problema 31.
bállese 1:1 ñecha máx.ima.
.
SugttcrK'm:M
S1).1
39.
y"
~ 912
2(T - x
:
I
1.nx = -384El
31
2
) + K{-r
y
- x),
l' + 368"··Z,)
(405.
Un circuito C<lR&t3 de: una inductancia de O.OSbenrios. una resistencia de 5 ohmios y un condensador de 4(10,-,¡
faradios de capacidad. Si q = ¡ = O para 1 = O. hallar q e r en fuacién de I cuando o) hay una Le.m. ccnsrame
110 voltios. h) hay una f.e.rn. al lema = 200 COS 1001, Hallar las soluciones de: régimen permanente en b,.
=
5<11.
a)
9
,
b ) q :- e
«l.
_~r.
250
-,..
Resolver el Problema
b)
11
(- -tOS
16
(- -tOS
170
l11i'i
SO¡¡;, - --
4150
=
SOv19l-
39 después de sustituir
(} = -0.OI8('-"'~
12.r¡¡¡
-sen SOv19t)
1615
11
+ _.
i:
250
44119
•
+ 170(4 ces loor
seo 1001 + 0.014
cos JOOI - 1.38 se-n
l'OS
1001
('_~t
sen 5ovi9r
19
la resiStencia de 5 ohmios por una resistencia
+ 0.005,-9"" + 0.034
i = O.9'8t--.s1• - 4,4,k·.,41. + 3.45
seo ~oli9t)
100/.
sen
100t).
de 50 ohmios.
CAPITULO 21
Sistemas de ecuaciones lineales simultáneas
EN LOS ANTERIORES CAPITULOS se han estudiado ecuaciones difereociaíes que 'lOlo eonuenen dos variables. En éste y en próximos capítulos se considerarán ecuaciones en f.as que Inter.
vienen más de dos variables. Si una de las variables es lnckpcncbt:nt.e., bs ecuac:ioOC$soo ecua.
<iones diferenciales ordinanas; si so. independientes mis -amables, las eeuaciooco se 1Wn.t.D
ecuaciones diferenciales entre d.rivadas parciales. En este capitulo se estudiasán sutemU do ecua.
cienes diferenciales lincaJes ordinarias con coeficientes COIUtQlt/'~ tales como
2~
dt
•
A)
{
o bien Al)
di
2(l) - 2).
{
' (1) - tI)' • "
(0·31.'
y
O.
donde O •
dt
!.
01,
.
)
y
O,
s)
o bien B')
.1
-
dr
.u
_
Jt
t
II
1
- (0-11' • 1
(0'2).
{
4
• (OollJ' •
(D .. 2),,:-
(0.1)1·
O
Y .. 2t • O
En estos sistemas el número de ecuaciones simultáneas es igual al número de variables dependientes,
EL PROCEDIMIENTO BASICO para resolver un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinaria,scon n variables depeodiemes consiste en obtener. derivando las ecuaciones d..ac:las. un coojunro
en el que se puedan elimina, todas menos una de las variables dopendoeutes. por ejemplo. x. La
ccu3ción resultante de la climin.uión se resuelve emooces para esta variable x. Cada u.~ de bs
variables dependientes se obtiene d. forma anáJoga.
dy
Ejnnplo Considérese el sistema A): 1) 2 -tú ....__
d!
elt
t
C.
4x _,
2)
~.
dt
3.% ._
r •
O.
Solllri6n l.
Obsérvese, en primer lug:.r. que la solución generaJ x - .':(1). I
3)
1
d $.
-.3dt2
ÚJt
de
•
'(1) de ese sistema 13mbi(n Aldl"xe a
dy
...-~O
dI
obcenOl. derivando 2). Multiphcando l' por - 1. 2, por - t. 3' por t. 1 ... nnndo. se obbme
J2%
41
,
-"%·-e
01"
que lambjén es sa'(isfeclta por .t • X(/). y
)'(1). Esta uhi1ll3 ecuación direm'K'W.
derivlldas, se puede resolver en "guida: así.
&;
)57
estando b"brcde r'1 de sus
158
SISTEMAS DE ECUACIONES
x
•
CO$ t
el
+ C2 sen
f
LINEALES SIMULTAN~AS
Cí
ce:
-
COS t
C.,
"
sen
1
iet.
-
D~ + 1
Para hallar y de análogn forma se deriva 1) obteniendo
,
;)
2~
dI'
'i entre ($13 y las ecuaciones
1).2),
Sin embargo. aqui es más sencillo hacer lo
x y sus derivadas.
3} elimínense
siguiente. De 2) se deduce
dx
- - - 3.x
Luego
~.
solución general.
-(-e, sen' .., C2 ces t
=:
dI
el cos e -+-
C~ sen t - lce,
!
ie ) -
-
cos t
3{C,
sen t
.. C2
-
,
!c )
y
Si se escriben las ecuaciones con la notación D hay una sorprendente
semejanza entre los proeedimicmos
utilizados aquí y el método de resolución de. un sistema dé '1 ecuaciones con n incógnitas, Esto se debe. romo se
ha hecho notar en capitetos precedentes. a. que Se puede tratar a vttes. el operador D como una variable (letra].
&llIc;6n
l. Considérese- el
sistema A'):
2CD-2)x
1)
2)
Procediendo
(D
corno en él caso de dos ecuaciones
mente se opera en 2) con D - I
=
á
se deduce,
• O.
con dos incógnitas.
x e y.
se multiplica
2J por D -
l , Real-
.
+ (0-1)]
restándole 1),
(I)-I)(D+3)
3)x ..
4
1)., obteniendo
(d, -
(D-IHj>tl)x
de donde
e·
(D-l)y.
- 2(D-2»)x
-<
,
O
o sea
Ahora bien. esta es la ecuación 4) del principio como SI! pudo haber previsto, ya que operar en 2) con D - I es
equivalente a derivar 2) y sumar 2) previamente multiplicada por - I como en 1:-anterior solución, la solución
general se obtiene como en la Solución l.
Solucilm
3. También se puede resolver utilizando determieantes. Del sistema A') se obtiene
2(D - 2>
y
o sea
-e
1
e
(l-
11
1
D+3
(D~ 41}y
•.
y
1~t.
La primera de estas ecuaciones
rechazado
tiene
en la Solución
es la 4) de) principio, y 111segunda se hubiese podido obtener por el procedimiento
1. Se demostrará
ahora por que se desechó. Si se han resuelto las dos ecuaciones se
y
1)
Se sabe. por la Solución 1. que 6) y 7) ccmiencn soluciones extrañas.
número de eoescames arbitrarias).
se sustituye en 2) y Se ve que
(C'2 .. le)-I- C,)COS
para lodos
los valores
Si se sustituyen
de
t.
estos valores
t
-1-
(3C~-Cl"
C.)
Y =
el cos r
.f
Pata eliminarlas
sen r -:
O
Luego
en 6, )' 7) se obtiene
13 solución
generaa 1 hallada
antes.
C.. sen
C·
t
2e'.
(esto es, para reducir el
SISTEMAS
DE ECUACIONES
UNEALES
SIMULTANEAS
159
EL NUMERO DE CONSTANTES ARBITRARIAS INOEPEND1EN'fES
lución general del sistema
11. (D)y =
{dD)x
+
f,(D)"
+ S.(D)y
es igual al grado de D en el determinante
h,(t)
h.(t)
l
=
L)
siempre que !J. no sea idénticameutc nulo. Si Il
que aparecen en la so-
¡¡
(D)I
'dD)
é.
{,(D)
g,(D)
O. eJ sistema es independicnte ; tales sistemas
no se considerarán aquí.
12(D-2)
Para el sistema A'). tl ::
=
-(D'
+1)_
I D +3
El grado (2) en D concuerda con el número de constantes arbitrarlas que aparecen en la solución
general.
Se puede generalizar el teorema al caso de n ecuaciones con n variables dependientes.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.
Resolver el sistema:
1)
{D
2)
(2D + I}x + 2Dy
-1)J:'
= 2:
... ()y
•
j,
e,
Restando dos veces 1) de 2) se tiene 3;,' = - 31 - 2. Sustituyendo .v • I)y
:
~t
1 - (D - l}.x
..
x=-t-3'
La solución completa es
D-1
2.
Resolver el sistema:
Operando en
I
1)
<D
2)
3%t(D
J) OOn
2
t .. ~
e
3
Y-ir
2;3 en 1) se obtiene
1 ~
-1
"3t+-C1'
D 1 es de grade I en O y que solamente hay una constante arbitraria.
2D
Obsérvese que
120+
:
t -
t
2}x
t
3y
.- O
.. 2»'
2('2t,
D .... 2. multiplicando
2) por - 3 y sumando:
I)e 1).
3. Resolver el sistema: 1)
2)
(O _ 3)% " 2:(0"
'2 sen
2)y
ces
2<0+ J)x • (D-1)y
Operando en 1) con D - I Y en 2) ccn 2{D
3)
(O-1)(0-3)r
t
2<D-1HD+2)y
+
t
t.
2) se tiene
(D- 1) l2 sen '1
Restando 3) de 4) y teniendo en cuenta que (D nen coeficientes constantes,
I)fD + 2) = (O
2
ces
t -
2: sen
4
cos
t
2:sent.
+ 2){D
-
t
1). como los operadores tie-
160
os
SISTEMAS
•
y
lINEAUS
SIMULTANEAS
• C,,-H.
•
e1"_"
Oc 2).
c.,
•
CD -1»'
Entonca;.
"
_I{'
y
1 •
S(f'I
(
•
Co.a f -
2(D
11
CO:,'l, ..
aCle-"
8C1C' ... "
-
Jcac
y" _,
(8
le
-o,
_1_ cee e
80. 1
+
1)x
4-
l~f!-t" _
...
•
e .....'/~
(18 CO$ e ~ 14 sen I l/OS
(47 CO$ t - 14 sen
'34 e.«-"1,
... ,i!
...'i• e1" -"
c.,-,{,
CM 1)/6$.
•
iC1lf'",t"
-
• ...34 C le -.,
t
ECUAC10NES
4' CM t ...
t.
61 sen
t - 33 c()~ t
130
e ...:1,
61 sen
..,,,.
t e -t)cf(
S(ft
6&
"
e )/65.
•-,
j
e,
, - 33 COI e
r-, e
130
.. 04<' ,
Como el gr¡do de 4 es 2. l. solución gC'ncr.1Itiene solamente dOI con~llllntes arbitranas,
en J) se halla que el - O. Luego
Por lanlO. $1 se Sul"
(¡luyen /( e Y por estas exprescnes
8St:nt·cost
y
~
• -
i e O>,
4
1('
c.,C' _ti'
+ 61 )oC"
33 tOS t
t -
130
5
..
•
4.
Rc$OlV(f el sistema:
Hallar
1:1 soluciól)
Operando
l)'
+
r' de
1)
(D'I ... 2)x ... 3y
2)
CD'.
particular
e
ti
o.
2)y + x
que s31isfaga
en 1) con DI. se obltcnc: fY&."( -
2l)l\
= O cunndo
x = y • 1. D...... D)'
las coook!lo"cs
- 3[)l},.,.
4fol'
Y hac1tndo
J
-I[CD, - 2). -, "
1 •
3
oblener
I
3
1:
C.,,, _;) ... (e" eoft
D'
f
10$ determmaates.
UUhl.andO
>t
D' .. 2
1
jo
3
-31..
D' - 2
I
le'
... -( le
•
ObsC--r'W:St que .\ tambtén se puede
~
C.
sen t} - -
* 3/4.
= -
I
-(e, • c.,l 3
C,. 1/4.
x
•
t
•
I
C, - -
C~:
<k donde (D" _ 1)J; : 6<' te.
y
15
-19/JO.
1
15
(t
lt
A$Í.
o. • el - C, • c.
1
IJ.
etc.
.2
POI"' t ,._O.
el
Dl,'( = 2.\'
las SUSh\UC'~nc:s
1)y D'v = -x - 2, d. 2~ se ticee (Ir - llX = 6<'"
y. uLilizando
EnLonces.
O.
I
C.
l/S.
I
- -CC, 3
y 1a sotucion
4
¡.
-
~
11 O.
2
C.l - C. - -
particular
1
!
_1
l
2 ~~
-(3e <1- 7(' ) ... _( 19 <::0$ t _:;: sen t) I - e
4
10
S
1
I
..,
l
,
- ñ(3< .,~
)
IO( 19 ces , - 2: ~n t) - U
I~
pt."(hda es
~
lt
o.
+
SISTEMAS
S.
RC$OI"'er el ~Ilolem.: 1)
(04
DE ECUACIONES
Operando en 1) con tY + D
2y
•
Operando en 1) eon ()l - D
2K •
ObllérVc3C que
I
I
0-1
-i)
2t, r
'l.
161
l).a .. (02_D.l)Y'_
l. '1 rntando.
e
.. t:
1.
D
+
I y en 2) con D -
T
(2 _ 2t
D+ 1
01. +D t- 1
f
... 21 - 3t
2
(D "'0+
2)
I '1 tu 2) con D
T
'1
t
t
• c•
.,. (D-\)y
l)x
LINEALES SIMULTANEAS
,'.
tieae
le
.. t -
3:
e
2
l. '1 rc$(ando. se lk:nc
••
y
2 es de arado O en D: por tanto. no hay ninguna constante ar-
•
'* 1
bilr:lrill en In solución,
O'y •• t.
2)
()pc:rando en
J. oon
D1 )'
y
•
o"./Y
• e
(e.
ecs
&y __ mzx de 2' se obtiene
sustituyendo
0'4.. _ .le_.2.)
.: 0·% .......
.,/12 • C9
o.
.. O.
(D· ... ·)x
.t/./2) , ~-"Ni (e., ces
sen
Luego D.
i ~(I
t i)
r-
al/.,2 .. C.. seo a'/./2).
Sustituyendo en 1) x por el v.:lIor bailado y resolvimdo.
1
7.
- I D2J;
..
.'
e
Resolver el si'tetna::
.. ¡.ñ
(C~
l)
(02"
OpemndO en 1) eón D1
2
(D ,.
2
4)2 ... OD ),I
2t
CQ5
.,/.,2a: -
el
4)1 _ 3D;y ._ o.
+4
2)
y en 2) con D:
,"./f
(O'.
3/),0.
(C$ sen .'/12
4))" •
+ 4.
Y turnando. se tiene
l'
O.
Cl CI)$4t .. ~ sen 4' .. C~ces
x e y
- l2e, seo 4' ... 3e;. cos r ... se, SC'ne • 12K. sen 4' - 12K, cos4r
La solución eempleta es:
Resolver el surema:
;c
Cl
COS 4'
y
C,
CO$
1) Da' .. (D ..
2)
3)
l)y
•
..
t ..
e, sen e ,
por «COI valores. Se tiene
- 3K,.
8.
. r_ C. ces 1I'/v2).
se tiene
~.
Para eliminar lOIuclones alIa.ñas s:ustituir en
eos4t
ft'"
Y
y
-12C,
•
Y (U 2) Con 3D, y sumando.
(O' .. 16)(0' .. 1)% = O
Operando en 1) COn -lO
r-
see .'/v2)
C, sen .. , • C,
'le - C. sen 4' - C.
COG t
t
C05
C. sen
C,
+ 3K~ 2n t
COS
I = O
t.
SCn t.
1
(O, 2). - (O -1),
<D d)y • CO+ 2),
1
o.
RC$I~ndo J) de 1) se tiene 4) Dx - (D + 2):- - 1, ecuación que carece de y.
Operandoen2)conDyen4)conD+
2.yrcscaooo.JCcicnc(.sD
Suu.ituyendo en )): por su valer, (D +- 1).)'= -(D + 2): - 1 -
6
+ 4):
-
S CJ~- -&(f':
-2: enroeees e
entonces,
= -2I
T
,-6f#.
C,
162
SISTEMAS DE ECUAOONES
Y
~-
'J '
(e
)dr
D
0-1
D .. 2
o
o
DH
SIMULTANEAS
e _t: (e t - 6e,c rh .. C,)
-:
en 1) d ",¡Iol" de y. 1ft
Sustituyendo
Como
"t"
-;: e,e
UNEALES
1 - (D .. l)y
•
e
S6
a,t'
,..·'I'J
le
-'litIS
3C,C'
-
..
&ele'
Juego
:
_.f/~-t.. c"e
x
'"' -
•
'23 ele -""
e
'~.
o
-(D -
- (5D
1)
2
9D .. 4) es de .rodo 2 en D. sotamente hay d05 eeecames
-+
0<2
arbitrarias m b soIuctÓn &'toen!. SU$litu)'todo en 2) los vaJorn de
(s6 e
• 1-
·tI, •
e
•S. e
2 ,,) - (-
le
-~r/'J
..
2:1 -
··tI,
e
te'
y ;:
:'l
)
SI:
y. por- 12nto. ~
•
Z
obtic:oe
• 3
•
Asi..
a
es la solución genera'
9.
Resolver eí sistema:
1)
2Dy..
(D + l) 2 1C
2)
..
•
3)
HaUar la solución
}tj2
\'001:'$
J
'21
C'
,r/2 d
1
t
•
•
Como
Lu~
I:!I soI«:ión
•
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x ..
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C,
-o
C.
pti1JCUlar pcdm
JC
~tlt
O
+ 3)\'
es de: .r~d() 2 en O hay dos COnstantes arbllr,)rillS y 1..
Jl
=0:
+ D: -
30
solución es
t
4) [)lx
3
O
-D
Cuando
O QI~ndo1_0.
3
y
2D
l. ,,_
c.C' -}t/t
1
DI
a -
=z=
ie
•
,
O:t
O
3) a 1) 'Y restar 4~. obteniendo (2D
De 2).
De: 3).
::
D para obtener
en 2) con
Después. sumar dos
¡:
_Dy_o,aO.
para la qee x
particular
PrimeratJ'l(:Ole. operar
ze
3D-z -= 1
'"'
i1 el~ -'):/"•
y •
2
e, 3:
1
jo
y
a
es
2 -H/1
•
-e
3
Obsérvese que: 00 ,ic:mprc se puede hallar una solUCIÓn que '-llli)(l1g<1un conjunto de condicionc~ IIUC'i.aks.
Por ejeJupto. no existe solUCión que satisfaga la... condiciones :c
l.,. ~ :
O cuando'
:: O ya que \' _ l.
I = O no es. compatible ton .\'_ J + '" Aoálogamente. I _ O. ': - l. tu/di _ I cuando I _ O no o comp.1tible con dx/dl _
:
=
SISTEMAS DE ECUACIONES
PROBLEMAS
10.
.&
11.
12.
51>1.
Dc-(D'I»)'.-~'
(D
..
11
(D-1)1
12)%
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15.
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(D -1).
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17.
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16.
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14.
C,)$C1)
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(D.2)%"
r _ CC1-C.)COíl
t
.. 2.t .. (D .. 3)1 • (!' _ 1
13.
PROPUESTOS
Y • c,.cos e •
• C
163
LINEALES SIMULTANEAS
re.> .. C,C06(J32.
..
C?)
.1'-_t't_2c-!_C1
y
s
2e t • e .. t ..
%
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y •
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1 ..
t¡2
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e,
...C~Clt
,/6 ~ c-"
.,
f
2 • ~'/4 " C,cr""
.. C~CO$(v1l
e,
G.> .. 2(:0."2:
•
c..) .. i-i cOS 2:
CAPITULO 22
Ecuaciones diferenciales totales
LAS ECUACIONES
A)
DIFERENCIALES
- "xz)<Ix
(3x'y'
B)
•
(3xz
(2)<'y
a»
y
• (y
cos.
• K dy • x' dz
• 2y)dx
C)
n z)dy
...
+ dy • d.
•
-
= O,
eX)dz
o,
O,
•
cuya forma general es
l'(x,y,t,"',t)dx
• O(x,y,z,'
se: denominan ecuaciones
.. ,t)dy
que ti)
rápidamente
es
secndo
•
I
...,
..
S
l·
e
exacta de
SCn z = C.
t y
una constante arbitraria. Una ecuación así se denomina
la ecuación B)
DO
es exacta, pero
(Jx2,
= O,
• S(K,y,z,"',t)dt
la diferencial
f{x, y. z) -; x' y2 _ e~z
D
,
totate«.
diferenciales
Se puede comprobar
.....
se
SI
• 2xy)dx
que es la diferencial exacta de .\"");:
+
Introduce
x
~Q.cJD.
COmO raClOr
integrante se tiene
• x· dI' • x' dz - O
.rJI _
C. Las ecuaciones
A' Y B) se denominan
In·
Il'RTu/rs .
La ecuación
e)
no es integrable: es decir. no se puede hallar para ella ninguna primitiva
1)
(K,y,.)
C
•
Se veril más adelante (Problema 32) que para las ecuaciones de esta clase se puede obtener una
solución 1) compatible con cualquier relación dada X(x, y.:) = O de las variables.
LA CONDICION
DE INTEGRABILlDAD
2)
e.
3)
l'(x,y,z)dX
P(-aQ _ all)
o.
ay
Ejemplo J.
• O(aK
a"
de lo ecuación diferencial total
+ O(x,y,z)dY
_ aP)
o.
p
lI(a
•
+
_ ~)
ay
ax
=
R(x,y,z)d%
~
O, .d'nucamente.
yendo en 3) se tiene (3xz •
e. integrable,
21')
(O - O) +
x(2)< - 3x)
• x'
(2 -1)
all
011= O, y susuroa;; = ~<-<, ay
= 0-
¿ •,,'= O. La
ecuaeién
Para fa ecuación C),
0=1.
uene
Véase Problema 1,
Para la ecuación B~
lI=x.,
Ejemplo 2,
O
y(O - O) + 1(0 - O) • 1(1-
OQ
ox
=
01
-¡.
OQ,
ai •
O.
O, ,11
aR
= 1. all
ox ~ Oy
La ecuación no es integrable.
f64
.
= O, Y sustituyendo en 3) se
ECUACIONES DIFeReNCIALES
LAS CONDICIONES
PARA QUE SEA EXACTA 2) SOn
-.
aQ
4)
••
Ejemplo 3.
16S
TOTALF.$
Para la ecuación
P
=
A
aR
-,
ay
J.
3x~y2 _ eK~.
ap
-ay
2xly. sen z.
aQ_
Q _
R • y
COS z _ eX
j
=
aK
aR
6x7y,
~az =
6x2y.
aQ=cos.·
-OK ~- c'
az
-e<·
.
.
aR
ay = ces e ,
y se sausracen tas condxaones 4). La ecuación C1 exacta.
Ejemp10 4. Del Ejemplo f Se deduce inmediatamente que no se satisfacen las condiciones 4).
por lo que se desprende Que S) no es exacta.
RESOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL TOTAL INTEGRABLE con tres variables:
a) Si 2) e-sexacta. la solución es evidente después. n Jo más, de agrupar términos. Véase Problema 3.
b)
Si 2}
e)
Si 2} es homogénea se puede separar una variable. por ejemplo.
formación x = U=. JI - uz. véause Problemas 7·10.
d)
Si no se puede hallar un factor integrante. considérese una de la. variables. por ejemplo. :.
come una constante, Intégrese la ecuación resultante. designando la COnstante de integra.
ción por 1/1(:). Hállese la diferencial total de la integral Que se acaba de obtener y compárense
los coeficientes, de sus diferenciales COn los de la ecuación diferencial dada. determinando así
1/1(:). Este procedimiento se explica en el Problema 13. Véanse también Problemas 14-16.
DO
es exacta puede ser pOSible hallar un (actor integrante. Véanse Problemas 4-6.
PARES DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ecuaciones diferenciales (orales simunáneas
z,
de las otras mediante la trans-
CON TRES VARIABLES.
S)
P,dK
t
Q,dy • R1d%.
~O
6)
P,dK
• Q,dy • R!tdz
~O
La solución de las
consta de un par de relaciones
1)
[(x.Y. z)
a
e,
8)
g(x.y .•)
s.:
C.,.
Para resolver un par dado de ecuaciones:
.) Si tanto S) como 6) son integrables se puede resolver cada una por alguno o vanos de los procedimientos ard). Entonces se dice que 7) es l. solución completa (primitiva) de 5). y 8) la
solución completa de 6). véase Problema 18.
1)
Si 5) es integrable. pero no lo es 6). se dice entonces que 7) es la solución completa de 5~ P.....
obtener 8) se uúliun 5). 6). 7) para eliminar una variable y su diferencial y se integra la ecuación resultante, Véase Problema 19.
fe)
Si no es integrable ninguna ecuación se puede utilizar el método del Capitulo 21. tratando
dos de las variables, por ejemplo .. < e y. como funcrones de la tercera variable :.
•
,
~
1
"
•
•
166
ECUACIONI;S
OIFeRENCIAI
~S TOTAlF_~
A veces se puede simplificar el procedirmento como sigue: Elimínese primero el) y de.puó,
d: (o cualquier otro par) entre 5) y 6) obteniendo
r
Q"
Q.
P,
r'
dx -
Q.
R., d.
a
,R, r,
R. p.
O.
R.
dx -,
Q,
Q.
R"
dy ~ O
R.
Y exprésese en la forma simétrica
dx .dy
9)
X
donde
X • ~
R".
R,
¡O'
O,
dz
~IP'I,
• 1.'
y
/1,
y -
Z .. A
/1.
r
Q,[,
A
1', O.
p.
1-
o.
(Obsérvese que éste es el procedimiento para obtener In forma simétrica de las ecuaciones de
línea recm cuando se dan Jos dos planos.)
UIlJ.
De las tres ecuaciones
9')
•
I
..
Ydx
= Xdy.
Xd7
•
Zdx.
Zdy
-
Yd.
deducidas de 9) se puede obtener UDacualqu,era de las otras dos. Por tanto. obteniendo 9). se puede
remplazar simplemente el par original de ecuaciones diferenciales por un par equivalente. este es,
dos ecuaciones cualesquiera de 9').
S, SOn integrables dos ecuaciones de 9') se procede como en el. Véase Problema 20.
Pero si solo es integrable una ecuación de 9'l, se procede COmOen f). Véase Problema 21
y si no es integrable ninguna ecuación de 9') se aumenta cJ numero de ecuaciones posihl~.
I)or un bien conocido principie .
dK
X
donde t,
nI, If
=
dy
y
:: ~
~
Z
1.<Ix * l7Jady .. ",dz
11 X + mi y + ", Z
..
lvdx .. m~dy + ngdz
t,X + m., Y + n~ z
son funciones arbitrarias de las variables tales como
IX
+
mY
+
nZ ~ O.
Mediante una adccuada elección de multiplicadores es posible obtener una ecuación integrable. así
~..,.
y
Idx+lltdy*ndz
IX + .Y .. nZ
o bien adx.+bdy+cd,
(JX + bY • cZ
~ pdx+qdy+rd,
pI .. qY + t"Z
Si se logra esto se procede como en f). Vé:o.seProblema 22.
En fo práctica es más sencillo a veces hallar mediante multiplicadores una segunda ecuación
integrable que proceder COmo en ¡l. véansc Problemas 23.24.
+ m Y + nZ = O. entonces también / dx + m dy +- n (1; = O.
Si ahora / dx + nI dy + nd: - O es integrable, se integra, y se tiene una de las relaciones peSi IX
dídílS, Véanse Problemas 25-29.
ECUACIONES Oll'ERENCIALEs
167
TOTALes
PROBLEMAS RESUELTOS
lo
+
Obtener la condición de ¡Il(esrabilidad de P 11'( + Q d)'
R d~ = O,
Supóngase que 1a ecuación dada se obtiene derivando
!lx.)'.:'=C
1)
y. quizá. quitando un
(~I(;IOI'
común J,Cr.)', :). Y:t que de 1)
~
resulta que
• pQ,
Oy
Suponiendo ahora las condiciones de existencia y continuidad
.
o'f
Al
aya.
a'¡
8)
e)
a,
a'¡
c:
;¡p
a,
OR
• Q-)
- ;¡R)
QCoR _
a.
=
Resolver (x - y)d.( - x ti)' + z d:
~)
ax -
as; x
y1 dz_
_
i,
ayo.
0',
?,.t
o, • oz or'
I
+
+p~
+
ay
RI 'iJI'
ay
,
i
al>
Q-)
'3,
(0)
•..
,
O
ox
(x dy
+ JI dx¡ + :;d:
xl" +
;¡P
sr . 2y,
;¡,
=
1, se deduce de A)
•
-.
o:
ayo. dO.
oP
;:2
O
.... O e integrando
= K
1)
bien
OP
se tiene
.r -
2xy.¡:l
O,
~Q.
e,
:4y • ydz • O.
Aqui
.
•
ox
t,,2 -
es integra
•
ay
0,
-
.nIOn<)6.P(~
R ~
o.
;j,
eR
Ag(upando
Resolver
+
••
I en el Problem« l. la ecuación diferencial es exacta. Demostrar Que esto impltc:t
Cerno
4.
• o. 'Oy
,"CR ~
•
ox
ESlas relaciones se deducen de A). 8), C). Por ejemplo. si JI
3.
Q ?,.t
• p
p-
a'f
+
rcspecuvamcnte. 'i sumando.
o, ay •
2. Si p(x.J'.:)
ay
Ox
.:
de. donde se deduce ln condición PC~
OR
}'-
a.
ox
, p~
oy
a.
, Q.2
}'-
R. P. Q.
p(fI ~
ay
'iJ/I + 11 01'
•
~
}'?2
~
p-
ay
p~
o, ay
esta.. relaciones por
Muhiplicnndo
'Of'
p-
_ OR) •
ey
Q(OR _~)
ox.:
bl e. El Iactcr Inlcgrante
.
01'
.,'
Q • _z,
O:
+ R(~
~.
-1;
R : y.
_ OQ) • l(-I-l)-'IO-O)+Y(2y-O)
'Oy
ayo.
• ...,
••
1/)'· reduce la ecuacrcn
L.
a ~ ~
y<h-zdy
2
Y
(IR
-- ~ O.
Ox
1 ..
: O cuya so ucaon es ,(
OR
--:
ay
1;
t. ecuaeon
+
l/V
= e.
168
ECUAClO>lES
la condtCtÓn de 1(\ler;rabilidad
X 5&11"$1'1«
(2.,'y + 1)(0
El flctor
DIFERENCIALES
inte¡r:uue
I
(2.\.1'"
l)d(
reduce
Ig
X
x
)a que
O) ... ,'(2.\ '& z - O) • " '8 :IZ.\' - 4\'" -
la ecuación
+ .\: d.-' ..
TOTALES
o.
a
= d: ... O
o
bien
I
,1, ,. d.... + ...." drl
..1
T
x
+
d\
1& r ti: - O
e,
+ In see : -
El procedImientO normal aqul scr'tI: dtmO:Utlllr qUt la C(u.ac1Óftes l"lc:p:abk ) busaat despJes un (.tC10t iDtegn.nIC. Examinando tos probacmas ilnleriorn se hana que. después de uhhtllr d (actor Inlq:ranlc. aparax sotamente una variablC' en una expresión dife~cial
exacta. por ejemplo. en el Problema 5 la variabte c en (1 término
tg :d:.
Si K: divide la «u.3ción del presente probtemi) por \ J.:. h. vartabte )0 aparece solo en d termino 2,· dl'
que es una dife.rcnc.al txxta. LucIO se uulanr'
If.~= como un po~tbk (lICtor ¡Otean"te.
El ftlUllooo es
1
ad:.-zfÚ
~ z,úy. -dI. ..,
2.rdt
•
!
• O cuya solucllln
x'l
z
Naturalmente.
es
.1
'2
•
Y • In.l.
~
t
C.
-.
..
de 1:, variable no indica aqui que la ec:u.IK'.on sea intc:lf3ble:
O no es intcgnbk aunque' (" ap3~
JOIo ee u.."\a dl(C1'mCi.at C'UCU~
la $Cparaci6n
s dx + : 11)- ... ti:
-=
por qc:mp~.
,.
)
•
7.
-
DcmO:ttfilr que si P d.'( + Q dJ'
entonces la sustitución .\' •
+
(es10 éso si P. Q. R son homoicnc:a$)'
la vu"",~( : de las vati.abks " '! c.
H tI; - O es hotnogenes
U=. , _
r: .separará
Sean 10$ cotfic:KnlCS P. Q. f( de grado ,. en las vanabl«.
Al hacer la suslllueión s :: U:, J' - t':. la ecuación dOO3 se conviene
Oivtdtfftdo
por el (6((or
L(P(tt ..... l)du.
o bien
:- y ordenando
• (uPl
P,
así A)
uP, + vQ,
, n,
<fu
en
se llene
.. (J>(d.v.l)
Q(u,II,l)ÚII)
:.(P,du • (\dv)
ESto se puede escribir
rece en el último
romuo
•
f
~ /(u.II.1)Jd"
IIQ(U,tI.J}
"Q, ~ #t1)d:
•
donck P, • P(u.v.l).
O.
Q,
u/), + .Q, • H,
d•
'"' O
• lá.t
•
•
término.
Ahora bien. se ~tisfaC(
la coedicsén de in(egrsbi.lidad
del (Iujmo grado)
para Al.
1(
a
..
Q
: ~ aP1
O. dOnde:
R, - OV
.Q,
etc.
solo upa-
P,
u/\
.o;
)
R,
-= O. siempre que la ecuación orl$.ln31 $C=3 tnttgtabJe y. si ocurre esto.Ja SU~ de los dos pnmcros tttn'unos de A)
es uoa dJ(ercnciaJ e:uda. Aun 1l\Ú. «m'K) d (eftCr ttrmino es un¡ difere0ci21 c:xacu.
es una eccacon d.rcrencial exacta COn solo que p tL\ + Q dJ' T R d: _ O sea inlqrablc.
A'
8.
R(:;S('I\'('r 1, ccu<Ki6n homogmea
2(y + z)~
l.a c:cuación es integrable ya que
La trensformaclén
_ (::1 + z)dy
2(,1+:)(-1-2)
-
x = vz, J' - 1'= reduce Ju ecuación
2:(" "l)(uá
... zctu) - :(u.
t)(vá:.
.. (2;)' -~
&
:.)d:r
(,.':)(-1-2)
o.
+ (2)'-%+,)(Z
d3dll a
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• :(~_".
J)cú -: O.
.. I)
O.
ECUACIONES
DIV1cndo por
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DIFERENCIALES
se tiene
2.:(11 + l)d.lt -
2du
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C~ ... l)"l
9.
Rnc>I"'cr 1:1«u:ac,ón
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169
TOTALES
'1'
J:
U +
1;
+
1)dz - O y al divi-
th
.. --0.
L
1)' • Neul' 1).
Ce,.. t f.)2 •
•
lit • O.
I,...uecuación ts integrable )'3 que )'t( - 2.: ... x) - t'( -,. - y) - .ty(: - O) = O.
loa (runlifoénlaC1ón x = uz. y = p= la reduce a
t'r¡(I~ dt
+
+- :
:l{nl/:
! du) -
lhJl
Oividielldo por :2 y ordenando I)Z du - z ,Ir - Dde • 0,
EnlollC($.
In K. v: =
In " - In:
IJ -
10. I\csoh~r (2)' - :)<1< + 2(x - =)<1)' -
tT +
cr
do
dz
du-----O.
de donde
{I
y. cr«.
o bien
=
se ve que es a.xta ya que se- puede esctloi, así
2l,·d.T + .HM - (:d< + xd:l($
O.
2yld: - O.
La ecuxión es homogenes y. aaminándola.
La ~'udón
1111%1,/: -
2(:dy' )'é) - O.
2.~)'- x: - 2_y= -= C.
11. DtmOlUmr que xp ... yQ + :R. ...
mQaenea de grado 1I :F - 1.
e
es la $OIuclón de P dx + Q dy ... R d: = O SI 13ecuación es exacta
y bo"
"
En prime!' lugar se comprueba este teorema en J:. «unción del Problema 10. Se tieee
.'" + yQ +
=R = x(21' - z)
+
2)'(. - :) - :Ix
+ 21')
_ 2(2x)' - .<Z - 2)':)
lIep,:índose n la misma solución que en el Problema 10.
+ :R
De ,~p , yQ
A)
(l>.
=
e
se: obtiene diferenciando
ap
x-o
a.
~.
a.
HKkndo
8)
(p ••
Como
Euler
pult'l
nll$ sustituciooes. A J se convic::rh!en
~
a.
•
1 ~ ••
dl
111 ecuación
OP)d.<• (Q • " ~ • 1 ~.
d.
••
, ~)dl
a,
dada es homogénea.
.ap .
a.
a.
al>
1-
a,
• eH +
• e ~
a.
•
raP.
funciones homogéneas.
(n +- 1)1»
o btCn. )'1 que " .. - 1.
dz
+-
(n .. l)Q dy
P<b •
Qdr •
.. (n ...l)R áJ .. O
R d••
O.
x ~
a.
•
1 ~ • , ~)d"
a,
a,
•
etc .. segun la fótmula
o.
de
•
170
ECUACIONES
OIFERENCIALES
TOTALES
La ecuación el homogénea de grado 2 '1 Ulmbien es exacta y8 que
i)Q •
_
La solución <S
2;'
1(12 ..
I
2Iy ~ ~z)
• 7('"
+
13. Resolver la eeceelén diferencial P dx
dición de ínlC:8t:'lbilidad.
ay
:? ..by,_
,.
.a (1' .. t') .. y(.rt • :2)
o ""n
1JR
• _.
2(: +- y)
a.
¡(x' .. ,.')
+-
le ..: +-,,1 +- 2s-t
2,.:) ..
•
,_ 2yz)
•
K
c.
Q d) + R dr - O. de la que '-010se da el dato de que
$Illis(ACe
la con-
ConfidéreK de momento una de las variabtes, por ejemplo r , come una constante y sea la soIuci6n de la
ecuaci6n resultante
1)
la relación
u(z-.,y • .!) =
2)
~(l).
Diferenciando 2).
au
- dx
3)
a.
y
~
ay
en 3) se hene
a" dy
ay
,
-
a
pQ.
I'Pcb.
du
.. -
a,
"':o
dondt
I'(z.y.z_)cs
au Jl
• I'Qdr
Pero de 1:1 ecuación dada p,Ptbt
t
dI. • <p (1) d.l
au
- cb.
al
-
dr¡,.
un (lICIo.. integrante
de 1). SuStituyendo
• d<f>.
• ~
• O de modo que
.. J.4Qdy .. IlRdz
d4> •
•
I'Rd,
ou -
•
(-
¡JI)d,.
al
Esta relKtÓn carece de dx y dy y. empkando 2) si es eecesarsc, se puock escnbír COI"l\OIolruaccuttC)Ón dife.
en : y •. Resolviendo la rn[egrnl respoC:lOde 4t y $U$t11u)'endo en 2) se llene la solucHln pedida.
rencia)
14.
Resolve 2(y
+ :~/.<-
(x 1· z)dy
+
(2y -
.< +
:)d: = O. (Véase Problcmn ~.)
Censsdérese : COmo SI fuese una conjUlnlC y resuélvase 2(y'" !)cú y •
2l
x ... ,¡
.
empk.ando el factor integrante e
r
A)
ex ,
l
)t·
_'!4';( •• zl
f e.t •z. )s
__ 1_.
(x ... t)dy
con lo que
'"-O o btt:n ~
le'
oblit:nc
(.a, :)2
dx
1
• rP(l).
- ex * ,%)2
1.
Difereeciandc A).
- ---(dx
2,
•d.)
de donde
2(Y"Tz)f:Ú-(x
• -
"'
..
:)dy.
(.a*:)Sdt/>a:O.
+ :),..
C$
(IÍk ...dl)
(X"l)'
(2y-xt;¡)d¡.
Comparando esto con 13 ecuación dad, se ve que (x
Ahora bien, de A). .,. + : = folx + :,:. y ta soJución
2.
I
(z.~)t
(z+z)S
JI +:
_
O y .;
=
C.
CCx + :)~.
...
¿ti>
-
J(
!;:
ECUACIONES
La ecuación
es integrable
(f1t)'tt'''')(~)_f1
=
Conli,derando
DIFERENCIAl
ES TOTAl.ES
171
ya que
(c'z+eX)(_t'Xy_«>").
.. C'JC.e'z).
como una constante
«('%)'
(f)_C'·y_e)',)(tlC'_f:lC').
O.
y rtSOlviendc la oeullCÍón resulLilnrc
dx
I
.. (,Y,: dy .. tZdx
cXdy)
o.
•
Difcrc:naando
<,Xr
Oc 1[1ecuación dada
16.
Resolver
y
eZ')d.t + (e)', • ('x)dy
"t
(e:ty+
eZ)thc • (e>': .. flx)dy
.. (.x~_yz')dy
yzd:I:
ecuación es lnte¡n.bk
- 'lx)'d ••
ya que
.. (e" .. C'~%}dz • df/l.
.. «('y .. tZx)d:
•
(ex)' .. (,Yz. .. e<:x)d¡.
O.
Y1(X_3yz2.2a)
• (.&'z-y:')(-27-7)
- 2z"YC:-:)
• O.
Considerando y como una constante y re5OJviendo la ecuación resultante
• O
y:dx. - 2xydl.
se obtiene
lnx
Diferenctando
dx - 'III>,dz
-.
Comparando
11.
Discutir
<l>y -
dx -
esto con 13 ecuación
+ y.'d4>
(x. - y.l)dy
Lu<&.
y .h.acicndo la sustituaón
'*1>- o.
>.Y' • K
gecmétrícamente
•
2.
•
dircrcncial
y")dy
(~¡' -
o sea ~ •
la solución
2
'*1>
dz -.
••
-O.
xf~ se:
•
I
y.dx_
•
• 1,'<14> • O de donde
de modo que la sol""""
de la ecuación
• Qdy.
2ryd: - y. '*1>'0.
•
~dy - y
d4> -
y dy •
o.
os
difercnc:a.al (otal integrable
IIdz
- O.
º~-
Sea (xo. )'0' ~) uo punto general del espaao para el que no son cero todos los coeficientes Po - I'(xo. Y&t=0)'
Q(X(I. y e- =0), Ro - R(,rl), )'0. z(l}.
Suponiendo que P. Q. R son fuocionc.'I uniformes. se puede considerar el conjunto (P1n Qo- Ro) como cosenos directores de una recta (loa que pasa por el punto. Luego se puede ima.gJnlf la tc:uaci6n dIferencial dada
como <k:6n.endo en cada punto (Xe- y,,_ ~)
---- . ---- .----
una "('(1.•
y un ptaec
Po(X-Xo)'"
e
=.)
Z-Xc
Y-YO
1-10
p.
Q.
/l.
OoCY-Yo)
+
Ro(t-lo)
::
O
,.
r
tiene:
dada te tiene
b • Kly.
Pdx
O.
o see
- 2 In e • ln tjJ(y)
esee tcwltado
2
ldz - 2x:d.1.·
o bien
normaJalaroctl.
U lIOI~ión f(x •.)',:) de la ecu.ac:ión difertnciaJ dacb representa una familia de $U~
lalc$ que
por un punlo general (,r•• I.
dd csp3CIO pasa una sOla $Upe~
~ de l. famdia. La eo;taCióo <Id plano taJ1...
gente: "o I esta superflac ee el punto es
172
ECUACIONES
DlnRE~ClALES
TOTALES
,_.'
. -al
Y-Yo
~o
1,21. •
Del Problema
i». al ,,'A.Q.
01.: >JI. Por uanlO. la $Olución de una ccu.a.ción direrencial tora'
ay
él.
él,
integrable con tres vanable$ es una ramilia de superficies euyos pllno tangeete y recta normal en cada punto SOn
respectivamente
el plano 'Y la recia asoc:i~os con el punto POf 1:1tcuación düeteocial
PARES
.a.
DE ECUACIONES
ResoI'vtt
DIFERENCIALES
d sistana:
Ambes
TOTALES
CON
,)cü • (, ~x)dy .. (x+- y)ch
(x +z)ctr .. ytly +- zd.: .: O.
(yWt
y la solución es xy
La primera
.dy)
+-
+ y: + :x
se: puede escribir
+- 7d.)
+- (zdy
VAlUABLES,
• O
(y.
ecuacioDeS son integabb.
TRES
+- (%4:
+-
llA
,d:c).:
O
- CI_
La .segunda se puede escribir :1St :x h
+ }' dy + (z h + x d:)
Xl +
+ lx; ,. el'
_ O y la solución
es
,.J
Luqo XJ' ...
ro ... ve
C"
-
,r ...." ...2x:
e, _,u>",
=
b JOI1ICióo ~
Por cada ponto cid __
una superficie de coda uno de las d", r.miIias, Como Las dos "'p<rficies,
en un punto. tieDeo una eut'VII en comun. la soIucióo del par <le ccuaciones difc:renc:iaJes es una fatrulJa de curvas.
Eua familia de curv~ se puede dar mcdiank las cctlacioaes de cu.akluM:r par de: familias de superficies que pasen
por la familia de curvas. Por ejemplo,
•,
,
"'1
también
1.9. Resolver
constituye
el sistema:
t
la solución
1% +-lz
el>
a
%2 +- 72 +-
2CC1 -xy -yZ)
.: ~
general,
1)
1z tbt .. xz tfy + ~yti.: =- O
2)
z'Cd:r; ...dy).¡.
O.
Cx~+y%-xy)d:.·
La c:cuación pri¡ncra es incearable. siendo
$U
soIucióD 1) xy: - CI• pero la sc:gu.nda no lo es.
Multipliques< 1) por :, mulupliq cese 2) por y y _
oblCft_ <'(1 - x)áy ... 1'(: - x)d:: _ 0, Mu~
uplíquese esto por rz, y SUJtIC\1yasexyz __
de 3). El rouJwlo
es
el
Z~(y2t_Cl)d)'
.)"C)'z2_C,.)tl.l:
4) yz
cuya solución es
• Cl (~)
y,
'"' o
"&;
o ben
zd)'.
'1dz-
ClCdy .. ~)
y2
z_Z
=-0
C,.
Las ecuaciones 3) y 4) conschu~n una soiución general. Sin embalSo. 4) SI! puede sustituir
sencilla 4') x)' + y: + x;; _
z• obtenida !W!S!ituycodo en 4). CI por Su ~aJOT.
e
le.
R __
d sistema:
da.
-(o •
dy •
2y11
(x - yldz
• 0,
-{o • 2y1
• 3A..,
y.),.
0-1
Eligie.l'ldo ).
= -
ronTl3 m4s
1IJy - (x. 2y1<ú • O
2"" •
Aqui
por la
J/3 se tiene X.
- x. Y
= x + y, 2
dx
-x
I
= l. Y se escribe el $lstem .. en la forma s:imCttlal
dy.
x+y
• -y
d,
T'
ECIJAClONES
De la ecuación integrable
De la ecuación integrable
Luego z
:21. Resotvcr
.....-J
a)
(1,1.1)
+ In
= eh .r
x
"·.1
dx,.
~ erna
........x
Y b) (2. J.
-
ds
<Ir
I
<Ir
dy
-x
..
,
el
%
.'+
se obtiene
y
173
TOTALES
, + In
se obtiene
:
-%
+ 2xy -
;c dy
... z
DIFERENCIALES
., el'
2%y • C,•
constituye la solución general.
:z . Hallar
., d;¡
...I_
las CC:U3aones
eJe
I~A
~
•
_ .....1
curvas mt...
6I .. es que pasan por los puntos
1).
. -,
Considérense las ecuacioues dx -= dz
~x :. ...2L
. La: primera
x+r
y
es
y da
integrable
gunda no es integrable, pero se reduce a dy - (1 + C¡/X"}dx por la sustitución!
)' = x - el/x + e2 o bien. sustituyendo el = xz, y - x + z = el' Luego xz
tituye la solución general.
xz
= eJ'
La se-
= CI/x. Integrando. se tiene
x + z = el cons-
= el' 1-
La CUt\'3 integral que pasa por d punte (1, J, 1) es la inlersocción del cilindro hiperbólico XI = 1 Y del plano
J' - x + z - L La curva integral que pasa por (2.1, 1) es la intersección del cilindro xz = 2 y del plano
y-x+z=O.
22..
Resolver
No es integrable ninguna ecuación. Mediante los multipbcadores 1 = m
-y
-%
.
ldx + trtdy + ndz
+ A(Z -X) .. ll{Y-X)
Empleando A) para eliminar z en
In(x - el}
+ In(,)' -
el)
= In C::.
de donde ds+dy-d:
se obtieoe
= O.
luego
y-x
_r!!_.
y -z,
Z
s..
-x
SI:
e dx
1
(z - y)(: - ~)
A) y B) constituyen
obtiene
•
-%
...!!L...
Y -el
O sea, (x - C,,(;· - el) = el> y eliminando
Bl
la solecién
rnedianteA).
= e,.
. -.
Resolver
z
: y'dy
.'
Al
,%~
_
7'6 •
se: obtiene
o
el'
y1;y . Sin embargo. es más
Abora se puede utilizar A} para eliminar x en ta eeuacién 00 integrable tU
z
sencillo empicar
el
De donde
general.
De la ecuación integrable:
10$ multiplfcadorcs 1
=m=
l. n = O para obtener d~
Z.
24.
l. n_O
x+y-z=C1,
Al
23.
dx+d'1
1(1-:)
=
2
%
+Y
;r'2 d1
,%,
.. y2dy •Luego x S+ ;
&;
C2%~
+ yS
d.
<Ir
Resolver el sistema
o:
%
,
Empleando I = nI = J, n = O se obtiene
<Ir
_-=0.._
(x + y)S:.
o
d,
,
(%
+ y) (<Ir + dy). Entonces
114
ECUACIONES
Empleando
DIFERENCIALES
TOTA~ES
11 = nll - l. "'1 • O y l~ = l. ml • -1. n,!
d,
.
dx,
O se obtiene ---.
=
(.r + 1)
x '1
25.
dx
Resolver el sistema
L.:a CCUU'lOn ~
7
Y 3.
26.
Empicando 1+ 2,. + : =
•
y
dy
a
'!1
d,
-x
2<- 3y
O
_.
%
lb +
y dy
~I
~¡
n)t
....•
Orden.tndo A) en la rorma (4", - 3n)x -i (4/ + lIt)y +
3n-0. 41+ 2nzO. -JI-2m
O. Ó 5C3, l:m:n:2:
Utilizando la ocdeoaeión 4{J)' + mx)
- O. ny - mz = O. se obtiene 1: m:
X
27.
Resolver ellu:;lcma
{q
"
Con$ldcrt'St
De
q( lp. -nxy)
De
:(lqy
-1ItpX)
••
O
y
•
11
=
q tly
.. Y('lpX
-Ir:.)
+
dy
-, • -12
2 +,2_y:
Empleundo
1•• :1. n-_l.
Empleando
1:%%,
se obtiene
n
_Cs2+
.1:1(.'.,'_.12)
o
'"
• O
_nqy)
lo
~2
px
y
...
___
e
J : _ :
= O.
-1:;-
2:'
.. qy.":=
dz
It
•
X :
1; .. : n = p:t : qy:
Entonces.
o
_ C;r:-y)z.
(-..:'_.12+X1)
x
)'
·Yl(.04'-,'._x.:)
o
2
"L.
ea-
'11
(x - y):
O
y') -
Emceces,
1: l.
el-
e
úbIICI'U.'!
•
y-
1
= el'
... (~'.y')(X-)')':
x eh .. ydy
_ ~
y'
l
1:2 +
o bien
tr .. mx
«h;¡l!a
luego
10(1:2•
e"
O y poniendo
ob,~nr
SC'
px2 .. qy1,r1.'1
Cx'1 .. y~_.1:')"
y'Z).
O. se ve que sc:r.i S3tisfecha si
Luego
&"
O.
•
)'
dx+dy-d.t
."'1,
O.
(p -q)ry
o
X(WZ.
).1') -
x> - y' - " • e,.
+ n(p-q)xy
+ r:.d:.:
dx
('1sislc:tn3
x
y
+ <k ~ O
r d.
•
(r _p)~.
•• (r -p)xz
qydy
3/ - 2m):
-3: -4.
2x - 3,. - 4, -
y
• r( ... , -Iy%.) • p(my-lal':')
t-
(-
- nxl + 2{flJ' - m:)"
s : -y: <z. Luego
p~x(Ú + 11')' dy • ,,2 td:. • O
R~""ff
,.J = el
- 3}') ~ O. Por taOIO. 3 dx .. 2 dy
+ 3(-1:
dx - 1 d)' - z <k • O
pdx
_r)y:
'<q -r)ll
p:tdz
18.
+ (2x
2( -x)
.~ +
y se obt~ne
tak:s que A) 1(4)' - ):) + m(.... - 2=) + n(2v -
If
2dx-3dy-4d
,,'
Integrable-
4J' - 3J
Hay que buscar- mulliphc:adOltS l. m.
4m-
+
3. m _ 2.. - I se hall. 3()')
e,.
Resolver el sistema
es
• O
ln 1 -= In
e,
•
'"
o
o.
o-
Luego
ECVACIONE.~ OIFERENCIA~ES
+ 2)': d)'
lllcgo 2," dx
)" d: - 2}': di'
de donde 2 dx - --.
- y' d; • O,
Sup6nga.~ que al rnol\'er el sauma
CU)'3$
integrales
_ O
y
)'
ti.
R
JO. Olscutlr geométricamente J~ solución general de
PI 11..\ +
175
TOTA~ES
Q. d)
'T"
dado se ha oblen.cSo un IXI' de ecuaciones ¡Dtegn.b~
/tI tk = O
y
son. tcspcet1vamentt".
e,
gl>. y. :) -
y
}¡(x.)'.
:)
•
el
Por un punto general del especlo (\'0' 1'0'!'O)ra~ln dos supcrftc:lc( (una de cad ...una de las anl~rlt~l'C'~
fIlm,.
III.\SIcuya curva de tntcesecctén to es la CU(\l~ integral del sjstcnll,l d(tdo Que pasa por el punto. Los (lla"o$ 111'"
gentes a las dos superficies en (xQ.yo. ZI), M)II normales a la~ clrecclones (PI' Q•• Rd)'
Qr- R,) ca'cuhtdll$
en el punto. y la recia de: intcllCCClón I~I)de estos planos es notm¡al .. , ..., des direcciones. Sea f¡\'. Y. Zl un conjunto de cosenos drrecrores Potril Lo; entonces,
.'2,
R'11. I·
Rl
y.
~ 11,
a p. Q. R tcaleul3d03o todos
son proporcionales
p'l·
z • ~ ",
1
Q'I
j
1r, Q,
p.
r
•
en el pU.OIO'.
Ahora bien. Lo es la H.n~nlc ~I CO en (KO. )'0- lO)' ya que 1:, t.¡"&ente :. un.. CUt va del e~ci() en uno de \Ullo
puntos está en d plano tl.lr1¡,:cfllcen el punto de cualquier :.up:rficlc que contenga la curva. Luego l,as cur"a~ inIC8flllcs del
SistCnla
~
• ~
pertenecen
~
n
Q
P
el hecho de que en un punte cualquler:l
cosenos
31.
les de 2)
b)
32.
(X(I'YO.lO)
SIS-ICH1-ll..toblcn~llh'
la lanj,~nlc:a
",finito de
C1U'V'.t$ caraclcri7JJdl'l~
por
1.. curva en el pUDIO tiene (Po. Qo. Ro) como
directores,
Inl-=v-a~ de 1) P dx + Q fh .. R d: - Oy la (anula de cunas 1:nlq,rl'
OemosIrar que' la familia de su~~
tI)
a un
lb.
-
P
dy
- -
Q
d.:
- -
R
SOll
o"ogonales.
Se deduce esto del hecho de que en cualquier punte gel,eral (\0. )'0' :0) la direccióh (Po. Qo. Ro) C$:
normal a 1;1 superficie integral de 11 que pasa por el punto (..<talle Problema (1) y
la dirección de la curva inlesml de 2) q\IC pasa por el punto c,,'éllse Problema 30),
Resclver 1), dx
= •.
+ x dv -
C\' + "
+ 2:~
= O compatlbte: con
a) : - a. b) \'
+ JI +
2:
= O. e) \' + ,.-
O.
d) ')
La tcuación 1) DO es integab1c. De cada superficie dada se puccJc obtrna una ec:uacióo diferencial tocal tn·
Iterable. El problema planteado es.. por unto. resotser esta ccuaoón d,(c:rendal simultánc:ameote eee l' empleando la solución parucular de 1.. pnmera más bien que Ja solución ¡eneral como en /l de la lntraducción de ese
CApilUlo.
11)
r\qui = .. (1. ds
O. Sustituyendo en J) se obtiene ydx -+ x dy - O; de donde XJ' - C.
Se dice que las ecuaciones : _ (J, xy _ e constituyen una s()lu~ión de 1).
•
176
n
ECUACIONES
DIFERENCIALES
TOTALES
+ x d)'
b)
Sustitu)Uldo
x .. y .... 2: _ O en 1) se obcienc: )' dx
La solución es xy _ C. x + y + 2!' O.
t')
Aquí}' = -x. d)' _ -d'f Susü'uyendo ea 1) se
La solución es x, .. :' - C. x .. y_O.
d)
Aquí xy = e, x d)' + Y d~ - O. La ecuación 1) se: reduce a (x + )'
Entonces. o bien x + y + 2: - O o bien ds = O y z - C.
xy = (t, x + y + 2: _ O y : - C. x)' = a constituyen 111 solución.
=
Discutir geométricamente
g(z. Y. =) = O.
de P dx
de: la resolución
el problema
obtaenc
O '1 xy = C.
xd;t .. z dx = O Y x=
+ Q d)' +
+
2:~
+ ¿Z
-
C.
= O.
R ~ = O compacj¡'¡c
con la rclaoóa
.ud.
De la _n
g(x, y. :) • O se_
Se resolverá el sistema P dz • Q uy
(icular g(x, y.
:) = O de
~
••
+ R uz.
dz
+ ~
ay
ag lb.
• O.
••
.0
dy • ~ lb
+ ~
a,
f(x. y. ,) - C.
O.
.'
og d: =- o utilizando
dy
Sea
la Oltima ecuación.
•
la $Olución par.
g(x. y, :) • O
la solución. Las QJrv3S intepl«
IOn las intersecciones producidas en la superficie: g(.r.,. :) = O por el si$lm:a1
de: superficiesf(x. y.:) _ C. De modo que puede enunciarse as! el Problema 32<: Hallar todu las curvas qu<
escando en la super6ck (prI.ano) x + y - O satisfacen la ccuac:tón diferencial
ydx + xdy - Ix + y + 2:)11: - O.
Ea UD punto ~
(x.. )'.. :.) de la ."pedieie g(x. y, :) - O, la r«U Lo de inter'SeCOÍÓo de: los planos taoa g(x. y. z) .. O y la superficie: del $¡5tema tv-». z) _ C. que pasa por el pento. es tangente. l. CUI"VIde:
inlersección de la$ dos lIupcrlkies. Asi. se ha hallado la jamilw dt curl'w peneeecíeetes
a la superficie: dAd. 1(%..
y. r} • O cuya tangente en un punto cualquiera está en el plano. que pasa pOr este punto. determinade por b
,
ptes
ecuación
diferencial.
(VCasc Problema.
17.)
Por ejemplo, considérese el Problema 3a. Elíjase robre la supctfiCte dada x + y = O un puntO cu.lquJetI
(1), -a. b). En este punto. el plano tangente a x + y
O (en este: caso. el mismo plano) es normal a la direcci6a
(1, 1,O) y el plano tangente :11 la superficie (de la ramilja):r
-t :' _ a' + bl es normsJ a 13direcci6n
(a, O.b)
Un conjunto de C()5Itrl.O$ diftCtoru pan. la recta de int~6n
L de estos planes [la tangente I la curva por
=
(a,-a, 6)] es (-6. 6.a~
Ahora ~
d piaDO quc pu;o pur Ca, - e, 6) _o
por Ia......,;on áifetenCial _
es DonnoI. la
dir=ióo [y.~.-(x +)' + 2:)1. _ • ., - (-a. a. -lb~ Como (-6. 6. a) y (-a .... -lb) son d,__
eeemaJes. la m::ta L estA en d plano determinado por la ecuación diferencial.
34.
1) 2: dx
Resolver
De 2), y
la
CI
+
dy + }' d: _ O compatible
-x - : y dy"
uansform.ac:ión
z _
%.
+
XI
_
u:,
= XI
1/2, x
4)
La rrall:SfOJ'm.Ki6n
COn 2) x
+ )' + %
_
0,
-dx - ds. Sustituyendo y y dy por estos valores en 1) se obcicne
3) (2: - l)dx - (x + z + 1 Id: - O.
3/2 reduce 3) a
-
2:'1 dx. - (Xl
+ =.)d:.
reduce 4) a (u _ l)é.
-
O.
que es una ccuacióo hom~.
+ l.:. '" _ O. de doode
d:.
%1
Luego
In
ZI
Sustírujendo
+
21n(at-I)_ln
K
z,(u _ 1)1 _ K.
de donde
11
por xl/z,.
XI por X
+ 3/2
)'
=,
por s -
1/2 se tiene
Ix - , + 2)' - C(2: - 1).
+
2 cAl .. O
at - 1
ECUACIONes
DIFERENCIAl.es
PROBLEMAS
A \'erl¡;ua r SI
JS.
integrables y rc:soh't1 cuando
10ft
(~. 3.)d<
$el
2, )d~ • (3.· 2,)<1>
• ,••
TOTAl.ES
171
PROPUESTOS
po5l ble,
O
Sol.
KY
a..: ..
2y~ -+
+-
e
36.
37.
dx •
(,1: ... , )dy
J~(ú" +- :.dy
.. d.: •
- 2yd.l
•
o
y"
Jn(x·.)·C
.1 , ..
o
T :-
ez
,
~.
«l.
(x .1)1 dy
y'l(tb ~ dz.) ..
+-
41.
2.I'(y
41.
y:. dx - 2xz dy
43.
xtb
t(x
,
.. :)dz .. (2yz.-,¡:
2
-1:-:)CÚ
1(X+-:)
-7 -z.
,
2
)uy .. (2yz.-s
-J
'1
'1
+z
s'
)az=O
+-
..
o
1):(/:.
'1
+-Zz.(x-tz.)dyl.r(:
(x
'1
-,1"
-.a:y)r1:
~O
t
:o
C(x+y+z.)
12 .. :'
=
CCy+-:)
c.:
'1'2 •
:x.y dl • o
2
(.1 +,'2..,1'
.. ydy ..
2
+-
o
'1
•
y2
~t
'2
+-.l)e'
(x+-y)/1.
e
.. (1+1.)/x.
e
•
dx ..
ay •
o
(l + y)dz. .,
.. (X" y)d: ..
l (ca • dy)
46.
47.
x(:dy.yJl)
ycb. _.2: tiy +- yd.z
48.
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1
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2,y:dz.
,d"
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o
dz
,(a • - y • )
d.
t(y'-.r')
2
'1'
2,
•
3,
• Cs.
. el.
,•
• y
x
2
,• y
t
• • ,• =c,
,
2
• C.
CAPITULO 2J
Aplicaciones de las ecuaciones totales y simultáneas
SI UNA MASA m se mueve en UD plano somelida a una (uena F, $U aceleraeién sallsf""" la
scaunda le)' del movimiento de Newton: masa )( aceleración - fuerza.
Para obtener las ecuaciones del movimiento. si se emplean coordenadas rectangulares, consi ..
dérense las componentes de los vectores fuerza y aceleracién a lo largo de los ejes. Las componenles de la aceleración Q. y 0, están dadu por
d'x
a
x
y, designando por F" y
F, las
= -,
dt
t
componentes de la fuerza. las ecuaciones del movimiento son
y
••
".
".
,
•
Componen/es d~ F en coordenadas rectangulares y potares.
,
En coordenadas polares, las ecuaciones correspondientes son
.. (d'P _ p(d8).}
dt'
dt
dp d8
= ,.
m(2-
-.
dr dr
p
d'S
p-}
dt'
= ',.
donde F, YF. son las componentes radial y tran.sversal de la fuerza, esto cs. Lascomponentcs a lo
larso del radio '''''IOr en P y de una recta perpendicular a él.
PROBLEMAS RESUELTOS
l. H.llar la 'amlli.a de curvas ortogonales a las superficies
Como x"
+ 2y" +
4r
=
e es
x" + 2,.~ + 4:' =- C.
la primitiva de: la oeu.ción diferencial IOlaJ
xdJt + 2ydy
+ 4:d:
_ O.
la teu,ción direrendal de la familia de curvas 0"080"31(:$ es
ti, • d:
•
2y
178
••
(véase Capítulo 22. Problema 31.)
APUCACIONES
Resolviendo
DE LAS ECUACIONES
~2' se tiene
dx
x
y
)1
= Ax1•
II
La 'amaha de curvas pod.icb tiene por ecuaciones y -
1.
~trar
=.
Resot\llcndo ~ _
4:
aJ.
x
se
llene
sr.
: -
Ar. : - By.
que no hay ninguna familia de supcorficin OftQlOMtcs
.. : - ,.1' _
179
y SIMULTANEAS
TOTALES
al
+) _
$I$l(:I'U
de cunas
b:.
se:
DctlVlndo 11$ ecuaciones dadas y dimínando ta$ constantes
bcne
Jx .. dy - !...!l Jz •
•
X2 ..
;c~ -+ "
, ,
en la
selunda.
Luego
$C- tiene
(!-!.L •
l)dy
e
Z
2%y
las ecuaciOnCS diferenciales
.y
•
en rornu
tÚ
dcdondc
simécrica
dy •
2>y
d.
___
o
(z ..y)z:
de la (amlha de curvas dada son
( ...
T)z
(.<' T y')<!y + lr,dy + Ix + y):d: - 000 ....... """ la c:oodiáóo
familia de superficies que Cl)l1en ortocoo:a1mtnlc
las CW"Ya$.
Como la cc:uaáóo
exute
3.
n,",una
t
uy • Resolvi~dol:. respecto a dx, dx • -_Y- tiy. y sustítuyendo
2>y
2>y
La primero se puede escribir as¡ ~
do
m~.
00
La coolponence ~ de la aceteracién de una patticu.la de masa andad. mO\l1Cndose en un plano. es igual a Su orde ..
nada y 1:.componente J' C$ igual al doble: de su abscisa. Halla.r la CC\lac¡.)n de su trayectoria, dadas las oondicionn
iniCIQ,Ic:sx _ y_O. á:cldl - 2. dy/dl = 4 cuando J -
o.
Oeriwndo
la primera dos veces y teniendo en cuenta la kJunda..
a
C1<,,:. ... G,e- ! + C~ COSo!
x
dy
C. )oC"
ee •
y
dI'
donde
Q"
Luego
-: O'(Ct<c~ _
las condiciones
2
e, • -C.,. __.. 2
z,,1
Las eccacícees
0.
o
paramétricas
•
2.
J.'
~~_Q.t.
C~ sen al _ C. COSo,).
d.
Empk:ando
:-
,1'.
y •
y
..
e,
•
.
iniciales; C\+C~.C~.o. C,..C,-C,.o. C,-C,.C.:.~.c;-c.-C
C,
:o
0,
y
de la trayectoria
>1(2,,12)
"
>'2(.
son:
i2, - e-:t2t )
-
.."
,(2-ñ) >'2
sen ,12 t.
.....!..
.'
..
-----------------------------------------180
APLICACIONES
TOTA~ES
y SIMULTANEAS
UnA patdcula de ma.sa m es repelida de$dc el ori¡cn O por una (u~mI que varia in ..-ersamcnlc al cubo de la dlS,anol p al punto O. SI comienza en el punto p - D. O • O con velocidad "o. perpcndicul:lr a la n:c:ta OflgeU. hallar
1. ecuación de la crayc:ctori.a.
".
Las componentes
radial
'1 ~n.al
Jt2
O
bien
Integrando
2).
Sustituyendo
d,'
~
dt
d, dt'l
!
Pato '.0.
P"G.
1
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2 ol~
Y
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Dividiendo
por
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Para
C,'
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- P(~)'
d'
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oIt'
=
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1)
F,
de la (UC1U que rtpCk: son:
.(d·P _ P(~)')
Por t.nIO.
S.
DE LAS ECUACIONes
y
p
•
•
...,
¡,G1Io+.It
f 2
.....
2
8,
Un pt'O)'CClil ck: ma¡a m se lanza al espacio con una veJoadad inicial Do y un ángulo 8 respecte del terreno.
Oesprcciando todas Ia:$ foer7.a$ exceptO la gra'o'Cdad y la resistencia del aire. supuesta proporcional a la vdcxid~.
hallar la posición del pro)'ectil ea el tie:mpo l.
En su
movimiento
horizontal.
el proyectiJ solo es afectado
por
la componente x de la resistencia. POI'tanto.
,
1)
11 ~
elt
y
•
2
-K ~
de
=:
-M ~
de
o bien
En Su mevímienrc ~ticaJ. el proyectil e$tá afcctado por la gra.
vedad y por la eumpooente y de la resistencia, Lueso
2)
-.,_
.. 52:
d.
o bien
A'L,CAC'ONts
tú
'o<qrando •~
Inl('grando
2).
DE LAS ECUAC.Ollts TOTALts y S'!04ULTANEAS
el
di •
- b ..
!!z •
d'
- Sr - .,.
Empkando las condlclonn: Inicialn
Cl•
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.....
1-
K'l.
m,
Do, masas,
y ftlJ• «llAn .separadas por un resorle ~I'ta el que k - ka )calm. y mI C$t:i
lipda a un sopoet por inlermcdio de un resarce pora el que k - k, k&lm. como te •.nd..:a
en la fig,ura. Roco el equIlibrio del JI$letna, 13Smaw se b:.an desplazado hacia IMjo (1 ....
l'-OS y se hao dejado libra. ~.$C
su tnOvImk:nlo.
Cons:~
como positIva 11dlteCC'fÓn hXlI.~
Y designe1Jse:
plar.amtc:nlos de la, masas, en el Ilempo l. a parnr de su. rcspectiVb
X, Y 'fa Sos de:s~
postetOMS de equi-
pcK
librio. Por tatlto.la elonaaclón del resorte superior es \, y la dd resorte Infcnor
X2 -
x,.
La, fuerzas resl3uradoru eerrespondientes en los rescnes son
-k
,x, ....k:a{Xl
Las ecuaciones del
mOVlmlcntO
y
,
-.va)
-k,(Xl - ''"1)
aGlulndo .sobre mi
IIctuando sobre m)
soo
a. d ",
y
d"
o bien
y
Operando en 1) con (m,D1
2
CAtD ..• ,)(~D
2
"",,, ")""
(D'
+ k))
Y teeiende en cuc:n,a 2)-
- .f(~D
I
2
..'.).,
..
• (A,...
__., ,.t
.. -)
t
• (a."l) + ',,)(-..D ... , ...
1,1,)
• --,z,
.,.,
D'
,
,,),z,- '"''''
•
• O.
Designando la. rakes de ta ccuac:ión earxceristtea por ±~. ± rfJ. donde
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11-("'a,..." .....)
a,
..
±
,
..
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Empleando
c.
lal' con<heiona iniciafcs
c. •
~,.
JI:, •••
_·_·o
cIz,
dz2
Jt
dt
y
pelta
t. O.
_ ~1r-s.-
211,
t
a¡o. ).
0.' _ /3'
O
182
7.
APLICACIONES
DE !..AS ECUAOONFS
y SIMULTANEAS
TOTAUS
En un eje umfcrme hay tres discos. cerno se Ind.ca en la figura
adjunta. El momento polat de inercia de cada di~
de los extrernos es , y el del disco del med¡o es 4/. 1.,..;1 constante de rigl'
dez de torsión del eje entre dos discos (el momento tOCSOr
necesario para producir unla diferencia de despJ3.l.lImtenlO ano
gular de: un radián entre dos discos sucesivos) es k. Hallar el
movim..mto de los dÍSClOSsi se :tplw::a un momento tOl"$Or 2To
sen 0)1 .1 disco del medio, suponl'tOdo que par.l I - O están
los discos en reposo y no hay ninguna IOr$)Ón en el eje.
e,
Sea. en el tiempo l. el desptazamícoto angulur del disco en coda extremo y O~el del medio. las diferencias
de 10$ ángutcs de torsión de: los extremos de las dos piezas del eje. de: izquierda a derecha. son O: - 01 Y 01 - 0:.
los momentos torsoree equillbradores que actO;ln en los discos $On k(O~ - 0,). 1e(0, - 01)
k{O: - D,) Y
-k(O, - 8:) respectivamente El momento tonor eeo que actúa sobre un3 masa cuando 1";\ es igual al produclO
del momtnlo polar de incn:1A de la masa respecto del eje de rOlaOÓn por su 3OC'kraaán an&ula,r: luqo 13U\l*Ci6n
del movimirnto
del di5co ntc:dio es
o bien
(21D
2
+ R)O.,
k 8, .. 10 sen wr
•
y la de: C\l3lquier disco Clllremo es
.e,.
2)
~
en 2) con (2ID: + k) y teniendo
Operando
I
en cuenta
ll.
I
(2102 ••
•
•
)
<ID'. ')81
ratees características
8,
.)
+ 3k/)81
-t
C:,CO$a(
C.sen
t
-rok
.-
sen (,¡le.
02l a Jk/21 y
son O. O. al, -ai. donde
e, . c,t
.. ~ 8", .. 1(.. sen GtJr•
.(21D' • .Ie)82 =-
D?(1.rD'
3)
las
-:
(1,
t-
10'
Stn cut
1",2(2Jw' - 3')
e",
+ C,t + C3COS
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+
C.. sen
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0:.' +
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1 ,
8, • (¡O'
De 2).
S)
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•
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el _
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APLlCACIONES
C••
I
2
Lues.o
C.
lOO
TOTALES
o.
C.(I- -<> ) :
•
OC LAS ECUACIONES
y SIMULTANEAS
183
y
e, ., __ .....:T.,:o"'=-'7"
C~ = O.
310.«(1,/- Q.~)
e, •
y
ro (~
6, • 6, -
sen Gol' - "' sen
CLt)
21<1(..' _ <>')
8.
l..a$ tcuaciones fundamentales de un 1r1nsfonnador son
11 11 d., ...L, ~
tir
dt
R 9'~· O.
+
E(, l.
donde t.(t) e ;2(1) son las corncnltS y ~/. 1.1' Lz. Rl. Rl ~on C:0054J1nlti.
Al
• R,E("
• L,E'('I.
t
1
Re~l~r
el sisu:ma si E(t) _ Eo
Derivando
C$
1) Y 2) re$J)I).:IOde
. -d"
.. R
d"
Muhlphondo
•
l.
e
l
•
eensrame,
,
b
o.
• d'
11 ti "
4)
d,'
,
,-d,'
.. L d"
3) por M Y 4) por LI y rnta.ndo
SUlIllluyendo di! por el velor deducido de 2. se obtiene AJ.
d,
Muhlplicaooo
3) por tJ
"L
""
SUlIllluytndo
Cuando
i;
di
E(.)
)'
4) por !ti 'Y
--. ....
,-It'ld'.,
dtt
por d '4Jor dcchllC'MIo
= Eo
Las ratees caracterísncas
la ct"U.ae16n A)
son c ,
rescando
p •
R'
de 1)
SC'
- - 1111d,.
,elt
dí,
dt
obl.ttenC 8).
C$
i
I(/{,L, -RoL,)' •
L,L. _ 11'
.
E'«(J.
184
APLICACIONES
OE !..AS ECUACIONES
Luqo
.I
\s..
Para. halla, i: multipliquest
C1~
,.
lo
.....
t
TOTALES Y SIMULTANEAS
6f
Eo
.. _.
R,
1) por M Y 2) pOr LJ y t"é$tC$C. obc.enllMdo
IIR7~
<L"L, _Nt)~
•
• LtRt"
-
L,Eo.
Luqo
Obsérvesc que como MJ < LtLl' « )' fJ son. ambas. nqBlivas. Luego después de un rlempo. la comente pnmAria se hace. aproximadamente. ccnstaruc - 6JR, 't la corriente secundaria 12 llega a ser dellprecilllblc:,
,.
Una particula de masa m en movimiento es atr¡jda haciu un punlo fijo O por una fuerza central que varia ¡nller¡amente :al cuadrado de la distancia de la patticula a O. Demostrar que fa trayectoria es una cónica que: llene como
reee al punto fijo.
coordenadils polares con O como polo las ecuaciones del mcvinuemo
Emp~ndo
1)
tJ'p
.(-
de,
-P(-)
d"
!r
2)
•
De
~
dI'
d
.(2~~
di dI
dt
•
Sel tr •
dt
~IP'~)
2) •
!.
P
K
-p'
J
dt
Entonces
d'e
• p-)
....
•
• o
d"
= o
y
c!!. • el
2' •
dI
p ,d8
_.
d.e
,
dod<7
-.
e?
<le d8
dt dt
p'
d'e
pd"
.
- el de
-,do-
dI
P
It'
2
dI
O.
Cl•
dI
C 10"'
- It'
-.
d'p _ pf-,e),
dr2
o bocn
-(-c.=)·
dI
o bi<n
p'
son
Sustituyendo
y
en 1) Y simplifICando se tiene:
que es una. ecuación hneal con comc1e.nes constantes. Resolviendo.
o bi<n
p
•
c••
cónjc:, que nene O como foco.
0.,
se Ik.nc: pe.
1 i e cos(8+a.)
ecuación de un"
APLICACIONES
DE LAS ECUACIONES
TOTALES Y SIMULTANEAS
185
PROBLEMAS PROPUESTOS
10. Hallar La familia de curvas ortogonal a la familia de superficies
Sol.
y
=
Ax,
%
=
X2
,-
C(x'
C.
Br
11. Hallar la familia de superficies onogonal a la familia de curvas y
Sol.
+ yl + 2zl _
=
CJx. Xl
+ y" + 2::
=
el'
+ y')
12. Una partícula de masa m es atraída hacia el origen por una fuena que varia directamente a su distancia a O.
Si empieza en (a. O) con una velocidad tI(l en una dirección que forme un ángulo 9 con la horizontal, hallar Ja
posjción en el tiempo t .
S()I. x
=
Q
CC)$
ia
O
.&:0 COl'
+ --k-
13. Las corrientes J" i1• i
=
tI
+
"o sen O sen kt
sen kit )' _ ---
k
i1 en cierta red satisfacen las: ecuaciones
.
di2
20, + 0.1 di
Determinar las corrientes satisf3ciendo
-
S.
las ccndicicecs iniciales ¡ = ;1
Sugerencia: Utili«S( ;1 = dt¡1 para obtener ¿l~J
di
14.
di
+ 240
d!¡.
di
= i1 = O cuando
+ 4O.000q, _
1=0.
O.
En el depósito I bay, en un principio. 100 docalhros de salmuera COn200 leg de sal, y en el depósito 11 hay
50 decalitros de agua. Del depósito 1 pasa salmuera al depósito 1/ a razón de 3 DI/min. y del depósito 1I al depósito' a razón de 2 DI/min. En cada tanque se agita perfectamente la me:lda para que sea homogénea. ¿Cuánta
sal bebré en el depósito f al cabo de SO minutos?
Sugerencia:
qt + ql • 200.
áql - ~
di
SO
+
-~.
I
lOO -
SOl. 68.75 1(&
I
CAPITULO 24
Resolución mediante aproximaciones numéricas
EN MUCHAS APLICACIONES hay que hallar el valor y de y correspondiente a x-x.
de In solución particular de una ecuación diferencial dada
+ Ir
y' • (x.y)
1)
que satisfaga las condiciones iniciales JI = Yo cuando .:t - xo. Problemas de este tipo se han resuelto hallando primero la primitiva
2)
y :
+
f(,,)
e
de 1), seleccionando después la solución particular
y
3)
&
,(x)
que pasa por (xo. Y.), y calculando, finalmente, el valor requerido ji - K(••o + Ir):
fr
..
--
CU30do no vale ningún método para baUar la primitiva hay que utilizar algún proeedimien ..
lO para obtener por aproximación el valor deseado. Integrando 1) entre los limites x = xo. y - Yo
y x-x. y ~ y se obtiene
4)
y
El valor de y para x - Xo
... Yo ..
+ h es. pues•
Y =
5)
Yo' -+
r..
J...lI>.'
f(x,y)
((x. y)
dx ,
ax ,
Los métodos de este capítulo son procedimientos par. obtener por aproximación 4) O 5).
METOOO
DE PICARD.
Para valores de x próximos a x
= Xo
el valor correspondiente
de
)' - g(x) es próximo a)'o - g(xo). Así. una primera aproximación YI de y _ X(x, se obtiene remplazando y por )'0 en el miembro de la derecha de 4), esto es.
Yl
Una segunda aproximación,
4), esto es.
)'2'
;.
Yo +
1"..
{(x. Yo )b
.
se obtiene remplazando Ji por Ya en el miembro de la derecha de
y~ ;: Yo ..
..
l~
(x'Yl)dx
•
Continuando así se obtiene una sucesión de runciones de x
Yo.
y,.
Y2.
Ylto
•••••••
dando cada una una aproximación mejor de la solución requerida que la anterior.
Vé3nsc Problemas 1-2.
El método de Picard es de UD considerable valor teórico. En general no es satisfactorio como
procedimiento práctico de aproximación debido 3 las difICultades que surgen en el cileulo de 135
integraciones necesarias,
186
RESOLUCION ME.OIANTE APROX1MAClONES
SERIE DE TA YLOR.
NUMERICAS
187
El desarrollo de Taylor de J' - g(x) par. (.t., Yo) es
6)
De 1). y' = g:(x) = f(x •. v): luego. derivando sucesivamente,
y' =
7)
r:
=
1I'(x)
or
ox
2!. dy
+
ay
• .1..(2!.
dx ox
= ["(x)
(~
ax
ay
+
2f o' f
ox
ox'
Por comodidad. se adopta la notación
ay
Ox
+ ,of)
af af
ay
~ a'f
-t
ar t ,a' .
~
dx
r ~)(al
t
ay ax
t
Oxoy
af
ax
p = -.
f(2!.)'
ay
af
ay
+
t
f al)
ay
f' a'f ,
• =
q =-,
etc.
ay'
;¡'f
--o
,Oxay
y se designan por !o,Po,qo," '105 valores def,p,q,···
en (xo, Yo)· Sustituyendo en 6) los resullados de 7) y calculando para x = Xo + h se obtiene
•.........
Se puede emplear esta sede para calcular j; es evidente. sin embargo. que cada vez serán más
complicados Jos términos que se vayan añadiendo,
véanse Problemas 34.
METODO DE LA PRIMERA DERIVADA. Este es un procedimiento en el que solo se empican derivadas primeras. esto es. que se consideran solo Jos dos primeros términos de la serie de
Taylor.
Como una primera aproximación de y, tómense los dos primeros términos de 8)
ji "" )'0 +. II/(xo, Yo).
Para interpretar geométricamente esta aproximación, sea PQ la curva integral de J) que pasa por
P(xo, Yo) Y sea Q el punto de 13 curva correspondiente a x - :(0 + h. Luego j = MQ = Yo + k.
Si Bes el áugulo de inclinación de la tangente en P, entonces de 1) tgO ~ /(xo, yo)y la aproximación
Y. +.
II/(xo.)'o) =
LP + h tgO
= MN
+
NA ~ MA.
!r
•
•
RESOLUCION
188
MEOIANTE
APROX1MACIONES
NUMERICA$
Para obtener una aproximación mejor divídase el intervalo LM de amplitud h en n subintervates de amplitudes h" h, •... h•. (Eo la figura, n = 3,) la recia x = Xo + h, corta a PA en
R~<o+ h"yo + k.) - (x,,)',). Luego
Sea RS la curva iaregral de 1) que pasa por R y tómese en su tangente en R el ponte T cuyas
coordenadas son (x, + h"p, + k,)
(x"y,). Por tanto,
=
Después de un numero suñciente de repeticiones se logra. finalmerne, uña aproximación J\fC
de MQ. Como se ve claramente al observar la figura la exactitud del resultado será mayor cuanto
mayor sea el número de subintervalos, o. lo que es equivalente, cuanto menor sea la amplitud de
los subintervalos.
Véanse Problemas 5-6.
METOOO DE RUNGE.
9)
k
= ji -Yo
=
~ hfo +
2l~h
De 5)
y
8) se obtiene
1
..
f(x,y)dx
"0"
11+ Sh (ro +Poqo + 2foso+
(Po + foqo)
'l
2
foqo + loto)
Supóngase. por el momento. que se conocen los valores Yo~..vl')-'l de y =
a Xo, XI = .\"o+ !h. Xl -= X() + 11. Emcoces. por la regla de Simpson.
10) k
=
1",··
'"
f(x,y)dx
~
~(f(Xo
Yo) • 4f(xo.!h,
+ •••••••.
g(x)
que corresponden
y,) • f(xo ..h, y.»),
Realmente solo se conoce Yo' El método de Runge se basa en ciertas aproximaciones de
11 e 12.
y" ~ Yo • ihf(Xo,Yo)
= y~ + !hfo.
Y"a
~
Yo
+ hf(xo+h.
yo...hfo).
elegidas de forma que cuando k. hallado mediante 10), se desarrolla como una serie de potencias
en h los tres primeros términos coinciden con los del miembro de la derecha de 9). Así. de JO)se
pasa a
h
11) k '" ¡¡(fo
+ 4f(Xo'
fh,
Yo+ ~hfo)
+ f[xo+h,
yo+hF(xo+h, yo.hFo»))·
Estos cálculos se hacen mejor así:
k, = hfo,
k.
=
hf(xo'/'I,yo ..k,),
k "
k. = hf(xo+h,yo+k.),
k.
hf(xo+!¡h,yo+;k,),
1
¡¡(k, + 4k. + k.).
Nota.
Como ta aproximación de k- obtenida aquí difiere del valor dado por 8) en los términOSque contienen potencias de h superiores a 3~ la aproximación puede ser peor Si J'o > l.
Véan.se Problemas 7-11.
METODO DE KUTTA·SIMPSON.
Kuua ha hecho diversas modificaciones al método Runge,
Una de ellas, conocida COmOregla de Kutta-Simpson, emplea los siguientes cálculos:
v case
•
Problema 12
RESOLUCION
MEDIANTE
APROXIMAClONE$
NUMERICAS
189
Se pueden obtener
ECUACIONES DIFERENCIALES SIMULTANEAS DE PRIMER ORDEN.
aproximaciones de. la solución de las ecuaciones diferenciales simultáneas
d. _
dX - A(x,y,')
d"
para la que I - J'. y : = =0 cuando x = x e- m••hanl< el método d. Picard, l. serie d. Taylor, el
método d. Runge o el método de Kutta-Simpson. En la resolución de los Problemas 13-14 se han
hecho las modificaciones necesarias de las fórmulas ya dadas. Rápidamente se puede ampliar esto
a tres e m(IS ecuaciones simultáneas de primer orden.
dy - f(x.y •• >,
ECUACIONES
DIFERENCIALES
DE ORDEN n.
L. ecuación diferencial
,.
y • ttx.v.v',
d
y., ......•
y"_l)
ctx"
donde y' .. :;.
y"
.•.. , se puede reducir al sistema de ecuaciones simultáneas de
primer orden
~ = Yl'
= y, •....
::'
o
•••
=
~~-~
y~_"
=
I(x.r.y,.y,
(y 1)0.
Y"I'I(y,)o.····.
~~_l
Si se dan las condiciones iniciale-sx = "o. y. Yo. y'
%
y~_,).
y""l
= (Y"-l
)()
s;JStemJ.
de
se aplican los métodos anteriores.
E"¡ao¡oIo I.a =3Cióo
ecuaciones
direrenciaJes
dif..-.-.t
•
d y
d".'
de t<gUndo ..-
aJ
sim\lltl1ne11i de pñmer orden
~
dz
..
."
d.
- • 4r -
véaese Problemas 15·16,
:Ltl •
PROBLEMAS
1,
2x dy _ 41 • O es ~ujvakntc
dz
RESUELTOS
Emplear el mécodo de Picard para hallar el valor aptoA-imado de J' cU;\.l)do x _ 0.2 • .sabiendo que: y _ 1 para s = O
Y
y.
(~\'Id,"( .... '( -
AqUl le.t.)I)
,A.
-
y. ,'{o. O. Vo- 1, Luego
_y
Y.
lo •
,.
lo
y.
Yo •
Y.
•
_1_
73)
o
fa%
!(x.Y.)d%
IX
!<X'Y'l.)á:J.
•
foX J<:t.y.,)d:r
x~ _
.!. x!)
so
+
•
1 •
•
..!. JC"
12
_
[~
l'
(- _z + 2x - l)dK
•
2
J •
ir.
J •
1%
•
1 ,
'1
(-X
_:t
6
1.
(- -1
..
0213
1 x' *'
JC' _
r
•
.
.2x-l)d:c
1
--x
6
.
1
-%
,
+x
I 1
• _ -x
3
24
1,
'1
,
-:t -;e .. lr-l)cfr
,
-
'
__
%
z
+ 1.
•
%
,
120
f-
a
-
•
%
___
U
%
•
,
%
3
1,
.a:
• - % + l.
l.
3
Par a x - 0.2, Y. = 1, Y. - 0.82. )'1 = 0.83867.
Luego. eoo cinco cifras d«imalcs, j - 0.83146.
), - 0.83740.
"4 _
0.83746.
y, _ 0.33746.
190
RESOLUCION
MEDIANTE
APROXIMACIONES
NUMERICAS
NOf(J. La .primitiva de la ecuación diferencial dada es J' = .x - J + Ce-A. La solución particular que seoSract las condiciones iniciales x = O,)' = 1 es ji = X - I + 2(.-"': Sustituyendo (' .... por su serie de MacLaurin
.
se (.ene
.Y • 1 - ~ .. x zl}1
- -.x
..
1~1f1
+ - x - _ % .. _
X
3
12
60
360
sucesivas que se obtuvieron antes, parece- razonable
ximacioncs
,.
suponer
eemparando
'.
esto con las apro.-
que la sucesión de aproximaciones.
dada
por el método de Picard tiende a la solución exacta como límite.
2.
Aquí
+ ),2.
I(x,y)·
L
Yo +
3x+ y'1,
x
XI) e
O,
•
~2 x' •
y,
•
Para x
y
., = .x
Si dd
c.
+
1
o
e
e, l.
Ji. 1,115.
Yo: l.
Aquí
y
+ 0.04
-
y=
lo
.
4% ... Sx ... l)dK
.-,r;
23 ~
+
3
_2
5
I)L
x+ Q.lO
1, 12721.
-l.
2,
+ O,6h + 0,4 2 x=
1.6.
h=0.6
h'.l
0.4
,.
• g
•
Y
: g (x)
(x)
v
1
+-%
12
1
12(0.0016)
g"(xo)
h~
-
1
60(0.00032)
=
0.4.
6' + M 24 -
g"'(.x.)
ItS
0.4 120
+ •..
=
• -Y",
• -r
1
•
-
-
60
,
%
Iv
K"(.r.)
116
+ 0.4 nó +
-2.
2.
gV (xo)
-2.
.
._
etc.,
Luego
(véase Problema L}
'" 0.83146.
-0.4,
g'" (.xo)
g'v(Xo)
= 0,4.
... '.
donde
etc..
h-
x-
'<0'
y
+ 0.6(0.6) + 0.4(0.18)
'" 0.81953.
IT
y
y
+
• -r".
y'" • ("(Xl
1.
8' (xo)
1
3(0.008)
= I para x-O.
= 0.4 para x""' 1.
1,6. Y dando)'
g"'(xo)
h'l
0.4
'2
0.2, Y dando)'
1-y',
Aqui g(xo) = 0.4. g'(xo) = 0.6.
y de la ecuación 6) se deduce
Po ra
=
=
: x. -Y.
.
=- gN(X)
b)
0.4
3x
y, =- 1, 12&1. Y'J.
8(%0)
y de la eccacién 6) se deduce
1 - 0.2
x
soo.
y' • 8' (X)
y'
y=
t
- y utilizar el método de la serie de Taylor para hallar el valor aproximado de )' cuando:
b)
f =
x 9 ..
(-x
4
x + l.
81 10 27 9 141 11 17 1 1157!> 136 ~ 125.
-x
+_z +-z +_x +--x +-x .-;x
400
40
80
4
180
15
12
,,) s
,,)
Lo
0.1. sabiendo que y = I cuando
Luego
Yo -l.
(3.x ... Yo)(Ú
1)
1 ..
3.
=
UtiHcese el método de Picard para b3J1arel valor aproximado de y cuando x
x _ O y dylrb _ 3.x
- 0.4(0.036)
+ 0.4(0.0054)
- 0.4(0.0I)()648)
+ 0.4(0.0000648) +
.
Re80LUCION
MI!OIANTE
APROXIMACIONES
NUMEI'.ICAS
191
dy
.. S'.í, - 3x + y'
cmpbr
<1 oWlodo de la ...... de Tayto< .,. .. hallar <1 valor ap<cwm>do de ) c.wodo
.) l - 0.1. '1 dando y • I p"t'iI .. - O
b),
1.1. Y dando T - 1.2 po .. ,
l.
A<IUI (,'"o. Yo) - (O. 1). .tI t~) • 0,
11)
f.\') _ lt I \,1,
y'
_,'
'o"
-,"(\t-
y'" - R'''hl
3
s
,'1(
,
+
0.1
1
'"
¡\qll(
9
+ '2r + l~
+
+ 0.025
(X,.
y.) - (1,1,2),
,ttef\'l)} _ 537.078,
donde" _ x - x ..
J' •
5.
1,2
Ulil~
+
g( ••
+...
.0.00003
K'(.,.I-
+
(l. 1.21. .,.
h,6
+
0.0()l(12.031
,,1 = (1.075,
J(x••y,l -
0,025,
01
bl
1Jt ..
!'.' =
(x,.r,I
Problema
2.)
lt'
l:ro +
.
se:
x _
Véast
+ •. .,
0.00001(41)
el Ptobltma
aprol:I:nu.do
de:? cuando x - 1.1.
+ kl + k1 + k) + k .. -)'3 + ....
k, - h,J~,.. 1••• 0.111 :
4.44.
-
- h,JIJt",,) - 0.1191:
1.4308.
ns;», =
5.6608.
0.1299;
k. - hJ(.<,. ,,) - 0.1<15:
+ k .. = 1.7022.
derIvada. ron n = 4. para hallar ti v:alor aprox.imadO de: ,cuando:t
,
1 'Y ~d'Y_
.
t"l +
2y)'J't •
toma /tI - h't - 1,) • Ir. - 0.1.
11. 0.2~ A,
0,1,
/(.<.,)'.1
= fo =
,'1
(\,. ,,1
=
ti)
t.,,,r,)
= {1.3.0.60741.
11.2.0.45421.
h, - 0.1.
/1.".,,1
'1 =
1.183. k, - h,J(, .. 1.10,3183.
+ k.
Y. -,.
= 11.1. 0.318)~
=
Ya
A,.
0.1,
/(x"y,)
h••
0.1,
Il'.,,.1 =
=
1.359.
.i.
k:
,z
k, - h,JI<,.y,I
0.4542.
- 1.532. k, - h,J(',.y,I
1, = 11 +- k, - 0.6074.
j ~
g*
4b
O.O~.fL.,.y,1= 5.1972. k, - hJtr,.!J' y, - Y1 + k) - 1.5607.
0.02~.
1.7270.
j'~
0.02S.
JI, + 41
h••
1,5W7~
para
+
+ k. - 1,311.
fL',.)·,' = 4.7937. k,
h,
de la primera
Aquf Ir _ 0.4 Y
y de 6) .. ded_
K"'lx,l- 72.202.
13.6$6,
It, - 11) - h.. -- 0,025. Se busca Yo
j se Yl
= 0.2
0.0001(22,41
+ y.
I '1 dyldX - l.\'
II.OS. 1.4J08~
Utilk:ese el metodo
#"(".1-
dc:riYllda. eco n _ ot. pilti1 !\;IlIar d vaSor
ptlmcn
y,
bie"do que )'
lSC.
(Véa se
"'.1272$
4,44.
h~
b) (","',) - (1.025.1,311 ~ A,
6.
C.f.' _
~Ii
, y de 6) se: deduce
J', -
d) ~'"
2,,,",
'2 + 72.202 6 + 537.078 :¡¡ + 4973
que- y _ 1.2 para s -
Ix,. y,' =
+
hl'll \ - 0,1.
I _1.2,
),'
Aqui IJ .,. 0,1 Y se toma h ••
<J
,.. ('.1 - 54.
In
0.114.441 + 0.0116.a2l)
(tI (.••.y.) -
+ 8.• ),'"
,'''( •• ' _ 12,
Pan x - .,1. Ir - 0.1 '1
el método de la
blendo
611".'
4973 •••••.•••••
x·(xo).
y. 1.2 + 4,44h + 13.656
6y'y"
+ 2,·)' ..,
+ 2,1'..·•
+ 0.00022
l.
," (>.1 - ~.
+"iOx'
_x6
+ 0.002
" (x.l-
2yy',
- 21y'I'
y' _ 11" Ixl
Y «« (>1
., - I
+
1,704. k. - h./I',.y,l_
y, + k .. = 0.1178.
0.1183:
_ 0.1359:
- 0.1532:
0.1104:
-
1,4,
sao
K!:SOLUCION MEDIANTE APROXIMACION6S NUM€JlICA$
192
7.
UliJtecse ~Imétodo de
.\ .. I Y dyld:( • x -
RUI1gt' patil
halhar el VOIloraproximado
(VCasc Ptobk:tna
,Y.
CY"
.. Y.I - H. O.4L Ir - 0.6.
Aquí
k,
Iof.
k,
hlh
s=
de) cu .. ndo
1.6. sabiendo que y - 0.4 parla
Jh.)
1"
1 ... 0.4 • 0.6
LurIo
0.36.
h.y•... k,1 = 0.6[0
D.61- 10.4 + O.16IJ - O.lOC.
k, _ hfl.'·,
h.)'•... k,) = 0.6[0
10.4 • O.lOC)]
0.4176.
k. _ hflx
ih.y. + tk,) - 0.ó{11 ... 0.3) - (0,4
+ 0.181]
- 0.432.
1
k .. 6(k, + 4k .... k,l
=
Q.6'-
1
'6[0.36 + 4(0.432) + 0,4176]-
J' -
y
0.4176.
k.., 0.8176.
)'0'"
La difcrencln emre este valor aprcxlrnadc 'i el haUadu en el Problema 3b se debe a que" = 0.6. Si KC hallu
<1 ""Ior de y cuando x = 1,1 (esto es. h _ 0.1). l. seri. de Taylor d. jt = 0,4 + 0.6(0,1) + O,4(o.oOS)0.4(0.000171 ... 0.4(0.000004) - •••••••...
~ 0.46193. Y por el método de Rungc se obli.".
k, • 0.1(0.6) _ 0.06.
k. _ 0.111,05 - 0.43,-
1.
t
k,
= 0,1(1.1
0.062,
k,
- 0.46).0.064.
k",
1
¡;(/<, ... 4k ....
k,l-
0,111.1 - 0,464) = 0.0636.
0.06193.
U,.1Icc:sc:c1mnudodeR\lngc:parabalJardvaJorlpto",madodcyeuandox
y
3x + y'.
z
.,'/d., •
I
kl
Aquf
(X••
-lifo -
0.1,
k,
".)=(O.I~
h=O.l.
1._1.
e
y'"
0,46193.
0.1. sabic:ndo quc y
=
I para x - O
L_
hf(x, ... h.y, ... k,) - 0.1[3(0 + 0.1) + (1 ... 0,1)') - 0.151.
k, • Iif(.v •••
h,y, •. k,) - 0.1[3(0 ... 0.1) + {I
k. _ Io/(x •... ji,. Fo
+ jk,)
1
k '" 6(k, ... 4k, ... k,)
=
0.1[3(0 ... 0.0))'"
+
0.151)'] - 0,16248.
(1
+ 0.051']
- 0,12)25.
1
6[0.1 + 4(0.11525) + 0,16248] - 0.12725.
e
e
j - Yo
+ k '" 1.12715,
Véanse Probkmii)
9.
2 y 40.
Utilkesc el metodo de Rung<: para hallat el valor "pto~im:ado de 1 cuando:c _ 1.1. sabiendo que y _ 1.2 para
x -
1 Y
dy/tix -
3x
+ )~.
Aquf « .. Yo) - 0.1.2).
*, _ /tI. -
0,4441,
k, - hf(xo
+ A.,'o + k,)
k,.
h/«o'"
= 0.1[3(1
l. = 4....
+ 0.1) +
L_
(1.1 .0.444)']_
h.,·o + k,) - 0.1[3(1 ... 0.1, ... (1,2 ... 0.60027)'].
k. - hf(,<•... ¡h. ,'o +
k ..
h = 0.1.
'61(/<, + 4k•...
k,)
tk" •
=
0.1 [311 + 0,051 + (1.2 ... 0.222)']
0.600274.
0.6S4097,
• 0517208,
1
6[0.444 + 4(0.517208) + 0,654097] _ 0,527822.
j •
e
Y.·' k '" 1.727822.
Comparando este resehado con el obtenido en el Prob'cma 4b SI: observa que 1* apto.x.i.maeión es mejor que
la que podía haberse esperado habida cuenta deJ valor l. _4.44.
RESOLUCIOr<
MEDIANTE
APROXIMACIOr<t5
lO. Uhlkae el mctodo de Runge para hallar el valor aproxln'Uldo de
de d)"dx que: satisfaga
0.4' cuando .'t _ O••
.¡;-;-;
Aqul
1
"=
h .. y.1 - 10.4.0.41~
A
=
l. _jG.ii _ 0.9.
0.4.
r<UMEJtICAS
193
e....ndo .\ _ OJ' para 11 sotuoón pintada,
Luqu
k, - Iif. - 0.36.
k,
+
-It/L'(o
'~.r-.+
O.4..ji'SI_
ti. -
k, - h/l'·. + 4.. r. + k,1 -
4~•
+ ib....·• + !t••-
lif(x"
I
k ~ 6Ck, + 4k.
+ kJ)
o.4JiT9
0."3811.
-
O..soI20.
0.4,,/i:7iii _ 0.S2325.
.O.4J6lS.
e
+k
,i' - J'o
~ 0.84811.
11. Resolver el ')roblcma 10 hallando primero el valor aproximado de )' f)3ra s _ 0.6 y después, tomando este
de valores COmo t"o.Fo). hallar el valor tequerido de: v.
Primerameme.
ro) ,." (0.4.0.41),
(,1'0'
h - 0.2.
le.
k, - It!(x. + hoYo + kd.
0.2.Ji.19
_ 0.21811.
k,
Iif(x. +
h. O·. + *,1 - 0.2fi.22817
k.
Itflx. +
!h.y. + 1*,) -
~(kl + 4.<:..& + kJ,
,.1
'l/.
Ixek, -
= 10.6. 0.61028~
,_,
h - 0.2.
...
k :::-0.61028.
Jo •
Lue,o
..11.21028 = 1.1001.
= 0.2..'002.
k, - hrlzo +
lo. Yo + k,) - 0.2JI.6J030
k, - '!fCx. + lo. Yo
k. -1'/(.'·0
k
e
OJ0028.
e
_ 0.22165.
0.2.
I
::t
Tóm<>t •• ho,..
Luego
nI. = 0.18.
k, -
k
JO.SI _ 0.9.
pi"
I
~ -(k.
6
+ lh.}·o
+
4k.
+ k,) =
_ 0.2$$37.
0.2./i16S6$
+ lk,l-
• 0.25812.
O.2jl.42029 _ 0.23836.
+ k1) - O.2~860.
¡-)'0
e
+ k:t; 0.84888.
12. Rf'SOl\'t'rel Problema JO utilizando d método de' Kutll-S.mpson.
Aquí
I.-- .. J'.) - .0.4.0.41)..
h = 0.4.
l. - ji.ii _0.9
LUCIO
k, - Al. = 0.36.
k, - hltx. +
:1"."·0 + Ikol -
.4, -- ¡'{("o + ;h.,I'O +
*. =
Jk:,
1
j
0.4fi.i9
• 0.4363$•
O.4Jl,22W _
0.44329.
+ h·Fo ....kJ. = O.4..jí.6Sñ9 .. 0.51432.
"((\'0
Ir ~ -(k
(,
=
+ 2*1 .... 21<) +
k.' -
0,43893.
e
,Í'. l'O
13. Ulilk'C$Cel método de Picard para hallar los valores aproximados de
<¡olución panic,:ulOl' de
dI"
,= /Ix.)'.
dque
s.;.fl':(~Ct ,'.
=1 - x + :.
2. : -= r cuando .v = O.
,1'
+ 1(
~
0.84893:
y : correspondientes
d'
i; • t(x.,.. :1--
.\>
=
r'
8 .\' ..,
O.J para 1¡
194
RESOLUCION
POI" las primer",
MEJ)IANTE
APROXIMACIONES
NUMERICA$
aprcxbnaciones,
2 ,
L
1 ,
fo"<-4 • x)d:t
x
y,
Yo + ~
"
to +
f(~.,o.!o)dx
IX
•
g(x.yo. ~)tÜ
•
x
2
(l-x)ea
,
t
J:
-+
,
2
::!%
•
1 - 4x .. , x ~.
Por las segundas aproximaCiones.
•
•
10•(-4-3x_312
1 ...
- 4x -
Por las terceras s aproximaciones.
2
t
~x? _ .t} _
!.x~_ 2..;c'.l.
2
•
r
2 -+
,
¡:~
lO
..
-x
2
- x - -x
4
..
1,
-
-;c )d.r
20
x _ ~x2 _ !x5 _ ~.x'_ ~x'.l __ '_x6
2
Jo•g(X,y,.l?)dr
20
32}1
(t - 3% -
•
.. xi_Ox")cú
l
1 ..
::t
•
2
(-4 - lr
4
-+
Sx
?
20
7,.
3
+ -x
120'
31"
12
- -x
t
-+ -x
2
'.1
1 ti
)dx36
_ -x
y asi sucesivamente.
1
•
Cuando
x
= 0,1:
=, = MO~
)', = 2,105
J'l
:
= 2.08S17
:, = 0.58397
=, _
Y:l - 2,08447
14.
0.58672
Utilícese el método de Rungc para hallar los valores aproximados
ticular del sistema 4y :; x ... .¡;
dz
x = 0.2.
Aquí
k, - hl.
I1
/(X,1,L),
= (0.2. 0.$, O).
fx(), ,VO. 1(1)
k,
•
-
dz .. y
dz
= 0, l. /0
JI
de J' y
%
-./i :.g(x.1'.;)
= 0.2.
cuando
).' = 0.3 para la solución
que satisface v
= 0.5. =
1"11',
= O CU3ndO
,~o = O.s~ Luego
= 0.02,
hXo = 0,05.
= "/('<0
Jil.Os) - 0.05236.
- Jil.Os, ... 0.02964.
+ h.yo + k,. =0 + 1,) - 0.110.3 +
1: = 'IR(,'*o + '1')'0
+
k r- :()
k) = J¡Jt~Q+ h,yo + k2':0
+ I¡)
+ 12'
= 0.1(052
= O,HO.3 + JO,02964J
= O.04nI6.
1, = I't:(xo + h.yo + k,. '. + 1,) = 0.110.52 - jO.02964) = 0,034784.
k. = lif()<o
l.
I
k ~ 6(k,
e
15.
.f
+ th.yo + tk,.
= ".~(Xo+ !It.)'o
+ 4k. + k.)
Utilícese el OletOOOde la serie de Taylor
=. + ti,) -
tk,. 'o
= 0.03341 .
= Po + k ~ 0.53841.
• parneu
• 1at de 0'0
1a so ,.ucrcn
d,i':=
+
+
ti,) , se
I
=
JO,02s)
= 0.040811,
0.1(0.51 - J0.025)
= 0.035189,
0.1(0,25 +
¡al
lb
+ 4/~ +
(31 -
+ , ~ 0,03759,
para hallar ti valor aproximado
','
- Q• sen O Que sausrace
0.03159.
O _ 1t/4. dO
;¡;
de
=
O correspondiente
J para / = O.
a
I
:=
0.05 JXlJa
RESOLUCION MEDIANTE APROXIMACIONES
La ecuación diferencial eb-d* es cqulwlc.nlC al
c#> • _
;¡; • '" • /(1.8.4».
'.0.
'!!!. •
dt
8 •
9~•
cIJl
e¡.-4lÍ2
tf'. tI/'
(JI" ~ rI>"
0;0-.12
B"
ff/t
+-
o:
t -
9.ot.,
sen
(1 •
1(1.6.4»
Se tiene
~0:1.
1
.. ,12
8
dI
0"17/4.
<p
(1'.
195
estema
d8
con las condiciones iniciales
NUMERICAS
4>' • - 8 sen 8
4>~ • - ,12
"'-0-89'co.(I
~'-412
se" coG9
8(9')' sen e
"'~.
-
... 32
<lb' .12(1' .12)
l'
.12 - - .12 -1'
2
o:
0,82821.
6
Urllicese el método de Kuua-Slmpscn para hallar el valor aprcxlmado de J' correspondiente a x ... 0.1 pa .....h.
.
.
d~
~
.
solUCión particular de + 2t.;.x. - 4)' .. O que ~tJsrace )1
d:c'
(Ú
-
•
0.2. -1 - O.S cuando
t v
x: =
1..... ecuación dad .. eon condiciones iniciales es equivalente at s;stema
dy
d; •
con condlClOOCS
Aquí
IX..
mmks.'(
"o. =.1 =
i :1.>' - 2tz
d'
!(s.,.z).
¿ •
O. .".
0.2.
==
• I(,It.)'.:)
0.5.
10.0.2. O.Sl h - 0.1.
lo =
05.
1<. - U
Lvc:go
k, - ~fo • 0.05.
l. - h,~() • 0.08.
= "1'(.\'•.. !/,.yo + l.,. =0 + {/,) - 0.1(0.54).0.054.
!h.yo" lk,.=. + ti,) 0.110.846)·0.0846.
k, • ,,/(.,
lh.,... ik,. =... ti,) = 0.110.5423) _ 0.05423.
1, = 1.. (.,
jh.ro" j*,.:o + 1',) - 0.110.853771- 0.085377.
k,
1, - ""t.v ••
k.
=
hft\•.....b.~'·o .....k,.
* ~ ¡,fk, + 2k
I
1
.....
2Jc) ..... *.1-
=o
+ I:~J- O.I(O.S8S371, - O.0S8S377.
0.0541663.
e
1-,."
k
':t
0.25417.
O.
1%
R€$Ol.UCION
MEDIANTE
APROXIMACIONES
NUMERICAS
PROBLEMAS PROPUESTOS
1,.
lIallar el ,-.Jo-r .. proximado dC' y para x = 0.2 si dyldx _ x + y C' ~ _ I para .. = o. tltilitando al d metodo de
P~..,d. h, 1.. KOC: de TayJor y "') d método de b ptuMn. dc1"iV'..d .. con n = 4..
>'. - 1.22. Y1
&H. 4"
18.
Do
1.2121;
hi
1.273$:
111 j. - 0.905, Yl - 0.9143. J') ... 0,91).8;
hl
0.9138:
de
U1th1':.lr c:I.nccodo oe Run~
ck ,.
\ • 2.
21.
Uhllbr
potra
2:2.
para bailar eS vater ..prolim»do
t'I
r pira
Utilil ••r el método de Rurtgi' para hallar el vaIOr a proxilnado
S.I(. 1.0256
.\ • O
20,
<1
1.2503
Huftar el valor aproximado de ,. para ,\ = 0.1 si dyldx •. \' - yl e J' _ I para x = O. utilizando
Picardo h) 1:. serie de Taylor y ('. el método de la pnment derivada ton n = 4,
Sul.
19,
1.1651. Yl
pi'"
0.9107
,\' ~ 0.025 si d)'{dr
r
a) el mécodo de
= .v +
ye ,. -
= 2.2 si dr/dx = ... l'lx
1 f)í.lra
e v ""' .2 p:lr~
SbI. !A096
C'Imetododc
\ •
OJ.
RUQgt'para NlJard
0.3607
YilJor ap..-oxirnadodc:T para x
= 0.5$1
d)1dx
= ...¡X
-lyey
_ 0.17
Sol.
Rcsohtt (1 Problema 21 u(ílizando
d método de Kun~..slmpson,
Sol.
03611
=
2.1. Ullhz.ar el mClodo <k Runge para hall ar los vaJo~ aprolumtldos de y y = cuando Ji
0.2 para 1.. solución
licular del si)tCnUI cly/(l'{ = J' + r. dzklx = \,1 + " que satisface .)1 _ 0.4, : = 0.1 cuando x _ 0.1.
IX.'.
$.,1. P ~ O.4S4~. : " 0.1450
24.
Ucili7.ar el melodo de Kuna-Simpson
d1p
licul~r de
:;::¡
+
dI(
para hallar el v.lor M;ptoximado de y cuando
~
Jx --
(Ix
~
+}' -
O satisfaciendo»
•
- 0.1. "'7 ~,'I(
0.2
cuando
x =
.r = 0.2 para 1.. solución par~
0.1.
S<~/. O.IIQI
CAPITULO 25
Integración por series
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN.
ción diferencial de la forma
1)
El teorema de existencia del Capitulo 2 paro una ecuarly
~
f(x. y)
dx
da l:a,scondiciones suficrcntes para una selución. Ullh7..ando serie de potencias en la comprobación
se ha hallado y en l. forma de una serie de Taylor
y.-
2)
Al) + A~(x -)(0)
t- A,(x
+
_)(0)2:
Al1(x -)(0)"
t
.•.•••
,
donde, por conveniencia. se ha sustituido )'0 por Ao. Esta serie J) satisface la ecuación diferencial 1),
11) tiene el valor y - Yocuando x - Xo y 111)es convergente para todos los valores de x suficientemente próximos a ."C - XO.
A)
a)
Para obtener l. solución de 1) que satisfaga la condición y - Yo cuando x - O:
Supóngase que la solución es de la forma
y
~
Ao • A,x • A,,)('
t
A~x' -+ ••••••
""x
lit
t
•••••••
en la que Ao t= Yo Y las restantes A son constantes que hay que determinar.
b) Sustitúyase la serie supuesta en la ecuación-diferencial y procédase COmo en el método de coeficientes indeterminados del Capitulo 15.
t:Jt-pIo 1-, Resolver J" -
r + J' mecHante:
una SC'Oc que Jalisf ..", la COfMIlCtÓnJ' •• ro PlD \ _ O.
Como lf'(,,vl = xa + .'1 es uniforme '1 continua '1 tJll~)'. I es continua (.1l un rectángulo autlquicra de:
valores (,Y. )" que incluya (0.,1'0)' las condiciones del teorema de existencia se satisfacen. por lo que se puede suponer la sclucién
Ahora bien, dentro de la región de con ..-er&c:nCtllse puede deriv:t.r término a ténnino esta serie dando tupr a una
serie que converge tendiendo a la derivado )", Por tanto,
1'-x'-y
(Al"
.40) ..
(lA,
.. ,4,1)'& • (3A3
• (n~
p.,r3
-
..
A2
An_1)xl':"1
..
..
.. {4A •..
l)x'
•
A3)x'
•.••••••.•
O.
que: CSUI serie con ..'Crja para todos los valores de .v en una ~gión que circunde: a .v ... O es nc:ce:sario)' suque: los coe6cic:nllt$ de oda polena .. dt .l' tiendan a cero. Lueto
6cienle
A. -
Ao •
2A, - Al
.
A.o
O
Y
A, •
O
Y
1
.4, • -.4
2
:o
1
-=
Yo.
Y
A, -=
4.4" - A3 • O
y
A" -= -.
1
-.40
• i1 YO'
2
y
A.,_
197
1
3" ..
3A, .. A, .. 1 • O
•
1
ñ Ars.-l'
n ~ 4.
1
12
1
¡lO.
I
-Yo.
24
198
r~RACJON
POR SERIES
Esta ultima relación. denomln.d. unaf6rmulu lk rN'urrmcia.
ñcernes: ".'1.
se puede: uuhzlr
-.
1
360
I
72Q Yo •
es posible obtener los c:odkictnes de' la Slpntc forma:
Ta_m~
Como
'Y
Por Canto. An
~
%
--
n-l
•
---
1
11(1\-1)
An- ••
1
( I
n(n_l) (n-2) •••• '4-3
1211,11.
YoX .. -Yox .. (- .. -Yo)x
2
3
6
Yo·
•
(Yo+2)(1+x.2..x'+..!..;t'.
21
Ixt:' -s Q.1t.
ye -s •
A.t.
~-2'
J
PC'tOA.t_2
jo
o:
Art_:3o
--
n-2
•••• ;
,A >
o
los vaJom de l:as A en b sene supuesu se \lene
•
Utilizando
I
.. ,
1
A)
n(n_l) (n-2)· .... 4
•
Si se sustituyen
r
para el cálculo de los demás coc.
• (_.
12
2..%~
-+ ••••••
) _
s2 _ b
•
_ 2
n!
oS
inicial. y - Yo cuando
la condición
24
3!
2
(-x_2x_2}C'
J""
1"-
-(2-+ Yo)s
n!
-10)%
e
jo
'1 •
x _ O.
e-
,lOO
+
CC'~ -
2 e y .. (1.
x2 -
+ 2~
2& _ 2.
- .~ -
2,,. - 2. como
antes.
B)
Para eereoer la solución de I} '1"" satisfap
a)
Hágase la sustitución x - '\"o:: v, esto es,
la coodición y - Yo cuando x _ xo:
dy."";¡;,
x=v+x:o.
che
resultando dy/do = 1'10.y}.
b}
UliJíces<e<1procedimienlo de A para obtener la solución de es.a CCU&:iónque satisfap la
dición y = Yo para v-O.
e)
Hágase la sustitución
Ejemplo
2.
Resolver
C1"
x -
en la sofucién.
Xo
+
p' •• ..:l - 4." + Y
I ~:uisr<1ciendo La condición
Há,p$C en primer- lugar la $USliluaón .x - r"
satisf"ap
y - 3 euaodc
y
luego
•
~ - O. ~ra
3 + Al."
..
.4,,,
2
2 obtenic:odo :
se supondd
dio
1.
+ "3v
eOD-
,
+
como
_
r ...
J' -
\ • 2.
3. Súsquac
la solución que
solUCIÓn la serie
"'_,,"'
V
l' = 3 cuando
••••••••••
""
...........
·Y
;¡;
y
............
• o.
Ig.ualando :1 cero Jos coeñciemes se tiene: Al
O. 2.4: - Al = {I y Al • O.
3"'3 - Al - I ... O y A, - l/l. "A. - AJ = O '1 A. _ If12 •...••.••
0=
INtEGRAC10N
La fórmula de:
l'CC'UtrenC13
•
y
•
I
- A.
A•..
I
•
I
---
n(n - 1)
151.
3 + 3'"
..
199
POR SERies
da
-----''---A
.4.. .. ,
2
,
-(x - 2)
................
+
..
_2 (x _ 2) •
.
.
.
...
.!
41
" ~ 3.
.!
2"
;;¡tI
12t1
2
•
n(n - I)(n - 2)· ",4
Véanse: también Problemas 1-4.
ECUACIONES
LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
3)
p.(x)y"
+
Cons1dérese la ecuación
+
P,(x) .."
P,(x) y - O
donde las P SOn polinomios en .\'. Se denominara x = a un punto ordinario de 3) si Polo)
otro modo, un punto síngulur.
Si
,1:
=
O es un punto ordinario se puede resolver 3) en
y _ A {sede en x}
4)
serie
+ O~de
alrededor de x = O como
+ B{sorie en x},
donde A }' B son constantes arbitrarias. Las dos series son linealmente independientes 'Y ambas
son convergentes en una región en torno a x = O. Se puede utilizar el procedimiento para 'as eeuaciones de primer orden que se explica al principio del capilUlo para obtener 4).
véanse Problemas S·7,
,
•
••
PROBLEMAS RESUELTOS
ECUACIONES OE PRIMER ORDEN.
1.
Raol~r
~
• ~~:
Sup6npsc
donde AQ =
1'0'
mediante una serie q~ satisfaga la condición ,. - "" C'U.Jndox
que 13 sene es
Entonces.
'Y."'o
"
'" A ,%
... A,.x2
... Á$x' • A ...a:· .. ••••••
• A, ... 2A~ + 3A~.:ct ... 4.4..,,5
Sustituyendo en la ecuación diferencia' dada (1 - x).v· - 2.\' +
(1- x )(.41",
2A.,x -+ 3.4$x2
_2
4A .....' + ••••••
(Ao ;.
A1% + .4,z2
+ nA.x
n
+
•••
)' ..
1
+ .4,z'
= O.
• k.:cT. ..
~.x"'-l
, ....
+
O k llene
~ ••••••
)
A,sx""
) * O.
de dO<1d<
(A. *Ao) ... (lA,_2)%-+ (3.4, -A.) ..' .. (tA...-24,)
x'
-+ ......
(n.
1)An,... _(n _lM.tlxl'l
+ •••••
o.
t NVIO, Par:! hallar el ~rmino general e:n la C'xpresión ..menee se puede escribír un número de I~rminos al
otro lado del término general de la serie supue5ta para y. óeriV3r cada uno para obtener y', efectuar las multlpli·
caeícnes necesarias y tornar Jos términos en :1(", O Sf-A. hay que aprender a escnbir el termino requerido unl'undo
tI término general de la serie supuesta y su dcnwda. En el probfema presente $Cdesea el término en -x" h~lendo
las susthucicnes en.'/ - .'<)" - 1,1; ·10Y
O. Primeramente, se necesita c,1 rérmmc en x" de y' cuando se tiene el
200
INTECRACIOII
lermino
fe')lanIC$
en .\"''' 1, Remplalando
simplcmt:nte
-nA ..," + A..\'" SOn cvidenlC$.)
lau.:alllndo a cero los ~nles
A.
• O
·Ao
2A., _ 2
y
O
(n;.I)A"
..t
0-2
• --
• - Ao.
.
A.
O
c. _ 2)(n
- 3) •
I )A •• l~'
Los terminO!
2)·········
-1)(n-
(1
..
¿
I
Yo(I-%) ..
2'1
"4'
1 ,
-,
A.
)
2
nCn _
A,
3
G
6
2).
(n - 1)(n - 2)
1)
..!..
"+ 2..~
3
1
ZAs
en ::
3'
.-.
I
0-.;:2:...)(...':,-",3,,)-'.C
n::",.-.:.:.4
) Att_
-,(;:_;;
3
,."..t
n(n- 1)
Cn- 2)(n -3) (n - 4)······
11:
+
A, ~ 3 A,. ~
A..., • "•---1
A••
, 1
y
~--~~-=~~~-----=~
nCn
(n
I
y
4A. - 2A, • O
11:
A.._.
n
3A, _ A, • O
1.
(n-I)A,¡
-
"A.-~-· se obtiene-
n por 4" • 1) en
de- 'as diversas potencia, dé ,'( se tiene
A•
Y
POR SERIES
~:rO:¡
10
n(n_
1)
liJn
tt-l
-:-;:-2~::-.".
~ .. 2 n(n_l)
1
Ulihnndo
C'I criterio
La sene eenwrge
~'(I< L
"_·
Notu. Mediante e.1factor integrante
Ctl - x), La integral particular
,,-.
....x"
n .. 1
•
I/CI - x) 11 solución de: la ecuación drrereOClaJ es J' ....2(1 - \~ Inll _ .\')
+ '2.\' +
pedida. es
.v = )'0(1
2.
ti_¡ A...'lr"·ll •
de la razón de Cauch)'
para
-
+ u,
+ 2H - x.lnft - x
.\')
y .. O mcdlllntc poh:n¡,;¡aS ti e r
Rc:solver (l-x)'»)"_
Supc;nw,:.a"Cque' la serie es
"J
Fruoece ....
(1-.11)1'-)'
(1 -
AoJ: .nA.¡_.t
•
A• .r
tr-l
l
-
......
.4,..." )
As..'· - .•••
-
(.40.
(A,...Ao) o- (2ArAo..frAl)%'"
lauulando
3"'0
a cero 10$ coeficientes
.. 2A.oA, - A~ _ A, -= O
Al'"
-
A.a .. "".
t,,,
A,%
,
(3A3-2AoA,.-AI-A.,,t'
de las distinllS
y
A~ •
····)(A1
2.~,J:'
I
.....
Artz'
~ •••• )
lA$Z1 .. 4A.,.'
,• (4A.. -3AoA:)-3A1A~-A:)x
potencia,
1
3<2Ao,4, ..
A ••
...........................................
-
• As"-
..!.
k(l
24
,
,. ••••
de s,
2
Al"
A,)
1
2
.. 6.40(1 .. 5Ao .. 2A().
~ 17Ao .. 26~
.. 6~).
.
O•
INTEGRAClON
Portalll().~
~ I~o[l
En este caso no
3.
1
X _,_-(l'Ao)X
2!
t
Sé'
I
_
2~
.. -(1~,)Ao1-2AO)%
31
'2
201
POR SERIES
1
2~..
+ -(1+-17Ao"''26AO+6Aólx
.;!
J
+ ••••••••
obtiene una fórmula de recurrcncia ni se logra una c:cmprobaci6n de 13convergencia.
Resolver xy' - )' - .\"- I - O mediante potencias. de (.\"_ 1).
=:+
Poniendo.'(
potencias
de
I la ecuación se conviene en
Ao ._ ..t1:.
2. :dy
1) -
d,
- y -
A,~' ..
)j3;j
t
A .;..
lo
4A .. .:i
3A3:'2 -+ 4:\ • .:1 ... ~ .••
-
2 - Ao)
.. (U.,
-
1)z
.. (3A:!
Igualando ;).cero Jos coeñcienres
: O
2A, - 1 • O
Y
(n "l)AI'I+l
Del Problema 1.
y
-,...
Luego
••••••••
y
A't
+-
-+ •••••
)
AtZ .._A~:z ~ A,l.~
(4.4
A,.::1t
2.43):'
... (n-l)AI'l}:"
)
.
... ••·••··•·•
:- O.
de las distintas porencias de :.
4, • 2 • .lo,
A,
nAn:n"l
.¡,_
.42):2
+ [(n+l)Ar,."
.4, -2-A()
nA,¡:r..-l..
(.4.0 ..
- l - 2 (.41
ArlzJl.
+-
2
% -
(l'" 1)(.41", 2,A~z
e.
•
2A~: .. 3,13,1:2"
At
d,
t
2 :- o. Como se busca Su solución en
Z -
d,
z, supóngase que la serie es
y
(l-
1) dy - J -
(t. ..
3A!) .. A, -= O
1
" (n-2)(n-3)··
( .. 1)'
n(n
.... 2·1
-1)·.·.·.·
I ,
-,
A.
y
1
3A,
- 6'
I
- -A3
2
I
12'
-= -
y
.. (n -1)Ar: -= O
.
2.4, : O
4A ....
2'
A,
y
.. ·.4.3
A2
1 l + _;I • - ••••••
12
2
$'
'" ~(%_1)2
-
n ~ 2.
(_1)": ---.
n(A -1)
1-
(-1)
• ........
n
n(n -1)
Sustituyendo z por (.\' - 1) se tiene
y
:; ·40% • 2(x_J)
•
.4Qx"
.12(:1-1)'
_
.
2(x - 1} ..
Empleando el criterio de la ruón
de Cluchy
lim
r.-~
Ix -11.
La
¡<X-l>'
serie converge pata
1:( - JI <
lo
• -1
n • 1
202
INTEGRACION
... R~soIvcr,'
POR SERIES
- xl - ti .. O satiúaciendo la conchción )' - O cuando
11(
O.
-
inicial. s.upóapsc que b. serie es
Tcn.cndo en euc:nta la cond~
y
Al • 2A,x
1'.
Por ,.n10. t'J
3A,.'
+
;. 4A ....' .5..4&,,-
+
••••••••••
.
...
•
1,'211
+ --(Alx
3!
1 ... Alx + (A'loO
1 ....
) .. -CA,x
3A,A~••.••••
•.••.. )
.
41
122
lA,)x
.. (A, ;. AtA ••
1,
~ (A•.. -A.
2
1"
¡A,)x
tAtA,
12
1 ....
-AlA, .. -A1).x
2
.
24
SUStituyendo en la ecuación difercnaal.
Igualando a cero Jos coeficientes de Jas distinta. potencias de x,
Al - 1 • O
3As - 1 - A2
I
-
"2
2
Al·
y
O
"3 •
17
Al) :0_,
2
I
-%
3
1 •
+ - %
J
11 I
+ -.
111
•••••
:.1." ••••••
60
.
.
ECUACIONES LINEAl.ES DE SEGUNDO ORDEN.
S.
Rcsol\'Cr (1
+ rb''' + :fy'
Aqul Po(x) • 1 ...
- Y - O mediante
r, PoCO) .;. O Y x
:00
potcOCJlI de x.
O es un punto
ordinario.
Se 'upone la serie
y
LUCIO
y
y'
y'
•
...
.
+
••••••••••
.
INnORAOON
..12A
... 6Ar
(l.x~)[2A,
2'
+ nA.,.;c1l.-1
de dOl1de (2A2
140)
-
1,l.lltlando
3
*'
n(n_l>A=;rr.-,.,.
......
) _ CAa .. Al":
6A~.x .. (IU ••
cero los coeficientes
y
.. A:z.r2
]
AoCl ..
í,l"
•
.40[1 +
-.•
6.
Rtsoher
,,-(1
••.•••
O.
o
y
n -1
que A" - A, • AT•
•
a
--A..
n'2
A., ••
= O. $0 es. A.....:
••
(-1)
14:-'1
1
.4.. - - -Aa •
.
.,
- O 11" es
'·3·5·····(2.1-3)
,,-.
2".'
1 •
1»
-,
.-
I
A.· .. ··'
A.x"
lim
O.
)
8
¡'(-I)
1
2
4A•
-.
-
1
2
•
.a' •...
.. ~:r.
- .-,.... e. _,. ••••
de e,
y
A
lA,z
.. 1)A,.o'.l: .. (n2 _ l)~lzA
(Cn ... 2)(n
o
=-
..
......
C$
1 ,
•
•
Aquí
completa
.I(Al
1204... 3A,.
(2.1-3)(2.1-,)
24:(2k_2)
la solución
J •
••••
x' .. A ..,z"
o
1
(n _1)Arz
I
203
.43
de las d.istinlaS potencias
Oc: la últrma relación se dedu« Inmcxh¡ramcnlc
impar. Si n es JXlr. (n = 2k). enl0~.
Luego
lo
3.4,).11;' ~ o ......
6A,.
(n ..2) (n • 1)""", ..1'
POR SElUes
"'.1
.
...
t· 3·;····· (Zó - 3)
".
...
¡'(-I)
..
11m
;at
0-.
,1'
tl J
+
1t
2 i!
2'.:
n
•
...2.1
1·3·5·····(ZÓ-3)
.•
A"
•
A, x,
•••
-1
n+2
yo. - ~ ..,' - ." = O mechaRte' pexeacias de s,
Aquí p.t\", - J y.1' = O es un punto ordinario.
Se
$Ilponc:
la .senc
luc:go
y
y' .. Al + 2A~x
2A,
+
.. 3A,.c~
.. SA~x
nAn,,"-l
12A." ~ .. 2OA6x 1 -+- ••••
I
.••
oo.. •
o ..
o ••
n(n _ l)At:x ~t
•.•.....•
)
.,-- x',, - ,
•
(1.4, _
AaJ
(6A, - Al)'"
• (n.
IguaJando
(lZA
- Al - .4-2)z?
2)(" ,.1)A,.., - (1'1. -1)~_1
a eero los coefiocntes
de b.s dis.intas
pocenci3s
(3M. - 2.04, - A..)~~
de
Aa)"'"
s,
.
-:
O.
INTEGllACION
204
(n.. 2)("
+-
llA...2
-
(n -l>Ar._l
-
POR SERIES
(n - l)An_l
.4" ••
>
An .. O
-.
I
y
,
- 1 ••~
120
3)
Ac
•
(n ...1)(11.+
n ~ 1..
2)
__13 x
2520
+-
)
1 •
-%
360
1.
= .r
Rellofver y" - 2.-c2.tt + 4xy
Supónpsc
It
A':tJr? +- A3~' +- A..x Ij
%
1
y' • A,
,10.
2A?%
3.4:1%2
t
3
2.A~ +- 6A x
fA ..
+-
•
..
+jo
Leegc
1~1I.r~
+ nAnx
•••••••
l
rt
+-
"
.
,. n(n_UJ'\nx,,-2...
Z
(12J1.+2A1_l)X
(6A~.4Ao-2)1"
• (Cn • 2) en
't-
J)A.t.~ - 2(n -l)An_l
•
••••••••
y
+- 20,040,1"'"
.
4A..t_l].tI'l...
• o.
I
2
A,·---Ao.
3 3
........................
o
6A~1'4Ao-2·
O
l
1
A".t'
•
x' ~ 5AI)""
12..4• .12 + 2OA" .. '
+-
(2,042-2)
2A,,-2.
potencial< de x.
que la serie es
Ao
'1
+ 2x + 2 mediante
Cn • 2) en ... I)~.,
.. 2(n .. 3).4.:_1
y
A,¡-1'
2(n-3)
Aa .. , .
y
• O
n
! 3.
(n+l)(n·2)
La soh.ctón completa es
y
Ao(!" ~ x' ..~ xb
•
3
45
1 •
• ->
12
..
Resolver y'l + (x - I )y'
pónp.Jr
x • "
+y
+ 2 en
1
•
1.
z
) .. A1(x
_!_ x'
405
..
-
,
%
45
1
,
_x
126
- -
6
1
•
-%
x
1
•
405
lJ
63
- -
1134
x
_o. ,
)
...........
10
--
tl0
561
%
,
= O mediante
potencias de x - 2.
la ecuación dada y se obtiene
d Y
dv'
,
" (11 + 1)~
.. Y
•
O
que hay que intearar se-
d.
Luqo
4A.,,~ •...•••
~
o •••
n.t,.,r-1 +
••••••••••
<Iv
y
~
<Iv'
d'y
dy
(1.1 .. 1)-
dv2
+
(~~
Y
; Al .. Ao)
.. (6.4,
I
2A, • 2A,)1I
.. (l2A
3A, .. 3A:.)1I
•+
..
dv
t
Ipalando
AII • _
+ (rI+l)An.l]""
(ntl)A.t
"" •••••••••
a cero los coeñcientes de las pOtencias de: u se obtiene
1
-(Ao ...A,).
236
(n .2)("
[(n.2)(n+l)An.'1;
+ I)AI':..,
.4,
=:
-
.. (n.
I
-(Al+A~)
1)~
I
,. -(Ao-Al),
+ en .. 1),4,..,
• O
A ••
-
!(A2.;.A~)
4
.,
2..<Ao
.2A,).
12
ti
O.
INTEGRAClON
lut&o.
teniendo en cuenta que
1 • .\0(1-
-2IC.-2)'.
x - 2. la solución eompkta es
JO -
2.C.-2)·-
-61CX-2)'.
2.(X_2)1
20
12
• A. (
I
cx -
2) - '2(X
-
2)
2
1
6C,
- 2) i
-
PROBLEMAS
9.
Resolver (J - x)y'
S<>I.
,1
• ~
10. Rcsotvu.'fY'.
Sugerencia:
1
+
I - x
~
11. Resolver ,v' =
2r + 3y
Resoh'er
S<>I.
tJ.
(;\'
+
y _ .1.(1
ResoIvet y"
I )y' =
, -
+ .T)' =
+
(,. -
I),J ..
- 1)
J + 1ü'/3
/2 +
)
polc.1Cla$ de x.
~ J: c»nverCC1uc para lodos"Jos vaJOf'f"S de
A._)."
",,-
x.
)
)
2X2J' = O mediante potencias de .r.
- ---
2
l]
n(n -
%'16 + .'/168 -
".(1 - ·'("fl2 -
Resolver (l - xl);/'
Lcscodre.)
2.\").'
-
ya-
.40(1
11(11
.... /90
.
14._.: ecnvergente para todo,; los valores de x.
.. · .. 1 + A,Ix -
R('$Oi ..--c:ry" .J.-
A" -
_~Jl2
r¡_
I
I~.
-
¡
rilO
+ x'/)(IJ
- ......
¡
•
.,..
-
.'/12.
... :r
2
-
O.... ~
4.
p es una constante, 5Cg.unpotencias de x. (Ecuación de
A .. _2:
(p .. 2)p(p"1)(p.3)."
4!
x' sq_ún potencias
1
Fórmula de recurrenoa A. - ---1ft,. 1:.\0(1
+ .4._6
(n-2-p)(n+p-l)
()
11 n
I
j
+ ,K
- (11 - 2).4 .. _2
.<'/3360 + •... ) + A,t. + r/6 - .'/40 - .'/144 _ .... )
+ p(p + I)y _ O. donde
2'
!WI.
= -: + 2, se.~n poteocias de :.
d:
+ 27x'¡p,
A. - --(-1-1
fórmula de recurreecra
".
)
O mc:(hante pcx.c:ocia.s de x,
Fórmula de (eOlrrencia
!WI. y =
Sol.
.....
J'" - x..••+ ~.:y a O mcchanlC poecocias de x.
15. RaoI~
16.
••
x'/6 .. x'/I80 - •••••• ) + A,C,<- x'/12 + .'/504 -
A.{I -
)' -
+ f)dJ'
! ..tx
2.\' ... Y median'e
,\.l -
Fórmula de recurrencia A••
$()l.
x
+ Cn. 2)(,. .. "
+ xl - >~T 2,,'/3 - <'/3 + rlS - 2.<'/15 ........
A.(I -
14. Resolver JO"
).
mediante potencias de x.
Fórmula de recurrencia
S.I.
]
2y sq\in pocmcU.s de r - 1. lntqrar. Ilml»m.. dlrct1amcnte.
!WI. )' ~ ".[1 .. 3x + 9x'/2 .. 9x'/2
12.
•••••••
1
6
36(X - 2) •••••••
1'2
10· •.....
Hágase x - I - s 't rcsuetvase (:
y - A.[I .. 2(x - 1) +
S.I.
1
"
¡¡CX - 2) -
1_(X_'I)'
180
PROPUESTOS
1.,
(i • ¡x
Y • .40(1 -x)
__
potencias de x.
Xl - V ksón
z
lOS
POR SERIES
,'/672 - ......
/2 .. x , /6 • .r " /12 _
)
l:
!)
..••••••••••
)
x.
de
A._:
1)
converae-nle para Ixl < 1.
con~te
- x'/'JIJ
, A.cx
/00 _
%
1
par.
••
/252 .. x A/6'2
(odO$
'/1440
kn valores
_ ......
.
,.
\K'
)
x,
CAPITULO 26
Integración por series
CUANDO x _ u ES UN PUNTO SINGULAR
Po(x) y'
1)
DE LA ECUACION DIFERENCIAL
+ P,(,,) y ~ O.
• P,(x) y'
en la que p¡(x) son polinomios, el procedimiento del anterior capitulo no proporciona una solució n completa en serie en lomo x-a.
Ejemplo
Si se supone
1. Para 1:1 ecuación
una sorucién
.ry" +
Ixl
-
x)y'
... 2_v • O•. Y -
O es un punlo $in8ul~r )'~ que P.,fQ) - O.
de 1:. ferma
(1)
y se sustituye en la ecuación dada. Sé 6bliene
2Ao + A.x + (lA! +
+
f'I~\'~
(SA)
+
2A:).\.) +
Para Que está relación sea satisfecha identicamente es neceserio que Ao .. 0,
no existe una serie de 1~1(orina (1) que satisfaga 1:1 ecuación d:¡d3.
UN PUNTO SINGULAR
x
=
a DE 1) SE DENOMINA
=
0_"'·
At -
O.
O. Al - O. Al - O•••.
: lUCIO
REGULAR SI cuando 1) se pone en la
forma
11, (x)
l' )
= O.
y
(x _ a)'
se pueden desarrollar R.(x) y R2(x) en serie de Taylor en tomo x =
Ejtm,-o 2. Para la ecuación (1 + xh,n +- 2xy' - 3)'
I + (- 1) = O, Poniendo la ecuación en la forma
yN.
Rs
__ (X) y 1 + 1t'J (.1)
---y
..
1
.: 1"
(x. 1)2
= O. \" =
-1 es un punto singular)':I qu~ "oC-l ....
1'1 ... -3(x .. J) 1
~
:t
Q.
..
1
O.
(Z.I)t
los desarrollos de Taylor eu torne .v • -1 de R,t\') y R~(xl son
R! (x) - 2x ..: 2fo\' + 1) - 2
y
R,(\) = -,1<
+ 11.
Luego x. -1 es un punto singulat regular.
E;empIO 3.
Par" la ecuación
X3,1'"
+
+ J'
Xl.I'·
en la forma
= O•• "1: =
•
1 t
:t~-y.-y.:
%
l/x
x'
O es un punto singular, Escobieedc
O
JO);
ecuaci6n
.
se ve que R~(x, = IJx no se puede desarrollar en una serie de Taylor en torno de ...= O. Por tanto. x ~ O no
es un puntó singular regular,
206
POR SERIES
INTEGRACrON
CUANDO x - O ES UN PUNTO SINOUL¿\R
lución de l. forma
2)
y
•
.,
k
x·
REGULAR
207
DE 1) siempre existe un. sene so-
Aftx"l
n.'
con A. "
O.
determinando m y las A de modo que 2) sallsfa¡¡a
t'Jenaplo 4.
Resolver mcdlanu:
AQ.uí. x • O es un punto
serie 2.\',1'" ...
51nlUl31' re.u!;ir.
e.\' + I tv' + 3y
(1 I J.
O.
Sustituyendo
.........
l'
en ItI ecuación
.(Zm ..
ji)
dada se tiene
diferencutl
I)Ao.X""'~
.......
..
+-
(Ca .1)(2*"
(
J)A1
.. (a .. 3)Ao]xll.
o.
(,,+n ..2)~_lJ..··"-1
")(z..¡'~-1)A.."
••
~ [(M" 2)(2RI .. 3)A~ .. Ca t 4)A1]z·+1
A. Y. O. el coc6cientc del primer ltrmino se anulani $iempt't que m(lm - 1) = O. esto cs. coon lal que
O o m-t.
Sin dIlboJrgo. san c:onSMktar a M. Iodos los Itnnjnos dcipués del primero se anularán con lal que
A Alidagan fa fórmula de mtumncll
Como
M -
jos
A)I, pue~,la serie
110. Il [1 _
...
3
(a .. 1)(2-"1)
(a" 1)(.'
(••
Ca.l)(
~l'••
(x
El mit.lllbl'Q de la derecb .. de (1)) se anulnrá
III soluCión particular
'1 cuando m
= ! con
Ao _ 1.
(_+3)(*+.)
_"c~:..:!!.!.:.~l-__
• + __
••
4)( ••
2)(Z. .. 1)(2a.
$)
%
l
2
3)
.J"~
)
2)(2a+l)(z.a+3)(:za·$)
.1).1'
+ 3y
cuando
o:
m = Oo
.(2a -1).40*
tl1' _
--1.
i. Cuando,"
O se tiene de 2') con Ao _ I
la $()fucwn panieuJar
1.
Lurgo la solución complela
y
C$
•
AY1'"
•
A(1 - 3% + 2%2- 2%'/3 ......
8y'2
) + BIi(1 - 146 +
2JJ;/~-
u.'/80
+ •••••
).
El coeficiente de la menor potencia de x en (1) [pOI' tanto. eJ coeficiente del miembro de la derecha de (111)
INTEGRACION
208
POR SERIES
/t"", =
liene la r0i'f'D3. ftmlA ... La «uXión
O se denomina la rf'fIIH'iótt .Inmitwm/~o lambiM t'f"II«NJn lNlitwl.
Lu anlerl<lRs $OIuooocs T. e r:. llnealmcntc independit-nlrS. com:spondcn a las distintas raicc:s lit - O Ym - i
de: esta ecuación
En los Problemas Resueltos las raíces de la ecuación determinante serán:
distintas y sin diferir en un numero entero.
b) iguales. o
e) distintas y difiriendo (:0 un número entero.
a)
Al primer caso corresponden el ejemplo anterior y también los Problemas 1-2.
Cuando las raíces mi Yml: de la ecuación determinan~ son iguales las soluciones eorrespcndientes serán idenlica.s. La ecuación completa se obtiene entonces así
Véanse Problemas 3-4.
Cuando las dos ralees Itrl < m1 de la ecuación determinante difieren en un número entero,
la mayor de las raíces 1112 siempre da una solución mientras que la menor de las raíces mi puede
dar una solución O puede no darla. En el último caso. poniendo "-o = Bo(m - mI) se obtiene la
solución completa así
Véanse Problemas S-l.
,
)
Las series desarrolladas en tomo .~ = 0.. que aparecen en estas soluciones compkw. convergen síempreen la región del plano complejo limitado por dos circunferencias con centro enx _ O.
El radio de una de las circunferencias es arbitrariamente pequeño. mientras que el de 13 Otra se
extiende hasta el punto singular finito de la ecuación diferencial más próximo a x-O. Es evidente
que las series obtenidas en el Ejemplo 4 también convergen en x _ o. ~ aún más. puesto que la ecuación diferencial tiene solamente un punto singular .'W: - O. estas series convergen para todos los
valores finitos de x,
LA SOLUCION COMPLETA DE
3)
'.(x) y'
+
,,(x) y' t '.(x) y;
Q
consta de la suma de la Cuncióncomplementaria [solución completa de 1)], y una integral particucelar cualquiera de 3). En el Problema 8 se puede ver un procedimiento para obtener una integral
particular cuando Q es una suma de potencias positivas y negativas de x.
GRANDES VALORES DE x. A veces es necesario resolver una ecuación diferencial 1) para grandes valores de x. En tales casos las series obtenidas basta ahora, aunque válidas para lodos los valores finitos de x, no SOn plicticas.
Para resolver una ecuxi6n mediante serie convergente para grandes valores de .Y. o sea sen
las proximidades del punto del mñmto», transfórmese: la ecuación dada mediante la sustitución
" =
l/o
y resuélvase, si es posible. la ecuación resultante en serie en tomo
= = O.
Véanse Problemas 9-10.
INTEORAClON
209
POR SERIES
PROBLEMAS RESUELTOS
l.
R~olvcr por senes ü! y" - ~1' ...
ttl
....
I tr
_ O.
Sustituyendo
y'
Aa"'· + A1x··1 .. .4, ,
.Aox·-~" (a.l)A ,&-" c••
y#!
Ca _ l).Aox"
y
~
2)A,s··l
1
-2 .. Ca" 1)-.4\.1""1
• {(c •• n)C20,~-3)+IJ
I'«'U
2M, .. •
.... , ....
0 •••
Ca .. " _ 1) Ca
_.}x··· .........•
.-
1
~ ...,.
( ... n)(2II+~-3)
2.
«
'1 el miembro
Cuando
ty
Ao - I se 'lene
)' cuando m - 1. eoe A., =
LUftO la sot~
m ~
1O
• v.(I -
• I)(eo'
bien m -
•/6
%
-:- x'
•
1. : z(1 _ z'/10 •
.)(~,
$1
-
••••••••••
;¡J
l.
•
•
x liGa - x 111088 •
z-'3eO -
···········1
s',28080
,.
compk1. es
8)'2
• Av.(l X .,.,
/6 •• ../168 -. o/lIosa , "'1
2
x
•
&(1 - x
,
-
/11) ••
/39J -.
•
/ZSOIllJ• ···1.
Oes el único punto singular finito. la serie converge potra todO!! los vaJ01"tSfinitos de x.
2. Reselver por series 3xy"
SU5tIlUyeooo y. y' ~
.e3M-l)Ao..t"
1s.
l. 'se IICTIC
:-;-
(co <2)(210.1)
cuando
de la dercc:h:t se anula'"
m •
A)'s."
.,--
---'---.'
Ca .. 2) (2aI .. 1) .. 1
1 • .40>'(1 -
Como
l
. satisfacen la fórmula de
de1ermlnanlc. 1m - 1)(2m - 1. ,. o.. $Oft ni - l. l. Y pan cada uno <k 10$ dos va-el primer tmnino_ Sin emba'lo. como para l1tn&uftO
CSlOSvalora se: a.nuJa d secundo 1"""110.
Al = O. Mcdt:anle 1) Sé dedil« que A, = A, ~ A, • O Sr ueee. pues.
Las rajces de: la «u.ación
r •
">A....• " .., + •••
+1
~rci se anula
'C lom~ri
n
+-
O.
Ahora bien. todos los r~nnlnos. excepto los dos primeros. se anulan SI Al' AJO
rre nc la
1)
• •••
I\)An ••n ..1 •••••••••
C
.. (a .. 1) Ca
"." ..
+
r'
2y'
+ ),"y
como
...1
.. e.·l)(:s..2)A""
_ O.
en d problema
•
••••••••
... ( ••
anterior
se lirnc
2)(3a.5)A,z
..1
[(."n)e3a+3h-llA,..
..
Todos los términos a partir del reeeerc se anuJatin si A,. A••...
.... •
1
..;;...._-
- __
e••
n)
(la + 3n. -1)
...._..
•
[( •• 3}(3a+8)A2;'"
Aa ,]
··"'-l
1 •• ,
Ao z
o.
A.1¡s(~n la rórmllb de tttUrrmaa
n ~ 3.
1
INT€GRACION
210
POR SERIES
Las ralees de la ecuación determinante nl(3m - 1) =- O$00 m = O. lf3. Como con ninguna se anulan Jos términos segundo y tercero se tomará Al
A;:
O. Entonces, utilizando la fórmula de recureeoce.
Al
A4. =
A, = ... = O y Al • As '" Aa = ... = O. Luego la serie
=
=
Y.:Aoxll;(l-
1)
=
x~+
%6_
(111 +:i) (31f:+8)
(M "3)( .. +6)(3&+8)("3
Para m-O.
nI
••••••
)
17)
1Q(3ls _1).40% .... 1.
satisface
Y para
••
=
COO
1/3. con
=
Ao
""0 =
1. se obtiene de 1) Yl
1 - %'/24 + x~/2448- ...•...
l. se obtiene:
;r1l5(1_:x5/'3tJ
y~
... X'b/3420
_ •.•••••
).
La solución completa es
y
•
AY1~.By,
,. A(1_:c}/24+xf)/2448_
.•..•
)
.lhl/'(1_;r'/30+~/'/34'XJ_
•••.• ).
La serie converge para todos 10$ valores finitos de x.
RAleES
3.
IGUALES
DE LA ECUACION
DETERMINANTE.
Resolver por series' .\),,, + )" - )' = O.
Sustituyendo y. y' e y" como en Jos amenores Problemas J y 2 se obtiene
excepto el primero. se anulan si AJ.
Todos los términos.
•
1)
---~
1
Al' ...
satisfacen la rórmuJa de recurrencia
n l 1.
AlI_t•
(111-+1'\)
Así
___ 1
z
(Il
(111• ))2
+
1)2 (.
1
+ 2)2
~,
+
••••••••
)
( .... 3)~
s;a.tisface
2)
detcrminenre son m = O. O. Por tanto. corresponde solamente una solución en serie
O. Sin embargo. considerando a .r como una función de las variables independientes
Las ralees de la ecuación
que satisfaga 2) COnnI
x y m,
y
y derivando
_
aY" •
.! .!(Oy)
0111
4111 <h:
%
)
C- Y)"
•
=
I se halla
o.
•
De 2) y 3) se deduce que y 1
Tornando Ao
oy • .
(-)
respecto de m. se tiene
2) parcialmente
3)
.! .!(Oy)
a.z 0% da
(b;:
"
11
~:O
y
Y'2
21
~
son soluciones de la ecuación diferencial dada.
.:0
INTEGRAC10N
ay
•
a.
%~
---.
+ __
1
luX' [1
Ca"_
211
POR SERIES
1)'
--,._..!.......,...
.J
....... ···1
Ca .. 1)' Ca • 2)' Ca. 3)'2
).'
2
•
,
2
),l'
2
2
_
(
Ca + 1)' C. " 2)~
,
2
2
Ca • 1) Ca .. 2) Ca. 3)
-
)
(111 • 1) (111 .. 2) (a .. 3)~
• j In
%
2%' [ __ 1_ X
-
ele ..
1)~
1
(
,
7
---_..!----I.'
,
Ca • J) Ca· 2) (a.
1
,
)'1
;1
lnJl:
."
-
2(1
1
i..»
.. - +- -)x
1
• --(1
..
(31)'
'1
• Ay,
.¡.
8'1'1
•
--. --.
>'
1
CA .. 8 Jn,l" ( ...
JI:
•
1
,
C2! )2
-
28[,1
, ....l.
(a • 1): (a" 2)' (a .. 3)'
3)
,
I
• ••.••.•.•
1•
3
1
••••••••
•
(3'
_1_(1
.,
2
,
! ,!)x'
_1_(1
(2! )2
2
(3!)'
• .
3
).
L..;lliseries convergen para todos los valores finitos de x .; O.
SU$htuymdo
.t~.-l
..... r" e ..,o, se obttcftC
• (a"2)'A..~· ..1 .. (C••
.. (a+-l)'1AI••
•
(C...
,,)2~
..
~_:)lz- .·~-1
.40)..-•• '
3)'A~"
.. • ......
o. •• ••
..
: O.
LiaoS
dos ralees de la ecuación determinante son iguales, Se toma ""0 - 1. Al
=
Ale = O. satisfaCtC:ndo la,
An_3'
restantes A la fórmula de rocurrel"lChl A'l .. - _-1-,
(m .. n)
Luego Al .. A ....
A,
" •• , .. O.
A'I".A~::.
Aa ::.
.. O.
____
..:...
,
,
C... 3) C. +- 8)
".:x'
-+-
)
ca .. il 2
y. pt'OC'edlendolo mismo que en el Probkma 3.
Oi ..
a.
'1n.&
.. 2><' [ __ 1_
Ca.3)'
.'
-
--....!.--) •• +
(:-~.:..._~
C•• 3)' Ca"
6)2
Ca" 3)2 Ca .. 8)'
Ix' - ..•.. ).
+
Ca +3)2 Ca +-6)2 ( ••
9)5
212
rNTSCI\IICION
POR SERIES
Vllltzundo 111r.tit m = O de 1.3 ecuación determin ...ate.
11
•
7f•• o
•
. ---.
1
1 _
•
1
-
3 (21)2
4
o,
-+-
••••••••••
3'C3!)'
- __ 1_(1
y
-
'"
... ).
~ (21)'
LI $01ución ccen pk:1~ es
(A -+- B In x) [1 _
2.. ..'
---x ---_r
1
+
1
•
,
lb (3!)2
3' (21)'
3'
• ········l
-
+ --1-0
31(3!)1
tu serie converge para todos los \'310rC$ ñnuos de
,1(
.,¡.
·l.
O.
RAleES DE LA EeUAelON DETERMINANTE QUE DIF)EREN EN UN NUMERO ENTERO.
)
5.
Resolver por
$Ct1C$
'f"y" -
3J'~+ xy
= o.
.
,
••
.
Lus ~iccs de la eccacién determinante: son '" _ O. 4: se t'stá, pues. en el segundo C'dSOespecia mencionado
)'a que la diferencia de las dos mices es un n(¡mero entero. Se toma A t = Oy se eligen las restantes A de: forma
que satisfagun la fórmula de recurrencia
)
Án
•
-
Án- ••
2.
11 ~
(.+11-4)(.""'>
ESIIidlíro que: esla relación de V<lJoteS finitos cuando m _ 4. l.tl tn:I)or de las raíces. pero cuando m ~ O. A. - x).
la n..il: nr -- O presenta djficuh.ad se puede: su$utuir A. pot Bor", - O) - B,.m. obscfY.ando que t:a sene
Como
---..!..._--.'
2)( .... )
(.-2)(a,.2)
a(.-2)(a"
~
• Bo~· (. - -_..:.:...._-
?
(a" 6) ( ••
+ ---_'!'---
•
2
•
a(a - 2) (a ,,2) (a + f) (a ..6)
xl
.(a - 2) (.... 2)% (a + 4)
(a -2)(.
1
-
_ ••••••••.•••
)
8)
.'
+2)
-
J
~Ii~(.u.:c1.1ecuación
•
(a -4)111
'2
lJox
.-1
•
Com<lel m~mbto de la derecha ccnñcne el Iactor M: se deduce. s,igu)endo un razonamíemc análogo al del Problem.. 3. que j y
~¡.
con
"'"
m_O.
son
soIUCIOI1C$
dt la «uac:ión diferencral dada. Se tiene
U'TEGRACION
,
.. &')(-11.
"
-1
z
213
POR SERIES
,
((. - 2)(•• 2»'
_2_ •
•• 2
...
______
~~------(_I(__ 2)( ... 2) (. '4)(""6)
'JI
UlIliz3ndo
,.,..
·-1
a..
z•
, _1_»);" ~ ..... l.
m" 8
1
o __
IC
•
•
• •••••••••
2'2', ..2'6·8
z•
1
2' 2!
1
La soh)C10n comptet a
(A ..
;-;:-&
l. se ublienc
1 •
1
11ft
1
z•
1
(111111'.
(J ...
t_+_
..._)+(_t-_»).
1
2 3 4 5
2 3
2 0 ~!31
l".,
('S
8 lnx){ .. --
1
,
•
2) 2!
... 8{1 ..
1
-+ ... _) ..-]~
2 3 4:
2
---(11>
2" '1! 2!
'l
(.ti ~ 6) ('" t 8) '" - 2
-..,,0.-- ,.
2.2".'6
'"'
_=0
(--
con IJ()
raíz m-O.
- __ 1
y, • _l
(,ti ~ 4)
4
.
1
"
2)
(111 - 2) (111 ;
.. _2
1. ~2
o
2t 31 11
-
-----,
2'
1
........ }
•
,
••
2' 4
1
1
111
0---[(1+-+-+-)
..
2' .. 21
2'
11111110
....,.""':_- ( (1+
1>- .. -+-)+(-"-»)
210 S! 31
2 3 4 5
2 3
2 3 4
lA
+--l..
2
J.
La ¡enc converge para Iodos los valores finitos de x s O.
6.
Rc,o¡,,-c.rpor
seoes
(.r -
Sustituyendo y.
.\.%
e y"
yO
Ir" -
obctenc
$1:
+-
La rórmuLa de recul"fenCllI"
..
.,
:
2)' ... O.
.
..
1)
J)" ..
Aoz
"
(1
Sl&lis(act 10'1ecuación
+-
.-2
--.
• -3
diferencia!
•
A~ ..
.-1 2
-z
.-3
• +n -3 "-1
•
___
••
0..... • o.
de modo que
• +n-4
•
s
x:
.-3
+ --
. --, . -- .
... 1 •
••
• -3
.-3
2
,
+
~,x'
.-3
)
214
INTEGRACION
POR SERIES
L.u r:alces ItJ - O. 4 de la ecuación determinante dl~rcn en un número enlero. Sin anb.uIQ. cuando '" _ O
no )( anuba. como cta de esperar. c:t denominador del cocfM:a.:ntcde ,....)a qur d f<lCtorm 3pattCt LlnIO ee el nu
meradO' eomo en el denominador por k> que 5Ccllmln... Obscnac que el cocfaoentc de .r es cno aando 1ft _ O
Luqo con A. = l.
z"(1+~'3.w:2
Lo \O'Ul.:fón COmpkl<l es
y
C11,
,..
...
C",'1
I
X}""""')
• C,(l
~ 2%/3 ..
8x"C
A(.t'2 .. ~.3)'
t
x
/3)
• (C1I
2a.3xz~4Jc5
%
CJ3)y'l
-
)
•
~lJ(I_.)t·
lIay
7.
punlC)'\
La
" .,
te(1C
C'Onvcr~ para J.q < 1.
Ix - 1)1" - } - O
por series .'{-,.,••
RaoI\'Ct
=OY
51n&1.IIare:s finitos en \
Las r<lkle$de la ecuación deternunante SOn ", _ O. 2. que: difieren en un nümCfO entero. Se eligen lolSA de
modo que sotlsfag¡ln la fórmula de n't'urrent'la
)
••
•
tt -2
- :--""::':-'';::-'::''--:(&."--2)("
A.. _,
..n)
• - --
I
"n
A..-.
Se 'Veque pan
m :o O. la raíz menor. no h ..,. nln¡urna A, - 1. como en el Prob&em:l
II que se elimina el r3CIOf m + n - 2. A.st. pues. ya que
nl~nlc.
y
. ......
()
-
1
•
--x
•• I
-. •
ce
Wh.J ..
'7
(a"
(1-1)7'-
se obnene. con Ao - I Y In = O. nI
1-
X
llC.'
2.
f
}
%
T •
Z
(.'
1)(.'2}(.·3)
Ca - 2)a.\o •
.-,
2 respecnvamente,
t
~2/2! -.1'/31
.
y
X2
L~ 'ioluc:tÓl\ compkra
leb valores
finiros de \
Q
y
_
2a~/3! .. 2.K 'lIt! _ 2:t' 1St •••••••••••
_r
e
.s. Esto
- ..•....
se dcbr. n..1u-
J
INTECRAOON
INTEGRAL
PARTICULAR.
SUSUIU)TndO J+, y' e ti" como en ti Probk:ma
.(4_.)Ao-Xe-1
J}
215
POR S(,JIIES
..
.. (C ••
(
compkmentaria
de recurrenc¡ •• es
l}(a-2)Aola"
.. C••
;.
.
('_.n)(III.n_3)An_,)x~·"-1
n)(4_oft_n)An"
Para hallar la funaón
La fórmula
I)(3-.)Al
6 se obttenC' la condlOOn
se ""aTa a cero el mlC1llbro
Atl ,. ~
• ""'-4
An_l'
..-1
,
• --x
• -3
3/Xl.
Ir."
y se ~
de la iJqu~
como ¡uUC'5
y usl
. -- .
•
$
.-3
Q.
+- 1 •
. --x
j
••••••••••
)
.-3
2)
de la derecha de 2J será cero cuando
El mernbro
m
0.4
Para m -- O ron A __•
se llel'lC
y para 'u _ 4 con Ao .. l. se tiene
72 ,. ..'(1
.¡.
+- 3z'~ .. 4x~ +- 5%"
~
+ b't3 + .~'). -
Luego "1 _ ti
I
Y: ') y IvttliC
= A(x"
,l'
).
••
6. ta (uncIÓn com~13na
Probkma
+ 2x + 3) +
B'<'íCl -
•
es
xl'
P~r:. h:.Uar una intc&ral parucutar considérese separadamente
cada uno de lo!) términos del miembro
derecha <k bI ecuación dl(_re:nccal dad... lau:lblndo a x el miembro de la derffh.ll de 2 .. eao es,
m(4
se {iene:
A)
2 Y
1ft
= . , . "'"'O.
!Aro.
•
11
A••
•
$
l.
-1
Y Ao.
", _
particular
x,
td(:nucamC1ltC'"
n -1
correspondiente
al término
-3/5. Para 11 • -L
n -4
A:ot -= -n-S
~x.
1,,2 ... !,,).
4
2
B••
04(,&:2+2%+3)
/lx •
(1 -;,;:)
,l(t/4
-
= A~ "'"
x es x: 4,
A.n-l ;
;Jsi.
.4
-
3
$x
---.- •
Nf/((I,
.
:tSl. pues. Al
o.
(1 _X)'2
...=
~-l;
el miembro de la derecha Oc 21 se LiMc'
'"' ••••••
'1 •
nl)Ao-,--I::
2. la fÓrmula de recurrenci .. es A'!t • --
"-2
abor3 .. a )!x'
A. '"'Ae
_~l:_l(l
a
La inlcgrlll
Itullando.
se tiene
"o
~lrlt
de 1:1
Se puede obtener una comprob.lclón
parcia'
3/5,1( satisface 1:1 ecuación dilér~n<:I;11.
1 :
- x
- ii 9
3
-x
10
•
1
-<
10
•
3
- S;'
de: la sotución
dcm~lrando
que la inlesnt
l);u'u~13r
216
rl'tTeGRACION
POR SERIES
Como s .., 1 es el otro único punto singular finito. la serie converge: en la región anular limitada por una circunferencia de radio arbitrariamente
pequeño y una circunferencia de radio uno. ambos con centre en .t'
O.
=
DESARROLLO PARA GRANDES VALORES DE s.
9.
Resolver
2x.1fx -
1)y" + xf3x
+
= O según
I )~. - 2)'
serie convergente
de: s -= .x..
en las proximidades
U sustitución
-
transforma la ecuación
para la que!
;¡;.
dy
"
y'
dada en
_ O. el transformado
de s
= ro.
es un punto
singular- regular. Se sepoee ahora la serie $Olución
y se obtiene la condición
..(Z._1>Aoz·-1
.. {(."'1)(2«.1)A,
- (2a-'.3a.2)Ao}z·
'" {( ... n) (2n + 2rt -1)An, _ (2(.
la fórmula de recurrencia
es An "
2(."11.)
2
.
- ( •• A) .. 1 A
(.... n) (2JI ... 2n
-
'l-1'
1)
2
~tisfaCt
+
1)
(.
.,
+-2)(2a
z? ......
0
••••
)
+3)
,
.
(1- 5')-
Para
de modo que la sede
2-' .. 7.••
2- "'3&+2
(a .. 1)(211
o.
'" n)' _ (a '" n) .. 1}Ar._1}Z•• n...l
,ti
= O. con
A()
= 1, se: tiene
41
d,
- 2:;> :
.(2)<
-11A",
0-1
•
Y1
+-
112
..
• •••••••••••
484
.. .
4~
%
-4-°(1..
4 +
ax
+
).
31s..'
La solución completa es
'1
= AY1.
By,
•
A(l"'!.
7
X
en z
ax'
+ --
112
45%'
+
22
--+
1".'
484
......
0).
31S1~
la serie en = converge para JzI < 1. O sea. par a' todo -: interior .. una. circunferencia de radie l ron centro
O. La serie en x converge para 1... 1 > l. O sea. para todo x exterior a una circunferencia de radio I con cen-
=
tro en x
e
D.
,NTEGRAOON
10. RooIver
+ x(1
r)'"
+, -
- xl(
O ¡qUn serie COQ~te
z d'ly + (3 _.)dy
d.. 'l
rJ.:z.
J, se
1
.Ca .. 2)Aoz·-
1
<t
+ 1)(a .. 3)A1
.. ( •• n)(.""+2)A",
ahorl ha
•• n - 2
An '"' -_.:::.:~:...:-,..
- C••
,04,,_.
+ [Ca .. 2)(.
Ca -lMol=-'
-
sene 50lución
t
4).4. _ -.4,),,_-1
n-2)Jk_1.)=-,+",,",1
las ...",ices de la ecuación dClcrmín,¡¡ntc son m
currcncre
"' O
obtiene
(Ca
,.
= Q;.
9. se obtiene
par:, la que r _ O es un punlO singular regular. Supóngase
Sustilu)'C.ndo ea
de x
en las ~
Haciendo la sustitución s - 1/:. como en d Problema
')
217
POR SER'ES
= O. -2
:.
.. .
.
O.
y d.ifieren en un numero entero . De la fórmula de re-
se deduce que Al -
ce cusndo m -
Susurüyase Ao
-2.
pOf 80(n,
+
2'
.. 2)
(_+n)(III"'''
)' obsérvese que la serie
1 "' 8o:z.1I{(a..-Z)
... (8-1)(
••
.'
, ____(~.~-~Il~.~
2) :
..
5i1IISr .. ce
+ 2)
Ca - 1).(.
+
(.-1).
,~
(a .. 3)2 Ca ... ) Ca'"
(.+1)(.+3)(_·4)
(••• )(.·3)
$)
)
•
la ecuacsén
Por terno.
~
• y
In •
• So'"{1 ,(
z.,'1
(a
(
<1
t)( ... 3)
1)(••
3)(a'
(a"
4)
1)(a"
:la -1
[
(__ 1)(."2)(_'_.
_I_»)¿
(a. .. 1) C...
...
Ca - 1).
200-1
(a.
(
3)(.1-4)
2
la +200-2
J,
•
11
y,
•
OYI
a•••
", = -::! con 80
,a~'1
•
z-'1(_3:'
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.11 lo z
_'1
71]n
,
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1
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') (a.
4
(_2_._2_ ._I_.
e) ."
3
• +4
...
5
_I_»),,_
...
e
IlImbién ~lis(aoe esta ccuxión
•
I ¡,e obl.ene
t' :~)
•
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3
y
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.. z'l .. 3K • 4 _
,
(A • B
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1
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1
(. -1).(
)
1
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1
••
(I!" 3)2 ( ...
,
<1
(2-. ..
(a+3)2(a.4)(."5)
5)
3) •
...
(a-l).
2
(a .. 3) (a'" 4)(.'
[
Utiliundo
,
In i) (1/x
11/3%
serie converge para lodos los valores de x .,.
o.
VSZ
+
- 3) + H(z
:·'8
2
.
•
.. ~
)
..
4 - 11/~
La sotuciOn complda
.. l/ax
2
).
C1
218
INTEGRACION
POR SERIES
PROBLEMAS PROPUESTOS
Resolver por series en torne .u x = O.
1.1.
2(x2
..
)1:1»),,, _ (x _3.%2»)"
P.R.
AfI':
.,.
y .: o.
- An_1
y
12.
4xyN
... 2(1 -x»)"
FR
A
••
Sol.
n
y
- y .. O.
.. __ 1_
2(11:+(1)
=
A(1
Converge
An_
1
x
;(2
xl
2·l!
22'2!
2}.3!
.--+--+--+
....
) +8,&(1
para lodos los valores finitos de
JI
x'
X
+-.--+---+
¡'3
¡·3·5
.... ).
I,S'S'7
x.
"
¡!'.R.
1
---~=:--:~-:-:A,,_'2
+n
An
(Il
-1)(211
•
.%2;c"
SQ/.
O. n. impar
x(>
A%(1 +-+---~
2·5
2·4·5·9
y
Art .:
par;
II
+111 -1)
+ •••••••••••••••
Z
11
.. B'/;(1 .. .!_' + _x__
2'3
)
2·4·6·5'9·13
2'4'3'7
xl¡
+
).
2"'6·3·7·11
Con v'erge paru todos los valores finitos de .r ,
14.
xy".jo
y' • %)'
lO
1
F.R.
Sol.
O.
----2
(.11 +n)
y
An_2·
n
par :
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IS.
Sal.
y
An .: O. n impar
'&:
(A + 810%)%(1
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2'
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_x
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1
• - -_;'--,=-
.
__
x
,
2t1(3!}'Z
2'4{2!)'l
)(1.
x"
1
.. Bx(- - ---(1+-)
22
2'1(2!)'
2
An_:.
par:
n
An _ O.
(lIl,"n-1)
xl,¡
---(1
2b(3!)~
Converge para todos los valores finit<t- de x
'f)
o.
..........
1 1
+- +-)
2
3
)
).
(1
.
rmp a r
INTEGRACION
16.
xy· - 2y I
Y • Q.
"
A"
F.R.
8
y-(A'
%' .. ~
lD%)(-
.
-
12
,
- ~
48
Jl'1".
2,)"
.. Jl'Y • O.
--., .
Snl
480
%
2!
41
X ..
.1 Ca .1).)'" ... (.r .1)y'
PuntOS Slnsuh1rcs:
- Y
'I!
•31
• 8(1
t~
O.
2.1,".
y' - J
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y.
11
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%
4
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19x·
13'b:~
576
28800
.• ·1.
•
tl'l
,
.. ~ -
).
~I
O.
F.R.
x :- O. -J.
A",
11 - --• ... 1'1
-1
Con\'C:r¡c en la RgtÓn anular limilac:b por una (1lcvn(et'C'nC1.
cun(crc:nc.u de radiO uoo. ambas con ceotro en ~ - O.
19.
.-, ..a'- --- . ---
O
2
•••••• }
para codos los valores tinircs tic x
Converge
18.
%
-2
%
••••. ) "BeJ
Con\~r&c para todos los valores linil~de
".
219
POR SERIES
..
1
"-"_1 •
6e
radiO arbtlr.uiamcnlC:
ptquMo
'1 una dr·
1.
t
A(l""
~2/6'" 13/90" ..... )
..
..
1 2
-Jl
(1 + %/15'"
O
2,
x /420 ..
%
.. 81.1(1'"
A/3 +
118000 ...•••••..
;el/30'" .'/630'"
.......
)
) - 1.
Converge pura lodos los valores finitos <k )(,
Resolver por series en las proximidades de x - oo.
A". -
F.R
.'i<JI
y
A(I
1
1
-_1 .. _---2
3x"
Con\crSC
30z
...•.• ) • S.r.(1
Y •
para todos lOS vatores tinll\h de •
1
(A + B \1)-)(1
Con\'crgc
x
1
t - t 1C
1
~l
An_1
.---_
(i:r2
6J().t ~
F.R
Soto
Ca .,,)(2a ...2n -1'
).
9Cb S
+O
A"
•... ) . BI!
•
6;<'
para todos los vatores finilolo de x ~ (1,
x
I
1
• -(t-+-)
2<'
2
_1_(1...! .!) +
6%'
2 3
... J.
CAPITULO 27
Bessel y Gauss
Ecuaciones de Legendre,
LAS TRES ECUACIONES DIFERENCIALES que se consideran ea este capitula se reseetven
por los métodos del capitulo anterior. las dos primeras tienen aplicaciones irnportentes en fisic:a
matemática. Las soluciones de las tres tienen muchas propiedades interesantes.
ECUACION
DE LEGENORE
o-,,')y' - 2>ry'
• p(p +)y
•
o.
Ea d Problema 16.Opitulo 25. se pode una 5CIuáón de <SU
S<n< ...,_t<
ee Ion><>
s = O. Con ciertas coodiciones para ,. que: se esta.bJc:cer.ín mis adcbote. te oblcndJi aqui b soIuaóft COft~·
ptc: en bs proximidades de x • co. Utilizando 13 sustitución x - 11: (Ybse el capitulo 26) la c:c:uaa6o fe eeeviene en
.. 2.zi ely .. p(P"
1),.
•
O
d,
pan. la que z ....O es un punlO ¡in,uJat regular.
,
•
-
(-.C.-l)
.. p(P+l)lAoz·
.. (-.(
... ca .. l)Ao}z··'
:
{(-ca. n)(a+n.-t)
O
y
(.+n -2)(111+
.4,.-
1)]",,- • (•• n-2)C.·,,-JlA.a_2'):··"
.. P(P"
1)
[(a .1)( ••
-1)
..
"'!l-2 •
1)
[C••
se:
\'C
que
.( ... 1)(-+21(_ ..3)
2
Ca .. 1)(.'" 2) -p(JI"
...
TI.
Ca .. n) Ca .. n - .) - p(P .. 1)
.(a ..
----~~~~----,
.
y • .lo? [1 •
.. p(p.l)JA.
• O.
+ •••••
Tornando A.l
.. {(-C... 1J(a,..2)
.... ) .. p(P+l)}A1Z··l
1)( ••
2) - p(P • 1) JI (. '3)(.'
.(.·I)(.+2)(.~31(·".)(·"S)
2)-1'(1' '1))[(.'3)(.'.)-1'(1'
.1))[( •• 5)(. '6)-1'(1'
~'..
4) - 1'(1'• 1)J
z'
)
.1))
satisface la ecuación
Pata m - -p con Ao 1)
1••
I se obl.c:nc
,-~[1- e.!e..:!1.,'
•
2(:Ip-11
pIP-I)IP-2)(p-3)
"
2·4(?P-1)(?P
- 3)
•..........)
zP'[l
_
e.!e..:!1. x"2
..
2(2p-1)
.. p(p-I)(P-2)(P-3)
2·1(?P·
I)(?P -3)
).
220
p(p-I)(P-2)(p-3)(p-f)(P-S)
2"'S(?P-l)(:I;>-3)(:Ip
_ SI
.-.
pep-I)(P-2HP-3)(p-4)(p-5)
2+6(:1;> -IH?P -3)(?P
-S)
..
.
..
ECUAOONES
Para '" • p
+
I con ""o
=
DE LEGENDRE,
221
8ESSEL y GAUSS
I se obtieoe
(p" 1)(p" 2)(P" 3)(P" 4)
2·4(2¡>'
,..
S)(2¡> • 5)
CP+l)CP + 2)CP +3)(1' '4)CP +5)(1'
o$)
]
2'4' 6(2p' 3)(2¡> • 5)(2¡> ")
•
.1'-,..1 (1 +
x-' ... (p'-1)(p·2)(p.3)(p+4)
(p+l)(p+2)
2(Zp + 3)
.. S) x-t.
... (P+l)(p+2)(P+3)(p.4)(p+$)(p
2-4-6(Zp+
y
l..UC'80
es la solución complete, con_te
z-
2'4(21' + 3) (21' + S)
3)(Zp '5)(21'
:- AYl
)
")
... By,#
(x( > l. con tal que p .. 1{2. 3{2. 5/2. ••......
.,.,.
o p '" - 3{2.
-5f2 •.........
Supónpsc
que p es un nUmero
positivo incluido O '1 considérc:sc la solución
entero
pud_ cxp"esar por u,(>"~ Poniendo P - O. l. 2. 3. . ..
"o(&:)
U,(X)
1.
•
I..¡
•
donde.
~
[ik).
te
.)'1"
que: es un polinomio.
lime
V3.
-:-"'.,,(:.;.k _-..;'.:..)._._._ .. _._._. (::.:.:..-_3>::..:...~I)'-2nn! (2l--1) ••••••• (2*-21'I ... )
(_ 1)'
,,-o
medianre
~ x1 -
en "
x .-""
se expresa el máximo .. tero :Hk (p. ej .•
Uk)
R
3 si k
= 7.
[jkl
=.
si k
= 8).
LO$ polinomios dc:fiojdos por
P .. O. l. 2•••••••
3)
se denominan polinomios de Legeadre. l..o5 primeros son:
po(X)
•
I0Io (S:)
:
pt(x)
•
UtC .. )
:o
l.
X.
3
p,(X)
1·3·S
-31- U,(.1O)
=-
1'3'$·7
--¡¡
u.(X)
P,. (.K)
•
1·3+7'9
SI
ClO('¡:)
1'3" "11
61
..,(.)
1·3.... 13
7!
U,(x)
es..
p(p+
1
2
'"2%-2'
S)
2x
S-7
-x
3
'2 x
"
,
7·9.
-x
,.
2'4
S·7)x
_ 2_
2'4
7·9·11
--K
2+6
• 9·11·13,
---x
2+6
01....0. teS"n J~ que P,(x) es una solución
11_0.
:\05
- 2 -x
2'4
2'4
•
. -.
1·3
2·.
3·S
. -x.
2'4
-
7'9·11 ~
S·7·9)
- 3--x
.3--%
2·.·6
2,,'6
panicular
3·S·7
- __
K.
2'.'6
Oc la oouaci6o Oc ixp>dr< (1 -
etc.
x'V _ Zxy' +
ECUACIONES
222
8ESSEL y OAUSS
DE lEOENDRf.
DE BESSEl.
ECVAClON
Es evidente que x _ O es tul punto
x-O. se sustituye
singular rcplar. Pan obtener b $Ohrión mediaJ:lte
c:oa.~k
$ImIt.,
en lOmo.
+- {[(a+n)2 _k2)A'l
Se
loman
Sl1liraa:
Al ....
o
{( •• 2)2_k2)A2:+Ao}z··2
{ca+-l)2_.2}Al.t"tl.,.
(.2_.l2)Ao~·'"
+-
A" .. lI Y
.
o.
An_¡t},1··"
--':.-""'7
2
(a'" n) - k
y Ar.
+-
K
ve: que
la ecuación
=
Para m - le con Ao
•{
1-
11 • ~
---
l'
1 se obtiene
+
z
.J
42'2!(k+I)(.It+2)
4(k+l)
•
-----=-----?
-
+
)
4) ·31 (k ...1)(. -+ 2) (k +- 3)
Y J)J.ra m - -1<' con Ao - I se obtiene
y,
• x
_.{
1 _ ---
1
x
,
•
+ ....,..--~---.
4(1-1)
"'2'
x0
1
+-
••••••••
"'3'(1-.)(2-.)(3-1)
(1- t)(2 -t)
).
•
Obsi:f\tie que Y: _ Y1 si k = o_ Yt no tiene signifado $á A:: es un nllmero entero oegatiVQ e Yl carece de sa'fll(iQ.
do .. Ic es UDn6merocntc:ro pOSitivo. ExccptOCDdtos:casos. la soIucióac:ompleUdebeaaacióncsy
~
+ s,J
__
te pan todo x ", o.
A,.
1
(S_{';..
3!(.+3)~ 2
1
•
-.--
2 ·AI!
Y.
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7·10.
ECUACIONES
DE LEGENDRE.
BESSEL Y OAUS5
223
ECUAClON DE GAUSS
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ea Jos. Problemas
ECUACIONES
224
DE l.EOENDRE.
PROBLEMAS
8ESSEL Y GAUSS
IlESUELTOS
ECUAClON DE LEGENDRE.
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225
BESSE!. Y GAUSS
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De LEGENDRE.
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ECUACIONES
226
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227
ECUACIONliS DE LEGENOII.E. BESSEL Y GAUSS
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228
ECUAOONES
BESSEL y OAUSS
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•
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10
2
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222
de 10$ dos conjuntos
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2
1/2 Y 7 - 3/2-
•
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¡T • O.
Ci - 21).1' -
(JI _%2).1 ....
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Aquf
_
DE GAUSS.
11. Resolver mediante $eñe
12.. ResoJver
~).2
•.....•.
1'2"'1'2'3
...
(-Jr) '
1·2·3·2'3'4
)
:
10(1+%),
)
.
-
•
Y+ 2
230
ECUAC'ONES
DE LEGENDRE.
BESSEL y GAU$~
PROBLEMAS PROPUESTOS
..0'.
i'.(2) - SS.l7SO. b) J.C') - 0.76)2.
I~, CokuLl,.,
e) J,(I) - 0•
15. e_probar cad. v.. el< las sigu;mt<S rdaooo<s
a) (,t'_t)P;(,r)
n..
b)
(x)
17. Si 1.(2)
18.
y Pl(2)
(J
= b,
-P~-l(')
• p(.P,<z,
-p,_,(Z»).
• ;«P,I)P",(,),
) I,m
- b -..
0._
Dw:m05Cnr que el cambio de variable indtpcndiente)(J
pp._l(.)).
b) 1;(2) _ a - ~b. e) 1¡(2)
_ I reduce .. ecuación
Eocribir la solución de la _D
el< _...".
'1 J •• ,,(x) se pueden definir c:omo OX~IJJ sea
J1(1(x)
e} Demo5uar que si las rc:bciooes del Probk:ma 8
NOla.
20.
Estas (unciones están definidas con
UlilLccse la sustitución y = xlllZ y después x
de f. «unción de Besscl, y resolverla,
SU,lcrcncia:
%", tz,l • (12 - 1/9): • O•
$<J/.
• .u
y
[1
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-
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B [1
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••
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3·2
21 ,1 2.$
(r - Jx + 2»'''
Resol"",
ÚtUClÓn el< b
Su~:
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+ 4,,)" + 2)'
x = {= + ~.
y 6x"',J oos
.. (3./2)J')
= O en
= i..emceces
IJ
= b.
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31 2% 3' 1·10
••
+ .T)'
-
O es un caso opcaaf
....... )
• .. .......... ) .
31 3' 2-5-.
= O dospoés
de r<duárl.....
y - AF(I.2. -4,,< - 1) + B(x - 1)'F(6. 7.6."
de fTl.2. -4.x - 1) se hace tnfi:nllo.
«uXIÓft
- 1) no es
el< 0."", mcxIaontc .........
UDa solución
ccmpkta.
sexco Icrm,ino
$0/.
n.
A 1'(1.2.8.2-.)
Y'
+ 8(2-,'-'1'(-6.-5.-6.2
-s )
Expresar C#d8 una de las siauientes relaciones como runciones de Oauss,
a) _I-
1-.
13.ft .•
.1'(1.
1
._M
tilD F(o.-. t. l. x/o.)
el) eX.
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2· 2. -x
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u:o.a ccuaa6n
y dcmoruIr que
C,x'''J_.,,(X)
p3rJ. demosuat que y"
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X. respcctivamc:ote.
vilida, para k -
10ft
a una ccuaci6n de
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•
x
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2' 3
11.
Q _
C,x'''Jan(x) +
Y
X
= e.
de Legeodre
19. ,,) Demostrar q~ el cambio dt variable dq)cnchcnte 1 _ xl(l!' transforma y"
el< _,.
b)
ée P,(x~
demostrar que
y J,(2) = b. demcstr ar q....
~.
..nc
el clcsamlllo ea
- 0.9147.
(p ~ l)Pp(.E).
e) (2p.I)P,(%) • P;.,(,)
16. Si Pfi(2) -
_.P_.(X»)
• (p.l)[P~.l(%)
%p;<lt) •
•
uuh",ndo
d) F(I, l. 10. -1)
IJ--
.F(0.·/3·-2'-
%
_%_)
4a.f3
yo que el
CAPITULO 28
Ecuaciones entre derivadas parciales
LAS ECUACIONES
ENTRE
DERIVADAS
son
PARClALf::S
aquellas
contienen un.
que
O mAs
derivadas parciales. por lo que tienen que tener. al menos. dos variables independientes. El 01(1,,,
de una ecuación
entre derivadas
parciales
es el de la derivada
de mayor orden que interviene
en
la ecuación. Por ejemplo. conslderando c como variable dependiente y x, y como variables independientes.
az
x-
1)
ox
y!! •
ay
+
es de orden uno y
a'.
2)
a1z
•
+ 3-
o."{"
'"'ay
es de orden dos. Para escribir
lo diferencial:
p
=
•
o bit"
.'.
ay'
o bien
O
"
1') Y2') se ha utilizado
oz
xp • yq •
2')
r
t
3.$
t
z
t ~
O
una notación que se empica mucho en el c:álcu·
o' z
=-.
r
ax'
l' )
• =
ax'
a'.
--o
<lxay
Se pueden deducir ecuaciones entre derivadas pan:iaJes elim, ... ndo constantes arbitrarias de una
relación dada entre las variables y eliminando funciones arbitrarias de las vanables. También pucdco
surgir cuando se plantean probltm3s geométricos y físicos.
ELIMINACION
DE CONSTANTES
ARBITRARlAS.
Considérese
que
z
es una
función d.
dos
variables independientes x e y definida por
3)
g(X,Y.l,',b)
= O,
donde a y b son dos constantes arbitrarias, Derivando 3) parcialmente respecto de x e y se obtiene
aR • aR ~
ax a. ax
4)
=
a~ • pa, •
a.
ox
O
y
.R
51
ay
t
~!!
a. ay
= ~
ay
+
qa~
o.
•
O.
En general. las constantes arbitrarias se pueden eliminar entre 3),4),5). dando lugar a una ecuación entre derivadas parciales de orden uno
6)
(x. y, z,p,q)
Ejemplo l. Elimina.r las consu.ntd
Ocnvando
p:ucia1men(~
rtSp«10
=
o.
arbitta.ria:s a y b dt: :: • ax~ + IIr + abo
de T e _v se
ueee
y
Rc~vlcndo
C!i13Secuaciones
respeeto de
ti
y b y MlSljtuy~ndo en 1¡¡ relación
231
d....c:Iase: obtiene
ECUACIONES
232
,
.
ENTRE DERIVADAS
(,..P.. )x- 2 ;. ( ..,92
-)y'
1- ~
oC
(,-P)(o9)
:2 .-
Y
.r'¡;
PARCIA~ES
de donde
y
41)'J' •
una ec:uao6n entre derivadas pamaks t:k orden uno.
Si z es una función de x e y definida por una relación que solo contenga una constanre arbitraria
es posible. ordinariamente. obtener dos ecuaciones entre derivadas parciales distintas de orden
uno eliminando la constante.
Derivando parcialmente respecto de x se tiene p vadas parciales z ... p(x + y), Análogamente. derivando
de modo que: se puede: escribir la ecueciée entre deri·
respecte de y. se "ene q
a y la ecuación:
,.,. q(x + y).
11,
=
Si el número de constantes arbitrarias que: hay que eliminar es mayor que el número de va..
riables independientes, la ecuación entre derivadas parciales resultanre (o ecuaciones) es ordinariamente de orden superior al primero.
Ejemplo J.
Eliminar
a.. b. e de :: -
Derivudo pa.tCialme:o,crespeeto de
me:1'I te
+
by
+
rclaciooes.. junto CODla dada. no
rupecto de x se lieoc:
$Oft
a
-~
ox
exy.
e y se liene
X
=a+"
(1) p
Estas
QX
y
(11)
q - b + ex.
$I.lficientes parll ehminar
. o',
0.'
-
•
o-9
Derivando
.l
r
r
(1) p;ueial.
•
respecto de)' se: tiene
o.
de orden dos.
(1) pa.rcialmc:otc respecto de JI o (11) rtlliJ)CC1Ode x se: obtiene
o-p
ay
De (I~P
a',
• -
Derivando
• o.
r
una «uaci6n diferencial de orden dos. Derivando (JI) parci:llmenle
ay
las tres constantes.
- •
Susú,u)'<Gdo
+ sy y •
D.
=P
- sy;
b. e po< sus _
=
o
-q
a.
,'"
• --
OX
•
oy
de (II~ b _ , - u.
en la rdac:icIo _
, • ('.
se _
de_dO<.
Se tic:ocn. pues, tres eeceecees entre derivadas ptlrdales r _ O. IzO,
nimo) orden asodad.as con la rdaci6n dada.
ELIMINACION DE FUNCIONES ARBITRARIAS.
nes independientes de las variables x, y, z, y sea
7)
<I>(uoV)
•
Sean u
= p~ + t¡y -
lXy
del mi$mo tml-
véanse también Problemas 14,
u(xo Yo z) y o ~ lI(.\'o Y. r) funcio-
O
una relación arbitraria entre ellas. Considerando a :
parcialmente respecto de, x e y se obtiene
81
=
Z
Como
la variable dependiente y derivando
y
ECUACIONIlS
ENTRE OERlVAOAS
233
PARClALIlS
9)
ElimInando ~
y
av
-
dU
dU
- ..p-
ax o. ox
av
au
- +qaya.
d. 8) y 9) se: uene
~
av
..p-
a.
•
Ou av
a" ay
(Iv av
aya"
~ -----+
e_o'
•
.... ribiendo
ov -ov
aya.
IJ' = -
av -av •
o. ay
ÁQ=avav_~~
- -
1" anterior relación toma la fcrmn
oz ex
I'p • Qq
ox a,
.
= R.
una ecuación entre derivadas parciales lineal e-n p y q y libre de la funci6n arbittaria f(u.
que se ded cee de ~:/x'. y/xl - O. donde ~ es .... funciÓIIar-
Qt.opIo..
Hollar la 0CUlICIÓII difuendal
1)¡trana de: tos a:rgwnen tos.
Se puede escribir la relación fu_
mente rqpccIo de x e y se tie:nc
~
la tlintinac¡ón de
...
y
en la rOIm3 ~.,
~
_1 - 0_ • - :Ix' y. = yfr..
' <f1. av
duo,.
S. se elrmme f<D) dc:
CSlU
pomal-
~
da lugar.
av
función arbitraria de su argumtnto. Utilizando" = y/x y dcriv:ando : _
q ••
li~
•• ' (<f1.)(!)
dv
~
rriacioocs
JC:
•
x'/(I1)
respecto de x
c: y
se ueee
"/'(0).
obIic:oc
p + qy
•
como antes.
Véansc: también Problemas 5-8.
234
ECUACIONES
ENTRE DERIVADAS
PARCIALES
PROBLEMAS RESUELTOS
+ a)CY' + b).
1. Eliminar ti y b de % = (Xl
Derivando
y2tb
•
parcialmente respecto de x e y.
2...
.f...
2K{y2 + b)
»
2y(X'2 ¡.,
q"
pq ..
o
También se podrian eliminar o y b como sigue: pq
2.
'i
y
2y
2x
p
=
4xy(y' + h)(x2 + a)
O).
Luego
4;()'~.
=
4xlz.
Hallar la ecuación diferencial de la familia de esferas de tadjo 5 cuyos centros están en el plano x = y.
La ccuaeiól) de la familil.l de esferas es 1} (x - 0)1 + (y - a)2 + (z - b)2 _ 25, siendo u y b constantes
arbitrarias, Derivando parcielmeute respecto de X e y y dividiendo por 2 se tiene
(x - al + (, - h)p _ O
Sea:
- b = -In; entonces, x -
á
(y -
+
a)
(t - b)q = O.
= pm e y - a _ qm. Haciendo estas susntuciones
Ahora bien, x - y = (p - q)m. Luego ...
ecuación diferencial pedida es (x _ y)2(P1.
3.
y
+
•
x__ -y
en 1) se obtiene
o
25. Y 1a
p-q
ti
+
J) _ 25(p _ q).l.
Demostrar que la ecuación entre derivadas parciales obtenida eliminando las constantes arbitrarias a, e de
z = ax + h(a)y + e, donde h(a) es una función arbitraria de a. no contiene las variables x, J'. z.
Derivando z = a.x + h(o)y + c. parcialmente respecte de x e y, se obtiene p _ a y q _ "(0). La ecuacíén
diferencial que resulta de la eliminación de o es q = h(P) O bien f(P. q) = O, donde I es una función arbitraria de
sus argumentos. Esta ecuación contiene p y q. pero no contiene ninguna de las variables x, y. z.
4.
Demostrar que la ecuación entre derivadas parciales obtenida eliminando las Constantes arbitrarias o y b de
, = ax + by + fta, b).
ecuación de Clailaut
es
generalizada.
z - px
Derivando z ., ax + hJ' + f(a,
la ecuación diferencial pedida.
5.
¿,J
+
Hallar la ecuación diferencial que se deduce de <b(x
Si
u
=x
+y +
Z, 1>
= xl
+ y2
Derivando respecto de X e )'
~(1 + p) + ~(2r
ou
I
ov
I+P
• O
+ y::
_ :2)
= O.
cP{u~~)
= O.
tiene
~(I
ilu
I
x~
- x' fa relación dad" Se reduce a
Sé-
y
+ )' + :.
+ q) + ~(2y
3.
- 2zq) •
o.
Eliminando
y
~.
3v
se obucee
2zP
2x-
I'q
_ 2zp)
qJ' + f(P,q).
respecto de x e)' se obtiene p _ a y q = b, deduciéndose inmediatamente
2y - 2;q
2(y
-X'}
...
2p(Y";)
- 2q(: + JI:)
o
o
(Y·Z)p
-
(x +:)q
•
JI: -
y.
,
ECUACIONES
6.
la función
Eliminar
f$(:c
arbitraria
Luego
p ~q
es la ecuación
235
de z
de x e y se obtiene
respecto
PARCIALES
= 41tx + y).
reduce a 'Z" = 4>{u)'
+ y)
Si x + y _ u la relación dada se
Derivando
ENTRE DERlVADAS
diferencial
P
JO
Z·
<p'Ca)
q:
y
tj)'(U).
resultante'.
7. La eceaciou de un CODOcuyo vértice este en PotTo. )'0. 40) es de la forma 4>(~.
ción diferencial
x -xa
Poniendo
~ u.. y - Yo ..
Z-':o
Derivando
x
de
e )'
_(_
""
q
a"
CcP
y
) • "'"
:X(__
1
3u:-zo
x - lO
12
f(x) y ge,) de
= O.
la eeua-
y- Yo )
=
O.
(::: _ z.o)'Z
1
-.lo.
1 ,"(x) ,
De 1) y 2) se deduce
¡'(x)
• = ¡'(xl
Luego. xys = x(p - t(y)]
entre derivadas
= 1/~)
y
= y ¡'(xl + g(yl
,.:
I
x
g'{yl.
+ xw).
de x e y se tiene
respecto
Como no es posible eliminar f.g.f'.g'
gundas
resultante
_ q
p(x -xo) ... q(y - Yo) •
se obtiene
arbitrarias
P
3)
t¡9{u. o)
HaD3r
tiene
$C-
L -lO
parcialmente
1)
toma la forma
: o.
Zo
'l"
las funciones
Derivando
(
~.
'l"
8. Eliminar
dada
: -
';-':0
respecte
Eliminando
la relación
ti
~)
Z -lO
$
=
2) q = ¡(x) +
entre estas relaciones
1
-{P-8(Y)]
y
Y
8'(]1' .![q-¡(%)].
luego
%
+ 8'(y)
+ >{q -
clerivada$ pattiaJes se-
+ g'(1),
I'(x)
•
y 13 dada se: balJarinlas
•
1
-[p-g{y)]
y
J(x)) = p.'
+ qy -
+
1
-[q-¡(.)J
.
x
(YJ(x)
+ xro)]
- p., + qy - z es l. ecuación
parciales,
Obsérvese Que la ecuación difm:nciaJ C;$ de orden dos aunque. en general, es de espetar un orden mayor. Sin
embargo, como una de las relaciones J) solamente cceueee las derivadas primeras de f y g. es posible eliminar
/. g./" g' entre esta relación. 1). 2) y la relaciln dada.
,_
Hallar la ecuación diferencial de tedas las superficies que cortan ortogonalmente
a1zl' _ O.
Sea
z = !(x,y)
la ecuación
la familia de coños .x2
P son
(x,y. -a1z).
Como
px + qy
La eliminación
de
02
-
pedidas. Los cosenos directores de la normaJ a la superficie en
Análogamente.
los cosenos directores de la normal aJ cono
estas direcciones son ortogonales,
de las supet6cies
un punto P(x, y. :) de la superficie son (p. o. -1).
que pasa por
+ ).!
+ a1z
_ O.
entre esta ecuación y 13 dad;l, proporciona la ecuación difetmciai pedida
:(px + qy) + x'
+ y'
=
o.
ECUACIONES
236
10.
PARCIA~ES
Una supt1'fiClc que es la envolvente de una ramiha. de 1.11'1 ~o parimetro,
de planos se denomina una lUptt(l..::.C
[Una superficie de eere tipo se puede dC$;lrroUar {desen ....olver} en un pI:tno ~n que sufra Oc-'Iopl'Ml'
m~,OI
o alarpmlCftlos.]
Obténgast la (.Q,Iaclón d,fcRnCtlJ de $Uper6cie-s desarrollable$.
desarrollable
y) la cevación dt: una suptrf~
Ses : _/(x.
<k$alJOllabk.
,teftC
El plano tanpr.e en un punto (x•• JO.. l.) de l. supc:rficx
F:. (z-so)P"
1)
por «DXi6n
- (:.-to),.
()"-)o)q
O.
Ahora bien. $1 p Y q saüsfaceo una relacI6n ~(p.q) - O. 1) es una famili.,.de un solo parámetro de pi."..•
que lienen % -/(x.)') como envolvente. Luego ~(p,q) • O O q 1{p) es la ecuación diferenciAl pedid.
!lO
el cono del Problema
9 es une
11. EliminQr us (unciones arbitrarias
Derivando
r
.•
1
ENTRE DERIVADAS
parciaJmcnlc
•
• _,
~J
superficie
.2
y
dCSllrrolllblc
, á',¡,.
.,
__
x
(1,2 z •
. .,
,
o
que p
q:-
L
a21
satisf.c('
!Í1(p, (1)
de
se obtie:n(:
~.
á.'
~
do'
f
•
, ,
Eliminando
d
t/1" •
du2
o.
Y¡I
que
12. OnnOltrlf
diferencial.
a)
"'1
d
4>"l
se tiene
el,,'
l
111,.
I
=
Derivando:
= ar + by
z
Que a)
ar +
y b) s _ ax'
b).,l parciaJ,mcntc
p -
Por .. ere, p~
b)
OcrMndo:
P
L.uego
+
+ bx'y" cxy' + di'lx
n:spcc:10
de x e y
Jcu'
y
1(
3cz' + 2b.z-y ... cy' - dy"/Jl'l
fU"¡ qy ,. 3(G.t~" hz 'y .. CJCy2 ~ dy.'I()
resehante,
de x e J' se tieoe
_.,
'Y
3:
a la mlsme ecuación
3bY·
q
dy'/~ paráI.Imellfe
CX)~ ...
lugar
tiene
qy = 3(=' ... br) • 3. es la ecuación diftmlOll
=' + b~Jy +
dan
q • bJl' ... 2<:1')" + 4dY)/:L·
como antes.
El h~ho de que estas dos ecuacsones, una con dos con51anlC$ arbitrarias y la otra con cuatro. den lugar 11
la misma ecuacién difereoc.ial C$ como una indicación del PIpe! subordinado que parecen represent ..r a quf 'as
oonstanteS arbitrarias. Se pueden tener, en su lugar. tunc:iones arbilraria~. Como (1) se puede escnbir ...."'(
z
*-
ax'
.. by~ •
x' (a. b()'/x)'}
•
1'·g(yjx),
'Y b) se puede escribir así
,
• ,rl (o. b(1/x) • «1/1)' • d(1/1)')
es, cada una. un caso particular de : -
~ . /(y'-t) consldcrU.o
••
1.hU/x),
en el E.jemplo 4.
.....J
ECUACIONES
ENTRE DERIVADAS
PROBLEMAS
PARClA~ES
237
PROPUFSfOS
Eliminar las constantes arbitrarias a. b, e de cada una de- las ecuaciones siguientes.
.. (,( _(l}'l
13.
14.
l
15.
~x
,
• axy
•
(~- b)
Sul.
Ó
by • n • 1
-t-
16.
.: (lXCY
17.
= x y • y,¡;:¡:-:-;;r
18.
2
x'l./Q~
I
~a~c~1
-t
f
." '1'
• O
,.
s • O.
q
b
pq
.
Q.
-xy: ..
21.
</>(%
r
y
23.
r
24.
z " f
2S.
t
.:
f (X
26.
Z
=
1)%
27.
2
z: .: ;{(l2 .. 2}x
•
J (x)
(!'f
f (,)
l<ly)
.
(xy)
2
•
t)
•
:1
XI' ~ yq
'lIt ~ yq2 _ tq .: O.
: 0,
o
¡S + pq .: O
2: _ xp
6
xq
-+ y(Z-x)q
• Z{X-y)
yptxq.z
(x'Y}<P(J:?_Y'l)
•
O
'P , P
xtr-Z)p
1 ~)
22.
o
b y las funciones arbitrarlas ~. /. g.
So!.
20.
O.
Xl" ~;xp'l_::p
• 1
.ElimlOllr las constantes arbitrarias
q'
xp - yq
b
y'"l/b'l ~ z2¡c'1
r
g(x)
6(%
t
y)
S.(J/.
",:::(x"y)
• 8(1)
• Q;cy ..
b% • 4>{y·
áx)
qr -
(l+p-t-q)s
-+
• O
(¡.P)(
p-xr
O
r _ 2:
rt - 52 .,- 2
0$-=0
28.
H311ar la ecuación diferencial de todas tas-esferas de radio 2 cuyos centros están en el plano ;rOyo Sugerencia:
Elimínense a y b de (x - a)' + (y - b)' + x' = 4.
Sol. Zl(p' + q' + 1) _ 4
29,
Hallar la ecuación diferencial de los planos para Jos que SOD iguales los segmentos limitados por el origen de coordenadas )' tos puntos de intersección con d eje de las X y el eje de las y (segmentos Orx, O-y),
Sol. p - q O
JO.
=
"[aliar la ecuación diferencial
de todas 415 superficies de revolución que tengan el eje
Sugerencia: Elimínese ~ de z _ ~(Jx'
+ y'l
= ",(x' + )"~
S./.
}'p -
r
como eje de giro.
xq = O
CAPITULO 29
Ecuaciones entre derivadas parciales de primer ordeu
LAS ECUACIONES
l.)
px
+ qy
ENTRE DERIVADAS PARCIALES de primer orden
= 3.
y
se denominan lineales para indicar que son de primer grado en p y q. Obsérvese que, a diferencia
de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, no hay ninguna restricción sobre el grado de
la variable dependiente z.
Todas las ecuaciones entre derivadas parciales de orden uno que no
2,)
p'+q'=1
Y
2,)
SOD
lineales. como
p+lnq=2=',
se denominan no lineales.
ECUACIONES ENTRE OERIVAI)AS PARCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN.
ecuación 1.) S<: ha obtenido en el Capitulo 28, Ejemplo 4, de la relación funcional arbitraria
4>(7JX', y/x)
3)
La
=O
zlx3
o su equivalente
_ ¡(y/x). Esta solución. que contiene una función arbitraria. se denomina
la solución general de 1.).
También se ha obtenido la ecuación diferencial (Capítulo 28, Problema 12) eliminando las
constantes arbitrarias de
4,)
y de
4,)
Z
= ax' + bx'y + exy' + dy"Jx.
De los problemas de ese capitulo se deduce que las relaciones que contienen dos constantes arbitrarias dan lugar normalmente a ecuaciones entre derivadas parciales DO lineales de primer orden.
mientras que las que contienen más de dos constantes arbitrarias originan ecuaciones de orden
superior al primero. Sin embargo. CODlO se hace notar en el Capítulo 28. Problema 12, ambas reIaciones son casos particulares de la relación funcional arbitraria 3). Está claro. pues, que la
solución general de 1) proporciona una variedad mucho mayor de soluciones que las que se obtienen (en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias) mediante la forma de constantes arbitrarias; por ejemplo.
=/x' = A sen(yjx)'
+ B cos()'/x) +
e In(y/x)
+ De'" + E(yjX)12
está incluida en la solución general 3).
LA SOLUCION GENERAL, Una ecuación entre derivadas parciales lineal de primer orden,
que contenga una variable dependiente z y dos variables independientes x e y. es de la forma
5)
Pp+Qq=R
donde P, Q, R son funciones de x, y. z,
Si P = O o Q - 0, se puede resolver fácilmente 5). Así, la ecuación
~z = 2:< + 3y tiene COrno
uX
solución z ~
Xl
+
3xy
+
tf>(y), donde
4> es una función arbitraria.
238
ECUACIONES
ENTIlE DERIVADAS
PARCIALES
DE PRIMER ORDEN
239
Lagrange redujo el problema de hallar la solución general de S) al de resofver un SÍSIema a.wliar (denominado
el sislema de Lagrange) de ecuaciones dlfermaales
",dinarios
dX.::dy::=dz
6)
Q
P
(véase Problema
demostrando
fl
7) que
7)
"'(u, D) = O.
(~. arbitraria)
=
es La solución general de S) con tal que u = u(x, y, z) = Q Y o - 11(.<, y. =)
b sean dos soluciones independierues de 6~ Aquí. Q y b son constantes arbitrari .. y al menos una de u.• debe COn-
tener
l.
Eje!npW 1.
Hallar
¡cne.ral de
La solución
1)
e
px+qy_l:.
El
sistema
dx
Dt -.
x
auxiliar es
ti:
.
- se obtieoe
3:
:j'_'
ji
...
Q.
~
de
2y _!:) :
= Q.
,¡xl
Asi. la solUCIÓn gen<nII es ~/,"'.
Naturalmente.
ax = dy
-y
x
Y de -
se obc.ac:nc
dond<
.:fi' _ c.
b'
b
se o neee " - )"/~ = .
9
es art.lranL
y se puc:dc: e:scnblr
II-(:/x'. :fy') - O
donde 1St y l. son arbitrarias.
millar lo solución general.
~(:Iy'. ylx) -
Sin ernoorao. son completamente
o.
equlvllenlcs y cualquiera
de ella$ se puede
eeee-
E.l anterior procedimiento se puede extender rápidamente para resolver ecuaciones difercn·
ciales lineales
~
siendo;;
de primer
2.
la variable
orden
que contengan
más de dos variables
independientes.
Hallar b. soIua6n ¡proet'ai de:
dependleme.
JA
dy
-.-"'_=
~
y
El sistema auxiliar es
dt
di
t:cyt
=
Se oblicne rápldamenlC' rI - ."/y - e, ti
tff = b.
S< puede hallar una ....,.,.. solUCIÓn u>c!cpcodi<nte utila.ncIo
.r(.)'t)
• y(zr)
)'t
t(%)')
&
tú. 1lrdy
lo
-+- (%;)'1)(-3)
xydt
- 3d!
;ryt - 3: "' c.
Luego la solución general es ~(;rly. t/y.
X)'I
-
3=)
= 0,
• O
los muluplieado<es yr. XI.
..
O.
xy. -J. Ccmo
ECUACIONes
240
ENTRE DERIVADAS
SOLUCIONES COMPLETAS. Si"
« y {J son constantes arbitrarias.
PARCIALES
DE PRIMER
ORDEN
- a y v = b son dos soluciones independientes de 6) y si
u=a:v+fJ
8)
se denomina una solución completa de S). Asl, para la ecuación del Ejemplo 1,
zlx' _ «(ylx)
+P
es una solución completa.
Un. solución completa 8) representa una familia, de dos parámetros, de superficies que no
tienen una envolvente, ya que las constantes arbitrarias figuran lineal.mente. Sin embargo, es posible seleccionar familias de un parámetro entre las 8) que tengan envolventes. Como se demuestra
en el Problema 8. estas envolventes (superficies) son Simplemente superficies particulares de la
solución general.
PROBLEMAS RESUELTOS
l.
HaJlar la solución general de ?.¡' .... 3q _ 1.
El .
xili
dx
d)'
dz
slStema au ar es "2 = "3 = T'
d; se tiene 3x -
Oe ~ = ~ se tiene x - 2% = a, y de ~ _
2,.
,p(x -
3x - 2y)
=
2y _ b. Así, pues. la solución general es
O.
la solución completa x - 2z _ a(3x - 2y) + P es una familia de dos parámetros dé planos, la familia de
un solo parámetro determinada tomando (J = «2 tiene por ecuaci6n
A)
x-2z-a{3x-2y)+.'.
Derivando A) respecto de. se tiene 0- 3.< - 2y + ze, de donde. = -t(3x - 2y).
Sustitu)'cndo« por su valor en A) se obtiene la envoleeate. un cilindro parabólico. x - 2: - -i(3x - 2yYl,
Este cilindro es naturalmentc una parte de la solución general.
2.
Hallar la solución geoeral de
•••
.....u
r'p - x'zq = ,,'y.
.
,.
dx
dy
eeeacscnes
auxmares
SOn J
= -,-
d:
dy'
ry = --.
-r:
De -
o sea" % dz + )' dy
Luego fa solución general es q,(y2
3.
Hallar la solución general de (y - z)p
.
ililar es -- dx
aUXJ
El slStema
y-:
=
-x z
J' Z
=O
+ :2,
+
= --dy
x-y
dz
_,_o
xy
.
se tiene y;;t + z}
Xl
+ y)
QI
(l.
dx
dy
.
de - - -se nene x'
y;tz
_XlZ
+ J"
= O.
(x - y)q _ z - x.
d:
= __
Como (y - z) + (.< - y) + (r - xl =
Como x(y - z) + z(x - y) + r(r - x)
o
¡-X
o.
+ dy + d: = O
y x + y + z = •.
+ z dy + y di _ O y x' + 2yz = b.
1..11<:80.l. solución general es 4>(x' + 2yz. x + y + z) = O.
la solución completa X2 + 2yz • «(x + )' + z) + P representa una familia de hiperboloides,
dx
= O.
x dx
- b.
ECUACIONES
4,
Hallar
la solución
general
ENTRE DERIVADAS
dx
s:
.'
,l'2_y2_;2
~dx +ydy+
2
%.;.
2
o.
:dz
xtbc+ydy*zdz
+ ,"
o
.¡.
e,
:2)
2(x<k+ydy+¡dz)
z:
1(2 ...y2.:2
~2
Y .....
-: b.
z
2
Luego la solución
5. Resolver ap + bq + ex
;X2
2
es .p(L. x ... y
general
1.,'" solución completa
el plano yOz.
•
+ ),l + zt
= «,'
2
... !:
z
+ p:
)
-:
O.
consiste en esferas que pasan por el erigen oon centros en
= o.
'
'1'
dx
El SIstema 3UXJlar es C)
Si a
241
d,
X{,%2
se obtiene
ORDEN
2>::
2%y
yj:!:
se obtiene
De
DE PRIMER
(!<' - y' - :'10 + 2>:yq = 2>::,
de
El sistema auxiliar es
De
PARQALES
+- O. .s:
= dx
-e: a
dz
= -dyb = __
+cz
proporciona
dx
dy
= -b
•
se obtiene
In : = -~x
+ In
B. de donde
'o.
d.:
-e:
o
De ~
..
a
SiJ b T
Q)' -
b
z=
= dy
¡; prcpcrcroae,
X = A.
er-«.
z =·ee
y la solución
-"'"• y
general
se
Ia so Iuc IÓn gene-
ral se puede escribir asi z .. e-(J'.'lte/!(ay - b:x).
6, Resolver 1) 2p
1)
Comparando
La solucién
2) Aquí.
7.
(l
+q +:
= 0, 2) P - 3q
con el Problema
general
a=
5,
+ 3q +
2: = 0, 3) 2p
2, b =
5, _ 0, 4) q
+ 2z
=O
t. e = ],
es z - t'-1I'1~(2y - x) o bien z
= e-'","'(2y
- x).
= 1. b = -3, e = 2. L~ solución general es ~ = e-2:1-~(y + 3x) o bien z _ eZ,f)'¡'(y
3)
La solución genera] es s
4)
La solución general es
Demostrar
+
1:
= t>-s~zt/J(2y - 3x) o bien
= e-2't/J( -x) = ~-2,.",(X).
que si u = u(x,y. r}
=a
y
1)
=
Q(x.y.:)
=b
las diferenciales
de: u
=a
y
ti
=
3x).
z;= e-)rlJ.'¡'(2y - 3x).
fuci
son dos so uctones
donde P, Q. R son funciones de x, y. z, entonces cp{u. v)
Pp+Qq=R"
Tomando
+
= O. COI) f
'00
pendi
de dx
1
e
lentes
Ji'" dy
Q"']i'dz
arbitraria, es la sotución general de
b se tiene
o.
Como u y (')son funciones independientes se puede resolver mediante las razones
dx:dy:dz
•
(~ o. _ Ou~)
oy oz
¡b
oy
Pero estas. son las relaciones (véase el Capitulo
solución. genera) es tP(u. e} - O.
• P:Q:II,
2$) que definen P. Q. R en la ecuación
Pp
+ Qq
= R cuya
242
&.
ECUACIONES
Sea. _ .., + fJ
Ioccioc>at ...
vo.tYenk.
.Da solución
familia de
ENTRE DERIVADAS
de Pp
eomplda
+
PARCIALES
Qq - R..
De
DJ! PRIMER
ORDEN
esa familia de dos paIámelrOl de super6cies se.... función ciada de e; Y obkncr la en
po_ ~_h(.~ donde hes
UtI parámetro
La c:oYOl... te de la familia
+ A(.)
1) • _ ..
2)
Resolviendo
2) piU"3.
el
= JI(v)
y sustituyendo
O_ o
en 1) se tiene
+ h(¡.(v)) -
u - e- .(0)
3)
A(.).
general ~(u. v) - O. Luego.
Ahora bíen, 3) es UDa parte de la solución
nel difcrenciaJes ordinarias. la envolvente
+ h'(.).
a diferencia
del caso de las ecuacío-
no es un nuevO lugar.
Si ),(<<) se toma COmO una función atbitraria de e, X(v) C$ una (unción arbitratia de v. y 3) es la $01uc:ión geneTAl.Por tanto. la solución general de una ecuación entre derivadas parciales lineal de orden uno es La t01.a1idad
de envolventes de todas 18$familias 1) de un palimetro obtenidas a partir de una saJución comp1eta. Es de hacer
notar que cuando It(<<) es arbitraria, la eliminación de el entre 1) Y 2) 00 es posible; así. pues. no se puede obce-ee- la solución
a partir de la solución completa.
""eral
,.
Dcmoottar q.. la coDdición pon qce sea <u<u
""",)
la oc:woc:i6n
MIr, y)4x
+ W.
dif_'
JI) "'",.}'~
O<dinaóa
=
O
es una ccuaci6n entre derivadas pa:n:Wes lineal de: primer ordecL y 4emostrat la forma de ballat un fac:lor
..."Ie de M dx + N ~ = O. (Véase Cap;tulo 4.)
-,
'.
Si
~dx+""dy_O
a
- (pM)
ay
es exacta. entonces
"
.l-1I\C •
Esta es una ecuación
•
~
.~ a¡.
de donde
(¡ioN)
ay
Oz
entre derivadas
parciales
_
lineal de primer orden
para la que el sistema auxiliar
C$
"
dx.2
1)
Una
~ua60. que
-/t'
C:OOlengJ p. de esce sistema
dI'
JI
C$
un flCtOc' in.lcgranle
de M <Ix
+ /ti
d)'
= o.
E",ibiendo 1) en b forma
es nide,nc que
2)
a¡¡
"eN
a; - áj.
-N
es un (actor íntcgrante.
N - I y 2)
M:
a\
.J/(z)dx
{(.).Iuegol"
Sin embargo.
convierte
en Pdx •
es un (lletor Inlc¡rante:
ti In ecuación
--=.!.._
d., •
Py -1)
10.
Hall.,
un factor
integrante
(l3l3 (2x'y -
<!!f
l'
051
es lineal (esto es.
y
l'
<
<lit
Ox - 01 • gIl). l' • )'(1)dl
.11
y' + Py
=
Q). entonces
j P dr es un factor integrante.
y'1d. - (2x' + X)'idy _ O. (Véase Problema
av
ay'
2<' _ 27,
$1
9.'
.+1 -
Py - Q.
ECVACIONES
EI:ITRE DERIVADAS
Se b\lJc:a una solUCIón que contenga
-2](2)<'
obuenc
a..''¡ -
In '" • -2 lo ~ - 310'.
Luego ~
El S,SlCM¡¡'aultiljar es
Primeramente
Yo"
'.
--YO:.
_
!AyC, -
n un (actor lnlC&ranlC
.1' -')'.~
'1:
10.J)
--
I
_
x « i
u • --
)lo.
)'0' Zo
b • R($O 1"_,
\,~O
debe existir entre
+ Y.
se obueee
y de
",
v:Y+I.b.
y,
Xl
se obtieoc
entre
.('0)'0 •
Xo + )'0' : ••
J Y
x.+1
u=---=---.
xo=.
Xq+Zo
XCI·
•••
Alumas re1aaones
.
,. "o -: --. I
~
lo!
respecto uc
• - I
Y.
tu)'ft)do en xeY. _ x.
1.
: -
x'
se eliminar4
'0"
+ JI.
dx
se obtiene
De
_
•
-y'
-27"" - 3< "1
xy - x
•
243
ORDEN
uuearal de xlp + ylp + :: - O que J)'IK pOr la. hlpCrbola
11. Hallar la suptmae
,
dv
2z'y
x)'
¡)
3«2<$, -
• x7) -
DE PRIMER
dx
de ---
-2] cJx - 3< d)'
•
ft'
JI
PARCIALES
I
(o-I)(b-l)
o sea
• _1_ • _,_
0-1
b-I
ti
+h
y
I y _. .
b- 1
10 :. --
= 3 como
la rdac:ióo que
y b. Luego la ecuación de la supc:r6c:~ pecheSa es
D
o btCn
PROBLEMAS
11)' • :(J:'" y)
• 3xy:.
PROPUESfOS
Hallar la solución ¡eneJa) de cada una de las siguientes eculCionel .
11.
p"
• ' 4>(. - y)
:;"1.
q • :
1(3. - 2.<)
Il.
3p,.. 4q • 2
3y - •••
....
yq - *p • ,
6(.7. %:) • O
• .5.
6tp.
)'lq
'1 • .l:6<xy_:2)
16.
x'tp•
12q
..,,
Jey4><l/:&
-
.,. lP - ~q •• ' - .,' • O
t/X,JC'. y2, .-y_:)
e
18.
yl,p - xl,q •• .,
tfK.x' .. .,',
19.
I,p •
20.
11.
yq •
X(y
'1
_1,
x
JI:
JC(.,-I,)p.
'1
%
• l
Y(I,_x)q.
)p"
y(z.
2_
:(X-y)
'1
_x)q"
2
;(X
-y)
2:
-
.,
.. :
•
•
2
1 •
:2)
o
4>(3y- .. , 3, -
% .. .,.,,)
fjJC.Yl,
.l2.y1.~.:2)
SoL
),:
+ :" + s
+ : = 3.
q
+
O
O
,. O
1~(JC'_.'1)
~(.Y"
+
•
1/.)
•
O
• O
21. Hallar la ecuación de todas las superñces cuyos planos UU'IgcnlC:S pasen por d punto (0,
Sugertncia: Resolver xp + J'q = = - 1.
$<JI. :.
I + xq.(ylx)
ll. Hall.r 11ecuecléo de la superficie que satisface 4}'!p
2.<)
2)' - O
y que
pasa pOr .r~ +
.J. !).
r = 1, x + : -
2.
CAPITULO 30
Ecuaciones entre derivadas parciales no lineales
de primer orden
SOLUCIONES COMPLETA Y SINGULAR.
de primer
Sea la ecuación
entre derivadas parciales no lineal
orden
1)
{(x.r
.•. P.q)
=
O
que se ha deducido de
lI(x.y.z.8.b) = O
2)
elimínando
las constantes
a y b.
arbitrarias
La relación 2) se denomina
una (o la)
solución completa
de 1).
Esta solución completa representa una familia de dos parámetros de superficies que pueden
Para hallar la envolvente (si existe una) se elimina a y b de
o no pueden tener una envolvente.
Si una vez efectuada
la eliminación
ab
la relación
>..(x.y.z)
3)
o.
<lll =
g = O.
resultante
= O
satisface 1) se denomina la solución singular de 1)~ si
A(X,y.Z) = ~(x y z)·~(x.y.7.)
y si ( _ O satisface 1) mientras que 11 J: O no satisface esa ecuación, ~ = O es la solución singular.
Como en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias (Capitulo 10). la solución singular se puede
obtener de la ecuación entre derivadas parciales eliminando p y q de
{=
O,
Ejemplo 1. Es fácil de comprobar que z
(P2 + ql). Eliminando Q '1 b de
af = O -o{ =
op
, ~q
= ax + /)1 -
(al
O.
+ Ir)
es una solución completa de r = px
+
q)' _
!1.!: • _]
c¡,
+ 2b • O.
rl
se tiene i _ !xl + fy2 - i(x2 +
= t(r + )'2). Esta relación satisface la ecuación diferencial y es la solución singular. La solución completa representa una familia. de dos parámetros. de planos que envuelven el paraboloide x'l + ),1 = 4:.
SOLVCtON GENERAL. Si, en la solución completa 2). una de las constantes. por ejemplo. b, se
sustituye por una función conocida de la otra, así b = 4»(0). entonces
g(x.y.t.a.~(a)) =
O
es una familia. de un parámetro, de las superficies de 1). Si esta familia tiene una envolvente, su
ecuación se puede hallar. como suele hacerse, eliminando a entre
y
y determinando la parte del resultado que satisface 1).
ECl,JACIONES ENTRE DERIVAOAS
Ejnaplo
g
2. Póngase b
PA.RCIAlES
= ~(/J) ... a en la scleción
= s - a(x + y) + 2,a2 = O y
I!
= -(x +)')
NO LINEALES DE PRl~iER
ORbEN
245
completa del Ejempfo l. El resultado de eliminar ti entre
+ 4c =
O es
t:
= tx + )'f
que se puede demostrar
que sati..sfaoe la.ecuación diferencia} del Ejemplo L Este es un cilindro parabólico con
al plano xOy.
5U$
ráCJlmenlC'
generatrices p3ra1das
La totalidad de soluciones obtenidas variando ~(a) se denomina la solución general de la ecuación diferencial. Así, del Ejemplo 2, Sr = (x + )-')2 está incluida en la solución general de la ecuacióo diferencial del Ejemplo 1.
Si se emplea b = t,6(a), siendo 4> arbitraria, la eliminación de a entre
g=O
og = O
y
iJo
no es posible; luego no se puede expresar la solución general como una sola ecuación, incluyendo
una función arbitraria, como se hace en el caso de la ecuación lineal.
SOLUCIONES. Antes de considerar un método general para obtener una solución completa de 1)
se van a dar unos procedimientos especiales para el manejo de cuatro tipos de ecuaciones,
TIPO 1: J/P, q) = O.
Ejemplo: p' _ q' = 1.
Del Problema 3, Capitulo 28, se deduce que una solución completa es
z
4)
donde J(a, h(a)
= O,
=
ax
+ h(a)' + e,
Y a y e son constantes arbitrarias.
las ecuaciones para determinar la solución singular son
z = ux
+ h(a)y + e,
I
+ h'(aly.
O =x
0= 1.
Luego, (10 hay solución singular.
q, arbitraria .. y eliminando
+ "'(a)" + .p'(a)
La solución general se obtiene poniendo e = cfJ(a). siendo
5)
z = ax
+ h(a)y +
.p(a)
O =x
y
a entre
La primera ecuación de 5) para una función estipulada q,(a) representa una familia. de un para.
metro, de planos y su envolvente (una parte de la solución general) es una superficie desarrollable.
(Véase Problema 10, Capítulo 28.)
Aqu¡ Jrp. q) = p' - q' - I - O. J(a, h(o))
solución completa e.<; z = ax + (al - I)l!ly + t:.
Se logra una forma más elegante poniendo
e
=X
Q
$OC
= o'
=
- [h{ol]' - I
=O
sec w: entonces, h(a)
« + )' lB
(l
+
y
= tg
h(o)
a y
=
(a' -
1)"'.
U03
se: tic:oc
c.
Si se pone e = 4>(1:1) = O. el resultado de eliminar a de
z=xseca+ytg~.
O=x1.8a+yseca
.' = ,,' -
o bien
O-x
sen « +J'
r·
Esta superficie- desarrollable (cono) es una parte de la solución general de la ecuacH;n diferencial dada.
Nótese que se pcdrta haber tomado hta) - -(al - l)lfl Y obtenido como una solucH;n completa
=_ax_
(al _1)ll2y+c.
Véanse también Problemas 1-2-
246
~CUACIONIJS
ENTRé
I!.!.º-ll1 : -
DERJVADAS
+ qy + f(P·
pX
PARCIALES
NO I.JNEALES
: _ px + q)'
Ejemplo:
q).
OE PRIMER
+
ORDEN
3p)/) qJ(3.
Del Problema 4. Capitulo 28. se deduce que Un.1 solución completa es
6)
: -
QX
+ by + fea. b~
Por razones evidentes se conoce como del tipo de O.,rauI g.:neraJizado. Esu solución completa
consiste en una familia. de dos parámetros. de ptanos. La solución singular (si existe una) es una
superñcie que tiene la solución completa como sus planos tangenles.
Una lotución completa es :
=
ax + h,v + JQ'/~blt).
y, ,u,tituycndo en la solución completa, se obtiene la solución singular
o
xy-:
L
Véanse también
TIPO
11/:
f(=.
Supéngase z
e
P. q)
= O.
Ejemplo:
+ ay) =
F(x
dt
~II
dr
a"
du
ax
du
3-4.
+ q'.
p'
F(u~ donde a es una constame arbitraria.
~z
p--=----
:
Problemas
dz Ou
do ay
Entonces,
dz
do
Q"--:8-.
SI se sustituyen estos valores en la ecuación diferencial dada se obtiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
fe,.
t
cuya solución
Ejemplo.5.
Pónense
u')'
(~
! -
• a
es la solución
completa
Resolver z _
... ql.
f'(x + ay)
pl
=
e/v'
eh
"'du1•
O
pedida.
flu). Entof'K."CS,p _ d:{du. q - u Ú:/du. y la ecuación
dada se puede. redUCir
la
',01')'
;¡ .
Tomando las derivadas respecto de
80, - 2(.<
L.a solución
el,
singular
es e
=
D
y b se llene
+
O)'"
b)y
O.
X
+
a/'
+h
= O.
O.
Véansc
TIPO IV:
J,(x. p) = I,(y, q).
Póngase h(X, p) =
Q,
Ejemplo:
p - x' = q
también Problemas S-7.
+ y'.
[¡(y. q) _ a. donde o es una constante
arbitraria, y resuélvanse
relaciones obteniendo
p = f'(x. al
y
q - F,(y. a).
Como : es una función de x e Y. d: • p dx + q dy = F, (x, a) dx + F,(¡·. a) dy.
Por tanto.
e$3S
ECUAC!ONES EN"rRE DERIVADAS P,\RCIALES NO LINEALES DE PRIMER ORDEN
z
7)
f
'"
J
F1 (x, o) dx +
F....
(Y.")
247
+ b.
dy
que contiene dos constantes arbitrarias, es la solución completa pedida.
Ejemplo 6.
Resolver p - q
Poniendo p -
,-.:2 :;:
e. '1
= .r
+ )02. o sea
+ )'~= a se:
obtiene P ...
=
Integrando d:
p dx + '1 dy = {a + x::')d.\' + (a ay - y) + b. No hay ninguna solución singular.
(1
+
x~. q
yl~~ '.
=
(1 -
,l'!,
= 0,\' +
la solución completa pedida es z
"J{3
+
véanse también Problemas 8·9.
TRANSFORMACIONES.
Como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias. se puede.
a veces. bailar una transformación de las variables que reduzca UDa ecuación dada a una de los
cuatro tipos anteriores.
Por ejemplo, la combinación px sugiere 1:1 transformación X = In x, ya que entonces
'Oz dX
p
y
OX dx
=
px
oz
oX·
Asi
Análogamente.
La presencia
de
•
entonces
? ~ en
•
p
qy sugiere fa transformación
la combinación
una ecuación sugiere
=
la transformación
In y.
=
Z
In
2,
puesto que
N
= o"
d"
ox
-az
dZ dX
= z
07.
-
se conviene en
Asi
Y
Cy
oz
ox
:
e=
y
02'; análogamente. ~ ~
(Ix
Z
(~l'.
Z
del Tipo 1.
Véanse también
SOr..VCION COMPLETA.
parciales no lineal
az
-ay
METODO DE CHARPIT.
Problemas 10-14.
Considérese la ecuación entre derivadas
F(x,y,z.P.q) = O.
1)
Como
!
es una función de x e )' se deduce que
8)
=
d.
pdx + qdy.
Supóngase p = u(x. y, z. a). donde a es una constante arbitraria, sustitúyase en 1) Y resuélvase
para obtener q ::. v(x, y. r, a). Con estos valores de p y de 'l. 8) se convierte en
=
dz
8,)
u dx ... vdy.
Ahora bien, si 8,) se puede integrar obteniendo
et».».
9)
ésta es una solución
Ejemplo 7.
Tómese p=-o
Resolver
o.
b)
pq + ox = y,
- x, susritúvase en pq
Sustituyendo en di • p dx + q ti)'
1 ~
l,it.
completa de 1),
(u _
~x~ +
Sé
+ qx -=
ucne dz
i.r'/o
+- k
2"
.1-' )' resuélvase para q _ via,
«(1 -
o bien
x)dx
+ (Y/(I)d)'.
una ecuación integrable, con solución
248
ECUACIONES
ENTRE DERIVADAS
PARCIALES
NO LINEALES DE PRIMER
ORDEN
Como el éx ito del anterior procedimiento depeede de lo afortunada que haya sido la elooción
para p. no se puede sugerir como un procedimiemo modelo. Se ,'olverá ahora a un método Fne ..
tal para resolver 1J. Consiste en ha""r UIU ecuación
F(X.y.7.P.q)
101
•
O
tal que puedan resolverse 1) y 10) respecte de p - p(x. )'.:) y q - Q(x. y, z) (es decir, tal que
11)
=
Cl
ar
.r
~P
Oq
~F
aF
OP
11<1
"
y tal que para estos valores de p y q la ecuación
= púx
dz
8)
su integrable, esto cs.
P
• qdy
ao
_
ez
-
diferencial total
+ Q(x,y,.)d¡;
P(x,y,z)(bt
Q ~ _ aP •
'z
ay
idénucamentej.
Q,
ao
_
ax
Oq -
ilx
Derivando 1J y 10) parcialmente respecto de .< e y
'1'
ay
= O.
se: halla
12)
'31
13)
oy
aF
14)
a,;
q-
+
p-
aF
ay •
15)
al
+
'3.
+
~ op
ap ay
1. =
iJy
o.
+
aF oq
oF • aF ap
ap ay
az
•
aF a"
aq ay
q-
Multiplicando 12) por ~F. 13) por ~:. 14) por se en cuenta que
- o.
aF • ~~
ap o,.
a:::
a ~
e"
• !!
aq ay
~
a¡.
~
oq a,;
1S) por -
=
O.
i1j.
y sumando."
~
obtiene (tenso-
•
~)
0'<
Esta es un,' ecuación entre derivadas parciales lineales en F. considerada como una función de las
variables independientes x, Y. z. P. q. El sistema auxiliar es
16)
dp
=
dq
or
- ap
_(p
.f
+
op
. -.
dF
rlz
<Ix
q
01)
O
dq
Asi. se puede tomar para 10) cualquier solución de este sistema que contenga p o q. o ambas. que
incluya una constante arbitraria. y para l. que se cumpla 11l.
ECUACIONES
ENTRE DERIVAI)A:$ )'ARCIAL...€S NO I..1NEAl€S
= _ xp + p2.
Ejemplo 8.
Resolver q
Aquí se tiene
J = p'J. - xp - q,
~, -~.
p-
El sistema auxiliar (16) es
Oc ~
se tiene In p
'" ~,
-p
l
ax
"1
q-
~
~
-/'
O
+ q dy
·óJ
-(,
rl.t
=
-xp
=
+
p2
se convierte e-n d: = ae-r dx
'r _
axe-Y
-
d,
<!l.
sea. p
O
(J.
~
°1'
-2(1 ~x
= -~' + In
-1, Y
~
o.
<J,
ily
Empleando fa ecuación diferencial dada. q
luego d: = p dx
"_p.
de modo que ~
oJ
01
~
Ox
249
OJe PRJMER ORDEN
(J('-Y.
=
+ (l'le-:'I,
-oxe-'
+ (-(l;(.t~"
+
(1%('-1'1)
dy. Integrando,
i.rt>-ly + b.
EL\ este ('300 no ha)' ninguna solución singular,
Véase también Problema ls.
PROBLEMAS RESUELTOS
(En estas solucíoues no se d3rán las ecuaciones que lleven a la solución general.}
TIPO 1: ¡(p. '11 - O.
1.
Resolver p'J.
+ q;;
= ().
+ b'J. =
IJna solución completa es : • ox + by + c. dende a2
9.
Las ecuaciones para determinar la solución singular SOn
a
O·x----y.
o '"
/s-a'
2,
Resolver pq + p + y -=
l. Luego no existe ninguna solución singular.
o.
+ by + c.
Una solución comptcta es z = (1,\'
donde (lb
+ (1 +
b ... O. luego:
-
a
ax - a :¡:-¡.v ..
c.
No hay ninguna soluetón singular,
TIPO 1/:
3.
: = px
Resolver
+ qy + flp. q'.
= = px +
q)'
+ pl + pq + ,,'J,
=•
Una solución completa es
Derivando
ax + b,~'+ al ... ah + b2•
la solución completa respect-o de a y de b se tiene
O=x+2a+b.
Resolviendo se obtiene a
(y
gular es 3; = X)' - .\': - y~.
:0=
.J,
Resolver z = px
+ qr
T
-
o
po
X + a + lb.
2x~l], b = ix - 2)'113 Y sustituyendo
en la solución completa. I:! sclucaén ssn-
plq;;.
Una solución completa es. z
=
(1),.'
+
by
+ a2h2•
Las ecuaciones que se obtienen al derivar respecte de a y
250
ECUACIONES
bsono
o:
x'¡'
ENTRE DERIVADAS
2ab'1
PARCIALES
NO LINEALES
ORDEN
-R·
o " )'
y
DE PRIMER
singular
es
3 1.., >/1 ';1
- - v4 x
y
•
4
TIPO lll:
= O.
f(z.p.q)
S. Resolver 4(1
+ Zl)
9z·pq.
-
Supóngase z - F(x + ay) - F(u). Entonces
..
4(1.
; ..)
.. dt:
90: (-)
o:
2
+
= u + b.
Ja(1
Empleando
los resultados
r')
la solución
es :) +
singular
=
1
q
a ~ , y la eccacíén dada se conv-ierte en
du
>
Y una solución completa es
de- derivar
+ z'
1
di.
du
o:
o bien
dv
Integrando,
p
esta expresión
2(x + ay
Y
(x
+-
ay
+
b)'2.
de a y de b,
respecto
+ b)y
+ 2) _
a(l
= 2(,< + .y + b).
O
= O.
6. Resolver P(I - q') = q(l - z~
Supóngase z - F(x +- ay) = Ru). Entonces,
p
d'
q •
:o __:.
(1 ~
dv
(~)[1_a~(~)2)
da
Entonces
d,
da
:o
(I~(l_l)
du
du
y
O
l
•
c:
o
o bien
4(1-0+0;)
(x+oy.¡.b)'1.
-
O.
2
4(-1 ...;)
d:
(d;)
2
-=
7. Resolver J
(1
o.
y
la ultima es
2y(.x+4y-b)
-
dz
o:
una solución
O.
+ p'J
=
({Z.
eh 2
dI).
dI
du
- (1: -
Racionalizando el miembro
I .. es
Una
Adviértase que
••• ,r.'-4
-=
e2;2
~
au ,
-
r;-z.. 4
i .y
d·
q:o
Q
la
ecuación
d:
-=
~
de I~ última eccacién
_2Jn(0:.¡.
02;.'1
a: /02::2 _.;
también
du'
dada
se
convierte en
•d
1
.u .
0:-vo-2~-4
+ -[-va":~
es, pues.
d;
-=
O bien
• 1 -: O
de la Izquierda
1.,
• 2
,2
~O¡
solución completa
dz
r:;-:;-:
-= O:
singular.
(-)
SOUClon
-= -2(x+oy-+-b)
~
(Jti'i·
completa.
Ob
Supóngase z - F(x ... ay) = reu). Luego p
cuya
da
<la
no hay nrn;guna solución
en
:- O.
du
1_0+02_0:
~:-
dada se conviene
(~)rl_o,,(I:_Q2(~)2)
Tanto z = e como 4(1 - a + az) :a (x + ay + b'f C$ solución;
zándota, las ecuaciones para obtener la solución singular son
g.
y la ecuación
,
dv
..
.¡.
"...,--J
va~z"-4)
se obtiene (o.: + /(12:2 - 4}dz
'" 2(u.¡.b).
o;::1n2:~ _ 4 _ 4 10(4. + 1tz~%2_ 4)
4 lnC02 _ j0'1l2
es una solución
completa .
.
-4)
2 duo
'"
4-a(x"
ay-+- b).
-=
44(x + ay + b).
obtenida a partir de
€('UAClONES
nro
t.Cx, pI
IV:
_¡,!y,
.tp •
Pónp_s,r
3...-
Jp.J..
PARCIALES
NO LINEALES DE PRIMER
ORDEN
2S1
soI\IC'1Óo
complrt~ es
q),
.r,. - .rq ,
1, R.,.,,,..
1
ENTItE DERIVADAS
,;p •
:a • O Ot.cn
Y
G
~"o.
EnlOf'loCCS p
Je. _:al'",
JqJy • 6 ~
,Iq,
3••
y
la)'
(41 ..
q
de_
•• 2Jd¡ • 6
.'.
,
Um
•
0', .•.
.
1
- .!.(o _1..:)1
9
NO hay nln.¡una
solución
.. p:r
•
JI •
I
1)6n~Il.~"2_/-",,
Unll solución
singular .
s :
y
o
completa
i J ex
es
o bien
Enlo~
<J.
•
!(.t ~ /,l?" 1a).
p.
• /x2 .o4,,)4r
•
ay .. 6.
OtrA 100Iudón COmpleta se obtiene por el mécodo de Olarpn
No hay o.",uo. solución singular.
EMPLEO
DE
-1
,
l.
InmJorm.&("ión
1. •
,1-1
¡:-¡ .
x
,1
• '1
y
• ·1
. _._.
y
• '1
az
1
~X
".
reduce ht eCuaCIÓn dircrcnci.al dada a
Una solucién
Z
de Ja ecuaci6n dada es
complete
1
A
X
2 2
1 2
P • l'
In
1'.
In y.
i
(~)2
Un3 $OlueJón Wlnplcta es Z •
es : = (J,
La lio!ución Jinaular
La lronsronn:.dóo
•
•
_1
lll.
1
p-.
~!!z
ay
••
ay dY
_1
1
qY
•
.X •
!y •
«
"1
•
• «_
••
1
e.
.
1;·1
• .L._
aCn'"
J)
e.
~L.
Y
reduce la ecuación dlld3 a
1_1
1- 1
NO ha)' nl"guna solución singular.
RC'SOI\'Cf
lll..J.
¡h dX
1,
Esta ecuación es del Tipo I Y su solución es
2)
8.
_1
e:_.E._
•
11.
en el Ejemplo
TRANSFORMACIONES.
10. RnoI~,
Lo'
... ti
• aJúy
'" • In x,
az
OZdo
al'
a..d.I
po'-'·
ei!!!)'
(!!?/
Z· 2z1.
:<;~2
.:
(IX
o sea
(o
b
dada
a, ,
a (_)
al'
't
In y +
I dl
xCI!'
reduce: Ja ccl,.l.ate:JÓndiferencial
a"
(_)
ay
.:.
del TIpo lit
aydY
qy'
-!
l. cid Tipo L
In ~ •
y -: Jn y.
i!!!<!!
ar
al
al'
+ h Y + <' de donde 4: •
az
,
ro)l.
siendo
1 el
9' --
r ar
a~
+ bl
_
1,
252
ECUACIONES
Póngase
l
ENTRE DERIVADAS
• F(K •• Yl • F(.).
(~)t
12.
2,;¡:-;;o
Una wluci6n
completa
Resolver
Se.
1.<1'
:i
.
pq
-= Xi,
l
es 4((
+
~x2y ~ 2qxy
+
Y'.
1•
=
al)::
dz
+
(In X
In
Jt
+ I>ft.
In )'
Q
d.
.
...
y
d.
duo
In y ~ b •
(l
solccién
La
ORDEN
d.
a_
dY •
,r;
.
X +4Y .. b
DE PRIMER
dI
(lu
ax d.
/l:7 d.
-
d.
sea
O
. .. ~ .
¡.
ax
,
:
du
NO UNEAl.E$
.
a,
Entonces
.. 4t(~)2
du
lntegrandc
PARCIALES
singular
(S
=_
O.
2
Entonces
a, ~
~
p
a.
Sustituyendo en la ecuación dada se tiene: ¡
Una solución completa es z _ aX + bY
o:
ax
o,
Y _
I
=
o,a,
lo
ay
__
ax ay
or
2Y -_ .
ay
dy
.
del Tipo 11.
ox2 + b)'-:' + ah.
+ b, O =,1 +
.\.J
Do
a,
X _
,;¡,
01 dY
q
y
ax
axdx
ab o sea : =
1-
Elimjnando 4 y b entre esta relación y O
se halla que la solución singular es z + xly'!
• 2X;~
a, obtcntdas derivándola
respecto de a y de: b,
O.
13. Resolver plXl - Z(Z - qy).
y:
la transformaci6n
reduce la ecuación dada a
Póngase
Entonces
1 o:
r.
ln
(~l'
A)
F(X+o.Y)"
X "
¡;-(u),
,
zl
ar': e dzcW'
<b
Oz_
dz
lUegoax";fu'
2d,
Una solución completa es lo
del Tipo 1II.
aY
dI
du
= (Jo:
.
yA)seconvlertecn(d;)
(/.2,4 _ .)du.
•
a,
q • -1ay
01 d.
• l(' - ~l.
ax
J
O' dX
10.J:.
+ 4 - oXlo
x +
d~2,
:o:
y
lo y + b).
(J
No hay ninguna solución singular.
La transformación
Póngase
az,
(-)
O.
-Óx
Z •
.•
ln
02
t,
p
"' .t
a;'
'1
o bien
;;~,.
,-(-
Entonces
oy
Un" solución completa es
Z
o bien
lo :
az
ar
q
red!olCtla ecuación dada a
l_
CoZ,
(-l
CoZ.
Oy
- x • 1- (-) .
<la
el.:o
••
J(e "l;d.
3(0,¡,x)
2
"'
t
«(1
-t
.:t)~
oy
+ Jcy -el' dl
•
~(:r _ Cl»)ít
, b.
3
-.
CoZ
y
b
del Tipo IV.
(y _a)
;•
d!.
-4ld;"
ECUACIONES
ENTI\E I>ERlVADAS PARCIALES
NO LINEALES DE PRIMER
OROEN
253
METODO DE CHARPIT.
dp
tema auxiliar
2!.
ax
01
...
Utilizando
_2!.
32p'2q¡
Jos multiplicadores
4z,
. leq}.
.. {lq.t
Entonces x + 4p: - a y p -
01
es
01
~ q-)
;)1~
dI}
<Ix
......!!L
-32¡¡?
-l8qz?
J,
O. l. O. 4p se- halla
<b. .. 4p dz +- 4: dp
y asi
-(p
<lq
O"
dq
18pq7 Z • Spz
J,
dy
<he
df
01
_ ..qo)'
01
el
< p
dp
32p~l
-_2!.
dq
_:...:..!.
4-
,. O.
Sustituyendo p por su valor en la ecuación diferencial dada se halla
3(: dz • á{x - Q)dr)
2/1_:2
3;,.
Luego
y- b ,. - -1-.:
2
- a(x-o:)
,
osea
(y-b)'
(X_C1)'2
---
< --4
9/4
_ n(x _
Q)'i
es u na sol ución
+
completa. Esta es una familia de elipsoides cuyos centres están en el plano :tO,. Los semiejes de-los elipsoides son
2 unidades paralelo al eje de las x, 3i2 unidades: paralelo aJ eje de las y y I unidad paralelo 1.1eje de las e. La solución singular consiste en los planos. paralelos: = ± 1.
Se puede rutilar otra solución completa si se tiene en cuenta que la ecuación es del Tipo Hl. Utilizando
Ff.x
+ ay) =
Flu) y poniendo p - :
'y q -
a~.
la ecuación dada se: convierte en
de donde
..:....2!_
It- "
•
2
du,
Entonces
/16< 90'
-,/,":7 •
+ 9p:!)(1 - z:!) = 4(x + IJ)' + b):t representa una familia de cilindros elipticos cuyas
paralelas al ~a,oo xOy. El eje mayor de una sección transversal está en el plano xOy y el eje menor
Esra solución completa (16
gcncrarríccs
$01)
tiene una longitud de 2 unidades y es paralelo al eje de- las z.
254
ECUACIONES eNTRE oe~fVADAS 'A~CIALES NO LIN!;ALES DE PltIMJ;R OWEN
PROBLEMAS
Hlll.u una soIuaón compcu
.6-
p • q'
17.
,
p •
JI.
,,q •
19.
20.
11.
•
p
PROPUFSfOS
y la solución Slngubr (sí es "'" .. ~~
.b2
SoL
,
q
:.
::
b)'.<
••
q
(b-
, • p.l.
qy 'pq
¡ •ax
P •q
4•
l(I,O').(x.oJo-h)2:
p
, ,
,
q
p' •
,, ,
b••
1)••
b(& -I)Y
• by ~ ob:
o: t
(1
e
,
$.~
.•::
-xy
S.S.,:=o
44"nCJ;._j¡1_401)
:'l._t/~1_402
1
b2
donde
b)'.c
Q.I.. ..
z(p·q+l)·¡
23.
p'. pq
• 4:
p' _ x • q' - )'
lP-1fQ
"
••
3 (l-~)
,
(2.:-
27.
x-p' - y%q - :' • O
suaerena.:
"t
P .. y '2 lq - 2: 2
Su¡crcncUa: Utilizar
}I
19.
••P
, • y ,q
O
JO.
2pyt _ q':
O
JI.
Jl.
,
q • :lp • P
, , y,q •
'P
- y p '"
S_o
dp.
y=
In
• O
X = l/x. Y =
y.
Z
'=
u' _#')'
t ...
•
(0'-1)%
ay
I
(0'-2)1"
2(11.0•01)2
, ,
z • a
}I
e
2<u.'
•• y
,
0y • b
..
•
2c'
e"
,
• O
•&
,
, ,.. by)
y. .. 2(cu)'. Qy
••
O
J;
p:. '"'
,'-,-:
P
-p
el
Y
•
q • ¡(1
•
-¡l.
pq • 2x(y .. l)p .. r(l ¡.2)q - 20'''' 1).
Sol.
ll'l
S.S ••
s:
y.
In z,
Xl In :.
.1
o-?/2
4«(,' -1)
1/,. Z • In l.
l
JJ.
ln
%
Utlhur X = l/x.
2(1 -
.¡.
.. (3:._U'~_b)2
4(0-1)1'
)'
O),"
• 2(••
• O
..
ln:y
b.1
..
4(%~41
..
b)
CAPITULO 31
Ecuaciones homogéneas entre derivadas parciales
de orden superior con coeficientes constantes
UNA ECUACION TAL COMO
1)
('x
.y
._--
') -a •,
a'z
ay'
ex'
021
ax'
que es lineal en la variable dependiente z y en sus derivadas parciales se denomina una eCIJQción
l[nMI entre dericadas porciál<J. El orden de 1) es tres. siendo el orden de la derivada d. mayor orden
Un. ecuación lineal entre derivada. parciales tal eomo
x
2)
, -a',
ax'
• xy--
a',
~ x
•
ax' ay
,
en la que las derivadas que contiene son todas del mismo orden. se denominan! bomoaénea. aunque
no estén de acuerdo todos los autores cn el empleo de este término.
ECUACIONES
T ANTES.
DIFERENCIALES
Considérense
LINEALES HOMOOENEAS
a.
a;
A
3)
A
4)
A
5)
a'.
•
siendo los números A. B,
,
axay
Oxay
e constantes
ay'
-
o'.
• e ay'
8 .'.
=
+ C~
+ 8~
ax'
CONS-
a. • o.
ay
,
a' z
ox'
+ 8
CON COEFICIENTES
o.
x + 2y.
reales.
Se verá la analogía que existe entre los métodos para resolver I.s ecuaciones 3)-5) y los empleados en la resolución de la ecuación diferencial lineal ordinaria.
(O)y =
donde
Q(x)
Se emplearán dos operadores. D. _
o
lI:~.
dx
!
y D, - ~. de modo que las ecuaciones 3)-5) se pue-
de-n escribir así
3' )
4' )
S' )
(0 •• 0,)0
(O •• 0,)'
(0 •• 0,)'
:
•
(AD ••
,
(AD ••
BDy)'
:
,
O.
BO.o, • COy)' - O.
= (AO! + 80.0,
255
• CO;).
=
J(
•
2)'.
ECUACIONES
256
HOMoGENEAS
CON COEFICIENTI;.~
CONSTANTES
La ecuación 3') es de orden uno y la solución generol (Capítulo 29) es
z =
= = 4>(y + mx)
Supóngue ahora que
susutuycndo
0%
o,«
en 4')
8
¡x).
<I>{Y -
<#> 6u
du Ox
--
=
ex
a,blt ... ria.
<1>
- <1>("). 4> arbitraria. es una solución de 4'): emcoces.
.. '<Jo,
.!1! •
=
di>au
ay =
e%
- ay
Dyz
<1<1>
<fu
du
se obtiene
d'<t>
;¡;;t (Am : .. 801 ... C)
• O.
Como tP es arbitraria. ¿zl/I/du2 no es idénticamente cero ~por tanto, m es una de las raices », = m f - ml
dc Am' + Bm + e = O. Si m, 4< m, •• - if¡,(y + m,x) Y Z = <p,(y + m,x) son soluciones distintBS de 4'). Evidentemente,
tambtén es una sotución: contiene dos Iuncíones arbitrarias y es la solución general,
G<:nc:ralitando. si
o
6)
y si "'t
+ '"2 :# ... + m~ entonces
=
z
7)
c/J1ey+m1x)
es la solución general de [(D,. D,)z •
Ejemplo 1.
tm,x}
dJ,(y
4>fl(Y+D"-nX)
(l.
Resolver (D; - D,D, - 6D;), • (D,
+
2D,){D. - 3D,):
Aquí. m, • -2. n'2 _ 3, y la solución &(nera) es f • dltv' -
= O.
h, + 41:10'
+ 3x)..
Véanse también
M1
= .....
((D"D,)'
=
Si mi 6' )
=
m,
(Dx
+ m •• l+-' .... "
.. ,D»(D)
ll"
..
y la solución general
z
•
8
·(0-
1
.. 0)%
Il)
= O.
los k ractor<$ iguaJc:s es
de 6') es
<pt(y+m1x)
~ x~!1(y+mlx)
+ •••••
donde ~ ..
m.... entonces 6) se ccnvíerte en
0) ....
".1'
l. parle d. la solución geeeral correspondiente
Problemas 1-2.
+
-l~.It(y~ml)t')
.. 4>k+l(Y
+lx)
f-<Pn,(Y+tn'lx),
tPl~ ... 4> .. son funciones arbitrarias.
EJtmplo 2.
Resolver (D; - DiD, - 8D,D: + 12D:): _ (D" - 2D,)'~D:. .. 3D,): _ O.
Aquí. mi • m} - 2.
ffl,)
=
-3
y la solución sc.ner:al es : - .I()'
+ 2.'(, + xtb2t ..+ 2x) + ~l(y - 1.\'.
Véanse tambiéa Problemas J.4.
1
257
ECUACIONES IIOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Si uno de los números. por ejt:mplo. mi' de 6) es imaginario. entonces 00'0. por ejemplo.
es el conjugado de m t- Sean m, - o + bi y ml - á - bi; cnlOOC:CS. 6) se puede esaibir asf
6")
I(D"D,)'
= IO'-(n.bi)D,]{O.-(a-bi)D,)(D.-
... D,) .•••. (D.- ... O,)z.
ml'
O.
L. parte de la soluci6n general dada por los dos primeros faClOroses
t/>1.(ytax+ibx)
+ i(,p,(y+sx
t tPl(Y+ItK-ibx)
(11,.11, son funciones reales arbitrarias).
z
"
,p, (y
+ <1>,(y.
+ ax + jb<)
.. ",xl
• 4J,(y
EjmopIo 3.
"
y la soluci6n general de
ex - ibx)
• _.
+ i 1<1>, (y
•
• ,[,p.&
+ttx
6") es
+ ibx) - <1>, (y
• ax - ibx)]
+ ~.(Y •... x) .
+- ••••••.•
'2"'"
(/). - o',.D, • 2/)";Jl, - S"x",
Resol=
t,·ox)-cI>').(y+ax-ibx»),
<O.- Dyl'[0••
+
•
3D,I'
!(l • ,¡¡¡IO,lID, +
;(1 - i ¡¡¡ID,]'
• O.
- Hl •• ¡¡¡Ix} -<1>.& - W - i,/ITlx}).
Véase tambibl Problema 5.
La solución general de
S' )
consta de la solución general de la ecuación reducida
I(Dx- D,)'
4')
"
(AD!.
SD.Dy • CD~). "
O
más una integral particular de S'), Se hablará de la solución general de 4') como lafunción eomplementaría de 5').
Al establecer pr«cdimienlos
para obtener una integral particular de
I
se define el operador
mediante la identidad
I(D.,D,)
I(D.,D)
I
u»•. D,)
F(x,y)
;
F(x,y),
la integral panicular. expresada en la forma
=
1
.,.._-=-F(x,y)
=
I(D"D,)
se puede hallar. Como en el Capitulo 13. resolviendo n ecuaciones de primer orden
9)
258
ECUACIONES
HOMOGENEAS
CON COEFICIENTES
CONSTANTES
Obsérvese que cada una de las ecuaciones de 9) es d. la forma
• '(x. y)
P - "'"
10)
y que $010 se necesita una solución. la más seucill. mejor. En el Problema 6. espuestO más adelante .se estableee la siguiente regla para obtener una tal solución de 10): Cak:ular, = fglx. a - mx)dx.
omitiendo la COnstante arbitraria de integración y sustituya.se después a por y
E¡'pIo
ResolYCt ID; -
4.
D.D, - 6D:lz - (D, ... lD,~D,
Del Ejomplo l. la fUDeióncomplementaria.. , Para obleMr la integral particular expresada
.'V' -
- 3D,lz - x ... y.
,(y'"
2.<) ....
1
n .. 2D
•
~
u)
Dx
Póngallt u •
Empleando el procedimiento
Pon.. se a •
o. . 20, u
del Problema 6 se tiene
1
2Dy
D••
(D,
EntOOC<S: - J[x(a + 2.<) ... 2x')dx
Lueso
(O _
y
x
1
O (s: .. 1)1:
3 y
+ y.
_13 Dy (x + y) Y obténgase una integral particuhl.r de (D,. - 3DyJu = x
por y + 3x, u _ xy + 2x2•
bl
3x~
1
en la form"
+ ntX.
(J:y ~
1(:< +
11 •
2$l) Y ohún,asc
+ lD,):
- xl ...
{I -
3x)dx _ ax -
y. $\lstÍluycndo
(J
una jnte&,*l particubf de
2.<'.
= F ...
J..-' y. """"u)'<fIdoa po< ,
I
Xl
4.
l. solución general es r - ~,(y - u) ...f,(y ... Jx) ...
l
-
l
l
u.: - 2..-"'"
3..-"
l
ix'Y ... 3..-"
Véanse también Problemas 8-9.
S<: puede utilizar el método de coeficientes indeterminados si F(x,
y)
contiene sen(ax
+
by)
o cns(ax + by).
&J-plo
(D:
5.
Resolver
+
5D,D, ... 5D:lz = [D. - !(-5
La
funtIÓn complcmcnl.ria es
TÓmett
corno
U03
D¡:
~,V'"!(-5
t: -
- 1(-5 - fiJO,).
...fiIX]'"
- x ... (Jx - 2y).
.,V
+ 1(-5 -
fi)xJ.
- 2y) ... Bx cos(3x - 2,) ... e s<n(Jx - 2y) + D cos(3x - 2)'~
EnIO""",.
(6,1 - 9Dl<os(Jx - 2y) - (68 ... ge)scn(3x - 2y) - 9Ax senllx - 2)') - 98x cos(3x - 2y).
D,O,. - (-2A
Y
fi)D,J[D,
intq;ral particular
• - Ax _(3x
D::
+
... 6D)cos(3x - 2y) + (28 + 6e)llen(3x - 2y)'" 6,1.. ",n(Jx - 2y) + 68. cos(3x - 2yl.
- -4D cos(3x - 2y) - 4C sc.n(3x - 2y) - 4Ax sen(3x - 2y) - 48x cos(3x - 2y~
(D; ... SO.D, + SD~): - Ax seu(3x _. 2,) ... Bx
+
EnlODW
A - 1, B.
e = o,
D
=4
\{-5 ...fi)xJ
+ ",V'"
+
(e ... 48) sen(3x - 2y)
(D - 4A 1 cOlI(3x- 2y) - x senO" - 2y).
Y la integral p3rlicular
z
: - ¡'¡,V'"
tOS()x - 2.v)
!{-s
=x
$Cn(j,x - 2,)
- fi)x)
es
+4
cos-{3x - 2y),
La solución
general
C$
... x sen()x - 2y) + 4 cos(3x - 2y).
Véase también Problema 10.
ECUACIONES
HOMOGE.><EAS CON COEFICIENTES
CONSTANTES
259
Se pueden utilizar método. abreviados par. obtener inte¡rales particulares, análogos a los
del Capitulo 16.
1
---e
ti)
ex .. by
siempre que
b)
f(IJ,
Si !l.a. b) - O, escríbase
1
1
sen (~" + by)
f (De' ' D,D). D,)
,
1
ecx·t¡y
t
,
Resolver <Ds - 30rD,
La runc.ión comple-mentaria
COS(lI'
,
D
C'u.,y
integral pa_rtieular. Como 4t1(1 +
x)
+ .2(Y +
by)
+ by) ,
.. e
U·!)
+ e
~'Y
+ sen (.Ir _2),),
h).
..
~'l;x.,)
'Zl_ 3.2'3
contiene ~.,
x)
D
.. 2D ):: - <D.. - D,.) ( ~ - 2 y)l
7
D: -3D~D," 2D;
n,:- 30.')
sen (a" +
O.
es : - 4>JÓ' +
Ahora bien.
1
l
f(-n·,-ab.-b')
siempre que f(-a'.~'b.-I:?)
6.
tly
A(a,") r!
:
(Dx ' D.D,.Dy)
Ejempo
+ O; enrooces,
1
"r IIr'
----~
:
(O, _ ~Dy{
(-n', -ob, -b'
+ by)
COS (lII(
,
('
o.
donde g(o, b)
~(a, b)
bl
.¡.
f('.'J)
.. 2'32'
se I,itne
~J(.y
• 20;
1
--_.....:_--::
sen (. - 21)• - - $<11
-1-3(2)' 2(-1)(-2)'
15
(.
-
2)0).
Así. pues, In solución general es
Si F(x. y) es UD polinomio. esto es. E(x. y) - 4>'r'yi, donde i.] son números enteros positivos O cero y PfJ SOn constantes, se utiliza el procc:dimiento que se expone a continuación.
e)
Ejanplo 7.
Resolver (D; - O.D, - 6D;-}: = x + y,
(Ejemplo 4.)
Para una Integral particular escríbase
I
n,: - DxL) - 60;
1
(z ~ y).
n,:
--_:_-""7
2
I _ ~
Dx
1
-(x+y+x)
-(2.r.
0.'
D'A
•
t
y)
,..
_6
'!z
(,a • y)
D
• :z
• "')(.<+11) •
a..
o!
Obsérvese que D,.(.I'''
y)
,.. 1
Véansc también Problemas 11-13.
260
ECUACIONES
HOMOGENI!AS
PROBLEMAS
CON COEFICIENTES
CONSTANTES
RESUELTOS
o
Aqul
.., • 1, .~ • -1. _" • -2
U soI"",Uft f(nn ..1no
)o
~(T
Aqui
lO, .3.
v2.
"'1" 1,
- .. ) -
l-vi
"':1"
rbt(y- •••
~(1-2%)·
yl¡t.~luclól'IgcnerlllC(
• "',(y' 3A) • <1>,(1' () .12).) , <I>,(y'
ya que
al " l. .~ .... ~ • -2.
't la SúIU(1ól1tener:.1 ti
-
:: t
en.• - 21\11)
•
Raoh·'Cf
..
Pue",oquc.
:
4>•• 4>•
.. ~(Y"")
J 1>2t.•
1:
o&"
funciones
CQS
• y~(y-2Jt).
•
O•
es
4>.(., ..... ).4»$(1-.)·
xeP .. cy-.-:).
)'hlsoluclóngcncr.:tlclo
f
rr4>,(ytxt2,#")-r!>:(y.,t-2i:c)].
+q,,(Y+-X-2l.l').
reales.
SI K loma ., (u) - ces
=
••
1-21
• tPt<y"J;+2tr)
..(1)
~
,
<1>,0'-2<)
)' la: solUC'~ ~nffll
"-1
Ocra fOfnw de la
zq,.,(y-2x).
• eD,. • 0,.):•
en. -~)
Il,):
r
donde
<I>,e1-')'
_1 . .,. " 1, .2 ......
Aqui
-+ </).Cr-2.t)
tbl(y+X)
,
...
(1-12).),
br
e", eruorees como
u 'J' 4tl{U)
+ i seo
sen
bs:
1(..... _ ._"~
bx
:z,
eos b,'(.
~,Ú' + X + UT) - COSÚ' + xl cos(2iT) -
-úo
I
(f""'-
2
+ ,..• ..-).
+ x) sen(:!ix)
- COSÚ' + x) Cb 2.> - i ",o(y • x) Sh :Ix,
0,(y +
x - 2ix) ~ co'(y
• ccstj-
~2()'
+ :r +
eh 2x
+ ; -b'
como una integral
+ ~) eh 2.. - i
+ i(lit7
Obsérvese
cos(2ix). ",.(J'
2jx) - <J>;:()' +;t - 2ix) .. ""........lI..
Por t.lIHO, se obtiene
: • [eosly
+ x)
+ xJ
sen(}'
+ .vJ
Sh
+ x) ","(21x)
...x) So 2.,
-
f"'1I
'1.. _ e" •• (,.lü -
,.-lb)
= 2/e' ......sen
J)'Luiculitr
2.<) + (<<>«J ...
<1 o, 2x
..~ sen 2:.:) = 2 cos(y + .') eh 2t - 2to' •• sen 2.,_
que : es una fUllCión real de: .. e r.
+
i se.Ú' + ,T) Sh 2.<)
2x.
ECUACIONES
CON COEFlCIENTES
IIOMOGENEAS
= .tt,.)"
6. Demostrar que una ¡nleval p¡.ntCUlar d~ p - »NJ
pn:sclnd~O
b conslante ar"'tn.m
ck
El sistema aw.iliar es dA.
•
1
Ji<
.. +
7.
de Inles.r;tCtÓn.
2 .
.....!!..__.
.....
I(X.Y)
y
CONSTANTES
se puede obtcnc-t uuqn.ndo ti:: = .t(\' •• - IIU,ch.
remptanndo
después ti por Y + ,"t.
Inttg.ra.ndo la ccu:aa6n formada coa los dos pnmcros: ·Iérm,.
dI
•
261
d•
~(·.1)
De donde:
= jk(.-c. (,>offl.\)d.,
en la $Olución.
y. con
tway..
de que no
objrl0
ninguna
consc.ante arbitr.uia..
.5C'
SUJutu)'C:
(1
por
JIU
Empleando d ".."""'imi..nc d<l Probl<mlt 6. hallar las •• ,qzü:s pan .... la.... d<
o,
o)
P'3q.
COS(ü"y).
Aquí nI = -3 y ,('(x.y) - cos(lx
Entonces.
= le« ,O*fIX)dJt
z
+ )l ••
• JC08(2x .. 4.ax)<ú
y. sustituyendo
s.!scn(5.c¡o)
5
(1
por
)+_3\',
la
se obtacnc
de
mregral parncuíar pedida es
Sustituyendo
La fuecién
Para
por .l'
Q
compíernentana
obtener
la
(ll,. • 'Oylu • ,12..
y
de
+h
es :: -
integral
3y 1.
<!.lx-2D ..): ~
J
4t. ()' +
pordc:ul:lt
soIuaón o •
1
u • -(2;l.
21
, • ..!. J((b
2
,.
- - a~
3
se l.me
, 3(0 -
+
<o&,()' -
representada
por
2x)
J (2 ..
3,> ~/2
2%)1'/'
,Ix
z
• 4>1 ()' ... 1z)
-<
9
4x).
1
(I!,- 2D¡.)(1!,. 4D,)
",,»)'"
do
•
filo.
v'2s-
+ 3.1.
3(0) <x) )'"
la solución
1
. )/2
- -(30-'.)
210
:
21
La solución general es
3(0 _
2 ,.
.Jo
.. ~~('y-4.z-)
-
1
1
• - -(2%
210
-(2J" ..3y)
210
vn
+
3)')
'1/2
Ji<
262
HOMOGO¡EAS CON COEAClV'TllS
ECUACIONES
v
de
!f~b:·(Q-U)Jz
5
•
y de
CONSTANTllS
z;
•
-
lf" .xc
S
dJt •
1 "
• -x~
•
5
12.
_.1
e
10
1 t tx+,.
-x ~
.
10
10. Resolver
U fundón complementária
Tómese como una inlq.ral
D~:
•
0;D
1;
1
::
Sustitu~o
+
ISA
es
particular
AlL"x tOS 2y
_2Acx
~.
A(pJ: CO$ 2.1 ~ Bex sen 2)'.
DxD;¡ • _tA..,x eee 2y _
B<% sen 2)".
•
Entonces..
D)"
J
<o: -
+ (S8
int.....
l ~n·; ....rl..
0"- __,uo.o.o ....
-
• 8Aex sen 2y _
8Bex COS 2y.
es
20,.>'
=-
1
por DI.. _
seda
2y -
,..
=
1m y 8 - W,
2)',de mo6o q .. A
(OS
i5l. e ces 2y2• + 25 e sen 21.,.
0.(1). -
,.....
sen
lOA)!'
•
2D,.D,>, •
J
.......
rPl(Y)
'Y a so,'ó
UCJ:n genera I es
'"
+ f>,(y"
2x).
.:2. _,
,.D.,r..,.
D: _ I2D.J>;'" y. El' pnmerl
l
lD
éemi
ermnc
O! 1_ 2 ?!:
,
:1
(2t _ I2(2)(0)
o.
,,'y
.
e
1,
,
..!.(l" 2~
O:
-(z
D.
2,JC
D
y ..._
111
=-
1 •
2" ).
)
•
O
•
,.
~
• !... , La soIuoón a<n<11Il es
20
60
se _
scn(x
La función complementaria
es ~
=-
4>1(Y - x)
+ ~l(y
- 2x) +
<D. -30,.1
(1'1010.
4>,(Y +
L. separación en el primer término
1
2
t
C$
... 2y)
.,Ú' + 3x) de
'x+y '
Una inlegral p:articulat está
t"j.(".).
una de las convenientes:
por ejemplo. se podlu haber escrito
SC"I(x • 2y). Sin embargo. en el segundo lérmino la separación
ca pane del término
..
w,; .30.0,. • 2~>
20,1 (D.- 2D.o, -30,1
r.c·,
)x~
____~:.1-----
<lada pcr
que
d
Extibttndo d segundo ctmuno
~ _1_
(D••
seo 2y,
4&K
en la ccuaaón diren:ociaJ dada se tiene
108)!' cos 2y
La r\lnci6n complementaría
Una
:o
sen 2.)' ~ 2B~x coa 2].
La, Integra1')pamce ar es'
11, Resolver
.t
l:a (unción compkmenW'ia.)
es necesaria ya
ECUACIONES
HOMOGENEAS
CON COEACIENTES
sen/x
sen (x .. 2y)
~ra
f.
263
CONSTANTES
2.1)
SC"n(x
1
.. 15
•
I
2y)
• 2y) •
COS(x
el segundo termino:
s.x-.,
1
----<
20 (1,,-30,
L;¡Isolución g~ll('ral es
"
13.
Resolver
La ecuación
reducida
es la del Problema
12. Una integral
partil:ular
está dada
por
cos(x -y)
[Obsérvese
que coo(x - )') es parte de la (\lnctón compsememeria
factor (1). + D,).)
; por tanto. se debe tratar separadamente
el corrcspcndreme
___
-,.,:-
,::- ce).(. -
(Ox' OyHOx-O,f!,resolver (D~ I Dy)u
1
:¡ C03(X
-1).
obteniendo
I
y)
411c'O,
60,)
ti
I
- --
,._ !fcOS~-(Q.x»)d:c
.:
4
CO$(>< -,),
•
Se debe
!JCOS(..oC)4t
4
1
¡.x
COS(-O)
Paraelsegundo1érmino:,
2
1
i(XZ-t-X,Zty')
DJ: -7D:x.D," (jD.,
2
D
,
O,
l
(1- ,-
x
(;r
O,
- 6-)
D~
~
• .!(6)]
..!..(I
n'x
O'x
36
+
-
O·
s:
•
_5 x •
72
La solución gent:ral es
~~ cos(~_ y).
4
5 xO •
72
1
60
x" (1 + 21.1)
2
t
i
+- ~y • y )
eCUACIONES
264
CON COEFICIENTES
HOMOOENeAS
PROBLEMAS
Resolver cad ..
2
en) Dy
(O; _
IS.
(Ost - 2 II,D , - D,)'. ••
16.
(D"( - 4D ...
17.
~
a
(0,- .. 20,.0, -
la.
eO:o;. ():o~):
19.
eD: .. 51>-.;0., • 60;):
20.
2
~
(07 .. Dy)t;
Sol,
• I$D,),::
o.
•
~JI.
1
:t:P!(Y .. 3x) .. cfJ~('1+S~)
O.
.o, . 4 ()'
»l
O.
~
• o.
n.o,2 _ 20.,>:
o
O.
<
o
x-.
Sqf.
•
1: 1:
lO"
'J •
~
.:: -=4>l(Y'
,(4J,(y.,.)-q,.'l(y-ix)]+
1.1').4>,<1-1.1').
_)_(15%'}'_~6)
180
$<>1.
21.
22.
PROPUESTOS
de las siauic11lCS ecuaciones,
Un<l
1"-
'
CONSTANTES
(1);'
21~1l,-
Il,n; - 20:).
o
tr» 2),'.
25.
.'
26.
27.
(0,", - 2D,D..).:: • ~
2X
, 3 .. t y.
1
Sqf
%8..
.:
~.el)
•• 4>.e,) • <t.ll· b)
(D1-
30,0; - 20;>:
Sol.
l
.~(y-.t)
•
C08(X'
2y> -
.. X~:t(l-.I')"
20%
1 "
·c
•
,
1
'1
•
-%
60
c)(3 .. ~).
<P,(1·~)·!..
2'
srn(~.f2y).
xrY
CAPITULO 32
Ecuaciones lineales no bomogéneas
con coeficientes constantes
UNA ECUACION DIFERENCIAL ENTRE DERIVADAS
GENEA con coeficientes constantes fal COmo
PARCIALES LINEAL NO HOMO-
Se llama rfducib/(', )'a que el miembro de la izquierda se puede transformar en U.D producto de rae.
rores. siendo cada uno de ellos de primer grado en D6' Dr' En cambio. la ecuación
"
1(0,,0,)%
=
(OxD, +2D~)% • O~(D,'
2D;)
%
•
cos(x-2y},
en la que no es poSible una transformación como la que se acaba de indicar.
ECUACIONES
donde
NO HOMOCENEAS
D,. b,. e, son
REDUCIBLES.
se
Dama
irr~dw€;hl,.
Se-. la ecuación no homogénea toducil*
constames, Una solución de
2)
es una solución de 1l, La solución general. según se deduce del Problema 5. Capitulo 29, de la ecua.
ción 2l, es
3)
O
Z
e -o/c,
l
t
:::
<1>
(ltly-b,x).
al ¡lO,
bien
• = e-t:¡,y/b
3' )
i ..p(a,Y_
b(x)
,
b, -1
O,
siendo Q y '" funciones arbitrarias de su argumento. LUCIO.SJ ninguno de los factot't$ de: 1) son
linealmente dependientes (es decir. si ningún ('CIor cs. sellClllamcnte. múltiplo de otro). la solución general de 1) consiste en la suma d. " (uncioocs arbitrarias de los upos JI y 3').
~
J.
D, + 1)(0.. - JO, • 2~ _ O
ftC$Olvet (21J~ -
L.. toluciOn general es : • f'-T~,(21' - s .. ,.-l".l()
recha se pucck SUShluir por ,,-"'l'l¡lIt.(ly - :c) y d .w¡undo
tl<n9lo 2.
Rc",I,.,
Ln solución genera!
que: el primer Cétm.iDOde la dePOf' r'....
~:f"'..&. J...j.
.. 31).. ~
(20x + 3D, - S)(I), + 20,)(0, - 2)(0, + 2)c _ O,
C$ : ,.,.
r
Xi2
r$,f2y - )x)
+ (~11J'
_
h',
+ fh~J(Y) + ("
Véanse también Problemas 1.2
Si
4)
f(Dx'
~J"Q.¡(\.",
Dy}z.
•
(a1,q. t- b1D,tcj,)
•
(a~ ..l D~
t
265
b •• 1 Dy ... C_.l)···
{a"Dr
t
b...Dy
+ c!"".}z =- O.
266
ECUACIONES
LINEALES NO HOMOGENEAS
CON COEFlCIEr<TES
CONSTANTES
donde no hay dos de los" factores que sean lineal"",nte dependientes. la parte d. la solución general correspondiente a los k factores repelidos es
~
-C1X/O-t
EjcoopIo 3.
(.1..
'+'t«(tty-b.x)
+ X~.,(81y-bl.J()
+ », + SKD. -
R<SOIV<T (W,
Lo ,",,"e,ón ge ..... 1 es z • ,-°'';,(2), -
+
W,
<)
•
t x
oo.
.-1
91(~y-htx)].
o.
11': -
'.,(T" 2.r1).
-e e '(.,(y. 2.r) ..
Véase también Proble"", 3.
LA SOLUCION GENERAL DE
5)
(o,. .D,)2
(.,0,.
•
b,D, + c,)(o,D. + b.D,' c,)'"
t
(•• D.' b.D,' c.).
s
F(x.y)
es la suma de la solución general de 1) [llamad. ahora l. función complementaria de
integrol particular de 5).
6)
z
SJ).
y un.
1
_ _:.._
F(x.y).
(D •• D,)
=
El precedimiento pan caJcuIar 61. así como los m~,odO$ abreviados aplicables a formas par,;"ulo"" de F'(r. yl, son los del capitule anterior.
I..a flJnc~n complementaria
1
Pltnl c;a!culllr
'le
/(o,..D,)
1
ut
r.W.
2u • yell
rt.
u
"
f (JI"
o)t
•
Se rc$uclvc.
1
•
1
!l
1
1}.x
-t
*"
-l!:!!__ • ~
yeJt_2u
hneal liene ~
1
)JI'
.. -Oc
9
3
- 2x).~
• f [!(.
3
,
harn!!
-
J~
•
ti
•
•
1,..
-lr~
3
como (actor lntc¡raote; por cantO.
1)
--t
t
1
..
'¡y(S _ itX
)%
,'"
_1 ....-x)t
~o
y u
lxl.
. iYC
-
'
¡....
la integral part:acubr pedida
.31)
3'(y
PlIra aak:ul.ar
_ x + a y la. ecuación
Se obtM:RCrApKlamenlc)'
Esta etuac:ióo
1}X'
3
•
2)
y~X_2"
COfttinuación(Dx - 2.0,)1.
,
JI
ye • se resuelve pnmero (D" + D, + 2)u.
(O.-2D )(lj,,+D,'
!l . -l!:!!__.
-Xt
(véase Problema 6. Capitulo
b~l()' - e].
1
JI
(x .. 0)'"%.
,x Q:
f!
r
(uyo llj'Cm., auxiliar es dx •
o
= 4J,(y + 2x' +
es :
.. 2x)e
.
-
2
xe
3
!?¡,¡. • 3I at •
9
•
5
• 9 e• ,
1
-
2
-%t
•
3
•
2
-<
3
3.tt-'-a,
Entoncc:s. J' == x + u. y de
1
-<
9
•
5.
3(,)' .. j)e .
in.
1
(~c .)'). se fCsucl\'c (D. + D.. + 2)u
\Ux- 2D,»(Dx ,D, ~ 2)
_..:;"":=-_
•-
_=3.at -)""- ~
=
3.t'e-' cuyo sistema auxi-
ECUACIONES
LINEALES
2)'"
3()'-o)c"",
&.I(
3j(y
NO HOMOGENEAS
...a)t'dy
CON COEFICIENTES
~ 3(r-1-O)C'
267
CONSTANTES
.3(.-1)c"
y
3(J;-I)'-),
11"
vi<ndO oho,.. (D, - W,lz - • - 3(x - 1)<", .. in." .. , pan .... 'ar podida es z • 3/(X -
1,·""
R~.
dx _
!(J; ... ~)e-'
2
2
•
•
•
• (a,;.
0.0, - 20) • 60. - QO, + S),
(o. • O,
.• S) (o,.
LI~funCión c:omplenlCnlaria es L :- c:-~xrP,('1_JC)
Ptlra In Integral particular correspondiente
+
-
20,.
=v •
+ 1) •••
•'"
•
c""t/J,(y.2.r).
al primer lém1ino de F'(.t.)I)
se emplea
"
'1 se obtÑ:nc
a,;• -
1
D,.ll, - 20)• • 60. - 9D, •
En el c'k\llo de
1
/<JJ,..D,)
eX."
c,ón complementana. (Para ver
•
eh'+7:
4-2-2+t2-9+S
S
obsérvese que/{I , 1) _ O. Esto sipifiea que
(:$(0,
tó~~
'" ('.)
y._
.
e J'" .. .t.
".Cy.2%);
r·
7
l,"IX.,
¡.
es una parte de la fun·
"»ego e -x tP,.(y.b)
•
Véanse también Problemas 4-S.
La utililllción de l. fórmula
se puede ver
:1
continuación.
Ej... pIo 6. R...,I"",
t.tl
•
v = V(". y),
=
7)
<0;1.
función complementaria
30:0,. -
20,:),
es a :- 4>,,(1)
• 0,:<D,.'
~ xrP2()')
..
3D, - 2), •
t'tx
,p,Cy-3Jr).
•
Poniendo
(D..
+ lD, + 3)u =
r+
2y, e) sistemll
IUI;h.r es
d.
(.'.21)'"''
Una integral particular es
268
ECUACIONES
Emcnces.
=
y
3x •
LINEALES NO HOMOGENEAS
(l.
)'
c/u
de
CON COEF1CIENTES
6'
p
•• t2y-lu
tjX{!~2
~
3
Ju
;¡;
.3u
.•
:
~z _ !! + ~(1)
9
27
3
Y
Ahora, poniendo (DI( + 2)&1= u y haciendo uso del factor integrante.
constante-
ue
••
".
f ~ 2x {-x1"2
2
_ -x
3
('~J<.
CONSTA
mes
...2y,
se
(iettt
u
I
3'
•
:
2
16
2
+ - Y.
3.
27
- -;c - -
considerando
9
a
.l·
romo una
16
2
- ... -y)<ú
9
27
3
I
p.
y
Por último. poni-endo (Da' + 2)10 _ v se tie~
Vt
..
=-
f t 1;( (-z
1"2
6
I • __
2 JI:
-z
12
9
y
Entonces z
=
wr~·'y
-
S
-%
18
17
-
-
lOS
1
~
-y)cú
3
7
+ -'
216
la solución
genera) es
Véanse también Problemas 6-7,
ECUACIONES IRREDUCIBLES
con coeficientes
CON COEFICIENTES
CONSTANTES.
Sea la ecuación lineal
constantes
8)
= t:úlfr+·y• donde a, b, e son constantes,
Corno ~U,(CtpX"",,,)
el resultado
de sustituir
9)
en 8) es cfia, b)tt'~+'" == O. Asi, pues. 9) es una solución de 8) siempre que
10)
[(a. b)
=
O.
con e arbitrario. Ahora bien. para un valor cualquiera elegido de
Q
(o de b) se obtienen. median-
te 10). uno o más valores de b (o de al. Luego existen infinitos pares de números (a" bll que satisfacen 10). Además,
11 )
z
=
donde 1("" b,) = 0,
es una solución de 8).
Si
(D"Dy)z
= (D,+ hDy + k) g(D•• D,)z,
entonces un par la, h) para el que a + hb + k = O satisface 10). Considérense todos los pares
tales que (a¡.h¡) = (-Itb¡ - k. bl). Por 11).
,
",
y
i. 1
Q)
c. e-(hb~~k }z+ biy
,
e-
e
-la
2:
: ...1
etC-
.,(y-lu)
eCUACIONtlS
~INeALtlS
NO UOMOGENEAS
CON COEFICIENTES
CONSTANTES
269
es una solución de 8) que corresponde al factor lineal (D, + nD, + k) de J(D,. D,l. Este cs. naruralmente. e-tJC4>CI' - ¡'x). <p arbitrario. empleado antes. Así. si/fDJ(' D,l no tiene ningún factor
lineal se denominará) J) la solución de 8); sin embargo, si IfD,... D,) tiene m < n factores lineales
se escribirá parte de la solución que contiene funciones arbitrarias (correspondientes a los factores lineales) y el resto que contiene constantes arbitrarias.
Ejtm,lo
7.
+
Resolver ¡{D". D,): - fD; + D
y
D,l: = O.
L~I ecuación es irreducible. Aquí [ta. b) = al +
b¡ _ -(I,fa; oJ· 1). Luego la solución es
(1
+
siendo
..
Ejemplo
8.
Resolver
(D.:c + 20,)(D.( - 20,
+
b = O de fonna que par .. cualqukr
C(
'Y iJr consternes ;¡,bitranM.
I)CD,A- D;'J:
= O•
Correspondiendo a los factores lineales se: tiene ~II>, - 2x) y "-"tP:(y
Por el factor irreducible D.. - O:
tiene
$C
(J
bl
-
a _ a,.
+ 2.Y").
respectivamente..
O. o sea, a _ bl.
-
La solución pedida es
7
Q)
')
_ ci('
b.Xt
bi)
•
siendo c. y h constamesarbnraeias,
j
~:l
Para obtener una Integra! panicular de J(D•• D,lz = Fíx, y) son válidos lodos los procedímientos empleados hasta aquí,
Conforme al Ejemplo 8. la función complementa na es
!
l
---,
P~ra la integral particclar ;
z.x.})
2 - (3)'
.,
La solución
podida
<:$
::
;:
?
ci~b¡JC 'f bi>,
~
1
;¡ e
h+}),
i -:1
Véanse también Problemas 8·11.
LA ECUACION DIFERENCIAL
DE CAUCHY (ORDINARIA) J(xD)y _ F(x) se transforma en
una ecuación lineal COncoeficientes constantes mediante la sustituciénx = ff (véase capítulo 17)..
En ecuaciones entre derivadas parciales la análoga es una ecuación de la forma
=
F(x.y).
C"'$
=
constante,
que se reduce a una ecuación entre derivadas parciales lineal con coeficientes constantes mediante
la sustitución
X
=
•
e.
y
=
v
e .
•
270
ECUACIONES
La SU81Í1uc,:ión x
=
LINEALES NO HOMOGENEAS
CON COEfICIENTES
CONSTANTES
e"', y • e", xD~z - D.,:. yO, • /),;:, X2 D;. ,.,. D"{D,,, ... 1):, x)'D,.D, _ I)..D,,:. ,vi 1'>:: =
OI#(D" - J): transforma la ecuuclón dada en
[D.ID. - 1) + 2D.D. - D.]: - D.ID. + W. - 21: _ c"."
CUY" soIuciÓfl es : =
luego
1
._
Ó, (.)
+ "'·.,(r
- lo) - ~.... ".
In solución generul (ckpresad.a con lal! variablM ori8ln3lell) es
t;O.(ln
y)
+
o bKn
1
•
t
J
.. "'¿'2(~)
~1(1)
-
x~
1 .'
9 )'.
--.
véanse también Problemas 12.13.
PROBLEMAS
RESUELTOS
ECUACIONES REDUCIBLES
l.
Resolver (D: -
2.
Resolver
al
D.f2D .. -
+
3D.. - 3D,): -
D,
+
I )(D..
+
(D. -
2D, -
O,XO ..... D,
+ J);
_ O.
1): = O
Ua solución seoetal es : - 6,()') + "6,(2y + x) + .....,Ú' - 2.\).
La solución general es
: - ."" [6,(2y - 3"J + x6,(2y - 3.<J] ... "[;,Ú' ... 1>:) + y6.Ú' + 3xJ
..
(2D ..D, ... D; - JO,): - D,(2D.
Resolver
+
2D,!J, •
•
+ (.3'4I1(2y
3
--=--
3 C05(3.r _ 2,)
O; - 30,
3(8 ...3D,:) <:0:5(3% _ 2)')
64 -
5.
1
2(6) -.
- x). Una ¡nlegrol particular es
c ..
(3.r - 2))
•
Resolver 0.(0, + D, - I)ID, ... 3D, - 2): = '" - .",
:
+
3
a-3D,.
1..
(4
50
90'
por
--
-30,
3
¡¡¡¡¡(8+ 3D}) 000(3.0'- 2y)
.
Una In legra ) particular
se «pre~
J<)).
D, - l~ _ J (O$(3x - 2)1',
La función comptcmemaria es : _ t,t.,(x)
--_":",:--
+ "';,(1 +
..
COO(3.r - 2)')
COI(3x- 2)') + 3 scn(3x-
2"'.
1
'"
Dx<l'l..r· DJ-
1)(01"
(x2 - hr.
301- 2)
21 ' ).
2y»).
ECUACIONES
• H -1
-
LINeALeS
.
IC~+ 30,,) -
• H-("-4.%1+2y')
j(l). + 30,,)
- (..:;...41)
1-(1)..
,
•
-
0,,)
~(1 tCo.: .D,.) +-(D;r +
Finalmente •
D,>• •
2
.!
$.1 t
CONSTANTES
271
4.%1+ ~
-
,)
... ,+7/2).
,
(* - 4~1"2, -5.l" 4,.7/2)
4.)" ., 7/2)
¡"
(.a
o ••
,
= -1(;-4.%,+21'-$
-"':7+2,.
- .... y. 2,y' _ 7...•
!(X
•
J (x
_ •.••
- 7/2)
~ .D,-I
• ¡-__:--:--(~
-b7., Zy
CON COEFIClStn'ES
•
- ¡,
Consideresc :) cominuacién
1
NO HOMOOENEAS
.,
-$%+-.,+1/2)
.1-+'
i>
• ,(x -by+2y
iex'/3-2.r'y+
=
i)
-7.z."".
ay2 _ 1:.:'1/2 +4xY+Ji/2).
D.
La soluci6n general es
.
,
TII'();
L. función complementaria
ClI
Pllrol la ¡nlegraJ parlic;ular.
•
x+ y
~
•
ro:
1) (1). • D, • '9)
1
+
2Dx0,. •
o:-
7. Reso)..,
e x <P1(1-,z)
e
..
~
,.
L2 (u~6C1 complementan:. es
COS(2r _ y)
COS{2.z:-y)
y>
o,. • 2)
t/>"Cy-.I)
D,,(I).-2DyI(l).+o,,)'
)'·t
'2
1
-
lO
"2 <:OS(2.x-y}].
e%+)·2 ('kn(a_y)
•
..:x4
J
• tP,(y-x).
+ D,-3)(D •• D,)
cosCa-y)
2
l!,; +2l!.D,.ny-.
JO
+ e)X <1>.<1-x)
C06(2x" _
1)(0,. •
D,,+0,,-2
'2
- ~
1
1
y.,
·-
e1t t/>1('1-~)
•
(o,.. • O, -1)(0,..
(o,.. + o" • 1) (4 • D, -
eX.
.:.
,;.,..t (0,.'0,,-2)
O"(2<-y)
la solución gencrlll es
..
~()'-%)
+-
<
-
1 .. , •• [
lOe
scn(2.x-y}.2CO$(
2<
-1).
J
,,(? "/1.
....
,pI (1)
z.
+ <p.(y + lr)
.. ~(y_
X),
Pira Ja integra! panicular.
X+2y
»Óe
te
haUI
ecu ..CIONES
272
prllncro
t.t
LINeALES
NO IfOMOOENeAS
CON COEFIOEI<TU
CONST .. ..-rES
e
I
21(9.><
1
•
.36, - '" - 241.10),
lit
- 3[13(20,-0., • ;<20,-0,., 2 - ...• )
1,
2
- -(In' 361 - 131' S81.
81
y. finalmente
l
..
1
•
--v
(l-DA~D%
,••••
I
,
2
- -(9. .36, -18<-121'"''
81
)lI
D, + 1
La 5()ludón ICM'ral es
TIPO: ECU"CIONES
IRREDUCIBLES.
No se puede ullhUlf el método abreviado
1
1<4.fly)
para calcular la jntc¡tal parncular
]c.
e
J
• ya quc!{Q. b ••
141.1) - O. Se utdlU'~ el mctodo de los cocfiClCtltes indeterminado$. supOrucndo que la tnlt¡ta1
de: Jet de la forma: - AXf'""·' + 8}Y"'.
Ahora bien.
D,: - (A +"',t + BYY"'.D::.
por tanto, A - 2B -
B-
-J.
SC'
tir:ne: -
1. Tomando A -
-»r·/~'1 asl
"
Rcsoh'ef
(20'1; - O" +- D.•)l
••
(Ax -+ 2B+ B.vV"'y(D", _ D:t= _ (A - 28y·'=i'-':
l. B - O. se tiene como ¡nlC'Jral particular: = .l"r-': lomando A .._ O.
suoesi~nlc:.
Eligiendo lo primc:ro. la. sotUQÓa pedtcb es
z
9.
•
,- y.
la (unciól) c:omp¡emc:ntari<a C$
24~- ti~ •
•
•
D:
(l
•
I
- -
,
O'
(1
<D,.
.211,)' ....
,
D'
"'
Q.
--'--(? -11
1-
~·2D!
O'y
•
pal1ic:v1ar ha
Ic.' _y) • _.!.
D'y
(x' - 1
ECUAcrONES
LINEALES
CON coeFICIENTES CONSTANTES
NO HOMOGENEAS
273
1
2
:l.
2
..
- _(.1 _ y • \'y .:ly • Y /12)
O'
v
La solución pedida es
•
JO. Hallar una integral panicular de (D,t" Dy)
«()" -
•
D'Y - Dy):
.. sen <2x • y).
Una integral particular está dada POi'
sen<2x"
.
y)
sen <2x ~ y)
'
" _.l.
34
í
s sen(2K ...y) - 3 C(l8(2%:+)')].
'También se puede uliliZát aquí el método de coeficientes indeterminados con
B COSl2x + y).
11.
Hallar una integral particular de
(D.c -
2
2D:; • 5) <Dx t /)1
¡.
3)l
=
e
ix
."'1
¡ ... A
sen(2.t + yJ +
•
sen (x - 21)·
Una integral particular es
- _l_ ~,x·")'[15
oo5(x-2)')
1205
TIPO: 1(,<O"yO,):
=
4 sen<x-2y)J.
= O,
La sustitución x =
,\.ly)D;D:=
•
f",
y
= 1.''', .,,3,~,.lD;D;:
= D ..(D,. - 1)(D.. - 2)D,,(D.. - 1):,
D.(D,. - I)O.,(D" - I)(D.. - 2):: transforma la ecuación dada en
0.0.(0. - 1)(0, - 1)(0. - 0.1== O,
: - ~,h:) +
~l(U)
+ ,,"4>3(1') + t"'~tJu) + 4t,h'
+ u)
: = ~1(ln )') + t,6~(lnx) + xIP.)(ln y) + .v~.(ln ,\,) + 4>,(10
= V,(y) + ~,(x) + x\ll,(,o') + !'''',(x) + "',(,<y).
O. en las variables originales,
,\;'Y.
•
La solución pedida es
274
ECUACIONes UNEALES NO HOMOOENEASCON COEFICIENTes CONSTANTes
13. R.!IOIver
(X
f
Ll;f - 4y 2 O;f
La sustitución
.'t -
~ ",
-
4YO, - 1),
(l\. .2)
•
'(n..
-
Por simple inspección,
-
ecuaaón esü dada por
t$I.i.
1
2.
_11'
-_.
35
(35)'
'-3)
z
se halta que
•
•
•
tu.,,,
1
o,;• - 4 o,:• • 3l\.
- 240. - 3$
es , • - -_~1
(35)'
pólttÍC'ul¡,
dircrcrtCw
f .... :JtI
{lSv-24).
4lMIa es
que, upt<$2lda con los variables ~
-
1
• I
-_
x T (3.5 In T - 24).
1225
PROBLEMAS PROPUFSTOS
Resolver cada un4 de las siguremes ecuaciones.
14.
Sol.
15.
So/.
16.
17.
11.
Sol.
.,.
: .4>1
Sol.
el!. • 2D,)(Ox+ 20, +
J'
<l>,Cy-2<)
<Dx-+D,)(DS' .. Dy-Z)z
Sol.
,.
~l
(y -X)
1)(0. .20,.2):
•
+ <-x~(l_b)
21.
2
le
: • ~ 4>\(1-%)
<D,x'0xD, .D,
-1):
• ~(Y
-.x) +- cU~(7".a)
• O.
+ '-'[~(1-2x)'14>.(1-2<)1
.. _1_ [6
COIS(X,
ay) _ 9
117
Sol.
(:z)
'"' sen(x+Zy).
.. (hq,'J(y -X)
_y
~ ~ ~(,.-2K)
1
• ~
+ e
-;r
.
-jo
••
solución de fD; - 40; + 3D. - 24D.. - lS)w¡ _
\1113
Por tanto, 13 ¡ntearaJ
t
,1
D.. -40; -Dg_l
•
- (l\. • 2) - 1
La solUCIón pedida de la ecuación
z
dada en
~------~I~----------- •
• c'~')V
•
In r .
T
'1 = t' transfOnM. la CC\lX"
Un. .nlegra) partICular de
ti
'_'
••
3
1 ,..",
%1 .. - .. - e
2
Sol.
75
sen
(:r .. 2.1}J
es
II
es
ECUACIONES
~'NEA~ES
22.
(o;-o.:o;-I~+ll<a,): =
U.
(3o.:a,-:W;-D,lz •
f
(31\C
$01,
26.
'2
(n;
Lo
'2
.2fl.D)-21'J.
:.
'2)/.5.
(x
000(3y,2:<).
)l.+y
= 3<
-11'
'('1
:.
Sol.
27.
2
-20; - o,.
l
;c+y
•
-
= <
-3).
(D:.'\.~ ..J~~lJv*l):
~
1+'
:.
~CX
13~
1:-
CONSTANTES
Sol.
: .4t,.(y)
" <11>,(1.';)'"
Sol.
••
,.'
,ja,('l
"
.. y).
cos(x+2y},
2
%(z2.2y2),
$<JI.
1-..
~ 2'7 ces
16
Sol.
l::r _
3
sen :zy.)
z y 1"n(11'1 .. ).
•..
/
~,
z;.
<P,(% ' y)
,4>'(1/:';)
-
6S1'[,
x y
.. cos()n
JI.
~ ) ~ 7 $Cn(ln x)"
SOl.
2 '2
(x D,;-xyfl.lly-2y
$(,/ .
JJ.
~
-,1'"
,
,
JO•
32.
iOI ~ $( e08
.t.
2 2
D,'.0.:-2yO,)'
2
4>l(2: ....) ...
c/J,(y/x)
jo
• I.(y/x) - 1/2.
,Cln
%)2)ny
..
i Jn.r
In)'
~x~Q_%)
~(3r·2:<1
costx -2)').
1 ~.Y
~
4ix"'~i)'
¿"cle
-
CON COEFICIENTES
sen (. - yl.
r+b:7
G
C'l ~
NO HOMOCENEAS
-
275
+ la
2:
3I .... (3'.2»
CAPITULO 33
Ecuaciones de segundo orden entre derivadas
parciales con coeficientes variables
LA ECUACION ENTRE DERIVADAS PARCIALES MAS GENERAL de segundo orden con
dos variables independientes tiene la fonna
+ Ss + TI
RT
1)
f
Pp
+ Qq + Z: -
F
donde R, S. T. p. Q. Z. F,on funciones de x e y solamente y no son simultáneamente nulos R. S. T.
Antes de estudiar la ecuación general se estudian algunos tipos especiales.
rtro
l.
2")
T
3', -
-
FIR
=
r.t», y)
= FIS
•
F.(x.y)
-
F,(x.y).
3x'
s
2b)
2.)
a'z
ay
=
.x
.'z
=
ay'
=
(Ir
E)las son ecuaciones reducibles con coeficientes constantes (Capitulo 32); para resolverlas se va
a
utilizar aquí un método más directo.
~;emplo l.
Resolver s
hut.srando ~ ~
• .v - J',
;'1~
respecto de y. p • ~
-= X-'Y
Inlcgrando este relación respecte
• xy _
de \', : • ~.a:2y - ,x)'2
I
,y~..
1/1(:1.).
'"
</>.¡(~l ;.- 4>,(y).
~:h·.son funciOnes arbitrarias.
arbitraria.
donde
..
~"'l{X)
- oJ·(,t)
y
TIPO 11.
3...
)
Rr • Pp
3b)
s.
+
3e)
S.
, Qr¡
3(1)
TI
t
=
S
/'p
Qq
R
=
ap,
ax
ap •
ay
s aq
ax
=
r
Pp
•
F
• Qq
r""tQq
ay
Pp
• r
• F.
Estas son esencialmente ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de primer orden en las que
(o q) es la variable dependiente.
p
276
ECUACIONES
A ~
O-
OROEN CON COEFICIENTES
p tomo la variable c:kpend.erne. \ como la '\.nab1c
ConStdcrando
aótI es
DE SEGUNDo
2p .. (9z '6}t"J"·?'
VARIABLES
e !'como
Indc:pmdllt.t:ltc
277
OOftStaote.
la ~.
para la q~ ~ es un (-.,or InlqJ'Jnte.
'"kJtllndo
•
.l(9.l2.
-2.
~)(")
D•
•
3),?t"'),'~Y
1
• <f,(y)
D ..
,,. .,,,
3"
(1 -
l
R
ap
... •
S
Oq
TOq
o
TIPO 111.
"
4A)
Rr ~ Ss
• Pp
=
F
o
4b)
Ss .. Tt
t
()q
=
F
oboen
blC'n
S
a.. •
ap
ay
~
l/as dos
razones
primeras
Por simple inspección. 2F4f2x)
se obtiene
xy _
rápidamente
+ 4)'(-.1')
- .1,1(4.\'l~ -
F _ Qq.
ay =
Esras son ecuaciones lineales en". derivadas pan:iales d. ceden uno
dependícnlc y .r, ,. como variables independientes,
Empleando el método de Lagrangc (Capitulo 29), el sjstcl'N
F - Pp
%
4IUA1I13r
(o q) como variable
COD p
es dx '" Jy :dp
2x
-y
4%,.2 _ 2p
D.
lp) _ O. Así.
o.
y
!!
,-
2r
,. b.
7
p
TIPO IV.
5n)
5b)
Rr + Pp ..lz
Tt + Qq + Zz
bien
F
O
F
o bien
R
a'.
a,,' •
,
=
r~
ay'
r a.
h
• Q!!ay
+ Zt
=
F
• z.
=
F.
Estas son esencialmente ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con s: como
variable redependiente en Sa) e .v como \'ariable indepeodiente en 5b).
278
ECUACIONES
DE SEGUNDO
ORDEN CON COSPICIENTES
La cculción se p4Jt(k escribir asi (D~ _ hDy"
La (unción c:omplemutaria
1
es
1 •
..'):
• (f).,_x)2:.
• (x_2)It.sr'¡'2,.
'1 una in,egral partic.ular es
•.. t"'~t("")
tZ'<A(.l)
VARIA8~ES
(x_2)t}Jf.2)'
C{)y _ Xl'
Véanse también Problemas
TRANSFORMACJON
ESI. transfcrmacién
DE LAPLACE.
en
Qo • ZI • G(u,v}
Rr + Ss • Tt + Pp.
1)
1·8.
consiste en cambiar las variables independientes x, J' por unas. nuevas. u. e, de modo que
u = u(x,y),
6)
ve
v(x,y)
se eligen de forma que la ecuación resultante sea mis sencilla que 1). Medianle 6) se: obtiene
..
a. •
P
•
r
•
s
• á; •
•
I
q
Op
• ~ •
Oy
•
luu..y
(luu,)
... :~IIV}'
.. tc.,,(uxv,
llluUrlJ)'
,
'""v("y)
•
2::14>u7u,
lo
)u'I; .. JVIi1l,.
u,"';c)
.
lo
•
l~"'("7)
•
.y
•
(zc;.JA)
"(,IV"'..-"",
,
•
:,.u."
•
..
:: ~)'
..
l"'IJ"'Y)L'~
•
:v"S') •
:",",,."
Se obtiene
l' )
haciendo las anteriores sustituciones en 1) Y ordenando. Solamente se necesitarán los coeficientes
Obsérvese que ambos son de la forma
1)
J)
-+
Supóngase blo De; entonces. si para u se 10m. un. solución cualquiera de oC. + bc, - O
u una solución cualquiera de
+ ft., _ O. 1) se transforma en I')con R' = T' = O.
y para
.e.
ECUACIONlS
[¡-,lo 5.
ut
OL SEGUNDO ORDEN CON COEHCIENTES
Rc.ohcr
- SCy'-I).
.)
..'Cy-l)r
.)
' ..... ,)(r
-s)
-
-A, -
VARIA8LES
·'(1'-1, ••• )p -,
7'l -
1
279
O.
O.
•
Aquí 7. es
de donde
x!.
,I.!~. O:le ~~I.. face con ~ u
fócilmente que es"," $OII,lC1QnesIllmbihn
Ahor:l bien,
demuestra
tu [111.Sé
\)' '1 \~..
<
A,,,,
O se- s~uis:(:act (10ft
t
,r'
di(eft'ooal doada LIXIO la solu-
:,
l.
~hj(lI(len
teuaC:1ón
clón pedida es
b)
Aquí'l es
Ahont bien. (.
{,
O 'k ~h'lf!K'C'
con (
jOlucíone_ot $:lt1$r:Ir:l1:nl:t «u¡Clón d,((~c';lt
dad:!.
Tómese
V
1.1 -
•
)' )
d,fc:renchtl dAda se con\llerte
-1(.1 ~ Y)ltn
-
ESlo se puede escribir
tnconees.
t ~ ~,
P
.\ ....
¡;.,
.. 1
a.
¡;.,
donde
-:,
u
- .:
u
d
O con ( -
'lo .. ',,_
r
r. Sin cmhlr&o.
'lot.l'
..
:~
..
."'pM
: ...".)'
de: esus
la CItU<lelÓn
.r .... -
11.. - 'yl:~ -
o bien
O
:o
UII'It,,'
":w ••
• O.
'v·
a.)j
,a:
!1) • o.
-(-
•
a ..
I
üoi'(U)
y
• "'Ij;(v)
-."
a..
a..
1""110
- , •• •
_"(ti)
••
en
".
az
-
q •
:'1>'
I
_,
Sea
):
•
1
<I>.(v)
, ... .
~(.).
!)..(v)
IU
Jv
•O
u
•
,. ~~(U).
y
A"""' ......
•
.
I
~l(")
.
I
~(.).
la ¡oIuclÓn pedid .. es
!~(v).
•
Aqui 1) es
e
Ahota bien. X(", - .r{, O se sausl"aoe con. = x~r ,. x( •.. X, - O con ~ -= xi,. Se h3!b r.f¡ptdamml~
que' estas soluciones 5:l,i5(a«n 1:. ecuación reducida yl, - yl, t px
" -- O~ poi" tanto, b (uftlClÓn come*mentoria es e
IPI('\/)') + ';1(')'" San embargo. esu .. (unetÓn complcmc:ntaria se pú(de obrMlet con b Intqral
ptlrticular como sigue. Tómt$C' 1.1 • "Y y C" _ xJ,.: entonces
q=
•
xz,- _ -;"11,
1
¡nlegrando primero
'1 dc:spué$ respecto
donde'
J
dI'
101(11)
-=
tt:Sp«to
de .. :..
de r. r .....
tr,
.(,,) ~
!v.
+ .-:(.) ... 1_
= .11\
,,) .... .aln-J ..
1-('.1.
~(l·).
Véansc Problemas 9·10.
•
280
ECUACIONES
I)E SEGUNOO
ORI)EN
CON COEFICI€NTf.s
VA.IA8l.ES
11) Supóngase b/(1 - /1" entonces. RI~.)2 + S{.<, + T(C,)' trata en el Problema 11.
m(a~. + ~,)l.
Este caso se
ECUACIONES ENTRE DERIVADAS PARCIALES NO LINEALES DE SEGUNDO ORDEN.
Un metodo posible para resolver una ecuación dada no hneal entre derivadas parciaJes de segundo orden
RI
F(x.y.z.p.~,r.'.() ~
O
lo sugieren varios de los ejemplos de las anteriores ecuaciones lineales. En cada uno de 10$ Ejcm
píos 1·3, el primer paso consiste en hallar una rclacién de la forme
9)
..pe v) .
ti -
¡,J. nrbnruria.
donde u - u(.<. y. z. P. q) y v = v(.Y• y,». p. q). de la que S. podría deducir la ecuación diferencial
dada climinando la función arbitraria. Una relación como la 9} se denomina una integral ínterm"",ad.8).Porejcmplo.p
- xy + V·l _ '¡'Ix) es una mtegra] intermediades _.< - )'(Ejemplo 1).
Se puede demostrar que la ecuación
más general entre derivadas parciales
u • ~(v).
.;,
que tiene
arbHraria
donde u - u(x. y. :. p. q) y • = v(x ..... z, p. q). como Integral intermedia. tiene la forma
flr
10)
..- SS"
TI • U(rt-
H')
-
V,
donde R. S. T. U. V son funciones de x. y .•• P. q. Sin embargo. es evidente de la. definiciones
de R. S .: , , . V que no toda ecuación dc la forma 10) tiene una integral intermedia. La discusión
Que sigue corresponde al método de Monge para determinar una integral intermedia de 10). suponiendo que existe una.
TIPO:
Rr
+ Ss +
TI
V.
e
la ecuación
Considérese
I/r
11)
+
s.
+ Tt • V.
o sea. ecuación 10) con U idéotkameme cero. Puesto que se busca z como una funcióo de x e ,.
se tieoe siempre
1Z,)
dz
~~ UX
:
ap
dp
12, )
+
ox
oy
Oq dx
dq
ay
dx +- op ti)'
OX
12,)
-a. d y
.OQcIy
ay
ox
•
pdx
•
qdy,
•
r dx
•
sdy,
=
sdx
+
I rly.
eo
dp-stl)'
R esO,.vren O t as d os últimas respecto de r ... ---.
ctx
11) se obtiene
13)
R
.(R(dy)'
~p - •
dx
-
dy
+ Ss
+ T dq - s ~
•
dq-
s dx
cIy
V
y
de donde
dy
Sctxdy'
T(dx)']
~
Rdydp
+ Tctxdq
- Vctxtl)'.
Sustituyendo en
ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICI~NTes VARIABLes
281
Las ecuaciones
R(rly)'
R tly ,Ip I T dx
V dx rly
O
Supóngase R(dy)' - S dx dy + 1'(dx)' = (A dy + B dx)' • O. Si ahora
IJ(X. y, z, P. q) = (l, IJ • v(x, y.
p. q) = b satisfacen el sistema
=.
l
At/y'8th:
-O
• T (/x ti? -
V (IxrJy
/1 rly ""
entonces.
'.
dt¡ -
ecuaciones de ,\1o"K('.
se denominan
JI -
O
- S (/xrly • T("")'
u
-=
I/I(v)
=
de I J) ya que u
O.
•
a, u - b satisfacen
es una integral
intermedia
Supóngase
donde ALB2 -
R(d)')' - Sdx"y + 1'(".<)' - (A Id)' + B,d.<)(A,dy + B,dx) = O,
A1BI r;' O idénticamente.
Se tienen ahora dos sistemas
+
A,t/y
[
R tlydp
•
e,«••
T dxdq
O
- V
J J).
A,dy + 8;d" • O
[ 11 cJytlp + T ditdq - v cbuly • O.
y
"",1,· • O
13) Y. por tanto,
Si cualquiera de lo. do s si.tema s es integrable se llega a una integral intermedia de 11): si los dos
$On integrables se dispone de dos integrales intermedias. En 10$ ejemplos se discutirán procedi ..
mientes para hallar una soluci6n de una ecuación dada para la que se han obtenido integrales intermedias.
Ejtlnplo
Aquí
y se resolverán
problemas.
7.
4(yq
Resolver
I{.q(yq':)'
":)1
p(2yq
,s.-p(2yq.::),
H(dy)' _ S J.x dy • T(dxi2
y
-
¡IJyúp
• Toúdq
¡':)$
.. 'Iv'r
T:yp"l..
~
'.'4"
O.
las ecuacicnes de Monge son
V._p'lq;
•
Q(1Q" z,)(Jy)'
.. p(2Y9 + :)dxdy ~ yp7
•
(q dy. p<Ú)(yq
•• )dy.
ypa.)
,
(dx)'
O
- ¡'oúJy
q dy
Se buscará ptlrnt"ro una soluCIÓn dd ~em::t
Combinando
la primera ecuación y l2¡) se liel)(: dz
-p I/X/II. obtenida de la primor:.. se tiene
=Oy
: -
t
p<ú
, O
t
[ q(yq.:)dytlp
.yp
u.
(yq , ,)dp - p(Y di¡ • q dy)
'1
tp q<údy
<údq
Su:nitu)'eooo
O.
en la segunda ecuaelén
dy _
• O.
SU.tnOlndo - p ti: _ O a ésta se obtiene
con solucién
ecuación
~
p
de- primer
• b, LUCIO }'q
orden
es
+ 1 .., P •JI:)
.#!- • -y!! . ~.
1(')
es una intclI~1 Inlermecha
dy
-
-y
JI
• -
MI
El SIstema de Lugran&t para c$la
obtiene yz
= P.
y de
282
ECUACIONES
o.
--
¡(z)
d,
• -
se _
DE SEGUNDO
ORDEN CON COEFICIENTES
f le,) <Ü
-
b. De _o
••
¡
ahera
el
+ q dy
9'1dp - pydl¡
-
[ 9('91
-:
• tly.
tÚ • O.
-r
g(yo)
2: •
- pqdy.
I
O d<doode
= P' g(»:) es
b. Se obtiene así
• ypo. :
O
.. rp2¡ú dq + p2qmd7
:: O.
d",/y e ..: • a. AJ SUSlJIUir la prinlt-r. ecuación
'!l
•
y
dp - ~ P
9
O
una ,•• c¡rsl ,nlL'rmCdJa. ¡;¡ $istema d< l.q:nnJe es
.s: .~
- 4 Y l. primera cculaÓn
EnlOnoes.:
4>t()'O)
:)dydp
d)'{)': luego d: _ -:
la soIuaóo qylp _ b: Luc¡o qy
deduciendo
•• - f
(Y9 • ,)dy
~sundosistema
De la primera. eceecícn, p dx
en la segunda $C ueoe
g(y.)
'1'" la solución podJda es
1
Considérese
~
• ~'(') •
VARIABLES
-1
,(yo)
x oz dtl(:)
-1
tiene la solución
.:V'!) como ames.
1
TambiCn
se pcede OblCUCf la solución
viéndolas resJ)«to
p ~
utilizando
13$ dos integrllles
imcrmcdlas
simultáneamente,
Resol-
1
1(') - ,(Y')
eo P dx + 9 dy - d:. '" uen< r. dx + 'T(y:)IIy - '1/(:)11: -},:g,(y:~ .... ccu.tción se eoo..;ene en
y sustilUl"ftdo
y .f(r.)
=
Jro~ld=. E.cnbomdo
/1:1 - :/,1:1
c. mtegrando.
x • o¡!,(=)
+ "',(y:).
Yéanse también
TIPO:
r'"
Rr
+ Ss + 1i + V(" - .')
dp-sdy
<he
•
t
dq-scbc
Considérese la ecuación 10) COn V ,;, O. Sustituyendo
como en el anterior lapo se obtiene
dy
:;::
= V.
Problemas 12-16.
s[l'(dy)'-Sdxdy'T(dx)"
U(dxdptdydq)J
a
I'dydp.Tdxdq,Udpdq-Vdxdy.
Las ecuaciones
R(dy)'
-
S dx dy + T(dx)'
Rdydp
t
Tdxrlq
t
+ U(ú><rlp
t
Udpdq _ Vrlxdy
dy rlq) ~ O
= O
se llaman ecuaciones d. Mongt. Obsérvese que si V-O. estas ecuaciones son 14.) y 14,). Sin embargo. distintas de 14,) y 14,). ninguna se puede descomponer en factores.
Se intentará elegir .. descomponer en (actores
Mx.,.:.
P. q) de fonna que se obtenga una combinación que se pueda
16) >-[R(dy)' -Sdxdy.T(dx)',U(dxdp+dydq)J
=
=
(.
dy +b dx
t
crlp)("
dy +f3dx
~a.(rly)' + (~/Jt"")dxdy
t
o'Ydx dq
t
C'y
+ RdydptTdxdq.Udpdq-Vdxdy
ydq)
t
.bfJ(dx)'
tcfJdxdp'~'Ydydqtc<ldydp
dpdq
O.
=
ECUACIONES
DE SEGUNDO
ORDEN CON COEFICIENTES
283
VARIABLES
Comparando coeficientes se tiene
DtI -
R1... a{J
+ ba =
v.
-.$A -
n..
bfJ -
LA pnmcra relación se: satisfará tomando
1, Y ... U. la relación restante Q~
VAt
+
ay.
=
""
R.
by -
T.
U.
<7 -
l. Y 2 .. R.esta elección determina b _ T'U.,
... - Sl..
V toma la forma
D
+ ha.
t _
en. -
<fJ -
TR
l.U.
_ $).. _ V
•
U
U'Io.'
17)
• SUIo. • Tt
• Uv -
O.
En general, 17) tendrá dos raíces distintas 1.. - Al. A. .. Al: así. 16) se puede descomponer en fac·
rores como sigue
'.
(Á,Udy
• T,/)(
, UcJp)(Rdy
p...Udy
+ Tdx + Udpl(tdy
+ UcIq) = O
• Io.,Udx
+ Io.,Ud ••
Udq)
:
y
O.
3 considerar. El sistema ",U dy + T dx + U dp - O, ).,U dy + T tix +
;l,)U dy = O y. por tanto. al menos que;l, = ;l,. U dy = Oidblucamcnte.
Análogamente. el SIstema R dy + A, U dx + U dq - O. R dy + ",U tix ... U d4 - Oimplica U tix - O
Hay cuatro sistemas
U dp _ O unplica (1.., -
tdénucamcntc. Se emplearán, por tanto. (¡namente
Io.,Udy' Ttix .UcIp.
O
[ R(ly .Io.,.Udx. Udq : O
19>
los sistemas
Io.,.Udy. Tdx+ UcIp : O
y
[
Rdy • ¡."Udx + Udq =
o.
Cada sistema. si es integrable, proporciona una integral mtermedia de lO).
l'.jHlpIo 8.
R_c$Oll,'Cr
¡,- 2("
-.sl, _ 2.
Aqul, R • O. S
3. T = O. U = -2. V _ 2. Entonces UJ).l .....SUl
Al • - i y 4¡ - 2. Se buscarán soluciones de 10$ sistemas
Io.,Uey • 'rdx • Udp • dy _ Z<lp : O
[ Rdy • ~,Vd" • Udq : -4<Í>c - laq • O
.....TR ....
ov
[ Io.,Udy. 7'<1... • Udp : -4dy
y
Rdy.
« 4).2 - 6). - 4 - O.
- 2dp • O
>",Ud.. • Udq : dx - 2dq • O.
Del primer siSlema,)' - 2p a a y 2x + q = b; cnloncd 1) 1- 2p -/(2x ...q) es una ¡rnegral incnma:ba. Dd
$C'lundo $l5tema. 2,. + p = a y .x - 2q - b: entonces. 11) 2y + P - l(..r - 2q) es una inlqn) duermcdta. Cc:wno
q apar«:e (O el ar¡umcnto
tanto de I como de , ~ no es posi1*. obcmer una solución de la ecuación Oada que
c:onlenp dos funcione:¡; arbitrarias. resoI....;moo respecto de , y 11 Y SUSti(uyendo en d:: = p h + ",q
Se InleoW'i b.a11aruna ~u::ióo que incluya c::oo:st.~ntc:sarbitrarias a paro. de la intcgnl inccrmodia , - " /Ib: + q~ Pata _
una ccwción inlqrablt. ,_
/fZx + q> - .(2.< ~ .1 + ,. doade • Y , - -linces .rbttranas..
El sistema de Lagraogt' plfll
7 - 2p •
<1(2.>
'1) •
•
tÚ
ft
•
~
2
De lo. dus pnmc.os
miembros,
«'l
=
ó.
•
"
2y + (. Su~:utuyendo
poi':'
2.
"
de donde
"" ••
LUCIO
(unetón
el:
(-
37 - ~
e ~)" -
-
/3)d,
(2:;u ~ {3),.
llrbltran~ y dos ceesames
y
t-
4>.(CU
art>ilnru$.
cu. los dos últimos miembros se conviakn
en
dI
-3Y-~-Jl
,,,.
_ 2)')
-
3
:¡y
t
-
_
a
~y - 1"7 • ~.
es una solución de la
tcU3C1Ón d,ad;¡
que incluye:
UN!;
284
ECUACIONES
DE SEGUNDO
ORDEN CON COEFICIENTES
'l'rac.andoderormaaniIO&a1aSt:8uadainlcsralint(rmceb
.. secoma2y + p -,Ix - 2q) + lobiedp
21 + l. dOftde V '1 & son constantes arbitrarias. El
.,X -
VARIABLES
$I$ltma
de La,nnl:C'
+ 21(/-
es ~
CorrespoodieolC
• ~
I
ti:
. Ot los dos primeros miembros. y _ 2):r ... (. Ahora bien. el primero y el
7- - 2y • ¡
dir
l. (orma
-
•
I
d,
Y
nUtmbro loman
y
-37'-~'¡
tPt(Y- 2)' .. ) también es una solución que conuene un. (unción arbitran.
2x
te:n:et
•
2y
y dos constantes
arbitrarias.
A contInuación se hallará una solución con dos funcioneti arbitrarias de Jos parámetros >. )' ~. Póngase
e",onces. 1) y 11) se convierten en y - 2p _ f(l.)
+ q • ~ y x - 2q - " de forma que x - (2~ ... "WS.
2y + p - g(,'). y y = U(I.) + 2g(l<»)/5. Ahora bien,
f(~IJ-
111)
p ~ Uy -
IV)
q • l. - h -
-2y
+ g(p)
y
K< - ")
Sult.¡luyendo el segundo wlor de p y el primer ....alor de q en ti: .. P dx + q dy, se tjene
[-:¡y.
gl,..,)dir
- 2ey d..
• lA. - z",dy
-d.y,
I
S«1pl
y
,
[2 dA.
<4<1
2
•
- z"y • -I\g(l'l
S
•
I
-~fel..l - <p,el.., • <p,(p.'
S
- 2%y t I..y - <p, e)..l • <p'(I'I.
Es,.
solución
Sé
puede obteeer utilizando el primer valor de p en lit) y el segundo valor de
Q
en IV•.
veanse también Problemas 11.18.
PROBLEMAS
t.
Resolver
r •
ll' e·)
O
a',
sea
2 -,
x < •
a?
Intepando
•
t
• ~
12
e"
~
•
de x
SI:
RESUELTOS
t:icne P •
a,
a;
,
!.... e"
3
..
4>. (1). e
in1egrando neeeamenre
respecto de x
... <1>,(7).
JCIÍJ.(7)
,
- 4x y.
In'c-afondO
Intesrando
donde
rC!lpceI O
la ec:uación que se acaba de obtener respecto de
d
;¡;
<p,e.) •
<!-e'l.
..
..
de y
x.
-
1
-,
•
-
%
-1
7
- 4JC
]0
Y •
.t.
"..(JC) •
ECUACIONES
J.
RC$Olver
;(f .. -
Reso1ver 1- xq -
lntegraedc ~
-sen
r -
- rq
=-
x ros
eY • •Z •
y se teee
•
';(;al
y.
_(sen '1
t-
~'
ces y). empIcando el raClof integrante
Oy
e
'xy
- J e -x;; (sen
q.
1)'
El StSlem:a
De:
para la ecuación
auxiliar
la pnmtra
-
1
2<dy'
a.
Así. I)I.ICS,se: obuene
_
y!f:
'" -6.1'.)' _
oy
xY _
se obtiene
COS y ..
f:
¡;y.
donde ~Ifx)
.p(.).
- '¡'(x)/),',
2<y)dy
,
2p es
•
y' (-
y
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:.
p
+
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=- dy
-s
r/.p
-6%y- 2p
• O
,'dp • O.
p .. ~)'
y
2..\')' _ )'l~(xy,t)\
-;c " 1 • tb.(Jty
2><
Ó<y - 2p)
,
b.
donde
a;O ..
y
C'()010 soiucsén
~
P<w SImple: inspección.
Q.
- (2yp' 2><,o)dy •
Zyd.) - 2y(p'
y
JI
2.:c~
(2yp. 2<,' )(-y)
2ld.
o bien y (d¡>
Luego
) • <P2(1).
<p~(JC'y)
'
'"
• q - 10:r'..-.
El stscema. aUAlIiar para la ecuación
Oc las dO-t primera..-.: f"3.«)1'IItS. ;(Iy =
dedonde (q_ax)y)dx
D.
Por sunple Inspcoc:ión.
- 2><' (1)
- 2x~dy + ;r,dq.: o.
y
O~
qx
solUCión general
dq
.%
x ~
(q - ax)y).
t.o
lO
Oy
+ ¿O,. f/J. (x) + ~2(X).
- sen y
r. se tiene:
y se¡unda razón se dcducx
de: modo que
Re~vcr.D.
respectode
az
., --
t/J(x)de dondeq
¡.
«»:
2x, - 2p = 6:<y.
2yS(2)<)
6.
=- e - xy COS y
y -+ .z CO$ y)dy
Mediante una segunda Integración,
S. Rcsoh'(:f
2SS
VARIABl-ES
px = .~.:.
~ cespeclO de
....
ORDEN CON COEPICIENTES
DE SEGUNDO
••
(lo.)y-q)
xdq ~ q~
• O
e
• 2x~)' .. b.
es q,'C = 2x"y ... tIJ(yJx'l. AlI-i, pues.
y
donde
~'1dx
.. bltdy,
1 7 .p(xy
• ).
286
7.
ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN CON roF.FICIENTES
LL
ResolVff 1 - JI - -(- - 1):
%
t
l'
,._ 11 - .. y
~
,
~ 2x 1- 2.t
%
La (unadn complementaria es .: - e
Para una integral particular
,"
tP,(.a:)·
t'
_ At,l
+
se ensayan:
' - D... - -(--1).:
11)
tC:II.l!nlflnecs. [D
y
xx
R.+
8. Rc:ool .. ,
1
x
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2A-lAy_IJ_(_
• x(1
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- x).
%
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¡¡, 'iIy
et:uación se conviene
,
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f)l;
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.. X
-.l:C
¡¡,
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Y ahcra, integrando.
l'
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...
TRANSFORMACION
9.
Rcsoh-er
I -
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1
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.. In y) para la que
('-lO
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EnlO00es.
1 ; Jn y
__
que se pucdt pOner en b. forma.
r.í.pid;unc:OIC taucndo en cucnl'
oyy
f!
de y se llene
- yq - : = (1 - .)(1 + In ...~
.. - -
ter mtegrante.
• .dé-n.
1ji) • :¡,. , •
"
EPa CC\lt<:¡Onse ttsuelve
Haclcndo
C. donde A. B. C $On funciones de s o c:onJll1n
1 .....1,)(Ay .8y ..C) =- ~y 22'"
-.% Y .. 2% y-2x
,
X
los coeficientes de las diverSllS pO'tncías
1
-
+
.,...,(1).
"
lic:unenu~. Igualando
(.
..
)-)/'
J
-
VARIABLES
-l'
f-
)(Ú
;
1Z
~l. In y)d)
y
1'10'
x. --,-
,._
._ e
-r
".,.
.,,(1). uuluaedc
el factot integrante y. se hll
la a
1'/1(1) tiy
DE LAPLACE.
+p
- q(1
u- xyv
+ I/.x) + :1:( - O.
= x + )l. P =
z.. +
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Haciendo ~
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1
4>t(")
S\lstituyeodo
,. ~CU)
:)
.p(u).
o
en Já ecuación dada
ECUACIONES
DE SEGUNDO
Con 11.1 vana bies origjnak:s.
ORDEN CON COEFICIEI'lTES
."•
y
UliHio&ndo
1,1
xl.
•
la ecuación djItttncial
-
1
; '"
Hactendo
___
lnlC&raodo
Y'IJO
I
ü lV
-
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8-
&C..:)
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" ~sc1JCa).
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l",,I
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4>,(x. 1> •
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1:
287
VARIABLES
¡
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21.1
-;;;;:
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.. u As.CIll') •
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•
11.
Resolver Xl, - bys
Aquf
.'(U' -
rl - xp
+
+ 3yq = ay/x.
2.r).(',{, .. y'(~,» =
(x<, -
),(,I' •
o. y como
los fectores
SOo distintos s.lomentc
00
se obttCnc ~ - '''y.
Se pone u _ xy y se toma
x'
x,.. + lx.:....+
UI\Il
=•."
y
ti"
101 ecuación
= y; entonces, p _ y:", q - x: .. +
diferencial
Z••
r - yJ;_.
S
=
!".
+ x)'=_ +
dada se convierte en
ocuac~n del tipo de C.aucby. Sin embargo. se ha visto que " es un factor integra_rne; por tanto,
.',••
I..uc:SO
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.. 3.,2':I
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I)){%»(d
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0-
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'O=ZP
~ u~lCn:»
')X _11
ao S3NOIJvro3
,O 000.13",
SSl
ECUACIONES
DE SEGVNOO
Se OORsKkr&ñ primero
ORDEN CON COEFICIENTES
VARIABLES
289
el USlema
4' dy • (l.
P)(Ú
9(1 • 91,q Jp • (l.
O
•
pI' d. dq • O.
=
Oc la pnmua ecuaci6n.pd;x + qdy -- -d~~auOftCC:S. J:: _ -d,x y.'( ... ;
La suslitUOÓD de'l4y __
d
(1 ..
p)t.tf en la secunda da lugar a
-t 1 • 91dp • (1 • p)dq • O
. __
l· p • b. Luego
de h~ que se obtiene
l'q
I'p
-• ICA
¡'q
+-
.e)es una integral in.tertnedia.
Con5k1~rese ahora el seterna
(l.q)dy
jo
(l.
q(l • q),q dp • (l'
p)úx
• O
PI' a. dq • O.
De 1, primer .... pdx + qdy = -(dx + d)') de forma qUt d: _ -(dx + dy' Y x+-)1 +: _ D. la sustitUCIÓn
de (l + q)d!' - -(1 + p)dx en la SquncU pcopotcio". -qJp + (1 + p~ = O que .. sa.m_
po<
I +p.
I +p
.
-- b. Luqo -= t(x + y -+ :) c."S una lt1tc-paI Intcrmcd.~
q
q
Ioaón P d.< + q d, _ d: .. ""'"
<Is+f-Cld.
'Id"
(a-Ilá:.
dJc • _ dx+dy+tb
+
lad. • -/(d.·,q.
tbt .. th
o
y
fez .. :)
g(z+y+.)
Jl.
á:1 • c(d.. á:1.
.f/:J.s.c ..... y+t)
+rp,(X
.. l)
Las ecueceees de Monge son
xq'Cdy)2
.. 9(z+z+2px)d:r:dy+
Y
(z
Cl"p){%+px)(tú)'
-.1[zq',q dp •
(l.
•
p)( •• P'Id< dq
+ (z.¡n)dx}
Cl"p)dx)(xqdy
[qay.
1- (l. PI"
(z •• la.
O
•
,q , o.
Considérese. en primer Jugar. d sistema
,,q •
ex -
l)Jl.q2'cly
dp .. (1" P)(:.
Delapnmera«uaci6n.pdx
+ qJy
: • o - x en b lquoda . se tiene
1)
=
(l'
p)d. • O
pz)( .. _ .1). dq _ (1 .. p)Q2 (1 + =lQ dy • O.
-(Ú:enlonccs.J:
- -dx'lx
+::
=
O.Sustiluyc:odoqtl;r
- (2:< - o);.tq dp + (1'r - a)ta - x ... p."r)dq + (1 + p)qa dx
=
,'ItIx.
-(1 ...
= O.
Par .. resolver esta ecuación considérese: x corno una CONtante. de: modo que dY .. O. Entcnces, IJ se redeee
- fz', - .)xq dp + (l.>: - .)(a - > + px)dq _ O. de doadc _'(q dp - p dq) _ (a _ x~ _ O
Y
·'liP'"
Q -
q
X
- ~(x). Para determinar
"f.\') se dirercnci:u'li esta
q(.dp+pd.-d.)
y se obliene
De
I~
.q dp .._
....
xq..." - itP...,
•
zpdq , q•dp - "d.
12.-0)(0_zl'*l.
"'0" _"
relación.
q'#
_ (.p.e_.)dq.
• qa. •• dq _ .dq •
(I'plqcd.
•
(• _ .. >.....
-'_
plqod< •
h_.
(1 •
I
290
DE SEGUNDO ORDEN CON COEFlOENTES
ECUACIONES
VARIABLES
b
(l. p)qa
(. _ .a:}cIq
2._.
24-
2<-.
1/;p
Así, pues,
-t
M
Q -
.!J!...!!_
•
q(2x-o)
I(x
Y.
y
--b
+ z)
es \lnl
¡nlta,..J
Inlcnncdia.
q(X-.t)
ahora el ""tema
CoIl$Klétese
.. /(6. .:).
6
2<-0
xqdy
C.a_:).aq1:dyd;p.
(I
._ ex. px)rJ..
o
•
P)q'(.a: .. :)cú: dy ..,
(l.
.. P)(z+pz)(%-¡)cúclq-
o.
IX la primera CCWIOÓo. pdx .. fdy - -z""'x: eeteeees, ti:
-(: .. pxldx. : - o/x en la ICIUnda se timo
-xqt.' - .)dp .. xii .. p)(x' - .)dq ..
11)
x como una ecnsteete.
Considerando
esta relación se: halla q dp - (1 + p}dq -
+ p)dq
en q d¡1 - (l
~.$(a se convierte
..• )<Ix = O.
(1 .. p)q(.r'
• "'C,\'). De
.,., O Y se tiene!...!..!!
e
q
<fdt/l.
mknlras
que de 11)q dp - (1 .. p)dr¡ .. (1" P)29(1C
..
a) cú.
se. ---.)
b 2<c.
. (--.
--w-.
x _.
Lueao
x
•
y
I.p
__
o
Resolviendo
d, • p ~ ..
1-:, dx
xC -/
7'
4>. IX
Aquj
R=3.
!.si.
Inlcnnedias
.. _1_
'B-/
+:} • 4>,(.<:)
s-r-v-i. v.
rn. UY
sctucicnes
'A.1Ud, + Táx + Udp.
y
J....U 4y
es
inLtgnl
UN!
p •
se ha'!la
dy de donde
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f - 'B
.,-f
-lD.x+ln(x'_o)
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intc:nncdia.
9 • _1_:
y
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/ex ..z)(cú ...d:)
+ á., ..
.. 1C,Cx:)dl.
:,(]/;l)~
pedócJa.
1ue80
• A' • >.. - 6'
de: 10$ sistemas
[véaese
O
Al • 2.
y
las ecuaciones
A.7;. -3.
)9»)
o.
Rdy • >,Ud.
• Ud;¡
dx » dp • O.
Rd)< • >,Ud.
• Ud;¡
2áy .. cbt + dp
+ Td. • Udp • -3d)<'
.. )
es l. solución
¡f>..' • SU>...
Se buscarán
¡(xz)
q(x_
las dos intevalc$
q'¡~ •
~
A$i.
f
lay...
,
3b
3dy&;
3dy
-+-
• d;¡
O
2rb .. áq •
o.
Od primer sistema se llene 2)' + x + p = 11. 3y - 3% .... f - b: lsi~pucs,. P + 2)' + ~ a 1(41 .... J) - )x) es
una integral in.tetmedA-. Del sq.uDdo StSUmI se licoI: - 3y + .x + p _ c. ly .. 2.r + q = d: hqo p - 31 + .x _
t(q + 3J' + a) es una inlqraJ Intermccba. Como q aparece en d a"JUmento tantO def como de lo ao le podri
resolver. como antes. para P 'Y q. 'Y I'M) se'" posible hallar una solución Que: col'uenp dos (unc:iooc:s .rtNtranas.
Se dan dos soluecees que contienen ccesaames artiitnlnas.
Sustüuyendo
p
+
fa
runción
Irbl1rana
2}' .. X - .(q ..
3y -
1de: la
)x) +
primera
P
integral
O biee
iotcnnedi.
por (t(q + 3y - 3x'
p - ~ - (:lo - 2)y - (3.
+
+ ,.
1,.. +
P
se obtiene
tCUACIONES
§; luego
.1). ....
l
•
~
291
VARIA8lES
o.
/3
se halla
dz
•
'(3u.2 ...a.+l)x2
-
ORDEN CON COEFICIENTES
eS ~ ,. ~ =
d:
•
1
-a.
{3a. - 2)y - (la. + 1)% ...
la que el si$fem~ de lagrange
para
y
DE SEGUNDO
... (~-~+fJ)x.
7)
'"
,(3Q?(l .. I)~%
-
y
...,8)x."f,l.
+ (So.y+3Q..2x_2y_2o.x
luego r - !(ht - Stl - l...r + (la - 2)xy + ~ + 1'1()' + 0:.,,") es una solución que contiene una (ul)Ción
arbitraria y dos constantes arbitrarias.
Sustituyendo
la función \!;,bitr.ttia gfq + 3)' + 2x) de la segunda integral intermedia por la función lineal
)'(q + 3y + 2x) + 6 Sé obtiene
p - 3)'
+
x _ 1(q + 3)' ... 2x) '1'"
=
para la que el sistema de Lagrange es ~ : ~
1
--y
y ..
yx ,.~;
dz. •
luego
1
.. - *(3)'2+)'+I)X
t
Luego
18.
l
Aquí
(3'){+3f'tb)X'"
i(3y2 + SI' _ J )x2
:
Resolver
~
R=xq.
v%~' .. SU)\.
S=p+q.
que ninguna
lo
primero
el sistema
ahora
[
+~
I)x
~.
dy,
1
-y
se deduce
8
.. [Xl"
U=xy_l.
también
es uea solución
O.
luego
V.. -pq;
+ TR .. UV = (xy _ 1)'2)..2 + (p. q) (xy _ l)A
de 1<1$ ecuaciones
Considérese
l)x
.. Sx + tp"J(y +')"x)
-pdy
Cónsidercsc
De
dI.
3{')'+1)yt{2Y-l)xIS
.. (xY-l)(rt-s2)
T=yp.
11)' + e2y -
1].
.. 3(')' .. 1)xy
(p .. q)$ .. ypt
xqr"
+
y
3{y .. l)y .. (2')'-
1
p - l'q = 3(,.
de donde
+ pq
=
+ yp<b: .. (xy - l)dp
y
O
=
Al
= x,/-1
~.
O
El sistema
+ (xy _ I )dq
%qdy-q<b:
A.,
-p
=~.
no es integrable
ya
= O
es integrable.
el sistema
+ yp
- q dp
11"
+ (X)'
-
I )tlp - 0,
xq d)' - p dx
+
(xy -
J)dq = O.
Multiplicando
la segunda ecuación por y. sumando la primera y dividiendo por x)' - I se obtiene q dy + dp +
)' dq
O y así p + yq
o. Ahora. multiplicando la primera ecuación por x, sumando la segunda y dividiendo
por X}I - 1 se obtiene p d.'( + .Y dp + dq
O 'j asi xp + q = h. Sin embargo. la forma de la integral intermedie
resultante xp + q
fÓ'(} + p) o bien yq + q g(xp + q) no permite una solución conteniendo dos functo»es arbitrarias.
=
=
=
=
=
Para obtener una solución que contenga una función arbilraria y dos constantes arbitrarias se sustituye
+ P en la primera forma de la anterior integral intermedia y se oblie.nt
f()'q + p) por la función lineal a::(yq + p)
(x - .)p
+
(1 - .)')<¡
= {lo
00
<b:
dy
E1 SJstema dée La
Lagrange correspo
ente es -• -x-o.
l-o.y
d,
: -'
(J
Inex - «) + In(1 - ,:t)') .... In {. de donde (x - «r(J tiene e - p ln(x - a) + 11. Así. pues. la solución es
= {, y dc los miembros
0
0
Ir
,=p
In(x - .)
IX}')
+ 4>[(x -
De los dos pnmeros miembros se deduce
.1'(1 -
o
.y)).
o
primero
y tercero st cb-
292
ECUACIONES
DE SEGUNDO
ORDEN CON CO€f'ICIENTES
PROBLEMAS
19.
PROPUESTOS
r •• ,
$01.
J
110.
, • -
22.
xr - P • O
23.
sr • P .. l/x'
lA.
)'1 _
!S.
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...
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1"
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1 (7)
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1I.
VARIABLES
-
... .ry'
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4>sC,I'y)
1 .. ~l("/l)
Xrt-Y
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+- ~.(X)
+- :x'2,1
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+- %2,2 ... JI"
TRANSFORMACION DE LAPLACe
31.
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SulCtenc1a :
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37.
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METODO DE MONGE
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4>,(y) +- ~x
293
ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN CON OOe .."1C1ENTES VARIASl..ES
39. ,-3s
-IOt
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1.1.:
p.2q'
S.G.:
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1.1.:
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3]'1' 4.a:-p
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6 (S,. ~ 3. -q)
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'1
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.. JI.).
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3
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xcr _ (x .. y)s _ ypt .. Ay(r r _ ,2)
I.T.:
t
·,p,ll-b.
s-4
2y+oh
3r-w
1)'
-2o.t -px.4>¡(y+-a.x)
SOl.:
1.1.:
47.
e
.. 3.)'t
t.J.:
1.1.:
46.
'2
S.c.:
.!...:.l • .¡,¡l'
S.G.: ••
p-5q
: .. _')'%2.h.a:_.z2_4zJ'_7'·~(J'·Y.)
Indice
Amortiguamiento,
factor de. 134
Aplicaciones. ñsicas. 49.133,178
geométricas. 4J. 75. 133. 178
Aproximación
numérica. 1$(.
Arbitraria.
constante.
función. 232
Auxiliar.
1. 78. 23 L
sistema. 239
Bcl'f\ouilli. ecuación.
35
Bcssct. ecuación, 222
fúnciooes.222
Campo de direcciones.
8
Caracreristica, ecuación. ralcescomplejas. 83
reales disüntas. 83
repelidas. 83
Cauchy. ecuacién fineal, 108
método, 247
Circuitos eléctricos. 57. 1).6
Clairaut. ecuación, 62
Coeñcierues indeterminados, método de. 93
Complementaria.
función, 79. 257.
266
solución, de ecuación dl-
ferencial ordinaria.
79
entre derivadas
parciales.
240.244
Condiciones.
para ser. exacta. 24.
165
integrante. 164
para independencia
Determinante.
Diferencial
lineal. 18
ecuación. 20~
rotal, ecuación.
Ecuación
Existencia. teorema, 7
Extraños. lugares geométricos.
C. 69
diferencial.
'64
68
de Bemcuilli,
35
dé Besset, 222
de Ctairaut. 62
de Gauss .. 223
de Legcndre. 220
ucear. 108
de primer orden, grado superior.
61
primer grado, l2. 24, 35
exacta. 12.24, 123
generalizada de Clalraut. 246
homogénea, entre derivadas parciales. 2SS
ordinaria. 15. 78. 82
lineal,
de orden n. 78. 123
dé.' primer orden. 13. JS
Charpit,
Completa.
Discriminante
de: segundo orden. J 1I
entre derivadas parciales. de
orden superior. 276
de primer orden. 236
no homogénea. entre derivadas
parciales. irreducible. 268
reducible. 265
no lineal. entre derivadas parciales. 244. 280
parcial. de orden superior.
con coeficientes. constantes.
Fracciones parciates, método de. 88
Función. complementaria. 79. 257.
266
de Bc$scl, 222
homogénea. IS
Oauss. ecuación de. 223
Generalizada.
ecuación de: Clairaut,
246
Hipergccmétrica. serie. 223
Homogénea. ecuación. 15
lineal. 78. 82. 255
función. 15
Hooke. ley de. SS
Infinita. serie. 197
Integ.r:tl. curva, 7
Inle~nle.
r~c-tor. 12.2-4
Intermedia. integral. 280
KUU:l Simpson, método de. 188
255.265
variables, 276
de prhuer orden, 238
sistemas de. 151
solución. mediante series. 197
numérica, 186
total. 164
Exactas. ecl,l:tcion<..'$.12.24. 123
295
La8(al~ge. sistema. 239
Laplaoe. transformación
de. 278
Legendre. ecuación. 220
lineal. lOS
polinomio. 221
Lineal. ecuación diferencIal entre'
derivadas parciales, 238.216
296
INDJCE
LanaJ. ordinaria., eeu:aaón dlfCfcn~
ct.al. con intqraJ panteu.lar
_.123
ck orden n. 78
d. primer ",den, 13. 35
Lugares gtOO'Iét.rteos cxtral'los. 68
Operador. desc:omposbón
c:n factores €k tipo, 112
Or<kn. de- la ecuación <h(C'rC'f'IINJ. I
redUCCIón de, 122
Origen. de la tcu3C1ón dirercnet:.1
entre derivadas parcmlC$. 231
Ortogonales, trayectorias. 4)
Mécodos abreviados, de ecuacién
dlferencial,
entre
derivadllll
134
Newtoo. ley ck mfriamienro ée, SI
k1unda ley de movim~co de, 49
No bom~
entre deri vadJJ. 1.231
hrlieu.lar. integr"'I, 79, 257. 266
solución. 1
Picud. método do. 116
Pnmera dc:tivada. mhodo de la. 181
Primitiva. I
ecuacióndircren·
eial lineal entre derivadas
par-
cíates, irreducible, 265
reducible.
268
No lineal, ecuación diferenCIal entre
deñvadas
69
ParclaJa. ecuac10nt$ dlfuenc,ales
ordinaria. 99
MonF. método de, 280
Movimiento armónico.
p. discriminante,
Parámetros. variación de, 93
pa (ciaJes. 266
Sepal"ac:ión de ~anaNes. 11. IS
Serie. hipe¡lf:Otnéctic:a. nJ
solución mc'CIiamc. 197
Taylor. 181
S.muIl3nc35.. tcu:actono. 157
Su\,gular. punto. 199
solución. 7.67,244
Sistemas de «;u"c10~. Ij7
Solución. general. <le la ecuación.
enlro deñwdas parciales,
238, 2$6. 26.5
direrenc:ial otdlnlrla. 7
SoIucH)(\. CC>mpkta. 19. 2-'0. 244
¡:oneraI. 1. 2J8
IlloOdiante.m.s. 197
_ocular. 7
$InguJar. 7. 67. 2+4
parciales,
244, 280
Reeurreecia. fórmula de, 191
Redcccién de orden. 122
Regular, punto singular. 206
Resortes. 140
Ruoge. metodo de, 188
Taylor, serie: de. 187
Traycctonas. 4)
Variación. de paramecroll. 93
Vigas. 134
Los textos de la serie Schaum se han convertido en
clásicos, por estar a la vanguardia en el estudio, y
por ser una inestimable ayuda para el alumno a la
hora de adquirir un conocimiento y pericia completos
en la materia que se aborda.
Cada capítulo
manera:
está estructurado
de la siguiente
• Teoría: resumen de las definiciones, principios
y teoremas pertinentes, que sirve al estudiante
como repaso.
• Problemas resueltos: completamente desarrollados, y en grado creciente de dificultad.
• Problemas propuestos: con la solución indicada,
y que permiten al estudiante afianzar los conocimientos adquiridos.
ISBN 910100004-8