ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА АЛЕКСАНДРА I»
(ФГБОУ ВО ПГУПС)
Е. Н. БОДУНОВ, В. И. НИКИТЧЕНКО, А. М. ПЕТУХОВ
БАЗОВЫЙ КУРС ФИЗИКИ
Механика, молекулярная физика, электростатика,
постоянный электрический ток, магнетизм, волновая оптика,
элементы квантовой механики, атомной и ядерной физики
Учебник
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2020
УДК 531.1
ББК 22.3я73
Б75
Б75
Рецензенты:
кандидат физико-математических наук,
доктор физико-математических наук, профессор
Санкт-Петербургского национального университета
информационных технологий, механики и оптики
А. В. Федоров;
доктор физико-математических наук, профессор
Петербургского государственного университета
путей сообщения Императора Александра I
В. М. Уваров
Бодунов Е. Н.
Базовый курс физики: механика, молекулярная физика, электростатика,
постоянный электрический ток, магнетизм, волновая оптика, элементы квантовой механики, атомной и ядерной физики: учебник / Е. Н. Бодунов, В. И. Никитченко, А. М. Петухов. – СПб. : ФГБОУ ВО ПГУПС, 2020. – 319 с.
ISBN 978-5-7641-1400-2
В учебнике представлен последовательно изложенный теоретический материал по механике, молекулярной физике, электростатике, постоянному электрическому току, магнетизму, волновой оптике, основам квантовой механики,
атомной и ядерной физике. В каждом разделе учебника содержатся краткое изложение теории, ответы на многие вопросы школьной и вузовской программ,
приводятся формулы основных законов, разъясняются сущность и физический
смысл подчиняющихся этим законам явлений и процессов.
Предназначен для студентов технических вузов и студентов, обучающихся по ускоренной форме обучения, а также может быть полезен преподавателям
школ, лицеев и колледжей, готовящих абитуриентов к поступлению в высшие
учебные заведения.
УДК 531.1
ББК 22.3я73
ISBN 978-5-7641-1400-2
© ФГБОУ ВО ПГУПС, 2020
© Бодунов Е. Н.,
Никитченко В. И.,
Петухов А. М., 2020
Предисловие
Задача физики как науки – изучение наиболее общих законов природы и объяснение на их основе конкретных явлений и процессов.
Физика развивается исходя из потребностей техники, и именно техника определяет основные направления физических исследований. Для создания современных технических средств необходимо изучать и познавать
явления и процессы, лежащие в основе принципа их действия. Важнейшие
достижения современной техники в энергетике, электронике, разработке
материалов с уникальными свойствами – следствие фундаментальных
научных открытий.
В настоящее время физика во многом обеспечивает высокий технический уровень современного производства, а также служит базой для
развития новых отраслей техники. На основе достижений физики перестраиваются энергетика, связь, транспорт, строительство и промышленное
производство. Без преувеличения можно сказать, что физика является важнейшей теоретической основой для подготовки специалистов практически
по всем техническим дисциплинам, преподаваемым в вузах.
Физика – сложный для изучения предмет, требующий от студента
серьезных усилий и систематического труда. Основным условием для
освоения вузовского курса физики студентами младших курсов являются
их базовые знания предмета в рамках стандартной программы средней общеобразовательной школы. Сегодня, несмотря на успехи в различных областях физической науки, на обучение ею в общеобразовательных школах
учебным планом отводится чрезвычайно мало времени. Кроме того, используются разные по уровню изложения пособия и учебники. В результате у большинства студентов младших курсов имеются пробелы в знании
школьного курса физики, потому они сталкиваются с серьезными трудностями при изучении этого предмета в вузе.
Данный учебник, благодаря краткости, наглядности и доступности
изложения, поможет студентам успешно усвоить лекционный материал.
Учебник состоит из десяти разделов: «Механика», «Молекулярная
физика», «Электростатика», «Постоянный электрический ток», «Магнетизм», «Теория Максвелла электромагнитного поля», «Волновая оптика»,
«Элементы квантовой механики», «Элементы атомной физики» и «Элементы ядерной физики». Каждый раздел содержит краткое изложение теории, ответы на все основные вопросы не только вузовской, но и школьной
программы, в нем приводятся формулировки и формулы основных законов, в лаконичной форме разъясняется сущность и физический смысл подчиняющихся этим законам явлений и процессов.
3
Работа с книгой позволит в короткие сроки изучить указанные разделы физики, необходимые в дальнейшем для успешного освоения технических дисциплин, преподаваемых в вузе.
Приведенная литература [1–16], рекомендуемая студентам, дает возможность самостоятельно и достаточно глубоко изучать курс общей физики.
Авторы благодарят доцентов А. О. Семенова и Г. Г. Хохлова, прочитавших рукопись учебника и сделавших ряд замечаний, способствующих
его улучшению.
4
Раздел 1
МЕХАНИКА
1.1 Кинематика
1.1.1 Основные понятия и определения
Механика изучает наиболее простую форму движения материи – механическое движение.
Механическим движением называется изменение положения тела или
его частей в пространстве относительно других тел с течением времени.
Тело, относительно которого рассматривается данное механическое
движение, называется телом отсчета.
Во многих задачах механики тело, размерами и формой которого
в условиях данной задачи можно пренебречь, называется материальной
точкой. В тех случаях, когда размерами нельзя пренебречь, его считают
абсолютно твердым телом, т. е. телом, размеры и форма которого остаются неизменными при любых внешних воздействиях.
Простейшими видами движения такого тела являются поступательное и вращательное.
Поступательным движением тела называется движение, при котором все точки тела движутся по одинаковым траекториям и любая прямая,
соединяющая две произвольные точки тела, остается параллельной самой
себе. Поступательное движение тела может быть охарактеризовано движением какой-либо одной его точки.
Вращательным движением тела называется движение, при котором
все точки тела описывают окружности, находящиеся в параллельных плоскостях, а центры окружностей лежат на одной прямой, перпендикулярной
этим плоскостям. Такая прямая называется осью вращения.
Положение материальной точки в пространстве задается с помощью
координат. В прямоугольной системе координат ее положение определяется координатами x, y, z или радиус-вектором r, соединяющим начало
координат с материальной точкой (рис. 1.1.1). Его проекции на координатные оси декартовой системы координат равны координатам точки M:
rX х=
, rY у=
, rZ z.
=
Пусть е X , еY , е Z – орты системы координат – единичные векторы
(их длина равна 1), направленные по осям Х, Y, Z соответственно. Тогда
радиус-вектор можно записать в виде суммы трех векторов:
r = хе X + уеY + zе Z .
5
Z
z
M(x, y, z)
r
x
y
О
Y
X
Рис. 1.1.1
Длина радиуса-вектора (его модуль) равна
r=
х2 + у2 + z2 .
Совокупность тела отсчета, системы координат и прибора для измерения длительности промежутков времени называется системой отсчета.
При движении тела его координаты и радиус-вектор непрерывно изменяются. Зависимости этих величин от времени (x = x(t), y = y(t), z = z(t)
или r = r (t ) ) называются кинематическими уравнениями движения.
Вид механического движения зависит от выбора системы отсчета, в
которой оно рассматривается. В этом заключается относительность механического движения.
1.1.2 Траектория, путь, перемещение
Траекторией называется линия, вдоль которой движется материальная точка. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета, в которой
рассматривается данное движение. Потому различают прямолинейное
и криволинейное движения.
Путь s – скалярная положительная величина, равная длине участка
траектории, пройденного движущейся точкой за определенный промежуток времени.
Перемещение ∆r – вектор, соединяющий начальное и конечное положения движущейся точки (рис. 1.1.2).
Из рис. 1.1.2 видно, что
∆r = r (t2 ) − r (t1 ) = r2 − r1.
Из этой формулы следует, что перемещение равно приращению радиусвектора r частицы за промежуток времени ∆t = t2 − t1 .
6
Z
s
r1
O
Δr
vcp
r2
Y
Х
Рис. 1.1.2
Если Δx, Δy и Δz – проекции перемещения на оси координат, то, используя орты системы координат, можно получить выражение
∆r = ∆хе X + ∆уеY + ∆zе Z .
Элементарное перемещение точки dr , т. е. ее перемещение за бесконечно малый промежуток времени dt,
dr = dхе X + dуеY + dzе Z ,
где dx, dy и dz – элементарные перемещения точки вдоль соответствующих осей координат.
Если материальная точка совершает несколько перемещений, то результирующее перемещение равно их геометрической сумме.
1.1.3 Скорость, ускорение
Скорость – физическая величина, характеризующая быстроту изменения положения тела в пространстве.
Средняя скорость перемещения v ср – векторная величина, равная от-
ношению вектора перемещения Δr к длительности промежутка времени Δt, в течение которого это перемещение совершено:
v ср =
∆r
.
∆t
Вектор средней скорости v ср совпадает по направлению с вектором перемещения Δr (рис. 1.1.2).
7
Средняя путевая скорость vср – скалярная положительная величина,
равная отношению пути s к длительности промежутка времени Δt, в течение которого этот путь пройден:
vср =
s
.
∆t
В общем случае средняя путевая скорость не равна модулю средней скорости перемещения. Равенство выполняется только при прямолинейном
движении материальной точки без изменения направления движения.
Мгновенная скорость v ср (t ), или скорость точки в данный момент
времени t, – это предел, к которому стремится средняя скорость при неограниченном уменьшении промежутка времени Δt:
∆r
.
∆t →0 ∆t
v(t ) = lim
Из этого определения следует, что скорость v (t ) представляет собой
первую производную по времени от радиус-вектора:
v (t ) =
dr
.
dt
Вектор мгновенной скорости v в каждой точке траектории (т. е.
в каждый момент времени) направлен по касательной к траектории в этой
точке (рис. 1.1.3).
v1
v2
v3
Рис. 1.1.3
Используя выражение для радиус-вектора и определение скорости,
получаем
v=
8
dx
dy
dz
е X + еY + e Z = v X е X + vY еY + vZ е Z ,
dt
dt
dt
где
=
vX
dx
dy
dz
– проекции вектора скорости v на коор, vY
, vZ
=
=
dt
dt
dt
динатные оси (орты е X , еY , е Z являются постоянными векторами). Таким
образом, проекция скорости на координатную ось равна первой производной соответствующей координаты по времени.
Модуль скорости
v=
v 2X + vY2 + vZ2 .
По мере уменьшения Δt путь Δs, пройденный телом за этот промежуток
времени, все больше будет приближаться к ∆r , поэтому модуль мгновенной скорости равен
∆r
∆r
∆s ds
v v lim
=
=
= lim
= =
lim
,
∆t →0 ∆t
∆t →0 ∆t
∆t →0 ∆t
dt
т. е. первой производной от пути по времени.
Для того чтобы определить путь s12 , проходимый частицей за конечный промежуток времени ∆t = t2 − t1 , следует просуммировать все элементарные пути ds = v(t ) dt:
s12 = ∑ ds.
При бесконечно большом числе бесконечно малых слагаемых ds путь s12
определяется как интеграл по времени в пределах от t1 до t2 :
=
s12
t2
t2
t1
t1
ds ∫ v(t )dt.
∫=
В международной системе единиц СИ путь, пройденный телом, измеряется в метрах (м), время – в секундах (с), а скорость – в метрах в секунду (м/с).
По характеру изменения модуля мгновенной скорости v(t ) различают равномерное и неравномерное движение. Движение точки называется
равномерным, если модуль скорости не изменяется с течением времени
( v = const). Если скорость зависит от времени ( v = v(t ) ), движение точки
называется неравномерным.
Ускорение a – физическая векторная величина, характеризующая
быстроту изменения скорости.
9
Средним ускорением aср называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Δv ( Δ=
v v 2 − v1 ) точки к длительности
промежутка времени Δt, в течение которого это изменение произошло:
aср =
∆v
.
∆t
Вектор среднего ускорения aср совпадает по направлению с вектором
изменения скорости Δv (рис. 1.1.4). Ускорение измеряется в метрах в секунду в квадрате (м/с2).
v1
v1
∆v
v2
v2
acp
Рис. 1.1.4
Мгновенным ускорением (ускорением в данный момент времени)
называется предел среднего ускорения при стремлении промежутка Δt к
нулю, т. е. первая производная от скорости v по времени:
∆ v dv ( t )
.
=
a(t ) lim
=
aср lim
=
∆t →0
∆t →0 ∆t
dt
Используя это определение ускорения и выражение для мгновенной скорости через ее проекции, получаем
d vX
dv
dv
е X + Y еY + Z е Z = a X e X + aY еY + aZ е Z ,
dt
dt
dt
d vX
d vY
d vZ
, aY
, aZ
=
=
=
где a X
– проекции вектора ускорения на
dt
dt
dt
a=
координатные оси. Таким образом, проекция ускорения на координатную
ось равна первой производной по времени проекции скорости на эту ось.
Модуль ускорения
a=
10
a X2 + aY2 + aZ2 .
При движении материальной точки вектор скорости может изменяться как по модулю, так и по направлению (на рис. 1.1.5 скорость увеличивается). Составляющая ускорения an , направленная перпендикулярно
вектору v к центру кривизны траектории в данной точке, называется нормальным (или центростремительным) ускорением, составляющая aτ , параллельная вектору v , – касательным (тангенциальным) ускорением.
v
M
аτ
аn
а
O
Рис. 1.1.5
Нормальное ускорение приводит к изменению только направления
вектора скорости, а касательное – только модуля скорости и вычисляется
по формуле
aτ =
dv
.
dt
Модуль вектора ускорения
=
aτ
aτ2 + an2 .
По форме траектории и характеру изменения модуля скорости различают следующие виды механических движений: прямолинейное равномерное, прямолинейное неравномерное, криволинейное равномерное и криволинейное неравномерное.
11
1.1.4 Равномерное прямолинейное движение
Равномерным прямолинейным движением материальной точки
называется движение, при котором вектор мгновенной скорости точки
остается неизменным как по модулю, так и по направлению: v = const.
При этом виде движения средняя скорость за любой промежуток
времени равна мгновенной скорости: v ср = v. Если начальный момент времени t0 принять равным нулю (t0 = 0), то ∆t = t − t0 = t и скорость в любой
момент времени будет
v=
∆r
,
t
v=
∆r
.
t
а ее модуль
Так как при равномерном прямолинейном движении модуль перемещения Δr равен пройденному пути s (Δr = s), то
s
v= .
t
Различают два вида графика скорости:
– зависимости модуля скорости от времени: v = v (t ) ;
– зависимости проекции вектора скорости на оси координат от времени:
=
v X v=
v=
vZ ( t ) .
X ( t ), vY
Y ( t ), vZ
График v = v(t ) при равномерном движении представляет собой
прямую линию, параллельную оси времени (рис. 1.1.6). Вид графиков
=
v X v=
v=
vZ (t ) зависит от взаимного направления
X ( t ), vY
Y ( t ), vZ
вектора скорости v и положительного направления осей координат. На
рис. 1.1.7 представлены графики v X = v X (t ) :
а) скорость v1 точки совпадает с положительным направлением оси
ОX, совмещенной с траекторией прямолинейного движения тела;
б) скорость v 2 точки направлена противоположно положительному
направлению оси ОX.
Путь s, пройденный точкой при равномерном прямолинейном движении, за промежуток времени t, как это следует из формулы для модуля
скорости, равен s = vt.
График пути s = s(t) представляет собой прямую линию, идущую
под углом α к оси времени (рис. 1.1.8). При этом численное значение скорости совпадает с тангенсом угла наклона прямой к оси Ot.
12
v
v2
vvXx
v2 > v1
v1vX2
v1
О
v
v12 XX == vv21
a
О
t
v2vX1
vv21 XX ==−−vv1 2 б
Рис. 1.1.6
t
Рис. 1.1.7
Пройденный за промежуток времени Δt (Δt = t2 – t1) путь s можно
определить с помощью зависимости v = v( t ) (рис. 1.1.9). Для прямолинейного равномерного движения путь s численно равен площади прямоугольника, ограниченного линией графика, осью времени и перпендикулярами, восстановленными в точках t1 и t2. Этот вывод справедлив для любой
зависимости v = v( t ).
s
v
s = vt
v = v(t)
s
О
α
t
О
Рис. 1.1.8
t1
t2
t
Рис. 1.1.9
Уравнение для координаты точки, движущейся равномерно и прямолинейно, можно получить, выразив из формулы для скорости равномерного прямолинейного движения вектор перемещения: ∆r = v∆t.
Действительно (рис. 1.1.10, а), если в моменты времени t0 = 0 и t
координаты точки, движущейся вдоль оси OХ, равны х0 и х, то проекция
вектора перемещения за промежуток времени ∆t = t − t0 = t равна ∆rX =
v X t. Тогда уравнение для координаты точки в момент
x − x0 или x − x0 =
времени t запишется следующим образом:
=
x x0 + v X t ,
13
где v X – проекция вектора скорости v на ось ОХ, совмещенную с траекторией прямолинейного движения материальной точки.
В этом уравнении v X = v , если направление вектора скорости v совпадает с направлением оси ОХ, и v X = −v , если данные направления противоположны.
Примеры графиков зависимостей координаты точки от времени при
равномерном прямолинейном движении показаны на рис. 1.1.10, б.
а
v
б
∆r
О x0
x
X
=
x x0 + vt
x0
x= x0 − vt
X
t
0
Рис. 1.1.10
1.1.5 Закон сложения скоростей
Этот закон устанавливает связь между скоростями v и v′ материальной точки М в двух разных системах отсчета, одна из которых XOY неподвижна, а вторая X'O'Y' движется относительно первой со скоростью u таким образом, что оси остаются параллельными (рис. 1.1.11). Пусть за промежуток времени Δt точка переместилась на Δr' в системе отсчета X'O'Y',
а сама система X'O'Y' – относительно системы XOY на Δr0.
Y'
Y
M
∆r
O
∆r0
O'
∆r'
X, X'
Рис. 1.1.11
14
Перемещение Δr точки в системе XOY равно сумме перемещений:
∆r = ∆r ' + ∆r0 .
Разделив это равенство на Δt и устремив Δt к 0, получим
v= v′ + u,
где v – скорость тела по отношению к неподвижной системе отсчeта XOY;
v' – скорость тела в подвижной системе отсчeта X'O'Y'; u – скорость движения системы отсчeта X'O'Y' относительно неподвижной системы отсчeта XOY.
Полученное соотношение выражает закон сложения скоростей: скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной
сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости
подвижной системы относительно неподвижной.
Закон сложения скоростей для случая прямолинейного движения тела
и подвижной системы отсчeта вдоль оси OX сводится к уравнению вида
v=
v′X + u X .
X
1.1.6 Равнопеременное прямолинейное движение
Равнопеременным прямолинейным движением называется движение,
при котором ускорение точки не зависит от времени: a = const.
Скорость точки в любой момент времени при прямолинейном равнопеременном движении определяется выражением
=
v v 0 + at .
В проекциях на ось ОХ, направленную вдоль прямолинейной траектории,
оно имеет следующий вид:
v
=
v0 X + a X t.
X
Прямолинейное равнопеременное движение называется равноускоренным, если направления векторов a и v совпадают (в таком случае
v0 X > 0, a X > 0 или v0 X < 0, a X < 0 ). Скорость при равноускоренном
движении увеличивается с течением времени по закону
v=
v0 + at.
X
Прямолинейное равнопеременное движение называется равнозамедленным, если векторы a и v противоположны по направлению (в этом случае v0 X > 0, a X < 0 или v0 X < 0, a X > 0 ). Величина скорости при равнозамедленном движении до момента остановки тела уменьшается с течением времени по закону
15
v
= v0 − at.
Зависимости скорости от времени v = v(t ) для равноускоренного (а)
и равнозамедленного (б) движений приведены на рис. 1.1.12. Из этих графиков видно, что тангенс угла α наклона линии графика к оси времени
численно равен ускорению а тела. Площадь заштрихованной на рис. 1.1.12
области численно равна модулю проекции вектора перемещения Δr на ось
координат ОХ.
a
v
a>0
α1
v0
α2
a<0
∆rX
О
t1
t2
б
t
Рис. 1.1.12
Пройденный телом путь s при равнопеременном движении можно
вычислить по одной из формул:
а) при равноускоренном движении:
v + v0
at 2
v 2 − v02
, s=
t,
=
s v0t +
, s=
2
2
2a
v2
at 2
v
, s = t;
, s=
при v0 = 0 : s =
2a
2
2
б) при равнозамедленном движении до момента остановки тела:
v02 − v 2
v + v0
at 2
, s=
t.
=
s v0t −
, s=
2a
2
2
Зависимости s = s(t) для равнопеременного движения представлены
на рис. 1.1.13:
а) равноускоренное движение (направления векторов a и v совпадают);
б) равнозамедленное движение до момента остановки тела t (направления векторов a и v противоположны).
16
s
а
б
O
t
t
Рис. 1.1.13
Уравнение для координаты х точки, движущейся равнопеременно
и прямолинейно, имеет следующий вид:
aX t2
,
x (t ) =
x0 + vOX t +
2
где х0 – координата точки в момент времени t = 0, ее знак определяется
положением точки на оси координат, а знаки vOX и аX – направлением векторов скорости v и ускорения a относительно оси OХ.
1.1.7 Свободное падение тел
Свободным падением называется движение, совершаемое телом под
действием силы тяжести без учета сопротивления воздуха.
Опыт показывает, что тело, участвующее в свободном падении, движется с постоянным ускорением g, которое называется ускорением свободного падения. Это ускорение направлено вертикально вниз, оно не зависит от массы падающего тела, но зависит от высоты над уровнем моря
и географической широты. При малых высотах h (h << RЗ, где RЗ – радиус
Земли) модуль ускорения свободного падения в среднем приблизительно
равен 9,8 м/с2.
При свободном падении тела с начальной скоростью v0, направленной вертикально вниз (рис. 1.1.14), движение тела является равноускоренным прямолинейным, и для него справедливы все уравнения этого вида
движения.
Модуль скорости тела в любой момент времени равен
v
= v0 + gt.
При начальной скорости v0 = 0 (тело начинает падение из состояния покоя) скорость тела в произвольный момент времени t равна v = gt.
17
О
v0
g
y
h
H
y0
Y
Рис. 1.1.14
В выбранной системе координат уравнение для координаты тела запишется следующим образом:
v 2 − v0 2
gt 2
или y =
=
y v0t +
.
2g
2
Путь h, пройденный телом в свободном падении к моменту времени t, может быть найден по одной из формул:
v 2 − v0 2
gt 2
или h =
=
h v0t +
.
2g
2
Если начальная скорость тела равна нулю ( v0 = 0), то
v2
gt 2
или h =
.
h=
2g
2
В момент падения на землю у = у0 = H. Отсюда следует, что продолжительность свободного падения tпад из состояния покоя
tпад =
2H / g .
1.1.8 Движение тела, брошенного вертикально вверх
При таком движении до наивысшей точки подъема векторы скорости v и ускорения g противоположны по направлению (рис. 1.1.15). Следовательно, на этом участке движение тела является равнозамедленным, и
для него справедливы все уравнения данного движения.
Модуль вектора скорости тела в любой момент времени t равен
v
= v0 − gt.
18
Уравнения для координаты тела и пути, пройденным им к моменту
времени t, будут иметь следующий вид:
gt 2
h= y= v0t −
,
2
или
v0 2 − v 2
h= y=
.
2g
Y
ymax
g
y
H
h
v0
g
O
Рис. 1.1.15
Максимальная высота подъема тела над точкой бросания (при достижении которой v = 0)
v0 2
H=
.
2g
Длительность промежутка времени, по истечении которого тело достигнет
высоты H:
tпoд =
v0
.
g
После прохождения наивысшей точки подъема тело начинает свободное
падение с начальной скоростью v0 = 0.
На участке падения движение тела становится равноускоренным,
и для него справедливы все рассмотренные выше уравнения. При этом
19
время падения tпад = tпод, а скорость vк , с которой тело вернется в точку
бросания, vк = v0 .
1.1.9 Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Тело, брошенное с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту,
участвует в двух движениях одновременно – в равномерном прямолинейном движении по горизонтали (на рис. 1.1.16 вдоль оси OX ) с начальной
скоростью v0 X = v0 cos α и в равнопеременном движении по вертикали
(на рис. 1.1.16 вдоль оси OY ) с начальной скоростью
v0Y = v0 sin α .
Скорость тела в любой момент времени
v = vX + vY ,
а ее модуль
=
v
v 2X + vY2 .
0
Рис. 1.1.16
Проекции вектора скорости на оси координат и его модуль в произвольной точке траектории будут равны
=
v X v0 cos α=
, vY v0 sin α − gt ,
v=
v 2X + vY2 =
( v0 cos α )
2
+ ( v0 sin α − gt ) .
2
Угол β, под которым вектор скорости v направлен к горизонту в момент времени t, определяется соотношением
tg=
β
20
vY v0 sin α − gt
=
.
vX
v0 cos α
Уравнения для координат тела, брошенного со скоростью v0 под углом α к горизонту, будут иметь следующий вид:
(t ) v=
x=
v0 cosα t ,
0X t
gY t 2
gt 2
,
y (t ) =v0Y t +
=v0 sinα t −
2
2
где gY – проекция ускорения свободного падения на ось Y (gY = –g).
Максимальная высота подъема тела H = ymax может быть определена
из условия, что в верхней точке траектории скорость горизонтальна и ее
проекция на ось OY равна нулю:
vY = 0= v0 sinα − gtпод .
Из этого выражения следует, что время подъема тела до верхней точки
траектории
tпoд =
v0 sin α
.
g
Максимальная высота подъема составит
2
tпод
v02 sin 2 α
H v0 sinα tпод − g =
=
.
2
2g
Дальность полета s можно найти из уравнений движения, используя
то, что в момент падения xmax = s, y = 0, а время полета tпoл равно удвоенному времени подъема:
=
tпол 2=
tпод
2v0 sin α
.
g
Подставляя эти значения в уравнения для координат, получаем
v02 sin 2α
=
s (=
v0 cos α )tпол
.
g
При заданной начальной скорости v0 максимальная дальность полета
тела достигается при α = 45°.
Если тело брошено на некоторой высоте H с начальной скоростью
v0, направленной горизонтально (рис. 1.1.17), то модуль вектора скорости
в любой момент времени
21
=
v
v 2X + vY2 ,
где v X = v0 , а vY = gt.
v0
O
g
H
β
vX
X
v
vY
s
Y
Рис. 1.1.17
С учетом этого
=
v
v02 + ( gt ) 2 .
Угол β, под которым вектор скорости v направлен к горизонту, определяется соотношением
β
tg=
vY
gt
=
.
v X v0
Время полета тела
tпол
= tпад
=
2H / g .
Дальность полета тела по горизонтали
s = v0 2 H / g .
1.1.10 Равномерное движение по окружности
Движение по окружности является простейшим примером криволинейного движения. Положение материальной точки при этом виде движения (рис. 1.1.18) задается в любой момент времени t либо длиной дуги s,
равной пройденному за промежуток времени t пути, либо углом поворота
φ радиус-вектора r, определяющего положение материальной точки на
траектории относительно центра окружности.
Движение по окружности называется равномерным, если за любые
равные промежутки времени точка проходит одинаковые пути.
22
vА
A
s
rA
φ
B
rB
O
R
vB
Рис. 1.1.18
Линейная скорость v материальной точки, движущейся по окружности, равна отношению пройденного пути (длине дуги) s к промежутку
времени t, за который этот путь пройден:
s
v= .
t
Средней угловой скоростью движения точки по окружности называется отношение угла поворота φ радиус-вектора r точки за промежуток
времени t к длительности этого промежутка:
ω=
ϕ
t
.
Угол поворота φ (угловой путь) измеряют в радианах (рад), а угловую скорость – в радианах в секунду (рад/с). Угол поворота можно также
измерять числом оборотов N, совершенных точкой за промежуток времени t. Связь между этими величинами устанавливается соотношением
ϕ = 2π N .
С учетом этого выражение для угловой скорости принимает следующий
вид:
ω=
ϕ
=
t
2π N
= 2πν ,
t
23
где величина ν =
N
называется частотой вращения, равной числу обороt
тов, совершаемых точкой за единицу времени.
Величина, равная промежутку времени, в течение которого точка
совершает один полный оборот, называется периодом вращения. Она равна
T=
1
ν
.
Период вращения T можно выразить через линейную v и угловую ω скорости следующим образом:
=
T
2π R 2π
=
,
v
ω
здесь R – радиус окружности, по которой движется материальная точка.
Пройденный материальной точкой к моменту времени t путь s и угол
поворота φ определяются соотношениями
s = vt , ϕ = ωt.
При этом линейный путь s и угол поворота φ связаны между собой равенством s = Rϕ , из которого следует связь между линейной и угловой скоростями: v = ω R.
Так как при равномерном движении по окружности вектор линейной
скорости v точки изменяется по направлению, оставаясь постоянным по
модулю, то точка движется с ускорением an, модуль которого определяется
следующими выражениями:
v2
ω2R2
или
=
an =
an = ω 2 R.
R
R
Вектор ускорения an направлен к центру окружности, и поэтому
ускорение точки, равномерно движущейся по окружности, называют центростремительным, или нормальным.
1.1.11 Неравномерное движение по окружности
Угловой скоростью движения точки по окружности в момент времени t называется предел отношения угла поворота Δφ радиус-вектора r точки за промежуток времени от t до t + Δt к длительности этого промежутка
при неограниченном уменьшении Δt (т. е. первая производная угла поворота по времени):
∆ϕ d ϕ ( t )
.
ω (t ) lim
=
=
∆t
dt
∆t → 0
24
Угловая скорость – физическая величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота радиус-вектора.
Угол поворота φ12 радиус-вектора материальной точки за промежуток времени от t1 до t2 есть сумма элементарных углов поворота dφ за времена dt и определяется как интеграл по времени в пределах от t1 до t2 от
угловой скорости:
t2
ϕ12 = ∫ ω (t )dt.
t1
Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости и определяется как предел отношения изменения угловой скорости Δω за
промежуток времени от t до t + Δt к длительности этого промежутка при
неограниченном уменьшении Δt (т. е. первая производная угловой скорости по времени):
∆ω d ω ( t )
.
=
β (t ) lim
=
∆t →0 ∆t
dt
Угловая скорость β измеряется в радианах в секунду в квадрате (рад/с2).
1.2 Динамика
1.2.1 Сила, масса, импульс
Динамикой называется раздел механики, в котором исследуется влияние взаимодействий между телами на характер их механического движения. Поэтому при изучении движения тела необходимо рассматривать
и тела, которые взаимодействуют с ним и влияют на характер его движения. Совокупность тел, описываемых в данной задаче, называется механической системой тел.
Сила – векторная физическая величина, которая является количественной мерой механического воздействия на тело других тел или силовых полей. Сила F полностью задана, если заданы ее модуль, направление
и точка приложения О (рис. 1.2.1). Прямая n – n, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Перенос точки приложения силы в твердом теле по линии ее действия не изменяет результат действия
этой силы.
n
O
F
n
Рис. 1.2.1
25
Силы, с которыми тела механической системы взаимодействуют
между собой, называются внутренними; силы, с которыми тела, не входящие в систему, действуют на тела системы, – внешними.
Система тел, на каждое из которых не действуют внешние силы,
называются замкнутой (или изолированной) системой.
Если на тело действуют несколько сил F1 , F2 , F3 , ...,Fn одновременно, то их действие может быть заменено действием одной силы F, которая
называется равнодействующей и равна их геометрической сумме:
n
F = F1 + F2 + F3 + ... + Fn = ∑ Fi .
i=1
Проекции равнодействующей силы на оси прямоугольной системы
координат равны алгебраическим суммам соответствующих проекций всех
сил:
n
FX = ∑ FiX ,
i =1
n
FY = ∑ FiY ,
i =1
n
FZ = ∑ FiZ .
i =1
Сила в системе СИ измеряется в ньютонах (Н).
В отсутствие взаимодействия с другими телами движущееся тело,
как показывает опыт, сохраняет свою скорость, а при возникновении таких
взаимодействий тело изменяет ее, т. е. приобретает ускорение.
Свойство тела сохранять свою скорость в отсутствие взаимодействий
и приобретать ускорение при взаимодействии с другими телами называется инертностью.
Количественной мерой инертности материальной точки и тела при
его поступательном движении является масса (или инертная масса). Единицей массы в системе СИ служит килограмм (кг). Масса является скалярной положительной величиной.
При поступательном движении системы материальных точек или тела их масса может считаться сосредоточенной в одной точке, которая
называется центром масс или центром инерции – это точка C, радиусвектор которой равен отношению суммы произведений масс всех частиц
системы на их радиусы-векторы к массе всей системы:
1 N
rc = ∑ miri ,
m i =1
в котором mi и
N
ri – масса и радиус-вектор i-й частицы соответственно,
m = ∑ mi – масса всей системы частиц.
i =1
26
Распределение массы в объеме тела характеризуется плотностью.
Для однородного тела ее рассчитывают следующим образом:
ρ=
m
,
V
где m – масса тела; V – его объем. Плотность измеряется в килограммах на
метр в кубе (кг/м3).
Импульсом материальной точки называется произведение массы точки на ее скорость:
р = mv ,
импульсом системы n материальных точек – геометрическая сумма импульсов всех точек, входящих в систему:
n
n
р = р1 + р 2 + р3 + ... + р n = ∑ рi = ∑ mi v i ,
=i 1 =i 1
импульсом тела – произведение массы тела на скорость его центра масс:
р = mv c .
Импульс измеряется в килограммах на метр в секунду (кг ∙ м/с).
1.2.2 Законы Ньютона
Первый закон Ньютона: материальная точка сохраняет состояние
покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока
внешнее воздействие не изменит этого состояния.
Система отсчета, в которой материальная точка в отсутствие внешних воздействий покоится или движется равномерно и прямолинейно,
называется инерциальной системой отсчета, а движение точки – движением по инерции. Таким образом, первый закон Ньютона устанавливает
факт существования инерциальных систем отсчета.
Второй закон Ньютона: ускорение a, приобретаемое материальной
точкой в инерциальной системе отсчета, прямо пропорционально действующей на точку силе F, обратно пропорционально массе m точки и совпадает по направлению с вектором силы:
a=
dv F
F
или
= .
m
dt m
В проекциях на оси прямоугольной системы координат второй закон
Ньютона выражается соотношениями
aX =
FX
,
m
aY =
FY
,
m
aZ =
FZ
.
m
27
В другой, более общей формулировке, второй закон Ньютона связывает между собой силу, действующую на тело, и изменение импульса тела:
∆ p dp
,
F lim
=
=
∆t →0 ∆t
dt
где ∆р = р − р0 – изменение импульса точки или тела за промежуток времени ∆t , в течение которого на тело действовала сила.
Произведение силы F на длительность промежутка времени ∆t ее
действия называется импульсом силы. С использованием понятия импульса силы F ∆t второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом: импульс силы, действующий на тело в инерциальной системе отсчета, равен изменению импульса тела:
F∆ t =∆ р .
Если на материальную точку или тело действуют несколько сил одновременно, то под силой F во втором законе Ньютона следует понимать
равнодействующую этих сил.
При движении материальной точки или тела по окружности ускорением a во втором законе Ньютона является центростремительное ускорение. Равнодействующая всех сил, обеспечивающих такое ускорение,
направлена к центру окружности и называется центростремительной
силой.
Третий закон Ньютона: две материальные точки в инерциальной системе отсчета действуют друг на друга с силами, равными по модулю
и противоположными по направлению:
F12 = −F21 ,
где F12 – сила, действующая на первую точку со стороны второй; F21 – сила,
действующая со стороны второй точки на первую.
1.2.3 Гравитационные силы
Гравитационные силы являются следствием гравитационных взаимодействий, относящихся к фундаментальным, и подчиняются закону всемирного тяготения.
Закон всемирного тяготения: две материальные точки притягиваются друг к другу с силами, прямо пропорциональными их массам m1
и m2 и обратно пропорциональными квадрату расстояния r между ними:
Fтяг = G
m1m2
,
r2
где G – гравитационная постоянная, равная 6,67 ⋅ 10
28
−11
H ⋅ м2
.
кг 2
Сила тяжести – сила, действующая на тело вследствие его притяжения к Земле. Точка, в которой она приложена, называется центром тяжести тела.
В системе отсчета, связанной с Землей, движение тела с высоты h
над поверхностью Земли, совершаемое телом только под действием силы
тяжести Fтяг , происходит с ускорением свободного падения g. В соответствии со вторым законом Ньютона
g=
Fтяг
,
m
m – масса тела.
Так как векторы Fтяг и g совпадают по направлению, то модуль
ускорения свободного падения
g=
Fтяг
,
m
а его зависимость от высоты h над поверхностью Земли с учетом закона
всемирного тяготения выражается следующим образом:
g =G
MЗ
( RЗ + h )
2
,
где MЗ и RЗ – масса и радиус Земли.
Вес тела – сила, с которой тело, вследствие притяжения к Земле,
действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес, удерживающие его от свободного падения. Вес тела приложен к опоре или подвесу.
По модулю вес равен силе реакции опоры или силе натяжения подвеса
и зависит от характера движения тела относительно Земли:
а) тело вместе с опорой движется равномерно и прямолинейно по
вертикали (рис. 1.2.2, а). На него действуют сила тяжести mg и реакция
опоры N. Так как движение является равномерным, его ускорение a = 0
и в соответствии со вторым законом Ньютона
N + mg =
0.
В проекциях на ось координат OY, совпадающую с направлением
движения, это уравнение запишется следующим образом:
N − mg = 0 или N = mg.
29
Y
N
N
N
N
Y
Y
a
mg
P
в
б
a
mg
O
P
N
a
P
mg
O
O
Рис. 1.2.2
Вес тела Р приложен к опоре и равен по модулю силе реакции опоры N, поэтому
P = mg ;
б) тело вместе с опорой движется по вертикали с ускорением a,
направленным вверх (рис. 1.2.2, б). В этом случае второй закон Ньютона
в векторном виде и в проекциях на ось координат, совпадающую по направлению с вектором a, запишется так:
N + mg =
ma или N − mg = ma ,
откуда
N = m( g + a ) .
Отсюда следует, что модуль веса тела будет равен
P = m( g + a ) ;
в) тело вместе с опорой движется по вертикали с ускорением a,
направленным вниз (рис. 1.2.2, в). В этом случае второй закон Ньютона
в векторном виде и в проекциях на ось координат, совпадающую по направлению с вектором a, запишется так:
N + mg =
ma , mg − N = ma или N = m( g − a ) .
30
Следовательно, модуль веса тела
P = m( g − a ) .
Таким образом, при движении тела по вертикали вес тела:
а) равен силе тяжести ( P = mg ), если тело движется равномерно;
б) больше силы тяжести ( P > mg ), если тело движется с ускорением a, направленным вверх, тело при этом испытывает перегрузку;
в) меньше силы тяжести ( P < mg ), если тело движется с ускорением a, направленным вниз. В этом случае, если a = g, то P = 0 и имеет
место состояние невесомости, при котором на тело действует только сила
тяжести.
Если телу, находящемуся на высоте h над поверхностью Земли
сообщить начальную скорость v в горизонтальном направлении, то оно,
вследствие того, что Земля имеет сферическую форму, одновременно
с продвижением в направлении вектора скорости будет под действием
силы тяжести приближаться к поверхности Земли (рис. 1.2.3).
g
h
v
RЗ
×
Рис. 1.2.3
При определенном значении скорости v поверхность Земли из-за ее
кривизны будет удаляться от тела как раз на столько, на сколько тело приближается к Земле, благодаря притяжению к ней, и тело будет двигаться на
постоянном расстоянии h от поверхности Земли, т. е. по окружности радиусом (RЗ + h), с центростремительным ускорением
v2
,
an =
R
+
h
( З )
31
которое сообщает телу массой m гравитационная сила
Fтяг = G
mM З
( RЗ + h )
2
.
По второму закону Ньютона
Fтяг = man
или
G
mM З
( RЗ + h )
2
v2
=m
,
( RЗ + h )
откуда следует, что
v= G
MЗ
.
( RЗ + h )
Первой космической скоростью называется скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно обращалось вокруг Земли как искусственный
спутник.
Первая космическая скорость для спутника, движущегося по орбите
на высоте h << RЗ , будет равна
=
v
M
=
G З
RЗ
gRЗ .
С использованием численных значений g и RЗ первая космическая
скорость получается равной v ≈ 8 ⋅ 103 м/с.
1.2.4 Силы трения
Трением (внешним трением) называется взаимодействие между поверхностями соприкасающихся тел, которое препятствует их перемещению друг относительно друга.
Трение, при котором между поверхностями соприкасающихся тел
отсутствует жидкая или газовая прослойка, называется сухим.
Трение, возникающее при отсутствии относительного перемещения
соприкасающихся тел, называется трением покоя.
Сила Fтр0, препятствующая возникновению относительного перемещения тел вдоль соприкасающихся поверхностей, называется силой трения покоя.
Сила трения покоя увеличивается с ростом внешней силы Fвнеш, приложенной к одному из тел, от нуля до некоторого максимального значения
32
, после достижения которого начинается относительное перемещение
Fтрmax
0
тел.
max
Максимальная сила трения покоя Fтр0 прямо пропорциональна силе
нормального давления:
Fтрmax
= µ0 Pд ,
0
где Рд – модуль силы нормального давления, действующей со стороны тела на опору (рис. 1.2.4) и равной по модулю силе N реакции опоры; μ0 –
коэффициент трения покоя, зависящий от материала соприкасающихся
тел, степени обработки их поверхностей и внешних условий.
N
Fвнеш

F
Fтр
тр
Pд
Рис. 1.2.4
Трение, появляющееся при относительном смещении соприкасающихся тел, называется трением скольжения, а сила Fтр , возникающая при
этом и препятствующая относительному перемещению тел, – силой трения
скольжения, которая прямо пропорциональна силе нормального давления,
а так как Pд = N , то
Fтр = µ N ,
где μ – коэффициент трения скольжения, зависящий от тех же факторов,
что и коэффициент трения покоя, а также от относительной скорости движения соприкасающихся тел. Опыт показывает, что μ0 > μ.
1.2.5 Силы упругости. Закон Гука
Под воздействием внешних сил тела могут менять свою форму и
размеры. Такие изменения называются деформациями. При них частицы
тела смещаются из положений равновесия. Этому смещению препятствуют
силы, с которыми частицы взаимодействуют между собой, т. е. в теле воз-
33
никают внутренние силы, препятствующие деформации. Они называются
силами упругости.
Деформации, которые исчезают после того, как действие внешних
сил прекращается, называются упругими деформациями; деформации, которые не исчезают или исчезают частично после прекращения действия
внешних сил, – неупругими или пластичными.
Количественно деформации оцениваются абсолютными и относительными значениями. Так, линейные одномерные деформации (растяжение и сжатие), характеризуются вектором удлинения (сжатия) Δl
(рис. 1.2.5), модуль которого Δl = l – l0 называется абсолютным удлинением (сжатием).
l0
l
X
O
∆l
O
Fупр
∆l
Fвнеш
X
х
Рис. 1.2.5
Отношение абсолютного удлинения (сжатия) Δl к первоначальной
длине l0 называется относительной деформацией:
ε=
∆l
,
l0
отношение силы упругости Fупр к площади поперечного сечения S деформируемого тела, перпендикулярного направлению силы, – нормальным
напряжением:
σn =
Fупр
S
.
Силы упругости, возникающие при упругих линейных деформациях,
подчиняются опытному закону Гука: сила упругости пропорциональна
вектору удлинения и противоположна ему по направлению:
Fупр =−k ∆l,
34
где k – коэффициент упругости, значение которого зависит от материала,
линейных размеров и формы деформируемого тела.
В проекциях на ось координат, совпадающей с осью деформируемого тела и направлением внешней силы, закон Гука записывается следующим образом:
Fупр X = −kx.
В другой формулировке закон Гука связывает между собой нормальное
напряжение σ n , возникающее при упругом удлинении (сжатии), и относительную деформацию ε :
σ n = Eε ,
где Е – модуль Юнга, значение которого зависит от материала деформируемого тела.
Сила упругости, действующая на рассматриваемое тело со стороны
опоры или подвеса, называется силой реакции опоры N или силой натяжения подвеса T.
На рис. 1.2.6 приведены примеры приложения сил реакций опоры
(а, б) и сил натяжения подвесов (в, г).
а
б
в
г
N
N
T
α
O
R
T
Рис. 1.2.6
1.3 Работа, мощность, энергия. Законы сохранения
в механике
1.3.1 Механическая работа, мощность
Механической работой ΔА, совершаемой постоянной силой F на перемещении Δr материальной точки, называется физическая скалярная величина, равная
∆A = F ∆r cos α ,
где α – угол между векторами силы и перемещения (рис. 1.3.1).
35
F
α
Fr
∆r
Рис. 1.3.1
В прямоугольной декартовой системе координат выражение для работы можно записать следующим образом:
∆=
A FX Δx + FY Δy + FZ Δz ,
здесь FX , FY , FZ – проекции силы F, а Δx, Δy , Δz – проекции вектора
перемещения Δr на координатные оси x, y, z соответственно.
В математике такая скалярная величина (ΔА), равная FΔrcosα, называется скалярным произведением двух векторов (F и Δr) и записывается
в виде
∆A= (F, ∆r ) или просто ∆A = F∆r.
Работа силы положительна ( ∆A > 0 ), если угол между направлением
вектора силы и направлением вектора перемещения материальной точки
находится в пределах 0 ≤ α < 90°.
Работа силы равна нулю ( ∆A =
0 ), если материальная точка перемещается в направлении, перпендикулярном к направлению действия силы, т. е. при α= 90°.
Работа силы отрицательна ( ∆A < 0 ), если угол между направлением
силы и направлением перемещения тупой ( 90° < α ≤ 180° ), так как
в этом случае cos α < 0. В частности, если перемещение происходит в сторону, противоположную направлению вектора силы, т. е. =
α 180° , то
cos α = −1 и ∆A =− F ∆r . Из этого следует, что, например, работа силы
трения скольжения является отрицательной.
Механическую работу при перемещении материальной точки
под действием силы можно определить с помощью графика зависимости
проекции силы на направление перемещения от модуля перемещения
F=
Fr ( ∆r ) : работа численно равна заштрихованной площади (рис. 1.3.2)
r
под линией графика. Этот вывод справедлив для любой зависимости
F=
Fr ( ∆r ) (рис. 1.3.3).
r
При совпадении направления перемещения с направлением вектора
силы работа положительна (A1 > 0). Если направления векторов силы и перемещения противоположны, то работа отрицательна (A2 < 0).
36
Fr
Fr1
0
− Fr 2
Fr
A1 > 0
∆r2
∆r1
A2 < 0
A
∆r
0
∆r
Рис. 1.3.2
Рис. 1.3.3
Для прямолинейного движения без изменения направления скорости
модуль вектора перемещения ∆r материальной точки равен пройденному
пути s, и поэтому работу можно вычислить по формуле
A = Fs cos α .
В случае, если на материальную точку действуют несколько сил
F1 , F2 , F3 , ..., Fn ,
то их полная работа на перемещении ∆r равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой на этом перемещении:
n
n
i =1
i =1
A = ∑ Fi ∆r cosα i = ∑ Ai .
Элементарной работой силы F на элементарном (бесконечно малом)
перемещении dr называется величина
δ=
A F=
dr Fdrcosα ,
где α – угол между векторами F и dr;
dr
= ds
= dr – элементарный путь.
Суммируя элементарные работы, совершенные на всех элементарных участках пути от начальной точки 1 до конечной точки 2, найдем работу А12 силы F по перемещению частицы на всем пути. В математике такая сумма элементарных (бесконечно малых) работ записывается в виде
интеграла:
2
А12 = ∫ Fdr .
1
В системе единиц СИ работа измеряется в джоулях (Дж): 1 Дж = 1 Н ∙ 1 м.
По характеру совершения работы различают потенциальные и непотенциальные силы. Силы, работа которых не зависит от вида траектории,
37
по которой перемещается тело, а зависит только от начального и конечного положений тела, называются потенциальными. В механике к ним относятся силы тяготения и силы упругости. Силы, работа которых зависит от
вида траектории, называются непотенциальными. К таким силам относятся
силы трения.
Быстрота совершения работы характеризуется мощностью.
Средней мощностью Nср называется физическая скалярная величина, равная отношению работы ΔА к длительности промежутка времени Δt,
в течение которого совершается эта работа:
N ср =
Так как ∆A = F ∆r cos α , то
N ср =
В этом выражении
∆A
.
∆t
F∆r cos α
.
∆t
∆r
= vср , где vср – модуль средней скорости пере∆t
мещения. Следовательно,
N ср = Fvср cosα ,
где α – угол между векторами F и v.
Мощностью (мгновенной мощностью) N называется физическая
скалярная величина, равная пределу, к которому стремится средняя мощность N при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:
A
F∆r cos α
.
= lim
∆t →0 ∆t
∆t →0
∆t
N = lim
Используя определение скорости, это соотношение можно переписать так:
∆r
= F vcosα ,
∆t →0 ∆t
N = F cosα lim
в нем v – модуль мгновенной скорости, α – угол между векторами силы
и скорости. Воспользовавшись определением скалярного произведения
векторов, мгновенную мощность можно записать в виде
N = Fv.
Если на материальную точку действуют несколько постоянных сил
F1 , F2 , F3 , ..., Fn , то
38
n
N = ∑ Fi v cos α i ,
i =1
здесь αi – угол между векторами силы Fi и скорости v.
В системе единиц СИ мощность измеряется в ваттах (Вт): 1 Вт =
1 Дж/1 с.
Эффективность работы, совершаемой различными механизмами, характеризуется коэффициентом полезного действия (КПД), который определяется следующим образом:
Nп
Aп
⋅ 100 % , =
η
⋅ 100 % ,
NЗ
АЗ
=
η
где N п , A п – полезная мощность или работа механизма; N З , A З – затраченная механизмом мощность или работа.
1.3.2 Механическая энергия. Кинетическая энергия. Потенциальная
энергия
Механической энергией Wмех называется физическая скалярная величина, характеризующая движение и взаимодействие тел и зависящая от их
скоростей и взаимного расположения. Количественно механическая энергия определяется максимальной работой, которая может быть совершена
за счет изменения скоростей тел и их взаимодействия, обусловленного
взаимным расположением тел или частей одного и того же тела относительно друг друга.
Механическая энергия является суммой кинетической и потенциальной энергий.
Кинетической энергией Wк материальной точки или тела называется
часть механической энергии, которая зависит от скоростей их движения
в данной инерциальной системе отсчета. Кинетическая энергия Wк материальной точки (или поступательно движущегося тела) с массой m равна
mv 2
р2
или Wк =
,
Wк =
2m
2
где v – модуль скорости материальной точки или центра масс тела;
р = mv – модуль импульса материальной точки.
Кинетическая энергия Wк механической системы, состоящей из n
материальных точек или тел, равна сумме их кинетических энергий:
n
рi2
mi vi2
или Wк = ∑
.
Wк = ∑Wiк = ∑
2
m
2
i =1
i =1
i =1
i
n
n
39
Мерой изменения кинетической энергии может служить работа всех
сил, приложенных к данной точке или телу. Количественно эта работа
определяется теоремой о кинетической энергии: изменение ∆Wк кинетической энергии тела при его переходе из одного механического состояния
в другое равно работе всех сил, действующих на данную точку или тело:
A = ∆Wк = Wк 2 − Wк1 ,
здесь Wк 2 – кинетическая энергия в конечном состоянии, Wк1 – кинетическая энергия в начальном состоянии.
Действительно, в простейшем случае поступательного движения тела, когда векторы силы и перемещения направлены вдоль одной прямой
в одну и ту же сторону, проекции силы F, перемещения Δr, ускорения a
и скорости v на ось OX будут одного знака и равны модулям самих векторов. Работа в таком случае A= F ∆r . По второму закону Ньютона F = ma .
При постоянной силе F модули перемещения Δr и скорости v тела связаны соотношением
v22 − v12
,
∆r =
2a
в котором v1 и v2 – модули векторов скоростей материальной точки или
тела в начале и конце рассматриваемого перемещения ∆r .
Подставив выражение для ∆r в формулу для работы, получим
v22 − v12
v22 − v12 mv22 mv12
A =F
=ma
=
−
=Wк 2 − Wк1 .
2a
2a
2
2
Выражение в правой части последнего равенства представляет собой изменение кинетической энергии. Таким образом, работа всех сил, действующих на тело, является мерой изменения ее кинетической энергии.
Действие сил, работа которых на данном участке траектории положительна, приводит к увеличению кинетической энергии тела (Wк 2 > Wк1 );
действие сил, работа которых на данном участке траектории отрицательна, – к уменьшению кинетической энергии тела (Wк 2 < Wк1 ).
Потенциальной энергией Wп называется часть механической энергии, зависящая от взаимного расположения тел механической системы
и их положения во внешнем поле потенциальных сил.
Практическое значение имеет не сама потенциальная энергия Wп ,
а ее изменение ∆Wп . Вследствие этого начало отсчета Wп (т. е. положение
системы тел, при котором Wп = 0) выбирается произвольно. Положение
системы тел или тела, при котором Wп = 0, называется нулевым уровнем.
40
Мерой изменения потенциальной энергии при переходе системы тел
или тела из одного механического состояния в другое служит работа потенциальных сил, с которыми тела системы взаимодействуют между собой. Работа А потенциальных сил равна изменению потенциальной энергии ∆Wп системы тел при ее переходе из одного механического состояния
в другое, взятому с противоположным знаком:
А = −(Wп 2 − Wп1 ) = −∆Wп ,
где Wп1 и Wп2 – потенциальные энергии в состояниях 1 и 2.
Сравним работу А потенциальной силы при перемещении тела на
∆r , равную A = FX Δx + FY Δy + FZ Δz , с изменением потенциальной энергии при этом перемещении:
∆Wп =
∂Wп
∂Wп
∂Wп
∆x +
∆y +
∆z ,
∂x
∂y
∂z
где ∂Wп /∂x, ∂Wп /∂y и ∂Wп /∂z – частные производные потенциальной энергии Wп(x, y, z) как функции координат по соответствующим координатам.
Учитывая равенство А = –ΔWп, находим, что коэффициенты при независимых перемещениях тела вдоль координатных осей (при Δx, Δy и Δz)
должны быть равны с обратным знаком, т. е.
∂W
∂W
∂W
FX =
− п , FY =
− п , FZ =
− п.
∂x
∂y
∂z
Используя единичные векторы (орты) е х , е у , е z , направленные по осям х, у,
z соответственно, эти формулы переписываются как
∂W
∂Wп
∂Wп .
− п ex −
F=
ey−
e
∂x
∂y
∂z z
В математике подобная связь между вектором и некоторой функцией
записывается с помощью знака градиента (grad или ∇ ). В данном случае
F = −gradWп или F = −∇Wп ,
т. е. сила равна минус градиенту потенциальной энергии.
Используя приведенные выше формулы, можно получить выражение
для Wп при различных потенциальных взаимодействиях. Для этого необходимо вычислить работу А, совершаемую соответствующими потенциальными силами при переходе тела из одного состояния в другое, и приравнять ее к изменению ∆Wп потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.
41
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела
массой m с Землей
Y
1
y1
∆r
y2
g
∆h
h1
2
h2
O
Рис. 1.3.4
Работа, совершаемая силой тяжести mg при перемещении тела из точки 1, находящейся на высоте h 1 от
начала отсчета высоты, в точку 2, расположенной на высоте h 2 , как видно из рис. 1.3.4, равна
A 1− 2= mg ∆r= mg ( h 1 − h 2 )= mgh 1 − mgh 2 .
Приравнивая полученное выражение изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком,
получаем
mgh 1 − mgh 2 =
−(Wп2 − Wп1 ) =−
Wп1 Wп2 .
Так как начальное и конечное положения тела выбраны произвольно,
то это равенство справедливо для любых положений. Отсюда следует, что
Wп = mgh ,
где h – высота, на которой тело находится над нулевым уровнем энергии
Wп = 0 .
Потенциальная энергия упругих взаимодействий
Работа, совершаемая силами упругости при перемещении тела из положения 1 в положение 2, будет равна
А1=
Fупр ∆r,
−2
где Fупр – среднее значение силы упругости на перемещении Δr; Δr – модуль вектора перемещения.
Пусть тело массой m перемещается по гладкой горизонтальной поверхности под действием силы упругости из положения х1 в положение х2.
Из рис. 1.3.5 видно, что направление силы упругости Fупр и перемещения
Δr совпадают.
Сила упругости при движении тела изменяется от точки к точке. Если в начальной точке модуль силы был равен Fупр1 = kх1, то в конечной
точке Fупр2 = kх2.
42
O
Fупр1
Fупр2
m
X
O
m
х1
O
m
X
X
х2
Рис. 1.3.5
Для вычисления работы используем зависимость силы упругости от
смещения х из положения равновесия (рис. 1.3.6). Работа силы упругости
при перемещении тела из положения х1 в положение х2 численно равна
площади заштрихованной фигуры, которая представляет собой трапецию:
1
kx12 kx22
.
A = ( kx1 + kx2 )( x1 − x2 ) =
−
2
2
2
Так как A = −∆Wп , то
 kx22 kx12 
A = −
−
 = −∆Wп ,
2
2


Fупр. Х
F
Fупр1
упр .1
F
Fупр2
упр .2
kx 2
где Wп =
– величина, являющаяся
2
потенциальной энергией упругой дефорx2 x1 X
0
мации.
Таким образом, работа силы упруРис. 1.3.6
гости, подобно работе силы тяжести, равна убыли потенциальной энергии и определяется только координатами начального и конечного положений тела.
Это означает, что сила упругости является потенциальной силой.
43
1.3.3 Закон сохранения механической энергии
В общем случае на тела механической системы могут действовать
как потенциальные, так и непотенциальные силы, и полная работа, совершаемая при переходе системы из одного состояния в другое, будет равна
A = Aп + Aнеп .
В соответствии с теоремой о кинетической энергии эта работа составляет
A = ∆Wк = Wк 2 − Wк1 .
Работа же потенциальных сил определяется убылью потенциальной
энергии:
An = −∆Wn = Wn1 − Wn 2 .
Таким образом,
−∆Wп + Aнеп .
A=
−∆Wп + Aнеп или ∆Wк =
С учетом того, что ∆Wк = Wк 2 − Wк1 , получаем
Wк 2 − Wк1 = Wп1 − Wп2 + Анеп .
Это уравнение можно записать в виде
(Wк 2 + Wп2 ) − (Wк1 + Wп1 ) =
Анеп .
Выражения в скобках представляют собой механические энергии системы
тел в начальном W1 и конечном W2 состояниях. Таким образом,
W2 − W1 = Aнеп ,
т. е. изменение механической энергии системы тел определяется работой
непотенциальных сил.
Если в системе тел действуют только потенциальные силы, то
Aнеп = 0 , и в таком случае W2 = W1 . Этот вывод выражает собой закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия системы тел,
в которой действуют потенциальные силы, остается постоянной.
1.3.4 Закон сохранения импульса
В соответствии со вторым законом Ньютона изменение импульса системы тел dp в единицу времени численно равно сумме всех сил Fi , действующих на эту систему:
dp
= ∑ Fi .
dt
i
44
В общем случае на систему могут действовать как внутренние силы,
так и внешние. Внутренние силы, с которыми тела системы взаимодействуют между собой, в соответствии с третьим законом Ньютона равны по
модулю, противоположны по направлению и их геометрическая сумма
равна нулю. Таким образом, изменения импульса системы определяются
внешними силами:
dp
= ∑ Fвнеш i .
dt
i
Если система тел является замкнутой, т. е. внешние силы отсутствуют или их действие компенсировано, то изменение импульса dp = 0.
Это означает, что импульс системы не изменяется. В этом и состоит закон
сохранения импульса: в инерциальной системе отсчета суммарный импульс
замкнутой системы тел с течением времени остается постоянным.
Закон сохранения импульса может быть применен так же и для незамкнутых систем в случае, если проекции всех внешних сил на какуюлибо координатную ось равны нулю. В этом случае сохраняется проекция
импульса незамкнутой системы тел на данную ось.
Законы сохранения энергии и импульса позволяют изучать процессы
столкновения тел, когда характер действующих при столкновении сил
неизвестен. В механике обычно рассматривают два предельных вида таких
взаимодействий тел: абсолютно упругое и абсолютно неупругое (абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары тел).
Абсолютно упругий удар – столкновение тел, при котором механическая энергия тел сохраняется. Значения и направления скоростей
после взаимодействия тел определяются законом сохранения механической энергии и законом сохранения импульса, из которых следует, что для
двух взаимодействующих тел
1) р1 + р2 = р1′ + р′2 или m1v1 + m2 v 2 = m1v1′ + m2 v′2 ,
2) Wк1 + Wк 2
m1v12 m2v22 m1v1′2 m2v′22
,
= Wк′1 + Wк′2 или
+
=
+
2
2
2
2
где v1 и v 2 – скорости тел массой m1 и т2 до их взаимодействия, а v1′
и v′2 – скорости тех же тел после взаимодействия.
Абсолютно неупругий удар – столкновение тел, после которого тела
движутся вместе как единое целое с одинаковой скоростью.
45
В отличие от упругого взаимодействия при абсолютно неупругом
выполняется только закон сохранения импульса. Закон сохранения полной
механической энергии не выполняется, так как часть ее переходит во внутреннюю энергию системы. С учетом этого закон сохранения импульса для
двух тел запишется следующим образом:
m1v1 + m2 v 2 =( m1 + m2 ) v .
Отсюда следует, что совместная скорость движения тел после соударения
будет равна
v=
m1v1 + m2 v 2
,
( m1 + m2 )
где p1 = m1v1 и p2 = m2v2 – импульсы тел до взаимодействия; p12 =
(m1 + m2)v – импульс тела, образовавшегося в результате взаимодействия.
Полная механическая энергия системы в результате неупругого удара изменяется:
р12 р2 2
р12 2
,
−
−
∆W = Wк′ − (Wк1 + Wк 2 ) или ∆Wк =
2(m1 + m2 ) 2m1 2m2
р2 2
р12
где Wк1 =
и Wк 2 =
– кинетические энергии тел до столкновения;
2m2
2m1
р12 2
′
– кинетическая энергия тела, образовавшегося в резульWк =
2( m1 + m2 )
тате столкновения.
При неупругом ударе полная механическая энергия системы уменьшается. Этот результат не противоречит закону сохранения и превращения
энергии. Дело в том, что при абсолютно неупругом ударе происходит деформация соударяющихся тел, которая сохраняется и после удара тел, поэтому она называется остаточной деформацией.
1.4 Механика твердого тела
1.4.1 Сложение и разложение сил
Если на материальную точку (или тело) одновременно действуют несколько сил, то их действие может быть заменено действием одной силы,
которая называется равнодействующей. Нахождение равнодействующей
силы, т. е. ее модуля и направления, производится по правилам сложения
векторов.
46
Сложение сил, приложенных к материальной точке
Равнодействующую F двух сил F1 и F2, приложенных к материальной точке, можно найти по правилу параллелограмма, построенного на силах F1 и F2 как на сторонах (рис. 1.4.1):
F= F1 + F2 .
Модуль равнодействующей равен
F=
F12 + F22 − 2 F1F2 cos α ,
где α – угол между силами.
Если к материальной точке приложено несколько сил F1, F2, F3, …,
то их равнодействующую можно определить последовательным применением правила параллелограмма. При применении этого правила заданные
силы последовательно откладываются таким образом, как это указано на
рис. 1.4.2. Модуль и направление равнодействующей в этом случае равны
соответственно модулю и направлению вектора F, замыкающего многоугольник:
F = F1 + F2 + F3 .
F12
F1
F1
F2
F3
F1
F2
F123
F2
F3
Рис. 1.4.1
Рис. 1.4.2
Сложение сил, приложенных к абсолютно твердому телу
Равнодействующая F сил F1, F2 и F3, приложенных к абсолютно
твердому телу таким образом, что их линии действия пересекаются
(рис. 1.4.3), находится последовательным попарным суммированием сил,
с использованием правила переноса точки приложения силы в абсолютно
твердом теле вдоль линии действия этой силы.
47
Пользуясь правилом перенесения сил для абсолютно твердого тела,
сначала складывают две силы F1 и F2 в одну равнодействующую F12, для
чего их перемещают вдоль по линиям их действия до точки их пересечения
и здесь складывают по правилу параллелограмма сил, затем таким же образом полученную равнодействующую F12 складывают с третьей силой F3
и приходят к одной общей равнодействующей F123.
Если силы F1 и F2 приложены к абсолютно твердому телу таким образом, что они параллельны (рис. 1.4.4), то равнодействующая этих сил F12
направлена в ту же сторону, равна их сумме F12 = F1 + F2 и приложена
в точке O12, которая делит прямую, соединяющую точки O1 и O2 приложения составляющих сил, в отношении, обратном отношению величин таких сил:
d1 F2
= .
d 2 F1
О1
О123
О1
О2
F1
F12
F2
d1
О2
d2
F2
F1
F123
F3
О12
О1
Рис. 1.4.3
F12
Рис. 1.4.4
Модуль равнодействующей силы равен
F12= F1 + F2 .
Если силы F1 и F2 приложены к абсолютно твердому телу так, что
они антипараллельны (рис. 1.4.5), то их равнодействующая F параллельна
им, направлена в сторону большей силы F2, а ее модуль равен разности
модулей сил F12 = F1 – F2. Равнодействующая приложена в точке O12 на
продолжении прямой, соединяющей точки приложения слагаемых сил,
расстояния которой до этих точек обратно пропорциональны модулям сил:
48
d1 F2
= .
d 2 F1
F1
О2 d 2 О12
О1
Система двух равных по модулю
антипараллельных сил называется парой
сил. Ее действие характеризуется моментом пары сил:
d1
M = Fd ,
F12
F2
где F – модуль одной из сил; d – кратчайшее расстояние между линиями действия сил, которое называется плечом
пары.
Рис. 1.4.5
Разложение силы на составляющие
Разложение силы F на составляющие F1, F2, …, Fn производится на
основании тех же правил, что и сложение. Однозначное решение такой задачи для силы F, являющейся суммой сил F1 и F2, возможно, если, кроме
заданной силы, заданы линии действия обеих составляющих или одна из
составляющих и линия действия другой составляющей.
Если известна сила F и одна из ее составляющих F1 (рис. 1.4.6, а),
то, совместив начала векторов в точке О и проведя через их концы прямую, находят вторую составляющую F2 как вектор, направленный от конца составляющей F1 к концу вектора F (рис. 1.4.6, б).
а
б
F1
F1
F2
O
F
F
Рис. 1.4.6
Если известны сила F и линии действия 1–1 и 2–2 ее составляющих
(рис. 1.4.7, а), то, проведя через начало и конец вектора F прямые 1′–1′
и 2′–2′, параллельные прямым 1–1 и 2–2, путем построения треугольника
находят составляющие F1 и F2 (рис. 1.4.7, б).
49
а
б
1
2′
2
1′
F1
1
F
2
1′
F2
F
2′
Рис. 1.4.7
1.4.2 Момент импульса частицы. Момент силы
Анализ поведения механических систем показывает, что кроме энергии и импульса существует еще одна механическая величина, которая может сохраняться. Она называется моментом импульса.
Пусть r – радиус-вектор, характеризующий положение рассматриваемой частицы (точка А на рис. 1.4.8) относительно некоторой точки О
выбранной системы отсчета, а p – импульс этой частицы в той же системе
отсчета. Моментом импульса частицы относительно точки О называют
вектор L, равный векторному произведению векторов r и p:
L = [ r ,p ] .
Здесь прямоугольные скобки – знак векторного произведения. По определению векторного произведения, вектор L перпендикулярен векторам r
и p (т. е. заштрихованной на рис. 1.4.8 плоскости), его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его
вращении от r к p (в сторону меньшего угла между ними, см. рис. 1.4.8),
а модуль вектора L равен
=
L rp
=
sinα lp,
где α – угол между векторами r и p; l = rsinα – плечо вектора p относительно точки О (длина перпендикуляра, опущенного из точки О на направление импульса).
50
L
p
O
l
r
α
A
Рис. 1.4.8
Выясним, от чего зависит изменение вектора L в данной системе отсчета. Для этого продифференцируем выражение для L по времени. Воспользовавшись свойством производной от произведения двух функций,
получаем
dL  dr   dp 
=  , p  + r ,  .
dt  dt   dt 
dr
равен скорости v частицы
dt
в рассматриваемой системе отсчета, т. е. совпадает по направлению с вектором p, поэтому первое слагаемое равно нулю. Согласно второму закону
Ньютона,
Поскольку точка О неподвижна, вектор
dp
= F,
dt
здесь F – равнодействующая всех сил, приложенных к частице. Следовательно,
dL
= [r,F ] .
dt
Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют моментом
силы F относительно точки О (рис. 1.4.9). Обозначив ее буквой M, запишем
M = [r,F ] .
51
Модуль M равен
=
M rF
=
sinα
lF ,
где α – угол между векторами r и F, а l = rsinα – плечо вектора F относительно точки О. По определению векторного произведения, вектор М
перпендикулярен векторам r и F (т. е. заштрихованной на рис. 1.4.9 плоскости) и совпадает с направлением поступательного движения правого
винта при его вращении от r к F.
M
F
O
l
r
α
A
Рис. 1.4.9
Итак, производная по времени от момента импульса L частицы относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета равна
моменту M равнодействующей силы F относительно той же точки О:
dL
= M.
dt
Данное уравнение называется уравнением моментов. Из него, в частности,
следует, что если M = 0, то L = const. Иными словами, если относительно
некоторой точки О выбранной системы отсчета момент всех сил, действующих на частицу, равен нулю в течение некоторого промежутка времени, то относительно этой точки момент импульса частицы остается постоянным в течение такого промежутка.
Уравнение моментов позволяет:
– найти момент силы M относительно интересующей нас точки О
в любой момент времени, если известна зависимость от времени момента
импульса L(t) частицы относительно той же точки. Решение этого вопроса
52
сводится к нахождению производной по времени от момента импульса
dL
;
dt
– определить приращение момента импульса частицы относительно
точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы M(t), действующего на саму частицу. Из уравнения
моментов имеем
dL = Мdt.
Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение вектора
L за конечный промежуток времени t = t2 – t1:
L2
t2
L1
t1
∫ dL = ∫ Mdt.
∆L = L 2 − L1 =
Величину, стоящую в правой части данного уравнения, называют импульсом момента силы. Таким образом, приращение момента импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу момента силы за то же
время.
1.4.3 Момент импульса и момент силы относительно оси
Пусть относительно некоторой точки О на произвольной неподвижной оси Z (в интересующей нас системе отсчета) момент импульса частицы равен L, а момент силы, действующий на частицу, – M.
Моментом импульса относительно оси Z называют проекцию на нее
вектора L, определенного относительно произвольной точки O данной оси
(рис. 1.4.10).
Z
L
Р
LZ
A
O
r
Рис. 1.4.10
Аналогично вводится понятие момента силы относительно оси.
Обозначают эти величины соответственно LZ и MZ.
53
Записав уравнение моментов в проекции на ось Z, получим
dLZ
= МZ,
dt
т. е. производная по времени от момента импульса частицы относительно
оси Z равна моменту силы относительно этой оси. В частности, если MZ =
0, то LZ = const. Последнее означает, что если момент силы относительно
некоторой неподвижной оси Z равен нулю, то момент импульса частицы
относительно той же оси остается постоянным. Причем сам вектор L может и меняться.
1.4.4 Закон сохранения момента импульса
Рассмотрим произвольную систему частиц. Введем понятие момента
импульса такой системы как векторную сумму моментов импульсов ее отдельных частиц:
n
L = ∑ Li ,
i=1
где Li – момент импульса i-й частицы, причем все векторы определены относительно одной и той же точки O заданной системы отсчета. Заметим,
что момент импульса системы – величина аддитивная: момент импульса
системы равен сумме моментов импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.
Продифференцировав L по времени и воспользовавшись свойством
производной от суммы функций, получим
n
dLi
dL
.
=∑
dt
dt
i =1
В п. 1.4.2 было показано, что производная
dL i
равна моменту всех сил,
dt
действующих на частицу. В соответствии с уравнением моментов можно
записать, что
dLi
=
M iвнутр + M iвнешн ,
dt
где M iвнутр – момент внутренних сил; M iвнешн – момент внешних сил, действующих на i-ю частицу. Это приводит к соотношению
dL
=
dt
54
∑M
внутр
i
+ ∑ M iвнешн ,
в котором первая сумма представляет собой суммарный момент всех внутренних сил относительно точки O, вторая сумма – суммарный момент всех
внешних сил относительно той же точки O.
Суммарный момент всех внутренних сил относительно любой точки
равен нулю. Действительно, внутренними называются силы взаимодействия между частицами данной системы. По третьему закону Ньютона эти
силы попарно одинаковы по модулю, противоположны по направлению
и лежат на одной прямой, т. е. имеют одинаковое плечо. Поэтому моменты
сил, действующих между двумя любыми частицами системы, равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. уравновешивают друг друга, и, значит, суммарный момент всех внутренних сил всегда равен нулю.
В результате получаем
dL
= M внешн ,
dt
где M внешн – суммарный момент всех внешних сил.
Таким образом, производная момента импульса системы по времени
равна суммарному моменту всех внешних сил. Имеется в виду, конечно,
что оба момента, L и M, определены здесь относительно одной и той же
точки O выбранной системы отсчета. Из полученного уравнения следует,
что приращение момента импульса системы за конечный промежуток времени t равно
∆L = L 2 − L1 =
t2
∫M
внешн
dt ,
t1
где M внешн – функция от времени. То есть приращение момента импульса
системы равно импульсу суммарного момента всех внешних сил за соответствующий промежуток времени.
Таким образом, момент импульса системы может изменяться под
действием суммарного момента только внешних сил. Отсюда непосредственно вытекает закон сохранения момента импульса: в инерциальной
системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным. Действительно, если
dL
= 0, то L = const. При этом моменты
dt
импульса отдельных частей или частиц замкнутой системы могут изменяться со временем.
Особый интерес представляют случаи, когда момент импульса сохраняется для незамкнутых систем. Если суммарный момент внешних сил
относительно точки O выбранной системы отсчета M внешн = 0, то момент
55
импульса системы относительно этой точки сохраняется. Вообще говоря,
в незамкнутых системах такой точки может и не быть.
Возможна ситуация, когда в незамкнутых системах сохраняется не
сам момент импульса L, а его проекция LZ на некоторую неподвижную
ось Z. Записывая закон изменения момента импульса в проекции на ось Z,
получаем
O
L
dLZ
= M Zвнешн .
dt
l = rsinα
r
α
m
p α
Рис. 1.4.11
m
O
L
r
Отсюда следует, что если относительно некоторой неподвижной оси Z сумма моментов
внешних сил равна нулю, то момент импульса
системы относительно этой оси сохраняется.
Причем сам вектор L относительно произвольной точки O на оси может изменяться.
Для наглядности рассмотрим следующие
примеры:
1) частица движется по прямолинейной
траектории (рис. 1.4.11). Модуль момента импульса относительно точки O
L = mvl
может изменяться только за счет изменения
модуля скорости;
2) частица движется по окружности радиуса r (рис. 1.4.12). Модуль момента импульса
относительно центра окружности равен
L = mvr
и может меняться только за счет изменения модуля скорости. Направление вектора L остается
постоянным, несмотря на непрерывное изменение направления вектора р.
В основе закона сохранения момента имРис. 1.4.12
пульса лежит изотропия пространства, т. е.
одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Поворот замкнутой системы частиц без изменения их взаимного расположения и относительных скоростей
не изменяет механических свойств системы. Движение частиц друг относительно друга после поворота будет таким же, каким оно было бы, если
бы поворот не был осуществлен.
56
1.4.5 Момент инерции
Найдем выражение для момента импульса твердого тела L относительно оси вращения Z (рис. 1.4.13). Спроектировав L на эту ось, получим
LZ = ∑ LZi ,
где LZi – момент импульса i-й частицы твердого тела относительно оси Z.
Момент импульса i-й частицы относительно точки O, лежащей на
оси вращения, по определению равен
Li = mi [ri ,v i ] ,
где ri – радиус-вектор, определяющий положение частицы массы mi относительно точки O; v i – скорость этой частицы. Из рис. 1.4.13 видно, что
LZi = Li cosϕ i .
Z
mi
Li
Ri
φi
φi
vi
ri
O
Рис. 1.4.13
Поскольку векторы ri и vi взаимно перпендикулярны (это легко доказать,
пользуясь тем соображением, что частица описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оси Z ), то
Li = mi ri vi .
57
Тогда
=
LZi mi ri vi cos
=
ϕi m=
miωZ Ri2 ,
i Ri vi
здесь Ri – радиус окружности, которую описывает частица; ωZ – угловая
скорость, с которой вращается твердое тело вокруг оси Z (а значит, и частица).
С учетом полученных выражений имеем
=
LZ
=
L
R
∑
∑ m ω=
Zi
i
Z
2
i
ωZ ∑ =
mi Ri2
(∑ m R )ω .
i
2
i
Z
Заметим, что полученное выражение для момента импульса твердого тела
не зависит от положения на оси вращения точки O, относительно которой
определяется момент импульса тела L. Обозначим величину, стоящую
в скобках, буквой I, тогда
LZ = I ωZ .
Скалярная величина
I = ∑ mi Ri2 ,
равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний
до некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно оси.
Таким образом, момент инерции тела зависит от распределения масс относительно оси. Из определения также следует, что момент инерции – величина аддитивная, т. е. момент инерции тела относительно некоторой оси
равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси.
Выражение для I является приближенным, причем тем более точным, чем меньше элементарные массы mi. Следовательно, задача нахождения момента инерции в общем случае сводится к интегрированию:
=
I
где ρ =
r dm ∫ ρ r dV ,
∫=
2
2
dm
– плотность тела в данной точке; dm – элементарная масса.
dV
Под dV следует понимать физически бесконечно малый объем, т. е. такой
объем, который, с одной стороны, достаточно мал для того, чтобы макроскопические свойства вещества можно было считать в его пределах одинаковыми, а с другой – достаточно велик для того, чтобы не могла проявиться дискретность (прерывистость) вещества. Интеграл следует брать по
всему объему тела.
В таблице приведены моменты инерции некоторых однородных
твердых тел относительно оси Zc, проходящей через центр масс тела. Зная
момент инерции Ic относительно оси, проходящей через центр масс тела,
58
можно определить момент инерции I относительно любой параллельной ей
оси, отстоящей от нее на расстоянии a:
I= I c + ma 2 ,
где m – масса тела. Это равенство выражает собой теорему Штейнера.
Моменты инерции некоторых однородных твердых тел
относительно оси Zс
Твердое тело
Ось Zc
Сплошной цилиндр
радиуса R (диск)
Перпендикулярна
стержню и проходит
через его центр
Совпадает с осью цилиндра (диска)
Тонкий диск радиуса R
Совпадает с осью диска
Шар радиуса R
Проходит через
центр шара
Тонкий стержень
длины l
Момент инерции Ic
1
ml 2
12
1
mR 2
2
1
mR 2
4
2
mR 2
5
1.4.6 Основное уравнение динамики вращательного движения
Для момента импульса системы частиц относительно некоторой
оси Z справедлива формула
dLZ
= MZ,
dt
где MZ – суммарный момент внешних сил относительно оси вращения.
С учетом того, что LZ = IωZ, запишем
d ( I ωZ )
= MZ.
dt
Принимая во внимание, что I – величина постоянная, а
вое ускорение, приходим к уравнению
d ωZ
= β Z – углоdt
I β Z = MZ .
Его называют основным уравнением динамики вращательного движения
твердого тела относительно неподвижной оси. Оно аналогично уравне59
∑
нию второго закона Ньютона maZ =
FZ . Роль массы в этом уравнении
играет момент инерции, роль линейного ускорения – угловое ускорение,
роль результирующей силы – суммарный момент внешних сил.
Решение такого уравнения – основная задача динамики вращения
твердого тела. Зная момент инерции I тела относительно оси вращения
и зависимость от времени его угла поворота φ(t), можно найти суммарный
момент MZ всех внешних сил, действующих на тело, относительно оси
вращения. И наоборот, зная момент инерции I тела относительно оси вращения, действующий на тело суммарный момент MZ всех внешних сил относительно оси и начальные условия (угловую скорость ω0Z и угол поворота тела φ0 в начальный момент времени), можно найти зависимость угла
поворота от времени φ(t).
В частном случае, когда сила F, приложенная к телу, перпендикулярна оси вращения Z, момент этой силы относительно
d
оси равен
O
M Z = ± Fd ,
F
где F – модуль силы; d – плечо силы относительно оси вращения, которое представляет
Рис. 1.4.14
собой кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (рис. 1.4.14).
Если на тело действуют одновременно несколько сил, перпендикулярных оси, то суммарный момент таких сил относительно оси равен алгебраической сумме их моментов:
n
M = M 1 + M 2 + M 2 + ... + M n = ∑ M i ,
i =1
где Mi – моменты сил относительно оси. При этом моменты сил, вращающие тело против часовой стрелки, принято считать положительными, а по
часовой – отрицательными.
1.4.7 Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
Когда тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью
ω, элементарная масса mi, отстоящая от оси вращения на расстояние Ri,
обладает скоростью vi = ω Ri . Следовательно, ее кинетическая энергия
равна
mi vi2
.
Wк,i =
2
60
Так как кинетическая энергия – величина аддитивная, то для всего тела
2
mi vi2 N miω 2 Ri2  N
2ω
,
Wк ∑
Wк,i ∑= ∑ =  ∑ mi Ri 
=
=
2
2
2
=i 1 =i 1 =i 1
=
i1

N
N
или, учитывая определение момента инерции,
Iω 2
Wк =
,
2
где I – момент инерции тела относительно оси вращения; ω – его угловая
скорость.
Эта формула аналогична выражению для кинетической энергии материальной точки и поступательно движущегося тела; роль массы играет
момент инерции, а роль линейной скорости – угловая скорость.
Пусть тело массой m совершает плоское движение, т. е. такое, при
котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Любое плоское движение можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений, причем это разбиение можно осуществить многими
способами. Наиболее удобным оказывается разбиение плоского движения
на поступательное, происходящее со скоростью центра инерции vc , и вращение вокруг оси, проходящей через этот центр. В таком случае кинетическая энергия тела будет равна
Wк =
Wк, пост + Wк, вращ
mvc2 I cω 2
= +
,
2
2
здесь первое слагаемое – кинетическая энергия поступательного движения
тела, а второе – вращательного.
1.5 Механика жидкостей и газов
1.5.1 Давление. Закон Паскаля. Гидростатическое давление
Гидроаэродинамика – это раздел физики, в котором исследуются законы равновесия и движения жидкостей и газов, а также механические
взаимодействия жидкостей и газов с твердыми телами.
Раздел гидроаэродинамики, в котором изучаются условия и закономерности равновесия жидкостей и газов, находящихся под воздействием
внешних сил, и условия равновесия твердых тел в жидкостях и газах, называется гидроаэростатикой.
Взаимодействия между слоями жидкости и газа, а также взаимодействия жидкостей и газов с твердыми телами осуществляются не в отдельных точках, а по поверхности их соприкосновения. Возникающие при этом
61
силы упругости действуют перпендикулярно к рассматриваемым поверхностям, и их действие принято характеризовать давлением.
Давлением называется физическая скалярная величина, равная отношению нормальной составляющей силы Fn , равномерно распределенной
по поверхности, к площади этой поверхности:
р=
Fn
,
S
где Fn = Fcosα , а α – угол между направлением силы и перпендикуляром
к поверхности, на которую действует эта сила. Давление в системе единиц
СИ измеряется в паскалях (Па).
Так как сила, действующая на поверхность тела, находящегося в покоящейся жидкости или газе, всегда направлена перпендикулярно к поверхности и не зависит от ее ориентации, то для жидкости можно записать:
р=
F
.
S
Если на твердое тело действует внешняя сила, то давление, создаваемое ею, передается в направлении действия силы. В отличие от твердых
тел частицы и отдельные слои жидкости и газа могут свободно перемещаться относительно друг друга по всем направлениям. Такое обстоятельство приводит к закону Паскаля: внешнее давление, производимое силами
на жидкость или газ, заключенные в замкнутый сосуд, передается без изменения по всем направлениям в каждую точку жидкости или газа.
Давление, оказываемое жидкостью на глубине h под свободной поверхностью вследствие действия сил тяжести, называется гидростатическим давлением. Оно зависит от плотности жидкости ρ и глубины h:
p = ρgh .
Если на свободную поверхность жидкости действует внешнее давление p0 (например, атмосферное давление или давление прилегающего к поверхности жидкости поршня), то давление p на произвольной глубине h
будет равно
р = р0 + ρgh .
Давление, оказываемое атмосферным воздухом, называется атмосферным давлением. Оно обусловлено силой тяжести, действующей на молекулы, входящие в состав воздуха. Атмосферное давление, равное
p0 = 1,013 · 105 Па (или p0 = 760 мм рт. ст.), называется нормальным атмосферным давлением. Оно уменьшается с увеличением высоты над поверхностью Земли.
62
1.5.2 Сообщающиеся сосуды
Поведение жидкости в сообщающихся сосудах определяется гидростатическим давлением, оказываемым на дно сосудов, и внешним давлением, действующим на свободные поверхности жидкости в этих сосудах.
h1
П
h2
Рис. 1.5.1
Если в сообщающихся сосудах находятся две разнородные жидкости
с плотностями ρ1 и ρ2, разделенные между собой свободно перемещающимся поршнем П (рис. 1.5.1), препятствующим их перемешиванию, то
поршень будет находиться в равновесии при условии равенства давлений,
оказываемых на него со стороны жидкости и внешних сил:
p01 + ρ1 gh1 = p02 + ρ 2 gh2 ,
где p01 и p02 – внешние давления, оказываемые на свободные поверхности
жидкостей; h1 и h2 – высоты столбов жидкостей в сообщающихся сосудах.
Если сосуды открыты, то внешние давления p01 и p02 равны друг другу
и равны атмосферному давлению p0. Следовательно,
ρ1gh1 = ρ 2 gh2 .
Данное равенство выражает закон сообщающихся сосудов:
– высоты столбов разнородных жидкостей в открытых сообщающихся сосудах обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей:
h1 ρ 2
;
=
h2 ρ1
– свободные поверхности столбов однородной жидкости в сообщающихся сосудах (ρ1 = ρ2 = ρ) устанавливаются на одном и том же уровне: h1 = h2.
63
1.5.3 Гидравлический пресс
S1
F1
F2
h1 h
2
S2
Рис. 1.5.2
Гидравлический пресс представляет собой устройство, состоящее из двух сообщающихся сосудов, заполненных однородной жидкостью и закрытыми поршнями с различными
площадями S1 и S2 поверхностей (рис. 1.5.2).
Если на малый поршень действует сила F1, то она создает давление p =
F1
, которое
S1
в соответствии с законом Паскаля передается
во все точки жидкости. Вследствие этого на
большой поршень со стороны жидкости будет
действовать сила F2, модуль которой равен
=
F2 pS
=2 F1
S2
,
S1
где S2 – площадь большого поршня. Отсюда видно, что F2 > F1 в
S2
раз,
S1
т. е. гидравлический пресс дает выигрыш в силе во столько раз, во сколько
раз площадь большого поршня больше площади малого поршня:
F2 S2
= .
F1 S1
В процессе перемещения малый поршень опускается вниз, проходя путь,
равный h1, а большой поршень при этом поднимается вверх на высоту h2.
Вследствие несжимаемости жидкости ее объем, вытесненный из первого сосуда, равен объему, поступившему во второй сосуд:
S 1h1 = S 2 h 2 .
Следовательно,
h 2 = h1
S1
.
S2
Так как S 1 < S 2 , то h 2 < h1 . Это означает, что пресс дает проигрыш в расстоянии.
Работа, совершаемая силой F1 : A1 = F1h1 , а работа, совершаемая силой F2 : A2 = F2 h 2 . В реальных гидравлических прессах А2 < A1 , так как
часть энергии расходуется на работу против сил трения между жидкостью
и стенками сосудов.
64
Эффективность работы пресса характеризуется КПД:
η
=
А2 F2 h 2
.
=
А1 F1h1
1.5.4 Закон Архимеда для жидкостей и газов. Условия плавания тел
На поверхность твердого тела, погруженного в жидкость (или газ),
действуют силы давления. Так как давление увеличивается с глубиной погружения, то сила давления, действующая на нижнюю поверхность тела
и направленная вверх, будет больше, чем сила, действующая на верхнюю
его поверхность и направленная вниз. Поэтому результирующая сил давления должна быть направлена вверх, т. е. на тело, погруженное полностью или частично в жидкость (в газ), должна действовать выталкивающая сила, которая определяется законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная по модулю
силе тяжести жидкости или газа, вытесненных телом, направленная вертикально вверх и приложенная в центре тяжести вытесненного объема
жидкости или газа.
Пусть тело, погруженное в жидкость, – прямоугольный параллелепипед
h1
(рис. 1.5.3) высотой h, верхняя и нижняя
грани которого имеют площадь S.
h2
F1
Силы, с которыми жидкость дейh
ствует на противоположные боковые
F2
грани, уравновешиваются. На верхнюю
грань действует направленная вниз сила
F1, модуль которой F1 = p1S ( p1 – давление жидкости на глубине h1, где находится эта грань), на нижнюю грань –
направленная вверх сила F2, модуль коРис. 1.5.3
торой F2 = p2S (р2 – давление жидкости
на глубине h2).
Если плотность жидкости равна ρж, то p1 = ρжgh1, p2 = ρжgh2, и, следовательно, силы, действующие на верхнюю и нижнюю грани, будут соответственно равны
F1 = ρж gh1S , F2 = ρж gh2 S .
Результирующая сила FA = F1 + F2, а ее модуль FA = F2 – F1, так как
F2 > F1 вследствие того, что h2 > h1. Таким образом, приходим к выводу:
на параллелепипед со стороны жидкости действует направленная вертикально вверх выталкивающая сила:
65
FA = F2 − F1 = ρж gh2 S − ρж gh1S = ρж g ( h2 − h1 ) S = ρж ghS ,
где h – высота параллелепипеда.
Так как hS = V представляет собой объем параллелепипеда, то выталкивающая сила (сила Архимеда)
FA = ρж gV .
Если тело погружено в жидкость не полностью, то в формуле для силы Архимеда V – объем погруженной части тела. Если учесть, что
ρ жV = m ж , где m ж – это масса вытесненной жидкости, то формулу для
силы Архимеда можно записать в следующем виде:
FA = m ж g ,
т. е. модуль архимедовой силой равен модулю силы тяжести, действующей
на вытесненную жидкость.
Линия действия выталкивающей силы проходит через центр масс
вытесненного объема жидкости и не зависит от того, где расположен центр
масс погруженного тела.
Условие плавания тел. На тело, погруженное полностью в жидкость,
действуют сила тяжести mg и выталкивающая сила FA , и условие его плавания сводится к следующему.
Если F A = mg , то тело находится в состоянии безразличного равновесия – плавает внутри жидкости; если F A < mg , то тело тонет; если
F A > mg , то тело всплывает.
Так как FA = ρж gV , а mg = ρ т gV , то условие плавания однородного
сплошного тела в жидкости можно записать в виде
ρж ≥ ρт ,
где ρ ж и ρ т – плотности жидкости и тела соответственно.
Приведенные рассуждения справедливы и в том случае, когда тело
погружено в газ.
1.6 Основы специальной теории относительности
1.6.1 Постулаты специальной теории относительности
Специальная теория относительности (СТО) изучает движение тел со
скоростями, близкими к скорости света в вакууме. В ее основе лежат два
постулата:
– первый – принцип относительности: все физические явления (механические, электромагнитные и т. д.) в инерциальных системах отсчета
при одних и тех же условиях протекают одинаково;
66
– второй – принцип постоянства скорости света в вакууме: во всех
инерциальных системах отсчета скорость света в вакууме имеет одно и то
же значение и не зависит от скорости движения источника света.
Первый постулат является обобщением механического принципа относительности на все физические явления, включая электромагнитные.
В соответствии с этим все законы электродинамики и оптики справедливы
во всех без исключения инерциальных системах отсчета.
Второй постулат находится в явном противоречии с законом сложения скоростей в классической механике. Однако большое число опытов,
в которых были сделаны попытки найти зависимость скорости света с от
характера движения источника света, показали, что эта скорость не зависит
от скорости движения источника света в инерциальной системе отсчета
и остается постоянной при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
1.6.2 Преобразования Лоренца
При переходе из одной инерциальной системы в другую преобразования координат тела в классической механике, описывающей движение
тел со скоростями v << c , осуществляются с помощью преобразований
Галилея. В простейшем случае, когда система отсчета К' движется относительно неподвижной системы К вдоль оси ОХ со скоростью vx = v,
преобразования Галилея связывают между собой координаты х' и х тела
в двух системах следующим образом:
x= x′ + vx t , y = y' , z = z' .
В специальной теории относительности эта связь устанавливается
с помощью преобразований Лоренца, которые в случае движения вдоль
оси ОХ имеют такой вид:
x=
x' =
x' + vt'
1− v / c
2
2
x − vt
1− v / c
2
2
,
,
y = y' ,
y' = y ,
z = z' , t =
z' = z ,
t' + (v / c2 )x'
t' =
1− v / c
2
2
(
)
t − v / c2 x
2
1− v / c
2
,
.
В этих преобразованиях х, y, z, t – координаты и время в неподвижной системе отсчета К; х', y', z', t' – координаты и время в системе отсчета К',
движущейся со скоростью v относительно неподвижной системы вдоль
оси ОХ.
В случае v / c << 1 , т. е. при скоростях v << c , преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.
67
1.6.3 Относительность длин
Из преобразований Лоренца следует, что длина тела зависит от скорости его движения. Например, стержень, находящийся в системе отсчета
К', движется вместе с нею относительно системы К. Длина стержня в системе К', относительно которой стержень покоится, составляет
l0 = x2′ − x1′ ,
здесь x′2 и x1′ – координаты концов стержня. Эта длина называется собственной длиной.
Длина стержня в системе отсчета К
l = x2 − x1 ,
где х2 и х1 – координаты точек концов стержня в один и тот же момент
времени по часам в системе К.
Из преобразований Лоренца получаем, что
x2 − x1 = ( x2′ − x1′) 1 − v2 / c2 ,
т. е.
l = l0 1 − v 2 / c 2 .
Таким образом, линейные размеры тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшаются в продольном направлении в
1 − v 2 / c 2 раз. Такое уменьшение называется лоренцевым сокращением
длины. Оно наблюдается при скоростях v , близких к скорости света с.
1.6.4 Относительность длительности промежутков времени
Длительность промежутков времени, т. е. время, прошедшее между
двумя последовательными событиями, зависит от системы отсчета, в которой эти события происходят.
Из преобразований Лоренца следует, что промежутки времени τ 0
и τ между двумя событиями, измеренные по часам в неподвижной системе отсчета К'(τ0) и в движущейся системе отсчета К(τ ), связаны между
собой соотношением
τ=
τ0
2
1− v / c
2
.
Время τ 0 , измеренное в системе отсчета, в которой тело покоится,
называется собственным временем.
68
Из приведенного соотношения вытекает, что часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее неподвижных
часов и показывают промежуток времени, меньший по сравнению с собственным временем. Этот эффект называется релятивистским замедлением времени, и он становится заметным при скоростях v , близких к скорости света с. Эффект замедления времени подтверждается многочисленными экспериментами с элементарными частицами.
1.6.5 Связь между массой и энергией. Релятивистский импульс
Связь между массой тела m и его полной энергией W устанавливается законом взаимосвязи массы и энергии:
W = mc 2 ,
в котором с – скорость света в вакууме.
Полная энергия W0, которой тело обладает в состоянии покоя, называется собственной энергией тела, или энергией покоя. Она является внутренней энергией тела.
Полная энергия W тела, движущегося со скоростью v ,
W= W0 + Wк ,
где W к – кинетическая энергия тела:
 m 
Wк =W − W0 =( m − m0 )c 2 =mc 2 1 − 0  ;
m

m0 – масса покоя; m – релятивистская масса, т. е. масса тела, движущегося
со скоростью v :
m=
m0
1−
v
c2
2
.
Вектор р импульса тела в специальной теории относительности так же, как
и в классической механике, определяется соотношением
Р = mv.
1.7 Механические колебания
1.7.1 Основные понятия и определения
Колебательным движением, или колебаниями, называется движение,
при котором тело проходит некоторое положение, называемое положением
равновесия, двигаясь каждый раз в направлении, противоположном
предыдущему.
69
Колебательное движение является важнейшим видом механического
движения. Оно широко распространено в природе и технике. Колебания
разнообразны по своей физической природе: механические колебания тела,
подвешенного на пружине, качания маятников, колебания струн, вибрации
фундаментов зданий, колебания вагонов на рессорах, электромагнитные
колебания в колебательном контуре. Тем не менее разнообразные по природе колебания могут иметь общие закономерности и описываться однотипными математическими уравнениями.
Колебания называются периодическими, если значения физических
величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные
промежутки времени.
Периодом колебания Т называется наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение. За это время совершается одно полное
колебание.
Частотой периодических колебаний ν называется число полных колебаний за единицу времени:
ν=
1
.
T
Циклической (круговой) частотой периодических колебаний ω называется число полных колебаний, которые совершаются за 2π единиц
времени:
=
ω
2π
= 2πν .
T
Свободными (или собственными) называются колебания, которые
система совершает под действием внутренних сил в результате какоголибо однократного начального отклонения самой системы от состояния
устойчивого равновесия. Например, к свободным относятся колебания тела, подвешенного на пружине и выведенного однократно из положения
равновесия; колебания маятника, однажды отклоненного на некоторый
угол α . При свободных колебаниях в системе всегда действуют силы,
стремящиеся возвратить ее в положение равновесия. Незатухающие свободные колебания в системе возможны лишь в отсутствие трения и других
сил сопротивления. Очевидно, что это идеализированный случай. Реальные свободные колебания – затухающие.
1.7.2 Гармонические колебания
Простейшим частным случаем периодических колебаний являются
гармонические, т. е. такие, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: 1) колебания в природе и технике
70
часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) периодические колебания другой формы (с иной зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.
Примером таких колебаний может
служить изменение проекции радиус-вектора, вращающегося с постоянной угловой
А
скоростью ω0 (рис. 1.7.1). При этом коор-
дината x конца радиус-вектора изменяется
по гармоническому закону
=
x Acos(ω 0t + ϕ 0 )
или
φ
у
φt
φ0
х
=
x Asin(ω 0t + ϕ 0 ) ,
где А, ω0 , ϕ 0 – постоянные величины.
Рис. 1.7.1
Координату x в данный момент времени
называют смещением.
Максимальное значение A колеблющейся величины называется амплитудой. Выражение =
ϕ ω0t + ϕ 0 называется фазой колебания и характеризует величину x в данный момент времени; ϕ 0 равна фазе в момент времени t = 0 и поэтому называется начальной фазой. Смысл фазы в том, что
она указывает состояние колебательного процесса: зная фазу ϕ , можно из
уравнения x = Acosϕ рассчитать значение колеблющейся величины, а также характер ее изменения. Например, если фаза ϕ = π /3, то это означает,
что x = A/2, и в данный момент x убывает. Таким образом, значения колеблющейся величины и скорости ее изменения вполне определяют состояние
колебательного процесса.
1.7.3 Скорость и ускорение при гармонических колебаниях
Последовательно продифференцировав уравнение гармонических колебаний по времени, для скорости v и ускорения a материальной точки
вдоль оси x получим
dx
π

xt′ =
v= =
− Aω0sin(ω0t + ϕ 0 ) =
v0cos  ω0t + ϕ 0 +  ,
2
dt

dv d 2x
а = =2 =
xt′′ =
− Aω02cos(ω0t + ϕ 0 ) =
−ω02 x =
а0сos(ω0t + ϕ 0 + π ),
dt dt
где v 0 = Аω 0 и а 0 = Аω 02 .
71
Видно, что скорость частицы v также изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда скорости равна Аω 0 . Сравнивая выражения
для скорости и для смещения x, находим, что скорость опережает координату x в данный момент времени по фазе на π/2 (рис. 1.7.2).
Х
T
А
t
–А
v0
t
−v0
а
t
–а
Рис. 1.7.2
Выражение для a также позволяет сделать вывод, что ускорение изменяется по гармоническому закону с амплитудой Аω 02 . Отсюда же следует, что ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает,
что, когда смещение достигает наибольшего положительного значения,
ускорение достигает наибольшей отрицательной величины и наоборот
(рис. 1.7.2).
Из сказанного выше вытекает, что если материальная точка совершает гармонические колебания, то справедливо уравнение
а = −ω02 x.
Методами высшей математики можно показать, что эта связь ускорения
и смещения является необходимым и достаточным условием того, чтобы
тело совершало гармонические колебания около положения равновесия.
Следовательно, если при анализе поставленной задачи будет найдено, что
а = −Cx , где C – положительная константа, то тело гармонически колеблется около положения равновесия с циклической частотой ω = C .
72
По второму закону Ньютона
mа X = Fрез.X ,
где Fрез.X – проекция результирующей всех сил, действующих на тело, на
ось X, вдоль которой совершаются колебания. В результате получаем
Fрез.X = −mω02 x.
Из этого уравнения следует, что равнодействующая всех сил, действующих на тело, которое совершает гармонические колебания, прямо пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению. Силы, пропорциональные смещению и направленные в сторону, противоположную смещению, т. е. удовлетворяющие условию FX = − kx , но
имеющие иную природу, чем упругие силы, называются квазиупругими.
Гармонические колебания происходят под действием упругих и квазиупругих сил.
1.7.4 Гармонические колебания груза на пружине
Рассмотрим в качестве примера систему, состоящую из шарика массы m, подвешенного на пружине, массой которой можно пренебречь по
сравнению с m. В положении равновесия сила тяжести уравновешивается
упругой силой (рис. 1.7.3):
mg = k ∆l0 ,
где ∆l0 – удлинение пружины.
Без
груза
l0
l0 + ∆l0
Fупр
∆l0
O
x
mg
X
Рис. 1.7.3
73
Будем характеризовать смещение шарика из положения равновесия
координатой x, причем ось X направим по вертикали вниз, а точку O (начало отсчета) совместим с положением равновесия шарика. Если сместить
шарик в положение, характеризуемое координатой x, то удлинение пружины станет равным ∆l 0 + x , и проекция результирующей силы на ось X
примет значение
F= mg − k (∆l0 + x ).
Учитывая условие mg = k ∆l 0 , получим
F = −kx,
т. е. результирующая силы тяжести и упругой силы имеет характер квазиупругой силы.
С учетом этого уравнение второго закона Ньютона для шарика примет вид
mx = − kx,
mx + kx =
0,

x + ω02 x =
0,
где x – вторая производная смещения по времени; ω0 = k / m – собственная частота колебаний.
Таким образом, в отсутствие сил трения движение под действием
квазиупругой силы описывается дифференциальным уравнением 
x+
2
ω0 x = 0. Общее его решение запишем так:
=
x Acos(ω0 t + ϕ 0 ).
1.7.5 Превращения энергии при гармонических колебаниях
Если колебания тела происходят по закону
=
x аcos(ω0t + ϕ 0 ),
то кинетическая энергия этого тела
mv 2 mА2ω02sin 2 (ω0t + ϕ 0 )
=
Wк
=
,
2
2
а потенциальная энергия
kx 2 kА2cos2 (ω0t + ϕ 0 ) mω 02 А2cos2 (ω0t + ϕ 0 )
=
=
=
W
,
п
2
2
2
74
при этом за нулевой уровень отсчета выбирается положение равновесия
x = 0.
Сложив кинетическую и потенциальную энергии с учетом соотношения mω 02 = k , для полной энергии гармонического колебания получим
формулу
kA2 mvmax 2 mω 02 А2
.
W =Wк + Wп =
=
=
2
2
2
Из нее следует, что полная энергия гармонического колебания – величина
постоянная. Действительно, поскольку квазиупругая сила является потенциальной, то в отсутствие сил трения полная механическая энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную
и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия W состоит только из потенциальной, а при прохождении системы через положение равновесия – только из кинетической.
Из приведенных выше формул следует, что
А=
1
ω0
2W
,
m
т. е. амплитуда гармонических колебаний определяется энергией, сообщенной системе.
Используя формулы тригонометрии, можно показать, что Wп и Wк
изменяются с частотой 2ω 0 , т. е. с частотой, в 2 раза превышающей частоту гармонического колебания.
1.7.6 Физический и математический маятники
Физическим маятником называется абсолютно
l
O
твердое тело, совершающее колебания под действием
силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси,
ϕ
не проходящей через его центр масс.
rc
На рис. 1.7.4 изображено произвольное тело массой m, колеблющееся вокруг оси O (которая перпендиC
кулярна плоскости чертежа); C – центр масс; l – плечо
силы тяжести.
mg
Пусть ось вращения (качания) маятника является
осью Z декартовой системы координат с началом в точРис. 1.7.4
ке O. Свяжем положительное направление оси Z с положительным направлением отсчета угла поворота ϕ правилом правого
винта. (Примем направление отсчета угла ϕ против часовой стрелки за
положительное.) Тогда ось Z будет направлена «к нам».
75
Если силами трения в подвесе маятника можно пренебречь, то момент относительно оси Z создает только его сила тяжести mg . Под ее действием при отклонении маятника на угол ϕ в положительном направлении
возникает вращательный момент этой силы относительно точки O
M = [rc , mg ] ,
направленный в противоположную оси Z сторону. Тогда проекция вектора
M на ось Z
MZ =
−M =
− rc mgsinϕ =
− mgl.
Вместе с тем, согласно основному уравнению динамики вращения
твердого тела,
I
d ωZ
= − mgrcsinϕ .
dt
Так как ω Z = dϕ / dt , то это уравнение можно переписать следующим образом:
d 2ϕ
I 2 = − mg rcsinϕ ,
dt
где I – момент инерции маятника относительно оси качания Z.
При малых колебаниях маятника (угол φ мал) sinφ ≈ φ, и последнюю
формулу можно представить как дифференциальное уравнение гармонических колебаний
d 2ϕ mg rc
0,
+
ϕ=
dt 2
I
решение которого имеет вид
=
ϕ Аcos(ω0t + α ),
где ω 0 = mgrc / I – собственная частота колебаний физического маятника, зависящая от массы, момента инерции тела и расстояния между осью
вращения и центром масс. Так как ω0 = 2π/T, период колебаний физического маятника T определяется выражением
T = 2π
I
.
mgrс
Математическим маятником называется материальная точка (частица), подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити (длиной l ) и со76
вершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
Математический маятник представляет собой предельный случай
физического маятника, вся масса m которого сосредоточена в его центре
масс, так что rc = l , I = ml 2 . Период колебаний математического маятника зависит только от его длины и ускорения свободного падения:
I
ml 2
l
=
T 2=
π
2=
π
2π
.
mgl
mgl
g
Возвращающей силой в этом случае является проекция силы тяжести на
направление движения ( mgsinϕ ). Для постоянства коэффициента k, а следовательно, и частоты колебаний ω 0 необходимо постоянство длины нити
l. Между тем составляющая силы тяжести mgcosϕ , действующая вдоль
нити, может вызывать ее удлинение, которое будет минимальным в крайних положениях и максимальным при прохождении тела через положение
равновесия. Потому, для того чтобы колебания маятника были гармоническими, необходимо, кроме малости углов отклонения, выполнение условия
нерастяжимости нити.
1.7.7 Затухающие колебания
Во всех реальных случаях помимо квазиупругой силы на тело действует сила сопротивления, которая обычно считается пропорциональной
скорости:
Fсопр = − rv,
где r – коэффициент сопротивления.
Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы сопротивления имеет вид
mx =
−kx − rx ,
или

x + 2 β x + ω02 x =
0,
в котором x означает первую производную смещения по времени, ω 0 –
частота собственных колебаний, β = r / (2m ) – коэффициент затухания.
Решение этого дифференциального уравнения при не слишком сильном затухании запишем так:
x=
А0exp( − β t )cos(ωt + ϕ 0 ),
где=
ω
ω 02 − β 2 .
77
Видно, что амплитуда колебаний не является постоянной величиной,
а уменьшается со временем по экспоненциальному закону:
=
А(t ) А0exp( − β t ),
здесь A0 – начальная амплитуда колебаний.
Следовательно, колебания при наличии силы сопротивления не гармонические. Такие колебания называются затухающими. Постоянная величина ω называется круговой частотой затухающих колебаний, ω0 является круговой частотой колебаний в отсутствие сопротивления среды
(β = 0) и называется собственной частотой колебаний. За счет работы
силы сопротивления механическая энергия в процессе колебаний непрерывно уменьшается, переходя во внутреннюю энергию. Соответственно
амплитуда колебаний уменьшается, и колебания постепенно затухают
(рис. 1.7.5). Однако смещение x принимает нулевые значения через равные
промежутки времени:
T=
2π
ω −β
2
0
2
.
Потому время T, определяемое этой формулой, и частота=
ω
ω2 − β 2
рассматриваются как условные период и частота затухающих колебаний.
0
Рис. 1.7.5
Быстроту убывания амплитуды характеризуют логарифмическим декрементом затухания
λ = ln
А(t )
,
А(t + T )
где A(t) и A(t + T ) – значения амплитуд, которые соответствуют моментам
времени, отличающимся на период.
78
Воспользовавшись уравнением для A(t), получим
А(t )
А0е − β t
А0е − β t
1
=
=
=
=
е βT ,
− β (t + T )
−β t −βT
−βT
А(t + T ) А0е
А0е е
е
откуда
λ = βT.
1.7.8 Вынужденные колебания
Для поддержания колебаний в системе необходимо, чтобы действовала сила, работа которой компенсировала бы уменьшение механической
энергии. Эта сила должна быть переменной, так как постоянная сила может только изменить положение равновесия, но не может способствовать
поддержанию колебаний в системе.
Колебания, возникающие в системе под действием внешней переменной силы, называются вынужденными. Переменная сила, поддерживающая в системе незатухающие колебания, называется вынуждающей.
Рассмотрим простейший частный случай вынужденных колебаний
в среде, заключающийся в том, что на систему действует сила, которая изменяется со временем по гармоническому закону:
F = F0cosωt ,
где F0 – амплитуда силы; ω – круговая частота изменения силы со временем.
Помимо вынуждающей силы на тело действуют квазиупругая сила
и сила сопротивления. Тогда колебания будут описываться дифференциальным уравнением
mа =
−kx − rv + F0cosωt
или

x + 2β x + ω 02 x =
f 0cosωt ,
в котором f0 = F0 / m .
С течением времени собственные колебания в системе затухнут, следовательно, вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы.
Решение уравнения для установившихся вынужденных колебаний
имеет вид
=
x Аcos(ωt + ϕ 0 ),
79
здесь A – амплитуда вынужденных колебаний
А=
(ω
f0
2
0
−ω
)
2 2
+ 4β ω
2
2
,
ϕ 0 – сдвиг фаз
2 βω
,
ω 02 − ω 2
tgϕ 0 = −
характеризующий отставание по фазе вынужденного колебания от обусловившей его вынуждающей силы.
Амплитуда А вынужденных колебаний увеличивается при приблиА
жении частоты ω вынуждающей силы
к собственной частоте ϕ 0 колебательной системы (рис. 1.7.6). Это явление
3
называется резонансом, а частота
ωрез , при которой амплитуда дости2
гает максимального значения Аmax, –
резонансной частотой. Зависимости
1
амплитуды А от частоты ω (рис. 1.7.6)
называются резонансными кривыми.
А0
Их форма и величина Аmax зависят от
ω0
ω
О
характера сил сопротивления среды,
в которой совершаются колебания.
Резонансная амплитуда тем больше
Рис. 1.7.6
(кривые 1 и 2), чем меньше сопротивление среды (β2 < β1). Резонансная
кривая 3 относится к случаю, когда сопротивление в среде отсутствует
(β3 = 0). Если на колеблющуюся систему действует постоянная сила, то
колебания не совершаются, и отклонение системы от положения равновесия А0 = f0/ω02 называется статической амплитудой.
Явление резонанса используется в различных областях техники –
в акустике, электротехнике и т. д. При эксплуатации разных конструкций,
находящихся под воздействием периодических внешних нагрузок, явление
резонанса может приводить к их выводу из строя.
1.7.9 Сложение однонаправленных колебаний
Сложением колебаний называется нахождение закона результирующих колебаний системы, участвующей одновременно в нескольких колебательных движениях.
80
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинаковых
направления и частоты. Пусть уравнения складываемых колебаний имеют
вид
=
x1 А1cos(ωt + ϕ 1 ),
=
x 2 А2cos(ωt + ϕ 2 ).
Для нахождения закона результирующего колебания воспользуемся
методом векторных диаграмм, который заключается в том, что гармоническое колебание можно изобразить графически с помощью вращающегося вектора A (рис. 1.7.7). Из точки О, взятой на оси X, отложим вектор
длины A, образующий с осью угол φ. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω, то проекция его конца будет перемещаться по
оси X в пределах от +А до –А, причем координата данной проекции будет
изменяться со временем по закону
=
x Аcos(ωt + ϕ ).
Следовательно, проекция конца вектора на ось совершает гармоническое
колебание. Итак, гармоническое колебание может быть задано с помощью
вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а направление вектора образует с осью X угол, равный начальной фазе колебания.
А
A2
φ
φ2
O
φ1
x2
A1
x1
x
Х
Рис. 1.7.7
Представим оба рассматриваемых колебания с помощью векторов A1
и A2. По правилам сложения векторов найдем результирующий вектор A.
Из рис. 1.7.7 видно, что =
x x1 + x 2 . Если равномерно вращать систему векторов и находить их проекции на ось, то такие проекции будут совершать гармонические колебания в соответствии с заданными уравнениями. Взаимное расположение векторов A1 и A2 остается неизменным,
поэтому колебательное движение проекции результирующего вектора A
81
также будет гармоническим. Из сказанного следует, что суммарное движение является гармоническим колебанием с заданной частотой ω.
По теореме косинусов
А 2 = А12 + А22 − 2 А1 А2cos π − (ϕ 1 − ϕ 2 )
или
А 2 = А12 + А22 + 2 А1 А2cos(ϕ 1 − ϕ 2 ).
Начальную фазу φ результирующего колебания определим по тангенсу угла φ с помощью рис. 1.7.7:
tgϕ =
А1sinϕ 1 + А2sinϕ 2
.
А1cosϕ 1 + А2cosϕ 2
Два последних выражения дают возможность найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания и составить его уравнение. Для
определения результирующего колебания можно также использовать аналитическое сложение, т. е. произвести соответствующие тригонометрические преобразования.
Проанализируем выражение для амплитуды А суммарного колебания.
Если разность фаз равна четному числу π, т. е.
ϕ 1 −=
ϕ 2 2π n,=
n 0,1,2,...,
то складываемые колебания совпадают по фазе и усиливают друг друга.
При этом
А 2 = А12 + А22 + 2 А1 А2 = ( А1 + А2 )
2
или
А
= А1 + А2 .
Если разность фаз равна нечетному числу π (складываемые колебания находятся в противофазе), т. е.
ϕ 1 − ϕ 2 = ( 2n + 1) π , n = 0,1,2,...,
то колебания ослабляют друг друга, и результирующая амплитуда
А 2 = А12 + А22 − 2 А1 А2 ,
т. е. равна разности амплитуд складываемых колебаний
=
А А1 − А2 .
82
Если ϕ 1 − ϕ 2 =
( 2n + 1)π , а амплитуды равны ( А1 = А2 ) , то суммар-
ная амплитуда A = 0, т. е. колебания взаимно гасят друг друга.
Заметим, что если частоты колебаний x1 и x2 неодинаковы, то векторы A1 и A2 будут вращаться с различной скоростью. При этом результирующий вектор A пульсирует по величине и вращается с переменной скоростью. Следовательно, результирующим движением будет не гармоническое колебание, а некоторый сложный колебательный процесс.
1.7.10 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Пусть частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты ω, совершающихся во взаимно перпендикулярных направлениях. Ориентируем по направлениям таких колебаний
координатные оси X и Y, взяв за начало координат положения равновесия
частицы. Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний имеют вид
 x = А1cosωt ,

=
 y А 2cos(ωt + ϕ ),
где φ – разность фаз обоих колебаний. Таким образом, траектория частицы
представлена в так называемой параметрической форме.
Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, т. е. зависимость y(x), нужно исключить из приведенных уравнений параметр t. Из
первого уравнения системы
cosωt =
x
,
А1
откуда
sinω=
t
x2
1− 2 .
А1
Теперь развернем во втором уравнении косинус по формуле косинуса
суммы. Получим
y
x
x2
= cos(ωt + ϕ=
) cosωt cosϕ − sinωt sin=
ϕ
cosϕ − 1 − 2 sinϕ ,
А2
А1
А1
y
x
x2
− cosϕ =
− 1 − 2 sinϕ .
А2 А1
А1
83
Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:
y2
xy
x2
x2
2
cosϕ + 2 cosϕ =
sin ϕ − 2 sin 2ϕ
−2
2
А2
А1 А2
А1
А1
и приведем полученное выражение к виду
y2
xy
x2
−2
cosϕ + 2 =
sin 2ϕ
2
А2
А1 А 2
А1
или
x2 y2
xy
+
−
2
cosϕ =
sin 2ϕ .
2
2
А1 А2
А1 А 2
В общем случае разность начальных фаз колебаний ϕ
= ϕ 2 − ϕ1 .
Окончательно уравнение траектории представим следующим образом:
x2 y2
xy
2
cos(ϕ 2 − ϕ=
sin 2 (ϕ 2 − ϕ 1 ).
+
−
1)
2
2
А1 А2
А1 А2
Из курса аналитической геометрии известно, что оно есть уравнение эллипса, оси которого произвольно ориентированы относительно осей X и Y.
Ориентация эллипса и величины его полуосей зависят довольно сложным
образом от амплитуд и разности фаз.
Исследуем форму траектории в частных случаях.
1. Разность фаз равна нулю. В этом случае уравнение траектории
имеет вид
2
 x
y 
−
0,

 =
 А1 А 2 
откуда получается уравнение прямой
y=
А2
x.
А1
Следовательно, колеблющаяся частица перемещается по прямой 1, причем
расстояние от нее до начала координат (рис. 1.7.8) равно
=
r
84
x2 + y2 .
Подставляя в эту формулу выражения для x и y и учитывая, что
φ = 0, получим закон, по которому r меняется со временем:
А12 + А 22 cosωt ,
=
r
т. е. результирующее колебание является
гармоническим вдоль прямой с частотой
ω и амплитудой, равной
2
1
Y
2
2
А +А .
2. Разность фаз равна ±π . Тогда
А1
уравнение траектории имеет вид
2
2
 x
y 
+
0,

 =
А
А
2 
 1
откуда получается, что результирующее
движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой 2 (рис. 1.7.8)
y= −
нение
А2
1
Х
Рис. 1.7.8
А2
x.
А1
3. При разности фаз ± π / 2 уравнение траектории переходит в урав-
x2 y2
1,
+
=
А12 А 22
т. е. в уравнение эллипса, приведенного
к координатным осям, причем полуоси
эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд A1 и A2 эллипс вырождается в окружность.
Случаи ϕ = π /2 и ϕ = −π /2 отличаются направлением движения по эллипсу или по окружности (рис. 1.7.9). Если
ϕ = π /2 , то уравнения колебаний можно
записать следующим образом:
 x = А1cosωt ,

 y = − А 2sinωt.
Y
α =−
A2
O
π
2
1
X
A1
α=
π
2
Рис. 1.7.9
85
Пусть в момент t = 0 частица находится в точке 1. В последующие моменты времени координата х уменьшается, а координата у становится отрицательной. Следовательно, движение совершается по часовой стрелке, а при
ϕ = −π /2 – против часовой стрелки.
Таким образом, равномерное движение по окружности радиуса R
с угловой скоростью ω может быть представлено как сумма двух взаимно
перпендикулярных колебаний:
 x = Rcosωt ,

 y = ± Rsinωt.
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы,
то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных
кривых, называемых фигурами Лиссажу. Их форма зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз колебаний.
1.8 Механические волны
1.8.1 Распространение колебаний в упругой среде
Волной называется распространение колебаний в упругой среде.
Упругой средой называется среда, между частицами которой существуют взаимодействия, препятствующие какой-либо деформации среды
или смещению ее частиц. Волны, распространяющиеся в такой среде,
называются упругими волнами.
Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.
Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых
в данный момент времени распространилась волна. В плоской волне фронт
волны представляет собой плоскость, перпендикулярную направлению
распространения волны. В сферической волне фронт волны – сфера.
В зависимости от направления колебаний частиц среды по отношению к направлению распространения волны различают продольные и поперечные волны.
В продольных волнах частицы среды колеблются вдоль направления
распространения волны. Если частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны, то такие волны называются поперечными. Продольные волны распространяются в твердых, жидких и газообразных средах, поперечные – в твердых телах.
Скоростью распространения волны называется скорость движения
фронта волны. Скорость упругих волн зависит от свойств среды, в которых
они распространяются, и внешних условий. Вектор скорости волны v перпендикулярен фронту волны и направлен в сторону распространения волны.
86
1.8.2 Длина волны. Связь длины волны со скоростью
ее распространения
Пусть плоская волна распространяется вдоль оси X. Все точки среды,
положения равновесия которых имеют одинаковую координату x, колеблются в одинаковой фазе. На рис. 1.8.1 изображена кривая, которая дает
смещение ξ из положения равновесия точек с различными x в некоторый
момент времени. (Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны.)
ξ
λ
X
Рис. 1.8.1
Длина волны λ – расстояние, на которое распространяется волна за
время, равное периоду Т колебаний частиц среды:
λ = vT .
Так как T=
v
1 2π
, то λ = , где ν – частота колебаний; ω – цикличе=
ν
ω
ν
ская частота.
Колебания частиц среды, находящихся на расстоянии х от источника


x
v
колебаний, происходят с запаздыванием по времени на ∆t  ∆t =  и по
фазе колебаний на ∆ϕ . За время ∆t =T фаза колебаний в источнике изменяется на ∆ϕ =
2π , поэтому
∆ϕ 2π
.
=
∆t
T
Запаздывание колебаний точек среды, удаленных на расстояние х от
источника, по фазе равно
87
∆ϕ=
2π x 2π x
=
.
vT
λ
Если x = λ , то ∆ϕ =
2π , и поэтому также длиной волны λ называют расстояние между двумя ближайшими точками волны, колеблющимися в одинаковой фазе, т. е. с разностью фаз ∆ϕ =
2π .
1.8.3 Звук
Механические волны с частотой колебаний от 16 до 20 000 Гц, воздействуя на органы слуха человека, вызывают ощущение звука.
Источником звука являются колеблющиеся тела. Вокруг них образуются сгущения и разряжения окружающей среды, которые, распространяясь в ней, образуют звуковую волну. Звук распространяется только
в упругой среде. Скорость звука зависит от упругих свойств среды, ее
плотности и температуры. Так, скорость распространения звука в воздухе
при нормальных условиях равна 330 м/с.
Восприятие звука зависит от того, какие частоты входят в его состав.
Звуки, имеющие непрерывный набор частот в некотором интервале, воспринимаются как шумы. Звуки, обладающие дискретным набором частот,
называются музыкальными, или тональными. Музыкальные звуки субъективно различаются по высоте, тембру и громкости.
Каждая синусоидальная звуковая волна называется тоном. Высота
тона зависит от частоты колебаний: чем больше частота, тем выше тон
волны. Основной тон музыкального звука определяется наименьшей частотой, входящей в набор частот данного звука. Тоны, соответствующие
кратным частотам основного тона, называются обертонами.
Тональные звуки с одним и тем же основным тоном отличаются
тембром. Тембр звука создается набором обертонов: их частотами и амплитудами, характером нарастания и спада амплитуд во время звучания.
Субъективная характеристика звука громкость определяется амплитудой колебаний частиц в звуковой волне. Органы слуха наиболее восприимчивы к звукам с частотой в диапазоне от 700 до 6000 Гц.
Наименьшая интенсивность звука, воспринимаемая органом слуха,
называется порогом слышимости. Стандартный порог слышимости при
частоте, равной 1 кГц, принимается равным 10–12 Вт/м2. Наибольшая интенсивность звуковой волны, при которой звук еще не вызывает болевых
ощущений, называется порогом осязаемости (порогом болевого ощущения). Эта величина зависит от частоты звука и, например, при частоте
6000 Гц составляет 0,1 Вт/м2.
Звуковые волны с частотами от 2 · 104 до 1013 Гц называются ультразвуком. Ультразвук с частотами свыше 109 Гц называется гиперзвуком.
Ультразвук применяется в таких областях техники как ультразвуковая дефектоскопия, гидролокация и в различных технологических процессах.
88
Ультразвуковые колебания получают с помощью специальных излучателей. Например, пьезоэлектрический излучатель генерирует ультразвуки
с частотой до 50 МГц. Его действие основано на явлении, заключающемся
в том, что некоторые кристаллы изменяют свои размеры в переменном
электрическом поле и совершают при этом вынужденные механические
колебания в ультразвуковом диапазоне частот.
1.8.4 Уравнение плоской волны
Уравнением волны называется выражение, которое позволяет определить смещение колеблющейся частицы упругой среды от положения
равновесия как функцию ее координат и времени:
ξ = ξ ( x, y , z, t ).
Найдем вид функции ξ ( x, y , z , t ) в случае плоской волны, предполагая, что колебания частиц среды носят гармонический характер (в этом
случае волна называется гармонической). Пусть координатная ось X совпадает с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности
будут перпендикулярны оси X и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение ξ будет зависеть только от x и t, т. е.
ξ = ξ ( x, t ).
Пусть колебания точек, лежащих в плоскости x = 0, имеют вид
ξ (0,t ) = Acosωt ,
т. е. начальную фазу примем равной нулю. Заметим, что начальная фаза
определяется выбором начал отсчета x и t. При рассмотрении одной волны
начала отсчета времени и координат можно выбрать так, чтобы начальная
фаза была равна нулю.
Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Для того чтобы пройти путь от плоскости x = 0 до
плоскости x, фронту волны требуется время τ = x / v , где v – скорость
движения фронта волны.
Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости, соответствующей координате x, будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости x = 0, т. е.


x
− τ ) Acosω  t −  .
ξ (=
x, t ) Acosω (t=
v

Если волна распространяется в направлении, противоположном оси X, то
уравнение волны примет вид
x

=
ξ ( x, t ) Acosω  t +  .
 v
89
Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно x и t вид. Для этого введем величину k = 2π/λ, называемую волновым числом.
Волновое число можно также представить как
=
k
2πν ω
=
,
v
λν
где ω – круговая частота колебаний. С учетом этого соотношения перепишем уравнение волны следующим образом:
=
ξ ( x, t ) Acos(ωt − kx ).
Оно называется уравнением плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении X.
В общем случае, когда направление распространения волны не совпадает с осями координат, уравнение плоской гармонической волны примет вид
=
ξ (r,t ) Acos(ωt − kr ),
здесь r – радиус-вектор, определяющий равновесное положение колеблющейся частицы в момент времени t, k – волновой вектор, направленный по
нормали к волновой поверхности в сторону распространения волны и равный по модулю k = 2π/λ.
Выразим скалярное произведение kr через компоненты векторов по
координатным осям:
kr = k X x + k Y y + k Z z.
Тогда уравнение плоской гармонической волны можно представить так:
ξ ( x, y , z=
, t ) Acos (ωt − k X x − k Y y − k Z z ).
1.8.5 Фазовая скорость
Фазовой скоростью vф называют скорость перемещения фазы колебаний частиц среды при волновом процессе. Для плоской гармонической
волны, распространяющейся в направлении оси X, фаза колебаний частиц
имеет вид


x
ωt − kx = ω  t −  ,
v

откуда видно, что фаза есть функция времени t и координаты положения
равновесия x частицы.
90
Зафиксируем значение фазы:
x


ωt −  =
const.
v

Так как ω = const ,
t−
x
=
const.
v
Полученное выражение определяет связь между временем t и координатой x, соответствующей фиксированной фазе. Продифференцировав это
выражение, получим
dt −
dx
=
0,
v
откуда
vф= v=
dx
.
dt
Таким образом, скорость распространения v волны и есть скорость vф перемещения фазы.
1.8.6 Волновое уравнение
Уравнение любой волны является решением некоторого дифференциального уравнения в частных производных (волнового уравнения). Исходя из его решения для плоской гармонической волны, получим, что
ξ ( x, y , z=
, t ) Acos (ωt − k X x − k Y y − k Z z ).
Сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от
функции, описывающей данную волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, имеем
∂ 2ξ
=
−k X2 А cos(ωt − k X x − k Y у − k Z z ) =
−k X2 ξ ,
2
∂x
∂ 2ξ
=
−k Y2 А cos(ωt − k X x − k Y у − k Z z ) =
−k Y2ξ ,
2
∂y
∂ 2ξ
=
−k Z2 А cos(ωt − k X x − k Y у − k Z z ) =
−k Z2ξ .
2
∂z
Сложим выражения, содержащие вторые производные по координатам:
91
∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ
+ 2+ 2 =
−( k X2 + k Y2 + k Z2 )ξ .
2
∂x
∂y
∂z
Полученное уравнение можно записать в виде
∆ξ =−k 2ξ ,
∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ
где=
∆
+ 2 + 2 – оператор Лапласа; k= k X2 + kY2 + k Z2 – модуль
2
∂x
∂y
∂z
волнового вектора k или волновое число.
Продифференцируем функцию ξ дважды по времени:
∂ 2ξ
=
−ω 2 А cos(ωt − k X x − k Y у − k Z z ) =
−ω 2ξ ,
2
∂t
откуда
1 ∂ 2ξ
ξ = − 2 2.
ω ∂t
Подставляя такое выражение в уравнение ∆ξ =− k 2ξ , находим, что
k 2 ∂ 2ξ
∆ξ = 2 2 ,
ω ∂t
или с учетом формулы k = ω/v
1 ∂ 2ξ
∆ξ = 2 2 .
v ∂t
Это уравнение называют волновым. Мы его получили, дифференцируя уравнение плоской гармонической волны. Однако его решением является и ряд других функций. Всякая функция, удовлетворяющая волновому уравнению, описывает некоторую волну, причем корень квадратный
∂ 2ξ
из величины, обратной коэффициенту при 2 , представляет собой фазо∂t
вую скорость этой волны. Таким образом, волновое уравнение в наиболее
общем виде описывает волновой процесс. Оно справедливо для однородных изотропных сред, затухание в которых мало, и при условии ξ << λ .
Отметим, что для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси X, волновое уравнение имеет вид
∂ 2ξ
1 ∂ 2ξ
= 2 2.
∂x 2
v ∂t
92
1.8.7 Энергия упругой волны
Распространение механических колебаний, представляющее собой
последовательную передачу движения от одного участка среды к другому,
означает тем самым передачу энергии. Эту энергию доставляет источник
волны, когда он приводит в движение непосредственно прилегающий
к нему слой среды, от которого энергия передается следующему слою. Таким образом, распространение волны создает в среде поток энергии, расходящейся от источника. Представление о потоке энергии, переносимой
волнами, впервые ввел русский физик Н. А. Умов.
Потоком энергии dΦ через элементарную площадку dS называется
отношение энергии dW, проходящей через эту поверхность за промежуток
времени dt, к величине данного промежутка:
dФ =
dW
.
dt
Поток энергии – величина скалярная, размерность которой совпадает
с размерностью мощности. Для характеристики переноса энергии в разных
точках пространства вводится вектор плотности потока j, называемый
также вектором Умова. Он направлен в сторону распространения волны
и по абсолютной величине равен отношению потока dΦ сквозь площадку
dS поверхности к площадке dS⊥ , являющейся проекцией dS на плоскость,
перпендикулярную направлению распространения волны:
=
j
dФ
dW
dW
=
=
,
dS ⊥ dS ⊥ dt dScosϕ dt
где ϕ – угол между направлением нормали к площадке dS и направлением j. За время dt через dS ⊥ переносится энергия dW, которая заключена
в объеме цилиндра dV с основанием dS ⊥ и стороной vdt (рис. 1.8.2):
=
dW wdV
= wdS⊥ vdt ,
где w = dW/dV – плотность энергии. Таким образом, модуль плотности
потока энергии j равен
j
=
dW
wdS⊥vdt
=
= wv.
dS⊥ dt
dS⊥ dt
Введем вектор v, модуль которого равен фазовой скорости волны,
а направление совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии). Тогда
j = wv.
93
dS⊥
dS⊥
n
dS
j
vdt
Рис. 1.8.2
Если в некоторой среде плотности ρ распространяется в направлении оси X плоская гармоническая волна
=
ξ Аcos (ωt − kx + α ),
то можно показать, что плотность энергии изменяется по такому закону:
=
w
ρ А2ω 2 sin 2 (ωt − kx + α ),
т. е. в каждый момент времени в разных точках пространства она различна.
В одной и той же точке среды плотность энергии изменяется со временем
по закону квадрата синуса. Так как среднее значение квадрата синуса равно 1/2, то средняя плотность энергии за период составляет
w =
1
ρ А 2ω 2 .
2
Итак, плотность энергии и ее среднее значение пропорциональны плотности среды ρ, квадрату частоты ω и квадрату амплитуды А.
В случае монохроматической волны вектор j, как и плотность энергии, изменяется со временем по закону квадрата синуса. Потому среднее
по времени значение вектора Умова можно записать как
1
j = ρ А2ω 2 v.
2
Это выражение справедливо для любого вида волн – плоской, цилиндрической, сферической, затухающей и др.
94
Модуль среднего по времени значения плотности потока энергии,
переносимой волной, называют интенсивностью волны: J = j . Для монохроматической волны
1
J = ρ A2ω 2v.
2
Таким образом, интенсивностью волны называется величина, равная
энергии, которую в среднем переносит волна за единицу времени через
единицу площади поверхности, перпендикулярной к направлению распространения волн.
95
Раздел 2
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
И ТЕРМОДИНАМИКА
2.1 Основы молекулярно-кинетической теории
2.1.1 Основные положения молекулярно-кинетической теории
Молекулярно-кинетическая теория – учение, которое объясняет
строение и свойства веществ движением частиц, из которых состоят вещества, и взаимодействием этих частиц между собой. Оно базируется на следующих основных положениях:
а) все вещества состоят из частиц – атомов, молекул и др.;
б) частицы, из которых состоит вещество, находятся в непрерывном хаотичном движении, называемом тепловым;
в) частицы вещества взаимодействуют между собой силами притяжения и отталкивания одновременно.
Эти положения полностью подтверждаются теоретически и экспериментально.
Атом представляет собой наименьшую частицу химического элемента, сохраняющую его химические свойства. Атом состоит из положительно заряженного ядра и движущихся вокруг него отрицательно заряженных электронов. Электрический заряд атомного ядра равен модулю
суммы зарядов электронов данного атома, т. е. атом является электрически
нейтральным.
Молекула представляет собой наименьшую устойчивую частицу вещества, которая сохраняет его химические свойства. Она может состоять
из одного или нескольких атомов как одинаковых, так и разных химических элементов.
Количеством вещества называется физическая величина, определяемая числом структурных элементов, из которых состоит вещество (атомов,
молекул и т. д.). Единицей количества вещества служит моль. Это то количество вещества, которое содержит в себе столько характерных для данного вещества частиц (атомов, молекул и т. д.), сколько атомов в 0,012 кг углерода 12С.
В одном моле любого вещества содержится одинаковое количество
частиц (атомов, молекул и т. д.), равное 6,022 · 1023 моль–1. Это число называется числом Авогадро NА.
Масса одного моля называется молярной массой µ. Если масса частицы (атома, молекулы и т.д.) равна m0, то
μ = m0 NА .
96
Число молей v, содержащихся в массе вещества m, равно
ν=
m
µ
или ν =
N
NA
,
где N – число частиц в данной массе вещества.
Объем одного моля Vμ называется молярным объемом. При известной плотности ρ вещества
Vµ =
µ
.
ρ
2.1.2 Опытное обоснование основных положений молекулярнокинетической теории
Основные положения молекулярно-кинетической теории подтверждаются большим количеством физических явлений, таких как броуновское движение, диффузия, упругие деформации и др.
Броуновское движение представляет собой непрерывное хаотичное
движение взвешенных частиц вещества, находящихся в жидкости или газе.
Хаотичное движение таких частиц объясняется тем, что движущиеся
молекулы жидкости сталкиваются с этими частицами и передают им свой
импульс. В результате частицы непрерывно меняют направления своего
движения и движутся по сложной траектории, имеющей вид ломаной
линии.
Диффузия – процесс взаимного проникновения частиц одного вещества в пространство между частицами другого вещества, в результате чего
происходит выравнивание плотностей (или концентрации) веществ при
их смешивании друг с другом. Это явление обусловлено беспорядочным
движением частиц. Диффузия наблюдается в газах, жидкостях и твердых
телах.
Примером диффузии может служить состояние стратосферы, которая является смесью различных газов – кислорода, водорода, азота, водяных паров и др. Под действием силы тяжести, которая различна для каждого газа, молекулы газов расположились бы в виде слоев. Однако вследствие диффузии газы перемешиваются, и их смесь оказывается однородной.
Процесс диффузии ускоряется с ростом температуры, так как при
этом увеличивается скорость хаотического движения молекул.
Третье положение молекулярно-кинетической теории подтверждается наличием сил упругости, которые являются следствием одновременного
действия сил взаимного притяжения и отталкивания между молекулами
вещества. Эти силы обусловлены электрическим взаимодействием электронов и атомных ядер молекул, т. е. они имеют электрическую природу.
97
На коротких расстояниях между центрами молекул (около 10–10 м)
преобладают силы отталкивания F1, а при больших расстояниях – силы
притяжения F2, которые быстро убывают с увеличением расстояния r
между молекулами. На рис. 2.1.1 представлены зависимости этих сил,
а также их равнодействующей F от расстояния между центрами молекул.
При r = r0 силы притяжения уравновешиваются силами отталкивания, и молекула находится в состоянии устойчивого равновесия. Данному
состоянию молекул соответствует наименьшее значение потенциальной
энергии Wп молекул (рис. 2.1.2). При изменении положения устойчивого
равновесия (сближение или отдаление молекул) появляются силы, препятствующие нарушению устойчивого равновесия.
Wп
F
F1
F
O
r
r0
r0
O
F2
r
–Wmin
Рис. 2.1.1
Рис. 2.1.2
2.2 Идеальные газы
2.2.1 Идеальный газ. Скорости молекул идеального газа
Идеальным называется газ, при рассмотрении которого не учитывается взаимодействие между его молекулами. При соударении между собой и со стенками сосуда молекулы такого газа принимаются за абсолютно
упругие шарики предельно малых размеров.
Хаотичность движения молекул и их взаимодействие между собой
приводит к тому, что их скорости непрерывно меняются как по модулю,
так и по направлению. Кроме того, число молекул в газах, изучаемых в молекулярной физике, как правило, чрезвычайно велико, и описать их движение с помощью законов механики невозможно. В этом случае применяется статистический метод, с помощью которого можно определить
98
средние значения физических величин, описывающих движение молекул
газа, в частности средние скорости молекул газа при данной температуре T:
1) средняя арифметическая скорость vср , модуль которой
vср =
v1 + v2 + ... + vN
N
,
где N – число молекул газа;
2) средняя квадратичная скорость u, модуль которой
=
u
v12 + v22 + ... + vN2
=
N
v2 ,
где v – средний квадрат скорости молекул.
2
2.2.2 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
идеальных газов
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных
газов устанавливает связь между давлением р газа, его объемом V и кинетической энергией Wк хаотического поступательного движения его молекул:
pV =
2
Wк .
3
m v2
В этом выражении Wк = ∑ 0 i – суммарная кинетическая энергия по2
i =1
ступательного движения N молекул однородного газа, m – масса одной
N
молекулы, а v i – ее скорость.
Так как
m v 2 Nm  v 2 + v 2 +  + v 2
N
1
2
0
Wк = ∑ 0 i =

N
2 
i =1 2
N
0

,

то
Nm 0 2 mu 2
,
u =
Wк =
2
2
v12 + v22 +  + vN2
здесь
= u 2 ; m = m 0N – масса газа; u – средняя квадратичN
ная скорость его молекул.
99
Таким образом, основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов может быть записано следующим образом:
1
pV = mu 2.
3
С его помощью давление p газа может быть выражено так:
p
=
1m 2 1 2 1
u
nm 0u 2,
=
=
ρu
3V
3
3
где ρ – плотность газа; n – концентрация его молекул.
Записанное для одного моля газа основное уравнение принимает вид
1
2 m0 u 2 2
2
=
=
=
pV
N mu
N
N W,
µ 3 А 0
3 А 2
3 А к
m 0u 2
в котором W к =
представляет собой среднюю кинетическую энергию
2
хаотического движения молекул газа.
2.2.3 Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–
Клапейрона)
Физические величины, которые характеризуют систему в термодинамике, называются термодинамическими параметрами. К основным
термодинамическим параметрам относятся давление р, объем V, абсолютная температура Т.
Совокупность значений термодинамических параметров определяет
термодинамическое состояние системы. Уравнение, связывающее между
собой основные параметры состояния, называется уравнением состояния.
Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева–
Клапейрона
pV=
m
µ
RT,
где m – масса газа; µ – молярная масса; R = 8,3
Дж
– универсальная
моль ⋅ К
газовая постоянная.
Для одного моля газа уравнение состояния принимает вид
pVμ = RT,
где Vμ – молярный объем.
100
Учитывая, что число молей
ν=
m
=
µ
N
,
NA
уравнение состояния можно записать следующим образом:
p=
В нем
(
N R
T.
V NA
R
N
= k – постоянная Больцмана
= n – концентрация молекул,
NА
V
=
k 1,38 ⋅ 10−23
Дж
K
).
С учетом величин n и k уравнение Менделеева–Клапейрона принимает вид
p = nkT.
2.2.4 Температура как мера средней кинетической энергии молекул
идеального газа
Температура Т – термодинамический параметр, характеризующий
направление теплообмена между телами. В состоянии термодинамического равновесия устанавливается одинаковая для всех частей системы температура. С точки зрения молекулярно-кинетической теории температура
является мерой средней кинетической энергии теплового хаотического
движения молекул газа.
Действительно, сравнение основного уравнения молекулярно-кинетической теории и уравнения состояния идеального газа, записанных для
одного моля одноатомного газа:
2
pVµ = N АWк и pVµ = RT ,
3
показывает, что
2
N АWк = RT. Отсюда следует, что
3
=
Wк
3 R
3
=
T
kT .
2 NА
2
Таким образом, средняя кинетическая энергия W к теплового хаотического движения молекул газа пропорциональна термодинамической
температуре Т.
Для измерения температуры используются тела, физические характеристики которых меняются при изменении температуры. Такие тела
101
называются термометрическими. С помощью термометрического тела
устанавливается температурная шкала. В международной практической
стоградусной шкале температура t измеряется в градусах Цельсия (°С),
в абсолютной термодинамической шкале температура Т измеряется в кельвинах (К). Эти температуры связаны соотношением
Т = t + 273.
Температура Т = 0 К называется абсолютным нулем температуры.
Из сопоставления формул для средней кинетической энергии молекул
3
Wк,ср = kT
2
m0 u 2
и Wк,ср =
2
для средней квадратичной скорости молекул можно получить выражение
u=
Так как k =
3kT
.
m0
µ
R
иm =
, то
0 N
NА
А
u=
3RT
µ
.
2.2.5 Изопроцессы в идеальных газах
При изменении термодинамических параметров газ переходит из одного состояния в другое. Такой переход называется термодинамическим
процессом.
Термодинамические процессы, протекающие в системе с неизменной
массой при постоянном значении одного из параметров p, V или Т, называются изопроцессами.
Изотермическим процессом называется процесс, протекающий при
неизменной температуре (Т = const). Он подчиняется закону Бойля–
Мариотта:
pV = const .
На термодинамической диаграмме в координатах p, V изотермический процесс изображается кривой, которая называется изотермой
(рис. 2.2.1). На рис. 2.2.2 и 2.2.3 представлены графики изотермического
процесса в координатах p, Т и V, Т.
102
p
p
T2>T1
V
T
0
T2>T1
T2>T1
T2
T1
0
V
T1
0
Рис. 2.2.1
T2
Рис. 2.2.2
T1
T2
T
Рис. 2.2.3
При переходе газа из состояния 1 в состояние 2 его параметры связаны между собой равенством
p1V1= p2V2.
Изохорным процессом называется процесс, протекающий при неизменном объеме V, занимаемом газом (V = const). Он подчиняется закону
Шарля:
=
p p0(1 + α p t) ,
где p0 – давление газа при t = 0 °C; αp – термический коэффициент давления газа, который характеризует относительное увеличение давления газа при нагревании его на 1 °C. Опытным путем установлено, что
αp =
1
град –1.
273
С учетом того, что Т = 273 + t, закон Шарля можно записать как
1 
1

p =p 01 +
t  =p 0
T.
273
 273 
p
= α p p0 .
T
Так как αp = const и для данной массы газа p0 = const, то закон Шар-
Отсюда следует, что p = α p p0T
или
ля принимает следующий вид:
p
= const.
T
Выражение для закона Шарля можно также получить с помощью
уравнения Менделеева–Клапейрона, в котором m, μ, R и V являются постоянными величинами.
103
При переходе газа из состояния 1 в состояние 2 в изохорном процессе его параметры связаны между собой равенством
p
1
T1
=
p
2
T2
.
Графически на диаграммах в координатах p, t или p, T изохорный процесс
изображается отрезком прямой, называемой изохорой (рис. 2.2.4, 2.2.5).
Если на диаграмме p, t изохору продолжить в область низких температур, то ее продолжение пересечет ось t в точке, соответствующей температуре, равной –273 °С, или абсолютному нулю температур Т0 = 0 K.
p
V1
p
V2 > V1
V2
V1
V2
p01
− 273
p02
T
0
t, ° C
0
Рис. 2.2.4
Рис. 2.2.5
В области низких температур изохоры изображены пунктиром, так
как при низких температурах газы перестают быть идеальными, и для них
законы идеальных газов становятся неприменимы.
На рис. 2.2.6 и 2.2.7 изображены графики изохорного процесса в координатах p, V и V, Т.
p
V2 > V1
V
V2
V1
0
V1
V2
Рис. 2.2.6
104
V
T
0
Рис. 2.2.7
Изобарным процессом называется процесс, протекающий при постоянном давлении газа (p = const). Этот процесс подчиняется закону ГейЛюссака:
V = V0(1 + αV t),
где V0 – объем, занимаемый газом при 0 °С; αV – термический коэффициент
объемного расширения (αV = 1/273 град–1).
С учетом того, что Т = 273 + t °С закон Гей-Люссака может быть записан так:
V = αVV0T или
V
= αVV0.
T
Так как αV и V0 – постоянные величины, то
V
= const.
T
Выражение для закона Гей–Люссака можно также получить с помощью
уравнения Менделеева–Клапейрона, в котором m, μ, R и p являются постоянными.
При переходе газа из состояния 1 в состояние 2 в изобарном процессе его параметры связаны между собой равенством
V1 V2
=
.
T1 T2
Графически на диаграммах в координатах V, t и V, Т изобарный процесс изображается отрезками прямых линий, которые называются изобарами (рис. 2.2.8, 2.2.9).
V
p1
p2
V
p2 > p1
p1
p2 > p1
V02
− 273
p2
V01
0
Рис. 2.2.8
t,οC
T
0
Рис. 2.2.9
105
В области низких температур законы идеальных газов становятся
неприменимы и изобары изображаются пунктиром.
На рис. 2.2.10 и 2.2.11 представлены графики изобарного процесса
в координатах V, p и p, Т.
p
V
p2
p1
0
p1
p2
p
T
0
Рис. 2.2.10
Рис. 2.2.11
2.2.6 Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа
по скоростям
Молекулы газа совершают хаотическое движение. В результате
столкновений скорости молекул меняются как по величине, так и по
направлению. Однако средняя квадратичная скорость молекул u =
3kT /m0 , находящихся в состоянии равновесия, остается постоянной. Это
объясняется тем, что в газе устанавливается стационарное, не меняющееся
со временем распределение молекул по скоростям. Оно описывается
функцией распределения молекул по скоростям F( v ). Выражение для нее
было выведено Дж. Максвеллом (1859). Физический смысл функции F( v )
состоит в следующем.
Пусть dN( v ) – число молекул, имеющих скорость в интервале от v
до v +d v , N – общее число молекул газа. Функция F( v ) определяет относительное число молекул dN( v )/N:
dN (v)
= F (v)d v
N
и имеет вид
 m 
F (v) = 4π  0 
 2π kT 
106
3/2
ve
2
−
m0v2
2 kT
.
Функция распределения F( v ) для трех разных температур Т1 < T2 < T3
изображена на рис. 2.2.12.
F(v)
T1
T2
T3
0
v
vв1 vв2 v в3
Рис. 2.2.12
Скорость vв , при которой функция F( v ) максимальна, называется
наиболее вероятной скоростью:
=
vв
2kT
=
m0
2 RT
µ
.
С повышением температуры она возрастает, поэтому максимум функции
распределения молекул по скоростям сдвигается в сторону больших скоростей (на рис. 2.2.12 Т1 < T2 < T3, и поэтому v в1 < v в2 < v в3).
Средняя скорость молекулы v ср (средняя арифметическая скорость)
определяется как
∞
1
=
vср
vdN
=
(v)
N ∫0
∞
v)d v
∫ vF (=
0
8kT
=
π m0
8RT
πµ
.
С помощью функции распределения можно вычислить и среднюю
квадратичную скорость u
∞
=
u
2
2
dv
∫ v F (v)=
0
3kT 3RT
.
=
m0
µ
Перечисленные выше скорости молекул газа связаны неравенствами
v в< v ср< u.
107
2.2.7 Барометрическая формула и функция распределения Больцмана
Рассмотрим газ, состоящий из молекул с одинаковой массой, находящийся при постоянной температуре в однородном потенциальном поле
сил F = F(z), направленных вертикально вниз (в противоположном оси Z
направлении). Как известно, тела (молекулы), находящиеся в потенциальном поле сил, обладают потенциальной энергией Wп = Wп(z), при этом F(z)
dWп(z)
.
dz
Выделим в газе элементарный объем dV = Sdz, где S – площадь основания выделенного объема, dz – его высота. Пусть dp = p(z + dz) – p(z) –
разность давлений на высотах z + dz и z (рис. 2.2.13). Тогда на выделенный
объем действует результирующая сила давления Sdp, направленная вверх.
и Wп(z) связаны соотношением F (z) = −
Рис. 2.2.13
Вместе с тем на каждую молекулу выделенного объема действует
потенциальная сила F(z). Число молекул в выделенном объеме равно ndV,
где n – концентрация молекул. Таким образом, суммарная потенциальная
сила, действующая на все молекулы выделенного объема и направленная
вниз, равна ndVF (z) = −nSdz
dWп
.
dz
В покоящемся газе две упомянутые выше силы уравновешивают
друг друга, т. е.
Sdp = −nSdz
108
dWп
.
dz
Учтем в этом уравнении, что давление и температура газа связаны соотношением p = nkT. Так как Т не зависит от координаты z, то dp = kTdn.
Тогда получаем
kTdn = −ndWп или
dn
dW
= − п.
n
kT
Интегрирование последнего соотношения в предположении, что при z = 0
потенциальная энергия Wп(0) = 0, а концентрация газа n(0) = n0, дает
 W (z) 
=
n(z) n0exp − п  .
 kT 
Это выражение называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре концентрация газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.
Из распределения Больцмана для молекул в поле силы тяжести
Wп(z) = m0gz следует барометрическая формула – зависимость давления
газа от высоты z над поверхностью Земли:
 m gz 
 µ gz 
 z
=
p( z )= p0 exp  − 0 = p0 exp  −
p
exp
0

−
 kT 
 RT 
 H

.

Величина H = RT/µg ≈ 8000 м в этой формуле называется высотой
стандартной атмосферы. На такой высоте давление воздуха уменьшается
в е = 2,7 раза.
2.3 Основы термодинамики
Термодинамика – наука о наиболее общих свойствах макроскопических физических систем, находящихся в состоянии термодинамического
равновесия, и о процессах перехода между этими состояниями.
Термодинамика строится на основе фундаментальных принципов
(начал), которые являются обобщением многочисленных наблюдений и
выполняются независимо от конкретной природы образующих систему
тел. Поэтому закономерности и соотношения между физическими величинами, к которым приводит термодинамика, имеют универсальный характер.
Совокупность тел, рассматриваемых в термодинамике, называется
термодинамической системой.
109
2.3.1 Внутренняя энергия
Внутренней энергией U системы называется энергия, зависящая
только от термодинамического состояния системы, а также от характера
движения и взаимодействия частиц, входящих в систему, и включает:
– кинетическую энергию теплового движения всех частиц системы;
– потенциальную энергию взаимодействия частиц системы между
собой;
– энергию электронов в атомах, содержащихся в частицах, и внутриядерную энергию этих атомов.
Обычно изменением энергии электронов и внутриядерной энергии
можно пренебречь и рассматривать внутреннюю энергию системы как
сумму кинетической энергии теплового движения частиц и потенциальной
энергии их взаимодействия.
Внутренняя энергия является функцией термодинамического состояния системы, т. е. зависит от ее термодинамических параметров и не связана
с тем, каким образом система пришла к такому состоянию. При переходе системы из одного состояния в другое изменение внутренней энергии
∆U = U 2 − U1 не зависит от характера этого перехода. В случае кругового
процесса, при котором система возвращается в исходное состояние, ∆U =
0.
Внутренняя энергия идеального газа включает в себя только кинетическую энергию теплового движения его молекул, так как взаимодействие
между молекулами такого газа пренебрежимо мало:
N
U = ∑Wкi .
i =1
С учетом того, что средняя кинетическая энергия теплового движения молекул одноатомного однородного газа
3
Wк = kТ ,
2
3
U NW
=
= N kТ .
2
m
Так как число молекул N = N A , то внутренняя энергия идеального
µ
одноатомного газа
U=
110
3m
RT ,
2µ
а ее изменение
3m
2µ
∆U = R∆T .
Очевидно, внутренняя энергия идеального газа является функцией абсолютной температуры Т и ее изменение определяется только изменением
температуры ΔТ.
Используя уравнение состояния идеального газа pV =
m
µ
RT , изме-
нение внутренней энергии можно представить в виде
=
∆U
3
( p2V2 − p1V1 ) .
2
Приведенные выше формулы справедливы для одноатомного идеального
газа. Для многоатомного идеального газа внутренняя энергия зависит еще
от одного параметра – числа степеней свободы.
2.3.2 Число степеней свободы. Закон равномерного распределения
энергии по степеням свободы
Число степеней свободы молекулы – число независимых величин,
полностью определяющих положение молекулы в пространстве.
Молекулу одноатомного газа (гелий, ксенон и др.) можно рассматривать как материальную точку, ее положение в пространстве задается тремя
декартовыми координатами, которым соответствуют три степени свободы
поступательного движения, в них запасается кинетическая энергия.
Молекула двухатомного газа (водород, кислород, азот) в первом
приближении рассматривается как совокупность двух жестко связанных
материальных точек. Эта молекула кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения – вокруг двух осей, перпендикулярных оси молекулы, в них запасается
кинетическая энергия вращения. Вращение вокруг третьей оси, проходящей через два атома молекулы, не меняет расположение молекулы в пространстве, в таком вращении не запасается энергия вращения, так как момент инерции молекулы относительно этой оси равен нулю. Таким образом, двухатомная молекула обладает пятью степенями свободы.
Трехатомная (углекислый газ, вода) и многоатомная нелинейные молекулы имеют шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных.
Естественно, жесткой связи между атомами в молекуле не существует. Потому необходимо учитывать также степени свободы колебательного движения, при котором изменяется расстояние между атомами.
111
Отметим, что двухатомная молекула имеет одну колебательную степень
свободы.
В классической статистической физике справедлив закон Больцмана
о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул: для
статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического
равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы
приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы – в среднем энергия kT.
Колебательная степень свободы имеет вдвое бóльшую энергию, так
как на нее приходится не только кинетическая энергия, но и потенциальная, а средние их значения одинаковы.
Таким образом, средняя энергия молекулы
i
2
ε ср = kT ,
где i – суммарное число степеней свободы молекулы: i = iпост + iвращ +
2iколеб.
Так как в идеальном газе потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю, то его внутренняя энергия равна сумме энергий молекул, т. е.
i
U = NkT.
2
i
2
Для 1 моля газа N = NA и его внутренняя энергия U µ = N A kT =
i
i
RT. Если в газе содержится ν = N/NA молей, то U = νRT . Используя
2
2
уравнение состояния идеального газа, изменение внутренней энергии
можно представить в виде
∆=
U
i m
i
R (T2 −=
T1 )
( p2V2 − pV
1 1) .
2µ
2
2.3.3 Работа в термодинамике
Работой в термодинамике называют форму передачи энергии, при
которой энергия упорядоченного движения одного тела переходит в энергию упорядоченного движения другого тела (или его частей). Это может
происходить при взаимодействии макроскопических тел, размеры которых
много больше размеров отдельных атомов и молекул.
Различают работу А, которая совершается системой над внешними
телами, и работу А′ , которая производится внешними телами над системой. Они равны по модулю и противоположны по знаку: А = – А′ .
112
Работа А газа в изобарном процессе
А =р(V2 − V1) =p∆V ,
где р – давление газа; ∆V = (V2 − V1 ) – изменение его объема.
При расширении газа происходит положительная работа против
внешних сил ( ∆V > 0 ), при сжатии газа – отрицательная работа ( ∆V < 0 )
силами внешнего давления.
Работу расширения газа можно выразить и другой формулой, применив уравнение Менделеева–Клапейрона для двух состояний газа – до изобарного расширения pV1 =
А=
m
µ
RT1 и после него pV2 =
m
µ
R (T2 − Т1 ) =
m
µ
m
µ
RT2 –
R ∆T .
С помощью последней формулы можно установить физический смысл
универсальной газовой постоянной R: она численно равна работе, которую
совершает в изобарном процессе 1 моль идеального газа при повышении
его температуры на 1 К.
При изохорном процессе (V = const, ΔV = 0) объем газа остается постоянным, и работа газом не совершается: A = 0.
Работе газа A можно дать простое геометрическое истолкование: на
графике зависимости давления р от объема V при изобарическом процессе
работа, которую совершает газ при изменении объема от V1 до V2, численно равна площади прямоугольника с основанием V2 – V1 и высотой
р = const (рис. 2.3.1). Зависимость р = f(V) для изохорного процесса
(рис. 2.3.2) подтверждает, что работа газа равна нулю.
Работа расширения при любом процессе измеряется площадью на
рV-диаграмме, ограниченной кривой процесса p = f(V), осью абсцисс
и вертикальными прямыми V = V1 и V = V2 (рис. 2.3.1–2.3.3), т. е. интегралом
V2
A = ∫ pdV .
V1
Из этой формулы следуют приведенные выше выражения для работы
газа, совершаемой в изобарном процессе (см. рис. 2.3.1). В изохорном процессе (см. рис. 2.3.2) A = 0, поскольку dV = 0. В изотермическом процессе
(см. рис. 2.3.3), используя уравнение Менделеева–Клайперона, получаем
113
=
A
V2
pdV
∫=
V1
V2
m
dV m
V2 m
p1
.
=
=
ln
ln
RT
RT
RT
∫V µ V µ
V
p
µ
1
2
1
p
p
p
p2
p
p1
p1
0
V1
V2 V
Рис. 2.3.1
0
p2
V
V
0 V1
Рис. 2.3.2
V2
V
Рис. 2.3.3
При круговом процессе (цикле) (рис. 2.3.4) на участке 1 – а – 2 газ
расширяется и совершает положительную работу А1а2, численно равную
площади под кривой 1 – а – 2. На участке 2 – б – 1 газ сжимается и производит отрицательную работу А2б1, численно равp
ную площади под кривой 2 – б – 1. Суммарная
2
работа газа за цикл численно равна разности этих
p2
двух площадей (А = А1а2 – А2б1), т. е. площади,
а
охватываемой замкнутой кривой 1 – а – 2 – б – 1.
б
Эта работа записывается в виде кругового интеp1 1
грала
0
V1
V2 V
A= 
∫ pdV .
Если бы газ переходил из состояния 1 в состояние 2 по пути 1 – б – 2, а возвращался бы в исходное состояние по пути 2 – а – 1, то работа газа, совершенная за цикл,
оказалась бы отрицательной. Таким образом, работа за цикл численно равна площади, охватываемой кривой цикла на диаграмме рV; работа положительна, если состояние газа изменяется в цикле по часовой стрелке, и отрицательна, – если против часовой стрелки.
Рис. 2.3.4
2.3.4 Количество теплоты. Теплоемкость вещества
Теплообменом называется процесс передачи энергии от одного тела к
другому без совершения работы. Различают следующие виды теплообмена: теплопроводность, конвекция, лучистый теплообмен.
Количеством теплоты Q называется энергия, переданная телу в результате теплообмена. При теплообмене часть внутренней энергии одного
тела переходит во внутреннюю энергию другого тела.
114
Теплоемкостью тела называется величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить телу, чтобы изменить его
температуру на один градус:
С=
Q
.
∆T
Удельной теплоемкостью с называется количество теплоты, которое
необходимо сообщить единице массы вещества для того, чтобы изменить
его температуру на один градус:
=
с
Q
С
.
=
т ∆T т
Молярной теплоемкостью называется количество теплоты, которое
необходимо сообщить одному молю вещества для того, чтобы изменить
его температуру на один градус. Молярная и удельная теплоемкости связаны между собой соотношением
Сµ = сµ .
Количество теплоты, необходимое для нагревания вещества массой
т (или числом молей v) на ΔT градусов, можно определить по формуле
Q = cm∆T = cµν∆T .
Если система тел изолирована, то в соответствии с законом сохранения энергии, энергия такой системы не изменяется. Если в ней происходят
процессы, при которых работа не совершается, то изменение внутренней
энергии любого тела системы равно количеству тепла, отданного или полученного этим телом:
∆U i =
Qi.
Суммируя подобные выражения для всех тел системы, находим, что
∆U 1 + ∆U 2 + ... + ∆U =n
n
n
∑ ∆U= ∑ Q=
i
=i 1 =i 1
Уравнение
i
0.
n
∑ Q = 0 называется уравнением теплового баланса.
i =1
i
Если в изолированной системе тел не происходит никаких превращений энергии, кроме теплообмена, то количество теплоты, отданное телами, внутренняя энергия которых уменьшается, равно количеству теплоты, полученному телами, внутренняя энергия которых увеличивается.
115
2.3.5 Первый закон термодинамики
Закон сохранения энергии, распространенный как на механические,
так и на тепловые явления, называется первым законом (началом) термодинамики: изменение внутренней энергии системы равно сумме работы,
совершаемой над системой внешними силами, и количества теплоты, полученного системой:
∆U = A′ + Q .
Так как работа внешних сил А′ и работа, производимая системой над
другими телами А, равны и противоположны по знаку, А′ = –А, то
Q=
∆U + A ,
т. е. количество теплоты, сообщенное системе, идет на приращение
внутренней энергии системы и на совершение этой системой работы над
внешними телами.
Для элементарного процесса первое начало термодинамики записывается в виде
δ=
Q dU + δ A ,
где δQ – бесконечно малое количество теплоты, полученное системой;
dU – бесконечно малое изменение ее внутренней энергии; δA = pdV – элементарная работа. Здесь учтено, что работа А и переданное количество
теплоты Q зависят в отличие от ΔU не только от начального и конечного
состояний системы, но и от процесса, с помощью которого происходило
изменение состояния. Это обстоятельство подчеркивается символами δQ,
dU и δA.
Следует отметить, что теплоемкость вещества также зависит от процесса, в котором происходит передача теплоты. Различают теплоемкости
при постоянном объеме СV и постоянном давлении Cp, если в процессе
нагревания вещества его объем или давление постоянны.
Согласно первому началу термодинамики, для 1 моля идеального газа в изохорном процессе получаем
C
=
V
δQ
dU i
= =
R,
dT dT 2
так как в этом процессе работа газа δA = 0, и потому δQ = dU.
В изобарном процессе
dU pdVµ
=
Cp = +
CV + R ,
dT
dT
поскольку в нем, согласно уравнению Менделеева–Клайперона, pVμ = RT
для 1 моля идеального газа, и следовательно, pdVμ = RdT.
116
Последнее выражение называется уравнением Майера.
Отметим, что для любых веществ Cp > CV, так как в процессе при
постоянном давлении часть подводимого тепла дополнительно расходуется на совершение работы по расширению тела (газа).
2.3.6 Применение первого закона термодинамики к изопроцессам
в идеальных газах
При изохорном процессе (V = const) газ работу не совершает и все
количество теплоты Q идет только на увеличение внутренней энергии газа:
m
Q=
∆U = CV ∆T .
µ
При изобарном процессе (р = const) количество теплоты, подводимое к газу Q > 0, расходуется как на увеличение внутренней энергии
ΔU > 0, так и на работу расширения A > 0, которую совершает газ против
внешнего давления:
Q=
∆U + A.
Поскольку A = p∆V =ν R∆T , а изменение внутренней энергии одноатомного газа ∆U=
Q
=
i
ν R∆T , то
2
i+2
i
ν R ∆ T = ν C p∆ T .
ν R ∆T + ν R ∆T =
2
2
При изотермическом процессе (Т = const) температура остается постоянной (ΔT = 0), внутренняя энергия газа при этом не меняется
(ΔU = 0), поэтому вся подводимая теплота идет на работу, совершаемую
газом:
Q = A.
2.3.7 Адиабатический процесс
Адиабатическим процессом называется процесс, протекающий в системе тел без теплообмена с окружающей средой (δQ = 0). По этой причине первый закон термодинамики для адиабатического процесса записывается следующим образом:
dU + δ A =
0.
Отсюда следует, что
δA = – dU,
т. е. в адиабатическом процессе газ совершает работу за счет убыли внутренней энергии системы.
117
Подставляя в последнее уравнение выражения для элементарной работы (δA = pdV) и внутренней энергии (dU = CVdT), а также учитывая
уравнение состояния идеального газа, получаем следующие уравнения для
адиабатического процесса (называемые также уравнениями Пуассона):
γ 1–γ
pV γ = const , TV γ −1 = const , T p
= const .
Здесь γ – безразмерная величина, называемая показателем адиабаты и
равная
γ
=
Cp i + 2
.
=
CV
i
Если газ расширяется адиабатически
р
Q=0
(δA = pdV > 0, а dU = CVdT < 0), то происходит охлаждение газа (dT < 0); если газ адиабаT = const тически сжимается (δA < 0, dU > 0), то газ нагревается (dT > 0).
На диаграмме pV (рис. 2.3.5) адиабатический процесс изображается кривой, которая
называется адиабатой. На этой диаграмме приV
0
ведена также изотерма (pV = const), которая
соответствует температуре начального состояРис. 2.3.5
ния газа. Из сравнения адиабаты и изотермы
следует, что при адиабатическом сжатии газа
его давление растет быстрее (γ > 1), чем при изотермическом. Это связано
с тем, что увеличение давления происходит как за счет уменьшения объема
газа, так и благодаря возрастанию температуры.
Практически адиабатический процесс осуществляется при достаточно быстром расширении или сжатии газа таким образом, что теплообмен
между газом и внешней средой не успевает произойти.
2.3.8 Принцип действия теплового двигателя
Тепловой двигатель представляет собой устройство, в котором рабочее тело (газ) совершает работу в ходе циклического процесса за счет теплоты, полученной извне. Чтобы работа за цикл была положительна, давление, а следовательно, и температура газа при расширении должны быть
выше, чем при сжатии. Для этого в тепловом двигателе имеется нагреватель – тело, от которого при расширении газу сообщается теплота Q1, и холодильник – тело, которому в процессе сжатия газ отдает теплоту Q2. Схема теплового двигателя показана на рис. 2.3.6.
118
Так как изменение внутренней энергии при
возвращении рабочего тела в первоначальное состояние равно нулю, то первое начало термодинамики для цикла имеет вид
Q1
Рабочее
А = Q1 – Q2 .
КПД теплового двигателя называется величина, равная отношению совершаемой за цикл
работы А к количеству теплоты Q1, переданного
рабочему телу:
η=
Нагреватель
А
.
Q1
A
тело
Q2
Холодильник
Рис. 2.3.6
С учетом того, что А = Q1 – Q2,
η=
Q1 − Q2
Q
= 1− 2 .
Q1
Q1
Из определения КПД следует, что он не может быть больше единицы.
Из всех возможных циклов максимальный КПД имеет цикл Карно
(рис. 2.3.7). Французский ученый С. Карно рассмотрел идеализированный
цикл тепловой машины, рабочим телом
которой является идеальный газ, находя- p
1 T1 =const
щийся между нагревателем с температу2
рой T1 и холодильником с температуQ=0
Q=0
рой Т2. Этот цикл составлен из определен4
ной последовательности обратимых проT2 = const 3
цессов (рис. 2.3.7): изотермического расV
О
ширения 1 → 2, адиабатического расширения 2 → 3, изотермического сжатия
Рис. 2.3.7
3 → 4 и адиабатического сжатия 4 → 1.
Тепловой двигатель, работающий по циклу Карно, называется
идеальным, и его КПД определяется только температурами нагревателя T1
и холодильника Т2:
ηк = 1 −
Т2
.
Т1
КПД любого теплового двигателя, работающего с нагревателем температуры Т1 и холодильником температуры Т2, всегда меньше КПД идеального
теплового двигателя, работающего при тех же температурах нагревателя
и холодильника (η < ηк).
119
2.3.9 Энтропия и второе начало термодинамики
Кроме внутренней энергии существуют и другие функции состояния,
изменение которых зависит только от начального и конечного состояний
системы и не зависит от процесса, в котором такое изменение происходило. Важнейшая из них – энтропия S, введенная Р. Ю. Клаузиусом в 1865 г.
Ее бесконечно малое изменение dS определяется уравнением
dS =
δQ
T
,
где δQ – теплота, полученная телом; T – температура теплоотдающего тела.
При переходе идеального газа из состояния, характеризуемого объемом V1, температурой Т1 и давлением Р1, в состояние с термодинамическими параметрами V2, Т2 и Р2 для ΔS, используя первое начало термодинамики и уравнение Менделеева–Клайперона, нетрудно получить, что
∆S = S2 − S1 =
m
T2
V2 
+
C
R
ln
ln
.
µ  V T1
V1 
В термодинамике доказывается, что в обратимых процессах (могут
происходить как в прямом, так и в обратном направлении, причем при возвращении системы в исходное состояние в ней и в окружающей среде нет
никаких изменений) ΔS = 0, в необратимых ΔS > 0.
На этих свойствах энтропии базируется второе начало термодинамики (или закон возрастания энтропии): в процессах, происходящих в
замкнутой системе, энтропия системы не убывает (в необратимых она
возрастает, в обратимых постоянна).
Первое начало термодинамики – это закон сохранения энергии, оно
говорит о том, какие процессы возможны (например, и прямые, и обратные
процессы, лишь бы выполнялся закон сохранения энергии). Второе начало
указывает направление протекания термодинамических процессов: из возможных процессов выбираются те, которые реально осуществимы.
В статистической физике энтропия связывается с термодинамической вероятностью состояния системы. Термодинамическая вероятность
W – это число способов (микросостояний), с помощью которых может
быть реализовано данное состояние макроскопической системы (по определению W ≥ 1). Согласно Больцману,
S = k ln W ,
где k – постоянная Больцмана. Второе начало термодинамики теперь можно сформулировать так: процессы в замкнутой системе идут от менее вероятных к более вероятным – до тех пор, пока вероятность системы W не
станет максимальной.
120
2.4 Взаимные превращения газов, жидкостей и твердых тел
2.4.1 Парообразование и конденсация. Кипение
Парообразованием называется процесс перехода вещества из жидкого состояния в газообразное.
Паром данной жидкости называется совокупность молекул, вылетевших из жидкости при парообразовании.
Испарением называется парообразование, происходящее при любой
температуре со свободной поверхности жидкости.
Обратный процесс превращения пара в жидкость называется конденсацией.
Для превращения жидкости в пар ей необходимо сообщить определенное количество теплоты, которое идет на преодоления сил, удерживающих молекулы в жидкости.
Удельной теплотой парообразования r называется количество теплоты Q, необходимое для превращения в пар единицы массы жидкости,
нагретой до температуры кипения:
r=
Q
.
m
Чтобы превратить в пар жидкость массы т, необходимо сообщить
количество теплоты, равное
Q = rm .
Из закона сохранения энергии следует, что при обратном процессе –
конденсации пара в жидкость выделяется такое же количество теплоты.
Кипением называется процесс интенсивного парообразования не
только со свободной поверхности, но и по всему объему жидкости внутрь
образующихся при этом пузырьков пара.
Температурой (точкой) кипения называется температура жидкости,
при которой давление ее насыщенного пара равно или превышает внешнее
давление. В процессе кипения температура жидкости остается постоянной,
если не изменяется внешнее давление. При уменьшении внешнего давления температура кипения снижается, а при увеличении давления – растет.
2.4.2 Насыщенные и ненасыщенные пары. Влажность воздуха
Насыщенным (насыщающим) называется пар, находящийся в динамическом равновесии с жидкостью, при котором число молекул жидкости,
вылетающих из нее в единицу времени, равно числу молекул пара, попадающих в единицу времени в жидкость.
Если динамическое равновесие системы пар–жидкость отсутствует
(например, при отсутствии жидкости), то пар будет ненасыщенным.
121
Масса водяных паров, содержащихся в 1 м3 воздуха при данных температуре и давлении, называется абсолютной влажностью воздуха, т. е.
абсолютная влажность f представляет собой плотность водяных паров ρп:
f = ρп .
В практических целях абсолютную влажность оценивают по парциальному давлению водяных паров рп, т. е. давлению, которое производил
бы водяной пар, если бы все остальные газы отсутствовали, и выражают
в миллиметрах ртутного столба (мм рт. ст.):
f = pп .
Относительная влажность воздуха r есть отношение абсолютной
влажности к парциальному давлению насыщенного пара рнас при той же
температуре, выраженное в процентах:
=
r
pп
⋅ 100 % .
pнас
При понижении температуры давление насыщенных паров уменьшается. Температура, при которой ненасыщенные пары с абсолютной
влажностью рп становятся насыщенными ( рп = рнас ), называется точкой
росы. В точке росы начинается конденсация пара, появляется туман, выпадает роса или образуется иней.
2.4.3 Тепловое расширение твердых тел
Тепловым расширением называется увеличение линейных размеров
и объемов тел, происходящее при повышении их температуры. Линейное
тепловое расширение характерно для твердых тел. Объемное тепловое
расширение происходит как в твердых телах, так и в жидкостях. Количественно линейное и объемное тепловые расширения характеризуются коэффициентами расширения.
Коэффициентом линейного теплового расширения α называется величина, численно равная относительному удлинению тела ∆l / l0 при нагревании его на 1 °С:
=
α
l − l0 ∆l
,
=
l0t
l0t
где l0 – длина тела при температуре 0 °С; l – длина тела при температуре
t °C; Δl = l – l0 – удлинение тела при его нагревании на t градусов.
Длина l тела при температуре t определяется формулой
l = l0 (1 + αt).
122
Для большинства твердых тел α ≈ 10–5–10–6 град–1 и можно считать,
что α практически не зависит от температуры.
Коэффициентом объемного теплового расширения β называется величина, численно равная относительному увеличению объема ∆V / V0 тела
при нагревании его на 1°С:
β
=
V − V0 ∆V
,
=
V0t
V0t
где V0 – объем тела при температуре 0 °С; V – объем тела при температуре
t °C; ΔV = V – V0 – увеличение объема тела при его нагревании на t градусов.
Объем тела V при температуре t определяется формулой
V = V0 (1 + βt).
Коэффициенты линейного и объемного расширения связаны соотношением
β ≈ 3α.
Коэффициенты объемного расширения для жидкостей несколько выше,
чем для твердых тел, – от нескольких тысячных до нескольких десятитысячных единицы.
2.4.4 Плавление и кристаллизация
Плавлением твердых тел называется их переход из твердого состояния в жидкое. За счет энергии, которая подводится к твердому телу при
плавлении, разрушается кристаллическая решетка твердого тела. В процессе плавления твердого тела оно существует одновременно и в твердом,
и в жидком состояниях.
Плавление происходит при определенной температуре, называемой
температурой (точкой) плавления. Температура тела не изменяется при
плавлении и остается все время постоянной, так как все количество теплоты, которое подводится к твердому телу, расходуется на разрушение кристаллической решетки и на работу против внешних сил.
Удельной теплотой плавления λ называется количество теплоты Q,
необходимое для перехода единицы массы твердого тела, нагретого до
температуры плавления, в жидкое состояние:
λ=
Q
.
m
Кристаллизацией называется переход вещества из жидкого в твердое
кристаллическое состояние. Для любой химически чистой жидкости (расплава) этот процесс идет при постоянной температуре кристаллизации,
которая совпадает с температурой плавления. Кристаллизация единицы
123
массы жидкости сопровождается выделением некоторого количества теплоты – удельной теплоты кристаллизации, равной удельной теплоте плавления.
При плавлении (кристаллизации) вещества массы т поглощается
(выделяется) количество теплоты Q = λ m.
2.4.5 Теплота сгорания топлива
Энергия, выделяющаяся при полном сгорании топлива, называется
теплотой сгорания топлива. Она зависит от вида топлива и его массы.
Удельной теплотой сгорания топлива q называется количество теплоты
Q, которое выделяется при полном сгорании единицы массы топлива:
q=
лоты
Q
.
m
При полном сгорании топлива массы т выделяется количество теп-
Q = qm.
2.4.6 Поверхностное натяжение
Опыт показывает, что на поверхности жидкости наблюдается поверхностное натяжение, которое проявляется в стремлении уменьшить
площадь поверхности. Это явление обусловлено тем, что на поверхности
жидкости, вблизи границы, разделяющей жидкость и ее пар, молекулы испытывают межмолекулярное взаимодействие, отличное от взаимодействия
молекул, находящихся внутри объема жидкости (рис. 2.4.1).
1
2
R
Рис. 2.4.1
Так как молекула 1, окруженная со всех сторон другими молекулами
той же жидкости, испытывает одинаковые силы притяжения ко всем своим
соседям, то равнодействующая этих сил равна нулю. Молекула 2, находящаяся на поверхности жидкости, испытывает меньшее притяжение вверх
со стороны молекул пара и большее притяжение вниз со стороны молекул
124
жидкости. В результате на молекулы, расположенные в поверхностном
слое, действует направленная вниз равнодействующая сил R.
Для перемещения молекул из глубины объема жидкости в ее поверхностный слой необходимо совершить работу на преодоление силы R. Эта
работа идет на увеличение поверхностной энергии.
Поверхностной энергией называется избыточная потенциальная
энергия, которой обладают молекулы в поверхностном слое по сравнению
с их потенциальной энергией внутри остального объема жидкости.
Всякая система стремится прийти в состояние с минимальной потенциальной энергией, поэтому поверхность жидкости будет сжиматься так,
чтобы на поверхности жидкости оставалось как можно меньше молекул.
Поверхностное натяжение можно наблюдать на простом опыте.
Пусть пленка жидкости (например, из мыльной воды) натянута на рамку
abcd, одна сторона которой сd подвижна (рис. 2.4.2). Для удержания в покое подвижной стороны рамки сd должна действовать сила F, направленная в сторону, противоположную силе поверхностного натяжения Fп,
стремящейся уменьшить площадь поверхности пленки. Равновесие будет
наблюдаться, когда
F = 2σl ,
где σ – коэффициент поверхностного натяжения; σ l – сила, с которой тянет подвижную сторону сd одна сторона жидкой пленки; 2σ l – полная сила, с которой обе стороны пленки действуют на сторону сd.
Так как F = 2Fп, то Fп = σ l. Таким образом, сила поверхностного
натяжения направлена перпендикулярно периметру рамки, по касательной
к поверхности жидкости и прямо пропорциональна длине стороны рамки.
c
b
F
2Fп
a
d
О
l
X
∆х
Рис. 2.4.2
125
Полученное выражение позволяет определить коэффициент поверхностного натяжения как величину, численно равную силе, действующей на
единицу длины периметра смачивания и направленной к нему перпендикулярно:
σ=
Fп
l
.
В системе СИ коэффициент поверхностного натяжения измеряется в Ньютонах на метр (Н/м).
При увеличении площади свободной поверхности жидкости внешними силами на ∆S должна быть совершена работа
A= σ∆S ,
где ∆S = 2l ∆x – изменение площади свободной поверхности жидкости.
Отсюда
σ=
A
,
∆S
т. е. коэффициент поверхностного натяжения численно равен работе, которую надо совершить, чтобы увеличить площадь поверхности жидкости на
единицу.
Эта работа идет на увеличение энергии ∆Wп свободной поверхности
жидкости:
∆Wп =∆
σ S.
Из последнего равенства вытекает еще одно определение коэффициента
поверхностного натяжения: коэффициент поверхностного натяжения σ
численно равен потенциальной энергии единицы поверхности пленки
жидкости:
σ=
∆Wп
.
∆S
Для данной жидкости коэффициент поверхностного натяжения зависит от температуры (с повышением температуры он уменьшается), а также
от степени загрязненности поверхности жидкости.
Силы поверхностного натяжения вызывают искривление поверхности жидкости в капиллярной трубке, что ведет к появлению избыточного
давления Δp в жидкости по сравнению с давлением под плоской поверхностью. В случае сферической поверхности это давление связано с радиусом
ее кривизны r формулой Лапласа
126
2σ
∆p = .
r
Формулу Лапласа можно применять как к вогнутой (рис. 2.4.3, а), так
и к выпуклой (рис. 2.4.3, б) поверхности. В случае вогнутой поверхности
нужно считать, что r < 0 и соответственно Δp < 0; для выпуклой, наоборот, r > 0 и Δp > 0.
а
б
∆p
h
h
∆p
Рис. 2.4.3
При выпуклом мениске Δp увеличивает то давление, которое существует под плоской поверхностью жидкости, что приводит к опусканию жидкости в капилляре относительно ее уровня в широком сосуде
(рис. 2.4.3, б). При вогнутом мениске давление под плоской поверхностью
уменьшается на величину Δp, что вызывает подъем жидкости в капилляре
относительно ее уровня в широком сосуде (рис. 2.4.3, а).
Разность уровней h жидкости в капилляре и широком сосуде определяется из условия равновесия
Δp = pст,
где pст = ρgh – гидростатическое давление столба жидкости высотой h
плотностью ρ; g – ускорение свободного падения.
Подставив в это равенство значения Δp и pст, получим
h=
2σ
.
ρ gr
Измерение капиллярного поднятия (опускания) жидкости является
одним из простых способов определения σ.
127
Раздел 3
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Электростатика изучает свойства и взаимодействия неподвижных в
инерциальной системе отсчета заряженных тел или частиц.
3.1 Электрические заряды. Закон сохранения
электрического заряда
Электрическим зарядом называется физическая величина, характеризующая способность тел или частиц вступать в электромагнитные взаимодействия.
Различают два вида электрических зарядов – положительные и отрицательные. Единицей измерения заряда в системе СИ служит кулон (Кл).
Наименьший по своему численному значению заряд, существующий
в природе, называется элементарным. Стабильным носителем элементарного положительного заряда является протон, а отрицательного – электрон. Эти заряды равны по модулю, и их численное значение составляет
1,6 ⋅10–19 Кл. Все другие заряды кратны элементарному:
q = ±ne ,
где e – элементарный заряд; n = 1, 2, 3, . . ..
Закон сохранения электрического заряда: алгебраическая сумма
электрических зарядов тел или частиц, образующих электрически изолированную систему, остается постоянной при любых процессах, происходящих в этой системе.
В большинстве задач, решаемых в электростатике, размеры и форма
заряженных тел малы по сравнению с расстояниями между ними. Заряды,
удовлетворяющие данному условию, называются точечными.
3.2 Взаимодействие электрических зарядов. Закон Кулона
Электрические заряды взаимодействуют друг с другом: разноименные заряды притягиваются, а одноименные отталкиваются. Сила взаимодействия зарядов зависит от их численного значения, расстояния между
ними и электрических свойств среды, в которой они находятся.
Сила взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2, расположенных
на расстоянии r друг от друга в вакууме (рис. 3.2.1), подчиняется опытному закону Кулона: модуль силы F электростатического взаимодействия
двух точечных зарядов q1 и q2, находящихся в вакууме, прямо пропорционален произведению модулей этих зарядов и обратно пропорционален
квадрату расстояния r между ними:
128
F =k
q1q2
,
2
r
где k – коэффициент пропорциональности, k =
постоянная ( ε 0 = 8,85 · 10–12 Ф/м).
+q1
1
4πε 0
F21
F12
; ε 0 – электрическая
– q2
r
Рис. 3.2.1
Таким образом, закон Кулона записывается следующим образом:
F=
1 q1q2
.
4πε 0 r 2
Коэффициент пропорциональности равен
2
1
9 Н⋅м
=
k = 9 ⋅ 10
.
4πε 0
Кл 2
Электростатические силы подчиняются третьему закону Ньютона:
F12 = − F21 , F=
F=
F.
12
21
Как показывает опыт, сила взаимодействия зарядов в однородной
непроводящей электрический ток (диэлектрической) среде уменьшается по
сравнению с силой их взаимодействия в вакууме. Величина ε , показывающая, во сколько раз сила электростатического взаимодействия в среде
меньше, чем в вакууме, называется относительной диэлектрической проницаемостью среды. Закон Кулона с учетом диэлектрической проницаемости ε записывается следующим образом:
F=
1 q1q2
.
4πε 0 ε r 2
129
3.3 Электрическое поле. Напряженность поля
Взаимодействие между электрически заряженными телами или частицами осуществляется с помощью электромагнитного поля, которое
представляет собой одну из форм материи.
Электрическое поле является частью электромагнитного поля, создаваемой электрически заряженными телами или частицами и действующей
на эти объекты. Электрическое поле, создаваемое неподвижными в инерциальной системе отсчета зарядами, называется электростатическим.
Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля
используется пробный точечный положительный заряд – такой заряд, который не искажает исследуемое поле (не вызывает перераспределения зарядов,
создающих поле). Если в поле, создаваемое зарядом или системой зарядов,
поместить пробный заряд q0, то на него со стороны поля действует сила F,
различная в разных точках поля, которая, согласно закону Кулона, пропорциональна пробному заряду q0. Отношение F/q0 не зависит от q0 и характеризует электростатическое поле в той точке, где находится пробный заряд.
Векторная величина
E=
F
q0
называется напряженностью и является силовой характеристикой электростатического поля.
На любой заряд q, внесенный в точку поля с напряженностью E, со
стороны поля будет действовать сила, модуль которой
F = qE.
Графически электрические поля изображаются с помощью силовых
линий. Силовая линия – воображаемая линия, в каждой точке которой касательная к ней совпадает с вектором напряженности E. Силовые линии
начинаются на положительных и оканчиваются на отрицательных зарядах.
Густота силовых линий пропорциональна модулю напряженности. Силовые линии не пересекаются.
На рис. 3.3.1 изображены примеры графического изображения поля
уединенных точечных зарядов (а) и поля двух разноименных близко расположенных зарядов (б).
Поле, напряженность которого во всех точках одинакова (E = const),
называется однородным. Силовые линии однородного электростатического
поля представляют собой прямые параллельные линии, расстояние между
которыми одинаково (рис. 3.3.1, в).
130
а
в
б
Рис. 3.3.1
Напряженность электрического поля в системе СИ измеряется в ньютонах на кулон (Н/Кл).
3.4 Напряженность поля точечного заряда. Принцип
суперпозиции электрических полей
Напряженность электрического поля зависит от значения зарядов,
создающих поле, их пространственного распределения и электрических
свойств среды, характеризуемых диэлектрической проницаемостью ε. Модуль напряженности поля, создаваемого точечным зарядом q в точке, удаленной от заряда на расстояние r:
E=
q
.
4πε 0 ε r 2
1
Если электрическое поле создано системой зарядов, то его напряженность рассчитывается по принципу суперпозиции: в любой его точке
она равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых
каждым зарядом в отдельности:
E = E1 + E2 + ... + En =
n
∑E ,
i=1
i
где n – число зарядов; E1, E2,…, Ei,…,En – напряженности полей, создаваемых зарядами q1, q2,…,qi,…,qn в данной точке поля.
Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электростатические
поля любой системы неподвижных зарядов, поскольку неточечные заряды
всегда можно свести к совокупности точечных зарядов.
В качестве примера рассмотрим электростатическое поле электрического диполя. Электрический диполь – система двух равных по модулю
131
разноименных точечных зарядов (+Q, –Q), расположенных на некотором
расстоянии l друг от друга (рис. 3.4.1). Это расстояние предполагается значительно меньшим, чем до точек пространства (например, А или В на
рис. 3.4.1), в которых вычисляется напряженность электрического поля
(r′, r ≫ l). Вектор p, направленный от отрицательного заряда к положительному и равный по модулю p = Q l, называется электрическим моментом диполя, или дипольным моментом.
Рис. 3.4.1
Согласно принципу суперпозиции, напряженность E поля диполя в
произвольной точке (А или В на рис. 3.4.1)
=
E E+ + E− ,
где E+ и E– – напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами. Расчет показывает, что в точке А
EA =
1 2p
.
4πε 0 r 3
В точке B на рис. 3.4.1 для того же расстояния (т. е. при r′ = r) напряженность поля в 2 раза меньше, чем в точке A, т. е. EB = EA/2. В произвольной
132
точке пространства, расположенной на расстоянии r от диполя, напряженность E всегда пропорциональна p и обратно пропорциональна r3:
E∝
p
,
r3
где ∝ – знак пропорциональности.
3.5 Поток вектора напряженности
Потоком вектора E однородного электрического поля через плоскую
площадку ∆S называется величина.
∆Ф E =E ∆S cos α.
На рис. 3.5.1 n – нормаль к площадке, α – угол между векторами n и E.
Е
n
α
∆S
Рис. 3.5.1
Если поле неоднородно или поверхность, через которую вычисляется
поток, не является плоской (рис. 3.5.2), определение потока следует применить к бесконечно малому элементу поверхности dS, а именно записать
элементарный поток в виде
=
dФ Е EdS
=
cos α EndS .
Тогда поток через конечную поверхность S определится интегралом
=
ФЕ
EndS ∫ E dS ,
∫=
n
S
S
где En = E cos α – проекция вектора напряженности на нормаль в данной
точке поверхности.
133
Поток вектора E является алгебраической величиной. Знак потока
зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на
которые разбивается поверхность S при вычислении ФЕ. Изменение
направления нормали на противоположное изменит знак Encosα, а значит,
и знак потока ФЕ. В случае замкнутых поверхностей принято считать знак
потока положительным, если силовые линии поля выходят из охватываемой области наружу. Поток пропорционален числу силовых линий, пересекающих данную поверхность. Размерность потока в системе СИ – вольт
на метр (В·м).
E
n
α
S
dS
Рис. 3.5.2
3.6 Теорема Гаусса
Напряженности электрического поля системы электрических зарядов
можно рассчитать с помощью принципа суперпозиции. Эти вычисления
значительно упрощаются при использовании теоремы Гаусса, которая связывает поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность с величиной заряда внутри этой поверхности.
Определим поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд q, находящийся в ее
центре (рис. 3.6.1).
134
q
r
Рис. 3.6.1
Нормаль n к замкнутой поверхности всегда выбирается внешней. Так
как на всей сферической поверхности напряженность поля точечного заряда постоянна и вектор напряженности направлен перпендикулярно этой
поверхности, поток равен
=
ФЕ
E dS
∫=
ES.
n
S
Напряженность поля точечного заряда E = q / 4πε 0r 2, площадь сферической поверхности S = 4π r 2. Таким образом,
Ф=
=
ES
Е
q
4πε 0 r
q
4π =
r2
2
ε0
.
Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы (на
рис. 3.6.1 она изображена штриховой кривой), т. е.
=
ФЕ
q
EndS
∫=
ε0
S
.
Кружок на знаке интеграла означает, что интегрирование ведется по замкнутой поверхности S. Знак потока совпадает со знаком заряда q.
Если произвольная поверхность окружает систему из n точечных зарядов qi, то в соответствии с принципом суперпозиции напряженность поля, создаваемого зарядами, равна сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Поэтому суммарный поток вектора
напряженности через эту поверхность составляет
=
ФЕ
E dS
∫=
n
S
1
ε0
n
∑q .
i =1
i
135
Эта формула является аналитической записью теоремы Гаусса для электростатического поля: поток вектора напряженности электростатического
поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε0.
Если электрические заряды распределены непрерывно с некоторой
объемной плотностью ρ (ρ = dq/dV – заряд, находящийся в единице
объема), различной в разных областях пространства, то суммарный заряд
внутри замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объем V,
определяется интегрированием:
∑ q = ∫ ρ dV .
i
i
V
Интегрирование проводится по всему объему, в котором распределены заряды. В этом случае теорема Гаусса записывается так:
=
ФЕ
EndS
∫=
S
1
ε 0 V∫
ρ dV .
3.7 Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности
электростатических полей
Теорема Гаусса помогает найти напряженности полей, создаваемые
системой симметрично распределенных зарядов. Для этого необходимо
подобрать такую замкнутую поверхность, окружающую заряды, чтобы вычисление потока вектора напряженности сквозь нее сводилось к простым
алгебраическим операциям.
Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости. Пусть бесконечная плоскость (рис. 3.7.1) заряжена с постоянной
поверхностной плотностью +σ (σ = dq/dS – заряд, приходящийся на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности выберем поверхность цилиндра, основания которого параллельны заряженной плоскости. В этом случае образующие цилиндра
параллельны линиям напряженности, поток вектора напряженности сквозь
боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр – сумме потоков сквозь его основания (площади оснований цилиндров S равны, и на основаниях Еn совпадает с Е ), т. е. равен 2ES. Заряд, заключенный внутри цилиндра, равен σS. Согласно теореме Гаусса,
2ES =
136
σS
,
ε0
откуда следует, что
E=
σ
.
2ε 0
Таким образом, напряженность поля на любых расстояниях от заряженной плоскости одинакова по величине с каждой стороны плоскости,
иными словами, поле равномерно заряженной бесконечной плоскости однородно.
Рис. 3.7.1
Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных
плоскостей. Напряженность этого поля вычисляется как суперпозиция полей, создаваемых каждой плоскостью в отдельности. Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +σ и –σ.
Рис. 3.7.2
Верхние стрелки на рис. 3.7.2 – силовые линии поля положительно
заряженной плоскости, нижние – отрицательно заряженной. Слева и спра137
ва от плоскостей силовые линии направлены навстречу друг другу, поэтому напряженность поля E = 0. В области между плоскостями направления
силовых линий совпадают, напряженности полей складываются, в результате между пластинами
E=
σ
.
ε0
Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Пусть
сферическая поверхность радиуса R заряжена равномерно с поверхностной
плотностью +σ и суммарным зарядом q. Электрическое поле такой поверхности обладает сферической симметрией: напряженность E одинакова
на одинаковых расстояниях от центра сферы, а линии напряженности
направлены вдоль ее радиусов (рис. 3.7.3).
Рис. 3.7.3
В качестве замкнутой поверхности выберем поверхность сферы радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r > R, внутри
поверхности находится весь заряд q, создающий электрическое поле, и по
теореме Гаусса
4π r 2E =
откуда получаем
138
q
ε0
,
E=
q
4πε 0 r 2
1
(r > R).
При r > R напряженность электрического поля убывает с увеличением расстояния r по такому же закону, как и у точечного заряда. Если
r′ < R, замкнутая поверхность не содержит зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле
отсутствует (E = 0).
Зависимость Е от r приведена на рис. 3.7.4.
Рис. 3.7.4
Поле объемно заряженного шара. Шар радиуса R с общим зарядом q заряжен равномерно с объемной плотностью ρ. Как и в случае с заряженной сферической поверхностью, распределение заряда сферически
симметрично. Можно показать, что напряженность поля вне шара совпадает с напряженностью поля равномерно заряженной сферической поверхности.
Найдем напряженность поля внутри шара. Сфера радиуса r' < R
охватывает заряд q′ =
4 3
π r′ ρ . Поэтому, согласно теореме Гаусса,
3
Φ E = 4π r 2E =
q′
ε0
=
4 3ρ
π r′ .
3
ε0
139
4
3


Учитывая, что ρ = q /  π R 3  , получаем
E=
q
r′
3
4πε 0 R
1
(r′ ≤ R).
Таким образом, напряженность поля внутри равномерно заряженного шара увеличивается прямо пропорционально расстоянию от его центра.
Зависимость Е от r для рассмотренного случая приведена на
рис. 3.7.5.
Рис. 3.7.5
Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра. Пусть
бесконечный цилиндр радиуса R (рис. 3.7.6) заряжен равномерно с линейной плотностью заряда τ (τ =
dq
– заряд, приходящийся на единицу длиdl
ны). В силу цилиндрической симметрии линии напряженности электрического поля перпендикулярны поверхности цилиндра. В качестве замкнутой
поверхности в теореме Гаусса выберем поверхность цилиндра (коаксиального с заряженным) радиуса r и высотой l. Поток вектора E сквозь торцы
этого цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности),
а сквозь боковую поверхность – 2πrlЕ.
По теореме Гаусса при r > R
rlE
=
Φ E 2π =
откуда следует, что
140
lτ
ε0
,
E=
1 τ
2πε 0 r
(r ≥ R).
Эта формула справедлива и для равномерно заряженной прямолинейной
нити.
Рис. 3.7.6
Если r < R, замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит,
и потому в этой области E = 0. Таким образом, напряженность поля вне
равномерно заряженного бесконечного цилиндра обратно пропорциональна расстоянию до оси цилиндра. Внутри заряженного цилиндра поле отсутствует.
3.8 Потенциал. Разность потенциалов. Работа сил
электростатического поля
Работа, совершаемая электростатическими силами при перемещении
заряда q из одной точки поля в другую, не зависит от вида траектории,
а зависит только от начального и конечного положений заряда в этом поле.
141
Из механики известно, что такие силы являются потенциальными. Следовательно, заряд, помещенный в электростатическое поле, обладает потенциальной энергией.
Энергетической характеристикой электрического поля является потенциал. Потенциалом ϕ поля называется скалярная физическая величина,
численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда, внесенного в данную точку поля:
ϕ=
Wп
q0
,
где Wп – потенциальная энергия заряда q0 в этой точке поля.
Любой заряд q, внесенный в точку поля с потенциалом ϕ, обладает
потенциальной энергией
Wп = qϕ.
Так как электростатическое поле является потенциальным, то работа,
совершаемая силами этого поля при перемещении заряда q между точками
поля с потенциалами ϕ1 и ϕ2, будет равна изменению потенциальной энергии этого заряда, взятому с противоположным знаком:
A12 =
− (Wп2 − Wп1 ) =−
Wп1 Wп2 .
С учетом того, что Wп1 = qϕ1 , а Wп2 = qϕ 2 ,
A12 q (ϕ1 − ϕ 2 ) ,
=
где ϕ1 − ϕ 2 – разность потенциалов.
Разностью потенциалов называется физическая скалярная величина,
численно равная работе, совершаемой полем при перемещении единичного
положительного заряда между точками с потенциалами ϕ1 и ϕ2:
A
q0
ϕ1 − ϕ 2 =12 .
Если силы электростатического поля перемещают заряд q из точки 1
в бесконечно удаленную точку, в которой Wп1 = 0 и соответственно
ϕ ∞ = 0 , то
ϕ1 =
142
A1∞
q0 .
Отсюда следует, что потенциал в этой точке электростатического поля
численно равен работе, которую необходимо совершить для перемещения
единичного положительного заряда из такой точки в бесконечность.
В системе СИ потенциал (разность потенциалов) измеряется в вольтах (В): 1 В = 1 Дж/Кл.
Потенциал поля зависит от значения зарядов, создающих поле, положения данной точки по отношению к зарядам и электрических свойств
среды. Потенциал поля, созданного точечным зарядом q в точке, отстоящей от заряда на расстояние r, равен
ϕ=
q
4πε 0ε r
,
где ε – диэлектрическая проницаемость среды.
Потенциал электростатического поля шара радиуса R с зарядом q,
равномерно распределенным по поверхности, вне шара совпадает с потенциалом точечного заряда q, помещенного в центре шара.
Геометрическое место точек электрического поля, в которых потенциал имеет одно и то же значение, называется эквипотенциальной поверхностью (или линией).
Потенциал электростатического поля, созданного системой n электрических зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых
каждым из зарядов в отдельности:
ϕ = ϕ1 + ϕ 2 + ... + ϕ n =
n
∑ϕ .
i =1
i
3.9 Связь между напряженностью поля и разностью
потенциалов
В любой точке однородного поля с напряженностью E на заряд q
действует сила F = qE. При перемещении заряда из точки 1 в точку 2
вдоль силовой линии совершается работа
A = Fd,
где d – расстояние между точками 1 и 2.
С учетом того, что F = qE, A = qEd. Вместе с тем эту работу можно
выразить через разность потенциалов ϕ1 и ϕ2 точек 1 и 2:
=
A q (ϕ1 − ϕ 2 ) .
143
Из сопоставления выражений для работы следует, что модуль вектора напряженности и разность потенциалов в однородном электростатическом поле связаны соотношением
E=
ϕ1 − ϕ 2
d
.
Если координаты точек 1 и 2 равны соответственно х1 и х2, то
ϕ1 − ϕ 2
d= x2 − x1 и E =
x2 − x1
= −
∆ϕ
,
∆x
где Δφ = φ2 – φ1. Знак минус показывает, что вектор E направлен в сторону убывания потенциала.
Работа сил поля по перемещению заряда q из одной точки пространства в другую определяется интегрированием:
2
−q∫ dϕ.
A=
q(ϕ1 − ϕ 2) =
1
Во второй части равенства интегрирование ведется от точки 1 к точке 2 по любому пути, их соединяющему. Кроме того, по определению, работа равна скалярному произведению силы и вектора перемещения. Для
неоднородного поля, в котором вектор кулоновской силы различен по величине и направлению в разных точках, для подсчета работы необходимо
вычислить интеграл
2
A = ∫ Fdr.
1
Так как F = qE, то
2
A = q ∫ Edr,
1
и разность потенциалов
2
ϕ1 − ϕ 2 =
∫ Edr.
1
Если точка 2 находится на бесконечности, то ϕ 2 = 0, и получаем
∞
ϕ = ∫ Edr.
1
144
Эта формула позволяет найти потенциал в любой точке, если известна
напряженность во всем пространстве: достаточно вычислить интеграл по
любому пути из выбранной точки в бесконечность.
Из равенства, связывающего разность потенциалов ϕ1 − ϕ 2 и E, следует обратная связь между напряженностью и потенциалом электрического поля:
E = −gradϕ ,
где gradϕ – вектор, направленный из точки с меньшим потенциалом в
точку с бóльшим потенциалом. В декартовой системе координат
gradϕ =
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
ех +
еy +
еz
∂x
∂y
∂z
(ex, ey и ez – единичные векторы вдоль осей координат X, Y и Z соответственно).
Из свойства потенциальности электростатического поля следует, что
работа сил поля по замкнутому контуру равна нулю. Поскольку ϕ1 = ϕ 2 ,
имеем
A = q (ϕ1 − ϕ2 ) = q ∫ Edr = 0,
поэтому можно написать
∫ Edr = 0.
Последнее равенство отражает суть второй основной теоремы электростатики – теоремы о циркуляции электрического поля, согласно которой циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль
произвольного замкнутого контура равна нулю. Эта теорема является прямым следствием потенциальности электростатического поля.
3.10 Вычисление разности потенциалов некоторых
электростатических полей
Связь между напряженностью поля и потенциалом позволяет по известной напряженности поля найти потенциал в любой точке пространства
или разность потенциалов между двумя его произвольными точками.
Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях x1
и x2 от равномерно заряженной бесконечной плоскости, имеет вид
=
ϕ1 − ϕ
2
x2
x2
x1
1
=
∫ E(x)dx
σ
σ
dx
=
(x2 − x1),
∫x 2ε 0
2ε 0
145
разность потенциалов между двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями, находящимися на расстоянии d, –
d
d
σ
σ
=
dx
∫0 ε 0 ε 0 d,
∫ Edx=
ϕ1 − ϕ=
2
0
разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1
и r2 от центра равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R
с общим зарядом q (r1 > R, r2 > R, r2 > r1), –
ϕ1 − ϕ=
2
r2
r2
q
q 1 1
=
dr
∫r1 4πε 0 r 2 4πε 0  r1 − r2  .
∫ Edr=
r1
1
Если принять, что r1 = r и r2 = ∞, то потенциал поля вне сферической поверхности
ϕ=
q
.
4πε 0 r
1
Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен
потенциалу поверхности сферы.
Поле вне объемно заряженного шара радиуса R с общим зарядом q
(r > R) совпадает с полем равномерно заряженной сферы, поэтому разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2
от центра шара (r1 > R, r2 > R, r2 > r1), совпадает с предыдущим случаем.
Внутри шара на расстоянии r' от его центра (r' < R), разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1′ и r2′ от центра
шара ( r1′ < R, r2′ < R, r2′ > r1′ ), равна
ϕ1 − ϕ=
2
r′2
∫ Edr=
r′1
q
8πε 0R
3
(r2′2 − r1′2).
Для равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R
и линейной плотностью распределенного по его поверхности заряда τ вне
цилиндра разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от оси заряженного цилиндра (r1 > R, r2 > R, r2 > r1), равна
r2
τ r2 dr
τ
r2
ln
.
Edr
ϕ1 − ϕ=
=
=
2
∫r1
2πε 0 ∫r1 r 2πε 0 r1
146
3.11 Диэлектрики и проводники в электростатическом поле
В зависимости от концентрации носителей свободных зарядов тела
делятся на диэлектрики, проводники и полупроводники.
Диэлектрики (например, стекло, пластмассы) – тела, в которых практически отсутствуют свободные носители заряда, и поэтому они не проводят электрический ток.
Проводники – тела, в которых носители электрического заряда могут
перемещаться по всему его объему. Проводники делятся на две группы:
первого рода (металлы) – в них перенос зарядов (свободных электронов)
не сопровождается химическими превращениями, и второго рода (например, расплавленные соли, растворы кислот) – в них перенос зарядов положительными и отрицательными ионами ведет к химическим изменениям.
Полупроводники характеризуются значениями электропроводности,
промежуточными между электропроводностью металлов и диэлектриков.
Характерной особенностью полупроводников, отличающей их от металлов, является уменьшение их сопротивления с увеличением температуры.
Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков. Как и всякое
вещество, диэлектрик состоит из атомов и молекул. Молекула в целом
электрически нейтральна, так как положительный заряд всех ядер атомов
молекулы равен суммарному заряду электронов. Однако ее можно рассматривать как электрический диполь, если заменить положительные заряды ядер суммарным зарядом +q, находящимся в центре «тяжести» положительных зарядов молекулы, а заряд всех электронов – суммарным отрицательным зарядом –q, находящимся в центре «тяжести» отрицательных
зарядов.
Диэлектрики, молекулы которых имеют симметричное строение, т. е.
центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов в отсутствие
внешнего электрического поля совпадают (l = 0), называются неполярными. Под действием внешнего электрического поля заряды неполярных молекул смещаются в противоположные стороны (положительные – по
направлению поля, отрицательные – против направления поля), и молекула
приобретает дипольный момент p = ql.
Диэлектрики, молекулы которых имеют асимметричное строение,
т. е. центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают (l > 0), называются полярными. В отсутствие внешнего электрического поля они обладают дипольным моментом. При этом дипольные моменты p полярных молекул вследствие теплового движения ориентированы
в пространстве хаотично, и их результирующий момент равен нулю. Если
такой диэлектрик поместить во внешнее поле, то силы этого поля будут
стремиться повернуть диполи вдоль него, и возникает отличный от нуля
результирующий момент.
147
Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки
с правильным чередованием ионов разных знаков. Их можно рассматривать как систему двух вдвинутых одна в другую ионных подрешеток. При
воздействии на ионный кристалл электрического поля происходит смещение подрешеток в противоположных направлениях, приводящее к возникновению дипольного момента всего кристалла.
Таким образом, действие внешнего электрического поля вызывает
появление отличного от нуля результирующего электрического момента
диэлектрика, или, иными словами, поляризацию диэлектрика.
Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике. Во
внешнем электрическом поле диэлектрик поляризуется, т. е. приобретает
отличный от нуля дипольный момент pV, равный сумме дипольных моментов pi молекул, составляющих диэлектрик:
pV = ∑ pi .
i
Для количественного описания поляризации диэлектрика пользуются
векторной величиной – поляризованностью, определяемой как дипольный
момент единицы объема диэлектрика:
P
=
pV 1
=
∑ pi .
V V i
Для большого класса диэлектриков (за исключением сегнетоэлектриков) поляризованность P линейно зависит от напряженности поля E.
Если диэлектрик изотропный и Е мало, то
P = κε o E,
где κ – диэлектрическая восприимчивость диэлектрика, величина безразмерная, κ > 0 и для большинства диэлектриков (твердых и жидких) составляет несколько единиц (однако для воды κ = 80).
Пусть плоскопараллельная пластинка из диэлектрика находится в однородном внешнем электрическом поле Е0, которое создается двумя параллельными разноименно заряженными плоскостями с поверхностной
плотностью зарядов σ. Пластинка расположена так, как показано на
рис. 3.11.1.
Под действием поля диэлектрик поляризуется, т. е. происходит смещение зарядов: положительные смещаются по полю, отрицательные – против поля. В результате на правой грани диэлектрика (рис. 3.11.1) возникает
избыток положительного заряда с поверхностной плотностью +σ ', на левой – отрицательного заряда с поверхностной плотностью –σ '. Эти заряды,
появляющиеся в результате поляризации диэлектрика, называются связан148
ными. Так как их поверхностная плотность σ ' меньше плотности зарядов
σ, то не все поле Е0 компенсируется полем зарядов диэлектрика: на
рис. 3.11.1 часть линий напряженности пройдет сквозь диэлектрик, другая
часть обрывается на связанных зарядах. Следовательно, поляризация диэлектрика приводит к уменьшению в нем поля по сравнению с внешним
полем E0 = σ/ε0. Вне диэлектрика Е = Е0.
Рис 3.11.1
Cвязанные заряды создают дополнительное электрическое поле Е',
которое направлено против внешнего поля Е0 и ослабляет его. Результирующее поле внутри диэлектрика
E
= E 0 − E′.
Как следует из рис. 3.11.1, поле Е' создается двумя заряженными
бесконечными плоскостями, и его напряженность
E′ =
σ′
.
ε0
Вычислим поверхностную плотность связанных зарядов σ '. Как следует из определения поляризованности, полный дипольный момент пластинки диэлектрика
pV = PV = PSd,
где S – площадь пластинки; d – ее толщина. Вместе с тем полный дипольный момент равен произведению связанного заряда каждой грани диэлектрика q' = σ 'S на расстояние d между ними, т. е. рV = σ 'Sd. Таким образом,
149
PSd = σ 'Sd,
или
σ ′ = P,
т. е. поверхностная плотность связанных зарядов σ ' равна поляризованности диэлектрика Р.
Связь между напряженностью поля внутри диэлектрика E и напряженностью внешнего поля E0 имеет вид
= E 0 − κ E.
E
Откуда следует, что напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна
E
=
E0
E0
.
=
1+κ
ε
Безразмерная величина
ε = 1+κ
называется диэлектрической проницаемостью среды. Она показывает, во
сколько раз внешнее поле ослабляется диэлектриком.
Электрическое смещение. Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды: в однородной изотропной среде напряженность поля Е обратно пропорциональна ε, следовательно, вектор напряженности E, переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачкообразное изменение. Для учета этого фактора в электростатике вводится величина, называемая вектором электрического смещения D. Для электрически изотропной среды этот вектор, по определению, равен
D = εε 0E.
Единица измерения электрического смещения – кулон на метр в квадрате (Кл/м2).
Электростатическое поле в диэлектрике описывается вектором
напряженности E, зависящим от свойств диэлектрика; электростатическое
поле, создаваемое свободными зарядами, – вектором D.
Поскольку связанные заряды диэлектрика могут вызвать перераспределение свободных зарядов, вектор D характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.
150
Как и поле E, поле D изображается с помощью линий электрического смещения. Их направление и густота определяются точно так же, как
и для линий напряженности.
Силовые линии вектора E могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах – свободных и связанных, линии вектора D – только на свободных зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят, не прерываясь.
Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике. По
аналогии с потоком вектора E поток вектора электрического смещения D
через произвольную замкнутую поверхность S определяется как
ФD = 
∫ Dn dS,
S
где Dn – проекция вектора D на нормаль n к площадке dS.
Источниками поля E в среде являются как свободные, так и связанные заряды, источниками поля D – только свободные заряды. Для поля
в диэлектрике (с учетом определения D = εε 0 E ) теорема Гаусса записывается следующим образом:
=
ФD
n
D dS ∑ q
∫=
n
S
где
k
∑q
i =1
iсв
i =1
icв
,
– алгебраическая сумма свободных зарядов внутри замкнутой
поверхности S.
Таким образом, поток вектора электрического смещения в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической
сумме заключенных внутри нее свободных электрических зарядов.
Проводники в электростатическом поле. В проводниках имеются
свободные носители заряда. В металлических проводниках, например, такими носителями заряда являются свободные электроны.
При помещении металлического проводника в электрическое поле
свободные электроны будут смещаться в направлении, противоположном
направлению поля. При этом на одном конце проводника образуется избыток отрицательных зарядов, а на противоположном конце – избыток положительных. Разделение зарядов будет происходить до тех пор, пока не
установится такое распределение зарядов, при котором во всех точках
внутри проводника напряженность электрического поля не станет равной
нулю (E = 0).
151
Явление разделения положительных и отрицательных зарядов в проводнике, помещенном в электростатическое поле, называется электростатической индукцией.
Так как поле внутри проводника отсутствует, то потенциал во всех
точках внутри него постоянен (ϕ = const), т. е. поверхность проводника
в электростатическом поле является эквипотенциальной. При этом вектор
напряженности поля у внешней поверхности проводника направлен перпендикулярно каждой точке его поверхности. Если бы это было не так, то
под действием составляющей E, направленной по касательной к поверхности, заряды начали бы перемещаться по поверхности проводника, что
противоречило бы равновесному распределению зарядов.
Если проводнику сообщить некоторый заряд q, то нескомпенсированные заряды расположатся только на поверхности проводника. Это следует из теоремы Гаусса, согласно которой заряд q, находящийся внутри
проводника в некотором объеме, ограниченном произвольной замкнутой
поверхностью S, равен
=
q
D dS
∫=
n
0,
S
так как во всех точках внутри поверхности D = 0.
Вне проводника (вблизи любой точки его поверхности), как показывает простой расчет с использованием теоремы Гаусса,
D =σ
или
E=
σ
,
εε 0
где σ – поверхностная плотность зарядов на проводнике в данной точке
его поверхности; ε – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей
проводник.
Таким образом, напряженность электростатического поля у поверхности проводника определяется поверхностной плотностью зарядов.
Так как в состоянии равновесия некомпенсированные заряды внутри
проводника отсутствуют, создание внутри него полости не повлияет на
расположение зарядов на его поверхности и тем самым на электростатическое поле. Следовательно, внутри полости E = 0. На этом явлении основана электростатическая защита – экранирование тел, например измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Вместо
сплошного проводника для защиты может быть использована густая металлическая сетка. Она служит эффективной защитой не только от постоянных, но и от переменных электрических полей.
152
3.12 Электроемкость
При изменении заряда проводника электрический потенциал его поверхности также изменяется: с увеличением заряда возрастает потенциал.
Способность проводника накапливать электрический заряд характеризуется электроемкостью.
Электроемкость уединенного проводника. Уединенный проводник – проводник, удаленный от других проводников, тел и зарядов на такое расстояние, что на него не влияют их электрические поля. Эксперименты показывают, что потенциал любого проводника прямо пропорционален его заряду. Для уединенного проводника можно записать, что
ϕ=
q
.
C
Коэффициент
C=
q
ϕ
характеризует способность проводника накапливать заряд и называется его
электроемкостью (или просто емкостью).
Емкость проводника зависит от его размеров и формы, электрических свойств среды и не зависит от материала, агрегатного состояния,
формы и размеров полостей внутри проводника. Это обусловлено тем, что
избыточные заряды распределяются на его внешней поверхности.
Единица электроемкости – фарад (Ф): 1 Ф – емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.
Электроемкость уединенного шара радиуса R. Если шар находится в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε, то потенциал
его поверхности будет в ε раз меньше, чем в вакууме:
ϕ=
q
.
4πε 0 ε R
1
Используя формулу, определяющую емкость уединенного проводника, получаем емкость шара
C = 4πεε 0 R.
Из этой формулы следует, что емкость 1 Ф – очень большая величина. Ее
имел бы уединенный шар радиуса R = C/(4πε0) ≈ 9⋅106 км, что примерно
в 1400 раз больше радиуса Земли. По этой причине на практике исполь153
зуются миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ) и пикофарад (пФ).
Из последней формулы также вытекает, что размерность электрической постоянной ε0 можно определить как фарад на метр (Ф/м).
Конденсаторы. Из формулы для электроемкости уединенного шара
следует, что, для того чтобы проводник обладал значительной емкостью,
его размеры должны быть большими. Для практических целей необходимы
малогабаритные устройства, способные при малых размерах накапливать
большие заряды, т. е. их емкость должна быть значительной. Эти устройства получили название конденсаторов.
Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных
диэлектриком. Чтобы на емкость конденсатора не оказывали влияние
окружающие тела, проводникам придают такую форму, при которой создаваемое зарядами поле было сосредоточено в узком зазоре между обкладками. Данному условию удовлетворяют:
1) две близко расположенные пластины;
2) два коаксиальных цилиндра;
3) две концентрические сферы.
В связи с этим конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.
Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то свободные заряды на разных его обкладках равны по величине и противоположны по
знаку.
Зарядом конденсатора называют положительный заряд одной из его
обкладок. Под емкостью конденсатора понимается физическая величина,
равная отношению заряда q конденсатора, к разности потенциалов (ϕ1 –ϕ2)
между его обкладками:
C=
q
.
ϕ1 − ϕ 2
Емкость плоского конденсатора. Плоский конденсатор состоит из
двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды +q и –q. Если
расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то электрическое поле между обкладками можно считать однородным. При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов
между ними равна
σd
ϕ1 − ϕ 2 = ,
εε 0
где ε – диэлектрическая проницаемость σ = q/S.
154
Сравнивая это выражение с определением емкости конденсатора,
находим, что
C=
εε 0S
d
.
Емкость цилиндрического конденсатора. Цилиндрический конденсатор состоит из двух полых коаксиальных цилиндров с радиусами r1
и r2 (r2 > r1). Его электрическое поле радиально-симметрично и сосредоточено внутри конденсатора. Разность потенциалов между обкладками вычисляется по формуле поля равномерно заряженного бесконечного цилиндра с линейной плотностью τ = q/l (l – длина обкладок). В результате
получаем
ϕ=
1 −ϕ2
τ
r
q
r
=
ln 2
ln 2 .
2πεε 0 r1 2πεε 0l r1
Следовательно, емкость цилиндрического конденсатора
C = 2πεε 0 l / ln
r2
.
r1
Емкость сферического конденсатора. Сферический конденсатор
имеет в качестве обкладок две концентрические сферы, разделенные слоем
диэлектрика. Для расчета его емкости используем формулу разности потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 (r2 > r1)
от центра заряженной сферической поверхности:
ϕ 1=
−ϕ2
1 1
 − .
4πεε 0  r1 r2 
q
Таким образом, емкость сферического конденсатора равна
C = 4πεε 0
r1r2
.
r2 − r1
Из формул электроемкости следует, что емкость любого конденсатора прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика,
заполняющего пространство между обкладками.
Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением – разностью потенциалов между обкладками, при которой происходит пробой –
электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе, приводящий
к его разрушению. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок,
свойств диэлектрика и его толщины.
155
Соединение конденсаторов. Для получения необходимой емкости
конденсаторы соединяют в батареи, при этом используется их параллельное и последовательное соединения.
У параллельно соединенных конденсаторов (рис. 3.12.1) разность потенциалов между его обкладками одинакова. Обозначим ее Δϕ. Пусть емкости отдельных конденсаторов С1, С2, ..., Сn, тогда заряд каждого конденсатора
q=
C1∆ϕ,
1
q=
C 2∆ϕ,
2
…
q=
C n∆ϕ.
n
Рис. 3.12.1
Следовательно, заряд батареи конденсаторов
q=
n
∑q
i =1
i
= (C1 + C 2 + ... + C n)∆ϕ.
Полная емкость батареи
C=
q
.
∆ϕ
Отсюда получаем, что
n
C = ∑ C i,
i =1
156
т. е. при параллельном соединении конденсаторов емкость батареи равна
сумме емкостей отдельных конденсаторов.
При последовательном соединении конденсаторов (рис. 3.12.2) заряды всех обкладок q равны по величине, а разность потенциалов на зажимах
батареи
∆ϕ =
n
∑ ∆ϕ ,
i =1
i
где для любого из рассматриваемых конденсаторов ∆ϕi = q/Сi.
Рис. 3.12.2
Вместе с тем из определения электроемкости вытекает, что
n
q
1
∆ϕ =
= q∑ .
C
i =1 C i
Отсюда имеем
n
1
1
=∑
,
C i =1 C i
т. е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные емкостям. Из этой формулы следует, что при последовательном соединении конденсаторов результирующая емкость С всегда
меньше наименьшей емкости в батарее.
3.13 Энергия заряженных тел. Энергия электрического поля
Энергия системы неподвижных точечных зарядов. Так как электростатические силы взаимодействия консервативны (их работа по перемещению зарядов не зависит от траектории перемещения), система зарядов
157
обладает потенциальной энергией. Пусть два неподвижных точечных заряда q1 и q2 находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией
W1 = q1ϕ 12 ,
W 2 = q 2ϕ 21,
где ϕ12 и ϕ21 – потенциалы, создаваемые соответственно зарядом q2 в точке
нахождения заряда q1 и зарядом q1 в точке нахождения заряда q2. Для потенциалов полей точечных зарядов
ϕ12
=
1 q2
1 q1
=
и ϕ 21
,
4πε 0 r
4πε 0 r
поэтому
W=
W=
W= q1ϕ 12
= q 2ϕ 21
=
1
2
1
( q1ϕ 12 + q 2ϕ 21 ) .
2
Добавляя к системе из двух зарядов последовательно точечные заряды q3, q4, ..., убеждаемся в том, что энергия взаимодействия системы n точечных зарядов равна
1 n
W = ∑ qi ϕ i ,
2 i =1
где ϕi – потенциал, создаваемый всеми зарядами в той точке поля, в которой находится заряд qi.
Энергия заряженного уединенного проводника. Рассмотрим уединенный незаряженный проводник емкостью С. Вычислим работу, которую
нужно совершить, чтобы увеличить его потенциал от нуля до некоторого
заданного значения ϕ. Работа внешних сил над системой равна изменению
энергии этой системы:
A = W2 − W1 .
Поскольку энергия незаряженного проводника равна нулю, то энергия заряженного проводника будет равна работе, совершенной внешними
силами для его зарядки.
Будем постепенно увеличивать потенциал проводника, перенося на
него из бесконечно удаленной точки малые порции заряда dq. При этом
будет совершаться элементарная работа
dA = ϕ′dq,
158
где ϕ ′ – потенциал проводника в данный момент. То, что потенциал будет
меняться, следует из определения емкости C = q/ϕ. В каждый момент времени заряд q проводника определяется равенством q = Cϕ ′. Вычисляя
дифференциал от правой и левой частей этого равенства, находим
dq = Cdϕ′.
Подставив dq в выражение для элементарной работы, имеем
dA = Cϕ′dϕ′.
Полная работа, необходимая для зарядки тела от нулевого потенциала до величины ϕ, является суммой таких бесконечно малых работ dA,
т. е.
=
A
ϕ
dA ∫ Cϕ′dϕ′.
∫=
0
Выполняя интегрирование, получаем
A = Cϕ 2 / 2.
Так как совершаемая работа идет на увеличение энергии проводника,
то ее можно считать мерой его электрической энергии:
A = W,
и, следовательно, энергия заряженного уединенного проводника
Cϕ 2 qϕ q 2
W
.
=
= =
2
2 2C
Этот результат можно получить и из следующего рассуждения.
Потенциал проводника во всех его точках одинаков, а его поверхность
является эквипотенциальной. Полагая потенциал проводника равным ϕ,
из уравнения для энергии взаимодействия системы точечных зарядов
находим
1 n
qϕ
=
,
W =
ϕ∑ qi
2 i =1
2
где q =
n
∑ q – заряд проводника.
i =1
i
Энергия заряженного конденсатора. Конденсатор – заряженный
проводник, поэтому его энергия
159
C(∆ϕ ) 2 q∆ϕ q 2
=
= =
W
,
2
2
2C
где q – заряд конденсатора; С – его емкость; ∆ϕ – разность потенциалов
между обкладками.
Энергия электростатического поля. Преобразуем формулу, выражающую энергию конденсатора через заряды и потенциалы, используя емкость плоского конденсатора (C = ε0εS/d) и разность потенциалов между
его обкладками (∆ϕ = Ed). Получаем формулу
=
W
εε 0E 2
=
Sd
2
εε 0E 2
2
V,
в которой V = Sd – объем конденсатора. Из нее следует, что энергия конденсатора выражается через напряженность Е электростатического поля.
Объемная плотность энергии электростатического поля w равна
энергии поля, приходящейся на единицу объема:
w=
dW
.
dV
Плотность энергии между обкладками плоского конденсатора
w=
εε 0E 2
2
.
Это выражение справедливо для любых конфигураций электрического
поля.
Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию
поля, заключенную в объеме V. Для этого рассчитаем интеграл
=
W
wdV ∫
∫=
V
V
εε 0E 2
2
dV .
Таким образом, энергию заряженного конденсатора можно выразить
как через заряд на его обкладках, так и через напряженность электрического поля между ними. В связи с этим возникает вопрос о локализации электростатической энергии и о ее носителе – заряды или поле.
Теория и эксперимент показывают, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать независимо от возбудивших их зарядов и распространяются в виде электромагнитных волн, переносящих энергию. Это говорит о том, что энергия локализована в поле
и носителем энергии является поле.
160
Раздел 4
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
4.1 Электрический ток. Сила и плотность тока
Электрическим током называется упорядоченное движение электрических заряженных тел или частиц. Ток в проводнике, обусловленный
движением свободных зарядов под действием электрического поля, называется током проводимости. В металлах он создается упорядоченным
движением свободных электронов, в электролитах – движением ионов,
в газах – положительными ионами и свободными электронами, в полупроводниках – электронами проводимости и «дырками». За направление
тока проводимости принимается направление движения положительных
зарядов.
Силой тока I называется скалярная физическая величина, численно
равная электрическому заряду, проходящему через поперечное сечение
проводника в единицу времени:
I=
dq
.
dt
Электрический ток, сила и направление которого не изменяются (изменяются) со временем, называется постоянным (переменным). Сила постоянного тока равна
q
I= ,
t
где q – заряд, прошедший за время t через поперечное сечение проводника.
Сила тока в системе СИ измеряется в амперах (А): 1 А = 1 Кл/1 с.
Сила тока в металлическом проводнике зависит от значения заряда
носителя (в металлических проводниках такими носителями являются
электроны с зарядом е каждый), их концентрации n, средней скорости u
упорядоченного движения носителей и площади поперечного сечения S
проводника. Действительно, число носителей в элементе проводника длиной l и площадью сечения S определяется по формуле
N = nV,
в которой V – объем элемента проводника (V = lS ), а их общий заряд
q = enlS .
161
При средней скорости направленного движения носителей заряда u
все носители пройдут через сечение S за промежуток времени t = l/u. Таким образом, сила тока
I=
q
= enuS.
t
Распределение переносимого заряда по поперечному сечению проводника и направление тока характеризуются вектором плотности тока j.
Плотность тока – это физическая величина, равная отношению силы тока
dI, проходящего через элемент площади dS ⊥ , перпендикулярный направлению тока, к dS ⊥ :
j=
dI
.
dS ⊥
Плотность тока – это вектор, ориентированный по направлению тока,
т. е. направление вектора j совпадает с направлением упорядоченного
движения положительных зарядов.
Единица измерения плотности тока – ампер на метр в квадрате (А/м2).
Для металлических проводников (рис. 4.1.1)
j = neu.
Связанные Проводник
электроны
u
S
j
Атом
Свободные
электроны
Рис. 4.1.1
В общем случае сила тока, проходящего через произвольный элемент
поверхности dS, равна
dI = jdS cos α ,
где α – угол между вектором j и нормалью n к плоскости dS.
162
При известной плотности тока j сила тока через произвольную поверхность S определяется интегрированием:
I = ∫ j cos α dS.
S
4.2 Сторонние силы. Электродвижущая сила источника тока
Для возникновения тока в проводниках и его поддержания в течение
конечного промежутка времени на носители заряда должны действовать
силы, которые обеспечивают их упорядоченное движение. Действие электростатических сил приводит к такому распределению зарядов внутри
проводника, при котором напряженность поля в проводнике оказывается
равной нулю, а потенциалы всех точек проводника одинаковы. Вследствие
этого кулоновское электростатическое поле не может обеспечить ток
в проводнике. Для того чтобы ток существовал, необходимо поддерживать
разность потенциалов на концах проводника и тем самым обеспечивать
внутри него существование электрического поля. Этой цели можно достичь с помощью сил неэлектрического происхождения, которые называются сторонними силами. Они обеспечиваются источниками тока
(электрическими генераторами, аккумуляторами и т. д.).
Таким образом, для того чтобы постоянный ток в проводнике возник
и существовал в течение конечного промежутка времени, необходимы следующие условия:
– наличие свободных носителей заряда;
– напряженность поля внутри проводника должна быть отличной от
нуля и не зависеть от времени;
– наличие сторонних сил неэлектрического происхождения, которые
должны поддерживать существование электрического поля внутри проводника;
– электрическая цепь должна быть замкнутой.
Работа источников тока характеризуется электродвижущей силой (э.д.с.). Электродвижущей силой ε источника тока называется физическая величина, численно равная работе, совершаемой сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда по цепи:
ε=
A
q
,
где А – работа сторонних сил по перемещению заряда q.
Единицей измерения э.д.с. в системе СИ служит вольт (В): 1 В =
1 Дж/1 Кл.
163
4.3 Закон Ома
Закон Ома для однородного участка цепи. В общем случае при перемещении заряда по цепи совершается работа как сторонними, так и кулоновскими силами. Величина, численно равная работе, совершаемой ими
при перемещении единичного положительного заряда на участке цепи 1–2,
называется напряжением U:
U = (ϕ1 − ϕ2 ) + ε 2 −1 ,
где (ϕ1 − ϕ 2 ) – разность потенциалов между концами участка цепи; ε 2 −1 –
э.д.с., действующая на участке цепи.
Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы (отсутствует
источник тока), называется однородным (рис. 4.3.1).
I
1
2
R
Рис. 4.3.1
Напряжение U на однородном участке равно разности потенциалов
между его концами: U = ϕ1 − ϕ 2 . Сила тока на таком участке цепи подчиняется закону Ома: сила тока I на однородном участке цепи прямо пропорциональна напряжению U и обратно пропорциональна сопротивлению R участка цепи:
I=
U
.
R
Электрическое сопротивление R характеризует способность провод-
ников проводить электрический ток. Оно зависит от материала проводника, его геометрической формы и размеров, температуры и других внешних
условий. Сопротивление однородного металлического цилиндрического
проводника длиной l и площадью поперечного сечения S равно
R=ρ
l
S
,
где ρ – удельное сопротивление проводника, зависящее от материала.
Удельное сопротивление численно равно сопротивлению проводника
длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м2.
164
В системе СИ сопротивление измеряется в омах, 1 Ом = 1 В/1 А.
Наряду с омом для измерения сопротивления применяются кратные единицы: килоом (1 кОм = 103 Ом), мегаом (1 МОм = 106 Ом).
Единицей удельного сопротивления в системе СИ служит 1 Ом⋅м.
Сопротивление металлических проводников увеличивается с ростом
температуры по закону
Rt = R0 (1 + α t ) ,
здесь R0 – сопротивление при 0 °С; t – температура проводника; Rt – сопротивление проводника при t °С; α – температурный коэффициент сопротивления, показывающий относительное изменение сопротивления проводника при увеличении его температуры на 1 °С.
Закон Ома можно представить и в дифференциальной форме. Подставив выражение для сопротивления проводника постоянного сечения
в закон Ома для участка цепи, получим
I 1U
.
=
S ρ l
В этой формуле величина, обратная удельному сопротивлению,
γ =
1
ρ
называется удельной электрической проводимостью материала проводника. Единица ее измерения в системе СИ – сименс на метр (См/м).
Так как U l = E – напряженность электрического поля в проводнике, I S = j – плотность тока, получаем
j = γE.
В проводнике носители тока движутся по направлению поля E, поэтому направления векторов j и E совпадают, и последнюю формулу можно записать в векторном виде:
j = γ E.
Это закон Ома для однородного участка цепи в дифференциальной форме.
Закон Ома для полной цепи. Замкнутая цепь, состоящая из источника тока с э.д.с. ε и внутренним сопротивлением r и внешнего сопротивления R, называется полной электрической цепью (рис. 4.3.2).
165
Закон Ома для полной цепи: сила тока I в замкнутой цепи прямо пропорциональна э.д.с. ɛ, действующей в цепи, и обратно пропорциональна сумме
внешнего R и внутреннего r сопротивлений:
I=
ε
R+r
.
В случае отсутствия внешнего сопротивления (R = 0)
ток в цепи называется током короткого замыкания:
Iк.з = ɛ/r.
Рис. 4.3.2
4.4 Последовательное и параллельное
соединения проводников
Для составления электрических цепей используются последовательное и параллельное соединения проводников.
R1
R2
U1
U2
I
Rn
Un
U
Рис. 4.4.1
При последовательном соединении n проводников (рис. 4.4.1):
– сила тока во всех частях, входящих в цепь, одинакова:
I 1= I 2= ...= I n= I= const;
– падение напряжения во всей цепи равно сумме падений напряжений на отдельных проводниках:
U = U 1 + U 2 + ... + U n ;
– падение напряжения на отдельных проводниках прямо пропорционально их сопротивлению:
U 1 R1 U 2 R 2
=
=
,
и т. д.
U 2 R2 U 3 R3
166
Из этих равенств следует, что
– общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений, входящих
в цепь проводников:
R = R1 + R 2 + ... + R n .
I1
R1
I2
R2
I
I
In
Rn
Рис. 4.4.2
При параллельном соединении n проводников (рис. 4.4.2):
– общий ток в цепи равен сумме токов, текущих по отдельным проводникам:
I = I 1 + I 2 + ... + I n;
– падения напряжения на всех параллельно соединенных проводниках равны:
U=
U 2= ...= U n= U= const;
1
– сила тока на параллельно соединенных проводниках обратно пропорциональна их сопротивлению:
I 1 R2
Rn
=
= ...=
;
I 2 R1
R n −1
– общее сопротивление параллельно соединенных проводников определяется следующим образом:
1 1
1
1
=
+
+ ... + .
R R1 R 2
Rn
167
4.5 Работа и мощность тока. Закон Джоуля–Ленца
При перемещении заряда q по участку цепи, падение напряжения на
котором равно U, совершается работа
A = qU .
Так как q = It, то
A = IUt.
Используя закон Ома для участка цепи, выражение для работы постоянного тока можно записать так:
U2
A=
t.
R
2
A = I Rt ,
Так как мощность
N=
A
,
t
то для электрического тока ее можно определить выражениями
U2
.
N = IU , N = I R или N =
R
2
В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж), а мощность –
в ваттах (Вт). Во внесистемных единицах работу тока принято измерять
в киловатт-часах (кВт⋅ч). 1 кВт⋅ч численно равен работе, совершаемой током
мощностью 1 кВт в течение одного часа. 1 кВт⋅ч = 3,6⋅106 Дж.
При прохождении электрического тока по проводнику электроны
проводимости сталкиваются с ионами, находящимися в узлах кристаллической решетки, и передают им свою кинетическую энергию, которая идет
на нагревание проводника. Выделяющееся при этом количество теплоты
определяется законом Джоуля–Ленца: количество теплоты Q, выделяющееся в проводнике при прохождении по нему тока, прямо пропорционально квадрату величины силы тока I, сопротивлению R проводника
и времени t прохождения тока:
Q = I 2Rt.
4.6. Элементарная классическая теория
электропроводности металлов
Носителями тока в металлах являются свободные электроны. Справедливость этого представления о природе носителей тока в металлах была
доказана в ряде классических опытов и легла в основу электронной теории
проводимости металлов. Согласно ей, ионы металла образуют кристалли168
ческую решетку, а между ними хаотически движутся свободные электроны, образуя электронный газ, свойства которого подобны свойствам одноатомного идеального газа.
При своем движении электроны проводимости сталкиваются с ионами решетки, в результате чего устанавливается термодинамическое равновесие между электронным газом и решеткой. В соответствии с молекулярно-кинетической теорией средняя скорость теплового движения электронов
vср =
8kT
,
πm
где m – масса электрона; k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура электронного газа.
Для T = 300 К средняя скорость теплового движения составляет
5
1,1⋅10 м/с. Тепловое движение электронов – хаотическое, поэтому не может привести к появлению тока.
Под действием внешнего электрического поля в металлическом проводнике движение электронов становится упорядоченным, т. е. возникает
электрический ток. Среднюю скорость u упорядоченного движения электронов можно оценить по формуле плотности тока: j = neu. При допустимой плотности тока для медных проводов 107 А/м2 и концентрации
носителей тока n = 8⋅1028 м–3 получаем u = 7,8⋅10–4 м/с. Следовательно,
u << vср , т. е. даже при очень больших плотностях тока средняя скорость
упорядоченного движения электронов значительно меньше их скорости
теплового движения.
Вывод основных законов электрического тока в классической
теории электропроводности металлов. На основе классических представлений о природе и характере протекания электрического тока выводятся известные экспериментальные законы Ома и Джоуля–Ленца.
Закон Ома. Если в металлическом проводнике существует электрическое поле напряженностью E, тo на электроны действует сила F = eE,
и они приобретают ускорение a = F/m = eE/m. Таким образом, в промежуток времени между двумя последовательными столкновениями с ионами решетки электроны движутся равноускоренно и приобретают максимальную скорость
umax =
eEtср
m
,
где tср – среднее время между двумя последовательными соударениями.
169
В конце свободного пробега электрон сталкивается с ионами решетки, отдает им накопленную кинетическую энергию, и его скорость упорядоченного движения u становится равной нулю. Следовательно, средняя
скорость направленного движения электрона
=
u
umax + 0 eEtср
=
.
2
2m
Cреднее время tср свободного пробега определяется средней длиной
свободного пробега lср и средней скоростью vср движения электронов
относительно кристаллической решетки проводника. Так как u ≪ vср ,
получаем
tср =
lср
vср
.
Подставив это выражение в формулу средней скорости направленного
движения электронов, находим, что
u=
eElср
2mvср
.
Отсюда следует, что плотность тока
=
j neu
=
ne 2lср
2mvср
E,
т. е. плотность тока j пропорциональна напряженности поля E. Это и есть
закон Ома в дифференциальной форме. Коэффициент пропорциональности
между j и E – удельная проводимость металла
γ=
ne 2lср
2mvср
,
которая зависит от концентрации свободных электронов и средней длины
их свободного пробега.
Закон Джоуля–Ленца. Электрон под действием поля к концу свободного пробега приобретает кинетическую энергию
2
e 2lср2
mumax
=
Eк =
E 2.
2
2
2mvср
При соударении электрона с ионом эта энергия передается кристаллической решетке, т. е. идет на нагревание проводника.
170
За единицу времени электрон испытывает в среднем z столкновений
с узлами решетки:
z=
vср
lср
.
Пусть n – концентрация электронов, тогда в единицу времени происходит
nz столкновений. В результате решетке передается энергия
w = nzEк .
Подставив в эту формулу выражения числа столкновений z и кинетической
энергии Eк, получим энергию, передаваемую ионной решетке в единице
объема за единицу времени:
w=
ne 2lср
2mvср
E 2.
Эта формула – закон Джоуля–Ленца в дифференциальной форме. Величина w – удельная тепловая мощность тока. Коэффициент пропорциональности между w и E2 – удельная проводимость γ .
Температурная зависимость сопротивления. Из классической
теории электропроводности следует, что сопротивление металлов должно
возрастать пропорционально T . Однако этот вывод противоречит опытным данным, согласно которым R прямо пропорционально T.
Опыт показывает, что увеличение удельного сопротивления, а значит
и сопротивления, с ростом температуры описывается линейным законом
ρ=
ρ 0(1 + α t), R =
R 0(1 + α t),
в которой ρ и ρ0, R и R0 – соответственно удельные сопротивления и со-
противления проводника при температурах t и 0 °С; α – температурный коэффициент сопротивления, для чистых металлов и при не очень низких
температурах близкий к 1/273 К–1. Следовательно, температурная зависимость сопротивления может быть представлена в виде
R = α R 0T ,
где Т – термодинамическая температура.
Качественный ход температурной зависимости сопротивления металла иллюстрирует рис. 4.6.1 (кривая 1).
Впоследствии было установлено, что сопротивление многих металлов и их сплавов при очень низких температурах Tк (порядка 0,14–20 К),
называемых критическими и характерных для каждого металла, скачкооб171
разно уменьшается до нуля (кривая 2). Это явление получило название
сверхпроводимости. Оно объясняется на основе квантовой теории. Практическое использование сверхпроводящих материалов (в обмотках сверхпроводящих магнитов, в системах памяти ЭВМ и др.) затруднено из-за их
низких значений Tк. В настоящее время обнаружены и активно исследуются керамические материалы, обладающие сверхпроводимостью при
T > 100 К.
R
1
2
0
Tкр
T, K
Рис. 4.6.1
На зависимости электрического сопротивления металлов от температуры основано действие термометров сопротивления. Они позволяют измерять температуру с точностью до 0,003 К. Термометры сопротивления,
в которых в качестве рабочего вещества используются полупроводники,
называются термисторами. С их помощью температура измеряется с точностью до миллионных долей кельвина.
4.7 Электрический ток в электролитах. Законы электролиза
Электролитами называются вещества, в которых перенос электрических зарядов при прохождении тока осуществляется ионами. К таким
веществам относятся растворы кислот, щелочей, солей и т. п. Молекулы
растворенного вещества в результате взаимодействия с растворителем
(например, молекулы поваренной соли NaCl с молекулами воды) распадаются на положительно заряженные ионы (катионы) и отрицательно заряженные ионы (анионы). Этот процесс называется электролитической
диссоциацией. Если в электролите создать с помощью источника тока
электрическое поле, то оно вызовет направленное движение ионов: анионы
будут двигаться к положительно заряженному электроду (аноду), а катионы – к отрицательно заряженному электроду (катоду), т. е. в электролите
возникнет электрический ток.
172
Прохождение тока в электролитах сопровождается выделением на
электродах веществ, входящих в состав электролита. Это явление называется электролизом.
Количественно электролиз описывается законами Фарадея.
Первый закон Фарадея: масса вещества m, выделившегося на электроде, прямо пропорциональна электрическому заряду q, прошедшему через электролит:
m = kq,
где k – электрохимический эквивалент вещества, который численно равен
массе вещества, выделившегося на электроде при прохождении через электролит заряда, равного 1 Кл.
Так как при постоянном токе прошедший заряд q = It, то
m = kIt .
Второй закон Фарадея: электрохимические эквиваленты веществ
прямо пропорциональны их химическим эквивалентам:
k=
1 A
,
F n
где А – атомная масса; n – валентность вещества; F – постоянная Фарадея.
Химическим эквивалентом данного вещества называется отношение
атомной массы А к валентности вещества n.
Объединенный закон Фарадея:
m=
1 A
F n
q или m =
1 A
F n
It .
Из этого закона следует, что постоянная Фарадея F численно равна электрическому заряду, который должен пройти через электролит для того,
чтобы на электроде выделилась масса вещества, численно равная химическому эквиваленту данного вещества: F = 9,65⋅104 Кл/моль.
4.8 Электрический ток в газах. Несамостоятельный
и самостоятельный газовые разряды
В отличие от металлов и электролитов газы, состоящие из атомов
и молекул, не имеют свободных носителей зарядов, т. е. являются диэлектриками. Свободные носители заряда возникают только при ионизации газа. При ионизации от атомов отрываются электроны, которые становятся
свободными, атом при этом превращается в положительный ион.
173
Ионизация газа может происходить при сильном нагревании газа,
облучении ультрафиолетовыми и рентгеновскими лучами, бомбардировке
атомов (молекул) быстрыми частицами – электронами или ионами.
Электрический ток в газе называют
газовым разрядом. Обычно его создают
I
3
в трубке, заполненной газом, находящимся под действием внешнего ионизатора.
В концах трубки впаяны два электрода
(положительный – «анод», отрицатель2
1
Iн
ный – «катод»), с помощью которых внутри трубки можно создать электрическое
поле. На рис. 4.8.1 показана зависимость
силы тока I от напряжения U между элек0
тродами – вольтамперная характеристиUз U
Uн
ка газового разряда. С увеличением напряжения U сила тока I растет (участок 0–1),
Рис. 4.8.1
при напряжении Uн достигает значения Iн
и остается неизменной при дальнейшем
повышении напряжения до величины Uз.
Ток, соответствующий напряжению Uн, называется током насыщения.
При насыщении все заряженные частицы, образовавшиеся в газе в единицу
времени, достигают электродов. Сила тока насыщения
Iн = Nq,
где q – заряд свободного носителя; N – число носителей заряда, образующихся в объеме газа за 1 с.
Ток в газе, полученный с помощью внешнего ионизатора, называется
несамостоятельным газовым разрядом (участок 0–1–2 вольтамперной характеристики).
Начиная с Uз (напряжение зажигания) и при дальнейшем увеличении напряжения ток снова начинает возрастать. Это означает, что в газе
появились новые свободные заряды помимо тех, которые получались под
действием внешнего ионизатора. Новые носители заряда возникли за счет
так называемой ударной ионизации. Электроны и ионы, ускоренные высокой разностью потенциалов (U > Uз), соударяясь с атомами или молекулами газа, сами выбивают электроны из атомов. Все свободные заряды вновь
ускоряются электрическим полем и, в свою очередь, ионизируют встречные атомы. Число свободных заряженных частиц лавинообразно нарастает, ток резко увеличивается, превышая Iн во много раз. Такой разряд не
нуждается во внешнем ионизаторе и называется самостоятельным газовым разрядом (участок 2–3 на рис. 4.8.1). При самостоятельном газовом
разряде источником свободных электронов служит катод, который бом174
бардируют ускоренные положительные ионы и выбивают электроны из
атомов вещества катода. Этот процесс называют электронной эмиссией.
Различают несколько видов самостоятельного газового разряда в зависимости от давления газа и напряжения:
– тлеющий разряд наблюдается при низком давлении (порядка 1–
0,1 мм рт. ст.);
– искровой разряд – разряд при нормальном давлении и высоком
напряжении между электродами, имеющий вид пучка ярких зигзагообразных линий (например, молния);
– коронный разряд, появляющийся при нормальном давлении около
заостренного проводника, обладающего большим электрическим зарядом;
– дуговой разряд, образующийся между двумя электродами (стержнями) при атмосферном давлении и сравнительно небольших разностях
потенциалов (несколько десятков вольт). Причиной дугового разряда является испускание электронов раскаленным катодом, которые ускоряются
электрическим полем и производят ударную ионизацию воздушного промежутка. Яркий дуговой разряд (температура газа достигает 5000–6000 ºС)
используется как мощный источник энергии: в прожекторах, для сварки
металлических конструкций и т. д.
4.9 Ток в вакууме. Термоэлектронная эмиссия. Диод.
Электронно-лучевая трубка
Вакуумом называют такую степень разрежения газа, при которой молекулы газа долетают от одной стенки баллона до другой, не испытывая
соударений друг с другом. В вакууме столь мала концентрация молекул
(атомов), что их ионизация не обеспечивает электропроводности. Электрический ток в вакууме можно получить с помощью электронной эмиссии –
испусканием электронов с поверхности электродов.
Термоэлектронной эмиссией называют испускание электронов металлами при их нагревании. Число испускаемых электронов зависит от рода металла, состояния поверхности и температуры. Обычно термоэмиссия
электронов происходит при таких температурах, при которых наблюдается
свечение раскаленного металла. С ростом температуры металла количество
испускаемых электронов увеличивается. Термоэлектронная эмиссия находит широкое применение в электровакуумных приборах. Простейшим среди них является диод (рис. 4.9.1).
Диод представляет собой баллон, из которого откачан воздух. В баллон впаяны два электрода – анод А и катод К. Раскаленный катод испускает электроны, которые под действием электрического поля движутся от
катода к аноду, в результате чего через лампу идет ток I. Величина тока зависит от напряжения Uа между анодом и катодом. Зависимость тока I от
напряжения Uа между анодом и катодом (анодное напряжение) приведена
175
на рис. 4.9.2. При некотором напряжении Uн достигается ток насыщения Iн.
В этом случае все вылетающие в единицу времени с поверхности катода
электроны достигают анода.
Iа
А
Iн
К
0
Рис. 4.9.1
Uн
Uа
Рис. 4.9.2
Диод обладает односторонней проводимостью: если потенциал анода
выше, чем потенциал катода, диод проводит ток, если потенциал анода
ниже потенциала катода – не проводит. Это свойство диода используется
для выпрямления переменного тока.
К электровакуумным приборам относится также электронно-лучевая
трубка, работа которой связана с явлением термоэлектронной эмиссии
с катода (рис. 4.9.3).
Рис. 4.9.3
Электроны, испускаемые катодом, проходят через систему, состоящую из управляющих электродов и ускоряющих анодов, предназначенных
для фокусирования электронного пучка. Сфокусированный пучок проходит через систему вертикально и горизонтально отклоняющих пластин, которые называются управляющими электродами. С помощью этих электродов электронный пучок можно перемещать на экране в любом направлении. Электронно-лучевые трубки применяются в телевидении, электронных осциллографах и т. д.
176
4.10 Зонная теория электропроводности твердых тел
Несмотря на успехи классической теории проводимости, с ее помощью невозможно объяснить как температурную зависимость сопротивления проводников, так и существование полупроводников – веществ,
проводимость которых растет с увеличением температуры.
Зонная теория твердых тел возникла в XX в. и базируется на квантовомеханических представлениях о строении атома.
Энергетические зоны в кристаллах. Согласно квантовой механике,
энергия электрона E в атоме не может принимать произвольные значения.
Существует только ограниченный, дискретный набор возможных значений
энергии, которые называются энергетическими уровнями (говорят, что
энергия квантуется). На рис. 4.10.1 в левой его части изображены два таких уровня.
Е
Запрещенная зона
Уровни свободного
атома
Разрешенные
зоны
Зоны кристалла
Рис. 4.10.1
Когда одинаковые атомы изолированы, т. е. находятся друг от друга
на больших расстояниях, они имеют совпадающие энергетические уровни
(уровни свободного атома на рис. 4.10.1). В процессе образования твердого
тела расстояние между атомами уменьшается до межатомного в твердых
телах (порядка 10–10 м). При этом взаимодействие между ними усиливается
настолько, что их энергетические уровни смещаются и расщепляются, образуя зонный энергетический спектр (правая часть рис. 4.10.1).
Электроны в кристалле могут иметь энергию в пределах энергетических областей, называемых разрешенными энергетическими зонами
(рис. 4.10.1). Число уровней в разрешенной зоне равно числу атомов в кристалле, т. е. очень велико, а расстояние между соседними энергетическими
уровнями в зоне очень мало (порядка 10–41 Дж).
Разрешенные энергетические зоны разделены запрещенными энергетическими зонами. Электроны с энергиями в области этих зон в кристалле не существуют.
177
Металлы, диэлектрики и полупроводники. Зонная теория твердых
тел объясняет существование металлов, диэлектриков и полупроводников,
связывая различие в их электрических свойствах с неодинаковым заполнением электронами разрешенных зон и с шириной запрещенных зон.
По степени заполнения электронами энергетических уровней разрешенной зоны различают валентную зону (она полностью заполнена электронами, рис. 4.10.2; электроны, находящиеся в этой зоне, не способны перемещаться вдоль кристалла и создавать электрический ток, поскольку
в такой зоне отсутствуют свободные места, куда они могли бы переместиться), и зону проводимости (свободную зону) – она частично заполнена
электронами либо свободна.
В зависимости от степени заполнения зон электронами и ширины запрещенной зоны возможны три случая, изображенные на рис. 4.10.2.
На рис. 4.10.2, а верхняя зона, содержащая электроны, заполнена частично, т. е. в ней имеются вакантные (не заполненные электронами) уровни. Электрон из этой зоны, получив сколь угодно малую дополнительную
энергию (например, за счет теплового движения), переходит на более высокий вакантный энергетический уровень той же зоны. При этом он становится свободным, т. е. способным перемещаться вдоль кристалла и участвовать в проводимости. Такой внутризонный переход возможен, так как
даже очень низкой температуре T = 1 К соответствует энергия теплового
движения kT = 1,38∙10–23 Дж. Это гораздо больше разности энергий между
соседними уровнями зоны (примерно 10–41 Дж). Таким образом, если в
твердом теле имеется зона, частично заполненная электронами, то оно всегда будет проводником электрического тока, т. е. металлом (рис. 4.10.2, а).
а
б
Рис. 4.10.2
178
в
Твердые тела, у которых энергетический спектр электронных состояний состоит только из валентной зоны и зоны проводимости, являются диэлектриками или полупроводниками в зависимости от ширины запрещенной зоны ∆Е (рис. 4.10.2, б и в).
Если ширина запрещенной зоны кристалла велика (порядка нескольких электрон-вольт, 1 эВ = 1,6∙10–19 Дж), то тепловое движение не может
перебросить электроны из валентной зоны в зону проводимости, где они
становятся свободными, поэтому кристалл является диэлектриком, оставаясь им при всех реальных температурах (рис. 4.10.2, б).
Если запрещенная зона достаточно узка (∆Е порядка 1 эВ), то переход электронов из валентной зоны в зону проводимости легко осуществляется путем теплового возбуждения, способного передать электронам
энергию ∆Е, потому кристалл – это полупроводник (рис. 4.10.2, в).
При температурах, близких к абсолютному нулю, полупроводники
становятся диэлектриками, так как переброс электронов в зону проводимости (за счет тепловой энергии) в данном случае невозможен. С повышением температуры возрастает число электронов, имеющих тепловую энергию, бóльшую ∆Е, и их значительное количество переходит в зону проводимости. Таким образом, электрическая проводимость полупроводников
с ростом температуры увеличивается.
Собственная проводимость полупроводников. Полупроводники
получили свое название, благодаря тому, что их электропроводность
меньше, чем металлов, и больше, чем диэлектриков.
Различают собственные и примесные полупроводники. Собственные
полупроводники – химически чистые полупроводники (Ge, Si), их проводимость называется собственной проводимостью.
При 0 К собственные полупроводники являются диэлектриками. При повышении температуры электроны с верхних
уровней валентной зоны I могут быть переброшены на нижние уровни зоны проводимости II (рис. 4.10.3). В электрическом
поле они перемещаются и создают электрический ток. Таким образом, зона II становится зоной проводимости. Проводимость собственных полупроводников, обусловленная электронами, называется элекРис. 4.10.3
тронной проводимостью, или проводимостью n-типа.
Одновременно в зоне I возникают вакантные состояния (свободные
места), получившие название дырок. Во внешнем электрическом поле на
освободившееся место (дырку) перемещается электрон с соседнего уровня
179
зоны I. В результате дырка появляется в том месте, откуда ушел электрон,
и т. д. Этот процесс перемещения дырок в направлении, противоположном
движению электронов, равносилен движению положительного заряда, равного по величине заряду электрона. Проводимость собственных полупроводников, обусловленная дырками, называется дырочной проводимостью,
или проводимостью p-типа.
Таким образом, в собственных полупроводниках наблюдаются два
механизма проводимости: электронный и дырочный.
Среднее количество электронов в зоне проводимости N(Е) определяется распределением Максвелла–Больцмана:
N( E ) ≈ e −∆E / ( 2kT ).
Так как число электронов в зоне проводимости и число образовавшихся дырок равны, то удельная проводимость γ собственных полупроводников, пропорциональная N(Е), определяется формулой
γ = γ 0e −∆E / ( 2kT ),
где γ0 – величина, постоянная для данного полупроводника. Из этой фор-
мулы следует, что γ увеличивается с ростом Т.
Примесная проводимость полупроводников. Проводимость полупроводников, обусловленная примесями (т. е. наличием в чистом полупроводнике атомов посторонних элементов), называется примесной проводимостью, а сами полупроводники – примесными полупроводниками. Примеси существенно изменяют проводимость полупроводников. Например,
присутствие в кремнии 0,001 ат. % бора увеличивает его проводимость
в 106 раз.
Введение примеси приводит к возникновению в запрещенной зоне
энергетического уровня, называемого примесным. Если он расположен рядом с дном зоны проводимости и заполнен электронами, то называется донорным (D на рис. 4.10.4). Электрон с уровня D в результате теплового
движения (ΔED < kT) легко переходит в зону проводимости. Появляется
электронная примесная проводимость (проводимость n-типа). Полупроводники с такой проводимостью называются полупроводниками n-типа.
Они получаются путем введения в полупроводник примеси (например,
атомов мышьяка), валентность которой на единицу больше валентности
основных атомов (Ge).
Если примесный уровень расположен рядом с валентной зоной
(ΔEA < kT) и свободен, то он называется акцепторным (А на рис. 4.10.5).
Электроны с верхних уровней валентной зоны легко переходят на уровень
А, в валентной зоне появляется дырка, возникает дырочная проводимость
(проводимость р-типа). Полупроводники с такой проводимостью назы180
ваются полупроводниками p-типа. Они получаются путем введения в полупроводник примеси (например, атомов бора), валентность которой на
единицу меньше валентности основных атомов (Ge).
Рис. 4.10.4
Рис. 4.10.5
181
Раздел 5
МАГНЕТИЗМ
5.1 Магнитное поле. Индукция магнитного поля
Опыт показывает, что между двумя бесконечно длинными параллельными проводниками с током возникают силы взаимодействия – проводники с одинаковым направлением токов притягиваются, а с противоположным – отталкиваются. Причиной такого взаимодействия является магнитное поле.
Магнитным полем называется часть электромагнитного поля, создаваемая проводниками с токами, движущимися заряженными частицами
и телами, постоянными магнитами и переменным электрическим полем.
Магнитное поле оказывает силовое воздействие на проводники с током, движущиеся заряженные частицы, рамки с током, магнитные стрелки.
Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции (магнитная индукция) B. Он определяет результирующее
магнитное поле, создаваемое токами как макроскопическими (токами, текущими в проводниках), так и микроскопическими, обусловленными движением электронов в атомах и молекулах. Магнитное поле только макроскопических токов характеризуется вектором напряженности магнитного
поля H. Векторы B и H связаны между собой соотношением
B = µ0 µ H,
где μ0 – магнитная постоянная (численное значение µ=
4π ⋅ 10 −7 Гн/м);
0
μ – магнитная проницаемость среды – безразмерная физическая величина,
показывающая, во сколько раз магнитное поле усиливается или ослабляется изотропной однородной средой. В вакууме μ = 1, потому
B = µ0H.
Магнитное поле, магнитная индукция которого во всех точках одинакова (B = const), называется однородным полем.
Графически магнитное поле изображается с помощью силовых линий (линий магнитной индукции).
Линией магнитной индукции (силовой линией магнитного поля)
называется воображаемая линия, касательные к которой в каждой точке
поля совпадают с направлением вектора B. Помещенная в магнитное поле
магнитная стрелка будет располагаться таким образом, что касательная к
силовой линии в точке расположения стрелки (А, С) совпадает с направле-
182
нием силы F, действующей со стороны магнитного поля на северный конец стрелки (рис. 5.1.1).
Силовые линии магнитного поля в отличие от линий напряженности
электростатического поля замкнуты.
S
N
A
FA
BA
S
С
N
FC
B
BС
B
B
Рис. 5.1.1
I
B
Рис. 5.1.2
Силовые линии магнитного поля прямого тока (рис. 5.1.2) представляют собой концентрические окружности, расположенные в плоскостях,
перпендикулярных проводнику, центры которых находятся на проводнике
с током.
Направление вектора индукции B определяется по правилу правого
винта (правило буравчика): если буравчик с правой резьбой ввинчивать по
направлению тока, то направление
движения рукоятки буравчика совпадает с направлением вектора индукции B.
Если магнитное поле создается
витком с током или соленоидом
(рис. 5.1.3), правило буравчика применяется следующим образом: если
рукоятку буравчика с правой резьбой
вращать по направлению тока, идущего по витку, то направление поступательного движения буравчика буРис. 5.1.3
дет совпадать с направлением вектора
индукции B.
Магнитное поле соленоида подобно магнитному полю полосового
постоянного магнита (рис. 5.1.4). Конец катушки, из которого выходят
магнитные силовые линии, подобен северному полюсу N постоянного магнита. Другой конец, в который магнитные силовые линии входят, подобен
183
южному полюсу S. Определить, какой конец катушки соответствует тому
или иному полюсу, можно с помощью правила буравчика: северным полюсом будет тот конец катушки, на который должен смотреть наблюдатель, чтобы ток в витках протекал против часовой стрелки, тогда противоположный конец соленоида будет соответствовать южному полюсу (рис. 5.1.5).
Рис. 5.1.4
I
N
I
I
S
I
Рис. 5.1.5
5.2 Сила, действующая на проводник с током
в магнитном поле. Сила Ампера
Опыт показывает, что если проводник с током поместить в магнитное поле, то со стороны поля на него будет действовать сила. Она получила название силы Ампера. Опытным путем было установлено, что на отрезок прямого проводника с током силы I и длиной l, помещенного в однородное магнитное поле с индукцией B, действует сила FA, модуль которой
=
FA IlB sin α ,
где α – угол между направлением тока и вектором индукции B (рис. 5.2.1).
Направление силы Ампера FA определяется по правилу левой руки:
если ладонь левой руки расположить так, чтобы нормальная составляющая
вектора индукции B ⊥ входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца направить по току, то отогнутый большой палец укажет направление силы Ампера (рис. 5.2.2).
184
В
В⊥
В⊥
I
α
В
I
В
В
FА
FА
Рис. 5.2.1
Рис. 5.2.2
Модуль силы Ампера dFA, действующей на бесконечно малый элемент проводника dl, соответственно имеет вид
dFA = IBdl sin α.
Объединяя это выражение с правилом выбора направления силы (правилом левой руки), получаем векторное равенство
d FA = I [d l, B],
где dl – вектор, направление которого совпадает с направлением тока в
проводнике, а модуль равен длине элемента проводника dl. Квадратные
скобки обозначают векторное произведение. Напомним математическое
определение векторного произведения: вектор c, являющийся векторным
произведением векторов a и b, имеет длину, равную a ⋅ b ⋅ sin α (а и b –
длины векторов a и b соответственно, α – угол между ними), а его направление определяется по правилу правого винта (правилу буравчика): вращая
a в направлении b по кратчайшему пути, получаем направление c.
С помощью закона Ампера модуль вектора индукции в данной точке
магнитного поля можно определить как максимальную силу Ампера FAmax ,
действующую на проводник единичной длины, по которому течет ток единичной силы:
FAmax
.
B=
Il
Максимальная сила достигается тогда, когда проводник расположен перпендикулярно к линиям магнитной индукции.
Таким образом, физический смысл магнитной индукции B заключается в следующем: магнитная индукция поля в данной точке численно
185
равна силе, действующей со стороны поля на проводник единичной длины
с единичной силой тока, расположенный перпендикулярно силовым линиям поля.
Единицей измерения индукции служит тесла (Тл): 1 Тл = 1 Н/(1 м ×
1 А).
5.3 Действие магнитного поля на движущийся заряд.
Сила Лоренца
На заряженную частицу, движущуюся со скоростью v под углом α
к силовым линиям однородного магнитного поля с индукцией В, со стороны поля действует сила, модуль которой равен
FЛ = qvBsinα .
Эта сила называется силой Лоренца. Сила FЛ перпендикулярна векторам B
и v, а ее направление определяется по правилу левой руки: левую руку надо
расположить так, чтобы нормальная составляющая вектора B ⊥ магнитной
индукции входила в ладонь, вытянутые пальцы были расположены в направлении движения положительного заряда, тогда отогнутый на 90о
большой палец покажет направление силы Лоренца. Направление силы
Лоренца, действующей на движущийся отрицательный заряд, имеет противоположное значение.
В векторном виде формулу для силы Лоренца можно записать следующим образом:
FЛ = q[ v, B].
Зная силу Лоренца, можно найти ряд закономерностей движения заряженных частиц в магнитном поле. Ее направления и вызываемые ею отклонения заряженной частицы в поле зависят от знака заряда q данной частицы. На этом основано определение знака заряда частиц, движущихся
в магнитных полях.
Для вывода общих закономерностей будем считать, что магнитное
поле однородно и на частицы электрические поля не действуют. Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v вдоль линий
магнитной индукции, то угол α между векторами v и B равен 0 или π. Тогда сила Лоренца равна нулю, т. е. магнитное поле на частицу не действует,
и она движется равномерно и прямолинейно.
Если заряженная частица влетает в магнитное поле со скоростью v,
перпендикулярной вектору B, то сила Лоренца перпендикулярна к v и является центростремительной. Эта сила создает центростремительное уско-
186
рение a = v 2 / r, где r – радиус траектории (окружности), который определяется из второго закона Ньютона
qvB = mv 2 / r.
В результате имеем
mv
.
q B
r=
Время T, за которое заряженная частица совершает один полный
оборот (период обращения),
T =
2π r
.
v
Учитывая выражение радиуса окружности, получаем
=
T
2π m
2π
=
,
B q Bq / m
т. е. период обращения частицы в однородном магнитном поле определяется только величиной удельного заряда (q/m) частицы и магнитной индукцией поля, но не зависит от ее скорости.
Z
v┴
q
h
v
vǁǁ
FЛ
X
α
B
Y
Рис. 5.3.1
Если скорость v заряженной частицы направлена под углом α к вектору B (рис. 5.3.1), то ее движение можно представить в виде суперпозиции:
187
1) равномерного прямолинейного движения вдоль линий магнитной
индукции со скоростью v|| = v cos α ;
2) равномерного движения со скоростью v⊥ = v sin α по окружности в плоскости, перпендикулярной B.
Радиус окружности определяется так же, как для частицы, движущейся перпендикулярно силовым линиям (в формуле для r следует заменить v на v⊥ = v sin α ). Сложение обоих движений дает движение по спирали, ось которой параллельна B (рис. 5.3.1), а шаг
=
h v=
vT cos α .
||T
Направление, в котором закручивается спираль, зависит от знака заряда
частицы.
На заряженную частицу, движущуюся одновременно в магнитном
и электрическом полях, действует сила, которую называют обобщенной силой Лоренца:
=
F qE + q [ v, B ] ,
где qE – сила, действующая на частицу со стороны электрического поля.
5.4 Закон Био–Савара–Лапласа
Рассмотрим элемент проводника dl (рис. 5.4.1), по которому течет
ток I. Радиус-вектор, проведенный от dl в точку наблюдения, обозначим на
рисунке r.
dl
α
r
dВ
Рис. 5.4.1
Закон Био–Савара–Лапласа говорит, что индукция магнитного поля
dB, создаваемая в точке наблюдения элементом проводника dl с током I,
определяется следующей формулой:
188
dB =
µµ0 I [dl, r ]
.
4π
r3
По определению векторного произведения, направление dB перпендикулярно и к вектору dl, и к радиус-вектору r, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной
индукции (рис. 5.4.1).
Согласно определению векторного произведения двух векторов, модуль вектора dB дается выражением
dB =
µµ0 Idl sin α
,
4π
r2
где α – угол между векторами dl и r.
Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип
суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, образованного
несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме
магнитных индукций полей, создаваемых каждым током или движущимся
зарядом в отдельности:
n
B = ∑ Bi .
i=1
Расчет индукции магнитного поля с помощью закона Био–Савара–
Лапласа в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет
определенную симметрию, то применение закона совместно с принципом
суперпозиции позволяет достаточно просто рассчитать конкретные поля.
5.5 Расчет магнитных полей с помощью закона
Био−Савара−Лапласа
Магнитное поле прямого тока (т. е. тока, текущего по тонкому
прямому проводу бесконечной длины). В произвольной точке А, расположенной на расстоянии R от оси проводника (рис. 5.5.1), векторы dB от всех
элементов тока направлены одинаково: перпендикулярно плоскости чертежа, по направлению к читателю. Поэтому сложение векторов dB можно
заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования
выберем угол α (угол между векторами dl и r), выразив через него все
остальные величины. Из рис. 5.5.1 следует, что
=
r
R
r dα
, dl
=
sin α
sin α
189
(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же
причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в формулу закона Био–Савара–Лапласа, получим, что магнитная индукция, создаваемая
элементом проводника, равна
dB =
F
dl α
C
µµ0 I
sin α d α .
4π R
D
rdα
r
dα
α
R
А
I
dB, B
Рис. 5.5.1
Так как угол α для всех элементов прямого тока изменяется от 0 до
π, то, согласно принципу суперпозиции,
µµ 0I π
µµ 0 2I
α
α
=
B ∫=
dB
sin
=
d
.
4π R ∫0
4π R
Таким образом, магнитная индукция поля прямого тока
B=
µµ 0 2I
.
4π R
Магнитное поле в центре кругового витка с током. Из рис. 5.5.2
следует, что все элементы проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления – вдоль нормали к плоскости витка,
и поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей.
190
dl
R
dB, B
I
Рис. 5.5.2
Так как все элементы dl витка перпендикулярны радиус-вектору R
(в законе Био–Савара–Лапласа sinα = 1), а их расстояние до центра кругового тока одинаково и равно R, то
dB =
µµ0 I
dl.
4π R 2
Применяя принцип суперпозиции, т. е. интегрируя это выражение по
всем элементам dl, принадлежащим витку, получаем
µµ0 I 2π R
µµ0 I
µµ0 I
2
.
=
B ∫=
dB
=
dl
=
π
R
4π R 2 ∫0
4π R 2
2R
Таким образом, магнитная индукция поля в центре кругового витка
с током
B=
µµ0 I
.
2R
5.6 Взаимодействие параллельных токов
Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с токами I1 и I2 (направления токов указаны на рис. 5.6.1), расстояние
между которыми равно R. Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током.
Найдем, с какой силой действует магнитное поле тока I1 на элемент dl второго проводника с током I2.
191
Рис. 5.6.1
Ток I1 создает магнитное поле, линии магнитной индукции которого – концентрические окружности. Направление вектора B1 определяется
правилом правого винта, его модуль равен
B=
µµ0 2 I1
;
4π R
направление силы Ампера dF1, с которой поле B1 действует на участок dl
второго тока, – правилом левой руки (рис. 5.6.1). Так как угол α между
элементами тока I2 и вектором B1 прямой, модуль силы равен
dF1 = I 2B1dl.
Подставляя в это выражение значение для В1, получим
dF1 =
µµ0 2 I1 I 2
dl.
4π R
Аналогичные рассуждения показывают, что сила dF2, с которой магнитное поле тока I2 действует на элемент dl первого проводника, направлена в противоположную сторону и равна
=
dF2 I=
1 B2 dl
µµ0 2 I1 I 2
dl.
4π R
Таким образом, параллельные токи одинакового направления притягиваются друг к другу с силами
dF
=
dF
=
1
2
µµ0 2 I1 I 2
dl.
4π R
Можно показать, что между проводниками с токами противоположного направления действуют силы отталкивания.
192
5.7 Контур с током в магнитном поле
Магнитный момент тока. Во многих случаях приходится иметь дело с замкнутыми токами, размеры которых малы по сравнению с расстоянием от них до точки наблюдения. Такие токи называются элементарными. Примером подобных токов могут служить электроны, движущиеся по
замкнутым орбитам.
Рассмотрим плоский контур – круговой виток радиуса R (рис. 5.7.1),
по которому течет ток I. Магнитные свойства такого контура описываются
векторной величиной pm, называемой магнитным моментом:
p m = ISn,
где S – площадь витка; n – вектор нормали к плоскости витка.
R
n
pm
В
Рис. 5.7.1
В теории магнетизма магнитный момент кругового витка с током играет такую же важную роль, как и электрический дипольный момент в теории электричества.
Момент сил, действующих на контур с током в магнитном поле.
Поместим в однородное магнитное поле с индукцией B плоский прямоугольный контур (рамку) с током (рис. 5.7.2, а) и вычислим момент сил,
который будет на нее действовать.
Согласно закону Ампера, на каждый элемент тока рамки действует
сила
dF = I [dl, B].
193
а
б
–F
B
B
n
I
F
n
Рис. 5.7.2
Результирующая всех этих сил, как нетрудно убедиться, создает пару
сил F и –F (см. рис. 5.7.2, б), стремящихся развернуть плоскость рамки
перпендикулярно силовым линиям магнитного поля. Если a – длина короткой стороны рамки, то величина действующей на нее силы будет
F = IBa. Момент пары сил по величине равен
M F
=
b
b
sin α + ( − F )( − =
) sin α Fb sin α ,
2
2
здесь b – длинная сторона рамки,
b
sin α – плечо силы F, α – угол между
2
нормалью к плоскости рамки и силовой линией магнитного поля.
Следовательно,
=
= IBS sin α ,
M IBab
где S = ab – площадь рамки.
Учитывая, что магнитный момент рамки p m = ISn , последнюю формулу можно переписать в векторном виде
M = [p m , B].
Момент пары сил М = 0, если pm и B параллельны, он максимален
при p m ⊥ B .
Энергия контура с током в магнитном поле. Контур с током, помещенный в магнитное поле, обладает запасом энергии. Действительно,
чтобы повернуть контур с током на некоторый угол dα, необходимо со-
194
вершить работу против пары сил, действующих на контур со стороны поля. По величине эта работа равна
dA =
−Mdα =
− p mBsinα dα .
Совершенная над контуром работа идет на увеличение его энергии.
Следовательно, запасенная контуром энергия будет равна
π
π
2
2
α
α
W =
− ∫ Md α =
− ∫ pm B sin α ⋅ d α =
− pm B cos α
(при выводе этой формулы мы приняли, что при α = π / 2 энергия контура W, определяемая с точностью до произвольной постоянной, равна нулю). Полученную формулу можно написать также в векторном виде
W = −p m B.
Из нее следует, что устойчивому положению равновесия контура с током
в магнитном поле (положению с наименьшей энергией) соответствует его
ориентация, при которой векторы pm и B параллельны (α = 0). В данном
случае энергия контура минимальна и равна
W =
− pm B < 0.
Неустойчивому положению равновесия соответствует ориентация,
при которой векторы pm и B антипараллельны (α = π). В этом случае энергия контура максимальна и равна
=
W pm B > 0.
5.8 Циркуляция вектора магнитной индукции в вакууме.
Закон полного тока
Циркуляцией вектора B по замкнутому контуру L произвольной формы называется интеграл вида
∫ B dl = ∫ B dl ,
l
L
L
где dl – вектор элементарной длины контура (его направление совпадает
с направлением обхода контура); Bl = Bcosα – проекция вектора B на
направление касательной к контуру; α – угол между векторами B и dl.
С помощью понятия циркуляции формулируется закон полного тока
для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора B): циркуляция вектора B по произвольному замкнутому контуру равна произведе195
нию магнитной постоянной µ0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:
n
µ0 ∑ I k ,
B dl
B dl 
∫=
∫=
l
L
k =1
L
где n – число проводников с токами, которые охватываются контуром L.
Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Ток считается положительным, если его направление образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления – отрицательный. Например, для системы токов,
изображенных на рис. 5.8.1:
n
∑I
k =1
k
= I1 + 2 I 2 − 0 ⋅ I 3 − I 4 .
Рис. 5.8.1
Закон полного тока справедлив только для поля в вакууме. Для поля
в веществе необходимо учитывать также молекулярные токи.
Воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B для расчета магнитного поля прямого тока I, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам (рис. 5.8.2). Представим себе замкнутый контур L в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор B одинаков
по модулю и направлен по касательной к окружности (она совпадает с линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляцию вектора B можно
вычислить следующим образом:
∫ B dl= ∫ B dl=
l
L
196
L
B
∫ dl= B ⋅ 2π r.
L
Рис. 5.8.2
Выбранный контур L охватывает единственный ток I, поэтому по
теореме о циркуляции
В ⋅ 2πr = µ0I,
откуда модуль вектора магнитной индукции
B=
µ0 I
,
2πr
что совпадает с результатом, полученным с помощью закона Био–Савара–
Лапласа.
Сравнивая выражения для циркуляций векторов E и B, видим, что
между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора E
электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле
является потенциальным. Циркуляция вектора B магнитного поля не равна
нулю. Поле, циркуляция которого по замкнутому контуру отлична от нуля,
называется вихревым.
5.9 Магнитное поле соленоида и тороида
Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции позволяет находить индукцию магнитного поля без применения закона Био–Савара–
Лапласа.
Магнитное поле на оси прямого длинного соленоида. Соленоид –
катушка, намотанная на цилиндрический каркас. Если длина соленоида
намного больше его диаметра, то такой соленоид называют длинным. Маг197
нитное поле максимально внутри соленоида и направлено вдоль его оси.
Вблизи оси соленоида его магнитное поле можно считать однородным.
Для нахождения индукции магнитного поля на оси прямого длинного соленоида с помощью теоремы о циркуляции магнитного поля выберем
контур L, как показано на рис. 5.9.1.
Рис. 5.9.1
На участке 1–2 направление магнитного поля совпадает с направлением обхода контура, а его индукция постоянна в силу однородности поля.
На участках 2–3 и 4–1 вне соленоида проекция магнитного поля на направление обхода равна нулю. Наконец, на участке 3–4, удаленном достаточно
далеко от соленоида, можно считать, что магнитное поле отсутствует.
Таким образом, циркуляция вектора магнитной индукции по всему
выбранному контуру интегрирования равна
2
3
4
1
∫ B dl = ∫ B dl + ∫ B dl + ∫ B dl + ∫ B dl = Bl ,
l
L
l
l
1
2
l
3
l
4
так как
2
∫ B dl=
l
1
B ⋅ l,
3
4
1
∫ B dl = 0, ∫ B dl = 0, ∫ B dl = 0.
l
2
l
3
l
4
Поскольку, согласно теореме о циркуляции вектора магнитной индукции, этот интеграл равен µ0 N ⋅ I , где N – число витков соленоида, пронизывающих контур интегрирования, имеем
Bl = µ0 IN ,
198
откуда находим
=
B
где n =
µ0 NI
= µ0 In,
l
N
– число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.
l
Последняя формула получена в предположении, что соленоид находится в вакууме. Если пространство внутри соленоида заполнено веществом с магнитной проницаемостью µ (в соленоид введен сердечник), то
поле внутри будет отличаться в µ раз, т. е.
B = µµ0 In.
Магнитное поле на оси тороида. Тороид – катушка, намотанная на
каркас, имеющий форму тора. Магнитное поле тороида целиком сосредоточено внутри него и является неоднородным.
Рис. 5.9.2
Для нахождения напряженности магнитного поля вблизи оси тороида применим теорему о циркуляции магнитного поля, выбрав контур L
в виде окружности радиуса R (рис. 5.9.2). Тогда
2π R
∫ B dl= ∫
l
l
Bdl= B ⋅ 2π R.
0
Вместе с тем этот интеграл равен µ0 NI (N – общее число витков тороида), откуда следует, что
B=
µ0 NI
.
2π R
199
Если пространство внутри тороида заполнено веществом с магнитной проницаемостью µ , индукция магнитного поля будет равна
B=
µµ0 NI
.
2π R
5.10 Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса
для магнитного поля
Элементарным потоком вектора магнитной индукции (элементарным
магнитным потоком) через элементарную площадку dS называется физическая величина
d Φ=
Bd=
S Bn dS ,
B
где Bn = Вcosα – проекция вектора B на направление нормали к площадке
dS; α – угол между векторами n и B; dS = dS n – вектор, модуль которого
равен dS, а направление совпадает с направлением нормали n к площадке.
Поток вектора B – скалярная физическая величина. Он может быть
как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cosα.
Поток вектора магнитной индукции ФB через произвольную поверхность S равен
Φ
=
B
dS ∫ B dS .
∫ B=
n
S
S
Единицей измерения магнитного потока служит вебер (Вб): 1 Вб –
магнитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью
1 м2, расположенную перпендикулярно вектору B, модуль которого равен 1 Тл (1 Вб = 1 Тл⋅м2).
Аналогично теореме Гаусса для электростатического поля можно
доказать теорему Гаусса для поля В: поток вектора магнитной индукции
сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:
=
∫ BdS
S
B dS
∫=
n
0.
S
Эта теорема – следствие отсутствия магнитных зарядов, в результате чего
линии магнитной индукции являются замкнутыми.
Используя теорему Гаусса, рассчитаем поток вектора B через соленоид. Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником, магнитная проницаемость которого µ, составляет
B = µµ0 I
200
N
.
l
Магнитный поток через один виток соленоида площадью S
Φ B =BS .
Полный магнитный поток, сцепленный со всеми его N витками, называемый потокосцеплением, в N раз больше:
N 2I
Ψ = Φ B N = NBS = µµ0
S = µµ0n 2 IV ,
l
где V – объем соленоида.
5.11 Работа по перемещению проводника и контура
с током в магнитном поле
Рассмотрим прямолинейный проводник длиной l с током I, который может свободно перемещаться вдоль параллельных проводников
(рис. 5.11.1). В магнитном поле на проводник действует сила Ампера, модуль которой
FA = IBl ,
так как вектор В перпендикулярен направлению тока в проводнике (на
рис. 5.11.1 он перпендикулярен плоскости чертежа).
Пусть под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на отрезок dx из положения 1 в положение 2. Работа, совершаемая при этом силой Ампера, равна
dA= FA dx= IBldx= IBdS= Id Φ B .
Рис. 5.11.1
201
Так как ldx = dS – площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле, BdS = dФВ – поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь, то
dA= Id Φ B ,
т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна
произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся
проводником. Эта формула справедлива для произвольного направления
вектора В и произвольной формы проводника.
Вычислим работу при бесконечно малом перемещении замкнутого
контура с постоянным током I в магнитном поле из положения М (сплошная линия на рис. 5.11.2) в положение M ′ (штриховая). Ток в контуре
направлен по часовой стрелке, магнитное поле – перпендикулярно плоскости чертежа. Контур М разобьем на два проводника: AВС и CDА.
Работа dA, совершаемая силами Ампера при перемещении контура,
равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников AВС
(dA1) и CDA (dA2), т. е.
dA = dA1 + dA2.
Проводник CDA пересекает при движении магнитный поток dФ0 через заштрихованную поверхность и поток dФ2, пронизывающий контур в
положении M ′ . Следовательно, работа по перемещению проводника CDA
в положение C ′D′A′ равна
dA2= I (d Φ 0 + d Φ 2 ).
Рис. 5.11.2
202
Проводник AВС при перемещении в положение A′B′C ′ пересекает
поток dФ0 через заштрихованную поверхность и поток dФ1, пронизывающий контур в положении М. Силы Ампера, действующие на этот проводник, совершают отрицательную работу:
dA1 =− I ( d Φ 0 + d Φ1 ).
Таким образом, элементарная работа
dA= I ( d Φ 2 − d Φ1 ).
Величина dФ2 – dФ1 = dФВ есть изменение магнитного потока сквозь
площадь, ограниченную контуром с током. Следовательно,
dA= Id Φ B .
Работа, совершаемая силами Ампера при конечном перемещении
контура в магнитном поле, находится интегрированием полученного выражения и равна
A= I ∆Φ B .
Итак, работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром.
5.12 Магнитное поле в веществе
Гипотеза Ампера о молекулярных токах. Вектор намагниченности. Различные вещества в той или иной степени способны к намагничиванию, т. е. под действием магнитного поля приобретают магнитный момент, поэтому их называют магнетиками.
Для объяснения способности тел к намагничиванию А. М. Ампер
предположил, что в молекулах вещества циркулируют круговые микротоки. Каждый такой ток обладает собственным магнитным моментом pm
и создает в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие
внешнего магнитного поля эти моменты ориентированы беспорядочно, потому их суммарное магнитное поле и суммарный магнитный момент тела
равны нулю (рис. 5.12.1, а).
Под действием внешнего магнитного поля В0 магнитные моменты
молекул ориентируются в одном направлении, вследствие чего магнетик
намагничивается, а его суммарный магнитный момент становится отличным от нуля (рис. 5.12.1, б).
203
а
б
Рис. 5.12.1
Для характеристики степени намагниченности вещества используют
вектор намагниченности (или намагничивания) J. По определению,
J=
1
∆V
∑p
∆V
m
,
где суммирование производится по всем молекулам, принадлежащим данному объему ΔV. Другими словами, вектор намагниченности – магнитный
момент единицы объема вещества.
Напряженность магнитного поля. Магнитная восприимчивость
и магнитная проницаемость вещества. Намагниченное вещество создает
дополнительное магнитное поле B′ , которое складывается с внешним полем B0 (поле в вакууме). Индукция результирующего магнитного поля
B
= B′ + B0 .
В силу замкнутости силовых линий полей B′ и B0, поток результирующего поля B через произвольную замкнутую поверхность S равен
нулю:
=
ΦB
dS
∫ B=
0.
S
Таким образом, теорема Гаусса в применении к магнетикам имеет такой
же вид, как и в вакууме.
204
Согласно теореме о циркуляции магнитного поля,
′ µ0 ∑ I k′ ,
µ=
0I
dl
∫ B=
k
где I ′ – сумма как макроскопических (внешних токов, называемых токами проводимости), так и молекулярных токов, т. е.
I ′= I + I мол .
Из теории известно, что сумма всех молекулярных токов, охваченных контуром интегрирования,
I мол = 
∫ Jd l .
Следовательно,
B

I.
J
−
∫L  µ0  dl =
Величину под знаком интеграла обозначают буквой H и называют
напряженностью магнитного поля:
H
=
B
µ0
− J,
поэтому теорему о циркуляции магнитного поля (теорему о циркуляции
вектора H) можно записать как
∫ Hdl = I .
L
Согласно данному равенству, циркуляция вектора напряженности
магнитного поля по некоторому замкнутому контуру равна алгебраической
сумме макроскопических токов (токов проводимости), охваченных этим
контуром.
Из формулы, определяющей Н, следует, что индукция магнитного
поля
=
B µ0 ( H + J ).
Опыт показывает, что в широком диапазоне напряженностей магнитного
поля вектор J пропорционален H:
J = χ m H.
Коэффициент пропорциональности χm в этой формуле называют магнитной восприимчивостью данного магнетика.
205
Так как J имеет ту же размерность, что и H (A/м), χm – безразмерная
величина. Объединяя две последние формулы, получаем
B =µ0 (1 + χ m )H =µ0 µ H,
где µ = 1 + χ m – магнитная проницаемость среды.
Диа- и парамагнетизм. Всякое вещество является магнетиком, т. е.
оно способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничивается). В основе этого явления лежит взаимодействие
магнитного поля с микротоками – движущимися в атоме по круговым орбитам электронами.
Диамагнетики – вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле против его направления. У диамагнетиков χ m << 1 , χ m < 0 и,
следовательно, µ < 1. Такое поведение объясняется тем, что атомы диамагнетиков не имеют собственного магнитного момента. Под действием
внешнего магнитного поля у них возникает индуцированный магнитный
момент, направленный против поля.
К диамагнетикам относятся многие металлы (например, Ag, Au, Сu),
большинство органических соединений, смолы, углерод и т. д.
Диамагнетизм свойствен всем веществам.
Парамагнетики – вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле по его направлению (для них χ m << 1 , χ m > 0 и µ > 1 ).
Атомы (молекулы) парамагнетиков имеют отличный от нуля магнитный момент. Вследствие теплового движения атомов их магнитные
моменты ориентированы беспорядочно. При внесении парамагнетика во
внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ориентация
магнитных моментов атомов по полю (полной ориентации препятствует
тепловое движение атомов). Парамагнетик намагничивается, создавая собственное магнитное поле, совпадающее по направлению с внешним полем
и усиливающее его. При устранении внешнего магнитного поля ориентация магнитных моментов атомов из-за теплового движения нарушается, и
парамагнетик размагничивается.
К парамагнетикам относятся редкоземельные элементы, Pt, Аl и т. д.
Диамагнетизм наблюдается и в парамагнетиках, но он значительно меньше
парамагнетизма.
Ферромагнетики и их свойства. Помимо рассмотренных двух
классов существуют ферромагнетики – вещества, обладающие спонтанной
намагниченностью, т. е. они могут быть намагничены даже в отсутствие
внешнего магнитного поля. Для них µ >> 1. К ферромагнетикам относятся
Fe, Co, Ni, Gd, их сплавы и соединения (у Fe μ ≈ 5000, у сплава супермаллоя μ ≈ 8000 000).
206
У ферромагнетиков в отличие от диа- и парамагнетиков зависимость
J от Н нелинейна. При возрастании Н намагниченность J сначала растет
быстро, затем медленнее и, наконец, достигает так называемого магнитного насыщения Jнас, не зависящего от напряженности поля (рис. 5.12.2, участок 0–1). Такой характер зависимости J от Н объясняется тем, что по мере
усиления внешнего поля увеличивается степень ориентации молекулярных
магнитных моментов по полю. Однако этот процесс постепенно замедляется, так как уменьшается число неориентированных моментов. Когда все
моменты будут ориентированы по полю, дальнейший рост J прекращается
и наступает магнитное насыщение.
Рис. 5.12.2
Из рис. 5.12.2 следует, что магнитная проницаемость ферромагнетика µ = B / ( µ0 H ) вначале возрастает с увеличением Н, затем достигает
максимума и начинает уменьшаться, стремясь в сильных магнитных полях
к 1 (рис. 5.12.3).
Особенностью ферромагнетиков является то, что для них зависимость J от H (а следовательно, и B от Н) определяется предысторией
намагничивания ферромагнетика. Это явление называется магнитным гистерезисом. Уменьшение напряженности Н внешнего поля приводит к
снижению J вдоль кривой 1–2, лежащей выше кривой 1–0. При Н = 0
207
намагниченность J = Jос > 0, т. е. в ферромагнетике наблюдается остаточная намагниченность Jос.
С остаточной намагниченностью связано существование постоянных
магнитов. Намагниченность J ферромагнетиков обращается в нуль (точка 3
на рис. 5.12.2), если подействовать на него полем Нс, имеющим направление, противоположное полю, вызвавшему намагничивание. Напряженность Нс называется коэрцитивной силой.
Рис. 5.12.3
Дальнейшее увеличение напряженности поля противоположного
направления приводит к перемагничиванию ферромагнетика (кривая 3–4)
до насыщения (точка 4, Н = –Hнас). Ферромагнетик можно опять размагнитить (кривая 4–5–6) и вновь намагнитить до насыщения (кривая 6–1).
Таким образом, в переменном магнитном поле намагниченность J
ферромагнетика изменяется вдоль кривой 1–2–3–4–5–6–1, которая называется петлей гистерезиса. Как видно из рис. 5.12.2, одной и той же величине Н соответствуют несколько значений J, т. е. намагниченность ферромагнетика не является однозначной функцией Н.
Ферромагнетики характеризуются определенной температурой,
называемой точкой Кюри, при которой они теряют свои магнитные свойства. При нагревании ферромагнетика выше точки Кюри он превращается
в обычный парамагнетик.
Процесс намагничивания ферромагнетиков сопровождается изменением его линейных размеров и объема. Это явление называется магнитострикцией.
Существование ферромагнетиков объясняется тем, что при температурах ниже точки Кюри они состоят из большого числа малых макроско208
пических областей – доменов, самопроизвольно намагниченных до насыщения.
В последние годы широко используются полупроводниковые ферромагнетики – ферриты – соединения типа МeО ⋅ Fе2О3, где Me – ион двухвалентного металла (Fe, Mn, Co, Ni, Сu и др.). По сравнению с металлами
ферриты имеют большое удельное электрическое сопротивление. Они
применяются для изготовления сердечников радиочастотных контуров,
ферритовых антенн, элементов оперативной памяти в вычислительной
технике и т. д.
5.13 Электромагнитная индукция
Явление электромагнитной индукции было открыто М. Фарадеем
и заключается в том, что в замкнутом проводящем контуре возникает электрический ток при изменении потока магнитной индукции через поверхность, охватываемую этим контуром. Такой ток называется индукционным.
Опыты М. Фарадея. Опыт с катушкой и постоянным магнитом
(рис. 5.13.1, а). Вдвигание или выдвигание постоянного магнита в замкнутую на гальванометр катушку (соленоид) приводит к отклонению стрелки
гальванометра (возникает индукционный ток), при этом отклонения стрелки оказываются противоположными. Такие отклонения тем больше, чем
больше скорость движения магнита относительно катушки. Изменение полюсов магнита вызывает изменение направления отклонения стрелки. Индукционный ток появляется также при неподвижном магните и двигающейся катушке.
a
б
Рис. 5.13.1
209
Опыт с двумя катушками (рис. 5.13.1, б). Концы одной из катушек
присоединены к гальванометру, через другую катушку пропускается ток.
Стрелка гальванометра отклоняется в моменты включения или выключения тока, в моменты его увеличения или уменьшения, при перемещении
катушек друг относительно друга.
На основании многочисленных опытов Фарадей пришел к выводу,
что индукционный ток появляется всегда, когда изменяется поток магнитной индукции, пронизывающий контур катушки, которая замкнута на
гальванометр.
Было также установлено, что значение индукционного тока не зависит от способа изменения потока магнитной индукции, а определяется
лишь скоростью его изменения – скоростью движения магнита или катушки, скоростью изменения силы тока.
5.14 Закон электромагнитной индукции
Возникновение индукционного тока указывает на наличие в цепи
электродвижущей силы (э.д.с.) ε i , называемой электродвижущей силой
электромагнитной индукции.
Величина ε i определяется законом электромагнитной индукции:
э.д.с. электромагнитной индукции ε i в замкнутом проводящем контуре
равна по модулю и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь площадку, ограниченную этим контуром:
εi = −
dФ B
dt
,
где dФ B – изменение магнитного потока за промежуток времени dt.
Если сопротивление контура равно R, то, согласно закону Ома, сила
индукционного тока Ii в контуре
Ii =
εi
R
или с учетом закона Фарадея
Ii = −
1 dФ B
.
R dt
Перепишем это выражение следующим образом:
1
I i dt =
− dΦB ,
R
210
где I i dt = dq – заряд, прошедший через сечение проводника. Следовательно,
1
dq =
− dΦB .
R
Если контур представляет собой N последовательно соединенных
витков (например, соленоид), то
εi = −
dФ B
dt
N.
Знак минус в формуле для э.д.с. и силы индукционного тока выражает правило Ленца: индукционный ток всегда имеет направление, при котором его
магнитное поле противодействует изменению магнитного потока, вызывающего индукционный ток.
Изменение магнитного потока может быть вызвано движением проводника в магнитном поле или изменением индукции B поля. В случае если отрезок проводника длиной l движется в однородном магнитном поле
с индукцией B и пересекает его силовые линии со скоростью v, то возникновение э.д.с. электромагнитной индукции объясняется следующим образом. Вместе с проводником, движущимся в магнитном поле со скоростью
v, с такой же скоростью перемещаются и свободные электроны проводника. На движущиеся в магнитном поле заряженные частицы (электроны)
действует сила Лоренца FЛ, перпендикулярная скорости v и индукции поля B (рис. 5.14.1).
Под действием силы Лоренца свободные электроны в металлическом проводнике перемещаются к одному из концов проводника. В результате на конце A появляется избыточный отрицательный заряд, а на
конце С – положительный, что приводит к возникновению разности потенциалов между концами проводника. Эта разность потенциалов равна
э.д.с. индукции:
εi = −
dФ B
dt
,
где dФ B – поток магнитной индукции через площадку, ограниченную проводником длиной l за время dt (заштрихованная площадь на рис. 5.14.1).
Так как изменение магнитного потока за промежуток времени dt
dФ B = vdtBlsinα ,
211
то значение э.д.с. индукции при движении проводника в магнитном поле
может быть выражено также следующим образом:
ε i = vBlsinα ,
где α – угол между проводником и скоростью его движения v.
C
+q
v
–q
A
FЛ
В
Рис. 5.14.1
Переменное магнитное поле индуцирует электрическое поле. Его силовые линии – замкнутые, потому оно называется вихревым.
Индукционные токи возникают не только в линейных проводниках,
но и в массивных сплошных проводниках, помещенных в переменное магнитное поле. Эти токи замкнуты в толще проводника. Их называют вихревыми, или токами Фуко (по имени первого исследователя).
5.15 Индуктивность контура. Самоиндукция
Если по произвольному замкнутому контуру проходит электрический ток, то он создает собственное магнитное поле. Собственный магнитный поток, который пронизывает площадку, ограниченную контуром,
называется потоком самоиндукции ФS контура. Поток самоиндукции прямо пропорционален силе тока:
ФS = LI .
212
Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура
и является его электрической характеристикой.
Из определения потока самоиндукции следует, что индуктивность
контура численно равна потоку самоиндукции через площадку, ограниченную контуром, при силе тока в контуре, равной единице:
L=
ФS
.
I
Индуктивность L зависит от геометрической формы и размеров контура, а также от свойств среды, в которой он находится.
Если ток в контуре изменяется, то меняется и созданный этим током
собственный магнитный поток. В контуре наблюдается явление электромагнитной индукции, которое называется самоиндукцией: изменяющийся
собственный магнитный поток наводит в контуре э.д.с., препятствующую
изменению тока в контуре.
Закон электромагнитной индукции в этом случае принимает вид
dФS
dI
=
−L .
dt
dt
ε iS =
−
В системе СИ индуктивность измеряется в генри (Гн), 1 Гн =
1 В ∙ 1 с / 1 А. Один генри – индуктивность такого контура, в котором изменение тока на 1 А за 1 с вызывает э.д.с. самоиндукции, равную 1 В.
5.16 Взаимная индукция
Пусть два неподвижных контура (1 и 2) расположены достаточно
близко друг к другу (рис. 5.16.1). Ток I1 в контуре 1 создает магнитный поток (поле, создающее этот поток, на рисунке изображено сплошными линиями), пропорциональный току I1.
Часть этого потока Ф21, пронизывающего контур 2, равна
Ф21 = L21 I1 ,
где L21 – коэффициент пропорциональности.
При изменении I1 в контуре 2 индуцируется э.д.с.
кону электромагнитной индукции Фарадея равна
εi 2 , которая по за-
dФ21
dI
ε iS2 =
−
=
− L21 1 .
dt
dt
213
1
2
I1
I2
Рис. 5.16.1
Ток I2 в контуре 2 создает свой магнитный поток (изображен на
рис. 5.16.1 пунктирными линиями). Пусть Ф12 – часть этого потока, пронизывающего контур 1. Тогда
Ф12 = L12 I 2 ,
где L12 – коэффициент пропорциональности.
При изменении I2 в контуре 1 индуцируется э.д.с.
εiS1 :
dФ
dI
ε iS1 =
− 12 =
− L12 2 .
dt
dt
Возникновение э.д.с. в одном из контуров при изменении силы тока
в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты L21 и L12 называются взаимной индуктивностью контуров. Расчеты и эксперимент показывают, что
L12 = L21.
Коэффициенты L12 и L21 зависят от размеров, геометрической формы
и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости
окружающей среды.
Единица взаимной индуктивности – генри (Гн).
214
Раздел 6
ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
6.1 К истории вопроса
Явление электромагнитной индукции в неподвижных проводниках,
находящихся в переменном магнитном поле, указывает на то, что электрическое и магнитное поля являются частями единого электромагнитного
поля. Основываясь на этой гипотезе, Дж. Максвелл обобщил опытные законы электромагнетизма, а именно теорему Остроградского–Гаусса для
электрического поля, закон полного тока для магнитного поля и закон
электромагнитной индукции, и в результате пришел к созданию единой
теории электромагнитного поля. Математически она формулируется в виде
системы уравнений, которые получили название уравнения Максвелла.
Эти уравнения записываются в дифференциальной и интегральной
формах. С помощью уравнений, записанных в дифференциальной форме,
находится связь между величинами (напряженностями электрического и
магнитного полей и т. д.), характеризующими поле в каждой его точке.
Уравнения, записанные в интегральной форме, устанавливают связь между
характеристиками поля в его произвольных, конечных областях (объем,
поверхность, замкнутый контур). Переход от одной формы записи уравнений Максвелла к другой осуществляется с помощью соответствующих
теорем векторного анализа.
6.2 Уравнения Максвелла в интегральной форме
Первое уравнение Максвелла. Это уравнение является обобщением закона Фарадея для электромагнитной индукции. Согласно этому закону, электродвижущая сила (э.д.с.) индукции в замкнутом контуре L
εi = −
где
dФ
dt
dФ
dt
,
– скорость изменения магнитного потока через поверхность S,
ограниченную контуром L. При неподвижном контуре магнитный поток
Φ =
∫ BdS зависит от времени только через вектор индукции В. Поэтому
S
d
∂B
εi =
− ∫ BdS =
−∫
dS.
dt S
∂
t
S
215
Так как циркуляция вектора напряженности электрического поля по
замкнутому контуру равна э.д.с. индукции в этом контуре:
εi = 
∫ Edl,
L
то сравнение двух последних формул дает
∫ Edl = − ∫
L
S
∂B
dS.
∂t
Это равенство есть первое уравнение Максвелла в интегральной форме.
Ток смещения. Второе уравнение Максвелла. Из закона Фарадея
следует, что переменное магнитное поле вызывает появление электрического поля, приводящего, в свою очередь, к возникновению тока в проводнике. Согласно Максвеллу, должно существовать и обратное явление, т. е.
меняющееся электрическое поле должно приводить к появлению в пространстве магнитного поля. Для количественного описания этого явления
Максвелл ввел понятие тока смещения Iсм, вектор плотности jсм которого
определяется скоростью изменения вектора электрического смещения D:
jсм =
∂D
.
∂t
Полный ток Iполн равен сумме тока проводимости
I = ∫ jdS
S
и тока смещения
=
I см
jсм dS
∫=
S
∂D
∫S dt dS,
поэтому плотность полного тока также равна соответствующей сумме:
jполн = j +
∂D
.
dt
С учетом тока смещения закон полного тока для электромагнитного
поля (теорема о циркуляции вектора Н) записывается следующим образом:
dl
∫ H =
L
216
 ∂D 
∫S  j + dt  dS.
Это равенство – второе уравнение Максвелла в интегральной форме. Оно
утверждает, что магнитные поля возбуждаются либо электрическими токами, либо переменными электрическими полями.
Третье уравнение Максвелла. Это уравнение является обобщением
теоремы Гаусса для электростатического поля в диэлектрической среде на
переменные поля:
∫ DdS = ∫ ρ dV .
S
V
Здесь ρ – плотность заряда, S – произвольная замкнутая поверхность, ограничивающая объем V.
Четвертое уравнение Максвелла. Это теорема Гаусса для магнитного поля:
∫ BdS = 0.
S
6.3 Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
Переход от интегральной формы записи уравнений Максвелла к дифференциальной осуществляется с помощью двух теорем векторного анализа – теоремы Гаусса и теоремы Стокса.
Теорема Гаусса связывает поток некоторого вектора A = exAx +
eyAy + ezAz (ex, ey и ez – единичные векторы, направленные вдоль осей координат X, Y и Z соответственно) через произвольную замкнутую поверхность S с интегралом от дивергенции вектора A по объему V, ограниченному поверхностью S:
∫ AdS = ∫ divA dV ,
S
V
где, по определению,
divA =
∂AX ∂A Y ∂AZ
.
+
+
∂x
∂y
∂z
Теорема Стокса связывает циркуляцию вектора A по некоторому
произвольному замкнутому контуру L с интегралом от ротора вектора A
по поверхности S, ограниченной контуром L:
∫ Adl = ∫ rotA dS ,
L
S
где, по определению,
217
е X еY е Z
rotA=
 ∂A ∂A 
∂ ∂ ∂
 ∂A ∂A
A= е X  Z − Y  − еY  Z − X
∂x ∂y ∂z
∂z 
∂z
 ∂x
 ∂y
AX AY AZ
 ∂AY ∂AX 

+
+
е
 Z
.
x
y
∂
∂



С использованием этих теорем уравнения Максвелла в интегральной
форме записываются в дифференциальном виде таким образом:
первое и второе уравнения
rotE = −
∂D
∂B
,
, rotH = j +
∂t
∂t
третье и четвертое уравнения
divD = ρ , divB = 0.
В уравнениях Максвелла величины D, E, B и H связаны между собой. В изотропных средах (кроме сегнетоэлектриков и ферромагнетиков)
эта связь следующая:
D = εε 0E, B = µµ0H, j = γ E.
Последнее из данных уравнений – закон Ома в дифференциальной форме.
В отличие от законов классической физики (законов Ньютона), инвариантных относительно преобразований Галилея при переходе от одной
инерциальной системы к другой, уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца, что в конечном итоге привело к появлению специальной теории относительности. Кроме того, из уравнений
Максвелла следует вывод о существовании электромагнитных волн.
218
Раздел 7
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
7.1 Основные характеристики электромагнитных волн
Волной (волновым процессом) называют процесс распространения
колебаний в пространстве. Основное свойство волн – перенос энергии без
переноса вещества.
Электромагнитная волна – это процесс распространения в пространстве колебаний электрического и магнитного полей (колебаний
напряженностей Е и Н). Она переносит энергию электромагнитного поля.
Существование электромагнитных волн и их основные свойства следуют
из уравнений Максвелла.
Фронтом волны называют геометрическое место точек, до которых в
данный момент времени дошла волна. Он перемещается в пространстве со
скоростью распространения волны – скоростью света.
Волновой поверхностью называют геометрическое место точек, в которых колебания векторов Е и Н происходят в одинаковой фазе.
Волновой фронт – тоже волновая поверхность. Волновых поверхностей можно провести сколь угодно много, волновой фронт – один.
Если волновыми поверхностями являются плоскости, то такую волну
называют плоской. Во всех точках волновой поверхности плоской волны
значения векторов Е (Н) одинаковы.
В зависимости от формы волновой поверхности различают также
сферические, цилиндрические и другие виды волн. На значительном удалении от источника небольшие участки волновых поверхностей практически
всегда можно считать плоскими.
Лучом называют линию, вдоль которой распространяется поток световой энергии. Лучи всегда перпендикулярны волновым поверхностям
и фронту волны. В однородной среде лучи – прямые линии.
Монохроматической волной называется бесконечно протяженная
в пространстве волна постоянной частоты. Если источником волны является плоскость, перпендикулярная оси X и возбуждающая гармонические колебания напряженности электрического поля =
E ( x, t ) A sin(ωt + ϕ 0 ) с
циклической частотой ω и начальной фазой колебаний φ0, то уравнение
плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси Х со
скоростью v , имеет вид
E (=
x, t ) A sin(ω (t ± x / v) +=
ϕ 0 ) A sin(ωt ± kx + ϕ 0 ).
Здесь А – амплитуда колебаний напряженности электрического поля в волне, t – время. Знак минус соответствует волне, направление распростране219
ния которой совпадает с направлением оси X, а знак плюс – в противоположном направлении.
Величина k называется волновым вектором. Его направление совпадает с направлением распространения волны. Модуль волнового вектора
(волновое число)
k=
ω 2π
=
,
v
λ
где λ – длина волны – кратчайшее расстояние между двумя точками в волне, колеблющимися в одинаковой фазе.
Длина волны λ, скорость ее распространения v , период колебаний T
(промежуток времени, в течение которого совершается одно полное колебание) связаны соотношением
λ = v Т,
т. е. длина волны есть расстояние, на которое она распространяется за время, равное одному периоду.
Величина, равная числу полных колебаний, совершаемых в единицу
времени, называется частотой колебаний:
ν =
1
.
T
Между циклической частотой ω и частотой колебаний ν существует связь:
ω = 2πν.
Плоская монохроматическая электромагнитная волна изображена на
рис. 7.1.1.
Х
Y
v
E
O
H
Z
Рис. 7.1.1
В электромагнитных волнах одновременно колеблются векторы E
(напряженность электрического поля) и H (напряженность магнитного поля). При этом векторы E и H всегда взаимно перпендикулярны (E⊥H)
220
и перпендикулярны к направлению распространения волны (к скорости v,
E⊥v и H⊥v, рис. 7.1.1), т. е. это поперечные волны.
Из уравнений Максвелла вытекает, что в электромагнитной волне
векторы E и H всегда колеблются в одинаковых фазах, причем их мгновенные значения в любой точке связаны соотношением
εε 0 E = µµ0 H .
Следовательно, Е и Н одновременно достигают максимума и одновременно обращаются в нуль (рис. 7.1.1).
Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме
=
c
1
= 3 ⋅ 108 м/с,
ε 0 µ0
где ε0 = 8,85·10–12 Ф/м – электрическая постоянная; µ0 = 4π·10–7 Гн/м –
магнитная постоянная. Скорость распространения волны v в среде меньше
скорости света в вакууме. Если электромагнитная волна распространяется
в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной
проницаемостью µ, то скорость v волны в такой среде
=
v
1
c
=
.
ε 0 µ0εµ n
Здесь n = εµ – абсолютный показатель преломления вещества. Соответственно основные характеристики волны в произвольной среде и вакууме
связаны соотношениями
ω = ω0, ν = ν0, Т = Т0, λ =
λ0
,
n
в которых ω0, ν0, Т0, λ0 – характеристики волны в вакууме.
Видимые человеческим глазом электромагнитные волны называют
светом. Таким образом, свет – это электромагнитные волны с длиной волны в диапазоне от 0,38 до 0,76 мкм.
Согласно уравнению плоской монохроматической волны, в фиксированной точке с координатой x1 совершаются гармонические колебания
напряженности электрического поля
E(t) = Asin(ωt + Φ1),
где Φ1 = kx1 + φ0 – начальная фаза колебаний. В фиксированный момент
времени t2 форма волны подчиняется уравнению
y(x) = Asin(kx+ Φ2),
в котором Φ2 = ωt2 + φ0 (рис. 7.1.2).
221
Y
λ
X
O
λ
λ
Рис. 7.1.2
Энергетическими характеристиками волны являются интенсивность,
объемная плотность энергии и плотность потока энергии.
Интенсивностью волны I называется величина, численно равная
энергии, переносимой волной за единицу времени через единицу площади
поверхности, нормальной к направлению ее распространения:
I=
∆W
.
∆S ∆t
Здесь ∆W – энергия, переносимая волной за время ∆t через площадку ∆S
перпендикулярно к направлению распространения волны. В системе СИ
размерность интенсивности – джоуль, деленный на метр в квадрате и секунду (Дж/(м2 · с)), или ватт на метр в квадрате (Вт / м2).
Интенсивность волны пропорциональна амплитуде колебаний:
I ∝ A2 .
Объемная плотность энергии электромагнитной волны равна сумме
объемной плотности электрического поля wэл и объемной плотности магнитного поля wм :
w = wэл + wм =
εε 0 E 2
2
+
µµ0 H 2
2
.
Так как εε 0 E = µµ0 H , плотности энергий электрического и магнитного полей одинаковы:
wэл = wм .
Поэтому
w = ε 0 µ0εµ EH .
222
Умножая плотность энергии w на скорость распространения волны
в среде v, получаем плотность потока энергии
=
S w=
v EH .
Направление распространения этого потока совпадает с направлением
распространения волны, т. е. с ее скоростью v.
Для описания данного процесса вводится вектор плотности потока
электромагнитной энергии S, называемый вектором Умова–Пойнтинга:
S = [ E, H ] .
Согласно определению векторного произведения двух векторов, вектор S параллелен вектору v (так как вектор [Е, Н] параллелен скорости v),
а его модуль равен ЕН.
Из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны оказывают на тела давление. Оно объясняется тем, что под действием электрического поля волны заряженные частицы вещества (например, электроны)
начинают упорядоченно двигаться. Вследствие этого на них со стороны
магнитного поля волны действует сила Лоренца, совпадающая по направлению со скоростью волны v. Величина такого давления очень мала: при
средней мощности солнечного излучения, приходящего на Землю, давление света на абсолютно поглощающую поверхность равно примерно
5 мкПа.
Существование давления электромагнитных волн позволяет утверждать, что электромагнитное поле имеет механический импульс
p=
W
,
c
где W – энергия электромагнитного поля. Записывая этот импульс через
массу m и скорость (поле в вакууме распространяется со скоростью света с), получим
=
p mc
=
W
,
c
откуда следует, что
W = mc 2 .
Это соотношение между массой и энергией электромагнитного поля является универсальным законом природы. Согласно специальной теории относительности, данное выражение справедливо для любых тел независимо
от их внутреннего строения.
223
7.2 Геометрическая оптика
В геометрической оптике закономерности световых явлений, связанные с распространением света, объясняются с помощью представлений
о свете как о совокупности световых лучей.
Законы преломления и отражения света. В средах, оптические
свойства которых во всех точках одинаковы, свет распространяется
прямолинейно. Эта закономерность подтверждается явлениями образования тени: свет, идущий от точечного источника S света (рис. 7.2.1), не попадает в область конуса K, который создает тень.
При падении лучей света на границу раздела двух оптических сред
происходит отражение и преломление света (рис. 7.2.2). Направления световых лучей при отражении и преломлении характеризуются углами падения i, отражения i' и преломления r, которые отсчитываются от перпендикуляра к границе раздела сред, восстановленного в точке падения луча.
S
K
1
2
Рис. 7.2.1
i'
i
B
r
Рис. 7.2.2
Законы отражения света:
1) падающий луч, отраженный луч и перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости;
2) угол падения равен углу отражения: i = i'.
Законы преломления света:
1) падающий луч, преломленный луч и перпендикуляр к границе
раздела сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости;
2) отношение синусов угла падения и угла преломления является постоянной величиной для двух данных сред и называется относительным
показателем преломления n21 второй среды относительно первой:
224
sin i
= n21 .
sin r
Показатель преломления n данной среды относительно вакуума
называется абсолютным показателем преломления. Он равен отношению
скорости света с в вакууме к скорости света v в такой среде:
n=
c
.
v
Относительный показатель преломления n21 можно выразить через
абсолютные показатели n1, n2 этих сред следующим образом:
n=
21
n2 v1
=
,
n1 v2
где v1 и v2 – скорости света в данных средах.
Среда с абсолютным показателем преломления n1, бóльшим абсолютного показателя n2 другой среды (n1 > n), называется оптически более
плотной.
При переходе световых лучей из оптически более плотной среды 1
в оптически менее плотную среду 2 (n1 > n) наблюдается явление полного
внутреннего отражения (рис. 7.2.3). Оно заключается в том, что при углах
падения i ≥ iпр преломления света не происходит. Угол iпр называется предельным углом полного отражения. При i = iпр угол преломления r = 90°
и, следовательно, sin iпр = n21 .
n2 < n1
2
1
r
n2
i i′
n1
iпр
′
iпр
S
Рис. 7.2.3
225
Если свет переходит из среды с абсолютным показателем преломления n1 = n в воздух, абсолютный показатель преломления которого n2 = 1,
то условие полного отражения определяется выражением
sin iпр =
1
.
n
На рис. 7.2.4 изображены лучи точечного источника света, размещенного под водой. При углах падения луча на поверхность вода–воздух,
меньших предельного iпр = 49º, преломление лучей имеет место, а при углах падения, бóльших предельного, – отсутствует.
S
Рис. 7.2.4
Явление полного внутреннего отражения в последние годы находит
особенно важное применение при создании оптических волноводов и в волоконной оптике.
Построение изображений в плоском зеркале. С помощью законов отражения и преломления света можно объяснить ход лучей и формирование изображений. Изображением точечного источника света называется точка пересечения лучей (или их продолжений), исходящих от этого
источника, после их возможных отражений и преломлений в различных
средах. При пересечении действительных лучей получается действительное изображение точечного источника. Пересечение продолжения лучей
дает мнимое изображение.
Примером мнимого изображения может служить изображение в
плоском зеркале (рис. 7.2.5): лучи, исходящие из точки S и падающие на
226
плоскость зеркала, отражаются от него, а их продолжения за плоскость
зеркала пересекаются в точке S', которая и является мнимым изображением точки S. Из закона отражения и геометрического подобия следует,
что точки S и S' находятся на одинаковом расстоянии от плоскости зеркала: d = d'. Таким образом, чтобы построить изображение точки в плоском
зеркале, необходимо на продолжении перпендикуляра, опущенного из точки на зеркало, отложить за зеркалом расстояние d', равное d.
Для построения в плоском зеркале изображения отрезка АВ достаточно построить изображения точек А' и В' и соединить их линией
(рис. 7.2.6).
S
i′ i
d
В
А
O
d′
А′
В′
S′
Рис. 7.2.5
Рис. 7.2.6
Линзы. Формула тонкой линзы. Прозрачные тела, ограниченные
с двух сторон криволинейными, как правило, сферическими поверхностями, называются линзами.
Линза называется тонкой, если ее толщина (расстояние между ограничивающими поверхностями в средней части линзы) значительно
меньше по сравнению с радиусами кривизны поверхностей, ограничивающих линзу. Прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей
линзы, называется главной оптической осью (на рис. 7.2.7 прямая О1О2).
Для всякой линзы существует точка, называемая оптическим центром
линзы, лежащая на главной оптической оси и обладающая тем свойством,
что лучи проходят сквозь нее не преломляясь. Оптический центр О линзы
для простоты будем считать совпадающим с геометрическим центром
средней части линзы.
227
R1
A
O1
O
B
O2
R2
Рис. 7.2.7
Точки F, лежащие по обе стороны линзы на расстоянии, равном фокусному, называются фокусами линзы. Фокус – это точка, в которой после
преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси. По оптическим свойствам линзы делятся на собирающие и рассеивающие. У собирающей линзы в точке фокуса пересекаются
сами лучи (рис. 7.2.8, а), поэтому фокус такой линзы называют действительным. У рассеивающей линзы пересекаются продолжения лучей
(рис. 7.2.8, б), потому ее фокус называют мнимым.
а
F
б
F
F
F
Рис. 7.2.8
Величина D, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы:
D=
228
1
.
F
У собирающих линз оптическая сила положительна, у рассеивающих – отрицательна. За единицу оптической силы линзы принимается оптическая сила линзы, фокусное расстояние которой равно 1 м. Эта единица
называется диоптрией (дптр).
Плоскость, проходящая через фокус линзы перпендикулярно ее
главной оптической оси, называется фокальной плоскостью (рис. 7.2.9).
Падающий на собирающую линзу пучок параллельных лучей фокусируется в точке, лежащей в фокальной плоскости. В фокальной плоскости рассеивающей линзы пересекаются продолжения преломленных параллельных лучей.
F
Рис. 7.2.9
Для построения изображения точки в линзах обычно берут два луча:
один луч, идущий от точки через оптический центр линзы без преломления, второй – идущий параллельно главной оптической оси и при выходе
из линзы проходящий через фокус. Пересечение этих лучей после прохождения ими линзы дает изображение точки.
Собирающие линзы (рис. 7.2.10, а) дают прямое или перевернутое,
действительное или мнимое, уменьшенное или увеличенное изображение
предмета в зависимости от его положения относительно линзы. Рассеивающие линзы всегда дают уменьшенное прямое мнимое изображение
(рис. 7.2.10, б).
Расстояния от предмета до линзы d, от изображения до линзы f и оптическая сила линзы D связаны формулой тонкой линзы
D=
1 1 1
=
+ .
F d f
Отсчет величин d, f и F производится от оптического центра. Для выпуклой линзы значение F всегда положительно, f в случае действительного
229
изображения положительно, в случае мнимого отрицательно. Для рассеивающей линзы f и F всегда отрицательны.
a
A
B'
O
F
F
A'
B
б
A
F
A'
O
F
B'
B
Рис. 7.2.10
Отношение линейного размера изображения A'B' к линейному размеру предмета AB называется увеличением линзы k:
k
=
A′B′ f
.
=
AB
d
Границы применимости геометрической оптики. Если длина волны излучения много меньше линейных размеров тех объектов, с которыми
взаимодействует свет ( λ ≪ L), то его можно рассматривать как совокупность лучей, распространение которых подчиняется законам геометрической оптики:
1) прямолинейности распространения света в однородной среде;
2) отражения света;
3) преломления света.
230
7.3 Интерференция света
Интерференция когерентных световых волн. Интерференцией
световых волн называется явление наложения волн, при котором происходит их устойчивое во времени взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление – в других. Результат интерференции световых
волн можно наблюдать на экране в виде чередующихся светлых и темных
мест, совокупность которых называется интерференционной картиной.
Для получения устойчивой интерференционной картины в результате сложения колебаний необходимо, чтобы колебания были когерентны.
Два гармонических колебания называются когерентными, если разность
их фаз не зависит от времени. Когерентными могут быть колебания только
одинаковой частоты.
Условию когерентности удовлетворяют монохроматические волны –
неограниченные в пространстве волны одной строго постоянной частоты.
Ни один реальный источник не дает строго монохроматического света, потому волны, излучаемые независимыми источниками света, всегда некогерентные, и на опыте не наблюдается интерференция света от этих источников. До появления лазеров для наблюдения интерференции когерентные
пучки получали разделением и последующим сведением световых лучей,
исходящих из одного и того же источника.
Сложение когерентных колебаний. Рассмотрим две бесконечные
монохроматические световые волны, пришедшие в точку наблюдения Р от
источников света S1 и S2 (рис. 7.3.1). Расстояния от источников света до
точки Р равны x1 и x2 соответственно. В этой точке гармонические колебания векторов напряженности электрического поля равной частоты
=
E1 A1 cos(ωt + Φ1 ) ,
=
E2 A2 cos(ωt + Φ 2 )
складываются. Здесь A1 и A2 – амплитуды, а Φ1 и Φ 2 – начальные фазы
колебаний в точке Р, зависящие от расстояний x1 и x2:
Φ1 =−
2π
λ
x1 + ϕ1 , Φ 2 =−
2π
λ
x2 + ϕ 2 .
Пусть направления колебаний векторов Е1 и Е2 совпадают. Тогда результатом сложения является гармоническое колебание с той же частотой ω.
Амплитуда результирующего колебания определяется по формуле
=
A
A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(Φ 2 − Φ1 ).
231
S1
x1
n1
P
x2
n2
S2
Рис. 7.3.1
Далее будем предполагать, что φ1 = φ2, т. е. начальные фазы колебаний в источниках света S1 и S2 совпадают (две когерентные волны получены разделением одной волны, исходящей из некоторого источника).
Поскольку интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды колебаний I ∝ A2 , для результирующей интенсивности света в
(
)
точке наблюдения имеем
I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos δ ,
где I1 и I2 – интенсивности, а δ = Φ 2 − Φ1 – разность начальных фаз интерферирующих волн.
В зависимости от δ амплитуда A изменяется от =
A A1 − A2 при
δ =
±(2m + 1)π (случай взаимного ослабления колебаний) до А = А1 + А2
при δ = ±2mπ (случай взаимного усиления колебаний). Здесь m = 0,1,
2,… – любое целое число.
Если δ = ±2mπ , то говорят, что складываемые колебания находятся
в одной фазе, если δ =
±(2m + 1)π , – то в противофазе.
В точках пространства Р, в которых cos δ > 0 , результирующая интенсивность света больше суммы интенсивностей двух волн ( I > I1 + I 2 ) ,
а там, где cos δ < 0 , суммарная интенсивность I < I1 + I 2 . Таким образом,
при наложении двух (или нескольких) когерентных световых волн происходит пространственное перераспределение светового потока: в одних местах экрана возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности,
232
т. е. наблюдается интерференция света. Выражение 2 I1 I 2 cos δ называется интерференционным членом.
Явление интерференции не противоречит закону сохранения энергии, поскольку в среднем для большой области пространства энергия результирующей волны равна сумме энергий интерферирующих волн. Если
интерференционный член везде равен нулю, то наблюдается только взаимное усиление света (равномерная засветка, I= I1 + I 2 ) и интерференции
нет. Особенно четко интерференция проявляется, если I1 = I 2 . Тогда минимальная интенсивность света I = 0 , т. е. происходит полное его гашение, а максимальное значение интенсивности I = 4 I1 , т. е. наблюдается
четырехкратное усиление света.
Если две волны возбуждают в некоторой точке пространства колебания не одного направления, т. е. векторы Е2 и Е2 не параллельны друг другу, то интерференционный член содержит скалярное произведение этих
векторов Е1Е2 = E1E2cosα (α – угол между векторами Е1 и Е2). При наложении двух световых волн одинаковой частоты, колебания в которых происходят во взаимно перпендикулярных плоскостях (α = π/2), интерференционный член обращается в нуль (скалярное произведение Е1Е2 = 0) и интерференция отсутствует ( I= I1 + I 2 ).
Разность фаз и разность хода. Пусть источники света S1 и S2 излучают синфазные когерентные волны (φ1 = φ2, рис. 7.3.1). Тогда разность
фаз двух волн, пришедших в точку наблюдения Р, будет зависеть только
от пути, который прошла каждая волна, и от показателя преломления среды. Волна от источника S1 прошла до точки Р путь x1 (этот путь называется геометрическим ходом волны). Геометрический ход волны от источника S2 до точки наблюдения – x2.
Оптическая длина пути равна произведению абсолютного показателя преломления среды на геометрический ход волны. Оптическая разность хода двух волн
=
∆
n1 x1 − n2 x2 .
Здесь n1 и n2 – показатели преломления среды 1 и среды 2 соответственно.
Начальная разность фаз колебаний в точке наблюдения интерференции P связана с оптической разностью хода соотношением
=
δ
2π
λ0
∆,
в котором λ0 – длина волны в вакууме.
233
Таким образом, результат интерференции двух волн определяется
величиной Δ (оптической разностью хода волн).
Условие существования интерференционных максимумов и минимумов. Максимумы наблюдаются в тех точках пространства, где
δ = ±2mπ
(разность фаз равна четному числу π) или
∆ =2m
λ0
2
(оптическая разность хода в этом случае равна четному числу полуволн).
Минимумы наблюдаются в тех точках, где
δ =
±(2m + 1)π
(разность фаз равна нечетному числу π ) или
λ0
=
∆ (2m + 1)
2
(оптическая разность хода в данном случае равна нечетному числу полуволн). Число m = 0, 1, 2, … называется порядком интерференционного
максимума или минимума.
Получение когерентных источников света. Любой источник
света – это скопление множества излучающих атомов. Атомы испускают
свет независимо друг от друга. Начальные фазы световых волн, испускаемых атомами, произвольны и хаотически меняются от атома к атому. Таким образом, два обычных источника света (например, две электрические
лампочки) испускают некогерентные волны. У колебаний таких волн при
наложении друг на друга быстро и беспорядочно меняется разность фаз,
что воспринимается глазом как равномерная освещенность (при усреднении по времени среднее значение cos δ = 0, следовательно, I = I1 + I2).
Только в лазере, в котором используется вынужденное излучение, все возбужденные атомы излучают электромагнитные волны согласованно.
Для создания интерференционной картины необходимо иметь когерентные световые пучки, для чего применяются различные методы. До появления лазеров для наблюдения интерференции когерентные пучки получали разделением и последующим сведением световых лучей, исходящих
из одного и того же источника. Практически это можно осуществить с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел. Например, когерентные световые волны можно получить, разделив волну, излучаемую
одним источником, на две части.
Наиболее простым примером использования этого метода является
опыт Юнга с двумя щелями, в котором впервые была измерена длина световой волны.
234
Опыт Юнга. Источником света служит ярко освещенная щель S
(рис. 7.3.2). Световая волна, исходящая из S, падает на две узкие равноудаленные щели S1 и S2, параллельные S, которые играют роль когерентных
источников.
P
Э
S1
S
S2
Рис. 7.3.2
Интерференционная картина наблюдается на экране Э, расположенном на некотором расстоянии параллельно щелям S1 и S2. Расположение
максимумов и минимумов интерференции на экране определяется оптической разностью хода Δ = L2 – L1 (рис. 7.3.3).
X
x
S1
L1
d/2
L2
S2
0
L
–d/2
Рис. 7.3.3
Используя рис. 7.3.3, теорему Пифагора и условия d << L и L2 +
L1 ≈ 2L, для разности хода получаем
∆= L2 − L1=
xd
.
L
235
Сравнивая это значение Δ с условием наблюдения максимума интерференции Δ = 2mλ/2, находим координаты максимумов
xmmax = m
λL
d
.
Аналогично для координат минимумов имеем

xmmin
= m +

1  λL
.

2 d
Расстояние между интерференционными полосами на экране можно
определить как
max
x xmmax
∆=
+1 − xm =
λL
d
.
Использование этой формулы позволило впервые определить длину волны
света.
Интерференция в тонких пленках. Интерференцию в тонких пленках можно наблюдать в природе в виде радужного окрашивания этих пленок (масляные пленки на воде, мыльные пузыри, оксидные пленки на металлах), возникающего в результате интерференции света, отраженного
двумя их поверхностями.
Пусть плоская монохроматическая волна падает под углом iп на плоскопараллельную прозрачную пленку с показателем преломления п и толщиной d (рис. 7.3.4).
На поверхности пленки в точке А луч разделяется на два: отраженный от верхней поверхности пленки и преломленный. Преломленный луч,
дойдя до точки О, частично преломляется в воздух (п0 = 1), а частично отражается в направлении точки С. В ней он опять частично отражается (все
следующие после отражения в точке С лучи имеют малую интенсивность
по сравнению с лучами 2' и 1' и в дальнейшем не рассматриваем) и частично преломляется, выходя в воздух под углом iп. В точке С на поверхность пленки падает луч 2. Вышедший из пленки луч 1' и отраженный от
поверхности пленки луч 2' накладываются друг на друга. В результате
возникает интерференционная картина, которая определяется оптической
разностью хода Δ = L1 – L2 между интерферирующими лучами.
Оптические длины пути лучей 1 и 2 от волновой поверхности падающей плоской волны АВ равны
L1 =( AO + OC ) n =2 AOn =2
236
d
n,
cosiпр
L2 = BC +
λ0
λ
λ
= ACsin∠BAC + 0 = 2 AD sin iп + 0 =
2
2
2
2
λ0
λ0 2dn sin iпp λ0
2dtgiпр n sin iпp=
= 2dtgiпp sin i=
+
+ .
п +
2
2
cosiпp
2
1
2
2′
1′
iп
B
A
D
C
d
n
iпр
O
Рис. 7.3.4
Добавка к оптическому пути L2, равная λ0/2, обусловлена потерей
полуволны при отражении света в точке С от оптически более плотной
среды (среды с большим показателем преломления, n > 1) в среду, менее
плотную (показатель преломления окружающей пленку среды принимается равным единице). При таком отражении световая волна меняет фазу
своего колебания на противоположную – на π. Такое изменение фазы соответствует «пробегу» волной дополнительного расстояния λ0/2 (как говорят,
свет при отражении «теряет половину длины волны»). Таким образом, добавляя (или вычитая) половину длины волны (в вакууме) к разности хода
лучей 1 и 2, учитываем изменение фазы колебания луча 2' при отражении
в точке С.
Отсюда оптическая разность хода
∆= L1 − L2=
2dn
2dn
λ
−
sin 2 iпp − 0=
cosiпp cosiпp
2
237
=
λ0
λ
2dn
1 − sin 2 iпp ) −=
2dncosiпp − 0 ,
(
cosiпp
2
2
или же через угол падения
=
∆ 2d n 2 − sin 2 iп +
λ0
2
.
В точке С будет наблюдаться интерференционный максимум, если
Δ = mλ0 (m – любое целое число), и минимум, если Δ = (m + 1/2)λ0.
Если на пластинку постоянной толщины d свет падает под разными
углами iп, то результат интерференции отраженных лучей будет определяться только углом падения iп (поскольку в этом случае разность хода Δ
зависит лишь от iп). Рассматривая пластинку, можно будет увидеть систему светлых и темных полос. Каждая интерференционная полоса соответствует лучам света, падающим под одинаковыми углами, и потому картина
интерференции в таком случае называется полосами равного наклона.
При постоянных угле падения iп и показателе преломления разность
хода Δ (и, следовательно, результат интерференции) обусловливается
только толщиной пластинки d. Потому на пластинке переменной толщины
(например, клин) возникает система интерференционных полос, соответствующих определенным значениям ее толщины d. Наблюдаемая картина
интерференции называется полосами равной толщины.
Кольца Ньютона. Положим на плоскую отшлифованную стеклянную пластинку С плосковыпуклую линзу L (рис. 7.3.5). Между ними образуется очень тонкая воздушная прослойка (на рисунке заштрихована),
толщина которой возрастает от точки соприкосновения линзы с плоскостью (точка А) по направлению к краям линзы.
1
2
1
2
L
C
A
Pис. 7.3.5
238
При освещении линзы сверху пучком параллельных лучей с длиной
волны λ0 будут интерферировать лучи, отразившиеся от верхней и нижней
границ воздушной прослойки (например, лучи 1 и 2). При отражении от
других поверхностей интерференционные полосы не возникают вследствие большой толщины пластинки и линзы.
В точке А толщина воздушной прослойки мала даже по сравнению
с длиной световой волны. Для лучей, отразившихся вблизи данной точки,
разность хода обусловливается только потерей полуволны λ0/2 лучом, отраженным на нижней границе прослойки от поверхности стекла как от
среды, оптически более плотной. Поэтому лучи, отразившиеся в точке А,
гасят друг друга, и при взгляде сверху в ней наблюдается темное пятно. По
мере удаления к краям линзы (с нарастанием толщины воздушного слоя)
возрастет разность хода интерферирующих лучей, причем области пространства, соответствующие одинаковой толщине слоя, располагаются на
одинаковом расстоянии от ее центра. Потому в отраженном свете наблюдаются чередующиеся концентрические светлые и темные кольца, окружающие центральное темное пятно. Каждому кольцу соответствует определенная толщина воздушного слоя. Таким образом, получаем интерференционную картину с полосами равной толщины, называемую кольцами
Ньютона.
Радиус r колец Ньютона определяется с помощью следующего расчета. На рис. 7.3.6 изображена сфера, частью которой является плосковыпуклая линза L. Радиус кривизны линзы R = |OA|.
L
O
R
K
C
F
d
A
|OF| = R
|KF | = r
Рис. 7.3.6
239
Ввиду малой кривизны поверхности линзы можно считать, что угол
преломления луча на границе линзы и воздушного зазора равен нулю,
т. е. воздушный зазор можно уподобить плоскопараллельной пластинке.
Поэтому воспользуемся формулой
=
∆ 2d n 2 − sin 2 iп +
λ0
2
.
Темные кольца возникают в том месте, где оптическая разность хода
волн, отраженных от обеих поверхностей зазора, равна нечетному числу
полуволн (учтем, что iп = π):
λ
λ
0
∆= 2d + =
(2m + 1) 0 .
2
2
Отсюда
2d = mλ0 .
Из прямоугольного треугольника OKF, согласно теореме Пифагора
(рис. 7.3.6), имеем
|KF|2 = |OF|2 – |OK|2,
где |KF| = r – радиус кольца Ньютона. Заменив |OK| на R – d и учитывая, что d << R, получаем для радиуса темного кольца формулу
rm = mRλ0 .
Значение m = 0 соответствует центральному темному пятну.
Радиус колец Ньютона увеличивается при возрастании длины волны
освещающего излучения. При освещении системы линза–пластинка не монохроматическим, а белым светом образуются кольца Ньютона, окрашенные в радужные цвета. Чем дальше кольца удалены от центрального темного пятна, т. е. чем толще слой воздуха между линзой и пластинкой, тем
ближе сходятся эти разноцветные кольца, пока, наконец, они совсем не сольются и их суммарный цвет не превратится в белый.
7.4 Дифракция света
Принцип Гюйгенса–Френеля. Дифракцией света называется совокупность явлений, обусловленных волновой природой света и наблюдаемых при прохождении света через оптические среды с ярко выраженными
неоднородностями – отверстиями, препятствиями, размеры которых соизмеримы с длиной световой волны. К явлению дифракции относится огибание препятствий световыми волнами.
240
Для объяснения дифракции и определения интенсивности световой
волны, распространяющейся в среде с препятствиями, применяются методы, основанные на принципе Гюйгенса–Френеля, в соответствии с которым:
1) каждая точка фронта световой волны – источник вторичных сферических волн, новый фронт волны представляет собой поверхность, огибающую фронты вторичных волн;
2) источники вторичных волн, которые расположены на поверхности
фронта волны, являются когерентными, и вторичные волны интерферируют между собой.
С помощью этого принципа можно объяснить закон прямолинейности распространения света и равенство углов падения и отражения при отражении света.
Пусть S – поверхность волнового фронта (рис. 7.4.1). Каждый элемент поверхности волнового фронта служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна площади dS элемента.
n
dS
ϕ
r
P
S
Рис. 7.4.1
Для сферической волны амплитуда убывает с расстоянием r от источника как 1/r.
Таким образом, от каждого элемента dS волновой поверхности в точку Р приходят колебания
=
dE K (ϕ )
A
cos(ωt − kr )dS ,
r
241
где AdS – пропорциональная площади dS амплитуда колебаний вектора
напряженности электрического поля (светового вектора) в точке волновой
поверхности, в которой расположен элемент dS; K(φ) – коэффициент, который уменьшается с ростом угла φ между нормалью n к площадке dS
и направлением от dS к точке наблюдения Р. Результирующее колебание
в точке Р можно найти, вычислив интеграл (интеграл Френеля) по всей
волновой поверхности S:
=
E
∫ K (ϕ )
S
A
cos(ωt − kr )dS .
r
Это соотношение – аналитическое выражение принципа Гюйгенса–Френеля.
Расчет интерференции вторичных волн в общем случае довольно
сложен. Однако для ряда задач нахождение амплитуды результирующего
колебания оказывается возможным с помощью алгебраического или геометрического суммирования.
Метод зон Френеля. Для определения результирующей амплитуды
всех волн в точке наблюдения О. Ж. Френель предложил метод разбиения
волновой поверхности на кольцевые зоны, называемые зонами Френеля.
Рассмотрим применение этого метода в случае плоской волны
(рис. 7.4.2).
F
A
b + 3λ
b + 5λ/2
b + 2λ
b + 3λ/2
b+λ
b + λ/2
O
F
Рис. 7.4.2
242
b
P
Пусть плоский фронт волны F в некоторый момент времени находится на расстоянии |OP| = b от точки наблюдения Р. Все точки фронта
волны, согласно принципу Гюйгенса–Френеля, испускают вторичные сферические волны, которые распространяются по всем направлениям и через
некоторое время достигают точки наблюдения Р. Результирующая амплитуда колебаний в этой точке определяется суммой амплитуд всех вторичных волн.
С одной стороны, волновой фронт F плоский, колебания всех его точек имеют одинаковое направление и происходят в одной фазе; с другой –
все точки фронта F находятся от точки Р на разных расстояниях. Беря точку Р в качестве центра, строим ряд концентрических сфер, радиусы которых начинаются с b и увеличиваются последовательно на половину длины
волны λ/2. При пересечении с фронтом волны F эти сферы образуют на
нем концентрические окружности, и на фронте волны появляются кольцевые зоны (зоны Френеля) с радиусами ρ1, ρ2, ρ3 и т. д. На рис. 7.4.2 изображение зон Френеля развернуто на 90о так, как они выглядят из точки Р.
2
2
2
Так как |OA| = ρ1, |OA| = |AP| – |OP| , λ << b , то радиусы зон
Френеля равны
2
λ
λ2

2
≈ bλ ,
ρ =  b +  − b = bλ +
2
4

2
1
2
λ

ρ =  b + 2  − b2 = 2bλ + λ 2 ≈ 2bλ ,
2

2
2
2
λ
9λ 2

2
ρ =  b + 3  − b = 3bλ +
≈ 3bλ
2
4

2
3
и т. д. Таким образом, радиус k-й зоны Френеля
ρ k2 ≈ kbλ , k = 0,1, 2,... .
Амплитуды колебаний от зон Френеля пропорциональны их площадям. Площадь первой зоны (круг)
S1 = πρ12 ≈ π bλ ,
площадь второй зоны (кольцо)
S2 = πρ 22 − πρ12 ≈ π bλ ,
площадь третьей зоны (кольцо)
S3 = πρ 32 − πρ 22 ≈ π bλ
243
и т. д. Итак, площади зон Френеля примерно одинаковы и равны
Sk ≈ π bλ .
Согласно принципу Гюйгенса–Френеля, каждая зона Френеля служит источником вторичных волн. Их амплитуды примерно одинаковы, так
как площади зон равны. Колебания, возбуждаемые в точке Р двумя соседними зонами, противоположны по фазе, так как разность хода соответствующих волн от этих зон до точки наблюдения Р равна λ/2. Потому при
сложении в точке Р колебания от соседних зон должны взаимно ослаблять
друг друга. В связи с этим амплитуда А результирующего колебания в точке Р может быть записана в виде знакопеременного ряда
A=
A1 − A2 + A3 − A4 + ⋅ ⋅ ⋅,
где Аk – амплитуда колебания в точке P, возбуждаемого действием k-й зоны Френеля. В данном выражении все амплитуды от нечетных зон входят
со знаком плюс, а от четных – со знаком минус.
Расстояние от k-й зоны до точки P медленно растет с увеличением
номера зоны k. Следовательно, амплитуды Аk монотонно убывают с возрастанием k и образуют монотонно убывающую последовательность:
A1 > A2 > A3 > ⋅ ⋅ ⋅ > Ak +1 > Ak > Ak +1 > ⋅ ⋅ ⋅.
Вследствие монотонного и медленного убывания Ak можно с высокой точностью положить, что амплитуда колебаний от зоны с номером k
равна среднему арифметическому амплитуд колебаний от двух соседних
зон Френеля:
Ak =
A
A
Ak −1 − Ak +1
или k −1 − Ak + k +1 =
0.
2
2
2
Представив нечетные амплитуды в виде полусуммы: Аk = Аk/2 + Аk/2,
запишем амплитуду результирующего колебания следующим образом:
=
A
A1  A1
A  A
A 
+  − A2 + 3  +  3 − A4 + 5  + ⋅ ⋅ ⋅.
2  2
2   2
2 
Согласно предыдущей формуле, все выражения в круглых скобках
равны нулю, так что
A=
A1
,
2
т. е. результирующая амплитуда, создаваемая в точке наблюдения Р всей
поверхностью волнового фронта F, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной (первой) зоной Френеля. Таким образом, ко244
лебания, вызываемые в точке P волновой поверхностью F, имеют такую
же амплитуду, как если бы действовала только половина первой (центральной) зоны.
Оценим размеры зон Френеля. Пусть дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном на расстоянии L = 1 м от препятствия,
а длина волны света λ = 600 нм (красный свет). Тогда радиус первой зоны
Френеля
=
ρ1
Lλ ≈ 0,77 мм.
Следовательно, до точки наблюдения P свет распространяется как
бы в узком канале, сечение которого равно половине первой (центральной)
зоны Френеля, что соответствует прямолинейному распространению света.
Если на пути волны поставить диафрагму с отверстием, оставляющим открытым только центральную (первую) зону Френеля, амплитуда
в точке P будет равна A1, что в 2 раза больше амплитуды, создаваемой
всем волновым фронтом в отсутствие диафрагмы (A1/2). Соответственно
интенсивность света в точке P при наличии диафрагмы будет в 4 раза
больше, чем в ее отсутствие. Это не противоречит закону сохранения энергии – просто произошло ее перераспределение.
Дифракция на круглом отверстии и диске. Рассмотрим случай падения плоской световой волны на малое круглое отверстие радиуса R
(рис. 7.4.3).
В соответствии с методом зон Френеля плоский фронт, совпадающий
с отверстием, разбиваем на кольцевые зоны Френеля. Если смотреть на
волновую поверхность из точки P, то границы зон Френеля представляют
собой концентрические окружности (рис. 7.4.4). Радиус k-й зоны Френеля
был вычислен ранее и равен
ρ k ≈ kbλ .
ρ2
P
R
b
Рис. 7.4.3
ρ1
ρ3
R
Экран
Рис. 7.4.4
245
Количество зон Френеля, укладывающихся на отверстии, определяется его радиусом R:
R2
k=
.
bλ
Если число зон, которые укладываются в отверстии, четное, то в точке Р
наблюдается темное пятно (волны от соседних зон приходят в точку Р
в противофазе и попарно компенсируют друг друга).
При нечетном числе зон (k = 2n + 1) результирующая амплитуда колебаний равна
=
A
A1  A1
A
A  A
A A
A
+  − A2 + 3  +⋅⋅⋅+  2 n−1 − A2 n + 2 n+1  + 2 n+1 ≈ 1 + 2 n+1 .
2 2
2
2  2
2
2
 2
При небольших отверстиях (небольших k) амплитуды А1 и А2n+1 мало
отличаются друг от друга, поэтому результирующая амплитуда
A
A
A =1 + 2 n +1 ≈ A1 ,
2
2
т. е. в точке P наблюдается светлое пятно.
Итак, если отверстие в непрозрачном экране оставляет открытой
только одну зону Френеля, то амплитуда колебаний в точке наблюдения
возрастает в 2 раза (соответственно интенсивность – в 4 раза) по сравнению с действием невозмущенной волны. Если открыть две зоны, то амплитуда колебаний обращается в нуль. Если изготовить непрозрачный экран,
который оставлял бы открытыми только несколько нечетных (или только несколько четных) зон, то амплитуда колебаний резко возрастет. Такие пластинки, обладающие свойством фокусировать свет, называются
зонными.
При дифракции света на круглом диске радиуса R закрытыми оказываются зоны Френеля первых номеров от 1 до k. При этом амплитуда колебаний в точке наблюдения
=
⋅⋅⋅
A Ak +1 − Ak + 2 + Ak + 3 − =
Ak +1  Ak +1
A 
+
− Ak + 2 + k +3  + ⋅ ⋅ ⋅
2
2 
 2
или
A = Ak+1/2,
так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Если диск закрывает
зоны не слишком больших номеров, то в центре картины при дифракции
света на диске наблюдается интерференционный максимум (рис. 7.4.5).
246
Расчет амплитуды результирующих колебаний, пришедших в другие точки экрана, более
сложен. Из соображений симметрии следует, что
интерференционная картина на экране вокруг
центрального светлого (или темного) пятна
должна иметь вид чередующихся светлых и темных колец с центрами в точке Р.
Дифракция света на щели. Пусть на бесконечную длинную щель падает плоская световая волна. Дифракционная картина наблюРис. 7.4.5
дается на экране, расположенным в фокальной
плоскости собирающей линзы, установленной за
щелью (на рис. 7.4.6 линза не изображена). В соответствии с принципом
Гюйгенса–Френеля освещенную щель можно рассматривать как множество точечных когерентных источников волн. Благодаря линзе в точке Р
экрана собирается параллельный пучок лучей, отклонившийся на угол φ
(рис. 7.4.6).
а
A
B
ϕ
∆
Экран
X
C
O
P
Рис. 7.4.6
Разность хода ∆ = AC крайних лучей из этого пучка находится из
треугольника ∆ABC , а именно
∆ =a sin ϕ ,
где а = |AB| – ширина щели. Если при наблюдении из точки Р в щели помещается четное число зон Френеля, то их вклады взаимно погасятся
247
и в точке Р будет наблюдаться минимум интенсивности света. Таким образом, уравнение
a sin ϕ kmin = k λ , k = 1,2,3, … ,
есть условие дифракционных минимумов, в котором угол ϕ kmin направлен на
минимум с номером k.
Рассуждая аналогично, приходим к условию дифракционных максимумов:
1λ

=  k +  , k = 1,2,3, ... .
a sin ϕ kmax
2 2

Отметим, что в направлении ϕ = 0 щель действует как одна зона
Френеля, и в этом направлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью, т. е. в центре наблюдается центральный дифракционный
максимум.
Дифракционная решетка. Явление дифракции используется для
спектрального анализа и точного измерения длин волн. Для этой цели
применяются дифракционные решетки. Они представляют собой периодические структуры, выгравированные специальной делительной машиной
на поверхности стеклянной (решетки на просвет) или металлической пластинки (решетки на отражение) (рис. 7.4.7). Простейшая дифракционная
решетка состоит из N одинаковых щелей шириной b каждая, отделенных
друг от друга непрозрачными промежутками шириной а (рис. 7.4.8). Величина d = a + b называется периодом решетки.
ϕ
ϕ
O
b
a
Л
Э
Fφ
Рис. 7.4.7
248
F0
Рис. 7.4.8
Если на дифракционную решетку перпендикулярно ее поверхности
падает пучок параллельных световых лучей, то в соответствии с принципом Гюйгенса–Френеля каждая щель представляет собой совокупность
вторичных источников когерентных волн, способных интерферировать
друг с другом. Интерференция волн осуществляется с помощью собирающей линзы Л, в главной фокальной плоскости которой на экране Э будет
наблюдаться интерференционная картина – чередование максимумов и минимумов света.
В точке F0 соберутся все лучи, идущие под углом ϕ 0 = 0 , которые
образуют максимум нулевого порядка.
Интенсивность света в точке Fφ является результатом интерференции вторичных волн, приходящих в эту точку от N щелей. Для того чтобы
в точке Fφ наблюдался интерференционный максимум, разность хода Δ
между волнами, испущенными соседними щелями, должна быть равна целому числу длин волн:
=
∆ d=
sin ϕ k λ ,
k = 0, ±1, ±2, ... .
В точках экрана, для которых данное условие выполнено, располагаются
так называемые главные максимумы дифракционной картины. В эти максимумы все волны приходят в одинаковой фазе, потому амплитуда колебаний возрастает в N раз (амплитуды складываются), а интенсивность –
в N2 раз по сравнению с колебаниями, которые возбуждает световая волна,
пришедшая только от одной щели.
Из формулы дифракционной решетки следует, что положение главных максимумов, кроме нулевого (k = 0), зависит от длины волны λ. Таким
образом, решетка способна разлагать излучение в спектр, т. е. она может
служить спектральным прибором.
Если на решетку падает немонохроматическое излучение, то в каждом порядке дифракции (т. е. при каждом значении k) возникает спектр исследуемого излучения, причем фиолетовая часть спектра располагается
ближе к максимуму нулевого порядка, который остается неокрашенным.
7.5 Взаимодействие света с веществом
Дисперсия света. Дисперсией света называется зависимость абсолютного показателя преломления среды n от частоты (длины волны) падающего на среду света.
Так как показатель преломления n зависит от скорости света v
в данной среде ( n = c / v , где с – скорость света в вакууме), то дисперсию
света можно рассматривать как явление зависимости показателя преломления от скорости света в данной среде.
249
Явление дисперсии экспериментально обнаруживается при прохождении немонохроматического белого света (т. е. света, представляющего
собой совокупность волн с различными длинами) через призму (рис. 7.5.1).
Луч
красного света
Луч
белого света
Луч
фиолетового
света
M
N
Красный
Оранжевый
Желтый
Зеленый
Голубой
Синий
Фиолетовый
Рис. 7.5.1
При этом на экране MN , находящемся позади призмы, наблюдается радужная картина, состоящая из различных, плавно переходящих друг в друга цветов, каждому из которых соответствует определенная длина волны
или частота. Совокупность длин волн (частот), из которых состоит немонохроматическое излучение, называется спектром. Спектр видимого света
занимает на шкале электромагнитных волн участок от =
λ 7,5 ⋅ 10−7 м
(красный цвет) до 3,9 ⋅ 10−7 м (фиолетовый цвет).
Характер спектра зависит от рода вещества, испускающего световые
волны:
а) раскаленные твердые тела и светящиеся жидкости создают непрерывные спектры, которые представляют собой набор длин волн (частот),
плавно переходящих друг в друга;
б) светящиеся сильно разряженные одноатомные газы создают линейчатые спектры, которые состоят из отдельных спектральных линий,
разделенных темными промежутками;
в) излучающие молекулы создают полосатые спектры, которые
представляют собой множество тесно расположенных спектральных линий, образующих тем самым полосы, разделенные темными промежутками.
С помощью спектров испускания вещества можно определять его
химический состав и концентрацию атомов (или молекул). Совокупность
методов, с помощью которых производятся такие исследования, называется спектральным анализом.
250
Классическая электронная теория дисперсии. Согласно электромагнитной теории Максвелла, показатель преломления электромагнитных волн
n = εµ .
Поскольку для всех диэлектриков с высокой степенью точности μ = 1, то
показатель преломления n = ε .
Классическая электронная теория Г. А. Лоренца рассматривает дисперсию света как результат вынужденных колебаний электронов, входящих в состав атома, под действием поля электромагнитной волны. Вектор
напряженности электрического поля, совершающий колебания по закону
E = E0 cosωt ,
заставляет электроны совершать вынужденные колебания под действием
двух сил – силы упругости
Fупр =
−kl =
−mω02l
(k – жесткость связи электрона в атоме, l – отклонение электрона от положения равновесия, m – масса электрона, ω0 – его собственная частота колебаний) и внешней силы
=
F eE
= eE0 cos ωt.
По второму закону Ньютона
F + Fупр =
ma,
d 2l
где a = 2 – ускорение электрона.
dt
Подстановка сил упругости и внешней силы во второй закон Ньютона дает уравнение вынужденных колебаний
d 2l
eE0
2
+
ω
l
=
cos ωt.
0
2
dt
m
Решение данного дифференциального уравнения (в чем можно убедиться
простой подстановкой) имеет вид
=
l
eE0 cos ωt
eE
=
.
m(ω02 − ω 2 ) m(ω02 − ω 2 )
Таким образом, под действием электромагнитного поля электрон
внутри атома или молекулы совершает вынужденные колебания. При этом
у молекулы (атома) появляется переменный дипольный момент
251
e2 E
.
p= el=
m(ω02 − ω 2 )
Как показывает элементарная теория, диэлектрическая проницаемость среды определяется отношением суммы дипольных моментов, наведенных электрическим полем у молекул (атомов) вещества, к напряженности электрического поля:
ε= 1 +
Np
.
ε0E
Здесь N – концентрация молекул. Подставив в это выражение значение дипольного момента p, получаем закон дисперсии
Ne 2
n = ε= 1 +
.
mε 0 (ω02 − ω 2 )
2
Теоретическая и экспериментальная зависимости n2 от циклической
частоты света ω показаны на рис. 7.5.2. Теоретическая зависимость имеет
разрыв при совпадении частоты электромагнитной волны с собственной
частотой колебаний электронов.
Рис. 7.5.2
Согласно рис. 7.5.2, вдали от собственной частоты колебаний электрона (когда ω ≠ ω0) теоретическая и экспериментальная кривые хорошо
совпадают. Эта область, где показатель преломления возрастает с увеличением частоты, называется областью нормальной дисперсии.
252
Вблизи собственной частоты ω0 рассмотренная упрощенная теория
неприменима. В этой области частот необходимо учитывать затухание колебаний (поглощение света). В результате вблизи ω0 показатель преломления уменьшается с ростом частоты ω (рис. 7.5.2). Такой ход зависимости n
от ω называется аномальной дисперсией.
Дисперсия присуща всем средам, кроме абсолютного вакуума.
Итак, показатель преломления вещества имеет разное значение для
различных частот (длин волн) электромагнитного излучения. Именно поэтому во многих случаях недостаточно привести показатель преломления
вещества. Надо указать, какому диапазону длин волн он соответствует.
Например, для воды ε = 81, а n2 = 1,75 (здесь диэлектрическая проницаемость определена для статических полей, а показатель преломления – для переменного электромагнитного поля оптического диапазона,
14
т. е. ν ≈ 10 Гц).
Радуга является примером дисперсии света. Она наблюдается, если
солнце находится за спиной наблюдателя. Красные и фиолетовые лучи
преломляются сферическими капельками воды и отражаются от их внутренней поверхности. Красные лучи преломляются меньше и попадают
в глаз наблюдателя от капелек, находящихся на большей высоте. Поэтому
верхняя полоса радуги всегда оказывается красной.
Поглощение света. Закон Бугера–Ламберта–Бера. По мере распространения световой волны в веществе ее интенсивность уменьшается,
так как часть энергии волны идет на возбуждение колебаний электронов
среды. Эта энергия колебаний, в свою очередь, переходит в энергию движения атомов, т. е. в тепловую энергию. Явление уменьшения энергии световой волны, проходящей через вещество, называется поглощением (абсорбцией) света.
Опыт показывает, что интенсивность света после прохождения
слоя вещества толщиной х убывает
по экспоненциальному закону
I
I = I 0e
−k x
,
где I0 – интенсивность падающего
света; I – интенсивность света, прошедшего слой вещества; k – коэффициент поглощения, зависящий от
длины волны света, а также от химической природы и состояния поглощающего вещества (рис. 7.5.3).
Эта формула – закон Бугера–Ламберта.
I0
Слой
вещества
x
Рис. 7.5.3
253
Зависимость коэффициента поглощения k от длины волны λ определяет спектр поглощения вещества. Для изолированных атомов (например,
в разреженных газах) спектр поглощения имеет вид набора узких линий,
т. е. коэффициент поглощения отличен от нуля лишь в определенных, узких диапазонах длин волн, которые соответствуют частотам собственных
колебаний электронов внутри атомов, находящихся в резонансе с проходящим излучением и потому поглощающих энергию световой волны.
Спектры поглощения молекул занимают существенно более широкие области длин волн – это так называемые полосы поглощения. Наконец, поглощение света жидкостями и твердыми телами обычно характеризуется
очень широкими областями с большими значениями коэффициента поглощения. Качественно это объясняется тем, что сильное взаимодействие
между частицами жидкостей и твердых тел приводит к быстрой передаче
поглощенной энергии всему коллективу частиц. Другими словами, со световой волной находятся в резонансе не только отдельные частицы, но и
многочисленные связи между ними. Об этом свидетельствует изменение
поглощения света газами с увеличением давления – чем выше давление
(чем сильнее взаимодействие частиц), тем более широкие полосы поглощения, которые при высоких давлениях становятся похожи на спектры поглощения жидкостей.
Если поглощающее вещество растворено в прозрачном растворителе,
то коэффициент поглощения k раствора пропорционален концентрации
растворенного вещества N, т. е.
k (λ ) = ε (λ ) N .
Здесь ε(λ) – постоянная, характерная для каждого вещества и называемая
эффективным сечением поглощения. Она определяет спектр поглощения
отдельной молекулы.
Объединенная формула, описывающая поглощение света раствором:
I = I 0 e −ε Nx ,
известна как закон Бугера–Ламберта–Бера.
Поглощение света используется в различных областях науки и техники. На нем основаны высокочувствительные методы количественного
и качественного химического анализа, так как эффективное сечение поглощения ε(λ) однозначно связано с химической структурой вещества.
7.6 Поляризация света
Виды поляризации световой волны. Электромагнитные волны
в вакууме поперечны: векторы напряженности электрического и магнитного полей Е и Н колеблются в плоскости (например, YZ), перпендикуляр254
ной направлению распространения волны (оси Х, см. рис. 7.1.1). Вообще
говоря, направление этих векторов в плоскости YZ может быть произвольным, но всегда векторы E и H взаимно перпендикулярны.
Линейно поляризованной (или плоско поляризованной) световой волной называется волна, в которой векторы напряженности электрического
поля E всегда направлены одинаково во всех точках пространства. В такой
волне вектор E колеблется все время в одной плоскости. В силу перпендикулярности E и H вектор H также колеблется в одной плоскости, перпендикулярной плоскости колебаний вектора Е.
Для описания закономерностей поляризации света достаточно знать
поведение лишь одного из векторов. В качестве такого вектора выбран
вектор напряженности электрического поля Е. Его называют световым
вектором. Именно он определяет взаимодействие света с веществом
(с электронами атомов вещества).
Неполяризованной световой волной (естественным светом) называют волну, в которой направление колебаний вектора Е хаотично меняется во времени по всем возможным направлениям.
На рис. 7.6.1, а схематически показаны направления колебаний светового вектора для естественного света. Волна распространяется перпендикулярно плоскости чертежа.
а
б
Рис. 7.6.1
Обычный источник света (например, электрическая лампочка) испускает неполяризованный свет, поскольку он – результат суперпозиции
волн, излучаемых каждым отдельным атомом раскаленной нити. Так как
процесс испускания света одним атомом не зависит от состояния другого
атома в нити накаливания, поляризации волн, испущенных разными ато255
мами, совершенно не связаны друг с другом. В результате получающийся
свет не поляризован.
Если под влиянием внешних воздействий на свет или внутренних
особенностей источника света (лазер) появляется предпочтительное, наиболее вероятное направление колебаний вектора Е, то такой свет называется частично поляризованным (рис. 7.6.1, б).
Степенью поляризации называется величина
P=
I max − I min
,
I max + I min
где Imax и Imin – соответственно максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного света для двух взаимно перпендикуляр2
2
, I min ∝ Emin
, Emax ⊥
ных направлений колебаний вектора Е ( I max ∝ Emax
Emin). Для естественного света Imax = Imin и Р = 0, для плоско поляризованного Imin = 0 и Р = 1.
Схематично направления колебаний светового вектора линейно поляризованной волны на рисунках изображаются следующим образом. Если
вектор E колеблется в плоскости чертежа, то на направлении вектора
скорости волны v наносится ряд вертикальных стрелок (рис. 7.6.2, а), а если в плоскости, перпендикулярной чертежу, – то ряд точек (рис. 7.6.2, б).
Естественный (неполяризованный) свет условно обозначается чередующимися стрелками и точками (рис. 7.6.2, в), причем количество стрелок равно
количеству точек.
a
E
v
H
б
E
v
H
в
v
Рис. 7.6.2
256
В соответствии с этой схемой естественный свет можно представить
как сумму двух лучей, линейно поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях, а частично поляризованный – в виде суммы естественного и линейно поляризованного.
Поляризатор и анализатор. Закон Малюса. Естественный свет
преобразуется в плоско поляризованный при использовании так называемых поляризаторов. Они пропускают колебания вектора Е только определенного направления, параллельного главной плоскости поляризатора.
В качестве поляризаторов используются анизотропные среды, электрические свойства которых различны в разных направлениях. Примером такой
среды служат кристаллы турмалина. Поляризаторы, используемые для
изучения поляризации света, называют анализаторами.
Схема классического опыта с турмалином изображена на рис. 7.6.3.
Естественный свет распространяется перпендикулярно пластинке турмалина П, плоскость которой перпендикулярна главной плоскости поляризатора. При вращении этой пластины вокруг направления луча никаких
изменений в интенсивности прошедшего через турмалин света не наблюдается.
v
П
v
А
ϕ
Рис. 7.6.3
Поставив на пути луча вторую пластинку турмалина (анализатор А)
и вращая ее вокруг направления луча, наблюдаем, что интенсивность света, прошедшего через две пластинки, меняется в зависимости от угла φ
между главными плоскостями поляризаторов по закону Малюса
I = I0cos2φ,
где I0 и I – соответственно интенсивности света, падающего на анализатор
и вышедшего из него.
Результаты опытов с кристаллами турмалина объясняются довольно
просто. Первая пластинка турмалина (поляризатор) пропускает колебания
257
только определенного направления (это направление показано стрелками
на рис. 7.6.3), т. е. она преобразует естественный свет в плоско поляризованный. Вторая пластинка турмалина (анализатор) в зависимости от ее
ориентации пропускает ту часть поляризованного света, которая соответствует компоненте вектора Е, колеблющейся в главной плоскости анализатора, т. е.
E = E0 cos ϕ .
Так как интенсивность света пропорциональна квадрату напряженности электрического поля световой волны, то из этого выражения следует
закон Малюса.
Поляризация при отражении и преломлении. Закон Брюстера.
Опыт показывает, что отраженный от поверхности диэлектрика и преломленный лучи всегда частично поляризованы. При этом в отраженном луче
преобладают колебания, перпендикулярные плоскости падения (показаны
точками на рис. 7.6.4), а в преломленном луче – колебания, параллельные
плоскости падения (показаны стрелками).
А
В
iБ
n1
n2
iБ
О
β
iпр
α
С
Рис. 7.6.4
Степень поляризации Р зависит от угла падения лучей и относительного показателя преломления сред. Установлено, что при значении угла
падения iпад = iБ , удовлетворяющему условию
258
tg=
iБ n=
21
n2
,
n1
отраженный свет полностью поляризован в плоскости, перпендикулярной
плоскости падения луча. Это соотношение известно как закон Брюстера.
При iпад = iБ отражается только компонента вектора напряженности
электрического поля Е, параллельная поверхности диэлектрика (точки на
рис. 7.6.4). При этом преломленный луч частично поляризован (точки
и стрелки на рис. 7.6.4), так как отражается лишь доля падающего света.
При отражении от одной пластинки под углом Брюстера интенсивность линейно поляризованного света крайне мала (около 4 % от интенсивности падающего естественного света). Поэтому, для того чтобы увеличить интенсивность отраженного света (или поляризовать свет), применяют несколько пластинок, сложенных в стопу – стопу Столетова. От
пластин стопы отражаются полностью поляризованные лучи: от первой –
около 4 % первоначальной интенсивности, от второй – около 3,75 % первоначальной интенсивности и т. д. При этом луч, выходящий из стопы
снизу, по мере добавления пластин все больше поляризуется в плоскости,
параллельной плоскости падения.
При угле падения, равном углу Брюстера ( iпад = iБ ), также справедлив закон преломления:
n21 =
sin iБ
.
sin iпр
Подставив это выражение в закон Брюстера и представив tgiБ в виде отношения sin iБ к cosiБ , получаем
cos
=
iБ sin
=
iпр cos(90o − iпр ),
т. е. преломленный луч ОС перпендикулярен отраженному лучу ОВ
(рис. 7.6.4).
Таким образом, закон Брюстера можно сформулировать следующим
образом: при падении света под углом Брюстера отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны, отраженный свет полностью поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости падения луча, а преломленный луч частично поляризован с максимальной степенью поляризации.
Объяснение этому явлению дает теория Максвелла. Падающая световая волна возбуждает в среде колебания электронов в направлении колебаний вектора напряженности электрического поля E (в естественном свете как в плоскости падения – стрелки, так и перпендикулярно этой плос259
кости – точки). Колеблющиеся электроны являются источниками вторичных волн. Однако колеблющийся электрический заряд не излучает электромагнитные волны в направлении своего движения. В случае падения
луча под углом Брюстера отраженный луч ОВ (рис. 7.6.4) перпендикулярен преломленному лучу ОС. Поэтому колеблющийся в диэлектрике вдоль
направления ОВ (стрелки) электрон не излучает. По направлению отраженного луча ОВ распространяется свет, посылаемый только электронами,
направления колебаний которых перпендикулярны плоскости падения
(точки). Поэтому луч ОВ полностью поляризован.
Двойное лучепреломление. Явление раздваивания светового пучка
при прохождении прозрачного анизотропного кристалла называется двойным лучепреломлением (рис. 7.6.5, а). (Классическим примером анизотропного кристалла является исландский шпат, его химическая формула
CaCO3.) Два вышедших из кристалла луча пространственно разделены,
параллельны друг другу и падающему лучу. При повороте кристалла относительно направления падающего на него луча поворачиваются и оба прошедших луча. Даже при нормальном падении луча на кристалл преломленный луч разделяется на два: один, называемый обыкновенным (о), является продолжением падающего луча, второй, называемый необыкновенным (e), отклоняется (рис. 7.6.5, б).
а
б
А
Рис. 7.6.5
В оптически анизотропных кристаллах имеется направление, распространяясь вдоль которого луч света не испытывает двойного лучепреломления. Это направление называется оптической осью кристалла. Здесь
имеется в виду именно направление, а не прямая линия, проходящая через
какую-либо точку кристалла. (Анизотропные кристаллы бывают одноосные и двуосные, т. е. имеют одну или две оптические оси, к первым относится исландский шпат.) Для всех направлений колебаний напряженности
электрического поля E, перпендикулярных оптической оси, диэлектрическая проницаемость ε постоянна, а для колебаний в направлении оптической оси она имеет другое значение.
260
Как показывают исследования, два вышедших из кристалла луча
плоско поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Плоскость, проходящая через направление луча света и оптическую ось кристалла, называется главной плоскостью (или главным сечением кристалла).
Луч, в котором колебания светового вектора Е происходят перпендикулярно главной плоскости (и, следовательно, перпендикулярно оптической
оси), является обыкновенным. В необыкновенном луче вектор Е колеблется в главной плоскости (рис. 7.6.5, б) и потому может иметь отличную от
нуля проекцию на оптическую ось.
Это обусловливает различие показателей преломления для обыкновенного (no) и необыкновенного (ne) лучей. При любом направлении обыкновенного луча колебания вектора Е в нем перпендикулярны оптической
оси кристалла, поэтому показатель преломления no для такого луча есть
величина постоянная, и обыкновенный луч распространяется по всем
направлениям с одинаковой скоростью vo = c/no. Для необыкновенного
луча угол между направлением колебаний вектора Е и оптической осью
отличен от прямого и зависит от направления луча, поэтому показатель его
преломления пe является переменной величиной, зависящей от направления луча, и необыкновенные лучи распространяются по различным направлениям с разными скоростями ve = с/пe.
Так как показатель преломления no обыкновенного луча есть величина постоянная, то он подчиняется закону преломления (потому называется обыкновенным), для необыкновенного луча данный закон не выполняется. После выхода из кристалла эти лучи не отличаются друг от
друга, если не учитывать их поляризацию.
Если луч света распространяется вдоль оптической оси, то в нем вектор Е перпендикулярен оптической оси и, следовательно, no = ne, vo = ve .
Для всех других направлений ve ≠ vo , что и приводит к двойному лучепреломлению света в одноосных кристаллах.
Вращение плоскости поляризации. Вещества, поворачивающие
плоскость поляризации проходящей через них плоско поляризованной
волны, называют оптически активными. К их числу относятся кристаллы
(кварц, киноварь), чистые жидкости (скипидар, никотин), растворы оптически активных веществ в неактивных растворителях (водные растворы
сахара, винной кислоты).
Причиной вращения плоскости поляризации является асимметрия
строения молекул вещества. Плоско поляризованный свет можно разложить на две волны круговой поляризации: правую (вектор напряженности
электрического поля ЕР ее вращается по часовой стрелке вокруг направле261
ния распространения волны) и левую (вектор ЕL вращается против часовой
стрелки). В оптически неактивных средах скорости волн одинаковы, поэтому при распространении в среде ориентация плоскости колебания светового вектора Е = ЕР + ЕL плоско поляризованной волны остается неизменной. Асимметричное строение молекул оптически активного вещества
приводит к тому, что скорости волн круговой поляризации (левой и правой), как и их показатели преломления nP и nL , становятся неодинаковыми. В результате при сложении векторов ЕР и ЕL после прохождения светом в веществе расстояния l плоскость колебания результирующего вектора Е повернется на угол ϕ относительно первоначального направления,
причем
ϕ = α1l ,
где α1 =
2π
λ0
(nP − nL ) – постоянная вращения, зависящая от длины волны
падающего света λ0 и от показателей преломления nP и nL .
В растворах угол поворота плоскости поляризации пропорционален
расстоянию l и концентрации активного вещества N:
ϕ = [α ]Nl ,
здесь [α ] – удельная постоянная вращения, характеризующая активное
вещество (угол поворота плоскости поляризации света единицей длины
раствора при концентрации, равной единице).
В зависимости от направления вращения плоскости поляризации все
оптически активные вещества подразделяются на право- и левовращающие.
262
Раздел 8
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
8.1 Квантовая природа излучения
Интерференция, дифракция и поляризация света объясняются на основе волновых представлений о свете. Однако существуют явления, в которых свет ведет себя как поток частиц. Наиболее важные из них – тепловое излучение нагретых тел, фотоэффект и эффект Комптона.
8.1.1 Тепловое излучение
Все тела, имеющие температуру выше 0 К, излучают энергию. Это
излучение называется тепловым. Тепловое излучение – самое распространенное в природе, которое совершается за счет энергии теплового движения атомов и молекул вещества. Спектр теплового излучения сплошной.
Положение его максимума зависит от температуры: с ее ростом он сдвигается в коротковолновую (ультрафиолетовую) сторону.
Тепловое излучение – единственный вид излучения, который может
быть равновесным. Действительно, пусть нагретое (излучающее) тело помещено в полость с идеально отражающей поверхностью. Через некоторый промежуток времени в результате непрерывного обмена энергией
между телом и излучением внутри полости наступит равновесие: тело
в единицу времени будет поглощать столько же энергии, сколько и излучать, и его температура приобретет постоянное значение.
Количественными характеристиками теплового излучения являются
следующие величины.
Испускательная способность тела – мощность излучения с единицы
площади поверхности тела в интервале частот единичной длины:
rν ,T
∆Eνизл
,ν +∆ν
=
,
∆ S ∆ ν ∆t
изл
где ∆Eν ,ν +∆ν – энергия электромагнитного излучения, испускаемого пло-
щадью ΔS поверхности тела, имеющего температуру Т, за время Δt в спектральном интервале частот от ν до ν + Δν. Размерность rν,T – ватт на метр
в квадрате на герц (Вт/(м2 · Гц)).
Так как длина волны λ = с/ν, то
dλ
c
λ2
=
− 2 =
− ,
dν
c
ν
263
и связь между испускательными способностями, зависящими соответственно от переменных ν и λ, можно записать следующим образом:
rλ ,T =
c
λ
r .
2 ν ,T
Энергетическая светимость тела (интегральная испускательная
способность) – мощность излучения с единицы площади поверхности тела
на всех частотах (или длинах волн). Ее получают интегрированием испускательной способности:
∞
=
RT
∞
rν dν ∫ rλ
∫=
,T
0
,T
dλ,
0
она зависит от температуры тела Т и измеряется в ваттах на метр в квадрате (Вт/м2).
Поглощательная способность тела показывает, какая доля энергии
электромагнитных волн, падающих на поверхность тела в интервале частот от ν до ν + Δν, поглощается телом:
aν ,T
∆Eνпогл
,ν +∆ν
.
=
∆Еνпад
,ν +∆ν
Поглощательная способность – величина безразмерная, меньшая или
равная единице.
Величины rν,T и aν,T зависят от природы тела, его термодинамической температуры T и частоты излучения ν.
Абсолютно черное тело – тело, полностью поглощающее все падающее на него излучение любой частоты независимо от температуры тела.
Следовательно, поглощательная способность черного тела для всех частот
и температур тождественно равна единице:
aνЧ,T ≡ 1.
Абсолютно черных тел в природе не существует. Однако к ним близки по своим свойствам сажа, платиновая чернь и черный бархат.
Идеальной моделью абсолютно черного тела является небольшое отверстие в замкнутой полости, внутренняя поверхность которой зачернена.
Луч света, проникая через отверстие внутрь такой полости, испытывает
многократные отражения от стенок, в результате чего интенсивность вышедшего из отверстия излучения оказывается практически равной нулю.
Опыт показывает, что если размер отверстия меньше 0,1 диаметра полости,
падающее излучение полностью поглощается. По этой причине в светлое
264
время суток окна домов со стороны улицы кажутся черными, хотя внутри
комнат достаточно светло.
Серое тело – тело, поглощательная способность которого меньше
единицы, одинакова на всех частотах и зависит только от температуры,
материала и состояния поверхности тела. Для серого тела
aνС,T ≡ aT= const < 1.
Исследование теплового излучения привело к созданию квантовой
теории света.
Закон Кирхгофа. Он устанавливает количественную связь между
испускательной и поглощательной способностями тел и формулируется
следующим образом: отношение испускательной способности тела к его
поглощательной способности не зависит от природы тела и является для
всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры:
rν ,T
= fν ,T .
aν ,T
Для абсолютно черного тела поглощательная способность равна
единице, поэтому из закона Кирхгофа следует, что универсальная функция
Кирхгофа fν,T есть испускательная способность абсолютно черного тела:
rνЧ,T = fν ,T .
Таким образом, для всех тел отношение испускательной способности
к поглощательной равно испускательной способности абсолютно черного
тела.
Следует отметить, что испускательная способность rν,T любого тела
всегда меньше, чем абсолютно черного тела rνЧ,T , так как поглощательная
способность тел aν,T < 1, и поэтому, согласно закону Кирхгофа,
rν ,=
aν ,T fν ,T < fν ,=
rνЧ,T . Кроме того, если в некотором интервале чаT
T
стот от ν до ν + dν тело не поглощает электромагнитное излучение, то
в этом же интервале частот оно его и не излучает, поскольку при aν,T = 0
должно выполняться равенство rν,T = 0.
Формула Планка. Чтобы получить согласующееся с опытом выражение для испускательной способности абсолютно черного тела, М. Планку пришлось отказаться от принятого в классической физике положения,
согласно которому энергия любой системы может меняться непрерывно.
Он выдвинул гипотезу, согласно которой атомы излучают энергию не
непрерывно, а определенными порциями – квантами, причем энергия
265
кванта пропорциональна частоте колебания:
E=
h=
ν
0
hc
λ
,
где h = 6,625⋅10–34 Дж⋅с – постоянная Планка. Основываясь на этой гипотезе, М. Планк для универсальной функции Кирхгофа получил выражение
fν ,T
2π hν 3
1
=
,
c2 ehν /( kT ) − 1
которое полностью описывает экспериментальные данные по распределению энергии в спектре излучения абсолютно черного тела во всем интервале частот и температур. Теоретический вывод формулы был доложен
14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического общества. Этот
день стал днем рождения квантовой физики.
Учитывая связь между испускательными способностями, зависящими соответственно от переменных ν и λ, находим
=
fλ ,T
c
2π hc2
=
f
2 ν ,T
5
λ
λ
1
ehc /( λ kT ) − 1
.
На рис. 8.1.1 приведены зависимости функций Кирхгофа от длины
волны для разных температур.
Рис. 8.1.1
266
Закон смещения Вина. Опираясь на законы термо- и электродинамики, немецкий физик В. Вин установил, что длина волны λmax, соответствующая максимальному значению испускательной способности rνЧ,T абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической
температуре Т:
λmax =
b
,
T
где b – постоянная Вина. Это хорошо видно на рис. 8.1.1, где изображены
Ч
графики fν ,T = rν ,T для температур Т1 = 4000 К, Т2 = 5000 К и Т3 = 6000 К.
Значения длин волн, соответствующих максимумам fλ,T, удовлетворяют
неравенствам
λ 1 > λ 2 > λ 3.
Используя формулу Планка, можно прийти к закону смещения Вина
и получить численное значение постоянной Вина. Как известно из математики, в максимуме производная любой функции равна нулю. Поэтому для
нахождения λmax приравняем нулю производную ∂fλ,T/∂λ:
∂fλ ,T
∂λ
нение
2π hc2
 hc hc /( λ kT )  hc /( λ kT ) 

=
−
−
e
e
1
5
0.


6
hc /( λ kT )


λ
kT
λ (e
− 1) 

После введения новой переменной x = hc/(kTλmax) получаем урав-
xex − 5( ex − 1) =
0,
решение которого методом последовательных приближений дает x = 4,965.
Следовательно,
hc
= 4,965,
kTλmax
откуда
=
b λ=
maxT
hc
= 2, 9 ⋅ 10−3 м ⋅ К .
4, 965k
Закон Вина объясняет, почему при охлаждении нагретых тел (например, металлов) в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение (цвет меняется от белого до красного).
Закон Стефана–Больцмана. И. Стефан экспериментально (1879 г.)
и Л. Больцман теоретически (1884 г.) установили зависимость испуска267
тельной способности абсолютно черного тела RТ от его температуры. Согласно закону Стефана–Больцмана,
RT = σT4,
т. е. энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна
четвертой степени его термодинамической температуры Т. Здесь σ – постоянная Стефана–Больцмана. Используя формулу Планка, можно прийти
к этому закону и получить значение постоянной σ. Для этого следует
проинтегрировать испускательную способность абсолютно черного тела
по всем частотам:
∞
∞
2π hv3
1
=
RТ ∫=
r dν ∫ 2
dν .
hv /( kT )
−
c
e
1
0
0
Ч
ν ,Т
В результате имеем
2π 5k 4 4
RT =
T .
15c2 h3
Сравнивая это выражение с законом Стефана–Больцмана, находим
постоянную σ
2π 5k 4
5,67 ⋅ 10−8 Вт/(м 2 ⋅ К 4 ).
σ =
=
2 3
15c h
Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется
с экспериментальными данными, но и содержит как частные случаи законы теплового излучения. Она также дает возможность вычислить постоянные b и σ в законах теплового излучения и связать их с постоянными
Больцмана k и Планка h.
8.1.2 Фотоэффект
Фотоэффект был открыт Г. Герцем. Большой вклад в изучение законов фотоэффекта внес русский физик А. Г. Столетов.
Явление внешнего фотоэффекта. Суть явления заключается в том,
что при освещении металлической поверхности пучком света из металла
при определенных условиях вылетают электроны.
Фотоэффект можно наблюдать на установке, изображенной на
рис. 8.1.2. В откачанной вакуумной трубке имеется кварцевое окошко Кв
для освещения одного из электродов (катода К) пучком света. На электроды подается напряжение от батареи ε. Его величина U изменяется с помощью реостата П и измеряется вольтметром V. При освещении катода
(К) из него вылетают электроны, которые начинают двигаться к аноду (А),
если он находится под более высоким напряжением, чем катод. Если по268
менять полярность батареи, то анод будет отталкивать электроны. Достигшие анода электроны создают в цепи ток, называемый фототоком. Он регистрируется микроамперметром (mА).
Kв
K
Свет
А
mА
V
П
–+
ε
Рис. 8.1.2
На рис. 8.1.3 показаны зависимости силы фототока I от напряжения
U между анодом и катодом для двух различных освещенностей катода Ф1
и Ф2. Как видно из рисунка, при напряжении Uн, которое называется
напряжением насыщения, сила фототока достигает максимального значения (Iн1 или Iн2). Максимальное значение фототока Iн называется фототоком насыщения. При U ≥ Uн все электроны, покинувшие катод под действием света, достигают анода.
Наличие фототока при изменении полярности между К и А (область
значений U < 0 на рис. 8.1.3), объясняется тем, что вырванные из катода
электроны имеют кинетическую энергию, достаточную для прохождения
пространства между катодом и анодом в задерживающем электрическом
поле. У электронов существует максимальная кинетическая энергия
E
max
к
2
mvmax
=
,
2
измерить которую можно, подав на анод задерживающее напряжение Uз,
полностью тормозящее электроны. При Uз фототок I прекращается. Из закона сохранения энергии следует, что
2
mvmax
eU з =
,
2
где m – масса электрона;
vmax – его максимальная скорость.
269
Законы внешнего фотоэффекта:
– максимальная энергия фотоэлектронов зависит только от частоты
(длины волны) падающего на катод света и не зависит от освещенности катода (интенсивности света);
– число электронов, которые вырываются светом из катода в единицу времени, и сила фототока насыщения прямо пропорциональны освещенности катода;
– для каждого вещества существует такая наименьшая частота ν0
(или наибольшая длина волны λ0 = с/ν0), при которых еще возможен
внешний фотоэффект. Значения этих величин называются красной границей фотоэффекта.
Ф2 > Ф1
I
Iн2
Iн1
Ф1
Uз
0
Uн
U
Рис. 8.1.3
Кванты света. Уравнение Эйнштейна. Все закономерности фотоэффекта можно объяснить, если предположить, что свет представляет собой поток корпускул – фотонов, или квантов света, распространяющихся
в вакууме со скоростью света и обладающих энергией
Е = hν.
Фотоны – кванты электромагнитного поля. Эти частицы обладают
энергией и импульсом. Монохроматическую электромагнитную волну
можно представить как поток фотонов. Импульс фотона p имеет то же
направление, что и волновой вектор волны k . Импульс фотона, его энергия, частота и длина волны связаны соотношениями
=
p
270
E hν
h
= =
.
c
c
λ
При внешнем фотоэффекте каждый поглощенный металлом фотон
передает всю свою энергию hν электрону проводимости металла. Для выхода из металла электрон должен совершить некоторую работу, называемую работой выхода Авых, оставшаяся часть энергии фотона переходит
в кинетическую энергию электрона. Уравнение Эйнштейна для внешнего
фотоэффекта есть закон сохранения энергии при фотоэффекте:
=
hν Aвых
2
mvmax
+
.
2
Это уравнение объясняет все законы фотоэффекта. Так, максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона линейно растет с увеличением частоты
падающего излучения и не зависит от его интенсивности (числа фотонов):
2
mvmax
∝ hν .
2
С уменьшением частоты света кинетическая энергия фотоэлектронов
понижается (для данного металла Авых = const), и при некоторой частоте
ν = ν0 их кинетическая энергия становится равной нулю, т. е. фотоэффект
прекращается. Из уравнения Эйнштейна следует, что пороговая частота
(красная граница фотоэффекта для данного металла) равна
ν0 =
Aвых
.
h
Пороговая частота зависит лишь от работы выхода электрона, т. е.
от химической природы вещества и состояния его поверхности.
8.1.3 Эффект Комптона
Эффектом Комптона называется упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения (рентгеновского и гамма-излучений) на
свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся
увеличением длины волны рассеянного излучения.
Этот эффект был открыт в 1923 г. американским физиком А. Комптоном. В нем наиболее отчетливо проявляются корпускулярные свойства
света. Оказалось, что в составе рассеянного излучения наряду с излучением первоначальной длины волны λ1 наблюдается также излучение с длиной волны λ2 > λ1. Этот эффект не находит объяснения в рамках волновой
теории, согласно которой длина волны рассеянного излучения должна совпадать с длиной волны падающего: под действием электрического поля
световой волны электрон колеблется с частотой поля, поэтому излучает
рассеянные волны той же частоты.
Объяснение эффекта Комптона дано на основе квантовых представлений о природе света: излучение имеет корпускулярную природу, т. е.
271
представляет собой поток фотонов, и эффект Комптона – результат упругого столкновения фотонов со свободными электронами вещества (для
легких атомов, например парафина и бора, электроны слабо связаны с ядрами атомов, потому их можно считать свободными). В процессе этого
столкновения фотон передает электрону часть своих энергии и импульса,
согласно законам сохранения.
Пусть на покоящийся электрон падает световая волна частотой ν1.
Она эквивалентна потоку частиц (фотонов) с энергией
E1 = hν1
и импульсом
p1 =
E1
.
c
В результате электромагнитного взаимодействия с электроном фотон
изменяет свои энергию и импульс, так что они становятся равными
E2 = hν2 и p2 =
P2
θ
P1
mv
Рис. 8.1.4
E2
,
c
и рассеивается под некоторым углом θ по отношению к первоначальному направлению
движения (рис. 8.1.4). Одновременно электрон
получает при упругом столкновении с фотоном
импульс и начинает двигаться под углом к первоначальному направлению со скоростью v.
Используя законы сохранения импульса
и энергии для процесса столкновения, находим
изменение длины волны фотона ∆λ, которое
оказывается равным
∆ λ = λ2 – λ1 = λС (1 – cosθ).
Величина λC =
h
= 0,0243 · 10–10 м называется комптоновской длиной
mc
волны электрона.
Результаты измерений показали, что увеличение длины волны рассеянного рентгеновского излучения находится в полном соответствии
с формулой для ∆λ.
8.1.4 Давление света
Так как фотоны обладают импульсом, то при взаимодействии с веществом они передают частицам вещества импульс: поглощенные фотоны – импульс p = hν/c (по аналогии с неупругим ударом молекул газа
272
о стенку сосуда), а отраженные – импульс 2p = 2hν/c (по аналогии с упругим ударом молекул). Тем самым фотоны оказывают давление на его поверхность. Расчет показывает, что давление света описывается формулой
=
P
I
(1 + ρ ) ,
c
где I – интенсивность света (световая энергия, падающая на единицу поверхности в единицу времени); ρ – коэффициент отражения.
Давление света объясняется и на основе волновой теории света.
Электромагнитная волна – совокупность периодически меняющихся в пространстве и во времени напряженностей электрического E и магнитного Н
полей (см. рис. 7.6.1). При взаимодействии с поверхностью вещества эти
поля оказывают силовое воздействие на электроны атомов вещества. Электрическое поле заставляет электроны двигаться со скоростью v, противоположной по направлению вектору E. На движущиеся электроны со стороны магнитного поля волны действует сила Лоренца FЛ, которая, согласно правилу левой руки, перпендикулярна v (т. е. Е) и Н и направлена
вдоль распространения волны. Эта сила и есть сила светового давления.
Впервые давление света измерил в 1900 г. русский физик П. Н. Лебедев. Давление света в обычных условиях очень мало, однако оно вызывает
наблюдаемые явления: хвосты комет, имеющие очень низкую плотность,
всегда направлены в сторону от Солнца из-за сил светового давления.
Таким образом, свет (электромагнитное излучение) обладает единством противоположных свойств: в одних явлениях он ведет себя как электромагнитная волна, в других – как поток частиц (фотонов). Волновые
свойства света проявляются при интерференции, дифракции и поляризации, корпускулярные – в излучении черного тела, фотоэффекте и эффекте
Комптона. Давление света объясняется на основе как волновых свойств,
так и корпускулярных. Это единство свойств называется корпускулярноволновым дуализмом света.
8.2 Волновые свойства микрочастиц
8.2.1 Длина волны де Бройля
В 1924 г. французский физик Луи де Бройль выдвинул гипотезу об
универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно этой гипотезе, не только фотоны, но и электроны, а также любые другие частицы
материи наряду с корпускулярными обладают волновыми свойствами. Таким образом, с каждой частицей связаны, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия E и импульс p, а с другой стороны, волновые характеристики – частота ν и длина волны λ.
273
Согласно гипотезе де Бройля, электрону, аналогично фотону, имеющему импульс р, соответствует волновой процесс с длиной волны λ, определяемой формулой
λ=
h
.
p
Эта формула определяет длину волны де Бройля.
Частица с массой m, движущаяся со скоростью v << c, имеет длину
волны де Бройля
λ=
Учитывая, что p =
де Бройля в виде
h
.
mv
2mE , можно записать выражение для длины волны
λ=
h
,
2mE
в котором Е – кинетическая энергия
В частности, электрон, ускоренный в электрическом поле с разностью потенциалов U, получает кинетическую энергию
mv 2
=
E = eU ,
2
где е – заряд электрона, и его длина волны
λ=
h
.
2meU
Например, электрону, прошедшему ускоряющую разность потенциалов
U = 10 В, соответствует длина волны де Бройля 0,388 нм.
Гипотеза де Бройля стала мощным революционным толчком к развитию новых представлений о природе материальных объектов и привела
к созданию квантовой механики.
Опыты по дифракции частиц. Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля было получено в 1927 г. К. Девиссоном
и Л. Джермером. Они установили, что пучок электронов, рассеиваясь на
кристалле никеля, дает дифракционную картину, совпадающую с картиной
рассеяния на кристалле коротковолнового рентгеновского излучения. Кристалл никеля в этих экспериментах играл роль дифракционной решетки.
По положению дифракционных максимумов была определена длина волны
электронов, которая соответствовала вычисленной по формуле де Бройля.
274
Впоследствии дифракционные явления наблюдались также для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков.
Экспериментальное доказательство существования волновых свойств
микрочастиц привело к выводу о том, что это универсальное свойство материи. Таким образом, волновыми свойствами должны обладать и макроскопические тела. Однако вследствие большой их массы волновые свойства этих тел не могут быть обнаружены экспериментально. Например,
пылинка массой 10–9 г, движущаяся со скоростью 0,5 м/с, имеет длину волны де Бройля порядка 10–21 м, что на одиннадцать порядков меньше размеров атомов. Такая длина волны лежит в области, недоступной для наблюдения. Следовательно, макроскопические тела могут проявлять только
корпускулярные свойства.
8.2.2 Волновая функция. Уравнение Шредингера
Волновая функция. Результаты интерференционных опытов с микрочастицами показывают, что их поведение носит случайный характер, и,
таким образом, их состояние может быть описано с помощью вероятностных методов. В этом заключается важнейшая особенность квантовой механики – раздела физики, в котором изучаются свойства микромира.
В квантовой механике каждому микрообъекту (например, электрону
в атоме) ставится в соответствие функция координат и времени Ψ(x,y,z,t),
которая характеризует состояние микрочастицы, т. е. ее положение, импульс, энергию и т. д. Эту функцию принято называть пси-функцией. Она
обладает свойствами классических волн, потому называется также волновой функцией.
Физический смысл волновой функции заключается в следующем:
2
квадрат ее модуля Ψ ( x, y , z, t ) определяет вероятность dW того, что микрочастица может быть обнаружена в момент времени t в пределах объема dV с координатами x, y и z:
2
dW = Ψ ( x, y , z, t ) dV .
2
Из этого выражения видно, что Ψ =
dW / dV (т. е. квадрат модуля волновой функции) есть плотность вероятности (отношение вероятности dW
к объему dV) нахождения частицы в данном месте пространства.
Из физического смысла волновой функции следует, что квантовая
механика не позволяет определить положение частицы или ее траекторию,
а может лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства.
С помощью волновой функции можно найти средние значения физических величин, характеризующих состояние микрочастицы, – координаты, импульса, энергии и т. д.:
275
∞
X ср=
(t )
∫
2
X Ψ ( x, y , z, t dxdydz,
−∞
где X – физическая величина. Например, среднее значение радиуса орбиты
электрона rср в атоме водорода
∞
=
rср
∫rΨ
2
dr.
−∞
Уравнение Шредингера. Выражение для волновой функции находится из решения уравнения Шредингера, предложенного в 1926 г., – основного уравнения квантовой механики.
В стационарном случае, т. е. когда волновая функция не зависит от
времени (Ψ = Ψ(x,y,z)), уравнение Шредингера записывается следующим
образом:
ħ  ∂2 Ψ ∂2 Ψ ∂2 Ψ 
−
+ 2 + 2  + U ( x, y , z ) Ψ = E Ψ,

2
∂y
∂z 
2m  ∂x
где m – масса частицы; U и E – ее потенциальная и полная энергии.
Выражение в скобках часто обозначают символом
∂2
∂2
∂2
=
∆
+
+
,
∂x2 ∂y2 ∂z2
называемым оператором Лапласа, с помощью которого уравнение Шредингера принимает вид
−
ħ
∆Ψ + U ( x, y , z, t ) Ψ= E Ψ.
2m
Таким образом, решив его, можно найти волновую функцию и с ее помощью определить вероятность нахождения частицы в различных точках
пространства, а также средние значения характеризующих ее физических
величин.
Квантование энергии. Из решения уравнения Шредингера и условий, налагаемых на волновую функцию, вытекает важный вывод о том, что
энергия частицы квантуется, т. е. принимает строго определенные значения (собственные значения), совокупность которых (E1, E2, …, En,…)
называется спектром энергий. Соответствующие этим значениям энергии
волновые функции (Ψ1, Ψ2, …, Ψn, …) называются собственными функциями.
Так, решение уравнения Шредингера для микрочастицы массой m,
находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме ши276
риной l (рис. 8.2.1), на границах которой потенциальная энергия U = ∞,
а внутри ямы U = 0, приводит к следующему результату.
Собственные волновые функции Ψ(x), определяющие вероятность
нахождения микрочастицы в потенциальной яме, имеют вид
2
nπ x
,
Ψ n ( x ) =sin
l
l
где n – целое число, равное 1, 2, 3, … .
Соответствующие волновым функциям Ψn собственные значения
энергии En оказываются кратными целому числу n:
En =
π 2h2
2ml
2
n2 .
На рис. 8.2.1 схематически изображены потенциальная яма, первые
три энергетических уровня и плотность вероятности |Ψ(x)|2 нахождения
частицы в различных точках ямы для n = 1, 2, 3. На нем видно, что,
например, в состоянии с наименьшей энергией (n = 1) частицу с наибольшей вероятностью можно обнаружить в центре ямы, в состоянии с n = 2 –
в середине первой и второй половинок ямы.
Рис. 8.2.1
277
равна
Разность энергий между двумя ближайшими уровнями энергии в яме
∆En = En +1 − En =
π 2h2
2ml2
(2n − 1).
При больших значениях n (n >> 1)
∆En ≈
π 2h2
ml2
n.
Оценка этой разности для молекулы водорода H2 (m = 3,34∙10–27 кг),
находящейся в сосуде с диаметром l = 0,1 м, дает следующий результат:
∆E ≈
3,14 2 ⋅ (6,62 ⋅ 10−34 )
=
n 1,3 ⋅=
10−40 n Дж 8,1 ⋅ 10−20 n эВ.
−27
2
3,34 ⋅ 10
⋅ 0,1
Это значение столь мало, что квантование энергии практически не сказывается на характере движения молекулы в сосуде. Действительно, при
комнатной температуре (T = 300 К) тепловая энергия молекулы примерно
равна kT = 4∙10–2 эВ (k – постоянная Больцмана), т. е. во много раз превосходит ΔE, и потому учитывать квантовый характер поведения молекулы
газа не имеет практического смысла.
Однако для электрона (me = 9,1∙10–31 кг) в атоме водорода (l =
10–10 м) ΔE составляет приблизительно 102n эВ, т. е. становится значительной, и ее необходимо учитывать.
8.2.3 Принцип неопределенностей Гейзенберга
Экспериментальные исследования свойств микрочастиц показали,
что точность определения их координат, энергии, импульсов и т. д. ограничена и регулируется сформулированным в 1927 г. В. Гейзенбергом
принципом неопределенности. Согласно этому принципу, при одновременном определении (т. е. измерении в один и тот же момент времени)
координат и импульса частицы неопределенности координат Δx, Δy, Δz
и неопределенности проекций импульса на соответствующие оси координат (X, Y и Z) Δpx, Δpy, Δpz связаны неравенствами
∆x ∆px ≥
ħ
ħ
ħ
, ∆y ∆py ≥ , ∆z ∆pz ≥ ,
2
2
2
получившими название соотношений неопределенностей Гейзенберга.
Данные соотношения следует понимать следующим образом: микрочастицы в принципе не имеют одновременно точных значений координаты
и соответствующей проекции импульса. Это связано не с ограниченной
разрешающей способностью приборов и техники эксперимента, а отражает
278
фундаментальный закон природы – двойственность корпускулярно-волновых свойств микрочастиц.
Так как проекция импульса частицы на ось Х px = m vx , соотношение
неопределенностей Гейзенберга для координаты х и импульса p можно переписать в виде
∆x ∆vx ≥
ħ
.
2m
Следовательно, чем больше масса m частицы, тем меньше неопределенности ее координаты Δх и импульса Δрх и тем с большей точностью
к этой частице применимо понятие траектории.
Аналогичные соотношения справедливы для энергии и времени:
∆E ∆t ≥ħ.
Здесь ΔE – неопределенность энергии системы в данном состоянии, Δt –
интервал времени (время жизни), в течение которого это состояние существует.
279
Раздел 9
ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ
9.1 Строение атома
Ядерная модель атома Резерфорда. Э. Резерфорд с сотрудниками
изучал прохождение альфа-частиц через тонкие металлические фольги из
золота и платины (рис. 9.1.1). Альфа-частицы – положительно заряженные
частицы с зарядом 2е и массой, в 7300 раз большей массы электрона. Они
возникают при радиоактивных превращениях. В опытах Э. Резерфорда источником альфа-частиц служили ядра урана (1), находившегося в свинцовом контейнере (2). Скорость вылетающих альфа-частиц составляла
1,4 ⋅ 107 м/с. В виде узкого пучка эти частицы направлялись на тонкую
фольгу (3) перпендикулярно ее поверхности. Рассеянные фольгой альфачастицы регистрировались на экране (4), покрытом веществом (сцинтиллятором), способным светиться при попадании на него частиц.
1
α
2
4
3
Рис. 9.1.1
Результаты опытов показали, что большинство альфа-частиц, прошедших через фольгу, почти не меняло направление своего движения. Однако некоторые альфа-частицы отклонялись на углы, достигавшие значений 135–150o.
В 1911 г. Э. Резерфорд, проанализировав свои исследования, предложил ядерную (планетарную) модель атома. Согласно ей, атом состоит из
ядра и движущихся по замкнутым орбитам вокруг ядра электронов, образующих электронную оболочку атома. Размер атома – порядка 10–10 м. Ядро имеет положительный заряд Zе (Z – порядковый номер элемента в системе Менделеева, е – элементарный заряд). Размер ядра значительно
меньше размера атома – 10–15–10–14 м, его масса практически равна массе
280
атома. Поскольку атомы нейтральны, заряд ядра равен суммарному заряду
электронов, т. е. электронная оболочка ядра содержит Z электронов.
В рамках этой модели результаты опытов Резерфорда объясняются
следующим образом. Угол рассеяния альфа-частицы зависит от расстояния, на котором она пролетает около ядра. Поскольку масса альфа-частицы
почти в 2000 раз больше массы электрона, то при прохождении через электронное облако альфа-частицы почти не отклоняются от первоначального
направления, т. е. не рассеиваются. При пролете на малых расстояниях от
ядра альфа-частица испытывает большую силу кулоновского отталкивания
от массивного положительно заряженного ядра и поэтому рассеивается на
бóльший угол. Так как размер ядра значительно меньше размера атома, то
число альфа-частиц, рассеянных на большие углы, значительно меньше
числа альфа-частиц, прошедших фольгу без рассеяния.
Используя закон Кулона, Э. Резерфорд получил формулу, связывающую между собой число альфа-частиц, рассеянных на некоторый угол, со
скоростью альфа-частиц и зарядом ядра. Результаты опытов полностью
подтвердили ее справедливость, позволили оценить размер ядра и послужили важным доказательством правильности ядерной модели атома.
Однако некоторые экспериментальные факты и представления классической физики находились в противоречии с предложенной моделью.
Так, электрон, вращающийся вокруг ядра по круговой орбите радиуса r, движется с центростремительным ускорением v2 /r , сообщаемым кулоновской силой. Согласно классической электродинамике, ускоренно
движущиеся заряженные частицы должны излучать электромагнитные
волны и вследствие этого непрерывно терять энергию. В результате электроны должны приближаться к ядру и в конце концов упасть на него. Однако атомы стабильны.
Другое противоречие состоит в следующем. Второй закон Ньютона
для электрона, движущегося в кулоновском поле ядра с зарядом Ze по окружности радиуса r, имеет вид
Ze 2
mev 2
=
,
4πε 0 r 2
r
где тe – масса электрона; ε0 – электрическая постоянная.
Согласно этому уравнению, существует бесчисленное множество
допустимых значений радиуса и соответствующих ему значений скорости
(а значит, и энергии). Следовательно, при переходе электрона с орбиты на
орбиту может испускаться в виде волны любая, а не вполне определенная
порция энергии, т. е. спектры атомов должны быть сплошными. В действительности же спектры атомов линейчатые.
281
Попытки построить модель атома в рамках классической физики не
привели к успеху. Преодоление возникших трудностей потребовало создания квантовой теории атома.
Линейчатый спектр атома водорода. Спектры излучения разреженных газов (т. е. отдельных атомов) имеют линейчатую структуру, состоящую из спектральных линий. Самым простым и наиболее изученным
является спектр атома водорода – самого простого атома, состоящего из
ядра и одного электрона.
И. Я. Бальмер предложил эмпирическую формулу (обобщенная формула Бальмера), описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра:
1
 1
=
ν R  2 − 2  , n > m,
n 
m
в которой R = 3,29·1015 с–1 – постоянная Ридберга, n и m – целые числа.
Разным m соответствуют различные спектральные серии:
при m = 1
1 1
=
ν R 2 − 2 
1 n 
– ультрафиолетовая серия Лаймана,
при m = 2
1
1
ν R 2 − 2 
=
n 
2
– серия Бальмера (видимая область спектра),
при m = 3
1 1
=
ν R 2 − 2 
3 n 
– инфракрасная серия Пашена и т. д.
С увеличением n (номер линии в серии) расстояние (энергетический
зазор) между линиями в каждой серии уменьшается.
Постулаты Бора. В 1913 г. Н. Бор построил первую качественно новую, квантовую, теорию атома. В ее основе лежат два постулата.
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний). В атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния –
орбиты электронов, движение по которым не сопровождается излучением электромагнитных волн. Эти орбиты выделены среди других тем,
282
что на них электрон в атоме водорода имеет строго определенные дискретные (квантовые) значения момента импульса:
h
=
L m=
vr n = nħ.
2π
Здесь n = 1, 2, 3, … . Соответственно каждая из этих орбит характеризуется
определенной величиной энергии электрона Еn. Другие значения энергии
невозможны.
Второй постулат Бора (правило частот). При переходе электрона
с одной стационарной орбиты на другую атом излучает (или поглощает)
один фотон с энергией
= En − Em ,
hν
где Еn и Em – энергии стационарных состояний атома. Переход атома из
состояния с большей энергией в состояние с меньшей (Еm < Еn), т. е. переход электрона с более удаленной от ядра орбиты на более близкую
сопровождается излучением фотона, переход атома в состояние с большей
энергией (Еm > Еn), т. е. переход электрона на более удаленную от ядра
орбиту, – поглощением фотона. Совокупность дискретных частот ν =
(En – Em)/h квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома.
Боровская теория атома водорода. Сформулированные Н. Бором
постулаты позволили вычислить радиусы разрешенных орбит и энергию
электрона на них для атома водорода (Z = 1). Решая систему из двух уравнений, первое из которых представляет собой уравнение движения электрона по круговой орбите радиуса r, записанное на основе второго закона
Ньютона, а второе – первый постулат Бора:
 v2
1 e2
,
m =
2
r
r
4
πε

0
 mvr = nħ,

получаем радиусы стационарных орбит электрона
4πε0ħ2
4πε0ħ2
2
=
rn =
a0n , а0 =
, n = 1, 2, 3,… .
e2 m
me2
Радиус первой орбиты атома водорода (r1 = a0 = 0,528∙10–10 м) называется боровским радиусом.
Полная энергия электрона в атоме водорода есть сумма его кинетической и потенциальной энергий:
283
1 e2
mv2
e2
me4 1
hR
= =
− 2 2 2 =
− 2 ,
En =−
2
4πε0 r 2 4πε0 r
8h ε0 n
n
me4
где R = 3 2 – постоянная Ридберга; hR = 13,6 эВ. Здесь введена при8h ε0
нятая в задачах атомной и ядерной физики единица измерения энергии
электрон-вольт (эВ). 1 эВ – величина, численно равная работе по перемещению элементарного заряда е между точками с разностью потенциалов
ΔU = 1 В = 1,6·10–19 Кл·В = 1,6·10–19 Дж.
Из формулы для энергии электрона в атоме следует, что энергия состояния атома зависит от значения n. Целое число n называется главным
квантовым числом. Энергетическое состояние с n = 1 называется основным состоянием, состояния с n > 1 – возбужденными.
Меняя значения n, получаем возможные уровни энергии атома водорода (Z = 1). С увеличением n энергия атома водорода возрастает, оставаясь отрицательной, и при n → ∞ энергетические уровни приближаются
к границе – значению E∞ = 0. Таким образом, атом водорода имеет минимальную энергию (E1 = –13,6 эВ) в основном состоянии (n = 1) и максимальную (Е∞ = 0) при n = ∞. Значения Е∞ ≥ 0 соответствуют ионизированному атому – отрыву от него электрона. При положительной энергии электрон становится свободным – радиус орбиты бесконечен.
Согласно второму постулату Бора, переход атома водорода (Z = 1)
из возбужденного стационарного состояния n в стационарное (возбужденное или основное) состояние т с меньшей энергией сопровождается испусканием кванта с частотой
En − Em
1 
1
=
−R  2 − 2  .
ν =
h
n m 
Эта формула совпадает с обобщенной формулой Бальмера и описывает все
известные спектральные линии атома водорода (рис. 9.1.2, сплошные
стрелки, направленные вниз, – излучение, штриховые стрелки – поглощение).
В основном состоянии (n = 1) электрон имеет наименьшие значения
полной энергии Е1 = –hR = –13,6 эВ и радиуса орбиты a0 = 0,528 ∙ 10–10 м.
К серьезным недостаткам теории Бора следует отнести невозможность объяснить интенсивности спектральных линий и описания спектров
других атомов, кроме атома водорода, в том числе и атома гелия (Z = 2) –
атома, следующего в таблице Менделеева за атомом водорода и имеющего
два электрона в электронной оболочке ядра.
284
0
Е, эВ
n=4
n=3
–0,9
–1,6
–3,4
–13,6
Серия Бальмера
Серия Лаймана
n=2
n=1
Рис. 9.1.2
Количественное описание все перечисленные выше эффекты находят
в квантовой механике. Примечательно, что решение уравнения Шредингера для атома водорода дает те же квантовые значения энергии
(En = – hR/n2), что и теория Бора, а радиус боровской орбиты rn = a0n2
в квантовой механике имеет смысл расстояния, на котором с наибольшей
вероятностью может быть обнаружен электрон в состоянии c главным
квантовым числом n.
9.2 Рентгеновское излучение
Рентгеновским излучением называется электромагнитное излучение
(электромагнитные волны) с длинами волн λ, значения которых лежат
в диапазоне от 1 пм (10–12 м) до 10 нм (10–8 м). Рентгеновское излучение
способно глубоко проникать во все вещества.
Рентгеновское излучение (X-лучи) открыл в 1895 г. В. К. Рентген. Он
сконструировал трубку для получения X-лучей и исследовал их основные
свойства.
В зависимости от механизмов возникновения различают тормозное
и характеристическое рентгеновское излучение.
Рентгеновская трубка и тормозное рентгеновское излучение. Естественными источниками рентгеновского излучения являются Солнце
и другие космические объекты. Самый распространенный искусственный
источник рентгеновского излучения – рентгеновская трубка (рис. 9.2.1).
285
Она представляет собой вакуумный баллон с двумя электродами – катодом К и анодом А. Катод К нагревается током, создаваемым разностью потенциалов Uh, и испускает (вследствие термоэлектронной эмиссии) электроны. Они ускоряются в электрическом поле, создаваемым между катодом и анодом высокой разностью потенциалов Ua.
Рентгеновское
излучение
К
С
А
– +
Uh
Ua
Рис. 9.2.1
Мишенью для электронов служит анод А (его часто называют антикатодом), который изготавливают из тяжелых металлов (W, Cu, Ag, Pt
и т. д.). При резком торможении электронов на аноде возникает рентгеновское излучение. При этом в излучение превращается около 1–3 % энергии
электронов. Остальная часть энергии выделяется в виде тепла, потому
в мощных трубках анод интенсивно охлаждается (система охлаждения С ).
Возникающее в рентгеновской трубке излучение называется тормозным рентгеновским излучением.
На рис. 9.2.2 приведены спектры этого излучения для разных значений энергии электронов Е. Как видно из него, тормозное излучение имеет
сплошной спектр (P(λ) – относительная интенсивность излучения). Его
важная особенность – наличие коротковолновой границы λmin (длины волн
λ1, λ2 и λ3 на рис. 9.2.2), существование которой объясняется квантовой
природой излучения.
Действительно, излучение возникает за счет энергии, теряемой электроном при торможении. Согласно закону сохранения энергии, энергия излучаемого кванта (рентгеновского фотона) hν не может быть больше энергии электрона E:
hν ≤ Е.
286
P(λ)
Е1 = 50 кэВ
Е2 = 40 кэВ
Е3 = 30 кэВ
λ1
λ2
0,03
λ3
0,05
0,07
0,09
λ, нм
Рис. 9.2.2
Здесь ν – частота рентгеновского излучения. Таким образом, для длин волн
излучения должно выполняться неравенство
λ=
c
ν
≥
hc
,
E
и, следовательно,
λmin =
hc
.
E
При энергиях электронов Е1 = 50 кэВ, Е2 = 40 кэВ и Е3 = 30 кэВ коротковолновая граница λmin равна соответственно λ1 = 0,025 нм, λ2 =
0,031 нм и λ3 = 0,041 нм.
Характеристическое рентгеновское излучение. Состояние электрона в атоме характеризуется главным квантовым числом n. Электроны
с одинаковым значением n образуют оболочки. Ближайшие к ядру оболочки обозначают латинскими буквами K (n = 1), L (n = 2), M (n = 3),
N (n = 4) и т. д. При столкновении с атомом быстрые электроны могут выбить электрон из внутренней оболочки атома. На образовавшееся вакантное место переходит электрон из более удаленных от ядра оболочек. Этот
переход сопровождается излучением рентгеновского фотона, энергия которого равна разности энергий начального и конечного состояний электрона (hν = Eнач – Eкон). Следовательно, спектр возникающего излучения
является линейчатым и определяется структурой электронных оболочек
287
конкретного атома. В связи с этим такое рентгеновское излучение называют характеристическим.
При переходе электрона из оболочек L, M, N, … на оболочку K возникает спектральная K-серия, состоящая из линий, обозначаемых как Kα
(переход L → K), Kβ (M → K), Kγ (N → K), … (рис. 9.2.3).
E
N
Mα
M
Lα
L
Lβ
E=0
n=4
n=3
n=2
Kα
Kβ
Kγ
K
n=1
Рис. 9.2.3
Аналогично возникают и другие спектральные серии L, M, N и O,
наблюдаемые, впрочем, лишь для тяжелых элементов.
В 1913 г. Г. Д. Мозли предложил формулу, являющуюся аналогом
обобщенной формулы Бальмера для атома водорода и связывающую частоту ν характеристического рентгеновского излучения с атомным номером Z излучающего элемента (закон Мозли):
 1
1 
ν =
R( Z − σ )2  2 − 2  .
 n1 n2 
Здесь R = 0,329·1016 с–1 – постоянная Ридберга, σ – постоянная экранирования, определяемая структурой электронных оболочек атомов, n1 и n2 –
главные квантовые числа начального и конечного состояний атома, Z –
порядковый номер химического элемента в Периодической таблице элементов Д. И. Менделеева. Смысл постоянной экранирования σ состоит
в том, что на электрон, совершающий переход с одной внутренней оболочки на другую, действует не весь заряд ядра Ze, а его часть (Z – σ)e, учитывающая экранирующее действие других электронов.
Рентгеновские спектры разных элементов похожи, так как они возникают при переходах электронов между внутренними оболочками ато288
мов, которые имеют сходное строение. Отметим, что реальные рентгеновские спектры, как правило, представляют собой комбинацию тормозного
и характеристического излучений (рис. 9.2.4).
Р(λ)
Kα
Kβ
0,04
0,08
0,12
λ
Рис. 9.2.4
Практическое применение рентгеновского излучения основано на
использовании его свойств:
– рентгеноструктурный анализ – определение атомной структуры
кристаллических тел, строения пористых и мелкодисперсных материалов,
сложных биологических объектов (вирусов, хромосом, молекул дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК) и т. п.) – на использовании дифракции
рентгеновского излучения;
– рентгеновская дефектоскопия – обнаружение различных дефектов в материалах и конструкциях – на проникающей способности рентгеновского излучения и особенностях его поглощения в материалах;
– рентгеновский спектральный анализ – определение химического
состава вещества – на свойствах характеристического рентгеновского излучения: его спектр определяется только структурой электронных оболочек конкретного атома и не зависит от типа соединения, в состав которого
он входит.
9.3 Люминесценция
Вторичное излучение и люминесценция. Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом сопровождается испусканием вторичного электромагнитного излучения, которое может быть вызвано различными процессами: отражением, рассеянием, люминесценцией. Все виды
вторичного излучения исчезают после прекращения облучения, кроме люминесценции.
289
Люминесценция – это процесс излучения света телами, который может продолжаться длительное время (до нескольких часов) после прекращения возбуждающего излучения.
По продолжительности свечения люминесценция делится на флуоресценцию (ее продолжительность мала – 10–9–10–5 с) и фосфоресценцию
(ее продолжительность велика – до нескольких часов).
По методу возбуждения люминесценция делится на:
– фотолюминесценцию – светом,
– электролюминесценцию – электрическим полем,
– радиолюминесценцию – радиоактивным излучением,
– рентгенолюминесценцию – рентгеновскими лучами,
– хемилюминесценцию – возникает в химических реакциях,
– триболюминесценцию – наблюдается при трении.
Вещества, излучающие свет (люминесцирующие) после облучения
их светом, рентгеновскими лучами, радиоактивными α-, β-, γ-лучами
и т. д., называются люминофорами.
Основные характеристики люминесценции:
Спектр люминесценции I(λ) или I(ν) – распределение энергии излучения по длинам волн λ или частотам ν. Люминофоры могут излучать
в ультрафиолетовой, видимой и инфракрасной областях спектра. Спектр
люминесценции не зависит от длины волны возбуждающего света. Каждое
вещество имеет свой, особый спектр люминесценции. Именно поэтому
люминесценция используется в спектральном анализе для определения
химического состава веществ.
Интенсивность люминесценции I – световая энергия, излучаемая
люминофором в единицу времени.
Длительность люминесценции τ и зависимость интенсивности люминесценции I(t) от времени t. В простейшем случае после прекращения
облучающего излучения интенсивность люминесценции убывает по экспоненциальному закону:
I (t ) = I0e− t /τ ,
где I0 – начальная интенсивность люминесценции; τ – длительность, или
время, ее затухания, т. е. время, в течение которого интенсивность люминесценции уменьшается в е раз.
Квантовый выход люминесценции q – отношение числа квантов
электромагнитного излучения, испущенных в единицу времени, к числу
квантов, поглощенных в единицу времени. Он определяет эффективность
превращения энергии возбуждающего света в энергию люминесценции.
Люминесценция отдельных молекул и твердых тел зависит от структуры их энергетических уровней.
290
Диаграмма энергетических уровней молекул. Молекула имеет
дискретные энергетические состояния (уровни). При поглощении кванта
света (фотона) молекула переходит с более низкого на более высокий
энергетический уровень. Полная энергия молекулы Е складывается из
энергии электронного возбуждения Еэл, энергии колебания ядер Екол и
энергии вращения молекулы как целого Евр:
Е = Еэл + Екол + Евр.
Из теоретических и экспериментальных оценок известно, что Еэл >
Екол > Евр. На рис. 9.3.1 представлена упрощенная схема энергетических
уровней молекулы. Каждому электронному состоянию (на схеме они обозначены символами S0 и S1 слева) соответствует система колебательновращательных уровней (они перенумерованы числами 0, 1, 2 и т. д.).
Рис. 9.3.1
Равновесное распределение молекул по колебательно-вращательным
уровням невозбужденного S0 и возбужденного S1 электронных состояний
описывается формулой Больцмана
ni = n0exp(–Eiкол-вр/kT),
291
в которой n0 – общее число молекул; ni – число молекул на i-м уровне;
Eiкол-вр = Екол + Евр – энергия колебательно-вращательного уровня i; k – постоянная Больцмана; T – температура.
При низких температурах подавляющее большинство молекул находится в соответствии с формулой Больцмана на нулевых уровнях электронных состояний S0 и S1. Потому при этих температурах переходы с поглощением света в основном происходят с уровня 0 состояния S0 (широкая
стрелка, направленная вверх, на рис. 9.3.1). Переходы между электронноколебательными уровнями могут сопровождаться не только поглощением,
но и испусканием света. В соответствии с постулатом Бора частоты молекулярных переходов ν определяются изменением энергии системы:
=
ν
∆Eэл ∆Eкол-вр
+
,
h
h
где ΔЕэл, ΔЕкол-вр – изменения электронной и колебательно-вращательной
энергий соответственно при молекулярных переходах. Молекулы, попавшие на верхние колебательно-вращательные уровни любого электронного
состояния, очень быстро теряют избыток колебательно-вращательной
энергии и переходят без излучения на нулевой уровень. Этот процесс
называется колебательной релаксацией. На рис. 9.3.1 такие переходы обозначены волнистыми стрелками. Таким образом, в результате поглощения
кванта света молекула в конечном счете оказывается на нижнем (нулевом)
уровне возбужденного состояния S1. Переход с нижнего уровня S1 в невозбужденное состояние S0 может осуществляться следующими путями:
1) безызлучательно (на рис. 9.3.1 безызлучательный переход обозначен штриховой стрелкой), в этом процессе электронная энергия переходит
или в колебательную, или передается другой молекуле в результате,
например, столкновения;
2) излучательно (излучательные переходы обозначены сплошными
стрелками, направленными вниз) – это и есть люминесценция.
Отметим, что:
– частоты, на которых люминесцирует молекула, меньше частоты
возбуждающего света из-за колебательной релаксации в возбужденном S1
и основном S0 электронных состояниях;
– спектр люминесценции не зависит от частоты возбуждающего света, так как переходы, дающие вклад в люминесценцию, происходят с уровня 0 состояния S1.
С точки зрения элементарных процессов люминесценция – это спонтанное (самопроизвольное) излучение, которое происходит после завершения всех релаксационных процессов и установления теплового равновесия
в возбужденном электронном состоянии.
292
Люминесценция применяется в изобразительном искусстве, в клинической диагностике и криминологии, при изготовлении денег, для визуализации динамики жидкостей и др. Люминесценция используется в спектральном анализе и экологии, как инструмент для определения структуры
и состава веществ и обнаружения микропримесей в окружающей среде,
люминофоры – в лампах дневного света, электронно-лучевых трубках
и экранах мониторов, как детекторы элементарных частиц, при производстве светящихся красок.
9.4 Лазер
Вынужденное излучение. Атом может находиться в разных энергетических состояниях с энергиями E1, E2, ... . В теории Бора они называются стационарными. На самом деле стационарным состоянием, в котором
атом в отсутствие внешних возмущений может находиться бесконечно
долго, является только состояние с наименьшей энергией – основное состояние. Все другие состояния (возбужденные) нестабильны. Возбужденный атом может пребывать в этих состояниях очень короткое время – порядка 10–8 с. За это время он самопроизвольно переходит в одно из низших
состояний, испуская квант света, частота которого определяется вторым
постулатом Бора. Излучение, испускаемое при самопроизвольном переходе атома из одного состояния в другое, называют спонтанным.
Переходы между энергетическими уровнями атома не обязательно
связаны с поглощением или испусканием фотонов. Атом может приобрести или отдать часть своей энергии и перейти в другое квантовое состояние в результате взаимодействия с другими атомами или столкновений
с электронами, т. е. безызлучательно.
В 1916 г. А. Эйнштейн предсказал, что переход электрона в атоме
с верхнего энергетического уровня на нижний может происходить также
под влиянием внешнего электромагнитного поля, частота которого равна
собственной частоте перехода электрона в атоме. Возникающее при этом
излучение называют вынужденным или индуцированным.
Вынужденное излучение резко отличается от спонтанного. В результате взаимодействия возбужденного атома с фотоном атом испускает еще
один фотон той же частоты, распространяющийся в том же направлении,
что и первоначальный фотон. На языке волновой теории это означает, что
атом излучает электромагнитную волну, частота, фаза, поляризация и направление распространения которой точно такие же, как и у первоначальной волны. В результате вынужденного испускания амплитуда волны, распространяющейся в среде, возрастает.
Оптический квантовый генератор. Название «лазер» происходит
от английского laser (light amplification by stimulated emission of radiation) –
усиление света посредством вынужденного излучения. Лазер, или оптиче293
ский квантовый генератор, – это устройство, преобразующее энергию
накачки (световую, электрическую, химическую и др.) в энергию когерентного, монохроматического, поляризованного и узконаправленного излучения.
Для усиления проходящей через слой вещества волны необходимо
искусственно создать в этом веществе (в среде) инверсную населенность
уровней, при которой число атомов в возбужденном состоянии превышает
число атомов в основном состоянии.
Среда, в которой создана инверсная населенность уровней, называется активной. Она служит резонансным усилителем светового сигнала. Для
этого используют обратную связь, помещая активную среду в оптическом
резонаторе.
Простейший оптический резонатор (рис. 9.4.1) состоит из двух параллельных зеркал, между которыми находится активная среда. Вынужденное излучение активной среды отражается зеркалами (ρ – коэффициент
отражения) в обратном направлении, снова проходит через активную среду
и в результате усиливается. Это повторяется многократно. Возникает лавинообразный процесс индуцированной эмиссии когерентных фотонов.
При этом в среде поддерживается инверсная населенность уровней. Процесс поддержки инверсной населенности называется накачкой.
Рис. 9.4.1
Зеркала лазера работают как резонатор, поддерживая одни генерируемые лазером моды, соответствующие стоячим волнам данного резонатора, и подавляя другие. Если на оптической длине L резонатора укладывается целое число полуволн n:
2L = nλ,
294
то такие волны, проходя по резонатору, не меняют своей фазы и вследствие интерференции усиливают друг друга. Все остальные постепенно гасят друг друга. Таким образом, спектр собственных частот (мод) оптического резонатора (частот, на которых в данном резонаторе возможно усиление) определяется соотношением
νn =
c
n,
2L
здесь c – скорость света в вакууме.
Начало лавинообразному процессу в активной среде может положить случайный спонтанный процесс испускания атомом среды кванта
света в направлении оси резонатора. Через короткое время возникает стационарный режим генерации излучения, направленного вдоль этой оси.
Такое (лазерное) излучение выводится наружу через одно из зеркал, обладающее частичной прозрачностью (рис. 9.4.1).
Существуют различные способы получения среды с инверсной населенностью уровней. В рубиновом лазере используется оптическая накачка – атомы возбуждаются в результате поглощения света. Для создания
инверсной населенности недостаточно двух уровней – основного и возбужденного. Каким бы мощным не был свет лампы-накачки, число возбужденных атомов не будет больше числа невозбужденных. В рубиновом
лазере (оксид алюминия Al2O3 с небольшой примесью хрома Cr) накачка
производится через расположенный выше третий уровень (рис. 9.4.2, а).
В кристалле рубина уровни E1, E2 и E3 принадлежат примесным атомам
хрома.
а
б
Рис. 9.4.2
295
В результате вспышки мощной лампы, расположенной рядом с рубиновым стержнем, происходит оптическая накачка активной среды: многие атомы хрома, входящего в виде примеси в кристалл рубина (около
0,05 %), переходят в состояние с энергией E3. Затем через короткий промежуток времени τ1 ≈ 10–8 с происходит безызлучательный переход в состояние с энергией E2. Перенаселенность возбужденного уровня E2 по
сравнению с основным уровнем E1 возникает из-за относительно большого
времени жизни (τ2 = 10–3 с) уровня E2. Генерация лазерного излучения
осуществляется на переходе E2 → E1. (Частота этого перехода должна
совпадать с одной из мод резонатора.)
Рубиновый лазер работает в импульсном режиме на длине волны
694 мм (темно-вишневый свет), мощность излучения может достигать
106–109 Вт в импульсе. Исторически это был первый действующий лазер,
построенный американским физиком Т. Мейманом в 1960 г.
Во многих лазерах используется четырехуровневая схема накачки
(рис. 9.4.2, б). Здесь между метастабильным E2 и основным уровнем имеется промежуточный, рабочий уровень E1. Вынужденное излучение происходит при переходе атома между уровнями E2 и E1. Преимущество этой
схемы заключается в том, что в данном случае легко выполнить условие
инверсной населенности, так как время жизни верхнего рабочего уровня
(E2) на несколько порядков больше, чем нижнего (E1). Это значительно
снижает требования к мощности источника накачки. Кроме того, подобная
схема позволяет создавать мощные лазеры, работающие в непрерывном
режиме, что очень важно для некоторых применений.
Лазеры бывают газовые (в том числе химические, активная среда –
газ), жидкостные (активная среда – жидкость), твердотельные (в том
числе полупроводниковые, активная среда – кристаллы и стекла, легированные (активированные) добавкой небольшого количества ионов хрома,
титана, редкоземельных элементов).
296
Раздел 10
ЭЛЕМЕНТЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
10.1 Размер, состав и заряд атомного ядра.
Массовое и зарядовое числа
Исследуя прохождение α-частиц через тонкие пленки металлов,
Э. Резерфорд пришел к выводу, что атом состоит из положительно заряженного ядра и окружающих его электронов, и определил размеры атомных ядер, которые, по его оценкам, равны 10–14–10–15 м (линейные размеры
атома порядка 10–10 м).
Атомное ядро состоит из элементарных частиц – протонов и нейтронов (протонно-нейтронная модель ядра Д. Д. Иваненко и В. Гейзенберга).
Протон (р) заряжен положительно. Его заряд равен по модулю заряду электрона, а масса покоя тр = 1,6726⋅10–27кг ≈ 1836 тe, где тe – масса
электрона. Нейтрон (n) – нейтральная частица, ее масса покоя тп =
1,6749⋅10–27 кг ≈ 1839 тe. Протоны и нейтроны называются нуклонами.
Общее число нуклонов в атомном ядре называется массовым числом А.
Атомное ядро имеет заряд, равный Ze, где Z – зарядовое число. Оно
равно числу протонов в ядре и совпадает с порядковым номером элемента
в Периодической таблице элементов Д. И. Менделеева.
Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом: ZA X ,
где Х – символ химического элемента.
Так как атом нейтрален, то число протонов равно числу электронов
в атоме. От числа электронов зависят их распределение по орбитам в атоме
и, следовательно, химические свойства атома. Таким образом, заряд ядра
определяет специфику химического элемента.
Ядра с одинаковыми Z (но разными А, т. е. с разными числами
нейтронов N = A – Z) называются изотопами, а ядра с одинаковыми А (но
различными Z) – изобарами. Например, водород (Z = 1) имеет три изотопа: протий 11 H , дейтерий 21 H и тритий 31 H ; олово Sn (Z = 50) – десять и т. д.
Химические и физические свойства большинства изотопов одинаковы, так
как они обусловливаются структурой электронных оболочек, которая одинакова для всех изотопов данного элемента (одно и то же значение Z).
Примером ядер-изобар являются ядра 104 Be , 105 B , 106 C .
Хотя в настоящее время известно 118 элементов с зарядовыми числами ядер Z от 1 до 110, существует более 2500 ядер, отличающихся либо
Z, либо А, либо тем и другим.
297
Радиусы ядер подчиняются эмпирической формуле
R = R0 A1/3 ,
где R0 = (1,3–1,7)∙10–15 м. Из этой формулы следует, что объем ядра V пропорционален числу нуклонов в нем: V ~ R3 ~ A. Поэтому плотность ядерного вещества примерно одинакова для всех ядер (порядка 1017 кг/м3).
10.2 Дефект массы и энергия связи ядра
Исследования показывают, что атомные ядра устойчивы, следовательно, между нуклонами в ядре существуют силы притяжения (помимо
сил кулоновского отталкивания между протонами).
Очень точные измерения показывают, что масса ядра меньше суммы
масс составляющих его нуклонов. Так как всякому изменению массы соответствует изменение энергии (ΔE = Δmc2), то, следовательно, при образовании ядра должна выделяться некоторая энергия.
Из закона сохранения энергии также следует, что для разделения ядра на составные части необходимо затратить энергию, равную той, которая
выделяется при его образовании. Энергия, необходимая для расщепления
ядра на отдельные нуклоны, называется энергией связи ядра.
Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что энергия связи
нуклонов в ядре
Eсв = [Zmp + (A – Z)mn – mя]c2,
где тp, тn, тя – соответственно масса протона, нейтрона и ядра.
Величина
Δm = Zmp + (A – Z)mn – mя
называется дефектом массы ядра.
Величина, равная
δ Eсв =
Eсв
,
A
называется удельной энергией связи. Она характеризует устойчивость
(прочность) атомных ядер: чем больше δEсв, тем устойчивее ядро.
Удельная энергия связи зависит от массового числа А элемента
(рис. 10.2.1). Для легких ядер (А ≤ 12) удельная энергия связи быстро возрастает с 1,1 МэВ у дейтерия до 6–7 МэВ у гелия и бериллия, а затем более
медленно до максимальной величины 8,7 МэВ у элементов с A = 50–60.
Далее, с увеличением массового числа δEсв медленно уменьшается: для
238
тяжелых элементов, например для 92 U , она составляет 7,6 МэВ. (Для
298
сравнения энергия связи валентных электронов в атомах в миллион раз
меньше – порядка 10 эВ.)
Уменьшение δEсв при переходе к тяжелым элементам обусловлено
возрастанием числа протонов в ядре и увеличением энергии их кулоновского отталкивания. В результате связь между нуклонами становится слабее, а сами ядра менее прочными.
Рис. 10.2.1
Из зависимости δEсв от А следует, что наиболее устойчивыми, с
энергетической точки зрения, являются ядра с А = 50–60, т. е. ядра из
средней части таблицы Менделеева. Тяжелые и легкие ядра менее устойчивы. Следовательно, энергетически выгодны следующие процессы:
1) деление тяжелых ядер (например, ядер урана) на более легкие;
2) слияние легких ядер (например, дейтерия) с образованием более
тяжелых ядер (гелия).
В этих процессах выделяется огромное количество энергии. В настоящее время осуществлены реакции как деления (взрыв ядерной бомбы,
ядерные реакторы), так и слияния (термоядерные реакции – взрыв водородной бомбы).
10.3 Ядерные силы. Модели ядра
Между нуклонами в ядре действуют силы, значительно превышающие кулоновские силы отталкивания между протонами. Они называются
ядерными силами.
299
Экспериментально доказано, что ядерные силы намного превышают
силы электромагнитных и гравитационных взаимодействий. Ядерные силы
относят к классу сильных взаимодействий.
Основные свойства ядерных сил:
1) это силы притяжения;
2) это короткодействующие силы – они действуют только на расстояниях меньших или порядка 10–15 м; на малых расстояниях (менее
10–15 м) они примерно в 100 раз больше кулоновских сил, действующих
между протонами на том же расстоянии, с увеличением расстояния между
нуклонами (более 10–15 м) ядерные силы быстро уменьшаются до нуля;
3) они зарядово независимы, т. е. их величина не зависит от заряда
взаимодействующих нуклонов: ядерные силы, действующие между двумя
протонами, между двумя нейтронами и между протоном и нейтроном,
одинаковы;
4) они обладают свойством насыщения, т. е. каждый нуклон в ядре
взаимодействует только с конечным числом ближайших к нему нуклонов.
Насыщение проявляется в том, что удельная энергия связи δEсв нуклонов
в тяжелых ядрах (при Z > 50) с увеличением массового числа А (числа нуклонов) не растет, а остается приблизительно постоянной (порядка 8 МэВ).
В силу ряда причин до сих пор не удалось разработать единую последовательную теорию атомного ядра. Для объяснения отдельных свойств
ядер используют приближенные модели ядра, допускающие более или менее простое математическое описание. Примером служат капельная и оболочечная модели.
Капельная модель ядра (1936 г., Н. Бор и Я. И. Френкель). Капельная модель ядра основана на аналогии между поведением нуклонов в ядре
и поведением молекул в капле жидкости. В обоих случаях силы, действующие между составными частицами (нуклонами в ядре и молекулами
в жидкости), – короткодействующие и обладают свойством насыщения.
Ядра и капли жидкости характеризуются постоянной плотностью вещества. Объемы ядра и капли пропорциональны числу частиц (соответственно нуклонов и молекул).
В отличие от капли жидкости ядро в капельной модели рассматривается как капля электрически заряженной жидкости, подчиняющейся законам квантовой механики. В рамках капельной модели была получена согласующаяся с экспериментом формула для зависимости энергии связи
нуклонов в ядре от массового числа, объяснен механизм ядерных реакций,
в частности реакции деления.
Оболочечная модель ядра (1949–1950 гг., М. Гепперт-Майер и
X. Иенсен). В оболочечной модели нуклоны в ядре распределяются по
дискретным энергетическим уровням (оболочкам) в соответствии с законами квантовой механики (подобно электронам в атоме). Устойчивость
300
ядер связывается с заполнением этих уровней. Считается, что ядра с полностью заполненными оболочками наиболее устойчивые. Такие особо устойчивые (магические) ядра действительно существуют – это ядра, у которых число протонов или нейтронов равно одному из магических чисел: 2,
8, 20, 28, 50, 82, 126. Особенно устойчивы дважды магические ядра, у которых магическими (или суммами магических чисел) одновременно являют48
208
ся число протонов и число нейтронов: 42 He, 168 O, 40
20 Ca, 20 Ca, 82 Pb.
Оболочечная модель ядра объясняет различную устойчивость атомных ядер, а также периодичность изменения их свойств.
10.4 Радиоактивность
Радиоактивность – способность ядер некоторых элементов к самопроизвольному (радиоактивному) распаду, который сопровождается радиоактивным излучением. Существуют три типа радиоактивного излучения: альфа-, бета- и гамма-излучение.
Альфа-излучение и альфа-распад. Альфа-излучение (α-излучение) – поток ядер гелия 42 He со скоростями примерно 107 м/с. Альфа-распад (α-распад) – самопроизвольный распад атомного ядра (материнского
ядра) на дочернее ядро и α-частицу (ядро гелия 42 He ) (рис. 10.4.1).
Рис. 10.4.1
α-Распад, как правило, происходит в тяжелых ядрах с массовым числом A ≥ 140. При этом выполняется правило смещения: в результате
α-распада возникает элемент Y, смещенный относительно исходного элемента X на 2 клетки к началу таблицы Менделеева (зарядовое число
уменьшается на 2):
A
Z
X → 42 He +
A− 4
Z −2
Y.
301
В этом распаде массовое число дочернего ядра
массового числа материнского ядра ZA X .
Примерами α-распада служат:
1) превращение ядра урана в ядро тория:
238
92
A− 4
Z −2
Y на 4 единицы меньше
U → 23490Th + 24 He;
2) превращение ядра радия в ядро радона:
226
88
Ra →
222
86
Rn + 24 He.
Так как α-частицы имеют большие массу и заряд (по сравнению с
электроном), они сильно поглощаются веществом, т. е. α-излучение обладает низкой проникающей способностью. Так, при нормальном давлении
слой воздуха толщиной в несколько сантиметров полностью задерживает α-частицы. В конденсированной среде (жидкость, твердое тело) полное поглощение α-излучения достигается при толщине слоя вещества порядка 0,1 мм.
Бета-излучение и бета-распад. Эксперименты показали, что бета–
излучение (β-излучение) – это поток электронов −10e (β -излучение) или
+
позитронов 10 e (β -излучение) со скоростями, близкими к скорости света.
(Позитрон – античастица по отношению к электрону, имеет массу и положительный заряд, равные массе и заряду электрона; встреча позитрона
с электроном приводит к их аннигиляции, при этом образуются фотоны
больших энергий. Позитрон был предсказан теоретически П. Дираком
в 1928 г. и обнаружен экспериментально в 1932 г.)
Различают три разновидности β-распада.
–
1. Электронный β -распад. В этом процессе один из нейтронов 01n
ядра превращается в протон 11 p с испусканием электрона
рино 00ν :
1
0n
→ 11 p +
0
−1 e
0
−1e
и антинейт-
+ 00ν.
(В ядерных реакциях при возникновении дополнительной частицы – в данном случае электрона – обязательно возникает соответствующая ей античастица – антинейтрино.)
–
Процесс β -распада ядер записывается в виде
A
Z
где
A
Z
X→
Y + −10 e + 00ν ,
A
Z +1
X – распадающееся материнское ядро;
–
A
Z +1
зультате β -распада дочернее ядро (рис. 10.4.2).
302
Y – образовавшееся в ре-
Рис. 10.4.2
–
В результате β -распада элемент смещается на 1 клетку к концу таблицы Менделеева (заряд ядра увеличивается на единицу), при этом массовое число ядра не изменяется. Примером служит процесс превращения ядра цезия в ядро бария:
137
55
0
0

Cs → 137
56 Ba + −1 e + 0ν .
–
Экспериментально доказано, что электроны при β -распаде ядра получают самые разные кинетические энергии от нуля до E0 (рис. 10.4.3, где
dN/dE – число электронов в единичном интервале энергий), однако при
этом ядро теряет одну и ту же энергию E0, характерную для данного ядра.
Опираясь на такие факты и закон сохранения энергии, В. Паули в 1932 г.
предположил, что остальную часть энергии уносит другая частица: при
–
+
β -распаде – антинейтрино, при β -распаде – нейтрино. Нейтрино и антинейтрино не имеют ни массы покоя, ни заряда, потому они очень слабо
взаимодействуют с веществом и обладают огромной проникающей способностью. Экспериментально обнаружить нейтрино удалось лишь в 1956 г.
Рис. 10.4.3
303
+
2. Позитронный β -распад. В этом процессе один из протонов 11 p
ядра превращается в нейтрон 01n с испусканием позитрона 10e~ и нейтрино
ν:
0
0
1
1p
→ 01n + 10 e + 00ν .
+
В результате β -распада массовое число ядра остается неизменным,
а порядковый номер элемента уменьшается на единицу (элемент смещается на 1 клетку к началу таблицы Менделеева):
A
Z
X→
Y + 10 e + 00ν .
A
Z −1
3. Электронный захват. Ядро поглощает один из электронов K-оболочки (реже из L- или M-оболочки) своего атома, в результате чего один из
протонов превращается в нейтрон, испуская при этом нейтрино:
1
1p
+
0
−1 e
→ 01n + 00ν .
–
Проникающая способность β -излучения значительно больше, чем
α-излучения, так как электроны по сравнению с ядрами атома гелия имеют
–
меньшие массу и заряд. Так, β -излучение проникает в ткани организма на
1–2 см, полностью задерживается слоем воздуха в 2–3 м, слоем воды около
10 см и слоем свинца толщиной примерно 5 мм.
Гамма-излучение и гамма-распад. Почти все ядра (за исключением
1
ядер 1 H , 21 H , 31 H и 23 He ) имеют, кроме основного квантового состояния,
дискретный набор возбужденных состояний с большой энергией. Ядра
в возбужденном состоянии возникают при ядерных реакциях или при радиоактивном распаде. У большинства возбужденных состояний очень малые времена жизни (10–8–10–15 с).
При переходе ядра из возбужденного состояния в основное (иногда
через несколько промежуточных состояний) излучаются один или несколько гамма-квантов (γ-квантов). Гамма-излучение (γ-излучение) – это
электромагнитные волны с очень маленькой длиной волны (λ < 10–11 м).
60
В качестве примера приведем γ-излучение изотопа кобальта 27
Co .
–
Этот изотоп вначале испытывает β -распад, в результате которого возникает дочернее ядро 60
28 Ni в возбужденном состоянии (рис. 10.4.4). Дочернее
ядро практически немедленно переходит в основное состояние путем последовательного испускания двух γ-квантов с энергиями Eγ1 = 1,17 МэВ
и Eγ2 = 1,33 МэВ.
304
60
27 Co
β –-распад
60
28 Ni
γ1
γ2
Рис. 10.4.4
Массовое и зарядовое числа при γ-распаде не изменяются:
A
Z
X → ZA X + 00γ .
Здесь 0 γ – гамма-квант.
γ-Излучение обладает большой проникающей способностью, так как
имеет малую длину волны, а γ-кванты – соответственно большую энергию.
Взаимодействие γ-квантов с веществом зависит от их энергии.
Если эта энергия относительно невелика (не превышает нескольких
сотен килоэлектронвольт), то осуществляется фотоэлектрическое поглощение γ-излучения как результат фотоэффекта на внутренних электронных
оболочках атомов вещества: γ-квант выбивает один из электронов внутренней оболочки (K, L, M, …). На появившуюся во внутренней оболочке
(например, K) вакансию практически сразу переходит один из электронов
атома из внешней оболочки (в частности, L). Этот переход сопровождается
испусканием рентгеновского кванта.
С увеличением энергии γ-квантов существенным становится комптоновское рассеяние на слабосвязанных (внешних) электронах атома:
γ-квант упруго соударяется с электроном и передает ему часть своих энергии и импульса.
Если энергия γ-квантов превышает величину 2mec2 = 1,02 МэВ (me –
масса покоя электрона), то в поле ядра атома возможно образование пары
электрон–позитрон:
0
γ → 10 e +
0
0
0
−1
e.
Двигаясь в веществе, позитрон сталкивается с атомным электроном,
и обе частицы исчезают (аннигилируют) с испусканием двух γ-квантов:
0

1e
+
0
−1
e → 2 00γ .
Эти γ-кванты с суммарной энергией 2mec2 затем поглощаются веществом
или вылетают из него.
305
При энергии γ-квантов, большей 7–8 МэВ (энергии связи нуклона
в ядре), наблюдается ядерный фотоэффект – γ-квант выбивает один из
нуклонов ядра.
Проникающая способность γ-излучения очень высокая, что обусловлено большой энергией γ-квантов и малой длиной волны. γ-излучение
полностью поглощается слоем воздуха толщиной 100 м и слоем воды порядка 1 м. В ткани организма γ-излучение проникает на глубину до 15 см.
Для защиты от него требуются свинцовые экраны (толщиной примерно
10 см) или толстостенные бетонные конструкции (толщиной около 50 см).
10.5 Закон радиоактивного распада
Радиоактивный распад – спонтанный распад. Это означает, что ядра
радиоактивного вещества распадаются по случайному, статистическому
закону, и невозможно точно определить, сколько времени проживет отдельное ядро, прежде чем оно распадется. Потому корректно поставить
вопрос о времени жизни ядер радиоактивного вещества можно только
в том случае, когда рассматривается большой коллектив одинаковых ядер
и говорится о вероятности распада определенного количества ядер за некоторый промежуток времени.
Обозначим через N число радиоактивных ядер в момент времени t,
а через dN – количество распавшихся ядер за промежуток времени от t до
t + dt. Число распавшихся ядер dN должно быть пропорционально числу
ядер N и интервалу времени dt (в этом и заключается статистический характер распада – независимость вероятности распада от времени):
dN = −λ Ndt.
Знак минус в этом уравнении означает, что число ядер при распаде уменьшается. Константа λ называется постоянной распада и характеризует конкретное радиоактивное вещество. После интегрирования уравнения получаем закон радиоактивного распада:
N (t ) = N 0 exp(−λt ).
Здесь N0 – число ядер в начальный момент времени t = 0, N(t) – число не
распавшихся к моменту времени t ядер.
Из закона радиоактивного распада видно, что распад происходит тем
быстрее, чем больше постоянная распада λ.
Величину τ = 1/λ называют временем жизни данного радиоактивного
ядра. Этот термин следует понимать в статистическом смысле: через время τ (в законе радиоактивного распада полагаем t = τ) количество первоначально имевшихся ядер уменьшается в е раз (N = N0/e, рис. 10.5.1).
306
Рис. 10.5.1
Время, за которое распадается половина первоначально имевшихся
ядер, называется периодом полураспада Т1/2. Подставив в закон радиоактивного распада значения t = T1/2 и N/N0 = 1/2, после взятия натурального
логарифма от обеих частей равенства получаем
ln 2 0,693
=
= 0,693τ .
=
T1/ 2
λ
λ
Таким образом, чем больше постоянная распада λ, тем меньше период полураспада.
Закон радиоактивного распада также можно записать в виде
N (=
t) N0 ⋅ 2
−
t
T1/ 2
.
10.6 Ядерные реакции синтеза и деления
Ядерными реакциями называются превращения атомных ядер, вызванные взаимодействием этих ядер друг с другом или с элементарными
частицами. В общем виде реакция, в которой участвуют два ядра, может
быть представлена следующим образом:
A1
Z1
X+
A2
Z2
Y→
A3
Z3
P+
A4
Z4
Q,
где Ai и Zi – массовые и зарядовые числа ядер.
В качестве примера такой реакции можно привести процесс превращения ядра азота в ядро кислорода:
14
7
N + 42 He → 178 O +11 H.
307
При рассмотрении любых реакций с участием ядер химических элементов должны выполняться следующие основные законы:
1) закон сохранения энергии;
2) закон сохранения импульса;
3) закон сохранения момента импульса;
4) закон сохранения электрического заряда – суммы зарядовых чисел
(атомных номеров) ядер в начале и конце реакции должны быть равны;
5) закон сохранения барионного числа – суммы массовых чисел ядер
в начале и конце реакции должны быть равны (он означает неизменность
полного числа нуклонов, принимающих участие в реакции).
Реакция синтеза – это реакция, в которой два легких ядра сливаются в одно более тяжелое. Для синтеза ядер необходимы высокие температуры, потому данный процесс называется термоядерной реакцией. Температуру, при которой возможно протекание реакции синтеза, можно оценить из условия равенства потенциальной энергии электростатического
взаимодействия двух ядер и кинетической энергии их теплового движения
(для слияния ядра должны преодолеть кулоновское отталкивание). Такая
оценка дает температуру порядка 109 К.
Примером термоядерной реакции является реакция слияния ядер
дейтерия 21 H и трития 31 H :
2
1
H + 31 H →
4
2
He + 01n.
В этой реакции выделяется энергия E = (mD + mT – mHe – mn)c2 = 17,6 МэВ.
Другим примером реакций синтеза (термоядерных реакций) является
так называемый протон-протонный цикл:
1
1) синтез двух протонов 1 p (ядер водорода 11 H ) с образованием дейтерия 21 H , позитрона 10 e и нейтрино 00ν :
1
1
p + 11 p → 21 H + 10 e + 00ν ;
2) синтез протона и дейтерия с образованием ядра изотопа гелия и
γ-кванта:
1
1
p + 21 H → 23 He + 00γ ;
3) объединение двух изотопов гелия в одно ядро гелия с образованием двух отдельных протонов:
3
2
He + 23 He → 42 He + 11 p + 11 p.
В цепочке реакций синтеза ядер водорода (протонов) с превращением их в ядра гелия выделяется в общей сложности энергия порядка 25 МэВ.
308
Протон-протонный цикл – главный источник энергии, излучаемой
Солнцем. Один грамм солнечного вещества содержит порядка 1023 протонов, поэтому в результате превращения их в гелий выделится энергия, равная 55 000 кДж. Масса Солнца примерно равна 1033 г, так что Солнце будет служить источником энергии около 20 млрд лет.
Впервые искусственная неуправляемая термоядерная реакция была
осуществлена в 1953 г. в СССР в виде взрыва водородной бомбы, в которой смесь дейтерия и трития являлась взрывчатым веществом.
Осуществить искусственную управляемую термоядерную реакцию
не удалось до сих пор.
Реакции деления. У ядер тяжелых элементов удельная энергия связи начинает уменьшаться с ростом номера ядра Z (это связано с увеличением энергии электростатического отталкивания между протонами).
Поэтому тяжелые ядра менее стабильны и претерпевают естественный
радиоактивный распад, сопровождающийся испусканием α- и β-частиц и
γ-квантов.
В практическом смысле важны реакции деления тяжелых ядер, вызываемые нейтронами. В них образуются легкие осколки с большей энергией связи, так что подобные реакции – экзотермические, т. е. идут с выделением энергии. Такие реакции могут служить источниками энергии.
Качественно деление ядра объясняется в рамках капельной модели.
При попадании в ядро нейтрона 01n ядро-капля деформируется и принимает форму эллипсоида (рис. 10.6.1). При этом возрастает поверхностная
энергия (увеличивается площадь поверхности капли) и уменьшается энергия электростатического взаимодействия протонов (увеличивается среднее
расстояние между протонами в ядре). Капля начинает совершать колебания. Если энергия возбуждения ядра-капли оказывается больше энергии, необходимой для деления (порог деления), ядро разделяется на два осколка.
Рис. 10.6.1
309
Примеры реакций деления:
235
92
92
1
U + 01n → 141
56 Ba + 36 Kr + 3 0 n,
235
92
235
92
97
1
U + 01n → 137
53 I + 39Y + 2 0 n,
90
1
U + 01n → 143
57 La + 35 Br + 3 0 n.
Тяжелые ядра с зарядовым число Z и массовым числом A способны
к делению, если выполняется условие
Z2
≥ 17.
A
Это неравенство справедливо для всех ядер, начиная с
108
47
Ag , для которого
Z2
472
=
≈ 20.
A
108
Цепная реакция. Из приведенных примеров реакций деления ядер
U в результате захвата нейтронов следует, что в каждой из реакций
возникают дополнительные нейтроны. Они могут служить инициаторами
235
следующих актов деления ядер 92
U . В результате в объеме урана, содержащем достаточное количество делящихся ядер, может начаться самоподдерживающаяся цепная реакция – реакция деления, в которой испускаемые
осколками нейтроны вызывают новые акты деления. Она сопровождается
выделением энергии.
Для реального осуществления цепной реакции необходимо замедлить образующиеся при делении нейтроны до небольших скоростей, при
235
которых они способны захватываться следующим ядром 92
U (вероятность захвата нейтрона ядром урана обратно пропорциональна скорости
нейтрона). Нужно также не допустить вылета нейтронов за пределы рабочей области реакции, чтобы в ней было достаточно нейтронов для поддержания цепной реакции. Все это в конце 1942 г. осуществили Э. Ферми
с сотрудниками, которые запустили первый в мире ядерный реактор.
Цепная реакция сопровождается выделением большой энергии. Так,
235
энергия, выделяющаяся при делении одного ядра 92
U , равна 3,87⋅10–11 Дж.
При делении ядер, содержащихся в 1 г урана, выделяется 7,92⋅1010 Дж.
Энергия деления – это кинетическая энергия осколков деления, имеющих
огромную скорость.
Образующиеся осколки деления неустойчивы, так как перегружены
нейтронами, которые являются избыточными и испускаются осколками.
Испущенные нейтроны вызывают новые акты деления. Начинается цепная
235
92
310
реакция. Процесс развития цепной реакции деления зависит от среднего
числа нейтронов, приходящихся на один акт деления. При делении ядер
235
урана 92
U среднее число нейтронов равно 2,5.
Необходимое условие протекания цепной реакции – наличие нейтронов перед каждым новым актом деления. Для этого отношение K числа
нейтронов, возникшем в каком-либо звене реакции, к числу нейтронов,
появившемся в предыдущем звене, должно быть равно или больше единицы: K ≥1 . Число K называется коэффициентом размножения.
На развитие цепной реакции оказывают влияние также размеры активной зоны – области пространства, в которой происходит деление. Минимальные размеры зоны, при которых K ≥1 , называются критическими,
а минимальная масса делящегося вещества, находящегося в пределах критических размеров, – критической массой.
Ядерный реактор. Цепная ядерная реакция, в которой регулируется
скорость ее протекания, называется управляемой реакцией деления. Такой
тип реакции осуществляется в ядерных реакторах. К основным частям
ядерного реактора относятся (рис. 10.6.2): ядерное топливо (горючее),
замедлитель и отражатель нейтронов, теплоноситель для отвода тепла от
реактора и стержни. Стержни регулируют скорость реакции путем захвата
лишних нейтронов деления и, таким образом, снижают коэффициент
размножения (чтобы реакция не носила характер взрыва).
Ядерное горючее и замедлитель
Теплоноситель
Турбина
Пар
Генератор
Регулирующие
стержни
Вода
Отражатель
Защита от радиации
Рис. 10.6.2
Ядерным топливом в реакторе служат изотопы урана
235
92
U и
238
92
U,
239
плутония 94
U , тория 90232 U . Замедлители и отражатели нейтронов необходимы для увеличения числа медленных нейтронов, способных участвовать
в цепной реакции. Теплоносителем обычно является вода, жидкий натрий
или другие вещества. Теплоноситель охлаждает реактор и передает тепло
311
воде, превращая ее в пар. Пар поступает на турбину, связанную с генератором электрического тока.
В настоящее время в России ядерные реакторы производят около
17 % электроэнергии, в США – 20 %, в Европе – 29,5 % (Франция – 72 %,
Швеция – 40 %, Испания – 21 %, Германия – 13 %), в Индии – 3 %, в Бразилии – 2 %, в Китае – около 3,6 %, в Японии – 2 %.
312
Литература
1. Бодунов Е. Н. Физика: учеб. пособие для абитуриентов / Е. Н. Бодунов, Ю. А. Кытин, В. И. Никитченко, А. М. Петухов, Р. А. Романова. –
СПб.: Петерб. гос. ун-т путей сообщения, 2012. – 188 с.
2. Бодунов Е. Н. Интенсивный курс физики. Механика, молекулярная физика / Е. Н. Бодунов, В. И. Никитченко, А. М. Петухов. – [Электронный ресурс] – Электрон. дан. – СПб.: Петерб. гос. ун-т путей сообщения,
2015. – 142 с. – Режим доступа: http://e.lanbook.com/
3. Бодунов Е. Н. Интенсивный курс физики. Электростатика, постоянный электрический ток, магнетизм / Е. Н. Бодунов, В. И. Никитченко,
А. М. Петухов, Г. Г. Хохлов. – [Электронный ресурс] – Электрон. дан. –
СПб.: Петерб. гос. ун-т путей сообщения, 2015. – 98 с. – Режим доступа:
http://e.lanbook.com/
4. Бодунов Е. Н. Интенсивный курс физики. Волновая оптика, элементы квантовой механики, атомной и ядерной физики / Е. Н. Бодунов,
В. И. Никитченко, А. М. Петухов. – [Электронный ресурс] – Электрон.
дан. – СПб.: Петерб. гос. ун-т путей сообщения, 2015. – 99 с. – Режим доступа: http://e.lanbook.com/
5. Трофимова Т. И. Курс физики: учеб. пособие для вузов / Т. И. Трофимова. – М.: Высшая школа, 2006. – 558 с.
6. Савельев И. В. Курс общей физики: в 3 т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика / И. В. Савельев. – [Электронный ресурс] – Электрон. дан. –
СПб.: Лань, 2017. – 436 с. – Режим доступа: http://e.lanbook.com/book/92653
7. Савельев И. В. Курс общей физики: в 3 т. Т. 2. Электричество
и магнетизм. Волны. Оптика / И. В. Савельев. – [Электронный ресурс] –
Электрон. дан. – СПб.: Лань, 2017. – 500 с. – Режим доступа:
http://e.lanbook.com/book/91065
8. Савельев И. В. Курс общей физики: в 3 т. Т. 3. Квантовая оптика.
Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц / И. В. Савельев. – [Электронный ресурс] – Электрон. дан. –
СПб.: Лань, 2017. – 320 с. – Режим доступа: http://e.lanbook.com/book/92652
9. Детлаф А. А. Курс физики: учеб. пособие для втузов / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высшая школа, 2005. – 720 с.
10. Зисман Г. А. Курс общей физики: в 3 т. Т. 3. Оптика. Физика
атомов и молекул. Физика атомного ядра и микрочастиц: учеб. пособие /
Г. А. Зисман, О. М. Тодес. – СПб.: Лань, 2007. – 498 с.
11. Сивухин Д. В. Общий курс физики: в 5 т. Т. 3. Электричество /
Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит, 2015. – 656 с.
12. Сивухин Д. В. Курс физики: в 5 т. Т. 4. Оптика / Д. В. Сивухин. –
М.: Физматлит, 2005. – 794 с.
313
13. Сивухин Д. В. Курс физики: в 5 т. Т. 5. Атомная и ядерная физика / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит, 2002. – 782 с.
14. Чертов А. Г. Задачник по физике: учеб.-практич. пособие /
А. Г. Чертов, А. А. Воробьев. – М.: Транспортная компания, 2017. — 640 с.
15. Фиргант Е. В. Руководство к решению задач по курсу общей физики: учеб. пособие / Е. В. Фиргант. – СПб.: Лань, 2009. – 352 с.
16. Бодунов Е. Н. Задачи по физике для абитуриентов / Е. Н. Бодунов, Ю. А. Кытин, В. И. Никитченко, А. М. Петухов, Р. А. Романова. –
СПб.: Петерб. гос. ун-т путей сообщения, 2012. – 275 с.
314
Содержание
Предисловие ............................................................................................................................. 3
Раздел 1 МЕХАНИКА ........................................................................................................... 5
1.1 Кинематика ..................................................................................................................... 5
1.1.1 Основные понятия и определения ......................................................................... 5
1.1.2 Траектория, путь, перемещение ............................................................................. 6
1.1.3 Скорость, ускорение ................................................................................................ 7
1.1.4 Равномерное прямолинейное движение.............................................................. 12
1.1.5 Закон сложения скоростей .................................................................................... 14
1.1.6 Равнопеременное прямолинейное движение ...................................................... 15
1.1.7 Свободное падение тел ......................................................................................... 17
1.1.8 Движение тела, брошенного вертикально вверх ................................................ 18
1.1.9 Движение тела, брошенного под углом к горизонту ......................................... 20
1.1.10 Равномерное движение по окружности ............................................................. 22
1.1.11 Неравномерное движение по окружности ........................................................ 24
1.2 Динамика ...................................................................................................................... 25
1.2.1 Сила, масса, импульс............................................................................................. 25
1.2.2 Законы Ньютона .................................................................................................... 27
1.2.3 Гравитационные силы ........................................................................................... 28
1.2.4 Силы трения ........................................................................................................... 32
1.2.5 Силы упругости. Закон Гука ............................................................................... 33
1.3 Работа, мощность, энергия. Законы сохранения в механике................................... 35
1.3.1 Механическая работа, мощность ......................................................................... 35
1.3.2 Механическая энергия. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия ........ 39
1.3.3 Закон сохранения механической энергии ........................................................... 44
1.3.4 Закон сохранения импульса.................................................................................. 44
1.4 Механика твердого тела .............................................................................................. 46
1.4.1 Сложение и разложение сил ................................................................................. 46
1.4.2 Момент импульса частицы. Момент силы.......................................................... 50
1.4.3 Момент импульса и момент силы относительно оси......................................... 53
1.4.4 Закон сохранения момента импульса .................................................................. 54
1.4.5 Момент инерции .................................................................................................... 57
1.4.6 Основное уравнение динамики вращательного движения ................................ 59
1.4.7 Кинетическая энергия вращающегося твердого тела ........................................ 60
1.5 Механика жидкостей и газов ...................................................................................... 61
1.5.1 Давление. Закон Паскаля. Гидростатическое давление..................................... 61
1.5.2 Сообщающиеся сосуды ......................................................................................... 63
1.5.3 Гидравлический пресс ........................................................................................... 64
1.5.4 Закон Архимеда для жидкостей и газов. Условия плавания тел ...................... 65
1.6 Основы специальной теории относительности......................................................... 66
1.6.1 Постулаты специальной теории относительности ............................................. 66
1.6.2 Преобразования Лоренца ...................................................................................... 67
1.6.3 Относительность длин .......................................................................................... 68
1.6.4 Относительность длительности промежутков времени .................................... 68
1.6.5 Связь между массой и энергией. Релятивистский импульс .............................. 69
315
1.7 Механические колебания ............................................................................................ 69
1.7.1 Основные понятия и определения ....................................................................... 69
1.7.2 Гармонические колебания .................................................................................... 70
1.7.3 Скорость и ускорение при гармонических колебаниях ..................................... 71
1.7.4 Гармонические колебания груза на пружине ..................................................... 73
1.7.5 Превращения энергии при гармонических колебаниях..................................... 74
1.7.6 Физический и математический маятники ........................................................... 75
1.7.7 Затухающие колебания ......................................................................................... 77
1.7.8 Вынужденные колебания ...................................................................................... 79
1.7.9 Сложение однонаправленных колебаний ........................................................... 80
1.7.10 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний .......................................... 83
1.8 Механические волны ................................................................................................... 86
1.8.1 Распространение колебаний в упругой среде ..................................................... 86
1.8.2 Длина волны. Связь длины волны со скоростью ее распространения ............. 87
1.8.3 Звук ......................................................................................................................... 88
1.8.4 Уравнение плоской волны .................................................................................... 89
1.8.5 Фазовая скорость ................................................................................................... 90
1.8.6 Волновое уравнение .............................................................................................. 91
1.8.7 Энергия упругой волны ........................................................................................ 93
Раздел 2 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА .................................... 96
2.1 Основы молекулярно-кинетической теории ............................................................. 96
2.1.1 Основные положения молекулярно-кинетической теории ............................... 96
2.1.2 Опытное обоснование основных положений молекулярно-кинетической
теории ............................................................................................................................... 97
2.2 Идеальные газы ............................................................................................................ 98
2.2.1 Идеальный газ. Скорости молекул идеального газа .......................................... 98
2.2.2 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов .... 99
2.2.3 Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–
Клапейрона) ................................................................................................................... 100
2.2.4 Температура как мера средней кинетической энергии молекул идеального
газа .................................................................................................................................. 101
2.2.5 Изопроцессы в идеальных газах ........................................................................ 102
2.2.6 Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям . 106
2.2.7 Барометрическая формула и функция распределения Больцмана ................. 108
2.3 Основы термодинамики ............................................................................................ 109
2.3.1 Внутренняя энергия ............................................................................................. 110
2.3.2 Число степеней свободы. Закон равномерного распределения энергии
по степеням свободы ..................................................................................................... 111
2.3.3 Работа в термодинамике ..................................................................................... 112
2.3.4 Количество теплоты. Теплоемкость вещества ................................................. 114
2.3.5 Первый закон термодинамики ........................................................................... 116
2.3.6 Применение первого закона термодинамики к изопроцессам в идеальных
газах ................................................................................................................................ 117
2.3.7 Адиабатический процесс .................................................................................... 117
2.3.8 Принцип действия теплового двигателя ........................................................... 118
2.3.9 Энтропия и второе начало термодинамики ...................................................... 120
2.4 Взаимные превращения газов, жидкостей и твердых тел ...................................... 121
2.4.1 Парообразование и конденсация. Кипение ....................................................... 121
2.4.2 Насыщенные и ненасыщенные пары. Влажность воздуха .............................. 121
316
2.4.3
2.4.4
2.4.5
2.4.6
Тепловое расширение твердых тел .................................................................... 122
Плавление и кристаллизация .............................................................................. 123
Теплота сгорания топлива .................................................................................. 124
Поверхностное натяжение .................................................................................. 124
Раздел 3 ЭЛЕКТРОСТАТИКА .......................................................................................... 128
3.1 Электрические заряды. Закон сохранения электрического заряда ....................... 128
3.2 Взаимодействие электрических зарядов. Закон Кулона ........................................ 128
3.3 Электрическое поле. Напряженность поля ............................................................. 130
3.4 Напряженность поля точечного заряда. Принцип суперпозиции
электрических полей......................................................................................................... 131
3.5 Поток вектора напряженности ................................................................................. 133
3.6 Теорема Гаусса ........................................................................................................... 134
3.7 Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности
электростатических полей ............................................................................................... 136
3.8 Потенциал. Разность потенциалов. Работа сил электростатического поля ......... 141
3.9 Связь между напряженностью поля и разностью потенциалов ...................... 143
3.10 Вычисление разности потенциалов некоторых электростатических полей ...... 145
3.11 Диэлектрики и проводники в электростатическом поле...................................... 147
3.12 Электроемкость ........................................................................................................ 153
3.13 Энергия заряженных тел. Энергия электрического поля..................................... 157
Раздел 4 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ...................................................... 161
4.1 Электрический ток. Сила и плотность тока ............................................................ 161
4.2 Сторонние силы. Электродвижущая сила источника тока .................................... 163
4.3 Закон Ома ................................................................................................................... 164
4.4 Последовательное и параллельное соединения проводников ............................... 166
4.5 Работа и мощность тока. Закон Джоуля–Ленца...................................................... 168
4.6. Элементарная классическая теория электропроводности металлов..................... 168
4.7 Электрический ток в электролитах. Законы электролиза ...................................... 172
4.8 Электрический ток в газах. Несамостоятельный и самостоятельный газовые
разряды............................................................................................................................... 173
4.9 Ток в вакууме. Термоэлектронная эмиссия. Диод. Электронно-лучевая
трубка ................................................................................................................................. 175
4.10 Зонная теория электропроводности твердых тел ................................................. 177
Раздел 5 МАГНЕТИЗМ ...................................................................................................... 182
5.1 Магнитное поле. Индукция магнитного поля ......................................................... 182
5.2 Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле. Сила Ампера...... 184
5.3 Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца ........................ 186
5.4 Закон Био–Савара–Лапласа ...................................................................................... 188
5.5 Расчет магнитных полей с помощью закона Био−Савара−Лапласа...................... 189
5.6 Взаимодействие параллельных токов ...................................................................... 191
5.7 Контур с током в магнитном поле............................................................................ 193
5.8 Циркуляция вектора магнитной индукции в вакууме. Закон полного тока ........ 195
5.9 Магнитное поле соленоида и тороида ..................................................................... 197
5.10 Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля..... 200
5.11 Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле ..... 201
5.12 Магнитное поле в веществе .................................................................................... 203
317
5.13
5.14
5.15
5.16
Электромагнитная индукция .................................................................................. 209
Закон электромагнитной индукции........................................................................ 210
Индуктивность контура. Самоиндукция ............................................................... 212
Взаимная индукция .................................................................................................. 213
Раздел 6 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.......................... 215
6.1 К истории вопроса ..................................................................................................... 215
6.2 Уравнения Максвелла в интегральной форме ........................................................ 215
6.3 Уравнения Максвелла в дифференциальной форме............................................... 217
Раздел 7 ВОЛНОВАЯ ОПТИКА ...................................................................................... 219
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
Основные характеристики электромагнитных волн .............................................. 219
Геометрическая оптика ............................................................................................. 224
Интерференция света................................................................................................. 231
Дифракция света ........................................................................................................ 240
Взаимодействие света с веществом ......................................................................... 249
Поляризация света ..................................................................................................... 254
Раздел 8 ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ...................................................... 263
8.1 Квантовая природа излучения .................................................................................. 263
8.1.1 Тепловое излучение.............................................................................................. 263
8.1.2 Фотоэффект .......................................................................................................... 268
8.1.3 Эффект Комптона ................................................................................................ 271
8.1.4 Давление света ..................................................................................................... 272
8.2 Волновые свойства микрочастиц ............................................................................. 273
8.2.1 Длина волны де Бройля....................................................................................... 273
8.2.2 Волновая функция. Уравнение Шредингера .................................................... 275
8.2.3 Принцип неопределенностей Гейзенберга........................................................ 278
Раздел 9 ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ ................................................................. 280
9.1
9.2
9.3
9.4
Строение атома .......................................................................................................... 280
Рентгеновское излучение .......................................................................................... 285
Люминесценция ......................................................................................................... 289
Лазер ............................................................................................................................ 293
Раздел 10 ЭЛЕМЕНТЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ ................................................................. 297
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое числа................. 297
Дефект массы и энергия связи ядра ....................................................................... 298
Ядерные силы. Модели ядра ................................................................................... 299
Радиоактивность ...................................................................................................... 301
Закон радиоактивного распада ............................................................................... 306
Ядерные реакции синтеза и деления ...................................................................... 307
Литература ............................................................................................................................ 313
Содержание ........................................................................................................................... 315
318
Учебное издание
БОДУНОВ Евгений Николаевич
НИКИТЧЕНКО Валерий Иванович
ПЕТУХОВ Александр Михайлович
БАЗОВЫЙ КУРС ФИЗИКИ
Механика, молекулярная физика, электростатика,
постоянный электрический ток, магнетизм, волновая оптика,
элементы квантовой механики, атомной и ядерной физики
Учебник
Редактор и корректор Э. А. Горелик
Компьютерная верстка А. Л. Рядковой
План 2019 г., № 48.
Подписано в печать с оригинал-макета 04.02.2020
Формат 60×841/16. Бумага для множ. апп. Печать офсетная.
Уч.-изд. л. 21. Тираж 150 экз. Заказ
.
ФГБОУ ВО ПГУПС. 190031, СПб., Московский пр., 9.
Типография ФГБОУ ВО ПГУПС. 190031, СПб., Московский пр., 9.
319