Bab 6
GAYA GESER DAN MOMEN TEKUK
Tinjauan Instruksional Khusus:
Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep dasar momen tekuk dalam
kaitanya dengan bentuk konstruksi dan bentuk pembebanan; memahami konsep gaya
internal, tahanan momen serta hubungan antara intensitas beban, gaya geser dan momen
tekuk.
Definisi balok (beam)
Suatu batang yang dikenai gaya-gaya atau pasangan gaya-gaya
serta momen (couple) yang terletak pada suatu bidang yang mempunyai sumbu
longitudinal disebut balok (beam). Gaya-gaya disini bekerja tegaklurus terhadap sumbu
horisontal.
Balok konsole (cantilever)
Jika suatu balok disangga atau dijepit hanya pada salah satu
ujungnya sedemikian sehingga sumbu balok tidak dapat berputar pada titik tersebut, maka
balok tersebut disebut balok gantung, balok kantilever (cantilever beam). Tipe balok ini
antara lain ditunjukkan pada Gb. 6-1. Ujung kiri balok adalah bebas terhadap tekukan dan
pada ujung kanan dijepit. Reaksi dinding penyangga pada ujung kanan balok terdiri atas
gaya vertikal sebesar gaya dan pasangan gaya-gaya yang bekerja pada bidang balok.
P
W N/m
Gb. 6-1
Balok sederhana
Suatu balok yang disangga secara bebas pada kedua ujungnya
disebut balok sederhana. Istilah “disangga secara bebas” menyatakan secara tidak
langsung bahwa ujung penyangga hanya mampu menahan gaya-gaya pada batang dan
tidak mampu menghasilkan momen. Dengan demikian tidak ada tahanan terhadap rotasi
pada ujung batang jika batang mengalami tekukan karena pembebanan. Batang
sederhana diilustrasikan pada Gb. 6-2.
P
W N/m
M
(a)
(b)
31
Gb. 6-2
Perlu diperhatikan bahwa sedikitnya satu dari penyangga harus
mampu menahan pergerakan horisontal sedemikian sehingga tidak ada gaya yang muncul
pada arah sumbu balok.
Balok pada Gb. 6-2(a) dikatakan dikenai gaya terkonsentrasi atau
gaya tunggal; sedang batang pada Gb. 6-2(b) dibebani pasangan beban terdistribusi
seragam.
Balok menggantung
Suatu balok disangga secara bebas pada dua titik dan
menggantung di salah satu ujungnya disebut balok menggantung (overhanging beam).
Dua contoh ditunjukan pada Gb. 6-3.
P1
P2
P3
W
P
Gb. 6-3
Balok statis tertentu
Semua balok-balok yang kita diskusikan diatas, kantilever, balok
sederhana, balok menggantung, adalah balok dimana reaksi-reaksi gayanya dapat
ditentukan dengan menggunakan persamaan kesetimbangan statis. Nilai reaksi-reaksi ini
tidak tergantung pada perubahan bentuk atau deformasi yang terjadi pada balok.
Balok-balok demikian disebut balok statis tertentu.
Balok statis tak-tertentu
Jika jumlah reaksi yang terjadi pada balok melebihi jumlah
persamaan kesetimbangan statis, maka persamaan statis harus ditambah dengan suatu
persamaan sebagai fungsi deformasi balok. Pada kasus demikian balok dikatakan statis
tak-tertentu. Contoh-contohnya ditunjukkan pada Gb. 6-4.
P
W
(a)
(b)
P1
P2
(c)
Gb. 6-4
Tipe pembebanan
Beban biasanya dikenakan pada balok dalam bentuk gaya
32
terkonsentrasi (bekerja pada satu titik), dan beban terdistribusi seragam dimana besarnya
dinyatakan sebagai gaya per satuan panjang, atau beban bervariasi seragam. Tipe beban
yang terakhir ini diilustrasikan pada Gb. 6-5.
Balok dapat juga dibebani dengan couple atau momen; besarnya
biasanya dinyatakan sebagai Newton-meter (N.m).
W0
Gb. 6-5
Gaya internal dan momen pada balok
Ketika balok dibebani dengan gaya atau momen, tegangan internal
terjadi pada batang. Secara umum, terjadi tegangan normal dan tegangan geser. Untuk
menentukan besarnya tegangan-tegangan ini pada suatu bagian atau titik pada balok,
perlu diketahui resultan gaya dan momen yang bekerja pada bagian atau titik tersebut. Ini
dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan-persamaan kesetimbangan.
Contoh 1.
Misalkan beberapa gaya bekerja pada balok seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6(a).
P1
A
P2
B
C
P3
P4
D
x
a
A
b
P1
R1
R2
(a)
R1
M
D
V
x
x
P2
(b)
Gb. 6-6
Pertama kita amati tegangan internal sepanjang bidang D, yang
lerletak pada jarak x dari ujung kiri balok. Untuk itu balok dipotong pada D dan porsi balok
disebelah kanan D dipindahkan. Porsi yang dipindahkan kemudian digantikan dengan
suatu efek untuk bagian sebelah kiri D yaitu berupa gaya geser vertikal V bersama-sama
dengan suatu momen M seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6(b).
Gaya V dan momen M menahan balok sebelah kiri yang
mempunyai gaya-gaya R1, P1, dan P2 tetap dalam kesetimbangannya. Nilai-nilai V dan M
adalah positip jika posisinya seperti pada Gb. diatas.
Tahanan momen
Momen M yang ditunjukkan pada Gb. 6-6(b) disebut tahanan
momen (resisting moment) pada bagian D. Besarnya M dapat diperoleh dengan
menggunakan persamaan statis yang menyatakan bahwa jumlah seluruh gaya terhadap
33
poros yang melalui D dan tegak lurus bidang adalah nol. Jadi,
M
0
 M  R1 x  P1 ( x  a)  P2 ( x  b)  0
atau
M  R1 x  P1 ( x  a)  P2 ( x  b)
Dengan demikian tahanan momen M adalah momen pada titik D yang dibuat dengan
momen-momen reaksi pada A dan gaya-gaya P1 dan P2. Momen tahanan M merupakan
resultan momen karena tekanan yang didistribusikan pada bagian vertikal pada D.
Tegangan-tegangan ini bekerja pada arah horisontal dan merupakan suatu tarikan pada
bagian-bagian
tertentu
pada
penampang
melintang
dan
suatu
tekanan
pada
bagian-bagian lainnya. Sifat-sifat ini akan didiskusikan di bab 8.
Tahanan geser
Gaya vertikal V yang ditunjukkan pada Gb. 6-6(b) disebut tahanan
geser (resisting shear) untuk D. Untuk kesetimbangan gaya pada arah vertikal,
F
v
 R1  P1  P2  V  0
atau
V  R1  P1  P2
Gaya V ini sebenarnya merupakan resultan tegangan geser yang didistribusikan pada
bagian verikal D. Sifat-sifat tegangan ini lebih lanjut akan didiskusikan di bab 8.
Momen tekuk
Jumlah aljabar momen-momen gaya luar pada satu sisi bagian D
terhadap suatu sumbu yang melalui D disebut momen tekuk (bending moment) pada D.
Untuk pembebanan seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6, momen tekuk dinyatakan dengan:
R1 x  P1 ( x  a)  P2 ( x  b)
Jadi momen tekuk merupakan kebalikan (arah) dari tahanan momen dengan besaran yang
sama. Momen tekuk juga dinotasikan dengan M. Momen tekuk lebih lazim digunakan
daripada tahanan momen dalam perhitungan karena momen ini dapat dinyatakan secara
langsung dari beban atau gaya-gaya eksternalnya.
Gaya geser
Jumlah aljabar seluruh gaya vertikal disebelah kiri titik D disebut
gaya geser (shearing force) pada titik tersebut. Untuk pembebanan diatas dinyatakan
dengan R1  P1  P2 . Gaya geser adalah berlawanan arah dengan tahanan geser tetapi
besarnya sama. Biasanya dinyatakan dengan V. Dalam perhitungan gaya geser lebih
sering digunakan daripada tahanan geser.
Konvensi tanda
Konvensi atau kesepakatan pemberian tanda untuk gaya geser
dan momen tekuk ditunjukkan pada Gb. 6-7. Suatu gaya yang menyebabkan balok
tertekuk dalam posisi cekung disebut menghasilkan momen tekuk positip. Suatu gaya
34
yang menyebabkan pergeseran porsi batang sebelah kiri naik terhadap porsi batang
sebelah kanan dikatakan menghasilkan gaya geser positip.
Momen tekuk positip
Momen tekuk negatip
Gaya geser positip
Gaya geser negatip
Gb. 6-7
Metode yang lebih mudah untuk menentukan tanda aljabar dari
momen tekuk pada sembarang titik adalah: gaya luar menuju keatas menghasilkan
momen tekuk positip, gaya kebawah menghasulkan momen tekuk negatip.
Persamaan pergeseran dan momen
Untuk
mempermudah
analisa
biasanya
digunakan
sistem
koordinat disepanjang balok dengan origin di salah satu ujung balok. Dengan sistem
koordinat ini maka akan dapat diketahui gaya geser dan momen tekuk pada seluruh
bagian disepanjang balok, dan untuk tujuan ini maka biasanya dibuat dua buah
persamaan, satu menyatakan gaya geser V sebagai fungsi jarak, misal x, dari salah satu
ujung balok, dan satu lagi menyatakan momen tekuk M sebagai fungsi x.
Diagram gaya geser dan momen tekuk
Plot untuk persamaan gaya geser V dan momen tekuk M
masing-masing disebut diagram gaya geser dan diagram momen tekuk. Pada diagram ini
absis (horisontal) menyatakan posisi bagian disepanjang balok dan ordinat (vertikal)
menyatakan nilai dari gaya geser dan momen tekuk. Dengan demikian, diagram ini
menyatakan secara grafis variasi gaya geser dan momen tekuk pada sembarang titik dari
batang. Dari plot-plot ini maka akan sangat mudah untuk menentukan nilai maksimum
setiap kuantitasnya.
Hubungan antara intensitas beban, gaya geser, dan momen tekuk
Suatu balok sederhana dengan beban bervariasi yang dinyatakan
dengan w(x) diilustrasikan seperti pada Gb. 6-8. Sistem koordinat dengan origin diujung
kiri (A) dan variasi jaraknya dinyatakan dengan variabel x.
w(x)
x
35
x
dx
Gb. 6-8
Untuk suatu nilai x, hubungan antara beban w(x) dan gaya geser V adalah
w
dV
dx
dan hubungan antara gaya geser dengan momen tekuk M adalah
V 
dM
dx
Hubungan-hubungan ini akan dijabarkan dalam contoh 2.
Fungsi singularitas
Untuk mempermudah penanganan problem yang melibatkan beban dan momen
terkonsentrasi secara bersamaan, maka diperkenalkan fungsi sebagai berikut:
f n ( x)  ( x  a ) n
dimana untuk n > 0. Kuantitas didalam kurung akan bernilai nol jika x < a dan bernilai (x-a)n
jika x > a. Ini merupakan fungsi singularitas atau fungsi separoh selang. Dengan demikian
jiga argumennya positip maka nilai didalam kurung berlaku sebagaimana pernyataan
biasa. Contoh aplikasinya akan kita diskusikan dalam contoh 3.
Contoh 2.
Jabarkan hubungan antara intensitas beban, gaya geser dan momen tekuk untuk suatu titik pada
balok.
Kita misalkan suatu balok dikenai pembebanan seperti pada
gambar (a). Kita isolasikan suatu elemen balok sepanjang dx dan menggambarkan
diagram gaya-gaya yang bekerja pada elemen tersebut. Gaya geser V bekerja pada sisi
kiri elemen dan untuk elemen sepanjang dx tersebut besarnya berubah menjadi V + dV.
Demikian juga momen tekuk M yang bekerja pada sisi kiri elemen berubah secara
bertahap menjadi M + dM di sisi kanan. Karena dx adalah sangat kecil, beban diatas
elemen tersebut dapat dianggap seragam yaitu sama dengan w N/m. Diagram gaya-gaya
ini diilustrasikan pada gambar (b). Untuk kesetimbangan momennya, kita peroleh
w N/m
w(x)
x
x
dx
o
 M  (M  dM )  Vdx  wdx(dx / 2)  0
O.
M
M+dM
dx
(a)
M
V+dV
V
(b)
atau
dM  Vdx  12 w(dx) 2
Karena term terakhir berisi produk dua diferensial, maka term tersebut diabaikan untuk
diperbandingkan dengan bentuk lain yang hanya melibatkan satu diferensial. Dengan
demikian,
36
dM  Vdx
V
atau
dM
dx
Jadi gaya geser adalah sama dengan laju perubahan momen tekuk terhadap x.
Persamaan ini sangat bermanfaat dalam penggambaran diagram
gaya geser dan momen tekuk khususnya untuk pembebanan yang sangat rumit. Misalnya,
dari persamaan ini diperoleh bukti bahwa bila gaya geser adalah positip pada suatu bagian
balok maka slope atau kemiringan momen tekuknya pada bagian atau titik itu juga positip.
Juga, dapat dibuktikan bahwa perubahan yang tiba-tiba pada gaya geser juga diikuti oleh
perubahan yang tiba-tiba pada kemiringan diagram momen tekuknya.
Selanjutnya, pada titik-titik dimana gaya gesernya nol, maka
kemiringan diagram momennya juga nol. Pada titik-titik ini, dimana diagram momennya
adalah horisontal, besarnya momen bisa merupakan nilai maksimum atau minimum. Ini
mengikuti teknik kalkulus dalam penentuan titik maksimum atau minimum suatu kurva
dengan memberikan nilai nol pada turunan pertama fungsi kurva. .
Untuk menentukan arah kecekungan kurva pada suatu titik, kita
dapat membuat turunan kedua dari M terhadap x, yaitu d2M/dx2. Apabila nilai turunan
kedua ini positip maka diagram momennya cekung keatas dan momennya menunjukkan
nilai minimum. Bila turunan kedua adalah negatip, maka diagram momen adalah cekung
kebawah (cembung), dan momennya memiliki nilai maksimum.
Untuk persamaan kesetimbangan vertikal pada elemen, kita
peroleh
atau w  dV
wdx  V  (V  dV )  0
dx
Formula ini bermanfaat untuk pembuatan diagram gaya.
Contoh 3.
Suatu balok kantilever dikenai pembebanan beban terkonsentrasi pada ujungnya dan beban
terdistribusi pada separoh kanan panjang balok, seperti terlihat pada gambar (a). Dengan
menggunakan fungsi singularitas, tulislah persamaan-persamaan gaya geser dan momen tekuk
pada sembarang titik pada balok dan gambarkan diagram gaya dan momennya.
w / unit panjang
P
w / unit panjang
P
B
M1
B
O
V1
L/2
L/2
x
(a)
(b)
Diagram gaya-gaya ditunjukkan pada gambar (b). Dari gambar ini
kita peroleh persamaan kesetimbangan statis:
V1  P 
wL
2
M 1  PL 
wL2
8
meskipun untuk kasus kantilever ini sebenarnya kita tidak perlu menuliskan
persamaan-persamaan gaya geser dan momen tekuknya.
Berdasarkan sistem koordinatnya, dengan origin O, beban
terkonsentrasi P dan beban terdistribusi menghasilkan gaya geser negatip berdasarkan
konvensi tandanya. Dengan demikian kita dapatkan:
L

V   P( x) 0  w x  
2

1
yang mengindikasikan gaya geser pada setiap posisi x .
37
Secara sama, momen tekuk pada setiap posisi x adalah
M   P( x) 1 
w
L
x 
2
2
2
Dengan demikian, diagram gaya geser dan momen tekuknya adalah seperti ditunjukkan
pada gambar (c) dan (d) dibawah ini.
w / unit panjang
P
B
L/2
L/2
(a)
Gaya geser
P
woL/2
(c)
Momen tekuk
PL/2
PL+woL2/8
(d)
38