Ingenierı́a Comercial
3.
Universidad Federico Santa Maria
Modelo de Markowitz
3.1.
Comentes
1. Los inversionistas muy adversos al riesgo siempre invertirán en activos cuyos retornos esperados sean muy
positivos. Comente.
Respuesta
Falso. Primero que nada hay que recordar que el concepto de Riesgo con el que estamos trabajando está
asociado a niveles de varianza y no al signo que pueda tomar la rentabilidad. Luego, los inversionistas más
adversos al riesgo no buscaran los portafolios que posean el retorno esperado mayor, sino aquellos portafolios
que concorde con sus preferencias. Intuitivamente uno podrı́a pensar que los individuos muy adversos al riesgo
preferirán portafolios de baja varianza y por ende, bajos niveles de retorno. Todo depende de la función de
utilidad de los individuos.
2. Un portafolio solo puede contener porcentajes positivos de acciones. Comente
Respuesta
Primero que nada, un portafolio se puede conformar tanto por acciones como por otros tipos de activos,
tales como Bonos, Opciones, Futuros, Swaps, etc. Luego, en la realidad uno puede tanto adquirir como emitir
activos, por lo que dentro del portafolio pueden existir porcentajes incluso negativos de activos, como por
ejemplo cuando el inversionista adquiere un préstamo para invertir. Otro ejemplo, es cuando se recurre a la
venta corta de activos.
3. En el modelo de Markowitz, el portafolio óptimo para el inversionista siempre se encontrara en la frontera
eficiente. Comente.
Respuesta
Falso. Dependiendo del nivel de riesgo que esté dispuesto a aceptar el inversionista, el portafolio óptimo para el
inversionista se encontrara en la CAL (LMC); una combinación entre el portafolio eficiente del mercado (Aquél
que maximiza el ratio de Sharpe) y el activo libre de riesgo.
4. ¿Cuál es la importancia de las curvas de indiferencia y la función de utilidad en el contexto del modelo
de markowitz?
Respuesta
La funcion de utilidad nos informa sobre las preferencias personales en cuanto al nivel de riesgo y al nivel del
retorno. En el modelo de markowitz, sera el mapa de las curvas de indiferencia asociadas a cada individuo
las que definiran que portafolio sobre la CAL (combinacion entre el portafolio de mercado y el activo libre de
riesgo) sera el portafolio optimo para el inversionista (aquel donde se maximiza su utilidad, punto tangente
entre la curva de indiferencia y la CAL).
5. Todos los inversionistas, según el modelo de Markowitz, escogerán invertir en el portafolio tangente entre
la lı́nea de mercado de capitales y la frontera de posibilidades de inversión. Comente.
Respuesta
Falso. El inversionista escogerá aquel portafolio sobre la CAL (Lı́nea de Mercado de Capitales) el cual maximice
su utilidad. Por consiguiente su decisión dependerá de su función de utilidad y de su aversión al riesgo.
38
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6. En el mercado de las AFP’s existe una oferta de empresas muy variado, con planes con rentabilidad distinta
entre las distintas instituciones. ¿Cuál es la intuición del que puedan existir en el mercado planes con
distintos niveles de rentabilidad y no solo subsista aquel plan con la mayor rentabilidad?
Respuesta
En el sistema de pensiones chileno, donde todos los ciudadanos se ven enfrentados a una decision de ahorro
no voluntario, existen multiples tipos de fondos los cuales no solo tienen distintos niveles de retorno asociados,
si no tambien niveles de riesgo distintos. Algunos fondos se dividen en categorias segun el nivel de riesgo
asociado, entonces los individuos eligiran en que fondo “invertir” segun sus preferencias y aversion al riesgo (es
importante señalar el supuesto de que no existen asimetrias de informacion). Adicionalmente, existe una logica
de competencia a traves de la diversificacion de productos entre las distintas AFP’s para captar clientes.
7. No es relevante analizar la normalidad de los retornos, ya que basta con analizar su desviación estándar
para entender la volatilidad y por ende el riesgo asociado a invertir en dicho activo. Comente.
Respuesta
Falso. La volatilidad solo será una buena medida del riesgo asociado al activo si los retornos de estos son
normales. Por ejemplo, activos con igual volatilidad pero con distinta simetria representarán riesgos distintos
para los inversionistas. Otro ejemplo es cuando los retornos son mesokurticos, donde la media deja de ser un
buen estimador del valor esperado y el riesgo es mayor (manteniendo aún la volatilidad constante).
8. ¿Qué debiera suceder si los inversionistas perciben mayor volatilidad en el mercado? En su análisis
refiérase a cambios en las preferencias de “asset allocation†de los inversionistas (posición sobre el
CAL), y el probable efecto de estos cambios en los precios de los activos que conforman el portafolio
riesgoso.
Respuesta
Sin cambios en la aversión al riesgo de los inversionistas, un aumento en la volatilidad (riesgo) debiera impulsar
a los inversionistas a buscar una posición menos riesgosa, moviéndose sobre el CAL en dirección hacia la tasa
libre de riesgo. Ese movimiento implica vender el portafolio riesgoso para “comprar†más de rf, con lo que
esa presión de venta debiera hacer bajar los precios de los activos que componen el portafolio riesgoso.
9. “¡Olvı́dense de toda esta teorı́a financiera! Acabo de calcular las correlaciones para todos los activos del
mercado (¡cosa que me costó mucho trabajo!), y no encontré una sola que fuera negativa. Como no hay
activos con correlación negativa, no puedo reducir el riesgo de mi portafolio por medio de la diversificación.
”Comente.
Falso. Si bien para coeficientes de correlacion negativa se puede obtener un mayor beneficio de la diversificacion, tambien se puede reducir el riesgo idiosincratico del portafolio para coeficientes menores de 1.
Esto se ve en que para cualquier medida de correlacion menor a 1 la desviacion estandar del portafolio
sera menor que la ponderacion lineal de las desviaciones individuales:
x
a
+ (1
x)
b
q
x2
2
a
+ 2x(1
x)⇢
a b
+ (1
x)2
2
b
10. En el contexto del modelo de Markowitz, los inversionistas más adversos al riesgo siempre se encontraran
peor que aquellos más arriesgados. Comente.
Respuesta
Matematicamente, manteniendo la funcion de utilidad vista en clases, los individuos con mayor aversion tenian
un valor numerico de utilidad menor que los menos aversos. Ahora bien, lo relevante aqui es que no se pueden
comparar las utilidades numericas de individuos distintos, por lo que hablar que efectivamente que estan peor
que aquellos menos aversos es incorrecto.
39
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11. Suponga que las expectativas sobre el ı́ndice de mercado S&P500 y la tasa sobre los T-bill son las mismas
de 1999, pero usted encuentra que hoy en dı́a hay una proporción mayor invertida en los T-Bills que en
1999. ¿Qué puede usted concluir sobre el cambio en la tolerancia al riesgo desde 1999?
Respuesta
Si todos los parametros se mantienen constantes, la única razón por la cual un inversionista reduciria la
proporcion del activo riesgoso es un aumento en la aversion al riesgo. Ahora bien, esta no era la única posibilidad,
ya que tambien puede estar ocurriendo que el S&P 500 no sea un buen proxy del portafolio riesgoso optimo del
mercado o que se espere que el retorno real de los T-Bills sea mayor.
12. Un analista del Mercurio señala: “El mercado bursatil chileno esta llenos de incompetentes, ya que al
revisar la composición de los portafolios más frecuentes se encuentran acciones cuyo Sharpe es mucho
menor al resto del mercado”. Expliquele al analista porque este es un comportamiento racional según la
teorı́a de portafolios.
Respuesta
Lo que debe estar ocurriendo es que las covarianzas de dichos activos permiten diversificar mejor el riesgo y
optar a primar por riesgo mayores en el mercado. Al analizar oportunidades de inversion es importante no solo
considerar su varianza sola si no también las covarianzas posibles de esta con el resto del portafolio.
13. Un periódico Argentino indica en un artı́culo: “Chile se ha vuelto la pesadilla de los inversionistas. A pesar
de haber crecido en todos sus ı́ndices económicos y sociales, el retorno promedio anual de las inversiones
extranjeras en dicho paı́s rentaron un 2 % menos que el año anterior.” ¿Se puede argumentar dado esto
que Chile es una “Inversión” más riesgosa?
Respuesta
Considerando las inversiones en Chile como un portafolio de proyectos, donde el riesgo de estos dependen de
las variables macroeconomicas relevantes, el que mejore la condicion interna del pais con respecto al exterior
hace que se vuelva una alternativa de inversion menos riesgosa. Por esto mismo, ya que el riesgo es menor, la
rentabilidad que aceptaran los inversionistas para estar dispuestos a invertir aqui será menor.
14. Un analista de inversiones le da la siguiente recomendación: “te aconsejo que mantengas tu portafolio
de inversiones con el número de acciones actual, si sigues invirtiendo en otras compañı́as, el nivel de riesgo
de tu cartera se irá a las nubesâ€. ¿Que le responderı́a usted como destacado alumno de Finanzas?
Respuesta
Usted le deberı́a replicar al analista que se encuentra equivocado, ya que la estrategı́a de inversión es acorde con
un proceso de diversificación de riesgo, en el cual, en un portafolio que se invierte solo en acciones, una mayor
diversificación de compañı́as, estará asociado con un menor nivel de riesgo. Esto ya que el riesgo de una cartera de acciones está compuesto por el riesgo idiosincrático y el riesgo sistemático (el cual se puede llevar a cero).
Riesgo del portafolio será
2
p
=
2
P
2
m
+
2
(ep )
Lo cual es la suma del riesgo de mercado por su sensibilidad respecto a fluctuaciones de este, más el riesgo
especifico de la compañı́a. Luego el riesgo especı́fico del portafolio puede expresarse como:
2
A medida que n aumenta
2
(ep ) =
n
X
12
1
(ei ) =
n
n
i=1
2
(e)
(ep ) se va haciendo cada vez más pequeño
40
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15. Un inversor aversio al riesgo que se preocupe solamente de la media y la varianza de su inversión nunca
invertirá en un activo si existe otro que tenga una media mayor y una varianza menor.
Respuesta
FALSO. A priori, al existir un segundo activo con menor varianza y mayor retorno quiere decir que el primer
activo se encuentra por debajo de la frontera eficiente ya que a pesar de que tiene mayor riesgo (mayor varianza)
te entrega un menor retorno. Luego, es importante en este punto considerar la interaccion entre ambos activos
ya que, si bien el segundo puede ser un activo que se encuentre por debajo de la frontera eficiente ayude al
inversionista a diversificar el resigo total.
16. Siempre es posible combinar dos activos con riesgo de manera que el riesgo se elimine.
Respuesta
FALSO. Solo si la correlacion entre ambos activos igual a -1 se podra eliminar por completo. Cabe recordar
que para cualquier valor de correlacion distinto de 1 se puede obtener algun beneficio de la diversificacion.
17. Explique qué se entiende por Propiedad de Separación en el problema de elección de carteras.
Respuesta
En el contexto del Modelo de Markowitz, las preferencias de inversion de todos los agentes pueden ser satisfechas
tan solo con el portafolio tangente (o un indice/replica de este) y el activo libre de riesgo. Esto se debe a que
en la selección del portafolio tangente no intervienen las preferencias del individuo sino que rige un tema de
eficiencia, por lo que este debiese ser el mismo para todos los agentes. Lo que sı́ dependerá de las preferencias
del individuo será la composicion de su portafolio óptimo entre este portafolio y el activo libre de riesgo.
18. En el contexto del modelo de Markowitz, una accion sobrevalorada se encontrará siempre por sobre la
CAL, ya que esta entrega un retorno mayor al resto del mercado. Comente.
Respuesta
Falso. No pueden existir acciones por sobre la CAL en el contexto del modelo de markowitz. Una accion
sobrevalorada es aquella que entrega un retorno menor al resto del mercado, es decir, que se encuentre por
debajo de la SML.
41
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3.2.
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Matematicos
1. Existen 16 portfolios independientes transandose en bolsa. Usted sabe que algunos de ellos se encuentran
por debajo de la frontera eficiente del Modelo de Markowitz, y adicionalmente, uno de estos portafolios
corresponde al portafolio de mercado de la CAL (LMC). Los portafolios son los entregados en la tabla
siguiente.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
E(r)
6,0 %
1,5 %
5,0 %
3,5 %
1,5 %
3,5 %
2,5 %
6,5 %
2,5 %
5,0 %
1,0 %
6,5 %
7,0 %
3,0 %
5,5 %
3,0 %
i
1,4
0,6
1,2
0,8
0,5
1,0
0,6
1,4
0,7
1,0
0,7
1,5
1,5
0,8
1,2
0,7
a) Construya la frontera Eficiente (Es importante distinguir que portafolios pertenecen a la frontera y
cuales no.)
Respuesta
La frontera eficiente se compone de los activos D,E,G,H,J,M,O,P. Estos activos cumple con ser los que
mayor nivel de retorno entregan para un nivel de riesgo asociado, o equivalentemente, con poseer el menor
nivel de riesgo asociado a un nivel de retorno.
b) Encuentre el portafolio de mercado y una expresion para la CAL (LMC). Para esto asuma que el
retorno del activo libre de riesgo es 0.
Respuesta
Lo primero que hay que hacer es calcular el ratio de sharpe asociado a los activos que conforman la
frontera eficiente:
D
E
G
H
J
M
O
P
E(r)
3,5 %
1,5 %
2,5 %
6,5 %
5,0 %
7,0 %
5,5 %
3,0 %
i
0,8
0,5
0,6
1,4
1,0
1,5
1,2
0,7
42
SHARPE RATIO
0,04370
0,03000
0,04160
0,04642
0,05000
0,04660
0,04583
0,04285
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Por lo que el portafolio de mercado vendra a ser el portafolio J. Luego, como ya tenemos calculado su
ratio de sharpe simplemente escribimos la expresion de la CAL:
E(ri )
=
rf +
E(rm )
m
E(ri )
=
0, 05 ⇥
43
i
rf
⇥
i
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2. Suponga que los rendimientos esperados de la cartera tangente y del activo libre de riesgo son de 12 % y
5 % respectivamente. Si usted desea obtener una rentabilidad de un 11 %. Derive una expresión para la
volatilidad de su inversión.
Respuesta
Definiendo m como la desviacion estandar del portafolio tangente y wm el porcentaje que se invierte en este,
la desviacion del portafolio señalado será:
2
p
2
p
=
2
wm
=
2 2
wm
m
)
p
2
m
=
wm )2
+ (1
p
2
wm
2
rf
+ 2⇢
m rf wm (1
wm )
2
m
Luego, sabemos ademas que para obtener la rentabilidad exigida basta con despejar el siguiente sistema para
encontrar el ponderador:
E(rp )
=
0, 11
=
)
wm ⇥ E(rm ) + (1
wm ⇥ 0, 12 + (1
wm = 0, 8571
Con lo que la desviacion estandar será:
p
= 0, 8571
44
m
wm ) ⇥ E(rf )
wm ) ⇥ 0, 05
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3. Suponga que los rendimientos esperados de “Falabella” y “Codelco” son de 12 % y 15 % respectivamente.
Por otro lado, la desviación estándar de ambas acciones es 20 %
a) Calcule el rendimiento esperado y la desviación esntándar de un portafolio formado por un 30 % de
Falabella y un 70 % de Codelco, si la correlacion de ambas es 0,4
Respuesta
El retorno esperado sera simplemente el promedio ponderado de ambos activos:
E(rp )
=
E(rp )
=
E(rp )
=
wf alabella ⇥ E(rf alabella ) + wcodelco ⇥ E(rcodelco )
0, 3 ⇥ 0, 12 + 0, 7 ⇥ 0, 15
0, 141
Luego, la desviacion estándar sera:
p
p
p
p
=
=
=
⇠
=
q
wf2 ⇥
p
0, 02992
p
2
f
+ wc2 ⇥
2
c
+ 2 ⇥ wf ⇥ wc ⇥ ⇢f,c ⇥
f
⇥
c
0, 32 ⇥ 0, 22 + 0, 72 ⇥ 0, 22 + 2 ⇥ 0, 4 ⇥ 0, 2 ⇥ 0, 2 ⇥ 0, 3 ⇥ 0, 7
0, 1729
b) Suponga que la correlacion entre ambas acciones es de -1. Contruya una cartera de inversion en
Codelco y Falabella libre de riesgo.
Respuesta
Tenemos que encontrar un portafolio cuya varianza sea igual a cero. Definiendo X como el porcentaje
invertido en el primer activo, tendremos:
2
p
2
p
2
p
2
p
p
=
2
f alabella
(x)2 f2 alabella
(x)2 f2 alabella
=
[(x)
=
(x)
=
=
(x)2
+ (1
+ (1
x)2
2
codelco
2
x)2 codelco
2(x)(1
f alabella
f alabella
(1
x)
(1
x)
+ 2(x)(1
2(x)(1
x)
x)⇢
x)
codelco f alabella (1
2
codelco ]
codelco f alabella
codelco f alabella
2
x)2 codelco
codelco
Por lo tanto:
x
codelco
=
f alabela
x
=
+
codelco
0, 5
Por lo tanto, si la correlacion ⇢ es -1, un activo conformado en un 50 % de Codelco y un 50 % de Falabella
tendra un riesgo asociado igual a cero.
45
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4. En el contexto del modelo de Markowitz, se sabe que el portafolio tangente entre la linea de mercado
de capitales y la frontera eficiente entrega un retorno del 8 %, con una desviación estándar ( m ) de 0,5.
Adicionalmente se sabe que el activo libre de riesgo (rf ) posee un retorno del 3 %.
a) Encuentre la forma funcional de la CAL.
Respuesta
Utilizando la fórmula de la ecuación de la recta, uniendo los puntos (0, rf ) y ( m , E(rm )), y usando que
genericamente x = i y y = E(ri ), la forma funcional de la CAL vendrá dada por:
E(ri )
=
rf +
E(Rm )
rf
i
m
Reemplazando por los valores del enunciado
E(ri )
=
0, 03 + 0, 1
i
Donde 0,1 es el ratio de Sharpe asociado al portafolio de mercado.
b) El retorno de un portafolio compuesto 50 % de activo libre de riesgo y 50 % del portafolio eficiente.
Respuesta
El retorno vendra dado por
E(rp )
=
E(rp )
=
0, 5 · E(rf ) + 0, 5 · E(rm )
0, 5 · 0, 03 + 0, 3 · 0, 08 = 0, 055
Alternativamente
p
=
Lo que para el ejemplo es
p
(w1
p
=
q
p
=
0, 52 = 0, 25
p
=
p
0, 52 ·
2
m
1)
2
+ (w2
+ 0, 52 ·
2)
2
f
2
+ 2w1 w2 ⇢1,2
1 2
+ 2 · 0, 5 · 0, 5 · ⇢ ·
m
·
f
0, 52 · 0, 52 + 0, 52 · 0 + 0
Entonces
E(ri )
=
E(ri )
=
0, 03 + 0, 1 ·
p
0, 055
c) El ratio de Sharpe del portafolio previamente construido.
Respuesta
El ratio de Sharpe del portafolio de la pregunta b es el mismo que el ratio de sharpe del portafolio de
mercado, ya que dicho portafolio se formo como combinación lineal de activos pertenecientes a la LMC.
Por lo tanto
Sp = 0, 1
46
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d ) ¿Cuál es la relación entre el ratio de Sharpe y la CAL?
Respuesta
En el modelo de Markowitz, se busca el portafolio dentro de la frontera eficiente que maximiza el ratio de
Sharpe (Una medida de Retorno por unidad de riesgo), encontrando el portafolio tangente a la frontera
eficiente. La CAL se construye como combinación lineal del activo libre de riesgo y el portafolio tangente,
donde el ratio de Sharpe (maximizado) corresponde a la pendiente.
47
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5. Se tienen los siguientes activos en una economı́a:
A
10 %
E(ri )
B
5%
C
15 %
Donde el portafolio de mercado se compone con las siguientes proporciones:
A
B
C
0, 2
=
M
0, 5
0, 3
M
La matriz de covarianzas COVi,j es la siguiente:
10
-10
12
-10
18
0
12
0
4
Se le pide a usted:
a) El retorno esperado del portafolio de mercado.
Respuesta
El retorno del portafolio de mercado proviene de multiplicar los retornos esperados por accion por los
ponderadores de participacion:
E(rm ) = XR0
[ 0,2
0,5
0,3]
0,10
0,05
0,15
E(rm ) = 0, 09
b) La varianza del portafolio de mercado.
Respuesta
Utilizando las matrices de participacion y la matriz de covarianzas podemos calcular la varianza de manera
matricial:
2
p
[ 0,2
0,5
=X
0,3]
[ 0,6
X0
10
-10
12
7
2
p
48
0
-10
18
0
3,6]
⇠
= 4, 736
0,2
0,5
0,3
12
0
4
0,2
0,5
0,3
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Cov(r ,r
)
p m
c) Encontrar el portafolio beta cero (
= 0). Para esto se sabe previamente que el portafolio
2
m
beta cero posee igual proporción en los activos B y C.
Respuesta
Sabemos a priori que el portafolio beta cero se da cuando:
=
i
cov(ri , rm )
m
)
)
cov(ri , rm )
=0
m
cov(ri , rm ) = 0
Con lo que, definiendo el portafolio (xA xB xC ) generico, podemos remplazar en la expresión encontrada:
[ 0,2
0,5
0,3]
[0,6
10
-10
12
7
-10
18
0
3,6]
12
0
4
xA
xB
xC
xA
xB
xC
) 0, 6xA + 7xB + 3, 6xC = 0
Sabemos ademas que el portafolio beta cero debe cumplir con las siguientes restricciones:
xA + xB + xC = 1
xB = xC
Con lo que podemos construir un sistema de 3 ecuaciones:
0, 6xA + 7xB + 3, 6xC = 0
xA + xB + xC = 1
xB = xC
)
0, 6xA + 10, 6xB = 0
xA + 2xB = 1
Resolvemos el sistema de ecuaciones y obtenemos las proporciones del portafolio beta cero:
X
=0
⇠
=
1,126
-0,063
-0,063
Donde el portafolio beta cero se compone de la venta corta de los activos B y C en un 6 % aproximadamente.
49
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6. Se tienen los siguientes activos en una economı́a:
A
10 %
E(ri )
B
5%
C
15 %
Donde el portafolio de mercado se compone con las siguientes proporciones:
(A B C)m = (50 % 20 % 30 %)m
La matriz de covarianzas COVi,j es la siguiente:
25
12
-18
12
9
6
-18
6
16
Se le pide encontrar:
a) La desviación estándar de cada activo y las correlaciones entre ellas.
Respuesta
Vemos de la matriz de covarianzas las expresiones para la varianzas individuales de cada activo:
A
=
p
A
=
5
B
=
p
B
=
3
C
=
p
C
=
4
25
9
16
Luego, con las desviaciones estandar encontramos las correlaciones viendo las covarianzas en la matriz:
⇢A,B
=
⇢A,B
=
⇢A,C
=
⇢A,C
=
⇢B,C
=
⇢B,C
=
CovA,B
A B
0, 8
CovA,C
A C
0, 9
CovB,C
B
C
0, 5
b) El retorno esperado y la varianza del portafolio de mercado.
Respuesta
El retorno del portafolio de mercado será:
E(rp )
=
Xp R 0
E(rp )
=
0, 5
E(rp )
=
0, 105
50
0, 2
0
1
0, 1
0, 3 @0, 05A
0, 15
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La varianza será:
2
p
=
Xp 0 Xp0
2
p
=
0, 5
0, 2
2
p
=
9, 5
9, 6
2
p
=
5, 77
0
25
12
0, 3 @ 12
9
18 6
0 1
0, 5
3 @0, 2A
0, 3
10 1
18
0, 5
6 A @0, 2A
16
0, 3
c) La covarianza del portafolio de mercado con un portafolio j que se compone de la siguiente manera:
(A B C)j = (40 % 25 % 35 %)j
Respuesta
Reemplazamos en la formula y encontramos la covarianza (note que ya calculamos la primera parte de la
multiplicacion):
COV rp , rj
=
Xp 0 Xj0
COV rp , rj
=
0, 5
0, 2
COV rp , rj
=
9, 5
9, 6
COV rp , rj
=
5, 15
51
0
25
12
0, 3 @ 12
9
18 6
0
1
0, 4
3 @0, 25A
0, 35
10
1
18
0, 4
6 A @0, 25A
16
0, 35
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7. Se tienen los siguientes activos en una economı́a:
A
9%
E(ri )
B
15 %
La matriz de covarianzas COVi,j es la siguiente:
0.0529
0.01104
0.01104
0.1024
Encuentre el portafolio de mı́nima varianza, su retorno y su varianza.
Respuesta
Sabemos que de resolver el lagrangeano minimizando la varianza del portafolio, el portafolio de mı́nima varianza
será:
wb
=
wb
=
2
a
+ b2
0,3142
2
a
Cov(ra , rb )
2Cov(ra , rb )
)
wa = 0,6858
E(rM IN )
=
wa E(ra ) + wb E(rb )
E(rM IN )
=
E(rM IN )
=
0,3142 ⇥ 0,15 + 0,6858 ⇥ 0,09
El retorno y la varianza de este será:
2
M IN
2
M IN
M IN
=
=
=
wa2
2
a
+ wb2
2
b
0,1089
+ 2wa wb cov(ra , rb )
2
0,3142 ⇥ 0,0529 + 0,68582 ⇥ 0,1024 + 2 ⇥ 0,3142 ⇥ 0,6858 ⇥ 0,1024
0,1994
52
Ingenierı́a Comercial
Universidad Federico Santa Maria
8. Considerando lo siguiente:
E(rc )
=
U
=
rf + [E(rP ) rf ]
A 2
E(rc )
c
200
Donde los parametros son rf = 7, E(rP ) = 15, P = 22. (Recuerde: Ya que la correlacion entre el portafolio
riesgoso y el libre de riesgo es 0, la varianza del portafolio será: 2 c = 2 2 p ).
Si el coeficiente de aversion al riesgo de un inversionista es A=3, ¿Cuál es la combinacion optima
de activos?10 ¿Cuanto es E(rc ) y c ?
Respuesta
La proporción optima que el individuo invertira en el activo riesgoso vendra dado por:
E(rp ) rf
2
A p2
200
0, 15 0, 07
0, 01 ⇥ 3 ⇥ 222
55 %
=
=
=
Con lo que podemos encontrar el retorno esperado y la desviacion estandar del portafolio optimo:
E(rc )⇤
=
0, 07 + 0, 55(0, 15
E(rc )⇤
=
0, 114
⇤
c
⇤
c
=
0, 55 ⇥ 22
=
0, 08)
12, 1
Suponga que la tasa que enfrenta los deudores, rfb = 9 %, es mayor que la tasa que enfrentan
los acreedores, rf = 7 %. Muestre gráficamente como la decisión del portafolio optimo de algunos
inversionistas será afectada por la mayor tasa de préstamo rfb . ¿Qué inversionistas no serán afectados
por esta mayor tasa?
Respuesta
Todos los inversionistas con un
menor a 1 son acreedores en vez de deudores, por lo que no son
afectados por la nueva tasa. Dentro de esta categoria, los inversionistas menos aversos al riesgo invertiran
el 100 % de su capital en el activo riesgoso. Por ultimo, aquellos inversionistas con un mayor a 1 si
serán afectados por esta mayor tasa ya que se estan endeudando para poder seguir invirtiendo en el
activo riesgoso. Considerando el punto de infleccion podemos encontrar el nivel de aversion al riesgo que
diferencia que inversionistas serán afectados por esta nueva tasa y quienes no:
=1
=
1
=
)
E(rp ) rf
2
A p2
200
8
4, 84A
A = 1, 65
Entonces, cualquier inversionista con un nivel de aversion al riesgo (A) mayor a 1,65 no será afectado por
la diferencia de tasas. Ahora bien, aquellos menos aversos al riesgo (A ¡1,65) se encontraran peor que en
la situacion inicial ya que la pendiente de la CAL que enfrentan es menor (y por lo tanto sus curvas de
indiferencias cortan más bajo que en la condicion inicial donde la tasas eran las mismas rf = rfb = 7 %).
10 Hay
más de una forma para llegar a la expresion de la combinacion optima, pero la más sencilla es reemplazar la
definición de la Varianza en la función de utilidad y derivar con respecto a
53
Ingenierı́a Comercial
Universidad Federico Santa Maria
9. Suponga una economı́a en donde las acciones de las empresas de guitarras Fender y Gibson son las únicas
acciones existentes. La empresa Fender posee un retorno esperado de 13 % y una volatilidad de 21 %,
mientras la empresa Gibson posee una rentabilidad esperada de 5, 5 % y una volatilidad de 12 %. La
correlación histórica entre estas dos empresas es de 0, 25 y la tasa libre de riesgo es de un 3 %.
a) ¿Qué tipo de individuo comprarı́a la acción de Fender y cual la acción de Gibson?. Explique por
qué esto es importante a la hora de la decisión de crear un portafolio.
Respuesta
Sabemos que la desviación estándar es la medida de riesgo para cada uno de los tı́tulos. En la parte
eficiente de la frontera de posibilidades, un tı́tulo que tiene menor desviación estándar que otro también
tiene un menor retorno esperado. En este caso, la acción de Gibson tiene menos desviación estándar, por
lo que implica menos riesgo, al mismo tiempo que tiene un menor retorno esperado (pero más seguro). Por
otra parte, un individuo con una menor aversión al riesgo preferirı́a la acción de Fender. él está dispuesto
a correr un riesgo mayor con tal de obtener, posiblemente, una mayor rentabilidad. Cabe señalar que esto
no implica que el individuo sea amante del riesgo.
b) Usted quiere un portafolio quel contenga ambas acciones. Para esto, encuentre distintas combinaciones (ponderaciones) entre las acciones de Fender y Gibson y muestre la rentabilidad esperada y la
volatilidad asociada de estas combinaciones. Debe crear al menos 3 portfolios.
Respuesta
Utilizaremos tres ponderaciones distintas, arbitrarias. Llamaremos a a la acción de Fender y b a la acción
de Gibson.
Antes de comenzar, es útil recordad que una buena forma de encontrar la varianza del portafolio es utilizando matrices. La varianza estará dada por
2
P
= w1
w2
0
2
1
⇢1,2
2
2
B ⇢2,1
B
wn B .
@ ..
···
..
.
⇢n,1
⇢n,2
···
···
..
.
···
10 1
⇢1,n
w1
B w2 C
⇢2,n C
CB C
.. C B .. C
. A@ . A
2
n
wn
Donde wi es el porcentaje de participación del activo i en el porfolio.
Para el caso de dos activos, la resolución de la multiplicación de matrices será
2
P
Recordando que ⇢1,2 =
= (w1
cov(r1 ,r2 )
1 2
2
P
1)
2
+ (w2
2)
2
+ 2wa wb cov(r1 , r2 )
, la expresión anterior queda como
= (w1
1)
2
+ (w2
2)
2
+ 2w1 w2 ⇢1,2
1 2
(3)
Entonces, definimos portfolios con distintas ponderaciones y encontramos su retorno esperado y desviacion estandar
1) P1 : a = 80 % y b = 20 %
E(R1 )
=
E(R1 )
=
E(R1 )
=
54
wa · E(Ra ) + wb · E(Rb )
0, 8 · 0, 13 + 0, 2 · 0, 055
0, 115
Ingenierı́a Comercial
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2
P1
2
P1
2
P1
P1
=
=
=
=
(w1
1)
2
+ (w2
2)
2
+ 2w1 w2 ⇢1,2
1 2
2
(0, 8 · 0, 21) + (0, 2 · 0, 12)2 + 2 · 0, 8 · 0, 2 ·
0, 026
0, 25 · 0, 21 · 0, 12
0, 1636
2) P2 : a = 50 % y b = 50 %
2
P2
2
P2
2
P2
P2
=
=
=
=
(w1
1)
E(R2 )
=
E(R2 )
=
E(R2 )
=
2
2)
+ (w2
2
wa · E(Ra ) + wb · E(Rb )
0, 5 · 0, 13 + 0, 5 · 0, 055
0, 0925
+ 2w1 w2 ⇢1,2
1 2
2
(0, 5 · 0, 21) + (0, 5 · 0, 12)2 + 2 · 0, 5 · 0, 5 ·
0, 011475
0, 25 · 0, 21 · 0, 12
0, 1071
3) P3 : a = 20 % y b = 80 %
2
P3
2
P3
2
P3
P3
=
=
=
=
(w1
1)
E(R3 )
=
E(R3 )
=
E(R3 )
=
2
2)
+ (w2
2
2
wa · E(Ra ) + wb · E(Rb )
0, 2 · 0, 13 + 0, 8 · 0, 055
0, 07
+ 2w1 w2 ⇢1,2
1 2
(0, 2 · 0, 21) + (0, 8 · 0, 12)2 + 2 · 0, 2 · 0, 8 ·
0, 00906
0, 25 · 0, 21 · 0, 12
0, 0952
c) Con los portfolios creados en la pregunta b., grafique la frontera eficiente para estas dos acciones.
Respuesta
El gráfico queda como
55
Ingenierı́a Comercial
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d ) Encuentre el portfolio de mı́nima varianza y añádalo al grafico.
Respuesta
Este procedimiento corresponde a minimizar la varianza, derivando e igualando a cero. Como en este caso
tenemos dos activos, podemos expresar la participación de Gibson (b) en términos de Fender (a), de la
forma wb = 1 wa . Entonces tomando la expresión (1)
@ P2
@a
=
(wa
a)
2
+ ((1
wa )
b)
2
+ 2wa (1
wa )⇢a,b
a b
=0
Despejando a llegamos a
a⇤
2
b
2 2
a b
=
⇢a,b a
2⇢a,b
b
a b
Reemplazando con los valores dados, tendremos
wa⇤
=
wa ⇤
⇡
wb ⇤
⇡
0, 122 + 0, 25 · 0, 21 · 0, 12
· 0, 122 + 2 · 0, 25 · 0, 21 · 0, 12
0, 212
0, 29
0, 71
El retorno esperado y la varianza asociada son
Pmin
=
p
Pmin
=
0, 0915
Pmin
=
p
(w1
E(Rmin )
=
E(Rmin )
=
E(Rmin )
=
1)
(0, 29 ·
2
+ (w2
0, 21)2
2)
2
wa · E(Ra ) + wb · E(Rb )
0, 29 · 0, 13 + 0, 71 · 0, 055
0, 0768
+ 2w1 w2 ⇢1,2
1 2
+ (0, 71 · 0, 12)2 + 2 · 0, 29 · 0, 71 ·
Agregando este punto, el gráfico queda como
56
0, 25 · 0, 21 · 0, 12
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e) Encuentre las ponderación necesarias para poder crear un portafolio con 4 % de retorno y otro con
13, 75 %. Encuentre las desviaciones estándar asociadas y agregue dichas combinaciones al grafico de
la parte c. Entregue una intuición de sus resultados.
Respuesta
Primero, tenemos que
E(Rp )
=
0, 04
=
wa · E(Ra ) + (1
wa · 0, 13 + (1
wa ) · E(Rb )
wa ) · 0, 055
Entonces
wa
=
wb
=
0, 2
1, 2
La desviación estándar es
P
=
P
=
p
( 0, 2 · 0, 21)2 + (1, 2 · 0, 12)2 + 2 ·
0, 1597
0, 2 · 1, 2 ·
0, 25 · 0, 21 · 0, 12
Segundo, tenemos que
0, 1375
=
wa · 0, 13 + (1
wa ) · 0, 055
Entonces
wa
=
wb
=
1, 1
0, 1
La desviación estándar es
P
=
p
(1, 1 · 0, 21)2 + ( 0, 1 · 0, 12)2 + 2 · 1, 1 ·
0, 1 ·
0, 25 · 0, 21 · 0, 12
P
Agregando estos puntos, el gráfico queda como
57
= 0, 2349
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Vemos que para obtener el portafolio que exige una rentabilidad del 4 % es necesario hacer venta corta
del activo Fender (a), el cual es el que tiene mayor retorno esperado. Esto hace que dicho portafolio
pertenezca a la parte ineficiente de la frontera de posibilidades, puesto que es posible obtener una mayor
rentabilidad con un menor riesgo asociado.
Por otra parte, para obtener el portafolio que exige una rentabilidad de 13, 75 % debemos hacer venta corta
del activo Gibson (b). Este portafolio pertenece a la parte eficiente de la frontera, puesto que el mayor
retorno esperado está asociado a un mayor riesgo. Al realizar venta corta del activo con menor retorno
esperado (pedir prestado de ese activo, venderlo para comprar del otro y luego devolver el prestamo)
estamos invirtiendo más en el activo más rentable.
f ) Otro inversionista comenta de que el portafolio que maximiza el ratio de Sharpe tiene una ponderación
de 46, 85 % en la acción de Fender y un 53, 15 % en el activo de Gibson. Encuentre la rentabilidad
esperada y la volatilidad de este nuevo portfolio. Por ultimo añada este nuevo punto al grafico creado
en c.
Respuesta
Para este portfolio tenemos que
P
=
P
=
p
E(Rp )
=
E(Rp )
=
0, 4685 · 0, 13 + 0, 5315 · 0, 055
0, 0901
(0, 4685 · 0, 21)2 + (0, 5315 · 0, 12)2 + 2 · 0, 4685 · 0, 5315 ·
0, 103
0, 25 · 0, 21 · 0, 12
g) Dado que tiene el portafolio que maximiza el ratio de Sharpe encuentre la LMC y grafı́quela, recuerde
agregar ventas cortas a las ponderaciones.
Respuesta
La LMC está dada por la ecuación
E(ri ) = rf +
E(Rm )
rf
i
m
Sabemos que el portafolio que maximiza el ratio de Sharpe es el portafolio tangente, por lo que reemplazando por los valores encontrados en la letra f. tenemos que la LMC es
E(ri )
=
E(ri )
=
0, 0901 0, 02
0, 103
0, 03 + 0, 583 i
0, 03 +
58
i
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10. Considere la serie de precios de los últimos 10 dias de las siguientes 3 acciones [Hint: Trabaje con mı́nimo
4 decimales]:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pa
114.1
116.8
120.6
122.1
120.9
122.3
124.6
121.2
116.5
122.3
Pb
48.5
47.3
49.2
44.7
46.9
45.8
47.1
52.9
51.2
53.7
Pc
99.0
102.4
97.3
98.0
102.4
101.7
98.5
101.1
105.2
102.7
a) Calcule el retorno esperado de cada una de estas acciones.
Respuesta
Calculamos los retornos diarios con la formula en logaritmo:
0.0233
0.0320
0.0123
-0.0098
0.0115
0.0186
-0.0276
-0.0395
0.0485
-0.0250
0.0393
-0.0959
0.0480
-0.0237
0.0279
0.1161
-0.0326
0.0476
0.0337
-0.0510
0.0071
0.0439
-0.0068
-0.0319
0.0260
0.0397
-0.0240
0.0077
0.0113
0.004
59
Ingenierı́a Comercial
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b) Complete la matriz de varianzas y covarianzas ⌦ que se le presenta a continuacion:
0
@⇢1,2
⇢1,3
2
1
⇢1,2
2 1
3 1
⇢2,3
2 1
2
2
⇢1,3
⇢2,3
3 2
3 1
1
2 3A
2
3
=
0
0,0008
@ 0,0001
X3
0,0001
X1
X4
1
0,0006
X2 A
0,0012
(4)
Respuesta
Primero X3 sale directamente de la matriz, al ser triangular, y X2 = X4. Entonces, para calcular lo
varianza (X1) y la covarianza (X2)restantes calculamos las diferencias:
r2 E(r2 )
-0.0363
0.0280
-0.1072
0.0367
-0.0350
0.0166
0.1048
-0.0439
0.0363
r3
E(r3 )
0.0296
-0.0551
0.0030
0.0398
-0.0109
-0.0360
0.0219
0.0356
-0.0281
[r2
E(r2 )]2
0.0013
0.0007
0.0114
0.0013
0.0012
0.0002
0.0109
0.0019
0.0013
[r2
E(r2 )][r3 E(r3 )]
-0.0010
-0.0015
-0.0003
0.0014
0.0003
-0.0005
0.0022
-0.0015
-0.0010
Con lo que podremos calcular11 :
PT
t
t=1 [r2
2
2
=
2
2
=
0,0034
Cov2,3
=
Cov2,3
=
PT
E(r2 )]2
T
t
t=1 [r2
E(r2 )][r3t
T
E(r3 )]
0,0002
Entonces, la matriz queda:
0
@⇢1,2
⇢1,3
11 Dar
2
1
⇢1,2
2 1
3 1
⇢2,3
2 1
2
2
3 2
⇢1,3
⇢2,3
3 1
1
2 3A
2
3
=
0
0,0008
@ 0,0001
0,0006
todo el puntaje si utilizan el estimador insesgado de la varianza ˆ 2 =
60
PT
0,0001
0,0034
0,0002
t=1 [r
T
t
E(r)]2
1
1
0,0006
0,0002A
0,0012
Ingenierı́a Comercial
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c) Suponga que su portafolio se compone de 50 unidades de la acción “A”, 150 de la acción “B” y 100
de la accion “C”. Si la tasa libre de riesgo diaria para este periodo fue del 0.2 %, ¿Cuál fue el Sharpe
de su portafolio en este periodo? [Hint: “Todos los caminos llevan a Roma”]
Respuesta
Una alternativa es utilizar la matriz de varianzas y covarianzas calculada anteriormente y encontrar el
Sharpe utilizando los ponderadores w calculados en base al valor del portafolio el dia 1:
wa
=
wa
=
wb
=
wb
=
wc
=
wc
=
E(rp )
=
E(rp )
=
2
p
=
2
p
=
Sp
=
(50pt=1
a
50 ⇥ pt=1
a
+ 150pt=1
+ 100pt=1
)
c
b
24,93 %
(50pt=1
a
150 ⇥ pt=1
b
+ 150pt=1
+ 100pt=1
)
c
b
31,79 %
100 ⇥ pt=1
c
(50pt=1
+ 150pt=1
+ 100pt=1
)
a
c
b
43,26 %
X
[E(ri ) ⇥ wi ]
X
[ i ) ⇥ wi2 ] + 2
0,0073
X
covri , rj wi wj
i6=j
0,0199
E(rp )
rf
p
Sp
=
Sp
=
0,0073 0,0020
0,0199
0,2641
Otra opción es construir directamente la serie del portafolio con el historial de precios individuales y
calcularle a esta serie su retorno promedio y su varianza:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pportaf olio
22880
23175
23140
22610
23320
23155
23145
24105
24025
24440
rpt
0.0128
-0.0015
-0.0231
0.0309
-0.0071
-0.0004
0.0406
-0.0033
0.0171
[rpt
E(rp )]
0.0055
-0.0088
-0.0304
0.0236
-0.0144
-0.0077
0.0333
-0.0106
0.0098
[rpt
E(rp )]2
0.0000
0.0000
0.0009
0.0005
0.0002
0.0000
0.0011
0.0001
0.0000
Con lo que el sharpe del portafolio será12 :
12 Dado
que trabajamos con varianzas sesgadas y que no consideramos todos los decimales en el calculo matricial, el
resultado es levemente distinto al estimado anteriormente
61
Ingenierı́a Comercial
Universidad Federico Santa Maria
Sp
=
E(rp )
rf
p
Sp
=
Sp
=
62
0,0073 0,0020
0,0173
0,3063
Ingenierı́a Comercial
4.
Universidad Federico Santa Maria
Modelos Indice
4.1.
Comentes
1. Hablar de Lı́nea de Mercado de Capitales y Lı́nea de Mercado de Activos es exactamente lo mismo.
Comente.
Respuesta
Falso. La lı́nea de mercado de capitales (CAL) surge del modelo de Markowitz, por lo que modela el retorno
como función de su desviación estándar , mientras que la SML proviene de los modelos ı́ndice, donde el retorno
depende de un nivel de riesgo . Adicionalmente, la CAL proviene del proceso de maximizar el ratio de Sharpe
sujeto a un activo libre de riesgo f , mientras la SML surge de un modelo estadistico.
2. De acuerdo al modelo del Indice, el y la desviacion estandar son medidas de riesgo equivalentes, por
lo que se puede estar indiferente en cual medida utilizar. Comente.
Respuesta
Falso. nos son medidas de riesgo similares, ya que el solo nos muestra una medida del riesgo sistematico,
mientras que la desviacion estandar es una medida mas completa, ya que considera tanto el riesgo sistemico
como el idiosincratico.
3. Utilizar un modelo ı́ndice para verificar la validez del CAPM tiene el siguiente problema: si el intercepto
de la ecuación de regresión da significativamente distinto de cero, se puede rechazar la validez del CAPM
o puede ser que no se ha escogido el ı́ndice de mercado adecuadamente. Comente.
Respuesta
Efectivamente, si el intercepto es significativamente distinto a 0 y persistente en el tiempo, el CAPM pierde
validez. Cabe recordar que el CAPM exige que el indice utilizado corresponda al portafolio de mercado, ningún
otro. Utilizar indices bursatiles como el S&P500 o el IPSA son solo aproximaciones, por lo la validez de este
“test” depende de que tan cercano sea este indice el portafolio teórico de mercado.
4. Si el retorno de una accion se encuentra por debajo de la SML, entonces, dicha accion se encuentra
subvalorada.
Respuesta
Falso. Si la accion posee un retorno menor que la SML para un nivel dado de riesgo, significa que esta retornando
menos de lo que espera el mercado, por lo tanto se encuentra sobre valorada ya que se esta vendiendo a un
precio mayor al correspondiente al de mercado.
5. A mayor numero de acciones en un portafolio, mayor es el riesgo asociado a este. Comente.
Respuesta
Falso. A mayor numero de acciones, el riesgo asociado al portafolio debiese ser menor. Esto debido al proceso
de diversificación, donde al agregar distintos activos a mi portafolio, el nivel de riesgo idiosincrático asociado a
este se reduce (recordar que el riesgo se compone por riesgo sistémico e idiosincrático).
2
p
2
i
2
= i2 m
+ e2i
2 2
= p m + n1 ¯2 ei
63
Ingenierı́a Comercial
Universidad Federico Santa Maria
6. Los modelos ı́ndices a diferencia del modelo de Markowitz, cuentan con la ventaja de diversificación total
del riesgo (“Insurance Principle”) a medida que aumenta el número de acciones en el portafolio, pero con
la desventaja de que el cálculo de este riesgo es mucho más tedioso. Comente.
Respuesta
Falso. En el modelo de markowitz se puede dar la diversificacion total del riesgo. Utilizando la definicion de
varianza, bajo el supuesto de pesos relativos constantes y de que ⇢ se mueve en el intervalo [-1, 1]:
2
p
=
2
p
=
n
1 X
n2 i=1
2
i
+
n X
n
X
1
COV ri , rj
2
n
j=1 i=1
1 ¯2 n 1
+
⇢
n
n
2
Lo que al aplicar limite, cuando n tiende a infinito:
lı́m
n!1
2
p
=0
Mientras que para los modelos indices, el riesgo se define:
2
2
p
=
2 2
p m
+
2
p
=
2 2
p m
+
n
1X
n i=1
2
ei
1 ¯2
e
n
Lo que al aplicar limite, cuando n tiende a infinito:
lı́m
n!1
2
p
=
2 2
p m
Que corresponde al riesgo sistemico del portafolio. Entonces, en el modelo de markowitz si se puede diversificar
todo el riesgo, pero de manera más tediosa, mientras que en los modelos indices solo se puede diversificar el
riesgo idiosincratico.
7. Uno de los supuestos del CAPM es que somos tomadores de precios. Comente
Respuesta
Depende del tamaño de las transacciones relativo al tamaño del mercado en que se realizan las transacciones.
Un administrador de fondos grandes, como por ejemplo una AFP, operando en un mercado pequeño como el
Chileno si puede mover los precios con sus operaciones.
8. Bajo el contexto de CAPM, considere 2 portafolios con beta igual a 1 y perfectamente diversificados, donde
uno de ellos tiene un promedio de los valores absolutos de los riesgos especı́ficos de cada activo mayor que
el otro. ¿Qué relación debieran tener los retornos esperados de ambos portafolios?
Respuesta
Bajo CAPM, el único riesgo por el cual los inversionistas son compensados es por sobrellevar riesgo que no
puede ser diversificado (Riesgo Sistemico). Dado que el riesgo sistemico es igual a 1 en ambos casos, un
inversionista debiese esperar el mismo retorno en ambos portafolios. Más aún, ya que ambos portafolios estan
bien diversificados, no importa si el nivel de riesgo especifico de los activos individuales es alto o bajo, ya que
estos han sido diversificados para cada portafolio.
64
Ingenierı́a Comercial
Universidad Federico Santa Maria
9. Bajo los supuestos del CAPM. ¿Es posible que en un mismo momento del tiempo los inversionistas
tomen distintas posturas de inversión sobre un mismo activo?
Respuesta
Bajo los supuestos del CAPM, los inversionistas contaran con la misma información (Información Simétrica)
y con las mismas posibilidades de invertir (Mercados Perfectos, Prestamos y Venta Corta Infinitas), por lo
que a priori se podrı́a pensar que tenderán a invertir de la misma forma. Ahora bien, cabe destacar que
uno de los supuestos PRINCIPALES es el que los individuos tomas sus decisiones de inversión de acuerdo a
sus preferencias (Función de Utilidad), por lo que distintos niveles de aversión al riesgo conllevaran distintas
estrategias de inversión. Por ejemplo, considere un contexto en el que todos los individuos poseen la misma
información, el individuo mas adverso al riesgo puede tender a preferir estrategias de corto plazo, mientras que
el inversionista poco adverso al riesgo puede preferir estrategias de largo plazo. Las estrategias de corto y largo
plazo pueden ser distintas a pesar de que ambos inversionistas cuenten con la misma información.
10. ¿Cuales son los supuestos necesarios para que funcione el modelo CAPM?
Respuesta
a) NO EXISTEN COSTOS DE TRANSACCION.
(Generalemente siempre existen)
b) ACTIVOS INFINITAMENTE DIVISIBLES.
(Dificil de Observar, pero un buen proxy son los Fondos Mutuos)
c) NO HAY IMPUESTOS.
(Dificil de encontrar en la realidad)
d) NINGUNA ACCION INDIVIDUAL PUEDE ALTERAR EL NIVEL DE PRECIOS.
(Tomadores de precios, se cumple principalmente con los pequeños inversionistas)
e) LAS DECISIONES DE INVERSION SE TOMAN CONSIDERANDO EL RETORNO ESPERADO POR
NIVEL DE RIESGO.! ASUME RETORNOS NORMALMENTE DISTRIBUIDOS Y FUNCIONES DE
UTILIDAD CONVEXAS.
(Ocurre bajo el supuesto de Racionalidad de los Agentes, sin asimetrias de informacion)
f ) NO EXISTE LIMITE DE VENTAS CORTAS Y NO EXISTEN RESTRICCIONES DE PRESTAMOS (EMITIR/ADQUIRIR DEUDA) A LA TASA LIBRE DE RIESGO.
(Limitaciones Naturales como disponibilidad de Capital y Acciones disponibles para la venta corta)
g ) EXPECTATIVAS HOMOGENEAS ! INFORMACION SIMETRICA.
(Ocurre generalmente, salvo con los casos de Informacion Privilegiada)
11. Un portafolio está compuesto de un gran número de acciones (n grande). La desviación estándar del
rendimiento residual de cualquiera de estas poblaciones no es muy grande como para afectar al resto de
la cartera. Sin embargo, la mitad de la cartera se invierte en la acción 1, y el resto de la cartera se divide
por igual entre los demás n-1 activos. ¿Está bien diversificada esta cartera?
Respuesta
Este portafolio no esta bien diversificado. El peso en el primer activo hace que no caiga el riesgo especifico de
este a medida que aumente el numero de acciones. A pesar de lo bien diversificado que este la otra proporción,
esta no compensara el riesgo especifico del primer activo.
lı́m
n!1
2
p
=
2
p
=
2
p
+
=
n
1 X
2
n i=1
2
i
1
2
2
1
+
1
2
2
1
6= 0
+
n X
n
X
1
COV ri , rj
2
n
j=1 i=1
11 2
n 1
¯6=1 +
⇢
2n
n
65
2
Ingenierı́a Comercial
Universidad Federico Santa Maria
12. Se puede construir un APT de un solo factor, donde ese factor sea el retorno del mercado. En ese caso
podemos decir que el APT y el CAPM son exactamente la misma cosa. Comente.
Respuesta
Si bien la ecuación serı́a la misma, tanto la base teórica como los supuestos detrás de cada modelo son distintos.
El CAPM es un modelo de equilibrio, mientras que el APT se basa en un argumento de arbitraje. El CAPM
requiere que todos los agentes del mercado sean iguales (en cuanto a expectativas de retorno, información,
poder de mercado, etc.) mientras que para que se cumplan los supuestos del APT sólo se requiere que algunos
agentes (con mejor información y/o mayor poder de mercado) puedan formar portafolios bien diversificados. El
resultado es que, por ejemplo, mientras que el APT es menos restrictivo en sus supuestos, su aplicación está
restringida a portafolios diversificados, mientras que el CAPM puede en teorı́a describir el retorno de un activo
individual.
13. Una posible aplicación del modelo APT multifactor es para guiar nuestras inversiones a fin de obtener una
mejor diversificación en nuestros portafolios. Comente
Respuesta
Cierto. Un modelo multifactor sirve para desagregar la exposición al riesgo de un activo, por lo que es más fácil
identificar las principales fuentes de riesgo de estos. Ası́, si tengo un activo con alta exposición a un factor en
particular, puedo diversificar más eficientemente buscando otro activo con baja exposición a dicho factor de
riesgo.
14. Identifique y explique los factores de mercado que se consideran para modelar el riesgo sistemico en el
modelo de 3 factores de Fama French.
Respuesta
Rit
=
↵i +
m i Rmt
+
SM B i SM Bt
+
HM L i HM Lt
+ eit
(5)
SM B es un indice de escesos de retornos de empresas pequeñas sobre empresa grandes Y HM L es un indice
sobre los escesos de retornos de empresas con altos ratios P/V alor Libro sobre empresas con bajos ratios. El
argumento aquı́ es que en diferentes ciclos economicos estas diferencias varian, por lo que permiten un mejor
ajuste del factor sistemico.
15. El beta de un activo siempre es la medida relevante de riesgo de dicho activo para el inversionista. Comente.
Respuesta
Falso. En base al CAPM, el beta solo nos informa sobre el riesgo sistemico. Entonces, sólo para inversionistas
con portafolios diversificados ocurrirá que la medida más relevante de riesgo sea el beta, pero para inversionistas
que busquen invertir de manera más activa (con portafolio no diversificados), la desviación estandar será una
mejor medida de riesgo, al considerar tanto el riesgo sistemico como el idiosincratico.
2
i
=
66
2
2
m
+
2
e
Ingenierı́a Comercial
Universidad Federico Santa Maria
16. Clasifique las siguientes situaciones según si forman parte del riesgo no sistemático (idiosincratico) o del
riesgo sistemático:
Un juicio perdido por una empresa de servicios públicos que obliga a indemnizar a los consumidores.
Una confiscación de depósitos por parte de un gobierno nacional.
Una restricción a los movimientos de capital impuesta por el gobierno.
Un aumento en la tasa de interés de corto plazo.
Una resolución del Ministerio de Salud que obliga al tratamiento de los residuos industriales, incrementando el costo de las industrias plásticas.
Respuesta
Idiosincratico
Idiosincratico
Sistemico
Sistemico
Idiosincratico (Puede llegar a ser sistemico si la industria del plastico es muy relevante a nivel pais)
17. Frente a la forma fuerte de la HME la gestion activa de carteras es completamente inútil. Comente.
Respuesta
Verdadero. Ante la forma fuerte de la HME, las estrategias activas que buscan invertir es activos con alphas
positivos no debierán dar resultados, ya que toda la información relevante ya estaria incorporada en el precio
de los activos, y por tanto, no debiesen ser capaces de encontrar alphas significativos.
18. Un compañero suyo le comenta que la forma fuerte de eficiencia nunca se cumple, ya que los precios nunca
se mantienen en el precio que debieran tener según sus estados financieros. Comente.
Respuesta
Primero que nada, la informacion contable forma parte de la forma semi fuerte de eficiencia. Luego, si no se
cumple la forma semi fuerte tampoco lo hace la fuerte, pero lo comentado por el compañero no implique que
no se cumple. Lo que debe estar ocurriendo es que no se esta considerando el resto de la informacion publica,
la cual ante noticias altera los precios y las expectativas de corto plazo de los agentes.
67
Ingenierı́a Comercial
4.2.
Universidad Federico Santa Maria
Matematicos
1. De acuerdo al modelo CAPM, el retorno exigido a un activo viene dado por:
E (ri ) = rf +
i
[E (rM
rf )]
(6)
donde rM corresponde al retorno del portafolio de mercado M , rf es la tasa de interés libre de riesgo y
Cov (ri, rM )
i = V ar(r ) . Por otro lado, el denominado Modelo de Mercado establece que, bajos ciertas condiciones,
M
el retorno de un activo cualquiera j que forma parte de un portafolio P viende dado por:
rj = ↵j +
j rP
+ "j
(7)
ˆ (rj ,rP )
Cov
con E ("j ) = 0, E ("j rP ) = 0 y j = var(r
. En el Modelo de Mercado dado por la ecuación (2), rP
ˆ
P)
corresponde al retorno del potafolio P y la participación del activo j en dicho portafolio viene dada por la
capitalización del activo j dividida por la suma de las capitalizaciones de todos los activos que componen
P.
a) ¿Cuáles son las condiciones bajo las cuales se cumple el Modelo de Mercado dado por (2)?
Respuesta
Bajo OLS, se deben cumplir los supuestos de Gauss-Markov:
E("i ) = 0
Cov("i , "j ) = 08i 6= j
"i y rp independientes
V ("i ) = 2
Ya que los primeros puntos se indican en el enunciado, bastara con que los retornos de los activos se
distribuyan Normal13 para que se cumpla el modelo de mercado.
b) Explique detalladamente las diferencias conceptuales entre el CAPM (1) y el Modelo de Mercado
(2).
Respuesta
El Modelo de Mercado (o modelo indice) corresponde simplemente a un modelo empirico, y no corresponde
a un modelo de equilibrio. El CAPM es un modelo de equilibrio de precios, con supuestos fuertes respecto
de las preferencias de los individuos y del comportamiento de los retornos. El modelo empirico solo se rige
por condiciones econometricas, mientras que el CAPM requiere de una serie de supuestos:
Inversionistas tomadores de precios.
Mismo horizonte de inversión.
Perfecto acceso al mercado financiero.
No existen Impuestos ni Costos de Transacción.
Individuos racionales, optimizan a la Markowitz.
Expectativas Homogeneas.
13 Es
decir, que los retornos sean normal multivariados
68
Ingenierı́a Comercial
Universidad Federico Santa Maria
c) Suponga ahora que en el Modelo de Mercado se utiliza el verdadero portafolio de mercado M de la
economı́a como el portafolio P y que el CAPM en efecto se cumple. Demuestre que:
1) ↵j = r¯j
j r¯
M
donde r¯j y r¯M corresponden a los retornos promedio del activo j y del portafolio de mercado
M , respectivamente.
Respuesta
Sabemos que OLS busca minimizar:
SEE
T
X
=
(rt
↵
˜
˜xt )2
t=1
Donde ↵i corresponde al intercepto de la ecuacion. Las CPO son:
SEE
↵
=
SEE
↵
=
2
T
X
(yt
˜xt ) = 0
↵
˜
t=1
2
T
X
xj (yt
↵
˜
˜xj ) = 0
t=1
De la primera ecuación tendremos:
2
T
X
(yi
↵
˜
˜xi )
=
0
(yi
↵
˜
˜xi )
=
0
t=1
T
X
t=1
T
1 X
yt
T i=1
ȳ
x̄
T
1 X
1
↵
1+
T t=1
T
=
=
↵
T
X
xt
j=1
Reemplazando y = rj y x = rP = rm se llega a lo solicitado. Una manera más directa de verlo es
imponiendo la suma:
T
X
rjt
=
T ↵j +
j
T
X
t=1
t=i
r¯j
=
Dado que E("j ) = 0
69
↵j +
j r¯
m
rtM +
T
X
t=1
"tj
Ingenierı́a Comercial
2) Si
Universidad Federico Santa Maria
j
> 1, entonces ↵j < 0.
Respuesta
Ya que estamos trabajando con retornos brutos, suponiendo que el beta del Modelo de Mercado y
que el beta del CAPM son iguales, el CAPM impone restricciones en los valores de a. De acuerdo al
Modelo de Mercado:
E(ri )
=
↵j +
aj
=
rf (1
j E(rm )
Por consiguiente,
Ası́, si
j
> 1, ↵j < 0
70
j)
Ingenierı́a Comercial
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2. Suponga que a los inversores les preocupa únicamente la media y la varianza de los activos y que los mercados no tienen fricciones y las expectativas de los inversores son homogéneas. Suponga que un portafolio
que combina la tasa libre de riesgo y el portafolio de mercado tiene un rendimiento esperado de 20 % y
una desviación estándar de 20 %. Además se sabe que el portafolio de mercado tiene un rendimiento del
15 % y una desviación estándar de 10 %.
a) Estime la tasa libre de riesgo.
Respuesta
Con los datos entregados construimos la linea de mercado de capitales de la siguente forma:
E(rp )
=
E(rm )
rf +
rf
m
0, 2
⇥
p
0, 15 rf
⇥ 0, 2
0, 1
rf = 0, 1
=
rf +
)
b) Estime el beta del portafolio.
Respuesta
Ya que poseemos el activo libre de riesgo, solo basta con reemplazar los datos en la ecuación fundamental
del CAPM:
E(rp )
0, 2
=
rf +
=
0, 1 +
)
p
⇥ [E(rm )
p
p
=2
⇥ [0, 15
rf ]
0, 1]
c) Si el activo Acme Z tiene una correlacion de 0,6 con el mercado y una desviacion estandar de 0,36,
¿Cuál debe ser su rendimiento esperado?
Respuesta
Primero buscamos el el beta del portafolio para después reemplazar en la ecuacion fundamental del CAPM:
z
=
z
=
z
=
cov(rz rm )
2
m
0, 6 ⇥ 0, 36 ⇥ 0, 1
0, 12
2, 16
Con lo que se obtendrá:
⇥ [E(rm )
E(rz )
=
rf +
E(rz )
=
E(rz )
=
0, 1 + 2, 16 ⇥ [0, 15
0, 208
71
z
rf ]
0, 1]
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3. Suponga que la beta del Santander Santiago es de 1,5. El tipo de libre de riesgo es 5 %. Digamos que la
distribución del rendimiento del Ipsa para el próximo año es:
Probabilidad
0,3
0,5
0,2
Estado
Recesion
Moderado
Expanción
Rendimiento del Ipsa
-10 %
12 %
15 %
a) ¿Cuál debe ser la rentabilidad del Santander Santiago el próximo año?
Respuesta
Primero calculamos el retorno esperado del mercado:
E(rm )
=
E(rm )
=
0, 3 ⇥
0, 08
0,10 + 0, 5 ⇥ 0,12 + 0, 2 ⇥ 0, 15
Con lo que podemos calcular la rentabilidad de Santander usando CAPM:
⇥ [E(rm )
E(rsantander )
=
rf +
E(rsantander )
=
E(rsantander )
=
0, 05 + 1, 5 ⇥ [0, 08
rf ]
0, 03]
0, 095
b) Si el precio hoy del Santander Santiago es de $10.000 ¿Cuánto debe costar la acción dentro de un
año?
Respuesta
El precio de la acción dentro de un año se calculará de la siguiente manera:
Pt=1
=
Pt=1
=
Pt=1
=
Pt=0 ⇥ (1 + E(rp ))
10,000 ⇥ (1 + 0, 095))
10,950
72
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4. Existen 3 acciones tranzandose en bolsa. La informacion relevante de cada activo es la siguiente:
2
i
K
V
C
0,81
1,19
1,43
2
e
x
y
3x
E(r)
18 %
z%
20 %
0,027
0,043
0,072
a) Calcule la desviación estándar de cada activo.
Respuesta
Utilizando la fórmula para la varianza de modelos ı́ndices, podemos expresar la varianza de cada activo:
2
i
2
K
2
V
2
C
=
2 2
i m
+
2
ei
=
2
K
2
m
+
2
eK
=
2
V
2
m
+
2
eV
=
2
C
2
m
+
2
eC
Ya que no conocemos a priori la varianza del mercado, no podemos obtener de manera directa las varianzas.
2
2
Ahora bien, se nos indica en el enunciado que C
=3 K
, con lo que podremos construir un sistema de
ecuaciones y encontrar la varianza del mercado:
3
3
2
K
2
K
2
K
=
2
K
2
m
+
2
eK
2
K
=
2
C
2
m
+
2
eC
=
0, 6561
=
2, 0449
2
m
2
m
+ 0, 027
+ 0, 072
Al resolver el sistema obtenemos:
2
m
=
0, 009
0, 0766
2
m
=
0, 1174
Luego, remplazamos el valor de la varianza del mercado y encontramos las varianzas de cada activo:
2
K
2
V
2
C
=
0, 1040
=
0, 2092
=
0, 3120
Y para finalizar, calculamos la raı́z para encontrar la desviación estándar:
K
=
0, 3225
V
=
0, 4574
C
=
0, 5586
73
Ingenierı́a Comercial
Universidad Federico Santa Maria
b) Asumiendo que los activos K y C son representativos del mercado, derive la SML.
Respuesta
Con la informacion de ambos activos, construimos un sistema de ecuaciones para encontrar el retorno
libre de riesgo 0 y la prima por riesgo de mercado M :
0, 18
=
0
+ 0, 81
M
0, 20
=
0 + 1, 43
M
0
=
0, 1539
M
=
0, 0323
Con lo que podemos expresar la SML como sigue:
E(ri )
=
0, 1539 +
i 0, 0323
c) Encuentre el retorno de V (Despeje z). ¿Qué pasarı́a si por fluctuaciones del mercado la rentabilidad
de V fuera 25 %? ¿Y si fuera 19 %?
Respuesta
Reemplazamos en la SML la informacion del activo V:
E(rV )
=
E(rV )
=
0, 1539 + 1, 19 ⇥ 0, 0323
0, 1923
Entonces:
1) Si en el mercado estiman el retorno del activo en 25 %, entonces el activo se encontraria subvalorado
en el mercado por lo que se podria arbitrar [Arbitraje Optimo: Posición Larga].
2) Si en el mercado estiman el retorno del activo en 19 %, entonces el activo se encontraria sobrevalorado
en el mercado por lo que se podria arbitrar [Arbitraje Optimo: Posición Corta].
74
Ingenierı́a Comercial
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5. Se les entrega la siguiente información sobre 4 activos en la economı́a norteamericana:
Azul
-0.005***
1.1***
2
8.2 %
e
*** p-value<0.01,
↵
Blanco
Celeste
Rojo
0.006***
-0.001
0.003***
0.9***
1.3***
0.7***
6.5 %
15.1 %
5.9 %
** p-value<0.05, * p-value<0.1
Además, usted sabe que el retorno del S&P500 es del 12 %, la volatilidad de este es de un 25 % y los bonos
del tesoro están rentando un 3 %. (Se les recomienda trabajar con 4 decimales)
a) Calcule el Sharpe de las 4 acciones. Para las medidas de rentabilidad, considere el retorno esperado
según CAPM. (HINT: Para esto deberá encontrar primero la varianza para cada activo)
Respuesta
Primero debemos calcular la desviacion estándar de cada activo. Para esto, pudemos utilizar la descomposicion de varianza de CAPM:
2
i
=
2
azul
2
azul
=
0,252 1,12 + 0,082
=
15,76 %
2
blanco
2
blanco
=
0,252 0,92 + 0,065
=
11,56 %
2
celeste
2
celeste
=
0,252 1,32 + 0,151
=
25,66 %
2
rojo
2
rojo
=
0,252 0,72 + 0,059
=
8,96 %
75
2 2
m i
+
2
ei
Ingenierı́a Comercial
Universidad Federico Santa Maria
Entonces, el Sharpe de estos activos será:
Si
=
E(ri )
rf
i
Tal que: E(ri ) = rf +
Sazul
=
Sazul
=
Sblanco
=
Sblanco
=
Sceleste
=
Sceleste
=
Srojo
=
Srojo
=
i
[E(rm )
[0,03 + 1,1(0,12 0,03)]
p
0,1576
0,3249
0,03
[0,03 + 0,9(0,12 0,03)]
p
0,1156
0,3264
0,03
[0,03 + 1,3(0,12 0,03)]
p
0,2566
0,2901
0,03
[0,03 + 0,7(0,12 0,03)]
p
0,0896
0,3106
0,03
rf ]
b) Encuentre el portafolio activo óptimo de Treynor Black con y sin venta corta.
Respuesta
Sabemos que los ponderadores de la porcion activa del portafolio óptimo será:
↵i
wi0
2
=
P e↵i i
2
ei
Dejando afuera del analisis la accion “Celeste” por no tener un alpha significativo, los ponderadores
óptimos serán:
0
wazul
=
0,0609
0,0821
0
wazul
=
74,19 %
0
wblanco
=
0,0923
0,0821
0
wblanco
=
112,32 %
0
wrojo
=
0,0508
0,0821
0
wrojo
=
61,87 %
Luego, para la alternativa sin venta corta basta con sacar las acciones con alphas negativos (en este caso,
solo la accion “Azul”).
76
Ingenierı́a Comercial
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0
wblanco
=
0,0923
0,1431
0
wblanco
=
64,48 %
0
wrojo
=
0,0508
0,1431
0
wrojo
=
35,52 %
c) Explique las ventajas y desventajas de las estrategias activas y pasivas de inversion.
Respuesta
Las estrategias activas buscan obtener ganancias por sobre el mercado, por lo cuál requieres más tiempo
y dedicacion. Por otro lado, las estrategias pasivas como invertir en un portafolio indice requieren mucho
menos esfuerzo, pero no se podrán lograr ganancias anormales con esta estrategia.
77
Ingenierı́a Comercial
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6. Suponga que en una economia se cumple CAPM, satisfaciendo todos los supuestos del modelo. Ademas,
cuenta con la siguiente informacion sobre los unicos 3 activos en la economia:
Activoi
a
b
c
E[ri ]
0,15
?
0,09
2
e
i
?
0,25
?
2
0,75
0,5
0,1
0,04
0,17
Se le pide:
a) Encuentre las incognitas.
Respuesta
Recordando la formula de descomposición del riesgo:
2
i
=
2
i
2
m
2
ei
+
Podemos remplazar los valores dados para el activo ”B”, para encontrar la varianza del mercado:
2
b
=
0, 252
=
b
2
2
m
0, 752
2
m
)
2
eb
+
2
m
+ 0, 04
= 0, 04
Luego evaluamos la misma ecuacion para las acciones a y c, remplazando con el valor previamente
encontrado de 2 (rm ), para encontrar (ra ) y (rc ):
2
a
2
a
2
a
=
=
=
)
2
c
2
c
2
c
=
=
=
)
78
a
2
2
m
2
ea
+
2
2, 0 · 0, 04 + 0, 1
0, 26
⇠
a = 0, 509
c
2
2
m
+
2
ec
0, 52 · 0, 04 + 0, 17
0, 18
⇠
c = 0, 424
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Ahora, solo falta calcular E[rb ]. Para ello, utilizando un modelo indice, construimos un sistema de ecuaciones con la informacion de las otras acciones:
E[ri ]
=
0
+
m
0, 15
=
0
+2
m
0, 09
=
0
+ 0, 5
m
Del sistema de ecuaciones, encontramos que:
0
=
0, 07
m
=
0, 04
Donde 0 en el modelo CAPM vendria a ser el retorno libre de riesgo y
podemos encontrar el E[rb ]:
+E[rb ]
=
E[rb ]
=
E[rb ]
=
0
+
m
la prima por riesgo. Con esto
b m
0, 07 + 0, 75 · 0, 04
0, 10
b) Calcule el retorno de un portafolio conformado por los 3 activos, en igual proporcion.
Respuesta
Para calcular el retorno del portafolio, solo basta con calcular el promedio ponderado de los retornos de
los 3 activos:
E[rp ]
1
N
=
E[rp ]
X
E[ri ]
(i=a,b,c)
0, 15 + 0, 10 + 0, 09
3
E[rp ] ⇠
= 0, 113
=
)
c) Calcule el beta del portafolio construido.
Respuesta
Por propiedades del beta, solo basta con calcular el promedio ponderado de los betas de los activos que
conforman el portafolio:
p
p
=
=
)
1
N
X
i
(i=a,b,c)
2, 00 + 0, 75 + 0, 50
3
⇠
p = 1, 083
79
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7. Los siguientes 2 activos estan correctamente valorados por CAPM:
E[ri ]
0,06
0,12
A
B
0,5
1,5
Se le pide derivar la linea de mercado de activos.
Respuesta
Primero, por CAPM, podemos construir un sistema de ecuaciones para encontrar la tasa libre de riesgo rf y el
premio por riesgo :
E[ri ] = rf +
i
0, 06 = rf + 0, 5
0, 12 = rf + 1, 5
) rf = 0, 03
) = 0, 06
Por lo tanto, el CAPM o LMA que rige en esta esta economia es:
E[ri ] = 0, 03 + 0, 06 i
80
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8. Considere las siguientes lineas de regresion para las acciones A y B:
a) ¿Que acción es más riesgosa para un inversor cuya cartera se encuentra perfectamente diversificada?
Respuesta
En un portafolio perfectamente diversificado, el único riesgo relevante viene a ser el riesgo sistemico,
medible a traves del beta de la accion (el cual se puede ver en la pendiente de estos graficos). Dado esto,
resulta más riesgoso invertir en la accion B.
b) ¿Que acción es más riesgosa para un inversor que pondrá todo su capital en solo una de estas
acciones?
Respuesta
En este caso, el riesgo relevante incluye tanto el riesgo sistemico como el idiosincratico. Podemos ver que
la acción A posee una dispersion mayor, lo cual puede entenderse como una mayor volatilidad y por ende,
un mayor nivel de riesgo.
c) En base estos graficos, ¿En cual usted invertirı́a y porque?
Respuesta
Lo primero es definir como invertira (Estrategia Activa vs Pasiva), el nivel de riesgo que estoy dispuesto
a asumir, etc, etc. Un punto central en este caso, si solo puedo invertir en una de estas, puede ser el
alpha (intercepto de la regresion en estos casos), el cual puede volver más atractiva a la accion A sobre
la accion B.
81
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9. Suponga que en una economia se cumple CAPM, satisfaciendo todos los supuestos del modelo. Ademas,
cuenta con la siguiente informacion sobre los unicos 3 activos en la economia:
Activoi
a
b
c
E[ri ]
0,15
?
0,09
2
e
i
?
0,25
?
2
0,75
0,5
0,1
0,04
0,17
Se le pide:
a) Encuentre las incognitas.
Respuesta
Recordando la formula de descomposición del riesgo:
2
(ri ) =
i
2
2
(rm ) +
2
ei
Podemos remplazar los valores dados para el activo ”B”, para encontrar la varianza del mercado:
2
(rb ) =
b
2
2
2
2
2
0, 25 = 0, 75
2
)
(rm ) +
2
eb
(rm ) + 0, 04
(rm ) = 0, 04
Luego evaluamos la misma ecuacion para las acciones a y c, remplazando con el valor previamente
encontrado de 2 (rm ), para encontrar (ra ) y (rc ):
2
(ra ) =
2
(ra ) = 2, 02 · 0, 04 + 0, 1
2
a
2
2
(rm ) +
2
ea
(ra ) = 0, 26
) (ra ) ⇠
= 0, 509
2
2
(rc ) =
c
2
2
(rm ) +
2
ec
2
(rc ) = 0, 5 · 0, 04 + 0, 17
2
(rc ) = 0, 18
) (rc ) ⇠
= 0, 424
Ahora, solo falta calcular E[rb ]. Para ello, construimos un sistema de ecuaciones con la informacion de
las otras acciones en el modelo CAPM:
E[ri ] = rf +
0, 15 = rf + 2
0, 09 = rf + 0, 5
Del sistema de ecuaciones, encontramos que:
rf = 0, 07
= 0, 04
Con lo que podemos encontrar el E[rb ]:
82
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E[rb ] = rf + b
E[rb ] = 0, 07 + 0, 75 · 0, 04
) E[rb ] = 0, 10
b) Calcule el retorno de un portafolio conformado por los 3 activos, en igual proporcion.
Respuesta
Para calcular el retorno del portafolio, solo basta con calcular el promedio ponderado de los retornos de
los 3 activos:
P
E[rp ] = N1
(i=a,b,c) E[ri ]
E[rp ] =
0,15+0,10+0,09
3
) E[rp ] ⇠
= 0, 113
c) Calcule el beta del portafolio construido.
Respuesta
Por propiedades del beta, solo basta con calcular el promedio ponderado de los betas de los activos que
conforman el portafolio:
P
1
p = N
(i=a,b,c) i
p
=
)
83
2,00+0,75+0,50
3
p
⇠
= 1, 083
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10. Existen 3 acciones tranzándose en bolsa. La información relevante de cada activo es la siguiente:
2
i
'1
'2
'3
0,5
1,0
1,5
e
0,3616
1,4436
3,2464
x
0,06
2x
E(r)
9%
y%
17 %
a) Encuentre los valores de x e y.
Respuesta
Con la ecuacion dela varianza de los activos para modelos indices, tendremos que:
i
2
=
i
2
m
2
+
ei
2
Dado que contamos con toda la informacion para el segundo activo, podemos encontrar la varianza del
mercado:
2
m
=
1, 44
Con lo cual, podemos encontrar facilmente el valor de x:
x
=
0, 04
2x
=
0, 08
Por último, para encontrar y construimos un sistema de ecuaciones con la informacion de los activos 1 y
3:
E(ri )
=
rf +
i [E(rm )
rf ]
0, 09
=
rf + 0, 5[E(rm )
rf ]
0, 17
=
rf + 1, 5[E(rm )
rf ]
El cual al resolver nos dará:
rf
=
0, 05
E(rm )
=
0, 13
Lo cual entrega despúes de reemplazar que el valor de y es 0, 13.
b) Asumiendo que los activos '1 Y '3 son representativos del mercado, derive la LMA (CAPM).
Respuesta
Con los resultado anteriores vemos que la LMA será:
E(ri )
=
rf +
E(ri )
=
0, 05 + 0, 08
i [E(rm )
rf ]
i
c) Con el retorno encontrado de '2 (y). ¿Qué pasarı́a si por fluctuaciones del mercado la rentabilidad
de '2 fuera 15 %? ¿Y si fuera 10 %?
Respuesta
Si el retorno del segundo activo fuera 15 % ocurrira que el activo se encontrara subvalorado, por lo
que existirán posibilidades de arbitraje (Comprando '2 con la rentabilidad ofrecida y vendiendolo con la
rentabilidad “Correcta”). Si fuera 10 % ocurriria lo contrario, el activo se encontraria sobre valorado, por
lo cual se podria arbitrar (vendiendo corto dicho activo y comprando una combinacion o replica).
84
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11. Considere una economı́a constituida por N activos riesgosos, con E (Ri ) = µi , V ar (Ri ) = i2 y Cov (Ri , Rj ) =
ij para i, j = 1, 2, ..., N . El modelo CAPM y su correspondiente ecuación de valoración se obtiene sobre
la base de los siguientes supuestos:
Muchos inversionistas, tomadores de precios y no saciables.
Todos los invesionistas son aversos al riesgo y tienen preferencias cuadráticas.
Todos los inversionistas pueden prestar o pedir prestado a la tasa de interés libre de riesgo rf .
Todos los inversionistas tienen el mismo horizonte de inversión (son “miopesâ€).
Todos los activos son transados públicamente.
No hay impuestos ni costos de transacción.
Expectativas homogéneas por parte de los inversionistas.
Los retornos de los activos se distribuyen conjuntamente normal.
Suponga que los inversionistas en vez de ser aversos al riesgo son neutrales al riego (todos los demás
supuestos se cumplen). En este contexto:
a) ¿Es posible que exista equilibrio en el Mercado de Capitales? Explique claramente su respuesta,
apoyando su respuesta con gráficos en el espacio µ
, explicitando todos los supuestos que requiera
para elaborarla.
Respuesta
No, ya que al ser neutros al riesgo, el óptimo de inversión será el invertir infinitamente en aquellos activos
con mayor rentabilidad, lo que volverı́a infinita la demanda por financiamiento.
85
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b) ¿Puede identificar el portafolio de mercado? Explique por qué sı́ o por qué no, apoyando su respuesta
con gráficos en el espacio µ
.
Respuesta
No, ya que al ser el óptimo invertir en los activos de mayor retorno, todos los agentes terminarán invirtiendo
en portafolios con igual retorno (el máximo posible dado los activos del mercado) pero distintos en
volatilidad, por lo que no existirá un único portafolio de mercado.
Suponga ahora que los inversionistas son aversos al riesgo, pero que no poseen expectativas homogéneas
(todos los demás supuestos se cumplen).
c) ¿Puede existir equilibrio en el mercado de capitales? ¿Por qué? Explique y grafique en el espacio
µ
.
Respuesta
Si, ya que si bien los agentes tendrán expectativas heterogenas sobre la rentabilidad y el riesgo de los
activos, si existirá un equilibrio en la demanda por capital (ya que si bien la demanda por prestamos será
distinta para todos los agentes, en el global existirá un equilibrio entre las tasas).
86
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d) ¿Se puede identificar el portafolio de mercado? Explique y grafique en el espacio µ
.
Respuesta
A priori no, ya que el portafolio óptimo riesgoso será distinta para cada agente. Ex-post, cuando las
expectativas se alinien, podrá existir un portafolio de mercado, el cuál serı́a un promedio de los portafolios
individuales.
Sitúese ahora en una situación en la que se cumplen todos los supuestos originales del CAPM, excepto
que todos los inversionistas pueden prestar o pedir prestado a la misma tasa de interés libre de riesgo. En
particular, suponga que la tasa de interés de colocación rfcol es mayor que la tasa de interés de captación
⇣
⌘
rfcap .
e) ¿Es posible que exista equilibrio en el Mercado de Capitales? Explique y grafique en el espacio
µ
.
Respuesta
Si, ya que si bien las tasas de colocación y captacion son distintas, la demanda por capitales estará en
equilibrio.
f) ¿Puede identificar el portafolio de mercado? Explique y grafique en el espacio µ
.
Respuesta
No se puede indentificar a cabalidad, ya que el portafolio óptimo de equilibrio dependerá de la situacion
de los agentes (si es acreedor o deudor). El portafolio de mercado debiese encontrarse en un punto medio
entre estos 2 portafolios.
87
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Note que esta CAL presenta un tramo en el cual ni acreedores ni deudores podrán invertir.
88
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12. Suponga que el mercado se rige en base al modelo de APT, donde este se encuentra explicado por 2
factores que son el precio del Azul y el precio del Rojo. Usted cuenta con la siguiente información sobre 3
activos:
A
B
C
E[ri ]
0,15
0,12
0,08
Rojo
Azul
0,4
0,3
-0,5
2
1
3
a) Encuentre la prima por riesgo asociada a cada factor.
Respuesta
Construimos el sistema de ecuaciones:
0, 15
=
'0 + 0, 4'A + 2'R
0, 12
=
'0 + 0, 3'A + 1'R
0, 08
=
'0
0, 5'A + 3'R
Con lo que obtenemos:
'0
=
0, 07
'A
=
0, 10
'R
=
0, 02
b) Suponga que existe un activo j en el mercado que renta 20 % y que su relación de sensibilidad con
el precio del Azul es 0, 5, mientras que su sensibilidad a el precio del Rojo es 0, 4. Demuestre que
existen opciones de arbitraje obteniendo el portfolio réplica.
Respuesta
Evaluamos el activo con las primas previamente encontradas:
rj ⇤
=
'0 + 0, 5'A + 0, 4'R
rj ⇤
=
0, 128
Como se puede apreciar, el activo esta rentado muy por sobre el mercado, por lo que es posible realizar
una operacion de arbitraje. Para ello, primero sera necesario encontrar un portafolio replica. Definiendo
wi como el ponderador de participacion del portafolio i en el nuevo portafolio:
0, 5
=
0, 4wa + 0, 3wb
0, 4
=
2wa + 1wb + 3wc
1
=
wa + wb + wc
Resolviendo el sistema encontramos el portafolio replica:
wa
=
wb
=
wc
=
89
0, 08
1, 34
0, 24
0, 5wc
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c) Describa los flujos a realizar durante el arbitraje si la operación es de $1.000.000.
Respuesta
La estrategia de arbitraje queda definida como sigue:
Venta Corta portafolio replica
Compra portafolio de mercado
1.000.000
-1.000.000
-1.000.000·(1+0,128)
1.000.000·(1+0,20)
Arbitraje
0
72.000
90
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13. En el contexto del modelo APT, el precio de los activos se define prioritariamente por sus sensibilidades
al precio de los Blu.Ray y a la demanda por Televisores. Usted cuenta con información sobre 3 acciones
relevantes del mercado:
NWS
DIS
TWX
E[ri ]
0,2181
0,1980
0,1832
BR
TV
-0,15
0,80
-1,24
2,12
1,75
1,82
a) Encuentre la prima por riesgo asociada al precio de los Blu-Rays y a la demanda por Televisores.
Respuesta
Construimos el sistema de ecuaciones:
0, 2181
=
0
0, 1980
=
0 + 0, 80
0, 15
+ 2, 12
TV
BR + 1, 75
0, 1832
=
0
1, 24
TV
+ 1, 82
TV
0
=
0, 05
BR
=
0, 01
TV
=
0, 08
BR
BR
Con lo que obtenemos:
b) Construya un portafolio cuya rentabilidad no dependa del precio de los Blu-Rays ni a la demanda
por Televisores.
Respuesta
El portafolio cuya rentabilidad no dependa del precio de los Blu-Rays ni a la demanda por Televisores
tendra que cumplir con que los betas asociados sean iguales a 0. Entonces, el portafolio se obtiene del
siguiente sistema:
0
=
0
=
2, 12wN + 1, 75wD + 1, 82wT
0, 15wN + 0, 80wD
1, 24wT
1
=
wN + wD + wT
Con lo que encontramos el portafolio inmune:
wN
=
5, 2680
wD
=
3, 4226
wT
=
2, 8454
c) Cierto profesor de finanzas le ofrece un portafolio con un BR de 1,1, un T V de -0,4 y un retorno
esperado de 20 %. Construya el portafolio replica y analice si existen oportunidades de arbitraje
(Construya la estrategia de arbitrage en caso de ser posible).
Respuesta
Construimos el sistema de ecuaciones y encontramos el portafolio replica:
91
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1, 1
=
0, 15wN + 0, 80wD
1, 24wT
0, 4
=
2, 12wN + 1, 75wD + 1, 82wT
1
=
wN + wD + wT
Resolviendo el sistema encontramos el portafolio replica:
wN
=
2, 8061
wD
=
4, 5355
wT
=
6, 3417
Luego, calculamos la rentabilidad del portafolio replica:
E(rreplica )
=
0, 029
Podemos observar que, ya que el retorno del portafolio replica no coincide con el ofrecido (2,9 % vs
20 %), existiran oportunidades de arbitraje. Dado que el portafolio ofrecido esta subvalorado, una posible
estrategia de arbitraje podria ser:
Venta Corta portafolio replica
Compra portafolio de Ofrecido
100 %
-100 %
- 102,9 %
120 %
Resultado Arbitraje
0%
17,1 %
14. Defina las distintas formas de eficiencia del mercado.
Respuesta
a) Forma débil de eficiencia de mercado
Precios de los tı́tulos reflejan toda la información pasada de precios y volúmenes.
b) Forma Semifuerte de eficiencia de mercado
Los precios de los tı́tulos reflejan toda la información pública disponible.
La información pública abarca:
• Información histórica de precios y volúmenes
• Publicación de estados financieros
• Información encontrada en los reportes anuales
c) Forma Fuerte de la eficiencia de mercado
Los precios de los tı́tulos reflejan toda la información disponible, tanto pública como privada
La forma fuerte de eficiencia de mercado abarca la forma débil y Semifuerte.
La forma fuerte señala que algo pertinente a la acción, que es conocido por al menos un inversionista,
está actualmente incorporado al precio.
92
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15. El concepto de Eficiencia de Mercado, que se refiere al grado en que los precios de las acciones reflejan
toda la información disponible relevante, juega un rol fundamental en la teorı́a financiera moderna.
a) Defina formalmente el concepto de Eficiencia de Mercado y el concepto relacionado de Hipótesis de
Mercados Eficientes (EMH).
Respuesta
Se habla de mercados eficientes cuando las fuerzas de oferta y demanda conducen a una situación de
equilibrio en la cuál, el precio acordado equivale al precio teorico o intrinseco del activo. La HME afirma
que al cumplirse la eficiencia de mercado, los precios que se observan estan reflejando toda la informacion
relevante sobre estos.
b) Enumere y defina los tres grados de Eficiencia de Mercado. ¿Cuáles son las implicancias, en términos
de la capacidad de generar utilidades sobre normales, de cada uno de estos grados para las estrategias
de inversión pasivas y activas?
Respuesta
1) Forma débil de eficiencia de mercado
Precios de los tı́tulos solo reflejan la información pasada de precios y volúmenes.
2) Forma Semifuerte de eficiencia de mercado
Los precios de los tı́tulos reflejan toda la información pública disponible.
La información pública abarca:
• Información histórica de precios y volúmenes
• Publicación de estados financieros
• Información encontrada en los reportes anuales
3) Forma Fuerte de la eficiencia de mercado
Los precios de los tı́tulos reflejan toda la información disponible, tanto pública como privada
Esta abarca tanto la forma débil y Semifuerte.
La forma fuerte señala que algo pertinente a la acción, que es conocido por al menos un inversionista, y está actualmente incorporado al precio.
Ganancias anormales como los ↵ solo se pueden lograr cuando la forma Fuerte no se cumple, ya que si
toda la información relevante de los activos estuviera ya reflejada en el precio, no debiesen existir alphas
distintos de 0. Las estrategias pasivas de inversión, como el invertir directamente en un ı́ndice de mercado,
pierden protagonismo en la forma débil, ya que se podrı́an lograr ganancias por sobre el mercado tan sólo
utilizando análisis fundamental, pero son la estrategia dominante si se cumpliera la forma fuerte.
c) Cree usted que las crisis bursátiles ocurridas en el último tiempo son pruebas en contra de la Eficiencia
de Mercado? Explique claramente su respuesta.
Respuesta
Aquı́ existen 2 posturas (basta que argumenten una):
Por un lado, el hecho de que existan inversionistas que han logrado ganancias por sobre el mercado
aprovechándose de inversionistas desinformados apoya la idea de que la HME no se cumple en su
forma fuerte (Ej: Larrain Vial en el caso La Polar). La forma semi fuerte en mercados desarrollados
es difı́cil que no se cumpla, pero puede ocurrir que se rompa a ratos cuando la información contable
no se ha conciliado con otros hechos relevantes (Ej: Caso Bonos SMU).
Por otro lado, se pueden entender las crisis (o el miedo a estas) como mecanismos de ajuste que logran corregir los precios a sus precios fundamentales cuando estos se alejan demasiado de sus precios
intrı́nsecos. Por ejemplo, la supuesta crisis inmobiliaria en Chile tuvo un impacto en el mercado inmobiliario, forzando la re-tasación de este sector. Por lo tanto, la constante presencia de desequilibrios
en el largo plazo ayuda a que los precios si reflejen toda la información relevante.
93
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16. Evidencia empı́rica para el mercado norteamericano muestra que aquellos Fondos Mutuos que exhiben
retornos sobre normales en un año determinado logran atraer, al año siguiente, un número de nuevos
clientes significativamente más alto que otros fondos similares, pero con retornos más bajos.
a) ¿Constituye esto evidencia en contra de la Eficiencia del Mercado de Capitales? Explique, definiendo
qué entiende por Mercados Eficientes y retornos sobre normales.
Respuesta
Que un mercado sea eficiente significa que los precios de las acciones reflejen todo el set de información
disponible acerca de ellas a la fecha, modificando su precio sólo en función de nueva información. Un
retorno anormal es un diferencial entre el retorno real en t y el retorno esperado. Por lo tanto, todos
los administradores de fondos mutuos debiesen obtener solo la rentabilidad esperada si se cumpliera la
hipótesis; el caso nos indica que no se cumple la hipótesis en su forma semi-fuerte, ya que tan sólo
utilizando informacion pública disponible algunos administradores lograrón obtener ganancias anormales
por sobre la estimada por elresto del mercado.
b) Si su respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, ¿cómo esperarı́a Ud. que debiera ser la distribución de nuevos clientes entre los Fondos Mutuos en un mercado eficiente? Explique.
Respuesta
Dado que ningún fondo mutuo debiese obtener ganancias anormales (de manera sostenida) en un mercado
eficiente, los clientes de estos debieses distribuirse de manera uniforme, es decir, que ningún fondo quede
sub o sobre valorado.
94
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17. Considere que usted acaba de recibir una herencia y desea ponerla en un fondo de inversión. Después de
investigar un poco, usted se queda con las siguientes alternativas de fondos, las cuales presentan el mismo
sharpe histórico:
Fondo J: Fondo de inversion pasiva en portafolios indices del mercado con revisiones anuales. Los
administradores de este portafolio señalan que su objetivo es reducir al máximo los costos de transaccion y el pago de impuestos para en el largo plazo entregarle al inversionista la mayor rentabilidad
posible.
Fondo I: Fondo de inversion semi-pasiva en acciones y bonos corporativos que se tranzan públicamente, con revisiones trimestrales y basado principalmente en el análisis fundamental de los estados
financieros.
Fondo M: Fondo de inversión activa que invierte solo en acciones, con revisiones semanales basados en
análisis técnico de precios y volumenes transados durante la semana. Los administradores plantean
que de esta forma se aprovechan al máximo las oportunidades que van surgiendo dia a dia en los
mercados financieros. Como clausula adicional, estipularon vender en el momento toda accion de su
portafolio de la que surja alguna notica negativa en el mercado.
Discuta como las distintas formas de eficiencia de mercado pueden afectar el resultado de estas estrategias.
Luego discuta que fondo es más probable que obtenga resultados favorables en un mercado como el Chileno.
Respuesta
El fondo J al ser un fondo de estrategia pasiva será la estrategia dominante si en la economı́a se cumple una
forma de eficiencia fuerte. Esto debido a que si se diera la forma debil o semi fuerte, el portafolio de mercado
rentará mucho menos que cualquier estrategia activa de inversion ya que este no estará reflejando toda la
informacion relevante del mercado.
El Fondo I se basa en analisis fundamental, por lo que, ante una forma debil de eficiencia este podrá obtener
rentabilidades por sobre el resto. Si se da la forma semi-fuerte, este debiese presentar la misma rentabilidad que
el resto del mercado.
El fondo M por el contrario, al un portafolio de analisis técnico, su rendimiento en una forma fuerte o semifuerte de eficiencia será mucho menor debido a los constantes rebalanceos (por tener que cubrir constantemente
costos de transaccion) y a que esta dejando fuera del analisis informacion relevante que el resto del mercado sin
considera. Este solo será la estrategia dominante si el mercado es suficientemente ineficiente, de manera que el
administrador pueda aprovechar oportunidades de arbitraje que no provengan de estudiar el valor fundamental
del activo.
Por último, el mercado chileno, ante los últimos casos de colusion y de informacion asimetrica que han salido a
la luz, podemos asegurar que la forma más fuerte de eficiencia no se cumple (ya que la información privilegiada
sigue sin estar reflejada en los precios). Ahora bien, Chile cuenta con uno de los mejores sistemas de difusion
de informacion financiera y de transparencia en America (SVS, SBIF, etc.) lo que ha facilitado enormemente
el trabajo de los analistas, por lo que si se podrı́a asegurar que se de la forma de eficiencia semi-fuerte se cumple.
Entonces, ¿que fondo es más atractivo en este ambiente?. Ninguno ya que cada fondo representa a su manera
un perfil de inversión distinto. El fondo J se arriesga a perder ante cualquier caso de colusion ya que solo
se rebalancea anualmente; el fondo M sólo podrı́a obtener alguna ventaja ante algún escándalo financiero al
actualizarse cada semana lo cuál le permitiria acortar perdidas; el fondo I es el que mejor podrı́a representa
el desempeño de los fondos nacionales, pero por sus caracteristicas podrı́a verse sobrepasado por las otras 2
estrategias dependiendo del contexto.
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