e Auditor-Rscal da Receita Federal
do Brasil. Leciona Matematica
(Basica e Rnanceira), Estatfstica
(Descritiva e lnferencial) e Raciocinio
L6gico em cursos preparat6rios para
concursos de diversas capitals do
Pais. EtambElm fundador do site
Ola Amigos (www.olaamigos.com.
br) e autor das obras Raciocfnio
L6gico Simplificado (Volumes I e II) e
Estatfstica Blisica Simplificada, pela
Editora JusPodivm.
"
~
" // 8
WEBER GQffiP05
"
~
e Engenheiro de Telecomunicaciies,
com graduacao e mestrado
conclufdos no IME -lnstituto
Militar de Engen haria. Eprofessor
de Raciocinio L6gico, Matematica
Financeira, Estalistlca Descritiva e
lnferencial, ministrando aulas em
varias capitals do Brasil, e tambem
no site Ola Amigos (www.olaamigos.
com.br). Eautor, em parceria com
o Prof. Sergio Carvalho, das obras
Raciocfnio L6gico Simplificado
(Volumes I e 10 e Estatfstica Blisica
Simplificada, pela Editora JusPodivm.
EDITORA
I();I .JitsPODIVM
www.editorajuspodivm.com.br
ffi
FI
ffiATEffiATICA
FINANCEIRA
Se
Weber
Sergio Carvalho
Weber Campos
2016
EDITORA
I'))I }ltsPODIVM
www editorajuspodivm com br
EDITORA
fitsPODIVM
www editorajuspodivm .com br
Rua Mate Grosso, 175- Pituba, CEP: 41830-151 -Salvador- Bahia
Tel: (71) 3363-8617 I Fax: (71) 3363-5050
• E-mail: fale@edltorajuspodivm com br
Copyright: Edi~6es JusPOOIVM
Conselho Editorial: Eduardo Viana Portela Neves, Dirley da Cunha Jr.. leonardo de Medeiros Garcia. Fredie
Didier Jr. Jose Henrique Mouta. Jose Marcelo Vigl!ar. Marcos Ehrhardt JUnior, Nestor Tiwora. Robe rio Nunes
Fl!ho, Roberval Rocha Ferreira FHho, Rodolfo Pamplona Fllho, Rodrigo Reis Mazzei e Rogerio Sanches Cunha
Olagrama~ao:
SBNigri Artes e Textos Ltd a (sbnigri@centroin com br)
Capa: Marcelo S Brandao (santibrando@gma/lcom)
• A EditoraJusPOO/VM passou a publicar esta obra a partir da 2 ~ edlt;lio.
C33lm
Carvalho. Sergio.
Matemiltica Finance!ra Simplificada I Sergio Carvalho, Weber Campos - 2 ed rev ampl
e atual.- Salvador: JusPOOIVM. 2016
512 p
Bibl!ogralia.
ISBN 978-8S-442-0856-4.
1 MatemcHlca. 2 Matematica Financelra I Campos, Weber II Titulo.
coo 510
Todos os direitos desta edi~iio reservados a Ed!~6es JusPODIVM.
E terminantemente proibida a reprodu~ao total au parcial desta obra. par qualquer meio ou processo.
sem a expressa autoriza~ao do autor e da Edi~Oes JusPOD!VM A viola~ao dos dlreitos autorais caracterlza
crime descrito na legisla~ao em vigor, sem prejuizo das san~6es civis cabive!s.
"Oxala a bondade e a fidelidade nao se afastem de ti!
Ata-as ao teu
pesco~o,
grava-as em teu
cora~ao!"
Proverbios 3,3
A Silvia, m
AM
A Reg
A
Aos
Dedicat6rias
A Silvia, minba amacla esposa, e a Maria Clara e Ana Carolina, nossas princesinhas.,
que me fazem acreclitar, dia ap6s dia, que ha felicidadc neste mundo!
A Mari\Ucia, minha mae querida, minha etema professora das li~Oes mais belas
que ha nesta vida!
A Sergio, meu pai, rneu modclo de otimismo, de fee de dom;<io!
Sergio Carvalho
A Regina, minha amada esposa e companheira de todos os mementos, que me
faz sentir mais complete
A Beatriz, a fruto do nosso amor, que torna a minha vida muito mais feliz
Aos meus queridos pais, que me eclucaram c me ensinaram muitas vi nudes
Weber Campos
A Deus, Nosso Se
tunidades todas que
A EclitorajusPodi
Aos nossos aluno
nosso cmpenho em f
A todos os nosso
ausencia, dedicadas
a
Agradecimentos
A Deus, Nosso Senhor, por seu amor, por sua fidelidade. pelo dom cia vida e pelas opor-
tunidades todas que nos concede!
A EclitorajusPodivm, que abriu as portas para o nosso trabalho!
Aos nossos alunos prescnciais e virtuais, razao cspccialissima cia nossa declica<,;ti.o e do
nosso cmpenho em fazer sempre o melhor!
A todos os nossos familiares, pela inesthm.lvel compreensao . em face de tantas horas de
ausencia, dedicadas
a confec<;ao desta obra!
Os Autores
SERGIO CARV
(Bftsica c Financeira
prcpanndrios para c
Amigos (wwwolaam
f c fi) e Estalislica B
WEBER CAMPO
idos no IME- Instit
Financeira, Estatfstic
e tambem no sile O
Sergio Carvalho, das
Simplificada, pela E
Sobre os Autores
SERGIO CARVALHO e Auditor-Fiscal cia Receita Federal do Brasil Leciona Matemcitica
(Bftsica c Financeira), Estatistica (Descritiva c lnferencial) e Raciocinio L6gico em cursos
prcpanndrios para concursos em cliversas capitals do Pafs E tambem fundador do site Ola
Amigos (wwwolaamigos com br) e autor clas obms Raciocinio Ltjgico Simplificado (Volumes
f c fi) e Estalislica Bdsica Simplijiwda. pel a Editora JusPodivm
WEBER CAMPOS e Engenheiro de Telecomunica<;oes, com gradua<;ao e mestrado concluidos no IME- Institute Militar de Engen haria E. professor de Raciocinio L6gico, l\'latemdtica
Financeira, Estatfstica Descritiva e Inferencial, ministrnndo aulas em viirias capitais do Brasil,
e tambem no sile Ola Amigos (W\V\v.olaamigos com br) E autor, ern parceria com o Prof
Sergio Carvalho, das obras Raciociuio Logico Simplijicado (Volumes I c II) e Estalistica Bdsiw
Simplificada, pela EditorajusPodivm
A EditorajusPodi
concursos pliblicos,
scu time de professo
Os professores, a
Cncia na docCncia; s
carreiras ptlblicas, no
prepara para os certa
Sergio Carvalho e
de Telecomunicm;6es
ria Sergio e Weber f
as grandes obras de r
Financeira
A aceita<;ao maci<
res, balizadas pelos a
e ate faceis Como o
Em uma primeir
L6gico Simplificado,
Financcira Simplific
• Conceitos lnici
• Juras Simples
• Desconto Simp
• Equivalencia S
• Juras Compost
• Desconto Com
• Equivalencia C
• Rendas Certas
• Amortiza<;ao
• Taxa lnterna d
Did<itica, a obra
para facilitar a comp
resolvidos passo a p
Prefckio
A EditorajusPodivm, em sua incessante busca pelo melhor material para prepara~ao para
concursos pliblicos, com grande satisfa<;fio . trouxe Sergio Carvalho e VVeber Campos para o
scu time de professores especialistas em concursos pUblicos
Os professores, alem de formar;ao e carreiras profissionais s6lidas, possuem larga experiCncia na docCncia; sao professores de curses espccializaclos na preparac;ao de candidatos as
carreiras ptlblicas, nos quais mantCm comma estreito com a realidade di<iria do a! uno que se
prepara para os certames mais concorridos do pais
Sergio Carvalho e Auditor-Fiscal cia Receita Federal do Brasil. Weber Campos e Engenheiro
de Telecomunicm;6es, com graclua<;fto e mestrado conclufdos no Institute Militar de Engenharia Sergio e Weber formaram uma parceria editorial de grande sucesso juntos, produziram
as grandes obras de referenda para concursos em Raciocfnio L6gico, Estatistica e iv1atematica
Financeira
A aceita<;ao maci<;a dos leitores se deve em grande pane a capacidade e a maestri a clos autores, balizadas pelos anos de magistC.rio, em transfonnar temas complexes e dificeis em simples
e ate faceis Como o prOprio titulo da obra revela, os autores conseguem simplificar a materia
Em uma primeira etapa dessa parceria, lan<;amos as novas edi<;Oes das obras Raciocinio
L6gico Simplificado, volumes 1 e 2 Agora, trazemos aos leitores a novfssima obra Matcmdtica
Financcira Simplificadapara Concursos, que trata dos seguintes temas:
• Conceitos lniciais
• Juras Simples
• Desconto Simples
• Equivalencia Simples de Capitais
• Juras Compostos
• Desconto Composto
• Equivalencia Composta de Capitais
• Rendas Certas
• Amortiza<;ao
• Taxa lnterna de Retorno, Paybacl1 e Valor Presente Uquido
Did<itica, a obra traz: gnificos, tabelas e outros elementos, como as destaques coloridos,
para facilitar a compreensao e melhor aprendizado Apresenta, tambem, bateritts de exercicios
resolvidos passo a passo e quest6es de concursos ptlblicos
(XIV)
Matem<itica Finance ira Simplificada para Concursos - SCrgio Carvalho & Webc:r Campos
Scm qualqucr clltvicla, acreditamos que os autorcs chcgaram ao mclhor material para o
estudo e aprenclizado de Matcmitica Financeira para rms de concursos pltblicos Esta obra,
clcfmitivamcntc,. vai simplificar os cstudos da materia
Prepare-sc!
Lembrc-sc: A sorte nao resistc a uma boa prepara~fio!
Bans cstuclos!
Vaulcdir Ribeiro Santos
CAPITULO
l
CONC
11
l 2
13
CAPITULO
2
]UROS
2 l
2. 2
2. 3
24
25
26
27
2.8
2. 9
2 10
2 11
Exerc
Exer
Juros
mpos
Sumario
material para o
cos Esta obra,
Ribeiro Santos
CAPITULO
l
CONCE!TOS lNICIAIS •...
1 1 Pralegomenos cia Matematica Financeira
1 1 1 Lei Fundamental cia Matematica Financeira
1 1 2 A Linha do Tempo
l 2 As Cinco Faces cia Matemitica Financeira de Concursos
1 2 1 Primeira Situacao-Paclriio
I 2.2 Seguncla Situacao-Paclrao
1 2 3 Terceira SitLta<;ao-Paclriio
1 2.4 Quana Situa<;ao-Padrao
1.2 5 Quinta Situa<;iio-Paclrao
l 2 6 A Estrela
1 3 Os Regimes da Matematica Financeira
CAPITULO
2
]UROS St~IPLES ·"'.
2 l lntradu<;iio
2. 2 Operacao de Juras: o que e?
2. 3 Elementos de uma Opera<;ao de Juras
2 4 A Natureza cia Taxa
2 5 Resolvenclo uma Questiio de Juras Simples
2 6 Taxas Proporcionais
2 7 Taxas Proporcionais x Taxas Equivalentes
2.8 Juras Simples Exatos
2. 9 Juras Simples Ordinarios .
2 10 Prazo Media, Taxa Mediae Capital Meclio
2 10 1 Prazo Meclio: PM
2.10 2 Taxa Media: IM
2 10 3 Capital Media: CM
2 11 Calculo do Montame de uma Serie de Capitals lguais
Exercfcios de Taxas Proporcionais
Exercicios Resolviclos de Juras Simples
Juros Simples- Exercicios Prapostos
"" " 1
1
1
1
8
8
8
9
10
10
.10
11
l3
l3
13
14
16
20
24
26
32
35
37
37
41
44
46
50
55
76
CXVT)
Matem<itica Financeira Simplificada para Concursos- SCrgio Carvalho & Weber Campos
CAPITULO 3
CAPITULO 4
DESCONTO SIMPLES.
3 1 Opera<;<lO de Desconto: 0 que e?
3 2 Elementos de uma Opera<;ao de Desconto
3 3 Modalidades (Tipos) de Descomo
3 4 Desconto Simples por Dentro
3 4 1 Os Dais Ladas cia Opera<;ao de Desconto
3 5 Enunciado Omisso Quanta a Modalidade do Desconto
3.6 Desconto Simples por Fora
3 7 "Desconto Simples por Dentra" x "Desconto Simples par Fora'·
3 8 Desconto Bancatio
3 9 Taxa de Desconto Simples por Dentra x Taxa de Desconto
Simples por Fora
3 10 Taxa Efetiva de Juras
3 11 Taxa Mediae Prazo Media no Deseonto Simples
3 12 Desconto Simples de uma Serie de Titulos de mesmo
Valor Nominal
Exercicios Resolvidos de Desconto Simples
Desconto Simples- Exercicios Prapostos
cwtruLo 7
91
91
CAPITULO 8
EQUIV
Exerc
Equiv
RENDA
81
82
96
97
99
8. 3
102
84
105
106
Exerc
Rend
108
112
ll6
CAPiTULO
9
139
EQUIVAU}NCIA SIMPLES DE CAPITAlS'"'
AMOR
91
92
9.3
94
130
4 1 Operac;ao de Equivalencia de Capitals: o que e?
4 2 Elementos de uma Questao de Equivalencia de Capitals
4 3. Resolvendo a Equivalencia Simples: a Receita
Exerciclos Resolvidos de Equivalencia Simples
Equivalencia Simples de Capitals- Exercicios Propostos
CAPiTULO
87
87
88
90
139
141
145
165
95
Exerc
Amon
185
5 juRos CoMPOsros., ..
5 1 0 Que E uma Operao;ao de Juras Compostos?
5 2 Equacao Fundamental dos Juras Compostos .
5 3 Taxas Equivalentes
5.4 Taxa Nominal e Taxa Efetiva
'187
187
189
197
202
5 5 Convenc;ao Linear
210
5.6 Taxa Aparente Versus Taxa Real
5 7 Capitalizac;ao Continua
Exercicios Resolvidos de Juras Compostos
juros Compostos- Exercicios Prapostos
214
217
245
CAPITULO
10 TAXA
10 1
10 2
10 3
T1R,
213
GABARITOS DOS EXE
ANEXO 1: 0 REGIME
CAPITULO 6
DESCONTO COMPOSTO ..
6.1 Introduc;ao
6 2 Aprendendo as Formulas do Desconto Composto:
6 3 lncrementando uma QuesUio de Desconto Composto
Exercicios Resolvidos de Desconto Composto
Desconto Composto Exercicios Propostos
'"
0
0
261
261
262
266
271
285
ANExo II: REsoLucA
ANEXO
III:
TABELAS
mpos
87
87
88
90
cwtruLo 7
91
91
CAPITULO 8
99
102
nto
105
106
ll6
CAPiTULO
9
RENDAS CERTAS ,,., ,
..... 317
317
319
335
337
344
347
348
350
139
139
141
145
165
Conceito
Desenho Modelo da Questao de Amortizac;ao
379
F6nnula da Amonizac;;ao
381
Sistema Frances de Amortiza<;ao
9 4 1 Tabela Price
9 4 2 A Composic;ao das Parcelas de Amonizac;ao no Sistema
385
385
Frances
9 5 Sistema de Amoniza<;ao Constante - SAC
Exercicios Resolvidos de Amortizac;ao
Amonizac;ao Exercicios Propostos
185
'187
369
......... 379
AMORTIZA(.AO ... '"'
91
92
9.3
94
130
s
312
Exercicios Rcsolvidos de Rendas Certas
Rendas Certas - Exercicios Propostos
108
112
Equivalencia Composta de Capitals- Exercicios Propostos
8 1 lntrodw;ao
8 2 Calculo do Montante para uma Serie de Parce!as Iguais
8 2 l Formula do Fator S de Rendas Cenas
8. 3 Calculo do Valor Atual para uma Serle de Parcel as lguais
8 3 1 Formula do Fmor A de Rendas Certas
8 4 Calculo do Valor Atual para Rendas Perpetuas
8 4 1 Rendas Perpetuas com Parcelas Reajustadas
96
97
ar Fora'·
Exercicios Resolvidos de Equivalencia Composta
291
303
EQUIVALtNctA CoM POSTA DE CAPITAlS,....
380
387
390
395
4 28
187
189
197
202
CAPITULO
10 TAXA INTERNA DE RETORNO, PAYBACK E VALOR PRESENTE LiQUIDO",
10 1 Taxa !merna de Retorno
10 2 Payback
10 3 Valor Presente Uquido .
T1R, Payback e VPL- Exercicios Propostos
210
213
214
217
245
'"
0
0
261
261
262
266
271
285
44 7
44 7
452
454
455
GABARITOS DOS EXERCIC!OS PROPOSTOS"."
463
ANEXO 1: 0 REGIME (OMPOSTO
467
E
OS LOGARITMOS.
ANExo II: REsoLucAo oAs PRovAs PAssAoAs oo AFRF
ANEXO
III:
TABELAS FINANCEIRAS
469
489
1.1. Prolegome
A Matcmfltica F
com val orcs monetd
Esse valor monetar
duplicata . uma nota
Essas Ldtimas fo
duplicata- sao o q
papel que represen
De qualquer mo
1.1 .I. Lei Fundam
A i'vbtem<itica F
Trata-se apenas
em dinheiro que est
Na
Significa dizer q
um rio De ronna qu
se rctroccdcmos no t
.I .2 . A Linha do
Veremos ao Ion
quest6es Sera de n
do tempo
Capitulo 1
Conceitos Inidais
1.1. Prolegomenos da Matematica Financeira
A Matcmfltica Financeira e um ramo cla mmem<ltica, em que trabalharemos com finwt(as,
com val orcs monetdrios Quando dizcmos "valor financeiro· . , estamos qucrendo !"alar dinhciro
Esse valor monetario, pocle estar representado de clifcrentcs formas: o dinhciro vivo ou uma
duplicata . uma nota promiss6ria, um cheque etc
Essas Ldtimas formas de reprcsentar os valores monetJrios
cheque . nota promiss6ria.
duplicata- sao o que chamamos de Titttlos Oaf, titulo, para a matcmdtica financeira . C um
papel que representa um valor monetdrio, ou seja, que representa urna quamia ern dinheiro
De qualquer modo, as quamias monet3.rias serao a essencia do estuclo cia nossa disciplina
1.1 .I. Lei Fundamental da Matematica Financeira
A i'vbtem<itica Financeira, como tudo o que se preza . segue uma lei!
Trata-se apenas de uma regra, que subjuga todos os valores monetcirios, todas as quantias
em dinheiro que estejam envolvidas em uma questao de matematica financeira E C a seguinte:
Na Matem<itica Financeira, o dinheiro nunca fica parado.
Significa dizer que para a matemcitica financeira, na linha do tempo, o dinheiro corrc como
um rio De ronna que se nos adianlamos no tempo, o valor monet<irio aumenta Par outro lado,
se rctroccdcmos no tempo, o valor diminui
.I .2 . A Linha do Tempo
Veremos ao Iongo deste curso que o elemento tempo estara envolvido em todas as nossas
quest6es Sera de nosso interesse sabermos como o dinheiro se com porta com o transcorrer
do tempo
m
Matemiitica Financeira Simplificada para Concursos- SCrgio Carvalho & Weber Campos
Sao cxemplos disso situac,:Oes como as seguimes: .. se eu tenho hoje uma quantia de
Neste caso, o des
R$ 1 000,00 (mil reais) e a depositar numa conta de poupan<;a de um banco qualquer, quanta
eu irei resgatar (retirar, sacar) daqui a tres meses?'"
Vcjamos que o fator tempo esta no cerne da questao Aqui, estamos pcgando um valor hoje
eo transporlcmdo para uma data futura (tres meses ap6s hoje) Ora. see verdacle que odinllciro
mmca fica para dona matcmcltica_[lnanccira . en tao certamente resgataremos na data futura um
valor maior do que aquele que aplicamos (um valor maior que R$ 1 000,00)
Outro exemplo: "eu tenho uma divida, no valor de R$ 5 .000,00, que tera que ser paga
daqui a tres meses, mas pretendo antecipar o pagamento dessa divida e paga-la hoje Quanta
Ora, vamos anal
terei que pagar hoje par essa obrigat;5.a?···
Aqui, temos a situat;tio inversa: vamos pegar uma quamia em dinheiro que C clevida numa
data futura (daqui a tres meses) e vamos transpartar esse dinheiro para uma data anterior (o
din de hoje: a data zero) E. se cstamos \'Oitando
110
uma quantia de R$
comec;a a linlw do te
tempo com o dinheiro, necessariamcnte
teriamos hoje que pagar um valor mcnor que o que era devido na data futura Ou seja, pagaremos me nos de R$ 5 000,00
Estes dais exemplos sao elucidativos: servem para nos mostmr a importancia do elemcnto
tempo em uma questao de matem<itica financeira e para entendermos como funciona a nossa
lei fundamental
Na resolw;ao das quest6es, trabalharemos sempre com o desenlw do enunciado
Neste desenlw, o tempo sera representado par uma linha Ea linlw do tempo Normalmente,
essa linha ter<i inicio com a data de hoje, tambCm chamada de clc!la atual au data ::era Assim,
doravante, quando falarmos em data atua/ au em data zero, estaremos nos referindo ao dia
Vejamos que o v
sentado par uma se
quanta valera essa
hoje Portanto, dese
de hoje
A linha do tempo C a seguime:
0
(data zero)
0 que se segue a data zero sao as datas futuras
Para que serve a linha do tempo? Serve para clesenharmos nela . com pequenos tra<:;os ver-
Par fim, o valor
ticals, os nossos valores monetarios, as quantias em dinheiro, que serii.o fornecidas pelo enun-
foi detenninada pel
Como mlo con
ciado cia questfto, colocando esses tracinhos nas datas tam bern especificadas pelo enunciaclo
Tomemos, par exemplo, os enunciados daqueles dais casas que criamos acima
Exemplo I: "se eu tenho hoje uma quantia de R$ I .000,00 (mil reais) e a depositar
numa conta de poupan-;:a de urn banco qualquer', quanto eu irei resgatar (retirar,
sacar) daqui a tres meses?"
aprendemos na lei
para uma data futu
valor de "X" sera, n
formes desenhar o
R$ 1 000,00
mpos
ma quantia de
CD
Capitulo I - Conceitos lniciais
Neste caso, o desenho desta questao seria o seguinte:
alquer, quanta
X
LOOO,OO
o um valor hoje
t
que odinllciro
data futura um
0
lm
2m
l
3m
(data zero)
a que ser paga
a hoje Quanta
C clevida numa
ata anterior (o
Ora, vamos analisar esse desenho: o enunciado fala que na data de hoje eu disponho de
uma quantia de R$ 1 000,00 Dai, ja sabemos: data de hoje e a data zero, ou seja, e onde
comec;a a linlw do tempo
ecessariamcnte
1 000,00
Ou seja, paga-
ia do elemcnto
0
nciona a nossa
(data zero)
iado
Vejamos que o valor monetario que temos hoje
e esse:
R$ 1. 000,00, o qual sera repre-
Normalmente,
sentado par uma seta vertical, exatamente sabre a data zero Daf, o enunciaclo quer saber o
ta ::era Assim,
quanta valera essa quamia de R$ 1 000,00 em uma data futura, qual seja, tres meses ap6s
eferindo ao dia
hoje Portanto, desenharemos o tempo (os meses) sob a nossa linha E teremos:
1. 000,00
0
lm
2m
3m
(data zero)
nos tra<:;os ver-
Par fim, o valor que clesejamos saber na questao sera trac;ado sabre a data 3 meses, que
das pelo enun-
foi detenninada pelo enunciado
Como mlo conhecemos ainda esse valor, o chamaremos apenas de "X" E, confonne
elo enunciaclo
cima
e a depositar
gatar (retirar,
aprendemos na lei fundamental cia matem:itica financeira, se trcmsportarmos um valor inicial
para uma data futura, sabemos que este aumentara como passar do tempo, de modo que o
valor de "X" sera, necessariamente, maier que os R$ 1 000,00 iniciais Desta forma, quando
formes desenhar oX, teremos que colocar urn trac;o maier que aquele que representava os
R$ 1 000,00
Matem<itica Financeira Simplificada para Concursos- SCrgio Carvalho & Weber Campos
Tercmos:
Vamos propor um
X
r
1 000.00
I ~~~~r 1---.... !------:---:---=---_j --~==:.....!
t
0
(data zero)
lm
2m
3m
Linha do tempo
Exemplo 2: "tenho uma divida, no valor de R$ 5.000,00, que tern que ser paga
prometeu com o se
Ocorrc que, quand
tclcfone e ligou par
forma diferente! Ag
novcnta diasr Ora.
para substituir a divi
Fa~amos o c\ese
que e uma divida q
portanto os R$ 3.00
daqui a tres meses, mas eu pretendo antecipar o pagamento dessa divida e pagci-
la hoje. Quanta terei que pagar hoje por essa obriga~ao?"
Aqui, o valor monct<.irio que nos foi fornccido pelo enunclado (R$ 5 000,00) est<.i localizado
(na linha do tempo) exatamente na dma trCs meses Assim, para come~ar, teremos:
5.000,00
3m
56 que a qucsUio qucr saber a quanta rcpresentaria o valor clesta clivicla de R$ 5 000,00 se
eu resolvesse pag<.i-la hoje Ora, conforme aprenclemos, lwjc e sin6nimo de data zero Entao a
qucstfto qucr saber. na vcrclade, o quanta vale estc R$ 5 000,00 na data zero
5.000,00
Estes R$ 3 000,
paga con forme hav
suficiente (essa Ca l
prescntes neste tip
de pagar a sua cliv
iguais, as quais cha
e 90 elias Nosso de
X
t
0
(data zero)
lm
2m
J
3m
Observemos que, como estamos rctroccdcnclo no tempo._ ou seja, como estamos recuanclo
na linha do tempo, o valor de "X" sera, necessariamente, urn valor menor do que R$ 5 000,00
lsso Co que nos diz a lei fundamental cia matem<itica financeira Por isso, o tra~o que representa
o valor "X· deve ser menor que o que representa os R$ 5 000,00 Vejamos de novo:
5.000,00
--:----___JJ +---1~~
'--"'=:.J--tx.'--
0
(data zero)
lm
2m
3m
AlguCm pode
RS 3 OOO,OOT' Sab
quamia maior lsso
valores "X") Emao
RS 3 000,00 Neste
e est<i tudo certo!
set': maior ou nao
Linha do tempo
mpos
...!
que ser paga
CD
Capitulo 1 -Conceit as lniciais
Vamos propor uma terceira situac;~i.o: ··suponha que Jo<i.o contraiu uma divicla Ele se comprometeu com o seu crec\or que !he pagaria claqui a 30 elias, uma quantia de RS 3 000,00
Ocorrc que, quando chegou no dia combinado, joflo estava sem dinheiro Entflo, pegou o
tclcfone e ligou para o seu credor, dizendo: ·eleva, nfto nego! E quero pagar, s6 que de uma
forma diferente! Agora, quero pagar essa divicla em duas parcelas iguais, nas datas sessenta e
novcnta diasr Ora. qual seria o valor c\essas duas novas parcel as que jofto vai ter que pagar,
para substituir a divicla original (de R$ 3 000,00) que era devida (que vencia) na data 30 elias?
Fa~amos o c\esenho dcssc enunciado A quest<io nos cia o valor monet<irio RS 3 000,00,
que e uma divida que vencera (ou seja, que dcvera ser paga) na data 30 elias Desenhemos,
portanto os R$ 3.000,00 sabre a data fornecida Teremos:
divida e pagci-
3.000,00
est<.i localizado
mos:
R$ 5 000,00 se
ta zero Entao a
amos recuanclo
e R$ 5 000,00
que representa
novo:
1~~
0
30d
(data zero)
Estes R$ 3 000,00 representam a obrigac;clo original clejofto Ou seja, o valor da divida a ser
paga con forme havia sido tratado originalmente Acontece que, por nfto clispor de numer<.irio
suficiente (essa Ca linguagem cia prova),jofto deseja (litem I; substitui1; modificar (silo todos verbos
prescntes neste tipo de questao) aquela forma original de pagamemo, por uma outra forma
de pagar a sua clivida E qual C essa outra maneira de pagar sua chvida? Com duas parcelas
iguais, as quais chamaremos apenas de "X" (j<'t que sao desconhecidas e iguais), nas datas 60
e 90 elias Nosso desenho agora sera:
3.000,00
0
(data zero)
l
30d
X
X
1
90d
60d
J
AlguCm pode perguntar: --os tra~os dos -x· nfto teriam que ser maiores que o tra~o do
RS 3 OOO,OOT' Sabemos que o valor R$ 3 000,00, em uma data futura, representaria uma
quamia maior lsso C ceno! PorCm, como esse valor sera quebrada em duas parcelas (sao dois
valores "X") Emao, nao podemos afirmar, de antemao, que o valor de "X· sera maior que
RS 3 000,00 Neste caso, basta desenhar os "X· nos locais corretos, designaclos pelo enunciado,
e est<i tudo certo! No final cia resolu~ao, quando calcularmos o valor exato de X, saberemos
set': maior ou nao que os R$ 3 000,00
(""""F]
Matemiltica Financeira Simplificada para Concursos - SCrgio Carvalho & Weber Campos
tvlais uma situac;ilo: ···suponhamos que joao passou no concurso que tanto sonhava Esta
Teremos, portanto
vivendo. por assim dizer. nas nuvens! Foi nomeado e jd csta trabalhando Chegou o fim do
primeiro mes, quando, fina!meme, recebeu seu primeiro salario A recompensa clos justos!
Nao foi moleza abdicar de tantas coisas sO para estudar para o concurso! Mas era chegada a
hora de usufruir do seu esfon;;o joao estava terminantemente deciclido a nJo fazer qualquer
economia com aque!e primeiro said rio I ria gastar tudo em compras, presentes (para cle mesmo,
sobrctudo!) e divertimentos E assim o fez!
Mas, para surpresa geral, o inesperaclo: apesar de toclos os esfon;os empreencliclos, ao flm
claquele mes, joao ainda tinha R$ 1 000,00 do said rio em sua mao! "Um absurd&, pensou
ele Sera que nao sou capaz sequer de gastar o mcu salario? Resolveu, cntJo, que ncssc novo
1000, 1000, 100
Par fim, imagine
mes, seria mais compcle11tc e gastaria tudo, ate o LI!timo centavo do que ganhasse! Para ajud<-1-lo
um apartamento de
nesta emprcitada..joao arranjoulogo duas namoradas e fez mais mcia dt1zia de cxtravagdncias
e bam!)
De nada adiantou: ao fim do segundo mes, restaram aincla R$ 1 000.00 do salario em sua mao!
sc\ dispoe, hoje, de u
situa~ao
ao vencledor, o segui
quitado em vinte e q
ao final do primeiro
Foi af que jo<io se confonnou corn aquela
degradante e resolveu que iria . cloravante,
em todo primeiro dia de cada mCs, fazer um depOsito numa coma de poupanr.;a de um banco
qualqucr, sempre no valor de R$ l 000,00 A questJo e a seguinte: quanta joao tera acumulado
ap6s o decimo segundo deposito de RS 1 000 .00?
mensa! que jofro ira
Vamos ao desenh
Desenhando este enunciado, teriamos o seguinte:
1000, 1000,
1000,
1000,
1000, 1000,
Ora, o valo
1000, 1000, 1000, 1000. 1000, 1000,
t t t t t t t t t t t j
certo? E hoje e data
R$ 800 000,00
0 desenho inicia
800 000,00
Como foram doze apliea<;oes de RS 1 000,00, toclas feitas no inicio de cada mes, significa
que a distJncia de tempo entre uma aplica<;tlo e a seguinte e sempre um espa<;o de tempo constame (um mes, neste caso). Sea questao quer saber o resultado desta sequencia de aplicac;Oes
na data cia ultima parcela de R$ 1 000,00, entao chamaremos esse resultado de
·x
(porque
e desconhcciclo) eo colocaremos na data designada pclo enunciado
Teremos:
1000, 1000.
que data se paga um
no dia cia compra, c
(assim tambem com
X
1000.
Agora. vamos ra
1000, 1000, 1000.
1000,
1000,
1000, 1000,
800.000,00
1000, 10 0,
200 000,00
Se quisermos, apenas para cfcilos diddticos, podercmos desenhar essa questfto de uma outra
forma . colocando as setas das aplicac;Oes para baixo, e deixando a seta do resultado para cima
Eo que esta falt
paga todo o apanam
presta<;6es iguais
mpos
sonhava Esta
Teremos, portanto:
X
egou o fim do
sa clos justos!
era chegada a
fazer qualquer
ara cle mesmo,
cliclos, ao flm
urd&, pensou
1000, 1000, 1000, 1000,
1000,
1000.
1000, 1000,
1000
1000,
1000,
1000,
ue ncssc novo
Par fim, imaginemos mais uma situac;ao: 'joao (aquele nosso amigo) resolveu comprar
Para ajud<-1-lo
um apartamento de luxo, na avenida Beira Mar, em Fona\eza (esse rapaz sabe mesmo o que
e bam!) Ora, o valor do im6vel e de modicos R$ 800 000,00 (oitocentos mil rea is)! Mas joiio
sc\ dispoe, hoje, de uma quanlia infima de RS 200 000,00 (duzentos mil reais) Propos, entao,
ao vencledor, o seguime: vai pagar os duzentos mil, como uma entrada, eo saldo restante sera
quitado em vinte e quatro parcelas mensais e de mesmo valor, sendo a primeira clelas paga
ao final do primeiro mes ap6s a cornpra. A queslfio perguntard qual o valor dessa prestac;ao
cxtravagdncias
o em sua mao!
ria . cloravante,
a de um banco
era acumulado
mensa! que jofro ira pagar
Vamos ao desenho Quanta custa o apanamento? Costa RS 800 000,00, se for pago hoje,
000, 1000,
t j
certo? E hoje e data zero. Entao, temos na data zero, urn im6vel cujo valor monetftrio e de
R$ 800 000,00
0 desenho inicial sera, portanto:
800 000,00
mes, significa
e tempo cons-
a de aplicac;Oes
e
·x
(porque
Agora. vamos raciocinar o seguinte: se o enunciado falou que sera paga uma entrada, em
que data se paga uma entrada numa compra qualquer? Ora, obviamente que se paga a entrada
no dia cia compra, certo? Dai, tambcm para cfcitos clidciticos, desenharemos o valor cia entrada
(assim tambem como os valores das parcclas mensais) com uma seta para baixo Teremos:
X
800.000,00
000, 10 0,
o de uma outra
ado para cima
200 000,00
Eo que esta faltando agora ao nosso desenho?
E clara que apenas o valor da entrada nao
paga todo o apanamento, de modo que joao jinanciou o saldo que aincla falta pagar em 24
presta<;6es iguais
m
Matem<itica Financeira Simplificada para Concursos- SCrgio Carvalho & Weber Campos
Oesenhanclo agora as presta<;6es, chamanclo-as todas de ·'p'·, por cxernplo, teremos
0
seguime:
800 000.00
h
Ill! Ill! Ill!! !llllllll!
PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
200 000,00
A sittwt;:ao~padn1
1.2. As Cinco Faces da Matematica Financeira de Concursos
uma data futura e d
Estamos aqui di
Veremos. enfim, que a Matematica Financeira, tal como e cobrada em provas de concursos
pl1blicos, e como uma estrela de cinco pontas Haven't, basicamente, cinco situac;6es modelo,
entre as quais poderemos enquadrar, par assim dizer. qualquerquestao de prova clesta materia
Passemos a conhecer essas situa~Ocs-padn1o
12,3. Terceira Si
Passemos ao terc
trinta elias. Deseja-s
1.2.1. Primeira
para este pagamento
Situa~ao-Padrao
elias, com parcelas d
Reponaremos ao primeiro exemplo aqui ilustraclo, em que tfnhamos uma quantia de
R$ 1 000,00 hoje e desejdvamos saber o quanta valeria esse dinheiro numa data futura (no
caso, trCs meses ap6s hoje)_ E chegamos ao primeiro desenho-modelo:
Montante
Capital
t
0
lm
2m
I
3m
0 que e essencia
substitui~ao, uma m
Neste caso, cham
Este modelo especifico de questfio apresenta a seguinte situw;c1o~padrc1o: dispomos de urn
llnico valor monet<irio em uma determinada data (eventual mente a data zero), e queremos
pn:jctar esse valor inicial para uma data futura
Quando nos depararmos com uma situa~ao semclhante a essa, saberemos que estamos
diante de uma operac;ao de JUROS
na forma originalrn
original (e designar
Estaforma migil
parcel as de mesmo
forma de pagamcnlo
E bastante intui
I.2.2 . Segunda Situa~ao-Padrao
Voltando ao segundo exemplo apresentado (vide pagina 4) tinhamos uma clivida de
R$ 5 000,00 a ser paga daqui a trCs meses Decidimos antecipar esse pagamento e quitar a
divida hoje Eis nosso segundo desenho-modelo:
contratada para pag
que a segunda form
Estamos. portan
plo, teremos
m
Capitulo 1 - Conceitos lniciais
ampos
0
Valor Nominal
Valor atual
lll!
PPPP
t
0
I
2m
lm
3m
A sittwt;:ao~padn1o acima ilustracla e a seguinte: dispomos de um Unico valor monetUrio em
uma data futura e dcsejamos projctar esse valor futuro para uma data anterior
Estamos aqui diante de uma opera~ao de Dcsconto
as de concursos
uac;6es modelo,
12,3. Terceira Situa~ao-Padrao
a clesta materia
Passemos ao terceiro exemplo: havia uma clivida de R$ 3 000,00, que teria de ser paga em
trinta elias. Deseja-sc . comudo, alterar (substituir, modificar) a data original mente combinacla
para este pagamento . de forma que a tal elf vida venha a ser quitacla nas claws sessenta e novema
elias, com parcelas de mesmo valor 0 desenho a que chegamos foi o seguinte:
uma quantia de
data futura (no
z
0
X
30d
i
60d
(I)
([I)
X
------'-:-----'--:--1__j
90d
(III)
0 que e essencial neste lipo de questao eo seguinte: havera uma troca, uma altera~ao, uma
substitui~ao, uma moclificac;ao na forma de cumprir cleterminada obrigac;ao
Neste caso, chamamos aqui de valor "Z" o valor monetUrio que deveria quitar a obrigac;ao,
na forma originalrnente proposta, a qual chamaremos de primdra obriga(cio, ou obriga~cio
ispomos de urn
ro), e queremos
original (e designaremos par 'T·)
os que estamos
parcel as de mesmo valor, as quais chamamos aqui de '·X". e que constituirao a nossa scgwula
Estaforma migilwl de pagamcnto foi substitufda poroutra, que no exemplo consiste em duas
forma de pagamcnlo . ou scgwulc! obrigc1~clo . pelo que as clesignaremos par "Ir·
E bastante intuitivo afmnar que, se havia uma clfvicla e foi alterada a forma originalmeme
contratada para pagd.-la, para que nern eu e nem o meu credor saiarnos perclendo, C preciso
uma clivida de
mento e quitar a
que a segunda forma de pagamento seja cquivcJicntc a primeira
Estamos. portanto. cliante de uma operac;ao de Equivalencia de Capitais
Matemcitica Financeira Simplificada para Concursos- SCrgio Carvalho & Weber Campos
124 Quarta
-------
Situa~ao-Padrao
No prOximo exemplo, trazido a p<igina 6, vimos o caso dejoao, aquele que nao conseguia
"torrar" o sal<irio (que situaG3.0, hein?) e que resolvcu fazer depOsitos sucessivos e pericic\icos,
de quantias de mesmo valor, para resgatar tudo numa data futura
0 clesenho desta situac;ao foi o seguinte:
X
r
p
1.3. Os Regimes
feitas essas consid
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
nos acompanhara ao
A Ma
A sitrwctio-padrao aqui
e esta: haven1 uma seqnencia de depOsitos de
parcelas de mesmo
valor, aplicadas sempre em intervalos de tempo iguais E se deseja conhecer o resultado de
Havera . enUio, o
todas essas aplicac;6es em uma data futura
Estamos aqui diante de uma operac;ao que poclcrd vir a ser chamada de Rendas Ccrtas,
caso estejamos trabalhando em um detenninado regime, sabre o qual falaremos em breve
Qualquer operac;
enquaclrada dentro d
Sabendo disso, d
de matem<itica financ
regimes estamos trab
No Ultimo exemplo que apresentamos, a situac;ao era a de uma compra a prazo Tinhamos
lsso por uma raz
uma quamia inicial, um valor moneta rio, que seria pago, liquidado, amortizado, em varias
por exemplo, se esta
prestac;6es
sucessivas e peri6dicas - de mesmo valor!
problema; se estiver
E evidentc que s
X
qual clos regimes est
t
~p ~p ~p ~p ~p ~p ~p ~p ~p ~p
Se a questao
lp
~p ~p ~p ~p ~p ~p ~p ~p ~p ~p ~p ~p ~p
Esw situacc1o-padriio ilustra uma operac;ao que chamaremos de Amortiza(,;fto
ed
Simples ou com juro
Sc a qucstao e de
Desconto Composto
Sea questao e de
Simples ou Equivale
Aprenderernos, a
L2 . 6. A Estrela
De uma forma simpl6ria, destnrte, podemos ilustrar a Matem::\tica Financeira cancursiva
como sendo a seguime estrela:
fanlo ter certeza de e
jamais esquecer:
identificar o Regime
Capitulo I - Conceitos lniciais
ampos
OD
-----------~~=====---------~
juros
e nao conseguia
os e pericic\icos,
X
Rcnclus Ccrtas
Amortiza<;,1o
1.3. Os Regimes da Matematica Financeira
feitas essas considerac;6es iniciais, passemos para uma inforrnac;ao imponantfssima e que
p
celas de mesmo
nos acompanhara ao Iongo de todo o nosso curso:
A Matematica Financeira se divide em dois grandes blocos,
aos quais chamaremos de regimes.
r o resultado de
Rendas Ccrtas,
mos em breve
Havera . enUio, o Regime Simples eo Regime Composto,
Qualquer operac;fto de Matem<i.tica Financeira, seja cia qual for, estarci necessariamente
enquaclrada dentro de urn desses regimes
Sabendo disso, daqui em diante, sempre que formos iniciar a resoluc;ao de uma questao
de matem<itica financeira, nossa primeira preocupac;ao sera a seguime: identificar em qual dos
regimes estamos trabalhando, se no regime simples ou no composto
razo Tinhamos
lsso por uma razao muito clara: quando estivermos analisando um enunciado de Juras,
zado, em varias
por exemplo, se esta operac;ao estiver no regime simples, encontraremos uma resposta para o
~p ~p ~p ~p
;fto
ceira cancursiva
problema; se estiver no regime composto, a res pasta geralmente sera diferente
E evidentc que s6 temos uma resposta correta na questao! Logo, se nao soubermos em
qual clos regimes estamos trabalhando, corremos serio risco de chegar a uma resposta errada
Se a questao
e de juros,
haveni duas possibilidades: estarmos trabalhando com juros
Simples ou com juros Compostos
Sc a qucstao e de Desconto, havera igualmente duas possibilidades: Desconto Simples ou
Desconto Composto
Sea questao e de Equivalencia de Capitais, novamente as duas possibilidades: Equivalencia
Simples ou Equivalencia Com pasta
Aprenderernos, ao estudar cada assunto, quais os si11ais presentes no enunciado . que nos
fanlo ter certeza de estar trabalhando em urn regime ou outro
jamais esquecer: temos obrigac;ao, antes de iniciar a resolU<;flo de qualquer questao, de
identificar o Regime
em
Matem<itica Finance ira Simplificada para Concursos- SCrgio Carvalho & Weber Campos
Neste livro, trabalharcmos a scguinte scqOCncia: primcirameme estuclarcmos o Regime:
Simples, operac;Oes dcjuros Simples. de Desconto Simples e de Equiva!Cncia Simples Somen~
te cntao passaremos ao Regime Composto . e estudaremos os juros Compostos, o Desconto
Composto, a Equivalencia Composta, as Rendas Certas e a Amoniza~ao
Alem disso, dedicaremos a maior pane do nosso estudo a resolw;;J.o de quest6es de diversas
provas anteriores. cmre as quais as de Auditor-Fiscal cia Reccita Federal
Nossa mew C que, ao final. a Matem<itica Financeira deixe . definitivameme, de ser urn
problema, e que passe a ser uma vantagem para n6s que ela seja exigida nos concursos!
2.1. lntrodw;ao
Encerramos o ca
nanccira
os chama
aprcndemos que qua
drada em um ou em
iniciar sua reso!LH;Jo
Daremos agora in
prccisamos saber sab
2.2. Opera~ao d
No Capitulo 1, fo
poderiam estar prese
Uma daquelas si
seguintes circunst<'in
supor que esse dinh
durante alguns mese
Dai, o dono do dinhe
travcsseiro (o \ocalm
scja necessaria; ou, n
de poupanc;a e deixa
No primeiro cas
quantia, encontrar<i
c\aramente que o di
chamamos de Lei F
como transcorrer d
escondido no traves
Campos
arcmos o Regime:
Capitulo2
Simples Somen~
ostos, o Desconto
Juros Simples
est6es de diversas
meme, de ser urn
s concursos!
2.1. lntrodw;ao
Encerramos o capitulo anterior falando sabre os clois grandes blocos cia Matematica Financcira
os chamados regimes Vimos que existem dois regimes, o Simples eo Composto e
aprcndemos que qua!quer questao de matematica financeira, necessariamcnte, estara enquadrada em um ou em outro regime,. o qual tera que ser previamente identificado, antes de se
iniciar sua reso!LH;Jo
Daremos agora inkio aoestudo do Regime Simples, comec;ando por aprender tuclo o que
prccisamos saber sabre os Juras Simples
2.2. Opera~ao de juros: o que
e?
No Capitulo 1, foram apresentadas algumas situac;6es envolvendo valores monet<irios que
poderiam estar presentes em quest6es de prova
Uma daquelas situac;6es - a qual chamamos de plimcira situcu;do-padrao - envoi via as
seguintes circunst<'incias: a!guem disp6e hoje de um determinado valor em dinheiro Vamos
supor que esse dinheiro estara disponivel porum determinado periodo de tempo Ou seja,
durante alguns meses, esta quantia nao seria necessaria para nada, estaria livre, por assim dizer
Dai, o dono do dinheiro lem duas possibilidades: poderia ele esconder o dinheiro embaixo do
travcsseiro (o \ocalmais seguro de sua casal) e deixar o tempo corrcr ate que o uso do dinheiro
scja necessaria; ou, numa segunda hip6tese, poderia ira uma agenda banc<lria, abrir uma coma
de poupanc;a e deixar aquele dinhciro aplicado pelos meses em que nao fosse precisar dele
No primeiro caso, e imediato concluirmos que, no dia em que o dono for retirar a sua
quantia, encontrar<i somente o mesmo valor que fora escondido Ora, neste caso, vemos
c\aramente que o dinhciro ficou paraclo com o passar do tempo Mas j<l sabemos que (e ate
chamamos de Lei Fundamental), na Matem<i.tica Financcira, o dinheiro nunca fica parado
como transcorrer do tempo Logo, conclufmos: essa primeira opc;;ao, de gum·dar o dinheiro
escondido no travesseiro, nao e, clefinitivamcnte, uma operac;ao cia Matem<itica Financeira
Carvalho & Weber
Matemcltica Financeira
--------
A segunda possibilicladc vista acima produz outro resulwdo Quando o dono do clinheiro
meses ap6s ter feito a sua aplicac;;ao, se dirigc ao banco para fazer a rctirada (o saque),
'
•
mente que recebera urn valor rnaior do que aquele que havia aplicado. Estamos aqui
de uma operac;;ao da Matcmatica Financeira . pais pcrcebcrnos facihncnte que, neste 'C!lUtldo
caso, o dinheiro nao ficou para do corn o passar do tempo, mas cresccu de valor Se quisermos
clesenhar esta situar;;ao, o faremos cia seguintc forma:
estani prcsente nao a
Taxa (i):
Agora, passaremo
nossa materia
Quando aprende
005
questionar o seg
constantemente mov
E a resposta e es
Montante
C a [ __ _
__,f
0
n (Tempo)
Como vimos no capitulo anterior, essa situcu;do-padrao, em que se disp6e de um valor inicial
e se deseja conhecer o quanta esse valor representant em uma data futura . e exatamente o que
chamamos de uma Opera<;iio de juros
2.3. Elementos de uma
Opera~;ao
de juros
Pelo desenho acima . ja come~amos a conhecer alguns dos elementos de uma operar;;ao
de Juros
•
Capital (C):
Eo nosso primeiro clemente Significa apenas aquele valor inicial, conhecido no comer;;o
cia operar;;ao Enfim, C o valor que sera aplicado, que sera investido e que, com o passar do
tempo, cresceni Sera designado par um ··c· (maillsculo)
•
Tempo (n):
Ja foi comentado sabre a imponancia do fator tempo e sabre a linlw do tempo. Vimos que ele
estard envolvido em todas as nossas quest6es, porque estaremos sempre interessados em saber
como se componarao as valores monetarios fornecidos par um enunciado, como transcorrer
dos elias, meses, anos etc Sera designado par "n'· (minltsculo)
•
Montante (M):
0 Montante eo resultado cia operac;;ao de Juras Representa apenas o valor do resgate, au
seja, o valor que sera retiraclo ao final cia operac;fto de juros Obviamente que, se na Matem{ltica
Financeira o dinheiro nunca fica parade, o valor do Montante (retirada) sera, necessariamente,
maior que o valor do Capital (aplicac;;ao) Caso contrario, o dinheira estaria parade, e nfto
estarfamos no ambito de uma operat;;ii.o financeira Este elemento sera designado par "M"
(maiftsculo)
cresr;;a de valor com
com a retrocedcr do
da magica·'
Eo que e a taxa?
Trata-se de urn v
cxcmplo: "2% ao dia
ao quadrimestre", au
Concluindo, tod
2J parte, a unidade d
Sabendo esse co
formas que ela pode
de taxas de juros:
-7 juros de
-7
-7
juros de
juros de
Vimos que exist
clemente taxa pocle
cstivermos trabalha
Destarte, haver{t
e havera a taxa de na
Faremos, neste c
taxa sera sempre de
•
Juros (j):
0 quinto e Ultim
onde aparecer{t esse
J;i sabemos que
operar;;ao, resgatamo
tante (M) Pais bern
(resgatado) eo valo
[T5J
Capitulo 2- juros Simples
--------------===~===-----------~~
ono do clinheiro
(o saque),
'
•
amos aqui
e, neste 'C!lUtldo
lor Se quisermos
estani prcsente nao apen as nas operac;Oes de Juras, mas em todos as tipos de operar;;6es desta
e um valor inicial
exatamente o que
de uma operar;;ao
ecido no comer;;o
com o passar do
po. Vimos que ele
essados em saber
omo transcorrer
or do resgate, au
se na Matem{ltica
necessariamente,
ia parade, e nfto
signado par "M"
Taxa (i):
Agora, passaremos a conhecer o elemento crucial cia Matematica Financeira Este elcmento
nossa materia
Quando aprendemos que na nwtemdtica_{tncmccira o dinheiro mmca fica parado, podemos
005
questionar o seguime: '·qual
e o elemento
responsave! par realizar esta mdgica de estar
constantemente movimentando os valores monet<'trios numa opera<;5.o financeira?"
E a resposta e esta: a Taxa Co clemento da "mcigica" E a taxa que faz com que o dinheiro
cresr;;a de valor com o avan(ar do tempo;
e e!a
que faz com o dinheiro reduza de valor
com a retrocedcr do tempo Enfim, podemos guardar essa frase: "a Taxa
eo
elemento
da magica·'
Eo que e a taxa?
Trata-se de urn valor percentual, seguido de um pcriodo de tempo ao qual se refere Par
cxcmplo: "2% ao dia'', au '"5% ao mCs", au "8% ao bimestre", au ··11% ao trimestre'.. , ou '·1596
ao quadrimestre", au "18% ao semestre", au '·30% ao ana'" etc
Concluindo, toda taxa de juros e fonnada par duas panes: 1~parte, o valor percentual; e
2J parte, a unidade de tempo
Sabendo esse conceito, poderemos identificar melhor uma taxa de juros nas diversas
formas que ela pode vir escrita em um enunciado de uma questao Vejam outros exemplos
de taxas de juros:
-7 juros de 10% em clois meses (= 10% ao bimestre)
-7
-7
juros de 20% em 2 bimestres (= 20% ao quadrimestre)
juros de 15% em 3 meses e 10 dias
Vimos que existem dais tipos de regime na Matematica Financeira Da mesma forma, o
clemente taxa pocleni. ser de duas naturezas Conforrne seja a natureza cla taxa com a qual
cstivermos trabalhando, saberemos se estamos no regime simples ou no regime camposto
Destarte, haver{t a taxa de natureza simples, au tctxa simples, ou ainda tctxa no regime simples;
e havera a taxa de natureza composta, ou taxa composta, au lctxa no regime composto
Faremos, neste capitulo, uma analise melhor acerca cia natureza de uma taxa de juras A
taxa sera sempre designada par·' i" (minUscule)
•
Juros (j):
0 quinto e Ultimo clemente de uma operat;;clo de Juras eo dono do assunto Mas, exatamente
onde aparecer{t esse elemento Juras nesta nossa opera\=ao financeira?
J;i sabemos que aplicamos um valor chamado Capital (C); ja sabemos que, ao final da
operar;;ao, resgatamos (retiramos) um valor rnaior que o Capital, ao qual chamamos deMontante (M) Pais bern, Juras serao ninguem menos que a diferenc;a entre o valor do Montante
(resgatado) eo valor do Capital (aplicado)
Matem<ltica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campus
05 juros represemarao o qu<:lmo ··crc5cctt'"" o 110550 Capital Em outras palavras..]uros scrao
o quamo rcndcu o 1105so Capital Por isso, um sin6nimo de juros e a palavra rcndimcnto Se
alguem pergunta: "qual foi seu rcndimento nesta operac;;ao?" . estara, na vcrclacle, questionando
sabre o valor clos juros
llustrativameme, teremos:
Montante
CT.?! ...... __ ......... _....... -1>
juros
------
ou
seja a classi
o~t com]JOsta
.
.
,]cs·
S!111f
• se for uma
Dai, j<i concluimos:
. ]·s
SIIIIP
L
ou sc composto
Vamos tamar um
fcrenc;a cia natureza
Suponhmnos qu
prccisar desse clinh
ccira e aplicar esse
0
n
qual sera a valor qu
(Tempo)
de 10% ao mes
Aqui, iremos tra
Da figura acima, jd estamos aptos a conhecer a primeira equac;;5.o do livro. a qual valera
para toda e qualquer opera~ao de juros, seja ela no regime simples ou no regime composto.
Ea seguinte:
J=M-C
1ll}
com um
2!.!)
com um
Solw;ao I- Taxa S
No inicio do pri
Obviamente que essa mesma equac;;ao pode assumir cluas outras formas . quais sejam:
ao Iongo do primeir
teremos:
Essas sao equac;;6es visuais Basta desenharmos os elementos de uma operac;;fio de Juras,
como fizemos acima, e jd visualizarcmos essas formulas
Sao esses, ponanto, os cinco elememos de uma operac;:ao de Juras:
~
~
~
~
~
Capital (C);
Montante (M);
juros OJ;
Taxa (i);
Tempo (n)
Cabera a n6s tentarmos identificar no enunciado tais elementos
Este resultaclo, R
primeiro mes Logo
nestc primeiro mCs)
R$ 1 100,00 Vejam
Come<;o do 1' m
Dai:
10 x 1.000,00
100
No segundo me
2.4. A Natureza da Taxa
Vimos ha pouco que a taxa e um clemente universal. uma vez que estara prcscnte em todos
os assumos da matemdtica financeira Vimos que cia e a respons<ivel pela mdgica de movimentar os valores monet<irios na linlw do tempo. Para um valor maior, se estamos avan(ando
no tempo; para um valor menor, se estamos rccuando. E vimos, finalmente, que a taxa podc
ser de duas 1WlHrc::as Dizemos isso quando estamos fazenc\o uma primeira e mais ampla
classificac;:ao de uma taxa
inciclira sabre quem
anterior (R$ 1 100,
Aqui
e que entr
A nat
Campus
avras..]uros scrao
ra rcndimcnto Se
cle, questionando
Capitulo 2 -Juras Simples
[UJ
------------=~~==~--------~
ou
seja a classifica<.;<lo mais gcral de uma taxa qualquer C a seguimc: cia podcr<i ser
o~t com]JOsta
Se for uma taxa de natureza simples, estarcmos traba\hanclo no regime
.
.
,]cs·
se
for
uma
taxa
composto
S!111f
•
• de naturFa
- composta ' cstaremos trabalhando no reg-ime
...
Dai, j<i concluimos: e a natureza da taxa quem define o regime da operac;;ao. se simples
. ]·s
SIIIIP
L
ou sc composto
Vamos tamar um exemplo muito simples, e apenas ilustrativo, para tentar e1Lxcrgc1r a difcrenc;a cia natureza cia taxa simples c composla numa operac;ao de juros
Suponhmnos que eu tcnha, hojc, uma quantia de R$ 1 000,00 (mil reais), e nti.o vou
prccisar desse clinheiro nos pr6ximos trCs meses Decicli, emao, fazer uma operac;ao finan-
ccira e aplicar esse Capital (de R$ 1 000,00) durante o tempo de tres meses Desejo saber
qual sera a valor que irei rcsgatar (Montante), se nesta minha operac;ao incidir<i uma taxa
de 10% ao mes
Aqui, iremos trabalhar com os dais casas:
ro. a qual valera
egime composto.
1ll}
com uma tcLWi simples de 10% ao mes; c
2!.!)
com uma taxu composta de 10% ao mes
Solw;ao I- Taxa Simples de 10% ao mes.
No inicio do primeiro mes, tinhamos R$ 1 000 . 00 E nossa taxa C de 10% ao mes Logo,
quais sejam:
ao Iongo do primeiro mcs, nossa taxa (10%) incidini sabre o valor do Capital De forma que
teremos:
10 X 1.000,00 = 100,00
100
erac;;fio de Juras,
cscnte em todos
mdgica de movi-
amos avan(ando
que a taxa podc
a e mais ampla
Este resultaclo, R$ 100,00, eo quanta obtivemos de rcndimentos, ou seja, dejuros, naquele
primeiro mes Logo, se comec;;amos o primeiro mes com R$ 1 000,00 e ganhamos (tambem
nestc primeiro mCs) juros de R$ 100,00 (cem reais), ent<lo tenninaremos o primeiro mes com
R$ 1 100,00 Vejamos:
Come<;o do 1' mes: R$ 1 000,00
Dai:
10 x 1.000,00 = 100,00
100
~
juros=IOO,OO
~
Fim do 1' mes: R$ 1 100,00
No segundo mes . come<;arcmos com R$ 1 100,00 A nossa taxa simples de 10%, agora .
inciclira sabre quem? Sobre o capital (R$ 1 000,00) ou sabre o resultado da operaciio no mes
anterior (R$ 1 100,00)?
Aqui
e que entra a natureza cia laxa
A natureza da taxa simples e de tal forma que, a cada periodo
da aplicac;ao, incidira sempre sobre o valor
do Capital Inicial.
---------
Matemoitica Financeira Simplificada para Concursos- SCrgio Carvalho & Weber Cam~o:Cos:__ __
Oaf, no segundo mes_ ocorrer<i o seguinte:
Este valor encomr
tenninaremos com
Come,o do 2' mes: R$ 1 100,00
0
Oaf:
igual a primeira solul;
~
x 1 000,00 = 100.00 -7 Juras= 100,00 -7 Fim do 2' mes: R$ 200,00
100
Ou seja, linhamos R$ 1 100,00, ganhamos mais R$ 100.00 de juras . e terminamos
Ou seja:
Come, a do 1' me
0
segundo mes com a quantia de R$ 1 200,00
E no terceiro mes? Sabre quem incidira a nossa taxa simples de 10% ao mes? Sabre
0
Capital, obviamente E par que? Porque esta e a natureza cia taxa simples: a cada perfodo que
passa, na operac;ao de juros, cia incide sempre sobre o valor do Capital Teremos, portanto:
Dai:
10 x 1.000,00 =
100
No segundo mes
que entra a natureza
Come,o do 3' mes: R$ 1 200.00
Dai:
~
A naturez
aplic
x 1.000,00 = 100,00-7 Juras= 100,00-7 Fim do 3' mes: R$ 1 300.00
100
Tenninaremos nossa aplica<;:ao com urn montante de R$ 1 300,00 Construiremos abaixo
uma tabela, para visualizarmos melhor os passes clessa nossa aplica<;:<'io dejuros Simples:
E quem foi o resu
Come<;O do 2' m
Dai:
Meses
Inicio do Mes
Juras
Fim do mCs
(i = 10% a.m.)
1'
2'
3'.1
1000
Canital
1100
10 X 1000 = 100
100
10 X 1000 = 100
100
-10 X 1000 = 100
100
1200
1000 + 100 = 1100
1100 + 100 = 1200
1200 + 100 = 1300
l\·lonlantc
..!:Q_ x LlOO,OO
100
E no terceiro mes
Logo, incidira sabre
Come<;o do 3' m
Dai:
~ x 1210,00
100
Se quisermos ilu
0 que se observa de muito relevante nesta operaGiio acima? Verificamos que as juros
produzidos em cada perfodo e sempre urn valor constante Ou seja, neste nosso exemplo, em
cada mes, tivemos juros de R$ 100,00_ Por que um valor constame? Porque a tco;a simples
incide sempre sabre um mesmo valor, que
Passemos
e o do Capital
a segunda resolw;ao, trabalhando agora com uma taxa composta
Solu,ao II- Taxa Composta de 10% ao mes.
Meses
lnicio d
1'
1000 C
2'
11
3'.1
12
Comet;amos o primeiro mes com R$ 1 000,00 Incidindo sabre este a nossa taxa de 10%,
teremos o seguinte:
~X
100
1000,00 = 100,00
Fazendo uma a
tinhamos os seguin
o mesmo (3 meses)
(Montantes) foram
------------~~~i~implcs_ _ _ _ _ _ _ _ _ _~~
~o:Cos:__ __
0
Este valor encomrado (R$ 100,00) sera os juros produzidos no primciro mes . de forma que
tenninaremos com R$ 1. 100 . 00 Percebamos que ate aqui nossa operac;iio esta exatamente
igual a primeira solul;;ftO (com taxa simples)
0
Ou seja:
Come, a do 1' mes: R$ 1 000,00
terminamos
0
mes? Sabre
0
da perfodo que
mos, portanto:
Dai:
10 x 1.000,00 = 100,00-7 Juros = 100,00-7 Fim do 1' mes: R$ 1 100,00
100
No segundo mes, tomaremos a nossa taxa de 10% e a faremos incidir sabre quem? Ai
que entra a natureza cia tccw composta
A natureza da taxa composta e de tal forma que, a cada periodo da
aplica(ao, incidini sempre sabre o resultado da opera(ao
00
uiremos abaixo
os Simples:
0
0
0
nlantc
no periodo anterior.
E quem foi o resultado do periodo anterior? Foi R$ 1 100,00 Dai, teremos:
Come<;O do 2' mes: R$ 1 100,00
Dai:
..!:Q_ x LlOO,OO = 110,00 -7 Juras= 110,00 -7 Fim do 2' mes: R$
e a tco;a simples
ta
l 210,00
100
E no terceiro mes, faremos nossa taxa de 10% incidir sabre quem? Ora, a taxa e composta
Logo, incidira sabre o resultado cia opera<;:ao no periodo anterior! Teremos:
Come<;o do 3' mes: R$ 1 210,00
Dai:
~ x 1210,00 = 121,00-7 Juras= 121,00-7 Fim do 3' mes: R$ 1.331,00
100
Se quisermos ilustrar numa tabela a operar;iio que fizemos acima, teremos:
s que as juros
o exemplo, em
e
Meses
lnicio do Mes
1'
1000 Capital
2'
1100
3'.1
1210
Juras
(i = 10% a.m.)
10 X 1000 = 100
-
a taxa de 10%,
100
-10 X 1100 = 110
100
-10 X 12\0 = 121
100
Fim do mCs
1000 + 100 = 1100
1100+ 110= 1210
1210 + 121 = 1331
Montante
Fazendo uma analise entre as duas resolw;6es acima, veremos que em ambos os casas,
tinhamos os seguinte clades: o Capital era o mesmo (R$ 1 000,00); o tempo da opera,ao era
o mesmo (3 meses); e a taxa era a mesma (10% ao mes) Por que, entao, os resultados finais
(Montantes) foram distintos?
Matermitica Financeira Simplificada para Concursos
20
Devido
a natureza da
--
Sergio Carvalho & Weber Campos
Oaf, aplicando
taxa . Na simples, ela incidia sernpre sobre o Capital; na composta
sobre o resultado da operac;ao no periodo anterior.
'
-7
Caso estejam
-7
Caso estejam
-7
Caso, finalm
0 que podernos observar de scmelhantc, ern terrnos de resultado, nas duas operac;oes? A
sernelhanc;a esta no resultado do prirneiro mes. Ambos foram iguais a R$ 1 100,00 Dai, extrairnos uma informac;ao que podera nos ser muito (!til no futuro se estivermos fazendo uma
operac;ao de juros que em·olve um unico periodo, tanto faz usarmos os juros simples quanto
os juros compostos, que o resultado sera o rnesmo
Estes exemplos acima sao apenas ilustrativos. Na verdade, nao e assim que resolveremos
nossas questoes de juros simples nem de juros compostos. A intenc;ao era apenas a de nos
fazer comec;ar a visualizar a distinc;ao entre a natureza de uma taxa no regime simples e no
regime composto .
A forma que usaremos para resolver as questoes de Juros Simples e a que aprenderemos
agora.
Agora, vem a i
acima, e usar os d
2.5. Resolvendo uma Questao de juros Simples
cumprir uma exig
Nao utilizaremos formulas pre-construidas para as questoes de Juros Simples, a nao ser
aquela que ja aprendemos, que e, podemos dizer, uma formula fundamental dos juros, scrvindo
Exigencia d
Ea seguinte:
para qualquer dos regimes - simples ou composto:] = M - C.
De resto, faremos uso, (mica e exclusivamente, do desenho abaixo:
Ou seja, se est
mos que usar o tem
M
100
l.______J_ _ _ _
i.n
- - .~r
temos que usar o
Em outras pala
100 +in
as unidades de ta
a resolw;;ao
da qu
unidade. Vamos j
A partir deste desenho, formaremos equac;oes envolvendo dois elementos entre Capital,
Juros e Montante . Ou seja, trabalharemos ou com Capital ejuros; ou com Capital e Montante;
ou, finalmente, com Juros e Montante. Para cada um destes elementos, teremos uma frac;ao.
E para saber qual sera a frac;ao, basta olharmos para o desenho. Teremos
-7
Frac;ao do Capital
C
100
-7
Frac;ao do Juros
]
Frac;ao do :tvlontante.
Nao vale apenas
rnatica Financeir
Desse modo, q
juros Compostos
Amortizac;ao, ern
i.n
-7
A exigencia vi
M
--(lOO+in)
terernos que trab
--
Campos
Capitulo 2- Juras Simples
em
Oaf, aplicando o metodo acirna, poderemos utilizar as seguintes equac;oes
tal; na composta
'
-7
Caso estejamos trabalhando com Capital e Juros, teremos
uas operac;oes? A
_f_ =j_
100,00 Dai, exmos fazendo uma
100
s simples quanto
-7
i.n
Caso estejamos trabalhando com Capital e Montante, teremos:
C
100
que resolveremos
M
100 + i . n
apenas a de nos
me simples e no
-7
Caso, finalmente, estejarnos trabalhando corn Juros e Montante, teremos
i.n
ue aprenderemos
imples, a nao ser
dos juros, scrvindo
tos entre Capital,
pital e Montante;
emos uma frac;ao.
M
100 + i . n
Agora, vem a inforrnac;ao mais irnportante do assunto: para poderrnos aplicar o metodo
acima, e usar os dados fornecidos pelo enunciado nas nossas equac;oes, teremos antes que
cumprir uma exigencia .
Exigencia do Metodo dos Juros Simples:
Ea seguinte:
Taxa e tempo devem estar na mesma unidade.
Ou seja, se estivermos trabalhando, por exemplo, com uma taxa ao mes (taxa mensa!), temos que usar o tempo em mescs; se estivermos trabalhando com uma taxa ao ana (taxa anual),
temos que usar o tempo em anos; e assirn por diante
Em outras palavras, temos que trabalhar, sempre, com taxa e tempo na mesma unidade. Se
as unidades de taxa e tempo estiverem incompativeis (diferentes), nao poderemos dar inicio
a resolw;;ao
da questao de forma imediata Teriarnos antes que coloca-las ambas na rnesma
unidade. Vamos ja aprender a fazer isso .
IMPORTANTISSIMO:
A exigencia vista acima, de utilizarrnos TAXA e TEMPO na mesma unidade, e universal
Nao vale apenas para o assunto de Juros Simples Ou seja, ern todos os assuntos da Maternatica Financeira, teremos que curnprir essa exigencia.
Desse modo, quando formos estudar Desconto Simples, Equivalencia Simples de Capitais,
juros Compostos, Desconto Composto, Equivalencia Cornposta de Capitais, Rendas Certas e
Amortizac;ao, ern todos esses assuntos estarao presentes os dois elementos- Taxa e Tempo. E
terernos que trabalhar corn ambos, necessariarnente, na rnesrna unidade.
mJ
•
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Outra forma de
Primeiras Quest6es de ]uros Simples:
Exemplo 1 - Urn capital de R$ 1.000,00 e aplicado a juros simples, durante urn
periodo de 3 meses, a uma taxa de 10% ao mes. Qual o valor a ser resgatado?
da esquerda) e juro
Soluc;:ao: Por primeiro, teremos a preocupac;ao de identificar o assunto da questao Ora, o
enunciado falou em elementos como capital, taxa e tempo de aplicac;ao Sao todos elementos
de uma operac;ao de juros. E ainda disse, expressamente, que o capital foi aplicado a Juras
dais e chegariamos
tenninariamos o va
simples Entao, nao resta mais duvida alguma. estamos diante de uma questao de juros.
A segunda grande preocupac;ao, ap6s identificar o assunto da questao, sera identificar o
regime. Aqui, essa informac;ao ja foi revelada de maneira expressa, como vimos. 0 regime
que estamos trabalhando e o simples Logo, questao de Juras simples
Se a questao e de juros simples, iremos resolve-la por meio do esquema ilustrativo dos
Mas, a questao
lembraremos que.:
M =C
Uma observac;:ao
juros simples:
M
lan~·ar os dados na
seja, o valor da taxa
Se fosse 15%, usari
trabalhando nos jur
100 rL______J_ _ _ ____.1 100 +in
i.n
0 enunciado nos forneceu o capital (RS 1000,00) e esta pedindo o valor a ser resgatado,
ou seja, esta pedindo o montante. ja sabemos que e preciso cumprir uma exigencia. que
taxa e tempo estejam na mesma unidade. Aqui, foi dado que a taxa e mensa! (10% a.m) e
o tempo de aplicac;ao do capital esta tambem em meses (3m) Substituiremos os dados que
temos na representac;ao acima. Podemos, primeiramente, calcular o valor de (i n) Temos
que i . n = 10 x 3 = 30 . DaL
0 outro tipo de
de notac;:ao, se a ta
taxa e 5%, usamos
L Utilizaremos ess
Regime Composto
Exemplo 2 - Urn
mes), durante ur
opera~ao?
Soluc;ao Primeiram
1000
M
na data inicial e q
J
numa operac;ao de
Releiamos o enunci
--------~ 100 + 30
100 iL..._ _ _ _ _
J
30
Nenhuma. Quando
nada dispuser ace
o regime simples.
Usando as colunas da direita (do montante) e da esquerda (do capital), podemos montar
Ha dais outros
a seguinte igualdade
M
130
1000
100
--=--
Por enquanto, fica
aclotaremos o simp
Resolvendo a equac;ao, teremos.
M
130
-
1000 -7 M = 130 x lO -7 M
100
= --
de uma questao d
composto. Estes c
Condusao: esta
=
1300,00 -7 Resposta!
mpos
Outra forma de resolver essa questao seria trabalhando com os elementos Capital (co/una
durante urn
resgatado?
da esquerda) e juros (co/una do meio) Dai, conhecendo previamente o valor do capital, de-
uestao Ora, o
dos elementos
plicado a Juras
de juros.
ra identificar o
mos. 0 regime
dais e chegariamos ao valor do montante Vejamos
ilustrativo dos
a ser resgatado,
exigencia. que
a! (10% a.m) e
os os dados que
de (i n) Temos
odemos montar
tenninariamos o valor dos Juras E, finalmente, conhecendo capital e juros, somariamos os
1
30
=
1000
-7 j = 30
100
X
10 -7 j
= 300,00
Mas, a questao nao quer saber o valor dos juros e, sim, o valor do Montante Dai, nos
lembraremos que.:
M = C + J -7 Dai M = 1000 + 300 -7 E M = 1300,00 -7 Resposta!
Uma observac;:ao muito importante vimos que nas duas resoluc;6es acima, quando fomos
lan~·ar os dados na equac;ao, na hora de colocar a ta.'Ca, usamos a notac;:ao percentual. Ou
seja, o valor da taxa dada pelo enunciado foi 10% E entao, usamos o valor lO na equac;ao.
Se fosse 15%, usariamos 15. Se fosse 5%, usariamos 5. E assim por diante. Ou seja, estamos
trabalhando nos juros simples com taxas percentuais
0 outro tipo de notac;ao que difere da taxa percentual e a da taxa unitaria. Neste tipo
de notac;:ao, se a taxa e 10%, usamos 0,10 na equac;:ao; se a taxa e 15%, usamos 0,15; se a
taxa e 5%, usamos 0,05. E assim por diante Ou seja, taxa unitaria e aquela em que 100% =
L Utilizaremos esse tipo de notac;ao - a taxa unitaria - quando estivermos trabalhando no
Regime Composto
Exemplo 2 - Urn capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a uma taxa de 5% a.m. (ao
mes), durante urn periodo de urn ano. Qual o valor a ser resgatado ao final da
opera~ao?
Soluc;ao Primeiramente, identifiquemos o assunto da questao. Temos um valor conhecido
na data inicial e queremos saber o quanta ele representara numa data futura. Estamos
numa operac;ao dejuros . Segunda preocupac;:ao saber o regime, se simples ou composto.
Releiamos o enunciado. Alguma vez foi mencionada a palavra simples ou a palavra composto?
Nenhuma. Quando isso acontecer, ou seja, quando o enunciado de uma questao de juros
nada dispuser acerca do regime, se e simples ou composto, por convenc;ao, adotaremos
o regime simples.
Importante:
Ha dais outros casas em que o enunciado nada dira expressamente sabre o regime
de uma questao de juros, mas nos clara sinais para sabermos que estaremos no regime
composto. Estes casas serao vistas a seu tempo, quando tratarmos dos juros compostos
Por enquanto, fica valendo a regra acima se a questao de juros silenciar sabre o regime,
aclotaremos o simples
Condusao: estamos diante de uma questao de Juras Simples .
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
0 enunciado nos forneceu o Capital (RS LOOO,OO) e quer saber o l:v!ontante (o valor do
resgate)" Sera que podemos calcular o valor de i.n? Aincla nilo 1 Epreciso antes que cumpramos
a (mica exigencia deste metoda E preciso ter taxa e tempo na mesma unidade"
A questao nos forneceu taxa mensa! (i = 5% am) e tempo em ano (n = 1 ano).
Dai. teremos duas alternativas a primeira, sera modificar o tempo, alterando-o para a
mesma unidade da taxa, e a segunda, e o inverso deixar o tempo como esta, e modificar a
-
Trata-se de um
eum conceito intui
-7
Se estamo
numa taxa ao ano, p
do que ano; logo, ta
E um ano tem quan
taxa, passando-a para a mesma unidade do tempo
Faremos das duas maneiras Primeiro, se quisennos colocar o tempo na mesma unidade da
taxa, basta apenas dizer que um ano sao doze meses. Dai, teriamos taxa ao mes (i = 5% a.m")
e tempo em meses (n =12m) Eja passamos ao calculo de (in) Temos que i.n = 5 x 12 = 60.
Daqui, ja podemos lan<:;ar os dados na nosso dcsenho
-7
Se estamo
-la para uma taxa a
menor para maior;
Seis Logo, multipli
M
1
1000
100
iL_____J_ _ _ ___, 100 + 60
-7
Se estamo
-la para uma taxa a
menor para maior;
60
Quatro. Logo, mult
Atraves da coluna da direita (do montante) e da coluna da esquerda (do capital), podemos
montar a seguinte igualdacle
M
160
1000
100
--=--
Resolvendo a equa<:;ao, teremos
-7
M = 1000 -7 [v! = 160 x 10-7M= 1.600,00 -7 Resposta!
130
100
A segunda maneira de resolwr esta questao, tornando compatfveis taxa e tempo, seria
alterando a unidade da taxa, transformando-a, neste nosso caso, numa taxa anual Aqui, vai
surgir para n6s um conceito importantissimo
-7
Para passa
naremos assim tax
maior; do menor pa
multiplicaremos po
-7
Para passa
saremos taxa ao se
para o maior, multi
clois. Teremos
2.6. Taxas Proporcionais
Abriremos um parentese na resolw:;ao acima, para apresentar um conceito de taxa que se
E se por ventu
aplicara nao apenas a questoes de Juras Simples, mas a toclo o Regime Simples
Por regime simples, entenderemos questoes de juros simples, de desconto simples, e de
transformar uma ta
equivalencia simples de capitais.
Sempre, e aqui nao existe nenhuma exce<:;ao, que quisermos alterar a unidade de uma
urn ano tem quant
taxa, no regime simples, utilizaremos o conceito de "Taxas Proporcionais".
para taxa ao mes; a
ampos
ante (o valor do
que cumpramos
e"
1 ano).
erando-o para a
a, e modificar a
-
Capitulo 2- juros Simples
Trata-se de um conceito facilimo de ser compreendiclo e aplicaclo Poclemos dizer ate que
eum conceito intuitivo. Senao, vejamos
-7
Se estamos no regime simples, e temos uma taxa ao mes, e queremos transforma-la
numa taxa ao ano, pensaremos assim: taxa ao mes para taxa ao ano; mes para ano; mes e menor
do que ano; logo, taxa menor para taxa maior Do menor para o maior, n6s multiplicaremos
E um ano tem quantos meses? Doze . Entao, multiplicaremos por doze. Teremos:.
Taxa ao mes - - x 12-- >Taxa ao ano
(unidade menor)
esma unidade da
mes (i = 5% a.m")
.n = 5 x 12 = 60.
-7
-la para uma taxa ao ano, pensaremos: taxa ao bimestre para taxa ao ano, bimestre para ano;
menor para maior; do menor para o maior, multiplicamos; um ano tem quantos bimestres?
Seis Logo, multiplicamos por seis. Teremos
Taxa ao bimestre - - x 6 - - > Taxa ao ano
(unidade menor)
-7
a anual Aqui, vai
eito de taxa que se
mples
onto simples, e de
a unidade de uma
nais".
(unidade maior)
Se estamos no regime simples, e temos uma taxa ao trimestre, e queremos altera-
-la para uma taxa anual, pensaremos taxa ao trimestre para taxa ao ano; trimestre para ano;
menor para maior; do menor para o maior, multiplicamos; urn ano tem quantos trimestres?
Quatro. Logo, multiplicaremos por quatro Teremos
Taxa ao trimestre - - x 4 - - > Taxa ao ano
capital), podemos
xa e tempo, seria
(unidade maior)
Se estamos no regime simples, com uma taxa ao bimestre, e desejamos transforma-
(unidacle menor)
-7
(unidade maior)
Para passar, agora, uma taxa simples quadrimestral para uma taxa anual, racioci-
naremos assim taxa ao quadrimestre para taxa ao ano; quadrimestre para ano; menor para
maior; do menor para o maior, multiplicamos; um ano tem quantos quaclrimestres? Ires Logo,
multiplicaremos por tres Teremos
Taxa ao quaclrimestre - - x 3 - - > Taxa ao ano
(unidacle menor)
-7
(uniclade maior)
Para passar, no regime simples, uma taxa ao semestre para uma taxa ao ano, pen-
saremos taxa ao semestre para taxa ao ano; semestre para ano; menor para maior; do menor
para o maior, multiplicamos; um ano tem quantos semestres? Dois" Logo, multiplicamos por
clois. Teremos
Taxa ao semestre - - x 2 - - > Taxa ao ano
(uniclade menor)
(uniclacle maior)
E se por ventura desejassemos fazer o caminho inverso? Por exemplo, se quisessemos
transformar uma taxa simples anual para uma taxa mensa!? Ai pensariamos assim: taxa ao ano
para taxa ao mes; ano para mes; maior para menor; do maior para o menor, n6s dividimos;
urn ano tem quantos meses? Doze" Logo, dividiremos por doze Teremos.
Taxa ao ano - - + 12 - - > Taxa ao mes
(uniclacle maior)
(unidade menor)
Matemiitica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
-7
Se quisessemos, par exemplo, no regime simples, transformar uma taxa semestral
____--------
ou seja, no Reg
numa taxa bimestral, o que fariamos? Pensariamos assim: taxa semestral para taxa bimestral;
Iencia simples de c
semestre para bimestre; maior para menor; do maior para o menor, nos dividimos; urn semestre
se estivesse falando
tern quantos bimestres? Tres. Logo, dividiremos por tres. Teremos
Taxa ao semestre - - + 3 - - > Taxa ao bimestre
(unidade menor)
(unidade maior)
Em suma, trabalharemos com o conceito de Taxas Proporcionais, dessa forma: taxa menor
para taxa maior, multiplica-se; taxa maior para taxa me nor, divide-se Multiplica-se por quanta?
Divide-se por quanta? Pelo numero de vezes que o periodo menor cabc no maior
Outro exemplo: taxa ao ano para taxa ao quadrimestre Ano para quadrimestre; maior para
Vejamos um ex
Exemplo 3 - (ES
equivalente a ta
a) 60,0
b) 1,0
c) 12,0
d) 0,6
e) 5,0
menor, logo, dividiremos; urn ano tern quantos quadtimestres? Ou seja, quantos quadrimestres
Soluc;ao: 0 enunci
cabem num ano? Tres. Logo, dividiremos por tres. Teremos:
Taxa ao ano - - + 3 - - > Taxa ao quadrimestre
samente, que se tra
(unidade maior)
(unidade menor)
Retornemos ao nosso exemplo 2.
Dai, a questao
como dito acima, s
cionaL Entao, trans
de taxas proporcio
•
Voltando ao Exemplo 2:
Recapitulando: temos aqui uma taxa ao mes (i
=
5% am) e urn tempo em anos (n = 1
ano). Para tornar taxa e tempo compativeis, queremos alterar a unidade da taxa, de forma a
Ocone que o en
transforma-la numa taxa ao ano. Estamos no regime simples Logo, utilizaremos o conceito
expressa sob a not
de Taxas Proporcionais Teremos
Taxa ao mes - - x 12 - - > Taxa ao ano
expressar urna taxa
(unidade menor)
(unidade maior)
DaL 5% ao mes - - x 12 - - > 60% ao ano
Agora, sim tempo em anos (n = 1a) e taxa ao ano (i = 60% a aJ ]a podemos calcular o
Relembrando:
-7
Taxa de
-7
Taxa de
-7
Taxa de
valor de i.n que sera utilizado na nossa formula dejuros Simples Temos que: i.n = 60 x 1 = 60
Observemos que o valor encontrado foi o mesmo que utilizando-se o tempo em meses,
isto e, porque o valor do produto Ln independe da unidade de tempo utilizada Se usassemos,
por exemplo, o tempo em bimestres o valor de i.n tambem seria 60 .
Como o valor de i.n eo mesmo, entao teremos as mesmas equac;oes e, e clara, a
resposta M
= 1.600,00 .
E assim por dia
unitarios, como es
Taxa p
IMPORTANTE: Q
2.7. Taxas Proporcionais x Taxas Equivalentes
Quando estivermos resolvendo uma questao de Juros Simples, trabalhando, portanto,
no Regime Simples, e a questao vier falando em "Taxas Equivalentes", entenderemos esse
conceito como sinonimo de Taxas Proporcionais
termo - taxa equi
Regime Simples.
Campos
a taxa semestral
a taxa bimestral;
mos; urn semestre
Capitulo 2- juros Simples
C2IJ
____-------------------~~~~~~~~--------------------~---~L
ou seja, no Regime Simples (questoes de juros simples, de desconto simples e de equivaIencia simples de capitais), se o enunciado falar em Taxas Equivalentes, entenderemos como
se estivesse falando em Taxas Proporcionais.
Vejamos um exemplo, extraido de uma prova da ESAF
orma: taxa menor
ca-se por quanta?
maior
estre; maior para
os quadrimestres
Exemplo 3 - (ESAF) lndique, nas op~oes abaixo, qual a taxa unitaria anual
equivalente a taxa de juros simples de 5% ao mes:
a) 60,0
b) 1,0
c) 12,0
d) 0,6
e) 5,0
Soluc;ao: 0 enunciado nos fomeceu apenas uma taxa mensa! (i = 5% ao mes) e disse, expres-
samente, que se trata de uma taxa de juros simples. Estamos, portanto, no regime simples.
Dai, a questao pede, como resposta, que encontremos uma taxa anual equivalente Ora,
como dito acima, se estamos no Regime Simples, taxa equivalente e sin6nimo de taxa proporcionaL Entao, transformaremos nossa taxa mensa! (5%) numa taxa anual, par meio do conceito
de taxas proporcionais, exatamente da forma como ja aprendemos Teremos
5% ao mes - - x 12 - - > 60% ao ano
o em anos (n = 1
a taxa, de forma a
aremos o conceito
(unidade menor)
(unidade maior)
Ocone que o enunciado pediu que essa taxa anual seja uma taxa unitaria, ou seja, que esteja
expressa sob a notac;ao unitaria. Ja sabemos que ha duas notac;:oes corn as quais podemos
expressar urna taxa: a notar;ao perccntual e a notar;ao tmitcuia . Ja demos exemplos de ambas.
Relembrando:
-7
Taxa de 10%.
-7
Taxa de 15%:
notac;ao percentual 10%
notac;ao unitaria: 0,10
odemos calcular o
e: i.n = 60 x 1 = 60
tempo em meses,
notac;ao unitaria 0,15
-7
Taxa de 7%:
ada Se usassemos,
, e clara, a
alhando, portanto,
entenderemos esse
notac;:ao percentual 15%
notac;:ao percentuaL 7%
notac;ao unitaria 0,07
E assim por diante Voltando
a questao
encontramos uma taxa anual de 60% Em tennos
unitarios, como estaria expressa essa taxa? Da seguinte forma:
Taxa percentual
= 60% -7 Taxa unitaria = 0,60 = 0,6 -7 Resposta!
IMPORTANTE: Quando chegarmos ao estudo do Regime Composto, veremos que esse
termo - taxa equivalente - ganhara um novo significado, diferente do que vimos para o
Regime Simples.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
-------------
Exemplo 4 - (ESAF) Um capital de R$ 14.400,00, aplicado a 22% ao ano, rendeu
R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado?
a) 3 meses e 3 dias.
b) 3 meses e 8 dias.
c) 2 meses e 23 dias.
d) 3 meses e 1 0 dias.
e) 27 dias.
Em outras pal
360 elias e a regra
_ sobre o qual fal
Voltando
a pe
anual por 360 e c
Solw;;ao Primeiro passo identificar o assunto 0 enunciado fa lou em capital, falou em taxa e
fa lou em rendimento (que e sinonimo de juros, conforme ja sabemos) Sao todos elementos
de uma operac;ao de Juros, de modo que nao resta qualquer dt:n·ida sobre isso. Agora, teremos
que identificar o regime da operac;ao . NoYamente o enunciado silenciou acerca do regime,
Oaf 22% ao a
.
Ass1m, o valor
nada declarando a esse respeito. Logo, por convenc;ao, adotaremos o regime simples.
ja sabemos que taxa e tempo devem estar na mesma unidade . Ora, sabemos que a taxa e
anual, pois assim foi fornecida pelo enunciado (i
=
Finalmente, v
22% a a) Eo tempo da aplicac;ao eo que
esta sendo questionado.
Sendo assim. se resolvermos deixar a taxa em termos anuais, como ja esta, encontraremos
como resposta urn tempo de aplicac;ao tam bern em anos, ja que taxa e tempo tern que estar
sempre na mesma unidade
Surge a pergunta: ser<'i que nos com·em trabalhar com a taxa anual e encontrar o tempo
em anos? Como poderemos responder a esta pergunta? Simples olhando para as opc;oes de
resposta da questao. Se todas as cinco opc;6es (a, b, c, d, e) trouxessem respostas como tempo
em anos, ob\·iamente que trabalharfamos com esta unidade; se as opc;oes, de outro modo,
trouxessem os tempos todos em meses, buscarfamos trabalhar com taxa e tempo em meses;
e assim por diante
Porem, obsen·ando as opc.oes de resposta da nossa questao, vemos que trazem o tempo
-7
Oaf 144
10
Para transform
30 elias na matem
sao 90 elias De 90
em duas unidades meses e elias Entao, quando isso ocorrer, como sugestao, trabalharemos
com a menor unidade Entre mes e dia, a menor e dia Assim, procuraremos usar taxa ao dia
e, com isso, encontraremos urn resultado de tempo tambem em elias. Dai, ficara muito facil
transformar o tempo em elias para mcscs c elias como esta na resposta
Exemplo 5- Se
qual e a taxa de
Para transformar, no regime simples, uma taxa anual em uma taxa ao dia, teremos que usar
Soluc;ao Identific
o conceito de Taxas Proporcionais. Eo raciocfnio sera o seguinte taxa ao ano para taxa ao dia;
durante urn cleter
ano para dia; maior para menor; do maior para o menor, dividimos; quantos elias tern um ano?
Irnportante. para responder a pergunta acima, temos que conhecer mais urn conceito o
de juros Comerciais
juro Comercial e aquele que consiclera que toclos os meses do ano tern trinta elias (lm
=
30d) Portanto, segundo essa mesma consiclerac;ao, o ano inteiro tera trezentos e sessenta
elias (la
=
360cl)
renclimento
e sinon
de juros . E o regim
anual?" DaL juros
A ta,xa e tempo
a taxa foi solicitacl
teremos que traba
Este conceito, na 1v1atematica Financeira, e ticlo como regra. Ou seja, caso o enunciado de
P1imeiramente
uma questao nao clisponha de modo contra rio, ou se a questao nacla clisser sobre isso, ja fica
que 90 elias sao ig
subentencliclo que estamos trabalhanclo com os juros Comerciais
Campos
o ano, rendeu
Capitulo 2 - juros Simples
[ill
----------------------------~------~----~------------------------~~
Em outras palavras consiclerar o mes (qualquer que seja) com 30 elias eo ano inteiro com
360 elias e a regra na matematica financeira A excec;ao sera urn outro conceito- juros Exatos
_ sobre o qual falaremos aincla neste capitulo.
Voltando
a pergunta: quantos elias tem um ano' Tern 360 elias.
Logo, dividiremos a taxa
anual por 360 e chegaremos a uma taxa ao dia. Teremos
Taxa ao ano ---- + 360 - - > Taxa ao dia
falou em taxa e
todos elementos
Agora, teremos
erca do regime,
(unidade maior)
(unidacle menor)
Oaf 22% ao ano - - + 360-- > (22/360)% ao dia
.
.
.
.
Ass1m, o valor de (1n) e dado por Ln
22
x
360
=
--
simples.
mos que a taxa e
ll
x
180
11 = - -
1111
11 = -
180
Finalmente, varnos lanc.ar os claclos no dcscnho e na equac;ao:.
i
plicac;ao eo que
14400
, encontraremos
1oo j.____8_8_o_____. -
po tern que estar
lln/180
contrar o tempo
ara as opc;oes de
tas como tempo
de outro modo,
empo em meses;
trazem o tempo
-7
Oaf 14400 = 880 -7
100
lln
11
= 880 x 180 -7 11 = 100 dias
144 x 11
180
Para transformar 100 elias em meses e elias, s6 teremos que nos lembrar que um mes tem
30 elias na matematica financeira Quros comerciais) Dai, dois rneses sao 60 elias e tres meses
sao 90 elias De 90 para chegar a 100 faltam 10.
Logo: n = 100 dias = 3 meses e 10 dias -7 Resposta!
o, trabalharemos
usar taxa ao dia
icara muito facil
Exemplo 5- Se um capital de R$ 7.200,00 rendeu R$ 162,00 dejuros em 90 dias,
qual e a taxa de juros simples anual desta aplica~ao?
eremos que usar
Soluc;ao Identificando o assunto o enunciado falou em um cerro Capital que ficou aplicaclo
para taxa ao dia;
durante urn cleterminado perfodo de tempo e rencleu uma certa quantia. Ja sabemos que este
lias tern um ano?
urn conceito o
renclimento
e sinonimo de juros .
Nao resta qualquer dt:wicla: estamos diante de uma questao
de juros . E o regime? Basta ver a pergunta feita pelo enunciaclo "qual a taxa de juros simples
anual?" DaL juros simples e o nosso assunto.
trinta elias (lm
zentos e sessenta
o o enunciado de
sobre isso, ja fica
A ta,xa e tempo estao na mesma uniclacle? 0 tempo foi forneciclo em elias (n = 90 elias) E
a taxa foi solicitacla em termos anuais. Se precisamos encontrar uma taxa ao ano,
e logico que
teremos que trabalhar como tempo tambem em anos. Vamos fazer essa conversao
e muito
facil concluir
que 90 elias sao iguais a 3 meses. E 3 meses sao uma frac;ao do ano. Que frac;ao
e essa? Se nao
P1imeiramente, sabemos que toclos os meses tern 30 elias Logo,
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
conseguirmos eiL\:ergar de imediato que 3 rneses e o mesmo que l/4 (um quarto) de ano,
entao faremos uma pequena regra de tres:
"l ano tem 12 meses; que fra<;ao do ano correspondera a 3 meses?"
Ou seja
-7 EX= (3/12) = (l/4) a
{ l a---- 12m
X ---- 3m
Agora, que ja dispomos do tempo em anos, passaremos ao calculo de Ln
--
Ora, e clara qu
entrada). Assim, se
pagamento da en
0
-7 A merc
-7 Eu esto
-7 Resta p
i.n = i x l = i
4 4
Como resultado, nao podemos esquecer disso, encontraremos uma taxa anual. Vamos
lan<;ar os dados no desenho:
t
7200
---Jj -
100 1.____
16_2_ _
i/4
-7
Dat 7200 = 162 -7 72 x i = 162 -7 lSi= 162
100
Ocorre que eu
apenas numa data
Ora, se eu dev
hoje, naturalmente
devido hoje. Quan
pela questao
Entao, teremos
4
4
-7
i = 162 -7 i = 9% ao ano -7 Resposta!
18
Exemplo 6- (ESAF) 0 pre~o a vista de uma mercadoria e de R$.100.000,00. 0
comprador pode, entretanto, pagar 20% de entrada no ato e o restante em uma
(mica parcela de R$ 100.160,00 vencivel em 90 dias. Admitindo-se o regime de
juros simples comerciais, a taxa dejuros anuais cobrada na venda a prazo e de:
a) 98,4%;
b) 99,6%;
c) 100,8%;
d) 102,00%;
e) 103,2%.
Solu<;ao Eis aqui uma questao mais rebuscada. Ela foi cobrada numa prova de Fiscal da
Receita . 0 que ha de novidade neste enunciado e que ele nao e tao convencional quanta os
dos exemplos anteriores . Ou seja, esta questao nao vem falando de um capital de tanto, que
foi aplicado por tanto tempo, a uma taxa de tanto . . Nao! Ele vem com uma situac;ao, que fala
de uma compra de uma mercadoria. Nossa missao aqui sera a de transfonnar esse enunciado
numa questao convencionaL E isso e muito facil de ser feito. Vejamos.
Vamos tentar enxcrgar onde esta a operac;ao de juros dentro do nosso enunciado . Foi dito
sobre o valor da mercadoria a vista, e o valor do pagamento de uma entrada. Teremos:
-7 Valor a vista:
R$ 100.000,00
-7
Valor da entrada: R$ 20.000,00 (= 20% do valor a vista)
Agora, sim, ch
"Urn capital d
a urn montante de
Observemos q
mos o simples
Uma observa<;a
mo tempo os valo
Qual? Os juros . S
ele Teremos ·
J =M
A exigencia ma
forneceu o tempo
no exemplo anteri
de ano.
Vamos ao calc
mpos
uarto) de ano,
--
em
Capitulo 2- juros Simples
Ora, e clara que o valor da entrada sera pago no mesmo dia da compra (por isso se chama
entrada). Assim, se eu quiser saber o quanta restaria pagar hoje por essa mercadoria, logo ap6s
pagamento da entrada, bastaria fazer a subtra<;ao
0
-7 A mercadoria custa.
R$ 100 000,00
-7 Eu estou ent:-ando com R$ 20 000,00
-7 Resta pagar ainda
R$ 80.000,00
t
0
(data zero= hoje)
anual. Vamos
100.000,00. 0
ante em uma
o regime de
a prazo e de:
va de Fiscal da
onal quanta os
al de tanto, que
uac;ao, que fala
esse enunciado
nciado . Foi dito
Teremos:
Ocorre que eu nao vou pagar pelo restante dessa mercadoria hoje. Vou pagar o restante
apenas numa data futura Quando? 90 dias ap6s a compra, conforme nos diz o enunciado
Ora, se eu devia pagar hoje R$ 80.000,00, e s6 vou efetuar o pagamento 90 dias ap6s
hoje, naturalmente que o valor que terei que pagar no futuro sera um valor maior do que era
devido hoje. Quanta vou pagar daqui a tres meses? R$ 100.160,00, tambem conforme dito
pela questao
Entao, teremos o seguinte:
R$ 100.160,00
R$ 80.000,00
t
0
(data zero)
r
3 meses
Agora, sim, chegamos a um enunciado convencional, traduzido da seguinte forma
"Urn capital de R$ 80.000,00 foi aplicado durante urn tempo de 3 meses. Chegou-se
a urn montante de R$ 100.160,00. Qual a taxa de juros anuais presente nesta operat;ao?"
Observemos que nada foi dito acerca do regime, se simples ou composto. Logo, adotaremos o simples
Uma observa<;ao sempre que o enunciado de uma questao de juros nos fornecer ao mesmo tempo os valores do Capital e do Montante, ja teremos, nas entrelinhas, mais um dado
Qual? Os juros . Sabemos que J = M- C Logo, ja podemos calcular os juros e trabalhar com
ele Teremos ·
J =M-C
-7 J = 100.160- 80.000
-7 J = 20.160,00
A exigencia mancla taxa e tempo na rnesma unidade. A questao pede uma taxa anual Enos
forneceu o tempo ern dias (n=90 dias) ]a transformamos 90 dias para 3 meses. E ja fizemos,
no exemplo anterior, a transformac;ao de 3 meses para anos. Encontramos que 3 rneses = l/4
de ano.
Vamos ao calculo de i.n. Temos que: i . n = i x 1/4 = i/4
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
32
Substituindo os dados na formula:
l
De outra form
100160
80000
100
i. .___
2_o1_6_o_ ___J 1oo + i/4
i/4
da aplicac;ao Tem
assim: colocarem
efeti\·amente (jur
Escolheremos duas colunas acima para montar a igualdade que pem1itira obter o valor da
taxa i. E facil perceber que se usarmos a colww da esquerda e a colww do meio obteremos
mais rapido o valor do i.
-7
com a forma conv
Mas aqui tem
terminamos em s
Dai: 80000 = 20160 -7 800 x _!_ = 20160 -7 i = 20160 = 100 8
4
200
'
100
i
4
Portanto -7 i
= 100,8% ao ano -7
(Resposta!)
2.8. juros Simples Exatos
]a falamos acima a respeito dos Juras Comerciais Dissemos que eles consistem na considera-
Agora, ao !ado
111eses foram efeti
c;ao, que e regra, de que todos os meses do ano tem 30 dias, eo ano inteiro, portanto, 360 dias.
miolo, que nao sao
Frisamos que se o enunciado nacla clispuser a respeito disso, entencleremos que estamos
trabalhanclo com essa considerac;ao. Os juros comerciais, portanto, consistem na nossa regra.
Equal seria a excec;ao?
Juros Exatos - excec;ao a regra - e aquele em que se consicleram os meses do ano com
o numero de elias do nosso calenclario comum. Apenas isso. Ou seja: janeiro com 31 dias;
fevereiro com 28 (ou 29, se for ano bissexto); marc;o com 31, abril com 30; maio com 31;
"Miolo"
junho com 30; julho com 31, agosto com 31; setembro com 30; outubro com 31; novembro
com 30; e clezembro com 31 dias
Precisaremos saber, nos juros exatos, quantos elias tem cacla mes, pois iremos trabalhar
nestas questoes, via de regra, com o tempo em dias Entao, o que a questao vai querer saber,
na verdacle, e se n6s sabemos contar os elias. Vamos perceber que, na maimia das questoes de
juros exatos, serao forneciclos pelo enunciaclo o clia do inicio e o dia do final cla aplicac;ao 0
Resta saber ag
operac;ao nestes d
A respeito do
cac;ao? No clia 5 d
trabalho de contar os elias sera nosso. No mais, tuclo e igual na questao de juros simples cxatos.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 7- (ESAF) A quantia de R$1 0.000,00 foi aplicada ajuros simples exatos
do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente a no. Calcule os juros obtidos,
a taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos.
Solw;ao: Essa questao e extra ida cla prova do Fiscal cla Receita de 1998. 0 enunciaclo foi
explicito, afirmanclo que o capital de RS 10.000,00 foi aplicado a juros simples exatos .
Sabemos que, senclo os juros exatos a excec;ao, s6 iremos consiclera-lo quando o enunciaclo
expressamente exigir que trabalhemos com ele.
"Miolo"
ampos
Capitulo 2 - juros Simples
De outra forma, se a questao de juros simples nao falar em juros exatos, trabalharemos
com a forma convencional os Juros Comerciais- considerando todos os meses com 30 dias.
Mas aqui temos os Juras Exatos . Vejamos que foram clados os elias do inicio e do final
da aplicac;ao Temos, portanto, que contar quantos dias durou essa operac;ao. Podemos fazer
assim: colocaremos os meses cla aplicac;ao, um abaixo do outro, seguiclo de quantos dias tem,
efeti\·amente (juros exatos), cada um deles Neste caso, comec;amos a aplicac;ao em abril e
obter o valor da
meio obteremos
terminamos em setembro. Dai, teremos
Meses da
aplica<;;ao
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
m na consideraanto, 360 dias.
Agora, ao !ado do nt:1mero de elias de c:ada mes completo, colocaremos quantos dias clestes
111eses foram efetivamente utilizaclos na operac;ao. Vejamos que e facil concluir que os meses do
miolo, que nao sao nem o primeiro mes e nem o tlltimo, foram integralmente usaclos Vejamos
os que estamos
na nossa regra.
es do ano com
o com 31 dias;
maio com 31;
"Miolo" {
31; novembro
emos trabalhar
ai querer saber,
as questoes de
la aplicac;ao 0
Dias domes
aplica<;;ao
Abtil
Maio
Junho
Julho
completo
30 elias
31 dias
30 dias
31 dias
Agosto
31 dias
operac;ao nestes dois meses?
A respeito do ultimo mes,
Dias utilizados na
aplicac;ao
31 dias
30 dias
31 dias
31 elias
e muito facil
Basta perguntarmos em qual clia terminou a apli-
cac;ao? No clia 5 de setembro. Entao, foram usados apenas 5 elias cleste ultimo mes Teremos
mples exatos
ros obtidos,
"Miolo" {
mples exatos .
o o enunciaclo
Meses da
Resta saber agora a respeito do primeiro e do tlltimo mes. Quantos elias foram usados na
simples cxatos.
enunciaclo foi
Dias domes
completo
30 dias
31 dias
30 elias
31 elias
31 dias
30 dias
Meses da
aplica<;;ao
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Dias domes
Setembro
30 dias
completo
30 elias
31 dias
30 dias
31 dias
31 dias
Dias utilizados na
aplicac;ao
31 dias
30 dias
31 dias
31 elias
5 dias
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
E em rela<;;ao ao primeiro mes, faremos uma subtra<;;ao quantos dias tern o mes de abril?
Tern 30 dias. Qual foi o dia do inicio da aplica<;;ao? Foi o dia 12 Dai faremos o cilculo: dias
Para utilizarmo
(Ln).
i.n=~x14
usados no mes de abril = 30- 12 = 18
Dai, teremos
"Miolo" {
-
Meses da
aplica<;ao
Abril
Maio
Junho
julho
Agosto
Dias domes
completo
30 dias
31 dias
30 dias
31 dias
31 dias
Dias utilizados na
aplica<;ao
18 dias
31 dias
30 dias
31 dias
31 dias
Setembro
30 dias
5 dias
365
Formula de jur
Dai:
-7 10000 = j_
Agora, resta somar os dias e chegaremos ao tempo da aplicac;ao de juros. Teremos:
Meses da
Dias domes
aplica<;:ao
completo
Abril
30 dias
Maio
31 dias
Junho
30 dias
Julho
31 dias
Agosto
31 dias
Setembro
30 dias
Soma dos dias:
Dias utilizados na
aplica<;ao
31 dias
30 dias
31 dias
31 dias
5 dias
146 dias
Ou seja: n = 146 dias.
100
7,2
En tao, quando
nos lembraremos
-7 Trabal
-7 Contar
-7
-7
rando
Trabal
tambe
Usarem
ao dia
Passemos a verificar se a taxa e o tempo estao na mesma unidade . Como temos o tempo
em dias, vamos trabalhar tambem com a taxa ao dia . Dai, como estamos no regime simples,
vamos alterar a unidade da taxa, utilizando o conceito de Taxas Proporcionais.
0 raciocinio e o seguinte taxa ao ano para taxa ao dia; ano para dia; maior para menor;
do maior para o menor, nos dividimos; urn ano tern quantos dias? ATEN(AO! Estamos trabalhando com osjuros Exatos . Logo, o ano ten'i 365 dias (nosso calendario comum), ou 366,
se for ano bissexto (essa circunstancia teria que ser dita expressamente pela questao) Logo,
dividiremos a taxa anual por 365. Teremos
~
Quros Exatos)
Taxa ao ano - - + 365 - - > Taxa ao dia
(unidade maior)
(unidade menor)
Dai 18% ano - - + 365 - - > (18/365)% ao dia
2.9. juros Sim
Ha ainda um
polemica. Nao ha
alguns autores, tra
categoria de juros
Filiamo-nos a
de juros Comerci
Em suma: trab
do ano tem 30 di
A Esaf, ao que
de prova. A ultim
mais! Vejamos es
mpos
o mes de abril?
o cilculo: dias
-
Capitulo 2 -Juras Simples
Para utilizarmos uma equa<;;ao de juros simples, devemos obter primeiramente o valor de
(Ln).
i.n=~x146=~x146=
na
Teremos:
18
x2=
36
=7,2
365
5 X 73
5
5
Formula de juros simples para C = 10000; i.n = 7,2;] =?
t
10000
100
i~.-___J_ ____.jl7,2
Dai:
-7 10000 = j_ -7 J = 7,2 x 100 -7 J = 720,00 -7 Resposta!
100
7,2
En tao, quando nos depararmos em nossa prova com uma questao de juros Simples Exatos,
nos lembraremos do seguinte
-7 Trabalharemos com o tempo em dias.
-7 Contaremos os dias conforme o nosso calendario convencional, ou seja, conside-
-7
-7
rando o ano com 365 dias (ou 366, se bissexto)
Trabalhando com o tempo em dias, obviamente teremos que considerar a taxa
tambem diaria . Ou seja, i = [ ]% ao dia .
Usaremos, caso necessaria, o conceito de taxas proporcionais para encontrar a taxa
ao dia Para isso, tambem consideraremos que um ano tem 365 (ou 366) dias.
temos o tempo
egime simples,
s.
or para menor;
O! Estamos tra-
mum), ou 366,
questao) Logo,
2.9. juros Simples Ordinaries
Ha ainda um terceiro conceito- os juros Ordinarios- em tomo do qual existe uma cena
polemica. Nao ha uniformidade de entendimento acerca deste conceito, de modo que, para
alguns autores, trata-se de mero sinonimo de juros Comerciais. Para outros, seria uma terce ira
categoria de juros simples, com regras pr6prias.
Filiamo-nos aos do primeiro entendimento, considerando que se confundem os conceitos
de juros Comerciais e Juros Ordinarios
Em suma: trabalhar os juros comerciais ou ordinarios e levar em conta que todos os meses
do ano tem 30 dias, e o ano todo, portanto, 360 dias. 56 isso!
A Esaf, ao que parece, evita a utilizac;ao deste conceito- Juros Ordinarios- nas questoes
de prova. A ultima vez que o fez, em provas da Receita Federal, foi no anode 1998, e nunca
mais! Vejamos essa questao.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Exemplo 8- (ESAF) Urn capital e aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro
do mesmo ano, a uma taxa dejuros simples ordinario de 36% ao ano, produzindo
urn montante de $ 4.800,00. Nessas condi<:oes, calcule o capital aplicado,
desprezando os centavos.
a) $ 4.067,00
b) $ 4.000,00
c) $ 3.996,00
d) $ 3.986,00
e) $ 3.941 ,00
Agora, dispom
Solw;:ao: Vejamos que o enunciado usou expressamente os termos juros simples ordinaria.
Dai:
Nao resta dtlvida, estamos trabalhando com a
imediatamente
a contagem dos elias.
regra~
todos os meses tem 30 elias Passemos
~ = 4800 -7
100
Teremos
Meses da
Dias domes
aplicac;:ao
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembra
Outubra
Novembra
completo
30 elias
30 elias
30 elias
30 elias
30 elias
30 elias
30 elias
Percebamos que, se estamos consicleranclo os juros comerciais au orclinalios, do clia 5 de
urn mes qualquer ate o clia 5 do mes seguinte, teremos contado um mes de clistancia! Dai,
120
2.1 o. Prazo M
Passamos aqui
em prm·as de con
que imediata, pel
Os enunciaclo
nos fornecenclo c
de Capital, uma t
Assim, teremo
um outro Capital
nossa aplicac;ao comec;ou em 5 de maio. Ate o clia 5 de junho, teremos avanr;aclo urn mes; ate
e assim sucessiva
o clia 5 de julho, teremos avanr;aclo clois meses; ate o dia 5 de agosto, tres meses; ate o dia 5
de setembra, quatra meses; ate o dia 5 de outubra, cinco meses; ate o clia 5 de novembra,
aplicac;ao
Depois de for
finalmente, teremos ava111;aclo seis meses Dai, estamos no clia 5 de novembra. Para chegarmos
agora ao clia 25 de novembra, teremos que avanr;ar mais \'inte elias.
juntos de aplicac
Conclusao do clia 5 de maio ao clia 25 de novembra ha um perioclo de seis meses e
vinte dias!
Transformanclo esse tempo para a unidacle clia, cliremos que 6 meses sao 180 elias (6 x 30
= 180) E somando 180 com 20 elias, chegamos a 200 elias.
Ou seja. n = 200 dias
Percebamos que temos o tempo em elias. Logo, cleveremos tambem trabalhar com uma
aincla "qual e 0 c
Nao ha, port
taxa mediae cap
2.1 o. 1. Prazo
0 que signifi
taxa ao clia. 56 nao podemos esquecer que estamos operando com Jura Ordinaria, que e si-
forma suponham
n6nimo de Juro ComerciaL Ou seja, no momenta de transformar a unidade cla taxa para uma
taxa diaria, consicleraremos o ano com 360 elias. 0 enunciado nos deu taxa de 36% ao dia .
Teremos, portanto, que:
aplicac;oes claria
DaL 36% ano - - + 360 - - > (36/360) = (O,l)%ao dia
Calculo de (i n) O,l x 200 = 20
pelos tempos n
1
Juros 1, Juros 2
mpos
de novembro
, produzindo
al aplicado,
Agora, dispomos de (M =-+ 800,00) e (in= O,l), e procuramos pelo Capital
4800
100
t~. ______
_.JI 100 + 20
20
mples ordinaria.
Dai:
elias Passemos
~ = 4800 -7 C
100
= 100 x 40 -7
C
= 4.000,00 -7 Resposta!
120
2.1 o. Prazo Medio, Taxa Media e Capital Medio
Passamos aqui a um clos teinas inseridos no capitulo de Juros Simples e de grande presenc;a
em prm·as de concursos Sao assuntos facilimos, n~as questoes se resolvem de forma quase
que imediata, pela aplicac;ao de formulas.
Os enunciaclos destas questoes de Prazo Medio, Taxa Media e Capital Meclio comec;arao
nos fornecenclo conjuntos de aplicac;oes de juros. Cacla conjunto sera formaclo por um valor
os, do clia 5 de
clistancia! Dai,
de Capital, uma taxa de juras simples e um tempo de aplicac;ao
Assim, teremos um Capital (C 1), aplicaclo a uma taxa (i 1), durante um tempo (n 1); teremos
um outro Capital (C), aplicaclo a uma outra taxa
Ci). durante um tempo de aplicac;ao (n 2),
clo urn mes; ate
e assim sucessivamente Normalmente, as questoes trazem tres ou ate quatra conjuntos de
ses; ate o dia 5
de novembra,
aplicac;ao
Depois de fornecer esses daclos, a questao perguntara: "qual e o prazo medio clesses con-
Para chegarmos
juntos de aplicac;oes?", ou en tao "qual e a taxa media desses conjuntos de aplicac;oes?", ou
seis meses e
aincla "qual e 0 capital meclio desses conjuntos de aplicac;6es?"
Nao ha, portanto, qualquer clificulclade em se iclentificar uma questao de prazo medio,
taxa mediae capital meclio, uma vez que o assunto sera justamente a pergunta da questao
80 elias (6 x 30
alhar com uma
2.1 o. 1. Prazo Medio: PM
0 que significa o Prazo Meclio de um conjunto de aplicac;oes? Vamos raciocinar cla seguinte
naria, que e si-
forma suponhamos que ternos tres aplicac;6es - Capital 1, Capital 2 e Capital 3 - aplicaclos
taxa para uma
de 36% ao dia .
aplicac;oes claria origem a um renclimento, ou seja, a um valor de Juras Estes seriam, digamos,
pelos tempos n , n e n respectivamente, e a taxas i 1, i2 e i 3 Obviamente que cacla uma clessas
1
2
3
Juros 1, Juros 2 e Juros 3. Teriamos, entao, o seguinte.
l
-
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
c! -7 il -7 nl =:>Jl
C2 -7 i2 -7 n2 =:> J2
ondejl+J2+j3 = JTOTAL
c3 -7 i3 -7 n3 =:> J3
Encontrar o Prazo Medio significa calcular urn novo prazo, ou seja, urn novo tempo de
aplicac;:ao, que ira substituir n 1, n 2 e n 3 Em decorrencia disso, os valores dos juros originais
- J 1 , ] 2 e ] 3 - serao, obviamente, modificados. Se havia prazos originais de aplicac;ao (n 1, n 2 e
n) e estamos trocando-os por urn novo prazo (PM). Isso ira alterar tam bern o valor dos juros
produzidos por cada aplicac;:ao Teremos, portanto
C 1 -7 i 1 -7 PM=:> ] 1'
C2 -7 i2 -7 PM=:> ] 2'
l
e possivel aplicar a
Todavia, se urn
numa mesma unid
]
'
2
e ] 3' - sera
exatamente igual ao Juras Total originaL Ou seja:
compatfveis entre s
Na nossa quest
iguais, logo, compa
Antes de substit
ondej!'+J2'+J3'=JTOTAL
contidos nas colun
prazo medio, que t
E como calcularemos esse Prazo Medio? Pela mera aplicac;ao da formula seguinte
(C 1 i 1 n 1) + (C2 i2 n 2) + (C3 i3
que os prazos, entr
Por exemplo, pode
aados a coloca-los
mensa!, uma serne
Daf, o Prazo Medio (PM) e urn prazo tal, que a soma dos novos juros- ] 1',
PM=
preocupac;:ao sera a
tambem o estejam.
b
C3 -7 i3 -7 PM=:> ] 3'
Cl -7 il -7 PM=:> Jl'
c2 -7 i2 -7 PM=:>J2'
C3 -7 i3 -7 PM=:> ] 3'
Importante ne
n) + (C4 i4 n)
(C 1 .. i 1) + (C 2 i) + (C3 i) + (C4 . i)
A expressao que aparece no numerador e parecida com a que aparece no denominador,
Com isso, podemo
simplificar a colun
Simplificaremo
cortar os zeros) e a
simplificac;oes, obt
a diferenc;:a e que neste desaparecera dos parenteses o tempo n, uma vez que estamos procurando o Prazo Medio
Vejamos logo uma questao extraida de uma prova da ESAF
Exemplo 9 - (ESAF) Os capitais de $ 20.000,00, $ 30.000,00 e $ 50.000,00
foram aplicados a mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses
respectivamente. Obtenha o prazo medio de aplica~ao desses capitais.
a) Dais meses e meio.
b) Tres meses e dez dias.
c) Dais meses e vinte e um dias.
d) Tres meses e nove dias.
e) Tres meses.
Solw;;ao: 0 enunciado diz que os tres capitais foram aplicados a mesma tCLxa. Logo, podemos
dizer que i 1 = i2 = i3, e chama-las todas de i, uma vez que sao iguais.
Anotemos os dados do enunciado na tabela abaixo:
Capitais
20000
30000
50000
Taxas (%a.m.)
Prazos (m)
4
3
2
Vamos substitu
-7 PM= -
Dai:
PM=
-
mpos
Capitulo 2 -Juras Simples
Importante nesse tipo de questao, para que possamos aplicar os dados na formula, nossa
preocupac;:ao sera apenas a de que os prazos estejam todos na mesma unidade e que as taxas
tambem o estejam. Aqui, nao sera exigido que taxas e prazos estejam na mesma unidade, mas
ovo tempo de
juros originais
cac;ao (n 1, n 2 e
valor dos juros
que os prazos, entre si, estejam compatfveis e as taxas, entre si, estejam tambem compatfveis.
Por exemplo, podemos ter os prazos todos em meses e as taxas todas ao ano. Desse modo, ja
e possivel aplicar a formula .
Todavia, se urn tempo esta em meses, o outro em anos e o outro em elias, seremos obriaados a coloca-los todos numa mesma unidade. Da mesma forma, se for fornecida uma taxa
mensa!, uma sernestral e outra anual, tambem teremos primeiramente que coloca-las todas
b
numa mesma unidade. Quando os prazos estiverem compatfveis entre si e as taxas estiverem
, ]
'
2
e ] 3' - sera
compatfveis entre si, entao podemos lanc;ar os dados na formula
Na nossa questao, temos todos os prazos em meses. Acerca das taxas, sabemos que sao
iguais, logo, compatfveis.
Antes de substituim10s os dados na formula do prazo medio, podemos simplificar os valores
contidos nas colunas para terminarmos mais rapido os calculos. Observem, na formula do
prazo medio, que tanto os capitais como as taxas aparecem no numerador e no denominador.
guinte
Com isso, podemos simplificar a coluna dos capitais e a coluna das taxas, mas nao podemos
simplificar a coluna dos prazos
Simplificaremos a coluna dos capitais dividindo os valores por 10000 (e o mesmo que
cortar os zeros) e a coluna das taxas dividindo-as por i (e o mesmo que cortar os i) Apos as
denominador,
simplificac;oes, obteremos:
stamos procuCapitais
2
3
5
$ 50.000,00
3 e 2 meses
tais.
Taxas (% a.m.)
1
1
1
Prazos (m)
4
3
2
Vamos substituir esses dados na formula:
PM=
Logo, podemos
(2
(C 1 i 1 n1) + (C2 i 2 . n) + (C3 . i3 n)
1 4) + (3
CC 1 i 1) + CC2
i) + CC3
1 . 3) + (5 . 1 2)
i 3)
-7 PM= - - - - - - - - - - - - - -7 PM=
(2 . 1) + (3
Dai:
l) + (5
1)
27
PM=-- -7 E PM= 2,7 meses
10
8 + 9 +10
2 + 3+ 5
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
For que encontramos uma resposta em meses? Porque os prazos fornecidos pelo en~ncia­
do estavam todos nessa unidade. Ocorre que 2,7 meses nao esta em nenhuma das opc;oes de
-
2.1 0.2. Taxa Me
Estamos utiliza1
resposta Teremos que transfom1ar 2,7 meses em meses e elias.
. .
.
E isso e muito facil de ser feito. Ora, 2,7 = 2 + 0,7 Dai, a parte mte1ra sera 2 meses
induz a interpretar
A questao de T
meses corresponde a quantos elias?
_
. _
Basta multiplicarnos por 30. Claro, se um mes tern 30 elias, entao 0, I rneses tera 0, I x 30
sejam, os conjunto
elias. Se, na hora da prova, nao conseguirrnos desenvolver esse racioclnio, podernos fazer a
seguinte regra-de-tres:
l mes - - - 30 elias
0,7 meses - - - x elias
Dai X= (30 X 0,7) -7 X= 2l elias.
Logo 2,7 rneses = 2 meses e 21 dias -7 Resposta!
.
Condusao Ao substituir os prazos de cada aplicac;ao por 2,7 meses, o total de JUros permanece inalterado
Passemos a outro exemplo.
pergunta agora ser
Encontrar a Ta
nais, i , i2 e i3 , e qu
1
serao alterados
Tf11hamos no i
cl -7 il -7 nl ~
C 7 i, -711, ~
c-3 -7 i~-' -7 n~) ~
Quando trocam
(
7 IM -711
1
Exemplo 1 o - (ESAF) Qs capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.0.00,00, R$ 1.500,00. e
R$ 3.500,00 sao aplicados a taxa de 4% ao mes, juros Slmple_s •. durante_ dOI_s,
tres, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo med1o de aphca~ao
destes capitais.
a) Quatro meses.
b) Quatro meses e cinco dias.
c) Tres meses e vinte e dois dias.
d) Dois meses e vinte dias.
e) Oito meses.
C2 7 IM -7 n,
C3 7 IM -7 11
A Taxa !'Melia,
por cada aplica<;:ao
C 1 -7IM-7n
(2 7 IM -7 n2
Cl -7 IM -7 11
Calcularemos
SolU<;ao: Observando que ja esta cumprida a exigencia de que, entre si, as taxas estejam na
mesma unidade e que, entre si, 05 prazos tambem o estejam, resta, simplesmente, aphcarmos
a formula do prazo medio.
Fazendo as simplificac;oes possiveis e aplicando os dados na equac;ao, teremos:
(C
PM=
.
1
i
.
1
n 1) + (C 2 i2 n) + (C 3 . i3 n) +(C.; i.; n)
(C 1 i1) + (C 2
i) + (C3 i3) + (C" . i)
(2. 4 2) + (3 4 3) + (1,5 4 4) + (3,5 4 6)
-7 PM=
-7
Daf
(2 4) + (3. 4) + (1,5 4) + (3,5 . 4)
4+9+6+21
PM= - - - - - - 2 + 3 + 1,5 + 3,5
40
PM= - - -7 E PM= 4,0 meses -7 Resposta.
10
Observemos q
la do Prazo !IMdio
parenteses sera a T
de uma questao:
Exemplo 11 - (E
aplicados todos
mes e 3,25% ao
capitais.
a) 4,83%
b) 3,206%
c) 4,4167
d) 4% ao r
e) 4,859%
Soluc;ao: Os prazo
den, ja que sao ig
ampos
os pelo en~ncia­
a das opc;oes de
-
Capitulo 2- Juras Simples
2.1 0.2. Taxa Media: IM
Estamos utiliza11do IM para representar a taxa media em vez de TM, pois este t!ltimo nos
.
a 2 meses
induz a interpretar como tempo medio.
A questao de Taxa Media comec;a com os rnesmos dados da questao de prazo medio, quais
. _
ses tera 0, I x 30
sejam, os conjuntos de aplicac;oes - capitais, taxas e prazos. 0 que muda, apenas,
podernos fazer a
.
otal de JUros per-
R$ 1.500,00. e
. durante_ dOI_s,
1o de aphca~ao
s taxas estejam na
mente, aphcarmos
eremos:
e que
a
pergunta agora sera sobre a Taxa Media e 11ao mais sobre o Prazo Medio daquelas aplicac;oes
Encontrar a Taxa Media significa calcular uma nova taxa, que ira substituir as taxas originais, i , i2 e i3 , e que, em decorrencia disso, os juros procluzidos por cada aplicac;ao original
1
serao alterados
Tf11hamos no i11icio
cl -7 il -7 nl ~ Jl )
C 7 i, -711, ~ ],
c-3 -7 i~-' -7 n~) ~ J~_)
011 de]l+J2+]3 =]TOTAL
Quando trocamos as taxas originais pela Taxa Media (If,D, passamos a ter o seguime
(
7 IM -711 1 ~] 1 '
1
C2 7 IM -7 n,- ~ ],'. :.
C3 7 IM -7 11. ~ ].')
~)
A Taxa !'Melia, portanto, e de tal forma que, mesmo com a mudanc;a dos _juros produzidos
por cada aplica<;:ao, o somatorio desses juros perma11ecera o mesmo Ou seja:
C 1 -7IM-7n 1 ~] 1 ')
(2 7 IM -7 n2 ~ ]2.
ondejl'+Jl.+JJ' =]TOTAL
Cl -7 IM -7 113 ~ ]3.
Calcularemos a Taxa Media aplica11do a fornmla seguinte
IM=
(C 1 . i1 . n1) + (C2 . i 2 . 11) + (C3 . i 3
n)
(Cl . nl) + (C2 . n2) + (C3 . n3)
Observemos que o numerador da Taxa Mediae exatamente igual ao numerador da formula do Prazo !IMdio. 0 que muda e o denominador. Agora, o elemento que desaparecera dos
parenteses sera a Taxa, uma vez que estamos procurando a Taxa Media . Passemos a solu<;:ao
de uma questao:
Exemplo 11 - (ESAF) Os capitais de R$ 3.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 8.000,00 foram
aplicados todos no mesmo prazo, a taxas dejuros simples de 6% ao mes, 4% ao
mes e 3,25% ao mes, respectivamente. Calcule a taxa media de aplica~ao desses
capitais.
a) 4,83% ao mes.
b) 3,206% ao mes.
c) 4,4167% ao mes.
d) 4% ao rnes.
e) 4,859% ao rnes.
Soluc;ao: Os prazos das tres aplica<;:oes sao os mesmos, de modo que os chamaremos apenas
den, ja que sao iguais.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Anotemos os dados do enunciado na tabela abaixo
Capitais
3000
5000
8000
Prazos
n
n
n
Taxas e% a.m.)
6
4
3,25
Tambem na questao de Taxa Media, nossa preocupac,;ao sera a de que os prazos estejam
compativeis entre si, e que as taxas estejam igualmente compativeis entre si. Nao ha a exigencia
que os prazos e as taxas estejam na mesma unidade .
No caso da nossa questao, as taxas estao todas mensais, e os prazos nao foram fornecidos,
mas o enunciado falou que sao iguais, portanto, compativeis .
Novamente, antes de substituirmos os dados na formula da taxa media, podemos sim-
-
Exemplo 12 - (E
R$ 3.000,00 sao
6%, 4%, 3% e 1,5
destes capitais.
a) 2,9%.
b) 3%.
c) 3,138%.
d) 3,25%.
e) 3,5%.
Solw;:ao: Os prazo
de n, ja que sao igu
Anotemos os da
plificar os valores contidos nas colunas. Observem na formula da taxa media que tanto os
capitais como os prazos aparecem no numerador e no denominador, com isso podemos
simplificar a coluna dos capitais e a coluna dos prazos, mas nao podemos simplificar a
coluna das taxas
Simplificaremos a coluna dos capitais dividindo os valores por 1000 ee o mesmo que
cortar os zeros) e a co luna dos prazos dividindo porn ee o mesmo que cortar os n) Apos as
simplificac;:oes, obteremos
Capitais
3
5
8
Prazos
1
1
1
Taxas e% a.m.)
6
4
3,25
Na questao, as t
falou que sao iguai
Novamente, ant
os valores contidos
podemos simplifica
Simplificaremo
dividindo porn ee
Vamos substituir esses dados na formula da taxa media:
~
IM=
(3 6 1) + e5 . 4 1) + e8 3,25 1)
(3 . l) + (5
1) + e8 1)
~
18 + 20 + 26
IM=---3+5+8
Vamos substitu
IM =
eel il .
ee 1
Dai: IM
64
= -- ~
16
Finalmente: IM
= 4% ao mes ~
Resposta!
Por que a Taxa Media que achamos e mensa!? Porque as taxas originais tambem eram
todas ao mes.
Conclusao ao substituir as taxas de juros de cada aplicac;:ao original por 4% a m, o total
de juros permanece inalterado.
DaL
e5
IM = -
Fazendo as com
91
IM = - - - ~
26
mpos
prazos estejam
o ha a exigencia
am fornecidos,
-
Capitulo 2- juros Simples
Exemplo 12 - (ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e
R$ 3.000,00 sao aplicados a juros simples durante o mesmo prazo as taxas de
6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa media men sal de aplica~ao
destes capitais.
a) 2,9%.
b) 3%.
c) 3,138%.
d) 3,25%.
e) 3,5%.
Solw;:ao: Os prazos das tres aplicac;:oes sao o mesmo, de modo que os chamaremos apenas
de n, ja que sao iguais .
Anotemos os dados do enunciado na tabela abaixo·
Capitais
2500
3500
4000
3000
podemos sim-
ia que tanto os
isso podemos
s simplificar a
Taxas e% a.m.)
6
4
3
1,5
Prazos
n
n
n
n
o mesmo que
Na questao, as taxas sao todas mensais e os prazos nao foram fornecidos, mas o enunciado
r os n) Apos as
falou que sao iguais, portanto, compativeis.
Novamente, antes de substituirmos os dados na formula da taxa media, podemos simplificar
6
-
s tambem eram
4% a m, o total
os valores contidos nas colunas. Mas lembrem que, como explicado na questao anterior, nao
podemos simplificar a coluna das taxas.
Simplificaremos a coluna dos capitais dividindo os valores por 500 e a coluna dos prazos
dividindo porn ee o mesmo que cortar os n) Apos as simplificac,;oes, obteremos
Capitais
5
7
8
6
Taxas e% a.m.)
6
4
3
1,5
Prazos
1
1
1
1
Vamos substituir esses dados na formula da taxa media
IM =
eel il . nl) + ee2 i2 . n) + ee3 i3 . n3)
ee 1 n 1) + ee2
DaL
n) + ee3 n)
e5 6 1) + e7 4 l) + (8 3 l) + (6 l ,5 . l)
IM = - - - - - - - - - - - - - - - - e5 1) + e1
+ e8
+ C6 I)
n
n
Fazendo as comas, obteremos.
91
IM = - - - ~ E: ll\1 = 3,5% a.m. ~ Resposta!
26
C44J
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Exemplo 13 - (ESAF) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e
R$ 4.000,00 sao aplicados respectivamente as taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao
mes, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa media
proporcional anual de aplica~ao destes capitais.
a) 4%.
b) 8%.
c) 12%.
d) 24%.
e) 48%.
Soluc;ao: Uma vez cumpridas as exigencias da formula da taxa media, resta-nos aplica-la. Mas
aqui, muito cuidado percebamos que foram fornecidas taxas mensais! Dai, utilizando-as na
equac;:ao, encontraremos ao final uma taxa media mensa!.
E nao foi isso o que a questao pediu! 0 enunciado quer que encontremos uma tCL'W media
amwl Dal, adotadas as de\·idas e poss[\·eis simplificac;oes, faremos
(7
X
6
X
IM=
n) + (6
X
3
X
n) + (3
X
4
X
n) + (4
X
2
X
n)
~
IM = 4% ao mes
(7 x n) + ( 6 x n) + (3 x n) + (4 x n)
Ca!cularemos o
No denominado
estamos procurand
Exemplo 14 - 0
4% ao mes duran
simples de 6% a
taxa de juros sim
de aplica~ao des
a) R$ 1452
b) R$ 1 568
c) R$ 1635
d) R$ 1793
Soluc;ao: Anotemo
Aplicando o conceito de TCL·ws Proporcionais, teremos que:
~
IM = (4 x 12) = 48% ao ano ~ Resposta.
2.1 0.3. Capital Media: CM
Encontrar o Capital Medio significa calcular urn novo capital, que ira substituir os capitais
originais, C 1, C2 e C 3, e que, em decorrencia disso,
OS
juros produzidos por cada aplicac;:ao
original serao alterados.
Tinhamos no inicio
il ~ 11 1 => J l
c2 ~ i2 ~ n2 =>]2
cl
~
C3 ~ i3 ~ n3
No caso da nos
portanto, podemos
}
ondejl+J2+Ji
=]TOTAL
=> J2
Quando trocamos os capitais originais pelo Capital Medio (CM), passamos a ter o seguinte
CM
CM
~
i 1 ~ n 1 => j 1'
~
i2
~
Tambem na que
compativeis entre s
os prazos e as taxas
n 2 => ]2'
CM ~ i 3 ~ n 3 => J1'
0 capital medio, portanto, e de tal fonna que, mesmo com a mudanc;a dos juros produzidos
Novamente, ant
ficar os valores cont
como os prazos ap
a coluna das taxas
Simplificaremo
5. Apos as simplific
por cada aplicac;:ao, o somatorio desses juros permanecera o mesmo Ou seja:
CM ~ i 1 ~ n 1 => ],· }
CM ~ i2 ~ n2 => ]2
CM ~ i 3 ~ n 3
.
ondejl'+J2'+Ji' =1wTAL
Vamos substitu
ampos
R$ 3.000,00 e
4% e 2% ao
a taxa media
Ca!cularemos o Capital 1-Mdio aplicando a formula seguinte
(C1 i 1 n1) + (C2 i2 .. n 2) + (C3 . i3
CM=
.
n)
(il , Ill) + (i2 . n2) + (i3 . 11 3)
No denominador, o elemento que desaparecera dos parenteses sera o Capital, uma vez que
estamos procurando o Capital Medio.
os aplica-la. Mas
utilizando-as na
uma tCL'W media
ao mes
Exemplo 14 - 0 capital de R$ 1.200,00 foi aplicado a taxa de juros simples de
4% ao mes durante 20 dias, o capital de R$ 1.800,00 foi aplicado a taxa de juros
simples de 6% ao mes durante 30 dias, e o capital de R$ 2. 100,00 foi aplicado a
taxa de juros simples de 10% ao mes durante 15 dias. Calcule o capital medio
de aplica~ao desses capitais.
a) R$ 1452,00.
b) R$ 1 568,00.
c) R$ 1635,00.
d) R$ 1793,00.
Soluc;ao: Anotemos os dados do emmciado na tabela abaixo
Capitais
1200
1800
2100
Taxas (% a.m.)
4
prazos (dias)
20
30
15
6
10
tituir os capitais
Tambem na questao de Capital Medio, nossa preocupac;ao sera a de que os prazos estejam
r cada aplicac;:ao
compativeis entre si e que as taxas estejam igualmente compativeis entre si . Nao e preciso que
os prazos e as taxas estejam na mesma unidade .
s a ter o seguinte
juros produzidos
a:
No caso da nossa questao, as taxas estao todas mensais e os prazos estao todos em dias,
portanto, podemos prosseguir.
Novamente, antes de substituirmos os dados na fonnula do capital medio, podemos simplificar os valores contidos nas co lunas. Observem, na formula do capital medio, que tanto as taxas
como os prazos aparecem no numerador e no denominador. Com isso, podemos simplificar
a coluna das taxas e a coluna dos prazos, mas nao podemos simplificar a coluna dos capitais.
Simplificaremos a coluna das taxas dividindo por 2 e a coluna dos prazos dividinclo por
5. Apos as simplificac;:oes, obteremos
Capitais
1200
1800
2100
Taxas (% a.m.)
2
prazos (dias)
3
5
6
4
3
Vamos substituir esses dados na formula do capital meclio:
CM=
(C 1 i 1 n 1) + (C2 i2
n) + (C3 i3
n3 )
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
CM=
CM=
-7 Substitui
0 valor do dep
(1200 2 4) + (1800 3 6) + (2100 5 3)
(2 "4) + (3 6) + (5 3)
9600 + 32400 + 31500
Este capital de
8 + 18 + 15
deposito eo sexto
Dat CM=
73500
41
-7 Finalmente: CM := 1. 793,00 -7 Resposta!
500
Conclusao ao substituir os capitais de cada aplicac;ao por 1793,00, o total de juros permanece inalterado.
500
2. I I. Calculo do Montante de uma Serie de Capitais lguais
Quando temos uma operac;ao financeira no Regime Simples que envolve varios depositos
iguais e consecutivos (mensais ou bimestrais ou trimestrais etc), como procederemos para
calcular o montante destes depositos numa data futura?
Se existem muitos depositos, seria alga muito trabalhoso e demorado aplicarrnos as equac;oes
dos juros simples para obter o montante de cada urn deles individualmente.
Aprenderemos, por meio de urn exemplo resolvido, uma maneira pratica e rapida de
resolver esse tipo de problema!
Exemplo 15- Um comerciante efetua dez depositos mensais e iguais de R$ 500,00
cada. Para uma taxa dejuros simples de 2% a.m., calcule o montante dos depositos
nas seguintes datas:
A) Cinco meses apos o ultimo deposito.
B) Dois meses apos o ultimo deposito.
C) Na data do ultimo deposito.
Soluc;;ao: No Regime Simples, sempre que houver no desenho de uma questao varias parcelas
iguais, devemos transforma-las em uma (mica parcela E como o faremos? Vejamos"
Item A- Montante dos depositos: cinco meses apos o ultimo deposito.
Soluc;;ao: Primeiramente, desenharemos os dez depositos mensais de RS> 500,00, e marcaremos
a data onde se deseja calcular o montante desses depositos.
M
500
500
500
500
500
500
9 meses
500
500
500
-7
Retirando
eo capital (mica d
Com isso, cai
resolver a questao
-7 Aplicac;a
M=?
c = 5 000,00
i=2%a . m
n = 9,5 meses
i . 11 = 2 X 9,5
Dai
500
5 meses
M
500
119
10
ampos
Capitulo 2- Juras Simples
-7 Substituiremos os 10 depositos (capitais) por urn unico (capital)
0 valor do deposito unico e igual a soma dos dez depositos, ou seja
C
= 10 X
500 = 5.000,00
Este capital de 5 000,00 deve ficar no centro dos dez depositos, ou seja, entre o quinto
deposito eo sexto deposito, conforrne mostrado abaixo"
M
5000
500
al de juros per-
500
500
500
500
500
500
500
500
500
5 meses
9 meses
varios depositos
cederemos para
-7
Retirando do desenho os dez depositos de RS 500,00, e deixando somente o Montante
eo capital (mica de 5 000,00 o desenho fica assim
M
nos as equac;oes
5000
1
ca e rapida de
de R$ 500,00
dos depositos
varias parcelas
jamos"
J
-~------~~
~------~------~~~------''
5 meses
4,5 meses
--·---------------~-----------------~
9,5 meses
Com isso, caimos num desenho convenciona! de juros simples! Viram? Resta-nos, pais,
resolver a questao norrnalmente, como ja sabemos fazer! Teremos
-7 Aplicac;ao da formula de Juras Simples
M
M=?
c = 5 000,00
0, e marcaremos
M
5000
i=2%a . m
n = 9,5 meses
i . 11 = 2 X 9,5 = 19
100
i~. ._____
i
____J
100 + 19
19
Dai
M
5000
119
100
-7
M =50 x 119
-7 M = 5950,00 -7 Resposta!
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Item B - Montante dos depositos: dois mescs apos o ultimo deposito.
-7 Para o item B, o desenho e o seguinte
500
500
500
500
500
500
500
500
500
-------
Item C - Montan
-7
Para o ite
-7
Aplicarem
500
----------------~--------------~--~
9 n1eses
2 n1eses
-7
Na solU<;ao do item A, fizemos um desenho para descobrir a data em que o deposito
de valor unico deveria estar para substituir os dez depositos iguais, e outro desenho para determinarmos o tempo entre a data do deposito (mica e a data do montante, que sera utilizado
na formula de juros simples Porem, na solw;ao deste item B, nao faremos mais desenhos, e
0
valor e o tempo
Aplicando o
Valor d
sim, usaremos o seguinte procedimento padrao:
Tempo
11
= -
Procedimento padrao para encontrar a Data do Deposito Onico:
Valor do deposito (mico. C =soma dos depositos iguais
-7
Aplica<;a
J
Tempo entre o utimo + [Tempo entre o plimeiro]
[Deposito e o Montante
Deposito
e o Montante
Tempo: n = _..:::...-...._
__________:t._ _.::::_...._
_______
~
2
Aplicando o procedimento acima, obteremos
Valor do deposito (mica C = lOx 500 = 5.000,00
(2) + (2 + 9)
Tempo n = - - - - - - -7
(2) + (11)
2
2
M
13
-7 - - -7 n = 6,5 meses
2
Esse tempo encontrado acima (6,5 meses) sera aquele que separara o capital unico da data
do Montante!
-7
Aplica<;ao da formula de Juras Simples
M=?
M
c = 5.000,00
i
11
100
= 2 X 6,5 = 13
M
Dai
113
t
5000
i=2%a.m
n = 6,5 meses
5000
L___:____j
100 + 13
13
- - - -7 M = 50 x 113 -7 M = 5650,00 -7 Resposta!
100
M=?
c = 5.000,00
i = 2% a.m.
n = 4,5 meses
n = 2 X 4,5
Dai
109
mpos
Item C - Montante dos depositos: na data do ultimo deposito.
-7
ais desenhos, e
~
al unico da data
Para o item C, o desenho e o seguinte
M
500
500
500
500
500
500
500
500
500
5 0
9 meses
-7
que o deposito
senho para dee sera utilizado
C49J
Capitulo 2 - juros Simples
--------------~~~~~------------~
0
Aplicaremos o procedimento padrao, apresentado na solu<;ao do item B, para obtermos
valor e o tempo do deposito tinico
Aplicando o procedimento padrao, obteremos.
Valor do deposito unico. C = 10 X 500 = 5 000,00
Tempo
-7
11
(O) + (9)
9
= - - - - -7 n = - - -7 n = 4,5 meses
2
2
Aplica<;ao da formula de Juras Simples
M=?
c = 5.000,00
i = 2% a.m.
n = 4,5 meses
n = 2 X 4,5 = 9
Dai
M
5000
109
100
1
it-________,
M
5000
100
100 + 9
9
-7 M =50
x 109
-7 M = 5450,00 -7 Resposta!
-
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
EXERCICIOS DE TAXAS PROPORCIONAIS
E fundamental,
para compreendermos e trabalharmos bern o Regime de Juras Simples,
juros simp
3.
Solur;ao:
0
-7
Regra de
-7
Tornand
conhecimento perfeito das operac;:oes com taxas proporcionais. Por isso, acrescentamos uma
lista de quest6es resolvidas sobre esse assunto .
Uma taxa dejuros simples de 1,5% ao dia equivale a uma taxa bimestral de:
1.
1" solw;ao: Para passar uma taxa de tempo menor para uma taxa de tempo maior, devemos
multiplicar. Como 1 bimestre tern 60 dias, entao devemos multiplicar a taxa di<iria por 60:
Dai 1 x i = 3 x
i = 30% -7 juro
60 x 1,5 % = 90 % ao bimestre.
2" solw;ao: 1,5% ao dia eo mesmo que 1,5% em 1 dia! Nao e verdade?
Vamos fazer uma regrade tres (1,5% esta para 1 dia, assim como i esta para 1 bimestre):
1,5%
--
1 dia
juros simp
4•
Solur;ao:
-7 Regra d
1 bimestre
Para resolver a regrade tres acima, nao podemos ter dois tempos diferentes Entao, vamos
Dai: 1 xi= 5 x
i = 50% -7 juro
passar de bimestre para dias (l bimestre tern 60 dias) Reescrevendo a regra de tres.
1,5% - -
1 dia
60 dias
Dai 1 xi= 60 x 1,5% -7 i = 90% -7 taxa de 90% a.b.
5.
juros sim
Solur;ao:
Nota: a vantagem da 2" soluc;:ao (usando regrade tres) e que ela pode ser utilizada para resolver
-7
Regra d
as mais diversas questoes de taxas equivalentes, como veremos a seguir.
Uma taxa de juros simples de 30% ao semestre equivale a uma taxa
quadrimestral de:
2.
Dat 1 xi= 7,
i
Solw;ao:
-7
Regra de tres fomwda a partir dos dados do enunciado.
30%
1 semestre
1 quadrimestre
-7
=
Solur;ao:
-7
Regra
-7
Tornan
6 meses
4 meses
i
juros sim
Tornando as unidades de tempo iguais, teremos
30%
Dai. 6
6.
= 75% -7 jur
X
i= 4
X
30%
120% I 6 -7 i
=
20% -7 taxa de 20% a.q.
Dai, 30 x i =
i = 2520% I 3
i = 84% -7 jur
-
mpos
Capitulo 2- juros Simples
juros simples de 10% ao mes equivalem a juros trimestral de:
3.
ras Simples,
em
Solur;ao:
0
Regra de tres formada a partir dos dados do enunciado.
10%
1 mes
-7
centamos uma
1 trimestre
-7
Tornando as unidades de tempo iguais, teremos
10%
1 mes
bimestral de:
maior, devemos
3 meses
di<iria por 60:
ra 1 bimestre):
Dai 1 x i = 3 x 10%
i = 30% -7 juros de 30% a.t.
juros simples de 10% ao mes equivalem a juros, em 5 meses, de:
4•
Solur;ao:
-7 Regra de tres formada a partir dos dados do enunciado
1 mes
10%
5 meses
Entao, vamos
Dai: 1 xi= 5 x 10%
i = 50% -7 juros de 50% em 5 meses.
e tres.
5.
juros simples de 10% ao mes equivalem ajuros, em 7,5 meses, de:
Solur;ao:
da para resolver
-7
Regra de tres formada a partir dos dados do enunciado:
10%
1 mes
7,5 meses
a uma taxa
Dat 1 xi= 7,5 x 10%
i
6.
= 75% -7 juros de 75% em 7,5 meses.
juros simples de 10% ao mes equivalem a juros, em 8 meses e 12 dias, de:
Solur;ao:
-7
Regra de tres formada a partir dos dados do enunciado:
10%
1 mes
8 meses e 12 dias
-7
Tornando as unidades de tempo iguais, teremos
30 dias
10%
252 dias
Dai, 30 x i = 252 x 10%
i = 2520% I 30
i = 84% -7 juros de 84% em 8 meses e l2 dias.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
7.
Juros simples de 40% ao bimestre equivalem ajuros, em 3 semestres e 18
dias, de:
-ll.
solu(:ao:
Solw;ao:
-7
juros simp
-7
Regra d
-7
Tornan
Regra de tres fom1ada a partir dos dados do enunciado
40%
1 bimestre
3 semestres e 18 elias
Tomando as unidades de tempo iguais, teremos
40%
2 meses
-7
18,6 meses
Dai 2 Xi= 18,6
X
40%
Daf: 150xi=
i = 102/15 % =
i = 372% -7 juros de 372% em 3 semestres e 18 dias
12.
8.
juros sim
a) 3 meses
b) 45 dias
Juros simples de 18% ao trimestre equivalem ajuros, em 4 semestres, de:
Solw;:ao:
Regra de tres formada a partir dos dados do enunciado
18%
Solu(:ao:
1 trimestre
4 sernestres
Tornando as unidades de tempo iguais, teremos
18%
1 trirnestre
-7
-7
Regra d
-7
Trabalh
8 trirnestres
Dat 1 x i = 8 x 18%
Dat 36 X n =
n = 60 elias = 2
i = 144% -7 juros de 144% em 4 semestres
9.
juros simples de 20% em 5 meses equivalem a juros mensais de:
Solw;:ao:
-7
Regra de tres formada a partir dos dados do enunciado:
20%
5 meses
13.
juros sim
a) 1 ano;
b) 1 seme
Solu(:ao:
1 mes
-7
Regra
i = 1 X 20%
i = 4% -7 juros de 4% ao mes.
Daf 5
10.
X
Juros simples de 20% em 5 meses equivalem a juros quadrimestrais de:
Solw;:ao:
-7
Regra de tres formada a partir dos dados do enunciado:
20%
-7
5 meses
i
1 quadrimestre
Tornanclo as uniclacles de tempo iguais, teremos
20%
5 meses
4 meses
Dai 5
X
i=4
X
20%
i = 16% -7 juros de 16% a.q.
Dai 10 x n =
n = 180 elias=
14.
Juros sim
a) 1 rnes
b) 1 mes
Solu(:ao:
-7
Regra
Campos
semestres e 18
-ll.
rimestrais de:
juros simples de 20% em 5 meses equivalem ajuros, em 1 mes e 21 dias, de:
solu(:ao:
-7
Regra de tres fonnacla a partir dos dados do enunciaclo
20%
5 meses
1 mes e 21 elias
-7
Tornando as unidades de tempo iguais, teremos.
20%
150 elias
51 elias
Daf: 150xi=51x20%
i = 102/15 % = 6,8% -7 juros de 6,8% em 1 mes e 21 dias
12.
juros simples de 36% ao ano equivalem a juros de 6% em:
a) 3 meses;
c) 2 meses;
b) 45 dias;
d) 2 bimestres.
semestres, de:
ais de:
Capitulo 2- juros Simples
Solu(:ao:
Regra de tres formada a partir dos clados do enunciaclo
36%
1 ano
-7
6%
-7
Trabalharemos com o tempo em elias:
36%
6%
n
360 elias
n
Dat 36 X n = 6 X 360
n = 60 elias = 2 meses -7 Resposta!
13.
juros simples de 10% em 20 dias equivalem a juros de 90% em:
a) 1 ano;
c) 8 meses;
b) 1 semestre;
d) 1 quadrimestre.
Solu(:ao:
-7
Regra de tres forrnada a partir clos dados do enunciado:
10%
20 elias
n
90%
Dai 10 x n = 20 x 90
n = 180 elias= 6 meses = 1 semestre -7 Resposta!
14.
Juros simples de 18% em 3 meses equivalem a juros de 14% em:
a) 1 rnes e 10 dias;
c) 80 dias;
b) 1 mes e 25 dias;
d) 2 rneses e 10 dias.
Solu(:ao:
-7
Regra de tres formada a partir dos dados do enunciado
18%
3 meses
14%
n
-7
Trabalharemos com o tempo em dias:
18%
14%
Dai: 18 x n = l4 x 90
n = 70 dias = 2 meses e 10 dias -7 Resposta!
15.
EX
90 dias
n
juros simples de 60% em 2,5 semestres equivalem a juros de 102% em:
a) 2 anos;
b) 4 bimestres e 1 5 dias;
c) 25 meses;
d) 2 anos 1mes 1 5 dias.
Solw;;ao:
-7 Regra de tres formada a partir dos dados do enunciado:
60%
2,5 semestres
102% - n
-7 Trabalharemos com o tempo em meses:
60%
15 meses
102% - n
DaL 60 x n = 102 x 15
n = 25,5 meses = 2 anos 1 mes 15 dias -7 Resposta!
16.
(FCC) Um
bimestral
prazo dess
a) 1 ano e
b) 1 ano e
c) 1 ano e
d) 1 ano e
e) 1 ano e
Soluc,;ao:
Dados fornecid
i = 3% a. b
Os juros pod em
0 calculo de (i
Usando a formu
(ESAF) Um capital e aplicado a juros simples a uma taxa de 3% ao mes. Em
quanto tempo este capital aumentaria 14% em rela~ao ao seu valor inicial?
a) 3 meses e meio.
b) 4 meses.
c) 4 meses e 10 dias.
d) 4 meses e meio.
e) 4 meses e 20 dias.
Soluc,;ao: 0 enunciado desta questao poderia ser reescrito de maneira similar aos enunciados
dos exemplos de 12 a 15, da seguinte maneira: 'Juros simples de 3% ao mes equivalem a
juros de 14% em"
-7 Regra de tres formada a partir dos dados do enunciado:
3%
1 mes
n
14%
-7 Trabalharemos com o tempo em dias:
3%
30 dias
14%
n
Daf: 3 x n = 14 x 30
n = 140 dias = 4 meses e 20 dias -7 Resposta!
Escolhe
15000
405
100
n = 1 ano
2.
3n
e6 m
(ESAF) Qu
taxa de 6
a) R$ 9.80
b) R$ 9.76
c) R$ 9.60
d) R$ 1 0.3
e) R$ 9.52
a
Soluc,;ao:
A questao forne
0 capital dim
!
n = 18 meses
i = 6% a a =
c =?
EXERclCIOS RESOLVIDOS DE JUROS SIMPLES
(FCC) Um capital de R$ 1 5.000,00 foi aplicado a juros simples a taxa
bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19.050,00, o
prazo dessa aplica~ao devera ser de:
a) 1 ano e 10 meses;
b) 1 ano e 9 meses;
c) 1 ano e 8 meses;
d) 1 ano e 6 meses;
de 102% em:
e) 1 ano e 4 meses.
Soluc,;ao:
c = 15000,00 M = 19050,00
Dados fornecidos:
i = 3% a. b.
n =?
Os juros pod em ser obtidos pela formula J = M - C. Dai,
J = 19050- 15000 -7 J = 4050
0 calculo de (i n) i n = 3 n = 3n
Usando a formula de Juros Simples·
19050
15000
100
t
4050
% ao mes. Em
valor inicial?
aos enunciados
mes equivalem a
3n
I
100 +3n
Escolheremos a coluna da esquerda e a coluna do meio, assim
15000
4050
405
405
-7 15 = - - -7 n =
-7 n = 9 bimestres
100
3n
Jn
3 x 15
n = 1 ano
2.
e 6 meses
(ESAF) Quale o capital que diminuido dos seus juros simples de 18 meses,
taxa de 6% a. a., reduz-se a R$ 8. 736.00?
a) R$ 9.800.00.
b) R$ 9.760,66.
c) R$ 9.600.00.
d) R$ 1 0.308.48.
e) R$ 9.522,24.
a
Soluc,;ao:
A questao fornece os seguintes dados:
0 capital diminuido dos juros e igual a 8 736,00 -7 C- J = 8736
!
n = 18 meses
i = 6% a a = 0,5 a m
c =?
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
-
Vamos aplicar a formula de Juros Simples para obter mais uma relac;ao entre C e]:
tool.._____J_I-
n = 0,5 18 = 9
Dai
c
J
9
--=-
' 100
Agora, temos duas rela<;;6es entre C e]:
c- J = 8736 (l)
c
J
- - = - (2)
100
9
Vamos resolver este sistema para obter o C Ha diversas maneiras de se fazer isso .
Veja abaixo uma destas maneiras·
Aplicando uma das regras da proporc;ao na equa<;;ao (2), teremos
100
100-9
9
11
4.
9
l
Dai _£__ = 0,
100
= __!:±_ x 30
3n
(FCC) Emp
restante a
o capital.
a) $ 680,0
b) $ 840,0
c) $ 1.200
Solw;:ao:
Dados fornecid
1° emprestim
2" emprestim
3" emprestim
Total de juros
l o ernprestimo
i 11=8 1=
Substituindo o valor de" C-] ",que temos na equa<;;ao (1), teremos
_c_=_j_= 8736
7 __f_= 8736 7
100
9
91
100
91
C = 96
3.
X
100 -7
C
c
8736 X 100
91
= 9.600,00
(ESAF) Urn capital e aplicado ajuros simples, a uma taxa de 3% ao mes. Em
quanto tempo este capital aumentaria 14% em rela~iio ao seu valor inicial?
a) 3 meses e meio.
d) 4 meses e meio.
b) 4 meses.
e) 4meses e 20 dias.
c) 4 meses e 10 dias.
Soluc;:ao:
Dados fornecidos
i
{
=
Dai C/4 =-]
' 100
7° emprestimo
i 11=9 1=
=_
3% a . m.
~::;tal aumenta em 14%
=> Juros = 14%C = 0,14C
3° emprestimo
Restante = C-
Aplicando a formula de Juros Simples:
n = 3 . 18 = 3n
I
c
j.____o_,l_4_c_ _____. -
100
3n
i 11=6 1=
Campos
-
entre C e]:
Capitulo 2- Juras Simples
Dai _£__ = 0,149" -7 _1_
100
3n
100
11
4.
de se fazer isso .
4C
14
meses
3
= __!:±_ x 30 dias -7 n = 140 dias -7 n = 4 meses e 20 dias
3n
(FCC) Emprestei 1/4 do meu capital a 8% ao ano, 2/3 a 9% ao ano eo
restante a 6% ao ano. No fim de urn ano recebi $ 102,00 dejuros. Determine
o capital.
a) $ 680,00.
d) $ 2.530,00.
b) $ 840,00.
e) $ 12.600.00.
c) $ 1.200.00.
Solw;:ao:
Dados fornecidos:
1° emprestimo l/4 do capital a 8% ao ano durante 1 ano.
2" emprestimo 2/3 do capital a 9% ao ano durante 1 ano.
3" emprestimo. o restante a 6% ao ano durante l ano.
Total de juros = 102,00
l o ernprestimo l/4 do capital a 8% ao ano durante 1 ano
i 11=8 1=8
t
C/4
----'~ -
100jL..____J_l
8
mos
3% ao mes. Em
u valor inicial?
0 14
3n
- · - -7 3n = 14 -7 n = -
Dai C/4 =-]_1_-7] = 8xC/4 -7
7C
1
' 100
8
100
] 1 = ;00
7° emprestimo 2/3 do capital a 9% ao ano durante 1 ano.
i 11=9 1=9
I
2C/3
i._____J_z_ _ ___, -
100
9
= _h_ -7 J = 9 X 2C I 3 -7 ], =_§f._
2
9
100
100
3° emprestimo o restante a 6% ao ano durante 1 ano.
Restante = C- (C/4 + 2C/3) => restante = C/12
i 11=6 1=6
t
C! 12
10ol_ _
~6
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
l' aplicacao: ca
Dai C /12 = _1__ -7] = 6 x C /12 -7] = 0,5C
3
3
' 100
6
100
100
-7
C3 = 6C 1
2 anos e 4 m
i = 20% a.a.
i n= 5I 3
Calculo de C:
2C
6
Total de Juros: ] 1 + ], + ] 3 = 102 -7 - - + __£_ + 0, 5 C = 102
•
100
100
100
4C + 12 C + C
200
=
102 -7 17C = 20400 -7 C
Dai, ~ = _
100
= 1200,00
-7
5.
(ESAF) Tres capitais sao colocados ajuros simples: o primeiro a 25% a.a.,
durante 4 anos; o segundo a 24% a.a., durante 3 anos e 6 meses; e o
terceiro a 20% a.a., durante 2 anos e 4 meses. juntos, renderam um juro
de$ 27.591,80. Sabendo-se que o segundo capital eo dobro do primeiro e
que 0 terceiro e 0 triplo do segundo, 0 valor do terceiro capital e de:
a) S 30.21 0.00;
d) $ 20.140.00;
b) S 10.070.00;
e) $ 5.035,00.
c) S 1 5.1 05,00;
Solw;;ao:
Dados fomecidos:
1~ aplicac;ao capital C1 a 25% a . a. durante 4 anos .
2~ aplicac;ao capital C a 24% a.a durante 3 anos e 6 meses .
2
Y aplicac;ao capital C3 a 20% a.a . durante 2 anos e 4 meses.
Total de juros = 27.591,80
100
Dai
j
cl
= 100
tL--___JI_ ____ll100
_c_
1 = _1_
-7 J1 = c1
' 100
100
1-
2a aplicacao: capital C2 a 24% a . a. durante 3 anos e 6 meses.
C2 = 2C 1
3 anos e 6 meses = 4 2 meses
i = 24% a.a . = 2% a . m
i . ll = 2 4 2 = 84
i
2C 1
100
t~. . ____J_z_ _ _.....~l-
Dai _2S_ = __h__ -7] = 84 x 2C 1 -7] = 168C1
2
2
' 100
84
100
100
84
548 1
C = 2759
100
Dai,
6.
0
terceiro
(ESAF) Ca
18% a.a., p
a.a., pelo
das aplica
inicial era
a) 4.600.0
b) 4.400.0
c) 4.200,0
Soluc;;ao:
Dados fornecid
1~ Aplicac;;ao
1Q capital = 1/-t C
i = 18%a.a.
n = 1 ano
juros = J1
A diferenc;a abs
maiores que o da P
Dai,j 2 - ] 1 = 59
c2 = 2C1 e c3 = 3C2 Dai, c3 = 3 X (2C1) = 6C1
1a aplicacao capital c1 a 25% a.a. durante 4 anos .
i n = 25 . 4
Calculo de C
Total dejuros:
c =?
-7
Calculo de J1
n = 18. 1
DaL C /4
100
= 11
18
Capitulo 2- juros Simples
ampos
l' aplicacao: capital C3 a 20% a.a. durante 2 anos e 4 meses.
C3 = 6C 1
2 anos e 4 meses = 28 meses
i = 20% a.a. = 5/3% a.m.
i n = 5 I 3 28 = 140 /3
.~l-
100 tt_____J_}_ _ _
-7 r = 280C1
J
-7
J
100
Calculo de C
__
168C
280C
_
Total dejuros:JI + ], + ]3 = 2/.::>91,80 -7 cl + - - -1 + - - -1 = 27::>91,80
100
100
2759180
548 1
-7 C 1 = 5.035,00
C = 27591,80 -7 C1 =
100
100
Dai,
6.
_.JI-
140/3
Dai, ~ = _JJ_ -7]. = 140/3 X 6C1
100
140/3
100
ro a 25% a.a.,
6 meses; e o
eram um juro
do primeiro e
ital e de:
i
i
6C 1
0
terceiro capital sera c3
= 6Cl = 6 X
5035
= 30.210,00
(ESAF) Carlos aplicou 1/4 de seu capital a juros simples comerciais de
18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o restante do dinheiro a uma taxa de 24%
a.a., pelo mesmo prazo e regime de capitaliza~ao. Sabendo-se que uma
das aplica~oes rendeu R$ 594,00 de juros a mais do que a outra, o capital
inicial era de (em R$):
a) 4.600.00;
d) 4.800.00;
b) 4.400.00;
e) 4.900.00.
c) 4.200,00;
Soluc;;ao:
Dados fornecidos
2~ Aplicac;;ao
1~ Aplicac;;ao
1Q capital = 1/-t C
2" capital = restante = C- 1;.4 C = 3f.t C
i = 24%a.a
i = 18%a.a.
n = 1 ano
n = 1 ano
juros = J1
juros = ] 2
A diferenc;a absoluta entre J1 e ) 2 e de 594,00. Como a taxa e o capital na 2" aplicac;;ao sao
maiores que o da P aplicac;ao Entao, ]2 e maior que ) 1
Dai,j 2 - ] 1 = 594,00
c =?
-7
Calculo de J1 na 1~ aplicac;ao:
i
C/4
n = 18. 1 = 18
100
lL.,___J~
18
DaL C /4
100
= 11_ -7 J1 = 18 xC /4 -7
18
100
]
1
= 4,5C
100
-
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
i
Calculo de J2 na 2" aplicac;ao
3C/4
11
= 24 1 = 24
100 IL...-_ _ _ _1_2_ _ _
Calculo de C
l' Aplicacao
_JI-
. 11
24
3C/4
Dai
],
100= 24
-7 ] 2 =
24x3C/4
100
-7 ] 2
=6 4 =
18C
= 100
- c,
13
Dm, - - = -
100
Cilculo deC
ObtiYemos anterionnente ] 1 =
4,5C
18C
e ]2 =
100
100
E temos que J 2 - J 1 = 594
18C 4,5C
59400
Dai - - - - = 594 -7 l3,5C = 59400 -7 C = - 100
100
13,5
c = 4.400,00
7.
(ESAF) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de 72% a.a., sob regime
de juros simples. 0 primeiro, pelo prazo de 4 meses, e o segundo, por 5
meses. Sabendo-se que a soma dos juros totalizaram $39.540 e que os
juros do segundo capital excederam os juros do primeiro em $ 12.660, a
soma dos dois capitais iniciais era de:
a) $ 140.000;
d) $ 147.000;
b) $ 143.000;
e) $ 115.000.
c) $ 145 .000;
Solw;;ao:
Dados fornecidos
1a Aplicac;ao
2a Aplicacao
i.
Capital: C2
i = 72% a.a . = 6% a.m
i = 6% a.m.
n 1 = 4 meses
n 2 = 5 meses
Juras J 1
Juras
J2
8.
(ESAF) U
durante
mais 120
capitaliz
foi o cap
a) R$ 200
b) R$ 180
c) R$ 160
Solw;:ao:
Dados forneci
- Aplicac;ao
Capital ini
i = 48% a.
Jl + J2 = 39540
J2- Jl = 12660
n = 60 dia
A soma dos Capitais: C 1 + C 2 =?
-7
C'!lculo dej 1 eJ 2 •
Vamos resoh·er o sistema abaixo, para encontrar os valores de J 1 e J 2
Jl + J2
]2- J!
39540
= 12660
=
2J2 = 39540 + 12660 -7 2J2 = 52200 -7 Jl = 26.100,00
Dai, Yamos obter J 1 26100- ] 1 = 12660 -7 ] 1 = 26100-12660
Jl = 13440,00
=6 5
c, 26
Dai - - ' 100
Respo
2a Aplicac;ao
Capital C 1
11
Montante.
lniciaremos
aplicac;ao in
i
11
=5 4
Campos
Capitulo 2- juros Simples
i
Calculo de C 1 e C2
l' Aplicacao
_JI-
. 11
= 6 4 = 24
- c,
100~24
13440
-7 C 1 = )6000
24
Dm, - - = - -
100
2a Aplicacao
i.
11
= 6 5 = 30
j
wo l.____2_6_I_o_o_ _____~I c2
30
c,
26100
Dai - - - - -7 C 2 = 87000
' 100
30
Resposta da questao C 1 + C2 = 56000 + 87000 = 143.000,00
a., sob regime
egundo, por 5
.540 e que os
em $ 12.660, a
8.
(ESAF) Uma certa importancia foi aplicada a juros simples de 48% a.a.,
durante 60 dias. Findo o prazo, o montante apurado foi reaplicado por
mais 120 dias, a uma taxa de 60% a.a., mantendo-se o mesmo regime de
capitaliza~ao. Admitindo-se que o ultimo montante foi de R$ 207,36, qual
foi o capital inicial da primeira opera~ao?
a) R$ 200,00.
d) R$ 1 50,00.
b) R$ 180,00.
e) R$ 144,00.
c) R$ 160,00.
Solw;:ao:
Dados fornecidos
- Aplicac;ao Inicial
Capital inicial C 1 = ?
i = 48% a.a . = 4 % a ..m
n = 60 dias = 2 meses
Montante. M 1 = C2
- Dados da Reaplicac;ao
Capital C 2 = M1
i = 60% a.a. = 5% a.m.
n = 120 dias = 4 meses
Montante M2 = 207,36
lniciaremos esta questao calculando o capital da Reaplicac;ao (que
aplicac;ao inicial)
207,36
i
11
eo
montante da
= 5 4 = 20
wo lL'________jl!oo + 20
20
C62J
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
c,
Daf,
100
207,36
=120
-7
20736
c2 =l2
-r
I
! -
Dai
--
-7 C2 = 172,8
100
Cilculo do capital da aplicac,;ao inicial
106
172,8
j
cl
M 1 = C2 = 172,8
i n=4 2=8
M1
100 l.___ _ _ _ ___.lloo + 8
A questao pede
8
Vamos fazer a i
12720 + 240
(FCC) Joao investiu o capital de R$ 12.000,00 a taxa de juros simples de 24%
ao ano. Tres meses ap6s a aplicar;:ao de joao, Maria investiu o capital de
R$ 11.600,00 a taxa de juros simples de 24% ao semestre. Ap6s um certo
tempo, o montante da aplicar;:ao efetuada por Joao era igual ao montante
da aplicar;:ao efetuada por Maria. Neste momento, a soma dos valores dos
juros destas duas aplica<:oes era:
a) R$ 4 240,00;
d) R$ 2 960,00;
b) R$ 3 840,00;
e) R$ 2 320,00.
c) R$ 3 200,00;
9.
Soluc,;ao:
Dados fomecidos:
Maria
Joao
Aplicou. C = 12000,00
Aplicou (3 meses depois) C = 11600,00
i = 24% a.s = 4% a . m.
i = 24% ao ano = 2% a . m.
A soma dos Juros das duas aplicac;oes na data em que os montantes sao iguais?
Vamos definir
tempo de aplicac;ao do capital de Maria = t meses
tempo de aplicac:;ao do capital de Joao = t+3 meses
-7
100
1
_____. 100 + 2t +6
M2
2t + 6
100
Resposta:j 1 +
1o.
(FCC) Um i
taxa de ju
montante
capital, co
1/3, duran
verificara
outro cap
a) 24.000,
b) 18.000
c) 1 5.000,
d) 12.000
e) 9.000,0
Soluc,;ao:
M1 = 24 000,0
taxa de juros i
n = 4. t = 4t
11600
r. . ___J_~
Juros de Mar
C1 = 2o.ooo.oo
n 1 = 8 meses
Maria
Mt
12000
Sabemos que J
juros de joao
Dados fomec:id
1a aplicacao
Formula dos juros Simples
Joao
. n = 2 (t + 3) = 2t + 6
Dai, o valor do
M1 = 12720
1
I.____J2_ ____. 100 + 4t
4t
mpos
-r
I
! -
Capitulo 2- juros Simples
Dai
12000
M2
11600
100
100 + 4t
100
---'-----100 + 2t + 6
106 + 2t
120
100+ 4t
M 1 = 12720 + 240t
116
M2 = 11600 + 464t
o+8
A questao pede a somaj 1 + ] 2 quando M 1 = M2
Vamos fazer a igualdade entre os montantes: M1 = M2
12720 + 240t = 11600 + 464t -7 224t = ll20 -7 t = 5 meses
Dai, o valor do montante sera
M1 = 12720 + 240t -7 M1 = 12720 + 240 x 5-7 M1 = 13920
mples de 24%
o capital de
p6s um certo
ao montante
valores dos
Sabemos que J = M - C, portanto temos
juros de joao ] 1 = 13920- 12000 = 1920,00
Juros de Maria ] 2= 13920- 11600 = 2320,00
Resposta:j 1 + ] 2 = 1920 + 2320 = 4240,00
1o.
iguais?
(FCC) Um investidor sabe que, se ele aplicar R$ 20.000,00 a uma determinada
taxa de juros simples, durante 8 meses, obtera, no final do periodo, um
montante de R$ 24.000,00. Caso esse investidor resolva aplicar outro
capital, com a mesma taxa de juros simples acima, da seguinte maneira:
1/3, durante 6 meses; 1/5, durante 5 meses, eo restante, durante 4 meses,
verificara que a soma dos juros obtidos e igual a R$ 1.460,00. 0 valor deste
outro capital, em reais, e:
a) 24.000,00;
b) 18.000,00;
c) 1 5.000,00;
d) 12.000,00;
e) 9.000,00.
Soluc,;ao:
Dados fomec:idos:
1a aplicacao
C1 = 2o.ooo.oo
n 1 = 8 meses
M1 = 24 000,00
taxa de juros i
t
M2
1
___. 100 + 4t
2• aplicacao
Capital: C2 , sendo que
C/3 aplicado durante 6 meses
C/5 aplicado durante 5 meses
restante C7C/15) durante 4 meses
ta;xa de juros e a mesma da 1" aplicac,;ao
Total de juros = 1.460,00
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Ptimeiramente, Yamos calcular a taxa de juros da 1" aplicac;ao, que tambem sera a taxa
utilizada na 2" aplicac;ao
24000
] = M- C = 24000- 20000 = 4000
i. n = i. 8 = 8i
r
20000
1oo
j.____4_o_o_o__
Calculo dos juros na segunda aplicac;ao para cada frac;ao do capital aplicado
1)
Juros 0 1) de C/3 aplicado durante 6 meses:
Cl3
100
1
i.____J_r
----l
15
11 _ C 13
15 100
-7 - - - -7 1 -
2)
l -
CIS
CIS
125xC/5
'100
2,5C
-100
(ESAF) Jo
6 meses,
Sabendo-s
e $ 108.00
a) $ 1 50.0
b) $ 160.0
c) $ 1 70.0
d) $ 1 80.0
e) $ 200.0
Soluc:;ao:
Dados fornecid
Joao tem um c
1a Aplicacao
c =?
i.____J"_ _
12,5
-7 12,5 = 100 -7 12 =
73C
-=146
600
capital aplicad
n 1 = 6 meses
M 1 = 117.000
Juros 0) de C/5 aplicado durante 5 meses:
100
3)
-
lSxC 13 5C
C
=-=100
100 20
i . n = 2,5 . 5 = 12,5
tanto temos a igua
11.
20000 = 4000 -7 ~ = 40 -7 i = 2 ,S% a . m.
100
Si
1 8i
i 11=2,5 6=15
Calculo do c
foi dado no en
100 +8i
_J
8i
Dat
-7
C
-40
1
____J
-
Formula dos
1a Aplicacao
i n=i 6
=6
Jl = 117000-
Juros 03 ) de 7Cil5 aplicado durante 4 meses
i n = 2,5 4 = 10
100
-7 1, = 7C I 15 -7
10
100
r
7C/l5
13
i.____J_3
----l
600
100
117
10
= 7C
150
1d eJurosna
·
2·"aptcac;aoe],+J,+l=-+-+1·
C
C
7C
Dat,otota
.
,
20 40 150
30C + 15C + 28
73C
]1+]2+],=
-
Cl2
600
Calculamos os
cia esquerda e a c
capital C Se utiliz
a taxa i (pois apar
mais tempo para
Campos
Capitulo 2- juros Simples
mbem sera a taxa
000
r
-7
Calculo do capital C2 cia segunda aplicac;ao
foi dado no enunciado da questao que o juros na seguncla aplicac;ao e de 1460,00, par-
tanto temos a igualdade:
73C
1460 X 600
-=1460 -7 C =
=12000,00 -7 Resposta!
600
73
100 +8i
J
11.
icado
1
--l
-
(ESAF) Joao colocou metade de seu capital a juros simples pelo prazo de
6 meses, o restante, nas mesmas condi~oes, pelo periodo de 4 meses.
Sabendo-se que, ao final das aplica~oes, os montantes eram de$ 117.000
e $ 108.000, respectivamente, o capital inicial do capitalista era de:
a) $ 1 50.000,00;
b) $ 160.000,00;
c) $ 1 70.000,00;
d) $ 1 80.000,00;
e) $ 200.000,00.
Soluc:;ao:
Dados fornecidos:
Joao tem um capital C, e resolve fazer as seguintes aplicac;oes
1a Aplicacao
2 a Aplicacao
capital aplicado = C/2
n 1 = 6 meses
M 1 = 117.000
capital aplicaclo = C/2
n 2 = 4 meses
M 2 = 108.000
c =?
_
1
____J
-
Formula dos juros Simples:
1a Aplicacao
i n=i 6
2a Aplicacao
i n = i 4 = 4i
] = 108000 - C/2
2
= 6i
Jl = 117000- C/2
r
-
117000
Cl2
100
108000
Cl2
117000- C I 2
6i
100 + 6i
100
108000- C I 2
100 + 4i
4i
Calculamos os juros, em cacla aplicac;ao acima, com o objetivo de utilizarmos a coluna
cia esquerda e a coluna do meio na construc;ao clas equac;oes que possibilitarao o calculo do
capital C Se utilizassemos a coluna cia direita das cluas aplicac;oes, nao teriamos como cortar
a taxa i (pois aparece uma soma em func;ao de ina coluna direita), e, assim, clemorariamos
mais tempo para obter o valor do capital C
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Da 1' Aplica<;ao
Da 2" Aplica<;;ao
CI2
117.000- C /2
C 12
108.000-C 12
100
6i
100
4i
-----------
Sempre que oco
na formula de juro
Os 1Q membros das duas equa<;oes acima sao iguais, portanto podemos fazer a igualdade
entre os 2Q membros dessas duas equa<;oes~
117.ooo -c 12
108.000 -C 12
6/
4/
ll 7. 000- c /2
108.000- c 12
3
2
Substituindo os
Aplicando a for
Simplificando:
Daf
234 . 000- C = 324.000- 3C/2 ~ 02 = 90.000
c = 180.000
12.
Andre aplicou R$ 800,00 em um banco que fornece taxas dejuros variaveis
durante a aplica~ao. Qual e o montante que Andre tera ao final de seis
meses, sea taxa dejuros nos tres primeiros meses e de 4% a.m., nos dois
meses seguintes a taxa e de 5% a.m. e no sexto mes da aplica~ao a taxa e
de 6% a.m.?
a) 900,00.
b) 980,00.
c) 1000,00.
d) 1008,00.
e) 1024,00.
Solw;;ao:
Dados fornecidos
c = 800,00
Dai,
13.
~
2)
Na segunda parte da aplica<;ao (tempo 2 meses) i 2 = 5% a.m.
3)
Na terceira parte da aplica<;;ao (tempo 1 mes): i 3 = 6% a.m.
Montar a formula de Juros Simples
Como a taxa de juros varia ao Iongo da aplica<;ao, devemos calcular o produto (in) para
800
100
(ESAF) Pau
96% ao a
prazo con
restante d
de$ 376.0
(juros sim
a) 2 mese
b) 3 mese
c) 6 mese
c = 200 . 000
M = 376.000
Dai J = M-
Taxas de juros.
Na primeira parte da aplica<;;ao (tempo 3 meses): i 1 = 4% am.
128
=
Solw;;ao:
Dados fomecid
M=?
tempo da aplica<;;ao = 6 meses
1)
M
Na parte inic
Na parte fina
tempo da ap
Deseja-se na q
colocaremos n 2 co
cada uma das taxas.
l)
Para a taxa de 4% a.m. em 3 meses ~ i1 n 1 = 4 3 = 12
2)
Para a taxa de 5% a . m. em 2 meses ~ i 1 • n 1 = 5 . 2 = lO
3)
Para a taxa de 6% a.m. em 1 mes ~ i 1 . n 1 = 6 1 = 6
-7
Montar a fo
Como a taxa d
cada uma das taxa
1)
Para a
2)
Para a
ampos
Capitulo 2- juros Simples
C6T)
-------------------------~~~~~~~~--------------------~~
Sempre que ocorrer taxas diferentes ao Iongo da aplica<;ao, o valor do (i.n) que utilizaremos
na formula de juros simples e obtido atraves da soma dos (i.n) de cada taxa, ou seja
zer a igualdade
ros variaveis
final de seis
a.m., nos dois
ca~ao a taxa e
oduto (in) para
Substituindo os produtos (i n) obtidos para cada taxa, teremos:
i
ll
= 12 + 10 + 6 ~ i .
ll
= 28
Aplicando a formula de juros simples:
M
i
800
100
l.__________.lll 00 + 28
28
Dai,
13.
M
128
=
800
100
~ M = 8 x 128 ~ M = 1.024,00 ~ Resposta!
(ESAF) Paulo colocou $ 200.000,00 a taxa de juros simples comerciais de
96% ao a no, pelo prazo de 10 meses. Entretanto, antes do termino do
prazo conseguiu um aumento da taxa de juros para 144% ao ano, para o
restante do prazo. Sabendo·se que ao final do periodo recebeu o montante
de$ 376.000,00, o tempo que o capital ficou aplicado a taxa menor foi de
(juros simples comerciais para todo o periodo):
a) 2 meses;
d) 8 meses;
b) 3 meses;
e) 9 meses.
c) 6 meses;
Solw;;ao:
Dados fomecidos
c = 200 . 000,00
M = 376.000,00
Dai J = M- C = 376000-200000 = 176.000,00
Na parte inicial da aplica<;;ao (tempo n 1): i 1 = 96% a . a. = 8% a.m.
Na parte final da aplica<;ao (tempo
n):
i 2 = 144% a . a. = 12% a.m.
tempo da aplica<;ao = 10 meses, logo n 1 + n 2 = 10 meses
Deseja-se na questao achar o tempo relativo
a taxa menor, ou seja, o valor de n 1
Entao,
colocaremos n 2 como fun<;ao de n 1
n 2 =10-n 1
-7
Montar a formula de Juros Simples:
Como a taxa de juros varia ao Iongo da aplica<;;ao, devemos calcular o produto (i.n) para
cada uma das taxas .
1)
Para a taxa de 8% a . m. ~ i 1 n 1 = 8 . n 1 = 8n 1
2)
Para a taxa de 12% a.m ~ i2 . n2 = 12 n2 = 12 (10 - n 1)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Sempre que homer taxas diferentes ao Iongo da aplica<;:ao, o Yalor do (in) que utilizarernos
na formula de juros simples e obtido an·aves da soma dos (i n) de cada taxa, ou seja.
-
Conver
i = 180
Calculo
Substituindo os produtos (i.n) obtidos para cada taxa, teremos
i 11 = 811 1 + 12 (10- n)
-7
i 11 = 811 1 + 120- 12n 1
i . n =- 4n 1 + 120
-7
Montando a formula
100
Dal: - 10
376000
2)
200000
100
176000
=
11
Calculo dos
Contag
100 + (- 4n 1 + 120)
- 4n 1 + 120
de l
Dai,
200.000
100
176.000
2
-7 -=
-4n 1 + 120
1
176
-411 1
+ 120
-7- 8n 1 + 240 = 176
ate
-7 8n 1 = 64 -7 n 1 = 8 meses -7 Resposta: alternativa D.
14.
Uma empresa aplicou no dia 10 de fevereiro uma quantia de R$ 10.000,00
a uma taxa de 180% ao ano. Se o resgate ocorreu em 20 de maio do mesmo
ano, entao os valores dos juros ordimirios e exatos sao, respectivamente
(despreze os centavos):
a) 5.200,00 e 5.000,00;
c) 5.000,00 e 4.882,00;
b) 5.100,00 e 4.950,00;
d) 4.950,00 e 4.700,00.
Conversa
i = 180
Calculo
Solu<;ao:
Dados.:
Aplica<;:ao de R'D 10.000,00 do dia 10/02 a 20/05 .
i = 180% a. a .
juros simples ordinaria= ?
juros simples exatos = ?
1)
. 11
Dai
Calculo dos juros simples ordinaria (ou comercial}
Contagem do numero de dias em que o capital ficou aplicado:
Dias usados em cada mes
u
de 10
ate 20
Fev (30 dias)
Mar (30 dias)
Abr (30 dias)
Maio
-7
-7
-7
30-10 =
20
30
30
20
Total = 100 dias
=
100
10
Obtemos, a
juros simples
juros simples
Obs.:
o valo
taxa ao
Resposta: alt
Campos
que utilizarernos
ou seja.
-
Capitulo 2- juros Simples
Conversao da taxa de juros de ano para dia (divide por 360)
180
i = 180% a.a. = - - % = 0,5% a.d..
360
Calculo dos juros.
- 4n 1 + 120
= 0,5 100 =50
11
r
10000
100
t~. .___J_ _____. 50
10000 J
Dal: - - = - -7]= 5000 00
100
50
'
2)
Calculo dos Juros simples exatos
Contagem do numero de dias em que o capital ficou aplicado
Dias usados em cada mes
u
e R$ 10.000,00
maio do mesmo
spectivamente
de lO
Fev (28 dias)
Mar (31 dias)
Abr (30 dias)
ate 20
Maio
-7
-7
-7
-7
28-10 =
18
31
30
20
Total = 99 dias
Conversao da taxa de juros de ano para dia (divide por 365)
36
180
i = 180% a.a. = - - % = % ~ 0,49% a.d.
365
73
Calculo dos juros:
r
10000
. 11
= 0,49 . 99 = 48,51
100
t~. .___J_ ____, 48,51
Dai
mes
10000
= - ] - -7]=4851,00
100
48,51
Obtemos, assim:
juros simples ordinaria= 5.000,00
juros simples exatos = 4 . 851 ,00
Obs.:
o valor dos juros exatos e aproximado, devido a aproxima<;:ao feita no calculo da
taxa ao dia
Resposta: alternativa C
GOJ
1 5.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
(FCC) Urn capital de R$ 30.000,00 foi dividido em duas aplica~oes: a primeira
pagou urn a taxa de 8% de juros anuais; a outra aplica~ao, de risco, pagou
uma taxa de 12% dejuros anuais. Ao termino de urn ano, observou·se que
os lucros obtidos em ambas as aplica~oes foram iguais. Assim sendo, a
diferen~a dos capitais aplicados foi de:
a) R$ 8.000,00;
b) R$ 4.000,00;
c) R$ 6.000,00;
d) R$ 10.000,00;
e) R$ 12.000,00.
Vamos isolar o
3C,
c I --2 -7c
C1 + C2 = 3ooo
Entao, C 1 = 30
Dai, C2 - C 1 = 1
16.
(ESAF) Urn
dispor de R
tanto, dese
necessaria
for feita a
a) R$ 3 00
b) R$ 3 05
c) R$ 3 1 0
Solw;;ao:
Dados fomecidos.
Capital de RS 30.000,00 foi dividido em 2 aplica<;oes: C 1 + C2 = 30000
2 a aplicacao
1a aplicacao
capital cl
i 1 = 8% a.a.
capital: c2
i2 = 12% a . a .
n = 1 ano
lucroj
n = 1 ano
Solu~;ao:
A partir dos dad
lucro:]
c2- cl =?
-7
Formula dos juros Simples
1a aplicacao
) -o;
-,J
11
Pede-se
-7
I~. . ._ _ _J_ _____~I-
!2_=1._ -7 ]
' 100
8
= SCr
100
guinte igualdade:
C 2 =j_
7
100 12
1
= 2,5 4
C
M1
Dai - = 100 110
= 12C 2
100
-7
Retirar 1000
restante que se
i
Agora temos urn sistema de duas equa<;oes
1
11
l2
Como foi dito no enunciado que os juros das aplica<;oes sao iguais, entao faremos a se-
2C 1 = 3C,
( C + C2 = 3oooo
c =?
Calculo de M
i
8
Dai
= l2 . 1 = 12
t
cl
10
2• aplicacao
i 11=8 . 1=8
100
depo
4m
Aplico o
capital C
11
= 2,5 . 4
mpos
Vamos isolar o C 1 na 1" equa<;ao acima e substitui-lo na segunda equa<;ao:
s:
a primeira
risco, pagou
ervou·se que
sim sendo, a
3C,
c I --2 -7c I= 1-c
,J 2
C1 + C2 = 3oooo -7 1,5C2 + C2 = 3oooo -7 2,5C 2 = 3oooo -7 C2
Entao, C 1 = 30000- 12000 = 18000
Dai, C2 - C 1 = 18000- 12000 = 6.000,00 -7 Resposta.
16.
(ESAF) Urn negociante, para efetuar o pagamento de encomendas, deve
dispor de R$ 1.000,00 daqui a 4 meses e R$ 2.530,00 daqui a 8 meses. Para
tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que I he perm ita retirar as quantias
necessarias nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplica~ao
for feita ajuro simples, a taxa de 2,5% ao mes, o valor de X deve ser:
a) R$ 3 000,00;
d) R$ 3 1 50,00;
b) R$ 3 050,00;
e) R$ 3 200,00.
c) R$ 3 1 00,00;
Solu~;ao:
A partir dos dados fornecidos na questao, vamos montar o seguinte desenho
depois de
4 meses
Aplico o
capital C
) -o;
-,J
12
o faremos a se-
= nooo
Pede-se
-7
10
a. m
Terei o montante M 1
do qual irei retirar
1000,00 e aplicarei
o restante.
2,5% a.m
11
Terei o montante M 2 do
qual irei retirar 2530,00
e nao restara nada.
(Dai, M 2 = 2530,00)
c =?
Mr
Calculo de M 1 :
i
= 2,5 4 = 10
100
l._________.llOO + 10
10
C
M1
Dai - = - -7 M = 1 1C
100 110
I
-7
depois de
4 meses
Retirar 1000,00 de M 1 e aplicar o restante:
restante que sera aplicado = M 1 - 1000 = 1,1C- 1000
_j-
M,= 2530
i
11
= 2,5 . 4 = 10
1,1 C-1000
100 !._____-_
10
100 + 10
(ill
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
Dal: 1,1C -1000 = 2530 -7 1,1C- 1000 = 2300-7 l,lC = 3300
100
110
C = 3.000,00 -7 Resposta: alternativa A
(ESAF) Urn capital e aplicado ajuros simples durante tres meses e dez dias
a uma taxa de 3% ao mes. Calcule os juros em rela~ao ao capital inicial.
a) 9%
b) 10%
c) 10,5%
d) 11%
e) 12%
17.
A geladeira po
pagam
pagam
Pede-se: a taxa
-7
Vamos ident
Nesta questao,
juros, mas sim se
Solw;:ao
Dados fornecidos
Capital C
juros
Solw;:ao:
Dados forneci
Assim, o capita
n = 3 meses e 10 elias = 100 elias
i = 3% a.m.= 0,1% a.d.
J
Pede-se Juros em relar;:ao ao capital inicial =
l
c
Como temos u
\'a lor financiad
=?
valor financiad
valor financiad
-7
Formula dos juros Simples
. 11
= 0, 1 100
=
10
Ou seja, C = 8
0 Montante
o montante sera d
juros
c
-=-
. J
Dm
10
J
10
J
-7 - = - -7 -=10%
100
c 100 c
Resposta: alternativa B
-7
Uma solur;:ao mais rapida:
Para obtermos o valor j/C, basta calcular a taxa referente ao periodo total da aplicar;:ao,
que nos juros Simples e dado por (i n) Como a taxa e de 0,1% a d. e o tempo total e de 100
elias, entao a taxa referente ao periodo integral da aplicar;:ao e.
0,1 X 100 = 10%
18.
(FCC) Uma geladeira e vend ida a vista por 1.000 ou em duas parcelas, sendo
a 11! como entrada de 200 e a 2i!, do is meses depois, no valor de 880. Qual
a taxa men sal de juros simples utilizada?
a) 6%.
b) 5%.
c) 4%.
d) 3%.
e) 2%.
e
J = M-
Tempo da oper
-7
Vamos ao ca
11 =
i 2=
Dai, criando a
800 80
100 = li -7
taxa de juros =
ampos
Solw;:ao:
Dados fornecidos
A geladeira pode ser adquirida de duas maneiras
pagamento
ses e dez dias
pital inicial.
al da aplicar;:ao,
o total e de 100
arcelas, sendo
r de 880. Qual
a \'ista = 1 000,00
pagamento a prazo
{ uma entrada de 200,00 e
o pagamento de 880,00 ap6s 2 meses.
Pede-se: a taxa de juros cobrada na compra a prazo =?
-7
Vamos identificar os elementos dos juros Simples
Nesta questao, temos a situac;ao que n6s chamamos de [uros Ruim, pois nao se recebera
juros, mas sim se pagara juros.
Assim, o capital sera o valor da divida inicial (ou valor financiado)!
Como temos uma entrada, o valor financiado sera dado por.
\'a lor financiado = (valor a \'ista da mercadoria) - (valor da entrada)
valor financiado = 1000- 200
valor financiado = 800
Ou seja, C = 800,00
0 Montante
e o valor pago ao final da operac;ao, em que estao induidos os juros! Assim,
o montante sera dado pela parcela a ser paga ao final do perfodo. Dal:
M=valorda prestac;ao
M = 880,00
juros
J = M- C -7 J = 880- 800 -7] = 80,00
Tempo da operac;ao de compra.: n = 2 meses
-7
Vamos ao calculo da taxa de juros:
880
11 =
i 2 = 2i
800
100
r. .___
i
8_o_ ___,l100 + 2i
2i
Dai, criando a equac;ao com a coluna esquerda e a do meio, teremos:
800 80
100 = li -7 i = 5 -7 taxa de juros = 5% a.m. -7 Resposta!
taxa de juros = 5% a.m. -7 Resposta!
Maternatica Financeira Sirnplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
19.
(FCC) Urn comerciante aceita cheque pre-datado para 30 dias, mas cobra
juros de 8% sobre o pre~o a vista. Uma mercadoria que, paga em 30 dias,
sai por R$27,00 custa, a vista:
a) R$ 19,00;
d) R$ 2 5 ,00;
b) R$21,40;
e) R$29,15.
c) R$ 24,80;
Solw;:ao: Trata-se de uma questao de compra a prazo sem entrada. Agora, passemos a iden-
-
Iniciemos com o
-7 Multa Fixa =
Agora, para calc
de atraso Faremos u
SEG
tificar os elementos dos juros simples C,], M, i en
~
0 Capital e a divida inicial, ou seja, o valor avista da mercadoria, a qual e solicitada
~
na questao.
0 montante e o valor pago com juros ao final do prazo, ou seja, e a parcela de
~
27,00 rea is.
0 comerciante cobra juros de 8% para pagamento em 30 dias, isto significa uma
~
taxa de juros de 8% em 30 dias, ou seja, 8% a.m.
0 tempo para pagamento e de 30 dias, dai n = 30 dias
8
15
22
Como s6 nos in
dos dias de atraso. T
SEG
= 1 mes
8
Emsuma:
C =?; M = 27,00; i = 8% a.m.; n = 1 mes
15
22
Aplicac,;ao da Formula de Juros Simples
27
100
r~------~1
Sabemos ainda q
do horario bancario
esta fora da contage
SEG
100 + 8
8
Dai.
_£_ __ }!_
100
108
~
""7
_£_ __ _!_
100
4
~
""7
c __ 100
4
~ C=
08
15
25,00 ~ Resposta!
20.
(ESAF) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em urn banco na
segunda·feira, dia 8. 0 nao pagamento no dia do vencimento implica uma
multa fixa de 2% sobre o valor da conta, mais o pagamento de uma taxa de
permanencia de 0,2% por dia uti I de atraso, calculada como juros simples,
sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do
mesmo mes, considerando que nao ha nenhum feriado bancario no periodo.
a) R$ 2.080,00.
b) R$ 2.084,00.
c) R$ 2.088,00.
d) R$ 2.096,00.
e) R$ 2.1 00,00.
Solu<;:ao: Existe uma coma, no valor de R$ 2000 (dois mil) a ser paga na segunda-feira, dia
8 . Caso haja atraso no pagamento, o devedor incorrera em do is encargos: uma multa fixa de
2% sobre o valor dacoma; e juros simples, calculados a taxa de 0,2% ao dia util de atraso.
Dai, o enunciado diz que a coma s6 foi paga no dia 22 do mesmo mes.
22
Contamos, port
Conforme ja apr
de 0,2% ao dia e um
~
Juros po
Como foram 10
~
juros po
Compondo o re
fixa e dos juros. Ter
~
R$ 2.00
mpos
s, mas cobra
a em 30 dias,
-
em
Capitulo 2- juros Simples
Iniciemos com o calculo da Multa Fixa, que independe do ntlmero de dias de atraso
-7 Multa Fixa = (21100) x 2000 = R$ 40,00
Agora, para calcularmos os juros simples, precisaremos, obviamente, contar os dias uteis
de atraso Faremos urn pequeno calendario
ssemos a iden-
qual e solicitada
m urn banco na
o implica uma
de uma taxa de
uros simples,
o no dia 22 do
rio no periodo.
egunda-feira, dia
ma multa fixa de
util de atraso.
TER
QUA
QUI
SEX
SAB
DOM
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
e a parcela de
o significa uma
SEG
Como s6 nos interessam os dias (lteis, vamos exduir sabados e domingos da contagem
dos dias de atraso. Teremos·
TER
QUA
8
9
15
16
SEG
QUI
SEX
SAB
10
11
12
13
14
17
18
19
20
21
DOM
22
Sabemos ainda que o dia 8 nao e dia de atraso! Sea coma fosse paga ate o ultimo minuto
do horario bancario do dia 8, entao nao haveria nenhum encargo adicional. 0 dia 8, portanto,
esta fora da contagem dos dias de atraso . Teremos
SEG
TER
QUA
QUI
SEX
SAB
DOM
08
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Contamos, portanto, dez dias uteis de atraso!
Conforme ja aprendemos, o valor dos juros a ser pago por cada dia de atraso, a uma taxa
de 0,2% ao dia e um capital de R$ 2000,00, sera de
~
Juros por dia util de atraso (0,2/100) X 2000
=
R$ 4,00
Como foram 10 dias uteis de atraso no total, teremos
~
juros por todo o atraso 10 x R$ 4,00 = R$ 40,00 ~ juros!
Compondo o resultado final, teremos que somar o valor da conta, rna is os valores da multa
fixa e dos juros. Teremos, final mente, que:
~
R$ 2.000,00 + R$ 40,00 + R$ 40,00 = RS 2.080,00 -7 Resposta!
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
JUROS SIMPLES - EXERciCIOS PROPOSTOS
__----------------
06.
(Au_ditora~hcado a
d1as?
a) R$ 20 0
b) R$ 20 1
c) R$ 20 4
d) R$ 22 0
e) R$ 21 4
07.
(Analista
sitar de R
fundo_ de
quant1a:
a) R$ 92.0
b) R$ 90.0
c) R$ 89.2
d) R$ 90.9
e) R$ 91.8
08.
(Auditor F
m~r~ de m
tnphque d
regime de
a) 34.
b) 200.
c) 333.
d) 400.
e) 500.
09.
(Au~itor F
~:p•tal qua
JUROS SIMPlES COMERCIAIS
01.
02.
03.
04.
(Auditor Fiscal Tributario Municipal de SP 2014 CETRO) Ao aplicar R$ 3.200,00
a juros simples com taxa de 2% ao mes, urn investidor resgata, apos 3 trimestres de aplica~ao, o seguinte valor:
a) R$3.1 00,00.
b) R$3.286,00.
c) R$3.562,00.
d) R$3.621 ,00.
e) R$3,776,00
(Analista de Controle lnterno SEFAZ/RJ 2011 FGV) Dada uma taxa dejuros
de 1% ao dia e urn periodo de 20 meses (sendo cada mes com 30 dias), o
montante final, se o valor presente e R$ 2.000, e
a) R$ 4.000,00.
b) R$ 6.000,00.
c) R$ 10.000,00.
d) R$ 12.000,00.
e) R$ 14.000,00.
(Fiscal de Rendas SEFAZ-RJ 2009 FGV) 0 valor a ser pago por urn emprestimo de R$ 4.500,00, a uma taxa dejuros simples de 0,5% ao dia, ao final
de 78 dias, e de:
a) R$ 6.255,00.
b) R$ 5.500,00.
c) R$ 6.500,00.
d) R$ 4.855,00.
e) R$ 4.675,50.
(Auditor Fiscal do Estado do RJ 2011 FGV) Urn individuo deixa de pagar um
titulo no valor de R$ 2.000,00, atrasando o pagamento em tres meses. A
taxa dejuros,juros simples, de 35% ao ano. Ao pagar o titulo, seu valor
a)
e
c)
a)
b)
c)
d)
e)
OS.
e
R$
R$
R$
R$
R$
2.250,00.
2.325,00.
2.175,00.
2.155,00.
4.1 00,00.
(Auditor Fiscal Tributario Municipal de Campinas 2012 CETRO) 0 montante
acumulado no final de 5 anos, a partir de urn principal de R$200,00, no
regime de juros simples, a taxa de 8% ao semestre, e igual a
a) R$208,00.
b) R$216,00.
c) R$480,00.
d) R$280,00.
e) R$360,00.
7,50.
b) 3,80.
4,50.
d) 5,00.
e)
10.
6,00.
(SEFAZ·SP A
montante d
anual de ap
a) 48%
b) 10%
c) 4%
d) 54%
e) 60%
er Campos
S
__---------------------~C~ap~it~u~lo~2~-~J~ur~os~S~im~p~le~s____________________j[UJ~7~7~
06.
(Au_ditor-Fi~cal da _Receita_Estadual SEFAZ-CE 2007 ESAF) Qual o capital que
a~hcado aJuros s1mples a taxa de 2,4% ao mes rendeR$ 1 608,00 em 100
d1as?
a) R$ 20 000,00.
b) R$ 20 100,00.
c) R$ 20 420,00.
d) R$ 22 000,00.
e) R$ 21 400,00.
07.
(Analista de Controle lnterno SEFAZ-RJ 2013 CEPERJ) Se uma pessoa neces·
sitar de R$ 100.000,00 daqui a 10 meses, ela devera depositar hoje, num
fundo_ de poupan~a que remunera a taxa linear de 12% ao ano, a seguinte
quant1a:
a) R$ 92.000,00
b) R$ 90.000,00
c) R$ 89.290,46
d) R$ 90.909,09
e) R$ 91.809,36
08.
(Auditor Fiscal Tributario da Receita Municipal de Cuiaba 2014 FGV) 0 num~r~ de meses necessarios para que urn investimento feito na poupan~a
tnphque de valor (assumindo que esta remunere a taxa de 6% ao ano no
regime de juros simples) e de
•
a) 34.
b) 200.
c) 333.
d) 400.
e) 500.
09.
(Au~itor Fiscal d? Estado do RJ 2011 FGV) 0 numero de anos para que urn
~:p•tal quadruphque de valor, a uma taxa de 5% ao mes, juros simples, e
licar R$ 3.200,00
gata, apos 3 tri-
ma taxa dejuros
com 30 dias), o
por urn empres% ao dia, ao final
eixa de pagar um
m tres meses. A
titulo, seu valor
TRO) 0 montante
de R$200,00, no
al a
a)
7,50.
b) 3,80.
c)
4,50.
d) 5,00.
e)
10.
6,00.
(SEFAZ·SP APOFP 2009 ESAF) Urn capital unitario aplicado ajuros gerou urn
montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 1 5 dias. Qual a taxa de juros simples
anual de aplica~ao deste capital?
a) 48%
b) 10%
c) 4%
d) 54%
e) 60%
GSJ
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
~~--~~~~--~--~--~--~~~~------~------------~--------
11.
(APOFP SEFAZ-SP 2013 VUNESP) Uma divida de R$ 20.000,00 foi quitada
por R$ 21.000,00, cinco meses apos ser contratada. A taxa men sal de juros
simples da opera~ao foi de
a) 0,5%.
b) 10%.
c) 1%.
d) 5%.
e) 0,1%.
0 compra
pagamen
segunda p
financeira
a)
c)
13.
(TRT13 Analista Judiciario 2014 FCC) A aplica~ao a juros de um capital de
R$ 3.000,00 resultou em um montante de R$ 3.300,00 ao final do periodo
de 2 meses e meio. A taxa de juros simples anual desse investimento, em
%, foi de
a) 4.
b) 48.
c) 10.
d) 60.
e) 38.
16.
~oes:
15.
R$ 1 80
(Fiscal de
taxa de ju
a uma tax
em R$ 13
a) R$ 18.5
b) R$ 1 3 .0
c) R$ 12.3
d) R$ 11 .0
e) R$ 1 0.0
(CETAM 2014 FCC) Um televisor esta sendo vendido nas seguintes condi-
=
17.
a. Pre~o a vista R$ 4.800,00
b. Condi~oes a prazo entrada de R$ 1.200,00 e R$ 3.924,00 em 90 dias.
A taxa de juros simples men sal cobrada na venda a prazo e de
a) 2,25% a.m.
b) 3,00% a.m.
c) 3,38% a.m.
d) 4,50% a.m.
e) 6, 75% a.m.
14.
R$ 1 50
d) R$ 1 60
e)
12.
R$ 1 20
b) R$ 1 35
=
(Auditor da Receita Estadual do Amapa 2010 FGV) Em certa loja, um arti·
go pode ser comprado por R$ 1 72,00 a vista ou em duas presta~oes de
R$ 92,00, uma no ato da compra e outra 30 dias depois. A taxa de juros
(embutida) que a loja esta cobrando nesta opera~ao e de:
a) 15%
b) 13%
c) 11%
d) 9%
e) 7%
(CEAL Alagoas 2005 FCC) 0 pre~o de venda de um televisor e igual a
R$ 1 200,00. 0 comprador podera adquiri·lo por meio de uma das seguintes
op~oes, financeiramente equivalentes:
I. A vista com 1 0% de des con to;
11. Dois pagamentos iguais a R$ 600,00, sendo o primeiro no ato da compra
e o segundo um mes apos.
(Analista
a operado
No dia do
compra n
mento da
um pagam
cumprido
os centav
a) R$ 708
b) R$ 714
c) R$ 720
d) R$ 728
e) R$ 734
18.
(APOFP SE
seu valor
de 30% d
R$ 856,80
incluida n
primeira
a) R$ 360
b) R$ 400
c) R$ 257
d) R$ 428
e) R$ 367
Campos
Capitulo 2 -Juras Simples
-~--------
00 foi quitada
men sal de juros
e um capital de
nal do periodo
estimento, em
0 comprador propoe ao vendedor adquirir o aparelho por meio de um so
pagamento a veneer em um mes. Utilizando a taxa de juros implicita na
segunda parcela da op~ao II, este pagamento unico, para que a equivalencia
financeira seja mantida, teria que ser de
a)
R$ 1 200,00
b) R$ 1 350,00
c)
R$ 1 500,00
d) R$ 1 600,00
e)
16.
R$ 1 800,00
(Fiscal de Rendas SEFAZ·RJ 2009 FGV) Um montante inicial foi aplicado a uma
taxa de juros simples de 5% ao mes durante 2 meses e depois reaplicado
a uma taxa de juros simples de 10% ao mes durante 2 meses, resultando
em R$ 13.200,00. 0 valor do montante inicial era de:
a) R$ 18.500,00.
b) R$ 1 3 .000,00.
c) R$ 12.330,00.
d) R$ 11 .000,00.
e) R$ 1 0.000,00.
eguintes condi17.
00 em 90 dias.
e de
No dia do vencimento pagou R$ 800,00 e prometeu nao fazer nenhuma
compra nova ate liquidar com a divida. No mes seguinte, no dia do venci·
mento da nova fatura pagou mais R$ 800,00 e, um mes depois, fez mais
um pagamento terminando com a divida. Sabendo que Francisco havia
cumprido a promessa feita, o valor desse ultimo pagamento, desprezando
os centavos, foi de:
a) R$ 708,00
b) R$ 714,00
c) R$ 720,00
d) R$ 728,00
e) R$ 734,00
a loja, um arti·
presta~oes de
A taxa de juros
visor e igual a
a das seguintes
o ato da compra
(Analista Bancario BNB 2014 FGV) Francisco estava devendo R$ 2.1 00,00
a operadora do cartao de credito, que cobra taxa mensal de juros de 12%.
18.
(APOFP SEFAZ-SP 2013 VUNESP) Uma pessoa adquiriu um bem e pagou o
seu valor total em duas parcelas do seguinte modo: uma primeira parcela
de 30% do valor total foi paga a vista; uma segunda parcela no valor de
R$ 856,80 foi paga 1 mes apos a data da compra. Se a taxa de juros, ja
incluida no valor da segunda parcela, foi de 2% ao mes, entao o valor da
primeira parcela foi de
a) R$ 360,00.
b) R$ 400,00.
c) R$ 257,04.
d) R$ 428,40.
e) R$ 367,20.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
19.
20.
21.
22.
(Auditor Fiscal da Receita Estadual doES 2013 CESPE) Um cliente, que tinha
R$ 500,00 em sua conta corrente especial, emitiu um cheque de R$ 2.300,00
que foi imediatamente compensado. 0 cliente so tomou conhecimento do
saldo devedor 11 dias apos a compensa~ao do cheque. Nessa situa~ao,
sabendo que, para periodos inferiores a 30 dias, o banco cobrajuros simples, diarios, a taxa mensa I de 4,8%, para cobrir o debito no banco relativo
a esses 11 dias, o cliente devera depositar, imediatamente, o montante de
a) R$ 2.750,40.
b) R$ 1 .800,00.
c) R$ 1 .831 ,68.
d) R$ 1 .886,40.
e) R$ 2.300,00.
(Analista do Tesouro Estadual SEFPI 2015 FCC) Se Ricardo aplicar 75% de seu
capital, durante 6 meses, podera resgatar no final de 6 meses o montante
correspondente a R$ 16.302,00. Se ele aplicar o restante do capital, durante
8 meses, podera resgatar no final de 8 meses o montante correspondente
a R$ 5.512,00. Ricardo, entao, decide aplicar todo o capital, durante 10
meses, resgatando todo o montante no final de 10 meses. Considerando
que as aplica~oes sao realizadas sob o regime de capitaliza~ao simples e
com a mesma taxa de juros, o montante que ele resgatara no final de 10
meses sera de
a) R$ 21.500,00
b) R$ 22.037,50
c) R$ 22.198,75
d) R$ 22.360,00
e) R$ 23.650,00
(Auditor Fiscal da Receita Estadual SFARJ 2014 FCC) A aplica~ao de um
capital sob o regime de capitaliza~ao simples, durante 10 meses, apresentou, no final deste prazo, um montante igual a R$ 1 5.660,00. A aplica~ao
de um outro capital de valor igual ao dobro do valor do capital anterior
sob o regime de capitaliza~ao simples, durante 15 meses, apresentou, no
final deste prazo, um montante igual a R$ 32.480,00. Considerando que
as duas aplica~oes foram feitas com a mesma taxa de juros, en tao a soma
dos respectivos juros e igual a
a) R$ 6.660,00
b) R$ 3.480,00
c) R$ 4.640,00
d) R$ 5.600,00
e) R$ 6.040,00
(Agente Fiscal de Rendas SEFAZ/SP 2013 FCC) Em 1 7/01/2012, uma pessoa
tomou R$ 20.000,00 emprestados do Banco A, porum ano, ajuro simples,
a taxa de 4% ao mes. Apos certo tempo, soube que o Banco B emprestava,
ajuros simples, a taxa de 3% ao mes. Tomou, entao, R$ 20.000,00 empres·
tados do Banco Bate 17/01/2013 e no mesmo dia liquidou sua divida com
o Banco A. Em 1 7/01 /201 3, os juros pagos aos Ban cos A e B totalizaram
R$ 8.200,00. 0 numero de meses correspondente ao prazo de segundo
emprestimo e
-
4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
a)
(PGE/BA 2
de que se
o correspo
caso ela o
no final do
sao realiz
de juros,
capital de
R$ 2.497,
a) 20.
b) 18.
c) 16.
d) 15.
e) 14.
24.
(TRF3 Ana
igual a R$
o primeir
o segund
ano. Se, n
da segun
em R$ 11
das duas
a) 4.350,0
b) 4.500,0
c) 3.650,0
d) 3.400,0
e) 4.000,0
25.
(Auditor-F
certo ano
juros sim
outro cre
empresta
quidou a
a segund
credores.
a) 4 mese
b) 4 mese
c) 5 mese
d) 5 rnese
e) 6 mese
Campos
nte, que tinha
de R$ 2.300,00
nhecimento do
essa situa~ao,
brajuros simbanco relativo
o montante de
-
om
4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
a)
(PGE/BA 2013 FCC) Maria obtem de uma institui~ao financeira a informa~ao
de que se ela aplicar todo seu capital, durante 8 meses, podera resgatar
o correspondente montante no valor de R$ 19.61 0,00 no final do periodo.
caso ela opte por aplicar durante 12 meses, o correspondente montante,
no final do periodo, podera resgatar R$ 20.165,00. Se todas as aplica~oes
sao realizadas sob o regime de capitaliza~ao simples e com a mesma taxa
de juros, entao o numero de meses em que Maria deve aplicar todo seu
capital de tal maneira que o correspondente valor dos juros seja igual a
R$ 2.497,50 e de
a) 20.
b) 18.
c) 16.
d) 15.
e) 14.
car 75% de seu
es o montante
apital, durante
orrespondente
al, durante 10
Considerando
a~ao simples e
no final de 10
24.
(TRF3 Analista judiciario 2014 FCC) Do is capitais, apresentando uma soma
igual a R$ 40.000,00, sao aplicados sob o regime de capitaliza~ao simples.
o primeiro capital e aplicado, durante 9 meses, a uma taxa de 12,0% ao ano.
o segundo capital e aplicado, durante 10 meses, a uma taxa de 14,4% ao
ano. Se, no final dos respectivos prazos de aplica~ao, o valor do montante
da segunda aplica~ao supera o valor do montante da primeira aplica~ao
em R$ 11.650,00, entao a soma dos valores dos juros correspondentes
das duas aplica~oes e, em R$, igual a
a) 4.350,00.
b) 4.500,00.
c) 3.650,00.
d) 3.400,00.
e) 4.000,00.
25.
(Auditor-Fiscal Tributario Municipal SP 2012 FCC) Em 05 de janeiro de
certo ano, uma pessoa tomou R$ 10.000,00 emprestados por 10 meses, a
juros simples, com taxa de 6% ao mes. Apos certo tempo, encontrou um
outro credor que cobrava taxa de 4% ao mes. Tomou, entao, R$ 13.000,00
emprestados do segundo credor pelo resto do prazo e, no mesmo dia, li·
quidou a divida como primeiro. Em OS de novembro desse ano, ao liquidar
a segunda divida, havia pago um total de R$ 5.560,00 de juros aos do is
credores. 0 prazo do segundo emprestimo foi
a) 4 meses.
b) 4 meses e meio.
lica~ao
de um
eses, apresen0. A aplica~ao
apital anterior
presentou, no
siderando que
en tao a soma
2, uma pessoa
ajuro simples,
B emprestava,
00,00 empres·
sua divida com
B totalizaram
o de segundo
Capitulo 2- Juros Simples
c) 5 meses.
d) 5 rneses e meio.
e) 6 meses.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
26.
27.
28.
29.
(Auditor Fiscal de Tributos Estaduais de Rondonia 2010 FCC) Dois capitais
foram aplicados a uma taxa de juros simples de 2% ao mes. 0 primeiro
capital ficou aplicado durante o prazo de urn ano e o segundo, durante 8
meses. A soma dos dois capitais e a soma dos correspondentes juros sao
iguais a R$ 27.000,00 e R$ 5.280,00, respectivamente. 0 valor do modulo
da diferen~a entre OS dois capitais e igual a
a) R$ 5.000,00
b) R$ 4.000,00
c) R$ 3.000,00
d) R$ 2.500,00
e) R$ 2.000,00
(APOFP SEFAZ-SP 2010 FCC) Urn capital no valor de R$ 12.500,00 e aplicado
a juros simples, durante 12 meses, apresentando urn montante igual a R$
1 5.000,00. Urn outro capital e aplicado, durante 15 meses, a juros simples
a uma taxa igual a da aplica~ao anterior, produzindo juros no total de R$
5.250,00. 0 valor do segundo capital supera o valor do primeiro em
a) R$ 1 0.000,00
b) R$ 8.500,00
c) R$ 7.500,00
d) R$ 6.000,00
e) R$ 5.850,00
(ICMS-SP 2009 FCC) Uma pessoa aplicou urn capital em urn Banco que remunera os depositos de seus clientes a urn a taxa de juros simples de 12% ao
ano. Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a esta
aplica~ao e utilizou R$ 20.000,00 para liquidar uma divida nesse valor. 0
restante do dinheiro, aplicou em urn outro Banco, durante urn ano, a uma
taxa de juros simples de 1,5% ao mes. No final do periodo, o montante da
segunda aplica~ao apresentou urn valor igual a R$ 28.933,60. A soma dos
juros das duas aplica~oes e igual a
a) R$ 1 0.080,00
b) R$ 8.506,80
c) R$ 7.204,40
d) R$ 6.933,60
e) R$ 6.432,00
(Auditor-Fiscal Tributario Municipal de SP 2007 FCC) Uma pessoa necessita
efetuar dois pagamentos, urn de R$ 2.000,00 daqui a 6 meses e outro de
R$ 2.382,88 daqui a 8 meses. Para tanto, vai aplicar hoje a juros simples
0 capital c a taxa de 3% ao mes, de forma que:
- daqui a 6 meses possa retirar todo o montante, efetuar o pagamento de
R$ 2.000,00 e, nessa data, aplicar o restante a juros simples, a mesma
taxa, pelo resto do prazo;
- daqui a 8 meses possa retirar todo o montante da segunda aplica~ao e
efetuar o segundo pagamento, ficando com saldo nulo e sem sobras.
30.
Nessas con
a) R$ 3.654
b) R$ 3.648
c) R$ 3.64
d) R$ 3.62
e) R$ 3.60
(Analista d
tornado ur
prestimo a
liquida o s
e do segun
a) R$ 4.895
b) R$ 4.99
c) R$ 4.90
d) R$ 4.00
e) R$ 4.12
JUROS SIMPLES
31. (TCM RJ 20
dejuros si
abril do m
os centavo
a) R$1 0.20
b) R$1 0.20
c) R$1 0.20
d) R$1 0.20
32.
(Auditor F
simples d
taxa de 24
do period
decimais s
a) 4,70%
b) 4, 75%
c) 4,80%
d) 4,88%
e) 4,93%
33.
(Analista
aplicou ur
cresceu 8%
a) 144 dia
b) 146 dia
c) 150 dia
d) 153 dia
e) 155 dia
Campos
) Dois capitais
es. 0 primeiro
do, durante 8
ntes juros sao
lor do modulo
30.
0,00 e aplicado
ante igual a R$
juros simples
no total de R$
meiro em
anco que remuples de 12% ao
ondente a esta
nesse valor. 0
urn ano, a uma
o montante da
0. A soma dos
ssoa necessita
ses e outro de
juros simples
pagamento de
ples, a mesma
nda aplica~ao e
sem sobras.
Capitulo 2- Juras Simples
Nessas condi~oes, o valor de C e igual a
a) R$ 3.654,00
b) R$ 3.648,00
c) R$ 3.640,00
d) R$ 3.620,00
e) R$ 3.600,00
(Analista de Controle lnterno SEFAZ-RJ 2012 CEPERJ) Tres meses apos ter
tornado urn emprestimo a 5% ao mes, o devedor toma urn segundo emprestimo a 3,5% ao mes e liquida o primeiro emprestimo; 5 meses apos,
liquida o segundo emprestimo, pagando R$ 6.750,00. 0 valor do primeiro
e do segundo emprestimos, respectivamente, era de:
a) R$ 4.895,32; R$ 5.874,68
b) R$ 4.995,37; R$ 5.744,68
c) R$ 4.900,00; R$ 5.674,98
d) R$ 4.009,97; R$ 5.444,99
e) R$ 4.125,30; R$ 5.238,00
JUROS SIMPLES EXATOS
31. (TCM RJ 2003 FGV) Marcos fez uma aplica~ao de R$ 1 0.000,00, a uma taxa
dejuros simples exatos de 18,25% ao ano, do dia 15 de mar~o ao dia 25 de
abril do mesmo ano. Ao final desse prazo, o saldo de Marcos, desprezando
os centavos, era de:
a) R$1 0.200,00
b) R$1 0.202,00
c) R$1 0.205,00
d) R$1 0.207,00
32.
(Auditor Fiscal de Fortaleza 1998 ESAF) Urn capital e aplicado a juros
simples do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma
taxa de 24% ao ano. Nessas condi~oes calcule o juro simples exato ao fim
do periodo, como porcentagem do capital inicial, desprezando as casas
decimais superiores a segunda.
a) 4,70%
b) 4, 75%
c) 4,80%
d) 4,88%
e) 4,93%
33.
(Analista de Tecnologia da lnforma~ao SEFAZ/CE 2007 ESAF) Uma pessoa
aplicou urn capital a juro simples exato a uma taxa de 20% ao ano e ele
cresceu 8% ao fim do prazo. Qual foi o prazo de aplica~ao do capital?
a) 144 dias
b) 146 dias
c) 150 dias
d) 153 dias
e) 155 dias
8
34.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
No dia 2 5/0 7/2000 apliquei R$ 10.000,00 a uma taxa de juros simples
exatos de 0,1% ao dia. Em que data poderei resgatar o montante de R$
10.500,00?
a) 10/09/2000
b) 11/09/2000
c) 12/09/2000
d) 13/09/2000
------------
38.
(TRT-ES 1
~oes: a te
a 21% ao
capital a f
a) 16,8% a
b) 19,8% a
c) 20,0% a
d) 18,4% a
e) 21,0% a
39.
Os capita
seguintes
ao mes du
vamente.
de
a) 9 mese
b) 9,4 me
40.
Uma pess
TAXA MEDIA, PRAZO MEDIO E CAPITAL MEDIO
35.
(Auditor Fiscal de Receitas Estaduais Para 2013 UEPA) Um empresario
solicitou tres emprestimos a juros simples aos respectivos ban cos A, Be
C. No banco A solicitou R$ 50.000,00 a taxa de 42% a.a por 5 meses. No
banco B foi solicitado o triplo do banco A a taxa de 24% a.a por 240 dias e
no banco C o valor solicitado foi a metade do valor solicitado no banco B
a taxa de 36% a.a por 10 meses. A taxa men sal media aproximada desses
emprestimos foi de:
a) 2,51%
b) 2,83%
c) 3%
d) 24,36%
e) 34%
Valor a
5
1.
3.
36.
37.
(Fiscal de Fortaleza 2003 ESAF) Os capitais de 200, 300 e 100 unidades
monetarias sao aplicados ajuros simples durante o mesmo prazo as taxas
mensais de 4%, 2,5% e 5,5%, respectivamente. Calcule a taxa mensal media
de aplica~ao destes capitais.
a) 2,5%
b) 3%
c) 3,5%
d) 4%
e) 4,5%
(Tecnico da Receita Federal 2006 ESAF) Tres capitais nos valores respectivos de 100, 2 50 e 150 sao aplicados a juros simples no mesmo prazo
as taxas de 3%, 4% e 2% ao mes, respectivamente. Obtenha a taxa media
mensal de aplica~ao desses capitais.
a) 3,4%
b) 3,2%
c) 3,0%
d) 2,8%
e) 2,6%
Calcule o
a) R$ 2.05
b) R$ 20,5
c) R$ 2.09
d) R$ 2.80
Campos
OBJ
Capitulo 2- juros Simples
----------------------------~----~--~----------------------~~
juros simples
montante de R$
38.
(TRT-ES 1990 FCC) Uma pessoa emprega seu capital nas seguintes condi~oes: a ter~a parte a 1 5% ao ano, a quinta parte a 18% ao ano e o restante
a 21% ao ano. Qual a taxa (mica a que a mesma poderia empregar todo o
capital a fim de obter o mesmo rendimento anual?
a) 16,8% aa
b) 19,8% aa
c) 20,0% aa
d) 18,4% aa
e) 21,0% aa
Um empresario
s ban cos A, Be
or 5 meses. No
por 240 dias e
ado no banco B
ximada desses
39.
Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 sao aplicados nas
seguintes condi~oes: taxa de 12% ao mes durante 1 5 meses, taxa de 8%
ao mes durante 10 meses e taxa de 4% ao mes durante 5 meses, respectivamente. 0 prazo medio de aplica~ao destes capitais e aproximadamente
de
a) 9 meses
c) 10,6 meses
b) 9,4 meses
d) 11 meses
40.
Uma pessoa investe seu capital nas seguintes
100 unidades
prazo as taxas
a mensal media
valores respecmesmo prazo
a a taxa media
condi~oes:
Valor aplicado (R$)
Prazo (dias)
Taxa mensal
500,00
15
1%
1.500,00
30
2%
3.000,00
20
3%
Calcule o capital medio dessas
a) R$ 2.055,56
b) R$ 20,55
c) R$ 2.095,56
d) R$ 2.800,56
aplica~oes:
Trata-se de ur
0 proximo sera E
Equivalencia sera
opera<;;oes de des
de capitais
3.1. Opera~ao
No capitulo in
uma estrela de cin
diz respeito a um
Vamos recorda
que eu tenha uma
pretendo antecipa
E esta a nossa
que era devido n
com determinado
o quanto ele vale
Estamos recor
Capitulo3
Desconto Simples
Trata-se de urn assunto da maior relevancia. Nosso tema agora e o Desconto Simples
0 proximo sera Equivalencia Simples de Capitais. Convem sabermos que as questoes de
Equivalencia serao resolvidas por meio de opera<;:oes de Desconto. Logo, aprender a trabalhar
opera<;;oes de desconto e condi<;:ao sine qtw non para se resolver questoes de equivalencia
de capitais
3.1. Opera~ao de Desconto: o que
e?
No capitulo inicial do nosso curso, vimos que a Matematica Financeira concllrsiva e como
uma estrela de cinco pontas . A primeira delas, ja vimos Juros. A segunda, chamada Desconto,
diz respeito a uma situa<;;ao muito facil de ser compreendida.
Vamos recordar a segunda sittw<;ao-padrao, que conhecemos naquela ocasiao: "suponhamos
que eu tenha uma divida, no valor de R$ 5 . 000,00, que deve ser paga daqui a tres meses, mas
pretendo antecipar o pagamento dessa divida e paga-la hoje".
E esta a nossa situa<;;ao aqui, n6s pretendemos saber o quanto representa hoje um valor
que era devido numa data futura Em outras palavras, queremos agora retrocedcr no tempo
com determinado valor monetario, projetando-o para a data atual, no intuito de descobrir
o quanto ele valera no dia de hoje, ou numa outra data anterior aquela do seu vencimento
Estamos recordados que o desenho deste enunciado seria o seguinte:
5.000,00
X
t
0
(data zero)
lm
2m
I
3m
Matematica Finance ira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Reproduziremos a seguir o que foi dito sobre este enunciado no capitulo inicial
"Observemos que, como estamos rctrocedcndo no tempo, ou seja, como estamos recuando
na linha do tempo, o valor de 'X' sera, necessariamente, um valor menor do que RS 5 000,00.
Isso eo que nos diz a lei fundamental da matematica financeira. Por isso, o trac;o que representa
o valor 'X' deve ser menor que o que representa os RS 5 000,00"
Vejamos de novo
------------
Esse titulo po
uma questao de u
um commercial pa
fica\·a c\aro que s
ser paga mnna d
Entao, nao im
yencivel numa d
Valor Nominal
Outro sinoni
nafacc do papel,
Valor Atua
Tambem cha
Significa o qu
Linha do tempo
Eo quanta paga
E por que o valor de X sera um valor menor que o da divida? Porque estara sofrendo uma
Por isso, rece
Naturalmente
operac;ao financeira a qual chamaremos de dcsconto . Em suma, Desconto e apenas isso projetar
vez que, na linha
(transportal) wn valor monctcilio de wna data Jutura para wna data antclior
Ilustrando uma operac;ao de desconto, de uma forma generica (sem estabelecer valores),
Desconto
Se havia uma
antecipar o paga
teremos o seguinte
o que era de\·ido
Essa diferenc;
(em decorrencia
Valor Nominal
Ilustrativame
Valor atual
t
0
J
n
3.2. Elementos de uma Opera~ao de Desconto
0 desenho acima janos da a indicac;ao de alguns desses elementos. Passemos a conhece-los
mais ponnenorizadamente.
•
Valor Nominal (N):
Significa tao somente o valor monetario que e devido numa data futura.
Normalmente, o valor nominal figura nas questCies como sendo uma obrigac;ao (uma divida,
ou coisa parecida) que tem que ser paga numa data postetior a de hoje.
Essa obrigac;ao nao e caracterizada porum contrato verbal Existe um papcl, um titulo, que
ira atestar que a divida existe, e que e devida naquela data nele indicada.
Pela figura ac
Outras forma
Essas sao tam
operac;ao de des
r Campos
lo inicial
estamos recuando
que RS 5 000,00.
ac;o que representa
stara sofrendo uma
penas isso projetar
stabelecer valores),
[89]
Capitulo 3 - Desconto Simples
----------------------------~------------~~----------------------~~
Esse titulo podera ser uma duplicata, ou uma nota promiss6ria, ou qualquer outro. Hom·e
uma questao de uma prova de Auditor da Receita, ja mais antiga, em que o enunciado fa lava de
um commercial paper Muita gente sequer sabia que isso existia, mas, pelo contexto da questao,
fica\·a c\aro que se tratava de um titulo, ou seja, um papel que representava uma obrigac;ao a
ser paga mnna data futum
Entao, nao importa qual seja o nome dado a esse titulo, se ele representar uma obrigac;ao
yencivel numa data futura, sera pois tratado sempre da mesma forma, como sendo nosso
Valor Nominal
Outro sinonimo de Valor Nominal e Valor de Face, que significa o valor que esta escrito
nafacc do papel, do titulo.
Valor Atual (A):
Tambem chamado de Valor Uquido ou Valor Dcscontado
Significa o quanta representa o Valor Nominal, quando projctado para uma data anterior.
Eo quanta pagaremos hoje por aquele nosso titulo
Por isso, recebe esse nome de Valor Atual Porque atual e hoje.
Naturalmente que o Valor Atual sera necessariamente menor que o Valor Nominal, uma
vez que, na linha do tempo, estara sempre numa data anterior.
Desconto (D):
Se havia uma divida (de um valor qualquer) a ser paga mnna data futura, e se resolvemos
antecipar o pagamento desse valor, ja sabemos que vamos pagar hoje um valor men or do que
o que era de\·ido
Essa diferenc;a entre o valor que era de\·ido no futuro e o valor menor que pagarei hoje
(em decorrencia da antecipac;ao do pagamento) e exatamente o que chamaremos de Desconto.
Ilustrativamente, teremos:
Valor Nominal
>
Valoy~~'~! _.... _....... _......... _J
0
De>conto
n
(Tempo)
emos a conhece-los
a.
gac;ao (uma divida,
papcl, um titulo, que
Pela figura acima, ja descobrimos a nossa primeira equac;ao do Desconto. E a seguinte
D=N-A
Outras formas que a equac;ao acima pode assumir sao as seguintes:
e
A=N-D
Essas sao tambem equac;oes visuais. S6 temos que nos lembrar do desenho-modclo de uma
operac;ao de desconto, e ja as deduziremos.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Tempo de Antecipac;;ao (n):
Sabemos que na operac;ao de desconto estamos na verdade projetando urn valor monetario
para uma data anterior Entao, "n" sera, numa questao de desconto, a distancia de tempo entre
o Valor Nominal eo Valor Atual
------------
pelo exposto,
rentes "feic;6es"
7
Desco
7
Desco
Se o Valor Nominal representar uma dfvida que seria paga numa data futura, e pretendemos paga-la hoje, entao "n" sera o "tempo de antecipac;ao" do pagamento daquela obrigac;ao.
Taxa (i):
A Taxa, conforme dito anterionnente, e o elemento responsavel par realizar a magica da
3.4. Desconto
E tambem
ch
Matematica Financeira. E ela quem faz com que os valores monetarios nunca fiquem parados
frequente nos enu
com o transcorrer do tempo.
nao podemos jam
E tambem ela que faz com que uma quantia vencfvel (devida) numa data futura diminua
de Yalor, caso wnha a ser projetada para uma data anterior.
Da mesma forma que vimos no assunto de Juras, tambem aqui no Desconto teremos
0 desenho inic
independenteme
nos numa questa
taxas no Regime Simples e no Regime Composto. Dai, continua valencia aquela primeira
to composto por
preocupac;ao. descobrir em qual dos regimes (simples ou composto) estamos trabalhando
desconto sera sem
nossa operac;ao de desconto.
Se a taxa e simples, estaremos numa questao de Desconto Simples; se e composta, estaremos numa questao de Desconto Composto. E serao quest6es distintas, com resoluc;6es e
resultados tambem diferentes.
3.3. Modalidades (Tipos) de Desconto
Ja sabemos que, em se tratando de regimes, teremos quest6es de Desconto Simples e de
Desconto Composto. Aprenderemos agora que existem duas modalidades de Desconto, quais
sejam o Desconto por Dentro e o Desconto por Fora.
Aqui tambem
trativo, par meio
que mostraremos
quest6es de desc
A seguir detalharemos essas duas modalidades do desconto. Par hora, e necessaria guardarmos a seguinte informac;ao para toda questao que envolva operac;6es de desconto, alem da
preocupac;ao inicial em descobrir o regime desta operac;ao (se simples ou composto), hm-era
uma segunda grande constatac;ao a ser feita, qual seja, a de descobrir a modalidade do desconto
(se por dentro ou por fora)
Ou seja, quando se le uma questao de desconto, antes de iniciarmos a sua resoluc;ao, temos,
impreterivelmente, que descobrir duas coisas:
Primeiro- Qual o regime desta operac;ao de desconto? Simples ou Composto?
Segundo- Qual o tipo, ou seja, qual a modalidade desta opera<;ao de desconto? Eo Descanto par Dentro ou o Desconto par Fora?
Somente apos respondidas estas duas perguntas e que estaremos aptos a iniciar a resoluc;ao
da questao . Nunca antes.
3.4.1. Os Dois
Como podem
o !ado do Atual (
Doravante, le
do Atual. E o la
Uma forma d
nonimo de Valor
dentro. E liquido
No Desconto
esquema ilustrati
Campos
[9D
Capitulo 3 - Desconto Simples
----------------------------~------------~------------------------~~
pelo exposto, concluimos que uma questao de Desconto podera apresentar quatro dife-
n valor monetario
a de tempo entre
rentes "feic;6es"
7
Desconto Simples por Dentro;
7
Desconto Composto par Dentro;
-7
-7
Desconto Simples por Fora;
Desconto Composto por Fora
tura, e pretende-
aquela obrigac;ao.
lizar a magica da
a fiquem parados
3.4. Desconto Simples por Dentro
E tambem
chamado de Desconto Simples Racional. Este sinonimo e, inclusive, mais
frequente nos enunciados de pro\·a que a propria nomenclatura desconto por dentro Destarte,
nao podemos jamais esquecer disso Desconto par Dentro = Desconto Racional.
a futura diminua
0 desenho inicial de uma questao de desconto e aquele ja vista . E sera sernpre o rnesmo,
independentemente do regime ou da modalidade da operac;ao. Em outras palavras, estejamos
Desconto teremos
aquela primeira
mos trabalhando
nos numa questao de desconto simples par dentro, de desconto simples par fora, de desconto composto por dentro ou de desconto composto por fora, o desenho inicial da questao de
desconto sera sempre o seguinte
Valor Nominal
e composta, esta-
com resoluc;6es e
onto Simples e de
e Desconto, quais
Valor atual
t
0
I
n
Aqui tambem neste assunto, nao decoraremos formulas. Aprenderemos um esquema ilustrativo, par meio do qual resolveremos as quest6es de desconto simples. Par meio dos dcscnhos
que mostraremos a seguir, seremos capazes de formar equa<;6es, as quais resolverao todas as
quest6es de desconto simples, a exemplo do que fizemos com as questoes de juros simples
e necessaria guar-
desconto, alem da
omposto), hm-era
dade do desconto
resoluc;ao, temos,
posto?
esconto? Eo Des-
niciar a resoluc;ao
3.4.1. Os Dois Ladas da Operac;ao de Desconto
Como podemos verna figura acima, todas as quest6es de desconto apresentam dois !ados
o !ado do Atual (A) eo !ado do Nominal (N)
Doravante, lembraremos sernpre do seguinte: o lado do Desconto por Dentro sera o lado
do Atual. E o lado do Desconto par Fora sera o lado do Nominal.
Uma forma de memorizar isso e pensando numa garrafa. Sabemos que Valor Atual e sinonimo de Valor liquido Eo liquido fica onde? Fica dentro da garrafa. Logo, o liquido fica
dentro. E liquido e o Atual. Dai, o !ado do desconto par dentro eo !ado do Atual.
No Desconto Simples Racional (Desconto Simples par Denn·o), utilizaremos o seguinte
esquema ilustrativo para resolvermos as quest6es.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
N
100
rL_____D_ _ _ _
i.n
j
e Desconto) e se
nos Juros Simple
100 + i.n
0 raciocinio e 0 seguinte: qual e 0 !ado do Desconto par Dentro? E 0 \ado do Atual. logo,
diremos que Atual esta para 100 (cem) Ora, o Nominal e maior au menor que o Atual? E
maior' logo, se o Atual esta para 100 eo Nominal e maior que o Atual, entao diremos que o
Nominal esta para lOO mais alguma coisa . E essa algwna coisa sera "taxa vezes tempo" (i n) Eo
desconto7 Sabemos que o Desconto e a diferenc:a entre o Nominal eo Atual. logo, o Desconto
Dai, se estive
Valor Awal e Dc
estara para "taxa vezes tempo" (i n)
Relembremos o dcscnho-modclo de uma operac:ao de Juros Simples e fac:amos a comparac:ao
Caso estejam
com este acima, do desconto simples par dentro
Nos J uros Simples, tinhamos
equac:ao:
M
100
rL____
_;;J:___ _ _
Finalmente,
___it00 +in
Coloquemos
Ln
A
lOO
E agora, no Desconto Simples por Dentro, temos o seguinte
N
1
A
100 1L______D_ _ _ _ _- - l 100 + Ln
Facilmente o
(n) Aqui, recor
devem sempre
Somente po
cump1ido tal ex
i.n
•
Ora, a rigor, temos aqui um mesmo desenho. Muda apenas a nomenclatura das duas operac:oes E muda tambem o sentido enquanto a operac:ao de Juros projcta o Capital para uma
data futura, a operac:ao de Desconto projcta o Valor Nominal para a data atuaL
Podemos dizer, portanto, que as operac:oes de Juras Simples e de Desconto Simples Racional se equivalem uma a outra
A partir do dcscnho-modclo do Desconto Simples por Denn·o (Desconto Simples Racional), ja somos capazes de criar tres equac:oes possiveis, as quais utilizaremos para resolver as
questoes. Basta imaginarmos um trac:o di\isor entre os elementos (Valor Atual, Valor Nominal
Primeiras
Exemplo 1 - (
dois meses an
racional simp
pelo titulo?
Soluc;;ao: Noss
fala em um "tit
de desconto, po
a questao cont
seu vencimento
Campos
do do Atual. logo,
or que o Atual? E
ao diremos que o
s tempo" (i n) Eo
logo, o Desconto
Capitulo 3 - Desconto Simples
e Desconto) e seus m1meros representativos Da seguinte fonna, semelhante ao que fizemos
nos Juros Simples:
N
wof~. . ._____v______JI
i.n
Dai, se estivermos trabalhando na questao de Desconto Simples Racional, com os elementos
Valor Awal e Dcsconto, nossa equac:ao sera
A
nto Simples Raciomos para resolver as
tual, Valor Nominal
D
100 i.ll
Caso estejamos trabalhando com Valor Atttal e com Valor Nominal, usaremos a seguinte
mos a comparac:ao
atura das duas opeo Capital para uma
tuaL
sconto Simples Ra-
100 + i.n
equac:ao:
A
N
100
100+i.n
Finalmente, quando fonnos trabalhar com Desconto e com Valor Nominal, utilizaremos
D
N
i.n lOO+i.n
Coloquemos estas tres equac:oes !ado a !ado
A
D
A
N
D
N
lOO
i. n
100
100 +in
i. n
lOO+i.n
Facilmente observamos que em todas as tres estao presentes as elementos taxa (i) e tempo
(n) Aqui, recordaremos da exigencia universal da matematica financeira Taxa e Tempo
devem sempre estar na mesma unidade.
Somente poderemos aplicar qualquer das tres equac:oes acima, quando tivermos antes
cump1ido tal exigencia .
•
Primeiras Questoes de Desconto Simples Racional:
Exemplo 1 - (ESAF) Um titulo com valor nominal de R$ 10.000,00 foi resgatado
dois meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto
racional simples, taxa de 5% ao mes. Nesse caso, de quanto foi o valor pago
pelo titulo?
a
Soluc;;ao: Nossa primeira preocupac:ao sera identificar o assunto. Quando o enunciado
fala em um "titulo com valor nominal" ja comec:amos a pensar que pode ser uma questao
de desconto, pois esse elemento- Valor Nominal- e proprio deste tipo de operac:ao Daf
a questao continua dizendo que o tal titulo foi resgatado (leia-se: "foi pago") antes do
seu vencimento.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Agora nao resta mais duvida alguma. Se urn titulo era devido para uma data futura, e houve
uma antecipac;:ao no seu pagamento, entao estamos diante de uma operat;:ao de descomo.
E mais. o enunciado completa a nossa convicc;ao com tres pala\Tas, as quais nos informarn
tudo o que se deve saber sobre essa operac;ao. Ele diz "
concedido urn desconto racional
simples" Logo, a questao e de desconto, no regime simples, e na modalidade de desconto
racional, ou seja, por dentro.
Se a questao e de descomo simples por dentro, iremos resolve-la por meio do esquema
ilustrativo:
N
t
A
100
l~. .______D_ _ _ _ ____JI1oo + i.n
i.n
A questao nos forneceu o Valor Nominal (R$ 10 000,00) e esta pedindo o Valor Atual (o
quanto pagaremos pelo titulo) ja sabemos que e preciso cumprir uma exigencia: que taxa e
tempo estejam na mesma unidade. Aqui foi dado que a taxa e mensa! (5% ao mes) eo tempo
de antecipac;ao esta em meses (2 meses) Substituiremos os dados que temos na representac;ao
acima. Mas, primeiramente, devemos calcular o valor de (in). Temos que: i . n = 5 x 2 = 10 .
Da mesma forma que fizemos nos Juras Simples, trabalharemos no Desconto Simples com
taxas na notac;ao percentual, ou seja, para uma taxa de 5% usaremos 5.
10000
100
f~. _____
D_ _ _ _
____Jtoo + 10
10
Por meio da coluna da esquerda (do Valor Atual) e da co!una da direita (do Valor Nominal),
podemos montar a seguinte igualdade:
A
100
10000
110
Resolvendo a equac;:ao, teremos
A
10000
100000
-7 A=
-7 Dai A= 9 090,91 -7 Resposta!
110
11
-=--
100
-
Exemplo 2- Ut
com vencimen
considerando
Soluc;:ao: 0 enun
estamos diante d
desta operac;:ao d
ou seja, descont
enunciado nada
que aprendemos
dispuser acerca
(*)
Mais a fre
situac;ao e
tipo de ta
convenc;:ao
Pois bern ja s
Relembranclo
uma taxa ao ano
portanto, se qui
(taxa e tempo) e
Deixanclo tu
transforrnando-a
conceito que uti
0 conceito de T
Vejamos vam
menor; do maio
dividiremos por
Dai
Estamos ago
Temos que i. n =
0 enunciaclo
o valor atual. Us
Campos
ta futura, e houve
;:ao de descomo.
ais nos informarn
esconto racional
dade de desconto
meio do esquema
o o Valor Atual (o
gencia: que taxa e
ao mes) eo tempo
na representac;ao
i . n = 5 x 2 = 10 .
onto Simples com
o Valor Nominal),
-
Capitulo 3 - Desconto Simples
Exemplo 2- Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar porum titulo
com vencimento daqui a 5 meses, se o seu valor nominal for de R$ 30.000,00,
considerando uma taxa de 48% ao ano, e de:
Soluc;:ao: 0 enunciado _ja comec;ou fa lando que teremos que usar o "desconto racional" Emao,
estamos diante de uma questao de desconto. Sera preciso saber agora o regime e a modalidade
desta operac;:ao de desconto. A modalidade esta explicitada logo no inicio: desconto racional
ou seja, desconto por dentro. Mas, eo regime? Sera o Desconto Simples ou o Composto? 0
enunciado nada dispos expressamente sobre isso . Entao, valera a convenc;ao. Aquela mesma
que aprendemos para os juros quando o enunciado de uma questao de Desconto nada
dispuser acerca do regime, se simples ou se composto ( *), adotaremos o regime simples.
(*)
Mais a frente, quando chegarmos no estudo do regime composto, veremos que ha uma
situac;ao em que identificaremos a questao como sendo composta, pela presenc;a de urn
tipo de taxa, dita teem nominal. lsso sera visto a seu tempo For hora, fica valendo a
convenc;:ao.
Pois bern ja sabemos tudo sabre esse enunciado. A questao e de desconto simples racional
Relembranclo a exigencia. Taxa e tempo devem estar na mesma unidade. Aqui, temos
uma taxa ao ano (48% ao ano) eo tempo de antecipat;:ao em meses (5 meses) Pocleremos,
portanto, se quiserrnos, trabalhar com taxa e tempo em terrnos anuais; ou coloca-los ambos
(taxa e tempo) em terrnos mensais; ou ate mesmo ern outra unidacle .
Deixanclo tudo em meses, como fariamos? Teriamos apenas que alterar a taxa anual,
transforrnando-a numa taxa ao mes . Estamos em qual regime? No Regime Simples E qual o
conceito que utilizaremos sempre que formos alterar a unidade cla taxa no Regime Simples?
0 conceito de Taxas Proporcionais.
Vejamos vamos passar uma taxa ao ano para uma taxa ao mes; ano para mes; maior para
menor; do maior para o menor, n6s dividimos . Quantos rneses tem urn ano? Doze. Logo,
dividiremos por 12. Teremos
Taxa ao ano - - + 12-- >Taxa ao rnes
(unidade maior)
(uniclacle menor)
Dai
48% ao ano - - + 12-- > 4% ao mes
Estamos agora com taxa e tempo em terrnos anuais Podemos calcular o valor de (i n)
Temos que i. n = 4 x 5 = 20
0 enunciaclo novarnente forneceu o valor nominal (RS 30 000,00) e pede que encontrernos
o valor atual. Usando a formula de desconto simples por clentro
30000
100
f~.-_ ____
D
_____
20
__.too + 20
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
-
Por meio da coltma da esquerda (do Valor Atual) e cia col una cia clireita (do Valor Nominal) ,
poclemos montar a seguinte igualclacle·
A
30000
lOO
120
Retornanclo a
Teremos, pois, que
30000
-A= - - 7 .A
100
120
300000
12
Logo, concluimo
A taxa esta a
Substituirem
-7 Dai A=25 000. -7 Resposta!
Exemplo 3 - Quanto irei pagar hoje por urn titulo que vence daqui a tres meses,
se seu valor nominal e de R$ 10.000,00, considerando uma taxa dejuros simples
de 5% ao mes?
Solw:;ao: Essa questao tem algo essencial a ser aprencliclo . Vamos logo iclentificar o assunto.
Ora, o enunciaclo sugere que irei pagar um titulo de forma antecipacla.
Ou seja, o vencimento do titulo era para uma data futura (claqui a tres meses), e iremos
paga-lo hoje. Entao, nao resta cluvicla que estamos cliante de uma questao de clesconto.
Dai surgem aquelas cluas perguntas qual o regime cia opera<;:ao? E qual a moclaliclacle?
Quanto ao regime, vamos procurar no enunciaclo as palavras simples ou composto Achamos a
pala\Ta simples. Logo, estamos numa questao de Desconto Simples. E quanta
a moclaliclacle?
0 enunciaclo nacla falou que nos possibilitasse iclentificar o tipo de clesconto simples, se por
clentro ou por fora . 0 enunciaclo silenciou acerca cia moclaliclacle do clesconto. Vejamos, na
podemos monta
A
1000
100
115
-=--
-7 DaL A=
sequencia, como procecler neste caso.
3.5. Enunciado Omisso Quanta
Por meio cia
a Modalidade do Desconto
A regra e simples quando a questao de Desconto nacla dispuser acerca da modalidade (se
por dentro ou por fora), buscaremos o que e dita a respeito da taxa da opera<;:ao
Se a questao de clesconto falar expressamente sobre uma taxa de juros, en tao estaremos
3.6. Descont
Tambem cha
em nossa lembra
de uma questao
diante do Desconto Racional, ou seja, do Desconto por Dentro.
ja havfamos vista que opera<;:6es de juros e de Desconto Racional sao equivalentes.
Daf, repetimos, se o enunciaclo falar em taxa de juros, entao o clesconto sera por clentro.
Caso contnirio, se o enunciaclo nacla clispuser acerca cia moclalidade do Desconta, e
tambem nao falar que a taxa cia opera<;:ao e uma taxa de juros, utilizaremos o Desconto
por Fora.
Frisemos novamente: Se o enunciado cia questao de desconto nao se pronunciar a respeito
cia rnoclaliclade da opera<;:ao, se Desconto por Dentro ou Desconto por Fora, procuraremos ver
o que esta sendo dito acerca do elemento Taxa.
Lembrarem
Eo raciocin
cliremos que N
o Nominal, ent
e teem vczes tem
Campos
-
Capitulo 3 - Desconto Simples
Exprcssamcntc
o Valor Nominal) ,
Taxa clejuros
~
Caso Contnirio
··Dcsconto Por Dcntro··
"Desconto por Fora"
Retornanclo ao nosso "exemplo 3", a questao de desconto simples falou em taxa de juros.
Logo, concluimos trata-se de uma questao de Desconto Simples por Dentro (ou Racional)
A taxa esta ao mes (5% ao mes) eo tempo esta em meses (3m) Logo: i.n = 5 x 3 = 15
Substituiremos os claclos que clispomos no esquema ilustralivo do clesconto por clentro
i a tres meses,
ejuros simples
10000
1
ntificar o assunto.
A
100 IL,__ _ _ _ _D_ _ _ _ _....J 100 + 15
meses), e iremos
15
de clesconto.
al a moclaliclacle?
posto Achamos a
ta
a moclaliclacle?
o simples, se por
onto. Vejamos, na
da modalidade (se
Por meio cia co luna cia esquerda (do Valor Atual) e cia colww cia direita (do Valor Nominal),
podemos montar a seguinte igualdade.
A
10000
100
115
-=--
-7 DaL A=
10000x100
-7 A = - - - - -7 A= 10000x20
23
115
200000
-7 A= 8.695,65 -7 Resposta!
23
3.6. Desconto Simples por Fora
Tambem chamado de Desconto Simples ComerciaL Esse sin6nimo deve estar bern nitido
a<;:ao
em nossa lembran<;:a, pois e muita frequente em quest<Ses de prova Fa<;:amos o dcscnho inicial
, en tao estaremos
de uma questao de Desconto
quivalentes.
Valor atual
L _.___
o sera por clentro.
e do Desconta, e
mos o Desconto
nunciar a respeito
procuraremos ver
_j
Valor Nominal
0
11
Lembraremos agora do seguinte o !ado do Desconto pm· Fora eo !ado do Nominal.
Eo raciocinio sera o seguinte: se o !ado do Desconto por Fora e o !ado do Nominal, entao
cliremos que Nominal esta para 100 Ora, se o Nominal esta para lOO, eo Atual e menor que
o Nominal, entao cliremos que o Atual esta para 100 menos alguma coisa; e essa alguma coisa
e teem vczes tempo
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
E o desconto comercial, da mesma forma que o racional, estara tambem para taxa vczes
tempo.
Da mesma fo
comcrcial, ou seja
Teremos que o esquema ilustrativo para toda questao de Desconto Simples por Fora e o
seguinte
Desenhemos
N
100 - i.n
r~. _____
o______._.lr 100
i.n
Dai, baseados no desenho acima, passaremos urn trar,;o divisor entre os elementos (A, N e
D) e seus m!meros representativos, para conhecermos as tres equac;oes que poderemos utilizar
na resoluc;ao das questoes de Desconto Simples Comercial (por Fora).
Teremos
N
I
-~l'-----__.. .
A
100
A questao fo
AtuaL Antes de
de verificar se a
mesma unidade.
e de 1 ano. Logo
meses Dai: i.n =
Substituirem
D....-------1 100
i.n
E nossas tres equac;oes, oriundas do desenho acima, serao as que se seguem.
Caso estejamos trabalhando com Valor Nominal e com Valor Atual, teremos:
N
A
100 100- i.n
Caso trabalhemos com Nominal e com Desconto por Fora, teremos:
N
D
100 i.n
Finalmente, caso trabalhemos com Atual e com Desconto, usaremos:
D
Por meio da
podemos monta
A
i.n 100 i .n
Novamente aqui, a unica exigencia para se aplicar qualquer uma destas equac;oes acima
sera apenas aquela de colocar Taxa e Tempo na mesma unidade
Observemos que nao iremos decorar essas equac;oes. Iremos, sim, memorizar a maneira
de fazer o esquema ilustrativo. E a partir deste montaremos a equac;ao.
Primeiras Questoes de Desconto Simples Comercial:
Exemplo 4- Urn titulo que vale R$ 100.000,00 foi resgatado urn ano antes do seu
vencimento. Considerando o desconto comercial simples e uma taxa de 4% ao
mes, de quanto sera 0 valor pago pelo titulo?
Solu<;ao: Se vemos que houve uma antecipac;ao no pagamento de uma obrigac;ao que era
devida para uma data futura, nao nos resta qualquer duvida estamos diante de uma questao
de desc:onto. Acerca do regime dessa operac;ao de desc:onto, o enunciado foi explic:ito, ao
trazer a pala\Ta simples.
Daf
A= 52 x 100
3.7. "Descon
Analisando
ESAF, vemos qu
repetidas vezes .
Trata-se, nor
elementos de um
conto por Dent
Capitulo 3 - Desconto Simples
ampos
para taxa vczes
es por Fora e o
ementos (A, N e
deremos utilizar
em.
mos:
equac;oes acima
Da mesma forma, foi tarnbem fornecida de maneira expressa a modalidade do desconto
comcrcial, ou seja, porfora Nossa questao e, pois, de Desconto Simples por Fora
Desenhemos o esquema ilustrativo
N
i
A
100- i.n jL.,._ _ _ _ _ _o_____
--..~1100
i.n
A questao forneceu o Valor Nominal (R$ 100 000,00) e pede que calc:ulemos o Valor
AtuaL Antes de lanc;armos os valores na formula, temos, necessariamente, que nos lembrar
de verificar se a exigencia universal esta cumprida. Ou seja se taxa e tempo ja estao na
mesma unidade. Encontramos que a taxa e mensa! (4% ao mes) eo tempo de antecipac;ao
e de 1 ano. Logo, a saida mais imediata seria apenas dizermos que 1 ano eo mesmo que 12
meses Dai: i.n = 4 x l2 = 48
Substituiremos os dados que dispomos no descnho do desc:onto por fora
100000
oo _48
1
f. ._____
D_ _ _ _ _
__.Lo
48
Por meio da colww da esquerda (do Valor Atual) e da colww da direita (do Valor Nominal),
podemos montar a seguinte igualdade
A 100000
=
52
100
Daf
A= 52 x 1000 -7 A= 52.000,00 -7 Resposta!
orizar a maneira
o antes do seu
taxa de 4% ao
rigac;ao que era
de uma questao
foi explic:ito, ao
3.7. "Desconto Simples por Dentro" x "Desconto Simples por Fora"
Analisando questoes de provas de Matematic:a Financeira, sobretudo elaboradas pela
ESAF, vemos que existe urn tipo de enunciado de Desconto Simples que ja foi exigido
repetidas vezes .
Trata-se, normalmente, de uma questao com duas frases na primeira, serao fornecidos
elementos de uma operac;ao de Desconto Simples por Dentro, quais sejam, o valor do Desconto por Dentro, o valor da taxa e o tempo de antecipa<;;ao da operac;ao. Dai, na segunda
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
frase wm a pergunta ··se, em vez de Dcsconto par Dcntro, houvesse ocorrido uma opera<:;ao
Aqui, Taxa e
de Dcsconto par Fora, qual seria o valor desse Desconto por Fora, mantidos a mesma taxa e 0
de antecipac;ao e
-7 Dr=
mesmo tempo de antecipa<:;ao?"
Ou seja, a questao sugere que a modalidade do desconto simples seja alterada Ele comer.;a
falando do Desconto por Dentro, e pede para trocarmos pelo Desconto por Fora, mantendo
-7
-7
600
Dai
a mesma taxa e o mesmo tempo de antecipa<:;ao .
0 contr;irio tambem pode ocorrer o enunciado pode cornec;ar falando de elementos de
uma operac;ao de Desconto Simples por Fora - o valor do Desconto por Fora, a Taxa e o
Tempo de antecipac;ao- e depois, na pergunta, pedir que o Desconto por Fora seja trocado
pelo Desconto por Dentro.
A resoluc;ao deste tipo de enunciado se clara em uma (mica linha, pela aplicac;ao da formula
abaixo
Drora = Ddcntro (I+ i.n/100)
Exemplo 6- (E
meses antes d
0 desconto co
titulo, a mesm
Solur;:ao: Quest
exemplo anterio
cional (por Den
correspondente.
Novamente,
Essa equac;ao e especial Trata-se de urn verdadeiro atalho que pod era (e devera) ser utilizado neste tipo especifico de enunciado! Ela nos fornece a relar.;ao entre o valor do Desconto
Simples por Denn·o e o valor do Desconto Simples por Fora, mantidos a mesma Taxa e o
mesmo Tempo de antecipac;ao
No mais, sabemos que s6 iremos aplicar esta formula quando Taxa e Tempo estiverem na
mesma unidade.
E a nossa exigencia universal da Matematica Financeira.
Nossa preoc
Ja estao. A taxa
m). Dai, teremo
Dr=
Como ja dissemos a formula acima e urn atalho para se chegar ao resultado solicitado na
questao. Portanto, podemos tambem chegar ao mesmo resultado por meio das aplicac;oes das
formulas de desconto por dentro e de desconto por fora.
Exemplo 5 - (ESAF) 0 desconto comercial simples de urn titulo quatro meses
antes do seu vencimento e de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mes,
obtenha o valor correspondente no caso de urn desconto racional simples.
Soluc;ao: Esta questao caiu na prova do Fiscal da Receita de 1998 . Aqui, o enunciado comec;ou
falando de elementos de uma operar.;ao de Desconto Simples Comercial (por Fora) Disse o
Exemplo 7 - U
antes do seu
qual seria o d
Solur;:ao: Esta q
a mesma linha d
modalidades de
Dr=
valor do desconto por fora, disse o tempo de antecipac;ao e disse a taxa . Na segunda frase, ele
pede que calculemos o Desconto Racional Simples correspondcnte Por essa palavra entenderemos que serao mantidas as mesmas condic;oes do Desconto por Fora, ou seja, a mesma taxa
e o mesmo tempo de antecipac;ao.
Uma formu
canto, por dent
Agora ja sabemos existe uma formula que se encaixa perfeitamente neste tipo de enunciado.
Ela nos da a relac;ao entre os valores dos descontos simples por dentro e por fora
Teremos Dr
Dd (1 + i.n/100)
Esta formul
nas duas modal
Campos
o uma opera<:;ao
mesma taxa e 0
rada Ele comer.;a
Fora, mantendo
de elementos de
Fora, a Taxa e o
Fora seja trocado
ac;ao da formula
Capitulo 3 - Desconto Simples
Aqui, Taxa e Tempo ja estao na mesma unidade. A taxa e mensa! (5% ao mes) eo tempo
de antecipac;ao esta em meses (4 m) Teremos:
-7 Dr= Dct (1 + i.n/100) -7 600 = Dct (1 + 5x41100)
-7
-7
600 = Da (1,20) -7 Dct = 600 I 1,20
Dai D_1 = 500,00 -7 Resposta!
Exemplo 6- (ESAF) 0 desconto racional simples de uma nota promissoria, cinco
meses antes do vencimento, e de R$ 800,00, a uma taxa de 4% ao mes. Calcule
0 desconto comercial simples correspondente, isto e, considerando o mesmo
titulo, a mesma taxa e o mesmo prazo.
Solur;:ao: Questao cobrada no AFRF de 2001 Aqui a situac;ao se inverteu em relac;ao ao
exemplo anterior. Este enunciado fornece dados de uma operac;ao de Desconto Simples Racional (por Dentro) e depois pede que calculemos o Desconto Simples Comercial (por Fora)
correspondente.
Novamente, aplicaremos a formula propria para esse tipo de questao. Teremos
devera) ser utili-
alor do Desconto
mesma Taxa e o
mpo estiverem na
ado solicitado na
Dr= Dct (1 + i.n/100)
Nossa preocupac;ao sera cumprir a exigencia de usar Taxa e Tempo na mesma unidade
Ja estao. A taxa esta mensa! (4% ao mes) e o tempo de antecipac;ao tambem esta em meses (5
m). Dai, teremos
Dr= Dct (1 + i n/100) -7 Dr= 800 (1 + 4x5/100) -7 Dr= 800 x 1,20
E: Dr= 960,00 -7 Resposta.
as aplicac;oes das
quatro meses
de 5% ao mes,
simples.
nciado comec;ou
or Fora) Disse o
Exemplo 7 - Urn titulo sofre urn desconto comercial de R$ 9.810,00 tres meses
antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mes. lndique
qual seria o desconto a mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.
Solur;:ao: Esta questao foi cobrada no concurso para AFRF 2002.1 e seguiu rigorosamente
a mesma linha das duas questoes anteriores . Aplicando a ja conhecida relac;ao entre as duas
modalidades de desconto simples, teremos
Dr= Dct (1 + i n/100) -7 9.810 = Dct (1 + 3x3!100) -7 Dct
=
9.810 I 1,09
egunda frase, ele
palavra entende-
eja, a mesma taxa
E: Dd= 9.000,00 -7 Resposta.
Uma formula muito util usada tambem nas questoes que envolvem os dais tipos de descanto, por dentro e por fora, e dada a seguir:
po de enunciado.
r fora
Esta formulae aplicavel em questoes cujos enunciados fornecem os valores dos descontos
nas duas modalidades, por dentro e por fora, e solicita o valor Nominal do titulo.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
Igualmente
a formula vista anteriormente, a formula apresentada acima e um ata1ho para
se chegar ao resultado solicitado na questao Portanto, podemos tambem chegar ao mesmo
resultado por meio das aplicac;oes das formulas de desconto por dentro e de desconto por fora.
Vamos a um exemplo:
-
Exemplo 9- Urn
despesa admin
vencimento, e
calcule o desco
Dados:
Exemplo 8 - (ESAF) 0 desconto simples comercial de urn titulo e de $860,00, a
uma taxa de 60% ao ano. 0 valor do desconto simples racional do mesmo titulo
e de $ 781,82, mantendo·se a taxa de juros eo tempo. Ness as condi<:oes, o valor
nominal do titulo e de:
a) $ 8.400,00;
b) $ 8.500,00;
c) $ 8.600,00;
d) $ 8.700,00;
e) $ 8.900,00.
Solw;ao: Observe no emmciado que sao fornecidos os val ores dos descontos por dentro e por
fora e e solicitado o valor nominal do titulo . Isso cai como uma luva na nossa nova formula.
-7
-7
-7
-7
-7
Quando isso
10 Passo- Inicia
a qual sera encon
daremos este resu
Teremos
Aplicando-a, teremos:
N =(Dr x Dd)/(Dr- D) -7 N = (860 x 781,82)/(860- 781,82)
N = (860x781,82)/(78,18)
Observe que o valor 781,82 que aparece no numerador e aproximadamente 10 vezes o
valor 78,18 que aparece no denominador. Dal, podemos simplificar a expressao acima para:
N = (860x 10)
E chegamos ao resultado final: N
= 8.600,00 -7 Resposta.
2Q Passo- Feito
cional, como se n
trabalharemos a
Para colocar
meses) e igual a
i.n = 40 x 0,5 = 2
Nosso desenho
3.8. Desconto Bancario
Algumas vezes, problemas de desconto comercial simples trazem em seus enunciados,
alem dos dados convencionais (valor nominal, valor atual, taxa, prazo de antecipac;ao), algumas informac;oes adicionais, referentes a um tipo especial de taxa: taxa de servic;o ou taxa
de despesa administrativa . Denominaremos essa modalidade de desconto comercial, que e
acrescida dessa tCDca especial, de Desconto Bancdrio.
0 Desconto Bancario, portanto, sera uma questao de Desconto por Fora, so que com
um dado extra, que sera justamente essa taxa administrativa ou de servic;o.
0 que temos que saber acerca dessas taxas administrativas e que elas nao se confundem
com taxas de juros ou de desconto. Sao taxas que virao desacompanhadas de uma unidade
de tempo! Em outras palavras, nao havera taxa administrativa ao mes, ou ao semestre. ou ao
Utilizando a c
taremos uma equ
D 5000
- = -20
100
Finalmente, o
-sera a soma de
passo); e 2') o val
ano etc. Nao: sera apenas um valor percentual, e so.
A outra informac;ao essencial e que essas taxas administrativas incidirao sempre sobre
o valor nominal.
Vejamos um exemplo para entendermos melhor.
DaL DTOTAL =
ampos
um ata1ho para
egar ao mesmo
sconto por fora.
-
Capitulo 3 - Desconto Simples
Exemplo 9- Urn titulo de $ 5.000, foi descontado no Banco Z, que cobra 5% como
despesa administrativa. Tendo sido o titulo descontado 6 meses antes do seu
vencimento, e considerando a taxa de desconto simples comercial de 40% a.a.,
calcule o desconto bancario e o valor liquido recebido pelo titulo.
Dados:
de $860,00, a
mesmo titulo
i<:oes, o valor
por dentro e por
a nova formula.
ente 10 vezes o
sao acima para:
-7
-7
-7
-7
-7
N = 5.000,
i = 40% a . a.
n=6m
Dr=?
Taxa de Despesa Administrativa = 5%
Quando isso acontecer, dividiremos a questao em duas partes!
10 Passo- Inicialmente, calcularemos o valor da despesa bancaria (despesa administrativa),
a qual sera encontrada fazendo incidir a taxa administrativa sobre o Valor NominaL E guardaremos este resultado para o final do problema!
Teremos
Despesa Bancaria = 5% x 5.000 = 250,00
2Q Passo- Feito isto, encontraremos agora o valor do Desconto por Fora, do modo convencional, como se nao existisse a despesa bancarial Ou seja, encerrado aquele primeiro passo,
trabalharemos a operac;ao de Desconto por Fora da maneira a que ja somas acostumados!
Para colocar taxa e tempo na mesma unidade, podemos apenas dizer que o tempo (6
meses) e igual a meio ano! Dai, com a taxa tambem anual (40%a a), podemos calcular i.n:
i.n = 40 x 0,5 = 20.
Nosso desenho sera o seguinte
5.000,00
eus enunciados,
ecipac;ao), algu-
1~...--_D----Jroo
20
servic;o ou taxa
comercial, que e
ora, so que com
.
o se confundem
de uma unidade
semestre. ou ao
o sempre sobre
Utilizando a coluna do meio (do desconto) e a colrma da direita (do valor Nominal), montaremos uma equac;ao para encontrarmos o valor do desconto.
D 5000
- = - - -7 D = 50 x 20 -7 D = 1.000 00
'
20
100
Finalmente, o desconto total do titulo - que podera ser chamado de Desconto Bancario
-sera a soma de duas parcelas: 1') o valor da despesa administrativa (resultado do primeiro
passo); e 2') o valor do Desconto por Fora (resultado do segundo passo). Ou seja, teremos que
Desconto Bancario ou Desconto Total:
DTOTAL = Despesas Bancarias + Drora
DaL DTOTAL = 1000 + 250 -7 DTOTAL
= 1.250,00
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Feito! Se, neste momenta, quisermos calcular o valor liquiclo bancario, ou seja, o Valor
Atual clesta operac;ao, faremos
Valor Atual bancario = Valor Nominal - Desconto Bancario
Teremos que A= 5000- 1250 = 3750,00
E isso que e 0
Desconto Bancario .
Dai:
Exemplo 10- (ESAF) Voce possui uma duplicata de valor de face R$ 150,00. Esta
vence em 3 meses. 0 banco com o qual voce normal mente opera fara uma reten~ao
de 1 5% do valor de face da duplicata a titulo de saldo medio, permanecendo
bloqueado em sua conta este valor desde a data do desconto ate a data do
vencimento da duplicata. Caso voce desconte a mesma no banco, recebera
liquidos hoje, R$ 105,00. Qual a taxa de desconto que mais se a proxima da taxa
praticada por este banco?
150
100
=
2
3.9. Taxa de D
por Fora
Solw;;ao: Essa questao caiu na prova para AFRF de 1996 . Trata-se de uma questao de clesconto
Ja aprenclem
canto Simples p
simples
Esta clito que o valor de face de urn titulo e de RS 150,00. Nenhuma clu\·icla. valor de face
e o mesmo que valor nominaL E este titulo vence claqui a tres meses . Ou seja, claqui a tres
ambas as opera<:
Estamos lemb
meses ele valera aqueles RS 150,00.
0 que houve de novo aqui e que o banco em que vamos clescontar a duplicata faz uma retenc;ao de 15% do valor nominaL Calculemos logo essa quantia (151100) x 150,00 = R$ 22,50 .
Esse valor (R$ 22,50) nao sera recebiclo por nos. Nao integrara o valor llquiclo que receberemos pelo titulo Ficara reticlo, conforme nos diz o enunciaclo
A questao cliz aincla que receberemos liquiclo, hoje, a quantia de RS 105,00. Ora, o valor
de face do titulo (o valor nominal) vai ser recluziclo nesta operac;ao de duas formas: 1") par
meio do clesconto par fora; e 2") pela retenc;ao clos RS 22,50. Queremos clizer, em termos
matematicos, que
Valor liquiclo recebiclo = N- Drora- Retenc;ao
Agora, vamos
toes de desconto
simples por den
condic;6es (o me
Percebamos
aplica a formula
os val ores clos cl
as taxas, que ch
Ea seguinte:
Se substituirmos nessa equac;ao os valores que nos temos, iremos encontrar o clesconto
par fora:
105 = 150- Df,,r;,- 22,50
Oaf Dfora = 150- 105- 22,50 = 45- 22,50 = 22,50
Oaf, ja temos como clescobrir o valor cla taxa cla operac;ao de clesconto! Teremos o seguinte:
-7
-7
-7
-7
-7
N = 150,00
D = 22,50
n =3m
i =?
i . n = i x 3 = 3i
Onde
-7
-7
-7
ir = ta
id = t
n= n
clesc
Enfim, esta
duas taxas de cle
que o valor clo cl
Passemos a u
Campos
Capitulo 3 - Desconto Simples
ou seja, o Valor
150,00
____.l
o
$ 150,00. Esta
a uma reten~ao
permanecendo
ate a data do
nco, recebera
oxima da taxa
stao de clesconto
cla. valor de face
seja, claqui a tres
icata faz uma re-
0,00 = R$ 22,50 .
lquiclo que rece-
,00. Ora, o valor
s formas: 1") par
clizer, em termos
l.____22,50
3i
Dai:
150
100
=
225
22 50
'
-7 450i = 2250 -7 i =
3i
45
E: -7 i = 5% ao mes -7 Resposta!
3.9. Taxa de Desconto Simples por Dentro x Taxa de Desconto Simples
por Fora
Ja aprenclemos que existe uma formula que estabelece uma relac;ao entre o valor do Descanto Simples par Dentro e o valor do Desconto Simples par Fora, quando tivermos, para
ambas as opera<:;6es, os mesmos valores de taxa e tempo de antecipac;ao
Estamos lembraclos aincla clesta formula? E a seguinte
D. =D (1+~)
100
I
'
1
Agora, vamos ver que existe tambem uma outra formula, que pocleremos utilizar nas questoes de desconto simples, e que nos fornecera uma relac;ao entre o valor cla taxa de desconto
simples por dentro e cla taxa de desconto simples por fora, manticlas as mesmas clemais
condic;6es (o mesmo tempo de antecipac;ao eo mesmo valor do clesconto)
Percebamos que esta nova formula serve para uma situac;ao diferente claquela em que se
aplica a formula que vimos acima . A relac;ao Dr= Dd (l+i.n/100) sen·ia para nos relacionar
os val ores clos clescontos D d e Dr A formula que veremos abaixo nos clara uma relac;ao entre
as taxas, que chamaremos id (taxa de clesconto par clentro) e ir (taxa de clesconto por fora)
Ea seguinte:
ntrar o clesconto
remos o seguinte:
100
[
1~0 )- [ 1~0 )=
11
Onde
-7
-7
-7
ir = taxa de clesconto comercial simples.
id = taxa de clesconto racional simples.
n = numero de perioclos de antecipac;ao (que sera o mesmo para os clois tipos de
clesconto).
Enfim, esta formula sera empregacla em quest6es cujo enunciaclo nos fornecer uma clas
duas taxas de clesconto simples (taxa por clentro ou taxa por fora) e solicitar a outra, de modo
que o valor clo clesconto permane(a o mesmo!
Passemos a urn exemplo.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
106
Exemplo 11 - Um titulo foi descontado por fora, a taxa simples de 10% a.m., S
meses antes do seu vencimento. Caso fosse utilizado o desconto simples Por
dentro, qual seria a taxa adotada para se obter um desconto igual ao primeiro?
-
Teremos:
Solw;;ao: Vejamos que e uma questao tipica para aplicac,;ao da formula que acabamos de
aprender.
Dai: id = 20%
56 temos que observar duas coisas 1") a formula traz taxas e tempo; obviamente, sera
preciso que estejam todos na mesma unidade! 2Q) se a taxa fomecida pelo enunciado, que
neste caso foi a taxa de desconto por fora, foi uma taxa mensal, significa que quando usarmos
a formula, encontraremos uma taxa de desconto por dentro tambem mensaL Certo?
Teremos:
(1~0)-(1~0)=n 7 (\0~)-(1~0)= 5 7 ( ~ )=5
1 0
Dai: id = 20% a.m. 7
100
7 i' l = -5-
Exemplo 13 - C
uma duplicata n
e cuja taxa de d
taxa de despes
Resposta!
3.1 0. Taxa Efetiva de juros
Atentemos agora para o seguinte: aprendemos, no estudo do desconto simples, que a
operac,;ao de desconto simples por dentro e uma operac,;ao equivalente
Curiosamente
solicitam, no fina
de uma questao d
uma taxa de des
Passemos a u
mentada, envolv
a operac,;ao de juros
simples! Estamos lembrados disso? Dai, se urn enunciado trouxer, para uma operac,;ao de
desconto, o valor da taxa de desconto simples por fora, e pedir que voce calcule qual sera a
taxa efetiva de juros daquela operac,;ao, entao, na verdade, o que ela quer e que voce encontre
Solw;ao: Neste c
qual sera o Valo
uma questao de c
1" Passo - Calcul
7
Desp
2Q Passo- Calcul
7
N=1
7
Dr=?
n= 5
i = 10
i.n=
a taxa de desconto simples por dentro!
E ai, estaremos novamente diante de uma questao como essa que resolvemos acima,
Vejamos por meio de outro exemplo.
Exemplo 12- Calcule a taxa efetiva de juros que foi cobrada em um desconto de
uma duplicata no valor de R$ 10.000,00, descontada 5 meses antes do vencimento
e cuja taxa de desconto e de 10% a.m.
Solw;;ao: Aqui, o enunciado falou em uma operac,;ao de desconto: disse o valor do titulo
(R$ 10 000,00), o tempo de antecipac,;ao (5 meses) e o valor da taxa (10% am) Nao espe-
cificou se esse desconto era por dentro ou por fora! Ocorre que a pergunta da questao foi a
respeito do valor de uma taxa efetiva de juros . Ora, sabendo que uma taxa de juros
eo
mesmo que uma taxa de desconto por dentro, entao subentende-se que essa taxa fomecida
Teremos:
pelo enunciado e uma taxa de desconto simples por fora, e que teremos que encontrar a taxa
!}_ = 10000
correspondente, a de desconto simples por dentro!
50
Ficou entendido?
100
3Q Passo- Calcul
Campos
de 10% a.m., S
o simples Por
al ao primeiro?
-
Capitulo 3- Desconto Simples
Teremos:
100
il =--
'
ue acabamos de
5
Dai: id = 20% a.m. -) Resposta!
obviamente, sera
enunciado, que
quando usarmos
aL Certo?
Curiosamente, a mesma resoluc,;ao do exemplo anterior! Ou seja, enunciados distintos que
solicitam, no final das contas, a mesmissima coisa. ja passamos, pois, a entender que, dentro
de uma questao de desconto, ao se falar em taxa efetiva de juros, estaremos nos referindo a
uma taxa de desconto por dentro,
Passemos a um outro exemplo, que trata do mesmo assunto, s6 que de forma mais incrementada, envolvendo na opera<;ao de desconto um desconto bancario. Vamos a ele.
Exemplo 13 - Calcule a taxa efetiva de juros que foi cobrada em um des con to de
uma duplicata no valor de R$ 10.000,00, descontada 5 meses antes do vencimento
e cuja taxa de desconto e de 10% a.m. No desconto da duplicata foi cobrada uma
taxa de despesa administrativa de 1%.
o simples, que a
perac,;ao de juros
uma operac,;ao de
alcule qual sera a
ue voce encontre
Solw;ao: Neste caso, a resoluc,;ao nao e tao imediatal Precisaremos, primeiramente, calcular
qual sera o Valor Atual nesta operac,;ao de desconto bancario ja aprendemos a trabalhar
uma questao de clesconto bancirio.
1" Passo - Calculo cia despesa bancaria.
7
Despesa Bancaria = (l/100) x 10 . 000,00 = 100,00
2Q Passo- Calculo do Desconto por Fora Teremos:
7
N = 10 000,00
7
Dr=?
n= 5m
i = 10%a.m
i.n=10x5=50
emos acima,
m desconto de
do vencimento
10.000.00
_r.____~----~· 100
o valor do titulo
am) Nao espeda questao foi a
axa de juros
50
eo
ssa taxa fomecida
Teremos:
e encontrar a taxa
!}_ = 10000
50
100
I
7 Dr=100 x 50 7 Dr= 5.000,00
3Q Passo- Calculo do desconto bancario (ou desconto total):
DTOTAL = 100 + 5000 7 DTOTAL = 5.100,00
Matemiitica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Feito isto, determinaremos qual eo nosso valor atual (bane<i.rio) Teremos:
Nao ha, porta
taxa media, uma
Valor liquido bancario
Valor Nominal- Desconto Total
A= 10 . 000- 5 100 = 4.900,00
Ent<io, vejamos concluida a operac;ao de desconto bancario, encontramos os seguintes
formula:
valores finais
-7 Valor NominaL R<t; 10.000,00
-7
-7
-7
Taxa Media
Vimos no cap
Valor Atual: R't; 4.900,00
Desconto RS 5.100,00
Tempo de antecipac;ao 5 meses
Pois bem, se a questao agora pede para encontrarmos uma taxa de juros efetiva, s6 teremos que fazer uma operac;ao de desconto por dentro (que equivale exatamente a uma de
Na formula a
chegaremos a for
juros) e descobrim1os o valor desta taxa de desconto por dentro (que sera a propria taxa
efetiva de juros)
Teremos·
10.000,00
4.900,00
100
5.100,00
100 + 5i
Qual e o sign
significa determi
viduais de cada t
inalterado!!
Vejamos logo
5i
Teremos:
4900 5100
- - =- 100
5 ·i
5100
-7 i =- - -7 DaL i=20,82% ao mes. -7 Resposta!
49x5
Exemplo 14 R$ 5.000,00, R$
simples sao, r
mes e dois mes
mensa! de des
7%;
b) 6%;
c) 6,67%
d) 7,5%;
e) 8%.
a)
3.11. Taxa Media e Prazo Media no Desconto Simples
No capitulo dois, aprendemos a obter a taxa mediae o prazo medio em uma operac;ao de
Juras Simples, e vimos que varias questoes destes assuntos aparecem nas provas da ESAF Agora,
aprenderemos a calcular a taxa mediae o prazo medio em uma operac;ao de desconto simples,
Soluc;ao: Sem dC
sendo que estes assuntos tem sido cobrados somente em alguns concursos mais recentes.
Os enunciados destas questoes de Taxa Media e Prazo Medio comec;arao nos fornecendo
Para utilizarm
mesma unidade,
Titulos que sofrerao descontos, e associando a cada Titulo uma taxa de desconto e um prazo
de antecipac;ao
Assim, teremos um titulo (N 1) associado a uma taxa de desconto (i 1) e um tempo (n 1);
teremos um outro titulo (N 2) associado a uma outra taxa de desconto (i,)
e um outro tempo
(n,), e assim sucessivamente.
Depois de fornecer esses dados, a questao perguntara "qual e a taxa media ·de desconto?",
ou entao: "qual e 0 prazo medio de desconto?"
Anotemos os
Campos
mos:
Nao ha, portanto, qualquer dificuldade em se identificar uma questao de prazo medio e
taxa media, uma vez que o assunto sera justa mente a pergunta da questao
al
mos os seguintes
Taxa Media: IM
Vimos no capitulo dois que a taxa media em uma operac;ao de juros simples e dada pela
formula:
Na formula acima, se substituirmos OS capitais eel' (2 e C3) pelos titulos (NI' N2 eN),
chegaremos a formula da taxa media em uma operac;ao de desconto simples, ou seja
ros efetiva, s6 tetamente a uma de
era a propria taxa
Qual e o significado da taxa media em uma operac;ao de desconto? A Taxa Media (IM)
significa determinar uma taxa comum para todos os titulos, a qual substituira as taxas inclividuais de cada titulo (i 1 , i2 e i) e, como resultado, o valor total dos descontos permanecera
inalterado!!
Vejamos logo uma questao extraida de uma prova
Exemplo 14 - (ESAF) Considere tres titulos de valores nominais iguais a
R$ 5.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 2.000,00. Os prazos e as taxas de desconto bancario
simples sao, respectivamente, tres meses a 6% ao mes, quatro meses a 9% ao
mes e dois meses a 60% ao ano. Desse modo, o valor mais proximo da taxa media
mensa! de desconto e igual a:
7%;
b) 6%;
c) 6,67%;
d) 7,5%;
e) 8%.
a)
m uma operac;ao de
vas da ESAF Agora,
desconto simples,
Soluc;ao: Sem dC1vida que se trata de uma questao de taxa media no desconto simples!
s mais recentes.
ao nos fornecendo
Para utilizarmos a formula da taxa media e necessaria que toclas as taxas estejam com a
mesma unidade, entao vamos transformar a taxa de 60% a . a para taxa mensa!
sconto e um prazo
e um tempo (n 1);
e um outro tempo
edia ·de desconto?",
60% a . a . = 60/12% a.m.= 5% a.m
Anotemos os dados fornecidos para cada titulo na tabela abaixo.
Titulos
5000
3000
2000
Taxas (%a.m.)
6
9
5
Prazos (meses)
3
4
2
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Antes de substituirmos os dados na formula da taxa media, podemos simplificar os valores contidos nas colunas Observem na formula da taxa media que tanto os valores nominais
dos titulos como os prazos aparecem no numerador e no denominador, com isso podemos
simplificar a co luna dos valores nominais dos titulos e a co luna dos prazos, mas nao podemos
simplificar a coluna das taxas
Simplificaremos a coluna dos valores nominais dos titulos dividindo os valores por 1000
(e o mesmo que cortar os zeros) Ap6s a simplifica<;:ao, obteremos
Titulos (R$)
5
3
2
Taxas (%a.m.)
6
9
5
Prazos (meses)
3
4
2
Vamos substituir esses dados na formula da taxa media;
IM = (N 1 ·i 1 ·n 1 )+(N 2 ·i 2 ·n 2 )+(N 3 ·i-, ·n.)
,
(N 1 ·n 1 )+(N 2 ·n 2 )+(N 3 ·n 3 )
(5-6·3)+(3·9·4)+(2 5·2)
f
-7 IM =
(5·3)+(3·4)+(2·2)
-7 Ilv
90+108+20
= 15+12+4
218
~ F'ma lmente IM -f 9oI ao mes -y
~ Resposta!
DaL- IM = - -y
31
Por que a Taxa Media que achamos e mensa!? Porque as taxas que usamos na formula
=
tambem eram todas ao mes.
----------
Exemplo 15- (F
auma institui~
Duplic
(unida
10
08
05
A taxa de des
independe dos
opera~ao de de
a) 20;
b) 18,73;
c) 18,45;
d) 17,43
Soluc,;ao: Calcula
Na primeira li
tern o mesmo pra
duplicatas e igual
vante, porque ja
desprezar essa pr
de cada duplicat
valor total por ve
Anotemos os
Conclusao ao substituir as taxas de desconto de cada titulo por 7% a. m , o total dos descontos
permanece inalterado .
Prazo Medio: PM
Vimos no capitulo dois que o prazo media em uma opera<;:ao de juros simples e dado pela
formula
PM= (C1 ·i 1 ·n 1 )+(C,- ·i,- ·n,)+(C
, ·i 3 ·n.)
,
(c 1 'iJ + (c 2 'i2) + (c 3 'i3)
Na formula acima, se substituirmos os capitais (C 1 , C 2 e C3) pelos titulos (N 1, N 2 e N3),
chegaremos a formula do prazo medio em uma operac,;ao de desconto simples, ou seja:
PM= (N 1 ·i 1 ·n 1 )+(N 2 ·i 2 ·nz}+(N 3 ·i 3 ·n 3 )
(N 1 ·i 1 )+(N 2 ·i 2 )+(N 3 ·i 3 )
Quale o significado do prazo medio em uma opera<;ao de desconto? 0 Prazo Media (PM)
significa detenninar um prazo comum para todos os titulos, o qual substituini os prazos indi\riduais de cada titulo (n 1, n 2 e n 3) e, como resultado, o valor total dos descontos permanecera
inalterado!
Vejamos logo uma questao extraida de uma prova:
Para que poss
os prazos estejam
exigido que taxa
compativeis e qu
Na nossa que
Entao, ja podemo
Antes de subs
res contidos nas
prazo medio que
e denominador,
coluna das taxas,
r Campos
implificar os valovalores nominais
om isso podemos
mas nao podemos
valores por 1000
Capitulo 3 - Desconto Simples
CfTD
---------------------~---------~~-------------------~~
Exemplo 15- (FJG) A empresa Topa·Tudo submete o seguinte bordero de duplicatas
auma institui~ao fmanceira para desconto:
Duplicatas
(unidades)
Prazo de Vencimento
(dias)
Valor Total por Vencimento
10
13
50.000,00
08
22
40.000,00
05
25
20.000,00
(R$)
A taxa de desconto utilizada pela institui~ao fmanceira e de 3,5% ao mes e
independe dos prazos de vencimento dos titulos. Assim, o prazo medio da
opera~ao de desconto e, em dias, de:
a) 20;
)
b) 18,73;
c) 18,45;
d) 17,43.
Soluc,;ao: Calcularemos, agora, o prazo media da operac;ao de desconto!
Na primeira linha da tabela fornecida no enunciado, e inforn1ado que 10 duplicatas (titulos)
tern o mesmo prazo de vencimento de 13 dias e que a soma dos val ores nominais destas 10
duplicatas e igual a R$ 50.000,00. A informa<;:ao do numero de duplicatas (1" co luna) e irrelevante, porque ja esta sendo informado o valor total das duplicatas (3" co luna) Dai, podemos
desprezar essa primeira co luna! 56 a usariamos se a questao tivesse fornecido o valor nominal
de cada duplicata, pais assim teriamos que multiplicar essas duas colunas para encontrar o
samos na formula
otal dos descontos
imples e dado pela
ulos (N 1, N 2 e N3),
simples, ou seja:
valor total por vencimento.
Anotemos os dados fornecidos para os titulos na tabela abaixo:
Tftulos (R$)
50000
40000
20000
Taxas (% a.m.)
3,)
3,5
3,5
Prazos (dias)
13
2!
25
Para que possamos aplicar os dados na formula, nossa preocupa<;:ao sera apenas a de que
os prazos estejam todos na mesma unidade e que as taxas tambem o estejam. Aqui, nao sera
exigido que taxas e prazos estejam na mesma unidade, mas que os prazos, entre si, estejam
compativeis e que as taxas, entre si, estejam tambem compativeis.
Na nossa questao, temos todos os prazos em dias. Acerca das taxas, todas estao ao mes
Entao, ja podemos lanc;ar os dados na formula.
Antes de substituirmos os dados na formula do prazo medio, podemos simplificar os valeres contidos nas co lunas para terminarmos mais rapido os calculos. Obsen•em na formula do
Prazo Media (PM)
uini os prazos indiontos permanecera
prazo medio que tanto os valores nominais dos titulos como as taxas aparecem no numerador
e denominador, com isso podemos simplificar a coluna dos valores nominais dos titulos e a
coluna das taxas, mas nao podemos simplificar a coluna dos prazos.
CTTIJ
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Simplificaremos a coluna dos capitais dividindo os valores por 10000 (e o mesmo que
cortar os zeros) e a coluna das taxas dividindo-as por 3,5 Apos as simplificac,;oes, obteremos:
Titulos (RS)
)
4
2
Taxas (% a.m.)
1
1
1
Prazos (elias)
13
22
25
Item A- Valor d
Primeirame
deseja calc
A
]a podemos substituir esses dados na formula
Pivf =
-7 PM=
(N1 i1 ·n 1 ) + (N 2 i2 n 2 ) + (N )_· i.) · n 3 )
(N 1 i 1 )+(N 2 i2 )+(N 3 ·i 3 )
(5·1·13)+(4 1 22)+(2·1·25)
(5·1)+(4·1)+(2·1)
-----
P';f __ 65+88+50
-7 1"
5+4+2
203
-7 E PI\1 = 18,45 elias -7 Resposta!
11
Por que encontramos uma resposta em elias? Porque os prazos fornecidos pelo enunciado
estavam todos nessa unidade.
Conclusao ao substituir os prazos dos titulos por 18,45 elias, o total dos descontos obtidos
permanece inalterado.
Substituire
0 valor do ti
Dai PM =
Este titulo de
eo sexto titulo, c
A
3.12. Desconto Simples de uma Serie de Tltulos de mesmo Valor Nominal
Quando temos uma operac;ao financeira no Regime Simples que em·olve varios titulos
iguais e consecutivos (mensais ou bimestrais ou trimestrais etc), como e que procedemos para calcular o valor atual total (valor descontado total) desses titulos numa data
antecipada?
Se aplicassemos a formula de desconto simples para obter o valor descontado de cada
titulo, individualmente, isso nos custaria muito tempo, sobretudo se houver muitos titulos.
Aprenderemos, de maneira pratica e rapida, como se calcula o valor descontado total de
varias parcelas iguais e consecutivas! Vejamos o exemplo abaixo.
Exemplo 16 - Dez titulos tern o mesmo valor nominal de R$ 2.000,00 e eles
possuem datas de vencimentos em meses subseqi.ientes, sempre ao final de cada
mes. Para uma taxa de desconto simples comercial de 1% a.m., calcule o valor
descontado desse conjunto de dez titulos nas seguintes datas:
A) Cinco meses antes do vencimento do 12 titulo.
B) Dois meses antes do vencimento do 12 titulo.
C) Na data de vencimento do 12 titulo.
SolU<;;ao: No Regime Simples, sempre que houver no enunciado de uma questao varios termos iguais, devemos transforrm.i-los em um (mico terrno. Mostraremos como isso e feito no
desconto simples, por meio das soluc,;oes dos itens dessa questao .
-----
Retirando d
eo titulo d
r Campos
0 (e o mesmo que
ac,;oes, obteremos:
Item A- Valor descontado dos titulos cinco meses antes do vencimento do l ~ titulo.
Primeiramente, desenharemos os dez titulos de 2000,00, e marcaremos a data onde se
deseja calcular o valor descontado (Valor Atual) dos titulos
A
2000 2000 2000 2000 2000 2000
:woo
2000 2000 2000
--------~~------'---------------------------------5 meses
9 meses
Substituiremos os dez titulos porum (mico titulo
0 valor do titulo unico
e igual a soma dos dez titulos, ou seja
N
= 10 X 2000 = 20.000,00
os pelo enunciado
Este titulo de 20 000,00 deve ficar no centro dos dez titulos, ou seja, entre o quinto titulo
descontos obtidos
eo sexto titulo, conforme mostrado no desenho
20 000.00
A
Valor Nominal
2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000
olve varios titulos
o e que procedeitulos numa data
escontado de cada
er muitos titulos.
escontado total de
--------~~-------'----------------~---------------5 meses
9 meses
Retirando do desenho os dez titulos de 2.000,00, e deixando somente o \'alor descontado
eo titulo de 20.000,00 o desenho fica assim:
20.000.00
2.000,00 e eles
e ao final de cada
, calcule o valor
questao varios teromo isso e feito no
5 meses
4,5 meses
___________________
_.
--·----------------~~
9,5 meses
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
-7
-7
Aplica<;ao da formula de Desconto Simples Comercial (por fora)
20000
A=?
N = 20.000,00
i
=
1% am.
100 _ 9 _5
n = 9,5 meses
t~-.________.I
A=?
N = 20.000,0
i= 1% a.m.
n = 6,5 meses
i . 11 = 1 X 6,5
A
2
Dai: - - = 93,5
100
9,5
1 X 9,5 = 9,5
A
20000
Dai - - = - - -7 A= 200 x 90,5 -7 A= 18 100,00 -7 Resposta!
90,5
100
i
11 =
Item B- Valor Descontado dos titulos dois meses antes do vencimento do
-7
Aplica<;ao c
1~
titulo.
Para o item B, o desenho e o seguinte
Item C -Valor D
-7
Para o item
-7
Aplicaremo
A
2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000
9 meses
2 meses
-7
Na solw;ao do item A, fizemos urn desenho para descobrir a data em que o titulo de
0
valor (mica deveria ficar para substituir os dez titulos de mesmo valor nominal, e outro
valor e
0
Aplicando o
desenho para determinarmos o tempo entre a data do valor descontado e a data do titulo
Valor N
unico, que sera utilizado na formula de desconto Porem, na solu<;ao deste item B, nao
faremos desenhos, e sim, usaremos o seguinte procedimento padrao:
Procedimento padrao para encontrar o Titulo Onico:
Tempo.
-7
11
=
(
Aplica<;ao d
Valor Nominal: N = soma dos titulos iguais
0
[
Tempo: n =
va~;.nde~:;~;!do e]
0
+ [
ova~;!:s:~~;!do e]
primeiro titulo
0
ultimo titulo
__.:::---=--------'~---!:..-------~
2
Aplicando o procedimento acima, obteremos:
Valor NominaL N =soma dos titulos iguais = 10 x 2000 = 20 000,00
Tempo·
11
=
(2) + (2 + 9)
-7
2
11
=
(2) + (ll)
-7
2
11
l3
= - -7
2
11
= 6 5 meses
'
A=?
N = 20 . 000,0
i = 1% a.m.
n = 4,5 mese
i 11 = 1 X 4,5
A
Dai - - =
95,5
Campos
Capitulo 3 - Desconto Simples
-7
Aplica<;ao cia formula de Desconto Simples Comercial (Por Fora)
20000
A=?
L~
N = 20.000,00
i= 1% a.m.
100 _ 6,5
100
n = 6,5 meses
6,5
i . 11 = 1 X 6,5 = 6,5
A
20000
Dai: - - = - - -7 A= 200 x 93,5 -7 A= 18 700,00 -7 Resposta!
93,5
100
do
1~
titulo.
Item C -Valor Descontado dos titulos na data de vencimento do 1~titulo.
-7
Para o item C o desenho e o seguinte.
A
2 0 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000
0
9 meses
m que o titulo de
-7
Aplicaremos o procedimento padrao, apresentado na solu<;ao do item B, para obtermos
0
nominal, e outro
valor e
0
tempo do titulo unico:
Aplicando o procedimento padrao, obteremos
e a data do titulo
Valor Nominal: N
deste item B, nao
!do e]
ulo
----~
s
Tempo.
-7
11
=
(0)+(9)
2
-7
= soma dos titulos iguais = 10 x 2000 = 20.000,00
11
=
l9
-7
11
= 4,5 meses
Aplica<;ao da fo1mula de Desconto Simples Comercial (Por Fora):
20000
A=?
N = 20 . 000,00
i = 1% a.m.
n = 4,5 meses
i 11 = 1 X 4,5 = 4,5
100 _ 4,5
t~. .________JI
100
4,5
A
20000
Dai - - = - - -7 A= 200 x 95,5 -7 A= 19.100,00 -7 Resposta!
95,5
100
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
EXERciCIOS RESOLVIDOS DE DESCONTO SIMPLES
1.
2.
(ESAF) Jose descontou duas duplicatas em urn banco, no regime de juros
simples comerciais, a uma taxa de desconto comercial de 1 5% ao ano. 0
primeiro titulo vencia em 270 dias eo segundo em 160 dias, sendo que
o ultimo era de valor nominal 50% superior ao primeiro. Sabendo-se que
os dois descontos somaram o valor de R$ 382,50, o titulo que produziu o
maior desconto tinha valor nominal em R$ de:
a) 1.800,00;
d) 1.850,00;
b) 1. 700,00;
e) 1. 750,00.
c) 1 .900,00;
Solw;:ao:
Dados forneciclos
1a duplicata
Soluc;ao:
Dados fornec
2a duplicata
Taxa de desc
N, = N+50%N = 1,5N
N 1 =N
n, = 160 dias
n 1 = 270 elias
clesconto = D 2
clesconto = D 1
Taxa de desconto comercial para as duas duplicatas
n = 180 dias
i = 15% a.a. = 151360% a.cl. = 1124% a.d .
-7
Aplicarem
n = 10 x 0
Soma dos descontos D 1 + D 2 = 382,50
0 valor nominal do titulo que produz o maior desconto =?
-7
(ESAF) A
descont
vencivel
caso, co
Sabendo
o valor
a) $ 6.5
b) $ 6.4
c) $ 6.5
d) $ 5.9
e) $ 6.2
Des
Aplicando a f6rnmla de desconto simples por fora para as 2 duplicatas
1a duplicata
2a duplicata
n = 1 I 24 x 270= 270/24 = 11,25
t
i. n = 1 /24 x 160= 160/24 = 20 I 3
N
1,5 N
L_._D,JlOO
Dai,
Dr•.•a
5
11,25
=
N
100
Do enunciad
D .. + D,
Observe que a 1" duplicata apresenta urn desconto maior Entao, de acordo com que o
enunciaclo pede, clevemos calcular o valor nominal cia 1" cluplicata
Pelos dados do enunciado, a soma de D 1 e D2 e 382,50 Dai:
D 1 + D 2 = 382,50 -7
38250
21,25
N = - - -7 N
11,25N
100
+
10N
100
= 1.800,00 -7
= 382,50 -7
Resposta!
21,25
100
= 382,50
i"'"
N =
m·r:trc•
635 50
'
41
Capitulo 3 - Desconto Simples
r Campos
LES
2.
egime de juros
1 5% ao ano. 0
dias, sendo que
Sabendo-se que
que produziu o
(ESAF) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de
descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10% a.a.,
vencivel em 180 dias, com desconto comercial (por fora). No segundo
caso, com desconto racional (por dentro), mantendo as demais condi~oes.
Sabendo-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de $635,50,
o valor nominal do titulo era de:
a) $ 6.510,00;
b) $ 6.430,00;
c) $ 6.590,00;
d) $ 5.970,00;
e) $ 6.240,00.
Soluc;ao:
Dados fornecidos:
Taxa de desconto: i = 10% a . a.
n = 180 dias = 0,5 ano
-7
Aplicaremos as formulas de desconto simples por fora e por dentro
n = 10 x 0,5 = 5
Desconto por Dentro
Desconto por Fora
N
N
tas
a
t
0/24 = 20 I 3
1,5 N
acordo com que o
Loo
Drora
5
5
Dai,
Dai,
Dr•.•a
5
=
N -7 D
100
fc>ra
=_SN_ !!__
100
D .. + D,
N =
m·r:trc•
N
20
Do enunciado, temos que a soma (Drnr.• + Dd,mro)
i"'"
I
100 lL.,___o_"'_""_" _ _ 100 + s
21
e igual a 635,50. Entao, teremos
N
N
41N
_
= 635 50-7 -+-=635,50 = 635,50-7 --=63::>,50
'
20 21
420
635 50 420
' x
-7 N = 6510,00-7 Resposta!
41
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
3.
(ACEP) jose tomou emprestado 10.000, pretendendo saldar a divida ap6s
dois anos. A taxa de juros combinada foi de 30% a.a. Qual valor Jose
pagaria a divida 5 meses antes do vencimento combinado sem prejuizo
para o banco se nesta epoca a taxa de juros simples anual fosse 24% e
fosse utilizado desconto simples racional?
a) R$ 16.000,00.
b) R$ 1 3.800,0.0.
c) R$ 1 7.600,00.
d) R$ 14.545,45.
e) R$ 14.800,00.
-
joao tom
se que j
antes de
mercado
prazo in
4,
Soluc;;ao:
Dados fornec
Contr
Valor
Solw;ao:
Dados fornecidos
Taxa
Anteci
Valor
valor do emprestimo = 10.000,00
taxa de juros i = 30 % a a.
Prazo
tempo para pagamento: n = 2 anos
prazo de anteci pac;ao = 5 meses
Taxa
-7
taxa de desconto racional: i = 24% a.a.
seria pago
0 valor pago por jose na antecipac;;ao do pagamento da divida =?
Precisamos cakular primeiramente o valor nominal do contrato de emprestimo, ou seja, o
valor que jose deveria pagar ap6s dais anos da data de assinatura do emprestimo .
Obteremos esse valor nominal por meio de uma opera<;;ao de juros simples
M
c = 10 000,00
n = 2 anos
10000
i = 30% a a.
100
____J 100 + 60
i 11 = 30. 2 = 60
i~.-_____
i = 25,2% a.a
i
11 =
25,2
X
N =?
Dai
~=
104,2
N = 2148,00
-7
Agora, apli
e o valor em
Valor empres
i = 28,8% a.a
Agora, vamos calcular o valor pago par jose 5 meses antes do vencimento, par meio de
uma opera<;;ao de desconto simples racional
prazo do emp
J = 648,00
M = 2148,00
N = 16.000,00
i 11
taxa de desconto par dentro: i = 24% a . a . = 2% a . m.
16000
prazo de antecipac;ao: n = 5 meses
11 =
A= 2.061,42
n = 2 meses =
i
60
Montante=?
M
10000
Dai: = - - -7 M = 1600 -7 Valor Nominal= N = 16000,00
160
100
i
Vamos inic
= 2,4 X 1
Sabemos que
2 5 = 10
Dai 1500 =
' 100
A
16000
Dai: = - - -7 A= 14545,45 -7 Resposta!
100
110
10
648
24
-7 11 = , x
Resposta: R
Campos
r a divida ap6s
ual valor Jose
o sem prejuizo
al fosse 24% e
-
Capitulo 3 - Desconto Simples
joao tomou emprestado certa quantia a Carlos a taxa de 28,8% a.a. Sabendose que joao pagou R$ 2.061,42 para Carlos, saldando a divida 2 meses
antes de seu vencimento e que nesta epoca a taxa de juros corrente do
mercado era de 25,2% a.a., quanto joao tomou emprestado equal era o
prazo inicial se os juros previstos montavam R$ 648,00?
4,
Soluc;;ao:
Dados fornecidos
Contrato de Emprestimo
Valor do emprestimo C = ?
Prazo do emprestimo · n
=?
Taxa de juros i = 28,8% a.a.
Juras do emprestimo ] = 648,00
Antecipa<;;ao no pagamento do emprestimo (desconto simples racional}
Valor pago antecipado A 2.061,42
Prazo de antecipa<;;ao: n = 2 meses
Taxa de juros. i = 25,2% a.a. (taxa do desc Simples racional)
-7
Vamos iniciar pela operac;ao de desconto simples racional, a fim de obter o valor que
seria pago na data de vencimento, ou seja, o valor nominal do titulo.
i
A= 2.061,42
n = 2 meses = 1/6 ana
estimo, ou seja, o
N
2061,42
i = 25,2% a.a.
stimo .
i
ples
11 =
25,2
X
1/6 = 25,2 I 6 = 4,2
100
i.______
----J
N =?
Dai
~= 2061,42 -7
104,2
100
100 + 4,2
4,2
N = 104,2
X
20,6142
N = 2148,00 (valor que seria pago na data de vencimento)
0
-7
Agora, aplicaremos uma operac;ao de juros simples para calcular o prazo do emprestimo
e o valor emprestado
Valor emprestado: C = ?
i = 28,8% a.a . = 28,8/12% = 2,4% a.m
ento, par meio de
prazo do emprestimo: n =?
J = 648,00
M = 2148,00 (Eo proprio valor nominal do titulo)
i 11
16000
= 2,4 X 11 = 2,411
Sabemos que capital e igual ao montante menos juros, portanto
C = M- j = 2148-648 = 1500,00
2148
Dai 1500 = 648
2,411
' 100
648
-7 11 = , x
-7 n
2 4 15
i
1500
= 18 meses
Resposta: R$ 1.500,00; 18 meses.
100
i.____64_8_ _
2,4 n
___J
100 + 2,4 n
Matematica Finance ira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
5.
Qual o valor nominal de urn titulo que foi descontado em urn Banco tres
meses antes de seu vencimento, gerando urn valor liquido de R$ 3.750,00?
Considere que o Banco retem 10% do valor nominal a titulo de saldo medio
em conta-corrente ate a data de liquida~ao da opera~ao, e que a taxa de
desconto praticada e de 5% a.m.
a) R$ 5.000,00.
c) R$ 5.200,00.
b) R$ 5.1 00,00.
d) R$ 5.300,00.
6.
servi~o
a) 4%.
b) 5%.
Soluc;ao: Trata-s
Dados fornec
Soluc;ao:
Dados fornecidos:
valor liquido recebido = 3.750,00
N = 6000
n = 3 meses
Valor liquido
i = 24% a . a.
retenc;ao = 10% do valor nominal= 10%N = O,lON
taxa de desconto comerciaL i = 5% a.m.
prazo de antecipac;ao n = 3 meses
taxa de serv
Valor nominal do titulo: N =?
0 titulo de valor nominal N sofrera dois abatimentos
1°) Retenc;ao igual a O,lON
2°) Desconto comercial (ou por fora) de\·ido a antecipac;ao
0 titulo de v
Desp
Desc
valor liquido
Substituindo
5400 = 6000
Substituindo os dados que ja temos:
3750 = N- O,lON- desconto por fora
0,90N = 3750 + desconto por fora~ 0,90N = 3750 + Df
Agora, calcularemos o desconto por fora CD) para, assim, obtermos o valor de N
despesa banc
Agora, calcu
-7
Calculo do
Calculo do desconto por fora
N
11 = 5
X
.11=2X3
3 = 15
6
Dai, 3_ =
6
1
15
. Dr
Da1 ' 15
~
1D)
2")
Assim, o valo
Assim, o valor liquido a receber sera igual a.
valor liquido a receber = N - retenc;ao - desconto por fora
~
Urn titul
de seu v
que a ta
N
3N
- - ·7 D = 100
j
20
-7
~
D = 0 15N
j
Calculo da
Haviamos ob
'
Calculo do valor nominal (N)
Substituindo
Haviamos obtido anteriormente a seguinte equac;ao:
0,90N = 3750 + D1
-7
Substituindo o valor de D,, obtemos
0,90N = 3750 + 0,15N ~ 0,75N = 3750
N = 5.000,00 ~ Resposta!
~
N =
3750
0,75
Calculo da
Sabemos qu
Vamos subst
Capitulo 3 - Desconto Simples
Campos
urn Banco tres
de R$ 3.750,00?
de saldo medio
e que a taxa de
alor de N
6.
Urn titulo de valor nominal igual a R$ 6.000,00 foi descontado 3 meses antes
de seu vencimento, recebendo o valor liquido de R$ 5.400,00. Considerando
que a taxa de desconto empregada e de 24% ao ano, qual foi a taxa de
servi~o cobrada?
a) 4%.
c) 6%.
b) 5%.
d) 7%.
Soluc;ao: Trata-se de uma questao de desconto bancario .
Dados fornecidos
N = 6000
n = 3 meses
Valor liquido recebido = 5400
i = 24% a . a. = 2% a m. (taxa de desconto simples comercial)
taxa de servic;o = ?
0 titulo de valor nominal R'li 6 000,00 sofrera dois abatimentos
a taxa de servic;o
a antecipac;ao
1D)
Despesa bancaria referente
2")
Desconto comercial (ou por fora) devido
Assim, o valor liquido a receber sera igual a
valor liquido a receber = N - despesa bancaria- desconto por fora
Substituindo os dados que ja temos
5400 = 6000 - despesa bancaria - desconto por fora
despesa bancaria + desconto por fora = 600
Agora, calcularemos o desconto por fora (D1).
-7
Calculo do desconto por fora CD1)
6000
.11=2X3=6
6000
Dai, 3_ =
6
100
-7
~D
= 360
J
6
Calculo da despesa bancaria
Haviamos obtido anteriormente a seguinte expressao:
despesa bancaria + Drc"·' = 600
Substituindo o valor de Dfora' obtemos
despesa bancaria + 360 = 600
despesa bancaria = 240
-7
Calculo da taxa de servic;o
Sabemos que despesa bancaria = taxa de servic;o x N
Vamos substituir os valores que ja temos
240 =taxa de servic;o x 6000 ~ taxa de servic;o = 240/6000
~ taxa de servic;o = 4% ~ Resposta!
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
7.
------------
Uma empresa necessita captar R$15.000,00 para saldar compromissos
assumidos. Para isso, procura urn banco e oferece urn titulo cujo valor de
emissao e de R$ 8.000,00 com prazo de 18 meses e taxa dejuros simples de
5% ao mes. Quanto res tara para ser captado, sea taxa de desconto simples
por fora praticado pelo banco e de 8% ao mes, e faltam cinco meses para
o vencimento do titulo?
Soluc;ao: A empresa precisa dos R$ 15 000,00 hoje!
Levou a um banco um titulo que valia, na data em que foi emitido (data de emissao) a
y
15.2
DaL - = - 60
10
quantia de R$ 8.000,00. Esse titulo ira render juros simples de 5% ao mes durante um periodo
de 18 meses . Dai, a primeira coisa que precisamos descobrir e exatamente o quanta valera
Esta quantia, R
Mas disse o en
esse titulo na data de seu vencimento, ou seja, daqui a esses 18 meses. Logo, nosso primeira
do banco (por aqu
operac;ao e de juros simples Teremos:
-7 C=8 000,00
-7
-7
-7
-7
que necessitamos,
15 000,00- 9
i= 5% ao mes
n=18 meses
i 11 = 5 X 18 = 90
s.
Montante. X=?
X
I
8.000,00
100
t
100.90
90
Em uma
desconta
de 50 dia
Soluc;ao: Estamo
(AIN)=0,92. Dess
Teremos, pais, qu
Ora, sabemos
Dai, extrairem
0 desenho de
Dai: (8000)
- - = ( - X ) -7 Logo: X= 15.200,00
100
190
Esse valor que encontramos significa o quanta valera o titulo (que era de R$ 8. 000, na
emissao) daqui a 18 meses.
Ocorre que estamos no dia de hoje, e nesta nossa data atual ainda faltam 5 meses para oven-
-7
-7
-7
-7
-7
A= 0,
D = 0,
i =?
n =50
i 11 =
cirnento do titulo, ou seja, estamos 5 meses antes da data ern que o titulo valera R$ 15 . 200,00.
Mas e exatamente hoje que queremos que o banco cornpre esse titulo a n6s! Estamos precisando desse dinheiro agora; nao da para esperar pelos cinco rneses restantes.
Ora, e clara que o banco nao vai pagar os R$ 15.200,00 que o titulo valera sornente daqui
a cinco rneses. Vai nos pagar apenas um valor menor! Aqui, surge a operac;ao de desconto
simples por fora! Teremos
-7
-7
-7
-7
-7
N = 15.200,00
i = 8% ao mes
11
= 5 meses
i 11 = 5 X 8 = 40
Valor AtuaL Y =?
Dai, trabalhan
a uma taxa tarnbe
N Q08N
=-lOO
50i
Se quisermos
teremos, entao:
Campos
CT23J
Capitulo 3 - Desconto Simples
--------------------------~--~~~~~~=---------------------_u~
15.200,
compromissos
o cujo valor de
ros simples de
sconto simples
co meses para
100-40
r~. __________
......Jlwo
40
y
15.200
.
DaL - = - - - -7 Logo Y = 9.120,00
60
100
ta de emissao) a
ante um periodo
o quanta valera
Esta quantia, R$ 9.120,00 eo quanta o banco nos clara hoje por aquele titulo!
Mas disse o enunciado que a nossa necessidade hoje e de R$ 15.000,00. Se vamos ganhar
o, nosso primeira
do banco (por aquele titulo) um valor de R$ 9.120,00, significa que para completar a quantia
que necessitamos, teremos que captar ainda
15 000,00- 9 120,00 = 5.880,00 -7 Resposta!
s.
Em uma opera~ao de desconto comercial simples, a razao entre o valor
descontado e o valor nominal e igual a 0,92. Se o prazo de antecipa~ao e
de 50 dias, 0 valor da taxa sera de quanto?
Soluc;ao: Estamos diante de um desconto por fora! Foi dito ainda pelo enunciado que
(AIN)=0,92. Dessa ultima informac;ao,ja descobrimos uma relac;ao entre o Atual eo NominaL
Teremos, pais, que A=0,92N.. Certo?
Ora, sabemos tambem que D = N -A.
Dai, extrairemos que. D = N- (0,92N) -7 D = 0,08N
0 desenho de nossa questao agora sera:
de R$ 8. 000, na
meses para oven-
-7
-7
-7
-7
-7
A= 0,92N
D = 0,08N
i =?
n =50 dias
i 11 = i X 50 = 50i
era R$ 15 . 200,00.
n6s! Estamos pretes.
ra sornente daqui
c;ao de desconto
N
I
0,92 N
100- 50i
j.____o_,o_s_N__
__,J
100
50 i
Dai, trabalhando como tempo em dias (50 dias), aplicando a nossa equac;ao chegaremos
a uma taxa tarnbem diaria! Teremos·
N Q08N
.
. 8
= - - -7 501 = 8 -7 1 = - -7 i = 0 16% ao dia
lOO
50i
50
'
Se quisermos chegar a uma taxa mensal, usaremos o conceito de taxas proporcionais, e
teremos, entao:
0,16% a.d. x 30 = 4,8% ao mes -7 Resposta!
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
9.
___---------
(ESAF) Marcos descontou urn titulo 45 dias antes de seu vencimento e
recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60%
ao ano. Assim, o valor nominal do titulo e o valor mais proximo da taxa
efetiva da opera~ao sao, respectivamente, iguais a:
a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mes;
d) R$ 400.000,00 e 60% ao ano;
b) R$ 400.000,00 e 5,4% ao mes;
e) R$ 570.000,00 e 5,4% ao mes.
c) R$ 450.000,00 e 64,8% ao ano;
Soluc;ao
Questao de Desconto Simples Comercial (por fora)
DaL
200
-7 i = - -
A= 370.000,00
n = 45 elias= 1,5 mes
i = 60 % a.a. = 5% a . m.
i.n=5x1,5=7,5
37
Logo, a taxa
Portanto, a re
Fizemos o ca
cular a taxa efetiv
maior que a taxa
esse requisito e a
N =?
Taxa efetiva = ?
-7
Aplicac;ao da formula de Desconto Simples por fora
N
t
370000
100 - 7,5
t.._______j---l
100
7,5
370000
Dai
92,5
N
-7 N = N
100
= 370000 X 100 = 4 00000
92,5
Encontramos que o valor Nominal e 400.000,00 Portanto, as unicas alternativas que
podem estar corretas e a B ou a D.
-7
Calculo da taxa efetiva em uma opera<;ao de desconto simples por fora
Taxa efetiva e a taxa de juros que aplicada sobre o valor liquido produz um montante
igual ao valor nominal. Ela tambem e igual a taxa de desconto simples racional.
Faremos uma operac;ao de juros simples considerando que o Capital e o Yalor atual, o Jura
eo valor do desconto eo Montante eo valor nominal do titulo, e calcularemos a taxa de juros
da operac;ao que sera a propria taxa efetiva
Capital= 370.000
Montante = 400 000
Juras= 400 000-370.000 = 30 . 000
n=1,5mes
i =?
370000
100
1o.
(FGV) Ur
dois me
comerci
a) 10%;
b) 10,44
Soluc;ao: Novam
canto simples co
Dados fornec
N = 2.000,00
n = 2,5 mese
i=4% a . m.
taxa efetiva =
Como ja diss
um montante ig
1) Primeiram
11
= 4 2,5
A
20
90
1
DaL - = -
A= 1800
r Campos
u vencimento e
ples foi de 60%
proximo da taxa
400000
ora
duz um montante
acional.
o Yalor atual, o Jura
mos a taxa de juros
t
370000
100 j.___J_o_o_oo____.l1 oo + 1,5 i
% ao ano;
4% ao mes.
as alternativas que
CTI5)
Capitulo 3 - Desconto Simples
___-----------------------~------------~----------------------~~L
1,5 i
370000 30000
37 300
.
300
.
300
=
-7- ---7 ! = - - -7 ! = - 100
1,5i
1
1,5i
37·1,5
37·15
200
-7 i = - -7 i = 5,4
37
Logo, a taxa efetiva de juros e de 5,4% a.m.
Portanto, a resposta e alternativa B.
Fizemos o calculo da taxa efetiva mais para efeitos didaticos, mas nao era necessaria calcular a taxa efetiva para descobrir a alternativa correta da questao, pais a taxa efetiva e sempre
maior que a taxa de desconto comercial, e entre as alternativas Be D, a unica que atende a
esse requisito e a alternativa B.
DaL
1o.
(FGV) Urn a em pres a descontou em urn banco urn a duplicata de R$ 2.000,00
dois meses e meio antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto
comercial de 4%am. A taxa efetiva de juros da opera~ao no periodo foi:
a) 10%;
c) 10, 77%;
b) 10,44%;
d) 11 '11 %.
Soluc;ao: Novamente, a questao envolve o calculo da taxa efetiva em uma operat;ao de descanto simples comerciaL
Dados fornecidos na questao
N = 2.000,00
n = 2,5 meses
i=4% a . m.
taxa efetiva =?
Como ja dissemos, a taxa efetiva e a taxa de juros que aplicada sobre o \'alar liquido produz
um montante igual ao valor nominaL
1) Primeiramente, calcularemos o valor atual dessa opera<;ao de desconto:
2000
11
= 4 2,5 = 10
A
2000
A
90
100
90
DaL - = - - -7 -=20
A= 1800
10
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
2)
Calculo da taxa efetiva
Faremos uma operac,;ao de juros simples considerando que o Capital eo valor atual, o Juro
eo valor do desconto eo Montante eo valor nominal do titulo, e calcularemos a taxa de juros
da operac,;ao que sera a propria taxa efetiva.
-
0 desenho d
Capital C = 1800
Montante: M = 2000
Juras ] = M- C = 2000- 1800 = 200
tempo: n = 1 periodo
taxa efetiva no periodo: i =?
i.
11 =
i
Seja numa op
vez que tivermos
a serie de parcel
0 valor dess
l =i
2000
r
1800
100 rL__ _ _2_o_o_ ___J 100 + i
Dai
1800 = 200 -,
~
~
18 = 200 -,
lOO
i
i
.
1
A parcela (m
o seguinte desen
= 200
18
100
-7 i = - 7 i = 11, ll% ao periodo (Resposta!)
9
11.
(CESPE) No desconto simples comercial de 4 titulos, a mesma taxa de
desconto, cada urn no valor de R$ 2.000,00, com vencimentos mensais e
sucessivos. a partir de 30 dias, obteve·se urn valor Hquido de R$ 7.000,00.
Com rela~ao a situa~ao descrita, julgue os itens que se seguem.
a) A taxa de desconto simples do titulo que vence em 1 20 dias corresponde ataxa
de juros simples de 6,25% ao mes.
b) A taxa de desconto simples para cada titulo e igual a 5% ao mes.
c) 0 desconto obtido para o titulo que vence em 90 dias e o triplo do desconto
obtido para o titulo que vence em 30 dias.
d) As taxas mensais de juros simples dos val ores atuais dos titulos sao diferentes.
e) No desconto simples bancario, a taxa de desconto incide sobre o valor atual ou
liquido.
Depois que
2000 . Entao fic
mostrado no de
Soluc,;ao: Questao de Desconto Simples Comercial (quando nao ha taxas administrativas, o
desconto bancario e o proprio desconto comercial).
Dados
Quatro titulos de valor nominal igual a 2 . 00.0, com datas de vencimento de l, 2, 3 e 4 meses.
A
{ taxa de desconto e a mesma para todos os titulos.
Soma dos valores liquidos dos titulos A10 ,_,1 = 7.000
Agora, calcu
Valor Atual:
Valor Nomi
Desconto: D
tempo de an
taxa de desc
i n = i x 2,
Campos
-
Capitulo 3 - Desconto Simples
0 desenho da questao e 0 seguinte
valor atual, o Juro
os a taxa de juros
mesma taxa de
ntos mensais e
de R$ 7.000,00.
guem.
rresponde ataxa
7000 (Valor Atual)
0
2000
2000
2000
2000
lm
2m
3m
4m
Seja numa operac,;ao de juros simples, ou seja numa operac,;ao de desconto simples, toda
vez que tivermos varias parcelas iguais e consecutivas, devemos usar o artificio de transformar
a serie de parcelas em uma (mica parcela.
0 valor dessa parcela (mica sera igual a soma das parcelas, dai:
= 8.000,00
Valor da parcela (mica 4 x 2000
A parcela (mica deve ser colocada no centro das quatro parcelas de 2 000,00 Dai, teremos
o seguinte desenho:
8.000,00
7000 (Valor Atual)
0
2000
2000
2000
2000
lm
2m
3m
4m
Depois que fixamos a parcela (mica no desenho, ja podemos apagar as quatro parcelas de
2000 . Entao ficaremos somente com a parcela (mica eo valor atual de 7.000,00, conforme e
mostrado no desenho seguinte:
8.000,00
es.
iplo do desconto
7000 (Valor Atual)
os sao diferentes.
e o valor atual ou
administrativas, o
e l, 2, 3 e 4 meses.
---...._,_....---
0
lm
2m
2,5 meses
Agora, calcularemos a taxa de desconto simples comercial, com base no desenho acima
Valor Atual: A= 7.000,00
Valor Nominal N = 8.000,00
Desconto: D = N- A= 8000-7000 = 1000,00
tempo de antecipac,;ao: n = 2,5 meses
taxa de desconto por fora: i =?
i n = i x 2,5 = 2,5i
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
128
Sergio Carvalho & Weber Campos
Aplicando a formula de desconto simples por fora, teremos
j
~~
1o titulo
8000
7000
100- 2,5 i
100
2,5 i
8000 1000
= , i ~ 8 x 2,5i = 100 ~ i = 5
100
25
Portanto, a taxa de desconto comercial e de 5% a.m.
Com esses dados em maos, vamos responder os itens da questao:
a)
A taxa de desconto simples do titulo que vence em 120 dias corresponde a taxa de juros
simples de 6,25% ao mes. Certo ou Errado?
Dai D
5
Dat
A taxa de desconto comercial e de 5% a.m., sendo a mesma para todos os titulos.
A taxa de juros (efetiva) correspondente a taxa de desconto de 5% a.m. pocle ser obtida
pela formula
100 100
-----=n
if
i
Onde
i (taxa de juros) =?
ir (taxa de desconto por fora)= 5% a.m.
n (prazo de antecipac;ao) = 4 meses
100 100
100
100
- - - = 4 ~ -=16 ~ i = - ~i=625
5
i
i
16
'
Taxa de juros de 6,25% a.m. (Portanto, item certo!)
b)
c)
por fora
2000
fL___D_ ____JJ 100
15
2000
2000x15
100 ~ D =
100
~ D = 300
tanto, o item e
d)
As taxas m
En·ado?
Para obter a
utilizada no ite
de vencimento
taxa de juros co
No desco
Certo ou
Item errado
no desconto ra
0 clesconto obtido para o titulo que vence em 90 dias e o triplo do desconto obtido para
o titulo que vence em 30 dias. Certo ou Errado?
3° titulo (N = 2000, n = 3 meses e i = 5% am)
D
Dai: 15
1
Assim, conc
e)
A taxa de desconto simples para cada titulo e igual a 5% ao mes. Certo ou Errado?
Ja haviamos obtido que a taxa de desconto comercial e de 5% a.m
(Portanto, item certo!)
100-15
= 20
Campos
Capitulo 3- Desconto Simples
1o titulo (N = 2000, n = 1 mes e i = 5% a m)
por fora
2000
---'J 100
100 - 15 t.___ _ _
D_ _
5
Dai D
5
= 2000
100
~ D = 2000x5 ~ D = 100
100
Assim, concluimos que o desconto do 3° titulo eo triplo do desconto do 1o titulo, e, partanto, o item esta correto.
de a taxa de juros
os titulos.
m. pocle ser obtida
o ou Errado?
conto obtido para
000
JJ 100
d)
As taxas mensais de juros simples dos valores atuais dos titulos sao diferentes Certo ou
En·ado?
Para obter a taxa de juros correspondente a cada titulo, teremos que aplicar a formula
utilizada no item "a'' desta questao. Dentro desta formula temos o elemento "n" que e tempo
de vencimento de cada titulo, e como cada titulo tem um valor n diferente, isto implica que a
taxa de juros correspondente sera diferente para cada um deles. Portanto, o item esta correto
e)
No desconto simples comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor atual ou liquido
Certo ou Errado?
Item errado. No desconto comercial, a taxa de desconto incicle sobre o valor nominaL E
no desconto racional que a taxa de desconto incide sobre o valor atual
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
DESCONTO SIMPLES - EXERclCIOS PROPOSTOS
o5.
(Banco d
quente.
1. Consid
canto
oferec;
com ve
fora, p
em 2 m
06.
(SEFAZ/C
de quatr
desconto
a) R$ 2 4
b) R$ 2 3
c) R$ 2 2
d) R$ 2 1
e) R$ 2 0
07.
(Analista
40.000,0
pagamen
a) R$ 3.0
b) R$ 4.0
c) R$ 4.5
d) R$ 5.0
e) R$ 3.5
OS.
(Fiscal d
por fora
de desco
do titulo
a) R$ 22
b) R$ 25
c) R$ 17
d) R$ 20
e) R$ 27
09.
(APOFP S
e igual a
do 50 di
comerci
anual de
a) 24%
b) 20%
c) 18%
d) 15%
e) 12%
DESCONTO SIMPlES POR DENTRO E POR FORA
01.
02.
(Ministerio da Fazenda Contador 2013 ESAF) Um titulo de valor nominal
igual a R$ 15.000,00 foi descontado 6 meses antes do seu vencimento. o
desconto pela antecipa~ao do titulo foi de acordo com o sistema de descanto comercial simples a uma taxa de 10% ao trimestre. 0 valor ao qual
0 titulo foi descontado e igual a:
a) R$ 6.000,00.
b) R$ 13.000,00.
c) R$ 10.000,00.
d) R$ 9.000,00.
e) R$ 12.000,00.
(Auditor Fiscal SEFAZ·RS 2014 Fund a tee) Um titulo de credito de R$
26.000,00 foi descontado em uma institui~ao financeira 38 dias antes do
vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao mes. Calcule o valor atual
do titulo, considerando que a opera~ao foi feita utilizando o desconto
bancario ou "por fora".
a) R$ 22.520,00.
b) R$ 25.012,00.
c) R$ 25.021,00.
d) R$ 25.220,00.
e) R$ 25.250,00.
03.
(Fiscal da Receita do Amapa 2010 FGV) Pedro desconta um titulo de R$
7.000,00 com vencimento de 60 dias em um banco que cobra taxa de des·
conto simples "por fora" de 4% ao mes. Pedro recebera:
a) R$ 6. 720,00.
b) R$ 6.471,89.
c) R$ 6.451,20.
d) R$ 6.440,00.
e) R$ 6.160,00.
04.
(Auditor Fiscal do Estado do RJ 2011 FGV) Um titulo com valor de R$
1 5.000,00 a veneer em 4 meses e descontado no regime de juros simples
a uma taxa de desconto "por fora" de 6,2 5% ao mes. 0 valor presente do
titulo e igual a
a) R$ 9.750.
b) R$ 12.000.
c) R$ 11.769.
d) R$ 10.850.
e) R$ 11.250.
Campos
S
o5.
(Banco da Amazonia Tecnico Bancario 2010 CESPE) julgue o item subsequente.
1. Considerando que a instituic;ao financeira X oferec;a aos clientes a taxa de descanto de 2,4% ao mes para desconto de titulos, e que a instituic;ao concorrente Y
oferec;a uma reduc;ao de 2 5% na taxa praticada pel a X, para descontos dos titulos
com vencimentos em ate 90 dias, entao o valor atual, com desconto simples por
fora, pago pela Y para um titulo com valor de face de R$ 1 .000,00 e que vence
em 2 meses e inferior a R$ 960,00.
06.
(SEFAZ/CE 2007 ESAF) Uma divida no valor de R$ 20 000,00 vence dentro
de quatro meses. Calcule a redu~ao da divida se ela for paga hoje com um
desconto comercial simples a uma taxa de 2,5% ao mes.
a) R$ 2 400,00
b) R$ 2 300,00
c) R$ 2 200,00
d) R$ 2 100,00
e) R$ 2 000,00
07.
(Analista de Controle lnterno SEFAZ·RJ 2011 FGV) Um titulo no valor de R$
40.000,00 foi descontado com 45 dias antes do vencimento do prazo para
pagamento. 0 valor do desconto comercial, a uma taxa de 60% ao ano, e
a) R$ 3.000,00.
b) R$ 4.000,00.
c) R$ 4.500,00.
d) R$ 5.000,00.
e) R$ 3.500,00.
OS.
(Fiscal de Rendas SMF·RJ 2010 ESAF) Um titulo sofre um desconto simples
por fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa
de desconto de 2,5% ao mes. Quale o valor mais proximo do valor nominal
do titulo?
a) R$ 22.500,00
b) R$ 25.000,00
c) R$ 17.500,00
d) R$ 20.000,00
e) R$ 27.500,00
09.
(APOFP SEFAZ·SP 201 0 FCC) 0 valor do desconto de um titulo, em um banco,
e igual a 2,5% de seu valor nominal. Sabe-se que este titulo foi desconta·
do 50 dias antes de seu vencimento, segundo uma opera~ao de desconto
comercial simples e considerando a conven~ao do ano comercial. A taxa
anual de desconto correspondente e igual a
a) 24%
b) 20%
c) 18%
d) 15%
e) 12%
valor nominal
vencimento. o
stema de desvalor ao qual
credito de R$
dias antes do
o valor atual
do o desconto
m titulo de R$
a taxa de des·
m valor de R$
juros simples
or presente do
Capitulo 3 - Desconto Simples
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
-----------
10.
(TRT13 Analista Judiciario 2014 FCC) Urn titulo com valor nominal de R$
10.000,00 e resgatado tres meses antes do vencimento, pelo valor liquido
de R$ 8.500,00. A taxa de desconto comercial praticada nessa opera~ao e de
a) 1 7,65% no periodo.
b) 5,00% ao mes.
c) 5,57% ao mes.
d) 4, 77% ao mes.
e) 16,50% no periodo.
11.
(Auditor-Fiscal do Trabalho 2010 ESAF) Urn titulo sofre urn desconto simples por dentro de R$ 1 0.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a
uma taxa de desconto de 4% ao mes. Qual o valor mais proximo do valor
nominal do titulo?
a) RS 60.000,00.
b) R$ 46.157,00.
c) R$ 56.157,00.
d) R$ 50.000,00.
e) R$ 55.000,00.
12.
(Fiscal de Rendas SEFAZ·RJ 2010 FGV) A empresa Bonneli recebeu, pelo valor
de R$ 18.000,00, por meio de uma opera~ao de factoring, R$ 12.000,00
como sendo o valor atual. 0 prazo de antecipa~ao, em dias, se a taxa de
juros foi de 5% ao mes, no regime juros simples, foi de:
a) 300.
b) 600.
c) 900.
d) 100.
e) 120.
13.
(Auditor do Tesouro Municipal de Recife 2014 FGV) Assinale a expressao
que nao pode ser utilizada para obter o valor do desconto racional "por
dentro" de urn titulo sob o regime dejuros simples. Considere as seguintes
siglas:
VP=Valor Presente. VF=Valor Futuro. i=taxa de desconto. n=prazo.
a) VP xi x n
b) VF- VP
c) VF
VF 1 (1 + i x n)
d) VF xi x n 1 (1 + i x n)
e) (VF I VP
1) x (11 n)
14.
(Fiscal de Rendas SEFAZ·RJ 201 0 FGV) Com rela~ao aos diferentes tipos de
desconto simples analise as afirmativas a seguir:
I. 0 desconto racional (por dentro), no regime de capitaliza~ao simples,
e dado pela diferen~a entre 0 valor futuro e 0 valor presente.
11. 0 desconto comercial (por fora), no regime de capitaliza~ao simples, e
dado pela rela~ao D = VF*d*n, no qual VF e o valor futuro, de a taxa de
desconto por periodo e n e 0 numero de periodos de desconto.
Ill. 0 desconto bancario e 0 contrato pelo qual 0 banco (descontador) ante·
cipa ao cliente (descontario) o valor de urn credito.
Assinale
a) se so
b) se so
c) se so
d) se so
e) se tod
15.
(Auditor
resgato
meses a
totaliza
de desc
e o mes
a) R$ 37
b) R$ 39
c) R$ 42
d) R$ 44
e) R$ 44
16.
(Audito
nomina
taxa me
dois de
a) R$ 12
b) R$ 18
c) R$ 0,
d) R$ 1 ,
e) RS 1,
17.
(ICMS·SP
para de
I. Banc
come
II. Banc
racio
Utilizan
no Banc
a) R$ 27
b) R$ 27
c) R$ 28
d) R$ 2
e) R$ 2
Campos
Capitulo 3 - Desconto Simples
nominal de R$
lo valor liquido
a opera~ao e de
Assinale:
a) se somente
b) se somente
c) se somente
d) se somente
e) se todas as
ale a expressao
o racional "por
ere as seguintes
n=prazo.
rentes tipos de
iza~ao simples,
esente.
za~ao simples, e
o, de a taxa de
esconto.
scontador) ante·
as afirmativas I e II estiverem corretas.
as afirmativas I e Ill estiverem corretas.
a afirmativa Ill estiver correta.
as afirmativas II e Ill estiverem corretas.
afirmativas estiverem corretas.
15.
(Auditor Fiscal de Receitas Estaduais Para 2013 UEPA) Urn microempresario
resgatou urn titulo pela modalidade de desconto comercial simples oito
meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mes,
totalizando urn desconto de R$ 48.840,00. Se fosse aplicada a modalidade
de desconto racional simples, considerando o mesmo titulo, a mesma taxa
e o mesmo prazo, o valor desse desconto racional seria de:
a) R$ 37.000,00
b) R$ 39.000,00
c) R$ 42.500,00
d) R$ 44.000,00
e) R$ 44.971 ,00
16.
(Auditor Fiscal do Tesouro Estadual FAZ·PE 2014 FCC) Urn titulo de valor
nominal R$ 1.196,00 vai ser descontado 20 dias antes do vencimento, a
taxa mensal de desconto simples de 6%. 0 modulo da diferen~a entre os
dois descontos possiveis, o racional e o comercial, e de
a) R$ 12,08
b) R$ 18,40
c) R$ 0,96
d) R$ 1 ,28
e) RS 1,84
17.
(ICMS·SP 2009 FCC) Urn comerciante podera escolher uma das op~oes abaixo
para descontar, hoje, urn titulo que vence daqui a 45 dias.
I. Banco A: a uma taxa de 2% ao mes, segundo uma opera~ao de desconto
comercial simples, recebendo no ato o valor de R$ 28.178,50.
II. Banco B: a uma taxa de 2,5% ao mes, segundo uma opera~ao de desconto
racional simples.
Utilizando a conven~ao do ano comercial, caso opte por descontar o titulo
no Banco B, o comerciante recebera no ato do desconto o valor de
a) R$ 27.200,00
b) R$ 27.800,00
c) R$ 28.000,00
d) R$ 28.160,00
e) R$ 28.401,60
desconto simu vencimento a
oximo do valor
ebeu, pelo valor
, R$ 12.000,00
as, se a taxa de
(I3))
-------------------------~------------~--------------------~~~
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
18.
19.
20.
21.
(Auditor Fiscal de Tributos Estaduais de Rondonia 2010 FCC) Urn titulo e
descontado em urn banco 45 dias antes de seu vencimento, considerando
a conven~ao do mes comercial. A taxa de desconto utilizada pelo banco
e de 3% ao mes. Caso a opera~ao seja a do desconto racional simples, 0
valor presente do titulo e igual a R$ 40.000,00. Utilizando a opera~ao do
desconto comercial simples, o valor presente do titulo e
a) R$ 39.959,50
b) R$ 39.919,00
c) R$ 39.209,50
d) R$ 38.949,00
e) R$ 38.200,00
(TRF3 Analista Judiciario 2014 FCC) Duas duplicatas de valores nominais
iguais sao descontadas em urn banco a uma taxa de 24,0% ao ano. Sabe·se
que a primeira duplicata foi descontada 4 meses antes de seu vencimento,
segundo uma opera~ao de desconto racional simples, eo valor do desconto
foi igual a R$ 1.200,00. A segunda duplicata foi descontada 5 meses antes
de seu vencimento, segundo uma opera~ao de desconto comercial simples.
A porcentagem que o valor presente da segunda duplicata representa do
valor presente da primeira duplicata e, em %, de
a) 90,0.
b) 96,0.
c) 94,0.
d) 97,2.
e) 92,4.
(PGE·BA 2013 FCC) Uma duplicata foi descontada 3 meses antes de seu
vencimento, segundo uma opera~ao de desconto comercial simples, a uma
taxa de desconto de 24% ao ano, e o valor atual do titulo foi igual a R$
22.419,00. Caso fosse utilizada a opera~ao de desconto racional simples,
tambem a uma taxa de desconto de 24% ao ano, a soma dos valores dos
descontos encontrados pelas duas opera~oes seria igual a
a) R$ 3.144,00.
b) R$ 3.079,00.
c) R$ 2.862,00.
d) R$ 2. 781 ,00.
e) R$ 2.401,00.
(Analista do Tesouro Estadual SEFAZ·PI 201 5 FCC) A taxa de desconto uti·
lizada em urn banco para as opera~oes de desconto de titulos e de 24%
ao ano. Se urn titulo e descontado neste banco 3 meses antes de seu ven·
cimento, verifica-se que o valor do desconto comercial simples supera o
valor do desconto racional simples em R$ 73,80. 0 valor atual do titulo,
considerando o desconto comercial simples, e igual a
a) R$ 19.768,20
b) R$ 20.238,20
c) R$ 20.285,20
d) R$ 20.332,20
e) R$ 20.426,20
22.
(Auditor
seus ven
de desco
era o do
opera~ao
racional
o modulo
a) R$ 3.9
b) R$ 9.2
c) R$ 3.0
d) R$ 3.5
e) R$ 3.8
23.
(Auditor
em urn ba
comercia
tivesse s
tambem
atual sup
apurado
a) R$ 3.5
b) R$ 3.3
c) R$ 3.3
d) R$ 3.4
e) R$ 3.4
24.
(Analista
desconto
a.a., e R$
a) R$ 7.8
b) R$ 8.7
c) R$ 7.2
d) R$ 7.5
e) R$ 7.9
25.
(Analista
senta 9
Sabe-se
de 30 em
liquido c
valor de
a) R$ 3.2
b) R$ 5.1
c) R$ 8.9
d) R$ 3.5
e) R$ 8.8
Capitulo 3 - Desconto Simples
Campos
CC) Urn titulo e
, considerando
da pelo banco
onal simples, 0
a opera~ao do
lores nominais
ao ano. Sabe·se
eu vencimento,
lor do desconto
5 meses antes
mercial simples.
representa do
s antes de seu
simples, a uma
o foi igual a R$
cional simples,
os valores dos
de desconto uti·
tulos e de 24%
tes de seu ven·
mples supera o
atual do titulo,
22.
(Auditor Fiscal da Fazenda Estadual SEF·PI 2015 ESAF) Tres meses antes de
seus vencimentos, dois titulos foram descontados em urn banco, com taxa
de desconto de 48% ao ano. Sabe·se que o valor nominal do primeiro titulo
era o dobro do valor nominal do segundo. Para o primeiro, utilizou-se a
opera~ao de desconto comercial simples e, para o segundo, a de desconto
racional simples. Se a soma dos descontos foi igual a R$ 1.21 5,00, entao,
o modulo da diferen~a entre os dois valores liquidos recebidos foi
a) R$ 3.965,00
b) R$ 9.285,00
c) R$ 3.035,00
d) R$ 3.500,00
e) R$ 3.830,00
23.
(Auditor Fiscal da Receita Estadual SFA·RJ 2014 FCC) Urn titulo e descontado
em urn banco 5 meses antes de seu vencimento com a utiliza~ao do desconto
comercial simples a uma taxa de desconto de 36% ao ano. Caso este titulo
tivesse sido descontado com a utiliza~ao do desconto racional simples,
tambem a uma taxa de desconto de 36% ao ano, o correspondente valor
atual superaria o valor atual anterior em R$ 517,50. 0 valor do desconto
apurado com a utiliza~ao da opera~ao de desconto racional simples e
a) R$ 3.500,00
b) R$ 3.300,00
c) R$ 3.350,00
d) R$ 3.400,00
e) R$ 3.450,00
24.
(Analista de Controle lnterno SEFAZ·RJ 2012 CEPERJ) A diferen~a entre os
descontos racional e comercial de urn titulo para 3 meses, a taxa de 120%
a.a., e R$ 500,00. 0 valor nominal do titulo e:
a) R$ 7.839,72
b) R$ 8.732,02
c) R$ 7.222,22
d) R$ 7.500,00
e) R$ 7.938,70
25.
(Analista de Controle lnterno SEFAZ·RJ 2013 CEPERJ) Uma empresa apre·
senta 9 titulos de mesmo valor para serem descontados em urn banco.
Sabe-se que a taxa de desconto e de 2,8% ao mes, que OS titulos vencem
de 30 em 30 dias, a partir da data de entrega do bordero, e que o valor
liquido creditado em favor da empresa correspondeu a R$ 25.000,00, o
valor de cada titulo e:
a) R$ 3.229,97
b) R$ 5.1 00,00
c) R$ 8.965,45
d) R$ 3.588,39
e) R$ 8.800,00
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
TAXA EFETIVA DEJUROS NO DESCONTO SIMPLES COMERCIAL
26.
27.
28.
-----------
3o.
(ATRFB 2012 ESAF) Urn titulo de R$ 20.000,00 foi descontado 4 meses antes
do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 5% ao
mes. A taxa efetiva men sal de juros simples des sa opera~ao e igual a
a) 6,50%.
b) 5,50%.
c) 5,25
d) 6,00%.
e) 6,25%.
(TRT13 Analista judiciario 2014 FCC) Urn empresario apresentou em urn
banco uma duplicata para desconto seis meses antes do seu vencimento.
0 titulo tinha valor nominal de R$ 145.000,00 e a taxa de desconto comercia! simples utilizada pelo gerente da agenda foi de 1, 75% ao mes. A taxa
efetiva da opera~ao no periodo foi, em %, aproximadamente,
a) 9, 59.
b) 12,98.
c) 10,50.
d) 11,73.
e) 10,97.
(Tecnico de Controle lnterno Niteroi FCC) Uma promissoria de R$ 240.000,00
e descontada em urn banco 60 dias antes do vencimento pelo desconto
comercial simples, aplicando·se uma determinada taxa de desconto. Se a
opera~ao resulta em uma taxa linear efetiva de desconto de 12,5% ao mes,
a taxa mensal de desconto comercial simples praticada pelo banco e de:
a) 1 5,0%;
b) 10,0%;
c) 9,5%;
d) 8,5%;
e) 6,5 %.
(CETAM
valor no
conto co
A referid
libera~ao
nessas i
desta op
a) 50.00
b) 54.50
c) 50.00
d) 50.00
e) 54.00
31.
(Analista
de face
desconto
incidente
20%. A ta
a) ief =50
b) ief =5,3
c) ief =5,9
d) ief =53
e) ief =50
32.
(AFC·TCU
R$ 10.00
desconto
taxa de a
como im
custo do
a) 3,09%
b) 4,00%
c) 4,71%
d) 4,59%
e) 4,50%
TAXA EFETIVA DE JUROS NO DESCONTO SIMPLES BAN CARlO
PRAZO MEDIO
29.
33.
(Fiscal de Rendas SEFAZ·RJ 2008 FGV) Urn banco desconta (desconto sim·
pies por fora), dois meses antes do vencimento, promissorias com taxa de
desconto de 5% ao mes e exige que 20% do valor de face da promissoria
sejam aplicados em urn COB que rende 6% nesses dois meses. A taxa bi·
mestral de juros cobrada pelo banco e de, aproximadamente:
a) 9,2%.
b) 12,6%.
c) 11, 1%.
d) 10,3%.
e) 18,4%.
(APOFP
utiliza·se
taxa dej
desconta
media do
capital t
menor p
VALOR
R$
R$
R$
R$
Campos
Capitulo 3 - Desconto Simples
3o.
(CETAM 2014 FCC) Uma empresa comercial descontou uma duplicata cujo
valor nominal era R$ 50.000,00, que venceria em 60 dias. A taxa de des·
conto comercial simples cobrada pela institui~ao financeira foi de 4% a.m.
A referida institui~ao cobrou adicionalmente tarifa bancaria, na data da
libera~ao dos recursos, de 1% do valor nominal da duplicata. Com base
nessas informa~oes, a expressao utilizada para se obter a taxa efetiva (i)
desta opera~ao, ao mes, e dada por
a) 50.000 = 45.500 (1 + i) 2
b) 54.500 = 50.000 (1 + i) 2
c) 50.000 = 45.871 (1 + i) 2
d) 50.000 = 46.000 (1 + i) 2
e) 54.000 = 49.500 (1 + i) 2
31.
(Analista de Controle lnterno SEFAZ·RJ 2012 CEPERJ) Urn titulo de valor
de face R$2.500,00, com vencimento para 30 dias, e apresentado para
desconto a urn Banco que cobra 12% ao mes, 1,5% de taxa administrativa
incidente sobre o valor nominal do titulo, exigindo, ainda, saldo medio de
20%. A taxa efetiva utilizada na opera~ao do desconto do titulo foi de:
a) ief =50,38% a.a.
b) ief =5,38% a.m.
c) ief =5,98% a.m.
d) ief =53,38% a.a.
e) ief =50,38% a.m.
32.
(AFC·TCU 2000 ESAF) Uma empresa desconta urn titulo no valor de face de
R$ 10.000,00 em urn banco, trinta dias antes do vencimento, obtendo urn
desconto de 3% do valor nominal do titulo. Se o banco cobrasse ainda uma
taxa de abertura de credito de R$ 50,00 e 1% do valor nominal do titulo
como imposto financeiro, no momento do desconto do titulo, qual seria o
custo do emprestimo, em termos da taxa dejuros real paga pela empresa?
a) 3,09% ao mes.
b) 4,00% ao mes.
c) 4,71%aomes.
d) 4,59% ao mes.
e) 4,50% ao mes.
o 4 meses antes
mples de 5% ao
ao e igual a
esentou em urn
eu vencimento.
esconto comerao mes. A taxa
te,
e R$ 240.000,00
pelo desconto
desconto. Se a
e 12,5% ao mes,
lo banco e de:
(desconto sim·
rias com taxa de
da promissoria
eses. A taxa bi·
nte:
0)})
-------------------------~------------~--------------------~~~
PRAZO MEDIO NO DESCONTO SIMPLES
33.
(APOFP SEFAZ·SP 2013 VUNESP) Ao descontar urn titulo em urn banco,
utiliza·se uma taxa de desconto comercial. 0 desconto e proporcional a
taxa dejuros e ao prazo. Quando varios titulos com prazos diferentes sao
descontados, uma das maneiras e calcular o prazo medio dos titulos. A
media dos prazos deve ser ponderada, ou seja, o prazo associado ao maior
capital tern maior peso enquanto o prazo associado ao menor capital tern
menor peso. Considere os quatro titulos a seguir:
VALOR DO TiTULO
PRAZO ATE
0
VENCIMENTO
R$ 300,00
6 dias
R$ 200,00
10 dias
R$ 50,00
24 dias
R$ 650,00
40 dias
CT3}D
Matematica Finance ira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
~~----~~~~~~----~----~------------~------------~----------
Nesse caso, o prazo medio dos titulos e de
a) 22,48 dias.
b) 80 dias.
c) 20 dias.
d) 24 dias.
e) 25,83 dias.
34.
(APOFP SEFAZ-SP 2013 VUNESP) Na questao anterior,
de 6% ao mes, o valor total dos descontos sera de
a) R$ 62,00.
b) R$ 124,00.
c) R$ 76,20.
d) R$ 96,00.
e) R$ 14,80.
Equ
a taxa de descontos
4.1. Opera~ao
Ja no capitulo
pende do conhec
Equivalencia, pod
A Equivalenc
modelos distintos
Modelo I d
Num primeir
comerciante, fez u
-se a pagar par a
e outra de R$ 2.0
Entao, a situa
compra era a seg
Ocorre que,
R$ l 000,00), o
por nao dispor d
pagar aquela par
pagar. S6 que de
nova forma de p
A nova forma
iguais, nas datas
Campos
~----------
Capitulo4
Equivalencia Simples de Capitais
a de descontos
4.1. Opera~ao de Equivalencia de Capitais: o que
e?
Ja no capitulo anterior, foi dito que a Equivalencia de Capitais e uma operar;:ao que depende do conhecimento do assunto Desconto. Veremos aqui que, em uma (mica operar;:ao de
Equivalencia, poderemos ser levados a fazer uma, duas, tres ou varias operar;:oes de Desconto.
A Equivalencia de Capitais e urn tipo de questao que, normalmente, se revela em tres
modelos distintos. Passemos a estuda-los
Modelo I da Questao de Equivalencia:
Num primeiro modelo deste tipo de questao, teremos, por exemplo, que uma pessoa, urn
comerciante, fez uma compra a prazo Ele levou a mercadoria para sua casa hoje e comprometeu-se a pagar par aquele bern por meio de duas parcelas, uma de R$ LOOO,OO, daqui a 30 elias,
e outra de R$ 2.000,00, daqui a 60 elias.
Entao, a situar;:ao inicial, ou seja, a forma contratada originalmente para efetuar aquela
compra era a seguinte:
J
--L--1.
2000,00
1.000,00
0
30d
60cl
Ocorre que, chegando na vespera de efetuar o pagamento da primeira parcela (a de
R$ l 000,00), o comprador vi u-se sem nenhum clinheiro ou, clito na linguagem da prova "
por nao dispor de numerario suficiente ..... " Entenda-se o devedor nao tinha o dinheiro pra
pagar aquela parcela. Entao, o que ele fez? Ligou para o seu credor e lhe disse: "Devoe quero
pagar. S6 que de uma forma diferente" Ou seja, ele, o comprador, quer se utilizar de uma
nova forma de pagamento, que ira substituir a maneira inicialmente contratada.
A nova forma de pagamento, tal como pretendida pelo devedor, e a seguinte: duas parcelas
iguais, nas datas 90 elias e 120 dias .
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Modelo III
Desenhando essa segunda forma de pagamento, que substituira a forma originalmente
Outra forma d
contratada, teremoso
ora, um emprest
LOOO,OO
I
LOOO,OO
!
0
Todo emprestimo
30d
60d
X
X
devolvida numa d
1
J
ha\~a sido tomad
90d
120d
Neste desenho, n6s temos ilustraclas as cluas diferentes formas de liquidar a compra:
p1imeira forma de pagamento (em vermelho), que foi a forma contratada no inicio; e a
(em azul), que ira justamente substituir a primeira
Ora, para que nem eu e nem o meu creclor saiamos perclenclo, e preciso que, a uma determinada taxa previamente estabelecicla, a segunda forma de pagamento seja equivalente a
Sera sempre a
fica paraclo
Todavia, e pre
a titulo de devolU
operac;ao.
Um exemplo
teu·se a pagar po
Desenhemos
primeira
•
Modelo II da QuesUio de Equivalencia:
Um outro tipo de enunciado de equivalencia falaria de um cleterminado bem, o qual po-
dera ser com prado de cluas formas cliferentes a forma a vista e a forma a prazoo Por exemplo,
um computaclor, que custa a vista R$ 30 000,00, pocleria ser pago em tres parcelas, sendo a
primeira de las, na data 30 elias, no valor de R$ 1500,00 e as outras cluas parcelas, iguais e de
valor desconheciclo, nas datas 60 e 90 elias
Ora, se clesenharmos esse enunciaclo, teremos:
Ora, para que
eu irei devolver s
30000,00
X
LSOO,OO
1
0
1
30d
X
I I
60d
90d
Faz-se import
nao e sinonimo d
ma, cliriamos que
=
5.000,00. Ai, t
Mas nao se trata
verifica tomanclo
Aqui, teremos que a primeira fonna de pagamento, compra a \'ista, esta representada
como tra<;o em vermelho; e a seguncla forma de pagamento, que substituiria a primeira, esta
representada em azul
Ora, quando se vai vender a prazo, a loja informa ao consumidor que ele estara suportando uma taxa naquela opera<;aoo Toclos os elias assistimos as propagandas na televisao: "...
!eve hoje seu DVD para casa, por apenas R$ 600,00 a vista, ou em 12 vezes com uma taxa de
apenas 4% ao mes!"
Dai, aquela taxa contratada, e preciso que a forma de pagamento a prazo seja equivalente
a forma de pagamento a vista.
4.2. Elemento
Nao e clificil
tais Perceberemo
havera uma quan
se equivalerao en
Capitulo 4-
er Campos
Equivali~ncia
Simples de Capita is
141
Modelo III da Questao de Equivalencia:
rma originalmente
Outra forma de uma questao de equivalencia se mostrar e quando se fala em emprestimo
ora, um emprestimo poclera ser feito por uma pessoa, por uma empresa, por um pais etc.
Todo emprestimo se trata de uma quantia em dinheiro, a qual se obtem lwje e que tera de ser
devolvida numa data futura Obviamente que, quando se vai devolver no futuro um valor que
ha\~a sido tomado emprestado, paga-se sempre um valor maioL
Sera sempre assim, pois, conforme ja sabemos, na Matematica Financeira o clinheiro nunca
quidar a compra:
o inicio; e a
iso que, a uma deseja equivalente a
fica paraclo
Todavia, e preciso que exista alguma clefini<;ao de quanta e que iremos pagar no futuro,
a titulo de devolU<;;ao do que foi emprestaclo hoje E isso fica a criteria da taxa envolvida na
operac;ao.
Um exemplo alguem pegou um emprestimo hoje, no valor de R$ 5 000,00 E comprometeu·se a pagar por isto da seguinte forma cluas parcelas iguais, nas clatas 30 e 60 elias
Desenhemos esta questao:
5.000,00
do bem, o qual po-
X
X
30d
60d
razoo Por exemplo,
s parcelas, sendo a
parcelas, iguais e de
0
Ora, para que nem eu e nem o meu credor saiamos perdendo, sera preciso que o valor que
eu irei devolver seja equivalente aquele que havia sido tomado emprestado
Faz-se importante frisar que, em toclos os tres casas ilustrados acima, a palavra equivalente
nao e sinonimo da palavra iguaL Se assim o fosse, tomando como exemplo esse desenho acima, cliriamos que as duas parcelas de X seriam iguais a R$ 2.500,00, uma vez que 2 x 2500
=
5.000,00. Ai, teriamos que o valor devolvido seria igual ao valor tomaclo de emprestimo.
Mas nao se trata de igualdade. Trata-se de equivalencia. E esse conceito de equivalencia se
verifica tomanclo por base uma taxa envolvida na opera<;ao.
, esta representada
iria a primeira, esta
ue ele estara supor-
das na televisao: "...
es com uma taxa de
zo seja equivalente
4.2. Elementos de uma Questao de Equivalencia de Capitais
Nao e clificil iclentificar que estamos trabalhando numa questao de Equivalencia de Capitais Perceberemos sempre que havera duas formas de pagamento para quitar uma divicla; ou
havera uma quantia que devera ser equivalente a outra. Enfim, havera duas obrigar,;oes que
se equivalerao entre si .
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
-----------
Serao, portanto, elementos de uma questao de equivalencia de capitais, os seguintes:
-7
-7
Valores da "Primeira Obrigac;ao"
Valores da "Segunda Obrigac;ao"
-7
-7
-7
Tempos"
Taxa"
"Data Focal"
•
Valores da
-7 No Mo
tao, ira
alterna
esta se
Designaremos
Teremos:
•
Analisemos cada urn deles:
Valores da "Primeira Obriga<;;ao" sao aqueles valores monetarios que representam:
-7 No Modelo I: aqueles valores em vermelho, que indicam que a compra a prazo
foi originalmente contratada para ser paga em 30 e 60 dias" Ou seja, e a forma
original de pagamento Portanto, representaremos esses valores por (I), de primeira
obrigac;ao
Teremos:
LOOO,OO
X
X
I
J
LOOO,OO
1 1
0
30d
60d
(I)
(I)
90d
No M
daque
l20d
No Modelo II: aquele valor em vermelho, que ilustra a forma de venda
a vista
daquele determinado bemo Designaremos aquele valor como (I) Teremos
3.000,00
X
X
L500,00
I
1 1
J
90d
60d
30d
0
No M
empre
(I)
-7
No Modelo IlL o valor que representa a quantia que foi, na data atual, tomada a
titulo de emprestimo Novamente, usaremos (I) para designar esta quantia. Teremos:
5.000,00
0
(I)
X
X
30d
60d
•
"Tempos":
e a Segunda
Por exemplo,
@)
Capitulo 4- Equivalencia Simples de Capita is
Campos
-----------------------~----~~~~~~~~~~----------------~---~~
os seguintes:
•
Valores da "Segunda Obrigac;:ao" aqueles valores monetarios que representam
-7 No Modelo I os valores em azul Ou seja, as duas parcelas que, neste tipo de questao, irao substituir a forma original de pagamento. Em outras palavras, e a forma
alternativa de pagamento de uma obrigac;ao que fora originalmente contratada, e
esta sendo ag0ra alterada.
Designaremos estas parcelas por (II)" E a nossa segunda forma de pagamento
Teremos:
LOOO,OO
e representam:
a compra a prazo
u seja, e a forma
or (I), de primeira
a de venda
1
0
X
X
I I
LOOO,OO
J
30d
60d
90d
l20d
(I)
(I)
(II)
(II)
No Modelo Il aquelas parcelas em azul, que representam a forma a prazo de venda
daquele determinado bern. Designaremos aquele valor como (II) Teremos:
30000,00
00
U___._·I_____.I
a vista
) Teremos
ata atual, tomada a
a quantia. Teremos:
0
30d
60d
90d
(I)
(II)
(II)
(II)
No Modelo III as parcelas que representam a devoluc;ao do que havia sido tornado
emprestado. Usaremos novamente a designac;:ao (II) para estes valores. Teremos
5.000,00
X
1
0
(I)
•
I
X
J
30d
60d
(II)
(II)
"Tempos": sao as datas em que estarao localizados os valores que compoem a Primeira
e a Segunda Obrigac;:oes .
Por exemplo, no exemplo do Modelo I, teremos que.
2.000,00
LOOO,OO
1
0
30d
X
X
90d
l20d
I I I
60d
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Ou seja, as datas da primeira obriga<;;ao sao 30 elias e 60 elias; as da segunda obrigac;ao sao
Ou seja:
90 e 120 elias. Apenas isso .
Na resoluc;ao de uma questao de Equivalencia, e absolutamente essencial saber dcscnhar a
questao. Ou seja, saber as datas corretas, dispostas na linha do tempo, onde irao estar localizados
os valores da Primeira Obrigac;ao e da Segunda Obrigac;ao.
•
"Taxa"· este elemento e sempre a alma da questao Dai, surge aqui uma informac;ao
de suma importancia nossa primeira prcocupat;ao, ao nos deparannos com wna questao
"Data Foca
de Equivalcncia de Capitais, sera descobtir se estamos trabalhando no Regime Simples ou no
uma data d
so costuma
Regime Composto.
Ou seja, procuraremos ver o que e dito acerca da taxa, se esta e uma taxa simples ou uma
ser resoh·id
E um
taxa composta Assim, as palmTas simples e composto devem ser vasculhadas por nos, durante
Primeira -
a leitura do enunciado
Caso nada seja dito acerca do Regime daquela operac;ao de Equivalencia, se simples ou se
questao de equiv
Seguncla - Que
composta, seguiremos a convenc;ao que ja e nossa conhecida adotaremos o regime simples, e
enunciado.
Ou seja se a
estaremos, portanto, diante de uma questao de equivalencia simples de capitais.
Temos agora que passar a informac;ao crucial desse assunto . Para dar a devida enfase a ela,
criaremos o topico abaixo
Informac;ao Chave da Equivalencia:
"Toda questao de Equivalencia de Capitais sera resolvida
por meio de operac;oes de Desconto".
dos a aclotar a Da
enunciado da qu
obligados, por co
4.3. Resolven
Ora, sea questao de equivalencia sera resohida por operac;oes de Desconto, e evidente que
Veremos aqu
teremos que, na leitura do enunciado da questao de equivalencia, tentar descobrir os sinais
seguir as dicas d
Ou seja, bast
que nos indicarao o regime e a modalidade daquele Desconto, ou se_ia, se o Desconto e Simples
ou e Composto, e se o Desconto e Por Dentro ou e Por Fora. E, normalmente, essa informa<:;ao
ja nos sera dada gratuitamente pelo enunciado .
Oun·as vezes, o enunciado podera se omitir, por exemplo, sobre a modalidade das operac;oes de Desconto que serao usadas em uma questao de equivalencia Nesse caso, cairemos na
situac;ao de modalidadc indefinida de Desconto (vide item 5 do capitulo 3)
0 que faremos entao? Buscaremos ver o que o enunciado diz a respeito da taxa. E a regra,
reproduzida abaixo, e a seguinte:
"Se a questao de desconto falar expressamente sobre uma taxa de juros, entao estare-
questao de Equiv
Passemos aos
Exemplo 1 - j
por ele uma q
a 60 dias. Po
originalmente
parcelas iguai
considerando
Soluc;ao: Estamo
mos diante do Desconto Racional, ou seja, do Desconto por Dentro. Caso contrario, se o
mo estilo que po
mostraclo no "M
enunciado nada dispuser acerca da modalidade do Desconto, e tambem nao falar que a taxa
Observemos
da opera<:;ao e uma taxa de juros, utilizaremos o Desconto por Fora".
de um cletermin
Na segunda
forma original d
neira diferente
Capitulo 4- Equivalencia Simples de Capitais
Campos
nda obrigac;ao sao
Ou seja:
Expressamen te
l saber dcscnhar a
Taxa de Juros ~ "Desconto por Dentro"
o estar localizados
Caso Contrario
"Desconto por Fora"
uma informac;ao
com wna questao
"Data Focal" eo (t\timo elemento da questao de Equivalencia de Capitais. Sera, para nos,
gime Simples ou no
uma data de refercncia, a ser utilizada nos passos de resoluc;ao da questao. A Data Focal
so costuma ser bem compreendida quando virmos a primeira questao de equivalencia
a simples ou uma
ser resoh·ida. Por enquanto, fiquemos com duas informac;oes importantes sobre ela:
por nos, durante
a, se simples ou se
regime simples, e
pitais.
evida enfase a ela,
Primeira -
E uma data de refercncia,
que sera utilizada nos passos de resoluc;ao de qualquer
questao de equivalencia;
Seguncla - Quem manda na Data Focal nas questoes de Equivalencia Simples
eo
enunciado.
Ou seja se a questao de Equivalencia se passa no Regime Simples, entao estamos obrigados a aclotar a Data Focal sugerida pelo enunciado Quem manda eo enunciado! Porem, caso o
enunciado da questao de Equivalencia Simples nada disponha acerca da Data Focal, estaremos
obligados, por convenc;ao, a adotar, como Data Focal, a data zero (o dia de hoje).
da
4.3. Resolvendo a Equivalencia Simples: a Receita
nto, e evidente que
Veremos aqui que resolver uma questao de Equivalencia de Capitais nacla mais e do que
descobrir os sinais
seguir as dicas de uma receita.
Ou seja, basta seguir os passos que serao aqui explicados, e saberemos resolver qualquer
Desconto e Simples
e, essa informa<:;ao
alidade das opera-
e caso, cairemos na
da taxa. E a regra,
questao de Equivalencia Simples que se nos apresentar.
Passemos aos primeiros exemplos.
Exemplo 1 - joao comprou um determinado bem, comprometendo-se a pagar
por ele uma quantia de R$ 1.000,00, daqui a 30 dias, e mais R$ 2.000,00, daqui
a 60 dias. Por nao dispor de numerario suficiente, deseja alterar esta forma
originalmente contratada por uma outra, que consiste no pagamento de duas
parcelas iguais, nas datas 90 e 120 dias. Qual sera o valor das novas presta~oes,
considerando na opera~ao uma taxa de 5% ao mes, eo desconto racional simples?
Soluc;ao: Estamos cliante do primeiro enunciado completo de Equivalencia Simples, no mes-
aso contrario, se o
mo estilo que poderemos encontrar em uma prova. Este exemplo e justamente aquele que foi
mostraclo no "Modelo I" clas questoes de Equivalencia.
ao falar que a taxa
Observemos que a p1imeira frase do enunciaclo clescreve como clevera ocorrer o pagamento
uros, entao estare-
de um cleterminado bem Ou seja, e a forma de pagamento que foi originalmente contratacla.
Na segunda frase, o enunciado vem propor uma alterac;ao, uma substituic;ao naquela
forma original de pagamento 0 comprador agora quer pagar pelo bern, s6 que de uma maneira diferente
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Somente pela leitura destas duas primeiras frases da questao, ja identificamos o assunto.
Se ha duas formas de pagar o mesmo bem,
a primeira, e vice-versa.
a outra.
Ou seja,
e preciso que a segunda forma seja equivalente
e preciso que uma forma de pagamento seja equivalente
Dai, lembraremos que toda questao de equivalencia sera resolvida por meio de operac,;oes de desconto. Entao, resta-nos descobrir, pela leitura do enunciado, qual sera o
regime (simples ou compasta) equal sera a modalidade (par dcntro ou parfara) da operac;ao
de Desconto .
E essa informac,;ao janos foi dada, na terceira frase do enunciado . Foi dito: " .. considerando .. o desconta racianal simples". Ou seja, o Desconto e Simples, e e par dentro.
Conclusao todas as operac;oes de Desconto que formos realizar nesta questao serao operac;oes de Descanta Simples par Dentro, conforme foi definido pelo enunciado .
Voltando ao
Agora, vamos
realizar esses pass
para os tres passo
Voltemos ao e
Exemplo 1 - Joao
uma quantia de
por nao dispor
contratada por
nas datas 90 e
na opera~ao um
Soluc;ao: Vamos a
-7
Prim
Teremos:
Para que fique tudo autamatizada, abriremos um parentese neste Exemplo 1 e descreveremos uma seqi1encia de Passos Preliminares para a resoluc;ao de toda e qualquer questao de
Equivalencia Simples. Vejamos a seguir
•
Passos Preliminares de Resoluc;ao da Equivalencia Simples:
-7
Primeiro Passo: desenhar a questao.
Ou seja, trac;ar a linha do tempo, e colocar sobre ela, com trac;os verticais, os valores monetarios, nas respectivas datas indicadas pelo enunciado e que representarao a primeira e a
segunda formas de pagamento.
-7
Segundo Passo: definir, no desenho que acabamos de fazer, quem sera Primeira
Obrigac;ao, e quem sera Segunda Obrigac,;ao.
Observemos q
iguais e desconhe
-7
Segu
Teremos
Ou seja, colocar sob os valores que ja estao desenhados os sinais (I) e (II), para designar,
respectivamente, quem e primeira e quem e segunda obriga<;;ao.
-7
Terceiro Passo: colocar taxa e tempos na mesma unidade.
Ja sabemos que
e exigencia universal na
matematica financeira trabalharmos com taxa
e tempo na mesma unidade . Portanto, teremos tambem aqui essa preocupac,;ao preliminar.
-7
Quarto Passo: descobrir qual sera o regime e qual sera a modalidade das operac;oes de Desconto que serao realizadas naquela questao.
0 que for definido pelo enunciado valera para todas as operac;oes de Desconto que forem
necessarias na resoluc;ao da questao.
-7
Quinto Passo: definir a localizac;ao da Data FocaL
Para isso, lembraremos da regra: quem manda na data focal, na questao de Equivalencia
Simples, e o enunciado. No caso do silencio da questao sobre a Data Focal, usaremos a data
zero, que e dia de hoje.
-7
Terce
Ora, uma vez
saremos os tempo
Capitulo 4 - Equivalencia Simples de Capitais
Campos
amos o assunto.
seja equivalente
seja equivalente
or meio de ope-
do, qual sera o
ara) da operac;ao
: " .. consideran-
ro.
uestao serao ope-
o.
Voltando ao "Exemplo 1":
Agora, vamos aplicar os passos que acabamos de aprender.. Na verdade, convem saber que
realizar esses passas preliminares discriminados acima nada mais e do que preparar a questaa
para os tres passos efetivos de resoluc;ao.
Voltemos ao exemplo 1, que sera reproduzido, e prepare mas essa questao:
Exemplo 1 - Joao comprou um determinado bem, comprometendo-se a pagar por ele
uma quantia de R$ 1.000,00, daqui a 30 dias, e mais R$ 2.000,00 daqui a 60 dias.
por nao dispor de numerario suficiente, deseja alterar esta forma originalmente
contratada por uma outra, que consiste no pagamento de duas parcelas iguais,
nas datas 90 e 120 dias. Qual sera o valor das novas presta~oes, considerando
na opera~ao uma taxa de 5% ao mes, o desconto racional simples e a data zero?
Soluc;ao: Vamos aos "passos preliminares" de resoluc;ao
-7
Primeiro Passo: "desenhar" a questao!
Teremos:
o 1 e descrevere-
2.000,00
lquer questao de
LOOO,OO
t
0
s, os valores mo-
ao a primeira e a
m sera Primeira
30d
X
X
90d
l20d
I I I
60d
Observemos que as parcelas em azul foram charnadas de "X" por se tratarem de valores
iguais e desconhecidos .
-7
Segundo Passo: definir os valores de Primeira e de Segunda Obrigac;ao.
Teremos
2.000,00
I), para designar,
LOOO,OO
1
harmos com taxa
,;ao preliminar.
0
30d
(I)
lidade das ope-
X
X
90d
l20d
(II)
(II)
I I I
60d
(I)
-7
sconto que forem
o de Equivalencia
Terceiro Passo: colocar taxa e tempos na mesma unidade.
Ora, uma vez que a taxa fornecida pelo enunciado e uma taxa mensa! (5% ao mes), passaremos os tempos todos para essa mesma unidade mes . Teremos:
2.000,00
X
X
LOOO,OO
1
usaremos a data
0
lm
(I)
I I
2m
(I)
J
3m
4m
(II)
(II)
CT48]
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
~~--------------------~----~------------~------------~----------
-7
Comec;aremo
Quarto Passo: descobrir o regime e a modalidade do Desconto.
da primeira obrig
Aqui o enune:iado ja foi explie:ito o Desconto e simples e e par dcntm
-7
Pegaremos, p
Quinto Passo: definir a localizac;ao da Data FocaL
Lendo com atenc;ao o enunciado, veremos que a questao falou " . considerando
a data
zero". Que data e essa que deve ser considerada? Ora, trata-se da Data Focal 0 enunciado
poderia ter dito: "considerando a data focal zero", ou ainda, "considerando a data de referencia
projetaremos par
ples por Dentro
Teremos, entao:
zero", ou ainda, como sabemos, poderia nao ter dito nada
Com isso, definimos: a Data Focal
e, nesse exemplo, a data zero. No desenho da questao,
designaremos Data Focal por DF.
Teremos, finalmente
2.000,00
1.000,00
1 1
0
DF
X
X
I
I
0 objetivo e
para a Data Foca
1m
2m
3m
4m
sessemos. Resolv
(I)
(I)
(II)
(II)
Lembremos a
por Dentro?
Concluidos, portanto, os passos prcliminares, passaremos aos passos efetivos de resoluc;ao,
que acabarao de compor a nossa rcceita.
Eo
acima? 0 valor E
Logo, teremo
Sao tres os passos efetivos de resoluc;ao da questao de Equivalencia Simples, e servirao para
toclas as quest6es desse assunto .
Aprenderemos os passos cfetivos, aplicando-os na resoluc;ao do nosso exemplo Ol.
Passos Efetivos de Resoluc;ao da Equivalencia Simples:
-7
Primeiro Passo: transportar para a Data Focal os val ores da Primeira Obrigac;ao.
Ou seja, tomaremos, uma a uma, as parcelas que comp6em a plimeira ob1iga<;cw e as trans-
portarcmos para a Data Focal. Como sera feito esse transporte? Sera feito por meio de uma
operac;ao Desconto, que podera ser simples ou composto, por dentro ou por fora, conforme
Dai, nossa eq
tenha sido definido no quarto passo preliminar.
Olhemos para o desenho da questao
2.000,00
1.000,00
1
0
DF
-7 DaL E = 1
X
I I
X
J
1m
2m
3m
4m
(I)
(I)
(II)
(II)
Esse valor "E
Recordemos
-7
Prim
Capitulo 4
er Campos
--~----------
Equivalencia Simples de Capitais
Comec;aremos, pois, nosso primeiro passo efetivo, trabalhando com as parcelas vermelhas,
o.
da primeira obriga<,;ao . A primeira delas eo valor R$ 1.000,00, na data 1 mes
Pegaremos, portanto, essa primeira parcela da primeira obriga<;:ao (R$ LOOO,OO) e a
siderando
a data
Focal 0 enunciado
a data de referencia
projetaremos para a Data Focal (data zero), por meio de uma opera<;:ao de Desconto Simples por Dentro, de acoido com o que havia siclo constatado no quarto passo preliminar.
Teremos, entao:
1.000,00
esenho da questao,
E
t
I
0
DF
1m
(I)
0 objetivo e descobrir quanta vale aquela parcela de R$ 1 000,00, quando transportada
para a Data Focal Poderiamos ter chamaclo aquele valor sabre a Data Focal do que bem quisessemos. Resolvemos chama-lode valor "E".
Lembremos agora da operac;ao de Desconto Simples por Denn·o. Quale o !ado do Desconto
por Dentro?
tivos de resoluc;ao,
E o !ado do AtuaL
E quem funcionara como Valor Atual neste nosso desenho
acima? 0 valor E.
Logo, teremos: i n = 5 x 1 = 5
les, e servirao para
Por Dentro!
E
imeira Obrigac;ao.
100
b1iga<;cw e as trans-
100 + 5
5
por meio de uma
por fora, conforme
t'---------1i
1000
xemplo Ol.
Dai, nossa equa<,;ao sera
E
100
1000
105
-7 DaL E = 101000500 -7 E = 2020100 -7 E = 95238
Esse valor "E", que acabamos de achar, ficara guardado para o final da questao.
Recordemos agora do Primeiro Passo efetivo de resoluc;ao e do nosso desenho da questao
-7
Primeiro Passo: transportarpara a Data Focal, os valores da Primeira Obrigac;ao.
0}0)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
~~--------------------~----~------------~------------~----------
2.000,00
1
0
DF
X
I I
LOOO,OO
lm
2m
(I)
(I)
X
-----------
Tambem esse
resoluc;ao Agora
J
sido trabalhado n
De primeira o
3m
4m
data 2m). E amba
(II)
(II)
passo efetivo de
E a pergunta agorae: foi concluido o primeiro passo efetivo de resoluc;ao?
Basta olharmos para o desenho acima e vermos se ainda ha algum valor de primeira obrigac;ao, alem dos R$ 1 000,00 que ja trabalhamos. Sim. Ainda ha a parcela de R$ 2.000,00 na
data 2 meses. Vamos trabalhar com ela. Teremos
segundo.
~
Segu
Ou seja, aque
obrigac;ao (prime
compoem a segu
2.000,00
l._____j
Tomaremos o
Focal, por meio d
previamente, no
Vejamos mais
2m
0
DF
(I)
Transportaremos agora a parcela R$ 2.000,00 para a data focal, e resolvemos chamar de
valor "F" o quanta valera aqueles R$ 2.000,00 na data de referencia (data zero)
E como faremos esse transporte? Novamente por meio de uma operac;ao de Desconto Simples por Dentro, conforme havia ja sido definido no quarto passo preliminar de
resoluc;ao.
0 desconto e por dentro. Perguntaremos: qual 0 !ado do desconto por dentro? E 0 !ado
do AtuaL Ja sabemos disso . E quem e que esta fazendo as vezes de valor atual neste nosso
caso? E o valor "F"
Logo, teremos i n = 5 x 2 = 10
Quem e segu
trabalho agora e
de desconto sera
Tomando a p
Por Dentro!
2.000,00
100
r. . _______,I
100 + 10
10
Resolvemos c
E nossa equac;ao sera a seguinte:
F
100
2000
llO
---=---
~
Dai F = lOOOOO
llO
~
F = 1.818,18
data focal (data z
uma operac;ao de
e o lado do valor
Campos
-~----------
?
de primeira obrie R$ 2.000,00 na
Tambem esse Yalor ·y· ficara guardado ate chegam1os ao terceiro passo efetivo de nossa
resoluc;ao Agora a pergunta ha mais algum valor de primeira obrigac;ao que ainda nao tenha
sido trabalhado no primeiro passo?
De primeira obrigac;ao, tinhamos as parcelas R$ 1.000,00 (na data lm) e R$ 2.000,00 (na
data 2m). E ambas ja foram transportadas para a Data Focal, conforme nos manda o primeiro
passo efetivo de resoluc;ao. Dai, concluimos: o primeiro passo esta encerrado. Passemos ao
segundo.
~
Segundo Passo: transportar para a Data Focal, os val ores da Segunda Obriga<;;ao.
Ou seja, aquele mesmo trabalho que acabamos de fazer com as parcelas da primeira
obrigac;ao (primeiro passo) sera igualmente realizaclo. S6 que, agora, com as parcelas que
compoem a segunda obrigac;ao .
Tomaremos os valores da segunda obrigac;ao, urn a urn, e os transportaremos para a Data
Focal, por meio de uma operac;ao de Desconto, cujo regime e cuja modalidade serao definiclos
previamente, no quarto passo preliminar de resoluc;ao
Vejamos mais uma vez o desenho da questao.
2.000,00
LOOO,OO
1
vemos chamar de
ero)
ac;ao de Desconso preliminar de
dentro? E 0 !ado
atual neste nosso
03D
Capitulo 4- Equivalencia Simples de Capitais
-----------------------~--~~------~~--~------------------~~
0
DF
X
I I
X
J
lm
2m
3m
4m
(I)
(I)
(II)
(II)
Quem e segunda obrigac;ao? As duas parcelas "X", nas clatas 3 e 4 meses. Entao, nosso
trabalho agora e leva-las, uma a uma, para a data focaL Nesse nosso exemplo, as operac;oes
de desconto serao no regime simples, e na moclalidade de desconto racional (por dentro)
Tomando a primeira parcela "X" (na data 3 meses), teremos
X
G
t
0
DF
I
3m
(II)
Resolvemos chamar de valor "G" o quanto valera a quantia 'X" depois de levada para a
data focal (data zero). E como iremos levar o "X" para a data zero? Mais uma vez, por meio de
uma operac;ao de desconto simples por dentro. Sabemos que o lado do desconto por clentro
e o lado do valor atuaL E o valor atual aqui sera justamente o valor "G".
Matematica Finance ira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
152
Dai, teremos i n = 5 x 3
=
Aqui, achamo
a Data Focal Ago
15
Dentro!
X
no desenho e o v
Logo, teremo
100 fL...._ _ _ _ ____.J 100 + 15
15
Nossa equac;ao sera
G
100
~ Daf G = 100X ~ G =
115
=
X
115
20X
Aplicando o
23
Importantissimo: observemos que, tanto no primeiro, quanta no segundo passo efetivo
de resoluc;ao, estamos sempre
a procura
daquele valor que esta sabre a data focal Basta
olhar para o desenho. Aqui, tinhamos o valor "X" e o valor "G" Embora a questao esteja
perguntando justamente quem e o \'a lor "X", ainda estamos no segundo passo da resoluc;ao.
E tanto no primeiro passo quanta no segundo, estamos calculando os valores que estao
sobre a data focal
Esse valor "G", que acabamos de encontrar, ficara tambem guardado para o final.
Terminou o nosso segundo passo? Ora, lembremos do que ele nos manda
~
Segundo Passo: transportar para a Data Focal, os val ores da Segunda Obrigac;ao.
Dai, para respondermos a pergunta, teremos que observar se ainda existe algum valor de
~Dai: H =
Esse valor ·'H
Perguntemos
de segunda obrig
o segundo passo
Resta-nos, p
que sera o segui
~
Ter
segunda obrigac;ao que ainda nao tenha sido trabalhado. Sim: e a segunda parcela "X", na
data 4 meses.
Entao, o segundo passo efetivo de resoluc;ao ainda nao chegou ao fim. Pegaremos essa
segunda parcela "X" e a transportaremos para a nossa data focal, novamente por meio de uma
operac;ao de desconto simples por dentro
Teremos:
X
H
t
J
0
4m
DF
(II)
Traduzindo a
depois de levad
depois de levad
Ora. os valor
\'amente, no prim
parte da equac;a
quanto que a se
de resoluc;ao.
Observemos
resoluc;ao do pr
Enquanto is
na resoluc;ao do
Dai, nossa e
Capitulo 4- Equivalencia Simples de Capitais
Campos
153
Aqui, achamos por bem chamar de valor ·'H' o quanta valera o "X" depois de levado para
a Data Focal Agora, quem eo !ado do desconto por dentro? Eo !ado do atuaL Eo atual aqui
no desenho e o valor "H".
Logo, teremos i n = 5 x 4 = 20
Par Dentro!
X
H
100
t
J
100 + 20
20
Aplicando o Desconto Simples por Denn·o, teremos:
H
ndo passo efetivo
data focal Basta
a a questao esteja
asso da resoluc;ao.
valores que estao
ra o final.
X
--=-100 120
lOOX
120
5X
6
~Dai: H = - - ~ H = -
Esse valor ·'H" fica guardado tambem para o arremate da questao.
Perguntemos agora "terminou o segundo passo?" Basta verificar se ha ainda alguma parcela
de segunda obrigac;ao que ainda nao tenha sido trabalhada. Tem? Nao, nao tem! Conclusao
da
o segundo passo tambem esta encerrado.
Resta-nos, portanto, concluir a questao, por meio do terceiro e derradeiro passo ~fctivo,
unda Obrigac;ao.
que sera o seguinte:
te algum valor de
~
Terceiro Passo: aplicar a "Equac;ao de Equivalencia":
da parcela "X", na
L (I)DF = L (II)OF
m. Pegaremos essa
Traduzindo a equar,;ao de cquivalencia o somat6rio (a soma) dos val ores da primeira obrigac;ao
depois de levados para a data focal e igual ao somat6rio dos valores da segunda obrigac;ao
por meio de uma
depois de levados para a data focaL
Ora. os valores de primeira e segunda obrigac;ao foram levados para a data focal, respecti-
\'amente, no primeiro e segundo passos efetivos de resoluc;ao. Dai, concluimos que a primeira
parte da equac;ao de equivalencia sera a soma dos resultados do primeiro passo efetivo. Enquanto que a segunda parte da equac;ao sera a soma dos resultados do segundo passo efetivo
de resoluc;ao.
Observemos que os valores da primeira obrigac;ao- R$ 1.000,00 e R$ 2000,00- na
resoluc;ao do primeiro passo, transformaram-se nos valores "E" e "F'
Enquanto isso, os valores da segunda obrigac;ao- as duas parcelas "X"- transformaram-se,
na resoluc;ao do segundo passo, nos valores "G" e "H"
Dai, nossa equac;ao de equivalencia ficara da seguinte forma:
2: (I) OF= 2: (II) OF~
E+F= G+H
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
15
Sergio Carvalho & Weber Campos
------------
Tomando os resultados "E" e ''F'' (do primeiro passo) e "G" e "H" (do segundo passo),
teremos a seguinte equa<;:ao
20
5
952,38 + 1.818,18 =
X + X
23
6
E assim terminarao todas as questoes de Equivalencia de Capitais com uma equa<;;ao e
uma variavel, que e justamente o que esta sendo pedido pelo enunciado. Aqui, terminou a
matematica financeira Restaram apenas a algebra e as contas.
5
2.770,56= llOX +ll X
-7 E 235X~382260
138
E, finalmente: X= L627,00 -7 Resposta da Questao!
Utilizamos, nesta resoluc;ao acima, todas as explica<;:oes possiveis e necessarias a resolu<;;ao
-7
Lembraremos
e0 enunciado
E,
taremos a data ze
Feito isto, ter
providencias nec
Dai, os passos
estes:
-7
Passo
-7
de uma questao de Equivalencia Simples.
Quando os passos de resolu<;:ao - tantos os preliminares, quanta os efetivos - estiverem
devidamente memorizados, resolver uma questao qualquer de Equivalencia de Capitais se
tamara algo automatico
Na hora de tr
opera<;;ao de Desc
-7
Para facilitar, em definitivo, a memoriza<;:ao e fixa<;:ao dos passos de resolu<;:ao de uma
questao de Equivalencia Simples de Capitais, reproduziremos todos eles, na sequencia.
Tambem aqu
•
Equivalencia Simples: a Receita
-7
quarto passo prel
-7
Passos Preliminares de Resolu<;:ao
Usados para "preparar" a questao de Equivalencia para posterior resoluc;ao efetiva Sao eles:
-7
Primeiro Passo: desenhar a questao.
Basta passar urn tra<;:o na horizontal, que sera a linha do tempo, e pequenos trac;os na
vertical, que representarao os valores monetarios.
-7
Segundo Passo: definir os valores de Primeira e de Segunda Obriga<;;ao.
Lembrando q
no Primeiro Pass
resultados do Se
Assim tem1in
variavel, que sera
Designando-os, respectivamente, por (I) e (II).
-7
Terceiro Passo: colocar taxa e tempos na mesma unidade.
Caso seja necessaria alterar a unidade da taxa (para toma-la compatfvel com os tempos),
usaremos o conceito de Ta.xas Proporcionais, uma vez que estamos trabalhando no Regime
Simples.
-7
Quarto Passo: descobrir o regime e a modalidade do Desconto.
Passemos a m
Exemplo 2 - U
Todavia, pode
em trinta dias,
Considerando
mais aproxima
referenda nov
Essa informa<;;ao geralmente sera fornecida por completo no enunciado Todavia, isso
Solu<;;ao: Esse ex
pode nao ocorrer. No caso do silencio acerca do regime, adotaremos o Simples. No caso
para demonstrar
do silencio acerca da modalidade do desconto, olharemos para o que esta sendo dito
observancia da
sobre a taxa .
possiveL
Campos
Capitulo 4- Equivalencia Simples de Capitais
[[53)
-----------------------~------~------~----~---------------------L~
segundo passo),
-7
Quinto Passo: definir a localiza<;;ao da Data Focal.
Lembraremos da regra quem ruanda na Data Focal, na questao de Equivalencia Simples,
e0 enunciado
m uma equa<;;ao e
Aqui, terminou a
E, se ele nao disser nada acerca desta data de referencia, por conven<;;ao, ado-
taremos a data zero .
Feito isto, teremos acabado de preparar a questao. Ou seja, acabamos de tomar todas as
providencias necessarias para podermos dar inicio
a resoluc;;ao de Jato.
Dai, os passos cfctivos de resoluc;ao, que se seguem aos passos prcliminares, serao sempre
estes:
sarias a resolu<;;ao
-7
Passos Efetivos de Resolu<;:ao
-7
Obriga<;;ao.
etivos - estiverem
cia de Capitais se
Primeiro Passo: transportar para a Data Focal os valores da Primeira
Na hora de transportar os valores da primeira obrigac;ao para a data focal, faremos uso da
opera<;;ao de Desconto que foi definida no quarto passo preliminar da resolu<;:ao.
-7
esolu<;:ao de uma
Segundo Passo: transportar para a Data Focal os valores da Segunda
Obriga<;;ao.
a sequencia.
Tambem aqui faremos operac;oes de Desconto, no regime e modalidade definidos pelo
quarto passo preliminar.
-7
Terceiro Passo: aplicar a Equac;ao de Equivalencia:
L (I)DF = L (II)DF
o efetiva Sao eles:
Lembrando que a prime ira parte da equa<;:ao acima representa a soma dos resultados obtidos
quenos trac;os na
no Primeiro Passo efetivo da resolu<;:ao; enquanto a segunda parte da equac;ao sera a soma dos
resultados do Segundo Passo efetivo
nda Obriga<;;ao.
Assim tem1inarao todas as questoes de equivalencia de capitais com uma equac;ao e uma
variavel, que sera justa mente a resposta solicitada pelo enunciado.
Passemos a mais alguns exemplos.
de.
sconto.
Exemplo 2 - Um computador custa, a vista, R$ 3.000,00 em determinada loja.
Todavia, pode ser vendido a prazo, por meio de um pagamento de R$ 1.500,00
em trinta dias, e mais duas parcelas iguais, nas datas sessenta e noventa dias.
Considerando uma taxa de 5% ao mes, e o desconto comercial, calcule o valor
mais aproximado das presta~oes adicionais na compra a prazo. Adote a data de
referenda noventa dias.
do Todavia, isso
Solu<;;ao: Esse exemplo cmTesponde ao segundo modelo de questao de equivalencia. Aqui,
Simples. No caso
para demonstrar que a resolu<;:ao de toda questao de equivalencia nada mais e do que a mera
esta sendo dito
observancia da sequencia dos passos da rcceita, vamos resolve-la da forma mais objetiva
com os tempos),
hando no Regime
possiveL
r'
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Comecemos a preparac;ao da questao, com os '·Passos Preliminares":
-7
Teremos, enf
Primeiro Passo dcsenhar a questao.
3.000,00
X
X
I
I
60d
90d
1.500,00
1 1
0
-7
30d
Segundo Passo definir os valores de P1imeira e de Segunda Obrigac;ao.
3.000,00
-7
Prim
De primeira
X
1.500,00
X
0
30d
60d
I
90d
(I)
(II)
(II)
(II)
1 1
-7
Encerrados o
I
zero Queremos
para a Data Foca
Terceiro Passo: colocar taxa e tempos na mesma unidade .
Uma vez que estamos trabalhando com uma taxa mensal (5% ao mes), passaremos os
tempos fornecidos tambem para a unidade "mes" Teremos
Naturalmente
3.000,00
X
1.500,00
1 1
-7
I
X
J
0
lm
2m
3m
(I)
(II)
(II)
(II)
Quarto Passo: descobrir o regime e a modalidade do Desconto.
0 enunciado aqui se restringiu a dizer que o desconto sera o comcrcial. Ora, sabemos que
desconto comercial e o clesconto par fora. Mas, e o regime? Sera o Simples ou o Composto?
Como nada foi dito a respeito do regime, por convenc;ao, adotaremos o Simples.
Farernos, portanto, nesta questao, operac;oes de Desconto Simples par Fora.
-7
Quinto Passo: definir a localiza<;;:'io da Data FocaL
Quem manda na DF e a questao E aqui ela mandou nossa DF, portanto, sera a data 90
dias, ou 3 meses.
fm·emos agora, o
de "E", conquan
Transportarem
Simples por Fora
R$ 3.000,00 fara
Nominal.
Quale
0
lado
Logo, teremo
Campos
Capitulo 4 - Equivalencia Simples de Capitais
Teremos, enfim·
3.000,00
X
l
brigac;ao.
1.500,00
X
0
lm
2m
I
3m DF
(I)
(II)
(II)
(II)
1
I
Encerrados os passos prelirninares, passernos aos passos efetivos de resoluc;:ao.
-7
Primeiro Passo: transportar para a Data Focal os valores da Prime ira Obriga<;;:'io.
De primeira obrigac;ao s6 temos, unicamente, o valor RS 3 000,00, que esta sobre a data
zero Queremos descobrir o quanto valera essa quantia (R$ 3 000,00) quando transportada
para a Data Focal Teremos:
3.000,00
E
1
0
), passaremos os
lm
2m
(I)
J
3m
DF
Naturalmente que quando projetarmos a quantia RS 3 000,00 para uma data futura, como
fm·emos agora, o valor a ser encontrado sera maior que os R$ 3.000,00. Chamaremos esse valor
de "E", conquanto poderiamos te-lo chamado do que bem quisessemos.
Transportaremos os R$ 3.000,00 para a Data Focal por meio de uma operac;ao de Desconto
Simples por Fora, conforme havia sido definido no quarto passo preliminaL Neste caso, os
R$ 3.000,00 farao as vezes do Valor Atual, enquanto que o valor "E" fara o papel do Valor
Nominal.
o.
Ora, sabemos que
Quale
0
lado do Desconto por Fora?
Logo, teremos i n
=
5x3
=
ou o Composto?
mples.
ra.
to, sera a data 90
E0
lado do Nominal.
15
3.000,00
Por Fora!
15~~-------------~]wo
100 _
15
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
Nossa equac,;ao sera, portanto, a seguinte
E
Dai F = 1500
90
3.000
100
85
Daf· E = 300000 ~ E = 60000 ~ E = 3 529 41
85
17
.
'
Como nao ha mais nenhum valor de primeira obrigac;;ao, damos por encerrado o nosso
primeiro passo efetivo de resolw;;ao. Passemos ao segundo ...
~
Segundo Passo: transportar para a Data Focal os val ores da Segunda Obrigac,;ao.
Olhemos novamente o desenho da questao:
X
focal e de exatos
portanto, que sej
passo preliminar,
Seguindo: tem
X
a Data FocaL Ter
I I
1 1
0
(I)
Esse valor "F"
Uma observac,
meses Entao, pre
3.000,00
1.500,00
--------
1m
(II)
2m
(II)
3m DF
(II)
0 primeiro valor de segunda ob1igw;ao e a parcela R$ 1.500,00 que esta na data 1 mes, e
Novamente, u
sera agora transportada para a Data FocaL
Teremos
J
il...--..-_
F
eo "G", como Va
Logo, teremos
1.500,00
2m
1m
(II)
3m
DF
Mais uma vez, o transporte dos R$ 1.500,00 para a Data Focal sera feito por meio de uma
opera<;;ao de Desconto Simples por Fora, conforme definido no quarto passo preliminar Os
R$ 1.500,00 fazem as vezes do Valor Atual, enquanto o valor "F" (quisemos chama-lo assim)
fara as vezes do Valor NominaL
0 lado do Desconto por Fora e o !ado do NominaL
100
DaL G = - 95
Portanto, teremos i. n = 5 x 2 = 10
Por fora!
1.500,00
100- 10
t
F
L_______JIIOo
10
Nossa equa<;;ao sera a seguinte.
F
-100
1.500
--90
Nossa equa<;;a
Esse valor "G
Resta mais alg
do passo nos ma
desenho:
Campos
0}9)
Capitulo 4- Equivalencia Simples de Capitais
-----------------~--~~---~---~------------~~
Dai F = 150000 ~ F = 5000 ~ F=1 666,67
90
3
Esse valor "F" encontrado ficara guardado para o fim da nossa resoluc;;ao.
Uma observac,;ao reparemos que a distancia, em meses, entre o valor R$ 1.500,00 e a Data
E importantissimo,
ncerrado o nosso
focal e de exatos dais meses . Por isso, o "n" na equac,;ao e igual a dois
unda Obrigac,;ao.
portanto, que seja feito o desenho do enunciado. Tao importante, que esse e logo o primeiro
passo preliminar, ou seja, a primeira coisa que fazemos na resolu<;;ao da questao .
Seguindo: tem mais alguem que seja segunda obriga<;;ao? Sim! A parcela "X", na data 2
meses Entao, precisamos, conforrne nos manda o segundo passo efetivo, transporta-lo para
a Data FocaL Teremos
u
G
3m
DF
2m
(II)
a na data 1 mes, e
Novamente, usaremos o Desconto Simples por Fora. 0 "X" funcionara como Valor Atual,
eo "G", como Valor NominaL 0 !ado do Desconto por Fora eo lado do NominaL
Logo, teremos. i n = 5 x 1 = 5
Por Fora!
G
100-SulOO
5
por meio de uma
sso preliminar Os
s chama-lo assim)
Nossa equa<;;ao ficara assim:
100X
DaL G = - 95
~
G
X
100
95
20X
G = --
19
Esse valor "G" ficara guardado para o final da questao.
Resta mais alguem que seja segunda obriga<;;ao? Sim! A segunda parcela "X" Ora, o segundo passo nos manda levar para a data focal os valores da segunda obriga<;;ao. Vejamos nosso
desenho:
X
0
1m
2m
J
3m DF
(II)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
Ocorre que essa segunda parcela 'X' ja esta sabre a Data Focal, de forma que n<lo precisaremos transporta-la para Iugar algum. Ou seja, ela ja esta onde nos queremos que esteja.
E quanta vale esta segunda parcela "X" na Data Focal? Ora, vale o proprio "X", uma vez
que nao esta sendo transportada nem para uma data anterior, nem para uma data futura.
Assim, concluimos o segundo passo efetivo de nossa resolw;:ao. Passemos para o terceiro
e definitivo passo
-7
Terceiro Passo: aplicar a "Equa<;;ao de Equivalencia":
Soluc;ao: Esta qu
Nao falou em for
feita tambem a p
Foi uma ques
Seria, podemos
mesma reccita ja
-7
Prim
L (I)DF = L (II)DF
Ja sabemos que a primeira parte da equa<;:ao de equivalencia e a soma dos resultados do
primeiro passo efetivo, enquanto a segunda parte da equa<;:ao sera a soma dos resultados do
segundo passo.
No primeiro passo, achamos o resultado E = 3.529,4 L
No segundo passo, achamos os resultados F = L666,67; G = 20X/19 eo proprio X (0
qual nao podera ser esquecido)
Dai, nossa Equa<;:ao de Equivalencia sera. E = F + G + X
Teremos
3.529,41
= 1.666,67 +
20
19
+X
Uma equa<;:ao, e uma variavel. Teremos
20X +19X
20X
3.529,41 = 1666,67 + +X -7 E
= 1862,74
19
19
DaL 39X::: 35340 -7 EX:::
35340
39
Finalmente X= 906,00 -7 Resposta!
Observemos, portanto, que se o comprador optasse pelo pagamento avista, iria desembolsar
0 desenho d
de equivalencia
data zero, ou sej
Nesta nossa
era de\·ido num
Obserw que
Usamos o sinal
data anterior ao
-7
Seg
-7
Ter
apenas R'£ 3 000,00. Porem, se resolvesse levar o computador para casa, pagando na forma
a prazo, teria que desembolsar R$ 3312,00, correspondente a soma da primeira parcela de
RS 1500,00 com as duas outras, no valor de RS 906,00 cada.
Obviamente que RS 3 . 000,00 nao e igual a RS 3.314,98 Todmia, sao valores equivalentes, levando-se em considera<;:ao as datas da forma de pagamento a prazo, e a taxa envolvida
na opera<;:ao
Exemplo 3- (ESAF) lndique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00
que vence dentro de cinquenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence
dentro de cern dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu ha vinte dias, a
taxa de juros simples de 0,1% ao dia.
a) R$ 10.940,00.
b) R$ 11 .080,00.
c) R$ 12.080,00.
d) R$ 12.640,00.
e) R$ 12.820,00.
0 enunciad
elias. Entao, ja v
-7
Qu
Nada foi cli
os dados nas en
enunciado Por
Capitulo 4- Equivalencia Simples de Capita is
r Campos
161
prio "X", uma vez
ma data futura.
Soluc;ao: Esta questao foi cobracla na prova para AFRF-2002.2 . 0 enunciado foi muito direto
Nao falou em formas alternativas de pagamento, nem em uma compra a \'ista que poderia ser
feita tambem a prazo Tampouco falou em emprestimo feito hoje para ser devolvido no futuro.
Foi uma questao clireta qual o valor hoje que sera equivalente a essas tres outras parcelas?
mos para o terceiro
Seria, podemos dizer, um quarto tipo de questao de Equivalencia de Capitais . A resolu<;:ao e a
ma que n<lo precimos que esteja.
mesma reccita ja nossa conhecida. Passemos aos passos prcliminares.
-7
Primeiro Passo: descnhar a questao .
X
dos resultados do
dos resultados do
4.620,00
4.000,00
3.960,00
eo proprio X (0
-20d
0
50d
lOOd
0 desenho dessa questao trouxe uma novidade. Normalmente, em quase toclas as questoes
de equivalencia que formos clesenhar, verificaremos que a linha do tempo inicia-se sempre na
data zero, ou seja, no clia de hoje
Nesta nossa questao, no en tanto, observamos que foi clescrito um valor (RS 4 000,00) que
era de\·ido numa data anterior a de hoje. Ou seja, uma data no passado
Obserw que chamamos a data no passado de -20dias. Ora, nao existe, a rigor, data negativa
Usamos o sinal de mcnos apenas para efeitos didaticos, e para nos lembrar que estamos numa
data anterior ao dia de hoje, ou seja, uma data no passaclo, distante 20 dias do dia de hoje
-7
Segundo Passo: definir os valores de Primeira e de Seguncla Obtiga<;;ao.
a, iria desembolsar
X
pagando na forma
rimeira parcela de
4.620,00
4.000,00
valores equivalen-
3.960,00
e a taxa envolvida
al de R$ 4.620,00
0,00 que vence
ha vinte dias, a
-7
-20d
0
(II)
(I)
50d
(II)
lOOd
(II)
Terceiro Passo: colocar taxa e tempos na mesma unidacle.
0 enunciado forneceu uma taxa diaria (0,1% ao dia), e nossos tempos ja estao todos em
elias. Entao, ja veio pronto este passo
-7
Quarto Passo: descobtir o regime e a modaliclade do Desconto.
Nada foi clito expressamente sobre nossas opera<;:oes de Desconto. Teremos que achar
os dados nas entrelinhas da questao . Percebemos que apareceu a palavra siJnples no nosso
enunciado Portanto, estamos no Regime Simples, ou seja, na equivalcncia simples de capitais.
Ci62)
Matemiitica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
~----~~--~==~~~~~~~~~~~~~~~~~~~----------~--------
Todavia, na leitura da questao, nao encontramos a palavra comercial au a palavra racional,
au uma das espressoes por dentro ou por fora. En tao vamos procurar o que foi dito sobre a
----------
A operac;ao ser
tro 0 lado do Des
taxa dessa operac;ao. Eo enunciado disse " ... taxa de juros simples".
Dai, conforme ja explicado anteriormente, se na operac;ao de desconto a taxa e de juros,
usaremos o Desconto Racional.
Conclusao: as operac;oes de Desconto dessa questao serao todas de Desconto Simples Ra-
cional, ou Par Dentro.
~
Quinto Passo: definir a localizac;ao da Data Focal.
0 enunciado nao disse explicitarnente qual e a Data Focal, mas observe que foi dito no
Nossa equac;a
enunciado. ·' .... hoje equivalente ..., Quando no enunciado da questao nao for dito explicitamente a data focal, mas aparecer o nome equivalente, este indicara qual e a data focaL Neste
caso, temos que a data focal e hoje, ou seja, a data zero.
Portanto, nosso desenho completo desta questao, ap6s a conclusao dos passos preliminares, e o seguinte
X
~
Dai: E = 4
0 valor enco
Na sequenci
R$ 4.620,00 na
meio (novamente
Teremos. i n
4.620,00
4.000,00
-20d
3.960,00
0
DF
SOd
lOOd
Passemos aos passos efetivos de resolur,;iio.
~
Primeiro Passo: transportar para a Data Focal os valores da Prime ira Obrigac;ao.
0 unico valor de p1imcira ob1igar,;ao que ha na nossa questao eo valor "X", que ja esta sobre
Resolvemos c
Data FocaL Pode
Nossa equac;a
a Data Focal. Portanto, nao precisaremos transportar esse valor para lugar nenhum Ou seja,
ele ja esta onde queremos que esteja.
E o seu valor, na Data Focal, ja sabemos e o proprio X.
~ Dai F = 4
0 primeiro passo esta terminado. Passemos ao segundo .
~
Segundo Passo: transportar para a Data Focal os val ores da Segunda Obriga<;ao.
Comec;aremos trabalhando a parcela R$ 4.000,00, que esta vinte dias atras da Data Focal.
Teremos:
E
4.000,00
t
-20d
(II)
J
0
DF
Par fim, temo
esta sobre a data
de Desconto Sim
Teremos que:
Campos
~--------
palavra racional,
e foi dito sobre a
Capitulo 4- Equivalencia Simples de Capitais
(T6)J
---------------------~~~~~~~~~~~~~~----------------~~
A operac;ao sera, conforme definido no quarto passo preliminar, de Desconto Simples por Dentro 0 lado do Desconto por Dentro e 0 lado do AtuaL Teremos, portanto, que: i n = O,l X 20 = 2
Par Dentro ! E
a taxa e de juros,
J
4.000
conto Simples Ra-
100
tl,__ _ _ _
__.J
100+2
2
e que foi dito no
Nossa equac;ao sera a seguinte:
E
data focaL Neste
s passos prelimi-
me ira Obrigac;ao.
, que ja esta sobre
nenhum Ou seja,
unda Obriga<;ao.
ras da Data Focal.
4000
100
---=---
for dito explicita-
102
~
Dai: E = 40 x 102 ~ E = 4.080.00
0 valor encontrado "E" ficara guardado para o terceiro passo da questao.
Na sequencia, vemos que ha, tambem como valor de segunda obrigac;ao, a parcela
R$ 4.620,00 na data cinquenta dias. Transportaremos essa parcela para a Data Focal, por
meio (novamente) de uma operac;ao de Desconto Simples por Dentro.
Teremos. i n = 0,1 x 50= 5
Por Dentro!
4.620
100
fL________JJ 100 + 5
0
DF
S
SOd
(II)
Resolvemos chamar de valor "F" a proje<;ao da parcela R$ 4.620,00 transportada para a
Data FocaL Poderiamos chama-la do que quisessemos.
Nossa equac;ao sera a seguinte:
F
4620
100
105
~ Dai F = 462000 ~ F = 92400 ~ F = 3800 ~ E F = 4 AOO.OO
105
21
7
Par fim, temos ainda uma ultima parcela de segunda obrigac;ao, no valor de R$ 3.960,00, e que
esta sobre a data 100 dias . Levaremos esta parcela para a Data Focal, por meio de uma opera<;ao
de Desconto Simples par Dentro (conforme havia sido definido no quarto passo preliminar)
Teremos que: i n = 0,1 x 100 = 10
Por Dentro!
3.960,00
I
tL---------'
G
100
0
DF
lO
100 + 10
100d
(II)
0]}4)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
EXE
Dai, nossa equa<;ao ficaria assim
3960
G
-- --100
110
-7 Dai: G = 396000 -7 E G = 3.600,00
110
Agora, nao ha mais ninguem que seja parcela de segunda obriga<;ao que ainda nao tenha
sido levada para a Data FocaL Logo, concluimos o nosso segundo passo Vamos ao arremate
da questao .
-7
Terceiro Passo: aplicar a Eqtw<;ao de Equivalencia:
1.
(ESAF) U
45 dias
quer su
Sabendo
zero, o v
a) $ 11.
b) $ 8.2
c) $ 9.3
L (I)DF = L (Il)DF
Solw;ao: Come
0 resultado do primeiro passo efetivo foi: X
Os resultados do segundo passo foram: E = 4.080,00; F = 4.400,00 e G = 3.600,00 .
na primeira fras
que constituem
Aplicando esses resultados, nossa equa<;ao de equivalencia assim
gunda frase, ap
X= E + F + G -7 Dai: X= 4.080 + 4.400 + 3.600
-7 E X= 12 080,00 -7 Resposta!
contratada para
Desenhemos o
pagamento Ter
Pronto! Vem
vez que o enunc
Seguindo no
de Capitais, log
restante do enu
iremos utilizar n
operac;oes de de
dito. Daf, por co
Conclusao.: e
Ainda dentr
A taxa fomecida
mundo para a u
Para transfo
proporcionais,
ao mes.
Campos
e ainda nao tenha
amos ao arremate
G = 3.600,00 .
EXERciCIOS RESOLVIDOS DE EQUIVALENCIA SIMPLES
1.
(ESAF) Urn negociante tern duas dividas a pagar, uma de $ 3.000,00 com
45 dias de prazo, e outra de $ 8.400,00, pagavel em 60 dias. 0 negociante
quer substituir essas duas dividas por uma (mica, com 30 dias de prazo.
Sabendo-se que a taxa de desconto comercial e de 12% a.a. e usando a data
zero, o valor nominal dessa divida sera:
a) $ 11.287,00;
d) $ 11 .300,00;
b) $ 8.232,00;
e) $ 8.445,00.
c) $ 9.332,00;
Solw;ao: Comecemos com os nossos passos preliminarcs de resolu<;ao Observemos que
na primeira frase do enunciado, a questao nos trouxe os valores e as datas das parcelas
que constituem a forma original de pagamento, ou seja, a primeira obriga<;ao. E na segunda frase, apareceu o verba substituir, deixando clara que aquela forma originalmente
contratada para o pagamento da divida sera alterada por uma outra forma de pagamento
Desenhemos o enunciado e definamos logo quem serao a primeira e a segunda formas de
pagamento Teremos:
X
0
I
30d
(II)
8.400,
3.000,
!
45d
(I)
I
60d
(I)
Pronto! Vemos que o desenho desta questao nao nos ofereceu assim tanta dificuldade, uma
vez que o enunciado foi bastante clara.
Seguindo nosso raciocinio, pensaremos assim ora, trata-se de uma questao de Equivalencia
de Capitais, logo, sera resolvida por meio de operac;oes de desconto. Precisamos, pais, no
restante do enunciado, identificar o regime e a modalidade das operac;oes de desconto que
iremos utilizar nessa resoluc;ao. 0 enunciado falou em desconto comercial, logo utilizaremos
operac;oes de desconto por fora! Ja acerca do regime - se simples ou composto - nada foi
dito. Daf, por convenc;ao, adotaremos o regime simples.
Conclusao.: estamos diante de uma questao de Equivalencia Simples de Capitais!
Ainda dentro dos passos preliminares, vamos colocar taxa e tempos na mesma unidade
A taxa fomecida foi anual, e os tempos foram dados em dias . Podemos tentar colocar todo
mundo para a unidade mensa!.
Para transformar 12% ao ano numa taxa mensa!, trabalharemos como conceito de taxas
proporcionais, uma vez que estamos no Regime Simples! Encontraremos que (12/12)
ao mes.
=
l%
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
166
Ha mais algutm
sim, ainda ha o va
Quanta aos tempos, teremos.:
X
I
0
8.400,
I
3.000,
!
1m
1,5m
2m
(II)
(I)
(I)
56 nos resta cumprir urn ultimo passo preliminar, para deixarmos a questao preparada.
Que passo e esse? Falta-nos apenas definir qual sera a data focaL E quanta a isso ja sabemos:
se a questao e de Equivalencia Simples, entao e o enunciado quem manda na data focal.
Ou seja, estamos obrigado a seguir a ordem do enunciado, quanta a esta defini<;ao. E aqui, a
questao disse assim:" . e usando a data zero ......" Pronto! Esta foi a ordem usemos a data zero,
como sendo nossa data focaL Teremos, pais, que
X
I
0
DF
8.400,
1m
1,5m
J
(II)
(I)
(I)
3.000,
!
2m
Usando o desc
F 840
=
10
98
E agora, ha m
nosso segundo pa
Dai
2Q Passo - Projet
De segunda o
faremos:
Agora que os passos pre !iminares foram concluidos, passemos aefetiva resolu<;ao da questao.
1Q Passo- Projetar para a data focal os val ores da primeira obriga<;ao.
Comecemos como valor$ 3.000,00 que esta na data 1,5m. Teremos
3.000,
E
t
t
0
l,5m
DF
(I)
A operac;ao e de desconto por fora Dai, o !ado do desconto por fora e o !ado dos
R$ 3.000,00, e teremos, pais, que i n = 1 x 1,5 = 1,5
Por Fora!
E
3.000,
100- 1,5
t.______________.. 100
1,5
Nossa equa<;ao sera a seguinte
E
-98,5
3000
100
~
Dai E = 30 x 98,5
~
E = 2.955,00
G
X
-=-- ~
99 100
Nossa pergun
Entao, concluimo
3Q Passo - Aplica
Teremos ~ 2
DaL ~X= (1
Capitulo 4
Campos
Equivali§ncia Simples de Capitais
Ha mais algutm que seja primeira obriga<;ao? Olhando para o desenho da questao, diremos
sim, ainda ha o valor R$ 8.400,00 na data 2 meses. Teremos
,
uestao preparada.
a isso ja sabemos:
da na data focal.
fini<;ao. E aqui, a
emos a data zero,
0,
J
8.400,
F
t
t
0
DF
2m
(I)
Usando o desconto por fora, teremos: i n = 1 x 2 = 2
F
Por Fora !
8.400,
100- 2 t~. . ._ _ _ _ _ _ _ _ ____Jt 100
2
F 8400
=
~ F = 98 x 84 ~ F = 8.232,00
100
98
E agora, ha mais algw!m que seja primeira obrigac;ao? Nao, ninguem! Entao, passamos ao
nosso segundo passo
Dai
2Q Passo - Projetar para a data focal os valores da segunda obriga<;ao.
De segunda obrigac;ao s6 teremos o valor "X" Aplicando o desconto simples por fora,
faremos:
X
lu<;ao da questao.
ora e o !ado dos
167
G
100- 1
I
t
100
l
0
DF
1m
(II)
G
X
- = - - ~ Dai G = 0,99X
99 100
Nossa pergunta agora e: tern mais alguem que seja segunda obrigac;ao? Nao, ninguem!
Entao, concluimos tambem nosso segundo passo Vamos ao terceiro e ultimo.
3Q Passo - Aplicar a Equa<;iio de Equivalencia.
L
(I)DF
=
L
(Il)DF
Teremos ~ 2 . 955 + 8.232 = 0,99X ~ 0,99X = 11 187
DaL ~X= (11187/0,99) ~ E X= 11.300,00 -7 Resposta!
168
2.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
(ESAF) Determinar a taxa mensal para que sejam equivalentes hoje 05
capitais de $ 1.000,00 vencivel em dois meses e $ 1.500,00 vencivel ent
tres meses, considerando-se o desconto simples comercial.
a) 1 5%.
d) 30%.
b) 20%.
e) 33,33%.
c) 25%.
Solw;;ii.o: Esse enunciado e diferente dos convencionais de equivalencia de capitais . Ele foi
bern direto, ao dizer que quer que os dois valores fornecidos sejam equivalentes urn ao outro!
Ao desenharmos a questao e ao efetuarmos os nossos passos preliminares, veremos que se
chamarmos o primeiro valor($ LOOO,OO) de p1imeira ob1iga<;Cio, entao obviamente a segunda
ob1iga<;Cio sera justamente o segundo valor ($ 1500,00) Nao teria problema algum se invertessemos isso, chamando os $ L500 de primeira obrigac;ao e os $ LOOO de segunda 0 que
impona e que uma parcela seja equivalente a outra. 56 isso! Vamos desenhar a questao .
Teremos•
Q
2
Passo- Proje
De segunda o
taremos o seguin
Dai:
F
100- 3
3Q Passo- Apli
1.500,
1.000,
0
1m
Dai -7 100
J
t
Dai i = (500
2m
3m
(I)
(II)
3.
Dado que se trata de uma quesrao de equivalencia de capitais,ja sabemos que faremos operac;oes de desconto. Eo enunciado foi expresso, ao falar em desconto simples comercial, ou seja,
a equivalencia e no regime simples, e as operac;oes serao todas de desconto simples por fora!
Ainda nos passos preliminares, teriamos que colocar taxa e tempos na mesma unidade.
Ora, os tempos estao fornecidos em meses . E a taxa e justamente o que queremos descobrir.
Observemos que a questao quer uma taxa mensa!, ou seja, uma taxa ja compativel com os
tempos fornecidos!
E quanta a data focal? A questao usou a palavra hoje. E ai a nossa data focaL
Passemos aos passos efetivos de nossa resoluc;ao .
1 Passo - Projetar para a data focal os val ores da primeira obrigac;ii.o.
De primeira obrigac;ao s6 temos o valor$ 1000,00. Fazendo o desconto simples por fora,
taremos o seguinte• i . n = i x 2 = 2i
Q
E
= 1000 -7
Dat
100-2i
100
E = 10(100- 2i) -7
E=1000- 20i
1.000,
2i
2m
E
0
Soluc;ii.o: Essa q
-la. A primeira f
ob1iga<;Cio, que c
segunda frase, v
segunda ob1igat;C
Por Fora
I100
100- 2it
(ESAF) j
nao dis
mais 90
a taxa d
sera de:
a) $ 235
b) $ 238
c) $ 240
d) $ 243
e) $ 245
(II)
da data do paga
Ai e que mo
nao quer dizer
90 dias Se a da
pagamento sera
que sim! Caso c
er Campos
alentes hoje 05
,00 vencivel ent
al.
Capitulo 4
Q
2
Equivalencia Simples de Capitais
Passo- Projetar para a data focal os valores da segunda obrigac;ii.o.
De segunda obrigac;ao s6 temos o valor S 1500,00 Fazendo o desconto simples por fora.
taremos o seguinte i n = i x 3 = 3i
Por Fora
1.500,
100-3itL---------------------~Jl00
de capitais . Ele foi
entes urn ao outro!
es, veremos que se
viamente a segunda
ma algum se inverde segunda 0 que
har a questao .
0
3i
3m
(II)
Dai:
F
1500
= - - -7 DaL F = 15(100- 3i) -7 F = 1500- 45i
100- 3i
100
3Q Passo- Aplicar a Equac;ii.o de Equivalencia.
L
0,
Dai -7 1000- 20i
J
=
(l)Df
=
L
(II)DF
1500- 45i -7 45i- 20i = 1500- 1000 -7 25i
=
500
Dai i = (500/25) -7 E i = 20% ao mes -7 Resposta!
m
3.
)
s que faremos opes comercial, ou seja,
o simples por fora!
a mesma unidade.
ueremos descobrir.
compativel com os
(ESAF) joao deve a um banco $ 190.000 que vencem daqui a 30 dias. Por
nao dispor de numerario suficiente, propoe a prorroga~ao da divida por
mais 90 dias. Admitindo·se a data focal atual (zero) e que o banco adote
a taxa de desconto comercial simples de 72% a.a., o valor do novo titulo
sera de:
a) $ 235.000,00;
b) $ 238.000,00;
c) $ 240.000,00;
d) $ 243.000,00;
e) $ 245.000,00.
a focaL
o simples por fora,
1.000,
I100
2m
(II)
Soluc;ii.o: Essa questao e facilima. 56 traz uma pequena case a de banana. Vamos ten tar enxerga-la. A primeira frase do enunciado descreve o valor da obrigac;ao original, ou seja, da plimeira
ob1iga<;Cio, que consiste em uma (mica parcela de S 190.000,00 a ser paga em 30 dias. Na
segunda frase, vern a fonna alternativa de pagamento, aquela que substituira a primeira! Essa
segunda ob1igat;Cio consistira em uma (mica parcela, uma vez que sera uma mera prorrogat;ao
da data do pagamento originalmente contratado.
Ai e que mora a pegadinha! Quando a questao fala em prorrogac;ii.o por mais 90 dias,
nao quer dizer que a data da segunda obrigac;ao e a data 90 dias, e sim que sera acrescida de
90 dias Se a data da primeira obrigac;ao era de 30 dias, entao, a data da segunda forma de
pagamento sera de 120 dias (= 30 + 90) Todos vi.ram isso? Se estavam atentos, certamente
que sim! Caso contrario, nao tem problema melhor e errar em casa, que na prova.
(j]QJ
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
~~--------------------~----~------------~------------~----------
Fac;amos, pois, o desenho da questao e os passos preliminares. Teremos:
X
190.000,
I
0
2u Passo - Projet
De seguncla ob
reremos o seguinte
J
30d
l20d
(I)
(II)
100-24r
0
Nos passos preliminares, teremos que colocar taxa e tempos na mesma unidade. A taxa
(DF
fornecida foi de 72% ao ano. E os tempos foram dados em dias. Podemos mudar tudo para
meses, por exemph Teremos (72/12) = 6% ao mes (pelo conceito de taxas proporcionais), e
os tempos transformados para meses ficarao 1m(= 30cl) e 4m (= 120cl)
F
X
Dat - = 76 100
A questao disse tambem que trabalharemos com o desconto comercial simples, ou seja,
que a questao e de Equivalencia Simples, e que usaremos operac;;oes de desconto simples
3u Passo - Aplica
por fora!
Por fim, o enunciaclo amar-rot1 que clevemos aclotar a data focal zero! Nosso clesenho da
Teremos -7 1
-7 E X = 235
questao sera, portanto, o seguinte:
X
I
190.000,
I
30d
(I)
0
DF
120d
(II)
4.
(ESAF) Pa
paga $ 1
o prazo d
foi de:
Obs.:
a)
b)
c)
Passemos aos passos efetivos de resolw:;ao.
d)
e)
1)
2)
25% a.
26% a.a
20%a.a
30% a.a
24% a.a
12 Passo - Projetar para a data focal os valores da primeira obriga<,;ao.
De primeira obrigac;ao s6 temos o valor$ 190.000,00. Fazenclo o clesconto simples por
Solu<,;ao: Logo no
esclarecedor trad
fora, teremos o seguinte: i . n = 6 x 1 = 6
jinanciamento ja c
Esta questao e
Quando e dito qu
Por Fora!
190.000,
100-6L_j100
0
6 1m
(DF)
(I)
E
Dat
94
Pois bern! E c
"o deveclor paga $
essa quantia de
Esta implicita ai
190000
100
este valor($ 150
refinanciar esta c
-7 Dai E = 94
x 1900
-7 E = 178.600,00
S 148.000 ...." Cer
Campos
Capitulo 4
-~----------
X
Equivalencia Simples de Capitais
2u Passo - Projetar para a data focal os valores da segunda obriga<,;ao.
De seguncla obrigac;ao temos o valor X Novamente, usando o desconto simples por fora,
reremos o seguinte i. n = 6 x 4 = 24
Por Fora!
J
II)
24
0
unidade. A taxa
F
X
Dat - = - -7 Dat F = 0,76X
76 100
3u Passo - Aplicar a Equa<,;ao de Equivalencia.
L
120d
(II)
conto simples por
(I)DF =
L
(II)DF
Teremos -7 178.600 = 0,76X -7 X= 178600/0,76
Nosso clesenho da
I
4m
(II)
(DF)
mudar tudo para
proporcionais), e
X
X
100-24r~----------------------------------~I100
20d
simples, ou seja,
esconto simples
171
-7 E X = 235.000,00 -7 Resposta!
4.
(ESAF) Para refinanciar uma divida de $ 1.500.000 em 36 dias, o devedor
paga $ 148.000 e e emitido urn novo titulo no valor de $ 1.400.000 para
o prazo de 90 dias. A taxa de desconto comercial adotada na opera~iio
foi de:
Obs.:
a)
b)
c)
d)
e)
1) Considere a data de referencia o in stante 0;
2) Taxa no regime simples.
25% a.a.;
26% a.a.;
20%a.a.;
30% a.a.;
24% a.a.
Solu<,;ao: Logo no infcio cleste enunciado surge o verbo refinanciar Este verbo e de fato muito
esclarecedor traduziremos como financiar de novo, ou seja, alterar· as datas e valorcs de wn
jinanciamento ja contratado . E urn verbo tipico clas questoes de Equivalencia de Capitais
Esta questao e facil, clescle que se consiga fazer o desenho do enunciado corretamente!
Quando e dito que se quer "refinanciar uma divicla de$ 1500 . 000 em 36 elias", significa que
este valor($ 1500 000) e deviclo, originalmente, naquela data (36 dias). E como queremos
refinanciar esta clivicla, iremos, na verdade, alterar esta forma original de pagamento
Pois bern! E como sera essa nova forma de pagar por aquela divida? 0 enunciado diz
"o deveclor paga $ 148.000 ...... " Vamos pensar nessa frase! E a pergunta e "quando sera paga
essa quantia de $ 148 000"? Quem acerta? Ora, precisamos enxergar nas entrelinhas!
Esta implicita ai a palavra HOJE! E como se a questao tivesse dito: " .. o devedor paga hoje
S 148.000 ...." Certo?
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
E alem dessa primeira parte paga na data zero (hoje), havera ainda uma segunda parcela
paga na data 90 dias, no valor de S 1.400.000 . Passemos, pais, aos passos preliminares de
nossa resolw:;ao. Nosso desenho sera o seguinte
1.400.000,
1.500.000,
148.000,
t
1
J
0
36d
90d
(II)
(I)
(II)
Nosso desenho
148.000
t
0
(II)
0 ultimo pass
56 para nao perd
]a definimos quem sera primeira e quem sera segunda forma de pagamento . Agora, lem-
braremos que as questoes de equivalencia de capitais sao resolvidas por meio de operac,;oes
de desconto, e vamos tentar descobrir (pelo restante do enunciado) qual o regime equal a
modalidade deste desconto que usaremos nesta resolw;:ao. E aqui a questao foi muito generasa falou ex:pressamente que o desconto e o comerdal (por fora) e que a taxa esta no regime
simples. Estamos, pais, diante de uma questao de equivalenda simples de capitais, a qual
sera resolvida mediante operac;oes de desconto simples por fora!
Ainda nos passos preliminares, teremos que colocar taxa e tempos na mesma unidade.
Os tempos estao todos em dias. E a taxa e o que esta sendo pedido pela questao. Dai, imediatamente voltaremos nossos olhos para as opc,;oes de resposta. Ora, todas elas trazem tax:as
anuais. Logo, ficou evidente que teremos que achar uma taxa ao ano! Como vamos ter que
trabalhar com taxa e tempo na mesma unidade, podemos tentar colocar todos em tempos
nesta unidade anual, nao podemos? Vamos fazer isso .
Comec,;ando por 36 dias. Ora, 36 dias e uma frac;ao de ano . Mas que frac,;ao sera essa?
Nos sabemos que na matematica financeira um ano tern 360 (trezentos e sessenta dias), nao
e verdade? Logo, se voce na hora da prova nao estiver conseguindo alterar essa unidade, nao
se encabule!
Basta fazer uma regrinha de tres simples, da seguinte forma:
360 dias
36 dias
Dai, x=C31l2) -7 EX= (114) ano = 0,25 ano
tal data de refere
para ser resolvida
148.00
t
DF 0
(II)
Passemos aos
1rr Passo- Proje
De primeira o
teremos o seguin
1 ano
x
Dai, x=(36/360) -7 Ex= (1110) ano.
Ou seja. 36 dias = (l!lO) ano = 0,1 ano
Agora, vamos passar 90 dias para anos. Ora, 90 dias sao 3 meses, cerro? E 3 meses e uma
frac;ao do ano! Novamente, se na hora da prova voce estiver com alguma dificuldade de fazer
essa conversao, ja dissemos, nao tenha medo! A seguinte regra de tres e infaliveL
12 meses
3 meses
questao! Logo, qu
1 ano
X
Dai, teremos
E
DaL - - 100-0
DatE= 150
Capitulo 4
r Campos
a segunda parcela
os preliminares de
Nosso desenho agora sera o seguinte:
1.400.000,
1.500.000,
148.000,
00.000,
J
90d
(II)
mento . Agora, lemmeio de operac,;oes
o regime equal a
foi muito generaaxa esta no regime
de capitais, a qual
a mesma unidade.
questao. Dai, imes elas trazem tax:as
mo vamos ter que
todos em tempos
e frac,;ao sera essa?
sessenta dias), nao
essa unidade, nao
? E 3 meses e uma
ificuldade de fazer
faliveL
173
Equivalencia Simples de Capitais
t
0
(II)
I
1
O,la
0,25a
(I)
(II)
0 ultimo passo preliminar que nos falta cumprir e justamente a escolha da data focal
56 para nao perder a viagem quem e que manda na data focal da equivalencia simples? E a
questao! Logo, quando o enunciado falou "considere a data de referenda o instante zero", essa
tal data de referenda e ninguem menos que a nossa data focal Dai, preparamos a questao
para ser resolvida Nosso desenho definitivo sera, portanto
1.400.000,
1.500.000,
148.000,
t
DF 0
(II)
1
J
O,la
0,25a
(I)
(II)
Passemos aos passos efetivos de resoluc;ao!
1rr Passo- Projetar para a data focal os valores da primeira obrigac,;iio.
De primeira obrigac;ao s6 temos o valor S 1500.000. Fazendo o desconto simples por fora,
teremos o seguinte i n = i x 0,1 = O,li
Por Fora!
1.500.000,
100-0,li
tL________.j100
0
(DF)
Dai, teremos que:
E
1500000
DaL - - - 100-0,H
100
DatE= 15000.(100- O,li)
O,li
O,la
(I)
17
Maternatica Financeira Sirnplificada para Concursos
Sergio Carvalho & Weber Campos
ejusta mente aque
2" Passo- Projetar para a data focal os valores da segunda obriga<;ao.
Come<;aremos como valor$ 1.400 . 000, que se encontra na data 0,25 ano . Aplicando 0
mas que tera que
Agora, basta d
desconto simples por fora, teremos i n = i x 0,25 = 0,25i
Por Fora!
1.400.000,
-7 Dai: i = (48
roo- o,2Si fL_________________....JLoo
0
(DF)
0,25i
0,25a
(II)
Assim, teremos que:
s.
(ESAF) Um
contratad
juros sim
taxas par
Condi~oe
-----=
100-0,25 i
100
e sucess
Condi~oe
Ora, ocorre que este segundo passo da resolU<;:ao nos manda projetar as parcelas de segunda
final do
70!! mes.
Caso seja
unitario
a) $ 8.20
b) $ 9.33
c) $ 10.7
d) $ 11 .2
e) $ 12.9
obrigac;ao para a data focaL E o que vemos aqui? Vemos que este valor ($ 148 000) ja esta
Solu<;ao: Uma qu
DaL F = 14000 (100- 0,25i)
ATEN<;:AO AGORA:
A pergunta e essa: acabou o segundo passo? Sim ou nao? Ainda ha algum valor de segunda
obriga<;ao? Sim, ainda ha o valor$ 148.000, que esta na data zero!
onde n6s queremos que esteja! Ou seja, esta parcela ja esta sabre a data focal
Isso significa que, neste segundo passo, nao precisaremos trabalhar com esses $148.000,
levando-os para Iugar nenhum!
aparece logo na p
que? As datas e va
para n6s todos, e
S6 para fechar o raciocinio quanta vale essa parcela $148.000 na data focal? Ora, vale o
financiamento ja
proprio valor $148.000, uma vez que nao estamos projetando esta quantia nem para uma
desejo alterar o s
data futura e nem para uma data passada, oh? Entendido?
de capitais!
Como nao ha rna is nenhuma parcela de segunda obriga<;ao, dizemos que o nosso segundo
passo esta encerrado.
Foi dito no en
t;:ao nos serve? E
simples, e tambe
3Q Passo- Aplicar a Equa<;ao de Equivalencia.
I.
(I)DF =
I.
operac;oes de des
(II)DF
Teremos -7 15000(100-0,li) = 14000(100-0,25i) + 148.000
Observemos que a primeira parte da equac;ao diz respeito ao unico valor que temos de
primeira obrigac;ao ($ 1500 000), depois de levado para a data focaL ja na segunda parte da
equac;ao acima, temos duas parcelas: a primeira, referente a parcela $ 1400 . 000 que estava na
data 0,25a, que projetada para a data focal transformou-se no valor "F', e a segunda parcela
Agora, resta d
da primeira e da
criou urn paragra
dizer: "Condir;oes
inicialmentc" sera
obriga<;ao. ja o q
segunda forma d
r Campos
Capitulo 4
ejusta mente aquela primeira ($
ano . Aplicando 0
Equivalencia Simples de Capitais
175
148. 000) que nao precisou ser trabalhada no segundo passo,
mas que tera que aparecer, necessariamente, aqui na equac;ao de equivalencia
Agora, basta desenvolver a equa<;ao. Teremos
15(100-0,1i)= 14(100-0,25i)+ 148
1.400.000,
-7 2i = 1548- 1500 -7 2i = 48
-7 Dai: i = (48/2) -7 E i
__....JLoo
s.
= 24% ao ano -7
Resposta!
arcelas de segunda
(ESAF) Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento
contratado. Este financiamento foi contratado, ha 30 dias, a uma taxa de
juros simples de 2% ao mes. A institui~ao financiadora nao cobra custas nem
taxas para fazer estas altera~oes. A taxa de juros nao sofrera altera~oes.
Condi~oes pactuadas inicialmente: pagamento de duas presta~oes iguais
e sucessivas de $ 11.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias.
Condi~oes desejadas: pagamento em 3 presta~oes iguais: a primeira ao
final do 10!! mes; a segunda ao final do 30!! mes; a terceira ao final do
70!! mes.
Caso sejam aprovadas as altera~oes, o valor que mais sea proxima do valor
unitario de cada uma das novas presta~oes e:
a) $ 8.200,00;
b) $ 9.333,33;
c) $ 10.752,31;
d) $ 11 .200,00;
e) $ 12.933,60.
$ 148 000) ja esta
Solu<;ao: Uma questao grande! S6 grande. , mas tao facil quanta as outras. 0 verba chave
0,25a
(II)
m valor de segunda
ocal
m esses $148.000,
aparece logo na primeira frase do enunciado "uma firma deseja alterar..."! Olha ai! Alterar o
que? As datas e valores de urn financiamento contratado. Ora, para o born entendedor, ou seja,
para n6s todos, essa frase ja e suficiente para denunciar o assunto da questao. Se existe urn
a focal? Ora, vale o
financiamento ja contratado (financiamcnto aqui fica como sinonimo de obrigar;ao a cump1ir) e
tia nem para uma
desejo alterar o seu formato original, entao estamos diante de uma questao de equivalencia
ue o nosso segundo
valor que temos de
a segunda parte da
0 . 000 que estava na
e a segunda parcela
de capitais!
Foi dito no enunciado que o contrato foi feito a uma taxa de juros simples! Essa informat;:ao nos serve? E muito! Com ela, sabemos de imediato que estamos trabalhando no regime
simples, e tambem que as operac;oes de desconto que iremos utilizar nesta resoluc;ao serao
operac;oes de desconto por dentro (desconto racional)!
Agora, resta desenharmos a questao, e definirmos quem serao (e onde vao estar) os valores
da primeira e da segunda obriga<;ao. E este enunciado foi bastante clara neste aspecto, pais
criou urn paragrafo somente para dizer "Condir;oes pactuadas inicialmcntc ...... ", e outro s6 para
dizer: "Condir;oes dcscjaclas. " Ora, nao resta duvida que o que se segue ao "conclir;oes clescjaclas
inicialmentc" sera justamente a forma original de pagamento, ou seja, os valores da primeira
obriga<;ao. ja o que vem depois de "conclir;oes clcscjaclas" nao poderia ser outra coisa, senao a
segunda forma de pagamento, ou seja, os valores da segunda obrigac;ao.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
Dito isto, ja estamos aptos a desenhar nossa questao. Teremos
X
11024,
0
!
60d
(I)
11024,
1
90d
(I)
X
Trabalhando a
X
I I
30m
70m
(II)
(II)
lOrn
(II)
J
Dentro dos passos preliminares, temos ainda que colocar taxa e tempos na mesma unidade.
A taxa fornecida e mensal (2% ao mes), logo, chamaremos 60 elias de 2 meses e 90 elias de 3
meses. For fim, teremos que descobrir onde estani a data focaL
Observemos que nada foi dito acerca da data focaL De modo que, conforme ja sabemos, estaremos obrigados por convenc;ao, a adotar a data zero como sendo nossa data de
referencia
0 desenho final e completo da nossa questao sera o seguinte.
X
11024,
0
DF
!
2m
(I)
11024,
X
X
3m
I I
lOrn
30m
70m
(I)
(II)
(II)
(II)
1
rerernos que i n
Dai:
F
11024
100
106
Como nao ha
de nossa resoluc;a
2!! Passo - Proje
Comec;aremo
J
desconto simples
~
i.
ll =
Concluidos os passos preliminares, passemos aos passos efetivos de resolw;:ao!
l!! Passo - Projetar para a data focal os valores da primeira obrigac;ao.
Comecemos pela primeira parcela de S 11.024, que esta localizada na data 2 meses . Aplicando o desconto simples por dentro, teremos que
~
i ll =2X2=4
Dai
11024,
Aqui, uma le
100L_j!00+4
0
4
2m
(DF)
(I)
efetivo de resoluc
aquele valor que
Entao, obser
cularemos aqui
Dai, teremos que
E 11024
- = - - ~ E=l0.600 00
100
104
'
Teremos
Equivali~ncia Simples de Capitais
Capitulo 4
Campos
177
Trabalhando agora com a segunda parcela deS 11 024,00, localizada sobre a data 3 meses,
X
rerernos que i n = 2 x 3 = 6
11024,
J
0m
100
(II)
tl-____
0
6
(DF)
a mesma unidade.
ses e 90 elias de 3
__J1100 + 6
3m
(I)
Dai:
onforme ja sabendo nossa data de
F
11024
~ F = 10.400,00
100
106
Como nao ha rna is ningw?m que seja primeira obrigac;ao, resta-nos passar ao segundo passo
de nossa resoluc;ao.
X
2!! Passo - Projetar para a data focal os valores da segunda obrigac;ao.
Comec;aremos com o primeiro valor X, que se encontra na data lO meses Aplicando o
J
70m
desconto simples por dentro, teremos
~
i.
ll =
2
X
10 = 20
(II)
Por Dentro!
X
G
olw;:ao!
lOot
0
(DF)
ata 2 meses . Apli-
1100 +20
lOrn
20
(II)
Dai
G
-100
X
-120
Aqui, uma lembranc;a importante: quando estamos no primeiro ou no segundo passo
efetivo de resoluc;ao de uma questao de equivalencia de capitais, estaremos sempre buscando
aquele valor que esta sobre a data focaL
Entao, observemos que na equac;ao acima ha duas variaveis, o G eo X Qual delas calcularemos aqui neste segundo passo? Aquela que esta sobre a data focaL Quem e?
Teremos
G = 1OOX ~ G
120
= SX
6
Eo G
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
178
Passemos a segunda parcela X, que se localiza na data 30 meses. Aplicando o desconto
simples racional, teremos que i n = 2 x 30 = 60
Por Dentro!
100
X
t~.-_ __________JLoo
0
60
30m
(DF)
H
Dai 100
X
=160
~ H
+ 60
(II)
SX
=s
Veja que encontramos o valor do H, que esta sabre a data focal!
Finalmente, trabalhemos a tlltima parcela X, que se encontra na data 70 meses . Aplicando
o desconto simples par dentro, teremos que
~
i n = 2 x 70 = 140
Par Dentro!
X
100 tL.._____________
0
(DF)
140
_JLoo + 140
?Om
(II)
I
X
SX
100 240
12
Aqui, encerramos o nosso segundo passo, e passamos ao "arremate" da questao, como
terceiro e derradeiro passo!
Daf
-=-~I=-
(ESAF) U
10% ao
mais pri
pagamen
parcela,
ao final
do total
valor qu
a) $ 816
b) $ 900
c) $ 945
d) $ 970
e) $ 995
Soluc;ao: Esse a
rambem nao dei,x
modelo de enun
como sendo urn
Ora, quando
(data zero), com
que nem eu e ne
emprestado hoje
datas futuras! Em
eu vou devolver
A (mica coisa
que, em vez de d
lu(Cio, ele falou e
corresponde a 7
a 30% do valor t
Podemos cal
3Q Passo - Aplicar a Equa<;ao de Equivalencia.
I.
(l)DF
=
I.
~
Primeira parte da equac;ao a soma dos resultados do primeiro passo. Segunda parte da
equac;ao: a soma dos resultados do segundo passo. Teremos.:
10600 + 10400
=
e: )+ e: )+ ( )
~~
Uma equac;ao e uma variavel, que e justamente aquele valor que esta sendo solicitado
pelo enunciado . Termina sempre assim toda e qualquer questao de equivalencia de capitais!
Aqui ja nao ha mais a matematica finance ira ha so mente a algebra!
504000
20
21000 = X + 15X +lOX ~ Dai: 45X = 504000 ~ X
H
~
Dai, finalmente, chegamos a X= 11.200,00
Prim
(II)DF
~
~
Resposta!
Segu
Com isso, ja
er Campos
icando o desconto
0
0 meses . Aplicando
140
da questao, como
Segunda parte da
a sendo solicitado
lencia de capitais!
Capitulo 4- Equivalencia Simples de Capitais
179
(ESAF) Uma pessoa possui urn financiamento (taxa de juros simples de
10% ao mes). 0 valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros
mais principal, e de $ 1.400,00. As condi~oes contratuais preveem que o
pagamento deste financiamento sera efetuado em duas parcelas. A primeira
parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, sera paga
ao final do quarto mes, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento
do total dos pagamentos, sera paga ao final do decimo primeiro mes. 0
valor que mais se aproxima do valor financiado e:
a) $ 816,55;
b) $ 900,00;
c) $ 945,00;
d) $ 970,00;
e) $ 995,00.
Soluc;ao: Esse aqui e aquele tipo de questao que tenta ser dificil, mas nao consegue ... ! E
rambem nao dei,xa de ser uma queslao interessante. Senao, vejamos este e justamente aquele
modelo de enunciado em que se fala em um financiamento . Este sera entendido par n6s
como sendo urn emprestimo.
Ora, quando eu fac;o um emprestimo com alguem, e 6bvio que eu pego uma quantia hoje
(data zero), comprometendo-me a devolve-la em uma data (ou varias datas) no futuro. Para
que nem eu e nem o meu credor saiamos perdendo, sera preciso que o valor que eu peguei
emprestado hoje (o valor do financiamento) seja equivalente as parcelas de devoluc;ao em
datas futuras! Em outras palavras: o que eu tomei emprestado tem que ser equivalente ao que
eu vou devolver no futuro .
A (mica coisa que a questao realmente quis inventar (leia-se: inovar) neste enunciado foi
que, em vez de dizer diretamente quais os valores das duas parcelas que constituem a devolu(Cio, ele falou em um certo valor total($ 1400,00), e que a primeira parcela de devoluc;ao
corresponde a 70% deste valor, enquanto que a segunda parcela de devolw;;ao corresponde
a 30% do valor totaL
Podemos calcular logo esses valores que compoem a segunda obrigac;ao Teremos:
70
~
Primeira parcela de devolU(,;ao: x 1400 = 980,00
100
30
x 1400 = 420,00
100
Com isso, ja estamos aptos a desenhar a questao Teremos:
Segunda parcela de devolw;;ao
X
980,
0
I
420,
4m
llm
(I)
(II)
(II)
1
1
180
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
Sergio Carvalho & Weber Campos
0 raciocinio e o seguinte se chamam10s de primeira obrigac;ao o valor que pegamos em.
prestado (na data zero), entao as parcelas da devoluc;ao serao ditas como a segunda obrigac;ao.
0 contnirio tambem pode ser feito, sem nenhum problema~ chamar as parcelas de devoluc;ao de
primeira obrigac;ao eo valor do emprestimo (na data zero) de segunda obriga<;;ao. 0 importante
e nunca misturar parcela do emprestimo e parcela da devoluc;ao . Entendido?
Como a questao e de Equivalencia de Capitais, entao a resolveremos por meio de operac;oes de descontol 0 enunciado falou em taxa de juros simples. Com isso, sabemos que
estamos trabalhando no regime simples e que nossas opera<;;oes, nessa resolu<;;ao, serao todas
de desconto por dentro!
Percebamos ainda que a taxa fornecida e mensa! e os tempos ja estao nesta mesma unidade
(mes).
Resta-nos constatar onde estara nossa data focal. Observemos que nada foi dito acerca
deste elemento, razao pela qual concluimos usaremos, como data de referencia, a data zero!
0 desenho complete de nossa questao sera o seguinte·
Passando ago
, llO
1
Dai
100 2
Acabou-se ta
3n Passo - Apli
X
Na primeira
980,
1
DF 0
(I)
justamente o X,
420,
I
com o seu propr
A segunda pa
j
4m
lim
(II)
(II)
X= 700 + 20
7.
Comecemos os nossos passes efetivos de resolu<;;ao .
1" Passo - Projetar para a data focal os valores da primeira obrigac;ii.o.
Reparemos que este passo ja esta cumprido, uma vez que s6 temos uma parcela de primeira
obrigac;ao (que e justamente oX), e que esta parcela ja se encontra sobre a data focal. Destarte,
nao teremos que projeta-la para Iugar nenhum, nem para uma data futura, e nem para uma
data anterior! Alias, na data focal, esse X vale ele mesmo, ou seja, X Adiante!
2" Passo - Projetar para a data focal os valores da segunda obrigac;ii.o.
Vamos come<;;ar com a parcela $ 980, que esta na data 4 meses. Aplicando o desconto
simples por dentro, teremos i . n = 10 x 4 = 40
980,
loot~.-_______,too
0
(DF)
40
Compre
da comp
primeiro
valor de
pagame
Conside
futuros
de 3% a
a) R$ 7.
b) R$ 7.
c) R$ 8.
Soluc;ii.o:
Dados inicia
Taxa de desc
Data focal =
Por Dentro!
Dai: ~= 980 ~
100 140
9800
E=
~ E=700 00
14
'
_!__= 4
4m
(II)
valor do veic
+
40
entrada= 25
Dai, o saldo
Capitulo 4
er Campos
r que pegamos em.
segunda obrigac;ao.
, llO
Par Dentro!
~---------------------------~100+110
110
(DF)
llm
(II)
F = 4200 ~ F = 200 00
100 210
2l
'
Acabou-se tambem o segundo passo, e passamos ao terceiro..
Dai
sta mesma unidade
licando o desconto
r
F
isso, sabemos que
olu<;;ao, serao todas
data focal. Destarte,
a, e nem para uma
nte!
420,
1oof
por meio de ope-
.
parcela de primeira
_!__= 420 ~
3n Passo - Aplicar a Equac;ii.o de Equivalencia.
L
(I)DF =
L
(II)DF
Na primeira parte da equa<;;ao, teremos apenas um valor de primeira obriga<;;ao, que e
justamente o X, e que ja estava sobre a data focal. Logo, na equac;ao acima, ele, o X, entrara
com o seu proprio valor (X)
A segunda parte da equac;ao e a soma dos resultados do segundo passo . Dai, teremos que
X= 700 + 200 ~X= 900,00 ~ Resposta!
7.
Comprei um veiculo por R$ 30.000,00 e paguei uma entrada de 25% do valor
da compra. 0 saldo devedor foi financiado em tres pagamentos sendo o
primeiro no valor de R$ 8.500,00 ao final do primeiro mes, eo segundo no
valor de R$ 7.500,00 no final do segundo mes. Calcule o valor do terceiro
pagamento vencivel ao final do terceiro mesque liquidara o financiamento.
Considere a data da compra como sendo a data focal, e que os valores
futuros podem ser descontados a uma taxa de desconto simples comercial
de 3% a.m. Despreze os centavos.
d) R$ 8.250,00.
a) R$ 7.256,00.
b) R$ 7.917,00.
e) R$ 8.289,00.
c) R$ 8.021 ,00.
Soluc;ii.o:
Dados iniciais:
Taxa de desconto simples comerciaL i = 3% a.m.
Data focal = data zero
80,
valor do veiculo = 30.000,00
_,too + 40
entrada= 25% de 30.000 = 7.500,00
Dai, o saldo devedor que sera financiado e igual a
4m
(II)
181
Passando agora a trabalhar com a parcela $ 420,00 na data ll meses, teremos. i. n =lOx ll
las de devoluc;ao de
<;;ao. 0 importante
do?
ada foi dito acerca
rencia, a data zero!
Equivalencia Simples de Capitais
30 . 000- 7..500 = 22.500,00
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
182
~
-----------
Separar os capitais em 2 conjuntos:
1~conjunto (e o valor financiado)
2~ conjunto (sao os pagamentos)
s.
22.500,00 (na data zero)
8500,00 (final do 1~ mes)
7.500,00 (final do 2Q mes)
3~
X=? (final do
~
mes)
~
~
E
~
F
G
Desenho
22500
8500
X
7500
1 1 1
0
(data focal)
1m
Soluc;ao: 0 enun
r
2m
R$ LOOO,OO, e a
que ser equivalen
3m
de equivalencia.
Transporte dos capitais para a data focal par meio de operac,;oes de desconto simples
por fora.
1)
Transporte do R$ 8.500,00 para a data focaL
n = 1 - 0 = 1 meses
i
=
t. . __
3% a . m..
i . n=3 1=3
E 8500
DaL - - - - ~ E = 8245
97
100
2)
1oo-3
Equivalencia de
Nessa questao
dejuros Simples e
sera feito agora S
As dez parcel
8500
estao representad
____.lJOo
3
Transporte do R$ 7500,00 para a data focaL
7500
n = 2 - 0 = 2 meses
i = 3% a . m.
i.n=3 2=6
7500
Dai: !__ =
94
100
3)
(ESAF) U
cada que
com o cr
para qui
de 4% ao
a) R$ 11
b) R$ 1 2
c) R$ 1 2
d) R$ 12
e) R$ 1 3
100-6t.__ _ _ ____Jll00
~ F = 7050
6
-7
Transporte do X para a data focaL
n = 3 - 0 = 3 meses
X
Substituire
0 valor da pa
parcela unica e d
i = 3% a. m..
i.n=3 . 3=9
Dai
~
£=_!S_ ~ G = 0,91X
91
100-9t.__ _ _ _ ____.ll00
9
100
1
Equac,;ao de Equivalencia
1~ conj. (transportaclos para a D.f) = 2~ conj. (transportaclos para a DF)
22500 = E + F + G
22.500 = 8.245 + 7 050 + 0,91X
0,91X = 22500- 8.245- 7..050 ~ X= 7.917,00
Esta parcela
quinta parcela e
Campos
[T8))
Capitulo 4 - Equivalencia Simples de Capita is
---------------------~------~------~----~------------------~~
s.
E
F
desconto simples
(ESAF) Uma pessoa tern que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00
cada que vencem todo dia 5 dos proximos dez meses. Todavia ela combina
com o credor urn pagamento unico equivalente no dia 5 do decimo mes
para quitar a divida. Calcule este pagamento considerando juros simples
de 4% ao mes.
a) R$ 11.800,00.
b) R$ 1 2.006,00.
c) R$ 1 2.200,00.
d) R$ 12.800,00.
e) R$ 1 3.486,00.
Soluc;ao: 0 enunciado traz cluas formas de pagamento: a primeira, dez parcelas no valor de
R$ LOOO,OO, e a segunda, urn pagamento unico; e ainda diz que este pagamento unico tern
que ser equivalente as dez parcelas Portanto, nao resta cluvida de que se trata de uma questao
de equivalencia. Como a taxa de juros fornecicla
e uma
taxa simples, entao a questao
e de
Equivalencia de Capitais no Regime Simples.
Nessa questao aparecem varias parcelas iguais e consecutivas. Como ja fizemos nos capitulos
dejuros Simples e Desconto Simples, transfom1aremos essas parcelas em uma unica parcela Isto
sera feito agora Somente depois disso que iniciaremos os passos para resolver a equivalencia.
As dez parcelas de LOOO,OO, eo pagamento unico X, de que trata o enunciaclo cia questao,
estao representados a seguir
X
9 meses
-7
Substituiremos as clez parcelas de l. 000,00 par uma unica parcela
0 valor da parcela unica e igual a soma das dez parcelas de LOOO,OO, ou seja, o valor da
parcela unica e de 10.000,00.
X
ll00
10000
1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1 00
DF)
4,5 meses
4,5 meses
Esta parcela unica de 10.000,00 deve ficar no centro das dez parcelas, t>u seja, entre a
quinta parcela e a sexta parcela, conforme mostramos abaixo.
Matemiitica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
-7
Retirando do desenho as dez parcelas de 1000,00, e deixando somente a parcela (mica
de 10.000,00 eo valor X, o desenho fica assim
EQUIVALE
01.
X
(Audito
Ano
J
lOfOO
1
4
7
~~------- ~------~/
y
A tabel
10% ao
equivale
a) 67.50
b) 81.25
c) 88.50
d) 76.57
e) 78.50
4,5 meses
Podemos dizer que a questao de Equivalencia de Capitais inicia a partir do desenho acima,
e podemos considerar que temos duas formas de pagamento: a F) de 10.000,00, e a 2~) de
valor X ap6s 4,5 meses .
Para executar a equivalencia primeiramente temos que saber onde fica a data focaL A
questao diz ·· equiYalente no clia 5 do decimo mes·· E, como ja dissemos anteriormente,
mesmo que a quesl<'io nao deixe explicita a data focal, a presenc;a da pala\Ta equivalcnte definira
a sua localizac;ao. Dai, podemos dizer que a data focal vai ficar no dia 5 do decimo mes, ou
seja, junto com o pagamento X
02.
X
(Analist
fluxos d
o valor
0 valor
2% ao m
MES
10000
1
6
y,.-----
11
D.E
a)
4,5 meses
-7
Transporte do 10.000,00 para a D..F (usando desconto por dentro!):
i = 4%a . m.
E
10000
n = 4,5 meses
i n = 4 x 4,5 = 18
100
100 + 18
18
Dai,
~ = 10000 -7
E = 118 x 100 -7 E = 11.800,00
-7
118
100
0 valor X ja esta na data focal, portanto nao precisa ser transportado
-7
Aplicar a Equac;ao de Equivalencia:
L
(I)DF =
d) R$ 7.
r
t
L
(II)DF
Na primeira parte da equac;ao, teremos apenas um valor da primeira forma de pagamento,
que e 0 11.800,00 .
A segunda parte e justamente o valor X que ja estava sobre a data focaL
Dai, teremos que:
11800 =X -7 X=lL800,00 -7 Resposta!
R$ 6
b) R$ 6
c) R$ 6
e)
03.
R$ 7
(Audito
uma qu
- R$ 1
- R$ 7
- R$ 4
Suponh
dois pa
o segun
de juro
segund
a) R$ 1
b) R$ 3
c) R$ 4
d) RS 4
e) R$ 5
Capitulo 4- Equivalencia Simples de Capitais
r Campos
nte a parcela (mica
EQUIVALENCIA SIMPLES DE CAPITAlS - EXERciCIOS PROPOSTOS
01.
ca a data focaL A
mos anteriormente,
02.
o decimo mes, ou
+ 18
o
rma de pagamento,
L
(Auditor Fiscal do Estado do RJ 2011 FGV)
Ano
A
B
1
60.000
X
4
65.000
78.000
7
100.000
50.000
A tabela acima indica dois fluxos de caixa. Sabendo-se que a taxa e de
10% ao ano, juros simples, o valor de X que torna os dois fluxos de caixa
equivalentes e
a) 67.500.
b) 81.250.
c) 88.500.
d) 76.575.
e) 78.500.
do desenho acima,
000,00, e a 2~) de
equivalcnte definira
rJJW
(Analista de Controle lnterno SEFAZ-RJ 2011 FGV) Um banco oferece dois
fluxos de caixa como na tabela abaixo a um cliente, que nao consegue ler
o valor do primeiro mes no fluxo de caixa A, e, portanto o marca como X.
0 valor de X que tornaria os dois fluxos de caixa identicos, a uma taxa de
2% ao mes, juros simples, e
a)
MES
A
B
1
X
3000
6
4400
5500
11
6000
9000
R$ 6.500,00.
b) R$ 6.800,00.
c) R$ 6.750,00.
d) R$ 7.1 00,00.
e)
03.
R$ 7.000,00.
(Auditor Fiscal de Receitas Estaduais Para 2013 UEPA) Paulo esta devendo
uma quantia a Carlos, e tem de efetuar a Carlos os seguintes pagamentos:
- R$ 12.000,00 de hoje a 4 meses;
- R$ 70.000,00 no fim de 3 anos;
- R$ 40.000,00 de hoje a 20 meses.
Suponha que Paulo proponha a Carlos quitar suas dividas por meio de
dois pagamentos: o primeiro na data de hoje, no valor de R$ 30.000,00 e
o segundo, representando o saldo, 15 meses apos. Sabendo-se que a taxa
de juros simples aplicada por Carlos e de 5% a.m, o valor do saldo do
segundo pagamento e:
a) R$ 18.750,00
b) R$ 35.000,00
c) R$ 43.750,00
d) RS 46.837,00
e) R$ 52.500,00
186
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
04.
(Oficial de Fazenda SEFAZ·RJ 2011 CEPERJ) Um consumidor deve pagar
$300 daqui a dois meses, e $600 daqui a cinco meses. Considerando 0111
regime dejuros simples de 30% ao semestre, o valor do pagamento unico
a ser efetuado no mes tres, que liquida a divida, e:
a) $ 765 ,00
b) $ 960,35
c) $ 560,00
d) $ 860,45
e) $ 900,00
05.
(AFTN 1991 ESAF) A uma taxa de juros de 25% ao periodo, uma quantia de
100 no ftm do periodo t, mais uma quantia de 200 no fim do periodo t+2,
sao equivalentes, no ftm do periodo t+ 1, a uma quantia de:
a) $ 406,25;
b) $ 352,5;
c) $ 325;
d) $ 300;
e) $ 285.
06.
Uma pessoa ftnanciou R$ 2.300,00, e as condi~oes contratuais preveem
o pagamento de duas presta~oes iguais, a primeira a veneer em 5 meses
e a segunda, em 10 meses. A uma taxa de juros simples de 2% ao mes, o
valor da presta~ao e:
a) $ 1.300,00;
b) $ 1.320,00;
c) $ 1 .340,00;
d) $1.350,00.
07.
Um titulo de R$ 400,00, vencivel em 1 bimestre, foi trocado porum outro
de R$ 460,00, com vencimento para 5 meses. Tomando·se a data atual como
data focal, calcule a taxa de desconto simples comercial desta opera~ao.
a) 4,0% a.m.
b) 4,2% a.m
c) 4,4% a.m.
d) 4,6 % a.m.
08.
Uma pessoa tem que pagar sete parcelas no valor de R$ 1.000,00 cada que
vencem todo dia 10 dos proximos sete meses. Todavia ela combina com o
credor um pagamento unico equivalente tres meses apos o vencimento da
setima parcela para quitar a divida. Calcule este pagamento considerando
juros simples de 2% ao mes.
a) R$ 7.840,00.
b) R$ 7.920,00.
c) R$ 8.020,00.
d) R$ 8.040,00.
Chegamos a
Composto E estu
postos, desconto
Sao justamente os
para enfrentar um
Este presente
nani conceitos qu
restantes!
5.1. 0 Que
E
Ora, ja sabem
com uma determ
uma conta de pou
de tempo, ate que
Dando nomes
Capital; este ficar
o Montante. Por
Ate aqui, nen
a diferenc;a entre
teremos:
Campos
dor deve pagar
nsiderando 0111
agamento unico
CapituloS
Juros Compostos
uma quantia de
do periodo t+2,
:
atuais preveem
eer em 5 meses
e 2% ao mes, o
o porum outro
data atual como
esta opera~ao.
000,00 cada que
combina com o
vencimento da
o considerando
Chegamos a um momento crucial em nosso li\To adentraremos o estudo do Regime
Composto E estudaremos neste enos capitulos posteriores os seguintes assuntos juros compostos, desconto composto, equivalencia composta de capitais, rendas certas e amortizac;ao.
Sao justamente os temas que nos estao faltando conhecer, para podermos nos dizer preparados
para enfrentar uma prova de concurso!
Este presente capitulo e fundamental dentro de todo o Regime Composto, pois nos ensinani conceitos que serao aplicados nao apenas aos juros compostos, mas a todos os assuntos
restantes!
5.1. 0 Que
Euma Opera~ao de juros Compostos1
Ora, ja sabemos o que e uma opera<:;ao de juros! E aquela situac;ao em que estamos hoje
com uma determinada quantia em dinheiro, vamos a urn banco e fazemos um deposito em
uma conta de poupanc;a, deixamos aquele dinheiro aplicado durante um determinado periodo
de tempo, ate que Ia voltemos e resgatemos um valor maior do que o que havia sido aplicado.
Dando nomes aos elementos desta operac;ao, teremos que o valor depositado no inicio eo
Capital; este ficara aplicado durante um prazo de tempo "n"; ao fim deste prazo, resgataremos
o Montante. Por enquanto, o desenho de nossa questao de juros eo seguinte
M
c
Ate aqui, nenhuma novidade. E onde entram os juros nesse desenho? Ora, os juros serao
a diferenc;a entre o valor resgatado (Montante) eo valor aplicado (Capital) llustrativamente,
teremos:
188
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
M
~--·-·-·-·-·-·-·-·- :>Juros
s.2. Equa~ao
Na hora de r
uma equa<;ao fu
Relernbrarnos, portanto, urna formula nossa velha conhecida:
J=M-C
Vamos interp
M e 0 Mon
assirn dize
Ja virnos que o capital vai ficar aplicado durante urn perfodo de tempo n. No desenho,
este valor n surge no final da linha clo tempo Vejarnos
C e 0 Capi
a operac:;ao
(l + i)n· es
M
~--·-·-·-·-·-·-·-·- :>Juros
Doravante
financeira
regime com
saberemos
0
n
n represen
de tempo
Estarnos todos percebendo que ate o momenta nao houve urna so diferen<;a entre o que
estarnos vendo aqui e o que aprendernos no capitulo de Juras Simples! Ora, Capital, Juras,
-7 i e a nossa
Obs. 1: a prir
Montante e Tempo de aplicac;ao sao precisamente os rnesrnos elementos que trabalharnos
naquele primeiro regime. 0 que vai mudar, tao-somente, e o elemento TAXA
no re
justam
Ou seja, e a natureza da taxa envolvida na operac;ao de juros que vai determinar o regime
ern que estarernos trabalhando, se no Simples, ou se no Composto!
Se estivermos bem lembrados, a natureza de uma taxa de juros compostos e tal que, a cada
periodo que passa, ela incidira sempre sabre o resultado da operac;ao no periodo anterior.
Podemos relembrar um exernplo que usamos no capitulo de Juras Simples, em que tinhamos
urn capital de R$ 1.000,00 e que seria aplic:ado durante um prazo de tres meses, sob urna taxa
de juros compostos de 10% ao mes. Naquela oc:asiao, encontrarnos que:
-7
No primeiro mes:
R$ 1 000,00 x (lO!lOO) = 100,00 -7 R$ 1 100,00 ao final do 1~ rnes .
-7 No segundo mes:
R$ 1 100,00 x (10/lOO) = 110,00 -7 R$ L210,00 ao final do 2~ rnes.
-7 No terc:eiro mes
R$ 1.210,00 x (10/lOO) = 121,00 -7 R$ 1.331,00 ao final do 3Q rnes .
Observemos que, a cada novo periodo, a taxa inc:idira sabre o resultado do periodo anterior.
:E justarnente essa a natureza da taxa com pasta.
Par isso os juros cornpostos sao tambem chamados de juros curnulativos ou juros sobre
juros.
de .. "
vista
Obs. 2:
uma
taxa e
unita
Exemplos
Observando
nao aparecem n
pode nao haver
Ora, embora
narmos seu valo
Sabemos de
de Capital e Mo
ber Campos
po n. No desenho,
eren<;a entre o que
Capitulo 5- Juras Compostos
s.2. Equa~ao fundamental dos juros Compostos
Na hora de resolvennos uma questao de Juras Compostos, vamos nos lembrar de que ha
uma equa<;ao fundamental, que devera sempre ser c:oloc:ada no papel. Trata-se do seguinte
M = C (l + i)n
Vamos interpretar cada um desses elementos:
M e 0 Montante .
:E aquele valor que sera resgatado ao final da operac:;ao de juros. :E, par
assirn dizer, o resultado final da operac:;ao.
C e 0 Capital. Justarnente aquele valor que e aplic:ado no infc:io de tudo
:E on de comec:;a
a operac:;ao de Juras
(l + i)n· este parentese, em func:;ao de sua enorme importancia, vai ganhar urn apclido .
Doravante, iremos nos referir a ele como sendo o parentese famoso cia maternatica
financeira! "Famoso" par que? Porque vai aparecer em quase todas as formulas do nosso
regime composto! Oh? En tao ficamos assim: quando dissermos "o parentese famoso", ja
saberemos que estamos falando no (1 + i)n
n representa o tempo que vai durar a nossa operac;ao de juros compostos
Eo intervalo
de tempo que vai da data do Capital (infcio) ate a data do Montante (firn cia operac:;ao).
Ora, Capital, Juras,
-7 i e a nossa taxa de juros compostos
Obs. 1: a prirneira forma que terernos para identificar que uma questao de juros ocorre
s que trabalharnos
AXA
no regime composto (ou seja, que se trata de urna questao de juros compostos) e
justamente quando o enunciado falar expressamente: " .. .taxa de juros compostos
eterminar o regime
tos e tal que, a cada
o periodo anterior.
, em que tinhamos
eses, sob urna taxa
do periodo anterior.
vos ou juros sobre
de .. "! Havera ainda uma outra maneira de identificar o regime composto, que sera
vista daqui a pouco.
Obs. 2:
uma vez trabalhando no regime composto, sernpre que formos colocar o valor cia
taxa em qualquer das formulas, terernos que utilizar essa taxa na chamada nota<;ao
unitaria
Exemplos
-7
-7
-7
sea taxa e de 7%, na forma unitaria e 0,07,
se a taxa e de 50%, na forma unitaria e 0,50;
se a taxa e de 15%, na fonna unitaria e 0,15.
Observando bem essa equa(:ao fundamental dos juros compostos, percebemos que os juros
nao aparecem nela. Como e possfvel isso? Se foi dito que esta e a formula dos juros, como
pode nao haver juros?
Ora, embora os juros nao apare<;;am diretarnente na relac:;ao acirna, havera como determinarmos seu valor de forma indireta
Sabemos desde o infcio que juros = Montante- Capital Daf, se conhecerrnos os val ores
de Capital e Montante, entao saberemos tambem o valor dos juros!
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
190
•
------------
Exigencia da Formula dos juros Compostos:
ja \'imos em cliversas ocasioes que a Matematica Financeira traz consigo uma exigencia
universal, de que taxa e tempo estejam sempre na mesma unidade. Todos lembrados disso? Pois bem! Aqui, repete-se a exigencia basta termos taxa e tempo na mesma unidade,
e ja poderemos aplicar os dados do enunciado na nossa equa<;ao fundamental dos juros
compostos!
•
Exemplo 2 - Ur
lO% ao rnes, d
dos juros obtid
Solu<;ao: Identifi
qucstao de juros
E novamente
uma taxa de jur
Resolvendo os Primeiros Exemplos dejuros Compostos:
Na seql.iencia, trabalharemos uma serie de exemplos bern faceis, e em cujas resolU<;oes
iremos acrescendo novas e importames informa<;:6es e conceitos. E a forma mais pratica e
compostos.
Constatado is
compostos
inteligeme de irmos aprendendo.
A primeira co
Exernplo 1 - Urn capital de R$ 1.000,00 e aplicado a taxa de juros cornpostos de
10% ao rnes, durante urn prazo de tres rneses. Qual o valor do rnontante e dos
juros obtidos nesta opera~ao?
de juros e mensa
Solu<;ao: Trata-se do exemplo mais facil possfveL Primeiro, identificaremos o assumo da
(no regime com
questao. Ora, o enunciado veio nos falar em capital, em montante, em juros, em tempo de
Quando isso a
-7
1" Te
da tax
aplicat;ao. Todos sao elementos de uma opera<;:ao de juros! Resta-nos identificar o regime
da questao . Eo enunciado foi explicito quando disse "taxa de juros compostos". Pronto!
Vamos fazer i
Nao resta qualquer duvida estamos diame de uma questao de juros compostos. E se a
para meses . Ora,
questao e de juros compostos, imediatamente nos lembraremos da equa<;:ao fundamental.
eo mesmo que 1
Pois bem! Ag
Teremos:
18 meses.
M = C (1 + i)n
Observemos
Para podermos lan<;:ar, nesta equa<;:ao acima, os dados da questao, teremos que verificar
tentativa. Uma p
se esta cumprida a unica exigencia desta formula. Taxa e tempo ja estao na mesma uni-
Exatamente porq
dade? Sim a taxa e mensa! eo tempo de aplica<;:ao esta tambem em meses Dai, faremos o
(no caso, 18) Um
copiar-colar, e teremos
para on? Porque
M
= C (1
+ i)n
-7 M
=
1000 (1 + 0,10)
nao teriamos com
3
quebrada" (um n
Vejamos ai que o expoente do nosso parentese famoso e apenas tres. E urn expoente baixo.
Da para se calcular na mao. Emao, nao havera problemas para fazermos essa coma Teremos:
-7 M = 1000 x 1,331 -7 EM= 1.331,00 -7 Resposta!
Ji haviamos resolvido esse exercicio no inicio deste capitulo de uma forma diferente.
exemplo mais simples de ser resolvido. Adiante!
Eo
Retomemos a
-7
-7
-7
-7
c=
1
i = 10
n=1
M=?
Uma vez cum
M
Campos
o uma exigencia
os lembrados dismesma unidade,
mental dos juros
Capitulo 5 - juros Compostos
(Tffi
----------------------------~----~----~--------------------------~~
Exemplo 2 - Urn capital de R$ 1.000,00 e aplicado a taxa de juros cornpostos de
lO% ao rnes, durante urn prazo de urna ano e rneio. Qual o valor do rnontante e
dos juros obtidos nesta opera~ao?
Solu<;ao: Identificando o assunto. novamente foram fornecidos elementos tfpicos de uma
qucstao de juros (capital, taxa, tempo de aplica<;:ao).
E novamente o enunciado disse expressamente que a taxa envolvida na opera<;:ao e
uma taxa de juros compostos Dai, nao resta duvida trata-se de uma questao de juros
cujas resolU<;oes
ma mais pratica e
s cornpostos de
rnontante e dos
mos o assumo da
uros, em tempo de
compostos.
Constatado isso, sem demora colocaremos no papel a equa<;:ao fundamental dos juros
compostos
M = C (1 + i)n
A primeira coisa que observaremos e se a exigencia da formula ja esta cumprida a taxa
de juros e mensa!, eo tempo foi dado em anos!
Quando isso acontecer, ou seja, quando taxa e tempo estiverem em unidades diferentes
(no regime composto), a primeira tentativa que faremos sera sempre a seguinte:
-7
1" Tentativa- recorrer ao tempo, e tentar transforma-lo para a mesma unidade
da taxa.
ntificar o regime
postos". Pronto!
Vamos fazer isso! 0 tempo n dessa questao e de 1 ano e meio Vamos tentar passar tudo
ompostos. E se a
para meses . Ora, um ano tem doze meses . E meio ano tem seis meses. Logo, um ano e meio
;:ao fundamental.
eo mesmo que 18 meses.
Pois bem! Agora temos na questao uma taxa de 10% ao mes e um tempo de aplica<;:ao de
18 meses.
Observemos que nos conseguimos compatibilizar taxa e tempo ja na nossa primeira
mos que verificar
tentativa. Uma pergunta por que nos diremos que nossa primeira tentativa aqui deu certo?
o na mesma uni-
Exatamente porque, ao fazermos a altera<;:ao da unidade don, encontramos um numero inteiro
es Dai, faremos o
(no caso, 18) Um "valor redondo" Ora, e por que precisavamos encontrar um "valor redondo"
rn expoente baixo.
a coma Teremos:
rma diferente. Eo
para on? Porque on aparece no expoente da nossa formula! Enos, sem calculadora na mao,
nao teriamos como determinar o valor do parentese famoso caso o expoente fosse um "valor
quebrada" (um numero nao inteiro)!
Retomemos a questao nossos dados agora sao os seguintes:
-7
-7
-7
-7
c=
1.000,00
i = 10% a . m. Quros compostos!)
n = 18 meses
M=?ej=?
Uma vez cumprida a exigencia universal, aplicaremos a formula fundamental e teremos
M = C (1 + i)n -7 M = 1000 (1 + 10%) 18 = 1000 (1 + 0,10) 18
192
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Ora, quando tudo cmTia bern, sm·giu uma pedra' Como sera que faremos para calcular 0
parentese famoso neste caso, em que o expoente e igual a 18? Da para fazer na mao? 0 que
voces acham? Absolutamente. Seria imiavel realizarmos essa conta sem o auxilio da calculadora.
E sabemos que calculadora e algo proibido na prova Precisaremos de urn socorro!
Ai e que entra a salvadora Tabela Financeira!
Trata-se de uma tabela, fornecida pela prova, que ira nos socorrer justamente neste
momenta, em que se torna inviavel resolver as contas na mao . Via de regra, a ESAF nos
fornecera tres tabelas financeiras' Hoje, conheceremos apenas uma delas a tabela do
parentese famoso!
Veja que n6s estavamos tranquilamente resolvendo nossa questao quando surgiu o empecilho nao clava para fazer uma conta . Que conta? A do parentese famoso! E nessa hora que
co11sultaremos a tabela do parentese famoso
Esta clara? E como e a desta estmtura da tabela financeira, e como e que faremos 11ossa
consulta a ela?
E a seguinte a estmtura da tabela fi11anceira do parentese famoso na linha de cima,
ha\·era os valores das taxas (l %, 2%, 3%, ... e assim por dial1te), enquanto que 11a co luna da
esquerda, havera os valores den (1 periodo, 2 periodos, 3 periodos, e assim por diante).
Da seguinte forma:
1%
2%
3%
4%
5%
. . . 10% . . . 18%
1
2
3
-----------
Correremos 1
seguinte forma
~
Onde houve
aquele valor X q
valor do 11osso p
Aqui ja vam
ai11da, vamos tr
nosso exemplo
TABELA I-
ri'(
4
5
"MIOLO" DA TABELA
17
18
0 miolo da tabela trara os valores que serao justamente os resultados das contas do parentese famoso: Cl+i)n
Como e que se faz essa co11sulta?
No 11osso exemplo, temos que o parentese famoso em que esbarramos foi justamente o
(1 + 0,10) 18 Ou seja, temos uma taxa i = 10% e temos urn tempo de aplica<;;ao n = 18 . E
justamente com o uso destes dois elementos conhecidos que chegaremos ao resultado deste
parentese famoso.
I
I
1,01
2
1,02
3
1,03
16
1,17
l7
1,18
18
1,19
Pronto! Ago
M = C (l +
-7 Dai: M =
]a encontram
E, conforme sa
r Campos
os para calcular 0
er na mao? 0 que
lio da calculadora.
socorro!
Capitulo 5- Juras Compostos
[[9))
-------------------------~~~~~~~~~=---------------------_u~
Correremos 11ossa vista pela coluna da taxa i
10% e pela li11ha don= 18 periodos. Da
seguinte forma
~
1%
2%
3%
4%
5%
...
10%
...
18%
1
2
justamente neste
egra, a ESAF nos
elas a tabela do
3
4
5
do surgiu o empeE nessa hora que
que faremos 11ossa
17
X
18
na linha de cima,
que 11a co luna da
assim por diante).
%
Onde houver o cruzamento da colu11a do i = 10% com a linha don= 18 periodos, entao
aquele valor X que vai estar no miolo da tabela exatamente no local deste cmzamento sera o
valor do 11osso parentese famoso!
Aqui ja vamos presentea-los com a Tabela Financeira do Parentese Famoso . Melhor
ai11da, vamos trazer a tabela com essa co11sulta acima que teremos que fazer para concluir o
nosso exemplo 2 . Teremos:
TABELA I- FATOR DE ACUMULA<;:AO DE CAPITAL a n = (1 + i)n
das contas do pa-
s foi justamente o
plica<;;ao n = 18 . E
ao resultado deste
ri'(
I%
2%
8%
9%
10%
I
1,010000
1,020000
1,080000
1,090000
1,100000
2
1,020100
1,040400
1,166400
1,188100
1,210000
3
1,030301
1,061208
1,259712
1,295029
1,331000
16
1,172578
1,372786
3,425942
3,970306
4,594972
l7
1,184304
1,400241
3,700018
4,327633
5,054470
18
1,196147
1,428246
3,996019
4,717120
5,559917
Pronto! Agora, voltando a resolu<;;ao, teremos
M = C (l + i)n -7 M = 1000 (l + 10%) 18 -7 M = 1000 x 5,559917
-7 Dai: M = 5559,91
]a encontramos metade da nossa resposta A questao quer saber tambem o valor dos Juros
E, conforme sabemos:
Juros = Montante - Capital
CT94)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
~~--------------------~----~------------~------------~--------Dai, teremos
------------
Usando a prop
-7 J = 5.559,91- 1.000 -7 J = 4.559,91
TABELA I- F
Exemplo 3 - Urn capital de R$ 1.000,00 e aplicado a taxa de juros compostos de
5% ao mes, obtendo-se urn montante de R$ 1.407,1 0. Quanto tempo durou esta
opera~ao de juros?
~
SolU<;ao: Foram trazidos elementos de uma operac,;ao de juros, e o enunciado falou expres-
samente que a taxa e de juros compostos, de modo que se trata, inequivocamente, de uma
questao de juros compostos!
Comec,;amos com a equac,;ao fundamentaL Teremos:
Aqui surge nossa primeira preocupac,;ao:a exigencia da formula ja esta cumprida? A taxa
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
fornecida esta em termos mensais (i = 5% am) E o tempo n? Ora, e isso o que a questao
quer saber!
Vejamos se o enunciado forneceu uma taxa mensa!, e se nos aplicarrnos a equw;ao funda-
mental, entao encontraremos como resultado urn tempo de aplicac,;ao n tambem em meses! E
daro' Ja que taxa e tempo tern que estar na mesma unidade!
Quando fizer
justamente aquele
Neste caso, en
era uma taxa men
Aplicando os dados na formula, teremos
Dai: n
= 7 me
M = C (1 + i)" -7 L407,l0 = 1000 (l + 5%)"
1407,10
Dat (1 + 5%)" =
-7 E 0+5%)"= 1,40710
1000
Aqui, novamente paramos, ou melhor, esbarramos no parentese famoso! Como sair dessa
Exemplo 4 - Ur
urn periodo de
de R$ 1.360,48
igualdade? Ora, como auxilio de urn recurso fornecido pela prova! Qual? A tabela financeira,
Soluc;:ao: Disse ex
obviamente.
trata-se de uma q
Observemos que, neste caso, os elementos que conhecemos sao o valor da taxa 0=5%) e
o valor do resultado do parentese (= 1, 4071 0)
Voces certamente ja estao concluindo que para consul tar a tabela financeira, trabalhare-
Temos que tr
mos sempre com tres elementos, sendo dais deles conhecidos e urn desconhecido. Os tres
foi fornecido n
elementos serao sempre taxa (i), tempo (n) eo resultado do parentese. Conhecendo dois
se aplicarmos a
deles, temos como descobrir o terceiro.
Porque taxa e te
Neste exemplo, nossa consulta sera feita da seguinte forma correremos nossa vista pela
usar a equac;:ao.
co luna da taxa i=5%. E dentro desta co luna, procuraremos (no miolo da tabela) urn valor igual
Dai, teremos:
(ou mais aproximado possivel) de 1,40710 (que eo resultado do parentese) .
M = C (1 + i)
Quando encontrarmos esse valor na coluna do i = 5%, entao teremos que correr nossa
vista agora pela linha correspondente, dirigindo-nos para a esquerda, ate chegarmos
coluna don.
a
Dai (l + i) 4 =
Aqui, esbarra
auxilio da tabela
Campos
--~---------
CT95)
Capitulo 5 - juros Compostos
---------------------------~----~----~------------------------~~
Usando a propria tabela financeira, veremos que nossa consulta sera a seguinte
s compostos de
mpo durou esta
TABELA I- FATOR DE ACUMULA<;:AO DE CAPITAL an = (1 + i)"
~
1%
2%
3%
4%
5%
1
1,010000
1,020000
1,030000
1,040000
1,050000
2
1,020100
1,040400
1,060900
1,081600
1,102500
3
1,030301
1,061208
1,092727
1,124864
1,157625
4
1,040604
1,082432
1,125508
1,169858
1,215506
5
1,051010
1,104081
1,159274
1,216652
1,276281
6
1,061520
1,126162
1,194052
1,265319
1,340095
7
1,072135
1,148685
1,229873
1,315931
1.407100
ado falou expres-
ocamente, de uma
cumprida? A taxa
o o que a questao
s a equw;ao funda-
mbem em meses!
E
Quando fizermos isso, o valor do n que encontraremos Ia na coluna da esquerda sera
justamente aquele tempo de aplicac,;ao que estamos procurando!
Neste caso, encontramos que n = 7. Mas 7 o que? Ora, se a taxa com a qual trabalhamos
era uma taxa mensa!, entao este tempo significara tambem 7 meses!
Dai: n
= 7 meses -7 Resposta!
! Como sair dessa
Exemplo 4 - Urn capital de R$ 1.000,00 e aplicado, a juros compostos, durante
urn periodo de tempo de 4 meses, obtendo-se ao final da opera~ao urn montante
de R$ 1.360,48. Qual a taxa utilizada nesta opera~ao?
tabela financeira,
Soluc;:ao: Disse expressamente o enunciado que a aplicac,;ao se deu ajuros compostos. Logo,
trata-se de uma questao de juros compostos' A equa<;ao fundamental e a seguinte.
r da taxa 0=5%) e
nceira, trabalhare-
M
= C (1
+ i)"
Temos que trabalhar, ja sabemos disso, com taxa e tempo na mesma unidade! 0 tempo
= 4 meses. Mas a taxa e justamente o que esta sendo procurado! Ora,
onhecido. Os tres
foi fornecido n
Conhecendo dois
se aplicarmos a formula, encontraremos como resultado uma taxa mensaL Por que?
Porque taxa e tempo devem, necessariamente, estar na mesma unidade para podermos
os nossa vista pela
usar a equac;:ao.
ela) urn valor igual
Dai, teremos:
e) .
M = C (1 + i)" -7 1360,48 = 1000 (l + i)4
1360 48
Dai (l + i) 4 =
'
-7 E (1 + i) 4 = 1 36048
1000
'
Aqui, esbarramos novamente no parentese famoso, e nao temos como sair dele sem o
s que correr nossa
ate chegarmos
a
auxilio da tabela financeira!
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Neste caso, os dais elementos conhecidos sao justamente o tempo da operac;ao n = 4 e 0
resultado do parentese () = 1,36048.
Ja sabemos que, se dispusermos de dais elementos, encontraremos o terceiro em nossa
consulta a tabela. Essa consulta sera feita assinr primeiramente, correremos nossa vista pela
linha don= 4 e dentro desta linha (no miolo), procuraremos par um valor igual (ou mais
aproximado passive!) a 1,36048 Quando encontrarmos esse valor, entao correremos nossa
vista pela coluna correspondente, dirigindo nossa vista para cima, ate chegarmos a linha das
taxas . Aquela taxa que encontrarmos sera a taxa que estamos procurando!
Vejamos na tabela financeira como sera realizada essa consulta Teremos
E ai? Funcion
tramos um nume
n inteiro (um num
hi no expoente d
ele\·ada a expoen
Conclusao f
E quando iss
recorrer
a taxa,
Aprenderemo
= (1
TABHA I- FATOR DE ACUMULA(AO DE CAPITAL a"
ate um topico e
+ i)"
exatamente neste
7%
8%
9%
10%
1,020000
1,070000
1,080000
1,090000
1,100000
1,020100
1,040400
1,144900
1,166400
1,188100
1,210000
3
1,030301
1,061208
1,225043
1,259712
1,295029
1,331000
4
1,040604
1,082432
1,310796
1,360488
1,411581
1,464100
a unidade de um
5
1,051010
1,104081
1,402552
1,469329
1,538624
1,610510
c:ompostos, desc
X
1%
2%
I
1,010000
2
...
...
"""
18
1,196147
1,428246
3,379932
3,996019
.
Taxa Equival
c:isarmos, em qu
.
4,717120
5.3. Taxas Eq
5,559917
esse conceito de
0 conceito d
Dai, encontramos que a taxa procurada e i = 8% . Mas 8% ao que? Ora, se o nosso n estava
em meses, entao a taxa tambem tera que estar nesta mesma unidade. Ou seja: i = 8% ao roes
a Resposta!
Le-se assim:
So se aprend
exemplo cinco.: v
Exemplo 5- Urn capital de R$ 1.000,00 e aplicado a uma taxa dejuros compostos
de 21% ao bimestre, durante urn periodo de tempo de 5 meses. Qual o valor do
montante e dos juros obtidos nesta opera~ao?
Solw;ao: Trata-se (o enunciado falou expressamente) de uma questao de juros compostos!
Dai, ja comec;amos colocando a cqua<;ao fundamental! Teremos:
M = C (l + i)"
Dai, teremos que verificar se taxa e tempo ja estao na mesma unidade. E ai? Estao? Nao!
A taxa esta ao bimestrc, enquanto o tempo esta em meses.
Sendo assim, lembraremos o que foi aprendido no exemplo dois: se, no regime composto,
taxa e tempo estao em unidades diferentes, far·emos uma primeira tentativa, que consiste em
recorrer ao tempo e tentar altera-lo para a mesma unidade da taxa
Fac;amos isso 5 meses = 2,5 bimestres.
Entao, trabal
Mes e menor qu
taxa ao bimestre
-7
-7
I= 2
i =? (
E quanta ao
terminado da se
periodo maior e
menor cabe no p
Traduzindo
logo, terernos k
Campos
Capitulo 5- Juros Compostos
perac;ao n = 4 e 0
E ai? Funcionou a nossa primeira tentativa? Sim ou nao? Nao! E par que? Porque encon-
terceiro em nossa
os nossa vista pela
lor igual (ou mais
correremos nossa
garmos a linha das
n inteiro (um numero natural), pais on aparece na equac;ao fundamental dos juros compostos
tramos um numero quebrada, um valor nao-inteiro para on . E precisamos trabalhar com um
hi no expoente do parentese famoso, e nos nao temos como calcular uma quantia qualquer
ele\·ada a expoente nao inteiro (nem a tabela financeira nos socorre neste caso)!
Conclusao falhou nossa primeira tentativa!
E quando isso ocorrer, so nos restara uma saida a segunda tentativa. E esta consiste em
recorrer
s
a taxa, e alterar a unidade da taxa para a mesma unidade do tempo.
Aprenderemos agora um conceito essencial ao estudo do regime composto! Vamos abrir
ate um topico especifico para esse conceito e, apos isso, retomaremos esse exemplo cinco
(1 + i)"
exatamente neste ponto em que paramos .
10%
00
1,100000
00
1,210000
29
1,331000
Taxa Equivalente e o conceito que usaremos, como rcgra gcral, quando precisarmos alterar
81
1,464100
a unidade de uma taxa no regime composto! Ou seja, se estivermos em questoes de juros
624
1,610510
c:ompostos, desconto composto, equivalencia composta, rendas cetlas ou amortizac;ao, e pre-
5.3. Taxas Equivalentes
c:isarmos, em qualquer uma delas, alterar a unidade de uma taxa, entao trabalharemos com
120
5,559917
esse conceito de taxas equivalentes.
0 conceito de taxa equivalente se traduz por uma formula, que e a seguinte:
1 +I= (1 + i)k
se o nosso n estava
eja: i = 8% ao roes
Le-se assim: "um mais 'izao' e igual a um mais 'izinho' elevado a k".
So se aprende a usar esse conceito vendo um exemplo. Vamos fazer aquela alterac;ao do
exemplo cinco.: vamos passar a taxa composta de 21% ao bimestre para uma taxa mensal
uros compostos
Qual o valor do
Entao, trabalharemos nessa alterac;ao com uma taxa ao roes, e com uma taxa ao bimestre.
Mes e menor que bimestre. Dai, diremos que a taxa ao roes sera o "izinho", enquanto que a
taxa ao bimestre sera o "izao" Certo? Entao, teremos:
juros compostos!
-7
-7
I = 21% ao bimestre;
i =? (taxa ao mes)
E quanta ao k da formula das taxas equivalentes? Este k das taxas equivalentes sera deE ai? Estao? Nao!
regime composto,
a, que consiste em
terminado da seguinte forma: vamos passar uma taxa ao bimestre para uma taxa ao mes . 0
periodo maior e o bimestre, e o menor e o mes . Dai, perguntaremos. "quantas vezes o periodo
menor cabe no periodo maior?"
Traduzindo para esse caso "quantos meses cabem em urn bimestre?" A resposta e dois.
logo, terernos k
=
2.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Dai, teremos
Feita essa analise previa, chegamos aos seguintes valores:
-7
-7
-7
I = 21% ao bimestre;
i =? (taxa ao mes)
Aqui, para de
k= 2
nanceira. Nossa c
Agora e so aplicar a formula das taxas equivalentes Teremos:
1 + I = ( 1 + i)k -7 1 + 0,21 = ( 1 + i)2 -7 (1 + i) 2 = 1,21
TABEL
Aqui, novamente, csbarramos no parentese famoso! Podemos recorrer a tabela financeira,
~
para descobrirmos quem sera essa taxa izinho. Nossa consulta sera a seguinte:
TABELA I- FATOR DE ACUMULA<;:AO DE CAPITAL a" = (I + i)n
~
1%
2%
1
1,010000
2
1,020100
...
1
1,0
2
1,0
8%
9%
10%
3
1,0
1,020000
1,080000
1,090000
1,100000
4
1,0
1,040400
1,166400
1,188100
1,210000
5
1,0
3
1,030301
1,061208
1,259712
1,295029
1,331000
...
4
1,040604
1,082432
1,360488
1,411581
1,464100
18
5
1,051010
1,104081
1,469329
1,538624
1,610510
...
. ..
3,996019
4,717120
...
18
,.
1,196147
1,428246
1,1
Prosseguindo
5,559917
1 +I= (1 + i)
E: I= 0,0927
Dai, descobrimos que a taxa que buscamos, a nossa taxa izinho e i
que? Ora, izinho e uma taxa mensaL Logo. i
Conclusao. 21% ao bimestre
= 10% . Mas 10% ao
= 10% ao mes .
e equivalente a 10% ao mes. Achamos a nossa taxa equi-
Ora, esse izao
esta em termos u
-la por 100. Logo
valente! Facil ate demais!
Outro exemplo: suponhamos que voce precise alterar a unidade da taxa de juros compostos
de 3% ao mes para uma taxa composta trimestral.
Ora, se vamos alterar a unidade de taxa no regime composto, usaremos o conceito de taxas
Mas 9,27% a
9,27% ao trimes
Pronto! ja sab
cqHivalentes, o qual se traduz pela seguinte formula.
1 +I= (1 + i)k
Voltando ao
menor do que trimestre (I) Alem disso, cabem tres meses em urn trimestre Logo, nossos
Exemplo 5- Urn
de 21% ao bim
montante e do
dados para aplicar no conceito de taxas equivalentes sao os seguintes:
Solu(,;iio: Retome
Aqui, trabalharemos com uma taxa ao mes, e com uma taxa ao trimestre. Ora, mes (i) e
-7
-7
-7
i = 3% ao mes;
I=?
k= 3
enunciado falou
Capitulo 5 - Juros Compostos
Campos
Dai, teremos
1+I
= (1
+ i)k -7 1 + I
= (1
+
3%) 3
Aqui, para deterrninarmos o valor do parentese famoso, poderemos recorrer
a tabela fi-
nanceira. Nossa consult« sera a seguinte
TABELA I- FATOR DE ACUMULA<;:AO DE CAPITAL an= (1 + i)"
tabela financeira,
~
1%
2%
3%
4%
5%
1
1,010000
1,020000
1,030000
1,040000
1,050000
2
1,020100
1,040400
1,060900
1,081600
1,102500
10%
3
1,030301
1,061208
1,092727
1,124864
1,157625
1,100000
4
1,040604
1,082432
1,125508
1,169858
1,215506
1,210000
5
1,051010
1 '104081
1,159274
1,216652
1,276281
1,331000
...
1,464100
18
1,196147
1,428246
1,702433
2,025816
2,406619
te:
1,610510
Prosseguindo, teremos
5,559917
10% . Mas 10% ao
a nossa taxa equi-
e juros compostos
o conceito de taxas
re. Ora, mes (i) e
stre Logo, nossos
1 +I= (1 + i)" -7 1 +I= (l + 3%) 3 -7 1 +I= 1,092727 -7 I= 1,092727-1
E: I= 0,092727
Ora, esse izao que encontramos ja e a taxa eqttivalente que estamos procurando. So que
esta em termos unitarios! Para passa-la para a nota(,;ao percentual, so teremos que multiplica-la por 100. Logo, chegaremos a:
I= 0,092727
=
9,27%
Mas 9,27% ao que? Izao neste caso e uma taxa ao trimestre! Logo, concluimos que I
=
9,27% ao trimestre e equivalente a i = 3% ao mes.
Pronto! ja sabemos tudo sobre taxas equivalentes!
Voltando ao exemplo cinco
Exemplo 5- Urn capital de R$ 1.000,00 e aplicado a urn a taxa de juros compostos
de 21% ao bimestre, durante urn periodo de tempo de 5 meses. Qual o valor do
montante e dos juros obtidos nesta opera~ao?
Solu(,;iio: Retomemos o raciocinio do inicio . A questao e de juros compostos, uma vez que o
enunciado falou expressamente Portanto, usaremos a equa(,;ao fundamental
M = C (1 + i)"
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
200
------------
Para aplicarmos esta formula, faz-se necessa1io que taxa e tempo estejam na mesma unidade.
Dai, vemos que a taxa esta ao bimestre eo tempo esta em meses. lmediatamente nos lembramos
que quando isso ocorrer no regime composto (taxa e tempo em unidades diferentes), teremos
1
1,01
P Tentativa- Recorrer ao tempo, e tentar transforma-lo para a mesma unidade
2
1,02
da taxa.
3
1,03
4
1,04
5
1,05
56 diremos que essa prime ira tentativa deu certo se encontrarmos, ap6s a altera<;;ao, um n
inteiro (um valor redondo den)!
5e a primeira tentativa falhar, ou seja, se encontrarmos para o n um valor quebrada Cum
numero nao-inteiro), entao s6 restara passar a segunda tentativa.
-7
~
1
de seguir duas tentativas, nesta ordem:
-7
TABEL
2~
...
18
1,19
Tentativa- Alterar a unidade da taxa, transformando-a para a mesma unidade
do tempo, por meio do conceito de taxas equivalentes.
Passemos, pois, a primeira tentativa. Na hora de tentar transformar 5 meses para a unidade
bimestres, encontramos que 5 meses = 2,5 bimestres
Como 2,5 e um valor quebrada, conduimos que falhou nossa primeira tentativa.
Teremos que usar a segunda tentativa, e transformar a taxa bimestral para uma taxa mensa!.
Como estamos no regime composto, usaremos o conceito de taxas equivalentes:
1 +I= (1 + i)k
0 conceito acima traz I (izao), i (izinho) e k.
-7
I representara a taxa com maior unidade de tempo,
-7
i sera a taxa de menor unidade de tempo;
-7
k sera encontrado pela pergunta "quantas vezes o unidade de tempo menor cabe
na unidade de tempo maior?" 56 isso!
E chegamos a
Ora, todo ess
unidadel Agora,
sao as seguintes
-7 c = 1
-7 i = 10
-7 n = 5
-7 M='e
Aplicando a c
Aqui, surge a n
Neste caso, queremos transformar uma taxa ao bimestre em uma taxa ao mes. Bimestre e
TABEL
maior que mes, logo a taxa bimestral sera nosso I. For outro !ado, mes e menor que bimestre,
de modo que a taxa mensa! sera nosso i E finalmente, cabem dois meses em um bimestre, de
modo que k sera igual a 2 . Teremos
-7
I = 21% ao bimestre
-7
i =? ao mes
-7
k =2
Jogando os dados na f6mmla das taxas equivalentes, teremos:
1 +I= (l + i)k -7 1 + 0,21 = (1 + i) 2 -7 (l + i) 2 = 1,21
Neste momenta, podemos nos valer da tabela financeira, para descobrirmos quem sera o
~
1
1
1,01
2
1,02
3
1,03
4
1,04
5
1,05
...
18
1,19
valor doL Nossa consulta sera a seguinte:
Dai, teremos:
M = 1000 (l
-7 E: M = 1.6
r Campos
C2QD
Capitulo 5- Juras Compostos
-------------------------~~----~----~------------------------~~
na mesma unidade.
nte nos lembramos
ferentes), teremos
a mesma unidade
s a altera<;;ao, um n
alor quebrada Cum
TABELA I- FATOR DE ACUMULA<;:AO DE CAPITAL an = (l + i)n
~
1%
2%
1
1,010000
2
...
8%
9%
10%
1,020000
1,080000
1,090000
1,100000
1,020100
1,040400
1,166400
1,188100
1,210000
3
1,030301
1,061208
1,259712
1,295029
1,331000
4
1,040604
1,082432
1,360488
1,411581
1,464100
5
1,051010
1,104081
1,469329
1,538624
1,610510
1,196147
1,428246
3,996019
4,717120
5,559917
...
18
a mesma unidade
ses para a unidade
tentativa.
a uma taxa mensa!.
alentes:
E chegamos a uma taxa i = 10% ao mes.
Ora, todo esse trabalho inicial teve um unico intuito: colocar taxa e tempo na mesma
unidadel Agora, sim trabalharemos a opera<;:ao de juros compostos. Nossos dados agora
sao as seguintes
-7 c = 1000,00
-7 i = 10% ao mes Guros compostos)
-7 n = 5 meses
-7 M='eJ=?
Aplicando a cqtw<;ao fundamental dos juros compostos, teremos
M = C (1 + i)n -7 M = 1000 (1 + 10%) 5
tempo menor cabe
Aqui, surge a necessidade de nova consulta a tabela financeira. E sera feita da seguinte forma
ao mes. Bimestre e
TABELA I- FATOR DE ACUMULA<;:AO DE CAPITAL an= (1 + i)n
enor que bimestre,
m um bimestre, de
irmos quem sera o
~
1%
2%
...
8%
9%
10%
1
1,010000
1,020000
1,080000
1,090000
1,100000
2
1,020100
1,040400
1,166400
1,188100
1,210000
3
1,030301
1,061208
1,259712
1,295029
1,331000
4
1,040604
1,082432
1,360488
1,411581
1,464100
5
1,051010
1,104081
1,469329
1,538624
1,610510
...
18
.,..
'''
1,196147
1,428246
3,996019
Dai, teremos:
M = 1000 (l + 10%) 5 -7 M = 1000 x 1,610510
-7 E: M = 1.610,51 -7 Resposta!
4,717120
5,559917
202
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
Sa ben do que juros = Montante - Capital, chegaremos tambern ao seguinte
] = L610,51-l 000 -7] = 610,51 -7 Resposta!
IMPORTANTE: Pelo que vimos ate aqui, voces ja estao aptos a estabelecer o seguinte raciocinio:
quando precisarmos alterar a unidade de uma taxa qualquer, teremos que observar em qual
dos regimes estamos trabalhando. Se estivermos no regime simples, usaremos sempre (nao ha
exce<;:ao) o conceito de taxas proporcionais" Se estivermos no regime composto, usaremos (corno
regra geral) o conceito de teems equivalentes Assim, ilustrativamente:
No regime
Simples
Para alterar o tempo
de uma taxa
V
r:;::::::-
I·
..-------~ Proporcionais (sempre!)
-
" "' - - - - - - - • I Taxas Equivalentes (regra geral)
1No regime Compos to
5.4. Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Por que dizemos que o uso das taxas equivalentes no regime composto sera apenas uma
regra geral? Exatamente porque havera uma exce<;ao!
Ou seja, havera uma unica exce~;ao, urn unico momenta em que cstaremos no regime
composto e nao utilizaremos o conceito de taxas equivalentes para alterar a unidade de
uma taxa
Vejamos o exemplo seguinte:
-
A Taxa Nomin
p conclusao- Es
Ou seja, se sur
compostos; se su
desconto compos
essa questao sera
rambem podem a
gime composto"
Aten<;ao: quando
precisara ser dito
obrigac;ao de sabe
de estar trabalha
no enunciado
2" condusao - Um
Ora, se nao s
transformada em
Ou seja, a tax
Em suma, as
questao serao, de
Exemplo 6 - Urn capital de R$ 1.000,00 e aplicado durante urn prazo de 8 meses,
a uma taxa de 60% ao ano, com capitalizar;:ao mensal. Qual o valor do Montante
e dos juros obtidos nesta operar;:ao?
Solu<;ao: Eis que surge urn conceito novo neste enunciado! 0 que houve de novidade aqui?
Foi fornecida uma taxa em urn formato diferente do que havlamos vista ate entao! Vejamos:
60% ao ano com capitaliza<;ao mensaL
Sempre que nos depararmos com uma taxa nesse formato, com a palavra capitaliza<;ao, e
em que a unidade da taxa for diferente da unidade da capitalizac;ao, saberemos imediatamente
que estamos diante de uma Taxa NominaL
Taxa Nominal sera, portanto, uma taxa seguida da palavra capitaliza<;ao, e em que se
observara que a unidade da taxa e diferente da unidade da capitalizac;ao
Neste nosso caso - 60% ao ano com capitalizw;ao mensal - temos que a unidade da taxa e
o ano e a unidade da capitalizac;ao e o mes. Logo, nao nos restara nenhuma duvida essa e
uma taxa nominal.
Ora, vimos h
regra geral o con
essa regra"
Pais bem, a e
valentes para tran
E essa a grand
emb
0 destaque a
er Campos
guinte
seguinte raciocinio:
e observar em qual
mos sempre (nao ha
o, usaremos (corno
(sempre!)
(regra geral)
to sera apenas uma
aremos no regime
terar a unidade de
razo de 8 meses,
alor do Montante
de novidade aqui?
ate entao! Vejamos:
-
Capitulo 5- Juras Compostos
A Taxa Nominal nos conduzira a duas conclusoes imediatas
p conclusao- Estamos trabalhando no regime composto!
Ou seja, se surgir uma taxa nominal em uma questao de juros, essa questao sera de juros
compostos; se surgir uma taxa nominal numa questao de desconto, essa questao sera de
desconto composto; se surgir uma taxa nominal numa questao de equivalencia de capitais,
essa questao sera de equivalencia compostao Em questoes de rendas certas e amortizac;ao
rambem podem aparecer taxas nominais, uma vez que ambos os assuntos ocorrem no regime composto"
Aten<;ao: quando aparecer uma taxa nominal no enunciado de uma questao qualquer, nao
precisara ser dito expressamente que a questao ocorre no regime compostol Teremos a
obrigac;ao de saber disso! Dai, conduimos que a segunda maneira pela qual teremos certeza
de estar trabalhando no regime composto e justamente quando houver uma taxa nominal
no enunciado
2" condusao - Uma taxa nominal nao serve para ser aplicada em nenhuma f6mmla!
Ora, se nao sen'e para formula nenhuma, resta que a taxa nominal tera de ser sempre
transformada em um outro tipo de taxa" Esse outro tipo de taxa tera o nome de taxa efetiva
Ou seja, a taxa nominal s6 serve para ser transformada em taxa efetiva.o
Em suma, as condusoes que tiraremos assim que virmos uma taxa nominal em nossa
questao serao, de forma ilustrativa, as seguintes
r--------------+1 Regime Composto I
Nao serve para
as formulas
Tern que ser transformada mnna
.
Taxa Efetwa 1
1
Ora, vimos ha pouco que para alterar uma taxa no regime composto, usaremos como
regra geral o conceito de taxas equivalentes"" E vimos ainda que ha uma unica excec;ao a
a<;ao, e em que se
essa regra"
Pais bem, a excec;ao e justamente essa: nao trabalharemos como conceito de taxas equivalentes para transfom1ar uma taxa nominal em taxa efetivao
E essa a grande excec;ao da matematica financeira:
a unidade da taxa e
uma duvida essa e
Para transformar Taxa Nominal em Taxa Efetiva,
embora estando no Regime Composto, utilizaremos o conceito
de Taxas Proporcionais!
vra capitaliza<;ao, e
mos imediatamente
0 destaque acima e merecido! Nao podemos esquecer disso em hip6tese alguma!
C2Q4)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
~~----~~==~~~~~~~~~----~~~~~~----------~----------
Do exposto, poderemos organizar nossas ideias da seguinte forma
~
Retornando
usado no regime simples, sem excec;ao algumao Todavia, sera tambem utilizado no
Exemplo 6- Urn
a uma taxa de 6
e dos juros obt
regime composto, so que como excec;ao, em uma (mica situac;ao" para transforrnar
SolU<;:ao: Apareceu
0 conceito de Taxas Proporcionais e um conceito proprio do regime simples" Sera
~
------------
taxa nominal em taxa efetiva' Fora disso, nao ha que se falar em taxas proporcionais
mos no regime co
no regime composto!
sabemos que tere
0 conceito de Taxas Equivalentes e um conceito proprio do regime composto.
ainda que essa tra
Sera usado sempre que precisarmos alterar a unidade de uma taxa composta,
proporcionais e q
com uma (mica e singularissima excec;ao. nao usaremos taxas equivalentes para
Dai, teremos
60%
transformar taxa nominal em taxa efetiva Para tanto, usaremos o conceito de
taxas proporcionais!
Aplicando o co
Perdoem-nos a insistencia e a repetic;ao! Mas se trata de um momenta crucial do nosso
curso' Havera na prova, como veremos adiante, questoes que tratarao (mica e exclusivamente
dos conceitos de taxas . Se o a! uno estiver seguro desses conceitos, entao ganhara alguns pontos
a mais, facilmente
Bem! Ja sabemos o que e uma taxa nominal. E o que vem a ser uma taxa efetiva? Ora, se
a taxa nominal e aquela em que o tempo da taxa e diferente do tempo da capitalizac;ao, resta
que a taxa efetiva sera aquela taxa cornposta ern que o tempo da taxa e igual ao tempo
-7
60% ao ano
Feito isso, nos
~
c = 10
~
i = 5%
~
n=8n
~
M =? e
Uma vez que j
da capitalizac;ao!
Vamos fazer a nossa primeira transformac;ao de taxa nominal em taxa efetiva Vamos Ia!
60% a a , com capitalizac;ao mensa!
[]]%a.?
TAXA NOMINAL
TAXA EFETIVA
A pergunta e "a taxa efetiva sera alguma coisa por cento ao que?" Ora, aprendamos logo
definitivamente que a unidade da taxa efetiva e sempre igual
a unidade da capitalizac;ao!
Se a capitalizac;ao e mensa!, a taxa efetiva e ao mes; se a capitalizac;ao e bimestral, a taxa
Jtmdamental dos ju
Novamente fa
TABELA I- F
~
1
efetiva e ao bimestre; se a capitalizac;ao e semestral, a taxa efetiva e ao semestre; e assim por
1
1,01
diante
2
1,02
3
1,03
4
1,04
5
1,05
6
106
7
1,07
Aplicando o conceito de taxas proporcionais, teremos, enfim, que
8
1,08
~
...
Neste nosso caso, entao, a taxa efetiva sera uma taxa mensa!, uma vez que a capitalizac;ao
tambem
0
e.
Assim, teremos
60% a a , com capitalizac;ao mensa!
[]]% a.mo
TAXA NOMINAL
TAXA EFETIVA
60% ao ano = (60/12) = 5% ao rnes =Taxa Efetiva mensal!
18
1,19
Campos
---------
C2QS)
Capitulo 5- juros Compostos
---------------------------~----~----~------------------------~~
Retornando ao Exemplo Seis
bem utilizado no
Exemplo 6- Urn capital de R$ 1.000,00 e aplicado durante urn prazo de 8 meses,
a uma taxa de 60% ao ano, com capitaliza~ao mensal. Qual o valor do Montante
e dos juros obtidos nesta opera~ao?
para transforrnar
SolU<;:ao: Apareceu uma taxa nominal em nosso enunciado! Imediatamente, sabemos que esta-
ime simples" Sera
xas proporcionais
mos no regime composto. Portanto, a questao e de juros compostos! Tambem imediatamente
sabemos que teremos que transformar essa taxa nominal em uma taxa efetiva" E sabemos
egime composto.
ainda que essa transformac;ao (nominal para efetiva) sera feita por meio do conceito de taxas
a taxa composta,
proporcionais e que o tempo da taxa efetiva sera sempre o mesmo tempo da capitalizac;ao.
equivalentes para
Dai, teremos
os o conceito de
ara alguns pontos
xa efetiva? Ora, se
apitalizac;ao, resta
e igual ao tempo
fetiva Vamos Ia!
[]]% a.m
TAXA NOMINAL
TAXA EFETIVA
Aplicando o conceito de taxas proporcionais, teremos, enfim, que:
crucial do nosso
e exclusivamente
60% a a , com capitalizac;ao mensa!
-7
60% ao ano = (60112) = 5% ao mes = Taxa Efetiva mensa!!
Feito isso, nossos dados da questao agora sao os seguintes
~
c = 1000,00
~
i = 5% ao mes Quros compostos)
~
n = 8 n1eses
~
M =? ej =?
Uma vez que ja estamos com taxa e tempo na mesma unidade, resta-nos aplicar a equac;ao
Jtmdamental dos juros compostoso Teremos:
M = C (1 + i)"
.?
ETIVA
aprendamos logo
da capitalizac;ao!
Novamente faremos uma consulta
~
M
= 1000.(1 + 5%) 8
a tabela financeira
E sera feita da seguinte forma·
TABELA I- FATOR DE ACUMULA<;:AO DE CAPITAL a n = (1 + i)"
e bimestral, a taxa
~
1%
2%
3%
4%
5%
estre; e assim por
1
1,010000
1,020000
1,030000
1,040000
1,050000
2
1,020100
1,040400
1,060900
1,081600
1,102500
3
1,030301
1,061208
1,092727
1,124864
1,157625
4
1,040604
1,082432
1,125508
1,169858
1,215506
ue a capitalizac;ao
5
1,051010
1,104081
1,159274
1,216652
1,276281
.mo
6
1061520
1,126162
1,194052
1,265319
1,340095
ETIVA
7
1,072135
1,148685
1,229873
1,315931
1,407100
8
1,082856
1,171659
1,266770
1,368569
1:+7H55
1,196147
1,428246
1,702433
2,025816
2,406619
...
18
(2Q6J
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
~~--------------------~--~~----------~------------~---------
Aqui, recorrer
Oaf, teremos.
mas assim nossa c
-7 M = 1000 (1 + 5%) 8 -7 M = 1000 x 1,477455
-7 M = 1.477,45 -7 Resposta! -7 E J = 477,45 -7 Resposta!
TABEL
Exemplo 7- Urn capital de R$ 1.000,00 e aplicado durante urn prazo de 3 meses,
a uma taxa de 42% ao quadrimestre, com capitaliza~ao bimestral. Qual o valor
do Montante e dos juros obtidos nesta opera~ao?
X
I%
I
1,010
2
1,020
3
1,030
4
1,040
lmediatamente, sabemos que estamos no regime composto, e que essa taxa nominal precisa
5
1,051
ser transformada em taxa efetiva, por meio do conceito de taxas proporcionais. Atenc;ao para 0
...
fato de que a taxa efetiva sera, neste caso, uma taxa bimestral (mesma unidade da capitalizac;ao)!
I8
Soluc;:ao: Se entendermos bern esse exemplo, estaremos demonstrando que aprendemos por
completo o trabalho com as taxas do regime composto!
Vejamos o enunciado fomeceu uma taxa nominaL Qual foi? 42% ao quad1imestre com
capitalizw;cw bimestral.
1,196
Teremos
42% a q, com capitalizac;ao bimestral
[I]% a b.
TAXA NOMINAL
TAXA EFETIVA
E chegamos a
Feito isso, con
Aplicando o conceito de taxas proporcionais, teremos, enfim, que:
somente agora, pr
-7 42% ao quadrimestre = (42/2) = 21% a.b. =Taxa Efetiva bimestral!
sendo os seguinte
-7
-7
-7
-7
Feito isso, nossos dados da questao agora sao os seguintes:
-7
-7
-7
-7
c = 1000,00
i = 21% ao bimestre Quros compostos)
n
=
3 meses
c=
10
i = 10%
n =3
M=?
Aplicando a f
M=?e]=?
Percebemos, entao, que taxa e tempo encontram-se em unidades diferentes! Como estamos no regime composto, teremos que usar duas tentativas para compatibilizar as unidades,
E mais uma v
nesta ordetn:
P Tentativa- recorrer ao tempo, e ten tar transformar 3 meses para alguma coisa ern bimestres.
Fica como? 3 meses = 1,5 bimestre
Funcionou nossa primeira tentativa? Nao! Falhou! E falhou por que? Porque encontramos
urn n quebrada (urn valor nao-inteiro)!
Oai, passamos
agoraja
a segunda tentativa, na qual alteraremos a unidade da taxa composta (que
e uma taxa efetiva), por meio do conceito de taxas equivalentes.
0 conceito de taws equivalentes, ja sabemos, se traduz pela seguinte formula. 1 + I = (I + i)k.
Aqui, queremos transfom1ar uma taxa bimestral em uma taxa mensa! Oaf, teremos que:
-7
-7
-7
I = 21% ao bimestre;
i =? % ao mes;
k = 2 (cabem 2 meses em urn bimestre!)
Oat I+ I= (I+ i)k -7 1 + 0,21 = (1 + i) 2 -7 (l + i) 2= 1,21
TABELA I- F
ri'Z
I%
1
1,010000
2
1,020100
3
1,030301
4
1,040604
5
1,051010
Oai, teremos
-7 M = 1000
E, finalmente
Capitulo 5 - juros Compostos
er Campos
--~---------
Aqui, recorreremos a tabela financeira, para descobrirmos quem sera a nossa taxa i Faremas assim nossa consulta:
TABELA I- FATOR DE ACUMULA<::AO DE CAPITAL a n
azo de 3 meses,
al. Qual o valor
X
I%
2%
I
1,010000
2
...
= (I
+ i)"
8%
9%
IO%
1,020000
1,080000
1,090000
1,100000
1,020100
1,040400
1,166400
1,188100
1,210000
3
1,030301
1,061208
1,259712
1,295029
1,331000
4
1,040604
1,082432
1,360488
1,411581
1,464100
axa nominal precisa
5
1,051010
1,104081
1,469329
1,538624
1,610510
ais. Atenc;ao para 0
...
e da capitalizac;ao)!
I8
1,196147
1,428246
3,996019
4,717120
5,559917
ue aprendemos por
o quad1imestre com
a b.
FETIVA
E chegamos a uma taxa efetiva i = IO% ao roes.
Feito isso, conseguimos colocar taxa e tempo na mesma unidade, de modo que estamos,
somente agora, prontos para trabalhar a operac;ao de juros compostos Nossos dados ficaram
al!
sendo os seguintes
-7
-7
-7
-7
c=
1000,00
i = 10% ao mes Quros compostos)
n = 3 meses
M=?e]=?
Aplicando a formula fundamental dos juros compostos, teremos
erentes! Como esta-
M
=C
bilizar as unidades,
E mais uma vez recorreremos
(l + i)"
-7 M = 1000 (l + I0%) 3
a tabela financeira! Assim:
coisa ern bimestres.
TABELA I- FATOR DE ACUMULA<::AO DE CAPITAL a n = (I + i)"
orque encontramos
ri'Z
I%
2%
3%
4%
taxa composta (que
1
1,010000
1,020000
1,030000
.
2
1,020100
1,040400
3
1,030301
1,061208
4
1,040604
5
1,051010
mula. 1 + I = (I + i)k.
eremos que:
...
9%
10%
1,040000
1,090000
1,100000
1,060900
1,081600
1,188100
1,210000
1,092727
1,124864
1,295029
1,331000
1,082432
1,125508
1,169858
1,411581
1,464100
1,104081
1,159274
1,216652
1,538624
1,610510
Oai, teremos
-7 M = 1000 (l + 10%) 3 -7 M = 1000 x 1,331-7 M = L33I,OO -7 Respqsta!
E, finalmente -7 J = M- C -7] = 1331-1000 -7] = 331,00 -7 Resposta!
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
( 2081
~~----~~~~~~~~~~~~~~~~~--~~--------------~---------
El\! TEMPO: uma taxa nominal pode \ir tambem sob uma outra fom1atac;ao, parecida com essa
Trata-se de ur
que aprendemos Por exemplo, "60% ao ano com capitalizac;ao mensa!" e a mesma coisa que
"60% ao ano, capitalizados mensalmente"; "36% ao semestre, com capitaliza<;:ao bimestral"
e a mesma coisa que ''36% ao semestre, capitalizados bimestralmente", e assim por diante!
sera o ponto de p
Vamos passar, nesse momenta, a trabalhar algumas quest6es de provas passadas que en-
equivalentes llus
usando o conceit
que agora ja da ta
vo!Yem justamente esses conceitos de taxas compostas. Vamos a elas .
Exemplo 8- (ESAF) lndique qual a taxa dejuros anual equivalente
nominal de 8% ao ano, com capitaliza~ao semestral.
a) 8,20%.
d) 8,05%.
b) 8,1 6%.
e) 8,00%.
c) 8,10%.
a taxa dejuros
N
Solu<;:ao: Esta foi questao de prova do Fiscal da Receita (AFRF) Observemos que o enunciado
nos forneceu uma taxa nominaL 8% ao ano, com capitali:z:a(ao semestral Quando isso ocorrer,
ou seja, sempre que a questao nos der uma taxa nominal, nao precisamos perder muito tempo
pensando' ja, de imediato, transformaremos essa taxa nominal em taxa efetiva Fac;amos isso
(por meio do conceito de taxas proporcionais)
8% ao ano = (8/2) = 4% ao semestre = Taxa Efetiva semestral!
Pois bem! Agora temos uma taxa composta semestral Eo que e mesmo que a questao esta
pedindo? Ela esta pedindo uma taxa de juros anual.
Precisaremos, entao, alterar a unidade da nossa taxa efetiva semestral para uma taxa efetiva
anual.
Nao ha duvida nenhuma. utilizaremos agora o conceito de taxas equivalentes 1 Teremos:
Exemplo 9 - (E
nominal de 12%
a) 12,360
b) 12,682
c) 1 2,486
d) 12,616
e) 12,550
Solu<;:ao: Esta tam
Comec;aremos
efetiva. A taxa no
1 +I= (l + i)k
On de
caso, sera uma ta
-7
-7
-7
ja sabemos, sera
i = 4% ao semestre;
Teremos
I=? % ao ano;
k = 2 (cabem dois semestres em um ano)
12% ao ano =
jogando os dados na formula, teremos -7 1 + I = (l + 4%)2
Recorrendo
Nossa taxa ef
a Tabela Financeira, encontraremos que:
Dai, partimos par
equivalentes .
TABELA I - FATOR DE ACUMULA(AO DE CAPITAL an = (I + i)n
l%
2%
3%
4%
5%
l
1,010000
1,020000
1,030000
1,040000
1,050000
2
1,020100
1,040400
1,060900
1.081600
1,102500
3
1,030301
1.061208
1,092727
1,124864
1,157625
4
1,040604
1,082432
1,125508
1,169858
1,215506
5
1,051010
1,104081
1,159274
1,216652
1,276281
DaL -7 1 +I= 1,081600 -7 I= 0,0816 -7 I= 8,16% ao ano -7 Resposta!
Teremos: 1 +
On de
-7
-7
-7
i = 1%
I=? %
n = 12
jogando os da
Visitando a T
r Campos
Capitulo 5 - juros Compostos
~---------
parecida com essa
Trata-se de urn modelo tlpico de questao: o enunciado fornece uma taxa nominal (que
a mesma coisa que
za<;:ao bimestral"
e assim por diante!
sera o ponto de partida da resoluc;ao) Dal, transformaremos a taxa nominal em taxa efetiva
s passadas que en-
equivalentes llustrativamente, teremos
e
usando o conceito de taxas proporcionais. Feito isso, vem uma segunda transformac;ao, so
que agora ja da taxa efetiva, de modo que se faz essa nova alterac;ao pelo conceito de taxas
a taxa dejuros
Taxa
Nominal
Taxa Efetiva
na unidade da
capitalizac;ao
Taxa Efetiva em
outra unidade
os que o enunciado
uando isso ocorrer,
erder muito tempo
etiva Fac;amos isso
ral!
que a questao esta
ra uma taxa efetiva
Exemplo 9 - (ESAF) lndique a taxa de juros anual equivalente
nominal de 12% ao ano com capitaliza~ao mensal.
a) 12,3600%.
b) 12,6825%.
c) 1 2,4864%.
d) 12,6162%.
e) 12,5508%.
Solu<;:ao: Esta tambem e questao de AFRE Veremos que e semelhante
valentes 1 Teremos:
a taxa
de juros
a anterior'
Comec;aremos transformando a taxa nominal fornecida pelo enunciado em uma taxa
efetiva. A taxa nominal e a seguinte. 12% ao ano com capitaliza(ao mcnsal . A taxa efetiva, nesse
caso, sera uma taxa ao mes (mesma unidade da capitalizac;ao)! Essa primeira transformac;ao,
ja sabemos, sera feita mediante o conceito de taxas proporcionais.
Teremos
12% ao ano = (12112) = 1% ao mes =Taxa Efetiva mensa!!
Nossa taxa efetiva agora e mensaL Ocorre que a questao esta pedindo uma taxa anual
Dai, partimos para uma segunda transformac;ao, so que agora utilizando o conceito de taxas
equivalentes .
(I + i)n
5%
,050000
,102500
,157625
,215506
,276281
osta!
Teremos: 1 + I = (I + i)k
On de
-7
-7
-7
i = 1% ao mes;
I=? % ao ano;
n = 12 (cabem doze meses em um ano).
jogando os dados na formula, teremos. -7 1 + I = (1 + 1%) 12
Visitando a Tabela Financeira, acharemos que
C2TQj
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
~~--~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~------~~------TABElA I - FATOR DE ACUMULA(AO DE CAPITAL an = (1 + i)"
~
1%
2%
3%
4%
5%
1
1,010000
1,020000
1,030000
1,040000
1,050000
2
1,020100
1,040400
1,060900
1,081600
1,102500
...
...
...
...
...
...
10
1,104622
1,218994
1,343916
1,480244
1,628894
11
1,115668
1,243374
1,384233
1,539454
1,710339
12
1,126825
1,268242
1,425760
1,601032
1,795856
DaL -7 1+1=1,126825 -7 1=0,126825
-7 Finalmente I= 12,6825% ao ano -7 Resposta!
Aprenderemos, na sequencia, um assunto que faz parte da teoria dos juros compostos, e
que e constantemente objeto de questoes de provas de concurso. trata-se da Conven<;ao Linear.
E e facilimo! Vamos a ele!
5.5. Conven~ao Linear
------------
Oaf, resoher u
que resolve-la pel
IMPORTANT£: n
(por exemplo, n =
linear sera maior
Essa informa<;ao,
Resolvendo
Exemplo 10- Um
1O% a.a., por um
dos juros obtid
Solu<;ao: Uma coi
sera sempre um te
Exemplos: 2,5 a
3, 4 m
E tera mesmo
uma parte intcira
:E a seguinte a
Onde: -7
M
-7
-7
-7
-7
c
A principia, devemos saber que a conven<;ao linear e uma questao de juros compostos.
0 enunciado trara todos os dados convencionais de uma opera<;ao de juros compostos, s6 que
na hora de pedir o valor do montante, ou dos juros, ou de qualquer outro elemento, pedira
que voce resolva essa questao pelo metodo da conven<;iio linear
Entao e isso: a conven<;ao linear e urn metodo alternativo para trabalharmos uma
opera<;ao de juros compostos!
Convem sabermos desde ja que o resultado de uma opera<;ao de juros compostos encontrado
pelo metodo da conven<;ao linear sera ligeiramente diferentes daquele que encontrariamos se
trabalhassemos os juros compostos da forma usuaL
Ora, se as respostas sao diferentes, entao significa que nao poderemos usar a conven<;ao
linear a nosso bel-prazer! 1sso mesmo s6 usaremos a conven<;ao linear quando o enunciado da
questao assim o determinar! Ou, em casos muitissimos excepcionais, quando nao for possivel
chegar ao resultado pela forma tradicionaL
A prop6sito, esta tal de forma tradicional de resolu<;ao da questao de juros compostos,
da qual estamos falando, trata-se meramente da aplica<;ao da cqua<;ao fundamental dos juros
compostos! Ocorre que essa equa<;ao tern um nome chama-se conven<;ao exponenciaL
i
1
Q
Resta sabermo
da questao na equ
e as duas partes d
Uma vez cum
Vejamos de no
-7
-7
-7
-7
c = 10
i = 10%
n=3
M =? (
Cumprindo a
da taxa . Dai, cham
-7 1NT =
-7 Q = 0
r Campos
~-------
5%
050000
102500
...
Capitulo 5 - Juros Compostos
C2IJJ
---------------------------~----~----~------------------------~~
Oaf, resoher uma questao de juros compostos pela conven<;ao exponencial sera o mesmo
que resolve-la pela aplica<;ao da equa<;ao fundamental dos juros compostos M = C (1 + i)"
IMPORTANT£: numa questao de juros compostos, onde n e maior do que 1 e nao-inteiro
(por exemplo, n = 2,5 meses), o valor do montante encontrado pelo metodo da conven<;ao
linear sera maior do que o montante encontrado pelo metodo da conven<;ao exponenciaL
Essa informa<;ao, inclusive, ja foi necessaria na resolu<;ao de algumas questoes de concurso!
628894
710339
Resolvendo uma Questao de Conven<;ao Linear:
795856
Exemplo 10- Um capital de R$ 1.000,00 e aplicado a taxa de juros compostos de
1O% a.a., por um periodo de 3 a nos e 6 meses. Determine o valor do montante e
dos juros obtidos nesta operar;:ao, usando a Convenr;:ao Linear.
uros compostos, e
Solu<;ao: Uma coisa importante acerca da questao de convem;ao linear: o tempo da opera<;ao
sera sempre um tempo fracionario ou com duas unidades de tempo
Exemplos: 2,5 anos (ou 2 anos e 6 meses)
3, 4 meses ( ou 3 meses e 12 dias)
E tera mesmo que ser assim, pois trabalharemos, na equa<;ao da Conven<;ao Linear, com
uma parte intcira e com uma parte quebrada do tempo.
:E a seguinte a equa<;ao da Conwn<;ao Linear:.
Conven<;ao Linear.
M=
c. (I + i)l"T. (l + i.Q)
Onde: -7
juros compostos.
compostos, s6 que
o elemento, pedira
abalharmos uma
postos encontrado
encontrariamos se
usar a conven<;ao
do o enunciado da
do nao for possivel
juros compostos,
damental dos juros
exponenciaL
M e o montante;
-7 c e 0 capital;
-7 i e a taxa composta;
-7 1NT e a parte inteira do tempo;
-7 Q e a parte quebrada do tempo .
Resta sabermos que h:i uma (:mica exigencia a ser cumprida. antes de lan<;armos os dados
da questao na equa<;ao acima. Qual? A exigencia universal da matematica financeira: que taxa
e as duas partes do tempo (inteira e quebrada) estejam na mesma unidade.
Uma vez cumprida essa exigencia, basta preencher a formula e fazer as contas
Vejamos de novo os dados da questao
-7
-7
-7
-7
c = 1000,
i = 10% ao ano
n = 3 anos e 6 meses
M =? (pela Conven<;ao Linear)
Cumprindo a exigencia universal, temos que teras duas partes do tempo na mesma unidade
da taxa . Dai, chamando 6 meses de 0,5 ano, teremos o seguinte:
-7 1NT = 3 anos (parte inteira do tempo); e
-7 Q = 0,5 ano (parte quebrada do tempo)..
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
For exemplo,
Promo' ]a podemos aplicar a equac;ao da Convenc:ao Linear, e teremos:
M = C (1 +
i) 1 :-~r_ (I
+ i.Q) -7 M
= 1000.(1 + 0,10) 3 .(1 + 0,10x0,5)
Observemos que o primeiro parentese da formula acima e o proprio parcntcsc Jamoso!
Vi ram? Para calcula-lo, podemos recorrer a Tabela Financeira. Teremos
TABELA I - FATOR DE ACUMULA(AO DE CAPITAL an
riZ
1%
2%
1
1,010000
2
= (I
+ i)n
8%
9%
10%
1,020000
1,080000
1,090000
1,100000
1,020100
1,040400
1,166400
1,188100
1,210000
3
1,030301
1,061208
1,259712
1,295029
1.331000
4
1,040604
1,082432
1,360488
1,411581
1,464100
5
1,051010
1,104081
1,469329
1,538624
1,610510
'"
Daf, fazendo o restante das contas, encontraremos que
-7 M 1000. (1 + 0,10)3 (I + 0,10 X 0,5)
-7 M = 1000 X 1,331 X 1,05 -7 M = 1.397,55
nosso elemento d
que C = 100.
Feito isso, tra
valor dos juros, s
a resposta!
So isso!
Anotemos, po
-7
C= 1
-7
i = 20
-7
n=4
-7
] =? (
Aplicando a e
-7
-7
M =1
M=1
Mas a questao
-7 J = M-
Ora, a questa
] =
128,09
Mas a questao quer saber o valor dos Juros Oaf, faremos:
-7 J = M- C -7] = 1397,55-1000 -7 J = 397,55 -7 Resposta!
5.6. Taxa Apa
Exemplo 11 - (ESAF) Urn capital e aplicado a juros compostos a taxa de 20% ao
periodo durante quatro periodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem
do capital aplicado, considerando a conven~ao linear para calculo do montante.
Considere ainda que: 1,204 = 2,0736
1 ,204 · 5 = 2,271515
1 ,20 5 = 2,48832
a)
107,36%.
b) 127,1 51 5%.
c) 128,096%.
d) 130%.
e)
148,832%.
Solu<,;ao: A questao e inequf\·oca fala expressamente em conven<,;ao linear!
Este emmciado nos trara um ensinamento muito importante. Vejamos como foi feita a
pergunta " Obtcnha os Juras como porccntagem do capital"
Sempre que a questao pedir que se determine o valor de um elemento em func:ao de um
percentual de outro, este segundo sera chamado de elemento de referencia e usaremos o artific:io de atribuir a ele (ao elemento de referenc:ia) o valor 100 (c:em)!
lmaginemos
guinte. "esse ano
230%!" Daf, o in
perfodo?" Bem, a
Ora, entao, n
um ganho apare
0 ganho real
Em suma, e a
a perda causada
E a taxa real
Para trabalha
Tudo o que p
falando em taxas
Capitulo 5 -Juras Compostos
r Campos
For exemplo, se a questao pede o valor dos juros como porcentagem do capital, entao
0x0,5)
parcntcsc Jamoso!
nosso elemento de referenc:ia eo capital, ao qual atribuiremos o valor 100. Ou seja, diremos
que C = 100.
Feito isso, trabalharemos a questao normalmente' E, Ia no final, quando encontrarmos o
valor dos juros, seja ele qual for, bastara acrescentar o sinal de porcentagem (%) e esta sera
(I + i)n
10%
1,100000
1,210000
1.331000
1,464100
1,610510
taxa de 20% ao
mo porcentagem
lo do montante.
r!
os como foi feita a
em func:ao de um
a e usaremos o ar-
a resposta!
So isso!
Anotemos, pois, os dados da questao. Teremos
-7
C = 100,00 (artificio clc rcsolw;ao);
-7
i = 20% ao perfodo
-7
n = 4,5 perfodos = 4 (parte inteira) + 0,5 (parte quebrada)
-7
] =? (como porcentagcm do Capital).
Aplicando a equac:ao da Convenc:ao Linear, encontraremos que:
-7
-7
M = 100.(1 + 0,20) 4 (1 + 0,20x0,5)
M = 100
X
2,0736
X
l,lO -7 [\[
228.096
Mas a questao quer saber o valor dos Juros. Oaf, far·emos·
-7 J = M- C -7]
=
228,096-100 -7 J = 128,096
Ora, a questao pede Juros como porccntagem do Capital Oaf, diremos que
] =
128,096 % -7 Resposta!
5.6. Taxa Aparente Versus Taxa Real
lmaginemos duas pessoas conversando sobre negocios, e uma delas diz para a outra o seguinte. "esse ano meus negocios foram maravilhosamente bern Ganhei lucros numa faixa de
230%!" Daf, o interlocutor, meio desconfiado, pergunta "Mas de quanto foi a inf1ac:ao neste
perfodo?" Bem, a inf1ac;ao do perfodo foi de 200%.
Ora, entao, na verdade, aquele primeiro apenas pensa que teve lucros de 230%. Esse
e
um ganho aparente Mas, por que? Porque nao leva em considerac:ao a inf1ac;ao do periodo'
0 ganho real foi outro!
Em suma, e apenas isso a taxa aparente e uma que nao e real, uma vez que nao expressa
a perda causada pela inf1ac:ao!
E a taxa real, por sua vez,
e aquela que leva em considerac:ao a perda da inf1ac:ao.
Para trabalhar esses dois conceitos, so teremos que utilizar a seguinte fonnula:
= (1 + IREAL).(I + IINFLA<;:Ao)
Tudo o que precisamos nos lembrar e de que usaremos a notac:ao unitaria, ja que estamos
(I +
falando em taxas compostas!
IAPARENTE)
Matemiitica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Vamos resoh·er o problema da situac;ao colocada acima Os dados sao os seguintes:
~
!,\PARENTE=
230%
=
2,3
~
IINFLA<;:Ao =
200%
=
2,0
~
IREAL =?
Lan<;:ando os dados na formula, teremos que
(l + I~PARENTE) = (1 + IREAL). (l + IINFLA<;:Ao)
~ (1 + 2,3) = (1 + IREAL). (l + 2,0)
~ (1 +
~ (1 +
IREAL) =
~ Dai:
IREAL =
(3,3/3,0) ~ (1 +
1,10- 1 ~
IREAL =
IREAL) =
0,10
=
IREAL) =
(3,3/3,0)
1,10
Exemplo 01: (FC
durante 2 anos
urn montante i
neperiano), tem
a) 4,02%
b) 17,25%
c) 30%
Soluc;;ao:
Dados:
10% ~ Resposta!
c = 50.000,
n = 2 anos = 4
Vejamos uma questao de concurso abordando este assunto:
Exemplo 12 - (UEG) Com uma infla~ao anual de 12%, admitindo-se que o salario
foi corrigido em 8%, a varia~ao real do poder de compra de urn assalariado e de?
Soluc;;ao: Os dados aqui sao os seguintes
~
IAPARENTE =
~
IINFLA<;:Ao =
8% = 0,0 8
12 % = 0,1 2
IAPARENTE) =
~
(1 + 0,08)
~
(l+IREAL) =
Dai:
IREAL
5. 1.
(l + IINFL~<;:Ao)
(1 + IREAL). (1 + 0,12) ~ (1 +
(1 +
=
IREAL =
IREAL) =
(1,08/1,12)
0,9643-1
= -0,0357 = -3,57% ~ Resposta!
Capitaliza~ao
In e = l (voce
~
IREAL).
0,9643 ~
i =?
In 2 = 0,69
Aplica<;:ao da form
~
IREAL =?
Lanc,;ando os dados na formula, teremos que
(1 +
lv1 = 200.000,
Continua
~
M = C e'n
200000 = 5
~
e4' = 4
Nesse momen
a taxa i . Na capital
numero neperian
teriamos que apli
Aplicaremos o
~ ln e4 i =In 4
~ In e4 ' =In
Quando ha a necessidade de se calcular o montante de uma operac,;ao financeira a qualquer
instante, sem ter que esperar o final de urn periodo (seja ano, semestre, trimestre, mes, dia .),
utiliza-se a Capitaliza<;:ao Continua. Por isso, no mundo dos investimentos, especialmente ac,;oes
e op<;:oes,
e comurn utilizar as formulas de juros de Capitaliza<;:ao Continua.
Como na Capitalizac,;ao Continua as capitaliza<;:oes sao realizadas em tempos infinitesimais
(frequencia das capitalizac,;oes tende ao infinito), o montante sera maior que o calculado pela
Capitaliza<;:ao Composta.
No regime de Capitalizac,;ao Continua, o montante (M) que resulta da aplica<;:ao do capital
(C), a uma taxa de juros (i), por cerro periodo (n) e dado pela formula:
A letra "c" e o mlmero de Neper (ou numero neperiano) que e aproximadamente igual a
2,718
2
De acordo co
do logaritmo, tere
~
4i In e =
Substituindo
~
4i l = 2
~
4i = 1,38
~ i
~ i
= 1,38/4
= 0,345
~ i
= 34,5%
Exemplo 02: Ur
c
R$ 100.000,00.
do logaritmo n
capitaliza~ao
Campos
s seguintes:
e que o salario
salariado e de?
anceira a qualquer
estre, mes, dia .),
pecialmente ac,;oes
.
pos infinitesimais
e o calculado pela
lica<;:ao do capital
madamente igual a
Capitulo 5 -Juras Compostos
Exemplo 01: (FCC) Urn capital de R$ 50.000,00 foi aplicado a taxa semestral i,
durante 2 anos, com capitaliza~ao continua, apresentando, no final do periodo,
urn montante igual a R$ 200.000,00. Utilizando In 2 = 0,69 (In e o logaritmo
neperiano), tem-se que i e igual a
a) 4,02%
d) 34,5%
b) 17,25%
e) 69%
c) 30%
Soluc;;ao:
Dados:
c = 50.000,
n = 2 anos = 4 semestres
lv1 = 200.000,
i =?
In 2 = 0,69
In e = l (voce tern que saber desse resultado, ele nao
e fomecido na questao!)
Aplica<;:ao da formula.
~
~
M = C e'n
200000 = 50000 . e14
~
e4' = 4
Nesse momento, teremos que aplicar o logaritmo na expressao acima para podermos isolar
a taxa i . Na capitaliza<;:ao continua, normalmente se usa o logaritmo neperiano, por causa do
numero neperiano "e" (Se a questao tivesse pedido o valor de n, em vez da taxa, tambem
teriamos que aplicar o logaritmo).
Aplicaremos o logaritmo neperiano (In) em ambos os membros da igualdade.
~ ln e4 i =In 4
~ In e4 ' =In
22
De acordo com as propriedades do logaritmo, podemos passar o expoente para a frente
do logaritmo, teremos:
~
4i In e = 2 In 2
Substituindo os valores de In 2 e In e por 0,69 e l, respectivamente, teremos:
~
4i l = 2 0,69
~
4i = 1,38
~ i
~ i
= 1,38/4
= 0,345
~ i
= 34,5% a.s.
(resposta!)
Exemplo 02: Urn capital foi aplicado a taxa semestral de 5%, durante 1 ano, com
continua, apresentando, no final do periodo, urn montante igual a
R$ 100.000,00. Adote nos calculos que 10% =- ln(0,9), sen do In a representa~ao
do logaritmo neperiano. Qual e 0 valor do capital?
capitaliza~ao
216
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Solw;:ao:
Dados
M = 100.000,
i = 5% a.s..
EX
1.
n = 1 ano = 2 semestres
Capital = C = ?
10% = -ln(0,9)
(ESAF) U
dias, a u
dos juros
linear?
46,11%
b) 48,00%
c) 41,85%
a)
Vamos substituir os dados na formula da Capitalizac;ao Continua
-7M=Ce'"
-7 100000 = Ce 5'"' 2
-7 100000 = Ce 1''·
Foi fornecido no enunciado da questao que 10% = -ln(0,9) Onde vamos usar isso? Observe que no expoente do ni1mero de Neper (e) da equac;ao acima, tem o valor de 10%, enU\o
e Ia que substituiremos o dado fornecido Teremos
-7 100000 = Ce· 11l1'' 0'
E agora? Para continuar a solw:;ao, teremos que usar duas propriedades dos logaritmos
que sao as seguintes
m · logh a = log" a"'
e
b
'' = a
Usando a primeira propriedade acima, podemos transformar -ln(0,9) em ln(0,9)· 1 Vamos
aplicar essa transformac;ao onde hm·iamos parado
-7 100000 = C · c-1"' 0 91
-7 100000 = c .
Antes de aplicar a segunda propriedade, devo lembrar que In e o mesmo que log,, ou seja,
logaritmo na base e. Vamos fazer esta substituic;ao de In por log"
Solw;:ao: 0 enun
centagem de um
de rc{crcncia . Esta
Claro! Atribu
Antes de apli
(parte inteira e p
-7 n = 6 mes
Dai, teremos
-7 M 100.(
Recorrenclo a
parentese cia equ
Oat -7 M = 1
E como esta s
-7 J = M C
Como esse va
nosso capital vale
o sinal de porcen
Teremos, enf
-7 j = 44,69%
-7 100000 =c.
Agora podemos aplicar a segunda propriedade, teremos:
-7 100000 =c. (0,9)-l
Podemos obseiTar que o logaritmo desapareceu, e ficou s6 contas de multiplicar e dividir.
Resolvendo, vem:
c
-7 100000 = - (0,9)
-7
c = 100000. 0,9
E, finalmente -7 C = 90.000,00 (Resposta!)
2.
(ESAF) U
durante
do mont
rela~ao
0,5%.
b) 1%.
c) 1 ,4%.
a)
Solw;ao: Essa qu
mas complicou
determinemos a
relac;ao ao calcul
Capitulo 5 - juros Compostos
er Campos
EXERClCIOS RESOLVIDOS DE JUROS COMPOSTOS
1.
(ESAF) Urn capital e aplicado a juros compostos durante seis meses e dez
dias, a uma taxa dejuros de 6% ao mes. Qual o valor que mais se aproxima
dos juros obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a conven~ao
linear?
46,11%.
b) 48,00%.
c) 41,85%.
a)
mos usar isso? Obalor de 10%, enU\o
des dos logaritmos
m ln(0,9)· 1 Vamos
o que log,, ou seja,
ultiplicar e dividir.
d) 44,69%.
50,36%.
e)
Solw;:ao: 0 enunciado pede que n6s calculemos o valor de um elemento (os juros) como porcentagem de um outro elememo (o capital) Esse outro clcmcnto, o Capital, sera nosso clcmcnto
de rc{crcncia . Estamos lembrados do anificio que devemos usar neste caso 1
Claro! Atribuiremos a esse clcmcnto clc rcfcrcncia o valor de 100
Antes de aplicarmos a equac;ao cia convenc;ao linear, passaremos as cluas partes do tempo
(parte inteira e parte quebrada) para a mesma uniclacle cia taxa Teremos
-7 n = 6 meses e 10 elias= 6 meses + (1/3) mes
Dai, teremos
-7 M 100.(1 + 0,06) 6 [1+0,06 x (1/3)]
Recorrenclo a tabela financeira do parcntesc famoso, encontraremos o valor do primeiro
parentese cia equac;ao acima (1+6%) 6 = 1,418519
Oat -7 M = 100 x 1,418519 x 1,02 -7 M = 144,69
E como esta sendo requerido o valor dos Juras, faremos.:
-7 J = M C -7 J = 144,69- 100 -7 J = 44,69
Como esse valor tem que ser tomaclo como uma porcentagem do capital, e uma vez que o
nosso capital vale 100 (n6s usamos esse artificio!), basta apenas acrescemar ao ,·alor clos juros
o sinal de porcentagem, e ja teremos a resposta.
Teremos, enfim, que:
-7 j = 44,69% do Capital -7 Resposta!
2.
(ESAF) Urn capital e aplicado a juros compostos a taxa de 40% ao ano
durante urn ano e meio. Calcule o valor mais proximo da perda percentual
do montante considerando o seu calculo pela conven~ao exponencial em
rela~ao ao seu calculo pela conven~ao linear, dado que 1 ,40 1 •5 = 1,656502.
0,5%.
b) 1%.
c) 1 ,4%.
a)
d) 1,7%.
e) 2,0%.
Solw;ao: Essa questao foi boa! Nao que tenha siclo clificil no clesenvolvimento cia resoluc;ao,
mas complicou urn pouco (de certa forma) na hora de solicitar o resultaclo . Ela pede que
determinemos a "perda percentual do montante calculaclo pela convenc;ao exponencial, em
relac;ao ao calculaclo pela convenc;ao linear··
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
-
Mesrno que a principia possa nao estar muito claro para n6s o que e isso que a questao
quer que calculernos, nao ha grande dificuldade em perceber que teremos que encontrar 0
montante dessa operac;ao de juros cornpostos pelos dois caminhos distintos: convenc;ao exponencial (cqtw(:CiO fundamental dos juros cornpostos) e convenc;ao linear.
A perda percentual e independente do valor do capital, assim, para facilitar nos calculos,
farernos C = 100,00
Cornecernos pela convenc;ao exponenciaL Terernos:
M = C.(l+i)n -7 M = 100.(1+0,40) 15
Ora, nao daria para calcular o valor desse parentese famoso com o auxilio da tabela financeira, uma vez que o expoente (o "n") e quebrada. Por isso, foi fornecido pelo enunciado, de
bandeja, o quanto vale (1,40) 1 5 Dai, teremos
M = 100 X 1,656502
-7 M ~ 165,65 (Montante da Convenc;ao Exponencial)
Passemos ao Montante da conven<;;ao linear
-7 M = 100.(1+0,40) 1.(1+0,40x0,5)
-7 M = 168,00 (Montante da Conven<;;ao Linear)
Agora, aprendarnos o seguinte se queremos calcular a perda percentual de urn valor X
(menor) em relacao a urn outro \'alor Y (rnaior), faremos o quociente entre a diferen<;;a (Y-X)
e o valor de referencia Y Portanto, teremos:
(Y -X)
y
Dai, faremos (
168
165 65
2 35
· ) = ·
= 0,01399 ~ 1,4%
168
168
Dai: 1,4% -7 Resposta!
Antes de saberm
A unidade da tax
Neste caso, tem
nossa taxa efetiva
Dai, nossa prir
12%
Aplicando o co
-7 12% ao ano
0 enunciado q
Ora, essa taxa
taxa efetiva, sabem
outro caminho te
Pois bem! 0 c
formula, que e a s
Quale o objet
taxa anuaL Esse e
semestre e ano. Q
E entre semestre
nosso i (izinho) da
E esse tal de k
resposta
a seguin
Quem sao esses "
tentando transform
o ano . Logo, a pe
3.
(ESAF) Um financiamento externo e contratado a uma taxa nominal de 12%
ao ano com capitaliza~ao semestral. Obtenha a taxa efetiva anual desse
financiamento.
a) 12,36%.
b) 11,66%.
c) 10,80%.
d) 12,44%.
e) 12,55%.
Solw;:ao: Qual foi a taxa nominal que nos forneceu o enunciado? Foi 12% ao ano, com capitalizac;ao semestraL Dispondo dessa taxa nominal, imediatarnente poderemos transforma-la nurna taxa efetiva. E para faze-lo, embora estando no regime cornposto, utilizaremos o
conceito de taxas proporcionais.
Esta situac;ao - transformar taxa nominal para taxa efetiva - consiste na grande excec;ao
da matematica financeira! E o unico rnomento em que, estando no regime cornposto, iremos
trabalhar corn as taxas proporcionais.
Logo, o k = 2.
Nossos dados
-7
-7
-7
i = 6%
I=?%
k=2
Jogando os da
Recorrendo
a
Dai: -7 1 +I=
Campos
-
so que a questao
que encontrar 0
s: convenc;ao ex-
itar nos calculos,
o da tabela finanlo enunciado, de
l de urn valor X
diferen<;;a (Y-X)
ominal de 12%
va anual desse
o ano, com capimos transformao, utilizaremos o
a grande excec;ao
ornposto, iremos
Capitulo 5 -Juras Compostos
Antes de sabermos quem sera a taxa efetiva, precisamos descobrir qual sera a sua unidade
A unidade da taxa efetiva sera sempre igual ada capitalizac;ao!
Neste caso, temos uma taxa nominal com capitaliza<;;iio semestral, o que significa que
nossa taxa efetiva vai ser "alguma coisa por cento ao semestre"!
Dai, nossa prirneira transformac;ao sera a seguinte:
12% a a, corn capitaliza<;;ao semestral
[I]% as
TAXA NOMINAL
TAXA EFETIVA
Aplicando o conceito de taxas proporcionais, teremos, enfim, que
-7 12% ao ano = (12/2) = 6% a.s. =Taxa Efetiva semestral!
0 enunciado quer que n6s encontrernos a taxa efetiva anual!
Ora, essa taxa de 6% ao sernestre que acabamos de calcular e uma taxa de que tipo? Euma
taxa efetiva, sabemos! Logo, se vamos ter que alterar a unidade de urna taxa efetiva, nao ha
outro caminho teremos que faze-lo por meio do conceito de taxas equivalentes
Pois bem! 0 conceito de taxas equivalentes, conforme aprendemos, se traduz por uma
formula, que e a seguinte 1 +I= (1 + i)k
Quale o objeto da nossa transformac;ao? Passaremos uma taxa semestral para uma outra
taxa anuaL Esse e nosso intuito . Entao, os tempos das taxas que estamos transformando sao
semestre e ano. Quem e maior? Ano. Logo, dirernos que a taxa ao ano sera o nosso I (izao).
E entre semestre e ano, quem e rnenor? Semestre. Logo, diremos que a taxa ao semestre eo
nosso i (izinho) da formula das taxas equivalentes
E esse tal de k que tambem aparece no expoente da formula? Esse k representa apenas a
resposta
a seguinte pergunta:
"quantas vezes o periodo menor cabe no periodo maior?"
Quem sao esses "periodo menor" e "periodo maior"? Sao os tempos das taxas que estamos
tentando transformar.. Neste nosso caso, o periodo menor eo semestre, e o periodo maior e
o ano . Logo, a pergunta sera a seguinte.· "quantos semestres cabem no ano?" Quantos? Dois .
Logo, o k = 2.
Nossos dados para aplica<;;ao na formula das taxas equivalentes serao os seguintes·
-7
-7
-7
i = 6% ao semestre;
I = ? % ao ano;
k = 2 (cabem dois semestres em um ano)
Jogando os dados na formula, teremos: -7 1 + I = (1 + 6%)2
Recorrendo
a Tabela Financeira, encontraremos que
(l + 6%) 2 = 1,123600
Dai: -7 1 +I= 1,123600 -7 I= 0,123600 -7 I= 12,36% ao ano -7 Resposta!
CTIQI~2~2,_,0c.L_ __:M~at:..:e:.:.:m:::a:..:t:..:ic:::a:..:F.:..:in.:..:a:.:.:n:..:c:::ei:::ra::_.:::_Si:.:.:m~p:..:l:.:.if:..:ic:::ad:::a::..!:_pa:::r:::a:::C:..:o:.:.n_c_u_rs_o_s_-:..:S:..:er-'!.g:..:io_C:..:a:..:r':..:'a_lh:..:o:..:&:....W_e:..:be_r_C:....a_m_:_p_os_ _ __
4.
(ESAF) A taxa equivalente
capitaliza~ao mensal e de:
a taxa
nominal de 18% ao semestre coll'l
Ora, se ao im
uma taxa ao trim
a) 26,82% ao ano;
b) 36% ao ano;
c) 9% ao trirnestre;
d) 1 8% ao sernestre;
e) 9,2 727% ao trirnestre,
Como essa ta
mos que, ao trans
Solw;ao: Ponto de particla, a taxa nominal Quale? 18% ao semestre com capitaliza<;ao mensa!.
resultaclo tera qu
Temos que transforma-la, imediatamente, numa taxa efetiva, a qual, por sua vez, sera uma taxa
Portanto, o it
mensa!. Por que mensa!? Porque a unidade cia capitaliza<:;ao e mensa!. Teremos
Voltemos a su
18% as, com capitalizac;ao mensa!
[]]%a.m.
(usando o concei
TAXA NOMINAL
TAXA EFETIVA
riamos que valor
Aplicando o conceito de taxas proporcionais, encontraremos que:
-7
18% ao semestre = (18/6) = 3% ao mes = Taxa Efetiva!
E agora, o que a quesUlo esta pedindo? Que encontremos uma taxa equivalente a essa
taxa efeti\·a que acabamos de encontrar. tv!as em qual unidade? Nao foi especificado7 Dai, o
que faremos? Olharemos para as op<:;oes de resposta! Temos duas opc;oes com taxa ao ano,
cluas com taxa ao trimestre e uma com taxa ao semestre
Essa questao e boa, porque vamos aprencler uma dica muito simples e ao mesmo tempo
Ora, essa taxa
aplicar o conceito
podemos ter cert
Portanto, o it
Finalmente, s
simples. Se quise
muito (ttil
Vamos la Suponhamos que eu tenho uma taxa de 10% ao mes, e quero transfonm1-la
taxas proporcion
numa taxa ao bimestre. Vamos fazer isso consideranclo duas possibilidades !") nossa taxa
de 10% ao mes e uma taxa de juros simples; ou 2") nossa taxa de 10% ao mes e uma taxa de
juros compostos.
Senclo uma taxa de juros simples, para passar de taxa mensa! para bimestral, usarfamos o
conceito de taxas proporcionais, e encontrarfamos que 10% ao mes x 2 = 20% ao bimestre. E s6!
Agora, senclo uma taxa composta, para passarmos de mensa! para bimestral, teriamos que
usar o conceito de taxas equivalentes, e chegariamos a um resultado de 21% ao bimestre.
Entao \·ejamos
-7
-7
Voltando (l rea
Se formos altera-
saberemos, de an
Portanto, os
Ora, amigos!
que sera a letra E
Para efeitos d
juros simples 10% ao mes = 20% ao bimestre
juros compostos 10% ao mes = 21% ao bimestre
Com isso, concluimos o seguinte se vamos alterar uma taxa de unidade menor para
uma de unidade maior (como nesse caso, taxa ao mes para taxa ao bimestre), o resultado
a que se chega pelos juros compostos e sempre maior do que o resultado que se chega
pelo juros simples
Nossos dado
-7
-7
-7
i = 3%
I =?
k =3
Ficou clara isso?
joganclo os d
Temos ai, na nossa questao, uma taxa efetiva (taxa de juros compostos) de 3% ao mes .
-7 1 +I= (l
..:be_r_C:....a_m_:_p_os_ _ __
semestre coll'l
Capitulo 5 - juros Compostos
Ora, se ao im es de taxa composta fosse uma taxa simples, na hora de transforma-la para
uma taxa ao trimestre, encontrariamos quanta? Usando taxas proporcionais, terfamos,
-7 juros simples 3% ao mes = (3x3) = 9% ao trimestre!
Como essa taxa de 3% e, de fato, uma taxa no regime composto, de imediato ja conclufmos que, ao transforma-la para uma taxa trimestral (pelo conceito de taxas equivalentes), esse
italiza<;ao mensa!.
resultaclo tera que ser necessariamente maior que 9%! Concordam? Claro!
vez, sera uma taxa
Portanto, o item C esta errado!
mos
Voltemos a supor que essa taxa mensa! de 3% fosse uma taxa simples Se quisessemos
m.
ETIVA
(usando o conceito de taxas proporcionais) transforma-la para uma taxa semestral, encontrariamos que valor?
-7 juros simples 3% ao mes = (3x6) = 18% ao semestre!
quivalente a essa
pecificado7 Dai, o
com taxa ao ano,
Ora, essa taxa na verdade nao e de juros simples
E uma taxa composta 1 Logo, se formos
aplicar o conceito de taxas equivalentes para transforma-la numa taxa semestral, de uma coisa
podemos ter certeza esse resultado sera necessariamente maior que 18%.
Portanto, o item D esta errado'
ao mesmo tempo
uero transfonm1-la
Finalmente, supondo pela clerradeira vez que aqueles 3% ao mes fosse uma taxa de juros
simples. Se quisessemos transforma-la para uma taxa anual, farfamos, usanclo o conceito de
taxas proporcionais, o seguinte
-7 3% ao mes (iuros simples) = (3x12) = 36% ao ano!
des !") nossa taxa
mes e uma taxa de
estral, usarfamos o
% ao bimestre. E s6!
stral, teriamos que
% ao bimestre.
dade menor para
stre), o resultado
ado que se chega
) de 3% ao mes .
Voltando (l realiclaclc, vemos que nossa taxa de 3% ao mes e uma taxa de juros compostos.
Se formos altera-la para uma taxa anual, teremos que usar o conceito de taxas equivalentes, e
saberemos, de antemao, que esse resultado sera maior que 36% ao ano
Portanto, os itens A e B estao errados!
Ora, amigos! Sea resposta certa nao enema A, nem a B, nem aCe nem aD, entao restou
que sera a letra E
Para efeitos didaticos, vamos confirmar essa resposta
Taxa ao mes -7 Taxa ao trimestre
Nossos dados serao os seguintes
-7
-7
-7
i = 3% ao mes;
I = ? % ao trimestre;
k = 3 (cabem tres meses em um trimestre).
joganclo os dados na formula das taxas equivalentes, teremos
-7 1 +I= (l + 3%)'
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Recorrendo
a Tabela Financeira, encontraremos que
Da para desca
ja esta descartada!
a resposta teria qu
Mas as outras
(l + 3%) 3 = 1,092727
Dai -7 1 +I= 1,092727 -7 I= 0,092727
-7 I= 9,27% ao trimestre -7 Resposta! (como ja sabfamos!)
5.
(ESAF) A taxa nominal de 12% ao semestre com
equivalente a taxa de:
a) 6% ao trimestre;
capitaliza~ao
mensal
e
b) 26,82% ao ano;
c) 6,4% ao trimestre;
d) 11 ,8% ao semestre;
e) 30% ao ano.
o conceito de Tax
Vamos tentar,
dados serao os se
-7 i=2%
-7 I =? %
-7 k = 12
jogando os da
Solw;;ao: Questao semelhante a anterioL
Qual foi a taxa nominal fornecida? 12% ao semestre com capitalizac;ao mensa!. Transformando-a para uma taxa efetiva, por meio do conceito de taxas proporcionais, teremos
12% as, com capitalizac;ao mensa!
TAXA NOMINAl
Recorrendo a
(1 + 2%) 12 = 1
Daf -7 1 +I=
-7 I= 26,82%
~Of
a.m.
TAXA EFETIVA
L.:...l;o
12% ao semestre = (12/6) = 2% ao mes =Taxa Efetiva mensal!
Novamente a questao pede que encontrernos urna taxa equivalente a esses 2% ao mes
que calculamos, mas nao diz em qual unidade estara essa nova taxa! Teremos que olhar para
-7
as opc;oes de resposta.
Nas alternativas, ha duas taxas ao trimestre, uma ao semestre e duas ao ano.
Usaremos o mesmo raciocfnio da questao passada se 2% ao mes fosse uma taxa de juros
simples, encontrariamos as seguintes taxas proporcionais
-7 2% ao mes = 6% ao trimestre;
-7 2% ao mes = 12% ao semestre;
-7 2% ao mes = 24% ao ano.
logo, como esses 2% ao mes sao, de fato, uma taxa composta, conclufmos de imediato
que as taxas equivalentes serao:
-7 2% ao mes = (maior que 6% ao trimestre)
-7 2% ao mes = (maior que 12% ao semestre)
-7 2% ao mes = (maior que 24% ao ano)
Analisemos as opc;oes de resposta.
a)
6% ao trimestre.
b)
26,82% ao ano.
c)
6,4% ao trimestre .
d)
11,8% ao semestre .
e)
30% ao ano.
6.
(ESAF) U
capitaliz
em porce
26,82%
b) 26,53%
c) 26,25%
d) 25,97%
e) 25,44%
a)
Solw;;ao: A ta,xa
Nossa taxa efetiv
-7 24% ao an
56 que a quest
o conceito de Tax
-7 i = 2%
-7 I = ? %
-7 k = 1
jogando os d
-7 1 +I= (
Recorrendo a
Daf: -7 1 +I=
-7 I = 26,82%
Capitulo 5 - juros Compostos
Campos
a~ao
Da para descartar logo alguma ou algumas dessas alternativas? Sim! A tetra A, por exemplo,
ja esta descartada! (Teria que ser > 6% at} A opc;ao D tambem estaria excluida, uma vez que
a resposta teria que ser > 12% a.s .
Mas as outras tres opc;oes estao aptas a sera nossa resposta. Dai, teremos mesmo que aplicar
mensal
e
mensa!. Transfors, teremos
m.
TIVA
esses 2% ao mes
os que olhar para
ano.
ma taxa de juros
mos de imediato
o conceito de Taxas Equivalentes
Vamos tentar, por primeiro, transformar nossa taxa mensa! numa taxa anuaL Oh? Nossos
dados serao os seguintes
-7 i=2%aomes;
-7 I =? % ao ano;
-7 k = 12 (cabem doze meses em um ano)
jogando os dados na formula das taxas equivalentes, teremos:
-71+I=(1+2%) 12
Recorrendo a Tabela Financeira, encontraremos que
(1 + 2%) 12 = 1,268242
Daf -7 1 +I= 1,268242 -7 I= 0,268242
-7 I= 26,82% ao ano -7 Opc;ao B -7 Resposta!
6.
(ESAF) Um capital e aplicado a taxa de juros nominal de 24% ao ano com
capitaliza~ao mensal. Qual a taxa anual efetiva de aplica~ao desse capital,
em porcentagem, aproximada ate centesimos?
26,82%.
b) 26,53%.
c) 26,25%.
d) 25,97%.
e) 25,44%.
a)
Solw;;ao: A ta,xa nominal que a guestao trouxe foi 24% ao ano, com capitalizac;ao mensaL
Nossa taxa efetiva (que e mensa!) sera
-7 24% ao ano = (24/12) = 2% ao mes -7 (=Taxa Efetiva mensa!!)
56 que a questao pede uma taxa efetiva anual. logo, nessa segunda transformac;ao, usaremos
o conceito de Taxas Equivalentes. Os dados serao:
-7 i = 2% ao mes;
-7 I = ? % ao ano;
-7 k = 12 (cabem 12 meses em um ano).
jogando os dados na formula das taxas equivalentes, teremos:
-7 1 +I= (1 + 2%) 12
Recorrendo a Tabela Financeira, encontraremos que:
(1 + 2%) 12 = 1,268242
Daf: -7 1 +I= 1,268242 -7 I= 0,268242
-7 I = 26,82% ao ano -7 Opc;ao A -7 Resposta!
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
7.
(ESAF) A taxa de 40% ao bimestre, com capitaliza~ao mensal,
a uma taxa trimestral de (Considere: (1 ,20)3 = 1,7280):
a) 60,0%;
d) 66,6%;
b) 68,9%;
e) 72,8%.
c) 84,4%;
e equivalente
9.
(ESAF) U
capitaliz
1 ,36.
b) 1 ,428
c) 1,425
d) 1 ,480
e) 1,702
a)
Soluc;ao: Taxa Nominal fornecida 40% ao bimestre com capitalizac;ao mensa! Passando para
taxa efetiva, que nesse caso sera uma taxa mensa! (mesma unidade da capitalizac;ao), teremos:
-7 40% a.b. = (40/2) = 20% ao mes =Taxa Efetiva mensal!
0 que a questao pede? Uma taxa efetiva trimestral. Pelo conceito de taxas equivalentes,
nossos dados serao os seguintes.
-7 i = 20% ao mes;
-7 I = ? % ao trimestre;
-7 k = 3 (cabem 3 meses em um trimestre).
jogando os dados na formula das taxas equivalentes, teremos
-7 1 + I = (l + 0,20) 3
Nesta questao, como a tabela financeira nao alcanc;a uma taxa de 20%, o enunciado forneceu gratuitamcntc o valor do parentese famoso. Dai, teremos
-7 1 +I= 1,7280 -7 I= 0,7280 -7 I= 72,80% a.t. -7 Resposta!
8.
(ESAF) Obtenha a taxa efetiva anual correspondente a taxa dejuros nominal
de 36% ao ano com capitaliza~ao mensal.
a) 34,321%.
d) 42,576%.
b) 36%.
e) 43,58%.
c) 38,423%.
Soluc;ao: A ques
rrouxe tambem u
Imediatamen
de taxas proporc
-7
Nossos dado
A questao quer que encontremos uma taxa anual. Partiremos, portanto, para o conceito
de taxas equivalentes
Os dados dessa transformac;ao sao os seguintes:
-7 i = 3% ao mes;
-7
-7
I =? % ao ano;
k = 12 (cabem 12 meses em um ano)
jogando os dados na formula das taxas equivalentes, teremos:
-7 1 +I= (l + 3%) 12
Recorrendo
a Tabela
Financeira do parentese famoso, encontraremos que: (l + 3°/co) 12 =
1,425760
Dai -7 1 +I= 1,425760 -7 I= 0,425760
-7 I= 42,576% ao ano -7 Opc;ao D -7 Resposta!
c=1
-7
i = 2%
-7
n=1
-7 M =?
Uma vez que
os clados na cquw
-7 M = C(l
E agora, Tabe
Dai -7 M =
-7 EM= 1,
Solw:;ao: Comec;amos sempre com a taxa nominal· 36% ao ano com capitalizac;ao mensa!..
Usando o conceito de taxas proporcionais, encontraremos nossa taxa efetiva Faremos
-7 36% a.a . = (36112) = 3% ao mes =Taxa Efetiva mensal!
-7
1o.
(ESAF) 0
com capi
de aplic
a) R$ 27
b) R$27
c) R$ 28
d) R$ 28
e) R$ 28
Soluc;ao: A ques
que estamos no
taxa efetiva .
E mil vezes j
conceito de taxa
vez que trimestr
-7 2
Capitulo 5 - juros Compostos
ampos
e equivalente
(ESAF) Urn capital unitario e aplicado a taxa nominal de 24% ao ano com
capitaliza~ao mensal. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses.
a) 1 ,36.
b) 1 ,428246.
c) 1,42576.
d) 1 ,480244.
e) 1,702433.
9.
Passando para
ac;ao), teremos:
Soluc;ao: A questao comec;ou falando em um capitaltmitario, ou seja, C = 1,00. 0 enunciado
s equivalentes,
rrouxe tambem uma taxa nominal. Qual foi? 24% ao ano com capitalizac;ao mensa!
Imediatamente, transformaremos essa taxa nominal em taxa efetiva, por meio do conceito
de taxas proporcionais . Teremos
-7 24% ao ano = (24112) = 2% ao mes =Taxa Efetiva mensal!
Nossos dados da questao agora sao os seguintes
o enunciado for-
-7
c = 1,
-7
i = 2% ao mes Quros compostos)
-7
n = 18 meses
-7 M =?
Uma vez que taxa e tempo ja estao na mesma unidade, podemos imediatamente aplicar
juros nominal
os clados na cquw;aofundamental dos juros compostos. Teremos:
-7 M = C(l + i) 11 -7 M = 1,0 (l + 2%)1 8
E agora, Tabela Financeira! Acharemos: (1 + 2%) 18 = 1,428246
Dai -7 M = 1,0 (1 + 2%) 18 -7 M = 1,0 x 1,428246
-7 EM= 1,428246 -7 Resposta!
lizac;ao mensa!..
Faremos
para o conceito
ue: (l + 3°/co) 12 =
1o.
(ESAF) 0 capital de R$ 20.000,00 e aplicado a taxa nominal de 24% ao ano
com capitaliza~ao trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses
de aplica~ao.
a) R$ 27.200,00.
b) R$27.616,11.
c) R$ 28.098,56.
d) R$ 28.370,38.
e) R$ 28.564,92.
Soluc;ao: A questao nos trouxe uma taxa nominal. Neste caso, antes de mais nada, sabemos
que estamos no regime composto, e que teremos que transformar essa taxa nominal numa
taxa efetiva .
E mil vezes ja sabemos que essa conversao (taxa nominal para efetiva) se faz por meio do
conceito de taxas proporcionais. Neste caso, nossa taxa efetiva sera uma taxa trimestral, uma
vez que trimestral e a capitalizac;ao Daf, teremos.
-7 24% ao ano = (24/4) = 6% ao trimestre =Taxa Efetiva trimestral!
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Ficamos, portanto, com os seguintes dados da questao
~
c = 20.000,00
~
i = 6% ao trimestre (juros compostos)
~
n =18m
~
M=?
Ora, trata-se de uma questao corriqueira de juros compostos! Teremos, pois, que aplicar
a equa(:ao fundamental Teremos:
~
M
Nossos dados
~
c = 10
-7
i = 6%
~
n=1
-7 M=?
Aqui, so terem
= C.(l + i)n
Novarnente ac
Ocorre que esta formula faz uma (mica exigencia: taxa e tempo tern que estar na mesma
unidade.
Aqui, temos uma taxa trimestral (i = 6% at) e temos o tempo em meses (n= 18m) Ou
seja, unidades diferentes!
Ja aprendemos que, quando taxa e tempo estiverem em unidades diferentes (no regime
composto), a primeira tentativa que faremos e recorrer ao tempo e tentar converte-lo para a
mesma unidade da taxa . Sera que da certo? Teremos
~ n = 18 meses = 6 trimestres
Como encontramos urn n inteiro (urn valor redondo), entao diremos que funcionou a nossa
primeira tentativa (so recordando: precisamos de urn n inteiro justamente porque esse n vai
para o expoente da formula).
Agora que temos taxa e tempo na mesma unidade, basta aplicar a eqtw(:Cio fundamental dos
juros compostos, e chegaremos a:
~ M = 20000 (1 + 6%) 6
Recorrendo a tabela financeira do parentese famoso, encontraremos o seguinte: (l + 6%) 6
= 1,418519
Dat ~ M = 20000 x 1,418519 ~ M = 28.370,38 ~ Resposta!
11.
(ESAF) Usando a taxa de juros efetiva anual que corresponde a taxa de
juros nominal de 24% a.a. com capitaliza~ao trimestral, obtenha o montante
obtido com a aplica~ao de um capital de R$ 10.000,00 ao fim de um ano de
aplica~ao.
a)
b)
c)
d)
e)
R$
R$
R$
R$
R$
12.400,00.
12.544,00.
12.624,76.
12.653,19.
12.682,42.
Soluc;ao: Veio alguma taxa nominal no enunciado? Sim! Qual? 24% ao ano com capitalizac;ao
trimestraL Entao, antes mesmo de comec;armos a pensar qualquer coisa, ja podemos transformar essa taxa nominal em taxa efetiva . Faremos:
~ 24% ao ano = (24/4) = 6% ao trimestre =Taxa Efetiva trimestral!
tativa, recorremo
= 4 trimestres . A
formula, e teremo
~ M = 10000
Para saber o v
tramos que (1 +
Dat ~ M = 1
12.
(ESAF) U
saldado
de aplica
compost
qual a qu
a) $ 450.
b) $ 500
c) $ 550
d) $ 600
e) $ 650
Soluc;ao: Uma qu
a 6 meses, de um
hoje, a fim de se
Depois que se
gum! 0 valor que
justamente ao C
corresponde ao M
Dai, nossos d
~
C=?
~
~
n=6m
i = 7%
~
M=9
ampos
pois, que aplicar
estar na mesma
s (n= 18m) Ou
ntes (no regime
nverte-lo para a
ncionou a nossa
orque esse n vai
fundamental dos
uinte: (l + 6%) 6
nde a taxa de
ha o montante
de um ano de
om capitalizac;ao
podemos trans-
Capitulo 5 - juros Compostos
Nossos dados da questao serao os seguintes
~
c = 10.000,00
-7
i = 6% ao trimestre (juros compostos)
~
n = 1 ano = 12rneses
-7 M=?
Aqui, so teremos que aplicar a eqLW(:Cio fundamental dos juros cornpostos Teremos:
-7 M = C.(l + i)n
Novarnente achamos taxa e tempo em unidades diferentes. Logo, em nossa prirneira tentativa, recorremos ao tempo, e sem dificuldade alguma, concluimos que 1 ano = 12 meses
= 4 trimestres . Agora, sim! Com taxa e tempo na mesma unidade, lanc;aremos os dados na
formula, e teremos o seguinte:
~ M = 10000.(1 + 6%) 4
Para saber o valor do parentese famoso acima, recorremos
a Tabela Financeira, e encon-
4
tramos que (1 + 6%) = 1,262476
Dat ~ M = 10000 x 1,262476
12.
~
M = 12.624,76
~
Resposta!
(ESAF) Uma pessoa tem um compromisso no valor de $900.000,00 a ser
saldado dentro de 6 meses. A maior taxa dejuros mensal por remunera~ao
de aplica~ao de capital que conseguiu foi de 7% ao mes, no regime dejuros
compostos. Para garantir o pagamento do compromisso na data marcada,
qual a quantia minima que devera aplicar hoje?
a) $ 450.000,00.
b) $ 500.000,00.
c) $ 550.000,00.
d) $ 600.000,00.
e) $ 650.000,00.
Soluc;ao: Uma questao muito simples! Disse o enunciado que a pessoa precisa dispor, daqui
a 6 meses, de uma determinada quantia Entao, vern a pergunta: quanto tera que ser aplicado
hoje, a fim de se obter aquela quantia desejada ao final do prazo estabelecido?
Depois que se le com mais calma esse enunciado, percebe-se que nao ha nele segredo algum! 0 valor que se esta procurando na questao (a quantia que vai ser aplicada) corresponde
justamente ao CapitaL Enquanto que o valor a que se pretende chegar no fim da operac;ao
corresponde ao Montante! Entendido?
Dai, nossos dados da questao serao os seguintes
~
C=?
~
~
n=6m
i = 7% ao mes (juros compostos)
~
M = 900.000,00
228
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
Sergio Carvalho & Weber Campos
Obserwmos que taxa (7% am) e tempo (n = 6m) ja estao na mesma unidade Dai, aplicando a cquar;aofunclamcntal clos juros compostos, teremos
-7 M = C.(l + i)" -7 900.000 = C(l + 7%)"
Dat C =
900.000
(1 + 7%)
"
0 denominaclor e o proprio parentese famoso, para cujo calculo recorreremos
Financeira. Teremos (l + 7%) 6 = l ,500730
900 000
900.000 ~
Dai: C =
. -7 C = -- ~
(1 + 7%r
1,500730
Dai -7 C
13.
c ~-
a Tabela
900.000
1,5
=600.000,00 -7 Resposta!
(ESAF) Uma aplica~;ao e realizada no dia primeiro de urn mes, rendendo
uma taxa de 1% ao dia uti I, com capitaliza~;ao diaria. Considerando que o
referido mes possui 18 dias uteis, no fim domes 0 montante sera 0 capital
inicial aplicado mais:
a) 20,324%;
d) 18, 174%;
b) 19,6147%;
e) 18%.
c) 19,196%;
Solu~ao: Vamos come<;:ar logo essa questao procuranclo se ha no enunciado alguma taxa
nominal. Ha ou nao ha? Acharam7 Essa taxa que voce achou e mesmo uma taxa nominal?
Sim ou nao?
Ora, a taxa fornecida pela questao e 1% ao clia tltil, com capitalizar;ao cliaria. Aparece a
palana capitalizar;ao? Aparece! So que isso nao basta para caracterizar uma taxa como senclo
uma taxa nominaL E preciso ainda que a unidade da taxa seja diferente da unidade da
capitaliza~ao. Nao foi assim que aprendemos? Entao, pergunta-se para que senira pois essa
palavra capitalizar;ao neste caso?
Muito boa pergunta servira para saben11os que estamos trabalhando no Regime Composto!
Entao, reprisanclo: se no nosso enunciaclo aparecer uma taxa acompanhada cia palavra
capitalizar;ao e mesmo que o tempo cia taxa for igual ao tempo da capitalizac;ao, imediatamente
saberemos que estamos trabalhando no Regime Composto, e que, neste caso, aquela sera
uma Taxa Efetiva
Observemos ainda que a questao pede que calculemos o valor do Montante como um
percentual do Capital Ja aprendemos a trabalhar questoes assim.. Usaremos um artificio:
tomaremos o elemento de referencia (nesse caso, o Capital) e !he atribuiremos o \·alor
100 (cem)
Dai, nossos clados sao os seguintes:
-7 c = 100,00
-7
-7
-7
i = 1% ao dia uti! Gums compostos)
n = 18 elias uteis
M =?
Ora, uma wz
Junclamcntal dos
-7 M = 100
Esbarramos n
1,196147
Dai -7 M =
Ora, esse Mo
19,6147 (M- C
Logo, para e
bastara que n6s
de chamar o val
-7 19,6147%
14.
(ESAF) U
por 10
dessa o
a) 4,60%
b) 4,40%
c) 5,00%
Solu~ao:
Essa e
de uma questao
Esquec;amos
questao apenas
0 que a que
4% ao mes.
Ou seja, o en
0 que a que
Ou seja, o en
Simples por
e uma unica exp
Ora, esse co
tivamentel Dai,
mensa!, e quere
Aqui surge u
taxa nesta mesm
Ou seja, tere
outra uniclacle (d
essa primeira al
Campos
Capitulo 5 - juros Compostos
nidade Dai, apli-
reremos
Ora, uma wz que ja temos taxa e tempo na mesma uniclade, so nos resta aplicar a cquar;ao
Junclamcntal dos juros compostos. Teremos
-7 M = 100 (l + 1%) 18
Esbarramos no parentese famoso Recorrendo
a Tabela
cliaria. Aparece a
taxa como senclo
da unidade da
senira pois essa
gime Composto!
hada cia palavra
o, imediatamente
caso, aquela sera
ntante como um
mos um artificio:
uiremos o \·alor
teremos (1 + 1%)i' =
Ora, esse Montante que acabamos de calcular superou o valor do Capital em quanta? Em
19,6147 (M- C = 19,6147)
Logo, para expressarmos esse resultado (19,6147) como uma porcentagem do Capital,
bastara que n6s acrescentemos o sinal de porcentagem (%), uma vez que usamos o artificio
de chamar o valor do Capital de 100. Dai.
mes, rendendo
derando que o
e sera 0 capital
ado alguma taxa
ma taxa nominal?
a Tabela Financeira,
1,196147
Dai -7 M = 100 (l + 1%) 18 -7 l:v1 = 100 x 1,196147 -7 M = 119,6147
-7 19,6147% (a mais que o Capital) -7 Resposta!
14.
(ESAF) Uma empresa aplica $ 300 a taxa dejuros compostos de 4% ao mes
por 10 meses. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcional men sal
dessa opera~;ao e:
a) 4,60%;
d) 5,20%;
b) 4,40%;
e) 4,80%.
c) 5,00%;
Solu~ao:
Essa e uma questao interessante . E muito singular tambeml Diriamos que se trata
de uma questao (mica.
Esquec;amos que existe essa quantia de RS 300,00. Vamos verse cia para trabalharmos a
questao apenas com o conhecimento clos conceitos de taxa.
0 que a questao nos fornece? Uma taxa de juros compostos (foi clito expressamente) de
4% ao mes.
Ou seja, o enunciado nos cleu uma taxa composta mensal.
0 que a questao pede que encontremos? Pede uma taxa proporcional mensa!.
Ou seja, o enunciaclo nos pede uma taxa simples mensa!.
Simples por que? 0 que nos fez chegar a essa conclusao? A responsavel por essa constatac;ao
e uma unica expressao clita no enunciaclo taxa proporcional
Ora, esse conceito- taxa proporcional- e proprio do Regime Simples ja vi.mos isso exaustivamentel Dai, retomernos o raciocinio da questao: estamos partindo de uma taxa composta
mensa!, e queremos chegar a uma taxa simples tambem mensa!.
Aqui surge um clilema para partirmos de uma taxa em uma unidade, e chegarmos a outra
taxa nesta mesma uniclacle, e obvio que tera que haver uma transformac;ao intermediaria!
Ou seja, teremos que pegar a taxa composta mensa! e a transformam10s para uma taxa em
outra uniclacle (diferente de mes) Como essa nossa taxa mensa! clc partie/a e uma taxa composta,
essa primeira alterac;ao se fara por rneio do conceito de taxas equivalentesl
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
-
Feito isso, ja dispondo datal taxa intermediaria. Entao, procederemos a segunda transformac;ao, retornando para a unidade mensaL Ocorre que essa segunda alterac;ao se dara pelo
15.
conceito de taxas proporcionais, uma vez que a taxa mensa! de chegada e uma taxa simples!
Ilustrativamente, teremos.
real.
a) $ 331,
b) $ 340,
c) $ 343,
d) $ 342,
e) $ 337,
Soluc;ao: Questao
Taxa Mensa!
"de partida"
(juros compostos)
Taxa Intermedi<irias
Taxa Mensal
"de chegada"
(juros simples)
(ESAF) 0
mes seg
conven~a
E por que? Porqu
Os dados forn
-7 c = 1
-7 n = 1
-7
-7
56 nos resta descobrir uma coisa essa taxa intermediaria estara em qual unidade? Como
sabe-lo? Ora, saberemos isso usando urn dado adicional da questao. 0 enunciado falou que
aquela taxa mensa! composta (taxa de partida) vai ser utilizada por urn prazo de 10 meses.
E isso 1 Teremos que achar, portanto, uma taxa equivalente "dczmestral" (Acabamos de
batiza-la!)
Ou seja, a taxa mensa! e de 4% Em 10 meses, valera quanto essa taxa? Oh? Do jeito que
existe a taxa bimestral (para dois meses), trimestral (para tres meses), quadrimestral (para
quatro meses), semestral (para seis meses), da mesma forma, agora, existe (porque a criamos)
a "taxa dezmestral" (para dez meses)!
Antes de aplicarmos o conceito de taxas equivalentes, faremos aquela analise previa de
sempre. Nossos dados sao os seguintes
-7 i = 4% ao mes;
-7
-7
I = ? % ao dezmestre;
k = 10 (cabem 10 meses em urn dezmestre)
jogando os dados na formula das taxas equivalentes, teremos:
-7 1 + I= (1 + 4%) 10
Consultando a Tabela Financeira do parentese famoso, encontraremos que: (l + 4%) 10 =
1,480244
Dat -7 1 +I= 1,48024 -7 I= 0,48024 -7 I= 48,024% ao dczmestre.
Passaremos agora ao arremate da questao. Resta-nos fazer a segunda alterac;ao, passando
a taxa dezmcstral que encontramos para uma taxa ao mes 56 que agora, trabalharemos com
o conceito de taxas proporcionais, uma vez assim foi especificado pelo enunciado, ou seja,
foi pedido que n6s encontremos uma taxa proporcional mensa! Entendido isso, faremos:
-7 48,024% ao dczmcstre = (48,024/10) = 4,8024% ao mes
-7 4,8024% a.m.::::: 4,8% a.m. -7 Resposta!
i = 2l
]=?
Observemos
ao mes! Tivemos
na parte quebrada
aplicar a formula
-7 M =C. (l
E
-7 M = 1.337
56 que a ques
que se segue
-7 J = M- C
16.
(FCC) No
monetar
mensa!.
a) 1,000
b) 1.002
c) 1.025
d) l.25%
Solw;:ao:
De acordo co
Taxa nomina
Taxa efetiva b
Primeiramen
da capitalizac;ao
utilizando o con
Campos
-
a segunda trans-
Capitulo 5 - juros Compostos
15.
(ESAF) 0 capital de$ 1.000,00 e aplicado do dia 10 dejunho ao dia 25 do
mes seguinte, a uma taxa de juros compostos de 21% ao mes. Usando a
conven~ao linear, calcule os juros obtidos, aproximando o resultado em
real.
a) $ 331,00.
b) $ 340,00.
c) $ 343,00.
d) $ 342,00.
e) $ 337,00.
ac;ao se dara pelo
ma taxa simples!
sal
a"
les)
Soluc;ao: Questao de juros compostos, que sera resolvida pelo metodo da convenc;ao linear.
E por que? Porque foi dito expressamente pelo enunciado.
Os dados fornecidos na questao sao os seguintes
-7 c = 1000,00
-7 n = 1 mes e 15 dias = 1,5 mes = l mes + 0,5 mes
-7
-7
l unidade? Como
nciado falou que
o de 10 meses.
" (Acabamos de
Oh? Do jeito que
adrimestral (para
orque a criamos)
analise previa de
i = 2l% ao mes
]=?
Observemos que passamos a unidade de tempo do n para mes, pois a taxa tambem esta
ao mes! Tivemos, inclusive, a preocupac;ao em dividir esse tempo na parte inteira (1 mes) e
na parte quebrada (0,5 mes) Como ambas ja estao na mesma unidade da taxa, s6 nos resta
aplicar a formula da Convenc;ao Linear.. Teremos
-7 M =C. (l+i) 1NT. (l+i.Q) -7 M = l000.(l+0,2l) 1.(l+0,2lx0,5)
E
-7 M = 1.337,00
56 que a questao nao esta pedindo o Montante, e sim os juros! Dai, basta fazer a subtrac;ao
que se segue
-7 J = M- C -7 J = 1.337- 1.000 -7 J = 337, -7 Resposta!
16.
que: (l + 4%) 10 =
erac;ao, passando
abalharemos com
unciado, ou seja,
isso, faremos:
(FCC) No Brasil as cadernetas de poupan~a pagam, alem da corre~ao
monetaria, juros compostos a taxa nominal de 6% a.a., com capitaliza~ao
mensa!. A taxa efetiva bimestral e entao de:
a) 1,00025% a.b.;
b) 1.0025% a.b.;
c) 1.025% a.b.;
d) l.25%a.b.
Solw;:ao:
De acordo com o enunciado, temos:
Taxa nominal de 6 % a.a , capitalizac;ao mensaL
Taxa efetiva bimestral = ?
Primeiramente, devemos transformar a taxa nominal em taxa efetiva. Como a unidade
da capitalizac;ao e mensa!, entao passaremos a taxa de juros de ano para mes. Faremos isso
utilizando o conceito de taxas proporcionais.
C2)lJ
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Dai, i = 5% a
-7 Para ch
Sabemos que 1 ano tem 12 meses, entao dewmos diYidir por doze a taxa anual fornecida,
e assim obteremos a taxa efetiva mensa!
i=
~% a.m = 0,5% a . m.
anual a partir da
12
Passaremos a outro passo conwrter a taxa efetiva mensal em uma taxa efetiva bimestral:
nominal anual se
Formula de equivalencia entre taxas compostas 1 + I = (l + i)k
0,5 %a.m.
- - - - []]a.b.
Resposta Tax
18.
(FCC) Pr
ano, uma
05/09/1
em 05/1
a) R$ 5.3
b) R$ 5.4
c) R$ 5 .6
i = 0,5% = 0,005
{
I=?
n = 2 (cabem 2 meses em um bimestre)
-7 1 +I= (1,005) 2 -7 1 +I= 1,010025
1 +I= (1 + 0,005) 2
-7 I= 0,010025 -7 I= 1,0025% a.b. -7 Resposta!
17.
Solw:;ao: De
1a aplicacao
(ESAF) 0 capital de R$ 50.000,00, aplicado a juros compostos com
capitaliza<:ao trimestral, produziu o montante de R$ 60.775,31 ao fim de
urn ano. Calcular a taxa de juros nominal anual, com aproxima<:ao de uma
casa decimal.
a) 5,0%.
b) 5,4%.
c = 2000,00
Tempo da apl
i = 10 % a.t
2a aplicacao
20,0%.
d) 21 ,6%.
e) 30,4%.
c)
c = 3000,00
Tempo da ap
i
=
lO% a.t.
Solw;:ao: De acordo como enunciado, temos.
Capital aplicado C = 50.000
Tempo da aplicac;ao n = 1 ano
Montante M = 60.775,31
Capitalizac;ao trimestral
Taxa de juros nominal anual =?
Montante das
1~ passo - Monta
M = C(l + i)n
2~
passo - Mont
M = C(1 + i)n
-7
Deveremos sempre resolver as questoes de juros compostos adotando como unidade da
taxa e do tempo aquela mesma unidade da capitalizac;ao Portanto, teremos:
n = 4 trimestres
i = ? % a . t. (taxa ao trimestre)
-7
Aplicando a eqtta(CW fundamental dos Juras Compostos:
60775,31
M = C(1+i)n -7 60775,31 = 50000(l+iY -7 O+iY =
50000
4
Cl+i) = 1,2155
Consultando a tabela fi.nanceira do parentese Jamoso, com n = 4 e com o resultado de
1,2155, obtemos a taxa de 5%.
3~
passo- Mont
rvlontante tot
19.
(ESAF) 0
mes par
descont
a.m. Ass
a)
b)
c)
d)
e)
A mel
Nao h
No pa
No pa
No pa
Campos
Dai, i = 5% a.t.
-7 Para chegarmos
anual fornecida,
4
5% = 20%
Resposta Taxa nominal de 20% a.a., com capitalizac;ao trimestral.
18.
m o resultado de
X
(FCC) Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim de
ano, uma pessoa depositou R$ 2.000,00 em 05/06/1997 e R$ 3.000,00 em
05/09/1997. Se o banco pagou juros compostos a taxa de 10% ao trimestre,
em 05/12/1997 essa pessoa tinha urn total de:
a) R$ 5.320,00;
d) R$ 5.680,00;
b) R$ 5.480,00;
e) R$ 5.720,00.
c) R$ 5 .620,00;
Solw:;ao: De acordo com o enunciado, temos
1a aplicacao
mpostos com
5,31 ao fim de
ma<:ao de uma
emos:
de jwm nominal anual, basta calcular a taxa proporcional
nominal anual sera
etiva bimestral:
como unidade da
a taxa
anual a partir da taxa de 5% ao trimestre . Como em 1 ano existem 4 trimestres, logo a taxa
c = 2000,00
Tempo da aplicac;ao 05/06/97 a 05/12/97 -7 n = 6 meses = 2 trim.
i = 10 % a.t
2a aplicacao
c = 3000,00
Tempo da aplicac;ao 05/09/97 a 05112/97 -7 n = 3 meses = l trim.
i
=
lO% a.t.
Montante das duas aplicac;oes
1~ passo - Montante da 1" aplicac;ao
M = C(l + i)n -7 M = 2000(1 + 0,1) 2 -7 M = 2000 x 1,21 -7 M = 2420,00
2~
passo - Montante da 2" aplicac;ao
M = C(1 + i)n -7 M = 3000(1 + 0,1) 1 -7 M = 3000 x 1,1 -7 M = 3300,00
3~
passo- Montante das duas aplicac;oes:
rvlontante total= 2420,00 + 3300,00 = 5720,00
19.
(ESAF) 0 pre<:o de uma mercadoria e de $ 2.400,00 e o comprador tern urn
mes para efetuar o pagamento. Caso queira pagar vista, a loja da urn
desconto de 20%. 0 mercado financeiro oferece urn rendimento de 35%
a.m. Assinale a op<:ao correta.
a
a)
b)
c)
d)
e)
A melhor opc;ao e o pagamento a vista.
Nao ha diferenc;a entre as duas modalidades de pagamento.
No pagamento a prazo, o comprador Iuera, no fim domes, $ 192,00.
No pagamento a prazo, o comprador Iuera, no fim domes, $ 21 0,00.
No pagamento a prazo, o comprador Iuera, no fim domes, $ 252,00.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
(ESAF) J.
no regim
a mesma
mais. Qu
a) R$ 35.
b) R$ 21 .
c) R$ 58.
Solw;:ao:
De acordo com o enunciado, temos:
Prec;o da mercadoria a prazo = 2400,00 (pagamento ao final de 1 mes)
Pre<;;o da mercadoria a vista= 2400,00- 20% x 2400 = 1920,00
Taxa de rendimento das aplicac;oes financeiras = 35% a.m.
21.
Qual e a melhor opc;ao pagamento a vista ou a prazo?
-7 Opt;,:ao do pagamento a vista: o comprador desembolsa 1920,00 reais eleva a merca-
Solut;,:ao:
doria para casa.
-7 Opt;,:ao do pagamento a prazo: o comprador aplica os 1920,00 reais, como qual compraria a mercadoria a vista, a uma taxa de 35% a . m. e ao final de urn mes desembolsa
2400,00 reais para levar a mercadoria para casa .
Vamos calcular o montante de urn capital de 1.920,00 reais a uma taxa de 35% a.m durante urn mes
Formula M = C(1+iY
M = 1920(1+ 35%) 1 -7 M = 1920 x 1,35 -7 M = 2.592,00
Deste montante de 2.592,00 reais, retiramos 2.400,00 reais para comprar a mercadoria, e
ainda restarao 192,00 reais (= 2592- 2400).
Resposta a melhor opc;ao e a compra a prazo, em que o comprador ao fim de 1 mes de
aplicac;ao lucrara R$ 192,00 .
20.
(ESAF) Se urn capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos,
na base de 10% ao ano. seu montante final e:
a) 30% superior ao capital inicial;
b) 1 30% do valor do capital inicial;
c) aproximadamente !50% do capital inicial;
d) aproximadamente 133%do capital inicial.
Soluc;ao:
De acordo como enunciado, temos
taxa da aplicac;ao.: i = 10% a..a .
tempo da aplicat;,:ao: n = 3 anos
Pela observac;ao das altemativas, conduimos que a questao solicita a razao percentual entre
o montante final e o capital inicial:
M
c
-
M = 100(1 + 0,1) 3 -7 M = 100(1,1)3 -7 M = 133,10
c
e quantos por cento do capital?
~ M =133,10
7 -,
. c 100
Aplica
n=3
i = 12
-7
Aplica
n =3
taxa d
0 valor recebi
A questao per
juros simples qua
foi dito que a aplic
no regime simples
Consideremos
Me = montant
M5 = montant
lc = juros calc
] 5 = juros calcu
-7
Relat;;ao entr
compostos.:
Como o capita
os juros, fazendo
.
Aplicac;ao da formula de Juros Compostos: M = C(l + i)n
0 capital nao foi especificado e pode assumir qualquer valor, entao consideraremos que
o capital e igual a 100
M __
-7
=7
-7
- 0 montante final
De acordo co
~ M
-, -C = 133,10% resposta: letra D.
-7
Calculo do j
3 anos
i = 12% a.a.
i n = 12 x 3 =
n
=
Dai:
15
36
C
100
ampos
Capitulo 5 -Juras Compostos
(ESAF) J. Verissimo aplicou seu capital durante tres anos, a taxa de 12% a.a.,
no regime de juros simples. Caso houvesse aplicado a juros compostos,
a mesma taxa, com capitaliza~ao semestral, teria recebido R$ 2.633,36 a
mais. Quanto recebeu de juros?
a) R$ 35.033,00.
d) R$ 45.000,00.
b) R$ 21 .1 00,00.
e) R$ 16.200,00.
c) R$ 58.613,00.
21.
Solut;,:ao:
De acordo como enunciado, temos:
eleva a merca-
-7
Aplicac;ao de urn capital no regime de Juros Simples:
n = 3 anos
i = 12% a. a.
omo qual commes desembolsa
-7
e 35% a.m du-
a mercadoria, e
fim de 1 mes de
Aplicac;ao do mesmo capital no regime de Juras Compostos
n = 3 anos = 6 semestres
. 12%
taxa de 12% a. a., cap. Semestral -7 1 = - - a.s = 6% a. s.
2
0 valor recebido com juros compostos e 2633,36 a mais que com juros simples.
A questao pergunta quanto Verissimo recebeu de juros . Mas o enunciado fala tanto em
juros simples quanto em juros compostos Entao, qual sera o regime que vamos usar? Ora,
foi dito que a aplica<;;ao de Verissimo foi feita a juros simples e, portanto, calcularemos o juro
no regime simples.
Consideremos as seguintes designa<;;6es:
Me = montante calculado com juros compostos
M5 = montante calculado com juros simples
lc = juros calculado corn juros compostos
] 5 = juros calculado com juros simples
urante 3 anos,
do capital inicial;
%do capital inicial.
percentual entre
sideraremos que
-7
Relat;;ao entre o Montante calculado com]uros simples eo Montante calculado com juros
compostos.: Me = Ms + 2633,36
Como o capital e o mesmo nas duas aplicac;oes, entao podemos obter uma relac;ao entre
os juros, fazendo o montante igual ao capital mais juros
(C + lc)
-7
=
(C + ]5) + 2633,36 -7 lc = ] 5 + 2633,36
Calculo do juro no Regime Simples
3 anos
c
i = 12% a.a.
100
i n = 12 x 3 = 36
n
t
i.____Js_ _-ll-
=
Dai:
15
36
C -7
100
15
= 36C -7 ] = 0 36C
5
'
100
36
CI3IJ
~
~
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Calculo do juro no Regime Composto
n = 6 semestres
i = 6% as.
Formula M = C(l + i)"
Dai M = C(l + 6%) 0 ~ da tabela financeira ~ M ~ I,4I85I9C
E ojuro J = M- C ~ J ~ 1,4185C- C ~ lc ~ 0,4I85C
calculo final de ls
Temos que lc = ]5 + 2 633,36
Substituindo os \·alores obtidos anteriormente, teremos:
0,418519C = 0,36C + 2.633,36 ~ 0,418519C- 0,36C = 2.633,36
2633,36
0,058519C = 2 633.36 ~ C = 0,0
58519
Esse estilo de
primeiramente, o
para obtermos o
que o titulo de\·e
1" passo- Calcu
composta)
Juros Comoos
Valor inicial d
Vencimento d
taxa de juros
Valor do titul
Formula M =
Recorrendo a
Estamos interessados no valor de J,, e sabemos que],= 0,36C, daL
2633 36
263336
'
~I= 36 X - - , '
,
0,058519
'
585,19
Vamos fazer uma aproximac;:l.o para facilitar os calculos
J = 0 36C ~ J = 0,36 X
76,,36
263336
.).)
~I~ 4 X
~I~ 16205
585
,
6)
,
Resposta: Valor aproximado dos Juros Simples e de I6.205,00 (item E)
J' ~ 36 X
22.
-
(ESAF) Um titulo de valor inicial $ 1.000,00, vencivel em um ano com
capitaliza~ao mensal a uma taxa de juros de 10% ao mes, devera ser
resgatado um mes antes do seu vencimento. Qual o desconto comercial
simples a mesma taxa de 10% ao mes?
a) $ 313,84.
b) $ 285,31.
c) $ 281,26.
d) $ 259,37.
e) $ 251,81.
Solw;:ao:
De acordo com o enunciado, temos
Aplicac;:l.o
juros
compostos!!
{Valor inicial do titulo= 1000,00
Vencimento do titulo em 1 ano.
i = 10% a.m. (taxa composta)
Desconto
Simples por
fora'!
Prazo de antecipac;ao = 1 mes
i = 10% a. m (taxa de desc.. simples comercial)
{
Desconto D =?
Dai M = 100
2" passo- Calcu
de desconto simp
Desconto sim
Valor do titul
Prazo de ante
i = 10% a . m.
i. ll = 10 1 =
Desconto: D
Dai
23.
D
3138,4
lO
100
(ESAF) U
regime d
um ano,
a) 65,6%
b) 67,8%
c) 71,18%
d) 79,59%
e) 83,42%
Solw;;ao: De aco
Qual e o juro
Campos
m um ano com
es, devera ser
onto comercial
Esse estilo de questao ja apareceu di,·ersas vezes em concursos. Sao questoes que fornecem,
primeiramente, o valor inicial para o titulo e uma taxa de juros, que incidira sobre o valor inicial
para obtermos o valor do titulo na data de vencimento (Valor Nominal) Alem disso, afirma
que o titulo de\·e ser descontado antes do vencimento a uma determinada taxa de desconto.
1" passo- Calcular o valor do titulo na data de seu vencimento (Operac;ao de capitalizac;:l.o
composta)
Juros Comoostos!!
Valor inicial do titulo C = IOOO,OO
Vencimento do titulo em 1 ano n = I ano = I2 meses
taxa de juros i = IO% a.m.
Valor do titulo no \'encimento (Valor Nominal)= Montante=?
Formula M = C(1 + i)" ~ M = 1000(1 + 10%) 12
Recorrendo a tabela financeira, encontramos que
(1 + 10%) 12 = 3,138428
Dai M = 1000 x 3,138428 ~ M ~ 3138,40
2" passo- Calcular o valor do desconto dnido a antecipac;ao no resgate do titulo (Operac;ao
de desconto simples comercial).
Desconto simples por fora!!
Valor do titulo no vencimento (Valor Nominal) N = 3138,40
Prazo de antecipac;ao n = 1 mes
i = 10% a . m. (taxa de desc Simples comercial)
i. ll = 10 1 = 10
Desconto: D =?
-t
Dai
23.
D
10
D
3138,4
lO
100
~
D = 313,84 (resposta)
(ESAF) Uma certa quantia, ao cabo de 7 meses, rendeu 40,71% dejuros, no
regime dejuros compostos. Se essa mesma quantia ficasse aplicada durante
um ano, a mesma taxa e mesmo regime, quanto por cento renderia?
a) 65,6%.
b) 67,8%.
c) 71,18%.
d) 79,59%.
e) 83,42%.
Solw;;ao: De acordo como enunciado, temos: juros de 40, 7I% em 7 meses.
Qual e o juros percentual em I ano?
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
238
Sergio Carvalho & Weber Campos
Esta questao pode ser resoh'ida de mais de uma forma, sendo a preferivel a que usa a
formula de taxas equivalentes do regime composto
Devemos calcular a taxa anual que e equivalente a taxa de 40,71% em 7 meses. Mas nao
faremos isso diretamente. For primeiro calcularemos a taxa equivalente mensa!, e a partir desta
encontraremos a taxa equivalente anuaL
Para facilitar a compreensao, chamaremos os 7 meses de sctimcstre (acabamos de batizar!),
mesmo sabendo que esse nome nao existe .
Vamos passar a taxa de 40,71% ao setimestre para a taxa ao mes utilizando a formula de
taxas equivalentes 1 + I = (1 + i)k
40,71% ao setimestre - - - - - - ? ao mes
I= 40,71% = 0,4071
k = 7 (pois o setimestrc tern 7 meses)
Substituiremos estes dados na formula de taxas equivalentes
1 +I= (l + i)k 7 1 + 0,4071 = (l + i)l -7 (l + i)l = 1,4071
Usando a tabela financeira do parentese famoso, o valor obtido para i
i
e igual a
= 5% a.m.
5% ao mes - - - - - - ? ao ano
5%
I=?
k = 12 (o ano tern 12 meses)
Substituindo estes dados na formula
1 + I= (1 + i)k
(ESAF) Um certo tipo de aplica~ao duplica o valor da
meses. Essa aplica~ao rend era 700% de juros em:
a) 5 meses e meio;
d) 5 rneses;
b) 6 meses;
c) 3 rneses e rneio;
2Q Soluc;ao:
Do enunciado
que a taxa e de 1
A questao so
700% pode ser e
chamaremos de h
Temos agora d
semos a utilizar a
100
Pela definic;;ao
i = 100% e I=
Substituindo
1 +I= (l + i)
l + 700% = (
1 +I= (l + 5%) 12 -7 da Tabela Financeira -7 (l + 5%) 12 = 1,795856
Dai 1 +I= 1,795856 -7 I= 0,795856 = 79,5856%
A taxa anual e de 79,5856% (resposta!)
24.
Vamos calcula
rempo em bimest
M = C(l + i)"
2C = C(l + i)
Vamos calcula
700% de Juro
J!C = 700% -7
Formula basic
8C = C(l + l)
Nas alternativ
Resposta alte
Agora, calcularemos a taxa anual que e equivalente a taxa de 5% a.m., novamente utilizando
a formula de taxas equinlentes.
=
Faremos duas
1Q Solw;ao:
M = C + 7C =
Formula de Ju
i =? a.m
i
-
aplica~ao
23 = 2k -7 k
a cada dois
e) 3 rneses.
Solw;ao: De acordo com o enunciado, temos: em 2 meses, o montante sera o dobro do capital M = 2C
Qual o valor de n para que se obtenha 700% de Juros?
2 5.
=
(FCC) Pa
juros de
quantia
a) RS 1 7
b) RS 17
c) RS 19
Campos
rivel a que usa a
-
Capitulo 5 -Juras Compostos
Faremos duas solw:;oes para esta questao:
1Q Solw;ao:
7 meses. Mas nao
a!, e a partir desta
amos de batizar!),
ndo a formula de
Vamos calcular a taxa para que em 1 bimestre (2 meses) tenhamos M = 2C Usaremos o
rempo em bimestre, dai n = 1
M = C(l + i)"
2C = C(l + i) 1 -7 2 = (l + i) 1 -7 2 = 1+ i -7 i = 1 = 100% a. b..
Vamos calcular o prazo de aplicac;;ao para que tenhamos urn rendimento de 700% de juros
700% de Juros significa que ]/C e igual a 700%.
J!C = 700% -7 ]/C = 700/100 -7 ]IC = 7 -7] = 7C
Formula basica M = C + J
M = C + 7C = 8C -7 M = 8C
Formula de Juros Compostos M = C(1 + i)n
8C = C(l + l)n -7 8 = (2)" -7 2 3 = 2" -7 n = 3 bimestres
Nas alternativas da questao nao temos 3 bimestres, mas temos 6 meses que da no mesmo.
Resposta alternativa B..
igual a
amente utilizando
~ao
2Q Soluc;ao:
Do enunciado temos a informac;;ao de que o capital dobra a cada bimestre, isto significa
que a taxa e de 100% ao bimestre.
A questao solicita o tempo necessaria para que tenhamos 700% de juros. 0 valor de
700% pode ser encarado como uma taxa de juros referente ao tempo da aplicac;ao, o qual
chamaremos de h.
Temos agora duas taxas uma de 100% ao bimestre e a outra de 700% em urn tempo k Passemos a utilizar a formula de taxas equivalentes entre estas duas taxas, ou seja l + I = (l + i)k
100% em urn bimestre - - - - - - 700% em urn tempo h
Pela definic;;ao da formula, o i e a taxa menor e o I e a taxa maior. Dai, teremos:
i = 100% e I= 700%
Substituindo estes dados na formula:
1 +I= (l + i)k
l + 700% = (1 + 100%)k -7 l + 7 = (l + 1)k -7 8 = (2)k
23 = 2k -7 k
a cada dois
ra o dobro do ca-
2 5.
= 3 bimestres (Resposta
alternativa B)
(FCC) Para que se obtenha R$ 242,00, ao final de seis meses, a uma taxa de
juros de 40% a.a., capitalizados trimestralmente, deve-se investir, hoje, a
quantia de:
a) RS 1 71 ,43;
d) R$ 200,00;
b) RS 172,86;
e) RS 220,00.
c) RS 190,00;
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
z7.
Solw;;ao:
De acordo com o enunciado, temos
CapitaL C =?
Montante M = 242,00
Tempo da aplicac;ao: n = 6 meses = 2 trimestres
taxa de 40% a . a., com capitaliza<;:ao trimestral (Taxa Nominal)
Primeiramente, devemos transformar a taxa nominal em taxa efetiva . Como o tempo da
capitaliza<;:ao e trimestral, entao passaremos a taxa de juros de ano para trimestre. Faremos
isso utilizando o conceito de taxas praporcionais
Sabemos que 1 ano tern 4 trimestres Entao, devemos dividir por quatra a taxa anual fornecida e, assim, obteremos a taxa efetiva trimestraL
40
i = - % a.t = 10% a.t.
4
Aplicando a formula dos juros Compostos M = C(l + i)"
242 = C(l + 10%) 2 -7 242 = C(1 + 0,10) 2 -7 242 = C(l,l) 2
C=
242
--
1,21
-7 C = 200,00 (resposta letra D)
a
Solu<;:ao: De acordo como enunciado, temos:.
juros j =?
CapitaL C = 80.000,00
Tempo n = 2 meses
Taxa de 6% a . a., capitaliza<;:ao mensa! (Taxa Nominal)
Primeiramente, devemos transformar a taxa nominal em taxa efetiva Como o tempo da
capitalizac;ao e mensa!, entao passaremos a taxa de juras de ano para mes. Faremos isso utilizando o conceito de taxas proporcionais
Sabemos que 1 ano tern 12 meses. Entao, devemos dividir por 12 a taxa anual fomecida
e, assim, obteremos a taxa efetiva mensa!:
t.
= -6
0/
to
a. m = 0 ,sol10 a . m .
12
Aplicaremos a formula dos juros Compostos M = C(l + i)"
M = 80000(1+ 0,5%) 2 -7 M = 80000(1+ 0,005)2
l:v1 = 80000 x 1,010025 -7 l:v1 = 80.802,00
Calculo dos Juras j = M - C
j = 80.802,00- 80 000,00 -7 J = 802,00 (resposta altemativa B)
Solw;:ao:
De acordo co
Aplica<;:ao inicia
Capital C =
Tempo n = 4
Taxa. i = 14%
Reaplicac;ao dos
Somente os j
dejuros efetiva m
(FCC) A caderneta de poupan~a remunera seus aplicadores taxa nominal
de 6% a.a., capitalizada mensalmente no regime dejuros compostos. Qual
e o valor do juro obtido pelo capital de R$ 80.000,00 durante 2 meses?
a) R$ 801.00.
d) R$ 804,00.
b) R$ 802.00.
c) R$ 803.00.
26.
(ESAF) U
taxa nom
periodo,
nominal
dessa ul
a) R$ 1 0
b) R$ 11
c) R$ 1 2
Pede-se Jura
1Dpasso- Calcu
Formula de j
l:v1 = 20 000(
Calculo do ju
J = 34 . 363-
2D passo - Reapli
capital C = j
tempo n = 1
taxa i = 4%
Aplica<;:ao da
l:v1
=
14363(1
Calculo do ju
j
=25 853-
Obs.:
a difer
aproxi
r Campos
Capitulo 5 - juros Compostos
(ESAF) Uma pessoa aplicou urn capital de R$ 20.000,00 durante 4 anos, a
taxa nominal de 14% ao ano capitalizada semestralmente. Ao termino desse
periodo, somente os juros ganhos, foram reaplicados por 15 meses a taxa
nominal de 12% ao trimestre capitalizada men sal mente. Qual o rendimento
dessa ultima aplica~ao?
a) R$ 1 0.308,29.
d) R$ 12.856,78.
b) R$ 11.504,53.
e) R$ 13.082,56.
c) R$ 1 2. 718,97.
z7.
Como o tempo da
rimestre. Faremos
Solw;:ao:
De acordo com o enunciado, temos
a a taxa anual for-
Aplica<;:ao inicial:
Capital C = 20 000,00
Tempo n = 4 anos = 8 semestres
Taxa. i = 14%/2 as. = 7% as . (passamos de taxa nominal para efetiva)
Reaplicac;ao dos juros:
Somente os juros obtidos na aplicac;ao inicial serao reaplicados por 15 meses a uma taxa
dejuros efetiva mensa! de 4% a.m (= 12%/3)
a
s taxa nominal
ompostos. Qual
nte 2 meses?
Como o tempo da
Faremos isso utili-
xa anual fomecida
Pede-se Juras obtidos nesta segunda aplicac;ao =?
1Dpasso- Calculo dos juros ao fim dos 4 anos iniciais
Formula de juros compostos M = C(l+ i)"
l:v1 = 20 000(1 + 0,07) 8 -7 l:v1 = 20 . 000 x 1,718186 -7 M
= 34.363,00
Calculo do jura j = M- C
J = 34 . 363- 20.000 -7 J
= 14.363,00
2D passo - Reaplica<;:ao dos juros
capital C = juros da aplica<;:ao inicial = 14.363,00
tempo n = 15 meses
taxa i = 4% a.s .
Aplica<;:ao da formula de juros compostos M = C(1 + i)"
l:v1
=
14363(1 + 0,04)1 5 -7 M: 14363 x 1,8 -7 M: 25.853,00
Calculo do jura j
j
=
M- C
=25 853- 14.363 -7 J =11.490,00 (Resposta: B) 11.504,00
Obs.:
a diferen<;:a entre o valor que nos obtivemos e o da alternativa correta se deve
aproxima<;:ao realizada no calculo do Montante da 2" aplicac;ao.
a
2 2
28.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
Sergio Carvalho & Weber Campos
(ESAF) Um capital de 100.000,00 foi depositado por um prazo de quatro
trimestres
taxa de juros de 10% ao trimestre, com corre~ao trim estral
igual a infla~ao. Admitamos que as taxas de infla~ao trimestrais observadas
foram de 10%, 15%, 20% e 25%, respectivamente. A disponibilidade do
depositante ao final do terceiro trimestre e de, aproximadamente:
a) $ 123.065,00;
d) $ 212.045,00;
b) $ 153.065,00;
e) $ 222.045,00.
c) $ 202.045,00;
------------
Substituindo o
a
:tvL = 100000(1
D;t M. = 1000
De aco:·do com
contas referentes a
M. = 100000(1
)
M. = 100000(1
)
Solw;;ao: De acordo com o enunciado, temos:
:tvL = 202 045,
)
-7 Capital= 100 000,00
-7 Taxa de rendimento trimestral da aplicac;:ao
29.
Taxa de juros de 10%, mais correc;:ao trimestral igual a inflaclo.
-7 lnflac;:oes dos tres primeiros trimestres 10%, 15%,
-7 Montante ao final do terceiro trimestre =?
20'~o
(FCC) Um
efetiva de
50% no s
foi de apr
a)
7,1%;
b) 8, 1%;
Desenho da questao
100.000,00
(10% e 10';o)
(10% e 1S';o)
1° trimestre
2° trimestre
(10% e
20'~,.)
-------------+-------+ Montante=?
Solw;ao:
De acordo com
3° trimestre
Aplicac;ao de u
Taxa da aplicac
Passaremos a calcular os montantes ao fim de cada trimestre .
-7
lnflac;ao do pr
Calculo do montante ao final do 1Qtrimestre
lnflac;ao do se
No primeiro trimestre, o capital inicial tera dois aurnentos sucessivos: urn de 10% da
Taxa real no b
0 calculo da t
taxa de juros e outro de 10% da correc;:ao da inflac;:ao. Dessa forma, o montante ao fim do
primeiro trimestre (M 1) vai ser igual a
M1 = 100000 (l + 10%) (l + 10%)
-7
Calculo do montante ao final do 2Q trimestre:
0 montante obtido ao final do primeiro trimestre tera dois aurnentos sucessivos um de
Na formula a
valores da inflac;a
Como a quest
no bimestre e a in
10% da taxa de juros e outro de 15% da correc;:ao da inflac;ao. Dessa forma, o montante ao
fim do segundo trimestre (M) vai ser igual a:
M2 = Ml
X
(1 + 10%) (l + 15%)
1.
Calculo da
Utilizaremos
Substituindo o valor de M1 obtido no passo anterior na equac;ao acima, teremos
M2 = 100000 (l + 10%) (1 + 10%)
X
DaL M2 = 100000 (l + 10%) (l + 10%) (1 + 10%) (1 + 15%)
-7
I
(1 + 10%) (1 + 15%)
Calculo do montante ao final do 3Q trimestre:
Onde INF 1 e
assim por diante.
Para o nosso
0 montante obtido ao final do segundo trimestre tera dois aumentos sucessivos um de
INFocumulada =
10% da taxa de juros e outro de 20% da correc;ao da inflac;ao. Dessa forma, o montante ao
INFocumulada =
INF acurnu 1a da =
fim do terceiro trimestre (M) vai ser igual a
M3 = M2
X
(l + 10%) (l + 20%)
Dai, a inflac;a
Campos
azo de quatro
~ao trim estral
ais observadas
onibilidade do
mente:
[]43)
Capitulo 5 -Juras Compostos
--------------------------=~~~~~~~~----------------------~~
Substituindo o valor de M2 obtido no passo anterior na equac;ao acima, teremos
:tvL = 100000(1+10%)(1+10%)(1+10%)(1+15%) X (1+10%)(1+20%)
D;t M. = 100000(1+10%)(1+10%)(1+10%)(1+15%)(1+10%)(1+20%)
De aco:·do com o enunciado, M3 e exatamente a resposta da questao Entao, faremos as
contas referentes a equac;ao acima para encontrar a soluc;ao
M. = 100000(1+0,1)(1+0, 1)(1+0,1)(1+0, 15)(1+0,1)(1+0,2)
)
M. = 100000(1,1)(1 ,1)(1 ,l)(l ,15)(1 ,1)(1 ,2)
)
:tvL = 202 045,80 (Resposta!)
)
29.
a
(FCC) Um capital foi aplicado por dois meses
taxa composta racional
efetiva de 50% a.m. Nestes dois meses, a infla~ao foi de 40% no 12 mes e de
50% no segundo. Pode-se concluir que a taxa real dejuros nesse bimestre
foi de aproximadamente:
a)
7,1%;
c)
b) 8, 1%;
ntante=?
Solw;ao:
De acordo como enunciado, temos
Aplicac;ao de um capital por n = 2 meses
Taxa da aplicac;ao i =50% a.m.
lnflac;ao do primeiro mes. INF 1 = 40% a.m.
lnflac;ao do segundo mes: INF 2 =50% a.m.
Taxa real no bimestre: ireal =?a b.
0 calculo da taxa real pode ser obtido a partir da formula:
: urn de 10% da
ntante ao fim do
ucessivos um de
9,1%;
d) 10, 1%.
(l+iaparcn) = (l+ireal)(l+lNF)
Na formula acima, alem da taxa real aparecem a taxa aparente e a inflac;ao. ja temos os
valores da inflac;ao, e da taxa aparente que e a propria taxa da aplicac;ao
Como a questao solicita a taxa real no bimestre, entao devemos calcular a taxa aparente
no bimestre e a inflac;ao no bimestre.
a, o montante ao
teremos
1.
Calculo da Inflac;ao no bimestre
Utilizaremos a formula de inflac;ao acumulada que e dada por:
INFacumulada = [ (l+INF 1)(l+INF )(l+INF)(l+INF 4 ) ••• ]
-
1
Onde INF 1 e a inflac;ao no primeiro periodo, INF 2 e a inflac;:ao no segundo periodo, e
assim por diante.
Para o nosso caso particular de dois meses, teremos:
ucessivos um de
INFocumulada = [(1+1NF 1)(1+1NF)J- 1
a, o montante ao
INFocumulada = [(1+0,4)(1+0,5)]- 1
INF acurnu 1a da = 1 1 = 110 % ao bimestre
1
Dai, a inflac;ao no birnestre
e de llO%.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
2
2.
-----------
Cilculo da taxa aparente no bimestre:
A taxa aparente (i"P)
JU
e a taxa de rendimento da aplicar,;ao, assim:
iap =50% a . m.
01.
Na capita
a) a sequ
b) a sequ
metica
c) s6 ren
d) uma ta
e) o capit
02.
(Oficial d
simples
a) Para o
JS.
b) No reg
c) Os jur
period
d) Os jur
period
e) No reg
Ocone que estamos trabalhando com a unidade bimestre. Logo, devemos calcular a taxa
equiYalente ao bimestre da taxa de 50% a ..m . Vamos aplicar a formula das taxas equiYalentes:
1 + l = (1+ i)k
desenho:
50% a.m.
i =50%
l =?
k = 2 (cabem 2 meses num bimestre)
1 + l = (l + 0 ,5)2 -7 1 + l = ( 1 ,5) 2 -7 l = 2,25 - 1
I= 1,25 = 125% a b
Daf, a taxa aparente no bimestre
3
e de 125%.
Cilculo da taxa real (i") no bimestre
INF = 110% a.b. = 1,10
iap = 125% a b . = 1,25
Formula (1 + i"P) = Cl+ i""1)(l+INF)
(1 + 1 ,25) = (l + irca)(1 + l,lO)
(l +ire,)= 2,25 I 2,10
TAXAS EQUIVA
03.
(Ministe
aplica~a
-7 (1 + i,<) = 225 I 210
com capi
a) 10%
b) 10,50%
c) 10,25%
d) 10,75%
e) 11%
ir<al = 2251210- 1 = 15/210
= 1/14 = 0,0714
i,ca~
ircal = 7,14% a.b. (resposta!)
04.
(Auditorproximo
~ao men
a) 3,321
b) 24% a
c) 26,532
d) 10, 77
e) 8,825%
05.
(Analista
Banco X
~ao trim
a mesma
taxa cob
Banco X,
100 unid
er Campos
Capitulo 5 -Juras Compostos
1]45)
--------------------------~----~----~----------------------~~
JUROS COMPOSTOS- EXERClCIOS PROPOSTOS
01.
Na capitaliza~ao composta:
a) a sequencia dos juras praduzidos par periodo e constante;
b) a sequencia dos montantes ao fim de cada periodo cresce em progressao aritmetica;
c) s6 rende jura o capital aplicado inicialmente;
d) uma taxa mensa! de 2% e equivalente a uma taxa bimestral de 4%;
e) o capital que rendejuro em urn periodo eo rnontante do final do perfodo anterior.
02.
(Oficial de Fazenda SEFAZ-RJ 2011 CEPERJ) Comparando o regime dejuros
simples (JS) com o regime de juros compostos (JC), tem-se que:
a) Para o prime ira periodo, o valor final no regime de JC e o dobra do regime de
JS.
b) No regime de JS, o capital cresce a urna taxa linear.
c) Os juras ganhos a cada periodo no regime de JC sao constantes ao logo do
periodo.
d) Os juros ganhos a cada periodo no regime de JS sao decrescentes ao logo do
periodo.
e) No regime de JC, o valor final e sempre o dobra do valor final no regime de JS.
mos calcular a taxa
taxas equiYalentes:
TAXAS EQUIVALENTES
03.
(Ministerio da Fazenda- Contador 2013 ESAF) A taxa efetiva anual de uma
aplica~ao que rende juros compostos, a uma taxa nominal de 10% ao ano,
com capitaliza~ao semestral, e igual a:
a) 10%
b) 10,50%
c) 10,25%
d) 10,75%
e) 11%
04.
(Auditor-Fiscal da Receita Estadual SEFAZ-CE 2007 ESAF) Qual o valor mais
proximo da taxa equivalente a taxa nominal de 48% ao ano com capitaliza~ao mensal? (Consultar tabela financeira ao final do livro.)
a) 3,321%aomes.
b) 24% ao sernestre.
c) 26,532% ao semestre.
d) 10, 773% ao trimestre.
e) 8,825% ao bimestre.
05.
(Analista Tecnico da SUSEP 2010 ESAF) No sistema de juros compostos, o
Banco X oferece uma linha de credito ao custo de 80% ao ano com capitaliza~ao trimestral. Tambem no sistema dejuros compostos, o Banco Y oferece
a mesma linha de credito ao custo dado pela taxa semestral equivalente a
taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades monetarias junto ao
Banco X, para serem pagas ao final de um ano. Mario, por sua vez, obteve
100 unidades monetarias junto ao Banco Y para serem pag~s ao final de
Matemiitica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
2 6
urn semestre. Sabendo·se que Maria e Mario honraram seus compromissos
nos respectivos periodos contratados, entao os custos percentuais efeti·
vos pagos por Maria e Mario, foram, respectivamente, iguais a: (Consultar
tabela financeira ao final do livro.)
a)
b)
c)
d)
e)
06.
--
5%
b) 9,76%
c) 10%
d) 10,25%
e) 1 0,5%
a)
320% ao ano e 160% ao semestre.
120% ao ano e 60% ao semestre.
72,80% ao ano e 145,60% ao semestre.
240% ao ano e 88% ao ano.
107,36% ao ano e 44% ao semestre.
(AFRFB 2009 ESAF) No sistema de juros compostos urn capital PV aplicado
durante urn ano a taxa de 10% ao ano com capitaliza~ao semestral resulta
no valor final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durante um
trimestre a taxa de i,% ao trimestre resultara no mesmo valor final FV, se
a taxa de aplica~ao trimestral for igual a:
11·
simple
) A taxa
sob o
) uma t
em te
10,25%
b) 26,25%
c) 13,12%
d) 40%
e) 20%
mese
As afirm
a) V, Fe
(TRT18 Analista Judiciario- Contadoria 2013 FCC) Uma taxa nominal de i
ao ano, com capitaliza~ao trimestral, corresponde a uma taxa efetiva de
8,16% ao semestre. Tem·se que i e igual a
a)
b)
c)
d)
e)
16,80%.
16,40%.
16,32%.
16,00%.
15,80%.
(Auditor
ceitos de
a falsa.
( ) A taxa
a)
07.
(Auditor d
juros nom
a op~ao q
b) V, Fe
c) F,FeV
d) F, V e
e) F, V e
12.
(Analista
uma fina
~ao men
aproxim
08.
(Fiscal de Rendas SEFAZ/RJ 2010 FGV) No regime de juros compostos, a
taxa de juros semestral equivalente a taxa de 125% ao ano e igual a:
45%.
b) 50%.
c) 61,25%.
d) 62,25%.
e) 275%.
a)
a)
09.
(Auditor Fiscal Tributario da Receita Municipal de Cuiaba 2014 FGV) A
taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 10% ao ano, capitalizada
mensalmente, sera
a)
b)
c)
d)
e)
igual a 10%.
menor do que 10%.
me nor do que a taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitaliza<;ao trim estral.
maior do que a taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitaliza<;ao semestral.
maior do que qualquer taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitaliza<;ao
diaria, semestral, trimestral ou anuaL
14,1%
b) 14,3%
c) 14,5%
d) 14,7%
e)
13.
14,9%
(Fiscal d
ao ano,
a)
1-(1
b)
1-(
Campos
compromissos
centuais efeti·
s a: (Consultar
tal PV aplicado
mestral resulta
do durante um
alor final FV, se
--
5%
b) 9,76%
c) 10%
d) 10,25%
e) 1 0,5%
11·
(Auditor do Tesouro Municipal de Recife 2014 FG~) Com rela~~o aos con·
ceitos de taxas de juros, assinale V para a afirmat1va verdadeua e F para
a falsa.
( ) A taxa anual equivalente
a taxa
de 1% ao mes, sob
0
·
d ·
regime e JUros
simples, e maior do que 12%.
. .
'
) A taxa trimestral necessaria para que se dobre o prmc1pal apos 1 ano,
sob o regime dejuros simples, deve ser igual a 25%.
.
) uma taxa nominal nao nula pode ser igual a taxa efetiva eqUivalente
em termos anuais, se o periodo de capitaliza~ao for menor do que 12
meses.
As afirmativas sao, respectivamente,
a) V, Fe V.
b) V, Fe F.
c) F,FeV.
d) F, V e V.
e) F, V e F.
12.
(Analista Bancario BNB 2014 FGV) Para emprestimos a clientes c~mu_ns,
uma financeira cobra taxa nominal de juros de 84% ao ano c_om ca~ltallz~­
~ao men sal. Para urn emprestimo de do is meses, a taxa efeuva de JUros e,
aproximadamente de:
s compostos, a
e igual a:
za<;ao trim estral.
za<;ao semestral.
sob capitaliza<;ao
(Auditor do Tesouro Municipal de Recife 201_4 F_GV) _suponha uma ta~a de
juros nominal de 10%. Considerando urn a cap1tahza~ao semestral, assmale
a op~ao que indica a taxa efetiva anual equivalente.
a)
xa nominal de i
axa efetiva de
a 2014 FGV) A
o, capitalizada
Capitulo 5 -Juras Compostos
a)
14,1%
b) 14,3%
c) 14,5%
d) 14,7%
e)
13.
14,9%
(Fiscal de Rendas SEFAZ·RJ 2008 FGV) A taxa efetiva anual equivalente a i
ao ano, capitalizados k vezes ao ano e:
a)
b)
1-(1+T J-
d)
(1+* J-1.
J-
e)
(l+±rl-1.
1-(1-f
2 8
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
-----------
14.
(Oficial de Fazenda SEFAZ-RJ 2011 CEPERJ) Um banco faz um emprestim
de $ 50.000,00 a taxa nominal de 1 0% ao a no (a.a.), capitalizado seme:
tralmente. A taxa de juros efetiva do emprestimo e:
a) 10,55%a.a.
b) 10,1 5% a.a.
c) 10,45% a.a.
d) 10,05% a.a.
e) 10,25% a.a.
J9.
(Audito
R$ 12.0
durante
a) R$15
b) R$16
c) R$16
d) R$17
e) R$17
15.
(Especialista em Finan~as Publicas SEFAZ-RJ 2011 CEPERJ) A taxa trimestral
equivalente a 47,746% em dois anos e de: (Dados: 1 ,2437530/117=1 ,0575Z
e 1,47746 1' 8 =1,05)
a) I,= 4,92%
b) I,= 5,00%
c) I, = 5,49%
d) 1, = 5,12%
e) 1, = 4,98%
20.
(Auditor
em uma
mensalm
data do
a) RS 19
b) R$ 19
c) R$ 17
d) R$ 17
e) R$ 17
21.
(Analist
a vista
entrada
de infla
e equiva
a) R$ 51
b) R$ 46
c) R$ 51
d) R$ 52
e) R$ 21
22.
(Analist
regime
de juros
a) 30 .0
b) 32 .0
c) 29 .1
d) 34 .3
e) 31 .8
23.
(Analist
=1, 1232
meses,
a) R$ 1
b) R$ 1
c) R$ 1
d) R$ 1
e) R$ 1
CALCULO DOS JUROS COMPOSTOS
16.
(Assistente Tecnico-Administrativo MF 2014 ESAF) 0 capital de R$ 10.000,00
foi aplicado por 6 meses, a taxa dejuros compostos de 6% ao semestre, com
juros capitalizados trimestralmente. Calcule o montante dessa aplica~ao.
a) R$ 10.600,00
b) R$ 10.615,00
c) R$ 10.620,00
d) R$ 10.612,00
e) R$ 10.609,00
17.
18.
(APOFP SEFAZ-SP 2009 ESAF) Um capital C e aplicado a taxa de juros compostos de 2% ao mes. Qual o valor mais proximo do montante ao fim de
um ano e meio? (Consultar tabela financeira ao final do livro.)
a) 1,27C
b) 1,32(
c) 1 ,43C
d) 1 ,40(
e) 1 ,37C
(Auditor Fiscal do Estado do RJ 2011 FGV) Um individuo tem uma divida
de R$ 500,00 cuja taxa de juros e de 10% ao mes, juros compostos. Apos
tres meses, essa divida e
a) R$ 675,00.
b) R$ 650,00.
c) R$ 645,50.
d) R$ 665,50.
e) R$ 680,50.
r Campos
Capitulo 5 -Juras Compostos
(249)
-------------------------~----~----~--------------------_J~~
um emprestim
talizado seme:
J9.
(Auditor Fiscal Tributario Municipal de SP 2014 CETRO) Uma aplica~ao de
R$ 12.000,00 foi capitalizada trimestralmente a taxa composta de 60% a.a.
durante 6 meses. 0 valor resgatado, apos esse periodo, sera de
a) R$15.870,00.
b) R$16.290,00.
c) R$16.960,00.
d) R$17.120,00.
e) R$17.850,00.
taxa trimestral
30/117=1 ,0575Z
20.
(Auditor Fiscal SEFAZ-RS 2014 Fundatec) Um investidor aplicou R$ 150.000,00
em uma conta remunerada que rende juros de 1,5% ao mes, capitalizado
mensalmente, por um prazo de 12 meses. Qual o montante acumulado na
data do resgate? (Consultar tabela financeira ao final do livro.)
a) RS 197.432,70.
b) R$ 197.342,70.
c) R$ 179.432,70.
d) R$ 179.347,20.
e) R$ 179.342,70.
de R$ 10.000,00
o semestre, com
essa aplica~ao.
21.
(Analista de Controle lnterno SEFAZ-RJ 2013 CEPERJ) Sabe-se que o pre~o
a vista de um imovel e R$ 78.000,00. Na hipotese de se oferecer uma
entrada de 40%, o saldo restante apos um semestre, sabe-se que a taxa
de infla~ao projetada para um a no atinge 21 %, o valor desse pagamento
e equivalente a:
a) R$ 51 .500,00
b) R$ 46.973,02
c) R$ 51 .480,00
d) R$ 52.000,00
e) R$ 21.200,00
22.
(Analista de Controle lnterno SEFAZ/RJ 2011 FGV) 0 valor presente, sob o
regime de juros compostos, quando o montante final e R$ 50.000, a taxa
de juros de 25% ao ano eo periodo 2 anos, e
a) 30 .000,00.
b) 32 .000,00.
c) 29 .150,85.
d) 34 .325,75.
e) 31 .875,25.
23.
(Analista de Controle lnterno SEFAZ/RJ 2011 FGV) Sabendo-se que (1 ,013)9
=1, 12327, o valor inicial dado que um individuo retirou R$ 15.000 apos 9
meses, a uma taxa de juros de 1,3% ao mes, juros compostos, e
a) R$ 12.878,96.
b) R$ 13.353,87.
c) R$ 13.567,34.
d) R$ 13.769,25.
e) R$ 13,975,00.
a de juros comante ao fim de
ro.)
em uma divida
mpostos. Apos
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
250
24.
(DNOCS 2010 FCC) Uma pessoa fez um emprestimo em um banco no valor
de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o emprestimo apos 18 meses a uma
taxa de juros de 24% ao a no, com capitaliza~ao mensa!. 0 valor dos juros
a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00
por:
a)
28.
(Especia
de juros
R$ 79.60
1,47746 1
a) lm = 5
b) lm = 5
c) lm = 5
d) lm = 5
e) lm = 5
29.
(Auditor
capital d
[(1,02) 18 - 1]
b) [18 1.zy1,36-l]
c)
[18 111.24 -1]
d) [3~1,24-1]
e)
25.
26.
27.
[6~1,24-1]
(Analista do Tesouro Estadual SEFPI 2015 FCC) Sabe-se que o valor dos
juros correspondente a uma divida que vence daqui a 3 anos e igual a
R$ 3.972,00, considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.
Esta mesma divida, considerando uma taxa de juros compostos de 5% ao
semestre e com vencimento daqui a 1 ano, apresentaria um valor dejuros
(J), em reais, tal que
a) J s 1.1 00
b) 1.1 00 < J :S 1.200
c) 1.200 < J s 1.300
d) 1.300 < J :S 1 .400
e) J > 1.400
(Analista Bancario BNB 2014 FGV) Jonas investiu R$ 50.000,00 em certo
titulo e retirou o total de R$ 60.000,00 seis meses depois. A rentabilidade
anual desse investimento no regime de juros compostos e de:
a) 1,44%
b) 40%
c) 44%
d) 140%
e) 144%
(Banco da Amazonia Tecnico Bancario 2010 CESPE) Acerca de matematica
financeira, julgue os itens subsequentes.
1. Considerando 1,1 e 1,0489 como valores aproximados de 1,012 8 e 1,012\ respectivamente, e correto afirmar que a taxa anual de juros equivalente ataxa de
juros compostos de 1,2% ao mes e inferior a 1 5%.
2. Caso uma loja de roupas ofere<;a o desconto de 5% sobre o pre<;o de cada pe<;a
para pagamento avista, ou o pagamento ern duas parcelas, mensais e iguais,
sem acrescimo, com a prirneira devendo ser paga no ato da compra, entao
a taxa mensal de juros que a loja embute nos pre<;os para vendas a prazo e
superior a 10%.
aplica~ao
da
a)
b)
c)
d)
e)
30.
7,5 an
8,5 an
9,7 an
10,7 a
11,3a
(Auditortador, cu
- a vist
- em du
ponde
financ
comp
Se R e S
casos, e
a) S = R
b) S + R
c) R = S
d) S R
e)
31.
aplica
S
=
2R
(Auditor
sob o re
no final
fosse ap
apresen
·se que e
Um outro
regime d
no final
a) R$ 16
b) R$ 16
c) R$ 16
d) R$ 16
e) R$ 16
Campos
banco no valor
8 meses a uma
alor dos juros
o R$ 25.000,00
Capitulo 5 - juros Compostos
28.
(Especialista em Finan~as Publicas SEFAZ-RJ 2011 CEPERJ) A taxa mensa!
de juros cobrada num emprestimo de R$ 64.000,00 para ser quitado por
R$ 79.600,00 no prazo de 117 dias e: (Dados: 1,24375 301 117=1,05752 e
1,47746 118 =1 ,05)
a) lm = 5,92%
b) lm = 5,992%
c) lm = 5,872%
d) lm = 5,602%
e) lm = 5,752%
29.
(Auditor Fiscal de Receitas Estaduais Para 2013 UEPA) Mauro aplicou um
capital de R$ 12.000,00 a juros compostos, a uma taxa de 21% a.a, se essa
aplica~ao produziu R$ 58.080,00 de rendimento; nessas condi~oes, o prazo
da aplica~ao foi de:(Dados: log11 = 1,04 e log2=0,3)
a) 7,5 anos
b) 8,5 anos
c) 9,7 anos
d) 10,7 anos
e) 11,3anos
30.
(Auditor-Fiscal Tributario Municipal SP 2012 FCC) Em uma loja, um computador, cujo pre~o e R$ 2.200,00, pode ser vendido nas seguintes condi~oes:
- a vista, com abatimento de 10% no pre~o ou
- em duas parcelas, sendo a primeira delas dada como entrada, correspondendo a 25% do pre~o. A segunda, que corresponde ao restante
financiado a juros compostos a taxa de 4% ao mes, deve ser paga ao
completar 2 meses da data da compra.
Se R e S sao, respectivamente, os totais pagos no primeiro e no segundo
casos, e verdade que
a) S = R + R$ 354,64.
b) S + R = R$ 4.312,00.
c) R = S - R$ 1 79,52.
d) S R = R$ 99,52.
e o valor dos
anos e igual a
e 10% ao ano.
stos de 5% ao
valor dejuros
0,00 em certo
rentabilidade
de:
e)
31.
de matematica
e 1,012\ resalente ataxa de
8
;o de cada pe<;a
ensais e iguais,
compra, entao
ndas a prazo e
S
=
2R.
(Auditor Fiscal da Receita Estadual SFARJ 2014 FCC) Um capital aplicado
sob o regime de capitaliza~ao composta, durante 1 semestre, apresentou,
no final deste prazo, um total de juros de R$ 580,00. Caso esse capital
fosse aplicado sob o regime de capitaliza~ao composta, durante 1 ano,
apresentaria no final deste prazo um total de juros de R$ 1.183,20. Sabe·se que em ambos os casos considerou-se a taxa de i ao semestre (i > 0).
Um outro capital, no valor de R$ 1 5.000,00, aplicado, durante 1 ano, sob o
regime de capitaliza~ao composta a uma taxa de i ao semestre, apresentara
no final deste prazo um montante de
a) R$ 16.242,00
b) R$ 16.200,00
c) R$ 16.212,00
d) R$ 16.224,00
e) R$ 16.236,00
252
32.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
(Fiscal ICMS-SP 2009 FCC) Uma programa~ao de investimento consiste na
realiza~ao de tres depositos consecutivos de valores iguais efetuados
no inicio de cada ano. 0 resgate dos respectivos montantes sera feito de
uma so vez, tres anos apos a data do primeiro deposito. Considerando
uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma
dos montantes no ato do resgate foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que
o valor de cada deposito e igual a
a) RS 1 0.000,00
b) RS 10.500,00
c) RS 11 .000,00
d) RS 1 1.500,00
e) RS 12.000,00
33.
(Fiscal da Receita do Amapa 2010 FGV) Fabio sacou R$ 800,00 com cartao
de credito que cobra pela dividajuros (muito altos) de 10% ao mes. No mes
seguinte Fabio depositou R$ 300,00, urn mes apos depositou novamente R$
300,00 e, no mes seguinte, liquidou a divida. 0 valor do terceiro deposito
feito por Fabio foi de:
a) RS 280,00.
b) RS 348,40.
c) R$ 440,00.
d) RS 3 71 ,80.
e) RS 464,80.
34.
(Fiscal de Tributos de Niteroi-RJ 2015 FGV) Urn capital sera aplicado porum
ano. 0 regime de capitaliza~ao sera composto, sendo que incidirao duas
taxas dejuros semestrais, pagas ao final de cada semestre. Sabendo·se que
as duas taxas de juros praticadas precisam somar 12%, a melhor escolha
para a taxa do primeiro semestre, do ponto de vista do investidor, e:
a) 0% ao semestre
b) 1% ao semestre
c) 6% ao semestre
d) 9% ao semestre
e) 12% ao semestre
35.
36.
(APOFP SEFAZ-SP 2013 VUNESP) Considere uma aplica~ao financeira no valor
de R$ 32.000,00, ajuros compostos de 1% ao mes, pelo prazo de 2 meses.
Sabendo que o aplicador pagou imposto de 20% sobre o rendimento da
aplica~ao, pode-se afirmar corretamente que
a) o montante, antes do impasto, foi RS 32.692,00.
b) o valor do impasto foi de RS 128,64.
c) o rendimento llquido foi de R$ 265,64.
d) o valor lfquido do resgate foi de R$ 32.640,00.
e) o rendimento lfquido da aplicac;ao foi de R$ 492,00.
(Banco do Brasil Escriturario 2007 Cespe) julgue o item subsequente:
1. Um emprestimo de R$ 20.000,00 foi concedido ataxa dejuros compostos de 6%
ao mes. Dois meses ap6s concedido o emprestimo, o devedor pagou R$ 12.000,00
e, no final do terceiro mes, liquidou a dfvida. Nessa situac;ao, tomando-se 1 ,2
como valor aproximado de 1,06 3 , conclui-se que esse ultimo pagamento foi
superior a RS 11 .000,00.
3 7.
(Ministe
foi aplic
aplica~a
primeira
no siste
2,5% ao
a) RS 11
b) RS 11
c) RS 11
d) RS 11
e) RS 11
38.
(AFRFB 2
uma det
por esse
juros co
ou seja,
capital n
capital a
a) 4.800
b) 5.200
c) 3.200
d) 5.000
e) 6.000
39.
(ATRFB
uma tax
foi resg
juros co
aplica~a
a)
RS 22
b) RS 22
c)
R$ 2
d) R$ 21
e)
40.
R$ 21
(Auditor
capital
de doze
mes, ju
proxim
juro de
do livro
a) R$ 2
b) R$ 3
c) R$ 3
d) R$ 4
e) RS 5
Campos
nto consiste na
uais efetuados
es sera feito de
Considerando
se que a soma
conclui-se que
0,00 com cartao
ao mes. No mes
u novamente R$
rceiro deposito
aplicado porum
incidirao duas
Sabendo·se que
melhor escolha
vestidor, e:
anceira no valor
azo de 2 meses.
rendimento da
ubsequente:
compostos de 6%
gou R$ 12.000,00
tomando-se 1 ,2
o pagamento foi
3 7.
(Ministerio da Fazenda- Contador 2013 ESAF) 0 capital de R$ 100.000,00
foi aplicado em urn banco por 2 meses. A taxa de juros compostos dessa
aplica~ao foi 1% ao mes. Decorridos esses 2 meses, o montante des sa
primeira aplica~ao foi resgatado e aplicado em outro banco por 4 meses
no sistema de juros simples. A taxa de juros dessa segunda aplica~ao foi
2,5% ao mes. Entao, o montante, ao final da segunda aplica~ao, foi:
a) RS 112.200,00.
b) RS 112.320,00.
c) RS 112.211,00.
d) RS 112.245,00.
e) RS 112.342,00.
38.
(AFRFB 2012 ESAF) No sistema de juros simples, urn capital foi aplicado a
uma determinada taxa anual durante dois anos. 0 total dejuros auferidos
por esse capital no final do periodo foi igual a R$ 2.000,00. No sistema de
juros compostos, o mesmo capital foi aplicado durante o mesmo periodo,
ou seja, 2 anos, e a mesma taxa anual. 0 total dejuros auferidos por esse
capital no final de 2 anos foi igual a R$ 2.200,00. Desse modo, o valor do
capital aplicado, em reais, e igual a
a) 4.800,00.
b) 5.200,00.
c) 3.200,00.
d) 5.000,00.
e) 6.000,00.
39.
(ATRFB 2012 ESAF) Marta aplicou R$ 1 0.000,00 em urn banco por 5 meses, a
uma taxa dejuros simples de 2% ao mes. Apos esses 5 meses, o montante
foi resgatado e aplicado em outro banco por mais 2 meses, a uma taxa de
juros compostos de 1% ao mes. 0 valor dos juros da segunda etapa da
aplica~ao e igual a
a) RS 221,10.
b) RS 220,00.
c) R$ 252,20.
d) R$ 21 2,20.
e) R$ 211 , 10.
40.
(Auditor-Fiscal da Receita Estadual SEFAZ-CE 2007 ESAF) Metade de urn
capital foi aplicada a juros compostos a taxa de 3% ao mes por urn prazo
de doze meses enquanto a outra metade foi aplicada a taxa de 3,5% ao
mes, juros simples, no mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais
proximo deste capital, dado que as duas aplica~oes juntas renderam urn
juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo. (Consultar tabela financeira ao final
do livro.)
a) R$ 25 000,00.
b) R$ 39 000,00.
c) R$ 31 000,00.
d) R$ 48 000,00.
e) RS 50 000,00.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
25
41.
(Analista do Tesouro Estadual SEFPI 2015 FCC) Urn investidor aplica, ern
uma mesma data, os seguintes capitais:
I. R$ 11.600,00, durante 1 5 meses, sob o regime de capitaliza<:ao simples.
11. R$ 20.000,00, durante 1 semestre, sob o regime de capitaliza~ao cornpasta, a uma taxa de juros de 3% ao trimestre.
Se os valores dos juros das duas aplica<:oes sao iguais, entao a taxa de
juros anual da primeira aplica<:ao e de
8,4%
b) 9,0%
c) 9,6%
d) 10,5%
e) 10,8%
45.
14,89%
b) 15,25%
c) 16,33%
d) 18,45%
e) 20,00%
a)
a)
42.
46.
(Auditor Fiscal da Fazenda Estadual SEFPI 2015 FCC) Urn capital de
R$ 14.700,00 foi aplicado a juro simples da seguinte forma:
- 1/3 a taxa de 6% ao mes por urn trimestre;
- 2/5 a taxa de 13% ao bimestre por 5 meses e
- o restante a taxa de x% ao bimestre por 1 semestre.
0 juro total arrecadado foi de R$ 3.616,20. Se urn capital de R$ 18.000,00
for aplicado a juros compostos, a taxa de x% ao bimestre, por urn periodo
de 4 meses, o montante dessa aplica<:ao sera
a)
8,35%
b) 9,35%
c) 10,05%
d) 12,44%
e) 16,52%
a)
R$ 19.260,00
CONVEN(AO L
47.
(ESAF) Se
tempo m
M1 -Mon
M2 - Mo
exponen
M3- Mo
linear.
Teremos
a) M3 >
b) M3 =
c) M3 <
d) M3 <
e) M2 >
48.
(Fiscal d
linear p
renda "b
a) a= lo
b) a< b
c) a= b
d) R$ 19.945,95
e) R$ 20.520,00
43.
(Auditor Fiscal da Fazenda Estadual SEFPI2015 FCC) Urn capital C foi aplicado ajuros compostos, a taxa de 5% ao mes. Ao completar 1 bimestre, seu
montante foi resgatado e imediatamente aplicado a juro simples, a taxa
de 6% ao mes. Ao fim de 1 semestre da segunda aplica<:ao, o montante M
era de R$ 14.994,00. Suponha que, desde o inicio, o capital C tivesse sido
aplicado a juro simples, a taxa mensal i, de modo que o montante final
fosse igual a M. Dos numeros abaixo, o mais proximo de i e
6,4%
b) 6,5%
c) 6,1%
d) 6,2%
e) 6,3%
a)
44.
(Auditor
financeir
mes, 4%
100.000,
meses. A
R$ 20.608,20
b) R$ 23.594,33
c)
(Fiscal de
ano a tax
mais urn
Para que
mesmo m
(Fiscal de Tributos de Niteroi-RJ 2015 FGV) Urn emprestimo por dois anos
utilizando o regime dejuros simples de 150% ao ano equivale a urn emprestimo utilizando o regime de juros compostos, pelo mesmo periodo, de:
a) 1 00% ao ano
b) 125% ao ano
c) 1 50% ao ano
d) 1 75% ao ano
e) 200% ao ano
d)
e)
a= 1
a> b
Capitulo 5 -Juras Compostos
Campos
dor aplica, ern
45.
a<:ao simples.
corn-
taliza~ao
14,89%.
b) 15,25%.
c) 16,33%.
d) 18,45%.
e) 20,00%.
ntao a taxa de
a)
46.
Urn capital de
:
(Auditor Fiscal de Receitas Estaduais Para 2013 UEPA) Uma institui<:ao
financeira paga juros compostos com as seguintes taxas: 2% no primeiro
mes, 4% no segundo e 6% no terceiro. Supondo que uma pessoa aplica R$
100.000,00 nessa institui<:ao financeira, com rendimento mensa!, por tres
meses. A taxa aproximada de rendimento do trimestre e:
8,35%
b) 9,35%
c) 10,05%
d) 12,44%
e) 16,52%
a)
R$ 18.000,00
or urn periodo
CONVEN(AO LINEAR
47.
(ESAF) Se para urn mesmo capital, aplicado durante qualquer periodo de
tempo maior do que zero e a uma certa taxa, chamarmos:
M1 -Montante calculado no regime dejuros simples;
M2 - Montante calculado no regime de juros compostos pela conven<:ao
exponencial;
M3- Montante calculado no regime de juros compostos pela conven<:ao
linear.
Teremos:
a) M3 > M1 para qualquer t > 0;
b) M3 = Ml para qualquer 0 < t < 1;
c) M3 < M2 para qualquer t > 0, desde que nao seja inteiro;
d) M3 < M2 quando t e inteiro;
e) M2 > M1 para qualquer t > 0.
48.
(Fiscal de Rendas SEFAZ·RJ 2008 FGV) A fra<:ao de periodo pela conven<:ao
linear produz uma renda "a" e pela conven<:ao exponencial produz uma
renda "b". Pode-se afirmar que:
a) a= log,b.
b) a< b.
c) a= b.
al C foi aplicabimestre, seu
mples, a taxa
o montante M
C tivesse sido
montante final
e
por dois anos
e a urn empreseriodo, de:
(Fiscal de Rendas SEFAZ/RJ 2010 FGV) Uma quantia foi aplicada durante urn
ano a taxa de 10% ao a no e a seguir, o valor resultante foi reaplicado, por
mais urn ano, ajuros de 20% ao ano. Ambas as taxas saojuros compostos.
Para que a mesma quantia, aplicada durante igual periodo, resultasse no
mesmo montante, deveria ser aplicada a taxa anual efetiva unica de:
d)
e)
a= 1b.
a> b.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
49.
50.
(Auditor Fiscal da Receita Estadual SFARJ 2014 FCC) Sabe·se que urn capital
e aplicado, durante 2 meses e 12 dias, a taxa de juros compostos de 2%
ao mes. Utilizando a conven~ao linear, obteve-se que, no final do prazo de
aplica~ao, o valor dos juros simples correspondente ao periodo de 12 dias
foi igual a R$ 104,04. Este mesmo capital, aplicado durante 2 bimestres, a
uma taxa de juros compostos de 4% ao bimestre, apresentara no final do
periodo urn total de juros igual a
a) R$ 877,20
b) R$ 1 .020,00
c) R$ 959,60
d) R$ 938,40
e) R$ 897,60
(Auditor
urn emp
padamen
Nessa si
ocorreu
a) super
b) inferio
c) super
d) super
e) super
54.
(Analista
em urn b
dia uti I.
0,4% pa
da opera
a) R$ 51
b) R$ 54
c) R$ 49
d) R$ 49
e) R$ 50
(ESAF) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado a taxa
de juros compostos de 10% ao semestre por urn prazo de quinze meses,
usando a conven~ao linear para calculo do montante.
a) 22,5%.
b) 24%.
c) 25%
d) 26,906%.
e) 27,05%.
CUSTO EFETIVO (TAXA EFETIVA DE JUROS)
51.
(Analista de Controle lnterno SEFAZ/RJ 2011 FGV) A respeito dos diferentes
conceitos de taxas de juros (nominal, efetiva, real, proporcional e equivalente), analise as afirmativas a seguir:
I. A taxa de juros anual proporcional a taxa de juros de 1% ao mes e
12,68%.
II. A taxa dejuros anual equivalente a taxa de 5% ao trimestre e 21,55%.
Ill. A taxa de juros efetiva para urn emprestimo de urn mes quando a taxa
de juros men sal e de 5%, mas o banco exige a manuten~ao de urn sal do
minimo de 20% do valor do emprestimo, e de 5,8%.
Assinale
a)
b)
c)
d)
e)
52.
53.
se
se
se
se
se
apenas
apenas
apenas
apenas
apenas
TAXA REAL X
55.
(Ministe
foi aplic
ano foi
a) 11%
b) 10%
c) 10,5%
d) 9,5%
e) 9%
56.
(Agente
capital d
quadrim
a que m
a) 14,0%
b) 13,8%
c) 13,7%
d) 13,6%
e) 13,5%
57.
(Audito
urn cap
tante no
de aplic
2,5%. ls
a) R$ 1
b) R$ 1
c) R$ 1
d) R$ 1
e) R$ 1
a afirmativa I estiver correta.
a afirmativa II estiver correta.
as afirmativas I e Ill estiverem corr·etas.
as afirmativas II e Ill estiverem corretas.
a afirmativa Ill estiver correta.
(Fiscal de Tributos de Niteroi·RJ 2015 FGV) Urn emprestimo e oferecido
de tal forma que os juros sao cobrados antecipadamente, ou seja, no a to
do emprestimo. Se forem cobrados juros de taxa de j ao periodo e, se a
cobran~a dos juros for antecipada, a taxa de juros cobrada e:
a) j (1 - j).
b) j/(1 +}).
c) j (1 + j).
d) j I (1 - j).
e) (1 - j) (1 + j).
Capitulo 5- Juras Compostos
Campos
que urn capital
mpostos de 2%
al do prazo de
odo de 12 dias
2 bimestres, a
ara no final do
53.
(Auditor Fiscal da Receita Estadual do ES 2013 CESPE) Urn cliente tomou
urn emprestimo de R$ 1.000,00 em determinado banco, que cobra, anteci·
padamente, uma taxa de 15% sobre o valor, entregando o valor ja liquido.
Nessa situa~ao, se o pagamento do emprestimo no valor de R$ 1.000,00
ocorreu urn mes depois, entao a taxa efetiva de juros do emprestimo foi
a) superior a 19,5%.
b) inferior a 18%.
c) superior a 1 8% e inferior a 1 8,5%.
d) superior a 1 8,5% e inferior a 19%.
e) superior a 19% e inferior a 19,5%.
54.
(Analista de Controle Interne SEFAZ·RJ 2013 CEPERJ) Uma empresa contrata
em urn banco urn emprestimo hot money de R$ 50.000,00 pelo prazo de urn
dia uti I. A taxa de negocia~ao firmada e de 4,1% ao mes, mais urn spread de
0,4% para o periodo. 0 pagamento do montante a pagar e o custo efetivo
da opera~ao ao dia, no periodo, foram, respectivamente, iguais a:
a) R$ 51.895,32 I 0,49%
b) R$ 54.995,37 I 0,51%
c) R$ 49.990,00 I 0,50%
d) R$ 49.009,97 I 0,45%
e) R$ 50.268,60 I 0,54%
plicado a taxa
quinze meses,
dos diferentes
onal e equiva-
1% ao mes e
stre e 21,55%.
quando a taxa
ao de urn sal do
mo e oferecido
ou seja, no a to
periodo e, se a
e:
TAXA REAL X TAXA APARENTE X INFLA<;:AO
55.
(Ministerio da Fazenda- Contador 2013 ESAF) 0 capital de R$ 12.000,00
foi aplicado por urn ano e gerou R$ 1.860,00 dejuros. Sea infla~ao desse
ano foi de 5%, entao a taxa real de juros desse ano foi:
a) 11%
b) 10%
c) 10,5%
d) 9,5%
e) 9%
56.
(Agente Fiscal de Rendas SEFAZ/SP 2013 FCC) Urn investidor aplicou urn
capital de R$ 5.000,00, resgatando o total de R$ 5.800,00 ao final de urn
quadrimestre. Nesse periodo, a taxa de infla~ao foi de 2%. Das taxas abaixo,
a que mais se a proxima da taxa real de juros desse periodo e
a) 14,0%
b) 13,8%
c) 13,7%
d) 13,6%
e) 13,5%
57.
(Auditor Fiscal da Receita Estadual SFARJ 2014 FCC) Urn investidor aplica
urn capital no valor de R$ 12.000,00 durante 1 ano e resgata todo o montante no final deste prazo. Ele verifica que a taxa de infla~ao do periodo
de aplica~ao foi de 8% e a respectiva taxa de juros real da aplica~ao foi de
2,5%. lsto significa que o investidor resgatou urn montante no valor de
a) R$ 1 3.284,00
b) R$ 12.660,00
c) R$ 12.830,00
d) R$ 13.000,00
e) R$ 13.260,00
258
58.
59.
60.
61.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
(Auditor Fiscal da Fazenda Estadual SEFPI 2015 FCC) Urn investidor
aplicou urn capital de R$ 10.000,00 e resgatou o total de R$ 13.600,00
ao fim de 1 semestre. Se, nesse periodo, a taxa real de juros foi de 32%,
entao, dos valores seguintes, o que mais se aproxima da taxa de infla~ao
do periodo e
a) 3%
b) 2,5%
c) 4,5%
d) 4%
e) 3,5%
(Fiscal de Tributos de Niteroi-RJ 201 5 FGV) Urn a aplica~ao de R$ 10.000,00
foi resgatada ao final de urn ano gerando urn montante de R$ 12.000,00.
Nas datas de aplica~ao e resgate, os numeros indices de pre~os - base
fixa eram 200 e 21 0, respectivamente. A taxa real de juros recebida nessa
aplica~ao durante o ano foi, aproximadamente:
a) 5%
b) 7%
c) 10%
d) 14%
e) 20%
(Auditor-Fiscal Tributario Municipal de SP 2007 FCC) Urn capital de R$
10.000,00 foi aplicado no dia primeiro de junho e no ultimo dia de julho
foi resgatado todo o montante de R$ 11.082,30. Nesse periodo, as taxas
de infla~ao foram, respectivamente: junho: 2% e Julho: 2,5%. A taxa real
desse investimento, nesse periodo, foi de
a) 6,32%
b) 6,00%
c) 5,50%
d) 5,00%
e) 4,50%
(Auditor Fiscal SEFAZ-RS 2014 Fundatec) Urn titulo acumulou urn rendimento
de 30% nominal nos ultimos quatros anos. Calcule a taxa de juros real,
ou seja, a taxa acima da varia~ao da infla~ao do periodo, sabendo que a
varia~ao da infla~ao foi de 5,5% para o ano 1; 4,5% para o ano 2; de 4,0%
para o ano 3; e de 6% para o ano 4.
a) 9,66% no perfodo.
b) 6,69% no perfodo.
c) 6,96% no perfodo.
d) 10,00% no perfodo.
e) 8,33% no perfodo.
CAPITAUZA(A
62.
(Auditor
cionados
Futuro, V
analise a
1. 0 Val
por V
11. 0 num
n ln
Ill. 0 calc
Assinale
a) se ape
b) se ape
c) se ape
d) se ape
e) se tod
=
63.
(Agente
foi aplica
apresent
Utilizand
a) 14,02%
b) 17,25%
c) 30%
d) 34,5%
e) 69%
64.
(Fiscal IC
igual a 0
mes, com
do resga
a) 12 me
b) 15 me
c) 18 me
d) 21 me
e) 24 me
65.
(Analista
e aplicad
continua
aplica~a
(Dados:
ln(l ,221
a) R$ 3.0
b) R$3.1
c) R$ 3.3
d) R$ 3.
e) R$ 3.
Campos
Urn investidor
R$ 13.600,00
os foi de 32%,
axa de infla~ao
Capitulo 5 -Juras Compostos
CAPITAUZA(AO CONTINUA
62.
=
=
e R$ 10.000,00
R$ 12.000,00.
pre~os - base
ecebida nessa
63.
=
(Agente Fiscal de Rendas SEFAZ-SP 2006 FCC) Urn capital de R$ 50.000,00
foi aplicado a taxa semestral i, durante 2 anos, com capitaliza~ao continua,
apresentando, no final do periodo, urn montante igual a R$ 200.000,00.
Utilizando In 2 0,69 (In e o logaritmo neperiano), tem·se que i e igual a
a) 14,02%
b) 17,25%
c) 30%
d) 34,5%
e) 69%
=
capital de R$
o dia de julho
iodo, as taxas
%. A taxa real
rn rendimento
de juros real,
abendo que a
no 2; de 4,0%
(Auditor Fiscal do Estado do RJ 2011 FGV) A respeito dos conceitos relacionados ao calculo de montantes sob juros compostos (sendo VF o Valor
Futuro, VP o Valor Presente, n o numero de periodos e i a taxa de juros),
analise as afirmativas a seguir:
1. 0 Valor Futuro quando os juros sao continuos pode ser determinado
por VF VP.ein.
11. 0 numero de periodos pode ser determinado pela formula
n ln(VF/VP) I ln(J + i).
Ill. 0 calculo da taxa de juros e determinado por i (VF/VP)lln - 1.
Assinale
a) se apenas as afirmativas I e II estiverem corr·etas.
b) se apenas as afirmativas II e Ill estiverem corretas.
c) se apenas as afirmativas I e Ill estiverem corretas.
d) se apenas a afirmativa Ill estiver correta.
e) se todas as afirmativas estiverem corretas.
64.
65.
(Fiscal ICMS-SP 2009 FCC) Considere que o logaritmo neperiano de 1 ,8 e
igual a 0,6. Aplicando urn capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% ao
mes, com capitaliza~ao continua, verifica-se que o montante, no momenta
do resgate, e igual a R$ 45.000,00. 0 periodo de aplica~ao e igual a
a) 12 meses.
b) 15 meses.
c) 18 meses.
d) 21 meses.
e) 24 meses.
(Analista do Tesouro Estadual SEFPI 2015 FCC) Urn capital de R$ 15.000,00
durante 2 anos, a taxa de 5% ao semestre com capitaliza~ao
continua. Dos valores abaixo, o mais proximo do valor dos juros desta
e aplicado,
aplica~ao
e
=
=
=
(Dados: ln(1,051271)
0,05; ln(1,105171)
0,10; ln(1,161834)
0,15 e
ln(l ,221403) 0,20; em que In e o logaritmo neperiano, tal que ln(e) 1.)
a) R$ 3.076,00
b) R$3.155,00
c) R$ 3.321 ,00
d) R$ 3.487,00
e) R$ 3.653,00
=
=
6.1. lntrodu
0 desconto
Equivalencia Co
0 que e uma
urn valor conhe
Geralmente
cumento que re
data futura
Sabemos inc
e ele?
E o seguinte
On de:
~
N eo va
urn determinad
~
A e o va
ou seja, e o val
Em suma, n
Quais sao os ou
~
n se
Eo
Capitulo
Desconto Composto
6.1. lntrodu~ao
0 desconto composto e urn assunto importante Com ele, trabalharemos as questoes de
Equivalencia Composta de Capitais (assunto do proximo capitulo).
0 que e uma operac;ao de Desconto? Trata-se daquela operac;ao em que desejamos projetar
urn valor conhecido de uma data futura para uma data anterior.
Eprojetar retroceclendo.
Geralmente, esse valor futuro representa urn titulo. ja vimos o que e urn titulo e urn documento que representa urn valor monetario, que sera devido (que tera que ser pago) numa
data futura
Sabemos inclusive que toda opera<;ao de desconto tera sempre urn mesmo descnho Qual
e ele?
E o seguinte.
N
A
On de:
~
N eo valor nominal, que representa o valor de face do titulo, ou seja, o quanto vale
urn determinado titulo numa data futura
~
A e o valor atual, que representa o valor liquido do titulo, o seu valor descontado,
ou seja, e o valor do titulo projetado para uma data anterior.
Em suma, nada de novo! Tudo isso ja sabiamos do nosso estudo do desconto simples.
Quais sao os outros elementos de uma operac;ao de desconto composto?
~
n sera o intervale de tempo que separa as datas do valor nominal e do valor atual
Eo tempo de antecipac;ao no pagamento do titulo.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
-7
d sera o descontol Eo dono do assunto. Onde aparecera o desconto no desenho da
opera<;ao? Teremos
N
~·-·-·-·-·-·-·-·-·- >D
ja era do nosso conhecimento essa rela<:;ao que ha entre valor nominal, valor atual e
desconto. E e a seguinte.:
-7 D=N-A
Isso vale sempre, para qualquer tipo de opera<:;ao de desconto (simples ou composto, por
dentro ou por fora).
S6 nos resta comentar sobre urn ultimo elemento para a opera<:;ao de desconto composto.
Trata-se da taxa
-7 i sera agora uma taxa composta. E isso que vai ser o diferencial entre uma questao de
A segunda for
de uma taxa nomi
em nossa questil.o
por exemplo, sab
]a haviamos v
Identificado q
ainda uma ultim
composto?
Dissemos ha p
come<;aremos no
racional (por den
Agora suponh
Pronto! Essas tre
questil.o de desco
desconto por den
S6 nos falta a
1" Passo- Fazem
desconto simples e outra de desconto composto a natureza da taxa.
Da mesma forma que aprendemos no desconto simples, no regime composto havera
duas modalidades de desconto o desconto composto por dentro (ou racional) e o desconto
composto por fora (ou comercial) Na maioria dos concursos e cobrado apenas o desconto
composto racionaL
Em todo caso, estudaremos as duas modalidades .
Veremos adiante que a questao de desconto composto e muito facil 0 enunciado estara
mesmo interessado em saber se conhecemos qual das formulas sera utilizar para resolver a
questao.
Havera quatro formulas de desconto composto duas para o desconto composto por
dentro (racional) e duas para o desconto composto por fora (comercial).
2° Passo - Lemb
dissemos que hav
que seria o laclo c
-7 0 !ad
-7 0 lad
Como estamo
6.2. Aprendendo as Formulas do Desconto Composto:
Comecemos pelo Desconto Composto por Dentro prirneiramente, ao lermos o enunciado, descobriremos que se trata de uma questao de desconto, e que estamos trabalhando
no regime composto.
Ora, quais sao as formas de identificarmos que estamos no regime cornposto (e nao no
simples)? Primeira forma: quando o enunciado expressamente o disser. Ai e faciL Sea questil.o
em algum momenta falar "
o regime da opera<:;il.o .
usando o des con to composto ", nil.o res tara duvida alguma sobre
Esse d esta af
3 Passo - Iremo
desconto compo
2
Capitulo 6 - Desconto Compos to
Campos
o no desenho da
A segunda forma de sabermos que o regime eo composto e a mera presen<;a, no enunciado,
de uma taxa nominal. Estamos lembrados do que e uma taxa nominal, cerro? Se encontrarmos
em nossa questil.o de desconto uma taxa no formato 36% ao ano com capitaliza<:;ao mensal,
por exemplo, saberemos que o desconto e o composto!
]a haviamos visto isso quando estudamos esse conceito de taxas nominais
Identificado que a questil.o e de desconto, e identificado que o desconto e composto, restara
ainda uma ultima conclusil.o a se chegar. qual e a modalidade desta opera<:;il.o de desconto
l, valor atual e
u composto, por
conto composto.
uma questao de
composto?
Dissemos ha pouco que havera duas modalidades (dois tipos) de desconto composto. Nao
come<;aremos nossa resolu<:;il.o antes de termos certeza de estarmos trabalhando com o tipo
racional (por dentro) ou o comercial (por fora)
Agora suponharnos que o enunciado tenha dito " adote, o desconto racional composto"
Pronto! Essas tres palavras nos informam tudo o que precisamos saber. Trata-se de uma
questil.o de desconto, no regime composto, e na modalidade de desconto racional, que e o
desconto por dentro!
S6 nos falta aprender as formulas. Fa<;amos urn passo-a-passo
1" Passo- Fazemos o desenho genc1ico de uma opera<:;il.o de desconto
N
omposto havera
L_j
al) e o desconto
enas o desconto
enunciado estara
r para resolver a
o composto por
2° Passo - Lembramos daquele trato que foi feito no capitulo de Desconto Simples, quando
dissemos que haveria um dos !ados que seria considerado o lado do desconto por clentro, e um
que seria o laclo clo clesconto por fora Sera que ainda lembramos disso?
-7 0 !ado do desconto por dentro e o !ado do AtuaL
-7 0 lado do desconto por fora eo !ado do NominaL
Como estamos em uma questil.o de desconto por dentro, teremos que:
N
A
lermos o enun-
d
mos trabalhando
nposto (e nao no
aciL Sea questil.o
da alguma sobre
Esse d esta af s6 para lembrar que o !ado do Atual e o !ado do desconto por dentro..
3 Passo - Iremos Iembrar de uma pequena frase, que nos auxiliara a formar a equa<;il.o do
desconto composto A frase e a seguinte:
2
"Composto rima com oposto"
CI64)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
~~----~~~~~~~~~~~~~------------~--------------~--------
Ora, se composto rima com oposto, e o !ado do desconto por dentro e o !ado do Atual,
entao nossa formula come<;ara pelo lado oposto Ou seja comu,;ara pelo Nominal:
~N
-------------
Dai, iembrare
por fora: o lado do
Teremos
A
d
Essa sera uma formula linear. Teremos que
Agora, record
N =A.(L ... J
se o !ado do desc
Primeiramente colocaremos apenas isso. Nominal e igual a Atual multiplicado porum
oposto, ou seja, c
parentese come<:;ando por 1 .
Feito isso, pensaremos: a fonnula come<:;ou pelo Nominal; esse Nominal e maior ou menor
que o Atual? E dam que e maior! Logo, se e maior, entao depois desse 1 \'eiTl um sinal de+.
Teremos
N =A. (I+ i)"
E esta a equac;iio fundamental do desconto composto por dentro!
Como podemos ver, nela aparecem o valor nominal, o valor atual, a taxa composta e o tempo
que separa as datas do valor atual e nominaL
Existe uma (mica exigencia que teremos de cumprir antes de lanc;;armos os dados cia questao
nesta formula taxa e tempo terao de estar na mesma unidade!
Suponhamos que um enunciado qualquer de desconto composto racional tenha nos for-
Teremos, por
A principia,
necido o valor nominal (N), o valor cia taxa (i) eo valor do tempo (n), e venha solicitar que
parentese que co
encontremos o valor atual (A) desta opera<:;ao. 0 que fariamos para aplicar a formula acima?
Ora, apenas isolariamos o valor atual, e passariamos o parent esc famoso para o outro !ado,
que o Nominal?
dividindo. Teriamos, portanto
subtrac;;ao (-) Te
E depois perg
A= N/(1 + i)"
Observemos que esta equa<:;ao acima, que e a segunda do Desconto Composto por Dentro,
Esta e a equac
nao passa de um mero desdobramento cia primeira!
Passemos a construc;;ao cia formula do Desconto Composto Comercial (ou Por Fora) 0
A exigencia d
tempo deverao
raciocinio e muito semelhante ao que desenvolvemos acima Come<;aremos fazendo o desenho
lanc;;ar os dados d
genc1ico das opera<:;oes de desconto. Teremos:
E se, por aca
N
A
tempo (n), e sol
aplicar a formula
o famoso!) para
Campos
Capitulo 6 - Desconto Composto
C27i5)
-~--------
---------------------------~--------------~----------------------~~~
o !ado do Atual,
ominal:
Dai, iembraremos novamente daquele trato, so que agora no que diz respeito ao desconto
por fora: o lado do desconto porfora co lado do Nominal.
Teremos
N
A
f
Agora, recordaremos a frase cla rima, que nos diz que compos to rima com oposto! Ora,
se o !ado do desconto por fora eo !ado do Nominal Entao, nossa formula come<:;ara pelo !ado
tiplicado porum
oposto, ou seja, comec;;ara pelo AtuaL
~N
e maior ou menor
iTl um sinal de+.
A
f
composta e o tempo
Teremos, portanto, que:
s dados cia questao
nal tenha nos for-
A=N.(L .... )
A principia, escrevemos somente isso Atual e igual a Nominal, que multiplica por um
enha solicitar que
parentese que comec;;a por 1 .
a formula acima?
para o outro !ado,
que o Nominal? Obviamente que e menor! Logo, apos o 1 do parentese surgira um sinal de
E depois perguntamos. esse elemento que comec;;a a formula (o Atual) e maior ou menor
subtrac;;ao (-) Teremos
A= N.(I- i)"
posto por Dentro,
Esta e a equac;iio Jtmdamental do desconto composto por fora!
A exigencia desta formula, estou certo disso, somas todos capazes de adivinhar taxa e
(ou Por Fora) 0
fazendo o desenho
tempo deverao estar na mesma unidade . Se esta exigencia estiver cumprida, entao basta
lanc;;ar os dados da questao na formula.
E se, por acaso, o enunciado fomecer o valor atual (A), o valor da taxa (i) e o valor do
tempo (n), e solicitar que encontremos o Valor Nominal da operac;;ao. 0 que fariamos para
aplicar a formula acima? Ora, isolariamos o valor nominal, passando o parentese (que nao e
o famoso!) para o !ado contrario, dividindo .
C26!iJ
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
~~----~~~~--------~----~------------~--~~~~~~~-------
-------------
Essa mesma si
Teriamos:
N = N(l-i)"
Ei-la: esta e a segunda equac;:ao do desconto composto por fora, que e urn mero desdobramento da primeira e cuja exigencia de aplicac;:ao e a mesma exigencia universal ja nossa
conhecida.
"Ent~nciado
Omisso
siao, para o desco
Relembrando
da modalidade (s
wxa da operac;:ao!
Se a questao d
6.3. lncrementando uma Questao de Desconto Composto
Vejamos abaixo o que podera fazer o elaborador da questao de desconto composto para
tentar toma-la mais interessante.
~
diante do Descon
Caso contrario
nao falar que a tax
Ilustrativamen
Taxas Nominais no Enunciado:
A questao de desconto composto pode nos trazer uma taxa nominal. Por exemplo 48% ao
ano, capitalizados mensalmente. Neste caso, o que faremos? Transformaremos a taxa nominal
em uma taxa efetiva, e o faremos utilizando o conceito de taxas proporcionais Nenhuma
r:r;;;;;Y
~
novidade!
No exemplo acima, farfamos
~
48% a.a. =(48/12)=4% ao mes =Taxa Efetiva.
E por que e a
Composto por De
Lembremos que a unidade da taxa efetiva sera sempre igual ada capitalizac;:ao.
~
Taxa e Tempo em Unidades Diversas:
Alem disso, o enunciado poderia fomecer, entre os dados da questao, taxa e tempo em
unidades diferentes.
Sempre que, no Regime Composto, taxa e tempo estiverem em unidades diferentes,
faremos duas tentativas, nesta ordem·
F Tentativa - Recorreremos ao tempo (n), e tentaremos transforma-lo para a mesma
unidade da taxa.
Diremos que essa tentativa deu certo, se encontrarmos, como resultado da transformac;:ao,
urn valor inteiro para on . Precisamos que o n seja urn numero redondo porque ele sera sempre
o expoente da formula. Se encontrarmos, por acaso, urn n que nao seja urn numero inteiro,
entao diremos que falhou a primeira tentativa, e passaremos a segunda.
2" Tentativa - Recorreremos a taxa (i) e alteraremos sua unidade para a mesma unidade
do tempo. Essa segunda tentativa sera feita utilizando o conceito de taxas equivalentes .
Percebam aqui a suma importancia do capitulo de Juras Compostos: nele aprendemos
conceitos aplicaveis a todo o regime composto!
~
Enunciado Nao Define a Modalidade da Operac;:ao:
Uma situac;:ao tipica! Voce descobre que a questao e de desconto, e descobre que o regime
eo composto Mas, na hora de comec;:ar a resoluc;:ao, nao vern dito em Iugar nenhum se aquele
desconto composto e por dentro ou por fora! 0 que fazer?
Condufmos q
e o senticlo da oper
ao Montante. Na
e chegamos a um
lcvam, o clcsconto
Sao opera<;;oes
Resolvendo
Exemplo 1 - Um
hoje. De quant
considerando·
racional?
Soluc;:ao: 0 assu
existe urn titulo v
havendo uma ant
obrigac;:ao futura
Precisamos, e
o enunciado foi c
E o bastante para
por dentro .
Campos
~~-------
urn mero desdo-
universal ja nossa
Capitulo 6 - Desconto Compos to
my)
--------------------------~~------------~-------------------------U~
Essa mesma situa<:;ao foi vista no capitulo de Desconto Simples. La, chamamos isso de
"Ent~nciado Omisso Quanta a Moclalidade de Desconto" E a regra que aprendemos naquela ocasiao, para o desconto simples, sera a mesma que aplicaremos aqui, no desconto composto
Relembrando quando a questao de desconto (simples ou composto) nada dispuser acerca
da modalidade (se por dentro ou por fora), olharemos o que diz o emmciado a respeito da
wxa da operac;:ao!
Se a questao de desconto falar expressamente sabre uma taxa de juros, entao estaremos
o composto para
diante do Desconto Racional, ou seja, do Desconto por Dentro.
Caso contrario, se o enunciado nada dispuser acerca modalidade de desconto, e tambem
nao falar que a taxa da operac;:ao, e uma taxa de juros, utilizaremos o Desconto por Fora.
Ilustrativamente, teremos.
exemplo 48% ao
os a taxa nominal
onais Nenhuma
r:r;;;;;Y
Expressamente
L
•I Taxa de jums =I
Desconto por Dentro
~'---~.....:..-------------+
Caso contnirio
Desconto por Fora
E por que e assim? Ora, comparemos as formulas dos Juras Compostos e do Desconto
zac;:ao.
taxa e tempo em
ades diferentes,
o para a mesma
Composto por Dentro. Teremos.
~ M = C.(l+i)n ~ juros Compostos
~ N = A.(l+i)n ~ Desconto Composto Racional
Condufmos que, a rigor, sao uma so e mesma formula. Modificam-se apenas a nomenclatura
e o senticlo da operac;:ao Na opera<;;ao de juros, projetamos o Capital para o futuro e chegamos
ao Montante. Na operac;:ao de desconto, projetamos o Valor Nominal para uma data anterior
e chegamos a um Valor AtuaL Grosso modo, podemos dizer que, enquanto os juros compostos
lcvam, o clcsconto composto racional traz de volta!
Sao opera<;;oes equivalentes! Tam bern ja sabiamos disso tudo.
a transformac;:ao,
e ele sera sempre
n numero inteiro,
a mesma unidade
quivalentes .
nele aprendemos
bre que o regime
enhum se aquele
Resolvendo Questoes de Desconto Composto:
Exemplo 1 - Um titulo de R$ 20.000,00, vencivel em quatro meses, sera pago
hoje. De quanto sera o valor do desconto e de quanto sera o valor descontado,
considerando·se na opera~ao uma taxa 6% ao mes, e o desconto composto
racional?
Soluc;:ao: 0 assunto da questao ja e identificado na primeira frase do enunciado. Ora, se
existe urn titulo vencivel numa data futura e que sera pago hoje, ja resta evidenciado que esta
havendo uma antecipac;:ao no pagamento de uma obrigac;:ao. E antecipar o pagamento de uma
obrigac;:ao futura e, em suma, realizar uma operac;:ao de desconto.
Precisamos, entao, identificar o regime e a modalidade desta operac;:ao de desconto. E aqui
o enunciado foi camarada, enos disse tudo em tres palavras " .. clesconto composto racional".
E o bastante para sabermos que o regime e o composto e que a modalidade e a de desconto
por dentro .
(i6}f)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
------------
Quando descobrimos tudo isso, colocamos logo a formula do desconto composto por
dentroo Qual e ela? E a seguinte:
-7 N = A(l + i)n
Neste caso, a questao forneceu o valor nominal, o valor da taxa eo tempo de antecipa<;;ao
do pagamentoo E pediu o valor descontado. Ora, ja sabemos que valor descontado e 0
Quando isso o
composto, temos
1" Tentativa -V
meses correspond
~~--------------------~----~------------~------------~---------
mesmo que valor atual
Entao, adaptaremos a equa<,;ao acima, isolando o valor atuaL Chegaremos ao seguinte:
-7 A = N/(1 + i)n
E essa a nossa formula! E sera que estamos prontos para aplica-la? Basta verificarmos se
taxa e tempo ja estao na mesma unidade. Sim, estao! 0 tempo esta em meses (n = 4m) e a
taxa e mensa! (i = 6% ao mes)
Dai, teremos que
-7
A= 20000
(1+6%f
Aqui esbarramos nas contas! E onde foi exatamente que esbanwnos7 Foi no parentese
do denominador! Que parentese e esse? A essa altura todos ja reconheceram e o parcntesc
Jamoso! Dai, para encontrar o seu valor, recorreremos a Tabela Financeira, e saberemos que:
(l + 6%Y= 1,262476
20000
-7 A=
-7 E: A= 15.841,88 -7 Resposta!
1,262476
Encontramos metade da resposta que queremos. Falta calcular ainda o valor do Desconto.
E como e que se calcula o desconto? Fazendo a diferen<;:a entre o Valor Nominal e o Valor
AtuaL Teremos
-7 D = N- A -7 D = 20000- 15841,88 -7 D = 4.158,12 -7 Resposta!
Como se \·iu, essa questao foi mera aplica<;:ao da formula! Passemos a urn exemplo mais
rebuscado
Exemplo 2 - Urn titulo de R$ 10.000,00, vendvel em do is meses, sera pago
hoje. De quanto sera o valor do desconto e de quanto sera o valor descontado,
considerando-se na operapio uma taxa 213,84% ao ano, e o desconto composto
comercial?
Solu<,;ao: Tambem neste exemplo, a mera leitura da primeira frase ja e suficiente para identificarmos o assunto da questao. Trata-se de uma opera<;:ao de desconto. Acerca do regime
e da modalidade, o enunciado tambem foi explicito, ao usar as palavras "desconto composto
comcrcial". 0 regime e o composto e a modalidade e de desconto por fora .
Entao, comecemos logo colocando no papel a formula do desconto composto por fora .
Teremos
-7 A= N.(1- i)n
Esta sera nossa formula de resolu<;:ao. Para aplica-la, precisamos cumprir a exigencia
universal da matematica financeira. Mas aqui vemos que a taxa e anual e que o tempo de
antecipa<;:ao esta em meses .
Conclusao falhou
2" Tentativa mensa!, ja que o t
taxas equivalente
Dai, teremos
Nossos dados
-7 I= 213,84%
-7 i =? ao mes
-7 k = 12 (cab
Teremos 1 +
Aqui, esbarram
acharemos
TABE
~
1
2
3
...
12
Dai, pela Tabe
Agora, sim! T
aplicar a formula
-7 A= N.(1
Aten<;:ao aqui
jeito nenhum 0
alguem pergunta:
se fornece tabela
Ou entao, pod
nal Tambem e pa
-7 (1- 0,10)
Dai -7 A= 1
C%6])
Capitulo 6 - Desconto Compos to
Campos
-------------------------~--------------~~--------------------~~
to composto por
Quando isso ocorre, ou seja, quando taxa e tempo estao em unidades diferentes no regime
composto, temos que fazer duas tentativas, nesta ordem:
1" Tentativa -Vamos ten tar transformar 2 meses para a unidade da taxa (anos} Ora, dois
meses correspondem a uma fra<;;ao do ano . Claro 2 = (l/6)a E (l/6) nao e urn n(lmero inteiro.
--~---------
o de antecipa<;;ao
descontado e 0
os ao seguinte:
ta verificarmos se
eses (n = 4m) e a
Foi no parentese
am e o parcntesc
e saberemos que:
alor do Desconto.
Nominal e o Valor
!
urn exemplo mais
ses, sera pago
or descontado,
conto composto
iciente para idenAcerca do regime
"desconto composto
omposto por fora .
mprir a exigencia
e que o tempo de
Conclusao falhou a primeira tentativa!
2" Tentativa - Alterar a unidade da taxa, passando-a de uma taxa anual para uma taxa
mensa!, ja que o tempo esta em meses. Essa transforma<;;ao sera feita por meio do conceito de
taxas equivalentes.
Dai, teremos 1 + I = (1 + i)k
Nossos dados para essa transforma<,;ao sao os seguintes:
-7 I= 213,84% ao ano = 2,1384 ao ano
-7 i =? ao mes
-7 k = 12 (cabem 12 meses em um ano)
Teremos 1 + 2,1384 = (l + i) 12 -7 E (1 + i) 12 = 3,1384
Aqui, esbarramos de novo! Onde? No parentese famoso Consultando a Tabela Financeira,
acharemos
TABELA I FATOR DE ACUMULA<;:AO DE CAPITAL a n = (1 + i)n
~
I%
2%
1
1,010000
2
3
9%
10%
1,020000
1,090000
1,100000
1,020100
1,040400
1,188100
1,210000
1,030301
1,061208
1,295029
1,331000
1,126825
1,268242
2,812665
3,138428
0
••
...
12
Dai, pela Tabela Financeira, diremos que -7 i = 10% ao mes.
Agora, sim! Temos taxa (10% ao mes) e tempo (2 meses) na mesma unidade Podemos
aplicar a formula do Desconto Composto por Fora. Teremos:
-7 A= N.(1- i)n -7 A= 10000 (1- 0,10) 2
Aten<;:ao aqui reparemos bem nesse parentese da formula acima! Eo parentese Jamoso? De
jeito nenhum 0 sinal desse parentese e de menos e no parentese famoso e sinal de mais . Dai,
alguem pergunta: existe tabela financeira para esse parentese (1- i)n? Nao! Normalmente nao
se fornece tabela financeira para ele Resta que a conta tera mesmo de ser feita a mao.
Ou entao, pode ocorrer de o enunciado fornecer o valor do parentese como urn dado adicional Tambem e passive! ocorrer isso . Nao foi o caso deste nosso exemplo Entao, maos a obra:
-7 (1- 0,10)2= (0,9) 2 = 0,81
Dai -7 A= 10000 x 0,81 -7 E A= 8.100,00 -7 Resposta!
270
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
A outra pane da resposta sera o valor do Desconto, o qual sera encontrado fazendo a
diferent:;a entre Valor Nominal e Valor AtuaL Teremos
7 D =N- A 7 D = 10.000-8.100 7 D = 1.900,00 7 Resposta!
Relac;;ao Taxa Composta Racional x Taxa Composta Comercial:
No Desconto Composto, a exemplo do que vimos no Desconto Simples, ha uma formula
que estabelecera uma relat:;ao entre o valor da taxa de desconto composto por dentro e a taxa
de desconto composto por fora
Quando utilizaremos essa relac;;ao? Quando o enunciado fornecer uma das duas taxas de
desconto composto, ou a racional ou a comercial, e pedir que nos encontremos a outra (a que
nao foi fornecida), considerando o mesmo valor do desconto.
A relac;;ao da qual estamos falando e a seguinte:
1
1.
EXER
(ESAF) Ob
vencivel
considera
a) $ 9.140
b) $ 9.1 51
c) $ 9.1 00
d) $ 9.1 26
e) $ 9.174
Soluc;;ao: Essa que
uma forma comple
desconto racional
ede desconto; o r
os dados que fora
7
N = 10
1
---=1
if
id
Repetindo esta formula sera empregada em questoes cujo enunciado nos fornecer uma
das duas taxas de desconto composto (por dentro ou por fora) e solicitar a outra, de forma
que o valor do desconto permane<;;a o mesmo!
Passemos a urn exemplo de aplica<;;ao desta relac;;ao.
7
7
7
n = 3m
i = 3%
A=?
Ora, usaremos
aplicac;;ao ja veio o
unidade Em sum
Exemplo 3- Um titulo sofreu um desconto composto comercial (por fora), a taxa
composta de 10% ao mes, 2 meses antes do seu vencimento. Caso fosse utilizado
o desconto composto racional (por dentro), qual seria a taxa adotada para se
obter um desconto igual ao primeiro?
Soluc;;ao: A formula que aprendemos acima cai como wna luva neste enunciado! E a ocasiao
perfeita para a aplicarmos. 0 enunciado nos forneceu o valor da taxa de desconto composto
por fora, enos pede a de desconto composto por dentro.
Nossos dados sao os seguintes·
Teremos:
-7 N = A (l +
A=
10
(1 +
Aqui, podemo
(1+3%) 3 = 1,092
7 ir= 10% ao mes;
7 id=?
Abriremos um
divisao. Um artiff
Temos apenas que lan<;;ar os dados da questao na formula, e acharemos que:
bastante tempo d
Dizem que em
dois olhos, vai in
7
v===o,1111
E: id ~ 11,11% ao mes 7 Resposta!
Observemos apenas que, se a taxa fornecida era uma taxa mensa!, entao chegaremos a
uma outra taxa tambem mensa! Ou seja, as unidades das duas taxas, nesta relac;;ao, serao
sempre iguais!
a conta . Como o
1"' Passo- T
casas decimais ir
costuma ser sat
sera 10.000 I 1,
Campos
ntrado fazendo a
1.
, ha uma formula
or dentro e a taxa
das duas taxas de
mos a outra (a que
Capitulo 6 - Desconto Composto
EXERclCIOS RESOLVIDOS DE DESCONTO COMPOSTO
(ESAF) Obtenha o valor hoje de um titulo de $ 10.000,00 de valor nominal,
vencivel ao fim de tres meses, a uma taxa de juros de 3% ao mes,
considerando um desconto racional compos toe desprezando os centavos.
a) $ 9.140,00.
b) $ 9.1 51 ,00.
c) $ 9.1 00,00.
d) $ 9.1 26,00.
e) $ 9.174,00.
Soluc;;ao: Essa questao nao ofereceu muita resistencia. Facilmente identificamos o assunto, de
uma forma completa e segura lsso se fez por meio de tres palavras presentes no enunciado "
desconto racional composto "! E tudo o que precisamos saber para a resolvermos· a questao
ede desconto; o regime eo composto; e a modalidade e a de desconto por dentro 1 Anotemos
os dados que foram fornecidos
7
N = 10.000,00
nos fornecer uma
a outra, de forma
7
7
7
n = 3 meses
i = 3% ao mes Quros compostos)
A=?
Ora, usaremos a formula fundamental do desconto composto racional, cuja exigencia de
aplicac;;ao ja veio obsen•ada pelo proprio enunciado Ou seja, taxa e tempo ja estao na mesma
unidade Em suma. aplicac;;ao direta da formula.
por fora), a taxa
fosse utilizado
dotada para se
Teremos:
-7 N = A (l + i)"
A=
iado! E a ocasiao
sconto composto
7Dai: A=-N(l+ i)"
10000
(1 + 3%) 3
Aqui, podemos recorrer a Tabela Financeira do parentese famoso, para encontrarmos que:
(1+3%) 3 = 1,092727
DaL 7 A= 1000011,092727
Abriremos um parentese para explicar uma maneira pratica de efetuarmos uma conta de
divisao. Um artiffcio muito simples, porem extremamente eficaz e que pode nos economizar
que:
v===o,1111
tao chegaremos a
sta relac;;ao, serao
bastante tempo de resoluc;;ao.
Dizem que em terra de cego, quem tern um olho e rei. ja ouviram isso? Entao, quem tern
dois olhos, vai incumbi-los, a cada urn, de uma missao diferente. com urn olho voce olha para
a conta . Como outro, para as op<;;oes de resposta! Senao, vejamos:
1"' Passo- Temos que dividir 10 . 000 por 1,092727. Vamos decidir logo com quantas
casas decimais iremos trabalhar essa divisao. Em geral, o trabalho com tres casas decimais
costuma ser satisfatorio, e muito seguro! Podemos, entao, optar por isso. Dai, nossa conta
sera 10.000 I 1,092
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
272
Sergio Carvalho & Weber Campos
212 Passo -Agora, igualaremos o n(lmero de casas clecimais. Entao vamos ht 1,092 tem
quantas casas clecimais? (Para os mais esqueciclos, casa decimal e algarismo clepois cia \irgula).
Entao. Quantos? Tem 3 casas clecimais. Eo 10 000 tem quantas casas clecimais? Nenhuma.
Entao, pegaremos os 10000, passaremos uma \irgula e acrescentaremos tres zeros. Dai, teremos:
--
Dai, nem preci
viamente que sera
10.000,000 I 1,092
Assim, conseguimos igualar o numero de casas clecimais tres para cacla !ado. Feito isso, 0
arremate excluimos as virgulas' Nossa conta sera, portanto, somente
10.000.000 I 1.092
E agora, sim, vema parte boa! Eaqui que voces vao perceber a importi'incia de se resolver
a conta de clivisao olhanclo para as respostas! Vamos iniciar a nossa conta.
Primeiramente, olhamos para as op<;;6es de resposta Qual o algarismo que inicia toclas
elas? Olha Ia!
a)
$ 9 140,
$9.151,
$ 9.100,
d)
$ 9 126,
e)
$ 9.174,
E um 9 . Dai, voce que e praticamente urn genio cia matematica, come<;;ara colocanclo logo
um 9 no quociente. Ficamos com:
b)
c)
Reparemos qu
nas opc;oes de res
delas Fa<;;amos iss
a)
$9.14
$915
$ 9 . 10
c)
$ 9.12
d)
e)
$ 9 17
Em todas as o
mos no quociente
letra b; se encont
b)
se encontrarmos
Sem me do de s
Voltanclo
10000'000
9828
a no
11092
9
172
Agora clesce um zero. Teremos:
10000'0'00
1092
9
9828
172 0
E agora? Agora, olharemos novamente para as respostas. Quale o segundo cligito (o segundo
algarismo) que aparece em todas elas? Vejamos:
a)
$ 9 . 140,
b)
$9.151,
c)
$ 9.100,
d)
$ 9.126,
Ora, nao fico
Nao clava pa
mais levar aclia
Campos
mos ht 1,092 tem
lepois cia \irgula).
imais? Nenhuma.
ros. Dai, teremos:
!ado. Feito isso, 0
--
Capitulo 6
Desconto Composto
Dai, nem precisamos adivinhar quem sera o proximo valor a ser usaclo no quociente Ob-
viamente que sera o 1 Teremos
1092
10000'0'00
9823
91
1720
1092
628
Reparemos que nossa conta esta quase no fim! Claro! Basta clarmos uma outra olhadcla
nas opc;oes de resposta, e conferirmos qual e o terceiro algarismo que aparece em cacla uma
cia de se resolver
que inicia toclas
ra colocanclo logo
delas Fa<;;amos isso
a)
$9.140,
$9151,
$ 9 . 100,
c)
$ 9.126,
d)
e)
$ 9 174,
Em todas as opc;oes, nao houve terceiro algarismo repetido! Isso significa que se encontrarmos no quociente agora um 4, a resposta sera a letra a, se encontramos um 5, a resposta sera a
letra b; se encontrarmos um O, sera a letra c; se encontramos um 2, sera a letra d; finalmente,
b)
se encontrarmos um 7, nossa resposta sera a letra e.
Sem me do de scr feliz!
Voltanclo
a nossa coma
Desce mais um zero Teremos
1092
10000'0'0'0
91
9828
1720
1092
6280
Ora, nao ficou muito dificil perceber que caben'i ai um 5 no nosso quociente! Vejamos
cligito (o segundo
1092
10000'0'0'0
915
9828
1720
1092
6280
5460
Nao clava para serum 7, porque 7 x 1092 = 7644, que ja passava de 6280 Nem precisamos
mais levar acliante essa clivisao Podemos ter certeza absoluta que a resposta sera a op<;;ao B.
Dai: A= 9.151, -7 Resposta!
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Agora, apresentaremos uma solw;ao altemativa que evita a divisao que apareceu no final
da soluc;ao anterior, facilitando a obtenc;ao da resposta da questao. 0 artificio e utilizar a segunda tabela financeira "FATOR DE VALOR ATUAL DE UtAA SERlE DE PAGAMENTOSn
que sempre e fornecida nas provas elaboradas pela ESAf
Essa tabela sera extensamente utilizada nos capitulos de Rendas Certas e Amortizac;ao, mas
para podermos aplicar o artificio de que falamos, devemos aprender a utiliza-la agora . Sua
utilizac;ao e bem simples, quem sa be usar a primeira tabela financeira, com certeza entendera
o uso da segunda tabela.
Na prova, ela devera vir apresentada exatamente da seguinte forma
TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SERlE DE PAGAMENTOS
(1+ i)" -1
a -1 , = - - - -
i (1 + i)"
n
~
1%
2%
3%
1
0,990099
0,980392
2
1,970395
3
...
facilitar a nossa vid
Chamaremos d
A primeira vis
utilizac;ao na quest
Na primeira so
contado:
A= 100
(1 + 3
Para voces ent
-7
8%
9%
10%
0,970874
0,925926
0,917431
0,909091
1,941561
1,913469
1,783265
1,759111
1,735537
2,940985
2,883883
2,828611
2,577097
2,531295
2,486852
4
3,091965
3,807728
3,717098
3,312127
3,239720
3,169865
5
4,853431
4,713459
4,579707
3,992710
3,889651
3,790787
6
5,795476
5,601431
5,417191
4,622879
4,485918
4,355261
7
6,728194
6,471991
6,230283
5,206370
5,032953
4,868419
16,398268
14,992031
13,753513
9,371887
8,755625
8,201412
...
18
Ja sabemos util
ser modificada par
-7
A= 1000
Entenderam? V
1
0 termo
(1+3
1
--=
(1 +i)"
(a n -
1
-7 ( + %)3 =
1 3
Consultaremo
Vejamos que a estrutura dessa Tabela do Valor Atual e semelhante a do Parentese Famoso:
na linha de cima, as taxas, comec;ando da esquerda para a direita (1 %, 2%, 3%, .. ) e naco luna
da esquerda, estao os valores den (1, 2, 3, .. .)
De acordo com
A cada vez que consultarmos a Tabela do Valor Atual, estaremos trabalhando com tres
elementos o valor da taxa de juros compostos (i), o valor n, e o resultado do fator de valor
atual (an-\) que esta no miolo da tabela. Para fazer a consulta, teremos que ter dois desses elementos conhecidos, para podermos chegar ao elemento desconhecido (ou seja, e do mesmo
jeito que aprendemos a consultar a tabela do parentese famoso)
Exemplo
Dai,
Calcule o Jatar de valor atual para n
=
4ei
=
10%, que representamos simbolicamente
por: a 4 'Io%·
Soluc;ao:
Neste caso, nossos elementos conhecidos sao a taxa i = 10% eon= 4. Dai, correremos
nossa vista, na tabela do Valor Atual, pela coluna da taxa 10% e pela linha do n = 4. No
cruzamento dessa co luna com essa linha, obtemos o valor de a 4'w,;, = 3,169865
= 2,8286
a2• 3 ,~
=
1,9134
1
Cl+3%Y
Substituindo e
1000
-7 A=
(1 + 3%
-7 Dai A= 91
Obsen•em qu
de calcular, e o r
alternativa corret
Capitulo 6- Desconto Composto
ampos
pareceu no final
o e utilizar a sePAGAMENTOSn
--=(a-,
-a n-1 -..)
(l+i)"
n
1
1
Chamaremos de formula do in verso do parentese famoso!
A primeira vista, talvez voce nao saiba como ela vai nos ajudar, mas mostraremos sua
utilizac;ao na questao de desconto dada acima.
Na primeira soluc;ao haviamos chegado a seguinte equac;ao para o calculo do valor des-
MENTOS
contado:
A= 10000 _
(1 + 3%)
Para voces entenderem melhor a aplicac;ao da nossa formula, esta t1ltima equac;ao pode
-7
10%
0,909091
1
1,735537
5
2,486852
0
3,169865
1
3,790787
8
4,355261
3
4,868419
5
facilitar a nossa vida em diversas questoes, como a de desconto composto racionaL
1
mortizac;ao, mas
za-la agora . Sua
erteza entendera
1
Ja sabemos utilizar a tabela do Valor Atual, agora apresentaremos uma formula que vai
8,201412
rentese Famoso:
%, .. ) e naco luna
hando com tres
o fator de valor
dois desses eleeja, e do mesmo
simbolicamente
Dai, correremos
a do n = 4. No
865
0
ser modificada para
-7
A= 10000x
1
(1 + 3%)
3
Entenderam? Vamos prosseguir!
1
_ pode ser substituido, segundo a nossa formula, par
0 termo
(1+3%Y
1
--=
(1 +i)"
(a n -, -a n-1 -, ) -7
1
1
-7 ( + %)3 = (a 3-..,
:,,
1 3
1
-
1
(
_ = (a.-. 3o·co -a.o- 1-.3o•·' ) -7
1 + 3%Y
1
a,-.-c)
Oco
Consultaremos a 2il tabela financeira para obtermos a3•
37,
e a2 •
3,>.•.
De acordo com a tabela, temos que
= 2,828611
a2• 3 ,~
1,913469
1
_ = 2,828611- 1,913469 = 0,915142
Dai,
Cl+3%Y
Substituindo este resultado na equac;ao do calculo do valor descontado, teremos
10000
1
-7 A=
-7 A= 10000 X
-7 A= 10000 X 0,915142
(1 + 3%) 3
(1 + 3%) 3
=
-7 Dai A= 9151.42 -7 Resposta!
e mais facil
e muito preciso, batendo exatamente com o valor da
Obsen•em que a divisao foi substituida par uma subtrat;ao, que certamente
de calcular, e o resultado final obtido
alternativa correta da questao.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
276
-----------
A formula apresentada acirna, tam bern pode ser utilizada numa questao de juros cornpostos
0 fator a,,-,";· e
em que se pede o valor do capital aplicado, e onde sao fornecidos o montante, a taxa de juros
seja a taxa de juros
Substituindo e
A= LOOO . OOO
eo tempo da aplicac;:ao, pais se observamos a formula de juros compostos perceberemos que
aparece no denominador 0 parcntese Jamoso (1 +on.
DaL A= 925.9
2.
Um titulo com valor de face de R$ 1.000.000,00, foi descontado um mes
antes de seu vencimento. Calcule o valor pago considerando um desconto
racional composto a uma taxa de 8% ao mes.
a) R$ 909.091,00.
d) R$ 925.926,00.
b) R$ 919.091,00.
e) R$ 926.240,00.
c) R$ 925.100,00.
Solw;:ao: Novarnente estarnos diante de uma questao de desconto racional composto. Anoternos os dados que foram fornecidos
-7
-7
-7
-7
(ESAF) Um
vencimen
composto
a) R$ 140
b) R$ 1 04
c) R$ 168
d) R$ 93,6
e) R$ 105
N = 1.000 . 000,00
Solw;ao: Eis que
n = 1 mes
racional compos to
i = 8% ao rnes
ja que a taxa (3%
A=?
estamos ate perc
A taxa e tempo ja estao na mesma unidade Passemos a aplicac;:ao da formula de desconto
composto racionaL Terernos:
N
(1+i)"
-7 N = A ( 1 + i)n -7 Dai A = - -
qual elemento da
dos dais! Ora, se
Cl+
A partir desta ultima expressao do valor atual, podemos prosseguir por dais carninhos:
1Q) efetuar a divisao acima; ou 2Q) usar a formula apresentada na soluc;:ao da questao
anterior.
Deixaremos o primeiro caminho para voces executarem, e apresentaremos abaixo a soluc;:ao
pelo segundo metoda.
1
Com ja foi vista, a formulae: - -«
+i
n
= (a -, - a -,)
n
1
n-1
1
1
)
, o valor da taxa i e de 8% e o valor do n e 1 En tao, este termo pode
Do termo (
1 +89o1 1
ser substituido por: (a 1- ,89, - a0- , 8,))
Dm, a expressao
A
1000.000
=
pode ser substitufda por
(l +8%) 1
A = 1. 000.000 x (a 1-,8sc - a0-,8 %)
Consultando a segunda tabela financeira (a tabela do fator de valor atual), obteremos
a 1-,8,1, = 0,925926
da formula.
Antes de anota
titulo foi desconta
-7 A = 1 000 000
.
3.
titulo. E valor de
Transcrevendo
-7
-7
-7
-7
A= 84
n =4
i = 3%
D =?
A equac;:ao fun
desconto. Entao,
dispor do valor n
0 valor atual
-7 N =A (1 +
Recorrendo
a
Dai: -7 N = 8
Como estamo
-7 D = N
A
Campos
Capitulo 6 - Desconto Composto
0 fator a,,-,";· e zero. Sempre que n for zero, o fator de valor atual sera zero, qualquer que
e juros cornpostos
e, a taxa de juros
erceberemos que
C2lJ)
-------------------------~~~~~~~~~~--------------------~~
seja a taxa de juros.
Substituindo estes resultados, teremos
A= LOOO . OOO x (a 1- , 8,, - a0- , 8, ) = 1 000.000 x (0,925926- 0)
DaL A= 925.926,00 -7 Resposta!
ontado um mes
o um desconto
composto. Anote-
3.
(ESAF) Um titulo foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu
vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional
composto a uma taxa de 3% ao mes.
a) R$ 140,00.
b) R$ 1 04,89.
c) R$ 168,00.
d) R$ 93,67.
e) R$ 105,43.
Solw;ao: Eis que o enunciado trouxe novamente as tres palavras reveladoras dcsconto
racional compos to ja sabemos tudo o que e precis a ace rca desta questao. Observemos desde
ja que a taxa (3% ao mes) e o tempo (4 meses) foram fornecidos na mesma unidade. ja
estamos ate percebendo que essa questao sera resolvida por uma mera aplicac;ao direta
mula de desconto
da formula.
Antes de anotarmos os dados da questao, uma pequena observac;:ao . 0 enunciado diz. "um
titulo foi descontado por RS 840,00" E perguntamos esse valor (RS 840,00) correspondera a
qual elemento da operac;:ao de desconto? Sera o desconto? Sera o valor nominal? Nao! Nenhum
dos dais! Ora, se o titulo foi descontado por tanto, entao esse tanto e o valor descontado do
r dais carninhos:
c;:ao da questao
s abaixo a soluc;:ao
titulo. E valor descontado e o mesmo que Valor Atual.
Transcrevendo do enunciado, nossos dados serao os seguintes·
-7
-7
-7
-7
A= 840,00
n = 4 meses
i = 3% ao mes
D =?
A equac;:ao fundamental do desconto composto, nossa conhecida, nao traz em si o valor do
este termo pode
l), obteremos
desconto. Entao, como descobri-lo? Teremos de lembrar que D = N- A. Ou seja, precisamos
dispor do valor nominal e do valor atual, para assim chegarmos ao clesconto
0 valor atual ja temos. Vamos encontrar o nominal. Teremos:
-7 N =A (1 + i)n -7 Dai: N = 840 (1 + 3%)~
Recorrendo
a Tabela Financeira, encontraremos: (1 + 3%)~= 1,125508
Dai: -7 N = 840 x 1,125508 -7 EN= 945,43
Como estamos a procura do desconto, faremos:
-7 D = N
A -7 D = 945,43-840 -7 d = 105,43 -7 Resposta!
278
4.
Matemiitica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
(ESAF) Urn titulo sofre urn desconto compos to racional de R$ 6.465,18
quatro meses antes do seu vencimento. lndique o valor mais proximo do
valor descontado do titulo, considerando que a taxa de desconto e de 5%
ao mes.
d) R$ 32.325,90.
a) R$ 25.860,72.
b) R$ 28.388,72.
e) R$ 36.465,1 8.
c) R$ 30.000,00.
Solw;;ao: "Desconto racional composto", diz o enunciado! E tudo o que precisamos saber. A
taxa (5% ao mes) ja esta na mesma unidade do tempo (4 meses) Os dados da questao sao
os seguintes:
-7 D = 6.465,18
-7 n = 4 meses
-7 i = 5% ao mes
-7 A=?
Vamos precisar fazer, nesta resoluc;ao, um_joguete com as formulas.
Qual a formula fundamental do desconto composto por dentro?
-7 N = A.(l + i)"
Ora, comparando os dados da questao com os elementos da fommla acima, percebemos
que ha dois elementos desconhecidos o valor nominal e o valor atual. E como e do conhecimento de todos, nao e possivel encontrar duas incognitas (elementos desconhecidos) usando
apenas uma equac;ao .
Temos que usar uma segunda equac;ao D = N - A
Dai, podemos pegar essa ultima equac;ao, e isolarmos o valor doN Teremos N = D +A.
EsseN sera substituido, na primeira equac;ao, por D + A. Ficaremos com:
--------
Para sabennos o
taremos a Tabela Fi
-7 Dai, teremos
Aqui a ESAF foi
as virgulas temos qu
5.
(ESAF) Urn
seu vencim
considera
Despreze
a) R$ 1 1.2
b) R$ 11.2
c) R$ 11.3
Solw;:ao: Mais um
-7
-7
-7
-7
A= 10
n =4 m
i = 3%
N =?
Teremos, pois,
Na Tabela Fina
-7 Dai, teremo
-7 D +A = A.(1 + i)"
Passando todo mundo que for A para o mesmo lado, teremos:
6.
-7 A.(1 + i)"- A= D
Vemos que esse A e fator comum. Ficaremos com:
-7 A[(1 + i)"-1] = D
Finalmente, isolando o valor atual, teremos. A =
D
(1+i)" -1
E isso! Essa formula a que chegamos e uma variac;ao da equac;ao fundamental do desconto
composto por dentro, conforme vimos na deduc;ao acima. Para aplica-la, teremos que observar, obviamente, a exigencia universal da matematica financeira, ou seja, temos que ter taxa e
tempo na mesma unidade. E isso ja temos! Dai, lanc;ando os dados na fonnula, encontraremos:
-7 A=
D
-7 A= 6.465,~8
(1+i)" -1
(1+5%f -1
(ESAF) Urn
vencimen
urn desco
centavos
a) R$ 4.40
b) R$ 4.72
c) R$ 4.9
Solw;;ao: Outra q
-7
-7
-7
-7
A= 4.
n =4
i = 3%
N =?
Aplicando a f
Na Tabela Fin
-7 Dai, terem
Campos
e R$ 6.465,18
is proximo do
conto e de 5%
cisamos saber. A
da questao sao
Capitulo 6 - Desconto Compos to
Para sabennos o valor do parentese famoso que esta no denominador da formula, consultaremos a Tabela Financeira, e encontraremos que. (1 + 5%Y= 1,215506
6.465,18
6465,18
-7 Dai, teremos: A= 1,215506-1 = 0,215506
Aqui a ESAF foi camarada, e colocou uma divisao com numeros simplificaveis, pois esquecendo
as virgulas temos que o numerador eo triplo do denominador Encontramos, finalmente, que:
-7 A= 30.000,00 -7 Resposta!
5.
(ESAF) Urn titulo e descontado por R$ l 0.000,00 quatro meses antes de
seu vencimento a uma taxa de 3% ao mes. Calcule o valor nominal do titulo
considerando que o desconto usado foi o desconto racional composto.
Despreze os centavos.
d) R$ 11 .800,00.
a) R$ 1 1.255,00.
e) R$ 12.000,00.
b) R$ 11.295,00.
c) R$ 11.363,00.
Solw;:ao: Mais uma vez, "desconto racional composto'' Os dados sao.
-7
-7
-7
-7
ma, percebemos
mo e do conhecihecidos) usando
A= 10 000,00
n = 4 meses
i = 3% ao mes
N =?
Teremos, pois, que:
mos N = D +A.
:
ntal do desconto
emos que obseros que ter taxa e
encontraremos:
C2TI)
--------------~~~~~===-------------~
-7 N = A.(1 + i)" -7 N = 10000.(1 + 3%) 4
Na Tabela Financeira, acharemos que: (1 + 3%)" = 1,125508
-7 Dai, teremos. N = 10000 x 1,125508 -7 EN= 11.255,00 -7 Resposta!
6.
(ESAF) Urn titulo e descontado por R$ 4.400,00 quatro meses antes do seu
vencimento. Obtenha o valor de face do titulo considerando que foi aplicado
urn desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mes (despreze os
centavos, se houver).
a) R$ 4.400,00.
d) R$ 4.952,00.
b) R$ 4.725,00.
e) R$ 5.000,00.
c) R$ 4.928,00.
Solw;;ao: Outra questao de "desconto racional composto" Os dados sao
-7
-7
-7
-7
A= 4.400,00
n = 4 meses
i = 3% ao mes
N =?
Aplicando a formula fundamental, teremos:
-7 N = A.(l + i)" -7 N
= 4400.(1 + 3%)4
Na Tabela Financeira, acharemos que (1 + 3%)-i= 1,125508
-7 Dai, teremos N = 4400 x 1,125508 -7 EN= 4.952,00 -7 Resposta!
Matemiitica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
(ESAF) Urn comercial paper com valor de face de$ 1.000.000,00 e vencimento
daqui a tres anos deve ser resgatado hoje a uma taxa dejuros compostos
de 10% ao ano e considerando o desconto racional. Obtenha o valor do
resgate:
a) S 751.314,80.
b) $ 750.000,00.
c) S 748.573,00.
d) $ 729.000,00.
e) $ 700.000,00.
7.
s.
(FCC) Uma
do vencim
Sabendo-s
e o valor
a) $ 1.600
b) $ 1.620
c) S 1.640
Solw;ao: Aqui sur
(para variar) foram
Solw;ao: Quando a questi'io fala em comcrcial paper, mesmo que nunca tenhamos ouvido falar
-7
-7
-7
-7
esse nome, saberemos sem dificuldades que se trata de um titulo. E como saberemos? Ora,
o enunciado segue falando que ele (o tal comcrcial paper) tem valor de face de um rnilhao. Se
ele tem valor de face, entao s6 pode serum titulo! Certo?
Este enunciado tambem foi explicito em re\·elar que a questao e de desconto composto
N = 2.
n=2m
i = 10%
A=? e
Aplicando a f6
racionaL Nossos dados serao
-7
-7
-7
-7
N = 1.000.000,00
n = 3 anos
i = 10% ao ano
Somente obse
financeira para ele
A=?
Mais uma vez, a questao ja trouxe taxa e tempo na mesma unidade. jogando os dados na
formula, terernos:
N
1.000.000
-7 N = A.(l + i)n -7 Dai: A = - - -7 A =
« +i
(1 + 10%) 3
Encontraremo
-7 A= 2000 (
A questao tam
-7 D = N- A
ll
9.
Para obterrnos o valor atual, aplicaremos a formula.
1
(1 + i)"
1
, o valor da taxa i e de 10% eo valor do
(1 + 10%) 3
Entao, este termo pode ser substituido por. (a 3- . 10 cx, - a1-. 10 ,)
1.000.000
Dai, a expressao A =
pode ser substitulda por
(1 +10%) 3
Do termo
11
e 3.
A= LOOO . OOO x (a 3 --, 1 ,,~,- a 2--, 10. )
Consultando a segunda tabela financeira (a tabela do fator de valor atual), obtemos
a 3--,w:.. = 2,486852
a2--,w:. = 1,735537
Substituindo estes resultados, teremos:
A= 1.000.000 x (a 3- . 10 ;,- a2--, 10 ) = 1.000.000 x (2,486852- 1,735537)
-7 A= 1.000.000 X (0,751315)
-7 A= 751315,00 -7 Resposta (alternativa A!)
(ESAF) U
(sessenta
composto
a.a., o liq
resultado
Dados:
(1,84) 113 :
(1 ,84) 114 =
(1 ,84) 116 :
a) S 429.
b) $ 440.
c) S 446.
d) $ 449.
e) S 451.
Soluc;ao: Esta que
seguinte: sempre
olhar com muito
utilizar pelo men
E se vamos us
ciado fornece tres
Nao e verdade? A
Capitulo 6 - Desconto Composto
Campos
00 e vencimento
ros compostos
nha o valor do
s.
Solw;ao: Aqui surgiu nossa primeira questao de desconto composto por fora A taxa e o tempo
(para variar) foram fornecidos na mesma unidade. Anotemos os nossos dados do enunciado:
amos ouvido falar
-7
-7
-7
-7
saberemos? Ora,
de um rnilhao. Se
-7 A= N.(l- i)n -7 Dai: A= 2000.(1- 0,10)2
Somente observando esse parentese acima nao e o parentese farnoso! Nao existe tabela
financeira para ele. Dai, temos que calcula-lo
a mao mesmo.
Encontraremos que
-7 A= 2000 (0,9) 2 -7 A= 2000 x 0,81 -7 A= 1.620,00 -7 Resposta!
ando os dados na
7)
N = 2.000,00
n = 2 meses
i = 10% ao mes
A=? e D =?
Aplicando a f6mmla do desconto composto comercial, teremos que:
sconto composto
al), obtemos
(FCC) Uma duplicata, no valor de $2.000,00 e resgatada dois meses antes
do vencimento, obedecendo ao criterio de desconto comercial composto.
Sabendo-se que a taxa de desconto e de 10% ao mes, o valor descontado
e o valor do desconto sao, respectivamente:
a) $ 1.600,00 e $ 400,00;
d) $ 1.653,00 e $ 360,00;
b) $ 1.620,00 e $ 380,00;
e) $ 1.666,67 e $ 333,33.
c) S 1.640,00 e S 360,00;
A questao tambem quer saber o valor do desconto. Dai, faremos
-7 D = N- A -7 D = 2000- 1620 -7 E D = 380,00 -7 Resposta!
9.
(ESAF) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 500.000,00, 60
(sessenta) dias antes do vencimento, sob o regime de desconto racional
composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa dejuros efetiva de 84%
a.a., o liquido recebido pela empresa foi de (desprezar os centavos no
resultado final):
Dados:
(1,84) 113 : 1,22538514
(1 ,84) 114 = 1 '1646742
(1 ,84) 116 : 1'1 0697115
a) S 429.304,00;
b) $ 440.740,00;
c) S 446.728,00;
d) $ 449.785,00;
e) S 451.682,00.
Soluc;ao: Esta questao e bem interessante, embora faciL Ela nos tran1 um ensinamento, que eo
seguinte: sempre que o enunciado da questao nos trouxer alguns dados adicionais, deveremos
olhar com muito carinho para eles, pais certamente, com quase certeza absoluta, teremos que
utilizar pelo menos um deles!
E se vamos usar, quase sempre, apenas um desses dados adicionais, por que razao o enunciado fornece tres? Ora, se ele fornecesse apenas um, entao voce ja saberia qual iria utilizar.
Nao e verdade? Ai ficava mais facil ainda .
Matematica Finance ira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
-
Tambem aqui foi dito na leitura" desconto racional composto ... "! ja identificamos tudo!
Os nossos dados serao os seguintes:
-7 N = 500 000,00
-7 n = 60 dias = 2 meses
-7 i = 84% ao ano
-7 A=?
A formula do desconto composto racional, ja sabemos, e a seguinte:
-7 N = A.(l + i)"
Percebamos que taxa e tempo nao estao na mesma unidade! Porem, antes de partirmos
para as duas tentativas (para compatibilizar taxa e tempo) vamos analisar melhor os dados
adicionais que o enunciado nos apresentou.
Ora, esses dados adicionais foram os valores de tres parenteses . Existe algum parentese
na nossa formula? Sim! E e justamente o parentese famoso! Nos tres parenteses fornecidos,
existe o valor (1 ,84)
Mas (1,84) e igual a (1 + 0,84) E 0,84 = 84%. Ora, dentro do parentese famoso temos
(l + i) logo, percebemos que a questao quer que nos trabalhemos com essa taxa de 84%,
que e uma taxa anuaL
Conclusao: resolveremos essa questao, adotando, para taxa e tempo, a unidade anual.
Nossos dados agora serao:
-7 N = 500 000,00
-7 n = 60 dias = 2 meses = (l/6) ano
-7 i = 84% ao ano
-7 A=?
Dai, aplicando a formula, teremos
-7 N = A.(l+i)" -7 A= N/(l+i)" -7 A= 500000/(1+0,84) 116
E o valor desse parentese foi dado pela questao
-7 (1,84) 116= 1,10697115
Dai A=500000/l,l0697ll5
-7 E A 451.682,00 -7 Resposta!
Convem lembrar que, para fazermos esta ultima divisao acima, seria deveras interessante
utilizarmos o artificio ja aprendido por nos, de colocar um olho na conta co outro olho nas op(oes
de rcsposta! Lembrados? Oh!
10.
(ESAF) Urn titulo deveria sofrer urn desconto comercial simples de R$ 6 72,00
quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negocia~ao levou a
troca do desconto comercial simples por urn desconto racional composto.
Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mes.
a) R$ 600,00.
d) R$ 643,32.
b) R$ 620, I 5.
e) R$ 672,00.
c) R$ 624,47.
Solu~ao:
Aqui, a E
de desco
opera~6es
(por dentro e por f
Trabalharemos
urn desconto come
Para essa operac
-7 Dr= 67
-7 n = 4 m
-7 i = 3%
-7 N =?
Agora, teremos
dos? E o seguinte
Uma vez que ja
dados na formula
Teremos: i 11 =
Descoberto o v
desconto racional
-7 N = 5.
-7 n = 4 m
-7 i=3%
-7 D =? (c
Aqui, novamen
formula do descon
-7 N=A.(l+i)"
Campos
-
ntificamos tudo!
tes de partirmos
melhor os dados
Capitulo 6 - Desconto Compos to
Solu~ao:
Aqui, a ESAF trouxe uma coisinha diferente misturou, no mesmo enunciado, duas
de desconto em regimes distintos (simples e composto) e com modalidades distintas
opera~6es
(por dentro e por fora)
Trabalharemos uma por vez!
Come~ando
com aquela que a questao apresentou primeiro
urn desconto comercial simples.
Para essa operac;ao, os dados sao os seguintes:
-7 Dr= 672,00 (desconto simples por fora)
-7 n = 4 meses
-7 i = 3% ao mes
-7 N =?
Agora, teremos que nos lembrar da formula do desconto simples por fora. Todos lembrados? E o seguinte
algum parentese
teses fornecidos,
N
100
A
se famoso temos
ssa taxa de 84%,
100-Ln
Ln
a unidade anual.
veras interessante
tro olho nas op(oes
es de R$ 6 72,00
cia~ao levou a
onal composto.
% ao mes.
Uma vez que ja estamos com taxa e tempo na mesma unidade, so nos resta substituir os
dados na formula
Teremos: i 11 = 3 x 4 = 12
N
100
672
12
N
672
672x100
-7 N =
-7 N=5.600,00
100
12
12
Descoberto o valor nominal, que e o mesmo para as duas opera<;:6es, passamos a tratar do
desconto racional composto! E nossos dados serao os seguintes.
-7 N = 5.600,00
-7 n = 4 meses
-7 i=3%aomes
-7 D =? (composto por dentro!)
Aqui, novamente dispondo de taxa e tempo na mesma unidade, basta que apliquemos a
formula do desconto racional composto . Teremos:
-
=-
-7 N=A.(l+i)" -7 Dai A= _N_ -7 A
(l+i)"
5.600
(1 + 3%)"
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
DES
Para eYitarmos o u'ilculo da divisao acima, usaremos aquela formula ja utilizada na soluc;ao
de questoes de desconto composto racional.
1
- - - = (a -, - a
(1 +i)"
n
1
-,)
n-1
01.
'
op~oes:
1
Do Lerma - - - - o valor da taxa i e de 3% eo valor do n e 4 . Entao, este termo pode
Banco 1:
Banco II:
Banco Ill
Banco IV
Para obt
a) Ill ou
(l+
Daf a exrJressao A =
•
t
1
. 'd a por:
5.600 . poae
ser su b st!tm
Cl+3%r
A= 5 . 600 x (a,'y;.- a3-, 3. )
Consultando a segunda tabela financeira (a tabela do fator de valor atual), obteremos.:
b) IV.
Ill.
d) II.
e) I.
c)
=3,717098
a3-,,. =2,828611
Substituindo estes resultados, teremos.
A= 5 600 x (a.;-, 3·;
-
02.
(Analista
compost
Dado qu
do valor
a) R$ 1 0
b) R$ 10
c) R$ 1 0
d) R$ 97
e) R$ 11
03.
(APOFP
deve ser
mais pro
mes. (Co
a) R$ 92
b) R$ 84
c) R$ 87
d) R$ 90
e) R$ 82
04.
(Auditor
descont
do seu v
a taxa d
(Consult
a) R$ 12
b) R$12
c) R$ 11
d) R$ 12
e) R$ 1 2
a 3- , 1 ) = 5.600 x (3,717098- 2,828611)
-7 A= 5600 X (0,888487) -7 A.= 56
-7 A::; 56 X 88,85 -7 A::; 4975,6
X
88,8487
Agora, passemos a ultima conta (D = N -A). Encontraremos que
-7 D = 5600- 4975,6 = 624,4 -7 Resposta: Alternativa C!
Experimentem encontrar a soluc;ao dessa questao sem utilizar a formula que evita a
divisao, e
e clara sem calculadora, e perceberemos que o artificio que usamos e um verda-
deiro atalho!
11.
(Agente
hoje urn
(ESAF) Desconto compos to por fora a uma taxa de 20% ao mes e equivalente
a urn desconto composto por dentro a uma taxa mensa! de:
a) 1 0%;
d) 20%;
b) 15%;
e) 25%.
c) 17%;
Soluc;ao: Essa e facil. Serve so para memorizarmos a formula que nos fornece a relac;ao entre
as taxas de desconto composto por dentro e por fora Aprendemos que:
1 1
-=-+1
ii
itl
Logo, aplicando a formula acima, teremos que:
11
l
1
1
.
1
-=--1 -7 - = - - - 1 -7 -=4 -7 l; =- -7 i.=25
a
it/
if
i,;
0,20
id
'
4
-7 id=25% ao rues -7 Resposta!
Capitulo 6 - Desconto Composto
Campos
DESCONTO COMPOSTO - EXERCICIOS PROPOSTOS
lizada na soluc;ao
01.
(Agente Fiscal de Rendas SEFAZ/SP 2013 FCC) Urn agente deseja descontar
hoje urn titulo com vencimento para daqui a 30 dias e tern as seguintes
op~oes:
este termo pode
Banco 1: taxa de 3% ao mes, opera~ao de desconto simples racional.
Banco II: taxa de 3% ao mes, opera~ao de desconto simples comercial.
Banco Ill: taxa de 4% ao mes, opera~ao de desconto composto racional.
Banco IV: taxa de 3,5% ao mes, opera~ao de desconto simples racional.
Para obter o maior valor liquido, ele deve optar pelo Banco
a) Ill ou IV.
b) IV.
l), obteremos.:
Ill.
d) II.
e) I.
c)
02.
(Analista Tecnico da SUSEP 2010 ESAF) Urn titulo sofre urn desconto racional
composto dois meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mes.
Dado que o valor do desconto e R$ 10 000,00, qual o valor mais proximo
do valor nominal do titulo?
a) R$ 1 00 000,00.
b) R$ 107 561,00.
c) R$ 1 02 564,00.
d) R$ 97 561,00.
e) R$ 11 0 000,00.
03.
(APOFP SEFAZ·SP 2009 ESAF) Urn titulo no valor de face de R$ 1.000,00
deve ser descontado tres meses antes do seu vencimento. Calcule o valor
mais proximo do desconto racional composto a taxa de desconto de 3% ao
mes. (Consultar a tabela financeira ao final do livro.)
a) R$ 92,73
b) R$ 84,86
c) R$ 87,33
d) R$ 90,00
e) R$ 82,57
04.
(Auditor-Fiscal da Receita Estadual SEFAZ·CE 2007 ESAF) Uma empresa
desconta urn titulo no valor nominal de R$ 112.551,00 quatro meses antes
do seu vencimento por meio de urn desconto racional composto calculado
a taxa de 3% ao mes. Calcule o valor mais proximo do valor do desconto.
(Consultar a tabela financeira ao final do livro.)
a) R$ 12 635,20.
b) R$12 551,00.
c) R$ 11 255,10.
d) R$ 12 633,33.
e) R$ 1 2 948,00.
mula que evita a
mos
e um verda-
s e equivalente
:
ce a relac;ao entre
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
05.
06.
07.
08.
(Gestor Fazendario MG 2005 ESAF) Urn titulo no valor nominal de R$
1 3.400,00 e resgatado seis meses antes de seu vencimento, sofrendo um
desconto de R$ 3.400,00 sobre o seu valor nominal. Calcule a taxa de descanto mensa!, considerando urn desconto composto por dentro. (Consultar
a tabela financeira ao final do livro.)
a) 4,2%.
b) 4,5%.
c) 5%.
d) 5,5%.
e) 5,67%.
(Auditor-Fiscal Tributario Municipal SP 2012 FCC) Do is titulos, urn com
vencimento daqui a 30 dias e outro com vencimento daqui a 60 dias, foram
descontados hoje, com desconto racional composto, a taxa de 5% ao mes.
Sabe-se que a soma de seus valores nominais e R$ 5.418,00 e a soma dos
valores liquidos recebidos e R$ 5.005,00. 0 maior dos valores nominais
supera o menor deles em
a) R$ 1 .502,50.
b) R$ 1.484,00.
c) R$ 1.417,50.
d) R$ 1.215,50.
e) R$1.195,00.
(Auditor Fiscal do Estado do RJ 2011 FGV) 0 valor do desconto racional
composto de urn titulo cujo valor nominal e R$ 25.000,00, se o prazo de
vencimento e de 2 anos e a taxa de desconto e de 25% ao ano, e
a) R$ 6.500,00.
b) R$ 5.875,50.
c) R$ 7.247,50.
d) R$ 7.500,00.
e) R$ 9.000,00.
(Auditor Fiscal do Estado do RJ 2011 FGV) A tabela representa uma tabela
de fatores para o calculo do Valor Presente sob o regime de juros com·
postos, sendo as linhas as diferentes taxas e as colunas os diferentes
periodos (meses). Utilizando-se a tabela, o Valor Presente (descontando-se
os centavos) de urn titulo cujo valor nominal e de R$ 3.500,00 com prazo
de vencimento de 6 meses, a uma taxa de 4% ao mes, e
MESES/
TAXAS
1
2
5
6
1%
0,990099
0,980296
0,951466
0,942045
4%
0,961538
0,924556
0,821927
0,790315
a) R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
2.467,00.
2.766,00.
2.772,00.
3.301 ,00.
2.991 ,00.
09.
(Banco d
derando
men sal
1. 5e o p
de R$
ano,
10.
(Banco d
1. Urn a
em 1
entan
acord
ao de
11.
(Analist
e pago d
a uma ta
a) R$ 8.
b) R$ 7.
c) R$ 7.
d) R$ 7.
e) R$ 7.
12.
(Fiscal d
cimento
senta u
present
a) R$ 1 .
b) R$ 2.
c) R$ 3.
d) R$ 4.
e) R$ 5.
13.
(Audito
valor de
a taxa d
titulo e
respect
a) 90 e
b) 90,2
c) 85,7
d) 95 e
e) 105 e
Campos
nominal de R$
o, sofrendo um
e a taxa de desntro. (Consultar
tulos, urn com
60 dias, foram
de 5% ao mes.
0 e a soma dos
lores nominais
sconto racional
, se o prazo de
ano, e
enta uma tabela
e de juros com·
s os diferentes
descontando-se
0,00 com prazo
45
15
Capitulo 6 - Desconto Compos to
09.
(Banco do Brasil Escriturario 2008 Cespe) julgue o item a seguir, considerando que 0 regime de juros praticado e 0 de juros compostos, a taxa
men sal de 2%, e tomando 1,3 como valor aproximado para 1,02 12 •
1. 5e o pagamento de urn emprestimo que seria quitado em uma [mica prestac;:ao
de R$ 26.000,00 ao final do segundo ano for antecipado para o final do primeiro
ano, o valor a ser pago sera superior a R$ 19.800,00.
10.
(Banco do Brasil Escriturario 2007 Cespe) julgue o item a seguir.
1. Urn a divida, contraida ataxa de juros compostos de 2% ao mes, devera ser paga
em 12 meses. No vencimento, o valor total a ser pago e de R$ 30.000,00, no
entanto, o devedor quer quita-la dois rneses antes do prazo. Nessa situac;:ao, de
acordo apenas com as regras de matematica financeira, o credor devera conceder
ao devedor urn desconto superior a R$ 2.000,00.
11.
(Analista Bancario BNB 2014 FGV) Urn titulo de valor nominal R$ 8.800,00
e pago dois meses antes do vencimento com desconto comercial compos to
a uma taxa de 5% ao mes. 0 valor descontado e de:
a) R$ 8.000,00
b) R$ 7.982,00
c) R$ 7.942,00
d) R$ 7.920,00
e) R$ 7.910,00
12.
(Fiscal de Rendas SEFAZ/RJ 201 0 FGV) Urn titulo com tres a nos ate o ven·
cimento tern valor futuro de R$ 1 0.000,00. Sabendo·se que urn banco apre·
senta uma taxa de desconto composto comercial de 50% ao ano, o valor
presente desse titulo e:
a) R$ 1 .250,00.
b) R$ 2.000,00.
c) R$ 3.333,33.
d) R$ 4.000,00.
e) R$ 5.000,00.
13.
(Auditor do Tesouro Municipal de Recife 2014 FGV) Suponha urn titulo com
valor de R$ 1 00,00, cujo prazo de vencimento e de 2 meses. Assuma que
a taxa de desconto "por fora" seja igual a 5% ao mes. 0 valor presente do
titulo eo valor do desconto sob o regime dejuros compostos sao (em R$),
respectivamente, de
a) 90 e I 0.
b) 90,25e9,75.
c) 85,74e14,26.
d) 95 e 5.
e) 105 e -5.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
14.
(Auditor Fiscal Tributario da Receita Municipal de Cuiaba 2014 FGV) Considere uma opera~ao em que urn titulo com prazo de vencimento de dois
meses e descontado no regime de juros compostos. No caso do valor do
desconto composto ser exatamente igual ao valor presente do titulo, assinale a op~ao que indica a taxa de desconto por fora. (Arredonde a resposta
18.
(Auditor
de dois
e desco
conto ra
a) R$24
b) R$36
c) R$49
d) R$57
e) R$60
19.
(APOFP
vencime
de juros
R$ 20.0
do desc
atual se
a) RS 19
b) R$ 1 9
c) RS 20
d) R$ 21
e) R$ 21
20.
(ICMS·SP
mento,
compos
o desco
valor no
a) RS 40
b) R$ 3
c) R$ 3
d) R$ 3
e) R$ 3
para o inteiro mais proximo.)
a)
21%
b) 29%
c)
33%
d) 41%
e)
50%
15.
(Auditor Fiscal Tributario Municipal de Campinas 2012 CETRO) Urn titulo
com o valor de R$ 1 5.000,00, com 90 dias para seu vencimento, e descontado no regime dejuros compostos, com uma taxa de desconto "por fora"
(ou comercial) igual a 1,0% ao mes. Sendo assim, o valor do desconto
composto e
a) R$445,52.
b) R$432,27.
c) R$454,21.
d) R$423,17.
e) R$462, 15.
16.
(Especialista em Finan~as Publicas SEFAZ·RJ 2011 CEPERJ) Num Certificado de
Deposito Bancario, de valor de resgate igual a R$ 200.000,00, sabendo·se que
faltam 90 (noventa) dias para o seu vencimento, e que a taxa de desconto e de
3,8% ao mes, o valor do desconto concedido foi de: (Dados: 1 ,47746 1' 8 =1 ,05;
0,962 3 =0,89027713)
a) RS 22.990,00
b) R$ 21.991,23
c) R$ 21.944,57
d) R$ 21.888,88
e) R$22.189,11
17.
(Analista de Controle lnterno SEFAZ·RJ 2013 CEPERJ) Urn titulo foi descon·
tado 5 meses antes de seu vencimento, a taxa de 3% ao mes. Sabe-se que
esta opera~ao produziu urn desconto de R$ 39.000,00. Admitindo·se o
conceito de desconto composto "por fora", o valor nominal do titulo era:
(Dados: 1 ,07 12 =2,2522; 0,97 5 =0,8587.)
a) R$ 275.074,92
b) R$ 276.000,00
c) RS 277.774,02
d) R$ 276.008,49
e) R$ 276.899,99
Campos
014 FGV) Conmento de dois
so do valor do
do titulo, assi-
Capitulo 6- Desconto Composto
18.
(Auditor Fiscal Tributario Municipal de SP 2014 CETRO) Com adiantamento
de dois meses do vencimento, urn titulo de valor nominal de R$ 30.000,00
e descontado a uma taxa composta de 10% a.m .• A diferen~a entre o des·
conto racional composto e o desconto comercial composto sera de
a) R$246,59.
b) R$366,89.
c) R$493,39.
d) R$576,29.
e) R$606,49.
19.
(APOFP SEFAZ·SP 2010 FCC) Urn titulo e descontado dois anos antes de seu
vencimento segundo o criterio do desconto racional composto, a uma taxa
de juros compostos de 10% ao ano, apresentando urn valor atual igual a
R$ 20.000,00. Caso este titulo tivesse sido descontado segundo o criteria
do desconto comercial compos to, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor
atual seria de
a) RS 19.602,00
b) R$ 1 9.804,00
c) RS 20.702,00
d) R$ 21.600,00
e) R$ 21.780,00
20.
(ICMS·SP 2009 FCC) Urn titulo e descontado dois anos antes de seu venci·
mento, a uma taxa positiva i ao ano. Se for utilizado o desconto racional
composto, o valor atual do titulo e igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado
o desconto comercial composto, o valor atual e igual a R$ 23.040,00. 0
valor nominal deste titulo e igual a
a) RS 40.000,00
b) R$ 36.000,00
c) R$ 34.000,00
d) R$ 32.000,00
e) R$ 30.000,00
nde a resposta
TRO) Urn titulo
ento, e descononto "por fora"
r do desconto
m Certificado de
sabendo·se que
e desconto e de
47746 1' 8 =1 ,05;
ulo foi descon·
s. Sabe-se que
Admitindo·se o
l do titulo era:
Equiv
A Equivalenc
de Capitais, com
dos capitais em d
desconto para tra
Ocorre que a
camente nao ha
equivalencia sim
Aprenderemo
Exemplo 1 - (E
ao fim de trint
contar com os
urn pagamento
a divida ao fim
de 4% ao mes.
a) R$ 63
b) R$ 64
c) R$ 62
Soluc;ao: Primei
Capita is? Ora, ha
a prop6sito, na p
a obrigac;ao (nos
forma original de
Vejamos que
mfssima que apr
as mesmas situac
0 que vai di
pasta) e tao-som
-
Capitulo 7
Equivalencia Composta de Capitais
A Equivalencia Composta de Capitais tern muito em comum com a Equivalencia Simples
de Capitais, como por exemplo: a forma de identificar uma quest<io de equivalencia, a divisao
dos capitais em dois conjuntos de obrigac;oes, a existencia da data focal, o uso de operac;oes de
desconto para transporte dos capitais para a data focal e a aplicac;ao da equac;:ao de equivalencia
Ocorre que agora trabalharemos com uma taxa composta. Veremos, todavia, que praticamente nao ha diferenc;:as na resoluc;:ao da questao de equivalencia composta, em relac;:ao a
equivalencia simples Na verda de, havera alguns Jacilitadores nesse regime composto!
Aprenderemos a Equivalencia Composta resolvendo uma questao de uma prova do AFRF
Exemplo 1 - (ESAF) Urn a empresa deve pagar R$ 20.000,00 hoje, R$ 10.000,00
ao fim de trinta dias e R$ 31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela so espera
contar com os recursos necessarios dentro de sessenta dias e pretende negociar
urn pagamento (mico ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita
a divida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos
de 4% ao mes.
a) R$ 63.232,00.
d) R$ 62.200,00.
b) R$ 64.000,00.
e) R$ 64.51 3,28.
c) R$ 62.032,00.
Soluc;ao: Primeiramente, como identificamos que se trata de uma questao de Equivalencia de
Capita is? Ora, havia uma forma original de cumprir uma determinada obriga<;ao, explicitada,
a prop6sito, na primeira frase do enunciado. Ocorre que por estar sem condic;:oes de cumprir
a obrigac;ao (nos termos originalmente contratados), a empresa devedora vai querer alterar a
forma original de pagamento.
Vejamos que a forma de se identificar uma questao de Equivalencia Composta
e a mes-
mfssima que aprendemos para identificar uma questao de Equivalencia Simples! Ou seja, sao
as mesmas situac;:oes!
0 que vai diferenciar uma questao da outra (Equivalencia Simples e Equivalencia Compasta) e tao-somente a natureza da taxa.
292
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
E os passos de resoluc;ao? Serao os mesmos que _ja conhecemos da Equivalencia .
5
Krgorosamente os mesmos! Tanto os passos preliminarcs quanto os passos c{etivos·~~
E
·
lembrados disso?
·
Stamos
Neste enunciado, identificamos que a Equivalencia e composta pela ultima info
_
. .d . "
.d
rmac;ao
q ue C01. nazt
a. . const erando uma taxa de juros compostos. "!
Vamos relembrar os passos preliminares de resolw:;ao. A cada passo desenvolveremo
re 1 '
s nossa
so uc;ao, e acrescentaremos algumas poucas informac;oes adicionais para consolidarrno
. 1 ·
. _ .
s nosso
con 1ec1mento da EqmvalenCia Composta
Passos Preliminares de Resolw:;ao:
-7 Primeiro Passo dcscnhar a questao!
Para esse enunciado, teremos
X
3L200,
20.000,
10.000,
0
30d
60d
90d
-7
d
Segundo Passo: definir os val ores de Primeira e de SeQUnda Obriaar·a-0 des1·
b
co<" ,
gnan o-os
.
'
respectivamente, por (I) e (II)
Teremos que
X
3L200,
20.000,
0
30d
60d
(I)
(I)
(II)
90d
(I)
Ch~m~mos de primeira ob1igw:;ao a forma original de pagamento da obrigac;ao E scguncla
obngat:;ao e a segunda forma de pagamento, aquela que ira substituir a forma original.
-7 Terc
Neste exemp
1, 2 e 3 meses,
-7 Qua
Em relac;ao
Composta, s6 p
trabalhando no
E por que?
pitais serao res
por dentro)!
Nao havera
por denim
Dai, ganham
Capitais, e que
usaremos para
E como sab
l") quando o e
o enunciado f
semestral).
0 enunciad
e uma tCLxa de ju
racional sao ope
a equivalencia e
de desconto co
Assim sendo
posto por dentr
-7 Qui
Aqui teremo
de Equivalenci
Aprendemos qu
Po is bern, aq
de Capitais sera
Na
Em outras p
c;ao da questao
como tanto fez!
Aten<;ao: "t
na resoluc;ao (le
que as outras.
er Campos
Capitulo 7- Equivalencia Composta de Capitais
ivalencia .
5
c{etivos·~~
E
·
Stamos
·
ultima info
_
rmac;ao
volveremo
s nossa
nsolidarrno
s nosso
0 , des1·gnan d o-os
ac;ao E scguncla
original.
'
293
-7 Terceiro Passo colocar taxa e tempos na mesma unidade
Neste exemplo a taxa fomecida e mensa!, logo, chamaremos 30 dias, 60 dias e 90 dias de
1, 2 e 3 meses, respectivamente .
-7 Quarto Passo descobrir o regime e a modalidade do Desconto!
Em relac;ao a esse quarto passo preliminar, ha uma novidade. E das boas na Equivalencia
Composta, s6 precisarernos identificar o regime Ou seja, s6 precisaremos saber que estamos
trabalhando no regime composto.
E por que? Por um rnotivo bem simples as questoes de equivalencia composta de capitais serao resolvidas, todas elas, pelo desconto composto racional (desconto composto
por dentro)!
Nao havera equivalencia composta que se resolva pelo desconto composto por fora! 56
por denim
Dai, ganhamos mais um facilitador Se percebermos que a questao e de Equivalencia de
Capitais, e que o regime eo composto,ja saberemos qual o tipo de operac;ao de desconto que
usaremos para resolve- !a: dcsconto composto par dcntro
E como saberemos que o regime da questao eo composto? Ora, isso ja aprendemos.
l") quando o enunciado expressamente o disser (usando a palavra composto); 2'-') quando
o enunciado fornecer uma taxa nominal (por exemplo 36% ao ano, com capitalizac;ao
semestral).
0 enunciado podera tambem, como o fez aqui nesse exemplo, dizer que a taxa da questao
e uma tCLxa de juros compostos. Ora, aprendemos que os juros compostos e o dcsconto composto
racional sao operac;oes correspondentes Entao saberemos que o regime eo composto, e dai que
a equivalencia e a composta, concluindo que a questao sera resolvida por meio de operac;oes
de desconto composto racional (por dentro)!
Assim sendo, matamos o quarto passo: a equivalencia e composta e o desconto e o composto por dentro..
-7 Quinto Passo. definir a localizac;ao da Data Focal.
Aqui teremos outra boa noticia! Para anuncia-la, teremos antes que nos reportar ao capitulo
de Equivalencia Simples, e recordar o que foi dito, naquela ocasiao, acerca da Data Focal.
Aprendemos que "quem manda na data focal, na Equivalencia Simples, eo enunciado"
Po is bern, aqui e diferente! A regra sobre a Data Focal na questao de Equivalencia Composta
de Capitais sera a seguinte:
Na Equivalencia Composta, quem manda na Data Focal e voce!
Em outras palavras qualquer que seja a Data Focal que se venha a esc:olher para a resoluc;ao da questao de Equivalencia Composta, o resultado encontrado sera o mesmo! Tanto faz
como tanto fez!
Aten<;ao: "tanto faz como tanto fez" em termos de resultado' Mas, em tennos de efic:iencia
na resoluc;ao (leia-se: velocidade!) havera sempre uma data focal mais, digamos, conveniente
que as outras.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Em suma qualquer data focal que voce venha a adotar na resoluc;ao da equivalencia compasta, o resultado sera o mesmo' Qualquer data focal serve na equivalencia composta Todavia,
Trabalhand
havera sempre uma que facilitara as nossas contas!
Resolveremos essa nossa questao duas vezes, de duas formas diferentes: a primeira vez,
escolhendo como data focal a data 2 meses. Depois que chegarmos ao resultado, iniciaremos
uma nova resoluc;ao, s6 que adotando a data focal 3 meses . Ok? Veremos que ambas as resoluc;oes nos farao chegar a mesma resposta
Fazendo agora o desenho completo da questao, teremos:
X
31.200,
Acabou o s
levemo-na par
20.000,
10.000,
1m
(I)
0
(I)
2m
3m
(II)
DF
(I)
Concluidos os passos preliminares de resoluc;ao, passemos imediatamente aos passos efetivos. Quais? Aqueles mesmos que aprendemos na Equivalencia Simples. Vejamos.
Passos Efetivos de Resoluc;ao da Equivalencia Composta:
-7
-
Ptimeiro Passo: transportar para a Data Focal os valores da Primeira Obrigac;ao.
Comecemos com a parcela de 20 000, que se encontra na data zero. Levando-a para a data
focal, por meio de uma operac;ao de desconto composto por dentro, teremos:
E
20.000,
0
(I)
2m
DF
Ha mais alg
ninguem! Isso s
Passemos a
-7 Seg
Ora, se o ob
percebemos qu
vendo? De segu
tera que ser tran
Ou seja, o r
Resta passa
valencia de cap
-7 Ter
Este passo f
todas as questo
Capitulo 7- Equivalencia Composta de Capitais
ampos
uivalencia com-
mposta Todavia,
-7 E = 20000 (l + i)n -7 E = 20000 (1 + 0,04)2
-7 DaLE= 20000 x 1,0816 -7 E 21.632,00
Trabalhando agora com a parcela R$ 10.000,00 que esta sobre a data 1 roes, teremos
a primeira vez,
F
ado, iniciaremos
e ambas as reso-
1m
(I)
2m
D.F.
-7 F = 10000 (1 + i)n -7 F = 10000 (1 + 0,04)1
-7 Dai F = 10000 x 1,04 -7 F = 10.400,00
Acabou o segundo passo? Ainda nao! Falta a parcela de R$ 31.200,00 na data 3 meses.
levemo-na para a data focaL Teremos
31.200,
G
e aos passos efe2m
D.E
ejamos.
eira Obrigac;ao.
ndo-a para a data
s:
3m
(I)
-7 G = 31200/(1+0,04)1 -7 G = 3120011,04
-7 E: G = 30.000,00
Ha mais alguem que seja p1imeira obligat;ao para que n6s o levemos para a data focal? Nao,
-7 31200
= G (1+i)n
ninguem! Isso significa que terminou o nosso primeiro passo.
Passemos ao segundo passo efetivo de resolw:;ao.
-7 Segundo Passo: transportar para a Data Focal os valores da Segunda Obrigac;ao.
Ora, se o objetivo agorae o de levar para a data focal parcelas da segunda ob1igat;ao, entao
percebemos que este segundo passo ja esta concluido, sem que precisemos fazer nada. Estao
vendo? De segunda obligar;ao s6 ha o valor X, o qual ja se encontra sobre a data focaL Dai, nao
tera que ser transportado para lugar nenhum, uma vez que ja esta onde queremos que ele esteja
Ou seja, o resultado do segundo passo efetivo e o proprio X
Resta passarmos ao terceiro e ultimo passo efetivo, o arremate de toda questao de equivalencia de capitais .
-7 Terceiro Passo. aplicar a "Equac;ao de Equivalencia".
Este passo final da resoluc;ao, conforme estamos lembrados, e a forma pela qual se encerram
todas as questoes de Equivalencia de Capitais, seja qual foro regime (simple~ ou composto).
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
E a seguinte~
0 desc:onto
L;(I)DF = L;(II)DF
Somente recordando: a primeira parte da equac;ao, antes do sinal de igualdade, represenra
Obs.:
o va
da f
os valores da primeira obrigac;ao, depois de levados para a data focal Enquanto que a segunda
parte da equac;ao, depois do sinal de igualdade, sera a soma das parcelas da segunda obrigac;ao,
tambem ap6s terem sido levados a data focal. Teremos:
21632 + 10400 + 30000 =X -7 DaL X= 62.032,00 -7 Resposta!
Conforme dito acima, vamos resolver novamente essa mesma questao, s6 que trabalhando
com uma outra data focaL a data 3 meses. Teremos que encontrar uma mesma resposta final,
Seguindo n
a data 1 mes, e
uma vez que, na equivalencia composta de capitais, a escolha da data focal e li\Te, de modo que
qualquer uma conduz ao mesmo resultado! Passemos a essa segunda resoluc;ao
Dando urn pequeno salto, concluiremos os passos preliminares, ja expondo qual sera o
novo desenho da questao. Teremos agora que
X
31.200,
20.000,
Para conclu
saremos fazer a
algum Iugar? N
sobre a data foc
10.000,
0
(I)
1m
(I)
2m
(II)
3m
(I)
DF
Ou seja, em relac;ao ao desenho da resoluc;ao anterior, a (mica modificac;ao foi a data focal,
que agora esta na data 3 meses .
Passemos aos passos efetivos de resoluc;ao. Teremos
-7 Primeiro Passo transportar para a Data Focal os valores da Primeira Obrigac;ao.
Iniciaremos com a parcela de 20.000, que se encontra na data zero. Teremos
E
0
(I)
3m
DF
Atenc;ao: o
Embora nao te
esquecer que e
efetivo de noss
-7
Seg
Tomemos n
data focaL Tere
Campos
ldade, represenra
Capitulo 7- Equivalencia Composta de Capitais
0 desc:onto e por dentro, e e composto. Dai, teremos·
-7 E = 20000 O+i)" -7 E = 20000 (1+0,04) 3
-7 Dai E = 20000 x 1,124864 -7 E = 22.497,28
o valor do parentese famoso (1 + 0,04 )3 pod eraser encontrado na I a bela Financeira,
da forma que ja bem conhecemos
Obs.:
to que a segunda
gunda obrigac;ao,
Seguindo no primeiro passo, trabalhando agora com a parcela R$ 10 000,00 que esta sobre
a data 1 mes, e teremos
sta!
que trabalhando
ma resposta final,
F
\Te, de modo que
10.000,
ao
ondo qual sera o
ao foi a data focal,
meira Obrigac;ao.
lm
(I)
3m
DF
-7 F = 10000 (l + i)" -7 F = 10000 (1 + 0,04) 2
-7 Dai F = 10000 x 1,0816 -7 F = 10.816,00
Para concluir esse primeiro passo, trabalharemos a parcela de R$ 31.200,00. Sera que precisaremos fazer alguma coisa com essa parcela? Ou seja, sera que teremos que transportd-la para
algum Iugar? Nao, para Iugar nenhum, uma vez que esse valor RS 31200,00 ja esta localizado
sobre a data focal, exatamente onde n6s queremos que ele esteja.
Atenc;ao: o resultado desta parcela, neste primeiro passo, eo proprio valor RS 31200,00
Embora nao tenhamos precisado fazer nada com ela aqui no primeiro passo, nao podemos
esquecer que este valor RS 31200,00 aparecera, sim, quando passarmos ao terceiro passo
efetivo de nossa resoluc;ao!
-7
Segundo Passo~ transportar para a Data Focal os valores da Segunda Obrigac.;ao.
Tomemos nossa parcela X, que e a unica de segunda obriga<;:ao, e a transportemos para a
data focaL Teremos:
emos
G
X
2m
(II)
3m
DF
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
Teremos, entao, que
~ G = X(1 + i)" ~ G = X(1 + 0,04) 1 ~ Dai G = 1,04X
~
Terceiro Passo aplicar a Equw;ao de Equivalenciao
Finalmente, chegamos ao terceiro e definitivo passo de nossa resolw;;ao, aplicando a Equac;ao de Equivalencia Teremos
Dai
22497,28 + 10816 + 31200 = 1,04X ~ Dai 1,04X = 64513,28
Dai X= 64513,28/1,04 ~ DaL X= 62.032,00 ~ Resposta!
Percebemos que as duas respostas conferiram Ora, se na Equivalencia Com pasta qualquer
data focal serve, existe algum criteria para escolhe-la? Sim! E nao se trata de uma regra trata-se
de uma sugestao E e a seguinte se voce, na questao de Equivalencia Composta, escolher como
data focal aquela data que estiver mais a direita do desenho, entao voce fan'i. (no primeiro e
Soluc;ao: E ber
de duas parcel
historia de "os
mento vai ser
de uma questa
Precisamos
eo restante da
juros compostos
uma questao d
pasta, sabemos
Percebamo
com uma histo
quando estudarmos os dais ultimos assuntos, Rendas Certas e Amortizac;ao.
Isso porque havera questoes de Equivalencia, nas quais estarao inseridas- incidentalmente
_ operac;oes de Rendas Certas e operac;oes de Amortizac;ao Podemos dizer que estas questoes
mais completas (leia-se que envolvem ao mesmo tempo Equivalencia Composta, Rendas
exponencial
Onde foi q
juros compos
de duas forma
disso? E vimos
fundamental d
Ora, dissem
sera resolvida
convenc;ao ex
Aprendem
dentro sao ope
se trata, a rigo
~
M
~
N
Dito isto, p
Teremos.:
Certas e Amortizac;ao) tern sido bastante frequentes em provas de concursos
Passemos agora a urn novo exemplo. Por sinal, uma questao interessantissima! Vejamoso
•
segundo passos efetivos de resoluc;ao) multiplicac;oes, em vez de divisoes
Particularmente, preferimos multiplicar a dividir! Neste caso, convem optar, na Equivalencia
Com pasta, no momenta de adoc;ao da data focal, por aquela que fica mais a direita 1 E por que
funciona dessa maneira? Ora, pela propria formula do desconto composto por dentroo Vejamos:
~ N = A.(l + i)" e ~A= N/(l + i)"
Se a data focal escolhida e a mais da direita, entao, quando formos transportar os valores
de primeira e segunda obrigac;oes para aquela data, estaremos sempre procurando por urn
Valor NominaL E para achar o valor nominal, conforme a equac;ao acima, faremos urn produto.
Este assunto - Equivalencia Composta de Capitais - somente ficara de fato completo
Exemplo 2 - (ESAF) A quantia de R$ 500.000,00 e devida hoje e a quantia de
R$ 600.000,00 e devida no fim de urn ano ao mesmo credor. Na medida em que
os dois compromissos nao poderiam ser honrados, uma negocia~ao como cred_or
levou ao acerto de urn pagamento equivalente unico ao fim de dois anos e me1o.
Calcule 0 valor deste pagamento considerando que foi acertada uma taxa de
juros compostos de 20% ao ano, valendo a conven~ao exponencial para calculo
do montante (despreze os centavos).
d) R$ 1.728.000,00.
a) R$ 1 .440.000,00.
e) R$ 1.733.457,00.
b) R$ 1.577.440,00.
c) R$ 1 0584.000,00.
Passos P
~
Pri
Para esse e
Capitulo 7 - Equivalencia Composta de Capitais
Campos
aplicando a Equa-
om pasta qualquer
uma regra trata-se
sta, escolher como
an'i. (no primeiro e
Soluc;ao: E bern facil a compreensao deste enunciado . Logo na primeira frase, fala-se acerca
de duas parcelas que devem que ser pagas em datas definidas. Logo em seguida, surge aquela
historia de "os compromissos nao pode1iam scr honrados " e que aquela forma original de pagamento vai ser alterada. Ora, so ate aqui, ja temos elementos suficientes para afirmar trata-se
de uma questao de equivalencia de capitais!
Precisamos saber agora se a equivalencia e simples ou composta! E isso o que ira nos dizer
eo restante da leitura do enunciado. En tao foi dito o seguinte. " considerando ... wna taxa de
juros compostos" Pronto! Sabemos que o regime eo composto, de modo que estamos diante de
uma questao de Equivalencia Com pasta de Capitais E see uma questao de Equivalencia Compasta, sabemos que sera resolvida por meio de operac;oes de desconto compos to por dentro
Percebamos que o enunciado nao precisaria ter dito mais nada! Mas disse. Surgiu entao
com uma historia de que terfamos que trabalhar a questao, utilizando uma tal de convenc;ao
ao.
as- incidentalmente
que estas questoes
Composta, Rendas
exponencial
Onde foi que ja vimos esse assunto sabre convenc;ao exponencial? Ora, foi no estudo dos
juros compostosl La, aprendemos que uma questao de juros compostos pode ser resolvida
de duas formas. pela convenc;ao exponencial ou pela convenc;ao linear Estamos lembrados
disso? E vimos ainda que a convenc;ao exponencial consiste na propria aplicac;ao da formula
fundamental dos juros compostos, qual seja~ M = C(l + iY'
Ora, dissemos acima que esta nossa presente questao, parser de Equivalencia Composta,
sera resolvida par operac;oes de desconto composto par dentro! E onde entra af essa tal de
convenc;ao exponencial?
Aprendemos anteriormente que operac;oes de jwDs compostos e de dcsconto composto por
dentro sao operac;oes correspondentes! Se compararmos as formulas de ambas, veremos que
se trata, a rigor, da mesma equac;ao Vejamos
~
M = C.(l + i)" ~ Quros Compostos)
~
N = A.(l + i)" ~ (Desconto Composto)
Dito isto, passemos aos passos preliminares de nossa resoluc;ao de equivalencia composta
Teremos.:
sos
ntissima! Vejamoso
•
ar, na Equivalencia
a direita 1 E por que
or dentroo Vejamos:
nsportar os valores
rocurando por urn
remos urn produto.
de fato completo
e e a quantia de
a medida em que
a~ao como cred_or
dois anos e me1o.
ada uma taxa de
ncial para calculo
Passos Preliminares de Resoluc;ao:
~
Primeiro Passo: desenhar a questao!
Para esse enunciado, teremos
600.000,
X
5000000,
0
la
2,5a
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
-7
Segundo Passo definir os val ores de Primeira e de Segunda Obrigac;ao, designando-os,
respectivamente, por (I) e (II}
Teremos que
600 . 000,
X
500.000,
0
(I)
la
(I)
2,5a
(II)
-7 Terceiro Passo colocar taxa e tempos na mesma unidade.
Este passo ja veio pronto a taxa fornecida e anual e os tempos tambem ja estao nesta
mesma unidade . Adiante!
-7 Quarto Passo descobrir o regime e a modalidade do Desconto .
Isso tudo ja foi descoberto! Ja sabemos que a Equivalencia aqui e a composta, de modo
que trabalharemos como desconto composto por dentro.
-7 Quinto Passo. definir a localizac;ao da Data Focal.
Qualquer uma serve? Sim, qualquer uma! 56 que havera uma delas que nos sera mais
conveniente. Neste caso, por dois moti\·os, seria bem interessante escolhermos a data focal
2,5 anos. Primeiro motivo e a data do valor X, que pretendemos encomrar; segundo motivo:
e a data mais
a direita do nosso desenho, de modo que estaremos fugindo das divisoes.
Entao, nosso desenho completo da questao sera o seguinte
600.000,
X
Passemos
•
equac;ao do des
compostos.
Ocorre que
moso. Repararam
financeira para
calculadora? Tem
Resta uma sa
ha como ser trab
de juros compos
essa operac;ao de
Se bem estam
especial Teremo
-7 M = C C
E -7 M = 79
Este Montan
Dando seque
trabalharemos a
Teremos:
500.000,
0
(I)
Percebamos,
do enunciado, d
la
(I)
2,5a
(II)
(DF)
a resoluc;ao efetiva!
Passos Efetivos de Resolu<:;ao da Equivalencia Composta:
-7 Primeiro Passo transportar para a Data Focal os valores da Primeira Obrigac;ao.
Comecemos com a parcela de 500.000, que se encontra na data zero . Teremos o seguinte
Capitulo 7- Equivalencia Composta de Capitais
Campos
o, designando-os,
em ja estao nesta
mposta, de modo
ue nos sera mais
rmos a data focal
segundo motivo:
das divisoes.
meira Obrigac;ao.
E
500.000,
I
t
0
2,5a
(DF)
(I)
-7
E
= 500000 , (1
+ 0,20)25
Percebamos, de antemao, que aplicando a formula acima, estaremos obedecendo a ordem
do enunciado, de trabalhar a questao utilizando a convenr;:ao exponencial, uma vez que esta
equac;ao do desconto composto por dentro corresponde
compostos.
a equac;ao
fundamental dos juros
Ocorre que aqui nos deparamos com um problema! Reparemos bem nesse parentese famoso. Repararam? Quanto eo valor do expoente? Ora, e um valor quebrada 2,5 Existe tabela
financeira para encomrarmos parentese famoso com expoente que nao seja inteiro? Nao! E
calculadora? Tem calculadora na hora da prova? Tambem nao! E ai? 0 que faremos agora?
Resta uma saida 1 Uma vez que descobrimos que o enunciado nos pede uma soluc;ao que nao
ha como ser trabalhada, pensaremos na outra maneira que existe para fazermos uma operac;ao
de juros compostos! Quale? Pela conven<:;ao linear! Entao, e isso que faremosl Trabalharemos
essa operac;ao de juros compostos acima, pela convenr;:ao linear!
Se bem estamos recordados, a convenc;ao linear se resolve pela aplica<;:ao de uma formula
especial Teremos
-7 M = C Cl+i) 1:.:r Cl+i Q) -7 M = 500000 (1+0,20)2 (l+0,20x0,5)
E -7 M = 792.000,00
Este Montante Me o nosso valor E Ou seja: E = 792.000,00
Dando sequencia a resoluc;ao de Equivalencia Composta, ainda dentro do primeiro passo,
trabalharemos agora com a parcela de R$ 600.000,00, na datal ano.
Teremos:
600.000,
F
la
2,5a
(I)
DF
eremos o seguinte
-7 F = 600000.(1 + 0,20)U
302
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
Sergio Carvalho & Weber Campos
Non1mente aqui nos deparamos com urn parentesc famoso de expoente quebrada. E mais
uma vez nos vemos impossibilitados de encontrar o valor do F de imediato, uma vez que nao
encontraremos auxilio na Tabela Financeira e nem dispomos de calculadora.
Conclusao. nao teremos, de novo, como calcular oF pela convenc;ao exponencial. Teremos
que recorrer a convenc;ao linear! Teremos
-7 M = C (1+i) 1c:1 Cl+LQ) -7 M = 600000 (1+0,20) 1 Cl+0,20x0,5)
E -7 M = 792.000,00
Este montante corresponde exatamente ao valor F. Dai, encontramos que:
-7 F = 792.000,00
Com isso, terminamos o nosso primeiro passo da questao de Equivalencia Composta.
Passemos ao segundo passo:
-7 Segundo Passo. transportar para a Data Focal os valores da Segunda Obrigac;ao.
Ora, esse passo ja esta concluido. Ou seja, o valor de X, que e a (mica parcela da segunda
obrigac;ao, esta localizada exatamente sobre a data focal, nao tendo necessidade de ser transportada para Iugar nenhum.
Concluindo o valor do X na data focal e ele proprio.
-7 Terceiro Passo aplicar a Equac;ao de Equivalencia!
Chegada a hora dos "finalmentes", aplicaremos a equac;ao de equivalencia.
EXERc
1.
(ESAF) U
de 30 di
forma d
iguais p
ao mes,
a) $ 43.
b) $ 46.
c) $ 46.
d) $ 47.
e) $ 48.
Soluc;ao: Sabem
Equivalencia Co
mos Entao, apre
preliminares 011
Dai, teremos
792.000 + 792.000 =X -7 Dat X= 1.584.000,00
Muita atenc;ao agora! Quando voce pensa que ja terminou a questao- mesmo porque
ap6s ter feito tudo isso encontrou uma das opc;oes de resposta (a opc;ao C) - vern a grande
casca cle banana.
Percebamos que o enunciado nos pediu para calcular aquele valor X, s6 que trabalhando
as operac;oes pela convenc;ao exponencial, e nos encontramos o X utilizando operac;oes de
convenc;ao linear. Logo, a resposta que encontramos acima (RS L584.000,00) nao e a respasta certa!
Dai, vamos ter que nos lernbrar do que aprendemos sobre os resultados encontrados,
numa mesma operac;ao, pelo metodo da convenc;ao linear e pelo da convenc;ao exponencial.
E a regra e a seguinte: para uma mesma operac;ao de juros compostos, o resultado encontrado pela convenc;ao linear e ligeiramente maior que o resultado encontrado pela
convenc;ao exponenciaL
Como achamos, pela convenc;ao linear, o resultado final R$ L584.000,00, resta que o
resultado final pela convenc;ao exponencial sera ligeiramente menor que R$ 1.584.000,00.
Procurando entre as opc;oes de resposta aquela que satisfaz essa conclusao, encontramos
justamente a opc;ao B) R$ 1577440,00
DaL X= 1.577.440,00 -7 Resposta da Questao!
Percebamos
uma vez que a e
o que fizemos a
equivalencia, q
segunda obrigac
bemos que a ta
que as operac;o
uma data focal
Passemos ao
1" Passo - Leva
Olhando pa
e a de RS
100.0
o seguinte:
Capitulo 7- Equivalencia Composta de Capitais
Campos
EXERclCIOS RESOLVIDOS DE EQUIVALENCIA COMPOSTA
quebrada. E mais
uma vez que nao
a.
onencial. Teremos
ue:
lencia Composta.
unda Obrigac;ao.
arcela da segunda
dade de ser trans-
303
1.
(ESAF) Uma em pres a tem um compromisso de $ 100.000 para ser pago dentro
de 30 dias. Para ajustar o seu fluxo de caixa, propoe ao banco a seguinte
forma de pagamento: $20.000 antecipado, a vista, e dois pagamentos
iguais para 60 e 90 dias. Admitindo·se a taxa de juros compostos de 7%
ao mes, o valor dessas parcelas deve ser de:
a) $ 43.473;
b) $ 46.725;
c) $ 46.830;
d) $ 47.396;
e) $ 48.377.
Soluc;ao: Sabemos que antes de iniciar os passos efetivos da resoluc;ao de uma questao de
Equivalencia Composta, temos que fazer todos aqueles passos preliminares que ja aprendemos Entao, apresentaremos o desenho completo do enunciado,ja obedecidos todos os passos
preliminares 011? Teremos:
100 . 000
X
X
cia.
o- mesmo porque
C) - vern a grande
6 que trabalhando
ando operac;oes de
0,00) nao e a res-
ados encontrados,
nc;ao exponencial.
, o resultado enencontrado pela
00,00, resta que o
R$ 1.584.000,00.
usao, encontramos
0
(II)
1m
(I)
2m
3m
(II)
(II)
DF
Percebamos que foi escolhida a data focal 3 meses, mas qualquer outra seria possivel,
uma vez que a escolha da data focal, na equivalencia composta,
e livre!
56 recapitulando:
o que fizemos acima foi seguir todos os passos preliminares de resoluc;ao da questao de
equivalencia, quais sejam 1") Desenhamos a questao, 2Q) definimos quem
e primeira
e
segunda obrigac;ao (I e II); 3rr) colocamos taxa e tempos na mesma unidade; 4Q) percebemos que a taxa e composta, portanto a questao e de equivalencia composta, de modo
que as operac;oes serao de desconto composto por dentro; SQ) escolhemos, livremente,
uma data focal
Passemos aos passos efetivos de resoluc;ao:
1" Passo - Levar para a data focal os valores da primeira obrigac;ao.
Olhando para o desenho da questao, vemos que a (mica parcela de primeira obrigac;ao
e a de RS
100.000,00 que esta na data 1 mes Dai, projetando-a para a data focal, teremos
o seguinte:
30
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
Sergio Carvalho & Weber Campos
E
3" Passo - Aplic
100,000
-7 114.490,
-7 Oat X= (
1m
(I)
2m
2.
3m
DF
-7 E = 100000,(1 + 0,07)2
Esse parcntcsc famoso, consultado na Tabela Financeira, vai dar 1,144900 Dai, teremos que:
-7 E 100000 X 1,144900 -7 E = 114.490,00
2Q Passo- Levar para a data focal os valores da segunda obriga<;:ao.
Come<;:ando pela parcela R$ 20.000, faremos
F
20.000,
(FCC) U
1.600.0
fixos co
em 6 me
pagame
segund
a) $ 3.1
b) $ 3.4
c) $ 3.6
d) $ 3.8
e) $ 3.8
Solu<;:ao: 0 des
seguinte
t
J
0
1m
2m
(II)
3m
DF
-7 F = 20000.(1 + 0,07)3
Na Tabela Financeira do parentese famoso, encontramos que (1 + 0,07?= 1,225043. Dai,
teremos que:
-7 F = 20000 x 1,225043 -7 F = 24.500,86
Passando agora a primeira parcela X, teremos:
P Passo- Lev
G
56 ha uma p
X
2m
(II)
-7 G
3m
DF
=X.(l + 0,07) 1 -7 G = 1,07.X
Feito isso, vemos que ainda ha uma outra parcela X que tambem consiste em segunda
obriga<;:ao. 56 que essa outra parcela X ja esta sobre a data focal, de modo que nao precisara
ser transportada para Iugar nenhum Encerrado esta o nosso segundo passo .
Teremos qu
Deixaremos
er Campos
305
Capitulo 7 - Equivalencia Composta de Capitais
3" Passo - Aplicar a Equa<;:ao de Equivalencia Teremos
I(I\r = I(Il)nr
-7 114.490,00 = 24.500,86 + 1,07X+X -7 2,07X = 89 . 989,14
-7 Oat X= (89 989,14/2,07) -7 E: X= 43.473,00-7 Resposta!
2.
(FCC) Uma concessionaria vendia certo tipo de automovel por $
1.600.000,00 vista. Tinha urn plano de pagamento em 6 meses com juros
fixos compostos mensalmente. Urn cliente comprou urn destes automoveis
em 6 meses, efetuando pagamentos ao fim de 2 e 6 meses. Se o primeiro
pagamento foi de $ 2.136.000,00 e se os juros foram de 40% ao mes, o
segundo pagamento foi de (considere que: (1 ,4) 4 = 3,8416):
a) $ 3.1 84.600,00;
b) $ 3.416.800,00;
c) $ 3.641.800,00;
d) $ 3.841.600,00;
e) $ 3.846.1 00,00.
Solu<;:ao: 0 desenho desta questao, ja acompanhado de todos os passos preliminares, e o
a
Dai, teremos que:
seguinte
2.136.000,
X
1.600.000
?= 1,225043. Dai,
I
0
(I)
1
2m
(II)
J
6m
(II)
DF
P Passo- Levar para a data focal os valores da primeira obriga<;:ao.
56 ha uma parcela de primeira obriga<;:ao, que e a de R$ 1.600 . 000,00 na data zero. Faremos
E
J
0
(I)
nsiste em segunda
que nao precisara
o.
Teremos que: -7 E = 1.600.000 0+0,40) 6 = 1.600.000 (1,4) 6
Deixaremos assim ate montarmos a equa<;:ao de equivalencia.
6m
DF
306
2~
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Passo- Le\·ar para a data focal os valores da segunda obrigac;:ao.
Comec;:ando pela parcela R$ 2.136.000, que esta na data dois meses, teremos
Desenhando
F
2.136 . 000,
6m
DF
2m
(II)
-7 F = 2.136 000 (1+0,40)-l = 2 136.000 (1,4)"'
Teremos
Novamente, deixaremos assim ate montarmos a equac;:ao de equivalencia.
Acabou o segundo passo? Sim, uma vez que de segunda obrigac;:ao s6 fi.cou restando uma
parcela X, que ja esta sobre a data focal. Dai, passemos ao arremate da questao.
3" Passo- Aplicar a Equar;ao de Equivalencia. Teremos
1Q Passo - Levar
Aqui tambem
zero. Faremos
L(I)DF = L(II)Df
-7 1.600.000 (1,4) 6 = 2.136.000 (1,4) 4 +X
-7 X= 1600.000 (1,4) 6 -2136.000 (1,4)+
Colocaremos em evidencia o termo (1,4) 4 , cujo valor foi fomecido na questao Dai:
-7 X= (1,4) 4 [1600 000 (1,4)2-2 136 000]
-7 X= (1,4)-l [L600 000 X 1,96- 2136.000]
-7 X= (1,4)-l [3136 000-2136 000]
-7 X= 3,8416 [LOOO.OOO]
-7 DaL X= 3.8-H.600,00 -7 Resposta!
3.
Consultand
de 1,33L
-7 DatE=
2Q Passo - Lev
Comec;:ando
(ESAF) Uma empresa obteve urn financiamento de $ 10.000 a taxa de 120%
ao na,o capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou
$ 6.000 ao final do primeiro mes e $ 3.000 ao final do segundo mes. 0 valor
que devera ser pago ao final do terceiro mes para liquidar o financiamento
(juros + principal) e:
a) $ 3.250,00;
d) $ 2.975,00;
b) $ 3.1 00,00;
e) $ 2. 750,00.
c) $ 3.050,00;
Solw;:ao: Aqui, de diferente, apareceu uma taxa nominaL Ora, a taxa nominal nos diz que
estamos no regime composto! Logo, sendo a questao de equivalencia de capitais, concluimos
que a equivalencia e composta.
Transformando logo a taxa nominal para efetiva, diremos que 120% ao ano, capitalizados
mensalmente, eo mesmo que 10% ao mes . Trabalhamos essa alterac;:ao pelo conceito de Taxas
Proporcionais, como ja e do nosso conhecimento.
Na Tabela
-7 F = 6.0
Desenhando a questao ja com todos os passos preliminares, teremos o seguinte.
remos
ia.
.cou restando uma
stao.
307
Capitulo 7- Equivalencia Composta de Capitais
r Campos
10.000
X
6.000
1
0
(I)
I
3.000
1m
2m
(II)
(II)
J
!
3m
(II)
DF
1Q Passo - Levar para a data focal os valores da primeira obrigac;:ao
Aqui tambem s6 ha uma parcela de primeira obrigac;:ao, que e a de$ 10.000,00 na data
zero. Faremos
1
E
10.000
1L-------'-
3m
DF
2m
lm
0
(I)
questao Dai:
-7 E = 10.000 (l + 0,10)3
Consultando a Tabela Financeira, acharemos que o parentese famoso acima teni o valor
de 1,33L
-7 DatE= 10000 x 1,3310 -7 E = 13.310,00
2Q Passo - Levar para a data focal os valores da segunda obrigac;:ao.
Comec;:ando pela parcela $ 6.000, que esta na data urn mes, teremos:
0 a taxa de 120%
empresa pagou
ndo mes. 0 valor
o financiamento
6.000
minal nos diz que
apitais, concluimos
(II)
ano, capitalizados
o conceito de Taxas
F
1m
2m
3m
DF
-7 F = 6.000 (1 + 0,10) 2
Na Tabela Financeira, acharemos que o parentese famoso acima vale 1,21 Dai
-7 F = 6.000 (1+0,10) 2 -7 F = 6000 x 1,21 -7 E F = 7.260,00
Matemiitica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Levando agora a parcela $ 3000 para a data focal, teremos.
G
3 . 000
1
2m
(II)
3m
DF
-7 Dai E =
-7 G = 3.000 (1 + 0,10) 1 -7 G = 3000 x 1,10 -7 E G = 3.300,00
Agora, trab
Acabou-se o segundo passo. Adiante!
3~ Passo - Aplicar a Equac;ao de Equivalencia. Teremos:
-7 13.310,00 = 7.260,00 + 3.300,00 +X
-7 DaL X= 13.310,00- 10.560,00 -7 X= 2. 750,00 -7 Resposta!
4.
(ESAF) Uma pessoa tomou urn emprestimo a taxa de 4% ao mes, com juros
compostos capitalizados mensalmente. Este emprestimo deve ser pago
em duas parcelas mensais e iguais de $ 1.000, daqui a 13 e 14 meses
respectivamente. 0 valor que mais se aproxima do valor de urn (mico
pagamento, no decimo quinto mes que substitui estes dois pagamentos e:
a)
b)
c)
d)
e)
$ 2.012,00;
$ 2.121,00;
$ 2 .333,33;
-7 Dat F =
0 segundo
focal Passemo
3Q Passo - Ap
2.484,84;
2.516,16.
Solw;;ao: 0 desenho completo com os passos preliminares e o seguinte:
$
$
X
1000
0
r
13m
(I)
r
Dai, iniciemos os passos efetivos de resoluc;ao. Teremos:
1Q Passo - Levar para a data focal os val ores da primeira obrigac;ao.
5.
(ESAF)
presta
1000
14m
(I)
-7 1.081,6
I
15m
(II)
DF
e de R
de R$
compo
saldar
e man
a prop
a)
b)
c)
d)
e)
R$
R$
R$
R$
R$
Capitulo 7 - Equivalencia Composta de Capitais
Campos
E
1000
13m
15m
(I)
DF
-7 Dai E = 1.000 (1 + 0,04)2 -7 E = 1000 x 1,0816 -7 E = 1.081,60
Agora, trabalhando com a segunda parcela de S LOOO, teremos
F
1000
14m
(I)
mes, com juros
deve ser pago
13 e 14 meses
r de urn (mico
pagamentos e:
15m
DF
-7 Dat F = 1.000 (1 + 0,04) 1 -7 F = 1000 x 1,04 -7 F = 1.040,00
0 segundo passo ja esta feito por si, uma vez que a parcela X ja se encontra sobre a data
focal Passemos ao arremate da questao .
3Q Passo - Aplicar a Equac;ao de Equivalencia Teremos
I(l)DF = I(II)DF
-7 1.081,60
5.
+ 1.040,00 =X
-7 X= 2.121,60 -7 Rcsposta!
(ESAF) jose tern uma divida a ser paga em tres presta~oes. A primeira
presta~ao e de R$ 980,00 e deve ser paga ao final do terceiro mes; a segunda
e de R$ 320,00 e deve ser paga ao termino do setimo mes; a terceira e
de R$ 420,00 e deve ser paga ao final do no no mes. 0 credor cobra juros
compostos com taxa igual a 5% ao mes. jose, contudo, propoe ao credor
saldar a divida, em uma unica presta~ao ao final do decimo segundo mes
e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%. Se o credor aceitar
a proposta, entao jose pagara nesta unica presta~ao o valor de:
a)
b)
c)
d)
e)
R$
R$
R$
R$
R$
1.214,91;
2.114,05;
2.252,05;
2.352,25;
2.414,91.
310
Matematica Finance ira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Solw;:ao: Nosso desenho sera o seguinte:
Acabou-se o
X
980
420
I
0
da questao
3e Passo - Aplic
I
320
1
3m
(I)
7m
(I)
I
9m
(I)
12m
(II)
DF
1~ Passo - Levar para a data focal os val ores da primeira obrigac;ao.
E
r
980
~ 1.520,30
6.
(ESAF) Q
de 10% a
rnais urn
a) R$ 21
b) R$ 22
c) R$ 22
Soluc;ao: Fazend
!._____ _ _ _
3m
1
12m
DF
(I)
~DaLE= 980 (1+0,05) 9 ~ E = 980 x 1,551328 ~ E = 1.520,30
F
Com o dese
320
soluc;ao de uma
Sabemos que es
Escolhendo
7m
(I)
12m
DF
~ Dai F = 320 (I+ 0,05)5 ~ F = 320 x 1,276281 ~ F = 408,4I
G
primeiro passo
de primeira obri
Iugar nenhum.
Passando, po
a data focal Co
hoje, teremos.
~ E = 1000
~ E = 1000
Agora, traze
420
9m
12m
(I)
DF
~ Dai G = 420 (I+ 0,05)3 ~ G = 420 x 1,157625 ~ G = 486,20
~ F
= 110
56 falta agor
resoluc;ao. Enco
~X= 121
Campos
Capitulo 7 - Equivalencia Compost a de Capitais
311
Acabou-se o primeiro passo e o segundo ja esta feito por si! Dai, passamos ao arremate
X
I
12m
(II)
DF
da questao
3e Passo - Aplicar a Equac;ao de Equivalencia Teremos:
~(I)DF
= ~(II)DF
~ 1.520,30 + 408,4I + 486,20 =X~ X= 2.414,91 ~ Resposta!
6.
(ESAF) Qual o capital hoje que e equivalente, a urna taxa dejuros cornpostos
de 10% ao sernestre, a urn capital de R$ 100.000,00 que venceu ha urn ano
rnais urn capital de R$ 110.000,00 que vai veneer daqui a seis rneses?
a) R$ 210.000,00.
d) R$ 230.000,00.
b) R$ 220.000,00.
e) R$ 231 .000,00.
c) R$ 221.000,00.
Soluc;ao: Fazendo o desenho da questao, teremos
X
110.000,
100.000,
- 2s
(II)
- 1s
1s
(II)
0
(I)
Com o desenho acima, ja cumprimos praticamente todos os passos preliminares de resoluc;ao de uma questao de Equivalencia de Capitais 56 nos resta escolhermos a data focal
Sabemos que essa escolha e livre, pois estamos no regime composto.
Escolhendo a data zero (que e o dia de hoje) como sendo a data focal, teremos que o
primeiro passo efetivo de resolw;:ao ja estara feito por si proprio, uma vez que o unico valor
de primeira obrigac;ao, que e oX, ja esta sobre a data focal e nao vai precisar ser levado para
Iugar nenhum.
Passando, pois, ao segundo passo efetivo, levaremos os valores de segunda obrigac;ao para
a data focal Comec;ando pela parcela RS 100.000 que esta na data dois semestres antes de
hoje, teremos.
~ E = 100000. (l + O,IO)l
~ E = 100000 X 1,21 ~ E = 121 000,00
Agora, trazendo a parcela RS 110.000 para a data focal, teremos:
~ F
= 110 000/(l + 0,10) 1 ~ F = 110.000/l,l
~ F
= 100 000,00
56 falta agora aplicar a equac;ao de equivalencia, que consiste no terceiro passo efetivo de
resoluc;ao. Encontraremos que:
~X= 121.000 + 100.000 -)X= 221.000 ~ Resposta!
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
312
EQUIVALENCIA COMPOSTA DE CAPITAlS - EXERclCIOS PROPOSTOS
01.
(Analista do Tesouro Estadual SEFPI 2015 FCC) Para quitar uma divida que
apresenta na data de hoje o valor de R$ 77.000,00, urn empresario devera
efetuar urn pagamento de P reais daqui a urn ano e outrode 2P reais daqui
a 2 anos. Considerando o criterio do desconto racional composto a uma
taxa de 8% ao ano, obtem-se que P e igual a
a) R$ 27.000,00
b) R$ 29.160,00
c) R$ 30.326,40
d) R$ 31.492,80
e) R$ 32.659,20
02.
(Fiscal de Rendas SEFAZ-RJ 2008 FGV) Uma divida e composta de duas
parcelas de R$ 2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e 4 meses.
Desejando-se substituir essas parcelas por urn pagamento unico daqui a
3 meses, se a taxa de juros e 2% ao mes, o valor desse pagamento unico
e: (Despreze os centavos na resposta.)
a) R$ 2.122,00.
b) R$ 1 .922,00.
c) R$ 4.041 ,00.
d) R$ 3.962,00.
e) R$ 4.880,00.
03.
(Auditor Fiscal do Tesouro Estadual FAZPE 2014 FCC) Uma pessoa tomou
emprestada a quantia de R$ 5.000,00, combinando devolve·la ao fim de
4 meses, acrescida de seus juros compostos, a taxa de 3% ao mes. Ao
completar 3 meses da data do emprestimo, propoe ao credor liquidar a
divida por meio de dois pagamentos iguais, de P reais cada, urn a veneer
imediatamente eo outro dai a 3 meses. Se, na nova transa~ao, vao utilizar
o criterio do desconto composto racional, mantendo a taxa de 3% ao mes,
o valor de P sera igual ao produto de 5000 por
a)
1+ (1,03) 2
(1,03) 3
b)
1+ (1,03)3
(1, 03) 6
c)
(1,03) 6
1+ (1,03)3
d)
(1,03)3
2,03
e)
(1, 03) 6
1+ (1,03)2
o4.
(PGE/B
de R$ 5
vas, no
ano. Es
anos, c
positiv
acima,
parcela
a) RS 9
b) R$ 9
c) R$ 8
d) R$ 8
e) R$ 7
05.
(Audito
ser qui
primeir
da seg
criterio
divida
vencive
cada pr
a) R$ 1
b) RS 1
c) R$ 1
d) R$ 1
e) R$ 1
06.
(Audito
urn cre
1.000,
-las po
a 2 me
raciona
duas p
a) 1 58
b)
5
c)
59
d)
57
e) 1 58
Capitulo 7
r Campos
PROPOSTOS
a pessoa tomou
lve·la ao fim de
3% ao mes. Ao
redor liquidar a
da, urn a veneer
~ao, vao utilizar
a de 3% ao mes,
313
o4.
(PGE/BA 2013 FCC) Uma pessoa devera quitar uma divida no valor atual
de R$ 55.000,00 por meio de duas presta~oes anuais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 36.000,00 cada uma, vencendo a primeira daqui a 1
ano. Esta pessoa se propoe a quitar esta divida de uma so vez daqui a 3
anos, concordando com a utiliza~ao da mesma taxa de juros compostos
positiva considerada para obten~ao dos valores das duas presta~oes
acima, segundo o criterio do desconto racional composto. 0 valor desta
parcela unica tera de ser
a) RS 95.040,00.
b) R$ 90. 720,00.
c) R$ 88.560,00.
d) R$ 86.400,00.
e) R$ 79.200,00.
05.
(Auditor Fiscal da Receita Estadual SFARJ 2014 FCC) Uma divida devera
ser quitada por meio de 3 presta~oes anuais e consecutivas. 0 valor da
primeira presta~ao, que vence daqui a 1 ano, e igual a R$ 9.240,00, o
da segunda e R$ 12.705,00 e o da terce ira e R$ 16. 770,60. Utilizando o
criterio do desconto racional compos to, a uma taxa de 1 0% ao ano, esta
divida podera ser quitada por meio de duas presta~oes de valores iguais,
venciveis a primeira daqui a 1 ano e a segunda daqui a 2 anos. 0 valor de
cada presta~ao, nesta segunda op~ao, e
a) R$ 15.750,00
b) RS 1 8.1 50,00
c) R$ 17.325,00
d) R$ 16.500,00
e) R$ 16.125,00
06.
(Auditor Fiscal da Fazenda Estadual SEFPI 2015 FCC) Uma pessoa deve a
urn credor tres parcelas mensais consecutivas de mesmo valor nominal R$
1.000,00 cada, a primeira a veneer daqui a 30 dias. Deseja hoje substitui·
-las por dois pagamentos iguais entre si, urn com vencimento para daqui
a 2 meses e outro para daqui a 4 meses. Utilizando o criterio do desconto
racional composto, com taxa de 5% ao mes, o valor X de cada uma dessas
duas presta~oes, em reais, e tal que
a) 1 585 <X < 1 590
b)
570<X<1575
c)
590 <X < 1 595
d)
575 <X< 1 580
e) 1 580 <X< 1 585
uma divida que
presario devera
e 2P reais daqui
omposto a uma
mposta de duas
a 1 e 4 meses.
o unico daqui a
agamento unico
Equivalencia Composta de Capitais
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
07.
(Auditor Fiscal de Tributos Estaduais de Rondonia 2010 FCC) A compra
de um equipamento por uma industria podera ser feita por uma das duas
op~oes seguintes: a vista por R$ 41.600,00 ou em duas presta~oes anuais
e consecutivas de valores iguais, vencendo a primeira um ano apos a data
da compra. Considerando-se uma taxa dejuros compostos de 8% ao ano e
o criterio do desconto compos to real, tem·se que o valor de cada presta~ao
referente a segunda op~ao que torna equivalentes, na data da compra, as
duas op~oes e
a) R$ 23.328,00
b) R$ 22.064,00
c) R$ 21 .600,00
d) R$ 20.800,00
e) R$ 20.400,00
11.
(AFC/STN
postos e
de R$ 20
segunda
apos a e
sem con
tabelas f
a) R$ 23
b) R$ 23
c) R$ 24
d) R$ 25
e) R$ 26
08.
(Analista Bancario BNB 2014 FGV) Uma loja cobra, nas compras financiadas,
10% de juros ao mes. Nessa loja um forno de micro-ondas estava anunciado da seguinte forma: entrega na hora com zero de entrada, R$ 264,00
um mes apos a compra e R$ 302,50 dois meses apos a compra. 0 pre~o a
vista equivalente para esse forno e de:
a) R$ 453,20
b) R$ 467,00
c) R$ 490,00
d) R$ 509,85
e) R$ 566,50
12.
09.
(Auditor do Estado do Maranhao 2013 FGV) Um terreno foi vendido em tres
parcelas sendo a primeira de R$ 9.000,00 no ato da compra, a segunda
de R$ 12.000,00 um ano apos a compra e a terceira de R$ 28.800,00 dois
a nos apos a compra. A taxa de juros praticada foi de 20% ao a no. 0 valor
total a vista no momento da compra de tal mercadoria e
a) R$ 49.800,00.
b) R$ 41.862,72.
c) R$ 41 .448,00.
d) R$ 39.000,00.
e) R$ 38.565, 12.
(AFC/ST
divida, c
R$ 2.500
3.500,00
da prime
propos u
no final
que a ta
conside
tabelas
a) R$ 2.1
b) R$ 2.
c) R$ 2.
d) R$ 3.
e) R$ 3.
13.
(AFC/ST
R$ 85.00
de R$ 1 5
Cada um
A prime
e de R$
no final
juros co
propost
os centa
a) R$ 35
b) R$ 27
c) R$ 32
d) R$ 39
e) R$ 35
10.
(AFC/STN 2005 ESAF) Uma pessoa contraiu uma divida no regime de juros
compostos que devera ser quitada em tres parcelas. Uma parcela de R$
500,00 vencivel no final do terceiro mes; outra de R$ 1.000,00 vencivel no
final do oitavo mes e a ultima, de R$ 600,00 vencivel no final do decimo
segundo mes. A taxa de juros cobrada pelo credor e de 5% ao mes. No
final do sexto mes, 0 cliente decidiu pagar a divida em uma unica parcela.
Assim, desconsiderando os centavos, o valor equivalente a ser pago sera
igual a: (Vide tabelas financeiras I e IV ao final do livro.)
a) R$ 2.535,00;
b) R$ 2.1 00,00;
c) R$ 2.1 53,00;
d) R$ 1.957,00;
e) R$ 1 .933,00.
Capitulo 7- Equivalencia Composta de Capita is
Campos
CC) A compra
uma das duas
sta~oes anuais
no apos a data
de 8% ao ano e
cada presta~ao
da compra, as
11.
(AFC/STN 2005 ESAF) Um carro pode ser financiado no regime dejuros com·
postos em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 20.000,00 e uma parcela
de R$ 20.000,00 seis meses apos a entrada. Um comprador propoe como
segunda parcela o valor de R$ 17.000,00, que devera ser pago oito meses
apos a entrada. Sabendo·se que a taxa contratada e de 2 % ao mes, entao,
sem considerar os centavos, o valor da entrada devera ser igual a: (Vide
tabelas financeiras I e IV ao final do livro.)
a) R$ 23.455,00;
b) R$ 23.250,00;
c) R$ 24.580,00;
d) R$ 25.455,00;
e) R$ 26.580,00.
as financiadas,
s estava anunada, R$ 264,00
pra. 0 pre~o a
12.
(AFC/STN 2005 ESAF) Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu uma
divida, comprometendo liquida·la em dois pagamentos. 0 primeiro, de
R$ 2.500,00, com vencimento para o final de fevereiro. 0 segundo, de R$
3.500,00, com vencimento para o final de junho. Contudo, no vencimento
da primeira parcela, nao dispondo de recursos para honra-la, o devedor
propos um novo esquema de pagamento. Um pagamento de R$ 4.000,00
no final de setembro e o saldo em dezembro do corrente ano. Sabendo
que a taxa de juros compostos da opera~ao e de 3% ao mes, entao, sem
considerar os centavos, o saldo a pagar em dezembro sera igual a: (Vide
tabelas financeiras I e IV ao final do livro.)
a) R$ 2.1 68,00;
b) R$ 2.288,00;
c) R$ 2.000,00;
d) R$ 3.168,00;
e) R$ 3.288,00.
13.
(AFC/STN 2005 ESAF) Uma imobiliaria coloca a venda um apartamento por
R$ 85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propoe uma entrada
de R$ 1 5.000,00 e mais tres parcelas: duas iguais e uma de R$ 30.000,00.
Cada uma das parcelas vencera em um prazo a contar do dia da compra.
A primeira parcela vencera no final do sexto mes. A segunda, cujo valor
e de R$ 30.000,00, vencera no final do decimo segundo mes, e a terceira
no final do decimo oitavo mes. A transa~ao sera realizada no regime de
juros compostos a uma taxa de 4% ao mes. Se a imobiliaria aceitar essa
proposta, entao o valor de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando
os centavos, sera igual a: (Vide tabelas financeiras I e IV ao final do livro.)
a) R$ 35.000,00;
b) R$ 27.925,00;
c) R$ 32.500,00;
d) R$ 39.925,00;
e) R$ 35.500,00.
endido em tres
pra, a segunda
28.800,00 dois
ao a no. 0 valor
egime de juros
parcela de R$
,00 vencivel no
inal do decimo
5% ao mes. No
unica parcela.
a ser pago sera
(316)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
~~--------------------~----~------------~------------~---------
14.
Uma pessoa deve pagar oito presta~oes de R$ 1.000,00 cada uma. A
primeira presta~ao a veneer daqui a urn mes; a segunda, ao fim de dois
meses e assim por diante. Se resolvesse pagar a divida por meio de urn
(mico pagamento daqui a oito meses, q~..:al seria o valor desse pagamento,
considerando-se urna taxa de juros composta de 10% ao mes? (Sugestao:
utilize a formula do Montante de Rendas Certas do proximo capitulo).
a) R$ 1 0.500,00.
b) R$ 11.350,50.
c) R$ 11.435,90.
d) R$ 1 1.511 ,20.
e) R$ 11 .870,30.
15.
Uma pessoa deve pagar oito presta~oes de R$ 1.000,00 cada uma, a primeira presta~ao a veneer daqui a urn mes, a segunda ao fim de dois meses e
assim por diante. Se resolvesse pagar a divida hoje por meio de urn unico
pagamento, qual seria o valor desse pagamento, considerando-se urna taxa
de juros composta de 10% ao mes? (Sugestao: utilize a formula do Valor
Atual de Rendas Certas do proximo capitulo).
a) R$ 5.334,90.
b) R$ 5.600,00.
c) R$ 5.708,50.
d) R$ 5.811 ,40.
e) R$ 5.870,00.
8.1.
lntrodu
Suponhamo
belo dia, apost
R$ 1.000,00 T
do que, era urn
banco, abriu um
Compostos, na
seu dia da sorte
Tanto e assi
13 domes segu
ganhou de nov
voce voltou ao
que acabara de
Ora, voce q
tou! Prova diss
na loteria, e ga
Para encurt
por seis vezes
mesma data foi
llustrativam
Ou seja, fo
iguais. E a resp
postos.
er Campos
--~---------
00 cada uma. A
, ao fim de dois
por meio de urn
sse pagamento,
mes? (Sugestao:
mo capitulo).
da uma, a primeide dois meses e
meio de urn unico
ndo-se urna taxa
ormula do Valor
CapituloB
Rendas Certas
8.1.
lntrodu~ao
Suponhamos a seguinte situa<;:ao voce, que nunca foi afeito a jogos de azar, resolveu, num
belo dia, apostar na loteria E, sorte de principiante, conseguiu formar urn terno e ganhou
R$ 1.000,00 Todo contente, sua primeira ideia foi a de economizar aquele dinheiro. Alem
do que, era urn valor que nao estava previsto em seu on:;amento Dai, voce se dirigiu a urn
banco, abriu uma conta de poupan<;:a, e deixou aquele dinheiro la, gum·dado, rendendo juros.
Compostos, naturalmente! Quando isso ocorreu, era o dia l3 de agosto Essa data virou o
seu dia da sorte.
Tanto e assim, que voce acabou por se tornar uma pessoa supersticiosa, de modo que no dia
13 domes seguinte, retornou aquela mesma casa loterica, apostou novamente e (adivinhem!)
ganhou de novo! Quanto? R$ 1.000,00 outra vez. Quando isso aconteceu, imediatamente
voce voltou ao banco (aquele mesmo) e naquela mesma conta da sorte aplicou a nova quantia
que acabara de ganhar
Ora, voce quase nem acreditava que a sorte pudesse estar assim tao favoraveL Mas acreditou! Prova disso que no dia 13 do mes seguinte, outra vez estava voce la, apostando de novo
na loteria, e ganhando de novo mais R$ LOOO,OO.
Para encurtar a hist6ria, essa sua onda de sorte prolongou-se durante seis meses! Ou seja,
por seis vezes consecutivas, voce ganhou uma mesma quantia (R$ LOOO,OO) e sempre na
mesma data foi ao banco e aplicou o valor integral desse premio.
llustrativamente, poderiamos descrever essa situa<;:ao da seguinte forma
1000,
1000'
1000'
1000'
1000'
1000'
t t 1 1 r r
Ou seja, foram feitas seis aplica<;:6es, de parcelas de mesmo valor, e em intervalos cle tempo
iguais. E a respeito da taxa que envolvia tais aplica<;:6es? Trata-se de uma taxa de juros compostos.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
318
Pois bern! Voltando
a nossa situac;ao, se a questao perguntasse,
para essa dada situac;ao
qual seria o valor a ser resgatado (referente as seis parcelas) na data da ultima aplicac;ao, noss~
P)
Ca
2")
Ca
Estudarem
desenho seria o seguinte
do Montante
X
1000,
1000,
1000,
1000,
1000,
compos to
Passemos
10 0,
s.2. Calcul
0 estudo
uma operac;ao
Somente para efeitos didaticos, e para nao dificultar a visualizac;ao do desenho (com uma
de capitais, n
seta sobreposta a outra), vamos colocar as setas das aplicac;6es voltadas para baixo, ok? Tere0
mos, pois, o seguinte
X
coloquemo
Para o ca
veremos adia
desenho form
seguinte des
1000,
1000,
1000,
1000,
1000,
1000,
Ora, com os dados do exemplo fornecido e o desenho acima, ja dispomos de elementos
suficientes para dizer que estamos diante de uma operac;ao de Rendas Certas . Senao, vejamos. toda questao de Rendas Certas sera marcada por tres caracteristicas especificas, que sao
as seguintes.
E impor
1")
Presenc;a de parcelas de mesmo valor.
2")
Estas parcelas aparecem em intervalos de tempo iguais.
ples: olhan
3")
Tudo isso sujeito a uma taxa no regime composto .
a seguinte
Dai, se estiverem presentes essas tres caracteristicas, e o nosso objetivo for aplicar, aplicar,
aplicar para resgatar no final, entao nao teremos mais duvidas. nossa questao sera de Rendas
Certas
Alem da situac;ao apresentada acima, que tern como objetivo o calculo do montante de vdrias
parcelas iguais e consecutivas no regime composto, o assunto de Rendas Cenas pode envolver
tambem o calculo do Valor Atttal (ott Valor Descontado) cle vdlias parcelas iguais c consecutivas no
regime composto Assim, dividimos o assunto de Rendas Certas em duas partes
Capitulo 8 - Rendas Certas
er Campos
essa dada situac;ao
ma aplicac;ao, noss~
P)
Calculo do Montante para uma serie de parcelas iguais
2")
Calculo do Valor Atual para uma serie de parcelas iguais
Estudaremos, portanto, neste capitulo, maneiras praticas e eficazes para o calculo
do Montante e do Valor Atual de uma serie de parcelas iguais e consecutivas no regime
compos to
Passemos agora a conhecer a primeira parte de Rendas Certas.
s.2. Calculo do Montante para uma Serie de Parcelas lguais
0 estudo desta situac;ao poderia ter sido abordado no capitulo de juros Compostos, ja que
uma operac;ao de Rendas Certas se trata, na verdade, do calculo do montante de uma sequencia
desenho (com uma
de capitais, no regime composto. Porem, devido a importancia desse assunto, e natural que
ara baixo, ok? Tere0
coloquemos em um capitulo em separado
Para o calculo do montante de uma serie de parcelas iguais usaremos uma formula, que
veremos adiante. Dai, para efeito clc aplicar;ao clesta fonnula, o nosso desenho da questao (o
desenho formado com os dados fornecidos pelo enunciado) tera que esta de acordo com o
seguinte desenho modelo:
T
omos de elementos
ertas . Senao, vejap
especificas, que sao
p
p
p
p
p
E importante memorizarmos esse clesenho moclelo? Sim, e porum motivo muito simples: olhando para ele, seremos capazes de extrair a informac;ao crucial do assunto! E e
a seguinte
for aplicar, aplicar,
stao sera de Rendas
o montante de vdrias
nas pode envolver
ais c consecutivas no
artes
"Lei do Montante de Rendas Certas"
Para efeito de utiliza(iio da formula das Rendas Certas, a data do
resgate tera de coincidir com a data da ultima aplicac;ao!
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Edisto que nao podemos nos esquecer! Ora, se pensarmos urn pouquinho a respeito dessa
lei acima, veremos que ate parece algo meio sem logica, ou seja, conforme o desenho modelo,
e como se alguem fosse a urn banco, no dia da tHtima aplicac;ao, se dirigisse
a boca do caixa,
fizesse o deposito da ultima parcela e, no mesmo instante, pedisse para resgatar tudo o que
Primei
lniciemo
sentar as Ren
e nao aplicar nada hoje, pois uma aplicac;ao feita e resgatada na mesma data nao renderia
Exemplo 1
uma quant
ser resgata
com uma t
juros alguml
Soluc;ao: Va
ha\ia aplicado, inclusive a ultima parcela que acabara de depositar!
lsso nao fmia sentido, uma vez que, na realidade, se eu sei que vou resgatar hoje, a logica
Contudo, nao podemos esquecer o que vern dito logo no inicio da Lei acima "Para efeito
Desenhando
de aplicat;C!o da f6nmda ... ." Ou seja, somente na hora de aplicarmos a formula, teremos que
observar essa regra. Como ja foi dito, o desenho da questao devera adcquar-se ao desenho
modelo.
A Formula das Rendas Certas:
E a seguinte:
T = P. s n -..t
0 simbolo sn ..,i le-se: s de "n" cantoneira "i"
Vamos analisar cada elemento da formula acima:
~ T.
e o valor total, que sera resgatado ao fim das aplicac;oes, na data que coincide exa-
tamente com ada ultima aplicac;ao! Este T, uma vez calculado, representara (sozinho) todas
aquelas parcelas P
~
P e o valor da parcela Ob\iamente que terao de ser parcelas de mesmo valor Esta e a
primeira caracteristica de uma operac;ao de Rendas Certas.
~
s este s nao e ninguem se estiver sozinho. Na verdade, ele e parte de urn fator, que e
o fa tor sn -.i. chamado de Fator de Acumula<;ao de Capital para uma Serle de Parcelas. 0
nome e muito grande, razao pela qual passaremos a chama-lo apenas de Fator S de Rendas
Certas! 011?
~
n este sim, tera urn significado. Atenc;ao aqui: em todos os assuntos anteriores, vimos
que on significava sempr'e tempo, nao e verdade? Agora teremos uma mudanc;a. Se o assunto
e Rendas Certas, essen da formula significara, tao-somente, o mimero de parcelas que estao
sendo aplicadas! Portanto, n aqui nao e tempo.
~
i essa ja e nossa velha conhecida: e a taxa da operac;ao. E sera, conforme ja foi dito,
uma taxa de juros compostos. lsso tam berne essencial! Vejamos que essa exigencia- taxa no
regime composto- e uma das caracterfsticas da questao de Rendas Certas!
Resta-nos conhecer alguns detalhes de resolw;ao, os quais serao aprendidos, sem muito
esforc;o, por meio dos exemplos que passaremos a resolver agora.
Daf, com
dcsconfiar q
teremos que
~
~
~
E, para
o resultado
uma questa
Feita a
modelo, ao
c;ao da form
Para qu
utilizac;ao d
data da lllt
E quan
modelo? Si
R$ LOOO,O
Capitulo 8 - Rendas Certas
Campos
o a respeito dessa
desenho modelo,
a boca do caixa,
gatar tudo o que
tar hoje, a logica
ata nao renderia
Primeiras Questoes de Rendas Certas:
lniciemos com aquela situac;ao hipotetica que criamos no inicio deste capitulo para apresentar as Rendas Certas. Vamos reescreve-la, so que em lingtwgem de prova Vejamos:
Exemplo 1 -Jose resolveu aplicar no Banco X, sempre no dia 13 de cada mes,
uma quantia de R$ 1.000,00, durante urn prazo de 6 meses. Qual o valor total a
ser resgatado por ele, na data da ultima aplica~ao, sabendo que o Banco X opera
com uma taxa de juros compostos de 3% ao mes?
Soluc;ao: Vamos Ia! 0 mais importante, no inicio, e tentar descobrir do que se trata a questao
ima "Para efeito
Desenhando este enunciado, teremos
ula, teremos que
X
ar-se ao desenho
1000,
1000,
1000,
1000,
1000,
1000,
ue coincide exa(sozinho) todas
Daf, como nosso desenho da questao traz varias parcelas de mesmo valor, comec;amos a
dcsconfiar que possa ser uma operac;ao de Rendas Certas . Para confirmar nossa ideia inicial,
mo valor Esta e a
urn fator, que e
e de Parcelas. 0
tor S de Rendas
anteriores, vimos
nc;a. Se o assunto
rcelas que estao
orme ja foi dito,
xigencia- taxa no
idos, sem muito
teremos que identificar as tres caracteristicas das Rendas Certas. Vejamos
~
P) As parcelas sao de mesmo valor? Sim!
~
2") As parcelas estao aplicadas em intervalos de tempo iguais? Sim!
~
Jil) A taxa da operac;ao e de juros compostos? Sim!
E, para fechar nosso objetivo aqui qual e? E calcular o montante das parcelas, ou seja,
o resultado das aplicac;oes numa data futura. Pronto! Nao resta qualquer duvida: trata-se de
uma questao de Rendas Certas.
Feita a identificac;ao do assunto, lembraremos que as Rendas Certas tern urn desenho
modelo, ao qual devera estar compativel o desenho de nossa questao, para efeito de aplicac;ao da formula.
Para que serve mesmo esse desenho modelo? Serve para nos lembrar que, para efeito de
utilizac;ao da formula das Rendas Certas, a data do resgate (a data do T) deve ser a mesma
data da llltima aplicac;ao.
E quanto ao desenho do nosso enunciado, ja esta de acordo com a exigencia do dcsenho
modelo? Simi A data do resgate (a data do X) coincide com a data da ultima parcela de
R$ LOOO,OO.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
322
Daf, uma Yez observada a exigencia do clcscnlw moclclo, ja poderemos aplicar diretamente
a formula das Rendas Certas, na qual passaremos a chamar esse valor X de valor T
Teremos
T
= P. s n -..r
De uma for
Atenc;:ao p
parentese fam
tese Famoso, m
vir apresentada
Nossos dados serao:
-7
-7
-7
-7
TAB
T =?
p = 1000,00
n = 6 (sao 6 parcelas mensais)
i
=
3% ao mes (juros compostos)
;K
1%
uma observa<:;ao importantfssima alem de termos que verificar, na hora de aplicar a formula
1
1,00000
das rendas certas, se o desenho da questao esta de acordo como clescnlw moclelo, hawra ainda
2
2,01000
uma outra exigencia a ser cumptida e preciso que a taxa de juros compostos das Rendas
Certas esteja na mesma unidade do intervalo que ha entre as parcelas!
3
3,03010
4
4,06040
Ou seja, seas parcelas das Rendas Certas sao parcelas mensais, teremos que trabalhar com
5
5,10100
uma taxa d~ juros cornpostos ao mes; se as parcelas sao bimestrais, taxa ao bimestre, se as
parcelas sao trimestrais, taxa ao trimestre; e assim por diante .
6
6,15201
7
7,21353
ja lhes adiantamos que, na maioria das vezes, os enunciados ja costumam trazer essa exi-
8
8,28567
Observem que frisamos acima a palavra mensais, como intuito de chamar-lhes a aten~ao para
gencia observada! Nao que sejam obrigados a faze-lo, mas costurna ser assim
Todavia, supondo a pior hip6tese, ou seja, supondo que as parcelas fossem mensais e
a taxa de juros compostos da opera~ao fosse uma taxa anual, o que farfamos nesse caso?
Ora, nao terfamos outra alternativa, senao alterar a unidade da taxa, transformando-a
numa taxa ao mes! E como farfamos isso? Como alterariamos a unidade dessa taxa de
juros compostos? Daquela forma que ja aprendemos, trabalhando com o conceito de
Taxas Equivalentes!
56 precisaremos fazer a altera~ao da taxa das Rendas Certas pelo conceito de Taxas
Equivalentes quando a unidade da taxa for uma e a unidade do intervalo entre as parcelas
for outra
Voltando ao nosso exemplo, vemos que a unidade da taxa composta
e mensa! e que as
parcelas tambem sao mensais. Ou seja, nao precisaremos alterar a unidade da taxa Usando
os dados do enunciado e aplicando a formula das Rendas Certas, teremos
Estamos quase no resultado! 56 que surgiu urna duvida: como e que se calcula esse tal
Jatar S de Rene/as Ccrtas?
9 9,36852
10 10,4622
...
18 19,6147
Quem for
tabela dessas n
Resumindo
quando precis
de Matematica
Vejamos qu
Famoso na lin
e, na co luna d
A cada vez
com tres elem
resultado do f
cidos, para po
aprendemos a
ampos
car diretamente
alor T
Capitulo 8 - Rendas Certas
De uma forma surpreendentemente facil recorrendo a Tabela Financeira.
Atenc;:ao percebamos que nossa resolu~ao csbarrou no fator 5 de Rendas Certas, e nao no
parentese famosol Daf, neste momenta, nao iremos consultar a Tabela Financeira do Parentese Famoso, mas a Tabela Financeira do fator S de Rendas Certas! Na prova, ela devera
vir apresentada exatamente da seguinte forma
TABELA FATOR DE ACUMULA(AO DE CAPITAL DE UMA SERlE
(1+ i)" -1
DE PAGAMENTOS sn -.,
s a aten~ao para
;K
1%
2%
3%
4%
plicar a formula
1
1,000000
1,000000
1,000000
o, hawra ainda
2
2,010000
2,020000
os das Rendas
3
3,030100
...
9%
10%
1,000000
1,000000
1,000000
2,030000
2,040000
2,090000
2,100000
3,060400
3,090900
3,121600
3,278100
3,310000
4
4,060401
4,121608
4,183627
4,246464
4,573129
4,641000
e trabalhar com
5
5,101005
5,204040
5,309136
5,416322
5,984710
6,105100
bimestre, se as
6
6,152015
6,308121
6,468410
6,632975
7,523334
7,715610
7
7,213535
7,434283
7,662462
7,898294
9,200434
9,487171
trazer essa exi-
8
8,285670
8,582969
8,892336
9,214226
11,028474
11,435888
9 9,368527 9,754628
10 10,462212 10,949721
10,159106
10,582795
13,021036
13,579477
sem mensais e
11,463879
12,006107
15,192930
15,937424
23,414435
25,645413
41,301338
45,599173
os nesse caso?
nsformando-a
dessa taxa de
...
18 19,614747 21,412312
o conceito de
ceito de Taxas
ntre as parcelas
mensa! e que as
a taxa Usando
calcula esse tal
Quem for fazer concurso elaborado pela E5AF (AFRF, por exemplo), deve esperar uma
tabela dessas na prova!
Resumindo, quando e que utilizaremos essa Tabela do fator 5 de Rendas Certas? 5omente
quando precisarmos encontrar o fator sn ..,r E quando e que este fator aparece numa questao
de Matematica Financeira? Quando estivermos numa opera~ao de Rendas Certas.
Vejamos que a estrutura da Tabela do fator 5 de Rendas Certas e semelhante a do Parentese
Famoso na linha de cima, as taxas, come~ando da esquerda para a direita (l %, 2%, 3%,. ),
e, na co luna da esquerda, estao os val ores de n (que agora significarao numero de parcelas).
A cada vez que consultarmos a Tabela do fator 5 de Rendas Certas, estaremos trabalhando
com tres elementos o valor da taxa de juros compostos (i), o numero de parcelas (n), e o
resultado do fator s n -.. Para fazer a consulta, teremos que ter dois desses elementos conhecidos, para podermos chegar ao elemento desconhecido! (Ou seja, e do mesmo jeito que
aprendemos a consul tar a tabela do parentese famoso).
1
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
32
Neste caso, nossos elementos conhecidos sao a taxa (i 3%) e o nt1mero de parcelas
(n = 6) Dai, correremos nossa vista, na tabela do fator S de Rendas Certas, pela coluna
da taxa 3% e pela linha do n = 6 parcelas. Do seguinte modo
Vamos lo
de mesmo v
Para confirm
TABHA III FATOR DE ACUMULA<;:AO DE CAPITAL DE UMA SERlE
(1 + i)" -1
DE PAGAMENTOS sn -., =
racteristicas
-7 1
-7 2
i
riZ
1%
2%
3%
4%
9%
10%
1
2
3
4
5
6
1,000000
2,010000
3,030100
4,060401
1,000000
2,020000
3,060400
4,121608
1,000000
2,030000
3,090900
4,183627
1,000000
2,040000
3,121600
4,246464
5,416322
6,632975
1,000000
2,090000
3,278100
4,573129
5,984710
7,523334
1,000000
2,100000
3,310000
4,641000
6,105100
7,715610
13,021036
15,192930
13,579477
15,937424
10,159106
11,463879
9 9,368527 9,754628
10 10,462212 10,949721
10,582795
12,006107
Dai: -7 T = P. 5n..,, -7 T = 1000. 50.., 3,"'
-7 T
= 1000 x 6,468410
-7 E T
= 6.468,41
-7
3
E para q
Entao, r:ao h
Quem fo
nossa questa
Muito be
a qual o valo
parcela
E neste e
aplicac;ao N
-7 1D Pa55
ao T da form
data da ultim
-7 Re5po5ta!
Compreendido o exemplo acima, so teremos que conhecer mai5 uma variac;ao desse
enunciado que trabalhamos, e estaremos aptos a resolver qualquer problema de Montante de
Rendas Certas.
Passemos a explicar esta referida variac;ao da questao das Rendas Certas
Exemplo 2 - jose resolveu aplicar no Banco X, sempre no dia 13 de cada mes,
uma quantia de R$ 1.000,00, durante urn prazo de 6 meses. Qual o valor total a
ser resgatado por ele, tres meses ap6s a data da ultima aplica<:ao, sabendo que
o Banco X opera com uma taxa de juros compostos de 3% ao mes?
Solw;;iio: Percebamos aqui que o enunciado acima
(mica mudanc;a diz respeito a data do resgate.
Fazendo o desenho deste enunciado, teremos
e quase igual ao do exemplo anterior. A
100
Sabendo
X
laremos o T
Para nao
delas? A do
fator S das R
Dai: -7
-7 T
1000,
1000,
1000,
1000,
1000,
1000,
er Campos
Capitulo 8 - Rend as Certas
1mero de parcelas
ertas, pela coluna
MA SERlE
000
000
100
129
710
334
036
930
10%
1,000000
2,100000
3,310000
4,641000
6,105100
7,715610
13,579477
15,937424
Vamos logo tentar identificar o assunto da questao. Ora, como aparecem varias parcelas
de mesmo valor, nos ficamos desconfiados de que pode ser uma operac;ao de Rendas Certa5.
Para confirmar essa nossa suspeita, teremos que verificar se estao presentes aquelas tres caracteristicas que ja conhecemos
-7 1") As parceias sao de mesmo valor? Sim!
-7 2") As parcelas estao aplicadas em intervalos de tempo iguais? Sim!
3") A taxa da operac;ao e de juros compostos? Sim!
E para que estamos aplicando sucessivamente? E para resgatar numa data futura? Sim!
-7
Entao, r:ao ha duvida. a questao e de Rendas Certas.
Quem for urn born observador ja deve estar fazendo a seguinte verificac;ao o desenho da
nossa questao (esse ai acima) niio esta de acordo com o desenho modelo das Rendas Certas
Muito bern observado! 0 desenho modelo nos faz recordar a lei das Rendas Certas, segundo
a qual o valor T da formula das Rendas Certas devera estar exatamente sobre a data da ultima
parcela
E neste exemplo, a data em que esta sendo pedido o resgate niio coincide como da ultima
aplicac;ao Neste caso, nossa questao sera resolvida em dois passos
-7 1D Pa550- Completaremos o desenho da questao, acrescentando a seta que corTesponde
ao T da formula das Rendas Certas exatarnente no local que !he e devido, ou seja, na mesrna
data da ultima parcela aplicada Teremos
X
ma variac;ao desse
ma de Montante de
as
13 de cada mes,
al o valor total a
:ao, sabendo que
es?
xemplo anterior. A
1000,
1000,
1000,
1000,
1000,
1000,
Sabendo onde esta o T da formula das Rendas Certas, aplicarernos esta formula e calcu-
X
laremos o T. Teremos.
-7 T = P. 5n..,i -7 T = 1000. 56 .., 3%
Para nao perder o costume, terernos que fazer aqui nova consulta a Tabela Financeira. A qual
delas? A do parentescfamoso? Naol Nosso obstaculo agora nao foi o parentese famoso, e sim o
fator S das Rendas Certas . Entao, nosso auxilio estara ali, na Tabela do fator S de Rendas Certas
Dai: -7 T = P. 5n...,i -7 T = 1000. 56.., 3%
-7 T = 1000 x 6,468410 -7 E T = 6.468,41
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
E agora, sera que podemos dizer que a quesU1o esta encerrada? Claro que nao 1 Estaria se
nos interessasse apenas saber o valor do resgate na data da ultima aplicac;ao" Mas nao e este 0
caso! Depois que encontrarmos o valor T, percebamos que ele representara todas as parcelas
P Desse modo, uma vez calculado o T, nosso desenho da questao transforma-se apenas no
seguinteo
X
6.468,41
Em suma·
(2Q passo)! Iss
n das duas for
Entao, con
da operac;ao sa
~
c=
~
i=
~
n
~
Mo
=
Daf, farem
Aqui, reco
Alguem pode perguntar "desapareceram as parcelas P?" Nao, nao desapareceram todas
elas estao representadas pelo valor T, que acabamos de calcular..
Nossa situac;ao agora e a seguinte temos urn valor conhecido numa data anterior
(R$ 60468,41) e queremos saber quanta ele valera numa data posterior (X) 0 intervalo de
tempo e de tres meses e a taxa da operac;ao e 3% ao mes (uma taxa de juras compostos)o
Ficou muito facil perceber que o nosso segundo passo sera uma operac;ao de juros Compostoso Entao, teremos
~ 2u Passo- Aplicac;ao de Juras Compostos!
Neste caso, o valor T que encontramos no primeira passo funcionara como sendo o nosso
Capital e o valor X, por quem estamos pracurando, sera o Montante! Ou seja:
X
essa nossa con
Famoso! Porqu
Recorrendo
Dat ~ M
~ M = 6.4
Todos deve
balho do que a
calculos para r
a data do ultim
Utilizarem
6.468,41
eimaginar par
fique adequado
vermelho), o n
3 meses
Como a taxa composta e mensa! (i = 3% ao mes) eo tempo tambem esta em meses (n = 3
meses), s6 nos resta aplicar a eqtw~ao fundamental dos Juras Compostos . Teremos:
~
M = C(1 + i)n
Atenc;ao: percebamos que no primeira passo da resoluc;ao, ao aplicarmos a formula das
Rendas Certas (T =P. sn -.i), estava presente urn n . Atentemos para o fato de que este n significava
m!mero de parcelas das Rendas Certas! Agora, estancia no segundo passo e realizando uma
operac;ao de Juras Compostos, novamente nos deparamos com urn n na equa~ao fundamental
dos juras compostos. 56 que este n vai significar tempo de aplicac;ao do Capital
1000,
A formula
Capitulo 8- Rendas Certas
r Campos
que nao 1 Estaria se
" Mas nao e este 0
todas as parcelas
orma-se apenas no
apareceram todas
ma data anterior
X) 0 intervalo de
as compostos)o
;ao de juros Com-
omo sendo o nosso
seja:
Em suma· on das Rendas Certas (1 ~ passo) nao se confunde como n dosJuros Compostos
(2Q passo)! Isso e urn detalhe, mas e muito importante. Na pressa, corre-se o risco de usar o
n das duas formulas como se fossem uma mesma coisa! Cuidado com isso!
Entao, conduindo nosso segundo passo, para esta operac;ao de Juras Compostos, os dados
da operac;ao sao os seguintes
~
c = 6.468,41
~
i = 3% ao mes Quras compostos)
~
n
~
Montante X= M =?
=
3 meses
Daf, faremos
~
Aqui, recorreremos
M = C(l + i)n
a Tabela
~
M = 6.468,41 x (l + 0,03) 3
Financeira . Pergunta em qual Tabela Financeira faremos
essa nossa consulta? Na das Rendas Certas? Nao! Aqui, consultaremos a Tabela do Parentese
Famoso! Porque foi nele que nos esbarramos em nossa coma .
Recorrendo a Tabela do Parentese Famoso, obteremos
(1 + 0,03) 3 = 1,092727
Dat ~ M = C(1 + i)n ~ M = 6.468,41 x (1 + 0,03) 3
~ M = 6.468,41 x 1,092727 E ~ M = 7.068,20 ~ Resposta!
Todos devem ter percebido que a soluc;ao desta questao deu urn pouquinho mais de trabalho do que a questao anterior. Todavia, existe ainda uma maneira mais rapida e com menos
calculos para resolver questoes de Rendas Certas em que a data de resgate nao coincide com
a data do ultimo deposito"
Utilizaremos o mesmo exemplo acima para apresentar esta soluc;ao mais rapida. 0 segredo
eimaginar parcelas ficticias de mesmo valor dos depositos, de forma que o desenho da questao
fique adequado ao desenho modelo das Rendas Certas . Acrescentando as parcelas fictfcias (em
vermelho), o nosso desenho passa a ser o seguinte:
T
ta em meses (n = 3
Teremos:
mos a formula das
ue este n significava
o e realizando uma
qua~ao fundamental
Capital
1000,
1000,
1000,
1000,
1000,
1000,
A formula do Montante de Rendas Certas e a seguinte: T
1000,
= P. sn..,i
1000,
1000,
~~
__
eb_e_rc_a_m_p_os________
3~2~8~---M~at=e~m=a~ti~ca~F~in~a~n=c~ei~ra~S~i~m~p~lif_ic_a_da~pa_r_a_C_on_c_u_rs_o_s_-_s_er~gi_o_Ca_r_va_lh_o_&_W
Po rem, quando estamos diante de situac;ao semelhante a esta, em que a data do resgate nao
coincide com a data do i:Jltimo deposito, e em cuja resoluc;ao usamos esse artificio de imaginar
parcelas ficticias, aplicaremos a seguinte variac;ao de nossa formula.
T = P. C5 rooAs .,;
- 5 FicriciAs -,;)
Para acerta
periodo de te
Pois bern'
periodo de do
Onde todas representa o mlmero total de parcelas, somadas as reais e as ficticias; eficticias
representa tao-somente o mlmero das parcelas que foram imaginadas!
5e raciocinarmos urn pouco, nao decoraremos essa ultima formula, mas sim compreenderemos a sua existencia Ela simplesmente calcula o montante de todas as parcelas (reais e
ficticias) e depois retira o montante das parcelas ficticias, que nao interessam ao enunciado
da questao. 56 isso!
5ubstituindo os dados na formula, teremos que:
-7 T = 1000. (s 9"""'y~- 5 3-, 3,,)
Recorrendo
-7
-7
a tabela do fator 5 de rendas certas, obteremos:
s 9 -, 37, = 10,159106
3,090900
DaL -7 T = 1000 (10,159106- 3,090900)
-7 T = 1000. (7,068206)
-7 E T = 7068,20 -7 (Resposta igual a anterior!)
Uma curiosidade: mais ou menos a partir de 2000 ou 2001, a E5AF criou urn estilo novo
de questoes de Rendas Certas. E, desde entao, este estilo tem-se repetido continuamente nas
questoes de prova. Ano ap6s ana, concurso ap6s concurso, as questoes de Rendas Certas tern
53-,3')-
=
sido praticamente repetidas
Ora, sabendo disso, passaremos a tratar desse tipo principal de questoes de Rendas Certas.
56 adiantamos que se trata de uma das questoes de resoluc;ao mais facile mais rapida de toda
a prova! Passemos logo a uma dessas questoes, que caiu numa prova do AFRF
Exemplo 3 - (ESAF) Urn individuo faz urn contrato com urn banco para aplicar
mensalmente R$ 1.000,00 do primeiro ao quarto mes, R$ 2.000,00 men sal mente
do quinto ao oitavo mes, R$ 3.000,00 mensalmente do nono ao decimo segundo
mes. Considerando que as aplica~oes sao feitas ao fim de cada mes, calcule o
montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa dejuros compostos de
2% ao mes (despreze os centavos).
a) R$ 21.708,00.
b) R$ 29.760,00.
c) R$ 35.520,00.
d) R$ 22.663,00.
e) R$ 26.11 6,00.
SolTI<;;iio: A parte mais importante desta resoluc;ao sera nada menos que acertar o desenho!
5e desenharmos a questao corretamente, o resto sera uma tranqi1ilidade
Observem
Confere? Veja
I
L
Pela leitur
aplicac;:ao E
ainda que, en
o nona eo de
Dito isto,
acordo com o
Par
Agora, s6
parcelas (de
cada mes?
0 enuncia
decer ao que
1
Capitulo 8 - Rendas Certas
e_rc_a_m_p_os________
data do resgate nao
rtificio de imaginar
Para acertamos o desenho, convem que voce releia o enunciado, e procure saber qual e o
periodo de tempo total em que serao feitas as diversas aplicac;oes
Pois bern' Quale o tempo total? E urn prazo total de urn ana. Dai, desenharemos logo este
periodo de doze meses . Teremos·
s ficticias; eficticias
mas sim compreenas parcelas (reais e
ssam ao enunciado
Observemos que urn mes nao e urn tracinlw Urn mes e o espac;o entre dais tracinhos
Confere? Vejamos
I I I I
L~
Final do primeiro mes
Comec;o do primeiro mes
Pela leitura do enunciado, voce percebeu que havera nao apenas urn, mas tres grupos de
aplicac;:ao E dito que, entre o primeiro e o quarto mes, havera parcelas de RS 1000,00 E
riou urn estilo novo
continuamente nas
e Rendas Certas tern
ainda que, entre o quinto eo oitavo mes, as aplicac;oes serao de R$ 2 000,00. Par fim, entre
o nona eo decimo segundo mes, as parcelas serao no valor de RS 3 . 000,00
Dito isto, podemos agora dividir o nosso desenho, que temos ate aqui, em tres partes, de
acordo com o que acabamos de ler Fazendo isso, teremos:
es de Rendas Certas.
mais rapida de toda
AFRF
anco para aplicar
,00 men sal mente
o decimo segundo
da mes, calcule o
ros compostos de
Parcelas de R$ 1000
Parcelas de R$ 2000
Parcelas de R$ 3000
Agora, s6 temos que atentar para mais urn detalhe fundamental as aplicac;oes das
parcelas (de R$ 1000, RS 2000 e R$ 3000) serao feitas quando? No inicio ou no final de
cada mes?
0 enunciado responde: "
as aplicac;oes sao feitas ao fim de cada mes. "Agorae s6 obe-
decer ao que manda a questao Desenhemos logo as parcelas de RS 1000. Teremos
acertar o desenho!
ii i i
1000 1000 1000 1000
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
Percebamos que a primeira parcela de R$ 1 000 esta ao final do primeiro mes; a segunda
esta ao final do terceiro mes, a terceira ao final do terceiro mes e finalmente a quarta parcela
de R$ LOOO esta ao final do quarto mes. Tudo isso esta absolutamente de acordo como que
preve 0 enunciado as parcelas de R$ LOOO estarao entre o primeiro e o quarto mes, sempre
Ja vimos aci
de Rendas Cert
s6 as parcelas d
trabalhar a ques
resolve-la facilm
ao fim de cada mes .
Desenhemos agora as parcelas de R$ 2000 e R$ 3 . 000. Teremos:
0 artificio e
parcelas em dif
tres niveis de p
ou seja, as parc
1000 1000 1000 1000
Dai, esse pr
estendera ate c
2000 2000 2000 2000
0 segundo
3000 3000 3000 3000
pel a primeira p
Finalmente
Esta quase concluido o desenho!
Vamos tentar identificar o assunto da questao, oh? 0 que \"Oce ve? Ha parcelas de mesmo
valor? Sim! Se olharmos apenas para as parcelas de R$ 1 000, entao ha parcelas de mesmo valor.
Se olharmos s6 para as de R$ 2 . 000, tambem. E se olharmos s6 para as de R$ 3 000, idem.
Outra coisa: o intervalo entre as parcelas eo mesmo? Sim! Sao todas elas parcelas mensais .
Terceiro a taxa da opera<;ao e de juros compostos? Sim! 0 enunciado disse isso expressa-
se estendendo
Desenhand
mente: " . taxa de juros compostos de 2% ao mes "
0 que a questao quer que n6s calculemos? Ela diz assim: " . calcule o Montante ao fim
dos doze meses" Ou seja, o enunciado pede que n6s calculemos o valor que ira representar
todas as parcelas, Ia no final do ultimo mes.
Entao, para deixar o desenho completo, em definitivo, faremos o seguinte
X
1000 100
Agora que j
~
~
~
lu<;ao sera quas
~
Trabalharem
Vamos faze
1000 1000 1000 1000
2000 2000 2000 2000
3000 3000 3000 3000
Nosso objetivo e descobrir o valor daquele X..
Enxergaram? Q
R$ LOOO. Dai,
o primeiro niv
Capitulo 8 - Rendas Certas
ampos
mes; a segunda
a quarta parcela
ordo como que
to mes, sempre
Ja vimos acima que estao presentes nesta questao aquelas tres caracteristicas da opera<;ao
de Rendas Certas, desde que n6s consideremos, em separado, s6 as parcelas de R$ LOOO, ou
s6 as parcelas de R$ 2000 ou s6 as de R$ 3 . 000 . Dai, ja percebemos que nao vai ser passive!
trabalhar a questao em um unico passo Em vez disso, utilizaremos um artificio, que nos fara
resolve-la facilmente
0 artificio e o seguinte faremos no desenho acima alguns tracejados, que irao dividir as
parcelas em diferentes niveis! Ora, se temos parcelas de tres valores distintos, entao havera
tres niveis de parcelas, sendo que o primeiro deles corresponde as parcelas de menor valor,
ou seja, as parcelas de R$ LOOO,OO .
Dai, esse primeiro tracejado sera feito come<;ando da primeira parcela de R$ 1 000 e se
estendera ate chegarmos a data do resgate
0 segundo tracejado come<;ara pela primeira parcela do segundo bloco, ou seja, come<;ara
00 3000
pel a primeira parcela de R$ 2. 000 e se estendera ate a data do res gate
Finalmente, o terceiro e ultimo tracejado, come<;ando da primeira parcela de R$ 3..000 e
celas de mesmo
de mesmo valor.
$ 3 000, idem.
arcelas mensais .
se isso expressa-
se estendendo ate a data do resgate!
Desenhando esses tres tracejados, teremos:
X
Montante ao fim
e ira representar
t
te
X
00 3000
1u Nivel
}-2u Nivel
1000 1000 1000 1000
2000 2000 2000 2000
~3u Nivel
3000 3000 3000 3000
Agora que ja fizemos os tracejados e dividimos nosso desenho em tres niveis, nossa resolu<;ao sera quase que imediata.
Trabalharemos cada nivel separadamente!
Vamos fazer urn esfor<;o visual e tentar enxergar apenas as parcelas do primeiro nivel.
Enxergaram? Quantas sao? Sao 12. E todas no mesmo valor? Sim! Todas as doze no valor de
R$ LOOO. Dai, se n6s csquecermos que existem o 2<2 eo 3Q niveis, ou seja, considerando apenas
o primeiro nivel, nosso desenho seria o seguinte
rr=
~r<
332
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
T'
Para finaliz
(os pedar;os) q
-·-·-·-·-·-·-·-·-·- -
-·-
-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-
}-1Q Nfvel
1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000
Ou seja, considerando apenas o primeiro nfvel, en_xergamos que ha doze parcelas (n = 12),
todas no valor de R$ 1000,00 (P
=
1000), aplicadas em intervalos de tempo iguais (parcelas
mensais), tudo isso sujeito a uma taxa de juros compostos (2% ao mes)
Ou seja, n
Vemos ainda que a data do resgate coincide com a data da ultima parcela de R$ 1000. Daf,
(P = 1000), q
se aplicarmos diretamente a formula das Rendas Certas, encontraremos o valor que iremos
mais, a data d
chamar T', que ira representar todas as parcelas do p1imciro nivcl. Teremos que
que sera o re
Certas Terem
Esse resultado ficara guardado para o final da quest<io .
Vamos trabalhar agora 5omente com as parcelas do segundo nfvel Aqui, far·emos novo es-
Ora, vimo
for<;:o visual, para enxergarmos apenas os tracinhos que compoem o segundo nfvel Teremos,
nenhuma de la
ent:io, que:
os resultados
T"
Faremos,
-7 X= T'
Vamos col
-7 X= 10
Consultan
_____________ . _ . _ . _ . ___________ . _ }-2n Nivel
1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000
e composta
s8 -. 2,, = 8.5
8), que sao parcelas
54-. 2%= 4,
-7 Dai X
(i = 2% ao mes) e que o resgate coincide com a data da
-7 E, fina
Vemos que nesse segundo nfvcl estao presentes oito parcelas (n
mensais, que a taxa
512 ...,2% = 1
=
ultima parcela?
Entao, resta-nos calcular o valor de T", o qual sera o resultado deste segundo nfvel. Apliquemos novamente as Rendas Certas. Teremos
A resolur;
detalhadamen
Ficou esc
niveis ter pas
r;ao! Vamos t
Esse resultado tambem ficara guardado para o final da questao.
Lembremos que ja havia urn resultado aguardando o final da questao (o T')
duvida. Vejam
Capitulo 8 - Rendas Certas
r Campos
T'
Para finalizar, trabalharemos com as parcelas do terceiro nfvel Se en_xergarmos s6 as parcelas
(os pedar;os) que compoem esse terceiro nivel, teremos o seguinte
T"'
·-
}-1Q Nfvel
1000
_. _. _. _ . _. _ . _ . _ }-3Q Nivel
parcelas (n = 12),
1000 1000 1000 1000
po iguais (parcelas
Ou seja, neste terceiro nivel, n6s temos quatro parcelas (n
de R$ 1000. Daf,
=
4) de R$ 1000 cad a urn a
(P = 1000), que sao parcelas mensais sujeitas a uma taxa composta (i = 2% ao mes) Ade-
valor que iremos
mais, a data do res gate coincide com a data da tlltima parcela. Entao, para calcular o T'",
que
que sera o resultado do terceiro nivel, aplicaremos mais uma vez a formula das Rendas
Certas Teremos:
-7 T = P. 5n-.i -7 T'"=1000. s 4 -. 2.,_, -7 3" Nfvel
far·emos novo es-
Ora, vimos que, ao dividirmos as parcelas em tres niveis, nao restou nenhum pedafO (de
do nfvel Teremos,
nenhuma de las) que tenha deixado de estar presente nesses niveis Dessa forma, se somarmos
os resultados finais dos tres nfveis (T', T" e T"'), chegaremos a resposta da questao!
T"
Faremos, portanto:
-7 X= T'+T"+T'" = 1000.5 12 -. 2%+ 1000.58 -. 2%+ 1000. 54..., 2%
Vamos colocar o valor 1000 em evidencia.
-7 X= 1000 (512...,2% + 5s-.2% + 54-.2%)
Consultando a Tabela Financeira das Rendas Certas, encontraremos·
_ }-2n Nivel
000
que sao parcelas
de com a data da
gundo nfvel. Apli-
o T')
512 ...,2% = 13,41209
s8 -. 2,, = 8.582969
54-. 2%= 4,121608
-7 Dai X= 1000 (13,41209 + 8,582969 + 4,121608)
-7 E, finalmente X= 26.116.00 -7 Rcsposta!
A resolur;ao pode ter parecido demorada, porque a fizemos passo a passo, tudo muito
detalhadamente. Mas, na hora da prova, essa questao sera resolvida num piscar de olhos!
Ficou esclarecida a razao de, ao di,·idirmos as parcelas em tres niveis, cada um desses
niveis ter passado a ter parcelas apenas de R$ 1000? Ora,
e s6 uma questao de visualiza-
r;ao! Vamos tentar fazer uma magica no desenho abaixo, para tentar dirimir toda e qualquer
duvida. Vejamos
33
Sergio Carvalho & Weber Campos
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
1000 -lO_O_O- iooo .lOOO--
r·- ·l-. -r.- ·r·- .l.-.
2000
-lOOO lOOO -lOO·O-
·l-.
t
12 Nfvel
-~--- ·~-.-- -~ ~ 22 Nivel
r.- ·1 }-
-~-.-·-"_, ___ " ____ _
Usando o a
sao tres grupo
32 Nivel
3000 3000 3000 3000
E agora? Melhorou a visualizac;ao? Temos, nesse desenho
~
P nivel· 12 parcelas de RS LOOO (em preto);
~
2~ niveL 8 parcelas de R$ LOOO (em azul);
-7 32 niveL 4 parcelas de RS LOOO (em vermelho)
Aproveitando o ensejo, veremos outra questao do mesmo estilo presente numa prova do AFRE
Exemplo 4 - (ESAF) Calcule o valor mais proximo do montante ao fim de dezoito
meses do seguinte fluxo de aplica~oes realizadas ao fim de cada mes: dos meses
1 a 6, cada aplica~ao e de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplica~ao e de
R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplica~ao e de R$ 6.000,00. Considere
juros compostos e que a taxa de remunera~ao das aplica~oes e de 3% ao mes.
a) R$ 94.608,00.
d) R$ 72.000,00.
b) R$ 88.149,00.
e) R$ 58.249,00.
c) R$ 82.265,00.
Solw;:ao: Nesta questao, o periodo total de aplicac;ao e de 18 meses. Segundo a leitura do
enunciado, esse periodo total sera dividido em tres partes de seis meses cada A divisao da
linha do tempo, portanto, sera a seguinte
IIIIIIIIIIIIIIIIIII
Aqui, a taxa da operac;ao e de juros compostos. Existem tres grupos de parcelas, nos valores de R$ 2000, R$ 4.000 e R$ 6.000. E, alem disso, todas as aplicac;oes serao feitas ao fim
de cada mes, conforme dispoe o proprio enunciado Sabendo disso tudo, o desenho final de
nossa questao sera o seguinte
X
.. -.-'
Ora, pelo d
De modo que
-7 12
-7
-7
22
32
A taxa da
uma operac;ao
-7
-7
-7
12
22
32
Ora, o X
valor 2000
e
Consulta
518..,3%= 2
sl2-,3%= 1
56..,3%= 6,
-7 Dat X
~
X= 20
Dai, cheg
llll1
2000,
I I I1
8.2. 1. Form
Vamos ag
4000,
nao se e5pera
6000,
da prova esq
Capitulo 8 - Rendas Certas
ber Campos
t
12 Nfvel
.-- -~ ~ 22 Nivel
- ·1 }-
Usando o anificio de dividir as parcelas em niveis, fazendo tres tracejados (uma vez que
sao tres grupos de parcelas), teremos o seguinte
X
32 Nivel
___ _
0 3000
r'l' - 'l '- ·r· -r'l' - 1' - l
.. -.-'-iooo: -.-'-'-
ao fim de dezoito
mes: dos meses
a aplica~ao e de
00,00. Considere
de 3% ao mes.
~-
~-
·1- '
·1- '
12 nivel
~ 2 nivel
.-· -·- ~~~~:-·-· -·- r-.1~ f~l~I- }}-
uma prova do AFRE
Q
3Q nivel
6000,
Ora, pelo desenho acima, fica evidenciado que as parcelas de cada nivel sao de RS 2.000,00.
De modo que:
-7 12 nivel 18 parcelas de R$ 2.000,00;
-7
-7
egundo a leitura do
cada A divisao da
IIII
de parcelas, nos vas serao feitas ao fim
o desenho final de
00,
t
22 nivel 12 parcelas de R$ 2.000,00;
32 nivel 6 parcelas de R$ 2.000,00.
A taxa da questao e uma taxa composta de 3% ao mes_ Trabalharemos cada nivel, fazendo
uma operac;ao de Rendas Certas_ Teremos
-7
-7
-7
12niveL -7 T = P. 5n""i -7 T' = 2000. 518"" 3%
22 nivel: -7 T = P. 5n""i -7 T" = 2000. 512-.H·
32 nivel -7 T = P. 5n""'i -7 T'" = 2000. s 6""'3':;,
Ora, o X da questao sera dada pela soma T' + T" + T'" Fazendo essa soma, vemos que o
valor 2000
e urn fator comum! Dai, podemos fazer o seguinte:
-7 X= 2000.(5 18.., 3%+ 512 .., 3%+ s 6.., 3o)
Consultando a Tabela Financeira das Rendas Certas, encontraremos:
X
518..,3%= 23,414435
sl2-,3%= 14,192029
56..,3%= 6,468410
-7 Dat X= 2000 (6,468410 + 14,192029 + 23,414435)
~
X= 2000 X 44,074874
Dai, chegamos a: X= 88.149,74 -7 Re5posta!
8.2. 1. Formula do Fator S de Rendas Certas
Vamos agora trabalhar como pessoas prevenidas que somos, e considerar uma situac;ao que
nao se e5pera que ocorra na prova, mas que pode ocorrer: e se, por infelicidade, a elaboradora
da prova esquecer de nos trazer as Tabelas Financeiras, o que faremos?
.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
Neste caso, nao resta alternativa. teremos que conhecer a formula do Fator S de Rendas
Certas, o s" .,r
Ha urn caminho mnemonico muito facil para nos lembrarmos dessa fornmla. 0 Fator 5 ..,
e uma fra<;:ao E ele comec;a, no numerador, com o mais famoso dos parenteses da Matematk~
Financeira! Ele mesmo o parentesc famoso Ieremos
sn-,i= (1+i)"
-
s.3. C;Hculo
Suponham
ao fim de cada
boa noticia de
isso, liquidar a
rnento total da
Feito isto, so nos resta completar a formula da seguinte forma:
1°) subtraindo o parcntcse famoso por L
ficou rico, mas
Vejamos ab
do pagarnento
2°)
parcela Ierern
dividindo tudo pela taxa i
s -,= (1+i)" -1
n
1
i
V
an
Pronto, eis a formula! Recapitulando para achar o Fator S de Rendas Certas (s -, ), faremas uma fra<;:ao, que come<;:a pelo parentese famoso no numerador Dai, com esse ~a~entese
famoso, faremos: menos 1, sobre i. So isso!
Suponhamos que nossa questao chegou ao ponto seguinte
-7 I= 1000 x s3--. 10%
Imaginemos que a prova nao forneceu nenhuma Tabela Financeira! Resta que teriamos
que calcular este fator, ou seja, teriamos que conhecer a formula.
Existe alguma exigencia para a aplicac;ao desta formula do Fator S de Rendas Certas? Claro,
a mesma exigencia que ja conhecemos para qualquer operac;ao de Rendas Certas a unidade
da taxa tern que ser a mesma do intervalo entre as parcelas. Dai, faremos
-7s--..= (1+i)"-1
n
1
= (1+0,10)
-7s--.
i
3
10%
3
Iambem p
com a seta par
a seta para cim
V
an
-1
O,l O
Ieremos que resolver esses calculos sem tabela e sem calculadora:
= 0,331
-7 s-,
3
10%
0,10
Resultado: s 3--. 10,:"= 3,31
Dai I= 1000 x s3--. 10c:u = 1000 x 3,31 = 3.310,00
Quando a elaboradora nao fornece nenhuma tabela financeira, como o exemplo que fizemos acima, geralmente havera duas alternativas: 1") a questao trara urn valor baixo para n,
de modo que sera viavel fazer as comas na mao; 2") a questao trara urn valor elevado para n,
com os quais se tornem inviaveis os calculos sem auxilio da calculadora. Neste ultimo caso, e
esperado que o elaborador fornec;a dados adicionais, que serao, por assim dizer, 0 resultado
das comas que nao teriamos como realizar..
0 valor a
parcelas, devi
0 calculo
descontados)
racionaL Pore
projetando-as
de desconto e
ber Campos
Fator S de Rendas
rnmla. 0 Fator 5 ..,
eses da Matematk~
Certas (s -, ), farecom esse ~a~entese
Resta que teriamos
ndas Certas? Claro,
Certas a unidade
o exemplo que fivalor baixo para n,
or elevado para n,
este ultimo caso, e
dizer, 0 resultado
-
Capitulo 8 - Rendas Certas
s.3. C;Hculo do Valor Atual para uma Serie de Parcelas lguais
Suponhamos que voce tenha uma serie de parcelas de mesmo valor que deverao ser pagas
ao fim de cada mes durante os proximos seis meses. Iodavia, num belo dia, alguem !he da a
boa noticia de que \'oce acabou de ganhar uma heranc;a de urn tio muito rico e resolve, por
isso, liquidar a sua divida de imediato. Obviamente que voce pedir:i urn desconto no pagarnento total das parcelas, em decorrencia da antecipac;ao no pagamento, nao e verdade? Voce
ficou rico, mas nao bobo.
Vejamos abaixo urn desenho ilustrativo da situac;ao apresentada, considerando que a data
do pagarnento dessas seis parcelas ocorra exatamente urn rnes antes do vencimento da primeira
parcela Ierernos.
Valor pago na
antecipac;ao
Parcelas
1 1 1 1 1 1
J
Iambem podemos utilizar uma representac;ao alternativa para os pagamentos, colocando-os
com a seta para baixo, no intuito de diferencia-las do valor pago na antecipac;ao, que esta com
a seta para cima Ieremos, pois, o seguinte
Valor pago na
antecipac;ao
Parcelas
0 valor a ser pago na antecipac;ao dos pagamentos sera sempre menor que a soma das
parcelas, devido ao desconto que sera concedido para cada uma delas.
0 calculo do valor a ser pago para saldar a divida e igual
a soma dos valores atuais (ou
descontados) de cada parcela na data da antecipac;ao, utilizando opera<;:6es de clesconto compos to
racionaL Porern, seria deveras demorado trabalhar com cada uma das parcelas do desenho,
projetando-as individualmente para a data anterior.. Se assim fosse, fariamos varias operac;oes
de desconto e perderiamos muito tempo, sobretudo se fossem muitas parcelas,
~
~· J
338
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
A boa noticia, entao, e que usaremos uma tmica formula, a qual ira determinar, de wnaso
vez, a soma dos valores atuais de todas aquelas parcelas
Para efeito de aplicac;ao desta formula que aprenderemos adiante, o desenho da questao
(aquele formado com os dados fomecidos pelo enunciado) devera estar de acordo com 0
seguinte desenlw modelo:
Exemplo 5 de R$ 2.000
antes da data
bimestre, jur
Solu<;;ao: 0 m
nhando este en
T
~
p
p
p
p
p
1
p
Olhando para o clesenho modelo acima, extrairemos a informac;ao crucial deste topico:
"Lei do Valor Atual de Rendas Certas"
Para efeito de utiliza~;ao da formula do Valor Atual de Rendas Certas, a data do
valor atual deve estar urn periodo antes da data da primeira parcela.
Passemos agora a conhecer a fonnula citada
Formula do Valor Atual de Rendas Certas:
E a seguinte
T = P. a...,_
n
1
0 simbolo an...,i le-se: a de "n" cantoneira "i".
Analisemos os elementos da equac;ao acima:
-7 T: eo total dos valores atuais (ou descontados) das parcelas, wn perfodo antes da data da
primeira parcela Este T, uma vez calculado, representara (sozinho) todas aquelas parcelas P.
-7 P eo valor da parcela. ja sabemos que terao de ser parcelas de mesmo valor, obedecendo
a primeira caracteristica de uma opera<;ao das Rendas Certas.
-7 a: este a nao representa nada se estiver sozinhol Ele e parte de um fator 0 fator a -..
que e chamado Fator de Valor Atual de uma Serie de Parcelas. 0 nome e muito grande:
razao pela qual passaremos a chama-lo apenas de Fator A de Rendas Certas.
-7 n este n da formula significara tambem o numero de parcelas .
-7 i. e a taxa da operac,;ao. Neste caso, conforme sabemos, uma taxa de juros compostos:
terceira caracteristica das Rendas Certas.
Passaremos a resolver algumas questoes de calculo do valor atual para uma serie de parcelas iguais.
Dai, como
fiar que possa
que identifica
-7 1")
-7 2")
-7 3")
E qual e o
dtlvida que se
Rendas Certas
Feita a ide
um clesenho m
efeito de aplic
Sabemos q
da formula do
da primeira p
E quanta
moclelo? Sim!
pagamento. D
diretamente a
Teremos:
Nossos da
-7
-7
-7
-7
T
p
n
i
Capitulo 8 - Rendas Certas
er Campos
erminar, de wnaso
esenho da questao
de acordo com 0
Exemplo 5 - Considerando uma serie de cinco pagamentos bimestrais no valor
de R$ 2.000 cada, calcule o valor atual total destes pagamentos um bimestre
antes da data do primeiro pagamento, a uma taxa de desconto racional de 4% ao
bimestre, juros compostos.
Solu<;;ao: 0 mais importante, no inicio, e tentar descobrir do que se trata a questao . Desenhando este enunciado, teremos:
X
~
1
p
al deste topico:
tas, a data do
parcela.
2000
l
2000
2000
2000
2000
Dai, como o desenho da questao traz varias parcelas de mesmo valor, comec;amos a clesconfiar que possa ser uma operac;ao de Rendas Certas. Para confirmar nossa ideia inicial, teremos
que identificar as tres caracteristicas das Rendas Certas . Vejamos:
-7 1") As parcelas sao de mesmo valor? Sim!
-7 2") As parcelas estao em intervalos de tempo iguais? Sim!
-7 3") A taxa da opera<;ao e de juros compostos? Sim!
E qual e o nosso objetivo agora? E calcular o valor atual das parcelas Nao resta qualquer
dtlvida que se trata de uma questao de Rendas Certas, mais precisamente do Valor Atua! de
Rendas Certas!
Feita a identificac;ao do assunto, lembraremos que o Valor Atual de Rendas Certas possui
um clesenho moclelo, o qual devera estar compativel com o desenho de nossa questao, para
odo antes da data da
aquelas parcelas P.
valor, obedecendo
fator 0 fator a -..
me e muito grande:
rtas.
efeito de aplicac;ao da formula .
Sabemos que esse clesenho moclelo servira para nos lembrar que, para efeito de utilizac;ao
da formula do Valor Atual cle Rendas Certas, a data do valor atual e um periodo antes da data
da primeira parcela
E quanta ao desenho do nosso enunciado, ja esta de acordo com a exigencia do clesenho
moclelo? Sim! A data do valor atual (a data do X) e um periodo antes da data do primeiro
pagamento. Dai, uma vez observada a exigencia do clesenho modelo, ja poderemos aplicar
diretamente a formula, na qual passaremos a chamar esse valor X de valor T
Teremos:
juros compostos:
uma serie de par-
T
=
P. a-..
n 1
Nossos dados serao:
-7
-7
-7
-7
T =?
p = 2000,00
n = 5 (sao 5 parcelas bimestrais)
i = 4% ao bimestre Quros compostos)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Frisamos acima a palavra bimcstrais, para lembrar que, alem de termos que observar se 0
desenho da questao esta de acordo com o dcscnho moclelo, havera ainda uma outra ex:igencia
a ser verificada e preciso que a taxa de juros compostos das Rendas Certas esteja na
mesma unidade do intervalo que ha entre as parcelas.
No nosso exemplo, vemos que a uniclade da taxa composta e bimestral, e que as parcelas
sao bimestrais. Ou seja, nao precisaremos alterar a uniclade cia taxa. Usanclo os daclos do
enunciado e aplicando a formula, teremos.
-7 T
Exemplo 6 de R$2.000
antes da dat
bimestre, ju
SolU<;ao: Perc
= P. an""'i -7 T = 2000. a5-,4%
Como e que se calcula esse tal Jatar A de Rene/as CCI·tas, essa tal de cantoneira? De uma
forma surpreendentemente facil recorrenclo
Tendo com
ciado que trab
Atual de Renda
a Tabela Financeira.
(mica rnuclan<
Fazendo o
X
Neste momenta, consultaremos a Tabela Financeira do fator A de Rendas Certas Na
prova, ela de\·era vir apresentada exatamente cia seguinte forma:
TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SERlE DE PAGAMENTOS
(l+i)" -1
i (1 + i)"
...
~
1%
2%
3%
4%
5%
1
0,990099
0,980392
0,970874
0,961538
0,952381
0,909091
2
1,970395
1,941561
1,913469
1,886094
1,859410
1,735537
3
2,940985
2,883883
2,828611
2,775091
2,723248
2,486852
4
3,091965
3,807728
3,717098
3,629895
3,545951
3,169865
5
4,853431
4,713459
4,579707
4,451822
4,329476
3,790787
6
5,795476
5,601431
5,417191
5,242137
5,075692
4,355261
7
6,728194
6,471991
6,230283
6,002054
5,786373
4,868419
16,398268
14,992031
13,753513
12,659297
11,689587
8,201412
10%
...
18
A forma de consultar essa Tabela e ex:atamente a mesma com a qual ja estamos acostumados.
Conhecendo dais elementos, encontraremos urn terceiro, desconhecido.
Neste caso, nossos elementos conhecidos sao a taxa (i = 4%) e o nurnero de parcelas
(n = 5) Dai, correremos nossa vista, na tabela do fator A de Rendas Certas, pela coluna
cia taxa 4% e pela linha don= 5 parcelas. E assim, obteremos a 5 -, 4 %= 4,451822
Retomamos o calculo do T
-7 T = 2000 x 4,451822 -7 E T
= 8 . 903.64 -7
Verificamo
model a do Val
0 desenho
Atual de Ren
data da prime
E neste ex
data do valor
-7 l 0 Passo mula das Ren
parcela Terem
X
Capitulo 8 - Rendas Certas
Campos
que observar se 0
ma outra ex:igencia
Certas esteja na
e que as parcelas
nclo os daclos do
Tendo compreendiclo o ex:emplo acima, resta-nos conhecer mais urna variac,;ao desse enunciado que trabalhamos, e estaremos aptos a resolver qualquer problema de calculo do Valor
Atual de Rendas Ccrtas. Usaremos, para tanto, o ex:emplo que se segue.
Exemplo 6 - Considerando uma serie de cinco pagamentos bimestrais no valor
de R$2.000 cada, calcule o valor atual total destes pagamentos tres bimestres
antes da data do primeiro pagamento, a uma taxa de desconto racional de 4% ao
bimestre, juros compostos.
SolU<;ao: Percebamos aqui que o enunciado acima e quase igual ao do exemplo anterior. A
ntoneira? De uma
(mica rnuclan<;a diz respeito a data do valor atual.
Fazendo o desenho deste enunciaclo, terernos.
X
endas Certas Na
AMENTOS
2000
...
2000
2000
2000
2000
10%
0,909091
1,735537
2,486852
3,169865
3,790787
4,355261
4,868419
8,201412
mos acostumados.
Verificamos prontamente que o clesenho da questao nao esta de acordo com o desenho
model a do Valor Atual de Renclas Certas (para efeito de aplicac,;ao da formula).
0 desenho moclelo nos lembra de uma lei, segundo a qual, se aplicarmos a formula do Valor
Atual de Rendas Certas, o valor T da formula cleve estar ex:atamente um periodo antes cia
data da primeira parcela
E neste exemplo, a data em que esta sendo peclido o valor atual nao corresponde com a
data do valor atual do moclelo . Neste caso, nossa questao sera resolvida em clois passos
-7 l 0 Passo - Completaremos o desenho da questao, acrescentando-lhe a seta do T da formula das Rendas Certas, exatamente no local cleviclo, ou seja, urn periodo antes da primeira
parcela Teremos
T
X
rnero de parcelas
ertas, pela coluna
4,451822
I I I I 1
2000
2000
2000
2000
2000
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
3 2
Sabendo onde esta o T da formula do Valor Atual de Rendas Certas, aplicaremos esta
formula e calcularemos esse T Teremos
-7 T = P.
an""'i
-7 T = 2000.
a 5-. 4%
--------
Como a tax
mestres (n = 2
Racional Terem
Recorrendo a tabela financeira do fator A de Rendas Certas, obteremos: a 5-. 4% = 4,451822.
Dat -7 T = 2000. a5 -. 4%
-7 E T = 8.903,64
-7 T
= 2000 x 4,451822
Aqui, uma
aplicarmos a f
E agora? Sera que podemos dizer que a questao esta encerrada? Claro que nao! Estaria se
nos interessasse apenas saber o valor atual um bimestre antes da data do primeiro pagamento.
Mas nao e este o caso!
Depois que encontrarmos o valor T, percebamos que ele representa, na sua data, nada
mais nada menos que todas as parcelas P!
Desse modo, uma vez calculado o T, nosso desenho da questao transforma-se apenas no
aquele n signif
Agora, est
Racional, nova
significar tem
Em suma
posto Raciona
seguinte.
Finalment
T = 8.903,64
X
Sera que desapareceram as parcelas P? Nao desapareceram elas estao todas agora representadas pelo valor T, que acabamos de calcular .
Nossa situac;ao presente e a seguinte: conhecemos um valor numa data posterior
(R$ 8 903,64) e queremos saber quanta ele valera (X) numa data anterior. 0 intervalo de
tempo
cional, os dad
-7
-7
N
-7
-7
n
i=
Va
Dai, farem
-7 N =A
-7 A= 8 . 9
Aqui, reco
consultaremo
e de dois bimestres, e a taxa da operac;ao e 4% ao bimestre (taxa de juros compostos).
Nosso segundo passo de resoluc;ao consistira, portanto, numa operac;ao de Desconto
Composto por Dentro, conforme ja estamos percebendo pelo desenho . Se fizermos uma
Dai: -7 A
operac;ao de Juras Compostos, o resultado sera o mesmo, ja que Juros Compostos e Desconto
Composto Racional sao opera<;oes inncis . Vejamos .
-7 2!2 Passo - Aplicac;ao do Desconto Composto RacionaL
sentaremos u
Neste caso, o valor T que encontramos no primeiro passo funcionara como sendo o nosso
Atual nas que
Valor Nominal, e o valor X por quem estamos procurando sera o Valor Atual Ou seja
8.903,64
X
E, finalme
Da mesm
em que a dat
da data do p
lmaginar
o desenho d
r Campos
aplicaremos esta
Capitulo 8 - Rendas Certas
043)
-----------------------~~~~~~~~------------------~~
Como a taxa composta
e bimestral (i =
mestres (n = 2 bimestres), s6 nos resta aplicar a formula fundamental do Desconto Composto
Racional Teremos
-7 N
a 5-. 4% = 4,451822.
que nao! Estaria se
meiro pagamento.
na sua data, nada
orma-se apenas no
todas agora repre-
ma data posterior
or. 0 intervalo de
mpostos e Desconto
=
A.(1+i)"
Aqui, uma observac;ao importante percebamos que, no primeiro passo da resoluc;ao, ao
aplicarmos a formula do Valor Atual de Rendas Certas, estava presente um n. Percebamos que
aquele n significava o mimero de parcelas das Rendas Certas .
Agora, estando no segundo passo e realizando uma operac;ao de Desconto Composto
Racional, novamente nos deparamos com urn n na formula do Desconto. 56 que este n vai
significar tempo de antecipac;ao
Em suma on das Rendas Certas (P passo) nao se confunde com on do Desconto Composto Racional (2!2 passo) Na hora da prova, devemos estar atentos a isso!
Finalmente, concluindo o segundo passo para esta operac;ao de Desconto Composto Racional, os dados serao os seguintes
-7
-7
N = 8.903,64
-7
-7
n = 2 bimestres
i = 4% ao bimestre Quros compostos)
Valor Atual: X= A=?
Dai, faremos:
-7 N =A X (1 + i)n
-7 8 903,64 =A X (l + 4%) 2
-7 A= 8 . 903,64/ (l + 4%)2
Aqui, recorreremos a Tabela Financeira A qual delas?
A das Rendas Certas? Nao! Aqui,
consultaremos a Tabela do Parentese Famoso. E obteremos que
juros compostos).
c;ao de Desconto
Se fizermos uma
4% ao bimestre) e o tempo tambem esta em bi-
(1 + 4%)2 = 1,0816
Dai: -7 A= 8.903,64/1,0816
E, finalmente. a A= 8.231,92 a Resposta!
Da mesma forma que fizemos no t6pico de calculo do Montante de Rendas Certas, apresentaremos uma Soluc;ao Alternativa que diminui bastante as contas para obtenc;ao do Valor
omo sendo o nosso
Atual nas questoes em que a data do Valor Atual nao esta conforme o modelo . Ou seja, no caso
Atual Ou seja
em que a data do valor atual pedido na questao esta a uma distancia de mais de urn periodo
da data do primeiro pagamento
lmaginaremos, novamente, parcelas jicticias de mesmo valor das existentes, de forma que
o desenho da questao fique igual ao modelo do Valor Atual de Rendas Certas.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
Acrescentando as parcelas fictic:ias (em destaque), o nosso desenho original passa a ser 0
Quando
aJ·uda-los a l
seguinte:
Vejamos nov
X
Para cheg
urn pequeno
2000
2000
1
2000
2000
2000
2000
2000
A fommla do Valor Atual de Rendas Certas e a seguinte:
Passemo
Suponha
ponto seguin
T = P. a'·
n 1
Porem, quando estivermos diante de situar;:ao semelhante a esta, em que a data do Valor
Atual nao esta urn periodo antes da data do primeiro pagamento, usaremos esse artificio de
imaginar parcelas ficticias e aplicaremos a seguinte variac;ao de nossa formula
Imaginem
que calcular
Dai, fare
-?a.,=
Onde todas representa o ml.mero total de parcelas, somadas as rea is e as ficticias, e ficticias
representa tao-somente o mlmero de parcelas que foram imaginadas.
Esta ultima formula simplesmente calcula o Valor Atual de todas as parcelas (reais e ficticias)
e depois retira deste total o Valor Atual das parcelas ficticias, que nao interessa ao enunciado
Teremos
-?a.,
3
da questao .
10
%
Substituindo os dados na formula, teremos que:
-7 T = 2000. (a 7',s; - a 2-, 49)
Recorrendo
1
n
a tabela do fator A de rendas certas, obteremos:
-7 a7 • 4 ,~ = 6,002054
-7 a 2'""' = l ,886094
Dat -7 T = 2000. (6,002054- 1,886094)
-7 T = 2000. (4,11596)
-7 E: T = 8.231,92 -7 (Resposta igual a anterior!)
Certamente que esta segunda soluc;ao e melhor que a primeira, porquanto de realizar;:ao mais
rapida Como o tempo da prova e sempre exiguo, parece-nos ser o caminho mais indicado.
8.3.1. Formula do Fator A de Rendas Certas
Se a prova de Matematica Financeira nao trouxer as tabelas financeiras, com faremos para
obter o fator an '·1 de Rendas Certas?
A exemplo do que vimos no topico de Montante de Rendas Certas, aqui tambem ha uma
formula para se obter o valor do fa tor A de Rendas Certas, o an ...,i'
-7 a..,
3
!0%
-7 a3 -, 10%
Resultad
Dat T =
Quando
geralmente h
sera viavel fa
tomem invia
elaborador f
nao teriamos
H:i uma
nova maneir
trata de uma
E a seguinte
Capitulo 8 - Rendas Certas
ber Campos
iginal passa a ser 0
Quando apresentamos a formula do fat or sn ' i ensinamos urn caminho mnem6nico para
aJ·uda-los a lembrar-se dela. A partir da formula do fator s n.., podemos chebaar a do fator an'·
I
t
Vejamos novamente a formula do fa tor sn•,
s n •.=
(1 +i)" -1
1
i
Para chegarmos a formula do fa tor an ' i basta acrescentar no denominador da equac;ao acima
urn pequeno tem1o o parentese famoso (l +i)n Dai, teremos que a fommla do a" ..,i sera dada por:
an •.=
(l+i)"-1
1
2000
(1+i)" ·i
Passemos a urn exemplo com a formula do fa tor an ..,i
Suponhamos que nossa questao de calculo do valor atual de Rendas Certas chegou ao
ponto seguinte
que a data do Valor
mos esse artificio de
ula
s ficticias, e ficticias
elas (reais e ficticias)
eressa ao enunciado
to de realizar;:ao mais
nho mais indicado.
Imaginemos que a prova nao forneceu nenhuma Tabela Financeira! Resta que teriamos
que calcular este fator, ou seja, teriamos que conhecer a formula.
Dai, faremos:
-?a.,= (1+i)"-1
1
n
(1+i)" ·i
Teremos que resolver esses calculos sem tabela e sem calculadora:
-?a.,
3
= (1,10f-1
3
%
(1,10) . 0,10
10
-7 a..,
3
!0%
= 0,331
0,1331
1,331-1
1,331·0,10
-7 a3..,JO%= -'-----7 a..,
3
_ 3310
%- 1331
10
-7 a3 -, 10%=2,48685
Resultado: a 3 -, 10 ~ •• = 2,48685
Dat T = 1000 x a 3-, 10 ," = 1000 x 2,48685 = 2.486,85
Quando a elaboradora nao fornece nenhuma tabela financeira, como no exemplo acima,
geralmente havera duas altemativas. 1') a questao trara urn valor baixo para n, de modo que
sera viavel fazer as comas a mao; 2") a questao trara urn valor elevado para n, com os quais se
tomem inviaveis os c:ilculos sem auxilio da calculadora. Neste ultimo caso, e esperado que o
elaborador forner;:a dados adicionais, que serao, por assim dizer, o resultado das comas que
nao teriamos condic;6es de realizar.
H:i uma outra forma de apresentac;ao para a formula do fator A de Rendas Certas. Esta
s, com faremos para
nova maneira costuma ser requisitada em provas elaboradas pelo CESPE. Na verdade, nao se
qui tambem ha uma
trata de uma outra formula, mas simplesmente urn outro Jormato daquela que j:i conhecemos
E a seguinte
a'·=
n
1
(346)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
~~--~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~==~~~--------
Para chegarmos ao formato acima, partiremos do original e dividiremos o numerador e 0
denominador da formula apresentada anteriormente pelo termo (1+i)n, ou seja, pelo parentese
famoso
s.4. Calculo
Rendas perp
que rendas per
Vejamos urn exemplo utilizando esta ultima formula .
minada exatam
Exemplo 7- Um tluxo de caixa tem dez pagamentos mensais e consecutivos de
R$ 10.000,00, a partir do fim do primeiro mes, inclusive. Calcule o valor atual
na data zero deste fluxo de caixa, a uma taxa de desconto racional de 2% a.m.
(considere que: (1 ,02)· 10=0,82035).
rendimentos ob
resgates period
Temos a seg
T
Soluc;ao: Vamos ser diretos na resolu<;ao desse exemph
Aplicaremos a formula do valor atual de uma serie de parcelas iguais, que e dada por:
~T=P.a..,
n
1
Usando os dados trazidos pelo enunciado, teremos:
~ T
= 10000 x a 10-, 2%
Como nao dispomos das tabelas financeiras, resta-nos partir para a formula do fator a ..,_.
Mas em qual dos dois fonnatos? A que tern o expoente positivo ou a que tern o
expoe~t~
negativo? Como a questao forneceu urn dado adicional que contem o expoente negativo, ja
temos urn indicativa mais que suficiente para conduir que deveremos usar a equac;ao que
aprendemos por ultimo E e a seguinte.
1- (1 + i) -n
an..., i=
Substituindo o valor da taxa (i
teremos:
1- (1 + 0, 02) -!0
7
a1o'2%= _
2%
=
____:___
=
_:__
i
0,02) e o valor do numero de parcelas (n = 10),
Portanto, T
podemos utiliz
uma vez que n
Sem demon
a seguinte form
_;__ __.:.__
0,02
Se quisern1
Por exemp
1-(1,02)-!0
~ a to ..,2%= --'-----=-0,02
financeiro e d
Foi dado no enunciado da questao que (1,02)· 10 = 0,82035, dai.:
~ a ..,w= 1-0,82035 ~ a ..,-'"'-= 0,17965 ~ a .., = 17965
10
-U
0,02
10
v
0,02
10 1 %
2000
~ E a 10.., 2% = 8,9825
igual a.
P = i. T
=
Veja o exe
Calculado o valor do fa tor a 10 ..,1%, voltaremos a formula obtida anteriormente para o calculo
do valor atual T, que e a seguinte:
~ T = 10000 x a 10 -, 2%
Substituindo o valor do fator, teremos:
~ T = 10000 X 8,9825
~ E, finalmente T = 8.982,50 (Resposta!)
Exemplo 01:
que fatura R
Considerand
durante um
empresario
a) 2%
b) 3%
c) 4%
Capitulo 8 - Rendas Certas
Campos
--------
o numerador e 0
ja, pelo parentese
s.4. Calculo do Valor Atual para Rendas Perpetuas
Rendas perpetuas sugere uma setie infinita de parcelas. Contudo, e mais apropriado dizer
que rendas perpetuas constituem uma serie de parcelas cuja quantidade nao pode ser determinada exatamente, poise muito grandee tende ao infinito, como sucede, por exemplo, nos
onsecutivos de
e o valor atual
nal de 2% a.m.
rendimentos obtidos no aluguel de urn imovel, nos dividendos pagos por uma empresa e nos
resgates periodicos de uma aplicac;ao financeira.
Temos a seguir uma ilustrac;ao do valor atual de rendas perpetuas postecipadas:
T
ue e dada por:
ula do fator a ..,_.
tern o
p
expoe~t~
ente negativo, ja
r a equac;ao que
p
p
p
,
lr
p
p
Portanto, T e o valor atual da serie perpetua de parcelas P Para a determinac;ao de T, nao
podemos utilizar a formula do Valor Atual de uma Serie de Parcelas lguais, vista anteriormente,
uma vez que nas rendas perpetuas o valor de "n" nao esta definido.
Sem demonstrac;oes, se fizermos o "n" tender a infinito na formula supracitada, obteremos
a seguinte formula para rendas perpetuas
arcelas (n = 10),
Se quisern1os obter P a partir de T, basta fazer P = i · T.
Por exemplo, se urn imovel e avaliado em R$ 300.000,00 e a taxa de juros do mercado
financeiro e de 1% a m, entao o valor do aluguel mensa! (parcelas perpetuas P) deveria ser
igual a.
P = i. T
=
1% · 300000
=
3.000,00 reais
Veja o exemplo resolvido a seguir:
nte para o calculo
Exemplo 01: (ESAF) Um empresario comprou, por R$ 40.000.000,00 uma empresa
que fatura R$ 10.000.000,00 por mes, com lucro liquido de 10% do faturamento.
Considerando que o faturamento eo lucro liquido des sa empresa ficarao imutaveis
durante um tempo muito Iongo, a taxa interna de retorno desse investimento do
empresario esta entre?
a) 2% e 3%
b) 3% e 4%
c) 4% e 5%
d) 5% e 6%
e) 6% e 7%
-1
f
(}48)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
~~------~~----------~----~~~~~~~~~~~--~-=~~-------
Solw;:ao:
Primeiramente, lembremos o conceito de Taxa Interna de Retorno
a taxa de juros que
iguala o valor atual das entradas ao valor atual das saidas do fluxo de caixa"
As entradas sao os val ores recebidos, res gates, receitas, ganhos etc. E as saidas sao os valores
pagos, investidos, gastos, desembolsados etc.
Vamos identificar nesta questao quem sao as entradas e as saidas
Saidas de dinheiro. somente uma, de RSi 40.000.000,00 (valor pago pela compra
da empresa)..
Entradas de dinheiro a questao diz que a empresa fatura R$ 10.000.000,00 por
Exemplo 02: (
R$ 2.000,00
um mes ante
em reais:
12.
b) 20.
c) 22.
a)
Solw;:ao:
Estamos di
de 6%. Nesse
mes, com lucro de 10% do faturamento Nesse caso, o dinheiro liquido que en-
Temos que
tra no caixa do empresa1io e dado pelo lucro mensa], e este equivale a 10% de
p = 2.000,
R$ 10 000 000,00, ou seja, R$ LOGO 000,00 par mes.
i = 10% =
0 fluxo de caixa inicia como investimento na compra da empresa por R$ 40 000.000,00.
Portanto, este valor e pasta na data zero. Assim, o valor atual na data zero das saidas e igual
g= 6% = 0
T = valor a
a R$ 40.000 000,00.
0 fluxo de entrada de dinheiro e composto por uma sene de val ores mensais de R$ l 000.000,00.
Na questao nao foi definido um limite de tempo para o fim das entradas. Assim, chamamos essa
sene de Rendas Perpetuas
A fonnula para o calculo do valor atual de uma Renda Perpetua e dada par T = Pli Onde:
T e o valor atual da sene de parcelas, P e o valor da parcela e i e a taxa de juros.
Voltando a questao, temos que o Valor Atual das entradas na data zero e igual a
T = 1 000 000 I i
Para encontrar a taxa interna de retorno, temos que igualar os valores atuais de entrada e
saida. Dai, teremos:
40.000.000
=
1 000 . 000 I i
Resolvendo, vern:
i = l/40
=
2,5 %a.m. (Respostal)
8.4.1. Rendas Perpetuas com Parcelas Reajustadas
Se as parcelas P de uma renda perpetua crescem a uma taxa constante g, o valor atual T
da serie de parcelas sera calculada pela formula.·
Lanc;ando
200
T=
O,l-0
r Campos
=~~-------
taxa de juros que
"
idas sao os valores
pago pela compra
0.000.000,00 por
o liquido que en-
quivale a 10% de
Exemplo 02: (Fiscal de Tributos de Niteroi-RJ 2015 FGV) Para usufruir perpetuamente
R$ 2.000,00 por mes, reajustados mensalmente a uma taxa de 6%, o valor da renda
um mes antes do primeiro pagamento, supondo taxa de juros de 10% ao mes, e,
em reais:
12.500
b) 20.000
c) 22.000
a)
d) 50.000
e) 55.000
Solw;:ao:
Estamos diante de uma questao de rendas perpetuas onde as parcelas crescem a uma taxa
de 6%. Nesse caso, utilizaremos a formula T = _P_
i-g
Temos que.
p = 2.000,
i = 10% = 0,1
R$ 40 000.000,00.
das saidas e igual
e R$ l 000.000,00.
m, chamamos essa
par T = Pli Onde:
uros.
e igual a
tuais de entrada e
g, o valor atual T
g= 6% = 0,06
T = valor atual da serie de parcelas perpetuas = ?
Lanc;ando esses valores na formula acima, teremos:
2000
2000
T=
=
=50. 000 00 (Resposta!)
O,l-0,06 0,04
.
'
r<4
350
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
Sergio Carvalho & Weber Campos
EXERcJCIOS RESOLVIDOS DE RENDAS CERTAS
1.
(ESAF) A quantia de R$ 1.000,00 e aplicada men sal mente durante seis meses;
a quantia de R$ 2.000,00 e aplicada men sal mente durante os seis meses
seguintes e, final mente, a quantia de R$ 3.000,00 e ap'licada mensa I mente
durante mais seis meses. Qual o valor mais proximo do montante das
aplica<:oes ao fim dos dezoito meses de prazo, considerando que as
aplica<:oes foram sempre realizadas ao fim de cada mes e renderam uma
taxa de juros compostos de 4% ao mes?
a) R$ 41 .040,00.
d) R$ 60.000,00.
b) R$ 47304,00.
e) R$ 72.000,00.
c) R$ 51.291 ,00.
0 prazo total em que ocorrerao as aplicac,;oes e de 18 meses, conforme dispoe 0
enunciado . Vemos que aqui havera tres blocos de parcelas, cada um deles inserido dentro de
um prazo de seis meses . E dito ainda que essas parcelas sao aplicadas ao fim de cacla mes. A
taxa da operac;ao e composta, e a questao pergunta quanto sera resgatado ao final desse prazo
total. Nao resta d(Jvida. estamos diante de uma questao de Rendas Certas.
Fazenclo o desenho completo, nos tennos do enunciado e ja clividindo as parcelas em niveis
(que serao tres, porque sao tres blocos de parcelas), teremos o seguinte~
Ora, o X d
valor 1000 e u
Consultan
= 25
sl2..,4"• = 15
56..,4% = 6,6
-7 DaL X
518 ..,4%
-7 X= 10
Dai, chega
Solu~ao:
X
r
··-·-·-iooo:- ·-·-·-~~.I:]~ :I:]~. I.~ [. J~~~~:I.~ [. J
1" nivel
}-2" nivel
2000,
t _1_ t .1_ t .
~}- 3Q nivel
3000,
0 clesenho acima nao cleixa qualquer duvicla cada um dos tres niveis apresenta parcelas
de R$1 000,00 cacla um, de modo que
-7 1" nivel 18 parcelas de R$ 1000,00;
-7 2" nivel 12 parcelas de RS LOOO,OO;
-7 3" nivel 6 parcelas de R$ LOOO,OO.
A taxa cia questao e uma taxa composta de 4% ao mes Trabalharemos cada nivel, fazendo
uma operac;ao de Renclas Certas . Teremos
-7 1"nivel aT=P.sn-. 1 -7T'=l000.s 18.., 4%
-7 2" nivel aT= P. 5 0 .., 1 -7 T" = 1000. s 12.., 4%
-7 3°nivel aT=P.sn-.i
-7T'"=l000.s 6 -, 4 %
2.
(ESAF
mens
duran
mais
12 de
elas r
proxim
de fev
a) R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
Soluc,;ao: Este
vas passadas!
da anterior, q
questao e ide
na questao pa
Portanto,
··-·-
Capitulo 8 - Rendas Certas
& Weber Campos
S
nte seis meses;
os seis meses
a mensa I mente
montante das
erando que as
renderam uma
onforme dispoe 0
nserido dentro de
m de cacla mes. A
final desse prazo
parcelas em niveis
X
r
.J
.
1" nivel
}-2" nivel
~}- 3Q nivel
Ora, o X da questao sera dada pela soma T' + T" + T"' Fazenclo essa soma, \·emos que o
valor 1000 e um fator comum! Dai, poclemos fazer o seguinte:
-7 X = IOOO.(s 18 -. 4% + s 12.., 4% + s 6 .., 4~)
Consultando a Tabela Financeira clas Rendas Certas, encontraremos
= 25,645413
sl2..,4"• = 15,025805
56..,4% = 6,632975
-7 DaL X= 1000 (25,645413 + 15,025805 + 6,632975)
518 ..,4%
-7 X= 1000 x 47,304193
Dai, chegamos a: X= 47.304,19 -7 Resposta!
2.
(ESAF) Uma pessoa, no dia 12 de agosto, contratou com um banco aplicar
mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 men sal mente
durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante
mais seis meses. Considerando que a primeira aplica<:ao seria feita em
12 de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de cada mes e que
elas renderiam juros compostos de 2% ao mes, indique qual o valor mais
proximo do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 12
de fevereiro.
a) R$ 36.000,00.
b) R$ 38.449,00.
c) R$ 40.000,00.
d) R$ 4 1.132,00.
e) R$ 44.074,00.
Soluc,;ao: Este enunciado e a prova viva de que vale a pena estudar em casa resolvendo as provas passadas! E por que estamos dizenclo isso? Porque esta questao e simplesmente um retrato
da anterior, que havia sido cobrada em um concurso havido um ano antes. 0 desenho dessa
questao e identico. A unica diferenc;a e que a taxa cobracla aqui foi de 2% ao mes, enquanto
na questao passada havia sido 4% ao mes
Portanto, dada a semelhanc;a, sem maiores explicac,;oes, teremos:
X
apresenta parcelas
ada nivel, fazendo
r
··-·-·-iooa:- ·-·-·-~~.I·]~ ·I:]~ .I.·~ [: J·~ [·I:~ r. J
IQ nivel
}-2Q nivel
2000,
t.1_tJ._tJ}-3"nivel
3000,
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
352
Aqui, nov
Teremos
a T = P. 5 ..,_
2" nivel a T = P. 5n ......
3Q nivel a T = P. 5n ..,_
1" nivel:
n
1
1
1
-7 r = 1000. s 18 -. 2s:,
-7 T" = 1000. s 12 -. 2s"
-7 T'" = 1000. 56..,2''"
Ja aprendem
opc;oes de re
Fac;amos
Dai: -7 X= 1000 (s 18-. 2% + S 12.., 2%+ s 6 .., 2%)
E chegamos a: X= 4L132, -7 Re5posta!
3.
(ESAF) Urn contrato preve que aplica~oes iguais sejam feitas mensalmente
em uma conta durante doze meses com o objetivo de atingir o montante
de R$ 100.000,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao fim de
cada mes, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao mes?
R$ 7.455,96.
b) R$ 7.600,00.
c) R$ 7.982, 12.
A primei
mais Que ta
Acrescentam
d) R$ 8.270,45.
e) R$ 9.000,00.
a)
Sollll;ao: Neste enunciado, havera apenas urn bloco de aplicac;oes, com parcelas de mesmo
valor ( 1" caracteristica), que estarao dispostas em intervalos mensa is, durante urn prazo de urn
Agora sim
pois, a segui
ano, de modo que a distancia de tempo entre duas parcelas consecutivas sera sempre igual (2•
caracteristica)
:E dito ainda que o total resgatado ao final das aplicac;oes e de
e composta (3" caracteristica)
RS 100 . 000,00
e que a taxa da operac;ao
Nao resta duvida a questao e de Montante de Rendas Certas Fazendo o desenho da questao,
Comec;a
observando que as aplicac;oes serao feitas ao final de cada mes, teremos que:
100.000,
Desce um
p p
p
p
p p
p p
p p
p
p
Agora, nos lembremos do desenho modelo das Rendas Certas, e comparemos com o nosso
desenho acima Este ultimo ja esta de acordo como desenho modelo? Sim, uma vez que a data
do resgate coincide com a data da ultima aplicac;ao. Conduimos, pois, que a formula do
Montante das Rendas Certas ja pode ser aplicada. Teremos:
-7 T = P sn..,i -7100 000 = P s12 -. 2%
-7 Dai: P = 100.000/ s 12 -. 2%
Agora, v
a)
R
b)
c)
Consultando na Tabela Financeira das Rendas Certas, encontraremos que: 512 -. 2%=13,412090.
d)
Dai, teremos -7 P = 100000/(13,412090)
e)
Ora, s6
e E, uma ve
atenc;ao nel
a) R$ 7A
Capitulo 8 - Rendas Certas
& Weber Campos
Aqui, novamente, temos que realizar a divisao final, para chegarmos a resposta da questao
Ja aprendemos como se faz essa operac;ao, nao
e mesmo? Com urn olho na conta e outro nas
opc;oes de resposta.
Fac;amos juntos
100000
s mensalmente
gir o montante
icado ao fim de
de 2% ao mes?
A primeira coisa sera eliminar a virgula Para isso, igualaremos o numero de casas decimais Que tal trabalharmos com duas casas decimais? Pode ser? Entao fica acertado assim
Acrescentamos, dai, duas casas decimais ao 100.000. Teremos
100000,00
arcelas de mesmo
e urn prazo de urn
13,412090
13,41
Agora sim! Duas casas decimais para cada !ado Tiramos as virgulas. Nossa conta sera,
pois, a seguinte
a sempre igual (2•
de RS 100 . 000,00
senho da questao,
10.000.000
1.341
Comec;aremos di\·idindo lO 000 pelos 1.341 Cabe o que? Cabe um sete! Teremos
e:
10000' . 000
9387
613
L341
7
Desce um zero! Teremos.:
10000' 0'00
9387
613 0
emos com o nosso
1.341
7
ma vez que a data
que a formula do
%=13,412090.
-.
12 2
Agora, vamos dar uma olhada nas op<;oes de resposta:
a)
RS 7.455,96.
b)
RS 7..600,00.
c)
RS 7982,12.
d)
RS 8.270,45 .
RS 9.000,00.
Ora, s6 pela primeira conta que fizemos, ja sabemos que estao descartadas as opc;oes D
e)
e E, uma vez que nao se iniciam por urn 7. 56 res tam tres opc;oes no parco. Prestemos bern
atenc;ao nelas
a) R$ 7A55,96
b) R$ 7.600,00
c) R$ 7.982,12
35
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
Sergio Carvalho & Weber Campos
Aqui percebemos que bastara que nos fa<;:amos mais uma (mica conta, e ja chegaremos
a resposta
Isso porque o segundo algarismo destas tres op<;:oes sao diferentes entre si! Se
0
proximo valor do nosso quociente for urn 4, diremos que a resposta e a letra A; se for urn 6,
diremos que e a B; se for urn 9, diremos que e a C
a) R$ 7.455,96
b) R$ 7.600,00
c) R$ 7.982,12
Passemos a conta Para dividir agora 6130 por 1341, e evidente que nao vai cabernem urn 6
e nem urn 9. Pois 1341 multiplicado por urn 6 ou por urn 9 resultaria urn valor acima de 6130.
Uma ultima
percebamos qu
E sabemos que
condi<;:ao sine q
a formula das
essa exigencia:
Aplicando
Conclusao: vai caber urn 4.
Dai, sem perder mais urn segundo sequer, afirmarernos peremptoriamente que nossa
resposta e a letra A.
-7 P = 7.455,96 -7 Re5po5ta!
4.
(ESAF) Obtenha o valor mais proximo da quantia que deve ser depositada
ao fim de cada mes, considerando uma taxa de rendimento de 2% ao mes,
juros compostos, com o objetivo de se obter R$ 50.000,00 ao fim de dez
meses.
a) R$ 5.825,00.
b) R$ 5.000,00.
c) R$ 4.782,00.
d) R$ 4.566,00.
e) R$ 3.727,00.
Consultand
10,94972
Dai, teremo
Nova divisa
Vamos junt
Aqui, se qu
temos 10,9497
para 10,95. Vi
Trabalhand
Solw;ao: Questao sernelhante a anterior. Aqui, em vez de doze parcelas, terernos apenas dez.
Mas sao parcelas de mesmo valor (P caracteristica), aplicadas em intervalos de tempo iguais
(2g caracteristica) e tudo isso sujeito a uma taxa de juros compostos (3" caracteristica) Uma
vez que essas parcelas servem para nos acumularmos e resgatarmos ao final, temos a certeza
de estar diante de uma opera<;:ao de Rendas Certas, mais precisamente de Montante de Rendas
Agora tem
pois, a seguint
Certas . 0 desenho da questao sera o seguinte
50.000,
Come<;:are
5, passaremos
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
Desce o pr
Aqui tambern o desenho da questao ja esta compativel com o descnlw modelo das Rendas
Certas, de modo que a data do resgate coincide corn a data da ultima aplica<;:ao.
Weber Campos
Capitulo 8
ja chegaremos
s entre si! Se
0
A; se for urn 6,
cabernem urn 6
acima de 6130.
ente que nossa
er depositada
e 2% ao mes,
ao fim de dez
Rend as Certas
355
Uma ultima observa<;:ao antes de aplicarmos a formula do Montante das Rendas Certas
percebamos que, neste exemplo, a taxa e mensa! eo intervalo entre as parcelas tambem o e.
E sabemos que o fato de a taxa e o tempo entre as parcelas estarem na rnesma unidade e uma
condi<;:ao sine qua non para a aplica<;:ao da formula! Dito de outra forma so poderemos aplicar
a formula das Rendas Ce-tas (seja a do Montante ou a do Valor Atual) quando observarrnos
essa exigencia: a taxa deve estar na mesma unidade que o intervalo entre as parcelas
Aplicando as Rendas Certas, teremos
-7 T = P sn'i -7 50.000 = P s 10-. 2%
-7 DaL P = 50000/ 5 10-. 2%
Consultando na Tabela Financeira das Rendas Certas, encontraremos que: 510-. 2% =
10,94972
Dai, teremos -7 Dai P = 50000/(10,94972)
Nova divisao! Ainda bem que as divisoes nao nos assustam mais!
Vamos juntos de novo. Teremos·
50000
10,94972
Aqui, se quisermos trabalhar com duas casas decimais, atentemos para o seguinte: como
temos 10,9497, e facil perceber que nossa aproxirna<;:ao sera mais confiavel se arredondarmos
para 10,95. Viram?
Trabalhando, pois, com duas casas decimais e eliminando a virgula, teremos:
nos apenas dez.
50000,00
de tempo iguais
10,95
cteristica) Uma
temos a certeza
tante de Rendas
Agora temos duas casas decimais para cada !ado. Tiramos as vfrgulas e nossa conta sera,
pois, a seguinte:
5.000.000
1.095
Come<;:aremos dividindo 5.000 pelos L095 . E evidente que se multiplicarmos 1095 por
5, passaremos dos 5000. Logo, cabera urn quatro Teremos:
5000'.000
1.095
4380
620
4
Desce o prirneiro zero, e passamos a ter o seguinte:
delo das Rendas
ao.
5000'.0'00
4380
6200
1.095
4
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
356
Sergio Carvalho & Weber Campos
Agora e a hora de mirarmos nas op<:;6es de respos~a! Vamos dar uma olhada nelas.
a)
RS 5.825,00
b)
R$ 5.000,00.
c)
R$ 4 782,00 .
d)
R$ 4. 566,00 .
e)
RS 3.727,00 .
56 ha duas opc;:oes no parco as letras C e D . Olhando s6 para essas duas, percebemos (com
alegria) que nossa conta esta praticamente terminada, uma vez que os algarismos que ocupam
a segunda casa destas duas opc;:oes sao diferentes entre si. Senao, vejamos:
c) R$ 4.782,00
d) RS 4566,00
De modo que se a proxima conta que vamos fazer der um 7, a resposta sera a letra C; se
der um 5, sera a letra D.
E agora ficou muito facil, uma vez que e evidente que se multiplicarmos 1095 por 7, passaremos bastante de 6200. Logo, o valor que cabera agora no quociente e um 5
Dai -7 P = 4.566,00 -7 Resposta!
s.
(ESAF) Considerando a serie abaixo de pagamentos no fim de cada ano,
obtenha o numero que mais se aproxima do valor atual total destes
pagamentos no inicio do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10%
ao ano, juros compostos.
A no
2
3
4
400
400
400
1
Valor
400
2.208,97.
b) 2.227,91.
c) 2.248,43.
a)
5
6
7
200 200 200
d) 2.273,33.
e) 2.300,25.
8
9
10
200
200
1200
A questao
caLxa na data
tracejados e d
valor de 200,
X
Agora fac;:
X
Solm;;ao: 0 neg6cio aqui e desenhar a questao. Se fizermos o desenho corretamente, entao nao
vai haver nenhum problema na resoluc;:ao . 0 enunciado nos revela que essas parcelas estarao
dispostas no jim de cada ana Assim, teremos:
Assim, cr
-7
lll
-7 2Q
Verificam
A ultima parc
forma, ap6s t
pegar o restan
X
200
400, 400
400
200
200
200
200
400
1200
para a data z
Por que
apenas de R
primeiro nive
& Weber Campos
ada nelas.
Capitulo 8
Rendas Certas
357
A questao diz que a taxa e composta e quer que descubramos o valor atual desse jlu.xo de
caLxa na data zero, que corresponde ao inicio do primeiro ano . Vamos ver se e passive! criar
tracejados e dividir essas parcelas em diferentes niveis? Comecemos com um tracejado no
valor de 200, que e a menor parcela Teremos.
X
percebemos (com
mos que ocupam
sera a letra C; se
1095 por 7, pasm5
m de cada ano,
l total destes
acional de 10%
9
10
200
1200
400' 400
400
1200
Agora fac;:amos mais um tracejado, pegando as parcelas de RS 400,00. Teremos
X
-··~----~-]~.·~--
mente, entao nao
s parcelas estarao
1200
400
400, 400
400
200
200
200
200
200
400
1200
Assim, criamos dais nfveis de parcelas:
-7
lll nivel) 10 parcelas (n=lO) de R$ 200,00 cada;
-7 2Q nivel) 4 parcelas (n=4) de R$ 200,00 tambem!
Verificamos, todavia, que esses dais niveis ainda nao abrangem todas as parcelas do desenho.
A ultima parcela, no valor original de R$ l. 200,00, s6 foi tocada pelo primeiro tracejado. Dessa
forma, ap6s trabalharmos com as parcelas do primeiro e segundo niveis, ainda teremos que
pegar o restante da ultima parcela, que corresponde exatamente R$ 1.000,00, e transporta-lo
para a data zero.
Por que a ultima parcela, que era de R$ 1200,00, vai ser trabalhada como se fosse
apenas de R$ LOOO,OO? Porque uma parte dela (R$ 200,00) ja esta sendo trabalhada no
primeiro niveL
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
358
Sergio Carvalho & Weber Campos
Consultand
As parcelas que com poem ambos os niveis, conforme ja fizemos em soluc;oes anteriores,
serao trabalhadas em operac;oes de Valor Atual de Rendas Certas. Chamando T o resultado
a10- , 10 .,, = 6,
do primeiro nivel, e r
a9-,w., = 5,7
Substituind
A= 1000 x
-7 A= 100
Agora, sim,
-7 Resultad
-7 Resultad
Dai X= 18
0
-7 r = P. an-\
-7 T" = P. an ' i
resultado do segundo, teremos:
-7 r = 200. a!0-,10%
7 T" = 200. a4 • 10%
Fazendo logo a soma de T e T', teremos que:
-7 T'+ r = (200 a!O 'lo) + (200 a, '10'\o)
Colocando os 200 (fator comum) em evidencia, teremos que:
-7 T'+T" = 200 (a 10 • 10%+ a 4• 10%)
Resolvendo tudo de uma so vez, consultaremos a Tabela do Fator A de Rendas Certas. E
6.
obteremos
a 10•
%
10
= 6,144567
a 4 • 10% = 3,169865
Dai, teremos que:
-7 r + T" = 200 (6,144567 + 3,169865)
-7 T + r = 1862,89
So que ainda nao acabou, porque temos que levar R$ 1 000,00 da data dez anos
para a data zero . Lembrando que esse valor R$ LOOO,OO e referente
a parte
restante da
ultima parcela (que era de R$ 1200,00) e que ainda nao foi trabalhada. Faremos aqui
uma operac;ao de clcsconto composto racional Aplicando a formula de desconto composto
racional, teremos:
-7 N
=
A_
-7
-7 1000 = A.(l+10%)
A(l+i)"
10
1000
- (1 + 10%)10
Podemos obter o valor do A, na equac;ao acima, de duas formas: 1") consul tar a tabela
financeira do parentese famoso e depois efetuarmos a divisao; ou 2") aplicar a formula apresentada no capitulo de desconto composto que evita a divisao.
Adotaremos a segunda forma .
Para obtermos o valor do A sem dividir, aplicaremos a formula:
1
- - - = (a -, - a
(1+i)"
Do tem10
1
(1 +10%
substituido par (a 10•
1
n-1
-,}
1
)10 , o valor da taxa i e de 10% eon e 10. Entao, este termo pode ser
, 109
Dai, a expressao A
n
a9•
10 %)
1000
pode ser substituida par:
(1 + 10%)w
(ESAF)
que co
em zer
de $ 1.
tempo
compo
e recei
a) $ 2.
b) $ 0,
c) $ 2.
Solw;ao: Vam
0 enunciad
vem a ser is to.
Fluxo de v
datas, estarao
Valor posit
caixa. Equalqu
receitas, entra
entender que
Valor nega
seja, que estej
desembolsos,
mesmo entend
Dai, via de
dira exatamen
do tempo Da
quanta valem
proprio enunc
Ou seja, te
uma mesma d
ulo 8 - Rend as Certas
& Weber Campos
Consultando a segunda tabela financeira (a tabela do fator A de Rendas Certas), obtemos
uc;oes anteriores,
a10- , 10 .,, = 6,144567
do T o resultado
a9-,w., = 5,759024
Substituindo estes fatores, teremos·
A= 1000 x (a 10- , 10%- a9- , 10, ) = 1000 x (6,144567- 5,759024)
-7 A= 1000 X (0,385543) -7 A= 385,54
Agora, sim, somas capazes de compor o resultado final da nossa questao:
-7 Resultado dos dais niveis de parcelas R$ 1.862,89
-7 Resultado da ultima parcela de 1000 R$ 385,54
Dai X= 1862,88 + 385,54 -7 X= 2.248,43 -7 Resposta!
Rendas Certas. E
6.
da data dez anos
parte restante da
da. Faremos aqui
sconto composto
consul tar a tabela
ar a formula apre-
ste termo pode ser
(ESAF) Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias
que com poem o seguinte fluxo de valores: urn desembolso de $2.000,00
em zero, uma despesa no momento urn de $ 3.000,00 e nove receitas iguais
de $ 1.000,00 do momento dois ao dez, considerando que o intervalo de
tempo decorrido entre momentos consecutivos eo mes e que a taxa dejuros
compostos e de 3% ao mes. Usar ainda a conven~ao de despesa negativa
e receita positiva, e desprezar os centavos.
a) $ 2.646,00.
d) $ 3.617,00.
b) $ 0,00.
e) $ 2.873,00.
c) $ 2.511,00.
Solw;ao: Vamos logo tentar identificar a questao.
0 enunciado vem nos falar em fluxo de valores. Antes de mais nada, aprendamos o que
vem a ser is to.
Fluxo de valores nada mais e do que uma linha do tempo, sabre a qual, em diferentes
datas, estarao dispostos valores positivos e valores negativos.
Valor positivo e qualquer quantia que se entenda estar entrando no nosso balsa, no nosso
caixa. Equalquer valor monetario que estamos recebendo. Nas provas, podem vir como nome
receitas, entradas, ganhos etc. Pode ser tambem qualquer outro nome, contanto que nos fac;a
entender que e urn dinheiro que esta chegando (e nao saindo) do nosso balsa.
Valor negativo, ao contrario, e toda quantia que esteja sendo retirada do nosso bolso, ou
seja, que esteja saindo de nossa mao. As questoes podem chamar esses valores negativos de
desembolsos, saidas, retiradas, despesas, investimentos ou qualquer outro que traga o
mesmo entendimento.
Dai, via de regra, urna questao de Fluxo de Valores, que e o mesmo que Fluxo de Caixa,
dira exatamente quais sao os valores positivos e negativos, e onde eles se localizam na linha
do tempo Dai, quando tivermos condic;ao de desenhar a questao, o enunciado ira pedir o
quanta valem todas aquelas parcelas (positivas e negativas) em uma determinada data que o
proprio enunciado vai estabelecer.
Ou seja, teremos que transportar todas as parcelas que cornpoem o fluxo de caixa para
uma mesma data, que sera dita pela questao .
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
Sergio Carvalho & Weber Campos
Uma coisa importante e a seguinte: quando formos desenhar o fluxo de caixa, seguiremos
a seguinte regra, para melhorar a visualizar,:ao dos valores e assim facilitar na solur,:ao:
-7 Os valores positives (receitas, entradas, ganhos) serao todos desenhados com uma
seta para cima;
-7 Os valores negativos (despesas, desembolsos, saidas, retiradas) serao todos desenhados com uma seta para baixo .
De posse dessas informac;:oes, vamos reler o nosso enunciado, e tentar desenhar o fluxo de
caixa (fluxo de valores) que ele apresenta.
" ... o seguinte fluxo de valores: urn desembolso de$ 2.000,00 em zero, uma despesa
no momento urn de $3.000,00 e nove receitas iguais de $ 1.000,00 do momento dois
ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos
e 0 mes ... "
Vamos la, fac;:amos o desenho Ora, o enunciado falou que sao dez momentos, e depois disse
que esse momenta eo mes. Tracemos logo esse prazo total de 10 meses. Teremos
Dai, o enunciado come<;:ou logo falando em desembolso de R$ 2.000 na data zero.. A data
zero, conforme ja sabemos, e onde comer,:a a linha do tempo. E desembolso e uma palavra
inequivoca trata-se de urn valor negativo, de modo que o desenharemos com uma seta para
baixo. Teremos ·
l
Apos isso,
recebera semp
de R$ 1000, d
2000
Eis o nosso
enunciado qu
logo no inicio
quantias que
Ou seja, a
como se fosse
de fluxo de c
parcela, que e
A informar
taxa de juros
Com isso,
parcelas que c
2000
Na sequencia, a questao fala de uma despesa de R$ 3.000 no momento urn Despesa
tambem e uma palavra que nao deixa qualquer margem de duvida: e urn valor negativo e
ganhara uma seta para baixo.
Teremos
2000
3000
2000
0 que vem
tempo iguais?
solicita o valo
Atual de Rend
Refaremos
data zero das
o & Weber Campos
caixa, seguiremos
na solur,:ao:
enhados com uma
Capitulo 8 - Rendas Certas
Apos isso, \'em-se falando em nove receitas. Ora, receita e urn valor positivo, e por isso,
recebera sempre uma seta para cima . Neste caso, serao nove receitas, todas no mesmo valor
de R$ 1000, do momenta dois ao momenta dez. Teremos.
1000
serao todos dese-
esenhar o fluxo de
ero, uma despesa
do momento dois
ntos consecutivos
ntos, e depois disse
remos
a data zero.. A data
lso e uma palavra
com uma seta para
2000
3000
Eis o nosso prirneiro fluxo de caixa Uma vez desenhado, resta-nos saber para qual data o
enunciado quer que nos transportemos todos os valores positivos e negativos. E isso foi dito
logo no inicio da questao "Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das
quantias que com poem o seguinte fluxo de valores ... "
Ou seja, a nossa data de interesse da questao sera a data zero. Essa data de interesse e
como se fosse uma data focal, nas questoes de equivalencia de capitais. A rigor, uma questao
de fluxo de caixa e uma questao de Equivalencia, em que se pretende calcular uma unica
parcela, que e equivalente a todas as outras que formam o fluxo de caixa .
A informar,:ao que nos falta e a que fala da taxa da operar,:ao. Disse o enunciado que" ... a
taxa de juros compostos e de 3% ao mes".
Com isso, estamos preparados para iniciar a questao! Demos logo uma rapida olhada nas
parcelas que compoem os valores positives do fluxo
1000
ento urn Despesa
n valor negativo e
2000
3000
0 que vemos ai? Sao parcelas de mesrno valor? Sim! Estao dispostas em intervalos de
tempo iguais? Sim! Estao sujeitas a uma taxa de juros cornpostos? Sim novamente! E a questao
solicita o valor atual das parcelas! Nao resta duvida que devemos aplicar a formula do Valor
Atual de Rendas Certas.
Refaremos o desenho colocando na data zero o valor X que representa o valor atual na
data zero das nove parcelas de 1. 000,00, e esqueceremos, por enquanto, as pan;elas negativas .
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
362
Passaremos
X (valor atual das parcelas positivas)
•
somente com a
I
1000
t
t
t t
t
t t
t
2000
Logo percebemos que o desenho acima nao esta compativel com o modelo do Valor Atual
de Rendas Certas. Lembrados? No modelo, a primeira parcela esta apenas urn periodo apos
o valor atuaL
Usaremos a imaginac;ao! Vamos imaginar uma parcela de 1000,00 no momento urn, para
que o desenho acima fique adequado ao do modelo Desenharemos esta parcela ficticia em
preto. 0 nosso desenho passa a ser o seguinte
A parcela de
das parcelas ne
data zero, e a e
Podemos ca
T (valor atual das parcelas positivas)
t
mula de desco
Este ultimo ca
1000
t t t
t
t
t
t t
t
t
o seu uso para
Optaremos
Teremos
Apos acrescentar a parcela ficticia, o desenho tornou-se igual ao modelo, de modo que
podemos trocar o X pelo T.
A formula original do Valor Atual de Rendas Certas e a seguinte
T
= P. a n'·
T=
p=
n=
1
Porem, como estamos usando o artificio de criar parcelas fictfcias, aplicaremos a seguinte
variac;ao de nossa formula:
Onde todas representa o numero total de parcelas, somadas as rea is e as ficticias, e ficticias
representa tao-somente o numero de parcelas que foram imaginadas.
Substituindo os dados na formula, teremos que:
-7 T = 1000 . (a 10-, 390 - a 1•y)
Recorrendo
Onde
a tabela do fator A de rendas certas, obteremos:
-7 a 10• 3'"' = 8,530203
-7 a 1• 3"' = 0,970874
Dai: -7 T = 1000 . (8,530203- 0,970874)
-7 T = 1000. (7,559329)
-7 E:. T = 7.559,33 -7 (Valor Atual das parcelas positivas)
i=
Substituind
Recorrendo
Dai T = 30
-7 E: T = 2
Portanto, o
valor atua
Para se obt
fluxo de valore
valores atuais
valor atua
valor atua
Resposta =
Capitulo 8 - Rend as Certas
& Weber Campos
Passaremos a calcular o \·alor atual na data zero das parcelas negativas 0 desenho inicial
somente com as parcelas negativas e o seguinte
2000
o do Valor Atual
urn periodo apos
3000
omento urn, para
arcela ficticia em
A parcela de 2 000,00 ja se encontra na data zero, de sorte que para obtermos o valor atual
das parcelas negativas precisaremos apenas calcular o valor atual da parcela de 3.000,00 na
data zero, e a este resultado somar o valor de 2000,00.
Podemos calcular o valor atual da parcela de 3. 000,00 de duas maneiras 1a) aplicar a formula de desconto composto racional; e 2a) aplicar a formula do valor atual de rendas certas.
Este ultimo caminho e possivel porque a formula do valor atual de rendas certas nao proibe
t
o seu uso para n = 1 (uma parcela)
Optaremos, por uma questao de praticidade, pela formula do valor atual de Rendas Certas
Teremos
T
lo, de modo que
aremos a seguinte
icticias, e ficticias
Onde
= P. a-..
n
1
T = o valor atual na data zero da parcela de 3000 .
p = 3000
n = 1 (uma parcela urn mes apos o valor atual)
i = 3% a . m.
Substituindo estes valores: T
= 3000. a 1., 3%
Recorrendo a tabela financeira a 1-, 3% = 0,970874
Dai T = 3000 x 0,970874
-7 E: T = 2912,62 (valor atual da parcela de 3.000,00)
Portanto, o valor atual das parcelas negativas na data zero sera dado por
valor atual das parcelas negativas = 2000 + 2912,62 = 4912,62
Para se obter a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compoem o
fluxo de valores, conforme o pedido da questao, faremos uma subtrac;ao dos resultados dos
valores atuais das parcelas positivas e negativas:
valor atual das parcelas positivas = 7.559,33
valor atual das parcelas negativas = 4.912,62
Resposta = 7.559,33-4.912,62 = 2.646,71 (resposta: opc;ao A)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
7.
Sergio Carvalho & Web er campos
(ESAF) Calcule o valor mais proximo do valor atual no inicio do p · .
- d d
·
fl
d
- .
rnnearo ··
··.····••
per10 o o segumte uxo e pagamentos vencaveas ao fim de cada p do periodo 1 a 6, cad a pagamento e de R$ 3.000,00, do periodo 7 a 1~ttodo: •
pagamento e de R$ 2.000,00, e do periodo 13 a 18, cada pagament'0 c_ada" .·•.
R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto r • e de··
e de 4% ao periodo.
'
ac•onal
R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
a)
enunciad
0
rual no inicio
~ata zero. Dese
diferentes nivei
Logo, o des
33.448,00.
31.1 68,00.
29.124,00.
27.286,00.
25.628,00.
X
Soluc;ao: A questao aqui falou em fluxo de pagamentos. ja sabemos o que e isso, s6 que com
outros nomes fluxo de valores e fluxo de caixa . Sao todos sin6nimos
Antes de desenhannos a questao, verifiquemos qual eo prazo total em que estarao dispostas
as parcelas. Quanta tempo? 18 periodos Ora, a questao nao especificou o que e urn pcrfoda,
de modo que podemos adotar qualquer urn. Ou seja, podemos, se quisermos, dizer que sao
18 meses Foi dito ainda pelo enunciado que as parcelas desse pagamento serao dividas em
tres blocos, dispostos de seis em seis periodos Assim, desenhando esse prazo total, com as
respectivas divis6es, teremos
IIIIIIIIIIIIIIIIIII
No primeiro bloco, os pagamentos sao feitos ao fim de cada periodo, dentro dos meses de
1 a 6, todos no valor de RS 3.000,00.
0 segundo bloco eo das parcelas dispostas do setimo ao decimo segundo mes. Sao todas
elas no valor de R$ 2.000, pagas tambem ao fim de cada periodo
Por fim, o terceiro bloco traz as parcelas de RS LOOO, pagas entre o decimo terceiro e 0
decimo oitavo mes, igualmente ao fim de cada periodo.
Desenhando a questao, teremos.
1Q nive
2" niv
y niv
0 desenho
de R$ LOOO,O
-7 1Q
-7
-7
2Q
3Q
A taxa da
fazendo uma
-7
-7
-7
1
2
3
0 X da q
1000 e um f
1000,
Consulta
2000,
3000,
Ora, esse desenho acima e um fluxo de caixa . ]a o desenhamos Resta saber qual e a data
de interesse da questao, ou seja, qual e aquela data para a qual teremos que transportar todos
os valores desse fluxo .
a 18-, 4 e;; =
a 12-, 4 % =
a6•
4
"'
=
5
-7 DaL X
-7 X= 1
Dai, che
Capitulo 8 - Rend as Certas
& Web er campos
cio do p · .
rnnearo ··
e cada p ··.····••
odo 7 a 1~ttodo: •
pagament'0 c_ada" .·•.
sconto r • e de··
ac•onal
enunciado disse isso logo em seu inicio: "Calcule o valor mais proximo do valor
0
rual no inicio do primeiro periodo ... " Ou seja, teremos que levar todas as parcelas para a
~ata zero. Desenharemos o valor atual na data zero, e tambem usaremos o artiffcio de criar
diferentes niveis de parcelas
Logo, o desenho completo desta questao e o seguinte:
X
e isso, s6 que com
e estarao dispostas
que e urn pcrfoda,
mos, dizer que sao
serao dividas em
razo total, com as
2" nivel-{
[]~'[ 1" ]~· [] ~·r.J~ [".t]-"-.-"- iooo:-.-"-
y nivel-{
~.
J- t. t. J- .~
2000,
3000,
III
0 desenho acima nao dei.xa qualquer duvida cada um dos tres niveis apresenta parcelas
ntro dos meses de
do mes. Sao todas
ecimo terceiro e
1Q nivel-{
de R$ LOOO,OO cada um, de modo que
-7 1QniveL 18 parcelas de RS 1 000,00;
-7 2Q nivel 12 parcelas de R$ 1 000,00;
-7 3Q nivel 6 parcelas de RS LOOO,OO.
A taxa da questao e uma taxa composta de 4% ao periodo Trabalharemos cada nivel,
fazendo uma operac;ao de calculo do valor atual de rendas certas. Teremos
0
-7
-7
-7
1QniveL -7 T = P. an..,i -7 I'= 1000. a 18.., 4.'-.
2QniveL -7 T = P. an-\ -7 T" = 1000. a 12 .., 4 ,·:.
3Qnivel -7 T = P. an..,i -7 I"'= 1000. a 6 .., 4 ~.•
0 X da questao sera dada pela soma I' + T" + T"' Fazendo essa soma, vemos que o valor
1000 e um fator comum. Dai, podemos fazer o seguinte
-7 X= 1000.(a 18.., 4% + a 12.., 4% + a 6.., 4%)
00,
saber qual e a data
e transportar todos
Consultando a Tabela Financeira do fator A, encontraremos
a 18-, 4 e;; = 12,659297
a 12-, 4 % = 9,385074
a6•
4
"'
=
5,242137
-7 DaL X= 1000 (12,659297 + 9,385074 + 5,242137)
-7 X= 1000 X 27,28650
Dai, chegamos a:. X= 27.286,50 -7 Resposta!
Matem;Hica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
8.
(FCC) Jose vai receber os R$ 10.000,00 da vend a de seu carro em du
parcelas de R$ 5.000,00, sendo a primeira dentro de 30 dias e a segundas
dentro de 60 dias. Considerando uma taxa de desconto de 2% ao rnea.,
o valor atual, em reais, que Jose deveria receber hoje, com a certeza :·
estar recebendo o mesmo valor que ira receber no parcelarnento, e de~
a) R$ 9. 708,00;
b) R$ 9.719,65;
c) R$ 9.729,65;
d) R$ 9.739,65;
e) R$ 9.749,65.
SolUI;ao:
A questao solicita o valor atual de duas parcelas na data zero . Sao elas 5. 000,00 (em 1
mes) e 5.000,00 (em 2 meses) E a taxa de desconto composto e de 2% ao mes 0 desenho
-7 I =5
-7I
0 valor atu
que saibamos
Em que m
denominador
fica maior que
te me nor que
altemativa A
eo seguinte
9.
Valor
Atual
0
1
lm
J
2m
=
P x a .,
n
'
Dai, I = 5000 x a2 "y"
Recorrendo a tabela financeira do Fator A, encontraremos:
Dat -7 I= 5000 x 1,941561
-7 T = 9707,805
-7 I= 5 X 1941,561
Valor Atual = 9707,805 (Resposta!)
Na verdade, esta prova nao forneceu tabela financeira, entao para obtermos a resposta,
tinhamos que usar a fonnula do a ..,0 Faremos esses calculos.
n '
(l + 0,02/ "0,02
-7 I = 5000 . 1,0404 -l
1, 0404" 0, 02
Flux
Um
Do i
Ire
Quat
Cinc
Cons
da tab
a) Flu
b) Flu
c) Flu
d) Flu
e) Flu
SolU(;:ao:
Irata-se d
(1 + i)" -1
Fonnula do valor atual: I = P x a .., = P x - - - "
I
(l+i)" ·i
-7I =5000· (1+0,02)2-1
resolu
5000
Para o calculo do valor atual de parcelas iguais devemos usar a formula I
.
(1 + i)" -1
Formula do a .., = - ' - - - - n '
(1 + i)" · i
(ESAF
no fin
5000
t
50
=-
-7 I =5000· (1· 02 / - 1
(l, 02/ . 0, 02
-7 I = 5000 . 0, 0404
0,020808
parcelas para
Poderiam
de dividir ca
rendas certas
que a elabora
raciocinio e c
Capitulo 8 - Rendas Certas
o & Weber Campos
u carro em du
ias e a segundas
de 2% ao rnea.,
om a certeza :·
elarnento, e de~
-7 I = 5000
505000
=--52
-7 I:= 9711,5
-7I
101
52,02
505000
-?I=--52,02
0 valor atual e aproximadamente 9 711,5 Para marcannos a altemativa coneta e importante
que saibamos se este valor encontrado (9 711 ,5) e maior ou men or que a resposta buscada.
Em que momenta fizemos uma aproximac;ao nos calculos' Foi no arredondamento do
denominador de 52,02 para 52. E quando se diminui o denominador, o resultado da divisao
as 5. 000,00 (em 1
ao mes 0 desenho
a I
404
-7 I =5000·-208,08
fica maior que a resposta correta. Portanto, a resposta que procuramos devera ser ligeiramente me nor que 9711,5 Seguindo esta conclusao, a (mica altemativa que podemos marcar e
altemativa A
9.
(ESAF) Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para
resolu~ao da questao seguinte. Os valores constantes desta tabela ocorrem
no final dos meses ali indicados.
IABELA DE FLUXOS DE CAIXA:
=
P x a .,
n
'
btermos a resposta,
Fluxos
Um
Do is
Ires
Quatro
Cinco
1
1000
1000
1000
1000
1000
2
1000
500
1000
1000
1000
3
500
500
1000
800
800
Meses
4
500
500
500
600
400
5
500
500
500
400
400
6
500
500
100
200
400
7
250
500
150
200
200
8
50
300
50
100
100
Considere uma taxa efetiva (juros compostos) de 4% a.m. 0 fluxo de caixa,
da tabela acima, que apresenta o maior valor atual (valor no mes zero) e:
a) Fluxo Um;
b) Fluxo Dois;
c) Fluxo Tres;
d) Fluxo Quatro;
e) Fluxo Cinco.
SolU(;:ao:
Irata-se de uma questao de calculo do valor atual de varias parcelas. Mas observe que as
parcelas para cada fluxo nao sao todas iguais.
Poderiamos usar o artificio, ja apresentado na soluc;ao de algumas questoes de valor atual,
de dividir cada fluxo em nfveis, de modo que possamos aplicar a formula do valor atual de
rendas certas. Porem, isto sera muito trabalhoso, pois sao cinco fluxos de caixa. Certamente
que a elaboradora nao queria que resolvessemos desta maneira Ela queria, sim, testar o nosso
raciocinio e conhecimento.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
Sergio Carvalho & Weber Campos
Nao sei se voces ja perceberam que somando as parcelas de cada f1uxo de caixa teremos 0
mesmo resultado de 4 . 300. Ou seja, as parcelas de cada f1uxo ?e caixa s6 estao distribufdas
de maneira diferente ao Iongo dos meses.
Ao calcular o valor atual na data zero de um capital, voces ja sabem que quanto mais distante estiver este capital da data zero maior sera o desconto sofrido e, portanto, menor sera 0
seu valor atual. Por exemplo, usando a taxa de 4% a m, fornecida no enunciado, o valor de
0 1.
( Audito
Verdad
1. Urn
seq
11. Dois
taxa
atua
111. A ta
a qu
a) V, F
b) F, V,
c) V, V
d) F, F,
e) V, V
02.
(DNOC
ano em
dejuro
tem-se
LOOO que esta na data 1 mes, tera um valor atual na data zero de 961,54, ja um capital de
1000 que esta na data 2 meses, tera um valor atual na data zero de 926 Ou seja, o capital de
LOOO, que esta na data 2, esta sofrendo um desconto maior.
Entao, para descobrirmos qual
eo
f1uxo de caixa que tem o maior valor atual na data
zero, basta que observemos qual e o f1uxo de caixa que apresenta valores maiores nos meses
iniciais, pois estes valores sofrerao descontos menores e consequentemente apresentarao valor
atual maior.
0 f1uxo de caixa que apresenta os maiores valores nos meses iniciais e o fluxo 3 . Portanto,
este f1uxo ten't um valor atual maior na data zero.
igual a
a) R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
03.
(Banco
derand
mensa
1. Se o
sais
de
a R
04.
Urn inv
de$ 2
Qual o
tabela
a) $ 2
b) $ 2
c) $ 2
d) $ 2
e) $ 2
& Weber Campos
Capitulo 8
e caixa teremos 0
Rendas Certas
RENDAS CERTAS - EXERclCIOS PROPOSTOS
estao distribufdas
quanto mais disnto, menor sera 0
nciado, o valor de
0 1.
( Auditor do Tesouro Municipal de Natai/RN 2008 ESAF) Apontando por VVerdadeiro e F- Falso, indique a op~ao correta para as seguintes senten~as:
1. Urn fluxo de ~aixa e uma serie de capitais (valores) dispostos numa
sequencia historica (de datas).
11. Dois (2) fluxos de caixa sao equivalentes, segundo uma determinada
taxa de juros, se tiverem o mesmo valor em determinada data (valor
atual, por exemplo).
111. A taxa interna de retorno de urn determinado fluxo de caixa e a taxa para
a qual o valor atual do fluxo e nulo (igual a zero).
a) V, F, V
b) F, V, F
c) V, V, V
d) F, F, F
e) V, V, F
02.
(DNOCS 2010 FCC) Urn investidor deposita R$ 12.000,00 no inicio de cad a
ano em urn banco que remunera os depositos de seus clientes a uma taxa
dejuros compostos de 10% ao ano. Quando ele realizar o quarto deposito,
tem-se que a soma dos montantes referentes aos depositos realizados e
, ja um capital de
u seja, o capital de
alor atual na data
maiores nos meses
apresentarao valor
fluxo 3 . Portanto,
igual a
a) R$ 52.800,00.
b) R$ 54.246,00.
c) R$ 55.692,00.
d) R$ 61.261 ,20.
e) R$ 63.888,00.
03.
(Banco do Brasil Escriturario 2008 Cespe) Julgue o item a seguir, considerando que 0 regime de juros praticado e 0 de juros compostos, a taxa
mensal de 2%, e tomando 1,3 como valor aproximado para 1,02 12 •
1. Se o pagamento de urn financiamento tiver de ser feito ern 24 presta<;6es rnensais, consecutivas e iguais a R$ 1.200,00, nesse caso, o rnontante dessa serie
de pagamentos, por ocasiao do pagamento da ultima presta<;ao, sera superior
a R$ 42.000,00.
04.
Urn investidor aplicou 10 parcelas trimestrais, iguais e sucessivas, no valor
de$ 200 em urn banco que pagajuros compostos a taxa de 5% ao trimestre.
Qual o valor resgatado tres meses apos a data da ultima aplica~ao? (Vide
tabelas financeiras ao final do livro.)
a) $ 2728.
b) $ 2641.
c) $ 2400.
d) $ 2536.
e) $ 2800.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Seroio
Carvalho & Weber Ca mpos
o
OS.
06.
(AN EEL 2004 ESAF) Uma empresa pretende dispor de R$ 100 000 oo
·
• ao
fim de 12 meses e para isso pretende aplicar uma mesma quantia ao fi
de cada mes em uma conta remunerada com o objetivo de atingir esse
Ill
montante ao fim do prazo. Calcule quanto deve ser aplicado ao fim dec d
·
a a
- const"d eran d o rendtmentos
mes,
brutos dejuros compostos de 4% ao me uma dedu~ao de 25% de imposto incidente sobre cada recebimento des
.
(d espreze os centavos). (Vide tabelas financeiras ao final do livro.)
~
JUros
a) R$ 8.333,00.
b) R$ 8.129,00.
c) R$ 7.046,00.
d) R$ 7.000,00.
e) R$ 6.655,00.
(CEF Nordeste 2004 FCC) Uma pessoa esta saldando uma divida com pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$ 240,00 cada. Ela deixou de
pagar nas datas devidas as presta~oes dos meses de mar~o, abril e maio,
pagando·as, com juros compostos de 3% ao mes, junto com a presta~ao do
mes de junho. Se nao houve multas pelo atraso dos pagamentos, o valor
total pago em junho foi, em reais:
a)
os.
ao final
a) R$ 50
b) R$ 53
c) R$ 5
d) R$ 5
e) R$ 5
09.
8000.[(1,03) 4 - 1];
b) 2 50. (1,03)3-3 I.
'
(1,03)
c)
8000. 0· 03?- 1.
(1,03) 3 '
10.
d) 8000.(1,03)4,
e)
07.
8000.[(1,03)3-1].
(Tecnico da Receita Federal 2006 ESAF) Calcule o valor mais proximo do
valor atual no inicio do primeiro periodo da seguinte serie de pagamentos,
cad a um relativo ao fim de cad a periodo, a taxa de juros compostos de 10%
ao periodo. (Vide tabelas financeiras ao final do livro )
.
Periodo
1
2
3
4
5
6
7
8
Valor
3000
2000
2000
2000
1000
1000
1000
1000
a)
b)
c)
d)
e)
11.700.
10.321.
10.094.
9.715.
9.414.
(Tecnico
pagame
fim de u
vencend
mais pr
derando
11.
(Tecnic
unitario
doze pa
ao fim d
Admitin
a uma
proxim
(Vide ta
a) 2,44
b) 2,89
c) 3,25
d) 3,54
e) 3,89
(IRB 20
cada u
de um
fluxo d
valor f
uma ta
(Vide
a) R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
(Fisca
ta~oes
no ato
des sa
R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
a)
Capitulo 8- Rendas Certas
& Weber Ca mpos
100 000 oo
·
• ao
quantia ao fi
e atingir esse
Ill
ao fim dec d
a a
s de 4% ao mcebimento des
~
inal do livro.)
vida com paga. Ela deixou de
, abril e maio,
a presta~ao do
mentos, o valor
os.
ao final do livro.)
a) R$ 500,00.
b) R$ 535,00.
c) R$ 542,00.
d) R$ 559,00.
e) R$ 588,00.
09.
10.
ais proximo do
e pagamentos,
mpostos de 10%
7
8
1000
1000
(Tecnico da Receita Federal 2006 ESAF) Desejo trocar uma anuidade de oito
pagamentos mensais de R$ 1.000,00 vencendo o primeiro pagamento ao
fim de um mes por outra anuidade equivalente de dezesseis pagamentos
vencendo tambem o primeiro pagamento ao fim de um mes. Calcule o valor
mais proximo do valor do pagamento mensal da segunda anuidade considerando a taxa dejuros compostos de 3% ao mes. (Vide tabelas financeiras
11.
(Tecnico da Receita Federal 2006 ESAF) Uma pessoa aplica um capital
unitario recebendo a devolu~ao por meio de uma anuidade formada por
doze pagamentos semestrais, com o primeiro pagamento sendo recebido
ao fim de seis meses, a uma taxa dejuros compostos de 10% ao semestre.
Admitindo que ela consiga aplicar cada parcela recebida semestralmente
a uma taxa de juros compostos de 12% ao semestre, qual o valor mais
proximo do montante que ela tera disponivel ao fim dos doze semestres?
(Vide tabelas financeiras ao final do livro.)
a) 2,44.
b) 2,89.
c) 3,25.
d) 3,54.
e) 3,89.
(IRB 2004 ESAF) Uma serie de doze valores monetarios relativos ao fim de
cada um de doze periodos de tempo representa o fluxo de caixa esperado
de uma alternativa de investimento. Considerando que o valor atual desse
fluxo de caixa no inicio do primeiro periodo e de R$ 30.000,00, calcule o
valor futuro desse fluxo ao fim do decimo segundo periodo, considerando
uma taxa de juros compostos de 10% ao periodo (despreze os centavos).
(Vide tabelas financeiras ao final do livro.)
a) R$ 94.152 ,00.
b) R$ 85.593,00.
c) R$ 77.812,00 .
d) R$ 70. 738,00.
e) R$ 66.000,00.
(Fiscal de Rendas SEFAZ·RJ 2009 FGV) Uma empresa deve pagar duas presta~oes, iguais e sucessivas, de R$ 10.000,00. A primeira deve ser paga
no ato e a segunda presta~ao sera paga ao final de 6 meses. 0 valor atual
des sa divida, dada uma taxa de juros de 60% ao semestre, e de:
R$10.156,25.
b) R$ 16.250,00.
c) R$ 16.750,00.
d) R$ 18.133,57.
e) R$ 20.000,00.
a)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
3 72
12.
(TRT13 Analista judiciario - Contabilidade 2014 FCC) Um investimento
resulta em tres recebimentos parciais: R$ 3.373,40 ao final do primeiro
mes, R$ 3.407,14 ao final do segundo mes e R$ 3.441,20 ao final do terceiro
mes. Dada a taxa de desconto de 1,00% ao mes, e considerando o criteria
do desconto racional composto, o valor presente aproximado desse fluxo
de caixa e, em reais,
a) 1 0.222,00.
b) 10.426,00.
c) 9.915,00.
d) 1 0.020,00.
e) 9.728,00.
13.
(Fiscal de Rendas SEFAZ-RJ 2008 FGV) Considerando uma taxa de juros de
0,5% ao mes, quanto, aproximadamente, uma familia deve investir mensalmente, durante 18 anos, para obter a partir dai uma renda mensa! de
R$ 1.000,00, por um periodo de 5 a nos? (Utilize, se necessaria: 1,005-60 =
0,74, 1,005-216 0,34 e 1,005 216 2,94.)
a) R$ 260,00.
b) R$ 740,00.
c) R$ 218,00.
d) R$ 252,00.
e) R$ 1 34,00.
=
16.
(Esp
finan
e ma
R$ 7
·se q
e: (D
a) R
b) R
c) R
d) R
e) R
17.
(Ana
e co
prim
por
gam
de ju
tabe
a) 1
=
b) 2
3
d) 4
e) 5
c)
14.
15.
(Auditor Fiscal Tributario da Receita Municipal de Cuiaba 2014 FGV) Assuma
as seguintes siglas: VP = Valor Presente, VF Valor Futuro e PMT = valor
das presta~oes iguais de uma serie uniforme.
Considerando uma taxa dejuros isob o regime dejuros compostos, o PMT
pode ser obtido por meio de
a) {VF [( 1 + I)" - 1]} I i
b) {VP [i(1 + I)"]} I (1 + I)"
c) {VP [(1 + !)"- 1]} I [i(1 + I)"]
d) {VP [i(1 + !)"]} I [(VF /VP) - 1]
e) {VP [i(1 + I)" - 1]} 1 [(VF /VP)]
=
18.
(TRT
·se p
sen
reto
IL
des
8%
=
(Auditor Fiscal da Fazenda Estadual SEFPI 2015 FCC) Na tabela abaixo, tem-se
os fluxos de caixa de dois projetos, A e B.
Ano
Projeto A (em reais)
Projeto B (em reais)
0
- 8.000
- 6.000
+ 4.998
+ 6.192
+ 4.020
2
+E
Sabe-se que a taxa minima de atratividade e de 20% e os valores presentes
liquidos dos dois projetos sao iguais. Nessas condi~oes, o valor de E e,
em reais,
a) 5.170,00
b) 5.832,17
c) 4.485,60
d) 4.533,00
e) 4.965,00
Se o
torn
a) R
b) R
c) R
d) R
e) R
o & Weber Campos
m investimento
nal do primeiro
final do terceiro
rando o criteria
ado desse fluxo
16.
(Especialista em Finan~as Publicas SEFAZ-RJ 2011 CEPERJ) Um imovel e
financiado em 18 presta~oes mensais iguais e sucessivas de R$ 32 5.000,00
e mais 3 presta~oes semestrais (presta~ao-refor~o ou presta~ao-balao) de
R$ 775.000,00, R$ 875.000,00 e R$ 975.000,00, respectivamente. Sabendo·se que a taxa cobrada pela financeira foi de 8, 7% ao mes, o valor financiado
e: (Dados: (1 ,087) 18 4,4888159 e (1 ,087)6 = 1,64959475.)
a) R$ 3.891.899,23
b) R$ 4.391 .009,99
c) R$ 4.111.999,93
d) R$ 3.911.995,93
e) R$ 3.811.885,93
=
taxa de juros de
ve investir menenda mensa! de
saria: 1,005-60 =
17.
(Analista de Tecnologia da lnforma~ao SEFAZ/CE 2007 ESAF) Uma anuidade
e composta por dezoito pagamentos mensais de R$ 8 530,20, vencendo o
primeiro pagamento ao fim de um mes e uma outra anuidade e composta
por dez pagamentos mensais de R$ 13 753,51, vencendo o primeiro pagamento tambem ao fim de um mes. Calcule o valor mais proximo da taxa
de juros men sal em que estas duas anuidades seriam equivalentes. (Vide
tabela financeira II ao final do livro.)
a) 1%
b) 2%
3%
d) 4%
e) 5%
c)
14 FGV) Assuma
o e PMT = valor
mpostos, o PMT
la abaixo, tem-se
reais)
alores presentes
o valor de E e,
,
18.
(TRT18 Analista judiciario- Contadoria 2013 FCC) Em uma empresa adota·se para o calculo do indice de lucratividade (IL) de um investimento como
sendo o resultado da divisao do valor da soma dos valores presentes dos
retornos na data inicial (S) pelo valor do desembolso inicial (D), ou seja:
IL S/D. Seja o fluxo de caixa abaixo correspondente a um projeto com um
desembolso inicial de R$ 9.600,00, considerando-se a taxa requerida de
8% ao ano.
=
A nos
PROJETO (R$)
0
-9.600,00
1
R1
2
6.998,40
Se o indice de lucratividade deste projeto e de 1,25, entao, o valor do retorno R1, correspondente ao primeiro ano, e de
a) R$ 6.000,00.
b) R$ 6.480,00.
c) R$ 6.998,40.
d) R$ 7.020,00.
e) R$ 7.200,00.
37
19.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos
Sergio Carvalho & Weber Campos
(Auditor Fiscal de Tributos Estaduais de Rondonia 2010 FCC) Considere 0
fluxo de caixa abaixo referente a um projeto em que o desembolso inicial
foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de atratividade de 20% ao ano, o indice
de lucratividade do projeto apresenta um valor de 1,1 76.
Op<:ao I)
de manut
de R$ 2.6
R$ 21.600,00
0-.--
X
1.8
0
2 Anos
10.000
Op<:ao II)
de manu
de R$ 1 .6
R$ 25.000,00
0 valor de X e igual a
a) R$ 17.280,00
b) R$ 15.000,00
c) R$ 14.400,00
d) R$ 13.200,00
e) R$ 12.000,00
20.
O·~--!
2.
(Auditor-Fiscal Tributario Municipal de SP 2007 FCC) Considere a tabela
abaixo, que apresenta valores de:
(l + 0"- 1
•
:~ , para 1
l.(l+IJ"
(1+0" e a,.= .
no
n
(1
+ i)"
8.500
= 0,30.
Se A I e A
das op<:
de 30%
a) A11 - A
b) All A
c) A11
A
d) AI -A
e) A1 - A
alil;
1
1,3
0,7692
2
1,69
1,3609
3
2,197
1,8161
4
2,8561
2,1662
5
3,7129
2,4356
6
4,8268
2,6427
7
6,2749
2,8021
8
8,1573
2,9247
9
10,6045
3,0190
10
13,7858
3,0915
21.
(Agente
deseja a
a baixo.
Vida ut
Custo
Uma determinada pe<:a pode ser produzida indistintamente pela maquina
A ou pela maquina B. Uma empresa deseja produzir essa pe<:a e tem hoje
duas op<:oes:
Manute
Valor r
pos
Capitulo 8 - Rend as Certas
Op<:ao I) Adquirir a maquina A pelo pre<:O a vista de R$ 10.000,00, com custo
de manuten<:ao anual de R$ 1.800,00, vida util de 8 anos e valor residual
de R$ 2.691,91, representada pelo fluxo de caixa abaixo (valores em reais):
Considere 0
bolso inicial
no, o indice
2.691,91
8
0-.---_;..--....;:.---;::..---r---T---T----i--___:'-1 (anos)
1.800
1 .800
1 .800
1.800
1 .800
1.800
1.800 1 .800
10.000
Op<:ao II) Adquirir a maquina B pelo pre<:o a vista de R$ 8.500,00, com custo
de manuten<:ao anual de R$ 2.000,00, vida util de 8 anos e valor residual
de R$ 1 .631 ,46, representada pelo fluxo de caixa abaixo (valores em rea is):
1.631,46
O·~--!.--....;...--,-:._-__.;._ _...:;-_ _:;:...-_-r---=8:....J (anos)
2.000 2.000
2.000
2.000
2.000
2.000
2.000 2.000
ere a tabela
ela maquina
a e tem hoje
8.500
Se A I e A II sao respectivamente os modulos dos valores atuais dos fluxos
das op<:oes 1 e 11, na data de hoje, com uma taxa minima de atratividade
de 30% ao ano, entao
a) A11 - A1 = R$ 785,06
b) All AI= R$ 1 .045,06
c) A11
A1 = R$ 2.030,04
d) AI -All = R$ 785,06
e) A1 - A11 = R$ 1.045,06
21.
(Agente Fiscal de Rendas SEFAZ/SP 2013 FCC) 0 dono de uma empresa
deseja adquirir um equipamento e tem duas op<:oes, mostradas na tabela
a baixo.
Op<:ao 1
Op<:aO 2
Vida util
10 anos
10 anos
Custo inicial
R$ 10.000,00
R$ 7.000,00
Manuten<:ao anual
R$ 1.000,00
R$ 2.000,00
Valor residual
R$ 3.181,20
R$ 2.024,40
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Dados:
(1 ,4) 10 = 28,92
e
(1,4)10-1
0,4.(1,4)10 2,41
Considerando·se a taxa anual dejuros compostos de 40% e sendo A 1 e A2
os respectivos modulos dos valores atuais das op~oes 1 e 2, na data de
hoje, e verdade que
a) A1 - A2 = R$ 550,00
b) A1 - A2 = R$ 566,80
c) A1 - A2 = R$ 630,00
d) A2- A1 = R$ 960,00
e) as duas
22.
op~oes
sao equivalentes.
RENDAS PE
24.
(Aud
cujo
e de
perp
a) R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
25.
(Aud
inves
juros
R$ 4
essa
a) R$
b) R$
c) R
d) R
e) R
26.
(Aud
ensi
Cons
(Auditor-Fiscal Tributario Municipal SP 2012 FCC) Para a aquisi~ao de um
equipamento, uma empresa tern duas op~oes, apresentadas na tabela
abaixo.
Op~ao
x
Op~ao
Y
R$ 1 5.000,00
R$ 12.000,00
R$ 1.000,00
R$ 1.200,00
Vida util
12 anos
12 anos
Valor residual
R$ 1.495,20
R$ 996,80
Custo inicial
Manuten~ao
anual
Dados:
(1 ,2) 12
=8,9
e que
(1, 2)12_1
=4 44
0,2.(1,2)12 '
Utilizando·se a taxa de 20% ao ano, verifica·se que o modulo da
entre os valores atuais das op~oes X e Y, na data de hoje, e
a)
doa~
a)
b)
c)
d)
e)
diferen~a
zero.
b) R$ 1.041 ,00.
c)
R$ 2.056,00.
d) R$ 2.085,00.
e) R$ 2. 154,00.
23.
(Fiscal de Tributos de Niteroi·RJ 2015 FGV) Urn equipamento agricola
pode ser alugado anualmente ou comprado. Esse equipamento custa
R$ 40.400,00, tern vida util de 5 anos e, ao final desse periodo, tern valor
residual de R$ 16.100. 0 custo anual com a manuten~ao e de R$ 2.000,00.
Se o equipamento for alugado, o custo com manuten~ao e do locador.
Considerando a taxa minima de atratividade de 10% ao ano, o valor do
aluguel que torna indiferente comprar ou alugar o equipamento e, aproxi·
madamente, em reais:
(Utilize: 1,1 0· 5 =0,62 e 1,1 0 5 = 1 ,61.)
a) 8.000
b) 10.000
c) 12.000
d) 14.000
e) 16.000
R
R
R
R
R
27.
(Ana
por
de ju
a) R
b) R
c) R
d) R
e) R
28.
(Aud
urn
1 00
0 va
a) 1
b) 1
c) 1
d) 1
e) 1
Capitulo 8 - Rendas Certas
r Campos
e sendo A 1 e A2
e 2, na data de
RENDAS PERPETUAS
24.
(Auditor Fiscal do Estado do RJ 2011 FGV) Urn individuo possui urn titulo
cujo valor presente e de R$ 100.000,00. Sabendo·se que a taxa de juros
e de 10,25% ao ano, juros compostos, o fluxo de pagamentos semestral
perpetuo equivalente ao valor presente do titulo e
a) R$ 4.878,00.
b) R$ 5.000,00.
c) R$ 6.287,00.
d) R$ 1 0.250,00.
e) R$ 10.000,00.
25.
(Auditor da Receita Estadual do Amapa 2010 FGV) Antonio possui urn
investimento que da uma renda liquida de 0,6% ao mes (no sistema de
juros compostos) e deseja dar a sua filha uma renda mensal perpetua de
R$ 450,00. A quantia que Antonio deve investir para que sua filha tenha
essa renda e de:
a) R$ 45.000,00
b) R$ 27.000,00
c) R$ 54.000,00
d) R$ 72.000,00
e) R$ 75.000,00
26.
(Auditor Fiscal da Receita Estadual SFARJ 2014 FCC) Uma institui~ao de
ensino recebera R$ 10.000,00 por ano, como uma doa~ao a perpetuidade.
Considerando os juros efetivos de 12,5% ao ano, entao o valor atual desta
doa~ao sera igual a
a) R$ 90.000,00 caso a doa~ao seja antecipada.
b) R$ 77.500,00 caso a doa~ao seja postecipada.
c) R$ 80.000,00 caso a doa~ao seja antecipada.
d) R$ 82.500,00 caso a doac;ao seja postecipada.
e) R$ 87.500,00 caso a doac;ao seja antecipada.
27.
(Analista de Controle lnterno SEFAZ/RJ 2011 FGV) Urn individuo comprou
por R$ 200.000 urn titulo que rende uma anuidade de R$ 10.000. A taxa
de juros muda para 10% ao ano e, assim, o valor do titulo agora e
a) R$ 1 00.000.
b) R$ 1 50.000.
c) R$ 400.000.
d) R$ 300.000.
e) R$ 250.000.
28.
(Auditor do Tesouro Municipal de Recife 2014 FGV) Uma pessoa investe
urn montante de x reais para garantir urn recebimento anual perpetuo de
1 00 rea is. Sabendo que esse montante e remunerado a taxa de 1% ao a no,
0 valor de X e igual a:
a) 10.
b) 100.
c) 1000.
d) 10000.
e) 100000.
quisi~ao de um
adas na tabela
0
0
ulo da
diferen~a
e
mento agricola
pamento custa
riodo, tern valor
de R$ 2.000,00.
do locador.
ano, o valor do
mento e, aproxi·
3 78
Maternatica Financeira Sirnplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
29.
(Analista Bancario BNB 2014 FGV) Fernando possui urn titulo que tern taxa
de desconto de 0,75% ao rnes e que paga rnensalrnente a quantia de R$
~00,0~, perpetuarnente. Se Fernando quiser v~nder esse titulo, o seu pre~o
JUStO e de:
a) R$ 12.000,00
b) R$ 67.500,00
c) R$ 90.000,00
d) R$ 1 20.000,00
e) R$ 675.000,00
30.
(Oficial de Fazenda SEFAZ-RJ 2011 CEPERJ) Urna a~ao prornete pagar divid~~dos no valor de $ 4,0/a~ao. Estirna-se que, nos anos posteriores, os
d1v1dendos cres~arn a taxa constante de 5% ao ano. Se o custo de oportu-
nidade do capital e de 14% ao ano e os dividendos sao considerados urna
perpetuidade, 0 valor presente dos dividendos sera:
a) $ 44,44
b) $ 80,00
c) $ 28,57
d) $31,25
e) $ 50,44
9.1. Conceito
Amortizac;;ao e
ser originada, por
Suponha que
concurso, depois
sucesso foi alcan<;
Dai voce pens
computador porta
chegar a loja e per
que voce imaginav
Mas nao se des
para casa hoje me
Dai, o vended
Vai sera perder d
ainda que nao vai
liquidada, sera am
Supondo que
desta situac;;ao ser
5.00
mpos
que tern taxa
uantia de R$
, o seu pre~o
Amortiza({ao
e pagar diviteriores, os
o de oportuerados urna
9.1. Conceito
Amortizac;;ao eo pagamento de uma dfvida por meio de parcelas sucessivas. A divida pode
ser originada, por exemplo, de urn emprestimo ou de uma compra a prazo
Suponha que voce agora e urn Auditor-Fiscal da Receita Federal. Acabou de passar no
concurso, depois de meses continuos de prepara<;ao intensiva e desgastante! lmporta que o
sucesso foi alcan<;ado e, com ele, a recompensa dos justos. o primeiro contracheque!
Dai voce pensa agora vou realizar urn antigo sonho de consumo, que eo de comprar urn
computador portatil, urn notebook . Pode ser? Entao, que seja! Qual nao foi a sua decepc;;ao, ao
chegar a loja e perceber (com espanto) que o salario inicial do AFRF nao e aquelas coisas todas
que voce imaginava, de modo que nao da para voce fazer a sua compra a vista!
Mas nao se desespere! Ainda existe o borne velho crediario! Claro! Vou levar o computador
para casa hoje mesmo e ficar pagando por ele em varias presta<;oes .
Dai, o vendedor se aproxima e pergunta. "Vai ser a vista?" Ao que voce responde "Nao!
Vai sera perder de vista!" (Vase acostumando com essa resposta ..... ) . E de quebra, voce decide
ainda que nao vai pagar nada de entrada, de modo que o valor da sua compra sera paga, sera
liquidada, sera amortizada, em seis stwves prestac;;oes mensais, a primeira daqui a urn roes.
Supondo que o valor do seu notebook seja, a vista, de R$ 5 000,00, teremos que o desenho
desta situac;;ao sera exatamente o seguinte~
5.000,
p
p
p
p
p
p
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
380
A respeito da taxa dessa operac;ao, voces acham que o comercio trabalha com taxas simples
ou compostas? Ora, obviamente que com taxas compostas
Olhando para a situac;ao acima, identificamos tres caracteristicas, que irao marcar uma
operac;ao de Amoniza<;:ao Sao elas:
1")
Esta Lei e a
hip6tese alguma
Quando diss
para resolvermo
Parcelas (prestac;oes) de mesmo \'a lor.
2")
Parcelas em intef\·alos de tempo iguais.
3")
Taxa no Regime Composto (taxa de juros compostos).
9.3. Formula
Ora, se bem nos lembrarmos, sao essas as mesmas tres caracterfsticas presentes em uma
operac;ao de Rendas Certas . Nao e isso? Exatamente! E a razao disso e a seguinte a Amortizac;ao
E a seguinte
e uma situac;ao particular de Rendas Cenas
E facil notar, portanto, que nao havera nenhuma dificuldade em identificarmos uma questao de Amortizac;ao. Serao \·arias parcelas, de mesmo valor, mesma periodicidade e no regime
composto, sef\·indo para liquidar um valor anterior.
Nota ram a s
Certas? Compar
financiado deve
para que se ver
9.2. Desenho Modelo da Questao de
Amortiza~ao
nas parcelas.
Da mesma fonna que aprendemos um descnho moclclo para as Rendas Certas, tambem
hm·era urn para as operac;oes de Amortiza<;:ao. E o seguinte
Analisemos
-7 T eo va
pagamento sera
e pergunte o va
T
sozinho todas a
-7 p e 0 val
Da mesma form
Esta e a primei
-7 a este a
no formato a..,_
n
p
p
p
p
p
p
Serle de Parce
Fator A. Daqu
Para que serve esse descnho modclo? Para nos lembrarmos de uma lei, que sera usada por
-7 n o sign
das Rendas Ce
n6s sempre que formos aplicar a Formula da Amortizac;ao.
-7 i: taxa d
-7 a n ..,_ este
"Lei da Amortizac;ao"
1
Para efeito de utilizac;ao da formula de Amortizac;ao, a primeira
no capitulo de
parcela deveni estar sempre ao final do primeiro periodo.
ele e obtido po
E a quem chamamos de pe1ioclo, nesta lei acima? Periodo sera o intervalo entre as parcelas.
Ou seja. se as parcelas sao mensais, o pe1iodo e o mes (e a primeira parcela tera que estar ao
final do primeiro mes); se as parcelas sao bimestrais,
0
periodo da questao e
0
bimestre (e a
primeira parcela tera que estar ao final do primeiro bimestre); e assim por diante.
Campos
Capitulo 9 -
Amortiza~ao
om taxas simples
Esta Lei e a informac;ao crucial do assunto Amortizac;ao Nao podemos esquece-la sob
rao marcar uma
hip6tese alguma!
Quando dissemos pam efeito de aplicar;ao da f6nnula e porque s6 havera uma (mica f6nnula
para resolvermos as questoes de Amortizac;ao. Vejamos.
9.3. Formula da
esentes em uma
e a Amortizac;ao
Amortiza~ao
E a seguinte
T = P. a..,_
n 1
armos uma ques-
dade e no regime
Nota ram a semelhanc;a da formula da Amortizac;ao com a formula do Valor A.tual de Rendas
Certas? Compareml Na verdade, nao sao semelhantes sao iguaisl Isso ocorre porque o valor
financiado deve ser exatamente igual ao valor descontado (ou valor atual) dos pagamentos,
para que se verifique a equivalencia financeira entre estes ultimos e o valor que foi cliluido
nas parcelas.
Certas, tambem
Analisemos cada elemento da formula da Amortizac;ao:
-7 T eo valor Total, que sera financiado (ou amortizado), ou seja, e aquele valor cujo
pagamento sera diluido em varias prestac;oes Caso a questao fornec;a o valor das prestac;oes
e pergunte o valor que foi amortizado, entao esse valor T, uma vez calculado, representara
sozinho todas aquelas parcelas P
-7 p e 0 valor das parcelas (ou prestac;oes), com as quais amortizaremos um valor anterior
Da mesma forma que nas Rendas Certas, aqui tambem terao de ser parcelas de mesmo valor
Esta e a primeira caracterfstica de uma operac;ao de Amortizac;ao .
-7 a este a participa de um fator Sozinho, ele nao representa ninguem, mas quando esta
no formato a..,_
entao ele passa a sianificar
o que chamamos de Fa tor de Valor Atual de uma
n t'
b
p
Serle de Parcelas, que simplificamos para Fator A de Rendas Certas, ou mais ainda para
Fator A. Daqui a pouco falaremos mais acerca deste Fator
e sera usada por
-7 n o significado deste n na Amortizac;ao sera o mesmissimo que !he atribuimos no estudo
das Rendas Certas, ou seja, aqui tambem n sera o numero de parcelas
-7 i: taxa de juros compostos.
-7 a n ..,_ este e o fa tor de Valor Atual para uma Serie de Parcelas. Eo mesmo fa tor que vimos
1
eira
no capitulo de Rendas Certas, exatamente no calculo do Valor AtuaL Portanto,ja sabemos que
.
ele e obtido por meio da tabela financeira ou com o uso das seguintes formulas:
entre as parcelas.
tera que estar ao
e
0
bimestre (e a
iante.
a•=
n 1
(l+i)"-1
(l+i)" ·i
ou a n •=
1
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Quando identificarmos que a questao e de Amortizac;ao, lembraremos que a formula
Consta
da Amortizac;ao faz uma exigencia a ser cumprida antes de ser aplicada Trata-se da mesma
exigencia da formula de Rendas Certas: e preciso que a unidade da taxa seja a mesma que ha
entre o intervalo das parcelas Se as parcelas da amortizac;ao sao mensais, entao teremos que
Onde:
-7
-7
-7
-7
trabalhar com uma taxa ao mes; se as parcelas da amortiza<:;ao sao trimestrais, teremos que
trabalhar com uma taxa ao trimestre, e assim por diante
Caso essa exigencia ja nao venha observada no enunciado, teremos que alterar a unidade
da taxa, aplicando o conceito de Taxas Equivalentes
Aqui ja
Na maioria das vezes as questoes ja trazem cumprida essa exigencia. 0 que nao quer dizer
Lanc;ando
que isso seja uma regra E possfvel que na proxima prova a questao apresente essa incompatibilidade, e nos obrigue a alterar a unidade da taxa composta
E agora
delas? AT
Primeiras Questoes de Amortiza<;ao:
Exemplo 1 - Uma loja vende urn determinado notebook por R$ 5.000,00. Uma
pessoa resolve comprci-Jo, pagando por ele seis presta~oes mensais e iguais,
a primeira delas com vencimento em urn mes. Considerando uma taxa de juros
compostos de 3% ao mes, qual sera o valor da presta~ao?
nome para
Novam
TAB
Solw:;ao: Vamos tentar identificar o assunto da questao. 1~) Existem varias presta<:;oes de mesmo
valor? Sim! 2°) 0 intervalo entre as parcelas e sempre o mesmo? Sim! 3°) A taxa da operac;ao e
de juros compostos? Sim! Daf, ja sabemos que podemos estar diante (eventualmente) de uma
questao de Rendas Certas ou de Amortiza<:;ao.
A questao nao nos pede para calcular o Valor Atual nem o Montante das parcelas, mas sim
o valor das seis prestac;oes que liquidarao o financiamento de R$ 5.000,00 . Isso significa que
estamos diante de uma questao de Amortizac;ao.
Desenhando a questao, conforme dispoe o enunciado, teremos:
ri{
0,9
1,9
2,9
3,0
4,8
5,7
6,7
1
2
3
4
5
6
7
5.000,
...
18
16
A Tabe
da tabela
Neste
p
p
p
p
p
p
Agora, nos perguntamos esse desenho acima ja esta de acordo com o desenlw modelo da
Amortizac;ao? Em outras palavras a primeira parcela esta ao final do primeiro periodo? Sim!
Obserwmos que o periodo eo mes, porque as parcelas sao mensais; e a primeira parcela esta
ao final do primeiro mes, logo, ao final do primeiro periodo
da coluna
Dai, t
-7 50
-7 Fa
Capitulo 9 -
ber Campos
mos que a formula
Constatado isso, a formula esta pronta para ser empregada Teremos
Trata-se da mesma
eja a mesma que ha
, entao teremos que
Amortiza~ao
T
= P.
a...,_
n 1
Onde:
-7
-7
-7
-7
estrais, teremos que
ue alterar a unidade
T = 5000 (o valor a ser amortizado);
P =? (o valor da prestac;ao, que estamos procurando);
n = 6 (sao 6 parcelas mensais);
i = 3% ao mes (juros compostos).
Aqui ja temos cumprida a exigencia da formula a taxa e mensa! e as parcelas sao mensais.
que nao quer dizer
sente essa incompa-
Lanc;ando os dados na formula, teremos que
-7 T =Pan..,, -7 5000 = P a 6 .., 3 ,~c.
E agora, como faremos para calcular o fa tor a 6..., 3%? Recorrendo a Tabela Financeira. A qual
delas? ATabela do Fator de Valor Atual de uma Serie de Parcelas, que simplificaremos o
nome para Tabela do Fator A, que ja usamos no capitulo de Rendas Certas.
R$ 5.000,00. Uma
mensais e iguais,
uma taxa de juros
Novamente apresentamos a tabela do Fator A
TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SERlE DE PAGAMENTOS
a-,
=
11
presta<:;oes de mesmo
(l+i)" -1
!
i (1 + i)"
A taxa da operac;ao e
ntualmente) de uma
as parcelas, mas sim
00 . Isso significa que
ri{
1%
2%
3%
4%
5%
1
2
0,990099
1,970395
2,940985
3,091965
4,853431
5,795476
6,728194
0,980392
1,941561
2,883883
3,807728
4,713459
5,601431
6,471991
0,9708/4
1,913469
2,828611
3,717098
4,579707
5,417191
6,230283
0,961538
1,886094
2,775091
3,629895
4,451822
5,242137
6,002054
0,9J2381
1,859410
2,723248
3,545951
4,329476
5,075692
5,786373
16,398268
14,992031
13,753513
12,659297
11,689587
3
4
5
6
7
...
18
...
10%
0,909091
1,735537
2,486852
3,169865
3,790787
4,355261
4,868419
..
8,201412
A Tabela tem tres elementos taxa (i), mlmero de parcelas (n) e o fa tor (an•) que esta no miolo
da tabela . Conhecendo dois elementos, encontraremos um terceiro elemento, desconhecido
Neste caso, descobriremos o fa tor a6 ..,J%' que sera igual ao valor que esta no cruzamento
p
o desenlw modelo da
meiro periodo? Sim!
primeira parcela esta
da coluna i=3% com a linha n=6 . Ou seja
Dai, teremos que
-7 5000 = P a-,
. -7 5000 = P 5,417191 -7 P = 5000/5,417191
6 3"b
-7 Fazendo a divisao, teremos: P = 922,98 -7 Resposta!
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
Sera esse o valor das prestac;oes. Agora, se quisessemos saber o q~anto de Juras iremos
pagar nessa compra a prazo, teremos que fazer o seguinte:
l Q) Samar as prestac;oes:
Foram 6 parcelas, cada uma a RS 922,98 Dai
-7 Total das Parcelas = l:P = 6 x 922,28 -7 E: l:P = 5.533,68
2Q) Subtrair esse total das parcelas pelo valor do bem a vista:
-7 5 533,68- 5000 = R$ 533,68 =Juros!
E esse o valor adicional que teremos que desembolsar, por estarmos financiando a nossa
compra. E esse o valor dos Juras
Passemos a outro exemplo
Conclusao se
(pagamento feito
Por meio de um
Exemplo 2 - (ESAF) Uma compra no valor de $ 10.000,00 deve ser paga com
uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado em doze presta~oes mensais
iguais, vencendo a primeira presta~ao ao fim de um mes, a l!ma taxa de 4% ao
mes. Considerando que este sistema de amortiza~ao corresponde a uma anuidade
ou renda certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor
e que os termos da anuidade correspondem as presta~oes, calcule a presta~ao
mensa!, desprezando os centavos.
a) $ 900,00.
d) $ 852,00.
b) $ 986,00.
e) $ 1.065,00.
c) $ 923,00.
p
Soluc;ao: 0 enunciado vem nos falar de uma compra a prazo, que sera feita como pagamento
de doze prestac;oes. Ainda diz. " ... este sistema de amortizac;ao ... " Com estas infom1ac;oes,
ja podemos afirmar que se trata de uma questao de Amortizac;ao .
Antes de passarmos ao desenho da questao, uma ultima considerac;ao percebamos que
o enunciado falou no pagamento de uma entrada . Ora, em que data se paga uma entrada
qualquer? Na data da compra, obviamente Neste exemplo, foi dito que o valor do bem e de
RS 10 . 000 e que a entrada foi de 20% deste valor. Logo 10 . 000 x (20/100) = 2.000 . Encontramos o valor da entrada.
Teremos, poi
8000
Agora, sim!
Amortizac;ao. O
Feito isso, s6
Recorrendo
Dai: -7 800
Fazendo a d
9.4. Sistema
A maneira d
momenta repre
existem outros
diferentes desta
cada um deles c
Este sistema
arnortizac;ao tem
E este Sistem
Muitos de v
Dai, o desenho de nossa questao sera o seguinte:
10000
verdade? Vamo
+
+
+
+
p
p
p
p
p
p
p
p
p
+
+
p
p
9.4.1. Tabela
p
2000
Para que fiq
sistema diverso
Frances
Ora, se pensarmos no clcscnho moclclo da Amortizac;ao, lembraremos que ele nao admire
parcela de entrada. A lei da Amortizac;ao diz que, para efeito de aplicac;ao da formula, o valor
a ser amortizado tera que estar um periodo antes da primeira parcela.
Capitulo 9 -
pos
Juras iremos
Amortiza~ao
Conclusao sempre que a questao de Amortizac;ao apresentar um pagamento de uma entrada
(pagamento feito no dia da compra), teremos que desaparecer com ela! E como faremos isso?
Por meio de uma operac;ao algebrica valor do bcm a vista menos valor cia entrada .
Teremos, pois, o seguinle
8000
ando a nossa
r paga com
es mensais
a de 4% ao
ma anuidade
do devedor
a presta~ao
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
Agora, sim! 0 desenho da nossa questao assumiu o mesmo fom1ato do clcscnho moclclo da
Amortizac;ao. Ou seja, a primeira parcela agora esta um periodo apos a compra.
Feito isso, s6 nos resta aplicar a formula da Amortizac;ao. Teremos
-7 T = p
an-\
-7 8000 = p
al2 ..,4S•,
a tabela financeira, encontraremos a 12 ..,4% = 9,385074
-7 8000 = P. a 12.., 4% -7 P = 8000/9,385074
Recorrendo
o pagamento
infom1ac;oes,
Dai:
Fazendo a divisao, chegaremos a: -7 P = 852,42 -7 Resposta!
9.4. Sistema Frances de
cebamos que
uma entrada
do bem e de
.000 . Encon-
+
p
Amortiza~ao
A maneira de trabalhar as questoes de Amortizac;ao que estarnos vendo ate o presente
momenta representa apenas um tipo especifico de Sistema de Amortizac;ao Quer dizer que
existem outros sistemas? Ha outras formas de se trabalhar uma operac;ao de amortizac;ao,
diferentes desta que aprendemos? Sim! Existem varios e distintos sistemas de amortizac;ao,
cada um deles corn suas caracteristicas proprias .
Este sistema de arnortizac;ao que aprendernos a trabalhar, no qual todas as parcelas de
arnortizac;ao tem o mesrno valor, e chamado de Sistema Frances ou Sistema Price.
E este Sistema Frances que e arnplamente cobrado em provas de concursos fiscais
Muitos de voces possivelmente ja omiram falar na Amortizac;ao pela Tabela Ptice, nao e
verdade? Vamos falar agora mesmo sobre isso .
9.4.1. Tabela Price
p
e nao admire
mula, o valor
Para que fiquemos tranquilos, adiantamos que a Amortizac;ao pela Tabela Price nao e urn
sistema diverso de amortizac;ao. Trata-se apenas de urn caso particular do proprio Sistema
Frances
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Este caso particular sera, na wrdade, uma operac;ao de amortiza(;ao com cenas carac-
Soluc;ao A leitura q
teristicas especificas, mediante as quais se tornou usual falar em Sistema Price! Nao e uma
capitalizar;;ao mensal.
denomina(;ao muito adequada, uma vez que nao se trata, repetimos, de um novo sistema
cia questao sao os se
de amortiza(;ao
A essencia do que temos que saber sabre uma questao de amortizar;;ao P1ice e a informac;ao
seguinte~
a taxa de juros compostos fornecida pelo enunciado sera uma taxa nominaL
Estamos recordados que Taxa Nominal e aquela em que consta a palavra capitalizar;;ao
e em que a unidade da taxa e cliferente da unidade cia capitaliza(;ao . 56 que na questao de
amortizac;:ao Price, o enunciado fornecera a taxa, por exemplo, com as seguintes palavras:
"36% ao ano, Tabela Price"
Dai, a mera inscric;:ao "Tabela P1ice" ap6s o valor cia taxa, ja estara nos informando que
-7
-7
-7
-7
T = 80.0
n = 18 (
i = 48%
p =?
Logo de inicio, t
de Taxas Proporcion
-7 48% ao ano
Agora resta apli
se trata de uma taxa nominaL De modo que iremos ler essa taxa assim: "36% ao ana, com
capitaliza(;ao ... "
Com capitaliza(;ao o que? Ora, na questao de arnortiza(;ao havera, e ja sabemos disso, urna
Recorrendo
a ta
serie de parcelas de rnesmo valor e de mesma periodicidade Dai, o tempo de capitaliza(;ao cia
taxa P1ice sera o rnesmo tempo que se verifica entre as parcelas de amortiza(;ao.
Ou seja, em palavras mais faceis, se as parcelas de arnortizac;:ao sao parcelas mensais, a taxa
Dai -7 P = 100
Price vai ter capitalizac;ao mensa!; se as parcelas de arnortiza(;ao sao semestrais, a taxa Price vai
ter capitaliza(;ao sernestral; e assim por diante .
Quer dizer que, se encontrarmos urn enunciado em que se diga que um determinado bem
sera amortizado ern 10 parcelas mensais, a uma taxa de "36% ao ano, Tabela P1ice". Essa taxa
sera !ida por nos cia seguinte forma "36% ao ano, com capitaliza(;ao mensa]".
9.4.2. A Composi
Outra coisa inte
Se outra questao disser que uma mercadoria vai ser comprada em 15 parcelas trimestrais,
(que sao sernpre ig
a urna taxa de "48% ao ano, Tabela Plice", entao entenderemos essa taxa como sendo "48%
Ou seja: Parcel
Embora neste s
ao ana, com capitalizac;:ao trimestral".
Em suma. a taxa Price sera sempre uma taxa nominaL
Uma vez que nos traduzinnos a taxa P1ice para uma taxa nominal, trabalharemos o restante
cia questao normalmente, sem qualquer diferen(;a com o que ja foi aprendido. Obviamente
composic;ao clifere
questao:
T ( = va
que essa taxa nominal tera que ser, de imediato, transformada numa taxa efetiva, par meio do
conceito de taxas proporcionais. Mas isso ja nao
e nenhuma novidade para nos .
A ESAF praticamente nunca usa essa nomenclatura de ta..xa Plice, masse o fizer, nao vai
haver mais nenhum problema Passemos a urn exemplo.
Exemplo 3 - Um automovel importado no valor de R$ 100.000,00 devera ser
pago em 18 presta~oes mensais, a uma taxa dejuros de 48% ao ano, tabela Price.
Determine o valor da presta~ao.
Pelo desenho a
cada nova parcela
Capitulo 9 -
Amortiza~ao
Nao e uma
Soluc;ao A leitura que fm·emos da taxa Price fornecida acima sera a seguinte 48% ao ana, com
capitalizar;;ao mensal. Isso porque as parcelas de amortizac;ao sao mensais . Dai, nossos dados
vo sistema
cia questao sao os seguintes
nas carac-
nformac;ao
ominaL
pitalizar;;ao
questao de
s palavras:
mando que
-7
-7
-7
-7
T = 80.000
n = 18 (sao 18 parcelas!)
i = 48% a.a., com capitalizac;ao mensal
p =?
Logo de inicio, transformaremos a Taxa Nominal numa Taxa Efetiva. Aplicando o conceito
de Taxas Proporcionais, teremos que~
-7 48% ao ano = (48112) = 4% ao mes =Taxa Efetiva!
Agora resta aplicar a formula da Amortizac;ao Teremos
T
ana, com
= P. a n-,. -7 P = T I a n-,.
1
1
Oat P = 100 . 000 I A18-,,,,.
disso, urna
Recorrendo
a tabela financeira, encontraremos que
liza(;ao cia
sais, a taxa
a 18-, 4% = 12,659297
Dai -7 P = 100.000112,659297
-7 E: P = 7.899,33
xa Price vai
inado bem
. Essa taxa
9.4.2. A Composi~ao das Parcelas de Amortiza~ao no Sistema Frances
Outra coisa interessante para aprendermos as parcelas de amortizac;:ao do Sistema Frances
imestrais,
ndo "48%
(que sao sernpre iguais) sao formadas par duas partes cota de amortizac;ao e juros.
Ou seja: Parcela (P) = Cota de Amortizac;ao (A) +Juras Q)
Embora neste sistema todas as parcelas de amortizac;ao sejam iguais, cada parcela tem uma
composic;ao cliferente cia outra. Vejamos o desenho abaixo, para elucidar urn pouco mais a
o restante
bviamente
questao:
T ( = valor a ser amortizado)
ar meio do
er, nao vai
evera ser
ela Price.
~
.L
p
p (= parcelas iguais!)
,--
r-
13
r--
].;
Jl
12
-
1-1--
AI
Pelo desenho acima, vemos que,
A2
A4
A3
a medida que avanc;:am os pagamentos das par(elas, para
cada nova parcela diminui o valor dos Juros e au menta o valor cia Cota de Amortizac;ao.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
Qual o nosso interesse em saber disso? Vejamos a questao abaixo.
Exemplo 4 - (ESAF) Uma pessoa obteve urn emprestimo de $ 120.000,00, a uma
taxa de juros compostos de 2% a.m., que devera ser pago em 10 parcelas iguais.
0 valor dos juros a ser pago na 8• (oitava) parcela e de:
a) $ 5,00;
d) $ 5.187,00;
b) $ 51 ,00;
e) $ 770,00.
c) $ 518,00;
Retomando n
parcela Descobr
da setima parce
pagar a setima p
120.000
Solu<;ao: Trata-se de uma questao urn tanto quanto rara. Mas foi cobrada em 1985 e ja caiu
em uma ou outra ocasiao, em provas posteriores a essa. Entao o melhor mesmo e conhecermos esse calculo.
Aprendamos, pois, que os juros de uma dada prestac;ao serao sempre calculados sabre
o saldo devedor do periodo imediatamente anterior
Vamos conhecer mais detalhes sabre o saldo devedor.
A propon;;ao que pagamos as prestac;oes, o saldo devedor (a dfvida) vai diminuindo, e
iguala-se a zero quando pagamos a 1.Htima prestac;ao Mostraremos a variac;ao do saldo devedor
no desenho dessa questao.
p
Ora, se quere
simplesmente ig
ainda. Teremos
120
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
No desenho acima, as setas azuis representam o saldo devedor ap6s o pagamento da cada
prestac;ao. 0 que significa SD 1? Eo saldo devedor ap6s o pagamento da primeira presta<;:ao .
0 que significa SD/ Eo saldo devedor ap6s o pagamento da segunda presta<;:ao. E assim por
diante, ate chegarmos ao SD 10 que e o saldo devedor ap6s o pagamento da ultima presta<;:ao,
e, portanto, igual a zero.. E o que significa SD0 ? E o saldo devedor inicial, que neste caso e o
valor tornado no emprestimo .
Se o objetivo e descobrir o valor dos Juros presentes na oitava parcela, comec;aremos descobrindo o saldo devedor ap6s o pagamento da setima parcela (SD 7), que e a anterior a
oitaYa. Para isso, teremos, inicialmente, que descobrir o valor da parcela P Assim, aplicaremos
diretamente a formula da Amortiza<;:ao. Teremos:
-7 T = P. an--,i -7 P = T I a"--,1 -7 Dai: P = 120.000 I a 10- , 2 "'
Recorrendo a Tabela Financeira, encontraremos que:
a 10--, 2""'=8,982585
-7 Dai P = 120.000 I 8,982585 -7 P:::::; 120.000 I 9
Para descob
X= P. an--,i -
Consultando
Dai: -7 X=
Feito isso, o
juros de um
determina
presta<;ao
pos
0,00, a uma
elas iguais.
Capitulo 9- Amortiza~ao
Retomando nosso raciocfnio queremos descobrir o valor dos juros presentes na oitava
parcela Descobrimos o valor de P, e vamos agora saber o saldo devedor ap6s o pagamento
da setima parcela Vamos visualizar o desenho da questao quando tivermos tem1inado de
pagar a setima parcela
120.000
985 e ja caiu
o e conhecer-
ulados sabre
p
iminuindo, e
aldo devedor
p
p
p
p
___y
p
p
p
\.._
p
p
~----~
"Parcelas a pagar!"
"Parcelas Pagas!"
Ora, se queremos achar o saldo devedor ap6s o pagamento da setima parcela (SD 7), vamos
simplesmente ignorar aquelas presta<;:oes ja pagas e tentar descobrir o quanta falta ser pago
ainda. Teremos
- - · - - - -. . _ _ _ _ . . .····r"
1
120.000
---~
p
mento da cada
ira presta<;:ao .
o. E assim por
ma presta<;:ao,
neste caso e o
c;aremos dese a anterior a
, aplicaremos
........... .......
~
I
.c~-~~:)······-.....
~
~
~
p
p
p
Para descobrir esse saldo devedor (X), aplicaremos novamente a Amortiza<;:ao. Teremos
X= P. an--,i -7
X= 13.333,00. a 3--, 2%
Consultando a Tabela Financeira do fator A, encontraremos que
a 3--, 2""'=2,883883
Dai: -7 X= 13.333,00. 2,883883 (s6 multiplicaremos depois)
Feito isso, o calculo dos juros da oitava parcela ja pode ser calculado Da seguinte forma
juros de uma
determinada
presta<;ao
taxa de juros
X
Saldo Devedor ap6s o
pagamento da
prestac;ao anterior
(}9Q)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
~~--------------------~----~----------~~------------~----------
Dai, teremos:
-7
-7
-7
-7
-7
juros da 8" Parcela = Taxa x (saldo devedor ap6s a 7" parcela)
juros da 8" Parcela = 0,02 x (13 333,00 x 2,883883)
Ora, como
perguntar apen
dizer a mais? T
Entendido?
juros da 8" Parcela = 266,66 x 2,883883
juros da 8" Parcela 2:: 266,66 x 2,88
Exemplo 5 parcelas men
uma taxa dej
Juros da 8" Parcela 2:: 768,00
Resposta -7 Alternativa A- 770,00
A diferenc;a entre o valor encontrado e a resposta e devida as aproximac;oes realizadas nos
calculos.
Se esta mesma questao tivesse perguntado o valor da Cota de Amortizac;ao desta oitava
parcela, diriamos que
-7 Parcela = Cota de Amortizac;ao + juros
-7 Dai Cota de Amortizac;ao = Parcela- juros 2:: 13..333,33- 770
-7 E Cota de Amortizac;ao 2:: 12.563,33
Soluc;ao: Traba
-7
-7
-7
Tot
Nu
Tax
De posse d
1Q Passo- Di
9.5. Sistema de
Amortiza~ao
Constante- SAC
Passaremos a estudar "urn assunto que e normalmente cobrado em concursos bancirios
(Caixa Economica Federal, Banco do Brasil etc) e, mais raramente, para cargos fi.scais.
Como sabemos, existem diferentes Sistemas de Amortiza(ao! Ou seja, existem diferentes
formas de se fazer diluir uma determinada ob1iga(ao inicial em varias prestac;oes.
Uma dessas formas eo chamado S.A . C- Sistema de Amortizac;ao Constante.
remos esse re
2il Passo- M
3" Passo - S
primeira parc
¥ Passo - M
zac;ao A).
5" Passo - C
parcela anteri
Quale a caracteristica principal deste sistema? Eque o valor das prestac;oes ira decrescendo,
uma a uma Ilustrativamente, teremos o seguinte:
Voltemos a
-7
-7
-7
No desenho acima, ha urn valor Total que sera amortizado, ou seja, sera diluido naquelas
I=
n=
i=
Dai, farem
1D) 10
2°) 10
3D) P1
4") 2.0
5D) Ca
P2
P3
cinco prestac;oes Como tal amortizac;ao se clara mediante o SAC, percebamos que as prestac;oes
P4
tern valores decrescentes, a partir da primeira..
P5
Total
Pl
r--
P2
-
P3
r--
P4
r--
P5
n
Capitulo 9- Amortiza~ao
ampos
~----------
es realizadas nos
;ao desta oitava
ursos bancirios
os fi.scais.
istem diferentes
oes.
ante.
Ora, como se trata de prestac;oes de diferente valor, jamais uma questao de SAC poderia
perguntar apenas Indique o valor da presta(CiO, Estaria incompleta a pergunta! 0 que ele teria que
dizer a mais? Teria, obviamente, que especificar qual a parcela que pretende descobrir o valor
Entendido? Passemos a um exemplo.
Exemplo 5 - joao pretende pagar uma quantia de R$ 10.000, por meio de cinco
parcelas mensais, usando o Sistema de Amortiza<:ao Constante. Considerando
uma taxa dejuros compostos de 3% ao mes, obtenha o valor da quarta presta<:ao.
Soluc;ao: Trabalharemos a questao de SAC com base nos tres seguintes dados:
-7
-7
-7
Total a ser amortizado: T
Numero de parcelas n
Taxa da operac;ao i
De posse desses tres elementos, faremos o seguinte.
PASSO A PASSO DO SAC:
1Q Passo- Dividiremos o Total a ser amortizado (T) pelo numero de parcelas (n), e chama-
remos esse resultado de A (quota de Amortizac;;ao).
2il Passo- Multiplicaremos o Total (T) a ser amortizado pela taxa (i).
3" Passo - Somaremos os resultados dos dois passos acima, e chegaremos ao valor da
primeira parcela PL
¥ Passo - Multiplicaremos a taxa (i) pelo resultado do primeiro passo (quota de amortizac;ao A).
5" Passo - Calcularemos os valores das demais parcelas, tomando-se sempre o valor da
parcela anterior e subtraindo-se dela o valor encontrado no quarto passo.
ira decrescendo,
diluido naquelas
ue as prestac;oes
Voltemos ao nosso exemplo, Tfnhamos que:
-7
-7
-7
I= 10 000,00
n = 5 parcelas
i = 3% ao mes
Dai, faremos
1D) 10 . 000/5 = 2.000,00 -7 A= 2000
2°) 10.000 X 0,03 = 300,00
3D) P1= 2,000 + 300 -7 P1 = 2.300,00
4") 2.000,00 X 0,03 = 60,00
5D) Calculo das demais presta~·oes:
P2 = 2 . 300-60 -7 P2 = 2240,00
P3 = 2240-60 -7 P3 = 2 ..180,00
P4 = 2 180-60 -7 P4 = 2 . 120,00
P5
=
2.120-60 -7 P5 = 2.060,00
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Para termos certeza de que acertamos as contas, basta reparar que o valor da ultima parcela
sera sempre a soma do resultados do primeiro e do quarto passos
Vejamos~
Resultado do P Passo 2.000,00
Resultado do 4° Passo: 60,00
Valor da ultima parcela: 2 060,00
Uma questao pode perguntar ainda outra coisa, alem do valor de uma das parcelas Ela
pode perguntar o valor dos juros presente em uma parcela qualquer
Precisamos saber que cada parcela e composta por duas partes: quota de amortizac;ao e juros.
Ou seja Parcela = Cata de Amartizac;;aa +Juras
Com os passos que aprendemos acima, vimos como se calculam a Cora de Amortizac;ao e
o valor da parcela Dai, basta agora dizer que.
Juras = Parcela- Cata de Amartizac;aa
Passemos a mais exemplos.
Exemplo 6 - Maria pretende pagar uma quantia de R$ 20.000, por meio de dez
parcelas mensais, usando o Sistema de Amortiza~ao Constante. Considerando
uma taxa dejuros compostos de 5% ao mes, obtenha o valor da setima presta~ao.
Saluc;aa: Nossos dados agora sao os seguintes
-7 T = 20 . 000,00
-7 n = lO parcelas
-7 i = 5% a.m.
Iniciemos nossos passos de resoluc;ao:
1°)
20.000/10
2°)
20 . 000
3°)
P1
=
X
=
2.000.00 -7 A= 2000
0,05 = 1000,00
2.000 + 1000 -7 P1 = 3.000,00
4°)
2 . 000.00
5°)
Calculo das demais prestac;oes:
X
0,05
=
100,00
P2 = 3.000- 100 -7 P2 = 2.900,00
P3 = 2.900- 100 -7 P3 = 2.800,00
P4 = 2.800-100 -7 P4 = 2.700,00
PS = 2.700-100 -7 PS = 2.600,00
Nao e prec
SAC formam u
(FA) Para qu
o proximo val
Tomemos
(3000,290
E uma PA.
no caso da Am
PA decrescen
Se quisesse
\·alor da razao
-7 P2 = P1
Te1iamos.
Se quisesse
-7 P3 = P1
Teriamos
Se quisess
-7 P4 = P1
Teriamos.
Enfim, gen
-7 Pk = P1
Sabendo d
valores da seg
-7 Pk = P1
-7 P7 = P1
-7 P7 = 2
Se esta me
diriamos que
Parcela =
Logo.
Juras = P
Juras = 2
P6 = 2.600- 100 -7 P6 = 2.500,00
P7 = 2.500- 100 -7 P7 = 2.400,00 -7 RESPOSTA!
Caso queiramos chegar ao valor das demais parcelas (o que nao sera necessaria na hora
da prova), faremos.
P8 = 2.400- 100 -7 P8 = 2.300,00
P9 = 2.300- 100 -7 P9 = 2.200,00
P10 = 2.200
100 -7 P10 = 2.100,00
Exemplo 7 parcelas me
taxa dejuros
Saluc;aa: Tem
-7 T
-7 n
-7
i
=
Campos
da ultima parcela
das parcelas Ela
ortizac;ao e juros.
de Amortizac;ao e
r meio de dez
Considerando
ima presta~ao.
ecessaria na hora
Capitulo 9 -
Amortiza~ao
Nao e preciso ser assim tao observador para reparar que as parcelas de amortizac;ao do
SAC formam uma seql}encia numerica que se identifica com a chamada Progressao Aritmetica
(FA) Para quem esta mais esquecido, a PA e aquela sequencia de valores numericos em que
o proximo valor sera sempre o anterior somado a uma constante (chamada razao)
Tomemos as parcelas deste nosso exemplo
(3000,2900,2800,2700,2600, 2500,2400,2300,2200,2100}
E uma PA.? Claro I Trata-se de uma FA. decrcscente, uma vez que a razao e negativa. Ora,
no caso da Amortizac;ao pelo SAC, ocorrera sempre esta situac;ao: as parcelas formarao uma
PA decrescente
Se quisessemos descobrir o valor da segunda parcela, conhecendo o valor da primeira e o
\·alor da razao, fariamos assim
-7 P2 = P1 + razao
Te1iamos. P2 = 3000 + (-100) -7 P2 = 2900
Se quisessemos calcular a terceira parcela, fariamos:
-7 P3 = P1 + 2 (razaa)
Teriamos P3 = 3000 + 2 (-100) -7 P3 = 2800
Se quisessemos calcular a quarta parcela, fariamos
-7 P4 = P1 + 3 (razao)
Teriamos. P4 = 3000 + 3 (-100) -7 P4 = 2700
Enfim, generalizando, para descobrirmos o valor da k-esima prestac;ao, faremos assim
-7 Pk = P1 + (k-l}razao
Sabendo disso, para chegarmos ao valor da setima parcela, nem seria preciso calcular os
valores da segunda, terceira, quarta etc. ja seria possivel ir direto a setima! Como? Assim
-7 Pk = P1 + (k-1).razaa
-7 P7 = P1 + (7-l).razaa -7 P7 = 3000 + 6.(-100)
-7 P7 = 2.400,00 -7 RESPOSTA!
Se esta mesma questao estivesse perguntando o valor dos juros presentes na setima parcela,
diriamos que
Parcela = Cata de Amartizac;aa + Juros
Logo.
Juras = Parcela- Cata de Amartizac;aa
Juras = 2400- 2000 -7 J = 400,00 -7 Respasta!
Exemplo 7 - Pedro pretende pagar uma quantia de R$ 100.000, por meio de cern
parcelas mensais, usando o Sistema de Amortiza~ao Constante. Considerando uma
taxa dejuros compostos de 2% ao mes, obtenha o valor da nonagesima presta~ao.
Saluc;aa: Temos aqui os seguintes dados:
-7 T = 100.000,00
-7 n = 100 parcelas
-7 i = 2% a . m.
39
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
lniciemos nossos passos de resoluc;ao.
1~)
100.000/100 = 1.000,00 ~ A=l.OOO
2U) 100 . 000 X 0,02 = 2.000,00
3u) P1 = 1.000 + 2.000 ~ PI = 3.000,00
¥)
1.000,00 X 0,02 = 20,00
Aqui fica clara que nao convem calcularmos o valor de todas as parcelas, ate chegarmos a
nonagesima! Nao e 6bvio isso? Acabaria o tempo da prova e nao teriamos saido desta questao ...
Vamos ter que trabalhar com a Progressao Aritmetica.
Para tanto, basta lembrarmos que a razao sera o resultado do quarto passo, e que tera
sempre que ser considerada negativa .
Neste caso, temos que: razao = -20
Finalmente, para calculo da P90, faremos:
~
Pk = P1 + (k- 1).razao
~
P90 = P1 + (90- nrazao ~ P90 = 3000 + 89.(-20)
P90 = 1.220,00 ~ RESPOSTA!
E sea mesma questao estivesse perguntando o valor dos Juros presentes nesta nonagesima
parcela, diriamos que.
Parcela = Cota de Amortizac;ao +Juras
Logo: Juras = Parcela - Cota de Amortizac;ao
Juras= 1.220- 1000 ~ J = 220,00 ~ Resposta!
E
1.
(ESAF) U
mensais
os centav
que o fin
vence urn
a) R$ 3.1
b) R$ 2.0
c) R$ 1 .9
Soluc;ao: Esta e b
X
Temos que as
iguais entre elas)
urn valor anterior
e a mesma do int
Enfim, aplicac
Recorrendo
Dai
2.
~
a
T =2
(ESAF) N
R$ 2 5.00
em doze
pessoa c
abertura
nas mes
valor qu
a) R$ 1.4
b) R$ 1 .4
c) R$ 1.5
d) R$ 1.5
e) R$ 1.5
Capitulo 9- Amortiza~ao
pos
EXERciCIOS RESOLVIDOS DE AMORTIZA~AO
1.
chegarmos a
sta questao ...
o, e que tera
(ESAF) Uma pessoa faz uma compra financiada em doze presta~oes
mensais e iguais de R$210,00. Obtenha o valor financiado, desprezando
os centavos, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mes, considerando
que o financiamento equivale a uma anuidade e que a primeira presta~ao
vence urn mes depois de efetuada a compra.
a) R$ 3.155,00.
d) R$ 2.530,00.
b) R$ 2.048,00.
e) R$ 2.423,00.
c) R$ 1 .970,00.
Soluc;ao: Esta e bern simples! Fac;amos logo urn desenho da questao:
X
a nonagesima
12 parcelas de 210
Temos que as parcelas sao de mesmo valor; as parcelas sao mensais (inten•alos de tempo
iguais entre elas); a taxa e de juros compostos; as parcelas servem para liquidar (amortizar)
urn valor anterior; a primeira parcela ja esta ao final do primeiro periodo; e a unidade da taxa
e a mesma do intervalo entre as parcelas.
Enfim, aplicac;:ao direta da formula da Amortizac;:ao. Teremos:
~
Recorrendo
T = P. an..,i ~ T = 210. a 12-, 4%
a tabela financeira do fator A, encontraremos que
a 12-, 4% = 9,385074
Dai
2.
~
T = 210 x 9,385074
~
T = 1.970,
~
Resposta!
(ESAF) Na compra de urn carro em uma concessionaria no valor de
R$ 2 5.000,00, uma pessoa da urn a entrada de 50% e fin an ciao sal do devedor
em doze presta~oes mensais a uma taxa de 2% ao mes. Considerando que a
pessoa con segue financiar ainda o valor total do seguro do carro e da taxa de
abertura de credito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente,
nas mesmas condi~oes, isto e, em doze meses e a 2% ao mes, indique o
valor que mais se aproxima da presta~ao mensal do financiamento global.
a) R$ 1.405,51;
b) R$ 1 .418,39;
c) R$ 1.500,00;
d) R$ 1.512,44;
e) R$ 1.550,00.
(3J6J
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
~~----~~~~~~~~~~==~~~~~~~~~~~~~~~~-------
Solw:;ao: Vamos dividir nossa leitura dessa questao em duas partes. A primeira parte e formada
exatamente pelas tres primeiras linhas do enunciado. Fac,;amos, pois, de coma que a questao
fosse somente ate ali . Teriamos, portanto, um bem (um veiculo), que vale a vista RS 25 000,
mas que nao sera pago de uma s6 vez. Havera uma entrada de 50% do valor a vista, e 0 restame sera pago, diluido, liquidado, amortizado, em doze prestac;oes mensais. Se fosse 56
isso, teJiamos o seguinte desenho
En tao, ja com
e as duas outras
se somarmos tud
-7 Total a se
Dai, o desen
15.000
25.000
12 parcelas de valor P
Vejamos que
12.500
Teremos, pois, q
Estes 12.500 correspondem a entrada, que vale exatamente a metade (50%) do bema
vista! Ora, aqui encontramos o que? Parcelas de mesmo valor, dispostas em intervalos de
tempo iguais, e sujeitas a uma taxa de juros compostos. E elas servem para que? Para pagar,
amortizar, um valor anterior.
Estamos diante de uma questao de Amortizac;ao. Contudo, sabemos que o dcscnlw modelo
da Amortizac;ao nao admite que exista parcela de entrada . Logo, fazendo a soma algebrica,
desapareceremos com a entrada. Teremos:
Consultando
Dai, teremos
-7 P = 1500
3.
12.500
(ESAF) U
anuidad
no valo
presta~
l2 parcelas de valor P
Estaria quase tudo terminado, se fosse s6 isso! Ocorre que o enunciado complementou os
dados iniciais, afirmando que a pessoa que esta fazendo a compra a prazo (o financiamento)
conseguiu tambem financiar dois outros valores (R$ 2 300,00 e R$ 200,00), referentes a pagamentos de seguro e de taxa de abertura de credito .
Ora, quando a questao afirma que ele conseguiu tambem financiar estes valores, esta
querendo dizer que essas duas quantias adicionais (seguro e taxa de abertura de credito) vao
ser tambem diluidas, amortizadas, nas varias prestac;oes, juntamente com o valor do veiculo
que ainda resta ser pago.
o financ
urn aum
Calcule
a) R$ 1
b) R$ 1
c) R$ 1
d) R$ 1
e) R$ 1
Solw;;ao: Uma
Existe uma situa
0 enunciado di
anuidade post
Capitulo 9- Amortiza~ao
mpos
-------
parte e formada
que a questao
sta RS 25 000,
a vista, e 0 resais. Se fosse 56
En tao, ja compreendemos tudo se o valor do carro que sera amortizado e de RS 12 . 500,00
e as duas outras quantias que serao tambem amortizadas sao de R$ 2.300,00 e de RS 200,00
se somarmos tudo, teremos o enunciado chamou de valor do financiamento global
-7 Total a ser amortizado 12500 + 2300 + 200 = 15.000,00
Dai, o desenho final da nossa questao sera o seguinte
15.000
l2 parcelas de valor P
Vejamos que o desenho ja esta favoravel para que fac;amos a operac;ao de Amortizac;ao
Teremos, pois, que
-7 T = P. a"...,; -7 15000 = P. a 12 -. 2%
Consultando a Tabela Financeira do Fator A, acharemos que.
0%) do bema
m intervalos de
ue? Para pagar,
Dai, teremos que
-7 P = 15000 I a 12 • 1 ,~
dcscnlw modelo
oma algebrica,
mplementou os
financiamento)
referentes a pa-
es valores, esta
de credito) vao
valor do veiculo
3.
-7 P = 15000 I 10,575341
Dai: P = l.-+18,39 -7 Resposta!
(ESAF) Uma empresa recebe urn financiamento para pagar por meio de uma
anuidade "postecipada" constituida por vinte presta~oes semestrais iguais
no valor de R$ 200.000,00 cada. lmediatamente apos o pagamento da decima
presta~ao, por estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com
o financiador uma redu~ao da taxa dejuros de 15% para 12% ao semestre e
urn aumento no prazo restante da anuidade de dez para quinze semestres.
Calcule o valor mais proximo da nova presta~ao do financiamento.
a) R$ 136.982,00.
b) R$ 147.375,00.
c) R$ 151.342,00.
d) R$ 165.917,00.
e) R$ 1 82.435,00.
Solw;;ao: Uma questao muito bonita! E muito facil, sobretudo depois que a vermos resolvida!
Existe uma situac;ao originaL um valor inicial, que sera financiado (leia-se pago em parcelas)
0 enunciado diz que serao vinte prestac,;oes semestrais e de mesmo valor, que irao formar uma
anuidade postecipada
Vamos por partes quando a questao falar em anuidade, iremos tracluzir que essas parcelas
Esta
e a situa
tanto podem fazer parte de uma operac;ao de Rendas Certas, quanto uma de Amortiza<;ao.
disse o enunciad
Em suma se o enunciado trouxer essa palavra anuidade, ja saberemos automaticamente que
muda111;a E esta o
estamos no Regime Composto Nem precisa ser dito isso expressamente!
E quanto a esta palavra postecipada, o que significa isso? Muito facil Quando estivermos
decima presta<;:a
Ora, quantas
diante de uma serie de parcelas, eo enunciado disser que se trata de aplicac;6es postecipadas,
presta<;6es! Certo
estara apenas informando que a primeira dessas parcelas sera desenhada no final do primeiro
tendo por base a
periodo. S6 isso!
dez, restam dez a
Portanto, se sao parcelas mensais e postecipadas, a primeira parcela estara ao final do
o valor que resta
primeiro mes; se sao parcelas trimestrais e postecipadas, a primeira parcela estara ao final do
primeiro trimestre; se sao parcelas semestrais (como eo nosso caso nessa questao) e postecipadas, a primeira parcela estara ao final do primeiro semestre . E assim por diante .
Contrapondo-se a pala\Ta postecipada, havera uma outra palavra chave. antecipada. Entao,
se estivermos numa situa<;ao em que ha varias parcelas de mesmo valor, e o enunciaclo disser
Sao essas de
e0
que se trata de aplica<;6es antecipadas, estara com isso informando que a primeira parcela
Qual
devera ser desenhada no inicio do primeiro periodo.
fazer uma opera<
total q
Ou seja, se forem parcelas mensais e antecipaclas, a primeira parcela estara no infcio do
primeiro mes; se forem parcelas birnestrais e antecipaclas, a primeira parcela surgira no inicio
do p1irneiro bimestre; e assim por diante
Portanto, essas palavras- Antecipada e Postecipada- irao apenas nos informar onde
estara localizada a prirneira parcela cia serie, de modo que:
-7
-7
Parcelas Antecipadas primeira parcela no inicio do primeiro perfoclo;
Parcelas "Postecipaclas" primeira parcela ao final do primeiro periodo.
Sao importantes essas palavras que aprendemos acima? Sim, naturalmente! E por urn
unico motivo: por meio clelas, saberemos como desenhar a questao cia forma correta . E se
Teremos qu
desenharmos corretamente, entao nao ha como errarmos a resoluc;ao . Voltemos ao nosso
-7 T = P. an
Observemo
enunciado.
A situac;ao miginal e essa. sao vinte parcelas semestrais e "postecipadas", no valor de
R'li 200 000,00 cacla uma Desenhemos:
X
tllllllllllllllllllll
era de 15% ao
que a 10-. 15%=5
Dat -7 T =
Ou seja, ess
ser pago, se fos
Ocorre que
1") 0 n
20 parcelas de 200.000,
2")
par
0 v
Capitulo 9 -
e essas parcelas
Esta
e a situac;ao
Amortiza~ao
original Reparemos que as parcelas sao postecipadas, conforme nos
e Amortiza<;ao.
disse o enunciado. Ocorre que logo ap6s expor a situac;ao original, passa-se a falar em uma
aticamente que
muda111;a E esta ocorrera, conforme visto na leitura, "imediatamente ap6s o pagamento da
ndo estivermos
decima presta<;:ao"
Ora, quantas presta<;:6es foram pagas antes que houvesse a mudan<_:a? Foram pagas dez
postecipadas,
presta<;6es! Certo? Pois bern! Se foram pagas dez presta<;:6es, quantas faltariam por pagar,
al do primeiro
tendo por base a situa<;:ao original? Dez, naturalrnente! Se eram vinte parcelas, e ja pagamos
dez, restam dez a serem pagas Vamos, portanto, redesenhar a questao, para saber exatamente
ara ao final do
o valor que resta ainda ser pago. Teremos
tara ao final do
r r 10rparcelas
r r der 200.000
rrr1
tao) e posteci-
ante .
ecipada. Entao,
unciaclo disser
rimeira parcela
Sao essas dez ultimas presta<;:6es que restam ser pagas. Mas o quanto elas representam?
Qual
e0
total que corresponde a essas dez prestac;6es? Para responder a isso, teremos que
fazer uma opera<;ao de Amortizac;ao Assim
ra no infcio do
T
urgira no inicio
informar onde
clo;
odo.
10 parcelas de 200.000
nte! E por urn
ma correta . E se
Teremos que:
emos ao nosso
-7 T = P. an-\ -7 T = 200000. a 10-. 15%
Observemos que nesta situac;ao original (antes da mudan<;a), o valor cia taxa cia operac;ao
s", no valor de
era de 15% ao semestre Consultando a Tabela Financeira da Amortizac;ao, encontraremos
que a 10-. 15%=5,018768
Dat -7 T = 200000. 5,018768 -7 T = 1.003.753,60
Ou seja, esse valor que acabamos de achar representa justamente o quanto ainda teria que
ser pago, se fosse mantida aquela situac;ao originaL
ll
Ocorre que houve mudan<;as! Quais:
1") 0 numero restante de parcelas foi ampliado em vez de pagar so mente mais dez
2")
parcelas, pagaremos quinze .
0 valor da taxa da operac;ao passou de 15% agora para 12% ao semestre
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
00
Ou seja, um aumento no n(uncro de parcclas e uma redw;:ao na taxa . Tomando por base a
nova situa<;;iio, desenhemos mais uma vez a questao. Teremos.
ja sabemos qu
teremos
1.003 753,60
1.6
15 parcelas de valor P
Nossos dados nessa nova situa<;;ao sao os seguintes
~
T = 1.003. 753,60 (valor que sera amortizado)
~
n 15 (ntlmero de parcelas)
Por fim, terem
~
i = 12% ao semestre (taxa reduzida pela negocia<;ao!)
~
P=?
Aplicando diretamente a formula da Amortizac;ao, teremos o seguinte:
~ T Pan ..\
~ 1.003.753,60 = P a 15 ., 12%
~ Dai P = 1.003. 753,60 I a 15 ., 12%
Consultando a Tabela Financeira do Fator A, encontraremos que:
~
Taxa N
~
Taxa e
Dai, nossos da
~
T = 1.
~
n=5
~
i = 8%
p =?
~
Aplicando a fo
~
~
4.
~
Dai P = 1.003.753,6016,810864
E P = 147.375, ~ Rcsposta!
T
P an.,i
Consultando
(ESAF) Urn microcomputador e vendido pelo pre~o a vista de$ 2.000.000,
mas pode ser financiado com 20% de entrada e a uma taxa de juros de
96% a.a., com capitaliza~ao mensal. Sabendo-se que o financiamento deve
ser amortizado em 5 meses, o total de juros pagos pelo comprador e de,
aproximadamente:
a) $ 403.652;
d) $ 412.898;
b) $ 408.239;
e) $ 420.225.
c) $ 410.737;
Solw;ao: Desenhemos a questao Teremos:
2.000.000, (=valor a vista!)
~
DaL P = 1.
Aqui a questa
valor do bema vi
uma entrada de R
total uma quantia
~ 400 000 +
Os juros embu
e o valor a vista d
~Juras=
~
p
p
400.000, (=valor da entrada)
p
p
p
2.
juros = 40
os
o por base a
2.000.000,
de juros de
mento deve
rador e de,
Capitulo 9- Amortiza~ao
ja sabemos que pagamento de entrada nc1o serve para nos. Dai, dcsapareccndo com ela,
teremos
1.600.000,
l
l
l
p
p
p
l
p
1
p
Por fim, teremos que transformar a taxa nominal em efeti\·a, de modo que teremos:
~
Taxa Nominal 96% ao ano, cl capit mensa!
~
Taxa efetiva mensa! i = (96112) = 8% ao mes
Dai, nossos dados para a opera<;ao de Amortiza<;ao sao os seguintes:
~
T = 1.600.000,
~
n=5
~
i = 8% a..m.
p =?
~
Aplicando a formula, encontraremos que
~
T
P an.,i
~
1.600.000 = P. a 5., 8%
Consultando a Tabela Financeira do Fator A, teremos que
a 5 ., 8~,=3,992 710
~
DaL P = 1.600.000 I 3,992710
~ E
P=400.730,33
Aqui a questao vem nos perguntar o valor que foi pago de Juros nessa operac;ao. Ora, o
valor do bema vista era de R$ 2.000.000 Eo quanta nos pagamos por ele, no total? Pagamos
uma entrada de R$ 400 . 000 alem de cinco parcelas de R$ 400.730,33. Ou seja, pagamos no
total uma quantia de:
~ 400 000 + (5 X 400 730,33) = 2.403.651,65
Os juros embutidos na compra a prazo e justarnente a diferenc;a entre o total que pagamos
e o valor a vista do bem. Logo, concluiremos que
~Juras=
~
2.403.651,65- 2.000.000 = 403.651,65
juros = 403.652,
~
Rcsposta!
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
5.
-,l
!
l
(ESAF) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de
urn equipamento, e paga mais 4 presta~oes mensais, iguais e sucessivas
no valor de$ 14,64 cada uma. A institui~ao fmanciadora cobra uma taxa de
juros de 120% aa, capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base
nestas informa~oes podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do
valor a vista do equipamento adquirido e:
a) $ 70,00;
b) $ 76,83;
c) $ 86,42;
d) $ 88,00;
e) $ 95,23.
Solur,;ao: Antes de fazermos o desenho dessa quest::io, que par sinal e bem simples, percebemos, ja na leitura do enunciado, a presen<;a de uma taxa nominaL Esta devera, conforme
sabemos, ser convenida em taxa efetiva, por meio do conceito de taxas proporcionais_
Fazendo isso, teremos
~ 120% a a, c/ capiL mensa!= (120/12) = 10% ao mes = taxa efetiva.
Agora, passemos ao desenho da questao. Ieremos:
X (= valor a vista)
Agora, uma vez
Arnortizac;ao, so no
~I= P. an';
Consultando a I
Dai, teremos qu
~I= p a..,
n
~ Dai X-23,60
1
6.
(ESAF) urn
de 36% ao
atraves do
(primeiro
aproxima
a) $ 1035
b) $ 10.80
c) $ 11.88
Solur,;ao: Neste enu
par uso do concei
-7 36% a a, c
0 enunciado n
timo? Hoje, obvia
questao sera o seg
14,64
14,64
14,64
14,64
23,60
0 que vemos? Uma compra a prazo, sujeita a uma taxa composta. E amortizac;ao? Sem
duvidas! 56 que o valor de uma entrada nao nos interessa . Basta nos lembrarmos do desenho
modelo da Amonizac;ao.
Dai, para fazem10s essa entrada desaparecer, s6 precisamos efetuar uma subtrac;ao . Ieremos, pais, que
Observemos
(X-23,60)
trimestre Iudo c
0 que nos res
~I= P an..,i
Consultando
Dai, teremos
~ 20 . 900 =
14,64
14,64
14,64
14,64
-,l
ompra de
ucessivas
ma taxa de
Com base
roxima do
ples, perce, conforme
orcionais_
Capitulo 9
!
l
Agora, uma vez que
0
Amortiza~ao
desenho da questao ja esta de acordo com o dcscnho moclclo da
Arnortizac;ao, so nos resta aplicar a formula Ieremos
~I= P. an';
~ (X-23,60) = 14,64. a 4 ., 10%
Consultando a Iabela Financeira do Fator A, encontraremos que
a.,
=3,169865
4 10%
Dai, teremos que:
~I= p a..,
~ (X-23,60) = 14,64 x 3,169865
n
~ Dai X-23,60 = 46,40
~ E: X=70,00 ~ Resposta!
1
6.
(ESAF) urn emprestimo de$ 20.900,00 foi realizado com u~a taxa_ de!uros
de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e devera ser hqu1d~do
atraves do pagamento de duas presta~oes trimestrais, iguais e consecu~1vas
(primeiro vencimento ao final do primeiro t~im~stre). 0 valor que ma1s se
aproxima do valor unitario de cada presta~ao e:
a) $ 10350,00;
d) $ 12.433,33;
b) $ 10.800,00;
e) $ 12.600,00.
c) $ 11.881 ,00;
Solur,;ao: Neste enunciado tambem surgiu uma taxa nominal. Iransfom1ando-a em taxa efetiva,
par uso do conceito de taxas proporcionais, teremos que
.
-7 36% a a, com capiL trirnestral = (36/4)= 9% a.t. (taxa efeuva)
0 enunciado nos fala de um ernprestimo Quando e que pegamos o valor de um emprestimo? Hoje, obviamente Pegamos hoje para devolver no futuro Dai, o desenho de nossa
questao sera o seguinte
20.900,
ac;ao? Sem
do desenho
btrac;ao . Ie-
p
p
Observemos que a taxa composta e trimestral e o intervalo entre as parcelas tambem e o
trimestre Iudo compativel, portanto .
0 que nos resta? Aplicannos, diretarnente, a formula da Amortizac;ao. Ieremos
~I= P an..,i ~ 20 . 900 = P a2 • 9 %
Consultando a Iabela Financeira do Fator A, encontraremos que:
a 2., 9%=1 ,759111
Dai, teremos que:
~ 20 . 900 = p 1,759111
~
~ P = 20 . 900 I 1,759111
Dai: P = 11.881,00 ~ Resposta!
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
7.
(ESAF) Uma maquina tern pre~o de $2.000.000, podendo ser financiada
com 10% de entrada e o restante em presta~oes trimestrais, iguais e
sucessivas. Sabendo-se que a financiadora cobra juros compostos de
28% a.a., capitalizados trimestralmente, e que o comprador esta pagando
$ 205.821 por trimestre, a ultima presta~ao vencera em:
a) 3 anos e 2 rneses;
d) 4 anos;
b) 3 anos e 6 rneses;
e) 4 anos e 3 meses.
c) 3 anos e 9 meses;
SolU<;:ao: Mais uma vez foi fornecida pela questao uma taxa nominal Transformando-a em
taxa efetiva, encontraremos que
Foi dito re
lharemos com
Neste noss
quanta que os
Nossa con
co luna da taxa
possivel de 8
corresponden
Fazendo i
Mas 14 o
Uma vez q
-7 28% a a, com capit nimestral = (28/4) = 7% a.t. =taxa efetiva.
Faremos agora o desenho da questao, observando a existencia de uma entrada de 10%.
Logo, nosso desenho sera o seguinte
2.000.000,
r
1
terao durac;:ao
As opc;:oes
formemos log
-7 14 trim
Agora vam
sao 36 meses
j__
l _l___________:_l_l
200.000,
n parcelas de 205.821,
Observemos que essa questao foi diferente de todas as demais aqui nao foi revelado qual
o n(nnero de parcelas . Isso nos teremos que descobrir.
Antes de mais nada, para adequar o desenho da questao ao desenho modelo das amortizac;:oes,
teremos que desaparecer com essa entrada. E isso e facilimo! Teremos.
1.800.000,
Logo 42
8.
(ESAF
paga
parti
50%
iguai
a um
dese
sera
a) R$
b) R$
c) R$
SolU<;;ao:
A questao
tanto, e urna
n parcelas de 205.821,
Agora, sim, estando de acordo como desenho moclelo, resta-nos aplicar a formula da Amortizac;:ao. Teremos que
-7 T = P an• 1
-7 1.800 . 000 = 205.821 x an -,7%
Dai, isolando o Fator A, teremos o seguinte:
-7 an-, 7%=1.800.000 /205.821
-7 Dai: an-,l"o= 8,745468
Temos qu
0
0
1
2
Capitulo 9 -
ampos
er financiada
ais, iguais e
ompostos de
esta pagando
formando-a em
Foi dito repetidas \ ezes neste curso que para consultarmos uma Tabela Financeira trabalharemos com tres elementos, dos quais dois sao conhecidos e urn terceiro e desconhecido
Neste nosso caso, o elemento desconhecido e o n, que significa mlmero de parcelas, enquanta que os elementos conhecidos sao a taxa (i = 7%) e o resultado do fator (8, 7 45468)
Nossa consulta a Tabela Financeira do Fator A sera feita assim correremos nossa vista pela
co luna da taxa 7%, procurando nela (no miolo da tabela) por urn valor igual ou mais proximo
possivel de 8,745468 Quando encontrarmos esse valor, correremos nossa vista pela linha
correspondente, nos dirigindo para a esquerda, ate chegarmos ao valor don.
Fazendo isso, acharemos n = 14
Mas 14 o que? 14 parcelas
Uma vez que sabemos que as parcelas sao trimestrais, entao conduimos que as aplicac;:oes
ntrada de 10%.
oi revelado qual
as amortizac;:oes,
Amortiza~ao
terao durac;:ao de exatamente 14 trimestres.
As opc;:oes de resposta nao vern em termos de trimestres Entao, fa<;amos o seguinte transformemos logo tudo para meses. Teremos
-7 14 trimestres = l4 x 3 42 meses
Agora vamos passar para anos emeses: 1 ano sao 12 meses, 2 anos sao 24 meses: 3 anos
sao 36 meses. 36 para chegar a 42 faltam 6 meses.
Logo 42 meses = 3 anos e 6 mcses -7 Rcsposta!
8.
(ESAF) 0 pre~o a vista de urn imovel e R$ 180.000,00. Urn comprador propoe
pagar 50% do pre~o a vista em 18 presta~oes mensais iguais, venciveis a
partir do final do primeiro mes apos a compra, a uma taxa de 3% ao mes. Os
50% restantes do valor a vista ele propoe pagar em 4 parcelas trimestrais
iguais, venciveis a partir do final do primeiro trimestre apos a compra,
a uma taxa de 9% ao trimestre. Desse modo, o valor que o comprador
desembolsara no final do segundo trimestre, sem considerar os centavos,
sera igual a:
a) R$ 34.323,00;
d) R$ 37.000,00;
b) R$ 32.253,00;
e) R$ 57.000,00.
c) R$ 3 5 .000,00;
SolU<;;ao:
A questao trata do financiamento de urn imovel em parcelas iguais e consecutivas e, partanto, e urna questao de amortizac;:ao.
Temos que.
0 valor do imovel e de 180.000,00.
0 pagamento do imovel sera liquidado da seguinte maneira.
1)
Metade do valor do imovel sera paga em 18 prestac;:oes mensais e iguais, a
rmula da Amor2)
uma taxa de 3% ao mes.
A outra metade do valor do irnovel sera paga em 4 presta<;6es trimestrais e
iguais, a uma taxa de 9% ao trimestre.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
06
Vamos fazer o desenho para cada urna das forrnas de pagarnento"
-7
Formula do
Desenho das 18 presta<;;oes rnensais e iguais
90.000
-7 P, =: 900
L..~.-. . J.-.•.•-.~.~.-.~.~.~.~.~.~.
-
Oaf, P 1 + P 2
9.
18 parcelas rnensais de valor P 1
-7
Desenho das 4 presta<;;oes rnensais e trirnestrais
90.000,00
+
A questao solicita o valor que o cornprador desernbolsani (pagani) no final do segundo
trirnestre". Destacarnos ern verrnelho, nos desenhos acirna, as parcelas que serao pagas nesta
data especifica (no final do prirneiro trirnestre) Concluirnos que o valor que sera pago e igual
1)
a soma das duas parcelas, ou seja
(ESAF)
nomina
iguais,
de care
pagos
do fina
a) R$ 2
b) R$ 1
c) R$ 1
d) R$1
e) R$ 1
Solu<;;ao: Dado
-7 Fin
4 parcelas trirnestrais de valor P2
apenas
3,2
(P 1 + P)
Calculo de P1
0 desenho da primeira forma de pagarnento (corn 18 prestac;oes rnensais) ja esta de acordo
como descnlw modelo da amortizac;ao, de sorte que o valor de P 1 sera obtido pela aplicac;ao
direta da formula.
-7
-7
-7
Tax
Arn
Ap
care
Prirneirame
Mas qual e ser
vez que as pres
Usando o c
i = 12% I 2
0 desenho
Formula do Sistema Frances de Amortiza<;;ao T = p x a -,
"
2)
l
100000
t
CJ!culo de Pr
0 desenho da segunda forma de pagamento (com 4 prestac;oes trirnestrais) tambem esta
de acordo como clesenho modclo da arnortizac;ao, de maneira que calcularemos o valor de P,
mediante a aplica<;;ao direta da formula
-
Logo perce
tizac;ao. Neste t
mpos
Capitulo 9- Amortiza~ao
Formula do Sistema Frances T = P x an-,1
-7 P, =: 90000
.
-
3,24
Oaf, P 1 + P 2 = 6.545,00 + 27 777,00 = 34.323,00 (Resposta!)
9.
(ESAF) Um financiamento no valor de R$ 100.000,00 e obtido a uma taxa
nominal de 12% ao ano para ser amortizado em oito presta~oes semestrais
iguais, vencendo a primeira presta~ao seis meses ap6s o fim de um periodo
de carencia de dois anos de dura~ao, no qual os juros devidos nao sao
pagos mas se acumulam ao saldo devedor. Calcule a presta~ao semestral
do financiamento, desprezando os centavos.
a) R$ 20.330,00
b) R$ 1 8.093,00
c) R$ 16.1 04,00
d) R$15.431,00
e) R$ 14.000,00
Solu<;;ao: Dados fornecidos no enunciado:
-7 Financiamento no valor de 100.000,00.
l do segundo
o pagas nesta
a pago e igual
esta de acordo
pela aplicac;ao
-7
-7
-7
Taxa nominal de 12% ao ano
Arnortizac;ao ern oito presta<;;oes sernestrais iguais .
A primeira presta<;;ao e paga seis meses (l semestre) apos o fim de um periodo de
carencia de do is anos (4 sernestres) de durac;ao.
Prirneiramente, temos que nos livrar da taxa nominal, transformando-a para a Taxa efetiva"
Mas qual e sera a unidade da capitalizac;ao? 0 periodo da capitalizac;ao sera sernestral, uma
vez que as prestac;oes sao sernestrais
Usando o conceito de taxas proporcionais, terernos:
i = 12% I 2 = 6% a.s. (taxa efetiva sernestral)
0 desenho da questao e 0 seguinte
100000
t
tambem esta
I
~--~=..~1--l
carencia de
4 semestres
-.-!___,..1____,1,-----l
...,..-----1...,...-t---,--1--...---1
P
P
P
P
P
P
P
P
o valor de P,
-
Logo percebernos que o desenho acirna nao esta cornpativel corn o descnho modelo da arnortizac;ao. Neste ttltirno, a prirneira parcela esta sernpre urn periodo apos o valor a ser arnortizado.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
A proYa qu
Usaremos a imaginac:;ao e criaremos quatro parcelas de valor P, para que o desenho acima
fique adequado ao do modelo Desenharemos estas parcel as ficticias em destaque, e teremos:
seguinte proced
1)
Situac:;ao
100000
Valor financ
t
Prestac:;ao P
n = 24 (me
l l l l l l l l l l l
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
~p
i = 5% a.m.
Aplicando
15000 = 10
Apos acrescentar as parcelas ficticias, compatibilizamos o desenho da questao com
0
desenho-modelo da amortizac:;ao.
2)
A formula original da Amortizac:;ao e a seguinte
T = P. a..,_
n t
Po rem, como estamos usando o artificio de criar parcelas fictfcias, aplicaremos a seguinte
Segunda
Valor finan
Presta<;;ao P
n = 24 (me
i = 5% am.
variac:;ao da formula
De
15000
Substituindo os dados na formula, teremos que:
~ 100000 = P (a 12 -, 6 9\,
Recorrendo
~ a 12 •
6 "'
-
1
a4-. 67)
a tabela financeira do fator A, obteremos:
= 8,383844
~ a,-. 6"" = 3,465105
Daf ~ 100000= P (8,383844- 3,465105)
~
100000 = p (4,918739)
~
P = 100000 I 4,918739
~ E· T
10.
= 20.330,00 ~ Resposta
De
2m
M = C(l+
15000
(FGV) Urn automovel e vendido a vista por R$ 1 5.000,00 ou entao a prazo em
24 presta~oes mensais de R$ 108 7 cad a (desprezando os centavos), sendo
a primeira urn mes apos a compra; a taxa dejuros de financiamento e de 5%
am. Sea primeira presta~ao fosse 3 meses apos a compra (mantida a taxa
de juros e o numero de presta~oes), seu valor (desprezando os centavos)
seria:
a) R$ 1.192,00;
d) R$ 1.201 ,00.
b) R$ 1.195,00;
c) R$ 1.1 98,00;
Solw;:ao: Dados fornecidos
~
valor a vista= 15 . 000,00
~
a prazo: 24 prestac:;6es mensais de 1087,00 (1" prestac:;ao paga 1 mes apos a compra)
~
i
~
Valor da 1" prestac:;ao quando esta e paga 3 meses apos a compra =?
=
5% a.rrL
Ca
T=pX
__:,._
7
an
_150
p-
Capitulo 9 -
mpos
A proYa que contem esta questao nao forneceu tabela financeira, daf deYemos usar o
desenho acima
ue, e teremos:
l
p
seguinte procedimento
1)
Situac:;ao inicial (I a prestac:;ao paga 1 mes apos a compra):
Valor financiado T = 15 . 000,00
Prestac:;ao P = 1087,00
n = 24 (mensais)
~p
questao com
i = 5% a.m.
Aplicando a formula do sistema frances de amortizac:;ao: T = p X an-.,
15000 = 1087
X
~
a 24- . 5 %
a 24 --, 5s,
=
15000
1087
~
al-1--,SS·
= 13,80
0
mos a seguinte
2)
Segunda situac:;ao (I a prestac:;ao paga 3 meses apos a compra):
Valor financiado T = 15.000,00
Presta<;;ao P = ?
n = 24 (mensais)
i = 5% am.
Desenho da amortiza<;;ao:
15000
1
apos a compra)
+++++++++++++++++++++++•
24 parcelas de valor P
Desenho da amortiza<;_:ao apos capitalizar o valor financiado (15.000,00) por
2 meses:
M = C(l+ i)n ~ M = 15000(1+ 5%)2 ~ M = 15000 x 1,1025
15000 X 1,1025
ao a prazo em
avos), sendo
mento e de 5%
antida a taxa
os centavos)
=?
Amortiza~ao
L--..·__,·__,·,_.,·,...-·r--·r-·r-·r-·.,.-,-·..,-•.,-.-.-•.,........
. . -r·-r·--r·--r·__,·--,·
24 parcelas de valor P
Calculo da presta<;_:ao P:
T=pX
__:,._
7
an-.,
~ 15000
_15000xl,l025
l)OOO
p-
X
1,1025 = p X
~
a24--.5%
p = 1087
X
~ p
15000xl,l025
1,1025
1087
P = 1.198,42 (Resposta: altemativa C)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
l
!
Agora, dev
Poderfamos ter utilizado a seguinte formula P2 =PI x (l + i )" -:,, onde.
PI = valor da prestac;:ao na 1' situac;:ao.
ti = tempo entre a compra e a 1" prestac;:ao de valor PI.
P2 =valor da prestac;:ao na 2' situac;:ao.
t 2 =tempo entre a compra e a P prestac;:ao de valor Pr
11.
Onde
T = 400,00
n = 5 (men
~ 400 = p
40
~ p
4,3
0 valor qu
denominador
=--
(ESAF) Uma compra no valor de R$ 500,00 deve ser paga com uma entrada
a vista de 20% eo saldo devedor restante em 5 presta<:oes mensais iguais,
a uma taxa de 5% ao mes, vencendo a primeira presta<:ao em 30 dias.
Embutida nesta primeira presta<:ao mensal, existe uma amortiza<:ao do
saldo devedor, aproximada em reais, de:
a) R$ 72,00;
d) R$ 78,00;
b) R$ 75,00;
e) R$ 80,00.
c) R$ 77,00;
2)
Calculo
A formula
] = i. (saldo
Como que
a formula sera
Solw;ao: Dados fomecidos:
Compra no valor de RS> 500,00.
Forma de pagamento: entrada de 20% eo restante pago em 5 parcelas mensais e
iguais, a uma taxa de 5% a.m
SD 0 eo sal
Valor da amortizac;:ao (ou cota de amortizac;:ao) embutida na 1'prestac;:ao =?
Calculo do
Toda prestac;:ao e formada por duas partes. Uma e a cota de amortizac;:ao (A) e a outra e o
~
JI =
i . SD
jura Q) Assim, podemos escrever a prestac;:ao P da seguinte maneira·
3)
Calculo
A relac;:ao e
No sistema frances todas as parcelas P sao iguais, mas a cota eo jura embutido variam de
uma parcela para outra.
Para o Gilculo da cota de amortizac;:ao, devemos primeiramente obter o valor da prestac;:ao P
1)
Calculo da prestac;ao P
0 valor que resta ser pago apos o pagamento da entrada e chamado de saldo devedor
inicial (SD 0 ).
~
SD 0= valor da compra- entrada
~
SD0= 500- 20% x 500 = 500- 100 = 400,00
400
p
tp
+
p
Dai, ja pod
~A= P ~ A= 72,
Calculamo
valor aproxim
0 desenho do saldo devedor inicial e das prestac;:oes e o seguinte:
1+
ja sabemos
tp
.
p
12.
(ESAF)
em 12
e assi
saldo
presta
a) R$
b) R$
c) R$
ampos
l
!
Capitulo 9 -
Amortiza~ao
Agora, devemos aplicar a formula do sistema frances de amortizac;:ao T = P x a n-.J
Onde
T = 400,00
i = 5% am.
n = 5 (mensais) P =?
400
~ 400 = p X a_-,_, -7 400 = p X 4,329476 ~ p = - - '
y,
4 329476
400
'
~ p
~ p ~ 92 4
4,33
,
0 valor que acabamos de obter para a prestac;:ao e urn valor aproximado, pais passamos o
denominador de 4,3294 76 para 4,33 (valor aproximado)
=--
uma entrada
ensais iguais,
em 30 dias.
mortiza<:ao do
2)
Calculo do juro J da 1g prestac;ao, ou seja, o JI"
A formula para calcular os juros embutidos em uma determinada prestac;:ao e dada por
] = i. (saldo devedor apos o pagamento da prestac;:ao anterior)
Como queremos calcular o jura da 1' prestac;:ao UI), entao o perfodo anterior e zero, dai
a formula sera dada por
Jl = i. SDO
celas mensais e
SD 0 eo saldo devedor na data zero, ou seja, e a divida inicial de 400,00.
stac;:ao =?
Calculo do JI:
A) e a outra e o
~
3)
JI =
i . SDO
~
JI = 0,05 X400
~ Jl = 20,00
Calculo da cota de amortizac;ao A 1 :
A relac;:ao entre o valor da prestac;:ao, a cota e o jura, como ja foi vista, e dada por
utido variam de
r da prestac;:ao P
e saldo devedor
ja sabemos que P ~ 92,4 e j = 20
Dai, ja podemos calcular o valor da cota embutida na 1" prestac;:ao
~A= P -j ~A= 92,4-20
~ A= 72,4 (Resposta altemativa A)
Calculamos urn valor aproximado para a prestac;:ao, por isso que tambem obtemos um
valor aproximado para a cota.
12.
(ESAF) Urn financiamento no valor de R$ 19.908,00, deve ser amortizado
em 12 presta<:oes mensais iguais, vencendo a primeira ao fim de 30 dias,
e assim sucessivamente, a uma taxa de 3% ao mes. Calcule o valor do
saldo devedor do financiamento imediatamente apos o pagamento da sexta
presta<:ao.
a) R$ 9.954,00.
d) R$ 10.000,00.
b) R$ 10.834,38.
e) R$ 12.000,00.
c) R$ 10.252,62.
Matematica Finance ira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Soluc,;ao: Essa questi\o se resolve facilmente, desde que estejamos atentos e que fac:amos corretamente o seu desenho. A primeira coisa a fazer e descobrir o valor da prestac:ao P Teremos:
Faremos o d
seguintes pagam
suas respectivas
19.908,
l2 parcelas de valor P
Aplicando a formula da Amortizac:ao, teremos
0 desenho
-7 T = P. an-.i
-7 19.908 = P. a 12 -. 3%
-7 p = 19908/9,954004
-7 Dai P 2.000,00
pagamento de R
Agora, vejamos o que a questao esta perguntando: qual o saldo devedor apos o pagamento
gamento das se
da sexta parcela? Ora, quando tivermos terminado de pagar a sexta parcela, entao quantas ainda
Chamaremo
=
podemos utiliz
faltarao pagar? Seis, obviamente. Se eram doze e ja pagamos seis, res tam seis para serem pagas.
Vamos desenhar, portanto, somente aquelas parcelas que ainda restam ser pagas Teremos:
6 parcelas de 2000,
Obtidos os
1") Calculo do
X ( = Saldo Devedor)
I
que pode ser o
l
Aplicando a Amortiza<;;ao, teremos
-7 T = P. an-.i
-7 X= 2000. a 6 -.3%
Dai X= 10.834,38 -7 Resposta!
-7 X= 2000. 5,417191
A formula d
-7T=Pa-n
Os dados d
13.
Artur contraiu um emprestimo em um banco a uma taxa composta de
juros de 5% ao mes. Artur amortizara o pagamento do emprestimo em
seis parcel as mensais e iguais no valor de R$ 200,00 cad a, vencendo a
primeira apos um ano da data do emprestimo e assim sucessivamente ate
o sexto mes, quando Artur deve pagar a ultima parcela juntamente com
um pagamento adicional de R$ 4.000,00. Obtenha o valor que Artur tomou
emprestado.
Dai, substit
-7 X'= 200
Recorrendo
DaL -7 X'=
E -7 X'= 1
Soluc;ao:
Faremos uma solu<;;ii.o usando as formulas que ja aprendemos ate o momenta, e depois
apresentaremos uma solu<;;ii.o bizuracla, com a qual chegaremos mais rapidamente
da questao .
-7 T =X', P
a resposta
mpos
Capitulo 9- Amortiza~ao
e fac:amos corao P Teremos:
Faremos o desenho da questao incluindo o valor emprestado, que chamaremos de X, e os
seguintes pagamentos: seis parcelas mensais de R$200,00 eo pagamento de RS 4.000,00 nas
suas respectivas datas . Teremos.
X
200
200
200
200
200
200
4000
0 desenho acima nao esta adequado ao clesenho moclelo da amortiza<;;ii.o, por causa do
pagamento de R$ 4.000,00 que aparece na ultima data da liquida<;;ii.o do emprestimo . Porem,
podemos utilizar a formula da Amortiza<;;ii.o para calcular o valor financiado referente ao pas o pagamento
o quantas ainda
ra serem pagas.
as Teremos:
0,
Chamaremos de X", o valor financiado referente ao pagamento da parcela de R$ 4. 000,00
que pode ser obtido por meio da formula do desconto composto racionaL
Obtidos os dois resultados acima, basta soma-los para encontrar o valor X do ernprestimo
1") Calculo do valor financiado X' referente as 6 parcelas rnensais de 200.
X'
t
l
r r r r r
200
200
200
200
200
A formula da Amortiza<;;ii.o, conforme sabemos, e a seguinte:
-7T=Pa-,
n 1
Os dados da operac:ao sao os seguintes:
composta de
prestimo em
vencendo a
ivamente ate
tamente com
Artur tomou
-7 T =X', P = 200, n = 6 e i = 5%.
Dai, substituindo os valores na formula, teremos:
-7 X'= 200. a6-. 5,,,
Recorrendo
a tabela financeira, encontraremos
DaL -7 X'= 200 . 5,075692
E -7 X'= 1.015,14
menta, e depois
ente
gamento das seis parcelas iguais, que chamaremos de X' .
a resposta
a6 -. 5,,,,= 5,075692
l
200
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
2Q) Calculo do valor financiado X" referente a parcela imica de 4000.
Soluc;ao
Obsen·em
ao pagament
Quale a
X"
parcela m
parcela u
4000
Para calcular o valor de X", podemos usar a formula de desconto racional composto, mas
tam bern podemos usar o artificio de imaginar parcelas ficticias, de maneira que o desenho acima
Esse resu
isso ocorre, o
temente com
Portanto,
Artur tomou
Vamos a
fique adequado ao desenho modelo da amortizac;ao
Imaginando as parcelas, teremos
14.
X"
4000
4000
4000
4000
4000
Filipe
a um
do e
valor
empr
deve
R$ 5.
tomo
Solw;;ao: Fa
pagamentos
respectivas d
4000
Aplicaremos a seguinte formula
-7 I = p Caroms..,, - aFrarcrc~s -,)
Onde: todas
=
e o mlmero de parcelas reais mais as ficticias.
f = ni1mero de parcelas ficticias.
E temos que T =X", P = 4000, todas = 6,f = 5
Substituindo os dados na formula, teremos
-7 X" = 4000 .
(a 0 -,_,
-a_-,_,)
:J'Ai
.)
)'AJ
Recorrendo a tabela financeira, encontraremos· a6-,5';;
-7 X"= 4000 X (5,075692- 4,329476)
=
5,075692 e a,-,5',,
-7 X"= 4000 X (0,746216)
-7 X"= 2.984,86
0 valor de X e igual a soma de X' eX". Portanto, obteremos:
-7 X= X'+ X"= 1.015,14 + 2.984,86
-7 X= 4.000,00 (valor que Artur tomou emprestado)
=
4,329476
0 desenh
taxa de juros
0 segred
bem as carac
-7 Existe
-7 Tal d
periodicas e
tambem um
ampos
Capitulo 9 -
Amortiza~ao
Soluc;ao Alternativa:
Obsen·em que o resultado obtido no calculo do valor do emprestimo e exatamente igual
ao pagamento de 4000,00 feito na ultima data Isso ja era previsivel! Vejamos o porque!
Quale a razao entre a parcela mensa! e a parcela imica?
parcela mensa] = 2rJo = 2_ = 0,05 = 5%
parcela unica
composto, mas
o desenho acima
=
4000
20
Esse resultado de 5% e exatamente igual a taxa composta fornecida na questao E quando
isso ocorre, o valor financiado sempre sera igual ao valor da parcela t:mica paga concomitantemente com a illtima parcela de uma serie de pagamentos.
Portanto, sem fazer praticamente nenhuma conta, ja poderfamos afirmar que o valor que
Artur tomou emprestado era de R$ 4.000,00. Esse eo bizu!
Vamos a uma outra questao em que usaremos de maneira direta esse bizt!
14.
Filipe, necessitando de capital para ampliar os seus negocios, recorreu
a um banco que lhe emprestou a quantia de R$ 5.000,00. 0 pagamento
do emprestimo sera realizado em cinco parcelas trimestrais e iguais, no
valor de R$ 100,00 cad a, vencendo a primeira urn trimestre apos a data do
emprestimo e assim sucessivamente ate o quinto trimestre, quando Filipe
devera pagar a ultima parcela juntamente com urn pagamento adicional de
R$ 5.000,00. Obtenha a taxa dejuros compostos do emprestimo que Filipe
tomou junto ao banco.
Solw;;ao: Faremos o desenho da questao incluindo o valor do emprestimo e os seguintes
pagamentos cinco parcelas trimestrais de 100 reais eo pagamento de R$ 5.000,00, nas suas
respectivas datas
5000
100
100
100
100
100
100
4,329476
5000
0 desenho da questao e parecido com o da anterior, so que agora estamos a procura da
taxa de juros.
0 segredo aqui e o seguinte: esse desenho acima e, na verdade, um modelo! Verifiquemos
bem as caracteristicas desse modelo. Sao as seguintes.:
-7 Existe urn valor de emprestimo e existem, obviamente, as parcelas de devoluc;ao
-7 Tal devoluc;ao sera feita da seguinte maneira: por meio de varias parcelas menores,
periodicas e de mesmo valor. Alem disso, na data desta illtima parcela menor, sera devohida
tambem uma quantia exatamente igual ao valor do emprestimo .
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
Pois bem! Sempre que ti\·e1mos o desenho de uma questao apresentando as mesmas caracterfsticas desse modelo, teremos que a taxa composta dessa operac;:ao de emprestimo podera
Nas questoes
l)
Valor
intern
no m
obtida simplesmente pela razao entre a parcela perf6dica e a parcela (mica.
parcela perf6dica = 100 == _!__ = 2%
parcela (mica
5000 50
Dai, a taxa de juros deste emprestimo e de 2% ao trimestre.
Bonu
Quan
E ao tlimestre porque as
2)
parcelas perf6dicas sao trimestrais.
ocorr
Valor
ja terminamos a soluc;:aol
crito n
Alguem pode perguntar se essa infmmac;:ao acima poder ser util para resolvermos questoes
elabo
3)
das provas de concurso? Sim! Varias questoes extraidas de provas de concursos podem ser
trabalhadas com o uso desse artiffcio que acabamos de ver
4)
I em aparecido freqlientemente nas provas da ESAF questoes relacionadas com a captac;:ao
modelo que verfficamos nos dois ultimos exemplos resolvidos.
Vejam os enunciados de duas questoes de "Paiscs, Bonus c Cupons" elaboradas pela ESAF
Depois, faremos a analise dos elementos presentes nos enunciados.
(AFRF 2002.2 ESAF) Um pais captou um emprestimo por intermedio do lan<;amento
de uma certa quantidade de bonus no mercado internacional com valor nominal de US$
1.000,00 cada bonus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60,00 cada cupom,
vencendo o prfmeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente ate o decimo segundo semestre, quando o pais deve pagar o ultimo cupom juntamente como valor nominal do
titulo Considerando que a taxa de risco do pais mais a taxa de juros dos titulos de referencia
levou o pais a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao ano, obtenha o valor mais
proximo do prec;o de lanc;amento dos bonus, abstraindo custos de intermediac;:ao financeira,
de registro etc.
Taxa
que c
de recursos por meio do lanc;:amento de uma certa quantidade de bonus no mercado internacionaL E como veremos adiante, o desenho dessas questoes se assemelham em muito ao do
Cupo
dcvolu
os bo
de ju
Passemos, ag
15.
(ESAF) U
cupons
o lan~am
determin
o valor n
qual a ta
capital,
o valor
a) 0%.
b) 5% ao
c) 7,5%
d) 11% a
e) 12% a
(AFRF 2003 ESAF) Urn pais captou um emprestimo no mercado internacional por
Soluc;ao: 0 enun
intermedio do lanc;amento de bonus com dez cupons semestrais venciveis ao fim de cada
seguintes elemen
-7 Valor
-7 Cupo
semestre, sendo o valor nominal do bonus US$ 1.000,00 e de cada cupom US$ 60,00 .
Assim, ao fim do quinto ano o pais deve pagar o ultimo cupom mais o valor nominal do bonus. Considerando que os bonus foram lanc;:ados com um agio de 7, 72% sobre o seu valor
nominal, obtenha o valor mais proximo da taxa nominal annal cobrada no emprestimo,
-7
ap6s
desa
-7
nomi
junta
desprezando custos de registro da operac;:ao, de intermediac;:ao, etc..
de vo
Capitulo 9 -
mesmas ca-
mo podera
Amortiza~ao
Nas questoes de Paiscs, Bonus c Cupons os seguintes elementos estao presentes:
l)
Valor de lanc;amento do Bonus (X)- eo valor de venda do bonus no mercado
internacional, ou seja, e o recurso captado (o valor que o pais pega emprestado)
no mercado internacional. 0 Bonus e um titulo de credito, e o comprador desse
Bonus tera direit0 de receber pagamentos futuros referentes a sua compra.
Quando o \·a lor de venda do Bonus e maior que o seu valor nominal, diremos que
porque as
2)
ocorre um agio, e quando menor, ocorre um desagio .
Valor nominal do Bonus (N)- e o valor de face do Bonus. Ou seja, e o valor cs-
crito no papd, indicando quanto vale o titulo. Nas duas questoes acima e em outras
elaboradas pela ESAF, este valor sempre e pago juntamente como tlltimo cupom.
s questoes
3)
podem ser
Cupons (P)- parcelas peri6dicas pagas ao comprador do Bonus . Ja sao parte da
dcvolu(ao que o pais esta realizando.
4)
a captac;:ao
que captou os recursos) ou taxa de aplicacao (do ponto de vista de quem comprou
do interna-
uito ao do
Taxa de juros da operac;ao (i)-taxa de emprestimo (do ponto de vista do pais
os bonus, ou seja, de quem emprestou os recursos). Sera, obviamente, uma taxa
de juros compostos.
Passemos, agora, a algumas resoluc;:oes
pela ESAF
15.
n<;amento
al de US$
da cupom,
mo segun-
ominal do
referencia
valor mais
financeira,
(ESAF) Um bonus no valor nominal de US$ 1.000,00 e contendo doze
cupons semestrais de US$ 50.00, vencendo o primeiro seis meses apos
o lan~amento, e lan~ado no mercado internacional. 0 lan~amento de uma
determinada quantidade desses bonus ensejou um desagio de zero sobre
o valor nominal do bonus. Abstraindo custos administrativos da opera~ao,
qual a taxa de juros em que os compradores dos bonus aplicaram o seu
capital, considerando que junto com o ultimo cupom o comprador recebe
o valor nominal do bonus de volta?
a) 0%.
b) 5% ao sernestre.
c) 7,5% ao sernestre.
d) 11% ao ano.
e) 12% ao ano.
ional por
Soluc;ao: 0 enunciado fala em lanc;amento de bonus no mercado internacional, e fornece os
m de cada
seguintes elementos.:
-7 Valor nominal do Bonus= US$ 1.000,00
-7 Cupons: 12 cupons semestrais de US$ 50.00 (wncendo o 1Q cupom 6 meses
S$ 60,00 .
nal do bo-
o seu valor
mprestimo,
-7
ap6s o lanc;:amento)
desagio de zero: significa que o valor de lan(amcnto do bonus e igual ao seu valor
-7
nominal Dai, o prec;o de lanc;amento e igual a 1.000,00.
juntamente com o ultimo cupom, o comprador recebe o valor nominal do bonus
de volta.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
A hist6ria que o enunciado conta e que houve uma compra de bonus, e o comprador tera
Solw;;ao: 0 enunc
o direito de receber uma serie de doze cupons (que serao semestrais), todos no mesmo valor
intermedio do lan
de US$ 50,00, alem de mais uma quantia de US$ 1 000,00 que sera paga na mesma data do
-7
dez cu
pagamento do ultimo cupom
-7
-7
valor n
ao fim
-7
bonus
os bon
Dito isso, ja somas capazes de criar o desenho da questao, que sera exatamente o
seguinte.
1000 (= pre( a de lmt(mnento)
0 desenho da
X(= pre
12 parcelas de 50,
1000
0 desenho dessa questao tern a mesma fei(iio que a do desenho do exemplo anterior,
dai ja sabemos que a taxa de juros pode ser obtida, simplesmente, pela razao entre a parcela
semestral de US$ 50,00 e a parcela unica, paga na ultima data, de US$ LOOO,OO. Teremos
50
5
parcela semestral = - - = - - 5%
parcela unica
1000 100
Foram fornec
(que foi tornado d
Onde esta dit
lanc;ados com ur
Dai, a taxa de juros e de 5% ao semestre . E uma taxa semestral porque as parcelas peri6dicas sao semestrais.
Resposta: alternativa B..
Sabemos que
seria: "o prec;o de
Pais bern! Va
Podemos imedia
16.
(ESAF) Urn pais captou urn emprestimo no mercado internacional por
intermedio do lan~amento de bonus com dez cupons semestrais venciveis
ao fim de cada semestre, sendo o valor nominal do bonus US$ 1.000,00 e
de cada cupom US$ 60,00. Assim, ao fim do quinto ano o pais deve pagar o
ultimo cupom mais o valor nominal do bonus. Considerando que os bonus
foram lan~ados com urn agio de 7,72% sobre o seu valor nominal, obtenha
o valor mais proximo da taxa nominal anual cobrada no emprestimo,
desprezando custos de registro da opera~ao, de intermedia~ao etc.
a)
b)
c)
d)
e)
16%.
14%.
12%.
10%.
8%.
-7 Agio= 7,7
Dai, o valor d
Todos entend
Somamos porqu
sempre que ser s
Contrariame
que subtrair par
Capitulo 9 -
Amortiza~ao
rador tera
Solw;;ao: 0 enunciado diz que urn pais captou urn emprestimo no mercado internacional por
smo valor
intermedio do lanc;amento de bonus, e ainda fornece os seguintes elementos:
ma data do
amente o
-7
dez cupons semestrais de US$ 60,00
-7
-7
valor nominal do bonus US$ 1 000,00
ao fim do quinto ano o pais deve pagar o ultimo cupom mais o valor nominal do
-7
bonus.
os bonus foram lanc;ados com urn agio de 7,72% sabre o seu valor nominaL
0 desenho da questao e 0 seguinte
X(= pre(o de lan(amento)
00
10 parcelas de 60,
o anterior,
1000
e a parcela
Teremos
celas peri-
onal por
venciveis
000,00 e
e pagar o
os bonus
obtenha
prestimo,
etc.
Foram fornecidos por este enunciado o valor dos pagamentos (de devolw;:ao) eo valor do X
(que foi tornado de emprestimo). E teremos que encontrar o valor da taxa da operac;ao.
Onde esta dito na questao qual sera o valor do X? Nas seguintes palavras "os bonus foram
lanc;ados com urn agio de 7, 72% sobre o seu valor nominal"
Sabemos que X e o pm;o de lan(amento . Dai, uma releitura dessa frase destacada acima
seria: "o prec;o de X e igual ao valor nominal do bonus, com mais urn agio de 7, 72%"
Pais bern! Vamos, de posse desse entendimento, calcular o valor do pre(O de lan(amento
Podemos imediatamente determinar o quanta sera o valor do agio. Teremos
-7 Agio= 7,72%
72
~e 1000 = ( 7100
· ) x 1000 = 77,20
Dai, o valor do X sera: -7 X= 1000 + 77,20 -7 X= 1077,20
Todos entenderam o motivo de termos soma do aos US$ 1.000,00 aquele valor US$ 77 ,20?
Somamos porque foi dito que ele (77,20) representa urn agio. E agio e urn valor a maior! Tera
sempre que ser somado.
Contrariamente, se o enunciado houvesse falado em desagio, ao inves de samar, teriamos
que subtrair para obter o valor do X.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
Dai, calculado o valor do X, o desenho definitivo dessa questao sera.
Mas nao ba
(as taxas das al
1077,20
enunciado.
Se sao taxas
isso ja aprendem
quando formos
10 parcelas de 60,
1000
Nossa missao agora sera a seguinte: teremos que descobrir a taxa composta que sujeita toda
a)
16%
b)
14%
c)
12%
d)
10%
e)
8%
Mas ocorre
Transforman
essa opera<;;ao de emprestimo.
Ora, com as parcelas de 60 dolares, faremos uma operac;ao de Amortiza<;;ao, concordam?
as seguintes.
Esquecendo por hora o bonus de 1000 dolares, e trabalhando s6 com os cupons de 60,
a)
8%
teremos:
b)
7%
c)
6%
d)
5%
e)
4%
-7 T' = 60. a 10-.i (= Resultado dos cupons de 60)
Considerando agora somente o bonus de US$ LOOO,OO. 0 valor na data zero referente
a este valor, pode ser obtido utilizando uma opera<;;ao de desconto composto por dentro ou
Dai, naquel
pela formula da amortiza<;;ao (imaginando as parcelas ficticias). Usaremos esta ultima, e vamos
relembrar como a utilizamos.
A formula da Amortizac;ao com o uso do artificio de criar parcelas ficticias e dada por:
. ... iremos t
substituiremos
Vai ser na b
Neste caso todas=lO (= 9 ficticias + 1 real) ef=9 (= 9 ficticias).
Substituindo os dados na formula, teremos que:
-7 T" = 1000 . (a 10..\
-
ganharmos tem
a9 .,) ( = Resultado do bonus de 1000)
Dai, ao somarmos os dois resultados encontrados acima, o valor desta soma tera que ser
igual ao X que ja e nosso conhecido. Ou seja:
Se o prec;o d
dividir o valor d
(l 000,00) par
Enfim, chegamos ao seguinte uma equac;ao e uma variavel Esta variavel (esse elemento
desconhecido da equa<;;ao) e justamente o valor da taxa i.
E agora, o que fazer? 56 nos resta uma coisa: olharmos para as op<;;oes de resposta. Sao
as seguintes:
a) 16% .
Porem, pod
parcela sem
parcela tmi
Dai, a taxa
A resposta
valor se o prer;o
b) 14% .
c) 12% .
d) 10% .
e) 8%.
pos
Capitulo 9 -
Amortiza~ao
Mas nao basta olhar para essas taxas Temos ainda que observar o fato de que elas
(as taxas das alternativas) sao taxas nominais anuais, conforme disse expressamente o
enunciado.
Se sao taxas nominais anuais, entao deve haver urn periodo de capitalizac;ao! Qual? Ora,
isso ja aprendemos: se as parcelas sao semestrais, entao a capitaliza<;;ao tambem o sera Dai,
quando formos ler as op<;;6es de resposta, teremos que faze-lo da seguinte forma
1000
e sujeita toda
a)
16% ao ano com capitaliza<;;ao semestral
b)
14% ao ano com capitaliza<;;ao semestraL
c)
12% ao ano com capitalizac;ao semestraL
d)
10% ao ano com capitalizac;ao semestral
e)
8% ao ano com capitaliza<;;ao semestral
Mas ocorre que taxa nominal nao serve para ser utilizada nas contas .
Transformando-as, portanto, em teems cfetivas, teremos que nossas op<;;oes de resposta sao
concordam?
as seguintes.
upons de 60,
a)
8% ao semestre.
b)
7% ao semestre.
c)
6% ao semestre.
d)
5% ao semestre.
e)
4% ao semestre.
ero referente
or dentro ou
ima, e vamos
dada por:
a tera que ser
sse elemento
resposta. Sao
Dai, naquela equa<;;ao final a que haviamos chegado, ....
60a 10 -'i + 1000(a 10.,i- a 9 .,i)
= 1.077,20
. ... iremos testar as taxas efetivas das op<;;oes de resposta. Onde houver o i da equac;ao,
substituiremos pelas taxas das respostas (8%, 7%, 6%, 5%, 4%).
Vai ser na base do teste? Vai! Nao tern outro jeito.
Porem, podemos utilizar o artificio apresentado nos ultimos exemplos resolvidos, para
ganharmos tempos e nao precisarmos testar todas as taxas. Vamos ao artificio!
Se o prec;o de lan<;;amento (valor do X) fosse 1 000,00, esta questao estaria resolvida: bastaria
dividir o valor da parcela semestral (60,00) pelo valor do pagamento unico feito na ultima data
(l 000,00) para obter a taxa da opera<;;ao. Quanto e que daria se fosse assim?
60
6
parcela semestral = - - = - - = 6%
parcela tmica
1000 100
Dai, a taxa de juros soia de 6% ao semestre.
A resposta que procuramos nessa questao e 6% ao semestre? Claro que nao! 56 seria esse
valor se o prer;o de lanr;amento fosse igual ao valor nominal do bonus, que e de 1 000,00.
r
Matematica Finance ira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
Porem, com os dados que dispomos desse enunciado, a taxa da operac;ao sera maior
Vamos verse
que 6% ou menor que 6%? Se soubermos essa resposta, ja poderemos eliminar algumas
alternativas
-7 60a 10.., 5S"
-7 1000(a 10-
Como ja dissemos, se o prec;o de lanc;amento fosse igual a l .000,00, a taxa seria de 6% as.,
eo que acontece com a taxa quando aumentamos o prec;o de lanc;amento?
0 prec;o de lam,;amento eo valor a ser amortizado, e, portanto, e igual ao valor descontado
(ou valor atual) dos pagamentos.
Assim, quando aumentamos o prec;o de lanc;amento, estamos aumentando o valor atual,
Compondo n
60a 10 -. 5"" + 1
Dai:
e considerando que os pagamentos nao se alteram, entao a taxa tera que diminuir para que
haja descontos menores sabre os pagamentos .
Por outro !ado, quando diminuimos o prec;o de lanc;amento, estamos diminuindo o valor
atual, e considerando que os pagamentos nao se alteram, entao a taxa tera que aumentar para
que haja descontos maiores sabre os pagamentos.
Ou seja, veri
Entao, concl
56 que as op
Dai, como v
Em suma
d) 10% ao a
-7 Se o agio (ou desagio) e zero (prec;o de lanc;amento igual ao valor nominal), a taxa
de juros da operac;ao sera obtida pela razao entre o valor do cupom e o valor nominal do
bonus.
-7 Se ocorre agio (prec;o de lanc;amento maior que valor nominal), a taxa de juros da
operac;ao sera menor que a que seria obtida pela razao entre o valor do cupom e o valor
nominal do bonus.
-7 Se ocorre desagio (prec;o de lanc;amento menor que valor nominal), a taxa de juros
da operac;ao sera maior que a que seria obtida pela razao entre o valor do cupom e o valor
nominal do bonus.
Voltando
a resoluc;ao desse enunciado, sabemos que o prec;o de lanc;amento do bonus e
maior que o valor nominal de 1000,00, dai a taxa de operac;ao sera menor que 6% a.s.
Sabendo disso, ja podemos eliminar as alternativas A, Be C Como nos resta somente as
alternativas DeE, teremos, entao, que fazer somente urn teste! Claro! P6is se o primeiro teste
falhar, a resposta sera a outra taxa . Oh?
Testaremos, neste momenta, a alternativa D.. Vejamos:
a)
8% ao semestre.
17.
(ESAF) U
uma cer
de US$
US$ 60.0
e assim
deve pa
Conside
de refer
ao ano,
abstrain
a) US$ 1
b) US$ 9
c) US$ 9
d) US$ 9
e) US$ 8
Soluc;ao: 0 enu
de uma certa qu
0 valor que
b)
7% ao semestre.
Ejustamente o
c)
6% ao semestre.
utilizar de uma
d)
5% ao semestre.
60,00 e mais ur
e)
4% ao semestre.
mesma data do
Se usarmos a taxa da letra D (5% as) e constatarmos que a igualdade da equa<;:ao se
verificou, entao concluiremos que essa sera a taxa que estamos procurando.
Capitulo 9 -
os
sera maior
Amortiza~ao
Vamos verse e isso que acontece? Substituamos, pois, a taxa i por 5% Teremos·
nar algumas
a de 6% as.,
-7 60a 10.., 5S" = 60 X 7,721735 = 463,3 &
-7 1000(a 10-. 5s"- a9 -. 5s) = 1000(7,721735-7,107821) = 613,9
r descontado
Compondo nossa equac;ao, teremos que
o valor atual,
60a 10 -. 5"" + 1000(a 10 -. 5s"
Dai:
uir para que
indo o valor
umentar para
inal), a taxa
nominal do
de juros da
m e o valor
axa de juros
om e o valor
o do bonus e
ue 6% a.s.
a somente as
rimeiro teste
a equa<;:ao se
a 9 -. 5s)
= 463,3 + 613,9 = 1077,20
1077,20
= 1077,20
Ou seja, verificou-se a igualdade!
Entao, concluimos. a taxa efetiva dessa opera<;:ao e 5% ao semestre .
56 que as opc;oes de resposta nao trazem taxas efetivas. Trazem taxas nominais anuais
Dai, como vimos acima, a resposta que procuramos sera:
d) 10% ao ano (com capitaliza<;:fw semestral) -7 Resposta!
17.
(ESAF) Urn pais captou urn emprestimo por intermedio do lan~amento de
uma certa quantidade de bonus no mercado internacional com valor nominal
de US$ 1,000.00 cada bonus e com doze cupons semestrais no valor de
US$ 60.00 cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre
e assim sucessivamente ate o decimo segundo semestre, quando o pais
deve pagar o ultimo cupom juntamente com o valor nominal do titulo.
Considerando que a taxa de risco do pais mais a taxa de juros dos titulos
de referenda levou o pais a pagar uma taxa final de juros nominal de 14%
ao ano, obtenha o valor mais proximo do pre~o de lan~amento dos bonus,
abstraindo custos de intermedia~ao financeira, de registro etc.
a) US$ 1 ,000.00.
b) US$ 953.53.
c) US$ 930.00.
d) US$ 920.57.
e) US$ 860.00.
Soluc;ao: 0 enunciado fala em urn pais que captou urn emprestimo por meio do lanc;amento
de uma certa quantidade de bonus no mercado internacional.
0 valor que o pais vai pegar emprestado hoje sera chamado de prec;o de lanc;amento.
Ejustamente o que esta sendo questionado. E para pagar por esse emprestimo, o pais vai se
utilizar de uma serie de doze cupons (que serao semestrais), todos no mesmo valor de US$
60,00 e mais urn valor (que foi chamado de bonus), que vale US$ LOOO e que sera pago na
mesma data do pagamento do ultimo cupon .
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
Dito isso, ja somos capazes de criar o desenho da nossa questao, que sera exatamente o
seguinte
X(= "pw;:o de lan<;:amento")
Sendo assim
Ora, taxa no
de taxas propor
talizat;ao, terem
-7 14% ao a
Dai, retorna
-7 r = p . a
Consultand
-7 T' = 60.
-7 T' = 4 76
12 parcelas de 60,
1000
Considerem
este valor pode
pela formula da
Agora s6 nos resta descobrir o valor do X (pre<;:o de lan<;:amento)"
Olhemos somente para as parcelas de 60 d6lares, como se o bonus de 1000 nao existisse,
Neste caso,
all? Teremos:
T'
Consultand
-7 T" = 10
-7 T" = 100
-7 T" = 444
12 parcelas de 60,
Temos n = l2 (doze parcelas), todas no valor de 60 (P = 60) Observemos que estamos
aqui ignorando a presen<;:a do bonus de LOOO d6lares Depois trabalharemos com ele. Por
enquanto, aplicando a amortiza<:;ao para os cupons de 60 d6lares, teremos que:
-7 T'
= P.an ...,i
-7 r
= 60. all'"\
Aqui surge uma questao: qual eo valor da taxa desta opera<:;ao? 0 enunciado fala em uma
"taxa final de juros nominal de 14% ao ano''" Ora se a taxa e nominal, entao havera urn
periodo de capitalizat;ao E qual sera esse, uma vez que foi omitido pelo enunciado?
Sempre que uma questao trouxer uma sequencia de parcelas de mesmo valor e mesma periodicidade (parcelas mensais, ou bimestrais, ou trimestrais, ou quadrimestrais, ou
semestrais, ou anuais etc), e disser que a opera<;:ao esta sujeita a uma taxa nominal, entao
entenderemos que o periodo de capitaliza<;:ao desta taxa nominal sera justamente o tempo do
intervalo entre as parcelas
Ou seja, se as parcelas sao mensais, a taxa tera capitalizat;ao mensa!; se as parcelas sao
semestrais (nosso caso), a taxa tera capitaliza<;:ao semestral; e assim por diante.
Novamente
-7 Resultad
-7 Resultad
DaL X= 47
18.
(ESAF)
cupons
vence a
o quart
de volta
sua apl
calcule
aplica~
3%.
b) 3,19
c) 3,46
d) 5%.
e) 6,21%
a)
pos
exatamente o
Capitulo 9 -
Amortiza~ao
Sendo assim, nossa taxa aqui sera 14% ao ano, com capitaliza<;:ao semestral
Ora, taxa nominal precisa ser transformada em efetiva, imediatamente. Usando o conceito
de taxas proporcionais, e lembrando que a unidade da taxa efetiva e sempre igual a da capitalizat;ao, teremos que
-7 14% ao ano, com capitalizat;ao semestral = 7% a.s. (=taxa efetiva)
Dai, retornando a resolut;ao, teremos que
-7 r = p . an ...,i
-7 r = 60 , all -,7%
Consultando a Tabela Financeira, teremos que:
-7 T' = 60. all-. 7%
-7 T' = 60 X 7,942686
-7 T' = 4 76,56 (= Resultado dos cupons de 60)
1000
Consideremos agora somente o bonus de LOGO d6lares 0 valor na data zero referente a
este valor pode ser obtido utilizando-se uma opera<;:ao de desconto composto por dentro ou
pela formula da amortiza<;:ao com par-celas ficticias. Usaremos este ultimo caminho, e teremos"
0 nao existisse,
Neste caso, todas = 12 (= 11 ficticias + 1 real) e f=11 (= 11 ficticias)
-7 T"
= 1000" (all-. 7% -a 11 -. 7%)
Consultando a Tabela Financeira, encontraremos que:
-7 T" = 1000. (7,942686- 7,498674)
-7 T" = 1000 . (0,444012)
-7 T" = 444,01 (=Resultado do bonus de 1000)
os que estamos
s com ele. Por
e:
do fala em uma
tao havera urn
ciado?
o valor e mesdrimestrais, ou
nominal, entao
nte o tempo do
as parcelas sao
e.
Novamente aqui estamos aptos a compor o resultado final da nossa questao
-7 Resultado do nivel dos cupons de 60 US$ 476,56
-7 Resultado do bonus de 1000: US$ 444,01
DaL X= 476,56 + 444,01
-7 X= 920,57 -7 Resposta!
18.
(ESAF) Urn bonus possui valor nominal de US$ 1,000.00 e contem quatro
cupons semestrais de US$ 50.00 cada, sendo que o primeiro cupom
vence ao fim de seis meses, e assim sucessivamente, ate que, junto com
o quarto cupom, o comprador do bonus recebe o valor nominal do bonus
de volta, obtendo assim uma remunera~ao nominal de 5% ao semestre em
sua aplica~ao de capital. Abstraindo custos administrativos e comissoes,
calcule o desagio necessaria sobre o valor nominal do bonus para que a
aplica~ao de compra do bonus produza urn ganho real de 6% ao semestre.
a) 3%.
b) 3,196%.
c) 3,465%.
d) 5%.
e) 6,21%.
1
!
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
Solw;:ao:
Mais uma questao de Paises, Bonus e Cupons! Vejamos os dados trazidos pelo enunciado·
~
~
~
-7
~
Valor nominal do bonus= l 000,00
Quatro cupons semestrais de 50,00
Junto com o quarto cupom, o comprador do bonus recebe o valor nominal do
bonus de volta.
Ganho real de 6% a ..s. ~ i = 6% as.
A remunera<;:ao nominal de 5% as. e a taxa de juros quando o pre<;:o de lan<;:amento
do Bonus e igual ao valor nominal do Bonus (desagio zero), sendo obtida, simplesmente, pela divisao do valor do cupom (50,00) pelo valor nominal do bonus
(1000) Mas nesta questao o desagio nao e zero, inclusive o enunciado solicita o
valor do desagio na questao. Sabendo disso, nao usaremos essa taxa na resolu<;:ao
da questao .
Pede-se Valor do desagio (em%) =?
Desenho da questao:
Neste exercic
Substituindo
~ T" = 100
Recorrendo a
Dai
~ T"
=
E ~ T" = 7
Ao somarrno
~ X= T' + T
~X= 965,3
ja podemos c
Desagio (em
X(= pre<;:o de Ian<;:amento)
50
Consideramo
este valor poder
pela formula da
A formula da
50
50
50
Desagio (em
1000
Desagio
0 desagio ocorre quando o valor de venda do bonus (ou pre<;;o de lan<;:amento) for menor
que o seu valor nominaL 0 desagio (em%) e obtido pela seguinte formula:
desagio (em %) =Valor Nominal do Bonus- Valor de Venda do Bonus
Valor Nominal do Bonus
desagio (em %) = 1000- Valor de Venda do Bonus
1000
Calculo do valor de venda do bonus:
0 valor de venda do bonus eigual ao valor transportado para a data zero das quatro parcelas
(cupons) de US$ 50,00 e da parcela (valor nominal do bonus) de US$ 1000,00.
Esquecendo por hora o bonus de l 000 do lares, calcularemos o valor na data zero referente
as quatro parcelas de 50 dolares por meio da formula de Amortiza<;:ao Teremos:
~ T' =50. a 4 -. 6%
Recorrendo a tabela financeira, encontraremos: a4-. 6% = 3,465105
Dai ~ T' = 50 . 3,465105 =50. 3,465
E: ~ T' = 173,25 (= Resultado dos quatro cupons de 50)
1
!
Capitulo 9 -
s
enunciado·
Consideramos agora somente o bonus de l 000 dolares 0 valor na data zero referente a
este valor podera ser obtido utilizando uma opera<;:ao de desconto composto por dentro ou
pela formula da amortiza<;:ao (imaginando as parcelas ficticias) Usarernos esta ultima .
A formula da Amortiza<;:ao corn o uso do artificio de criar parcelas ficticias e dada por
nominal do
lan<;:amento
obtida, simal do bonus
do solicita o
na resolu<;:ao
o) for menor
uatro parcelas
.
zero referente
:
Amortiza~ao
T
= P · (aTooAs .,i -
aFICTicMs .,)
Neste exercicio, temos
Todas = 4 (= 3 ficticias + 1 real) e f = 3 (= 3 ficticias).
Substituindo os dados na formula, teremos que:
~ T" = 1000. (a 4-. 6% -a3 • 6%)
Recorrendo a tabela financeira, encontraremos.:
a 4 -. 6%=3,465105 e a 3-. 6%=2,673012
Dai
~ T"
= 1000 . (3,465105- 2,673012)
E ~ T" = 792,09 (=Resultado do bonus de 1000)
Ao somarrnos os dois resultados encontrados acirna, chegaremos ao valor do X Ou seja.
~ X= T' + T" = 173,25 + 792,09
~X= 965,34
ja podemos calcular o desagio solicitado na questao:
Desagio (em%)= 1000- 965.34 = 34.66
1000
1000
Desagio (em %) = 3,466% a.s. (Resposta: alternativa C)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
AMORTIZA<;AO - EXERclCIOS PROPOSTOS
05.
(Audito
soj~ e p
esta se
do Agri
seguint
em 10 p
1,0% ao
tabela f
a) R$ 1 0
b) R$ 10
c) R$ 10
d) R$ 12
e) R$ 12
06.
(Fiscal d
seus pro
serie un
e de 10%
e feito c
urn prod
a) R$ 52
b) R$ 54
c) R$ 56
d) R$ 57
e) R$ 60
07.
(FiscaiiC
de Recup
periodo:
SISTEMA FRANCES DE AMORTIZA(AO
01.
(Auditor Fiscal do Estado do RJ 2011 FGV) A respeito do Sistema de Amortiza<:ao Frances, e correto afirmar que
a) as parcelas a serem pagas tem valor decrescente.
b) 0 calculo da prestar;ao e dado pela divisao do montante pelo numero de prestac;6es.
c) o montante amortizado e crescente.
d) os juros de cada parcela sao constantes.
e) as parcelas a serem pagas tem valor crescente.
02.
03.
04.
(APOFP SEFAZ·SP 2013 VUNESP) Uma loja cobra 5% ao mes de juros nas
vendas a prazo. Urn eletrodomestico e vendido em 3 presta<:oes de R$
420,00, sendo a primeira parcela paga no ato da compra. lsso significa
que seu pre<:O a vista e de, aproximadamente,
a) R$ 1 .1 84,00.
b) R$ 1 .260,00.
c) R$ 1 .140,00.
d) R$ 1.200,00.
e) R$ 840,00.
(AFC/STN 2005 ESAF) No dia 10 de setembro, Ana adquiriu urn imovel
financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$ 20.000,00. A primeira
parcela vence no dia 10 de novembro do mesmo ano e as demais no dia
10 dos meses subsequentes. A taxa dejuros compostos contratada foi de
60,1032% ao ano. Assim, o valor financiado no dia 10 de setembro, sem
considerar os centavos, foi de: (Vide tabelas financeiras I e II ao final do
livro.)
a) R$ 155.978,00;
b) R$ 155.897,00;
c) R$ 162.217,00;
d) R$ 189.250,00;
e) R$ 1 78.1 50,00.
(Analista de Tecnologia da lnforma<:ao SEFAZ/CE 2007 ESAF) Uma pessoa
compra urn carro usado por R$ 25 000,00, daR$ 5 000,00 de entrada e fi·
nancia o restante em doze presta<:oes mensais iguais, vencendo a primeira
dentro de urn mes e assim sucessivamente. Considerando uma taxa nominal
de 24% ao ano com capitaliza<:ao mensa!, calcule o valor mais proximo da
presta<:ao. (Vide tabela financeira II ao final do livro.)
a) R$ 1 667,00
b) R$ 1 700,00
c) R$ 1 822,00
d) R$ 1 891,00
e) R$ 1 915,00
Numero
FRC
0 pre<:o
ser adqu
I. A vist
II. Em 12
ta<:ao
Utilizand
compost
que torna
duas op<
a) R$ 9.5
b) R$ 9.1
c) R$ 8.5
d) R$ 8.3
e) R$ 8.1
os
Capitulo 9 -
05.
(Auditor Fiscal SEFAZ·RS 2014 Fundatec) Romildo Pedroza e plantador de
soj~ e pretende aproveitar uma promo<:ao de uma maquina agricola, que
esta sendo oferecida por R$ 120.000,00 para pagamento a vista. 0 Banco
do Agricola S.A. possui uma linha de financiamento para a maquina nas
seguintes condi<:oes: entrada de R$ 20.000,00 e o restante do valor pago
em 10 parcelas iguais e consecutivas, a uma taxa de juros compostos de
1,0% ao mes, capitalizada men sal mente. Qual o valor da presta<:ao? (Vide
tabela financeira II ao final do livro.)
a) R$ 1 0.558,21.
b) R$ 10.585,21.
c) R$ 10.966,85.
d) R$ 12.669,85.
e) R$ 12.696,85.
06.
(Fiscal de Rendas SEFAZ/RJ 2010 FGV) Uma empresa parcela a venda de
seus produtos que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma
serie uniforme de pagamentos postecipada. A taxa dejuros efetiva cobrada
e de 10% ao mes no regime de juros compostos e o calculo das parcelas
e feito considerando·se os meses com 30 dias. Se urn individuo comprar
urn produto por R$ 1.000,00, o valor de cada presta<:ao mensa! sera:
a) R$ 525,68.
b) R$ 545,34.
c) R$ 568,24.
d) R$ 576,19.
e) R$ 605,00.
07.
(FiscaiiCMS-SP 2009 FCC) A tabela abaixo apresenta os valores dos Fatores
de Recupera<:ao de Capital (FRC) para a taxa de juros compostos de 2% ao
periodo:
a de Amor-
ero de pres-
e juros nas
:oes de R$
o significa
urn imovel
A primeira
mais no dia
tada foi de
mbro, sem
ao final do
Uma pessoa
entrada e fi·
a primeira
axa nominal
proximo da
Amortiza~ao
Numero de periodos (n)
FRC
10
11
12
13
0,111
0,102
0,095
0,088
FRC = (1,02)"x0,02
(1,02)"-1
0 pre<:o de venda de um equipamento e igual a R$ 1 00.000,00. Ele pode
ser adquirido por uma das seguintes op<:oes:
I. A vista, com 10% de desconto sobre o pre<:o de venda.
II. Em 12 presta<:oes mensais, iguais e consecutivas, com a primeira presta<:ao sendo paga no ato da compra.
Utilizando o criterio do desconto racional composto a uma taxa de juros
compostos de 2% ao mes, tem-se que o valor de cada presta<:ao da op<:ao 11
que torna equivalentes, no ato da compra, os pagamentos efetuados pelas
duas op<:oes e, desprezando os centavos, igual a
a) R$ 9.500,00
b) R$ 9.180,00
c) R$ 8.550,00
d) R$ 8.330,00
e) R$ 8.1 50,00
....- - - - - - C43Q)
08.
09.
10.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
(Fiscal de Fortaleza 2003 ESAF) Urn fmanciamento no valor de R$ 10.000,00
e obtido a uma taxa nominal de 24% ao ano para ser amortizado em doze
presta~oes semestrais iguais vencendo a primeira presta~ao seis meses
apos o fim de urn periodo de carencia de dois anos de dura~ao, no qual
os juros semestrais devidos nao sao pagos, mas se acumulam ao saldo
devedor. Desprezando os centavos, calcule a presta~ao semestral do financiamento. (Vide tabelas financeiras ao final do livro.)
a) R$ L614,00.
b) R$ 2.540,00.
c) R$ 3.21 0,00.
d) R$ 3.1 76,00.
e) R$ 3.827,00.
(Fisc~l da
vend1do p
60,00, ~om
(no reg1m
(Obs: use
a) 9%.
b) 11%.
c) 13%.
d) 15%.
e) 17%.
13.
(Fiscal de
de eletroe
• R$ 1.1
• 3 p~est
me•ra p
Embora na
(Analista de Controle lnterno SEFAZ·RJ 2012 CEPERJ) Compre hoje
(0 1112/20 11) o seu bilhete RIO-PARIS-RIO e comece a pagar so mente em
01/03/2012. 0 pre~o a vista e US$850,00, cobram-se juros de 3% a.m. e
sao 8 presta~oes mensais iguais. 0 valor das presta~oes e de: (Dados:
(1 ,03)2 = 1,06090 e (1 ,03)8 = 1,26677.)
a) US$ 128,46
b) US$ 138,40
c) US$ 129,46
d) US$ 135,23
e) US$ 12 78,36
(Auditor Fiscal da Fazenda Estadual SEFPI 2015 FCC) Em uma loja, urn computador esta sendo vendido de duas formas:
- a vista, por urn pre~o P igual a R$ 4.500,00 ou
- a prazo, sem juros, com pagamento em 3 parcelas de R$ 1.500,00 cad a,
sendo a primeira dada como entrada e as outras vencendo dai a 30 e
60 dias da data da compra.
0 proprietario da loja consegue aplicar seu dinheiro a juros compostos, a
taxa de 5% ao mes. Ele deseja oferecer urn desconto no pre~o a vista desse
computador, mas nao quer ter prejuizos. Dessa forma, o valor mais proximo
da taxa de desconto maximo que ele pode oferecer sobre 0 pre~o p e de
5,25%
b) 9,23%
c) 4,68%
d) 4,70%
e) 4,96%
a)
11.
12.
(Fiscal de Tributos de Niteroi-RJ 2015 FGV) Urn comerciante vende seus
produtos em duas parcelas mensais e iguais, sendo a primeira com vend·
mento em 30 dias apos a compra. Os clientes se recusam a pagar a vista
sem desconto. Se para o comerciante o dinheiro rende 25% ao mes, o maxi·
mo de desconto que pode ser oferecido, de modo a tornar financeiramente
indiferente para ele a alternativa escolhida pelos clientes e, aproximadamente:
a) 25%
b) 26%
c) 27%
d) 28%
e) 29%
qu~ ~scol
(Ut1hze, s
a) 13,5%.
b) 20,0%.
c) 21 ,5%.
d) 19,0%.
e) 9,5%.
14.
(Anal!~ta
~d~umda
a ~1sta, p~
mes segu
~~a:;s: 1
b) 27
25
d) 24
e) 14
c)
15.
(Auditor F
o plano de
com taxa d
vencendo
Data
0
1
2
3
4
5
6
7
10.000,00
em doze
is meses
, no qual
ao saldo
do finan-
12.
=
13.
(Fiscal de Ren~a~ SEFAZ·RJ 2008 FGV) Uma rede de lojas, que atua na venda
de eletroeletron~co~, anuncia a venda de notebook da seguinte forma:
• R$ 1.125,00 a v1sta em boleto bancario; ou
• 3 p~esta~oes ~ensais iguais, sem juros, de R$ 450,00, vencendo a prime•ra presta~ao no ato da compra.
Embora na propaganda seja utilizada a expressao "semjuros", os clientes
qu~ ~scolhem a segunda op~ao pagamjuros ao mes de, aproximadamente:
(Ut1hze, se necessario: .fj = 2,646)
a) 13,5%.
b) 20,0%.
c) 21 ,5%.
d) 19,0%.
e) 9,5%.
14.
(Anal!~ta
mpre hoje
mente em
3% a.m. e
e: (Dados:
a, urn com-
de Controle lnterno SEFAZ·RJ 2012 CEPERJ) Uma moto pode ser
~d~umda em presta~oes mensais de R$ 885,71, a juros de 3% ao mes, ou
a ~1sta, p~>r R$1 5.000,00. Sabendo que as presta~oes vencem a partir do
00,00 cad a,
dai a 30 e
mes segumte ao da compra, o numero de
presta~oes
e aproximadamente:
~~a:;s: 1,032 =1,06090; 1,03 8 =1,26677; log(0,491933)
mpostos, a
vista desse
ais proximo
e~o p e de
vende seus
com vend·
agar a vista
mes, o maxi·
ceiramente
aproximada-
(Fisc~l da Receita do Amapa 2010 FGV) Em certa loja, urn artigo que e
vend1do por R$ ~ 00,00 a vista pode ser comprado em duas parcelas de R$
60,00, ~om ven_c•mentos em 30 e 60 dias da compra. A taxa dejuros ao mes
(no reg1me de JUros compostos) que a loja cobra e de, aproximadamente:
(Obs: use .J69 8,3.)
a) 9%.
b) 11%.
c) 13%.
d) 15%.
e) 17%.
=-o,308094.)
b) 27
25
d) 24
e) 14
c)
15.
(Auditor Fiscal do Tesouro Estadual FAZPE 2014 FCC) No quadro abaixo tem-se
o plano de amortiza~ao de uma divida de R$ 4.800,00, pelo Sistema Frances
com taxa de 4~ ao_mes. Ela vai ser paga em 7 parcelas mensais consecutivas:
vencendo a pnme1ra delas ao completar urn mes da data do empres
· f 1mo.
Valor da cota
dejuros
Valor da cota de
presta~ao
1
799,72
w
607,72
2
799,72
167,69
632,03
X
3
799,72
142,41
657,31
2.902,94
4
799,72
y
z
2.219,34
Data
Valor da
amortiza~ao
0
Sal do
devedor
4.800,00
4.192,28
5
799,72
88,77
710,95
1.508,39
6
799,72
60,34
739,38
769,02
7
799,72
30,76
768,96
0,06
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
Na tabela, 0 sal do devedor nao ficou zerado porque OS calculos foram feitos
com valores aproximados, usando-se somente duas casas decimais. Nestas
condi~oes, e verdade que W + X + Z e igual a
a) R$ 4.102,75
b) R$ 4.435,85
c) R$ 4.042,25
d) R$ 4.324,95
e) R$ 4.294,85
16.
19.
(APOFP S
ser liquid
a primeir
rna Franc
de 2,5% a
(FRC) cor
tiza~ao, o
2s presta
a) R$ 34.
b) R$ 35.
c) R$ 35.
d) R$ 36.
e) R$ 37.
20.
(Fiscal d
no valor
de Amorti
-se que a
tern o va
(Auditor Fiscal Tributario Municipal de Campinas 2012 CETRO) Uma institui~ao financeira fez urn emprestimo de R$30.000,00 para ser pago pelo SFA
(Sistema Frances de Amortiza~ao) em 10 presta~oes mensais, a taxa de 3% ao
mes. Observe abaixo a planilha de amortiza~ao para os 3 primeiros meses.
Presta~ao
Periodo
Juro
Amortiza~ao
Saldo
Devedor
R$ 30.000,00
0
R$ 3.516,92
R$ 900,00
R$ 2.616,92
R$ 27.383,08
2
R$ 3.516,92
R$ 821,49
R$ 2 695,43
R$ 24 687,65
3
R$ 3.516,92
R$ 740,63
R$ 2.776,29
R$ 21.911,36
E correto afirmar que,
presta~ao
R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
a)
no 5 mes, o saldo devedor sera de
2
R$19.051,78.
b) R$18.852,47.
c) R$17.347,23.
d) R$16.1 06,42.
e) R$1 3.072,69.
a)
17.
(Auditor-Fiscal do Trabalho 2010 ESAF) Urn financiamento no valor de R$
82.000,00 deve ser pago em 18 presta~oes trimestrais iguais, a uma taxa de
10% ao trimestre, vencendo a primeira presta~ao ao fim do primeiro trimestre. Calcule o valor mais proximo do saldo devedor imediatamente apos o
pagamento da segunda presta~ao. (Vide tabela financeira II ao final do livro.)
a) R$ 75.560,00.
b) R$ 76.1 20,00.
c) R$ 78.220,00.
d) R$ 77.440,00.
e) R$ 76.400,00.
18.
(PGE/BA 2013 FCC) Uma divida foi contratada para ser paga por meio de 100
presta~oes mensais, iguais e consecutivas, com a primeira presta~ao vencen·
do urn mes apos a data da contra~ao da divida. Utilizou-se o sistema frances
de amortiza~ao, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mes, com o valor
de cada presta~ao igual a R$ 2.900,00. Se o valor da amortiza~ao incluido no
valor da primeira presta~ao e igual a R$ 400,00, entao, o saldo devedor da
divida, imediatamente apos 0 pagamento da segunda presta~ao, e igual a
a) R$ 124.400,00.
b) R$ 124.306,00.
c) R$ 124.232,00.
d) R$ 124.200,00.
e) R$ 124.192,00.
-
14
14
14
14.
14
21.
(Fiscal d
R$ 163.9
vencend
o Sistem
periodo.
de: (Utili
a) 81.00
b) 81.99
c) 86.00
d) 90.00
e) 94.71
22.
(AFRE MG
de R$ 1 5
urn a taxa
no fim d
quanto
centavos
a) R$ 30
b) R$ 24
c) R$ 16
d) R$ 18
e) R$ 20
os
Capitulo 9 -
ram feitos
ais. Nestas
19.
(APOFP SEFAZ·SP 2010 FCC) Uma divida no valor de R$ 40.000,00 devera
ser liquidada em 20 presta~oes mensais, iguais e consecutivas, vencendo
a primeira urn mes apos a data da contra~ao da divida. Utilizou-se o Siste·
rna Frances de Amortiza~ao (Tabela Price), a uma taxa dejuros compostos
de 2,5% ao mes, considerando o valor do Fator de Recupera~ao de Capital
(FRC) correspondente igual a 0,0641 5 (20 periodos). Pelo plano de amor·
tiza~ao, o saldo devedor da divida, imediatamente apos o pagamento da
2s presta~ao, apresenta urn valor de
a) R$ 34.868,1 5
b) R$ 35.045,85
c) R$ 35.223,70
d) R$ 36.828,85
e) R$ 37.473,15
20.
(Fiscal de Rendas SEFAZ/RJ 2010 FGV) Urn individuo adquiriu uma moto,
no valor de R$ 19.804,84 a ser pago em 36 presta~oes pelo Sistema Price
de Amortiza~ao. Ao final do 122 mes ele ainda deve R$ 14.696, 13. Sabendo·
-se que a taxa de juros do emprestimo e de 2% ao mes e que a presta~ao
tern o valor de R$ 777,00, o saldo devedor, apos o pagamento da proxima
presta~ao, sera de:
a) R$ 14.000,00.
b) R$ 14.147,53.
c) R$ 14. 198,84.
d) R$ 14.21 3,05.
e) R$ 14.322,01.
21.
(Fiscal de Tributos de Niteroi·RJ 2015 FGV) Urn emprestimo no valor de
R$ 163.982,69 deve ser pago em 18 presta~oes iguais de R$ 1 0.000,00,
vencendo a primeira urn periodo apos a libera~ao dos recursos seguindo
o Sistema frances de amortiza~ao - tabela Price. Os juros sao de 1% ao
periodo. Apos o pagamento da 9 11 presta~ao, o estado da divida e, em reais,
de: (Utilize: 1,0P = 0,914)
a) 81.000
b) 81.990
c) 86.000
d) 90.000
e) 94.710
22.
(AFRE MG 2005 ESAF) Urn emprestimo contraido no inicio de abril, no valor
de R$ 1 5.000,00 deve ser pago em dezoito presta~oes mensais iguais, a
urn a taxa de juros compostos de 2% ao mes, vencendo a primeira presta~ao
no fim de abril, a segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule
quanto esta sendo pago de juros na decima presta~ao, desprezando os
centavos. (Vide tabelas financeiras ao final do livro.)
a) R$ 300,00.
b) R$ 240,00.
c) R$ 163,00.
d) R$ 181 ,00.
e) R$ 200,00.
ma instituio pelo SFA
xa de 3% ao
os meses.
Saldo
evedor
30.000,00
27.383,08
24 687,65
21.911,36
alor de R$
uma taxa de
eiro trimesente apos o
al do livro.)
meio de 100
~ao vencen·
ema frances
com o valor
incluido no
devedor da
e igual a
-
Amortiza~ao
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
23.
(Auditor do Tesouro Municipal de Recife 2014 FGV) Suponha que um credito
pessoal de R$ 500,00 seja tomadojunto ao banco, a taxa dejuros mensa! de
50%, cujo prazo de pagamento seja de dois meses. Considerando o modelo
Price de pagamento, a parcela a ser paga no ultimo mes e a amortiza~ao
sao, respectivamente, iguais a
a) R$ 450,00 e R$ 300,00.
b) R$ 500,00 e R$ 500,00.
c) R$ 375,00 e R$ 250,00.
d) R$ 1125,00 e R$ 500,00.
e) R$ 750,00 e R$ 500,00.
24.
(Analista de Controle lnterno SEFAZ-RJ 2012 CEPERJ) Um imovel no valor
de R$ 300.000,00 sera financiado em 2 anos pela Tabela Price, a 78% a.a ..
Os val ores da presta~ao, da amortiza~ao e dos juros contidos na 165 presta~ao, respectivamente, sao: (Dados: 1,06524 = 4,533050.)
a) R$26.011 ,00; R$14.094,78; R$1 0.834,86
b) R$25.000,10; R$14.789,77; R$10.988,99
c) R$35.019, 1 0; R$15.194,34; R$11.824,76
d) R$25.119,19; R$14.294,94; R$10.800,00
e) R$2 5.0 19,1 0; R$14. 1 94,24; R$1 0.824,86
25.
(Auditor do Estado do Maranhao 2013 FGV) Uma loja de eletrodomesticos
cobra 5% de juros ao mes em qualquer financiamento. Nessa loja, uma
geladeira pode ser comprada em tres parcelas iguais de R$ 420,00 cada
uma, sendo a primeira no ato da compra, a segunda um mes apos a com·
pra, e a terceira, dois meses apos a compra. 0 valor dos juros incluidos
na terceira parcela de R$ 420,00 desprezando OS centavos e de
a) R$ 38,00.
b) R$ 39,00.
c) R$ 40,00.
d) R$ 41 ,00.
e) R$ 42,00.
26.
(Analista de Tecnologia da lnforma~ao SEFAZ/CE 2007 ESAF) Um financiamento deve ser pago em dezoito presta~oes mensais de R$ 1 000,00, vencendo a primeira presta~ao ao fim de trinta dias e assim sucessivamente.
Dado que a taxa dejuros do financiamento e de 1% ao mes, calcule o valor
mais proximo dosjuros pagos na primeira presta~ao. (Vide tabela financeira
II ao final do livro.)
a) R$ 164,00
b) R$ 214,00
c) R$ 260,00
d) R$ 300,00
e) R$ 328,00
27.
(Analis
za~ao f
10% ao
1.627,4
a) R$ 6
b) R$ 6
c) R$ 7
d) R$ 7
e) R$ 7
28.
(Analis
20.000
vencen
Utilizou
Pelo qu
apos o
cota de
a) R$ 5
b) R$ 5
c) R$ 5
d) R$ 5
e) R$ 5
29.
(SEFAZ·
deve se
cendo a
da parc
presta~
a)
R$ 2
b) R$ 7
c)
R$ 2
d) R$ 7
e)
30.
R$ 2
(Audito
R$ 91.6
ao com
o Siste
de valo
presta~
R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
a)
1
1
1
1
1
pos
um credito
s mensa! de
do o modelo
Capitulo 9- Amortiza~ao
27.
(Analista de Controle lnterno SEFAZ/RJ 2011 FGV) No sistema de amortiza~ao frances, para um valor presente de R$ 10.000, uma taxa de juros de
10% ao ano e um periodo de 10 anos, o valor da presta~ao anual e de R$
1.627,45. Assim, o valor amortizado da segunda parcela e
a) R$ 627,45.
b) R$ 690,20.
c) R$ 704,56.
d) R$ 759,22.
e) R$ 720,65.
28.
(Analista do Tesouro Estadual SEFPI 2015 FCC) Uma divida no valor de R$
20.000,00 vai ser paga em 30 presta~oes mensais, iguais e consecutivas,
vencendo a primeira presta~ao 1 mes apos a data de forma~ao da divida.
Utilizou-se o sistema de amortiza~ao frances com uma taxa de 2% ao mes.
Pelo quadro de amortiza~ao, obtem-se que o saldo devedor imediatamente
apos o pagamento da primeira presta~ao e de R$ 19.507,00. 0 valor da
cota de amortiza~ao incluido no valor da segunda presta~ao e de
a) R$ 502,86
b) R$ 512,72
c) R$ 522,58
d) R$ 532,44
e) R$ 542,30
29.
(SEFAZ·SP APOFP 2009 ESAF) Um financiamento no valor de R$ 76.060,80
deve ser pago em 1 5 presta~oes semestrais iguais de R$1 0.000,00, vencendo as presta~oes ao fim de cada semestre. Qual o valor mais proximo
da parcela que corresponde a amortiza~ao do saldo devedor, na segunda
presta~ao? (Vide tabela financeira II ao final do livro.)
a) R$ 2.394,00
b) R$ 7.606,00
c) R$ 2.897,00
d) R$ 7.103,00
e) R$ 2.633,00
30.
(Auditor-Fiscal Tributario Municipal SP 2012 FCC) Uma divida, no valor de
R$ 91.600,00, foi paga em 5 parcelas mensais, a primeira delas vencendo
ao completar um mes da data do emprestimo. Sabe-se que foi utilizado
o Sistema de Amortiza~ao Frances com taxa de 3% ao mes e que o fator
de valor atual correspondente e 4,58. A cota de amortiza~ao da segunda
presta~ao foi
a) R$ 17.900,60.
b) R$ 17.769,56.
c) R$ 1 7. 5 1 2, 53.
d) R$ 1 7.31 5,45.
e) R$ 1 7.117,82.
mortiza~ao
vel no valor
a 78% a.a ..
na 165 pres-
domesticos
a loja, uma
420,00 cada
apos a com·
os incluidos
de
Um financia000,00, venssivamente.
cule o valor
la financeira
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
31.
(Auditor Fiscal da Fazenda Estadual SEFPI 2015 FCC) Considere a tabela
abaixo, com taxa de 4% ao periodo. Use somente duas casas decimais em
seus calculos.
n
Fator de acumula~ao de capital para pagamento
unico
Fator de valor atual de uma serie de pagamentos
Fator de acumula~ao de capital de uma serie de
pagamentos
24
2,56
36
4,10
48
6,57
15,25
39,08
18,91
77,60
21,20
1.39,26
32.
a)
b)
c)
d)
e)
33.
Nessa tabela, tem-se que o fator de acumula~ao de capital para pagamento
unico e dado por (1 + i)n, 0 fa tor de valor atual de uma serie de pagamentos
e dado por
(l+it -1
n
e
(1 + i) i
0
fator de
acumula~ao
de capital de uma serie de
(1+ it 1
pagamentos e dado por -'----,'--.-
Urn empresario tomou em urn banco urn emprestimo no valor de R$
94.550,00, a ser pago em 36 meses. Sera utilizado o Sistema Frances de
Amortiza~ao, a taxa de 4% ao mes, com parcelas mensais e consecutivas,
a primeira vencendo urn mes ap6s a data do contrato. Sobre a terceira
presta~ao desse emprestimo, e verdade que
a) ela difere de R$ 100,00 da segunda prestar;:ao.
b) ao ser paga, ela deixa urn saldo devedor de R$ 93.500,00.
c) seu valor e de R$ 5.200,00.
d) sua cota de amortizar;:ao e R$ 1.266,22.
e) sua parcela de juros e R$ 3.682,61.
lnstru~oes: Para as duas pr6ximas questoes considere as informa~oes a
seguir:
A tabela abaixo corresponde a uma taxa de juros compostos de 2% ao
mes para ser utilizada em urn emprestimo no valor de R$ 100.000,00, que
devera ser quitado por meio de 48 presta~oes mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira presta~ao 1 mes apos a data da concessao do
emprestimo. Considere tambem que deve ser utilizado o Sistema Frances
de amortiza~ao com uma taxa de juros compostos de 2% ao mes.
Tabela
n
12
24
36
48
60
FAC (U)
1,26824
1,60844
2,03989
2,58707
3,28103
FAC (S)
13,41209
30,42186
51,99437
79,35352
114,05154
FRC
0,09456
0,05287
0,03923
0,03260
0,02877
Observa~ao:
FAC (U) = (1 ,02)";
FAC (S)
= (1, 02)"
0,02
l ·
'
FRC
= (1, 02)" x 0, 02
(1,02)"-1
sendo que n corresponde ao numero de meses, FAC (U) corresponde ao fator
de acumula~ao de capital para urn pagamento unico, FAC (S) corresponde
ao fator de acumula~ao de capital para uma serie de pagamentos iguais e
FRC corresponde ao fator de recupera~ao de capital.
(Audit
amorti
34.
R$
R$
R$
R$
R$
1
1
1
1
1
(Audito
diatam
a divid
em 15/
a) P >
b) p :s;
c) 72.0
d) 73.0
e) 74.0
(Audito
aquisi~
divida
cel a me
devido
moneta
a) se o
deve
b) inde
c) ao fi
dado
d) sea
mese
e) se a
mese
35.
(Banco
loja de
a taxa b
os iten
1. Cons
de fi
a R$
da u
o nu
igual
2. Se, e
ao fin
ness
mpos
Capitulo 9 -
ere a tabela
decimais em
6
10
48
6,57
91
60
21,20
1.39,26
32.
33.
uma serie de
nforma~oes
34.
60
3,28103
114,05154
0,02877
= (1, 02)" x 0, 02
(1,02)"-1
onde ao fator
corresponde
ntos iguais e
(Auditor Fiscal da Receita Estadual SFARJ 2014 FCC) Em 15/10/2013, ime·
diatamente ap6s quitar a 12 5 presta~ao, o devedor conseguiu renegociar
a divida pagando o correspondente sal do devedor com 10% de desconto
em 15/10/2013. 0 valor deste pagamento (P), em rea is, e tal que
a) P > 75.000
b) p :s; 72.000
c) 72.000 < P :s; 73.000
d) 73.000 < p :s; 74.000
e) 74.000 < P :s; 75.000
(Auditor do Tesouro Municipal de Natai/RN 2008 ESAF) Uma pessoa faz a
aquisi~ao de urn imovel ao valor global de R$ 200.000,00 e pagara esta
divida com urn a taxa de juros de 10% a. a., num prazo determinado. A parcel a mensal prevista e de R$ 1 50,00. Caso haja saldo residual, efetuara o
devido pagamento ao final deste periodo. Desprezando a figura da corre~ao
monetaria, podemos afirmar que neste caso:
a) se o prazo de pagamento for superior a 100 (cern) meses, nao havera saldo
devedor.
b) independente do prazo, sempre havera saldo devedor e este e crescente.
c) ao final de 100 (cern) meses, o saldo devedor e de R$ 50.000,00 (valor arredondado na unidade de milhar- criteria de arredondamento universal).
d) sea capitalizar;:ao dos juros for mensa!, o saldo devedor ficara zerado ap6s 240
meses de pagamento.
e) se a capitalizar;:ao dos juros for anual, o saldo devedor ficara zerado ap6s 240
meses de pagamento.
a
os de 2% ao
.000,00, que
is e consecuoncessao do
ema Frances
mes.
(Auditor Fiscal da Receita Estadual SFARJ 2014 FCC) 0 valor da cota de
2s presta~ao e igual a
a) R$ 1.974,80
b) R$ 1 .260,00
c) R$ 1.272,60
d) R$ 1.285,20
e) R$ 1 .630,00
amortiza~ao incluida no valor da
a pagamento
pagamentos
valor de R$
a Frances de
onsecutivas,
re a terceira
Amortiza~ao
35.
(Banco do Brasil Escriturario 2008 Cespe) Para a venda de notebooks, uma
loja de informatica oferece varios pianos de financiamento e, em todos eles,
a taxa basica de juros e de 3% compostos ao mes. Nessa situa~ao, julgue
os itens seguintes, considerando 1,2 como valor aproximando para 1,036.
1. Considerando-se que, na compra de urn notebook, o cliente opte por urn plano
de financiamento que consista em prestar;:oes consecutivas, mensais e iguais
a R$ 420,00 e que o montante desta serie de pagamentos, ap6s o pagamento
da ultima prestar;:ao seja igual a R$ 7.000,00, nessa situar;:ao, seT representar
o numero de prestar;:oes desse financiarnento, entao T sera aproximadamente
igual a logl ,5/log1 ,03.
2. Se, em uma venda, ficar acordado que o pagamento sera feito de uma (mica vez
ao final do 6Q mes ap6s a compra do notebook, cujo valor avista ede R$ 3.600,00:
nesse caso, no pagamento, o cliente desembolsara mais de R$ 4.200,00.
C43}D
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
3. Se o financiamento for feito em 6 prestac;oes mensais, consecutivas e iguais a
RS 720,00, com a primeira vencendo urn mes ap6s a compra, entao o montante
dessa serie de pagamentos, logo ap6s a quitac;ao da 6" prestac;ao, sera superior
a RS 4.500,00.
4. Caso urn cliente escolha financiar a cornpra de urn notebook em 12 prestac;oes
postecipadas, mensais, consecutivas e iguais a RS 360,00, nesse caso, considerando 0,70 como valor aproximado para 1,03- 12 , e correto concluir que o prec;o
do notebook, a vista, e inferior a R$ 3.800,00.
5. Se, na compra de urn notebook, o financiamento for feito corn base no sistema
frances de amortizac;ao, em 6 prestac;oes postecipadas, mensais, consecutivas e
iguais a RS 900,00, e a taxa de juros compostos cobrados nesse financiamento
for de 3% ao mes, nesse caso, se a amortizac;ao no pagamento da 1il prestac;ao
for igual a RS 756,00, entao a amortizac;ao no pagamento da 2• prestac;ao sera
superior a RS 785,00.
6. Para o desenvolvimento de projetos, urn escrit6rio de arquitetura utilizara urn
notebook por 3 anos e esta avaliando a melhor opc;ao entre alugar ou comprar
o equiparnento. Na pesquisa, o escrit6rio obteve as seguintes propostas:
I. alugar o equipamento por RS 1.500,00 ao ano, incluldas eventuais rnanutenc;oes, corn pagamento no inlcio de cada ano.
IL comprar o equipamento, vista, por RS 5.000,00 e mais RS 300,00, no 22
ano, e RS 500,00 no 32 ano, correspondentes a taxa de manutenc;ao; nesse
caso, no final do 32 ano, o vendedor se compromete a readquirir o equiparnento por RS 1 .600,00.
Considerando que a taxa de juros compostos do mercado seja de 3% ao mes
e que 0,97, 0,94 e 0,92 sejam valores aproximados para 1,03- 1, 1,03-2 e 1,03- 3 ,
respectivamente, e correto afirrnar que a melhor opc;ao para o escrit6rio de arquitetura sera alugar o notebook.
7. Se, em determinado mes, a taxa de inflac;ao foi de 1%, entao, nesse mes, a taxa
real de juros de urn financiamento foi superior a 2%.
a
SISTEMA DE AMORTIZA<;;:AO CONSTANTE (SAC)
36.
(Auditor do Tesouro Municipal de Recife 2014 FGV) Com rela~ao a equivalencia de fluxos de caixa, assinale V para a afirmativa verdadeira e F para
a falsa.
( ) No sistema de amortiza~oes constantes, os juros decrescem com o
tempo, para taxas dejuros nao nulas e para urn prazo maior do que urn
periodo.
) As parcelas de urn financiamento no sistema Price e SAC sao iguais no
ultimo periodo.
) No sistema Price, a amortiza~ao e crescente com o tempo para taxas de
juros nao nulas e para urn prazo maior do que urn periodo.
As afirmativas sao, respectivamente,
a) V, V e V.
b)
c)
d)
e)
V,
V,
F,
F,
Fe
Fe
Ve
Fe
V.
F.
V.
F.
37.
(Analist
de amort
1. As pr
dado
II. As pr
-se m
e per
Ill. As pr
·se m
de ju
Assinale
a)
b)
c)
d)
e)
38.
ap
ap
ap
ap
ap
(Fiscal d
respeito
1. No si
tes; e
II. No s
tante
111. No s
rante
uma
Assinale
a)
b)
c)
d)
e)
39.
se
se
se
se
se
se
se
se
se
se
so
so
so
so
tod
(Ministe
80.000,
apos o e
Constan
a) RS 5.
b) RS 5 .
c) RS 5
d) R$ 5.
e) RS 5
pos
as e iguais a
o montante
sera superior
37.
2 prestac;oes
so, consideque o prec;o
e no sistema
nsecutivas e
nanciamento
1il prestac;ao
estac;ao sera
a)
b)
c)
d)
e)
utilizara urn
ou comprar
ostas:
tuais rnanu-
38.
00,00, no 22
enc;ao; nesse
rir o equipa-
e 3% ao mes
03-2 e 1,03- 3 ,
rit6rio de ar-
e mes, a taxa
a equivaira e F para
o iguais no
ara taxas de
39.
se
se
se
se
se
apenas
apenas
apenas
apenas
apenas
a afirrnativa I estiver correta.
as afirmativas I e II estiverem corretas.
as afirmativas I e Ill estiverern corretas.
a afirmativa Ill estiver correta.
a afirmativa II estiver correta.
(Fiscal de Rendas SEFAZ·RJ 2008 FGV) Analise as afirmativas a seguir, a
respeito de sistemas de amortiza~ao de emprestimos:
1. No sistema frances, as presta~oes sao constantes; os juros, decrescen·
tes; e as amortiza~oes, crescentes.
II. No sistema de amortiza~ao constante (SAC), as amortiza~oes sao cons·
tantes; as presta~oes, crescentes; e os juros, decrescentes.
111. No sistema americana de amortiza~ao, apenas os juros sao pagos durante o financiamento, e, ao final do prazo, a divida e amortizada de
uma so vez.
Assinale:
a)
b)
c)
d)
e)
ao
cem com o
r do que urn
(Analista de Controle lnterno SEFAZ/RJ 2011 FGV) A respeito dos sistemas
de amortiza~ao, analise as afirmativas a seguir:
1. As presta~oes do Sistema Frances sao maiores que aquelas do SAC,
dados os mesmos juros, valor inicial e periodo de amortiza~ao.
II. As presta~oes do Sistema Frances sao decrescentes e, portanto, iniciam·
-se maiores que aquelas do SAC, dados os mesmos juros, valor inicial
e periodo de amortiza~ao.
Ill. As presta~oes do Sistema Frances sao constantes e, portanto, iniciam·se menores que aquelas do SAC, dados os mesmos valor inicial, taxa
de juros e periodo de amortiza~ao.
Assinale
se
se
se
se
se
somente
sornente
somente
sornente
todas as
a afirmativa I estiver corr·eta.
as afirmativas I e II estiverem corretas.
as afirrnativas I e Ill estiverem corretas.
as afirmativas II e Ill estiverern corretas.
afirrnativas estiverem corr·etas.
(Ministerio da Fazenda - Contador 2013 ESAF) Urn emprestimo de R$
80.000,00 sera pago em 20 parcelas mensais, sendo a primeira 30 dias
apos o emprestimo, comjuros de 2% ao mes, pelo Sistema de Amortiza~ao
Constante (SAC). 0 valor da segunda parcela sera:
a) RS 5.520,00.
b) RS 5 .450,00.
c) RS 5.180,00.
d) R$ 5.230,00.
e) RS 5.360,00.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
40.
(Fiscal de Rendas SMF-RJ 2010 ESAF) Um financiamento no valor de R$
360.000,00 deve ser pago em 180 presta~oes mensais, pelo Sistema de
Amortiza~oes Constantes - SAC, a uma taxa nominal de 12% ao ano, vencendo a primeira presta~ao ao fim do primeiro mes, a segunda ao fim do
segundo mes e assim sucessivamente. Calcule o valor mais proximo da
decima presta~ao.
R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
a)
43.
5.600,00
5.420,00
5.400,00
5.380,00
5.500,00
(PGE/BA
a uma p
te divid
primeir
devera
da ultim
apresen
a) R$ 5
b) R$ 5
c)
e)
41.
(Fiscal de Tributos de Niteroi-RJ 2015 FGV) Um emprestimo de R$ 120.000,00
a ser amortizado pelo Sistema de Amortiza~ao Con stante- SAC- foi contratado nas seguintes condi~oes: prazo de tres anos, pagamentos semestrais,
vencendo a primeira parcela a 180 dias da libera~ao dos recursos, e taxa
de juros de 5% ao semestre. 0 valor da quarta presta~ao e, em reais:
a)
44.
42.
20.000
22.000
24.000
(Banco do Brasil- Escriturario 2013 FCC) Um emprestimo de R$ 800.000,00
deve ser d evolvido em 5 presta~oes semestrais pelo Sistema de Amortizataxa de 4% ao semestre. 0 quadro demonstrativo
~oes Cons tantes (SAC)
abaixo con tem, em cada instante do tempo (semestre), informa~oes sobre
o saldo devedor (SD), a amortiza~ao (A), o juro (J) e a presta~ao (P) referentes a e sse emprestimo. Observe que o quadro apresenta dois valores
ilegiveis.
45.
a
so
(em R$)
J
(em R$)
(em R$)
0
800.000,00
-
-
-
640.000,00
160.000,00
32.000,00
192.000,00
2
480.000,00
160.000,00
25.600,00
185.600,00
3
320.000,00
160.000,00
19.200,00
179.200,00
4
160.000,00
160.000,00
12.800,00
172.800,00
5
-
160.000,00
########
########
Se o quadro estivesse com todos os valores legiveis, o valor correto da
presta~ao P, no ultimo campo
direita, na linha correspondente ao semestre 5, da tabela, seria de
a
167.500,00.
b) 166.400,00.
c) 162.600,00.
d) 168.1 00,00.
e) 1 70.300,00.
a)
(Audito
banco u
liquida
liza~ao
presta~
da prim
respec
p
A
(em R$)
Semestre
(Agente
10.000
d) 23.000
e)
R$ 5
meio de
um mes
que
a) a cot
b) a cot
c) o va
d) o sa
e) a cot
b) 21.000
c)
R$ 5
d) R$ 5
R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
a)
46.
3
3
3
3
3
(Audito
uma di
40
pres
ao com
e igual
R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
a)
1
1
1
1
1
Capitulo 9 -
mpos
valor de R$
o Sistema de
ao ano, venda ao fim do
proximo da
$ 120.000,00
C- foi contrasemestrais,
ursos, e taxa
m reais:
$ 800.000,00
de Amortizamonstrativo
ma~oes sobre
a~ao (P) refedois valores
43.
b) R$ 5.500,00.
e)
(Agente Fiscal de Rendas SEFAZ/SP 2013 FCC) Uma divida no valor de R$
10.000,00 foi liquidada pelo Sistema de Amortiza~ao Constante (SAC) por
meio de 50 presta~oes mensais consecutivas, vencendo a primeira delas
um mes apos a data do emprestimo. Sea taxa foi de 2% ao mes, e verdade
que
a) a cota de amortiza<;:ao paga na 55 presta<;:ao foi de R$ 250,00.
b) a cota de jura paga na 1 0 5 presta<;:ao foi de R$ 164,00.
c) o valor da 1 55 presta<;:ao foi R$ 340,00.
d) o saldo devedor ap6s ser paga a 20 5 presta<;:ao foi de R$ 6.200,00.
e) a cota de jura paga na ultima presta<;:ao foi de R$ 5 ,00.
45.
(Auditor Fiscal da Receita Estadual SFARJ 2014 FCC) Carlos obtem de um
banco um emprestimo para adquirir um imovel. 0 emprestimo devera ser
liquidado por meio de 60 presta~oes mensais e consecutivas e com a utiliza~ao do Sistema de Amortiza~ao Constante (SAC), vencendo a primeira
presta~ao 1 mes apos a data da concessao do emprestimo. Se os valores
da primeira presta~ao e da ultima sao iguais a R$ 4.000,00 e R$ 2.525,00,
respectivamente, entao o valor da 305 presta~ao e igual a
R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
a)
000,00
600,00
or correto da
nte ao semes-
R$ 5.680,00.
44.
-
#####
R$ 5.560,00.
d) R$ 5.620,00.
m R$)
800,00
(PGE/BA 2013 FCC) Um emprestimo no valor de R$ 150.000,00 foi concedido
a uma pessoa para adquirir um imovel. Ela devera quitar a correspondente divida por meio de 60 presta~oes mensais e consecutivas, vencendo a
primeira um mes apos a data da concessao do emprestimo Sabe-se que
devera ser utilizado o sistema de amortiza~ao constante (SAC) e o valor
da ultima presta~ao sera igual a R$ 2.560,00. 0 valor da 1011 presta~ao
apresentara um valor igual a
a) R$ 5.440,00.
c)
p
200,00
Amortiza~ao
46.
3.350,00
3.250,00
3.275,00
3.300,00
3.325,00
(Auditor Fiscal da Fazenda Estadual SEFPI 2015 FCC) Uma pessoa contraiu
uma divida a ser paga pelo Sistema de Amortiza~ao Constante - SAC em
40 presta~oes mensais e consecutivas. Se a primeira presta~ao, que vence
ao completar um mes da data do emprestimo, e de R$ 3.000,00 e a decima
e igual a R$ 2.550,00, entao a ultima presta~ao e de
R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
a)
1.150,00
1 .200,00
1.000,00
1.050,00
1.100,00
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
47.
(Analista do Tesouro Estadual SEFPI 2015 FCC) 0 adquirente de um imovel
devera quitar a respectiva divida por meio de 60 presta~oes mensais e
consecutivas, com a primeira presta~ao vencendo 1 mes apos a data de
aquisi~ao do imovel. Sabe-se que foi adotado o sistema de amortiza~ao
con stante a uma taxa de 1 ,2% ao mes com o valor da decima presta~ao
igual a R$ 4.030,00. 0 valor da vigesima presta~ao e igual a
a) R$ 3.640,00
b) R$ 3.670,00
c) R$ 3.700,00
d) R$ 3.730,00
e) R$ 3.760,00
51.
48.
(Analista de Controle lnterno SEFAZ·RJ 2013 CEPERJ) Um financiamento
no valor de R$ 60.000,00 sera quitado em um ano, a taxa de juros de 7%
ao mes. 0 valor da 12~ presta~ao pelo Sistema Frances (SF) e o valor pelo
Sistema de Amortiza~ao Constante (SAC) sao: (Dados: 1 ,07 12=2,25219159.)
a) SF p12• = R$ 7.500,00; SAC p12 11 = R$ 5.890,00
b) SF p12• = R$ 7.900,05; SAC p12• = R$ 5.980,76
c) SF p12• = R$ 7.370, 13; SAC p12• = R$ 6.101,00
d) SF p 12 9 = R$ 6.980,09; SAC p 12• = R$ 6.050,00
e) SF p12 9 = R$ 7.554,12; SAC p12• = R$ 5.3SO,OO
SISTEMA DE AM
(APOFP SEFAZ-SP 2013 VUNESP) A tabela seguinte descreve o plano de amortiza~ao das quatro primeiras presta~oes de uma divida de R$ 42.800,00
pelo Sistema de Amortiza~ao Constante (SAC):
20
49.
PARCELA
0
1
2
3
4
jUROS
PRESTA~AO
R$
R$
R$
R$
2.782,00
2.749,90
2.717,80
2.685,70
R$
R$
R$
R$
642,00
609,90
577,80
545,70
AMORTIZA~O
R$
R$
R$
R$
2.140,00
2.140,00
2.140,00
2.140,00
R$
R$
R$
R$
R$
120.000,0
mensais,
Nume
perio
10
30
40
50
60
Dados: Fa
tos de 2%
0 valor d
a) R$ 3.32
b) R$ 3.36
c) R$ 3.48
d) R$ 4.14
e) R$ 4.28
presta~ao
(Auditor Fiscal Tributario Municipal de SP 2014 CETRO) Um cidadao fez
um emprestimo de R$2.000.000,00 a taxa de juros compostos de 10% ao
ano, a ser reembolsado em 5 anos, de acordo com o SAC. Apos a quita~ao
do emprestimo. o cidadao tera pago
a) R$2.900.000,00.
b) R$2.800.000,00.
c) R$2.700.000,00.
d) R$2.600.000,00.
e) R$2.500.000,00.
(Agente F
referente
amortiza~
SALDO
DEVEDOR
42.800,00
40.660,00
38.520,00
36.380,00
34.240,00
0 prazo de liquida~ao e a taxa dejuros mensal que corrige cada
sao, respectivamente,
a) 20 meses e 2% ao mes.
b) 10 meses e 2% ao rnes.
c) 40 meses e 1 ,5% ao mes.
d) 20 meses e 1% ao mes.
e) 20 rneses e 1,5% ao mes.
SO.
52.
(Auditor F
financiame
de juros r
calculadas
e con stant
dessa ope
a) 12,5%.
b) 15%.
c) 15,5%.
d) 20,5%.
e) 0,15%.
SISTEMA AMER
53.
(Fiscal de
de amorti
1. Segun
R$ 50
5% ao
12.700
11. No Sis
juros d
111. No Sis
50.000
mes, o
um imovel
mensais e
a data de
Capitulo 9- Amortiza~ao
51.
ortiza~ao
presta~ao
nciamento
os de 7%
valor pelo
5219159.)
SISTEMA DE AMORTIZA(AO MISTO (SAM)
52.
o de amor42.800,00
ALDO
EDOR
.800,00
.660,00
.520,00
.380,00
.240,00
(Agente Fiscal de Rendas SEFAZ-SP 2006 FCC) Um plano de pagamentos
referente a aquisi~ao de um imovel foi elaborado com base no sistema de
amortiza~ao misto (SAM) e corresponde a um emprestimo no valor de R$
120.000,00, a uma taxa de 2% ao mes, a ser liquidado em 60 presta~oes
mensais, vencendo a primeira um mes apos a data do emprestimo.
Numero de
periodos
FRC
10
0,111
20
0,061
30
0,045
40
0,037
50
0,032
60
0,029
Dados: Fator de Recupera~ao de Capital (FRC) para a taxa dejuros compostos de 2% ao periodo.
0 valor da 30 9 (trigesima) presta~ao e igual a
a) R$ 3.320,00
b) R$ 3.360,00
c) R$ 3.480,00
d) R$ 4.140,00
e) R$ 4.280,00
presta~ao
dadao fez
de 10% ao
a quita~ao
(Auditor Fiscal Tributario da Receita Municipal de Cuiaba 2014 FGV) Um
financiamento de R$ 100.000,00 foi obtido no final do anode 2014, a taxa
de juros reais de 5% ao ano e com prazo de 4 anos. As presta~oes foram
calculadas pelo sistema SAC. Assumindo que a taxa de infla~ao seja igual
e con stante a 10% ao ano, a taxa interna dejuros nominal do fluxo de caixa
dessa opera~ao de financiamento sera igual a
a) 12,5%.
b) 15%.
c) 15,5%.
d) 20,5%.
e) 0,15%.
SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZA(AO
53.
(Fiscal de Rendas SEFAZ/RJ 2010 FGV) Com rela~ao aos diferentes sistemas
de amortiza~ao, analise as afirmativas a seguir:
1. Segundo o Sistema de Amortiza~ao Constante, para um emprestimo de
R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de
5% ao mes, o valor acumulado das tres primeiras presta~oes e de R$
12.700,00.
11. No Sistema Frances de Amortiza~ao as presta~oes sao crescentes, com
juros decrescentes.
111. No Sistema Americana de Amortiza~ao, para um emprestimo de R$
50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa dejuros'de 5% ao
mes, o valor acumulado das tres primeiras presta~oes e de R$ 7.500,00.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Assinale:
a) se somente
b) se somente
c) se somente
d) se somente
e) se todas as
54.
55.
56.
QUESTOES DO
as afirmativas I e II estiverem corretas.
as afirmativas I e Ill estiverem corretas.
a afirmativa Ill estiver correta.
as afirmativas II e Ill estiverem corretas.
afirmativas estiverem corretas.
(Auditor Fiscal Tributario da Receita Municipal de Cuiaba 2014 FGV) Considere um financiamento de quatro anos cujo valor do principal seja de R$
100,00 e a taxa de juros, igual a 4% ao ano. Considere quatro pianos de
amortiza~ao para esse financiamento:
No plano 1, o financiamento e quitado com um unico pagamento apenas
no final do quarto ano, com capitaliza~ao dosjuros no final de cada ano;
- No plano 2, no final de cad a a no sao pagos a pen as os juros, com exce~ao
do ultimo ano, no qual, alem dosjuros, e efetuado 0 pagamento integral
do principal;
- No plano 3, a liquida~ao do financiamento segue o modelo Price;
- No plano 4, a liquida~ao do financiamento segue o modelo SAC.
No final do quarto ano, nos pianos 1, 2, 3 e 4, os valores da amortiza~ao
do principal serao (em reais), respectivamente, de
a) 100, 100, maior do que 25 e 25.
b) maior que 116, 100, maior do que 25 e 25.
c) 100, 100, 25 e me nor do que 2 5.
d) menor do que 100, maior do que 100, maior do que 25 e 25.
e) 100, 100, 25 e maior do que 24.
(Oficial de Fazenda SEFAZ·RJ 2011 CEPERJ) Um consumidor adquiriu um
emprestimo no valor de $ 100.000,00 para comprar um bem. A taxa de
juros cobrada foi de 10% ao mes, e o prazo do emprestimo, tres meses.
0 reembolso sera feito conforme o Sistema de Amortiza~ao Americano da
seguinte forma: os juros sao capitalizados e pagos no fim da opera~ao junto
como principal. 0 valor do principal a ser pago no final do emprestimo e:
a) $ 130.00,00
b) $ 133.100,00
c) $ 140.000,00
d) $ 135.000,00
e) $ 142.000,00
(BACEN Infra e Logistica 2013 CESPE) Considere-se que uma empresa, para
ampliar sua area de estocagem, tenha contraido um emprestimo bancario
de R$ 120.000,00 a taxa de juros nominal de 40% ao ano, por 8 meses e
3 dias. Considere·se, tambem, que os juros sejam pagos mensalmente e
o capital emprestado seja devolvido apenas no encerramento do prazo.
Considere-se, finalmente, que, para efeito dos calculos de juros desse
emprestimo, o banco adote o ano comercial de 360 dias. Com base nessa
situa~ao hipotetica, julgue os seguintes itens.
1. A taxa de juros mensal e superior a 3,3%.
2. A empresa pagar<i mais de R$ 33.000 a titulo de juros durante a operac;ao.
57.
(AN EEL
contem
cupom v
com o u
bonus d
pre~o d
com tax
ao final
a) US$1
b) US$ 1
c) US$ 9
d) US$ 9
e) US$ 9
58.
(Analist
cado in
dez cup
cupom
semestr
valor n
taxa de
de juros
ocorrid
finance
a) Nao
b) US$
c) 8,43%
d) US$
e) 5,94%
59.
(Anal. C
US$ 1.0
que o p
o ultim
Abstrai
o valor
conside
opera~a
final do
a) 0%.
b) 5%.
c) 6%.
d) 8,384
e) 10,12
os
QUESTOES DOS BONUS
57.
(AN EEL 2004 ESAF) Um bonus possui valor nominal de US$ 1,000.00 e
contem doze cupons semestrais de US$ 50.00 cada, sendo que o primeiro
cupom vence ao fim de seis meses e assim sucessivamente ate que, junto
com o ultimo cupom, o comprador do bonus recebe o valor nominal do
bonus de volta. Abstraindo custos administrativos e comissoes, calcule o
pre~o de venda do bonus para que a sua compra produza uma aplica~ao
com taxa interna de retorno de 6% ao semestre. (Vide tabelas financeiras
ao final do livro.)
a) US$1,112.55.
b) US$ 1,000.00.
c) US$ 976.34.
d) US$ 948.88.
e) US$ 916.1 6.
58.
(Analista Rec. Financeiros SERPRO 2001) Um pais lan~ou bonus no mercado internacional de valor nominal, cada bonus, de US$ 1.000,00, com
dez cupons semestrais no valor de US$ 50,00 cada, vencendo o primeiro
cupom ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente ate o decimo
semestre, quando o pais deve pagar o ultimo cupom juntamente com o
valor nominal do titulo. Considerando que a taxa de risco do pais mais a
taxa de juros dos titulos de referenda levou o pais a pagar uma taxa final
de juros nominal de 12% ao ano, calcule o desagio sobre o valor nominal
ocorrido no lan~amento dos bonus, abstraindo custos de intermedia~ao
financeira, de registro etc. (Vide tabelas financeiras I e II ao final do livro.)
a) Nao houve desagio.
b) US$ 52,00 por bonus.
c) 8,43%.
d) US$ 73,60 por bonus.
e) 5,94%.
59.
(Anal. Comercio Exterior MDIC 2002) Um bonus possui valor nominal de
US$ 1.000,00 e contem doze cupons semestrais de US$ 50,00 cada, sendo
que o primeiro cupom vence seis meses ap6s o lan~amento e, junto com
o ultimo cupom, o comprador recebe o valor nominal do bonus de volta.
Abstraindo custos administrativos da opera~ao, calcule o desagio sobre
o valor nominal com que este bonus e lan~ado no mercado internacional,
considerando que compradores desses bonus aplicaram o seu capital nesta
opera~ao a taxa nominal de 12% ao ano. (Vide tabelas financeiras I e II ao
final do livro.)
a) 0%.
b) 5%.
c) 6%.
d) 8,384%.
e) 10,125%.
4 FGV) Conseja de R$
pianos de
nto apenas
e cada ano;
om exce~ao
nto integral
Price;
SAC.
mortiza~ao
dquiriu um
. A taxa de
res meses.
mericano da
ra~ao junto
prestimo e:
presa, para
mo bancario
r 8 meses e
salmente e
o do prazo.
uros desse
base nessa
perac;ao.
(44§)
60.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
(Analista IRB 2006 ESAF) Um bonus e colocado no mercado internacional
com as seguintes caracteristicas: US$ 1,000.00 de valor de face, dez cupons
semestrais de US$ 80.00 vencendo o primeiro ao fim de seis meses ap6s a
coloca~ao do bonus e resgate ao fim de cinco anos pelo valor de face mais
o pagamento do ultimo bonus. lndique o valor mais proximo do retorno
esperado para o comprador considerando que ele pagou US$ 935.82 por
cada bonus. (Vide tabelas financeiras I e II ao final do livro.)
Taxa
a) 6% ao sernestre.
b) 7% ao sernestre.
c) 8% ao sernestre.
d) 9% ao sernestre.
e) 10% ao sernestre.
Apresentare
de Retorno, Pa
aparecido nos
I 0.1. Taxa I
A Taxa Inte
(ou Valor Pres
entradas (dinhe
pagamentos, in
A taxa inte
sendo urn para
mento . Sea tax
entao o investi
Como a ta
regime de juro
do desconto co
serie de capita
Passemos a
Exemplo 01:
inicio de um
o valor da ta
pos
nternacional
dez cupons
eses ap6s a
de face mais
do retorno
935.82 por
Capitulo 10
Taxa Interna de Retorno, Payback e
Valor Presente Lfquido
Apresentaremos neste anexo as seguintes tecnicas de analise de invcstimento Taxa Interna
de Retorno, Payback e Valor Presente Uquido
E importante
saber que essas tecnicas tem
aparecido nos editais dos (litimos certames, inclusive os elaborados pela ESAE
I 0.1. Taxa Intern a de Retorno
A Taxa Interna de Retorno de um investimento e a taxa de juros para a qual o Valor Atual
(ou Valor Presente) do fluxo de caixa e zero, ou seja, e a taxa que iguala o Valor Atual das
entradas (dinheiro entrando: receitas, ganhos etc ) ao Valor Atual das saidas (dinheiro saindo
pagamentos, investimentos, desembolsos etc)
A taxa interna de retorno caracteriza assim a taxa de remunerac;ao do capital investido,
sendo urn parametro de grande importancia na avaliac;ao do risco de um projeto de investimento . Sea taxa interna de retorno for maior que a taxa de aplicac;ao do mercado financeiro,
entao o investimento e aceitavel.
Como a taxa interna de retorno e usada na avaliac;ao de investimentos e natural que o
regime de juros exigido seja o regime de juros Compostos. E, portanto, usaremos a formula
do desconto composto racional no calculo do valor atual de um capital. Quando houver uma
serie de capitais iguais, poderemos utilizar a formula de rendas certas do valor atuaL
Passemos a alguns exemplos de questoes envolvendo a taxa interna de retorno.
Exemplo 01: Considere o fluxo de caixa: um capital investido de R$ 2.000,00 no
inicio de um mes e uma receita no inicio domes seguinte de R$ 2.400,00. Calcule
o valor da taxa interna de retorno.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Soluc;;ao:
Representaremos a safda de dinheiro (capital investido de RS 2 000,00) com uma flecha
para baixo, e a entrada de dinheiro (receita de RS 2 400,00) com uma flecha para cima. 0
desenho do fluxo de caixa e mostrado abaixo.
2,400,00
Essa questao
de RS 2.000,00
R$ 2.400,00 co
Aplicaremos
-7 M = C(1+
-7 0+0 = 2
-7 i = 6/5-7 i = 20%
Exemplo 02 (F
no periodo de
2.000,00
Calcularemos o valor atual de cada capital no infcio do primeiro mes (data zero).
0 valor atual das entradas de dinheiro e igual ao valor atual do capital investido de
RS 2.000,00. Como este se encontra em cima da data zero, entao o valor atual eo proprio
valor do capital, ou seja, RS 2.000,00.
0 valor atual das safdas de dinheiro e igual ao valor atual da receita de RS 2..400,00. Aplicaremos a formula de desconto composto racional para obter o valor atual
Formula do desconto composto racional:
N
N = A(1+i)" -7 DaL A= - (l
+ i)"
On de.
A = Valor Atual ou Valor Presente .
N =Valor Nominal ou Valor Futuro.
n = prazo de antecipac;;ao.
i = taxa de juros (ou taxa de desconto racional).
Sabendo-se q
desembolso i
a) R$ 1
b) R$ 1
c) R$ 1
Soluc;;ao:
Vamos igua
na data zero .
valor atual
0 valor atual do RS 2.400,00 na data zero e igual a
-7 A= 2400 -7 A=
(1
+ i)l
Igualando o valor atual das saidas com o valor atual das entradas, teremos.:
2.000,00 =
Resolwndo vern
-7 20000+0 = 2400
-7 2000i = 400
-7 i
=
0,2
~-:_
-7 2000 + 2000i = 2400
-7 i = 400/2000
-7 i = l/5
-7 i = 20% a.m. (Resposta!)
Resolvendo
D = 0 + 90
1
D = 0 + 750
D = 15.500
Exemplo 03 (
fluxo de caixa
Fluxo
a) 5% a
b) 7% a
s
uma flecha
ara cima. 0
Capitulo I 0- Taxa lnterna de Retorno. Payback e Valor Presente Liquido
Essa questao pode ser resohida de uma forma mais direla, considerando o valor investido
de RS 2.000,00 como sendo o capital de uma aplicac;;ao a juros compostos, e a receita de
R$ 2.400,00 como sendo o Montante .
Aplicaremos a formula fundamental do regime composto, teremos
-7 M = C(1+i)n
-7 2400 = 2000(1+0 1
-7 0+0 = 2400/2000
-7 0+0 = 615
-7 i = 1/5
-7 i = 6/5- 1
-7 i = 20% a.m. (chega-se a mesma resposta!)
Exemplo 02 (FCC) 0 esquema abaixo representa o fluxo de caixa de urn investimento
no periodo de 3 anos, valores em reais:
10648,00
9075,00
ro).
nvestido de
eo proprio
0,00
t
01
1
1
2
J
3
D
00,00. Apli-
Sabendo-se que a taxa interna de retorno (TIR) e de 1 0% ao a no, o valor do
desembolso inicial (D) e de
d) R$ 1 5. 500,00
a) R$ 17.325,00
e) R$ 1 5.000,00
b) R$ 16.500,00
c) R$ 1 6.000,00
Soluc;;ao:
Vamos igualar o valor atual das safdas com o valor atual das entradas, ambas calculadas
na data zero .
valor atual das saidas = valor atual das entradas
D = 0 00 + 9075.00 + 10648.00
0+0,10) 1 (1+0,10) 2
0+0,10) 3
Resolvendo vern:
D = 0 + 9075.00 + 10648.00
1,21
1,331
D = 0 + 7500 + 8000
D = 15.500,00 (Resposta Alternativa Dl)
Exemplo 03 (ESAF) Obtenha o valor mais proximo da taxa interna de retorno do
fluxo de caixa abaixo.
Ano
Fluxo (em R$ 1.000,00)
a) 5% ao ano
b) 7% ao ano
9% ao ano
e) 10% ao ano
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
Solw;:ao:
0 valor atual das saidas e dado pelo valor atual do RS 20.000,00 Como ele esta em cima
da data zero, ent:Ao o valor atual das saidas e igual a R$ 20.000,00
0 valor atual das entradas (dez parcelas de RS 3 255,00) sera calculado pela formula de
rendas certas do valor atual
A taxa intern
entradas, calcul
Passemos ao
Calculo d
l)
T=P.a.
Ha somente
""'
On de
T = o valor atual das parcelas
logo,
P = o valor da parcela
n = o numero de parcelas
I = a taxa de juros (ou taxa de desconto racional)
2)
valor at
0
Calculo d
Correspond
de 4.000,00 .
0 valor atu
Aplicando a formula, teremos
Valor atual das entradas na data zero= 3255. a 10, j
Vamos igualar o valor atual das saidas com o valor atual das entradas.
rendas certas d
2.0 . 000.00 = 32.55
0 valor atu
rendas certas d
Resolwndo venr
que usar 2 parc
-7 a 10,, = 20000/3255
Consultando a tabela financeira do Jatar de valor atl!al para wna seric de pagamentos, encontraremos a seguinte taxa·
i = 10% a.a. (Resposta Alternativa E!)
Agora, igua
Exemplo 04 (ESAF) Obtenha o valor mais proximo da taxa interna de retorno do
fluxo de caixa abaixo.
Podemos si
A no
Fluxo (em R$ 1.000,00)
a) 8% ao ano
b) 9% ao ano
c) 10% ao ano
11%aoano
12% ao ano
e)
Ok?
56 se chega
Em questoe
Solw;:ao:
0 fluxo de caixa apresenta a seguinte conforma<;:ao:
intermediario d
8 de 4.000
-7 Teste da ta
2.000 2.000
Os valores
i i
0
-7 20.000
-7 20.000
1
2
a2•
3
4
5
6
7
8
9
10
10
s, = 1,7
a 10 • 10 ~.· = 6,
Substituind
-7 20 000
20.000
a em cima
Capitulo I 0- Taxa lnterna de Retorno. Payback e Valor Presente Liquido
A taxa interna de retorno e aquela que iguala o valor atual das saidas como valor atual das
entradas, calculadas em uma mesma data.
Passemos ao calculo dos valores atuais.
ormula de
Calculo do Valor Atual das Saidas na data zero
l)
Ha somente uma saida· o capital de 20 000,00 E ele ja se encontra em cima da data zero.
logo,
2)
valor atual das saidas e igual
0
a 20.000,00
Calculo do Valor Atual das Entradas na data zero
Corresponde ao valor atual das 2 parcelas de 2 . 000,00 mais o valor atual das 8 parcelas
de 4.000,00 .
0 valor atual das 2 parcelas de 2 000,00 e obtido pela simples aplica<;:ao da formula de
rendas certas do valor atual. Aplicando a formula, chegaremos ao seguinte resultado
2.000. a 2 • i
0 valor atual das 8 parcelas de 4.000,00 tambem e obtido pela aplica<;:ao da formula de
rendas certas do valor atuaL Mas para chegarmos ao modelo de aplica<;:ao da formula, temos
que usar 2 parcelas ficticias. Feito isto, obteremos o seguinte resultado
4000 . (a 10 'i- a2 •i)
mentos, en-
etorno do
Agora, igualaremos o valor atual das entradas com o valor atual das saidas, teremos
20.000 = 2.000 . a 2 ..,i + 4000 . (a, 0 ..,i- a 2 'i)
Podemos simplificar a equa<;:ao acima, observe:
-7 20.000 = 2.000 . a 2..,i + 4000 . a 10 -'i- 4000 . a 2..,i
-7 20.000 = 4000 . a 10..,i- 2000 . a2' i
Ok?
56 se chega
a solu<;:ao da equa<;:ao acima testando as op<;:oes de resposta
Em questoes onde usamos a tecnica das "tentativas", a dica e iniciar sempre pelo valor
intermediario das op<;:oes de resposta Assim, a primeira tentativa sera testar a taxa de 10%.
-7 Teste da taxa de 10%
Os valores fornecidos na tabela para i = 10% sao os seguintes:
a2•
10
s, = 1,735537
a 10 • 10 ~.· = 6,144567
Substituindo esses valores na equa<;ao, teremos.:
-7 20 000 = 4000 a 10•
10
,),-
2.000 a2•
10
-x,
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
Portanto, a
o valor tempor
desconto comp
0 projeto de
maximo aceitav
Resolvendo, \·em
~20000=4000
~
~
6,144567-2000 1,735537
20.000 = 24.578,27-3.471,07
20 . 000 = 2l 107,2
A igualdade acima nao e valida! Pois 20 000,00 e bastante diferente de 21107,2. Logo, a
alternativa C esta errada!
Como encontramos urn valor atual maior que 20.000,00, devemos alterar a taxa para que
o valor atual se reduza. Devemos aumentar ou diminuir a taxa? 0 certo e aumentar a taxa,
pois, assim, o desconto au menta, resultando em urn valor atual menor.. As (micas alternativas
que trazem uma taxa maior que 10% sao aD e a E. Restando-nos, portanto, somente mais
Exemplo 01:
R$ 30.000,00
anos para os
simples de ca
urn teste para encontrarmos a opc;ao correta
Na tabela do fator de valor atual nao consta a taxa de ll %, entao e claro que usaremos no
proximo teste a taxa trazida na letra E 12%.
~
Teste da taxa de 12%
Os valores fornecidos na tabela para i = 12% sao os seguintes
a 2-, 12 ,,, = 1,690051
aw· 12 ,,_ = 5,650223
Apos quantos
Substituindo esses valores na equac;ao, teremos:
Para o proj
9 000 + 1 LOOO
X e de 3 anos.
~
20.000 = 4000 a;o• 12,,,- 2000 a 2•
12 cx,
Para o proje
+ 8.000), fica
Resoh·endo, vern:
~ 20.000 = 4000. 5,650223-2000 1,690051
~
20 . 000 = 22..600,9- 3 . 380,1
20.000 = 19.220,8
Novamente temos uma igualdade nao valida! Pois 20.000,00 e bastante diferente de
~
19.220,8 . Logo a alternativa E esta errada.
Para a taxa de 10% encontramos urn valor atual das entradas MENOR que 20 000,00, e
para a taxa de 12% encontramos um valor atual das entradas MAIOR que 20.000,00. Logo, a
taxa que iguala os valores atuais esta entre 10% e 12%. Resta marcar a opc;ao D: 11%.
I 0.2. Payback
E o periodo de tempo necessaria para recuperac;ao do investimento iniciaL 0
metoda do
paybach e aplicado de duas formas: paybach simples e paybach dcscontado.
0 paybac/1 simples e o tempo decorrido ate que o fluxo de caixa (entradas e safdas de
dinheiro) se iguale ao valor do investimento iniciaL
E o paybac/1 dcscontado e o tempo decorrido ate que o Valor Atual do fluxo de caixa
(entradas e saidas de dinheiro) se iguale ao valor do investimento iniciaL
anos, que e de 4
Nessa situac
payback simple
4.000,00 para
receita de 10.0
Resolvendo
~ 10000.
Somando o
simples do pr
Exemplo 02:
ano de R$ 6.0
R$ 1.000,00.
4% ao ano, c
Capitulo I 0- Taxa Intern a de Retorno. Payback e Valor Presente Liquido
Portanto, a principal diferenc;a entre os dois e que apenas o payback descontado considera
o valor temporal do dinheiro, ou seja, atualiza os fluxos de caixa por meio de operac;oes de
desconto composto racional
0 projeto de investimento deve ser rejeitado se o payback calculado for superior ao periodo
maximo aceitavel pela empresa para comec;ar a obter ganhos em seu investimento
2. Logo, a
a para que
tar a taxa,
lternativas
mente mais
Exemplo 01: Urn projeto X e urn projeto Y preveem investimentos iniciais de
R$ 30.000,00 e R$ 34.000,00, respectivamente. As receitas previstas ao Iongo dos
anos para os dois projetos sao mostradas no quadro abaixo. Calcule o payback
simples de cada projeto.
aremos no
Apos quantos anos a soma das receitas iguala-se ao valor do investimento inicial?
Para o projeto X, a soma das receitas em 3 anos, que e de R$ 30.000,00 (= 10 . 000 +
9 000 + 1 LOOO), se iguala ao investimento inicial Portanto, o payback simples do projeto
X e de 3 anos.
Para o projeto Y, a soma das receitas em 3 anos, que e de R$ 30 . 000,00 (= 10.000 + 12.000
+ 8.000), fica abaixo do investimento inicial de R$ 34 000,00 ja a soma das receitas em 4
iferente de
0 000,00, e
00. Logo, a
11%.
metoda do
e safdas de
xo de caixa
anos, que e de 40.000,00 (= 10.000 + 12..000 + 8.000 + 10 000), supera o investimento inicial
Nessa situac;ao, devemos aplicar uma regrade tres para encontrar uma estimativa para o
payback simples. Ap6s 3 anos a soma das receitas e de 30.000,00, faltando a diferenc;a de
4.000,00 para se igualar ao investimento iniciaL Como no ano seguinte o projeto Y tern uma
receita de 10.000,00, entao, aplicaremos a seguinte regrade tres:
10.000-- 1 ano
4.000 - - x ano
Resolvendo vem:
~ 10000. x = 4000 ~ x = 4000110000 = 4110 ~ x = 0,4 ano
Somando o tempo de 3 anos como tempo de 0,4 ano, encontramos o valor do payback
simples do projeto Y: 3,4 anos.
Exemplo 02: Urn certo projeto preve urn investimento no inicio do prox1mo
ano de R$ 6.000,00 que vai gerar receitas anuais ao fim dos proximos anos de
R$ 1.000,00. Considerando que a taxa de aplica~ao no mercado financeiro e de
4% ao ano, calcule o payback descontado.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Solw;ao:
As receitas anuais sao iguais, logo podemos aplicar a formula do valor atual de rendas
certas em vez de aplicar o desconto composto racional para cada parcela.
Fo1mula T = P. a .
""'
T
TAXA INTERN
01.
(Audito
Verdade
I. Urn
sequ
II. Dois
taxa
atua
Ill. A tax
a qu
a) V, F,
b) F, V,
c) V, V,
d) F, F,
e) V, V,
02.
(Audito
abaixo,
Aplicando a formula, para encontrarmos o valor de n, teremos:
-7 6000 = l 000 . an-4%
-7 an-4% = 6
-7
an-4%
= 6000/l 000
Agora, temos que consultar a tabela financeira do fator de valor atual para uma serie de
pagamentos.
Neste caso, nossos elementos conhecidos sao a taxa i=4% eo fator an-i= 6. Dai, correremos
nossa vista, na tabela do Valor Atual, pela coluna da taxa 4% ate encontrarmos no miolo da
tabela o fator 6 . Encontrado esse valor, correremos a nossa \"ista para a esquerda em cima da
mesma linha. No final dessa, obtemos o valor de n=7.
Dai o payback descontado e de 7 anos
I0.3. Valor Presente Uquido
0 valor presente liquido (VPL) de um fluxo de caixa e a diferenc;a entre o valor presente (ou
valor atual) das entradas de dinheiro e o valor presente (ou valor atual) das saidas de dinheiro..
A regra decisoria a ser seguida, com base no resultado da tecnica do valor presente liquido,
e empreenda o projeto de investimento se o VPL for positivo.
Usaremos como exemplo a questao do AFRF 1998 resolvida na pagina 359 0 enunciado
e o seguinte ·
0
Exemplo 01: Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias
que compoem o seguinte fluxo de valores: urn desembolso de $2.000,00 em zero,
uma despesa no momento urn de $3.000,00 e nove receitas iguais de $1.000,00
do momento dois ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre
momentos consecutivos e o mes, e que a taxa de juros compostos e de 3% ao
mes. Usar ainda a conven~ao de despesa negativa e receita positiva, e desprezar
os centavos.
Solw;:ao: Na soluc;ao dessa questao (Capitulo 8, exercicio resolvido 6, na pagina 359)
encontramos os seguintes resultados.
valor atual das parcelas positivas = 7..559 ,33
,-alor atual clas parcelas negati\ as = -+ .912,62
(SK +
0 valor
a) R$ 3
b) R$
R$
d) R$
e) R$
c)
Portanto, o valor presente liquiclo e igual a.·
+ 2.646,71 (=7.559,33- 4.912,62)
Um projeto de investimento, cujo fluxo de caixa e igual ao clescrito no enunciado do
exemplo acima, e consideraclo aceitavel, uma vez que o VPL e maior que zero..
Se tivermos dois projetos de investimento, aquele que apresentar o maior VPL e classificado como superior
.
5
1
2
7
Capitulo I 0- Taxa Intern a de Retorno. Payback e Valor Presente Uquido
TIR, PAYBACK EVPL - EXERclCIOS PROPOSTOS
de rendas
TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)
01.
(Auditor do Tesouro Municipal de Natai/RN 2008 ESAF) Apontando por vVerdadeiro e F- Falso, indique a op~ao correta para as seguintes senten~as:
I. Urn fluxo de caixa e uma serie de capitais (valores) dispostos numa
sequencia historica (de datas).
II. Dois (2) fluxos de caixa sao equivalentes, segundo uma determinada
taxa de juros, se tiverem o mesmo valor em determinada data (valor
atual, por exemplo).
Ill. A taxa interna de retorno de urn determinado fluxo de caixa e a taxa para
a qual o valor atual do fluxo e nulo (igual a zero).
a) V, F, V
b) F, V, F
c) V, V, V
d) F, F, F
e) V, V, F
02.
(Auditor Fiscal da Fazenda Estadual SEFPI 2015 FCC) No fluxo de caixa
abaixo, a taxa interna positiva de retorno e de 20% ao ano.
ma serie de
correremos
o miolo da
m cima da
resente (ou
e dinheiro..
nte liquido,
(3K)
(4K- 128)
enunciado
0
.-----------~------------~------------.
quantias
0 em zero,
$1.000,00
rido entre
de 3% ao
desprezar
2
(SK + 1300)
agina 359)
0 valor de K e
a) R$ 3.896,00
b) R$
R$
d) R$
e) R$
c)
unciado do
L
e classifi-
5.000,00
117,84
260,00
714,00
anos
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
03.
(Fiscal ICMS·SP 2009 FCC) Considere o fluxo de caixa a seguir, com os valores em reais.
05.
(APOFP
jeto de
taxa int
X
(X- 108)
2 ANOS
0
(2X- 1.380)
Sea taxa interna de retorno deste fluxo e igual a 8% a.a., o valor de X e igual a
a) R$ 5.230,00
b) R$ 5.590,00
c) R$ 5.940,00
d) R$ 6.080,00
e) R$ 6.1 60,00
04.
(Agente Fiscal de Rendas SEFAZ-SP 2006 FCC) A representa~ao grafica abaixo
corresponde ao fluxo de caixa de urn projeto de investimento com a escala
horizontal em anos.
0 valor
R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
a)
y
X
R$ 2.200,00
06.
o~------~--------J-------~
2
1
1
1
1
1
(TRT18
anual d
3
R$ 10.000,00
Se a taxa interna de retorno referente a este projeto
e (X + Y) = R$ 10.285,00, tem-se que X e igual a
a) R$ 3.025,00
b) R$ 3.267,00
c) R$ 3.388,00
d) R$ 3.509,00
e) R$ 3.630,00
f
!
l
i~
u
lJ
I!
e igual a 10% ao a no
R$
0 valor
a) R$ 7
b) R$ 5
c) R$ 6
d) R$ 6
e) R$ 4
m os va-
Capitulo I 0- Taxa lnterna de Retorno. Payback e Valor Presente Liquido
05.
(APOFP SEFAZ-SP 2010 FCC) 0 fluxo de caixa abaixo corresponde a urn projeto de investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma
taxa interna de retorno igual a 20% ao ano.
3X
2X
X
2
0
e igual a
3 Anos
(5X- 1 3.500)
a abaixo
a escala
e igual a
13.824,00
12.960,00
12.096,00
11.232,00
1 0.368,00
0 valor de X
a)
b)
c)
d)
e)
06.
R$
R$
R$
R$
R$
(TRT18 Analista judiciario- Contadoria 2013 FCC) A taxa interna de retorno
anual do fluxo de caixa abaixo igual a 20%.
e
X
1,20 X
2
% ao a no
R$ 10.000,00
0 valor de X e igual a
a) R$ 7.200,00.
b) R$ 5.400,00.
c) R$ 6.000,00.
d) R$ 6.600,00.
e) R$ 4.800,00.
ANOS
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
07.
(Analista do Tesouro Estadual SEFPI 2015 FCC) Os dois fluxos de caixa
abaixo, referentes aos projetos X e Y, apresentam a mesma taxa interna
de retorno positiva anual.
Projeto X
R$
0
-2.000,00
-D
1
550,00
275,00
2
1.815,00
968,00
3
0,00
1.197,90
11.
(Audit
projeto
por um
mente
5 milh
A part
a afirm
( ) Se
pro
) Se a
cus
lhid
)Aa
de
As afir
a) V, V
b) V, F
c) F, V
d) F, V
e) F, F
12.
(Fiscal
taxa m
de inv
Projet
(Auditor-Fiscal da Receita Estadual SEFAZ·CE 2007 ESAF) Calcule o valor
mais proximo da taxa interna de retorno do seguinte fluxo de caixa, em
R$ 1 000,00. (Vide tabela financeira II ao final do livro.)
A no
Valor
a)
b)
c)
d)
e)
09.
(Minis
mento
uma T
ultima
que a
a) A TI
b) 0 p
c) Se a
d) Se o
pre
e) As
pro
Projeto Y
R$
A no
0 desembolso inicial (D) do projeto Y e igual a
a) R$ 1. 750,00
b) R$ 1 .800,00
c) R$ 1.850,00
d) R$ 1.900,00
e) R$ 1.950,00
08.
10.
1
2
3
4
5
6
7
8
200
200
200
200
100
100
100
100
0
-850
7% ao ano.
8% ao ano.
12% ao ano.
10% ao ano.
9% ao ano.
(SEFAZ-SP APOFP 2009 ESAF) 0 valor mais proximo da Taxa lnterna de
Retorno de urn projeto que tern o fluxo de caixa a seguir e de 6% ao ano,
sendo os valores dados em R$ 1.000,00 e relativos ao fim de cada ano:
Ano
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Valor
-12600
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2290
Considerando que parte do investimento do projeto e financiado por urn
emprestimo bancario com o seguinte fluxo de caixa, sendo os valores dados
em R$ 1.000,00 e relativos ao fim de cada ano:
Ano
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Valor
-6733
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
Obtenha o valor mais proximo da Taxa lnterna de Retorno para o acionista.
(Vide tabelas financeiras I e II ao final do livro.)
a) 8% ao ano
b) 7% ao ano
c) 6% ao ano
d) 9% ao ano
e) 10% ao ano
Projet
Projet
TIR
Capitulo I 0- Taxa lnterna de Retorno. Payback e Valor Presente Liquido
s
s de caixa
xa interna
10.
(Ministerio da lntegra<:ao Nacional 2012 ESAF) Certo projeto de aproveitamento hidraulico, cujo investimento total e de R$ 100 mil hoes, apresenta
uma Taxa lnterna de Retorno (TIR) do investimento de 7% ao ano, esta
ultima obtida a partir do fluxo de caixa relativo do projeto. Considerando
que a taxa de desconto (juros) e de 8%, assinale a op<:ao correta.
a) A TIRe a taxa de desconto que torna o valor presente lfquido do projeto positive.
b) 0 projeto seria economicamente atrativo, pois a TIR e inferior a taxa de juros.
c) Se a taxa de juros baixasse para 5%, o projeto seria economicamente atrativo.
d) Se o projeto fosse executado com a taxa de juros de 8% ao ano, haveria urn
prejufzo de R$ 2 milhoes/ano.
e) As informac;oes fornecidas nao perrnitern avaliar a atratividade econ6rnica do
projeto.
11.
(Auditor Fiscal Tributario da Receita Municipal de Cuiaba 2014 FGV) Tres
projetos de investimento independentes A, B e C estao sendo analisados
por uma empresa, cujas taxas internas de retorno (TIRs) sao, respectivamente, 20%, 1 5% e 10%. 0 projeto A requer urn investimento inicial de R$
5 milhoes, o projeto B, de R$ 10 mil hoes e o projeto c, de R$ 20 milhoes.
A partir dessa situa<:ao, assinale V para a afirmativa verdadeira e F para
a afirmativa falsa.
( ) Se a disponibilidade de recursos da empresa for de R$ 5 mil hoes, o
projeto A deve ser o escolhido.
) Se a disponibilidade de recursos da empresa for de R$ 10 mil hoes e o
custo de oportunidade do capital for de 17%, nenhum projeto e escolhido.
) A analise incremental deve ser aplicada de acordo com a disponibilidade
de recursos.
As afirmativas sao, respectivamente,
a) V, V e V.
b) V, Fe F.
c) F, V e V.
d) F, V e F.
e) F, Fe F.
12.
(Fiscal de Tributos de Niteroi-RJ 2015 FGV) Uma empresa, que trabalha com
taxa minima de atratividade de 20% ao ano, estuda a viabilidade economica
de investir em urn dos 3 projetos mutuamente excludentes:
Projeto X: investir R$ 60.000,00 e resgatar anualmente R$ 30.000,00 nos
proximos 4 anos.
Projeto Y: investir R$ 8.000,00 e resgatar anualmente R$ 5.000,00 nos
proximos 4 anos.
Projeto Z: investir R$ 30.000,00 e resgatar anualmente R$ 17.000,00 nos
proximos 4 anos.
ule o valor
caixa, em
0
8
100
lnterna de
6% ao ano,
ada ano:
7
000
8
2290
ado por urn
ores dados
7
000
8
1000
o acionista.
TIR
Projeto
X
Projeto
y
Projeto
34,9%
50,2%
43,2%
z
Projeto
Projeto
Projeto
incremental incremental incremental
Z-Y
x-z
X-Y
41%
26%
32%
'
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Considerando o quadro acima, os projetos ordenados do melhor para o
pior, pelo metodo da Taxa lnterna de Retorno- TIR, sao:
a) X, Y, Z
b) X, Z, Y
15.
(TRT18 A
abaixo re
a taxa m
Ano
Y, Z, X
c)
0
d) Y, X, Z
1
Z, Y, X
e)
2
VALOR PRESENTE LIQUIDO (VPl)
13.
3
(Auditor Fiscal SEFAZ·RS 2014 Fundatec) A partir dos fluxos de caixa abaixo, calcule Valor Presente e Uquido (VPL) e assinale a alternativa correta,
considerando uma Taxa Minima de Atratividade de 6% ao ano.
- Ano 0: R$ 1.200,00 negativo.
- Ano 1: R$ 200,00 positivo.
- Ano 2: R$ 250,00 positivo.
- Ano 3: R$ 300,00 positivo.
- Ano 4: R$ 350,00 positivo.
- Ano 5: R$ 400,00 positivo.
PAYBACK
FATOR DE VALOR PRESENTE EM
JUROS COMPOSTOS
(l+iY-n
1,0%
n/i
a)
b)
c)
d)
e)
14.
3,0%
Dado qu
presente
a) R$ 1 0
b) R$ 1 0
c) R$ 12
d) R$ 12
e) R$ 11
16.
6,0%
(APOFP
de urn p
fornece
requerid
1
0,990099 0,970874 0,943396
2
0,980296 0,942596 0,889996
A nos
3
0,970590 0,915142 0,839619
0
4
0,960980 0,888487 0,792094
1
5
0,951466 0,862609 0,747258
2
0
0
0
0
0
VPL
VPL
VPL
VPL
VPL
e negativo ern R$ 30,20, eo projeto e aceito.
e negativo ern R$ 39,20, eo projeto e rejeitado.
e positivo ern R$ 30,20, eo projeto e rejeitado.
e positivo ern R$ 39,20, eo projeto e aceito.
e positivo ern R$ 39,20, eo projeto e rejeitado.
3
4
Utilizan
contado
a) 3,2 a
b) 2,8 a
c) 2,6 a
d) 2,4 a
e) 2,2 a
(Auditor Fiscal da Fazenda Estadual SEFPI2015 FCC) Na tabela abaixo, tem-se
os fluxos de caixa de dois projetos, A e B.
A no
Projeto A (em reais)
Projeto B (em reais)
0
-8.000
-6.000
1
+ 4.998
+ 6.192
+ 4.020
2
+E
Sabe·se que a taxa minima de atratividade e de 20% e OS valores presentes
liquidos dos dois projetos sao iguais. Nessas condi~oes, o valor de E e,
em reais,
a) 5.170,00
b) 5.832,1 7
c) 4.485,60
d) 4.533,00
e) 4.965,00
17.
(Audito
ma urn
desemb
positivo
for igua
a) entre
b) entre
c) infer
d) igual
e) supe
Capitulo I 0- Taxa lnterna de Retorno. Payback e Valor Presente Liquido
s
hor para o
15.
PROJETO X (R$)
PROJETO Y (R$)
0
- 14.500,00
-D
1
5.500,00
6.050,00
2
6.655,00
7.986,00
3
6.655,00
0,00
Ano
caixa abaia correta,
1
Dado que o valor presente liquido do projeto Y e igual ao dobro do valor
presente liquido do projeto X, entao, o desembolso (D) corresponde a
a) R$ 1 0.1 00,00.
b) R$ 1 0.600,00.
c) R$ 12.600,00.
d) R$ 12.1 00,00.
e) R$ 11.600,00.
PAYBACK
16.
(APOFP SEFAZ·SP 2010 FCC) A tabela abaixo registra o fluxo de caixa anual
de urn projeto de investimento com dura~ao de 4 anos. A terceira coluna
fornece os respectivos valores atuais (na data 0) em fun~ao da taxa minima
requerida de 10% ao ano. (VPL: Valor Presente Uquido.)
A nos
VALOR (R$ 1.000,00)
VPL (R$ 1.000,00)
0
-2.000,00
-2.000,00
1
880,00
800,00
2
1.210,00
1.000,00
3
1.331,00
1.000,00
4
1.756,92
1.200,00
Utilizando interpola~ao linear, obtem-se que, pelo metodo do Payback descontado, o tempo necessaria para recuperar o investimento e
a) 3,2 anos.
b) 2,8 anos.
c) 2,6 anos.
d) 2,4 anos.
e) 2,2 anos.
xo, tem-se
presentes
or de E e,
(TRT18 Analista judiciario- Contadoria 2013 FCC) Os dois fluxos de caixa
abaixo referem-se a dois projetos, X e Y, mutuamente excludentes, em que
a taxa minima de atratividade e de 10% ao ano.
17.
(Auditor Fiscal Tributario da Receita Municipal de Cuiaba 2014 FGV) Assuma urn plano de investimento de uma empresa, a qual, no ano zero, deve
desembolsar R$ 100 mil hoes. Nos anos subsequentes, espera-se urn fluxo
positivo e constante de R$ 50 mil hoes a cad a a no. Se o payback descontado
for igual a tres anos, o custo do capital investido deve ser
a) entre 1 5% e 20%.
b) entre 20% e 25%.
c) inferior a 1 5%.
d) igual a 25%.
e) superior a 25%.
(@
18.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
(Auditor Fiscal Tributario da Receita Municipal de Cuiaba 2014 FGV) Considere o grafico a seguir.
VPL acumulado
Gaba
X
Capitulo 02
VPL = Valor Presente Liquido
0 ponto x,
a)
b)
c)
d)
e)
19.
interse~ao
da curva com o eixo horizontal, e denominado
Taxa lnterna de Retorno.
Tempo mfnirno necessaria para a TIR ser nula.
Payback descontado.
Tempo rnfnimo necessario para o custo de oportunidade do capital ser nulo.
Payback bruto.
(Auditor Fiscal Tributario da Receita Municipal de Cuiaba 2014 FGV) Com
rela~ao aos metodos de analise e compara~ao de projetos de investimento,
analise as afirmativas a seguir.
I. Um investidor, ao comparar projetos de investimento, sempre considera
como alternativa o investimento cuja remunera~ao e igual ao custo de
oportunidade do capital investido.
II. Dentre diversos projetos mutuamente exclusivos, se um projeto de
investimento apresentar uma TIR menor do que a taxa minima de atrati·
vidade, ele ainda pode ser considerado se o seu valor presente liquido,
calculado a essa ultima taxa, for positivo.
111. Um investidor deve sempre escolher o projeto cuja TIR e maior dentre
todas as alternativas - inclusive maior do que a taxa minima de atrati·
vidade - e cujo payback descontado e o menor.
Assinale:
a) se somente a afirmativa I estiver correta.
b) se somente a afirmativa II estiver correta.
c) se sornente a afirmativa Ill estiver correta.
d) se sornente as afirmativas I e Ill estiverem corretas.
e) se todas as afirrnativas estiverern corretas.
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
E
E
A
c
E
B
D
D
D
A
Capitulo 03
01
02
03
04
05
06
07
08
09
E
B
D
E
l.E
E
A
B
c
Capitulo 04
01 B
02 A
GV) Con-
ado
er nulo.
FGV) Com
stimento,
considera
custo de
rojeto de
de atrati·
e liquido,
or dentre
de atrati·
Gabaritos dos Exercfcios Propostos
Capitulo 02
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
D
l3
B
23
B
14
15
16
17
18
19
20
A
E
24 A
25 D
26 c
E
27
A
28 D
29 E
30 B
c
B
D
D
D
A
c
12 B
ll
E
c
2l
22
E
E
A
B
c
D
B
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
c
c
B
D
A
c
B
D
c
A
Capitulo 03
01
02
03
04
05
06
07
08
09
E
10 B
B
ll
D
E
l.E
E
A
B
c
A
l2 A
l3 E
14 E
15 A
16 E
17 c
18 B
19 D
20 D
21 E
n c
23
E
24 c
25 A
26 E
27
28
29
30
31
32
33
34
B
B
A
E
c
E
A
D
Capitulo 04
01 B
02 A
03 c
04 D
05 E
06 B
07 A
08 A
(4§4]
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Capitulo OS
Capitulo 0
35
B
52
D
01
c
l.C
53
B
02
D
E
36
37
c
E
c
38
D
B
03 A
04 D
B
39
A
54
55
56
57
c
05
A
06
07
08
09
D
B
A
10
c
01
E
02
B
18 D
19 A
03
04
c
c
20
2l
05
E
22
06 A
07 D
08 B
09 D
23 B
40 E
41 A
58
A
59
60
D
B
A
A
61
c
62
E
46
47
D
63
D
B
64
B
E
B
65
c
32 E
48
49
E
B
24
A
25
42
A
26
c
c
43
D
10 D
27
lE2.C
44
11
E
28
E
45
12
c
29
B
D
30 A
l3
14 E
15 B
16 E
31
33
D
50
c
34
c
51
17
Capitulo 06
01 E
02
B
03 B
04 B
05
c
Capitulo 07
01 B
02
c
03 c
04 A
A
D
06 c
07 E
08 B
09 LC
10 l.E
05
B
06 B
07 A
08 c
16
c
12 A
17
D
13
18 c
19 A
20 B
B
14 B
15 A
09 D
10 E
ll B
12 D
l3
D
14 c
15 A
Capitulo 08
01
02
03
c
c
09 D
l7
c
25
E
10
26
A
LE
18 B
19 A
27
A
20
D
28
D
E
21 A
29
D
14 D
15 c
16 D
23 B
A
04
B
ll B
12 D
05
c
l3
06 A
07 E
08 D
22
24
c
B
ll D
12 c
l3
c
14 D
15 B
Capitulo I
c
11
D
30 A
01
c
02
B
03 c
04 E
OS
B
Capitulo 09
01
c
02
D
03 A
04 D
16 D
17
c
18 E
19 D
20 D
21 c
31
E
33
E
46
47
48
34
B
49
35
CCC C E C E
50
E
D
B
51
c
32 D
D
D
E
05
A
06
07
08
09
D
D
22
c
36
37
D
52
B
B
A
23 A
38
c
53
c
39
A
10
c
E
25 B
26 A
27
B
42
54 A
55 B
56 lC2.E
57 E
28 A
43
c
58
D
E
30 B
44
B
D
45
c
59
60
ll E
12 B
16 E
03 c
04 E
06 c
07 E
08 D
09 A
D
18 c
19 A
OS
10
ll D
12 c
l3
c
14 D
15 B
24
29
40 B
41 D
B
D
Capitulo I 0
01
c
02
B
B
E
l3
14 c
15 A
17 B
0 Regime C
Antes que
que o que e
para marcar u
de logaritmos
Existe um
qualquer (X)
esta e migrara
Pronto! Eb
disso no Regim
Ora, no Re
Compostos (t
Que tal ag
Como se tr
coisa que fac;a
colocarmos u
log ap6s o sin
Tomemos
dade dos loga
a um expoent
de onde esta e
Anexo I
0 Regime Composto e os logaritmos
Antes que alguem se desespere (muita genre sofre de trauma cle logaritmo), adiantamos
que o que e preciso saber sabre logaritmos e urn minima. Quase nada! S6 o suficiente
para marcar uma resposta de questao que, eventual e esporadicamente, venha em termos
de logaritmos.
Existe uma propriedade dos Logaritmos que diz: se tivermos o logaritmo de urn valor
qualquer (X) que esteja elevado a urn expoente (Y), entao o valor do expoente saira de onde
esta e migrara para fora do logaritmo . Da seguinte maneira
-7 log (X)Y = Y. logX
Pronto! Ebasicamente isso que precisaremos saber sabre logaritmos Equal sera a utilidade
disso no Regime Composto?
Ora, no Regime Composto teremos uma equac;ao que e a F6nnula Fundamental dos Juras
Compostos (todos lembrados dela?)
E a seguinte:
-7 M = C.(I + i)"
Que tal agora se isolarmos o parcntese famoso? Como ficaremos? Assim
-7 (I
+ i)"
= (M/C)
Como se trata de uma equac;ao, para que se mantenha a igualdade sera preciso que qualquer
coisa que fac;amos do !ado esquerdo seja tambem feita do !ado direito. Cerro? Entao, que tal se
colocarmos urn log antes do parentese famoso? Pode ser, desde que tambem coloquemos um
log ap6s o sinal de igualdade. Dai, teremos
-7 log (I
+ i)"
= log (M/C)
Tomemos agora somente a primeira parte da equac;ao acima e nos lembremos da propriedade dos logaritmos que acabamos de aprender. Vejamos que o parentese famoso esta elevado
a um expoente (n) Como colocamos um log antes desse parentese. e entao, o expoente saira
de onde esta e migrara para antes do log, de modo que passaremos a ter o seguinte·
-7
n. log (I + i) = log (M/C)
C46FJ
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Dai, se uma questao de Juras Compostos perguntar pelo valor do n, que aqui significara
tempo de aplicac;ao do Capital, e a resposta vier em termos de logaritmos, teremos que·
'''
11
=log(~)
log(1 + i)
Supondo que os dados da questao fossem os seguintes M = 2000, C = 1000 e i = 5%
Teriamos que n = (log2)/(log1 ,05) E assim dew ria vir a resposta, entre as opc;oes
Da mesma forma que foi vista a aplicac;ao do logaritmo para a formula dos Juras Compostos, igual aplicac;ao seria feita para o caso de todas as outras formulas do Regime Composto,
em que esteja preseme um parentese elevado a um expoente Ou seja, isola-se o parentese e
aplica-se a propriedade do logaritrno, deslocando o expoente para antes do log
Assim poderemos fazer
-7 Nas Taxas Equivalentes: 1 + I = (1 + i)k
-7 No Desconto Composto por Dentro N = A.(1 + i)n
-7 No Desconto Composto por Fora A= N.(1- i)n
Devemos dizer que a ESAF nao costuma trabalhar com logaritmos. Obviamente que nao
sabemos o dia de amanha, e seria irresponsavel afirrnar que a ESAF jamais colocara uma
questao assim, com logaritmos. 56 e improvavel Mesmo porque e praxe desta elaboradora
fornecer sempre as Tabelas Financeiras
Resolu~ao
PROVA 0 I
A tabela a
para facilitar
apresentar dif
2 casas decim
(1,04) 2 = 1,08
(1,04) 3 = 1,12
(1,04)4 = 1,16
(1,04) 5 = 1,2
(1 ,04)6 = 1,2
(1,04) 7 = 1,3
(1,04) 8 = 1,3
(1,04) 9 = 1,4
(1,04) 10 = 1,4
1.
Uma
0 val
de $ 1
finan
valor
quart
pagam
se ap
a)
$
b) $
c)
$
d) $
e)
$
Solw;:ao: Res
gnificara
que·
''''=' "'"
==-------------==-
·='
Anexo
e i = 5%
Composomposto,
rentese e
que nao
cara uma
boradora
Resolu~ao
das Provas Passadas do AFRF
PROVA 0 I: AFRF - 1996
A tabela abaixo contem numeros elevados a potencias especificas que poderao ser usados
para facilitar seus calculos na resoluc;ao das questoes desta prova Alguns resultados podem
apresentar diferenc;as de+ ou- 0,01 posto que valores em moeda corrente devem ter apenas
2 casas decimais
(1,04) 2 = 1,0816
(1,04) 3 = 1,1248
(1,04)4 = 1,1698
(1,04) 5 = 1,2166
(1 ,04)6 = 1,2653
(1,04) 7 = 1,3159
(1,04) 8 = 1,3685
(1,04) 9 = 1,4233
(1,04) 10 = 1,4802
1.
(1,09)2 = 1,1881
(1,09) 3 = 1,2950
(l ,09) 4 = 1,4115
(1,09) 5 = 1,5386
(1,09) 6 = 1,6771
(1,09)1 = 1,8280
(l ,09) 8 = 1,9925
(1,09) 9 = 2,1718
(l ,09) 10 = 2,3673
(1,10) 2 = 1,2100
(1,10) 3 = 1,3310
(1,10) 4 = 1,4641
(1,10) 5 = 1,6105
(1,10) 6 = 1,7715
(1,10)1 = 1,9487
(1,10) 8 = 2,1435
(1,10) 9 = 2,3579
(1,10) 10 = 2,5937
(1,20) 2 = 1,4400
(1,20) 3 = 1,7280
(1,20)" = 2,0736
(1,20) 5 = 2,4883
(1 ,20)6 = 2,9859
(1,20)1 = 3,5831
(1,20) 8 = 4,2998
(1,20) 9 = 5,1597
(1,20) 10 = 6,1917
Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.).
0 valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, e
de $ 1.400,00. As condi~oes contratuais preveem que o pagamento deste
financiamento sera efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no
valor de setenta por cento do total dos pagamentos, sera paga ao final do
quarto mes, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos
pagamentos, sera paga ao final do decimo primeiro mes. 0 valor que mais
se aproxima do valor financiado e:
a) $ 816,55;
b) $ 900,00;
c) $ 945,00;
d) $ 970,00;
e) $ 995,00.
Solw;:ao: Resolvida na pagina 179.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
2.
Voce possui uma duplicata cujo valor de face e $ 150,00. Esta duplicata
vence em 3 meses. 0 banco com o qual voce normalmente opera, alem
da taxa normal de desconto mensal (simples por fora) tambem fara uma
reten~ao de 1 5% do valor de face da duplicata a titulo de saldo medio,
permanecendo bloqueado em sua conta este valor desde a data do desconto
ate a data do vencimento da duplicata. Caso voce desconte a duplicata no
banco voce recebera liquidos, hoje, $ 105,00. A taxa de desconto que mais
se aproxima da taxa praticada por este banco e:
a) 5,0%;
b) 5,2%;
c) 4,6%;
d) 4,8%;
e) 5,4%.
Considere
Os valores con
Fluxos
Urn
Do is
Tres
Quatro
Cinco
1
1
1
1
1
Solw;;ao: Resolvida na pagina 104 .
6.
3.
Uma firma deseja alterar as datas e valores de urn financiamento contratado.
Este financiamento foi contratado, ha 30 dias, a uma taxa dejuros simples
de 2% ao mes. A institui~ao financiadora nao cobra custas nem taxas para
fazer estas altera~oes. A taxa de juros nao sofrera altera~oes. Condi~oes
pactuadas inicialmente: pagamento de duas presta~oes iguais e sucessivas
de $ 11.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias. Condi~oes desejadas:
pagamento em tres presta~oes iguais: a primeira ao final do 102 mes; a
segunda ao final do 302 mes; a terceira ao final do 70 2 mes.
Caso sejam aprovadas as altera~oes, o valor que mais se aproxima do valor
unitario de cada uma das novas presta~oes e:
a) $ 8.200,00;
b) $ 9.333,33;
c) S 10. 7 52,31 ;
d) $ 11 .200,00;
e) $ 12.933,60;
a)
b)
c)
d)
Flux
Flux
Flux
Flux
e) Flux
Soluc;:ao: Reso
7.
Solw;;ao: Resolvida na pagina 175 .
4.
Uma empresa aplica $ 300 a taxa dejuros compostos de 4% ao mes por 10
meses. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal dessa
opera~ao e:
a) 4,60%;
b) 4,40%;
c) 5,00%;
d) 5,20%;
e) 4,80%;
Soluc;:ao: Resolvicla na pagina 229.
5.
A taxa de 40% ao bimestre, com capitaliza~ao mensal e equivalente a uma
taxa trimestral de:
a) 60%;
d) 72,8%;
b) 66,6%;
e) 84,4%.
c) 68,9%;
Soluc;:ao: Resolvicla na pagina 224.
Consid
da tab
Uma p
equipa
valor
juros d
nestas
valor a
a) S 7
b) $ 7
c) $ 8
d) $ 8
e) S 9
Soluc;:ao: Reso
8.
Uma e
capita
ao fina
devera
(juros
a) S 3
b) $ 3
c) S 3
d) $ 2
e) $ 2
Soluc;:ao: Reso
Anexo II
plicata
, alem
ra uma
medio,
sconto
cata no
e mais
Considere os tluxos de caixas mostraclos na tabela abaixo, para a resolw:;ao da questao 36.
Os valores constantes desta tabela ocorrem no final clos meses ali inclicaclos .
TABELA DE FLUXOS DE CAIXA
Fluxos
Urn
Do is
Tres
Quatro
Cinco
6.
ratado.
imples
as para
o valor
1000
1000
1000
1000
1000
Fluxo
Fluxo
Fluxo
Fluxo
e) Fluxo
2
1000
500
1000
1000
1000
3
500
500
1000
800
800
Meses
4
500
500
500
600
400
5
500
500
500
400
400
6
500
500
100
200
400
7
250
500
150
200
200
8
050
300
050
100
100
um;
dois;
tres;
quatro;
cinco.
Soluc;:ao: Resolvicla na pagina 367..
7.
por 10
l dessa
e a uma
l
Considere uma taxa efetiva (juros compostos) de 4,0% a.m. 0 fluxo de caixa,
da tabela acima, que apresenta o maior valor atual (valor no mes zero) e:
a)
b)
c)
d)
di~oes
essivas
ejadas:
mes; a
471
Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de urn
equipamento, e paga mais 4 presta~oes mensais, iguais e sucessivas no
valor de $ 14,64 cada uma. A institui~ao financiadora cobra uma taxa de
juros de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base
nestas informa~oes podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do
valor a vista do equipamento adquirido e:
a) S 70,00;
b) $ 76,83;
c) $ 86,42;
d) $ 88,00;
e) S 95,23.
Soluc;:ao: Resolvicla na pagina 402.
8.
Uma empresa obteve urn financiamento de $ 10.000 a taxa de 120% ao a no
capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000
ao final do primeiro mes e $ 3.000 ao final do segundo mes. 0 valor que
devera ser pago ao final do terceiro mes para liquidar o financiamento
(juros + principal) e:
a) S 3.250;
b) $ 3.100;
c) S 3.050;
d) $ 2.975;
e) $ 2.750.
Soluc;:ao: Resolvicla na pagina 306 .
C4]I)
9.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
Um emprestimo de $ 20.900 foi realizado com uma taxa de juros de 36%
ao ano, capitalizados trimestralmente, e deveni ser liquidado atraves do
pagamento de 2 presta~oes trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro
vencimento ao final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao final
do segundo trimestre). 0 valor que mais se aproxima do valor unitario de
cada presta~ao e:
3.
lndiqu
de jur
$ 10.350,00;
1 ,0
b) 0,6
c) 60,
d) 12,
e) 5,0
b) $ 10.800,00;
Soluc;:ao: Reso
$ 11.881 ,00;
d) $ 12.433,33;
e) $ 12.600,00.
4.
a)
a)
c)
Solw;ao: Resohida na pagina 403 .
1o.
Uma pessoa tomou um emprestimo a taxa de 4% ao mes, com juros
compostos capitalizados mensalmente. Este emprestimo deve ser pago
em 2 parcelas mensais e iguais de $ 1.000, daqui a 13 e 14 meses
respectivamente. 0 valor que mais se aproxima do valor de um (mico
pagamento no decimo quinto mes que substitui estes dois pagamentos e:
a)
b)
c)
d)
e)
$
$
$
$
$
2.012,00;
2.121,00;
2.333,33;
2.484,84;
2.516,16.
Os ca
aplica
respec
a)
b)
c)
d)
e)
Doi
Doi
Tre
Tre
Tre
Solw;ao: Reso
5.
0 des
vencim
o valo
a)
Solw;ao: Resolvida na pagina 308.
R$
b) R$
c)
R$
d) R$
e)
PROVA 02: AFRF - 1998
1.
Um capital e aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo
ano, a uma taxa de juros simples ordinario de 36% ao ano, produzindo
um montante de R$4.800,00. Nessas condi~oes, calcule o capital aplicado,
desprezando os centavos.
a)
Soluc;:ao: Reso
6.
R$ 4.067,00.
c) R$ 3.996,00.
d) R$ 3.941 ,00.
e) R$ 4.000,00.
2.
A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12
de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, a
taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos.
lndiqu
8% ao
a) 8,2
b) 8,0
c) 8,1
d) 8,0
e) 8, 1
b) R$ 3.986,00.
Soluc;:ao: Resolvida na pagina 36..
R$
Soluc;:ao: Res
7.
0 cap
mes s
conve
a) R$ 705,00.
real.
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
725,00.
715,00.
720,00.
735,00.
Soluc;:ao: Resolvida na pagina 32.
a)
Soluc;:ao: Res
de 36%
aves do
rimeiro
ao final
tario de
m juros
er pago
meses
m (mico
entos e:
mesmo
duzindo
plicado,
o dia 12
btidos, a
3.
lndique, nas op~oes abaixo, qual a taxa unitaria anual equivalente
de juros simples de 5% ao mes.
a taxa
1 ,0.
b) 0,6.
c) 60,0.
d) 12,0.
e) 5,0.
a)
Soluc;:ao: Resoh·ida na pagina 2 7
4.
Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram
aplicados a mesma taxa de juros simples men sal durante 4, 3 e 2 meses
respectivamente. Obtenha o prazo medio de aplica~ao desses capitais.
a)
b)
c)
d)
e)
Dois
Dois
Tres
Tres
Tres
meses e vinte e urn dias.
meses e meio.
meses e dez dias.
rneses.
meses e nove dias.
Solw;ao: Resolvicla na pagina 38 .
5.
0 desconto comercial simples de um titulo quatro meses antes do seu
vencimento e de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mes, obtenha
o valor correspondente no caso de um desconto racional simples.
a)
R$ 400,00.
b) R$ 800,00.
c)
R$ 500,00.
d) R$ 700,00.
e)
R$ 600,00.
Soluc;:ao: Resohicla na pagina 100 .
6.
lndique qual a taxa de juros anual equivalente
capitaliza~ao semestral.
a taxa de juros nominal de
8% ao ano com
a) 8,20%.
b) 8,05%.
c) 8,1 0%.
d) 8,00%.
e) 8, 16%.
Soluc;:ao: Resohida na pagina 208.
7.
0 capital de R$1.000,00 e aplicado do dia 10 de junho ao dia 25 do
mes seguinte, a uma taxa de juros compostos de 21% ao mes. Usando a
conven~ao linear, calcule os juros obtidos, aproximando o resultado em
real.
R$331,00.
b) R$ 343,00.
c) R$ 337,00.
d) R$ 342,00.
e) R$ 340,00.
a)
Soluc;:ao: Resolvida na pagina 23 L
C4I4J
8.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos - Sergio Carvalho & Weber Campos
Obtenha o valor hoje de urn titulo de R$ 1 0.000,00 de valor nominal, vend vel
ao fim de tres meses, a uma taxa dejuros de 3% ao mes, considerando urn
desconto racional composto e desprezando os centavos.
a) R$ 9. 140,00.
b) R$ 9.1 26,00.
c) R$ 9.1 00,00.
d) R$ 9.1 74,00.
e) R$ 9.1 51 ,00.
2.
Solw:;ao: Resolvida na pagina 271.
0 des
venci
come
a mes
a)
R$
b)
R$
c)
R$
d)
R$
e)
R$
Solu<;ao: Res
9.
Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que
compoem o seguinte fluxo de valores: urn desembolso de R$ 2.000,00 em
zero, uma despesa no momento urn de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais
de R$ 1.000,00 do momento dois ao dez, considerando que o intervalo
de tempo decorrido entre momentos consecutivos e o mes e que a taxa
de juros compostos e de 3% ao mes. Usar ainda a conven~ao de despesa
negativa e receita positiva, e desprezar os centavos.
a) R$ 2.511 ,00.
b) R$ 0,00.
c) R$ 3.617,00.
d) R$ 2.646,00.
e) R$ 2.873,00.
3.
Soluc;ao: Res
4.
Solu<;ao: Resolvida na pagina 359 .
1 0.
Urn a compra no valor de R$ 1 0.000,00 deve ser paga com urn a entrada
de 20% e o saldo devedor financiado em doze presta~oes mensais iguais,
vencendo a primeira presta~ao ao fim de urn mes, a uma taxa de 4% ao
mes. Considerando que este sistema de amortiza~ao corresponde a uma
anuidade ou renda certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao
saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem as presta~oes,
calcule a presta~ao mensal, desprezando os centavos.
a) R$ 986,00.
b) R$ 852,00.
c) R$ 923,00.
d) R$ 900,00.
e) R$ 1.065,00.
Solu<;ao: Resolvida na pagina 384.
1.
Os capitais de R$ 3.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados
todos no mesmo prazo, a taxas dejuros simples de 6% ao mes, 4% ao mes
e 3,25% ao mes. respectivamente. Calcule a taxa media de aplica~ao desses
capitais.
a) 4,83% ao mes.
d) 4% ao mes.
b) 3,206% ao mes.
e) 4,859% ao mes.
c) 4,4167% ao mes.
Solw;;ao: Resolvida na pagina 4 L
Urn t
venci
comp
a) R$
b) R$
c) R$
Soluc;ao: Res
5.
Urn in
R$ 1
quint
segun
mes,
de jur
a) R$
b) R$
c) R$
Soluc;ao: Res
6.
PROVA 03: AFRF- 2000
lndiqu
ao an
a) 12
b) 12
c) 12
Uma
dias e
os re
paga
quita
comp
a) R$
b) R$
c) R$
Soluc;ao: Res
vend vel
ando urn
tias que
0,00 em
s iguais
ntervalo
e a taxa
despesa
entrada
s iguais,
de 4% ao
de a uma
ponde ao
2.
Solu<;ao: Resolvida na pagina lOL
3.
lndique a taxa de juros anual equivalente a taxa de juros nominal de 12%
ao ano com capitaliza~ao mensal.
a) 12,3600%.
d) 12,6162%.
b) 12,6825%.
e) 12,5508%.
c) 12,4864%.
Soluc;ao: Resolvida na pagina 209.
4.
Urn titulo foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu
vencimento. Calcule o desconto obtido considerando urn desconto racional
composto a uma taxa de 3% ao mes.
a) R$ 140,00.
d) R$ 93,67.
b) R$ 104,89.
e) R$ 105,43.
c) R$ 168,00.
Soluc;ao: Resolvida na pagina 277.
5.
sta~oes,
aplicados
% ao mes
ao desses
0 desconto racional simples de uma nota promissoria, cinco meses antes do
vencimento, e de R$ 800,00, a uma taxa de 4% ao mes. Calcule o desconto
comercial simples correspondente, isto e, considerando o mesmo titulo,
a mesma taxa e o mesmo prazo.
a) R$ 960,00.
b) R$ 666,67.
c) R$ 973,32.
d) R$ 640,00.
e) R$ 800,00.
Urn individuo faz urn contrato com urn banco para aplicar mensalmente
R$ 1.000,00 do primeiro ao quarto mes, R$ 2.000,00 mensalmente do
quinto ao oitavo mes, R$ 3.000,00 mensalmente do nono ao decimo
segundo mes. Considerando que as aplica~oes sao feitas ao fim de cada
mes, calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa
de juros compostos de 2% ao mes (despreze os centavos).
a) R$ 21.708,00.
d) R$ 22.663,00.
b) R$ 29.760,00.
e) R$ 26.116,00.
c) R$ 35.520,00.
Soluc;ao: Resolvida na pagina 328 .
6.
Uma empresa deve pagar R$ 20.000,00 hoje, R$ 10.000,00 ao fim de trinta
dias e R$ 31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela so espera contar com
os recursos necessarios dentro de sessenta dias e pretende negociar urn
pagamento unico ao fim desse prazo, obtenha 0 capital equivalente que
quita a divida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros
compostos de 4% ao mes.
a) R$ 63.232,00.
d) R$ 62.200,00.
b) R$ 64.000,00.
e) R$ 64.513,28.
c) R$ 62.032,00.
Soluc;ao: Resolvida na pagina 291.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
7.
Urn capital e aplicado ajuros compostos durante seis meses e dez dias, a
uma taxa de juros de 6% ao mes. Qual o valor que mais se aproxima dos
juros obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a conven~ao
linear?
a) 46,11%.
d) 44,69%.
b) 48,00%.
e) 50,36%.
c) 41,85%.
4.
Soluc;:ao: Resolvida na pagina 217..
8.
Uma pessoa faz uma compra financiada em doze presta~oes mensais e iguais
de R$ 21 0,00. Obtenha o valor financiado, desprezando os centavos, a urn a
taxa de juros compostos de 4% ao mes, considerando que o financiamento
equivale a uma anuidade e que a primeira presta~ao vence urn mes depois
de efetuada a compra.
a) R$ 3.155,00.
d) R$ 2.530,00.
b) R$ 2.048,00.
e) R$ 2.423,00.
c) R$ 1.970,00.
Soluc;:ao: Re
5.
Soluc;:ao: Resoh'ida na pagina 395.
PROVA 04: AFRF - 2002
1.
Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 sao
aplicados a taxa de 4% ao mes, juros simples, durante dois, tres, quatro e
seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo medio de aplica~ao destes
capitais.
d) Dois meses e vinte dias.
a) Quatro meses.
e) Oito meses.
b) Quatro meses e cinco dias.
c) Tres meses e vinte e dois dias.
Urn titulo sofre urn desconto comercial de R$ 9.810,00 tres meses antes
do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mes. lndique
qual seria o desconto a mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.
a) R$ 9.81 0,00.
d) R$ 9.200,00.
b) R$ 9.521 ,34.
e) R$ 9.000,00.
c) R$ 9.500,00.
Uma
"post
R$ 20
por e
uma
no pr
mais
a) R$
b) R$
c) R$
Solw;ao: Re
6.
Soluc;:ao: Resolvida na pagina 40 .
2.
Urn c
quat
aplic
Cons
1 ,204
1,204
1 ,20
a) 10
b) 12
c) 12
d) 13
e) 14
Uma
mens
dura
seis
setem
rend
do m
a) R$
b) R$
c) R$
Soluc;:ao: Re
Solw;ao: Resolvida na pagina lOL
7.
3.
lndique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence
dentro de cinqiienta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro
de cern dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu ha vinte dias, a
taxa de juros simples de 0,1% ao dia.
a) R$ 1 0.940,00.
d) R$ 12.640,00.
b) R$ 11.080,00.
e) R$ 12.820,00.
c) R$ 1 2.080,00.
Soluc;:ao: Resolvida na pagina 160 .
Calc
do s
perio
paga
R$ 1.
e de
a) R
b) R
c) R
Soluc;:ao: Re
z dias, a
ima dos
Anexo II
4.
nven~ao
e iguais
s, a urn a
iamento
s depois
0,00 sao
quatro e
o destes
Urn capital e aplicado ajuros compostos a taxa de 20% ao periodo durante
quatro periodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital
aplicado, considerando a conven~ao linear para calculo do montante.
Considere ainda que:
1 ,204 =2,0736;
1,204 •5 =2,271515 e
1 ,20 5 =2,48832.
a) 107,36%.
b) 127,1515%.
c) 128,096%.
d) 130%.
e) 148,832%.
Soluc;:ao: Resolvida na pagina 212 .
5.
Uma empresa recebe urn financiamento para pagar por meio de uma anuidade
"postecipada" constituida por vinte presta~oes semestrais iguais no valor de
R$ 200.000,00 cada. lmediatamente apos o pagamento da decima presta~ao,
por estar em dificuldades financeiras, a em pres a consegue com o financiador
uma redu~ao da taxa de juros de 1 5% para 12% ao semestre e urn aumento
no prazo restante da anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor
mais proximo da nova presta~ao do financiamento.
a) R$ 136.982,00.
d) R$ 165.917,00.
b) R$ 147.375,00.
e) R$ 182.435,00.
c) R$ 1 51.342,00.
Solw;ao: Resolvida na pagina 397.
6.
es antes
lndique
racional.
ue vence
e dentro
e dias, a
77
Uma pessoa, no dia 1~ de agosto, contratou com urn banco aplicar
mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente
durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais
seis meses. Considerando que a primeira aplica~ao seria feita em 12 de
setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de cada mes e que elas
renderiam juros compostos de 2% ao mes, indique qual o valor mais proximo
do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1~ de fevereiro.
a) R$ 36.000,00.
d) R$ 41.132,00.
b) R$ 38.449,00.
e) R$ 44.074,00.
c) R$ 40.000,00.
Soluc;:ao: Resolvida na pagina 35 L
7.
Calcule o valor mais proximo do valor atual no inicio do primeiro periodo
do seguinte fluxo de pagamentos venciveis ao fim de cada periodo: do
periodo 1 a 6, cada pagamento e de R$ 3.000,00, do periodo 7 a 12, cada
pagamento e de R$ 2.000,00, e do periodo 13 a 18, cada pagamento e de
R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto racional
e de 4% ao periodo.
a) R$ 33.448,00.
d) R$ 27.286,00.
b) R$ 31 .168,00.
e) R$ 25.628,00.
c) R$ 29.124,00.
Soluc;:ao: Resolvida na pagina 364.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
PROVA 05: AFRF- 2002.2
1.
5.
Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em urn banco na segunda·
feira, dia 8. 0 nao pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa
de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanencia
de 0,2% por dia util de atraso, calculada comojuros simples, sobre o valor
da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mes,
considerando que nao ha nenhum feriado bancario no periodo.
a) R$ 2.080,00.
d) R$ 2.096,00.
b) R$ 2.084,00.
e) R$ 2.1 00,00.
c) R$ 2.088,00.
Consid
o num
no inic
compo
I
I
a)
An
Val
2.2
b) 2.2
c)
2.2
d) 2.2
e)
Solw;;ao: Resoh·icla na pagina 74.
2.3
Soluc;ao: Reso
2.
Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 sao
aplicados respectivamente as taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mes, no regime
dejuros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa media proporcional
anual de aplica~ao destes capitais.
a) 4%.
d) 24%.
b) 8%.
e) 48%.
c) 12%.
6.
Soluc;ao: Resolvicla na pagina 44.
3.
Na compra de urn carro em uma concessionaria no valor de R$25.000,00,
uma pessoa da uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze
presta~oes mensais a uma taxa de 2% ao mes. Considerando que a pessoa
consegue financiar ainda o valor total do seguro do carro e da taxa de
abertura de credito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente,
nas mesmas condi~oes, isto e, em doze meses e a 2% ao mes, indique o
valor que mais se aproxima da presta~ao mensal do financiamento global.
a) R$ 1.405,51.
d) R$ 1.512,44.
b) R$ 1.418,39.
e) R$ 1.550,00.
c) R$ 1 .500,00.
Soluc;ao: Reso
7.
Soluc;ao: Resolvicla na pagina 395 .
4.
Urn pais captou urn emprestimo por intermedio do lan~amento de uma
certa quantidade de bonus no mercado internacional com valor nominal
de US$ 1,000.00 cada bonus e com doze cupons semestrais no valor de
US$ 60.00 cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre
e assim sucessivamente ate o decimo segundo semestre, quando o pais
deve pagar o ultimo cupom juntamente com o valor nominal do titulo.
Considerando que a taxa de risco do pais mais a taxa de juros dos titulos
de referenda levou o pais a pagar uma taxa final dejuros nominal de 14%
ao ano, obtenha o valor mais proximo do pre~o de lan~amento dos bonus,
abstraindo custos de intermedia~ao financeira, de registro etc.
a) US$ 1, 000.00.
d) US$ 920.57.
b) US$ 953.53.
e) US$ 860.00.
c) US$ 930.00.
Soluc;ao: Resolvicla na pagina 423
A qua
e dev
compr
levou
meio.
taxa d
para c
a) R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
Urn ti
mese
desco
a) R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
Soluc;ao: Res
PROVA 06
1.
Os ca
aplica
4%, 3
deste
a) 2,9
b) 3%
c) 3,1
Soluc;ao: Res
Anexo II
5.
gunda·
lta fixa
anencia
o valor
o mes,
00 sao
regime
rcional
000,00,
m doze
pessoa
taxa de
mente,
dique o
global.
de uma
nominal
alor de
emestre
o o pais
o titulo.
titulos
de 14%
bonus,
79
Considerando a serie abaixo de pagamentos no fim de cada ano, obtenha
o numero que mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos
no inicio do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros
compostos.
I
I
a)
A no
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Valor
400
400
400
400
200
200
200
200
200
1.200
2.208,87.
b) 2.227,91.
c)
2.248,43.
d) 2.273,33.
e)
2.300,25.
Soluc;ao: Resolvicla na pagina 356.
6.
A quantia de R$ 500.000,00 e devida hoje e a quantia de R$ 600.000,00
e devida no fim de urn ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois
compromissos nao poderiam ser honrados, uma negocia~ao com o credor
levou ao acerto de urn pagamento equivalente unico ao fim de dois anos e
meio. Calcule o valor deste pagamento considerando que foi acertada uma
taxa dejuros compostos de 20% ao ano, valendo a conven~ao exponencial
para calculo do montante (despreze os centavos).
a) R$ 1 .440.000,00.
b) R$ 1.577.440,00.
c) R$ 1 .584.000,00.
d) R$ 1 .728.000,00.
e) R$ 1.733.457,00.
Soluc;ao: Resolvicla na pagina 298.
7.
Urn titulo sofre urn desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro
meses antes do seu vencimento. lndique o valor mais proximo do valor
descontado do titulo, considerando que a taxa de desconto e de 5% ao mes.
a) R$ 25.860,72.
b) R$ 28.388,72.
c) R$ 30.000,00.
d) R$ 32.325,90.
e) R$36.465,18.
Soluc;ao: Resolvicla na pagina 278.
PROVA 06: AFRF - 2003
1.
Os capitais de R$2.500,00, R$3.500,00, R$4.000,00 e R$3.000,00 sao
aplicados ajuros simples durante o mesmo prazo as taxas mensais de 6%,
4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa media mensa! de aplica~ao
destes capitais.
a) 2,9%.
d) 3,25%.
b) 3%.
e) 3,5%.
c) 3,138%.
Soluc;ao: Resolvicla na pagina 43.
C48Q)
2.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Urn capital e aplicado a juros compostos a taxa de 40% ao ano durante urn
ano e meio. Calcule o valor mais proximo da perda percentual do montante
considerando o seu calculo pela conven~ao exponencial em rela~ao ao seu
calculo pela conven~ao linear, dado que 1,40 1 •5 =1 ,656502.
a) 0,5%.
PROVA 07
1.
b) 1%.
c)
I ,4%.
d) I ,7%.
e) 2,0%.
Soluc;ao: Resoh·ida na pagina 217.
3.
Uma pessoa tern que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00 cada que
vencem todo dia 5 dos proximos dez meses. Todavia ela combina com o
credor urn pagamento unico equivalente no dia 5 do decimo mes para quitar
a divida. Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao mes.
a) R$ 11 .800,00.
b) R$ 12.006,00.
c) R$ 12.200,00.
d) R$ 12.800,00.
e) R$ 1 3.486,00.
Soluc;ao: Resolvida na pagina 183 .
4.
Solw;:ao: Qu
lencia Compo
tarmos como
de equivalenc
Atentemo
prazos 6 mes
ao desenho d
Calcule o valor mais proximo do montante ao fim de dezoito meses do
seguinte fluxo de aplica~oes realizadas ao fim de cada mes: dos meses 1 a
6, cad a aplica~ao e de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplica~ao e de
R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplica~ao e de R$ 6.000,00. Considere
juros compostos e que a taxa de remunera~ao das aplica~oes e de 3% ao mes.
a) R$ 94.608,00.
b) R$ 88.149,00.
c) R$ 82.265,00.
d) R$ 72.000,00.
e) R$ 58.249,00.
Aplicand
Soluc;ao: Resolvida na pagina 334 .
5.
Urn pais captou urn emprestimo no mercado internacional por intermedio
do lan~amento de bonus com dez cupons semestrais venciveis ao fim de
cada semestre, sendo o valor nominal do bonus US$ 1,000.00 e de cada
cupom US$ 60.00. Assim, ao fim do quinto ano o pais deve pagar o ultimo
cupom mais o valor nominal do bonus. Considerando que os bonus foram
lan~ados com urn agio de 7,72% sobre o seu valor nominal, obtenha o valor
mais proximo da taxa nominal anual cobrada no emprestimo, desprezando
custos de registro da opera~ao, de intermedia~ao etc.
16%.
b) 14%.
a)
c) 12%.
d) 10%.
e) 8%.
Soluc;ao: Resolvida na pagina 418 .
Ana q
pelo
intere
R$ 40
da co
com v
sem c
a) R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
-7 400.00
-7 2,1025
2.
Uma
R$ 1 5
Urn c
iguai
cada
entao
igual
a) R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
ante urn
ontante
o ao seu
ada que
a com o
a quitar
ao mes.
PROVA 07: AFRF/2005
1.
Solw;:ao: Questao classica de Equivalencia de Capitais, no regime composto. (Logo, Equiva-
e composta, tudo fica bern mais faciL Basta adoa direita do clesenho, e aplicarmos diretamente a equac;ao
lencia Composta). E quando a equivalencia
tarmos como data focal aquela mais
de equivalencias de capitais.
Atentemos apenas para o fato que a taxa composta fornecida e semestral. Dai, trataremos os
prazos 6 meses e 18 meses como sendo, respectivamente, l semestre e 3 semestres. Passemos
ao desenho da questao Teremos
eses do
eses 1 a
~ao e de
onsidere
ao mes.
ermedio
o fim de
de cada
o ultimo
s foram
a o valor
rezando
Ana quer vender urn apartamento por R$ 400.000,00 a vista ou financiado
pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% ao semestre. Paulo esta
interessado em comprar esse apartamento e propoe a Ana pagar os
R$ 400.000,00 ~m duas parcel as iguais, com vencimentos a con tar a partir
da compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e a segunda
com vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, entao,
sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas sera igual a:
a) R$ 220.237,00;
b) R$ 230.237,00;
c) R$ 242.720,00;
d) R$ 275.412,00;
e) R$ 298.654,00.
400.000,
0
X
X
ls
3s
Aplicando a equac;ao de equivalencia, com data focal em 3 semestres, teremos
-7 400.000 0+0,05) 3 =X 0+0,05)2 +X
-7 2,1025 X= 463 . 050 -7 X= 220.237,00 -7 Resposta!
2.
Uma casa pode ser financiada em dois pagamentos. Uma entrada de
R$ 1 50.000,00 e uma parcela de R$ 200.000,00 seis meses apos a entrada.
Urn comprador propoe mudar o esquema de pagamentos para seis parcelas
iguais, sendo a primeira paga no ato da compra e as demais venciveis a
cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada e de 6% ao trimestre,
entao, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas sera
igual a:
a) R$ 66.1 31 ,00;
b) R$ 64.708,00;
c) R$ 62.927,00;
d) R$ 70.240,00;
e) R$ 70.140,00.
Matematica Financeira Simplificada para Concursos -Sergio Carvalho & Weber Campos
Solw:;ao: Nova questao de Equivalencia Composta. 0 diferencial aqui e que usaremos tambem
a teoria das Rendas Certas! Vejamos o desenho da questao.
200.000,
150.000,
X
0
X
lt
X
2t
X
3t
X
4t
X
5t
Dai, aplicaremos a equac;ao de equivalencia de capitais, adotando como data focal aquela
mais a direita do desenho, qualseja, a data 5 trimestres. Evidentemente que, na hora de levar
as parcelas da segunda forma de pagamento (em vermelho) para a data focal, faremos isso de
uma vez s6, por meio das Rendas Certas. Teremos.
-7 150 . 000. (1+0,06) 5 + 200 . 000 0+0,06) 3 =X. 5 6~ 6 %
-7 200.733,84 + 238.203,20 = 6,975318. X -7 X= 62.927,00 -7 Resposta!
Perce bam qu
adotando a data
-7 70.000 =
Vamos agora
do livro, pois es
-7 70000 =
-7 70000 =
-7 44124,7
-7X=4412
-7 X = 58.0
4.
3.
Uma empresa adquiriu de seu fornecedor mercadorias no valor de
R$ 100.000,00 pagan do 30% a vista. No contra to de fmanciamento realizado
no regime de juros compostos, ficou estabelecido que para qualquer
pagamento que for efetuado ate seis meses a taxa de juros compostos
sera de 9,2727% ao trimestre. Para qualquer pagamento que for efetuado
apos seis meses, a taxa dejuros compostos sera de 4% ao mes. A empresa
resolveu pagar a divida em duas parcelas. Uma parcela de R$ 30.000,00
no final do quinto mes e a segunda parcela dois meses apos o pagamento
da primeira. Desse modo, o valor da segunda parcela, sem considerar os
centavos, devera ser igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
R$
R$
R$
R$
R$
62.065,00;
59.065,00;
61.410,00;
60.120,00;
5 8.065 ,00.
Solw:;ao: Mais uma de equivalencia composta! De novidade, uma taxa composta trimestral
de 9,2727%, que sera transformada numa taxa efetiva de 3% ao mes . Fora isso, teremos que
levar os dois pagamentos para a data zero, usando taxas compostas diferenciadas: 3% ao mes
para a parcela na data cinco meses, e 4% ao mes para a parcela na data sete meses . Nosso
desenho
e0
seguinte.
0 valor
compos
atual da
da divid
a) R$ 2
b) R$ 2
c) R$ 3
Solw:;ao: Questa
-7 N Dai, seA =
-7 4D
Finalmente,
-7 N =
5.
Em jane
compos
durante
final de
A taxa d
a empr
dezemb
que a e
a)
b)
c)
d)
e)
R$
R$
R$
R$
R$
4
4
4
4
5
Anexo II
mbem
83
70.000,
X
30.000,
0
aquela
e levar
isso de
mos que
ao mes
Nosso
0 valor nominal de uma divida e igual a 5 vezes o desconto racional
composto, caso a antecipa~ao seja de dez meses. Sabendo-se que o valor
atual da divida (valor de res gate) e de R$ 200.000,00, en tao o valor nominal
da divida, sem considerar os centavos, e igual a:
a) R$ 230.000,00;
d) R$ 320.000,00;
b) R$ 250.000,00;
e) R$ 310.000,00.
c) R$ 330.000,00;
Solw:;ao: Questao mais facil da prova! Se foi dito que N=5.D,ja se conclui que ovalor atual sera:
-7 N - A = D -7 5D - A = D -7 A=4 D
Dai, seA = 200.000, conforme disse a questao, entao:
-7 4D = 200.000 E: -7 D = 50.000,
Finalmente, sabendo que N = SD, conclui-se que:
-7 N = 5 x 50.000 -7 N = 250.000,00 -7 Resposta!
5.
mestral
7m
Perce bam que no desenho acima ja fizemos o abatimento da entrada' Vi ram? Po is bern! Dal,
adotando a data focal zero, e aplicando a equac;ao de equivalencia, teremos
-7 70.000 = 30 000/(1+0,03) 5 + X/(1+0,04)'
Vamos agora utilizar a Tabela IV- Fator de Atualizac;ao de Capital, que se encontra ao final
do livro, pois essa tabela foi fornecida nesta prova
-7 70000 = 30000 0,86251 + X/0+0,04)'
-7 70000 = 25875,3 + X/0+0,04)'
-7 44124,7 = X/0+0,04)'
-7X=44124,7 1,315931
-7 X = 58.065,00 -7 Resposta!
4.
or de
lizado
alquer
postos
tuado
presa
00,00
mento
rar os
5m
Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu uma divida no regime dejuros
compostos que deveria ser quitada em duas parcelas, todas com vencimento
durante o ano de 2005. Uma parcela de R$ 2.000,00 com vencimento no
final de junho e outra de R$ 5.000,00 com vencimento no final de setembro.
A taxa dejuros cobrada pelo credor e de 5% ao mes. No final de fevereiro,
a empresa decidiu pagar 50% do total da divida e o restante no final de
dezembro do mesmo ano. Assim, desconsiderando os centavos, o valor
que a empresa devera pagar no final de dezembro e igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
R$
R$
R$
R$
R$
4.634,00;
4.334,00;
4.434,00;
4.234,00;
5.234,00.
(484)
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
Solu<:ao: Outra questao de equivalencia compostal Passemos logo ao dcsenho·
Paulo
banco
de 3%
4% ao
das ap
Banco
a) R$
b) R$
c) R$
7.
5.000,
i
0
X
2.000,
y
6m
2m
9m
12m
Uma questao bern mais facil do que parece . Reparemos que as duas parcelas em azul
compoem a divida originaL Dai, se as projetarmos para a data do X (final de dezembro),
descobriremos o quanta vale a divida inteira nesta data. Teremos
~ Dfvida inteira = 2000 0+0,05) 6 + 5000 0+0,05)3 = 8468,32
Mas o que a questao quer saber? 0 valor do X, que corresponde, conforme dito pelo proprio enunciado, a metade da divida. Dai, dividindo por dais o valor encontrado no calculo
acima, teremos.
~ X= divida/2 = 8.468,32 I 2 = 4.234,16 ~ Resposta!
6.
Edgar precisa resgatar dois titulos. Urn no valor de R$ 50.000,00 com
prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 com prazo
de vencimento de tres meses. Nao tendo condi~oes de resgata-los nos
respectivos vencimentos, Edgar propoe ao credor substituir os dois titulos
por urn (mico, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa
de desconto comercial simples e de 4% ao mes, o valor nominal do novo
titulo, sem considerar os centavos, sera igual a:
a) R$ 1 59.523,00;
d) R$ 162.220,00;
b) R$ 1 59.562,00;
e) R$ 163.230,00.
c) R$ 162.240,00;
Solw;;ao: Uma questao de Equivalencia Simples, com Desconto Simples por Fora . 0 enunciado
nada disse sabre a data focal, obrigando-nos a adotar a data zero.. 0 desenho e o seguinte
X
100.000,
50.000,
0
2m
3m
4m
Aplicando de uma vez a equa<;:ao de equivalencia, com data focal zero e desconto simples
por fora, teremos:
~ [50 000 (100- 4 X 2)1100] + [100 000 (100- 4 X 3)1100] = [X(lOO- 4 X 4)/100]
~ 46.000 + 88.000 = 0,84 X~ X= 134.000/0,84
~ X=159.523,00 ~ Resposta!
Solw;ao: A E
consideremos
como se fora
~ M1 = C
~ M2 = C
Uma vez q
~
1,4257
~ C 1 = (1
Sabendo a
~ C1 + C
~ C2 = cs
Finalment
~ C1 + C
As respost
nenhuma das
8.
Urn b
trime
da ta
suas
a) 19%
b) 18
c) 17
d) 22%
e) 24
Solw;;ao: Essa
as duas taxa
efetiva de jur
~ (100/i
Colocand
~ (100/i
~if= 00
Mas a que
~ if= 5,
em azul
zembro),
pelo proo calculo
00 com
m prazo
los nos
s titulos
e a taxa
do novo
nunciado
guinte
o simples
)/100]
Paulo aplicou pelo prazo de urn ano a quantia total de R$ 50.000,00 em dois
bancos diferentes. Uma parte dessa quantia foi aplicada no Banco A, a taxa
de 3% ao mes. 0 restante dessa quantia foi aplicado no Banco B a taxa de
4% ao mes. Ap6s urn ano, Paulo verificou que os valores finais de cada uma
das aplica~oes eram iguais. Oeste modo, o valor aplicado no Banco A e no
Banco B, sem considerar os centavos, foram, respectivamente iguais a:
a) R$ 21.948,00 e R$ 28.052,00;
d) R$ 27.510,00 e R$ 22.490,00;
b) R$ 23.256,00 e R$ 26J44,00;
e) R$ 26.477,00 e R$ 23.552,00.
c) R$ 26.589,00 e R$ 23.411 ,00;
7.
Solw;ao: A ESAF nao usou ncnlmm sinal indicativa de que o regime e o composto! Mas,
consideremos que houve urn csquccimcnto fatal. Oh? Consideremos aqui o regime composto,
como se fora informado. Vejamos
~ M1 = C1 0+0,03) 12 ~ M1 = 1,425760 C 1
~ M2 = C 2 (1+0,04)1 2 ~ M 2 = 1,601032 C2
Uma vez que os Montantes sao iguais, teremos que:
~
1,425760 C 1 = 1,601032 C2
~ C 1 = (1,60103211,425760) C 2 ~ C 1 = 1,122932.C 2
Sabendo agora que C 1 + C2 = 50.000, teremos que:
~ C 1 + C2 = so.ooo ~ 1,122932 C2 + C2 = so.ooo ~ 2.122932 C2 = so . ooo
~ C2 = cso ooo/2,122932) ~ C 2 = 23.552,
Finalmente, teremos que
~ C 1 + C2 =50 ooo ~ C 1 + 23.552 = 5o.ooo ~ C 1 = 26.447,
As respostas corretas sao, portanto, RS 26.44 7,00 e RS 23.552,00, nao contempladas em
nenhuma das alternativas da questao. Questao anulada!
8.
Urn banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simples de 24% ao
trimestre para opera~oes de cinco meses. Oeste modo, o valor mais proximo
da taxa de desconto comercial trimestral que o banco devera cobrar em
suas opera~oes de cinco meses devera ser igual a:
a) 19%;
b) 18,24%;
c) 17, 14%;
d) 22%;
e) 24%.
Solw;;ao: Essa tambern foi uma questao faciL Sobretudo para quem conhecesse a rela<;;ao entre
as duas taxas- a de desconto simples por fora e a de desconto simples por dentro (= taxa
efetiva de juros simples). Conhecendo-a, bastava uma aplica<:ao direta da f6nnula. Teremos
~ (100/i0-(100/id)=n
Colocando taxa e tempo na mesma unidade, usaremos id=8% ao mes e n=5 meses. Assim·
~ (100/iO- (100/8) = 5 ~ 000/iO- 12,5 = s ~ (100/iO = 17,5
~if= 000/17,5) ~if= 5,714% ao mes.
Mas a questao nao quer saber taxa mensa!, e sim trimestral. Dat
~ if= 5, 714 x 3 ~ if=17 ,14% ao trimestre ~ Resposta!
C48Jl
Matematica Financeira Simplificada para Concursos- Sergio Carvalho & Weber Campos
PROVA 08: AFRF/2009 (unica questao de Matematica Financeira)
1.
No sistema de juros compostos um capital PV aplicado durante um ano a
taxa de 10% ao ano com capitaliza~ao semestral resulta no valor final FV.
Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durante um trimestre a taxa
de i,% ao trimestre resultara no mesmo valor final FV, sea taxa de aplica~ao
trimestral for igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
10.25%
26.25%
13.12%
40%
20%
Soluc:;ao: Temos duas aplica<;;oes no regime composto. Nao temos o valor do Capital, mas
vamos consideni-lo igual a 100 para facilitar os calculos.
P aplica<;;iio)
c = 100,
n = 1 ano = 2 semestres
i = 10% ao ano com capitaliza<;;ao semestral = 10%/2 = 5% a.s.
M = C(l+i)n = 100(1+5%)2 = 100 (1,05) 2 = 100 X 1,1025 = 110,25
2" aplica<;;iio)
c = 100,
n = 1 trimestre
i = il % ao trimestre
M = montante da 1a aplica<;;ao = 110,25
M = CCl+iY -7 110,25 = 100 Cl+i) 1 -7 Cl+i) = 1,1025
i = 0,1025 = 10,25% a.t. (Alternativa A!)
PROVA 09: AFRF/20 12 (unica questao de Matematica Financeira)
1.
(AFRFB 2012 ESAF) No sistema de juros simples, um capital foi aplicado a
uma determinada taxa anual durante dois anos. 0 total dejuros auferidos
por esse capital no final do periodo foi igual a R$ 2.000,00. No sistema de
juros compostos, o mesmo capital foi aplicado durante o mesmo periodo,
ou seja, 2 anos, e a mesma taxa anual. 0 total de juros auferidos por esse
capital no final de 2 anos foi igual a R$ 2.200,00. Desse modo, o valor do
capital aplicado, em reais, e igual a
a) 4.800,00.
b) 5.200,00.
c) 3.200,00.
d) 5.000,00.
e) 6.000,00.
Soluc;:ao: Vam
lQ) juros
Capital= C
Taxa = i (t
n = 2 anos
J = 2000,
J = Ci . n 2Q) juros
Capital= C
Taxa = i (t
n = 2 anos
J = 2200,
M = C+22
M = C(l+i)
C+2200 =
Temos o v
2200 = 2x
1000i = 20
i = 200/10
Substituin
Ci = 1000
m ano a
inal FV.
e a taxa
lica~ao
ital, mas
licado a
feridos
tema de
periodo,
or esse
valor do
Soluc;:ao: Vamos iniciar pela opera<;;ao de juros Simples:
lQ) juros Simples
Capital= C
Taxa = i (taxa ao ano)
n = 2 anos
J = 2000,
J = Ci . n -7 2000 = Ci.2 -7 Ci = 1000
2Q) juros Compostos
Capital= C
Taxa = i (taxa ao ano)
n = 2 anos
J = 2200,
M = C+2200
M = C(l+i)n -7 C+2200 = C(1 + i)2
C+2200 = C(1 + 2i + i2)
-7 C+2200 = C + 2Ci + Ci 2 -7 2200 = 2Ci + Ci 2
Temos o valor de Ci que foi obtido nos Juras Simples: Ci = 1000 . Dai:
2200 = 2x1000 + 1000xi
1000i = 200
i = 200/1000 = 201100 = 20% a.a.
Substituindo na equa<;;ao de juros simples:
Ci = 1000 -7 C. 0,2 = 1000 -7 C = 5.000,00 (Alternativa D!)
TA
Anexo III
TABELAS FINANCEIRAS
1,126162
1,148685
1,171659
1,195092
1,218994
1,061520
1,072135
1,082856
1,093685
I, 104622
1,115668
1.126825
1,138093
1,149474
1,160969
6
7
8
9
10
ll
12
13
14
15
!,384233
1,425760
1,468533
1,512589
1,557967
1,194052
l ,229873
1,266770
1,304773
1,343916
1,030000
1,060900
1,092727
1,125508
1,159274
3%
1,539454
1,601032
1,665073
1,731676
1,800943
1,265319
1,315931
1,368569
1,423311
1,480244
1,040000
1,081600
1,124864
1,169858
1,216652
1,710339
1,795856
1,885649
1,979931
2,078928
1,340095
1,407100
1,477455
1,551328
1.628894
1,050000
1,102500
l ,157625
1,215506
1,276281
5%
1,898298
2,012196
2,132928
2,260903
2,396558
1,418519
1,503630
1,593848
1,689478
1,790847
1,060000
1,123600
1,191016
1,262476
1,338225
6%
2,104852
2,252191
2,409845
2.578534
2,759031
1,500730
1,605781
1,718186
1,838459
1,967151
1,070000
1,144900
1,225043
1,310796
1,402552
7%
2,331639
2,518170
2,719623
2,937193
3,172169
1,586874
1,713824
1,850930
1,999004
2,158925
1,080000
1,166400
1,259712
1,360488
1,469329
8%
2,580426
2,812665
3,065804
3,341727
3,642482
L677100
1,828039
l ,992562
2,171893
2,367363
1,090000
1.188100
1,295029
1,411581
1,538624
9%
2,853116
3,138428
3,-+52271
3,797498
4,177248
1,771561
I ,948717
2,143588
2,357947
2,593742
I ,100000
1,210000
1,331000
1.464100
1,610510
10%
3,478549
3,895975
4,363493
4,887112
5,473565
1,973822
2,210681
2,475963
2,773078
3,105848
I ,120000
1,254400
I ,404928
1,573519
1,762341
12%
16 1,172578 1,372786 1,604706 1,872981 2,182874 2,540351 2,952164 3,425942 3,970306 4,594972 6,130393
17 1.184304 1,400241 1,652847 1,947900 2,292018 2,692772 3,158815 3,700018 4,327633 5,054470 6,866040
18 1,196147 1.428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917 7,689966
1.243374
1,268242
1,293606
1,319479
1,345868
1,020000
1,040400
1,061208
1,082432
1,104081
1,010000
1,020100
1,030301
1,040604
1,051010
2%
1
2
3
4
5
~
1%
40,{,
a,.= (1 + i)"
TABELA I - FATOR DE ACUMULAc;AO DE CAPITAL
6,175926
7,287592
8,599359
10,147244
11,973748
2.699554
3,185474
3,758859
4,435454
5,233835
1,180000
1,392400
1,643032
1,938777
2,287758
18%
9.357621 14,1290221
10,761264 16,672246
12.3
19,6___
73251
. 75453
_:,__
4,652391
5,350250
6,152787
7,075706
8,137061
2,313061
2,660020
3,059023
3,517876
4,045558
1,150000
1,322500
1,520875
1,749006
2,011357
15%
~
V>
0
-o
3
n
~
~
a-
Ci'
0
~
::r
0
0
OQ
"''
0
"'
"'I
:s
n
!;
0
"'n
!!!
'0
"'
"'0..
"'
3'
~
;:;·
"'
~·
"'n:s
:;·
..,"'
!!!'
;:;·
3
11)
!!!
::
"'0
14,717874
15,562251
16,398268
13,577709
14,291872
14,992031
9,252624
9,954004
10,634955
11,296073
11,937935
ll 10,367628
9,786848
12 11,255077 10,575341
13 12,133740 11,348374
14 13,003703 12,106249
15 13,865052 12,849263
16
17
18
5,417191
6,230283
7,019692
7,786109
8,530203
5,601431
6,471991
7,325481
8,162237
8,982585
5,795476
6,728194
7,651678
8,566017
9,471304
6
7
8
9
10
12,561102
13,166118
13,753513
0,970874
1,913469
2,828611
3,717098
4,579707
0,980392
1,941561
2,883883
3,807728
4,713459
0,990099
l ,970395
2,940985
3,091965
4,853431
1
2
3
4
5
3%
2%
1%
~
5,075692
5,786373
6,463213
7,107821
7,721735
5,242137
6,002054
6,732745
7,435331
8,110896
11,652295
12,165669
12,659297
11,6~9587
10,837769
11,274066
8,306414
8,863251
9,393573
9,898641
10,379658
0,952381
1,859410
2,723248
3.545951
4,329476
0,961538
1,886094
2,775091
3,629895
4,451822
8,760477
9,385074
9,985648
10,563123
11,118387
5%
4%
I
7,498674
7,942686
8,357650
8,745468
9,107914
9,446648
9,763223
10,059087
10,105895
10,477259
10.82760•f
4,766539
5,389289
5,971298
6,515232
7,023581
0,934579
I ,808018
2,624316
3,387211
4,100197
7%
7,886874
8,383844
8,852683
9,294984
9,712249
4,917324
5,582381
6,209794
6,801692
7,360087
0,943396
1,833393
2,673012
3,465105
4,212364
6%
U
a -,. =-'----'--:"":":"""
(1 + i)"- 1
i.(l + i)"
----------------
8,312558
8,543631
8.755625
6,805190
7,160725
7,486904
7,786150
8,060688
7,138964
7,536078
7.903776
8,244237
8,559478
8,851369
9,121638
9,371887
4,485918
5,032953
5,534819
5,995247
6,417657
0,917431
1,759111
2,531295
3,239720
3,889651
9%
4,622879
5,206370
5,746639
6,246888
6,710081
0,925926
1,783265
2,577097
3,312127
3,992710
8%
5,937699
6,194374
6,423548
6,628168
6,810864
4,111407
4,563756
4,967640
5,328250
5,650223
0,892857
I ,690051
2,401831
3,037349
3,604776
12'){,
7,823708 6,973986
8,021553 7,119630
8.201412 7,249670
------
6,495061
6,813692
7,103356
7,366687
7,606079
4,355261
4,868419
5,334926
5,759024
6,144567
0,909091
1,735537
2,486852
3,169865
3,790787
10%
15%
5,954235
6,047161
6,127966
5,233712
5,420619
5,583147
5,724475
5,847370
3,784482
4,160420
4,487321
4,771584
5,018768
0,869565
I ,625709
2,283225
2,854978
3,352155
TABELA II - FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SERlE DE PAGAMENTOS IGUAIS
5,1623541
5,2223341
5,2731641
4,656005
4,793225
4,9095121
5,008061
5,091577
3,497602
3,811527
4,077566
4,303022
4,494086
0,847457
1,565642
2,174273
2,690062
3,127171
18%
4%
9,754628 10,159106 10,582795 11,026564 11,491316 11,977989 12,487558 13,021036 13,579477 14,775656 16,785842 19,085855
9,368527
3.572400
9,549109
9.897468 10,259802 10.636627 11,028474 11,435888 12,299693 13,726819 15,326995
10,089012 11,066799 12.141521
12 12,682503 13,412090 14,192029 15,025805 15,917126 16,869941 17,888451
~
1"1'1
...
";;--..!.
"'
1(1/
---
-----
--
---------
JOI
-tO
"'
3(11
4%
"'
yv
6%
"'
7[lf
'"
Htv
TABELA IV- FATOR DE ATUALIZA<;AO DE CAPITAL
1
1
--=
a,
(1 + i)"
-
l)%
10%
17 18,430443 20,012071 21,761588 23,697512 25,840366 28,212880 30,840217 33,750225 36,973704 40,544703 48.883674 65,075093 87,068036
18 ' 19.614747 21,412312 23,414435 ,_25,645413 28,132384 30,905~~~ 33,999035 37.450244 ________:
41.301338
_________ 45,599173 55,749715 __'S836_3_5_i' 103,74028
42,753280 55,717472 72,939014
37.2797!4 47,580411 60,965266
32,392602 40,504705 50,818022
28,029109 34,351917 42,218663
18,977126 20,140720 21,384284 24,133133 29,001667 34,931070
l l 11,566834 12,168715 12,807795 13.486351 14,206787 14,971642 15,783599 16,645487 17,560293 18,531167 20,654583 24,349276 28,755144
9
10 10.462212 10,949721 11,463879 12,006107 12,577892 13,180795 13,816448 14,486562 15,192930 15,937424 17,548735 20,303718 23,521308
9,214226
9,487171
9,441967
7.154210
5,215432
8,892336
9,200434
8,753738
6,742381
4,993375
8,582969
8,922803
8,654021
8,115189
6,352847
4.779328
8,285670
8,393837
7.715610
6.105100
4,641000
7
8,142008
7.523334
5,984710
4,573129
8
7,898294
7,335929
5.866601
4.506112
7,153291
5,750739
4,439943
7,662462
6,975318
5.637093
5,525631
6,801913
3,183600
4,374616
3,152500
4,310125
7,434283
6,632975
5,416322
4,246464
7,213535
6,468410
5,309136
4,183627
6,308121
3,472500
2.180000
6,152015
3.374400
2,150000
18%
1.000000
6
3,310000
2.120000
15%
1,000000
5,204040
3,278100
2,100000
2,090000
12%
1,000000
5,101005
3.246400
2,080000
10%
1,000000
9%
1,000000
5
3,214900
2,070000
8%
1,000000
4
3,121600
2,060000
7%
!.000000
3,060400
2,050000
6%
1,000000
4,121608
3,090900
5%
1,000000
3.030100
2,040000
2,030000
1,000000
4,060401
2,020000
3o(.,
1,000000
(1 + i)"- 1
l3 13,809328 14,680331 15,617790 16,626837 17,712983 18,882137 20.140643 21,495296 22,953384 24.522712
14 14,947421 15,973938 17,086324 18,291911 19.598632 21,012880 22,550488 24,214920 26,019189 27,974983
15 16,096895 17,293417 18,598914 20,023587 21,578563 23,275970 25,129022 27,152114 29,360916 31.772481
16 17,257864 18,639285 20,156881 21,824531 23,657492 25,672528 27,888053 30,324283 33.003398 35,949730
zN nz
>-l
5i
>'"r1
2%
1,000000
=
3
2,010000
2
I%
1,000000
1
.~
su---"~1
TABELA Ill - FATOR DE ACUMULA<;AO DE CAPITAL DE
UMA SERlE DE PAGAMENTOS IGUAIS
<
8
'0
3
n
~
0"
~
G"
0
S'
w
Q
6'
V>
0"'
"'
"''
liQ
:;
n
::>
0
'"
n
2:
'0
'"
'"c..
::!1
n
-g,
'"Vl
3'
~·
:!'!
'"
::>
'"::>
n
;;·
~­
3
Ill
~
:;::
'-D
N
~
1"1'1
Vl
0
0
N
t:;:;
:;tJ
'"r1
>'"r1
(1)
0
0
Vl
l'l
>-i
l'l
"d
>'Tl
Vl
IT1
l'l
0..
IJl
0
IJl
...,c
n
::J
0
n
IJl
0
::J
IJl
l'l
::J
(1)
"d
l'l
?
::J
(1)
0
8
8
0
;:;,
l'l
l'l
5:.
::J
(1)
n
0'
...,
[
<
cr'
(1)
5)
8
>-·
0
>-
zN nz
>-l
5i
>'"r1
H
15
I6
17
IH
19
20
21
22
23
H
25
26
27
28
29
30
31
32
33
3·1
35
36
37
3!:1
39
40
l3
5
6
7
8
9
IO
1I
12
·f
I
2
3
";;--..!.
"'
1(1/
0,990IO
0,98030
0,97059
0,9609!:1
0,95147
0,94205
0,93272
0.923·18
0,91434
0,90529
0,89632
0,88745
0,87866
0,86996
0,!:\6135
0,!:\5282
0,8443!:1
0,83602
0,82774
0,81954
0,8JH3
0,803•f0
0,79544
0,78757
0,77977
0 77205
0,76440
0,7668•1
0,74934
0,7-1192
0,73458
0,72730
0,72010
0,71297
0.70591
0 69892
0,69200
0,6!:1515
0,67837
0,67165
0,9!:1039
0,96117
0,9·1232
0,92385
0.90573
0.!:18797
O.H7056
0,85349
0,!:13676
0,82035
O,HO•I26
0,78849
0,77303
0,757H8
0,74301
0,72845
0,71416
0,70016
0,68643
0,67297
0,65978
0,64684
0.63416
0.62172
0.60953
0 59758
0,58586
0,57437
0,56311
0,55207
0,54125
0,53063
0,52023
0,51003
0,50003
0 ·19022
0,48061
0,47119
0;16195
0,45289
JOI
-tO
0.970fl7
0,94260
0,9151-f
0,8HH·19
0,86251
0,8374H
0 81309
0,789•fl
0,766-12
0,74409
0,722·12
0,70138
0,68095
0,66112
0,64I86
0,62317
0 60502
0,5!:1739
0,57029
0,55368
0,53755
0,521!:19
0,50669
0;19193
0,47761
0 46369
0,45019
0,4370!:1
0,4H35
0,41199
0,39999
0,3!:1834
0.37703
0,366lH
0,35538
0,3·1503
0.33•198
0 32523
0,3I575
0,30656
"'
3(11
0,96154
0,92456
0,8H900
O.H5480
O,H2193
0,79031
0 75992
0,73069
0,70259
0,67556
0,6-f95H
0,62460
0,60057
0.57748
0,55526
0,5339I
0 5I337
O:f9363
0,47464
0,45639
0,43883
0,'12196
0,40573
0,39012
0,37512
0.36069
0,34682
0,333•Hl
0.32065
0,30!:132
0,296-16
0,28506
0 27'109
0,26355
0,25342
0 2·1367
0,23430
0,22529
0,21662
0.20B29
4%
0,9523!:1
0,90703
O,H63H4
O,H2270
0.78353
0,74622
0,71068
0,676tH
0,64461
0,6I39I
0,5H-f68
0,55684
0,53032
0,50507
O;IHI02
0,4581I
0,43630
0:11552
0,39573
0,37689
0,35894
0,3•fl!:\5
0,32557
0.31007
0,29530
0 2812'1
0,267H5
0,25509
0,24295
0,23138
0,22036
0,209H7
0,19987
0,19035
O,IB129
0 17266
0,164H
0,15661
0.14915
O,H205
"'
yv
0,94.140
0,89000
0,!:13962
0.7'>209
0,74726
0,7(H96
0,66506
0,627-fi
0,59I90
0,55839
0.52679
0,49697
O;f6HH-f
0,+1230
O;fl727
0,39365
0,37136
0,3503·1
0,3305I
0,3II80
0,29416
0,27751
0,2(>180
0,2469H
0,23300
0,21981
0,20737
O,I9563
0, 1H456
O,I7·fi1
0.16-12'5
0,15·196
O,l•16I9
0,13791
0,13011
0 I22H
0,1I579
O,I09H
0,10306
0,09722
6%
"'
7[lf
0,93·f5H
O,H73•f4
O,H1630
0.76290
0,71299
0,6663·1
0 62275
0.58201
0,54393
0,50!:135
0;17509
O:H401
0.'11496
0,3!:1782
O,l6H5
0,33873
0 1I657
0,295!:16
0,27(151
0,25842
0,24I51
0,2257I
0,21095
0,19715
0,1!:1425
0 17220
0,16093
0,15lHO
O.J.f056
0,13I37
0,12277
0,11474
0,10723
0,10022
0,09366
0 OB75-f
0,08181
0,07646
0.07H6
0,06678
Htv
'"
0,92593
0,85734
0.793H3
0,73503
0,6H05H
0,63017
0,553·19
0,5·1027
0,50025
0;16319
0,42HH8
0,3971I
0,36770
0,3·1lH6
0,3I52·f
0,29189
0 27027
0,25025
0,23I71
0.2H55
O.I9!:\66
O,I83'H
0.17032
0,15770
0,14602
0 13520
0,12519
0.11591
0,10733
0,09935
0,09202
0,0!:1520
0,07889
0,07305
0,06763
0 06262
0,05799
0,05369
0.04971
0,04603
TABELA IV- FATOR DE ATUALIZA<;AO DE CAPITAL
1
1
--=
a,
(1 + i)"
l)%
0,9IH3
O,tHI6H
0,77218
0,708·13
0,64993
0,59627
0,5·1703
0.50IH7
0,46lH3
0,42H1
0,38753
0,35553
0,32618
0,29925
0,2H5·f
0,25187
0,23107
0,2II99
0,19449
0,17843
0, I6370
O.I501R
0,13771
0,12640
0.11597
0 10639
0,0976I
0,08955
0 08215
0,07537
0,06915
0,06344
0,05820
0,05339
0,0-1899
0 0449·1
0,04123
0,03783
0,03470
0 0318•f
10%
Ll.90909
O.H26-15
0.75I31
0,68301
0,62092
0,56447
0,51316
0,4665I
0,424IO
0,38554
0,35049
0,3I863
0.28966
0,26333
0,23939
0,21763
O,I97H·f
O,I79!:\6
0,16351
0,14864
0,13513
0,12285
0,1 I 168
0,10153
0,09230
0 08391
0,07628
0,0693-f
0,063lH
0,05731
0,05210
0,04736
0,04306
0,03914
0,03558
0,03235
0,0294I
0,02673
0,02430
0,02209
w
'-D
-1"-
0
X
:1:'
;;: