DOMINIO NATURALE DELLE FUNZIONI DEFINITE IN R

Se funzione è fratta  DENOMINATORE ≠ 0
 Se di primo grado guarda se puoi raccogliere a fattor comune il coefficiente numerico:
𝒚=
𝑦=
4𝑥+7
3(3𝑥+1)
𝟒𝒙 + 𝟕
𝟗𝒙 + 𝟑
 den ≠ 0  3x+1 = 0  𝑥 = −
1
3
1
𝐷 = {𝑥 ≠ − }
3

Se di grado superiore fattorizza la funzione e trova le x che annullano ciascuno dei fattori
𝟒𝒙
𝒚=( 𝟐
)
𝒙 + 𝟗𝒙 + 𝟐𝟎
4𝑥
𝑌 = (𝑥+4)(𝑥+5)  Denominatore ≠ 0  x ≠ -4, x ≠ -5
D : x ≠ -4 ꓥ x ≠ -5
ZERI DI UNA FUNZIONE
Corrispondono ai valori in cui un grafico interseca l’asse celle ascisse (x) cioé i valori di x (variabile
indipendente) del dominio che hanno per immagine “0”
Per trovare gli zeri di funzione f(x):

se lineare: metto 0 al posto della y e risolvo l’equazione
𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎
0 = 2𝑥 + 10
𝑥=−
10
2
 𝑥 = −5

se di grado superiore al primo  fattorizzo e risolvo ponendo ciascun termine = 0
𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟐𝟎
𝑦 = (𝑥 + 4)(𝑥 + 5)
0 = (𝑥 + 4)(𝑥 + 5)  𝑥 = −4 , 𝑥 = −5
𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙
Raccolgo x: 𝑦 = 𝑥(𝑥^2 − 4 ) 
fattorizzo 𝑦 = 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
0 = 𝒙(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
Ponendo ciascun fattore (NON dimenticare la x !!!) = 0  trovo gli zeri della funzione
x= 0 , x= +2, x= -2

Se la funzione è fratta:
 trova il dominio  denominatore ≠ 0
 trova gli zeri ponendo il numeratore = 0
 VERIFICA se gli zeri appartengono al dominio
𝒚=
o
o
o
𝒙−𝟏
𝒙(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟐)
D = x ≠ 0 , x ≠ -3 , x ≠ +2
Zeri: x= 1
x = 1 appartiene al dominio  OK
𝒚=
𝒙𝟐 − 𝟒
𝒙(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟐)
o
D = x ≠ 0 , x ≠ -3 , x ≠ +2
o
Zeri: x= 2 , x=-2 (numeratore scomposto in somma per differenza)
o
x = 2 NON appartiene al dominio  la funzione interseca l’asse delle ascisse SOLO in x = -2
DOMINIO E INSIEME DELLE IMMAGINI:
Immagine: valore di f(x) ottenuto applicando la funzione a un valore x appartenenti al dominio:
data la funzione 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 , l’immagine di 3 sarà
𝑓(𝟑) = 2 ∙ 𝟑 + 1 = 𝟕
parto dalle ascisse, “sparo”, incontro la curva e ”rimbalzo” sull’asse delle y
Insieme delle immagini: insieme di tutti i valori di x tali per cui f(x) appartiene
Controimmagine di f(x) è quel valore di x appartenente al dominio la cui immagine mi da f(x):
parto dal valore di f(x) (asse delle y) , “sparo” incontro la curva e “rimbalzo sull’asse delle x
data la funzione 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏, la controimmagine di 7 sarà:
6
2
𝟕 = 2𝒙 + 1 2𝒙 = 7 − 1 = 6  𝒙 = = 𝟑
Insieme delle immagini
DOMINIO  tutti i valori che posso prendere sull’asse delle
ascisse (x) che abbiano un’immagine su y
(attenzione ai valori alle estremità)
𝐷 = {−10 ≤ 𝑥 < 0 ꓥ 0 < 𝑥 ≤ 10}
INSIEME DELLE IMMAGINI  tutti i valori dell’asse delle ordinate
(y) che “sono in ombra” (prendi i valori delle y, non ti sbagliare
quando guardi gli estremi!!)
𝐼𝑚𝑚 = { −10 < 𝑦 < 10 }
dominio
𝐷=𝑅
Imm = y ≤ 1 (< perchè prendo i valori contro il verso dell’asse dell y)
𝐷=𝑅
Imm = y ≥ 0 (> perchè prendo i valori nel verso dell’asse delle y )
D = x ≥ 0 (> perchè prendo i valori nel verso dell’asse delle y )
Imm = y ≥ 0 (> perchè prendo i valori nel verso dell’asse delle y
FUNZIONI COMPOSTE:
𝑓: 𝑥  𝑥 + 2
[aggiungo 2 al valore “in ingresso”]
𝒈: 𝑥 𝑥 2 [elevo al quadrato il valore “in ingresso”]
“f composto g”:
𝒇𝑜𝒈 = 𝒇(𝑔(𝑥))  applico prima g [prendo x e lo elevo al quadrato]  𝒙𝟐  a questo applico f
[aggiungo 2]  𝒙𝟐 + 𝟐
x
g
f
X
X2+2
2
( )2
+2
𝒇 𝒐 𝒈 = 𝒙 → 𝒙𝟐 → 𝒙𝟐 + 𝟐
“ g composto f”
𝒈𝑜𝒇 = 𝒈(𝒇(𝒙) applico prima f [prendo x e aggiungo 2]  x+2  e successivamente applico g [elevo
al quadrato quello che è “uscito” da f]  (𝒙 + 𝟐)^𝟐
x
f
+2
g
X+2
(x+2)2
( )2
𝒈 𝒐 𝒇 = 𝒙 → 𝒙 + 𝟐 → (𝒙 + 𝟐)𝟐


In generale fog e gof originano funzioni diverse
Presta attenzione ai domini delle due funzioni perchè le singole funzioni possono avere domini
diversi:
Ad es non posso fare la radice quadrata di numeri negativi  il dominio della radice quadrata impone che
radicando (la parte sotto radice) sia positiva
Prese due funzioni:
𝒇(𝒙) = ξ𝒙 (estrai la radice di x)
D= x ≥ 0
𝒈(𝒙) = −𝒙 ( rendi il valore di x negativo) D = R
𝒇 𝒐 𝒈(𝒙) → 𝑥 → −𝑥 → ξ−𝒙 dominio di fog  -x > 0  x < 0
(il dominio comprenderà solo le x appartenenti al dominio di g le cui immagini (g(x)) appartengono al
dominio di f  dall’insieme dei numeri reali solo quelli positivi)
𝒈 𝒐 𝒇(𝒙) → 𝑥 → ξ𝒙 → −ξ𝒙 dominio di gof  x > 0
(il dominio comprenderà solo le x appartenenti al dominio di f le cui immagini (f(x)) appartengono al
dominio di g  solo i numeri positivi che sono già tutti compresi nell’insieme dei numeri reali)
Quindi a seconda della funzione composta che considero devo fare attenzione perchè possono esserci dei
valori di x validi in un caso e non nell’altro.
Una relazione è una funzione se a ogni elemento di A associa un solo elemento di B
Questa relazione è una funzione
perchè da tutti glielementi contenuti in A
parte una sola freccia
Questa relazione NON è una funzione
perchè da c dell’ insieme di partenza
partono due frecce
questa relazione è una funzione anche se su b e
b
c arrivano 2 frecce (hanno la stessa immagine)
perchè da tutti glielementi contenuti in A
parte una sola freccia
L’insieme degli elementi di A che hanno un’immagine in B è il DOMINIO
L’insieme delle immagini è l’insieme degli elementi di b che sono controimmagine di almeno un elemento
di A
PROPORZIONALITA’
Diretta  retta 
x
1
2
3
12
y
2
4
6
24
𝐾=
𝒚= 𝑲𝒙
𝐾
= 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 =
𝑦
𝑥
2 4 6 24
= = =
= ⋯.= 2  𝑦 = 2 ∙ 𝑥
1 2 3 12
Inversa  iperbole equilatera 𝒚 =
x
1
2
6
10
15
y
150
75
56
15
10
y
0
1
4
9
16
𝒙
 𝐾 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝐾 = 1 ∗ 150 = 2 ∙ 75 = 6 ∙ 56 = 10 ∙ 15 = ⋯ = 150  𝑦 =
Quadratica  parabola  𝑦
x
0
1
2
3
4
𝑲
= 𝑥2
150
𝑥