Portfolio Optimization
2023/6/20 Hazel Tien
1
The S&P500/市值加權指數
2
What is Risk?
Q：為何會有厚尾現象?
A：波動不對稱
3
Why Diversify?
目前考慮買進股票1與股票2：
假設兩支股票的平均數、標準差相同，且兩支股票股價獨立。
試證各買一半比投入單一股票表現較好。
Case 1 ：購買單一個股
𝜎1 = 𝜎2
Case 2 ：兩支股票各買一半
𝑣𝑎𝑟 𝑌 = 𝐸[(𝑌 − 𝜇𝑦 )]2
Given
Want
𝑋1 ~ℵ(𝜇, 𝜎 2 )
𝑋2 ~ℵ 𝜇, 𝜎 2
𝑋1 ⊥ 𝑋2
1
1
𝑌 = 2 𝑋1 + 2 𝑋2
𝑣𝑎𝑟
1
𝑋
2 1
1
+ 2 𝑋2
= 𝐸(𝑌 2 − 2𝑌𝜇𝑦 + 𝜇𝑦 2 )
= 𝐸(𝑌 2 ) − 2𝐸(𝑌)𝜇𝑦 + 𝜇𝑦 2
= 𝐸(𝑌 2 ) − 2𝜇𝑦 2 + 𝜇𝑦 2
= 𝐸(𝑌 2 ) - 𝜇𝑦 2
4
Why Diversify?
目前考慮買進股票1與股票2：
假設兩支股票的平均數、標準差相同，且兩支股票股價獨立。
試證各買一半比投入單一股票表現較好。
1
1
1
1
𝑣𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑋2 = 𝐸[ 𝑋1 + 𝑋2
2
2
2
2
2
] − 𝜇𝑦
2
1
= [𝐸(𝑋1 2 ) + 𝐸(𝑋2 2 )] − 2𝜇𝑦 2
4
1 2 1 2 2 1 2
= 𝐸( 𝑋1 + 𝑋1 𝑋2 + 𝑋2 ) − 𝜇𝑦 2
4
2
4
1
= 𝐸 𝑋1 2 −𝜇𝑦 2 +𝐸(𝑋2 2 − 𝜇𝑦 2 ]
4
1
1
1
2
2
2
= 𝐸(𝑋1 ) + 𝐸 𝑋1 𝐸(𝑋2 ) + 𝐸(𝑋2 2 ) − 𝜇𝑦 2
4
2
4
=
1 2
(𝜎 + 𝜎 2 )
4
1
1
1
= 𝐸(𝑋1 2 ) + 𝜇𝑦 2 + 𝐸(𝑋2 2 ) − 𝜇𝑦 2
4
2
4
=
1 2
𝜎
2
=
1
1
1
𝐸(𝑋1 2 ) + 𝐸(𝑋2 2 ) − 𝜇𝑦 2
4
4
2
𝑠𝑑 =
1
2
𝜎
5
Why Diversify?
目前考慮買進股票1與股票2：
假設兩支股票的平均數、標準差相同，且兩支股票股價獨立。
試證各買一半比投入單一股票表現較好。
Given：
~ℵ(𝜇, 𝜎 2 )
𝑣𝑎𝑟 𝑐𝑌 = 𝐸 𝑐 2 𝑌 2 − [𝐸 𝑐𝑌 ]2
𝑋1
𝑋2 ~ℵ 𝜇, 𝜎 2
𝑋1 ⊥ 𝑋2
1
1
𝑌 = 𝑋1 + 𝑋2
2
2
𝜎𝑌1𝑌2 = 𝐶𝑜𝑣 𝑌1 , 𝑌2
= 𝑐 2 𝐸 𝑌 2 − 𝑐 2 [𝐸 𝑌 ]2
= 𝐸 𝑌1 − 𝜇1 𝑌2 − 𝜇2
= 𝐸 𝑌1 𝑌2 − 𝐸 𝑌1 𝐸(𝑌2 )
= 𝑐 2 [𝐸 𝑌 2 − 𝐸 𝑌 2 ]
若 𝑋1 ⊥ 𝑋2 則 𝐶𝑜𝑣 𝑌1 , 𝑌2 = 0，
= 𝑐 2 𝑣𝑎𝑟(𝑌)
Want：
𝑣𝑎𝑟
1
𝑋
2 1
1
+ 2 𝑋2
反之不一定成立。
𝑣𝑎𝑟 𝑌1 + 𝑌2 = 𝐶𝑜𝑣(𝑌1 + 𝑌2 , 𝑌1 + 𝑌2 )
= 𝐶𝑜𝑣 𝑌1 + 𝑌1 + 𝐶𝑜𝑣 𝑌1 + 𝑌2 + 𝐶𝑜𝑣 𝑌2 + 𝑌1 + 𝐶𝑜𝑣(𝑌2 + 𝑌2 )
= 𝑣𝑎𝑟 𝑌1 + 𝑣𝑎𝑟(𝑌2 ) − 2𝐶𝑜𝑣 𝑌1 , 𝑌2
𝑣𝑎𝑟
1
𝑋
2 1
+
1
𝑋
2 2
= 𝑣𝑎𝑟
1
𝑋
2 1
+ 𝑣𝑎𝑟
1
𝑋
2 2
=
1 2
𝜎 ,
2
𝑠𝑑 =
1
2
𝜎
6
Describing a Portfolio
2項資產的報酬率公式
R 𝑝 = 𝑤𝑅1 + 1 − 𝑤 𝑅2
𝑤𝑖 = 投資權重
R 𝑖 = 資產𝑖報酬率
假設我們只做多、投入100%資金且股票1報酬率為20%、股票2報酬率為10%。
試求購買(1)股票１與(2)資金平均分配給２支股票的報酬率。
Case 2 ：
Given
Case 1 ：
Given
Want
R1 = 20%
R 2 = 10%
w = 50%
R1 = 1 ∗ 20% = 20%
R 𝑝 = R1 = 20%
Want
R 𝑝 = 50%＊20% + 50%＊10%＝15%
7
Describing a Portfolio
2項資產的期望報酬率變異數公式
𝐸(𝑅𝑝 ) = 𝜇𝑝
𝑣𝑎𝑟(𝑅𝑝 ) = 𝜎𝑝 2
證明
Case 期望報酬率：
𝐸(R 𝑝 ) = 𝐸 𝑤𝑅1 + 1 − 𝑤 𝑅2
= 𝑤𝐸(𝑅1 ) + 1 − 𝑤 𝐸(𝑅2 )
𝜇𝑝 = 𝑤𝜇1 + 1 − 𝑤 𝜇2
Case 變異數：
𝑣𝑎𝑟(R 𝑝 ) = 𝐸
𝑅𝑝 − 𝜇𝑝
2
= 𝐸 𝑤 𝑅1 + 1 − 𝑤 (𝑅2 − 𝑤𝜇1 − 1 − 𝑤 𝜇2 ]2
= 𝐸 𝑤 𝑅1 − 𝜇1 + 1 − 𝑤 (𝑅2 −𝜇2 ]2
= 𝐸 𝑤 2 𝑅1 − 𝜇1 2 ] + 𝐸[ 1 − 𝑤 2 (𝑅2 − 𝜇2 2 ]
+2𝐸[𝑤 𝑅1 − 𝜇1 1 − 𝑤 (𝑅2 −𝜇2 )]
= 𝑤 2 𝑣𝑎𝑟 𝑅1 + 1 − 𝑤 2 𝑣𝑎𝑟 𝑅2 + 2𝑤 1 − 𝑤 𝑐𝑜𝑣(𝑅1 , 𝑅2 )
8
Describing a Portfolio
3項資產的期望報酬率
𝜇𝑝 = 𝑤1 𝜇1 + 𝑤2 𝜇2 + (1 − 𝑤1 − 𝑤2 ) 𝜇3
n項資產
9
多角化的極限
大約100股