应用数学和力学，第 ３９ 卷 第 ４ 期
２０１８ 年 ４ 月 １ 日出版
Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ
Ｖｏｌ．３９，Ｎｏ．４，Ａｐｒ．１，２０１８
文章编号：１０００⁃ ０８８７（２０１８）０４⁃ ０３７１⁃ ２４
ⓒ 应用数学和力学编委会，ＩＳＳＮ １０００⁃ ０８８７
Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ ａ Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ
Ｃｏｎｔａｉｎｅｒ Ｗｉｔｈ Ｖｉｓｃｏｕｓ Ｆｌｕｉｄ： ａ Ｌａｔｔｉｃｅ
Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ⁃Ｉｍｍｅｒｓｅｄ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ａｐｐｒｏａｃｈ∗
ＨＡＢＴＥ Ｍｕｓｓｉｅ Ａ，
ＷＵ Ｃｈｕｉｊｉｅ
（ Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｆｏｒ Ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ Ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ
（ Ｄａｌｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ） ； Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ ａｎｄ Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，
Ｄａｌｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｄａｌｉａｎ， Ｌｉａｏｎｉｎｇ １１６０２４， Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ）
（ Ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅｄ ｂｙ ＷＵ Ｃｈｕｉｊｉｅ， Ｍ． ＡＭＭ Ｅｄｉｔｏｒｉａｌ Ｂｏａｒｄ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｗｅ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｔｈｅ ３Ｄ ｌａｔｔｉｃｅ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ ｍｅｔｈｏｄ （ ＬＢＭ） ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｍｍｅｒｓｅｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ
ｍｅｔｈｏｄ （ ＩＢＭ） ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｐｈｙｓｉｃｓ ｉｎｄｕｃｅｄ ｂｙ ａｎ ｅｌａｓｔｉｃ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｕｎｄｅｒｇｏｉｎｇ
ｈａｒｍｏｎｉｃ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ ｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇ ａ ｖｉｓｃｏｕｓ ｆｌｕｉｄ． Ｗｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａ ｓｅｍｉ⁃ｍｉｃｒｏｓｃｏｐｉｃ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ
ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｒａｇ ｆｏｒｃｅ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｆｏｒｃｅｓ ａｔ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｎｏｄｅｓ． Ａｎ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｄｅ⁃
ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｗａｓ ｕｓｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ｔｈｉｎ ｐｌａｔｅ ｅｌａｓｔｉｃ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｈｅ
ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ． Ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ① ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｐｒｏ⁃
ｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ａｇｒｅｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｃｈａｎｎｅｌ ｆｌｏｗ ｗｉｔｈ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｂｏｕｎｄａｒｙ．
Ｔｈｅ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｅｘｈｉｂｉｔｓ ｔｈｅ ｅｘｐｅｃｔｅｄ ｆｌｏｗ ｐａｔｔｅｒｎ ｉｎ ｌｉｎｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅｏｒｙ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： ｌａｔｔｉｃｅ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ ｍｅｔｈｏｄ； ｉｍｍｅｒｓｅｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｍｅｔｈｏｄ； ｈａｒｍｏｎｉｃ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ
ＣＬＣ ｎｕｍｂｅｒ：
Ｏ３５
Ｄｏｃｕｍｅｎｔ ｃｏｄｅ：
Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ
Ａ
ＤＯＩ： １０．２１６５６ ／ １０００⁃ ０８８７．３９００４０
Ｔｈｅｒｅ ｈａｓ ｂｅｅｎ ａ ｆｏｃｕｓ ｏｎ ｆｌｏｗ ｐｈｙｓｉｃｓ ｗｉｔｈｉｎ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｕｎｄｅｒｇｏｉｎｇ ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ ｏｒ ｏｓ⁃
ｃｉｌｌａｔｏｒｙ ｍｏｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｒｅｃｅｎｔ ｓｔｕｄｉｅｓ ｉｎｃｌｕｄｅ ｆｌｏｗｓ ｉｎ ａｎ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｄｅｆｏｒｍａｂｌｅ ｃｏｎ⁃
ｔａｉｎｅｒ ［１］ ， ｌｉｑｕｉｄ ｓｌｏｓｈｉｎｇ ｄａｍｐｉｎｇ ｉｎ ａｎ ｅｌａｓｔｉｃ ｖｅｓｓｅｌ ［２］ ， ｆｌｏｗｓ ｉｎ ａ ｖｉｂｒａｔｉｎｇ ｃｙｌｉｎｄｅｒ ［３⁃４］ ，
ａｎｄ ｐａｒｔｉｃｌｅ⁃ｌａｄｅｎ ｆｌｏｗｓ ｉｎ ａｎ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｃｕｂｏｉｄ ［５］ ． Ｍｏｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｕｄｉｅｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｆｌｏｗｓ ｉｎ ａ
ｃｉｒｃｕｌａｒ ｃｒｏｓｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ． Ｕｎｄｅｒ ｔｈｅｓｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ， ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｉｓ ｓｅｔ ｔｏ
ｖｉｂｒａｔｅ ｗｉｔｈ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｒ ｒｏｔａｔｅ ａｒｏｕｎｄ ｔｈｅ ａｘｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｒｙ． Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｔｈｅｒｅ ｈａｓ
ｂｅｅｎ ａ ｌｏｎｇ⁃ｓｔａｎｄｉｎｇ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｉｎ ｆｌｏｗ ｔｈｒｏｕｇｈ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｄｕｃｔｓ， ａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ
ｏｆ ｆｌｏｗｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ｅｌａｓｔｉｃａｌｌｙ ｄｅｆｏｒｍｉｎｇ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｗａｌｌｓ， ａｎ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ ｉｓ ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｏｎ ｔｈｅ
∗
Ｒｅｃｅｉｖｅｄ
２０１８⁃ ０１⁃ ２４； Ｒｅｖｉｓｅｄ
２０１８⁃ ０３⁃ １７
Ｐｒｏｊｅｃｔ ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ （１１３７２０６８） ａｎｄ ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎ⁃
ａｌ Ｂａｓｉｃ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｐｒｏｇｒａｍ ｏｆ Ｃｈｉｎａ（９７３ Ｐｒｏｇｒａｍ） （２０１４ＣＢ７４４１０４）
Ｆｉｒｓｔ ａｕｔｈｏｒ， ＨＡＢＴＥ Ｍｕｓｓｉｅ Ａ， Ｄｏｃｔｏｒａｌ Ｓｔｕｄｅｎｔ， Ｅ⁃ｍａｉｌ： ａｆｅｗｏｒｋｉｍｕｓｓｉｅ＠ ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ
Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｕｔｈｏｒ， ＷＵ Ｃｈｕｉｊｉｅ， Ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ， Ｅ⁃ｍａｉｌ： ｃｊｗｕｄｕｔ＠ ｄｌｕｔ．ｅｄｕ．ｃｎ
①
Ａｌｌ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｎ ｆｉｇｕｒｅ ａｘｅｓ， ｉｎ ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ， ａｒｅ ｄｉｓｐｌａｙｅｄ ｉｎ ｌａｔｔｉｃｅ ｕｎｉｔｓ．
３７１
３７２
ＨＡＢＴＥ Ｍｕｓｓｉｅ Ａ
ＷＵ Ｃｈｕｉｊｉｅ
ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄａｒｙ ｆｌｏｗｓ．
Ｄｒａｇ ｅｆｆｅｃｔ ｗｉｔｈｉｎ ａ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｌａｙｅｒ ｃａｕｓｅｓ ａ ｓｅｃｏｎｄａｒｙ ｆｌｏｗ ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ ｔｏ ｔｈｅ ａｘｉａｌ
ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｆｌｏｗ． Ａ ｓｔｒａｉｇｈｔ ｄｕｃｔ ｗｉｔｈ ａ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｃｒｏｓｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｌｙ ｅｘｈｉｂｉｔｓ
ｓｅｃｏｎｄａｒｙ ｆｌｏｗ． Ｆｌｏｗ ｍｏｖｅｓ ｔｏｗａｒｄｓ ａｎｄ ａｗａｙ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｃｏｒｎｅｒｓ ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｗａｌｌ ａｎｄ ｔｈｅ ａｎ⁃
ｇｌｅ ｂｉｓｅｃｔｏｒ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ， ａｓ ａ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ ｋｎｏｗｎ ａｓ “ ｓｅｃｏｎｄａｒｙ ｆｌｏｗ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ
ｋｉｎｄ” ［６］ ． Ａｘｉａｌ ｍｅａｎ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｃｏｎｔｏｕｒｓ ｐｒｏｔｒｕｄｅ ｎｅａｒ ｔｈｅ ｃｏｒｎｅｒｓ ｔｏ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ
ｏｆ ｓｅｃｏｎｄａｒｙ ｆｌｏｗｓ． Ａ ｓｅｃｏｎｄａｒｙ ｆｌｏｗ ｏｆ ｔｈｅ “ ｔｈｉｒｄ ｋｉｎｄ” ， ａｌｓｏ ｋｎｏｗｎ ａｓ “ ｓｔｒｅａｍｉｎｇ” ｏｒ
“ ａｃｏｕｓｔｉｃ ｓｔｒｅａｍｉｎｇ ” ， ａｎｄ ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｉｎ ａ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｆｌｕｉｄ ａｓ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｌａｙｅｒ ａｔ ｔｈｅ
ｂｏｄｙ， ｉｎｄｕｃｅｓ ａ ｒｅｃｉｐｒｏｃａｔｉｎｇ ａｎｄ ｓｍａｌｌ⁃ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ． Ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ
ｂｏｕｎｄａｒｙ ｌａｙｅｒ ａｄｊａｃｅｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｂｏｄｙ ｃａｕｓｅｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｓｔｅａｄｙ ｓｅｃｏｎｄａｒｙ ｆｌｏｗ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ
ｉｍｐａｒｔｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｅｎｔｉｒｅ ｆｌｕｉｄ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ｔｈｅ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｂｏｄｙ ｄｅｓｐｉｔｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｎａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｓｃｉｌ⁃
ｌａｔｉｏｎ ［７］ ． Ｔｈｅ ｉｎｄｕｃｅｄ ｓｅｃｏｎｄａｒｙ ｆｌｏｗ ｍｏｖｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ． Ｆｏｒ
ａ ｆｌｕｉｄ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｍｏｖｅ ｗｉｔｈ ａ ｖｅｌｏｃｉｔｙ， ａ ｓｅｃｏｎｄａｒｙ ｆｌｏｗ ｉｓ ｆｏｒｍｅｄ ａｔ ａ
ｃｏｎｓｉｄｅｒａｂｌｅ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｆａｒ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｗｉｔｈ ａ ｍａｇｎｉｔｕｄｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ．
Ｒｅｃｅｎｔｌｙ， Ｈａｂｔｅ ｅｔ ａｌ． ［５］ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ＬＢＭ ａｎｄ ＩＢＭ ｔｏ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｗａｌｌ
ｍｏｔｉｏｎ ｏｎ ａ ｐａｒｔｉｃｌｅ⁃ｌａｄｅｎ ｆｌｏｗ ｗｉｔｈｉｎ ａ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｍａｄｅ ｕｐ ｏｆ ６ ｒｉｇｉｄ ｌａｍｉｎａｅ
ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｗｉｔｈｏｕｔ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｉｎｅｒｔｉａ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｎ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｗｅｒｅ ｎｅｇｌｉｇｉｂｌｅ，
ａｎｄ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｍｏｔｉｏｎ ｗａｓ ｍａｉｎｌｙ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ｐｒｅ⁃ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖｅｌｏｃｉｔｙ． Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ，
Ｂｕｘｔｏｎ ｅｔ ａｌ． ［８］ ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｔｈｅ ＬＢＭ ａｎｄ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｐｒｉｎｇ ｍｏｄｅｌ （ ＬＳＭ） ｔｏ ｃａｐｔｕｒｅ ｔｈｅ ｄｙ⁃
ｎａｍｉｃ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｂｅｔｗｅｅｎ ａｎ ｅｌａｓｔｉｃ ｓｈｅｌｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ａｎ ｅｎｃｌｏｓｅｄ ｖｉｓ⁃
ｃｏｕｓ ｆｌｕｉｄ． Ｔｈｅ ｆｏｃｕｓ ｗａｓ ｏｎ ａ Ｎｅｗｔｏｎｉａｎ ｆｌｕｉｄ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｎｏ⁃ｓｌｉｐ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｉｎ⁃
ｄｕｃｅｄ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ． Ｗｕ ｅｔ ａｌ． ［９］ ｃｏｎｄｕｃｔｅｄ ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃｌａｍｐｅｄ ｍｉｃｒｏ⁃
ｐｌａｔｅ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｆｌｕｉｄｓ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｖｉｓｃｏｓｉｔｉｅｓ． Ｔｈｅｉｒ ｒｅｓｕｌｔｓ
ｒｅｖｅａｌ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｌａｍｐｅｄ⁃ｅｄｇｅ ｍｉｃｒｏｐｌａｔｅ ｉｓ ｌｅｓｓ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｈｉｇｈｌｙ
ｖｉｓｃｏｕｓ ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｏｔｈｅｒ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅｙ ｏｂ⁃
ｔａｉｎｅｄ ａｎ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｌｏａｄｉｎｇ ｉｍｐｅｄａｎｃｅ ｕｓｉｎｇ ａ ｄｏｕｂｌｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ
ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ａｐｐｒｏａｃｈ． Ｃｏｍｐｌｅｘ ｅｎｃｌｏｓｅｄ ｆｌｏｗ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ， ｈｏｗｅｖｅｒ， ｌａｃｋ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕ⁃
ｔｉｏｎｓ， ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ， ｒｅｑｕｉｒｅ ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｒ ａｎ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ．
Ｋｏｚｌｏｖ ｅｔ ａｌ． ［１］ ｒｅｃｅｎｔｌｙ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ａ ２Ｄ ｓｔｅａｄｙ ｆｌｏｗ ｉｎ ａｎ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｃｏｎ⁃
ｄｕｃｔｅｄ ｗｉｔｈ ａ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｃｙｌｉｎｄｅｒ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ａ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｆｌｕｉｄ ｕｎｄｅｒ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ． Ｔｈｅｒｅｉｎ， ｔｈｅ
ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎｄ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｏｆ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｗａｓ ｓｔｕｄｉｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈｅ
ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ２Ｄ ｖｏｒｔｉｃｅｓ ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ａｘｉａｌ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｉｎｃｌｕｄｅｓ ａ ｒａｎｇｅ ｏｆ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ
ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ｗｉｔｈ ２ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｇｏｖｅｒｎｉｎｇ ｔｈｅ ｆｌｏｗ， ｎａｍｅｌｙ， ｔｈｅ ｐｕｌｓａｔｉｏｎ
Ｒｅｙｎｏｌｄｓ ｎｕｍｂｅｒ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ． Ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｇｏｖｅｒｎｓ ｔｈｅ ｅ⁃
ｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｖｏｒｔｉｃｉｔｙ ｆｉｅｌｄ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｌｏｗ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎｄ ｌａｒｇｅ⁃ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｏｓ⁃
ｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒｓ ｉｎ ｖｉｓｃｏｕｓ ｆｌｕｉｄｓ ［１０］ ．
Ｔｈｅｒｅ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ａｔｔｅｍｐｔｓ ｔｏ ｃｏｎｄｕｃｔ ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｌｏｗ ｗｉｔｈｉｎ ａｎ ｅｌａｓｔｉｃ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ＬＢＭ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｗａｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ｇｉｖｅｎ ｐｒｅｓｓｕｒｅ⁃
ｒａｄｉｕｓ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ［１１⁃１２］ ． Ａ ｒｅｃｅｎｔ ｓｔｕｄｙ ［１３］ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｈｅ ＬＢＭ ｉｎ ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｆｌｏｗ ｔｈｒｏｕｇｈ
Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ Ｃｏｎｔａｉｎｅｒ Ｗｉｔｈ
Ｖｉｓｃｏｕｓ Ｆｌｕｉｄ： ａ Ｌａｔｔｉｃｅ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ⁃Ｉｍｍｅｒｓｅｄ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ａｐｐｒｏａｃｈ
３７３
ａｘｉａｌｌｙ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ｅｌａｓｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｕｓｉｎｇ ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ＬＢＭ ｉｓ ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ
ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ｗｈｉｃｈ ｐｒｏｐａｇａｔｅ ａｎｄ ｃｏｌｌｉｄｅ ａｍｏｎｇ
ｎｅｉｇｈｂｏｒｉｎｇ ｆｌｕｉｄ ｎｏｄｅｓ ｔｏ ｐｒｏｄｕｃｅ ｌｏｃａｌｌｙ ａｖｅｒａｇｅｄ ｓｙｓｔｅｍ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｔｈａｔ ｏｂｅｙ ｔｈｅ Ｎａｖｉｅｒ⁃
Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ＬＢＭ ｉｓ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ ｕｓｅｆｕｌ ｉｎ ｓｉｍｕｌａｔｉｎｇ ｆｌｕｉｄ ｆｌｏｗｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｃｏｍｐｌｉ⁃
ｃａｔｅｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｇｅｏｍｅｔｒｉｅｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｔ ｂｅｃｏｍｅｓ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ａｃｈｉｅｖｅ ａｃｃｕｒａｔｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌ
ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｎｃｌｕｄｅｄ， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｗｈｅｎ ｇｅｏｍｅｔｒｉｅｓ ａｒｅ ｎｏｎ⁃ａｘｉｓ ａｌｉｇｎｅｄ．
Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ， ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｒｅｑｕｉｒｅ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ． Ｔｈｅｒｅ⁃
ｆｏｒｅ， ｔｈｅ ＩＢＭ ａｄｏｐｔｓ ｔｈｅ ＬＢＭ ｔｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｆｌｕｉｄ ｍｅｓｈ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅ⁃
ｏｍｅｔｒｉｃａｌ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ａｎｄ ｔｏ ｅｎｆｏｒｃｅ ｔｈｅ ｎｏ⁃ｓｌｉｐ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｒｅｃｅｎｔ ｓｔｕｄ⁃
ｙ ［１４］ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｔｈｅ ２ ｌａｔｔｉｃｅ⁃ｂａｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ ａ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ａ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ． Ｈｏｗ⁃
ｅｖｅｒ， ａ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｆｏｒｍ ｏｆ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ＩＢＭ ａｎｄ ｔｈｅ ＬＢＭ ｉｓ ｓｔｉｌｌ ｍｉｓｓｉｎｇ ｔｏ ｓｏｌｖｅ
ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ （ ＦＳＩ） ｏｆ ａ ｖｉｓｃｏｕｓ ｆｌｕｉｄ ｗｉｔｈｉｎ ａｎ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｂｏｕｎｄａｒｙ．
Ｗｅ ａｉｍ ｔｏ ａｄｄｒｅｓｓ ｔｈｅ ＦＳＩ ｅｆｆｅｃｔｓ ｗｉｔｈ ａ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｙｅｔ ａｄｖａｎｃｅｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｉｎｇ
ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｂｙ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｄｙｎａｍｉｃｓ． Ｓｅｃｔｉｏｎ １ ｉｎｔｒｏ⁃
ｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｅｌａｓ⁃
ｔｉｃｉｔｙ ｆｏｒ ｔｈｉｎ ｐｌａｔｅｓ． Ｉｎ ｓｅｃｔｉｏｎ ２， ｗｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉ⁃
ｔｉｏｎ ｓｏｌｖｅｒｓ． Ｓｅｃｔｉｏｎ ３ ｃｏｎｔａｉｎｓ ａ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｓｅｔｕｐ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ
ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ． Ｓｅｃｔｉｏｎ ４ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｔｈｅ ｏｕｔｃｏｍｅｓ． Ｓｅｃｔｉｏｎ ５
ｃｏｎｃｌｕｓｉｖｅｌｙ ｓｕｍｍａｒｉｚｅｓ ｔｈｅ ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｎｄｉｎｇｓ．
１
Ｐｒｏｂｌｅｍ Ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ
Ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｄｕｃｔ ｗｉｔｈ ａ ｓｑｕａｒｅ ｃｒｏｓｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｈｏｓｅ ｗａｌｌｓ ａｒｅ ｍａｄｅ ｕｐ
ｏｆ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｅｌａｓｔｉｃ ｌａｍｉｎａｅ ｅｎｃｏｍｐａｓｓｉｎｇ ａ ｑｕｉｅｓｃｅｎｔ ｖｉｓｃｏｕｓ ｆｌｕｉｄ． Ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｆｌｏｗ ｉｎ⁃
ｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｄｅｆｏｒｍｉｎｇ ｌａｍｉｎａｅ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ａｎ ｅｌａｓｔｉｃ ｎｅｔｗｏｒｋ ｉｍｍｅｒｓｅｄ ｉｎ ａ ｖｉｓｃｏｕｓ ｆｌｕｉｄ．
Ｉｎ ｔｈｅ ２Ｄ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ， ｔｈｅ ｌａｍｉｎａ ｉｓ ｍｏｄｅｌｅｄ ａｓ ａ ｔｈｉｎ ｐｌａｔｅ ｗｉｔｈ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｌｅｎｇｔｈ Ｌ ａｎｄ
ｗｉｄｔｈ Ｗ． Ｔｈｅ ｌａｍｉｎａ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ ａ ｍｏｖｉｎｇ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｎｃｏｍｐａｓｓｅｄ ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ
Ｎｅｗｔｏｎｉａｎ ｆｌｕｉｄ． Ｔｈｅ ｂｏｄｙ ｆｏｒｃｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｌａｍｉｎａ ａｒｅ ａｄｄｅｄ ｔｏ ｔｈｅ Ｎａｖｉｅｒ⁃Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ｇｏｖｅｒｎｉｎｇ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｆｉｅｌｄ ｕ． Ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｒｅｑｕｉｒｅｓ ２ ｄｉｓｔｉｎｃｔ ｆｏｒｃｅ ｂａｌａｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ｆｏｒ ｔｈｅ ２ ｐｈａｓｅｓ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｓｏｌｉｄ ｐｈａｓｅ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅ ｌａｗｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ
ａｐｐｌｙ ａ ｓｔｅａｄｙ⁃ｓｔａｔｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｗａｌｌ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｈｅｎｃｅ， ｗｅ
ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ａｎ ｉｓｏｔｒｏｐｉｃ， ｕｎｄａｍｐｅｄ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ
ｔｈｉｎ ｌａｍｉｎａ ｔｈａｔ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ ａ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｗａｌｌ ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ ｔｏ ａ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｐｏｉｎｔ ｌｏａｄ．
１．１
Ｆｏｒｃｅｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ａ Ｃｌａｍｐｅｄ Ｌａｍｉｎａ
Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃａｌｌｙ ｄｅｆｏｒｍｉｎｇ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｒｅｑｕｉｒｅｓ ａｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｅｎｅｒｇｙ ｓｕｐｐｌｙ
ｏｎ ｉｔｓ ｂｏｕｎｄａｒｙ． Ａｎ ｅｘｔｅｒｎａｌｌｙ ａｐｐｌｉｅｄ ｓｉｎｕｓｏｉｄａｌ ｆｏｒｃｅ ｏｓｃｉｌｌａｔｅｓ ａ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｃｕｂｏｉｄ ｗｉｔｈ
ｓｉｄｅｓ ｍａｄｅ ｕｐ ｏｆ ｃｌａｍｐｅｄ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｐｌａｔｅｓ． Ａ ｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃ ａｃｔｕａｔｏｒ ｓｕｐｐｌｉｅｓ ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓａ⁃
ｒｙ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ ｔｏ ｃａｕｓｅ ａ ｓｍａｌｌ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｏｂｅｙｓ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙ ［１５⁃１６］ ．
Ｔｈｅ ｅｘｐｅｃｔｅｄ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｅｘｈｉｂｉｔｓ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｏｒｃｅｄ ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ ｔｈｉｎ
ｐｌａｔｅ ［１７⁃１８］ ， ｅｑ． （ １） ． Ｆｏｒ ａ ｔｈｉｎ ｅｌａｓｔｉｃ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｐｌａｔｅ， ｔｈｅ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ
３７４
ＨＡＢＴＥ Ｍｕｓｓｉｅ Ａ
ＷＵ Ｃｈｕｉｊｉｅ
ｆｏｒｃｅｄ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ａｎ ｉｓｏｔｒｏｐｉｃ ｕｎｄａｍｐｅｄ ｐｌａｔｅ， ｉｒｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ ｉｎｅｒｔｉａ ａｎｄ
ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｓｈｅａｒ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｅｆｆｅｃｔｓ， ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎ：
Ｄ Ñ４ ζ ＋ ρ ｓ ｈ
∂２ ζ
＝ Ｆ（ ｘ，ｙ，ｔ） ，
∂ｔ ２
（１）
ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｆｏｒｃｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｆ（ ｘ，ｙ，ｔ） ｍａｙ ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｅ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｏａｄｉｎｇ ａｐｐｌｉｅｄ
ｏｎ ｔｈｅ ｐｌａｔｅ， ｗｈｉｃｈ ｉｎｃｌｕｄｅｓ ｔｈｅ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ ｆｏｒｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇ ｆｌｕｉｄ ｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃ
ｆｏｒｃｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｆ ｅｘｔ（ ｘ，ｙ，ｔ） ＝ Ｆ ｏ（ ｘ，ｙ） ｅ ｉωｔ ａｎｄ Ｆ Ｄ ＝ Ｃ ｄ（ ｕ ｆ － ｕ ｗ ） ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｆ ｏ（ ｘ，ｙ，ｔ） ｉｓ ｔｈｅ
ｄｙｎａｍｉｃ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ ｒｅｆｅｒｒｉｎｇ ｔｏ ａ ｕｎｉｔ ｓｕｒｆａｃｅ ａｒｅａ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｍｉｎａ， Ｃ ｄ
ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｈｅ ｄｒａｇ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｆｏｒｃｅ ａｔ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ⁃ｌａｍｉｎａ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｗｉｔｈ
ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｕ ｗ ， ａｎｄ ｕ ｆ ｒｅｆｅｒｓ ｔｏ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｔ ｔｈｅ ｌａｍｉｎａ ｌｏｃａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｌａｍｉｎａ
ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ， ｉｔｓ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｉｎ ｂｅｎｄｉｎｇ， ｔｈｅ Ｐｏｉｓｓｏｎ’ ｓ ｒａｔｉｏ， ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｄｕｌｕｓ ｏｆ ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ
ａｒｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｂｙ ζ， Ｄ ＝ Ｅｈ ３ ／ （１２（１ － ν ２ ） ） ， ν， ａｎｄ Ｅ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅｄ ｅｘ⁃
ｔｅｒｎａｌ ｌｏａｄ ａｔ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｐｏｉｎｔ （ ｘ′，ｙ′） ｉｓ ｐｉｎｎｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｌａｍｉｎａ ｔｈｒｏｕｇｈ ｄｅｌｔａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ δ（·） ．
Ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ⁃ｌａｍｉｎａ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ， ｔｈｅ ａｇｇｒｅｇａｔｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ ｉｓ ｅｑｕａｌ ｔｏ
１．２
Ｆ（ ｘ，ｙ，ｔ） ＝ Ｆ ｅｘｔ（ ｘ，ｙ，ｔ） δ（ ｘ － ｘ′） δ（ ｙ － ｙ′） ＋ Ｆ Ｄ ．
Ｔｈｅ Ｆｌｕｉｄ⁃Ｌａｍｉｎａ Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ Ｍｏｄｅｌ
（２）
Ｓｕｐｐｏｓｅ ａ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｐｏｉｎｔ ｆｏｒｃｅ Ｆ ｅｘｔ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ａｔ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ω ａｎｄ ａｃｔｓ ａｔ ｐｏｉｎｔ
（ ｘ′，ｙ′） ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｚ⁃ ａｘｉｓ． Ｅｘｐｒｅｓｓｉｎｇ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｍｉｎａ ａｓ ａ
ｈａｒｍｏｎｉｃ ｍｏｔｉｏｎ ζ（ ｘ，ｙ，ｔ） ＝ Ｐ（ ｘ，ｙ） ｅ ｉωｔ ， ａｎｄ ｃｏｎｄｕｃｔｉｎｇ ｔｈｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｏｆ ｅｑ． （１） ，
ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｇｏｖｅｒｎｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎ．
é
æ ρ ｆ Ｌ ö Ｆ Ｄ（ ｘ，ｙ，ω） ùú
－
＝ Ｆ ｏ（ ｘ，ｙ） ，
Ｄ Ñ４ Ｐ（ ｘ，ｙ） ＋ ｍ
ω ２ êê Ｐ（ ｘ，ｙ） ＋ ç
（３）
÷
ρ ｆ ω ２ Ｌ úû
èρｓｈø
ë
－
＝ ρ ｓ ｈ ａｎｄ ｈ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ａｒｅａ ｍａｓｓ ｄｅｎｓｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｌａｍｉｎａ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．
ｗｈｅｒｅ ｍ
Ｔｅｒｍ ρ ｆ Ｌ ／ （ ρ ｓ ｈ） ｉｓ ｔｈｅ ｎｏｎ⁃ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｆｌｕｉｄ ｔｏ ｌａｍｉｎａ ｍａｓｓ ｒａｔｉｏ ｔｈａｔ ｄｅｓｃｒｉｂｅｓ ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｔ
ｏｆ ｆｌｕｉｄ ｌｏａｄｉｎｇ．
Ｏｎ ｔｈｅ ｂａｌａｎｃｅ ｏｆ ｌａｍｉｎａ ｆｏｒｃｅ ｄｅｎｓｉｔｙ， ｔｈｅ ｄｒａｇ ｆｏｒｃｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｏｎ ｔｈｅ ｎｅｔｗｏｒｋ ｏｆ ｌａｍｉ⁃
ｎａ ｎｏｄｅｓ ｉｓ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌｌｙ ａｐｐｌｉｅｄ ａｎｄ ｎｅｔｗｏｒｋ ｅｌａｓｔｉｃ ｆｏｒｃｅｓ（ ｅｑ．（４） ） ．
Ｆ ｅｘｔ ＋ Ñ·σ ｅ ＋ Ｃ ｄ（ ｕ ｆ － ｕ ｗ ） ＝ ０，
（４）
ｗｈｅｒｅ σ ｅ ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ ｅｌａｓｔｉｃ ｓｔｒｅｓｓ ｔｅｎｓｏｒ． Ａｎ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅ ｌａｗ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｅｌａｓｔｉｃ
ｓｔｒｅｓｓ ｔｅｎｓｏｒ． Ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｅｘｃｈａｎｇｅｓ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｓｏｌｉｄ ｎｏｄｅｓ
ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｌｉｎｋ ｂｏｕｎｃｅ⁃ｂａｃｋ ［１９］ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｔｅ ａ ｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｌｏａｄｉｎｇ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｆｏｒ ａ ｌｏｗ
ｆｌｕｉｄ ｔｏ ｌａｍｉｎａ ｍａｓｓ ｒａｔｉｏ， ｔｈｅ ｌａｍｉｎａ ｒｅｍａｉｎｓ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｕｎｌｅｓｓ ｅｘｔｅｒｎａｌｌｙ ｅｘｃｉｔｅｄ， ｗｈｉｃｈ
ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ａ ｏｎｅ⁃ｗａｙ ｆｌｕｉｄ⁃ｗａｌｌ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｔａｋｅｓ ｐｌａｃｅ ａｓ
（ Ｆ ｅｘｔ ＋ Ñ·σ ｅ ） ／ （ Ｃ ｄ（ ｕ ｆ － ｕ ｗ ） ） ≫ １．
Ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ Ｇａｌｅｒｋｉｎ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｅｑ．（ ３） ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｍｏｄｅｌ
ｆｏｒ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｐｌａｔｅｓ ｇｉｖｅｓ ａ ｓｔｅａｄｙ⁃ｓｔａｔｅ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｌａｍｉｎａ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ：
ζ ｏ（ ｘ，ｙ） ＝
∞
∞
Ｆ ｏ ϑ ｍｎ（ ｘ，ｙ） ϑ ｍｎ（ ｘ′，ｙ′）
∑
∑
Ｄ（ Ｉ Ｉ
＝
＝
ｍ
１ ｎ
１
１ ２
－
＋ ２Ｉ ３ Ｉ ４ ＋ Ｉ ５ Ｉ ６ ） － ｍ
ω ２ Ｉ２ Ｉ６
，
ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｃｏｍｐｏｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ
（５）
Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ Ｃｏｎｔａｉｎｅｒ Ｗｉｔｈ
Ｖｉｓｃｏｕｓ Ｆｌｕｉｄ： ａ Ｌａｔｔｉｃｅ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ⁃Ｉｍｍｅｒｓｅｄ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ａｐｐｒｏａｃｈ
３７５
ϑ ｍｎ（ ｘ，ｙ） ＝ Ｘ ｍ（ ｘ） Ｙ ｎ（ ｙ） ．
Ｓｅｅ ａｐｐｅｎｄｉｘ Ａ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｄｅｔａｉｌｓ．
１．３
Ｔｈｅ Ｌａｔｔｉｃｅ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ Ｍｏｄｅｌ
Ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ ｍｏｄｅｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｆｌｕｉｄ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｔｈａｔ ｐｒｏｐａｇａｔｅ ｔｏ
ｎｅｉｇｈｂｏｒｉｎｇ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｉｔｅｓ ａｎｄ ｃｏｌｌｉｄｅ ａｔ ｔｈｅ ｓｉｔｅ． Ｔｈｅ ｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ ｉｓ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｂｙ ａ ２ｎｄ⁃
ｏｒｄｅｒ ａｃｃｕｒａｔｅ ｓｐａｔｉｏ⁃ｔｅｍｐｏｒａｌ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｄｅｎｓｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ｆ α（ ｒ，ｔ） ，
ａｔ ｔｉｍｅ ｔ ａｎｄ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｒ．
ｆ α （ ｒ ＋ ξ α Δｔ，ｔ ＋ Δｔ） ＝ ｆ α （ ｒ，ｔ） ＋ Δα （ ｆ α （ ｒ，ｔ） ） ＋ Ｆ ｂ ，
（６）
ｗｈｅｒｅ ξ α ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ． Ｔｈｅ ｅｘｔｒａ ｔｅｒｍ， Ｆ ｂ （ ｓｅｅ ａｐｐｅｎｄｉｘ Ｂ） ， ｏｎ ｔｈｅ ＲＨＳ
ｏｆ ｅｑ．（６） ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ ａ ｌａｍｉｎａ ｉｎ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｆｉｅｌｄ． Δｔ ｓｔａｎｄｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｉｎｃｒｅｍｅｎｔ， ａｎｄ Δα ｉｓ
ｔｈｅ ｐｏｓｔ⁃ｃｏｌｌｉｓｉｏｎ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｆ α （ ｒ，ｔ） ． Ｔｈｉｓ ｃｏｌｌｉｓｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ， Δα ， ｉｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ｌｉｎ⁃
ｅａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｆ αｅｑ（ ｒ，ｔ） ： ［２０］
Δα （ ｆ α ） ＝ Δα （ ｆ αｅｑ ） ＋
∑ ℓ αｊ ｆ ｊｎｅｑ ，
ｊ
（７）
ｗｈｅｒｅ ℓ αｊ ａｒｅ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｌｌｉｓｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｎｄ ｆ ｊｎｅｑ ＝ ｆ ｊ － ｆ ｊｅｑ ｉｓ ｔｈｅ ｎｏｎ⁃ｅｑｕｉ⁃
ｌｉｂｒｉｕｍ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｓ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｌｏｃａｌｌｙ ｄｕｒｉｎｇ ｃｏｌｌｉｓｉｏｎ，
＝ ｆ α （ ｒ，ｔ） ＋ Δα （ ｆ α （ ｒ，ｔ） ） ａｎｄ ｆ α （ ｒ ＋
Δα （ ｆ αｅｑ ） ＝ ０． Ｗｉｔｈ ｔｅｒｍ Ｆ ｂ ｅｘｃｌｕｄｅｄ ｆｏｒ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ， ｆ ∗
α （ ｒ）
ξ α Δｔ，ｔ ＋ Δｔ） ＝ ｆ ∗
α （ ｒ） ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｃｏｌｌｉｓｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ａｎｄ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｓｔ⁃ｃｏｌｌｉｓｉｏｎ ｄｉｓ⁃
ｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．
Ｆｉｇ． １
Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ⁃ｐａｒｔｉｃｌｅ ＩＢＭ， ａｎｄ ｔｈｅ Ｅｕｌｅｒｉａｎ ｇｒｉｄ ｗｈｉｃｈ ｈｏｓｔｓ ｆ α ． Ｔｈｅ ａｒｒｏｗｓ ｉｎｄｉ⁃
ｃａｔｅ ｔｈｅ Ｄ３Ｑ１９ ｌａｔｔｉｃｅ ｍｉｃｒｏｓｃｏｐｉｃ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ
Ａ ｕｎｉｆｏｒｍ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｐａｃｉｎｇ ｕｎｉｑｕｅｌｙ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｓ ｔｈｅ ＬＢＭ ｄｉｓｃｒｅｔｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｄｏ⁃
ｍａｉｎ． Ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｓｔｕｄｙ ｕｔｉｌｉｚｅｓ ｔｈｅ Ｄ３Ｑ１９ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ［２１］ ｔｏ ｓｉｍｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉ⁃
ｂｌｅ Ｎｅｗｔｏｎｉａｎ ｆｌｕｉｄ ｍｏｔｉｏｎ． Ｔｈｅ １９ ｌａｔｔｉｃｅ ｖｅｌｏｃｉｔｉｅｓ， ｓｅｅ ｆｉｇ． １， ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ
ｌｉｎｅ ｏｆ ｆｌｕｉｄ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ａｃｒｏｓｓ ｔｈｅ ｎｅｉｇｈｂｏｒｉｎｇ ｌａｔｔｉｃｅ ｎｏｄｅｓ，
α ＝ ０，
ìï（０，０，０） ，
ï
ξ α ＝ ｃ × í（ ± １，０，０） （０， ± １，０） （０， ０， ± １） ，
α ＝ １，２，…，６， （８）
ïï
α ＝ ７，８，…，１８，
î（ ± １， ± １，０） （ ± １， ０， ± １） （０， ± １， ± １） ，
３７６
ＨＡＢＴＥ Ｍｕｓｓｉｅ Ａ
ＷＵ Ｃｈｕｉｊｉｅ
ｗｈｅｒｅ ｃ ＝ Δｘ ／ Δｔ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ ａ ｕｎｉｔ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｐｅｅｄ． Ｔｈｅ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｄｅｎｓｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｕｎｃ⁃
ｔｉｏｎ， ｆ αｅｑ ， ｉｓ ｗｒｉｔｔｅｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｍａｃｒｏｓｃｏｐｉｃ ｖｅｌｏｃｉｔｙ：
（ ξ α·ｕ）
（ ξ α·ｕ） ２
é
ｕ２ ù
＋
－ ３ ２ú ，
ｆ αｅｑ ＝ ρＡ σ êê １ ＋ ３
（９）
９
２
４
ｃ
２ｃ
２ｃ úû
ë
ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｗｅｉｇｈｔｓ ａｒｅ Ａ０ ＝ １ ／ ３， Ａ１ ＝ １ ／ １８ ａｎｄ Ａ２ ＝ １ ／ ３６． Ｔｈｅ １ｓｔ ３ ｍｏｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ
ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ， ｆｌｕｉｄ ｄｅｎｓｉｔｙ ρ， ｍｏ⁃
ｍｅｎｔｕｍ ｊ ＝ ρｕ ａｎｄ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｆｌｕｘ Π ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ：
ρ ＝
∑ ｆ αｅｑ（ ｕ） ， ρｕ ＝ ∑ ξ α ｆ αｅｑ（ ｕ） ， Π ＝ ∑ ξ α ξ α ｆ αｅｑ（ ｕ） ．
（１０）
Ｔｈｅ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｆｌｕｘ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ Πｅｑ ＝ ρＲＴδ αβ ＋ ρｕｕ． Ｔｈｅ ｐｏｓｔ⁃ｃｏｌｌｉｓｉｏｎ
ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｓ ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ ａ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｖｅｌｏｃｉｔｙ：
（ ξ α·ｕ） （ ρｕｕ ＋ Πｎｅｑ，∗ ∶ ξ α ξ α － ｃ２ｓ Ｉ） ù
éê
ú，
＝
＋
＋
ｆ∗
Ａ
ρ
ρ
α
σ ê
úû
ｃ２
２ｃ４
ë
ｓ
ｓ
（１１）
ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｓｏｕｎｄ ｓｐｅｅｄ ｉｓ ｃ ｓ ＝ Δｘ ／ （ ３ Δｔ） ， ａｎｄ Δｘ ｉｓ ｔｈｅ ｓｐａｃｉｎｇ ｂｅｔｗｅｅｎ ｎｅｉｇｈｂｏｒｉｎｇ ｆｌｕｉｄ
ｎｏｄｅｓ． Ｔｈｅ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎ⁃ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｆｌｕｘ Πｎｅｑ ｉｓ ａ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ａ ｃｏｌｌｉｓｉｏｎ ｅｘ⁃
ｐｒｅｓｓｅｄ ａｓ ［２２］
－
Πｎｅｑ，∗ ＝ （１ ＋ λ υ ） Πｎｅｑ ＋
１
（１ ＋ λ ζ ） （ Πｎｅｑ ∶ Ｉ） Ｉ，
３
（１２）
ｗｈｅｒｅ Πｎｅｑ ＝ ∑ α ξ α ξ α ｆ αｎｅｑ ＝ Π － Πｅｑ ， ａｎｄ Πｎｅｑ ＝ Π － Πｅｑ ． Ｔｈｅ ｏｖｅｒｂａｒ ｄｅｓｃｒｉｂｅｓ ｔｈｅ ｔｒａｃｅｌｅｓｓ
－
－
－
ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ． Ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ λ υ ａｎｄ λ ζ ａｒｅ ｔｈｅ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒｉｚｅｄ ｃｏｌｌｉｓｉｏｎ
ｏｐｅｒａｔｏｒ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｓｈｅａｒ ａｎｄ ｂｕｌｋ ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｔｈｅｉｒ ｉｎｖｅｒｓｅ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｓ
ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｔｉｍｅ， τ． Ｆｏｒ ｌｏｗ⁃Ｒｅｙｎｏｌｄｓ⁃ｎｕｍｂｅｒ ｆｌｏｗｓ， ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｓｕｉｔａｂｌｅ
ｖａｌｕｅｓ ａｒｅ λ υ ＝ λ ζ ＝ － １ ［１９，２３］ ．
Ｔｈｅ Ｎａｖｉｅｒ⁃Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ［２０］ ｆｏｒ ａ ｈｙｄｒｏ⁃
ｄｙｎａｍｉｃ ｌｉｍｉｔ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ε ≪ １ ｗｈｅｒｅ ε， ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ， ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｓ ｔｈｅ
ｒａｔｉｏ ｏｆ Δｘ ｔｏ ａ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｍａｃｒｏｓｃｏｐｉｃ ｌｅｎｇｔｈ． Ａｔ ａ ｌｏｗ Ｍａｃｈ ｎｕｍｂｅｒ， ‖Ｖ ｍａｘ ‖ ≪ ｃ ｓ ，
ｔｈｅ ｓｐａｔｉａｌ ２ｎｄ⁃ｏｒｄｅｒ ａｃｃｕｒａｃｙ ｉｓ ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ ｗｉｔｈ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｅｒｒｏｒｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ Δｘ ２ ｂｅｓｉｄｅｓ
ｔｈｅ ｔｅｍｐｏｒａｌ ２ｎｄ⁃ｏｒｄｅｒ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｗｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｈｅａｒ ａｎｄ ｂｕｌｋ ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ：
ｃ２ｓ æ １
１
１ö
１
æ
＋ ÷ ， ζ ＝－ ２
＋ ö÷ ．
υ ＝ － ｃ δｔ ç
δｔ ç
２ø
２ø
３ èλ ζ
èλ υ
２
ｓ
２
（１３）
Ｔｈｅ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ
Ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｅｘｐｌａｉｎｓ ａ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｉｍｕｌａｔｉｎｇ ａ ｓｔｅａｄｙ ｆｌｏｗ ｉｎ ａ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｅｌａｓｔｉｃ
ｂｏｘ． Ａ Ｄ３Ｑ１９ ＬＢ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ａ ｐｏｉｎｔ⁃ｂａｓｅｄ ＩＢＭ ａｒｅ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｔｏ ｓｉｍｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｆｌｏｗ． Ｔｈｅ
ｔｈｉｎ ｌａｍｉｎａ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ａ ｕｎｉｆｏｒｍｌｙ ｓｐａｃｅｄ ａｒｒａｙ ｏｆ ｉｍｍｅｒｓｅｄ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｐｏｉｎｔｓ ｔｈａｔ ｄｅｆｉｎｅ
ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｂｏｘ ｂｏｕｎｄａｒｙ． Ｓｐｅｃｉｆｉｃａｌｌｙ， ｔｈｅ ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ ｐｏｉｎｔｓ ａｒｅ ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｅｄ ｔｏ ｆｏｒｍ ａ
ｎｅｔｗｏｒｋ ｏｆ ｄｉｓｃｒｅｔｉｚｅｄ ｖｅｒｔｅｘｅｓ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｗｉｔｈ ｅｌａｓｔｉｃ ｌｉｎｋｓ： Ｘ Ｌℓ ／ ＢＫ ＝ ［ （ Ｌ － Ｗ ／ ２） ，ℓｈ ｉ ］ ａｎｄ
Ｘ Ｒℓ ／ Ｆ ＝ ［ （ Ｌ ＋ Ｗ ／ ２） ，ℓｈ ｉ ］ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｅｆｔ， ｒｉｇｈｔ， ｂａｃｋ ａｎｄ ｆｒｏｎｔ ｗａｌｌｓ， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｐｏｉｎｔ ｓｐａｃ⁃
ｉｎｇ ｉｓ ｈ ｉ ＝ Ｌ ｉ ／ Ｎ ｗ ａｎｄ ℓ ＝ １， ２，…， Ｎ ｗ ． Ｎ ｗ ａｎｄ Ｌ ｉ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｎｏｄｅｓ ａｌｏｎｇ ａ ｓｐｅｃｉｆ⁃
Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ Ｃｏｎｔａｉｎｅｒ Ｗｉｔｈ
Ｖｉｓｃｏｕｓ Ｆｌｕｉｄ： ａ Ｌａｔｔｉｃｅ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ⁃Ｉｍｍｅｒｓｅｄ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ａｐｐｒｏａｃｈ
３７７
ｉｃ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｂｏｘ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ３ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｔｈｅ ｔｏｐ ａｎｄ ｂｏｔｔｏｍ
ｗａｌｌｓ ａｒｅ ｄｉｓｃｒｅｔｉｚｅｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ． Ｔｈｅ Ｅｕｌｅｒｉａｎ Ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｎｏｄｅｓ ｉｎｓｉｄｅ ｔｈｉｓ ｅｎｃｌｏｓｕｒｅ ａｒｅ ｔｒｅａ⁃
ｔｅｄ ａｓ ｆｌｕｉｄ ｎｏｄｅｓ ｏｆ ｃｏｎｃｅｒｎ． Ｕｎｌｉｋｅ ｔｈｅ ｐｕｒｅ ＬＢＭ ｂａｓｅｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ， ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ
ｂｏｕｎｄａｒｙ ｐｏｉｎｔｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｂｏｘ ｇｅｏｍｅｔｒｙ ａｎｄ ｄｏ ｎｏｔ ｒｅｑｕｉｒｅ ｒｅｌｏｃａｔｉｏｎ，
ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｒ ｃｒｅａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｆｌｕｉｄ ｎｏｄｅ．
Ｆｉｇ． ２
Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｄｏｍａｉｎ ｏｆ Ｅｕｌｅｒｉａｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ Ω（ ｘ） （ ｔｈｉｎ ｌｉｎｅｓ）
ａｎｄ ｔｉｍｅ⁃ｖａｒｙｉｎｇ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｌｏｃａｔｉｏｎｓ Ｘ ｗ（ ｐ，ｑ，ｔ） ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｎｏ⁃ｓｌｉｐ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． Ｘ ｗ（ ｐ，ｑ，ｔ） ｒｅ⁃
ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｈｅ ｔｅｍｐｏｒａｒｙ ｌｏｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｌａｍｉｎａ （ ｔｈｉｃｋ ｌｉｎｅｓ） ａｔ ｗａｌｌ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ （ ｐ，ｑ） ．
Ｔｈｅ ｓｔａｎｄｉｎｇ ｗａｖｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｍｏｔｉｏｎ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ ｆｌｕｉｄ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ａｓ ａ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｆｌｅｘ⁃
ｕｒａｌ ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ ａｔ ｈａｌｆ ｗａｖｅｌｅｎｇｔｈｓ． Ｂｏｔｈ ｄｏｍａｉｎｓ ａｒｅ ｄｉｓｃｒｅｔｉｚｅｄ ｗｉｔｈ ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ ｇｒｉｄｓ
Ｆｉｇ． ２ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｉｔｅｓ ａｎｄ ｂｏｘ ｂｏｕｎｄａｒｙ ａｔ ａ ｍｉｄ ｃｒｏｓｓ ｓｅｃｔｉｏｎ
ｏｆ ｔｈｅ ｂｏｘ， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｃｕｂｏｉｄ ａｘｉｓ ｉｓ ａｌｉｇｎｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｙ⁃ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ．
Ａｓ ｔｈｅ ｌａｍｉｎａ ｄｅｆｏｒｍｓ， ｅｖｅｒｙ ｐｏｉｎｔ ｏｎ ｔｈｅ ｌａｍｉｎａ ｍｏｖｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ ｔｏ
ｔｈｅ ｂｏｘ ａｘｉｓ ａｎｄ ｐｅｒｆｏｒｍｓ ａｎ ａｆｆｉｎｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ｏｓｃｉｌｌａ⁃
ｔｏｒｙ ｆｏｒｃｅ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ａｔ ｔｈｅ ｍｉｄｄｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｗａｌｌ． Ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｌｏｃａｔｉｏｎ， Ｘ ｗ ， ｕｎｄｅｒ ａｎ
ａｆｆｉｎｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ｗｅ ｓｔｏｒｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｐｏｓｉｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｄｉｓｐｌａｃｅ⁃
ｍｅｎｔ， ｔｈｅ ｏｕｔｗａｒｄ ｎｏｒｍａｌ， ｎ， ａｎｄ ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｌｏｎｇ ｎ， ｄζ ／ ｄｔ．
Ｗｅ ａｐｐｌｙ ａ ｐｏｉｎｔ⁃ｂａｓｅｄ ＩＢＭ ［５］ ， ｓｅｅ ｓｅｃ．２．１， ｔｏ ｅｎｆｏｒｃｅ ａ ｎｏ⁃ｓｌｉｐ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ
ｂｙ ｐｉｎｎｉｎｇ ｔｈｅ ｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇ ｆｌｕｉｄ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｎｔｏ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｎｅｔｗｏｒｋ ｏｆ
ｎｏｄｅｓ． Ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｒｅｑｕｉｒｅｓ ８ ｆｌｕｉｄ ｎｏｄｅｓ ｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｌａｍｉｎａ ｎｏｄｅ ｆｏｒ ｓｍｏｏｔｈ
ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｆｌｕｉｄ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ａｎｄ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ａｔ
ｅａｃｈ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｓｉｔｅ， ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ １９ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ
ｓｕｍｍｅｄ ｕｐ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｔｅ ｍａｃｒｏｓｃｏｐｉｃ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｄｅｎｓｉｔｙ， ｍｏｍｅｎｔｕｍ， ａｎｄ ｓｔｒｅｓｓｅｓ．
３７８
ＨＡＢＴＥ Ｍｕｓｓｉｅ Ａ
ＷＵ Ｃｈｕｉｊｉｅ
Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅｓｅ ｍａｃｒｏｓｃｏｐｉｃ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ， ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｆｏｒｃｅ ａｔ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｌｏｃａｔｉｏｎ ｉｓ ｃａｌｃｕ⁃
ｌａｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｉｎ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ａｎｄ ｔｈｅ Ｅｕｌｅｒｉａｎ ｎｏｄｅ ｖｅｌｏｃｉ⁃
ｔｉｅｓ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ．
Ｆｏｒ ａｎｙ ｗａｌｌ ｎｏｄｅ Ｘ ｗ ， ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｉｓ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｓｔｏｒｅｄ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｔ ｔｈｅ
ｎｏｄｅ． Ｄｕｒｉｎｇ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ， ｅａｃｈ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｌｏｃａｔｉｏｎ ａｔ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｄｅｆｏｒｍｓ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｅｑ．（５）
ａｎｄ ｏｓｃｉｌｌａｔｅｓ ａｂｏｕｔ ｔｈｅｉｒ ｉｎｉｔｉａｌ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｐｏｓｉｔｉｏｎ． Ｅａｃｈ ｗａｌｌ ｎｏｄｅ ｉｓ ｄｉｓｐｌａｃｅｄ ｄｕｒｉｎｇ
ｃｏｎｓｅｃｕｔｉｖｅ ｔｉｍｅ ｓｔｅｐｓ ａｌｏｎｇ ｗａｌｌ ｎｏｒｍａｌ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｎ， ａｓ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ ｆｉｇ． ２． Ｔｈｉｓ ａｐｐｒｏｘｉｍａ⁃
ｔｉｏｎ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ ｗａｌｌ ｎｏｄｅ， Ｖ ｎ（ ｔ） ， ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｄζ ｏ ｉｎ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ
Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ ｕｎｉｔ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｕｂｏｉｄ ａｘｉｓ ｐｏｉｎｔｉｎｇ ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｙ⁃ ａｘｉｓ， ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｔ ｔｈｉｓ ｐｏｉｎｔ ｉｓ
ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｓｔöｒｍｅｒ⁃Ｖｅｒｌｅｔ ｍｅｔｈｏｄ， Ｖ ｎ ＝ ｄζ ｏ（ ± ｉ ／ ± ｋ） ＋ Ｏ（ Δｔ） ， ａｔ ｔｈｅ ｃｏｓｔ ｏｆ ａｃｃｕ⁃
ｒａｃｙ． Ｔｈｅ ｗａｌｌｓ ｕｎｄｅｒｇｏ ｍａｎｙ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｄｕｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｅｘｔｅｒｎａｌ
ｆｏｒｃｅ．
２．１
Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ａｎｄ Ｆｏｒｃｅ Ｄｅｎｓｉｔｙ
Ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｄｅｓｃｒｉｂｅｓ ａ ｐｏｉｎｔ⁃ｂａｓｅｄ ＩＢＭ （ ＰＩＢＭ） ｕｓｅｄ ｔｏ ｅｎｆｏｒｃｅ ａ ｎｏ⁃ｓｌｉｐ ｂｏｕｎｄａｒｙ
ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｆｏｒｃｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ａｔ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｗａｌｌｓ． Ｗｅ ｃｈｏｓｅ ｔｈｅ ＰＩＢＭ ｆｏｒ ｉｔｓ
ｄｅｓｉｒａｂｌｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｔｏ ｆａｃｉｌｉｔａｔｅ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ａｎｄ
ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｗａｌｌｓ． Ａｔ ｅａｃｈ ｗａｌｌ ｎｏｄｅ， ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｉｓ ｅｘｃｈａｎｇｅｄ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｔｅ ｔｈｅ ｈｙｄｒｏ⁃
ｄｙｎａｍｉｃ ｆｏｒｃｅ ｄｅｎｓｉｔｙ， ｇ（ Ｘ ｗ ，ｔ）
［２４］
． Ｔｏ ｃａｐｔｕｒｅ ｌｏｃａｌｉｚｅｄ ｆｌｕｉｄ⁃ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ， ａ ｒｅｇ⁃
ｕｌａｒｉｚｅｄ ｄｅｌｔａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｓ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｆｏｒｃｅ ｄｅｎｓｉｔｙ， ｆ（ ｒ，ｔ） ， ａｔ ｏｆｆ⁃
ｌａｔｔｉｃｅ ＩＢ ｎｏｄｅｓ ｏｎｔｏ ｔｈｅ ｎｅａｒｅｓｔ ｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇ Ｅｕｌｅｒｉａｎ ｇｒｉｄ ｐｏｉｎｔｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ａ ｔｒｉｌｉｎｅａｒ ｉｎｔｅｒ⁃
ｐｏｌａｔｉｏｎ， ｅｑ．（１４） ， ａｓ ｗａｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｂｙ Ｓｑｕｉｒｅｓ ｅｔ ａｌ． ［２５］ Ｔｈｉｓ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｒｅｐｌａｃｅｓ ｔｈｅ ｓｏｌｉｄ ｄｏ⁃
ｍａｉｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇ ｆｌｕｉｄ ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ＬＢＭ ｓｏｌｖｅｓ ｔｈｅ ｅｎｔｉｒｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｎ ａ ｓｉｍｐｌｅ
Ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｇｒｉｄ ［２６］ ． Ｔｈｅ ｔｒｉｌｉｎｅａｒ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔ ａｔ ａ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅ ｃｕｂｅ ｖｅｒ⁃
ｔｉｃｅｓ ｌａｂｅｌｅｄ ｗｉｔｈ （ ±１，±１，±１） ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｖｏｌｕｍｅ⁃ｗｅｉｇｈｔｅｄ ａｖｅｒａｇｅｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｑｕａｎ⁃
ｔｉｔｙ ｇ（ Ｘ ｗ ，ｔ） ：
３
ｆ（ σ １ ，σ ２ ，σ ３ ） ＝ ｇ（ Ｘ ｗ ，ｔ） ∏
ｉ＝１
{
１ － ｘｉ ，
ｘｉ ，
σ ｉ ＝ － １，
（１４）
σ ｉ ＝ １，
ｗｈｅｒｅ ｇ ｉｓ ａ ｑｕａｎｔｉｔｙ ａｔ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｗａｌｌ ｎｏｄｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ Ｘ ＝ （ ｘ，ｙ，ｚ） ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄ ｆｒｏｍ
ｔｈｅ ｎｅａｒｅｓｔ ８ ｆｌｕｉｄ ｎｏｄｅｓ ｏｆ ａ ｃｕｂｅ ｌａｂｅｌｅｄ ｗｉｔｈ （ σ １ ，σ ２ ，σ ３ ） ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｓｕｂｓｃｒｉｐｔｓ ｄｅｎｏｔｅ
ｔｈｅ ｘ， ｙ， ａｎｄ ｚ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ． Ｔｈｅ
∏
ｏｐｅｒａｔｏｒ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｈｅ
ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ３ ｌｉｎｅａｒ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｆｌｕｉｄ ｎｏｄｅ ｏｆ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｃｕｂｅ ｈｏｓｔｉｎｇ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇ⁃
ｉａｎ ｎｏｄｅｓ． Ｔｈｉｓ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｈａｓ ａ ｃｏｍｐａｃｔ ｓｕｐｐｏｒｔ ａｎｄ ｍａｉｎｔａｉｎｓ ａ ｓｈａｒｐ ｂｏｕｎｄａｒｙ．
Ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ａｔ ｅａｃｈ ｖｅｒｔｅｘ ｗｉｌｌ ｂｅ ｄｅｎｏｔｅｄ ｂｙ Ｖ － １ － １ － １ ， Ｖ１ － １ － １ ， Ｖ － １１ － １ ， …， Ｖ１１１ ． Ｄｕｒｉｎｇ ｉｎｔｅｒ⁃
ｐｏｌａｔｉｏｎ， ｆｏｒ ｉｎｓｔａｎｃｅ， ａ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｑｕａｎｔｉｔｙ ａｔ ｐｏｓｉｔｉｏｎ （ ｘ，ｙ，ｚ） ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ ｃｕｂｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ｄｅ⁃
ｎｏｔｅｄ ａｓ Ｖ ｘｙｚ ａｎｄ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ
Ｖ ｘｙｚ ＝ Ｖ － １ － １ － １（１ － ｘ） （１ － ｙ） （１ － ｚ） ＋ Ｖ１ － １ － １ ｘ（１ － ｙ） （１ － ｚ） ＋
Ｖ － １１ － １（１ － ｘ） ｙ（１ － ｚ） ＋ Ｖ － １ － １１（１ － ｘ） （１ － ｙ） ｚ ＋ Ｖ１ － １１ ｘ（１ － ｙ） ｚ ＋
Ｖ － １１１（１ － ｘ） ｙｚ ＋ Ｖ１１ － １ ｘｙ（１ － ｚ） ＋ Ｖ１１１ ｘｙｚ．
Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ Ｃｏｎｔａｉｎｅｒ Ｗｉｔｈ
Ｖｉｓｃｏｕｓ Ｆｌｕｉｄ： ａ Ｌａｔｔｉｃｅ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ⁃Ｉｍｍｅｒｓｅｄ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ａｐｐｒｏａｃｈ
３７９
Ｆｏｒ ｉｎｓｔａｎｃｅ， ｅｖｅｒｙｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｈａｓ ａ － １ ｉｎ ｔｈｅ ｓｕｂｓｃｒｉｐｔ， ｉｔ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｔｏ ａ ｔｅｒｍ ｏｆ
１ － ｘ， ｅｌｓｅｗｈｅｒｅ， ｔｈｅ ｓｕｂｓｃｒｉｐｔ ｇｅｔｓ ａ ｔｅｒｍ ｏｆ ｘ； ｔｈｅ ｓａｍｅ ｉｓ ｔｒｕｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ２ ｃｏｍｐｏ⁃
ｎｅｎｔｓ．
Ｔｈｅ ｆｏｒｃｅ ｄｅｎｓｉｔｙ， ｇ， ｉｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｆｒｏｍ ａｎ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄ ｆｌｕｉｄ ｄｅｎｓｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｕｎｃ⁃
ｔｉｏｎ， ｆ α （ Ｘ ｗ ，ｔ） ， ｔｈａｔ ｆｕｒｔｈｅｒ ｒｅｑｕｉｒｅｓ ａ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｍｏｖｉｎｇ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｗｉｔｈ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎａｌ ｖｅ⁃
ｌｏｃｉｔｙ Ｕ ｗ ［２０，２２，２３］ ． Ａｔ ｔｈｅ ｓｏｌｉｄ⁃ｆｌｕｉｄ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ， ｆｌｕｉｄ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｔｈａｔ ｐｒｏｐａｇａｔｅ ｔｏｗａｒｄ ａ ｂｏｕｎｄ⁃
ａｒｙ ｎｏｄｅ （ ｉｎ ｔｈｅ α ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ） ｂｏｕｎｃｅ ｏｆｆ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅｙ ｏｒｉｇｉｎａｔｅ ｗｉｔｈ
ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ ａｓ ｂｅｌｏｗ：
ｆ αｎｅｗ ＝ ｆ β （ Ｘ ｗ ，ｔ） － ２Ａ β ρ ｆ
ξ β·Ｕ ｗ
ｃ２ｓ
，
（１５）
ｗｈｅｒｅ ｆ αｎｅｗ ＝ ｆ β （ Ｘ ｗ ，ｔ ＋ δｔ） ｗｉｔｈ β ｂｅｉｎｇ ａ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｔｏ α． Ａ α ａｒｅ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ
ｄｅｆｉｎｅｄ ｅａｒｌｉｅｒ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｄ３Ｑ１９ ｍｏｄｅｌ． Ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｅｘｅｒｔｓ ａ ｆｏｒｃｅ ｏｎ ｔｈｅ ｓｏｌｉｄ⁃ｆｌｕｉｄ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｂｅ⁃
ｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂｏｕｎｃｅ⁃ｂａｃｋ ｒｕｌｅ． Ｔｈｉｓ ｆｏｒｃｅ ｅｑｕａｌｓ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｅｘｃｈａｎｇｅ ｒａｔｅ ｔｈａｔ ｔａｋｅｓ
ｐｌａｃｅ ａｓ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｂｏｕｎｃｅ ｏｆｆ ａｔ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｎｏｄｅｓ． Ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ａ ｓｉｎｇｌｅ
ｂｏｕｎｃｅ⁃ｂａｃｋ ｅｖｅｎｔ ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ：
ｇ（ Ｘ ｗ ，ｔ） ＝
∑ ξ β（ ｆ αｎｅｗ（ Ｘｗ ，ｔ）
β
－ ｆ α （ Ｘ ｗ ，ｔ） ） ，
（１６）
ｗｈｅｒｅ ｇ（ Ｘ ｗ ，ｔ） ｉｓ ｔｈｅ ｆｏｒｃｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｏｎ ｔｈｅ ｉｍｍｅｒｓｅｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ａｔ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｌｏｃａｔｉｏｎ Ｘ ｗ ａｔ
ｔｉｍｅ ｔ． Ｏｂｖｉｏｕｓｌｙ， ｗａｌｌ ｎｏｄｅ ｌｏｃａｔｉｏｎｓ ｄｏ ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ｃｏｉｎｃｉｄｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｅｕｌｅｒｉａｎ ｃｏｏｒｄｉ⁃
ｎａｔｅｓ ｄｕｒｉｎｇ ｍｏｖｅｍｅｎｔ． Ｅｑ． （１６） ， ｔｈｕｓ， ｅｎｔａｉｌｓ ａｎ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄ ｆｌｕｉｄ ｄｅｎｓｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ｆ α （ ｒ，ｔ） ， ｏｎｔｏ ｔｈｅ ｏｆｆ⁃ｌａｔｔｉｃｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｗａｌｌ ｎｏｄｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ， Ｘ ｗ ， ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｉｍ⁃
ｍｅｄｉａｔｅ ｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇ ｆｌｕｉｄ ｍｅｓｈ ｐｏｉｎｔｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ａ ｔｒｉｌｉｎｅａｒ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ａｔ ｅａｃｈ ｔｉｍｅ ｓｔｅｐ ｕ⁃
ｓｉｎｇ ｅｑ．（１４） ．
ｆ（ Ｘ ｗ ，ｔ） ＝
∑
σ ｉ∈ ±１
３
ｆ α （ σ ｉ ，ｔ） ∏
ｉ＝１
{
１ － ｘｉ ，
ｘｉ ，
σ ｉ ＝ － １，
σ ｉ ＝ １，
（１７）
ｗｈｅｒｅ Ｘ ｗ ｉｓ ａ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｍａｒｋｅｒ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ （ ｘ １ ，ｘ ２ ，ｘ ３ ） ， ｗｈｅｒｅ ｘ １ ， ｘ ２ ， ａｎｄ ｘ ３ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ
ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｘ， ｙ， ａｎｄ ｚ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ． Ａｌｓｏ， ｆ α （ σ ｉ ，ｔ） ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
ａｔ ｔｈｅ Ｅｕｌｅｒｉａｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ （ σ １ ，σ ２ ，σ ３ ） ｏｆ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｃｕｂｅ ｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇ ａ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｗａｌｌ
ｎｏｄｅ．
Ｔｈｅ ｒｅａｃｔｉｖｅ ｗａｌｌ⁃ｆｌｕｉｄ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｆｏｒｃｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｅｘｅｒｔｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｎｏｄｅ ｉｓ ｅｑｕａｌ ｉｎ
ｍａｇｎｉｔｕｄｅ ａｎｄ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｉｎ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｔｏ ｇ（ Ｘ ｗ ，ｔ） ． Ｔｈｅ ｏｆｆ⁃ｌａｔｔｉｃｅ ＩＢ ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅｓ ｆｏｒｃｅｓ ｄｕｅ ｔｏ
ｔｈｅ ｄｒａｇ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｍｉｓｍａｔｃｈ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｎｏｄｅｓ． Ｔｈｅ
ｍｏｄｅｌ ｃｏｎｓｉｄｅｒｓ ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｍｉｓｍａｔｃｈ ａｔ ｔｈｅ ｓｏｌｉｄ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ａｓ ｉｔｓ ｐｒｉｍａｒｙ ｉｎｐｕｔ ｗｉｔｈｏｕｔ
ａｔｔｅｍｐｔｉｎｇ ｔｏ ｃｌｏｓｅ ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｍｉｓｍａｔｃｈ． Ｔｈｅ ｎｏ⁃ｓｌｉｐ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ａｔ ｔｈｅ ｓｏｌｉｄ⁃ｆｌｕ⁃
ｉｄ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｂｙ ｐｉｎｎｉｎｇ ｔｈｅ Ｅｕｌｅｒｉａｎ ｆｌｕｉｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｏｎｔｏ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ
ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｔｒｉｌｉｎｅａｒ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ ｓｏｌｉｄ⁃ｆｌｕｉｄ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉ⁃
ｔｉｏｎ ｉｓ ｓｔｒａｉｇｈｔｆｏｒｗａｒｄ， ｃｏｎｓｅｒｖｅｓ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ｆｌｕｉｄ ｍａｓｓ， ａｎｄ ｗｏｒｋｓ ｒｅｇａｒｄｌｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅｏ⁃
ｍｅｔｒｉｃａｌ ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ．
Ｔｈｅ ＩＢＭ ａｃｃｏｕｎｔｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ＦＳＩ ｆｏｒｃｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｇｏｖｅｒｎｉｎｇ ｆｌｏｗ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｔｈｒｏｕｇｈ ａ ｓｏｕｒｃｅ
３８０
ＨＡＢＴＥ Ｍｕｓｓｉｅ Ａ
ＷＵ Ｃｈｕｉｊｉｅ
ｔｅｒｍ ｔｈａｔ ｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｅｓ ｆｌｕｉｄ ｖｏｌｕｍｅ ｆｒａｃｔｉｏｎ ϕ ｌ ＝ １ － ϕ ｐ ， ｗｈｅｒｅ ϕ ｐ ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｐａｒｔｉｃｌｅ
ｖｏｌｕｍｅ ｆｒａｃｔｉｏｎ， ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｖｅｒｙ ｌｏｗ ｆｏｒ ｓｐａｒｓｅｌｙ ｐｏｐｕｌａｔｅｄ ｗａｌｌ ｎｏｄｅｓ． Ｆｌｏｗｓ ａｔ ｈｉｇｈｅｒ
ｏｒｄｅｒ ｆｌｏｗ Ｒｅｙｎｏｌｄｓ ｎｕｍｂｅｒｓ， ｈｏｗｅｖｅｒ， ｒｅｑｕｉｒｅ ａ ｄｒａｇ ｌａｗ ［２７］ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｈｙｄｒｏｄｙ⁃
ｎａｍｉｃ ｆｏｒｃｅ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｔｈ ｗａｌｌ ｎｏｄｅ． Ｔｈｉｓ ｍｏｄｉｆｉｅｓ ｅｑ．（１６） ｔｏ ｇｉｖｅ ｓｅｍｉ⁃ｍａｃｒｏ⁃
ｓｃｏｐｉｃ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ Ｆ Ｂ ｔｈａｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄ ｔｏ Ｅｕｌｅｒｉａｎ ｎｏｄｅｓ ａｎｄ ｂｅｃｏｍｅ Ｆ ｂ ａｓ ｉｓ ｓｈｏｗｎ
ｉｎ ｅｑ． （６） ．
ξ α·Ｕ ｗ ù
é
ú γ（ 􀆠 ｌ ） ，
Ｆ Ｂ ＝ Ａ ｐ Ｃ ｄ（ Ｒｅ） Ｕ ｓ·∑ ξ β êê ｆ α （ Ｘ ｗ ，ｔ） － Ａ α ρ ｆ
ｃ２ｓ úû
β
ë
（１８）
ｗｈｅｒｅ Ａ ｐ ＝ ０．２５πΔ ２ ａｎｄ Ｕ ｓ ＝ ‖Ｕ ｗ － ｕ‖ （ ｓｅｅ ａｐｐｅｎｄｉｘ Ｃ） ａｒｅ ａ ｆｏｒｃｅ ｓｃａｌｉｎｇ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｌｉｐ
ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｔ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｗａｌｌ ｎｏｄｅ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｃ ｄ
［２８］
ａｎｄ 􀆠 ｌ ａｒｅ ｔｈｅ ｄｒａｇ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｌｏ⁃
ｃａｌ ｐｏｒｏｓｉｔｙ （ ｓｅｅ ａｐｐｅｎｄｉｘ Ｄ） ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｔｈｅ ｓｕｍｍａｔｉｏｎ ｒｕｎｓ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｔｈｅ １９ ｎｅａｒｅｓｔ
ｎｅｉｇｈｂｏｒ ｎｏｄｅｓ， ｉ．ｅ．， ｏｖｅｒａｌｌ ［ １００］ ａｎｄ ［ １１０］ ｂｏｎｄｓ ｏｆ ａ ｃｕｂｉｃ ｌａｔｔｉｃｅ． Ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ｉｎ
ｔｈｅ ｖｏｉｄａｇｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ， 􀆠 ｌ －κ ， ｔａｋｅｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ κ ＝ ３．７ － ０．６５ｅ － ０．５（１．５ －ｌｇ Ｒｅ）
２ ［２７，２９］
． Ｔｈｅ
ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ｆｏｒｃｅ Ｆ Ｂ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｔｈａｔ ｅｘｉｓｔｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｒｈｙｔｈｍｉ⁃
ｃａｌｌｙ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｗａｌｌｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ａｔ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｌｏｃａｔｉｏｎ． Ｆｌｏｗ ｆｅａｔｕｒｅｓ ａｔ ｓｃａｌｅｓ ｓｍａｌｌｅｒ ｔｈａｎ
ｔｈｅ Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ ｌｅｎｇｔｈ ｓｃａｌｅ ａｒｅ ｍｅｒｇｅｄ ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ ｄｒａｇ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｈｉｎｄｒａｎｃｅ
ｆｕｎｃｔｉｏｎ ［３０］ ． Ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｃｏｎｓｉｄｅｒｓ ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｍｉｓｍａｔｃｈ ａｔ ｔｈｅ ｓｏｌｉｄ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ａｓ ｉｔｓ ｐｒｉ⁃
ｍａｒｙ ｉｎｐｕｔ ｗｉｔｈｏｕｔ ｅｎｆｏｒｃｉｎｇ ｔｈｅ ｎｏ⁃ｓｌｉｐ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ．
２．２
Ｍｏｄｅｌ Ｅｒｒｏｒ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ
Ａｓ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｔｔａｉｎｓ ａ ｓｔｅａｄｙ ｓｔａｔｅ， ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ＬＢＭ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｆｉｅｌｄ ｉｓ
ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｅｒｒｏｒｓ ａｒｅ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ
ℓ ∞ ａｎｄ ℓ １ ｎｏｒｍｓ， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｓｕｍｍａｔｉｏｎ ｃｏｎｓｉｄｅｒｓ ａｌｌ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｎｏｄｅｓ ｉｎｖｏｌｖｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｓｉｍｕ⁃
ｌａｔｉｏｎ ｄｏｍａｉｎ， ｓｅｅ ｔａｂｌｅ １．
ℓ∞ ＝
ℓ１ ＝
ｍａｘ ｜ Ω（ ｜ ｕ（ ｘ，ｙ，ｚ） － ｕ ａ（ ｘ，ｙ，ｚ） ｜ ）
∑Ω ｜
ｍａｘ ｜ Ω（ ｜ ｕ ａ（ ｘ，ｙ，ｚ） ｜ ）
ｕ（ ｘ，ｙ，ｚ） － ｕ ａ（ ｘ，ｙ，ｚ） ｜
∑Ω ｜
ｕ ａ（ ｘ，ｙ，ｚ） ｜
，
，
（１９）
（２０）
ｗｈｅｒｅ ｕ ａ ｉｓ ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｖｅｌｏｃｉｔｙ． Ｔｈｅ ℓ ∞ ⁃ｎｏｒｍ ｅｒｒｏｒ ｔｒａｃｋｓ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ
ｅｒｒｏｒ ａｎｄ ｉｔｓ ｌｏｃａｔｉｏｎ， ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒｓ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｓｉｔｅ ａｒｅ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｅｑｕａｌｌｙ ｉｎ ｔｈｅ
ℓ １ ⁃ｎｏｒｍ． Ｂｏｔｈ ｅｒｒｏｒ ｎｏｒｍｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ．
Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ， ａｎ ａｖｅｒａｇｅｄ ｅｒｒｏｒ ｉｓ ａｌｓｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｔｏ ｇａｉｎ ａｎ ｉｎｓｉｇｈｔ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ａｃｃｕｒａ⁃
ｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｃｈｅｍｅ． Ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｔｈｅ ℓ １ ⁃ｎｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｆｌｏｗ
ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｃｏｍｐａｒｅｄ ａｔ ２ ｃｏｎｓｅｃｕｔｉｖｅ ｍｏｍｅｎｔｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ｅｑ． （２１） ：
∑Ω ｜
ｕ（ ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） － ｕ（ ｘ，ｙ，ｚ，ｔ － １） ｜
∑Ω ｜
ｕ（ ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） ｜
ｗｈｅｒｅ Ｔ ｏｌ ＝ １ × １０ －８ ｉｓ ｔｈｅ ｔｏｌｅｒａｎｃｅ．
＜ Ｔ ｏｌ ，
（２１）
Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ Ｃｏｎｔａｉｎｅｒ Ｗｉｔｈ
Ｖｉｓｃｏｕｓ Ｆｌｕｉｄ： ａ Ｌａｔｔｉｃｅ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ⁃Ｉｍｍｅｒｓｅｄ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ａｐｐｒｏａｃｈ
３
３８１
Ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｐａｒａｍｅｔｅｒ Ｓｅｔｕｐ
Ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ
ＬＢＭ⁃ＩＢＭ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｌｌｙ ｃｏｕｐｌｅｄ ｆｌｕｉｄ⁃ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｐｈａｓｅ． Ｗｅ
ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａ ｔｅｓｔ ｐｒｏｂｌｅｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ３Ｄ ｌａｍｉｎａｒ Ｐｏｉｓｅｕｉｌｌｅ ｆｌｏｗ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ａ ｂｏｄｙ ｆｏｒｃｅ ｉｎ
ａ ｓｑｕａｒｅ⁃ｃｒｏｓｓ⁃ｓｅｃｔｉｏｎ ｃｈａｎｎｅｌ． Ｆｉｒｓｔ， ａｓ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ＬＢＭ ｓｏｌｖｅｒ， ＳＵＳＰ３Ｄ， ｉｓ ａｌｒｅａｄｙ ｄｅ⁃
ｖｅｌｏｐｅｄ ａｎｄ ｔｈｏｒｏｕｇｈｌｙ ｖａｌｉｄａｔｅｄ （ Ｌａｄｄ ｅｔ ａｌ． ［１９］ ） ， ｗｅ ｖａｌｉｄａｔｅ ｏｎｌｙ ｉｔｓ ｃａｐａｂｉｌｉｔｙ ｔｏ ｄｅ⁃
ｓｃｒｉｂｅ ｆｌｏｗｓ ｗｈｅｎ ｉｔ ｃｏｍｂｉｎｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ＩＢＭ． Ｗｅ ｃｏｍｐａｒｅ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ
ＬＢＭ ａｎｄ ｔｈｅ ＬＢＭ⁃ＩＢＭ ｗｉｔｈ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｆｌｏｗ ｗｉｔｈｉｎ ａ ｃｈａｎｎｅｌ． Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ
ｖａｌｉｄａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ， ｗｅ ｃｏｎｄｕｃｔ ａ ｓｅｐａｒａｔｅ ＬＢＭ⁃ＩＢＭ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｗｈｅｒｅ ａｎ ｅｘｔｅｒｎａｌｌｙ ａｐ⁃
ｐｌｉｅｄ ｔｉｍｅ⁃ｖａｒｙｉｎｇ ｓｉｎｕｓｏｉｄａｌ ｌｏａｄ ｖｅｃｔｏｒ ｅｎｆｏｒｃｅｓ ｔｈｅ ｍｏｖｅｍｅｎｔ ｏｆ ｅｌａｓｔｉｃ ｓｉｄｅｗａｌｌｓ．
Ｆｉｇ． ３
３．１
Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｔｈｅ ｃｈａｎｎｅｌ ｆｌｏｗ ａｎｄ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ
Ｆｌｏｗ Ｔｈｒｏｕｇｈ ａ Ｃｈａｎｎｅｌ
Ｅｒｒｏｒｓ ｐｅｒｔｉｎｅｎｔ ｔｏ Ｍａｃｈ ａｎｄ Ｋｎｕｄｓｅｎ ｎｕｍｂｅｒｓ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｗｉｔｈ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｄｏｍａｉｎ
ｄｉｓｃｒｅｔｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｃｌｕｄｅ ｅｘａｃｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｄｕｃｔ ｆｌｏｗ ｔｈｒｏｕｇｈ ＬＢＭ ｗｉｔｈ ｔｈｅ
ｂｏｕｎｃｅ⁃ｂａｃｋ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｆｏｒ ｓｑｕａｒｅ ｃｒｏｓｓ ｓｅｃｔｉｏｎｓ ［３１⁃３２］ ． Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，
ｔｈｅ ｄｕｃｔ’ ｓ ａｓｐｅｃｔ ｒａｔｉｏ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｓ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｅｒｒｏｒ ｉｎ ｔｈｅ ｐｅａｋ ｖｅｌｏｃｉｔｙ． Ｆｌｏｗ ｔｈｒｏｕｇｈ ａ
ｓｑｕａｒｅ ｄｕｃｔ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｅｒｒｏｒ ｂｕｔ ａｎ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ａｓｐｅｃｔ ｒａｔｉｏ ｒｅｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｅｒ⁃
ｒｏｒ， ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｒｅｓｅｍｂｌｅｓ ｔｈｅ Ｐｏｉｓｅｕｉｌｌｅ ｆｌｏｗ． Ｒｅｃｅｎｔｌｙ， ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｔ ｗａｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ａｔ⁃
ｔａｉｎ ａｎ ｅｘａｃｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ａ ｓｑｕａｒｅ ｄｕｃｔ ｆｌｏｗ ｗｉｔｈ ａ ｎｏｎ⁃ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｅｘｔｒａｐｏｌａｔｉｏｎ ｂｏｕｎｄａｒｙ
ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ １４ ａｎｄ １８ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｍｕｌｔｉｐｌｅ⁃ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ⁃ｔｉｍｅ ｌａｔｔｉｃｅ Ｂｏｌｔｚ⁃
ｍａｎｎ ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｔｈ ｖａｒｉａｂｌｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｐｅｅｄ ｃ ［３３］ ． Ｈｅｎｃｅ， ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｓｉｍｕｌａｔｅ ａ ｆｕｌｌｙ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ
ｌａｍｉｎａｒ ｃｈａｎｎｅｌ ｆｌｏｗ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ＬＢＭ， ｗｉｔｈ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｂｏｕｎｃｅ⁃ｂａｃｋ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，
ａｎｄ ＬＢＭ⁃ＩＢＭ Ｄ３Ｑ１９ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｃｈｅｍｅｓ．
Ｆｉｇ． ３ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｄｏｍａｉｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ ｃｈａｎｎｅｌ ｗｉｔｈ ａ
ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｃｒｏｓｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ａｔ ａｎｙ ｆｉｘｅｄ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｘ． Ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｅｎｔｅｒｓ ａｔ ｔｈｅ ｉｎｌｅｔ ｏｆ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉ⁃
ｃａｌ ｇｒｉｄ （ ｘ ＝ １） ａｎｄ ｅｘｉｔｓ ａｔ ｔｈｅ ｏｕｔｌｅｔ （ ｘ ＝ Ｎ ｘ ） ． Ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｓｉｚｅｓ ａｒｅ ｓｅｔ ａｓ ｈｅｉｇｈｔ Ｈ （ ａｌｏｎｇ
ｙ⁃ ａｘｉｓ） ， ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｗｉｄｔｈ Ｗ （ ａｌｏｎｇ ｚ⁃ ａｘｉｓ） ， ａｎｄ ｌｅｎｇｔｈ Ｌ ＝ （ Ｎ ｘ － １） Δｘ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ
ｓｔｒｅａｍｗｉｓｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ， ａｎｄ Ｈ ｉｓ ｔｈｅ ｃｈａｎｎｅｌ ｈｅｉｇｈｔ． Ａ ｎｏ⁃ｓｌｉｐ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ
３８２
ＨＡＢＴＥ Ｍｕｓｓｉｅ Ａ
ＷＵ Ｃｈｕｉｊｉｅ
ｔｏ ｔｈｅ ｃｈａｎｎｅｌ ｗａｌｌｓ， ｗｈｉｌｅ ａ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｅｌｓｅｗｈｅｒｅ． Ａｓ ａ ｒｅｓｕｌｔ，
ｗｅ ｓｐｅｃｉｆｙ ａ ｂｏｄｙ ｆｏｒｃｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｄｒｏｐ ｔｏ ｄｒｉｖｅ ｔｈｅ ｆｌｏｗ． Ｔｈｅ ｄｒｉｖｉｎｇ⁃ｆｏｒｃｅ
ｄｅｎｓｉｔｙ ｏｆ （ Ｇ ｘ ， ０，０） ｉｓ ｃｏｎｓｔａｎｔｌｙ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｅｎｔｉｒｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｄｏｍａｉｎ．
Ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａ ｆｕｌｌｙ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｆｌｏｗ ｗｉｔｈ ａｎ ａｘｉａｌ ｖｅｌｏｃｉｔｙ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｏｎｌｙ
ｔｈｅ ｌａｔｅｒａｌ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ． Ｔｈｅ Ｎａｖｉｅｒ⁃Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ， ｈｅｎｃｅ， ｂｅｈａｖｅ ａｓ ａ Ｐｏｉｓｓｏｎ’ｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ
ｗｉｔｈ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｂｏｄｙ ｆｏｒｃｅ， Ｇ ｘ ， ｄｒｉｖｉｎｇ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｓｔｒｅａｍｗｉｓｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ， μ Ñ２ ｕ（ ｙ） ＝
Ｇ ｘ ． Ｔｈｅ ｎｏ⁃ｓｌｉｐ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ａｔ ｔｈｅ ｅｎｔｉｒｅ ｓｏｌｉｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｓｏｌｅｌｙ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ ｔｈｅ ｆｌｏｗ．
Ｔｈｅ ｃｅｎｔｅｒ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｆｏｒｍ：
２
Ｈ２
é
æｙö ù
Ｇ ｘ êê １ － ç ÷ úú ．
（２２）
２μ
ë
èＨø û
Ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ａｎ ＬＢＭ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｆｌｏｗ ｉｎｉｔｉａｌｉｚａ⁃
ｕ｜ｘ ＝
ｔｉｏｎ， ｂｏｕｎｄａｒｙ， ａｎｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ． Ｔｈｅ ４ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ｒｅｌｅｖａｎｔ ｔｏ ａｎ ａｃｃｕｒａｔｅ ｓｅｔｕｐ
ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ｔｈｅ Ｒｅｙｎｏｌｄｓ ｎｕｍｂｅｒ （ Ｒｅ） ｔｈａｔ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ
ｓｙｓｔｅｍ， ｔｈｅ Ｍａｃｈ ｎｕｍｂｅｒ （ Ｍａ） ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ， ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ τ
ａｎｄ ｌａｔｔｉｃｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ Δｙ． Ｔｈｅ Ｒｅｙｎｏｌｄｓ ａｎｄ Ｍａｃｈ ｎｕｍｂｅｒｓ ａｒｅ ｋｅｙ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｉｎｇ
ａ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ａｍｏｎｇ ｔｈｅ ４ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ： Ｍａ ／ Ｒｅ ＝ （ τ － ０．５） ／ （ ３ Ｎ ｙ ）
［３１］
． Ｔｈｅ
Ｒｅｙｎｏｌｄｓ ａｎｄ Ｍａｃｈ ｎｕｍｂｅｒｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａｓ Ｒｅ ＝ Ｈｕ ／ υ ａｎｄ Ｍａ ＝ ｕ ／ ｃ ｓ ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ， ｗｈｅｒｅ ｕ ｉｓ
ｔｈｅ ｂｕｌｋ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｔ ｔｈｅ ｃｅｎｔｅｒ． Ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｂｏｄｙ ｆｏｒｃｅ ｔｈａｔ ｄｒｉｖｅｓ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ａｌｏｎｇ ｔｈｅ
ｓｔｒｅａｍｗｉｓｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ４ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ： Ｇ ＝ （８ ／ （３Ｈ） ） ×
（ Ｍａ ２ ／ （ Ｒｅ ｜
ｍａｘ
） ） ． Ｆｌｏｗ ｃａｎ ｎｅｖｅｒ ｅｘｃｅｅｄ １ ／ ３ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｏｕｎｄ ｓｐｅｅｄ； ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ
ｍｕｃｈ ｌｏｗｅｒ． Ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ０．１ ａｓ ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｓｔ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｓａｆｅ ｖａｌｕｅ ｆｏｒ ａ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｐｕｒｐｏｓｅ ｔｏ
ｓａｔｉｓｆｙ ｔｈｅ ｌｏｗ Ｍａｃｈ ｎｕｍｂｅｒ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ＬＢＭ． Ｈｅｎｃｅ， ｔｈｅ ｔｅｓｔｓ ｒｕｎ ｆｏｒ ａ ｆｉｘｅｄ
ｍａｘｉｍｕｍ ｌａｔｔｉｃｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｎｄ ａ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｔｉｍｅ ｏｆ ０．１ ａｎｄ １， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ⁃
ｉｎｇ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ｌｉｓｔｅｄ ｉｎ ｔａｂｌｅ １．
ｌａｔｔｉｃｅ Ｎ ｘ × Ｎ ｙ × Ｎ ｚ
Ｔａｂｌｅ １
Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｆｏｒ ｆｌｏｗ ａｔ ｕ ｍａｘ ＝ ０．１ ａｎｄ Ｒｅ ＝ ３０
４４×１１×１１
８４×２２×２２
１７２×４４×４４
３５２×８８×８８
２．４２４Ｅ－４
１．２１２Ｅ－４
６．０６１Ｅ－５
３．０３０Ｅ－５
０．６１
τ
Ｇｘ
０．７２
０．９４
１．３８
Ｔｈｅ ｄａｔａ ｉｓ ｃｏｌｌｅｃｔｅｄ ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ａｔｔａｉｎｓ ａ ｓｔｅａｄｙ ｓｔａｔｅ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｃｒｉｔｅｒｉａ ｇｉｖｅｎ
ｂｙ ｅｑ． （２１） ． Ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｎ ｓｃａｌｅｓ ａｌｌ ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｖａｌｕｅｓ ａｔ ｔｈｅ ｃｈａｎｎｅｌ ｃｅｎｔｅｒ．
３．２
Ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ Ｆｌｕｉｄ ｉｎ ａｎ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ Ｃｕｂｅ
Ｔｗｏ ｎｏｎ⁃ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｇｏｖｅｒｎ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｉｎ ａｎ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｃｏｎ⁃
ｔａｉｎｅｒ ｆｉｌｌｅｄ ｗｉｔｈ ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ Ｎｅｗｔｏｎｉａｎ ｆｌｕｉｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ Ｋｏｚｌｏｖ ｅｔ ａｌ． ［１］ ． Ｔｈｅ ｄｉｍｅｎ⁃
ｔｉｏｎｌｅｓｓ ｎｕｍｂｅｒｓ ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｓ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｐａｒａｍｅｔｅｒ
ｏｌｄｓ ｎｕｍｂｅｒ Ｒｅ ｐｌ ＝ ２π
－
－
＝ ωＷ ２ ／ （２πυ） ａｎｄ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ Ｒｅｙｎ⁃
ζ ｏ ／ Ｗ． Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ， ｎｏｎ⁃ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｏｆ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ 􀆠 ＝ ζ ｏ ／ Ｗ
ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ， ｗｈｉｃｈ ｒｅｌａｔｅｓ ｔｈｅ Ｒｅｙｎｏｌｄｓ ｎｕｍｂｅｒ ｔｏ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ Ｒｅ ｐｌ
＝ ２π
－
􀆠． Ａ ３ｒｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｎｕｍｂｅｒ，
＝ ωＷ ２
－
ｍ
／ Ｄ ， ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｅｑ． （ ５） ， ｗｈｉｃｈ
ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｓ ｔｈｅ ｌａｍｉｎａ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｌａｍｉｎａ ｇｅ⁃
ｏｍｅｔｒｉｃ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．
Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ Ｃｏｎｔａｉｎｅｒ Ｗｉｔｈ
Ｖｉｓｃｏｕｓ Ｆｌｕｉｄ： ａ Ｌａｔｔｉｃｅ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ⁃Ｉｍｍｅｒｓｅｄ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ａｐｐｒｏａｃｈ
３８３
Ｉｎ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ⁃ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ， ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｄｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｐａｒｔｓ ｏｓｃｉｌｌａｔｅ ｗｉｔｈ
ｔｉｍｅ， ａｎｄ ｎｏ⁃ｓｌｉｐ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇ ｆｌｕｉｄ ｐｉｎｎｅｄ ａｔ ｔｈｅ
ｂｏｕｎｄａｒｙ ｎｏｄｅｓ． Ａｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｓｉｎｕｓｏｉｄａｌ ｐｏｉｎｔ ｆｏｒｃｅ ｅｎｆｏｒｃｅｓ ｔｈｅ ｓｉｄｅｗａｌｌｓ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ａｔ １０
Ｈｚ， ２０ Ｈｚ， ａｎｄ ２５ Ｈｚ． Ｔｈｅ ３ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ｏｆ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ａｒｅ ｓｅｌｅｃｔｅｄ ａｔ ａ １ ２００⁃ｉｔｅｒａｔｉｏｎ
ｗａｖｅ ｓａｍｐｌｅ ｒａｔｅ， ａｎｄ ｔｈｅ ｄａｔａ ａｒｅ ｒｅａｄ ｅｖｅｒｙ ３０ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｓｔｅｐｓ． Ｔｈｅ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｑｕａｎｔｉ⁃
ｔｉｅｓ ａｒｅ ａｃｃｅｐｔａｂｌｅ ａｓ ａｎ ｏｕｔｃｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｅｌａｓｔｉｃ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｄｅｎｓｉｔｙ， ｔｈｅ
Ｐｏｉｓｓｏｎ’ ｓ ｒａｔｉｏ， ａｎｄ ｔｈｅ ｅｌａｓｔｉｃ ｍｏｄｕｌｕｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｉｎ ｅｌａｓｔｉｃ ｌａｍｉｎａ ａｒｅ ７．８ × １０ ３ ｋｇ·ｍ －３ ， ０．３３
ａｎｄ ７．８２ × １０ ９ Ｎ·ｍ －２ ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ａｌｓｏ， ｔｈｅ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｌａｔｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｅｘｔｅｒ⁃
ｎａｌｌｙ ａｐｐｌｉｅｄ ｌｏａｄ ａｒｅ １ × １０ －４ ｍ ａｎｄ ０．２５ Ｎ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｔｈｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃ ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｕ⁃
２ －１
ｉｄ ｉｓ １．０ × １０ －６ ｍ·
ｓ ． Ｔｈｅ ｌａｍｉｎａ ｗｉｄｔｈ ａｎｄ ｈｅｉｇｈｔ ａｒｅ ８．３８５ × １０ －３ ｍ ａｎｄ ３．１４４ × １０ －２ ｍ， ｒｅ⁃
ｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．
Ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｍａｔｅｒｉａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ， ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕ⁃
ｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｍａｘｉｍｕｍ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｅｑ．（５） ａｓ ７．７７３ １ × １０ －５ ｍ， ７．７７４ ０
× １０ －５ ｍ， ａｎｄ ７．７７４ ７ × １０ －５ ｍ ｆｏｒ １０ Ｈｚ， ２０ Ｈｚ， ａｎｄ ２５ Ｈｚ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｔｈｒｅｅ ｎｏｎ⁃ｄｉｍｅｎ⁃
ｔｉｏｎａｌ ａｍｐｌｉｔｕｄｅｓ ｏｆ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ９．２７５ ７７ × １０ －３ ， ９．２７６ ８ × １０ －３ ， ａｎｄ ９．２７７ ７ × １０ －３ ， ａｎｄ
－
＝
１１２， ２２４， ａｎｄ ２８０ ａｒｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｍａｘｉｍｕｍ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ
ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｐｒｏｐｅｒｔｙ． Ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｐｕｌｓａｔｉｏｎ Ｒｅｙｎｏｌｄｓ ｎｕｍｂｅｒｓ ａｒｅ ６． ５３， １３． ０６， ａｎｄ
１６􀆰 ３２． Ｔｈｅ ３ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｃａｓｅｓ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｎｏｎ⁃ｄｉｍｅｎｔｉｏｎａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｆｒｅ⁃
ｑｕｅｎｃｙ ｏｆ
＝ ２２．９０． Ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｄｏｍａｉｎ ａｒｅ ｓｅｌｅｃｔｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ
ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｅｓｔ ｔｏ ｇｕａｒａｎｔｅｅ ａｎ ａｄｅｑｕａｔｅ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｆｉｅｌｄ．
４
４．１
Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｒｅｓｕｌｔｓ ａｎｄ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｓ
Ｆｌｏｗ Ｔｈｒｏｕｇｈ Ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ Ｃｈａｎｎｅｌ Ｗａｌｌｓ
Ｗｅ ｃｏｍｐａｒｅ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｐｒｏｆｉｌｅｓ ｏｆ ２ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ
ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｏｒ ｄｉｒｅｃｔ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ． Ｆｉｇｓ． ４（ ａ） ａｎｄ
４（ ｂ） ｓｈｏｗ ｔｈｅ ＬＢＭ⁃ＩＢＭ ａｎｄ ｔｈｅ ＬＢＭ ｒｅｓｕｌｔｓ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ， ｆｏｒ ｔｈｅ ３Ｄ Ｐｏｉｓｅｕｉｌｌｅ ｆｌｏｗ ｂｅ⁃
ｔｗｅｅｎ ２ ｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙ ｗｉｄｅ ｐｌａｔｅｓ． Ｉｎ ｔｈｅ ＬＢＭ ｃａｓｅ， ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｐｒｏｆｉｌｅｓ ｒｅｃｏｖｅｒ ｔｈｅ ｐｅａｋ ｖｅ⁃
ｌｏｃｉｔｙ ｉｎ ａｌｌ ｔｈｅ ｔｅｓｔ ｒｕｎｓ ｂｕｔ ｒｅｔａｉｎ ａ ｓｌｉｐ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｎｅａｒ ｔｈｅ ｃｈａｎｎｅｌ ｗａｌｌｓ ｔｈａｔ ｔｅｎｄｓ ｔｏ ｒｅ⁃
ｄｕｃｅ ｗｉｔｈ ａｎ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ＬＢＭ⁃ＩＢＭ ａｐｐｒｏａｃｈ ｇｒａｄｕａｌｌｙ ｒｅｃｏｖｅｒｓ ｔｈｅ ｐａｒａｂｏｌｉ⁃
ｃ ｐｒｏｆｉｌｅ ａｔ ｔｈｅ ｃｅｎｔｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｃｈａｎｎｅｌ ｗｉｔｈ ａｎ ｉｎｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｓｌｉｐ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｔ ｔｈｅ ｃｈａｎｎｅｌ ｗａｌｌｓ
ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｅｎｔｉｒｅ ｔｅｓｔ， ｂｕｔ ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｓｔ ｄｅｖｉａｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｃｃｕｒ ｏｎｅ ｌａｔ⁃
ｔｉｃｅ ｕｎｉｔ ｉｎｗａｒｄｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｆｏｒｃｅ ｓｐｒｅａｄｉｎｇ ｋｅｒｎｅｌ． Ｔｈｅ ｗａｌｌ
ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｃａｕｓｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ａｎａｌｙｔ⁃
ｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｒｅｇａｒｄｌｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ． Ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ ｔｈｅ ＬＢＭ⁃ＩＢＭ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｓｉｍｕｌａｔｅ
ｃｈａｎｎｅｌ ｆｌｏｗｓ， ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｆｌｕｉｄ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｉｓ ｆｏｒｃｅｄ ｔｏ ｍａｔｃｈ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｎｏｄｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ
ｔｈｒｏｕｇｈ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｉｍｍｅｒｓｅｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｆｏｒｃｅ Ｆ Ｂ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｖｅ⁃
ｌｏｃｉｔｙ ｍｉｓｍａｔｃｈ． Ｔｈｉｓ ｍａｔｃｈｉｎｇ ａｌｗａｙｓ ｅｎｆｏｒｃｅｓ ａ ｎｏ⁃ｓｌｉｐ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ａｔ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ， ｈｏｗ⁃
ｅｖｅｒ， ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｎｇ Ｆ Ｂ ｔｏ ｔｈｅ ｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇ ｆｌｕｉｄ ｎｏｄｅｓ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｓ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ａｃｃｕ⁃
ｒａｃｙ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ．
３８４
ＨＡＢＴＥ Ｍｕｓｓｉｅ Ａ
（ ａ） ＬＢＭ⁃ＩＢＭ
Ｆｉｇ． ４
Ｔｈｅ Ｐｏｉｅｓｕｉｌｌｅ ｆｌｏｗ ａｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｇｒｉｄ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ
－
Ｆｉｇ． ５
４．１．１
ＷＵ Ｃｈｕｉｊｉｅ
（ ａ） ℓ １ ⁃ｎｏｒｍ ａｖｅｒａｇｅｄ
（ ｂ） ＬＢＭ
（ ｂ） ℓ １ ℓ ∞ ⁃ｎｏｒｍ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｅｓｔｓ
Ｔｈｅ ｇｒｉｄ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ ａｖｅｒａｇｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｅｒｒｏｒｓ ｆｏｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｇｒｉｄ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ
Ｇｒｉｄ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ Ｓｔｕｄｙ
Ｔｏ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｗａｌｌ ｎｏ⁃ｓｌｉｐ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ， ｄｉｆｆｅｒ⁃
ｅｎｔ ｎｏｄｅ ｓｉｚｅｓ （１１， ２２， ４４， ａｎｄ ８８） ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｄｉｓｃｒｅｔｉｚｅ ｔｈｅ ｃｈａｎｎｅｌ ａｃｒｏｓｓ ｔｈｅ ｗａｌｌ’ ｓ
ｎｏｒｍａｌ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ． Ｉｎ ｆｉｇ． ４（ ａ） ， ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ＩＢＭ⁃ＬＢＭ ｓｏｌｖｅｒ ｓｈｏｗ ａ ｂｅｔｔｅｒ ａ⁃
ｇｒｅｅｍｅｎｔ ｗｉｔｈ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ＬＢＭ ａｎｄ ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｔ ａ ｈｉｇｈｅｒ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ． Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ
ｆｉｇ． ４（ ｂ） ， ｔｈｅ ＬＢＭ ｅｘｈｉｂｉｔｓ ａ ｌａｒｇｅｒ ｅｒｒｏｒ ａｔ ｔｈｅ ｃｈａｎｎｅｌ ｗａｌｌｓ ｉｎ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ＩＢＭ⁃
－
ＬＢＭ ａｐｐｒｏａｃｈ． Ｔａｂｌｅ ２ ｄｉｓｐｌａｙｓ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ℓ ∞ ， ｔｈｅ ａｖｅｒａｇｅ ℓ １ ， ａｎｄ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ｒｅｌａｔｉｖｅ
ｖｅｌｏｃｉｔｙ ℓ １ ｅｒｒｏｒ ｎｏｒｍｓ ｆｏｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｌａｔｔｉｃｅ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ． Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｆｉｇ． ５（ ａ） ， ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ
－
ℓ １ ⁃ｎｏｒｍ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｐａｃｉｎｇ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ＬＢＭ ａｎｄ ｔｈｅ
ＬＢＭ⁃ＩＢＭ ａｒｅ １ｓｔ ａｎｄ ２ｎｄ ｏｒｄｅｒ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｂｅｓｉｄｅｓ， ｔｈｅ ｍｅａｎ ａｂｓｏｌｕｔｅ ｅｒ⁃
－
ｒｏｒ， ℓ １ ， ｓｌｏｐｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅ ｏｆ ｂｅｓｔ ｆｉｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ＬＢＭ ａｎｄ ＬＢＭ⁃ＩＢＭ ｓｃｈｅｍｅｓ ａｒｅ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｐｒｏ⁃
ｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ２ ａｎｄ ＞２， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ ｊｕｓｔｉｆｉｅｓ ｔｈａｔ
ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｐｏｉｎｔ⁃ｂａｓｅｄ ＬＢＭ⁃ＩＢＭ Ｄ３Ｑ１９ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｏｆ ２ｎｄ⁃ｏｒｄｅｒ ａｃｃｕｒａｃｙ ｉｎ ｓｐａｃｅ ｗｈｅｎ
Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ Ｃｏｎｔａｉｎｅｒ Ｗｉｔｈ
３８５
Ｖｉｓｃｏｕｓ Ｆｌｕｉｄ： ａ Ｌａｔｔｉｃｅ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ⁃Ｉｍｍｅｒｓｅｄ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ａｐｐｒｏａｃｈ
ｓｉｍｕｌａｔｉｎｇ ｓｔｅａｄｙ ３Ｄ Ｐｏｉｓｅｕｉｌｌｅ ｃｈａｎｎｅｌ ｆｌｏｗｓ．
Ｔａｂｌｅ ２
Ｒｅｌａｔｉｖｅ ｅｒｒｏｒｓ ｆｏｒ ａ ｂｏｄｙ ｆｏｒｃｅ ｄｒｉｖｅｎ ３Ｄ⁃Ｐｏｉｓｅｕｉｌｌｅ ｆｌｏｗ． Ｔｈｅ ｄｉｓｐｌａｙｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｆｏｒ ｔｈｅ
－
ＬＢＭ ａｎｄ ＩＢＭ⁃ＬＢＭ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ． Ｅａｃｈ ａｐｐｒｏａｃｈ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｔｈｅ ℓ １ ， ℓ ∞ ， ａｎｄ ℓ １ ｎｏｒｍ ｅｒｒｏｒｓ． Ｔｈｅ
ｄａｔａ ｉｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｒｏｗ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ， ａｒｅ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｔｔａｉｎｅｄ．
Ｔｈｅ ２ｎｄ ｃｏｌｕｍｎ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｌｉｎｅａｒ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ
ｍｅｔｈｏｄ
Ｌａｄｄ’ ｓ
ｐｒｅｓｅｎｔ
ｏｒｄｅｒ
１．０６４
ｖｅｌｏｃｉｔｙ
Ｈ ＝ １１Δｙ
Ｈ ＝ ２２Δｙ
Ｈ ＝ ４４Δｙ
Ｈ ＝ ８８Δｙ
ℓ１
１．０７７×１０ －１
４．９８９×１０ －２
２．４１６ ４×１０ －２
１．１７３ ７×１０ －２
－
９．７９２×１０ －３
２．２６８×１０ －３
５．４８１ ０×１０ －４
１．３３３ ７×１０ －４
ｅｒｒｏｒ
τ ＝ ０．６１
０．９６１
ℓ∞
１．９７７
ℓ１
１．４０８ ７×１０
－１
－
１．５２２ ９×１０
－２
２．０６４
１．９２３
２．９２３
ℓ１
ℓ∞
ℓ１
１．６７８×１０ －１
１．６７５ ２×１０ －１
０．０８８ ３
τ ＝ ０．７２
８．８１９×１０ －２
４．４６４×１０
－２
２．４６２×１０
－３
５．４１６×１０ －２
０．０９６ ７
τ ＝ ０．９４
４．５０４ ８×１０ －２
１．０９１ ９×１０
－２
２．７７３ ２×１０
－４
１．２２０ ２×１０ －２
０．０９９ ３
τ ＝ １．３８
２．２７７ １×１０ －２
２．３４０ ３×１０ －３
３．２３６ １×１０ －３
３．６７７ ３×１０ －５
０．１００ ０３
Ｔａｂｌｅ ２ ｓｈｏｗｓ ３ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｅｒｒｏｒ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ ｆｏｒ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ＬＢＭ ａｎｄ ｔｈｅ ＬＢＭ⁃ＩＢＭ ｗｉｔｈ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｔ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｒｅｙｎｏｌｄｓ ｎｕｍｂｅｒ． Ａｓ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ ｔａｂｌｅ ２， ｔｈｅ ＬＢＭ⁃ＩＢＭ
ｈａｓ ｓｍａｌｌｅｒ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒｓ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ＬＢＭ ａｓ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ． Ｔｈｅ
ｍｏｓｔ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ， ℓ ∞ ⁃ｎｏｒｍ， ｉｓ ２．７％ ｆｏｒ ｔｈｅ ＬＢＭ ａｎｄ ｏｃｃｕｒｓ ａｔ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｌｏ⁃
ｃａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｓｍａｌｌ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ， ｗｈｉｌｅ ｉｔ ｉｓ ０．０７％ ｆｏｒ ｔｈｅ ＬＢＭ⁃ＩＢＭ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ． Ｔｈｅ
ＬＢＭ ｓｏｌｖｅｒ ａｔｔａｉｎｓ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ａｘｉａｌ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｗｉｔｈ ａｎ ｉｎｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｅｒｒｏｒ ｉｎ ａｌｌ ｔｈｅ ｔｅｓｔ
ｒｕｎｓ， ｂｕｔ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｓｌｉｐ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｔ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｎｏｄｅ ｗａｓ ４．５ × １０ －３ ｆｏｒ ４４ ｎｏｄｅｓ． Ｉｎ
ｔｈｅ ＬＢＭ⁃ＩＢＭ ａｐｐｒｏａｃｈ， ｔｈｅ ｆｌｏｗ ａｔｔａｉｎｓ ａ ｍａｘｉｍｕｍ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｘｉａｌ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｏｆ ９．９３ × １０ －２
ｗｉｔｈ ａ ０．７％ ｅｒｒｏｒ． Ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｓｌｉｐ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｔ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｗａｓ ３．０５ × １０ －５ ， ２ ｏｒｄｅｒｓ ｏｆ
ｍａｇｎｉｔｕｄｅ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｂｏｕｎｃｅ⁃ｂａｃｋ ｍｅｔｈｏｄ． Ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ， ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ ＬＢＭ ａｓ ａ ｆｌｕｉｄ ａｎｄ
ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｓｏｌｖｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｅｒｒｏｒ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ
ｐｒｏｃｅｓｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ＩＢＭ．
４．２
Ａｎ Ｅｘｔｅｒｎａｌ Ｆｏｒｃｅ Ｇｏｖｅｒｎｅｄ ＦＳＩ
Ａ ｗｅｌｌ⁃ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｖａｌｉｄａｔｉｏｎ ｃａｓｅ ｓｔａｔｅｄ ａｂｏｖｅ ｔｅｓｔｅｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｐｏｉｎｔ ｐａｒｔｉｃｌｅ ＬＢＭ⁃
ＩＢＭ ａｐｐｒｏａｃｈ． Ｔｈｅ ｃｌｏｓｅ ａｇｒｅｅｍｅｎｔ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｒｅｓｕｌｔ ａｎｄ ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕ⁃
ｔｉｏｎ ｃｏｎｆｉｒｍｓ ｔｈｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ． Ｎｅｘｔ， ｗｅ ｗｉｌｌ ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｓｔｕｄｙ
ｆｌｏｗ ｗｉｔｈｉｎ ａ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｗｈｏｓｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｍｏｔｉｏｎ ｖａｒｉｅｓ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｆｒｅ⁃
ｑｕｅｎｃｉｅｓ．
４．２．１
Ｆｌｏｗ Ｄｙｎａｍｉｃｓ ｉｎ ａｎ Ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ Ｗａｌｌ
Ｂｏｕｎｄａｒｙ ｍｏｖｅｍｅｎｔ ｉｓ ａｃｈｉｅｖｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｉｔｈｅｒ ａ ｐｒｅｄｅｆｉｎｅｄ ｆｏｒｍ ｏｆ ｖｅ⁃
ｌｏｃｉｔｙ ［３４］ ｏｒ ａ ｆｏｒｃｅ ｔｈａｔ ｗｉｌｌ ｃａｕｓｅ ａ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ［１］ ． Ｃｏｎｓｅｃｕｔｉｖｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｎｏｄｅ
ｌｏｃａｔｉｏｎｓ ｏｆｆｅｒ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓ ａｓ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｄｅｆｏｒｍｓ． Ａ ｄｅｆｏｒｍｅｄ ｔｈｉｎ ｌａｍｉｎａ
ｕｎｄｅｒ ａｎ ａｐｐｌｉｅｄ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｏａｄ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ ｆｉｇ． ６． Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ＬＢＭ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｈｉｇｈ⁃
ｅｓｔ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｌｉｍｉｔ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｓｔａｙｓ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｉｌｉｔｙ． Ｔｈｕｓ，
ａ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｍａｌｌ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓ ａｎｄ ｌｏｗ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｒａｎｇｅｓ ｂｅｓｔ ｓｕｉｔｓ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ａｓ
ｗａｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ［３５］ ， ｗｈｅｒｅ ｃｏｎｖｅｃｔｉｖｅ ｅｆｆｅｃｔｓ ｗｅｒｅ ｎｅｇｌｉｇｉｂｌｅ．
３８６
ＨＡＢＴＥ Ｍｕｓｓｉｅ Ａ
ＷＵ Ｃｈｕｉｊｉｅ
Ｔｈｏｕｇｈ ａ ｄｉｒｅｃｔ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｒｅｓｕｌｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ Ｋｏ⁃
ｚｌｏｖ ｅｔ ａｌ． ［１］ ｉｓ ｎｏｔ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｄｉｓｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｉｎ ｓｈａｐｅ ａｎｄ ｓｉｚｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ， ｔｈｅ ｃｏｍ⁃
ｐｕｔｅｄ ｆｌｏｗ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｓｈｏｗｓ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｉｎ ｒｅｇａｒｄｓ ｔｏ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｆｅａｔｕｒｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｐａｔｔｅｒｎ．
Ｆｉｇ． ７ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｆｌｏｗ ｆｉｅｌｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｌｏｗ ａｔ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｌｏｗ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ
ａｔ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｏａｄ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ． Ｔｈｅ ｐｒｏｊｅｃｔｅｄ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｆｉｅｌｄ ａｐｐａｒｅｎｔｌｙ
ｈａｓ ４ ｒｅｇｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ２ ｐａｉｒｓ ｏｆ ｒｅｇｉｏｎｓ ｈｏｓｔｉｎｇ ａ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｓｉｍｉｌａｒ ｆｌｏｗ ｐａｔｔｅｒｎ， ｗｈｉｃｈ ｒｏｔａｔｅ
ａｌｏｎｇｓｉｄｅ ｔｈｅ ２ ｍａｉｎ ｄｉａｇｏｎａｌ ａｎｇｌｅ ｂｉｓｅｃｔｏｒｓ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃａｌ ａｘｉｓ． Ｉｔ ｅｎｔｅｒｓ
ｆｒｏｍ ２ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｄｉａｇｏｎａｌ ｃｏｒｎｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂｏｘ ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ａｎｇｌｅ ｂｉｓｅｃｔｏｒ ｔｏｗａｒｄｓ ｔｈｅ ｃｏｒｅ ａｎｄ
ｆｌｏｗｓ ｔｏｗａｒｄｓ ｔｈｅ ａｄｊａｃｅｎｔ ｃｏｒｎｅｒｓ， ｗｈｉｌｅ ｐｅｒｆｏｒｍｉｎｇ ａ Ｕ⁃ｔｕｒｎ ｆｏｒｍｉｎｇ ａ ｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ ａｓ
ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｓｔ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｐｏｉｎｔ ａｔ ｔｈｅ ｃｅｎｔｅｒ． Ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｖａｎｉｓｈｅｓ ａｓ ｔｈｅ ｐｒｏｊｅｃｔｅｄ
ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｇｒａｄｕａｌｌｙ ｌｏｓｅｓ ｉｔｓ ｔａｎｇｅｎｃｙ ｔｏｗａｒｄｓ ｔｈｅ ｍｉｄｄｌｅ， ａｎｄ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｔｔａｉｎｓ
ｉｔｓ ｍａｘｉｍｕｍ ｖａｌｕｅ ｗｉｔｈ ａ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｖｅｃｔｏｒ． Ｆｉｇ． ８ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ
ｄｏｍｉｎａｎｔ ｆｌｏｗ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｔｈａｔ ｐｒｅｖａｉｌｓ ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃａｌ ａｘｉｓ ｉｎ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｉｍｕｌａ⁃
ｔｉｏｎｓ ｃｏｎｄｕｃｔｅｄ； ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ｄｅｃｒｅａｓｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｔ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ
ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ａｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ ｆｉｇ． ７． Ｔｈｉｓ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ
ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｏｎ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ． Ｉｔ ｉｓ ｔｏ ｂｅ ｎｏｔｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖｅｌｏｃｉｔｙ
ｄｉｍｉｎｉｓｈｅｓ ａｓ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｆｉｅｌｄ ｔｅｎｄｓ
ｔｏ ｈａｖｅ ａ ｒｅｄｕｃｅｄ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ．
Ｆｉｇ． ６
Ａ ｔｙｐｉｃａｌ ｄｅｆｏｒｍｅｄ ｌａｍｉｎａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｉｎｇ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔ ａｓ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｓｉｄｅ ｏｆ
ｔｈｅ ｂｏｘ ｉｓ ｄｉｓｐｌａｃｅｄ ｉｎｗａｒｄ ａｓ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｄｉａｇｒａｍ ｆｉｇ． ２． Ｔｈｅ ｄｅｆｏｒｍａ⁃
ｔｉｏｎ ｉｓ ｍａｇｎｉｆｉｅｄ ｆｏｒ ｖｉｓｕａｌ ｐｕｒｐｏｓｅ．
Ｇｏｖｅｒｎｅｄ ｂｙ ２ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ， ａ ｓｔｅａｄｙ ｆｌｏｗ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｖｅｒｔｉｃａｌｌｙ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ
ｔｈｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｖｏｌｕｍｅ ｌｅａｄｓ ｔｏ ａ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｓｔａｎｄｉｎｇ
ｗａｖｅ ａｓ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ ｆｉｇｓ． ７（ ｅ） ～ （ ｈ） ． Ｔｈｅ ｘ⁃ｚ ｐｌａｎｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｖｅｒｔｉｃａｌｌｙ ｒｅｃｉｐｒｏｃａ⁃
ｔｉｎｇ ｆｌｏｗ ｆｉｅｌｄ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｓｐａｎｗｉｓｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｇｒａｄｉｅｎｔ ａｔ ｅｖｅｒｙ ｖｅｒｔｉｃａｌ
ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａ ｍａｘｉｍｕｍ ｔａｎｇｅｎｃｙ ｎｅａｒ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｔｏ ｓａｔｉｓｆｙ ｔｈｅ ｎｏ⁃ｓｌｉｐ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． Ｆｉｇｓ．
７（ ａ） ～ （ ｄ） ｓｈｏｗ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｃｒｏｓｓ ａ ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ ｃｒｏｓｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ３ ｄｉｓｔｉｎｃｔ ｆｒｅｑｕｅｎ⁃
ｃｉｅｓ． Ａ ｒｉｓｅ ｉｎ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｓｔｒｕｃ⁃
ｔｕｒｅ ｏｎ ｔｈｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ． Ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｎｕｍｂｅｒｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ｆｉｇ．
７ ａｎｄ ｆｉｇ． ９ ａｒｅ
＝ ２２．９， Ｒｅ ｐｌ ≈ ６．５３，
－
＝ １２２ ｆｏｒ ｆ Ｒ ＝ １０ Ｈｚ； ａｎｄ
＝ ２２．９， Ｒｅ ｐｌ ≈ １３．０６，
Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ Ｃｏｎｔａｉｎｅｒ Ｗｉｔｈ
Ｖｉｓｃｏｕｓ Ｆｌｕｉｄ： ａ Ｌａｔｔｉｃｅ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ⁃Ｉｍｍｅｒｓｅｄ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ａｐｐｒｏａｃｈ
－
＝ ２２４ ｆｏｒ ｆ Ｒ ＝ １５ Ｈｚ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ａｌｓｏ，
＝ ２２．９， Ｒｅ ｐｌ ≈ １６．３２，
－
ｌｅｓｓ ｎｕｍｂｅｒｓ ｆｏｒ ｆ Ｒ ＝ ２５ Ｈｚ， ｂｕｔ ｔｈｅ ｆｉｇｕｒｅｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｒｅｐｏｒｔｅｄ ｈｅｒｅ．
Ｆｉｇ． ７
４．２．２
３８７
＝ ２８０ ａｒｅ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ⁃
Ｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｆｉｅｌｄ ｗｉｔｈｉｎ ａ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ａｔ １０ Ｈｚ．
Ｔｈｅ ｃｏｎｔｏｕｒ ｓｌｉｃｅ ｐｌｏｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｖｅｃｔｏｒ ｏｎ ａ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｐｌａｎｅ
ｃｒｏｓｓ⁃ｓｅｃｔｉｏｎ（ （ ｅ） ｔ ／ Ｔ ＝ ０， （ ｆ） ｔ ／ Ｔ ＝ ０．２５， （ ｇ） ｔ ／ Ｔ ＝ ０．５， （ ｈ） ｔ ／ Ｔ ＝ ０．７５）
Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｖｅｌｏｃｉｔｙ Ｆｉｅｌｄ
Ｔｈｅ ｔｙｐｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｕｔｃｏｍｅ ｉｎ ｆｉｇ． ７ ｒｅｐｏｒｔｓ ４ ｉｎｓｔａｎｔｓ ｉｎ ａｎ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｐｅｒｉｏｄ ｏｆ Ｔ
ｗｉｔｈｉｎ ａｎ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｏｆ ０．２５Ｔ． Ａ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｍｏｔｉｏｎ ｏｃｃｕｒｓ ａｔ ｔ ／ Ｔ ＝
０􀆰２５， ０． ５， ａｎｄ ０． ７５， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ａｔｔａｉｎｓ ｉｔｓ ｍａｘｉｍｕｍ ａｎｄ ｍｉｎｉｍｕｍ ｖｅｌｏｃｉｔｉｅｓ．
Ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｓｕｂｊｅｃｔｓ ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｆｉｅｌｄｓ ｉｎｔｏ ａ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｏｓ⁃
ｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ａ ｐｅｒｉｓｔａｌｔｉｃ ｆｌｏｗ ｔｈｒｏｕｇｈ ａｎ ｅｌａｓｔｉｃ ｃｏｎｄｕｉｔ． Ｉｎｉｔｉａｌ ｗａｌｌ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｒｅ⁃
ｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｄｏｗｎ ｕｎｔｉｌ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｄｅｃｅｌｅｒａｔｅｓ ａｎｄ ｔｕｒｎｓ ｉｔｓ
ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｉｎｗａｒｄ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｅｖｉｄｅｎｔ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｖｅｒｓｕｓ ｔｉｍｅ ｐｌｏｔ ｉｎ ｆｉｇ． １０
（ ｂ） ， ｗｈｅｒｅ ａ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｏｃｃｕｒｓ ａｔ ３ ｌｏｃａｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｉｎ ｆｉｇ． ２．
Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ， ３ ｔｅｍｐｏｒａｌ ｖａｒｉａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｒｅ ｐｌｏｔｔｅｄ ｉｎ ｆｉｇ． １０（ ａ） ｒｅ⁃
ｐｒｅｓｅｎｔｉｎｇ ｔｈｅ ３ ｌｏｃａｔｉｏｎｓ．
３８８
ＨＡＢＴＥ Ｍｕｓｓｉｅ Ａ
Ｆｉｇ． ８
Ｆｉｇ． ９
ＷＵ Ｃｈｕｉｊｉｅ
Ｔｈｅ ｐｈａｓｅ ｐｏｒｔｒａｉｔ ｏｆ ａ ｐｒｏｊｅｃｔｅｄ ｆｌｏｗ ｆｉｅｌｄ ｔｈａｔ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｐａｔｔｅｒｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｗｉｔｈ
ａ ｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ ａｔ ｔｈｅ ｃｅｎｔｅｒ
Ｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｆｉｅｌｄ ｗｉｔｈｉｎ ａ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ａｔ １５ Ｈｚ．
Ｔｈｅ ｃｏｎｔｏｕｒ ｓｌｉｃｅ ｐｌｏｔｓ ｓｈｏｗ ｆｌｕｉｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｖｅｃｔｏｒ ｏｎ ａ ｖｅｒｔｉｃａｌ
ｐｌａｎｅ ｃｒｏｓｓ⁃ｓｅｃｔｉｏｎ（ （ ｅ） ｔ ／ Ｔ ＝ ０， （ ｆ） ｔ ／ Ｔ ＝ ０．２５， （ ｇ） ｔ ／ Ｔ ＝ ０．５， （ ｈ） ｔ ／ Ｔ ＝ ０．７５）
Ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ⁃ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｃｏｎｔｉｎｕｅｓ ｉｎ ｂｏｔｈ ｌｏｗ ａｎｄ ｈｉｇｈ⁃ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｓｔａｔｅｓ． Ｔｈｅｓｅ
ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ ｍｏｍｅｎｔｓ ｃｒｅａｔｅ ａ ｆｌｏｗ ｒｅｖｅｒｓａｌ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｅｖｉｄｅｎｔ ａｔ ｔ ／ Ｔ ＝ ０．２５ ａｎｄ ｔ ／ Ｔ ＝ ０．７５．
Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ Ｃｏｎｔａｉｎｅｒ Ｗｉｔｈ
Ｖｉｓｃｏｕｓ Ｆｌｕｉｄ： ａ Ｌａｔｔｉｃｅ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ⁃Ｉｍｍｅｒｓｅｄ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ａｐｐｒｏａｃｈ
３８９
Ｔｈｉｓ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｆｌｏｗ ｔａｋｅｓ ｐｌａｃｅ ｉｎ ２ ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｓｅｐ⁃
ａｒａｔｅｄ ｂｙ ａ ｄｉｓｔｉｎｃｔ ｆｌｏｗ ｓｔａｇｎａｔｉｏｎ ｆｒｏｎｔ， ｉ．ｅ．， ｌｏｃａｔｉｏｎ ③， ａｓ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ ｆｉｇ． ７． Ｔｈｅ ｖｅ⁃
ｌｏｃｉｔｉｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ２ ｒｅｇｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｕｔ ｏｆ ｐｈａｓｅ， ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｉｓ ｉｎ ｐｈａｓｅ ｗｉｔｈ ａ ｓｍａｌｌ ｃｈａｎｇｅ
ｉｎ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ．
（ ａ） Ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ
Ｆｉｇ． １０
（ ｂ） Ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｐｒｅｓｓｕｒｅ
Ｔｈｅ ｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓ ｆｌｕｉｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ （ ａ） ａｎｄ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｐｒｅｓｓｕｒｅ （ ｂ） ａｔ ３ ｌｏｃａｔｉｏｎｓ
ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ａｔ １０ Ｈｚ ａｓ ａｒｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｉｎ ｆｉｇ． ２
（ ａ） Ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｆｉｅｌｄ
Ｆｉｇ． １１
（ ｂ） Ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｐｒｅｓｓｕｒｅ
Ｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｆｉｅｌｄ （ ａ） ａｎｄ
ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｐｒｅｓｓｕｒｅ （ ｂ） ａｔ ｌｏｃａｔｉｏｎ ② ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ａｓ ａｒｅ
ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｉｎ ｆｉｇ． ２． Ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｓｃｉｌｌａｔｅｓ ａｔ ４ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ
Ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ｓｕｂｆｉｇｕｒｅｓ ｉｎ ｆｉｇ． ９ ｓｈｏｗ ａ ｓｅｅｍｉｎｇｌｙ ｓｅｃｏｎｄａｒｙ ｆｌｏｗ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｐｒｏｆｉｌｅ ａｔ ａ
ｃｒｏｓｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｈａｌｆｗａｙ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｎｏｄｅ ｔｏｗａｒｄｓ ｔｈｅ ２ ｒｅｇｉｏｎｓ ａ⁃
ｌｏｎｇ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ． Ａｓ ｉｓ ｄｉｓｐｌａｙｅｄ， ｔｈｅ ｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓ ｓｅｃｏｎｄａｒｙ ｆｌｏｗ ｏｆ ｔｈｅ ３ｒｄ
ｋｉｎｄ ｉｓ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｃｏｒｎｅｒ ｂｉｓｅｃｔｏｒ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｆｉｅｌｄ ｖｅｃｔｏｒｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈｅ
ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ２ ｐａｉｒｓ ｏｆ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｖｏｒｔｉｃｅｓ， ｓｅｅ ｆｉｇ． ９（ ｄ） ． Ａｓ ｉｓ ｐｒｅｄｉｃｔｅｄ， ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ａｄｊａｃｅｎｔ
ｔｏ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｓｈｏｗｓ ａ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ ｐｌａｙｓ ａ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｒｏｌｅ ｉｎ ｅｎｆｏｒｃｉｎｇ
ａ ｇｒａｄｕａｌ ｔａｎｇｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｓ ｉｔ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ． Ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ， ｔｈｅ ｄｏｍｉ⁃
ｎａｎｔ ｒｏｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ ｄｉｍｉｎｉｓｈｅｓ ａ ｆｅｗ ｌａｔｔｉｃｅ ｉｎｔｅｒｖａｌｓ ａｗａｙ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｔｏｗａｒｄｓ
３９０
ＨＡＢＴＥ Ｍｕｓｓｉｅ Ａ
ＷＵ Ｃｈｕｉｊｉｅ
ｔｈｅ ｃｏｒｅ ｒｅｇｉｏｎ．
４．２．３
Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｔｈｅ Ｆｏｒｃｅ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ
Ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｅｘａｍｉｎｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ａｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｏａｄ ａｔ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ． Ｆｉｇ． １１ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｆｌｏｗ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ａｔ ４ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｏａｄ ｆｒｅ⁃
ｑｕｅｎｃｉｅｓ． Ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ｆｒｏｍ ｆｉｇ． １１（ａ） ｔｈａｔ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ａｔ ｐｏｓｉ⁃
ｔｉｏｎ ②， ｓｅｅ ｆｉｇ． ２， ｄｅｃｒｅａｓｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ． Ａｌｓｏ， ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｄｅ⁃
ｃｒｅａｓｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｒａｔｅ ｏｆ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｏａｄ， ｓｅｅ ｆｉｇ． １１（ｂ）．
５
Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ
Ｔｈｅ ＬＢＭ ａｎｄ ｔｈｅ ＩＢＭ ａｒｅ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｔｏ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ⁃ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ
ｍｏｖｉｎｇ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｅｎｃｏｍｐａｓｓｉｎｇ ａ ｖｉｓｃｏｕｓ ｆｌｕｉｄ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ． Ｆｒｏｍ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ， ｔｈｅ
ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ａｒｅ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ：
１） Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｉｎｇ ａ ｐｏｉｎｔ⁃ｐａｒｔｉｃｌｅ ｂａｓｅｄ ＩＢＭ ａｓ ａ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｓｏｌｖｅｒ ｏｆｆｅｒｓ ２ｎｄ⁃
ｏｒｄｅｒ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｗｉｔｈ ｎｅｇｌｉｇｉｂｌｅ ｓｌｉｐ ｗｈｅｎ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ＬＢＭ ａｌｏｎｅ． Ｔｈｅ ｉｍｍｅｒｓｅｄ
ｂｏｕｎｄａｒｙ ｂａｓｅｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｓｈａｌｌ ｂｅ ｕｓｅｄ ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ ｔｈｅ ＬＢＭ ｉｆ ａｃｃｕｒａｃｙ ｉｓ ｍｏｒｅ
ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｃｏｓｔ． Ｉｎｓｔｅａｄ， ｉｆ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｍｏｒｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ
ａｔ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ， ｔｈｅ ＬＢＭ ｏｆｆｅｒｓ ａ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆａｓｔｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ ＩＢＭ．
２） Ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｍｏｖｅｍｅｎｔ ｉｓ ｆｏｕｎｄ ｔｏ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ａｎ ｉｎｉｔｉａｌｌｙ ｑｕｉｅｓｃｅｎｔ ｖｉｓｃｏｕｓ ｆｌｕｉｄ
ｗｉｔｈｉｎ ａ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｌｙ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｔｅ ａ ｓｔａｎｄｉｎｇ ｗａｖｅ ｉｎ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ
ａ ｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｇｒａｄｉｅｎｔ， ａｓ ｅｘｐｅｃｔｅｄ．
３） Ｔｈｅ ｐｒｏｊｅｃｔｅｄ ｆｌｏｗ ｆｉｅｌｄ ｒｅｖｅａｌｓ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｓｅｃｏｎｄａｒｙ ｆｌｏｗ， ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｉｎ⁃
ｔｅｎｓｉｔｙ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｏｆ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ， ｉｎ ｌｉｎｅ ｗｉｔｈ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｒｅｓｕｌｔｓ
ｄｅｓｐｉｔｅ ａ ｄｉｒｅｃｔ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｉｓ ｎｏｔ ｐｏｓｓｉｂｌｅ．
Ａｐｐｅｎｄｉｘ Ａ
Ｆｏｒｃｅｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ
Ａ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ， Ｆ ｅｘｔ（ ｘ，ｙ，ｔ） ＝ Ｆ ｏ（ ｘ，ｙ） ｅ ｉωｔ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ω， ｉｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｔｏ ａｃｔ
ａｔ ｌｏｃａｔｉｏｎ （ ｘ′，ｙ′） ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ ｔｏ ａ ｃｌａｍｐｅｄ ｔｈｉｎ ｌａｍｉｎａ ｗｉｔｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ Ｗ × Ｈ． Ｗｉｔｈ ａ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｓｅｒｉｅｓ ｅｘ⁃
ｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ Ｆ ｏ（ ｘ，ｙ） ， ａ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ａｓ
∞
∞
∑∑Ｆ
Ｆ ｏ（ ｘ，ｙ） ＝
ｍ＝１ ｎ＝１
ｍｎ
ϑ ｍｎ（ ｘ，ｙ） ，
（ Ａ１）
ｗｈｅｒｅ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ϑ ｍｎ（ ｘ，ｙ） ＝ Ｘ ｍ（ ｘ）·Ｙ ｎ（ ｙ） ｉｓ ｃｏｍｐｏｓｅｄ ｏｆ ｅｉｇｅｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｘ ｍ（ ｘ） ａｎｄ Ｙ ｎ（ ｙ） ， ｗｈｉｃｈ ｓａｔ⁃
ｉｓｆｙ ｔｈｅ ｌａｍｉｎａ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．
Ｅｑ． （ Ａ２） ｅｘｐｒｅｓｓ Ｆ ｍｎ ａｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｘ ｍ（ ｘ） ａｎｄ Ｙ ｎ（ ｙ） ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅｉｒ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｉｔｙ：
Ｆ ｍｎ
∫ ∫ Ｆ （ ｘ，ｙ） Ｘ （ ｘ） Ｙ （ ｙ） ｄｘｄｙ
＝
．
∫ ∫ Ｘ （ ｘ） Ｙ （ ｙ） ｄｘｄｙ
Ｗ
Ｈ
０
０
ｏ
ｍ
Ｗ
Ｈ
０
０
２
ｍ
ｎ
２
ｎ
（ Ａ２）
Ｃｈｏｓｅｎ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｘ ｍ（ ｘ） ａｎｄ Ｙ ｎ（ ｙ） ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｌａｍｐｅｄ ｌａｍｉｎａ ａｒｅ：
Ｊλ
λ ｘ
λ ｙ
Ｊλ
λ ｙ
－ æç ｍ ö÷ Ｈ æç ｍ ö÷ ， Ｙ ｎ（ ｘ） ＝ Ｊ æç ｎ ö÷ － ｇ æç ｎ ö÷ Ｈ æç ｎ ö÷ ，
è ａ ø è Ｈλ ｍ ø è ａ ø
è ｂ ø
è Ｈλ ｎ ø è ｂ ø
Ｘ ｍ（ ｘ） ＝ Ｊ æç
ｗｈｅｒｅ
λｍｘö
÷
（ Ａ３）
Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ Ｃｏｎｔａｉｎｅｒ Ｗｉｔｈ
Ｖｉｓｃｏｕｓ Ｆｌｕｉｄ： ａ Ｌａｔｔｉｃｅ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ⁃Ｉｍｍｅｒｓｅｄ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ａｐｐｒｏａｃｈ
３９１
Ｊ（·） ＝ ｃｏｓｈ（·） － ｃｏｓ（·） ， Ｈ（·） ＝ ｓｉｎｈ（·） － ｓｉｎ（·） ．
Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ， λ ｍ ａｎｄ λ ｎ ｓａｔｉｓｆｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｃｏｓｈ（ λ）·ｃｏｓ（ λ） ＝ １．
Ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｇａｌｅｒｋｉｎ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ｅｑ． （３） ｉｓ ｃｏｎｖｅｒｔｅｄ ｔｏ
－
Ｄ∑ ∑ Ｗ ｍｎ（ Ｉ １ Ｉ ２ ＋ ２Ｉ ３ Ｉ ４ ＋ Ｉ ５ Ｉ ６ ） － ｍ
ω ２ ∑ ∑ Ｗ ｍｎ（ Ｉ ２ Ｉ ６ ） ＝
ｍ
ｎ
∑∑Ｗ
ｍ
ｎ
ｍ
∫ ∫ Ｆ （ ｘ，ｙ） Ｘ Ｙ ｄ ｄ ，
ｍｎ
Ｈ
Ｗ
０
０
ｏ
ｍ
ｎ
ｘ
ｎ
ｙ
ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｉｎｐｕｔｓ ｔｏ ｅｑ． （５） ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｓ
∫ Ｘ ″″ ｘ ｄｘ， Ｉ ＝ ∫ Ｙ ″ Ｙ ｄｙ，
＝ ∫ Ｙ ｄｙ， Ｉ ＝ ∫ Ｙ ″″ Ｙ ｄｙ，
＝ ∫ Ｘ ″ Ｘ ｄｘ， Ｉ ＝ ∫ Ｘ ｄｘ．
Ｉ１ ＝
Ｉ２
Ｉ３
Ｗ
（ Ａ４）
Ｈ
ｍ
０
Ｈ
５
０
Ｗ
ｍ
０
ｎ
ｎ
ｎ
Ｗ
６
ｍ
ｍ
０
Ｈ
２
ｎ
０
４
ｍ
２
ｍ
０
Ａｐｐｅｎｄｉｘ Ｂ
Ｔｈｅ Ｆｏｒｃｉｎｇ Ｔｅｒｍ
Ｔｈｅ ｂｏｄｙ ｆｏｒｃｅ ｔｅｒｍ， Ｆ ｂ ， ｉｎ ｅｑ． （６） ， ｓｕｇｇｅｓｔｅｄ ｂｙ Ｌａｄｄ ［２３］ ａｎｄ Ｓｏｎ ｅｔ ａｌ． ［３６］ ， ｉｓ ｃｈｏｓｅｎ ａｍｏｎｇ ｔｈｅ ｖａ⁃
ｒｉｏｕｓ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｉｎ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｓ． Ｔｈｉｓ ｆｏｒｃｉｎｇ ｔｅｒｍ ｃａｎ ｂｅ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｄｅｄ ｆｏｒｍ ｏｆ
ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｓｅｒｉｅｓ ｉｎ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ξ α ．
（ Ｃ·ξ α ） Ｄ ∶ （ ξ α ξ α － ｃ２ｓ Ｉ） ù
é
＋
Ｆ ｂ ＝ Ａ σ êê Ｂ ＋
úú ，
ｃ２ｓ
２ｃ４ｓ
ë
û
（ Ｂ１）
ｗｈｅｒｅ Ｂ， Ｃ， ａｎｄ Ｄ ａｒｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｆ ｂ ａｒｅ ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｔｏ ｍａｔｃｈ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｈｙｄｒｏｄｙ⁃
ｎａｍｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ． Ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ， Ｂ ＝ ０， Ｃ ＝ ｆ， ａｎｄ Ｄ ＝ ［１ － １ ／ （２τ） ］ ｕ′ ｆ ＋ ｆｕ′ ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｆｏｒ
Ｄ ｃａｌｌｓ ｆｏｒ ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔ ｆｉｅｌｄ ａｄｄｅｄ ｔｏ ｅａｃｈ ｎｏｄｅ ［３６］ ｔｈａｔ ｇｉｖｅｓ ａｎ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｆｌｕｉｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ
ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｓ
ρｕ′ ＝
∑ξ
α
α
Δｔ
ｆ．
２
ｆα ＋
（ Ｂ２）
Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ， ａ ｆｏｒｃｉｎｇ ｔｅｒｍ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｂｙ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ［３６］ ｉｓ ｕｓｅｄ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｒｅｃｏｖｅｒ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ
Ｎａｖｉｅｒ⁃Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．
Ｆｂ ＝
( １ － ２τ１ ) Ａ éêêë３ ξ ｃ－ ｕ ＋ ９ ξ ｃ·ｕ ξ ùúúû·ｆ（ ｒ，ｔ） ．
α
α
α
２
４
α
（ Ｂ３）
Ａｓ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｂｌｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｖｏｉｄ ｆｒａｃｔｉｏｎ， Ｆ ｂ ｓｅｒｖｅｓ ａｓ ｔｈｅ ｓｏｌｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｍｅｄｉ⁃
ｕｍ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ２ ｐｈａｓｅｓ．
Ａｐｐｅｎｄｉｘ Ｃ
Ｔｈｅ Ｓｌｉｐ Ｖｅｌｏｃｉｔｙ
Ｔｈｅ Ｅｕｌｅｒｉａｎ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｉｎ ｅｑ． （ Ｂ２） ｉｓ ａ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ ａｎｄ ｃｏｒｒｅｃｔｉｖｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ．
ｕ（ ｒ，ｔ） ＝ ｕ ∗（ ｒ，ｔ） ＋ δｕ（ ｒ，ｔ） ．
（ Ｃ１）
Ｔｈｉｓ ｃｏｒｒｅｃｔｉｖｅ ｔｅｒｍ ｉｓ ａ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｓｐｒｅａｄｉｎｇ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｆｏｒｃｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｏｎｔｏ ａ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｌｏｃａ⁃
ｔｉｏｎ， ｌｉｋｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｌｕｉｄ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｎｏｄｅｓ ｕｓｉｎｇ ｅｑ． （ １７） ． Ｔｈｅ ｓｌｉｐ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｉｓ
ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｔ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｐｏｉｎｔ， Ｕ（ Ｘ ｗ ，ｔ） ， ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｖｅｌｏｃｉｔｙ
ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｎｏｄｅ．
Ｕ ｓ ＝ Ｕ ｌ（ Ｘ ｗ ，ｔ） － Ｕ（ Ｘ ｗ ，ｔ） ，
Ｕ（ Ｘ ｗ ，ｔ） ） ＝
∑ｕ（ ｒ，ｔ） Ｄ（ ｒ
ｉｊｋ
ｉｊｋ
－ Ｘ ｗ ） ΔｘΔｙΔｚ，
（ Ｃ２）
（ Ｃ３）
ｗｈｅｒｅ Δｘ， Δｙ， ａｎｄ Δｚ ａｒｅ ｔｈｅ ｍｅｓｈ ｓｉｚｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ， ｖｅｒｔｉｃａｌ， ａｎｄ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍ⁃
ｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｄｏｍａｉｎ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｔｈｅ Ｅｕｌｅｒｉａｎ ｆｌｕｉｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｉｓ ｓｍｏｏｔｈｌｙ ｔｒａｎｓｆｅｒｒｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｌｏｃａ⁃
ｔｉｏｎ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｔｒｉｌｉｎｅａｒ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ［２５］ ．
３９２
ＨＡＢＴＥ Ｍｕｓｓｉｅ Ａ
ＷＵ Ｃｈｕｉｊｉｅ
Ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｌｉｐ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｉｓ ｔｈｅ ｐｒｉｍａｒｙ ｉｎｐｕｔ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ⁃ｆｌｕｉｄ ｄｒａｇ ｆｏｒｃｅ ｍｏｄ⁃
ｅｌ． Ｆｏｒ ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ ａｎｄ ｈｉｇｈ Ｒｅｙｎｏｌｄｓ ｎｕｍｂｅｒ ｆｌｏｗ ｒｅｇｉｍｅｓ， ｅｑ． （ １６） ｈａｓ ｔｏ ｂｅ ｒｅｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎｔｏ ａ ｄｒａｇ
ｍｏｄｅｌ， ｓｅｅ ｓｅｃｔｉｏｎ ２．１．
Ａｐｐｅｎｄｉｘ Ｄ
Ｐｏｒｏｓｉｔｙ
Ｔｈｅ ｐｏｒｏｓｉｔｙ ａｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｎｏｄｅ Ｘ ｗ ｉｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ｓｕｍｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｖｏｌｕｍｅｓ ｏｆ ａｌｌ ｔｈｅ ｓｕｒｒｏｕｎｄ⁃
ｉｎｇ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｎｏｄｅｓ ｗｉｔｈｉｎ ｓｕｉｔａｂｌｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｋｅｒｎｅｌ ｒａｄｉｕｓ ｈ ｃ ．
􀆠ｌ ＝ １ －
∑ψ （ ｈ ） Ｖ ，
ｊ
ｌｊ
ｃ
ｊ
（ Ｄ１）
ｗｈｅｒｅ Ｖ ｊ ｉｓ ｔｈｅ ｖｏｌｕｍｅ ｏｆ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｎｏｄｅ ｊ， ａｎｄ ｋｅｒｎｅｌ ψ ｌｊ ＝ ψ（ ｜ ｒ ｌ － ｒ ｊ ｜ ，ｈ ｃ ） ｉｓ ａ ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ａｎｄ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ
Ｂ⁃ｓｐｌｉｎｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｋｅｒｎｅｌ ［３７］ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ａｓ
３
ìï１５ ２ － ｒ２ ＋ ｒ
２
ï７ ３
１ ï
ψ（ ｒ，ｈ） ＝
í５
２
πｈ３ ï （２ － ｒ） ，
１４
ïï
î０，
(
)，
０ ≤ ｒ ＜ １，
１ ≤ ｒ ＜ ２，
（ Ｄ２）
ｒ ≥ ２，
ｗｈｅｒｅ ｒ ＝ ｜ ｒ ｌ － ｒ ｊ ｜ ／ ｈ ａｎｄ ｈ ｃ ｉｎ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｓｅｔ ｔｏ ２ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｃｒｅａｔｅ ａ ｓｍａｌｌ ｓｕｐｐｏｒｔ ｉｎ ｗｈｉｃｈ
ｉｔ ｇｏｅｓ ｔｏ ｚｅｒｏ ａｔ ａ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｏｆ ２ｈ ｃ ｆｒｏｍ ｉｔｓ ｐｅａｋ．
Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ：
［１］
ＫＯＺＬＯＶ Ｖ， ＫＯＺＬＯＶ Ｎ， ＳＣＨＩＰＩＴＳＹＮ Ｖ． Ｓｔｅａｄｙ ｆｌｏｗｓ ｉｎ ａｎ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｄｅｆｏｒｍａｂｌｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ：
［２］
ＭＩＲＡＳ Ｔ， ＳＣＨＯＴＴＥ Ｊ⁃Ｓ， ＯＨＡＹＯＮ Ｒ． Ｌｉｑｕｉｄ ｓｌｏｓｈｉｎｇ ｄａｍｐｉｎｇ ｉｎ ａｎ ｅｌａｓｔｉｃ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ［ Ｊ］ ．
［３］
ＬＯＰＥＺ Ｄ， ＧＵＡＺＺＥＬＬＩ Ｅ． Ｉｎｅｒｔｉａｌ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｎ ｆｉｂｅｒｓ ｓｅｔｔｌｉｎｇ ｉｎ ａ ｖｏｒｔｉｃａｌ ｆｌｏｗ［ Ｊ］ ． Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅ⁃
［４］
［ ５］
［６］
ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ［ Ｊ］ ． Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ Ｆｌｕｉｄｓ， ２０１７， ２（９） ： ０９４５０１．
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， ２０１２， ７９（１） ： ０１０９０２．
ｖｉｅｗ Ｆｌｕｉｄｓ， ２０１７， ２（２） ： ０２４３０６．
ＳＡＵＲＥＴ Ａ， ＣＥＢＲＯＮ Ｄ， ＬＥ ＢＡＲＳ Ｍ， ｅｔ ａｌ． Ｆｌｕｉｄ ｆｌｏｗｓ ｉｎ ａ ｌｉｂｒａｔｉｎｇ ｃｙｌｉｎｄｅｒ［ Ｊ］ ． Ｐｈｙｓｉｃｓ ｏｆ
Ｆｌｕｉｄｓ， ２０１２， ２４（２） ： ０２６６０３．
ＨＡＢＴＥ Ｍ Ａ， ＷＵ Ｃｈｕｉｊｉｅ． Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｗａｌｌ ｍｏｔｉｏｎ ｏｎ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｅｄｉｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｈｙｂｒｉｄ ＬＢ⁃
ＩＢＭ ｓｃｈｅｍｅ［ Ｊ］ ． Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｃｈｉｎａ： Ｐｈｙｓｉｃｓ， Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ＆ Ａｓｔｒｏｎｏｍｙ， ２０１７， ６０（３） ： ０３４７１１．
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矩形容器中黏性流体的横波谐振：
格子 Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ 浸没边界方法
哈比特 Ｍ Ａ，
吴锤结
（ 工业装备结构分析国家重点实验室（ 大连理工大学） ；
大连理工大学 航空航天学院， 辽宁 大连 １１６０２４）
（ 我刊编委吴锤结来稿）
摘要：
将三维格子 Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ 法（ ＬＢＭ） 与浸没边界法（ ＩＢＭ） 相结合，研究弹性矩形容器中黏性流
体的横波谐振所引起的流动物理特性．提出了一个半微观表达式来计算边界节点处的流体受力．基
于薄板弹性变形理论，使用解析变形解法来计算边界所经历的位移．基于该方法的数值模拟结果与
固定边界的理论预测结果一致．采用振荡边界模拟展现了与理论预期相符合的流动模式．
关
键
词：
基 金 项 目：
格子 Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ 法；
浸没边界法；
谐波振荡
国家自然科学基金（１１３７２０６８） ； 国家重点基础研究发展计划（９７３ 计划）
（２０１４ＣＢ７４４１０４）
引用本文 ／ Ｃｉｔｅ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ：
ＨＡＢＴＥ Ｍｕｓｓｉｅ Ａ， ＷＵ Ｃｈｕｉｊｉｅ． Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｗｉｔｈ ｖｉｓ⁃
ｃｏｕｓ ｆｌｕｉｄ： ａ ｌａｔｔｉｃｅ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ⁃ｉｍｍｅｒｓｅｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ａｐｐｒｏａｃｈ［ Ｊ］ ． Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｍｅｃｈａｎ⁃
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哈比特 Ｍ Ａ， 吴锤结． 矩形容器中黏性流体的横波谐振：格子 Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ 浸没边界方法［ Ｊ］ ． 应用数学
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